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御制数理精蕴

目录 > 子藏 > 算法

最后修改：Mon Nov 26 2018 23:45:24 GMT+0000 (Coordinated Universal Time)

　　钦定四库全书　　　　子部六
　　御制数理精蕴　　　　　　　天文算法类二【算书之属】
　　提要
　　【臣】等谨案
　　御制数理精蕴五十三卷康熈五十二年
　　圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第二部也上编五卷曰立纲明体其别有五曰数理本源曰河图曰洛书曰周髀经解曰防何原本曰算法原本下编四十卷曰分条致用其别亦有五曰首部曰线部曰靣部曰体部曰末部又表八卷其别有四曰八线表曰对数阐防表曰对数表曰八线对数表皆通贯中西之异同而辨订古今之长短如旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然所立假如仅可施之本例而不可移之他处至于正负加减法实并分母诸例率皆
　　谬误今则约之为和数较数和较兼用和较交变四例而和数不分正负较数任以一色为正即以相当之一色为负皆以异名相并同名相减实足正旧法之讹误又割圆术古以径一围三为周径之率宋祖冲之用圆容六边起算元赵友钦用圆容四邉起算皆屡求勾股得径一者周三一四一五九六二五泰西法亦同其率古今周率之宻无逾于此而旧所传弧矢诸术周径皆用古率又弧背互求诸术立法极为疏舛今则以六宗三要二简法求得一象限内矢割切正余八线立为一表洵极勾股弧矢之变又防何原本止于测面七卷以下徐光启李之藻后无译之者新法算书往往有杂引之处读者未之能详且理分中末线但有求作之法而莫知所用今则求得各等靣体及球内容外切各等靣体之积至十二等靣及二十等靣之体皆以理分中末线为之比例足以补测量全义量体诸率之简畧至末部借根方法即古人天元一之术唐宋诸算家咸用之至眀而失传是以顾应祥唐顺之于元李冶测圆海镜一书所立天元一皆茫然不觧今则具明其加减乗除之例而后根与平方以下诸乗方之多少者咸得其开法与古所云纵立方三乗方诸变同归一揆且线靣体一以贯之而本法所不能求者皆可以借根而得至为精妙他若对数表以假数求真数比例规解以量代算皆西法之迥异于中法者咸为疏通证明绘图立表粲然毕备寔为从古未有之书虽専门名家未能窥髙深于万一也乾隆四十六年九月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴上编卷一
　　数理本原
　　河图
　　洛书
　　周髀经解

　　数理本原
　　粤稽上古河出图洛出书八卦是生九畴是叙数学亦于是乎肇焉盖图书应天地之瑞因圣人而始出数学穷万物之理自圣人而得明也昔黄帝命首作算九章之义已启尧命羲和治厯敬授人时而岁功已成周官以六艺教士数居其一周髀商高之説可考也秦汉而后代不乏人如洛下闳张衡刘焯祖冲之之徒各有著述唐宋设明经算学科其书颁在学宫令博士弟子肄习是知算数之学实格物致知之要务也故论其数设为几何之分而立相求之法加减乘除凡多寡轻重贵贱盈朒无遗数也论其理设为几何之形而明所以立算之故比例分合凡方圆大小逺近高深无遗理也溯其本原加减实出于河图乘除殆出于洛书一奇一偶对待相资递加递减而繁衍不穷焉奇偶各分纵横相配互乘互除而变通不滞焉征其实用测天地之高深审日月之交会察四时之节候较昼夜之短长以至协律度同量衡通食货便营作皆赖之以为统纪焉今汇集成编以类相从提防线面体以为纲分和较顺逆以为目法无论巨细惟择其善者由浅以及深执简以御繁使理与数协务有裨于天下国家以传于亿万世云尔

　　易系辞曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天数五地数五五位相得而各有合朱子曰河图以五生数统五成数而同处其方葢揭其全以示人而道其常数之体也考其数始于一中于五终于十阳奇隂偶而数之加减由是生焉自一而二自二而三自三而四自四而五皆递加一以相生自五复加一而成六六加一而七七加一而八八加一而九九加一而十十则仍归于一故至十而天地之数全矣天数阳也地数阴也言天地即所以言阴阳

　　也五位相得而各有合以五行之序而定位也邵子曰天之阳在南而阴在北地之阴在南而阳在北故河图之数一阳位于北二阴位于南其即五行质具于地之义而言之欤今以阴阳相生之数论之一为阳天一生水而位北一加一为二为阴地二生火而位南二加一为三为阳天三生木而位东三加一为四为阴地四生金而位西四加一为五为阳天五生土而位中至五而五行之数已周此生数之极也自一至五则五又为一体矣于是以五为中数而复加一则为六六阴也因五中数与一相加故与一同位而属之水焉六加一为七以中数五计之实加二故与二同位而属之火焉七加一为八以中数五计之实加三故与三同位而属之木焉八加一为九以中数五计之实加四故与四同位而属之金焉九加一为十以中数五计之复加五故与五同位而属之土焉至十而五行之数再周天地之数已备此成数之极也以阴阳运行之序论之以五生数统十成数位居于中而奇数则始于北一次东三次南七次西九偶数则始于南二次西四次北六次东八此数之阴与阴阳与阳各从其类者也以奇偶相得之数论之一与六合二与七合三与八合四与九合五与十合此又奇偶相得而各有合者也邵子谓圆者河图之数又曰厯纪之数其肇于此然则所谓数者即一阴一阳一奇一偶循环无间表相维百千万亿总由此推之以成其变化河图者岂非天地自然生成之数也哉

　　洛书之数戴九履一左三右七二四为肩八六为足五居其中朱子谓以五奇数统四偶数而各居其所葢主于阳以统阴而肇其变数之用也邵子曰数学虽多乘除尽之矣夫洛书者数之源也乘除之所以生也易説卦传曰参天两地而倚数三天数也二地数也天地相合而万物育焉一者太极之体其数不行故数行于二三起于三以三参之则三九七一之数生焉起于二以二两之则二四八六之数生焉其序列之位则天居四正取以阳统阴之义地居四维

　　取以阴从阳之义其三九七一乘数则旋而左除数则返而右也其二四八六乘数则旋而右除数则返而左也二三相合而为五五则无对居中者立其体也二五相合而为十十仍归一洛书不用者藏其用也是故三始于东方发生之地而位于左自东而南三而三之是为九故戴九自南而西九而三之为二十七去成数余七故右七自西而北七而三之为二十一去成数余一故履一奇数左旋以三参之即天道左行之説也如转而右行以三除之仍复其原数焉二立于西南二阴始生之地而位于右肩自西南而东南二而二之是为四位于左肩自东南而东北四而二之为八位于左足自东北而西北八而二之为十六去十余六位于右足偶数右旋以二两之即地道右行之説也如转而左行以二除之仍复其原数焉此乘除之数见于运行者如此若以对待者观之一与九对一为数之始九为数之终互乘互除其数不变也二与八对二八互乘俱得十六二除十六得八八除十六仍得二此二与八之相倚也三与七对三七互乘皆二十一三除二十一得七七除二十一仍得三此三与七之相倚也四与六对四六互乘皆二十四四除二十四得六六除二十四仍得四此四与六之相倚也至五为二三之合天地之交阴阳之会位于洛书之中以建人极配上下而为三才故斜直四围皆得十五合之得四十有五为九五之数要之运行者其序也对待者其位也进退循环纵横交错总不外于乘除故曰乘除之本原自洛书生也

　　周髀经解
　　数学之失传乆矣汉晋以来所存几如一线其后祖冲之郭守敬辈殚心象数立宻率消长之法以为习算入门之规然其法以有尽度无尽止言天行未及地体是以测之有变更度之多盈缩葢有未尽之余蕴也明万厯间西洋人始入中土其中一二习算数者如利玛窦穆尼阁等着为几何原本同文算指诸书大体虽具实未阐明理数之精微及我朝定鼎以来远人慕化至者渐多有汤若望南怀仁安多闵明我相继治理厯法间明算学而度数之理渐加详备然询其所自皆云本中土所流传粤稽古圣尧之钦明舜之濬哲厯象授时闰余定岁璿玑玉衡以齐七政推歩之学孰大于是至于三代盛时声教四讫重译向风则书籍流传于海外者殆不一矣周末畴人子弟失官分散嗣经秦火中原之典章既多缺佚而海外之支流反得眞传此西学之所以有本也古算书存者独有周髀周公商高问答其本文也荣方陈子以下所推衍也而汉张衡蔡邕以为术数虽存考验天状多所违失按荣方陈子始言晷度衡邕所疑或在于是若周髀本文辞简而意该理精而用博实言数者所不能外其圆方矩度之规推测分合之用莫不与西法相为表里然则商高一篇诚成周六艺之遗文而非后人所能假托也旧注义多舛讹今悉详正弁于算书之首以明数学之宗使学者知中外本无二理焉尔
　　昔者周公问于商高曰窃闻乎大夫善数也请问古者包牺立周天厯度
　　周天厯度者分周天三百六十度为推求厯日之用也按通鉴载包牺作甲厯天干地支相配六甲一转天度一周年以是纪而岁功成月以是纪而朔望定昼夜以是纪而时日分易大传言包牺仰以观于天文俯以察于地理其观察之时必有度数以纪其法象则厯度始于包牺无疑矣
　　夫天不可阶而升地不可将尺寸而度请问数从安出
　　天之高明地之博厚非人力所能及其厯度之数不知从何而得也
　　商高曰数之法出于圆方
　　万物之象不出圆方万象之数不离圆方河图者方之象也洛书者圆之象也太极者圆之体奇也四象者方之体偶也奇数天也偶数地也有天地而万物于是乎生有圆方而万象于是乎定有奇偶而万数于是乎立矣
　　圆出于方
　　以数而论出于圆方以圆方而论则圆出于方葢
　　方易度而圆难测方有尽而圆
　　无尽故推圆者以方度之以有
　　尽而度无尽也是以圆周内
　　外切屡求勾股为无数多边形
　　以切近圆界将合而为一而圆
　　周始得故曰圆出于方也
　　方出于矩
　　孟子曰不以规矩不能成方圆夫规所以成圆而
　　矩所以成方也故凡方形必出
　　于二矩相合如矩之二股均者
　　合之即为正方矩之二股一大
　　一小者合之则为长方葢因矩
　　之为形其角直其线正所以能
　　成方体此又直内方外之理故曰方出于矩也
　　矩出于九九八十一
　　度圆方者递归于矩而矩之形总不外乎二数相乘九九者数之终而一一乃数之始言九九而不及他数者以九九之内他数俱该也是以一一为
　　一二二为四三三为
　　九四四为一十六五
　　五为二十五六六为
　　三十六七七为四十
　　九八八为六十四九
　　九为八十一乃矩之
　　二股均平所成之正
　　方也一二为二一三
　　为三一四为四一五为五一六为六一七为七一八为八一九为九形虽未方而其理犹存也二三为六二四为八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之长方也至于一百之类虽为正方乃十之相乘十则仍归于一也又如八十四九十六之类乃六七四十二六八四十八之倍不得自立为数之本又或十一十三十七十九之类十一为二五一十之奇十三为二六一十二之奇十七为四四一十六之奇不得成正方亦不得成长方故不入九九之数也是以九九之数为方之本而方之形必合以矩故曰矩出于九九八十一也
　　故折矩以为勾广三股修四径隅五
　　前言圆方之形此言勾股生成之正数也以二矩
　　合之既为方形今以一矩折之
　　则为一方之两边是以折矩之
　　横者为勾之广折矩之纵者为
　　股之长于勾股之末以科连
　　之是为径隅径直也隅角也言
　　自两角相对直连之也勾之广必三股之修必四而径隅始得五此乃自然生成之正分也易曰参天两地而倚数天数一参之则为三地数二两之则为四三二合之则为五此又勾三股四五之正义也
　　既方其外半其一矩
　　此言勾股之面积也勾股以连之不得为方形必再合一矩乃为一长方所谓方其外者言之外复加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即为两矩合成之数半之得六乃勾股之面积所谓半其一矩者也
　　环而共盘得成三四五
　　此言勾股相和之数也环而共盘者环绕盘旋于勾股之周围得成三四五共之为一十有二乃三数相和之总数也
　　两矩共长二十有五是为积矩
　　此言勾股相求之法也两矩者勾与股也其所以相求者以勾股各面积彼此加减以立法也勾三自乘为九股四自乘为一十有六合而计之为二十有五是勾股各自乘之积相并而与自乘
　　之积等故曰积矩也之自乘
　　积内减勾自乘之积得股自乘
　　之积之自乘积内减股自乘
　　之积得勾自乘之积故为勾股
　　相求之法也
　　故禹之所以治天下者此数之所由生也
　　言禹之平成之功昭垂万古揆厥所以奏绩者必借勾股以审高下始得顺水之性而告厥成功也然则禹之所以治水者非此勾股之数所由生乎
　　周公曰大哉言数请问用矩之道
　　商高曰平矩以正绳
　　此言用矩立法必以正且直也平矩以正绳有两义平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平【横以度远平以度高】复自一股引绳以度其分则此分为我所知故以所知推所不知此绳引长时必使与直角对正不论其分之几何引之亦必令直方能得测度之准故为平矩以正绳又平者均平整齐之谓用矩之道矩之角正【即直角之説也】然后二股得直以之测高测远乃得度其大小之分此矩既正而所测之度亦正矣孟子曰规矩准绳以为方圆平直绳者即准之之意规矩所以度圆方而准绳所以考平直故准之以平绳之以直始得立法之精微故曰平矩以正绳也
　　偃矩以望高
　　此用矩测高之法也偃者仰也仰矩方可测高矩之一股植立在前一股定平在下然后比例推之葢平股与立股之比即所知之远与所测之高之比也故仰测之而得高
　　覆矩以测深
　　此用矩测深之法也覆者俯也俯矩方可测深矩之一股立者在前一股平者在上平股与立股之比即所知之远与所测之深之比也故俯测之而得深
　　卧矩以知远
　　此用矩测远之法也卧者平也平矩方可测逺以矩之一股为横向内一股为纵向前是以横与纵之比即所知之度与所求之远之比也故平测之而得远
　　环矩以为圆
　　此用矩为圆之法也以矩之一端为枢一端旋转为圆则成一圜环矩者即旋规之説也
　　合矩以为方
　　此用矩为方之法也矩二股也两矩相合乃成一方即前方出于矩之説也
　　方属地圆属天天圆地方
　　前言用矩以测高深广远复用矩以为圆方此以圆方属之天地者非以形体言葢以阴阳动静之理言也乐记云着不息者天也着不动者地也不息故运而不积圆之象也不动故静而有常方之理也且圆之数无尽而方之数有尽天不可阶而升测天者恒于地上度之是仍以方度圆也凡数之不尽者必奇数之可尽者必偶是以阳为奇阴为偶此方圆之理数所以属乎天地也
　　方数为典以方出圆
　　典则也言圆之数奇零不尽不可为则故惟方数可为典则以方出圆者以方之形度圆之分从方数中生出圆数即前圆出于方之説也如圆径求积则以径自乘之为正方形而以方率圆率比例推之即得圆积是皆以方出圆之理也
　　笠以写天天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄为里以象天地之位
　　此即仪象以表天地之形色也笠形圆故以象天写象也青黑天之色黄赤地之色天数之为笠形则以青黑为表丹黄为里以象天地之位葢取天包地之象也
　　是故知地者智知天者圣智出于勾勾出于矩夫矩之于数其裁制万物惟所为耳
　　天地之高深广远非圣智不能知然圣智非由理之自然亦不能无所凭藉而知也故明勾股之数即可以知地而为智知地之数即可因地以知天而为圣矣故曰智出于勾也然勾股之形又赖矩以成故矩为勾股之本而天地之高深广远皆赖矩以测况万物之大小巨细岂能外于矩之度分乎故矩之于数其裁制万物惟其所为而无不可也
　　周公曰善哉
　　以周公之圣而与之曰善哉则其得数之本立法之妙可谓至矣至是而周髀之义尽矣

　　御制数理精蕴上编卷一
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴上编卷二
　　几何原本一
　　几何原本二
　　几何原本三
　　几何原本四
　　几何原本五

　　几何原本一
　　第一
　　凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本
　　第二
　　线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角
　　第三
　　凡角之大小皆在于角空之寛狭出角之二线即如规之两股渐渐张去自然开寛是以命角不论线之长短止看角之大小如丙角两线虽长其开股之空狭遂为小角若丁角两线虽短其开股之空寛遂成大角矣
　　第四
　　凡命角必用三字为记如甲乙丙三角形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也亦有单举一字者则其所举之一字即是所指之角也【如单言甲角乙角丙角之类】
　　第五
　　凡有一线以此线之一端为枢复以此线之一端为界旋转一周即成一圜如甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜面
　　第六
　　凡圜界不拘长短其分界之所即为弧线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱为弧线因其形似弧故名之
　　第七
　　凡圜自一界过圜心至相对之界画一直线将一圜为两平分则为圜径如乙丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也第八
　　凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐线其度俱相等因平分全径之半故又谓之半径线
　　第九
　　凡圜界皆以所对之角而命其弧而角又以所对之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界为角度之规也如乙角为心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也
　　第十
　　凡角相对之弧得圜界四分之一者此角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一半径将半圜界又分为两平分则成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一则此二角为直角也若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线又成丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相等之直角矣故凡画一直线交于别线其所成之角若直此线谓之垂线葢因平分圜界为四其四弧相对之四角必相等而皆为直角则其二径相交必互为垂线可知矣
　　第十一
　　凡角相对之弧不足圜界四分之一者谓之鋭角若过四分之一者谓之钝角故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界则成一鋭角一钝角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲己丙之半圜界不两平分于丁处画一辐线遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一钝角再将丁乙线引于相对圜界戊处画一丁乙戊径线复成甲乙戊一鋭角丙乙戊一钝角合前二角总为四角矣故凡二角两尖相对谓之对角二角两尖相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并而同出一线则谓之并角矣
　　第十二
　　凡一圜内设两角此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等则此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也
　　第十三
　　凡有一圜其径线之中心作相并之二角此二角之度必与二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必与二直角相等也
　　第十四
　　凡一直线交于他直线其所成之二角或为二直角或与二直角等如丙乙丁直线上画一甲乙直线至于乙处即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处复成丙乙戊一鋭角丁乙戊一钝角此二角必与二直角相等也再申明之以乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁线为圜之径线必将圜界平分为两平分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线又将半圜界平分为两平分则此二角各相对之弧皆为一圜界四分之一而各为一直角可知矣又如戊乙线将半圜界虽不两平分而成一鋭角一钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度为全圜界四分之二故与二直角相等也
　　第十五
　　凡自一心画为众线其所成之角虽多止与四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已画众辐线虽成众角其各角所函之度必与四直角等葢因甲防为心众辐线皆立一圜之界故众角所对之弧总不越一圜之全度前言一圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止与四直角等也
　　第十六
　　凡两直线相交所成二对角之度必俱相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必俱相等今以二线相交之处为心旋转画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣惟其俱为径线故将一圜为两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界因两半圜界俱系全圜径线故相交成对角其度必等兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧即余丙乙弧丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧又余甲丁弧凡两相等之弧减去一段相等之弧所余之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则所余丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等则所对之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其余甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊乙同理故其所对之角度亦必相等也第十七
　　凡大小圜界俱定为三百六十度而一度定为六十分一分定为六十秒一秒定为六十防一防定为六十纤夫圜界定为三百六十度者取其数无竒零便于布算即徴之经传亦皆符合也【易曰凡三百有六十当期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十为二至二分相去之数】度下皆以六十起数者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整数也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度则以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜界之几度如容九十度即是甲乙丙直角【何以知为直角因九十度为全圜三百六十度之四分之一前言凡角得圜界四分之一者为直角故知其为直角也】若过九十度者为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙戊鋭角观此三角之度其余可类推矣第十八
　　凡二线之间寛狭相离之分俱等则此二线谓之平行线也
　　第十九
　　欲求平行线之间相距几何则自上一线不拘何处至下一线画二纵线则此二线为相距度分也如甲乙丙丁二线平行自上线甲乙二处至下线丙丁二处画二纵线则此二线为相等线其度必等然则甲乙丙丁相对之间其相距之远近不已见耶
　　第二十
　　平行二线虽引至于无穷其端必不能相合葢二线相离之度各处逺近俱为相等故也如甲乙丙丁平行二线随意引于戊己又自戊至己画一纵线其度亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线虽引至于无穷其端终不能相合也第二十一
　　凡平行二线或纵或斜画一直线交加于上则平行线上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直线相交成二角则此二角必然相等矣第二十二
　　凡平行二线上画一斜线则成八角此八角度有相等者必是对角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二线之内外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二线之内而立斜线之左右故又谓之相对错角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二线之内故又谓之内角总之二平行线上交以斜线所成八角必两两相等也第二十三
　　平行线上一边之二内角或一边之二外角与二直角相等如丁己戊角与丙己戊角为并角则此二并角与二直角等前第十四节云凡一直线交于他直线所成二角必与二直角相等则此二角同出于一直线为并角故亦与二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角而亦为并角此二并角亦与二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦与二直角等也第二十四
　　有平行二线复与一线相平行者此三线互相为平行线也如甲乙丙丁二线之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也照前第二十一节在此三线上画一庚辛壬斜线则所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三线之与斜线相交所成之角既各相等则三线互为平行可知矣

　　几何原本二
　　第一
　　凡各种界所成俱谓之形其直界所成者为直界形曲界所成者为曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形为诸形之首
　　第二
　　凡三角形一角直者为直角三角形一角钝者为钝角三角形三角俱鋭者为鋭角三角形
　　第三
　　凡三角形其三边线度等者为等边三角形两边线度等者为两等边三角形三边线度俱不等者为不等边三角形第四
　　凡三角形之三角度相并必与二直角度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角其度必相等【见首卷第二十二节】而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角与二直角等【见首卷第二十三节】今于甲乙丁直角内减丙乙丁角所余为甲乙丙角丙乙丁角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合成之一直角与甲角之一直角非二直角之度耶
　　第五
　　凡三角形自一界线引长成一外角此外角度与三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁所成之丙乙丁角即为外角其度与三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原与二直角等【如本卷第四节云】而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与二直角等【如首卷第十四节云】则此内外二角所并之度与三　形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角则所余之丙乙丁一外角度与甲角丙角所并之度为相等可知矣
　　第六
　　凡两三角形其两边线之度相等二线所合之角又等则二形底线之度必等二形之式亦等其底线之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙戊己之二底线必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合则甲丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等因其俱等故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙丙底与戊己底不符必是戊己线上斜于庚或下斜于辛不成直线形矣第七
　　两三角形其三边线之度若等则三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线戊己线两两相等则甲角与丁角乙角与戊角丙角与己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此两三角形之各线俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八
　　凡两三角形有一线相等其相等线左右所生之二角又相等则其他线他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线若等而此二线左边所成之甲角丁角右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙线度与丁己线度等丙乙线度与己戊线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再将甲角与丁角乙角与戊角相较此二线二角之度必俱相符此二线二角既俱相符其他线他角亦必各相符矣若谓一线不符则相等之角亦必不符必其一线斜出或一线偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣
　　第九
　　三角形之两边线若等其底线之两角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙两边线之度等则其甲丙底线之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁处自丁至乙角画一直线遂成甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两三角形所共用之各一边线然则此两三角形之各三边线度必俱相等可知矣三角形之三线既各相等则其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也
　　第十
　　有两边相等之三角形自上角至底线画一直线将底线为两平分则此线为上角之平分线又为底线之垂线也如甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底线丁画一直线将甲丙底线为两平分则为乙角之平分线又为甲丙底线之垂线也葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙丁两三角形此两三角形之各界线度必各相等而各角之度又俱相等则甲乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两直角因其为两直角故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也
　　第十一
　　凡三角形内长界所对之角必大短界所对之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界故其相对之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所对之丙角小于乙角也试依甲丙界度截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角与小三角形内之甲乙二角相并之度等【见本卷第五节】既与甲乙二角之度等则大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同
　　第十二
　　凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角并之与二直角等【见本卷第四节】如甲乙丙三角形之乙角为直角则所余甲角丙角并之始与乙角相等二角并之仅与一直角等则此二角独较之必小于直角矣故此甲丙二角为鋭角也又如丁戊己三角形之戊角为钝角则所余之丁角己角愈小于直角而为鋭角矣第十三
　　凡自一防至一横线画众线而众线内有一垂线必短于他线而他线与垂线相离愈逺则愈长也如自甲防至乙丙线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故更长于甲丁线也葢甲乙为垂线则乙角必为直角【见首卷第十节】而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱为鋭角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相对之甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等【见本卷第五节】则此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣
　　第十四
　　凡三角形将二界线相并必长于所余之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界线并之则长于所余之乙丙界线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲角与丁角等【见本卷第九节】则丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线可知矣【见本卷第十一节】

　　几何原本三
　　第一
　　凡四边线函四角者其形有五四边线度等而角度亦等者为正方形四角直而两边线短两边线长者为长方形四边线度等而角度不等者为等边斜方形两边线长两边线短而角度又不等者为两等边斜方形以上四形俱自平行线出如四边线不等亦不平行而四角度又不等者为不等边斜方形第二
　　凡四平行线所成方形其所函之角成两对角必两两相等如甲乙丙丁平行线方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作一线成一丁外角与甲角为二尖交错之角其度相等【见首卷第二十二节】而丁外角与丙角又为一边之内外角其度亦等【见首卷第二十二节】夫甲丁二角既等丁丙二角又等则甲角与丙角必自相等而丁乙两对角之相等不言可知矣
　　第三
　　凡平行四边形自一角至相对之角作一对角线必平分四边形为两三角形如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即成丙甲乙丁甲乙两相等三角形葢此四边形之丙丁二角为对角其度必等【见本卷第二节】而对角线所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖交错之角其度又两两相等【见首卷第二十二节】夫此两三角形原自一四边形而分各角又俱相等则其所函之分必等而四边形平分为两平分无疑矣
　　第四
　　凡平行线所成方形其两两平行线度俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等此即如前节作一对角线成两三角形而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所对之线其度亦必相等矣【见二卷第八节】第五
　　平行线方形内两对角线其相交处必平分二线之正中如甲乙丙丁二线相交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊丁二线俱等葢因丙戊乙甲戊丁两三角形之丙乙甲丁二线为平行线其度等【见本卷第四节】而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之错角其度俱等【见首卷第二十二节】夫丙乙甲丁二线既等各相对之错角又等则丙乙戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣【见二卷第八节】
　　第六
　　凡平行线方形内于对角线上或纵或横正中截开即将此形为两平分如甲丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相对之角其度又等则此两三角形度亦必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两三角形度必等将此两相等之三角形以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊庚于甲丁乙形内减乙己庚则所余之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之方形为戊己线所截自为两平分可知矣
　　第七
　　凡四边形于对角线不拘何处复作相交二平行线即成四四边形设如甲丙乙丁四边形于对角线之戊处复作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四形中之甲戊戊乙二形为对角线上所成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所成之形此对角线旁所成两形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙对角线平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙两大三角形之分必等其对角线上所成之一小方形复为甲戊对角线平分为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角形此两小三角形之分亦必等而对角线上所成之一大方形又为戊乙对角线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两中三角形此两中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三角形所余对角线旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己两四边形此两四边形自然相等矣
　　第八
　　凡两平行线内同底所成之四边形其面积必等如甲己乙辛两平行线内于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊乙丙己一斜方四邉形此两形虽不同而所容之分必相等何也试以两三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此两三角形之甲乙丁丙二线等甲戊丁己二线亦等【甲丁戊己二线俱与乙丙平行而度分相等若于甲丁戊己二线各加一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然相等】而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角其度又等则此两三角形自然相等可知矣今于两三角形内各减去丁戊庚则所余之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此二形内毎加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊乙丙己之两四边形其面积必然相等也
　　第九
　　两平行线内无论作几四边形其底度若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行线四边形其丙己辛丁两底度相等则其积亦等试自丙己底至庚乙画二直线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底即同前节两形面积俱等矣至于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚乙之底故此两形面积亦俱等观此两两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之面积相等明矣
　　第十
　　凡两平行线内同底所成之各种三角形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此两三角形之面积必等何也自丁至戊作一直线与甲丙平行再自丁至乙作一直线与己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二形既同出于丙丁底其面积相等而甲丙丁己丙丁两三角形为平分两四边形之一半其面积亦必相等矣
　　第十一
　　两平行线内无论作几三角形其底度若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其丙戊戊己两底度相等故其面积亦等今自戊至辛作一直线与甲丙平行又自己至乙作一直线与庚戊平行即同前节成面积相等之两四边形而此甲丙戊庚戊己两三角形为面积相等两四邉形之各一半则此两三角形之面积必等可知矣
　　第十二
　　凡有几三角形其底若俱在一直线而各底相对之角又共遇于一处则其众三角形必在二平行线之间如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直线上而各底相对之角又皆遇于甲处则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行线之间矣
　　第十三
　　凡等边等角各形内五边者为五角形六边者为六角形边愈多角愈多者俱随其边与角而名之焉
　　第十四
　　多边多角形自角至心作线凡有几界即成几三角形设如辛七边形自心至邉七角作七线即成七三角形而此各三角形之分俱相等也
　　第十五
　　欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣

　　几何原本四
　　第一
　　凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二
　　凡一直线横分圜之两界谓之线其所分圜界之一段谓之弧此弧与相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉
　　第三
　　凡自一圜线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也
　　第四
　　凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也
　　第五
　　凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣
　　第六
　　圜线上自圜心作一垂线则将线为两平分如乙丙自圜心甲至线丁作一垂线必将乙丙为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七
　　凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣
　　第八
　　凡圜内两线若等其分圜弧面之积必等自心至两所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二之甲辛甲壬之度自然相等矣
　　第九
　　凡线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正取之皆得乙戊弧之度数焉
　　第十
　　一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也
　　第十一
　　圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角与甲丁丙丙甲丁二内角等【见二卷第五节】其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁二角亦必等【见二卷第九节】今甲丙乙之外角既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之外则自丁角过圜之丙心至对界作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一图必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角则此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣
　　第十二
　　凡自圜之弧线一段任作相切界角几何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段则心角必倍于界角然则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半则此二角之度必等可知矣
　　第十三
　　凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半则二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线复自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣第十四
　　凡圜内界角立于圜界之半者必为直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙角必然为直角也自甲丁丙之半圜于丁界为两平分复自丁界至圜心戊作丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲丁弧为圜界四分之一既为圜界四分之一则必为直角【如首卷第十节云】夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半其二角之度相等矣【如本卷第十三节云】今甲戊丁心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等且甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁心角为直角而甲乙丙界角亦必为直角矣
　　第十五
　　凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为钝角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角【见首卷第十一节】夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半则二角之度必相等【如本卷第十三节云】今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙丙界角亦必为钝角矣
　　第十六
　　凡圜内界角其所对之弧不及圜界之半者必为鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为鋭角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角此心角所对之甲戊弧线既不足圜界四分之一则此甲丁戊心角必为鋭角矣【见首卷第十一节】此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半则此二角之度必等夫甲丁戊心角既为鋭角则甲乙丙界角亦必为鋭角矣
　　第十七
　　凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣
　　第十八
　　凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣
　　第十九
　　凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也
　　第二十
　　函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也
　　第二十一
　　圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二
　　凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也
　　第二十三
　　有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也

　　防何原本五
　　第一
　　平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣
　　第二
　　凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣
　　第三
　　平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣
　　第四
　　凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己
　　第五
　　凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣
　　第六
　　凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣
　　第七
　　凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为鋭角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣
　　第八
　　众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣
　　第九
　　平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角【见本卷首节】故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十
　　有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣
　　第十一
　　相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣
　　第十二
　　有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也
　　第十三
　　凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐鋭成形则谓之尖圆体辰图是也
　　第十四
　　凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣
　　第十五
　　凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也
　　第十六
　　凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者爲面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也
　　第十七
　　凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必爲面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣
　　第十八
　　凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九
　　凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣【如前节所云】而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也
　　第二十
　　平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边
　　二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
　　丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌
　　卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
　　卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
　　角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面
　　各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
　　处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
　　庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
　　戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
　　庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本
　　卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既
　　各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
　　未庚申癸二方体之正一半其积必等
　　无疑矣
　　第二十一
　　凡各种体形难以图显葢以图止一面
　　故也必用木石制之始能相肖况此各
　　种形体又或有外实而内空者必按其
　　形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二
　　凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也
　　第二十三
　　凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣】
　　第二十四
　　凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必爲戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也第二十五
　　凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积爲与尖圆体之积等也试将球体从中心分爲千万尖体复将尖圆体亦分爲千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底而以球体之甲戊半径爲高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底而以尖圆体之己壬高爲高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆爲同底同高其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也
　　第二十六
　　凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣
　　第二十七
　　厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一爲四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二爲六面体毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方体如乙图是也三爲八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四爲十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五爲二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也
　　第二十八
　　前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等则爲平面不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱爲钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平
　　面六角形之三形合于一处爲癸其甲
　　乙丙三角度与四直角等故不成厚角
　　六角平面相合既不成厚角其七角八
　　角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
　　面八面十二面二十面五种体只在三
　　角四角五角三种平面形所生此外不
　　能复成他形也

　　御制数理精蕴上编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴上编卷三
　　几何原本六
　　几何原本七
　　几何原本八
　　几何原本九
　　几何原本十

　　几何原本六
　　第一
　　大凡欲论诸物之不齐必借同类之物以比之始可以得其不齐之度数如一线与他线相比其度之或长或短其数之或多或少自能见之如一面与他面相比其面度之或大或小其积数之或多或少自能见之又如一体与他体相比其体度之或厚或薄其积数之或多或少亦自能见之若将一线与一面相比或一面与一体相比既不同类又不同形则线之长短面之大小体之厚薄俱不可辩矣故曰欲论诸物之不齐必借同类之物以比之也
　　第二
　　将两数相比其度互为大小则谓【率】之比例其比者与所比者俱谓之【率者法也矩也以数互相准之之谓也】其比之数为前率其所比之数为后率如甲乙二数互相为比其相较之分甲数之度为长其分为多乙数之度为短其分为少如是以比之故谓之二率甲为比之之数故谓之前率乙为所比之数故谓之后率焉
　　第三
　　有四率两两相比其一率与二率之比同于三率与四率之比则谓之同理比例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分之五则甲与乙之比例丙与丁之比例此两比例相同而乙有甲防分之数即可知丁有丙防分之数矣故凡四率内将一率与三率分数定为相等二率与四率分数亦定为相等其度之长短虽有不同苟分数定准则一率与二率之比即如三率与四率之比也夫甲乙丙丁四线内甲第一线与丙第三线俱各定为六分乙第二线与丁第四线俱各定为五分则甲度之长虽大于丙度之长其分数则俱为六而乙度之长虽大于丁度之长其分数亦俱为五故知乙第二线度与甲第一线度之六分之五分相等丁第四线度亦与丙第三线度之六分之五分相等所以甲线之比乙线即如丙线之比丁线而谓之同理比例也
　　第四
　　凡四率两两相比其一率与二率相比之分若大于三率与四率相比之分则为不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四数甲与乙丙与丁各互相为比苟甲第一数与乙第二数相比之分为六与四其丙第三数与丁第四数相比之分为五与四则此甲与乙之比大于彼丙与丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分为凖则三率四率相比之分为小若依三率四率相比之分为准则一率二率相比之分又大故谓之不同理之比例而比例四率不能行也
　　第五
　　凡有四率一率之度与二率之度相比分数若同于三率之度与四率之度相比分数则此四率又谓之相当比例四率焉如甲乙丙丁四线苟甲线与乙线相比之度与丙线与丁线相比之度其分数同则此四线谓之各相当线而毎两率相比其毎度之分数同故又谓之相当比例四率也
　　第六
　　凡三率互相为比其一率与二率之比同于二率与三率之比则谓之相连比例率也如甲乙丙三数互相为比苟甲数与乙数之比同扵乙数与丙数之比则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣若相连比例率内将一率与三率比之则为隔一位加一倍之比例或有相连比例四率将一率与四率比之则为隔二位加二倍之比例大凡有几率隔几位以比者皆以隔几位而为加几倍之比例也如甲乙丙相连比例率内其甲与丙之比为隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率其甲与丁之比即为隔二位加二倍之比例而甲与戊之比则又为隔三位加三倍之比例矣
　　第七
　　相当比例四率为数学之要因其理之所该最广故设为双圜图以申明之立甲防为心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以为三百六十分【首卷第十七节云凡圜无论大小俱定为三百六十度】于是自圜之甲心过小圜界之辛壬二处至大圜己庚二处作二线则大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相对之己庚弧界设为六十度则为乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既为六十分则丁戊小圜之辛壬弧界度亦为六十分矣大凡角度俱定于相对之圜界【见首卷第九节】今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱与一甲角相对其度虽依圜之大小不同而分数则等分数既等则大圜小圜大弧小弧两两互相为比即如四率之两两相比为同理比例矣是以大圜之三百六十分为一率自大圜所分之己庚弧之六十分为二率小圜之三百六十分为三率自小圜所分之辛壬弧之六十分为四率其乙丙大全圜与本圜己庚分之比即同于丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也故凡各率各度虽异相当之分数若同则一率与二率之比必同于三率与四率之比而俱谓之顺推比例矣要之分合加减各率之法总不越此图之互转相较之理也
　　第八
　　一种反推比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者反推之以二率与一率为比四率与三率为比其所比之例仍同故亦谓之相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比反推之以乙与甲为比丁与丙为比则所比之例仍同于相当比例率焉以前双圜图解之葢甲数与乙数之比例即乙丙大圜全界与所分己庚弧界之比例丙数与丁数之比例即丁戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例也今反以乙与甲为比丁与丙为比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙丙大圜全界为比丁戊小圜所分之辛壬弧界与丁戊小圜全界为比也因其以二率为一率以三率为四率前后互移故谓之反推比例然名虽为反推比例而相当比例之率仍与顺推比例相同也
　　第九
　　一种递转比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者转较之以一率与三率为比二率与四率为比其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比转较之以甲与丙为比乙与丁为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图　　乙丙大圜全界一率与所分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜全界三率与所分辛壬弧界四率之比若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊小圜之三率为比大圜所分之巳庚弧界二率与小圜所分之辛壬弧界四率为比其度虽依圜之大小有异而分数则同其比例仍同于原比例故甲乙丙丁之四数亦如大小二圜为互相比例之率而甲一率与丙三率之比即大圜与小圜之比乙二率与丁四率之比即大圜所分弧界与小圜所分弧界之比也葢以三率为二率以二率为三率递转相较故谓之递转比例其相当比例之四率虽递转以较之亦仍为相当比例之四率也
　　第十
　　一种分数比例彼四率之中以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率所较之分截开以一率与二率之较为一率与二率为比以三率与四率之较为三率与四率为比则其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数于甲数内减去乙数之分为戊巳丙数内减去丁数之分为庚辛乃以戊己易甲与乙线为比以庚辛易丙与丁线为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图　　于乙丙大圜全界内减去所分己庚弧界一段仍与己庚弧界为比丁戊小圜全界内减去所分辛壬弧界一段仍与辛壬弧界为比亦与大圜全界与大圜所分弧界小圜全界与小圜所分弧界相比之理同故此甲线内截去乙所成戊己仍与乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍与己庚弧界相比而丙线内截去丁所成庚辛仍与丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍与辛壬弧界相比也其比例仍同于相当比例四率但因其各分内有分开相减之故所以谓之分数比例也第十一
　　一种合数比例有四率以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率并之以一率与二率相加为一率仍与二率为比以三率与四率相加为三率仍与四率为比其所比之例亦仍同于相当比例之四率也如甲乙丙丁四数以甲数与乙数相加共为一率与乙数为比丙数与丁数相加共为三率与丁数为比则所比之例仍同于相当比例四率也此合数比例与分数比例之理互相对待彼分数比例以双圜图　　二圜全界内减去所分弧界一段仍与所分弧界一段为比今此合数比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而与所分弧界一段为比也其所比之理仍同于相当比例四率但因有相加之加故谓之合数比例焉
　　第十二
　　一种更数比例以一率与二率之比同于三率与四率之比者更之将一率与二率相减用其余分为二率仍与一率为比又将三率与四率相减用其余分为四率仍与三率为比则其比例之理仍同于相当比例四率也如甲乙丙丁四数于甲第一率内减去乙第二率所余为戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲与戊己为比复于丙第三率内减去丁第四率所余为庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙与庚辛为比其所比之理仍同于四率之比例故亦为相当比例之四率也今以双圜图解之　　乙丙大圜三百六十度之全界
　　仍为一率全界内减去所所分之巳
　　庚弧界六十度一段余己丙庚三百度一大段　　为二率丁戊小圜三百六十度之全界　　仍为三率全界内减去所分之辛壬弧界六十度一段余辛戊壬三百度一大段　　为四率则乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之两相比例亦同为相当比例率也凡四率之内前后之相差虽更入比之仍与相当比例之理同但以其数有更入之故所以谓之更数比例也
　　第十三
　　一种隔位比例有两相比例四率将此一邉四率内一率与末率为比彼一边四率内一率与末率为比则其所比之例仍同于相当比例四率也如此一边有甲乙丙丁四数彼一边有戊己庚辛四数此甲与乙之比同于彼戊与己之比此乙与丙之比同于彼已与庚之比此丙与丁之比同于彼庚与辛之比若将此四率隔位比之使此一边之甲与丁为比以彼一边之戊与辛为比则其比例仍同于相当比例四率也试以双圜图之大小圜所分各弧界之两线引长　　自庚壬过甲至癸丑作一全径线复自己辛过甲至子寅作一全径线则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相当四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四亦为相当四率此二圜之所分四段既俱为相当四率则其各相比例度之大小虽异而分数相同故大圜之庚己一与已丑一之比同于小圜之壬辛一段与辛癸一之比大圜之已丑一与丑寅一段之比同于小圜之辛癸一与癸子一之比大圜之丑寅一段与寅庚一段之比同于小圜之癸子一段与子壬一之比也若以此各相当四率隔位以比之其大圜之庚已一与寅庚一段为比而小圜之壬辛一与子壬一为比其比例仍同于相当比例四率但以其两边各相比例四率内各取两率隔位以比之故谓之隔位比例耳
　　第十四
　　一种错综比例有两连比例三率此一边三率内中率与末率之比同于彼一边三率内中率与末率之比则为相当比例之四率苟错综其位分以此一边首率与末率隔位为比复取另一数与彼一边中率为比而成同理之四率则此另一数必与彼边三率为连比例四率矣如此一边有甲乙丙连比例三数彼一边有丁戊已连比例三数将此一邉中率乙数与末率丙数之比同于彼一边中率戊数与彼一邉末率己数之比则其比例为同理比例矣今错综其位分使此一边所有之首率甲数与所有之末率丙数隔位为比复另取一庚数与彼一边所有之中率戊数为比则其比例亦同于相当比例四率而此庚数与彼边丁戊己三率为连比例之数矣何也试以庚数置于彼一边丁首率之上则庚为首率而丁移而为中率戊又易而为末率是故此一边甲首率与丙末率之比同于彼一边所取庚首率与所易戊末率之比但以两连比例率互相易位増入比之之不同故名之为错综比例耳
　　第十五
　　一种加分比例凡有二率依本度各加几倍所加之分数若等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等倍相加之比例也如甲乙二数于甲数依本度加三倍为丙于乙数依本度加三倍为丁则此丙丁二数互相为比仍同于甲乙二数之互相为比也假若甲度为一大分乙度为一小分则甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相当之分数既等固为同理比例可知矣【见本卷第三节】故凡二率依本度各加几倍其所加之分数若等其加分之率互相为比必同于原率之互相为比因于原数有相加之分故谓之加分比例也第十六
　　一种减分比例凡有二率依度度各减几倍所减之分数若俱等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等分相减之比例也如有甲乙丙丁二数其甲乙之三分内减去甲戊一分丙丁之三分内减去丙己一分则戊乙己丁互相为比仍同于原甲乙丙丁全数之互相为比也何也夫甲乙度为三尺丙丁度为三寸自甲乙度内减去一尺则为戊乙自丙丁度内减去一寸则为己丁以所余之戊乙二尺与所余之已丁二寸为比以甲乙之全三尺与丙丁之全三寸为比其相当之分数必等故亦为同理比例矣凡二率之内无论减几分其所减之分数若等则相比之理必同于原数之比例因于原数内减之故又谓之减分比例也

　　几何原本七
　　第一
　　前卷所论比例之法凡一十有二【相当比例一种相连比例一种正比例一种反比例一种递转比例一种分数比例一种合数比例一种更数比例一种隔位比例一种错综比例一种加分比例一种减分比例一种】虽种种变化不穷其每相当分数所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆为相当比例四率也是故线与线为比面与面为比体与体为比依前各种比例之法线之比例若同则为相当比例线面之比例若同则为相当比例面体之比例若同则为相当比例体矣夫线面体为类不同虽不能互相为比假使线面体之每相当分数若等则按其各类相当分数比之亦为同理比例率也如甲之六分线与乙之三分线相比丙之六分面与丁之三分面相比戌之六分体与已之三分体相比此三种每相当分数既俱相等故其比例亦俱相等而六率互为同理比例可知矣
　　第二
　　大凡直角平方面积皆生于二线之度故欲知方面所生比例之分将其二形之纵横线分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分则视甲乙大形之甲戊横线长度得彼丙丁小形之丙己横线长度为三倍而甲乙大形之甲庚纵线寛度得彼丙丁小形之丙辛纵线寛度为二倍假若将甲乙大形自中线平分为甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横线长度既仍与丙己横线长度为三倍其所分之甲癸形必与丙丁三形相等再彼壬乙形亦与丙丁三形相等则此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形为六分可知矣又或甲乙大形之甲戊横线长度得丙丁小形之丙己横线长度为四倍甲乙大形之甲庚纵线寛度得丙丁小形之丙辛纵线寛度为三倍则大形与小形四倍者有三而大形比小形为十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横线为十二倍丙丁小形之丙辛纵线反比甲乙大形之甲庚纵线为三倍则甲乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小形之丙己横线之长多十一倍而甲乙大形之甲庚纵线之寛又比丙丁小形之丙辛纵线之寛少二倍矣将此纵横二线之多少较之甲乙大形比丙丁小形为四倍而丙丁小形为甲乙大形之四分之一于是以二形之纵横多少互相较对以比例之始得知此形与彼形之比例焉故凡直角平方面形与他一形相比其比例有二以此形之长与他形之长比之为一比例以此形之寛与他形之寛比之为一比例两形相比之间而兼两比例者正以平面之积自二线之度生之之故也
　　第三
　　有两直角方面形若将此方面横界与他方面横界为比又将他方面纵界与此方面纵界为比其比例若同则此两方面必相等也如甲乙丙丁两方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚纵界比甲乙形之甲辛纵界亦大一倍则甲乙丙丁两形之分必相等是知两方面形纵横之分互相较对则两方面之积可知矣
　　第四
　　凡有相比例四率其二率与三率相乘一率与四率相乘则所得之分数俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率为二分丁戊二率为四分戊己三率为三分乙丙四率为六分将丁戊二率为纵线戊已三率为横线以之相乗又将甲乙一率为纵线乙丙四率为横线以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分数俱是十二互相等矣然则丁已形之丁戊纵度虽比甲丙形之甲乙纵度大一半而丁已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙横度少一半故其纵横互较之分相等而其积亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率将两率之分相乘所得之数以一率之分除之即得其一率矣设如甲乙三分为一率丁戊六分为二率戊己五分为三率乙丙十分为四率今只知一率二率三率之分欲推四率则以丁戊六分二率与戊巳五分三率相乘为丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分为首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率则以乙丙十分为一率戊巳五分为二率丁戊六分为三率二率与三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分为首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率则以丁戊为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率则以戊己为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即递转比例之理也
　　第五
　　凡有两直角方面形此一方面之横界与他一方面横界为比此一方面之纵界与他一方面纵界为比其比例若等则此两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界为丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛纵界之二倍则甲乙形面积与丙丁形面积之比比之甲乙形之一界与丙丁形之一界之比者即如连比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之纵横界既为丙丁方面纵横界之二倍则甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二为四故甲乙方面积比丙丁方面积为四倍今甲乙方面积为一十六分与丙丁方面积之四分相比较之甲乙方界之四分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分较之二分比一分不为二倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界二倍之得八分与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积十六与丙丁方面积四分之比矣夫八与十六四与八二与四皆二分之一之比例而十六隔八与四比八隔四与二比则皆成四分之一之比例故十六与四较之四与二为两界上连比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之纵横界为丙丁方面纵横界之三倍则甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三为九故甲乙之面积比丙丁面积为九倍今甲乙之积为三十六分与丙丁方面积四分相比较之甲乙方界之六分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分较之三分比一分不为三倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界三倍之得十八与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积三十六与丙丁方面积四之比例矣葢十八与六六与二皆三分之一之比例而三十六隔十二与四比十八隔六与二比则皆为九分之一之比例故三十六与四较之六与二亦为两界上连比例隔一位相加之比例也
　　第六
　　凡直角方面形有二种一为长方一为正方因其纵横界之比例各异故其所生之形不同而积不得互相为比也如欲比之必以长方与长方为比正方与正方为比其比例始行如甲乙丙丁两长方面形其甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙己横界为大一倍甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比则大三倍而甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙己横界为比止大一分犹不得大一倍其比例则异故甲乙形所生之积为二十四而丙丁形所生之积为六俱为长方形焉又如子丑寅夘两正方形其子丑形之子辰横界与寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅未纵界之比俱为大三倍而比例相同复以子丑形之子辰横界与寅卯形之寅未纵界为比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅已横界为比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之积为三十六而寅夘形所生之积为四俱为正方形焉以此四形两两相比则甲乙长方形与丙丁长方形为比而子丑正方形与寅卯正方形为比各为相当比例之四方面也
　　第七
　　有两同式长方面于两形相当之二界各作两正方面互相为比即同原两长方面之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方面在甲戊丙己相当二横界各作甲庚丙辛两正方面则所作甲庚丙辛两正方面互相为比即同于原有之甲乙丙丁相同之两长方面之互相为比也夫甲乙丙丁同式之两长方面积既为隔一位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之正方面积亦必为隔一位相加之比例然则甲乙丙丁原有之两面互相为比与所作甲庚丙辛之正方面之互相为比其为同理之比例无疑矣
　　第八
　　大凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲已庚丁两直角方面其甲已面与庚丁面之比即同于甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁底线之比也葢甲巳面之丙巳底线与庚丁面之辛丁底线为三倍而甲巳面之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线因同在二平行线内其度固同今以二面纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之皆为四倍则甲巳面为一十二分而庚丁面为四分矣以甲己面之十二分与庚丁面之四分为比即如甲己面之丙己底三分与庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也
　　第九
　　凡二平行线内所有二界平行斜方面互相为比同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲戊乙丁两斜方面积互相为比即同于丙戊巳丁两底界之互相为比也试将甲戊乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上立庚戊辛丁两直角面则此两直角面因与两斜方面同底同髙其积必等【见三卷第八节】前节言凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立庚戊辛丁两直角面相等则甲戊乙丁两斜方面互相为比必同于丙戊己丁两底界之互相为比可知矣故凡二平行线内所有面积相比之分数必与底界相比之分数同也
　　第十
　　凡二平行线内所有三角形面积互相为比亦同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有戊己庚辛壬癸两三角形其内所函面积互相为比即同于巳庚壬癸两底界之互相为比也何也凡二平行线内所有三角形得其同底所立四边形之一半今以甲乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四边形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四边形则戊巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一半而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边形之一半如以两三角形面积互相为比即同于两四边形面积之互相为比而为相当比例四率矣其面积既互相为比则其两三角形面积相比同于两三角形底之相比者亦如两四边形相比同于两四边形底之相比矣然则戊巳庚辛壬癸两三角形面积互相为比必同于巳庚壬癸两底界互相为比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面积必比戊巳庚三角形面积亦大一倍也

　　防何原本八
　　第一
　　凡三角形内与其底线平行作一直线则所截三角形之两边线互相为比例线其两边线所分各二叚互相为比为相当比例四率而每边所截之一叚与本全线比之亦为相当比例四率也如甲乙丙三角形内与乙丙底线平行作一丁戊线则分甲乙一边为甲丁丁乙二叚分甲丙一边为甲戊戊丙二叚其甲乙一边之甲丁丁乙二叚互相为比甲丙一边之甲戊戊丙二叚互相为比其比例俱同为相当比例四率矣又如甲乙一边之甲丁一叚与本边甲乙全线为比甲丙一边之甲戊一叚与本边甲丙全线为比其比例亦俱同为相当比例四率矣今以三角形按所截分分为各式以各式面积互相比者考之自丁戊线之丁戊二端作丁丙戊乙二线则甲乙丙一三角形分为四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊两三角形既在乙丙丁戊二平行线之间又共立于一丁戊之底其二形之积必等【见三卷第十节】于此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙两三角形其积亦必相等又如甲丁戊乙丁戊两三角形之底俱在甲乙一直线上而两三角形之戊角又共在一戊处其两形必在二平行线之间而甲丁戊丙丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线上而两三角形之丁角又共在一丁处其两形亦在二平行线之间【见三卷第十二节】因各三角形两两俱为二平行线所限故其面积互相为比必同于其底界之互相为比也【见七卷第十节】此所以甲丁戊丙丁戊两三角形积互相为比与其甲戊戊丙两底线之互相为比同其甲丁戊乙丁戊两三角形积互相为比与其甲丁丁乙两底线之互相为比亦同也甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角形之积相等则以甲乙丙之全形与所分之甲乙戊三角形或与所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相为比甲乙戊三角形之甲戊底与甲乙丙全形之甲丙底互相为比亦必俱相同矣因其各三角形得互相为比例故其所截两边线两两为相当比例率也
　　第二
　　凡三角形内与底平行作一直线其所截两边线之每一叚与各边全线之比即同于所作线与底线之比也如甲乙丙三角形内与乙丙底平行作一丁戊线此丁戊线所截甲丁一叚与甲乙全线之比甲戊一叚与甲丙全线之比皆如丁戊线与乙丙底线之相比也假若将甲乙丙三角形之甲乙边线为底而与甲乙底线平行作一戊己线即成戊巳乙丁四边长方形其两两平行线之度俱各相等然三角形之两边与所截之每叚既互相为比【如前节所云】则此乙丙边之乙己一叚与乙丙边全线之比即同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比而丁戊之平行线既与乙已平行线度相等则此丁戊平行线与原底乙丙线之比亦必同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比矣故甲戊叚为一率甲丙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率为相当比例四率也又如甲乙边之甲丁一叚与甲乙边全线之比既同于丁戊平行线与乙丙底线之比则甲丁叚为一率甲乙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率亦为相当比例四率也苟甲乙边全线为六分则甲丁叚得其六分之二分乙丙边全线为六分则丁戊叚亦得其六分之二分所以成两两相当比例之率也
　　第三
　　凡大小两三角形其相当之二角度若两两相等则其余一角亦必相等如此类两三角形谓之同式三角形也虽其内容积分不同而其相当各界互相为比俱为相当比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小两三角形其甲角与丁角等乙角与戊角等则所余丙角必与己角等而为同式三角形也【二卷第三节言凡三角形之三角相并与二直角等则此大小两三角形之各三角相并亦俱为二直角于二直角中减去大形之甲角乙角余为丙角减去小形之丁角戊角余为己角其所减之数既等则所余之数亦必等矣】若于大形内与乙丙平行作庚辛线与甲乙平行作辛壬线则成甲庚辛辛壬丙两小三角形此两小形之相当角度与大形之相当角度亦必俱等故皆谓之同式形也凡同式之形其容积虽不一而其各界互相为比皆为相当比例之四率是故以大三角形之甲乙全线与所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一边与小三角形之相当丁戊一边之比也大三角形之甲丙全线与所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一边与小三角形之相当丁巳一边之比也大三角形之乙丙底线与所截庚辛底线之比即如大三角形之乙丙底线与小三角形之戊已底线之比也至于甲乙丙大三角形与所截辛壬丙小三角形相当各界之比亦如甲乙丙大三角形与丁戊已小三角形相当各界之比也由此推之凡同式之形其相当各界互相为比皆为相当比例之率可知矣
　　第四
　　同式直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而同式三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳两同式直角三角形其面积互相为比即同于此两三角形之乙丙戊巳相当二界所作庚乙辛戊两方形互相为比之比例而此两三角形之面积互相为比比之乙丙戊已相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣葢两三角形之乙戊二角俱为直角若与乙丙戊巳二线平行作甲壬丁癸二线又与甲乙丁戊二线平行作壬丙癸己二线即成壬乙癸戊两直角长方形此甲乙丙丁戊己两三角形因与所作壬乙癸戊两直角长方形在二平行线内同为一底其积为一半将半与半相比者即同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比必同于壬乙癸戊两直角长方形互相为比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方形互相为比之比例既与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同则依乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方形互相为比之比例亦与壬乙癸戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同矣又凡直角两方形其两界互相为比之比例若俱同则两形面积互相为比之比例较之两界互相为比之比例为隔一位相加之比例【见七卷第五节】今甲乙丙丁戊己两三角形之各依底线所作正方形互相为比较之二底线互相为比之比例即为隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己两三角形之面积互相为比者既与所作庚乙辛戊两正方形面积互相为比之比例同则此所作两正方形面积相比较之两底相比为隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相为比较之乙丙戊己相当二界互相为比之比例亦为隔一位相加之比例可知矣
　　第五
　　同式无直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己两同式三角形虽无直角然其相当各角俱等则此两形面积互相为比同于在此两形之甲乙丁戊相当二界所作方形互相为比之比例而两形之面积互相为比者比之甲乙丁戊相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣试自两形之丙己二角与甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一线又自甲丁二角至庚辛二线之末作甲庚丁辛二线又与此二线平行自乙戊二角至壬癸二处作乙壬戊癸二线成庚乙辛戊两直角长方形此两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱在两平行线内又同为一底则此两三角形面积为彼庚乙辛戊两长方形之一半将半与半相比者同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形面积之比例必同于庚乙辛戊两长方形之比例矣夫同式两长方形之比例同于相当界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相当界之比例为连比例隔一位相加之比例今此两三角形面积之比例既同于庚乙辛戊两长方之比例亦必同于两正方之比例则两三角形面积之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣
　　第六
　　有众多边形其边数同相当各角俱等而相当界之比例又同则谓之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小两多边形其边数俱为五其相当甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙边与己庚边之比即同于乙丙边与庚辛边之比其相当边互相比之俱同者即谓之同式多边形也又如众曲线形于其内外作各种直界形其式若同则谓之同式曲线形也假如有甲乙大小两曲线形在甲大形内作一丙丁戊己庚五边形在乙小形内作一辛壬癸子丑五边形此所作两五边形之式若同则曲线形之式必同又如甲乙大小两曲线形在甲大形外作一丙丁戊己四边形在乙小形外作一庚辛壬癸四边形此所作两四边形之式若同其曲线形之式亦必同故皆谓之同式曲线形也或如甲乙丙丁大小两圜分于大圜分内作一戊甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁三角形此所作两三角形之式若同则圜分之式亦必同故谓之同式圜分也第七
　　大小各圜分之式若同则其相对之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小两圜之戊甲己庚丙辛两分之式相同其弧虽随圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所对二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己与庚丙辛两叚式既同则此内所函甲戊己丙庚辛两三角形之甲丙相当两界角之度必等若自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙丁作甲壬乙丙癸丁二线则成两界角与两心角葢心角大于界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今将戊壬乙乙壬己两心角并之戊甲乙乙甲己两界角并之则所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛两心角并之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之两界角大一倍夫两圜之两界角度既等而两圜之所并之心角度又等则两界角相对之戊乙己庚丁辛两弧叚之分数亦必相等界角所对之弧分既等则心角所对之弧分亦必相等心角所对之弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二心角之度也
　　第八
　　凡大小同式多边形分为众三角形其相当三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二线则大形分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分为己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形与相当己庚辛之形同式甲丙丁之形与相当己辛壬之形同式甲丁戊之形与相当己壬癸之形同式因其所分各三角形俱为同式故相当各角度必等相当各角度既等则其相当各界之比例亦必俱同自五边形所分之各三角形之相当界互相为比之比例既同则五边形之相当各界互相为比之比例亦必同相当各界之比例相同则两形之式相同可知矣
　　第九
　　凡大小同式多边形互相为比同于各形相当界所作方形之互相为比而比之各面相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形于大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小两方形其大小五边形互相为比必同于所作子丙丑辛大小二方形之互相为比大小五边形既同于大小两方形之互相为比则比之丙丁辛壬相当二界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形则相当各三角形之式必同相当各三角形之式既同则相当各三角形互相为比即同于在三角形各相当界所作方形之互相为比而各三角形面积之互相为比较之各相当界互相为比之比例亦为连比例隔一位相加之比例夫所分众三角形互相为比既同于所作方形之互相为比则众三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边形互相为比亦必同于丙丁辛壬相当界所作子丙丑辛大小两方形之互相为比而比之丙丁辛壬相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣
　　第十
　　凡大小同式直界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当二界作寅丙卯壬正方形则两直界形互相为比即同于两正方形之互相为比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两六边形俱分为三角形则其相当各三角形之式俱相同而相当各三角形互相为比必同于甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比矣此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例则大小两形内各三角形之甲丙庚壬界又为两四边形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两同式形互相为比亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方形之互相为比可知矣
　　第十一
　　凡大小同式曲界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中虽各函一同式六边形各函一同式四边形又各函众同式三角形此大小二圜之积互相为比必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比也大凡众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近而圜界分为千万叚即成千万直界形【见四卷第十九二十等节】则大小两圜之比例固与内函相当直界形之比例等矣夫相当直界形之比例原同于两形之相当界所作方形之比例而圜界形之比例又同于相当直界形之比例则此大小二圜互相为比之比例同于此二圜之辐线或径线所作正方形互相为比之比例可知矣第十二
　　凡圆面径与撱圆面【一名鸭蛋形】髙度等者其面积互相为比之比例即同于函两形各作切方形互相为比之比例而圆形面积与撱圆形面积互相为比之比例又同于圆形径与撱圆形小径互相为比之比例也如子壬寅癸之圆面子丑寅卯之撱圆面其子寅髙度俱同【圆径即撱圆大径】其面积互相为比之比例必同于圆面外所作切圆戊己庚辛正方形与撱圆面外所作切圆甲乙丙丁长方形互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例又同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑卯小径互相为比之比例也葢平行线内两面形互相为比之比例同于其底界互相为比之比例【见七卷第八节】今戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形皆在戊辛己庚平行线内故戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例同于己庚底与乙丙底互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面亦在戊辛己庚平行线内则子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例必同于戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圆面壬癸径度而甲乙丙丁长方形之乙丙底又即撱圆面之丑卯径度也夫平圆与撱圆之比例既同于正方形与长方形之比例而正方形与长方形之比例又同于己庚底与乙丙底之比例则圆面与撱圆面之比例同于圆面之壬癸径
　　与撱圆面之丑卯径之比例可知矣

　　防何原本九
　　第一
　　凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则一形分为两形与原形共为三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则甲乙丙一形分为甲丁乙甲丁丙两形此所分两形与原有甲乙丙形之式俱相同而皆为直角三角形其三形毎相当各界之比例亦俱相同也葢甲丁线既为垂线则两傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱为直角【见首卷第十节】是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而两三角形又共一乙角其相当二角度既等则所余各一角度自等【见八卷第三节】故甲乙丙之丙角与甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦与甲丁丙之丁角相等此两三角形又共一丙角故所余之甲乙丙之乙角与甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相当各角之度既等则三三角形之式必同三三角形之式既同则其毎相当各界之比例亦俱相同可知矣
　　第八
　　凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而所作之垂线为中率此三率即为相连比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则截乙丙界为两叚其所截之乙丁叚为一率则丁丙叚为三率若丁丙叚为一率则乙丁叚为三率而所作甲丁垂线总为中率故此乙丁甲丁丁丙三线互为相连比例三率也葢甲乙丁甲丁丙两三角形为同式故其相当之乙丁甲丁二界互相为比即同于甲丁丁丙二界之互相为比也今以乙丁线为四分丁丙线为一分则甲丁线必得二分因四分与二分之比必同于二分与一分之比故为相连比例三率也第三
　　直角三角形自直角至相对界所作垂线与所分二叚固为相连比例三率如依垂线度作一方形则与所分二叚一为寛度一为长度所作长方形之积相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线截乙丙界为两叚遂成乙丁甲丁丁丙之连比例三率今依甲丁垂线度作一戊丁正方形【即为中率自乗之数】以甲丁垂线所截丁丙一叚为寛度乙丁一叚为长度作一己丁长方形【即为首率末率相乗之数】其戊丁正方形之积必与己丁长方形之积相等也何也葢同式两三角之相当界互相为比之比例同故此乙丁界与甲丁界之比即同于甲丁界与丙丁界之比乙丁线既为一率则甲丁线为二率甲丁线复为三率则丙丁线为四率然则此相连比例三率又为相当比例四率矣因其可为相当比例四率故二率与三率相乗一率与四率相乗所得之分数相同【见七卷第四节】今既以甲丁为二率又为三率则甲丁自乗之数即是二率三率相乗之数而乙丁一率与丙丁三率相乗所得己丁长方形即与甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗【中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中故云】其所乗之二式虽异因俱自相连比例四率而生故其积相等而得以为准也
　　第四
　　凡有直角三角形其直角相对界所作方形之积必与两傍界所作两方形之积相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相对乙丙界作一乙丁方形其积必与甲乙甲丙之两傍线所作戊乙己丙两方形之积相等也试自甲直角过相对乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂线则甲乙丙三角形分为甲乙庚甲庚丙两三角形而乙丁正方形分为乙壬庚丁两长方形此所分甲乙庚甲庚丙两三角形与甲乙丙原三角形为同式则其毎相当界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界与丙甲大界之比即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界与乙丙大界之比而为相当比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原为一线则庚丙丙甲乙丙又为相连比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之积与庚丙一率为寛乙丙三率为长所作庚丁长方形之积相等也乙丁既为正方形则庚壬度必与方界乙丙各度等故庚丁长方即同庚丙为寛乙丙为长所作之长方也又如甲乙庚甲乙丙两三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界为相当比例四率又为相连比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之积亦与乙庚一率为寛乙丙三率为长所作乙壬长方形之积相等也今庚丁乙壬之两长方形既与己丙戊乙两正方形等则两形相合之乙丁正方形亦必与己丙戊乙两正方形相等可知矣
　　第五
　　凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之积必与二小界所作二形之积等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式长方形则乙丙大界所作乙丁一形之积必与甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之积等也又或如甲乙丙直角三角形于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜于甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜则乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之积必与甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之积等也葢依三界所作三形之式既同故同式众形互相为比即同于相当界所作正方形之互相为比也要之一大界所作一大形内减一小界所作一小形即余一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形则为一大界所作一大形矣
　　第六
　　一圜之内二弦线相交所截之叚递转比之其比例俱同而为相当比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二线相交于已其所截之戊已一叚与已丙一叚之比例即同于乙己一叚与己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚为相当比例之四率也何以见之若自乙至戊自丁至丙复作二弦线即成乙己戊丁己丙两三角形此两三角形之乙角丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚其度相等【见四卷第十二节】再乙己戊之己角丁己丙之己角又为两尖相对之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而两己角之度又等则所余戊丙二角亦自等两三角形之相当各角既等则其式必同其式既同则毎相当各二线互相为比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相为比例四率可知矣
　　第七
　　圜之径线不拘何处作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而垂线为中率即为相连比例三率也如甲圜自丁界至乙丙径线戊处作一丁戊垂线将乙丙径线截为两叚其所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率此乙戊丁戊戊丙三线为相连比例三率也试自圜界丁至乙丙二处作丁乙丁丙二线则成一乙丙丁三角形其丁角既立于圜之乙己丙半界故为直角【见四卷第十四节】而丁戊垂线乃自直角至相对乙丙底界所作之垂线故所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率为相连比例三率也
　　第八
　　自圜外一防过圜界二处至相对界作二线以此两全线互相为比即同于圜界外所截之二叚递转为比之比例而为相当比例四率也如己圜自圜外甲防过圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作二线则甲丙甲戊两全线互相为比必同于圜界外所截甲乙甲丁二叚之递转相比而为相当比例四率也试自圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作乙戊丁丙二线则成甲丙丁甲戊乙两三角形此两三角形之丙戊二角既切于一圜之乙丁弧界其二角之度必等【见四卷第十二节】再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共为一角其度自等两三角形各二角度俱等则两三角形必为同式矣故甲丙甲戊相当二界互相为比之比例即同于甲丁甲乙相当二界互相为比之比例是以甲丙与甲戊之比同于甲丁与甲乙之比将甲丙全线为一率甲戊全线为二率甲乙甲丁递转移之而以甲丁一叚为三率甲乙一叚为四率为相当比例之四率也
　　第九
　　凡函于圜内之三角形以其一角平分为二过相对底界至相对界作一直线则所分角之小边线与所作线之在三角形内一叚之比即同于所作线之全分与所分角之大边线之比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分过所对乙丙底界至相对界作一直线即成甲丁戊一全线以三角形之甲乙小边与所作甲丁戊线之甲丁一叚之比即同于所作甲丁戊全线与三角形之甲丙大边之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊线即成甲乙戊甲丁丙两三角形此两三角形之戊丙二角俱切于圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又为一角所平分之两角其度亦必等因此两三角形各二角之度等故两形为同式两三角形之式既同则两形之相当二界互相为比之比例俱同是以甲乙小分与甲丁小分之比即同于甲戊大分与甲丙大分之比也
　　第十
　　凡函于圜内之三角形以其一角为两平分自角至底作一线则所分底线两叚互相为比即同于所分角之两傍两边线之互相为比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分至乙丙底作甲丁一线则分一丙底线为乙丁丁丙两叚以乙丁与丁丙之比即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也试自所分底线之丁至甲丙线与甲乙平行作丁戊一线即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既为乙甲丁戊平行线一边之内外角其度必等【见首卷第二十三节】而甲乙丙戊丁丙两三角形又共一丙角故此两三角形之各二角度等为同式两三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因为平行线内二尖交错之角其度亦等然则乙甲丁之甲角既为甲乙丙之甲角之两平分则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等则二角所对之丁戊甲戊二线亦必等矣甲乙丙戊丁丙两三角形既为同式而三角之度又俱等则其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二线互相为比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二线互相为比之比例也今戊丁甲戊二线其度既等则甲乙线与甲丙线之比又同于以甲戊线与戊丙线之比至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣是故甲乙线与甲丙线之比为同于乙丁线与丁丙线之比也

　　防何原本十
　　第一
　　大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度故欲知方体所生比例之分将所比形之长寛与厚详较之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二体其甲乙大形之戊己长比丙丁小形之庚辛长甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱为大一倍其甲乙大形之戊乙底平面积与丙丁　形之庚丁底平面积之比例将纵横二线之长寛度分考之即得【见七卷第二节】既得二体底积之比例乃以二形之厚度复与底积比之即可知甲乙丙丁二体之比例矣葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然则甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣是故欲知直角方体之比例以本体之长寛与厚互相比例以较之即得直角方体互相为比之比例也
　　第二
　　有两直角长方体若将此一体之底度与他一体之底度又将他一体之厚度与此一体之厚度为比其比例若同则此二体之积必等也如甲乙丙丁两直角长方体甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍则甲乙丙丁二体之积必相等是故两体之底积与厚度相较则两体之积可知矣葢体积之比例视其面线今两体之底面厚度交互相等如此其体积不得不等也
　　第三
　　有两直角方体其底面积之纵横二界相比之比例与厚度面积之纵横二界相比之比例若俱同则此两体为直角正方同式体也如甲乙丙丁两直角方体其甲乙体之戊乙底面之戊己横界比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍甲乙体之甲己厚面之甲戊直界比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也至于两体所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱为相当之界而可互相为比例矣第四
　　凡同式直角正方体其体积之比例比之两界线之比例为连比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁两同式直角正方体其相当之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相为比之比例俱各大一倍则此甲乙体积与丙丁体积之比比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者即如连比例四率内隔二位相加之比例矣盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四二其四为八故甲乙体积比丙丁体积大八倍夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比为八分之一甲乙体界二与丙丁体界一相比为二分之一其比例不同盖以八分比一分较之二分比一分为四倍也如欲求其相连比例之率则于甲乙体之界四倍之得八分与丙丁体界一分为比即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣夫八与四四与二二与一皆为连比例二分之一之比例今以八与一为比其间隔四与二之两位故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也【若边为三倍则面为九倍体为二十七倍亦为隔二位相加之比例也】
　　第五
　　有两同式直角长方体于两体相当之二界各作两正方体互相为比即同于原两长方体之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方体在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也夫甲乙丙丁同式之两长方体既为隔二位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之两正方体亦必为隔二位相加之比例矣然则原有之甲乙长方体为原有之丙丁长方体之八分之一其所作甲庚正方体亦为所作丙辛正方体之八分之一可知矣第六
　　凡有大小平面体其相当角度俱等而相当界之比例又同则谓之同式体也如甲乙大小两平面体其相当各界之度俱等而相当各界之比例又同则甲乙二体谓之同式平面正方体也如丙丁大小两四瓣体其相当各角之度俱等而相当各界之比例又同则丙丁二体谓之同式四瓣体也又如大小圆面体于其内外作各种平面体其平面体之式若同则圆面体亦谓之同式体如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也
　　第七
　　同式各种体之比例同于在各体相当界所作正方体之比例也如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比又如壬癸两圆球体其互相为比之比例亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也盖同式平面形互相为比之比例同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣今各种体之式既同故其相当面互相为比之比例必同相当面互相为比之比例同者縁相当面之各相当界互相为比之比例同也故凡同类两体知此一体之度而不知彼一体之度欲求知之则在同式两体相当二界各作一正方体此所作之二体一为一率一为二率所知之体为三率推得四率即其未知之体矣或有同类两体知此一体之界而不知彼一体之界则依所知一体之界作一正方体其两体一为一率一为二率所作正方体为三率推得四率即是彼一体界数所作之正方体矣故曰同式两体之比例与相当界所作正方体之比例相同也
　　第八
　　凡圆面半径与球体半径等者其圆面积为球体外面积之四分之一而圆面半径与球体全径等者其圆面积与球体外面积等也如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也试作子寅卯一尖圆体使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等则此尖圆体积与球体积相等【见五卷第二十五节】又作午未申一小尖圆体使其未申底径与甲丙球体之全径等亦与大尖圆体之寅丑半径等其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等亦与大尖圆体之子丑髙度等则此小尖圆体积为球体积之四分之一亦即为大尖圆体积之四分之一何以见之盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣又两体同髙者其体积之比例同于其底面之比例今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一则其体积必为大尖圆体积之四分之一而亦为球体之四分之一矣【球体原与大尖圆相等】夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一亦必为球体外面积之四分之一而丁己圆面固与小尖圆之底积等则为球体外面积之四分之一无疑矣至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍则其面积必大四倍今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍者安得不与球体外面积相等乎第九
　　凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等则球体为长圆体之三分之二也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体积为长圆体积之三分之二也盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一【五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体为平行体三分之一】尖圆体之底径与球之全径等髙与球之半径等者尖圆体积为球体积之四分之一而尖圆体又为半球体之二分之一矣【説见前节】今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体又作一壬己庚尖圆体则此尖圆体为半球体之二分之一尖圆体既为半球体之二分之一又为半长圆体之三分之一则半球体岂非长圆体之三分之二乎夫全与全之比例即若半与半之比例今半长圆与半球之比例为三分之二则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣
　　第十
　　凡球体全径与长圆体底径髙度相等者其球体外面积与长圆体周围面积等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体其球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则此球体外面积必与长圆体之周围面积等也大凡体之面积相等者其体积之比例同于其髙之比例而体积之比例与髙之比例同者其面积必相等试将球体乙壬半径分为六分取其三分为髙以长圆周围面积为底所成之体积必与长圆体积等取半径之二分为髙以球体外面积为底所成之体积必与球体之积等盖长圆体与球体之比例原为三与二之比例此所成之二体亦必为三与二之比例一体之髙为三分一体之髙为二分是积之比例与髙之比例同矣非因其面积相等之故乎由是观之球体外面积与长圆体周围面积相等也明矣
　　第十一
　　凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等者其相当毎段之外面积皆相等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体之癸丙寅一段凸面积必与相当长圆积之辰己庚己一段周围外面积等也夫乙辰巳丁一段长圆体内分出子癸寅丑一小长圆体余癸子乙辰巳丁丑寅空心体此空心体与子癸寅丑长圆体之积必等何以知之盖壬癸为大圆面之半径而所截卯癸又为小圆面之半径其壬卯与卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三线成一壬癸卯直角三角形而壬癸半径所作圆面必与壬卯卯癸两线为半径所作两圆面等【见九卷第六节】又壬癸与壬乙皆一圜之辐线其度必等而卯辰原与壬乙相等故卯辰为半径所作之圆面即壬癸为半径所作之圆面于卯辰为半径所作圆面内减去夘癸为半径所作圆面即余壬癸环面与壬卯为半径所作之圆面等而壬卯与卯癸原相等然则辰癸环面既与壬卯半径所作之圆面等亦必与卯癸为半径所作之圆面等矣夫卯癸即小长圆底之半径而辰癸又为空心体底之环径其两面积既等则其两体积必等无疑矣又壬癸寅小尖圆体原与癸乙辰巳丁寅曲凹体等【乙丙丁半球体为半长圆体三分之二则癸乙己丙庚丁寅曲凹体为长圆体三分之一与壬己庚尖圆体相等故壬癸寅一段尖圆体与相当癸乙辰巳丁寅一段曲凹体亦必相等也】而壬癸寅小尖圆体为子癸寅丑小长圆体三分之一则癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为辰癸空心体之三分之一矣于乙辰巳丁长圆体内减去壬癸寅小尖圆体又减去癸乙辰巳丁寅曲凹体则余乙癸壬寅丁一段空心球体必与乙辰壬巳丁一段空心长圆体等【如以乙辰巳丁一段长圆体作六分则子癸寅丑小长圆为三分壬癸寅小尖圆体为一分与小尖圆体相等之癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为一分今既减去小尖圆体及曲凹体是于六分内减去二分而存一段空心球体为四分也而壬辰巳大尖圆体亦为乙辰巳丁辰圆体三分之一于长圆体内减去大尖圆体则余乙辰壬巳丁空心长圆体为三分之二也三分之二之比例同同于六分之四之比例则此一段空心长圆体与一段空心球体相等无疑】若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体【俱以乙壬半径为髙以两空心体外面为底】则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等【同底同髙者其积既等则同髙同积者其底必等】此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣【千万尖体之底即两空心体之面也】夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣
　　第十二
　　凡撱圆体大径与圆球体径相等者其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也试将撱圆体与球体任意依径线平行分之其所分之大小平圆面如子丑乃球体大圆面之径寅卯乃撱圆体小圆面之径此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例【见八卷第十一节】而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣若将此两体与戊己径平行任意分为防何面其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣
　　第十三
　　凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体为长圆体之三分之二亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等则撱圆体为长圆体之三分之二其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也若转比之即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二可知矣
　　第十四
　　凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例同于函球之正方体与所函球体之比例也如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等故长方体与正方体之比例同于两体底积之比例今此长方体之底积与所函撱圆体之己辛小径所作方面等而正方体之底积与所函球体之卯午全径所作方面等矣然则此长方体与正方体之比例不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎夫撱圆体与球体之比例原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例则撱圆体与球体之比例同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例可知矣若转比之则长方体与所函撱圆体之比例亦必同于正方体与所函球体之比例矣
　　第十五
　　凡撱圆体大径与圆球体之径等者其撱圆体外面积与球体外面积之比例即同于撱圆体小径与球体全径之比例即任分一段其相当一段外面积之比例亦无不同也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等则此撱圆体外面积与球体外面积之比例必同与撱圆体之乙丁小径与球体之戊己全径之比例也即任分寅内卯一段撱圆体外面积与子丙丑一段球体外面积之比例亦仍同于乙丁小径与戊己全径之比例也盖两体所分寅卯子丑平圆面皆与乙丁戊己径线平行故寅卯圆界与子丑圆界之比同于寅卯圆径与子丑圆径之比而寅卯径与子丑径之比又同于乙丁径与戊己径之比也然此两体依径平分可为无数平圆界其相当各圆界之比例既皆同于乙丁径于戊己径之比例则全体外面积之比例岂不同于乙丁径与戊己径之比例乎至于所分之寅丙卯一段撱圆体与子丙丑一段球体俱可分为平圆以比之则一段与一段之比例无异于全体与全体之比例也明矣第十六
　　凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体外面积与长圆体周围外面积等即任分一段其相当一段之外面积亦无不等也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径与长圆体之己庚底径等则撱圆体之外面积与长圆体周围之面积等即任分壬丙癸一段撱圆体外面积亦与相当壬己庚癸一段长圆体之外面积等也试依撱圆体甲丙大径度作子丑寅卯一球体并作与球体同髙同径辰巳午未一长圆体则此两长圆体之髙度等其二体周围面积之比例必同于二体底径之比例二长圆体底径之比例即是撱圆体之乙丁小径与球体之丑卯全径之比例也撱圆体外面积与球体外面积之比例原同于撱圆体乙丁径与球体丑卯径之比例则戊己庚辛长圆体外面积与撱圆体外面积之比例亦同于辰巳午未长圆体外面积与球体外面积之比例也夫球体外面积原与辰巳午未长圆体外面积等而撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积之比例既与球体外面积与辰巳午未长圆体外面积之比例相同则此撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积相等无疑矣至于撱圆体所分一段与球体所分一段之比例与其全体之比例亦相同今撱圆体外面全积与戊己庚辛长圆体周围外面全积之比例既同于球体外面全积与辰巳午未长圆体周围外面全积之比例则所分撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积之比例亦必同于所分球体之申寅酉一段外面积与长圆体之戌巳午亥一段外面积之比例矣彼球体之申寅酉一段外面积既与长圆体之戌巳午亥一段外面积相等则此撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积相等也明矣

　　御制数理精蕴上编卷三
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴上编卷四
　　几何原本十一
　　几何原本十二

　　几何原本十一
　　第一
　　作三界度等之三角形及两界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形则作一甲乙线取甲乙之度为准以甲为心自甲至丙作弧一段又以乙为心自乙至丙作弧一段两弧相交处至甲乙作二线即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一圜之辐线其度必等度既等而线未有不等者也若欲作两度等之三角形仍作一甲乙线比甲乙线之度或大或小取一度以甲乙二处为圜心皆至丙作弧两段仍于两弧相交处作二线即成两界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二线虽比甲乙线或大或小然二线俱同为一圜之辐线其度自等两度既等则两界线亦必等也
　　第二
　　平分直线角为两分法如甲乙丙角欲平分为两分乃以一角为心任意作弧线一段则乙甲乙丙二线截于丁戊即成乙丁乙戊等度二线自弧两端复作一丁戊线照丁戊线度依前节法作一三界度等之丁己戊三角形则己角与乙角正相对乃自乙角至己角作一乙己直线即分甲乙丙角为两平分矣何也其乙丁己乙戊己两三角形之乙丁乙戊二界是一圜之辐线其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之两傍界其度亦等而乙己线既为两形之共界其等无疑此两三角形之各界度既各相等则与丁己戊己界相对之丁乙己戊乙己二角亦必相等可见矣【见二卷第七节】
　　第三
　　平分一直线为两分法如有甲乙一直线欲平分为两叚乃如第一节法于甲乙线上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二节法平分甲丙乙角为二分自丙角作垂线至甲乙线即平分甲乙线于丁而甲丁丁乙两叚必等也葢甲丙乙原为三界度等之三角形今作丙丁垂线平分为两三角形则两三角形之相当各角各界必俱等而甲丁丁乙为两形相当之底界其度安得不等乎
　　第四
　　横线上立纵线法如有甲乙一横线欲于丙处立一纵线则于丙之两傍任意取等度二分为戊丙己丙以戊为心于横线上作弧一叚又以己为心于横线上作弧一叚两弧相交于丁此丁处正与丙相对自丁至丙作一直线即甲乙线上正立之纵线也试自戊己至丁作二线成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己两线俱同一圜之辐线其度必等而丁丙线既将戊己底线为两平分则丁丙线必为甲乙线之垂线矣【见二卷第十节】第五
　　有一横线自此线上不拘何处立纵线法如有甲乙一横线自此线上丙处至甲乙线欲作一纵线则以丙为心作弧线一叚截甲乙线于戊己乃自戊己至丙作二线成一戊丙己三角形又照第二节分角法平分丙角为二分自丙至甲乙线上作丙丁线则此丙丁线即为自丙至甲乙线之纵线也葢戊丙己三角形之丙戊丙己两界度等故戊角与己角必等而丙丁线又平分丙角为二则所分之戊丙丁己丙丁两角度亦等而丙丁戊丙丁己两并角亦必等此两并角既等则成两直角既成两直角则丙丁线必为甲乙横线之垂线矣【见一卷第十节】
　　第六
　　在横线一边立纵线法如有甲乙横线在乙边欲立一纵线则于甲乙线上不拘何处立为圜心如以丙为圜心自丙至乙为圜界旋转作一圜则于甲乙线丁处相交即自丁处过丙心至相对界作一直线交圜界于戊乃自戊至乙作一戊乙直线即是乙边所立之纵线也葢丁乙戊角因在半圜必为直角【见四卷第十四节】既为直角则戊乙线必为甲乙线之垂线既为垂线故为横线一边所立之纵线也若甲乙线一边之上有一戊防欲自戊至甲乙线一边作一垂线则自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线遂将戊丁斜线平分于丙于是以丙为心自戊旋转作一圜则截甲乙线于己自戊至己作一直线即是欲作之垂线也葢戊己丁角既在半圜必为直角既为直角则戊己必为垂线矣
　　第七
　　一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分为三百六十度则取圜之辐线度縁圜界比之即分圜界为六叚将六叚各平分为二则为十二叚十二叚各平分为三则为三十六叚三十六叚各平分为十即成三百六十度矣第八
　　一直线上作角度法如甲乙线上欲作三十度之角则用有度之圜依圜之丙丁辐线度截甲乙线于戊于是以甲为心自戊作弧一叚复依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧于己乃自己至甲作一直线即成己甲戊三十度之角矣第九
　　各种多界形仿己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲仿此式叧作一形则考甲乙界度有防分如甲乙界度为三分今取其二分作一丁戊线又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁为圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊为圜心作弧一段两弧相交于己乃自己至丁戊作二线即成丁戊己一小三角形与原有甲乙丙大三角形为同式也葢丁戊己三角形之三界虽与甲乙丙三角形之三界不等而其相当各角之度俱等因其相当各角之度俱等故其相当各界之比例皆同相当各界之比例既同则其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲仿此式叧作一形则在此六界形作分角线分为四三角形照前法仿作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也
　　第十
　　有一直线或上或下一防作与此线平行一线法如甲乙线上有一丙防欲自丙防作与甲乙线平行一线则以丙为圜心任意取甲乙线之近甲边一处作弧一叚如丁又取甲乙线之近乙边一处为心如戊乃照丙丁原度于丙防相对处作弧一叚如己复照丁戊度以丙为心于丙防相对处作弧一叚则二弧相交于己乃自丙至己交处作一丙己直线即为甲乙线之平行线也何则试自丁戊二处至丙己二处作二线即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相对之两纵线丙己丁戊相对之两横线因依各度所取必两两相等既两两相等则必为平行线之四边形然则丙己甲乙为平行线四边形之二线岂有不平行之理哉
　　第十一
　　有一直线上作一正方形法如甲乙一直线欲作一正方形则以甲为心取甲乙度自乙至丙作乙弧线又以乙为心依甲乙度自甲至丁作一弧线又于甲乙线之两端照本卷第六节立甲丙乙丁二纵线则乙丙弧截于丙甲丁弧截于丁乃自丙至丁作一直线即成甲乙丁丙一正方形也何则丙甲甲乙乙丁三线俱同为一圜之辐线其度必等而丁丙丙甲二线又俱切一圜界为两尖相合其度亦必等【见四卷第七节】则四界俱等矣且甲乙二角又为垂线所立之角必成直角则丙丁二角亦必为直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形为甲乙线上所立之正方形也
　　第十二
　　平分一弧为两叚法如有甲乙弧欲平分为两叚则自甲至乙作一甲乙线将此线照本卷第三节平分直线为两分法作一戊丁纵线复自戊引至弧界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧为甲丙丙乙两叚矣葢丙丁纵线既平分甲乙线则亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜则必平分甲乙弧为两叚可知矣【见四卷第六节】
　　第十三
　　有一叚弧欲继此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧继此弧欲作一全圜则在此弧界任意指三处如甲丙乙自甲乙二处至丙作甲丙丙乙二线照前节作平分甲丙丙乙两之丁己戊己二线引长则相交于己乃以己为心继甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二线既平分甲丙丙乙二则必平分甲丙丙乙二弧【见四卷第六节】既平分甲丙丙乙二弧则其相交之处必为圜心故己为继甲丙乙弧界所作全圜之圜心也
　　第十四
　　不拘何处有三防求縁此三防作一圜法如甲乙丙三防不在一直线上欲縁此三防作一圜则依前节作甲丙丙乙二线又平分此二线正中作丁己戊己二垂线引长至己处相交遂以己为心以甲乙丙为界作一圜则甲乙丙三防俱在一圜之界矣【此节之理与前节同】
　　第十五
　　有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之则于此圜界随便取甲乙丁三处从甲至乙至丁作二线将此二线平分正中为戊己二处自戊己作戊庚己庚两垂线则相交于庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也【此节之理亦与前同】
　　第十六
　　有圜外一防将此防至圜界作切线法如一圜之外有一甲防欲将此甲防与圜界相切作一切线则以此甲防至圜心作一甲乙直线又以乙为心以甲为界作一甲丙圜界又自甲乙线所截圜之丁处作一丁己垂线则此垂线即截甲丙圜界于丙乃自丙至乙心作一丙乙直线复自丙乙所截圜界戊处作一戊甲线即是自甲防至圜界所作之切线也何则此乙丁乙戊既同为一圜之辐线其乙甲乙丙亦同为一圜之辐线则甲乙戊与丙乙丁两三角形之各两边线必等而两三角形又同一乙角然则两三角形之每相当各角必俱等矣【见二卷第六节】夫丁丙线原为甲乙辐线之垂线则丁角必为直角而相当之戊角亦必为直角矣戊角既为直角则甲戊线亦必为乙丙辐线之垂线故甲戊与丙丁皆为圜界之切线也【见四卷第九节】
　　第十七
　　有圜内线欲与此线平行作圜外切线法如有一甲乙丙丁圜之乙丁线欲与此乙丁线平行作切圜之切线则从圜心戊至乙丁作戊己垂线平分乙丁线于己引长截圜界于甲为甲戊线又切甲处作庚辛线为甲戊之垂线即是所求之切线也何则此庚辛线既为甲戊线之垂线其戊甲庚角必为直角又己戊线既为乙丁线之垂线其戊己乙角亦必为直角然则戊甲庚角与戊己乙角既俱为直角其度必等因其度等故乙丁庚辛两线为两平行线也又戊甲线为圜之辐线而庚辛既为甲戊之垂线则必为甲乙丙丁圜之切线可知矣【见四卷第九节】
　　第十八
　　作函三角形之圜法如甲乙丙三角形欲作函此三角形之一圜则平分甲丙边于丁平分丙乙边于戊自丁戊作二垂线引长至己相交即以己为心任以甲丙乙三角形之一角为界作一甲丙乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也【此节之理与本卷第十三节同】
　　第十九
　　圜内作等度四角形及等度八角形法如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形则以甲乙丙丁二径线交于圜心皆作直角复自甲丙乙丁四处作甲丙丙乙乙丁丁甲四线即成甲丙乙丁等度之四角形也何则甲乙丙丁二径线在圜心作直角相交则平分圜界为四分矣既平分圜界为四分则甲丙丙乙乙丁丁甲四线度必等而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界亦必俱为直角【见四卷第十四节】既俱为直角必为正方形可知矣苟欲作等度八角形则照前平分圜界为四分将所分之每分又各平分为二分即平分圜界为八分乃作八线即成甲戊丙己乙庚丁辛一形为圜内等度八角形也
　　第二十
　　圜内作等度六角形三角形十二角形法如甲圜内欲作等度六角形则以圜之甲乙辐线为度将圜界分为乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六线即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也何则苟以乙为心以甲为界作一丙甲庚弧线则乙丙乙甲二线俱为丙甲庚圜之辐线而度必等夫乙丙丁戊己庚六界形之诸界因俱照甲乙辐线度所作故此形之六界俱相等也若欲作三角形则照前法将圜界分为六叚以所分六叚两两相合为三叚作乙丁丁己己乙三线即成一乙丁己等度三角形也若欲作十二角形亦照前法将圜界分为六叚以所分六叚各平分为二分作十二线即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也第二十一
　　圜内作各种等度多界形总法苟甲圜内欲作等度多界各种形则察各种形之各角度【见三卷第十七节】如等度三角形之三角俱六十度四角形之四角俱九十度五角形之五角俱一百零八度六角形之六角俱一百二十度七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒八角形之八角俱一百三十五度九角形之九角俱一百四十度十角形之十角俱一百四十四度十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒十二角形之十二角俱一百五十度今甲圜内若欲作一等度九角形则以九角形之每角一百四十度与一百八十度相减余四十度复以别有度之圜取四十度之分以分甲圜界即平分为乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛壬壬癸癸乙九线即成甲圜内等度之九角形也何也从圜心甲作线至各角分九角形为九三角形其每三角形之三角共一百八十度内减去二界角一百四十度余心角四十度即每界所对之角此九角形之每界即九心角之线故以心角度分圜界度即得九角形之分也凡圜内欲作等边多界形皆依此法作之
　　第二十二
　　作函圜等度多界形法如欲作函圜之等度三角形四角形五角形或多界形则将圜界照欲作之几界平分为几段乃自圜心至所分各界作几辐线于辐线之末各作切界线俱引长至合角即成函圜之等度多界形也如第一图自甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬三线即成六三角形其庚甲乙庚甲丙两三角形之庚乙庚丙二线为合尖切圜之线其度必等【见四卷第七节】而庚甲乙辛甲丁两形之庚甲乙辛甲丁二角为对角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角为辐线切线所成之角其度又皆为直角相等【见四卷第五节】则其余一角亦必等而其乙甲甲丁二界又同为一圜之辐线其度必等则其他界亦必俱等可知再辛丙辛丁二线壬丁壬乙二线俱为合尖切圜之线其度相等而辛甲丙与壬甲乙两三角形壬甲丁与庚甲丙两三角形必俱与前每相当之角等则此六三角形俱相等矣六三角形俱相等则其庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之六界两两相合即成庚壬庚辛辛壬之三界其度安得不等乎故庚辛壬三角形为函圜等界形也其第二图函圜四角形第三图函圜五角形或更欲作多界形其理皆同
　　第二十三
　　作函等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲作函此三形之圜则任用此三形之甲乙乙丙二界平分于庚辛二处乃自庚辛二处各作垂线至各形中心相交为己即以己为心以各形之角为界作圜即成函此三形之圜也何也各形之界皆为圜之线而线上所作之垂线必皆交于圜心今甲乙乙丙二界上所作之庚己辛己二线既平分二界而相交于已则己必为圜心故以己为心作圜即成函各等界形之圜也
　　第二十四
　　作函于等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲在此三形内各作一圜则照前节平分甲乙乙丙二界作己庚己辛二垂线引长相交于己即以己为心以庚辛为界作圜即成多界形内所函之圜也何也己庚己辛二线是平分甲乙乙丙二线之垂线引长之必相交于各形之中心今既相交于己则己必为各形之心凡形心作垂线至各界其度必等即如圜之辐线故以己为心庚辛为界所作之圜即为各等界形所函之圜也
　　第二十五
　　有一三角形一圜形于此圜内作切圜界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜形欲于此圜内作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则于圜界任意作与甲角相等之辛角将此角之两边线俱引至圜界作辛庚辛戊二线再自戊至庚作一戊庚线又于戊处作与乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊线复自庚至丁作一庚丁线成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则其庚辛戊三角形之辛角与庚丁戊三角形之丁角其尖既俱与圜界相切而共立于戊己庚一叚弧分其度必等【见四卷第十二节】此辛角原与甲角等则丁角亦必与甲角等又庚戊丁之戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角与甲角戊角与乙角既等则所余之庚角与丙角亦必等其三角既俱等其两形必为同式可知矣第二十六
　　有一三角形一圜形于此圜外作切界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲于此圜外作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则将原有之甲乙丙三角形之乙丙底线引长至辛壬二处此两傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃于圜心丁处作与辛乙甲角相等之戊丁庚角又作与壬丙甲角相等之己丁庚角则成丁戊丁己丁庚之三辐线于三辐线之末作三垂线引长相交成一癸子丑三角形即是所求之圜外切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则凡三角形之三角相并必与二直角等【见二卷第四节】今戊丁庚子一四边形可分为两三角形则此四边形之四角相并必与四直角等矣四直角内减去子戊丁子庚丁之两直角所余戊丁庚戊子庚两角相并亦必与两直角等也又辛乙甲外角与甲乙丙内角相并亦与二直角等【见一卷第十四节】其戊丁庚角既系依辛乙甲角之度而作者则戊子庚角必与甲乙丙角相等其庚丑己角亦必与甲丙乙角相等而己癸戊角又必与乙甲丙角相等三角俱等则两形之式必相同也
　　第二十七
　　三角形内作切三界之圜法如有一甲乙丙三角形欲与此形内切三界作一圜则依此卷第二节之法将甲乙丙三角俱平分为两分所分三角之三线俱引长使相交于丁自丁至甲乙乙丙丙甲三界线作丁戊丁己丁庚三垂线乃以丁为心以戊己庚为界作一圜即是三角形内之切界圜也何则戊甲丁与庚甲丁两小三角形之甲角因自一角为两平分其度必等又丁戊丁庚既系两垂线则甲戊丁甲庚丁二角俱为直角而相等此戊甲丁庚甲丁两小三角形内之二角既等其各三角必俱相等而又共用一甲丁线为边则此两三角形之各相当边亦必俱等故丁戊线与丁庚线等者即是丁己线与丁戊线丁庚线等也此三线既等以为辐线作戊己庚圜则必与三角形之甲乙乙丙丙甲三界相切矣
　　第二十八
　　勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方形则以丙为心以乙为界作一乙丁弧线将此弧线平分于戊自戊至丙作一戊丙线即平分丙角为两分而截甲乙线于庚矣乃自庚与甲丙线平行作庚己线又自庚与乙丙线平行作庚辛线即成庚己丙辛一正方形为所求甲乙丙勾股形内之正方也何则甲丙乙勾股形之丙角原是直角今庚辛庚己二线各与甲丙乙丙平行则庚己丙辛之四角必俱为直角矣而庚己丙三角形内己庚丙角与己丙庚角又俱是直角之一半其度必等则己丙线与庚己线相等而庚辛线与己丙线庚己线与辛丙线皆为平行线内之垂线其度亦等故庚己己丙丙辛辛庚四线相等而庚己丙辛四角俱为直角是为甲乙丙勾股形内之正方形也
　　第二十九
　　勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方则将乙丙线引长照甲乙线度増于乙丙作一壬丙线自此壬丙之两末与甲乙线平行作丁壬癸丙两垂线使其度俱与甲乙线等又自丁至癸与壬丙线平行作一丁癸线自丁至丙作一对角线截甲乙线于戊乃自戊与乙丙线平行作戊己线截甲丙线于己又自己与戊乙线平行作己庚垂线成一戊乙庚己正方形即为甲乙丙勾股形内欲作之正方也何则试将戊己线引长成辛戊己子线则此辛戊己子线与甲乙线分丁壬丙癸为四长方形其甲戊子癸长方与辛壬乙戊长方既为丁壬丙癸大长方对角线傍所成两形其分必等【见三卷第七节】故子戊线与戊辛线之比例同于乙戊线与戊甲线之比例也然此子戊线与丙乙线等而戊辛线又与甲乙线等则丙乙线与甲乙线之比例亦同于乙戊线与戊甲线之比例也又甲乙丙与甲戊己两三角形为同式故丙乙线与乙甲线之比例同于己戊线与戊甲线之比例而乙戊线与戊甲线之比例又同于己戊线与戊甲线之比例也乙戊线既与己戊线相等而乙庚线与戊己线己庚线与戊乙线又为两平行线内之垂线其度相等故戊乙庚己四角俱为直角戊乙庚己四角既俱为直角则戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣
　　第三十
　　三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲于此形内作一正方则自甲角至乙丙底线作一甲辛垂线将此垂线引长出甲角如乙丙底线度作一壬辛线又自壬两分如乙丙线度与乙丙线平行作一子癸线又自癸至辛作癸辛线截甲乙线于丁自子至辛作子辛线截甲丙线于庚乃自丁至庚作一庚丁线此线必与乙丙平行又自庚丁二处作庚己丁戊二垂线即成丁戊己庚一正方形即为甲乙丙三角形内欲作之正方也何则壬辛线与壬子线之比同于辛丑线与丑庚线之比而辛壬线与壬癸线之比又同于辛丑线与丑丁线之比故辛壬线与癸子线之比亦必同于辛丑线与丁庚线之比也然辛壬与癸子原相等则辛丑与丁庚亦必相等矣辛丑与丁庚既等则丁戊戊己己庚庚丁四边亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四边既俱等则为甲乙丙三角形内之正方无疑矣
　　第三十一
　　有一直线将此线为正方对角线作正方法如有一甲乙直线欲以此线为对角线作一正方则将甲乙线平分为戊以戊为心以甲乙为界作一圜即于此圜内作一丙丁径线为甲乙线之垂线乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直线即成甲丁乙丙一正方形为所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱为直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之两傍线俱是半径线必相等又此四三角形之两傍线所合之角俱为直角亦必相等则甲丙丙乙乙丁丁甲四直线必俱相等可知矣甲丙乙丁四边形内四角既俱为直角而四边线又俱相等则必为正方形而甲乙线为其对角线矣
　　第三十二
　　有一直线为正方边与对角线相较之余于此线求作其原正方法如有一甲乙线为正方边与对角线相较之余求作一正方则先将此甲乙线为一边作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小对角线于是以丙为心以乙为界作一圜乃引甲丙线至圜界戊处作一甲戊线将此甲戊线为度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也试引甲乙线至己作甲己一对角线此对角线之乙己一叚必与戊己边线相等何也其丙乙丙戊为一圜之二辐线既等则丙乙戊丙戊乙二角亦等若于丙乙己直角内减去丙乙戊角又于所作丙戊己直角内减去丙戊乙角所余戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等则乙己戊己两线必等矣因其相等则所作甲戊己庚一大正方之甲己对角线与戊己一边线相较则原有之甲乙线为其相较之余可知矣

　　防何原本十二
　　第一
　　有一直线将此线为底作一两边度等三角形使底之两边各一角俱比上一角为大一倍之三角形法如有一甲乙直线将此线为底欲作两边度等之三角形而底之两边各一角俱比上一角为大一倍则用十一卷第八节之法于甲乙线之两头各作一七十二度之角将两边线俱引长相交于丙即成一甲乙丙三角形为所求之形也何则凡三角形之三角相并为一百八十度与二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙两角既俱系七十二度则于一百八十度内减去甲乙二角共一百四十四度余三十六度即为丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙两底角比丙角各大一倍也
　　第二
　　有一直线依此线度作两边度等三角形使上一角小于两底角一倍之三角形法如有甲乙一直线以此线为一边复依此线度作一边使此两边线所合之上一角小于两底角一倍之三角形则用十一卷第八节之法以甲乙甲丙二线之甲末相合作一乙甲丙角为三十六度再自丙至乙作一乙丙直线为底即得一甲乙丙三角形为所求之形也何则将甲角三十六度与全形三角之共数一百八十度相减余一百四十四度为乙丙两底角之共数今甲丙线与甲乙线既等则乙角与丙角必等因其相等将两底角共数一百四十四度折半得七十二度即为每一底角之数七十二度者三十六度之倍数故甲角比乙丙两底角俱为小一倍也
　　第三
　　有一直线以此直线为一边作等边等角之五界形法如有甲乙一直线以此直线为一边作一等边等角之五界形则将此甲乙直线为底用此卷第一节法作一两边度等甲丙乙三角形其甲丙乙角为丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五节法于此三角形之周围作一圜此甲丙丙乙两直线原系相等其相对之两弧亦必相等乃以此两弧自戊丁二处为丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直线即成甲乙丁丙戊五边五角等度之五界形也何则其甲丙乙角原为丙乙甲角之一半则甲丙乙角为三十六度试自甲乙二处至圜心作甲己乙己二线成甲己乙一三角形则此甲己乙角比甲丙乙角亦为大一倍【见四卷第十一节】故甲己乙角为七十二度而甲乙弧线亦为七十二度矣以七十二度于全圜界三百六十度内减之余二百八十八度折半得一百四十四度即为甲戊丙一叚弧线之数也将一百四十四度折半得七十二度即为甲戊一叚弧线之数也既得甲戊弧线之数则戊丙丙丁丁乙各弧线度俱各为七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五线既俱系相等弧之线则五线之度必俱等五线之度既等则此形又在圜之内而五角之度岂有不相等者哉
　　第四
　　有一直线分大小两分为相连比例线法如甲乙直线为全分甲丙一叚为大分丙乙一叚为小分以甲乙全分与甲丙大分之比同于甲丙大分与丙乙小分之比则用此甲乙线为一边线依此卷第二节法作两边等度之两底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三节法取乙丁线度作边角俱等之甲戊乙丁已五边形又自戊至丁作一直线截甲乙线于丙乃得甲丙一大叚为大分丙乙一小叚为小分即是所欲作之相连比例线也何则甲戊乙丁两弧线度等则甲乙戊乙戊丁两角度必等又乙戊丁角与乙甲丁角共立于乙丁弧其度必等再甲戊丁与甲乙丁二角亦同立于甲巳丁弧其度亦必等也至于甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因为戊丙乙三角形之外角与丙乙戊丙戊乙两内角等故甲丙戊与甲戊丙两角相等此二角既等则甲丙甲戊两线必等矣又甲戊戊乙两线度原相等其戊甲乙角必与戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必与戊乙丙一小三角形为同式形矣葢小三角形之丙戊乙角与大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角与大三角形之甲乙戊角为共角而等则小三角形之戊丙乙角与大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙线与甲戊线之比必同于乙戊线与丙乙线之比也夫甲戊原与甲丙相等而乙戊原与甲戊相等故乙戊亦与甲丙相等然则甲乙全线与所分甲丙大分之比必同于甲丙大分与丙乙小分之比可知矣故曰甲乙与甲丙甲丙与丙乙为相连比例之线也
　　第五
　　平分一直线为数叚法如有甲乙一直线欲平分为三分则自甲乙线之两末作甲丙乙丁二平行线随意取一甲戊度将甲丙线分为甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度将乙丁线亦分为乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行线之三叚处复作甲丁戊己庚辛丙乙四平行线即平分甲乙直线为甲壬壬癸癸乙之三分矣试观甲乙丁三角形之甲乙乙丁两傍线为与甲丁线平行之壬己癸辛二线所分故俱为相当率今以甲乙全线与乙丁全线之比同于丁已叚与甲壬叚之比而已辛叚与壬癸叚之比辛乙叚与癸乙叚之比亦皆与甲乙全线与乙丁全线之比相同也因其比例俱同故丁乙线之丁巳巳辛辛乙三叚为平分而甲乙线之甲壬壬癸癸乙三叚亦为平分也
　　第六
　　有分数之直线将别一直线依此线分分为相当比例率法如有甲乙一直线原分为甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直线欲依此甲乙线分分作三分为相当比例之率则齐二线之一端以为平行线自甲乙线之甲端过丙丁线之丙端作一纵线复自甲乙线之乙端过丙丁线之丁端作一斜线则二线相交于戊乃自戊至所分巳辛二处作戊巳戊辛二线则丙丁线即分为丙庚庚壬壬丁三叚与甲乙线之甲巳己辛辛乙三叚为相当比例率也试审戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相当各式皆同如戊丙庚与戊甲已为同式戊庚壬与戊巳辛为同式戊壬丁与戊辛乙为同式故丙庚与甲已为相当二界庚壬与已辛为相当二界壬丁与辛乙为相当二界此六线既各为相当界故各为相当比例率也
　　第七
　　有二直线作与此二线相连比例之第三线法如有甲乙甲丙二直线欲作与此二线相连比例之第三线则将甲乙甲丙二线之甲末合成一角照甲丙线度增于甲乙线为甲戊线自乙末至丙末作一乙丙线又与乙丙线平行自戊末作一戊己线将甲丙线引至已处乃成一甲已线其自丙末所分之丙已线即为与甲乙甲丙二线相连比例之第三线也葢已戊线既与丙乙线平行故甲乙丙三角形与甲戊己三角形为同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必为相当比例之四率是以甲乙第一率与甲丙第二率之比即同于乙戊第三率与丙巳第四率之比也夫乙戊之度原与甲丙等故甲乙与甲丙之比即甲乙与乙戊之比而甲丙与丙已之比即乙戊与丙巳之比然则甲乙与甲丙甲丙与丙巳岂非相连比例之三线乎
　　第八
　　有三直线作与此三线相当比例之第四线法如有甲乙甲丙乙丁三线欲作与此三线相当比例之第四线则取甲丙线度叧作一甲丙线将此所作甲丙线照甲乙线度纪于乙于是以甲为心自乙作弧一叚又取原有之乙丁线度自乙截弧线于丁即自乙至丁作一乙丁线再依甲丙线度自甲过丁作一甲戊线又与乙丁线平行作一戊丙线此戊丙线即为原三线相当比例之第四线也葢甲丙戊三角形与甲乙丁三角形为同式故甲乙线与甲丙线之比即同于丁乙线与戊丙线之比因其比例相同故戊丙线为原有之甲乙甲丙乙丁三线相当比例之第四线也或欲作相当比例之数线则将甲角上下二线引长为甲癸甲子凡相当各二处任意截为防叚作防平行线既得相当比例之数线矣如以甲角之甲子甲癸二线截为丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚于所截五处作五平行线即得相当比例之十率矣葢以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比以甲丙与甲巳之比同于戊丙与庚已之比以甲已与甲辛之比同于庚已与壬辛之比以甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比故将甲子甲癸二线虽分为无数叚作无数平行线其比例亦无不相同也
　　第九
　　有二直线欲叧作一线为此二线之中率法如有甲乙乙丙二线欲另作一线为此二线之中率则将甲乙乙丙二线相连为一甲丙全线乃平分全线于戊以戊为心以甲丙两末为界作一半圜自二线相连乙处至圜界作一丁乙垂线即为原有甲乙乙丙二线之中率线也何也丁乙线既为圜径上之垂线则甲乙丁乙乙丙为相连比例之三率【见九卷第七节】故甲乙线与乙丁线之比同于乙丁线与乙丙线之比也比例既同则所作乙丁线为原有甲乙乙丙二线之中率可知矣
　　第十
　　有二直线欲另作二线为此二线间之两率法如有甲乙乙戊二直线欲另作二线为此二线间之两率则将甲乙乙戊二线之乙末相合为直角又自此二线所合乙角引长为甲乙丙戊乙丁二线次将二矩尺之二角正置于丁戊甲丙二线上如一矩尺为己庚辛一矩尺为壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切于丁戊线之戊末又以壬癸子矩尺之一股切于甲丙线之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合则癸庚二角亦为直角而不离于所跨之线其二矩尺之壬辛二股亦使不离于所切之线末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三线即截丁乙线于癸截乙丙线于庚成乙癸乙庚二线即为原有之甲乙乙戊二线间之两率也何也如平分戊癸线于丑则丑为心戊为界成一戊庚癸半圜若平分甲庚线于寅则寅为心甲为界成一甲癸庚半圜今乙癸线为甲癸庚半圜径线上之垂线故乙癸为甲乙乙庚二线之中率而乙庚线为戊庚癸半圜径线上之垂线故乙庚又为癸乙乙戊二线之中率是以甲乙线与乙癸线之比同于乙癸线与乙庚线之比而乙癸线与乙庚线之比亦同于乙庚线与乙戊线之比因其比例相同故乙癸乙庚二线为甲乙乙戊二线间之两率也
　　第十一
　　有三角形依一界作等积之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形与原三角形积等则与乙丙平行作一甲丁线又与甲乙平行作一丁丙线即成一甲乙丙丁直角四界形于是平分甲乙线于戊平分丙丁线于巳作一戊巳线则平分甲乙丙丁四界形为两形此所分甲戊巳丁与戊乙丙已两直角四界形之积俱与甲乙丙三角形之积相等也葢甲乙丙三角形为甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁与戊乙丙已两四界形既俱为甲乙丙丁四界形之一半则必与甲乙丙三角形之积俱相等可知矣又如庚辛壬无直角之三角形依辛壬界作一直角四界形与原三角形积等则与辛壬平行作一庚癸线又自辛壬至庚癸线作子辛癸壬二垂线即成一子辛壬癸直角四界形于是平分子辛线于丑平分癸壬线于寅作一丑寅线则平分子辛壬癸四界形为两形其所分子丑寅癸与丑辛壬寅两直角四界形之积俱与庚辛壬三角形之积相等也试与庚辛线平行作一卯壬线即成庚辛壬卯一斜方形为与子辛壬癸方形同底同髙故其积必等【见三卷第八节】今庚辛壬三角形为庚辛壬卯形之一半则亦必为子辛壬癸方形之一半矣既为一半则所分子丑寅癸与丑辛壬寅直角四界形必与庚辛壬三角形之积相等可知矣
　　第十二
　　有一长方形作与此积相等之正方形法如有甲丙一长方形欲作与此长方形相等之正方形则将甲丙形之丙乙纵线合于甲乙横线照此卷第九节法求得甲乙丙乙二线之中率为丁乙线即以丁乙线为一边作一丁戊正方形即与甲丙长方形之积相等也何则大凡相连比例三率内中率所作之正方形积与首率末率所作之长方形积相等今丁乙线既为甲乙丙乙二线之中率则丁乙线所作之丁戊正方形积焉得不与甲乙丙乙二线相合所作之甲丙长方形之积相等乎
　　第十三
　　凡多界形作与本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形则自此形中心壬处至各角作众线又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半与各界平行置于对角各线之间为癸子子丑丑寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八线即成癸子丑寅卯辰巳午之形为原形每界减半之同式形也何也如对角线间所成之甲乙壬癸子壬大小两三角形之甲乙癸子线既平行而又同一壬角则其相当各角俱等而两形之式相同仿此推之其乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱为同式形此各相当大小两形既俱同式则所作癸子丑寅卯辰已午小形之各边为甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各边之一半而为同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形从甲角作线至各角取乙丙度之一半置于甲乙甲丙二线之间与乙丙平行如子丑照此于诸对角线间作诸界之平行线即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形为原形每界减半之同式形其理亦与前同若欲作比原形大防倍之形则以所作诸对角线按分引长而于本形外作诸界之平行线即成所欲作之大形也
　　第十四
　　作分厘尺法如甲戊尺三寸每寸欲分为百厘则将甲乙边平分作十分将戊巳边亦平分为十分对所分之分作诸横线与乙戊平行次将一寸之甲辛乙丙两边俱分为十分于甲辛边之第一分作斜线至乙丙边之乙处如此作十斜线俱与第一分斜线平行即分乙丙之一寸为一百厘也何也甲辛乙丙皆为一寸之度俱平分为十分矣若将每分又分为十厘即每寸亦得百厘然度狭线多必致相淆今作斜线横线各十其横斜相交处共有百分此百分即百厘也如第一斜线与第一横线相交之防即为一厘与第二横线相交之防即为二厘以至第十横线相交之防为十厘即甲辛边所分之第一分之十厘也一斜线有十厘则十斜线岂非百厘乎由此推之若作二十横线则一斜线得二十厘每寸即分为二百厘作百横线则一斜线得百厘每寸即分为千厘其法甚简而其用尤甚便也
　　第十五
　　凡有三角形知其一角之度及此一角之两傍界或知其二角之度及此二角之间一界或不知角度但知三界欲求其余角余界法如有一甲乙丙三角形知丙角为三十八度四十四分及丙角两傍之丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈而欲知其余角余界则依十一卷第八节法作与丙角相等之三十八度四十四分之丁角将丁角两傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳线成一丁戊巳小三角形与甲乙丙大三角形同式量其戊己边得九分即大形之甲乙边为九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁两三角形之式既同其相当各角各界必俱相等小形之丁角即与大形之丙角等其余两角亦必等小形之丁已边既以十三分当大形丙乙边之十三丈则小形戊巳边之九分必当大形甲乙边之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙角为七十六度三十九分丙角为三十八度四十四分及乙丙界长十三丈而欲知其余角余界则作己丁界为十三分照乙角丙角度作已角丁角于是画巳戊丁戊二界相交于戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必与甲角等而小形之丁戊界十四分与大形之甲丙界十四丈相当小形之戊己界九分与大形之甲乙界九丈相当矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角则照前将三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣
　　第十六
　　作分数比例测量仪器法以甲丙乙半圜界分为一百八十度每度作六十分将此半圜之丁甲丁乙丁丙三半径线照所容方界分截开分为一百分于每分上俱与三半径平行作纵横线于甲乙径线之甲乙两末作两定表以圜丁心为枢作一游表如丁巳将此游表亦如前所分一百分度作二百分复于此仪器后面作一垂线记号以挂坠线如庚即成一全仪器用以测髙深广逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲测其髙则将仪器按坠线立准看甲乙径线两末之定表与旗杆癸处相对乃为地平再将丁巳游表与旗杆顶尖辛处相对次量仪器中心所对处至旗杆癸处得防何如有四十丈则看仪器丁乙线上自丁心至子得四十分以当地平四十丈即视与子相对垂线至游表相交处有防何如丑子三十分即为旗杆自辛至癸相当数为三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣盖仪器上之丁子丑小三角形与所测得丁癸辛大三角形原为同式其相当各界之比例必俱相同故以丁子四十分与子丑三十分之比即同于丁癸四十丈与癸辛三十丈之比也若欲知丁辛线数即视游表自丁至丑相交之处得防何如有五十分其相当数即为五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度则视圜界与游表相交处如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其余巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛线原与子丑垂线平行为平行线故癸角必是直角而为九十度也
　　第十七
　　仿各种地形画图法如有甲乙丙丁地形欲画一图则选能见各地之二处立仪器为戊为巳将戊与巳对准定表先自戊以游表视庚辛壬癸等处得诸角之度皆细记之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以游表照前视庚辛壬癸等处得诸角之度亦细记之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度于是任意作一子丑线为戊己相当线于此子丑线之两末作诸角与所记诸角相等将所作诸角之各线俱引长使相交于寅卯辰巳等处乃以庚辛壬癸所有之诸地形并其余各处凡目之所见俱画于图之相当各界即成一午未申酉之图即甲乙丙丁地形之图也葢午未申酉图内所作寅子丑卯子丑类诸三角形之角度皆与甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳类诸三角形之角度相等而作故其相当各三角形俱为同式此所以全图与全地形为同式也
　　第十八
　　画地理图欲约为小图或欲广为大图法如有甲乙丙丁一地理图欲约为小图为原图四分之一则用甲乙丙丁形界之四分之一画一戊已庚辛形将甲乙丙丁原形任意分为数正方形而将小形亦分为数正方形视原图中所有山川城郭村墅林园函于大图之某正方分者约而画入小图某正方形内则此所画之戊巳庚辛小图即与原有甲乙丙丁大图为同式矣
　　第十九
　　作比例尺平分线法如此比例尺欲作平分线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线用本卷第五节法分之各平分为二百分即为比例尺之平分线也以用法明之如有丁戊一直线欲平分为十分则将比例尺一百分之己庚二防照丁戊线度展开勿令移动次取比例尺之第十分之辛壬二防相离之度即是丁戊线之十分之一分也何则自乙至丙作一线自己至庚作一线自辛至壬复作一线其甲乙丙三角形与甲己庚三角形为同式而甲己庚三角形又与甲辛壬三角形为同式是以所分甲己线与甲乙线之比同于己庚线与乙丙线之比而甲辛线与甲己线之比亦同于辛壬线与己庚线之比也然则十分之甲辛线既为百分之甲己线之十分之一其辛壬线亦必为己庚线之十分之一矣丁戊线原与己庚线同度则辛壬线亦为丁戊线之十分之一可知矣
　　第二十
　　作比例尺分圜线法如于比例尺欲作分圜线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线乃平分甲乙线于未以未为心以甲乙二末为界作一半圜于是分圜界为一百八十度复以甲为圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等处作各线又将诸线度移于尺之甲乙甲丙二线则此二线即成一圜之诸之总线也以用法明之如寅卯寅辰二线所合寅角欲知其度则以寅为心作一辰卯弧将比例尺六十度之丁未两防相距之度照寅辰或寅卯度展开勿令移动次取卯辰相距之度于比例尺上寻至八十度之申酉处恰符即是寅角为八十度也何则若自丁至未自申至酉作二线成甲申酉甲丁未两同式三角形其相当各角各界俱为相当比例之率故甲未线与甲酉线之比同于丁未线与申酉线之比也夫甲未线既为比例尺所作甲庚六十度之线而甲酉线又为甲辛八十度之线其丁未线既与小圜寅卯辐线等而辐线原与六十度之线等然则丁未线即小圜六十度之线而申酉线亦为小圜八十度之线也以此得知寅角之卯辰度为八十度也
　　第二十一
　　作比例尺分面线法如此比例尺欲作分面线则以甲枢心处至乙丙二末作甲乙甲丙二线自甲截甲丙线于丁照所截甲丁度于甲心作一甲戊垂线自戊至丁作一戊丁线又照戊丁线度自甲截甲丙线于已自戊至已作一戊已线又照戊已线度自甲截甲丙线于庚自戊至庚作一戊庚线又照戊庚线度自甲截甲丙线于辛自戊至辛作一戊辛线又照戊辛线度自甲截甲丙线于壬自戊至壬作一戊壬线照此累累截之至丙末又将甲丙线所截各度移置甲乙线即成比例尺之分面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二线因为相等度所作故卯丁辰戊二形必等再于戊甲丁直角相对之戊丁界所作之戊巳一方形亦必与直角两旁界所作卯丁辰戊二方形相等也【见九卷第四节】次于甲已界作未巳正方形甲己界原与戊丁等则甲已界所作未已方形即与戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既与戊巳方形等则必与卯丁辰戊二形相等而亦与卯丁之倍数相等矣夫甲巳界即大于卯丁形一倍为未巳形之一界也仿此论之则甲庚界即为比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即为比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形则将比例尺展开使其丁丑相距之度与癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何则自丁至丑自庚至寅作丁丑庚寅二线成甲丁丑甲庚寅同式两三角形则甲丁线与甲庚线之比即同于丁丑线与庚寅线之比也夫甲庚线所作方形原比甲丁线所作方形大二倍则庚寅线所作方形必比丁丑线所作方形亦大二倍矣丁丑之度原与子癸等则寅庚线岂非比子癸方形大二倍方形之一界乎
　　第二十二
　　作比例尺分体线法如于比例尺欲作分体线则以甲枢心之甲乙甲丙二线任作丁已一正方体取其戊己一界之度置于尺上自甲截甲乙线于庚次作比戊已界大一倍之辛壬线又于戊巳辛壬二线间照本卷第十节法作相连比例之癸子丑寅二率乃取癸子线度置于尺上仍自甲截甲乙线于辰则甲辰所作卯子正方体必比甲庚所作丁已正方体大一倍矣何则试将癸子线作卯子正方体则与丁己正方体为同式其二体相比之比例必同于戊已癸子二界所生连比例加二倍之比例今辛壬线既为戊巳相连比例之第四率则丁已卯子二体之比例必同于戊已辛壬二线之比例矣辛壬线既比戊己线大一倍则卯子体亦比丁已体大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未线仍照本卷第十节法作戊已巳未二线间相连比例之申酉戌亥二率乃取申酉线度置于尺上自甲截甲乙线于干则甲干所作午酉正方体即比甲庚所作丁巳体大二倍矣照此屡倍戊己界求相连比例之四线取其第二线度置于尺之甲乙线上又按甲乙线所截各度移置甲丙线即成比例尺之分体线也以用法明之如有一坎庚正方体欲作大二倍之体则将比例尺展开使其庚与庚【第一次所截之防】相距之度与艮庚界度等次取比例尺干与干【第三次所截之防】相距之度即是比坎庚正方体大二倍之正方体之一界度也何则自比例尺之庚干二处作庚庚干干二线即成甲庚庚甲干干同式两三角形则甲庚线与甲干线之比同于庚庚线与干干线之比例矣夫甲干线所作方体原大于甲庚线所作正方体之二倍则干干线所作正方体必大于庚庚线所作正方体之二倍可知矣又防法设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之成二百万厘立方开之得界一百二十五厘又以三因之成三百万厘立方开之得界一百四十四厘照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线与前求连比例之法无异也

　　御制数理精蕴上编卷四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴上编卷五
　　算法原本一
　　算法原本二

　　算法原本一
　　第一
　　一者数之原也众一相合而数繁焉不能无大小多寡之不齐而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其准若夫累积小数与大数等者此小数即度尽大数之准也【如大数有八小数有二四倍其二与八必等则二即为度尽八之准】苟累积小数不能与大数等者此小数即非度尽大数之准也【如大数有八小数有三二倍其三为六小于八矣二倍其三为九又大于八矣若此者即为非度尽大数之准】要之小数为大数之平分者即能度尽大数而小数非大数之平分者即不能度尽大数是故以小度大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟在得其平分之法而已
　　第二
　　数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶两整平分数是也何谓奇不能两整平分数是也如二四六八十之类平分之俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九十一之类平分之俱不能为整数斯谓之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶分则谓之偶分之偶数【如小偶数四分大偶数三十二得八平分是为偶分其三十二即为偶分之偶数】小偶数分大偶数得奇分则谓之奇分之偶数【如小偶数六分大偶数三十得五平分是为奇分其三十即为奇分之偶数】又如小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分之奇数矣【如小奇数五分大奇数十五得三平分是为奇分其十五即为奇分之奇数】
　　第三
　　乘者两数相因而成也葢有两数视此一数有几何彼一数有几何将此一数照彼一数加几倍则两数积而复成一数故谓之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏层累而得乘则一因即得此立法之精而理则实相通也如有六与十两数以十为主而加六次得六十以六为主而加十次亦得六十今以十为主而以六乘之或以六为主而以十乘之皆得六十其数无异而比加捷矣
　　第四
　　凡两数相乘为平方数如四与六相乘得二十四是也试将四六两数作防排之纵立四防为甲乙横列六防为甲丁将此六防累四次即成甲乙丙丁平方数矣又若相等两数相乘得数则为正方数如五与五乘得二十五是也苟将五数纵横各列五防或依纵数或依横数累五次即成戊已庚辛正方数矣第五
　　凡数之相乘可用线以表之然线虽无广分如依一线之长分广为小方面看此线所有方面若干将彼线所有方面加作几倍或看彼线所有方面若干将此线所有方面加作几倍则二线相积而成面矣设如有甲乙二线甲线之分为三乙线之分为四将此二线相乘则依甲线三分之一分作广分为甲丙依乙线四分之一分作广分为乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面为线之积以一线为横一线为纵纵横相因而成故测面者必于线知线即可以知面也
　　第六
　　凡二线彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也设有甲乙二线甲线为三分今将甲线依三分之一分作广分为三小方形并无余积而乙线照甲线分则为四分有零亦将乙线依甲线一分作广分则为四小方形而余戊一小形以所作甲丙为横乙丁为纵则成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃为二线相乘之总积也又如此类一线有零分者其余分在一边若二线俱有零分者则其余分亦在二边矣
　　第七
　　凡三数递乘为立方数如二与三相乘得六又以四乘之得二十四是也试将二三四之三数作防排之纵列二防为甲丁横列三防为甲乙将此三防累二次成丁乙平方数又直立四防为丙丁依丙丁数将丁乙平方数累四次即成丙乙立方数矣又若相等三数递乘得数则为正立方数如三与三乘得九再以三乘得二十七是也试将三数纵横各排三防平列三次成庚已平方数又直立三防将庚己平方数累三次即成戊已正立方数矣
　　第八
　　凡数之递乘为体可用面以表之葢面虽无厚分如依一面之积分广爲小方体看面所有积分得线之长分若干将面所有小方体加作几倍则线面因之而成体矣设如有甲乙面之分为四丙丁线之分为三将此面线相乘则依甲乙面四分之一作厚分为四小方体乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣葢体为面之积而面为线之积故线可以测面并可以测体也
　　第九
　　除者两数相较而分也葢视大数内有小数之几倍将大数照小数减几次则大数分而复为一小数故谓之相较而分然不用减而用除者何也葢减必递消其分除则一归而即得除之与减即犹乘之与加正相对待者也如有大数十二小数四若用十二以四减之三次而尽即知十二为四之三倍若用除法则三倍其四与十二较其数适等即知十二为四之三倍矣此除之与减理相通而用较捷也
　　第十
　　凡两数相乗之平方数以一数除之必得其又一数也设如甲乙五乙丙六两数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作防排之五防为横则纵排六次六防为横则纵排五次皆成方数故两数不等平方面知其一数或知两数相差之较始能得其两边线也又若正方数则其纵横皆同如戊己庚辛之正方数二十五其纵横皆五是巳故凡正方面有积数即可得其每边者葢因其纵横两边皆等故也
　　第十一
　　凡以线乘线即成面而以线除面亦复得线故数之乘者可用线以表之而除者亦可用线以表之也设如有甲乙丙丁一方面积一十二以甲乙线四分除之得乙丙线之三分或以乙丙线三分除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙丙二线作广分则甲乙线成四小方形乙丙线成三小方形若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙线葢除之与乘犹分合之相对以线合者仍以线而分返本还原之义有不爽矣
　　第十二
　　凡有零分不均二线相乘之方面以整分线除之必得零分线以零分线除之必得整分线也设如甲线三分乙线四分有零相乘成丁甲面若以甲线三分除之即得乙线四分有零或以乙线四分有零除之亦得甲线三分试将甲线作广分成三小方形为甲丙乙线作广分则成四小方形为乙丁余戊一小形若依甲丙线所有数以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁线或依乙丁线所有数以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙线矣此为二线一整一零相乘之总积故以整线除之得零以零线除之得整若二线俱有零分者彼此除之必俱得零分也
　　第十三
　　凡三数递乘之立方数以两数递除之始得其又一数也设如甲乙四乙丙二丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若以甲乙四除之得乙丁平方数六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作防排之二防为纵横排三次直累四次即成方体故三数不等立方体知其两数或知其三数相差之较始能得各边也又若正立方体其纵横厚度皆为一数即以一数递除二次则其原数自得如戊己正立方数二十七其纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积数即可得其每边者正为其纵横厚度皆等故也
　　第十四
　　凡以线除体即得面而以面除体亦复得线故线可以除面而面亦可以除体也设如有丙乙体积一十二以丙丁线三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁线之三分试将甲乙面作厚分则成四小方体若依丙丁线所有数以分丙乙体即每分得四小方体如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体即每分得三分如丙丁线葢体本以线面相乗而得故可以线面相除也
　　第十五
　　凡大数用小数可以度尽者此大数必为此小数之所积也然所谓小数可以度尽大数者复有几种有大数惟一数可以度尽者如四九二十五四十九之类惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大数用两数三数俱可以度尽者如八与十二之两数用二用四俱可以度尽八用二用三用四俱可以度尽十二是也有两大数或三大数用一小数俱可以度尽者如十二十六之两数或一十十五二十之三数用四可以度尽十二十六之两数用五可以度尽一十十五二十之三数是也又有一小数可以度尽几大数将此几大数相加为一总数此小数亦可以度尽此总数如四可以度尽十二十六两数若将十二十六相加为二十八则此四亦可以度尽此二十八也又或一小数可以度尽几大数将此大数不拘几分分之此小数可以度尽一分亦必可以度尽其余几分也如三可以度尽十五将十五分为六九两数此三可以度尽六亦必可以度尽九也又如六与九两数用三俱可以度尽若将六与九相乘得五十四此小数三仍可以度尽此五十四也凡此类者皆为彼此有度尽之数也
　　第十六
　　凡大数用小数不可以度尽者此大数必非此小数之所积也然用一以度之无不可以度尽者葢一为数之根诸数皆自一而积之故也所谓度不尽者亦复有几种有大数无小数可以度尽者如五七十一十三之类任用二用三用四俱不能度尽也有两大数或三大数用小数彼此不可以度尽者如十五与八之两数用二用四可以度尽八而不能度尽十五用三用五可以度尽十五而不能度尽八又如四六九之三数用二可以度尽四六而不能度尽九用三可以度尽六九而不能度尽四也又有彼此不能度尽之数或将一数自乘或将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽也如五与六之两数彼此不能度尽亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五或将六自乘为三十六则六仍不能度尽二十五而五仍不能度尽三十六即二十五亦不能度尽三十六也又如三七两数与二五两数俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一将二与五相乘得一十此一十与二十一之两数仍为彼此不能度尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽之数也
　　第十七
　　凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣
　　第十八
　　凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣
　　第十九
　　凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣
　　第二十
　　凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆仿此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣
　　第二十一
　　凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二
　　凡有两数彼此互乘所得之数与原数比例必同也葢数有多寡而分又有大小则纷纭难御故必依此数之分将彼数加为几倍又依彼数之分将此数加为几倍则两分数既同而比例亦同矣如甲乙二数甲为三分之二乙为四分之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加三倍为十二分之九依乙数将甲数加四倍为十二分之八如是则所加之两大分同为十二而所生之两小分相比即同于原甲数与乙数之相比矣何也甲数本三分之二而为十二分之八者乃加四倍之比例【十二为三之四倍八为二之四倍】而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙数本四分之三而为十二分之九者乃加三倍之比例【十二为四之三倍九为三之三倍】而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法如甲为三分之二者三即母数二即子数也乙为四分之三者四即母数三即子数也因两母数不同故用互乘以同之】
　　第二十三
　　凡子母分有几数而子数同为一者先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之则爲各子数也如甲乙丙三数甲为二分之一乙为三分之一丙为四分之一则先以三母数连乘得二十四为甲乙丙之共母数又以二除共母数得十二为甲之子数以三除共母数得八为乙之子数以四除共母数得六为丙之子数葢甲本二分之一子母各加十二倍即为二十四分之十二而二十四与十二之比例仍同于二与一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即为二十四分之八而二十四与八之比例仍同于三与一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即为二十四分之六而二十四与六之比例仍同于四与一之比例也
　　第二十四
　　凡子母分有几数而子母数俱不等者亦先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之得数复以各子数乘之即为各子数也如有甲乙丙三数甲为三分之二乙为四分之三丙为五分之四则先以三母数连乘得六十为甲乙丙之共母数次以三除共母数得二十以乘子数二得四十为甲之子数又以四除共母数得十五以乘子数三得四十五为乙之子数又以五除共母数得十二以乘子数四得四十八为丙之子数葢甲本三分之二子母各加二十倍即为六十分之四十而六十与四十之比例仍同于三与二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即为六十分之四十五而六十与四十五之比例仍同于四与三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即为六十分之四十八而六十与四十八之比例仍同于五与四之比例也

　　算法原本二
　　第一
　　凡有几小数与几大数相比其比例若同则小数相加所得之总数与大数相加所得之总数相比仍同于原数之比例也设如有一小数六一小数四一大数十八一大数十二其小数六为大数十八之三分之一而小数四亦为大数十二之三分之一将两小数六四相加得一十将两大数十八十二相加得三十此一十与三十之比即如六与十八四与十二之比皆为三分之一之比例也又如三小数二三四与三大数六九十二相比皆为三分之一将二三四相加得九将六九十二相加得二十七其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相加其总数之比例亦皆同如三与十二四与十六五与二十六与二十四俱为四分之一将三四五六四小数相加得十八将十二十六二十二十四四大数相加得七十二其比例仍为四分之一矣
　　第二
　　凡有几小数与几大数之比例若同则小数相减所得之余数与大数相减所得之余数相比仍同于原数之比例也设如有一小数十一小数六一大数三十一大数十八其小数十为大数三十之三分之一而小数六亦为大数十八之三分之一将两小数十与六相减余四将两大数三十与十八相减余十二此四与十二之比即如十与三十六与十八之比皆为三分之一之比例也又如三小数八四三与三大数二十四十二九相比皆为三分之一将四三与八递相减余一将十二九与二十四递相减余三其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相减其余数之比例亦皆同如十八与七十二为四分之一而三与十二四与十六五与二十俱为四分之一将小数三四五与十八递相减余六将大数十二十六二十与七十二递相减余二十四其比例仍为四分之一矣
　　第三
　　凡有一数乘两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数六与八与一十两数相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八与六十相比即同于原数八与一十之相比矣夫八与四十八一十与六十皆为六分之一故一与六之比同于八与四十八之比而一与六之比亦同于十与六十之比也然则八与四十八之比例必同于十与六十之比例而四十八与六十之比例亦必同于八与一十之比例可知矣
　　第四
　　凡有一数除两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数三除十二与十五之两数以三除十二得四以三除十五得五则此四与五相比即同于原数十二与十五之相比矣夫十二与四十五与五皆为三分之一故一与三之比同于四与十二之比而一与三之比亦同于五与十五之比也然则四与十二之比例必同于五与十五之比例而四与五之比例亦必同于十二与十五之比例可知矣
　　第五
　　凡相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数等者何也葢两方面以其纵横界互相为比之比例若等则两方积必等【见几何原本七卷第三节】今以第一数与第四数相乘即如以第一数为纵第四数为横成一方数而第二数与第二数相乘即如以第二数为纵第三数为横成一方数其积必相等也设如有二与六三与九相当比例四数将第一数二为纵第四数九为横相乘得十八为甲丙一方数将第二数六为纵第三数三为横相乘亦得十八为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之二其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数相等无疑矣
　　第六
　　凡相连比例三数其首数与末数相乘与中一数自乘所得之数等者何也葢两方面相等者其纵横界之互相比例必等【见几何原本七卷第三节】今将首数与末数相乘即如以首数为纵末数为横成一方数而中数自乘即是以中数为纵复以中数为横成一方数其积必相等也设如有四六九相连比例三数将首数四为纵末数九为横相乘得三十六为甲丙一方数将中数六为纵仍复为横相乘即是自乘亦得三十六为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之一其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相连比例三数其首末两数相乘与中数自乘所得之数相等无疑矣
　　第七
　　凡有两数除一数其所得两数之比例即同于原两数之转相比例也设如有一数十八以二三两数除之二除十八得九三除十八得六以此九与六两数相比即同于原两数三与二之相比也葢二与三六与九为相当比例之四数以第一数二与第四数九相乘第二数三与第三数六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一数除第二数与第三数相乘之数而得第四数也以三除十八得六即如以第二数除第一数与第四数相乘之数而得第三数也夫相当比例数其第二数与第四数之比原同于第一数与第三数之比故第一数二除十八所得之九与第二数三除十八所得之六相比即同于第二数三与第一数二之相比也
　　第八
　　凡有两数除一数其所得之两数内有一数与原两数内一数相等者则所得之两数与原两数互转相比即成相连比例之数也设如有一数三十六以四六两数除之四除三十六得九六除三十六仍得六与原数六相等则此九与六两数之比即同于原数六与四之比也葢四与六六与九为相连比例之四数以四为首数九为末数相乗以六为中数自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首数除中数自乘之数而得末数也以六除三十六复得六即如以中数除首末两数相乘之数而仍得中数也夫相连比例数其末数与中数之比原同于中数与首数之比则首数四除三十六所得九与中数六除三十六所得六相比即同于中数六与首数四之相比也
　　第九
　　凡相当比例四数其第一数度尽第二数则第三数亦必度尽第四数也如有二六三九相当比例四数其第一数二可以度尽第二数六则第三数三亦可以度尽第四数九矣夫相当比例四数第一与第二之比必同于第三与第四之比今第一为二第二为六乃加三倍之比例则第四与第三亦必为加三倍之比例故三倍其二可以度尽六者三倍其三即可以度尽九也
　　第十
　　凡相连比例三数其第一数度尽第二数亦必度尽第三数也如有二四八相连比例三数其第一数二可以度尽第二数四亦必可以度尽第三数八矣夫相连比例三数第一与第二之比同于第二与第三之比今第一数为二第二数为四乃加倍之比例则第二与第三亦必为加倍之比例而第一与第三则为再加一倍之比例故一倍其二可以度尽四者再倍其二即可以度尽八也第十一
　　凡依次递加取四数其第一第四两数相加与第二第三两数相加之数等也如一二三四递加之四数将第一数一与第四数四相加得五以第二数二与第三数三相加亦得五又如一三五七递加之四数【一三五七为隔一数以递加者也】将第一数一与第四数七相加得八以第二数三与第三数五相加亦得八也又如二五八十一递加之四数【二五八十一为隔二数以递加者也】将第一数一与第四数十一相加得十三以第二数五与第三数八相加亦得十三由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取四数无有不如此也
　　第十二
　　凡依次递加取三数其首末两数相加与中数加倍之数等也如二三四递加之三数将首末二四相加得六以中数三倍之亦得六又如二四六递加之三数【二四六隔一数以递加者也】将首末二六相加得八以中数四倍之亦得八也又如三六九递加之三数【三六九隔二数以递加者也】将首末三九相加得十二以中数六倍之亦得十二由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取三数无有不合者也
　　第十三
　　凡依次递加三数以第二第三两数相加减去第一数即得挨次之第四数也如二三四之三数以第二数三第三数四相加得七内减去第一数二得五即是第四数又如二四六隔一数递加之三数以第二数四第三数六相加得一十内减去第一数二得八即是第四数亦为隔一数又如三六九隔二数递加之三数以第二数六第三数九相加得十五内减去第一数三得十二即是第四数亦为隔二数矣葢此即四率相当比例之理四率中两率相乘与首末两率相乘之数等故中两率相乘以首率除之即得末率而此则中两数相加与首末两数相加之数等故以首一数减之即得末一数其义一也
　　第十四
　　凡依次递加两数以第二数倍之减去第一数即得挨次之第三数也如二三两数将第二数三倍之得六内减去第一数二余四即是第三数又如二四隔一数之两数将第二数四倍之得八内减去第一数二余六即是第三数四与六亦为隔一数也又如三六隔二数之两数将第二数六倍之得十二内减去第一数三余九即是第三数九与六亦为隔二数也葢此即三率相连比例之理三率以中率自乘与首末两率相乘之数等故中率自乘以首率除之即得末率而此则中数倍之与首末两数相加之数等故以首数减之即得末数于此见加减乘除之相对待而加减可以代乘除之理亦可从此推矣
　　第十五
　　凡有彼此可以度尽两数欲求相连比例之数则以一数自乘以一数除之即得相连比例之第三数也如有四八两数欲求第三数如四与八之相连比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即为四与八相连比例之第三数葢八者四之二倍而十六又为八之二倍则八与十六之比例必同于四与八之比例矣如有三数求第四数仍如四与八之比例则以第三数十六自乗得二百五十六以第二数八除之得三十二即为四八十六相连比例之第四数葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍则十六与三十二之比例必同于四与八八与十六之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数即以相近两数依前法算之由此递生可至于无穷焉然此皆四与八之比例或四与十六或三与六五与十之类凡有彼此度尽之数欲求相连比例几数者亦皆如此求之无不可得矣
　　第十六
　　凡有彼此不可以度尽之两数欲依此两数比例求相连比例之数则以一数自乘为第一率而以又一数自乘为第三率以两数互乘为第二率即为相连比例之三数也如有三五两数欲求相连比例三数皆如三与五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三与五相乘得十五此九与十五十五与二十五之三数即如三与五之相连比例三数葢九为三之三倍而十五为五之三倍则九与十五为三与五之比例矣而十五为三之五倍二十五为五之五倍则十五与二十五亦为三与五之比例矣又或已有三数欲求第四数皆如三与五之连比例则以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五复以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六数内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四数即如三与五之相连比例数也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍则二十七与四十五之比例同于三与五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍则四十五与七十五之比例同于三与五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍则七十五与一百二十五之比例亦同于三与五之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数以原一数递乘先得之几数复以又一数递乘先得之几数去其相同者所余即成相连比例之数由此求之亦可至于无穷也然此皆三与五之比例或三与七四与九五与八之类凡彼此不可以度尽之数欲求相连比例几数者亦皆仿此求之而即得矣
　　第十七
　　凡相当比例四数其前两数之间有相连比例二数其后两数之间亦必有相连比例二数也设如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相当比例之四数甲数二十四与乙数八十一之间有戊三十六己五十四之相连比例两数则丙数三十二与丁数一百零八之间亦必有庚四十八辛七十二之相连比例两数也试将甲戊己乙四数求其相当比例之至小数则得壬八癸十二子十八丑二十七之四数其甲与乙之比即同于壬与丑之比而丙与丁之比原同于甲与乙之比则丙与丁之比亦必同于壬与丑之比矣其比例既同则壬可以度尽丙丑亦可以度尽丁而癸与子亦必可以度尽庚与辛【壬癸子丑各四倍之即与丙庚辛丁等是四次可以度尽也】是丙庚辛丁四数之比皆与壬癸子丑四数之比相同也夫壬癸子丑原为甲戊己乙连比例相当之小数今丙庚辛丁之比既与之相同则丙庚辛丁亦为相连比例之四数矣既俱为相连比例数则戊己为甲乙两数间之连比例数庚辛为丙丁两数间之连比例数无疑矣
　　第十八
　　凡相连比例三数其第一数与第二数之间有相连比例一数则第二数与第三数之间亦必有相连比例一数也设如有甲二乙十八丙一百六十二相连比例之三数其甲数二与乙数十八之间有相连比例之丁数六则乙数十八与丙数一百六十二之间亦必有相连比例之戊数五十四也葢甲与乙之比同于乙与丙之比今丁六为甲二之三倍戊五十四亦为乙十八之三倍则甲与丁之比同于乙与戊之比而丁六为乙十八之三分之一戊五十四亦为丙一百六十二之三分之一则丁与乙之比亦同于戊与丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙为相连比例之五数而丁戊两数为甲与乙乙与丙三数间之相连比例数可知矣
　　第十九
　　凡相连比例三数其首数与末数有用一数可以度尽者有用一数不可以度尽者如四八十六相连比例之三数其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也如四六九相连比例之三数其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也然此两种相连比例虽有度尽度不尽之分因其首数与中数之比同于中数与末数之比故总谓之相连比例之数焉葢末数可用首数平分即为有度尽之连比例数末数不可用首数平分即为无度尽之连比例数也且首末两数彼此有一数可以度尽者此三数非相当比例之至小数若首末两数彼此无一数可以度尽者此三数即为相当比例之至小数也如四八十六之三数其首末两数为彼此有一数可以度尽之数而中数亦必为此一数可以度尽之数试用二以度之则得二四八之连比例三数或用四以度之则得一二四之连比例三数皆与四八十六之比例相同而比四八十六之数为小故四八十六非相当比例之至小数也如四六九之三数其首末两数为彼此无一数可以度尽之数故中数亦为无一数可以度尽之数既无一数可以彼此度尽则为相当比例数内之至小数也明矣
　　第二十
　　凡同式两平方数其间必有相连比例一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式两平方数此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二相因得六甲丁三与戊己四相因得十二则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣又戊己四与甲丁三相因得十二戊辛六与戊己四相因得二十四则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣又若两正方数之间亦必有相连比例之一数也如有甲四丙九两正方数此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉葢两正方数其式既同故必有相连比例一数且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例【见几何原本七卷第五节】今甲方边为二丙方边为三求其与二三相当连比例之第三数则以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四与六六与九之三数即为与二三相当之连比例数而其首数四与末数九既与甲丙两方数等则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣
　　第二十一
　　凡同式两平方数相乘得数为正方数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四为同式两平方数相乘得一百四十四即为正方数矣葢同式两平方数之间原有相连比例一数今此六与二十四之间必有十二之一数且连比例三率以首末两率相乘与中率自乘之数等则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四即为中率十二自乘之数矣又若两正方数相乘得数亦仍为正方数其方根即原两方根相乘之数也如有甲四丙九两正方数此两数相乘得三十六仍为正方数其方根为六亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也葢此两方数俱为正方即为同式两平方数矣因其式同故相乘亦仍得正方数也凡数有先各自乘而后相乘者有先相乘而后自乘者其理无异故其得数皆等今以二自乘得四以三自乘得九复以四九相乘得三十六此先各自乘而后相乘也以二与三相乘得六复以六自乘得三十六此先相乘而后自乘也且四与九积也积与积乘仍得积二与三根也根与根乘仍得根此亦理之必然者也
　　第二十二
　　凡两正立方数之间必有相连比例之两数也如有甲八丁二十七两正立方数此八与二十七之间必有乙十二丙十八为相连比例之两数焉葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例【见几何原本十卷第四节】今甲方边为二丁方边为三求其与二三相当连比例之第三第四数则以二自乘得四以三自乘得九以二与三相乘得六此四六九为连比例三数又以二递乘此四六九三数得八十二十八之三连比例数复以三递乘四六九三数得十二十八二十七之三连比例数除相同者不计其二十七即连比例之第四数则八与十二十二与十八十八与二十七皆为与二三相当之连比例数而其首数八与末数二十七既与甲丁两立方数等则其中数之十二十八为甲丁两立方数间连比例之两数可知矣
　　第二十三
　　凡两正立方数相乘得数仍为正方数而其方根即原两立方根相乘之数也如有甲八丁二十七两正立方数此两数相乘得二百一十六仍为正立方数而其方根为六亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也葢此两立方数俱为正方即为同式两立方数矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡数有先自乘再乘而后以所得之数相乘者有先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘者其得数皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七复以八与二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也以二与三相乘得六复以六自乘再乘亦得二百一十六此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也且八与二十七积也以积乘积仍得积二与三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四
　　凡两平方数若一边相等则此两平方之比例同于其不等边之比例也如有甲丙戊庚两平方数其甲丙平方之甲乙边为四而戊庚平方之戊已边亦为四甲丙平方之乙丙边为六而戊庚平方之己庚边为八则此两平方数二十四与三十二之比即同于其不等边六与八之比也葢甲乙平方数二十四者四之六倍而戊庚平方数三十二者四之八倍也然则二十四与三十二之比即同于六与八之比矣二十四与三十二之比既同于六与八之比则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣
　　第二十五
　　凡两立方数其底积相等则此两立方之比例同于其髙之比例也如有甲乙丙丁两立方数其甲乙立方之戊乙底为六而丙丁立方之己丁底亦为六甲乙立方之甲戊髙为四而丙丁立方之丙己髙为五则此两立方数二十四与三十之比即同于其两立方之高四与五之比也葢甲乙立方数二十四者六之四倍而丙丁立方数三十者六之五倍也然则二十四与三十之比即同于四与五之比矣二十四与三十之比既同于四与五之比则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣
　　第二十六
　　凡两线两面两体用一度【如尺寸之属】可以度尽者此类之线面体皆为有整分可以度尽者也设如有甲乙两线甲线分为五分乙线如甲线度分之得七分无余则此二线即为一度彼此可以度尽者矣若将此二线各为正方面各为正方体则其两面两体亦皆为整分彼此可以度尽者也至如两线两面两体不可以一度度尽者此类之线面体皆为无整分可以度尽者也如丙丁戊己方面其丙丁边线为五分而丙戊对角线则为七分有余乃为彼此无度尽之数矣葢以丙丁边之五分为度则丙戊线得七分有余或将丙戊线为七分整而以其分为度则丙丁线得五分不足凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也
　　第二十七
　　凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者葢以本方积与对角线所成方积比之必有一数非正方数也夫对角线自乘所作之方数为本方积之二倍如本方积一则对角线所作之方为二本方积四则对角线所作之方为八此一与二四与八之间无相连比例之整数故一为正方数则二非正方数四为正方数而八亦非正方数二与八既非正方数则边必有零余而不能尽矣或对角线所作方积为四则本方积为二对角线所作方积为十六则本方积为八此四与二十六与八之间亦无相连比例之整数故四为正方数而二非正方数十六为正方数而八又非正方数然则对角线所作方积固为正方数而本方积复不能成正方数其边必有零余而不能尽矣故凡正方边线与对角线断无一度可以彼此度尽之理也
　　第二十八
　　凡正方面与平圆面同径者其积之比例同于其周围边线之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圆面其戊壬庚之径相等则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也何以见之以正方面之壬庚半径为髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底作一子甲直角长形方则此长方形之积比正方形之积必大一倍又以壬庚半径为髙庚己己戊戊辛辛庚全周为底作一壬庚直角长方形则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍凡直角三角形之小边与圆形之半径等而三角形之大边与圆形之全周等者三角形之积与圆形之积等也今此长方形与三角形同底同髙其积比三角形必大一倍然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙则一边数等一边相等则其积之比例必同于其不等边之比例而全与全之比例原同于半与半之比例故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圆周然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎
　　第二十九
　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而一有余一不足者其一多一少之数相并以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数五度之多一数用小数六度之又少四数则以多一与少四相加得五以六与五两小数相减余一为较数除之仍得五即知两小数各度五次也试排防以明之其甲乙五即小数五丙丁六即小数六以甲乙五累五次则为甲乙己丙正方二十五多一为丁以丙丁六累五次则为甲戊丁丙长方三十少四为戊庚于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六是知大数有二十六用此五六两小数各度五次之分也以丁一与戊庚四相加为丁戊五以小数甲乙五与丙丁六相减余一以一除丁戊五仍得五与甲丙相等故甲丙为庚大数二十六之五次数也若以比例言之其小数五与六相减所余一者乃度一次之较而一多一少相并之戊丁五者又为度五次之较故以所余一与度一次之比即同于戊丁五与度五次之比其比例既同故其数亦相等也
　　第三十
　　凡有不知之一大数用两小数度之不尽而俱有余或俱不足者其两有余或两不足之数俱相减以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数六度之多五数用小数七度之仍多一数则以两多数相减余四以六与七两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也试排防以明之其甲乙六即小数六丙丁七即小数七以甲乙六累四次则为甲乙庚丙方二十四多五为戊丁己以丙丁七累四次则为甲戊丁丙方二十八多一为己于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九于甲戊丁丙方二十八加入多数己一亦得二十九是知大数有二十九用此六七两小数各度四次之分也以己一与戊丁己五相减余戊丁四以小数甲乙六与丙丁七相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙相等故甲丙为度大数二十九之四次数也若以比例言之其两小数相减所余之一乃度一次之较两多数相减所余之戊丁四乃度四次之较故以一与度一次之比即同于戊丁四与度四次之比也又如有不知之一大数用小数八度之少二数用小数九度之少六数则以两少数相减余四以八与九两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也今作防排之其甲乙八即小数八丙丁九即小数九以甲乙八累四次则为甲乙己丙方三十二内少二数为乙庚以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六丙少六数为乙庚丁戊于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二为三十于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦为三十是知大数有三十用此八九两小数各度四次之分也以乙庚二与乙庚丁戊六相减余戊丁四以小数甲乙八与丙丁九相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙为相等故甲丙为度大数三十之四次数也其比例亦以两小数相减所余之较比度一次之分即同于两少数相减所余之较比度几次之分也复有不知之一大数用两小数度之一小数度之而尽一小数度之而不尽【或有余或不足】即以不尽之数【或有余之数或不足之数】用两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何其理皆相同也
　　第三十一
　　凡数自少至多递加之而各有定率者谓之平加比例数也夫平加之数有毎次递加一者为挨次递加之数如一二三四之类是也有每次递加二者为超位平加之数如一三五七之类是也【或递加三或递加四或递加五六皆是一理】有每次増一加者为按位相加之数如一三六十之类其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者为按位自乘之数如一四九十六之类其第二次加三第三次加五第四次加七是也复有一种倍加者为挨次倍加之数如一二四八之类每次皆加二倍又如一三九二十七之类每次皆加三倍是也递加之数虽多按其条理求之大抵不出此数端今各列数分析于后
　　第三十二
　　凡挨次递加之数将首数与末数相加以位数乘之所得之数折半即为总数也如一二三四五六七八九之九数其毎次所加之数为一将首数一与末数九相加得十以位数九乘之得九十折半得四十五即是此九数之总数也何也夫挨次递加之数为等边三角平面形而两数相乘即成四方形今以位数九为髙末数九为底相乘所得之正方形其数八十一较之总数则多较之总数加倍之数又少此所少即一行之数爰知位数与底数相乘所得之数比总数加倍之数少一行之数矣既知挨次递加之数为三角形而位数与底数相乘之数为正方形又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数则合两三角形之数适当总积加一倍之方数矣两三角形所合其底数必比高数大一数故末数九为底数者加首数一与髙相乘始成两三角形所合之一方形焉试将此九数作防排之自上而下上一下九作为直角三角形复将此九数另作一直角三角形合于原三角形之侧则成一长方形其高即位数其底即末数与首数相加之数其积即为总数加一倍之数也然则首数末数相加与位数相乘为总数之倍数可知矣又如四五六七八九之六数欲知其总数亦以首数四与末数九相加得十三为底以位数六乘之得七十八为长方形折半得三十九为总数其理与前同若但知首数为四末数为九不知位数则视首数四以上至一虚几位今虚三位故以三与末数九相减余六即位数也何也凡自一递加之数其末数即位数今首数为四计自一是少三位矣故用三即为所少之位数于末数内减去所少之位即为今之所有之位数也第三十三
　　凡超位平加之数亦将首数与末数相加以位数乘之得数折半为总数也如一三五七九十一之六数【每次皆加二数】将首数一与末数十一相加得十二以位数六乘之得七十二折半得三十六为此六位之总数也葢此超位平加之数与挨次平加之理无异其以首末两数相加与位数相乘者总欲得此总数之倍数以便折半取之也试将此六位之数作六层排之上一下十一以首末数相加得十二而以位数乘之则六层皆为十二矣上层本首数一加末数十一而成十二下层本末数十一加首数一而成十二是首数末数俱加倍矣二层本第二数三加第五数九而成十二五层本第五数九加第二数三而成十二是第二数第五数俱加倍矣三层本第三数五加第四数七而成十二四层本第四数七加第三数五而成十二是第三数第四数亦俱加倍矣其每位之数皆倍则相乘所得之数岂非此总数之倍数乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之类凡系超位平加之数其理无不相同也
　　第三十四
　　凡毎次按位相加之数将位数加二与末数相乘取其三分之一即为总数也如一三六一十十五之五数其每次皆按位加之【如第二位于第一位一上加二为三第三位于第二位三上加三为六是也】将位数五加二与末数十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五数之总数也如或止有位数或止有每一边数求总数则以位数加一与位数相乘得数复以位数加二乘之取其六分之一即得总数也【若止有每一边数即以每一边数加一与每边数相乘得数复以边数加二乘之取其六分之一得数亦同】葢毎次按位相加之数层叠排之其式成等边三角体其末一数即三角体底面数而位数即毎一边之数今以位数加二为髙末数为底相乘即成平行面之三棱体凡同底同髙之平行面体为尖体之三倍则此平行面三棱体内必有等边三角体之三倍故以三除之即得也然必以位数加二为髙者何也以三三角体相凑乃成上下相等之平行面体其髙必比原有之位数多二层【两三角面相合比原位数多一层今三三角体相合故必比原位数多二层也】如止以位数为高即少二层之数而不足三三角体之分故必以位数加二乘之也其止有位数或每一边数求总数以位数加一与位数相乘复以位数加二乘之而用六除者何也葢位数即底面之每边数而底面又为等边之三角面今以边数加一与边数相乘成长方面为三角体底面之倍数即如前挨次递加数之两三角面相合所成之长方形也凡等髙之体底数倍者积数亦倍彼以位数加二乘三角体之底所成之平行面三棱体既为等边三角体之三倍矣今以位数加二乘三角体之倍底所成之平行面长方体又必为等边三角体之六倍矣【以两三棱体相合即成长方体一三棱体为三角体之三倍则两三棱体必为三角体之六倍矣】故以六除平行面长方体之数而得等边三角体之数也又或但知首数末数而不知位数则以末数倍之用一为较数开纵平方即得位数焉葢末数倍之者即两三角面所合之长方也其阔即三角每边数其长比阔多一数故用一为较开带纵平方则得三角毎边之数既得每边数即得位数矣
　　第三十五
　　凡每次按位自乘相加之数将位数折半与末数相加复以位数加一乘之取其三分之一即为总数也如一四九十六二十五之五数其每位之数皆按位自乘之数【如第二位之四即二自乘数第三位之九即三自乘数也】将位数五折半为两个半与末数二十五相加得二十七个半复以位数五加一为六乘之得一百六十五以三除之得五十五即为此五数之总数也如止有位数或止有每一边数求总数则以位数加半个与位数相乘得数复以位数加一乘之取其三分之一即得总数也【若只有每一边数即以每一边数加半个与每一边数相乘得数复以每边数加一乘之取其三分之一得数亦同】葢按位自乘相加之数层叠排之其式成方底四角尖体其末一数即四角尖体底面数而位数即毎一边之数今以位数折半与末数相加则成长方面为底再以位数加一为髙乘之即成平行面之长方体凡同底同髙之平行靣体为尖体之三倍则此平行面长方体内必有四角尖体之三倍故以三除之即得也然必以位数折半与末数相加为底复以位数加一为髙者何也葢三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底比正方面必多半行其髙必比原有之位数多一层【三等边三角体相合比三角体原位数多二层今三方底四角尖体相合比原位数止多一层葢因方底比三角底式大一倍故四角体髙比三角体髙所加之数减一半也】如止以末数为底则底必少半行之数止以位数为髙则髙复少一层之数必不足三四角尖体之分故以末数加位数之半而以位数加一乘之适足三四角尖体之分也其止有位数或每一边求总数以位数加半个与位数相乘复以位数加一乘之而用三除之者何也葢位数即底靣之毎边数而底面又为正方面今以边数加半个与边数相乘成长方面比正方止多半行之分其理即如求三角体总数以边数加一与边数相乘为三角体底之倍数也以位数加一与底面相乘成长方体比方底四角尖体大三倍即如求三角体总数以位数加二与倍底相乘为三角体之六倍也彼三角体底倍之为长方此四角体底数加半行即为长方彼三角体总数六倍爲同边长方体此四角体总数三倍为同边长方体故三角体以边数加一与边数相乘者今四角体以边数加半与边数相乘而三角体以位数加二为髙与倍底相乘者今四角体以位数加一与本底加半行相乘总之四角体底式比三角体底式大一倍故立法时三角体加数几何而此四角体皆用其半也又或但知首数末数而不知位数则以末数开平方即得位数焉葢末数本为正方数故开方即得毎边数既得毎边数则得位数矣
　　第三十六
　　凡每次倍加之数将末数与加倍之数相乘减去首数复以所加之分数除之即得总数也如二四八十六四数为毎次以二倍之之数欲求其总数则以末数十六用二乘之【因以二倍之故用二乘】得三十二减去首数二为三十复以其所加分数一除之仍得三十即此四数之总数也葢以二加倍之数其末一数比前几位之总数止多一首数故二乘末数则比末数多一分仍多一首数故减去首数二而以一除之即得总数也又如三九二十七八十一四数为毎次以三倍之之数欲求其总数则以末数八十一用三乘之【以三倍之故用三】得二百四十二减去首数三为二百四十复以其所加分数二除之得一百二十即为此四数之总数也葢以三加倍之数其末一数为前几数之倍数而仍多一首数今三乘末数则比末数多二分仍多一首数【三乘末数八十一则为八十一者有三除本数八十一仍为多二分也】故必减去首数三而以二除之即得总数也又如四十六六十四二百五十六四数为毎次以四倍之之数欲求总数则以末数二百五十六用四乘之【以四倍之故用四】得一千零二十四减去首数四为一千零二十复以其所加分数三除之得三百四十为此四数之总数也葢以四加倍之数其末一数为前几数之三倍而仍多一首数今四乘末数则比末数多三分仍多一首数【四乘末数二百五十六则为二百五十六者有四除本数二百五十六仍为多三分也】故必减去首数四而以三除之即得总数也凡此倍加之数不论加倍几何皆为相连比例之数故其比例皆同如递加二倍之数其四与八之比同于二与四之比即八与十六之比亦皆同于二与四之比也又如递加三倍之数其九与二十七之比同于三与九之比即二十七与八十一之比亦皆同于三与九之比也即递加四倍之数其十六与六十四之比同于四与十六之比即六十四与二百五十六之比亦皆同于一与四之比也总之以二倍加者皆一与二之连比例以三倍加者皆一与三之连比例以四倍加
　　者皆一与四之连比例即推之以五倍
　　加六倍加者其理亦无不相同也

　　御制数理精蕴上编卷五
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷一
　　首部一
　　度量权衡
　　命位
　　加法
　　减法
　　因乘
　　归除

　　度量权衡
　　虞书同律度量衡葢度量衡皆本于律而律为万事之本也汉志曰度者分寸尺丈引所以度长短也本起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起于黄钟之龠以子谷秬黍中者千二百实其龠合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣权者铢两斤钧石所以权轻重也本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢两之为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣通考曰律度量衡并因秬黍散为诸法其率可通外此则代不一名度之异名者如左传注方丈曰堵三堵曰雉【长三丈高一丈】易纬通卦验十马尾为一分孙子算术曰蚕所吐丝为忽十忽为丝十丝为豪十豪为厘十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈小尔雅曰跬一举足也倍跬谓之步四尺谓之仞倍仞谓之防倍防谓之常五尺谓之墨倍墨谓之丈倍丈谓之端倍端谓之两倍两谓之疋疋百谓之束孔安国又以八尺为仞説文曰人手却十分动脉为寸口十寸为尺周制寸咫尺防常仞皆以人体为法又曰妇人手八寸谓之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸为尺十尺为丈人长八尺故曰丈夫量之异名者如左传齐旧四量豆区鬴钟四升曰豆各自其四以登于鬴【六斗四升】鬴十则钟【六十四斗】论语注十六斗曰庾十六斛曰秉孙子算术曰六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮为勺十勺为合汉应劭又以四圭为撮孟康以六十四黍为圭小尔雅一手之盛谓之溢两手谓之掬掬四谓之豆豆四谓之区区四谓之釡釜二有半谓之薮薮二有半谓之缶缶二谓之钟钟二谓之秉秉十六斛衡之异名者如汉志注应劭曰十黍为累十累为铢小尔雅二十四铢曰两两有半曰防倍防曰举倍举曰锊锊谓之锾二锾四两谓之斤斤十谓之衡衡有半谓之秤秤二谓之钧钧四谓之石石四谓之鼔通考唐刘承珪以忽万为分丝则千豪则百厘则十转以十倍倍之则为一钱黍以二千四百枚为一两累以二百四十铢以二十四是则度量衡之名不一故其为制不同而纷杂难用然时易世殊古今沿革有必不可比而同者故入算之际不过取其大同者以审不齐之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定于两大之而递进扵无穷小之而递析于不可测爰悉其名目扵左以为数学之所资焉
　　度法丈以下曰尺【十寸】寸【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽【十微】微【十纤】纤【十沙】沙【十尘】尘【十埃】埃【十渺】【十漠】漠【以下皆以十析】糢糊逡巡须臾瞬息弹指刹那六徳虚空清浄
　　量法石以下曰斗【十升】升【十合】合【十勺】勺【十撮】撮【十抄】抄【十圭】圭【六粟】粟
　　衡法两以下曰钱【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽以下并与度法同
　　凡度量衡自单位以上则曰十百千万亿兆京垓秭穰沟涧正载极恒河沙阿僧秪那由他不可思议无量数
　　自亿以上有以十进者如十万曰亿十亿曰兆之类有以万进者如万万曰亿万亿曰兆之类有以自乘之数进者如万万曰亿亿亿曰兆之类今立法从中数
　　厯法则曰宫【三十度】度【六十分】分【六十秒】秒【六十微】微【六十纤】纤【六十忽】忽【六十芒】芒【六十尘】尘
　　又有日【十二时又为二十四小时】时【八刻又以小时为四刻】刻【十五分】分以下与前同
　　田法则曰顷【百亩】亩【积二百四十步】分【积二十四步】
　　里法则三百六十步计一百八十丈为一里古称在天一度在地二百五十里今尺验之在天一度在地二百里葢古尺得今尺之十分之八实縁纵黍横黍之分也
　　石法二千五百寸【按汉志曰斛重二钧又曰四钧为石是二斛为一石也古尺斛积一千六百二十寸为今尺之八百六十寸有竒倍之得古尺石积三千二百四十寸为今尺之一千七百二十寸有竒以权法凖之石重一百二十斤求其积古尺应得三千一百一十寸为今尺之一千六百五十寸有竒今之权法又加古一倍则今尺石积应得三千三百寸有竒今现行斛积为一千五百八十寸石积为三千一百六十寸旧算书所载数各不同而多以二千五百寸为率摠之古今尺度不同古今量法亦不一须先求其斗斛之积数然后用其积数以比例之方得密合今设例从旧数】
　　命位
　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘豪皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至扵厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常例一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之别焉此又命位之最要者也
　　凡数未至单位者必须作○以存其位如有数一万二千三百四十丈则补作○以存单位如上式　又如有数一万二千丈则补作○○○以存百十单之位如下式
　　凡数单位后有竒零者必作防于单位上以志之如有金三百四十五两六钱七分命两为单位则于五上作防志之如上式　又如有米六石五斗四升三合命石为单位则于六上作防志之如下式
　　凡列众数几多位中有空者必作○以存其位如有数二万零四百五十六此中千位无数故必作○于万后百前以存其位如上式　又如有数一万零三十四此中千位百位俱无数故补作两○于万后十前以存其位如下式凡宫度分秒皆两位列之如有一十一宫二十度三十二分四十五秒列位如上式　又如日时刻分列位日时分则两位刻止一位列之如二十一日一十八时三刻零二分列位如下式

　　加减乘除
　　算法以加减乘除为入门然究其终虽至扵千变万化总不出乎此但用法不同耳或应取其相和之数则用加或应取其相较之数则用减或应聚而总其积则用乘或应散而取其分则用除又有先加而后减者或先减而后加者有先乘而后除者或先除而后乘者又有加减与乘除先后互用者古称九章命算自方田以至勾股数有繁简理有显晦法有浅深算有难易然何一不从加减乘除而得故浅言之则算法之入门究言之实算法之全体也

　　加法
　　加者合众数而成总也葢数始扵一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十百千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之类则不以十进必足其所命之分始进一位【十于前位为一志之如宫度足六十分进一度足三十度进一宫如时刻足十五分进一刻足四刻进一时足二十四时进一日如斤两足】至于定位则以原数列扵上加数列扵下或大数列于上小数列于下按法依次对位列之加毕所得之数依原列之位定之
　　设如有数一万二千三百四十五与六千七百八十九相加
　　法以原数横列于上加数横列于下按位相对加之【十六两进一斤之类如九与五相对单从单八与四相对十从十百】单位之五【千万数俱各从其类】九相加得十四进【作一防于前位为志如进二十则作二防如进三十则作三防】本位纪四【书于横格下】次十位之四八相加得十二并所进之一为十三复进十于前位为一志之本位纪三次百位之三七相加得十并所进之一为十一复进十于前位为一志之本位纪一次千位之二六相加得八并所进之一为九于是本位纪九至于万位独有原数无可加则仍纪一所加之数共得一万九千一百三十四即总数也
　　设如有数一万四千五百四十五与一万七千三百五十相加
　　法以原数横列于上加数横列于下加数内单位无数故作○以存其位仍按位相对加之单位之五对○无可加仍纪五次十位之四五相加得九本位纪九次百位之五三相加得八本位纪八次千位之四七相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次万位之一与一相加得二并所进之一为三于是本位纪三所加之数共得三万一千八百九十五即总数也
　　设如有二十三丈零五寸六分与二丈八尺六寸二分相加
　　法以原数横列于上加数横列于下原数内尺位无数故作○以存其位仍按位相对加之分位之六二相加得八本位纪八次寸位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次尺位之八对○无可加乃并所进之一为九本位纪九次丈位之三二相加得五本位纪五至扵十位独有原数无可加则仍纪二所加之数共得二十五丈九尺一寸八分即总数也
　　设如有粮四万五千零三十一石与三千零九十石相加
　　法以原数横列于上加数横列于下原数内百位无数加数内百位单位俱无数故各作○以存其位仍按位相对加之石位之一对○无可加仍纪一次十位之三九相加得十二进十于前位为一志之本位纪二次百位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次千位之五三相加得八本位纪八至于万位独有原数无可加则仍纪四所加之数共得四万八千一百二十一石即总数也
　　设如有银八两六钱五分四厘与四两零六分二厘相加
　　法以原数横列扵上加数横列扵下加数内钱位无数故作○以存其位仍按位相对加之厘位之四二相加得六本位纪六次分位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次钱位之六对○无可加乃并所进之一为七本位纪七次两位之八四相加得十二进十于前位为一志之本位纪二至扵十位无数则纪所进之一为一所加之数共得十二两七钱一分六厘即总数也
　　设如有田三区一区五百九十二亩三分一区八百五十五亩九分一区七百八十二亩五分相加法以田三区按位横列相对加之分位之三九五相加得十七进十于前位为一志之本位纪七次亩位之二五二相加得九并所进之一为十进十于前位为一志之本位纪○次十位之九五八相加得二十二并所进之一为二十三进二十于前位为二志之本位纪三次百位之五八七相加得二十并所进之二为二十二进二十于前位为二志之本位纪二至扵千位无数则纪所进之二为二所加之数共得二千二百三十亩零七分即总数也
　　设如有银九宗一宗八千八百五十二两一宗三千二百一十一两一宗五百二十两一宗九百三十八两一宗二千五百九十两一宗一千二百一十五两一宗二千五百一十八两一宗五千三百六十六两一宗四千三百七十二两相加
　　法因九宗数繁难加故分为三次三次复并为一次则得共数其八千八百五十二两三千二百一十一两五百二十两相并则得一万二千五百八十三两其九百三十八两二千五百九十两一千二百一十五两相并则得四千七百四十三两其二千五百一十八两五千三百六十六两四千三百七十二两相并则得一万二千二百五十六两既得三总数又将三数并之得二万九千五百八十二两即九宗共数也
　　设如九宫二十度三十分二十六秒与六宫一十八度二十分五十秒相加
　　法以原数横列于上加数横列于下其每项各命两位仍按各位相对加之秒之单位六对○无可加仍纪六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒进一分志于分之本位秒之十位纪一次分之单位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次分之十位三二相加得五故下纪五次度之单位八对○无可加仍纪八次度之十位二一相加得三十乃以三十度进一宫志于宫之本位度之十位纪○次宫之本位九六相加得十五并所进之一为十六因十二宫满一周天故逢十二去之余四故下纪四所加之数共得四宫八度五十一分一十六秒即总数也
　　设如一日一十五时二刻八分与一日一十二时三刻九分相加
　　法以原数横列于上加数横列于下日时分则合两位共加刻则仍命以单位葢以四刻进一小时故也分位之八与九相加得十七十五分进一刻故于刻之本位下志一余二故单位下纪二十位下纪○次刻位之二与三相加得五并所进之一为六四刻进一时故于时之本位下志一余二故本位纪二次时之单位五二相加得七并所进之一得八时之十位一与一相加得二共为二十八二十四时进一日故于日之本位下志一余四故时之单位下纪四十位下纪○次日之单位一与一相加得二并所进之一为三故下纪三所加之数共得三日四时二刻二分即总数也
　　设如有物重三十四斤十五两五钱与二十一斤十四两三钱相加
　　法以原数横列于上加数横列于下其钱位斤位与斤之十位仍皆按位相对加之两位与两之十位则合其数共加之【两以十六方进一斤故合而加之如列数有两数无十数者仍作○以存十两之位】钱位之五三相加得八本位纪八两位之原数十五加数十四相加共得二十九则进十六两于前斤位为一志之其所余十三两则于两位纪三十位纪一次斤位之四一相加得五并所进之一为六本位纪六次十位之三二相加得五本位纪五所加之数共得五十六斤十三两八钱即总数也

　　减法
　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前位之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也详见设如中】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然两数相减必先辨其多寡首位必大于减数始可其定位亦照原列之次为减余位
　　设如有数五万六千七百八十九内减四万三千六百四十二
　　法自单位减起单位之九减二余七故下纪七十位之八减四余四故下纪四百位之七减六余一故下纪一千位之六减三余三故下纪三万位之五减四余一故下纪一所减之数得一万三千一百四十七即余数也
　　设如有数二万三千六百七十二内减一万六千四百八十一
　　法自单位减起单位之二减一余一故下纪一十位之七减八为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十七减八余九故下纪九百位之六减四并十位所借之一则为六减五余一故下纪一千位之三减六为下大于上则借前位之一【前位亦作一防为志】作本位之十共十三减六余七故下纪七万位之二减一并千位所借之一则为二减二恰尽故下纪○所减之数得七千一百九十一即余数也
　　设如有六丈七尺八寸九分一厘内减三丈四尺五寸九分九厘
　　法自厘位减起厘位之一减九为下大于上则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十共十一减九余二故下纪二分位之九减九并厘位所借之一则为九减十亦为下大于上故复借前位之一【之一前位下作一防】作本位之十共十九减十余九故下纪九寸位之八减五并所借之一则为八减六余二故下纪二尺位之七减四余三故下纪三丈位之六减三余三故下纪三所减之数得三丈三尺二寸九分二厘即余数也
　　设如有米六十五石四斗三升二合内减四十六石二斗七升三合
　　法自合位减起合位之二减三为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十二减三余九故下纪九升位之三减七并合位所借之一则为三减八为下大于上则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十共十三减八余五故下纪五斗位之四减二并升位所借之一则为四减三余一故下纪一石位【为志】之五减六为下大于上则借前位【前位下作之一作本】作本位之十共十五减六余九故下纪九十位之六减四并所借之一则为六减五余一故下纪一所减之数得十九石一斗五升九合即余数也
　　设如有银十五两三钱六分七厘内减九两二钱三分四厘
　　法自厘位减起厘位之七减四余三故下纪三分位之六减三余三故下纪三钱位之三减二余一故下纪一两位之五减九为下大于上则借前位之一【一防为志前位下作】作本位之十共十五减九余六故下纪六十位之一减两位所借之一恰尽故下纪○所减之数得六两一钱三分三厘即余数也
　　设如七宫一十八度二十七分五十二秒内减九宫二十一度三十五分四十三秒
　　法自秒位减起秒之单　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一防为志】位二减三为下大于上则借【前位下作一防为志】前位位之十共十二减三余九故下纪九秒之十位五减四并所借之一则为五减五恰尽故下纪○分之单位七减五余二故下纪二分之十位二减三为下大于上则借度位之一为六十分【度位下作一防为志】六十分与原二十分共为八十分内减三十分余五十分故下纪五度之单位八减一并所借之一则为八减二余六故下纪六度之十位一减二为下大于上则借宫位之一为三十度【宫位下作一防为志】三十度与原十度共为四十度内减二十度余二十度故下纪二宫之单位七减九并所借之一则为七减十为下大于上则外借一周天为十二宫十二宫与原七宫共为十九宫内减十宫余九宫故下纪九所减之数得九宫二十六度五十二分九秒即余数也
　　设如一十二日二十二时三刻零九分内减一十一日二十三时三刻十分
　　法自分位减起日位刻位俱各按单位相减其分位时位则合两位减之分位之九减十为下大扵上则借刻位之一为十五分【刻之本位下作一为志】十五分与原九分共为二十四分内减十分余十四分故分之单位纪四分之十位纪一刻之本位三减三并所借之一则为三减四为下大扵上则借时位之一为四刻【时之单位下作一为志】四刻与原三刻共为七刻内减四刻余三刻故本位下纪三时位之二十二减二十三并所借之一则为二十二减二十四为下大扵上则借日位之一为二十四时【日之本位下作一为志】二十四时与原二十二时共为四十六时内减二十四时余二十二时故时之单位下纪二时之十位下亦纪二日位之二减一并所借之一则为二减二恰尽故下纪○日之十位之一减一恰尽故亦纪○所减之数得二十二时三刻一十四分即余数也
　　设如有物十五斤零四两八钱内减十二斤十二两三钱
　　法自钱位减起钱位之八减三余五故下纪五两位之四减二似非下大扵上然原数两之十位为○【十六两为一斤故作○于斤后两前以存十两之位】而减数两之十位为一则为四两减十二两亦为下大扵上故借斤位之一为十六两【斤位下作一为志】十六两与原四两共为二十两内减十二两余八两故两之单位纪八十位纪○斤位之五减二并所借之一则为五减三余二故下纪二十位之一减一恰尽故下纪○所减之数得二斤零八两五钱即余数也

　　因乘
　　因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于烦而无统此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列于上法列扵下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乘者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位计之】法实相乘再以法乘者【即自乘再乘也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三位竒零有二位则截得数之六位向前为单位计之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左设如有三人每人赏縀二疋问共得几疋
　　法以三人为实列于上二疋为法列扵下以二因三得六即书于本位下定位以实之三人即是单位而法又止一位为疋今得数之六与实之单位相对故知六是疋位得共数为六疋也
　　设如有八人每人赏米六石问共得几石
　　法以八人为实列扵上六石为法列扵下以六因八得四十八将四书于前位下【前位为十位故十数纪前位下】八书于本位下【本位为单位故单数纪本位下】定位以实之八人即是单位而法亦止一位为石今得数之八与实之单位相对即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共数为四十八石也
　　设如有一十二人每人赏银五两问共得几两法以一十二人为实列于上五两为法列扵下命两位与人之单位相齐先以五乘二得一十将十进前一位作一防志之纪○于本位下【此数无单故下纪○】次以五乘一仍得五并所进之一为六故书六于本位下【一虽为十位而以五乘一则一下为本位矣】共得六○定位因实之单位对法之两位而得数之○与实之单位相对故知○为两位而六为十位得共数为六十两也
　　设如有二十四人每人赏银三两六钱问共得几两法以二十四人为实列于上三两六钱为法列于下命钱位与人之单位相齐乃以法之六遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之六乘四得二十四将二十进前一位作二防志之四书于本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之二为四故书四于本位下【二虽为十位而以六乘二则二下即为本位矣】法之六既与实乘毕次以法之三遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之三乘四得一十二将十进前一位作一防志之二书于本位下次以三乘二得六并所进之一为七故书七于本位下法之三又与实乘毕乃用加法并之共得八六四总书扵下定位以实尾之四系四人为单位而法尾为钱今得数末位之四与实之单位相对即知四是钱位二位为两三位为十两得共数为八十六两四钱也
　　设如有田三百六十亩每亩纳粮三升五合问共得若干
　　法以三百六十亩为实列扵上三升五合为法列于下实之单位无数则补○以存其位命合位与亩之单位相齐乃以法之五遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之五乘○仍为○故下纪○五乘六得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○五乘三得一十五将十进前一位为一书之五并所进之三为八故书八于本位下又以法之三遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍为○故下纪○三乘六得一十八将十进前一位作一防志之八书于本位下三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○乘毕用加法并之共得一二六○○总书于下定位以实尾之○系单位法尾是合今得数末位之○与实之单位相对即知末位之○是合前一位是升向前数至首位得十石因知共数为一十二石六斗也
　　设如有田三顷五十亩每顷纳粮一石二斗三升问共得若干
　　【于下命】法以三顷五十亩为实【因亩位无数故作○以存其位】列于上一石二斗三升为法列石位与顷之单位相齐【题中言每顷纳一石故石与顷对为单位】乃以法之三遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍得○故下纪○次以三乘五得一十五将十进前一位作一防志之五书于本位下次以三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○又以法之二遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之二乘○仍得○故下纪○二乘五得一十将十进前一位作一防志之本位纪○二乘三得六并所进之一为七故书七于本位下又以法之一遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各书于本位下乘毕用加法并之共得四三○五○总书于下定位因每顷纳粮一石二斗三升即命顷为单位而石亦为单位其后二位则为竒零凡法实之竒零有一位则统得数之两位今竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为石因知共数为四石三斗零五合也
　　设如有金三十六两每两价银九两九钱八分问共价几何
　　法以三十六两为实列于上九两九钱八分为法列于下实中钱位分位俱无数则补作○○以存其位命分位与分位相齐乃以法之八遍乘实之三六○○先以八乘○○仍得○○故下纪○○次以八乘六得四十八将四十进前一位作四防志之八书于本位下次以八乘三得二十四将二十进前一位为二书之四并所进之四为八故书八于本位下又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五防志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二防志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二乘毕用加法并之共得三五九二八○○定位因题言每两价银九两九钱八分爰以两为单位其后二位则为竒零竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为两第六位为十第七位为百因知共数为三百五十九两二钱八分也
　　设如有物二十六斤求两数
　　法以二十六斤为实列于上以每斤十六两为法列于下乃以法之六遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书扵本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之三为五故书五于本位下又以法之一遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之一乘六仍得六故下书六次以一乘二仍得二故下书二乘毕用加法并之得四一六定位因实尾是单位而法尾又是两位故得数末位之六即为单位为两而前一位为十又前一位为百因知得数为四百一十六两也
　　又法斤求两身加六名为定身加法葢以十六两之十为一乘之仍得原数故以本身加六即得如二十六斤则从首位加起二六加一十二将一对实之十位二对实之单位下书之又六六加三十六则三对实之单位而六对实之单位后一位书之用加法相并得四一六定位以原斤数之后一位为两今得数末位之六在原斤数之后一位即知是两因知得数为四百一十六两也
　　设如周天三百六十度每度六十分问共得若干分法以三百六十度为实列扵上以六十分为法列扵下【因单位俱无数故各作○以存其位】乃以法之○遍乘实之三六○仍皆得○故各纪○于各位下又以法之六遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之六乘○仍得○故本位下纪○次以六乘六得三十六将三十进前一位作三防志之六书于本位下次以六乘三得一十八将十进前一位作一防志之八并所进之三为十一十又进前一位为一并所志之一为二故前位书二本位书一乘毕用加法并之共得二一六○○定位以实之末位是单位法之末位是分今求分数故得数末位之○即是分之单位向前数至首位得万因知共数为二万一千六百分也
　　设如有验时仪坠子来一秒往一秒今十五分问共得来往几秒
　　法以十五分为实列于上以每分六十秒为法列于下乃以法之○遍乘实之一五仍皆得○故各纪○于本位下又以法之六遍乘实之一五其所得之单位数即对本法位下书之六乘五得三十将三十进前一位作三防志之本位纪○次以六乘一仍得六并所进之三为九故书九于本位下定位以实之末位是单位法之末位是秒今求秒数故得数末位之○即是秒之单位其前一位为十又前一位为百因知共数为九百秒也
　　设如一尺二寸自乘求积【以本数乘本数故为自乘】
　　法以一尺二寸互为法实列扵上下乃以法之二遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之二乘二得四故下书四次以二乘一仍得二故下书二又以法之一遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之一乘二仍得二故下书二次以一乘一仍得一故下书一乘毕用加法并之共得一四四定位因自乘数成平方面其每一尺正方面容积一百寸故百寸为尺百尺为丈俱以两位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之四与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸既以百寸为尺即知得数为一尺四十四寸也若命尺为单位则扵尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去二位以第三位为尺【葢自乘乃两数相乘两数既各有一位零数故截去两位算也】今得数有三位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中一位为十寸可知矣
　　设如一尺二寸自乘再乘求积【以本数乘本数所得之数又以本数乘之故谓之自乘再乘】
　　法先以一尺二寸互为法实按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸为实复以一尺二寸为法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘数成立方体其每一尺正方体容积一千寸故以千寸为尺千尺为丈俱以三位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之八与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸第四位为千寸既以千寸为一尺即知得数为一尺七百二十八寸也若命尺为单位则于尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去三位以第四位为尺【葢自乘再乘乃以三数相乘三数既各有一位零数故截去三位算也】今得数有四位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中二位为十寸百寸可知矣

　　归除
　　归除者分数也以数分数有各得均齐之义焉凡有两数以此数减彼数减得几次即为所得然所减之次数多则益至于纷而难纪此归除之所以立也归者一位归之而得如归作几分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之数与法相因而于实内除去也其法以原数为实横列于下除数为法横列于上法之小于实者法之首位与实之首位列齐法之大于实者则法比实退一位看实足法几倍即为得数自法之末位上纪所得之数既得数乃以所得与法相因书于实下与实相减余者即为次商实依次按法归除以恰尽为度【减余者乃所得与法相因之数在实中所减者其数每与法位相对即初商之余实也至于实位所余之数则每次取下一位续于减余之末以为每商之实若实无余位而归除仍未尽者则按位添○以纪之】如实不足法之一倍者则得数为○定位之法以法中所命单位与原实相对之数为所得之首位数若实之位数少于法者则作几○位以补足法然后位数一览即明至于一位归除防法则竟以原数书于上就身用几分分之得数书于下其定位仍照原列之位定之具见设如于左设如有缎六疋令三人分之问每人得几疋
　　法以六疋为实列于下三人为法列于上今法与实俱为单位而法比实小故列法与实相齐爰看实足法几倍今足二倍故书二于法上乃以得数之二与法之三相因得六书于实下与实相减恰尽即得数为二疋也定位因法之三人即为单位而实亦止一位为疋是法之单位与实之疋位相对故得数为二疋也
　　设如有米六十四石令八人分之问每人得几石法以六十四石为实列于下八人为法列扵上因法之八大于实之首位之六故将法退一位书之爰看实足法几倍今足八倍故书八于法上乃以得数之
　　【下与实相减恰尽即】八与法之八相因【其所得单位数即对得数之本位下书之】得六十四书于实得数为八石也定位因法之八人即为单位而与实之石位相对故得数为八石也
　　设如有银三百四十三两令七人分之问每人得几两
　　法以三百四十三两为实列于下七人为法列于上因法之七大于实之首位之三故将法退一位书之爰看实足法几倍今实前两位为三四足法之四倍【何以知其足法之四倍葢实之三十四内足法之七之四倍为二十八如法之七之五倍则为三十五比实则大矣】故书四于法上乃以得数之四与法之七相因得二十八书于实下【其所得单位数即对得数之本位下书之后仿此】与实相减余六次取实数所余之三书于减余之后共六三为次商实爰看实之六三足法几倍今足九倍故书九于得数之次乃以得数之九与法之七相因得六十三书于次商实之下与实相减恰尽即得数为四十九两也定位因法之七人即为单位而与实中之两之十位相对故得数首位即为十而次位为两是知每人得四十九两也
　　设如有丝四十五斤共织得缎九十二丈二尺五寸问每斤织得若干
　　法以九十二丈二尺五寸为实列于下四十五斤为法列于上因法之首位四小于实之首位九故列法与实相齐爰看实之九二足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之四五相因得九○书于实下与实相减余二次取实数所余之二书于减余之后共二二为次商实今实之二二不足法之四五之一分故得数为○乃纪○于上复取实数所余之五书于二二之后共二二五
　　【二二五足次商实之二二不足法之四五故再取实之一位续书于下谓之三商实者○位为次商故也】为三商实爰看实之法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五相因得二二五书于实下与实相减恰尽即得数为二丈零五寸也定位因法之五斤为单位而与实之丈位相对故得数首位即为丈等而下之为尺为寸是知每斤织得二丈零五寸也
　　设如有田四十五亩六分共纳谷五十七石问每亩纳谷若干
　　法以五十七石为实列于下四十五亩六分为法列于上因法之首位四小于实之首位五故列法与实相齐又因实之位数少于法故补作○以足其位爰看实之五七○足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之四五六相因仍得四五六书于实下与实相减余一一四此后实无余位故添书一○于减余之末为次商实爰看一一四○足法之二倍故书二于上乃以得数之二与法之四五六相因得九一二书于实下与实相减余二二八又添书一○于减余之末为三商实爰看二二八○足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五六相因得二二八○书于实下与实相减恰尽即得数为一石二斗五升也定位因法之五亩为单位而与实之石位相对故得数首位为石是知每亩纳谷一石二斗五升也
　　设如有丹砂一两价值钱二万五千文问每钱一文该得丹砂几何
　　法以丹砂一两为实列于下钱二万五千为法列于上因法之首位二大于实之首位一故将法退一位列之又因法之百位十位单位俱无数故各作○以存其位而实亦作五○位以补足法爰看实足法之四倍故书四于法上乃以得数之四与法之二五○○○相因得一○○○○○书于实下与实相减恰尽即得数为四丝也定位因法之末位○系单位故从实之首位一两数至法之单位相对之位为丝是知每钱一文得丹砂四丝也
　　设如有银一千二百五十两买果赏人每果一枚价二厘五豪问买果若干
　　法以一千二百五十两补五○位为实列于下【因法之末位是豪故补五○位与法相对葢命实为一千二百五十万豪也】二厘五豪为法列于上爰看实之一二五足法之五倍故书五于法上乃以得数之五与法之二五相因得一二五书于实下与实相减恰尽然实后尚有五○位故得数后亦添五○位为五十万也定位因法实俱至豪位止即命豪为单位爰从实之末位数至法之单位相对之位为十万是知得果为五十万枚也
　　设如有物重三百八十四两问得斤数若干
　　法以三百八十四两为实列于下每斤一十六两为法列于上爰看实之三八足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之一六相因得三十二书于实下与实相减余六次取实数之四书于减余之后共为六四因足法之四倍故书四于上乃以得数之四与法之一六相因得六十四书于实下与实相减恰尽即得数为二十四斤也定位因法之两数为单位而与实之十位相对故知得数为二十四斤也
　　又法名为斤称流法其法曰一退六二五【如一万两则为六百二十五斤一千两则为六十二斤半一百两则为六斤二分半皆以十递析退者退一位命之也】二一二五【如二万两则为一千二百五十斤二千两则为一百二十五斤二百两则为十二斤半不言退者对位命之也余仿此】三一八七五四二五五三一二五六三七五七四三七五八五九五六二五如三百八十四两则列于上先以三之一八七五通之爰将一对三之本位以下依次向后书之次以八之五通之将五对八之本位书之次以四之二五通之将二对四之本位书之五则列于次位三数书毕乃以加法并之得数为二十四斤定位因两之前一位为斤今得数之四在两之前一位故四即为斤位而又前一位则为十位是知得数为二十四斤也
　　设如周天三百六十度分十二宫问每宫得若干度法以三百六十度为实列于下一十二宫为法列于上爰看实之三六足法之三倍故书三于法上乃以得数之三与法之一二相因得三六书于实下与实相减恰尽然实后尚有○位故得数后亦添一○位即得数为三十度也定位因法之二为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每宫为三十度也
　　设如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分之问每刻得若干分
　　法以一千四百四十分为实列于下以九十六刻为法列于上爰看实之一四四仅足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之九六相因仍得九六书于实下与实相减余四八次取实之○位书于减余之后共为四八○因足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之九六相因得四八○书于实下与实相减恰尽即得数为一十五分也定位因法之六为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每刻为一十五分也
　　一位归除防法
　　设如有银三十四万五千六百七十八两作二分分之问每分若干
　　法以三十四万五千六百七十八两为实列于上视首位之三足二分之几何今足一倍故下书一一二除二余一乃移于下位为十【下位作防为志】并下位之四共为十四足二分之七倍故下书七二七除一十四恰尽次五足二分之二倍故下书二二二除四余一移于下位为十并下位之六共为十六足二分之八倍故下书八二八除一十六恰尽次七足二分之三倍故下书三二三除六余一移于下位为十并下位之八共为十八足二分之九倍故下书九二九除一十八恰尽定位因得数仍原数之位故知每分得一十七万二千八百三十九两也
　　设如有银一十二万三千四百五十三两作九分分之问每分若干
　　法以一十二万三千四百五十三两为实列于上因首位之一小于九分故移于下位为十并下位之二共为十二足九分之一倍故下书一一九除九余三移于下位为三十并下位之三共为三十三足九分之三倍故下书三三九除二十七余六移于下位为六十并下位之四共为六十四足九分之七倍故下书七七九除六十三余一移于下位为十并下位之五共为十五足九分之一倍故下书一一九除九余六移于下位为六十并下位之三共为六十三足九分之七倍故下书七七九除六十三恰尽定位因得数比原数退一位故知每分得一万三千七百一十七两也

　　御制数理精蕴下编卷一
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二
　　首部二
　　命分
　　约分
　　通分

　　命分
　　凡归除分至最细而可以恰尽无余者谓之无竒零数若分至最细而屡除不尽者谓之有竒零数其竒零若畧去之则不能复还原数此命分之所以立也其法命为分母分子分母者即除数也分子者即除不尽之数也凡不尽之数得分母中之几分者即命为几分之几是以命分之一法正所以济归除之所不逮也
　　设如有银十一两命三人分之问每人得若干法以三人分银十一两每人得银三两仍余二两所余二两再以三人分之每人得六钱六分六厘六豪如是每得六而仍余二数不尽故立命分法以三人为分母所余二两为分子命为每人得三两又三分两之二葢将每两剖作三分其所余二两则共剖作六分三人分之每人得二分故命为三分两之二也如因三分两之二求知原银数则以三人与分子二分相乘得六分葢每人得二分则三人共得六分也以六分用分母三分归之得二两葢初分一两为三分故终收三分为一两也再加入三人所得整数共九两【一人三两三人共得九两】则得十一两以合原数也
　　设如有银一百八十七两命十八人分之问每人得若干
　　法以十八人分银一百八十七两每人得银十两仍余七两分之不尽则以十八人为分母所余七两为分子命为每人得一十两又十八分两之七葢将每两剖作十八分其所余七两则共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命为十八分两之七也如因十八分两之七求知原银数则以十八人与分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分则十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分归之得七两葢初分一两为十八分故终收十八分为一两也再加入十八人所得整数共一百八十两【一人十两十八人共得一百八十两】则得一百八十七两以合原数也

　　约分
　　约分者以所命之分约之以就整分也葢命分是随其数之多寡全而纪之而约分则即其多寡之数从而约之以求简易焉其法以分子分母两数辗转相减务期减余两数相同是为度尽两数之一数乃以此数为一分以除分母得几分者即约分母为几分又除分子得几分者即约为分母几分中之几凡诸法中有带分者皆由约法而得故设例于此所以明带分之根也
　　设如古厯歳实命为三百六十五日又一百分日之二十五今以法约之求相当最小数
　　法置日分一百以余分二十五减之余七十五分再以二十五减之余五十分再以二十五减之亦余二十五分两数齐等即以相等之数二十五转除日分一百得四即为四分又以二十五除余分二十五得一即为一分乃百分日之二十五约为
　　四分之　　　　　　　　【凡约】　　　　　　　　　　　　　　【分法以分母分】一是歳实共得三百六十五【葢将一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也子相减必得相等之数然后用之葢因此数可以度尽分母又可以度尽分子故也今以相等之数二十五为一分则日分一百有四倍二十五故为四分而余分二十五又恰足一分之数故为一分一百与二十五之比即同于四与一之比是四与一即一百与二十五之相当最小数也凡分母分子辗转相减不得相等之数终减至于一是分母分子俱无一数可以度尽之数即不用约分用命分志之可也
　　设如有银二百一十两命一百四十七人分之每人得银一两仍余六十三两不尽以法约之求相当最小数
　　法置一百四十七人以余银六十三减之余八十四再以六十三减之余二十一又置六十三转以二十一减之【因减数大于原数又不得两数齐等故以二十一转减之】余四十二再以二十一减之亦余二十一则两数齐等即以相等之数二十一转除一百四十七人得七即为七分又以二十一除银六十三两得三即为三
　　分乃一百四十七人分余银六十三两约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】七分之三是每人得银一两又七分两之三【葢将每两剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人与六十三两辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百四十七与六十三之比即同于七与三之比是七与三即一百四十七与六十三之相当最小数

　　通分
　　凡竒零数目不以十递析者难以立算则用通分如斤通为两宫通为度度通为分之类是也又有整数而带零分者则必通之以从其类如化整为零收零作整之类是也或有零分而分母不同者则必通之以同其母如互乘之类是也通分之法立然后竒零数目得以归有余齐不足而带分之法皆根于此故为另设加减乘除之法以明其义焉
　　加法
　　凡竒零数相加两分母同者即并两分子为得数若相加之数大于母数则于所得数内减去母数为一整数纪其余为零数
　　设如有九分丈之七【一丈分为九分而得其七分也】与九分丈之五【一丈分为九分而得其五分也】相加求总数
　　法以九分之七与九分之五左右列之将两分子七与五相加得一十二因子数大于母数乃于一十二内减去母数九为一整数余三为零数即得整数一丈零九分丈之三为相加之数也此法因两分母同为九分而两分子亦同为九分中之零分故径并两零分之七与五得一十二又以母数九分收为一丈【葢初以一丈分为九分今满九分即收为一丈也】其所余三亦仍为九分中之三分故得一丈零九分丈之三为两零分之共数此分母相同之加法也【如以真数明之九分丈之七是将一丈分为九分得其九分中之七分一丈分为九分则每一分得一尺一寸一分一厘有余九分中之七分则为七尺七寸七分七厘有余也九分中之五分则为五尺五寸五分五厘有余也两数相加共得一丈三尺三寸三分三厘有余即一丈零九分丈之三也葢一尺一寸一分一厘有余既为九分中之一分则三尺三寸三分三厘有余即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不尽之数是九分与一丈之比即同于三分与三尺三寸三分有余之比也】
　　凡竒零数相加两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相加为共子数纪于共母数之下为共零数
　　设如有三分丈之二【例亦等一丈分为三分而得其】与五分丈之三【二分也一丈分为五分而得其】相加求总数
　　法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得十将两得数相加得十九为共子数因子数大于母数乃于十九内减去共母数十五为一整数余四为零数即得整数一丈零十五分丈之四为相加之数也此法用互乘者本为齐其分母也夫以两分母相乘得十五者乃以两分母俱变为十五分也【三分也因分母不同难以相加故变】以前分母三乘后分子三得九者乃以后分子变为十五分中之九也又以后分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦变为十五分中之十也葢十五分之十与三分之二其比例等【为同等俱为五】而【倍比例】十五分之九与五分之三其比【俱为三倍比例】两分母既变为同等则两分子亦俱为同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也【如以真数明之三分丈之二既变为十五分丈之十则每一分为六寸六分六厘有余今得十分即六尺六寸六分六厘有余也又五分丈之三既变为十五分丈之九则每一分亦为六寸六分六厘有余今得九分即六尺也两数相加共得一丈二尺六寸六分六厘有余即一丈零十五分丈之四也葢六寸六分六厘有余即为十五分中之一分今二尺六寸六分六厘有余为四倍六寸六分六厘有余即十五分中之四分也如以十五分除四分即得二尺六寸六分不尽之数是十五分与一丈之比即同于四分与二尺六寸六分有余之比也】
　　又或分母不同而可以加减之使同者则变而同之可省互乘
　　设如有八分两之一与十二分两之三相加求总数法以十二分之三变为八分之二则与八分之一两分母相同故径并两分子二与一得三即八分两之三为相加之数也此法将十二分之三变为八分之二者乃分母分子各减三分之一也母数十二减三分之一余八子数三减三分之一余二葢十二分之三与八分之二其比例相等故变从简易如数有参
　　【分】差者则当用下节之【如以真数明之八分两之一是将一两分为八分其一分即一钱二分五厘也又十二分两之三是将一两分为十二分其三分为二钱五分今变为八分两之二是将一两分为八分其二分亦为二钱五分也两数相加共得三钱七分五厘即八分两之三也葢一钱二分五厘为八分中之一分今三钱七分五厘即八分中之三分也如以八分除三分即得三钱七分五厘是八分与一两之比即同于三分与三钱七分五厘之比也】
　　法设如有六分石之五与三分石之二相加求总数如依前法将六分之五折半为三分之二分半则两分母虽同而分子却有竒零若将三分之二加一倍作六分之四变少从多则与六分之五两分母相同乃径并两分子五与四得九因子数大于母数乃于九内减去母数六为一整数余三为零数即得整数一石零六石之三为相加之数也此法三分之二变为六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡变分母分子或加或减务期所变之分数与原分数比例相同使其两分母同而两分子可并也此条与上条用加减虽各异而齐其分母以加之则同也【如以真数明之六分石之五是将一石分为六分则每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有余今得五分即八斗三升三合三勺三撮三抄有余也又三分石之二是将一石分为三分其二分为六斗六升六合六勺六撮六抄有余今变为六分石之四是将一石分为六分其四分亦为六斗六升六合六勺六撮六抄有余也两数相加共得一石四斗九升九合九勺九撮九抄有余收为五斗即一石零六分石之三也葢六分为一石则三分即五斗也】
　　凡子母数有三四种相加者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法加之【三种者以第一数与第二数依前互乘法相加得数又与第三数依前互乘法相加四程者以第一数第二数互乘相加得数与第三数互乘相加得数复与第四数互乘相加】如两分母相同者即并其两分子而与所余之分母不同者用互乘以加之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相加为得数即不用互乘矣
　　设如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求总数
　　法以前两分子分母按互乘法相加得十二分斤之十【五种相加者俱仿此以两分母三与四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子二得六又以后分母四乘前分子一得四相加得一十为共子数】乃以十二分斤之十与第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六【是为十二分斤之十以第三分母五与前两分母互乘所得之十二相乘得六十为共母数以前两分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母五乘前两分子所得十得五十相加得八十六为共子数是为】因子数大于母数乃于共子数八十六内减去共母数六十为一整数余二十六为零数即得一斤零六十分斤之二十六为总数也【六十分斤之八十六】凡子母分有四种【如以真数明之三分斤之一是将一斤分二十分丈之一为总数也为三分其一分即五两三钱三分三厘有余也四分斤之二是将一斤分为四分则每一分为四两今得二分即八两也五分斤之三是将一斤分为五分则每一分为三两二钱今得三分即九两六钱也三数相加共得二十二两九钱三分三厘有余内收十六两为一斤余六两九钱三分三厘有余即六十分斤之二十六也葢以十六两分为六十分每分得二钱六分六厘有余今六两九钱三分三厘有余有二十六倍二钱六分六】
　　设如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求总数
　　法因五分丈之三与五分丈之一两分母相同故直并其两分子三与一为五分丈之四再以五分丈之四与四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一【厘有余即为二十六分也以前分母五与后分母四相乘得二十为共母数以前分母五乘后分子一得五又以后分母四乘前分子四得十六相加得二十一】因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数二十为一整数余一为零数【是为二十分丈之二十一】即得一丈零【如以真数明之其五分丈之三即六尺也其四分丈之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三数相加得一丈零五寸即一丈零二十分丈之一葢一丈分为二十分每分得五寸也】
　　设如有三分两之二又四分两之三又十二分两之四相加求总数
　　法以三分之二与四分之三用互乘法相加得十二分两之十七【以前分母三与后分母四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子三得九又以后分母四乘前分子二得八相加得十七是为十二分两之十七】此所得之十二分两之十七与第三分母相同即以前两分所得共子十七与后一分子四相加得二十一是为十二分两之二十一因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数十二为一整数余九为零数即得一两零十二分两之九为总数也【如以真数明之其三分两之二即六钱六分六厘有余也其四分两之三即七钱五分也其十二分两之四即三钱三分三厘有余也三数相加得一两七钱四分九厘有余收作七钱五分即一两零十二分两之九葢十二分两之九即七钱五分也】
　　减法
　　凡竒零数相减两分母同者即将两分子相减为余数
　　设如有十一分丈之七减十一分丈之五求余数法以十一分丈之七与十一分丈之五左右列之将两分子五与七相减余二即得十一分丈之二为余数也葢因两分母同为十一分则两分子亦同为十一分中之零分故径将两分子相减余二亦仍为十一分中之二分是以定为
　　十一分丈之二此分母相同之减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】法【如以真数明之十一分丈之七是将一丈分为十一分则每一分得九寸零九厘零九丝有余其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三丝有余也其中之五分即四尺五寸四分五厘四豪五丝有余也相减余一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即十一分中之二分也葢九寸零九厘零九丝有余为一分则一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即为二分也如以十一分除二分亦得一尺八寸一分八厘一豪八丝不尽之数是十一分与一丈之比即同于二分与一尺八寸一分八厘一豪八丝有余之比也】
　　凡竒零数相减两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相减为余数
　　设如有三分丈之二减五分丈之三求余数
　　法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得一十将所得两分子相减余一即得十五分丈之一为余数也此法用互乘齐其分母将三分丈之二变为十五分丈之十将五分丈之三变为十五分丈之九两分母既同为十五分故两分子十与九相减余一为十五分丈之一也此分母不同之减法也如两分母不同可以加减之使其相同者减之亦如加法中例故不重设【如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也其五分丈之三即六尺也相减余六寸六分六厘有余即十五分丈之一也葢一丈分为十五分每一分得六寸六分六厘不尽也】
　　凡零数与整数相减者即以分子与分母相减为余数
　　设如有米一石内减七分石之五求余数
　　法以整数一石变为七分为分母与分子五相减余二即得七分石之二为余数也葢将一石分为七分而于此七分内减去五分则所余即七分石之二【五】此整数中减零数法【如以真数明之将一石分为七分则每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有余其五分即七斗一升四合二勺八撮五抄有余也与一石相减余二斗八升五合七勺一撮四抄有余即七分石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有余为一分则二斗八升五合七勺一撮四抄有余自为二分也】
　　也凡整数带零分相减者将两零分用互乘法变为同母然后减
　　之设如有银八两零五分两之四内减五两零七分两之三求余
　　数法以八两之零数五分之四与五两之零数七分之三用互乘法两分母七相乘得三十五为共母数再以五两之分母七乘八两之分子四得二十八为八两所变之子数又以八两之分母五乘五两之分子三得十五为五两所变之子数乃以八两五两二整数相减余三两以两子数二十八与十五相减余十三即得三两又三十五分两之十三为余数也葢既将两子数变为同母则八两者为八两零三十五分两之二十八五两者为五两零三十五分两之十五分母既同故以子数相减而得余数此整数带零分相减之法也【如以真数明之其八两零五分两之四即八两八钱也其五两零七分两之三即五两四钱二分八厘五豪七丝有余也相减余三两三钱七分一厘四豪二丝有余其三两为整数其三钱七分一厘四豪二丝有余即三十五分中之十三分也葢将一两分为三十五分则每一分得二分八厘五豪七丝有余其十三分即三钱七分一厘四豪二丝有余也】
　　凡子母数三四种相减者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法减之如两分母相同者即将其两分子相减而与所余之分母不同者用互乘以减之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相减即得余数其理与加法同
　　设如有铜九斤零八分斤之七内减二斤零四分斤之一又减八分斤之三求余数
　　法以九斤内减去二斤余七斤为整数乃以八分斤之七与四分斤之一用互乘法将八分斤之七变为三十二分斤之二十八将四分斤之一变为三十二分斤之八两数相减余三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十与第三零数八分斤之三用互乘法将三十二分斤之二十变为二百五十六分斤之一百六十将八分斤之三变为二百五十六分斤之九十六两数相减余二百五十六分斤之六十四合前整数共得七斤又二百五十六分斤之六十四为余数也如用约法则为七斤零四分斤之一葢二百五十六为四倍六十四今以六十四为一分则二百五十六自得四分也其余几种零分内有两分母相同或两分母乘出之数与余一分母相同俱照同分母之例减之故不再设或零分有四种五种者亦俱仿此此几种零分相减之法也【如以真数明之其九斤零八分斤之七即九斤十四两也内减二斤零四分斤之一是减去二斤四两又减去八分斤之三是又减去六两也余七斤零四两即七斤零四分斤之一也葢一斤分为四分则每一分得四两今七斤零四两故谓七斤零四分斤之一也】
　　乘法
　　零分与零分相乘者两分母两分子各相乘所得之数即乘出之分也
　　设如有三分丈之二与五分丈之四相乘问得几何法以两分母三五相乘得十五分为乘出之分母又以两分子二四相乘得八分为乘出之分子即定为十五分丈之八为所得之数也今以图明之如甲乙为一丈而甲丁亦为一丈作一甲乙丙丁正方形将甲丁分为三分甲乙分为五分内共容十五分即共母数乃两分母三与五乘出之数也其甲丁之三分之二为甲戊甲乙之五分之四为甲己二数相乘得甲已庚戊长方形内容八分即共子数乃两分子二与四乘出之数也甲乙丙丁正方与甲己庚戊长方相较即知甲己庚戊长方为甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也【如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分为十五分则每一分得六尺六十六寸六十六分六十六厘有余今得其八分即五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余也】
　　零分与整数相乘者分子乘整数而以分母归之即所得之数也
　　设如有七人每人赏银五分两之二问共得若干法以分子二与七人相乘得十四以分母五归之得二两八钱即七人共得之数也葢五分两之二是一两分为五分而得其二分也一人得二分则七人必共得十四分既以一两分为五分今满五分收为一两故以五归十四得二两八钱为共数此零分与整数相乘之法也
　　整数带零分与整数乘者先将整数俱通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得
　　设如有整数二丈又四分丈之一与八丈相乘问得几何
　　法以整数二丈用分母四通为八分加入分子一共得九分又以整数八丈用分母四通为三十二分乃与九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定为一丈正方一十八为所得之数也此法葢以一丈通为四分是四四自乘之数始合一丈自乘之数故一十六者即分母四自乘之数未乘之先既以四通之故相乘之后必以四四自乘之数收之乃得真数此整数带零分与整数相乘之法也【如以真数明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸与八丈相乘即得一十八丈也】
　　整数带零分与零分乘者先将整数通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得
　　设如有整数二丈又五分丈之四与零分五分丈之三相乘问得几何
　　法以整数二丈用分母五通为十分加入分子四得十四分乃与零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定为一丈正方一又一尺正方六十八为所得之数也此法葢以一丈通为五分是五五自乘之数始合一丈自乘之数故以二十五除之又二丈之零分五分之四与所乘之零分五分之三为同母故用此法如两零分分母不同则先将两零分用互乘法变为同母然后用所变之分母化整为零再与彼一零分相乘得数以所变之分母自乘之数除之即得乘出之数【法见下节】此整数带零分与零分相乘之法也【如以真数明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即六尺也以六尺与二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也】
　　整数带零分与整数带零分相乘而零分之分母不同者则以两零分之分母用互乘法齐其数然后各以相同之分母化整为零两数相乘再以同母自乘之数除之即得【如所带零分本为同母者可省互乘】
　　设如有长方田阔二丈又四分丈之三长三丈又三分丈之二求积
　　法以两分母四三相乘得一十二为共母数以前分母四乘后分子二得八以后分母三乘前分子三得九为两分子数乃以共母数十二化阔二丈为二十四分加入分子九得三十三分为阔边所变之分数又以共母数十二化长三丈为三十六分加入分子八得四十四分为长边所变之分数爰以阔三十三分与长四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母数十二自乘之一百四十四除之得一○○八余四八不尽即定为一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八约为三分尺之一为所得之数也此整数带零分与整数带零分相乘之法也【如以真数明之其阔二丈又四分丈之三即二丈七尺五寸也其长三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六分六厘有余也以二丈七尺五寸与三丈六尺六寸六分六厘有余相乘即得一十丈零八尺有余也】
　　大分下又带小分相乘者其例有四【所谓大分下带小分者是将大分之一分又分为几分如大分五分之三又带小分四分之一是将大分五分之三之一分又分为四分而得其一分也】有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之两母数两子数对乘即得【总以小分母通之者葢小分母又为大分母之每一分之几分小分不能使大大分可以变小使大分母大分子俱变为小分母一体然后可以相乘乘之即所以通之也设法中以度数明之其理自显】
　　设如有甲数五分丈之三又带此一分之四分之一与乙数五分丈之四又带此一分之四分之二相乘问得几何【此大小分母俱同者也】
　　法以甲数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十与乙所变之分母二十相乘得四百分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子十八相乘得二百三十四分为乘出之分子即定为四百分丈之二百三十四为所得之数也【此法甲乙之小分母俱为四故将其大分母之每分亦俱化为四分又将大分子之每分亦俱化为四分使大分与小分之子母一体然后乘之今以度数明之甲之五分丈之三乃一丈内之六尺其所带小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲数共为六尺五寸乙之五分丈之四乃一丈内之八尺其所带小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙数共为九尺六尺五寸与九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方为一百尺而得其五十八尺又小余五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘得数五十八尺五十寸得二百三十四分故为四百分之二百三十四也若以尺随寸命之则五十八尺五十寸又为五千八百五十寸以大分每一分通为小分四分则每一千寸分为四分每分得二百五十寸以二百五十寸归五千八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分进而命为丈则为四百分丈之二百三十四也】
　　设如有甲数四分丈之三又带此一分之七分之二与乙数九分丈之五又带此一分之三分之一相乘问得几何【为所得之数也此大小分】
　　法以甲数小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十八与乙所变之分母二十七相乘得七百五十六分为乘出之分母又以甲所变之分子二十三与乙所变之分子一十六相乘得三百六十八分为乘出之分子即定为七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真数明之甲四分丈之三即一丈内之七尺五寸又带小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘二豪有余是甲数共为八尺二寸一分四厘二豪有余也乙九分丈之五即一丈内之五尺五寸五分五厘五豪有余又带小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有余内之三寸七分零三豪有余是乙共为五尺九寸二分五厘九豪有余也两数相乘得四十八尺六十七寸六十五分有余即七百五十六分丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六十七寸六十五分不尽之数葢七百五十六分为一百尺则三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有余也】
　　设如有甲数八分丈之三又带此一分之四分之一与乙数八分丈之四又带此一分之六分之五相乘问得几何【此大分母同而小分母不同者也】
　　法以甲数小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十二与乙所变之分母四十八相乘得一千五百三十六分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子二十九相乘得三百七十七分为乘出之分子即定为一千五百三十六分丈之三百七十七为所得之数也【二相乘问得几何如以真数明之甲八分丈之三即三尺七寸五分又带此一分之四分之一即三寸一分二厘五豪是甲数共为四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又带此一分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有余是乙数共为六尺零四分一厘六豪有余也两数相乘得二十四尺五十四寸四十二分有余即一千五百三十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得二十四尺五十四寸四十二分不尽之数葢一千五百三十六分为一百尺则三百七十七分自得二十四尺五十四寸】
　　设如有甲数六分丈之四又带此一分之五分之一
　　与乙数九分　　　　　　　　　　　　　　　【四十二分有余也】丈之七又带此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】
　　法以甲数小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一为甲大小分所变之数又以乙数小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十与乙所变之分母四十五相乘得一千三百五十分为乘出之分母又以甲所变之分子二十一与乙所变之分子三十七相乘得七百七十七分为乘出之分子即定为一千三百五十分之七百七十七为所得之数也【如以真数明之甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有余又带此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有余是甲数共为六尺九寸九分九厘九豪有余也乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有余又带此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有余是乙数共为八尺二寸二分二厘二豪有余也两数相乘得五十七尺五十五寸五十五分有余即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不尽之数葢一千三百五十分为一百尺则七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有余也】
　　除法
　　零分归除零分者两分母两分子各自除之所得之数即除出之分也如有竒零不尽者用互乘法齐之即得分数其比例与除出之法同
　　设如有九分丈之二以三分丈之一除之求得几何法以九分丈之二为实三分丈之一为法以法分母三除实分母九得三为除出之分母又以法分子一除实分子二仍得二为除出之分子即定为三分丈之二为所得之数也此法即乘法内两分母两分子各相乘为所得之数者转用之耳此零分除零分之法也
　　又法以互乘代除以实分母九乘法分子一得九为除出之分母又以法分母三乘实分子二得六为除出之分子共得九分丈之六即所求之数也此法与前法所得之分母分子之数虽不同而理则一前法之三分之二与此法之九分之六其比例实同葢前法以法除实其得数为减分之比例此法以两数互乘其得数为加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用两分母相乘之数省去一层耳如欲明晰其故则以两分母九与三相乘得二十七法分母三与实分子二相乘得六实分母九与法分子一相乘得九是将三分之一变为二十七分之九将九分之二变为二十七分之六其两分母既等则其两分子自成比例故九与六之比即同于三与二之【六以三约之非三分之二耶】比九分之【如以真数明之实九分丈之二为面积即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有余也法三分丈之一为边线即三尺三寸三分三厘有余也除之得六尺六寸六分六厘有余即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不尽之数葢三分为一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有余也】
　　整数归除零分者分母通整数以除分子即得所求之数
　　设如有五分丈之三以八丈除之求得几何
　　法以分子三为实以分母五通整数八丈得四十为法除之得七寸五分即所求之数也此法以五分乘八丈者是分母通整数将每丈俱通为五分也八丈既通为四十分则五分之三之每一分即与四十分中之每一分同等然而零数三分以四十分除之而得七寸五分者则又为变分为尺寸之比例矣四十分与一丈之比即同于三分与七寸五分之比此整数除零分之法也
　　零分归除整数者分母通整数而以分子除之即得所求之数
　　设如有六丈以三分丈之二除之求得几何
　　法以分母三通整数六丈得一十八为实以分子二为法除之得九丈即所求之数也此法以三分乘六丈者是将每丈俱通为三分也六丈既通为十八分则十八分中之每一分与三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整数之法也
　　整数带零分归除整数者先将法实之两整数俱通为零分而于法中加入分子除之即得
　　设如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得几何
　　法以分母三通二十四丈得七十二为实又以分母三通二丈得六加入分子二得八为法除之得九丈即所求之数也此法以分母三通实二十四丈是将实之每丈俱化为三分也又以分母三通法二丈是将法之每丈亦俱化为三分也两整数俱化为同等则法实一体故法除实而得所求之数也此整数带零分除整数之法也
　　整数归除整数带零分者先将法实之两整数俱通为零分而于实中加入分子以法除之即得
　　设如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得几何【即以前法数目作题者取其易明也】
　　法以分母三通二丈得六加入分子二得八为实又以分母三通二十四丈得七十二为法除之得一尺一寸一分不尽约为九分丈之一即所求之数也此法以分母三通法实之两整数者是将两整数之每丈俱通为三分也一得七十二分一得八分以七十二与八之比即同于九与一之比故约为九分之一且以七十二除八得一一一不尽之数定为一尺一寸一分有余者葢七十二分与一丈之比即同于八分与一尺一寸一分有余之比也此整数除整数带零分之法也
　　整数带零分归除零分者先将整数通为零分加入分子除之即得
　　设如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得几何
　　法以五分丈之四为实以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五为法用两分母两分子各自归除之法以法分母八除实分母五得六二五为除出之分母以法分子二五除实分子四得一六○为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之数也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也实之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分归除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分与一丈之比即同于八尺与二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五与一丈之比即同于一六○与二尺五寸六分之比也然六二五与三丈一尺二寸五分之比又即同于一六○与八尺之比而皆为加倍之比例也此整数带零分除零分之法也又或整数通为零分加入分子之后以法除实而数有竒零不尽者则用互乘代除之法如前数已将整数通为八分丈之二十五为法乃以实分母五乘法分子二十五得一百二十五为除出之分母又以法分母八乘实分子四得三十二为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分与一丈之比即同于三十二分与二尺五寸六分之比也后法之有竒零数而用互乘代除者皆同此例
　　零分归除整数带零分者先将整数通为零分加入分子以法除之即得
　　设如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得几何
　　法以实之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四为实以七分丈之四为法用互乘代除之法以实分母三乘法分子四得十二为除出之分母以法分母七乘实分子一十四得九十八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍余二不尽命为十二分尺之二以法约之为六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之数也葢十二与一尺之比即同于九十八与八尺有余之比也此零分除整数带零分之法也
　　整数带零分归除整数带零分者先各以整数通为零分加入分子而以法除实即得
　　设如有田五亩又三分亩之二共租银五两又二十七分两之一求每亩得租银几何
　　法以银分母二十七通五两得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分两之一百三十六为实又以田分母三通五亩得十五加入分子二得十七共得三分亩之十七为法用互乘代除之法以银分母二十七乘田分子一十七得四百五十九为除出之分母以田分母三乘银分子一百三十六得四百零八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八钱八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每亩所租之银数也葢四五九与一两之比即同于四○八与八钱八分八厘有余之比也此整数带零分除整数带零分之法也
　　大零分下又带小零分相除者其例有四【有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者】今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之子母数用互乘代除之法归之即得【如用子母各自对除亦得但恐数有竒零故用此法】
　　设如有甲八分丈之七又带此一分之五分之三以乙五分丈之二又带此一分之四分之一除之求

　　法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八为甲大小分所变之数以之为实又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九为乙大小分所变之数以之为法然后用互乘代除之法以甲所变之分母四十乘乙所变之分子九得三百六十为除出之分母又以乙所变之分母二十乘甲所变之分子三十八得七百六十为除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十约为九分厘之一即所求之数也葢三六○与一尺之比即同于七六○与二尺一寸一分一厘有余之比也此大零分下带小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此例故不重设】

　　御制数理精蕴下编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三
　　线部一
　　正比例
　　转比例
　　合率比例
　　正比例带分
　　转比例带分

　　比例
　　凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命数以一人为法故乘与除各省其率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例正法则所该甚广大而推歩七政天行测量髙深广逺小而量功命事度大移小无一非由比例而得葢以两数为比例用今有之数即可以得未有之数也比例之理虽分相连相当二种而相当比例之中实又兼相连比例相当比例一率比二率如三率比四率而相连比例首率比中率若中率比末率者即是中率为二率而又为三率也尽人皆知线有线之比例面有面之比例体有体之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之类正皆比例之属也然此类中有合数之比例分数之比例均数之比例借数之比例非条分缕析各项专论则不备故仍旧各自为类而独于比例中最切者详明其理以列法焉其法一名异乘同除【或名为准测或名为顺单】以原有之两件相除故为同除以今有之一件乘之故为异乘【如先乘而后除亦同】而今则质言之曰正比例葢以原有之两件为一率二率以今有之一件为三率而所求之一件则为四率也一名为同乘异除【或名为变测或名为互视或名为逆单】以原有之两件相乘故为同乘以今有之一件除之故为异除而今则质言之曰转比例葢以原有之两件为二率三率以今有之一件为一率而所求之一件则为四率也然论其乘除之名虽异究其比例之理则一而已今以数明之如原有之两数为二与四今有之一数为八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率为十六而一率二与二率四之比即三率八与四率十六之比为相当之比例也如原有之两数为八与四今有之一数为十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率为二而一率十六与二率八之比即三率四与四率二之比或以一率十六与三率四之比即同于二率八与四率二之比皆为相当之比例也总之乘除之名有异同四率之列有更换而既成比例之后其理无不归于大同由此引伸触类推而广之有合几四率而为一四率者则名为同乘同除【或名为重测或名为顺较逆较】而今则质言之曰合率比例葢其理亦不过合几乘而为一乘合几除而为一除各按四率参互错综岂能岀于比例之外哉凡此各种比例俱设数例于后以明立法之根加之解说以广用法之意

　　正比例
　　设如有银买米每米一石银八钱今买米二百四十石问共该银若干
　　法以米一石为一率银八钱为二率今买米二百四十石为三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二两即共银数也葢一石与二百四十石为加二百四十倍而八钱与一百九十二两亦为加二百四十倍【见几何原本六卷第十五节】故一石与八钱之比即同于二百四十石与一百九十二两之比也【此法一率是一止用八钱乘二百四十石亦得但为明正比例之理故首设一二易法使人好推寻也】
　　设如有银买米每银一两买米一石三斗今有银三百二十两问共买米若干
　　法以银一两为一率米一石三斗为二率今银三百二十两为三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米数也葢一两与一石三斗之比即同于三百二十两与四百一十六石之比也
　　设如有银赏人每三人赏银一两八钱今有二百四十人问共该银若干
　　法以三人为一率一两八钱为二率今有二百四十人为三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四两即共银数也葢三人与一两八钱之比即同于二百四十人与一百四十四两之比也
　　设如有谷换米每谷一石四斗换米八斗四升今有谷三十二石六斗八升问换米若干
　　法以谷一石四斗为一率米八斗四升为二率今有谷三十二石六斗八升为三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所换共米数也葢谷一石四斗与米八斗四升之比即同于谷三十二石六斗八升与米一十九石六斗零八合之比也
　　设如天上二度当地面四百里今七度该里数若干法以原有之二度为一率四百里为二率今有之七度为三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里数也葢一率二与二率四之比为加一倍而三率七与四率十四之比亦为加一倍故二率得一率中之几分之几则四率亦得三率中之几分之几而为相当比例四率也
　　设如一星一日内行一度三十分今问八刻内应行若干
　　法以原数一日变作九十六刻为一率一度三十分变作九十分【一度作六十分加入三十分共九十分】为二率今星行八刻为三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之数葢九十六刻与九十分之比即同于八刻与七分半之比也然将日变为刻者因每日九十六刻不以十进位又今所有者为八刻故以刻数与刻数相比也度变为分者因每度六十分亦不以十进位而今八刻内所行者必为分故以分数与分数相比也
　　设如验时仪算炮声自烟起至闻声计七秒得五里今得十四秒问里数若干
　　法以七秒为一率五里为二率今得十四秒为三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里数也葢七秒与五里之比即同于十四秒与十里之比也
　　设如有羊四百六十只共卖银八十二两八钱问每羊一只价银几何
　　法以羊四百六十只为一率银八十二两八钱为二率羊一只为三率推得四率一钱八分即每羊一只之价也【此法三率是一止用羊四百六十只归除八十二两八钱亦得但列四率法中不得不备其一体也】
　　设如有羊一羣共二百四十只又生羔七十二只问加羊羣内十分之几
　　法以羊二百四十只为一率十分为二率今生羔七十二只为三率推得四率三分即为加羊羣内十分之三也葢二百四十与十分之比即同于七十二与三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四总而约之故为十分之三也
　　设如有田科粮每三亩科粮八斗四升今有四千六百三十五亩问得粮若干
　　法以三亩为一率八斗四升为二率今有四千六百三十五亩为三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共粮数也葢三亩与八斗四升之比即同于四千六百三十五亩与一千二百九十七石八斗之比也
　　设如用古量法豆区釜皆以四进有八十豆当二十区有二十区当釜若干
　　法以八十豆为一率二十区为二率又为三率推得四率五釜即二十区所当釜数也此正比例中相连比例法也葢因二十区与二十区相乘得四百区而八十豆与五釜相乘亦得四百区二十区既为二率又为三率故谓相连比例是以八十豆与二十区之比即同于二十区与五釜之比也
　　设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今复将九百两为本问一年得利若干
　　法以三千两为一率九百两为二率又为三率推得四率二百七十两即九百两所得之利也此法以九百两为二率又为三率葢三千两与九百两之比为三与九之比例而九百两与二百七十两之比亦为三与九之比例也
　　转比例
　　设如有田一亩原阔八歩长三十歩今阔要十二歩问长得几何
　　法以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今阔十二歩之长也此法以原有之两数相乘以今有之一数除之而得今所求之数者因乘出两数相同故也在正比例原有之两件为一率二率今有之一件为三率而今所求之一件为四率俱以原有之一件与今有之一件相乘其积相同在转比例则原有之两件为二率三率今有之一件为一率而今所求之一件为四率是原有之两件相乘今有之两件相乘其积相同此两法异同之故也
　　虽今阔比原　　　　　　　　　　　　　【得】阔多　　　　　　　　　　　　　　　　　【二百】而今长却比原长少故原【八歩】有之【三十歩】阔与长相乘四十歩而今有之阔【十二歩】与长【二十歩】相乘亦得二百四十歩其积既同是以转而比之自成比例葢今阔比原阔多三分之一今长比原长少三分之一其比例相同【见几何原本七卷第三节】故今阔十二歩与原阔八歩之比即同于原长三十歩与今长二十歩之比也若借正比例论之以原阔八歩为一率原长三十歩为二率今阔十二歩为三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩则是今阔比原阔多今长亦比原长多所容积数亦多而与一亩之数不合矣故转以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率而得四率二十歩是为一率与三率之比同于二率与四率之比也
　　设如有地寛二十丈长一百二十丈今换地寛三十丈问长得几何
　　法以今寛三十丈为一率原长一百二十丈为二率原寛二十丈为三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之长也此法原有之寛与长相乘得二千四百丈今有之寛与长相乘亦得二千四百丈其积既同故转而比之自成比例以今寛比原寛以原长比今长俱三与二之比例是以今寛三十丈与原寛二十丈之比即同于原长一百二十丈与今长八十丈之比也
　　设如佣工开渠八人开之二十日完今加倍用十六人开之问得几日完
　　法以今十六人为一率原二十日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人与原八人之比即今之工加一倍而原二十日与今十日之比则今所得之日亦必减一倍故一率十六人与三率八人之比即同于二率二十日与四率十日之比也
　　设如有地四百八十亩八人耕之十二日完今用六人耕之问得几日完
　　法以今六人为一率原十二日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人数日数不同而所耕之田则同为四百八十亩而所用之工又同为九十六故以八人论一日八工十二日则用九十六工以六人论一日六工十六日亦用九十六工也故转用四率自成比例以一率六人与三率八人之比即同于二率十二日与四率十六日之比也
　　设如众军支米足用四年则每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年问每人每月应支几何
　　法以今欲用十二年为一率原支米三斗为二率足用四年为三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月应支之数也此法支米多则足用年数少今支米少则足用年数多葢四年与十二年之比在年为加三分之二而三斗与一斗之比在米又为减三分之二其比例固同也
　　设如木星十二年一周天每年行三十度土星则二十八年一周天问每年行几度
　　法以土星所行一周二十八年为一率木星每年所行三十度为二率木星所行一周十二年为三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有余即土星每年所行之度数也葢木星周天比土星年数少而行度却多土星周天比木星年数多而行度却少多得少而少反得多故转而比之以二十八年与十二年之比即同于三十度与十二度有余之比也
　　设如一人借人之绢宽三尺长二十四丈今还绢宽四尺问长该若干
　　法以今绢宽四尺为一率原绢长二十四丈为二率原绢宽三尺为三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即为今所还宽四尺绢之长也葢原绢宽三尺长二十四丈相乘得七百二十尺今绢宽四尺长十八丈相乘亦得七百二十尺因其积数相同故今绢宽四尺与原绢宽三尺之比即同于原绢长二十四丈与今绢长十八丈之比也
　　设如验时仪坠子其绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝四刻内来往共三千次今造一坠欲使来一秒往一秒问绳长若干
　　法以四刻化三千六百秒为今坠子往来次数自乘得一千二百九十六万次为一率原坠绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝为二率以原坠往来三千次自乘得九百万次为三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二厘即今所求坠绳之长也夫以四刻化秒者葢以所求之坠子欲其来一秒往一秒也故秒数即次数四刻所化之秒即今坠子在四刻内往来之次数也其比例以次数自乘者因坠子往来之际已成平面形故以往来之方数相比为面比面而原坠与今坠之长数相比为线比线务使其类相当而后可以相比也是以今坠往来次数自乘与原坠往来次数自乘之比即同于原坠长数与今坠长数之比也然原坠于四刻内往来之次数少而坠却长今坠于四刻内往来之次数多而坠却短故以今坠之往来次数与原坠之往来次数为比即同于原坠之长与今坠之长为比所以为转比例也
　　设如有正方池一面每边十二丈今欲作宽八丈之池使其池面积数与方池等问长得几何
　　法以今池宽八丈为一率原池长十二丈为二率原池宽十二丈为三率推得四率十八丈即今欲作池之长也此转比例中相连比例法也葢原池方面每边十二丈其积一百四十四丈即二率三率相乘之数今所得四率长十八丈与一率宽八丈相乘亦得一百四十四丈两数相等故以一率今池宽八丈与三率原池宽十二丈之比即同于二率原池长十二丈与四率今池长十八丈之比也
　　设如原用金九两系九成今用八成金折还当加几两
　　法以今金八成为一率原金九两为二率原金九成为三率推得四率十两零一钱二分五厘内减九两余一两一钱二分五厘即八成金当加之数也此法二率三率为体虽不同而数则一故亦为相连比例葢以原金九两又系九成相乘得十成金八两一钱以今之八成与所得十两零一钱二分五厘相乘亦得十成金八两一钱是八成与九成之比即同于九两与十两零一钱二分五厘之比也

　　合率比例
　　设如以夏布换棉布但知每夏布三丈价银二钱每棉布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈问换棉布若干
　　法以夏布三丈与棉布价银七钱五分相乘得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所换之棉布数也此法乃两比例合为一比例也如分作两比例明之每夏布三丈价银二钱今夏布四十五丈则价银应得三两此一比例也棉布价银七钱五分得棉布七丈今夏布四十五丈之价三两则应得棉布二十八丈此又一比例也夫银三两原为夏布四十五丈之价则夏布四十五丈所换之棉布二十八丈价银亦应三两可知矣葢两比例中一以三丈作一率一以七钱五分作一率故三丈与七钱五分相乘得二两二钱五分而为一率是合两一率而为一一率也一以二钱作二率一以七丈作二率故二钱与七丈相乘得一两四钱而为二率是合两二率而为一二率也而后比例之三率即前比例之四率如以两三率相乘为三率则所得四率亦为两四率相乘之数必须以前比例之四率除之方得后比例之四率故即以夏布之四十五丈为三率而得棉布之二十八丈为四率也
　　设如以芝麻换黄米但知每芝麻三石换菉豆五石每菉豆四石换黄米三石今有芝麻五十四石问换黄米若干
　　法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十二石为一率又以菉豆五石与黄米三石相乘得十五石为二率芝麻五十四石为三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所换之黄米数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之每芝麻三石换菉豆五石则芝麻五十四石必换菉豆九十石此一比例也菉豆四石换黄米三石则菉豆九十石必换黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原为芝麻五十四石所换则菉豆九十石所换之黄米即芝麻五十四石所换之黄米可知矣葢以两比例之各一率相乘为一率两比例之各二率相乘为二率者即合两次乘除为一次乘除也
　　设如养兵七百名每年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已应役七个月问该饷银若干法以原养兵七百名与十二个月相乘得八千四百为一率额饷一万二千六百两为二率新兵三百名与七个月相乘得二千一百为三率推得四率三千一百五十两即兵三百名七个月应得之饷银数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之兵七百名得一万二千六百两则兵三百名应得五千四百两【乃兵三百名十二个月应得之数】此一比例也兵三百名十二个月应得五千四百两则七个月应得三千一百五十两此又一比例也今以两比例之各一率相乘为一率两比例之各三率相乘为三率者亦如两比例之各一率二率相乘合为一一率二率也
　　设如原有鹅八只换鸡二十只又鸡三十只换鸭九十只又鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅几何
　　法以所换羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只再以所换鸡二十只乘之得三千六百只为一率又以原鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只又以原鹅八只乘之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率推得四率二十只即羊五只所换之鹅数也此法乃三比例合为一比例也如分作三比例明之羊二只换鸭六十只则羊五只必换鸭一百五十只此一比例也鸭九十只换鸡三十只则鸭一百五十只必换鸡五十只此二比例也鸡二十只换鹅八只则鸡五十只必换鹅二十只此三比例也夫鸡五十只原为鸭一百五十只之所换而鸭一百五十只又原为羊五只之所换则鸡五十只所换之鹅二十只即为羊五只之所换可知矣今以三比例之各一率连乘之为一率又以三比例之各二率连乘之为二率者正合三比例为一比例也
　　设如原有菽三斗换黍二斗又黍四斗换稷三斗又稷五斗换稻四斗又稻六斗换麦五斗今有麦七斗问换菽几何
　　法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘得二石复以所换稷三斗乘之得六石再以所换黍二斗乘之得一十二石为一率又以原有稻六斗与原有稷五斗相乘得三石复以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石为二率今有麦七斗为三率推得四率二石一斗即麦七斗所换之菽数也此合四比例为一比例也如分作四比例明之麦五斗换稻六斗则麦七斗必换稻八斗四升此一比例也稻四斗换稷五斗则稻八斗四升必换稷一石零五升此二比例也稷三斗换黍四斗则稷一石零五升必换黍一石四斗此三比例也黍二斗换菽三斗则黍一石四斗必换菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原为稷一石零五升之所换而稷一石零五升又为稻八斗四升之所换而稻八斗四升又为麦七斗之所换则黍一石四斗所换之菽二石一斗即为麦七斗之所换可知矣今以四比例之各一率连乘之为一率又以四比例之各二率连乘之为二率者正合四比例为一比例也
　　设如原有工人一百开河四十丈二十日工完今有工人一千开河八十丈问得日数几何
　　法以今有工人一千与原开河四十丈相乘得四万丈为一率二十日为二率以原有工人一百与今开河八十丈相乘得八千丈为三率推得四率四日即一千人开河八十丈之日数也此法以原有今有两数互乘以比例者所以齐其分也试将两首位一千工与一百工互乘得十万工然后互乘丈数原有一边得四万丈今有一边得八千丈是原一百工开四十丈则十万工开四万丈其比例相同今一千工开八十丈则十万工开八千丈其比例亦同也因两工数相同故以四万丈与二十日之比即同于八千丈与四日之比葢原有十万工开河四万丈二十日可完今亦有十万工开河八千丈则四日可完为比例四率也然此法实系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以人工为比例原一百工开二十日今一千工即应开二日为今一千工开河四十丈之日数此一转比例也次用丈数为比例原四十丈应开二日今八十丈则应开四日为今一千工开河八十丈之日数此一正比例也法以两比例之一率相乘为一率两比例之三率相乘为三率者正合两比例为一比例也
　　设如原有书一百篇六人写之十日完每篇三百字今有书二百篇八人写之十二日完问每篇得字若干
　　法以今有二百篇与原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一万二千为一率每篇三百字为二率以原有一百篇与今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百为三率推得四率二百四十字即今八人写十二日每篇之字数也试将两首位一百篇与二百篇互乘得二万篇然后互乘人工与日原有一边得一万二千工今有一边得九千六百工葢原有二万篇用一万二千工每篇三百字今亦有二万篇用九千六百工其每篇必二百四十字为比例四率也然此法实系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以篇数为比例原一百篇每篇三百字今匀为二百篇则每篇只应一百五十字此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原六人写之每篇应一百五十字今八人写之则每篇应二百字此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写十日每篇应二百字今写十二日则每篇应二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如原雇人写书每篇六百字八人写二十日得一百二十篇今写书每篇四百五十字却用十二人写三十日问得篇数几何
　　法以今有四百五十字与原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七万二千为一率一百二十篇为二率以原有六百字与今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一万六千为三率推得四率三百六十篇即今十二人写三十日之篇数也试将两首位六百字与四百五十字互乘得二十七万字然后互乘人工与日原有一边得七万二千工今有一边得二十一万六千工葢原有一边二十七万字用七万二千工得一百二十篇今一边亦二十七万字用二十一万六千工则得三百六十篇为比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以字数为比例原每篇六百字为一百二十篇今每篇四百五十字则必匀为一百六十篇此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原八人写之应得一百六十篇今十二人写之则应得二百四十篇此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写二十日应得二百四十篇今写三十日则应得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如海船内原有甜水二万零一百六十斤每人每日用二斤足用四个月今又添四千零三十二斤合前数共二万四千一百九十二斤欲用六个月问每日每人应用几何
　　法以原有二万零一百六十斤与今六个月相乘得一十二万零九百六十个月为一率每人每日用水二斤通为三十二两为二率以今有二万四千一百九十二斤与原四个月相乘得九万六千七百六十八个月为三率推得四率二十五两六钱即今每人每日应用之数也试将两首位数互乘得四亿八千七百七十一万零七百斤然后互乘月数原有一边得九万六千七百六十八个月今有一边得一十二万零九百六十个月葢原有水四亿八千七百七十一万零七百斤足用九万六千七百六十八个月每人得三十二两今有水亦四亿八千七百七十一万零七百斤欲用十三万零九百六十个月则每人得二十五两六钱为转比例四率也然此法亦系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以水数为比例原有水二万零一百六十斤每人每日用三十二两今水二万四千一百九十二斤则每人每日应用三十八两四钱此一正比例也然月数不同故次以月数为比例原用四个月每日应用三十八两四钱今欲用六个月则每日应用二十五两六钱此一转比例也法以两一率相乘为一率两三率相乘为三率者正合两比例为一比例也
　　设如原有米八万石用车二十四辆日行四十里二十日运完今有米十万石用车三十辆日行六十里问运完日数几何
　　法以原有八万石与今用车三十辆相乘得二百四十万辆又以今行六十里乘之得一亿四千四百万里为一率二十日为二率以今有十万石与原用车二十四辆相乘亦得二百四十万辆又以原行四十里乘之得九千六百万里为三率推得四率十三日又三分日之一即今米十万石运完之日数也试将两首位数互乘得八十亿石然后互乘车数里数原有一边得九千六百万里今有一边得一亿四千四百万里葢原有米八十亿石用车二百四十万辆行九千六百万里得二十日运完今有米亦八十亿石亦用车二百四十万辆行一亿四千四百万里故十三日又三分日之一运完为转比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以米数为比例原米八万石运二十日今米十万石则应运二十五日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车二十四辆应运二十五日今车三十辆则应运二十日此一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原行四十里应运二十日今行六十里则应运十三日又三分日之一此又一转比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也
　　设如原有麦子一万二千石车十二辆每车载三石日行八十里四十日运完今有麦三万石车十六辆每车载四石日行六十里问运完日数几何法以原有麦子一万二千石与今车十六辆相乘得一十九万二千辆又以今每车载麦四石乘之得七十六万八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八万里为一率四十日为二率以今有麦子三万石与原有车十二辆相乘得三十六万辆又以原每车载麦三石乘之得一百零八万石又以原行八十里乘之得八千六百四十万里为三率推得四率七十五日即今麦三万石运完之日数也试将两首位数互乘得三亿六千万石然后互乘车数石数里数原有一边得八千六百四十万里今有一边得四千六百零八万里葢原有麦三亿六千万石用车三十六万辆载一百零八万石行八千六百四十万里得四十日运完今有麦亦三亿六千万石用车一十九万二千辆载七十六万八千石行四千六百零八万里得七十五日运完为转比例四率也然此法系四比例合为一比例也如分作四比例明之则先以麦数为比例原麦一万二千石运四十日今麦三万石则应运一百日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车十二辆应运一百日今车十六辆则应运七十五日此一转比例也然每车所载石数不同故次以石数为比例原每车载三石应运七十五日今每车载四石则应运五十六日二五【即四分日之一】此又一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原日行八十里应运五十六日二五今日行六十里则应运七十五日此又一转比例也法以四比例之各一率连乘之为一率四比例之各三率连乘之为三率者正合四比例为一比例也
　　正比例带分
　　设如有银买米每米一石价银八钱四分今买米三分石之二问该银若干
　　法以米一石用分母三通为三分为一率银八钱四分为二率分子二分为三率二三率相乘一率除之得四率五钱六分即银数也葢米一石通为三分以三分与八钱四分之比即同于二分与五钱六分之比皆为三分之二之比例也
　　设如有人行路行过五分之二系八十里问总里数几何
　　法以分子二分为一率分母五分为二率行过八十里为三率二三率相乘一率除之得四率二百里即总里数也葢总里数之五分之二为八十里以二分与五分之比即同于八十里与二百里之比皆为五分之二之比例也
　　设如有银买米每米三分石之二价银七分两之五今买米四分石之三问该银若干
　　法以三分石之二为一率七分两之五为二率四分石之三为三率用通分乘法以二率分母七与三率分母四相乘得二十八为乘出之分母又以二率分子五与三率分子三相乘得一十五为乘出之分子是为二十八分之十五为二率三率相乘之数以一率三分石之二除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八与一率之分子二相乘得五十六为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子十五相乘得四十五为除出之分子即得四率五十六分两之四十五为所求之数也如求真数则变零分为两以分母五十六为一率一两为二率分子四十五为三率推得四率八钱余二不尽命为五十六分钱之二约为二十八分钱之一即所求之真数也
　　设如有银买蜡每银二两六钱买蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一今有银九钱问买蜡几何
　　法以银二两六钱为一率以蜡十斤通为一百六十两又五分斤之二通为六两四钱又七两零二分两之一通为七两五钱共得一百七十三两九钱为二率今有银九钱为三率推得四率六十两零一钱九分收为三斤零十二两一钱九分即所求之蜡数也此法虽有零分而分两实可相通故各相通以为比例四率也
　　设如有银买羽绒每三分丈之一价银四分两之三今欲买八分丈之七问该银若干
　　法以原羽绒三分丈之一为一率原银四分两之三为二率今羽绒八分丈之七为三率用通分乘法以二率分母四与三率分母八相乘得三十二为乘出之分母又以二率分子三与三率分子七相乘得二十一为乘出之分子是为三十二分之二十一为二率三率相乘之数乃以一率三分丈之一除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二与一率之分子一相乘仍得三十二为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子二十一相乘得六十三为除出之分子即得四率三十二分两之六十三为所求之数也满分母三十二分收为一两余三十一【六十三分内减去三十二分仍余三十一】为一两又三十二分两之三十一如求真数则以分母三十二为一率一两为二率分子三十一为三率推得四率九钱六分八厘七豪五丝与整数一两相加得一两九钱六分八厘七豪五丝即真数也
　　设如有银买缎每缎二疋共价八两又五分两之四今欲买三十六疋问共价若干
　　法以二疋为一率共价八两用分母五通为四十分加分子四得四十四分为二率今买三十六疋为三率推得四率七百九十二分以每分母五分收为一两得一百五十八两又五分两之二【以五分为一率一两为二率七百九十二分为三率推得四率一百五十八两余二分即命为五分两之二】即所求之数也如以五分两之二收为四钱【五分为一两则二分为四钱】则得一百五十八两四钱即缎三十六疋之共价也如以子母分变为真数求之二疋共价八两又五分两之四则五分为一两四分为八钱是二疋共价为八两八钱即以二疋为一率八两八钱为二率三十六疋为三率亦得四率一百五十八两四钱为缎三十六疋之共价也
　　转比例带分
　　设如一案长九尺宽一尺六寸今欲将原长减三分之一其面积仍与原案等问宽几何
　　法以原长九尺用分母三归之得每分三尺于原长九尺内减去一分之三尺余六尺为今长为一率原宽一尺六寸为二率原长九尺为三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之宽也此法因分母三可以度尽原长故变今长为真数与他率为比例也
　　设如营造原每日用五十六人为一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人问完工之日得几何
　　法以今用六十四人为一率以分母九通一月为九分加入分子三共为九分月之十二为二率原用五十六人为三率推得四率九分月之十【月余一分半】分半满分母九分收为一【十分半内减去九分余一分半】约为六分月之一即得一月又六分月之一为今用六十四人完工之日也葢六十四人与一月又九分月之三之比即同于五十六人与一月又六分月之一之比也
　　设如原有一门帘用绫一丈二尺其绫宽一尺五寸今欲作一新帘其绫比原绫宽七分尺之三问应用长数几何
　　法以原宽一尺五寸用分母七通为十分半加入分子三得今宽一十三分半为一率原长一丈二尺为二率原宽十分半为三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五约为三分尺之一即得九尺又三分尺之一为今应用之长数也葢今宽十三分半与原宽十分半之比即同于原长一丈二尺与今长九尺又三分尺之一之比也
　　设如城守兵一营其粮可支一年又七分年之二今汰去三分之一问应支年数几何
　　法先以年分母七通一年为七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一减分母三得二为三分之二为现存兵数【汰去三分之一则存者为三分之二】因两分母不同故用互乘以齐之以两分母三七相乘得二十一为共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分即以所通今存兵十四分为一率原年数二十七分为二率原兵二十一分为三率推得四率二十一分年之四十分半满分母二十一分收为一年余十九分半【四十分半内减二十一分余十九分半】约为七分年之六分半即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也葢今存兵比原兵少三分之一则支粮年数必多三分之一故今存兵十四分与原兵二十一分之比即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也

　　御制数理精蕴下编卷三
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷四
　　线部二
　　按分递折比例【二八差分　三七差分　　四六差分递折差分　加倍减半差分】

　　按分递折比例
　　差分之欵项虽多而按分递折者皆为相连比例故约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细分其目如左
　　二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数葢八与三十二之比即如二与八之比也有四色者则以二与八与三十二与一百二十八为衰数葢三十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二八之比例故曰二八差分
　　三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为【与二以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之数七作三分必至竒零不尽故以三因三得九为三分则以三因七得二十一为七分如二十一转为三分则四十九又为七分矣】衰数葢九十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数【以三因九得二十七为三分故以七因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十三又为七分矣】葢二十七与六十三六十三与一百四十七一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七之比例故曰三七差分
　　四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者则以四与六与九为衰数葢六与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与六与九与一三五为衰数葢九与一三五之比亦如四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰数总不越乎四六之比例故曰四六差分
　　递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为十分之半故载于倍半法中而别为一类
　　加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以求正数也
　　二八差分
　　设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若干
　　法以二分八分相并得十分为一率银三千两为二率二分为三率推得四率六百两为下等人户所纳之数仍以二分八分相并之十分为一率银三千两为二率以八分为三率推得四率二千四百两即为上等人户所纳之数也此法两用四率者正为明比例之理葢二分八分相并之十分与总银三千之比即如二分之与六百之比八分之与二千四百之比也
　　又捷法以二八所并之十分归除总银三千两得每分三百两以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所纳之数于总银内减之即八分所纳之数此又正法外之变法也
　　设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银人若干赏米人若干
　　法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率推得四率三百二十名为应赏银之人如以八分为三率推得四率一千二百八十名即应赏米之人也葢二分八分相并之十分与总人一千六百之比即如二分之与三百二十名之比八分之与一千二百八十名之比也
　　又捷法以二八所并之十分归除总人数一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得赏银人三百二十名以八分乘之得赏米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也
　　设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之问每人应得几何
　　法以二分为甲衰八分为乙衰三十二分为丙衰相并得四十二分为一率总米五百八十八石为二率以甲二分为三率推得四率二十八石即甲分米数以乙八分为三率得四率一百一十二石即乙分米数以丙三十二分为三率得四率四百四十八石即丙分米数也此法用二与八八与三十二者即二八相连比例分葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比即二分与二十八石之比八分与一百一十二石之比即三十二分与四百四十八石之比也又捷法以总数四十二分归除总米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也
　　设如有铜五百二十斤錬成精铜每十分中去渣二分余精铜八分问精铜与渣各得若干
　　法以十分为一率铜五百二十斤为二率八分为三率推得四率四百一十六斤为精铜之数如以二分为三率推得四率一百零四斤即铜渣之数也葢十分与五百二十斤之比即如八分之与四百一十六斤之比二分之与一百零四斤之比也
　　又捷法以十分归除总铜五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精铜八分数减总铜余即铜渣二分数也
　　设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递次二八分种问各田应得几何
　　法以二分为麻衰八分为豆衰三十二分为谷衰一百二十八分为麦衰并之得一百七十分为一率总田二千六百三十五亩为二率以麦一百二十八分为三率得四率一千九百八十四亩即麦田数如以谷三十二分为三率得四率四百九十六亩即谷田数如以豆八分或麻二分为三率所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也又捷法以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩得每分一十五亩五分乃以每色分数乘之即得每色应种数也
　　设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出问各出几何
　　法以一商为二分一商为八分一商为三十二分一商为一百二十八分一商为五百一十二分并之得六百八十二分为一率总银三千四百一十两为二率以五百一十二分为三率得四率二千五百六十两即五百一十二分应出之数如以一百二十八分为三率得四率六百四十两即一百二十八分应出之数如以三十二分为三率得四率一百六十两即三十二分应出之数如以八分或二分为三率所得四率四十两即八分应出之数一十两即二分应出之数也
　　又捷法以总数六百八十二分除总银三千四百一十两得每分五两再以每人分数乘之即得每人应出银数也
　　设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何各等户共纳几何
　　法以五百一十二为甲一户分数再以甲三十户乘之得一万五千三百六十为甲三十户共分数以一百二十八为乙一户分数再以乙四十户乘之得五千一百二十为乙四十户共分数又以三十二为丙一户分数再以丙五十户乘之得一千六百为丙五十户共分数又以八为丁一户分数再以丁六十户乘之得四百八十为丁六十户共分数又以二为戊一户分数再以戊七十户乘之得一百四十为戊七十户共分数以所得五等共分数并之得二万二千七百为总分数为一率总粮二千六百五十五石九斗为二率以甲五百一十二分为三率得甲一户纳五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共纳一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分为三率得乙一户纳十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共纳五百九十九石零四升以丙三十二分为三率得丙一户纳三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共纳一百八十七石二斗以丁八分为三率得丁一户纳九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共纳五十六石一斗六升以戊二分为三率得戊一户纳二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共纳十六石三斗八升也
　　又捷法以总分数除总粮数得每一分一斗一升七合以各等一户分数乘之得各等一户纳粮之数以各等共户分数乘之得各等共户纳粮之数葢前法有各等户而各等之中又有众户故以定分数【二八三十二一百二十八五百一十二之数】为各等分数又以众户乘之为各等共户之分数此捷法以总分数除总粮是得各等每一户中之一分故以每一户分数乘之得每一户之数以每一等共分数乘之得每一等之全数也
　　三七差分
　　设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几何
　　法以七分为东县衰数三分为西县衰数并之得十分为一率总银五千两为二率以七分为三率得四率三千五百两即东县应支之数如以三分为三率得四率一千五百两即西县应支之数也葢三七比例亦以总衰数与总银数之比即若每县衰数与每县银数之比故十分与五千之比即若三分与一千五百之比七分与三千五百之比也又捷法先以总衰十分除总银五千两得每分五百两以七分乘之即东县之数以三分乘之即西县之数或得东县数于总银内减之余即西县数也此法以总衰除总银得每分五百两以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而后除后法先除而后乘其理一也
　　设如有田二千五百亩令上等户七分种之下等户三分种之问各该几何
　　法以七分三分相并得十分为一率二千五百亩为二率上户七分为三率得四率一千七百五十亩即上户应种田数如以三分为三率得四率七百五十亩即下户应种田数葢十分与二千五百亩之比即七分与一千七百五十亩之比三分与七百五十亩之比也又捷法以三七相并之十分归除总田二千五百亩得每分二百五十亩以三分乘之得下户七百五十亩以七分乘之得上户一千七百五十亩葢一分为二百五十亩而三分得七百五十亩七分得一千七百五十亩也
　　设如以车运物行十里二十刻到今已行七里问尚得几刻到
　　法以十里为一率二十刻为二率以七里与十里相减余三里为三率推得四率六刻即运到刻数也如以七里为三率推得四率十四刻与总二十刻相减余六刻亦即运到刻数也葢十里与二十刻之比即三里与六刻之比七里与十四刻之比也
　　又捷法以十里归除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里为二刻则三里得六刻七里得十四刻也
　　设如种树一千一百六十株按松柏桃栁四色递次三七分种问各该几何
　　法以三百四十三分为松衰一百四十七分为柏衰六十三分为桃衰二十七分为栁衰并之得五百八十分为一率一千一百六十株为二率以三百四十三分为三率得四率六百八十六株即种松之数以一百四十七分为三率得四率二百九十四株即种柏之数以六十三分为三率得四率一百二十六株即种桃之数以二十七分为三率得四率五十四株即种栁之数也
　　又捷法以总衰数五百八十归除总树一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得种松之数以一百四十七分乘之得种柏之数以六十三分乘之得种桃之数以二十七分乘之得种栁之数也此法有四位故以三因九得二十七为栁衰数又递用七因三归为桃柏松之衰数也
　　设如有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三七分织问各该丝几何
　　法以九分为绢衰二十一分为绫衰四十九分为缎衰并之得七十九分为一率丝四百九十七两七钱为二率以缎四十九分为三率得四率三百零八两七钱即缎丝数如以绫二十一分为三率得四率一百三十二两三钱即绫丝数如以绢九分为三率得四率五十六两七钱即绢丝数也
　　又捷法以总衰数七十九分除总丝四百九十七两七钱得每分六两三钱以缎四十九分乘之得缎丝之数以绫二十一分乘之得绫丝之数以绢九分乘之得绢丝之数也此法有三位故以三因三得九为绢之衰数又递用七因三归为绫与缎之衰数葢九与二十一二十一与四十九为相连比例三率而九与二十一之比即二十一与四十九之比也
　　设如编银八百二十八两二钱令甲乙丙丁戊五等户三七徴纳问各户所纳几何
　　法以八十一分为甲衰一百八十九分为乙衰四百四十一分为丙衰一千零二十九分为丁衰二千四百零一分为戊衰并之得四千一百四十一分为一率总银八百二十八两二钱为二率以每人分数各为三率得四率之一十六两二钱即甲所纳银数得四率之三十七两八钱即乙所纳银数得四率之八十八两二钱即丙所纳银数得四率之二百零五两八钱即丁所纳银数得四率之四百八十两二钱即戊所纳银数也
　　又捷法以总衰数四千一百四十一分归除总银八百二十八两二钱得每分二钱以甲乙丙丁戊各人分数乘之即得各人所纳银数也此法有五位故以三因二十七得八十一分为甲之衰数又递用七因三归即得乙丙丁戊各衰数矣
　　设如有田一百三十八亩每亩徴米二斗今七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该几何法以七分为米衰三分为丝衰并之得十分为一率又以徴米二斗乘田一百三十八亩得总米二十七石六斗为二率以米七分为三率得四率一十九石三斗二升即徴米七分之数与总米相减余八石二斗八升为三分折丝之数按米每石折丝一斤则以八石二斗八升用十六两乘之得一百三十二两四钱八分为八斤四两四钱八分即折丝三分之数也此法以徴米二斗乘总田是得总徴米数而三七分之也总米分去七分即本色米数余者折为丝即三分丝数也折丝之法每石既为一斤则八石二斗四升自得八斤四两四钱八分也
　　又捷法以总衰十分归除总米二十七石六斗得每分二石七斗六升以米七分乘之得米数以丝三分乘之得折丝之米数既得折丝之米数而丝之斤两亦得矣
　　四六差分
　　设如有金四千两令上下二等金户六四倾销问各该几何
　　法以六分为上等衰数四分为下等衰数并之得十分为一率共金四千两为二率以六分为三率得四率二千四百两即上等金户倾销之数如以四分为三率得四率一千六百两即下等金户倾销之数此法以四分六分相并之十分与共金四千两之比即如六分与二千四百两之比四分与一千六百两之比也
　　又捷法以总衰十分归除共金四千两得每分四百两以六分乘之得二千四百两为上等金户倾销之数以四分乘之得一千六百两为下等金户倾销之数如先得上等六分金数于共金数内减之其余即下等四分金数也
　　设如有水田三百亩令上下二户四六分灌问各灌若干
　　法以四分六分相并得十分为一率三百亩为二率六分为三率推得四率一百八十亩即上户所灌之田以四分为三率推得四率一百二十亩即下户所灌之田也葢四六相并之十分与三百亩之比即六分与一百八十亩之比四分与一百二十亩之比也
　　又捷法以相并之十分归除总田三百亩得每分三十亩以六分乘之即上户田数以四分乘之即下户田数葢每一分得三十亩而六分得一百八十亩四分得一百二十亩也如或先得六分田数减总田余即四分田数也
　　设如有丝二百五十斤换米每丝一斤换米一石今已换过六分尚余丝四分问已换未换各若干法以四分六分相并得十分为一率将二百五十斤丝变作二百五十石米为二率【每丝一斤换米一石故也】以六分为三率推得四率一百五十石为已换之米数以四分为三率推得四率一百石为未换之米数葢四六相并之十分与二百五十石之比即六分与一百五十石之比四分与一百石之比也
　　又捷法以相并之十分归除总米二百五十石得每分二十五石以六分乘之得已换之一百五十石以四分乘之得未换之一百石葢每一分得二十五石而四分得一百石六分得一百五十石也
　　设如有丝一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六分织问各该几何
　　法以四为甲衰数六为乙衰数九为丙衰数并之得十九为一率总丝一千五百五十八斤为二率以甲四分为三率即得甲丝三百二十八斤以乙六分为三率即得乙丝四百九十二斤以丙九分为三率即得丙丝七百三十八斤此法以总衰十九分与总丝一千五百五十八斤之比即甲四分与三百二十八斤之比乙六分与四百九十二斤之比丙九分与七百三十八斤之比也又捷法以总衰数十九分除总丝一千五百五十八斤得每分八十二斤以甲四分乘之得甲丝三百二十八斤以乙六分乘之得乙丝四百九十二斤以丙九分乘之得丙丝七百三十八斤也
　　设如有田九百七十五亩令甲乙丙丁四人四六分种问每人各得几何
　　法以四分为甲衰六分为乙衰九分为丙衰一十三分半为丁衰并之得三十二分半为一率总田九百七十五亩为二率以甲四分为三率即得甲田一百二十亩以乙六分为三率即得乙田一百八十亩以丙九分丁一十三分半各为三率即得二百七十亩为丙田得四百零五亩为丁田也葢三十二分半与九百七十五亩之比即甲四分与一百二十亩之比乙六分与一百八十亩之比亦即丙九分与二百七十亩之比丁十三分半与四百零五亩之比也又捷法以总衰数三十二分半归除总田九百七十五亩得每分三十亩以甲乙丙丁各衰数乘之即得每人田数也
　　设如有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按六分四分递次运载问各该几何
　　法以四分为戊衰六分为丁衰九分为丙衰一十三分半为乙衰二十分二五为甲衰并之得五十二分七五为一率总粮一千二百六十六石为二率以甲二十分二五为三率得甲运四百八十六石以乙一十三分半为三率得乙运三百二十四石以丙九分为三率得丙运二百一十六石以丁六分为三率得丁运一百四十四石以戊四分为三率得戊运九十六石此法总衰数与总粮之比即各人分数与各人粮数之比也葢六与九九与一三五一三五与二○二五皆同为四六之比例也
　　又捷法以总衰五十二分七五归除总粮一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰数乘之即得各舟运粮之数也
　　设如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交纳上等二十六户下等四十户问各等每户各该几何
　　法以六为上等衰数以上户二十六户乘之得一百五十六为上等二十六户共衰数以四为下等衰数以下户四十乘之得一百六十为下等四十户共衰数并之得三百一十六为一率总米三百八十五石五斗二升为二率以上等六分为三率得四率七石三斗二升为上等一户米数以上等共分数一百五十六为三率得一百九十石三斗二升为上等二十六户共米数如以下等四分为三率得四率四石八斗八升为下等一户米数以下等共分数一百六十为三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米数也
　　又捷法以总衰三百一十六分归除总米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米数以上等共分数乘之得上等共米数以四分乘之得下等一户米数以下等共分数乘之得下等共米数也
　　递折差分
　　设如有熟稻七百九十九亩六分八厘令三人以十分之六收割问每人得几何
　　法以一百为第一人分数六十为第二人分数三十六为第三人分数三分数相并得一百九十六分为一率总稻七百九十九亩六分八厘为二率第一人分数一百为三率得四率四百零八亩即第一人收割田数如以第二人分数六十为三率得四率二百四十四亩八分即第二人收割田数如以第三人分数三十六为三率得四率一百四十六亩八分八厘即第三人收割田数葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百与六十之比即六十与三十六之比递次比例皆十分之六也其得数四百零八亩与二百四十四亩八分之比即二百四十四亩八分与一百四十六亩八分八厘之比亦皆为十分之六也
　　又捷法以总分一百九十六除总田七百九十九亩六分八厘得每一分四亩零八厘以一百分乘之得第一人四百零八亩以六十分乘之得第二人二百四十四亩八分以三十六分乘之得第三人一百四十六亩八分八厘也
　　设如有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七递次贩货出卖问每人该银几何
　　法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数相并得二千五百三十三分为一率总银一千二百六十六两五钱为二率以一千分为三率得四率五百两即第一人银数以七百分为三率得四率三百五十两即第二人银数以四百九十分为三率得四率二百四十五两即第三人银数以三百四十三分为三率得四率一百七十一两五钱即第四人银数葢十分之七递折而下第二人得第一人十分之七则第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰数一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十与七之比例也
　　又捷法以总分二千五百三十三除总银一千二百六十六两五钱得每一分五钱以一千分乘之得第一人五百两以七百分乘之得第二人三百五十两以四百九十分乘之得第三人二百四十五两以三百四十三分乘之得第四人一百七十一两五钱也
　　设如生铜入炉镕化三次每一次去渣十分之二净得上好熟铜二百四十八两问原铜几何
　　法即以十分之八为分数【十分之中去渣二分得净铜八分故以十分之八为比例】以八分为一率十分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率三百一十两为第三次入炉铜数又以八分为一率十分为二率三百一十两为三率得四率三百八十七两五钱为第二次入炉铜数再以八分为一率十分为二率三百八十七两五钱为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也此法因八折三次而转求原数故以八分为一率十分为二率转求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分为一率十分自乘再乘得一千分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法则以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟铜数为三率即得第一次生铜数是合三次乘除而为一次乘除也
　　设如有丝三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分问各得几何
　　法以一千为甲分数八百为乙分数六百四十为丙分数五百一十二为丁分数相并得二千九百五十二分为一率总丝三百六十九斤为二率以每人分数各为三率所得各四率一百二十五斤为甲数一百斤为乙数八十斤为丙数六十四斤为丁数葢十分之八递折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰数一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十与八之比例也如捷法先除后乘须用通分不然则斤数有竒零矣
　　设如有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八问每户该出几何
　　法以一百为上等分数用二十五乘之得二千五百为上等户共分数以六十为中等分数用三十乘之得一千八百为中等户共分数以三十六为下等分数用四十八乘之得一千七百二十八为下等户共分数并之共六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各分数各为三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户数乘各等每户绢数得上等二十五户共出绢一百九十五丈中等三十户共出绢一百四十丈零四尺下等四十八户共出绢一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以总分数六千零二十八分除总绢四百七十丈一尺八寸四分得每一分为七寸八分以各等分数乘之得各等每一户绢数再以各等户数乘之即得各等众户共出绢数也
　　设如有官粮一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次递折交纳一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户问每等每户各纳几何
　　法以一千为一等分数用二十二户乘之得二万二千即一等户共分数以七百为二等分数用三十六户乘之得二万五千二百即二等户共分数以四百九十为三等分数用四十二户乘之得二万零五百八十为三等户共分数以三百四十三为四等分数用四十八户乘之得一万六千四百六十四为四等户共分数并之共八万四千二百四十四分为一率总粮一百六十八石四斗八升八合为二率以一千分为三率得四率一等每户二石以共户数乘之得共纳四十四石以七百分为三率得四率二等每户一石四斗以共户数乘之得共纳五十石零四斗以四百九十分为三率得四率三等每户九斗八升以共户数乘之得共纳四十一石一斗六升以三百四十三分为三率得四率四等每户六斗八升六合以共户数乘之得共纳三十二石九斗二升八合也又捷法以总分数八万四千二百四十四除总粮一百六十八石四斗八升八合得每一分为二合以各等分数乘之得各等每一户粮数再以各等户数乘之即得各等众户共纳粮数也
　　加倍减半差分
　　设如一人读书日加一倍三日共读三千四百六十五字问每日所读几何
　　法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数并之得七分为一率总字三千四百六十五为二率一分为三率得四率四百九十五字即第一日所读之数倍之得九百九十字即第二日所读之数又倍之得一千九百八十字即第三日所读之数也葢加倍者是第二日增于第一日一倍第三日又增于第二日一倍倍数多者由此递加如二与四四与八八与十六之类皆为加一倍之比例也
　　设如一人织绢日加一倍至第四日织成六丈七尺五寸问每日织几何
　　法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数八为第四日分数并之得十五分为一率总绢六丈七尺五寸为二率一分为三率得四率四尺五寸即第一日之数倍之得九尺为第二日之数又倍之得一丈八尺为第三日之数又倍之得三丈六尺为第四日之数四数相加共得六丈七尺五寸以合原数也
　　设如一人借银为商三次每次得利银比本银加一倍每次还人二百两三次之后本利还尽问原本银若干
　　法以一为本银分数二为第一次本利共分四为第二次本利共分八为第三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分并之得七分与每次还人二百两相乘得一千四百两为三率得四率一百七十五两即原本银数也葢每次得利银比本银加一倍则原本银为一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未还人计也然每次还人二百两三次之后本利还尽若第三次不还则得二百两者一分第二次不还则至第三次必得二百两者二分第一次不还则至第三次必得二百两者四分【以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四分】是第三次应得二百两者七分而为一千四百两矣故以八分与一分之比同于一千四百两与一百七十五两之比也
　　又法以二百两用三次还银共分七乘之得一千四百两折半三次亦得本银之数葢折半三次即以八除也
　　设如一人卖酒每日比原数加一倍一日卖一斤六日卖尽问原酒若干
　　法以一为原酒分数按六日加倍六次得六十四分为一率原酒一分为二率又以一为第六次卖酒分二为第五次卖酒分四为第四次卖酒分八为第三次卖酒分十六为第二次卖酒分三十二为第一次卖酒分并之得六十三分与每斤十六两相乘得一千零八两为三率得四率十五两七钱五分即原酒数也
　　又法以每斤十六两用六次卖酒共分六十三乘之得一千零八两折半六次亦得原酒之数葢折半六次即以六十四除也
　　设如有田一千二百亩分与甲乙丙丁四人种之自上以下递减一半问各该若干
　　法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分并之得十五分为一率田一千二百亩为二率以甲八分为三率得四率六百四十亩即甲田数以乙四分为三率得四率三百二十亩即乙田数以丙二分为三率得四率一百六十亩即丙田数以丁一分为三率得四率八十亩即丁田数如以甲田六百四十亩折半即乙田数以乙田三百二十亩折半即丙田数以丙田一百六十亩折半即丁田数也
　　设如有银一万八千零八十八两令甲乙丙三人减半分之问各该几何
　　法以四为甲分数二为乙分数一为丙分数并之得七分为一率总银一万八千零八十八两为二率以甲四分为三率得四率一万零三百三十六两即甲所得银数以乙二分为三率得四率五千一百六十八两即乙所得银数以丙一分为三率得四率二千五百八十四两即丙所得银数也葢减半者即自上而下折半减之也如四折半为二二折半为一是也今以甲银一万零三百三十六两折半即得乙银五千一百六十八两将乙银再折半即得丙银二千五百八十四两也
　　设如有银三千一百六十两分与三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之银减一倍第三等比二等之银减一倍问各等每人分银几何
　　法以四为一等分数二为二等分数一为三等分数以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三数相并共得一百五十八分为一率总银三千一百六十两为二率四分为三率得四率八十两为第一等每人所得银数减半得四十两为二等每人所得银数又减半得二十两为三等每人所得银数以各等人数乘各等每人所得银数即各等共人所得共银数并之以合原银数也

　　御制数理精蕴下编卷四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷五
　　线部三
　　按数加减比例【递加递减差　分超位加减差分互□□平　差分首尾互凖】

　　按数加减比例
　　差分之内又有按数递加递减或互和折半者皆为相当比例其法有四一曰递加递减差分盖所加所减之中递次数目皆同者也一曰超位加减差分乃加减之中彼此分数不同者也一曰互和折半差分盖立法以首尾二数之较互和折半以求中数而递加递减者也一曰首尾互准差分乃以前几分之数与后几分之数互相比较或以前几分与后几分定为同数以立准则然后立衰数以求之者也然超位加减即递加递减之一类也首尾互凖又为互和折半之变体也
　　递加者其数自少而多以渐而加也递减者其数自多而少以渐而减也加减之数递次皆同故以递次名之法中有三色者以总法比总实即得中一数凡单位者俱按此例如五色七色九色之类是也有四色者以总法比总实得中二数相和折半之数凡双位者皆按此例如六色八色十色之类是也既得中数按定数加减则各色之数可得矣
　　超位加减者加减之中递次分数不同即如三人分银若干一得三分一得五分一得八分而彼此分数之比例不同又如三人买物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故谓之超位加减然立衰分求之与递次加减无异故次于递次加减之后
　　互和折半者亦如递次加减之理但用法防异递次加减知总物数知总人数并知递加递减之数以求各数互和折半则亦知总物数总人数但知首一人比末一人之较数而求递加递减之数以得各数是以三色者第一数第三数相和折半即第二数四色者第一数第四数相和折半即第二数第三数之中数既得中数按较数之分加减之即得递加之数五色六色以至多位者止分竒偶立法总以三四为例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互准者即互和折半之变体盖互和折半知总物数知总人数又知首一人比末一人之较数因此较数而得各人分数首尾互准则不知总物数但知总人数与首尾二人各分数或但知首尾几位共分数由此互相准折而得各项分数与总数要之但以互和折半之法逆推之而即得故次于互和折半之后焉
　　递加递减差分
　　设如有金六十两令甲乙丙三人依次递加五两分之问各得几何
　　法以三人为一率金六十两为二率一人为三率推得四率二十两即乙应得之数自乙数加五两得二十五两即丙应得之数自乙数减五两得十五两即甲应得之数也此法因甲丙二人所得较之乙所得加减之数皆同故以总三人与总六十两之比即若中一人与中一分二十两之比也
　　设如有铅三百五十斤欲作四球依次递加二十五斤问每球重数若干
　　法以四球为一率铅三百五十斤为二率一球为三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之数乃以递加二十五斤折半得十二斤半与八十七斤半相加得一百斤即第三球之重与八十七斤半相减余七十五斤即第二球之重于第三球重数内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重于第二球重数内再减二十五斤余五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半较之第二球多十二斤半较之第三球则少十二斤半故为二球相和折半之数以递加二十五斤之数折半加减之即得中二球之重再以二十五斤加减之即得第一与第四球之重也
　　设如有金七十五斤分与公侯伯子男五等自男以上递加五斤问各该几何
　　法以五人为一率金七十五斤为二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之数自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之数再加五斤得二十五斤即公所得之数自伯十五斤而下减五斤余十斤即子所得之数再减五斤余五斤即男所得之数也
　　设如有俸粮三百零五石令五等官依品级递减十三石给之问各得若干
　　法以五分为一率【即五等官五分也】粮三百零五石为二率一分为三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石递加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石递减十三石得四等四十八石五等三十五石也
　　设如有银九百九十六锭分给八人自末名以上依次递加十七锭问首末两人各该几何
　　法以八人为一率银九百九十六锭为二率一人为三率推得四率一百二十四锭半为第四人第五人相和折半之数乃以递加十七锭折半得八锭半与一百二十四锭半相加得一百三十三锭即第四人应得之数再以十七锭递加三次得一百八十四锭即第一人应得之数以八锭半与一百二十四锭半相减余一百一十六锭即第五人应得之数再以十七锭递减三次余六十五锭即第八人应得之数也
　　设如一人有九子不明説出各人岁数但云共有二百零七岁自长至少皆递差三嵗问各岁几何法以九分为一率【即以九子为九分也】二百零七岁为二率一分为三率推得四率二十三岁即第五子之年自二十三嵗递加三岁得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二岁长子三十五岁自二十三岁递减三嵗得六子二十岁七子十七嵗八子十四岁九子十一岁也
　　设如有叙功之二十人其末一人赏银一百两以上递加三十两问第一人赏银几何共赏银几何法以一分为一率递加三十两为二率十九分为三率推得四率五百七十两即第一人比末一人共多之数于此数内加入末名之一百两共六百七十两即第一人应得之数以第一人所得之数与末一人所得之数并之共七百七十两复以二十人乘之得一万五千四百两折半得七千七百两即二十人共得之银数也此法盖以第一人比第二十人共多十九个三十两故以一分与递加之三十两相比即如十九分与第一人共多于第二十人之五百七十两相比也既得十九分共多之数再加入末一人之一百两即得第一人应得之数矣又首末二数相并以人数二十乘之折半得其银数者盖以递加之数彼此均同首一人得数至多末一人得数至少首末二人之数相并折半即为中数以中数乘人数而得共数今首末二人之数相并而末折半即用人数乗之故所得之数为应得共数之加倍数是以半之而始得共银数也
　　设如有牛四十区但云第一区是三十头余递加二十头问第四十区该几何总数几何
　　法以一分为一率递加二十头为二率三十九分为三率推得四率七百八十加入第一区之三十共八百一十头即第四十区之数以首末二区数相并共八百四十头用四十区乗之得三万三千六百头折半得一万六千八百头即四十区之总数也此法第二区比第一区加二十由此递加则第四十区比第一区共多三十九个二十故以一分与二十头相比即如三十九分与第四十区共多于第一区之七百八十头相比也再加入第一区之三十头即第四十区之数继而并首末两数以总区数四十乗之折半即得共数也
　　设如有人一百名第一人赏银一百两以下递减五钱问共该银几何
　　法以一分为一率递减五钱为二率九十九分为三率推得四率四十九两五钱即第一名多于第一百名之数于一百两内减之余五十两零五钱即第一百名应赏之数又与第一名赏银相并得一百五十两零五钱以一百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即共赏银数也盖赏银递减五钱则第一名比第一百名多九十九个五钱故以一分与五钱相比即如九十九分与第一名总多于第一百名之数相比也爰以首尾两数相并以名数一百乗之折半而得总银数也
　　设如一人染绢初日染八尺日加一尺加至六十尺止问日与绢各几何
　　法以初日之八尺与末日之六十尺相加得六十八尺为首尾两日共染之绢数又看八尺以前递减至一尺有几分今有七分即为七尺乃于末日之六十尺减去七尺余五十三尺即为共日五十三日乃以二日为一率六十八尺为二率五十三日为三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之绢数也此法以二日为一率者取其首末相合之共日为准也以初日末日之尺数相并为二率者取其首末尺数相合与首末两日为比也以八尺递减至一尺而得日数为三率者盖以初日之八尺
　　【十尺内减】上数至一尺得数必为七分【理与一面尖堆法同】即爲七尺而今有之末日六去七尺余五十三尺即为五十三日故二日与首末相合之尺数相比即如共日五十三日与共绢之尺数相比也
　　设如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问共行几日及初日末日各行几里
　　法以初末两日行数一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率推得四率四日即共行日数也又以日増六里折半得三里与六里相并得九里加于中数八十里得八十九里即第四日所行之数减于中数八十里余七十一里即第一日所行之数也此法以第四日第一日行数相并折半者为得四日之中数既得四日之中数与一日之比即如共数与四日之比也又以日増之数折半而与日増之数相并加于中数而得末日所行之数减于中数而得初日所行之数者其所得之中数在第二日第三日之间故此中数内加日増数之半即得第三日所行之数减日増数之半即得第二日所行之数故再加日増数之全而得末日所行之数再减日増数之全而得初日所行之数也
　　设如一人织布厯十三日共织一千三百五十二寸因日渐长每日加功六寸至末日比初日多织七十二寸问初末二日各织几何
　　法以十三日为一率共织数一千三百五十二寸为二率一日为三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中数为第七日所织之数以第七日上计初日下计末日俱得六分于是以六分与日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内减之得六十八寸即初日所织之数于第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所织之数也此法虽求初末两日之数然以十三日与总织数之比即一日与初末两日中数之比既得中数按分加之何所不得此又递次加减法中之又一例也
　　设如有田七百二十亩令甲乙丙三戸依次递减分耕问各该几何
　　法以三分为甲衰数二分为乙衰数一分为丙衰数相并得六分为一率总田七百二十亩为二率一分为三率推得四率一百二十亩为一分即丙所耕之数以二分因之得二百四十亩即乙所耕之数以三分因之得三百六十亩即甲所耕之数也此法并总衰分为一率总田数为二率者是将总衰分比总田数故六分得七百二十亩而一分得一百二十亩也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲递次至乙至丙皆减一百二十亩故为递减也凡命法中不定所减分数者即以此法为例
　　设如有银九十二两令伯仲叔季四人递减分之问各得几何
　　法以四分为伯衰数三分为仲衰数二分为叔衰数一分为季衰数相并得十分为一率总银九十二两为二率一分为三率推得四率九两二钱即季所得之数以二分因之得一十八两四钱即叔所得之数以三分因之得二十七两六钱即仲所得之数以四分因之得三十六两八钱即伯所得之数也此法以十分比总银即如总银分为十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯递次至季皆减一分故谓之递减差分也
　　设如有金一十二两六钱欲挨次递减造套杯六个问各重若干
　　法以六五四三二一为六杯衰分并之得二十一分为一率共金数一十二两六钱为二率一分为三率推得四率六钱即第六杯之重以二分因之得一两二钱即第五杯之重以三分因之得一两八钱即第四杯之重以四分因之得二两四钱即第三杯之重以五分因之得三两即第二杯之重以六分因之得三两六钱即第一杯之重也此法以总分比总银即如以一分比末一杯之重也以上递加一分即各杯之重矣
　　设如有粮一千一百三十四石令五等戸递减纳之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户问各等每戸应纳若干法以五四三二一为五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分总并之得五百四十分为一率总粮一千一百三十四石为二率一分为三率推得四率二石一斗即五等每户所纳之数以二分因之得四石二斗即四等每户所纳之数以三分因之得六石三斗即三等每户所纳之数以四因之得八石四斗即二等每戸所纳之数以五因之得十石五斗即一等每戸所纳之数也
　　超位加减差分
　　设如甲丙丁三人买房一所共价八百一十两丙比甲出银加一倍丁比甲丙共出银又加一倍问每人各出几何
　　法以一分为甲衰数加一倍得二分为丙衰数又以甲一分丙二分相并为三分复加一倍得六分为丁衰数相并得九分为一率总银八百一十两为二率以甲一分为三率得四率九十两即甲所出银数加一倍得一百八十两即丙所出银数将甲丙共银复加一倍得五百四十两即丁所出银数也此法以一分为甲数加一倍为丙数者因丙比甲银多一倍也又共甲丙两数加一倍为丁数者因丁比甲丙共银又多一倍也故以所命各人分数相并得共分数以此共分数比共银数即如各人分数比各人所出银数也
　　设如有银五千两买马四匹园一区宅一所其园价比马价多三倍而宅价比园价又多四倍问各价几何
　　法以一分为马衰数加三倍【为三分】得四分为园衰数又将园四分加四倍【为十六分】得二十分为宅衰数相并得二十五分为一率总价五千两为二率马一分为三率推得四率二百两即马四匹之价【马每匹价五十两】加三分六百两得八百两即园一区之价再将园价加四分三千二百两得四千两即宅一所之价也此法将马为一分而加三分为园价者因园价比马价多三倍也又将园价为一分而加四分为宅价者因宅价比园价又多四倍也是以共分之比共价即如马四匹之一分比各色每一分之价也
　　设如有粮七百六十石以船三次运之第一次运十分二次运七分三次运二分问每次运粮几何法以十分七分二分相并得十九分为一率共粮七百六十石为二率十分为三率得四率四百石即第一次所运之数如以七分为三率得四率二百八十石即第二次所运之数如以二分为三率得四率八十石即第三次所运之数也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰数分数已明故即以运分作衰分也
　　设如有铜一百八十两依次递减造三等仪器上等比中等加二倍中等比下等加一倍问三等仪器各得铜几何
　　法以一分为下等衰数二分为中等衰数二分加二倍得六分为上等衰数并之得九分为一率共铜一百八十两为二率下等之一分为三率推得四率二十两即下等仪器之重加一倍得四十两即中等仪器之重又加二倍得一百二十两即上等仪器之重也此法命一分为下等数故加倍为中等数而得二分复以二分加二倍为上等数故上等数又为六分也
　　设如有银七十两买骆驼马驴各一匹而价之多少不等但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价几何
　　法以一分为驴衰数四分为马衰数九分为驼衰数并之得十四分为一率银七十两为二率驴一分为三率推得四率五两即驴一匹之价以四分因之得二十两即马一匹之价以九分因之得四十五两即驼一匹之价此法因驼价为九分故即以九为衰数且两分母俱同为九分而马居九分之四故即以四为马分驴居九分之一故即以一为驴分也既得驴价取其四分即马价取其九分即驼价也
　　设如一人为商三次初次获利比原银多二倍二次获利比初次本利共银多四倍三次获利比二次本利共银又多三倍共计获利并原银得九百两问原银几何
　　法以一分为初商原银衰数加二倍得三分为初次本利共分又比三分加四倍得十五分为二次本利共分又比十五分加三倍得六十分为三次本利共分即以此六十分为一率三次本利共银九百两为二率一分为三率推得四率一十五两即原银数也此法初次加二倍是原银之外加二倍也又加四倍是比初次本利共银之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共银之外又加三倍也故以总分比总银即如一分之比原银也
　　设如有米二十四石分与四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各该几何
　　法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相并得二十五分为一率共米二十四石为二率一分为三率推得四率九斗六升乃每一分之数以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分为三率故得每人一分之数如以各人分数各为三率即得各人之全分矣
　　设如有银九十二两赏二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等赏加一倍上等比中等赏加二倍问各等每人得赏几何法以一分为下等衰数乗下等十人得十分又将一分加一倍得二分为中等衰数乗中等六人得十二分又将二分加二倍得六分为上等衰数乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相并得四十六分为一率总银九十二两为二率下等一分为三率推得四率二两即下等每人应得之数将二两加一倍得四两即中等每人应得之数将四两再加二倍得十二两即上等每人应得之数复以各等人数乗各等每人应得之数即得上等四人共得四十八两中等六人共得二十四两下等十人共得二十两也此法以下等一分为三率故得下等每人一分之数按分倍加而得中等上等如以各等众人分数各为三率即得各等之共数矣
　　设如有米五百三十五石赏与三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问三等每名各得几何
　　法以二等比三等每名多五斗与二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗与二等比三等每名多五斗相加得十二斗与一等二十名相乗得二百四十斗两数相并得四百九十斗乃于总米五百三十五石内减之余四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率推得四率二石七斗即三等毎一人应得之数加五斗得三石二斗即二等毎一人应得之数再加七斗得三石九斗即一等每一人应得之数也此法以二等比三等毎名多五斗与二等五十人相乗者是求二等比三等共多之数又以一等比二等毎名多七斗并二等比三等毎名多五斗与一等二十人相乗者是求一等比三等共多之数也既得一等二等共多于三等之数于总数内减之所余即三等相并共一百八十人均分之数故以一百八十人比总米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之数于第二等每一人数内再加七斗即得第一等每一人所得之数矣
　　互和折半差分
　　设如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石问各该若干
　　法以三人为一率总米一百八十石为二率一人为三率推得四率六十石即乙应得之数次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石于乙数内加之得七十八石即甲应得之数于乙数内减之得四十二石即丙应得之数也此法盖以三人共得之数比一人所得之数其一人所得之数即中一人应得之数甲多乙几何即乙多丙几何而甲多丙之数又为甲多乙之倍数故以甲多丙之数分为二分于中数内一加一减则彼此相较之数自得均平故谓之互和折半也
　　设如有银二百四十两令赵钱孙李四人互和折半分之但知赵多李一十八两问各该若干
　　法以四人为一率总银二百四十两为二率一人为三率推得四率六十两即钱孙中二人相和折半之数次取赵多李十八两之数以三归之【以三立法者用二归以四立法者用三归盖以之相比而得较也】得六两即四人递加之数折半得三两乃中二人相和折半数与中二人应得数之较以此三两加于六十两得六十三两即钱银数减于六十两余五十七两即孙银数钱银数内再加六两得六十九两即赵银数孙银数内再减六两余五十一两即李银数也此法盖以四人共得之数比一人应得之数其一人应得之数固非四人平分之数故比例所得六十两为钱孙二人之中数较之钱数少三两较之孙数多三两故于六十两中加三两即钱数减三两即孙数既得钱孙中二人数则首末二人只按分数加之而已
　　设如有兵二万三千八百令甲乙丙丁戊五将互和折半领之只云戊少甲三千三百六十问各将所领若干
　　法以五分为一率兵数二万三千八百为二率一分为三率推得四率四千七百六十即丙所领之数又取戊少甲之三千三千六十以四归之【此有五人而较为四故用四归也】得八百四十为平分加减之数自丙数而上递加之得五千六百即乙所领之数得六千四百四十即甲所领之数由丙数而下递减之得三千九百二十即丁所领之数得三千零八十即戊所领之数也
　　设如有稻一百九十八亩令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十亩问各该收稻几何法以六人为一率总田一百九十八亩为二率一人为三率推得四率三十三亩即丙丁中二人相和折半之数次取甲多己三十亩以五归之得六亩折半得三亩加于三十三亩得三十六亩即丙收数再加六亩得四十二亩即乙收数再加六亩得四十八亩即甲收数又以折半三亩减于三十三亩余三十亩即丁收数再减六亩余二十四亩即戊收数再减六亩余十八亩即己收数此法因三十三亩为丙丁二人之中数较之丙少三亩较之丁多三亩故以丙与丁总差六亩折半加减之即得也
　　首尾互准差分
　　设如甲乙丙丁四人递次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙各得银几何
　　法以三分为甲多于丁之衰数【有四人故用三分如或五人则用四分六人则用五分】为一率甲六十九两与丁五十一两相减余一十八两为二率一分为三率推得四率六两即四人所得递加之数将丁银五十一两加六两得五十七两即丙应得之数再加六两得六十三两即乙应得之数也盖甲数最多丁数最少相差一十八两由丁至丙至乙至甲相隔三位则知有三差故用三分比一十八两即如一分比六两而为递加数也若三色者以首尾两数相加折半即中数其法易求故不设例
　　设如五人递次络丝第一人络丝四十两第五人络丝二十四两问中三人各络丝几何
　　法以四分为第一人多于第五人之衰数为一率第一第五两数相减余一十六两为二率一分为三率推得四率四两即五人络丝递加之数将第五人络丝二十四两加四两得二十八两即第四人所络之数再加四两得三十二两即第三人所络之数再加四两得三十六两即第二人所络之数也此法用四为除法葢第五与第一相隔四位则知有四差故用四为比例也
　　又捷法以第一第五两数相加折半得三十二两即第三人所络之数又以第一第三两数相加折半得三十六两即第二人所络之数复以第三第五两数相加折半得二十八两即第四人所络之数此法即前互和折半之法凡位数竒者俱可用如三五七九是也
　　设如七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五人第六人第七人共运二十六石一斗其递加之数俱相等问第三人第四人与前后五人各运几何
　　法以第一第二两人共运二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一第二两人相和折半之数第五第六第七三人共运二十六石一斗三归之得八石七斗即第六人应运之数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一第二两人相和折半之十一石八斗五升内减第六人之八石七斗余三石一斗五升为二率一分为三率推得四率七斗即每人递加之数由第六人八石七斗而下减七斗得八石即第七人应运之数由第六人八石七斗而上递加七斗得九石四斗即第五人应运之数得十石一斗即第四人应运之数得十石八斗即第三人应运之数得十一石五斗即第二人应运之数得十二石二斗即第一人应运之数也此法盖因第一人第二人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人则差四分半故先以第一第二之中数与第六相减得其四分半之差数而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三斗即如一分比每人递加之七斗也
　　设如八人分银不言总数但知第一第二第三三人共得四十五两第七第八二人共得八十五两其递加之数俱相等问各人应得若干
　　法以前三人共得银数四十五两用三归之得十五两即第二人应得之数后二人共得八十五两折半得四十二两五钱即第七第八两人相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二人应得之十五两与后二人相和折半之四十二两五钱相减余二十七两五钱为二率一分为三率推得四率五两即每人递加之数于第二人十五两内减五两即得第一人十两于第二人十五两外递加五两即得第三人二十两第四人二十五两第五人三十两第六人三十五两第七人四十两第八人四十五两之数也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八两人相和折半之数则差五分半故先以第二与第七第八之中数相减得其五分半之差数而以五分半比后二人相和折半多于第二人之数即如每一分比每人递加之数也
　　设如八人分米不言总数但知第一第二两人共得一十一石九斗第七第八两人共得八石三斗其递加之数俱相等问每人应得若干
　　法以第一第二两人共数一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二两人相和折半之数再以第七第八两人共数八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二两人相和折半之五石九斗五升内减第七第八两人相和折半之四石一斗五升余一石八斗为二率一分为三率推得四率三斗即每人递加之数折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之数以次递减三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之数也此法盖因第一第二两人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八两人相和折半之数则差六分故先以第一第二之中数与第七第八之中数相减得其六分之差数而以六分比第一第二相和折半多于第七第八相和折半之数即如每一分比每人递加之数也又以第一第二之中数比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之数即得第一人之数也
　　设如有竹九节截为九筩盛米递次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九节各盛米数几何
　　法以根底第一第二第三三节共盛米三升九合用三归之得一升三合即第二节盛米之数梢上第六第七第八第九四节共盛米三升用四归之得七合五勺即第七第八两节相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二节盛米一升三合内减第七第八两节相和折半之七合五勺余五合五勺为二率一分为三率推得四率一合即每节递加之数自第二节盛米一升三合而上加一合即得第一节盛米一升四合自第二节盛米一升三合而下递减一合即得第三节盛一升二合第四节盛一升一合第五节盛一升第六节盛九合第七节盛八合第八节盛七合第九节盛六合也
　　设如有竹九节截为九筩盛米但知根底二节盛米六升三合梢上二节盛米二升一合问各节所盛米数若干
　　法以根底二节共盛米六升三合折半得三升一合五勺为第一第二两节相和折半之数梢上二节共盛米二升一合折半得一升零五勺为第八第九两节相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第八分第九分之中数八分半相减余七分为一率第一第二两节相和折半之三升一合五勺内减第八第九两节相和折半之一升零五勺余二升一合为二率一分为三率推得四率三合即毎节递加之数折半得一合五勺加于第一第二两节相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一节盛米之数以次递减三合即得第二节盛三升第三节盛二升七合第四节盛二升四合第五节盛二升一合第六节盛一升八合第七节盛一升五合第八节盛一升二合第九节盛九合也
　　设如十人按数挨次纳粮前三人共纳一十三石八斗后四人共纳一十三石二斗问十人各纳粮数若干
　　法以前三人共纳一十三石八斗用三归之得四石六斗为第二人所纳之数后四人共纳一十三石二斗用四归之得三石三斗为第八第九两人相和折半之数乃以第二分与第八分第九分之中数八分半相减余六分半为一率第二人之四石六斗内减第八第九两人相和折半之三石三斗余一石三斗为二率一分为三率推得四率二斗即每人递加之数自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所纳之数自第二人四石六斗以下递减二斗得四石四斗即第三人所纳之数得四石二斗即第四人所纳之数得四石即第五人所纳之数得三石八斗即第六人所纳之数得三石六斗即第七人所纳之数得三石四斗即第八人所纳之数得三石二斗即第九人所纳之数得三石即第十人所纳之数也
　　设如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人递减纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数相等问五人各纳几何
　　法以四分为甲多于戊之衰数【自甲至乙至丙至丁至戊隔四位故以四分为衰数】三分为乙多于戊之衰数并之为七分以二分为丙多于戊之衰数一分为丁多于戊之衰数并之为三分乃以三分与七分相减余四分为前二人多于后三人之较又以前二人与后三人相减余一人为后三人多于前二人之较夫前多四分后多一人而其数相等则四分即为一人之数乃以一人为一率四分为二率戊一人为三率推得四率仍得四分即定为戊一人之分数各加毎人所多衰数则甲得八分乙得七分并之得十五分丙得六分丁得五分并戊之四分亦得十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得三十分为一率总米二百四十石为二率一分为三率推得四率八石即每一分之数用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石并之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石并之亦共得一百二十石是甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等也
　　设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人递加分之定甲乙丙丁四人与戊己二人分数相等问六人各分几何
　　法以一分为乙多于甲之衰数二分为丙多于甲之衰数三分为丁多于甲之衰数并之为六分四分为戊多于甲之衰数五分为己多于甲之衰数并之为九分乃以六分与九分相减余三分为后二人多于前四人之较又以前四人与后二人相减余二人为前四人多于后二人之较夫前多二人后多三分而其数相等则三分即为二人之数乃以二人为一率三分为二率甲一人为三率推得四率一分五【即一分半也】即定为甲一人之分数各加每人所多衰数则乙得二分半丙得三分半丁得四分半并甲乙丙丁四人数得十二分戊得五分半己得六分半并戊己二人数亦得十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得二十四分为一率总银六百两为二率一分为三率推得四率二十五两即每一分之数用甲一分半乗之得甲三十七两五钱用乙二分半乗之得乙六十二两五钱用丙三分半乗之得丙八十七两五钱用丁四分半乗之得丁一百一十二两五钱并四人数共得三百两用戊五分半乗之得戊一百三十七两五钱用己六分半乗之得己一百六十二两五钱并二人数亦共得三百两是甲乙丙丁四人银数与戊己二人银数等也
　　设如有麦一千零八亩令七人递减分收定前三人与后四人所得共数相同问七人各收麦几何法以六分为第一人比第七人所多衰数【自第一至第七隔六位故以六为衰数】五分为第二人比第七人所多衰数四分为第三人比第七人所多衰数并之为十五分三分为第四人比第七人所多衰数二分为第五人比第七人所多衰数一分为第六人比第七人所多衰数并之为六分乃以六分与十五分相减余九分为前三人多于后四人之较又以前三人与后四人相减余一人为后四人多于前三人之较夫前多九分后多一人而其数相等则九分即为一人之数乃以一人为一率九分为二率末一人为三率推得四率仍为九分即定为第七人之分数各加每人所多分数则第一人得十五分第二人得十四分第三人得十三分并之为四十二分第四人得十二分第五人得十一分第六人得十分第七人得九分并之亦为四十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得八十四分为一率麦一千零八亩为二率一分为三率推得四率十二亩即毎一分之数用十五分乗之即得第一人一百八十亩用十四分乗之即得第二人一百六十八亩用十三分乗之即得第三人一百五十六亩并三人数共得五百零四亩用十二分乗之即得第四人一百四十四亩用十一分乗之即得第五人一百三十二亩用十分乗之即得第六人一百二十亩用九分乗之即得第七人一百零八亩并四人数亦共得五百零四亩是前三人亩数与后四人亩数等也
　　设如有粮一千零九十二石令七次递减运送定前二次与后五次运送之数相等问每次运送几何法以十八分为第一次比第七次所多之衰数【自第一次至第七次相隔六位应以六分为衰数是为每次递加一分今将六分用三因之为十八分是为每一次递加三分故各衰五四三二一俱用三因其比例仍同也】十五分为第二次比第七次所多之衰数并之为三十三分十二分为第三次比第七次所多之衰数九分为第四次比第七次所多之衰数六分为第五次比第七次所多之衰数三分为第六次比第七次所多之衰数并之爲三十分乃以三十分与三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次与前两次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多三次而其数相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率推得四率一分即为第七次之分数各加每次所多衰数第一次得十九分第二次得十六分并之得三十五分第三次得十三分第四次得一十分第五次得七分第六次得四分并第七次之一分亦得三十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得七十分为一率总粮一千零九十二石为二率一分为三率推得四率一十五石六斗即第七次一分所运之数用十九分乗之得二百九十六石四斗即第一次所运之数用十六分乗之得二百四十九石六斗即第二次所运之数并两次共得五百四十六石用十三分乗之得二百零二石八斗即第三次所运之数用一十分乗之得一百五十六石即第四次所运之数用七分乗之得一百零九石二斗即第五次所运之数用四分乘之得六十二石四斗即第六次所运之数并第七次所运之一十五石六斗亦共得五百四十六石是前二次运送粮数与后五次运送粮数等也

　　御制数理精蕴下编卷五
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷六
　　线部四
　　和数比例
　　较数比例

　　和数比例
　　比例之中有合率而复有和数者将几比例之率合为一比例故谓之合率至于有总数又有分数以分数合而与总数相比则谓之和数其在九章总名差分而其实总不越比例之理故今质名之曰和数比例其立法有以实数与实数比者如合众人数与总物数之比即若每人数与每物数之比是也有以所立衰数与实数比者如合众衰数与总物数之比即若每人衰数与每物数之比是也又或以加倍数成率者其得数亦为加倍之数或以两数相乗而成率者其得数亦为两数相乗之数要之皆以比例而得故于各条详加解説以明其故焉
　　设如南北二商合本贸易南出本银一百五十两北出本银二百五十两共得利银一千两按各人所出本银之分分之问二人各得利银几何
　　法以南出本银一百五十两与北出本银二百五十两相并得四百两为一率利银一千两为二率南出本银一百五十两为三率推得四率三百七十五两即南所分利银数于共利一千两内减三百七十五两余六百二十五两即北所分利银数也如以二人本银共四百两为一率二人共利一千两为二率北出本银二百五十两为三率推得四率六百二十五两即北所分利银数也此法盖以二人共本比共利即如每人各本比各利而为相当比例四率也又捷法以二人共出本银四百两归除二人共得利银一千两得每一两之利为二两五钱乃与各人本银数相乗即得各人所分利银数此又以每一两之利与各人所出本银之利相比而得也
　　设如赵周冯三人合伙生理赵出本银一千两周出本银八百两冯出本银六百两共得利银一千二百两按各人所出本银之分分之问三人各得利银几何
　　法以三人各出本银相并得二千四百两为一率三人共得利银一千二百两为二率三人所出本银数各为三率推得各四率赵五百两周四百两冯三百两即为各人所得利银数也若用捷法则以三人所并本银二千四百两归除共得利银一千二百两得每一两之利为五钱按各人本银数乗之即各人所得利银数也
　　设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两得利银一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各人原本银若干
　　法以共利银一百九十两为一率共本银一千五百二十两为二率每分利银各为三率推得各四率甲本银为九百六十两乙本银为三百二十两丙本银为二百四十两如用捷法则以共利银一百九十两归除共本银一千五百二十两得每一两利银之本银为八两乃以八两乗各人利银分数即得各人本银之数矣
　　设如甲丙戊三人合本贸易共得利银三千二百二十两甲本银三千六百两丙本银五百一十两戊本银不知其数但知该分利银四百八十两问其本银若干
　　法以三人共得利银三千二百二十两内减戊之利银四百八十两余二千七百四十两为一率甲丙二人本银相并得四千一百一十两为二率戊利银四百八十两为三率推得四率七百二十两即戊之本银数也此法于总利中减去戊利银所余者即甲丙二人之利银故以甲丙二人之共利银与甲丙二人之共本银相比即若戊一人之利银与戊一人之本银相比也
　　设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两今得本利共银一千七百一十两甲分本利共银一千零八十两乙分本利共银三百六十两丙分本利共银二百七十两问三人所分本利各若干法以三人所得本利共银一千七百一十两为一率共出本银一千五百二十两为二率各人所分本利共银各为三率推得各四率甲本银九百六十两乙本银三百二十两丙本银二百四十两即为各人本银数以各人本银减各人共银甲得利银一百二十两乙得利银四十两丙得利银三十两即各人利银数也
　　设如有三人合本贸易第一人出本银五百两系七成第二人出本银一千两系八成第三人出本银一千五百两系九成共得利银二千两皆系十成问每人应得利银若干
　　法以各人所出本银数与各银成色相乗第一人得三百五十两第二人得八百两第三人得一千三百五十两三数相加共得二千五百两为一率共得利银二千两为二率毎人所得相乗之数【第一人三百五十两第二人八百两第三人一千三百五十两】各为三率推得各四率第一人得二百八十两第二人得六百四十两第三人得一千零八十两即各人应得之利银数也此法以各银成色乗各人银数者是将各银成色俱变作十成银也如第一人七成银五百两变作十成银止得三百五十两第二人八成银一千两变作十成银止得八百两第三人九成银一千五百两变作十成银止得一千三百五十两并之得十成银二千五百两故以总十成银二千五百两与共利银二千两之比即若毎人十成本银与每人应得利银之比也
　　设如甲丙戊三商合本贸易其所出本银多寡不同时日亦不同甲出本银六百两系八个月丙出本银四百五十两系六个月戊出本银五百两系十个月共得利银一千两问各人应分利银几何法以各人本银与各人月分相乗甲得四千八百两丙得二千七百两戊得五千两三数相并得一万二千五百两为一率共利银一千两为二率各人本银乗各人月分之数为三率推得各四率甲得三百八十四两丙得二百一十六两戊得四百两即为各人应得之利银数也此法先以各人本银乗各人月分者葢以各人所出本银按月分以加倍也三人本银各有月分则行利亦按月加倍也
　　设如乙丙丁三人合伙生理乙出本银二百两系八个月出本之两月后又添本银四十两丙出本银三百二十两系六个月出本之一月后又添本银八十两丁出本银一百六十两系十个月共得利银三百六十两问每人各该利银几何
　　法以乙本银二百两与八个月相乗得一千六百两又以后添四十两与六个月相乗【因出本之两月后又添银故用六月】得二百四十两此两数相加得一千八百四十两为乙之衰数以丙本银三百二十两与六个月相乗得一千九百二十两又以后添八十两与五个月相乗【因出本之一月后又添银故用五月】得四百两此两数相加得二千三百二十两为丙之衰数以丁本银一百六十两与十个月相乗得一千六百两即丁之衰数乃以三人衰数相加得五千七百六十两为一率三百六十两为二率各人衰数各为三率推得各四率乙得一百一十五两丙得一百四十五两丁得一百两即各人应得之利银数也此法因出银前后各不同故以各人出银节次乗各人月分而得各人衰数既得各人衰数则相加而与总利银为比即如各人衰数与各人利银相比也
　　设如甲乙丙三商合本贸易共得利银一千两甲本银三百两系十个月乙本银六百两丙本银四百两俱不知月分其利银则甲分五百两乙分三百两丙分二百两问乙丙二人出本银月分各几何法以甲之利银五百两为一率甲之本银三百两与十个月相乗得三千两为二率乙之利银三百两为三率推得四率一千八百两为乙之本银六百两与月分相乗之数以乙之本银六百两除之得三个月即乙出银之月分如以丙之利银二百两为三率则得四率一千二百两为丙之本银四百两与月分相乗之数以丙之本银四百两除之得三个月即丙出本银之月分也
　　设如乙丙丁三人合本贸易共得利银三百八十两丙得利银为乙三分之一丁得利银为乙四分之一乙之本银为八十两收利十二个月丙丁二人本银不知数但知丙收利银系八个月丁收利银系四个月问乙丙丁利银各若干丙与丁本银各若干
　　法以十二分为乙之衰数【两分母相乗之数】取其三分之一得四分为丙之衰数又取其四分之一得三分为丁之衰数将三衰数相并得一十九分为一率共利三百八十两为二率以各人衰数各为三率推得各四率乙之利银得二百四十两丙之利银得八十两丁之利银得六十两三宗利银相并共三百八十两以合前数又用乙利银二百四十两为一率乙本银八十两与十二个月相乗得九百六十两为二率丙利银八十两为三率推得四率三百二十两为丙本银八个月之共分以八个月除之得四十两即丙之本银数复以乙利银二百四十两为一率乙本银九百六十两为二率丁利银六十两为三率推得四率二百四十两为丁本银四个月之共分以四个月除之得六十两即丁之本银数也
　　设如甲丙戊三家每日派一人当差论各家田数定日之多少甲田八十亩丙田六十亩戊田五十二亩问各人一年内连闰月应该当差之日几何法以甲丙戊三家田数【甲八十丙六十戊五十二】相并得一百九十二亩为一率一年连闰月作三百八十四日为二率各家田数各为三率推得各四率甲当差一百六十日丙当差一百二十日戊当差一百零四日并之得三百八十四日合一年连闰月之数也
　　设如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里问途中几日相防法以八十里与六十里相并得一百四十里为一率一日为二率一千四百里为三率推得四率十日即相防之日也此法以八十里六十里相并为一率者毎一日之内两人共行一百四十里也一百四十里行一日则一千四百里行十日矣盖日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里并之以合原数也
　　设如有银四百八十六两籴米麦豆三色其石数相等米每石价银一两二钱麦每石价银九钱豆每石价银六钱问石数若干
　　法以米价一两二钱麦价九钱豆价六钱相并共得二两七钱为一率一石为二率总银四百八十六两为三率推得四率一百八十石即各色之石数也此法盖因三色之石数既相等故三色每石之共价与每一石之比即同于三分之共价四百八十六两与每一分之一百八十石之比也
　　设如有银一千二百两买绫绢二色绢一分绫二分绫每疋价银三两六钱绢每疋价银二两四钱问绫绢与价银各几何
　　法以绫价三两六钱二因之【绫二分故用二因】得七两二钱与绢价二两四钱相加共得九两六钱为一率绢一疋为二率总银一千二百两为三率推得四率一百二十五疋为绢数倍之得二百五十疋为绫数以绢每疋价银二两四钱与绢一百二十五疋相乗得三百两为共绢价以绫每疋价银三两六钱与绫二百五十疋相乗得九百两为共绫价也此法盖因绢为一分绫为二分故将绫价二因之与绢价相加即绫二疋绢一疋之共价以绫二疋绢一疋之共价与绢一疋之比即同于绫二分绢一分之共价一千二百两与绢一分一百二十五疋之比也
　　设如有银三百三十六两买罗八十疋绢一百二十疋罗每疋价比绢每疋价加一倍问罗价绢价各几何
　　法以罗八十疋倍之得一百六十疋与绢一百二十疋相加得二百八十疋为一率绢一疋为二率总银三百三十六两为三率推得四率一两二钱即绢毎一疋之价倍之得二两四钱即罗每一疋之价也此法盖因罗价比绢价加一倍故将罗疋数倍之与绢疋数相加为罗二倍绢一倍之共数而以罗二倍绢一倍之共数与绢一疋之比即同于罗二倍绢一倍之共价三百三十六两与绢一疋之价一两二钱之比也
　　设如有银七百八十五两令甲乙丙丁四人分之乙得甲银十分之七丙得乙银十四分之三丁得丙银十二分之九问各分银几何
　　法以一千六百八十分【三分母连乗之数】为甲衰数取甲十分之七得一千一百七十六分为乙衰数取乙十四分之三得二百五十二分为丙衰数取丙十二分之九得一百八十九分为丁衰数乃以四人衰数相并得三千二百九十七分为一率总银七百八十五两爲二率以甲衰一千六百八十分为三率得四率四百两即甲所分之银数以乙衰一千一百七十六分为三率得四率二百八十两即乙所分之银数以丙衰二百五十二分为三率得四率六十两即丙所分之银数以丁衰一百八十九分为三率得四率四十五两即丁所分之银数四人所得银数并之得七百八十五两以合原数也此法因各分母不同恐难度尽故以分母连乗为甲衰数次各按分取其衰数乃并各衰数为共衰数以共衰数与总银数之比即同于各人衰数与各银数之比也
　　设如东西中三村共纳粮一千零三十六石东村一百二十戸每戸该纳七分西村八十戸每戸该纳五分中村六十戸每戸该纳四分问各村纳粮若干每戸纳粮若干
　　法以七分与东村一百二十戸相乗得八百四十分为东村衰数以五分与西村八十戸相乗得四百分为西村衰数以四分与中村六十戸相乗得二百四十分为中村衰数乃以三村衰数相并得一千四百八十分为一率共纳粮一千零三十六石为二率各村衰数各为三率推得各四率东村共该纳粮五百八十八石西村共该纳粮二百八十石中村共该纳粮一百六十八石再以各村戸数归除各村所纳粮数则东村每戸该纳粮四石九斗西村每戸该纳粮三石五斗中村每戸该纳粮二石八斗如以三村共衰分数归除共纳粮数得每一分所纳粮数而以各村分数乗之即得各村共纳粮数以各戸分数乗之即得各村每戸所纳之粮数也
　　设如乙丙丁三人共纳地租银十一两五钱乙田长一百二十丈寛四十丈丙田长二百丈寛六十丈丁田长八十丈寛二十丈问每人该租银若干法以乙田长一百二十丈与寛四十丈相乗得四千八百丈丙田长二百丈与寛六十丈相乗得一万二千丈丁田长八十丈与寛二十丈相乗得一千六百丈三数相并共得一万八千四百丈为一率共地租银十一两五钱为二率各田长寛相乗之数各为三率推得各四率乙该银三两丙该银七两五钱丁该银一两并之为十一两五钱以合原数也
　　设如孙郑褚三家买货共载一船逺近船价不同孙家货物九十五担每担船价六分郑家货物八十五担每担船价四分褚家货物五十六担每担船价二分五厘因中途拨浅共贴银二两五钱二分欲照船价分派问各该若干
　　法以孙货九十五担与每担六分相乗得五两七钱以郑货八十五担与每担四分相乗得三两四钱以褚货五十六担与每担二分五厘相乗得一两四钱乃以三家船价相并共得一十两五钱为一率共贴银二两五钱二分为二率一两为三率推得四率二钱四分即为每一两应贴之数复以各家船价银乗之所得一两三钱六分八厘即孙应出之数所得八钱一分六厘即郑应出之数所得三钱三分六厘即褚应出之数也
　　设如甲丙戊三县共纳米四千石论县之大小米之贵贱运之逺近分之甲县有三千三百六十戸每米一石价银八钱运至六十里丙县有一千二百戸每米一石价银一两运至三十里戊县有二千四百戸每米一石价银六钱运至八十里问每县该米若干
　　法以甲县米价八钱与六十里相乗得四百八十用此数归除甲县三千三百六十戸得七为甲县之衰数又以丙县米价一两与三十里相乗得三百用此数归除丙县一千二百戸得四为丙县之衰数以戊县米价六钱与八十里相乗得四百八十用此数归除戊县二千四百戸得五为戊县之衰数乃以此三衰数相并得一十六为一率总米四千石为二率各县衰数各为三率推得各四率甲县为一千七百五十石丙县为一千石戊县为一千二百五十石三数相并共四千石以合原数也
　　设如甲乙丙丁戊五处共输粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲田一万三千零六十亩粟每石价银二两自输本处乙田一万二千三百一十二亩粟每石价银一两至输所二百里丙田七千一百八十二亩粟每石价银一两二钱至输所一百五十里丁田一万三千三百三十八亩粟毎石价银一两七钱至输所二百五十里戊田五千一百三十亩粟每石价银一两三钱至输所一百五十里每石每里车价四厘问各处所输若干
　　法以甲粟毎石价二两归除甲田一万三千零六十亩得六百五十三为甲衰数次以乙输所二百里与每石车价四厘相乗得八钱并入乙粟毎石价一两共一两八钱归除乙田一万二千三百一十二亩得六百八十四为乙衰数次以丙输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入丙粟每石价一两二钱共一两八钱归除丙田七千一百八十二亩得三百九十九为丙衰数次又以丁输所二百五十里与每石车价四厘相乗得一两并入丁粟每石价一两七钱共二两七钱归除丁田一万三千三百三十八亩得四百九十四为丁衰数次又以戊输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入戊粟每石价一两三钱共一两九钱归除戊田五千一百三十亩得二百七十为戊衰数乃合五衰数共二千五百为一率共粟二千石为二率五处各衰数各为三率推得各四率甲为五百二十二石四斗乙为五百四十七石二斗丙为三百一十九石二斗丁为三百九十五石二斗戊爲二百一十六石五数相并共二千石以合原数也此法盖因地亩以定粟数故粟可以均然粟之价既有贵贱而道里又有逺近故取粟价以除地亩正所以均其贵贱而取车价并入粟价以除地亩又所以均其逺近也
　　设如买米八十四石每米一石价一两四钱七分运价一钱三分今欲抽米作运价与之问正米与运价米各几何
　　法以每石米价一两四钱七分与每石运价一钱三分相加得一两六钱为一率总米八十四石为二率每石米价一两四钱七分为三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米数如先求运价米数则仍以一两六钱为一率总米八十四石为二率每石运价一钱三分为三率推得四率六石八斗二升五合即运价米数也既得正米数与运价相乗得十两零三分二厘七豪五丝为共运价而以运费米数与米价相乗亦得十两零三分二厘七豪五丝其数适相当也此法盖因八十四石为正米与运价米之总数今抽米作运费故以米价与运价相并亦为米价与运价之总数以总价与总米之比即同于米价与正米之比又以总价与总米之比即同于运价与运米之比也此法即和数差分之变体旧算书名为就物抽分因其以总米内抽运价故为抽分然要以米价运价之和与总米为比例故附于和数比例之后
　　设如有丝四十三斤十二两每织绢一疋用丝一斤与织工丝四两问织绢丝与织工丝各几何法以织绢丝一斤通为十六两与织工丝四两相加得二十两为一率总丝四十三斤十二两通为七百两为二率织工丝四两为三率得四率一百四十两收为八斤十二两即织工丝与总丝相减余三十五斤即织绢丝也此亦就物抽分法也以毎疋织绢丝及织工丝之共数与总丝之比即同于每疋织工丝与总织工丝之比也

　　较数比例
　　比例之中有和数而复有较数者以数相合而为比例故谓之和数若夫因数之相较而成比例则谓之较数在九章谓之匿价差分其立法盖以每一物与较数之比即若共物与共较之比或以共物之较与每一物价之较为比即若共物与每一物价之比也又或有以实数相比者或有以各物分数相比者虽未有一定之规然而总不越以彼此相差之较数为比例故今质名之曰较数比例焉
　　设如有钱买绫罗二色绫七尺罗九尺两价相等但知绫每尺比罗每尺价多三十六文问二色毎尺价钱几何
　　法以绫一尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率二百五十二文即绫七尺共多之数又以绫七尺与罗九尺相减余罗二尺为一率绫七尺共多二百五十二文为二率罗一尺为三率推得四率一百二十六文即罗一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫一尺之价以一百二十六文乗罗九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗绫七尺亦得一千一百三十四文两价相等也此法盖因绫一尺多三十六文则绫七尺共多二百五十二文也夫绫价多二百五十二文罗多二尺而其价相等则二百五十二文即罗二尺之价罗二尺价二百五十二文则罗一尺价一百二十六文也既得罗价则绫价亦可推矣又法以绫七尺与罗九尺相减余二尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率一百二十六文即罗毎一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫每一尺之价如以罗九尺为三率推得四率一百六十二文即绫每一尺之价减多三十六文余一百二十六文即罗每一尺之价也此法共绫与共罗之较为二尺绫每尺与罗每尺之较为三十六文凡共物之较与共价之较相比即同于共物与共价之比而共物之较与每一物价之较相比亦必同于共物与每一物价之比故以绫共少二尺与罗每尺价少三十六文之比即同于绫共七尺与罗每尺价一百二十六文之比也又以罗共多二尺与绫每尺多三十六文之比亦即同于罗共九尺与绫毎尺价一百六十二文之比也
　　设如有银买驼马二色马十匹驼六匹两价相等但知驼每匹比马每匹价多八两问二色每匹价银若干
　　法以驼一匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率四十八两即驼六匹共多之数又以马十匹与驼六匹相减余马四匹为一率驼六匹共多四十八两为二率马一匹为三率推得四率十二两即马一匹之价加多八两得二十两即驼一匹之价以二十两乗驼六匹得一百二十两以十二两乗马十匹亦得一百二十两两价相等也此法盖因驼一匹多八两则驼六匹共多四十八两也夫驼价多四十八两马多四匹而其价相等则四十八两即马四匹之价马四匹价四十八两则马一匹价十二两也
　　又法以驼六匹与马十匹相减余四匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率十二两即马每匹之价加多八两得二十两即驼毎匹之价如以马十匹为三率推得四率二十两即驼每匹之价减多八两余十二两即马每匹之价也盖驼共少四匹与马每匹价少八两之比即同于驼共六匹与马每匹价十二两之比又马共多四匹与驼每匹价多八两之比即同于马共十匹与驼每匹价二十两之比也
　　设如有稻一十八石稷二十二石两价相等如交换五石则两边俱差银一两六钱问每石价与共价各若干
　　法以交换五石为一率相差一两六钱为二率稻一十八石为三率推得四率五两七钱六分即稻一十八石共多之数又以稻一十八石与稷二十二石相减余稷四石为一率稻一十八石共多五两七钱六分为二率稷一石为三率推得四率一两四钱四分即稷一石之价以稷二十二石乗之得三十一两六钱八分即稷之共价亦即稻之共价以稻十八石除之得一两七钱六分即稻一石之价也如交换五石则一为稻十三石稷五石稻十三石价二十二两八钱八分稷五石价七两二钱相加得三十两零八分比共价三十一两六钱八分少一两六钱一为稷十七石稻五石稷十七石价二十四两四钱八分稻五石价八两八钱相加得三十三两二钱八分比共价三十一两六钱八分则多一两六钱是两边俱差一两六钱也此法盖因稻五石多一两六钱则稻十八石共多五两七钱六分也夫稻多五两七钱六分稷多四石而其价相等则五两七钱六分即稷四石之共价稷四石价五两七钱六分则稷一石价必一两四钱四分而稷二十二石价必三十一两六钱八分与稻十八石之价相等故以十八除之得稻每一石之价也
　　设如有金球八银球十二两重相等今移换三则银球边多六十两问金球银球各重几何
　　法以移换之三为一率多六十两折半得三十两【即三金球比三银球所多之数】为二率金球八为三率推得四率八十两即金球八共多之数又以金球八与银球十二相减余银球四为一率共多八十两为二率银球一为三率推得四率二十两即银球一之重数以十二乗之得二百四十两即银球十二之共重数亦即金球八之共重数以金球八除之得三十两即金球一之重数也此法盖因移换三而差六十两即三金球比三银球多三十两三银球比三金球少三十两其总差为六十两故折半为三金球多于三银球之重数也三金球多三十两则八金球共多八十两夫金球多八十两银球多四而其重相等则八十两即四银球之重数四银球重八十两则一银球重二十两而十二银球必重二百四十两与八金球之重相等故以八除之即得金球之重数也
　　设如甲乙丙三人合本为商共得利银四百两乙比甲多分十二两丙比乙又多分十六两问各分利银几何
　　法以共利银四百两内减乙比甲多十二两又减丙比甲多二十八两【丙比乙多十六两则比甲多二十八两】余三百六十两乃以甲乙丙共三人为一率三百六十两为二率甲一人为三率推得四率一百二十两即甲应得利银数加十二两得一百三十二两为乙应得利银数又加十六两得一百四十八两为丙应得利银数也此法减去乙丙共多于甲之数所余者即三人均分之数故以三人与三百六十两之比即同于甲一人与一百二十两之比也
　　设如有银七百四十两共买马驴一百匹马八十匹驴二十匹其马每匹价比驴每匹价多三两问马驴每匹价各得几何
　　法以马驴共一百匹为一率马每匹多三两与马八十匹相乗得二百四十两于总银内减之余五百两为二率驴一匹为三率推得四率五两即驴一匹之价加马每匹多三两得八两即马一匹之价以马价八两乗马八十匹得马共价六百四十两以驴价五两乗驴二十匹得驴共价一百两也此法盖因马每匹多三两则马八十匹共多二百四十两于总银内减去马共多之价则马价皆同于驴价矣故以总数一百匹与银五百两之比即同于驴一匹与银五两之比也
　　设如有银二千九百九十六两二钱买上等田一百六十亩中等田三百亩下等田四百六十亩其上等田比中等田每亩价多四钱七分中等田比下等田每亩价多一两三钱五分问三等田每亩价银几何
　　法以上中下三等田数相并得九百二十亩为一率将中等田三百亩用中等比下等每亩多一两三钱五分乗之得四百零五两为中等比下等共多之数又以上等田一百六十亩用上等比下等每亩多一两八钱二分乗之【上等比中等每亩多四钱七分中等比下等每亩多一两三钱五分共为一两八钱二分】得二百九十一两二钱为上等比下等共多之数爰并两数共六百九十六两二钱与总银二千九百九十六两二钱相减余二千三百两为二率下等田一亩为三率推得四率二两五钱即下等田每一亩之价加多一两三钱五分得三两八钱五分即中等田每一亩之价再加多四钱七分得四两三钱二分即上等田每一亩之价也此法盖因中等田比下等田每亩多一两三钱五分则三百亩共多四百零五两上等田比下等田毎亩多一两八钱二分则一百六十亩共多二百九十一两二钱于总银内减去两等共多之数则上等田价中等田价皆同于下等田价矣故以三等田共九百二十亩与银二千三百两之比即同于下等田每一亩与银二两五钱之比也
　　设如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日问疾行者追及之日数几何
　　法以徐行七十五里与疾行九十五里相减余二十里为一率一日为二率徐行七十五里与先行八日相乗得六百里为三率推得四率三十日即追及之日数也此法盖因徐行者先行八日以日行七十五里计之则已多行六百里今疾行者日行九十五里则比徐行者每日多行二十里多二十里为一日追行之数多六百里则为三十日追行之数可知矣
　　设如二人自乡上城一人步行一人骑马使步行者先行三十七里骑马者追至一百五十四里尚不及二十三里问追及之里数几何
　　法以不及二十三里与先行三十七里相减余一十四里为一率追至一百五十四里为二率不及二十三里为三率推得四率二百五十三里即追及之里数也此法盖因步行者已先行三十七里今骑马者追之止不及二十三里是已追过十四里也追过十四里必须一百五十四里今尚不及二十三里则必须二百五十三里方能追及也
　　设如一人行路步行则三十日可到骑行则二十日可到今行二十六日到问步行骑行日数各几何法以三十日与二十日相减余十日为一率步行三十日为二率今行二十六日与骑行二十日相较多六日为三率推得四率十八日为步行之日数与共二十六日相减余八日即骑行之日数也如以十日为一率骑行二十日为二率今行二十六日与步行三十日相较少四日为三率推得四率八日即骑行之日数也此法盖因步行三十日可到骑行二十日可到则步行比骑行迟十日即骑行比步行早十日也步行比骑行迟十日而步行为三十日今步行比骑行迟六日则步行为十八日可知矣骑行比步行早十日而骑行为二十日今骑行比步行早四日则骑行为八日可知矣
　　设如有上下二等酒上等酒每斤价银五分下等酒每斤价银三分今以二等酒相合一处共重一百二十斤每斤价银三分六厘问二等酒各几何法以上等酒价银五分内减下等酒价银三分余二分为一率二等酒共一百二十斤为二率二等酒相合毎斤价银三分六厘与下等酒价银三分相较得多六厘为三率推得四率三十六斤为上等酒数于二等酒共一百二十斤内减三十六斤余八十四斤即下等酒数也如以二等酒相合毎斤价银三分六厘与上等酒价银五分相较得少一分四厘为三率则得四率八十四斤即下等酒数也此法上等酒价五分下等酒价三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合价比下等酒价多二分则一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合价比下等价多六厘故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合价比上等酒价少二分则一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合价比上等价少一分四厘故知下等酒有八十四斤也
　　设如有布三百一十疋每疋长四十尺但知每疋扣运费二尺共扣去一十六疋复找囘钱六百文问布毎疋价钱几何
　　法以毎疋扣运费二尺与总布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋长四十尺与共扣布一十六疋相乗得六百四十尺两数相减余二十尺为一率找囘钱六百文为二率每疋长四十尺为三率推得四率一千二百文即每一疋之价也此法盖以每疋扣运费二尺计之则总布三百一十疋当扣六百二十尺今乃抽去十六疋则扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回钱六百文是六百钱即二十尺之价二十尺价六百文则四十尺【一疋之数】价必一千二百文也
　　设如有银一千零八两买线一分丝二分绵三分共重三百六十斤俱不言价但知绵二两当线一两之价线一两当丝一两六钱之价问三色各重若干三色每斤价银若干
　　法以线一分丝二分绵三分相并得六分为一率共重三百六十斤为二率线一分为三率推得四率六十斤即线一分之重数二因之得一百二十斤即丝二分之重数三因之得一百八十斤即绵三分之重数既得各色之重数即以线重六十斤为线之衰分绵二两当线一两之价即将绵一百八十斤二归之得九十斤为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价即将丝一百二十斤用一六除之得七十五斤为丝之衰分并三衰分共二百二十五斤为一率总银一千零八两为二率线一斤为三率推得四率四两四钱八分即线每斤之价二归之得二两二钱四分即绵每斤之价一六除之得二两八钱即丝每斤之价也此法先求各色之重数以共分与共重数之比即同于线一分与线重数之比又以各分数因之即得各重数也次求各色之价数既以线重六十斤为线衰分则丝价与绵价必俱变为与线相当之数而后可以为比例盖绵二两当线一两之价则绵一百八十斤必当线九十斤之价故以九十为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价则丝一百二十斤必当线七十五斤之价故以七十五为丝之衰分既得各衰分并之与总银相比即同于线每斤与每斤之价相比也既得线每斤之价以二除之得绵每斤之价者绵价居线价二分之一也既得线每斤之价又以一六除之得丝每斤之价者丝价居线价十六分之十也
　　设如李王二人合本生理不知二人本银之数但知李本银比王本银多一倍零八两共得利银二十二两李分十六两王分六两问二人各出本银若干
　　法以王利银六两加一倍【因李本银比王本银多一倍故加一倍也】得十二两与李利银十六两相减余四两为一率所零八两为二率王之利银六两为三率推得四率十二两即王之本银数加一倍又加八两共三十二两为李之本银数也盖李之本银比王之本银多一倍又多八两李之利银比王之利银多一倍又多四两是四两即为八两所得之利银数利银四两知本银为八两则王之利银六两即知其本银为十二两也
　　设如买缎一千疋不言出银之数但知每疋卖价七两二钱则比原出银少十分之一问原出银若干法以分母十与分子一相减余九分为一率以七两二钱与一千疋相乗得七千二百两为二率十分为三率推得四率八千两即原出银之数也此法盖因每疋卖价七两二钱比原出银少十分之一则今卖价止得原出银十分之九故以九分与今卖价之比即同于十分与原出银之比也
　　设如甲丙丁三人合本贸易丙之本银为甲本银五分之四丁之本银为甲本银三分之二丙之本银比丁之本银多十两问三人本银各若干
　　法以十五分为甲之衰数【两分母相乗之数】取甲五分之四得十二分为丙之衰数取甲三分之二得十分为丁之衰数乃以丁十分与丙十二分相减余二分为一率多十两为二率甲十五分为三率推得四率七十五两为甲本银数如以丙十二分为三率则得四率六十两为丙本银数如以丁十分为三率则得四率五十两为丁本银数以丁银与丙银相减余十两即丙多于丁之数也
　　设如有银赏三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得为一等每人三分之二三等每人所得为二等每人四分之一二等比三等共多得三百两问每等每人各得几何
　　法以十二分为一等每人之衰数【两分母相乗之数】取十二分中之三分之二得八分为二等每人之衰数又取八分中之四分之一得二分为三等每人之衰数乃以一等十二分与一等八人相乗得九十六分为一等八人共衰数二等八分与二等六人相乗得四十八分为二等六人共衰数三等二分与三等九人相乗得十八分为三等九人共衰数乃以三等共衰十八分与二等共衰四十八分相减余三十分为一率二等比三等共多得三百两为二率一等每人衰数十二分为三率推得四率一百二十两为一等每人所得之数以一等八人乗之得九百六十两即一等八人所得之共数如以二等每人衰数八分为三率则得四率八十两为二等每人所得之数以二等六人乗之得四百八十两即二等六人所得之共数如以三等每人衰数二分为三率则得四率二十两为三等每人所得之数以三等九人乗之得一百八十两即三等九人所得之共数以二等共得四百八十两与三等共得一百八十两相减余三百两即二等共多于三等之银数也
　　设如有田一百二十亩一人一日耕四亩一人一日种六亩欲令二人同日完工问耕者该先起工几何
　　法以四亩与六亩相乗得二十四亩以
　　四亩互乗一日得四日以六亩互乗一
　　日得六日乃以二十四亩为一率四日
　　六日相减余二日为二率一百二十亩
　　为三率推得四率十日即是耕者该先
　　起工十日也此法盖因四亩与六亩不
　　同故用互乗以齐其分一得二十四亩
　　耕六日一得二十四亩种四日欲令同
　　日完工则耕者当先起工二日然则田
　　二十四亩当先起工二日今田一百二
　　十亩则当先起工十日也

　　御制数理精蕴下编卷六
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷七
　　线部五
　　和较比例

　　和较比例
　　比例之中有和数较数而复有和较者用和数相比谓之和用较数相比谓之较至于设问中两物相和两价相和或每色中防物相和乃于和数中推求较数因较数而成比例是以和数为体而较数为用故谓之和较比例在九章一名贵贱差分一名贵贱相和其立法盖于縂物中求其相差之较或于每物中求其相差之较【此贵贱差分法】或用互乗以齐其数然后于互乗数中求其相差之较作为比例而得真数【此贵贱相和法】按法立算虽各不同要之縂以和数推出较数为比此和较之所以名也
　　设如有银四百零五两七钱共买米麦五百石米每石价银八钱六分麦每石价银七钱二分五厘问米麦各该防何
　　法以米麦共五百石用米每石价银八钱六分乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相较则縂银少二十四两三钱又以米麦共五百石用麦每石价银七钱二分五厘乗之得三百六十二两五钱与縂银相较则縂银多四十三两二钱乃以多少两数相并得六十七两五钱为一率米麦共五百石为二率少二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以多四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖以五百石俱为米计之则价应四百三十两与今縂银相较则縂银少二十四两三钱如以五百石俱为麦计之则价应三百六十二两五钱与今縂银相较则縂银多四十三两二钱是米五百石比麦五百石价多六十七两五钱即麦五百石比米五百石价少六十七两五钱也是知麦价比米价少六十七两五钱而麦为五百石今縂银比米价少二十四两三钱则麦必为一百八十石也又米价比麦价多六十七两五钱而米为五百石今縂银比麦价多四十三两二钱则米必为三百二十石也
　　又法以米麦每石价银相减余一钱三分五厘为一率一石为二率以米麦共五百石用米价乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相减余二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以米麦共五百石用麦价乗之得三百六十二两五钱与縂银四百零五两七钱相减余四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖因米一石比麦一石其价相差一钱三分五厘是知少一钱三分五厘而麦为一石今少二十四两三钱则麦少为一百八十石也又多一钱三分五厘而米为一石今多四十三两二钱则米必为三百二十石也前法以五百石縂价之较与五百石为比此法以每一石价之较与一石为比其理同也
　　设如有银一百两共买防绢一百疋防每疋价银一两六钱绢每疋价银八钱问防绢各得防何法以防绢共一百疋用防价一两六钱乗之得一百六十两与共银一百两相较则共银少六十两又以防绢共一百疋用绢价八钱乗之得八十两与共银一百两相较则共银多二十两乃以多少两数相并得八十两为一率防绢共一百疋为二率少六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即防数如以多二十两为三率得四率二十五疋亦即防数也此法盖以一百疋俱为防计之则价应一百六十两与共银相较则共银少六十两如以一百疋俱为绢计之则价应八十两与共银相较则共银多二十两是防一百疋比绢一百疋价多八十两即绢一百疋比防一百疋价少八十两也是知绢价比防价少八十两而绢为一百疋今共价比防价少六十两则绢必为七十五疋也又防价比绢价多八十两而防为一百疋今共价比绢价多二十两则防必为二十五疋也
　　又法以防绢每疋价银相减余八钱为一率防一疋为二率以防绢共一百疋用防价乗之得一百六十两与共银一百两相减余六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即防数如以防绢共一百疋用绢价乗之得八十两与共银一百两相减余二十两为三率得四率二十五疋亦即防数也此法盖因防一疋比绢一疋其价相差八钱是知少八钱而绢为一疋今少六十两则绢必为七十五疋也又多八钱而防为一疋今多二十两则防必为二十五疋也
　　设如鸡同笼但知头共三十六足共一百问鸡各防何
　　法以鸡共三十六头用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相较则共足多二十八又以鸡共三十六头用四足乗之得一百四十四足与共足一百相较则共足少四十四乃以多少两数相并得七十二足为一率共三十六头为二率少四十四足为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即数如以多二十八足为三率得四率十四亦即数也此法盖以三十六俱为鸡计之则应七十二足与今共足相较则共足多二十八若以三十六俱为计之则应一百四十四足与今共足相较则共足少四十四是三十六比鸡三十六多七十二足即鸡三十六比三十六少七十二足也是知鸡少于七十二足而鸡为三十六只今鸡少于四十四足则鸡必为二十二只也又多于鸡七十二足而为三十六只今多于鸡二十八足则必为十四只也
　　又法以鸡二足四足相减余二足为一率一只为二率又以共三十六只用四足乗之得一百四十四足与共足一百相减余四十四为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即数如以共三十六只用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相减余二十八为三率得四率十四亦即数也此法盖因鸡一只比一只差二足是知鸡少于二足而鸡为一只今少于四十四足则鸡必为二十二只也又多于鸡二足而为一只今多于鸡二十八足则必为十四只也
　　设如有羊一百四十只大小不防共剪毛一百五十斤大羊每只剪毛一斤二两小羊每只剪毛十二两问大小羊各防何
　　法以共羊一百四十只用大羊剪毛十八两乗之【一斤作十六两加二两即十八两也】得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相较【一百五十斤变为两得二千四百两】则共剪毛数少一百二十两又以共羊一百四十只用小羊剪毛十二两乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相较则共剪毛数多七百二十两乃以多少两数相并得八百四十两为一率共羊一百四十只为二率多七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以少一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以一百四十只俱为大羊计之则应剪毛二千五百二十两与共剪毛数相较则共剪毛数少一百二十两若以一百四十只俱为小羊计之则应剪毛一千六百八十两与共剪毛数相较则共剪毛数多七百二十两是大羊一百四十只比小羊一百四十只多八百四十两即小羊一百四十只比大羊一百四十只少八百四十两也是知多八百四十两而大羊为一百四十只今少七百二十两则大羊必为一百二十只也又少八百四十两而小羊为一百四十只今少一百二十两则小羊必为二十只也
　　又法以大羊剪毛十八两小羊剪毛十二两相减余六两为一率一只为二率以共羊一百四十只用小羊剪毛数乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相减余七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以共羊一百四十只用大羊剪毛数乗之得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相减余一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以大羊一只比小羊一只所剪毛差六两是知多六两而大羊为一只今多七百二十两则大羊必为一百二十只也又少六两而小羊为一只今少一百二十两则小羊必为二十只也
　　设如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六十两八钱问玉有防何
　　法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸为正方体积乃以六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相较则共重少五两六钱又以六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相较则共重多八钱乃以多少两数相并得六两四钱为一率玉六十四寸为二率多八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以少五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也既得玉八寸则以玉寸方定率二两六钱乗之得二十两八钱即玉之重数于共重一百六十两八钱内减之余一百四十两即石之重数如以石五十六寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百四十两亦即石之重数也此法盖以六十四寸俱为玉计之则应重一百六十六两四钱与共重数相较则共重数少五两六钱若以六十四寸俱为石计之则应重一百六十两与共重数相较则共重数多八钱是石六十四寸比玉六十四寸少六两四钱即玉六十四寸比石六十四寸多六两四钱也是知多六两四钱而玉为六十四寸今多八钱则玉必为八寸也又少六两四钱而石为六十四寸今少五两六钱则石必为五十六寸也
　　又法以玉寸方定率二两六钱与石寸方定率二两五钱相减余一钱为一率一寸为二率以共积六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相减余八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以共积六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相减余五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也此法盖以玉一寸比石一寸其重差一钱是知多一钱而玉为一寸今多八钱则玉必为八寸也又少一钱而石为一寸今少五两六钱则石必为五十六寸也
　　设如有金银共重三百二十一两镕于一处作成一正方体每邉三寸问金银各重防何
　　法以方边三寸自乗再乗得二十七寸为正方体积乃以二十七寸俱作金算用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相较则共重少一百三十二两六钱又以二十七寸俱作银算用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相较则共重多七十八两乃以多少两数相并得二百一十两六钱为一率金二十七寸重四百五十三两六钱为二率多七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银二十七寸重二百四十三两为二率少一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖因金二十七寸比银二十七寸多二百一十两六钱即银二十七寸比金二十七寸少二百一十两六钱也是知金比银多二百一十两六钱而金为四百五十三两六钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又银比金少二百一十两六钱而银为二百四十三两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也
　　又法以银寸方定率九两与金寸方定率十六两八钱相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积二十七寸用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相减余七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银一寸重九两为二率以共积二十七寸用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相减余一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖以金一寸比银一寸其重相差七两八钱是知多七两八钱而金为十六两八钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又少七两八钱而银为九两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也
　　设如有金器一件内有银相参合共重一百七十两四钱问金银各重若干
　　法用一桶盛水令满将金器入内看溢出之水得正方寸数防何假如得十二寸即为金银共积以金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相较则共重少三十一两二钱又以银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相较则共重多六十二两四钱乃以多少两数相并得九十三两六钱为一率金十二寸重二百零一两六钱为二率多六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银十二寸重一百零八两为二率少三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也
　　又法以金寸方定率十六两八钱与银寸方定率九两相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积十二寸用银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相减余六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银一寸重九两为二率以共积十二寸用金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相减余三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也
　　设如有金铸一器重三百两俱系九六成色今用九九成色及九一成色二防金替换问各得防何法以九六成色与三百两相乗得二百八十八两为原金数乃以九九成色与三百两相乗得二百九十七两与原金二百八十八两相较则原金少九两又以九一成色与三百两相乗得二百七十三两与原金二百八十八两相较则原金多十五两爰以多少两数相并得二十四两为一率三百两为二率原金比九一成色多十五两为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以原金比九九成色少九两为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九六成色金三百两为十成金二百八十八两而九九成色金三百两为十成金二百九十七两九一成色金三百两为十成金二百七十三两是知九九比九一多二十四两而九九成色金为三百两今九六比九一多十五两则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少二十四两而九一成色金为三百两今九六比九九少九两则九一成色金必为一百一十二两五钱也
　　又法以九九与九一相减余八分为一率金三百两为二率以九一与九六相减余五分为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以九九与九六相减余三分为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九九比九一多八分而九九成色金为三百两今九六比九一多五分则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少八分而九一成色金为三百两今九六比九九少三分则九一成色金必为一百一十二两五钱也
　　设如甲乙二人有金成色不防甲金一两可凖银一十二两乙金一两可凖银八两今欲镕为一处令金一两凖银九两问甲乙二人于一两金中各出金防何
　　法以凖银九两为中数与甲金凖银十二两相较少三两与乙金凖银八两相较多一两乃以多少两数并之得四两为一率金一两为二率比甲少三两为三率得四率七钱五分即乙所出金数如以比乙多一两为三率得四率二钱五分即甲所出金数也此法因银十二两与八两皆金一两所凖之数虽相乗其数不动故直以十二与八相减作一率【以十二与九八与九之两较相并得四即十二与八相减之余数也】盖乙比甲银少四两而乙金为一两今比甲银少三两则乙金必为七钱五分也又甲比乙银多四两而甲金为一两今比乙银多一两则甲金必为二钱五分也
　　设如有钱四千九百九十五文买栗枣共五千枚只云栗九枚钱一十一文枣七枚钱四文问二色与价各得若干
　　法先用互乗以齐其分以栗九与枣七相乗得六十三为乗出之縂物分即以六十三乗縂钱四千九百九十五文得三十一万四千六百八十五文为乗出之縂钱数又以枣七乗栗价十一文得七十七文为乗出之栗价以栗九乗枣价四文得三十六文为乗出之枣价然后以栗枣共五千枚用栗价七十七文乗之得三十八万五千文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱少七万零三百一十五文又以栗枣共五千枚用枣价三十六文乗之得一十八万文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱多一十三万四千六百八十五文乃以栗价七十七文与枣价三十六文相减余四十一文为一率一枚为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于共五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以少七万零三百一十五文为三率得四率一千七百一十五枚亦即枣数也既得栗数则以九枚为一率十一文为二率三千二百八十五枚为三率得四率四千零一十五文即栗之共价既得枣数则以七枚为一率四文为二率一千七百一十五枚为三率得四率九百八十文即枣之共价也如欲先得各价则以四十一文为一率栗价七十七文为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率二十五万二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共价于共钱四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价如以四十一文为一率枣价三十六文为二率少七万零三百一十五文为三率得四率六万一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即枣之共价也此法九章名为贵贱相和盖因栗九枚枣七枚其数不同故用互乗以齐其分得栗六十三枚价七十七文枣六十三枚价三十六文今以六十三枚当一枚则为栗一枚价七十七文枣一枚价三十六文是其价各加六十三倍故将縂钱亦加六十三倍即为栗枣共五千枚共价三十一万四千六百八十五文而栗一枚比枣一枚其价相差四十一文是知栗价比枣价多四十一文而栗为一枚今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗必为三千二百八十五枚也又枣价比栗价少四十一文而枣为一枚今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣必为一千七百一十五枚也其先求各价者盖因栗价比枣价多四十一文而栗价为七十七文今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗价少为二十五万二千九百四十五文因各价皆为加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文为栗之共价也又枣价比栗价少四十一文而枣价为三十六文今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣价必为六万一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文为枣之共价也
　　又法以枣七枚栗九枚共五千枚列于上枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文列于下乃以下枣价四文遍乗上枣七枚栗九枚共五千枚得枣二十八枚栗三十六枚共二万枚又以上枣七枚遍乗下枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文得枣价二十八文栗价七十七文共价三万四千九百六十五文两下相较则枣数与枣价同为二十八彼此减尽枣价比栗数多四十一共价比共数多一万四千九百六十五爰以多四十一为一率栗九枚为二率多一万四千九百六十五为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以栗价十一文为二率得四率四千零一十五文即栗之共价于四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价也若欲先得枣数则以栗九枚价十一文移于前枣七枚价四文移于后乃以下栗价十一文遍乗上栗九枚枣七枚共五千枚得栗九十九枚枣七十七枚共五万五千枚又以上栗九枚遍乗下栗价十一文枣价四文共价四千九百九十五文得栗价九十九文枣价三十六文共价四万四千九百五十五文两下相较则栗数与栗价同为九十九彼此减尽枣价比枣数少四十一共价比共数少一万零四十五爰以少四十一为一率枣七枚为二率少一万零四十五为三率得四率一千七百一十五枚即枣数如以枣价四文为二率得四率九百八十文即枣之共价也此法与方程互乗齐分之理同其先求栗数而以枣数列于前者盖将枣数栗数共数皆加四倍枣价栗价共价皆加七倍则枣数与枣价相同是为每枣一枚价一文夫枣数与枣价既相同而减尽无余则枣栗共数内之共枣数与枣栗共价内之共枣价亦必相同而减尽无余所余者即为共栗价多于共栗数之较是比每栗一枚价一文所多之数是知栗价比栗数多四十一文而栗为九枚栗价为十一文今共栗价比共栗数多一万四千九百六十五文则栗必为三千二百八十五枚栗价必为四千零一十五文也其先求枣数而以栗数列于前者盖将栗数枣数共数皆加十一倍栗价枣价共价皆加九倍则栗数与栗价相同是为每栗一枚价一文夫栗数与栗价既相同而减尽无余则栗枣共数内之共栗数与栗枣共价内之共栗价亦必相同而减尽无余所余者即为共枣价少于共枣数之较是比每枣一枚价一文所少之数是知枣价比枣数少四十一文而枣为七枚枣价为四文今共枣价比共枣数少一万零四十五文则枣必为一千七百一十五枚枣价必为九百八十文也
　　设如有僧一百人给馒首一百个大僧一人给三个小僧三人给一个问大小僧数及各得馒首若干法先用互乗以齐其分以大僧一人与小僧三人相乗得三人为乗出之縂僧数即以三人乗馒首一百个得三百个为乗出之共馒首数又以小僧三人乗大僧馒首三个得九个为乗出之大僧馒首数以大僧一人乗小僧馒首一个仍得一个为乗出之小僧馒首数然后以共僧一百人与大僧馒首九个相乗得九百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首少六百个又以共僧一百人与小僧馒首一个相乗得一百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首多二百个乃以大僧馒首九个与小僧馒首一个相减余八个为一率一人为二率多二百个为三率得四率二十五人即大僧数于共僧一百人内减之余七十五人即小僧数如以少六百个为三率得四率七十五人亦即小僧数也既得僧数则以一人为一率三个为二率大僧二十五人为三率得四率七十五个即大僧馒首数又以三人为一率一个为二率小僧七十五人为三率得四率二十五个即小僧馒首数也如欲先得馒首数则仍以八个为一率大僧馒首九个为二率今多二百个为三率得四率二百二十五个三归之得七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数如以八个为一率小僧馒首一个为二率今少六百个为三率得四率七十五个三归之得二十五个亦即小僧馒首数也此法用互乗得大僧三人馒首九个小僧三人馒首一个今以三人当一人则为大僧一人馒首九个小僧一人馒首一个是馒首为加三倍故将共馒首亦加三倍即为共僧一百人共馒首三百个而大僧一人比小僧一人馒首差八个是知多八个而大僧为一人今多二百个则大僧必为二十五人也又少八个而小僧为一人今少六百个则小僧必为七十五人也其先求馒首者因多八个而大僧馒首为九个今多二百个则大僧馒首必为二百二十五个因馒首为加三倍故以三归之得七十五个为大僧馒首数又少八个而小僧馒首为一个今少六百个则小僧馒首必为七十五个亦以三归之得二十五个为小僧馒首数也
　　又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列于上小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个列于下乃以下小僧馒首一个遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原数又以上小僧三人遍乗下小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个得小僧馒首三个大僧馒首九个共馒首三百个两下相较则小僧人数与馒首数同为三彼此减尽大僧馒首数比人数多八共馒首数比共人数多二百爰以多八为一率大僧一人为二率多二百为三率得四率二十五人即大僧数于共一百人内减之余七十五人即小僧数如以大僧馒首三个为二率得四率七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数也若欲先得小僧数则以大僧一人馒首三个移于前小僧三人馒首一个移于后乃以下大僧馒首三个遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧馒首三个小僧馒首一个共馒首一百个仍得原数两下相较则大僧与大僧馒首同为三彼此减尽小僧馒首数比人数少八共僧馒首数比共人数少二百爰以少八为一率小僧三人为二率少二百为三率得四率七十五即小僧人数如以小僧馒首一个为二率得四率二十五个即小僧馒首数也此法先求大僧数而以小僧列于前者盖将小僧馒首大僧馒首共僧馒首数皆加三倍则小僧人数与馒首数相同是为每小僧一人馒首一个夫小僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共小僧数与共馒首数内之共小僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为大僧共馒首数多于共人数之较是比每大僧一人馒首一个所多之数是知馒首比人数多八个而大僧为一人大僧馒首为三个今馒首比人数多二百个则大僧必为二十五人大僧馒首必为七十五个也其先求小僧数而以大僧列于前者盖将大僧小僧共僧数皆加三倍则大僧数与馒首数相同是为每大僧一人馒首一个夫大僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共大僧数与共馒首数内之共大僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为小僧馒首数少于小僧数之较是比每小僧一人馒首一个所少之数是知少八个而小僧为三人小僧馒首为一个今少二百个则小僧必为七十五人小僧馒首必为二十五个也
　　设如有豆三十三石共换黄米京米一十九石止云每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石问二色米各得防何
　　法先用互乗以齐其分以黄米三石与京米一石相乗得三石为乗出之共米数即以三石乗共豆三十三石得九十九石为乗出之共豆数以京米一石乗豆一石仍得一石为乗出黄米所值之豆数以黄米三石乗豆三石得九石为乗出京米所值之豆数然后以共米一十九石用黄米值豆一石乗之仍得一十九石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多八十石又以共米一十九石用京米值豆九石乗之得一百七十一石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多七十二石乃以黄米值豆一石与京米值豆九石相减余八石为一率一石为二率少七十二石为三率得四率九石即黄米数于共米十九石内减之余十石即京米数如以多八十石为三率得四率十石亦即京米数也此法用互乗得黄米三石值豆一石京米三石值豆九石今以米三石当一石则为黄米一石值豆一石京米一石值豆九石是豆为加三倍故将共豆亦加三倍即为共米一十九石共豆九十九石而黄米一石比京米一石所值豆差八石是知豆少八石而黄米为一石今少七十二石则黄米必为九石也又豆多八石而京米为一石今多八十石则京米必为十石也
　　又法以黄米三石京米一石共米一十九石列于上黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石列于下乃以下黄米值豆一石遍乗上黄米三石京米一石共米一十九石仍得原数又以上黄米三石遍乘下黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石得黄米值豆三石京米值豆九石共豆九十九石两下相较则黄米与所值豆同为三石彼此减尽京米所值豆比京米多八石共豆比共米多八十石爰以多八石为一率京米一石为二率多八十石为三率得四率十石即京米数于共米一十九石内减之余九石即黄米数也如先求黄米数则以京米一石值豆三石移于前黄米三石值豆一石移于后乃以京米值豆三石遍乗上京米一石黄米三石共米一十九石得京米三石黄米九石共米五十七石又以上京米一石遍乗下京米值豆三石黄米值豆一石共豆三十三石仍得原数两下相较则京米与所值豆俱为三石彼此减尽黄米所值豆比黄米少八石共豆比共米少二十四石爰以少八石为一率黄米三石为二率少二十四石为三率得四率九石即黄米数也此法先求京米数而以黄米列于前者盖将京米所值豆数黄米所值豆数共米所值豆数皆加三倍则黄米数与所值豆数相同是为每黄米一石值豆一石夫黄米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共黄米数与共豆数内之共黄米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为共京米所值豆数多于共京米之较是比每京米一石值豆一石所多之数是知豆比米多八石而京米为一石今豆比米多八十石则京米必为十石也其先求黄米数而以京米列于前者盖将京米黄米共米皆加三倍则京米数与所值豆数相同是为每京米一石值豆一石夫京米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共京米数与共豆数内之共京米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为黄米所值豆数比黄米所少之较是比每黄米一石值豆一石所少之数是知豆比米少八石而黄米为三石今豆比米少二十四石则黄米必为九石也
　　设如有船桅共五十七桨共二百零四但知大船毎只三桅六桨小船每只一桅八桨问大小船数各若干
　　法先用互乗以齐其分以大船三桅与小船一桅相乗得三桅为乗出之共桅数即以三桅乗共桨二百零四得六百一十二为乗出之共桨数以小船一桅乗大船六桨仍得六桨为乗出大船之桨数以大船三桅乗小船八桨得二十四桨为乗出小船之桨数然后以共桅五十七用大船六桨乗之得三百四十二与乗出之共桨六百一十二相较则共桨多二百七十又以共桅五十七用小船二十四桨乘之得一千三百六十八与乗出之共桨六百一十二相较则共桨少七百五十六乃以大船六桨与小船二十四桨相减余十八桨为一率一桅为二率少七百五十六桨为三率得四率四十二即大船桅数三归之得十四即大船数也于共桅五十七内减大船桅数余十五即小船桅数亦即小船数如以得二百七十桨为三率得四率十五亦即小船桅数也此法用互乗得大船三桅六桨小船三桅二十四桨今以三桅当一桅则为大船一桅六桨小船一桅二十四桨是桨为加三倍故将共桨亦加三倍即为共五十七桅共六百一十二桨而大船一桅比小船一桅差十八桨是知少十八桨而大船为一桅今少七百五十六桨则大船必为四十二桅也多十八桨而小船为一桅今多二百七十桨则小船必为十五桅也
　　又法以小船一桅大船三桅共五十七桅列于上小船八桨大船六桨共二百零四桨列于下乃以下小船八桨遍乗上小船一桅大船三桅共五十七桅得小船八桅大船二十四桅共四百五十六桅又以上小船一桅遍乗下小船八桨大船六桨共二百零四桨仍得原数两下相较则小船桅与桨同为八彼此减尽大船桅比桨多十八共桅比共桨多二百五十二爰以多十八为一率大船三桅为二率多二百五十二为三率得四率四十二桅即大船桅数三归之得十四即大船数于五十七桅内减去大船四十二桅余十五桅即小船桅数亦即小船数也如欲先得小船数则以大船三桅六桨移于前小船一桅八桨移于后乃以下大船六桨遍乗上大船三桅小船一桅共五十七桅得大船十八桅小船六桅共三百四十二桅又以上大船三桅遍乗下大船六桨小船八桨共二百零四桨得大船十八桨小船二十四桨共六百一十二桨两下相较则大船桅与桨同为十八彼此减尽小船桅比桨少十八共桅比共桨少二百七十爰以少十八为一率小船一桅为二率少二百七十为三率得四率十五桅即小船桅数亦即小船数也此法先求大船桅数而以小船列于前者盖将小船桅数大船桅数共船桅数皆加八倍则小船桅数与桨数相同是为毎小船一桅一桨夫小船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之小船共桅数与共桨数内之小船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为大船共桅数多于大船共桨数之较是比每大船一桅一桨所多之数是知多十八桅而大船为三桅今多二百五十二桅则大船必为四十二桅也其先求小船桅数而以大船桅数列于前者盖将大船桅数小船桅数共船桅数皆加六倍桨数皆加三倍则大船桅数与桨数相同是为大船一桅一桨夫大船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之大船共桅数与共桨数内之大船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为小船共桅数少于小船共桨数之较是比每小船一桅一桨所少之数是知少十八桅而小船为一桅今少二百七十桅则小船必为十五桅也
　　设如有银八十七两按饭银马银二项分给众人但知三人共给二两饭银七人共给五两马银问人数及二项银数各若干
　　法以三人与七人相乗得二十一人又以三人乗马银五两得一十五两七人乗饭银二两得一十四两爰以十四两与十五两相并得二十九两为一率二十一人为二率共银八十七两为三率得四率六十三人即共人数也既得其人数则以三人为一率饭银二两为二率共六十三人为三率得四率四十二两为饭银数于共银八十七两内减之余四十五两即马银数如以七人为一率马银五两为二率共六十三人为三率得四率四十五两亦即马银数也盖三人给饭银二两则二十一人必给饭银十四两七人给马银五两则二十一人必给马银十五两夫二十一人既给饭银十四两马银十五两是二十一人共给银二十九两矣是知有二十九两为二十一人今有八十七两则必为六十三人也又三人共给饭银二两则六十三人必共给饭银四十二两七人共给马银五两则六十三人必共给马银四十五两也
　　设如赏人饭肉共用碗一百但知二人共饭一碗三人共肉一碗问共人数及二项各用碗若干法以二人与三人相乗得六人又以二人乗肉一碗得二碗三人乗饭一碗得三碗爰以三碗二碗相并得五碗为一率六人为二率共碗一百为三率得四率一百二十人即共人数也既得共人数则以二人为一率饭碗一为二率共一百二十人为三率得四率六十为饭碗数于共碗一百内减之余四十即肉碗数如以三人为一率得四率四十亦即肉碗数也此法因二人共饭三人共肉其数不同故用互乗以齐其分盖二人共饭一碗则六人必共饭三碗三人共肉一碗则六人必共肉二碗夫六人既共饭三碗共肉二碗是六人共用五碗矣是知有五碗为六人今有一百碗则必为一百二十人也又二人共饭一碗则一百二十人必共饭六十碗三人共肉一碗则一百二十人必共肉四十碗也
　　设如有兵三千四百七十四名每三人给衫绢七十尺每四人给裤绢五十尺问縂绢若干
　　法以三人与四人相乗得十二人又以三人乗裤绢五十尺得一百五十尺四人乗衫绢七十尺得二百八十尺爰以十二人为一率二百八十尺与一百五十尺相并得四百三十尺为二率兵三千四百七十四名为三率得四率一十二万四千四百八十五尺为共绢数也此法与前同但前法以共银数求共人数故以银数为一率人数为二率此法以共人数求共绢数故以人数为一率绢数为二率其比例之理一也
　　设如赏人茶饭酒共用碗一千三百三十八但知三人共茶二碗五人共酒三碗七人共饭六碗问共人数及三项各用碗若干
　　法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗以三人与五人相乗得一十五人又以三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗得十碗是为十五人共用茶酒十九碗复与七人饭六碗互乗以十五人与七人相乗得一百零五人又以十五人乗饭六碗得九十碗七人乗茶酒共十九碗得一百三十三碗爰以一百三十三碗与九十碗相并得二百二十三碗为一率一百零五人为二率共碗一千三百三十八为三率得四率六百三十人即共人数也既得共人数乃以三人为一率茶碗二为二率共六百三十人为三率得四率四百二十为茶碗数又以五人为一率酒碗三为二率共六百三十人为三率得四率三百七十八为酒碗数又以七人为一率饭碗六为二率共六百三十人为三率得四率五百四十为饭碗数也此法因用碗三项故用两次互乗以齐其分得一百零五人应用三项碗共二百二十三是知有二百二十三碗为一百零五人今有一千三百三十八碗则必为六百三十人也既得共人数则以各项分数比例求之即得各项碗之共数矣
　　设如有灯大小二防大灯居小灯三分之二但知大灯三盏用油四两小灯四盏用油三两共用油十八斤零七两问大小灯数各若干
　　法以大灯三盏与小灯四盏相乗得十二盏又以小灯四盏乗大灯用油四两得大灯用油十六两以大灯三盏乗小灯用油三两得小灯用油九两又将大灯用油十六两二因之【大灯二分故用二因】得三十二两将小灯用油九两三因之【小灯三分故用三因】得二十七两二数相并得五十九两为一率十二盏为二率共油十八斤七两通为二百九十五两为三率得四率六十盏为灯一分之数二因之得一百二十盏即大灯数三因之得一百八十盏即小灯数也此法因有分而互乗所得之十二盏为一分之衰数又因共油数为大灯二分小灯三分之共数故亦二因十六两三因九两并之为五分之衰数是知油五分之衰数五十九两与灯一分之衰数十二盏之比即同于五分共油二百九十五两与一分灯数六十盏之比也既得一分为六十盏故二因之得大灯数三因之得小灯数也
　　设如有银二十五两三钱买铜鐡二色其重相防鐡三斤价四钱铜二斤价五钱问斤数及各价防何法以鐡三斤与铜二斤相乗得六斤又以铜二斤乗鐡价四钱得八钱以鐡三斤乗铜价五钱得一两五钱乃以八钱与一两五钱相并得二两三钱为一率六斤为二率縂银二十五两三钱为三率得四率六十六斤为铜鐡相防之斤数又以鐡三斤为一率价四钱为二率今鐡六十六斤为三率得四率八两八钱即鐡价于共银二十五两三钱内减之余十六两五钱即铜价如以铜二斤为一率价五钱为二率今铜六十六斤为三率得四率十六两五钱亦即铜价也盖鐡三斤价四钱则六斤价八钱铜二斤价五钱则六斤价一两五钱是铜鐡各六斤而共价为二两三钱故以二两三钱与各六斤之比即同于共价二十五两三钱与各六十六斤之比也既得各斤数则以各价比例求之即得各价数矣
　　设如有米九百石令甲乙二处各因米价贵贱纳之其所纳之银适相等甲处米价每石五钱乙处米价每石七钱问各米数及共价数防何
　　法以乙七钱乗甲一石得七石以甲五钱乗乙一石得五石乃以七石与五石相并得十二石为一率以甲七石为二率縂米九百石为三率得四率五百二十五石即甲处纳米之数于九百石内减之余三百七十五石即乙处纳米之数如以乙五石为二率得四率三百七十五石亦即乙处纳米之数以甲五百二十五石与每石价五钱相乗得二百六十二两五钱以乙三百七十五石与每石价七钱相乗亦得二百六十二两五钱是其所纳之银数适相防也盖甲处每石价五钱则七石之价为三两五钱乙处每石价七钱则五石之价亦为三两五钱其价相防是十二石之中甲应七石乙应五石故以十二石与甲七石之比即同于縂米九百石与甲五百二十五石之比又十二石与乙五石之比即同于縂米九百石与乙三百七十五石之比也
　　设如空车一日行三十里重车一日行二十里今载米至仓徃返足一日问距仓路逺防何
　　法以空车行三十里与重车行二十里相乗得六百里又以重车行二十里乗空车一日得二十日以空车行三十里乗重车一日得三十日乃以二十日与三十日相并得五十日为一率六百里为二率一日为三率得四率一十二里即距仓之里数也盖空车一日行三十里则二十日行六百里重车一日行二十里则三十日亦行六百里一徃一返共五十日是知五十日徃返六百里则今一日必徃返十二里也
　　设如重车一日行五十里轻车一日行七十五里今载米至仓五日徃返三次问距仓里数防何法以重车行五十里与轻车行七十五里相乗得三千七百五十里又以轻车行七十五里乗重车一日得七十五日以重车行五十里乗轻车一日得五十日乃以七十五日与五十日相并得一百二十五日为一率三千七百五十里为二率五日为三率得四率一百五十里即五日徃返之里数以三次除之得五十里即距仓之里数也此法与前法同前法一日徃返一次故所得即距仓之里数此法五日徃返三次故所得为徃返三次之里数是以用三次除之而得距仓之里数也
　　御制数理精蕴下编卷七
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷八
　　线部六
　　盈朒【单法　双套】

　　盈朒
　　盈有余也朒不足也设有余不足以求适中亦为因较而得正数之法此固比例法也但比例以实数求实数而盈朒则以虚数求实数然虚数皆与实数相较而生盈朒之差则虚数亦实数也比例以所有之三率求所余之一率而盈朒则所有为两数且两数之中各藏一数其实亦三率也其间有一盈一朒者则以两数相加为相较之率有两盈或两朒者则以两数相减为相较之率有一盈一适足或一朒一适足者则无可加减而或盈或朒之数即其较也法不一致惟在相较以得其差理本一原惟在互比以得其实错综变幻其用不穷所谓以实御虚和较互见者庶防尽于此矣
　　一盈一朒
　　设如有人分银不知人数亦不知银数只云每人七两分之则余四两每人九两分之则少十二两问人数及银数各若干
　　法以七两与九两相减余二两为一率一人为二率盈四两与朒十二两相加共十六两为三率推得四率八即为人数以八人与每人七两相乗得五十六两加盈四两得六十两即为银数或以八人与每人九两相乗得七十二两减朒十二两余六十两亦为银数也此法盖因前设分七两后设分九两是每一人多分二两也然每人分七两则縂银盈四两每人分九两则縂银朒十二两是盈朒相差共十六两矣夫一人多分二两而縂银差十六两则二两为一人之所多而十六两为八人之所多可知矣故二两与一人之比同于十六两与八人之比而为比例四率也既得人数以每人七两计之则八人应得五十六两因银尚余四两故加四两得六十两为银数也若以每人九两计之则八人应得七十二两因银少十二两故减十二两余六十两为银数也此先得人数之法也
　　又先得银数之法用互乗以齐其分以九两乗盈四两为加九倍得盈三十六两以七两乗朒十二两为加七倍得朒八十四两相加得一百二十两为二率七倍与九倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六十两即为银数既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两以每人七两除之得八为人数或于六十两加朒十二两共七十二两以每人九两除之亦得八为人数也此法以九两互乗盈四两者将盈四两加九倍也盈四两加九倍则为盈三十六两既以盈数加九倍则縂银数与所分七两亦皆当加九倍七两加九倍则为六十三两是则九倍之縂银每人六十三两分之盈三十六两也以七两互乗朒十二两者将朒十二两加七倍也朒十二两加七倍则为朒八十四两既以朒数加七倍则縂银数与所分九两亦皆当加七倍九两加七倍则亦为六十三两是则七倍之縂银每人六十三两分之朒八十四两也夫每人既皆分六十三两则是所分之加倍共银数亦必相同然九倍银数则盈七倍银数则朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十两即此二倍之银数也知二倍为一百二十两即知一倍之为防何矣故以二为一率一百二十两为二率一为三率推得四率六十两为银数也既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两即为分七两者之共数而以七两除之得八人或于六十两加朒十二两得七十二两即为分九两者之共数而以九两除之亦得八人也此先得银数之法也
　　又法将盈四两与朒十二两相加得十六两为一率七两与九两相减余二两为二率盈四两为三率得四率五钱与所分七两相加得七两五钱为每人应得之数又以五钱除盈四两得八为人数或仍以十六两为一率二两为二率以朒十二两为三率得四率一两五钱与所分九两相减亦得七两五钱为每人应得之数又以一两五钱除朒十二两亦得八为人数以八人与每人七两五钱相乗得六十两为银数也此法盖因九两与七两相较差二两盈四两与朒十二两相并为十六两是縂银盈朒共差十六两由于每人之多二两也今银尚盈四两则每人分七两者其每一分应多五钱而为七两五钱矣故十六两与二两之比同于四两与五钱之比而为比例四率也且一人多五钱而共多四两则其为八人可知矣故五钱与一人之比同于四两与八人之比亦为比例四率也若以朒数论之则縂银共差十六两者由于每人少二两今银朒十二两则每人分九两者其每一分应少一两五钱而为七两五钱矣且一人少一两五钱而共少十二两则其为八人又可知矣既得人数则以八人与每人七两五钱相乗得六十两而为縂银数也此先得每一人所得银数之法也要之第一法先求人数第二法先求物价第三法先求适足之数立法虽各不同而各先得其一一得而无不得者实由于理之一贯者也
　　设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每人出银四两则不足四两每人出银六两则多六两问人数及物价各若干
　　法以出四两与出六两相减余二两为一率一人为二率朒四两与盈六两相加共十两为三率推得四率五即为人数以五人与每人四两相乗得二十两加朒四两共得二十四两即为物价或以五人与每人六两相乗得三十两减盈六两亦得二十四两为物价也此法盖因前设出四两后设出六两是每一人多出二两也然出四两则朒四两出六两则盈六两是盈朒相差共多十两矣夫一人多出二两而縂价即多十两则二两为一人之所多而十两为防人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人数以每人出四两计之则五人应出二十两因于物价朒四两故加四两得二十四两为物价若以每人出六两计之则五人应出三十两因于物价盈六两故减六两亦得二十四两为物价也此法与首题第一法盈朒之加减不同者首题以共人所分共银为问故分少则縂银必盈分多则縂银必朒其所谓盈朒者乃银数之盈朒故得人数与分银数相乗加盈减朒而得银数也此以共人所出共银为问故出少则比物价为朒出多则比物价为盈其所谓盈朒者乃出数之盈朒故得人数与出银数相乗减盈加朒而得物价也法縂一理但加减盈朒之间少不同耳
　　又先得银数之法以六两乗朒四两为加六倍得朒二十四两以四两乗盈六两为加四倍得盈二十四两相加得四十八两为二率四倍与六倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率二十四两即为物价既得物价则于二十四两内减朒四两余二十两以每人四两除之得五即为人数或于二十四两加盈六两共三十两以每人六两除之亦得五为人数也此法盖将朒四两加六倍为二十四两则物价亦当加六倍而出四两者亦必加六倍而为出二十四两矣将盈六两加四倍为二十四两则物价亦当加四倍而出六两者亦必加四倍而为出二十四两矣夫每人同出二十四两则其加倍共出之数亦必相同然比六倍物价则朒比四倍物价则盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八两即二倍物价也故以二为一率四十八两为二率一为三率推得四率二十四两为物价也既得物价则于二十四两减朒四两余二十两即为出四两者所共出之数而以四两除之得五人或于二十四两加盈六两共三十两即为出六两者所共出之数而以六两除之亦得五人也
　　又法将朒四两与盈六两相加共十两为一率将出四两与出六两相减余二两为二率朒四两为三率得四率八钱与出四两相加得四两八钱为每人应出之数又以八钱除朒四两得五为人数或仍以十两为一率二两为二率盈六两为三率得四率一两二钱于出六两内减之余四两八钱亦为每人应出之数又以一两二钱除盈六两亦得五为人数以五人与四两八钱相乗得二十四两为物价也此法盖因盈朒之相差十两由于每人之多二两今欲补足所朒之四两则每人应多八钱若欲损所盈之六两则每人应少一两二钱故十两与二两之比同于四两与八钱之比亦同于六两与一两二钱之比也且一人多八钱即益所朒之四两一人减一两二钱即损所盈之六两则其为五人也可知矣既得人数则以五人与每人四两八钱相乗得二十四两而为物价之縂银也
　　设如众人乗船渡河每一船载十三人则余十二人若每一船载十八人则余一船问共人数及船数各若干
　　法以余十二人为盈十二人余一船为朒十八人乃以每船所载十三人与每船所载十八人相减余五人为一率一船为二率盈十二人与朒十八人相加共三十人为三率推得四率六即为船数以六船与每船载十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十为人数或以六船与每船十八人相乗得一百零八人减朒十八人亦余九十为人数也盖每一船多载五人而盈朒相差为三十人故五人与一船之比同于三十人与六船之比也以每船十三人计之六船共载七十八人加无船之十二人共九十人以每船十八人计之六船应载一百零八人因一船无人则减去十八人余九十人或减一船余五船与十八人相乗亦得九十人也
　　又先得人数之法以每船载十八人乗盈十二人为加十八倍得盈二百一十六人又以每船载十三人乗朒十八人为加十三倍得朒二百三十四人二数相加得四百五十人为二率以十三倍与十八倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率九十即为人数减盈十二人余七十八人以每船十三人除之得六为船数或于九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六为船数也盖十八人与十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍则共人数之加十八倍者为每船二百三十四人余二百一十六人也若以十八人加十三倍则共人数之加十三倍者为每船二百三十四人又少二百三十四人也【二百三十四人为一船所载之人分】十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人数故五倍与四百五十人之比即如一倍与九十人之比也既得人数减去所余之十二人以每船十三人除之得船数或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船数焉
　　又法将盈十二人与朒十八人相加得三十人为一率十三人与十八人相减余五人为二率盈十二人为三率得四率二人与每船十三人相加得十五人为每船应载之数又以二人除盈十二人得六为船数或仍以三十人为一率五人为二率以朒十八人为三率得四率三人与每船十八人相减余十五人为每船应载之数又以三人除十八人亦得六为船数以六船与每船十五人相乗得九十为人数也盖盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合载所盈之十二人则每船十三人者应加二人而为十五人欲分载所朒之十八人则每船十八人者应减三人而为十五人也且一船加二人即合载十二人一船减三人即分载十八人则其为六船也可知矣
　　两盈
　　设如有人分果不知人数亦不知果数只云每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚问人数与果数各若干
　　法以每人十二枚与十三枚相减余一枚为一率一人为二率以盈六枚与盈十二枚相减余六枚为三率推得四率六为人数以六人与十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚为果数若以六人与十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚为果数也盖一人多一枚而两盈相差六枚其为六人可知故凡所分之数相减余一者其盈朒之差即人数也
　　又先得果数之法以十三枚乗盈十二枚为加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚为加十二倍得盈七十二枚相减余八十四枚为二率十二倍与十三倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率八十四枚为果数内减盈十二枚余七十二枚以每人十二枚除之得六为人数若于八十四枚减盈六枚余七十八枚以每人十三枚除之亦得六为人数也盖十二倍比十三倍差一倍则盈朒相差八十四枚即一倍之果数故凡互乗差一倍者则互乗所得盈朒之差即为縂数既得人数又得縂数则以人数除縂数即得每人所分之数矣
　　又法以两盈数相减为一率互乗所得之两盈数相减为二率一人为三率得四率即为每人所应得之数也此题前二法固以两盈相减即为人数互乗所得两盈相减即为縂数盖因十二与十三相减余一数故也其或余防数者亦即为防倍人数或为防倍縂数其以人数除縂数即同于以防倍人数除防倍縂数也
　　设如有缎一疋欲作新帐幔一架先折作六幅每幅比旧制长一尺二寸后折作七幅每幅比旧制长二寸问缎之长及旧帐之长各若干
　　法以长一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以长二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅与七幅相减余一幅为一率一尺四寸与七尺二寸相减余五尺八寸为二率一幅为三率推得四率五尺八寸为旧帐之长加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺为缎之长也【若于五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二尺】盖折作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也折作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而两盈相差五尺八寸且两盈之数皆比旧帐为盈则五尺八寸为旧帐之长可知矣既得旧帐之数则加一尺二寸而以六幅乗之即得缎之长数也或以六幅与五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得缎之长数盖七尺二寸者原系六因一尺二寸所得之数则加于旧帐而縂乗之与各乗其数而后加之一也若以七幅算之其理亦同又先得缎之长法以七幅乗盈七尺二寸为加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸为加六倍得盈八尺四寸相减余四十二尺为二率六倍与七倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率四十二尺为缎之长减盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸为旧帐之长也【若减盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸】盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍缎之长比旧帐四十二幅长五十尺零四寸六倍缎之长比旧帐四十二幅长八尺四寸是两盈相差四十二尺即一倍缎之长也既得缎之长则减其共盈数而以幅数除之即得旧帐之长或先以幅数除之而减其每幅之盈亦得旧帐之长也
　　两朒
　　设如有银买马不知银数亦不知马数但云每一匹十五两不足八十两每一匹十三两仍不足十六两问马数及银数各若干
　　法以十三两与十五两相减余二两为一率一马为二率朒十六两与朒八十两相减余六十四两为三率推得四率三十二为马数以三十二匹与每匹十五两相乗得四百八十两减朒八十两得四百两为银数若以三十二匹与每匹十三两相乗得四百一十六两减朒十六两亦得四百两为银数也盖一马差二两则縂银差六十四两二两与一马之比即同于六十四两与三十二马之比也既得马数则与每匹之价相乗而减其所朒之数即得银数矣
　　又先得银数之法以十三两乗朒八十两为加十三倍得朒一千零四十两以十五两乗朒十六两为加十五倍得朒二百四十两相减余八百两为二率十三倍与十五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率四百两为银数加朒八十两共四百八十两以每匹十五两除之得三十二为马数或于四百两加朒十六两共四百一十六两以每匹十三两除之亦得三十二为马数也盖将十五两加十三倍十三两加十五倍皆得一百九十五两马价齐同祗十三倍银数则朒一千零四十两十五倍银数则朒二百四十两是两朒相差八百两即二倍之银数故以四率求之而得银数也既得银数则加其所朒之数以每匹之价除之即得马数矣
　　设如有米易布不知米数亦不知布数但云易布二十疋则米少一石易布十六疋则米仍少二斗问米数及布数各若干
　　法以十六疋与二十疋相减余四疋为一率二斗与一石相减余八斗为二率一疋为三率推得四率二斗为布每疋所值米数以二斗与二十疋相乗得四石减朒一石余三石为米数若以二斗与十六疋相乗得三石二斗减朒二斗亦余三石为米数既得米数以每疋二斗除之得十五疋为布数也
　　又先得米数之法以十六疋乗朒一石为加十六倍得朒十六石以二十疋乗朒二斗为加二十倍得朒四石相减余十二石为二率十六倍与二十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率三石为米数加朒一石共四石为一率二十疋为二率三石为三率得四率十五疋为布数或于三石加朒二斗共三石二斗为一率十六疋为二率三石为三率亦得四率十五疋为布数也盖二十疋加十六倍十六疋加二十倍皆为易布三百二十疋而十六倍其米数则朒十六石二十倍其米数则朒四石是两朒相差十二石即相差四倍之米数故以比例求之得米数也既得米数则加朒一石为四石即足易布二十疋故四石与二十疋之比同于三石与十五疋之比也或加朒二斗得三石二斗即足易布十六疋故三石二斗与十六疋之比亦同于三石与十五疋之比也又先得布数之法以朒二斗与朒一石相减余八斗为一率十六疋与十二疋相减余四疋为二率朒一石为三率得四率五疋与二十疋相减余十五疋为布数又以五疋为一率朒一石为二率十五疋为三率推得四率三石为米数也若仍以八斗为一率四疋为二率朒二斗为三率则得四率一疋与十六疋相减亦得十五疋为布数又以一疋为一率二斗为二率十五疋为三率亦得四率三石为米数也此法即先求适足之理盖十五疋即适足之数也
　　一盈一适足
　　设如按户纳粮不知户数亦不知粮数只云每户三升盈六石每户二升五合适足问人户及粮数各若干
　　法以二升五合与三升相减余五合为一率盈六石变为六千合为二率一户为三率推得四率一千二百为户数与每户二升五合相乗得三十石为粮数也盖每户多五合而縂粮多六石其为一千二百户可知故五合与六石之比同于一与一千二百之比也【此以一户为三率者二三率原可互易变之以明比例之理也】既得户数则与二升五合相乗适足三十石之数矣若以一千二百户与每户三升相乗得三十六石减盈六石亦得三十石为粮数也又先得粮数之法以二升五合乗盈六石为加二十五倍【以合为单位】得盈一百五十石以三升乗适足为加三十倍仍得适足【盖全粮一分每户二升五合而适足若将全粮加三十倍为三十分则二升五合亦当加三十倍为七斗五升是全粮三十分每户七斗五升仍适足也】故即以一百五十石为二率将二十五倍与三十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率三十石为粮数以每户二升五合除之得一千二百为户数或加盈六石为三十六石以每户三升除之亦得一千二百为户数也
　　设如有井不知其深有绳不知其长只云将绳作三折入井长八尺将绳作五折入井适足问井深绳长各若干
　　法以三折与五折相减余二折为一率长八尺用三折因之得盈二丈四尺为二率一折为三率推得四率一丈二尺为井深以五折乗之得六丈为绳长或以三折乗之加盈二丈四尺亦得六丈为绳长也盖折作三折每折盈八尺是三折共盈二丈四尺也五折比三折多二折而盈与适足无可加减则盈二丈四尺即为二折之数其一折为一丈二尺矣井深既为五折之一故一折之数即为井深之数也既得井深则以五折乗之得绳长之数或以三折乗之加盈二丈四尺亦得绳长之数也
　　又先得绳长之法以五折乗盈二丈四尺为加五倍得盈一十二丈以三折乗适足为加三倍仍得适足故即以一十二丈为二率三倍与五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六丈为绳长以五折除之得一丈二尺为井深或减盈二丈四尺余三丈六尺以三折除之亦得一丈二尺为井深也
　　一朒一适足
　　设如计日登程不知日数亦不知路程只云每日行五十五里则离所欲至之地共差六十里每日行六十里适足问日数及路程各若干
　　法以五十五里与六十里相减余五里为一率一日为二率朒六十里为三率推得四率十二为日数与每日六十里相乗得七百二十里为路数若以日数十二与每日行五十五里相乗得六百六十里是不到六十里也加朒六十里亦得七百二十里也
　　又先得路程之法以六十里乗朒六十里为加六十倍得朒三千六百里以五十五里乗适足为加五十五倍仍得适足故即以三千六百里为二率五十五倍与六十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率七百二十里为路程以每日六十里除之得十二为日数或于七百二十里内减朒六十里余六百六十里以每日五十五里除之亦得十二为日数也
　　设如有直田一段欲截一头作园只云截长十步不足三十二步截长十二步适足问截积及原濶各若干
　　法以十步与十二步相减余二步为一率朒三十二步为二率一步为三率推得四率十六步为原濶与十二步相乗得一百九十二步为截积或与十步相乗加朒三十二步亦得一百九十二步为截积也盖长十步则少三十二步长十二步则适足是三十二步者即长二步与原濶相乗之积故以二步除之得原濶也既得原濶则与截长十二步相乗得截积或与截长十步相乗加朒三十二步亦得截积也
　　又先得截积之法以十二步乗朒三十二步为加十二倍得朒三百八十四步以十步乗适足为加十倍仍得适足故即以三百八十四步为二率以十倍与十二倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率一百九十二步为截积以截长十二步除之得十六步为原濶或于一百九十二步内减朒三十二步余一百六十步以截长十步除之亦得十六步为原濶也

　　防套盈朒
　　盈朒之法皆以每人防何而盈防何每人防何而朒防何为问其首数皆为一故以一人之较与共较为比例而得人数即欲先求共数不过用一互乗以齐其分而已故为单法若防套则以防人防何而盈防何防人防何而朒防何为问其首数已不同故必先用一互乗以齐之而后可以为比若欲先求共数则用两互乗是以谓之防套至于比例相求之理则仍与单法同也
　　一盈一朒
　　设如有人分银不知人数亦不知银数只云每四人分银三两则盈六两每六人分银九两则朒三两问人数与银数各若干
　　法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率四人六人互乗得二十四人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二即为人数既得人数乃以四人为一率三两为二率十二人为三率推得四率九两加盈六两得十五两即为银数或以六人为一率九两为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两亦余十五两为银数也此法必用互乗以齐其数者盖单法以所分数相减为一率一人为二率盈朒相加为三率今三两为四人之所分九两为六人之所分不可以相减而为一率也四人与六人人数不同不可以为二率也所以必用互乗以齐之一则为二十四人分十八两虽为加六倍其比例仍同于四人分三两也一则为二十四人分三十六两虽为加四倍其比例仍同于六人分九两也是以十八两与三十六两相减余十八两为二十四人之所差而盈朒差九两即知为防人之所差故十八两与二十四人之比即同于九两与十二人之比也既得人数之后而仍用比例四率者何也盖单法所分之银数为一人之所分故以人数与所分之银数相乗加盈减朒而即得縂银今则所分之银数为四人或六人之所分故每防人与所分防何之比即如縂人与縂银之比而得四率加盈减朒始得縂银数也
　　又防法以四人归除三两每一人应得七钱五分以六人归除九两每一人应得一两五钱乃照盈朒单法列之为每人七钱五分分之盈六两每人一两五钱分之朒三两是以七钱五分与一两五钱相减余七钱五分为一率一人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二为人数既得人数则以一人为一率一两五钱为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两余十五两为银数也或以每人七钱五分为二率推得四率九两加盈六两亦得十五两为银数也此法以四人除三两以六人除九两皆为度尽之数若数有竒零度不尽者则必用互乗之法而后可
　　又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两又以三十六两互乗盈六两为加三十六倍得盈二百一十六两以六人互乗三两得一十八两又以一十八两互乗朒三两为加十八倍得朒五十四两两数相加得二百七十两为二率十八倍与三十六倍相减余十八倍为一率一倍为三率推得四率十五两为银数既得银数乃以三两为一率四人为二率十五两减盈六两余九两为三率推得四率十二为人数或以九两为一率六人为二率十五两加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数也盖单法以所分之数相减为一率以所分之数互乗盈朒之数相减为二率一倍为三率得四率为银数今则三两为四人之所分九两为六人之所分其数不同即三两与九两互乗亦皆得二十七两而一则为三十六人分二十七两【加九倍也】一则为十八人分二十七两【加三倍也】其数亦仍不同不可相为比例故必以四人六人互乗为二十四人以齐其人数又必以十八与三十六互乗盈朒之数以齐其所分银数然后人数与所分银数俱同可以设为比例是以十八两加三十六倍三十六两加十八倍皆为六百四十八两即如三十六倍其银数则每二十四人分六百四十八两盈二百一十六两若十八倍其银数则每二十四人分六百四十八两朒五十四两也然则盈朒相差二百七十两即十八倍银数之所差矣故十八倍与二百七十两之比即同于一倍与十五两之比而为比例四率也既得银数而减盈加朒为比例四率者盖以所分之银数与防何人之比即如减盈加朒之縂银数与縂人数之比也
　　又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率以互乗所得之十八两为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率九两加盈六两得十五两为银数【为一若以三十六两为二率则得四率十八两减朒三两亦得十五两为】既得银数则以三两为一率四人为二率十五两内减盈六两余九两为三率推得四率十二为人
　　【银数若以九两为一率六人为二率十五两内加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数】数也此法盖合两四率而四率原法以十八两为一率二十四人为二率九两为三率得四率十二为人数又如以二十四人为一率十八两为二率【与四人为一率三两为二率者同因其俱为四与三之比例】十二人为三率则得四率九两加盈六两得十五两为银数今将两四率合为一四率则前四率中省以二十四乗后四率中省以二十四除故以十八两为一率又为二率以九两为三率而得四率九两加盈六两为银数也
　　设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每八人出银七两则盈四两五钱每九人出银六两则朒三两问人数及物价各若干
　　法以八人互乗六两得四十八两以九人互乗七两得六十三两相减余十五两为一率八人九人互乗得七十二人为二率盈四两五钱与朒三两相加得七两五钱为三率推得四率三十六即为人数既得人数乃以八人为一率七两为二率三十六人为三率推得四率三十一两五钱减盈四两五钱余二十七两即为物价或以九人为一率六两为二率三十六人为三率推得四率二十四两加朒三两亦得二十七两为物价也此法用互乗以齐其数一则变为七十二人出六十三两一则变为七十二人出四十八两其相差十五两是十五两为七十二人之所差则盈朒相加之七两五钱即知为三十六人之所差故十五两与七十二人之比即同于七两五钱与三十六人之比也既得人数仍用比例四率以每防人与所出防何之比即如縂人与縂银之比而得数内减盈加朒即为物价也
　　又先得银数之法以八人互乗六两得四十八两又以四十八两互乗盈四两五钱为加四十八倍得盈二百一十六两以九人互乗七两得六十三两又以六十三两互乗朒三两为加六十三倍得朒一百八十九两二数相加得四百零五两为二率四十八倍与六十三倍相减余十五倍为一率一倍为三率推得四率二十七两为银数既得银数乃以七两为一率八人为二率二十七两内加盈四两五钱共三十一两五钱为三率推得四率三十六为人数或以六两为一率九人为二率于二十七两减朒三两余二十四两为三率亦得四率三十六为人数也此法用互乗以齐人数银数而成比例故八人与九人互乗皆为七十二人以六十三两与四十八两互乗皆为出三千零二十四两此数比四十八倍之物价则盈二百一十六两比六十三倍之物价则朒一百八十九两其盈朒之相差为四百零五两其四十八倍与六十三倍相差为十五倍以十五倍与四百零五两之比即同于一倍与二十七两之比也既得银数仍用比例四率盖以所出之银数与防何人之比即如加盈减朒之縂银数与縂人数之比也
　　两盈
　　设如众人轮班值日不知人数亦不知日数只云每四人值五日则盈二十日每八人值九日仍盈八日问人数及日数各若干
　　法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相减余四日为一率四人八人互乗得三十二人为二率盈八日与盈二十日相减余十二日为三率推得四率九十六为人数既得人数乃以四人为一率五日为二率九十六人为三率推得四率一百二十日减盈二十日余一百为日数或以八人为一率九日为二率九十六人为三率推得四率一百零八日减盈八日亦余一百为日数也此法用互乗以齐其分一则变为三十二人值四十日一则变为三十二人值三十六日其相差为四日知四日为三十二人之所差则两盈相减之十二日即知为九十六人之所差矣既得人数则以每防人与值防日之比即同于縂人与縂日之比而于得数之内减其所盈即为日数也
　　又先得日数之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日为加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日为加四十倍得盈三百二十日相减余四百日为二率三十六倍与四十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率一百为日数既得日数乃以五日为一率四人为二率一百日内加盈二十日共一百二十日为三率推得四率九十六为人数或以九日为一率八人为二率一百日内加盈八日共一百零八日为三率亦得四率九十六为人数也盖八人四人互乗皆为三十二人三十六日四十日互乗皆为一千四百四十日然比三十六倍日数则盈七百二十日比四十倍日数则盈三百二十日二数相差为四百日三十六倍与四十倍相差为四倍知四倍之为四百日即知一倍之为一百日矣既得日数则以所值之防日与防人之比即同于加盈之縂日数与縂人数之比也
　　两朒
　　设如有人分绢分之不尽只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋问人数及绢数各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三人六人互乗得一十八人为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率六十为人数既得人数则以三人为一率五疋为二率六十人为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数若以六人为一率九疋为二率六十人为三率推得四率九十疋减朒十疋亦得八十疋为绢数也此法用互乗以齐其数一则变为十八人分三十疋朒二十疋一则变为十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋为十八人之所差即知十疋为六十人之所差故三疋与十八人之比即同于十疋与六十人之比也又先得绢数之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三十疋为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数也【若以二十七疋为二率则求得四率九十疋减十疋亦得八十疋为绢数】既得绢数则加朒二十疋共一百疋为三率五疋为一率三人为二率推得四率六十为人数也此法亦合两四率而为一四率盖原法以三疋为一率十八人为二率十疋为三率得四率六十为人数又如以十八人为一率三十疋为二率【与三人为一率五疋为二率者同因其俱为三与五之比例】六十人为三率得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数今合两四率为一四率则前四率中省以一十八乗后四率中省以一十八除也
　　一盈一适足
　　设如众人支粮每三人支九石盈五十四石每四人支十四石适足问人数与粮数各若干
　　法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相减余六石为一率三人四人互乗得十二人为二率盈与适足无可加减即以盈五十四石为三率推得四率一百零八为人数既得人数乃以四人为一率十四石为二率一百零八人为三率推得四率三百七十八石为粮数或以三人为一率九石为二率一百零八人为三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石为粮数也此法用互乗以齐其分一则变为十二人支三十六石一则变为十二人支四十二石其相差六石知六石为十二人之所差即知五十四石为一百零八人之所差矣既得人数则以每防人与支防石之比即同于縂人数与縂粮数之比也又先得粮数之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石为加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗适足为加三十六倍仍得适足故即以盈二千二百六十八石为二率三十六倍与四十二倍相减余六倍为一率一倍为三率推得四率三百七十八石为粮数既得粮数乃以十四石为一率四人为二率三百七十八石为三率推得四率一百零八为人数或以九石为一率三人为二率三百七十八石内减盈五十四石余三百二十四石为三率亦得四率一百零八为人数也盖三十六石与四十二石互乗皆为支一千五百一十二石然四十二倍其粮数则盈二千二百六十八石三十六倍其粮数则适足三十六倍与四十二倍差六倍知六倍之为二千二百六十八石即知一倍之为三百七十八石矣既得粮数则以所支之防石与防人之比即同于縂粮数与縂人数之比也
　　一朒一适足
　　设如以车运米每四车载六十石则米少六十石每三车载四十石则米适足问车数与米数各若干法以四车互乗四十石得一百六十石以三车互乗六十石得一百八十石相减余二十石为一率三车四车互乗得十二车为二率朒与适足无可加减即以朒六十石为三率推得四率三十六为车数既得车数则以十二车为一率以互乗所得之一百六十石为二率【与三车为一率四十石为二率同以其俱为三与四十之比例也】三十六车为三率推得四率四百八十石为米数若将互乗所得之一百八十石为二率则得四率五百四十石减朒六十石亦得四百八十石为米数也此法互乗后一得十二车载一百八十石一得十二车载一百六十石其相差为二十石知二十石为十二车之所差即知六十石为三十六车之所差故二十石与十二车之比即同于六十石与三十六车之比也
　　又先得米数之法欲省互乗则将两车数变为同防以四车载六十石用四归三因为三车载四十五石则两首数同矣乃以四十石与四十五石相减余五石为一率四十石为二率朒六十石为三率推得四率四百八十石为米数既得米数即以四十石为一率三车为二率四百八十石为三率推得四率三十六即车数也此法不用互乗止将两首数变为同防极为简防然必其数可以度尽为同等者方可用之若其数不能度尽则必仍用互乗之法焉

　　御制数理精蕴下编卷八
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷九
　　线部七
　　借衰互征
　　叠借互征

　　借衰互征
　　借衰互征者有总数而无分数或有分数而无总数或无总数分数之实率而但有其盈率则不得不别借一衰数以为比例然后可以得其真数故曰借衰然而所借之衰又各不同有借于本数之中者有借于本数之外者借彼征此借虚征实故曰互征葢先借各项衰数合而为总衰数以总衰数与总真数相比即若各项衰数与各项真数之比也或先借总衰数加减出各衰数之较以各衰数之较与真数之较相比即若总衰数与总真数之比也或以各衰数之较与真数之较相比即若各项衰数与各项真数之比也要之皆就比例之法而推广之耳
　　设如有银一千八百两命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍问甲乙各得几何
　　法借一为乙衰五为甲衰并之得六为一率总银一千八百两为二率乙衰一为三率得四率三百两即乙所分之数与一千八百两相减余一千五百两即甲所分之数以三百两与一千五百两相较则甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍则是甲有五分乙有一分故借一为乙衰五为甲衰倂之得六为总衰以总衰与总银之比卽若乙一衰与乙银一分之比也【此法卽和数比例因借衰之首故设一最易者以发明其理云】
　　设如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比　二官加一倍少二年问每官各该几年
　　法借一衰为第一官年数借二衰多六年为第二官年数借四衰多十年为第三官年数倂三官衰数得七为一率倂后二官共多十六年于总年数内减之余八十四年为二率第一官一衰为三率得四率十二年为第一官年数倍之加多六年得三十年为第二官年数又倍第二官年数减少二年得五十八年为第三官年数合三数而共为一百年也此法第一官既借一衰则第二官加一倍零六年者当借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍则当借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年为第三官衰数也
　　设如有甲乙丙三人共银四十四两乙比甲银多一倍零四两丙比甲乙二人共数又多六两求各人银数几何
　　法借一为甲衰借二多四两为乙衰借三多十两为丙衰倂三衰得六为一率并乙丙二人多数为十四两于总银内减之余三十两为二率甲衰一为三率得四率五两卽甲银倍之加多四两得十四两为乙银并甲乙银又加多六两得二十五两即丙银也此法既以一为甲衰乙比甲加一倍零四两故借二多四两为乙衰也丙并甲乙共数多六两故借三多十两为丙衰也甲衰一乙衰二并之为三乙比甲多四两丙比甲乙共数又多六两并之为十两也
　　设如有甲乙二人入山采果共得三百枚但云甲数加六百枚乙数加二百枚则甲数比乙数多二倍问甲乙各得几何
　　法借三为甲衰借一为乙衰并之得四为一率以三百枚与六百枚二百枚相加得一千一百为二率乙衰一为三率得四率二百七十五卽乙一分之数减加数二百余七十五卽乙数以七十五与三百枚相减余二百二十五卽甲数以乙七十五与甲二百二十五相较则甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍则甲为三分乙为一分故借三为甲衰一为乙衰并之为总衰作一率又以原果与两加数相并为总数作二率葢总衰与总数之比即乙一衰与乙果一分之比也
　　设如有银一百九十六两买驼四匹马六匹驴十头马比驴价加一倍零二两驼比马价加一倍零四两问各价银若干
　　法借一衰为驴价以驴十因之得十借二衰多二两为马价以马六因之得十二衰多十二两【一马多二两六马故多十二两】借四衰多八两为驼价以驼四因之得十六衰多三十二两【一驼多八两四驼故多三十二两】并三色衰数【驴十马十二驼十六】共三十八为一率又并驼马多价【驼三十二两马十二两】共四十四两于总银内减之余一百五十二两为二率驴一衰为三率得四率四两即驴一头之价倍之加多二两得十两即马一匹之价又倍之加多四两得二十四两即驼一匹之价也此法既借一衰为驴价马比驴加一倍零二两故借二衰多二两为马价也驼比马又加一倍当借四衰多四两再加多马四两则四衰多八两为驼价也乃以各数因之【驴十马六驼四】故得各项总衰数也
　　设如问一人歳数答曰我比弟长二年父年倍我仍多两歳伯父兼我三人歳数再加四年整百歳问四人各得年数几何
　　法借一衰为其弟歳数借一衰零二年为本人歳数倍之得二衰零四年再加多两歳得二衰零六年为其父歳数总并之得四衰零八年为其伯之歳数即以四衰为一率八年四年相并得十二年与百歳相减余八十八年为二率其弟一衰为三率得四率二十二即其弟之歳数加长二年得二十四即本人之歳数倍本人歳数再加多两歳得五十即其父之歳数并三人歳数得九十六即其伯之歳数再加四年是为整百歳也此法既借一衰为其弟歳数本人较长二年故借一衰零二年为本人歳数也其父年比本人加倍又多两嵗故借二衰零六年为其父歳数也【加倍为二衰零四年又加多两歳故为二衰零六年也】将三人歳数相并得四衰零八年为其伯之歳数再加四年方整百嵗则减四年又减所零之八年余八十八年即四衰相当之数也
　　设如漏壶一具上有渴乌注水凡十二时而满下有一孔通天池泄水凡十八时而尽若上注下泄问几时可得水满
　　法以十二时与十八时相乘得二百一十六时卽借二百一十六分为壶水衰数又以十二时与十八时相减余六时卽借六分为一时水满分数乃以六分为一率一时为二率二百一十六分为三率得四率三十六卽是水满一壶之时也此法以十二时乘十八时者卽借一壶水作二百一十六分算也十二时满二百一十六分则一时满十八分十八时尽二百一十六分则一时泄十二分一时满十八分而泄十二分则壶中所存止得六分故以十二减十八余六分为一时所满之水也满水六分既得一时则壶中满二百一十六分而得三十六时矣
　　设如漏壶一座注水于内下有三孔大孔流水二时而尽中孔流水三时而尽小孔流水六时而尽若三孔齐开问水几时可尽
　　法以大孔之二时乘中孔之三时得六时又以小孔之六时乘之得三十六时卽借三十六分为壶水总衰数以大孔二时除之得十八分以中孔三时除之得十二分以小孔六时除之得六分并三数得三十六为一率一时为二率借衰三十六为三率得四率一时卽一时水可尽也此法葢以三色之数连乘为共分其大孔二时流尽则一时流十八分中孔三时流尽则一时流十二分小孔六时流尽则一时流六分故并三数而为一时所流者有三十六分今壶水止有三十六分故一时可以流尽也
　　设如有人自乡上城共一百二十里今行尚未到若以行过路六分之一与余路三分之一相加便是到城里数问该若干
　　法借十五衰为一率一百二十里为二率余路三分卽借三衰为三率得四率二十四里卽到城里数也此法借十五衰为一率者因余路取三分之一尚余二分又取行过路六分之一补足余路二分之数是行过路之一分卽抵余路之二分也今将余路一分借一衰则行过路一分当借二衰六分则当借十二衰再加余路三衰是共得十五衰故十五衰与一百二十里之比卽余路三分与二十四里之比也【每分该八里】
　　设如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一从水面往下取四分之一相并便是水深数问该几何
　　法借十三衰为一率二丈六尺为二率自水面往下四分卽借四衰为三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰为一率者因水面往下取四分之一尚余三分又取水面向上三分之一补足水面下三分之数是水面上之一分卽准水面下之三分也今将水面下一分借一衰则水面上一分当借三衰一分借三衰则三分必当借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰与二丈六尺之比卽水面下四分与八尺之比也
　　设如有人问此时系何时刻答曰自子正到此时时刻折半与自此时到午正三分之一相加便是此时时刻
　　法借二衰为自子正到此时衰数【时折半者定为一衰今用全数故借二衰】又借三衰为自此时到午正衰数【三分故借三衰因三分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】并之得五衰为子正到午正之分为一率又计子正到午正得十二小时因化为七百二十分为二率自子正到此时二衰为三率得四率二百八十八分收为四小时三刻三分即定为寅正三刻三分也此法因题言自子正到此时时刻折半故以折半数借为一衰今用全数为自子正起算故借二衰题又言到午正时刻三分之一与折半之数相加则是折半数即与三分之一之数相等故将三分亦借为三衰是子正到午正共为五衰矣计子正到午正时刻得七百二十分故五衰与七百二十分之比即二衰与二百八十八分之比既得二百八十八分收为四小时三刻三分即自子正到寅正三刻三分也
　　设如有人问到日落得几时答曰自日出到此时时刻取四分之一从此时到日落时刻折半两数相加即是此时时分
　　法借二衰为自此时到日落时衰数【衰时折半者借一衰今用全数故借二】又借四衰为自日出
　　【衰】到此时衰【四分故借四衰因四分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】数并之得六衰为一率又察昼夜长短如自日出至日落止有十小时卽化作六百分为二率自此时到日落二衰为三率得四率二百分收为三小时一刻五分即到日落之时分也此法因题言自此时到日落时刻折半故以折半数借为一衰今用全数则当借为二衰题又言自日出到此时四分之一与折半之数相加则是折半数即与四分之一之数相等故将四分亦借为四是日出到日落共为六衰矣如日出至日落时刻得六百分则六衰与六百分之比即二衰与二百分之比故以二百分收为三时一刻五分也
　　设如有羊一羣不知数目但云卖去三分之一又分四分之一另为一羣下余一千只问原共数几何法以两分母相乘得十二为总衰内减三分之一余八又减四分之一余五为一率一千为二率总衰十二为三率得四率二千四百即共数也此法因题言三分之一四分之一两分子同分母不同故以两分母相乘为总衰分内减三分之一又减四分之一所余五即如总数分十二分而一千为其五分也故五衰与一千之比即如十二衰与二千四百之比也
　　设如有羊一羣不知数目但云赏人七分之五又将所余者卖五分之三尚余八百只问原共数若干
　　法以两分母相乘得三十　　　　　　　　　　　　　　　　　　【借】五为总羊衰数内去七分之五余一【衰将三十五分为七分每
　　分得五今去五分为二十五故仍余一十】十又将　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】一十为所余羊衰数内去五分之三【将一十分为五分每分得二今去三分为六故仍余四也】余四卽以四为一率所余羊八百只为二率总衰三十五为三率得四率七千卽原羊共数也此法葢因共数为七千内去七分之五是去五千余二千又将二千去五分之三是去一千二百仍余八百故借总衰三十五内去七分之五所余又去五分之三而得余衰四以余衰四与余羊八百之比卽若总衰三十五与总羊七千之比也此法与前法防异者前法虽有三分四分之不同是于总数中计分故其为分则一此法赏人七分之五者是去总数内七分之五而卖五分之三者乃赏人后所余之五分之三也立法少异故中总分余分相减亦别至减余归四率其比例仍同也
　　设如有田七百四十二亩内有耕者种者耘者种者比耕者得十分之七耘者比种者得五分之三问每项各几何
　　法以两分母两分子互相连乘共得一千零五十为耕者衰数此数十分之取其七分得七百三十五为种者衰数此数五分之取其三分得四百四十一为耘者衰数并三衰数得二千二百二十六为一率七百四十二亩为二率以耕者衰数一千零五十为三率得四率三百五十亩即所耕之田以种者衰数七百三十五为三率得四率二百四十五亩即所种之田以耘者衰数四百四十一为三率得四率一百四十七亩即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借数有竒零故即以本题分数连乘之得数后仍依各项分之则衰数无竒零而各分各数俱可比例而得矣
　　设如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一问共髙若干
　　法先借一数可分为三分五分者乃借三十为总衰此数三分之二得二十又五分之一得六两数相加得二十六与总衰三十相减余四为一率上露三丈二尺为二率总衰三十为三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以减余四衰与上露三丈二尺之比卽总衰三十与塔总髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺则共二十四丈也
　　又法于借衰三十内减去三分之二【减去二十】又减五分之一【减去六】余四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰为八尺也一衰为八尺则三十衰自得二百四十尺矣
　　设如有木匠与瓦匠小工三项分工价瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一两二钱问每项工价若干
　　法以两分母两分子连乘共得四十为木匠衰数此数五分之二得十六为瓦匠衰数四分之一得十为小工衰数又将十六衰与十衰相减余六为一率多一两二钱为二率木匠衰数四十为三率得四率八两卽木匠价取五分之二得三两二钱卽瓦匠价取四分之一得二两卽小工价以二两与三两二钱相减余一两二钱卽瓦匠多于小工之数也此法亦以题中分母分子连乘作衰数但用瓦匠比小工所多衰数银数与木匠衰数银数为比例何也葢各项衰数与各项银数之比皆同今瓦匠衰数与小工衰数之比卽瓦匠银数与小工银数之比也又瓦匠衰数多于小工衰数之六与瓦匠银数多于小工银数一两二钱之比卽同于小工衰数与小工银数之比又即同于木匠衰数与木匠银数之比故直以六衰与多一两二钱为一率二率也
　　设如有金不足色欲炼成上等好金第一次入炉煅去三分之一第二次入炉煅去四分之一第三次入炉煅去五分之一第四次入炉煅去六分之一方净剩上等好金二十七两问原金几何
　　法借三分四分五分六分俱分得尽之六十为原金总衰此数三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四数相并得五十七与原借数六十相减余三为一率净剩金二十七两为二率总衰六十为三率得四率五百四十两卽原金数也此法因原金中镕销四次所余二十七两故借衰中亦减去四次之数所余为三衰以三衰与二十七两之比卽六十衰与五百四十两之比也
　　设如有铜不知斤数但云取七分之三作上等仪器又取所余之五分之二作中等仪器又取所余之四分之一作三等仪器仍余五十四斤问原铜共数几何
　　法以三分母连乘得一百四十为总铜衰数取其七分之三余八十为二次余铜衰数【一百四十分为七分每分二十今去三分为六十仍余八十也】又将所余八十取其五分之二余四十八为三次余铜衰数【八十分为五分每分十六今去二分为三十二仍余四十八也】又将所余四十八取其四分之一余三十六为所余衰数【四十八分为四分每分十二今去一分十二仍余三十六也】即以三十六为一率余铜五十四斤为二率总衰一百四十为三率得四率二百一十斤卽原铜共数也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤余一百二十斤又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤余七十二斤又将七十二斤内去四分之一是去十八斤余五十四斤而与原剩数合也此法亦是按节次另定分数与均分者不同故立衰数亦按节次减去取其余衰三十六与余铜五十四斤之比卽若总衰一百四十与总铜二百一十斤之比也
　　设如问一老人嵗数但云加三分之二减四分之一得一百三十六歳求其嵗数几何
　　法借十二为总衰数此数三分之二为八四分之一为三于总衰十二内加八减三得十七为一率一百三十六嵗为二率总衰十二为三率得四率九十六嵗即老人嵗数也此法借十二衰即三分与四分相乘之数三分四分俱可以分尽也于总衰十二内加八即加三分之二也又减三即减四分之一也所得十七即加减衰数也以加减衰数与加减年数之比即若所借总衰与所得歳数之比也
　　设如有一数但云其数二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并为五百二十二问原数几何
　　法先借一数可分为二分三分四分五分六分者乃借六十为总衰数此数依法剖之其二分之一为三十其三分之一为二十其四分之一为十五其五分之一为十二其六分之一为十并之得八十七为一率共并数五百二十二为二率总衰六十为三率得四率三百六十即原数也此法借数六十与原数为比者因原数隐而未露故虚借一数作比例以互征之葢并数八十七者原数为六十并数五百二十二者原数为三百六十其比例同也
　　设如有马一羣但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一并原数共一百一十二匹问原数几何
　　法先借一数可分为二分三分四分者乃借十二为衰数此数加一倍得二十四又加二分之一为六又加三分之一为四又加四分之一为三共得三十七为一率共数一百一十二减一余一百一十一为二率衰数十二为三率得四率三十六即原数也此法与前法同但题中又加一匹是真数也故于总数内减去一匹为比例盖加分所得衰数三十七与加分所得共数一百一十一之比即若所借原衰十二与原数三十六之比也
　　设如一人为商三次第一次得利比本为三分之二将利加入本银第二次得利比本为四分之三又将此利加入本银第三次得利比本为五分之三三次本利共银一千四百两问原本银若干法借六十为本银衰数取其三分之二得四十与六十相加得一百又将一百取其四分之三得七十五与一百相加得一百七十五又将一百七十五取其五分之三得一百零五与一百七十五相加得二百八十为一率本利共银一千四百两为二率原借衰数六十为三率得四率三百两即原本银数也葢三百两三分之二得二百与本银相加得五百于五百内取四分之三得三百七十五仍与五百相加得八百七十五于八百七十五内取五分之三得五百二十五仍与八百七十五相加得一千四百以合原数其借六十为本银衰数加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰与本利共银之比即如本银借衰与原有本银之比也

　　叠借互征
　　叠借互征者因原问内设数隐伏一次借衰尚不能得其真数故不得不借两数以比较之先借一数与原数相较复借一数与原数相较然后据两较以立算而真数可得故曰叠借葢以叠借之数比原问之数或多或少乃作盈朒法算之以求两借数之较也故其较之一多一少者用加或两较俱多两较俱少者用减一如盈朒之例以两差数之较与两借数之较为比而得借数与真数之较或以两借数互乘两差数以两差数之较与互乘所得两差数之较为比而得所求之真数其法虽繁实有条理亦借数之巧也
　　设如有银一百两命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍问毎人应得几何
　　法先借十二两为甲银衰数则丙应得六两【比甲少一倍】丁应得二两【比丙少二倍】并三数得二十两与原银一百两相较少八十两再借二十四两为甲银衰数则丙应得十二两【比甲少一倍】丁应得四两【比丙少二倍】并三数得四十两与原银一百两相较仍少六十两乃以前借数十二两少八十两书于右后借数二十四两少六十两书于左作两不足法算之于是两少数相减余二十两为一率两借数相减余十二两为二率前借数与原数相较之少八十两为三率得四率四十八两加入前借数十二两共得六十两即甲银数或以后借数与原数相较之少六十两为三率得四率三十六两加入后借数二十四两亦得六十两为甲银数既得甲银数减一倍得三十两即丙银数再取丙银三分之一得十两即丁银数也【因丙银比丁银多二倍故于丙银中取三分之一即丁银】此法先借一人银数加减出三人银数与原总银相较得其差数又借一人银数加减出三人银数又与原总银相较复得一差数爰将两借数相减是得甲一人两借数之较也又将两差数相减【因两差俱少故相减如一多一少则相加】是得三人两差数之较也乃以比例求之以三人两差数之较比一人两借数之较即同于三人共数与原总银之差比一人借数与本银之差也故以二十两与十二两之比同于八十两与四十八两之比为借数十二两少于甲本银之差数或以二十两与十二两之比同于六十两与三十六两之比为借数二十四两少于甲本银之差数各与借数相加皆得甲本银数也【因其为少故与借数相加若差数为多则与借数相减】此即盈朒先求适足之法葢两少数相差二十两由于两借数之相差十二两如欲补足所少之八十两则应加四十八两或欲补足所少之六十两则应加三十六两也
　　又如欲借两数所得差数一多一少用相加立算则先借四十八两为甲银衰数丙应得二十四两丁应得八两并三数得八十两与原银一百两相较少二十两再借六十六两为甲银衰数丙应得三十三两丁应得十一两并三数得一百一十两与原银一百两相较则多十两乃以前借数四十八两少二十两书于右后借数六十六两多十两书于左作一盈一朒法算之于是一多数一少数相加得三十两为一率两借数相减余十八两为二率前借数与原数相较之少二十两为三率得四率十二两加入前借数四十八两共得六十两即甲银数如以后借数与原数相较之多十两为三率得四率六两与后借数六十六两相减亦得六十两为甲银数既得甲银数其丙丁银数按分递减之即得矣
　　又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十八两互乘后多十两为加四十八倍得多四百八十两以后借数六十六两互乘前少二十两为加六十六倍得少一千三百二十两乃以互乘所得一多一少两数相加得一千八百两为二率原一多一少两数相加得三十两为一率一人为三率得四率六十两即甲银数也葢所加四十八倍与六十六倍相差为十八倍则互乘所得一多一少两数相差之一千八百两即十八倍总银数也【八百见盈】然甲银为总银之三十分之十八【朒法盖两差数之较为三十则两借数之较为十八少数为二十则借数加一十二多数为一十则借数减六皆三
　　十与十八之比】必为十八倍总　　　　　　　　　　　　　　　　　【例】银之三十分【也葢三十分之十八者将总银分为三十分而得其十八分也若十八倍总银则其一分即十八也】之一故以三十分与一千两之比即同于一分与六十两之比即甲银数也
　　设如有香炉二座不言重数但知炉葢一个重一百五十斤如以葢加甲炉则重于乙炉二倍以葢加乙炉乃与甲炉相等求甲乙二炉各重几何法先借三十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤为乙炉衰数【因甲炉加葢比乙炉重二倍故以乙炉衰数定为甲炉衰数加葢之三分之一】以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲炉衰数三十斤多一百八十斤则是所借甲炉衰数三十斤少一百八十斤再借九十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤为乙炉衰数以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲炉衰数九十斤多一百四十斤则是所借甲炉衰数九十斤少一百四十斤乃以前借甲炉衰数三十斤少一百八十斤书于右后借甲炉衰数九十斤少一百四十斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余四十斤为一率两借数相减余六十斤为二率前借数与原数相较之少一百八十斤为三率得四率二百七十斤加入前借数三十斤共三百斤即甲炉之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙炉之重加葢一百五十斤共三百斤与甲炉相等也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十斤互乗后少一百四十斤为加三十倍得少四千二百斤以后借数九十斤互乘前少一百八十斤为加九十倍得少一万六千二百斤乃以互乗所得两少数相减余一万二千斤为二率原两少数相减余四十斤为一率甲炉一为三率得四率三百斤即甲炉之重数也葢所加三十倍与九十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之一万二千斤即六十倍总差数也然甲炉重数为总差数之四十分之六十【之得五十斤盖两差数之较为四十则两借数之较为六十少数为一百八十则借数加二百七十皆四十与六】必为六十倍总差数之四十分之一【十之比例也葢四十分之六十者将总差数分为四十分而得其六十分也若六十倍总差数则其一分】故以四十分与一万二千斤之比即同于一分与三百斤之比也
　　设如有铜铸甲乙二钟未称斤数但云取乙钟铜八十斤入甲钟则所余得甲钟四分之一若取甲钟铜八十斤入乙钟则所余得乙钟三分之二问二钟各得铜数若干
　　法先借一百二十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则【即六十分也】甲钟得二百斤此数四分【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百三十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百三十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百一十斤而甲钟止余四十斤【甲钟一百二十斤中去八十斤故余四十斤】加一半二十斤得六十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故四十斤为三分之二而加一分为二十斤共六十斤为乙钟数】而与乙钟二百一十斤相较则少一百五十斤再借三百六十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得四百四十斤此数四分之得一百一十斤【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百九十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百九十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百七十斤而甲钟止余二百八十斤【甲钟三百六十斤中去八十斤故余二百八十斤】加一半一百四十斤得四百二十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故二百八十斤为三分之二而加一分为一百四十斤共四百二十斤为乙钟数】而与乙钟二百七十斤相较则多一百五十斤乃将前借数一百二十斤少一百五十斤书于右后借数三百六十斤多一百五十斤书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得三百为一率两借数相减余二百四十为二率前借数与乙衰相较之少一百五十斤为三率得四率一百二十斤加前借数一百二十斤共二百四十斤为甲钟斤数加入乙钟铜八十斤为三百二十斤四分之得八十斤【既取乙钟铜八十斤入甲钟故余此数】再加入甲钟铜八十斤得一百六十斤为乙钟斤数也
　　又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数一百二十斤互乘后多一百五十斤为加一百二十倍得多一万八千斤以后借数三百六十斤互乗前少一百五十斤为加三百六十倍得少五万四千斤乃以互乘所得一多一少两数相加得七万二千斤为二率原一多一少两数相加得三百斤为一率甲钟一为三率得四率二百四十斤即甲钟重数也葢所加一百二十倍与三百六十倍相差为二百四十倍则互乘所得一多一少两数相加之七万二千斤即二百四十倍总差数也然甲钟重数为总差数之三百分之二百四十必为二百四十倍总差数之三百分之一故以三百分与七万二千斤之比即同于一分与二百四十斤之比也
　　设如甲丙二人入山采矿皆不知所得之数但云甲与丙二十四两则所余得丙之四分之一若丙与甲三十两则所余得甲之六分之一问两人各得之数若干
　　法先借四十两为丙之衰数加甲与二十四两得六十四两此数四分之得十六两【一因甲得丙四分之一故将丙数四分】加二十四两得四十两为甲之衰数【也因甲与丙二十四两所余得丙四分之一故仍以二十四两加入为甲衰数】若丙与甲三十两则甲得七十两而丙止余十两六因
　　之得　　　　　　　　　　【也】六十两为甲【因丙与甲三十两所余得甲六分之一故将丙之十两六因之为甲数】数而与甲七十两相较则少十两再借六十两为丙之衰数加甲与二十四两得八十四两此数四分之得二十一两加二十四两得四十五两为甲之衰【其所加所分之故同前】数若丙与甲三十两则甲得七十五两而丙止余三十两六因之得一百八十两而与甲七十五两相较又多一百零五两乃将前借数四十两少十两书于右后借数六十两多一百零五两书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得百一十五为一率两借数相减余二十为二率前借数与甲相较之少十两为三率得四率一两七钱三分九厘一毫有余加前借数四十两共四十一两七钱三分九厘一毫有余为丙所得之数此数加二十四两得六十五两七钱三分九厘一毫有余再四分之得一十六两四钱三分四厘七毫有余【余之六分之一也因甲得丙银四】加入二十四两得四十两四钱三分四厘七毫有余为甲所得之数【分之一故四分之甲既与丙二十四两故止剰一十六两有余若未与丙二十四两其全数】若将甲数加三十两得七十两四钱三分四厘七毫有余将丙数减三十两得十一两七钱三分九厘一毫有余此丙十一两七钱三分九厘一毫有余即为甲七十两四钱三分四厘七毫有
　　【则四十两】　　　【有余也因丙与甲三十两则丙数居甲数之六分之一故将四十两有余再加八丙三十两得七十两有余则丙数内减去三十两止得十一两有余故为甲数之六分之一也】
　　又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十两互乘后多一百零五两为加四十倍得多四千二百两以后借数六十两互乗前少十两为加六十倍得少六百两乃以互乗所得一多一少两数相加得四千八百两为二率原一多一少两数相加得一百一十五两为一率一人为三率得四率四十一两七钱三分九厘一毫有余即丙所得之数也葢所加四十倍与六十倍相差为二十倍则互乗所得一多一少两数相加之四千八百两即二十倍总差数也然丙数为总差数之一百一十五分之二十必为二十倍总差数之一百一十五分之一故以一百一十五分与四千八百两之比即同于一分与四十一两七钱三分九厘一毫有余之比也
　　设如有铜缸磁缸二面若于铜缸内添水五十斤则比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤则与铜缸内水数相等问二缸各得水数若干法先借十斤为铜缸水之衰数加五十斤得六十斤此数三分之得二十斤为磁缸水之衰数【因铜缸加五十斤则比磁缸水多二倍故三分之为磁缸水衰数也】以磁缸水衰数加五十斤得七十斤【因磁缸加五十斤与铜缸水相等故亦加五十斤】比所借铜缸水之衰数十斤多六十斤则是所借铜缸水之衰数十斤少六十斤再借二十二斤为铜缸水之衰数加五十斤得七十二斤此数三分之得二十四斤为磁缸水之衰数以磁缸水衰数加五十斤得七十四斤比所借铜缸水之衰数二十二斤多五十二斤则是所借铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤乃以前借数十斤少六十斤书于右后借数二十二斤少五十二斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余八斤为一率两借数相减余十二斤为二率前借数与铜缸相较之少六十斤为三率得四率九十斤加入前借数十斤共一百斤即铜缸之水数加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水数以磁缸水数加五十斤亦得一百斤与铜缸水数相等也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十斤互乗后少五十二斤为加十倍得少五百二十斤以后借数二十二斤互乗前少六十斤为加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得两少数相减余八百斤为二率原两少数相减余八斤为一率铜缸一为三率得四率一百斤即铜缸之水数也葢所加十倍与二十二倍相差为十二倍则互乗所得两少数相差之八百斤即十二倍总差数也然铜缸水数为总差数之八分之十二必为十二倍总差数之八分之一故以八分与八百斤之比即同于一分与一百斤之比也
　　设如有羊三羣甲羣四百只丙羣为甲丁两羣二分之一丁羣为甲丙两羣三分之一问丙丁两羣羊数各若干
　　法先借三百只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有六百只内减甲羣四百只余二百只为丁羣衰数又并甲丙二羣得七百只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣二百只三因之得六百只与甲丙两羣七百只相较则少一百只再借二百四十只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有四百八十只内减甲羣四百只余八十只为丁羣衰数又并甲丙二羣得六百四十只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣八十只三因之得二百四十只与甲丙两羣六百四十只相较则少四百只乃将前借数三百只少一百只书于右后借数二百四十只少四百只书于左用两不足法算之于是以两少数相减余三百只为一率两借数相减余六十只为二率前借数与甲丙两羣相较之少一百只为三率得四率二十只加前借数三百只共三百二十只即丙羣之羊数加入甲羣四百只得七百二十只三分之得二百四十只即丁羣之羊数也若并甲丁两羣得六百四十只折半得三百二十只即丙羣为甲丁两羣二分之一也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三百只互乗后少四百只为加三百倍得少一十二万只以后借数二百四十只互乗前少一百只为加二百四十倍得少二万四千只乃以互乗所得两少数相减余九万六千只为二率原两少数相减余三百只为一率丙一羣为三率得四率三百二十只即丙羣之羊数也葢所加三百倍与二百四十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之九万六千只即六十倍总差数也然丙羣为总差数之三百分之六十必为六十倍总差数之三百分之一故以三百分与九万六千只之比即同于一分与三百二十只之比也
　　设如有田一百亩令甲乙二人分耕若以甲田三分之一与乙以乙田五分之一与甲则各得五十亩问甲乙原田数各若干
　　法先借三十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余七十亩为乙原田之衰数甲原田三十亩之三分之一为十亩乙原田七十亩之五分之一为十四亩若甲与乙十亩乙与甲十四亩则甲得田三十四亩【甲三十亩与乙十亩余二十亩又得乙所与十四亩故为三十四亩】与各五十亩相比则甲少十六亩再借六十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余四十亩为乙原田之衰数甲原田六十亩之三分之一为二十亩乙原田四十亩之五分之一为八亩若甲与乙二十亩乙与甲八亩则甲得田四十八亩【甲六十亩与乙二十亩余四十亩又得乙所与八亩故为四十八亩】与各五十亩相比则甲少二亩乃将前借数三十亩少十六亩书于右后借数六十亩少二亩书于左用两不足法算之于是以两少数相减得十四亩为一率两借数相减余三十亩为二率前借数与五十亩相较之少十六亩为三率得四率三十四亩二分八厘有余加前借数三十亩共六十四亩二分八厘有余即甲原田之数与一百亩相减余三十五亩七分一厘有余即乙原田之数也若甲以其三分之一二十一亩四分二厘有余与乙而乙以其五分之一七亩一分四厘有余与甲则两人各得五十亩矣
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十亩互乗后少二亩为加三十倍得少六十亩以后借数六十亩互乗前少十六亩为加六十倍得少九百六十亩乃以互乗所得两少数相减余九百亩为二率原两少数相减余十四亩为一率甲一人为三率得四率六十四亩二分八厘有余即甲原田之数也葢所加三十倍与六十倍相差为三十倍则互乗所得两少数相差之九百亩即三十倍总差数也然甲原田为总差数之十四分之三十必为三十倍总差数之十四分之一故以十四分与九百亩之比即同于一分与六十四亩二分八厘有余之比也
　　设如甲丙丁三人共有银二百一十两只云甲与丙四分之一丁与甲二分之一丙与丁三分之一则每人均得银七十两问各人原有之银数若干法先借十两为甲银衰数此数减四分之一二两五钱余七两五钱与七十两相减余六十二两五钱为丁银二分之一加一倍得一百二十五两为丁银衰数【因甲与丙四分之一丁与甲二分之一成七十两故于甲衰十两内减四分之一余七两五钱再加六十二两五钱方凑成七十两故以六十二两五钱即为丁银二分之一加一倍得丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百三十五两与总银二百一十两相减余七十五两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银十两丁银一百二十五两所余七十五两即丙之银数也】又于丙衰七十五两内减三分之一二十五两余五十两加甲衰四分之一二两五钱共得五十二两五钱【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰七十五两内减与丁二十五两又加甲所与二两五钱共五十二两五钱也】此数与七十两相较则少十七两五钱再借二十八两为甲银衰数此数减四分之一七两余二十一两与七十两相减余四十九两为丁银二分之一加一倍得九十八两为丁银衰数【甲银减四分之一余四十九两既为丁银二分之一故加一倍即为丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百二十六两与总银二百一十两相减余八十四两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银二十八两丁银九十八两其余八十四两即丙之银数也】又于丙衰八十四两内减三分之一二十八两余五十六两加甲衰四分之一七两共得六十三两【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰八十四两内减与丁二十八两又加甲所与七两共得六十三两也】此数与七十两相较则少七两乃将前借数十两少十七两五钱书于右后借数二十八两少七两书于左用两不足法算之于是以两少数相减余十两五钱为一率两借数相减余十八两为二率前借数与七十两相较之少十七两五钱为三率得四率三十两加前借十两共四十两即甲之银数减四分之一十两余三十两【因去一分与丙也】与七十两相减余四十两倍之得八十两即丁之银数并甲丁银数得一百二十两与总银二百一十两相减余九十两即丙之银数也此叠借三色之法也借衰时加减甚繁然条理分明自能了然如此法前借数甲衰十两丙衰七十五两丁衰一百二十五两若于丁衰减去二分之一【减六十二两五钱与甲】加丙衰三分之一【丙与丁二十五两】得八十七两五钱与七十两相较则多十七两五钱丙差与丁差其数一也至再借二十八两为甲衰其加减亦与前借数同惟甲成七十两至丙则少七两丁则多七两其数相同故但取丙差数就其两差之较数以比例之得甲之原银数也
　　又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十两互乗后少七两为加十倍得少七十两以后借数二十八两互乗前少十七两五钱为加二十八倍得少四百九十两乃以互乗所得两少数相减余四百二十两为二率原两少数相减余十两五钱为一率甲一人为三率得四率四十两即甲银数也葢所加十倍与二十八倍相差为十八倍则互乗所得两少数相差之四百二十两即十八倍之总差数也然甲银为总差数之十分半之十八必为十八倍总差数之十分半之一故以十分半与四百二十两之比即同于一分与四十两之比也
　　设如甲丙两果园不知亩数将甲园扩出五十亩则比丙园大二倍若将丙园扩出五十亩则比甲园大一倍问两园原有之亩数若干
　　法借四十亩为甲园衰数加五十亩得九十亩此数三分之得三十亩为丙园衰数【因甲加五十亩比丙园大二倍是丙园为甲园三分之一也故三分之】将丙园三十亩加五十亩得八十亩与甲园四十亩相较适大一倍此数已合则不必再借故凡叠借法中一借即合原数者皆如此例不必再借也
　　设如大小两船雇夫小船每人出银为大船每人五分之四若大船八人小船五人出银则不足七两若大船六人小船八人出银则不足三两问共银及每人各出银几何
　　法以五分为大船每人衰数四分为小船每人衰数【因小船每人为大船每人五分之四也】以五分与大船八人相乗得四十分为大船八人共衰数以四分与小船五人相乗得二十分为小船五人共衰数相加得六十分为大船八人小船五人共出银共分数又将五分与大船六人相乗得三十分为大船六人共衰数以四分与小船八人相乗得三十二分为小船八人共衰数相加得六十二分为大船六人小船八人共出银共分数乃将六十分少七两书于右六十二分少三两书于左用两朒求总银法算之于是以六十分与六十二分相减余二分为一率以两少数相减余四两为二率一分为三率得四率二两为每分之银数与六十分相乗得一百二十两加少七两得一百二十七两为雇夫之总银数【如与六十二分相乗则得一百二十四两加少三两亦得一百二十七两为雇夫之总银数】又以每分二两与大船每人衰数五分相乗得十两为大船每人所出银数以每分二两与小船每人衰数四分相乗得八两为小船每人所出银数也此盈朒内两朒之正法但因有借分为衰数之故故附于此以备叠借之一体云
　　设如有石二块大小不等俱不知重数只有铜条一根重十二两互换称之而得二石之各重几何法先将铜条分作十二分每分又作十分用一绳系于第五分之上【系于五分者随便取一数也】乃以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率【因铜条重十二两分为十二分今二分故为二两也】得四率二两四钱【此四率是先将铜条之五分处取均平之法葢提系在五分上必于五分之端加二两四钱乃与七分相平也】爰以铜条作秤杆将大石挂在铜条一头离提系五分而以小石作锤称之今离提系得六分始平记之【如前图】又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作锤称之今离提系得四分始平亦记之【如后图】乃先借二十六两四钱为大石衰数与前所得二两四钱相减余二十四两【内减二两四钱者因铜条之五分一边必加二两四钱始平今于借衰中减去者所以补足均平之数然后较物之轻重也】用六分为一率【即小石在六分之数】五分为二率【即大石在五分之数】二十四两为三率【即大石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十两为小石之衰数【此四率是以大石衰数求小石衰数】因以小石衰数二十两与二两四钱相减余十七两六钱【此亦减去二两四钱因小石移在五分之一边补足均平之数也】用四分为一率【即大石在四分之数】五分为二率【即小石在五分之数】十七两六钱为三率【即小石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十二两【此第二四率又以小石衰数转求大石衰数试其合否也】与所借大石衰数二十六两四钱相较则少四两四钱再加三十二两四钱为大石衰数与二两四钱相减余三十两用六分为一率五分为二率三十两为三率得四率二十五两为小石之衰数因以小石衰数二十五两与二两四钱相减余二十二两六钱用四分为一率五分为二率二十二两六钱为三率得四率二十八两二钱五分与所借大石衰数三十二两四钱相较则少四两一钱五分乃将前借数二十六两四钱少四两四钱书于右后借数三十二两四钱少四两一钱五分书于左用两不足法算之于是以两少数相减余二钱五分为一率两借数相减余六两为二率前借数与大石衰数相较之少四两四钱为三率得四率一百零五两六钱加前借数二十六两四钱共一百三十二两即大石之重数又于大石重数内减去二两四钱余一百二十九两
　　【用六分为一率五分为二率一百】【即前以大石衰数求小石衰数之法既有大石真数故仍以前法求小石真数】六钱二十九两六钱为三率得四率一百零八两为小石之重数也如以四分为一率五分为二率【即前以小石求大石之重法】于小石重数一百零八两内减去二两四钱余一百零五两六钱为三率得四率一百三十二两为大石之重数亦合前数也此法葢因铜条重十二两而分作十二分设如作一甲乙线为铜条分作十二分每分重一两提系在丙处甲丙与丙丁等则其重亦必等如以甲丁与甲乙相减则余丁乙即丙乙多于甲丙之二分也既多二分必重二两如以二两重物挂于乙丁中间之戊处则丙乙自重于甲丙也今欲以物趂之使其两平则以甲丙五分为一率丙戊六分为二率二两为三率得四率二两四钱是将二两四钱之物加于甲处始得两平其以丙戊六分为二率者何也葢丙丁与甲丙等而重者止在丁乙一段而戊为丁乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加重而后可以胜逺之轻若于甲接长二分则于二分之中施二两之物即称平矣故以二两四钱加于甲处始能趂平丁乙之二分也此法数层加减几用比例颇觉繁琐而用方程算之防觉简明但系叠借本法故两收之收入叠借者所以存其理而收入方程者所以取其简也

　　御制数理精蕴下编卷九
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十
　　线部八
　　方程【和数类　较数类　和较兼用类和较交变类　附法】

　　方程
　　方者比也程者式也因设数齐其分以比方之定为已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齐其分使其首数皆同减尽而余一法一实以得一数也法虽有三色四色以至多色不过累乗累减亦归于一法一实而已其二色者设二行三色者设三行有几色者必设几行若三色设二行四色设三行即不可算若二色设三行三色设四行则其一行又可以不用是故解方程者又谓凡设数必成方而后可算也然其要总在于分和较和数相比者则互乗而相减较数相比者古人定为正负之名以辨加减异同之号正负异号则相加正负同号则相减其理与盈朒同葢正者为主之数负者虚比之数其始也任以首色为正互乗众色与首色同类者皆正也与首色异类者皆负也其继也以互乗所得之数视正负之同异而加减之然加减之余又有正变为负负变为正者总之因彼此而分正负由多少而成虚实互乗之后任以一层为主凡异号相加者悉依本层其号皆不变也若同号相减者本层多其号亦不变本层少反减者则正变为负负变为正葢此多则彼少彼少则此多也至于首色减尽则第二色即为首色故加减之后首色为负者悉变之以便互乗加减始不淆也今定为例和数者不用正负之号较数者则用正负之号和较兼用者和仍不用正负之号而较则用之和较交变者则随其法而辨别之以定其号焉或有非方程之本法而可以方程算者则又别为设问以附其后古人所谓以御错糅正负者庶乎尽于此矣
　　和数类
　　设如马四匹牛六头共价四十八两马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价几何
　　法以马四匹牛六头共价四十八两列于上马三匹牛五头共价三十八两列于下乃以上马四匹遍乗下马三匹牛五头价银三十八两得马十二匹牛二十头价银一百五十二两又以下马三匹遍乘上马四匹牛六头价银四十八两得马十二匹牛十八头价银一百四十四两两下相较则马各十二匹彼此减尽牛二十头内减十八头余二头价银一百五十二两内减一百四十四两余八两爰以余牛二头除余银八两得四两卽牛每头之价以牛五头乘之得二十两为牛五头之共价于马牛共价三十八两内减去二十两余十八两为马三匹之共价以马三匹除之得六两卽马每匹之价也此法葢以首色二数遍乘各数使其分数齐等卽互乘齐分之理故马四匹遍乘马三匹牛五头价银三十八两则为各増四倍马三匹遍乘马四匹牛六头价银四十八两则为各増三倍两下各色既俱各増倍分则其比例皆同是故马两下相平而减尽无余牛两下相减余二头价银两下相减余八两是为相当之数葢一百五十二两内减去一百四十四两卽减去马十二匹牛十八头之共价而所余之八两为牛二头之价也
　　又如以牛数列于前马数列于后则先得马价法以牛六头马四匹共价四十八两列于上牛五头马三匹共价三十八两列于下乃以下牛五头遍乘上牛六头马四匹价银四十八两得牛三十头马二十匹价银二百四十两又以上牛六头遍乘下牛五头马三匹价银三十八两得牛三十头马十八匹价银二百二十八两两下相较则牛各三十头彼此减尽马二十匹内减十八匹余二匹价银二百四十两内减二百二十八两余十二两爰以余马二匹除余银十二两得六两卽马每匹之价以马三匹乘之得十八两为马三匹之共价于牛马共价三十八两内减去十八两余二十两为牛五头之共价以牛五头除之得四两卽牛每头之价也此法用互乘后则牛两下相平而减尽无余马两下相减余二匹价银两下相减余十二两卽为相当之数葢二百四十两内减去二百二十八两卽减去牛三十头马十八匹之共价而所余之十二两为马二匹之价也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此类也
　　设如缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两缎一疋纱四疋防七疋共价六十两缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防各价几何
　　法先以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两列于上缎一疋纱四疋防七疋共价六十两列于下乃以上缎二疋遍乘下缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎二疋纱八疋防十四疋价银一百二十两又以下缎一疋遍乘上缎二疋纱六疋防八疋价银八十四两仍得原数两下相较则缎各二疋彼此减尽纱八疋内减六疋余二疋防十四疋内减八疋余六疋价银一百二十两内减八十四两余三十六两卽为纱二疋防六疋价银三十六两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱二疋防六疋价银三十六两即为相当之数葢一百二十两内减去八十四两即减去缎二疋纱六疋防八疋之共价而所余三十六两为纱二疋防六疋之共价也】次以缎一疋纱四疋防七疋价银六十两列于上缎三疋纱五疋防九疋价银九十两列于下乃以下缎三疋遍乘上缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎三疋纱十二疋防二十一疋价银一百八十两又以上缎一疋遍乘下缎三疋纱五疋防九疋价银九十两仍得原数两下相较则缎各三疋彼此减尽纱十二疋内减五疋余七疋防二十一疋内减九疋余十二疋价银一百八十两内减九十两余九十两即为纱七疋防十二疋价银九十两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱七疋防十二疋价银九十两即为相当之数葢一百八十两内减九十两即减缎三疋纱五疋防九疋之共价而所余九十两为纱七疋防十二疋之共价也】于是将两次所得之余作二色方程算之其纱二疋防六疋价银三十六两列于上纱七疋防十二疋价银九十两列于下以下纱七疋遍乗上纱二疋防六疋价银三十六两得纱十四疋防四十二疋价银二百五十二两以上纱二疋遍乗下纱七疋防十二疋价银九十两得纱十四疋防二十四疋价银一百八十两两下相较则纱各十四疋彼此减尽防四十二疋内减二十四疋余十八疋价银二百五十二两内减一百八十两余七十二两爰以余防十八疋除余银七十二两得四两即防每疋之价以防六疋乗之得二十四两为防六疋之共价于纱防共价三十六两内减二十四两余十二两为纱二疋之共价以纱二疋除之得六两即纱每疋之价也以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两计之则纱六疋共价三十六两防八疋共价三十二两纱防共价为六十八两于共价八十四两内减六十八两余十六两为缎二疋之共价以缎二疋除之得八两即缎每疋之价也
　　设如有上中下三等人户纳粮上等五户中等十二户下等三户共纳粮一石二斗六升又上等四户二等二户共纳粮五斗二升又中等二十户下等二十五户共纳粮一石五斗问上中下三等每户各纳粮几何
　　法先以上等五户中等十二户下等三
　　户　　　　　　　　　　　　　　　　　【上等四户下等二户纳】纳粮一石二斗【因无中等故作空位以存其分余仍对位列之】六升列于上粮五斗二升列于下乃以下层上等四户遍乗上层上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户纳粮五石零四升又以上层上等五户遍乗下层上等四户下等二户纳粮五斗二升得上等二十户下等十户纳粮二石六斗两下相较则上等各二十户彼此减尽中等四十八户无可减仍得四十八户下等十二户内减十户余二户纳粮五石零四升内减二石六斗余二石四斗四升即为中等四十八户下等二户共纳粮二石四斗四升也【上等既两下相平而减尽无余则所余中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升即为相当之数葢五石零四升内减二石六斗即减去上等二十户下等十户之共粮数而所余二石四斗四升为中等四十八户下等二户之共粮数也】既得中等四十八户下等二户之二色则中等二十户下等二十五户亦即为二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升列于上中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗列于下乃以上层中等四十八户遍乗下层中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户纳粮七十二石又以下层中等二十户遍乘上层中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户纳粮四十八石八斗两下相较则中等各九百六十户彼此减尽下等一千二百户内减四十户余一千一百六十户纳粮七十二石内减四十八石八斗余二十三石二斗爰以所余下等一千一百六十户除余粮二十三石二斗得二升即下等每户纳粮之数以下等二户乘之得四升为下等二户纳粮之共数于中等下等共纳粮二石四斗四升内减四升余二石四斗为中等四十八户纳粮之共数以中等四十八户除之得五升即中等每户纳粮之数以上等四户下等二户共纳粮五斗二升计之【因无中户故省一次】则下等二户共纳粮四升于五斗二升内减四升余四斗八升为上等四户纳粮之共数以上等四户除之得一斗二升即上等每户纳粮之数也
　　设如有银赏四等人各不知数只云一等一人二等二人三等三人四等四人共赏银三十两又一等二人二等三人三等四人四等五人共赏银四十四两又一等四人二等五人三等七人四等八人共赏银七十七两又一等六人二等五人三等四人四等二人共赏银六十六两问每等人各赏银几何
　　法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两列于上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两得一等二人二等四人三等六人四等八人共银六十两又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两仍得原数两下相较则一等各二人彼此减尽二等两下相减余一人三等两下相减余二人四等两下相减余三人共银两下相减余一十六两即二等一人三等二人四等三人共银十六两也【葢六十两内减四十四两即减去一等二人二等三人三等四人四等五人之共银数故所余之十六两为二等一人三等二人四等三人之共银数也】次以一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共银一百七十六两又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共银一百五十四两两下相较则一等各八人彼此减尽二等两下相减余二人三等两下相减余二人四等两下相减余四人共银两下相减余二十二两即二等二人三等二人四等四人共银二十二两也【葢一百七十六两内减一百五十四两即减去一等八人二等十人三等十四人四等十六人之共银数故所余之二十二两为二等二人三等二人四等四人之共银数也】次以一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于上一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两列于下乃以下一等六人遍乘上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等二十四人二等三十人三等四十二人四等四十八人共银四百六十二两又以上一等四人遍乘下一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两得一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人共银二百六十四两两下相较则一等各二十四人彼此减尽二等两下相减余十人三等两下相减余二十六人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百九十八两即二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两也【葢四百六十二两内减二百六十四两即减去一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人之共银数故所余之一百九十八两为二等十人三等二十六人四等四十人之共银数也】于是将三次所得之余作三色方程算之先以二等一人三等二人四等三人共银十六两列于上二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于下乃以下二等二人遍乗上二等一人三等二人四等三人共银十六两得二等二人三等四人四等六人共银三十二两又以上二等一人遍乗下二等二人三等二人四等四人共银二十二两仍得原数两下相较则二等各二人彼此减尽三等两下相减余二人四等两下相减余二人共银两下相减余十两即三等二人四等二人共银十两也【葢三十二两内减二十二两即减去二等二人三等二人四等四人之共银数故所余之十两为三等二人四等二人之共银数也】次以二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于上二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两列于下乃以下二等十人遍乗上二等二人三等二人四等四人共银二十二两得二等二十人三等二十人四等四十人共银二百二十两又以上二等二人遍乗下二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两得二等二十人三等五十二人四等八十人共银三百九十六两两下相较则二等各二十人彼此减尽三等两下相减余三十二人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百七十六两即三等三十二人四等四十人共银一百七十六两也【葢三百九十六两内减二百二十两即减去二等二十人三等二十人四等四十人之共银数故所余之一百七十六两为三等三十二人四等四十人之共银数也此间两层相减虽下层数多于上层然俱系反减故不用变号】于是又将两次所得之余作二色方程算之其三等二人四等二人共银十两列于上三等三十二人四等四十人共银一百七十六两列于下乃以下三等三十二人遍乗上三等二人四等二人共银十两得三等六十四人四等六十四人共银三百二十两又以上三等二人遍乗下三等三十二人四等四十人共银一百七十六两得三等六十四人四等八十人共银三百五十二两两下相较则三等各六十四人彼此减尽四等两下相减余十六人共银两下相减余三十二两即四等十六人之共银数以四等十六人除之得二两即四等每一人所应得之数也以四等二人因之得四两为四等二人之共银数于三等二人四等二人共银十两内减之余六两为三等二人之共银数以三等二人除之得三两即三等每一人所应得之数也以二等一人三等二人四等三人共银十六两计之则三等二人应得六两四等三人应得六两共十二两于共银十六两内减之余四两即二等每一人所应得之数也再以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两计之则二等二人应得八两三等三人应得九两四等四人应得八两共二十五两于共银三十两内减之余五两即一等每一人所应得之数也
　　较数类
　　设如砚七方比笔三枝价多四百八十文又砚三方比笔九枝价少一百八十文问砚笔价各若干法以砚七为正笔三为负价多四百八十文为正【多为砚比笔之所多与砚同类故亦为正】列于上又以砚三为正笔九为负价少一百八十文为负【少为砚比笔之所少即为笔比砚之所多与笔同类故亦为负】列于下乃以下砚三遍乘上砚七笔三价多四百八十文得砚二十一为正笔九为负价多一千四百四十文为正又以上砚七遍乗下砚三笔九价少一百八十文得砚二十一为正笔六十三为负价少一千二百六十文为负两下相较则砚各二十一彼此减尽笔九枝与六十三枝两层皆负故相减余五十四枝价多一千四百四十文与少一千二百六十文一正一负故相加得二千七百文乃笔五十四枝之共价以减余笔五十四除之得五十文即笔每一枝之价以三因之得一百五十文为笔三枝之共价与砚多四百八十文相加得六百三十文为砚七方之共价以砚七除之得九十文即砚每一方之价也此法用互乗则上层为砚二十一方比笔九枝价多一千四百四十文下层为砚二十一方比笔六十三枝价少一千二百六十文夫砚既皆二十一方则其共价必相等然比笔九枝之价则多比笔六十三枝之价则少是多与少相加之二千七百文即笔九枝与笔六十三枝相差之五十四枝之价也笔五十四枝共价为二千七百文则笔一枝价五十文而笔三枝价为一百五十文矣砚七方比笔三枝价既多四百八十文则于一百五十文加四百八十文共六百三十文即砚七方之共价故以砚七除之得九十文为砚每一方之价也
　　设如有甲丙二马羣各不知数只云甲三羣比丙二羣多一千五百三十匹甲二羣与丙七羣相等问甲丙每羣马数各几何
　　法以甲三羣为正丙二羣为负多一千五百三十匹为正列于上又以甲二羣为正丙七羣为负相等作一空位【相等无数可列故作一○以存其位】列于下乃以下甲二羣遍乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十匹得甲六羣仍为正丙四羣仍为负多三千零六十匹亦仍为正又以上甲三羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍为正丙二十一羣为负相等无可乘亦仍为空位两下相较则甲各六羣彼此减尽丙四羣与丙二十一羣两层皆负故相减余十七羣多三千零六十匹与相等无可加减仍得三千零六十匹乃丙十七羣之共数以减余丙十七羣除之得一百八十匹为丙每羣之数七因之得一千二百六十匹为丙七羣之共数甲二羣既与丙七羣相等则一千二百六十匹亦即为甲二羣之共数以甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之数也此法用互乗则上层为甲六羣比丙四羣多三千零六十匹下层为甲六羣与丙二十一羣相等甲六羣既与丙二十一羣相等则丙二十一羣比丙四羣多三千零六十匹两下各减丙四羣则为丙十七羣共马三千零六十匹矣丙十七羣既为共马三千零六十匹则丙一羣得马一百八十匹而丙七羣为马一千二百六十匹甲二羣既与丙七羣相等则一千二百六十匹用甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之数也
　　设如有钱买桃苹果梨三色各不知价只云桃三个比苹果二个梨二个价多二十四文桃二个梨三个比苹果五个价少十二文桃四个苹果三个比梨八个价多一百零八文问桃苹果梨各价几何法先以桃三为正苹果二梨二为负价多二十四文为正列于上又以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于下乃以下桃二遍乗上桃三苹果二梨二价多工十四文得桃六仍为正苹果四为负梨四为负价多四十八文为正【负即桃六比苹果四梨四价多四十八文比原数加二】又以上桃三遍乗下桃二苹果五梨三价少十二文得桃六仍为正苹果十【倍】五为负梨九为正价少三十六文为【即桃六梨九比苹果十五价少三十六文比原数加三倍】于是任以上层为主两下相较则桃各六彼此减尽苹果两层皆负故相减余十一本层少反减故变负为正且为首一色减尽其次一色即转而为首故亦变负为正梨一正一负故相加得十三仍依本层为负多四十八文与少三十六文相加得八十四文仍依本层为正即为苹果十一比梨十三价多三十四文也【葢桃彼此减尽苹果上层少四下层少十五是下层比上层所少为十一即上层比下层多十一也梨上层少四下层多九下之所多即上之所少是上层比下层少十三也钱上层多四十八文下层少三十六文下之所少即上之所多是上层比下层多八十四文也苹果多十一梨少十三钱即多八十四文故为苹果十一比梨十三价多八十四文也】复以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于上又以桃四苹果三为正梨八为负价多一百零八文为正列于下乃以上桃二遍乗下桃四苹果三梨八价多一百零八文得桃八仍为正苹果六亦仍为正梨十六为负价多二百一十六文为正【即桃八苹果六比梨十六价多二百一十六文比原数加二倍】又以下桃四遍乗上桃二苹果五梨三价少十二文得桃八仍为正苹果二十为负梨十二为正价少四十八文为负【即桃八梨十二比苹果二十价少四十八文比原数加四倍】于是仍以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽苹果一正一负故相加得二十六仍依本层为正梨一正一负故相加得二十八仍依本层为负多二百一十六文与少四十八文相加得二百六十四文亦仍依本层为正即为苹果二十六比梨二十八价多二百六十四文也【葢桃彼此减尽苹果上层多六下层少二十下之所少即上之所多是上层比下层多二十六也梨上层少十六下层多十二下之所多即上之所少是上层比下层少二十八也钱上层多二百一十六文下层少四十八文下之所少即上之所多是上层比下层多二百六十四文也苹果多二十六梨少二十八钱即多二百六十四文十之共价故为苹果二十六比梨二十八价多二百六】爰将两次所得之余作二色方程算之其苹果十一为正梨十三为负价多八十四文为正列于上苹果二十六为正梨二十八为负价多二百六十四文为正列于下乃以上苹果十一遍乘下苹果二十六梨二十八价多二百六十四文得苹果二百八十六为正梨三百零八为负价多二千九百零四文为正【十四文也即苹果二百八十六比梨三百零八价多二千九百零四文比原数】又以下苹果二十六遍乗上苹果十一梨十三价多八十四文得苹果二百八十六为正梨三百三十八为负价多二千一百八十四文为正【加十一倍即苹果二百八十六比梨三百三十八价多二千一百八十四文比原数加】两下相较则苹果各二百八十六彼此减尽梨两层皆负故相减余三十两多数相同故亦【二十六倍】相减余七百二十文乃梨三【葢苹果皆二百八十六则其共价必相等然比梨三百三十八之价则多二千一百八十四文比梨三百零八之价则多二千九百零四文是两多相差之七百二十文即梨相差三十之共价也】以梨三十除之得二十四文即梨每个之价以梨十三乗之得三百一十二文为梨十三之共价苹果十一既比梨十三价多八十四文则于三百一十二文加八十四文得三百九十六文为苹果十一之共价以十一除之得三十六文即苹果每个之价以桃三比苹果二梨二价多二十四文计之则梨二价四十八文苹果二价七十二文共价一百二十文加桃三多二十四文共一百四十四文即为桃三之共价以三除之得四十八文即桃每个之价也
　　设如有银买铜锡铅铁各不知价只云铜三斤比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱又铜二斤铅一斤比锡二斤铁二斤价多二钱又铜一斤锡二斤与铅三斤铁八斤价相等又铜五斤铁三十斤比锡四斤铅二十四斤价少二钱问铜锡铅铁各价几何
　　法先以铜三斤为正锡二斤铅二斤铁四斤俱为负价多一钱为正列于上又铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于下乃以下铜二斤遍乗上铜三斤锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱得铜六斤为正锡四斤铅四斤铁八斤俱为负价多二钱为正又以上铜三斤遍乗下铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱得铜六斤为正锡六斤为负铅三斤为正铁六斤为负价多六钱为正于是以上层为主两下相较则铜各六斤彼此减尽锡两层皆负故相减余二斤本层少乃变负为正铅一正一负故相加得七斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余二斤仍依本层为负价两层皆正故亦相减余四钱本层少乃变正为负即锡二斤比铅七斤铁二斤价少四钱也【葢铜彼此减尽锡上层少四斤下层少六斤是下层比上层所少为二斤即上层比下层多二斤也铅上层少四斤下层多三斤下之所多即上之所少是上层比下层少七斤也铁上层少八斤下层少六斤是上层比下层所少为二斤也价上层多二钱下层多六钱是下层比上层所多为四钱即上层比下层少四钱也锡多二斤铅少七斤铁少二斤价即少四钱故为锡二斤比铅七斤铁二斤价少四钱也】次以铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于上又铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于下乃以下铜一斤遍乗上铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱仍得原数又以上铜二斤遍乗下铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜二斤锡四斤仍为正铅六斤铁十六斤仍为负相等无可乗仍为空位于是以上层为主两下相较则铜各二斤彼此减尽锡一正一负故相加得六斤仍依本层为负铅一正一负故亦相加得七斤仍依本层为正铁两层皆负故相减余十四斤本层少乃变负为正价多二钱与相等无可加减仍得二钱为正即铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱也【铁十四斤价少二钱也次葢铜彼此减尽锡上层少二斤下层多四斤下之所多即上之所少是上层比下层少六斤也铅上层多一斤下层少六斤下之所少即上之所多是上层比下层多七斤也铁上层少二斤下层少十六斤是下层比上层所少为十四斤即上层比下层多十四斤也铅多七斤铁多十四斤锡少六斤而价即多二钱故为铅七斤铁十四】因首色铜数减尽则锡即转而为首应为正今锡六斤为负则重列三色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将锡六斤变负为正而以铅七斤铁十四斤价多二钱俱变正为负葢原铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱
　　今变为锡　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【斤比锡六斤价多二钱也】六斤比铅七【若以下层为主则相加应依下层为正即不用变】斤以铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于上又铜五斤为正锡四斤铅二十四斤为负铁三十斤为正价少二钱为负列于下乃以下铜五斤遍乗上铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜五斤锡十斤为正铅十五斤铁四十斤为负相等无可乗仍为空位又以上铜一斤遍乗下铜五斤锡四斤铅二十四斤铁三十斤价少二钱仍得原数于是以上层为主两下相较则铜各五斤彼此减尽锡一正一负故相加得十四斤仍依本层为正铅两层皆负故相减余九斤本层少乃变负为正铁一正一负故相加得七十斤仍依本层为负价少二钱与相等无可加减仍得二钱本层无数乃变负为正即锡十【四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也葢铜彼此减尽锡上层多十斤下层少四斤下之所少即上之所多是上层比下层多十四斤也铅上层少十五斤下层少二十四斤是下层比上层所少为九斤即上层比下层多九斤也铁上层少四十斤下层多三十斤下之所多即上之所少是上层比下层少七十斤也价下层少二钱即上层多二钱也锡多十四斤铅多九斤铁少七十斤价即多二钱故为锡十四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也】爰将三次所得之余作三色方程算之先以锡二斤为正铅七斤铁二斤价少四钱俱为负列于上又锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于下乃以下锡六斤遍乗上锡二斤铅七斤铁二斤价少四钱得锡十二斤为正铅四十二斤铁十二斤价少二两四钱俱为负又以上锡二斤遍乗下锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡十二斤为正铅十四斤铁二十八斤价少四钱俱为负于是以上层为主两下相较则锡各十二斤彼此减尽铅两层皆负故相减余二十八斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余十六斤本层少乃变负为正价两层皆负故亦相减余二两仍依本层为负即铁十六斤比铅二十八斤价少二两也【葢锡彼此减尽铅上层少四十二斤下层少十四斤是上层比下层所少为二十八斤也铁上层少十二斤下层少二十八斤是下层比上层所少为十六斤即上层比下层多十六斤也价上层少二两四钱下层少四钱是上层比下层所少为二两也铁多十六斤铅少二十八斤价即少二两故为铁十六斤比铅二十八斤价少二两也】次以锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于上又锡十四斤铅九斤为正铁七十斤为负价多二钱为正列于下乃以下锡十四斤遍乗上锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡八十四斤为正铅九十八斤铁一百九十六斤价少二两八钱俱为负又以上锡六斤遍乗下锡十四斤铅九斤铁七十斤价多二钱得锡八十四斤铅五十四斤为正铁四百二十斤为负价多一两二钱为正于是以上层为主两下相较则锡各八十四斤彼此减尽铅一正一负故相加得一百五十二斤仍依本层为负铁两层皆负故相减余二百二十四斤本层少乃变负为正价一正一负故相加得四两仍依本层为负即铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也【葢锡彼此减尽铅上层少九十八斤下层多五十四斤下之所多即上之所少是上层比下层少一百五十二斤也铁上层少一百九十六斤下层少四百二十斤是下层比上层所少为二百二十四斤即上层比下层多二百二十四斤也价上层少二两八钱下层多一两二钱下之所多即上之所少是上层比下层少四两也铁多二百二十四斤铅少一百五十二斤价即少四两故为铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也】爰将两次所得之余作二色方程算之其所余铅两首色俱为负是为同号可以互乗减尽故不变其号即将铅二十八斤为负铁十六斤为正价少二两为负列于上又铅一百五十二斤为负铁二百二十四斤为正价少四两为负列于下乃以下铅一百五十二斤遍乗上铅二十八斤铁十六斤价少二两得铅四千二百五十六斤为负铁二千四百三十二斤为正价少三百零四两为负又以上铅二十八斤遍乗下铅一百五十二斤铁二百二十四斤价少四两得铅四千二百五十六斤为负铁六千二百七十二斤为正价少一百一十二两为负两下相较则铅各四千二百五十六斤彼此减尽铁两层皆正故亦相减余三千八百四十斤价两层皆负故亦相减余一百九十二两即铁三千八百四十斤之共价以铁三千八百四十斤除之得五分即铁每一斤之价也以铁十六斤乗之得八钱为铁十六斤之共价铁十六斤既比铅二十八斤价少二两则加二两得二两八钱为铅二十八斤之共价以铅二十八斤除之得一钱即铅每一斤之价也以锡六斤比铅七斤铁十四斤价少二钱计之则铅七斤价七钱铁十四斤价亦七钱共一两四钱锡六斤既比铅七斤铁十四斤价少二钱则减二钱余一两二钱为锡六斤之共价以锡六斤除之得二钱即锡每一斤之价也再以铜三斤比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱计之则锡二斤价四钱铅二斤价二钱铁四斤价二钱共八钱铜三斤既比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱则加一钱共九钱为铜三斤之共价以铜三斤除之得三钱即铜每一斤之价也
　　和较兼用类
　　设如有大小二石不知其重只云二大石比七小石少三十斤三大石二小石共三百三十斤问大小石各重几何
　　法以大石二为正小石七为负少三十斤为负列于上大石三小石二共重三百三十斤列于下乃以上大石二遍乗下大石三小石二重三百三十斤得大石六小石四共重六百六十斤又以下大石三遍乗上大石二小石七少三十斤得大石六仍为正小石二十一仍为负少九十斤亦仍为负两下相较则大石各六彼此减尽小石四加小石二十一得小石二十五六百六十斤加九十斤得七百五十斤乃小石二十五之共数以小石二十五除之得三十斤即一小石之重数以二因之得六十斤为二小石之共数于大小石共重三百三十斤内减之余二百七十斤为三大石之共数以三除之得九十斤即一大石之重数也此法葢因三大石二小石共重三百三十斤为和数皆一类为正故不用正负之号遇正则为同类相减遇负则为异类相加相加之后仍为和数者以其依本层之号故亦不用正号葢六大石四小石共重六百六十斤而六大石比二十一小石少九十斤则加九十斤即六大石与二十一小石等矣故小石二十五共重七百五十斤以二十五除之而得一小石之重数也既得小石之重数则于和数共重三百三十斤内减二小石重六十斤余为三大石之共数若于较数七小石之共重二百一十斤内减少三十斤所余即为二大石之共数既得三大石或二大石之共数乃以大石数除之即得一大石之重数矣
　　设如有米用牛马骡三色载之各不知数只云牛二马三骡四共载八石马三骡三与牛三所载相等牛四马一比骡八所载多三石问各载几何法先以牛二马三骡四共米八石列于上次以牛三为正马三骡三为负相等作一空位列于下【题言马三骡三比牛三则马骡应为正牛应为负因列法以牛为首故以牛为正马骡为负即牛三比马三骡三相等其理一也】乃以上牛二遍乘下牛三马三骡三得牛六仍为正马六骡六仍为负又以下牛三遍乗上牛二马三骡四共载八石得牛六马九骡十二共载二十四石于是以下层为主两下相较【若以上层为主则相加数皆为负况首色减尽二色即转而为首即变负为正故不若以下层为主而皆为正也】则牛各六彼此减尽马九加马六得马十五【因依本层为和数故不用号】骡十二加骡六得骡十八二十四石无可加减仍为二十四石即马十五骡十八共载二十四石也【葢牛六马九骡十二共载二十四石而牛六与马六骡六相等则将本层牛六变为马六骡六矣故为马十五骡十八共载二十四石也】次以牛三为正马三骡三为负相等作一空位列于上牛四马一为正骡八为负多三石为正列于下乃以上牛三遍乗下牛四马一骡八多三石得牛十二为正马三亦为正骡二十四为负多九石为正又以下牛四遍乗上牛三马三骡三得牛十二为正马十二为负骡十二为负于是以上层为主两下相较则牛各十二彼此减尽马一正一负故相加得十五仍依本层为正骡两层皆负故相减余十二仍依本层为负九石无可加减仍为九石依本层为正即马十五比骡十二所载多九石也【葢牛彼此减尽马上层多三下层少十二是上层比下层多十五也骡上层少二十四下层少十二是上层比下层所少为十二也马多十五骡少十二而米即多九石故为马十五比骡十二所载多九石也】爰将两次所得之余如和较兼用二色方程法算之其马十五骡十八共米二十四石列于上又马十五为正骡十二为负多米九石为正列于下因首色皆为十五两数齐同即不用互乘两下相较则马各十五彼此减尽骡十八加骡十二得三十米二十四石减九石余十五石乃骡三十共载之数以三十除之得五斗即为每一骡所载之数以骡十二乗之得六石为骡十二共载之数加马十五之多九石得十五石即为马十五共载之数以马十五除之得一石为每一马所载之数以牛三与马三骡三相等计之则马三应载三石骡三应载一石五斗共四石五斗以牛三除之得一石五斗即为每一牛所载之数也
　　设如有银买绫罗绢三色各不知价只云绫一疋罗二疋绢四疋共价七两四钱又绫二疋绢八疋比罗四疋多六两八钱又绫三疋比罗六疋绢七疋少一两二钱问各价几何
　　法先以绫一罗二绢四共银七两四钱列于上【和数皆为正不用号】又绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于下乃以下绫二遍乗上绫一罗二绢四共银七两四钱得绫二罗四绢八共银十四两八钱又以上绫一遍乗下绫二罗四绢八多六两八钱仍得原数于是以上层为主两下相较则绫各二彼此减尽罗一正一负故相加得罗八依本层为正绢两层皆正故相减恰尽价两层皆正亦相减余八两乃罗八疋之共价【葢绫彼此减尽绢亦减尽惟罗上层多四疋下层少四疋是上层比下层多八疋而价即多八两故为罗八疋之共价也】以罗八除之得一两即为罗每一疋之价也次以绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于上又绫三为正罗六为负绢七为负少一两二钱为负列于下乃以下绫三遍乗上绫二罗四绢八多六两八钱得绫六为正罗十二为负绢二十四为正多二十两四钱为正又以上绫二遍乗下绫三罗六绢七少一两二钱得绫六为正罗十二为负绢十四为负少二两四钱为负于是以上层为主两下相较则绫各六彼此减尽罗两层皆负亦减尽绢一正一负故相加得三十八银一正一负故相加得二十二两八钱乃绢三十八疋之共价【葢绫彼此减尽罗亦减尽绢上层多二十四疋下层少十四疋是上层比下层多三十八疋也银上层多二十两四钱下层少二两四钱是上层比下层多二十二两八钱也绢多而银亦多故为绢之共价也】以绢三十八除之得六钱即绢每一疋之价也以绫一罗二绢四共价七两四钱计之则罗二疋应价二两绢四疋应价二两四钱共四两四钱于共价七两四钱内减之余三两即绫每一疋之价也此法互乗相减之后即得一法一实故省重列二色若物与价俱各减尽者则此层必为彼层之几倍与少一层者同是为少一行不可算也
　　和较交变类
　　设如有琴瑟筝三种乐器各不知价但知琴一张瑟三张筝三张共价九十两又琴一张瑟二张筝五张共价八十八两又琴三张瑟八张筝五张共价二百二十两问琴瑟筝每张各价几何
　　法先以琴一瑟三筝三共银九十两列于上又琴一瑟二筝五共银八十八两列于下【因和数皆为正故不用号】因首色皆为一故省互乗即以上层为主两下相较则琴各一彼此减尽瑟两下相减余一本层多仍为正筝两下相减余二本层少变正为负银九十两减八十八两余二两本层多亦仍为正即瑟一比筝二价多二两也【葢两层琴各一张其价必相等但上层多瑟一张下层多筝二张则上层多银二两即瑟一比筝二所多之价也】次以琴一瑟二筝五共银八十八两列于上又琴三瑟八筝五共银二百二十两列于下乃以下琴三遍乗上琴一瑟二筝五共银八十八两得琴三瑟六筝十五共银二百六十四两又以上琴一遍乗下琴三瑟八筝五共银二百二十两仍得原数于是以上层为主两下相较则琴各三彼此减尽瑟两下相减余二本层少变正为负筝两下相减余十本层多仍为正银二百六十四两减二百二十两余四十四两本层多亦仍为正即筝十比瑟二价多四十四两也【葢两层琴各三张其价必相等但上层多筝十张下层多瑟二张则丄层多银四十四两即筝十张比瑟二张所多之价也】因首色减尽则瑟转而为首应为正今瑟为负重列二色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将瑟二变负为正而以筝十与价多四十四两俱变正为负葢原筝十比瑟二多四十四两今变为瑟二比筝十少四十四两也【若以下层为主则本层多即得瑟二为正不用变号】爰将两次所得之余如较数二色方程算之其瑟一为正筝二为负多二两为正列于上瑟二为正筝十为负少四十四两为负列于下乃以下瑟二遍乗上瑟一筝二多二两得瑟二仍为正筝四为负多四两为正又以上瑟一遍乘下瑟二筝十少四十四两仍得原数两下相较则瑟各二彼此减尽筝两层皆负故相减余六多四两与少四十四两相加得四十八两即筝六张之共价也【葢瑟皆为二张则其共价必相等然比筝四张之价则多比筝十张之价则少是多少相加之四十八两即筝十与筝四相差六张之价也】乃以筝六除银四十八两得八两为筝毎张之价以筝十因之得八十两为筝十张之共价瑟二张既比筝十张少四十四两则于八十两内减四十四两余三十六两即为瑟二张之共价以瑟二除之得十八两为瑟毎张之价以琴一瑟三筝三共银九十两计之则瑟三价五十四两筝三价二十四两共七十八两于共银九十两内减之余十二两即琴毎一张之价也
　　设如有古量斛庾釜三种盛米各数不同只云三斛二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升问斛庾釡各盛米若干
　　法先以斛三为正庾二为负釜二为正多一石零八升为正列于上又斛二为正庾三釜五为负少六石亦为负列于下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二多一石零八升得斛六仍为正庾四为负釜四为正多二石一斗六升亦为正又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少六石得斛六仍为正庾九釜十五俱为负少十八石亦为负于是以上层为主两下相较则斛各六彼此减尽庾两层皆负故相减余五本层少乃变负为正釡一正一负故相加得十九仍依本层为正多二石一斗六升与少十八石相加得二十石一斗六升仍依本层为正即五庾十九釡共二十石一斗六升也【斗四升也葢斛彼此减尽庾上层少四下层少九是下层比上层所少为五即上层比下层多五也釜上层多四下层少十五是上层比下层多十九也米上层多二石一斗六升下层少十八石是上层比下层多二十石一斗六升也庾釜多则米亦多故为五庾十九釜共二十石一】次以斛二为正庾三釡五与少六石俱为负列于上又斛一庾一为正釜二为负多一石三斗二升为正列于下乃以上斛二遍乗下斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛二庾二为正釡四为负多二石六斗四升为正又以下斛一遍乗上斛二庾三釜五少六石仍得原数于是以上层为主两下相较则斛各二彼此减尽庾一正一负故相加得五仍依本层为正釜两层皆负故相减余一本层少乃变负为正多二石六斗四升与少六石相加得八石六斗四升仍依本层【斗六升也】为正即五庾一釜共八石六【葢斛彼此减尽庾上层多二下层少三是上层比下层多五也釜上层少四下层少五是下层比上层所少为一即上层比下层多一也米上层多二石六斗四升下层少六石是上层比下层多八石六斗四升也庾釜多而米亦多故为五庾一釡共八石六斗四升也】爰以两次所得之余如和数二色方程算之其庾五釜十九共二十石一斗六升列于上庾五釡一共八石六斗四升列于下【变为和数故不用号】夫首数皆为五则省互乗两下相较庾各五彼此减尽釡十九减一余十八米二十石一斗六升减八石六斗四升余十一石五斗二升即为釜十八所盛之共数以十八除之得六斗四升为毎一釜所盛之数于八石六斗四升内减之余八石为庾五所盛之共数以五除之得一石六斗为毎一庾所盛之数以斛三釡二比庾二多一石零八升计之则庾二应三石二斗加多一石零八升得四石二斗八升即为斛三釜二之共数减釡二之一石二斗八升余三石为斛三所盛之共数以三除之得一石为每一斛所盛之数也
　　设如用船车驼运粮各不知数只云三船比七车一驼少三十三石六斗二车比一船十二驼少二十一石六斗八驼比一船三车少二十一石六斗问船车驼各载几何
　　法先以船三为正车七驼一与少三十三石六斗俱为负列于上又船一改为正车二改为负驼十二亦改为正少二十一石六斗改为多二十一石六斗亦为正列于下【葢二车比一船十二驼少二十一石六斗即一船十二驼比二车多二十一石六斗也】乃以上船三遍乗下船一车二驼十二多二十一石六斗得船三为正车六为负驼三十六为正多六十四石八斗为正又以下船一遍乗上船三车七驼一少三十三石六斗仍得原数于是以上层为主两下相较则船各三彼此减尽车两层皆负故相减余一本层少乃变负为正驼一正一负故相加得三十七仍依本层为正多六十四石八斗与少三十三石六斗相加得九十八石四斗亦依本层为正即车一驼三十七共载九十八石四斗也【葢船彼此减尽车上层少六下层少七是下层比上层所少为一即上层比下层多一也驼上层多三十六下层少一是上层比下层多三十七也粮上层多六十四石八斗下层少三十三石六斗是上层比下层多九十八石四斗也车多驼多则粮亦多故九十八石四斗为车一驼三十七之共数也】次以船一为正车二为负驼十二为正多二十一石六斗为正列于上又船一车三俱改为正驼八改为负少二十一石六斗改为多二十一石六斗为正列于下【葢八驼比一船三车少二十一石六斗即一船三车比八驼多二十一石六斗也】首数皆一故省互乘即以上层为主两下相较则船各一彼此减尽车一正一负故相加得五仍依本层为负驼一正一负故亦相加得二十仍依本层为正粮两层皆正相减恰尽即为驼二十与车五相等今车应转为首色为正故重列之际须俱变其号以车变负为正驼变正为负即为车五与驼二十相等也【葢两下相较船数相等上层少车二下层多车三上之所少即下之所多是下层多车五上层多驼十二下层少驼八下之所少即上之所多是上层多驼二十今既两下粮数相等则为车五与驼二十相等矣】爰以两次所得之余如和较兼用二色方程算之其车一驼三十七共粮九十八石四斗列于上【因为和数故不用号】又车五为正驼二十为负列于下【粮两下相等故无数可列仍作空以存其位】乃以下车五遍乗上车一驼三十七共粮九十八石四斗得车五驼一百八十五共粮四百九十二石又以上车一遍乗下车五驼二十仍得原数两下相较则车各五彼此减尽驼一百八十五加驼二十得二百零五粮止一层无数可加减仍得四百九十二石即驼二百零五所载之共数也以驼二百零五除之得二石四斗为每一驼所载之数以二十乗之得四十八石为驼二十所载之共数车五既与之相等即以车五除之得九石六斗即为每一车所载之数以三船比七车一驼少三十三石六斗计之则一驼应二石四斗七车应六十七石二斗共六十九石六斗减三船少三十三石六斗余三十六石为三船所载之共数以三除之得十二石为毎一船所载之数也
　　设如有钱买瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共价一百五十六文瓜一梨八共价一百二十六文桃二榴七共价一百六十文榴四梨七共价一百四十八文问瓜桃榴梨各价几何
　　法先以【四共价一百五十六文列于上】瓜二桃【因题有四色而此行无榴梨乃各作空位以存其分余俱照式对位列之】又以瓜一梨八共价一百二十六文列于下【因为和数故不用号】乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共价一百二十六文得瓜二梨十六共价二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共价一百五十六文仍得原数于是以下层为主两下相较则瓜各二彼此减尽桃四无可减仍为四依本层为正榴仍为空位梨十六无可减仍为十六本层无数乃变正为负价二百五十二文内减一百五十六文余九十六文本层少乃变正为负即为桃四比梨十六价少九十六文也【葢瓜皆为二则其共价必相等然上层有梨十六则共价二百五十二文下层有桃四则共价一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之价也】至是瓜既已减尽但余三色即变四色为三色而以桃为首对位列之是以桃四为正【此行无榴数故仍作空位以存其分余俱对位列之】梨十六为负少九十六文为负列于上桃二榴七共价一百六十文列于下【因为和数故不用号】乃以上桃四遍乗下桃二榴七共价一百六十文得桃八榴二十八共价六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍为正梨三十二仍为负少一百九十二文为负于是以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽榴二十八无可减仍为二十八依本层为正梨三十二无可加仍为三十二本层无数乃变负为正六百四十文与少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本层为正即榴二十八梨三十二共价八百三十二文也【葢桃彼此减尽上层多榴二十八下层少梨三十二即上层多梨三十二故多与少相差之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共价也】至是桃又减尽但余二色即变三色为二色而以榴为首对位列之是以榴二十八梨三十二共价八百三十二文列于上榴四梨七共价一百四十八文列于下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共价一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共价四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共价八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共价三千三百二十八文两下相较则榴各一百一十二彼此减尽梨两下相减余六十八价两下相减余八百一十六文即梨六十八之共价也以梨六十八除之得十二文为梨每个之价以七因之得八十四文为梨七之共价于榴梨共价一百四十八文内减之余六十四文为榴四之共价以四除之得十六文即榴毎个之价以桃二榴七共价一百六十文计之则榴七应价一百一十二文于桃榴共价一百六十文内减之余四十八文为桃二之共价以二除之得二十四文为桃每个之价再以瓜二桃四共价一百五十六文计之则桃四应价九十六文于桃瓜共价一百五十六文内减之余六十文为瓜二之共价以二除之得三十文即瓜毎个之价也
　　附法
　　设如有石二块大小不等不知重数只有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条一头离提系五分而以小石作砣称之离提系得六分始平又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作砣称之离提系得四分始平问大小二石各重几何
　　法先以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也爰将二两四钱以大石离提系五分因之得十二两为五大石比六小石所多之数【大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分也若五大石六小石则各得三十分其重始等然五分之一端应加二两四钱是大石重六分尚多二两四钱也若五大石则多十二两矣故为五大石比六小石多十二两也】又将二两四钱以小石离提系五分因之亦得十二两为四大石比五小石所少之数【小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分也若五小石四大石则各得二十分其重始等然五分之一端应加二两四钱是小石重四分尚多二两四钱也若五小石则多十二两矣故为五小石比四大石多十二两因以大石为首故变为四大石比五小石少十二两也】因作较数方程法算之以大石五为正小石六为负重多十二两为正列于上又大石四为正小石五为负重少十二两为负列于下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二两得大石二十小石二十五少六十两又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二两得大石二十小石二十四多四十八两两下相较则大石各二十彼此减尽小石两层皆负故相减余一重少六十两与多四十八两相加得一百零八两即为一小石之重数以小石六因之得六百四十八两为六小石之共重数加五大石所多十二两得六百六十两为五大石之共重数以五归之得一百三十二两即为一大石之重数也此本叠借互征之法而以方程算之稍为简易焉
　　设如有银一千六百四十两兄弟二人分之各不知数只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五十两问兄弟各分银几何
　　法以一千六百四十两为兄四分弟六分之共银数以三百五十两为兄一分弟一分之共银数如和数方程法算之以兄四分弟六分共银一千六百四十两列于上兄一分弟一分共银三百五十两列于下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共银一千六百四十两仍得原数又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共银三百五十两得兄四分弟四分共银一千四百两两下相较则兄各四分彼此减尽弟两下相减余二分银两下相减余二百四十两即弟二分之共银数以弟二分除之得一百二十两为弟一分之银数以弟六分乗之得七百二十两即弟所分之共银数于共银一千六百四十两内减之余九百二十两即兄所分之共银数也【此法用叠借互征算之亦可】
　　设如甲乙二人分果不知其数只云甲予乙九枚则乙与甲等乙予甲九枚则一甲与二乙等问甲乙分果各几何
　　法将甲予乙九枚以二因之得一十八枚为一甲比一乙所多之数【与二乙相等也葢甲予乙九枚则甲与乙等若甲不予乙则甲多九枚乙少九枚是甲比】又将乙予甲九枚以三因之得二十七枚为一甲比二乙所少之数【乙多十八枚也葢乙予甲九枚则一甲与二乙等若乙不予甲则乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙】因作较数方程法算之以甲一为正乙一为负多十八枚为正列于上又甲一为正乙二为负少二十七枚为负列于下因甲首色皆为一故不用互乗两下相较则甲各一彼此减尽乙两层皆负故相减余一果一正一负故相加得四十五枚即为乙之果数如甲多十八枚得六十三枚即为甲之果数也若甲与乙九枚则甲余五十四乙亦得五十四是甲与乙相等若乙与甲九枚则
　　乙余三十　　　　　　　　　　　　　　　　　【少二十七枚也】六甲得七十二是一甲【此法用叠借互征算之亦可】
　　设如有田二千六百五十亩令上中下三等农夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七亩中等比下等毎人多五亩问上中下三等毎人各耕几何
　　法以二千六百五十亩为和以多七亩多五亩为较如和较兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩列于上【因为和数故不用号】又上等一人为正中等一人为负多七亩为正列于下【无下等则作空以存其位】乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩仍得原数又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七亩得上等四十人为正中等四十人为负多二百八十亩为正于是以上层为主两下相较则上等各四十人彼此减尽中等五十人加四十人得九十人下等无可加减仍得七十人田二千六百五十亩减二百八十亩余二千三百七十亩即中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩也【因依本层故仍为和数】次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩列于上【因为和数故不用号】又中等一人为正下等一人为负多五亩为正列于下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩仍得原数又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五亩得中等九十人为正下等九十人为负多四百五十亩为正两下相较则中等各九十人彼此减尽下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十亩减四百五十亩余一千九百二十亩即下等一百六十人之共数也以下等一百六十人除之得十二亩为下等每人所耕之数加五亩得十七亩为中等毎人所耕之数又加七亩得二十四亩为上等每人所耕之数也【此法本和数比例以方程算之亦可】

　　御制数理精蕴下编卷十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十一
　　面部一
　　平方
　　带纵平方

　　平方
　　平方者等边四直角之面积也以形而言则为两矩所合以积而言则为自乗之数因其有广无厚故曰平方因其纵横相等故曰正方葢方积面也而其边则线也有线求面则相乗而得积有面求线则开方而得边开之之法略与归除同但归除有法有实而开方则有实而无法故古人立为商除廉隅之制以相求每积二位得边之一位所谓一百一十定无疑一千三十有零余九千九百不离十一万方为一百推是也其法先从一角而剖其幂以自一至九自乗之数为方根与所有之积相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方边止一位若有余实即初商方积外别成一磬折形其附初商之两旁者谓之廉两廉之角所合一小方谓之隅廉有二故倍初商为两廉之共长是为廉法视余积足廉法几倍即是次商隅即次商之自乗故次商为隅法合廉隅而以次商乗之则得两廉一隅之共积所谓初商方积外别成一磬折形者是也故次商为初商所得方边之零如次商数与初商余积相减尚有不尽之实则又成一磬折形而仍为两廉一隅但较前廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照初商之例逐层递析之实尽而止实不尽者必非自乗之正数递析之至于纎尘终有奇零若余实不足廉隅法之数者则方边为空位此开方之定法也面形不一而容积皆以方积为准故平方为算诸面之本诸面必通之方积而后可施其法也
　　设如正方面积三十六尺开方问每一边数几何法列方积三十六尺自末位起算每方积二位定方边一位今积止有二位则于六尺上作记定单位以自一至九自乗之方根数与之相审知与六尺自乗之数恰合乃以六尺书于方积六尺之上而以六尺自乗之三十六尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为六尺也如图甲乙丙丁正方形每边皆六尺其中函一尺小正方三十六自边计之为六尺自乗之积以积开之则与六尺自乗方根之数相准故商除之恰尽也葢方积为二位是以方边止一位方积即六尺自乗之数故无廉隅之可用次商如有余积则自成廉隅而用次商矣
　　设如正方面积一丈四十四尺开方问每一边数几何
　　法列方积一丈四十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗之正方一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位积四十四尺续书于下【大凢以余积续书于下者每取方积之二位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺为廉法以除四十四尺足二尺即定次商为二尺书于方积四尺之上而以次商二尺为隅法与廉法二十尺相加共得二十二尺为廉隅共法书于余积之左以次商二尺乗之得四十四尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆一丈二尺其中函积一丈四十四尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边一丈即初商数其中函正方积一丈即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长十尺即初商数其各阔二尺即次商数廉有二故倍初商为廉法其己壬丙辛一小正方为隅其边二尺亦即次商数故以次商为隅法合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形此廉隅之法所由生也
　　设如正方面积五百二十九尺开方问毎一边数几何【此题正方面积之三位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积二位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也】
　　法列方积五百二十九尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于九尺上定单位五百尺上定十位其五百尺为初商积以初商本位计之则五百尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百尺爰以方边第二位积二十九尺续书于下共一百二十九尺为次商廉隅之共积乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商为三尺书于方积九尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得二十三尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆二十三尺其中函积五百二十九尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边二十尺即初商数其中函积四百尺即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长二十尺即初商数其各阔三尺即次商数其己壬丙辛一小正方为隅其边三尺亦即次商数合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形也
　　设如正方面积五丈四十七尺五十六寸开方问每一边数几何
　　法列方积五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈为初商积与二丈自乗之数相准即定初商为二丈书于方积五丈之上而以二丈自乗之四丈书于初商积之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积四十七尺续书于下共一百四十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减余一十八尺即一千八百寸复以方边末位积五十六寸续书于下共一千八百五十六寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸为廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商为四寸书于方积六寸之上而以三商四寸为隅法与廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸为廉隅共法书于余积之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得二丈三尺四寸为方面每一边之数也
　　设如正方面积四十五万九千六百八十四尺开方问每一边数几何【此题正方面积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺寸三色者不同然其每取方积二位续书于下其末位即命为单位立算仍与丈尺寸同也】
　　法列方积四十五万九千六百八十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于四尺上定单位六百尺上定十位五万尺上定百位其四十五万尺为初商积以初商本位计之则五万尺为初商积之单位而四十五万尺为四十五与六自乗之数相准即定初商为六书于方积五万尺之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余九万尺爰以方边第二位积九千六百尺续书于下共九万九千六百尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则六百尺为次商积之单位而九万九千六百尺为九百九十六而初商之六即为六十故以初商之六作六十倍之得一百二十为廉法以除九百九十六足七倍即定次商为七书于方积六百尺之上而以次商七为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十七为廉隅共法书于余积之左以次商七乗之得八百八十九与次商廉隅共积相减余一万零七百尺复以方边末位积八十四尺续书于下共一万零七百八十四尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十为廉法以除一万零七百八十四足八倍即定三商为八书于方积四尺之上而以三商八为隅法与廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八为廉隅共法书于余积之左以三商八乗之得一万零七百八十四与三商廉隅共积相减恰尽是开得六百七十八尺为方面每一边之数也
　　设如正方面积三十五丈九十一尺六十寸四十九分开方问每一边数几何
　　法列方积三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作记即于九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈为初商积与五丈自乗之数相准即定初商为五丈书于方积五丈之上而以五丈自乗之二十五丈书于初商积之下相减余一十丈即一千尺爰以方边第二位积九十一尺续书于下共一千零九十一尺为次商廉隅之共积乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺为廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商为九尺书于方积一丈之上而以次商九尺为隅法与廉法一百尺相加共得一百零九尺为廉隅共法书于余积之左以次商九尺乗之得九百八十一尺与次商廉隅共积相减余一百一十尺即一万一千寸复以方边第三位积六十寸续书于下共一万一千零六十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸为亷法以除一万一千零六十寸足九寸即定三商为九寸书于方积空寸之上而以三商九寸为隅法与廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸为廉隅共法书于余积之左以三商九寸乗之得一万零七百零一寸与三商廉隅共积相减余三百五十九寸即三万五千九百分复以方边末位积四十九分续书于下共三万五千九百四十九分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一万一千九百八十分为廉法以除三万五千九百四十九分足三分即定四商为三分书于方积九分之上而以四商三分为隅法与廉法一万一千九百八十分相加共得一万一千九百八十三分为廉隅共法书于余积之左以四商三分乗之得三万五千九百四十九分与四商廉隅共积相减恰尽是开得五丈九尺九寸三分为方面每一边之数也
　　设如正方面积五百八十五万六千四百尺开方问每一边数几何
　　法列方积五百八十五万六千四百尺补二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作记于空尺上定单位四百尺上定十位五万尺上定百位五百万尺上定千位其五百万尺为初商积以初商本位计之则五百万尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百万尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百万尺爰以方边第二位积八十五万尺续书于下共一百八十五万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则五万尺为次商积之单位而一百八十五万尺为一百八十五而初商之二即为二十故以初商之二作二十倍之得四十为廉法以除一百八十五足四倍即定次商为四书于方积五万尺之上而以次商四为隅法与廉法四十相加共得四十四为防隅共法书于余积之左以次商四乗之得一百七十六与次商廉隅共积相减余九万尺复以方边第三位积六千四百尺续书于下共九万六千四百尺为三商防隅之共积以三商本位计之则四百为三商积之单位而九万六千四百尺为九百六十四而初商之二即为二百次商之四即为四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十为廉法以除九百六十四足二倍即定三商为二书于方积四百尺之上而以三商二为隅法与防法四百八十相加共得四百八十二为廉隅共法书于余积之左以三商二乗之得九百六十四与三商防隅共积相减恰尽是开得二千四百二十尺为方面每一边之数也此法方积之末有二空位故所得方边之末亦补一空位凢设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之
　　设如正方面积八十二丈六十二尺八十一寸开方问每一边数几何
　　法列方积八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作记于一寸上定寸位于二尺上定尺位于二丈上定丈位其八十二丈为初商积与九丈自乗之数相准即定初商为九丈书于方积二丈之上而以九丈自乗之八十一丈书于方积八十二丈之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积六十二尺续书于下共一百六十二尺为次商廉隅之共积乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺为防法以除一百六十二尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积二尺之上以存次商之位复以方边末位积八十一寸续书于下共一百六十二尺八十一寸即一万六千二百八十一寸为三商防隅之共积仍以一百八十尺作一千八百寸为防法以除一万六千二百八十一寸足九寸即定三商为九寸书于方积一寸之上而以三商九寸为隅法与防法一千八百寸相加共得一千八百零九寸为防隅共法书于余积之左而以三商九寸乗之得一万六千二百八十一寸与三商防隅共积相减恰尽是开得九丈零九寸为方面每一边之数也此法方积无空位而商出之方边有空位凡防法除余积而数不足者皆依此例推之
　　设如正方面积六千四百一十一万二千零四十九尺开方问每一边数几何
　　法列方积六千四百一十一万二千零四十九尺自末位起算每隔一位作记于九尺上定单位空百尺上定十位一万尺上定百位四百万尺上定千位其六千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万为初商积之单位而六千四百万为六千四与八自乗之数相合即定初商为八书于方积四百万尺之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积一十一万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则一万尺为次商积之单位而一十一万尺为一十一而初商之八即为八十故以初商之八作八十倍之得一百六十为廉法以除一十一其数不足是次商为空位乃书一空于方积一万尺之上以存次商之位复以方边第三位积二千尺续书于下共一十一万二千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空百尺为三商积之单位而一十一万二千尺为一千一百二十尺而初商之八即为八百次商之空即为空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百为廉法以除一千一百二十其数仍不足是三商之为空位乃再书一空于方积空百尺之上以存三商之位复以方边末位积四十九尺续书于下共一十一万二千零四十九尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之八千倍之得一万六千为廉法以除一十一万二千零四十九足七倍即定四商为七书于方积九尺之上而以四商七为隅法与防法一万六千相加共得一万六千零七为防隅共法书于余积之左而以四商七乗之得一十一万二千零四十九与余积相减恰尽是开得八千零七尺为方面每一边之数也此法方积中虽有一空位而商出之方边却有二空位凡开方遇此类者皆依此例推之
　　设如有积一万四千九百二十八尺开方问每一边数几何
　　法列积一万四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作记于八尺上定单位九百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺为初商积以初商本位计之则一万尺为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万尺之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积四千九百尺续书于下为次商防隅之共积以次商本位计之则九百尺为次商积之单位而四千九百尺为四十九而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除四十九足二倍即定次商为二书于方积九百尺之上而以次商二为隅法与防法二十相加共得二十二为防隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余五百尺复以方边末位积二十八尺续书于下共五百二十八尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为廉法以除五百二十八足二倍即定三商为二书于方积八尺之上而以三商二为隅法与廉法二百四十相加共得二百四十二为防隅共法书于余积之左以三商二乗之得四百八十四与三商廉隅共积相减余四十四尺不尽是开得一百二十二尺为方面每一边之数仍余四十四尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増书两空于总积之后复续书两空于四十四尺之后为几十几寸之位是则四十四尺作四千四百寸为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸为廉法以除四千四百寸足一倍即定四商为一寸书于余积空寸之上而以四商一为隅法与廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸为廉隅共法书于余积之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸与余积相减余一千九百五十九寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书两空于后増空十空寸之后复续书两空于五十九寸之后为几十几分之位是则一千九百五十九寸作一十九万五千九百分为五商廉隅之共积爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一万二千二百一十分倍之得二万四千四百二十分为廉法以除一十九万五千九百分足八倍即定五商为八分书于余积空分之上而以五商八为隅法与防法二万四千四百二十分相加共得二万四千四百二十八分为廉隅共法书于余积之左以五商八分乗之得一十九万五千四百二十四分与余积相减仍余四百七十六分不尽是开得一百二十二尺一寸八分为方面每一边之数也此法原积本非自乗所得之数虽递析之终不能尽凡开方遇此类者皆依此例推之
　　设如有一方台上面共铺方甎四千零九十六块问每一边得甎几何
　　法列方甎四千零九十六块为方积于六块上定单位空百块上定十位其四千块为初商积以初商本位计之则空百块为初商积之单位而四千块为四十与六自乗之数相准即定初商为六书于方积空百块之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余四百块爰以余积九十六块续书于下共四百九十六块为次商廉隅之共积而以初商六作六十倍之得一百二十为廉法以除四百九十六足四倍即定次商为四书于方积六块之上而以次商四为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十四为廉隅共法书于余积之左以次商四乗之得四百九十六与余积相减恰尽是开得六十四块为方台上面每一边之甎数也
　　设如有三百六十一人用船分载其每船所载人数与共船数相等问共船几何
　　法列三百六十一人为方积于一人上定单位三百人上定十位其三百人为初商积以初商本位计之则三百为初商积之单位止与一自乗之数相准即定初商为一书于方积三百之上而以一自乗之一书于初商积之下相减余二百爰以余积六十一续书于下共二百六十一为次商廉隅之共积而以初商一作一十倍之得二十为廉法以除二百六十一足九倍即定次商为九书于方积一人之上而以次商九为隅法与廉法二十相加共得二十九为防隅共法书于余积之左以次商九乗之得二百六十一与余积相减恰尽是开得十九为共船数而每船载十九人也
　　设如有银七百八十四两散给夫匠其每人所得银数与其人数相等问共人数几何
　　法列七百八十四两为方积于四两上定单位七百两上定十位其七百两为初商积以初商本位计之则七百为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积七百之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余三百爰以余积八十四续书于下共三百八十四为次商廉隅之共积而以初商二作二十倍之得四十为廉法以除三百八十四足八倍即定次商为八书于方积四两之上而以次商八为隅法与防法四十相加共得四十八为防隅共法书于余积之左以次商八乗之得三百八十四与余积相减恰尽是开得二十八为共人数而每人得银二十八两也
　　设如用船运粮六千五百六十一石欲取一船别用将此船米分载各船每船领去一石其本船尚余一石问共船几何
　　法列米六千五百六十一石为方积于一石上定单位五百石上定十位其六千五百石为初商积以初商本位计之则五百石为初商积之单位而六千五百为六十五与八自乗之数相准即定初商为八书于方积五百之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减余一百爰以余积六十一续书于下共一百六十一为次商廉隅之共积而以初商八作八十倍之得一百六十为廉法以除一百六十一足一倍即定次商为一书于方积一石之上而以次商一为隅法与廉法一百六十相加共得一百六十一为廉隅共法书于余积之左以次商一乗之仍得一百六十一与余积相减恰尽是开得八十一为共船数而每船载米八十一石也此法葢因一船所载之米分与各船毎船各领一石即共去八十石故本船尚余一石也
　　设如有钱一万五千六百二十五文买瓜每瓜一个与脚钱一文因无现钱将一瓜准作脚钱问瓜数几何
　　法列钱一万五千六百二十五为方积于五文上定单位六百上定十位一万上定百位其一万为初商积以初商本位计之则一万为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以第二位积五千六百续书于下为次商防隅之共积以次商本位计之则六百为次商积之单位而五千六百为五十六而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除五十六足二倍即定次商为二书于方积六百之上而以次商二为隅法与防法二十相加共得二十二为防隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余一千二百复以末位积二十五续书于下共一千二百二十五为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为防法以除一千二百二十五足五倍即定三商为五书于方积五文之上而以三商五为隅法与防法二百四十相加共得二百四十五为防隅共法书于余积之左以三商五乗之得一千二百二十五与余积相减恰尽是开得一百二十五为共瓜之数亦即每瓜之价也此法因每瓜应给脚钱一文今以一瓜准之即知一瓜之价与瓜之共数相等故以开方法算之而得也

　　带纵平方
　　带纵平方者两等边直角长方面积也有积数因长比阔之较或长与阔之和而得边故曰带纵葢正方之纵横皆同故止有积即可得其边若长方则纵横不等知其积又必知其纵横相差之较或纵横相并之和始能得其边故以长阔之较为问者则皆较为带纵加所开之数商除之而得阔或四因积数加较自乗平方开之即长阔之和和加较半之而得长和减较半之而得阔或半较自乗加原积而开平方即得半和加半较而得长减半较而得阔如以长阔之和为问者则用和为带纵减去所开之数商除之而得阔或四因积数减和自乗平方开之即长阔之较较减和半之而得阔较加和半之而得长或半和自乗减原积而开平方即得半较加半和而得长减半和而得阔夫用半较半和之法与四因积数之法同出一理葢四因积数加全较自乗故开方而得全和半较自乗加原积故开方而得半和四因积数减全和自乗故开方而得全较半和自乗减原积故开方而得半较此即面与线之比例面加四倍而边加一倍边得其半而积为四分之一也法虽不一要之皆使归于正方以求其和较是则虽曰带纵仍不外乎平方之理也
　　设如有长方面积八尺纵多二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之积八尺止可商二尺乃以二尺书于原积八尺之上而以所商二尺加纵多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺书于原积之下相减恰尽即知长方之阔得二尺加入纵多二尺得四尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲乙长比甲丁阔所多戊乙即纵多之数初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一边葢因此法长阔两边俱止一位而积亦止一位故初商所得即为一边而加入纵多即又一边是以两边相乗而与原积相等也
　　又法以积八尺用四因之得三十二尺而以纵多二尺自乗得四尺加八四因之数得三十六尺开方得六尺即为长阔相和之数乃以纵多二尺与长阔之和六尺相加得八尺折半得四尺即长方之长减纵多二尺得二尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑成一空心正方式再加入纵多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊类每一边即长阔之和故开方得长阔之和既得和加纵多是为倍长故折半而得长减纵多则为倍阔故折半而得阔或得长而减纵多亦得阔也
　　又法先将纵多二尺折半得一尺为半较自乗仍得一尺与原积八尺相加得九尺平方开之得三尺为半和于半和减半较得二尺为阔于半和加半较得四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙为长甲丁为阔戊乙为纵多之较将较折半于庚而移庚乙丙辛置于丁己癸壬再加己辛子癸半较自乗之方则成甲庚子壬一正方形故开方而得甲庚甲壬之边皆为半和也于甲壬之半和减丁壬之半较得甲丁之阔于甲庚之半和加庚乙之半较得甲乙之长也又图甲乙丙丁长方形容积八尺将甲丁边引长作丁辛与丁丙等则甲辛为长阔之和又如甲乙边截甲丁于庚则庚丁为长阔之较甲辛和折半于己而庚丁较亦折半于己故以己为心甲为界作一半圜而引丙丁边至戊界作一戊丁直线戊巳辐线则甲巳戊己巳辛皆为半和而庚己己丁皆为半较且甲丁戊丁丁辛又为连比例之三线矣其戊丁中率自乗之方与甲丁首率丁辛末率相乗之长方等【见几何原本九卷第三节】则是戊丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也又戊丁巳为勾股形其戊丁边自乗之方与己丁边自乗之方相并而与戊巳自乗之方等【见几何原本九卷第四节】故与原设甲乙丙丁长方积等之戊丁自乗之方加以己丁半较自乗之数开方而得戊巳为半和于戊巳相等之己辛半和减己丁半较而得丁辛与丁丙等之阔又与戊巳相等之甲巳半和加己丁半较而得甲丁之长也
　　设如有长方面积一千二百五十四尺纵多五尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其一千二百为初商积可商三十尺乃以三十尺书于原积二十尺之上而以初商三十尺加纵多五尺得三十五尺以初商三十尺乗之得一千零五十尺书于原积之下相减余二百零四尺为次商廉隅之共积乃以初商三十尺倍之得六十尺加纵多五尺得六十五尺为廉法以除二百零四尺足三尺则以三尺书于原积四尺之上而以廉法六十五尺加隅法三尺得六十八尺为廉隅共法以次商三尺乗之得二百零四尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得三十三尺加纵多五尺得三十八尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积一千二百五十四尺其甲乙边长三十八尺甲丁边阔三十三尺其甲乙长比甲丁阔所多之甲辛即纵多之数其甲戊己庚长方形容积一千零五十尺即初商所减之积其辛壬与辛戊俱三十尺即初商数其甲戊三十五尺即初商加纵多之数其戊乙丑己壬己子癸两长方为两方廉庚壬癸丁小长方为纵廉方廉有二纵廉止一故倍初商加纵多数为廉法其己丑丙子为隅其长阔皆与次商等故以次商为隅法合两方廉一纵廉一小隅成一磬折形环附初商长方之两傍成一大长方与平方之理无异若次商仍减积不尽则又为两方廉一纵廉一小隅复成一磬折形得三商四商以至多商皆依此法递析开之
　　又法以积一千二百五十四尺用四因之得五千零一十六尺而以纵多五尺自乗得二十五尺加入四因之数得五千零四十一尺开方得七十一尺即为长阔相和之数乃以纵多五尺与长阔之和七十一尺相加得七十六尺折半得三十八尺即长方之长减纵多五尺即长方之阔也
　　又法先将纵多五尺折半得二尺五寸为半较自乗得六尺二十五寸与原积一千二百五十四尺相加得一千二百六十尺二十五寸开方得三十五尺五寸为半和于半和减半较得三十三尺为阔于半和加半较得三十八尺为长也
　　设如有长方面积一十八万一千四百六十丈纵多八丈问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其一十八万丈为初商积可商四百丈乃以四百丈书于原积八万丈之上而以初商四百丈加纵多八丈得四百零八丈以初商四百丈乗之得一十六万三千二百丈书于原积之下相减余一万八千二百六十丈为次商廉隅之共积乃以初商四百丈倍之得八百丈加纵多八丈得八百零八丈为防法以除一万八千二百六十丈足二十丈则以二十丈书于原积四百丈之上而以廉法八百零八丈加隅法二十丈得八百二十八丈为廉隅共法以次商二十丈乗之得一万六千五百六十丈书于余积之下与余积相减余一千七百丈为三商廉隅之共积乃以初商次商之二百四十丈俱倍之得八百四十丈加纵多八丈得八百四十八丈为廉法以除一千七百丈足二丈则以二丈书于原积空丈之上而以廉法八百四十八丈加隅法二丈得八百五十丈为廉隅共法以三商二丈乗之得一千七百丈书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得四百二十二丈加纵多八丈得四百三十丈即为长方之长也
　　又法以纵多八丈折半得四丈为半较自乗得十六丈与原积一十八万一千四百六十丈相加得一十八万一千四百七十六丈开方得四百二十六丈为半和于半和减半较得四百二十二丈为阔于半和加半较得四百三十丈为长也
　　设如有长方面积四万五千二百九十六尺纵多一百四十六尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其四万尺为初商积可商二百尺加纵多一百四十六尺得三百四十六尺以所商二百尺乗之得六万九千二百尺大于原积是初商不可商二百尺也乃改商一百尺书于原积四万尺之上而以所商一百尺加纵多一百四十六尺得二百四十六尺以初商一百尺乗之得二万四千六百尺书于原积之下相减余二万零六百九十六尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺加纵多一百四十六尺得三百四十六尺为廉法以除二万零六百九十六尺足五十尺则以五十尺书于原积二百尺之上而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺得三百九十六尺为廉隅共法以次商五十尺乗之得一万九千八百尺书于余积之下与余积相减余八百九十六尺为三商廉隅之共积乃以初商次商之一百五十尺倍之得三百尺加纵多一百四十六尺得四百四十六尺为廉法以除八百九十六尺足二尺则以二尺书于原积六尺之上而以廉法四百四十六尺加隅法二尺得四百四十八尺为廉隅共法以三商二尺乗之得八百九十六尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百五十二尺加纵多一百四十六尺得二百九十八尺即为长方之长也此法原积初商应得二百尺因加纵多相乗得数大于原积故改商一百尺始合凡开带纵方遇此类者皆依此例推之
　　又法加纵多一百四十六尺折半得七十三尺为半较自乗得五千三百二十九尺与原积四万五千二百九十六尺相加得五万零六百二十五尺开方得二百二十五尺为半和于半和减半较得一百五十二尺为阔于半和加半较得二百九十八尺为长也
　　设如有长方面积一万六千一百二十八尺纵多七十二尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其一万为初商积可商一百尺加纵多七十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一万七千二百尺大于原积是初商不可商一百尺也乃改商九十尺书于原积一百尺之上而以所商九十尺加纵多七十二尺得一百六十二尺以所商九十尺乗之得一万四千五百八十尺书于原积之下相减余一千五百四十八尺为次商廉隅之共积乃以初商九十尺倍之得一百八十尺加纵多七十二尺得二百五十二尺为廉法以除一千五百四十八尺足六尺则以六尺书于原积八尺之上而以廉法二百五十二尺加隅法六尺得二百五十八尺为廉隅共法以次商六尺乗之得一千五百四十八尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔为九十六尺加纵多七十二尺得一百六十八尺即长方之长也此法原积初商应得一百尺因加纵多相乗得数大于原积故改商九十尺而原积一万尺之上应开百位者空其位而不计也或纵多太大过于初商所得之数则用四因积数之法或用纵多折半之法设例在后
　　设如有长方面积三万四千五百六十九尺纵多三千八百三十二尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其三万尺为初商积应商一百尺而纵多数为三千转大如初商数凡遇此类则用四因积数加较自乗开方法之或用半较自乗加于原积开方之法为明白简易也故以纵多三千八百三十二尺折半得一千九百一十六尺为半较自乗得三百六十七万一千零五十六尺与原积三万四千五百六十九尺相加得三百七十万五千六百二十五尺开方得一千九百二十五尺为半和于半和减半较得九尺为阔于半和加半较得三千八百四十一尺为长也
　　设如有月台一座共用方甎一千九百二十块其长比阔多八块问长阔两面各用甎几何
　　法以长比阔多八块折半得四块为半较自乗得十六块与积数一千九百二十块相加得一千九百三十六块开方得四十四块为半和于半和四十四块减半较得四十块为阔面甎数于半和加半较得四十八块为长面甎数也
　　设如有银三百六十两赏人其人数比每人所得银数为五分之二问人数及每人所得银数各几何法先用比例分其总银数以五分为一率二分为二率三百六十两为三率得四率一百四十四两开方得十二为人数以人数除共银数三百六十两得三十两为每人所得之银数也此法以人数为阔其每人所得银数为长成一长方形人数既居银数之五分之二是阔为二分长为五分也今将其共银分作五分而取其二分即人数与所得银数相等而成正方形矣故开方而得人数也
　　设如有长方面积八尺长阔相和六尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之积八尺止可商二尺乃以二尺书于原积八尺之上而以所商二尺与和数六尺相减余四尺以所商二尺乗之得八尺书于原积之下相减恰尽即知长方之阔得二尺与和六尺相减得四尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲丁与甲乙相并得六尺即长阔之和初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一边葢两边俱止一位故以初商所得为一边于长阔和内减去初商所余即又一边是以两边相乗而与原积相等也此法比较数为问者在加减之异其以较数为问者以所商之数与较数相加此以和数为问者则以所商之数与和数相减也
　　又法以积八尺用四因之得三十二尺而以和数六尺自乗得三十六尺减去四因之数余四尺开方得二尺即为长阔相较之数乃以较数二尺与和数六尺相加得八尺折半得四尺即长方之长减较二尺得二尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑成一空心正方式较之和数六尺自乗之甲戊辛子正方形所少者止正中之一小正方形故相减即余丑丙庚癸之一小正方形其丑丙类每一边即长阔之较故开方得长阔之较既得较加于和数是为倍长故折半而得长长减较而得阔也此法比较数为问者亦在加减之异其以较为问者用较自乗与四因数相加开方而得和此以和为问者用和自乗与四因数相减开方而得较也
　　又法先将和数六尺折半得三尺为半和自乗得九尺与原积八尺相减得一尺平方开之仍得一尺为半较于半和减半较得二尺为阔于半和加半较得四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙为阔甲丁为长甲壬为长阔和【丁壬与丁丙阔等】折半为甲庚半和将甲乙丙丁长方内之庚辛丙丁移于乙丑癸己则成甲丑癸己辛庚一磬折形与甲庚半和自乗之甲丑子庚正方形相减余己癸子辛一小正方形即半较自乗之方故开方而得半较也故甲丑之半和减乙丑之半较得甲乙之阔于甲庚之半和加庚丁之半较得甲丁之长也又图甲乙丙丁长方形容积八尺甲壬为长阔之和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁长减等甲乙阔之甲戊余戊丁为长阔之较其庚丁则为半较而甲丁己丁丁壬又为连比例之三线故己丁中率自乗之方与甲丁首率丁壬末率相乗之长方等【见几何原本九卷第三节】则是己丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也又己庚丁为勾股形其己丁边自乗之方与丁庚边自乗之方相并而与己庚自乗之方等【见几何原本九卷第四节】故于己庚半和自乗方内减去与原设甲乙丙丁长方积相等之己丁自乗之数开方而得庚丁为半较于己庚相等之庚壬半和内减庚丁半较而得丁壬与丁丙等之阔又于己庚相等之甲庚半和加庚丁半较而得甲丁之长也
　　设如有长方面积八百六十四尺长阔相和六十尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其八百尺为初商积可商二十尺乃以二十尺书于原积八百尺之上而以初商二十尺与和数六十尺相减得四十尺以初商二十尺乗之得八百尺书于原积之下相减余六十四尺为次商廉隅之共积乃以初商二十尺倍之得四十尺与和数六十尺相减余二十尺为廉法以除六十四尺足三尺因廉法内尚要减去商数为法故取大数为四尺则以四尺书于原积四尺之上而以廉法二十尺与次商四尺相减得十六尺以次商四尺乗之得六十四尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得二十四尺与和六十尺相减余三十六尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八百六十四尺其甲乙边阔二十四尺甲丁边长三十六尺甲戊为长阔和六十尺其丁戊与甲乙等甲子二十尺为初商数与辛戊等甲辛四十尺则和内减去初商之数两数相乗成甲子己辛长方形即初商所减之积也丁戊既与甲乙等辛戊又与甲子等则丁辛与子乙等丁庚己辛小长方积与庚丑壬丙长方积等是则次商廉隅之共积即子乙壬丑之积也次于甲戊和内减倍初商数四十尺如寅戊余甲寅二十尺与子癸等为廉法子乙者为次商数也子乙与丑癸等则于子癸廉法内减丑癸余子丑与次商子乙相乗得子乙壬丑小长方即次商所减之积故减原积恰尽也以初商甲子二十尺合次商子乙四尺得甲乙二十四尺为阔于甲戊长阔和六十尺内减与甲乙相等之丁戊阔二十四尺得甲丁三十六尺为长也三商以后皆仿此递析开之
　　又法以积八百六十四尺用四因之得三千四百五十六尺而以和六十尺自乗得三千六百尺减去四因之数余一百四十四尺开方得一十二尺即为长阔之较乃以较十二尺与和六十尺相加得七十二尺折半得三十六尺即长方之长减较十二尺得二十四尺即长方之阔也
　　又法先将和数六十尺折半得三十尺为半和自乗得九百尺与原积八百六十四尺相减得三十六尺开方得六尺为半较于半和减半较得二十四尺为阔于半和加半较得三十六尺为长也
　　设如有长方面积一万九千三百一十二尺长阔相和二百七十八尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其一万尺为初商积可商一百尺乃以一百尺书于原积一万尺之上而以初商一百尺与和数二百七十八尺相减得一百七十八尺以初商一百尺乗之得一万七千八百尺书于原积之下相减余一千五百一十二尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺与和数相减得七十八尺为廉法以除一千五百一十二尺止足一十尺因廉法内尚要减去商数为法故取大数为三十尺则以三十尺书于原积三百尺之上而以廉法七十八尺与次商三十尺相减得四十八尺以次商三十尺乗之得一千四百四十尺书与余积之下与余积相减余七十二尺为三商廉隅之共积乃以初商次商之一百三十尺倍之得二百六十尺与和数二百七十八尺相减余十八尺为廉法以除七十二尺止足四尺亦因取大于足除之数故定为六尺则以六尺书于原积二尺之上而以廉法十八尺与三商六尺相减得十二尺以三商六尺乗之得七十二尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百三十六尺与和二百七十八尺相减余一百四十二尺即为长方之长也此法次商三商皆取大于足除之数反覆商除始能相符不若四因积数减和自乗开方之法或半和自乗减原积开方之法为整齐也法以一万九千三百一十二尺用四因之得七万七千二百四十八尺而以和二百七十八尺自乗得七万七千二百八十四尺减去四因之数余三十六尺开方得六尺即为长阔之较乃以较六尺与和二百七十八尺相加得二百八十四尺折半得一百四十二尺即长方之长减较六尺得一百三十六尺即长方之阔也
　　设如有长方面积六万九千三百六十尺长阔相和七百八十二尺问长阔各几何
　　法列积如开平方法商之其六万为初商积可除二百尺而以二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一万六千四百尺大于积数乃改商一百尺书于原积六万尺之上而以所商一百尺与和数七百八十二尺相减得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六万八千二百尺书于原积之下相减余一千一百六十尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺为廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰书空位于原积三百尺之上而以二尺书于原积空尺之上而以廉法五百八十二尺与三商二尺相减得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺书于原积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百零二尺与和七百八十二尺相减余六百八十尺即为长方之长也此法初商应商二百尺因减纵相乗得数转大于原积故改商一百尺凡遇此类不若用四因积数之法与半和自乗之法算之法以和数七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五万二千八百八十一尺与原积六万九千三百六十尺相减余八万三千五百二十一尺开方得二百八十九尺为半较于半和减半较得一百零二尺为阔于半和加半较得六百八十尺为长也
　　设如有钱四千七百六十文买果树不知数但知树之共数与每株之价相加得一百七十四问树数及价各几何
　　法以共数一百七十四折半得八十七为半和自乗得七千五百六十九与共钱四千七百六十文相减余二千八百零九开方得五十三为半较于半和减半较余三十四为树数于半和加半较得一百四十为树价也此法以树数为阔树价为长成一长方形其树数与树价相加即如长阔之和故以半和自乗减积开方得半较既得半较以减半和为树数加半和为树价也
　　设如有法书一卷共一千一百五十九字其行数与每行字数相加共八十问行数及字数各几何法以和数八十折半得四十为半和自乗得一千六百与共字一千一百五十九相减余四百四十一开方得二十一为半较于半和加半较得六十一为行数于半和减半较余十九为每行字数也
　　设如有五百八十八人用船均载其船数与每船所载人数相加比船数多四分之三问船数与每船所载人数各几何
　　法先用比例分其积以三分为一率一分为二率五百八十八人为三率得四率一百九十六人用开平方法开之得十四为船数以三因之得四十二为每船所载之人数也此以船数为阔每船所载人数为长成一长方形船数与人数相加即如长阔之和和数既比船数多四分之三则是和数为四分每船所载人数为三分船数为一分即阔为一分长为三分也故将共人数三分之而取其一则人数与船数同为一分而成正方形矣故平方开之即得船数每船所载人数既为船数之三倍故三因之为所载人数也

　　御制数理精蕴下编卷十一
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十二
　　面部二
　　勾股【定勾股无零数法　　勾股相求法附勾股求积　　勾股形内求中垂线及容方圆等形　　勾股和较相求法】

　　勾股
　　周髀曰折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有五是为积矩此言勾股正数之所以立法也葢勾股得长方之半形故其一角必成矩【所谓直角也】而后可谓勾股如其一角不能成矩则为三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立于圜界之正一半而自直角所作垂线遂成连比例三率是以直角相对界所作方形之积必与两傍二界所作两方形之积等【见几何原本九卷第四节】而勾股彼此相求之法于此生焉其法所该有四一勾股三者知其二而得其一或知其二而得其积一勾股形自其直角对界求垂线一勾股形内容方圆等形一勾股三者知其一复知其余二者之较或二者之和而得其二或知其两较或两和或一较一和而得其三【勾股和较之法虽杂出多端然皆不出勾股方积相求之理较有勾股较勾较股较和有勾股和勾和股和和较相疉则又有与勾股和相和或名之曰和和有与勾股和相较或名之曰和较有与勾股较相和或名之曰较和有与勾股较相较或名之曰较较又有勾与股和相和者或名之曰勾和和股与勾和相和者或名之曰股和和即和和也勾与股和相较者或名之曰勾和较股与勾较相和者或名之曰股较和即较和也股与勾和相较者或名之曰股和较勾与股较相和者或名之曰勾较和即较较也勾与股较相较者或名之曰勾较较股与勾较相较者或名之曰股较较即和较也】此四者皆勾股之正法理一定而数随之者也至若勾三股四五之类倍之至于亿兆而总不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之则三者止有其一即可得其二或有积而即得其三界此为数一定而法随之者也一一按类列题发明如左
　　定勾股无零数法
　　设如用二四八连比例三率定勾股无零数问各得几何
　　法以中率四命为四尺为股首率二尺与末率八尺相减余六尺折半得三尺为勾首率二尺与末率八尺相加得十尺折半得五尺为也如图甲乙为首率二尺丙乙为中率四尺乙丁为末率八尺今以甲乙与乙丁相和共为甲丁十尺而以丙乙立于甲丁线相和之乙处乃以甲丁折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复以丙至甲至丁作丙甲丙丁二线遂成甲丙丁勾股形其丙角立于圜界之半必为直角【见几何原本四卷第十四节】而丙乙为垂线即将甲丙丁勾股形分为甲乙丙丙乙丁两勾股形而与原形为同式三勾股形矣【见几何原本九卷第一节】其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁之比为连比例三率故以中率丙乙为股而首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾又首率甲乙与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半径与丙戊等为也此法原为定勾股三者俱无零数之法所设之数必彼此可以度尽始可立为准则否则勾股三者必有一不尽之数矣
　　设如有四六可以度尽之两数欲定勾股无零数问各得几何
　　法以四尺为首率六尺为中率将中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺为末率乃以中率六尺为股首率四尺与末率九尺相减余五尺折半得二尺五寸为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线故以中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾而首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁与丙戊等为也
　　设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定勾无零数问各得几何
　　法以首率四尺与末率九尺相减余五尺为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰以甲乙首率与乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为股故以首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己与庚辛等为勾又首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛等为也葢前二法用中率为股故以首率末率相减折半为勾首率末率相加折半为此法则倍中率为股故以首率末率相减即为勾首率末率相加即为而皆不用折半也又图甲乙为首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首率与末率相加之十三尺丁丙为首率与末率相减所余之五尺如依甲丙线度作甲戊己丙正方形即为自乗之方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形即为勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形将两边线引长至甲戊己丙正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形仍余癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界则又成乙丑寅丁一长方形与前一长方形等仍余庚寅子辛一小长方形合前癸戊壬丑一小正方形则亦与前一长方形等是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方而与中率自乗之正方形相等矣【见算法原本二卷第三节】如以此四长方形共计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既为自乗之一正方而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方则两方相减所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积与股自乗之一正方等【见几何原本九卷第四节】甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之共积则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等首率末率相乗之四长方既与股自乗之一正方等则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方则其每边必比中率各大一倍【见几何原本七卷第五节】故倍中率而为股者必取首率末率之和而为首率末率之较而为勾葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方积也

　　勾股相求法【勾股求积附】
　　设如有股四尺勾三尺求几何
　　法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺开方得五尺即为也如图甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾所作乙己庚丙正方形积相并必与甲丙所作甲丙壬辛正方形积等试自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比为连比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比为连比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也一正方所分之二长方既与二正方之积相等则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣
　　设如有勾五尺十三尺求股几何
　　法以勾五尺自乗得二十五尺十三尺自乗得一百六十九尺相减余一百四十四尺开方得十二尺即为股也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形余甲癸子辛长方形即与丁戊乙甲正方形之积相等故开方而得甲乙为股也
　　设如有股二十一尺二十九尺求勾几何
　　法以股二十一尺自乗得四百四十一尺二十九尺自乗得八百四十一尺相减余四百尺开方得二十尺即为勾也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等故开方而得乙丙为勾也
　　设如有勾六尺股八尺求面积几何
　　法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股积也若有勾求面积则用勾求股之法得股与勾相乗折半得面积或有股求面积则用股求勾之法得勾与股相乗折半得面积也
　　又法将勾六尺折半得三尺与股八尺相乗亦得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与甲乙股相乗成甲乙丁戊长方形其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等如以甲戊己小勾股形移于己丁丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也
　　勾股形内求中垂线及容方圆等形
　　设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线问得几何
　　法以十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与甲丁勾之比而为相当比例四率也
　　设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线分为二问所分二大小各几何法以勾六尺自乗得三十六尺以十尺除之得三尺六寸为垂线所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以十尺除之得六尺四寸为垂线所分之大界也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙与乙丁勾之比为连比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙与甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与丙丁股之比亦为连比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又为今所分甲丁乙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率乙丁为甲丁垂线所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又为今所分甲丁丙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率丁丙为甲丁垂线所分之大界也
　　设如有勾五尺股十二尺问内容方边几何
　　法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也
　　设如有方城一座四正有门自南门直行八里有一塔自西门直行至二里切城角亦望见塔问城每面几何
　　法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里开方得四里倍之得八里即为城每一面之数也如图甲乙丙勾股形乙己为西门外二里甲丁为南门外八里戊己与戊丁皆为城之每边之一半而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比为相当比例四率且己戊与戊丁皆为一体故又为相连比例三率是以乙己首率与甲丁末率相乗开方而得戊丁或戊己皆为中率为城之每边之一半也
　　设如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊长方形但知丁戊寛为戊丙长四分之一从甲至戊为四尺从乙至己为九尺问长方及勾股各几何
　　法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺为内容长方之积用四归之得九尺开方得三尺为己丙即长方之阔以四因之得十二尺为戊丙即长方之长以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺为股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺为勾也葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形皆与甲乙丙勾股形为同式故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比而乙己首率与甲戊四率相乗之数必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也丁戊既为戊丙之四分之一则以四归之即成丁戊线所作之正方形积故开方得丁戊之阔又四因之而得戊丙之长也既得丁戊而丁戊与己丙等故己丙与乙己相加得乙丙之勾而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也
　　设如有勾八尺股十五尺十七尺问内容圆径几
　　何
　　法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺十七尺三数相加共四十尺除之得三尺为容圆半径倍之得六尺为容圆全径也如图甲乙丙勾股形内容丁圜形试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股三线皆为三角形之底边而丁戊半径皆为其垂线矣今勾股相乗所得之长方积原比甲乙丙勾股形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而阔则一故各以长除积而得阔者即如合勾股三边除勾股相乗之积而得半径也
　　又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺内减十七尺余六尺即为内容圆之全径也如图甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三线又作丁戊丁己丁庚三垂线则丙戊与丙己等甲戊与甲庚等乙己与乙庚原等甲乙股与乙丙勾相并比甲丙所多者惟乙己乙庚二今于甲乙股乙丙勾相并度内减去甲丙即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚乙丙勾内减去与丙戊等之丙己所余者止乙庚与乙己皆为圆之半径二半径相合非全径耶

　　勾股和较相求法【上】
　　勾股和较相求之法错综变换共有六十旧算书所有者八按旧法可以变通者三十有四旧法所无今创立者一十有八依题比类列目于前按法循序设问于后以备人之观览焉
　　有勾有股较求股【第一旧有】
　　有勾有股和求股【第二旧有】
　　有股有勾较求勾【第三旧有】
　　有股有勾和求勾【第四旧有】
　　有有勾股较求勾股【第五旧有】
　　有有勾股和求勾股【第六旧有】
　　有勾和有股和求勾股【第七旧有】
　　有勾股和有股和求勾股【第八新立】
　　有勾股和有勾和求勾股【第九新立】
　　有勾较有股较求勾股【第十旧有】
　　有勾股较有勾较求勾股【第十一按旧法变通】有勾股较有股较求勾股【第十二按旧法变通】有勾股和有勾较求勾股【第十四新立】
　　有勾股和有股较求勾股【第十五新立】
　　有勾和有股较求勾股【并见第十五新立】有勾和有勾股较求勾股【第十三按旧法变通】有股和有勾较求勾股【并见第十四新立】有股和有勾股较求勾股【并见第十三按旧法变通】有勾有勾股总和求股【第十八按旧法变通】
　　有勾有与勾股和之较求股【第十六按旧法变通】有勾有与勾股较之和求股【第十九按旧法变通】有勾有与勾股较之较求股【第十七按旧法变通】有股有勾股总和求勾【第二十二按旧法变通】有股有与勾股和之较求勾【第二十按旧法变通】有股有与勾股较之和求勾【第二十三按旧法变通】有股有与勾股较之较求勾【第二十一按旧法变通】有有勾股总和求勾股【第二十六按旧法变通】有有与勾股和之较求勾股【第二十四按旧法变通】有有与勾股较之和求勾股【第二十七按旧法变通】有有与勾股较之较求勾股【第二十五按旧法变通】有勾股和有勾股总和求勾股【并见第二十六按旧法变通】
　　有勾股和有与勾股和之较求勾股【并见第二十四按旧法变通】
　　有勾股和有与勾股较之和求勾股【第三十八新立】
　　有勾股和有与勾股较之较求勾股【第三十七新立】
　　有勾和有勾股总和求勾股【并见第二十二按旧法变通】
　　有勾和有与勾股和之较求勾股【第三十九新立】
　　有勾和有与勾股较之和求勾股【第十四新立】
　　有勾和有与勾股较之较求勾股【并见第二十一按旧法变通】
　　有股和有勾股总和求勾股【并见第十八按旧法变通】
　　有股和有与勾股和之较求勾股【第四十一新立】
　　有股和有与勾股较之和求勾股【并见第十九按旧法变通】
　　有股和有与勾股较之较求勾股【第四十二新立】
　　有勾股较有勾股总和求勾股【第三十四新立】有勾股较有与勾股和之较求勾股【第四十三新立】
　　有勾股较有与勾股较之和求勾股【并见第二十七按旧法变通】
　　有勾股较有与勾股较之较求勾股【并见第二十五按旧法变通】
　　有勾较有勾股总和求勾股【第三十五新立】有勾较有与勾股和之较求勾股【并见第二十按旧法变通】
　　有勾较有与勾股较之和求勾股【并见第二十三按旧法变通】
　　有勾较有与勾股较之较求勾股【第四十四新立】
　　有股较有勾股总和求勾股【第三十六新立】有股较有与勾股和之较求勾股【并见第十六按旧法变通】
　　有股较有与勾股较之和求勾股【第四十五新立】
　　有股较有与勾股较之较求勾股【并见第十七按旧法变通】
　　有勾股总和有与勾股和之较求勾股【第三十三按旧法变通】
　　有勾股总和有与勾股较之和求勾股【第三十按旧法变通】
　　有勾股总和有与勾股较之较求勾股【第三十一按旧法变通】
　　有与勾股和之较有与勾股较之和求勾股【第二十九按旧法变通】
　　有与勾股和之较有与勾股较之较求勾股【第二十八按旧法变通】
　　有与勾股较之和有与勾股较之较求勾股【第三十二按旧法变通】
　　设如有勾十五尺股较五尺求股各几何【第一】法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股较五尺除之得四十五尺为股和与股较五尺相加得五十尺折半得二十五尺为于二十五尺内减股较五尺余二十尺为股也如图甲乙为勾十五尺丁乙为股较五尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股较除之得末率乙丙为股和也乙丙与丁乙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于丁戊半径内减丁乙股较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股和其庚乙阔即股较故将勾自乗之数以股较除之而得股和也
　　又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股较五尺自乗得二十五尺相减余二百尺折半得一百尺以股较五尺除之得二十尺为股加股较五尺得二十五尺为也如图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等而已壬丙辛即股较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛股较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即股其己辛阔即股较故以股较除折半之积而得股也
　　设如有勾二十八尺股和九十八尺求股各几何【第二】
　　法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股和九十八尺除之得八尺为股较与股和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺为于股和九十八尺内减五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙为勾二十八尺乙丙为股和九十八尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股和除之得末率丁乙为股较也丁乙与乙丙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于乙丙股和内减戊丙半径或于丁戊半径内减丁乙股较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股和其庚乙阔即股较故勾自乗之数以股和除之而得股较也
　　又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股和九十八尺自乗得九千六百零四尺两数相加得一万零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股和九十八尺除之得五十三尺为于股和九十八尺内减五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙丙丁为股和自乗之正方积内戊己丙庚为自乗之正方积甲辛戊壬为股自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为股相乗之二长方积勾自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一方之积相等今以勾自乗之磬折形之积加于股和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即其长即股和故以股和除折半之积而得也
　　设如有股三十二尺勾较十六尺求勾各几何【第三】
　　法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾较十六尺除之得六十四尺为勾和与勾较十六尺相加得八十尺折半得四十尺为于四十尺内减勾较十六尺余二十四尺为勾也如图甲乙为股三十二尺丁乙为勾较十六尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾较除之得末率乙丙为勾和也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于丁戊半径内减丁乙勾较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾和其庚乙阔即勾较故将股自乗之数以勾较除之而得勾和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾较十六尺自乗得二百五十六尺相减余七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾较十六尺除之得二十四尺为勾加勾较十六尺得四十尺为也如图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等而以壬丙辛即勾较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛勾较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即勾其己辛阔即勾较故以勾较除折半之积而得勾也
　　设如有股八尺勾和十六尺求勾各几何【第四】法以股八尺自乗得六十四尺以勾和十六尺除之得四尺为勾较与勾和十六尺相加得二十尺折半得十尺为于勾和十六尺内减十尺余六尺为勾也如图甲乙为股八尺乙丙为勾和十六尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故将中率甲乙股自乗以首率乙丙勾和除之得末率丁乙为勾较也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于乙丙勾和内减戊丙半径或丁戊半径内减丁乙勾较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾和其庚乙阔即勾较故股自乗之数以勾和除之而得勾较也
　　又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾和十六尺除之得十尺为于勾和十六尺内减十尺余六尺为勾也如图甲乙丙丁为勾和自乗之正方积内戊己丙庚为自乗之正方积甲辛戊壬为勾自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为勾相乗之二长方积股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一方之积相等今以股自乗之磬折形之积加于勾和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即其长即勾和故以勾和除折半之积而得也
　　设如有三十四尺勾股较十四尺求勾股各几何【第五】
　　法以三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股较自乗得一百九十六尺相减余九百六十尺折半得四百八十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股较十四尺为长阔较用带纵较数开方法算之得阔十六尺为勾得长三十尺为股也如图甲乙丙丁为自乗之正方积戊己庚辛为勾股较自乗之正方积相减余甲戊乙类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔较即勾股较故以带纵较数开方法算之而得阔为勾得长为股也
　　又法以三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股较十四尺自乗得一百九十六尺相减余二千一百一十六尺开方得四十六尺为勾股和于勾股和四十六尺内减勾股较十四尺余三十二尺折半得十六尺为勾于勾十六尺加勾股较十四尺得三十尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方内容甲戊己类八勾股积与壬癸子丑一勾股较积戊己庚辛为自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形今减所余壬癸子丑一小正方形【即一勾股较积】仍余八勾股积一勾股较积为甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故开方而得勾股和也
　　设如有三十九尺勾股和五十一尺求勾股各几何【第六】
　　法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以三十九尺自乗得一千五百二十一尺相减余一千零八十尺折半得五百四十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股和五十一尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十五尺为勾得长三十六尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方积戊己庚辛为自乗之正方积相减余甲戊己类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔和即勾股和故以带纵和数开方法算之而得阔为勾得长为股也又法以三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相减余四百四十一尺开方得二十一尺为勾股较于勾股和五十一尺内减勾股较二十一尺余三十尺折半得十五尺为勾于勾十五尺加勾股较二十一尺得三十六尺为股也如图戊己庚辛为自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁为勾股和自乘之正方内容甲戊巳类八勾股积壬癸子丑一勾股较积今以所倍之一大正方形又余一小正方形内减甲乙丙丁正方形即余壬癸子丑一小正方形为勾股较积故开方而得勾股较也
　　设如有勾和二十四尺股和二十七尺求勾股各几何【第七】
　　法以勾和二十四尺与股和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股总和于总和三十六尺内减勾和二十四尺余十二尺为股于总和三十六尺内减股和二十七尺余九尺为勾于股和二十七尺内减股十二尺或勾和二十四尺内减勾九尺余十五尺为也如图甲乙线为勾和甲丁线为股和相乗得甲乙丙丁长方形内戊己庚丁为自乗之正方辛乙壬己为勾股相乗之长方甲辛巳戊为股相乘之长方己壬丙庚为勾相乗之长方倍之即为癸子丑寅一大正方其每一边即勾股之总和其卯辰己寅为自乗之正方即如前图之戊己庚丁然其午未申辰为股自乘之正方其酉子戌未为勾自乗之正方两方相合又与前图戊己庚丁自乗之正方相等其艮酉未午与未戌干申为勾股相乗之二长方每一形即如前图之辛乙壬己然其亥午辰卯与辰申坎巳为股相乗之二长方每一形即如前图之甲辛己戊然其癸艮午亥与申干丑坎为勾相乗之二长方每一形即如前图之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁长方每一形俱多一倍故甲乙勾和甲丁股和相乗所成之甲乙丙丁长方倍之而与癸子丑寅正方等开方得癸子类之每一边皆为勾股之总和也
　　设如有勾股和二十一尺股和二十七尺求勾股各几何【第八】
　　法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股和二十七尺自乗得七百二十九尺两数相减余二百八十八尺乃以勾股和二十一尺与勾和二十七尺相减余六尺为勾较【葢股与勾和股与和皆为一股所和故相减即勾较也】自乗得三十六尺与两和自乗相减之余二百八十八尺相加得三百二十四尺开方得十八尺为股与勾较之和内减勾较六尺余十二尺为股于勾股和二十一尺内减股十二尺余九尺为勾加勾较六尺得十五尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为股自乘之一正方辛己壬丁为勾自乘之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为股和自乗之一大正方内卯子巳辰为股自乗之一正方午辰未寅为自乗之一正方癸卯辰午与辰巳丑未为股相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅股和自乗之方相减则于癸子丑寅股和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌干勾自乗之一正方又去申卯辰酉与辰巳亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为勾较与股相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为自乗之一正方内减勾自乗之一正方所余之股自乗之一正方如以此磬折形积作一股自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之勾较与股相乗之二长方则惟缺午艮未震为勾较自乗之一小正方今以勾较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为股与勾较相和之数也
　　设如有勾股和二十一尺勾和二十四尺求勾股各几何【第九】
　　法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余一百三十五尺乃以勾股和二十一尺与勾和二十四尺相减余三尺为股较【葢勾与股和勾与和皆为一勾所和故相减即股较也】自乗得九尺与两和自乗相减之余一百三十五尺相加得一百四十四尺开方得十二尺为勾与股较之和内减股较三尺余九尺为勾于勾股和二十一尺内减勾九尺余十二尺为股加股较三尺得十五尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为勾自乗之一正方辛已壬丁为股自乗之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乘之二长方又癸子丑寅为勾和自乗之一大正方内卯子巳辰为勾自乗之一正方午辰未寅为自乗之一正方癸卯辰午与辰己丑未为勾相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅勾和自乗之方相减则于癸子丑寅勾和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌干股自乘之一正方又去申卯辰酉与辰己亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为股较与勾相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为自乗之一正方内减股自乗之一正方所余之勾自乗之一正方如以此磬折形积作一勾自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之股较与勾相乗之二长方则惟缺午艮未震为股较自乗之一小正方今以股较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为勾与股较相和之数也
　　设如有勾较九尺股较二尺求勾股各几何【第十】
　　法以勾较九尺与股较二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺开方得六尺为比勾股和相差之较加股较二尺得八尺为勾加勾较九尺得十五尺为股于勾数加勾较九尺得十七尺为或于股数加股较二尺亦得十七尺为也如图甲乙丙丁为自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方二方相减所余甲乙己戊庚丁磬折形即与勾自乗之一正方等而乙己与庚丁皆为股较试作甲壬癸辛一正方为勾自乗之方则壬乙与辛丁皆为股较其壬丑与乙己等辛子与丁庚等亦皆为股较以壬乙之勾较与壬丑之股较相乗则成壬乙己丑之一长方形以辛丁之勾较与辛子之股较相乗则成辛子庚丁之一长方形此两长方形必与戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁与勾自乗之一正方相等之磬折形内减甲壬丑戊子辛一小磬折形则余壬乙己丑与辛子庚丁二长方形若于甲壬癸辛勾自乗之一正方内减甲壬丑戊子辛磬折形则余戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既与甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同减去甲壬丑戊子辛磬折形则彼所余之二长方必与此所余之一正方相等可知矣故勾较与股较相乗倍之开方而得比勾股和相差之较加股较得勾加勾较而得股也【葢图以乙丙为己丙为股故乙己为股较若以壬癸勾与己丙股相和则壬癸勾之壬丑一即为股较而勾股和比所多者惟丑癸一故丑癸为比勾股和相差之较也】
　　设如有勾股较三十四尺勾较三十六尺求勾股各几何【第十一】
　　法以勾股较三十四尺与勾较三十六尺相减余二尺为股较即如前法以股较二尺与勾较三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺开方得十二尺为比勾股和相差之较加股较二尺得十四尺为勾加勾较三十六尺得四十八尺为股于勾数加勾较三十六尺得五十尺为或于股数加股较二尺亦得五十尺为也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为乙丙为勾股较乙丁为勾较而丙丁为股较今以乙丁勾较减乙丙勾股较所余丙丁即为股较既得股较则如勾较股较求勾股之法算之即得各数矣
　　设如有勾股较十四尺股较二尺求勾股各几何【第二十】
　　法以勾股较十四尺与股较二尺相加得十六尺为勾较即如前法以勾较十六尺与股较二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺开方得八尺为比勾股和相差之较加股较二尺得十尺为勾加勾较十六尺得二十四尺为股于勾数加勾较十六尺得二十六尺为或于股数加股较二尺亦得二十六尺为也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为乙丙为勾股较丙丁为股较而乙丁为勾较今以乙丙勾股较与丙丁股较相加则得乙丁之勾较既得勾较则如勾较股较求勾股之法算之即得各数矣
　　设如有勾和二十四尺勾股较三尺求勾股各几何【第十三】
　　法以勾和二十四尺加勾股较三尺得二十七尺为股和用勾和股和求勾股之法算之以勾和二十四尺与股和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股总和内减勾和二十四尺余十二尺为股减勾股较三尺余九尺为勾于勾和二十四尺内减勾九尺余十五尺为也如图甲丙为股乙丙为勾丙丁为乙丁为勾和甲乙为勾股较而甲丁为股和故甲乙勾股较与乙丁勾和相加得甲丁为股和也若夫股和勾股较求勾股者则于股和内减勾股较即勾和亦用勾和股和求勾股之法算之如甲丙为股乙丙为勾丙丁为则甲丁为股和甲乙为勾股较而乙丁为勾和故于甲丁股和内减甲乙勾股较余乙丁为勾和也
　　设如有勾股和二十三尺勾较九尺求勾股各几何【第十四】
　　法以勾股和二十三尺加勾较九尺得三十二尺为股和用勾股和股和求勾股之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺两数相减余四百五十九尺乃以勾较九尺自乗得八十一尺与两和自乗相减之余四百九十五尺相加得五百七十六尺开方得二十四尺为股与勾较之和内减勾较九尺余十五尺为股于勾股和二十三尺内减股十五尺余八尺为勾加勾较九尺得十七尺为也如图甲丙为乙丙为勾丙丁为股乙丁为勾股和甲乙为勾较而甲丁为股和故甲乙勾较与乙丁勾股和相加得甲丁为股和也若夫股和勾较求勾股者则于股和内减勾较即勾股和亦用勾股和股和求勾股之法算之如甲丙为乙丙为勾丙丁为股则甲丁为股和甲乙为勾较而乙丁为勾股和故于甲丁股和内减甲乙勾较余乙丁为勾股和也
　　设如有勾股和十七尺股较一尺求勾股各几何【第十五】
　　法以勾股和十七尺加股较一尺得十八尺为勾和用勾股和勾和求勾股之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾和十八尺自乗得三百二十四尺两数相减余三十五尺乃以股较一尺自乗仍得一尺与两和自乗相减之余三十五尺相加得三十六尺开方得六尺为勾与股较之和内减股较一尺余五尺为勾于勾股和十七尺内减勾五尺余十二尺为股加股较一尺得十三尺为也如图甲乙为勾乙丙为股乙丁为甲丙为勾股和丙丁为股较而甲丁为勾和故甲丙勾股和与丙丁股较相加得甲丁为勾和也若夫勾和股较求勾股者则于勾和内减股较即勾股和亦用勾股和勾和求勾股之法算之如甲乙为勾乙丙为股乙丁为则甲丁为勾和丙丁为股较而甲丙为勾股和故于甲丁勾和内减丙丁股较余甲丙为勾股和也
　　设如有勾八尺与勾股和之较六尺求股各几何【第十六】
　　法以勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为勾乙丙为股甲丙为勾股和丁丙为甲丁为与勾股和之较丁乙为股较故甲乙勾内减甲丁与勾股和之较余丁乙为股较也若有股较与与勾股和之较求勾股者则以股较与与勾股和之较相加即勾亦用有勾有股较求股法算之
　　设如有勾八尺与勾股较之较十尺求股各几何【第十七】
　　法以勾八尺与与勾股较之较十尺相减余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为股丙乙为勾甲丁为甲丙为勾股较乙丁为股较丙丁为与勾股较之较故丙丁与勾股较之较内减丙丁勾余乙丁为股较也若有股较与与勾股较之较求勾股者则以股较与与勾股较之较相减余即勾亦用有勾有股较求股法算之
　　设如有勾八尺勾股总和四十尺求股各几何【第十八】
　　法以勾八尺与勾股总和四十尺相减余三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为勾乙丙为股丙丁为甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙勾余乙丁为股和也若有股和与勾股总和求勾股者则以股和与勾股总和相减余即勾亦用有勾有股和求股法算之
　　设如有勾八尺与勾股较之和二十四尺求股各几何【第十九】
　　法以勾八尺与与勾股较之和二十四尺相加得三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为勾甲丙为股乙丙为勾股较丙丁为甲丁为股和乙丁为与勾股较之和故以甲乙勾与乙丁与勾股较之和相加得甲丁为股和也若有股和与与勾股较之和求勾股者则于股和内减与勾股较之和余即勾亦用有勾有股和求股法算之
　　设如有股十五尺与勾股和之较六尺求勾各几何【第二十】
　　法以股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙为股乙丙为勾甲丙为勾股和丁丙为甲丁为与勾股和之较丁乙为勾较故甲乙股内减甲丁与勾股和之较余丁乙即勾较也若有勾较与与勾股和之较求勾股者则以勾较与与勾股和之较相加即股亦用有股有勾较求勾法算之
　　设如有股十五尺与勾股较之较十尺求勾各几何【第二十一】
　　法以股十五尺与与勾股较之较十尺相加得二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为股甲丙为勾丙丁为甲丁为勾和丙乙为勾股较乙丁为与勾股较之较故以甲乙股与乙丁与勾股较之较相加得甲丁为勾和也若有勾和与与勾股较之较求勾股者则于勾和内减与勾股较之较余即股亦用有股有勾和求勾法算之
　　设如有股十五尺勾股总和四十尺求勾各几何【第二十二】
　　法以股十五尺与勾股总和四十尺相减余二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为股乙丙为勾丙丁为甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙股余乙丁为勾和也若有勾和与勾股总和求勾股者则以勾股和与勾股总和相减余即股亦用有股有勾和求勾法算之
　　设如有股十五尺与勾股较之和二十四尺求勾各几何【第二十三】
　　法以股十五尺与与勾股较之和二十四尺相减余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙为股丙乙为勾丙丁为甲丙为勾股较乙丁为勾较甲丁为与勾股较之和故甲丁与勾股较之和内减甲乙股余乙丁为勾较也若有勾较与与勾股较之和求勾股者则以勾较与与勾股较之和相减余即股亦用有股有勾较求勾法算之
　　设如有十七尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第二十四】
　　法以十七尺与与勾股和之较六尺相加得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之如甲乙为甲丙为勾丙丁为股甲丁为勾股和乙丁为与勾股和之较故甲乙与乙丁与勾股和之较相加得甲丁为勾股和也若有勾股和与与勾股和之较求勾股者则于勾股和内减与勾股和之较余即亦用有有勾股和求勾股法算之
　　设如有十七尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第二十五】
　　法以十七尺内减与勾股较之较十尺余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙为丙丁为股乙丁为勾丙乙为勾股较甲丙为与勾股较之较故甲乙内减甲丙与勾股较之较余丙乙为勾股较也若有勾股较与与勾股较之较求勾股者则以勾股较与与勾股较之较相加即亦用有有勾股较求勾股法算之
　　设如有十七尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第二十六】
　　法以十七尺与勾股总和四十尺相减余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之如甲乙为乙丙为勾丙丁为股甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙余乙丁为勾股和也若有勾股和与勾股总和求勾股者则以勾股和与勾股总和相减余即亦用有有勾股和求勾股法算之
　　设如有十七尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第二十七】
　　法以十七尺与与勾股较之和二十四尺相减余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙为乙丙为股丁丙为勾乙丁为勾股较甲丁为与勾股较之和故甲丁与勾股较之和内减甲乙余乙丁为勾股较也若有勾股较与与勾股较之和求勾股者则于与勾股较之和内减勾股较余即亦用有有勾股较求勾股法算之
　　设如有与勾股和之较六尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第二十八】
　　法以与勾股和之较六尺与与勾股较之较十尺相加得十六尺折半得八尺为勾于勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为股戊乙乙丙皆为勾甲丙为勾股和甲戊为勾股较甲丁为丁丙即与勾股和之较戊丁即与勾股较之较故丁丙与勾股和之较与戊丁与勾股较之较相加得戊丙为二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾内减与勾股和之较即股较矣
　　设如有与勾股和之较六尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第二十九】
　　法以与勾股和之较六尺与与勾股较之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺为股于股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙乙丙皆为股丁乙为勾丁丙为勾股和甲丁为勾股较丁戊为戊丙即与勾股和之较甲戊即与勾股较之和故戊丙与勾股和之较与甲戊与勾股较之和相加得甲丙为二股之共数是以折半得股也既得股则于股内减与勾股和之较即勾较矣
　　设如有勾股总和四十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第三十】
　　法以勾股总和四十尺内减与勾股较之和二十四尺余十六尺折半得八尺为勾于勾股总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为乙丙为股丙丁为勾乙戊为勾股较甲丁为勾股总和甲戊为与勾股较之和故甲丁勾股总和内减甲戊与勾股较之和余戊丁即二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾股总和内减勾即股和矣
　　设如有勾股总和四十尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十一】
　　法以勾股总和四十尺内减与勾股较之较十尺余三十尺折半得十五尺为股于勾股总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为乙丙为勾丙丁为股戊乙为勾股较甲丁为勾股总和甲戊为与勾股较之较故甲丁勾股总和内减甲戊与勾股较之较余戊丁即二股之共数是以折半得股也既得股则于勾股总和内减股即勾和矣
　　设如有与勾股较之和二十四尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十二】
　　法以与勾股较之和二十四尺与与勾股较之较十尺相加得三十四尺折半得十七尺为于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙乙丙皆为乙丁为勾股较甲丁为与勾股较之和丁丙为与勾股较之较故甲丁与勾股较之和与丁丙与勾股较之较相加得甲丙为二之共数是以折半得也既得则于与勾股较之和内减即勾股较矣
　　设如有勾股总和四十尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第三十三】
　　法以勾股总和四十尺内减与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为于勾股总和四十尺内减十七尺余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之如甲乙为勾股和乙丙为甲丙为勾股总和甲丁为与勾股和之较故甲丙勾股总和内减甲丁与勾股和之较余丁丙即二之共数是以折半得也既得则于勾股总和内减即勾股和矣

　　御制数理精蕴下编卷十二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十三
　　面部三
　　勾股【勾股和较相求法下　勾股积与和较相求　正勾股比例】

　　勾股和较相求法【下】
　　设如有勾股较七尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十四】
　　法以勾股总和四十尺内减勾股较七尺余三十三尺为两勾一之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数内减勾股较是于股内减勾股较即又得一勾矣故为两勾一也】自乗得一千零八十九尺又以勾股较七尺自乗得四十九尺两自乗数相减余一千零四十尺折半得五百二十尺为长方积乃以勾股总和四十尺与两勾一之共数三十三尺相加得七十三尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股于勾股总和四十尺内减勾八尺又减股十五尺余十七尺为也如图甲乙丙丁为两勾一自乗之一大正方内戊己庚辛为自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己为勾相乗之四长方自乗之一正方内容四勾股积为勾股相乗之二长方又勾股较自乗之一小正方今于甲乙丙丁两勾一自乗之一大正方内减去午未申酉勾股较自乗之一小正方尚余勾股相乗之二长方勾相乗之四长方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一长方勾相乗之二长方勾自乗之二正方与戌亥干坎长方形等其濶即勾其长为两勾两一股其长濶和为三勾两一股故以勾股总和与两勾一之共数相并为长阔和用纵和数开方法算之得阔为勾也
　　又法以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺为长方积乃以勾股较七尺为长阔较用纵较数开方法筭之得阔二十五尺为勾和得长三十二尺为股和于勾股总和四十尺内减勾和二十五尺余十五尺为股减勾股较七尺余八尺为勾又于勾和二十五尺内减勾八尺余十七尺为也如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为勾自乗之一正方甲辰辛寅与癸己卯丙为勾相乗之二长方寅辛己戊与己癸卯庚为股相乗之二长方辰子壬辛与壬丑己癸为勾股相乗之二长方如以勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并则又与自乗之一正方相等是为自乗之正方二股相乗之长方二勾相乗之长方二勾股相乗之长方二折半即得自乗之正方一股相乗之长方一勾相乗之长方一勾股相乗之长方一而与午未申酉勾和与股和相乗之长方等葢午未申酉之长方内戌亥干酉为自乗之一正方午坎亥戌为股相乗之一长方亥艮申干为勾相乗之一长方坎未艮亥为勾股相乗之一长方其濶即勾和其长即股和其长濶较即勾股较故以勾股较为长阔较用纵较数开方法算之得濶为勾和也
　　设如有勾较九尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十五】
　　法以勾股总和四十尺内减勾较九尺余三十一尺为两勾一股之共数【盖勾股总和为一勾一股一之共数内减勾较是于内减勾较即又得一勾矣故为两勾一股也】自乗得九百六十一尺又以勾股总和四十尺与勾较九尺相加得四十九尺爲两一股之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数今加勾较是于勾数加勾较即又得一矣故为两一股也】自乗得二千四百零一尺两数相减余一千四百四十尺四归之得三百六十尺为长方积乃以勾较九尺为长阔较用纵较数开方法算之得濶十五尺为股于勾股总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾和减勾较九尺余十六尺折半得八尺为勾加勾较九尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为两勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为股相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为自乗之方内减去勾自乗之方与股自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃勾较与股相乗之四长方【戌戊为壬戊为勾故戌壬为勾较】以四归之则余股自乗之一正方勾较与股相乗之一长方共为戌坤兑亥一长方其阔即股其长即股与勾较之和故以勾较为长阔较用纵较数开方法算之得濶为股也
　　设如有股较二尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第三十六】
　　法以勾股总和四十尺内减股较二尺余三十八尺为两股一勾之共数【盖勾股总和为一勾一股一之共数内减股较是于内减股较即又得一股矣故为两股一勾也】自乗得一千四百四十四尺又以勾股总和四十尺与股较二尺相加得四十二尺为两一勾之共数【葢勾股总和为一勾一股一之共数今加股较是于股数加股较即又得一矣故为两一勾也】自乗得一千七百六十四尺两数相减余三百二十尺四归之得八十尺为长方积乃以股较二尺为长阔较用纵较数开方法算之得阔八尺为勾于勾股总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股和减股较二尺余三十尺折半得十五尺为股加股较二尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为两股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为勾相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为自乗之方内减去股自乗之方与勾自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃股较与勾相乗之四长方【戌戊为壬戊为股故戌壬为股较】以四归之则余勾自乗之一正方股较与勾相乗之一长方共为戌坤兊亥一长方其阔即勾其长即勾与股较之和故以股较为长阔较用纵较数开方法算之得阔为勾也
　　设如有勾股和二十三尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十七】
　　法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺与与勾股较之较十尺相加得三十三尺为两勾一之共数【葢与勾股较之较为一勾一股较之共数与勾股和相加则得两勾一股一股较而股加股较即故为两勾一之共数也】自乗得一千零八十九尺两自乗数相减余五百六十尺折半得二百八十尺为长方积乃以与勾股较之较十尺与两勾一之共数三十三尺相加得四十三尺为长濶和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾股和二十三尺内减勾八尺余十五尺为股又于股十五尺内减勾八尺余七尺为勾股较与与勾股较之较十尺相加得十七尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方未申酉辰亥干申未干子坎申申坎艮酉为勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌为勾相乗之四长方今以两正方相减则是癸子丑寅方内减去离辰坤震股自乗之一正方即如前图之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然又巽未辰离辰酉兑坤勾股相乗之二长方即如前图之甲辛己戊己壬丙庚然所余之卯离震坤己寅一磬折形与勾自乗之一正方等【自乗之正方内减股自乗之方则与勾自乗之方等】再午巽离卯与坤兑戌己二小长方为股较与勾相乗之二长方若各补于勾自乗之二正方内即成勾与与勾股较之较相乗二长方【葢与勾股较之较乃内减去勾股较之余然内有一勾一勾股较一股较若减去勾股较则所余为一勾一股较矣今以股较与勾相乗之长方补于勾自乗之正方内则其长为一勾一股较即与勾股较之较其濶即勾故为勾与与勾股较之较相乗之长方也】合计之则为勾自乗二正方勾相乗二长方勾与与勾股较之较相乗二长方折半则余勾自乗一正方勾相乗一长方勾与与勾股较之较相乗一长方之共积与金木水火长方形等其阔即勾其长为一勾一一与勾股较之较其长阔和为两勾一一与勾股较之较故以与勾股较之较与两勾一之共数相加用帯纵和数开方法算之得阔为勾也
　　设如有勾股和二十三尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第三十八】
　　法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相加得一千一百零五尺为长方积乃以与勾股较之和二十四尺倍之得四十八尺为长阔较用纵较数开方法算之得十七尺为于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为与勾股较之和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方癸午辰卯与辰未丑巳为勾股较与相乗之二长方两大正方相并则得自乗三正方勾股较与相乗二长方共为申酉戌亥一长方形何也卯辰巳寅为一方戊己庚丁一股方与辛乙壬己一勾方相并为一方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二长方即四勾股积与午子未辰勾股较自乗之一正方相并又为一方癸午辰卯辰未丑巳即勾股较与相乗之二长方今二自乗方相加则成申酉戌亥之一大长方其阔即其长为三二勾股较其长濶较为二二勾股较故将与勾股较之和倍之为二二勾股较之共数用纵较数开方法算之得阔为也
　　设如有勾和二十五尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第三十九】
　　法以勾和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾和二十五尺与与勾股和之较六尺相加得三十一尺为两勾一股之共数【葢勾和为一勾一之共数今于数内加与勾股和之较即为勾股和是为两勾一股之共数矣】与勾和二十五尺相乗得七百七十五尺两数相减余一百五十尺为长方积乃以勾和二十五尺为长濶和用纵和数开方法算之得长十五尺为股于股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较与勾和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾和自乗之一大正方内戊巳庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一股与勾和相乗之一大长方内卯辰己寅为股自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为勾与相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为勾自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为勾自乗之一正方与卯辰巳寅股自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑巳一长方其辰巳长即股其辰巳巳丑长阔和即勾和故以纵和数开方法算之得长为股也
　　设如有勾和二十五尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第四十】
　　法以勾和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾和二十五尺与与勾股较之和二十四尺相加得四十九尺为两一股之共数【葢勾和加与勾股较之和则得两一勾一勾股较而勾加勾股较即股故为两一股也】自乗得二千四百零一尺两自乗数相加得三千零二十六尺为长方积乃以两一股之共数倍之得九十八尺为四二股之共数与勾和相加得一百二十三尺为长濶和用纵和数开方法算之得濶三十四尺折半得十七尺为于勾和二十五尺内减十七尺余八尺为勾又于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较与勾八尺相加得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为勾相乗之二长方又癸子丑寅为两一股自乗之一大正方内卯辰己寅为自乗之四正方午未子辰为股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己为股相乗之四长方今以两自乗之方相并则得自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为自乗之一正方共为自乗六正方勾相乗二长方股相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其濶即二数其长为三一勾二股数其长濶和为五一勾二股数故将两一股之共数倍之与勾和相加为长阔和用纵和数开方法算之得濶为二而折半为也
　　设如有股和三十二尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第四十一】
　　法以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股和三十二尺与与勾股和之较六尺相加得三十八尺为两股一勾之共数【葢股和为一股一之共数今于数内加与勾股和之较即为勾股和是为两股一勾之共数矣】与股和三十二尺相乗得一千二百一十六尺两数相减余一百九十二尺为长方积乃以股和三十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较与股和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减股较二尺余十五尺为股也如图甲乙丙丁为股和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬己为股自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股相乗之二长方又癸子丑寅为两股一勾与股和相乗之一大长方内卯辰巳寅为勾自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为股相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为股自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为股自乗之一正方与卯辰己寅勾自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑己一长方其辰己濶即勾其辰己巳丑长濶和即股和故以纵和数开方法算之得阔为勾也
　　设如有股和三十二尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第四十二】
　　法以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股和三十二尺与与勾股较之较十尺相加得四十二尺为两一勾之共数【葢与勾股较之较为一勾一股较之共数与股和相加则得一勾一股一一股较而股加股较即又得一故为两一勾也】自乗得一千七百六十四尺两自乗数相加得二千七百八十八尺为长方积乃以两一勾之共数倍之得八十四尺为四二勾之共数与股和三十二尺相加得一百一十六尺为长濶和用纵和数开方法算之得阔三十四尺折半得十七尺为于股和三十二尺内减十七尺余十五尺为股又于十七尺内减与勾股较之较十尺余七尺为勾股较于股十五尺内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股和自乗之一大正方内戊己庚丁为自乗之一正方辛乙壬巳为股自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为股相乗之二长方又癸子丑寅为两一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之四正方午子未辰为勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳为勾相乗之四长方今以两自乗之方相并则得自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为自乗之一正方共为自乗六正方股相乗二长方勾相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其阔即二数其长为三一股二勾数其长濶和为五一股二勾数故将两一勾之共数倍之与股和相加为长阔和用纵和数开方法算之得濶为二而折半为也
　　设如有勾股较七尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第四十三】
　　法以与勾股和之较六尺自乗得三十六尺折半得十八尺为长方积以勾股较七尺为长阔较用纵较数开方法算之得二尺为股较与与勾股和之较六尺相加得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股再加股较二尺得十七尺为也如图甲乙丙丁为自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方甲壬癸辛为勾自乗之一正方戊丑癸子为与勾股和之较自乗之一正方其积与壬乙己丑辛子庚丁之勾较与股较相乗之二长方等【与股较之共数见前有勾较股】今以与勾股和之较自乗折半必与壬乙己丑一长方积相等其乙己阔即股较其壬乙长即勾较而勾较之中有一股较一勾股较故以勾股较为长阔较用帯纵较数开方法算之得濶为股较也
　　设如有勾较九尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【较求勾】
　　法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数【股法第四十四葢与勾股较之较乃内减去勾股较之余然内有一勾一勾股较一股较今减去勾股较故余为勾与】自乗得一百尺又以勾较九尺与与勾股较之较十尺【股较之共数也】相加得十九尺为【葢勾加勾较即今与勾股较之较既为勾与股较之共数若加勾较则为与股较之共数矣】自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾较九尺为长濶较用纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾与股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为与股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午未子辰为股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾较与股较相乗之二长方共积与与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为与勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形则此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾较自乗之正方则余坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合共为坎水离巽类之二长方矣折半则为一长方其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长濶较用纵较数开方法算之得长为股也又法以与勾股较之较十尺为勾与股较之共数与勾较九尺相加得十九尺为与股较之共数两数相并得二十九尺为一勾一二股较之共数与勾较九尺相乗得二百六十一尺又以勾较九尺自乗得八十一尺两积相减余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾较九尺为长阔较用帯纵较数开方法算之得长十五尺为股与与股较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为内减勾较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾较与一勾一二股较相乗之长方内甲乙己戊为勾较与勾和相乗之一长方与庚辛壬癸股自乗之一正方积等【见股与勾较求勾法中】戊己丙丁为勾较与股较相乗之二长方与癸子丑寅与勾股和之较自乗之一正方积等此二正方邉之较即勾较【并见勾较股较求勾股法中】是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾较自乗之正方则余庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等折半即余庚卯子癸一长方形其阔即与勾股和之较其长即股其长阔较即勾较故以勾较为长阔较用纵较数开方法算之得长为股也
　　设如有股较二尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第四十五】
　　法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数【葢内减股较余即股故于与勾股较之和内减股较余即为股与勾股较之共数也】自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两自乗数相减余九十二尺又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得濶十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方又癸子丑寅为与勾股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形所余卯酉戌亥巳寅磬折形为自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股较相乗之二长方今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之则减去坎艮震丁勾自乗之一正方其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽离戊与戊离坤坎二长方即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方巽火兑离与离兑艮坤为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将巽火兑离离兑艮坤二长方移为水木辛火木金乙辛则成水金丙震一大长方形其阔即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长濶和用帯纵和数开方法算之得濶为二勾股较折半得勾股较也
　　又法以与勾股较之和二十四尺减股较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数自乗得四百八十四尺又以与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺为一股一二勾股较之共数以股较二尺乗之得九十二尺两数相减余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股较二尺余四十二尺为长阔和用纵和数开方法算之得阔十四尺折半得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为于内减股较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也【盖图以甲辛为股辛乙为勾股较若以甲申为勾则申辛亦勾股较故为一勾两勾股较也】内巳午未丁为勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方又癸子丑寅为股较与一股一二勾股较相乗之一长方内癸子辰夘为股较与股和相乗之一长方与勾自乗之一正方等【见勾与股较求股法中】卯辰丑寅为股较与二勾股较相乗之二长方今以两积相减则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊戊坎艮巳之股较与二勾股较相乗之二长方所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方干申酉坎坎酉午艮为勾与股较之较与勾股较相乗之二长方试将干申酉坎坎酉午艮二长方移为震巽辛申巽离乙辛则成震离丙未一大长方形其濶即二勾股较其长即二股内少一股较其长濶和为二勾股较二股内少一股较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股较为长阔和用纵和数开方法算之得阔为二勾股较折半得勾股较也

　　勾股积与勾股和较相求法
　　设如有勾股积一百二十尺勾十尺求股各几何法以勾股积一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺为股勾股求得二十六尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其阔即勾其长即股故以勾除倍积而得股也
　　设如有勾股积六十尺股十五尺求勾各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺为勾勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其长即股其濶即勾故以股除倍积而得勾也
　　设如有勾股积三十尺十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也
　　设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾较或股较求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后
　　设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求得十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾和或股和求勾股法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在纵立方之后
　　设如有勾股积六十尺勾股总和四十尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股总和四十尺除之得十七尺为于勾股总和四十尺内减十七尺余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与自乗之一正方等故所余者为自乗之二正方股相乗之二长方勾相乗之二长方折半即得自乗之一正方股相乗之一长方勾相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即其长即勾股总和故以勾股总和除之而得也
　　设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股总数内减与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为甲丙为与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即与勾股和之较其长即与勾股和之和故以与勾股和之较除之得勾股总数也
　　设如有勾股积六十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为自乗之一正方而自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与相乗之二长方折半则余戊乙丑己一长方己丑丙寅一正方其戊寅长即与勾股较之和其戊乙阔即勾股较故以与勾股较之和除之而得勾股较也
　　设如有勾股积六十尺与勾股较之较十尺求勾股各几何
　　法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以与勾股较之较十尺自乗得一百尺两数相减余一百四十尺折半得七十尺以与勾股较之较十尺除之得七尺为勾股较与与勾股较之较十尺相加得十七尺为用有有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为自乗之一大正方内丁戊己庚为勾股较自乗之一正方辛乙壬己为与勾股较之较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与与勾股较之较相乗之二长方葢自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积今丁戊己庚既为勾股较自乗之方若于甲乙丙丁自乗方内减之则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己与勾股较之较自乗之方则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方折半则得巳壬丙庚一长方其己壬长即与勾股较之较其己庚阔即勾股较故以与勾股较之较除之而得勾股较也

　　正勾股比例
　　设如有正勾股知勾十二尺求股与各几何法以正勾股定分之勾三分为一率股四分为二率今所设之勾一十二尺为三率推得四率十六尺为股仍以勾三分为一率五分为二率今所设之勾十二尺为三率推得四率二十尺为也葢大小两同式形其相当各界互相比之比例俱为相当比例四率【见几何原夲八卷第三节】故正勾股定分之勾三与股四之比即同于今所设之勾十二与股十六之比又正勾股定分之勾三与五之比亦同于今所设之勾十二与二十之比也
　　又防法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所设之勾股形为加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分五分各加四倍即得所求之股之各数矣
　　设如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股各几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾若以股四分为二率即得四率三十六尺为股若以五分为二率即得四率四十五尺为也葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺四十五尺各相比之比例也又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加九倍即得所求之各数也
　　设如有正勾股知勾股总和六十尺求勾股各几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以五分为二率即得四率二十五尺为也
　　又防法以勾股总和六十尺用正勾股定分之勾三股四五相并之十二分除之得五尺即知今所设之勾股形为加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四五各加五倍即得所求之各数也
　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉几何法以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余或以勾九尺七归四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有余为内容方邉也葢勾三分股四分者则以勾股和七分为一率勾三分为二率股四分为三率推得四率为内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺与十二尺之比仍同于三分与四分之比故以其分数相求得内容方边仍为比例四率也
　　设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜径几何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即为内容圜径也葢勾三分股四分五分者则于勾股和七分内减五分余二分为内容圜径【见勾股容圜第二法】是内容圜径得股四分之二得勾三分之二也今九尺与十二尺之比同于三分与四分之比故十二尺与六尺之比仍同于四与二之比而九尺与六尺之比亦仍同于三与二之比也
　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方边几何
　　法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七归四因或以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余即内容方边也葢内容方边得勾七分之四得股七分之三【圜径见】故必先比例得勾数或股数复比例得内容方边也
　　设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜径几何
　　法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率内容圜径二分为二率今所设之勾股和二十一尺为三率推得四率六尺即内容圜径也葢勾三
　　分　　　　　　　　　　【前法】股四分五分者其内容圜径为【见前法】二分故勾股和之七分与内容二分之比即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也总之正勾股形知一数即得所求之各数要先以勾三股四五求得所知之定分及所求之定分【如勾股较则以勾三分与股四分相减余一分又如与勾股较之和则以勾股较一分与五分相加得六分之类】乃以所知之定分与所求之定分之比即同于今所知之数与今所求之数之比也
　　设如有正勾股面积九十六尺求勾股各几何法以正勾股定分之面积六分为一率勾三分自乗得九分为二率今所设之勾股积九十六尺为三率推得四率一百四十四尺为勾自乗之方开方得十二尺为勾如以正勾股定分之股四分自乗为二率则得今所设之股自乗之方如以正勾股定分之五分自乗为二率则得今所设之自乗之方各开方而即得各数矣或得勾而以正勾股定分之勾股各比例之亦可葢同式两勾股形其面积互相为比即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比【见几何原夲八卷第四节】故以正勾股定分之面积六尺与勾股各方之比即同于今所设之面积九十六尺与勾股各方之比也
　　又防法以面积九十六尺用正勾股定分之面积六尺除之得十六尺开方得四尺即知今所设之勾股为各加四倍之比例乃以正勾股定分之各数各加四倍即得各数葢两直角方面形其两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节今勾股为长方之半正方与正方为比长方与长方为比其比例相同并见第六节】故积大十六倍者界必大四倍既知其大四倍则以正勾股之定分各加四倍即得矣
　　设如有正勾股知勾自乗股自乗自乗共积四百五十尺求勾股各几何
　　法以共积四百五十尺折半得二百二十五尺为自乗方积开方得一十五尺为既得则以勾股之定分比例之得九尺为勾得十二尺为股也如用面积为比例则以五分自乗之二十五分为一率勾三分自乗之九分为二率今所得之自乗方二百二十五尺为三率求得四率八十一尺为勾自乗方积开方得九尺为勾若以股四分自乗之十六分为二率则得四率一百四十四尺为股自乗方积开方得十二尺为股也葢自乗之一方既与勾自乗股自乗之二方等则勾自乗股自乗自乗之三方必与自乗之二方等故折半即得自乗之一方而开方得也

　　御制数理精蕴下编卷十三
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十四
　　面部四
　　三角形

　　三角形
　　凡三角形立于圆界之一半者为直角即勾股过圆界之一半者为鋭角不及圆界之一半者为钝角然不拘鋭角钝角自一角至底边作垂线即分为两直角是仍不离乎勾股也两腰等者垂线即当底之一半而两腰不等者所分底界则有大小不同故和较相比之法因之而生葢和求较较求和要必归于勾股相求之理由勾股而得垂线则凡面积及内容方圆等形皆无不可得至于三角形角度相求之法乃割圆八线实所以极三角之用即如周髀所谓仰矩知髙俯矩知深是也故另为一卷兹但取三角形之面线相求诸法悉具图觧以次勾股使与勾股相表里焉
　　设如有等边三角形每邉十尺求中垂线几何法以底邉十尺折半得五尺为勾任以两腰之一邉十尺为勾求股得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也如图甲乙丙三角形其甲乙甲丙两腰相等则其底边之乙丙两角度亦必相等【见几何原夲二卷第九节】今所求之垂线为甲丁即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆为直角其度又等故所分之两直角三角形为同式形而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线则所分之底边之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底边折半为勾任以甲乙甲丙两邉之一边为求得股为中垂线也
　　又法以底边十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺开方得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也葢比勾大一倍则之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】依勾求股之法于自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍余三倍即为股自乗之方积是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍故将底边折半自乗三因之即与中垂线自乗之方积等而开方得中垂线也
　　设如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂线几何
　　法以底一百五十尺为一率大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率求得四率十五尺六寸为底边之较与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较【葢甲庚与甲丙等故庚乙为两腰之较】乙丙为底边之和乙戊为底邉之较【葢丁丙与丁戊等故乙戊为底邉之较】今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比为转比例之四率【几何原夲九卷第八节自圜外一点至圜内所作之两线此两全线之比例同于圜外两叚转相比之比例】故乙丙为一率乙己为二率乙庚为三率求得四率为乙戊既得乙戊则于乙丙底边内减去乙戊余戊丙折半得丁丙为勾甲丙为求为股为甲丁中垂线也
　　又法以大腰一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺两自乘数相减余二千三百四十尺以底边一百五十尺除之得十五尺六寸为底边之较与底边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形试自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙两勾股形甲乙甲丙皆为乙丁丁丙皆为勾共以甲丁为股乙丙为两勾之和乙戊为两勾之较今以甲乙自乘则成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙为乙丁勾自乘之一正方形于甲戊己乙正方形内减去丁庚辛乙正方形所余甲戊己辛庚丁磬折形积即与甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙自乘则成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙为丁丙勾自乘之一正方形于甲壬癸丙正方形内减去丁子丑丙正方形所余甲壬癸丑子丁磬折形积亦与甲丁股自乘之一正方形等是则前图之甲戊己辛庚丁磬折形与后图之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若两自乘之数相减则如甲戊己乙正方形内减去与甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又减去丁子丑丙一小正方形所余为子庚辛乙丙丑一小磬折形引而长之成一长方形其长即乙丁与丁丙之和其濶即乙丁与丁丙之较故以乙丁与丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之积而得乙丁与丁丙之较也又图甲乙丙三角形作甲丁垂线分为两勾股形共以甲丁垂线为股故甲乙自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今两勾股形之股既同则两方相减所余之数即两勾方相减所余之数故甲丁乙勾股形之甲乙自乘方内减甲丁丙勾股形之甲丙自乘方所余庚辛乙寅丑子磬折形即与甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内减甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所余乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而长之遂成乙壬酉未长方形其长即乙丁丁丙两勾之和其阔即乙丁丁丙两勾之较其积即乙丁丁丙两勾方相减之余亦即甲乙甲丙两方相减之余是以两自乘相减之余积以两勾之和除之而得两勾之较也
　　设如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何
　　法以底二十一尺为一率以大腰十七尺与小腰十尺相加得二十七尺为二率以大腰十七尺与小腰十尺相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底边于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较乙丙为底边之和乙戊为底邉之较其乙丙与乙己之比即同于庚乙与乙戊之比为转比例四率也
　　又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺两自乘数相减余一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也图解同前
　　设如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂线几何
　　法以底十尺为一率大腰二十一尺与小腰十七尺相减余四尺为二率大腰二十一尺与小腰十七尺相加得三十八尺为三率求得四率十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减去底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八尺为形外垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求形外垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等复将乙丙底引长至戊作乙戊线则成甲乙戊三角形其乙丙为底邉之较乙戊为底边之和乙庚为两腰之较乙己为两腰之和自圜外至圜内所作两线之比例既同于圜外两叚转相比之比例则圜外两叚之比例亦必同于两全线转相比之比例故乙丙与乙庚之比即同于乙己与乙戊之比为比例四率既得乙戊则减乙丙余丙戊折半得丙丁为勾甲丙为求得股即甲丁垂线也
　　又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺两自乘数相减余一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八寸为形外垂线也如图甲乙丙三角形将乙丙底引长至戊自甲作垂线至丁则丁戊与丁丙等又自甲至戊作甲戊线与甲丙小腰等则成甲丁乙甲丁戊两勾股形甲乙甲戊皆为乙丁丁戊皆为勾共以甲丁为股而乙丙为两勾之较乙戊为两勾之和前法以和求较此法以较求和其理一也图解并同前
　　设如有鋭角三角形两腰俱五尺底六尺求面积几何
　　法先以底六尺折半得三尺为勾任以两腰之一边五尺为求得股四尺为中垂线与底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺为三角面积也如图甲乙丙三角形以乙丙底边与甲丁中垂线相乘成戊乙丙己长方形积比三角形积正大一倍故折半得三角积也
　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面积几何
　　法先用求中垂线法求得中垂线八尺与底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺为三角面积也如图甲乙丙三角形先求甲丁垂线既得甲丁垂线乃与乙丙底边相乘成戊乙丙己长方形比三角形积正大一倍故折半得三角积也
　　又法以甲乙边十七尺乙丙边二十一尺甲丙边十尺三数相加得四十八尺为三边之总折半得二十四尺为半总以甲乙边十七尺与半总二十四尺相减余七尺为甲乙边与半总之较以乙丙边二十一尺与半总二十四尺相减余三尺为乙丙边与半总之较以甲丙边十尺与半总二十四尺相减余十四尺为甲丙边与半总之较乃以半总二十四尺为一率甲丙边与半总之较十四尺为二率乙丙边与半总之较三尺与甲乙边与半总之较七尺相乘得二十一尺为三率求得四率十二尺二十五寸开方得三尺五寸为三角形自中心至三边之垂线与三边之总四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面积或以所得垂线三尺五寸与半总二十四尺相乘亦得八十四尺为三角形之面积也此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【丁巳丙与丁庚丙等丁巳乙与丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】又按甲戊度引乙丙线至辛则乙辛为三边之半总即三较之和【乙巳与乙戊等即甲丙边与半总之较巳丙与丙庚等即甲乙边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总之较】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁巳平行乙辛壬形与乙巳丁形遂为同式形其乙辛与乙巳之比即同于壬辛与丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之数虽有而壬辛之数却无又但知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数故以巳丙与丙辛相乘之数为三率【何以知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙巳角与辛壬癸角等庚丁巳角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁巳形为同式形而丙辛壬勾股形与丁己丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以巳丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁巳一率与壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三率也】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与乙巳之比同于丁己与壬辛相乘之面【即己丙与丙辛相乘之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁巳为三角形自中心至三边之垂线与丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也既得自中心至三边之垂线则用垂线与三边之总相乘所得一长方积【即如用垂线与三边各相乘所得三长方积合为一长方】比三角形积大一倍故折半而得三角形之面积如以垂线与半总相乘即与三角形积等而不用折半矣
　　设如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方边几何
　　法先用求中垂线法求得中垂线十二尺与底边四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率底边四十四尺为三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有余即三角形内所容正方之一边也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所得中垂线戊己庚辛为今所求内容正方形试依甲丁中垂线度将乙丙线引长作乙癸线为五十六尺又与甲丙线平行作壬癸线又将甲乙线引长作壬乙线则成与甲乙丙同式之壬乙癸三角形复与底线平行作甲子线与丙癸等即与甲丁垂线等又与甲丁平行作子丑线与甲丁等则甲丁垂线所作甲丁丑子正方形即为壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底与甲丁方边之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底与戊巳方边之比故中垂线与底边相加为一率中垂线为二率底邉为三率推得四率为内容正方之一边也
　　设如等边三角形每边一尺二寸求内容圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余以三归之得三寸四分六厘四毫有余即内容圜形半径倍之得六寸九分二厘八毫有余即内容圜形全径也如图甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙巳垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊与丁己即内容圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁巳或丁戊之二倍丁戊既为内容圜形之半径则甲丁即为内容圜形之全径而甲戊中垂线必为丁戊半径之三倍矣故求得甲戊中垂线以三归之得丁戊即内容圜形之半径倍之得庚戊即内容圜形之全径也
　　设如等边三角形每边一尺二寸求外切圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余三归四因得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙己垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁与丙丁即外切圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁己或丁戊之二倍甲丁既为外切圜形之半径则为甲戊中垂线之三分之二而甲戊中垂线却为甲庚全径之四分之三矣故求得甲戊中垂线三归四因得甲庚即外切圜形之全径也
　　又法以每边一尺二寸自乘三归四因开方得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形试自甲角作甲戊中垂线又引长作甲丁全径线复自丁至乙作丁乙线遂成甲乙丁甲戊乙两勾股形为同式形甲乙既为乙戊之二倍则甲丁亦必为乙丁之二倍故甲丁自乘方积比乙丁自乘方积大四倍若依勾求股之法言之则甲丁自乘方积内减乙丁勾自乘方积所余为甲乙股自乘之方积今甲丁自乘方积既为乙丁勾自乘方积之四倍则是甲乙每边自乘方积为甲丁全径自乘方积之四分之三矣故以一边自乘三归四因即与全径自乘之方积等而开方得外切圜形之全径也
　　设如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜径几何
　　法先用求中垂线法求得中垂线二百四十尺与底四百一十八尺相乘得一十万零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三数相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半径倍之得一百九十尺即内容圜全径也如图甲乙丙三角形内容戊圜形试自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三线遂分甲乙丙三角形为甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三边皆为三角形之底而戊巳半径皆为三角形之垂线今乙丙底边与甲丁中垂线相乘所得之长方积原比甲乙丙三角形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乘底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而濶则一故各以长除积而得濶者即如合三角形之三边除三角形之倍积而得半径也
　　设如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜径几何法用求中垂线法求得中垂线一百三十四尺四寸为一率小腰一百六十八尺为二率大腰一百八十三尺为三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也
　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜径几何
　　法用求中垂线法求得中垂线八尺为一率小腰十尺为二率大腰十七尺为三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也

　　御数精蕴下编卷十四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十五
　　面部五
　　割圜【屡求勾股】

　　割圜
　　周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股也葢因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人用割圜之法内外切屡求勾股为无数多边形以切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入中国又有割圜八线六宗三要等説而圜度内外诸线相求之法始偹要之圜内六边起算者圜径折半即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五九二六五三有余圜内四边起算者则以圜径为内容正方之斜自乗折半开方而得四边之一亦用屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外四边起算者圜径即四边之一圜径自乗倍之开方即圜外正方之斜减去圜径即圜外两角之余又即圜外八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以八边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外六边起算者圜径为半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾股小逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六十度先求弧度通折半为正既得正而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于余余矢余切余割则又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角为正余角为余是以正余相对而割圜八线之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内而正外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线二者互相考俱为相符可见理之至者先后一揆法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜即勾股之用二者交相成而两相得乎

　　圜内容六边起算
　　设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆为圜内所容六边形之每一边乃以半径一兆为六边之一边一兆折半得五千亿为勾求得股八千六百六十亿二千五百四十万三千七百八十四【四百四十零小余四三八六四六七六三七二三一七○七五二九三六一】与半径相减余一千三百三十九亿七千四百五十九万六千二百一十五【八三四七一小余五六一三五三二三六二七六八二九二四七○六三八】复为勾六边之一边折半之五千亿为股求得五千一百七十六亿三千八百零九万零二百零五【一六五二九小余○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六】为圜内所容十二边形之每一边如是屡求得圜内二十四边形之每一边为二千六百一十亿【五七六六四】五千二百三十八万四千【小余一○三一八三○九六八一二四五五七九○九七八○二○三八七】圜内四十八边形之每一边为一千三百零八亿零六百二十五万八千四百六十零【小余二八六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九】圜内九十六边形之每一边为六百五十四亿三千八百一十六万五千六百四十三【小余五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三三】圜内一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千三百四十六万三千二百五十二【小余九七三五六三二八五九二八五六五八九九一八九八三三二一三】圜内三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百二十七万九千二百零七【小余八七四二五八五七○三九八一四六五八九五二六六七九九六四】圜内七百六十八邉形之每一边为八十一亿八千一百二十万八千零五十二【小余四六九五七九一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七】圜内一千五百三十六边形之每一边为四十亿九千零六十一万二千五百八十二【十三万一千七百三十二小余三二八一九○二二八八二六一一七九六】圜内三千零七十二边形之每一边为二十亿四千五百三十万七千三百六十零【八五八五一九○○三九小余六七六六○九○八二三八五九二二二九】圜内六千一百四十四边形之每一边为一十亿二千二百六十五万三千八百一十四【二一○二○七九○二九小余○二七三九五○二二○二八五九八九五】圜内一万二千二百八十八边形之毎一边为五亿一千一百三十二万六千九百二十三【八八五二二四三九一七小余七二四八三四六二八一二三二九九○三】圜内二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十三【一九○八八四七六七九小余九五一三○九四八○五二三四四九○一】圜内四万九千一百五十二边形之每一边为一亿【一一四一○六三一七六】二千七百八【小余二三六七六六二六一八六九四七六四六四○四九二○九九九七】圜内九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【小余一五一○二二○七一一六○七○八○七一二六三八七○七五三】圜内一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【小余○七九五九○九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○】圜内三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【小余五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六七】圜内七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三【小余二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五六一一一一四八】圜内一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六二五一一七四五二九七五八六八○七○六八一一七九三三九】圜内三百一十四万五千七百二十八边形之毎一边为一百九十九万七千三百七十零【一边为六万二千四百一十七小余八一七五五九○九六六六四○五九】圜内六百二十九万一千四百五十六边形之毎一边为九十九万八千六百八十五【二五四○○二八六七九六四小余四○八七七九六七二八三九七五五】圜内一千二百五十八万二千九百一十二边形之每一边为四十九万九千三百四十二【七五七四○六一一三六一四小余七○四三八九八五一九八三三一二】圜内二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【三六三九八二九九六三五五小余三五二一九四九二七九三七○八八】圜内五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【六一七六九八八○二六五六小余六七六○九七四六四二一一七二三】圜内一亿零六十六万三千二百九十六边【三二二五○四七○九四一八】形之毎【小余八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五八七八四三】圜内二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【小余九一九○二四三六六○七一九二九二○四二六九一一八四○二】圜内四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之每一边为一万五千六百零四【小余四五九五一二一八三○三六四三九四九七一○七三二○九五一】圜内八亿零五百三十万六千三百六十八边形之毎一边为七千八百零二【小余二二九七五六○九一五一八二七九一五○四八二九一五一四二】圜内一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之每一边为三千九百零一【小余一一四八七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五】圜内三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【小余五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六八七四】圜内六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【二兆之周数小余二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六四一】圜内一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之每一边为四百八十七【一九九二六小余六三九三五九七五五七一九八九三六七七四九八九】圜内二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【○九九○五小余八一九六七九八七七八五九九四六八三八七四九四】圜内五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【五四九五三小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一【八七九○九小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千
　　【八七九○九】【小余五八六四七六五八○一三四八二二○三五五○一○八八七六八】一百七十九为圜径
　　圜内容四边起算
　　设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆自乗得一穣倍之开方得一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为圜内所容四边形之每一边乃以半径一兆为四边之一边一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】折半得七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【小余五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四】为勾亦即为股【四边折半所成之勾股形其勾与股相等】与半径相减余二千九百二十八亿九千三百二十一万八千八百一十三【小余四五二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六】复为勾四边之一边折半之七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【三百四十三万二千三　　百六十五小余五　四七五二　四四八四四】为股求得七千六百五十三亿六千六百八十六万四千七百三十零【三六二一四八四九三九二八四小余一七九　五四三四五六九一九】为圜内所容八边形之每一边复以半径一兆为八边之一边折半得三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五【九六　八六七九七七三三五二三小余八　九　七七一七二八四五九】为勾求得股九千二百三十八亿七千九百五十三万二千五百一十一【九八四三三九八八六六七六一小余二八六七五六一二八一八三一八】与半径相减余七百六十一亿二千零四十六万七千四百八十八【九三九六七八八二八六八二二小余七一三二四三八七一八一六八一】复为勾八边之一边折半之三千八百二十六亿【○六○三二一一七一三一七八】八千【小余○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六七六一】为股求得三千九百零一亿八千零六十四万四千零三十二【小余二五六五三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五】为圜内所容十六边形之毎一边如是屡求得圜内三十二边形之每一边为一千九百六十亿三千四百二十八万零六百五十九【小余一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六九一七二二】圜内六十四边形之每一边为九百八十一亿三千五百三十四万八千六百五十四【小余八三六○二八五○九九一五○七三五四一九二一八○四五八六】圜内一百二十八边形之每一边为四百九十亿八千二百四十五万七千零四十五【小余八二四五七六○六三四七一六二一○六二○八五七五四一三二】圜内二百五十六边形之每一边为二百四十五亿四千三百零七万六千五百七十一【小余四三九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○】圜内五百一十二边形之每一边为一百二十二亿七千一百七十六万九千二百九十八【四十九万五千一百九十四小余三○八九五○七一九二八一一○九八】圜内一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十一万三千五百二十五【九七五三九一五○二八七小余九三四八一八四○○九三五六一三五】圜内二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万零三百七十二【六一一八八八五○三一八小余五六九五三一二二四六○七五五四四】圜内四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万零六百三十七【八二五五三五七八○五四小余四八五四○九○五三八七七二一六八】圜内八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零三百七十五【○六九八○五三六五二九小余一四二七九一一七八一四四九六三四】圜内一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿【○七九一三二八八三一一】八千三百【小余六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五四三七○三三三】圜内三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十八【小余一九一九五四六九一七四一○四四四三三三四一二七四三一七】圜内六万五千五百三十六边形之每一边为九千五百八十七万三千七百九十九【小余二○六一三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七】圜内一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【小余六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二七】圜内二十六万二千一百四十四邉形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【小余八一○一三九四一二八四三○四四三七四六一七五二八三三○】圜内五十二万四千二百八十八边形之毎一边为一千一百九十八万四千二百二十四【小余九○五二八四八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八】圜内一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二【一边为一十八万七千二百五十三小余四五二六六九三二一五○○九】圜内二百零九万七千一百五十二边形之每一边为二百九十九万六千零五十六【○九九三八七二六○○六○六五小余二二六三三八○二二四五七七】圜内四百一十九万四千三百零四边形之毎一边为一百四十九万八千零二十八【○八七一四一二○二五三九六六小余一一三一六九四三一四四二二】圜内八百三十八万八千六百零八边形之毎一边为七十四万九千零一十四【六一○七五三四七四三二九三三小余○五六五八四七六八二四七八】圜内一千六百七十七万七千二百一十六边形之毎一边为三十七万四千五百零七【○六三七七四六五一五五○七七小余○二八二九二三九○六八九七】圜内三千三百五十五万四千四百三十二边形之【三七六六八七○六六八○○三二】每【小余五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二四】圜内六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六【小余七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六五○三○六】圜内一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一○五五一九○一三四三一○二四六八二】圜内二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之每一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四】圜内五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一】圜内一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之每一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六六四六一四六四】圜内二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【之数与其每一边一百八十二小余八三六一五八五三四三一九三六一】圜内四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【○五九二一七○八五三九四小余九一八○七九二六七一五九六八○】圜内八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九二○九六二七七四五二九小余四九五○三九六三三五七九八四○】圜内一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【五○三一四○一六六○二七小余七二九五一九八一六七八九九二○】圜内三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之毎一边为一百八十二【二五七六八四九九二八八六小余八六四七五九九○八三九四九六○】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六【一二九六○六八六○七七○】十八边【小余八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三三六○】为圜径二兆之周数

　　圜外切六边起算
　　设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何法以圜径二兆为半径一兆为勾求得股一兆七千三百二十亿五千零八十万七千五百六十八【二十六万九千一百八十九为勾小余八七七二九三五二七四四六三四】取其三分之二得一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【一五○五八七二三六六九四二小余二五一五二九○一八二九七五六】即圜外六边形之毎一边【一○○三九一四九一一二九五葢圜径为半径为勾所得股即圜外三边形之每边之一半倍之为圜外三边形之每一边其毎一边之三分之一即圜外六边形之每一边今以六边起算故省求三边止以所得之股取其】乃以六边形之每一边一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【三分之二为六边形之毎一边也小余二五一五二九○一八二九七五六】折半得五千七百七十三亿五
　　【一○○三九一四九一一二九五】【小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七】千零半径一兆为股即用六边之一边为【四千八百六十二圜内六边与半径等圜外六边亦与本形半径等故即用六】与半径相减余一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【边之一边为也小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】即股较又即小同式形之勾复以六边形之一边折半之勾五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九【四九一一二九五小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【七四五五六四七小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】为三率推得四率二千六百七十九亿四千九百一十九万二千四百三十一【四九一一二九五小余一二二七○六四七二五五三六五八四九四一二】为小同式形之股倍之得五千三百五十八亿【七六三三○五七】九千八百三十八万【小余二四五四一二九四五一○七百八十二万六千八百零七圜外三一】为圜外十二边形之每一边如是屡求得圜外二十四边形之毎一边为二千六百三十三亿零四百九十九万五千一百七十四【六九八八二五五二六六一一四小余七九一七○六九四三○五二九一】圜外四十八边形之每一边为一千三百一十亿八千六百九十二万五千六百三十零【四八一九四三四二○七一八四小余四七六四五七一二九○八七四四】圜外九十六边形之每一边为六百五十四亿七千三百二十二万零八百二十五【九七五九八八五五八九八四二小余九四五一七二八七八五一七八九】圜外一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千七百八十四万四千二百七十零【七七八六九一九二四七三一○小余六二三一六五三三○六八二一五】圜外三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六
　　【七二二五九三九八八九七五六】【小余五八七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二】千二七百六十八边形之每一边为八十一亿八千一百二十七万六千五百零一【小余五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六】圜外一千五百三十六边形之毎一边为四十亿九千零六十二万一千一百三十八【小余四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三○八六七○】圜外三千零七十二边形之毎一边为二十亿四千五百三十万八千四百三十零【小余一八九六八二三○九八七九八九二○四九四○七三○一四三八】圜外六千一百四十四边形之毎一边为一十亿二千二百六十五万三千九百四十七【小余七一六五○二九四○六○七九二三六一七○八二四○○七六八】圜外一万二千二百八十八边形之每一边为五亿一千一百三十二万六千九百四十零【小余四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二】圜外二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十六【三圜外一百五十七小余○四○二○一六六四○五二四五三七一九三】圜外四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二【三九一五○五八二小余四九七八七七七八四○一○五六○七七四○】圜外九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【一○四六二三四八小余一八三六六一○一一四○三三三五六四一三】圜外一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【七七六七八四八四小余○八三六七○七七○六三八九二五一四九七】圜外三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【五○二五一六九四小余五四○八一五四一八四三七○一○三七九二】圜外七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八
　　【○二九四三三二二】【小余二七○二八○二一三三五八二一○八七二五八六○四二○三○】万九千四百八十万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六三五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八】圜外三百一十四万五千七百二十八边形之每一边为一百九十九万七千三百七十零【小余八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六四四三五四】圜外六百二十九万一千四百五十六边形之每一边为九十九万八千六百八十五【小余四○八七七九七九七三四七三八一六○七九七四二七五二九八】圜外一千二百五十八万二千九百一十二边形之毎一边为四十九万九千三百四十二【小余七○四三八九八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四】圜外二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【小余三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六二】圜外五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【万小余六七六○九七四六四四五四九○二三九八八一三七二三○八】圜外一亿零六十六万三千二百九十六边形之每一边为六万二千四百一十七【二小余八三八○四八七三二一六六六五六四三五七○三三九六九七】圜外二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【六小余九一九○二四三六六○七五七二八八七二三八八七六五四二】圜外四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之毎一边为一万五千六百零四【八小余四五九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八】圜外八亿零五百三十万六千三百六十八边形之每一边为七千八百零二【○小余二二九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一】圜外一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之毎一边为三千九百零
　　【○】【小余一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六二】一圜外三十二亿二千一百二十二五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【一百二十一小余五五七四三九○二二八七九五七五三五三二六三四】圜外六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【七○三六八小余二七八七一九五一一四三九七八七四四四七一八一】圜外一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之毎一边为四百八十七【一六三二○小余六三九三五九七五五七一九八九三六九三三六九八】圜外二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【五五八○二小余八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二】圜外五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【七七六○六小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五【八二五一六】十二边之数与其每一边【小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六八二五一六】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六九三二一五四六○一七七八二八三九六○八三二】为圜径二兆之周数

　　圜外切四边起算
　　设如圜径二兆用外切四边起算问得圜周几何法以圜径二兆为外切四边形之每一边乃以圜径二兆为股亦即为勾求得二兆八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】为圜外四边形之斜与圜径相减余八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】即圜外八边形之每一边又以八边形之毎一边八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】折半得四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为勾半径一兆为股求得一兆零八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【万四千七百五十九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】与半径相减余八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【七八八四○一二一小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】即股较又即小同式形之勾复以八边形之一边折半之勾四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【七八八四○一二一小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【九八○七八五六九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】为三率推得四率一千九百八十九亿一千二百三十六万七千三百七十九【七八八四○一二一小余六五八○○六九一一五九七六二二六四四六】为小同式形之股倍之得三千九百七十八亿【七六二二八五九七】二千四百七十三【小余三一六○一三八二三一九五二四三百一十五圜外一千零五二八】为圜外十六边形之每一边如是屡求得圜外三十二边形之毎一边为一千九百六十九亿八千二百八十万六千七百一十四【九三五二四五七一九四小余三二八五○六一五四三九五○四二五八】圜外六十四边形之每一边为九百八十二亿五千三百六十九万九千五百三十八【二六五四八六四五八四小余九三四五○八二一○六八六六四二五四】圜外一百二十八边形之毎一边为四百九十亿九千七百二十四万四千二百一十七【二六二七二三四一五八小余八五○八八八二○九一五九五○七九二】圜外二百五十六边形之毎一边为二百四十五亿四千四百九十二万四千七百五十九【一八一七四四二三八四小余一三二五五○四六一七七五一○六四六】圜外五百一十二边形之毎一边为一百二十二亿七
　　【八五四一五九二八九○】【小余二四六八○三九二八五八八七三一二○二六二一六七○五八二】千二百万零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十四万二千四百零二【小余八四五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四】圜外二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万三千九百八十二【小余一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四四】圜外四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万一千零八十八【小余六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五五八四七五三八】圜外八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零四百三十一【小余五四二八八一九七六六九一四六八三六八一五四四三九三二○】圜外一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿八千三百四十九万五千二百零一【小余六七一四一七七七○二九一五五五一二一七二六一八二一一○】圜外三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十九【百零九万七千小余○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五】圜外六万五千五百三十六边形之毎一边为九千五百八十七万三千七百九十九【一四六一○六小余三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七】圜外一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【六一九八五八小余六三○六○五九九○三七一六九七五二九八八九】圜外二十六万二千一百四十四边形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【四六二九四四小余八一一八六○六○六九五七○二三二六九五八九】圜外五十二万四千二百八十八边形之每一边为一千一百九十八万四千二百二十四【三○一三二○小余九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○】圜外一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二
　　【○二三三六六】【小余四五二六九六二一五一五八九三九六六○一二八○二○一五四】千一百一十二圜外二一百五十二边形之毎一边为二百九十九万六千零五十六【千六百二十六小余二二六三四一三八四一六四九六二三○六三四八】圜外四百一十九万四千三百零四边形之每一边为一百四十九万八千零二十八【二四八二二○小余一一三一六九八五一六五五六六七七一五五三八】圜外八百三十八万八千六百零八边形之每一边为七十四万九千零一十四【六四一七五四小余○五六五八四八二○七七四四八二一七八一五三】圜外一千六百七十七万七千二百一十六边形之每一边为三十七万四千五百零七【二九一四五二小余○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七】圜外三千三百五十五万四千四百三十二边形之毎一边为一十八万七千二百五十三【四○四七三○小余五一四一四六一九六九八六三二七四四四五七○】圜外六千七百一十万八千八百六十四边【一三三五七四】形之每一边为九万三【小余七五七○七三○九八二八七九八一三九四七八五八七三三八六】圜外一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二】圜外二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之毎一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五九三九一六】圜外五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七五八一九九二九四六九○○○九六】圜外一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之毎一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七四○九○三一三一七七五四四○】圜外二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【小余八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四】圜外四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【七千一百七十九小余九一八○七九二六七一五九六八一三九八三六】圜外八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九八五○二五二小余四五九○三九六三三五七九八四○六○一三四】圜外一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【六三六七一六六小余七二九五一九八一六七八九九二○二八八四四】圜外三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之每一边为一百八十二【三三六三八三八小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边之数与其每一边一百八十二【二九五四四五○小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】之数相乗得六兆二千八百三十一【二九五四四五○】亿八千五百三十万【小余五八六四七七三一二七一七八六一八五八九四一三三七六○○】为圜径二兆之周数

　　御制数理精蕴下编卷十五
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十六
　　面部
　　割圜【割圜八线　六宗　　三要　　二简法八线相求　求象限内各线总法】

　　割圜八线
　　圜周定为三百六十度大而周天小而寸许皆如之葢圜有大小而度分随之其为数则同自圜心平分圜周为四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中设为正余正矢余矢正切余切正割余割名之曰割圜八线
　　设如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜为甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半径则将甲丁九十度之弧分为甲己己丁二己丁为己戊丁角所对之弧甲己为甲戊己角所对之弧如命己戊丁为正角则甲戊己为余角甲戊己为正角则己戊丁为余角正角所对为正弧余角所对为余弧今以己丁为正弧故甲己为余弧又自己与甲丙全径平行作己辛线谓之通其对己丁正弧而立于戊丁半径者曰正又与戊丁半径平行作壬己线谓之余以其为甲己余弧之所对也于戊丁半径内减戊庚余庚丁谓之正矢于甲戊半径内减壬戊余甲壬谓之余矢自圜界与甲戊半径平行立于戊丁半径之末作垂线仍与己戊丁角相对者曰正切将己戊半径引长与正切相遇于癸成戊癸线谓之正割又自圜界与戊丁半径平行作甲子线谓之余切戊癸正割被甲子余切截于子所分戊子谓之余割每一角一弧即有正余正矢余矢己成四线于圜界之内复引出半径于圜界之外而成正切余切正割余割之四线内外共为八线故曰割圜八线逐度逐分正弧之余即为余弧之正余弧之正即为正弧之余是以前四十五度之八线正余互相对待为用不必复求后四十五度之八线也凡此八线皆九十度以内鋭角之所成若直角九十度者则不能成八线葢因半径即九十度之正甲戊半径即甲丁弧之而切线割线为平行终无相遇之处也若钝角过九十度以外者则于半周一百八十度内减其角度用其余度之八线即如己庚为己丁弧之正亦即乙己弧之正也要之八线以正为本有正则诸线皆由此生故六宗三要皆系正之法

　　六宗三要【二简法附】
　　西洋厯算家作割圜八线表始自圜内容六边四边十边三边五边十五边名曰六宗葢用圜径求各等边形之一边为相当弧之通以为立表之原故谓之宗然六者实本于三如六边形之一边即圜之半径不借他求数无零余而理最易见此其一也四边形之一边则为半径所作正方形之对角斜此又其一也十边形之一边则为半径所作连比例三率之中率西法谓之理分中末线此又其一也至于三边形则出于六边五边形则出于十边十五边形则又出于三边及五边非别自立一法也既得此六种形之一边各半之即得六种弧之各正爰命此六种弧为本弧按法可求本弧之余可求倍本弧之正余亦可求半本弧之正余是为三要又以不等两弧之正余求相加相减弧之正又两弧距六十度前后之度等得其两正之较即得距弧之正是又名为二简法由此错综之可得正一百二十其中最小者为四十五分之其次一度三十分又次为二度十五分又次为三度如此每越四十五分而得一其自一分至四十四分之则以比例求之因弧分甚微与直线所差无几故以求而得之此西法立割圜八线表之大纲也尔来西法对数表内有设连比例四率以求圜内容七边九边二法因推广其理于六宗之外增求圜内容十八边形十四边形之法俱以半径为首率求连比例四率之第二率即十八边形十四边形之每一边而七邉又因之以生亦犹三边之出于六边五边之出于十边也有此二形与六宗相叅伍可得正三百六十其中最小者为十五分之正又增一法求十五分之三分之一五分之正所少者止一分至四分之正较之四十五分为尤密可知矣今以六宗三要二简法理分中末线并新增数法皆按类具例于左

　　六宗【圜内容六边形四边形三边形十边形五边形十五边形】
　　设如圜径二十万求内容六边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万即圜内容六边形之每一边也如甲圜内容六边形每边之弧得圜周六分之一皆六十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙三角形则甲角所对之弧为六十度而甲乙甲丙两腰俱为半径既相等则乙角丙角亦必相等而各为六十度矣三角既等则三边亦必相等故乙丙边即与甲乙甲丙半径相等也乙丙弧既为六十度则乙丙边十万为六十度之通折半得乙丁五万即乙戊弧三十度之正也此即六边起算之理前设圜径为二兆者所以求其密合今设圜径为二十万所以取其便于用也
　　设如圜径二十万求内容三边形之一边几何法以圜径二十万为自乗得四百亿又以半径十万为勾自乗得一百亿相减余三百亿开方得股一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】即圜内容三边形之每一边也如甲圜内容三边形毎边之弧得圜周三分之一皆一百二十度为六边形每边弧之一倍试自乙角过圜心至对界作乙丁全径线又自丁依半径度至丙作丁丙线则成六边形之每一边其丙丁弧即为三边形之每边弧之一半而丙角立于圜界之一半必为直角故半径为勾全径为求得股即三边形之每一边也乙丙弧既为一百二十度则乙丙边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】为一百二十度之通折半得乙戊八万六千六百零二【小余五四○三七八四】即乙己弧六十度之正也
　　设如圜径二十万求内容四边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万自乗得一百亿倍之得二百亿开方得一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】即圜内容四边形之每一边也如甲圜内容四边形每边之弧得圜周四分之一皆九十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙勾股形若命甲乙半径为股则甲丙半径为勾若命甲丙半径为股则甲乙半径为勾因勾股皆为半径故以半径自乗倍之开方而得即如勾股各自乗并之开方而得也乙丙弧既为九十度则乙丙边一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】为九十度之通折半得乙丁七万零七百一十【小余六七八一一八六】即乙戊弧四十五度之正也
　　理分中末线【此西法名也因命一线为首率将此首率分为大小两分大分为中率小分为末率与原线共为相连比例三率故谓之理分中末线也】
　　设如以十万为首率作相连比例三率使中率末率相加与首率等求中率末率各几何
　　法以十万自乗得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔六万一千八百零二即相连比例之中率以中率与首率十万相减余三万八千一百九十七即相连比例之末率也此法葢因连比例三率之首率末率相乗之长方积与中率自乗之正方积等而首率之中有一中率一末率之数故首率自乗之一正方积中有首率中率相乗之一长方又有首率末率相乗之一长方即如甲乙为首率丙乙为中率甲丙为末率丙乙中率自乗之正方为丁戊乙丙甲丙末率与甲乙首率相乗之长方为甲丙庚辛【甲辛与甲乙等】此一正方一长方之积等而甲乙首率自乗之正方为甲乙己辛丙乙中率与甲乙首率相乗之长方为丙乙己庚【丙庚与甲乙等】夫甲丙庚辛之长方既与丁戊乙丙之正方等则甲乙己辛之正方亦必与丁戊己庚之长方等是以丁戊己庚长方形之阔即中率其长比阔之较即首率故以首率自乗为长方积仍以首率为长比阔之较用带纵平方法开之得阔为中率也
　　又法以首率十万为股首率十万折半得五万为勾求得一十一万一千八百零三内减勾五万余六万一千八百零三为相连比例之中率以中率与首率相减余三万八千一百九十七即为相连比例之末率也如图甲乙与乙丙皆为首率今以甲乙为股乙丙折半得乙丁为勾求得甲丁试依甲丁度将乙丁勾引长至戊作丁乙戊线仍自甲至戊作一圜界则甲丁戊丁同为半径且皆为于戊丁内减乙丁勾所余乙戊与己乙等即中率于甲乙首率内减去与乙戊相等之己乙中率所余甲己即末率也此法与前法理实相同带纵较数开方法有以半较自乗与原积相加开方得半和于半和内减半较得阔者今此法以首率为股自乘得甲乙丙壬正方形即与庚戊丙辛长方形积等乙丙即长阔之较乙丁即半较戊丁即半和今以乙丁为勾自乘甲乙为股自乘相加开方得甲丁即如乙丁半较自乘与甲乙自乘原积相加开方而得甲丁与戊丁等戊丁内减乙丁余戊乙即半和内减半较得阔为中率也
　　设如圜径二十万求内容十边形之一边几何法用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法以圜径二十万折半得十万为首率自乘得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为连比例之中率即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度其通即圜内十边形之一边试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界戊作一乙戊线则截甲丙线于丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂为一百零八度之通此乙丙丁三角形与甲乙丙三角形为同式形【乙丙丁三角形之乙角当戊丙弧为乙丙弧之倍则乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其余一角亦必等故为同式形】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙丁之比为相连比例三率而甲乙为首率乙丙为中率丙丁为末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一为三十六度则乙角必比甲角大一倍为七十二度【三角形之三角共一百八十度甲角既为三十六度则乙丙两角必为一百四十四度平分之各得七十二度比甲角为大一倍也】而乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等则甲丁乙三角形之乙角亦必与甲角等是则甲丁乙三角形必两边相等之三角形而乙丙丁三角形亦为两边相等之三角形也夫甲丁既与丁乙等而丁乙又与乙丙中率等则甲丁亦必与中率等矣是以甲丁中率与丁丙末率相加与甲丙首率等故用连比例三率有首率求中率法算之得中率为十边形之一边也
　　又法以圜径二十万折半得半径十万为股自乘得一百亿又以半径十万折半得五万为勾自乗得二十五亿相加得一百二十五亿开方得一十一万一千八百零三【小余三九八八七四九】于数内减去勾数余六万一千八百零三【小余三九八八七四九】即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度试自圜心甲至圜界乙作甲乙半径线为股又自圜心甲取直角作甲丙半径线折半得甲丁为勾求得乙丁内减与甲丁相等之戊丁余乙戊即与乙己等为圜内容十边形之毎一边也乙己弧既为三十六度则乙己边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为三十六度之通折半得乙庚三万零九百零一【小余六九九四三七四】即乙辛弧十八度之正也
　　设如圜径二十万求内容五边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形每边之弧得圜周五分之一皆七十二度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为七十二度之通如以乙丙弧七十二度折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即五边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为五边形之毎一边也
　　又法以半径十万为股自乘得一百亿圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为勾自乘得三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】相加得一百三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】开方得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也此法葢因半径自乘十边形之一边自乘两自乘方积相并即与五边形之一边自乘之方积等故用勾股求之法算之如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线遂成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊又成乙戊丁勾股形乙戊五边形每边之半为股丁戊末率之半为勾乙丁中率为试依甲丁半径度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五边形之一边度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子丑已为乙丁自乘之一正方【甲已既与乙丁等故甲子丑已为自乘之正方】已寅辛丁长方形亦与乙丁自乘之一正方等【丁辛原与甲丁首率等己丁末率与丁辛首率相乘自与乙丁中率自乘之正方等】而子庚寅丑长方形为乙丁自乘之一正方内少勾自乘之四正方【葢子庚辛夘长方形为首率与末率相乘之长方与乙丁中率自乘之正方等内却少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形实为戊丁勾自乘之四正方故子庚寅丑长方形为乙丁自乘之一正方少勾自乘之四正方也】是则甲丁半径自乘之甲庚辛丁正方形内有自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁自乘之一正方共得自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今自乘之四正方内少勾自乘之四正方即与股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之乙丙癸壬正方形实为乙戊股自乘之四正方然则甲丁半径自乘方与乙丁十边形之一边自乘方相并既与乙戊股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之正方岂不与甲丁半径自乘乙丁十边形之一边自乘之两正方等乎故以甲丁半径为股乙丁十边形之一边为勾求得而为五边形之一边也又法以半径十万自乘得一百亿为长方积仍以半径十万为长阔之较用带
　　纵较数开方　　　　　　　　　　　　　　　　　【折半得八万】法算之得长一十六万一【小余三九八八七四九】千八百零三零九百零一【小余六九九四三七四】为自圜心至五边形每边之垂线乃以半径十万为圜心至五边形每边之垂线为股求得勾五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊是以己戊与戊丁俱为半末率而甲戊自圜心至边之垂线则为一中率半末率之共数今以半径首率自乘为长方积开带纵平方得长乃首率与中率之和其内有两中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至边之垂线既得甲戊垂线乃以甲乙半径为甲戊垂线为股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五边形之一边也或以乙丁中率为戊丁半末率为勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五边形之一边也乙丙弧既为七十二度则乙丙边一十一万七千五百五十七【次以圜内容小余○五】为七十二度之通折半得乙戊五万八千七百七十八【○四五八四小余五二】即乙丁弧三十六度之正也
　　设如圜径二十万求内容十五边形之一边几何法以半径十万为圜内容五边形之半五万八千七百七十八【五二二九二小余五二】为勾求得股八万零九百零一【五二二九二小
　　余六九】内　　　　　　　　　　　　　　　【九四三七五】减半径之半五万余三万【小余六九九四三七五】零九百零一为股三边形之一边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】内减圜内容五边形之一边一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】余五万五千六百四十八【小余○三○二九八四】折半得二万七千八百二十四【小余○一五一四九二】为勾求得四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】即圜内容十五边形之每一边也如甲圜内容十五边形每边之弧得圜周十五分之一皆二十四度试从圜界乙作圜内容三边形又作圜内容五边形将三边形之每一边弧分五段五边形之每一边弧分三即得十五边形之每一边弧如戊庚与己丁二段皆为十五边形之弧故以甲丁半径为丁丙五边之半为勾求得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底边之垂线为半径之半余辛丙与癸丁或壬庚等复于三边形之戊己边内减五边形之庚丁边即如戊己线内减壬癸余戊壬与癸己二折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或戊壬为勾求得己丁或戊庚即圜内容十五边形之每一边也己丁弧既为二十四度则己丁边四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】为二十四度之通折半得己子二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即己丑弧十二度之正也
　　新增按分作相连比例四率法
　　设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方积】为实又以一率十万自乘三因之得三百亿【成三平面积】为法以除原实一千兆得三万乃以三万自乘再乘得二十七兆益于原实一千兆内得一千零二十七兆为共实按除法以所得三万与法三百亿相因得九百兆与共实相减余一百二十七兆为第二位实以法之三百亿除之得四千乃以首位所得三万合次位所得四千共三万四千自乘再乘得三十九兆三千零四十亿仍益于原实一千兆内得一千零三十九兆三千零四十亿为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆余一十九兆三千零四十亿为第三位实以法之三百亿除之得六百所余太多因益积故取畧大之数为七百合前两位所得三万四千共三万四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九亿二千三百万仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九亿二千三百万为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆余七千八百一十九亿二千三百万为第四位实以法之三百亿除之得二十合前三位所得三万四千七百共三万四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆又减四位所得二十与法三百亿相因之六千亿余二千五百四十二亿一千零四万八千为末位实以法之三百亿除之得八所余亦太多因益积仍取畧大之数为九合前四位所得三万四千七百二十共三万四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万零二千四百八十九仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九为共实按除法以五次所得之数与法相因之数递减之仍余一百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九不尽是共除得三万四千七百二十九为相连比例之二率也以二率之三万四千七百二十九自乘得一十二亿零六百一十万三千四百四十一以一率之十万除之得一万二千零六十一为三率以二率之三万四千七百二十九三倍之得十万四千一百八十七内减去一率之十万余四千一百八十七为四率如以三率之一万二千零六十一自乘以二率之三万四千七百二十九除之亦得四千一百八十七为四率也此为益实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率三倍等而连比例四率之理一率自乘用四率再乘与二率自乘再乘之数等今立法以一率自乘再乘为原实较之三倍二率与一率自乘之面积相乘之数却少一二率自乘再乘之数故以累除所得之数屡次自乘再乘益入原实然后按法除之始足二率三倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰辰乙皆为二率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率之三倍甲乙丙丁戊己为一率自乘再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为三倍二率与一率自乘面积相乘之长方体【一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方体合之即成三倍二率乘一率自乘面积之一长方体】比一率自乘再乘之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乘用四率再乘之数与二率自乘再乘之积等若于一率自乘再乘之正方体内加入二率自乘再乘之正方体即如于甲乙丙丁戊己正方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体成庚乙丙丁壬癸之长方体而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙为二率之三倍苟合乙丙丁申与辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙为二率若不加积止以三方面除之则所得仍为一率之三分之一比二率数必小故以屡除所得之数屡次自乘再乘益入原积则积渐增而得数亦渐大递及末位则所少之积已足而除得之数即为二率之全数焉
　　设如圜径二十万求内容十八边形之一边几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乘再乘得一千兆为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二率即圜内十八边形之每一边也如甲圜内容十八边形每边之弧得圜周十八分之一皆二十度其通即圜内十八边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形而乙庚为六十度之通复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙丙戊三角形之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍则乙丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又与甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行则丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又乙庚为六十度之通与甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆与乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率与丁戊四率相加方与乙丙二率之三倍等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十八边形之一边也乙丙弧既为二十度乙丙边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二十度之通折半得一万七千三百六十四【小余八一七七六六七】即十度之正也
　　设如圜径二十万求内容九边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十八边形之一边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】倍之得六万八千四百零四【小余○二八六六五二】即圜内容九边形之每一边也如甲圜容九边形每边之弧得圜周九分之一皆四十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为四十度之通如以乙丙弧四十度折半于丁作乙丁线即圜内容十八边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即九边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十八边形之一边为小腰求得中垂线倍之为九边形之每一边也乙丙弧既为四十度乙丙边为四十度之通其乙戊中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正也
　　按分作相连比例四率又法
　　设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何
　　法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方体】为实又以一率十万自乘二因之得二百亿【成二平面积】为法以除原实一千兆得五万为尽数因减实大于益实故取畧小之数为四万乃以四万自乘再乘得六十四兆益于原实一千兆内得一千零六十四兆为益实复以所得四万自乘得一十六亿以一率十万再乘得一百六十兆于益实内减之余九百零四兆为正实按除法以所得四万与法二百亿相因得八百兆与正实相减余一百零四兆为第二位实以法之二百亿除之得五千仍取畧小之数为四千乃以首位所得四万合次位所得四千共四万四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十亿益于原实一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十亿为益实复以所得四万四千自乘得一十九亿三千六百万以一率十万再乘得一百九十三兆六千亿于益实内减之余八百九十一兆五千八百四十亿为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆余一十一兆五千八百四十亿为第三位实以法之二百亿除之得五百合前两位所得四万四千共四万四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一亿二千五百万益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一亿二千五百万为益实复以所得四万四千五百自乗得一十九亿八千零二十五万以一率十万再乗得一百九十八兆零二百五十亿于益实内减之余八百九十兆零九百六十一亿二千五百万为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆又减三位所得五百与法二百亿相因之一十兆余九百六十一亿二千五百万为第四位实以法之二百亿除之实不足法乃以第四位为空位而第五位得四故以四为末位合前四位所得四万四千五百空十共四万四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四为益实复以所得四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以十万再乗得一百九十八兆零六百零六亿零一百六十万于益实内减之余八百九十兆零八百四十二亿八千八百五十二万六千零六十四为正实按除法以五次所得之数于法相因之数递减之仍余四十二亿八千八百五十三万六千零六十四不尽是共除得四万四千五百零四为相连比例之二率也以二率之四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以一率之十万除之得一万九千八百零六为三率以二率之四万四千五百零四二因之与三率之一万九千八百零六相加得十万八千八百一十四减去一率之十万余八千八百一十四为四率如以三率之一万九千八百零六自乗以一率之四万四千五百零四除之亦得八千八百一十四为四率也此为益实兼减实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率两倍再加一三率之数等而相连比例四率之理一率自乗用四率再乗与二率自乘再乗之数等又一率自乗用三率再乗与二率自乗用一率再乗之数等今立法以一率自乘再乗为原实较之二率加倍与一率自乗之面积相乗之数却少一一率自乗四率再乗之数又多一一率自乗三率再乗之数故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原实又以屡除所得之数屡次自乗以一率再乗与益实相减然后按法除之始足二率两倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰皆为二率辰乙为三率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率两倍再加一三率之共数甲乙丙丁戊巳为一率自乗再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为两倍二率并一三率与一率自乗面积相乘之长方体比一率自乗再乗之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乗四率再乗之扁方体与二率自乗再乗之积等比两倍二率与一率自乗面积相乗之扁方体多一辰乙丙丁午未扁方体此扁方体即一率自乗三率再乗之扁方体与二率自乗一率再乗之积等若于一率自乗再乗之正方体内加入二率自乗再乗之数再减去二率自乗一率再乗之数即如于甲乙丙丁戊己正方体内加入庚甲酉戊壬癸之扁方体减去辰乙丙丁午未之扁方体成一庚辰己午壬癸之扁方体而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰为二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰为二率若不益少减多而以二方面除之则所得仍为一率之二分之一比二率数必大故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原积复以屡除所得之数自乗用一率再乗逐层与原积相减递及末位则所少之积渐足所多之积渐消而除得之数即为二率之全数焉
　　设如圜径二十万求内容十四边形之一边几何法用连比例四率有一率求第二率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乗再乗得一千兆为实又以半径十万自乗倍之得二百亿为法按益实兼减实归除之法除实得四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为二率即圜内十四边形之每一边也如甲圜内容十四边形每边之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有余其通即圜内十四边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙戊丙三角形之乙角当丙庚弧为乙丙弧之倍则乙戊丙三角形之乙角与乙甲丙三角形之甲角等又与乙甲丙三角形同用丙角而丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行即丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又按乙戊度作壬戊线与丁丙平行则截甲乙线于壬乃自壬与乙丙平行作壬子线复自壬与乙戊平行作壬癸线则又成甲壬子与壬戊癸丙三角形与乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形与丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆与乙丙二率等而癸子与丁戊四率等是甲丙一率内有两二率一三率而少一四率也若以甲丙一率与癸子四率相加方与二率之两倍再加一三率之数等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十四边形之每一边也
　　设如圜径二十万求内容七边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十四边形之一边四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线四万三千三百八十八【小余三七三九一一八】倍之得八万六千七百七十六【小余七四七八二三六】即圜内容七边形之每一边也如甲圜容七边形每边之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有余试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为五十一度二十五分四十二秒有余之通如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有余折半于丁作乙丁线即圜内容十四边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即七边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十四边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为七边形之每一边也

　　三要【八余八万零九百零一有本弧之正求本弧之余有本弧之正余求倍弧之正余有本弧之正】
　　设如本弧三十六度之正五万八千七百七十八【余求半弧之正余】求余弧五十四度之正几何法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九】为勾半径十万为求得股八万零九百零一【二小余五二五二二九】为五十四度之正即三十六度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙余弧五十四度乙丁为三十六度之正试自乙至象限中心戊作乙戊半径线遂成乙丁戊勾股形乙戊为乙丁为勾求得丁戊股与乙己等为乙丙余弧五十四度之正即甲乙正弧三十六度之余也
　　设　　　　　　　　【二小余六九】如本弧三十六度之正【九四三七五小余五二五二二九二】五万八千七百七十【小余六九九四三七五】求倍弧七十二度之正余各几何
　　法以半径十万为一率本弧之正五万八千七百七十八【六度之余与戊辛等】为二率本弧之余八万零九百零一【小余五二五二二九二】为三率求得四率四万七千五百五十二【小余六九九四三七五】倍之得九万五千一百零五【小余八二五八一四七】即倍弧七十二度之正也求余则以三十六度之正五万八千七百七十八【小余六五一六二九四】自乘以半径十万除之得三万四千五百四十九【小余五二五二二九二】倍之得六万九千零九十八【小余一五○二八一二】与半径十万相减余三万零九百零一【小余三○○五六二四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度乙己为三十六度之正【小余六九九四三七六】庚乙为三十【葢辛甲与乙己等则戊辛必与戊己等戊己即庚乙也】丁壬为七十二度之正试与乙己平行作辛癸线遂成戊乙己戊辛癸同式两勾股形其戊乙己勾股形之戊乙与乙己勾之比同于戊辛癸勾股形之戊辛与辛癸勾之比为相当比例四率而辛癸与子壬等为丁壬之半【葢辛甲为丁甲之半则辛癸亦为丁壬之半】故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正也又如求余其甲辛戊甲癸辛为同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲癸辛勾股形之甲辛与甲癸勾之比为相连比例三率既得甲癸倍之得甲壬【葢甲丁为甲辛之倍则甲壬亦为甲癸之倍】与甲戊半径相减余壬戊与丁丑等即甲丁七十二度之余也
　　设如本弧四十五度之正七万零七百一十【小余六七八一一八六】余亦七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正几何
　　法以本弧之正七万零七百一十【八十九小余六七八一】为股本弧之余七万零七百一十【一八六小余六七八一】与半径十万相减余二万九千二百八十九【一八六小余三二一八】为勾求得七万六千五百三十六【八一四小余六八六四】折半得三万八千二百六十八【七三○小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余于戊甲半径内减去戊己余己甲为勾乙己为股求得乙甲为四十五度之通折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正也
　　又捷法以本弧四十五度之余七万零七百一十【三六五小余六七八一】与半【一八六】径十万相减余二万九千二百【小余三二一八几何】折半得一万四千六百四十四【八一四小余六六○九】与半径十万相乘开方得三万八千二百六十八【四○七小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也葢乙己为四十五度之正甲己为四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正如与乙己平行作一辛壬线平分甲己于壬成甲辛戊甲壬辛同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲壬辛勾股形之甲辛与甲壬勾之比为连比例三率故首率甲戊与末率甲壬相乘【三六五首率甲戊与末率甲壬相乘与中率甲辛自乘之】开方得甲辛为二十二度三十分之正也
　　新增有本弧之余求倍弧之余及半弧之余
　　设　　　　　　【积相等】如本弧三十六度之余八万零九【小余六九九四三七五】百零一求倍弧七十二度之余
　　法以本弧三十六度之余八万零九百零一【小余六九九四三七五】自乘以半径十万除之得六万五千四百五十【小余八四九七一八七】与半径十万相减余三万四千五百四十九【小余一五○二八一三】倍之得六万九千零九十八【小余三○○五六二六】仍与半径十万相减余三万零九百零一【小余六九九四三七四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度丁己为三十六度之正戊己为三十六度之余丁庚为七十二度之正辛丁为七十二度之余与戊庚等试自己至壬作己壬垂线遂成甲己戊己壬戊同式两勾股形其甲己戊勾股形之戊甲与戊己股之比同于己壬戊勾股形之戊己与戊壬股之比为连比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬与戊甲半径相减余壬甲倍之得庚甲仍与戊甲半径相减余戊庚与辛丁等即甲丁弧七十二度之余也
　　设如本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之余几何法以本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】与半径十万相减余二万九千二百八十九【小余三二一八八一四】折半得一万四千六百四十四【小余六六○九四○七】与本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】相加得八万五千三百五十五【小余三三九○五九三】与半径十万相乘开方得九万二千三百八十七【小余九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余乙辛为二十二度三十分之正戊辛为二十二度三十分之余戊己四十五度之余与戊甲半径相减余己甲折半得己壬再与戊己相加得戊壬试自辛至壬作辛壬垂线遂成甲辛戊辛壬戊同式两勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲与戊辛股之比同于辛壬戊勾股形之戊辛与戊壬股之比为连比例三率故首率戊甲与末率戊壬相乘开方得戊辛为二十二度三十分之余也
　　新增有本弧之正求其三分之一弧之正
　　设如三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】求其三分之一十二度之正几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】为七十二度之通乃以半径十万自乘得一百亿用七十二度之通再乘得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得四万一千五百八十二【小余三三八一六三四】为二十四度之通折半得二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即十二度之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁为其正倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧其通甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形又庚戊半径截甲己通于辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲边作庚壬线成一庚辛壬三角形此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形其相当各边俱成相连比例故戊甲为一率甲庚为二率庚辛为三率辛壬为四率也今甲己七十二度之通内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆与甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通内有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体则比三倍二率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体此扁方体与二率自乘再乘之正方体等故以一率半径自乘之三方面为法除实每次所得二率之数自乘再乘益入原积则积渐增与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合而除得之数即为二率既得甲庚二率为二十四度之通半之得甲子即甲丑弧十二度之正也

　　二简法【以两四率相有两弧之正余求两弧相加相减之正有距六十度前后相等弧之正求】
　　设如四十五度之正七万零七百一十【距弧之正小余六七】余亦七万零七百一十【八一一八六小余六七】又有二十四度之正四万零六百七十三【八一一八六小余六六】余九万一千三百五十四【四三○七五小余五四】求两弧相加六十九度之正及两弧相减二十一度之正各几何
　　法以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十【五七六四二小余六七】为二率二十四度之余九万一千三百五十四【八一一八六小余五四】为三率求得四率六万四千五百九十七【五七六四二小余四一】又以半径十万为一率四十五度之余七万零七百一十【八八○二○小余六七】为二率二十四度之正四万零六百七十三【八一
　　一八六小余六六】　　　　　　　　　　　　　　　　【四三○七五】为三率求得四率二万八【小余六二三八四七六】千七百六十乃加得九万三千三百五十八【小余○四二六四九六】即两弧相加所得六十九度之正如以两四率相减余三万五千八百三十六【小余七九四九五四五】即两弧相减所余二十一度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己为四十五度之正己戊为四十五度之余于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度余子甲弧二十一度试自丙至子作丙子线则丙乙弧乙子弧皆为二十四度丙庚与庚子皆为二十四度之正庚戊则为二十四度之余今以乙戊半径为一率乙己四十五度之正为二率庚戊二十四度之余为三率求得四率庚辛与壬癸等又以乙戊半径为一率己戊四十五度之余为二率丙庚二十四度之正为三率求得四率丙壬故以丙壬加于庚辛【庚辛原与壬癸等】共得丙癸即丙甲弧六十九度之正如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘余夘辛与子丑等即子甲弧二十一度之正也葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也
　　设如八十四度之弧距六十度二十四度其正九万九千四百五十二【相加得九万小余一八】又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】求距弧二十四度之正几何
　　法以八十四度之正九万九千四百五十二【五二二九二小余一八】内减三十六度之正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】余四万零六百七十三【五二二九二小余六六】即距弧二十四度之正也如有距六十度前二十四度为三十六度其正五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】距弧二十四度之正四万零六百七十三【五二二九二小余六六】求距六十度后二十四度为八十四度之正则以三十六度之正五万八千七百七十八【四三○七六小
　　余五二】与距弧　　　　　　　　　　　　　　　　　【五二二九二】二十四度之正四万零【小余六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小余一八九五三六八】即八十四度之正也又如有距六十度后二十四度为八十四度其正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】求距六十度前二十四度为三十六度之正则以八十四度之正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】与距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】相减余五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】即三十六度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚为八十四度之正乙辛为三十六度之正与壬庚等丙壬为两正之较试自巳至象限中心戊作己戊线又自丙至乙作丙乙线则丙癸癸乙皆为距弧二十四度之正与丙壬两正之较相等葢己戊甲角六十度则己戊丁角为三十度丙庚与丁戊平行则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角必相等皆为三十度丙癸子角为直角则子丙癸角必为六十度矣又自乙至子作乙子线则乙癸子与丙癸子为同形勾股形癸乙子角亦必为六十度癸子乙角亦必为三十度两勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必为六十度矣三角度既等则三边必相等今丙壬为丙子之半丙癸为丙乙之半丙子既与丙乙等故丙壬亦必与丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正则以各距弧之正与之相加可得六十度以后三十度各弧之正若有六十度以后各弧之正则以各距弧之正与之相减可得六十度以前三十度各弧之正六十度前后三十度之正用加减而即得较之勾股比例诸法甚为简便也

　　八线相求
　　设如四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢正切正割各几何
　　法以半径十万内减四十八度之余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】余三万三千零八十六【小余九三九三六四二】为正矢以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为二率半径十万为三率求得四率一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】为正切以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十四万九千四百四十七【小余六五四九八六六】为正割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正甲丁为余与丙戊等乙丙为正矢故乙戊半径内减与甲丁余相等之丙戊余乙丙即为正矢己乙为正切巳戊为正割甲丙戊己乙戊两勾股形为同式形故丙戊余与甲丙正之比同于乙戊半径与己乙正切之比为相当比例四率又丙戊余与甲戊半径之比同于乙戊半径与己戊正割之比亦为相当比例四率也
　　又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三万八千三百八十六【小余四○三三五○三六】与本弧之正切一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】相加得一十四万九千四百四十七【小余六五四八三三三】即为本弧之正割也如图甲乙弧四十八度己乙为正切己戊为正割试将甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移于乙壬又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切与己乙相加得己癸与己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角为直角九十度二角并之为一百三十八度于一百八十度内减之余四十二度为戊己乙角今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角为六十九度仍与戊己乙角四十二度相加于一百八十度内减之所余亦六十九度即为戊癸己角戊癸己角既与己戊癸角相等则己戊与己癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求割线可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相减即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相减即得本弧之正切也
　　设如四十八度之正弧七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢余切余割各几何
　　法以半径十万内减四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余二万五千六百八十五【小余五一七四五二三】为余矢以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为二率半径十万为三率求得四率九万零四十【小余四○四四二九七】为余切以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】为余割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正与丁戊等甲丁为余巳丁为余矢故已戊半径内减与甲丙正相等之丁戊余己丁即为余矢庚己为余切庚戊为余割甲丁戊庚己戊两勾股形为同式形故丁戊正与甲丁余之比同于己戊半径与庚己余切之比为相当比例四率又丁戊正与甲戊半径之比同于己戊半径与庚戊余割之比亦为相当比例四率也
　　又余切求余割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四万四千五百二十二【小余六八六五三一○】与本弧之余切九万零四十【小余四○四四二九七】相加得一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】即为本弧之余割也如图甲乙弧四十八度庚己为其余切庚戊为其余割试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移于壬己又作癸己为壬己弧二十四度之正切与庚己相加得庚癸与庚戊余割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角为直角九十度二角相并为一百三十二度于一百八十度内减之余四十八度为戊庚己角今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角为六十六度仍与戊庚己角四十八度相加于一百八十度内减之所余亦为六十六度即为戊癸庚角戊癸庚角既与庚戊癸角相等则庚戊与庚癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求余割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之余切余割相减即得半本弧之正切若有本弧之余割及半本弧之正切相减即得本弧之余切矣

　　求象限内各线总法
　　六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正用要法之一各求其余次取十二度【十五边之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正复用新增法求其三分之一得十五分之正复求其三分之一即得五分之正既得五分之正乃用简法之一求六十度以内之正每越五分而得一可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正亦越五分而得一又得三百六十【如以一度之与五十九度之相加即六十一度之以二度之与五十八度之相加即六十二度之以至二十九度之与三十一度之相加即得八十九度之也】总而计之一象限中共得正一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分计之共正五千四百故一千零八十为五分之一也】再以五分之用要法之三得二分三十秒之复用新增法求其三分之一得五十秒之乃以五十秒之弧为一率五十秒之为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之既得一分之即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正悉得矣既得每度每分之正则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也

　　御制数理精蕴下编卷十六
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十七
　　面部
　　三角形边线角度相求

　　三角形边线角度相求
　　三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分为二防以边线相求者也至于割圜之法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度为凖而三角之度必与两直角之度等角之大者所对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边但知其三而其余者悉可得若直角则惟知其二而其余者亦可得此三角之法所由立而测量之用所由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故不成法葢角度为虚率而边线为实数无实数而虚率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相度得宜耳
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何
　　法以丙角五十七度与象限九十度相减余三十三度为甲角乃以甲角为对所知之角其正五万四千四百六十四为一率丙角为对所求之角其正八万三千八百六十七为二率丙乙边为所知之边其数五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余即甲乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正是故丙角五十七度之余弧为三十三度丙角五十七度之余为三十三度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚【即辛己】与丙角正己庚之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也
　　又法以半径十万为一率丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率丙乙边五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚戊正切之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙边几何
　　法以丙角二十三度三十五分与九十度相减余六十六度二十五分为甲角乃以丙角为对所知之角其正四万零八为一率以甲角为对所求之角其正九万一千六百四十八为二率甲乙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之余为六十六度二十五分之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正己庚与甲角正丙庚之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率甲乙边三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙边也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚线为丙角之余切即甲角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径与丁庚余切之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙边几何
　　法以丙角四十三度三十七分与九十度相减余四十六度二十三分为甲角乃以甲角为对所知之角其正七万二千三百九十七为一率【甲角正即丙角余或直用丙角余亦可】以乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正【与丙庚等】己丙线为半径即九十度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚与半径己丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也
　　又法以半径十万为一率丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率丙乙边二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙正割之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸二分求甲乙边丙乙边各几何
　　法以丙角五十一度五十一分与九十度相减余三十八度零九分为甲角求甲乙边则以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率以丙角为对所求之角其正七万八千六百四十为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙为所求之边也求丙乙边亦以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率而以甲角为对所求之角其正六万一千七百七十二为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故半径己丙与丙角正己庚之比同于甲丙边与甲乙边之比为相当比例四率又半径巳丙与甲角正丙庚之比同于甲丙边与丙乙边之比为相当比例四率也
　　又法求甲乙边以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率其正切一十二万七千三百零六为二率甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙边也求丙乙边则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率而以半径十万为二率仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正割庚丙与正切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当比例四率也
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各几何
　　法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率半径十万为三率求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切捡八线表得六十度即甲角之度与九十度相减余三十度即丙角之度也如先求丙角则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率甲乙边二十丈为二率半径十万为三率求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切捡八线表得三十度即丙角之度与九十度相减余六十度即甲角之度也如图先求甲角则如甲丁戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧庚戊为甲角之正切甲戊为半径甲戊庚与甲乙丙两勾股形为同式形故甲乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与庚戊正切之比为相当比例四率先求丙角则如丙丁戊一象限己丁弧为丙角三十度之弧辛丁为丙角之正切丙丁为半径丙丁辛与丙乙甲两勾股形为同式形故丙乙边与甲乙边之比同于丙丁半径与辛丁正切之比为相当比例四率也
　　又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分为两边之和为一率又以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相减余一十四丈六尺四寸一分为两边之较为二率以乙角之外角九十度折半得四十五度为半外角其正切十万为三率【四十五度之正切与半径十万等】求得四率二十六万七千九百四十八为半较角之正切捡八线表得十五度为半较角与半外角四十五度相减余三十度即丙角之度如以半较角十五度与半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如图甲乙丙直角三角形以乙直角为心甲乙小边为半径作一甲戊丁圜截丙乙大边于戊将丙乙引长至圜界丁则丁乙戊乙俱为半径与甲乙等自丁至丙即两边之和自戊至丙即两边之较甲乙丁角即乙角之外角试自甲至戊作一甲戊线则成甲乙戊直角三角形其乙甲戊与乙戊甲二角相并与甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自甲至丁作一丁甲线即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙角之较又即丙角小于甲戊乙角之较故于圜界戊至甲丙边己作己戊线与甲丁线平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形与丙戊己三角形为同式形故两边之和丙丁与甲戊丁半外角切线甲丁之比即同于两边之较丙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三十二尺为二率半径十万为三率求得四率五万三千三百三十三为甲角之正切捡八线表得二十八度零四分即甲角之度【如用丙乙边作一率甲乙边作二率即先得丙角度】乃以甲角为对所知之角其正四万七千零五十为一率乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数三十二尺为三率求得四率六十八尺零一分二厘有余即甲丙为所求之边也又既得甲角之后用割线法则以半径为一率甲角之正割为二率甲乙边为三率求得四率即甲丙为所求之边也或得丙角则用丙角之正割为二率丙乙边为三率亦得甲丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则用丙角余割【即甲角之正割】为二率而亦得甲丙边也
　　又法用勾股求以甲乙为股丙乙为勾求得即甲丙边也法已载于勾股集中
　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角丙角各几何
　　法以甲丙边为对所知之边其数一百零二丈二尺为一率丙乙边为对所求之边其数四十八丈为二率乙角为所知之角其正即半径十万为三率求得四率四万六千九百六十六为甲角之正捡八线表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之余即丙角之正如捡八线表余数得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正辛己与甲庚等为甲角之余即丙角之正甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正之比为相当比例四率也又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙边一百零二丈二尺为二率半径十万为三率求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割捡八线表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之余割即甲角之正割如捡余割数得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度与半圜一百八十度相减余七十四度为甲角求甲丙边则以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率以乙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙为所求之一边也求甲乙边则仍以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率而以丙角为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率仍以乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙为所求之又一边也如图甲乙丙三角形作含三角形之圜则每界角各对一弧试自圜心丁作三角形各边之垂线即将每角所对之弧平分一半各成两心角其每一心角与相当各界角之度等【见几何原本四卷第十三节】是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚癸垂线所平分各为六十度一为甲丁癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊辛垂线所平分各为四十六度一为甲丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲角所对乙丙弧原系一百四十八度今为丁己壬垂线所平分各为七十四度一为乙丁壬一为壬丁丙皆与甲角原度等乙己为乙丁壬角之正己丙为壬丁丙角之正亦即甲角之正甲庚为甲丁癸角之正庚丙为癸丁丙角之正亦即乙角之正甲戊为甲丁辛角之正戊乙为辛丁乙角之正亦即丙角之正故求甲丙边者以乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是半与半全与全之比例而各为相当比例四率也又图求甲丙边者则用甲丙为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线为甲角正又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙与甲丙等【凡用正比例因在圜内皆同半径今使戊乙与甲丙相同而后正之大小乃见】乃自戊至甲乙界又作戊己垂线为乙角正观戊己小于丙丁则知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙故甲角正丙丁与乙角正戊己之比同于乙丙边与甲丙边之比为相当比例四率也又如求甲乙边者则用甲乙为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线为甲角正又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂线为丙角正观戊己小于乙丁则知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙故甲角正乙丁与丙角正戊己之比同于乙丙边与甲乙边之比为相当比例四率也
　　又法求甲乙边以乙角六十度之余切五万七千七百三十五与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加得一十五万四千三百零四为一率乙角之余割一十一万五千四百七十为二率乙丙边三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率仍以乙丙边三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形即如乙角六十度与象限九十度相减余三十度为甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度与象限九十度相减余四十四度为甲丁丙三角形之甲角乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角两余切相加即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也
　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边各几何
　　法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角求甲乙边则以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率以丙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈零五寸六分有余即甲乙为所求之一边也求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率而以乙角为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率仍以乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有余即甲丙为所求之又一边也此法所知之角与边虽与前法少异然总是有两角一边得其所余一角则仍与前法同矣
　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙边甲丙边各几何
　　法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角为对所知之角夫甲角既为钝角过九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角其正八万七千零三十六为一率【凡钝角之外角其正即钝角之正解见割圜集内】丙角为对所求之角其正五万九千四百八十二为二率乙丙边为所知之边其数七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙为所求之一边也如求甲丙边则仍以甲角为对所知之角用其外角正八万七千零三十六为一率而以乙角为对所求之角其正四万零六百七十四为二率仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余【如既得甲乙边而以丙角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边但甲为钝角故用外角正求法畧异试以求甲乙边言之则甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即乙甲丁外角之正又按甲乙边度截乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作戊己垂线即丙角之正夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁外角之正乙丁与丙角之正戊己之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比为相当比例四率也其求甲丙边用外角正其理亦同
　　又法求甲乙边以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加得三十五万九千七百四十六为一率乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两余切相加之数即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是以求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也
　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何
　　法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减余二十二度一十四分二十秒即甲角【取甲角当以丙外角与半圜一百八十度相减余为丙钝角仍以丙钝角与乙角相加又与半圜一百八十度相减余为甲角今止以丙外角内减乙角即得甲角者葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共为一百八十度与半圜等今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角而一百八十度内减丙钝角则余乙甲二角共度是甲乙二角共度与丙外角之度等故于丙外角内减去乙角即甲角也】求甲乙边则以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率以丙外角为对所求之角其正八万二千七百九十为二率乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙为所求之一边求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率而以乙角为对所求之角其正五万五千四百零四为二率仍以乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余【如既得甲乙边而以丙外角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边与前法同但先有外角少异耳
　　又法求甲乙边以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减余八万二千五百一十一为一率乙角之余割一十八万零四百九十三为二率乙丙边一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率仍以乙丙边一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余即甲丙边也此法葢以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数即两甲角之正切相减之较如子壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也
　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙边四十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙边各几何
　　法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分为两边之和为一率又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减余一十三丈八尺九寸二分为两边之较为二率以甲角六十度与半圜一百八十度相减余一百二十度为外角折半得六十度为半外角其正切一十七万三千二百零五为三率求得四率三万六千三百九十七为半较角之正切捡八线表得二十度为半较角与半外角六十度相减余四十度即乙角之度如以半较角二十度与半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙两角即以丙角为对所知之角其正九万八千四百八十一为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲乙边为所知之边其数四十丈为三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙为所求之边也如图甲乙丙鋭角三角形以甲角为心甲丙小边为半径作一丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并之与丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自丙至丁作一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比为相当比例四率也
　　又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率二十二丈六尺一寸有余为丙丁垂线又以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角六十度与九十度相减余三十度即甲丙丁角【即丙之分角】为对所求之角其正五万为二率【直用甲角余亦可】甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率半径十万为三率求得四率八万三千九百零八为乙角正切捡八线表得四十度为乙角以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度与一百八十度相减余八十度为丙角既得乙丙两角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边矣或先求乙丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股求得三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙边也
　　又法先求甲丁分边比例而得乙角以半径十万为一率【即丁直角之正】以甲角六十度之余五万为二率【即丙分角之正】以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切捡表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己为甲角之余切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之余切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之比也
　　又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率甲乙边四十丈为二率甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十七万六千九百一十一为甲角余切与乙角余切之共数即甲丙丁与乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度与象限九十度相减余三十度即甲丙丁之分角捡其正切五万七千七百三十五与两分角之共切一十七万六千九百一十一相减余一十一万九千一百七十六为丁丙乙分角之正切即乙角之余切捡表得四十度即乙角之度也以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度又与半圜一百八十度相减余八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂线分为甲丁丙与乙丁丙两直角形以丙角为心作一戊己庚半圜则丙丁垂线平分于己两边各成一象限试与甲乙边平行作一辛壬线则辛己一段为甲丙丁分角之正切即甲角之余切己壬一段为乙丙丁分角之正切又即乙角之余切而辛丙为甲丙丁分角之正割亦即甲角之余割辛壬丙与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比即同于甲角余割辛丙【即甲丙丁分角之正割】与甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率也既得辛壬两分角之共切内减去甲丙丁分角三十度之正切辛己所余己壬为乙丙丁分角之正切即为乙角之余切捡表即得乙角也
　　设如甲乙丙钝角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙边五十四尺甲丙边三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙边各几何
　　法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十六尺九寸相加得九十尺九寸为两边之和为一率又以甲乙边与甲丙边相减余一十七尺一寸为两边之较为二率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分为外角折半得三十度一十三分为半外角其正切五万八千二百四十为三率求得四率一万零九百五十六为半较角之正切捡八线表得六度一十五分为半较角与半外角三十度一十三分相减余二十三度五十八分即乙角之度如以半较角六度一十五分与半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙边则以丙角为对所知之角其正五万九千四百三十五为一率甲外角为对所求之角【甲角为钝角故用外角】其正八万六千九百七十八为二率甲乙边为所知之边其数五十四尺为三率求得四率七十九尺零二分四厘有余即乙丙边也如图甲乙丙钝角三角形以甲角为心甲丙为半径作一丙丁戊圜其乙丁为两边之和乙戊为两边之较丙丁为半外角之正切己戊为半较角之正切乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故以两边之和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法自丙角作丙丁垂线于形外成丙丁乙与丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂线及甲丁虚边以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分即甲外角为对所求之角其正八万六千九百七十八为二率甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率三十二尺零九分五厘为丙丁垂线又以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率又以甲外角六十度二十六分与九十度相减余二十九度三十四分为甲丙丁角【即丙外分角】为对所求之角其正四万九千三百四十四为二率【如直用甲外角之余为二率亦可】甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率十八尺二寸零八厘为甲丁虚边与甲乙边五十四尺相加得七十二尺二寸零八厘为乙丁全边又以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为一率丙丁垂线三十二尺零九分五厘为二率半径十万为三率求得四率四万四千四百四十八为乙角正切捡八线表得二十三度五十八分为乙角之度与甲外角六十度二十六分相减余三十六度二十八分即丙角之度【甲外角与乙丙二内角等故减去乙角余即丙角】既得乙丙二角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边或先求乙丙边则以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为股丙丁垂线三十二尺零九分五厘为勾求得七十九尺零二分即乙丙边也又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边三十六尺九寸为一率甲乙边五十四尺为二率以甲外角六十度二十六分之余割一十一万四千九百七十一为三率求得四率一十六万八千二百五十为甲外角余切与乙角余切之较数乃以甲外角六十度二十六分之余切五万六千七百三十一与两余切之较相加得二十二万四千九百八十一为乙角余切捡表得二十三度五十八分即乙角之度与甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分与半圜一百八十度相减余三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙钝角形将甲乙边引长自丙角作丙丁垂线遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其余切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之余割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之余切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角余切与丙丁甲三角形之甲角余切相减即两丙角相差之较如子庚丙辛庚三角形与丙丁甲三角形为同式形丙辛子三角形与丙丁乙三角形为同式形故丙庚子三角形与丙甲乙三角形亦为同式形是以甲丙边与甲乙边之比同于甲外角余割庚丙【即甲己】与两余切之较子庚之比为相当比例四率也既得子庚两余切之较与甲外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角度既得乙角则以乙角与甲角相并与半圜相减余即丙角矣
　　设如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙边八十丈甲丙边七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙边各几何
　　法以甲丙边为对所知之边其数七十丈三尺四寸为一率甲乙边为对所求之边其数八十丈为二率乙角为所知之角其正八万六千六百零三为三率求得四率九万八千四百九十六为丙角正捡表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度则以乙角六十度与丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分与一百八十度相减余三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正八万六千六百零三为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百一十二为二率甲丙边为所知之边其数七十丈三尺四寸为三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有余即乙丙为所求之边也
　　又法用余割求丙角以甲乙边八十丈为一率甲丙边七十丈三尺四寸为二率乙角六十度之余割十一万五千四百七十为三率求得四率十万一千五百二十六为丙角余割捡表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲乙边与甲丙边之比同于乙角余割甲庚【即戊乙】与丙角余割甲辛【即己丙】之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙钝角三角形知丙角一百一十度甲乙边二十二丈五尺五寸甲丙边十二丈求甲角乙角及乙丙边各几何
　　法以甲乙边为对所知之边其数二十二丈五尺五寸为一率甲丙边为对所求之边其数十二丈为二率丙角为所知之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为三率求得四率五万为乙角正捡表得三十度即乙角度也既得乙角度则以乙角三十度与丙角一百一十度相加得一百四十度与一百八十度相减余四十度即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正五万为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率甲丙边为所知之边其数十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙为所求之边也又法用余割求乙角以甲丙边十二丈为一率甲乙边二十二丈五尺五寸为二率丙外角七十度之余割十万六千四百一十八为三率求得四率一十九万九千九百七十七为乙角之余割捡表得三十度即乙角度也如甲乙丙钝角三角形将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比同于丙外角余割甲辛【即己丙】与乙角余割甲庚【即戊乙】之比为相当比例四率也
　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲乙边一百二十二尺甲丙边一百一十二尺乙丙边一百五十尺求甲乙丙三角各几何
　　法求丙角以甲丙边一百一十二尺与乙丙边一百五十尺相乗得一万六千八百尺倍之得三万三千六百尺为一率以甲丙边一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺乙丙边一百五十尺自乘得二万二千五百尺以两边各自乘数相加得三万五千零四十四尺又以甲乙边一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺与两边各自乘相加数三万五千零四十四尺相减余二万零一尺六十尺为二率半径十万为三率求得四率六万为甲分角之正即丙角之余捡表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角则以甲乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率以甲乙边乙丙边各自乘相加内减去甲丙边自乘之数余为二率半径十万为三率求得四率为甲分角之正即乙角之余捡表即得乙角之度也或既得丙角用两边一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三边之面积互相加减使面与面比而得线与线之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙边作一甲丁垂线分为甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三边之各正方复作两边相乘之长方其甲丙戊己为甲丙边自乘之一正方庚辛乙甲为甲乙边自乘之一正方乙壬癸丙为乙丙边自乘之一正方丙癸丑子为甲丙边与乙丙边相乘之一长方倍之为丙癸卯寅一大长方今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正方相并数内减庚辛乙甲一正方则是减去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又减去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之较其积与乙壬申未一长方等【寅之长方与未申癸甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙方内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙方内有甲丁一股方乙丁一勾方因两三角形同用一股故其两较与两和相乘之数两勾较与两勾和相乗之数必然相等午乙即两之较辰己与辛乙相并即两之和庚辛乙午己辰磬折形即两较与两和相乗之积而乙未为两勾之较乙丙为两勾之和乙壬申未即两勾较与两勾和相乗之】所余为未申癸丙一长方试以甲丁垂线引长则平分未申癸丙一长方为未申酉丁与丁酉癸丙二长方此二长方与丙癸丑子子丑夘寅二长方同用一边为二平行线内所有二方面互相为比同于其底互相为比之例故丙癸夘寅之长方与未申癸丙之长方之比即同于丙寅边与未丙边之比也又比例之理全
　　与全半　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积所以知其相等也】与半之比例相同【为甲丙边与乙丙边相乗又加一倍之积】故丙癸夘丙之长方【即甲丙边乙丙边两正方相并内减甲乙边一正方所余之积】相比同于丙子边【与甲丙边同】与丁丙边之比也又甲丙边即如甲丁垂线所分丁直角之正而甲丁垂线所分之丁丙边即如甲分角之正是以甲丙边与乙丙边相乘加倍之丙癸夘寅长方积为一率甲丙边乙丙边两正方相并积内减甲乙边一正方所余未申癸丙长方积为二率对丁直角之正半径十万为三率求得四率为甲分角之正即丙角之余也
　　又求分边得角法以乙丙边为底其数一百五十尺为一率甲乙边大腰一百二十二尺与甲丙边小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率两边相减余一十尺为三率求得四率一十五尺六寸为分边之较与乙丙边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为丁丙分边之数乃以甲丙边为对所知之边其数一百一十二尺为一率丁丙分边为对所求之边其数六十七尺二寸为二率丁角为所知之角其正半径十万为三率求得四率六万为甲丁丙三角形之甲角正又即丙角之余捡表得五十三度零八分为丙角之度既得丙角则用两边一角比例之法遂得甲乙二角矣如图以甲角为心甲丙小边为半径作一戊丙己庚圜截甲乙边于庚截丙乙边于戊将甲乙引长至圜界己则甲己与甲丙等自己至乙即两边之和自庚至乙即两边之较乙戊即乙丁丁丙两分边之较是故分边之和乙丙与两边之和己乙之比即同于两边之较庚乙与分边之较乙戊之比为转比例四率也
　　又法以甲乙边一百二十二尺乙丙边一百五十尺甲丙边一百一十二尺三数相加得三百八十四尺为三边之总折半得一百九十二尺为半总以甲乙边一百二十二尺与半总一百九十二尺相减余七十尺为甲乙边与半总之较以乙丙边一百五十尺与半总一百九十二尺相减余四十二尺为乙丙边与半总之较以甲丙边一百一十二尺与半总一百九十二尺相减余八十尺为甲丙边与半总之较乃以半总一百九十二尺为一率甲丙边与半总之较八十尺为二率甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗得二千九百四十尺为三率求得四率一千二百二十五尺开方得三十五尺为三角形自中心至三边之垂线先求丙角则用甲乙边与半总之较七十尺为一率三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率求得四率五万为丙半角之正切捡表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角则用甲丙边与半总之较八十尺为一率先求甲角则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【辛为三边之半总即三较之和丁己丙与丁庚丙等丁己乙与】又按甲戊度引乙丙线至【丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】辛则乙【乙己与乙戊等即甲丙边与半总之较己丙与丙庚等即甲乙之面边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁己平行乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形其乙辛与乙己之比即同于壬辛与丁己之比然乙辛一率乙己二率之数虽有而壬辛之数却无又但知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数故以己丙与丙辛相乘之数为三率【之较何以知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角与辛壬癸角等庚丁己角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形而丙辛壬勾股形与丁巳丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以己丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁己一率壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与【率也】乙己之比同于丁己与壬辛相乘【即己丙与丙辛相乗之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线与丁戊与丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也

　　制数理蕴下编卷十七
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十八
　　面部八
　　测量【勾股测量三角测量】

　　测量
　　周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也

　　勾股测量【凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平
　　须记取某处与人目所看相平为记】
　　设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何
　　法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也
　　又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也
　　设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何
　　法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也
　　又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也
　　设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何
　　法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也
　　设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何
　　法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也
　　又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也
　　设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何
　　法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比俱为相当比例四率也
　　设如隔河一树欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十七丈测之问离树之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量十七丈复安一矩度【若止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减余三十四分为一率先安矩度游表斜距分七十分为二率横量十七丈为三率求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也如图甲为树乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分四十九分戊乙为游表斜距分七十分乙丙为横量十七丈丙为后安矩度中心其己庚为距矩度中心距分十五分庚丙为游表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛则辛戊为减余三十四分乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比而辛戊与乙辛【乙辛即与丙庚度等】之比又同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以外故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛两勾股形【乙丁辛即丙己庚】亦同以乙丁为股故即成两两同式形若游表视线在对角以内或一在对角之内一在对角之外所得距矩度中心距分不同者则须取其同距矩度中心距分之度以为比例如后法
　　设如隔河一亭欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对亭横量三十丈测之问距亭之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量三十丈复安一矩度以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭得距矩度中心距分二十七分其游表之斜距分为五十六分八厘有余次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭亦察距矩度中心距分二十七分处得距中心距分三十分其游表之斜距分为四十分三厘有余乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率横量三十丈为三率求得四率八十五丈二尺有余为先安矩度距亭之逺若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率则得四率六十丈四尺五寸有余为后安矩度距亭之逺也如图甲为亭乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分二十七分乙戊为中心平分距分五十分丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余乙丙为横量三十丈丙为后安矩度中心其己庚亦为距矩度中心距分二十七分丙庚为距中心平分距分三十分己丙为游表斜距分四十分三厘有余按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛则乙辛为减余二十分又自丁至辛作丁辛线与己丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比又乙辛与丁辛【即己丙】之比同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以内故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为勾而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾使成两两同式形然后可以为比例也
　　设如有塔一座欲知其高用相等两表测之问得高几何
　　法先立一表比人目高四尺看塔顶得距分六尺又自前表向后量六丈复立一表亦比人目高四尺看塔顶得距分八尺乃以前距分六尺与后距分八尺相减余二尺为一率表比人目高四尺为二率向后量六丈为三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔顶下地平之逺则以两距分相减之较为一率前表距分六尺为二率向后量之数为三率得四率十八丈为前表距塔顶下地平之逺若求后表距塔顶下地平之逺则以后表距分八尺为二率得四率二十四丈即后表距塔顶下地平之逺也如图甲乙为塔之高丙丁与戊己为两表比人目之高四尺丁目为前表距分六尺丁己为向后量六丈己目为后表距分八尺试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚则庚目为减余二尺乃自戊过丙至辛作戊丙辛线又自戊至庚作戊庚线遂成戊己庚勾股形与丙丁目勾股形同度俱与甲辛丙勾股形为同式形而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也
　　设如有楼一座欲知其高用不等两表测之问得高几何
　　法先立长表比人目高六尺看楼脊得距分五尺四寸又自先立长表向后量二丈立短表比人目高四尺看楼脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺为一率前表距分五尺四寸为二率后表比人目之高四尺为三率求得四率三尺六寸为前表与后表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减余二尺八寸为一率后表比人目之高四尺为二率以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸余一尺八寸与两表相距二丈相减余一丈八尺二寸为三率求得四率二丈六尺加后表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如图甲乙为楼之高丙丁为前表比人目之高六尺丁目为前表距分五尺四寸丁己为向后量二丈戊己为后表比人目之高四尺己目为后表距分六尺四寸试依后表戊己度作庚辛垂线截丁目于辛则辛目距分必小于丁目故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比而得辛目之分既得辛目则以辛目与己目相减余壬目即前后两表同高所得距分之较又于两表相距丁己内减丁辛余辛己即同高两表相距之分故壬目与戊己【即庚辛】之比即同于戊庚【即辛己】与甲癸之比也

　　三角度数测量【度数测量必取资于仪器全圜仪半圜仪象限仪虽为体不同其为用则一以九十度为准以定表游表为二视线其相距之度即为所测之角】
　　设如一塔不知其髙但知距塔之逺为三十丈欲测其高几何
　　法以仪器定凖坠线以定表看地平游表看塔尖得两表相距二十四度乃以二十四度与九十度相减余六十六度为对所知之角其正九万一千三百五十五为一率仪器上二十四度为对所求之角其正四万零六百七十四为二率距塔之逺三十丈为所知之边为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即所求之塔之高也如图甲乙为塔之高丙乙为距塔之逺仪器中心为丁丁丙为仪器中心距地之高丁戊为定表所对地平为庚丁己为游表看塔尖甲得两表距弧二十四度为己戊其正为己辛其余为壬己与丁辛等象限九十度内减二十四度余六十六度为癸己即甲角之正弧其正即壬己是以与壬己相等之丁辛与己辛之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也
　　又法以半径十万为一率二十四度之切线四万四千五百二十三为二率距塔之逺三十丈为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即塔之高也如图己戊弧为二十四度丁戊为半径壬戊为二十四度之正切故丁戊与壬戊之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率也
　　设如一树欲知其逺取一直角横量十五丈测之问得几何
　　法以仪器定游表于九十度定表看树对游表立两表竿取直横量十五丈复安仪器于此以定表看原处游表看树得两表相距六十度乃以六十度与九十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率仪器上六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率横量十五丈为所知之边为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为距树之逺乙为所定直角丙乙为横量十五丈丙为仪器中心丙丁为定表看原处乙丙戊为游表看甲得两表距弧六十度为戊丁其正为戊己余为庚戊与丙己等象限九十度内减六十度余三十度为辛戊即甲角之正弧其正即庚戊是以与庚戊相等之丙己与戊己之比同于丙乙与甲乙之比为相当比例四率也
　　又法以半径十万为一率丙角六十度之正切十七万三千二百零五为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也若求甲丙斜距则以半径十万为一率丙角六十度之正割二十万为二率横量十五丈为三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如图戊丁弧为六十度丙丁为半径己丁为六十度之正切己丙为六十度之正割故丙丁与己丁之比同于丙乙与甲乙之比又丙丁与己丙之比同于丙乙与甲丙之比俱各为相当比例四率也
　　设如一山欲知其高用重测之法测之退步十丈问山之高得几何
　　法先安仪器定准坠线以定表看地平游表看山顶得两表相距五十度又退行十丈复安仪器定准坠线以定表仍看前仪器定表所看地平原处仍以游表看山顶得两表相距四十度乃以前仪器所得五十度内减后仪器所得四十度余十度为对所知之角其正一万七千三百六十五为一率后仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率退行十丈为所知之边为三率求得四率三十七丈零一寸为前仪器中心至山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率前仪器所得五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率前仪器中心至山顶之斜距三十七丈零一寸为所知之边为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为退行十丈前测得丙角五十度后测得丁角四十度而丙角为甲丙丁三角形之外角与丁甲二内角相并之度等【解见三角形边线角度相求巻中】故丙角五十度内减丁角四十度余十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丙边既得甲丙边然后用甲乙丙直角三角形求甲乙边为山之高也
　　又法以前测所得五十度之余切八万三千九百一十与后测所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余三万五千二百六十五为一率半径十万为二率退行十丈为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如图戊己为丙角之余切即丙甲乙角之正切与壬癸等庚辛为丁角之余切即丁甲乙角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸与戊丙及庚丁俱同为半径甲癸壬三角形与甲乙丙三角形为同式形而甲癸子三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲壬子三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以子壬与甲癸之比同于丁丙与甲乙之比而为相当比例四率也
　　设如人在山上欲测山之高但知山前有二树与山参直二树相距十八丈问山之高得几何
　　法于山顶安仪器定准坠线以定表向空中取一平线先以游表看逺树得游表距垂线四十九度次以游表看近树得游表距垂线三十八度乃以所得两数相减余十一度为对所知之角其正一万九千零八十一为一率以看逺树所得之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率二树相距十八丈为三率求得四率六十一丈八尺九寸为近树距山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率以看近树所得之三十八度与九十度相减余五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率近树距山顶之斜距六十一丈八尺九寸为所知之边为三率求得四率四十八丈七尺七寸即所测之山之高也如图甲乙为两树相距十八丈丙丁为山之高甲丙丁角为看逺树所得之四十九度乙丙丁角为看近树所得之三十八度两数相减余十一度为甲丙乙角甲丙丁角四十九度与九十度相减所余之四十一度为甲角乙丙丁角三十八度与九十度相减所余之五十二度为乙角先用甲乙丙钝角三角形求丙乙边既得丙乙边然后用乙丙丁直角三角形求丙丁边为山之高也
　　又法以先看逺树所得四十九度之正切十一万五千零三十七与后看近树所得三十八度之正切七万八千一百二十九相减余三万六千九百零八为一率半径十万为二率二树相距之十八丈为三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如图戊己为甲丙丁角之正切庚己为乙丙丁角之正切戊庚即两正切之较丙己为半径故戊庚与丙己之比同于甲乙与丙丁之比而为相当比例四率也
　　设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量五十丈测之问两处各距石几何
　　法先平安仪器于左以定表看右仪器之中心游表看石得两表相距七十度次平安仪器于右以定表看左仪器之中心游表看石得两表相距六十度乃以两角度相并得一百三十度与一百八十度相减余五十度为对所知之角其正七万六千六百零四为一率求右边则以左边仪器所得七十度为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左边距石之逺则以右边仪器所得六十度为对所求之角其正八万六千六百零三为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度两角相并与一百八十度相减得甲角五十度共为甲乙丙锐角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边及甲丙边也又法以左边仪器所得七十度之余切三万六千三百九十七与右边仪器所得六十度之余切五万七千七百三十五相并得九万四千一百三十二为一率右边仪器所得六十度之余割十一万五千四百三十为二率左右相距五十丈为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左邉距石之逺则以左边仪器所得七十度之余割十万六千四百一十八为二率左右相距五十丈为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度试自甲至乙丙线上作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角形戊己为丙角之余切即丁甲丙角之正切与壬癸等己丙为丙角之余割即丁甲丙角之正割与甲癸等庚辛为乙角之余切即丁甲乙角之正切与壬子等庚乙为乙角之余割即丁甲乙角之正割与甲子等而癸子即两余切之和甲壬癸与甲丁丙为同式形甲壬子与甲丁乙为同式形故甲子癸与甲乙丙亦为同式形是以癸子与甲癸之比同于丙乙与甲丙之比又癸子与甲子之比同于丙乙与甲乙之比皆为相当比例四率也
　　设如隔河一树欲知其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十二丈测之问离树之逺得几何法平安仪器于一处随定表横量十二丈复安一仪器【若止用一仪器则记凖一处亦可】以先安仪器定表看后安仪器中心游表看树得两表相距一百一十度次以后安仪器定表看先安仪器中心游表看树得两表相距四十度乃以两角度相并得一百五十度与一百八十度相减余三十度为对所知之角其正五万为一率后安仪器所得四十度为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率横量十二丈为所知之边为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为一百一十度丙角为四十度两角相并与一百八十度相减得甲角三十度共为甲乙丙钝角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边也
　　又法以先安仪器所得之外角七十度之余切三万六千三百九十七与后安仪器所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余八万二千七百七十八为一率先安仪器所得之外角七十度之余割十万六千四百一十八为二率横量十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为先安仪器所得一百一十度丙角为后安仪器所得四十度试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己为乙外角之余切即乙甲丁角之正切与壬癸等己乙为乙外角之余割即乙甲丁角之正割与甲壬等庚辛为丙角之余切即丙甲丁角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸壬三角形与甲丁乙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁丙三角形为同式形故甲壬子三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲壬之比同于丙乙与甲乙之比而为相当比例四率也
　　设如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右两处横量一百丈先求斜距测之问山之高得几何法以仪器斜对山顶随定表横量一百丈任记一处游表看山顶得两表相距八十六度五十三分又随定表横量一百丈所记之处复安仪器斜对山顶以定表看原处游表看山顶得两表相距七十八度零七分乃以两角度相并得一百六十五度与一百八十度相减余一十五度为对所知之角其正二万五千八百八十二为一率后测所得七十八度零七分为对所求之角其正九万七千八百五十七为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率三百七十八丈零九寸为先安仪器至山顶之斜距次以仪器安于原处定凖坠线定表看地平游表看山顶得两表相距五十一度乃以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率仪器所得五十一度为对所求之角其正七万七千七百一十五为二率仪器至山顶之斜距三百七十八丈零九寸为所知之边为三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所测之山之高也如图甲为山顶甲乙为先安仪器至山顶之斜距乙丙为横量一百丈甲丙为后安仪器至山顶之斜距乙角为八十六度五十三分丙角为七十八度零七分两角相并与一百八十度相减得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角与乙丙边求甲乙边即先安仪器至山顶之斜距又甲丁为山之高甲乙为仪器至山顶之斜距丁角即山顶垂线与地平所成直角乙角为五十一度复成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角与甲乙边求甲丁边即山之高也
　　设如人在山坡测山之高前后不得地平爰取斜坡前后两处相距一百丈测之问山之高得几何法于山坡先安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距四十度于是向后就斜坡直量一百丈复安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距三十五度又以游表看前仪器中心得两表相距十三度乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度余五度为对所知之角其正八千七百一十六为一率以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度余二十七度为对所求之外角其正四万五千三百九十九为二率退量一百丈为所知之边为三率求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率后仪器所得三十五度为对所求之角其正五万七千三百五十八为二率山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为山坡斜距一百丈甲丙戊角为前仪器所得四十度甲丁乙角为后仪器所得三十五度丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度若将戊丙线引长至己则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度余五度为丁甲丙角【此即前题退步两测之理】又试将丁丙线引长至庚则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后仪器至山顶之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙边为山之高也
　　设如东西二树欲知其相距之逺测处距西树五十丈距东树七十丈问二树相距几何
　　法以仪器定表看东树游表看西树得两表相距五十度乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加得一百二十丈为一率又以五十丈与七十丈相减余二十丈为二率两表相距五十度与一百八十度相减余一百三十度为外角折半得六十五度为半外角其正切二十一万四千四百五十一为三率求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切检表得十九度四十分与半外角六十五度相减余四十五度二十分为小角与半外角六十五度相加得八十四度四十分为大角既得二角则以小角四十五度二十分为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则丙戊丙丁俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较试自甲至戊作甲戊线则成丙甲戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也
　　又法以半径十万为一率两表相距五十度之正七万六千六百零四为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十八丈三尺为西树至看东树视线上之垂线又以半径十万为一率两表相距五十度之余六万四千二百七十九为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十二丈一尺四寸为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线将此数与距东树之逺七十丈相减余三十七丈八尺六寸亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线爰以此线为勾所得垂线为股求得五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形先求得甲丁垂线为股次求得丁丙小段分边线与乙丙相减余乙丁大段分边线为勾求得甲乙即二树相距之逺也
　　又法以距西树之逺五十丈为一率距东树之逺七十丈为二率两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切检表得四十五度二十分即对西树视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形以甲角为心作一戊己庚半圜则甲丁垂线平分于己两边各成一象限又与乙丙平行作一辛壬线则辛己一段为乙甲丁分角之正切即乙角之余切己壬一段为丙甲丁分角之正切即丙角之余切而甲壬为丙甲丁分角之正割亦即丙角之余割甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬【即丙甲丁分角之正割】与丙甲丁乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率既得辛壬两分角之共切内减去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之余切】所余辛己为乙甲丁分角之正切即为乙角之余切检表即得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣
　　设如南北二桥欲知其相距之逺测处距南桥九十丈距北桥一百二十丈问二桥相距几何
　　法以仪器定表看北桥游表看南桥得两表相距一百二十度乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加得二百一十丈为一率又以九十丈与一百二十丈相减余三十丈为二率两表相距一百二十度与一百八十度相减余六十度为外角折半得三十度为半外角其正切五万七千七百三十五为三率求得四率八千二百四十八为半较角之正切检表得四度四十三分与半外角三十度相减余二十五度一十七分为小角与半外角三十度相加得三十四度四十三分为大角既得二角则以小角二十五度十七分为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也如图甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则乙丁为两边之和乙戊为两边之较试自甲至戊作甲戊线成甲丙戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺九十丈为三率求得四率七十七丈九尺四寸为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线又以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之余五万为二率距南桥之逺五十丈为三率求得四率四十五丈为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈为南桥至看北桥视线引长之总边线爰以此线为股所得南桥至虚边之垂线为勾求得一百八十二丈四尺八寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形先求得甲丁垂线为勾次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股求得甲乙即二桥相距之逺也
　　又法以距南桥之逺九十丈为一率距北桥之逺一百二十丈为二率两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十五万三千九百六十为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加得二十一万一千六百九十五为对南桥视线之对边角之余切检表得二十五度十七分即对南桥视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度试将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即
　　甲丁丙三　　　　　　　　　　　　　　【角】形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减即两甲角相差之较如子庚甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚【即己丙】与两余切之较子庚之比为相当比例四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣
　　设如隔河东西二树欲知其相距之逺爰对一树取一直角左右横量十三丈测之问二树相距几何法先对西树安仪器于右定游表于九十度以定表看西树随游表横量十三丈乃以游表看东树得西树视线距横量边线九十度东树视线距横量边线三十八度西树东树两视线相距为五十二度次于直角横量十三丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看东树得东树视线距横量边线一百一十度复以游表看西树得西树视线距横量边线四十五度乃先求右仪器距西树之逺以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减余四十五度为对所知之角其正七万零七百一十一为一率以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角其正七万零七百一十一为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率十三丈为右仪器距西树之逺次求右仪器距东树之逺以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并得一百四十八度与一百八十度相减余三十二度为对所知之角其正五万二千九百九十二为一率以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺末求东西二树相距之逺以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸为一率又以十三丈与二十三丈零五寸相减余十丈零五寸为二率以右仪器看西树东树两表相距五十二度与一百八十度相减余一百二十八度为外角折半得六十四度为半外角其正切二十万零五千零三十为三率求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切捡表得二十九度四十五分与半外角六十四度相减余三十四度十五分为小角以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加得九十三度四十五分为大角乃以小角三十四度十五分为对所知之角其正五万六千二百八十为一率看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距十三丈甲丙丁角为直角九十度甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度乙丁丙角为左仪器看东树视线距横量边线一百一十度甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度先以甲丁丙角四十五度与九十度相减余四十五度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙边为右仪器距西树之逺次以乙丙丁角三十八度与乙丁丙角一百一十度并之与一百八十度相减余三十二度为丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙边为右仪器距东树之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二边甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙边为东西二树相距之逺也
　　设如南北二峯欲知其相距之逺不取直角于左右两处横量一百丈测之问二峯相距几何
　　法安仪器于右随定表向左横量一百丈乃以游表看南峯得南峯视线距横量边线一百零七度复以游表看北峯得北峯视线距横量边线四十六度南峯北峯两视线相距为六十一度次于横量一百丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看北峯得北峯视线距横量边线九十九度复以游表看南峯得南峯视线距横量边线五十度北峯南峯两视线相距为四十九度乃先求左仪器距北峯之逺以右仪器看北峯距横量边线之四十六度与左仪器看北峯距横量边线之九十九度相倂得一百四十五度与一百八十度相减余三十五度为对所知之角其正五万七千三百五十八为一率以右仪器看北峯距横量边线之四十六度为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率一百二十五丈四尺一寸为左仪器距北峯之逺次求左仪器距南峯之逺以左仪器看南峯距横量边线之五十度与右仪器看南峯距横量边线之一百零七度相并得一百五十七度与一百八十度相减余二十三度为对所知之角其正三万九千零七十三为一率右仪器看南峯距横量边线一百零七度为对所求之角其外角七十三度之正九万五千六百三十为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率二百四十四丈七尺四寸为左仪器距南峯之逺末求南北二峯相距之逺以左仪器距北峯一百二十五丈四尺一寸与左仪器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸为一率又以一百二十五丈四尺一寸与二百四十四丈七尺四寸相减余一百一十九丈三尺三寸为二率以左仪器看南峯北峯两视线相距四十九度与一百八十度相减余一百三十一度为外角折半得六十五度三十分为半外角其正切二十一万九千四百三十为三率求得四率七万零七百四十为半较角之正切查表得三十五度十六分与半外角六十五度三十分相减余三十度十四分为小角与半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分为大角乃以小角三十度十四分为对所知之角其正五万零三百五十二为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸为所知之边为三率求得四率一百八十七丈九尺七寸为南北二峯相距之逺也又法求自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线作勾股法算之则以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度为对所求之角其正七万五千四百七十一为二率左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率九十四丈六尺四寸为自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线次求左仪器至垂线末之分边线仍以垂线所分直角为对所知之角其正即半径十万为一率以左仪器看南峯北峯两视线相距之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正六万五千六百零六为二率【即四十九度之余】左仪器距北峯之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率八十二丈二尺七寸为自左仪器至垂线末之分边线与左仪器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相减余一百六十二丈四尺七寸为南峯距垂线末之分边线乃以此数为股所得垂线九十四丈六尺四寸为勾求得一百八十八丈零二寸即南北二峯相距之逺也如图甲为南峯乙为北峯丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距一百丈甲丙丁角为右仪器看南峯视线距横量边线一百零七度乙丙丁角为右仪器看北峯视线距横量边线四十六度乙丁丙角为左仪器看北峯视线距横量边线九十九度甲丁丙角为左仪器看南峯视线距横量边线五十度甲丁乙角为左仪器看南峯北峯两表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度与乙丁丙角九十九度并之与一百八十度相减余三十五度为丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁边为左仪器距北峯之逺次以甲丁丙角五十度与甲丙丁角一百零七度并之与一百八十度相减余二十三度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁边为左仪器距南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二边甲丁乙一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙边为南北二峯相距之逺也又或求得乙戊垂线又求得丁戊为左仪器至垂线末之分边线则以丁戊与甲丁相减余甲戊为股乙戊垂线为勾而得甲乙为南北二峯相距之逺也

　　御制数理精蕴下编卷十八
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷十九
　　面部九
　　各面形縂论
　　直线形

　　各面形总论
　　面之爲形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成皆圜之类立法则方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜又爲众界形之本葢众界形或函圜或函于圜其边皆当弧线之度故求众界形者必以圜界爲宗也因有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众界形之毎一边与圜径俱设爲一○○○○则方面积爲一○○○○○○○○而圜面积爲七八五三九八一六三等边形之面积爲四三三○一二七○五等边形之面积爲一七二○四七七四一六等边形之面积爲二五九八○七六二○七等边形之面积爲三六三三九一二四○八等边形之面积爲四八二八四二七一二九等边形之面积爲六一八一八二四二○十等边形之面积爲七六九四二○八八三此各形之面积皆以方积比例者也或以圜面积设爲一○○○○○○○○则圜径得一一二八三小余七九一六如圜径与众界形之毎一边俱设爲一一二八三小余七九一六则圜面积爲一○○○○○○○○而三等边形之面积爲五五一三二八八九方面积爲一二七三二三九五四五等边形之面积爲二一九○五七九八六六等边形之面积爲三三○七九七三三四七等边形之面积爲四六二六八四○九八八等边形之面积爲六一四七七四四三五九等边形之面积爲七八七○九四三○二十等边形之面积爲九七九六五七○九九此各形之面积皆以圜积比例者也葢因各形之边线相等面积不同故皆定爲面与面之比例也面积等者边线不等如众界形之面积与圜面积俱设爲一○○○○○○○○○○○○○○○○则方边爲一○○○○○○○○而圜径爲一一二八三七九一六三等边形之毎边爲一五一九六七一三七五等边形之毎边爲七六二三八七○五六等边形之毎边爲六二○四○三二四七等边形之毎边爲五二四五八一二六八等边形之毎边爲四五五○八九八五九等边形之毎边爲四○二一九九六三十等边形之毎边爲三六○五一○五八此各形之边线皆以方边比例者也或以圜径设爲一○○○○○○○○则圜面积爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面积与众界形之面积俱设爲七八五三九八一六三三九七四四八三则圜径爲一○○○○○○○○而二等边形之毎边爲一三四六七七三六九四等边形【卽正方】之毎边爲八八六二二六九二五等边形之毎边爲六七五六四七九三六等边形之毎边爲五四九八一八○五七等边形之毎边爲四六四八九八○三八等边形之毎边爲四○三三一二八八九等边形之毎边爲三五六四四○一四十等边形之毎边爲三一九四九四一八此各形之边线皆以圜径比例者也葢因各形之面积相等边线不同故皆定爲线与线之比例也然自众界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股爲准则故勾股三角形虽爲面而不囿于面之中却别立一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者归之正方引而伸之触类而长之凡爲面形者不能违是也

　　直线形
　　设如正方形每边五十尺问对角斜线几何
　　法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆可互为勾股故以一边自乗倍之开方得卽如各自乗相并开方而得也又用定率比例法以定率之方边一○○○○○○○爲一率对角斜线一四一四二一三五为二率今所设之方边五十尺为三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有余卽所求之对角斜线也葢定率设方边为一千万其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比卽如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也
　　若有对角斜线求方边则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也葢甲丙自乗之方与甲乙股乙丙勾两正方相并之积等今以甲丙自乗折半则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等故开方而得每一边也或用定率比例法以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率方边一○○○○○○○为二率今所设之对角斜线为三率求得四率卽方边也
　　设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几何
　　法以每边二尺自乗得四尺倍之得八尺开方得二尺八寸二分八厘四豪有余卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切则丁乙与己乙皆为半径其度相等葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方形积相等也
　　设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边几何
　　法以每边二尺倍之得四尺卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以每边二尺倍之而卽得也此法葢因两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原本七卷第五节】故戊乙己庚正方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面积之四尺相比为四分之一而戊乙己庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而十六与四之比其间隔八之一位故为连比例隔一位相加之比例也
　　设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何
　　法以阔八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余即所求之阔旣得阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺为二率今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余卽所求之长也或以长十二尺自乗倍之开方亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之即如戊己庚辛长方形此两长方面积之比例卽同于其相当二界各作一正方面积之比例【见几何原本七卷第七节】故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形将其积倍之卽如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形故开方得辛庚为所求之阔也既得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比卽同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求之长也若以原长自乗倍之开方卽如以二长界各作一正方形互相为比例也
　　设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何
　　法以阔八尺倍之得十六尺卽所求之阔又以原长十二尺倍之得二十四尺即所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四倍之卽如戊己庚辛长方形其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以各边之数倍之而即得也此法葢因两长方面之比例既同于其相当二界各作一正方面之比例而两正方面之比例比之二界之比例为连比例隔一位相加之比例故两长方面之比例较之两界之比例亦为连比例隔一位相加之比例也
　　设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何法以积三千尺倍之得六千尺用底阔八十尺除之得七十五尺卽所求之长也如图甲乙丙三角形其积倍之成丁乙丙戊长方形乙丙为底阔故以底阔除长方积得甲己为中长也
　　设如两两等边无直角斜方形【一日象目形】小边皆二十五丈大边皆三十九丈对两小角斜线五十六丈问面积防何
　　法以对角斜线分斜方形为两三角形算之以对角斜线五十六丈为底大边三十九丈小边二十五丈为两腰用三角形求中垂线法求得中垂线十五丈乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面积也如图甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小边皆二十五丈甲乙丁丙二大边皆三十九丈甲丙对两小角斜线五十六丈今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙甲丁丙两三角形俱以甲丙为底甲丁与丁丙为两腰求得丁戊或乙己皆为中垂线故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也
　　设如不等边两直角斜方形直角之边长五十丈上阔二十丈下阔二十八丈问面积几何
　　法以上阔二十丈与下阔二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之积面也如图甲乙丙丁斜方形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与甲乙长相乗遂成甲乙己庚长方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形与斜方内所少之辛己丙勾股形之
　　积等故所得之甲乙己庚长方形即甲乙丙丁斜方形之面积也
　　又法上阔下阔相并与长相乗得数折半即斜方形之面积也葢前法上阔下阔相加折半而后与长相乗此法则上阔下阔相加卽与长相乗而后折半其理一也
　　设如梯形长三十丈上阔十二丈下阔二十丈问面积防何
　　法以上阔十二丈与下阔二十丈相加得三十二丈折半得十六丈与长三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面积也如图甲乙丙丁梯形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与丁己长相乗遂成庚乙己丁长方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等故所得之庚乙己丁长方形卽甲乙丙丁梯形之面积也
　　又法以上阔下阔相并与长相乗得数折半即梯形之面积也
　　设如三角形自尖至底中长二百尺底阔一百五十尺今欲自尖截长一百二十尺问截阔防何法以中长二百尺为一率底阔一百五十尺为二率截长一百二十尺为三率求得四率九十尺即所截之阔也如图甲乙丙三角形甲丁中长二百尺乙丙底阔一百五十尺甲戊为所截长一百二十尺而甲丁与乙丙之比即同于甲戊与己庚之比也如以截阔求截长则以底阔为一率中长为二率截阔为三率所得四率即所截之长也
　　设如不等边两直角斜方形长九十尺上阔二十尺下阔三十八尺今欲截中阔二十七尺问上下各截长防何
　　法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减余七尺为三率求得四率三十五尺即上所截之长以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减余五十五尺即下所截之长也如欲先得下所截之长则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减余一十一尺为三率求得四率五十五尺即下所截之长也如图甲乙丙丁斜方形甲乙为长九十尺与丁戊等乙丙为下阔三十八尺甲丁为上阔二十尺与乙戊等己庚为所截中阔二十七尺上阔与下阔相减余戊丙十八尺上阔与所截中阔相减余辛庚七尺而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上阔与下阔相减余戊丙十八尺所截中阔与下阔相减余壬丙十一尺而戊丙与丁戊之比又同于壬丙与庚壬之比也如有所截上长或所截下长求截阔则以总长为一率上下阔相减所余为二率截长为三率求得四率有上截长则与上阔相加有下截长则与下阔相减所得即所截之阔也
　　设如梯形面积一千五百尺下阔四十尺中长五十尺问上阔几何
　　法以积一千五百尺倍之得三千尺用长五十尺除之得六十尺为上下两阔相和之数内减下阔四十尺余二十尺即上阔也如图甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形试将己角取直作己辛线则截斜方形一叚为己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙遂成庚乙己辛长方形其积原与甲乙己戊斜方形等今用庚乙中长除之得乙己即上下两阔相和之数内减乙丙下阔所余丙己与甲丁等即上阔也
　　设如不等边两直角斜方形积九千六百尺长一百二十尺上下两阔相差之较四十尺问上阔下阔各防何
　　法以积九千六百尺倍之得一万九千二百尺用长一百二十尺除之得一百六十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较四十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较四十尺得一百尺即下阔也如图甲乙丙丁斜方形其甲乙长一百二十尺甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺试将原积倍之遂成甲乙己庚长方形故以甲乙长除之得乙己为上下阔相和之数内减戊丙上下两阔相差之较余数折半得乙戊与甲丁等
　　为上阔加戊丙较得乙丙为下阔也
　　设如梯形面积六千六百五十尺长九十五尺上下两阔相差之较二十尺问上阔下阔各几何法以积六千六百五十尺倍之得一万三千三百尺用长九十五尺除之得一百四十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较二十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较二十尺得八十尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲戊长九十五尺甲丁上阔与乙丙下阔相差乙戊与己丙共二十尺试将原积倍之成甲乙庚辛斜方形与壬乙庚癸长方形之积等故以甲戊长除壬乙庚癸长方形得乙庚为上下两阔相和之数内减乙戊与己丙上下两阔相差之较余折半得戊己与甲丁等为上阔加乙戊与己丙上下两阔相差之较得乙丙为下阔也
　　设如方环形外周二百八十丈内周一百二十丈求面积几何
　　法以外周二百八十丈四归之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四归之得三十丈自乗得九百丈两自乗数相减余四千丈卽方环之面积也如图甲乙丙丁外周二百八十丈四归之得甲乙之一边自乗得甲乙丙丁大方积戊己庚辛内周一百二十丈四归之得戊己之一边自乗得戊己庚辛小方积两方积相减所余即方环之面积也
　　又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈两数相减余六万四千丈以十六除之得四千丈即方环面积也前法将内外周各四归之而得内外方边故以内外方边各自乗相减而
　　得方环面积此法即以内外周各自乘相减以十六除之而得方环面积也葢内外周为内外方边之四倍内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍【凡方边大一倍则面积大四倍今方边大四倍故面积大十六倍为隔一位相加之连比例也】是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也
　　又有方环面积求外方边至内方边之阔则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方环面积四千丈得二十丈即外方边至内方边之阔也如图自方环内边作壬癸子丑二线则甲乙癸壬子丑丙丁为外方边与阔相乘之二长方壬戊辛子己癸丑庚为内方边与阔相乘之二长方引而长之成寅夘辰己一长方其长即半外周与半内周之和其阔即外方边至内方边之阔故以外周与内周相并折半除方环面积而得外方边至内方边之阔也
　　又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减余四十丈折半得二十丈亦即外方边至内方边之阔也如图甲丁为外方边减与戊辛内方边相等之壬子余甲壬与子丁折半得甲壬即方环之阔也
　　设如方环面积四千尺阔二十尺求内外方边各几何
　　法以阔二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺四归之得六百尺以阔二十尺除之得三十尺即内方边又以阔二十尺倍之得四十尺加内方边三十尺得七十尺即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环形内减甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳阔自乘之四正方余寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四长方四归之得寅辰已戊一长方其阔即方环之阔其长即方环内边之长故以寅戊阔除之得戊己为内方边也
　　又法置环积四千尺以阔二十尺除之得二百尺四归之得五十尺加阔二十尺得七十尺即外方边于五十尺内减阔二十尺余三十尺即内方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环积以阔除之即得壬癸子丑为内周外周相并折半之中数以四归之即得壬癸一边与戊寅等故加阔得外边减阔得内边也
　　设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从上叚截勾股形积五十四尺问截长阔各几何
　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之阔既得所截之阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺甲丁戊勾股形为截积五十四尺是故甲乙与乙丙之比应同于甲丁与丁戊之比然而无甲丁之数故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方则甲乙与乙丙之比必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比【葢截积倍之成己甲丁戊长方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几何原本八卷第七节】故开方而得丁戊为所截之阔又乙丙与甲乙之比即同于丁戊与甲丁之比而得甲丁为所截之长也若先求截长则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比【截积倍之成甲丁戊己长方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互相为比亦同于其底之互相为比也】故开方而得甲丁为所截之长也既得截长则用比例四率求之亦得所截之阔矣
　　又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺为一率所截之勾股形积五十四尺为二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率则得四率
　　一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形积五十四尺此两勾股形为同式形故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也
　　设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从下叚截斜方形积四百三十二尺问截长及上阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之上阔九尺与勾二十七尺相减余一十八尺为三率求得四率二十四尺即所截之长也此法亦系线与线为比面与面为比也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺其甲乙与乙丙之比应同于戊己【即丁乙】与己丙之比然而无戊己之数故将截积倍之遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较【即己丙也】与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也【葢截积倍之成庚丁乙辛长方形己丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形此二长方形同以两阔之和为长故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比也】又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形引而长之遂成辰丑申未长方形其辰丑即上下两阔之较其丑申即上下两阔之和故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳磬折形所余即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故开方而得丁戊为所截之阔也既得所截之阔则以丁戊与乙丙相减余巳丙而乙丙与甲乙之比卽同于己丙与戊己【卽丁乙】之比也
　　又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得亦同
　　设如三角形中长二十尺底阔一十五尺今从上段截三角形积五十四尺问截长阔各几何
　　法以底阔一十五尺为一率中长二十尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得一十二尺即所截之长既得所截之长则以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率所截之长十二尺为三率求得四率九尺卽所截之阔也此法亦一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙三角形甲丁中长二十尺乙丙底阔十五尺甲戊己三角形为截积五十四尺是故乙丙与甲丁之比应同于戊己与甲庚之比然而无戊己之数故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方
　　则乙丙与甲丁之比必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比故开方而得甲庚为所截之长又甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比而得戊己为所截之阔也若先求截阔则以中长二十尺为一率底阔一十五尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔葢甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比故开方而得戊己为所截之阔也既得截阔则用比例四率求之亦得所截之长矣又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角积一百五十尺为一率所截之三角积五十四尺为二率以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以中长二十尺自乘得四百尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙三角形截甲戊己三角形积五十四尺此两三角形为同式形故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也
　　设如三角形中长二十尺底阔十五尺今从下段截梯形积九十六尺问截长及上阔各几何
　　法以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率截积九十六尺倍之得一百九十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺内减所得四率一百四十四尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以底阔十五尺为一率中长二十尺为二率所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率求得四率八尺即所截下段之长也如图甲乙丙三角形甲丁为中长二十尺乙丙为底阔十五尺戊乙丙己梯形为截积九十六尺戊己为所截之阔庚丁【与戊辛己壬等】为所截之长乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较是故甲丁与乙丙之比应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣【葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比又甲丁与丁丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也】但今无庚丁之数故将截积倍之遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减即余戊己自乘方积开方而得戊己为所截之阔也既得戊己截阔则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙而乙丙与甲丁之比又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也
　　又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角形积一百五十尺内减从下段所截之梯形积九十六尺余五十四尺卽为从上段所截之三角形积依前法比例求之所得亦同
　　设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从上段截积一百六十八尺问截长阔各几何
　　法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺乃以上阔十二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率截阔十六尺内减上阔十二尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁斜方形甲乙长二十四尺与丁戊等甲丁为上阔十二尺乙丙为下阔二十尺甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺是故丁戊与戊丙之比应同于丁辛与辛庚之比然而无丁辛
　　之数故将截积倍之爲丁辛截长与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形也又辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之积与甲丁己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等试依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形两正方形相减所余为寅癸子丑辰卯磬折形引而长之遂成寅癸巳午长方形其寅癸即上中两阔之较其癸己即上中两阔之和故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故开方而得已庚为所截之阔也既得所截之阔则以己庚与甲丁相减余辛庚而戊丙与丁戊之比卽同于辛庚与丁辛之比也
　　又法将斜方形增作勾股形算之以上阔十二尺与下阔二十尺相减余八尺为一率长二十四尺为二率上阔十二尺为三率求得四率三十六尺为斜方形上所增小勾股形之股与斜方形之长二十四尺相加得六十尺为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上阔十二尺为小勾所得三十六尺为小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺为斜方形上所增之小勾股形积与截积一百六十八尺相加得三百八十四尺为所截之勾股形积乃用勾股形从上段截勾股积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁斜方形增作勾股形为壬乙丙其
　　上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为戊丙以戊丙与丁戊之比同于甲丁与壬甲之比得壬甲为小勾股形之股以壬甲与甲乙相加得壬乙为大勾股形之股又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加得壬己庚勾股形积即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也
　　设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长阔各几何
　　法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减截阔十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长也此与勾股形从下叚截斜方形积之理同前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积上阔小而截阔大故以上阔自乘与所得四率相加开方而得截阔此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积下阔大而截阔小故以下阔自乘内减所得四率开方而得截阔也
　　设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今从上段截积二十四丈问截长阔各几何
　　法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率截积二十四丈倍之得四十八丈为三率求得四率二十四丈乃以上阔五丈自乘得二十五丈与所得四率二十四丈相加得四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率求得四率四丈即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈戊己庚辛俱相等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比然无甲庚之数故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积开方而得壬癸为所截之阔也既得壬癸截阔则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比卽同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣
　　又法将梯形增作三角形算之以上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为一率长十二丈为二率上阔五丈为三率求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长与梯形之长十二丈相加得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长乃以上阔
　　五丈为底所得十丈为中长相乗得五十丈折半得二十五丈为梯形上所増之小三角形积与截积二十四丈相加得四十九丈为所截之三角形积乃用三角形从上段截三角积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁梯形增作三角形为子乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为乙戊己丙而乙戊己丙与甲戊之比即同于甲丁与子丑之比得子丑为小三角形之中长以子丑与等甲戊之丑寅相加得子寅为大三角形之中长又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加得子壬癸三角形积即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也
　　设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今自下叚截积七十二丈问截长阔各几何
　　法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率以截积七十二丈倍之得一百四十四丈为三率求得四率七十二丈乃以下阔十一丈自乗得一百二十一丈内减所得四率七十二丈余四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈与下阔十一丈相减余四丈为三率求得四率八丈即所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈与戊己等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈庚乙丙辛梯形为截积七十二丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比然无庚壬之数故将截积倍之为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率所得四率卽乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减即余庚辛自乗方积开方而得庚辛为所截之阔也
　　设如梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺问截长阔各几何
　　法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十尺相减余六十尺折半得三十尺为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减折半之三十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三率求得四率六十尺为所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲丁上阔二十尺与戊己等乙丙下阔八十尺甲戊长一百二十尺乙戊为上下阔相减折半之三十尺庚乙辛为所截勾股积四百五十尺甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也
　　设如梯形长一百二十尺上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺问截上阔下阔各几何
　　法以上阔四十尺与下阔八十尺相减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺余之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和内减上阔下阔之较二十尺余五十尺折半得二十五尺为上阔加较二十尺得四十五尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲丁为上阔四十尺与戊己等乙丙为下阔八十尺甲戊为长一百二十尺甲乙辛庚为所截斜方形积四千二百尺倍之成壬癸辛庚长方形乙戊为所截斜方形上下两阔之较今以甲戊长除壬癸辛庚长方积得癸辛为上下两阔之和内减乙戊上下两阔之较余癸乙与戊辛折半得戊辛与甲庚等即所截斜方形之上阔加乙戊上下两阔之较得乙辛即所截斜方形之下阔也
　　设如三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今欲平分面积一半与原三角形为同式形问所截三边各几何法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为所截之底边乃以全底边四十二丈为一率大腰边三十四丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余为所截之大腰边仍以全底边四十二丈为一率小腰边二十丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余即所截之小腰边也如图甲乙丙三角形平分面积一半成丁戊丙三角形此两三角形既为同式形则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比故以甲乙丙三角形面积为一率丁戊丙三角形面积为二率乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故开方得戊丙也既得戊丙则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比俱为相当比例四率也若取原积三分之一或几分之几者则将其积以其分数归之比例并同
　　又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也
　　又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆仿此类推之
　　设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣
　　又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相
　　减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也
　　设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何
　　法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减卽余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边旣得方边则各自乗卽得各面积矣
　　又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边卽长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也
　　设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何
　　法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长卽两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也
　　设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何
　　法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方
　　形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也
　　设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也
　　设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何
　　法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所
　　多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍卽成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干卽长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较卽得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较卽得大正方形之边也
　　设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简防而密合也
　　设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何
　　法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺卽每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线
　　【积为】内同底两三角形其面积【见几何原本三卷第十节】必等故甲丁乙甲丁丙两三角形相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者仿此类推
　　设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何
　　法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也
　　设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何
　　法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也

　　御制数理精蕴下编卷十九
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十
　　面部十
　　曲线形

　　曲线形
　　设如圜径一尺二寸问周几何
　　法用周径定率比例以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤卽所求之圜之周数也葢圜之数竒零不尽立法必自方数始是故圜内容形屡求勾股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿万边内外凑集使圜周变为直线精密已极始为得之爰设圜径为一而圜周得三一四一五九二六五有余是为定率故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比卽同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一防八纤之比也
　　又周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径一一三周得三五四九九九九六九有余进而为三五五则周数微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之间耳
　　又周径定率比例以径数七为一率周数二十二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五防七纤有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径七周得二一九九一一四八五有余进而为二二则周数大而所得周数亦大至于旧术径一围三乃圜内容六等边形之共度实小于圜之周线故径一则围三有余围三则径一不足也
　　设如圜周一丈五尺问径几何
　　法用周径定率比例以周数三一四一五九二六五为一率径数一○○○○○○○○为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防有余即所求之圜之径数也葢前法有径求周故以定率之径与定率之周为比卽如今所设之径与今所得之周为比此法有周求径故以定率之周与定率之径为比卽如今所设之周与今所得之径为比也
　　又周径定率比例以周数一○○○○○○○○为一率径数三一八三○九八八为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防为圜之径数也葢圜周为三一四一五九二六五则圜径为一○○○○○○○○若圜周为一○○○○○○○○则圜径为三一八三○九八八其比例仍同也如以周数三五五为一率径数一一三为二率今所设之圜周一丈五尺为三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余为圜之径数又或以周数二二为一率径数七为二率今所设之圜周一丈五尺为三率则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余较之前法所得径数稍小葢径为七而周稍小于二二若周为二二径必稍大于七今截而为七则径数稍小故所得径数亦稍小也
　　设如圜径八寸问面积几何
　　法以圜径八寸用径求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余卽圜之面积也葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等而圜之周界又与直角三角形之大边线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等【见几何原本四卷第二十一节】如甲乙丙丁圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形【癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等】卽为圜之面积也如以全周与全径相乗则以四归之亦得圜面积葢全径为半径之倍全周为半周之倍则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍为隔一位相加之比例故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也
　　又法用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢因圜径方边相等圜积方积不同故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如子寅圜径为一○○○○则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以圜径一○○○○○○○○为一率方边八八六二二六九二为二率今所设之圜径八寸为三率求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余为与圜面积相等之正方形每边之数自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢以圜积方积设为相等使圜径与方边不同先定为线与线之比例既得线而后自乗之为面也如子寅圜径一○○○○○○○○其所得之积开方则得八八六二二六九二即为辰己午未正方之每边是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面积为相等也
　　又法用方周圜周定率比例以方周数四五二为一率圜周数三五五为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余即圜之面积也此法葢因
　　方　　　　　　　　　　　　　　【丑圜径为一一】周与圜周之比同于方【见算法原本二卷第二十八节】积与圜积之比如子三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰己方周为四五二【方边一一三以四因之则得四五二】试以正方面之午丑半径为高寅卯辰己方周为底作一午丑未申长方形则比寅卯辰己正方形之面积大一倍又以圜面之午丑半径为高子丑圜周为底作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形之面积亦大一倍此两长方形同以午丑为高故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例且全与全之比例又同于半与半之比例故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二与圜周三五五之比即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也
　　又法以十四分为一率十一分为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余为圜之面积也此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比葢圜径七则圜周为二二半之得一一方边七则方周为二八半之得一四故以十四分与十一分之比亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也然所得之面积过大者因径七围二十二之定率其周既大故所得之圜积亦大也旧术圜积得方积四分之三求积则以圜径自乗四分损一得圜积求径则以圜积三分益一开方得圜径此仍以径一围三立法故径求积所得之数必小积求径所得之数必大也
　　设如圜周六尺六寸问面积几何
　　法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也
　　设如圜面积六尺一十六寸问径几何
　　法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之圜面积六尺一十六
　　寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四丝为与圜径相等之正方边之正方面积开方得二尺八寸零五豪六丝有余即圜之径数也葢圜积为七八五三九八一六则方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则方积为一二七三二三九五四其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○为一率者即如以圜积七八五三九八一六为一率而以方积一二七三二三九五四为二率者即如以方积一○○○○○○○○为二率也
　　又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以方边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之圜面积六尺一十六寸开方得二尺四寸八分一厘九豪三丝四忽有余为三率求得四率二尺八寸零五豪六丝二忽有余即圜之径数也此法亦以圜积方积设为相等使圜径与方边不同故以圜面积开方得方边为线与线之比例葢方边为八八六二二六九二则圜径为一○○○○○○○○若方边为一○○○○○○○○则圜径为一一二八三七九一六其比例仍同故以方边一○○○○○○○○为一率者即如以方边八八六二二六九二为一率而以圜径一一二八三七九一六为二率者即如以圜径一○○○○○○○○为二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五为一率方周四五二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五丝有余开方亦得二尺八寸零五豪六丝有余为圜之径数也
　　又法以十一分为一率十四分为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸开方得二尺八寸为圜之径数也葢径七围二十二之定率其径既小则方周与方积亦皆小故开方所得之圜径亦小也
　　设如圜面积六尺一十六寸问周几何
　　法以圜面积六尺一十六寸用圜积求径法求得圜径二尺八寸零五豪六丝有余又用圜径求周法求得八尺七寸九分八厘二豪二丝有余即圜之周数也
　　又法用圜积与圜周方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率圜周方积一二五六六三七○六二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有余开方得八尺七寸九分八厘二豪有余即圜之周数也葢圜积为七九五七七四七则圜周自乗方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则圜周自乗方积为一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○与圜周自乗方积一二五六六三七○六二之比即同于今所设之圜面积六尺一十六寸与今所得之圜周自乗方积七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比既得圜周自乗方积开方即得圜周也
　　设如撱圜形【一音鸭蛋形】大径九尺小径六尺问面积几何
　　法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之大小径相乗之长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面积也葢圜面积与撱圜面积之比同于圜外所切之正方形积与撱圜形外所切之长方积之比【见几何原本八卷第十二节】则圜外所切之正方形积与圜面积之比亦必同于撱圜形外所切之长方形积与撱圜面积之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大径九尺乙丁小径六尺以大径与小径相乗遂成戊己庚辛长方形此长方形积与撱圜形积之比即同于正方积与圜积之比故以定率之方积数为一率圜积数为二率今所得之大小径相乗之长方积为三率求得四率为撱圜形之面积也
　　设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大径九尺问小径几何
　　法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圜形之小径也葢方面积与圜面积之比既同于长方面积与撱圜形面积之比则圜面积与方面积之比亦必同于撱圜形面积与长方面积之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛长方形其戊己长与甲丙大径等其己庚阔与乙丁小径等故以大径除之得小径也如有小径求大径则以所得长方积用小径除之而得大径也
　　设如圆环形外周二十一尺三寸内周七尺一寸阔二尺二寸六分求面积几何
　　法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以阔二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积也如图甲乙丙丁圆环形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙与丁乙皆二尺二寸六分试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小边与甲乙大圜之戊乙半径等庚辛大边与大圜之周界等则己庚辛直角三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角三角形其面积与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形之面积等矣故如斜尖方形求积法以如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙阔之壬庚乗之得子丑庚壬一长方形与癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圆环形之面积也
　　设如圆环形外径二尺四寸内径一尺二寸求面积几何
　　法以外径二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二丝有余又以内径一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一丝有余乃以内径一尺二寸与外径二尺四寸相减余一尺二寸折半得六寸为圆环形之阔依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十厘有余为圆环形之面积也
　　又法以外径二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内径一尺二寸自乗得一尺四十四寸两数相减余四尺三十二寸为方环面积乃用方积圜积定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之方环面积四尺三十二寸为三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有余即圆环形之面积也此法葢以方环圆环为比例即如用方积圜积定率为比例也分而言之则外径自乗与外大圜面积为比内径自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外径各自乗相减即用方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也
　　设如圆环形外周六尺六寸内周二尺二寸求面积几何
　　法以外周六尺六寸求得径二尺一寸零八豪四丝有余又以内周二尺二寸求得径七寸零二豪八丝有余两径相减余一尺四寸零五豪六丝有余折半得七寸零二豪八丝有余为圆环形之阔依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二厘有余即圆环形之面积也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸两数相减余三十八尺七十二寸乃用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率两周自乗相减之余三十八尺七十二寸为三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有余即圆环形之面积也此法葢以两圜周自乗相减之余积与圆环积为比例卽如用圜周方积圜积定率为比例也分而言之则外周自乗与外大圜面积为比内周自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外周各自乗相减即用圜周方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也
　　设如圆环形面积四百六十二尺阔七尺求内外径各几何
　　法以阔七尺除圆环面积四百六十二尺得六十六尺即内外周相并折半之数为中周乃以周求径法求得径二十一尺零八厘四豪五丝有余为内外径相并折半之数为中径加阔七尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余卽外径中径内减阔七尺余一十四尺零八厘四豪五丝有余即内径也如图甲乙丙丁圆环形其面积四百六十二尺甲丙与丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺为戊己周次所得之中径二十一尺零八厘四豪五丝有余为戊己径其甲戊与戊丙等丁己与己乙等故甲戊与己乙两段戊丙与丁己两段皆与丁乙及甲丙阔度等是以于中径内加阔得外径减阔得内径也
　　又法先用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率圆环积四百六十二尺为三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有余为方环积乃以阔七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺与所得之方环积相减余三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有余四归之得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有余以阔七尺除之得一十四尺零八厘四豪五丝有余为内圜径加倍阔十四尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余为外圜径也此法葢以圆环积变为方环积卽如前法方环积变为圆环积也如甲乙丙丁圆环形变为戊己庚辛壬癸子丑方环形内减戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛阔自乗之四正方形余寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四长方形四归之余寅卯癸壬一长方形以寅壬阔除之得壬癸长与丙丁内径等加甲丙与丁乙得甲乙即外径也
　　设如圆环形面积三百零八尺阔七尺求内外周各几何
　　法以阔七尺除圆环面积三百零八尺得四十四尺为内外周相并折半之数为中周又用径求周法以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率阔七尺为三率求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余为内外周相减折半之数为半较乃以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一厘一豪四丝有余卽外周数以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相减余二十二尺零八厘八豪六丝有余即内周数也如图甲乙丙丁圆环形其面积三百零八尺丁乙阔七尺试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形则己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角之三角形积乃与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环面积等矣而癸辛庚壬斜尖方形积又与子丑庚壬长方形积等故以如丁乙阔之壬庚除之得丑庚为内外周相并折半之中周数又以寅庚全径与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔【与子丑等】与辛丑半较之比葢丁乙为内外径相减折半之较辛丑即内外周相减折半之较为相当比例四率也既得辛丑与丑卯等即辛庚外周大于丑庚中周之较亦即癸壬内周【与卯庚等】小于丑庚中周之较故于中周加半较得外周减半较得内周也
　　设如圆环形面积三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及阔各几何
　　法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一豪有余又用周径求积法求得内周圜面积九寸六十二分七十七厘五十豪有余与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余即外周圆面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之外周圜面积三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余为三率求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有余为外径自乗之方积开方得二尺零九分七厘七豪有余即外径减去内径三寸五分零一豪余一尺七寸四分七厘六豪折半得八寸七分三厘八豪即圆环形之阔又用径求周法求得周六尺五寸九分零一豪有余即外周数也
　　设如圆环形面积三百八十四尺外周八十八尺求内周及阔各几何
　　法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘二豪有余又用周径求积法求得外周圜面积六百一十六尺二十四寸六十四分有余内减去圆环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分有余为内周圜面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之内周圜面积二百三十二尺二十四寸六十四分为三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有余即内径自乗之方积开方得一十七尺一寸九分六厘有余即内径与外径二十八尺零一分一厘二豪相减余一十尺八寸一分五厘二豪有余折半得五尺四寸零七厘六豪即圆环形之阔又用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八豪有余即内周数也
　　设如圜径一尺二寸今截弧矢形一段矢阔二寸四分求长几何
　　法以矢阔二寸四分为首率圜径一尺二寸内减矢阔二寸四分余九寸六分为末率首率末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率倍之得九寸六分即弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊为矢阔二寸四分试自甲至丙作甲丙线自丙至乙作丙乙线遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半即为其垂线故所截甲戊为首率戊乙为末率求得丙戊为中率【见几何原本九卷第二节并见勾股卷定勾股无零数法中】倍之得丙丁即弧矢形之也又法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为矢阔二寸四分与半径六寸相减余三寸六分为勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之数也如图甲乙圜径一尺二寸折半得甲己半径六寸与丙己等为又于甲己半径六寸内减甲戊矢阔二寸四分余戊己三寸六分为勾求得丙戊股倍之得丙丁为弧矢形之也
　　设如圜径一　尺七寸今截弧矢形一段长一尺五寸求矢阔几何
　　法以长一尺五寸折半得半七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圜径一尺七寸为长阔和用带纵和数开方法算之得阔四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁为长一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二线成甲丙乙直角三角形而丙戊为垂线故甲戊为首率戊乙为末率丙戊为中率中率自乗之正方与首率末率相乗之长方等今以丙丁折半得半丙戊自乗即与甲戊矢为阔戊乙截径为长相乗之长方等故以甲乙为长阔和求得甲戊阔即矢也
　　又法以圜径一尺七寸折半得八寸五分为以长一尺五寸折半得七寸五分为股求得勾四寸与半径八寸五分相减余四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸折半得丙己半径八寸五分为丙丁一尺五寸折半得丙戊七寸五分为股求得戊己勾与甲己半径相减余甲戊卽矢之阔也又法以圜径一尺七寸为弧一尺五寸为股求得勾八寸与圜径一尺七寸相减余九寸折半得四寸五分卽矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸与丁庚等如自丙至庚作丙庚线则成丁丙庚直角三角形故以丁庚为丙丁为股求得丙庚勾与戊辛等以戊辛与甲乙全径相减余甲戊与辛乙两叚折半卽得甲戊为矢之阔也
　　设如弧矢形长一尺二寸矢阔四寸求圜径几何法以矢阔四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸为圜之截径加矢阔四寸得一尺三寸卽圜之径数也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长一尺二寸丁乙矢阔四寸试继甲丁丙弧作一全圜【法见几何原本十一卷十三节】将丁乙矢线引长作丁戊全径线又自甲至丁作甲丁线自甲至戊作甲戊线遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半即为其中垂线故丁乙矢为首率乙戊截径为末率而甲乙半即为中率故丁乙与甲乙之比同于甲乙与乙戊之比而得乙戊截径加丁乙矢卽得丁戊为圜之全径也
　　设如弧矢形长八尺矢阔二尺求面积几何
　　法先用弧矢形有矢求圜径法求得圜之全径十尺折半得半径五尺为一率半四尺为二率以半径十万为三率求得四率八万为正数捡八线表得五十三度零七分四十九秒为半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒为全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九万六千秒为一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八万二千五百三十八秒为二率全径十尺求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二丝有余为三率求得四率九尺二寸七分二厘九豪八丝有余为全弧之数与半径五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘为自圜心所分弧背三角形积又于半径五尺内减矢二尺余三尺与八尺相乗得二十四尺折半得十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积二十三尺一十八寸二十四分五十厘相减余一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面积也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙长八尺丁乙矢阔二尺甲乙为半四尺试继此弧作一全圜求得丁戊全径【解见前】折半得己丁半径既得半径而甲乙半又即为甲丁半弧之正故比例得正数捡表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分之比同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之数与己丁半径相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面积又于丁己半径内减丁乙矢余乙己为截半径与甲丙相乘折半得甲己丙直线三角形面积与甲己丙丁弧背三角形面积相减余即甲乙丙丁弧矢形之面积也
　　设如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界长二尺二寸求圜径及长矢阔各几何
　　法以截弧一百二十度为一率全圜三百六十度为二率截弧二尺二寸为三率求得四率六尺六寸为圜之周数用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝有余乃以半径十万为一率截弧一百二十度折半得六十度查正得八万六千六百零三倍之得一十七万三千二百零六即一百二十度之通为二率今所得之圜径二尺一寸零八豪四丝有余折半得一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率一尺八寸一分九厘三豪九丝有余卽弧矢形之数又以半径十万为一率六十度之余五万与半径十万相减余五万卽六十度之正矢为二率今所得之半径一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率五寸二分五厘二豪一丝有余即弧矢形之矢数也如图甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界为二尺二寸求甲丙全径及乙丁甲戊矢则以乙甲丁弧一百二十度与甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也旣得全周求得甲丙全径折半于己心自己至乙作己乙半径线则乙戊卽如六十度之正乙丁卽如一百二十度之通甲戊即如六十度之正矢故以半径十万与一百二十度之通一十七万三千二百零六之比卽同于己乙半径一尺零五分零四豪二丝有余与乙丁全一尺八寸一分九厘三豪九丝有余之比又半径十万与六十度之正矢五万之比卽同于己乙半径与甲戊矢五寸二分五厘二豪一丝有余之比也
　　设如圜形截弧矢一段任自弧界一处对圜心至作一斜线长一尺二寸将全分为大小两段大段长一尺八寸小段长一尺六寸问圜径几何法以所作之斜线一尺二寸为一率截小段一尺六寸为二率大段一尺八寸为三率求得四率二尺四寸为自截处过圜心至圜对界之线将此线与所作之斜线一尺二寸相加得三尺六寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲对圜心戊至乙丁上作甲己斜线将乙丁分为乙己己丁两段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸试将甲己斜线引长过圜心至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲己乙丁己丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两己角为对角故两三角形为同式形也】故以甲己与乙己之比即同于己丁与己丙之比既得己丙与甲己相加卽得甲丙为圜径也
　　设如圜形截弧矢一段任自弧界一处至作一垂线长一尺二寸将全分为大小两段其大段长三尺小段长一尺问圜径几何
　　法以所作垂线一尺二寸为一率截小段一尺为二率大段三尺为三率求得四率二尺五寸为自截处至圜对界之直线乃以此线与所作之垂线一尺二寸相加得三尺七寸为股以截小段一尺与大段三尺相减余二尺为勾求得四尺二寸卽圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁上作甲戊线长一尺二寸将乙丁分为乙戊戊丁两叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺试将甲戊线引长至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲戊乙丁戊丙两同式三角形【乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两戊角俱为直角故两三角形为同式形也】故以甲戊与戊乙之比同于丁戊与戊丙之比既得戊丙与甲戊相加即得甲丙又以乙戊【同己丁】与戊丁相减余戊己与甲庚等乃自甲至庚作甲庚线与乙丁平行则甲角为直角必立于圜界之一半又自庚至丙作庚丙线则又成庚甲丙勾股形故以庚甲为勾甲丙为股求得庚丙即圜径也
　　设如一大圜形内容四小圜形但知大圜形径一尺二寸求小圜形径几何
　　法以大圜形径一尺二寸自乘倍之开方得一尺六寸九分七厘零五丝有余内减大圜形径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝有余即小圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方边即大圜形全径用方边求斜法求得壬庚己辛两斜即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方边遂为四勾股形之各两斜各折半遂各为四勾股形之各勾股任取一勾股和减即得容圜全径也【觧见勾股容圜法中】
　　设如一大圜形内容四小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何
　　法以小圜形径五寸自乘倍之开方得七寸零七厘一豪有余加小圜形径五寸得一尺二寸零七厘一豪有余即大圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试连四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊一正方形用方边求斜法求得乙丁斜加己乙与丁庚两半径【即一小圜形之全径】即得己庚大圜形全径也
　　设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺二寸求内容小圜形径几何
　　法以大圜形径一尺二寸求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰半径六寸为中埀线用三角形容圜法求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余卽小圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线皆与圜之全径等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以两全径为两腰一半径为中线用三角形容圜法算之卽得一小圜径也
　　设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何
　　法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边用等边三角形求外切圜形全径法求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余加小圜全径五寸得一尺零七分七厘三豪五丝有余卽大圜形
　　全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三
　　小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙
　　丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形
　　其毎边皆与小圜全径等又切乙丙丁
　　三角作一圜形用等边三角形求外切
　　圜形全径法【解见三角形卷】求得乙戊径线加
　　己乙与戊庚两半径【即一小圜形之全径】卽得己
　　庚大圜形全径也

　　御制数理精蕴下编卷二十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十一
　　面部十一
　　圜内容各等边形
　　圜外切各等边形

　　圜内容各等边形
　　设如圜径一尺二寸求内容三等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸为半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为圜内容三等边形之每一边爰以三等边形之每一边为每一边折半为勾求得股九寸或以圜径一尺二寸取其四分之三亦得九寸为圜内容三等边形之中垂线乃以每一边之一尺零三分九厘二豪三丝有余与中垂线九寸相乘得九十三寸五十三分零七厘有余折半得四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形试自丁至乙作丁乙线即圜内容六等边形之每一边与丁戊半径等甲乙全径丁乙半径与甲丁边遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全径为丁乙半径为勾求得甲丁股即圜内容三等边形之每一边也其甲己中垂线即甲丁己丁勾所求之股又为圜径四分之三既得一边又得中垂线即如三角形求面积法算之而得圜内容三等边形之面积也
　　又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽倍之得一尺零三分九厘二豪三丝六忽为圜内容三等边形之每一边既得每一边之数乃取圜径四分之三为中垂线与每一边之数相乘折半得四十六寸七十六分五十六厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形每一边之弧皆一百二十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为六十度甲戊即六十度之正甲丙即一百二十度之通是故半径十万与六十度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之毎一边八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝有余即圜内容三等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积三二四七五九五三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积四一三四九六六七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容四等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余为圜内容四等边形之每一边其半径自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形试自圜心戊至丁角作戊丁半径线遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同为半径一为勾一即为股故止以半径自乘倍之开方而得甲丁即圜内容四等边形之每一边也每一边自乘是仍为半径自乘倍之之数即圜内容四等边形之面积也
　　又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸二分四厘二豪六丝六忽倍之得八寸四分八厘五豪三丝二忽为圜内容四等边形之毎一边既得每一边之数即以毎一边自乘得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形每一边之弧皆九十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为四十五度甲戊即四十五度之正甲丙即九十度之通是故半径十万与四十五度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之毎一边七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽有余即圜内容四等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积六三六六一九七七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容五等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以所得中率与半径首率相减余二寸二分九厘一豪八丝为末率折半得一寸一分四厘五豪九丝为半末率即以此半末率为勾中率为求得股三寸五分二厘六豪七丝一忽有余倍之得七寸零五厘三豪四丝二忽有余为圜内容五等边形之每一边又以中率与半末率相加得四寸八分五厘四豪一丝有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十七寸一十一分九十厘有余五因之得八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形试自圜心庚至每角各作一半径线即分五等边形为五三角形又自乙至戊作乙戊线即圜内容十等边形之每一边庚乙庚戊半径与乙戊边遂成庚乙戊三角形又依乙戊线度截庚乙半径于辛作戊辛线则又成戊辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式形故庚乙为首率乙戊戊辛俱为中率辛乙为末率辛壬与壬乙俱为半末率是以壬乙半末率为勾乙戊中率为求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等边形之毎一边又以庚辛中率与辛壬半末率相加得庚壬中垂线用三角形求面积法算之得庚丁戊一三角形面积五倍之而得圜内容五等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正五万八千七百七十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸五分二厘六豪七丝四忽倍之得七寸零五厘三豪四丝八忽为圜内容五等边形之每一边次以半径十万为一率三十六度之余八万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸八分五厘四豪一丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与毎一边折半之数相乘五因之得八十五寸五十九分六十厘有余为圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形每一边之弧皆七十二度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十六度甲庚即三十六度之正甲丙即七十二度之通辛庚即三十六度之余是故半径十万与三十六度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十六度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之每一边五八七七八五二五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率七寸零五厘三豪四丝二忽有余即圜内容五等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积五九四四一○三一为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积七五六八二六七二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容六等边形之每一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸即圜内容六等边形之每一边爰以半径六寸为毎一边折半得三寸为勾求得股五寸一分九厘六豪一丝五忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十五寸五十八分八十四厘有余六因之得九十三寸五十三分零四厘有余即圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形其每一边皆六寸与半径等试自圜心庚至每角各作一半径线即分六等边形为六三角形以甲庚半径为甲丙一边折半得甲辛为勾求得股为庚辛中垂线用三角形求面积法算之得甲丙庚一三角形之面积六倍之而得圜内容六等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正五万为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸倍之得六寸为圜内容六等边形之每一边次以半径十万为一率三十度之余八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘六因之得九十三寸五十三分一十二厘有余为圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形每一边之弧皆六十度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十度甲庚即三十度之正甲丙即六十度之通辛庚即三十度之余是故半径十万与三十度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之每一边五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸即圜内容六等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积六四九五一九○五为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积八二六九九三三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容七等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七厘零二丝五忽有余为圜内容十四等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与十四等边形之毎一边二寸六分七厘零二丝五忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸六分零三豪三丝有余倍之得五寸二分零六豪六丝有余为圜内容七等边形之每一边爰以半径六寸为七等边形之每一边折半为勾求得股五寸四分零五豪八丝一忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十四寸零七分二十九厘有余七因之得九十八寸五十一分零三厘有余即圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形试自圜心壬至毎角各作一半径线即分七等边形为七三角形又自戊至乙作戊乙线即圜内容十四等边形之毎一边壬乙壬戊半径与戊乙边遂成壬戊乙三角形故以壬乙半径为底壬戊半径与戊乙十四等边形之每一边为两腰求得戊癸垂线倍之得戊己即圜内容七等边形之每一边也又壬戊为戊癸为勾求得股为壬癸中垂线用三角形求面积法算之得壬戊己一三角形之面积七倍之而得圜内容七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸六分零三豪二丝八忽倍之得五寸二分零六豪五丝六忽为圜内容七等边形之每一边次以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余九万零九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸四分零五豪八丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘七因之得九十八寸五十分九十六厘有余为圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正甲丙即五十一度二十五分四十二秒有余之通癸壬即二十五度四十二分五十一秒有余之余是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之每一边四三三八八三七四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸二分零六豪六丝有余即圜内容七等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积六八四一○二五四为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积八七一○二六四一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容八等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸求得圜内容四等边形之每一边为八寸四分八厘五毫二丝八忽有余折半得四寸二分四厘二毫六丝四忽有余为股又以四边之半四寸二分四厘二豪六丝四忽有余与半径六寸相减余一寸七分五厘七毫三丝六忽有余为勾求得四寸五分九厘二豪一丝九忽有余为圜内容八等边形之毎一边爰以半径六寸为八等边形之毎一边折半得二寸二分九厘六豪零九忽有余为勾求得股五寸五分四厘三豪二丝八忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十二寸七十二分七十八厘有余八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余即圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形先求得圜内容四等边形之毎一边为戊己折半得戊壬与癸壬等为股以癸壬与癸乙半径相减余壬乙为勾求得戊乙为圜内容八等边形之每一边试自圜心至每角各作一半径线即分八等边形为八三角形以癸乙半径为戊乙折半得子乙为勾求得股为癸子中垂线用三角形求面积法算之得癸戊乙一三角形之面积八倍之而得圜内容八等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正三万八千二百六十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸二分九厘六豪零八忽倍之得四寸五分九厘二豪一丝六忽为圜内容八等边形之每一边次以半径十万为一率二十二度三十分之余九万二千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸五分四厘三豪二丝八忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余为圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形毎一边之弧皆四十五度试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正甲丙即四十五度之通癸壬即二十二度三十分之余是故半径十万与二十二度三十分之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十二度三十分之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也
　　乂用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之毎一边三八二六八三四三为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸五分九厘二豪二丝有余即圜内容八等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积九○○三一六三一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容九等边形之每一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率三倍等之法求得二率二寸零八厘三豪七丝七忽有余为圜内容十八等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与圜内容十八等边形之毎一边二寸零八厘三豪七丝七忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸零五厘二豪一丝一忽有余倍之得四寸一分零四豪二丝二忽有余即圜内容九等边形之毎一边爰以半径六寸为九等边形之毎一边折半为勾求得股五寸六分三厘八豪一丝五忽有余为自圜心至毎一边之中垂线乃以毎一边折半之数与中垂线相乘得一十一寸五十七分零一厘有余九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余即圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形试自圜心子至每角各作一半径线即分九等边形为九三角形又自己至乙作己乙线即圜内容十八等边形之毎一边子乙子己半径与己乙边遂成子己乙三角形故以子乙半径为底子己半径与己乙十八等边形之毎一边为两腰求得己丑垂线倍之得己庚为圜内容九等边形之每一边也又子己为己丑为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己庚一三角形之面积九倍之而得圜内容九等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正三万四千二百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸零五厘二豪一丝二忽倍之得四寸一分零四豪二丝四忽为圜内容九等边形之每一边次以半径十万为一率二十度之余九万三千九百六十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸六分三厘八豪一丝四忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余为圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形毎一边之弧皆四十度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为二十度甲子即二十度之正甲丙即四十度之通丑子即二十度之余是故半径十万与二十度之正之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十度之余之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之毎一边三四二○二○一四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸一分零四豪二丝四忽有余即圜内容九等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积七二三一三六○六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积九二○七二五四二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求内容十等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】爰以半径六寸为十等边形之每一边折半得一寸八分五厘四豪一丝有余为勾求得股五寸七分零六豪三丝三忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十寸五十八分零一厘有余十因之得一尺零五寸八十分一十厘有余即圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形其子乙半径为首率己乙每一边为中率其毎一边皆三寸七分零八豪二丝有余试自圜心子至每角各作一半径线即分十等边形为十三角形以子乙半径为己乙折半得丑乙为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己乙一三角形之面积十倍之而得圜内容十等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度十分之毎分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正三万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸八分五厘四豪一丝二忽倍之得三寸七分零八豪二丝四忽为圜内容十等边形之毎一边次以半径十万为一率十八度之余九万五千一百零六为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分零六豪三丝六忽为自圜心至毎一边之中垂线与每一边折半之数相乘十因之得一尺零五寸八十分二十七厘有余为圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形每一边之弧皆三十六度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正甲丙即三十六度之通丑子即十八度之余是故半径十万与十八度之正之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与十八度之余之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也
　　又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之每一边三○九○一六九九为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边也
　　又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积七三四七三一五六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积九三五四八九二八为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也

　　圜外切各等边形
　　设如圜径一尺二寸求外切三等边形之每一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸为半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余倍之得二尺零七分八厘四豪六丝有余为圜外切三等边形之毎一边爰以三等边形之每一边为毎一边折半为勾求得股一尺八寸或以半径六寸三倍之得一尺八寸为圜外切三等边形之中垂线乃以每一边之二尺零七分八厘四豪六丝有余与中垂线一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余折半得一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则成丙巳庚三角形其丙庚巳角为六十度丙巳庚角为九十度庚丙巳角为三十度又自甲至己作甲己线为圜内容六等边形之每一边则又成甲己庚甲己丙两三角形其甲己庚三角形之甲己庚角为六十度故甲己丙三角形之甲己丙角为三十度而甲丙己角亦为三十度则丙甲与甲己皆与半径等矣故丙庚即全径为庚己即半径为勾求得丙己股倍之得丙丁为圜外切三等边形之每一边也又丙甲既与半径等则丙乙中垂线为半径之三倍用三角形求面积法算之而得圜外切三等边形之面积也
　　又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正切一十七万三千二百零五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝倍之得二尺零七分八厘四豪六丝为圜外切三等边形之毎一边也既得三等边形之每一边乃以半径三因之与毎一边之数相乘折半得一尺八十七寸零六分一十四厘为圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形每一边之弧皆一百二十度试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则甲己弧为六十度丙己即六十度之正切丙丁即六十度正切之倍是故半径十万与六十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙己之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之每一边一七三二○五○八○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率二尺零七分八厘四豪六丝即圜外切三等边形之每一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一二九九○三八一○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一六五三九八六六九为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切四等边形之每一边及
　　面积几何
　　法因圜径一尺二寸即外切四等边形之毎一边自乘得一尺四十四寸即圜外切四等边形之面积故他法皆不设止存一题以备体焉
　　设如圜径一尺二寸求外切五等边形之毎一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余倍之得七寸四分一厘六豪四丝有余为自圜心至外切五等边形各角之分角线乃以分角线为圜之半径为股求得勾四寸三分五厘九豪二丝四忽有余倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽有余为圜外切五等边形之每一边爰以每一边之八寸七分一厘八豪四丝八忽有余与半径六寸相乘得五十二寸三十一分零八厘有余折半得二十六寸一十五分五十四厘有余五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘有余即圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚五等边形以辛乙半径为首率【即理分中末线之全分】则自圜心至角之辛己分角线为倍中率【即倍理分中末线之大分】何以知之试自丙角至戊己二角作丙戊丙己两角相对斜线成丙戊己三角形复自戊角至庚角作戊庚两角相对斜线截丙己斜线于壬又成戊己壬三角形与丙戊己三角形为同式形【戊己壬三角形之戊角当巳庚边与戊巳边等故戊己壬三角形之戊角与丙戊己三角形之丙角等又同用一巳角则其余一角亦必等故为同式形】而丙戊为首率【即理分中末线之全分】戊己为中率【即理分中末线之大分】己壬为末率【即理分中末线之小分】丙壬亦与戊己等为中率乃自壬至丙戊线作壬癸垂线平分丙戊边于癸遂成丙癸壬勾股形与辛乙己勾股形为同式形【辛乙己勾股形之辛角当乙己边为戊己边之半故辛乙巳勾股之辛角与丙癸壬勾股之丙角等癸角与乙角又同为直角则其余一角亦必等故为同式形】夫丙戊既为首率丙壬既为中率若以丙戊之半丙癸为首率则丙壬之半丙子亦为中率而丙壬即为倍中率丙癸壬勾股形与辛乙巳勾股形既为同式形则辛乙己勾股形之辛乙股与辛己之比必同于丙癸壬勾股形之丙癸股与丙壬之比是以辛乙半径为首率则辛己分角线亦即为倍中率也既得辛己分角线乃以辛己分角线为辛乙半径为股求得乙己勾倍之得戊己即圜外切五等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分五等边形为五三角形其辛乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切五等边形之每一边与半径相乘折半得辛戊巳一三角形之面积五倍之而得圜外切五等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正切七万二千六百五十四为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分五厘九豪二丝四忽倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽为圜外切五等边形之毎一边既得五等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘为圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚五等边形每一边之弧皆七十二度试将丙丁边折半于辛自圜心壬作壬辛半径线又作壬丙分角线割圜界于甲则甲辛弧为三十六度丙辛即三十六度之正切丙丁即三十六度正切之倍是故半径十万与三十六度之正切之比即如所设之半径六寸与丙辛之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之每一边七二六五四二五二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸七分一厘八豪五丝一忽有余即圜外切五等边形之每一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积九○八一七八一六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘有余即圜外切五等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积一一五六三二八三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘即圜外切五等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切六等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸三归四因得四十八寸开方得六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边乃以毎一边之六寸九分二厘八豪二丝有余与半径六寸相乘得四十一寸五十六分九十二厘有余折半得二十寸七十八分四十六厘有余六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等边形试自圜心至各角作分角线即分六等边形为六三角形其壬乙半径即每一三角形之中垂线而中垂线自乘之方为每边自乘之方之四分之三故以半径自乘三归四因开方即得圜外切六等边形之每一边也既得毎一边与半径相乘折半得壬戊己一三角形之面积六倍之而得圜外切六等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度六分之毎分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正切五万七千七百三十五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸四分六厘四豪一丝倍之得六寸九分二厘八豪二丝为圜外切六等边形之毎一边既得六等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘为圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛六等边形毎一边之弧皆六十度试将丙丁边折半于壬自圜心癸作癸壬半径线又作癸丙分角线割圜界于子则子壬弧为三十度丙壬即三十度之正切丙丁即三十度正切之倍是故半径十万与三十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙壬之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之每一边五七七三五○二七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积一一○二六五七八一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切七等边形之每一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸求得内容七等边形之每一边为五寸二分零六豪六丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸四分零五豪八丝一忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余为圜外切七等边形之每一边爰以每一边之五寸七分七厘八豪八丝九忽有余与半径六寸相乘得三十四寸六十七分三十三厘有余折半得一十七寸三十三分六十六厘有余七因之得一尺二十一寸三十五分六十二厘有余即圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形先求得圜内容七等边形之毎一边为癸子又求得圜心至每一边之中垂线为丑寅以丑寅与癸子之比即同于丑乙与巳庚之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分七等边形为七三角形其丑乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切七等边形之每一边与半径相乘折半得丑己庚一三角形之面积七倍之而得圜外切七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒之正切四万八千一百五十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸八分八厘九毫四丝二忽有余倍之得五寸七分七厘八毫八丝四忽有余为圜外切七等边形之每一边既得七等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六厘有余为圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将丙丁边折半于癸自圜心子作子癸半径线又作子丙分角线割圜界于甲则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余丙癸即二十五度四十二分五十一秒有余之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有余之正切之倍是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正切之比即如所设之半径六寸与丙癸之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之毎一边四八一五七四六二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余即圜外切七等边形之每一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积八四二七五五五八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积一○七三○二九七四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切八等边形之毎一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽有余内减圜径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边乃以每一边之四寸九分七厘零五丝六忽有余与半径六寸相乘得二十九寸八十二分三十三厘有余折半得一十四寸九十一分一十六厘有余八因之得一尺一十九寸二十九分二十八厘有余即圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形试依甲乙圜径度作子丑寅夘正方形又作子寅对角斜线于子寅对角斜线内减与甲乙圜径相等之辰己余子辰巳寅两段即与圜外切八等边形之丙丁一边相等也何则丙子丁勾股形因子寅斜线平分为子辰丙子辰丁两勾股形与原形为同式形【子辰丙勾股形之辰角与丙子丁勾股形之子角同为直角又同用一丙角其余一角必等故为同式形】丙子既与子丁等子辰必与丙辰等而为丙丁之一半则子辰巳寅两段亦必与丙丁一边等故以圜径自乘倍之开方而得对角斜线于斜线内减圜径即圜外切八等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分八等边形为八三角形其午乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切八等边形之每一边与半径相乘折半得午己庚一三角形之面积八倍之而得圜外切八等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸四分八厘五豪二丝六忽倍之得四寸九分七厘零五丝二忽为圜外切八等边形之毎一边既得八等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四厘有余为圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形每一边之弧皆四十五度试将丙丁边折半于子自圜心五作丑子半径线又作丑丙分角线割圜界于寅则寅子弧为二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半径十万与二十二度三十分之正切之比即如所设之半径六寸与丙子之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之毎一边四一四二一三五六为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积八二八四二七一二为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积一○五四七八六一七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切九等边形之毎一边及面积几何
　　法以圜径一尺二寸求得内容九等边形之毎一边为四寸一分零四豪二丝二忽有余又求得自圜心至毎一边之中垂线为五寸六分三厘八豪一丝五忽有余乃以中垂线之数为一率毎一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝二忽有余为圜外切九等边形之毎一边爰以毎一边之四寸三分六厘七豪六丝二忽有余与半径六寸相乘得二十六寸二十分五十七厘有余折半得一十三寸一十分二十八厘有余九因之得一尺一十七寸九十二分五十七厘有余即圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形先求得圜内容九等边形之每一边为丑寅又求得圜心至每一边之中垂线为夘辰以卯辰与丑寅之比即同于卯乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分九等边形为九三角形其卯乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切九等边形之毎一边与半径相乘折半得卯庚辛一三角形之面积九倍之而得圜外切九等边形之总面积也
　　又法以全圜三百六十度九分之毎分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正切三万六千三百九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸一分八厘三豪八丝二忽倍之得四寸三分六厘七豪六丝四忽为圜外切九等边形之每一边既得九等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半九因之得一尺一十七寸九十二分六十二厘有余为圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形每一边之弧皆四十度试将丙丁边折半于丑自圜心寅作寅丑半径线又作寅丙分角线割圜界于甲则甲丑弧为二十度丙丑即二十度之正切丙丁即二十度之正切之倍是故半径十万与二十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙丑之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之每一边三六三九七○二四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝四忽有余即圜外切九等边形之每一边也
　　又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积八一八九三三○三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十三厘有余即圜外切九等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积一○四二六九七九一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十五厘有余即圜外切九等边形之面积也
　　设如圜径一尺二寸求外切十等边形之每一边及
　　面积几何
　　法以圜径一尺二寸求得内容十等边形之毎一边为三寸七分零八豪二丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸七分零六豪三丝三忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余为圜外切十等边形之毎一边爰以毎一边之三寸八分九厘九豪零三忽有余与半径六寸相乘得二十三寸三十九分四十一厘有余折半得一十一寸六十九分七十厘有余十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘有余即圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等边形先求得圜内容十等边形之毎一边为寅卯又求得圜心至每一边之中垂线为辰巳以辰巳与寅卯之比即同于辰乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分十等边形为十三角形其辰乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切十等边形之每一边与半径相乘折半得辰庚辛一三角形之面积十倍之而得圜外切十等边形之总面积也又法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正切三万二千四百九十二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸九分四厘九豪五丝二忽倍之得三寸八分九厘九豪零四忽为圜外切十等边形之每一边既得十等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘为圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等边形毎一边之弧皆三十六度试将丙丁边折半于寅自圜心卯作卯寅半径线又作卯丙分角线割圜界于辰则辰寅弧为十八度丙寅即十八度之正切丙丁即十八度之正切之倍是故半径十万与十八度之正切之比即如所设之半径六寸与丙寅之半边之比既得半边倍之即全边也
　　又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切十等边形之每一边三二四九一九七○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余即圜外切十等边形之每一边也
　　乂用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　○○○○○○○为一率圜外切十等
　　边形之面积八一二二九九二四为二
　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　尺四十四寸为三率求得四率一尺一
　　十六寸九十七分一十厘有余即圜外
　　切十等边形之面积也
　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　外切十等边形之面积一○三四二五
　　一五二为二率今所设之圜径一尺二
　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分
　　七十三厘有余为三率求得四率一尺
　　一十六寸九十七分一十厘有余即圜
　　外切十等边形之面积也

　　御制数理精蕴下编卷二十一
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴卷二十二
　　面部十二
　　各等边形
　　更面形

　　各等边形
　　设如五等边形每边一尺二寸问面积防何
　　法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正五万八千七百七十九为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺零二分零七豪七丝二忽有余为五等边形外切圜之半径或用求圜内容五等边形之一边之定率比例以定率之圜内容五等边形之每边五八七七八五二五为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形外切圜之半径乃以此半径为五等边形之每边折半为勾求得股八寸二分五厘八豪二丝七忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线或以三十六度之正五万八千七百七十九为一率三十六度之余八万零九百零二为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪二丝五忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得四十九寸五十四分九十厘有余五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为七十二度将甲乙边折半于己自圜心庚作庚己辛半径线遂平分甲乙弧于辛则甲辛弧为三十六度甲己即三十六度之正庚己即三十六度之余是故三十六度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲己与所得之半径甲庚之比又三十六度之正与三十六度之余之比即如今所设之每边之半甲己与所得之垂线庚己之比也【此即圜内容五等边形之法而转用之也】
　　又法以三十六度之正切七万二千六百五十四为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪三丝二忽有余为五等边形内容圜之半径或用求圜外切五等边形之一边之定率比例以定率之圜外切五等边形之每边七二六五四二五二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺六寸五分一厘六豪五丝八忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝九忽有余为五等边形内容圜之半径即五等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有余为五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一内容圜形自甲角过圜心己作甲己庚线遂平分丙丁边于庚则丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丙庚与所得之内容圜半径己庚之比也【此即圜外切五等边形之法而转用之也】
　　又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即五等边形两角相对之斜线乃以此斜线为每边之半为勾求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之和【即五等边形自一角至每边正中之垂线】复以此垂线为首率每边之半为中率求得末率一寸九分四厘九豪五丝二忽为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之较乃以此较数与先所得和数相加得二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形之分角线【即五等边形外切圜之半径】仍以此较数与先所得和数相减得一尺六寸五分一厘六豪五丝七忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝八忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线【即五等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形巳为五等边形之中心试自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙线截甲丙线于庚则又成丁庚丙三角形此两三角形为同式形故甲丙线为首率【即理分中末线之全分】丙丁边为中率【即理分中末线之大分】而所截之甲庚一段与丙丁边等亦为中率庚丙一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为甲丙首率与丙丁中率之比即同于丙丁中率与庚丙末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率与甲庚中率相加即得甲丙首率为两角相对斜线爰用甲丙斜线为丙辛每边之半为勾求得用辛股为己辛中心至边之垂线与甲己分角线之和既得甲辛线则用连比例有首率中率求末率之法以甲辛为首率丙辛为中率求得辛壬末率即己辛中心至边之垂线与甲己分角线之较既得辛壬与甲辛相加折半得甲己即分角线又为五等边形外切圜之半径以辛壬与甲辛相减折半得己辛即中心至每边之垂线又为五等边形内容圜之半径既得己辛垂线与丙丁每边之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面积五倍之即五等边形之面积也
　　又既得五等边形两角相对之斜线与自一角至每边正中之垂线求面积捷法以所得末率七寸四分一厘六豪四丝有余加每边之半六寸得一尺三寸四分一厘六豪四丝有余与自一角至每边正中之垂线一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余相乗得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂线则甲己垂线与丙己每边之半相乗即得甲丙丁三角形面积又自乙角至甲丙线上作乙庚垂线则乙庚垂线与甲丙斜线相乗即得甲乙丙甲戊丁两三角形之共面积然无乙庚之数今试自丁角至乙角作丁乙斜线截甲丙斜线于辛则甲辛与丁辛等俱为中率乙辛与辛丙等俱为末率又成乙辛庚勾股形与甲丙己勾股形为同式形【丁辛丙三角形之辛角原与丙角等而与乙辛庚勾股形之辛角为对角其度亦等庚角与己角又同为直角其余一角亦必等所以为同式形】故甲丙为一率甲己为二率乙辛为三率乙庚为四率凡二率三率相乗与一率四率相乗之数等今以甲己垂线与乙辛末率相乗必与乙庚垂线与甲丙斜线相乗之积等是即甲乙丙甲戊丁两三角形之共积矣故以乙辛末率与丙己每边之半相加而与甲己垂线相乗即得甲乙丙丁戊五等边形之面积也
　　又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而五等边形之每一边一○○○○所得之五等边形面积为一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯己午正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺四十七寸七十四分八十七厘有余之比也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之五等边形之每边七六二三八七○五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有余为与五等边形面积相等之正方形每边之数自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每边为七六二三八七○五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二三八七○五与己午未申正方形之午未一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸七分四厘零三忽有余之比既得庚辛一边自乗得己庚辛壬正方面积即与甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等也
　　如有五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形之面积一七二○四七七四一为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之每边与正方形之每边相等五等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率五等边形之每边七六二三八七○五为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘开方得一尺五寸七分四厘零三忽有余为三率求得四率一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之面积与正方形之面积相等五等边形之每边与正方形之每边不同故以五等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也
　　设如六等边形每边一尺二寸问面积几何
　　法因六等边形之每边与分角线【即六等边形外切圜之半径】相等故即以每边一尺二寸为每边之半六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为六等边形中心至每边正中之垂线【即六等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余即六等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己六等边形庚为六等边形之中心其庚丙分角线与丙丁类每边等故以庚丙为每边之半丙辛为勾求得庚辛股即六等边形中心至每边正中之垂线既得垂线与丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面积六倍之即六等边形之面积也
　　又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率六等边形面积二五九八○七六二○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而六等边形之每一边一○○○○所得之六等边形面积为二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯午未正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己六等边形面积二五九八○七六二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形面积三尺七十四寸一十二分二十九厘有余之比也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形之每边六二○四○三二四为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为与六等边形面积相等之正方形每边之数自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每边为六二○四○三二四正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边六二○四○三二四与午未申酉正方形之未申一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一边一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余之比既得辛壬一边自乗得庚辛壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六等边形之面积为相等也
　　如有六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之六等边形之面积二五九八○七六二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之每边与正方形之每边相等六等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率六等边形之每边六二○四○三二四为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘开方得一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为三率求得四率一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之面积与正方形之面积相等六等边形之每边与正方形之每边不同故以六等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也
　　设如七等边形每边一尺二寸问面积几何
　　法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余爰以二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺三寸八分二厘八豪七丝有余为七等边形外切圜之半径或用求圜内容七等边形之一边之定率比例以定率之圜内容七等边形之每边四三三八八三七四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺七寸六分五厘七豪一丝七忽有余折半得一尺三寸八分二厘八豪五丝八忽有余为七率边形外切圜之半径乃以此半径为七等边形之每边折半为勾求得股一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线或以二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余九万零九十七为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得七十四寸七十五分五十五厘有余七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为五十一度二十五分四十二秒有余将甲乙边折半于辛自圜心壬作壬辛癸半径线遂平分甲乙弧于癸则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲辛即二十五度四十二分五十一秒有余之正壬辛即二十五度四十二分五十一秒有余之余是故二十五度四十二分五十一秒有余之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之半径甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有余之正与二十五度四十二分五十一秒有余之余之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也【此即圜内容七等边形之法而转用之也】
　　又法以二十五度四十二分五十一秒有余之正切四万八千一百五十七为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝四忽有余为七等边形内容圜之半径或用求圜外切七等边形之一边之定率比例以定率之圜外切七等边形之每边四八一五七四六二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺四寸九分一厘八豪二丝五忽有余折半得一尺二寸四分五厘九豪一丝二忽有余为七等边形内容圜之半径即七等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一内容圜形自甲角过圜心辛作甲辛壬线遂平分丁戊边于壬则丁壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正切故以二十五度四十二分五十一秒有余之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁壬与所得之内容圜半径辛壬之比也【此即圜外切七等边形之法而转用之也】又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率七等边形面积三六三三九一二四○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而七等边形之每一边一○○○○所得之七等边形面积为三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰未申正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己午七等边形面积三六三三九一二四○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚七等边形面积五尺二十三寸二十八分三十三厘有余之比也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之七等边形之每边五二四五八一二六为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为与七等边形面积相等之正方形每边之数自乗得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每边为五二四五八一二六正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边五二四五八一二六与未申酉戌正方形之申酉一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之辛壬癸干正方形之壬癸一边二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余之比既得壬癸一边自乗得辛壬癸干正方面积即与甲乙丙丁戊己庚七等边形之面积为相等也
　　如有七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之七等边形之面积三六三三九一二四○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之每边与正方形之每边相等七等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘开方得二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为三率求得四率一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之面积与正方形之面积相等七等边形之每边与正方形之每边不同故以七等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也
　　设如八等边形每边一尺二寸问面积几何
　　法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正三万八千二百六十八为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸六分七厘八豪八丝九忽有余为八等边形外切圜之半径或用求圜内容八等边形之一边之定率比例以定率之圜内容八等边形之每边三八二六八三四三为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺一寸三分五厘七豪五丝一忽有余折半得一尺五寸六分七厘八豪七丝五忽有余为八等边形之切圜之半径乃以此半径为八等边形之每边折半为勾求得股一尺四寸四分八厘五豪二丝七忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线或以二十二度三十分之正三万八千二百六十八为一率二十二度三十分之余九万二千三百八十八为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝一忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得八十六寸九十一分二十四厘有余八因之得六尺九十五寸二十九分九十二厘有余即八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十五度将甲乙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲乙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正癸壬即二十二度三十分之余是故二十二度三十分之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之半径甲癸之比又二十二度三十分之正与二十二度三十分之余之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之垂线癸壬之比也【此即圜内容八等边形之法而转用之也】又法以二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝有余为八等边形内容圜之半径或用求圜外切八等边形之一边之定率比例以定率之圜外切八等边形之每边四一四二一三五六为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺八寸九分七厘零五丝六忽有余折半得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为八等边形内容圜之半径即八等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘有余为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每边正中之垂线遂平分丁戊边于癸则丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁癸与所得之内容圜半径壬癸之比也【此即圜外切八等边形之法而转用之也】
　　又法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余与每边之半六寸相加得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为自中心至每边正中之垂线乃以此垂线与每边之半相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形壬为八等边形之中心试将辛甲乙丙丁戊己庚四边俱引长相交遂成癸子丑寅正方形其四角丙子丁类勾股相等之四勾股形之即八等边形之每一边故以丙丁一边自乗折半开方得丙子或子丁于丙子内再加乙丙边之半卯丙得卯子与壬辰等即八等边形自中心至每边正中之垂线既得垂线与每边之半相乗八因之即得八等边形之面积也
　　又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而八等边形之每一边一○○○○所得之八等边形面积为四八二八四二七一二故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰申酉正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未八等边形面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形面积六尺九十五寸二十九分三十五厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之八等边形之每边四五五○八九八五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为与八等边形面积相等之正方形每边之数自乗得六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每边为四五五○八九八五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边四五五○八九八五与申酉戌亥正方形之酉戌一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之癸干一边二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余之比既得癸干一边自乗得壬癸干坎正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之面积为相等也
　　如有八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之八等边形之面积四八二八四二七一二为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之每边与正方形之每边相等八等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率八等边形之每边四五五○八九八五为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘开方得二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为三率求得四率一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之面积与正方形之面积相等八等边形之每边与正方形之每边不同故以八等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也
　　设如九等边形每边一尺二寸问面积几何
　　法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度爰以二十度之正三万四千二百零二为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺七寸五分四厘二豪八丝三忽有余为九等边形外切圜之半径或用求圜内容九等边形之一边之定率比例以定率之圜内容九等边形之每边三四二○二○一四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺五寸零八厘五豪六丝五忽有余折半得一尺七寸五分四厘二豪八丝二忽有余为九等边形外切圜之半径乃以此半径为九等边形之每边折半为勾求得股一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线或以二十度之正三万四千二百零二为一率二十度之余九万三千九百六十九为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝二忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得九十八寸九十分八十九厘有余九因之得八尺九十寸一十八分零一厘有余即九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十度将甲乙边折半于癸自圜心子作子癸丑半径线遂平分甲乙弧于丑则甲丑弧为二十度甲癸即二十度之正子癸即二十度之余是故二十度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之半径甲子之比又二十度之正与二十度之余之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之垂线子癸之比也【此即圜内容九等边形之法而转用之也】
　　又法以二十度之正切三万六千三百九十七为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝七忽有余为九等边形内容圜之半径或用求圜外切九等边形之一边之定率比例以定率之圜外切九等边形之每边三六三九七○二四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺二寸九分六厘九豪七丝二忽有余折半得一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形内容圜之半径即九等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九厘有余为九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一内容圜形自甲角过圜心癸作甲癸子线遂平分戊巳边于子则戊子即二十度之正切故以二十度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半戊子与所得之内容圜半径癸子之比也【此即圜外切九等边形之法而转用之也】
　　又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率九等边形面积六一八一八二四二○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率八尺九十寸一十八分二十六厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而九等边形之每一边一○○○○所得之九等边形面积为六一八一八二四二○故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰已一边一○○○○自乗之辰已酉戌正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未申九等边形面积六一八一八二四二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己癸干正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形面积八尺九十寸一十八分二十六厘有余之比也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之九等边形之每边四○二一九九六三为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为与九等边形面积相等之正方形每边之数自乗得八尺九十寸一十八分二十一厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每边为四○二一九九六三正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰巳一边四○二一九九六三与酉戌亥金正方形之戌亥一边一○○○○○○○○之比即同于今所设甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之戊已一边一尺二寸与今所得之癸干坎艮正方形之干坎一边二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余之比既得干坎一边自乗得癸干坎艮正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之面积为相等也
　　如有九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之九等边形之面积六一八一八二四二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之每边与正方形之每边相等九等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率九等边形之每边四○二一九九六三为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘开方得二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之面积与正方形之面积相等九等边形之每边与正方形之每边不同故以九等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也
　　形每边一尺二寸问面积几何
　　法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度爰以十八度之正三万零九百零二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪二丝一忽有余为十等边形外切圜之半径或用求圜内容十等边形之一边之定率比例以定率之圜内容十等边形之每边三○九○一六九九为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺八寸八分三厘二豪八丝一忽有余折半得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为十等边形外切圜之半径乃以此半径为十等边形之每边折半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线或以十八度之正三万零九百零二为一率十八度之余九万五千一百零六为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘五豪九丝八忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得一尺一十寸七十九分五十八厘有余十因之得一十一尺零七寸九十五分八十厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为三十六度将甲乙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲乙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正丑子即十八度之余是故十八度之正与半径十万之比即如今所设之每边之半甲子与所得之半径甲丑之比又十八度之正与十八度之余之比即如今所设之每边之半甲子与所得之垂线丑子之比也【此即圜内容十等边形之法而转用之也】又法以十八度之正切三万二千四百九十二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘六豪零八忽有余为十等边形内容圜之半径或用求圜外切十等边形之一边之定率比例以定率之圜外切十等边形之每边三二四九一九七○为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺六寸九分三厘二豪二丝有余折半得一尺八寸四分六厘六豪一丝有余为十等边形内容圜之半径即十等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十厘有余为十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一内容圜形自中心子至每边之正中作子丑垂线遂平分戊巳边于丑则戊丑即十八度之正切故以十八度之正切与半径十万之比同于今所设之毎边之半戊丑与所得之内容圜半径子丑之比也【此即圜外切十等边形之法而转用之也】
　　又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即十等边形之分角线【即十等边形外切圜之半径】乃以分角线为每边之半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形自中心至每边正中之垂线【即十等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分五十四厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形子为十等边形之中心试自中心子至戊巳二角作子戊子巳二线成子戊已三角形又自已角至丙角作巳丙线截子戊线于丑则又成巳丑戊三角形与子戊巳三角形为同式形故子戊线为首率【即理分中末线之全分】戊已边为中率【即理分中末线之大分】而所截之子丑一段与戊巳边等亦为中率丑戊一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为子戊首率与戊巳中率之比即同于戊已中率与丑戊末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得丑戊末率与子丑中率相加即得子戊首率为分角线又为十等边形外切圜之半径以子戊为戊巳边之半戊寅为勾求得子寅股即十等边形中心子至每边正中之垂线又为十等边形内容圜之半径既得子寅垂线与戊已边之半戊寅相乗得子戊巳一三角形之面积十因之即十等边形之面积也
　　又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率十等边形面积七六九四二○八八三为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率一十一尺零七寸九十六分六十厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而十等边形之每一边一○○○○所得之十等边形面积为七六九四二○八八三故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边一○○○○自乗之辰巳戌亥正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰已午未申酉十等边形面积七六九四二○八八三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己干坎正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形面积一十一尺零七寸九十六分六十厘有余之比也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之十等边形之每边三六○五一○五八为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为十等边形面积相等之正方形每边之数自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每边为三六○五一○五八正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边三六○五一○五八与戌亥金木正方形之亥金一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之戊巳一边一尺二寸与今所得之干坎艮震正方形之坎艮一边三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余之比既得坎艮一边自乗得干坎艮震正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之面积为相等也
　　如有十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之十等边形之面积七六九四二○八八三为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之每边与正方形之每边相等十等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也
　　又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率十等边形之每边三六○五一○五八为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘开方得三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之面积与正方形之面积相等十等边形之每边与正方形之每边不同故以十等边形之面
　　【积先开方既得方边而后为线】
　　【与线】
　　【之比】

　　更面形
　　设如正方形每边一尺二寸今欲作与正方形积相等之圜面积问径几何
　　法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之正方形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余即所求之圜径也葢正方形之每边为一○○○○○○○○圜径为一一二八三七九一六则两面积相等故以子丑寅卯正方形之每边一○○○○○○○○与辰巳圜径一一二八三七九一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方形之每边一尺二寸与今所得之戊巳圜径一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余之比而两面积亦为相等也
　　设如正方形面积一尺四十四寸今欲作与正方边
　　相等之圜径问积几何
　　法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率圜面积七八五三九八一六为二率今所设之正方面积一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三厘有余即所求之圜面积也葢正方面积为一○○○○○○○○圜面积为七八五三九八一六则正方形之每边与圜径相等故以子丑寅卯正方面积一○○○○○○○○与辰巳圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方面积一尺四十四寸与今所得之戊巳圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余之比而正方形之每边与圜径亦为相等也
　　设如圜径一尺二寸今欲作与圜面积相等之三等
　　边形问每一边几何
　　法用面积相等边线不同之定率比例以定率之圜径一一二八三七九一六为一率三等边形之每边一五一九六七一三七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余即三等边形之每一边也葢圜径为一一二八三七九一六三等边形之每边为一五一九六七一三七则两面积相等故以子丑圜径一一二八三七九一六与寅卯辰三等边形之每边一五一九六七一三七之比即同于今所设之甲乙圜径一尺二寸与今所得之丙丁戊三等边形之毎边一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余之比而两面积亦为相等也
　　设如圜面积一尺四十四寸今欲作与圜径相等之五等边形问积几何
　　法用边线相等面积不同之定率比例以定率之圜面积七八五三九八一六为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之圜面积一尺四十四寸为三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五厘有余即五等边形之面积也葢圜面积为七八五三九八一六五等边形面积为一七二○四七七四一则圜径与五等边形之每边相等故以子丑圜面积七八五三九八一六与寅卯辰巳午五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙圜面积一尺四十四寸与今所得之丙丁戊己庚五等边形面积三尺一十五寸四十四分三十五厘有余之比而圜径与五等边形之每边亦为相等也
　　设如六等边形每边一尺二寸今欲作与六等边形面积相等之七等边形问每一边几何
　　法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形每边六二○四○三二四为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之六等边形每边一尺二寸为三率求得四率一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余即七等边形之每一边也葢六等边形每边为六二○四○三二四七等边形毎边为五二四五八一二六则两面积相等故以子丑寅卯辰巳六等边形之每边六二○四○三二四与午未申酉戌亥金七等边形之每边五二四五八一二六之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸干坎艮七等边形之每边一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余之比而两面积亦为相等也
　　设如五等边形面积一尺四十四寸今欲作与五等边形每边相等之八等边形问积几何
　　法用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形面积一七二○四七七四一为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之五等边形面积一尺四十四寸为三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二厘有余即八等边形之面积也葢五等边形面积为一七二○四七七四一八等边形面积为四八二八四二七一二则五等边形之每边与八等边形之每边相等故以子丑寅卯辰五等边形之面积一七二○四七七四一与巳午未申酉戌亥金八等边形之面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之面积一尺四
　　十四寸与今所得之己庚辛壬癸干坎
　　艮八等边形之面积四尺零四寸一十
　　二分八十二厘有余之比而五等边形
　　之每边与八等边形之每边亦为相等
　　也

　　御制数理精蕴下编卷二十二
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十三
　　体部一
　　立方

　　立方
　　立方者等边六面之体积也以形而言虽为六面十二边之所合以积而言则为自乗再乗之数因其纵横与髙俱相等故十二边皆如一线得其一边而十二边莫不相同其积之也自线而面自面而体次第相乗而后得其全积其之也必次第析之而后得其一边是故古人立为方廉长廉之制每积三位而得边之一位所谓一千商十定无疑三万才为三十余九十九万不离十百万方为一百推是也其法先从一角而剖其体以自一至九自乗再乗之数为方根与实相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方根止一位若有余实即初商方积外别成一缺角三面磬折体其附初商之三面者谓之方廉其附初商之三边者谓之长廉其附初商之角者谓之隅廉有三故以三为廉法隅惟一而隅之三面即符于三长廉之端合三方廉三长廉一隅始合次商之数故商除之法以初商自乗三因为三方廉面积视初商余实足方廉面积几倍即定为次商乃以次商乗三长廉为三长廉面积又以次商自乗为小隅面积共合三方廉三长廉及一小隅面积以次商数乗之为次商廉隅之共积所谓初商方积外别成一缺角三面磬折体者是也如次商外尚有不尽之实则初商次商方积外仍为三方廉三长廉一小隅又成一三面磬折体但较前方廉愈大长廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照次商之例逓析之实尽而止如开至多位实仍不尽者必非自乗再乗之正数此开立方之定法也体形不一而容积皆以立方为准故立方为算诸体之本诸体必通之立方而法乃可施也
　　设如正方体积一百二十五尺开立方问毎一边数几何
　　法列正方体积一百二十五尺自末位起算每方积三位定方边一位今积止有三位则于五尺上作记定单位以自一至九自乗再乗之方根数与之相审知与五尺自乗再乗之数恰合乃以五尺书于方积五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为五尺也如图甲乙丙丁戊己正方体形毎边皆五尺其中函一尺小方体一百二十五自边计之为五尺自面计之则为五尺自乗之二十五尺自通体计之则为五尺自乗再乗之一百二十五尺以积开之则与五尺自乗再乗之数相准故商除之恰尽也盖方积为三位是以方边止一位方积即五尺自乗再乗之数别无廉隅故不用次商如有余实则自成廉隅而用次商矣
　　设如正方体积一丈七百二十八尺开立方问每一边数几何
　　法列正方体积一丈七百二十八尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位余积七百二十八尺续书于下【大凡以余积续书于下者每取方积之三位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除方积七百二十八尺足二尺即定次商为二尺书于方积八尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减恰尽是开得一丈二尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形毎边皆一丈二尺其中函积一丈七百二十八尺是为共积其先从一角所分戊乙庚己方体每边一丈即初商数其中函积亦一丈即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边一丈即初商数其厚二尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边一丈亦即初商数其阔其厚皆二尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其卯形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为二尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉夘一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积此立方廉隅之法所由生也三商以后皆仿此逓析开之
　　又法列积一丈七百二十八尺自末位起算作记定位同前乃截一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合则定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽乃以方边末位余积七百二十八尺续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积三百尺除方积七百二十八尺足二尺则定次商为二尺书于方积八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺与原积符合相减恰尽即定立方边为一丈二尺也此法止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗得数与原积相减虽为省去长廉小隅一层然方边位数少者还为简易至于方边位数过四位以上则累次自乗再乗反比逓析之理为烦矣
　　设如正方体积一十四万八千八百七十七尺开立方问每一边数几何【此题正方体积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积三位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也】
　　法列正方体积一十四万八千八百七十七尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于七尺上定单位八千尺上定十位其一十四万八千尺为初商积以初商本位计之则八千尺为初商积之单位而一十四万八千尺为一百四十八止与五自乗再乗之数相准即定初商为五书于方积八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五书于初商积之下相减余二万三千尺爰以方边第二位余积八百七十七尺续书于下共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积以除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以初商之五十尺与次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺为次商三长廉面积复以次商三尺自乗得九尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七千九百五十九尺为廉隅共法书于余积之左以次商之三尺乗之得二万三千八百七十七尺与余积相减恰尽是开得五十三尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形每边五十三尺其中函积一十四万八千八百七十七尺是为共积其从一角所分戊乙庚己方体每边五十尺即初商边数其中函积一十二万五千尺即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边五十尺即初商数其厚三尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边五十尺亦即初商数其阔其厚皆三尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其邜形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为三尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积也又法列积一十四万八千八百七十七尺自末位起算作记定位同前乃截一十四万八千尺为初商积与五十自乗再乗之数相准则定初商五十尺书于方积八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二万五千尺书于原积一十四万八千之下相减余二万三千尺乃合第二位积八百七十七尺共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四万八千八百七十七尺与原积符合相减恰尽即定立方边为五十三尺也此法亦止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗以减原积也
　　设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸开立方问每一边数几何
　　法列正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百六十尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百六十尺足二尺即定次商为二尺书于方积空尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与次商廉隅共积相减余一百三十二尺即一十三万二千寸复以方边第三位余积八百六十七寸续书于下共一十三万二千八百六十七寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十三万二千八百六十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺三寸为正方体积每一边之数也
　　设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺立方问每一边数几何
　　法列正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于六尺上定单位八千尺上定十位四百万尺上定百位其九千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万尺为初商积之单位而九千四百万尺为九十四止与四自乗再乗之数相准即定初商为四书于方积四百万尺之上而以四自乗再乗之六十四书于初商积之下相减余三千万尺爰以方边第二位余积八十一万八千尺续书于下共三十零八十一万八千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则八千尺为次商积之单位而三千零八十一万八千尺为三万零八百一十八而初商之四即为四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百为次商三方廉面积以除三万零八百一十八足五倍即定次商为五书于方积八千尺之上而以初商之四十与次商之五相乗得二百三因之得六百为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五千四百二十五为次商廉隅共法书于余积之左以次商之五乗之得二万七千一百二十五与次商廉隅共积相减余三百六十九万三千尺复以方边末位余积八百一十六尺续书于下共三百六十九万三千八百一十六尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十万零二千五百三因之得六十万零七千五百为三商三方廉面积以除三百六十九万三千八百一十六尺足六倍即定三商为六书于方积六尺之上而以初商次商之四百五十与三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百为三商三长廉面积复以三商之六自乗得三十六为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六十一万五千六百三十六为三商廉隅共法书于余积之左以三商之六乗之得三百六十九万三千八百一十六与三商廉隅共积相减恰尽是得四百五十六尺为正方体积毎一边之数也
　　设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸开立方问每一边数几何
　　法列正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作记即于七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈为初商积与七丈自乗再乗之数相准即定初商为七丈书于方积七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈书于初商积之下相减余四丈即四千尺爰以方边第二位余积四百二十八尺续书于下共四千四百二十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一万四千七百尺为次商三方廉面积以除方积四千四百二十八尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积八尺之上以存次商之位复以方边末位余积九百二十七寸续书于下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二万八千九百二十七寸为三商廉隅之共积仍以次商三方廉面积一万四千七百尺作一百四十七万寸为廉法以除四百四十二万八千九百二十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上又以初商之七丈为七百寸与三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一百四十七万六千三百零九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得四百四十二万八千九百二十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得七丈零三寸为正方体积毎一边之数也此法商出之方边有空位凡廉法除余积而数不足者皆依此例推之
　　设如正方体积三千九百三十万四千尺开立方问每一边数几何
　　法列正方体积三千九百三十万四千尺补三空位以足其分自末空位起算每隔二位作记乃于空尺上定单位四千尺上定十位九百万尺上定百位其三千九百万尺为初商积以初商本位计之则九百万尺为初商积之单位而三千九百为三十九止与三自乗再乗之数相准即定初商为三书于方积九百万尺之上而以三自乗再乗之二十七书于初商积之下相减余一千二百万尺爰以方边第二位余积三十万四千尺续书于下共一千二百三十万四千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四千尺为次商积之单位而一千二百三十万四千尺为一万二千三百零四而初商之三即为三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百为次商三方廉面积以除余积一万二千三百零四足四倍即定次商为四书于方积四千尺之上又以初商之三十与次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零七十六为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四乗之得一万二千三百零四与余积相减恰尽是开得三百四十尺为正方体积每一边之数也此法方积之末有三空位故所得方边之末亦补一空位凡设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之
　　设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分开立方问每一边数几何
　　法列正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作记于四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百七十九尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百七十九尺足二尺即定次商为二尺书于方积九尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉而积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减仍余一百五十一尺即一十五万一千寸又以方边第三位余积八十寸续书于下共一十五万一千零八十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十五万一千零八十寸足三寸即定三商为三寸书于方积空寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与余积相减仍余一万八千二百一十三寸即一千八百二十一万三千分又以方边第四位余积九百零四分续书于下共一千八百二十一万三千九百零四分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一万二千九百分三因之得四百五十三万八千七百分为四商三方廉面积以除一千八百二十一万三千九百零四分足四分即定四商为四分书于方积四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分与四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一万四千七百六十分为四商三长廉面积复以四商之四分自乗得一十六分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百五十五万三千四百七十六分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之四分乗之得一千八百二十一万三千九百零四分与余积相减恰尽是开得一丈二尺三寸四分为正方体积每一边之数也
　　设如正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺开立方问毎一边数几何
　　法列正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺自末位起算每隔二位作记于五尺上定单位空千尺上定十位空百万尺上定百位八十亿尺上定千位其八十亿尺为初商积以初商本位计之则八十亿尺为初商积之单位而八十亿尺为八止与二自乗再乗之数相合即定初商为二书于方积八十亿尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积六千万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则空百万尺为次商之单位而六千万尺为六十而初商之二即为二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除六十其数不足是次商为空位乃书一空于方积空百万尺之上以存次商之位复以方边第三位余积一十五万尺续书于下共六千零一十五万尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空千尺为三商之单位而六千零一十五万尺为六万零一百五十而初商之二即为二百次商之空即为空十故以初商次商之二空作二百自乗得四万三因之得十二万为三商三方廉面积以除六万零一百五十其数仍不足是三商亦为空位乃再书一空于方积空千尺之上以存三商之位复以方边末位余积一百二十五尺续书于下共六千零一十五万零一百二十五尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百万尺三因之得一千二百万尺为四商三方廉面积以除六千零一十五万零一百二十五尺足五尺即定四商为五尺书于方积五尺之上而以初商之二千尺与四商之五尺相乗得一万尺三因之得三万尺为四商三长廉面积复以四商之五尺自乗得二十五尺为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千二百零三万零二十五尺为四商廉隅共法书于余积之左以四商之五尺乗之得六千零一十五万零一百二十五尺与余积相减恰尽是开得二千零五尺为正方体积每一边之数也此法商出之方边有二空位凡开立方遇此类者皆依此例推之
　　设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺开立方问每一边数几何
　　法列正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作记于二尺上定单位六千尺上定十位四百万尺上定百位三十亿尺上定千位其三十亿尺为初商积以初商本位计之则三十亿尺为初商积之单位而三十亿尺为三止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积三十亿尺之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余二十亿尺爰以方边第二位余积二亿九千四百万尺续书于下共二十二亿九千四百万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四百万尺为次商积之单位而二十二亿九千四百万尺为二千二百九十四而初商之一即为一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除二千二百九十四足七倍因定次商为七而以初商之一十与次商之七相乗得七十三因之得二百一十为次商三长廉面积复以次商之七自乗得四十九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十九为次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大于次商廉隅之共积是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大于次商廉隅之共积是次商不可商六也又改商五而以初商之一十与次商之五相乗得五十三因之得一百五十为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百七十五为次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大于次商廉隅之共积是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十与次商之四相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百三十六为次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小于次商廉隅之共积可减也乃以次商之四书于方积四百万尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四与次商廉隅之共积相减余五亿五千万尺复以方边第三位余积六十四万六千尺续书于下共五亿五千零六十四万六千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则六千尺为三商积之单位而五亿五千零六十四万六千尺为五十五万零六百四十六而初商次商之一十四即为一百四十乃以初商之一百四十自乗得一万九千六百三因之得五万八千八百为三商三方廉面积以除五十五万零六百四十六足九倍因定三商为九而以初商次商之一百四十与三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十为三商三长廉面积复以三商之九自乗得八十一为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千六百六十一为三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六万三千九百四十九大于三商廉隅之共积是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十与三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十为三商三长廉面积复以三商之八自乗得六十四为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千二百二十四为三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九万七千七百九十二是小于三商廉隅之共积可减也乃以三商之八书于方积六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九万七千七百九十二与三商廉隅之共积相减余五千二百八十五万四千尺复以方边末位余积二百七十二尺续书于下共五千二百八十五万四千二百七十二尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九万零四百三因之得六百五十七万一千二百为四商三方廉面积以除五千二百八十五万四千二百七十二足八倍即定四商为八书于方积二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十与四商之八相乗得一万一千八百四十三因之得三万五千五百二十为四商三长廉面积复以四商之八自乗得六十四为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百六十万六千七百八十四为四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五万四千二百七十二与余积相减恰尽是开得一千四百八十八尺为正方体积毎一边之数也此法盖因方边之第三位第四位二数太大故次商廉隅之共积以次商之三方廉除得次商之边继而以次商之边与次商廉隅共法相乗大于原积甚多改商三次所乗之数始与次商廉隅之共积相准而后次商之数可定凡开立方遇此类者皆依此例推之如或廉隅共法与商出之数相乗得数大于廉隅共积几一倍者则改商必审其与廉隅共积相近小数始可为准也
　　设如有积一万四千七百三十四尺开立方问每一边数几何
　　法列积一万四千七百三十四尺自末位起算隔二位作记于四尺上定单位四千尺上定十位其一万四千尺为初商积以初商本位计之则四千尺为初商积之单位而一万四千为一十四止与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于方积四千尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余六千尺爰以方边第二位余积七百三十四尺续书于下共六千七百三十四尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则边与积皆仍为本位而初商之二则为二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺为次商三方廉面积以除方积六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺与次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺为次商三长廉面积复以次商之五尺自乗得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共一千五百二十五尺为次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大于次商廉隅之共积是次商不可商五尺也乃改商四尺书于方积四尺之上而以初商之二十尺与次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺为次商三长廉面积复以次商之四尺自乗得一十六尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百五十六尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺与余积相减仍余九百一十尺是开得二十四尺为方体每一边之数仍余九百一十尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増三空于总积之后复续书三空于九百一十尺之后为几百几十几寸之位是则九百一十尺作九十一万寸为三商廉隅之共积爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五万七千六百寸三因之得一十七万二千八百寸为三商三方廉面积以除余积九十一万寸足五寸即定三商为五寸书于余积空寸之上而以初商次商之二百四十寸与三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸为三商三长廉面积复以三商之五寸自乗得二十五寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十七万六千四百二十五寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之五寸乗之得八十八万二千一百二十五寸与余积相减仍余二万七千八百七十五寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书三空于原积空寸之后复续书三空于二万七千八百七十五寸之后为几百几十几分之位是则二万七千八百七十五寸作二千七百八十七万五千分为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百万零二千五百分三因之得一千八百万零七千五百分为四商三方廉面积以除余积二千七百八十七万五千分足一分即定四商为一分书于余积空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分与四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分为四商三长廉面积复以四商之一分自乗仍得一分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千八百零一万四千八百五十一分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一万四千八百五十一分与余积相减仍余九百八十六万零一百四十九分不尽是开得二十四尺五寸一分为方体每一边之数也此法原积本非自乗再乗所得之数虽逓析之终不能尽凡开立方遇此类者皆以此例推之
　　设如有方亭几座用方甎铺地共用一千七百二十八块其所铺之座数与毎座毎行之甎数相等问亭之座数几何
　　法列方甎一千七百二十八块为立方积用开立方法开之于八块上定单位一千块上定十位其一千块为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于方积一千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减恰尽爰以第二位余积七百二十八块续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除七百二十八足二倍即定次商为二书于方积八块之上而以初商之一十与次商之二相乗得二十三因之得六十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四书于余积之左以次商之二乗之得七百二十八与余积相减恰尽是得所铺亭数为一十二座也此法因所铺之亭数与每行甎数相等是每行甎一十二块其亭亦一十二座虽非立方形而法则立方法也故用立方开之
　　设如有方仓一座共盛粮八百七十八石八斗问仓髙几何
　　法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺为立方积用开立方法开之其二千尺为初商积以初商本位计之则二千尺为初商积之单位止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积二千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余一千尺爰以第二位余积一百九十七尺续书于下共一千一百九十七尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除一千一百九十七尺足三倍即定次商为三书于方积七尺之上而以初商之一十与次商之三相乗得三十三因之得九十为次商三长廉面积复以次商之三自乗得九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十九为次商廉隅共法书于余积之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺与余积相减恰尽是开得方仓之高为一十三尺也此法因粮是石法所问乃仓之尺数故先将石变为尺而开立方即得仓之髙也
　　设如有方石一块重一二万六千六百二十两问每边尺寸几何
　　法以石之定率每寸重二两五钱除二万六千六百二十两得一万零六百四十八寸为立方积用开立方法开之其一万寸为初商积以初商本位计之则空千位为初商积之单位而一万尺为一十与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于空千寸之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余二千寸爰以第二位余积六百四十八寸续书于下共二千六百四十八寸为次商廉隅之共积而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除二千六百四十八寸足二倍即定次商为二书于方积八寸之上而以初商之二十与次商之二相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千三百二十四为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸与余积相减恰尽是开得二十二寸为正方石毎一边之数也此法因石是两数所问乃石之寸数故先将石之两数变为寸而开立方即得石之寸数也
　　设如有水银一万六千三百四十四两六钱八分欲作一方匣盛之问匣高几何
　　法先以水银定率毎寸重一十二两二钱八分除一万六千三百四十四两六钱八分得一千三百三十一寸为立方积用开立方法开之其一千寸为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于一千寸之上而以一自乗再乗之一书于方积一千寸之下相减恰尽爰以第二位余积三百三十一寸续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三百三十一寸足一倍即定次商为一书于方积一寸之上而以初商之一十与次商之一相乗得一十三因之得三十为次商三长廉面积复以次商之一自乗仍得一为一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百三十一为次商廉隅共法书于余积之左以次商之一乗之仍得三百三十一与余积相减恰尽是开得一十一寸为方匣之高也
　　设如有方池一区其深与方相等容水四千零九十六尺问深几何
　　法列四千零九十六尺为立方积用开立方法开之其四千尺为初商积以初商本位计之则四千为初商积之单位与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于四千尺之上而以一自乗再乗之一书于方积四千尺之下相减余三千尺爰以第二位余积九十六尺续书于下共三千零九十六尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺则合于初商之数再合方廉长廉小隅面积必大于次商廉隅之共积可知故商九尺八尺七尺皆仍大于次商廉隅之共积乃改商六尺书于方积六尺之上而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方
　　廉三长廉一小隅面积共得五百一十
　　六为次商廉隅共法书于余积之左以
　　次商之六乗之得三千零九十六与余
　　积相减恰尽是开得一十六尺为池之
　　深也此法因池之深与方相等其所容
　　水数即正方体积故立方开之得一边
　　之数即池之深也

　　御制数理精蕴下编卷二十三
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十四
　　体部二
　　带纵较数立方
　　带纵和数立方【勾股法四条附】

　　带纵较数立方
　　带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多者则为带两纵相同之立方至于长与阔与髙皆不等者则为带两纵不同之立方开之之法大防与立方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与阔相等惟长不同为问者则以初商为髙与阔以之自乘又以初商加纵数为长以之再乘得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即初商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两纵相同之法如以长与阔相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘又以初商为髙以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一纵也其一长亷附于初商积之髙邉者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各带一纵也其两纵不同之法如以阔比髙多长比阔又多为问者则以初商为髙又以初商加阔纵为阔与髙相乘又加长纵为长以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则两纵其二方亷附于初商积之旁面者则一阔纵一长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各一纵也惟小隅则无论一纵两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之阔与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例递析推之法虽不一要皆本于正方而后加纵故凡商出之数皆为小边方体共十二边若一纵或两纵相同者则八边相等四边相等若两纵不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也
　　设如一纵立方积一百一十二尺其髙与阔相等长比髙阔多三尺问髙阔长各几何
　　法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与阔【因髙与阔等故四尺即方之髙与阔也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与阔四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲已为阔己戊为长甲乙甲已俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所之纵甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也葢因此法髙与阔俱止一位其积止一位之积故初商所得即髙与阔之边加入纵多即为长边也凡有带一纵无次商者依此法开之
　　设如一纵立方积二千四百四十八尺其髙与阔相等长比髙阔多五尺问髙阔长各几何
　　法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商亷隅之共积乃以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺【此一方亷初商数也】又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺【加倍为纵两方亷即初商加纵多也】两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商亷隅之共积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔十尺倍之得二十尺【此两长亷初商数也】与初商之长十五尺相并【此纵一长亷也】得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺为次商三长亷面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方亷三长亷一小隅面积共得四百七十四尺为亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱一十二尺加纵多五尺得一十七尺即立方之长也如图甲乙丙丁长方体形容积二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊阔皆十二尺甲己长十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数其从一角所分辛乙癸壬长方体形壬癸与辛乙皆十尺即初商数壬辛十五尺即初商加纵多之数辛乙癸壬长方积一千五百尺即初商自乗又以初商加纵多再乘之数所余子形丑形寅形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十尺即初商数子形丑形为二长方廉每阔十尺长十五尺其长比阔多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数卯形辰形巳形为三长廉其辰形巳形皆长十尺即初商数夘形比辰形巳形皆长五尺即纵多之数其阔与厚皆二尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔与高皆二尺亦即次商数合子丑寅三方廉夘辰巳三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆仿此递析开之
　　又法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十五尺再乘得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商积乃以初商之髙与阔十尺自乘得一百尺又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之髙与阔加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙与阔俱十二尺其长为十七尺也
　　设如带一纵立方积一万九千零八寸其髙与阔相等长比髙阔多一百二十寸问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其一万九千寸为初商积可商二十寸则以二十寸为髙与阔加纵多一百二十寸得一百四十寸为长即以髙与阔二十寸自乗得四百寸又以长一百四十寸再乘得五万六千寸大于原积二倍有余乃退商十寸书于原积九千寸之上而以所商十寸为初商之高与阔加纵多一百二十寸得一百三十寸为初商之长乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之长一百三十寸再乘得一万三千寸书于原积之下相减余六千零八寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之髙与阔十寸与初商之长一百三十寸相乘得一千三百寸倍之得二千六百寸两数相并得二千七百寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积六千零八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商之髙与阔十寸倍之得二十寸又与初商之长一百三十寸相并得一百五十寸以次商之二寸乘之得三百寸为次商三长廉面积又以次商之二寸自乘得四寸为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零四寸为廉隅共法以次商之二寸乘之得六千零八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱十二寸加纵多一百二十寸得一百三十二寸即立方之长也此法因带纵甚大按立方例所得初商数并加纵多所得初商积必大于原积防倍依次渐取小数开之又至甚烦故约略其分退商之至商出之积比原积微小而后可是则带纵立方立法之最难者也
　　设如带一纵立方积二丈零四十二尺四百一十五寸其髙与阔相等长比髙阔多一尺二寸问髙阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其二丈为初商积可商一丈乃以一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积九百二十二尺足二尺则以二尺书于原积二尺之上而以初商之高与阔一十尺倍之得二十尺与初商之长一十一尺二寸相并得三十一尺二寸以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十尺四十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸书于余积之下相减仍余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之一丈二尺为高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为长乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙与阔一百二十寸倍之得二百四十寸与长一百三十二寸相并得三百七十二寸以三商之三寸乘之得一千一百一十六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万七千二百零五寸为防隅共法以三商之三寸乘之得一十四万一千六百一十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱一丈二尺三寸加纵多一尺二寸俱一丈三尺五寸即立方之长也
　　又法以初商积二丈商一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商积九百二十二尺四百一十五寸足二尺则以二尺书于原积二尺之上合初商次商共一丈二尺为初商次商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔一丈二尺自乘得一丈四十四尺又以初商次商之长一丈三尺二寸再乘得一丈九百尺零八百寸与原积相减余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商积乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方防面积以除三商积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上合初商次商三商共一丈二尺三寸为初商次商三商之髙与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺五寸为初商次商三商之长乃以初商次商三商之髙与阔一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之长一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸与原积相减恰尽即知立方之高与阔俱一丈二尺三寸其长为一丈三尺五寸也
　　设如带两纵相同立方积五百六十七尺其长与阔俱比髙多二尺问长阔髙各防何
　　法列积如开立方法商之共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小之数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为高加纵多二尺得九尺为长与阔即以长与阔九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与阔也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积五百六十七尺其甲乙为高甲子为阔甲巳为长甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所带之纵其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之积庚辛壬癸丙丁戊已磬折体形即所带之纵积也此法因长阔俱比高多故初商所得为髙于高加纵多即长与阔也
　　设如带两纵相同立方积三千四百六十八尺其长与阔俱比高多五尺问长阔高各防何
　　法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以初商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺【此一方廉长阔皆带一纵也】又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺【加倍为带纵两方廉即初商加纵多也】两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺【此两长廉即长阔各带一纵也】与初商之髙十尺相并【此一长廉初商数也】得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百零九尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高为十二尺加纵多五尺得十七尺为立方之长与阔也如图甲乙丙丁扁方体形容积三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊长甲已阔俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即纵多之数其从一角所分壬乙子癸扁方体形癸子与壬乙皆十尺即初商数壬癸与癸申皆十五尺即初商加纵多之数壬乙子癸扁方积二千二百五十尺即初商加纵多自乘又以初商再乘之数所余丑形寅形夘形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十五尺即初商加纵多之数丑形夘形为二长方廉每高十尺长十五尺其长比髙多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数辰形巳形午形为三长廉巳形长十尺即初商数辰形午形比巳形俱长五尺即纵多之数其阔与厚皆一尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔高皆二尺亦即次商数合丑寅夘三方廉辰巳午三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆仿此递析开之
　　又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加纵多五尺得十七尺为初商次商之长与阔乃以初商次商之长与阔十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺与原积相减恰尽即知立方之高为十二尺其长与阔得十七尺也
　　设如带两纵相同立方积一百零三万四千二百八十九寸其长与阔俱比高多三百三十寸问长阔髙各防何
　　法列积如开立方法商之其一百万寸为初商积可商一百寸乃以所商一百寸为高加纵多三百三十寸得四百三十寸为长与阔即以长与阔四百三十寸自乘得一十八万四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九万寸大于原积十倍有余是初商不可商一百寸也乃改商十寸为高【既大于原积十倍有余故取十分之一商之为十寸】加纵多三百三十寸得三百四十寸为长与阔即以长与阔三百四十寸自乘得一十一万五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五万六千寸仍大于原积是亦不可商一十寸也乃改商九寸书于原积九寸之上而以所商九寸为髙加纵多三百三十寸得三百三十九寸为长与阔即以长与阔三百三十九寸自乘得一十一万四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三万四千二百八十九寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸加纵多三百三十寸得三百三十九寸为立方之长与阔也
　　设如带两纵相同立方积一十一丈五百零九尺二百六十八寸其长与阔俱比高多二尺一寸问长阔髙各防何
　　法列积如开立方法商之其一十一丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积一丈之上而以所商二丈为初商之髙加纵多二尺一寸得二丈二尺一寸为初商之长与阔乃以初商之长与阔二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸书于原积之下相减余一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺与初商之长与阔二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺两数相并得一千三百七十二尺四十一寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千七百四十一尺零六十八寸足一尺则以一尺书于原积九尺之上而以初商之长与阔二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸与初商之髙二十尺相并得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸为次商三长廉面积又以次商之一尺自乘仍得一尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百三十七尺六十一寸为廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸书于余积之下相减仍余三百零三尺四百五十八寸即三十万三千四百五十八寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈一尺为髙加纵多二尺一寸得二丈三尺一寸为长与阔乃以初商次商之长与阔二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五万三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸与初商次商之长与阔二百三十一寸相乘得四万八千五百一十寸倍之得九万七千零二十寸两数相并得一十五万零三百八十一寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积三十万零三千四百五十八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商次商之长与阔二百三十一寸倍之得四百六十二寸与初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸为三商三长廉面积又以三商之二寸自乘得四寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十五万一千七百二十九寸为廉隅共法以三商之二寸乘之得三十万三千四百五十八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高得二丈一尺二寸加纵多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之长与阔也
　　设如带两纵不同立方积一百九十二尺其阔比高多二尺其长比阔又多二尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其积一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺为髙加阔比髙多二尺得七尺为阔再加长比阔多二尺得九尺为长即以高五尺与阔七尺相乘得三十五尺又以长九尺再乘得三百一十五尺大于原积乃改商四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙加阔比髙多二尺得六尺为阔再加长比阔多二尺得八尺为长即以髙四尺与阔六尺相乘得二十四尺又以长八尺再乘得一百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺其阔为六尺其长为八尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百九十二尺其甲乙为髙四尺甲已为阔六尺己戊为长八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即阔比髙所带之纵己戊比己辛所多辛戊四尺即长比髙所带之纵甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方积庚壬癸子丙丁戊辛已磬折体形即长阔两纵所多之长方积也此法因长比阔多阔又比髙多故初商所得即为髙于髙加阔纵为阔于阔加长纵为长也
　　设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其阔比髙多二尺其长比阔又多四尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长乃以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺【此带阔纵一方廉也】又以初商之高十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺【此带长纵一方廉也】又以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺【此带长阔两纵一方廉也】三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上而以初商之髙十尺【此一长廉初商数也】与初商之阔十二尺相并【此带阔纵一长廉也】得二十二尺又与初商之长十六尺相并【此带长纵一长廉也】得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十二尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高得十二尺加阔比髙多二尺得十四尺为阔又加长比阔多四尺得十八尺为长也如图甲乙丙丁长方体形容积三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊阔十四尺甲已长十八尺甲戊比甲庚所多二尺即阔比髙所多之数甲已比辛己所多六尺即长比髙所多之数其从一角所分壬乙子癸长方体形壬乙与癸子皆十尺即初商之数壬未与癸申皆十二尺即初商之髙加阔多之数壬癸与未申皆十六尺即初商之髙加阔多又加长多之数壬乙子癸长方体形所容一千九百二十尺即初商积所余丑形寅形夘形为三方廉其夘形之髙十尺即初商之数其带阔纵二尺如酉即阔多之数其丑形之髙十尺亦即初商之数其带长纵六尺如戌即长多之数其寅形之阔十尺又带阔多二尺如亥即初商之髙加阔多之数其带长纵六尺如干即初商之髙加阔多又加长多之数其厚皆二尺即次商之数辰形巳形午形为三长廉其辰形之长十尺即初商之数巳形比辰形所多二尺如坎即阔多之数其午形比辰形所多六尺如艮即长多之数其阔与厚皆二尺亦即次商之数其已形一小正方体为隅其长阔与髙俱二尺亦即次商之数合三方廉三长廉一小隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆仿此递析开之
　　又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加阔比髙多二尺得十四尺为初商次商之阔再加长比阔多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之高十二尺与初商次商之阔十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乘得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙为十二尺其阔为十四尺其长为十八尺也
　　设如带两纵不同立方积三十万零一百六十寸其阔比髙多九十二寸其长比髙多一百一十四寸问髙阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其三十万寸为初商积可商六十寸乃以所商六十寸为髙加阔比髙多九十二寸得一百五十二寸为阔再加长比髙多一百一十四寸得一百七十四寸为长即以高六十寸与阔一百五十二寸相乘得九千一百二十寸又以长一百七十四寸再乘得一百五十八万六千八百八十寸大于原积五倍有余是初商不可商六十寸也乃改商二十寸书于原积空千寸之上而以所商二十寸为高加阔比髙多九十二寸得一百一十二寸为阔又以高二十寸加长比高多一百一十四寸得一百三十四寸为长乃以高二十寸与阔一百一十二寸相乘得二千二百四十寸又以长一百三十四寸再乘得三十万零一百六十寸书于原积之下相减恰尽是知次商为空位而立方之髙为二十寸其阔为一百一十二寸其长为一百三十四寸也
　　设如带两纵不同立方积一万三千二百八十四寸其阔比髙多三寸其长比阔多一百一十一寸问髙阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其一万三千寸为初商积可商二十寸乃以所商二十寸为高加阔比髙多三寸得二十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百三十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得六万一千六百四十寸大于原积四倍有余是初商不可商二十寸也乃退商十寸而以所商十寸为髙加阔比高多三寸得十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百二十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得一万六千一百二十寸仍大于原积乃复退商九寸书于原积四寸之上而以所商九寸为髙加阔比髙多三寸得十二寸为阔再加长比阔多一百一十一寸共一百二十三寸为长即以高九寸与阔十二寸相乘得一百零八寸又以长一百二十三寸再乘得一万三千二百八十四寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸其阔为十二寸其长为一百二十三寸也
　　设如带两纵不同立方积一十三丈二百四十九尺五百四十五寸其阔比髙多一尺其长比阔又多二尺二寸问髙阔长防何
　　法列积如开立方法商之其一十三丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积三丈之上而以所商二丈为初商之髙加阔比髙多一尺得二丈一尺为初商之阔再加长比阔多二尺二寸得二丈三尺二寸为初商之长即以初商之髙二丈与初商之阔二丈一尺相乘得四丈二十尺又以初商之长二丈三尺二寸再乘得九丈七百四十四尺书于原积之下相减余三丈五百零五尺五百四十五寸即三千五百零五尺五百四十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙二丈作二十尺初商之阔二丈一尺作二十一尺相乘得四百二十尺又以初商之长二丈三尺二寸作二十三尺二寸与初商之髙二十尺相乘得四百六十四尺又以初商之阔二十一尺与初商之长二十三尺二寸相乘得四百八十七尺二十寸三数相并得一千三百七十一尺二十寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千五百零五尺五百四十五寸足二尺则以二尺书于原积九尺之上而以初商之髙二十尺与初商之阔二十一尺初商之长二十三尺二寸相并得六十四尺二寸以次商之二尺乘之得一百二十八尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千五百零三尺六十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得三千零七尺二百寸书于余积之下相减仍余四百九十八尺三百四十五寸即四十九万八千三百四十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈二尺为髙加阔比髙多一尺得二丈三尺为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺二寸为长乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸初商次商之阔二丈三尺作二百三十寸相乘得五万零六百寸又以初商次商之长二丈五尺二寸作二百五十二寸与初商次商之髙二百二十寸相乘得五万五千四百四十寸又以初商次商之阔二百三十寸与初商次商之长二百五十二寸相乘得五万七千九百六十寸三数相并得一十六万四千寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积四十九万八千三百四十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙二百二十寸与初商次商之阔二百三十寸初商次商之长二百五十二寸相并得七百零二寸以三商之三寸乘之得二千一百零六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十六万六千一百一十五寸为廉隅共法以三商之三寸乘之得四十九万八千三百四十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙得二丈二尺三寸加阔比髙多一尺得二丈三尺三寸为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺五寸为长也
　　设如带两纵不同立方积一百三十二万八千二百五十尺其阔比髙多五尺其长比阔又多五尺问髙阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其一百万尺为初商积可商一百尺乃以一百尺书于原积一百万尺之上而以所商之一百尺为初商之髙加阔比髙多五尺得一百零五尺为初商之阔再加长比阔多五尺得一百一十尺为初商之长乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之长一百一十尺再乘得一百一十五万五千尺书于原积之下相减余一十七万三千二百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之髙一百尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千尺又以初商之阔一百零五尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千五百五十尺三数相并得三万三千零五十尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一十七万三千二百五十尺不足一十尺仅足五尺是次商为空位也乃书一空于原积八千尺之上以存次商之位复以所商五尺书于原积空尺之上而以初商次商之髙一百尺与初商次商之阔一百零五尺初商次商之长一百一十尺相并得三百一十五尺以三商之五尺乘之得一千五百七十五尺为三商三长廉面积又以三商五尺自乘得二十五尺为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三万四千六百五十尺为廉隅共法以三商之五尺乘之得一十七万三千二百五十尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙为一百零五尺加阔比髙多五尺得一百一十尺为阔又加长比阔多五尺得一百一十五尺为长也
　　设如一尺土方三万九千六百八十八尺筑堤一段其髙与阔相等其长比高阔多六十尺问髙阔长各防何
　　法列积用带一纵立方法开之其三万九千尺为初商积可商三十尺乃以所商三十尺为髙与阔加纵多六十尺得九十尺为长即以髙与阔三十尺自乘得九百尺又以长九十尺再乘得八万一千尺大于原积乃改商二十尺书于原积九千尺之上而以所商二十尺为初商之髙与阔加纵多六十尺得八十尺为初商之长即以初商之髙与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺再乘得三万二千尺书于原积之下相减余七千六百八十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺与初商之高与阔二十尺相乘得一千六百尺倍之得三千二百尺两数相并得三千六百尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积七千六百八十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔二十尺倍之得四十尺与初商之长八十尺相并得一百二十尺以次商之二尺乘之得二百四十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千八百四十四尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得七千六百八十八尺书于余积之下相减恰尽是知堤之髙与阔俱二十二尺加长比髙阔多六十尺得八十二尺为堤一段之长也
　　设如有仓一座容米二千四百石其仓之长与阔俱比髙多五尺问仓之长阔髙各防何
　　法将米二千四百石用每石定法二尺五百寸乘之得六千尺乃以六千尺为带两纵相同立方积用带两纵相同法开之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余三千七百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千七百五十尺足七尺乃按法算之得廉隅共法八百五十四尺以次商之七尺乘之得五千九百七十八尺大于次商廉隅之共积乃改商六尺按法算之得廉隅共法八百零一尺以次商之六尺乘之仍大于次商廉隅之共积又改商五尺书于原积空尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺与初商之高十尺相并得四十尺以次商之五尺乘之得二百尺为次商三长廉面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七百五十尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得三千七百五十尺书于余积之下相减恰尽是知仓之高为一十五尺加纵多五尺得二十尺为仓之长与阔也
　　设如挑河一段但知挑出土方七万六千一百四十尺其宽比深多三尺其长比宽多二百六十四尺问宽长深各防何
　　法列积用带两纵不同立方法开之其七万六千尺为初商积可商四十尺因长纵甚多故取小数商二十尺为深加宽比深多三尺得二十三尺为宽再加长比宽多二百六十四尺得二百八十七尺为长以三数相乘得十万三千二百零二十尺大于原积乃改商十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之深加宽比深多三尺得十三尺为初商之宽再加长比宽多二百六十四尺得二百七十七尺为初商之长乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之长二百七十七尺再乘得三万六千零十尺书于原积之下相减余四万零一百三十尺为次商亷隅之共积乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之宽十三尺与初商之长二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺与初商之长二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三数相并得六千五百零一尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积四万零一百三十尺足五尺则以五尺书于原积空尺之上而以初商之深十尺与初商之宽十三尺初商之长二百七十七尺相并得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺为次商三长亷面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得八千零二十六尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得四万零一百三十尺书于余积之下相减恰尽是知挑河之深为十五尺加宽比深多三尺得十八尺为宽再加长比寛多二百六十四尺得二百八十二尺为河一段之长也

　　纵和数立方
　　纵较数立方其法已难而纵和数立方立法尤难故古无传而以理推之则法有与较数相对待者其一纵立方高与阔相等惟长不同如以长与高和或长与阔和为问者则以初商为高与阔而与和数相减余为长乃以高与阔自乗以长再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数除原积得数约开平方可得几数取略大数以定初商初商减积有余实者其初商方积外有二方亷一长亷成两面磬折体形而初商之高与阔少一次商初商之长多一次商故内少一方亷积商除之法则以初商之高与阔与初商之长相乗倍之为二方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷积与余实相加始足次商二方亷一长亷之共积故以次商与初商之长相减余为初商次商之共长与初商相乗倍之为二方亷面积又以初商次商之共长与次商相乗为一长亷面积合二方亷一长亷面积以次商乗之为二方亷一长亷之共积所谓初商方积外成两面磬折体形是也其两纵相同立方长与阔相等惟高不同如以高与阔和或高与长和为问者则以初商为高与和数相减余为长与阔乃以长与阔自乗以高再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数自乗除原积约足几倍取略大数以定初商初商减积有余实者初商方积外止一方亷成一扁方体形而初商之高少一次商初商之长与阔各多一次商故内少二方亷一长亷积商除之法则以初商之长与阔自乗为一方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商以次商与初商之长与阔相减余为初商次商之长与阔而与初商相乗次商再乗倍之为二方亷积又以次商自乗初商再乗为一长亷积合二方亷一长亷积与余实相加始足次商一方亷积故以初商次商之长与阔自乗次商再乗为一方亷积所谓初商方积外成一扁方体形是也其两纵不同立方与两纵相同立方同但带两纵相同者其次商积为一正方廉带两纵不同者其次商积为一长方廉耳要之定商皆以小于半和为准有时退商而反不足进商而反有余须合初商次商以斟酌之至次商以后因有益积之法故廉法亦不足凭则又须较量而増损之可也
　　设如带一纵立方积七百六十八尺其高与阔等长与阔和二十尺问高阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其积七百六十八尺可商九尺则以九尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十一尺为长即以高与阔九尺自乘得八十一尺又以长十一尺再乘得八百九十一尺大于原积乃退商八尺书于原积八尺之上而以所商八尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十二尺为长即以髙与阔八尺自乘得六十四尺又以长十二尺再乘得七百六十八尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱八尺长十二尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积七百六十八尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙乙丙俱八尺丙丁为十二尺乙丙与丙丁共二十尺即长阔之和初商所得即高与阔于长阔和内减去初商所余即长也此法与较数带纵立方有加减之异彼以所商之数与较数相加此则以所商之数与和数相减也
　　设如带一纵立方积二千四百四十八尺其高与阔相等长与阔和二十九尺问髙阔长各防何法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔与长阔和二十九尺相减余十九尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十九尺再乘得一千九百尺书于原积之下相减余五百四十八尺乃以初商之髙与阔十尺与初商之长十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除余积五百四十八尺足一尺因仍益积且初商之长尚减去次商数故取大数为二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺与余积五百四十八尺相加得七百四十八尺为次商二方廉一长廉之共积乃以次商二尺与初高之长十九尺相减余十七尺为初商次商之长与初商之高与阔十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺为二方廉面积又以次商二尺与初商次商之长十七尺相乘得三十四尺为一长廉面积合二方廉一长廉面积共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱十二尺长十七尺也如图甲乙丙丁长方体形甲乙高乙戊阔皆十二尺戊丙长十七尺乙戊与戊丙共二十九尺即长阔之和其从一角所分己乙壬癸长方体形己乙与乙庚皆十尺即初商数壬庚十九尺即长阔和内减初商所余之数比戊丙多子壬一段即次商数己乙壬癸长方积一千九百尺即初商自乘又以初商与长阔和相减之余再乘之数比初商原体积多丑寅壬癸一扁方体形因初商积内多减去此积故以初商自乗次商再乗而得丑寅壬癸扁方体积与余积相加即得甲己辛庚丙丁两面磬折体形其辰形巳形为两方廉其阔十尺即初商数其长十七尺即长阔和内减初商次商之数其厚皆二尺即次商数午形为一长廉其长十七尺与方廉同其阔与厚皆二尺亦即次商数合二方廉一长廉共成一磬折体形附于长方体之两面而成甲乙丙丁之总长方体积也
　　设如带一纵立方积九万九千九百五十四尺其高与阔相等长与阔和一千二百四十三尺问高阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其九万九千尺为初商积可商四十尺而长阔和为一千二百四十三尺按法相乘过大于原积爰以长阔和一千二百四十三尺除原积九万九千九百五十四尺足八十尺有余以八十尺开平方约足九尺乃以九尺书于原积四尺之上而以所商九尺为髙与阔与长阔和一千二百四十三尺相减余一千二百三十四尺为长即以髙与阔九尺自乘得八十一尺又以长一千二百三十四尺再乘得九万九千九百五十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱九尺长一千二百三十四尺也此法葢因带一纵甚多高与阔甚少其长阔和比长所多无防故以长阔和除原积即得髙与阔自乘之一面积而开平方所得即髙与阔与长阔和相减所余即长也
　　设如带两纵相同立方积三百八十四尺其长与阔相等高与阔和十四尺问髙阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其积三百八十四尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积四尺之上而以所商六尺为高与高阔和十四尺相减余八尺为长与阔即以长与阔八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺长与阔皆八尺也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积三百八十四尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙六尺乙丙与丙丁皆八尺甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高于高阔和内减去初商所余为阔亦即长也
　　设如带两纵相同立方积六千九百一十二尺其长与阔相等高与阔和三十六尺问高阔长各防何法列积如开立方法商之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之长与阔即以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺书于原积之下相减余一百五十二尺乃以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺以除余积一百五十二尺不足一尺因仍益积且初商之长与阔内尚减去次商数故取大数为二尺书于原积二尺之上而以次商二尺与初商之长与阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之长与阔与初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺为二方廉积又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千尺与余积一百五十二尺相加得一千一百五十二尺为次商一方廉积乃以初商次商之长二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺长与阔皆二十四尺也如图甲乙丙丁扁方体形容积六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊长甲己阔俱二十四尺甲己与甲乙共三十六尺即高与阔之和其从一面所分庚乙癸子扁方体形庚乙十尺即初商数庚丑与庚寅皆二十六尺即高阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积六千七百六十尺即初商与高阔和相减之余数自乘又以初商再乘之数比初商原体积多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与阔与初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊扁方体形其甲戊长甲己阔皆二十四尺即高阔和内减初商次商之数甲庚厚二尺即次商数附于初商扁方体之一面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆仿此递析推之
　　设如带两纵相同立方积三百九十六万八千零六十四尺其长与阔相等高与阔和一千尺问高阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其三百万尺为初商积可商一百尺而高阔和为一千尺按法相乘过大于原积爰以髙阔和一千尺自乘得一百万尺以除原积三百九十六万八千零六十四尺足三尺取略大数为四尺乃以四尺书于原积四尺之上而以所商四尺为髙与高阔和一千尺相减余九百九十六尺为长与阔即以长与阔九百九十六尺自乘得九十九万二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六万八千零六十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺长与阔俱九百九十六尺也此法葢因带两纵甚多而高数甚少其高阔和比原长原阔所多无防故以高阔和自乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔亦即长边也
　　设如带两纵不同立方积四百八十尺高与阔和十四尺高与长和十六尺问高阔长各防何
　　法列积如开立方法商之其积四百八十尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积空尺之上而以所商六尺为高与高与阔和十四尺相减余八尺为阔又以高六尺与高与长和十六尺相减余十尺为长即以高六尺与阔八尺相乘得四十八尺又以长十尺再乘得四百八十尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺其阔为八尺其长为十尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积四百八十尺其甲乙为高六尺乙丙为阔八尺甲己为长十尺甲己与甲乙共十六尺即高与长之和甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高与高阔和相减所余为阔以高与高长和相减所
　　余即长也设如带两纵不同立方积八千零六十四尺高与阔和三十六尺高与长和四十尺问高阔长各防何法列积如开立方法商之其八千尺为初商积可商二十尺因欲得小于半和之数乃退商十尺书于原积八千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之阔又以初商之高十尺与高长和四十尺相减余三十尺为初商之长即以初商之高十尺与初商之阔二十六尺相乘得二百六十尺以初商之长三十尺再乘得七千八百尺书于原积之下相减余二百六十四尺为一长方廉积其厚即次商之数其长与阔比初商之长与阔各少一次商之数乃以初商之长三十尺与初商之阔二十六尺相乘得七百八十尺以除余积二百六十四尺不足一尺因仍益积且初商之长阔尚减去次商数故取大数为二尺书于原积四尺之上而以所商二尺与初商之阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之阔以所商二尺与初商之长三十尺相减余二十八尺为初商次商之长即以初商次商之阔二十四尺与初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之长二十八尺与初商之高十尺相乘得二百八十尺两数相并得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺为二方廉积又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千零八十尺与余积二百六十四尺相加得一千三百四十四尺为次商一方廉积乃以初商次商之阔二十四尺与长二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺阔二十四尺长二十八尺也如圗甲乙丙丁扁长方体形容积八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊长二十八尺甲己阔二十四尺甲乙与甲己共三十六尺即高与阔之和甲乙与甲戊共四十尺即高与长之和其从一面所分庚乙癸子扁长方体形庚乙十尺即初商数庚丑三十尺即高与长和内减初商之数庚寅二十六尺即高与阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积七千八百尺即初商之长与初商之阔相乘又以初商之高再乘之数比原长原阔多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与初商之髙相乘以初商次商之阔与初商之髙相乘两数相并以次商再乘即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊一扁长方体形其甲巳阔二十四尺即髙阔和内减初商次商之数甲戊长二十八尺即髙长和内减初商次啇之数甲庚厚二尺即次啇数附于初啇扁长方体之一面而成甲乙丙丁之总扁长方体积也三商以后皆仿此逓折推之
　　设如带两纵不同立方积一十七万二千六百九十二尺髙与阔和一百二十九尺髙与长和二百四十尺问髙阔长各几何
　　法列积如开立方法商之其一十七万二千尺为初商积可啇五十尺而长即为一百九十尺阔即为七十九尺按法相乘过大于原积爰以髙与阔和一百二十九尺与髙与长和二百四十尺相乘得三万零八百六十尺以除原积一十七万二千六百九十二尺足五尺取略大之数为六尺乃以六尺书于原积二尺之上而以所商六尺为髙与髙与阔和一百二十九尺相减余一百二十三尺为阔又以髙六尺与髙与长和二百四十尺相减余二百三十四尺为长即以阔一百二十三尺与长二百三十四尺相乘得二万八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七万二千六百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为六尺阔为一百二十三尺长为二百三十四尺也此法盖因带两纵甚多而髙数甚少其髙与阔和比原阔所多无几髙与长和比原长所多亦无防故以高与阔和与高与长和相乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔与高与长和相减所余即长也

　　附勾股法四条
　　设如勾股积六尺勾较二尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾较二尺除之得七十二尺折半得三十六尺为长方体积乃以勾较二尺折半得一尺为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔三尺为勾加勾较二尺得五尺为以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾较必得股自乘积以勾较除之始得勾和而勾和为二勾一勾较之共数将勾和半之为一勾半勾较之共数今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之髙与阔勾与半勾较之共数为带纵立方之长半勾较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其长为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之长又为勾较与勾和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉自乘之正方内申戌乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾较甲乙丙长即勾和今以股自乘之数用勾较除之得勾和即如寅卯辰巳之长方体积用勾较除之而得干坎辰巳之长方体积其午未辰巳之髙阔相乘之面积未减而坎未之长即为勾和矣勾和既为二勾一勾较之共数折半则得一勾半勾较之共数故将所得之干坎辰巳长方体积折半为艮震辰巳长方体积其巳辰髙未辰阔仍皆为勾与巽未等其震未长为勾与半勾较之共数震巽为半勾较即长比髙阔所多之数故以勾较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为勾也
　　设如勾股积六尺勾和八尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾和八尺除之得十八尺折半得九尺为扁方体积乃以勾和八尺折半得四尺为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔三尺为勾于勾和八尺内减勾三尺余五尺为以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾和必得股自乘积以勾和除之始得勾较半之为半勾较今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之长与阔半勾较为带纵立方之髙一勾半勾较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其髙为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之髙又为勾较与勾和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉自乘之正方内申戊乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾较甲乙丙长即勾和今以股自乘之数用勾和除之则得勾较即如寅卯辰巳之长方体积用勾和除之而得干卯辰坎扁方体积其卯午辰未之长阔相乘之面积未减而干卯之髙即为勾较矣折半则得艮卯辰震扁方体积其卯午长午辰阔仍皆为勾而艮卯之髙为半勾较其艮卯与卯午即髙与长阔之和为一勾半勾较之共数而勾和乃二勾一勾较之共数故以勾和折半得一勾半勾较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为勾也
　　设如勾股积六尺股较一尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股较一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺为长方体积乃以股较一尺折半得五寸为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔四尺为股加股较一尺得五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积有股较必得勾自乘积以股较除之始得股和而股和为二股一股较之共数将股和半之为一股半股较之共数今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之髙与阔股与半股较之共数为带纵立方之长半股较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之则成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其长为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之长又为股较与股和相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳之长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股较除之得股和即如寅卯辰巳之长方体积用股较除之仍得寅卯辰巳之长方体积其午未辰巳髙阔相乘之面积与卯未之长俱未减而卯未之长即命为股和矣股和既为二股一股较之共数折半则得一股半股较之共数故将所得之寅卯辰已长方体积折半为干坎辰已长方体积其未辰阔已辰髙仍皆为股与艮未等其坎未长为股与半股较之共数坎艮为半股较即长比髙阔所多之数故以股较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为股也
　　设如勾股积六尺股和九尺求勾股各几何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股和九尺除之得十六尺折半得八尺为扁方体积乃以股和九尺折半得四尺五寸为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔四尺为股于股和九尺内减股四尺余五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积股和必得勾自乘积以股和除之始得股较半之为半股较今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之长与阔半股较为带纵立方之髙一股半股较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其髙为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之髙又为股和与股较相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股和除之则得股较即如寅夘辰巳之长方体积用股和除之而得干夘辰坎扁方体积其夘午辰未长阔相乘之面积未减而干夘之高即为股较矣折半则得艮夘辰震扁方体积其夘午长午辰阔仍皆为股而艮夘之高为半股较其艮夘与夘午即高与长阔之和为一股半股较之共数而股和乃二股一股较之共数故以股和折半得一股半股较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为股也

　　御制数理精蕴下编卷二十四
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十五
　　体部三
　　各体形总论
　　直线体

　　各体形总论
　　体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆
　　者　　　　【为】球之外面切于各面之中心而各体又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则葢体成于面面生于线理固然也有积求边则必
　　以方圆为比例是以边线等者体积不等如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○则正方体
　　积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球体积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面体积为四七一四○四五二一十二面体积六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径
　　得一二四○小余七○○九八如圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球径与各等面体之一边俱设为一二四○小余七○○九八则【面】圆球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面体积为一四六三五四七九○五一二十面体
　　积为四一六六七三○四六三此各形之体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】皆以球积比例者也葢因各形之边线相等体积不同
　　故皆定为体与体之比例也体积等者边线不　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】等如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则
　　正方体之每边为一○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】○○而圆球径为一二四○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七二边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边
　　比例者也或以圆　　　　　　　　　　【算】球径设为一○○○○○○○○则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二
　　九八八七三○七一九二三如　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九
　　八八七三○七一九二三　　　　　　　　　　　　　【本】则圆球径为一○○○○○○○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八八一八九五二十面体之每边为六二一四
　　四三三二此各形之边　　　　　　　　　　　　【也】线皆以球径比例者也葢因各形之体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之正方此方所以为立法之原入

　　直线体
　　设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何
　　法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边得二尺五寸一分有余试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相等也
　　设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边几何
　　法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方体积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用八倍其积开立方止以毎边二尺倍之而即得也此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例【见几何原本十巻第四节】故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫六十四与三十二三十二与十六十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位故为连比例隔二位相加之比例也
　　设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即同于其相当二界各作两正方体积之比例【见几何原本十巻第五节】故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体将其积倍之即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体故开立方得己癸为所求之长也既得己癸之长则以甲戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比得己庚为所求之高也若以原阔自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为今所求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为今所求之高皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也
　　设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之长又以原阔八寸倍之得一尺六寸即所求之阔又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍是故不用八倍其积开立方止以各边之数倍之而即得也此法盖因两长方体之比例既同于其相当二界各作正方体之比例而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例故两长方体积之比例较之两体各界之比例亦为连比例隔二位相加之比例也
　　设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即堑堵体形之积也葢堑堵体形即平行二勾股面之三棱长体如甲乙丙丁戊己堑堵体形其两端之二面皆为勾股形一为甲乙丙一为丁戊己俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁己长方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊长方体形凡平行面之长方体自其一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体之积相等【见几何原本五卷第十七节】夫一长方体所分两三棱体之积既相等则三棱体积必为长方体积之一半故将所得之甲乙丙丁庚戊长方体积折半即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也
　　又法以阔五尺与高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之积也如甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也
　　设如刍荛体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何法以阔四尺与长十二尺相乘得四十八尺又与高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍荛体形之积也葢刍荛体形即平行两三角面之三棱长体【有直角为堑堵体无直角为刍荛体】如甲乙丙丁戊己刍荛体形其两端之二面皆为三角形一为甲乙丙一为丁戊巳俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁已长方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸长方体形凡平行面之三棱体积为平行面方体积之一半【见几何原本五卷第二十节】故将所得之辛乙丙丁壬癸长方体积折半即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也
　　又法以阔四尺与高四尺相乘得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乘得九十六尺即刍荛体形之积也如甲乙丙丁戊己刍荛体形以乙丙阔与甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也
　　设如方底尖体形底方毎边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问自尖至底中立垂线之高几何法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五豪三丝有余为勾以自尖至四角之斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六豪八丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙巳为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也
　　又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰用平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三豪五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六豪七丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线而以此甲庚为底邉折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也
　　设如方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何法以下方每边六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其高又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等【见几何原本五卷第二十三节】试将甲己高倍之得壬己与乙丙丁戊底面积相乘得癸乙丁子正方体形此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆与尖方体之底面积等又自甲心依各棱至各角剖之则成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方体此每一尖方体俱为倍高正方体之六分之一既为倍高正方体之六分之一则必为同高扁方体之三分之一故将所得庚乙丁辛之同高方体积三分之而得甲乙丙丁戊尖方体之积也
　　设如阳马体形底方毎边六尺高亦六尺问积几何法以底方毎边六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳马体与尖方体形虽不同而法则一葢尖方体形尖在正中阳马体形尖在一隅然大凡体形其底面积等高度又等则其体积亦必相等【见几何原本二巻第二十二节】故今阳马体之乙丙丁戊底面积即如尖方体之底其甲丁高度即如尖方体之高度故形虽不同而积则一也
　　设如鼈臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何法以长与阔四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲乙丙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半葢各类尖体其底面积等其高又等则其体积亦等【见几何原本二卷第二十二节】今甲乙丙丁鼈臑体之乙丙丁底积为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙丁戊底面积之一半则甲乙丙丁鼈臑体积亦必为甲戊乙丙丁阳马体积之一半鼈臑体既为阳马体之一半而阳马体又为长方体之三分之一则鼈臑体必为长方体之六分之一故将所得甲庚戊乙丙己长方体积六分之即得甲乙丙丁鼈臑体之积也又凡正方体或长方体按法剖之即成堑堵阳马鼈臑各体而自得其相比之率也如图甲乙丙丁戊己正方体自其庚乙一面对角线至对面戊辛对角斜线平分之即得甲乙辛戊己与庚乙丙丁戊二堑堵体又将庚乙丙丁戊堑堵体自其上棱戊角至乙对角依乙丙下棱斜剖之则得戊乙丙丁辛一阳马体乙丙戊庚一鼈臑体又将戊乙丙丁辛阳马体自其戊乙相对斜棱平分之则得戊乙丁辛与戊乙丙丁二鼈臑体夫一正方体剖之得二堑堵体是堑堵体为正方体二分之一也一堑堵体剖之得一阳马体一鼈臑体而一阳马体剖之又得二鼈臑体是阳马体为堑堵体之三分之二即为正方体之三分之一而鼈臑体为堑堵体之三分之一即为正方体之六分之一也
　　设如上下不等正方体形上方毎边四尺下方毎边六尺高八尺问积几何
　　法以上方每边四尺自乘得一十六尺下方每边六尺自乘得三十六尺又以上方毎边四尺与下方毎边六尺相乘得二十四尺三数相并得七十六尺与高八尺相乘得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形戊丁上方边自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方边自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方边与庚丙下方边相乘得壬癸子丑长方面形将此三方面形相并与高八尺相乘得三长方体形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙庚丙辛长方体比甲戊丁己长方体多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已巳四方廉体又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已丑辛四长廉体而壬癸子丑长方体比甲戊丁巳长方体多壬癸戊甲巳丁子丑二方廉体若将共多之六方廉体四长廉体俱截去则此三长方体之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得十二堑堵体十二阳马体将甲戊丁已类三长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等三正方体故三归之而得甲乙丙丁上下不等一正方体形之积也又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率高八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体之共高乃以下方边六尺自乘得三十六尺与所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三归之得二百八十八尺为大尖方体之积又以高八尺与共高二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之高以上方边四尺自乘得十六尺与上高十六尺相乘得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形加戊甲丁小尖方体形遂成戊乙丙大尖方体形先以上方边与丁方边相减折半如巳庚下方边折半如己辛依勾股比例巳庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下方面相乘三归之得戊乙丙大尖方体积以戊癸与甲丁上方面相乘三归之得戊甲丁小尖方体积于戊乙丙大尖方体积内减去戊甲丁小尖方体积所余必甲乙丙丁上下不等正方体形之积也
　　设如上下不等长方体形上方长四尺阔三尺下方长八尺阔六尺高十尺问积几何
　　法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上阔三尺与下长八尺相乘得二十四尺以下阔六尺与上长四尺相乘得二十四尺四数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形戊丁上长与甲戊上阔相乘得一甲戊丁庚长方面形倍之得二甲戊丁庚长方面形已丙下长与乙己下阔相乘得一乙己丙辛长方面形倍之得二乙己丙辛长方面形甲戊上阔与已丙下长相乘得一壬癸子丑长方面形乙己下阔与戊丁上长相乘得一寅卯辰巳长方面形将此六长方面形相并与高十尺相乘得六长方体形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛长方体比二甲戊丁庚长方体为多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方廉体又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚丑辛八长廉体而一壬癸子丑长方体比一甲戊丁庚长方体多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉体而一寅卯辰巳长方体比一甲戊丁庚长方体多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉体若将共多之十二方廉体八长廉体俱截去则此六长方体之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得二十四堑堵体二十四阳马体将六长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等六长方体故六归之而得甲乙丙丁上下不等长方体形之积也
　　又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也此法与前法同此法之以上长倍之加下长与上阔相乘之数即前法之上长上阔相乘倍之又加上阔与下长相乘之数也又此法之以下长倍之加上长与下阔相乘之数即前法之下长下阔相乘倍之又加下阔与上长相乘之数也图解并同又法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺又以上长四尺与下阔六尺相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺与高十尺相乘得八百四十尺三归之得二百八十尺亦即上下不等长方体形之积也葢此法与上下不等正方体求积之法同但正方体上下俱系正方面故止用上下方边各自乘上方边与下方边相乘此则上下方面各有长阔既用上方长阔相乘下方长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘上阔相加折半以取中数乃可相并而与高数相乘三归之而得体积也又法以上长四尺与下长八尺相减余四尺折半得二尺为一率高十尺为二率下长八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等长方体形上补成一尖长方体之共高乃以下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所得共高二十尺相乘得九百六十尺三归之得三百二十尺为大尖长方体之积又以高十尺与共高二十尺相减余十尺为上小尖长方体之高以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高十尺相乘得一百二十尺三归之得四十尺为上小尖长方体之积与大尖长方体积三百二十尺相减余二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形加戊甲丁小尖长方体形遂成戊乙丙大尖长方体形先以上长与下长相减折半如己庚以下长折半如己辛依勾股比例己庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下长方面相乘三归之得戊乙丙大尖长方体积以戊癸与甲丁上长方面相乘三归之得戊甲丁小尖长方体积于戊乙丙大尖体积内减去戊甲丁小尖体积所余必甲乙丙丁上下不等长方体形之积也
　　设如上下不等刍荛体形上长十尺下长十四尺下阔五尺高十二尺问积几何
　　法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺为上下相等刍荛体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下阔五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍荛体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍荛体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍荛体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍荛体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛阔【与乙丙等】相乘即得己辛壬庚刍荛体之底面积与甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊刍荛体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙阔相乘得乙辛与庚丁二尖方体之底面积与高相乘三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与甲己辛壬戊一刍荛积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍荛体之总积也
　　设如两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸高三尺七寸问积几何
　　法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等【见几何原本五巻第十九节】故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立之长方体为相等也
　　设如空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何
　　法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸为内方边与外方边相乘长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅巳子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为内方边长为外方边也
　　又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乘再乘得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边加较四寸得一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅则空心正方体变为甲戊辛庚丙丁壬磬折体形其甲戊即磬折体之厚为甲乙外方边与戊己内方边之较依开立方次商法分之得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅体与共积相减余三方廉体三长廉体三归之则余癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方体则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即空心方体之内方边以甲戊与戊乙相加得甲乙即空心方体之外方边也
　　设如大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边各几何
　　法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乘再乘得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺即小正方之边数加较四尺得十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减去戊己庚辛小正方体余壬甲戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊边较自乘再乘得巳一小隅体与磬折体积相减余三方廉体三长廉体三归之则得癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也
　　设如大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何
　　法以共边二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百一十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔八尺即小正方之边数与共边二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙癸子一总正方体内减甲乙丙丁与戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅卯三方廉体辰巳午三长廉体三归之则得丑一方廉体辰一长廉体共成未壬乙丙戊申一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊申之长方面形其未壬阔与壬甲等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长阔和用带纵和数开平方法算之得未壬阔即小正方之边数与长阔和相减余壬戊长即大正方之边数也

　　御制数理精蕴下编卷二十五
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十六
　　体部四
　　曲线体

　　曲线体
　　设如长圎体径与髙皆七尺问积防何
　　法以长圎体径七尺用求圎面积法求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁长圎体之积也
　　又法以长圎体径七尺用径求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余与髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余为长圎体之外面积以半径三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先求得乙己丙戊圎周与甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面积为底以庚甲半径乗之得庚甲丙辛长方体为甲乙丙丁长圎体积之二倍葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等而长圎体之半径又与长方体之髙度等则长圎体为长方体之一半【见防何原本五卷第二十四节】故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也
　　又法用长方体长圎体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之长圎体径七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺为三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余即长圎体之积也此法葢以长方体与长圎体为比例定率之一○○○○○○○○○为长方体积而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积故以径自乗髙再乗得长方体积彼定率之长方体与长圎体之比即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也
　　设如尖圎体底径六尺中髙六尺问积防何
　　法以底径六尺用求圎面积法求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余三归之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余即尖圎体之积也如圗甲乙丙丁戊尖圎体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底面积以甲己髙乗之得庚乙丁辛长圎体为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍葢因上下面平行各体与平底尖体同底同髙者其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一【见防何原本五卷第二十三节】故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之即得甲乙丙丁戊尖圎体积也
　　又法用尖方体尖圎体之定率比例以尖方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺成尖方体积为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余即尖圎体之积也盖尖方体为长方体之三分之一而尖圎体为长圎体之三分之一故尖方体与尖圎体之比即同于长方体与长圎体之比也
　　又捷法定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积二六一七九九三八八为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余即尖圎体之积也此法葢以长方体与尖圎体为比例长方体积为一○○○○○○○○○则长圎体积为七八五三九八一六三将此长圎体积三归之则得尖圎体积为二六一七九九三八八故定率之长方体与尖圎体之比即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也
　　设如尖圎体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何
　　法以底周二十二尺用周求径法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎体以乙丙丁戊底周求得乙丁底径折半得乙巳半径为勾以自尖至底周之甲乙斜线为求得甲巳股即中垂线之髙也
　　设如圎　　　　　　【与】球径二尺问外面积几
　　何法以　　　　　　　　　　　【球】圎球径二尺用径求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余与径二尺相乗得一十二尺五
　　十六寸六十三分七十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】即圎
　　球之外面积也如圗甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径
　　径等者其圎面积为　　　　　　　　　　　　　　　　【癸】球体外面积之
　　四分之一而圎面半径　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】与球体全径等者其圎面积与球体外面【圎体此球体之乙见
　　几何】积等　　　　　　　　　　　【原】故圎球全径与全周相乗【本】而得圎球之
　　外面积　　　　　　【十】也设如圎球径一尺二
　　寸问积　　　　　　　　　　　【巻】几何法以圎球径一尺二寸用径求圎面积法求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四
　　【第】十丝有余以圎球径一尺二寸乗之
　　得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余为长圎体积三归之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余倍之得九百零四寸七
　　百七十八分六百八　　　　　　　　　　　　　　　　【八】十二厘有余即
　　圎球之体积　　　　　　　　　　　　　【节】也如圗甲乙丙丁圎球体求得戊己庚辛平圎面积以甲丙全径乗之得与圎球同径同髙之壬戊庚丁全径与长圎体之戊庚底径度等而
　　【有】球体之甲丙全径又与长圎体之壬
　　戊髙度等则球体积为长圎体积之三
　　分之【余以半径六寸乗之得二】二试以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】圎球同径
　　之平圎面积为　　　　　　　　　　　　　　【见】底圎球之半径为髙
　　作一甲乙丁尖圎体则其积为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【防】乙丁半球体积之半夫尖圎体与长圎体同底同髙其比例为三分之一而尖圎
　　【何】体又为半球体之二　　　　　　　　　　　　　　　　　【原】分之一则半
　　球体必为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【本】之三分之二半
　　球体既为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【十】之三分之二则全球体必为全长圎体之三分之二可知故以所得壬戊庚癸长圎体积三归
　　倍　　　　　　　　　【卷】之即得
　　甲乙丙丁　　　　　　　　　　　　【第】圎球体积也又法以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【九】圎
　　球径一尺二寸用　　　　　　　　　　　　　　　【节】求圎球之外面积法求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之
　　体积也如圗甲乙丙丁圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】球体先求得外面积乃以此外面积为底戊丙半径为髙作一戊己庚尖圎体其体积必
　　与　　　　　　　　　【零】圎球体积等葢尖圎体之底面【四】积与球体之外面积等尖圎体之髙度与球体之半径等则其体积【寸七百七十见防何原本五卷】亦必等故以戊丙半径与外面积相乗三归之即如得戊己庚尖圗体积
　　而为甲乙　　　　　　　　　　　　【第】丙丁圎
　　球体积也又　　　　　　　　　　　　　【二】法以方邉球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】径相等方积球积不同之定率比例以方积一
　　○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【五】○○○为一率球积
　　五二三五九八七七五为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【节】二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九
　　八分六百八十三厘有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】球之
　　体积也此法葢因　　　　　　　　　　　　　　　【十】圎球径与正方邉相等而圎球积与正方积不同故以圎球径自乗再乗作正方积为体与体之
　　比例如子　　　　　　　　　　　　【三】丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为
　　一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积
　　为五二三五九八七七五故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○【余】
　　○与子丑圎球径所得　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】之子午丑未圎球体积五二三五九八七七五之比
　　即同于　　　　　　　　　　　【比】今所设之甲丙圎球径一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积
　　一尺七百二十八寸与今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】所得之甲乙丙丁圎球体积九百零四寸七百七十八分六百
　　又法用　　　　　　　　　　　【寅】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【邜】等球径方邉
　　不同之定率比例　　　　　　　　　　　　　　　【正】以圎球径一○○○○○○○○为一率正方邉八○五
　　九九五九七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】设之圎球径一尺二寸为三率求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有【邉】余为与圎球积相等之正方体每邉之数自乗再乗得九百零四寸七百七十
　　八分六百四十九　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圎球之
　　体积　　　　　　　　　　【○】也此法葢以圎球积与正方【五】积设为相等使圎球径与正方邉不同先定为线与线之比例既得线而后自
　　乗再乗　　　　　　　　　　　【九】之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅
　　邜辰巳正方体之　　　　　　　　　　　　　　　【九】每一邉是子午丑未圎球积与寅邜辰巳正方积相等故子丑圎球径一○○○○○○○○与五九七之比即同于今所设之甲丙圎
　　【积】球径一尺二寸与今所得之戊巳正
　　方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲
　　乙丙丁　　　　　　　　　　　【六】圎球体积为相
　　等也又法以二十一分为一率十一分为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零五寸一百四十二分
　　八百五十七厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】为圎球之体积也葢以正方体积一○○○○○○○
　　【问】○○圎球体积五二三五九八七七
　　五之定率约之则正方体积二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】十一而圎球体积得一○九九有余进而【防】
　　为十一则圎球体积稍大　　　　　　　　　　　　　　　　　　【何】故今所得之圎
　　球体积亦稍大也设如圎球
　　法用　　　　　　　　　　【○】球径方邉相　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球积方积不
　　同之定率比　　　　　　　　　　　　　【○】例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八
　　五九三一七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】设之圎球积六尺为三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘
　　有　　　　　　　　　【○】余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四
　　厘五豪零二　　　　　　　　　　　　　【○】忽有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【为】球之径也葢圎球积为五二三五九八七七五
　　则正方积为一○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】○○○○○若圎球积为一○○○○○○○○○则正方积为一九○九八五九三一
　　七　　　　　　　　　【率】其比例仍同故以圎球积一○○
　　○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【也】○为一率者即如以圎球积五二三五九八七七五为一率而以正方积一九○九八五九三一七为二率者即如以正方积一○○○
　　又法用　　　　　　　　　　　【○】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○
　　○九八为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圎球积六尺开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余为三率求得四率二尺二寸
　　五分四厘五豪零二忽有　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】余即圎球之径也此法亦以圎球积与正方积设
　　为　　　　　　　　　【○】相等使圎球径与正方邉　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】不同故以圎球积开立方得立方邉为线与
　　线之比例葢方邉为八○五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】九九五九七则球径为一○○○○○○○○
　　若方邉为一○○　　　　　　　　　　　　　　　【为】○○○○○○则球径为一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○为一率者即如以方邉八○五九九【二】五九七为一率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○率也
　　设如撱圎体大径六寸小径四寸问积几何
　　法以小径四寸用径求圎面积法求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余以大径六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余为长圎体积三归之得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余倍之得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也如圗甲乙丙丁撱圎体以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积再以甲丙大径乗之得壬戊庚癸长圎体此撱圎体积即为
　　长圎体积之三分之二亦如圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【大】球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁撱圎体积
　　也又法以小径四寸自乗得十六寸以径六寸再乗得九十六寸为长方体积
　　乃用方积　　　　　　　　　　　　【为】球积不同方　　　　　　　　　　　　　　　　　　【撱】邉球径相等之定率比例以方积一○○○○○
　　○○○○为　　　　　　　　　　　　　【圎】一率球积五二三五九八七七五为二率今所得之长方体积九十六寸为三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也葢函撱圎之长方体与所
　　函撱圎体之比　　　　　　　　　　　　　　【体】同于函球之正方【之】体与所【积也见几何原本十卷第十】函球体之比如甲乙丙丁撱圎体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以乙丁小径自乗又以甲丙大径再乗遂成戊己庚辛长方体形此长方体积与撱圎体积之比即同于正
　　【四】方体积与圎球体积之比故以定率
　　之正方　　　　　　　　　　　【节】体积为一率圎球体积为二率今所得之长方体积为三率求得四率
　　设如撱圎体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各防何
　　法用方积球积不同方邉球径相等之
　　定率比例以　　　　　　　　　　　　　【开】球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之撱圎体积五十寸为三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余为长方体积乃以大径比小径多二寸为长与濶之较用带一縦开立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有余即撱圎体之小径加大径比小径多二寸得五寸九分九厘二豪有余即撱圎体之大径也如圗甲乙丙丁撱圎体【立】用球积与方积之定率比例即成戊己庚辛长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚濶即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径多二寸即长濶之较故用带一縦方法算之得濶为撱圎体之小径得长为撱圎体之大径也
　　设如上下不等圎面体上径四尺下径六尺髙八尺问积防何
　　法以上径四尺用径求圎面积法求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余又以下径六尺用径求圎面积法求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余又以上径四尺与下径六尺相乗得二十四尺开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余用径求圎面积法求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余三数相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余与髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圎面体之积也葢上下不等圎面体立法与上下不等正方体同理但上下不等正方体上下俱系方面故求得上中下三方面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积也
　　又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙乃以下径六尺用径求圎面积法求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余与所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余三归之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余为大尖圎体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上尖圎体之髙以上径四尺用径求圎面积法求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余与上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余三归之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余为上小尖圎体之积与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余即上下不等圎面体之积也如圗甲乙丙丁上下不等圎面体如戊甲丁小尖圎体遂成戊乙丙大尖圎体故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也
　　又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例以正方体积一○○○○○○○○○为一率圎面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圎面体之积也
　　又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺相乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有余即上下不等圎面体之积也此法葢以三上下不等正方体与一上下不等圎面体为比例夫一上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为七八五三九八一六三若三上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为二六一七九九三八八故以上径自乗下径自乗上下径相乗三数相并以髙乗之所得为三上下不等正方体积彼定率之三上下不等正方体与一上下不等圎面体之比即同于今所得之三上下不等正方体积与所求之一上下不等圎面体积之比也
　　设如上下不等撱圎面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何
　　法以上大径四尺与上小径三尺相乗得一十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃用方积圎积之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率圎积七八五三九八一六三为二率三数相并之八十四尺为三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有余与髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有余三归之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢上下不等撱圎面体立法与上下不等圎面体同但上下不等圎面体上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系撱圎面故必求得上中下三长方面积相并用定率比例得三撱圎面积乃与髙相乗三归之而得体积也又法以上大径四尺与下大径八尺相减余四尺折半得二尺为一率髙十尺为二率下大径八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等撱圎面体上补成一尖撱圎体之共髙乃以下大径八尺小径六尺用求撱圎面积法求得下撱圎面积三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有余与所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有余三归之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余为大尖撱圎面体之积又以髙十尺与共髙二十尺相减余十尺为上小尖撱圎面体之髙以上大径四尺小径三尺用求撱圎面积法求得上撱圎面积九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有余与上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有余三归之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有余为上小尖撱圎面体积与大尖撱圎面体积二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余相减余二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有余即上下不等撱圎面体积也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面体如戊甲丁小尖撱圎面积遂成戊乙丙大尖撱圎面体故于戊乙丙大尖撱圎面体内减戊甲丁小尖撱圎面体而得甲乙丙丁上下不等撱圎面体之积也又法用上下不等长方体与上下不等撱圎面体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六归之得二百八十尺成上下不等长方体积为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢长方面积与撱圎面积之比同于方面积与圎面积之比故上下不等长方体与上下不等撱圎面体之比即同于长方体与长圎体之比也
　　又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有余即上下不等撱圎面体之积也此法葢以六上下不等长方体与一上下不等撱圎面体为比例夫一上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为七八五三九八一六三若六上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为一三○八九九六九四故以上大径倍之加下大径与上小径相乗以下大径倍之加上大径与下小径相乗两数相并以髙乗之所得为六上下不等长方体积彼定率之六上下不等长方体积与一上下不等撱圎面体积之比即同于今所得之六上下不等长方体积与所求之一上下不等撱圎面体积之比也
　　设如截　　　　　　【求】球体一段髙二寸底径九寸六分问积防何法以髙二寸为首率底径九寸六分折半得四寸八分为中率求得末率一
　　尺一寸五分二厘为　　　　　　　　　　　　　　　　【得】圎球之截径加
　　髙二寸得一尺三寸五分二厘　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】为圎
　　球之全径折半得六寸七分六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【圎】厘为圎球之半径又以髙二寸为勾底径九寸六分折半得四寸八分为股求得五寸二分作平圎半径用求圆面积法面积八十四寸九十四分八十六厘有
　　余即为截　　　　　　　　　　　　【圎】球体一段之外面积与【体】圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘有余三归之得一百九十一寸四百
　　一十七分五百一十二厘有余为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】自
　　圎球中　　　　　　　　　　　【一】心所分球面尖圎体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】积又以截球体底径九寸六分用求平圎面
　　【九】积法求得截球体之底面积七十二
　　寸三十八分二十　　　　　　　　　　　　　　　【十】二厘有余于圎球
　　半径六寸七　　　　　　　　　　　　　【一】分六厘内减去截球体
　　之髙二寸余　　　　　　　　　　　　　【寸】四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积与球面尖四百一十七分五百一十二厘有余相
　　减余七十　　　　　　　　　　　　【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八厘有余即截球体一段之积也如
　　圗甲乙　　　　　　　　　　　【邜】丙截球体一段其乙丙底径即如弧矢形之长其甲丁髙即如弧
　　矢形之矢濶故甲丁为首率乙丙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】底
　　径折半　　　　　　　　　　　【圎】得乙丁为中率求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【面积】丁【之四倍若甲辛壬半球体】戊末率为截球径与甲丁
　　【其见】髙相加得甲戊为圎球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【各】全径折
　　半得甲巳为圎球　　　　　　　　　　　　　　　【面】半径又以甲丁为
　　勾乙丁为股　　　　　　　　　　　　　【形】求得甲乙乃以甲乙
　　为半径求　　　　　　　　　　　　　【】得　　　　　　　　　　　　　　　【矢】庚乙丙平圎面积
　　即与甲乙丙截球　　　　　　　　　　　　　　　【求】体一段之外面积
　　等葢圎　　　　　　　　　　　【圎】面半径与球体半径等者其
　　圎面积为　　　　　　　　　　　　【径】球体外面积之四分之一
　　【法】而圎面半径【见防何原本十卷第八节】与球体全
　　径等者其圎面积与球体外面积等故甲辛戊壬圎球体其外面积为同径子外面积必为子丑寅邜平圎面积之二倍然则甲己半径求得平圎面积又辛己半径亦求得平圎面积两面积相并
　　必与甲辛壬半　　　　　　　　　　　　　　【体】球体之外面积等矣
　　今甲乙丙　　　　　　　　　　　　【底】截球体一段若以甲丁为半径求得平圎面积又以乙丁为半径求得平圎面积两面积相并亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等而甲乙自乗之正方与甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相并之积等则甲乙为半径所得之圎面积亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等故以甲乙为半径所得之庚乙丙平圎面
　　积即与甲乙　　　　　　　　　　　　　【径】丙截球体一段之外面
　　积相等也　　　　　　　　　　　　【求】既得截球体一段之外面积与甲巳圎球半径相乗三归之得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球得乙丙底面积与丁巳截半径相乗三归之得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减所余即甲
　　乙丙截　　　　　　　　　　　【减】球体一段之积
　　也又法先求得　　　　　　　　　　　　　　【去】圎球径一尺三寸五分二厘用径求周法求得圎周四尺二
　　寸四分七厘四豪三丝三忽有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【截】与截球体一段之髙二寸相乗得八十四
　　寸九十四分八十六厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】即为截
　　球一段之外　　　　　　　　　　　　　【体】面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十
　　二厘　　　　　　　　　　【之】有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【髙】圎球中心所分球
　　面　　　　　　　　　【二】尖圎体积又以截球体底径九寸
　　六分用求　　　　　　　　　　　　【寸】平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内
　　余四寸七分六厘与截　　　　　　　　　　　　　　　　　【则】球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘
　　有余为自　　　　　　　　　　　　【与】圎球中心　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】至截球径所
　　分平面尖圎　　　　　　　　　　　　　【巳】体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七
　　十一分八十八厘　　　　　　　　　　　　　　　【半】有余即截球体一
　　段之积也如　　　　　　　　　　　　　【径】圗甲乙丙截球体一段先求得甲戊全径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗得庚子丑
　　辛截长圎体一段之外面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【相】积与甲乙
　　丙截球体一　　　　　　　　　　　　　【乗】段之外面积等葢球体全径与长圎体底径髙度相等者其相当每【见防何原本十卷第十一节】段之外面积皆相等既得甲乙丙截球体一段之外面积
　　三归之而得己丙甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】球面尖圎体
　　积又以乙丙　　　　　　　　　　　　　【相】截球体底面积与丁己截半径相乗三归之而得己丙丁乙平
　　面尖圎体积与己丙　　　　　　　　　　　　　　　　【减】甲乙球面尖圎
　　体积相减余即得甲　　　　　　　　　　　　　　　　【余】乙丙截球体一
　　段之积也设　　　　　　　　【三】如空心圎球积二千寸厚三寸问内外
　　径数各防何法用球径方邉相等球积
　　方积不同之　　　　　　　　　　　　　【尺】定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九
　　○九八五九三一七为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】所设之空心圎球积二千寸为三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪为内径与外径相乗长方面积乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九
　　丝七忽有余即空心圎　　　　　　　　　　　　　　　　　【心】球外径也此
　　法盖以空心　　　　　　　　　　　　　【正】圎球体与空心正方体
　　为比例即　　　　　　　　　　　　【方】如用球积与方积定率为
　　比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】空心圎球体其甲丙外径与壬癸外方邉等其戊庚内径与寅邜内方邉等是以
　　甲　　　　　　　　　【之】乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比而空心圎球体与空
　　比即如　　　　　　　　　　　【十】球体积与方体积之比也既得空心正方体积则用算空心正方体法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体六归之得酉戌坎未一长方扁体用厚三寸除之得酉戌亥干一长方面积其酉戌濶与戊庚等即内径其酉干长与壬丑等即外径其酉寅巳干皆与壬酉厚度等酉寅巳干并之即长濶之较故以厚三寸倍之为带縦求得濶为内径长为外径
　　也又法用定率比例求得空心正方体积以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较自乗再乗得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减余三尺六百零三寸七百一八分六百三十四厘有余三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余以内外方邉之较六寸除之得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积以内外方邉之较六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余
　　即空心圎　　　　　　　　　　　　【度】球外径也如圗甲乙丙丁
　　戊己庚辛空心　　　　　　　　　　　　　　【自】圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚为甲丙外径与戊庚内径之较依开立方法分之得酉戌亥三方亷体干坎艮三长亷体震一小隅体以壬寅厚乗再乗得震一小隅体与空心正方体积相减余三方亷体三长亷体三归之则余酉一方亷体干一长亷体共成巽壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长濶之较故用带縦较数开平方法算之得邜辰濶与寅癸等即空心圎球之内径以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等
　　即空心圎　　　　　　　　　　　　【十】球之外径
　　也设如圎窖一座周二十四尺髙十尺问盛米防何法以周二十四尺用圎周求面积法求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余与髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为圎窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圎窖体积四百五十八尺三百六六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米数也此法与求长圎体积之法同如甲乙丙丁长圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面积用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁长圎体积既得体积则以一石积数二千五百寸与一石之比同于今所得之体积与今所求之米数之比也
　　设如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各防何
　　法以米一石为一率一石积数定率二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圎窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圎窖之面积乃用圎积方积之定率比例以圎积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之圎窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余即圎窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余即圎窖之周数也
　　设如积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何法以底周十四尺用圎周求面积法求得圎面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二豪有余为尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之尖圎堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有余即所堆之米数也此法与尖圎体求积之法同既得尖圎堆之积而以一石之积数定率为比例即得米数也
　　设如倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数防何法以底周六尺为半周倍之得一十二尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖圎堆之底面积以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁尖圎堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有余即倚壁所堆之米数也葢倚壁尖圎堆即尖圎体之一半故求得平圎面积折半与髙数相乗又以三归之得倚壁尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也
　　设如倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数防何
　　法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁内角尖圎堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也盖倚壁内角尖圎堆即尖圎体之四分之一故求得平圎面积四归之与髙数相乗又以三归之得倚壁内角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也
　　设如倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数防何
　　法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二豪有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八厘四十四豪有余为倚壁外角尖圎堆之底面积以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余即倚壁外角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁外角尖圎堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有余即倚壁外角所堆之米数也盖倚壁外角尖圎堆即尖圎体四分之三故求得平圎面积四归三因与髙数相乗又以三归之得倚壁外角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也

　　御制数理精蕴下编卷二十六
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十七
　　体部五
　　各等面体

　　各等面体
　　设如四面体每边一尺二寸求积几何
　　法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余为每一面之面积又以毎边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二得六寸九分二厘八豪二丝零二防有余为勾求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余为四面体自尖至底中心之立垂线或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线取其三分之一得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底之中之立垂线以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也如圗甲乙丙丁四面体其棱六角四平铺之则面亦四各成一等边三角形试以乙丙丁之一面为底以乙丙一边为丁丙一边折半得戊丙为勾求得乙戊股与甲戊等即每一面之中垂线与丁丙一边相乗折半得乙丙丁底面积又以甲丙一边为己丙中垂线之三分之二为勾求得甲己股为自尖至底中心之立垂线或以甲戊每一面之中垂线为己戊中垂线之三分之一为勾亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗三归之即得甲乙丙丁四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线防法以毎边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即自尖至底中心之立垂线也此法葢因甲丙为戊丙为勾求得甲戊股则甲戊自乗方为甲丙自乗方之四分之三【见等边三角形求中垂线法】又甲戊为己戊为勾求得甲己股则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八【己戊为甲戊三分之一则甲戊自乗方为九分己戊自乗方为一分甲己自乗方为八分】甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一边自乗三归二因得甲己自乗方积而开方得甲己为立垂线之髙数也
　　又用知一边求髙数之定率比例求自尖至底中心之立垂线以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之立垂线八一六四九六五八为二率今所设之四面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即四面体自尖至底中心之立垂线也
　　又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余即四面体之积也葢四面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也
　　又用体积相等边线不同之定率比例以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为与四面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余即四面体之积也葢四面体之每边为二○三九六四八九○正方体之每边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁四面体之积为相等也
　　如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等四面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也
　　又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体积与正方体积相等四面体之每边与正方体之每边不同故以四面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也
　　设如八面体每边一尺二寸求积几何
　　法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也如图甲乙丙丁戊己八面体其棱十二角六平铺之则面为八各成一等边三角形自体正中对四角平分截之则成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方体甲丙为二尖方体之共髙即甲乙丙丁正方形之对角斜线故以戊乙一边自乗得戊乙己丁正方面积为二尖方体之共底又以戊乙己丁正方面积倍之开平方即如甲乙为勾乙丙为股各自乗相并开方得甲丙为八面体之对角斜线即二尖方体之共髙以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗三归之得二尖方体积即八面体之总积也
　　又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率今所设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也葢八面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也
　　又用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为与八面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余即八面体之积也葢八面体之每边为一二八四八九八二九正方体之毎边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也
　　如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等八面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也
　　又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体积与正方体积相等八面体之每边与正方体之每边不同故以八面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也
　　设如十二面体每边一尺二寸求积几何
　　法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也如图甲乙丙丁戊十二面体其棱三十角二十平铺之则面十二各成一等边五角形先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线又求得子丑自中心至每边之垂线复求得己庚辛壬癸五等边形之面积次以辛壬一边为大分己辛两角相对斜线为全分故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比而得两角相对之斜线又自十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线【与己辛等】之一半而为十等边形之一边故寅卯与辰寅之比又同于理分中末线之大分与全分之比而得十二面体之中心至每边正中之斜线乃以辰寅斜线为每面中心至每邉之子丑垂线为勾求得辰子股即十二面体中心至每面中心之立垂线以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗三归之得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积十二因之即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也盖十二面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也
　　又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为与十二面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余即十二面体之积也葢十二面体之每邉为五○七二二二○七正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也
　　如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每邉之数则用邉线相等体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等十二面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率十二面体之每邉五○七二二二○七为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率求得四率一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体积与正方体积相等十二面体之每邉与正方体之每邉不同故以十二面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也
　　设如二十面体每邉一尺二寸求积几何
　　法以二十面体分作二十三角尖体算之将每邉一尺二寸求得三等邉形之分角线为六寸九分二厘八豪二丝零二微有余自中心至每邉之垂线为三寸四分六厘四豪一丝零一微有余面积为六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每邉一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至邉之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余为二十面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五厘有余为一三角尖体积二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百厘有余即二十面体之总积也如圗甲乙丙丁戊二十面体其棱三十角十二平铺之则面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚类分角线又求得庚辛自中心至每邉之垂线复求得巳丙丁三等邉形之面积次自二十面体之正中截之则成十等邉之面形而其所截之处皆正当每邉之一半故其所截之壬癸等线亦为乙丙每邉之一半而为十等邉形之一邉故壬癸与子壬之比同于理分中末线之大分与全分之比而得二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以子壬斜线为每面中心至每邉之庚辛垂线为勾求得子庚股即二十面体中心至每面中心之立垂线以此子庚立垂线与己丙丁一面积相乗三归之得子己丙丁一三角尖体积二十因之即得甲乙丙丁戊二十面体之总积也
　　又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而二十面体之每一邉一○○○所得之二十面体积为二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面体之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰巳二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余之比也
　　又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之二十面体之每邉七七一○二五三四为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每邉为七七一○二五三四正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰巳二十面体之每邉七七一○二五三四与午未申酉正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每邉一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己二十面体之积为相等也
　　如有二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等二十面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也
　　又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为三率求得四率一尺二寸即二十面体之每一邉也此法葢因二十面体积与正方体积相等二十面体之毎邉与正方体之每邉不同故以二十面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

　　御制数理精蕴下编二十七
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十八
　　体部六
　　【面】球内容各等面
　　【体】体球外切各等

　　【庚】球内容各等面
　　体设如　　　　　　【俱】圆球径一尺二寸求内容四面体之每一边及体积
　　几何法　　　　　　　　　　　【为】以圆球径一尺二寸三归二
　　因得八　　　　　　　　　　　【自】寸为圆球内容四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得六十四寸二归三因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余即圆球内容四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有余与自尖至每面中心之立垂线八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有余三归之得一百一十寸八百五十
　　一分二百五十厘　　　　　　　　　　　　　　　【尖】有余即圆球内容四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊四面体甲己与丙至每面中心之立垂线相交于辛为四
　　面体之中心亦即圆　　　　　　　　　　　　　　　　【故】球之中心甲辛与丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与甲庚辛勾股形为同式【以甲乙圆甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂线为股己壬一面中垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂线为甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂线之三分之二为股庚辛四面体中心至每面中心之垂线为勾甲辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一甲角而己角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为】形己壬为丙壬一面中垂线之三分之一亦为甲壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而甲辛即【同】
　　圆球之半径故庚辛亦　　　　　　　　　　　　　　　　　【式】为圆球半径
　　之三分之一庚辛与辛已等今命　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】甲
　　辛圆球半径为三分　　　　　　　　　　　　　　　　【也】则甲乙圆球全径为六分以辛己一分与甲辛三分相加则得甲巳四分是甲巳立垂线为甲乙圆球全径之六分之四即三分之二
　　【六】球径三归二因即得甲己为四面体
　　自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每边自乘方之三分之【分之见前四面体求】二故以甲己立垂线自乘二归三因即得每一边自乘方积开平方得甲丙为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丙丁戊三角形面积与甲巳立垂线相乘三归之即得甲丙丁戊四面体之积
　　也又求边捷法以　　　　　　　　　　　　　　　【积】圆球径一尺二寸自乘三归二因得九十六寸开平方亦得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余为内容四面体之每一边也盖四
　　面体之甲巳立垂线既为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】乙圆球径之三分之二则甲己自乘方必为甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又为甲丙每边自乘方之三分之二即四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆
　　【○】球径自乘方之九分之六即三分之
　　二故以圆球径自乘三归二因开平方亦得四面体之每一边也如有四面体
　　之一边求外切　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线二归三因【○】即圆球径或以一边自乘二归三因开平方亦即得圆
　　球径也　　　　　　　　　　　【○】又用求球内各形之一边之
　　定率比例以　　　　　　　　　　　　　【○】定率之圆球径一○○
　　○○○○○　　　　　　　　　　　　　【为】○为一率圆球内容四面体之一边八一六四九六五八为二
　　【一】率今所设之圆球径一尺二寸为三
　　率求得四率九寸七分九厘七豪九丝
　　五　　　　　　　　　【率】忽八防有余即圆球内
　　容四面　　　　　　　　　　　【圆】体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○
　　【尺】球内容四面体积六四一五○○二
　　九为二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率一百一十寸八百五十
　　一分二百五十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】即圆球内容四面体
　　之积也　　　　　　　　　　　【自】又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○
　　○　　　　　　　　　【乘】为一率圆球内容四面体积一二
　　二五一七五三○为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【得】今所设之
　　圆球径一　　　　　　　　　　　　【一】尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一百一十寸八
　　百五十一分二百四　　　　　　　　　　　　　　　　【百】十九厘有余即圆球
　　内容四　　　　　　【四】面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容正方体
　　之每一边及体积几何法以圆球径一十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余即圆球内容正方体之每一边以一边自乘再乘得三百三十二寸五百五十
　　三分七百四十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球内
　　容正方体之积也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】圆球径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方体试以丙丁一边为股丁乙一边为勾求得丙乙即每一面之对角斜线勾与股既相等则丙乙每一面对角斜线自乘方为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍矣又试以丙乙对角斜线为股甲
　　丙一边为勾求得甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【如】即圆球径
　　则　　　　　　　　　【有】甲乙圆球径自乘方又为甲丙类
　　每边自乘方之三倍　　　　　　　　　　　　　　　　【正】矣故以圆球径
　　自乘三归即得每边自乘之积开　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】平方即得圆球内容正方体之一边以一边自乘再乘即得圆球内容正方体之
　　体之一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　【圆】球径则以一边
　　自乘三因之开平方即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圆球径也又用求球内各形之一边之定率
　　比例以定率　　　　　　　　　　　　　【内】之圆球径一○○○○
　　○○○○为　　　　　　　　　　　　　【容】一率圆球内容正方体之一边五七七三五○二六为二率今
　　【正】所设之圆球径一尺二寸为三率求
　　得四率六寸九分二厘八豪二丝零三
　　【方】防有余即圆球内容正
　　方体之　　　　　　　　　　　【体】一边也又用求球内各形之
　　体积之定率　　　　　　　　　　　　　【之】比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○
　　【积】○○○○为一率圆球内容正方体
　　积一九二四五○○八　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即
　　又用圆　　　　　　　　　　　【八】球积之定率比例以定率之
　　【寸】圆球积一○○○○○○○○○为
　　一率圆球内容正方体积三六七五五
　　二五九○为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　【即】之圆球径
　　一尺二寸　　　　　　　　　　　　【圆】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即圆球内容正方
　　体之积　　　　　　【球】也设如圆球径一尺二寸求内容八面体之每一边
　　及体积　　　　　　　　　　　【内】几何法以圆球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝
　　八忽　　　　　　　　　　【容】一防有余即圆球内容八面体之每一边也乃以八面体之每一边自乘得七十二寸以球径一尺二寸再乘得八百六十四寸三归之得二百八十
　　八面体之积也如图甲乙圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面体自正中对四角平分截之则成甲丙己丁
　　戊乙丁戊丙己二尖方体甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径为二尖方体之共髙即甲丙乙丁正方面之对角斜线试以甲丙一边为股
　　乙丙一边为勾则　　　　　　　　　　　　　　　【○】甲乙球径为勾与股既相等则甲乙自乘方为甲丙自
　　乘方之二倍故　　　　　　　　　　　　　　【○】以甲乙球径自乘折半开方即得甲丙为内容八面体之一边以戊丙一边自乘得戊丙己丁二尖方体之共底面积以甲乙共髙再乘三归之得二尖方体积即八面体之总积
　　也如有八面体之一边　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】求外切圆球径则以一边自乘加倍开平方得对【○】角斜
　　线即圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○
　　○为一率圆　　　　　　　　　　　　　【二】球内容八面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】体之一边七○七一○六七八为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得
　　四率八寸四分八厘五豪二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【求】丝八
　　忽　　　　　　　　　【得】一防有余即圆球内容八面体
　　之一边　　　　　　　　　　　【圆】也又用求球内各形之体积
　　之定率比例　　　　　　　　　　　　　【球】以　　　　　　　　　　　　　　　【积】定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○
　　【九】○○○○为　　　　　　　　　　　　　　【百】一率圆球内容八面
　　体积一六六六六六六　　　　　　　　　　　　　　　　　【零】六六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再
　　乘得一千七百二十八寸为三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】率求得四率二百八十八寸即圆球内
　　容八面　　　　　　　　　　　【寸】体之积也又　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】用圆球积之
　　【百】定率比例以定率之圆球积一【七】
　　○　　　　　　　　　【十】○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率今所设之圆球径一尺二八分六百八十四厘有余为三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余即圆球内容八面体之积也
　　设如圆　　　　　　【豪】球径一尺二寸求内容十二面体之每一边及体积几
　　何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为
　　二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　【三】圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八
　　丝六忽五防有余　　　　　　　　　　　　　　　【丝】即圆球内容十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余又用五等边形求外切圜径法求【即分角线】得半径三寸六分四厘二
　　七忽一防有余为勾圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【圜】球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七防有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余三归之得五十寸一百三十二分九百三十五厘为一五角尖体积十二因之得六百零一寸五百九十五
　　分二百二十厘有余即　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球内容十
　　二面体之总积也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一半而为十等边形之一边试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线即为所截十等边形外切
　　径与甲庚每边之半甲辰圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【既】球半径共成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾甲辰为庚辰即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之小分何以知之盖十二面体每面之壬子两角相对斜【得与甲丙】线为全分则子丑一【等与甲卯】边为大分若以壬子两角相对斜线为大分则子丑一边为小分两角相对斜线之一半庚辛为大分则每边之半甲庚即为小分矣又庚辰中心至每边正中之垂线既为十等边形外切圜之半径而庚辛为十等边形之一边则庚辛为大分而庚辰必为全分矣因庚辰全
　　分为股甲庚小分为勾而甲辰　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【等】圆球半径为故以理分中末线之全分为股小分为勾求得与小分之比同于甲辰半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也一边则用五等边形求面积法求得壬癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸五等边形外切圜半径【面体每一】乃以辰癸
　　圆　　　　　　　　　【面】球半径为【两角即分】已癸分角线为
　　勾求得辰巳股即　　　　　　　　　　　　　　　【角】圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线与壬癸子丑寅五等边形面积相乘三归之得辰壬癸子丑寅一五角尖体积十二因
　　之即　　　　　　　　　　【线】得圆球内容十二面体之总积
　　也如有十二面体之每一边求　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【与】外切圆球径则先求得自中心至每边正中
　　之垂线为股半边为勾求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】倍之即
　　圆球全径也又求　　　　　　　　　　　　　　　【甲】边法用求圆球内
　　容正方体　　　　　　　　　　　　【等】之一边法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余为圆球内容十二相对斜线乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三防为三率求得四率四寸二分八厘一
　　豪八丝六忽四防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】球内容
　　十二面体之每一边也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体试于每一面各作一斜线相连则十二斜线之二十四端合为八角遂成正方体形其十二面之十二斜线即正方体之十二边其八角即正方体之八
　　角皆切　　　　　　　　　　　【二】于圆球之面　　　　　　　　　　　　　　　　　【面】故用求球内容正方体法求得正方体之一边即十二面体每一面两角相对之斜线既得斜线则以理分中末线之全分与大分之比即同于两角相对之斜线与每一边之比而得十二面体之每一边也如
　　体之每一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边用正方体求外切圆球径之法亦即
　　得　　　　　　　　　【率】圆球
　　径矣又　　　　　　　　　　　【六】用求球内各形之一边之定
　　率比例以定　　　　　　　　　　　　　【百】率之圆球径一○○○
　　○○○○○　　　　　　　　　　　　　【零】为一率圆球内容十二面体之一边三五六八二二○九为二
　　率　　　　　　　　　【一】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝
　　六忽　　　　　　　　　　【寸】五防有余即圆球内容十
　　二面体　　　　　　　　　　　【五】之一边也又用求球内各形
　　之体积之定　　　　　　　　　　　　　【百】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○
　　【九】○○○○○为一率圆球内容十二
　　面体积三四八一四五四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得
　　五分三百九十二厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】球内容十二面体之积
　　也又用圆球积之定率比例以定率之
　　【尺】圆球积一○○○○○○○○○为
　　一　　　　　　　　　【二】率圆球内容十二面体积六六四
　　九○八八九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】设之圆
　　球径一尺二　　　　　　　　　　　　　【为】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率六百零一寸五百
　　九十五分三百九十一　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】厘有余即圆球内容十
　　二面体　　　　　　【率】之积也设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每
　　一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径求得四率六寸三分零八豪七丝七忽
　　三防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　【径】球内容二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余又用三等边形求外切圜径法求得半【一即分角】径三寸六分四厘二豪三丝七忽一防有余为勾圆球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二
　　忽七防有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【线】圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余为一三角尖体积二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余即圆球内容二十面体之总积也如图甲乙圆球尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而为十等边形之一边试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬为庚壬即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之大分何以知之盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径庚辛既为十等边形之一边则庚辛为大分庚壬必为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半径为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比
　　也又图子丑圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球内容子丙寅丑卯已二十面体自丙已二处横截之则所截之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面形试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为股丙寅为勾已寅为以甲丙丁戊己五等边面形言之则巳丙股为两角相对斜线即如理分中末线之全分丙寅勾与丙丁一边同即如理分中末线之大分今己丙全分既为股丙寅大分
　　既为勾巳寅与子丑同为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】圆球径既为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径【二十面体】为未巳分角线为勾
　　求得壬未股即圆　　　　　　　　　　　　　　　【之】球中心至内容二十面体每面中心之立垂线与辰巳午三等边形面积相乘三归之得壬辰巳
　　午一三角尖体积二十因之即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球内容二十面体之积也如有二十面
　　体之一边求外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边
　　为勾求得倍　　　　　　　　　　　　　　【也】之即圆
　　球全径　　　　　　　　　　　【与】也又用求球内各形之一边
　　之定率比例　　　　　　　　　　　　　【甲】以定率之圆球径一○
　　○○○○○　　　　　　　　　　　　　【壬】○○为一率圆球内容二十面体之一边五二五七三一一一
　　为　　　　　　　　　【等】二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三防有余即圆球内容
　　又用求　　　　　　　　　　　【内】球内各形之体积之定率比
　　例以定率之　　　　　　　　　　　　　【容】圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一
　　【二】率圆球内容二十面体积三一七○
　　一八八三三为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面
　　体之积　　　　　　　　　　　【面】也又用圆球积之定率比例
　　【体】以定率之圆球积一○○○○○○
　　○　　　　　　　　　【之】○○为一率圆球内容二十面体
　　积六○五四六一三七二为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】二率今
　　所设之圆球　　　　　　　　　　　　　【也】径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球
　　【至】球外切各等面
　　体设如　　　　　　【每】圆球径一尺二寸求外切四面体之每一边及体积
　　几何法　　　　　　　　　　　【面】以圆球径一尺二寸倍之得
　　二尺四　　　　　　　　　　　【中】寸为圆球外切四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得五尺七十六寸二归三因得八尺六十四寸开平方得二尺九寸三分九厘三豪八丝
　　七忽六防　　　　　　　　　　　　【心】有余即圆球外切四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有余与自尖至每面中心之立垂线二尺四寸相乘三归之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十
　　六　　　　　　　　　【之】厘有余即圆球外切四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己四面体丙乙与丁庚俱为自尖立垂线相交于辛为四面体之中心亦
　　即圆　　　　　　　　　　【自】球之中心辛乙与辛庚俱为【乘】圆球半径丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形为同【二归丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂线为股乙壬一面中垂线之三分之一为勾丙壬一面中垂线为丙庚辛勾股形以丙庚一面中垂线之三分之二为股庚辛圆球半径为勾丙辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一丙角而乙角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为同】式形乙壬为丁壬一面中垂线之三分之一亦为丙壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为丙辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一
　　而庚辛　　　　　　　　　　　【式】为圆球半径与甲辛等甲辛既为丙辛之三分之一则丙甲即为丙辛之三分之二与甲乙全径等故以【形】甲乙圆球径倍之得丙乙为四面体自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每一边自乘方之【见前四面体求积法】三分之二故以丙乙立垂线三因得每一边自乘方积开平方得丙丁为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丁戊己三角形面积与丙乙立垂线相乘三归之即得丙丁戊己四面体之积也如有
　　四面体之一边求内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径则先求得自尖至每面中心之立垂线折半即内容圆球径
　　也又用　　　　　　　　　　　【○】求球外各形之一边之定率
　　比例以定率　　　　　　　　　　　　　【○】之圆球径一○○○○
　　○○○○　　　　　　　　　　　　【为】为一率球外切四面体之一边二四四九四八九七四为二率今
　　【一】所设之圆球径一尺二寸为三率求
　　得四率二尺九寸三分九厘三豪八丝
　　七忽六　　　　　　　　　　　【率】防有余即圆球外切四
　　面体之　　　　　　　　　　　【球】一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○外切四面体积一七三二○五○八○
　　七为二率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余即【寸】圆球外切四面体之
　　积也又　　　　　　　　　　　【即】用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○
　　为　　　　　　　　　【外】一率圆球外切四面体积三三○
　　七九七三三七二为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【切】所设之
　　圆球径一尺　　　　　　　　　　　　　【正】二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率二尺九百九十
　　二寸九百八十三分七百九十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】四厘有余即圆球外
　　切四面　　　　　　【体】体之积也设如圆球径一尺二寸求外切正方体之
　　每一边及体积几何法因圆球径一尺之每一边自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方体积故他法皆不设止存此题以备一体焉
　　设如圆　　　　　　【有】球径一尺二寸求外切八面体之每一边及体积几
　　何法以　　　　　　　　　　　【余】圆球径一尺二寸折半得六
　　寸　　　　　　　　　【即】为圆球外切八面体中心至每面中心之立垂线自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸开平方得一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八防有【圆】余即圆球外切八面体之每一边也乃以八面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积九十三寸五十
　　三分零七厘四十三豪　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】有余与圆球半径六寸相乘三归之得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有余为一三角尖体积八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘外切八面体之总积也如图甲乙圆【癸】球径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面体自丁辛己庚四角平分之则成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方体将二尖方体自尖依各棱直剖之则又得子
　　丙丁庚类八三角尖体　　　　　　　　　　　　　　　　　【壬】圆球之外面
　　皆切于各面之中　　　　　　　　　　　　　　　【自】心圆球之半径即外切八面体中心至每一面中心之立垂线试自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面中垂线又自八面体中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂线复自八面体中心子至丁庚边正中壬作子壬线遂成壬癸子勾股形此形以子癸【即圆球半径】立垂线为股丙壬一面中垂线之三分之一癸壬为勾八面体中心至每边正中斜线子【子壬即八面体每边之一半盖壬丑与庚己平行其度相等折半于子故为每边之半】壬为夫癸壬既为丙壬一面中垂线之三分之一则乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之九分之一而丙壬一面中垂线自乘方原为丙丁每边自乘方之十二分之九则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方之十二分之一又子壬既为每边之半则其自乘方必为每边自乘方之四分之一今命为十二分之三癸壬勾自乘方既为每边自乘方十二分之一子壬自乘方又为每边自乘方十二分之三则子癸股自乘方必为每边自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圆
　　【圆】球半径自乘六因之得每边自乘方
　　积开平方得八面体之每一边也既得每一边则用等边三角形求面积法求
　　得丙丁庚一面积与子癸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圆球半径相乘三归之得子丙丁庚一三角尖体积八因之即得丙丁戊己庚辛八面体之总积也如有八面体之一边求内容径则求得自中心至每一面中心之立
　　垂线即内容圆　　　　　　　　　　　　　　【球】球之半径
　　也又用求球外各形之一边之定率比
　　例以定率之　　　　　　　　　　　　　【外】圆球径一○○○○○
　　○○○为一　　　　　　　　　　　　　【切】率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率今
　　所　　　　　　　　　【八】设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝
　　三忽八防　　　　　　　　　　　　【面】有余即圆球外切八面
　　体之一　　　　　　　　　　　【体】边也又用求球外各形之体
　　积之定率比　　　　　　　　　　　　　【之】例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○
　　【积】○○○为一率圆球外切八面体积
　　八六六○二五四○三　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余即圆
　　又用圆　　　　　　　　　　　【○】球积之定率比例以定率之
　　【○】圆球积一○○○○○○○○○为
　　一率圆球外切八面体积一六五三九
　　八六六八六为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圆球
　　径一尺二寸　　　　　　　　　　　　　【○】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余即圆球外切八面
　　体之积　　　　　　【○】也设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边
　　及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六
　　一八○三三九九为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝零【为】三防有余为圆球外切十二面体每一面中心至边之垂线又以全分一○○一率倍小分七六三九三二○二为二
　　率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　【球】球半径六寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二防有余为每一面中心至角之分角线乃以每一面之分角线为每一面中心至边之垂线为股求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八防有余倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六
　　防有余即　　　　　　　　　　　　【外】圆球外切十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘得数折半五因之得四十九寸九十五分二十六
　　厘零九豪有余　　　　　　　　　　　　　　【切】为圆球外切十二面
　　体之每一面之　　　　　　　　　　　　　　【十】积与圆球半径六寸相乘三归之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余为每一五角尖体积十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余即圆
　　二面体之总积也盖圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球外切十二
　　面体其　　　　　　　　　　　【分】圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切十二面体中
　　心至每一面中心之立垂线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【角】以圆球半径为理分中末线之全分则外切十二面体之每一面中心至边【即五等边形内容圜半径】之垂线为大分每一面中心至角之【即五等边形外切圆半径】分角线为倍小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰丙为倍小分何以知之寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为小分【盖十二面体中心至每边正中之垂线为全分则其每一面两角相对斜线之一半为大分而毎边之半即为小分见球内容十二面体法】试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全分巳卯既为全分而丙卯又为小分则巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形【寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之共九十度而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等辰角与巳角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】丑已丙勾股形之丑巳股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与大分之比也又凡五等边形自心至边之垂线为大分则自心至角之分角线即为倍小分如丙午未申酉五等边形其辰丑垂线为大分则辰申分角线为倍小分何以知之盖丙未两角相对斜线为全分则未甲一边为大分而酉未与丙申两两角相对斜线相交所截戌申一段即为小分成连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线平分丙未两角相对斜线于亥则成丙亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式形【辰丑申勾股形之辰角当丑申半边所对之弧为未申边所对之弧之一半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥勾股形之丙角等丑角与亥角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】夫丙未为全分则丙戌为大分丙未为大分则丙戌为小分若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰
　　申分角线亦即为倍小分今圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【定】球半径与每面中心至边之垂线之比既同于全分与大分之比则圆球半径与每面分角线之比亦即同于全分与倍小分之比也既得辰丑垂线又得辰申分角线则用股求勾法求得丑申勾倍
　　之得未申即　　　　　　　　　　　　　【率】圆球外切十二面体之每一边既得每一边又得每面中心至边之垂线则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘折半五因之得
　　丙午未申酉五等边形面积与寅　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【比】辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未申酉一五角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚十二面体之总积也如有十二
　　面体之一边求　　　　　　　　　　　　　　【例】内容圆球径则求得十二面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球
　　之半径也又用求球外各形之一边之
　　以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球径一○○○○○○
　　○○为一率　　　　　　　　　　　　　【体】圆球外切十二面体之每一边四四九○二七九七为二率今
　　所设　　　　　　　　　　【积】之圆球径一尺二寸为三率求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽
　　五防有　　　　　　　　　　　【一】余即圆球外切十二面体
　　之一边　　　　　　　　　　　【三】也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○
　　【二】○为一率圆球外切十二面体积六
　　九三七八六三六七为二　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百【○】四十厘有余即圆球外
　　切十二　　　　　　　　　　　【三】面礼之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二
　　四三五八为二率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【豪】球径
　　一尺二寸求得　　　　　　　　　　　　　　【零】圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺一百九十八寸八
　　百六十二分八百四十二厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】即圆球外切十二面体
　　之积也　　　　　　【忽】设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边及
　　体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八
　　一九六六○一为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽
　　六　　　　　　　　　【防】防有余为圆球外切二十面体每一面中心至边之垂线三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八防有余为每一面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方得七寸九分三厘九
　　有余即圆　　　　　　　　　　　　【庚】球外切二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积二十
　　七寸二十九分一十九厘有余与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球半径六寸相乘三归之得五十四寸五百八十三分八百厘有余为一三角尖体积二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有余即圆球外切二十面
　　体之总积也　　　　　　　　　　　　　【十】盖圆球外切二十面【面】
　　体其圆球之外面皆切于各面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】之中心圆球之半径即外切二十面体中心
　　至每一面中心之　　　　　　　　　　　　　　　【按】立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切二十面体之每一面中【即三等边形内容圜半径】心至边之垂线为小分每一面中心【即三等边形外切圜半径】至角之分角线为倍小分其每一面自一角至对边之中垂线为三小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙为倍小分丙丑即为三小分也何以知之寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为大分【盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分则每边之半为大分见球内容二十面体法】试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已卯既为全分而丙卯又为大分则已丙即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小
　　分故以寅辰圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也既得辰丑每面中心至边之垂线则以三因之即得丙丑每面自一角至对边之中垂线而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方即得午未为【丙】圆球外切二十面体之每一边既得午未一边与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘折半得丙午未一三角形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未一三角尖体积二十因之即丁戊己庚二十面体之总积也如有二
　　十面体之每一边求内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则求得二十面体中心至每面中心之立
　　垂线即内容　　　　　　　　　　　　　【率】圆球之半
　　径也又　　　　　　　　　　　【一】用求球外各形之一边之定
　　率比例以定　　　　　　　　　　　　　【尺】率之圆球径○○○
　　○○○○○　　　　　　　　　　　　　【九】为一率圆球外切二十面体之每一边六六一五八四五三为
　　二率　　　　　　　　　　【十】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率七寸九分三厘九豪零
　　一忽　　　　　　　　　　【一】四防有余即圆球外切二
　　十面体　　　　　　　　　　　【寸】之一边也又用求球外各形
　　之体积之定　　　　　　　　　　　　　【六】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○
　　【百】○○○○○为一率圆球外切二十
　　面体积六三一七五六九　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】九九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得
　　十六分零九十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【下】球外切二十面体之积
　　也又用圆球积之定率比例以定率之
　　【编】圆球积一○○○○○○○○○为
　　一　　　　　　　　　　　【卷】率圆球外切二十面体积一二○
　　六五六六九九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】设之
　　圆球径一尺二　　　　　　　　　　　　　　　　【十】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺零九十一
　　寸六百七十六分零九十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圆球外切二

　　十面体之积也御制数理精蕴
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷二十九
　　体部七
　　各等面体互容
　　更体形

　　各等面体互容
　　设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
　　法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也
　　设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何
　　法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也
　　设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
　　法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也
　　设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
　　法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也
　　设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
　　法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为四面体内容圆【之】
　　球全径乃用　　　　　　　　　　　　　【一】求球内容正方体之每一边法以球径自乗三归开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即正方体中
　　心至角之斜线四面体内　　　　　　　　　　　　　　　　　　【边】容圆球径
　　即正方体　　　　　　　　　　　　【也】外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即四面体内容正方体又法以四面体每边一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八归除之得八寸开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也此法与前法同盖四面体之自尖至底中心之立垂线自乗方为每边自乗方之三分之二【之每一即六】内容圆球径为立垂线之一半【分之四见球外切四】则内
　　容圆　　　　　　　　　　【面】球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一即为毎边自乗方之六分
　　之一而　　　　　　　　　　　【体】圆球内容正方体之每边自
　　乗方又　　　　　　　　　　　【法】为圆球径自乗方之三分之一故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也如有正方体之一边求外切四面体之一边则以正方体之毎边自乗以十八乗之开平方即得外切四面体之每
　　一边也设如四面体每边一尺二寸求内容八面体边几何
　　法以四面体每边一尺二寸折半得六寸即四面体内容八面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体以八面体之四面切于四面体之各面以八面体之六角切于四面体之六棱其各角皆当各棱之一半故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也如有八面体之一边求外切四面体之一边则以八面体之一边倍之即得外切四面体之每一边也
　　设如四面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
　　法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余为四面体内容圆【面】
　　球全径乃用　　　　　　　　　　　　　【体】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一
　　为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　【内】之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余即四面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至毎一面中心之立垂线即十二面中心至各角之斜线四面体
　　【容】内容圆球径即十二面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】体外切圆
　　球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容十二面体之每一边即四二面体之每一边也如有十二面体之一边求外切四面体之每一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切四面体之每一边即十二面体外切四面体之每一边也
　　设如四面体每边一尺二寸求内容二十面体之每
　　一边几何
　　法以四面体毎边一尺二寸求得内容
　　圆　　　　　　　　　【丝】球全径四寸八分九厘八豪九丝
　　七忽九微有【六忽法见】余乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得
　　【题】之圆球全径折半得半径二寸四分
　　四厘九豪四丝八忽有微有余为三率求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得二寸八分零六豪八三微有余为二十面体每一面自角至对边之垂线自乘三归四因开平方得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余即四面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体以二十面体之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即二十面体中心至每一面中心之立垂线四面体内容
　　圆　　　　　　　　　【面】球径即二十面体内容　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】圆球径
　　故先求得四面体内　　　　　　　　　　　　　　　　【之】容圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】又求得球外切二十面体之一边即四面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切四面体之一边则
　　求得二十面　　　　　　　　　　　　　【边】体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】球径又求得球外切四面体之一边即二十面体外切四
　　设如八面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
　　法以每边一尺二寸三归之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余即八面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体以正方体之八角切于八面体各面之中心试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线则壬辛为壬癸三分之二子丑亦为甲丁三分之二辛丑即为甲丁三分之一与丑庚等辛丑丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形辛丑既与丑庚等故以辛丑自乘倍之开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切八面体之一边则以正方体之一边自乘折半开平方得数三因之即外切八面体之一边也
　　设如八面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
　　八面体之每边即内容四面体之每一边也何以知之盖甲乙丙丁八面体内容戊乙丙己四面体以乙丙己底面合于八面体之一面则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心【其戊乙边恰与乙丙边等】故八面体之每一边即内容四面体之每一边也
　　设如八面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
　　法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为八面体内容圆球全径乃
　　用求　　　　　　　　　　【体】球内容十二面体之一边法以全径自乘三归开平方得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余为十二面体每一面两角相对斜线又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之每一面两角相对斜线为三率求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余即八面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心
　　至各角之斜线八面体内容　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球径
　　即十二面体外　　　　　　　　　　　　　　【一】切圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即八面体内容十二面边也如有十二面体之一边求外切八面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切八面体之一边即十二面体外切八面体之一边也
　　设如八面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
　　法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸六归之得二十四寸开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九
　　微有余为八面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　【豪】球半径乃
　　用　　　　　　　　　【七】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一
　　为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　【丝】之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得五寸六分一厘三二忽九微有余为毎一面自角至对边之垂线自乗三归四因开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余即八面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容二十面体中心至每面中
　　心之立垂线八面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球径即
　　二十面体内容　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球径故先求得八
　　面体内　　　　　　　　　　　【边】容圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　【也】又求得球外切二十面体之一边即八面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切八面体之一边则先求得二十面体内客圆球径又求得球外切八面体之一边即二十面体外切八面体
　　设如十二面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
　　法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余即十二面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体以正方体之十二棱切于十二面体之各面则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线故用五等边面形有边求对角斜线法算之即得十二面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切十二面体之一边则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线用五等边面形有对角斜线求边法算之即得正方体外切十二面体之一边也
　　设如十二面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
　　法以十二面体每边一尺二寸用求十
　　二面体外切圆　　　　　　　　　　　　　　【寸】球径法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至每边正中之斜线以此斜线为股每边之半六寸为勾求得一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零
　　四微有余为十二面体外切　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】圆球全径乃用求球内容四面体之一边法以球径自乗三归二因开平方得二尺七分五厘八豪九丝四忽六微有余即十二面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于十二面体之四角则十二面体中心至各角之斜线即四面体中心至各角之斜线
　　十二面体外切圆　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径即四面体外切圆球径故先求得十二面体外切圆
　　球径又求　　　　　　　　　　　　【○】得球内容四面体之一边即十二面体内容四面体之一边也如有四面体之一边求外切十二面体之
　　一边则先求得四面体外　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】切圆球径
　　【○】又求得球内容十二面体之一边即
　　四面体外切十二面体
　　之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容八面体之每
　　一边几何法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○为二率今所设之十二面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至毎边正中之斜线倍之得三尺一寸四分一厘六豪四丝零六微有余【即十二面体外切正方体之一边】为内容八面体两角相对斜线自乗折半开平方得二尺二寸二分一厘四豪七丝五忽二微有余即十二面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于十二面体之六棱则十二面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即十二面体内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切十二面体之一边则先求得八面体两角相对斜线折半为外切十二面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与小分之比同于十二面体中心至毎边正中之斜线与每边之半之比既得每边之半倍之即八面体外切十二面体之一边也
　　设如十二面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
　　法以十二面体毎边一尺二寸用求十二面体中心至毎面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为每一面中心至边之垂线为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余倍之得二尺六寸七分二厘四豪三丝九
　　忽二微有余为十二面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球
　　全径乃用　　　　　　　　　　　　【面】求球内容二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为
　　二率今所得　　　　　　　　　　　　　【体】之圆球全径二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微为三率求得四率一尺四寸零四厘九豪八丝四忽四微有余即十二面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁戊十二面体内容己庚辛壬癸二十面体以二十面体之十二角切于十二面体各面之中心则十二面体中心至毎面中心之立垂线即内容二十面体中心至
　　各角之斜线十二面体　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】内容圆球径即二十面体外切圆球径故先求得十二面体内容圆球径又求得球内容二一边即十二面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切十二面体之一边则先求得二十面体外
　　切圆　　　　　　　　　　【为】球径又求　　　　　　　　　　　　　　　【二】得球外切十二面体之一边即二十面体外切十二面体之一
　　边也设如二十面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边
　　几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线九寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为以毎一面中心至边之垂线为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余
　　十面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　【寸】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【求】求球
　　内容正方体之一边　　　　　　　　　　　　　　　　【内】法以球径自乗三归开平方得一尺零四分七厘二豪一丝三忽四微有余即二十面体内容正方体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸正方体以正方体之八角切于二十面体之八面之中心则二十面体中心至毎一面中心之立垂线即内容正方体中心至角
　　之斜线二十面体　　　　　　　　　　　　　　　【容】内容圆球径即正
　　方　　　　　　　　　【四】体外切圆球径故先求得二十【面】
　　面体内容　　　　　　　　　　　　【体】圆球径又求得球内容正方体之一边即二十面体内客正方体之一边也如有正方体之一边求外切
　　二十面体之一边则先求　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】得正方体
　　【毎】外切圆球径又求得球外切二十面
　　体之一边即正方体外
　　切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二一边几何
　　法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得立垂线九寸厘六厘九豪一丝三忽五微有余【边即二法】倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面
　　体内客圆　　　　　　　　　　　　【见】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球内容四面体之毎一边法以球径自乗三归二因开平方得一尺四寸八分零九豪八丝三忽五微有余即二十面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于二十面体之四面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容四面体中心至角之
　　斜线二十面体内　　　　　　　　　　　　　　　【题】容圆球径即四面体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容四面体之一十面体内容四面体之毎一边也如有四面体之一边求外切二十面体之一边则先求得四面体外切圆球径又求
　　得　　　　　　　　　【面】球外切二十面体之一边即四面体外切二十面体之一边
　　也设如二十面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几
　　何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体中心至毎边正中之斜线倍之得一尺九寸四分一厘六豪四丝零六微有【即二十面体外切正方体之一边】余为内容八面体两角相对之斜线自乗折半开平方得一尺三寸七分二厘九豪四丝七忽一微有余即二十面体内容八体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于二十面体之六棱则二十面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜求方边法求得方边即二十面体内容八面体之毎一边也如有八面体之每一边求外切二十面体之每一边则先求得八面体之角相对斜线折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与大分之比同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比既得毎边之半倍之即八面体外切二十面体之一边也
　　设如二十面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
　　法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余【面体】见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面
　　体内容圆　　　　　　　　　　　　【中】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一
　　九　六六一为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为三率求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余即二十面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容十二
　　心至角之斜线二十面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】球
　　径即十二面体外切　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即二十面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切二十面体之一边则先求
　　得十二面体外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】又求得球外切二十面体之一边即十二面体外切二十面体之

　　更体形
　　设如正方体每边一尺二寸今欲作与正方体积相等之圆球体问径几何
　　法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○
　　○○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球径一二四○七○○九八为二率今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余
　　即　　　　　　　　　【亦】圆球之径也葢正方体之每边为
　　一○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　【为】○圆球径为一二四○七○○九八则两体积相等故以子丑寅卯正方体之每边一○○○
　　○○○○○与　　　　　　　　　　　　　　【相】辰巳圆球径一二四○七○○九八之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比而两体等也
　　设如正方体积一尺七百二十八寸今欲作与正方边相等之圆球体问积几何
　　法用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○
　　○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　【八】球积五二三五九八七七五为二率今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十
　　三厘有余即　　　　　　　　　　　　　【分】圆球之积也葢正方体
　　积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球积为五二三五九八七七五则正方体
　　之每　　　　　　　　　　【百】边与圆球径相等故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○
　　【八】与辰巳圆球积五二三五九八七七
　　五之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己圆球积九百零四寸七百七十十三厘有余之比而正方体之每边与
　　圆　　　　　　　　　【分】球径亦为相等
　　也设如圆球径一尺二寸今欲作与圆球积相等之四面体问毎一边几
　　何法用体积相等边线不同之定率比
　　例以定率之　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一二四○七○○九八为一率四面体之毎边二○三九六四八九○为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余即四
　　面体之每一边也　　　　　　　　　　　　　　　【厘】葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故
　　以　　　　　　　　　【七】子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比即同于今所设【豪】之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七三丝八忽有余之比而两体积亦为相等也
　　设如圆球积一尺七百二十八寸今欲作与圆球径相等之四面体问积几何
　　法用边线相等体积不同之定率比例
　　以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球积五二三五九八七七五为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五
　　厘有余即四面体之积也葢　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】圆球积为五二三五九八七七五四面体积为
　　一一七八五一一二九　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】则圆球径与
　　四面体之每边相等故以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】子丑圆球积五二三五九八七七五与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸与今所得之丙丁戊己四百八十八寸九百三十六分六百四十
　　五厘有余之比而圆　　　　　　　　　　　　　　　　【面】球径与四面体之毎边亦为相等
　　也设如八面体每边一尺二寸今欲作与八面体积相等之十二面体问每边几
　　何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也
　　设如八面体积一尺七百二十八寸今欲作与八面体毎边相等之二十面体问积几何
　　法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也

　　御制数理精蕴下编卷二十九
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十
　　体部八
　　各体权度比例
　　堆垜

　　各体权度比例
　　数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法防以诸物制爲正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之爲质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也
　　赤金十六两八钱
　　纹银九两
　　水银十二两二钱八分
　　红铜七两五钱
　　白铜六两九钱八分
　　黄铜六两八钱
　　纲六两七钱三分
　　生铁六两七钱
　　熟铁六两七钱三分
　　高锡六两三钱
　　六锡七两六钱
　　倭铅六两
　　黑铅九两九钱三分
　　白玉二两六钱
　　金珀八钱
　　白玛瑙二两三钱
　　红玛瑙二两二钱
　　砗磲一两五钱二分
　　青石二两八钱八分
　　白石二两五钱
　　红石二两五钱六分
　　象牙一两五钱四分
　　牛角一两九钱
　　沉香八钱二分
　　白檀八钱三分
　　紫檀一两零二分
　　花梨八钱七分
　　楠木四钱八分
　　黄杨七钱五分
　　乌木一两一钱
　　油八钱三分
　　水九钱三分
　　设如有金一方每边三寸问重几何
　　法以一寸爲一率金寸方重一十六两八钱爲二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积爲二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也
　　设如有银一方每边二寸问重几何
　　法以一寸爲一率银寸方重九两爲二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积爲八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也
　　设如黄铜一条重三百七十四两问积几何
　　法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸爲二率今所设黄铜重三百七十四两爲三率求得四率五十五寸即黄铜之积也
　　设如熟铁一块重十六两欲镕爲正方体问毎边几何
　　法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率一寸爲二率今铁重十六两爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也
　　设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何
　　法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水银一匣之积数爰以一寸爲一率水银寸方重一十二两二钱八分爲二率今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也
　　设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何
　　法以玉寸方重二两六钱爲一率一寸爲二率今所设玉重九十三两六钱爲三率求得四率三十六寸爲长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸爲带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸爲阔再加长比阔多三寸得六寸爲长也
　　设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何
　　法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱爲一率金一寸爲二率今相减所余之三十一两二钱爲三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱爲一率一寸爲二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱爲三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也
　　设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何
　　法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分爲高再乘得一十二寸五百分爲炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱爲一率金一寸爲二率今相减所余一十四两二钱爲三率求得四率一寸爲金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分爲玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱爲玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱爲一率一寸爲二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也
　　设如空心金　　　　　　　　【率】球一个外径一尺二寸厚三分问重几
　　何法以　　　　　　　　　　　【球】金球外径一尺二寸自乘再
　　乘得一尺七百二十八寸乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】方边球径相等方积球积不同之定率比例
　　以方积一○○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】爲
　　一率球积五二三五九八七七五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】爲二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分爲空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○爲一五九八七七五爲二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三
　　厘有余爲　　　　　　　　　　　　【边】球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十
　　厘有余爲空　　　　　　　　　　　　　【较】心球体积乃以一寸爲一率金寸方重十六两八钱爲二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空【二】心金球体之
　　重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数
　　各几何法以红石比青石每边多二寸爲边较体积多五十六寸爲积较用大小二立方有边较积较求边法算之以寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸爲一率红石寸方重二两五钱六分爲二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸爲一率青石寸方重二两八钱八分爲二率青石每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆爲正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也
　　设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸爲一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十两爲第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余爲第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余爲第三桶之边数乃以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余爲三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余爲三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也
　　设如金　　　　　　【二】球一个径二寸二分六厘今欲作一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】银
　　球其重　　　　　　　【七】与金球等问
　　径几何法以金方边一寸爲一率银方边一寸二分三厘爲二率今所设之金球径二寸二分六厘爲三率求得四率
　　二寸七分七厘有　　　　　　　　　　　　　　　【分】余即银球之径数也此法葢因各色俱爲正方体其重数俱设爲十六两八钱与金寸方等故金方边爲一寸银方边爲一寸二分三厘水银方边爲一寸一分一厘铅方边爲一寸一分九厘铜方边爲一寸三分一厘铁方边爲一寸三分六厘锡方边爲一寸三分九厘石方边爲一寸八分九厘水方边爲二寸六分四厘油方边爲
　　四厘皆系边与边之比例故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四
　　率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重
　　几何法以青石寸方重二两八钱八分爲一率熟铁寸方重六两七钱三分爲二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重

　　堆垜
　　堆垜之法虽爲体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则爲四角尖堆以三角面层累者则爲三角尖堆此二者每层之边皆同爲递加一数每层之面积则三角爲按位相加之数四角爲按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则爲长方堆以全堆而减去上截者则爲半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后
　　设如一面直角尖堆底十二求积几何
　　法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二层其每层皆加一爲挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖爲一防无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也
　　设如一面直角尖堆积二十八求底几何
　　法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等爲一面直角尖堆之底阔也
　　设如一面三角尖堆底七求积几何
　　法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也
　　设如一面三角尖堆积三十六求每边几何
　　法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也
　　设如一面梯形堆上五下九求积几何
　　法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五爲层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲层数五【凡自一递加之数其末数即位数今首数爲五计自一己截去四位故于末数内减去所少之位即爲今之所有之位见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也
　　又法以底九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五又以上五内减一余四爲上虚小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求积法求得上虚小一面三角尖堆积十两积相减余三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆总积又求得戊己庚上虚小三角尖堆积相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也如有上阔或下阔与层数求积者则于层数内减一余爲上下阔之较与上阔相加则得下阔与下阔相减则得上阔皆用有上下阔之法算之而得积也
　　设如一面梯形堆积三十五下九问上几何
　　法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五内减梯形积三十五余十爲上虚小一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法求得每边四加一得五即一面梯形堆之上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积内减甲乙丙丁梯形堆积余戊己庚上虚小一面三角尖堆积乃用有积求边法求得己庚四因每层埃次递加一故加一即得甲丁五爲上阔也如有上阔求下阔者则以上阔内减一爲上虚小三角尖堆之底求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加爲三角尖堆总积亦用有积求边法算之即得下阔也
　　设如一面梯形堆积三十五上阔比下阔少四问上下阔各几何
　　法以梯形堆积三十五倍之得七十又以上下阔之较四加一得五爲层数以除倍积七十得十四爲上下阔之和加较四得十八折半得九爲下阔内减较四余五爲上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆积每层挨次加一今甲丁上阔比乙丙下阔少四即知甲乙爲五层矣故以甲乙丙丁梯形积倍之则成甲乙戊己斜方积以甲乙五层除之得乙戊爲上下阔之和加上下阔之较折半即得下阔于下阔内减上下阔之较即得上阔也如有积与上下阔之和求上下阔者则将积数加一倍以上下阔之和除之即得层数内减一即得上下阔之较或有积与层数求上下阔者则于层数内减一即得上下阔之较以层数除倍积即得上下阔之和既有较有和即得上下阔矣
　　设如一面六角堆每边六求积几何
　　法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每边六减一余五爲每一面三角尖堆之底与毎边六【即底加一也】相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之积也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之则成甲庚辛类六三角尖堆而余中心一其每一三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故以六角堆之每一边内减一即得三角尖堆之每一边而求得一面三角尖堆积六因之再加中心一即得一面六角堆之总积也
　　设如一面六角堆积九十一求每边几何
　　法以一面六角堆积九十一减中心一余九十六归之得十五爲一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法算之得每边五加一得六即六角堆之每一边也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆积先减去中心一以六归之则得甲庚辛一三角尖堆积其三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故用一面三角尖堆有积求边法求得一边再加一爲一面六角堆之每一边也此即算书所谓圆束也本以六包一不能成圆凡云圆者皆六边也
　　周四十求积几何
　　法以外周四十加四得四十四四归之得十一爲方束每一边之数自乘得一百二十一即方束之积也如图甲乙丙丁方束其四隅之四各爲两边所同用故必以外周加四以四归之始得甲乙每一边之数以一边自乘即爲方束之积数也
　　又法以外周四十加八得四十八与外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之积也葢方束以八包一其外周所包之数亦必以八递加爲超位平加之数如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一层爲八第二层爲十六第三层爲二十四第四层爲三十二第五层爲四十毎层皆加八爲超位平加之数引而长之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上阔如以首数八与末数四十相加得四十八用层数五乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周四十用八归所得之数今以内周八与外周四十相加即与外周四十栒乘是未用八归故将相乘所得之数必以八归又以二归【即折半】始得总数夫先用八归后用二归即与用十六归除等【二与八相因得一十六合两次除爲一次除】故以十六归除得总数再加中心一即得方束之积也又按第一法以外周四十加四以四归之得方束之每一边是外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比毎边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也此方束毎边十一系奇数故有中心之一若方束毎边系偶数者则无中心之一详见下法
　　设如方束外周三十六求积几何
　　法以外周三十六加四得四十四归之得一十爲方束毎一边之数自乘得一百即方束之积也
　　又法以外周三十六加八得四十四与外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之积也此方束每边系偶数无中心一其最内一层爲四其外周三十六用八归之则得四层半然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比每边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也
　　设如方束积一百求外周几何
　　法以方束积一百开平方得一十四因之得四十内减四余三十六即方束外周之数也如图甲乙丙丁方束开方则得甲乙一边前法以外周加四四归之而得一边此法以一边四因之减四而即得外周也
　　又法以方束积一百内减一余九十九以十六乘之得一千五百八十四爲长方积以八爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十六即方束之外周数也此即方束有外周求积之法而转用之前法以外周加八与外周相乘十六除之再加一而得积此法则以积数减一余用十六乘之以八爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
　　设如三棱束外周二十七求积几何
　　法以外周二十七加三得三十三归之得一十爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边一十加一得一十一与每边一十相乘得一百一十折半得五十五即三棱束之积也如图甲乙丙三棱束其三角之三各爲两边所同用故必以外周加三以三归之始得甲乙每一边之数即如一面三角尖堆之每一边故用一面三角尖堆有边求积法算之即得三棱束之积也又法以外周二十七加九得三十六与外周二十七相乘得九百七十二以十八归除得五十四加中心一得五十五爲三棱束之积也葢三棱束以九包一其外周所包之数亦必以九递加爲超位平加之数如甲乙丙三棱束除却中心之一最内一层爲九第二层爲十八第三层爲二十七每层皆加九爲超位平加之数引而长之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上阔如以首数九与末数二十七相加得三十六用层数三乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数今以内周九与外周二十七相加即与外周二十七相乘是未用九归故将相乘所得之数必以九归又以二归【即折半】始得总数夫先用九归后用二归即与十八归除等【二与九相乘得一十八合两次除爲一次除】故以十八归除得总数再加中心一即得三棱束之积也又按第一法以外周二十七加三以三归之得一面三角尖堆之每一边是外周加三则得每边之三倍若以毎边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍则积加九倍彼旣爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲十八倍也】而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也此三棱束亦有无中心之一者葢缘三棱束包中心一爲一层者周围九其底则四包中心一爲二层者周围十八其底则七凡如此类周递加九边递加三者皆有中心之一其余皆无中心之一详见下法
　　设如三棱束外周三十求积几何
　　法以外周三十加三得三十三三归之得十一爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边十一加一得十二与每边十一相乘得一百三十二折半得六十六即三棱束之积也又法以外周三十加九得三十九与外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三棱束之积也此三棱束无中心其最内一层爲三其外周三十用九归之则得三层又三分之一然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加三则得每边之三倍若以每边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也
　　设如三棱束积六十六求外周几何
　　法以三棱束积六十六倍之得一百三十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十一爲三棱束之每一边三因之得三十三内减三余三十即三棱束之外周数也如图甲乙丙三棱束用一面三角尖堆有积求边法求得甲乙一边前法以外周加三三归之而得一边此法以一边三因之减三而即得外周也
　　又法以三棱束积六十六内减一余六十五以十八乘之得一千一百七十爲长方积以九爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即三棱束之外周数也此即三棱束有外周求积之法而转用之前法以外周加九与外周相乘十八除之再加一而得积此法则以积数减一余用十八乘之以九爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
　　设如圆束外周三十求积几何
　　法以外周三十六归之得五爲一面三角尖堆之每一边用一面三角尖堆有边求积法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即圆束之积也如图甲乙丙丁戊己圆束六分之则成甲庚辛类六三角尖堆形而余中心一故以外周六分之而得甲庚每一边之数即如一面三角尖堆之每一边而求得一三角尖堆积六因之得六三角尖堆积加中心一即爲圆束之积数也
　　又法以外周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层爲六第二层爲十二第三层爲十八第四层爲二十四第五层爲三十每层皆加六爲超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归【即析半】始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等【二与六相因得一十二合两次除爲一次除】故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三十六倍彼既爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳
　　设如圆束积九十一求外周几何
　　法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也
　　又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十爲长方积以六爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
　　设如堑堵堆底五求积几何
　　法以底五自乘得二十五爲底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形爲堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也
　　设如三角尖堆每边五求积几何
　　法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲三第三层爲六第四层爲十第五层爲十五爲每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二爲高与底面积相乘成平行面之三棱体是爲三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二爲高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体其二面爲两体所同用今以位数加二爲高与底数相乘所以增其二面之分也
　　又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十爲倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五爲三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既爲三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即爲三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也
　　又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十爲第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘爲第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也三数相加始爲三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也
　　设如三角尖堆积一百二十求每边几何
　　法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十爲长方体积以一爲长与阔之较以二爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
　　设如四角尖堆每边五求积几何
　　法以每边五加半得五个半与每边五相乘得二十七个半又以每边五加一得六与二十七个半相乘得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积数也如图甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累积成方底四角尖体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲四第三层爲九第四层爲十六第五层爲二十五爲每次按位自乘相加之数如以每边加半与每边相乘复以位数加一乘之取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十五节】今以每边加半与每边相乘是得长方面积复以位数加一爲高乘之是得长方体积爲四角尖体之三倍故以三除之即得也然以边数加半爲长以位数加一爲高者葢以三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底必比正方面多半行其高必比原有之位数多一层【三角体以边数加一与边数相乘四角体以边数加半与边数相乘三角体以位数加二爲高四角体以位数加一爲高总以四角体比三角体底式大一倍故三角体爲长方体六分之一四角体爲长方体三分之一三角体加数几何而此四角体皆用其半也】又以一长方体分爲三四角尖体其三面爲两体所同用而少一行之数试以甲乙丙丁四角尖体作爲戊己庚辛阳马尖体形爲长方体三分之一所余爲三分之二其戊己庚戊庚辛两面爲两体所同用而戊庚一行又爲两面所同用是此两面爲两体所同用而少一行之数也又以其所余三分之二平分之必有一面爲两体所同用是以长方体分爲三四角尖体有三面爲两体所同用而少一行之数也今以每边加半与每边之数相乘又以位数加一乘之所以增其三面少一行之分也【葢其高既比原位数多一则其傍面一层宜爲一面三角尖堆之倍数而其傍面只比毎边多半是傍面只爲一面三角尖堆之数也又其高旣比原位多一则其上面一层爲毎边自乘之数即爲一面三角尖堆之倍数而少一行共之爲三面少一行之数也】又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲第三数三数相加共得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积也此法与第一法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加半与每边相乘亦未以位数加一再乘也因未以位数加一再乘则其上层即少一每边自乘之数故以每边自乘爲第二数也因未以每边加半相乘则其傍面即少一面三角尖堆之数故以每边加一与每边相乘折半爲第三数也三数相加始爲四角尖堆积之三倍故以三归之而得积也
　　又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十又以每边五加二得七乘之得二百一十三归之得七十爲三角尖堆之倍积又以每边五求得一面三角尖堆积十五与倍三角尖堆积七十相减亦得五十五爲四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数葢四角尖堆底面积爲三角尖堆底面积之一倍而少一行故四角尖堆体积爲三角尖堆体积之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积即得四角尖堆积也
　　又法以每边五用堑堵堆求积法求得堑堵堆积七十五又以每边五用三角尖堆求积法求得三角尖堆积三十五两数相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积四角尖体爲堑堵体三分之二三角尖体爲堑堵体三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆积与堑堵堆积相加即与二方底四角尖堆之积等故折半而得四角尖堆之积也
　　设如四角尖堆积二百零四求每边几何
　　法以四角尖堆积二百零四三因之得六百一十二爲长方体积以半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即四角尖堆之每一边也此法即四角尖堆有边求积之法而转用之葢四角尖堆有边求积则以每边加半与毎边相乘又以毎边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍是长比阔多半高比阔多一今以四角尖堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
　　设如长方堆底长九阔七上一行收顶求积几何法以底阔七爲方堆之底用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆积一百四十又以底阔七与长九相减余二爲两一面三角尖堆即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法求得一面三角尖堆积二十八二因之得五十六爲两一面三角尖堆积与前所得四角尖堆积一百四十相加得一百九十六即长方堆之积也如图甲乙丙丁戊长方堆丙丁长比乙丙阔多庚丁二试自己至庚截去二面则成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊两一面三角尖堆形其乙丙阔与丙庚等即四角尖堆之毎一边亦即一面三角尖堆之毎一边故以一边求得四角尖堆积又求得两一面三角尖堆积相加即得长方堆之积也又法以阔七与长九相减余二折半得一又加半得一个半与长九相加得十个半与底阔七相乘得七十三个半又以底阔七【即层数】加一得八再乘得五百八十八三归之得一百九十六即长方堆之积也此法与前法之理同如甲乙丙丁戊长方堆既分爲一四角尖堆两一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘以甲乙加一再乘得一长方体形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘以戊丁【同甲乙】加一再乘得二长方面形爲两一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍数不同故又以庚丁折半与庚丁相加即增其一长方面之分得三长方面形亦爲两一面三角尖堆之三倍故以三归之得一四角尖堆两一面三角尖堆合之与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也
　　又法以底阔七与长九相减余二再加一得三爲顶上之长乃以底长九倍之得十八加顶长三得二十一与底阔七相乘得一百四十七再以高数七加一得八再乘【阔数即高数也】得一千一百七十六六归之得一百九十六即长方堆之积也此法与第二法同葢前法以长阔相减折半加半与长相加此法以长阔相减不折半加一与倍长相加则其长比前法多一倍阔与高皆与前数同而体积亦必比前数大一倍故前法用三归此法用六归也
　　设如长方堆积二百七十六长比阔多二求每边几何
　　法以长方堆积二百七十六三因之得八百二十八爲长方体积以长比阔多二折半又加半得一个半与二相加得三个半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八爲底阔加长比阔多二得十爲长也此法即长方堆有边求积之法而转用之葢长方堆有边求积则以原长阔之较折半又加半与原长相加乃与阔相乘又以阔加一再乘得长方体积爲长方堆之三倍是长比阔多原长阔之较又多半较仍多半高比阔多一今以长方堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲底边之阔加长阔之较得数爲长也
　　设如三角半堆底边八上边五求积几何
　　法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十又以上边五减一得四爲上虚三角尖堆之每边亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与先所得三角尖堆全积一百二十相减余一百即三角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己三角半堆若于其上加一小三角尖堆则成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一故先求得大三角尖堆全积又求得上虚小三角尖堆积相减即得三角半堆之积也
　　又法以底边八加一得九与底边八相乘得七十二爲第一数又以上边五与底边八相并得十三以上边五加一得六乘之得七十八爲第二数两数相并得一百五十又以上边五与下边八相减余三加一得四爲层数与两数相加之一百五十相乘得六百六归之得一百爲三角半堆之积也此法与等边三角尖堆求积之法同葢等边三角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍分之则得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形【即上多二层】若依此法以底边加一与底边相乘即长比阔多一之长方体之一面数也以上边一与下边相加又以上边一加一得二乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也此两数相并以层数乘之则亦得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形共成一长方体形爲三角尖堆之六倍矣
　　设如三角半堆积一百上边五求底边几何
　　法以上边五减一余四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与半堆积一百相加得一百二十爲等边三角尖堆全积用三角尖堆有积求边法求得每边八即三角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得三角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚三角尖堆积求得上虚小三角尖堆之毎边加一即上边也
　　设如四角半堆底边十二上边五求积几何
　　法以底边十二用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆全积六百五十又以上边五减一得四爲上虚四角尖堆之每边亦用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与先所得四角尖堆全积六百五十相减余六百二十即四角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆若于其上加一小四角尖堆则成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每边比四角半堆之上边少一故求得大四角尖堆全积又求得上虚小四角尖堆积相减即得四角半堆之积也
　　又法以上边五自乘得二十五爲第一数以底边十二自乘得一百四十四爲第二数以上边五与底边十二相乘得六十爲第三数又以上边五与底边十二相减余七折半得三个半爲第四数四数相并得二百三十二个半又以上下边相减所余之七加一得八爲层数与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三归之得六百二十即四角半堆之积也此法与等边四角尖堆求积之法同葢等边四角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加半与每边相乘又以每边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍分之则得每边自乘再乘之一正方体形每边自乘之一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形若以底边自乘即正方体之一面数也以上边一与底边相乘则得每边自乘正方面之一行数也以上边一自乘又以上边一与底边相减折半此两数相并即得长比阔多一之半层长方面之一行数也四数相并再以层数乘之则亦得一正方体形一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形共成一长方体形爲四角尖堆之六倍矣又此法与上下不等正方体之法异者在多上下边相减折半之一数因堆垜之傍面有余分故也
　　设如四角半堆积六百二十上边五求底边几何法以上边五减一余四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与半堆积六百二十相加得六百五十爲等边四角尖堆全积用四角尖堆有积求边法求得每边十二即四角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得四角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚四角尖堆积求得上虚小四角尖堆之每边加一即上边也
　　设如长方半堆底长十二阔十上长八阔六求积几何
　　法以底长十二阔十用长方堆求积法求得长方堆全积四百九十五又以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚长方堆之长阔亦用长方堆求积法求得上虚长方堆积八十五与先所得长方堆全积相减余四百一十即长方半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚长方半堆若于其上加一小长方堆则成上一行收顶之长方堆形其上所加之小长方堆之每边比长方半堆之上边少一故先求得长方堆全积又求得上虚小长方堆积相减即得长方半堆之积也
　　又法以上长八与上阔六相乘得四十八爲第一数以底长十二与底阔十相乘得一百二十爲第二数以上长八与底阔十相乘得八十以上阔六与底长十二相乘得七十二两数相并折半得七十六爲第三数又以上下长相减余四折半得二爲第四数以此四数相加得二百四十六又以上长与底长相减所余之四加一得五爲层数与四数相加之二百四十六相乘得一千二百三十三归之得四百一十即长方半堆之积也此法与四角半堆求积之法同葢四角半堆长阔皆相等此则有长阔之不同故四角半堆以上边自乘爲第一数者此则以上长阔相乘爲第一数四角半堆以下边自乘爲第二数者此则以下长阔相乘爲第二数四角半堆以上下相乘爲第三数者此则以上长与下阔相乘上阔与下长相乘相并折半爲第三数四角半堆以上下相减折半爲第四数者此则以上下长相减折半爲第四数【如以上下阔相减折半亦同】其理皆相通也
　　又法以上长八倍之得十六加下长十二得二十八以上阔六乘之得一百六十八又以下长十二倍之得二十四加上长八得三十二以下阔十乘之得三百二十又以下长十二与上长八相减余四三数相加得四百九十二又以上下长相减所余之四加一得五爲层数与三数相加之四百九十二相乘得二千四百六十六归之得四百一十即长方半堆之积也此法与第二法同葢此法用数比前法大一倍故前法用三归此法用六归也又此法与上下不等长方体之法异者在多上下长相减之一数因堆垜之傍面有余分故也
　　又法以底阔十与长十二相乘得一百二十又以长十二阔十各减一得长十一阔九相乘得九十九又以长十一阔九各减一得长十阔八相乘得八十又以长十阔八各减一得长九阔七相乘得六十三再以长九阔七各减一得长八阔六【即上长阔】相乘得四十八以此五数相加共得四百一十即长方半堆之积也此法将每层长阔相乘得每层之积故总加之即五层之共积也法虽层累相加实爲显而易见凡堆垜诸法皆可以此法御之若层数太多者用本法爲简易也
　　设如长方半堆积四百一十上长八阔六求底长阔各防何
　　法以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚小长方堆之长阔用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五爲长方堆全积用长方堆有积求边法求得阔十长十二即长方半堆之底边数也如有底边长阔求上边长阔者则以底边求得长方堆全积与半堆积相减余爲上虚小长方堆积求得上虚小长方堆之长阔两边各加一即长方半堆上边长阔之数也

　　御制数理精蕴下编卷三十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十一
　　末部一
　　借根方比例【定位法　　加法　　减法乘法　　除法】

　　借根方比例
　　借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之边数即所谓线以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以线类爲问者则借根数以比之以面类爲问者则借平方长方以比之以体类爲问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数又有一定之位与降位之法【定位降位法俱详后】要之此法设立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与眞数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也
　　定位法
　　众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变爲几根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常法稍异故变从简易设表如左

　　右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位其借数者即比例也根与方数俱爲相连比例率如根爲二则平方爲四立方爲八以立方与平方之比同于平方与根数之比即爲八与四之比同于四与二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之数权约爲几根几方以统御之加减后余几根几方即知眞数若干矣【如根爲二数其平方即爲四若余二平方即知其真数有八或余二根即知其真数有四也】其定位者即视根方所对之位也乘法定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其减余数所对之方即除出之方也【乘法以眞数乘根仍得根葢根对一而眞数对○无可加也如以根乘根即得平方葢根对一一与一相加得二二所对之表爲平方故定乘得之数爲平方也如以根乘平方即得立方葢根对一平方对二一二相加得三而三所对之表爲立方故定乘得之数爲立方也又如以平方乘平方则二与二相加爲四查所对之表得三乘方以平方乘立方则二与三相加爲五查所对之表得四乘方以立方乘立方则三与三相加爲六查所对之表得五乘方余皆仿此除法以真数除根仍得根葢根对一而真数对○无可减也如以根除根即得真数葢根对一一与一相减得○而○所对之表爲眞数故定除得之数爲真数也如以根除平方即得根葢根对一平方对二一二相减余一而一所对之表爲根故定除得之数爲根数也又如以平方除平方则二与二减尽爲○查所对之表得真数以平方除立方则二与三相减余一查所对之表得根数以立方除立方则三与三相减得○查所对之表亦得真数也余皆仿此】
　　定多少与相同号式
　　凡数有多者用此号一如一平方多二根则如此列之
　　凡数有少者用此号一如一立方少二平方则如此列之
　　凡数有相等者用此号一如二立方与十六相等则如此列之
　　至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不变者有以多变少以少变多者俱详于本法

　　加法
　　凡多与多加得数仍爲多少与少加得数仍爲少多与少加少与多加则反相减爲所得数而多数大则得数亦爲多少数大则得数亦爲少其故何也葢因多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚有余也少数大多数小以其所多补其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣
　　设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得几何
　　法以三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之数也此多与多加得数仍爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下数二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二与下八相加得二十即五平方之数上多八与下多六相加得十四即多七根之数葢上数共二十下数共十四两数相加得三十四即二十多十四也
　　设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加问得几何
　　法以四立方与三立方相加得七立方一平方与二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之数也此少与少加得数仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八与下八十一相加得一百八十九即七立方之数上少九与下少十八相加得二十七即少三平方之数葢上数九十九下数六十三两数相加得一百六十二即一百八十九少二十七也
　　设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得几何
　　法以四平方与二平方相加得六平方四根与三根相加应得七根今多少两数不同故于多四根内反减去少三根余一根因多数大故得数爲多是爲六平方多一根即所求之数也此多少两数不同相加所多数大以其所多补足所少而所多仍有余葢以上数多四根补足下数少三根仍多一根也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下数二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六与下八相加得二十四即六平方之数上多八补足下少六仍余二即多一根之数葢上数二十四下数二两数相加得二十六即二十四多二也
　　设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加问得几何
　　法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加应得五平方今多少两数不同故于少三平方内反减去多二平方余一平方因少数大故得数爲少是爲三立方少一平方即所求之数也此多少两数不同相加所少数大以其所多补其所少而所少仍不足葢于上数少三平方内增入下数多二平方仍少一平方也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下数一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四与下二十七相加得八十一即三立方之数上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之数葢上数二十七下数四十五两数相加得七十二即八十一少九也
　　设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平方少三根相加问得几何
　　法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之数也此三位相加多少各自相同故多与多加仍爲多少与少加仍爲少也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下数一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六与下八相加得二十四即三立方之数上多十二与下多八相加得二十即多五平方之数上少八与下少六相加得十四即少七根之数葢上数二十下数十两数相加得三十即二十四多二十又少十四也
　　设如有四立方多三平方少二根多五眞数与五立方少一平方多三根少二眞数相加问得几何法以四立方与五立方相加得九立方多三平方与少一平方相减余二平方多数大故爲多少二根与多三根相减余一根多数大故爲多多五眞数与少二眞数相减余三眞数多数大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞数即所求之数也此四位相加而多少各自不同须各以所多补足所少故相减所余爲所得数也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞数五是三十二多十二少四又多五爲四十五下数五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞数二是四十少四多六又少二爲四十上三十二与下四十相加得七十二即九立方之数上多十二补足下少四仍余八即多二平方之数上少四增入下多六反多二即多一根之数上多五补足下少二仍余三即多三眞数葢上数四十五下数四十两数相加得八十五即七十二多八又多二又多三也
　　设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得几何
　　法以一立方与一平方相加得一立方多一平方多三根与少一根相减余二根多数大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之数也此相加两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无平方位而下层却有平方位故上层列一空平方位以补之凡法皆当如此也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七与下无可加仍得二十七即一立方之数下九与上空位亦无可加仍得九即一平方之数上多九补足下少三仍余六即多二根之数葢上数三十六下数六两数相加得四十二即二十七多九又多六也

　　减法
　　凡多与多减原数大于减数则减余仍爲多少与少减原数大于减数则减余仍爲少若多与多减减数大于原数则反减而减余即变爲少葢减数之所多既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所大之几何则所余之整分内即少几何矣若少与少减减数大于原数则反减而减余即变爲多葢减数之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少减所大之几何故所余之整分内即多几何矣至于多与少减少与多减则反相加爲减余数而原数多则减余仍爲多原数少则减余仍爲少其故何也葢因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于此是所余益多也原数少减数多则原数已少在彼而减数又多于此是所余益少也多少之号明而减法不淆矣
　　设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何
　　法以四平方减二平方余二平方五根减二根余三根是爲二平方多三根即所求之数也此多与多减原数大于减数故减余仍爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下数二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内减下十八余十八即二平方之数上十五内减下六余九即三根之数葢上数共五十一下数共二十四两数相减余二十七即十八多九也
　　设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问所余几何
　　法以四立方减三立方余一立方三平方减二平方余一平方是爲一立方少一平方即所求之数也此少与少减原数大于减数故减余仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内减下八十一余二十七即一立方之数上二十七内减下十八余九即少一平方之数葢上数八十一下数六十三两数相减余十八即二十七少九也
　　设如有七平方多三根内减四平方多五根问所余几何
　　法以七平方减四平方余三平方三根内不能减五根乃于下数多五根内反减上数多三根余二根即变爲少是爲三平方少二根即所求之数也此多与多减减数大于原数故反减而减余即变爲少葢原数多三根减数多五根是减数比原数大二根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余二根此二根必须于原数平方内减之原数既多减二根则余数即少二根也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内减下三十六余二十七即三平方之数下十五内反减上九余六即少二根之数葢上数共七十二下数共五十一两数相减余二十一即二十七少六也
　　设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何
　　法以六平方减二平方余四平方三根内不能减四根乃于下数少四根内反减上数少三根余一根即变爲多是爲四平方多一根即所求之数也此少与少减减数大于原数故反减而减余即变爲多葢原数少三根减数少四根是减数比原数大一根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余一根此一根系原数平方内所少减之一根原数既少减一根则余数即多一根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下数二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内减下三十二余六十四即四平方之数下十六反减上十二余四即多一根之数葢上数八十四下数十六两数相减余六十八即六十四多四也
　　设如有三平方多四根内减二平方少一根问所余几何
　　法以三平方减二平方余一平方四根减一根应余三根今多少两数不同故反相加得五根因原数多故得数仍爲多是爲一平方多五根即所求之数也此多少两数不同相减原数多减数少原数已多而减数又少则所余者愈多葢原数多四根减数少一根是原数比减数已多五根故减余即爲多五根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下数二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内减下三十二余十六即一平方之数上多十六加下少四得二十即多五根之数葢上数六十四下数二十八两数相减余三十六即十六多二十也
　　设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何
　　法以五平方减三平方余二平方二根不能减三根且多少两数不同故反相加得五根因原数少故得数仍爲少是爲二平方少五根即所求之数也此多少两数不同相减原数少减数多原数已少减数又多则所余者愈少葢原数少二根减数多三根是原数比减数已少五根故减余即爲少五根也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五上数五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下数三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内减下七十五余五十即二平方之数上少十加下多十五得二十五即少五根之数葢上数一百一十五下数九十两数相减余二十五即五十少二十五也
　　设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多三根问所余几何
　　法以四立方减二立方余二立方六平方减三平方再减三根余三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之数也此相减两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无根位而下层却有根位故上层作一空根位以补之是原根位无数而减数多三根故所余即少三根也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下数二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内减下十六余十六即二立方之数上二十四内减下十二余十二即三平方之数下六无可减仍爲六即少三根之数葢上数五十六下数三十四两数相减余二十二即十六多十二又少六也
　　设如有五立方多四平方多三根少八眞数内减四立方多二平方多二根少九眞数问所余几何法以五立方减四立方余一立方四平方减二平方余二平方多与多减原数大故爲多多三根减二根余一根多与多减原数大故爲多八眞数不能减九眞数乃于下数少九内反减上数少八余一即变爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞数即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞数八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下数四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞数九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内减下一百零八余二十七即一立方之数上三十六内减下十八余十八即多二平方之数上九内减下六余三即多一根之数下九反减上八余一即多一眞数葢上数一百七十二下数一百二十三两数相减余四十九即二十七多十八又多三又多一也
　　设如有二立方多三根内减一平方少一根问所余几何
　　法以二立方减一平方余二立方少一平方三根减一根应余二根今多少两数不同故反相加得四根因原数多故得数仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四无可减仍爲五十四即二立方之数下九无可减仍爲九即少一平方之数上多九与下少三相加得十二即多四根之数葢上数六十三下数六两数相减余五十七即五十四少九又多十二也

　　乘法
　　凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从【如乘出之数爲根俱书于根之下乘出之数爲平方俱书于平方之下皆依定位表例】其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数爲多不必言矣法实不止一位俱系多者【如几平方多几根或几根多几眞数又或几平方多几根又多几眞数之类】其乘出之数亦俱爲多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其爲首一位已系整数爲多【如几平方少几根或几根少几眞数或几平方少几根又少几眞数之类】故乘出之数则有多少之分如爲首一位相乘系多与多乘其乘出之数爲多而次位爲少者与首位乘是爲少与多乘或首位与次位爲少者乘是爲多与少乘则其乘出之数俱爲少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也【如防平方少几根与几眞数相乘以眞数乘平方即爲多与多乘以眞数乘根即爲多与少乘也】至于少与少乘其乘出之数反变爲多【如几立方少几平方与几根少几眞数相乘以眞数乘平方即爲少与少乘也】其故何也葢法实首位爲多次位以后爲少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合【除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘爲多而次位对首位乘必爲少与多乘或多与少乘则此两数俱爲少合之爲首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数反加入一末位数也】所谓减者即少数所谓加者即多数多少之分既定则依加法相加即爲所得之数也
　　设如有三根多二眞数以三眞数乘之问得几何法以三眞数乘二眞数得多六眞数【以多与多乘故爲多也又几以眞数乘根方之数其位皆不变如以眞数乘眞数仍得眞数以眞数乘根仍得根葢定位表中眞数之位爲○于根方之位无所加也】以三眞数乘三根得多九根是爲九根多六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则上数三根得十二多二眞数共得十四以下眞数三乘之所得三十六即九根之数所得多六即多六眞数葢以下数三与上数十四相乘得四十二即三十六多六也
　　设如有四根多二眞数以二根多三眞数乘之问得几何
　　法以多三眞数乘多二眞数得多六眞数以多三眞数乘四根得多十二根又以二根乘多二眞数得多四根以二根乘四根得八平方【以根与根乘即得平方葢根所对之位爲一以一加一爲二即平方所对之位故得数定爲平方】相加得八平方多一十六根又多六眞数即所求之数也如图甲乙爲四根乙丙爲多二眞数甲丁爲二根丁戊爲多三眞数以甲丙四根多二眞数与甲戊二根多三眞数相乘成甲戊己丙长方形其甲丁庚乙长方形即八平方其乙庚辛丙与丁戊壬庚二长方形即所多十六根其庚壬己辛长方形即所多六眞数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数四根得十六多二眞数共得十八下数二根得八多三真数共得十一相乘所得一百二十八即八平方之数所得多六十四即多十六根之数所得多六即多六眞数葢以下数十一与上数十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也
　　设如有二平方多三根以二根多四眞数乘之问得几何
　　法因上层无眞数位故列一空位以补之以多四眞数乘空眞数仍爲空以多四眞数乘多三根得多十二根以多四眞数乘二平方得多八平方以二根乘空眞数仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方【以根乘平方即得立方葢根所对之位爲一平方所对之位爲二以一加二得三即立方所对之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之数也此相乘两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞数以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四眞数相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子十二根即四真数乘三根之数其甲乙丙丁子丑八平方即四眞数乘二平方之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之数其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之数也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五一立方爲一百二十五上数二平方得五十多三根得多十五共得六十五下数二根得一十多四眞数共得十四相乘所得五百即四立方之数所得多三百五十即多十四平方之数所得多六十即多十二根之数葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也
　　设如有二根少四眞数以一根多三眞数乘之问得几何
　　法以多三眞数乘少四眞数得少十二眞数【多与少乘故爲少】以多三眞数乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而数前无号者亦即爲多今以多三眞数与多二根相乘故其得数仍爲多】又以一根乘少四眞数得少四根【以多与少乘故爲少】以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞数即所求之数也如图甲乙爲二根丙乙爲少四眞数甲丁爲一根丁戊爲多三真数以甲乙二根少四眞数与甲戊一根多三眞数相乘成甲戊己乙长方形其庚壬己辛长方形即多三眞数乘少四眞数之十二眞数丁戊己辛长方形即多三眞数乘二根之六根丙庚辛乙长方形即一根乘少四眞数之四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞数今以丁戊己辛之多六根少十二眞数补丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞数也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数二根得十二少四眞数则余八下数一根得六多三眞数共得九相乘所得七十二即二平方之数所得多十二即多二根之数所得少十二即少十二眞数之数葢以下数九与上数八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也
　　设如有一根少一眞数以一根少二眞数乘之问得几何
　　法以少二眞数乘少一眞数得多二眞数【少与少乘故爲多】以少二眞数乘一根得少二根【一根爲首且无号故爲多今以少二眞数与多一根相乘故其得数亦爲少也】又以一根乘少一眞数得少一根【多与少乘故爲少】以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞数即所求之数也如图甲乙爲一根丙乙爲少一眞数甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞数以甲乙一根少一眞数与甲丁一根少二眞数相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小长方形即少二眞数乘少一眞数之二眞数其戊壬己丁即二眞数乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞数之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞数实得甲丙庚戊之一长方形葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根又减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己辛之二眞数则甲丙庚戊长方内必缺二眞数故将少二眞数乘少一眞数所得之二眞数即预定爲多号以补重减之分然后得甲丙庚戊之一长方爲所得之实数也是则少与少乘之爲多者非于整数之外有盈分而爲多实因所少之数有过分而爲多也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数一根爲六少一眞数则余五下数一根爲六少二眞数则余四相乘所得三十六即一平方之数所得少十八即少三根之数所得多二即多二眞数之数葢以下数四与上数五相乘得二十即三十六少十八多二也
　　设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之问得几何
　　法因上下两层皆无眞数位故各列一空位以补之以空眞数乘上层各位仍得各空位以少二根乘空眞数仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞数仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上数二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下数二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之数所得少六百四十八即少八三乘方之数所得多五十四即多二立方之数所得多十八即多二平方之数葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也
　　设如有三平方少二根多二眞数与一平方多二根少三眞数相乘问得几何
　　法以少三眞数乘多二眞数得少六眞数以少三眞数乘少二根得多六根以少三眞数乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞数得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞数得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上数三平方得四十八少二根得少八多二眞数共得四十二下数一平方得十六多二根得多八少三眞数共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之数所得多二百五十六即多四立方之数所得少一百七十六即少十一平方之数所得多四十即多十根之数所得少六即少六眞数之数葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十复少六也

　　除法
　　凡除法按位列数必以眞数爲单位法尾未至眞数者须补○以存其位【如法尾爲根则补一○以存眞数位法尾爲平方则补二○以存眞数位法尾爲立方则补三○以存眞数位】将得数首位纪于眞数之上【如眞数之位爲○者则纪于○位之上】眞数所对实中之位即得数首位之数【如眞数对实中根位即定得数首位爲根如眞数对实中平方位即定得数首位爲平方如眞数对实中立方位即定得数首位爲立方余俱仿此】其归除递减皆与常法同至于定号亦与乘法同俱详设如于左
　　设如有十二立方多九平方多六根以三眞数除之问得几何
　　法以三眞数除十二立方得四立方以四立方乘三眞数得十二立方与实相减恰尽余多九平方多六根复以三眞数除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞数得多九平方与实相减恰尽余多六根又以三眞数除多六根得多二根以多二根乘三眞数得多六根与实相减恰尽无余是爲四立方多三平方多二根即所求之数也此法葢因眞数除立方多平方与多根故得数之位仍从实数之位且眞数之位下对实中立方之位故定得数首位亦爲立方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞数三除之所得一百零八即四立方之数所得多二十七即多三平方之数所得多六即多二根之数葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也
　　设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问得几何
　　法因法尾未至眞数位故设一空眞数位以补之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方与实相减恰尽余多八平方多六根复以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方与实相减恰尽余多六根复以二根除多六根得多三眞数以多三眞数乘二根得多六根与实相减恰尽无余是爲六平方多四根多三眞数即所求之数也此法葢因根数除立方多平方与多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八实数十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法数二根爲四除之所得二十四即六平方之数所得多八即多四根之数所得多三即多三眞数之数葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也
　　设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之问得几何
　　法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方与实相减恰尽余多八立方多八平方复以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方与实相减恰尽余多八平方又以四平方除多八平方得多二眞数以多二眞数乘四平方得多八平方与实相减恰尽无余是爲一平方多二根又多二眞数即所求之数也此法葢因平方除三乘方多立方与多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九
　　一立方爲二十七一三乘方爲八十一实数四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法数四平方爲三十六除之所得之九即一平方之数所得多六即多二根之数所得多二即多二眞数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二
　　也设如有四立方多八平方多七根多二眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何法以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二眞数复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数得多一眞数以多一眞数乘多二眞数得多二眞数以多一眞数乘多三根得多三根以多一眞数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是爲二根多一眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞数即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一眞数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也
　　设如有六平方少一根少十五眞数以三根少五眞数除之问得几何
　　法以三根少五眞数除六平方少一根得二根以二根乘少五眞数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五眞数复以三根少五眞数除多九根少十五眞数得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数以多三眞数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是爲二根多三眞数即所求之数也此法葢因根少眞数除平方少根少眞数故以根除平方得根以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数原爲少而次位余实之数变爲多故定得数次位爲多也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法数三根得十五少五眞数即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三眞数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也
　　设如有九立方少十二平方少五根多六眞数以三平方少二根少三眞数除之问得几何
　　法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六眞数复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数得少二眞数以少二眞数乘少三眞数得多六眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是爲三根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲七则一平方爲四十九一立方爲三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞数即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞数即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二眞数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也
　　设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何
　　法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四眞数复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数以少二眞数乘多二眞数得少四眞数以少二眞数乘多三根得少六根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲四根少二眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数故以平方除立方得根以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二眞数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也
　　设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数以二平方少二根多一眞数除之问得几何法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加爲少六平方仍多五根复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二眞数又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数得少二眞数以少二眞数乘多一眞数得少二眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲二平方多一根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方仍多根与少眞数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位爲平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变爲多三位余实之首数仍爲少故定得数之次位爲多三位爲少也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共爲四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一眞数即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二眞数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也

　　御制数理精蕴下编卷三十一
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十二
　　末部二
　　借根方比例【开诸乘方法　诸乘方表】

　　开诸乘方法
　　借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉
　　平方
　　设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何
　　法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也
　　立方
　　设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何
　　法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺爲初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商爲三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺爲次商廉法以除次商积足四十倍即定次商爲四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也
　　又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三次商根爲四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根爲三百四十五尺也
　　三乘方
　　设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何
　　法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺爲初商积与五百乘三次之数相准即定初商爲五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积七万尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺与原积相减余五十亿一千零二十一万尺爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺四因之得七亿零二百四十六万四千尺爲三商亷法以除三商积足七倍即定三商爲七尺书于方积一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得五百六十七尺爲三乘方每一根之数也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除余积得次商以初商自乘与次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘与初商相乘四因之爲四长廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘三次即得应减之积也
　　又法用开平方法两次开之初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方得三十二万一千四百八十九尺次以三十二万一千四百八十九尺复开平方得五百六十七尺即三乘方每一根之数也又用表开法列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算隔三位作记定位同前乃截方根第二位以前积一○三三五五一七爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之数】其所对初商根爲五次商根爲六即将五六书于初商次商之位而以九八三四四九六书于初商次商积之下相减余五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一足七倍即定三商爲七书于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽即定三乘方根爲五百六十七尺也
　　四乘方
　　设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问每一根之数几何
　　法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算每方积五位定方根一位故隔四位作记乃于五尺上定单位九十万尺上定十位空百亿尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商积与七百乘四次之数相准即定初商爲七百尺书于方积空百亿尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺书于初商积之下相减余九十三兆九千三百亿尺爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺五因之得一兆二千零五亿尺爲次商廉法以除次商积足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺大于原积是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积九十万尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽是开得七百六十五尺爲四乘方每一根之数也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除余积得次商以初商自乘再乘与次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘两数相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘与初商相乘五因之爲五长廉以次商数乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘四次即得应减之积也又用表开法列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算隔四位作记定位同前乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之数】其所对初商根爲七次商根爲六即将七六书于初商次商之位而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下相减余八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽即定四乘方根爲七百六十五尺也
　　五乘方
　　设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开五乘方问每一根之数几何
　　法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算每方积六位定方根一位故隔五位作记乃于五尺上定单位五百万尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商积与九百乘五次之数相准即定初商爲九百尺书于方积八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺书于初商积之下相减余三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺爲次商廉隅之共积而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大于原积乃改商七十尺书于方积五百万尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽是开得九百七十五尺爲五乘方每一根之数也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除余积得次商以初商乘三次与次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘两数相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘两数相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次与初商相乘六因之爲六长廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘五次即得应减之积也
　　又法用开平方开立方法开之初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺开立方得九百七十五尺即五乘方每一根之数也
　　又用表开法列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算隔五位作记定位同前乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之数】其所对初商根爲九次商根爲七即将九七书于初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下相减余二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽即定五乘方根爲九百七十五尺也
　　六乘方
　　设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几何
　　法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算每方积七位定方根一位故隔六位作记乃于八尺上定单位九千万尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商积与八百乘六次之数相准即定初商爲八百尺书于方积五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺书于初商积之下相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺爲次商廉隅之共积而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商积足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大于原积乃改商五十尺书于方积九千万尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽是开得八百五十二尺爲六乘方每一根之数也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除余积得次商以初商乘四次与次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘两数相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘两数相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次两数相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次与初商相乘七因之爲七长廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今得次商之后合初商乘六次即得应减之积也
　　又用表开法列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算隔六位作记定位同前乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之数】其所对初商根爲八次商根爲五即将八五书于初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下相减余五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽即定六乘方根爲八百五十二尺也
　　七乘方
　　设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一根之数几何
　　法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算每方积八位定方根一位故隔七位作记乃于一尺上定单位三亿尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商积与七百乘七次之数相准即定初商爲七百尺书于方积二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺书于初商积之下相减余六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商积足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃书一空于方积三亿尺之上而以九尺书于方积一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得七百零九尺爲七乘方每一根之数也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除余积得次商以初商乘五次与次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘两数相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘两数相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之爲八长廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也
　　又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也
　　又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七次商根爲○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根爲七百零九尺也
　　八乘方
　　设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何
　　法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积与四百乘八次之数相准即定初商爲四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之爲九长廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也
　　又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四次商根爲二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根爲四百二十二尺也
　　九乘方
　　设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问每一根之数几何
　　法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算每方积十位定方根一位故隔九位作记乃于四尺上定单位二百亿尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商积与三百乘九次之数相准即定初商爲三百尺书于方积六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺书于初商积之下相减余二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商积足十倍即定次商爲一十尺书于方积二百亿尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽是开得三百一十二尺爲九乘方每一根之数也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除余积得次商以初商乘七次与次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘两数相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘两数相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次两数相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次两数相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次两数相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次两数相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次与初商相乘十因之爲十长廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘九次即得应减之积也又法用开平方开四乘方法开之初以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺开四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之数也
　　又用表开法列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算隔九位作记定位同前乃截方根第二位以前积八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之数】其所对初商根爲三次商根爲一即将三一书于初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下相减余五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽即定九乘方根爲三百一十二尺也

　　诸乘方表
　　凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数二层上层为初商次商积【如立方表第一行第三格上层一七二八即方根一二自乘再乘之数余仿此】下层为三商亷法【如立方表第一行第三格下层四三即三商亷法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末一位之数葢方根既有三位则初商为百次商为十以一百二十自乘三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止今防法止用次商余积求三商不加三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余积多一位故截去末一位止用四三为亷法除实则法实尾位均齐定位始无误余仿此】用表之法具见设如立方表

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>
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　　御制数理精蕴下编卷三十二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十三
　　末部三
　　借根方比例【带纵平方　　带纵立方三乘方四乘方五乘方附】

　　带纵平方
　　借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或爲长方之阔或爲长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多防根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几眞数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几眞数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几眞数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几眞数等此四者根皆和纵而其毎根之数或爲长方之长或爲长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而爲长方其眞数比平方多根者其毎根爲阔眞数比平方少根者其每根爲长二者皆较纵惟眞数比根少平方者则爲和纵也至于开之之法皆以眞数爲长方积以根数爲纵【即以根数作眞数用如三根即作三眞数五根即作五真数之类解见设如】依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根爲长方之阔者以和较相减折半而得每根之数【用半和半较立法者则相减即得根数不用折半】其根爲长方之长者以和较相加折半而得每根之数也【用半和半较立法者则相加即得根数不用折半】俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何
　　法以二十四尺爲长方积二根爲纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺爲和减较二尺余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁六尺爲长戊丁二尺爲纵多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲纵多也此法错综其名则爲四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则爲一平方与二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则爲二根与二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比一正方多根数故知其爲较纵而每根之数爲阔也
　　设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何
　　法以四十五尺爲长方积四根爲纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺爲和加较四尺得十八尺折半得九尺爲一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺爲一根爲长甲丁五尺爲阔甲戊与甲乙等丁戊四尺爲纵甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲纵多也此法错综其名亦爲四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则爲一平方与四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总爲真数比一正方少根数故知其爲较纵而其每根之数爲长也
　　设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何
　　法以三十六尺爲长方积十三根爲和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺爲较与和十三尺相减余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁九尺爲长甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法错综其名亦爲四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则爲一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则爲三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比根数少一正方故知其爲和而其毎根之数爲阔也
　　设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何
　　法以三十二尺爲长方积十二根爲和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺爲较加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺爲一根爲长甲丁四尺爲阔甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞数比根数少一正方故知其爲和而其每根之数爲长也

　　带纵立方　【三乘方　四乘方　五乘方附】
　　借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或爲长方体扁方体形或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也】皆不可知故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数而非一长方或一扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设之根数不合矣】今类其法分爲九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几眞数等二也一立方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与几眞数等四也一立方多几平方多几根与几眞数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几眞数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几眞数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方爲多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数爲少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘爲立方积以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积以初商数与几根相乘爲所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商自乘数三因之爲立方廉以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方廉相减又加减所带之根数【多根者加少根者减】爲次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘爲立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几眞数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘爲平方积又以初商数再乘爲立方积以平方数除之得数爲少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商数倍之爲平方廉又以初商自乘数三因之爲立方廉以平方数除之得数以减平方廉余爲次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而爲长方体扁方体或爲磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数爲主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉
　　设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何
　　法列原积一千八百二十四尺按立方法作记于四尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共积与一立方积相加得一千零八十尺书于原积之下相减余七百四十四尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根数八共三百零八尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共积与立方积相加共得一千八百二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及八根之共数以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边因正方体之外多八根故成一磬折体而非正方体亦非长方体也
　　设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问毎一根之数几何
　　法列原积一千六百二十尺按立方法作记于空尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共积与立方积相减余九百一十尺书于原积之下相减余七百一十尺爲次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内减去根数九余二百九十一尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共积与立方积相减余一千六百二十尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少九根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边因正方体内少九根之数故成磬折体而非正方体亦非扁方体也
　　设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等问每一根之数几何
　　法列原积二千三百零四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其二千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相准即定初商爲十尺书于原积二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共积与立方积相加得一千四百尺书于原积之下相减余九百零四尺爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉与一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共积与立方积相加共得二千三百零四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体及四平方之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多四平方故成长方体而非正方体也
　　设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等问每一根之数几何
　　法列原积七千九百三十五尺按立方法作记于五尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖应商十尺而所带平方爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共积与立方积相减余四千八百尺书于原积之下相减余三千一百三十五尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉与一立方廉相减余八百八十尺爲次商廉法以除次商积足三倍即定次商爲三尺书于原积五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一万二千一百六十七尺爲一立方积又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共积与一立方积相减余七千九百三十五尺书于原积之下相减恰尽是开得二十三尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少八平方之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少八平方故成扁方体而非正方体也
　　设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等问毎一根之数几何
　　法列原积二万七千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其二万七千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相合应商三十尺而所带平方与根皆爲多号故取略小之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共积又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共积三积【立方平方与根之三数】相加得一万三千八百尺书于原积之下相减余一万三千三百四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉与立方廉相加得一千七百二十尺又加根数三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商积足七倍因取略小之数爲六尺书于原积四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一万七千五百七十六尺爲一立方积又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共积又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共积三积相加共二万七千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十六尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体及十三平方与三十根之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多十三平方又多三十根恰成长方体而非正方体亦非磬折体也【将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面又以三平方加于正方体之又一面即成磬折体而缺三十根之数如以三十根补其缺即成长方体其寛即一根爲二十六尺其长即一根多十尺爲三十六尺其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根数适足长方体形故爲长方体若平方与根数不能补足者仍爲磬折体也】
　　设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等问每一根之数几何
　　法列原积七千零八十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其七千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相凖而所带平方与根皆爲少号故取略大之数爲二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共积又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得二千九百六十尺以减立方积余五千零四十尺书于原积之下相减余二千零四十四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉与立方廉相减余九百二十尺又减去根数八余九百一十二尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一万零六百四十八尺爲一立方积又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共积又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共积与少七平方共积相加得三千五百六十四尺以减立方积余七千零八十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体少七平方又少八根之数以边计之则所得每根之数即正方体之毎一边亦即平方之每一边因正方体之内少七平方又少八根故成磬折体而非正方体也
　　设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等问每一根之数几何
　　法列原积三万三千一百五十二尺按立方法作记于二尺上定单位三千尺上定十位其三万三千尺爲初商积与三十自乘再乘之数相准即定初商爲三十尺书于原积三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺爲一立方积又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方积又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共积于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺又减去少二十根之共积余二万七千三百尺书于原积之下相减余五千八百五十二尺爲次商积而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉与立方廉相加得二千七百六十尺又减去根数二十余二千七百四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺爲一立方积又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方积又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共积于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺书于原积之下相减恰尽是开得三十二尺爲每一根之数也此法以积计之爲一正方体多一平方复少二十根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多一平方又少二十根故成磬折体而非正方体也
　　设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等问每一根之数几何
　　法列原积一万二千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其一万二千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相凖即定初商爲二十尺书于原积二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共积又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共积于立方积内减去少三平方之共积余六千八百尺又加入多二根之共积得六千八百四十尺书于原积之下相减余五千三百零四尺爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉与立方廉相减余一千零八十尺又加入根数二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于原积四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共积又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共积于立方积内减去三平方之共积余一万二千零九十六尺又加入多二根之共积得一万二千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲毎一根之数也此法以积计之爲一正方体少三平方复多二根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少三平方又多二根故成磬折体而非正方体也
　　设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺相等问每一根之数几何
　　法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲归除所得之积按平方法作记于空尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积再乘得一千尺爲一立方积以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之积与一平方积相减余七十五尺书于所得积之下相减余六十五尺六十二寸五十分爲次商积而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉与平方廉相减余十二尺五寸爲次商廉法以除次商积足五倍即定次商爲五尺书于所得积空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方积再乘得三千三百七十五尺爲一立方积以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之积与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与四十相乘得九千尺爲四十平方积内减去一立方积余五千六百二十五尺与原积相合是开得一十五尺爲每一根之数也此法以积计之爲四十平方少一正方体之数以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因四十平方内少十五平方之一正方体【每边爲十五尺故十五平方爲一正方体也】余二十五平方爲长方体【其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其长爲二十五尺也】而非正方体也
　　设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺相等问每一根之数几何
　　法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲归除所得之积按平方法作记于八尺上定单位五百尺上定十位其五百尺爲初商积与二十自乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方积再乘得八千尺爲一立方积以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之积与平方积相减余三百八十四尺书于所得积之下相减余一百六十四尺三十五寸二十分爲次商积而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉与平方廉相减得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方积再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之积与平方积相减余五百四十八尺三十五寸二十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与五百相乘得二十八万八千尺爲五百平方积内减去一立方积余二十七万四千一百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也此法以积计之爲五百平方少一正方体以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因五百平方内少二十四平方之一正方体【每边爲二十四尺故二十四平方即一正方体也】余四百七十六平方爲长方体【其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其长爲四百七十六尺也】而非正方体也
　　设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等问每一根之数几何
　　法列原积二万一千零二十四尺按三乘方法作记于四尺上定单位二万尺上定十位其二万尺爲初商积与十尺乘三次之数相准即定初商爲十尺书于原积二万尺之上而以初商十尺乘三次之一万尺爲一三乘方积又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得一万零二百尺书于原积之下相减余一万零八百二十四尺爲次商积而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉与三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共积与三乘方积相加得二万一千零二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺爲每一根之数也
　　又法用带纵平方及平方两次开之将原积二万一千零二十四尺爲长方积以多二平方作二尺爲纵多折半得一尺爲半较自乘仍得一尺与积相加得二万一千零二十五尺开平方得一百四十五尺爲半和内减半较一尺【凡多平方者即减半较如少平方者则加半较】余一百四十四尺爲正方积复开平方得十二尺即每一根之数也葢三乘方多平方与方根自乘爲阔加多平方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也
　　设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺相等问每一根之数几何
　　法以一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一与一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲归除所得之积按平方法作记于三尺上定单位一百尺上定十位其一百尺爲初商积与十尺自乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积又以初商之十尺乘三次得一万尺爲一三乘方积以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之积与一平方积相减余九十尺书于所得积之下相减余三十三尺二十六寸四十分爲次商积而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉与平方廉相减余一十六尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于所得积三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方积又以十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积以一千除之得二十尺零七十三寸六十分与一平方积相减余一百二十三尺二十六寸四十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与一千相乘得一十四万四千尺爲一千平方积内减去一三乘方积余一十二万三千二百六十四尺与原积相合是开得一十二尺爲每一根之数也
　　又法用带纵平方及平方两次开之将原积一十二万三千二百六十四尺爲长方积以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五万尺与积相减余十二万六千七百三十六尺开平方得三百五十六尺爲半较与半和相减余一百四十四尺爲正方积复开平方得一十二尺即每一根之数也葢平方少三乘方与方根自乘爲阔与平方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也
　　设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二百七十二尺相等问每一根之数几何
　　法列原积七百九十九万零二百七十二尺按四乘方法作记于二尺上定单位九十万尺上定十位其七百九十万尺爲初商积与二十乘四次之数相准即定初商爲二十尺书于原积九十万尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十万尺爲一四乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一万六千尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得三百二十一万六千尺书于原积之下相减余四百七十七万四千二百七十二尺爲次商积而以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉与四乘方廉相加得八十万零二千四百尺爲次商廉法以除次商积足五倍因取略小之数爲四尺书于原积二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积又以二十四尺自乘再乘之一万三千八百二十四尺二因之得二万七千六百四十八尺爲多二立方之共积与四乘方积相加得七百九十九万零二百七十二尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺爲每一根之数也葢四乘方多立方之数不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也
　　设如有二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺相等问每一根之数几何法以二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一与九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲归除所得之积按立方法作记于二尺上定单位九千尺上定十位其九千尺爲初商积与二十自乘再乘之数相准即定初商爲二十尺书于所得积九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积又以初商之二十尺乘四次得三百二十万尺爲一四乘方积以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之积与一立方积相减余六千四百尺书于所得积之下相减余三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉与立方廉相减余八百尺爲次商廉法以除次商积足四倍即定次商爲四尺书于所得积二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积又以二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸与一立方积相减余九千八百四十二尺六百八十八寸书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与二千相乘得二千七百六十四万八千尺爲二千立方积内减去一四乘方积余一千九百六十八万五千三百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也葢立方少四乘方之数亦不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也
　　设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几何
　　法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺按五乘方法作记于六尺上定单位三百万尺上定十位其一亿一千三百万尺爲初商积与二十乘五次之数相准即定初商爲二十尺书于原积三百万尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺爲一五乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三万二千尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺书于原积之下相减余四千九百三十九万零四百九十六尺爲次商积而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺爲一五乘方积又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺四因之得四万二千五百九十二尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也
　　又法用带纵平方及立方开之将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺爲长方积以多四立方作四尺爲纵多折半得二尺自乘得四尺与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺开平方得一万零六百五十尺爲半和内减半较二尺【因立方爲多号故减半较若立方爲少号即加半较】得一万零六百四十八尺爲立方积开立方得二十二尺即每一根之数也葢五乘方多立方与方根自乘再乘爲阔加多立方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也
　　设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲归除所得之积按立方法作记于三尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺乘五次得一百万尺爲一五乘方积以一万除之得一百尺爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余九百尺书于所得积之下相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺爲一五乘方廉以一万除之得六十尺爲一万分五乘方之一之廉与立方廉相减余二百四十尺爲次商廉法以除次商积足一倍即定次商爲一尺书于所得积三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方积又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺爲一五乘方积以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺爲一万立方积内减去一五乘方积余一千一百五十三万八千四百三十九尺与原积相合是开得一十一尺爲每一根之数也
　　又法用带纵平方及立方开之将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺爲长方积以一万立方作一万尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百万尺与积相减余一千三百四十六万一千五百六十一尺开平方得三千六百六十九尺爲半较与半和相减余一千三百三十一尺爲立方积开立方得一十一尺即每一根之数也葢立方少五乘方与方根自乘再乘爲阔与立方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也

　　御制数理精蕴下编卷三十三
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十四
　　末部四
　　借根方比例【线类】

　　线类
　　设如有一竹竿长一丈欲分为大小两分大分比小分多四尺问大小分各几何
　　法借一根为小分则大分即为一根多四尺两数相加得二根多四尺与一丈相等二根既多四尺乃减去所多四尺余二根又于一丈内亦减去四尺余六尺是为二根与六尺相等二根既与六尺相等则一根必与三尺相等前既借一根为小分则三尺即小分再加四尺得七尺即大分也【此减法也于一丈内减去大分所多之四尺余六尺折半得三尺即小分之数此法甚易盖因借根比例之首先设此以明其理使人由浅以入深也】
　　设如有银三百四十三两分给众匠其为首一人所得之银与众匠人数相等众匠每人得银六两问共人数几何
　　法借一根为为首一人所得之银数亦即为众匠之人数以众匠之人数一根与六两相乗得六根为众匠之银数相加得七根与三百四十三两相等七根既与三百四十三两相等则一根必与四十九两相等即为首一人所得之银数亦即众匠之人数以四十九人与六两相乗得二百九十四两即众匠所得共银数再加为首一人所得银数四十九两得三百四十三两以合原数也【此归除法也以每匠得银六两加一两得七两以除共银三百四十三两即得四十九两为为首一人所得银数亦即众匠之人数葢为首一人之银既与众匠人数等若以为首一人之银分给众匠每人必多得一两故于每人之银数外加一两以除共银即得也】
　　设如有绳二条不言丈数但知其长短之比例同于九与五其相差之较与短绳除长绳所得之数相等问二绳各长若干
　　法借九根为长绳之数五根为短绳之数两数相减余四根以五根除九根得一八即一丈八尺是为四根与一丈八尺相等四根既与一丈八尺相等则一根必与四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即长绳数五因之得二丈二尺五寸即短绳数以二丈二尺五寸与四丈零五寸相减余一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也【此归除法】
　　设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银九十两乙丙共银四十五两甲丙共银七十三两问三人各银几何
　　法借一根为三人之总银数以甲乙共银九十两计之则丙为一根少九十两以乙丙共银四十五两计之则甲为一根少四十五两以甲丙共银七十三两计之则乙为一根少七十三两三数相加得三根少二百零八两而与所借之一根相等三根少二百零八两与一根各加二百零八两得三根与一根多二百零八两相等【三根少二百零八两内加二百零八两则补足三根整数一根上再加二百零八两则为一根多二百零八两矣】三根与一根再各减一根则余二根与二百零八两相等二根既与二百零八两相等则一根必与一百零四两相等即三人之总银数总银一百零四两内减甲乙共银九十两余一十四两为丙银数减乙丙共银四十五两余五十九两为甲银数减甲丙共银七十三两余三十一两为乙银数也【此加减法也如以三数相加得二百零八两折半得一百零四两即总银数总银数内减甲乙共银数余为丙银数总银数内减甲丙共银数余为乙银数总银数内减乙丙共银数余为甲银数也】
　　设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银数比丙银多六十八两乙丙共银数比甲银多一百两丙甲共银数比乙银多一百二十四两问三人各银几何
　　法借二根为三人之总银数以甲乙共银数比丙银多六十八两计之则甲乙共银为一根多三十四两丙银为一根少三十四两【二根既为三人之总银数平分之则甲乙应得一根丙应得一根甲乙共银比丙所多六十八两平分之则甲乙应得三十四两丙应得三十四两甲乙所得为多丙所得为少故甲乙为一根多三十四两丙为一根少三十四两共相差为六十八两下仿此】以乙丙共银数比甲银多一百两计之则乙丙共银为一根多五十两甲银为一根少五十两以丙甲共银数比乙银多一百二十四两计之则丙甲共银为一根多六十二两乙银为一根少六十二两乃以丙银一根少三十四两甲银一根少五十两乙银一根少六十二两三数相加得三根少一百四十六两而与所借之二根相等三根少一百四十六两与二根各加一百四十六两得三根与二根多一百四十六两相等三根与二根再各减二根则余一根与一百四十六两相等一根既与一百四十六两相等则二根必与二百九十二两相等即三人之总银数前既以丙银为一根少三十四两乃于一百四十六两内减三十四两余一百一十二两即丙银数甲为一根少五十两乃于一百四十六两内减五十两余九十六两即甲银数乙为一根少六十二两乃于一百四十六两内减六十二两余八十四两即乙银数也【此加减法也如以甲乙比丙所多之六十八两与乙丙比甲所多之一百两相加得一百六十八两折半得八十四两即乙银数又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙比乙所多之一百二十四两相加得二百二十四两折半得一百一十二两即丙银数再以乙丙数相加得一百九十六两内减去乙丙比甲所多之一百两余九十六两即甲银数也】
　　设如有银分赏众人不言银数亦不言人数但知第一人得银一两又得余银之十分之一第二人得银二两又得余银之十分之一第三人得银三两又得余银之十分之一以下分赏之数皆准此例所得之银皆相等问人数及银数各几何
　　法借一根为第一人所得余银之数则一两多一根为第一人所得总银数又第一人得余银十分之一则余银必为十根减去一根仍余九根再于九根内减去第二人所得之二两为九根少二两以九根少二两取其十分之一得十分根之九少二钱与第二人之二两相加得二两【作二十钱】多十分根之九少二钱为与第一人所得之一两【作一十钱】多一根相等一两多一根与二两多十分根之九少二钱各加二钱得一两二钱多一根与二两多十分根之九相等多一根与多十分根之九各减十分根之九余一两二钱多十分根之一与二两相等一两二钱与二两又各减一两二钱则余十分根之一与八钱相等十分根之一既与八钱相等则一根必与八两相等即第一人所得余银之数乃以十因之得八十两又加第一人所得之一两共八十一两即原共银数第一人得一两又加余银八十两之十分之一八两共为九两第二人得二两又加余银七十两之十分之一七两亦共为九两第三人得三两又加余银六十两之十分之一六两亦共为九两第四人得银四两又加余银五十两之十分之一五两亦共为九两第五人得银五两又加余银四十两之十分之一四两亦共为九两第六人得银六两又加余银三十两之十分之一三两亦共为九两第七人得银七两又加余银二十两之十分之一二两亦共为九两第八人得银八两又加余银十两之十分之一一两亦共为九两第九人得银九两银尽无余是共九人每人得银九两皆相等也【此加减法也以分母十与分子一相减余九即人数以人数九自乗得八十一即总银数也葢惟人数与每人所得银数相等者每人递加一两又各加余银十分之一所得始能相等故以人数自乗即得银数也】
　　设如有人行路共二千八百里步行则日行七十里坐船则日行九十里乗马则日行一百里但知步行之日数倍于坐船坐船之日数倍于乗马问步行及坐船乗马之日数各若干
　　法借一根为乗马之日数则坐船之日数为二根步行之日数为四根以一根与一百里相乗得一百根为乗马所行之里数以二根与九十里相乗得一百八十根为坐船所行之里数以四根与七十里相乗得二百八十根为步行所行之里数三数相加得五百六十根是为五百六十根与二千八百里相等五百六十根既与二千八百里相等则一百根必与五百里相等前既以一百根为乗马所行之里数则与一百根相等之五百里即乗马所行之里数以乗马每日行一百里除之得五日与一根相等即乗马所行之日数倍之得十日即坐船所行之日数以坐船每日行九十里乗之得九百里为坐船所行之里数再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日数以步行每日行七十里乗之得一千四百里为步行之里数以乗马所行之五百里与坐船所行之九百里及步行之一千四百里相并共得二千八百里以合原数也【此递加比例法用借衰互征法算之亦可】
　　设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤马所驮之数倍于驴仍多四十斤车所载之数倍于马驴共驮之数却少四十斤问驴马车各驮载几何法借一根为驴所驮之数则马为二根多四十斤车为六根多四十斤【驴马数相并得三根多四十斤倍之为六根多八十斤内减去少四十斤则为六根多四十斤】三数相加得九根多八十斤是为九根多八十斤与一千五百二十斤相等多八十斤与一千五百二十斤各减去八十斤则余九根与一千四百四十斤相等九根既与一千四百四十斤相等则一根必与一百六十斤相等即驴所驮之数倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤为马所驮之数将马驴所驮之数相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再减去四十斤得一千斤即车所载之数驴驮一百六十斤马驮三百六十斤车载一千斤三数相加共一千五百二十斤以合原数也【此按数加减比例法用借衰互征法算之亦可】
　　设如有银三百八十五两令十一人挨次递加三两分之问每人各得若干
　　法借一根为第一人所得银数以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人递加三两计之共得多一百六十五两是为十一根多一百六十五两与三百八十五两相等十一根多一百六十五两与三百八十五两各减一百六十五两则余十一根与二百二十两相等十一根既与二百二十两相等则一根必与二十两相等即第一人所得银数递加三两则知第二人得二十三两第三人得二十六两第四人得二十九两第五人得三十二两第六人得三十五两第七人得三十八两第八人得四十一两第九人得四十四两第十人得四十七两第十一人得五十两各数相加共得三百八十五两以合原数也【此按数加减比例法】
　　设如有银四百七十四两令十二人挨次递加分之但知第一人得银一十二两问每人各得若干法借一根为每人递加之数以第一人至第十二人递加一根计之则得六十六根再以十二两与十二人相乗得一百四十四两是为六十六根多一百四十四两与四百七十四两相等六十六根多一百四十四两与四百七十四两各减去一百四十四两则余六十六根与三百三十两相等六十六根既与三百三十两相等则一根必与五两相等即每人递加之数以第一人所得十二两加五两即第二人所得十七两依此递加则知第三人得二十二两第四人得二十七两第五人得三十二两第六人得三十七两第七人得四十二两第八人得四十七两第九人得五十二两第十人得五十七两第十一人得六十二两第十二人得六十七两各数相加共得四百七十四两以合原数也【此按数加减比例法】
　　设如一人借银营利三次每次得利之后则还银二百四十两复以余银作本其每次所得利银皆与每次本银相等至第三次还银后则银尽无余问原借银若干
　　法借一根为原借本银数则第一次利银亦为一根是本利共二根除还银二百四十两则初次余银即为二根少二百四十两再以二根少二百四十两为第二次本银数加第二次利银则为四根少四百八十两除还银二百四十两则第二次余银即为四根少七百二十两再以四根少七百二十两为第三次本银数加第三次利银则为八根少一千四百四十两除还银二百四十两则第三次余银当为八根少一千六百八十两八根少一千六百八十两而银尽无余即八根与一千六百八十两相等也八根既与一千六百八十两相等则一根必与二百一十两相等即原借本银之数因每次所得利银皆与本银相等故以原借本银之数倍之得四百二十两除还二百四十两余一百八十两为第二次本银之数又倍之得三百六十两又除还二百四十两余一百二十两为第三次本银之数又倍之得二百四十两再还二百四十两则银恰尽无余也【此按分递折比例法用叠借互征法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人各作一器则甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作问得日几何
　　法借一千一百五十二根【三分母连乗之数】为三人同作完之日数以甲六日计之则甲每日得一百九十二根以乙八日计之则乙每日得一百四十四根以丙二十四日计之则丙每日得四十八根三数相加共得三百八十四根与一日相等三百八十四根既与一日相等则一千一百五十二根必与三日相等即三人同作完之日数也【此和数比例法】
　　设如甲丙二商不言本银若干但知甲之本银四倍于丙而甲本银内减去七十二两则两人之银适等问二人本银各几何
　　法借一根为丙本银数则甲本银为四根以甲本银减七十二两与丙银相等计之则于甲本银四根内减七十二两是为甲四根少七十二两与丙一根相等四根少七十二两与一根各加七十二两得四根与一根多七十二两相等四根与一根各减去一根则余三根与七十二两相等三根既与七十二两相等则一根必与二十四两相等即丙本银数再加七十二两得九十六两即甲本银数也【此较数比例法】
　　设如甲乙二人分银其数相等甲用过一百两乙用过三十两则乙之余银三倍于甲问二人原各分银几何
　　法借一根为原分银之数则甲之余银为一根少一百两乙之余银为一根少三十两乙之余银既三倍于甲则将甲余银一根少一百两三倍之为三根少三百两即与乙之余银一根少三十两相等矣三根少三百两与一根少三十两各加三百两则得三根与一根多二百七十两相等【甲三根少三百两今加三百两则补足三根整数乙一根少三十两今加三百两以三十两补原少之数则止多二百七十两】三根与一根各减去一根则余二根与二百七十两相等二根既与二百七十两相等则一根必与一百三十五两相等前既借一根为原分银之数则此一百三十五两即原分银之数矣甲用过一百两余三十五两乙用过三十两余一百零五两故乙之余银三倍于甲也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】
　　设如甲乙二人行路两日行到初日乙所行之路四倍于甲次日甲所行之路三倍于乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里问次日二人各行若干
　　法借一根为次日乙所行之路则甲次日所行之路为三根以初日乙行二百四十里与一根相加得一根多二百四十里为乙两日所行之路以初日甲行六十里与三根相加得三根多六十里为甲两日所行之路是为乙一根多二百四十里与甲三根多六十里相等一根与三根各减一根多二百四十里与多六十里各减六十里则余一百八十里与二根相等一百八十里既与二根相等则九十里必与一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里与初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里与初日所行六十里相加亦得三百三十里是两人同行俱到也【此较数比例法】
　　设如有甲乙二商各有本银生理但知乙本银比甲本银多六两数年得利之后甲本利共银比原银为十一倍乙本利共银比原银为七倍而两人之银适等问二人原有本银各几何
　　法借一根为甲本银数则乙本银为一根多六两甲本利共银既比原银为十一倍则以十一乗一根得十一根为甲本利共银数乙本利共银既比原银为七倍则以七乗一根多六两得七根多四十二两为乙本利共银数是为甲十一根与乙七根多四十二两相等十一根与七根各减七根余四根与四十二两相等四根既与四十二两相等则一根必与十两零五钱相等即甲原银之数十一乗之得一百一十五两五钱即甲本利共银之数以六两与十两零五钱相加得一十六两五钱即乙原银之数七因之亦得一百一十五两五钱为乙本利共银之数也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】
　　设如甲乙二人分银其数相等甲银外加三百两乙银外加六十五两则甲之共银三倍于乙问二人原各分银若干
　　法借一根为原分银之数则乙之共银为一根多六十五两甲之共银为一根多三百两甲之共银既三倍于乙则将乙之共银一根多六十五两三倍之为三根多一百九十五两即与甲之共银一根多三百两相等矣三根多一百九十五两与一根多三百两各减一百九十五两则余三根与一根多一百零五两相等三根与一根再各减去一根则余二根与一百零五两相等二根既与一百零五两相等则一根必与五十二两五钱相等前既借一根为原分银之数则此五十二两五钱即原分银之数矣以五十二两五钱与六十五两相加得一百一十七两五钱为乙之共银数以五十二两五钱与三百两相加得三百五十二两五钱为甲之共银数即乙之共银之三倍也【四十六两则一金球比一银球之此较数】
　　设如金　　　　　　　【比】球十二　　　　　　　　　　　【例】银球十八其轻重适等若　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】将
　　银球　　　　　　　【用】七换金　　　　　　　　　　　【叠】球七则银球边多三百二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【借】十
　　【互】二两问金
　　球银球各重几　　　　　　　　　　　　　　　　【征】何法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】借一根为金
　　球换银球之差数以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【算】七乗之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】得七根为七金球换七银球之差数是为七根与三百二十二两相等七根既与三
　　百二十二两相等则一根　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【亦】必与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【可】四十六两相等即一金球一银球相换之差数一金球一银球相换之差数既为
　　重必差二十三两一金　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】球比一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【根】银
　　球既重二十三两则十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【与】二金球比【十】十二银球必重二百七十六两如以银
　　球【二根各】再加六个即　　　　　　　　　　　　　　　　　　【减】与十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【去】金球等是银球六个与二百七十六两相等
　　也乃以六归之得四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】十六两即一银
　　球之重数加二十三两得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】六十九两即一金球之重数以四十六两与十八
　　银球相乗得八百二十八两以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【个】六十九两与十二金球相乗【此较数比例法】
　　亦得八百二十八两也设如一人买縀十二疋一人买防三十二疋用银适等但知缎每疋价比防每疋价多六
　　两问防缎价银各若干法借一根为防价则缎价为一根多六两各以总数乗之则防总价得三十二根缎总价得十二根多七十二两是为防价三十二根与缎价十二根多七十二两相等三十十二根则余二十根与七十二两相等二十根既与七十二两相等则一根必与三两六钱相等即防每疋之价加缎每疋比防每疋多六两得九两六钱即缎每疋之价以九两六钱乗十二疋得一百一十五两二钱为缎总价以三两六钱乗三十二疋亦得一百一十五两二钱为防总价两数适等也【此较数比例法】
　　设如甲乙二人共买缎一百疋甲买三十八疋止与银三百一十二两乙买六十二疋止与银六百两而两人所欠之银适等问缎价及欠银各若干法借一根为缎每疋价银数则甲三十八疋总银数为三十八根又甲止与银三百一十二两则甲所欠之银即为三十八根少三百一十二两乙六十二疋总银数为六十二根又乙止与银六百两则乙所欠之银即为六十二根少六百两是为甲三十八根少三百一十二两与乙六十二根少六百两相等少三百一十二两与少六百两各加六百两得三十八根多二百八十八两与六十二根相等【乙为六十二根少六百两今加六百两则补足六十二根整数甲为三十八根少三百一十二两今加六百两以三百一十二两补原少之数则止多二百八十八两也】又三十八根与六十二根各减去三十八根则余二十四根与二百八十八两相等二十四根既与二百八十八两相等则一根必与十二两相等即缎每疋之价银数再以十二两乗三十八疋得四百五十六两即甲所买缎之总银数内减甲与银三百一十二两余一百四十四两为甲所欠银数又以十二两乗六十二疋得七百四十四两为乙所买缎之总银数内减乙与银六百两亦余一百四十四两为乙所欠银数也【此较数比例法】
　　设如有米分给大小二等工人但知小工人数比大工人数为七倍大工人给米一升二合小工人给米八合共给过米五石四斗四升问人数米数各几何
　　法借一根为大工人之数则七根为小工人之数以一根与一升二合相乗【作一十二合】得一十二根为大工人米数以七根与八合相乗得五十六根为小工人米数两米数相加得六十八根与五石四斗四升相等六十八根既与五石四斗四升相等则十二根必与九斗六升相等前既以十二根为大工人米数则与十二根相等之九斗六升即大工人之米数爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人与一根相等即大工人之数七因之得五百六十即小工人之数以八合乗之得四石四斗八升即小工人之米数也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】
　　设如有银一百两分给大小二等匠人共一百名大匠人每人给银一两五钱小匠人每人给银五钱问大小匠人各若干
　　法借一根为大匠人数则小匠人为一百少一根以一两五钱与一根相乗得十五根为大匠人共银数又以五钱与一百少一根相乗得五十两【作五百钱】少五根为小匠人共银数两银数相加得五十两【作五百钱】多十根【原少五根加十五根则反多十根也】与银一百两【作一千钱】相等五十两与一百两各减去五十两则余十根与五十两相等十根既与五十两相等则十五根必与七十五两【即七百五十钱】相等前既以十五根为大匠人共银数则与十五根相等之七十五两即大匠人之共银数爰以大匠人每人所得一两五钱除之得五十人与一根相等即大匠人之数于共一百人内减大匠人五十人余五十人即小匠人之数以五钱乗之得二十五两即小匠人之共银数也【此和较比例法用方程法算之亦可】
　　设如有银一百两分赏马步兵共一百名马兵一人赏三两步兵三人赏一两问马步兵各若干
　　法借一根为步兵所得银数则马兵所得银数即为三根相加得四根为马步兵共得银数是为四根与一百两相等四根既与一百两相等则一根必与二十五两相等即步兵所得银数于一百两内减之余七十五两为马兵所得银数以每人三两归之得二十五即马兵人数于一百名内减之余七十五即步兵人数也【此和较比例法】
　　设如鸡同笼但知共头三十六共足一百问鸡各若干
　　法借一根为数则鸡为三十六少一根以四足乗一根得四根为之共足数以鸡二足乗鸡三十六少一根得七十二少二根为鸡之共足数两数相加得七十二多二根与一百相等七十二与一百各减七十二则余二根与二十八相等二根既与二十八相等则一根必与十四相等即数于共三十六内减十四余二十二即鸡数十四以四足乗之得五十六为共足数鸡二十二以二足乗之得四十四为鸡共足数相加得一百以合原数也【此和较比例法】
　　设如有人行路乗马乗船共六十三日乗马日行一百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之里数比乗马所行之里数为十八倍问乗马乗船之日数各若干
　　法借一根为乗马之日数则乗船之日数为六十三日少一根以一根与一百六十里相乗得一百六十根为乗马所行之里数以六十三日少一根与一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根为乗船所行之里数乗船所行里数既为乗马所行里数之十八倍则以十八乗乗马所行之里数一百六十根得二千八百八十根是为二千八百八十根与九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根与少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根与九千零七十二里相等三千零二十四根既与九千零七十二里相等则一百六十根必与四百八十里相等前既以一百六十根为乗马所行之里数则与一百六十根相等之四百八十里即乗马所行之里数以乗马每日所行一百六十里除之得三日与一根相等即乗马所行之日数以三日与六十三日相减余六十日为乗船所行之日数以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里数为乗马所行之里数之十八倍也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】
　　设如有青缎蓝缎二色共七十疋青缎每疋长四十七尺蓝缎每疋长六十尺其蓝缎总尺数比青缎总尺数多二十七尺问青缎蓝缎二色各若干法借一根为青缎疋数则蓝缎为七十疋少一根各以尺数乗之则青缎之总尺数得四十七根蓝缎之总尺数得四千二百尺少六十根于蓝缎总尺数内减去比青缎所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是为青缎四十七根与蓝缎四千一百七十三尺少六十根相等四十七根与少六十根各加六十根得一百零七根与四千一百七十三尺相等一百零七根既与四千一百七十三尺相等则四十七根必与一千八百三十三尺相等前既以四十七根为青缎之总尺数则与四十七根相等之一千八百三十三尺即青缎之总尺数以每疋长四十七尺除之得三十九疋与一根相等即青缎之疋数以三十九疋与七十疋相减余三十一疋即蓝缎之疋数以三十一疋与六十尺相乗得一千八百六十尺即蓝缎之总尺数比青缎多二十七尺也【此和较比例法】
　　设如有人买绢防二色共价银一百二十七两四钱绢一尺价银七分防一尺价银一钱四分其绢之尺数比防之尺数为五倍问绢防尺数各若干法借一根为防之尺数则绢之尺数为五根以防价一钱四分【作一十四分】乗一根得一十四根为防共价以绢价七分乗五根得三十五根为绢共价两数相加共得四十九根是为四十九根与一百二十七两四钱相等四十九根既与一百二十七两四钱相等则十四根必与三十六两四钱相等前既以十四根为防共价则与十四根相等之三十六两四钱即防之共价以防每尺价一钱四分除之得二百六十尺与一根相等即防之尺数五因之得一千三百尺即绢之尺数也【此和较比例法】
　　设如甲有十成银一百二十四两丙有三成银不知数但知将二色银镕于一处则俱为五成银问三成银几何
　　法借一根为丙银数因二色银镕于一处俱为五成故以五成与丙银三成相减余二成为每两所少之数以五成与甲银十成相减余五成为每两所多之数乃以每两所少二成乗丙银一根得二根以每两所多五成乗甲银一百二十四两得六百二十成是为二根与六百二十成相等【丙之所少即甲之所多其数相等也】以丙银每两少二成除之则得一根与三百一十两相等前既借一根为丙银数则与一根相等之三百一十两即丙之银数也【此和较比例法】
　　设如有银大小共九百二十四锭重二百七十六两大锭重三分两之一小锭重七分两之二问大小锭各若干
　　法借一根为大锭数则小锭为九百二十四锭少一根因大锭重三分两之一小锭重七分两之二其分母不同乃以两分母三与七相乗得二十一为共母数又以小锭分母七互乗大锭分子一得七即变三分之一为二十一分之七为大锭之重数又以大锭分母三互乗小锭分子二得六即变七分之二为二十一分之六为小锭之重数乃以一根与大锭分子七相乗得七根为大锭之重数以九百二十四锭少一根与小锭分子六相乗得五千五百四十四少六根为小锭之重数两数相加得五千五百四十四多一根为共重数又各重数既皆通为二十一分则共重二百七十六两亦以分母二十一通之得五千七百九十六是为五千五百四十四多一根与五千七百九十六相等五千五百四十四与五千七百九十六各减五千五百四十四则余一根与二百五十二相等即大锭之共数与共九百二十四锭相减余六百七十二为小锭之共数以大锭重三分两之一与大锭共数相乗得八十四两为大锭之共重数以小锭重七分两之二与小锭共数相乗得一百九十二两为小锭之共重数相加得二百七十六两以合原数也【此和较比例法】
　　设如众人雇船每人出银一两二钱则少四两四钱每人出银一两五钱则多八两二钱问人数及船价银各若干
　　法借一根为人数以一根与一两五钱相乗得十五根则船价银为十五根少八两二钱又以一根与一两二钱相乗得十二根则船价银又为十二根多四两四钱此二数为相等两边各加八两二钱得十五根与十二根多十二两多钱相等两边再各减十二根则余三根与十二两六钱相等三根既与十二两六钱相等则一根必与四两二钱相等前既借一根为人数则此四两二钱即为四十二人为雇船之人数以每人出一两二钱乗之得五十两零四钱再加四两四钱得五十四两八钱为船价以每人出一两五钱乗之得六十三两减去八两二钱亦为五十四两八钱两数相同也【此盈朒法】
　　设如有银买缎二色下号缎每疋价银八两上号缎每疋价银十一两若俱买下号者则银多二百九十六两若俱买上号者则银多三十二两问缎数及银数各若干
　　法借一根为缎数以一根与十一两相乗得十一根为上号缎共价则共银为十一根多三十二两又以一根与八两相乗得八根为下号缎共价则共银为八根多二百九十二两此二数为相等两边各减三十二两得十一根与八根多二百六十四两相等两边再各减八根则余三根与二百六十四两相等三根既与二百六十四两相等则一根必与八十八两相等前既借一根为缎数则此八十八两即为八十八疋为缎之总数以每疋八两乗之得七百零四两为下号缎共价数加多二百九十六两得一千两为共有银数以每疋十一两乗之得九百六十八两为上号缎共价数加多三十二两亦得一千两两数相同也【此盈朒法】
　　设如有井一口不知其深有绳一条不知其长但知取绳六分之一比井深少三尺四寸取绳四分之一比井深适等问井深及绳长各若干
　　法借二十四根为绳长数【两分母相乗之数】取其四分之一得六根则井深即为六根又取其六分之一得四根则井深又为四根多三尺四寸此二数为相等两边各减四根得二根与三尺四寸相等二根既与三尺四寸相等则一根必与一尺七寸相等而二十四根必与四丈零八寸相等即绳之长数也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸为井深或取其四分之一亦得一丈零二寸两数相同也【此盈朒法】
　　设如有人买房用本银三分之二则比房价多五十九两用本银五分之二则比房价少四十九两八钱问本银房价各若干
　　法借十五根为本银数【两分母相乗之数】以用本银三分之二比房价多五十九两计之则房价为十根少五十九两以用本银五分之二比房价少四十九两八钱计之则房价又为六根多四十九两八钱此二数为相等两边各加五十九两得十根与六根多一百零八两八钱相等两边再各减去六根则余四根与一百零八两八钱相等四根既与一百零八两八钱相等则一根必与二十七两二钱相等而十五根必与四百零八两相等即本银数取其三分之二得二百七十二两减多五十九两得二百一十三两为房价数又将本银取其五分之二得一百六十三两二钱加少四十九两八钱亦得二百一十三两两数相同也【此盈朒法】
　　设如有银分给二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四两今欲与下等人每人三两则银多七十三两每人四两则银少二十两问人数及银数各若干
　　法借一根为下等人数则上等人数为二根以一根与四两相乗得四根为下等人所得共银数以二根与八两【下等每人四两上等多四两故每人八两】相乗得十六根为上等人所得共银数两数相加得二十根为上下二等人所得共银数则原银数即为二十根少二十两又以一根与三两相乗得三根为下等人所得共银数以二根与七两相乗得十四根为上等人所得共银数两数相加得十七根为上下二等人所得共银数则原银数即为十七根多七十三两此两数为相等两边各加二十两得二十根与十七根多九十三两相等两边再各减十七根则余三根与九十三两相等三根既与九十三两相等则一根必与三十一两相等前既借一根为下等人数则此三十一两即为三十一人为下等人数倍之得六十二人即上等人数以下等三十一人用三两乗之得九十三两以上等六十二人用七两乗之得四百三十四两两数相加共得五百二十七两再加所多七十三两得六百两为原银数若以下等三十一人用四两乗之得一百二十四两以上等六十二人用八两乗之得四百九十六两两数相加共得六百二十两减去所少二十两亦得六百两两数相同也【此盈朒法】
　　设如有人分银不言人数亦不言银数但知毎四人分银十八两则银少八两每三人分银十一两则银多十二两问人数及银数各若干
　　法借十二根为人数以四人分银十八两计之则每人应得四两五钱爰以四两五钱乗十二根得五十四根为共分银之数而原银即为五十四根少八两以三人分银十一两计之则每人应得三两又三分两之二爰以三两又三分两之二乗十二根得四十四根为共分银之数而原银又为四十四根多十二两此两数为相等两边各加八两得五十四根与四十四根多二十两相等两边各减四十四根得十根与二十两相等十根既与二十两相等则十二根必与二十四两相等前既借十二根为人数则此二十四两即为二十四人为共人数也以三人为一率十一两为二率二十四人为三率求得四率八十八两加多十二两共一百两为原银数或以四人为一率十八两为二率二十四人为三率求得四率一百零八两减少八两亦得一百两两数相同也【此双套盈朒法】
　　设如有一商人贩缎不言每疋价银之数亦不言每疋税银之数但知贩缎八十疋纳税用缎四疋则多银二两贩缎三百一十疋纳税用缎十四疋则少银六两五钱问每疋价银及税银几何
　　法借一根为缎一疋之价银数以纳税用缎四疋多银二两计之则缎八十疋之税银数为四根少银二两以纳税用缎十四疋少银六两五钱计之则缎三百一十疋之税银数为十四根多银六两五钱此两缎数不相等故难用比例须用互乗法以八十疋与三百一十疋相乗得二万四千八百疋为共缎数乃以三百一十疋乗四根少银二两得一千二百四十根少银六百二十两为二万四千八百疋之税银数又以八十疋乗十四根多银六两五钱得一千一百二十根多五百二十两亦为二万四千八百疋之税银数此两缎数既为相等故乗出之税银数亦为相等两边各加六百二十两得一千二百四十根与一千一百二十根多一千一百四十两相等两边再各减一千一百二十根则余一百二十根与一千一百四十两相等一百二十根既与一千一百四十两相等则一根必与九两五钱相等即缎一疋之价银数以缎四疋与银九两五钱相乗得三十八两减去多二两余三十六两即缎八十疋之税银数以八十疋除三十六两得四钱五分即缎一疋之税银数以四钱五分与缎三百一十疋相乗得一百三十九两五钱即缎三百一十疋之税银数又以缎十四疋与九两五钱相乗得一百三十三两再加少六两五钱亦得一百三十九两五钱两数相同也【此双套盈朒法】
　　设如有银一千二百零九两令甲乙二人分之取甲四分之一与乙三分之一相加即与甲银等问二人各得几何
　　法借十二根【两分母相乗数】为甲银数则乙银为一千二百零九两少十二根取甲银四分之一为三根取乙银三分之一为四百零三两少四根相加得四百零三两少一根是为十二根与四百零三两少一根相等十二根与少一根各加一根得十三根与四百零三两相等十三根既与四百零三两相等则十二根必与三百七十二两相等即甲银数于总银内减甲银数余八百三十七两即乙银数取甲银四分之一得九十三两取乙银三分之一得二百七十九两相加得三百七十二两与甲银等也【此借衰互征法用方程法算之亦可】
　　设如有银一千两令甲乙丙三人分之乙所得之数倍于甲仍多三十两丙所得之数倍于乙问每人各得若干
　　法借一根为甲银数则乙为二根多三十两丙为四根多六十两三数相并共得七根多九十两而与一千两相等九十两与一千两各减九十两余七根与九百一十两相等七根既与九百一十两相等则一根必与一百三十两相等即甲所得银数倍之再加三十两得二百九十两为乙所得银数又倍之得五百八十两为丙所得银数也【此借衰互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人分银六千两乙得甲三分之一丙得乙二分之一问三人各得几何
　　法借一根为甲银数则乙银为三分根之一丙银为六分根之一三数相加得六分根之九【以甲一根为六分则乙为六分根之二丙为六分根之一共得六分根之九即一根半】与六千两相等各以六乗之得九根与三万六千两相等九根既与三万六千两相等则一根必与四千两相等即甲银数三分之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数又二分之得六百六十六两又三分两之二为丙银数也
　　又法借一根为丙银数则乙银为二根甲银为六根相加得九根与六千两相等九根既与六千两相等则一根必与六百六十六两又三分两之二相等即丙银数倍之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数三因之得四千两即甲银数也【此借衰互征法】
　　设如有金银锡铜四色不言重数但知共数五分之二为铜数金银锡共数七分之四为锡数金银共数八分之五为银数金重三千零二十四两问四色各重若干
　　法借二百八十根为共数【用三分母连乗之数取其可以度尽也】取其五分之二得一百一十二根为铜数与二百八十根相减余一百六十八根为金银锡之共数取其七分之四得九十六根为锡数与一百六十八根相减余七十二根为金银之共数又取其八分之五得四十五根为银数与七十二根相减余二十七根为金数是为二十七根与三千零二十四两相等二十七根既与三千零二十四两相等则一根必与一百一十二两相等四十五根必与五千零四十两相等即银数九十六根必与一万零七百五十二两相等即锡数一百一十二根必与一万二千五百四十四两相等即铜数四数相加共得三万一千三百六十两以所借共重二百八十根与每一根之一百一十二两相乗亦得三万一千三百六十两为四色之共数也【此借衰互征法】
　　设如有银三百五十六两分与三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍于二等内少二两二等所得倍于三等又多四两问三等人每人各得几何
　　法借一根为三等一人所得银数则二等一人所得银数为二根多四两一等一人所得银数为四根多六两以各等共人数因之则三等所得共银数为三根二等所得共银数为八根多十六两一等所得共银数为二十根多三十两三数相加共得三十一根多四十六两为与三百五十六两相等三十一根多四十六两与三百五十六两各减去四十六两则余三十一根与三百一十两相等三十一根既与三百一十两相等则一根必与十两相等即三等一人所得银数倍之加四两得二十四两即二等一人所得银数又倍之减二两得四十六两即一等一人所得银数三等三人共得三十两二等四人共得九十六两一等五人共得二百三十两三数相加共得三百五十六两以合原数也【此借衰互征法】
　　设如甲丙二人共有米三百八十四石甲纳官八分之一丙纳官六分之一共纳五十四石问二人原米及纳官米各若干
　　法借一根为甲纳米数则丙纳米为五十四石少一根将甲纳米一根八因之得八根为甲原米数丙纳米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根为丙原米数相加得三百二十四石多二根为甲丙共米数是为三百二十四石多二根与三百八十四石相等三百二十四石与三百八十四石各减去三百二十四石余二根与六十石相等二根既与六十石相等则一根必与三十石相等即甲所纳米数八因之得二百四十石为甲原米数以甲原米数与三百八十四石相减余一百四十四石为丙原米数六归之得二十四石即丙所纳米数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙二人不言本银若干但知以乙本银三分之一与甲本银相加再加六十两共得一千两以甲本银五分之一与乙本银相加亦得一千两问二人本银各几何
　　法借十五根【两分母相乗数】为乙本银数以乙三分之一与甲本银相加又加六十两共得一千两计之则甲本银应得九百四十两少五根取其五分之一则为一百八十八两少一根以甲本银五分之一一百八十八两少一根与乙本银十五根相加得一百八十八两多十四根与一千两相等一边一百八十八两一边一千两各减去一百八十八两则得十四根与八百一十二两相等十四根既与八百一十二两相等则一根必与五十八两相等前既借十五根为乙本银数乃以十五乗之得八百七十两即乙本银数取其三分之一得二百九十两与一千两相减又减六十两余六百五十两即甲本银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙二商不言本银若干但知各得利银九十两其甲之本利共银三倍于乙之本银乙之本利共银二倍于甲之本银问每人本银几何
　　法借三根为甲之本银数加利银九十两得三根多九十两为甲之本利共银数甲之本利共银既三倍于乙之本银则乙之本银数即为一根多三十两再加利银九十两得一根多一百二十两为乙之本利共银数亦为甲之本银之二倍也乃以甲之本银三根倍之得六根与乙之一根多一百二十两相等六根与一根各减去一根则余五根与一百二十两相等五根既与一百二十两相等则三根必与七十二两相等即甲之本银数加利银九十两得一百六十二两三归之得五十四两为乙之本银数以乙本银五十四两加利银九十两共一百四十四两为甲之本银之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲丙二人有银不言其数但知甲银加九两为丙银之三倍丙银加七两为甲银之二倍问二人各银若干
　　法借六根【三倍二倍相乗数】为甲银数加九两为六根多九两甲银加九两既为丙银之三倍则以三归之得二根多三两为丙银数加七两为二根多十两丙银加七两既为甲银之二倍则以二归之得一根多五两仍为甲银数先借六根与今所得一根多五两既同为甲银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲银数加九两得一十五两三归之得五两即丙银数加七两得一十二两即甲银六两之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲丙二人有银不言其数但知将丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍若将甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍问二人各银若干
　　法借六根【二倍三倍相乗数】为甲原银数加丙与甲二两得六根多二两以丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍计之则以六根多二两半之得三根多一两为丙余银数丙先以二两与甲则丙之原银必为三根多三两加甲与丙二两得三根多六两以甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍计之则以三根多六两三归之得一根多二两为甲余银数甲先以三两与丙则甲之原银必为一根多五两夫先借六根与今所得一根多五两既同为甲原银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲原银之数加丙与甲二两得八两半之得四两为丙余银之数丙余银既为四两则原银必为六两加甲与丙三两得九两三归之得三两即甲余银之数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙二人共银一千二百四十两于甲银内加乙银四分之一乙银内加甲银五分之一其数相等问二人原银各几何
　　法借二十根【两分母相乗数】为甲原银数则一千二百四十两少二十根为乙原银数甲原银五分之一为四根乙原银四分之一为三百一十两少五根将甲原银五分之一四根与乙原银一千二百四十两少二十根相加得一千二百四十两少十六根【原少二十根加入四根止少十六根】将乙原银四分之一三百一十两少五根与甲原银二十根相加得三百一十两多十五根【原二十根补乙少五根余十五根】此二数为相等少十六根与多十五根各加十六根则得一千二百四十两与三百一十两多三十一根相等再一千二百四十两与三百一十两各减三百一十两则余九百三十两与三十一根相等九百三十两既与三十一根相等则六百两必与二十根相等前既借二十根为甲原银数则此六百两即甲原银之数以六百两与一千二百四十两相减余六百四十两即乙原银之数若甲银内加乙原银四分之一一百六十两乙银内加甲原银五分之一一百二十两则俱为七百六十两也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲原有银五十两乙原有银八十两乙用过之银比甲用过之银爲三分之一甲所余之银比乙所余之银亦爲三分之一问二人用银及余银各若干
　　法借一根爲乙用过银数则甲用过之银爲三根而乙所余之银爲八十两少一根甲所余之银爲五十两少三根甲余银既比乙余银爲三分之一则以甲余银五十两少三根三因之爲一百五十两少九根是爲乙余银八十两少一根与甲余银一百五十两少九根相等少一根与少九根各加九根得八十两多八根与一百五十两相等再八十两与一百五十两各减八十两余八根与七十两相等八根既与七十两相等则一根必与八两七钱五分相等即乙用过银数三因之得二十六两二钱五分即甲用过银数以甲用过银数与甲原有银数相减余二十三两七钱五分爲甲所余银数三因之得七十一两二钱五分即乙所余银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人有银不言数但知甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等若以乙银五分之二与丙银相较则丙银多一百一十四两问三人各银几何
　　法借五根爲乙银数则丙银数爲二根多一百一十四两于乙银数五根内减去丙银数二根多一百一十四两余三根少一百一十四两爲乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等五因之得一十五根少五百七十两爲甲银数又于甲银数一十五根少五百七十两内减去乙银数五根余十根少五百七十两爲甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十两亦爲丙银数此四十根少二千二百八十两与二根多一百一十四两既同爲丙银数是爲相等乃于二根多一百一十四两与四十根少二千二百八十两各加二千二百八十两得二根多二千三百九十四两与四十根相等二根与四十根再各减二根则余三十八根与二千三百九十四两相等三十八根既与二千三百九十四两相等则一根必与六十三两相等而五根必与三百一十五两相等即乙银数丙银数既爲二根多一百一十四两乃以六十三两倍之得一百二十六两【即二根之数亦即乙五分之二之数】加一百一十四两共得二百四十两即丙银数甲银比乙银所多之数既爲丙银四分之一乃以丙银数四归之得六十两与乙银三百一十五两相加得三百七十五两即甲银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人有银但知甲银七十两乙银三十四两而丙银不知数如以丙银与甲银相减又以丙银与乙银相减其甲银之余则三倍于乙问丙银若干
　　法借一根爲丙银数则甲丙相减之余爲七十两少一根乙丙相减之余爲三十四两少一根甲之余银既三倍于乙则以乙丙相减之余三十四两少一根三因之得一百零二两少三根是爲七十两少一根与一百零二两少三根相等少一根与少三根各加三根得七十两多二根与一百零二两相等七十两与一百零二两各减七十两则余二根与三十二两相等二根既与三十二两相等则一根必与十六两相等即丙银数与甲银七十两相减余五十四两与乙银三十四两相减余十八两是甲余银爲乙余银之三倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人各有银不言数但知将乙银十两与甲则甲乙二人之银相等若将丙银十四两与乙则乙丙二人之银相等若将甲银十八两与丙则丙银比甲银爲五倍问三人各银若干
　　法借一根爲甲原银数则乙之原银必爲一根多二十两【以十两与甲则皆爲一根多十两其数相等】丙之原银必爲一根多四十八两【乙之原银既爲一根多二十两再加十四两俱爲一根多三十四两其数相等】又甲之原银既爲一根以十八两与丙计之则爲一根少十八两丙之原银既爲一根多四十八两今再加十八两则爲一根多六十六两此丙之一根多六十六两比甲之一根少十八两既爲五倍则以甲之一根少十八两五因之得五根少九十两而与丙之一根多六十六两爲相等少九十两与多六十六两各加九十两得五根与一根多一百五十六两相等五根与一根各减一根则余四根与一百五十六两相等四根既与一百五十六两相等则一根必与三十九两相等即甲原银之数甲原银既爲三十九两则乙原银必爲五十九两以十两与甲则皆得四十九两乙原银既爲五十九两则丙原银必爲八十七两以十四两与乙则皆得七十三两丙原银既爲八十七两甲原银既爲三十九两甲以十八两与丙则丙爲一百零五两而甲爲二十一两是丙银比甲银爲五倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙三人有银但知甲银二万五千两乙得甲丙共银二分之一丙得甲乙共银八分之一问乙丙二人各银几何
　　法借二根爲丙银数则甲乙共银数爲十六根乙银数爲十六根少二万五千两甲丙共银数爲二根多二万五千两半之又得乙银数爲一根多一万二千五百两十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两既同爲乙银数则爲相等十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两各加二万五千两得十六根与一根多三万七千五百两相等十六根与一根各减一根则余十五根与三万七千五百两相等十五根既与三万七千五百两相等则二根必与五千两相等即丙银数与甲银二万五千两相加得三万两半之得一万五千两即乙银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如一商贸易不言本银若干但知第一次所得利银比本银爲四分之一用去银二十两第二次所得利银比第二次本银爲五分之二用去银十四两第三次所得利银比第三次本银爲三分之一用去银十五两合计所余利银共八十两问原本银及每次所得利银各几何
　　法借十二根爲原本银数则第一次利银爲三根本利相加得十五根内减用去银二十两得十五根少二十两爲第二次本银数取其五分之二得六根少八两爲第二次利银数本利相加得二十一根少二十八两又减用去银十四两得二十一根少四十二两爲第三次本银数取其三分之一得七根少十四两爲第三次利银数以第三次本利相加得二十八根少五十六两又减用去银十五两则爲二十八根少七十一两而原借十二根与所余利银八十两遂爲十二根多八十两是爲二十八根少七十一两与十二根多八十两相等少七十一两与多八十两各加七十一两得二十八根与十二根多一百五十一两相等二十八根与十二根各减十二根得十六根与一百五十一两相等十六根既与一百五十一两相等则十二根必与一百一十三两二钱五分相等即原本银数四归之得二十八两三钱一分二厘五毫即第一次所得利银数本利相加减用去二十两得一百二十一两五钱六分二厘五毫即第二次本银数取其五分之二得四十八两六钱
　　一　　　　　二分五厘即第二次所得利银数本利
　　一　　　　　相加又减用去十四两得一百五十六两一钱八分七厘五毫即第三次本银数三归之得五十二两零六分二厘五毫即第三次所得利银数本利相加又减用去十五两得一百九十三两二钱五分即原本银与三次所余共利银相加之数盖原本银一百一十三两二钱五分又加所余共利银八十两即一百九十三两二钱五分两数相等也【此叠借互征法】
　　设如有人贸易四次第一次所得利银比原本银爲九分之一用去银比原本银爲十二分之一第二次所得利银比原本银爲六分之一用去银比原本银爲九分之四第三次所得利银比原本银爲四分之一用去银比原本银爲二分之一第四次所得利银比原本银爲三分之一用去银比原本银爲三分之二合四次利银已用尽仍用本银六百两问本利银各若干
　　法借三十六根爲本银数【借三十六者以九与十二与六皆系用三可以度尽之数独四与九不能度尽故借四九相乘之数则各分母皆可以度尽也】则第一次利银爲四根第二次利银爲六根第三次利银爲九根第四次利银爲十二根四数相加共得三十一根爲四次利银之共数第一次用去爲三根第二次用去爲十六根第三次用去爲十八根第四次用去爲二十四根四数相加共得六十一根爲四次用去银之共数以四次利银皆用尽仍用本银六百两计之则四次利银之共数三十一根仍如本银六百两乃与四次用去银之共数六十一根相等也三十一根与六十一根各减去三十一根则余三十根与六百两相等三十根既与六百两相等则一根必与二十两相等而三十六根必与七百二十两相等即本银数三十一根又与六百二十两相等即利银数六十一根又与一千二百二十两相等即用去银数也【此叠借互征法】
　　设如甲乙丙丁四人同出银作生理内甲丙丁三人所出银不言数但知乙出银五两若将甲所出银二分之一与乙又将乙所出银五分之一与丙又将丙所出银七分之一与丁又将丁所出银九分之一与甲则四人所出之银皆相等问四人各出银若干
　　法借二根爲甲出银数则甲将一根【二分之一】与乙乙将一两【五分之一】与丙是甲爲一根乙爲一根多四两今以甲与乙相较则数不相等盖因甲尚当得丁银九分之一也甲因未得丁银九分之一故比乙银少四两是四两即丁银之九分之一也九分之一既爲四两则三十六两即爲丁原银数丁既以四两与甲则丁所余止三十二两以丁三十二两与乙一根多四两相较其数又不相等盖因丁尚当得丙银七分之一也丁因未得丙银七分之一故比乙银差一根少二十八两【于乙一根多四两内减去三十二两即余一根少二十八两也】是一根少二十八两即丙银之七分之一也七分之一既爲一根少二十八两则七根少一百九十六两即爲丙原银数丙既以一根少二十八两与丁则丙所余爲六根少一百六十八两再加乙所与之一两则丙得六根少一百六十七两矣夫四人既按分各与之则乙爲一根多四两甲余一根又得丁四两亦爲一根多四两丁余三十二两又得丙一根少二十八两亦爲一根多四两其数皆相等则丙之六根少一百六十七两亦必与一根多四两爲相等矣少一百六十七两与多四两各加一百六十七两得六根与一根多一百七十一两相等六根与一根各减一根则余五根与一百七十一两相等五根既与一百七十一两相等则一根必与三十四两二钱相等而二根必与六十八两四钱相等即甲所出银数又七根必与二百三十九两四钱相等内减去一百九十六两【丙原爲七根少一百九十六两】余四十三两四钱爲丙所出银数乃于丁所出银内减九分之一【余三十二两】加丙银之七分之一【六两二钱】得三十八两二钱于丙所出银内减七分之一【余三十七两二钱】加乙银之五分之一【一两】亦得银三十八两二钱于乙所出银内减五分之一【余四两】加甲银之二分之一【三十四两二钱】亦得银三十八两二钱于甲所出银内减二分之一【余三十四两二钱】加丁银之九分之一【四两】亦得银三十八两二钱也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如甲乙丙丁戊五人各出银不言数但知甲乙共银二百四十两丙银爲甲银三分之一丁银爲乙银四分之一戊银七十二两与丙丁共数相等问五人各银若干
　　法借十二根爲甲银数则乙银爲二百四十两少十二根丙银爲四根丁银爲六十两少三根以丙丁二数相加得六十两多一根而与戊银七十二两相等七十二两与六十两各减六十两得十二两与一根相等十二两既与一根相等则十二根必与一百四十四两相等即甲银数甲乙共银二百四十两内减甲银数余九十六两即乙银数将甲银数三归之得四十八两即丙银数将乙银数四归之得二十四两即丁银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百两丙丁共得二百两戊己共得二百两丙所得银比甲所得银爲四分之一戊所得银比丁所得银爲三分之一乙所得银比己所得银爲二分之一问六人各分银几何
　　法借十二根爲甲所得银数则乙所得银爲二百两少十二根丙所得银爲三根丁所得银爲二百两少三根戊所得银爲六十六两又三分两之二少一根【戊比丁爲三分之一以三除丁数即是】己所得银爲四百两少二十四根【乙比己爲二分之一以二乗乙数即是】以戊己两数相加得四百六十六两又三分两之二少二十五根是爲二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根相等二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根各加二十五根得二百两多二十五根与四百六十六两又三分两之二相等二百两与四百六十六两又三分两之二各减二百两则余二十五根与二百六十六两又三分两之二相等二十五根既与二百六十六两又三分两之二相等则一根必与十两又三分两之二相等三根必与三十二两相等即丙所得银数四因之得一百二十八两爲甲所得银数甲乙共得二百两内减甲所得银数余七十二两爲乙所得银数丙丁共得二百两内减丙所得银数余一百六十八两爲丁所得银数乙所得银七十二两二因之得一百四十四两爲己所得银数丁所得银一百六十八两三归之得五十六两爲戊所得银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如有驼一羣七十二个马一羣不知数牛一羣与驼马相并之数等羊一羣与驼马相乗之数等又爲牛数之六十倍问马牛羊各几何
　　法借一根爲马数则一根多七十二爲牛数以驼数七十二与马数一根相乗得七十二根爲羊数再以牛数一根多七十二与六十相乗得六十根多四千三百二十亦爲羊数此两数既同爲羊数则爲相等七十二根与六十根各减六十根则余十二根与四千三百二十相等十二根既与四千三百二十相等则一根必与三百六十相等即马一羣之数与驼数相加得四百三十二即牛一羣之数再与六十相乗得二万五千九百二十即羊一羣之数以驼七十二与马三百六十相乘亦得二万五千九百二十爲相等也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提系四分始平问二石各重若干
　　法先以五分加一倍与十二分相减余二分折半得一分与五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率余二分之重二两爲三率求得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也今大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二两四钱则小石爲大石六分之五而少二两也【铜条五分之端应加二两四钱而平今大石在五分之一头是大石多二两四钱也将二两四钱以大石之六分除之每分得四钱是大石比小石每分多四钱以小石五分计之则大石比小石多二两故小石爲大石之六分之五而少二两也】又小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二两四钱则小石爲大石五分之四而多二两四钱也【铜条五分之端应加二两四钱而平今小石在五分之一头是小石多二两四钱也将二两四钱以小石之四分除之每分得六钱是小石比大石每分多六钱以小石四分计之则小石比大石多二两四钱故小石爲大石之五分之四而多二两四钱也】乃借三十根【六分五分相乗之数】爲大石之重数以小石爲大石六分之五而少二两计之则小石之重爲二十五根少二两以小石爲大石五分之四而多二两四钱计之则小石之重又爲二十四根多二两四钱此两数爲相等两边各加二两得二十五根与二十四根多四两四钱相等两边再各减去二十四根余一根与四两四钱相等一根既与四两四钱相等则三十根必与一百三十二两相等即大石之重数六归之得二十二两五因之得一百一十两减去二两得一百零八两即小石之重数或以大石之重数五归之得二十六两四钱四因之得一百零五两六钱加二两四钱亦得一百零八两爲小石之重数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
　　设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价若干
　　法借一根爲牛一头之价则前牛八头之共价爲八根前马四匹之共价爲五十六两少八根而后牛五头之共价爲五根乃以前马四匹爲一率共价五十六两少八根爲二率后马三匹爲三率求得四率四十二两少六根爲后马三匹之共价内加后牛五头之共价五根得四十二两少一根爲后马三匹牛五头之共价与后共价三十八两相等四十二两少一根与三十八两各加一根得四十二两与三十八两多一根相等四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两则余四两与一根相等即牛一头之价八因之得三十二两爲前牛八头之共价于前共价五十六两内减之余二十四两爲前马四匹之共价四归之得六两爲马一匹之价又以后马三匹因之得十八两爲后马三匹之共价于后共价三十八两内减之余二十两爲后牛五头之共价五归之亦得四两爲牛一头之价也【此二色和数方程法】
　　设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价若干
　　法借一根爲桃一个之价则前桃四个之共价爲四根前梨八个之共价爲十二文多四根而后桃九个之共价爲九根乃以前梨八个爲一率共价十二文多四根爲二率后梨六个爲三率求得四率九文多三根爲后梨六个之共价加后桃比梨多钱二十一文得三十文多三根与后桃九个之共价九根相等【九桃比六梨多二十一文故以二十一文与六梨之价相加即与九桃之价等也】三十文多三根与九根各减去三根则余三十文与六根相等三十文既与六根相等则五文必与一根相等即桃一个之价四因之得二十文爲前桃四个之共价加入桃比梨少钱十二文得三十二文爲前梨八个之共价八归之得四文爲梨一个之价又以后梨六个因之得二十四文爲后梨六个之共价加入桃比梨多钱二十一文得四十五文爲后桃九个之共价九归之亦得五文爲桃一个之价也【此二色较数方程法】
　　设如有银买缎纱防三色初次买缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两二次买缎一疋纱四疋防七疋共价六十两三次买缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防每疋各价若干
　　法借一根爲防每疋之价则初次防之共价爲八根二次防之共价爲七根三次防之共价爲九根而初次缎之共价爲八十四两少八根仍少纱六疋乃以初次缎二疋爲一率缎价八十四两少八根仍少纱六疋爲二率二次缎一疋爲三率求得四率四十二两少四根仍少纱三疋爲二次缎价加入二次防价七根纱四疋得四十二两多三根仍多纱一疋爲二次缎一疋纱四疋防七疋之共价与二次共价六十两相等四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两余三根多纱一疋与十八两相等三根多纱一疋与十八两再各减去三根余纱一疋与十八两少三根相等即纱一疋之价爲十八两少三根也又以二次缎一疋爲一率缎价四十二两少四根仍少纱三疋爲二率三次缎三疋爲三率求得四率一百二十六两少十二根仍少纱九疋爲三次缎价加入三次防价九根纱五疋得一百二十六两少三根仍少纱四疋爲三次缎三疋纱五疋防九疋之共价与三次共价九十两相等一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两余三十六两少三根与纱四疋相等即纱四疋之价爲三十六两少三根也前所得纱一疋之价爲十八两少三根今又得纱四疋之价爲三十六两少三根此二分虽同而疋数不一故又以纱一疋爲一率前所得之纱一疋之价十八两少三根爲二率今纱四疋爲三率求得四率七十二两少十二根爲纱四疋之价乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根得三十六两多九根与七十二两相等三十六两多九根与七十二两再各减去三十六两余九根与三十六两相等九根既与三十六两相等则一根必与四两相等即防一疋之价也纱一疋之价既爲十八两少三根则于十八两内减去三根之共数十二两余六两即纱一疋之价初次纱六疋以纱价六两乘之得三十六两初次防八疋以防价四两乘之得三十二两两数相加得六十八两与初次共银八十四两相减余十六两爲缎二疋之价二归之得八两即缎一疋之价也其二次缎之共价爲八两纱之共价爲二十四两防之共价爲二十八两相加共得六十两三次缎之共价爲二十四两纱之共价爲三十两防之共价爲三十六两相加共得九十两皆合原数也【此三色和数方程法】
　　设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色甲买铜二斤铁二斤锡一斤共银九钱乙买铜三斤比铁六斤锡二斤之价多二钱丙买铜二斤铁四斤与锡四斤之价相等问铜铁锡每斤各价若干
　　法借一根爲锡每斤之价则甲锡之价即爲一根乙锡之价爲二根丙锡之价爲四根而甲铜之共价爲九钱少一根仍少铁二斤乃以甲铜二斤爲一率铜价九钱少一根仍少铁二斤爲二率乙铜三斤爲三率求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤爲乙铜三斤之价内减比锡二斤铁六斤所多之二钱余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等一两一钱五分少一根半少铁三斤与二根多铁六斤各加铁三斤得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤再各减去二根余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等即铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半也又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤即爲丙铜二斤之共价【丙铜与甲铜俱爲二斤故其共价相等省一四率也】加铁四斤得九钱少一根多铁二斤与丙锡四斤之共价四根相等九钱少一根多铁二斤与四根各加一根得九钱多铁二斤与五根相等九钱多铁二斤与五根再各减去九钱余铁二斤与五根少九钱相等即铁二斤之价爲五根少九钱也前所得铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半今又得铁二斤之价爲五根少九钱此二分虽同而斤数不一故又以铁二斤爲一率今所得之铁二斤之价五根少九钱爲二率前所得之铁九斤爲三率求得四率二十二根半少四两零五分爲铁九斤之价乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半各加四两零五分得二十二根半与五两二钱少三根半相等二十二根半与五两二钱少三根半再各加三根半得二十六根与五两二钱相等二十六根既与五两二钱相等则一根必与二钱相等即锡每斤之价也铁二斤之价既爲五根少九钱则以五根之共数一两内减去九钱余一
　　钱爲铁二斤之共价半之得五分即铁
　　每斤之价于甲共银九钱内减去铁二
　　斤之价一钱又减去锡一斤之价二钱
　　余六钱爲铜二斤之共价半之得三钱
　　爲铜每斤之价也其乙铜三斤之共价
　　爲九钱乙铁六斤之共价爲三钱乙锡
　　二斤之共价爲四钱是铜三斤比锡二
　　斤铁六斤之价多二钱也丙铜二斤之
　　共价爲六钱丙铁四斤之共价爲二钱
　　丙锡四斤之共价爲八钱是铜二斤铁
　　四斤与锡四斤之价等也【此三色和较兼用方程法】

　　御制数理精蕴下编卷三十四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十五
　　末部五
　　借根方比例【面类】

　　面类
　　设如大小两正方面积共二百一十八尺其大方面积比小方面积多一百二十尺问大小方面积各几何
　　法借一根为小方面毎边之数自乘得一平方为小方面积则大方面积为一平方多一百二十尺两数相加得二平方多一百二十尺与共积二百一十八尺相等一百二十尺与二百一十八尺各减去一百二十尺余二平方与九十八尺相等二平方旣与九十八尺相等则一平方必与四十九尺相等卽小方面积加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面积也【此卽减法因面类之首故设此最易者焉】
　　设如甲乙二长方面积共三百尺甲长八尺乙长二丈四尺其甲阔比乙阔为二倍问二长方阔数积数各几何
　　法借一根为乙之阔数则甲之阔为二根以一根与一丈四尺相乘得十四根为乙之面积以二根与八尺相乘得十六根为甲之面积相加得三十根与三百尺相等三十根旣与三百尺相等则一根必与十尺相等卽乙之阔数与长一丈四尺相乘得一百四十尺为乙之面积于共积三百尺内减之余一百六十尺为甲之面积或倍乙之阔十尺得二十尺为甲之阔与长八尺相乘亦得一百六十尺为甲之面积也【此归除法】
　　设如有甲乙丙三长方甲方阔十尺不知长乙方阔十六尺长与甲等丙方阔四尺面积与甲之长相等又甲乙二方之共面积与丙方之长数相并为三千一百五十尺问三方各长若干
　　法借一根为甲方之长数以阔十尺乘之得十根为甲方之面积乙方之长与甲等亦为一根以阔十六尺乘之得十六根为乙方之面积丙方之面积与甲之长相等亦为一根以阔四尺除之得四分根之一为丙方之长数以甲方之面积十根乙方之面积十六根丙方之长数四分根之一相并共得二十六根又四分根之一与三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣与三千一百五十尺相等则一根必与一百二十尺相等卽甲方之长数亦卽乙方之长数亦卽丙方之面积以甲方阔十尺与长一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面积以乙方阔十六尺与长一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面积以丙方阔四尺除面积一百二十尺得三十尺卽丙方之长数也【此归除法】
　　设如有长方形其长阔和五百零四丈面积为阔自乘之七倍问长阔各几何
　　法借一根为阔数则长数为五百零四丈少一根以一根与五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方为长方面积又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦为长方面积而与五百零四根少一平方相等两边各加一平方得八平方与五百零四根相等八平方与五百零四根各降一位则为八根与五百零四丈相等八根旣与五百零四丈相等则一根必与六十三丈相等卽长方之阔数与五百零四丈相减余四百四十一丈卽长数也以阔六十三丈自乘得三千九百六十九丈以阔六十三丈与长四百四十一丈相乘得二万七千七百八十三丈为阔自乘之七倍也【此比例法】
　　设如有楼一座不知髙数正方池一面不知边数但云以六丈与楼之髙数相乘与池之边数等以一百零八丈与楼之髙数相乘与池之面积等问楼髙及池边数各几何
　　法借一根为楼之髙数以一根与六丈相乘得六根为池之边数自乘得三十六平方为池之面积又以一根与一百零八丈相乘得一百零八根亦为池之面积是为三十六平方与一百零八根相等三十六平方与一百零八根各降一位则为三十六根与一百零八丈相等三十六根旣与一百零八丈相等则一根必与三丈相等卽楼之髙数以六丈乘之得一十八丈为池之边数自乘得三百二十四丈为池之面积又以一百零八丈与楼髙三丈相乘亦得三百二十四丈与池之面积相等也【此面积相除法】
　　设如甲乙二人有银不言两数但知其银之比例同于八与五若以二人银相并则与二人银相乘之数等问二人银各若干
　　法借八根为甲银数五根为乙银数相乘得四十平方又以八根与五根相加得一十三根是为四十平方与十三根相等四十平方与十三根各降一位则为四十根与十三两相等四十根旣与十三两相等则八根必与二两六钱相等卽甲银数五根必与一两六钱二分五厘相等卽乙银数两数相加得四两二钱二分五厘若以两数相乘亦得四两二钱二分五厘也【此比例法】
　　设如有大小二正方池小池毎边为大池毎边之三分之一二池共边数为二池共面积之五十分之一问二池边数面积各几何
　　法借一根为小池毎边之数则大池毎池之数为三根两边数相加得四根又以一根自乘得一平方为小池面积以三根自乘得九平方为大池面积两面积相加得十平方为二池共边之五十倍乃以共边四根以五十乘之得二百根是为十平方与二百根相等十平方与二百根各降一位则为十根与二百丈相等十根旣与二百丈相等则一根必与二十丈相等卽小池毎边之数三因之得六十丈卽大池毎边之数也两边数相加得八十丈又以小池毎边二十丈自乘得四百丈为小池面积以大池毎边六十丈自乘得三千六百丈为大池面积两面积相加得四千丈为共边之五十倍也【此二正方边线面积比例法】
　　设如有甲乙丙三正方乙方毎边为甲方毎边之四分之一丙方毎边为甲方毎边之八分之一而乙丙两方之共面积为甲方毎边之十倍问三方边数面积各几何
　　法借八根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为二根丙方毎边之数为一根以二根自乘得四平方为乙方面积以一根自乘得一平方为丙方面积两面积相加得五平方为甲方毎边之十倍乃以甲方毎边八根十因之得八十根是为五平方与八十根相等五平方与八十根各降一位则为五根与八十尺相等五根旣与八十尺相等则一根必与十六尺相等卽丙方毎边之数倍之得三十二尺卽乙方毎边之数八因之得一百二十八尺卽甲方毎边之数也以乙方每边三十二尺自乘得一千零二十四尺为乙方面积以丙方毎边十六尺自乘得二百五十六尺为丙方面积两面积相加得一千二百八十尺为甲方毎边之十倍也【此三正方边线面积比例法】
　　设如有甲乙二正方甲方为乙方毎边之三倍以甲方边四分之一与乙方面积相乘则与甲方面积等问二方边数面积各几何
　　法借十二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为四根以十二根自乘得一百四十四平方为甲方面积以四根自乘得一十六平方为乙方面积取甲方边四分之一三根与乙方面积一十六平方相乘得四十八立方是为四十八立方与一百四十四平方相等四十八立方与一百四十四平方各降二位则为四十八根与一百四十四尺相等四十八根旣与一百四十四尺相等则十二根必与三十六尺相等卽甲方毎边之数三归之得十二尺卽乙方毎边之数也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面积以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面积以甲方毎边四分之一九尺与乙方面积相乘得一千二百九十六尺与甲方面积相等也【此二正方边线面积比例法】
　　设如有大小二正方大方边与小方边之比例同于五与三大方面积比小方面积多二千三百零四丈问大小二方边各几何
　　法借三根为小方毎边之数则大方毎边之数为五根以三根自乘得九平方为小方之面积以五根自乘得二十五平方为大方之面积二面积相减余一十六平方与二千三百零四丈相等一十六平方旣与二千三百零四丈相等则一平方必与一百四十四丈相等开平方得一十二丈为一根之数三因之得三十六丈卽小方毎边之数五因之得六十丈卽大方毎边之数以三十六丈自乘得一千二百九十六丈为小方面积以六十丈自乘得三千六百丈为大方面积两面积相减余二千三百零四丈以合原数也【此二正方比例开平方法】
　　设如有甲乙二正方甲方毎边为乙方毎边之三倍又有丙一长方其长与甲方之毎边等其阔与乙方之毎边等三方面积共二万零八百丈问三方边数面积各若干
　　法借一根为乙方毎边之数则甲方毎边之数为三根以一根自乘得一平方为乙方之面积以三根自乘得九平方为甲方之面积以一根与三根相乘得三平方为丙方之面积三面积相加得一十三平方与二万零八百丈相等十三平方旣与二万零八百丈相等则一平方必与一千六百丈相等卽乙方之面积开平方得四十丈为一根之数卽乙方毎边之数三因之得一百二十丈卽甲方毎边之数以一百二十丈自乘得一万四千四百丈卽甲方之面积以四十丈与一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面积三面积相并共得二万零八百丈以合原数也【此二正方比例开平方法】
　　设如有兵二万九千四百八十四名欲排作三军俱为正方第二军每边比第一军每边为三倍第三军每边比第二军每边亦为三倍问三军兵数各若干
　　法借一根为第一军每边之数则第二军每边之数为三根第三军毎边之数为九根以一根自乘得一平方为第一军之总数以三根自乘得九平方为第二军之总数以九根自乘得八十一平方为第三军之总数三总数相加得九十一平方与二万九千四百八十四相等九十一平方旣与二万九千四百八十四相等则一平方必与三百二十四相等卽第一军之总数开平方得十八为一根之数卽第一军每边之数也以第一军毎边之数用三乘之得五十四卽第二军毎边之数以第一军之总数用九乘之得二千九百一十六卽第二军之总数又以第一军毎边之数用九乘之得一百六十二卽第三军每边之数以第一军之总数用八十一乘之得二万六千二百四十四卽第三军之总数三总数相加共二万九千四百八十四以合原数也【此三正方比例开平方法】
　　设如一正方一长方俱不知其边数但知长方之面积为八万一千尺其长为正方边之十五分之二其阔为正方边之二十五分之三问二方边各若干
　　法借一根为正方每边之数则长方之长为十五分根之二长方之阔为二十五分根之三以正方边一根自乘得一平方为正方之面积以长方之长阔相乘得三百七十五分平方之六【以两分母十五与二十五相乘得三百七十五以两分子二与三相乘得六故为三百七十五之六】为长方面积是为三百七十五分平方之六与八万一千尺相等乃以六分为一率八万一千尺为二率三百七十五分为三率求得四率五百零六万二千五百尺与一平方相等【葢三百七十五分平方之六者将一平方分为三百七十五分而得其六分也六分旣为八万一千尺则三百七十五分必为五百零六万二千五百尺也】开平方得二千二百五十尺为一根之数卽正方每边之数其十五分之二为三百尺卽长方之长其二十五分之三为二百七十尺卽长方之阔相乘得八万一千尺以合原数也【此带分比例开平方法】
　　设如有大小二正方大方比小方毎边多六尺面积多一千七百一十六尺问二方边数面积各几何法借一根为小方每边之数则大方每边之数为一根多六尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为大方之面积大方旣比小方面积多一千七百一十六尺则以小方之面积一平方加一千七百一十六尺与大方之面积一平方多十二根多三十六尺相等两边各减去一平方又各减三十六尺得十二根与一千六百八十尺相等十二根旣与一千六百八十尺相等则一根必与一百四十尺相等卽小方毎边之数加六尺得一百四十六尺卽大方每边之数以一百四十尺自乘得一万九千六百尺卽小方之面积以一百四十六尺自乘得二万一千三百一十六尺卽大方之面积两面积相减余一千七百一十六尺以合原数也【此二正方有边较积较求边法】
　　设如有大小二正方大方比小方每边多二十四尺面积共七千二百五十尺问二方边数面积各几何
　　法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二十四尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺为大方之面积两面积相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺与七千二百五十尺相等两边各减五百七十六尺得二平方多四十八根与六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣与六千六百七十四尺相等则一平方多二十四根必与三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺为长方积以二十四根作二【七千二百】【五十尺以合原】十四尺为长阔较用带纵较
　　数开平方法算之得阔四十七尺为一根之数卽小方每边之数加二十四尺得七十一尺卽大方　　　每边之数以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面积以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面积两面积相加共七【数也此二正方有边和求边法】
　　设如有大小二正方边数共三十六尺面积共六百六十六尺问二方边数面积各几何
　　法借一根为小方毎边之数则大方每边之数为三十六尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方为大方之面积两面积相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方与六百六十六尺相等两边各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方与六百六十六尺多七十二根相等两边各减六百六十六尺得六百三十尺多二平方与七十二根相等六百三十尺多二平方旣与七十二根相等则三百一十五尺多一平方必与三十六根相等乃以三百一十五尺为长方积以三十六根作三十六尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十五尺为一根之数卽小方每边之数与共边三十六尺相减余二十一尺卽大方毎边之数以小方每边一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面积以大方每边二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面积两面积相加共六百六十六尺以合原数也【此二正方有边和积和求边法】
　　设如有大小二正方边数共一百一十尺大方比小方面积为五倍少四尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一百一十尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以一百一十尺少一根自乘得一万二千一百尺少二百二十根多一平方为大方之面积大方旣比小方面积为五倍少四尺则将小方加五倍将大方加四尺是为五平方与一万二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等两边各减一平方得四平方与一万二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣与一万二千一百零四尺少二百二十根相等则一平方必与三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺为长方积以五十五根作五十五尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔三十四尺为一根之数卽小方每边之数与共边一百一十尺相减余七十六尺卽大方毎边之数以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面积以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面积再加四尺得五千七百八十尺为小方面积一千一百五十六尺之五倍也【此亦二正方有边和积较法但积较有倍分耳】
　　设如有一长方又有大小二正方三面积共四百四十一丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等但知小正方边为九丈问大正方边若干
　　法借一根为大方毎边之数自乘得一平方为大方之面积以九丈自乘得八十一丈为小方之面积以九丈与一根相乘得九根为长方之面积三面积相加得一平方多九根又多八十一丈与四百四十一丈相等两边各减八十一丈得一平方多九根与三百六十丈相等乃以三百六十丈为长方积以九根作九丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十五丈为一根之数卽大方毎边之数以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面积以十五丈与九丈相乘得一百三十五丈卽长方之面积三面积相并共得四百四十一丈以合原数也【此带纵较数开平方法】
　　设如有一长方又有大小二正方三面积共四百五十七丈长方之长与大正方边等长方之阔与小正方边等长阔共二十四丈问长阔各几何法借一根为长方之阔则长方之长为二十四丈少一根以一根自乘得一平方为小正方之面积以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方为大正方之面积以一根与二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方为长方之面积三面积相加得一平方多五百七十六丈少二十四根与四百五十七丈相等两边各加二十四根得一平方多五百七十六丈与二十四根多四百五十七丈相等两边各减四百五十七丈得一平方多一百一十九丈与二十四根相等乃以一百一十九丈为长方积以二十四根作二十四丈为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔七丈为一根之数卽长方之阔与二十四丈相减余一十七丈卽长方之长以七丈自乘得四十九丈卽小正方之面积以一十七丈自乘得二百八十九丈卽大正方之面积以七丈与一十七丈相乘得一百一十九丈卽长方之面积三面积相并共得四百五十七丈以合原数也【此带纵和数开平方法】
　　设如有一长方其面积八万三千二百三十二丈又有一正方其毎边与长方之阔等若以正方面积自乘则与两方之共面积等问二方边数各若干法借一根为正方之面积自乘得一平方为正方面积自乘之数又以一根与八万三千二百三十二丈相加得一根多八万三千二百三十二丈与一平方相等乃以八万三千二百三十二丈为长方积以一根作一丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得长二百八十九丈为一根之数卽正方之面积亦卽长方之长开平方得一十七丈卽正方之边亦卽长方之阔以正方面积二百八十九丈与长方面积八万三千二百三十二丈相并共得八万三千五百二十一丈又以正方面积二百八十九丈自乘亦得八万三千五百二十一丈是与两方之共面积相等也【此带纵较数开平方法】
　　设如有银买驼马共六十一匹驼毎匹之价与共驼数等马毎匹之价与共马数等今卖马一匹之价与共驼数等卖驼一匹之价为共马数之二倍共得利银七百一十九两问驼数马数及毎匹价各若干
　　法借一根为共马数则六十一匹少一根为共驼数以共马数一根自乘得一平方为买马之共价以共驼数六十一匹少一根自乘得三千七百二十一两少一百二十二根多一平方为买驼之共价两共价相加得三千七百二十一两少一百二十二根多二平方为买驼马之总银数又以共马数一根与共驼数六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方为卖马之共银数以共驼数六十一匹少一根与二倍共马数二根相乘得一百二十二根少二平方为卖驼之共银数两共银数相加得一百八十三根少三平方为卖驼马之总银数内减买驼马总银数三千七百二十一两少一百二十二根多一平方余三百零五根少五平方又少三千七百二十一两与利银七百一十九两相等两边各加三千七百二十一两得三百零五根少五平方与四千四百四十两相等三百零五根少五平方旣与四千四百四十两相等则六十一根少一平方必与八百八十八两相等乃以八百八十八两为长方积以六十一根作六十一为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四为一根之数卽共马数亦卽马毎匹之价为二十四两也以二十四匹与六十一匹相减余三十七匹卽共驼数亦卽驼毎匹之价为三十七两也以二十四匹与二十四两相乘得五百七十六两为买马之共银数以三十七匹与三十七两相乘得一千三百六十九两为买驼之共银数相加得一千九百四十五两卽买驼马之总银数以二十四匹与三十七两相乘得八百八十八两为卖马之共银数以三十七匹与四十八两相乘得一千七百七十六两为卖驼之共银数相加得二千六百六十四两卽卖驼马之总银数比买驼马之总银数多七百一十九两为利银数也【此带纵和数开平方法】
　　设如有木匠瓦匠共三十名又有匠头不知名数但知毎匠头一人得银三十六两其木匠一人之银数与瓦匠之人数等瓦匠一人之银数与木匠之人数等而匠头之人数与木匠瓦匠相差之数等匠头之共银数与木匠之共银数等问匠头与木匠瓦匠之人数及毎人所得之银数各几何法借一根为木匠之人数则瓦匠之人数为三十少一根以一根与三十少一根相乘得三十根少一平方为木匠之共银数亦为瓦匠之共银数又以木匠之人数一根与瓦匠之人数三十少一根相减得三十少二根为匠头之人数与毎人三十六两相乘得一千零八十两少七十二根为匠头之总银数与木匠之共银数三十根少一平方相等两边各加七十二根得一百零二根少一平方与一千零八十两相等乃以一千零八十两为长方积以一百零二根作一百零二为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十二为一根之数卽木匠之人数以一十二人与三十人相减余一十八人卽瓦匠之人数以十二与十八相乘得二百一十六两卽木匠之共银数亦卽瓦匠之共银数以十二与十八相减余六卽匠头之人数与三十六两相乘亦得二十一十六两卽匠头之共银数与木匠之共银数等也【此带纵和数开平方法】
　　设如有马骡防物不言马骡共数亦不言马骡各数但知马比骡多十匹马共防一万二千斤骡亦共防一万二千斤而骡一匹所防之数比马一匹所防之数多四十斤问马骡数及所防数各若干法借一根为骡数则马数为一根多十匹以一根除一万二千斤得一根之一万二千斤为骡一匹所防之数以一根多十匹除一万二千斤得一根多十匹之一万二千斤为马一匹所防之数因两分母不同乃用互乘法以齐其分将马分母一根多十匹与骡分子一万二千斤相乘得一万二千根多一十二万斤以骡分母一根与马分子一万二千斤相乘得一万二千根以互乘所得两分子相减余一十二万斤为骡比马多防之数又以马分母一根多十匹与骡分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦为骡比马多防之数是为四十平方多四百根与一十二万斤相等四十平方多四百根旣与一十二万斤相等则一平方多十根必与三千斤相等乃以三千为长方积以十根作一十为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔五十为一根之数卽骡数加十匹得六十匹卽马数以五十匹除一万二千斤得二百四十斤卽骡一匹所防之数以六十匹除一万二千斤得二百斤卽马一匹所防之数也【此带纵较数开平方法】
　　设如有数一十万欲分为大小两分与全分为相连比例三率问大小两分各几何
　　法借一根为大分则小分为十万少一根是全分十万为首率而一根为中率十万少一根为末率矣乃以首率十万与末率十万少一根相乘得一百亿少十万根而与中率一根自乘之一平方相等乃以一百亿为长方积十万根作十万为长阔数用带纵较数开平方法算之得阔六万一千八百零三为一根之数卽大分与全分十万相减余三万八千一百九十七卽小分也葢十万与六万一千八百零三之比卽同于六万一千八百零三与三万八千一百九十七之比而为相连比例之三率也【此即求圜内容十边法】
　　设如有股二十尺勾较十尺问勾各几何法借一根为勾数则一根多一十尺为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数两自乘之数相减得二十根多一百尺为股自乘之数而与股二十尺自乘之四百尺为相等两边各减一百尺得二十根与三百尺相等二十根旣与三百尺相等则一根必与一十五尺相等卽勾数加勾较十尺得二十五尺卽数也如圗甲乙为甲丙为勾【乙丁同】丙乙为勾较甲丁为勾和甲己戊乙为自乘方庚己壬辛为勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形为股自乘数与甲庚勾较【甲庚与丙乙等】乘甲丁勾和之甲庚癸丁长方积等借一根为勾数者卽庚己或庚辛也【庚己庚辛皆与甲丙等】一根多十尺为数者卽庚己加庚甲也一根自乘得一平方为勾自乘方者卽庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺为自乘方者卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根【甲庚较十尺乘甲丙一根得十根为甲庚辛丙长方辛子较十尺乘子戊一根得十根为辛壬戊子长方是共为二十根】又多丙辛子乙之一百尺共为甲己戊乙之正方也于甲己戊乙自乘方内减去庚己壬辛勾自乘之一平方余二十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬折形亦卽甲庚癸丁之长方形而与股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁长方内减去丙辛子乙一百尺余甲庚辛丙及乙子癸丁卽二十根之数为三百尺也二十根之数为三百尺则一根之数必为十五尺也【此勾股和较相求法】
　　设如有股二十四尺勾和三十二尺问勾各几何
　　法借一根为勾数则三十二尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方为自乘之数两自乘之数相减得一千零二十四尺少六十四根为股自乘之数而与股二十四尺自乘之五百七十六尺为相等两边各加六十四根得一千零二十四尺与五百七十六尺多六十四根相等两边各减五百七十六尺得四百四十八尺与六十四根相等四百四十八尺旣与六十四根相等则七尺必与一根相等卽勾数以勾七尺与勾和三十二尺相减余二十五尺卽数也【此勾股和较相求法】
　　设如有五尺勾股和七尺问勾股各几何
　　法借一根为股数则七尺少一根为勾数以一根自乘得一平方为股自乘之数以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方为勾自乘之数两自乘数相加得四十九尺少一十四根多二平方为自乘之数而与五尺自乘之二十五尺为相等两边各加一十四根得四十九尺多二平方与二十五尺多一十四根相等两边各减四十九尺得二平方与一十四根少二十四尺相等二平方旣与十四根少二十四尺相等则一平方必与七根少十二尺相等乃以十二尺为长方积七根作七尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得长四尺为一根之数卽股数以股四尺与勾股和七尺相减余三尺卽勾数也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己为勾股和自乘方辛丙庚己为股自乘方乙丁壬丙为勾自乘方借一根为股数者卽甲乙也【壬戊己庚皆与甲乙等为一根数】一根自乘得一平方为股自乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方为勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共为十四根【甲乙一根乘甲己和七尺得七根为甲乙庚己长方辛己一根乘己戊和得七根为辛壬戊己长方共十四根】又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也【于甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙丙壬戊己磬折形余乙丁壬丙为勾自乘数今减去十四根乃减去甲乙庚己一长方又减去辛壬戊己一长方是比磬折形多减去辛丙庚己一平方故必加一平方以补多减之数始为乙丁壬丙勾自乘方也】辛丙庚己股自乘数乙丁壬丙勾自乘数相加与自乘之数相等两边各加各减得一平方与七根少十二尺相等者卽辛丙庚己一平方与甲乙庚己七根数相较而少甲乙丙辛之长方十二尺也今不知七根之数又不知一平方之数但知一平方与七根相较之甲乙丙辛长方为十二尺故卽以十二尺为长方积以甲己为长阔和用带纵和数开平方法算之得甲乙长而为股数也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾和五十尺股和八十一尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则五十尺少一根为数一根多三十一尺为股数【以五十尺与八十一尺相减余三十一尺为勾股较故一根多三十一尺为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一千五百三十九尺少一百六十二根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以一千五百三十九尺为长方积以一百六十二根作一百六十二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾和五十尺相减余四十一尺卽数以勾九尺与勾股较三十一尺相加得四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾股和二十三尺勾和二十五尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则二十三尺少一根为股数二十五尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方为股自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得九十六尺少四根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以九十六尺为长方积四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽勾数以勾八尺与勾股和二十三尺相减余十五尺卽股数以勾八尺与勾和二十五尺相减余十七尺卽数也【此勾股和较相求法】
　　设如有股和二十五尺勾较八尺问勾股各几何
　　法借一根为股数则二十五尺少一根为数十七尺少一根为勾数【股和二十五尺内减勾较八尺得一十七尺为勾股和故勾为十七尺少一根】以一根自乘得一平方为股自乘之数以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方为勾自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以勾自乘之数与自乘之数相减得三百三十六尺少一十六根亦为股自乘之数而与股数一根自乘之一平方为相等乃以三百三十六尺为长方积十六根作十六尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽股数以股十二尺与股和二十五尺相减余一十三尺卽数内减勾较八尺余五尺卽勾数也【此勾股和较相求法】
　　设如有股较一尺勾较三十二尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则一根多三十二尺为数一根多三十一尺为股数【股较与勾较相减余三十一尺为勾股较故股为一根多三十一尺也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得二根多六十三尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以六十三尺为长方积以二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得长九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾较三十二尺相加得四十一尺卽数内减股较一尺余四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾股和七十三尺勾较与股较之和三十三尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则七十三尺少一根为股数五十三尺为数【以勾股和七十三尺加勾较与股较之和三十三尺得一百零六尺卽二数故半之得五十三尺为数也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方为股自乘之数以五十三尺自乘得二千八百零九尺为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺与二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺旣与二平方相等则七十三根少一千二百六十尺必与一平方相等乃以一千二百六十尺为长方积七十三根作七十三尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十八尺为一根之数卽勾数以勾二十八尺与勾股和七十三尺相减余四十五尺卽股数也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾股总和一百五十尺勾股较股较勾较共八十尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则一根多四十尺为数【将三较共八十尺折半得四十尺卽勾较】一百一十尺少二根为股数【总和一百五十尺内减去勾数一根又减去数一根多四十尺得一百一十尺少二根为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺为自乘之数以一百一十尺少二根自乘得一万二千一百尺少四百四十根多四平方为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得五百二十根少三平方又少一万零五百尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加三平方得五百二十根少一万零五百尺与四平方相等五百二十根少一万零五百尺旣与四平方相等则一百三十根少二千六百二十五尺必与一平方相等乃以二千六百二十五尺为长方积以一百三十根作一百三十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十五尺为一根之数卽勾数以勾二十五尺与勾较四十尺相加得六十五尺卽数以勾和九十尺与勾股总和一百五十尺相减余六十尺卽股数也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾股和二十三尺与勾股较之较十尺问勾股各几何
　　法借一根为勾股较数则一根多十尺为数以一根自乘得一平方为勾股较自乘之数以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数倍之得二平方多四十根又多二百尺内减去勾股较自乘之一平方余一平方多四十根多二百尺为勾股和自乘之数而与勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺为相等两边各减去二百尺得一平方多四十根与三百二十九尺相等乃以三百二十九尺为长方积以多四十根作四十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔七尺为一根之数卽勾股较与勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺为股内减较七尺余八尺为勾又以勾股较七尺与与勾股较之较十尺相加得十七尺为也【此勾股和较相求法】
　　设如有勾股积一千零八十尺勾股总和一百八十尺问勾股各几何
　　法借一根为数则一百八十尺少一根为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一百八十尺少一根自乘得三万二千四百尺少三百六十根多一平方为勾股和自乘之数又以勾股积一千零八十尺四因之得四千三百二十尺与自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之三万二千四百尺少三百六十根多一平方为相等【勾股和自乘数内有一自乘方有四勾股积故四因勾股积与自乘之数相加卽与勾股和自乘之数相等也】两边各减四千三百二十尺得二万八千零八十尺少三百六十根多一平方与一平方相等两边各加三百六十根得二万八千零八十尺多一平方与一平方多三百六十根相等两边再各减一平方得三百六十根与二万八千零八十尺相等三百六十根旣与二万八千零八十尺相等则一根必与七十八尺相等卽数以七十八尺与一百八十尺相减余一百零二尺卽勾股和又以自乘得六千零八十四尺与四勾股积四千三百二十尺相减余一千七百六十四尺平方开之得四十二尺卽勾股较与勾股和一百零二尺相减余六十尺折半得三十尺卽勾数加勾股较四十二尺得七十二尺卽股数也【此勾股积与勾股和较相求法】
　　设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺问勾股各几何
　　法借一根为数则一根多六尺为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数又以勾股积六十尺四因之得二百四十尺与自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等两边各减去一平方得十二根多三十六尺与二百四十尺相等两边又各减去三十六尺得十二根与二百零四尺相等十二根旣与二百零四尺相等则一根必与十七尺相等卽数加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也【此勾股积与勾股和较相求法】
　　设如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何
　　法借一根为中垂线之面积以小腰十尺自乘得一百尺内减去一根得一百尺少一根为小分底之面积【中垂线为股小腰为小分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内减去一根余二百八十九尺少一根为大分底之面积【中垂线为股大腰为大分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根余五十二尺多二根折半得二十六尺多一根为小分底乘大分底之面积【底边自乘内有大分底自乘之一正方小分底自乘之一正方小分底乘大分底之二长方故减去二正方余数折半卽为小分底乘大分底之一长方也】此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二数为相等两边各加三百八十九根得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等两边各减一平方得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等两边再各减去六百七十六尺得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等二万八千二百二十四尺旣与四百四十一根相等则六十四尺必与一根相等卽中垂线之面积开平方得八尺卽中垂线也【此三角形求中垂线法】
　　设如有三角形底十四尺大腰与中垂线之较三尺小腰与中垂线之较一尺求中垂线及两腰各几何
　　法借一根为中垂线则大腰为一根多三尺小腰为一根多一尺以一根自乘得一平方为中垂线之面积以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺为大腰之面积内减去中垂线之面积一平方余六根多九尺为大分底之面积以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺为小腰之面积内减去中垂线之面积一平方余二根多一尺为小分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小两分底之共面积八根多十尺余一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二数为相等两边各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等两边各减十二平方得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等两边再各减八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣与四平方相等则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等乃以二千一百六十尺为长方积以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽中垂线加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也【此三角形和较相求法】
　　御制数理精蕴下编卷三十五
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十六
　　末部六
　　借根方比例【体类】

　　体类
　　设如有扁方体髙十八尺若将体积加六倍则髙与长阔皆相等问长阔之各一边及体积几何法借一根为长阔之各一边数以一根自乘得一平方为扁方体之面积再以髙十八尺乘之得十八平方为扁方体之体积又以一根与一平方相乘得一立方为扁方体积之六倍乃以扁方体之体积十八平方六因之得一百零八平方是为一立方与一百零八平方相等两边各降二位得一根与一百零八尺相等卽扁方体之长阔各一边数也以一百零八尺自乘得一万一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十万零九千九百五十二尺为扁方体积六因之得一百二十五万九千七百一十二尺与毎边一百零八尺自乘再乘之立方积相等此扁方体边线比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今扁方体之长阔各一边旣与正方体之毎一边等而正方体积为扁方体积之六倍则其髙亦必为六倍故以扁方体之髙数六因之卽得长阔之各一边数也
　　设如有一长方体髙三尺五寸又有一正方体其每一面积与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍问正方体之一边及体积各几何法借一根为正方体毎边之数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽长方体之底面积以一平方与髙三十五寸相乘得三十五平方为长方体之体积又以一根自乘再乘得一立方为正方体之体积长方体积旣为正方体之五倍乃以一立方五因之得五立方而与三十五平方为相等两边各降二位得五根与三十五寸相等五根旣与三十五寸相等则一根必与七寸相等卽正方体之毎一边之数也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方体之体积又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽长方体之体积为正方体积之五倍此一长方体一正方体同底比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今正方体之每一面积旣与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍则其髙亦必为五倍故长方体之髙之五分之一卽正方体之毎一边之数也
　　设如有一正方面形又有一正方体形但知正方面毎边为正方体毎边之八倍而正方面积与正方体积相等问边线积数各若干
　　法借一根为正方体毎边之数则正方面毎边之数为八根以一根自乘再乘得一立方为正方体积以八根自乘得六十四平方为正方面积是为一立方与六十四平方相等两边各降二位得一根与六十四尺相等卽正方体毎边之数八因之得五百一十二尺卽正方面毎边之数以五百一十二尺自乘得二十六万二千一百四十四尺为正方面积以六十四尺自乘再乘亦得二十六万二千一百四十四尺为正方体积两数相等也【此一平方一立方边数积数比例法】
　　设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于四与六阔与长之比例同于六与九其髙与阔相乘之数为长数之四倍问髙阔长各几何
　　法借四根为髙数六根为阔数九根为长数以髙四根与阔六根相乘得二十四平方为长数之四倍乃以长数九根四因之得三十六根是为二十四平方与三十六根相等两边各降一位得二十四根与三十六尺相等二十四根旣与三十六尺相等则四根必与六尺相等卽髙数六根必与九尺相等卽阔数九根必与一十三尺五寸相等卽长数以髙六尺与阔九尺相乘得五十四尺四归之得一十三尺五寸与长数相等也【此带两纵不同立方边线面积比例法】
　　设如有带两纵不同立方体长二十四尺髙与阔和五十二尺其髙与阔相乘之积与长自乘之积等问髙阔各若干
　　法借一根为髙数则阔数为五十二尺少一根以髙一根与阔五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以长二十四尺自乘得五百七十六尺此二数为相等乃以五百七十六尺为长方积以五十二根作五十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十六尺为一根之数卽立方之髙数与髙阔和五十二尺相减余三十六尺卽立方之阔数以髙十六尺与阔三十六尺相乘得五百七十六尺与长二十四尺自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线与面积比例法】
　　设如有带两纵不同立方体髙十二寸长比阔多十寸其长与阔相乘之积与髙自乘之积等问长阔各若干
　　法借一根为阔数则长数为一根多十寸以阔一根与长一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二数为相等乃以一百四十四寸为长方积以十根作十寸为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八寸为一根之数卽立方之阔数加长比阔多十寸得十八寸卽立方之长数以阔八寸与长十八寸相乘得一百四十四寸与髙十二寸自乘之数相等也【此带两纵不同立方边较与面积比例法】
　　设如有带两纵不同立方体长比阔多四寸阔比髙多二寸其体积比髙自乘再乘之正方体多一百七十六寸问长阔髙各几何
　　法借一根为髙数则阔数为一根多二寸长数为一根多六寸以髙一根与阔一根多二寸相乘得一平方多二根再以长一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内减髙数一根自乘再乘之一立方余八平方多十二根与一百七十六寸相等八平方多十二根旣与一百七十六寸相等则一平方多一根半必与二十二寸相等乃以二十二寸为长方积以一根半作一寸五分为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四寸为一根之数卽立方之髙数加阔比髙多二寸得六寸卽立方之阔数再加长比阔多四寸得十寸卽立方之长数以长阔相乘以髙再乘得二百四十寸为立方体积内减髙四寸自乘再乘之六十四寸余一百七十六寸以合原数也【此带两纵不同立方边较与积较比例法】
　　设如一长方池深二十尺长阔和六十尺其体积一万七千二百八十尺问长阔各若干
　　法借一根为阔数则长数为六十尺少一根以阔一根与长六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方与一万七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣与一万七千二百八十尺相等则六十根少一平方必与八百六十四尺相等乃以八百六十四尺为长方积以六十根作六十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四尺为一根之数卽池之阔数与长阔和六十尺相减余三十六尺卽池之长数以长阔相乘以深再乘得一万七千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边和相求法】
　　设如一长方池深三十尺长比阔多十尺其体积七万一千二百八十尺问长阔各若干
　　法借一根为阔数则长数为一根多十尺以阔一根与长一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根与七万一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣与七万一千二百八十尺相等则一平方多十根必与二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺为长方积以十根作十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四十四尺为一根之数卽池之阔数加长比阔多十尺得五十四尺卽池之长数也以长阔相乘以深再乘得七万一千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边较相求法】
　　设如有带两纵不同立方体长阔髙共五十八尺长比阔多六尺其对角斜线自乘之数为一千一百五十六尺问长阔髙各几何
　　法借一根为阔数则长数为一根多六尺以长阔两数相加得二根多六尺与长阔髙共五十八尺相减余五十二尺少二根为髙数以阔一根自乘得一平方为阔自乘之数以长一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为长自乘之数以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方为髙自乘之数三自乘数相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方与对角线自乘之一千一百五十六尺相等两边各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方与一千一百五十六尺多一百九十六根相等两边各减一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方与一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣与一百九十六根相等则二百六十四尺多一平方必与三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺为长方积以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四为长阔和用带纵和数开平方法算之得长十八尺为一根之数卽立方之阔加长比阔多六尺得二十四尺卽立方之长长阔相加得四十二尺与长阔髙共五十八尺相减余十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以阔十八尺自乘得三百二十四尺以长二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘数相加得一千一百五十六尺与对角斜线自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线面积和较相求法】
　　设如有带两纵不同立方体其长阔髙为相连比例三率长为首率阔为中率髙为末率共五十七寸其六面积共二千零五十二寸问长阔髙各几何法借一根为长数则阔髙之共数为五十七寸少一根又以六面积共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸为三面积共数以长阔髙共五十七寸除之得一十八寸为阔数【因长为首率阔为中率髙为末率故其三面积一为首率乘中率一为末率乘中率一为首率乘末率而首率乘末率之数与中率自乘之数等则此三而积相合卽为首率中率末率之共数乘中率之数矣故以长阔髙之共数除之卽得中率为阔也】以阔一十八尺与阔髙之共数五十七寸少一根相减余三十九寸少一根为髙数乃以首率长一根与末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方与中率阔十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸为长方积以三十九根作三十九寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得长二十七寸为一根之数卽立方之长数与髙长和三十九寸相减余一十二寸卽立方之髙数以长二十七寸与阔十八寸之比同于阔十八寸与髙十二寸之比为相连比例三率也【此带两纵不同立方边线面积相和比例法】
　　设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于一与二阔与长之比例同于二与三以髙自乘再乘之数与阔自乘再乘之数相加比原体积多一千零二十九寸问长阔髙各几何
　　法借一根为髙数则阔数为二根长数为三根以阔二根与长三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方为原体积又以髙一根自乘再乘得一立方以阔二根自乘再乘得八立方相并得九立方内减原体积六立方余三立方与一千零二十九寸相等三立方旣与一千零二十九寸相等则一立方必与三百四十三寸相等乃以三百四十三寸开立方得七寸为一根之数卽立方之髙数倍之得十四寸卽立方之阔数三因之得二十一寸卽立方之长数以长二十一寸与阔十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸为原体积又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸阔十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相并得三千零八十七寸与原体积相减余一千零二十九寸以合原数也【此带两纵不同立方边线体积比例法】
　　设如有甲乙丙三正方体甲方边与乙方边之比例同于二与三乙方积比甲方积多一百五十二寸丙方积比乙方积多七百八十四寸问三正方体之边数各若干
　　法借二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为三根以二根自乘再乘得八立方为甲方之体积以三根自乘再乘得二十七立方为乙方之体积两体积相减余一十九立方与一百五十二寸相等十九立方旣与一百五十二寸相等则一立方必与八寸相等乃以八寸开立方得二寸为一根之数倍之得四寸卽甲方毎边之数三因之得六寸卽乙方毎边之数自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸开立方得十寸卽丙方毎边之数也【此三正方体边线体积比例法】
　　设如有带两纵不同立方体髙比阔为五分之一阔比长亦为五分之一体积六十一万四千一百二十五尺问髙阔长各几何
　　法借一根为髙数则阔数为五根长数为二十五根以阔五根与长二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方与六十一万四千一百二十五尺相等一百二十五立方旣与六十一万四千一百二十五尺相等则一立方必与四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺开立方得十七尺为一根之数卽立方之髙以五乘之得八十五尺卽立方之阔以二十五乘之得四百二十五尺卽立方之长也乃以长阔相乘得三万六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一万四千一百二十五尺以合原数也【此带分比例开立方法】
　　设如有一大长方体其阔三倍于髙其长三倍于阔又有一小长方体比大长方体髙为二分之一阔为三分之二长为九分之七小长方体积二万三千六百二十五寸问大小二长方体之长阔髙各几何
　　法借一根为大长方体之髙则大长方体之阔为三根大长方体之长为九根小长方体之髙为半根小长方体之阔为二根小长方体之长为七根乃以长七根与阔二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方为小长方体积与二万三千六百二十五寸相等七立方旣与二万三千六百二十五寸相等则一立方必与三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸开立方得十五寸为一根之数卽大长方体之髙三因之得四十五寸卽大长方体之阔又以三因之得一百三十五寸卽大长方体之长以大长方体之髙折半得七寸五分卽小长方体之髙以大长方体之阔三归二因得三十寸卽小长方体之阔以大长方体之长九归七因得一百零五寸卽小长方体之长以小长方体之长阔相乘再以髙乘之得二万三千六百二十五寸以合原数也【此带分比例开立方法】
　　设如有人买马三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次马数四分之一与第二次马数之一半相乘又与第一次马数三分之一相乘得六千五百六十一匹问三次所买马数各若干
　　法借三根为第一次买马之数【第一次分母数】则第二次买马之数为六根第三次买马之数为十二根以第三次四分之一三根与第二次之一半三根相乘得九平方又与第一次三分之一一根相乘得九立方与六千五百六十一匹相等九立方旣与六千五百六十一匹相等则一立方必与七百二十九匹相等乃以七百二十九匹开立方得九匹为一根之数三因之得二十七匹为第一次买马之数倍之得五十四匹为第二次买马之数又倍之得一百零八匹为第三次买马之数以第三次四分之一二十七匹与第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原数也【此带分比例开立方法】
　　设如有马牛羊各不知数但知牛数比马数多四羊数与马牛相乘之数等马毎匹之价与牛数等牛毎头之价与马数等羊毎只之价比马毎匹价少十两而羊之共价为一百九十二两问马牛羊及价银各若干
　　法借一根为马数则牛数为一根多四以马数一根与牛数一根多四相乘得一平方多四根为羊数马价与牛数等为一根多四两则羊价为一根少六两以羊数一平方多四根与羊价一根少六两相乘得一立方少二平方少二十四根为羊之共价与一百九十二两相等乃以一百九十二两为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得八为一根之数卽马数亦卽牛毎头之价为八两也加牛比马多四得十二为牛数亦卽马毎匹之价为十二两也以马数八与牛数十二相乘得九十六为羊数以羊数九十六归除羊共价一百九十二两得二两为羊毎只价比马一匹之价少十两也【此磬折扁方体求边法】
　　设如有马骡运重其共马数比马毎匹所防之数多二十骡毎匹所防之数比共马数多三十其共骡数与马所防之共数等但知骡共防一千一百万斤问马数骡数及所防之斤数各若干
　　法借一根为共马数则马毎匹所防之斤数为一根少二十斤骡毎匹所防之数为一根多三十斤以共马数一根与马毎匹防一根少二十斤相乘得一平方少二十根为马所防之共数亦卽共骡数再以骡毎匹防一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根为骡所防之共数与一千一百万斤相等乃以一千一百万斤为磬折长方体积用带纵开立方法算之得二百二十为一根之数卽共马数减二十余二百斤为马毎匹所防之数以共马二百二十匹与马毎匹所防之二百斤相乘得四万四千斤为马所防之共数亦卽共骡数以共骡四万四千匹归除一千一百万斤得二百五十斤为骡毎匹所防之数比共马数二百二十多三十也【此磬折长方体求边法】
　　设如有大小二正方体边数共二尺六寸体积共五千零九十六寸问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以二十六寸少一根自乘再乘得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方为大方之体积两体积相加得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方与五千零九十六寸相等两边各加二千零二十八根得一万七千五百七十六寸多七十八平方与五千零九十六寸多二千零二十八根相等两边各减五千零九十六寸得一万二千四百八十寸多七十八平方与二千零二十八根相等一万二千四百八十寸多七十八平方旣与二千零二十八根相等则一百六十寸多一平方必与二十六根相等乃以一百六十寸为长方积以二十六根作二十六寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十寸为一根之数卽小方毎边之数与共边二十六寸相减余一十六寸卽大方毎边之数以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之体积以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸卽大方之体积两体积相加共五千零九十六寸以合原数也【此二正方体有边和积和求边法】
　　设如有大小二正方体大方边比小方边多四尺大方积比小方积多一千二百一十六尺问二正方体边数体积各几何
　　法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多四尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺为大方之体积两体积相减得十二平方多四十八根多六十四尺与一千二百一十六尺相等两边各减六十四尺得十二平方多四十八根与一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根旣与一千一百五十二尺相等则一平方多四根必与九十六尺相等乃以九十六尺为长方积以四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽小方每边之数加四尺得一十二尺卽大方毎边之数以八尺自乘再乘得五百一十二尺卽小方之体积以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺卽大方之体积两体积相减余一千二百一十六尺以合原数也【此二正方体有边较积较求边法】
　　设如有大小二正方体大方边比小方边多二尺体积共一千零七十二尺问二正方体边数体积各几何
　　法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺为大方之体积两体积相加得二立方多六平方多十二根多八尺与一千零七十二尺相等两边各减去八尺得二立方多六平方多十二根与一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根旣与一千零六十四尺相等则一立方多三平方多六根必与五百三十二尺相等乃以五百三十二尺为磬折长方体积用带纵开立方法算之得七尺为一根之数卽小方毎边之数加二尺得九尺卽大方每边之数以七尺自乘再乘得三百四十三尺卽小方之体积以九尺自乘再乘得七百二十九尺卽大方之体积两体积相加得一千零七十二尺以合原数也【此二正方体有边较积和求边法】
　　设如有大小二正方体边数共十四尺大方比积小方积多二百九十六尺问二正方体之边数体积各几何
　　法借一根为小方每边之数则大方每边之数为十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方为大方之体积两体积相减得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方与二百九十六尺相等两边各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺与二千七百四十四尺多四十二平方相等两边各减去二百九十六尺又各减去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根与二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根旣与二千四百四十八尺相等则一立方少二十一平方多二百九十四根必与一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得六尺为一根之数卽小方毎边之数与共边数十四尺相减余八尺卽大方每边之数以六尺自乘再乘得二百一十六尺为小方之体积以八尺自乘再乘得五百一十二尺为大方之体积两体积相减余二百九十六尺以合原数也【此二正方体有边和积较求边法】
　　设如勾股积二百四十尺股较四尺问勾股各几何
　　法借一根为股数则为一根多四尺以一根自乘得一平方为股自乘之数以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺为自乘之数内减去股自乘之一平方余八根多十六尺为勾自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺与末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为八立方多十六平方与二十三万零四百尺相等八立方多十六平方旣与二十三万零四百尺相等则一立方多二平方必与二万八千八百尺相等乃以二万八千八百尺为长方体积用带纵开立方法算之得三十尺为一根之数卽股数加股较四尺得三十四尺卽数又以股三十尺除倍积四百八十尺得十六尺卽勾数也【此有勾股积有股较求勾股法】
　　设如勾股积二百四十尺勾和五十尺问勾股各几何
　　法借一根为勾数则为五十尺少一根以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数内减去勾自乘之一平方余二千五百尺少一百根为股自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率则以首率勾自乘之一平方与末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为二千五百平方少一百立方与二十三万零四百尺相等二千五百平方少一百立方旣与二十三万零四百尺相等则一平方少二十五分立方之一必与九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸为扁方体积用带纵开立方法算之得一十六尺为一根之数卽勾数与勾和五十尺相减余三十四尺卽数又以勾十六尺除倍积四百八十尺得三十尺卽股数也【此有勾股积有勾和求勾股法】
　　设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何
　　法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率又以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方【因四率为百亿分立方之一以百亿乘之则得一整立方故将余三率俱以百亿乘之其比例始相当也】乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百亿根是为三百亿根与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得三百亿根少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以三百亿根为法用割圜内新增益实归除法算之得三万四千七百二十九为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万二千零六十一为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得四千一百八十七为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零四千一百八十七与二率之三倍相等也【此卽求圜内容十八边法】
　　设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何
　　法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百亿根加一三率得二百亿根多十万平方是为二百亿根多十万平方与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得二百亿根多十万平方少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以二百亿根为法用割圜内益实兼减实归除法算之得四万四千五百零四为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万九千八百零六为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得八千八百一十四为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零八千八百一十四与二率两倍加一三率之数相等也【此卽求圜内容十四边法】
　　设如有大小二正方面大方毎边为小方毎边之二倍若以两面积相乘得五万八千五百六十四尺问二方边面积各几何
　　法借一根为小方毎边之数则大方毎边数为二根以一根自乘得一平方为小方之面积以二根自乘得四平方为大方之面积以一平方与四平方相乘得四三乘方为两方面积相乘之数与五万八千五百六十四尺相等四三乘方旣与五万八千五百六十四尺相等则一三乘方必与一万四千六百四十一尺相等乃以一万四千六百四十一尺为三乘方积用开三乘方法算之得十一尺为一根之数卽小方每边之数倍之得二十二尺卽大方每边之数以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面积以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面积两面积相乘得五万八千五百六十四尺以合原数也【此开三乘方法】
　　设如有解钱粮船不言数但知每船所载银鞘之数比船数加一倍每鞘内银数与共鞘数等其共银数为五百三十四万五千三百四十四两问船数鞘数各若干
　　法借一根为船数则每船所载鞘数为二根以一根与二根相乘得二平方为共鞘数亦为每鞘内银数自乘得四三乘方与五百三十四万五千三百四十四两相等四三乘方旣与五百三十四万五千三百四十四两相等则一三乘方必与一百三十三万六千三百三十六两相等乃以一百三十三万六千三百三十六两为三乘方积用开三乘方法算之得三十四为一根之数卽船数倍之得六十八卽每船之鞘数以船数三十四与每船所载鞘数六十八相乘得二千三百一十二为共鞘数亦卽每鞘内之银数自乘得五百三十四万五千三百四十四两以合原数也【此开三乘方法】
　　设如有一正方又有一长方二方面积共二十三万六千一百九十六尺长方之长比正方面积多二十四尺长方之阔比正方面积少二十尺问二方边面积各几何
　　法借一根为正方每边之数自乘得一平方为正方之面积则长方之长为一平方多二十四尺长方之阔为一平方少二十尺长阔相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺为长方面积加正方面积之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺为二方之共面积与二十三万六千一百九十六尺相等两边各加四百八十尺得一三乘方多五平方与二十三万六千六百七十六尺相等乃以二十三万六千六百七十六尺为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得二十二为一根之数卽正方每边之数自乘得四百八十四尺为正方面积加二十四尺得五百零八尺为长方之长减二十尺得四百六十四尺为长方之阔长阔相乘得二十三万五千七百一十二尺为长方面积两面积相加得二十三万六千一百九十六尺以合原数也【此带纵开三乘方法】
　　设如有一长方其面积五百二十七丈又有大小二正方其面积共一千二百五十丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等问长方之长阔各几何
　　法借一根为大方每边之数自乘得一平方为大方之面积则小方之面积为一千二百五十丈少一平方此大方面积与长方面积及小方面积为相连比例三率乃以首率大方面积一平方与末率小方面积一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以长方面积五百二十七丈为中率自乘得二十七万七千七百二十九丈此两数为相等乃以二十七万七千七百二十九丈为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得三十一为一根之数卽大方每边之数亦卽长方之长以长三十一丈除长方面积五百二十七丈得十七丈卽长方之阔亦卽小正方每边之数乃以三十一丈自乗得九百六十一丈为大方面积以十七丈自乘得二百八十九丈为小方面积两面积相加得一千二百五十丈以合原数也【此带纵开三乘方法】
　　设如有一方台俱系正方石砌成其用石之块数与每一石之面积等其共石之体积为五十三万七千八百二十四寸问用石之块数及每一石之边数若干
　　法借一根为每一石之边数自乘得一平方为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得一立方为每一石之体积与所用石之块数一平方相乘得一四乘方为共石之体积与五十三万七千八百二十四寸相等乃以五十三万七千八百二十四寸为四乘方积用开四乘方法算之得一十四寸为一根之数卽每一石之边数自乘得一百九十六寸为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得二千七百四十四寸为每一石之体积与所用石之块数相乘得五十三万七千八百二十四寸以合原数也【此开四乘方法】
　　设如有二十四正方体又有一扁方体共积八百二十九万四千四百寸扁方体之髙与正方体之边数等扁方体之长与阔俱与正方体之面积等问正方体扁方体之边数各若干
　　法借一根为正方体每边之数亦卽扁方体之髙数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一立方为正方体之积以二十四乘之得二十四立方为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方为扁方体之积两积数相加得一四乘方多二十四立方与共体积八百二十九万四千四百寸相等乃以八百二十九万四千四百寸为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得二十四寸为一根之数卽正方体之每边亦卽扁方体之髙自乘得五百七十六寸为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一万三千八百二十四寸为一正方体之积以二十四乘之得三十三万一千七百七十六寸为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六万二千六百二十四寸为一扁方体积两积相加得八百二十九万四千四百寸以合原数也【此带纵开四乘方法】
　　设如有商人贸易第一次之银数比原本银加一倍第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等第三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之数等将第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两问原本银数及每次银数各若干
　　法借一根为原本银数则第一次之银数为二根自乘再乘得八立方为第二次之银数以第一次自乘之四平方与第二次之八立方相乘得三十二四乘方为第三次之银数与第二次之银数八立方相加得三十二四乘方多八立方与三万三千二百八十两相等三十二四乘方多八立方旣与三万三千二百八十两相等则一四乘方多四分立方之一必与一千零四十两相等乃以一千零四十两为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得四两为一根之数卽原本银数也倍之得八两为第一次之银数自乘再乘得五百一十二两为第二次之银数又以第一次银数八两自乘之六十四两与第二次之银数五百一十二两相乘得三万二千七百六十八两为第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两以合原数也【此带纵开四乘方法】
　　设如有一小长方体阔为髙之二倍长为髙之三倍又有一大长方体其每边之比例与小长方体同其髙数与小长方体长阔相乘之数等体积八万二千九百四十四尺问二长方体长阔髙各几何法借一根为小长方体之髙则阔为二根长为三根长阔相乘得六平方为大长方体之髙倍之得十二平方为大长方体之阔三因之得十八平方为大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方为大长方体积与八万二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方旣与八万二千九百四十四尺相等则一五乘方必与六十四尺相等乃以六十四尺为五乘方积用开五乘方法算之得二尺为一根之数卽小长方体之髙倍之得四尺卽小长方体之阔三因之得六尺卽小长方体之长长阔相乘得二十四尺卽大长方体之髙倍之得四十八尺卽大长方体之阔三因之得七十二尺卽大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得八万二千九百四十四尺以合原数也【此开五乘方法】
　　设如有大小二正方体大方体积比小方体积多一千七百四十四寸以小方边与大方边相乘得一百四十寸问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方体每边之数以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积数以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四万四千寸为大方体积内减小方体积一立方余一立方之二百七十四万四千寸少一立方与一千七百四十四寸相等两边各以立方乘之得一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸少一五乘方相等两边各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸相等乃以二百七十四万四千寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得十寸为一根之数卽小方体每边之数以十寸除一百四十寸得一十四寸卽大方体每边之数以小方体每边十寸自乘再乘得一千寸为小方体积以大方体每边十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸为大方体积两体积相减余一千七百四十四寸以合原数也【此带纵开五乘方法】
　　设如有大小二正方体共积四千一百二十三寸以小方边与大方边相乘得四十八寸问二正方体之边数体积各几何
　　法借一根为小方体每边之数以一根除四十八寸得一根之四十八寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一万零五百九十二寸为大方体积两体积相加得一立方多一立方之一十一万零五百九十二寸与四千一百二十三寸相等两边各以立方乘之得四千一百二十三立方与一五乘方多一十一万零五百九十二寸相等两边各减一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方与一十一万零五百九十二寸相等乃以一十一万零五百九十二寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得三寸为一根之数卽小方体每边之数以三寸除四十八寸得十六寸为大方体每边之数以小方体每边三寸自乘再乘得二十七寸为小方体积数以大方体每边十六寸自乘再乘得四千零九十六寸为大方体积数两体积相加得四千一百二十三寸以合原数也【此带纵开五乘方法】
　　设如有一长方体积二千一百八十七尺其髙数自乘与阔等阔数自乘与长数等问髙阔长各若干法借一根为髙自乘得一平方为阔以阔自乘得一三乘方为长长阔相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方为长方体积与二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺为六乘方积用开六乘方法算之得三尺为一根之数卽长方之髙自乘得九尺卽长方之阔以阔自乘得八十一尺为长方之长乃以长阔相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原数也【此开六乘方法】
　　设如甲丙正方花园二所园中各有正方水池一面甲池每边为丙池每边之三倍甲园每边与甲池之面积等丙园每边与丙池之面积等若以两园之面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺问园池每边各若干
　　法借一根为丙池每边之数则甲池每边之数为三根以一根自乘得一平方为丙池之面积卽丙园每边之数自乘得一三乘方为丙园之面积以三根自乘得九平方为甲池之面积卽甲园每边之数自乘得八十一三乘方为甲园之面积两园之面积相乘得八十一七乘方与五百三十万八千四百一十六尺相等八十一七乘方旣与五百三十万八千四百一十六尺相等则一七乘方必与六万五千五百三十六尺相等乃以六万五千五百三十六尺为七乘方积用开七乘方法算之得四尺为一根之数卽丙池每边之数三因之得十二尺卽甲池每边之数以甲池每边十二尺自乘得一百四十四尺为甲池之面积卽甲园每边之数以丙池每边四尺自乘得一十六尺为丙池之面积卽丙园每边之数以甲园每边一百四十四尺自乘得二万零七百三十六尺卽甲园之面积以丙园每边十六尺自乘得二百五十六尺卽丙园之面积乃以两园面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺以合原数也【此开七乘方法】
　　设如有甲乙丙三长方体甲方之髙为阔二分之一乙方之髙与阔为甲方之二倍丙方之髙与阔为甲方之三倍俱不知长甲方体积与面积自乘之数等乙方之体积与髙阔相并乘甲方面积之数等丙方之体积与乙方体积自乘再乘之数等今但知丙方体积八十八万四千七百三十六丈问三方髙阔长各若干
　　法借一根为甲方之髙则甲方之阔为二根乙方之髙亦为二根乙方之阔为四根丙方之髙为三根丙方之阔为六根以甲方髙一根与阔二根相乘得二平方卽甲方之面积自乘得四三乘方卽甲方之体积乙方髙二根与阔四根相并得六根与甲方面积二平方相乘得十二立方卽乙方之体积自乘再乘得一千七百二十八八乘方卽丙方之体积与八十八万四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方旣与八十八万四千七百三十六丈相等则一八乘方必与五百一十二丈相等乃以五百一十二丈为八乘方积用开八乘方法算之得二丈为一根之数卽甲方之髙倍之得四丈卽甲方之阔髙阔相乘得八丈卽甲方之面积自乘得六十四丈卽甲方之体积又将甲方髙二丈倍之得四丈卽乙方之髙将甲方阔四丈倍之得八丈卽乙方之阔髙阔相并得一十二丈与甲方面积八丈相乘得九十六丈卽乙方之体积又以髙四丈阔八丈相乘得三十二丈以除体积九十六丈得三丈卽乙方之长又将甲方髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙将甲方阔四丈三因之得一十二丈卽丙方之阔以乙方体积九十六丈自乘再乘得八十八万四千七百三十六丈卽丙方之体积又髙六丈阔十二丈相乘得七十二丈以除体积八十八万四千七百三十六丈得一万二千二百八十八丈卽丙方之长也【此开八乘方法】
　　设如有客船不言数但云每船之人数与船数等每人之本银数与船数自乘再乘之数等其共银自乘之数为六千零四十六万六千一百七十六两问船数人数各若干
　　法借一根为船数亦为每船之人数以一根自乘得一平方为共人数再乘得一立方为每人本银数与一平方相乘得一四乘方为共银数以一四乘方自乘得一九乘方为本银自乘之数与六千零四十六万六千一百七十六两相等乃以六千零四十六万六千一百七十六为九乘方积用开九乘方法算之得六为一根之数卽船数亦卽每船之人数自乘得三十六为共人数再乘得二百一十六为每人之银数以三十六人乘之得七千七百七十六两为共银数自乘得六千零四十六万六千一百七十六两以合原数也【此开九乘方法】

　　御制数理精蕴下编卷三十六
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十七
　　末部七
　　难题

　　难题
　　算术之学不外于线面体其间比例相求或借根借方等法既已分门别类于前然设问中有纡廻繁襍之不同者非审详明辨则何以得其统绪兹又探赜钩深编为难题一卷俾学者殚思观变以不迷于入算之方庶几数理之微人心之巧由此引而伸之触类而长之将以穷天下之变亦不难也
　　设如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次问三人何日同班
　　法以三日与四日相乘得十二日再与五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十为三四五皆可以度尽之数三与四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能与丙同班三与五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能与乙同班四与五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能与甲同班惟六十日为甲第二十次值班之日为乙第十五次值班之日为丙第十二次值班之日故为三人同班之日也
　　设如有钱不知总数以三数之余二文以五数之余三文以七数之亦余二文问钱总数几何
　　法先以三数之率定为七十五数之率定为二十一七数之率定为十五乃以三数之率七十与余二相乘得一百四十以五数之率二十一与余三相乘得六十三以七数之率十五与余二相乘得三十三数相并得二百三十三又以三五七递乘得一百零五于二百三十三内减两次余二十三即总钱数也此法以三数之率定为七十者以其用七数五数皆尽惟用三数之余一也今以余二相乘得一百四十则是用七数五数皆尽惟用三数之余二矣以五数之率定为二十一者以其用三数七数皆尽惟用五数之余一也今以余三相乘得六十三则是用三数七数皆尽惟用五数之余三矣以七数之率定为十五者以其用三数五数皆尽惟用七数之余一也今以余二相乘得三十则是用三数五数皆尽惟用七数之余二矣以此三数相并自为三数余二五数余三七数余二之数又以三五七递乘得一百零五者此数用三五七皆可数尽故二百三十三虽为三数余二五数余三七数余二之数然减去一百零五余一百二十八以三五七数之其所余之数仍同也即再减去一百零五余二十三以三五七数之其所余之数亦同也是以问数在一百零五以下必二十三如问数在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原数更在二百三十三以上则递加一百零五求之必有合也至其作率之法不过一乘一减如以三五七命算则以五七相乘得三十五以三减之余二不可为率以其所余为二难与他数相乘也故将三十五倍之得七十以三减之余一故七十即为三数之率三七相乘得二十一以五减之余一故二十一即为五数之率三五相乘得一十五以七减之余一故十五即为七数之率或以五数七数九数命算皆仿此例推之
　　设如三人治田一人日耘七亩一人日耕三亩一人日种五亩今令一人自耕自种自耘问一日治田几何
　　法以七亩三亩五亩连乘得一百零五亩为治田总衰数以每日耘七亩除之得十五日为耘田衰数以每日耕三亩除之得三十五日为耕田衰数以每日种五亩除之得二十一日为种田衰数三数相并得七十一日为一率一百零五亩为二率一日为三率得四率一亩四分七厘有余即每日自耕自种自耘之数也此法葢因一日耘七亩则一百零五亩湏耘十五日一日耕三亩则一百零五亩湏耕三十五日一日种五亩则一百零五亩湏种二十一日并之得七十一日是一人自耕自种自耘治田一百零五亩即知一日治田一亩四分七厘有余也
　　设如甲乙二人甲借乙本银一千二百両已经还讫仍欠四月利银今乙又借甲银八百両欲与前利银抵兑问得月数几何
　　法以今借银八百両为一率原借银一千二百両为二率原欠利银四月作一百二十日为三率得四率一百八十日以三十日归之得六月为所求之日数也葢甲借乙之银数多故月数少乙借甲之银数少故月数多而其利相等为转比例四率也
　　设如原买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸价一钱一分七厘今买大布一疋长二丈五尺阔一尺六寸问价几何
　　法以原布长一丈八尺阔一尺三寸相乘得二十三尺四十寸为一率价一钱一分七厘为二率今布长二丈五尺阔一尺六寸相乘得四十尺为三率求得四率二钱即今布之价也凡物惟长不同或惟阔不同则各以其长阔为比例今长阔俱不同故以其长阔各相乘为面与面之比例也
　　设如有银三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両问四人各得银数几何
　　法先以总银三百九十六両内减去甲多十両丙多八両余三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両为各分之总银数乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四连乘之得一百二十为总衰数于总衰一百二十内取二分之一得六十为甲衰取五分之三得七十二为乙衰取三分之一得四十为丙衰取四分之一得三十为丁衰并之得二百零二衰为一率以各分总银数四百零四両为二率一衰为三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之银数用乙衰七十二乘之得一百四十四両内减所少二十両余一百二十四両即乙所分之银数用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之银数用丁衰三十乘之得六十両减所少六両余五十四両即丁所分之银数将四人所分之银并之得三百九十六両以合原数也
　　设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八十両甲原出本银三千両至满八月収回一千両至满十九月又添一千二百两乙原出本银二千四百両至满六月収回八百両至满十五月又添一千四百両丙原出本银二千両满七月悉収回至满十七月别出本银一千六百両问各人分得利银若干
　　法以甲本银三千両与八月相乘【满八月収回一千両是八月以前皆为三千両】得二万四千両又以収回一千両与原本银三千両相减余二千両以八月与十九月相减余十一月【八月収回一千両余二千両十九月后方添一千二百両则是八月以后十九月以前此十一月皆为二千両】以十一月与二千両相乘得二万二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月与二年之二十四月相减余五月【十九月后添一千二百両是十九月以后二十四月以前此五月皆为三千二百両】以五月与三千二百両相乘得一万六千両以三得数相并共六万二千両为甲之共衰数乙本银二千四百両与六月相乘【满六月収回八百両是六月以前皆为二千四百両】得一万四千四百両又以収回八百両与原本银二千四百両相减余一千六百両以六月与十五月相减余九月【六月后収回八百両余一千六百両十五月后方添一千四百両是六月以后十五月以前此九月皆为一千六百両】以九月与一千六百両相乘得一万四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月与二年之二十四月相减余九月【十五月后添一千四百両是十五月以后二十四月以前此九月皆为三千両】以九月与三千両相乘得二万七千両三数相并共五万五千八百両为乙之共衰数丙本银二千両与七月相乘【满七月悉収回则七月以前皆为二千両】得一万四千両又以十七月与二十四月相减余七月与别出本银一千六百両相乘【七月悉収回不算外至第十七月方出本一千六百両是十七月以后二十四月以前止七月也】得一万一千二百両二数相并共二万五千二百両为丙之共衰数以甲乙丙三衰数相并【甲六万二千乙五万五千八百丙二万五千二百】共得一十四万三千両为一率总利银八千五百八十両为二率一両为三率求得四率六分以各人衰数乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両为各人所得利银之数也
　　设如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重几何
　　法用一木杆结系于中両端令平乃以大石挂于一端以小石作砣称之如大石距提系一寸小石距提系六寸得平则以一寸为一率小石重四両为二率六寸为三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙为大石距提系一寸甲丙为小石距提系六寸丁为大石戊为小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙与戊小石之比同于甲丙与丁大石之比也
　　设如有银大小二锭共重十五両求大小锭各重几何
　　法用一木杆结系于中両端令平乃以大锭小锭各挂一端如大锭距提系四寸小锭距提系六寸得平则以四寸六寸相加得十寸为一率共重十五両为二率大锭距提系四寸为三率得四率六両即小锭之重如以小锭距提系六寸为三率则得四率九両即大锭之重也如圗甲乙为大锭距提系四寸甲丙为小锭距提系六寸故以甲乙甲丙共分与丁戊共重之比同于甲乙与戊小锭之比亦同于甲丙与丁大锭之比也
　　设如以戥称银戥数不足将砣上加四两称之得二百两原砣重八两问银实重几何
　　法以原砣重八两爲一率又以原砣八两与加四两相并得十二两爲二率以今称二百两爲三率得四率三百两爲原银之重数也如图甲乙爲二百两之分丙爲砣重十二两试将甲乙戥衡引长至丁甲丁爲三百两之分戊爲原砣重八两甲乙乗丙砣卽与甲丁乗戊砣之数等故以戊砣与甲乙之比同于丙砣与甲丁之比爲转比例四率也
　　设如戥子失去坠砣欲配一砣不知轻重以重三两之物用六钱之砣称之得四两问原砣重几何法以原重三两爲一率今称得四两爲二率今砣重六钱爲三率求得四率八钱卽原砣之重也如图甲乙爲戥盘距提系之分丙爲物重甲丁爲三两之分戊为原砣甲己为四両之分庚为今砣以比例论之甲乙与戊砣之比同于甲丁与丙重之比又甲乙与庚砣之比同于甲己与丙重之比是甲丁乘戊砣即与甲己乘庚砣之数等故以甲丁与庚砣之比即同于甲己与戊砣之比为转比例四率也
　　设如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水几何
　　法以木板一块置于水面用騐时仪坠子候之看六十秒内木板流逺几丈如流逺十丈即以十丈变为一百尺乃以河上寛十尺与下寛六尺相加折半得八尺与河深五尺相乘得四十尺又与木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之数又以六十秒収为一分为一率水流四千尺为二率以每日二十四小时化为一千四百四十分【一小时为四刻一刻为十五分】为三率求得四率五千七百六十万尺即一日内所流之数也此法先用木板以騐所流之缓急水急则木随水流亦急水缓则木随水流亦缓看木之缓急即知水流之多少故先求得河口面积再以逺乘之即得水流之积数也
　　设如有房一所不知间数亦不知房价但云每房六间每年租银二十四両五年后适得本银每房八间每年租银三十五両八年后得本银外又得利银二千一百六十両问房数房价各几何
　　法以五年与每年二十四両相乘得一百二十両以八年与每年三十五両相乘得二百八十両是为每房六间租一百二十両适足每房八间租二百八十両盈二千一百六十両乃以六间互乘二百八十両得一千六百八十両以八间互乘一百二十両得九百六十両相减余七百二十両为一率以六间与八间相乘得四十八间为二率以利银二千一百六十両为三率得四率一百四十四间即房之总数也又以六间为一率五年得一百二十両为二率总房一百四十四间为三率得四率二千八百八十両即房价或以八间为一率八年得二百八十両为二率总房一百四十四间为三率得四率五千零四十両内减利银二千一百六十両亦得二千八百八十両为房价也此法葢因五年八年之数不同故以五年八年与每年银数相乘作总得租银算也
　　设如有银买物不知银数亦不知物价但云取银六分之五买之则多六両取银四分之三买之仍多二両问银数及物价各几何
　　法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十相减余二分为一率盈六両与盈二両相减余四両为二率両分母互乘得二十四分为三率求得四率四十八両即为银数取六分之五为四十両减盈六两得三十四両为物价或取四分之三得三十六両减盈二両亦得三十四両为物价也
　　又先得物价之法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両为加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両为加二十倍乃以十八倍与二十倍相减余二倍为一率互乘所得両盈数相减余六十八両为二率一倍为三率求得四率三十四両即物价加盈六両得四十両即原银六分之五乃用五归六因得四十八両为原银数或于物价三十四両加盈二両得三十六両即原银四分之三乃用三归四因亦得四十八両为原银数也此盈朒单法因带分母子不同故用通分互乘以齐其分耳
　　设如有银买米不知米数亦不知米价只云买米四分之一用银二十両则米少一石若买三分之一用银二十四両则米多二石问米数及米价各几何
　　法以前分母四互乘得分子一得四以后分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得后分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也既得米价乃以八钱除二十両得二十五石减朒一石余二十四石为米四分之一以四因之得九十六石即米数或以八钱除二十四両得三十石加盈二石得三十二石为米三分之一以三因之亦得九十六石为米数也葢以分母互乘前则为十二分之三后则为十二分之四【両分母互乘得十二】又以分子互乘前则为米十二分【両分子互乘亦得十二分】用银八十两朒四石后则为米十二分用银七十二両盈六石夫米之分数既同而银差八両则盈朒差十石故知十石价八両即知一石价八钱也此防套盈朒之法但有米之分数又有石数故立法微不同若止带零分则惟用通分法余俱与防套盈朒之法同
　　又先得米数之法以银数列于上分数列于下乃以前分母四互乘后分子一得四以后分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘后所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分与八十分相减余八分为一率朒二十四石与盈四十石相加得六十四石为二率両分母互乘得十二分为三率求得四率九十六石即原米数也既得米数四归之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八钱为米价或将米数三归之得三十二石减盈二石余三十石以除二十四両亦得八钱为米价也葢用互乘前则为四百八十両【二十両与二十四両互乘得四百八十両】买米十二分之七十二朒二十四石后则为四百八十両买米十二分之八十盈四十石夫银数既同而米差八分则盈朒相差六十四石故知八分为六十四石即知十二分为九十六石也
　　又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石【因四分之一价二十両故用四因为米总价】又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石【因三分之一价二十四両故用三因为米总价】作盈朒单法算以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也此法葢因分数整齐故可比例而得其全分之价若有竒零则湏用前法或用通分法算之
　　设如有一数不知几何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百问原数几何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三数相加得一千九百八十并所加之四十共二千零二十与共数六千七百相减余四千六百八十为连乘之整数乃借一衰为原数以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰为一率原数一衰为二率以连乘整数四千六百八十为三率求得四率十三即为原数也此法葢因三乘原数外加一十而又用四乘五乘六乘则此一十己用四乘五乘六乘矣四乘后加二十而又用五乘六乘则此二十已用五乘六乘矣五乘后加三十而又用六乘则三十已用六乘矣故将一十二十三十之数亦用连乘并后所加之四十与共数相减然后为三四五六与原数连乘之整分而以三四五六连乘所得之三百六十与原数一为比例即同于今三四五六连乘所得之四千六百八十与原数十三之比例也
　　设如甲乙二车运粮甲车先行二日乙车后行五日追及甲车比乙车运价少五钱又甲车先行二日乙车后行七日追过甲车八十里甲车比乙车运价少一両一钱问甲乙二车日行里数及运价各几何
　　法以乙车五日为正甲车七日为负里数相等作一空位【甲车先行二日乙车行五日追及是乙车行五日甲车行七日其里数相等】运价多五钱为正列于上又以乙车七日为正甲车九日为负过八十里为正运价多一両一钱为正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一钱得乙三十五日仍为正甲四十五日仍为负多行四百里运价多五両五钱仍为正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日运价多五钱得乙三十五日仍为正甲四十九日仍为负多三両五钱仍为正相等无可乘仍为空位于是以上层为主両下相较则乙各三十五日彼此减尽甲両下相减余四日本层少变负为正里数无可加减仍得四百里为正价両下相减余二両依本层为正即甲车四日行四百里运价二両也以四日除四百里得一百里为甲车每日所行之里数以四日除二両得五钱即甲车每日之运价以乙车七日比甲车九日多行八十里价多一両一钱计之则甲车九日行九百里加多八十里共九百八十里为乙车七日所行之里数以七日除之得一百四十里即乙车每日所行之里数甲车九日运价四両五钱加多一両一钱共五両六钱为乙车七日之运价以七日除之得八钱即乙车每日之运价也此法因有里数运价二种或名叠脚然不过除両次耳若里数为较运价为和难以分列正负者则分両法算之
　　设如甲乙丙三人有银各不知数只云甲得乙银二分之一乙得丙银三分之一丙得甲银四分之一则各得七百两问三人原银各几何
　　法先以甲三分乙一分共七百両列于上【甲原银四分丙得去一分余三分又得乙一分故为甲三分乙一分共七百両丙无数作空位以足其分】又以甲一分丙二分共七百両列于下【丙原银三分乙得去一分余二分又得甲一分故为甲一分丙二分共七百両乙无数亦作空位以足其分】乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原数于是以下层为主両下相较则甲各三分彼此减尽乙一分无可减仍为一分依本层为正丙六分无可减仍为六分本层无数则为负银両下相减余一千四百両本层少爲负即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分为正丙六分为负少一千四百両为负列于上又以乙一分丙一分共七百两列于下【乙原银二分甲得去一分余一分又得丙一分故为乙一分丙一分共七百両因为和数故不用号】因首色皆为一故省互乘両下相较则乙各一分彼此减尽丙六与丙一相加得七分银一千四百与七百相加得二千一百両即为丙七分之共数以七除之得三百両为丙一分之数以丙原银三分乘之得九百両为丙之银数以乙一分丙一分共七百両计之则于七百両内减去丙一分三百両余四百両即乙一分之数以乙原银二分乘之得八百両为乙之银数以甲三分乙一分共七百両计之则于七百両内减去乙一分四百両余三百両三归之得一百両即甲一分之数以甲原银四分乘之得四百両为甲之银数也
　　设如有长方面积八百六十四歩一长二阔三和四较共三百一十二歩问长阔各几何
　　法以积数八因之得六千九百一十二歩为大长方形积乃以长阔和较共数三百一十二歩为长阔和折半得一百五十六歩为半和自乘得二万四千三百三十六歩与六千九百一十二歩相减余一万七千四百二十四歩开平方得一百三十二歩为半较与半和一百五十六歩相减得二十四歩为原阔数以阔除原积八百六十四歩得三十六歩为原长数也此法葢因三和内有三长三阔加一长二阔共四长五阔如以四较加于四阔则又成四长是共得八长一阔此三百一十二歩即八长一阔之共数今将原积八倍之成一大长方形其阔即原阔其长为原长之八倍故以三百一十二为长阔和求得阔即为原阔以原阔除原积即得原长也
　　设如买果木树不知树数亦不知树价但知树每株之价为树共数之六倍而每株脚钱六文其脚钱并树价共三千六百文问树每株价及树数各几何
　　法先以共钱三千六百文六因之得二万一千六百文为长方积脚钱六文为纵多爰以纵多六文折半得三文为半较自乘得九文与二万一千六百文相加得二万一千六百零九文开平方得一百四十七文为半和内减半较三文得一百四十四文为树每株之价六归之得二十四为树之共数也此法以树数为阔树价并脚钱为长成长方形因每株之价为树数之六倍是长为阔之六倍又多六文故六倍其积则长比阔多六文故以带纵开方法算之得阔为树价六归之得树数也
　　设如一河寛一丈二尺中间生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸适与岸齐问蒲长水深各几何法以河寛一丈二尺折半得六尺为勾以蒲稍出水三尺为股较乃以勾六尺自乘得三十六尺以股较三尺除之得一十二尺为股和加股较三尺得一十五尺折半得七尺五寸为即蒲之长内减股较三尺余四尺五寸为股即水之深也如图甲乙为河寛丙丁为蒲长与甲丁等戊丁为水深丙戊为蒲稍出水三尺故戊丁为股甲戊为勾甲丁为丙戊为股较用有勾有股较之法求得股为水深得为蒲之长也
　　设如圆柱髙二十一尺周四尺以绳自底至末绕柱七周与柱适齐问绳长几何
　　法以柱周四尺七因之得二十八尺为股柱髙二十一尺为勾求得三十五尺即绳之长也此法葢合七勾股为一勾股算也如图甲乙为柱髙二十一尺甲丙为七分之一若将柱面平铺之成一平面则丙丁即柱周四尺甲丁即绳绕柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙为甲丙之七倍绳长为甲丁之七倍故将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙为勾乙戊为股求得甲戊即绳长也
　　设如一方匣内对角斜容一比例尺长一尺一寸寛三寸问匣方边几何
　　法以比例尺寛三寸与长一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半开方得九寸八分九厘九豪即方匣之边数也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙为对角斜线癸壬为比例尺之长壬乙与丁癸二叚与己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形则乙为方之中心壬乙为己庚方边之一半与壬庚等而壬乙与丁癸両段即与己庚等故以比例尺之长阔相加即为丁乙对角斜线用斜求方之法自乘折半开方即得方边也
　　设如三角形底二丈八尺小腰与中垂线之较二尺大腰与中垂线之较六尺问両腰各几何
　　法借一衰为中垂线则小腰为一衰多二尺小腰与中垂线之和为二衰多二尺与小腰较二尺相乗得四衰多四尺为小分底自乘方积大腰为一衰多六尺大腰与中垂线之和为二衰多六尺与大腰较六尺相乘得十二衰多三十六尺为大分底自乘方积以両方积相较则大分底方为小分底方之三倍多二十四尺【大分底方十二衰为小分底方四衰之三倍即将小分底方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺与大分底方十二衰多三十六尺相减仍余二十四尺】乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内减去所多之二十四尺余七百六十尺为小分底自乘四正方小分底乘大分底二长方积折半得三百八十尺为小分底自乘二正方小分底乘大分底一长方积共成一大长方底二十八尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十尺为小分底自乘得一百尺以小腰较二尺除之得五十尺为小腰与中垂线之和内加小腰较二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰较二尺与大腰较六尺相减余四尺即大腰与小腰之较与小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股和与甲乙甲丁股较相乘则得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形【见勾股法】以甲丁甲丙股和与甲丁甲丙股较相乘则得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既为乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故于乙壬癸丙大正方形内减去二十四尺余者即与乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛为大分底乘小分底二长方共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰己丙长方形乙丙即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得阔为乙丁小勾自乘以股较除之得股和故加股较折半即得甲乙为也或求得甲丙边亦同
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边较三尺八寸求乙角丙角度几何
　　法依甲丙边度截甲乙边于丁余乙丁即両边较自丙至丁作丙丁线成乙丁丙钝角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率乙丁边三尺八寸为二率甲角五十三度八分与一百八十度相减余一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁钝角之外角【与丁丙甲角等】其正八万九千四百四十一为三率求得四率二万七千八百五十八为丙分角正捡表得十六度十分为丙分角与丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角与丁外角相减余四十七度十六分即乙角度也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙边一丈一尺二寸甲乙乙丙両边较二尺八寸求乙角丙角度各几何
　　法依乙丙边度截甲乙边于丁余甲丁即両边较自丙至丁作丙丁线成甲丁丙钝角形乃以甲丁边二尺八寸与甲丙边一丈一尺二寸相加得一丈四尺为一率甲丁与甲丙相减余八尺四寸为二率甲角半外角六十三度二十六分之正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率一十一万九千九百九十一为半较角切线捡表得五十度十二分为半较角度与半外角相减余十三度十四分为丙分角倍之与甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角与甲角相加则得丙丁乙角与丙大分角等是丙大分角与一丙小分角一甲角之度等故倍小分角与甲角相加得丙全角也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边和二丈六尺二寸求丙角乙角度各几何
　　法以甲乙与甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁线成丁乙丙三角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率丙丁边二丈六尺二寸为二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角【与甲乙丁角等】其正四万四千七百二十四为三率求得四率九万六千零四十六为丙乙丁角正捡表得七十三度五十分为丙乙丁角内减半甲角二十六度三十四分【即甲乙丁角】余四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相并与半周相减余七十九度三十六分即丙角度也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙边一丈五尺甲丙乙丙両边和二丈三尺四寸求乙角丙角度几何
　　法以甲丙与乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁线成甲乙丁三角形乃以甲丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五尺相加得三丈八尺四寸为一率甲丁边与甲乙边相减余八尺四寸为二率甲角五十三度八分与半周相减折半得半外角六十三度二十六分其正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率四万三千七百四十七为半较角切线捡表得二十三度三十八分为半较角与半外角相减余三十九度四十八分为丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也
　　设如有一旗杆不知其髙用日影测之问髙几何法先立一表长五尺看影长几尺如得四尺同时看旗杆影为几尺如得二丈四尺乃以表影长四尺为一率表髙五尺为二率旗杆影长二丈四尺为三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙为旗杆乙丙为旗杆影丁戊为表髙戊己为表影甲乙丙与丁戊己为同式勾股形故己戊与丁戊之比同于乙丙与甲乙之比也
　　设如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影测之问塔髙几何
　　法先立一表长六尺影长四尺同时看塔影所至记之阅时看表影长五尺塔影比先所记之处长几尺如得八尺乃以表影差一尺为一率表髙六尺为二率影差八尺为三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙为塔髙乙丙为先所记塔影乙丁为后所记塔影戊己为表髙己庚为先所记表影己辛为后所记表影戊庚辛与甲丙丁戊己庚与甲乙丙皆为同式形故庚辛与戊己之比同于丙丁与甲乙之比也
　　设如逺望一村欲知其逺用放鎗騐时仪坠子之问逺几何
　　法令一人在村边放鎗一见烟出即用騐时仪坠子之一闻鎗响即止计自见烟至闻响得几秒如得三秒即以一秒为一率一百二十八丈五尺七寸为二率三秒为三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢响与烟一时并出其见烟而未闻响者声未至也故自见烟至闻响之分即路逺之分尝以其分较之路逺五里得七秒以七归之每秒得一百二十八丈五尺七寸闻雷亦然自一见电光至闻雷响其秒数即得里数也
　　设如梭形阔四尺中长九尺求积几何
　　法以中长九尺与阔四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形积也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁与甲丙相乘则成戊己庚辛长方形其积比梭形多一倍故半之为梭形积也此法必甲乙与乙丙等甲丁与丁丙等或甲乙与甲丁等乙丙与丁丙等则其中长适为両三角形之垂线故长阔相乘折半而得积也若中长不得为垂线则湏先量得四边数及长数或阔数用三角形求中垂线法算之
　　设如三广形上阔三尺中阔五尺下阔四尺上截长六尺下截长四尺求积几何
　　法以中阔五尺与上阔三尺相加折半得四尺与上截长六尺相乘得二十四尺又以中阔五尺与下阔四尺相加折半得四尺五寸与下截长四尺相乘得十八尺両数相并得四十二尺即三广形积也如圗甲乙丙丁戊己三广形以乙戊线分之则成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求积之法【见第十九卷直线形】求得両梯形之积而并之即为三广形积也旧术以上下阔相加折半加中阔与长相乘得积此必上下両截长数相等者然后可算若上下不相等湏用両梯形算之
　　设如眉形両尖相距长二十四尺外弧距九尺内弧距四尺求积几何
　　法以両尖相距二十四尺为外弧距九尺为矢用弧矢求积法以矢九尺为首率二十四尺折半得十二尺为中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺为圜径折半得半径十二尺五寸为一率半十二尺为二率半径十万为三率求得四率九万六千为半外弧之正捡八线表得七十三度四十五分为半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分为外弧之度分乃以三百六十度为一率外弧一百四十七度半为二率全径二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪为三率求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪为外弧之数与半径十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分为自圜心所分弧背三角形积又以矢九尺与半径十二尺五寸相减余三尺五寸与二十四尺相乘折半得四十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积相减余一百五十九尺一十二寸一十八分为外弧矢全积【见第二十卷曲线形】又以両尖相距二十四尺为内弧距四尺为矢亦用弧矢求积法求得内弧矢虚积六十五尺三十七寸六十分与外弧矢积相减余九十三尺七十四寸五十八分即眉形积也如圗甲乙丙丁眉形甲丙为乙戊为外弧矢丁戊为内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形积又求得甲丁丙戊弧矢形积相减即得甲乙丙丁眉形积也
　　设如橄防形长二尺四寸阔八寸求积几何
　　法以长二尺四寸为阔八寸折半得四寸为矢用弧矢求积法求得弧矢积六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄防形积也如圗甲乙丙丁橄防形自甲至丙作甲丙线平分乙丁于戊则成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形积倍之即橄防形积也
　　设如钱形径一尺二寸求积几何
　　法以钱形径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘又求得内容方积七十二寸相减余四十一寸零九分七十三厘倍之得八十二寸一十九分四十六厘即钱形积也如图甲乙丙丁钱形作戊己己庚庚辛辛戊四线则分为壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形积又求得戊己庚辛内方积相减余壬癸子丑四弧矢形倍之即得钱形积也
　　设如银锭形径一尺二寸求积几何
　　法以银锭形径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即银锭形积也如图甲乙丙丁戊己银锭形以甲丁径自乘折半则得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形与所盈壬癸二弧矢形之积等故乙丙戊己正方积即与银锭形之积等也
　　设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘甲圜径比乙圜径多三尺乙圜径比丙圜径多三尺丙圜径比丁圜径多二尺问四圜径各几何
　　法用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘为三率求得四率二百七十七尺为四平方共积乃以丙圜径比丁圜径所多之二尺自乘得四尺又以乙圜径比丁圜径所多之五尺【丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故乙比丁多五尺】自乘得二十五尺又以甲圜径比丁圜径所多之八尺【乙比丁多五尺甲又比乙多三尺故甲比丁多八尺】自乘得六十四尺三数相并得九十三尺与四平方共积二百七十七尺相减余一百八十四尺为长方积以丙圜径比丁圜径多二尺乙圜径比丁圜径多五尺甲圜径比丁圜径多八尺相加得十五尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八尺二归之得四尺即丁圜径加二尺得六尺即丙圜径再加三尺得九尺即乙圜径再加三尺得十二尺即甲圜径也如图甲乙丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方形则四圜径之较即四方边之较故于四方形内减去壬癸子三较方余戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六长方共成未申酉戌一长方戌亥为长阔之较即三边较之共数故用带纵较数开平方法算之得阔折半而得丁方边即丁圜径递加之即得甲乙丙各圜径也
　　设如有一方形内不切方边容一圜形但知方边离圜界五丈方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分问方边圜径各几何
　　法以方边离圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈与方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相减余二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜积定率七八五三九八一六与方积定率一○○○○○○○○相减余二一四六○一八四为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分为三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分为长方积又以二一四六○一八四为一率一○○○○○○○○为二率以方边离圜界五丈四因之得二十丈为三率求得四率九十三丈一尺九寸五分为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内圜径加方边离圜界共十丈得二十丈即外方边也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方边离圜界五丈自乘四因与积相减则减去己庚辛壬四小方形余癸子丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积今欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积共成未申酉戌长方形应以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率今所余之卯辰巳午方内圜外积为三率则得四率为未亥方积而戊圜虚积即补足在其中然今乃以卯辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积共为三率则戊圜虚积固已补足而癸子丑寅四长方积必多补出之分是知癸子丑寅四长方形其寛仍为戌酉而亥酉之长必亦多补出之分矣【癸子丑寅四长】【方形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几】【何原本八卷第七节】故又以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率以方边离圜界五丈四因之得亥酉之长为三率求得四率即将亥酉之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得未申阔即为内圜径也
　　设如有一方形内不切方边容一圜形但知方角离圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分问方边圜径各几何
　　法以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈与方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相减余五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢积二八五三九八一六为一率【方积一○○○○○○○○方内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六为弧矢积】圜内容方积五○○○○○○○为二率今减余积五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分为三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分为长方积又以二八五三九八一六为一率五○○○○○○○为二率以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内圜所容方边以四隅方边十五丈倍之得三十丈与内圜所容方边十丈相加得四十丈即外方边以内圜所容方边十丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二分即内圜径加方角离圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方对角斜线也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚辛壬四小正方形【以甲卯自乘折半得己正方形积故甲卯自乘倍之即得四正方形积也】余癸子丑寅四长方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳午一正方形应以定率弧矢积为一率方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为三率则得四率为卯辰巳午虚方积然今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为卯辰亥干长方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四长方实积与午巳亥干长方积之比同于弧矢积与方积之比则其所虚之未申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形之比亦同于弧矢积与方积之比而癸子丑寅之共长与长亥之比亦必同于弧矢积与方积之比矣故以四长方之共边比例得辰亥边为长阔和求得卯辰阔为内圜所容正方形之每一边也
　　设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方角五丈圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分问圜径方边各几何
　　法以圜界离方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜积定率七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分为三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内减所得一百丈余二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢积二八五三九八一六【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六】用圜积变方积法通之得三六三三八○二三为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分为三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸为长方积又以三六三三八○二三为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方角五丈四因之得二十丈为三率求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内方对角斜线用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方边以内方对角斜线十丈加圜界离方角共十丈得二十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而多丑寅卯辰四弧矢形所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧矢形故所变之方环亦多丑寅卯辰四弧矢形所变之积也以圜界离方角五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小方形余酉戌亥干四长方形及丑寅卯辰四弧矢形所变之积今欲以丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮长方形应以定率四弧矢形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六圜内容方积为五○○○○○○○内圜积与内方积相减余二八五三九八一六是二八五三九八一六与一○○○○○○○○相比为弧矢积与外方积之定率也然今所多之四弧矢积先已用圜率变为方率故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率弧矢积二八五三九八一六为三率得四率三六三三八○二三是三六三三八○二三与一○○○○○○○○相比为已变之弧矢积与外方积之定率也】今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变之积为三率则得四率为辛壬癸子正方积然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已变之积并酉戌亥干四长方积共为三率则辛壬癸子正方积固已补足而酉戌亥干四长方必多补出之分是知酉戌亥干四长方其寛仍为子癸而癸坎之长必亦多补出之分矣故又以四弧矢形已变之积为一率方积为二率以圜界离方边五丈四因之得癸坎之长为三率求得四率即将癸坎之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得辛壬阔即内方对角斜线也
　　设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方边十五丈圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分问圜径方边各几何法以圜界离方边十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜积方积定率比例圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分为三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内减所得九百丈余五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外积二一四六○一八四【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六相减余二一四六○一八四】用圜积变方积法通之得二七三二三九五五为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分为三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分为长方积又以二七三二三九五五为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内方边加圜界离方边共三十丈得四十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而少丑寅卯辰四隅所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积少丑寅卯辰四隅故所变之方环亦少丑寅卯辰四隅所变之积也以圜界离方边十五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小正方形余酉戌亥干四长方形而内少丑寅卯辰四隅所变之积今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所变之积作为辛壬癸子正方形应以定率四隅形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六相减余二一四六○一八四是三一四六○一八四与一○○○○○○口○相比为圜外四隅积与外方积之定率也然今所少者乃圜外四隅积用圜积方积比例之数故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率圜外四隅积二一四六○一八四为三率求得四率二七三二三九五五是二七三二三九五五与一○○○○○○○○相比为已变之四隅积与外方积之定率也】丑寅卯辰四隅形已变之虚积为三率则得四率为辛壬癸子虚方积然今无辛壬癸子四隅形已变之虚积而以酉戌亥干四长方内虚丑寅卯辰四隅形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为辛壬坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥干四长方实积与子癸坎艮长方形之比同于己变之四隅积与方积之比则其所虚之丑寅卯辰四隅已变之积与辛壬癸子正方形之比亦同于己变之四隅积与方积之比而酉戌亥干之共长与壬坎之比亦少同于己变之四隅积与方积之比矣故以四长方之共边比例而得壬坎边为长阔和求得辛壬阔为内方边也
　　设如有一大　　　　　　　　【寸】球体内容四　　　　　　　　　　　　　　【为】小球　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】体大球径一
　　尺二　　　　　　【方】寸求小
　　球径几何法以大球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八
　　积以大　　　　　　　　　　　【分】球径一尺二寸四因之得四尺八寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五寸三分九厘三豪即
　　内容四　　　　　　　　　　　【之】小球之径也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】乙大
　　球体内容丙丁戊　　　　　　　　　　　　　　　【故】己四小球体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】试自四小球之中心俱各作线聮之则成
　　一四等面体　　　　　　　　　　　　　【癸】又以甲乙大球心为【丁】心丙丁戊己小球心为界作一虚圆则
　　成　　　　　　　　　【子】四等面体外切圆球体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【正】四面
　　体之一边即小球径　　　　　　　　　　　　　　　　【方】以四面体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】外
　　切丁　　　　　　　　　　【为】庚虚球径　　　　　　　　　　　　　　　【丁】加一小球径即大
　　球径故以大球径自乘得甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【庚】乙辛壬正【辛丑即四面体每边自】方形内甲癸丁子为小
　　球径　　　　　　　　　　【乘】自乘方丁庚辛丑为四面体外
　　切圆球径自乘方癸乙庚丁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】子丁丑壬为四面体之每边与外切圆球径相乘二长方凡四面体每边【见第二十八卷球内容四面体法】自乘方为外切圆球径自乘方三正方形三分之二将甲乙辛壬正方形倍之则得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四长方而丁庚辛丑二正方为甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四长方即与寅卯辰巳长方积等其巳午长
　　阔之较为甲乙　　　　　　　　　　　　　　【开】球径之四倍故四因大球径为较纵求得阔即小球径也如
　　先有　　　　　　　　　　【平】小球径　　　　　　　　　　　　　　【方】求大球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】则以小球径为四面体之一边自乘二归三因
　　开平方得四面　　　　　　　　　　　　　　【算】体外切圆球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】径再
　　加　　　　　　　　　【得】一小
　　球径即大球　　　　　　　　【阔】径也设如有　　　　　　　　　　　　　　【四】一大　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】球体内容六
　　小球　　　　　　【九】体大球
　　径一尺　　　　　　　　　　　【分】二寸求小球径几何法以大
　　球径一尺三寸自乘得　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】一尺四十四寸为长方积以大球径一尺二寸倍之得二尺四寸为长阔之较用带纵较数
　　厘即内容六小　　　　　　　　　　　　　　【大】球之径数也如图甲
　　乙　　　　　　　　　【球】大球体内容丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】六小球体试自六小球之中心俱各作线聮之则成一八等面体其八面体之一
　　【则】边即小球径以八面体之对角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【以】线
　　加一　　　　　　　　　　【小】小球径即　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球径故以大球
　　径自乘得甲乙壬癸正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】内甲子丙【为即八面体每边自乘】丑为小球径自乘方丙戌壬寅为八面体对角线自乘方子乙戊丙丑丙寅癸为八面体之每边与对角线相乘二长方凡八面体每边自乘方为对【方见第二十七卷八面体】角线自乘方之一半故丙戊壬寅一正方与甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共为甲子丙丑三正方子乙戊丙二长方与卯辰
　　巳午长方积等其午　　　　　　　　　　　　　　　　【法】未长阔之较为甲乙球径之二倍故倍大球径为较纵求得阔即小球径也如先有小球径求八面体之一边自乘加倍开方得对角
　　线再加一小　　　　　　　　　　　　　【小】球径即　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球
　　径也设如一大球体内容八小球体大球径一尺二
　　寸　　　　　【径】求小球
　　径几何　　　　　　　　　　　【乘】法以大球径一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸为
　　长　　　　　　　　　【正】方积以大球径一尺二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔
　　四寸三分九厘二豪　　　　　　　　　　　　　　　　【方】即内容八小球
　　之径数　　　　　　　　　　　【体】也如图甲乙大球体内容丙
　　丁戊　　　　　　　　　　【对】己庚辛壬癸　　　　　　　　　　　　　　　　【角】八小球体试自八小球之中心俱各作线聮之则成一
　　正方体　　　　　　　　　　　【斜】其正方体之一边即小球径
　　以正方体　　　　　　　　　　　　【线】之丙壬　　　　　　　　　　　　　　　　【二】对角斜线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】加一小球径即大球径故以大球径自乘
　　得甲　　　　　　　　　　【方】乙子丑正方形内甲寅卯辰为小球径自乘方卯巳子午为正方体对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑为凡正方对角斜线自乘方为每边自乘方之三倍【尺自乘得见第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长
　　方甲乙　　　　　　　　　　　【正】球径即长阔之较故用带纵
　　较数开平方法算之得阔即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为正方体之一边自乘三因之开平
　　方得正方体对角斜线再加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】一小球
　　【法】径即
　　大球径也设如有三角形底十四尺中埀线十二尺大腰与小腰之较二尺求両
　　腰各几何法借一根为小腰则大腰为一根多二尺以一根自乗得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以一根多二一平方多四根多四尺为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方多四根少一百四十尺为大分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺余四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之积为末率也乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺此二数为相等両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等则一平方多二根必与一百九十五尺相等乃以一百九十五尺为长方积以多二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十三尺为一根之数即小腰加二尺得十五尺即大腰也
　　设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小腰之和二十八尺求大小腰各几何
　　法借一根为小腰则二十八尺少一根为大腰以一根自乘得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少五十六根多六百四十尺为大分底之而积又以底四十尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺余五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而大分底乗小分底之而积为中率小分底之而积为末率也乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺此二数为相等両边各减一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等両边各减四百九十六平方各加八千四百根又各加九万二千一百六十尺得一万六千四百六十四根与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺为长方积以二十八根作二十八尺为长阔和求得阔十三尺为一根之数即小腰也

　　御制数理精蕴下编巻三十七
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十八
　　末部八
　　对数比例

　　对数比例
　　对数比例乃西士若往讷白尔所作以借数与眞数对列成表故名对数表又有恩利格巴理知斯者复加增修行之数十年始至中国其法以加代乘以减代除以加倍代自乘故折半即开平方以三因代再乘故三归即开立方推之至于诸乘方莫不皆以假数相求而得眞数葢为乘除之数甚繁而以假数代之甚易也其立数之原起于连比例葢比例四率二率与三率相乘一率除之得四率而递加递减之四数第二数第三数相加减第一数则得第四数作者有见于此故设假数以加减代乘除之用此表之所以立也然连比例之大者莫如十百千万葢一与十十与百百与千千与万万与十万其数皆为一而递进一位取其整齐而无竒零也一为数之始以之乘除数皆不变故一之假数定为○而十之假数定为一百之假数定为二千之假数定为三万之假数定为四十万之假数定为五推之百千万亿皆递加一数此对数之大纲也其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数又法用递乘而得以眞数递次相乘其乘得之位数即所得之假数此二法者理虽易明而数则甚繁也又有递次开方一法以眞数递次开方假数递次折半至于数十次使彼此皆可为比例而假数由之而生又有相较之一法省开方之多次尤为甚防至于他数之可以乘除得者如二与三相乘而得六则以二之假数与三之假数相加即为六之假数又以二除十而得五则以二之假数与十之假数相减即为五之假数之类其不由乘除而得者则又以累乘累除之法求之此对数之细目也今为推其理考其数先详作表之原次明用表之法使学者知作者之难而用之甚易甚勿以易而忘其难也

　　明对数之原之一
　　凡眞数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数即得第四率相对之假数若减第四率相对之假数即得第一率相对之假数
　　如二四八十六连比例四率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四其递加递减之数皆为一以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加得五内减一率二相对之假数一即得四率十六相对之假数四若减四率十六相对之假数四即得一率二相对之假数一或以二之假数为三四之假数为五八之假数为七十六之假数为九其递加递减之数皆为二以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加内减一率二相对之假数三即得四率十六相对之假数九若减四率十六相对之假数九即得一率二相对之假数三
　　明对数之原之二
　　凡眞数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数即得末率相对之假数若减末率相对之假数即得首率相对之假数
　　如一三九连比例三率任对设一之假数为四三之假数为五九之假数为六其递加递减之数皆为一以中率三相对之假数五倍之得十内减首率一相对之假数四即得末率九相对之假数六若减末率九相对之假数六即得首率一相对之假数四或以一之假数为八三之假数为五九之假数为二其递加递减之数皆为三以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八即得末率九相对之假数二若减末率九相对之假数二即得首率一相对之假数八
　　明对数之原之三
　　凡眞数连比例几率任对设递加递减之较相等之假数其中隔位取比例四率其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数亦得第四率相对之假数若减第四率相对之假数亦得第一率相对之假数
　　如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六连比例几率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四三十二之假数为五六十四之假数为六一百二十八之假数为七二百五十六之假数为八其递加递减之数皆为一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九内减一率四相对之假数二即得四率一百二十八相对之假数七若减四率一百二十八相对之假数七即得一率四相对之假数二

　　明对数之纲之一
　　凡假数皆可随意而定然一之假数必定为○方与眞数相应而眞数连比例率十百千万皆为一但递进一位则其假数亦皆递加一数
　　葢乘除之数始于一故一不用乘亦不用除而加减之数始于○故○无可加亦无可减也假数旣以加减代乘除故一之假数必定为○而一与十十与百百与千千与万万与十万皆为加十倍之相连比例率然其数皆为一但递进一位故一之假数定为○者十之假数即定为一百之假数即定为二千之假数即定为三万之假数即定为四十万之假数即定为五百万之假数即定为六千万之假数即定为七亿之假数即定为八亦皆递加一数而假数即与位数相同试以一百与一千相乘得十万为进二位以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加即得十万相对之假数五亦为加二数也以一十除一千得一百为退一位以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减即得一百相对之假数二亦为减一数也如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数未甞不可然眞数进一位者假数则加二数即不得与位数相同矣
　　明对数之纲之二
　　凡眞数不同而位数同者其假数虽不同而首位必同眞数相同而递进几位者其假数首位必递加几数而次位以后却相同
　　如自一至九眞数皆为单位则假数首位皆为○故二之假数为○三○一○二九九九五七三之假数为○四七七一二一二五四七四之假数为○六○二○五九九九一三五之假数为○六九八九七○○○四三六之假数为○七七八一五一二五○四首位以后零数递增至十则首位皆为一至百则首位皆为二至千则首位皆为三至万则首位皆为四至十万则首位皆为五如一十一一百一十一千一百一万一千一十一万虽递进一位而其数皆为一一故其假数首位虽递加一数而次位以后皆同为○四一三九二六八五二

　　明对数之目用中比例求假数法之一
　　凡连比例率以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数
　　如一十为首率一百为中率一千为末率以首率一十与末率一千相乘开平方得一百为中率以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假数葢首率末率相乘与中率自乘之数等以首率末率两假数相加即与中率之假数加倍之数等故折半为中率之假数也
　　明对数之目用中比例求假数法之二
　　凡十百千万之假数既定而欲求其间零数之假数则以前后相近之两数一为首率一为末率求得中率之眞数并求得中率之假数累次比例使中率恰得所求之眞数其假数即为所求之假数如求九之假数因九在一与十之间则以一为首率十为末率相乘开方得三一六二二七七七为第一次之中率即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数此所得之中率较之首率去九为近故以所得之中率复为首率十为末率相乘开方得五六二三四一三二为第二次之中率即以第二次之首率末率两假数相加折半得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数又以第二次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得七四九八九四二一为第三次之中率即以第三次之首率末率两假数相加折半得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数又以第三次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得八六五九六四三二为第四次之中率即以第四次之首率末率两假数相加折半得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数又以第四次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得九三○五七二○四为第五次之中率即以第五次之首率末率两假数相加折半得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数此所得之中率较之末率去九为近故以第五次所得之中率复为末率仍以第五次之首率为首率相乘开方得八九七六八七一三为第六次之中率即以第六次首率末率两假数相加折半得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数由此递推去九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○其假数为○九六○九三七五○○○第八次之中率为九○一七九七七七其假数为○九五七○三一二五○○第九次之中率为九○一七三三三三其假数为○九五五○七八一二五○第十次之中率为八九九七○七九六其假数为○九五四一○一五六二五第十一次之中率为九○○七二○○八其假数为○九五四五八九八四三七第十二次之中率为九○○二一三八八其假数为○九五四三四五七○三一第十三次之中率为八九九九六○八八其假数为○九五四二二三六三二八第十四次之中率为九○○○八七三七其假数为○九五四二八四六六七九第十五次之中率为九○○○二四一二其假数为○九五四二五四一五○三第十六次之中率为八九九九九二五○其假数为○九五四二三八八九一五第十六次之中率为九○○○○八二一其假数为○九五四二四六五二○九第十八次之中率为九○○○○○四一其假数为○九五四二四二七○六二第十九次之中率为八九九九九六五○其假数为○九五四二四○七九八九第二十次之中率为八九九九九八四五其假数为○九五四二四一七五二六第二十一次之中率为八九九九九九四三其假数为○九五四二四二二二九四第二十二次之中率为八九九九九九九二其假数为○九五四二四二四六七八第二十三次之中率为九○○○○○一六其假数为○九五四二四二五八七○第二十四次之中率为九○○○○○○四其假数为○九五四二四二五二七四第二十五次之中率为八九九九九九九八其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○其假数为○九五四二四二五一二五即所求之假数也然所得中率虽爲九而七空位之后尚有竒零故所得之假数犹为稍大故开方之位数愈多则所得之假数愈密也

　　明对数之目用递次自乘求假数法之一
　　凡连比例率之自小而大者以第一率之眞数递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次加倍即得加倍各率之假数而以各率之假数按率除之即得第一率之假数
　　如以二为连比例第一率其假数为○三○一○二九九九五七以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数而以第二率之假数用二除之即得第一率之假数又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数而以第四率之假数用四除之即得第一率之假数也
　　明对数之目用递次自乘求假数法之二
　　凡连比例率自小而大者其假数之首位旣因眞数之位数而递加故求假数者以所求之眞数为连比例第一率递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率假数之首位递次加倍即得加倍各率之假数而眞数自乘又进一位者则假数加倍后又加一数而以各率之假数按次除之即得所求第一率之假数
　　如求二之假数则以二为连比例第一率是为单位故傍纪○即第二率之假数首位为○也又以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数仍为单位故傍亦纪○卽第二率之假数首位亦为○也又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数是为进前一位故傍纪一即第四率之假数首位为一也又以第四率之眞数十六自乘得二百五十六为第八率之眞数以第四率之假数一倍之得二是为进前二位故傍纪二即第八率之假数首位为二也又以第八率之眞数二百五十六自乘得六万五千五百三十六为第十六率之眞数以第八率之假数二倍之得四是为进前四位故傍纪四即第十六率之假数首位为四也又以第十六率之眞数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六为第三十二率之眞数以第十六率之假数四倍之得八又因第十六率眞数自乘所得首位乃逢十又进一位之数故将假数加倍所得之八又加一得九是为进前九位故傍纪九即第三十二率之假数首位为九也由此递乘至第一万六千三百八十四率之眞数则自单位以前共得四千九百三十二位故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数以一万六千三百八十四除之得○三○一○即为第一率二之假数葢以一万除四千为实不足法一倍则其首位必为○也然其位数尚少故仅得五位若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之眞数则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位即其假数为四一三七五六五五三○七以率数除之得○三○一○二九九九五六六即为第一率二之假数也此法葢因眞数进一位则假数首位加一数今递乘所得之眞数既得若干位则其假数首位必加若干数乃以首位为单位递进向前者也而连比例各率之假数以率数除之即得第一率之假数故以率数除之所得第一率之假数为首位以后之零数也

　　明对数之目用递次开方求假数法之一
　　凡连比例率之自大而小者以第一率之眞数递次开方即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次折半即得加倍各率之假数而以各率之假数按率乘之即得第一率之假数
　　如以二百五十六为连比例第一率其假数为二四○八二三九九六五三以第一率之眞数二百五十六开方得十六为第二率之眞数以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数而以第二率之假数用二乘之即得第一率之假数又以第二率之眞数十六开方得四为第四率之眞数以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数而以第四率之假数用四乘之即得第一率之假数
　　明对数之目用递次开方求假数法之二
　　凡递次开方率皆用二倍葢眞数开方假数折半而折半即二归故递次折半之假数以递次加倍之率数乘之即得第一率之假数
　　如原数为第一率加倍得二为第一次开方之率数【葢折半即二归以二归者复用二乘必仍得原数也】又加倍得四为第二次开方之率数【葢折半二次即四归以四归者复用四乘必亦得原数也】递次加倍则第三次之率为八第四次之率为十六第五次之率为三十二第六次之率为六十四第七次之率为一百二十八第八次之率为二百五十六第九次之率为五百一十二第十次之率为一千零二十四第二十次之率为一百零四万八千五百七十六第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四凡有眞数求假数皆以所求之数为第一率眞数开方几次则假数必折半几次今虽无第一率之假数而苟得其折半第几次之假数则加倍几次必得第一率之假数故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘即得第一率之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之三
　　凡眞数不可与假数为比例者因眞数开方假数折半其相比之分数不同若开方至于数十次则开方之数即与折半之数相同故假数即可用眞数比例而得是以凡求假数者皆以其眞数开方至几十次与此所得之假数相比即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得所求之假数如眞数为一十假数为一○以眞数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次开方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次开方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此递次开方至第五十四次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而与第五十三次开方所得折半之数同是故眞数即可与假数为比例矣乃以一十之假数一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此递次折半亦至第五十四次则得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即为第五十四次开方之假数于是以眞数之零数一二七八一九一四九三二○○三二三五为一率假数之零数五五五一一一五一二三一二五七八二七○为二率眞数之零数一为三率【一率为十七位则三率亦加十六空位以足其分】得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即为一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数前亦仍得十七空位盖真数为一则假数为○今真数之零数即比一多之较假数之零数即比○多之较故以真数之较与假数之较为比例也凡求假数者皆以真数开方至几十次首位得一又得十五空位则以其后之零数与此所得之假数为比例即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得第一率之假数也

　　明对数之目用递次开方求假数法之四
　　凡真数首位为一者则开方首位必得一若首位非一者则以真数递乘几次使首位得一即以递乘所得之真数递次开方至得十五空位乃以其后之零数与前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数相比例即得开方第几次之假数按前率数乘之即得递乘所得真数之假数再看递乘所得真数为连比例第几率则以第几率之数除之即得所求之假数

　　如求二之假数则以二为连比例第一率递次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此数命为第一率其首位之一千命为单位开方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次开方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次开方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次开方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次开方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次开方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次开方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此递次开方至第十七次则得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次则得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次则得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率有十七位则一率亦加十六空位以足其分】其假数十七空位后之零数四三四二九四四八一九○三二五一八○四为二率今所得眞数之零数一六八五一六○五七○五三九四九七七为三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即为开方第四十七次之假数前亦仍为十七空位以加倍四十七次之率数一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为第一率一○二四之假数【葢开方第四十七次之假数为十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位】然一○二四首位之一开方虽命为单位而其实则为千位千之假数首位应为三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是为一千零二十四之假数又因一千零二十四为二之连比例第十率故以十归之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为所求之连比例第一率二之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之五
　　凡求假数眞数开方之次数愈多则所得之假数愈密然用假数不过至十二位观前递次开方表内至九空位以后其开方之数与折半之数已同七位其零数所差甚微故眞数开方至二十七次即可以立率
　　如求二之假数按前法递次乘之至第十率得一○二四开方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣于是察前眞数一○递次开方表内第三十四次数得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦为九空位即以其眞数之零数一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七为一率其假数十一空位后之零数五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五为二率眞数之零数一为三率【一率为二十一位则三率亦加二十空位以足其分】得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即为一○○○○○○○○○一之假数前亦仍为十一空位乃即用此数为比例以眞数之零数一为一率【三率为二十二位则一率亦加二十一空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五为二率今以一○二四开方二十七次所得之零数一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二为三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即为一○二四开方第二十七次之假数前亦仍为十一空位以加倍二十七次之率数一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即为第一率一○二四之假数与前法所得之数同【前法得三九八収之亦为四○○以后竒零防有不合止截用十二位】再按前法首位加三而以率数十归之即得○三○一○二九九九五六六四○为二之假数也此法较之前法开方省二十次而所得之数同故求假数者用此法亦便也
　　明对数之目用递次开方求假数法之六
　　凡开方之数与折半之数虽不同然而不同之较递次渐少故又有相较之法至开方第十次以后则以较数相减即得开方之数
　　如求六之假数以六为连比例第一率递次乘之得连比例第九率为一千零七万七千六百九十六乃以此数命为第一率其首位之一千万命为单位开方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次开方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次开方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次开方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次开方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七与第四次开方所得折半之数渐近乃以第四次开方所得数折半【首位之一不折半葢首位之一诸次开方皆同其数不变也】得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七与第五次开方所得数相减余二九二五五五九八六二九二八九三七五四○为第五次之较设使有第五次之较则将第四次开方所得数折半内减第五次之较即第五次开方所得数然第五次之较乃与第五次开方数相减而得故第五次犹必用开方也第六次开方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次开方所得数折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三与第六次开方所得数相减余七三一三○一五二○八二二四六五一六九为第六次之第一较又将第五次之较四归之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五与第六次之第一较相减余八八四四四九○九七六九二一五为第六次之第二较设使有第二较则将第五次之较四归之内减第六次之第二较即为第六次之第一较将第五次开方所得数折半内减第六次之第一较即第六次开方所得数然第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第六次开方数相减而得故第六次犹必用开方也第七次开方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次开方所得数折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七与第七次开方所得数相减余一八二八一四三二五七六一七○三五九二为第七次之第一较又将第六次之第一较四归之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二与第七次之第一较相减余一一○五四四四三九一二七○○为第七次之第二较又将第六次之第二较八归之得一一○五五六一三七二一一五二与第七次之第二较相减余一一六九八○八四五二为第七次之第三较设使有第三较则将第六次之第二较八归之内减第七次之第三较即为第七次之第二较将第六次之第一较四归之内减第七次之第二较即为第七次之第一较将第六次开方所得数折半内减第七次之第一较即第七次开方所得数然第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第七次开方数相减而得故第七次犹必用开方也第八次开方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次开方所得数折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二与第八次开方所得数相减余四五七○二一九九七○八○四三二○八为第八次之第一较又将第七次之第一较四归之得四五七○三五八一四四○四二五八九八与第八次之第一较相减余一三八一七三二三八二六九○为第八次之第二较又将第七次之第二较八归之得一三八一八○五四八九○八七与第八次之第二较相减余七三一○六三九七为第八次之第三较又将第七次之第三较十六归之得七三一一三○二八与第八次之第三较相减余六六三一为第八次之第四较设使有第四较则将第七次之第三较十六归之内减第八次之第四较即为第八次之第三较将第七次之第二较八归之内减第八次之第三较即为第八次之第二较将第七次之第一较四归之内减第八次之第二较即为第八次之第一较将第七次之开方数折半内减第八次之第一较即第八次开方数然第四较乃与第三较相减而得第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第八次开方数相减而得故第八次犹必用开方也至第九次开方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次开方数折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七与第九次开方数相减余一一四二五三七七二一五○三一九○九为第九次之第一较又将第八次之第一较四归之得一一四二五五四九九二七○一○八○二与第九次之第一较相减余一七二七一一九七八八九三为第九次之第二较又将第八次之第二较八归之得一七二七一六五四七八三六与第九次之第二较相减余四五六八九四三为第九次之第三较又将第八次之第三较十六归之得四五六九一五○与第九次之第三较相减余二○七为第九次之第四较又将第八次之第四较三十二除之亦得二○七与第九次之第四较同故自第十次以后则不用开方【若间方止用二十二位则第八次之第三较已同至第九次即不用开方亦不用第四较】即以第九次之第四较三十二除之得六为第十次之第四较将第九次之第三较十六除之得二八五五五八内减第十次之第四较余二八五五五二即为第十次之第三较将第九次之第二较八归之得二一五八八九九七三六一内减第十次之第三较余二一五八八七一一八○九即为第十次之第二较将第九次之第一较四归之得二八五六三四四三○三七五七九七七内减第十次之第二较余二八五六三二二七一五○四六一六八即为第十次之第一较将第九次开方所得数折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内减第十次之第一较又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即为第十次开方所得数也至第十一次则将第十次之第四较三十二除之不足一倍故无第四较而以第十次之第三较十六除之得一七八四七即为第十一次之第三较将第十次之第三较八归之得二六九八五八八九七六内减第十一次之第三较余二六九八五七一一二九即为第十一次之第二较将第十次之第一较四归之得七一四○八○六七八七六一五四二内减第十一次之第二较余七一四○七七九八○一九○四一三即为第十一次之第一较将第十次开方所得数折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内减第十一次之第一较又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即为第十一次开方所得数也由此递推至第二十三次开方数得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率截用十四位则一率亦加十三空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四为二率【截用十四位以从简易】今开方二十三次所得之零数九二二六二八八九一○四三○七为三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即为开方第二十三次之假数前则为十空位【二率有十四位而其前为十一空位今四率得十五位故前为十空位】以加倍二十三次之率数八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五【葢开方第二十三次之假数为十五位并前十空位共二十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共为二十五位也此截用十二位】即为第一率一○○七七六九六之假数然首位之一开方虽命为单位其实则为千万千万之假数首位应为七故首位为七得七○○三三六一二五三四五是为一千零七万七千六百九十六之假数又因其为连比例第九率故用九归之得○七七八一五一二五○三八即为连比例第一率六之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之七
　　凡求假数先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九数而他数皆由此生然此九十九数内有以两数相乘除而得者则以两假数相加减即为所求眞数之假数至五空位以后则又可以比例而得不必逐一而求也
　　如一至九之九数惟二三七之三数用前递次开方求假数法求之至于四则系二与二相乘所得之数故以二之假数○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即为四之假数至于五系以二除十所得之数故以二之假数与十之假数相减余○六九八九七○○○四三四即为五之假数至于六系二与三相乘所得之数故以二之假数与三之假数相加得○七七八一五一二五○三八即为六之假数【或先得六之假数内减二之假数即得三之假数】至于八系二与四相乘所得之数故以二之假数与四之假数相加得○九○三○八九九八六九九即为八之假数至于九系三与三相乘所得之数故以三之假数○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即为九之假数【或先得九之假数折半即得三十假数】如一一至一九之九数惟一一一三一七一九之四数用前递次开方求假数法求之至于一二系二与六相乘所得之数故以二之假数与六之假数相加得一○七九一八一二四六○四为一十二之假数内减首位之一余○○七九一八一二四六○四即为一二之假数【葢自一一至九空位零九其首位之一皆为单位首位以下为小余试将一十二以十除之仍得一二则其首位之一即为单位二为小余故于十二之假数内减首位之一即减去十之假数而所余为一二之假数也】至于一四乃二与七相乘所得之数故以二之假数与七之假数相加得一一四六一二八○三五六七为一十四之假数内减首位之一余○一四六一二八○三五六七即为一四之假数至于一五乃三与五相乘所得之数故以三之假数与五之假数相加得一一七六○九一二五九○六为一十五之假数内减首位之一余○一七六○九一二五九○六即为一五之假数余皆仿此【详见对数阐防】至于一○○○○○一以后之假数则即可用前递次开方表内相近数比例而得之如求一○○○○○一之假数则以前表内开方第二十一次眞数五空位后之零数一○九七九五八七三五为一率【截用十位以从简便】其假数七空位后之零数四七六八三七一五八二为二率【亦截用十位】今眞数之零数一为一率【添九空位以足其分】得四率四三四二九四三有余前亦仍为七空位【因假数止用十二位故四率止求七位并七空位为十四位已为足用】截前十二位得○○○○○○○四三四二九即为一○○○○○一之假数二因之得○○○○○○○八六八五九【第十三位满五则进一数余仿此】即为一○○○○○二之假数三因之得○○○○○○一三○二八八即为一○○○○○三之假数又以前表内开方第十九次眞数五空位后之零数四三九一八四二一七三为一率其假数六空位后之零数一九○七三四八六三二为二率今眞数之零数四为三率【添九空位以足其分】得四率一七三七一七四○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即为一○○○○○四之假数【不以前所得四率四因之者因前所得一○○○○○一之假数四因之则防小且表内第十九次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○四之假数四归五因【将一○○○○○四之假数四归五因者因欲得一○○○○○一之假数而以五因之也】得○○○○○○二一七一四七即为一○○○○○五之假数将所得一○○○○○四之假数四归六因得○○○○○○二六○五七六即为一○○○○○六之假数又以前表内开方第十八次眞数五空位后之零数八七八三七○三六三四为一率其假数六空位后之零数三八一四六九七二六五为二率今眞数之零数七为三率得四率三○四○○四八○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即为一○○○○○七之假数【不以前所得四率四归七因者因前所得一○○○○○四之假数四归七因之则防小且表内第十八次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○七之假数七归八因得一○○○○○三四七四三四即为一○○○○○八之假数又将所得一○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位【末位满五以上则进一数】前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十八>
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之一
　　凡求假数既得前九十九数而他数有由此乘除而得者则以假数相加减即得所求之假数其不由乘除而得者谓之数根【因无他数可以度尽即算法原本所谓连比例之至小数】则其假数亦不可以加减而得然有虽为数根而前九十九数中有为其根所生者则逆求之即得原根之假数
　　如前九十九数首位既皆为单位则以十乘之即为十以百乘之即为百以千乘之即为千以万乘之即为万故以二之假数与一十之假数相加即为二十之假数与一百之假数相加即为二百之假数与一千之假数相加即为二千之假数与一万之假数相加即为二万之假数又如十一之假数与一十之假数相加即为一百一十之假数以一○五之假数与一百之假数相加即为一百零五之假数与一千之假数相加即为一千零五十之假数眞数同则假数亦同但眞数进一位则假数首位加一数耳又如三与七相乘得二十一则以三之假数与七之假数相加即为二十一之假数二与十一相乘得二十二则以二之假数与十一之假数相加即为二十二之假数至于二十三二十九之类则不以乘除而得是为数根若夫五十三虽亦为数根然以五十三与二相乘则得一百零六前既得一○六之假数则与一百之假数相加即为一百零六之假数内减二之假数即为五十三之假数由此类推数自繁衍而其不可以乘除而得者则又以累乘累除之法而得之【详见后】要未有出于前九十九数之外者也
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之二
　　凡求假数其眞数有以累乘而得者则以假数累加之即得所求之假数
　　如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即为二万零七百零三之假数若先有假数四三一六○三三二八二一三求眞数则视假数内足减二万之假数即以二万之假数书于原假数下相减余○○一五○○三二八六四七足减一○三之假数即以一○三之假数书于减余之下相减余○○○二一六六○六一七六与一○○五之假数恰合是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数则其眞数即知为三眞数累乘所得之数矣乃以二万与一○三相乘得二万零六百再以一○○五乘之得二万零七百零三即为所求之眞数也
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之三
　　凡求假数而不知其眞数为何数累乘而得者则以所知前位之整数累除之除得累乘之眞数则以其假数累加之即得所求之假数
　　如求二十三之假数而不知其为何数累乘而得但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六则以二十三为实以二十为法除之得一一又以两层所减数按位相加得二二即二十与一一相乘之数以之为法除原实二十三得一○四又以两层所减数按位相加得二二八八即二二与一○四相乘之数以之爲法除原实二十三得一○○五又以两层所减数按位相加得二二九九四四即二二八八与一○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四与一○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○四又以两层所减数按位相加得二二九九九九一八八四【法止用十位故第十一位满五以上者进一数用若不满五则去之】即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○三又以两层所减数相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○五又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○八又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十与一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得一三六一七二七八三六○六即为二十三之假数也若先有假数一三六一七二七八三六○六求眞数则视假数内足减二十之假数即以二十之假数书于原假数之下相减余○○六○六九七八四○四○足减一一之假数即以一一之假数书于减余之下相减余○○一九三○五一五五二四足减一○四之假数即以一○四之假数书于减余之下相减余○○○二二七一八一五九四足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○一○五七五四一八足减一○○○二之假数即以一○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○一八九○三九七足减一○○○○四之假数即以一○○○○四之假数书于减余之下相减余○○○○○○一五三二五四足减一○○○○○三之假数即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○二二九六六足减一○○○○○○五之假数即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一二五一足减一○○○○○○○二之假数即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○三八二足减一○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此十一假数累加所得之数而眞数即为此十一眞数累乘所得之数乃以此十一眞数累乘之得二十三即为所求之眞数也
　　又如求五千六百八十九之假数而不知其为何数累乘而得但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○则以五千六百八十九为实以五千六百为法除之得一○一又以两层所减数按位相加得五六五六即五千六百与一○一相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○五又以两层所减数按位相加得五六八四二八即五六五六与一○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○八又以两层所减数按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八与一○○○八相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一即为五千六百八十九之假数也若先有假数三七五五○三五九三三七一求眞数则视假数内足减五千六百之假数即以五千六百之假数书于原假数之下相减余○○○六八四七九○六七一足减一○一之假数即以一○一之假数书于减余之下相减余○○○二五二六五三二九三足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○三六○四七一一七足减一○○○八之假数即以一○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○一三一七四四八足减一○○○○三之假数即以一○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○一四五八四足减一○○○○○○三之假数即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一五五五足减一○○○○○○○三之假数即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○二五二足减一○○○○○○○○五之假数即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此九假数累加所得之数而眞数即为此九眞数累乘所得之数乃以此九眞数累乘之得五千六百八十九即为所求之眞数也

　　求八线对数
　　凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且眞数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正余之眞数求得假数复以正余之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也

　　对数用法
　　设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也
　　设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何
　　法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四眞数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之眞数得九二五八六即为九二五八六○○【因假数首位多二数则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即眞数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则眞数多一百今假数多一一二五八则眞数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡眞数二四位以后其假数之较相差无多故眞数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也
　　设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数得三三四即二百三十四为归除所得之数也
　　设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何
　　法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三【因法之假数大于实之假数故以实之假数加二即如以实之眞数加两空位也】内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六余○四九四八五○○二一七因假数首位为○卽知眞数应得单位其得数首位为升仍以假数首位加三查三四九四八五○○二一七所对之眞数得三一七五【因眞数得四位故将假数首位作三查表若眞数求五位则将假数首位作四查表或五位后仍有余数则用比例求之】即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也
　　设如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙边十二丈求丙乙边丙甲边各几何
　　法以甲角五十度之正假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈【作一二○○○】之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一四三○一即一十四丈三尺零一分为丙乙边也求丙甲边则以乙角九十度之正假数一○○○○○○○○○○○【即半径之数】与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数查假数相近所对之眞数得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙边十六丈甲丙边十二丈问丙角乙角及乙丙边各若干法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度折半为六十五度为半外角乃以边较四丈【作四○○○】之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内减边总二十八丈【作二八○○○】之假数四四四七一五八○三一三余九四八六二二九四一二二爲半较角正切之假数查正切假数相近所对之眞数得十七度二分为半较角与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也又求丙乙边则以五十度之正假数九八八四二五三九六六五与十六丈【作一六○○○】之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内减丙角八十二度二分之正假数九九九五七八八二○九八余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也凡眞数用加减然后比例者须以眞数加减得数再查假数依法算之余皆仿此
　　设如六十四自乘问得几何
　　法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假数所对之眞数得四○九六即四千零九十六为自乘所得之数也葢自乘两数相同则其两假数亦相同故二因之即如二假数相加也
　　设如正方面积三百六十一尺开平方问毎一边数几何
　　法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之眞数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其眞数即得毎边之数也
　　设如正方面积一百五十二万二千七百五十六尺开平方问毎一边数几何
　　法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七因方积系七位今止查得五位仍余二位故将假数首位之四加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数又以一五二二七○○与一五二二八○○相减余一○○为一率以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减余二八五二○四为二率方积之后二位数五六为三率得四率一五九七○四葢眞数多一百则假数多二八五二○四今眞数多五十六则假数应多一五九七一四为比例四率也乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加得六一八二六三○三一九一即为一五二二七五六之假数折半得三○九一三一五一五九六仍查假数所对之眞数得一二三四即一千二百三十四尺为开平方所得毎边之数也
　　又防法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者【葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之】对其眞数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合
　　设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺问毎一边数几何
　　法以方积前五位一五二四一查得假数为四一八三○一三四六三一因方积系十五位今止查得五位仍余十位故将假数首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减截用六空位得一○○○○○○为一率以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减余二八四九四二为二率方积后十位数截用前六位得五七六五二七为三率【因表中假数止于十一位则眞数亦止须用十一位虽眞数后再多几位其假数前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共为十一位】得四率一六四二七七与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加得一四一八三○二九八九○八即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数折半得七○九一五一四九四五四因假数首位为七即知眞数应得八位今对数表假数首位止于四眞数止于五位故将折半所得假数首位之七减去三得四○九一五一四九四五四查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三对其眞数得一二三四五即为一二三四五○○○【因假数首位多三数则眞数进三位】又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减余三五一七八三为一率以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减余一○○○为二率今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减余二三八五一一为三率得四率六七八与一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四万五千六百七十八尺为开平方所得毎一边之数也
　　设如勾二十七尺股三十六尺求若干
　　法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之眞数得七二九为勾自乘之眞数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之眞数得一二九六为股自乘之眞数两自乘之眞数相加【不以两自乘之假数相加者葢假数相加则是相乘故必对其眞数然后相加也】得二○二五为自乘之眞数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之眞数得四五即四十五尺为开方所得之数也
　　设如三十六自乘再乘问得几何
　　法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假数所对之眞数得四六六五六即四万六千六百五十六为自乘再乘所得之数也葢自乘再乘系以方根乘二次则假数亦加二次故以方根之假数三因之即如以方根之假数加二次也其或位数多者依乘法之例推之
　　设如正方体积一万三千八百二十四尺开立方问毎一边数几何
　　法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一用三归之得一三八○二一一二四一七仍查假数所对之眞数得二四即二十四尺为开立方所得每边之数也葢正方体积之假数乃以毎边之假数三因所得之数故三归之即得每边之假数对其眞数即得毎边之数也其或位数多者依平方之例推之
　　设如方根一十六尺问三乘方积几何
　　法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假数所对之眞数得六五五三六即六万五千五百三十六尺为三乘方之积数也葢三乘方系以方根乘三次则其假数亦加三次故以方根之假数四因之即如以方根之假数加三次也其或位数多者亦依乘法之例推之
　　设如三乘方积二万零七百三十六尺问方根几何法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二用四归之得一○七九一八一二四六○仍查假数所对之眞数得一二即一十二尺为开三乘方所得方根之数也葢三乘方积之假数乃以方根之假数四因所得之数故四归之即得方根之假数对其眞数即得方根之数也其或位数多者亦依平方之例推之大凡开诸乘方之理亦皆由于连比例葢方根为连比例第一率平方积为第二率立方积为第三率三乘方积为第四率四乘方积为第五率五乘方积为第六率六乘方积为第七率七乘方积为第八率八乘方积为第九率九乘方积为第十率【与借根方比例定位表同】以第一率方根之假数各以率数乘之即得各乘方积之假数而以各乘方积之假数各以率数除之亦即得第一率方根之假数故由三乘方而进之四乘方求积则用五因求根则用五归五乘方求积则用六因求根则用六归推之至于九乘方求积则用十因求根则用十归即至于一百乘方则以方根之假数用一百零一乘之即得方积之假数以方积之假数用一百零一除之即得方根之假数乘除之数愈繁愈见对数之易此对数之大用也

　　御制数理精蕴下编卷三十八
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十九
　　末部九
　　比例规解【平分线　分面线　更面线分体线　更体线　五金线】

　　比例规解
　　比例尺代算凡防线面体乘除开方皆可以规度而得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究其立法之原总不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线以御轻重一曰分圆线一曰正线一曰正切线一曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线之分法及用法并着于篇此外又有假数尺即用对数及正割切诸线之对数为之用于三率比例测量尤为简捷亦详其法于后

　　平分线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷十九节之法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分即为平分线也尺之长短任意为之尺短则平分一百分尺长则平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也
　　设如一丁戊线欲加五倍问得几何
　　法以比例尺平分线第十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第五十分之辛壬二防相离之度作丁癸线即丁戊线之五倍也葢十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又五十分之防为辛与壬而甲辛壬为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺取平分线第一百五十分之子丑二防相离之度作寅卯线即为丁戊线之十五倍也若欲将丁戊线加三分之二则将平分线第三十分之辰巳二防依丁戊线度展开勿令移动而取平分线第五十分之午未二防相离之度作申酉线即为丁戊线加三分之二也【以丁戊线为三分而加二分共得五分因三与五之防近枢难用故用三十与五十其比例同也】若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数则将平分线第一百分之戌亥二防依丁癸线度展开勿令移动次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二防其相离之度恰符即定为一百分之二十约为五分之一即丁癸丁戊两线之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率为腰二率为底而定尺则三率复为腰而其底即四率也以一率为腰三率为底而定尺则二率复为腰而其底亦即四率也若以一率为底二率为腰而定尺则三率复为底而其腰则四率也诸线之用虽各不同其比例之理则一也
　　设如一丁戊线欲分为六分问每分几何
　　法以比例尺平分线第六十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分之一也葢六十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又十分之防为辛与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚六分之一则辛壬必为己庚六分之一而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣若欲分丁戊线为七分则将平分线第七十分之子丑二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于寅则丁寅即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲取七分之三则仍以丁戊线度于七十分上定尺而取平分线第三十分之卯辰二防相离之度截丁戊线于己则丁己即丁戊线七分之三也
　　设如有十三人每人给银七两问其银几何
　　法以比例尺平分线第十分之丁戊二防依分厘尺七厘之度展开勿令移动次取平分线第一百三十分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共银为九十一两也葢十分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又一百三十分之防为己与庚而甲己庚亦为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊十分与甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也又以十分当一人故以一百三十分当十三人以七厘当七两故九分一厘即为九十一两葢十分与一人之比同于一百三十分与十三人之比而
　　七厘与七两之比亦同于九分一厘与九
　　十一两之比也设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱八千八百文问官员几何法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二防依分厘尺一分之度展开勿令移动次取平分线第八十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得四分即得官四员也葢二十二分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八十八分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比同于丁戊一分与己庚四分之比也又以二十二分当钱二千二百故以八十八分当钱八千八百以一分当官一员故四分即为官四员葢二十二分与二千二百之比同于八十八分与八千八百之比而一分与一员之比亦同于四分与四员之比也
　　设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几何
　　法以比例尺平分线第二十分之丁戊二防【四倍五斗之数因五分近枢难用故用四倍之数也】依分厘尺二分之度展开勿令移动次取平分线第一百二十分之己庚二防相离之度【四倍三石之数三石为三十斗故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之防为丁与戊一百二十分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也又以二十分当五斗为四倍之数故以一百二十分当三石亦为四倍之数以二分当二疋故一寸二分即为十二疋葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也
　　设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三数几何
　　法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二防依分厘尺一分八厘之度展开勿令移动次取平分线第十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得一分二厘即相连比例之第三数为十二也葢二十七分之防为丁与戊十八分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十七与甲庚十八之比同于丁戊十八与己庚十二之比也丁戊与甲庚既同为十八即连比例之中率则己庚十二为连比例之第三率无疑矣
　　设如有勾五尺股十二尺问几何
　　法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二防依本线五十分之度展开勿令移动次取平分线甲庚五十分【当勾数】甲己一百二十分【当股数】之己庚二防相离之度于本线上量之为一百三十分即得十三尺也葢勾三股四五为勾股之定数今以甲戊三十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底则其两腰相交之甲角必为直角故以今有之勾股数为两腰而取其底即为所求之数也若有勾五尺有十三尺而求股则取本线一百三十分之度自五十分之庚防寻至一百二十分之己防其相离之度恰符即得股十二尺矣
　　设如有圆径三十五寸问圆周几何
　　法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二防【径率七之三倍也因七分近枢故用三倍之数】依分厘尺三分五厘之度展开勿令移动次取平分线第六十六分之己庚二防相离之度【周率二十二之三倍也因径率用三倍故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸为所求之圆周也葢二十一分之防为丁与戊六十六分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比而甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣又甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘当一寸故己庚亦以一厘当一寸其比例俱相当也

　　分面线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十一节之法分之即为分面线也或设正方面界一百厘其积数一万厘以二因之得二万厘开平方得一百四十一厘为积二万厘之根又以三因之得三万厘开平方得一百七十三厘为积三万厘之根照此屡倍积数开平方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分面线也
　　设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何法以比例尺分面线第一分之两防【因甲方之积为一分故用一分也】依甲正方形每边一寸之度展开勿令移动乃并三正方面积共十六分即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙丙三正方形之共积等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍则十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一边其积为一分则以十六分相距之度所作正方形其积必为十六分与三正方形之共积相等也
　　设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边四寸今欲将两面积相减取其余积作同式等边三角形问其边几何
　　法以比例尺分面线第一分之两防依小形每边一寸之度展开勿令移动次以大形每边四寸之度于分面线上寻至第十六分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为十六与一相减余十五为较积即取分面线第十五分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即较形之每一边也葢大小同式多边形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八卷第九节】今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例亦为十六与一矣夫大小两距度即大小两三角形之相当界其所作两正方形之比例既为十六与一则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣既得两形之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
　　设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五等边形问其每边几何
　　法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取第三分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分为所求大形之每一边用其度作五等边形其积与原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八巻第九节】今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣夫一分相距之度即原形之界则以三分相距之度为大形之界其积为原形之三倍可知矣又以二寸当原形之边二尺故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也
　　设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何
　　法以比例尺分面线第四分之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分面线第三分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸为所求小形之每一边用其度作六边形其积即为原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣夫四分相距之度即原形之界则以三分相距之度为小形之界其积为原形四分之三可知矣又以三寸当原形之边三尺故二寸六分即为二尺六寸也
　　设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中率几何
　　法以比例尺分面线第二分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取分面线第八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺为相连比例之中率也葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比今首率为二尺末率为八尺则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例故以二分相距之度为首率之数则八分相距之度必为中率之数可知矣又首率用二寸当二尺故中率四寸即为四尺也
　　设如有正方面积一千六百尺问每一边几何法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积数一千六百尺相较其比例如一与十六即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺为所求正方之每一边也葢一分之积既为一百尺则十六分之积必为一千六百尺而一分相距之度既为方积一百尺之每一边则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣又以一寸当十尺故四寸即为四十尺也
　　设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何法以比例尺分面线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一万尺与积数九千零二十五尺相较其比例如一百与九十有余即取分面线第九十分有余相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺为所求正方之每一边也葢一百分之积既为一万尺则九十分有余之积必为九千余尺而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分五厘即为九十五尺也

　　更面线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一亿用面部内面积相等边线不同之定率比例得各形之边线其方边一万圜径一万一千二百八十四三等边一万五千一百九十七五等边七千六百二十四六等边六千二百零四七等边五千二百四十六八等边四千五百五十一九等边四千零二十二十等边三千六百零五将各形边数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更面线也
　　设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与圆积等问每边几何
　　法以比例尺更面线圆号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分为正方形之每一边用其度作正方形其积与圜积等也葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例今圆号相距之度既为圆径则方号相距之度必为方边无疑矣又以一寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六厘即为方边一尺零六分也
　　设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每边十尺欲并作一正方形问每边几何
　　法以比例尺更面线三边号之两防依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两防依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也
　　设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边六尺今将两面积相减用其余积作一七边形问其边几何
　　法以比例尺更面线八边号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两防依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两防依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也
　　设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边几何
　　法先以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积四千四百四十五尺相较其比例如一与四十四又九之五即取分面线第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二为方形之一边用其度作正方形其积与十边形积等也乃以更面线方号之两防依方形每边六寸六分又三分之二之度展开勿令移动次取十边号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺为所求十边形之每一边也葢正方形为各面形比例之宗故凡有积求边者必先用分面线求得方形之边然后用更面线使方号两防相距之度与方边等而取所求形之号两防相距之度即所求形之一边自圆形三边形以至九边形皆同一法也

　　分体线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十二节之法分之即为分体线也或设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之得二百万厘开立方得一百二十六厘为积二百万厘之根又以三因之得三百万厘开立方得一百四十四厘为积三百万厘之根照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线也
　　设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何法以比例尺分体线第一分之两防依甲正方体每边二寸之度展开勿令移动乃并三正方体积共八分即取八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙丙三正方体之共积等也葢八分所作正方体原比一分所作正方体大八倍则八分相距之度所作正方体亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣一分相距之度即甲正方体之一边其积为一分则以八分相距之度所作正方体其积必为八分与三正方体之共积相等也
　　设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边三寸今将两体积相减取其余积作同式四面体问其边几何
　　法以比例尺分体线第一分之两防依小体每边一寸之度展开勿令移动次以大体每边三寸之度于分体线寻至第二十七分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为二十七与一相减余二十六为较积即取分体线第二十六分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即较体之每一边也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例【见几何原本十卷第七节】今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例亦必为二十七与一矣夫大小两距度即大小两体之相当界其所作两正方体之比例既为二十七与一则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣既得两体之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
　　设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八等面体问其每边几何
　　法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取第四分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分为所求体之一边用其度作八等面体其积与原体之四倍等也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣夫一分相距之度即原体之界则以四分相距之度为大体之界其积为原体之四倍可知矣又以一寸当原形边一尺故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也
　　设如有圆　　　　　　　【依】球径三尺欲取其积五分之二作同式圆球体问其径几
　　何法以比例尺分体线第五分之两防分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分体线第二分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分为所求小体之一边用其度为
　　径作圆　　　　　　　　　　　【依】球体其积为原体五分之二也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣夫五分相距之度即原体之径则以二分相距之度为小体之径其积为原体五分之二可知矣又以三寸当原体之径三尺故二寸二分一厘即为二尺二寸一分
　　也设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺求二率三率各几
　　何法以比例尺分体线第八分之两防分厘尺八分之度展开勿令移动次取分体线第二十七分之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分即十二尺为连比例四率之第二率既得二率乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法以平分线第八分之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取平分线第十二分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸八分即十八尺为连比例四率之第三率也葢相连比例四率其一率所作正方体与二率所作正方体之比例同于一率与四率之比例今一率为八尺四率为二十七尺则一率所作正方体与二率所作正方体之比例即如八与二十七之比例故以八分相距之度为一率之数则二十七分相距之度必为二率之数可知矣又一率用八分当八尺故二率一寸二分即为十二尺至于求第三率之法即平分线求连比例三率之理也
　　设如有正方体积二万七千尺问每一边几何法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数二万七千尺相较其比例如一与二十七即取分体线第二十七分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即三十尺为所求正方体之每一边也葢一分之积既为一千尺则二十七分之积必为二万七千尺而一分相距之度既为方积一千尺之每一边则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣又以一寸当十尺故三寸即为三十尺也
　　设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每一边几何
　　法以比例尺分体线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也
　　设如有银正方体每边二寸问重几何
　　法以比例尺分体线第九分之两防【银正方一寸之定率为九两故用九分度】依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两防其相距之度恰合即七十二两为银正方体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度一寸其积为九分相距之度二寸其积则为七十二分今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣又以九分当九两故七十二分为七十二两也
　　设如有大铜　　　　　　　　【之】球体径二寸重三十一两四钱一分
　　今有小　　　　　　　【比】铜球体径一寸二分问重
　　几何法以比例尺分体线第三十一分
　　四厘之处　　　　　　　　　　　　【例】依大球径二寸之度展开
　　勿令移动　　　　　　　　　　　　【与】次取小球径一寸二分之度于分体线上寻至第六分七厘有余之处其相距之度恰合即六两七钱有余为小铜球体之重数也葢各体重数积数之比例等相距之度二寸其积为三十一分四厘相距之度一寸二分其积则为六分七厘今相距一寸之三十
　　一分四厘既为径二寸大铜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【钱】球体之重数则相距一寸二分之六分七厘必
　　为径一寸二分小　　　　　　　　　　　　　　　【也】铜球体之重数矣又以三十一分四厘当三十一两四钱故六分七厘即为六两七

　　更体线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一兆用体部内体积相等边线不同之定率比例得各体之边
　　线其立方边一万　　　　　　　　　　　　　　　【正】球径一万二千四百零七四面体边二万零三百九十七八面体边一万二千八百四十九十二面体边五千零七十二二十面体边七千七百一十将各体边线数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更体线
　　也设如有　　　　　　　【方】甲球体径二尺欲作一正方体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】积与球积等问每
　　边几何法以比例尺　　　　　　　　　　　　　　　　【其】更体线球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分一厘即一尺六寸一分为正方体之每一边用其度作
　　积与甲　　　　　　　　　　　【厘】球积等也　　　　　　　　　　　　　　　　【即】葢球号与方号
　　之比例原为同　　　　　　　　　　　　　　【三】积之球径与立方边之比例则其两距度之比例亦必为球
　　径与立方边之　　　　　　　　　　　　　　【尺】比例今球号相距【一】之度既为球径则方号相距之度必为
　　方边无疑矣　　　　　　　　　　　　　【寸】又以二寸当球径二尺故一寸六分一厘即为一
　　尺六寸一分也设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四尺欲并作一正方
　　体问每边几何法以比例尺更体线四面号之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸四分六厘即一尺四寸六分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲四面体积等也又以八面号之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得三寸一分一一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与乙八面体积等也乃将两正方体用分体线求其积之比例以分体线第一分之两防依小方体每边一寸四分六厘之度展开勿令移动复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处其相距之度恰合即两方体之比例为一与九分五厘并之得十分五厘即取分体线第十分五厘相距之度于分厘尺上量之得三寸二分即三尺二寸为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙两体之积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相加故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体复用分体线求其比例而并之即得所求大方体之一边也
　　设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺今将两体积相减用其余积作十二面体问其边几何
　　法以比例尺更体线方号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零一厘四豪即一尺零一分四厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与甲正方体积等也又
　　以　　　　　　　　　【上】球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得八分一厘七豪即八寸一分七厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与【寻】乙球体积等也乃将两十二面体用分体线求其比例以分体线第十分之两防依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开勿令移动复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线至第十九分其相距之度恰合即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分即取分体线第九分两防相距之度于分厘尺上量之得七分九厘即七寸九分为所求十二面体之每一边用其度作十二面体与甲乙两体相减之余积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相减故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体复用分体线求其比例而后相减即得所求十二面体之一边也
　　设如有二十面体积一万七千四百五十五尺问每一边几何
　　法先以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数一万七千四百五十五尺相较其比例如一与十七又九之五即取分体线第十七分又九之五相距之度于分厘尺上量之得二寸五分九厘即二十五尺九寸为正方体之一边用其度作正方体其积与二十面体积等也乃以更体线方号之两防依正方体每边二寸五分九厘之度展开勿令移动次取二十面号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即二十尺为所求二十面体之每一边也葢正方体为各体形比例之宗故凡有积求边者必先用分体线求得方体之边然后用更体线使方号两防相距之度与方边等而取所求体之号两防相距之度即所求
　　体之一边自　　　　　　　　　　　　　【也】球体四面体至二十面体皆同一法

　　五金线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用各体权度比例定率数金重十六两八钱水银重十二两二钱八分铅重九两九钱三分银重九两铜重七两五钱铁重六两七钱锡重六两三钱为各体正方一寸轻重之比例【定率数有三十余种尺不能尽载惟此数者其用为多故止载此】若重数相等则其积数必不同故又用转比例之法求其体积之比例命金之积为十亿则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五【水银重十二两二钱八分为一率金重十六两八钱为二率金积十亿为三率得四率即水银积余仿此】铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六铜之积为二十二亿四千万铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六既得各体之积数乃开立方求其方根则金之数为一千水银之数为一千一百一十铅之数为一千一百九十一银之数为一千二百三十一铜之数为一千三百零八铁之数为一千三百五十八锡之数为一千三百八十六爰将各根数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成五金线也
　　设如有金　　　　　　　【重】球径二尺欲作一　　　　　　　　　　　　　　　【之】银球其重　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【金】与金球等问
　　径几何法以比例尺五金线金号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分六厘即二尺四寸六分为银球径用其度作银球即与金球重等也葢金号与银号之比例原为同体边与银体边之比例则金号与银号两距度之比例亦必为同重之金体边与银体边之比例今金号相距之度既
　　为金　　　　　　　　　　【面】球径则银号相距之度必为【体】
　　银球径可知矣又以二寸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【其】当金球径二尺故二寸四分六厘即为二尺四寸
　　六分也设如有金正方体每边一寸重十六两八钱今欲作银八面体其重与金正方体等问每一边几何法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边一寸之度展开勿令移动次取八面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分八厘有余即为金正方体等重之金八面体之每一边数乃以五金线金号之两防依金八面体每边一寸二分八厘之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分八厘有余即为银八面体之每一边用其度作八重与金正方体等也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为八面体而后用五金线比例之其法与前同也
　　设如有铜正方体每边二寸重六十两今有铅一百
　　两欲铸为　　　　　　　　【号】球体问径几
　　何法先以分体线第六十分之两【两防原重六十两故取六】防依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两防相距之【十分今重一百两故取一】度于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两防依正方每边二寸三分七
　　厘之度展开勿令移动次　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】取球号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸
　　九分四厘即重一百两　　　　　　　　　　　　　　　　　【分】之铜球径复以五金线铜号之两防依铜球径二寸九分四厘之度展开勿令移动次取铅相距之度于分厘尺上量之得二寸六
　　分八厘即重一百两之铅　　　　　　　　　　　　　　　　　　【边】球径也葢两重数不同而两体又不同不能得其比例故先用分体线变为同重之铜正
　　方体又用更体线变为同重之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【必】铜球体乃用五金线铜与铅之边线以比例之而后得其径
　　数也设如银正方一寸重九两问铜正方一寸重几何法以五金线银号之两防依正方一寸之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零五厘二豪即为重九两之铜正方边数乃以分体线九十分之两防依一寸零五厘二豪之度展开勿令移动而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两防其相距之度恰合即七两五钱为铜正方一寸重数也葢银重九两其方边一寸则铜重九两其方为一寸零五厘二豪又铜方边一寸零五厘二豪其重九两则铜方边一寸其重即为七两五钱也
　　设如有银正方体每边二寸重七十二两今欲作一铜二十面体其边与正方体等问重几何
　　法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边二寸之度展开勿令移动次取二十面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分四厘有余即为银正方体等重之银二十面体之每一边乃以五金线银号之两防依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分三厘有余即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边复以分体线第七十二分之两防依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开勿令移动而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处其相距之度恰合即一百三十两有余为铜二十面体之重数也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为二十面体又用五金线变银二十面体为铜二十面体复用分体线有边求重之法比例之然后得其重数也

　　御制数理精蕴下编卷三十九
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷四十
　　末部十
　　比例规解【分圆线　正线　　正切线　　正割线　尽日晷法假数尺　正假数尺　　切线假数尺　割线假数尺】

　　分圆线【即圆内之通线】
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正倍之即一度之通一度之正倍之即二度之通一度三十分之正倍之即三度之通至于九十度之正倍之即一百八十度之通以所得通之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也
　　设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通几何
　　法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通之数也葢圆之半径与六十度之通等六十度之通既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通可知矣
　　设如甲乙半径六寸丙乙通三寸问丙乙弧度几何
　　法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取通三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两防其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通等通六寸相当之度为六十度则丙乙通三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣
　　设如丙乙弧三十一度丙乙通一寸零三厘问甲乙半径几何
　　法以比例尺分圆线三十一度之两防依通一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通与圆之半径等三十一度之通为一寸零三厘则六十度之通二寸即为圆之半径可知矣
　　设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两防依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通而半径又即六十度之通六十度之通为三寸则七十二度之通三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣
　　设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
　　法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊爲乙角之通乃以比例尺分圆线六十度之两防依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通之度于分圆线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙角为三十度也

　　正线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正线自一度至九十度之数【自八十度至九十度正每度之较甚防若尺小不能分或隔一度而作一防或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正线也
　　设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正几何
　　法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢圆之半径与九十度之正等九十度之正既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通折半得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢正之弧为弧背之一半正为通之一半故求得倍弧之通折半即半弧之正此分圆线与正线可以互相为用也
　　设如甲乙半径六寸乙丁正三寸问乙丙弧之度几何
　　法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正三寸之度于正线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正等正六寸相当之度为九十度则正三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以正三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也
　　设如甲乙弧三十二度甲丙正一寸零六厘问乙丁半径几何
　　法以比例尺正线三十二度之两防依正一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正与圆之半径等三十二度之正为一寸零六厘则九十度之正二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正一寸零六厘倍之得通二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两防依通二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也
　　设如简平仪下盘作节气线问其法若何
　　法自甲圆心作乙丙径线
　　又自甲平分作赤道线即
　　为春分秋分线乃以比例
　　尺正线九十度之两防
　　依甲乙半径之度展开勿
　　令移动次取二十三度半
　　两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上
　　作识如丁戊依识与赤道
　　平行作线即为夏至冬至
　　线【丁为夏至戊为冬至】复以正线
　　九十度之两防依甲戊二
　　十三度半之正线度展
　　开勿令移动而取十五度
　　三十度四十五度六十度七
　　十五度之各两防相距之度
　　于赤道左右作识悉与赤道
　　平行作线即成二十四节气
　　线也葢赤道即春分秋分距
　　二分十五度之线左为惊蛰
　　寒露右为清明白露距二分
　　三十度之线左为雨水霜降
　　右为谷雨处暑距二分四十
　　五度之线左为立春立冬右
　　为立夏立秋距二分六十度
　　之线左为大寒小雪右为小
　　满大暑距二分七十五度之
　　线左为小寒大雪右为芒种
　　小暑距二分九十度之线左
　　即冬至右即夏至也

　　设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
　　法如前作径线及赤道二
　　至线乃以比例尺正线
　　九十度之两防依半径【即春
　　秋分线之半】之度展开勿令移
　　动次取十五度三十度及
　　四十五度六十度七十五
　　度之各两防相距之度自
　　圆心于赤道线上下作识
　　即春秋分时之二十四时
　　刻也又以比例尺正线
　　九十度之两防依冬夏至
　　线之半展开勿令移动取
　　十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各两
　　防相距之度自圆径与二
　　至线相交之处于二至线
　　上下作识即二至时之二
　　十四时刻也乃用三防串圆
　　之法将二至及二分之防连
　　为一线即成时刻线矣葢中
　　心横线为卯正酉正距中心
　　十五度之线上为辰初酉初
　　下为卯初戌初距中心三十
　　度之线上为辰正申正下为
　　寅正戌正距中心四十五度
　　之线上为巳初申初下为寅
　　初亥初距中心六十度之线
　　上为巳正未正下为丑正亥
　　正距中心七十五度之线上
　　为午初未初下为丑初子初
　　距中心九十度之线即圆周
　　上为午正下为子正也

　　正切线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何
　　法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆仿此
　　设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度
　　于正切线上寻至三十五度之两防其相距之度　　恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如
　　甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两防依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸
　　零五厘则四十五度之切线一寸五分即为
　　丁乙半径可知矣
　　设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两防其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也
　　设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两防其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也

　　正割线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚防若尺小不能分或隔五度作一防自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺上不能容故止取七十度也】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何
　　法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两防相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣
　　设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何
　　法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两防其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣
　　设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何
　　法以比例尺正割线四十四度半之两防依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣

　　作地平日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先作南北东西线相交于
　　甲各成直角次作甲乙丙晷
　　表取甲角五十度为赤道髙
　　丙角四十度为北极高而乙
　　角为直角次取晷表之甲乙
　　度截南北线于丁为半径作
　　圜用比例尺分圆线比得十
　　五度三十度四十五度六十
　　度七十五度之各分分圜界
　　作识乃自丁圜心引出各界
　　作线至东西线上即得午正
　　前后各初正时刻或以甲乙
　　为半径用比例尺正切线比
　　得十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各切线
　　自甲左右作以北极出地四
　　十度为准
　　识于东西线上亦即午正
　　前后各初正时刻【甲为午正距甲
　　十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正
　　后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲
　　六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰
　　初后为酉初也】乃以晷表之丙为
　　晷心至各防作线即时刻
　　线也卯正酉正各距午正
　　前后九十度故自丙晷心
　　与东西线平行作线即卯
　　正酉正线卯正以前酉正
　　以后则日转在北影转在
　　南故与辰初酉初反对作
　　线即卯初戌初线也次按
　　刻细分则自午正甲防每
　　加三度四十五分而得一
　　刻葢十五度当四刻而三
　　度四十五分则当一刻也
　　此法葢因北极为天之枢赤
　　道为天之带太阳虽由黄道
　　而行时刻皆以赤道而定故
　　以晷表之甲乙指赤道丙乙
　　指北极而东西线即为赤道
　　线丙乙即为过极经圈甲乙
　　即为半径午正太阳在正南
　　则影在正北若偏东偏西若
　　干度则其切线即其影之长
　　故以甲乙为半径作圜而分
　　圜界者即所以求切线至于
　　用比例尺正切线者正以切
　　线分时刻也地平日晷作节
　　气线法法以甲乙
　　丙晷表之甲角与丙乙
　　平行作戊己线而以甲乙为
　　半径用比例尺

　　正切线比得二十三度三
　　十分二十二度四十分二
　　十度十二分十六度二十
　　三分十一度三十分五度
　　五十五分之各切线自甲
　　左右作识于戊己线上即
　　得各节气日影界【春秋分为赤道
　　冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分
　　小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二
　　度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北
　　各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距
　　赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷
　　雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤
　　道南清明白露距赤道北各五度五十五度】或
　　以二十三度三十分之正
　　切线甲戊为半径作圜将
　　甲乙线引长平分为四象
　　限用比例尺分圆线比得
　　十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各圜
　　界又以乙戊为半径作戊
　　己弧而依所分甲戊小圜
　　界各与甲乙平行作线截
　　戊己弧界又自乙至戊己
　　各弧界作线截戊甲己线
　　亦即得各节气日影界【甲为
　　春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露
　　距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四
　　十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度
　　左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为
　　小寒大雪右为芒种小暑】乃自乙至各
　　防作线与午正时刻线相
　　交其相交之防即午正各
　　节气日影界也若求未初
　　节气线则先以丙乙为半
　　径作圜又依甲乙度截午
　　正线于庚而以未初线与赤
　　道相交之辛防至庚相距之
　　度截圜界于壬作壬辛线乃
　　与壬辛取直角作癸子十字
　　线以壬辛为半径如前法比
　　得二十三度三十分等距纬
　　之各切线于辛左右作识于
　　癸子线乃自壬至各防作线
　　与未初时刻线相交其相交
　　之防即未初各节气日影界
　　也仿此类推则得各时刻之
　　各节气日影界或用捷法另
　　取一纸画甲乙丙表式将乙
　　甲乙戊乙己类各节气线俱
　　画长些如求未初节气线则
　　以丙合于晷心丙而以甲乙
　　春秋分线

　　合于未初时刻线与赤道相
　　交之辛防乃于各节气线与
　　未初时刻线相交之处俱作
　　防识之即得未初各节气之
　　日影界余仿此乃将各时刻
　　线与莭气线相交之防作线
　　聫之即成节气线也葢春秋
　　分日行赤道而晷表之甲乙
　　指赤道故赤道线即为春秋
　　分线春秋分时日在赤道则
　　午正日影在甲春分以后秋
　　分以前日在赤道北夏至而
　　极北则影在南春分以前秋
　　分以后日在赤道南冬至而
　　极南则影在北故以甲乙为
　　半径而取各距度之切线为
　　各节气之

　　影界且切线与半径成直
　　角故先与甲乙取直角作
　　十字线而后得其切线也
　　【甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下
　　己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与
　　平面斜线之度同葢平与立之理一也】其以
　　冬夏至之影界为半径作
　　圜用分圆线求之者葢半
　　径与冬夏至距纬正之
　　比同于各节气距二分度
　　之正与各节气距纬正
　　之比故以甲戊为半径
　　作圜为一率又以乙戊为
　　半径作戊己弧则甲戊切
　　线即变为冬夏至距纬之
　　正为二率而用分圆线
　　所分各圜界即得各节气
　　距二分度之正为三率
　　其自圜界作线截戊己弧
　　即得各节气距纬之正
　　为四率既得各节气之距
　　纬度又自乙至各弧界作
　　线截戊甲己线则戊甲己
　　线仍为各节气距纬之切
　　线故用正即如用切线
　　也然虽得各节气之影界
　　而犹不在午正线之上故
　　自乙至各节气防作线交
　　于午正线乃自乙表端照
　　至各节气防所必经之处
　　故为午正节气日影界也
　　至于未初春秋分时则日
　　影至辛乙辛为影线成乙
　　甲辛勾股形甲乙为股【甲乙
　　表直立故为股】甲辛为勾乙辛为
　　故以甲乙度截午正线
　　于庚而取庚辛之度即与
　　乙辛影线之度等又乙辛
　　线与丙乙为直角成丙乙
　　辛立勾股形丙乙为勾乙
　　辛影线为股丙辛时刻线
　　为【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经
　　圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而
　　非直角也】故以丙乙为半径作
　　圜而取庚辛度截圜界于
　　壬成丙壬辛平勾股形即
　　与丙乙辛立勾股形相等
　　【丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为线故成
　　相等勾股形】爰以壬辛影线为
　　半径与壬辛作直角取各
　　节气之切线为各节气日
　　影界皆与午正取节气线
　　之法同至其捷法乃以已
　　成之勾股已分之切线转
　　移用之尤为便捷也
　　向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先作直线及东西横线
　　相交于甲各成直角次作
　　甲乙丙晷表取甲角四十
　　度丙角五十度而乙为直
　　角乃依地平日晷作时刻
　　线法求之即得各时刻线
　　葢晷表之甲丙指天顶甲
　　乙指赤道故丙甲乙角定
　　为四十度则乙甲丁外角
　　为五十度即赤道之髙度
　　也丙乙指南极丙戊指地
　　平故甲丙乙角定为五十
　　度则乙丙戊外角为四十
　　度乃南极入地之度即北
　　极出地之度也甲乙既指
　　赤道丙乙既指南极则丙
　　乙即为过极经圈甲乙即
　　为半径午正太阳在正南
　　则影在正北若偏东偏西
　　若干度则其切线即其影
　　之长皆与地平日晷之法
　　同至于作节气线之法亦
　　与地平日晷同但赤道线
　　以上为春分前秋分后至
　　冬至之节气线赤道线以
　　下为春分后秋分前至夏
　　至之节气线葢春分以后
　　秋分以前日行赤道北夏
　　至而极北其度髙故其影
　　在下也秋分以后春分以
　　前日行赤道南冬至而极
　　南其度卑故其影在上也
　　向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先安甲乙直表与壁面
　　成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲
　　丙垂线及甲丁横线各成
　　直角次以甲为心作甲丙
　　丁象限弧用比例尺分圆
　　线比得赤道髙五十度之
　　弧为丁戊自甲至戊作甲
　　戊赤道线乃以甲乙表长
　　为半径用比例尺正切线
　　比得十五度三十度四十
　　五度六十度七十五度之
　　各切线于赤道线上作识
　　按识作十字线即成时刻
　　线也【甲防为卯正距甲十五度前为卯初后为
　　辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距
　　甲六十度为巳正距甲七十五度为午初】葢时
　　刻生于赤道春秋分时卯
　　正日出正东与表对射故
　　无影若向南若干度则其
　　切线即其影之长至于午
　　正则距卯正九十度切线
　　与割线平行故无切线而
　　日影即与壁面平行故亦
　　无影也若于向西壁上画
　　晷则以午初为未初巳正
　　为未正巳初为申初辰正
　　为申正辰初为酉初卯正
　　为酉正卯初为戌初余俱
　　与向东壁上画晷法同
　　向东壁上立面日晷画节气线法
　　法以乙表端至卯初防相
　　距之度为半径用比例尺
　　正切线比得二十三度三
　　十分二十二度四十分二
　　十度十二分十六度二十
　　三分十一度三十分五度
　　五十五分之各切线于卯
　　初线左右作识即得各节
　　气日影界【春秋分为赤道冬至距赤道南
　　夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤
　　道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒
　　小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二
　　分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六
　　度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道
　　北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露
　　距赤道北各五度五十五分】又以乙表
　　端至卯正防相距之度【即甲
　　乙表长】为半径比得各节气
　　距纬度之切线于卯正线
　　左右作识即为卯正各节
　　气日影界凡各时刻节气
　　俱以乙表端至各时刻防
　　相距之度为半径比得各
　　节气距纬度之切线于各
　　时刻线左右作识即得各
　　时刻各节气之日影界将各
　　防作线聨之即成节气线也
　　葢春秋分时日在赤道故其
　　影界即在赤道线之上其自
　　表端至各时刻防相距之度
　　即春秋分各时刻之影线也
　　若春分以后秋分以前日在
　　赤道北夏至而极北则影在
　　南春分以前秋分以后日在
　　赤道南冬至而极南则影在
　　北故以表端至各时刻防相
　　距之度为半径而取各节气
　　距纬度之切线即为各时刻
　　各节气之日影界聨之即成
　　节气线也向西壁法同

　　假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也
　　设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也
　　设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何
　　法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也
　　设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何
　　法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也
　　设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也
　　设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何
　　法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也
　　设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何
　　法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也

　　正假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正假数首位为一○一度之正假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也
　　设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正与丙角正之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正为一率五十三度之正为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也
　　设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何
　　法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正与丙角正之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也

　　切线假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正假数尺同也
　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何
　　法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也
　　设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何
　　法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也

　　割线假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也
　　设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何
　　法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也
　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何
　　法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也

　　御制数理精蕴下编卷四十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴表卷一上
　　八线表
　　八线表説
　　八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正余若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒　四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上
　　检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒
　　凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正一八三七三四与一度三分二十秒之正一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正盖多十秒则正多四八五今多三秒则正应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余则仍以十秒为一率一度三分十秒之余九九九八三一二内减一度三分二十秒之余九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余盖多十秒则余少九今多三秒则余应少三为比例四率也　如有正一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正相较则多与一度三分二十秒之正相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正相减余四八五为一率十秒为二率今有之正内减一度三分十秒之正余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余内减一度三分二十秒之余余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余内减今有之余余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也
　　八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余之数余矢即半径减正之数故表内虽不列正矢余矢而其【数已寓矣】

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上>
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　几何论约　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案几何论约七卷
　　国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六巻萨几里得以絶世之萟传其国递校之秘法其果有九巻之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所着几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　原序
　　凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无书至论物之形则絶无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也防何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有濶狭有厚薄短长曰线濶狭曰面厚薄曰体以三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测逺参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为厯学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律厯轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所騐虽古人成説不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释巻不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒乆矣即以律厯论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之説而以防何之学求之则数以象明理因数显涣然氷释无往不合即推而广之凡量髙测逺授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之防无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴防何一书絶非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归防简学者辍其章句词赋之功假十一于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六巻已行于世正与防何家相为表里合二书评之皆洁浄精实防于不能损益一字语不云乎言之无文行之不逺吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语賛两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶防哉吴学颢序

　　原序
　　几何原本者西洋欧吉里斯之书自利氏西来始其学元扈徐先生译以华文厯五载三易稿而后成其书题题相因由浅入深似晦而实显似难而实易为人不可不读之书亦人人能读之书故徐公尝言曰百年之后必人人习之即又以为习之晚也书成于万厯丁未至今九十余年而习者尚寥寥无防其故何与盖以毎题必先标大纲继之以解又继之以论多者千言少者亦不下百余言一题必绘数圗一圗必有数线读者须凝精聚神手志目顾方明其义精神少懈一题未竟已不知所言为何事习者之寡不尽由此而未必不由此也若使一题之蕴数语辄尽简而能明约而能该篇幅既短精神易括一目了然如指诸掌吾知人人习之恐晩矣或语余日子盍约之余曰未易也以一语当数语聪頴者所难而况鲁钝如余者乎虽然试为之于是就其原文因其次第论可约者约之别有可发者以已意附之解已尽者节其论题自明者并节其解务简省文句期合题意而止又推义比类复缀数条于末以广其余意既毕事爰授之梓以就正四方倘摘其谬删其繁补其遗漏尤余所厚望焉杜知耕序

　　钦定四库全书
　　几何论约巻一之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説三十六则【凡造论先当分别解説论中所用名目故作界説】
　　一界防无长短广狭厚薄
　　二界线有长短无广狭厚薄【线有曲有直】
　　三界线之界是防
　　四界直线止有两端两端之间上下更无一防
　　五界面有长短广狭而无厚薄
　　六界靣之界是线
　　七界平面一面平在界之内
　　八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论【凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也】
　　九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直
　　线角角有三等一直线角
　　二曲线角三杂线角
　　十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等
　　而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线

　　十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】

　　十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】
　　十三界界者一物之始终今所论有三界防为线之界线为面之界面为体之界体不可为界
　　十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】
　　十五界圜自界至心任作几许直线俱等
　　十六界圜之中处为心
　　十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分
　　十八界径线与半圜界所作形为半圜
　　十九界在直线界中之形为直线形
　　二十界在三直线界中之形为三边形
　　二十一界在四直线界中之形为四边形
　　二十二界在多直线界中之形为多边形
　　二十三界三边形三邉线等为平边三角形
　　二十四界三边形两邉线等为两边等三角形
　　二十五界三邉形三边俱不等为三不等三角形二十六界三邉形有一直角为三邉直角形
　　二十七界三边形有一钝角为三边钝角形
　　二十八界三边形三角皆鋭为三边鋭角形【凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰】
　　二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等
　　三十一界斜方形四边等而非直角
　　三十二界长斜方形其邉两两相等而非直角
　　三十三界已上四种谓之有法四邉形四种之外他方形皆谓之无法四邉形
　　三十四界两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相
　　离亦不相逺而不相遇为平行线

　　三十五界一形每两边有平行线【甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行】
　　为平行方形

　　三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为
　　角线方形其两形无角线者【丁壬壬乙两形】为余方形【甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也】
　　求作四则【求作者不得言不可作】
　　一求自此防至彼防求作一直线
　　二求一有界直线求从一界引长之成一直线
　　三求不论大小以防为心求作圜
　　四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】
　　公论十九则【公论者不可疑】
　　一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等
　　七论有多度俱半于此度则彼多度俱等
　　八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等九论全大于其分
　　十论直角俱相等
　　十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近
　　必有相遇处
　　十二论两直线不能为有界之形
　　十三论两直线止能于一防相遇
　　十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所
　　加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也
　　十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度
　　与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也
　　十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则余度所赢之度
　　与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也
　　十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则余度所赢之度
　　与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也
　　十八论全与诸分之并等
　　十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】

　　钦定四库全书
　　几何论约卷一
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有界直线上求立平边三角形
　　法曰甲乙直线上求立平边三角
　　形先以甲为心乙为界作丙乙丁
　　圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
　　圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
　　论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】
　　用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题
　　一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
　　法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若
　　在丙乙之外则作甲丙线
　　如上圗或甲防在丙乙之
　　内则截取甲丙线如下圗
　　两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
　　若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
　　长短两直线求于长线减去短线之度
　　法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
　　界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】
　　四题
　　两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
　　与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
　　形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】
　　五题
　　三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
　　解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
　　至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
　　増凡三边等形其三角俱等
　　六题
　　三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
　　七题
　　一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
　　解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
　　上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
　　八题
　　两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
　　与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
　　糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
　　九题
　　有直线角求两分之
　　法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
　　平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分
　　用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
　　为心亦如之两界线交处即得己【本巻一】
　　十题
　　一有界线求两平分之
　　法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线即平分甲乙于丁
　　用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
　　丁线即平分甲乙于戊
　　十一题
　　一直线任于一防上求作垂线
　　法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线即为甲乙之垂线
　　用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
　　线交处即己
　　増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
　　论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
　　耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线
　　十二题
　　有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
　　己【本巻十】末作丙己为所求
　　用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
　　又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长
　　之次于甲乙线上视前心或相
　　望如上圗或进或退如下图任
　　移一防为心以丙为界作一圜
　　界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】
　　十三题
　　一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
　　解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角
　　论曰试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
　　十四题
　　一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
　　解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
　　直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】
　　十五题
　　凡两直线相交作四角毎两交角必等
　　解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
　　乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
　　论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
　　两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论
　　一糸推显两直线相交作四角与四直角等
　　二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等
　　増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】
　　十六题
　　凡三角形之外角必大于相对之各角
　　解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
　　论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
　　推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
　　十七题
　　凡三角形之毎两角必小于两直角
　　解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角
　　论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此
　　十八题
　　凡三角形大邉对大角小邉对小角
　　解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角
　　论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题
　　凡三角形大角对大边小角对小边
　　二十题
　　凡三角形之两边并必大于一边
　　二十一题
　　凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角
　　解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小
　　于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题
　　三直线其毎两线并大于一线求作三角形
　　法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本巻二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等
　　截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作　若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】
　　用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如
　　之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】
　　二十三题
　　一直线任于一防上求作一角与所设角等
　　法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形
　　次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题
　　两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大
　　解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若
　　甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
　　二十五题
　　两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
　　二十六题
　　两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
　　解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之
　　丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等
　　二十七题
　　两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
　　论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等则两线必平行
　　二十八题
　　两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行
　　二十九题
　　两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】
　　三十题
　　两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】
　　三十一题
　　一防上求作直线与所设直线平行
　　法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为
　　戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求
　　论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本巻二八】
　　用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
　　末作甲辛线为所求
　　又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向
　　上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作
　　丁甲线为所求【出几何要法】
　　増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
　　角与所设角等
　　法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
　　依丁己平行作庚戊为所求
　　三十二题【二支】
　　凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
　　先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
　　外角与甲乙两内角并等
　　论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
　　乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
　　后解曰甲乙丙三角并与两直角等
　　论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
　　増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当
　　四直角第三形【可分三角形三】当六
　　直角第四形【可分三角形四】当八直
　　角从此可推至无穷
　　耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
　　一糸凡诸种角形之三角并俱相等
　　二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
　　三糸平边角形毎当直角三分之二
　　四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
　　当直角三分之二
　　増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线
　　三十三题
　　两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
　　三十四题
　　凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
　　解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
　　即分本形为两平分
　　三十五题
　　两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】
　　先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角
　　形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
　　次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
　　后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
　　而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等

　　三十六题
　　两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
　　等题言两形亦等
　　论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
　　三十七题
　　两平行线内有两三角形若同底则两形必等
　　三十八题
　　两平行线内有两三角形若底等则两形必等
　　耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
　　増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
　　即分本形为两平分
　　论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
　　乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
　　二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
　　己丁线即分本形为两平分
　　论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
　　戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
　　三十九题
　　两三角形其底同其形等必在两平行线内
　　四十题
　　两三角形其底等其形等必在两平行线内
　　四十一题
　　两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
　　四十二题
　　有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
　　法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行末作
　　丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
　　凡方形对角线旁两余方形自相等
　　解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等
　　论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
　　于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等
　　四十四题
　　一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
　　法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
　　长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
　　线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本巻四二四三】
　　四十五题
　　有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
　　法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
　　角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
　　形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本巻四二四四】
　　増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
　　四十六题
　　一直线上求立直角方形
　　法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
　　作丙丁聨之即直角方形
　　四十七题
　　凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等
　　解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并
　　等
　　曰试从甲作甲癸直线
　　与乙戊平行分乙丙邉于
　　子次自甲至丁至戊各作
　　直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两
　　边等甲乙戊与丙乙己两
　　角既等则对等角之甲戊
　　与丙己两边亦等而此两
　　角形亦等矣夫乙庚方形
　　倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
　　一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
　　二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
　　丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
　　三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
　　论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此
　　四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
　　得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
　　凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角

　　几何论约卷一
　　钦定四库全书
　　几何论约卷二之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説二则
　　一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度若别作两线与甲乙
　　乙丙各等亦知丁乙直角形大小之度则两线为直角形之矩线
　　二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形如乙丁方形不论斜直作甲丙对角线从庚防作戊己辛壬两线与方边平行而分本形为四方形其辛己戊壬为余方形辛戊己壬为角线方形两余方形任
　　与壬己一角线方形并形曲如磬谓之癸子庚磬折形用戊辛角线方形仿此

　　钦定四库全书
　　几何论约卷二
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等
　　解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
　　论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等
　　二题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等
　　三题
　　一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙
　　矩内形及甲丙上方形并等
　　论曰甲己为元线甲乙偕分线甲
　　丙矩内形甲丁为分线甲丙上方
　　形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等
　　四题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
　　两矩内形并等
　　论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚
　　庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等
　　糸凡直角方形之角线形皆直角方形
　　五题
　　一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等
　　解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙
　　上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等
　　六题
　　一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等
　　解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】
　　【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等
　　七题
　　一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用
　　一分线甲丙上两方形并【不论甲丙
　　为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形
　　二及分余线丙乙上方形并等
　　论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题
　　一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等
　　论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形
　　等甲乙偕丙乙上方形即癸己
　　全形也

　　九题
　　一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并
　　解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线
　　丙丁上两方形并
　　论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二
　　皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题
　　一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并
　　解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并
　　论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线
　　与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣
　　十一题
　　一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等
　　法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先
　　于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求
　　论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙
　　上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】
　　十二题
　　三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二
　　解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线
　　与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方
　　形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二
　　论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】
　　甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形
　　及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
　　十三题
　　三邉鋭角形其对鋭角邉上方形小于余邉上两方形并其较为鋭角旁任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二
　　解曰甲乙丙鋭角形从甲角向对邉乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对
　　丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二
　　论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内
　　形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形
　　并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
　　十四题
　　有直线形求作直角方形与之等
　　法曰甲无法四邉形求作方形与
　　之等先作乙丁形与甲等而直角
　　【一巻四五】任以丁丙邉引之至己令丙
　　己与乙丙等次平分丁己于庚其庚防若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等
　　论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等
　　増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方
　　形次作乙丁对角线引长至
　　戊令丁戊与甲乙等即得乙
　　戊线为所求
　　论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙
　　耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑邉与辛未线必等夫午未为方邉小于角线之较与上圗甲乙等即与上圗丁戊等未丑与辛未等即与上圗丁乙等故并两线为方边

　　几何讑约巻二
　　钦定四库全书
　　几何论约卷三之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説十则
　　一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜如
　　甲乙戊己两径等或丁丙辛庚从心至圜界等即两圜等
　　二界凡直线切圜界过之而不与界交为切圜线甲乙在圜外为切圜线若丙丁入圜内则交线也

　　三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜相切
　　于外丙丁两圜
　　相切于内俱曰
　　切圜戊己庚辛则交圜也
　　四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙距丁心近则丙丁垂线小戊己距心逺则丁庚垂线大
　　五界凡直线割圜之形为圜分如丁乙线割圜其乙甲丁乙丙丁皆为圜分圜分有三等过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者
　　为圜小分又割线为圜分为弧
　　六界凡圜界偕直线作角为圜分角其在半圜内为
　　半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角
　　七界凡圜界任于一防出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙防出两直线作甲
　　乙丙角为负甲乙丙圜分角

　　八界若两直线之角乗圜之一分为乗圜分角甲乙
　　丙丁圜内于甲防出甲乙甲丁
　　两线作乙甲丁角为乗乙丙丁
　　圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜如己庚辛或两圜相切于外如辛壬癸或两圜相切于内如癸壬子俱为切边角
　　九界凡从圜心以两直线作角偕圜界为三角形曰
　　分圜形

　　十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
　　圜分角等即两圜分相似【相似者同为几分圜之几也】

　　钦定四库全书
　　几何论约巻三
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有圜求心
　　解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
　　垂线平分于己即己为圜心
　　糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
　　二题
　　圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
　　三题
　　直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
　　解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
　　为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
　　四题
　　圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
　　解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
　　线为两平分不得俱为两平分
　　五题
　　两圜相交必不同心
　　六题
　　两圜内相切必不同心
　　七题
　　圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
　　解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
　　线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
　　八题
　　圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
　　解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
　　心之甲壬最大次言近心之甲辛
　　大于离心之甲庚甲庚又大于甲
　　己三言规外之甲乙为乙壬径余
　　者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
　　九题
　　圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
　　十题
　　两圜相交止于两防
　　十一题
　　两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
　　抵圜界必至甲
　　十二题
　　两圜外相切以直线聨两心必过切界
　　十三题
　　圜相切不论内外止以一防
　　十四题
　　圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
　　线距心逺近等则两线亦等
　　十五题
　　径为圜内之大线其余线近心大于逺心
　　解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
　　乙戊近心大于丙丁逺心
　　十六题
　　圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
　　解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
　　不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
　　论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
　　糸戊甲线必切圜以一防
　　増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
　　辛角愈分愈小然直线角恒大切邉角恒小乃至终古不得相比
　　又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
　　戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论
　　十七题
　　设一防一圜求从防作切线
　　法曰甲防求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
　　论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
　　直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
　　十九题
　　直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
　　二十题
　　负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
　　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
　　乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
　　次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
　　丙角倍大于乙甲丙角
　　后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
　　大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所余乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
　　増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外余地亦倍大于同底之负圜角
　　论曰作甲戊过心线即心外余地
　　分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
　　此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
　　二十一题
　　凡同圜分内所作负圜角俱等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊
　　于丁甲乙丙圜分丙任作
　　丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
　　论曰若函心大分所作如第一图则依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙两角自相等或半圜分所作如第二圗则依二十题増言心外余地倍大于同底各负圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三图则作戊丙戊丁两线再作乙庚甲己两过心线丁戊己己戊丙两角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙两角并又倍大于丁乙丙角则甲乙两角必自相等
　　二十二题
　　圜内切界四边形毎相对两角并与两直角等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
　　甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙
　　丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
　　论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本卷二一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等【以同负丙乙甲丁圜分故】则甲乙丁丙乙丁两角并【即一甲乙丙角】与甲丙丁丙甲丁两角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲两角并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一巻三一】则甲乙丙丙丁甲两角并亦与两直角等依显乙丙丁丁甲乙两角并亦与两直角等二十三题
　　一直线上作两圜分不得相似而不相等
　　二十四题
　　相等两直线上作相似两圜分必等
　　二十五题
　　有圜分求成圜
　　法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线视丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁为圜心
　　何也两角等则对等角之乙丁丁甲两邉必等又丁丙元与甲丁等是从丁出三线至圜界皆等故丁为圜心
　　次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角当为圜之小分即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引
　　乙丁线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
　　论曰试作戊丙线成甲丁戊丙丁戊相等两角形而甲戊戊丙两线必等又戊乙甲戊甲乙两角等而对等角之戊乙戊甲两线必亦等今戊甲戊乙戊丙三线至界皆等故戊为圜心
　　后法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙当为圜之大分即作乙甲戊角与丁乙
　　甲角等而甲戊遇丁乙线于戊即戊为圜心论曰试作戊丙线依前推知甲戊与戊丙等又与戊乙等是从戊至界三线皆等而戊为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
　　为圜心
　　用法圜界上任取四防各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
　　壬即壬为心
　　二十六题
　　等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
　　解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
　　为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乗
　　圜角等或甲乙丙丁戊己两乗圜角等题言所乗之甲丙丁己两圜分亦等【乗圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名】
　　二十七题
　　等圜之角所乗圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
　　丁丙两圜分必等
　　二十八题
　　等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
　　二十九题
　　等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
　　三十题
　　有圜分求两平分之
　　法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
　　分圜分为两平分
　　三十一题
　　负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
　　角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角
　　耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】
　　次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
　　三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
　　四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
　　后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
　　一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】
　　非直角而何
　　二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
　　三十二题
　　直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
　　解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
　　己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
　　先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角【一巻十八】而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
　　后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角【以负半圜】
　　【故】即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
　　三十三题
　　一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或鋭或钝若直角即
　　平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角【本巻三一】
　　次法曰若设丙鋭角先依甲乙线作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲
　　丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
　　后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等余仿次法作甲癸乙钝角与辛等
　　三十四题
　　设圜求割一分而负圜分角与所设角等
　　法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
　　甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题
　　圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
　　解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
　　交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
　　先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
　　偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】　也
　　次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
　　戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所余两矩内形等矣
　　后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
　　相交于戊或一线平分如上图或
　　俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
　　三十六题
　　圜外任取一防从防出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
　　解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
　　先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
　　后论丁甲不过心者曰试平分甲
　　丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
　　丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
　　与戊丁上方形等又戊丁上方形
　　与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
　　形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
　　一糸若从圜外一防任作几线各全线偕规外线
　　矩内形俱等
　　论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
　　各矩内形自相等
　　二糸从圜外丁防作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
　　论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
　　三糸从圜外一防止可作两直线切圜
　　三十七题
　　圜外任于一防出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
　　解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
　　而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线【同前题反言之】

　　几何论约巻三
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
　　钦定四库全书
　　几何论约巻四之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説七则
　　一界此直线形居他直线形内此直线形为他直线形内切形
　　二界此直线形居他直线形外此直线形为他直线形外切形
　　三界圜内直线形以各角切圜界为圜内切形四界圜外直线形以各边切圜界为圜外切形五界直线形内圜圜界切直线形之各边为形内切圜
　　六界直线形外圜圜界切直线形之各角为形外切圜
　　七界直线之两端各抵圜为合圜线如甲乙丙丁两线俱为合圜线而戊己辛庚两线或至界或不至界或俱不至界皆不得为合圜线

　　钦定四库全书
　　几何论约卷四
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有圜求作合圜线与所设线等
　　法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径【若大于径即不可合】即于乙丙截
　　乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线】
　　二题
　　有圜求作圜内三角切形与所设三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先
　　作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等余一角必亦等三题
　　有圜求作圜外三角切形与所设三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己邉为庚辛次自圜界
　　抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求
　　论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题
　　三角形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各邉作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙
　　丁同边即丁戊丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己丁庚两邉亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求【耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作余两线余两线为论理而设非作法所需也】
　　五题
　　三角形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形
　　外切圜先平分两邉【若直角钝
　　角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作
　　丁己戊己为两邉之垂线相遇于己其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等【一巻四】依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求
　　耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作余线
　　一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必钝角形
　　二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉钝角形必在形外
　　増任设三防不在一直线可作过三防之圜其法于三防各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三防先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引
　　长相交于辛即辛为圜心
　　六题
　　有圜求内切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
　　次作甲乙乙丙等四线为所求
　　论曰四角皆负半圜分故皆直角【三巻三一】
　　七题
　　有圜求作外切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
　　次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题
　　直角方形求作形内切圜
　　法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求
　　九题
　　直角方形求作形外切圜
　　法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界
　　作圜为所求
　　十题
　　求作两邉等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨即两
　　边等三角形而乙丁两角倍大于甲角
　　论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题
　　有圜求作圜内五邉切形其形等边等角
　　法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求
　　论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等则五邉等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显余三角俱等而五角等矣
　　十二题
　　有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
　　法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬
　　等五垂线为所求
　　十三题
　　五边形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心
　　庚为界作圜为所求
　　十四题
　　五边形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求
　　十五题
　　有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
　　法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁径线次以丁为
　　心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求
　　耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等【六三角形俱依此推显】三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
　　一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也
　　二糸依前十二十三十四题可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
　　十六题
　　有圜求作圜内十五邉切形其形等边等角
　　法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己
　　庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求
　　一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
　　増题若圜内从一防设不等两内切形之各一邉此两邉各为若干分圜之一其两若干分相乗之数即后作形之分数其两若干分之较数即两邉相距之圜分如甲丙戊圜从甲防作甲乙为六邉形之一邉甲丙为
　　五邉形之一邉甲丁为四邉形之一邉甲戊为三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故当为三十边也较数一故当为一邉也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分
　　之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又较数二也因推乙戊为十八邉形之三邉丙戊为十五邉形之二邉丁戊为十二邉形之一邉也
　　二糸凡作形于圜之内等邉则等角何者形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本巻十二题可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
　　四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷
　　又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙
　　再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多邉形之一邉也

　　几何论约巻四
　　钦定四库全书
　　几何论约巻五之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説十九则【前四巻所论皆独几何也此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及线面体诸类六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】
　　一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也【本书所论皆指能尽分者】

　　二界小几何能度大者则大为小之几倍
　　三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等一分谓大几何内既有小之一别一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等几分谓大几何内既有小之一别几分不能合为一尽分者也四为几倍大一分五为几倍大几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名
　　四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前圗甲自与乙比丙
　　自与丁比是也
　　五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸
　　角与己庚辛钝角等卯丑辰角与
　　子丑寅鋭角等此五者皆疑无比
　　例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也
　　六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第
　　四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】
　　七界同理之几何为相称之几何
　　八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例
　　九界同理之比例至少必三率
　　十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷
　　十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也
　　十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理【下言属理皆省曰更证见本巻十六】此理可施于四率
　　同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也【此下説比例六理皆后论所需也】
　　十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类
　　十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为
　　一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】
　　十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较
　　甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊【证见本巻十七】
　　十六界有转理以前为前以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己【证见本巻十九】
　　十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己【平理之分又有二种如后二界】
　　十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界也证见本巻二二】
　　十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也
　　【戊证见本乙巻二三】
　　増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也

　　钦定四库全书
　　几何论约巻五
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
　　解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
　　二题
　　六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数
　　三题
　　四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
　　解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁
　　四题
　　四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别
　　作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等
　　论曰试以戊巳同任
　　倍之为壬为癸别以
　　庚辛同任倍之为子
　　为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本巻三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑【本巻界六】不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等
　　一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等
　　二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题
　　大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之
　　解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁亦如其数
　　六题
　　此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
　　解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分余庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等
　　七题
　　此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等
　　解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必
　　等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题
　　大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
　　解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙
　　与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题
　　两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等
　　十题
　　彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此
　　解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙
　　之比例大于丙与甲则乙小于甲
　　十一题
　　此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等
　　解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等
　　十二题
　　数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊
　　诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也
　　十三题
　　数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六
　　解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与
　　六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己
　　十四题
　　四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四
　　解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
　　十五题
　　两分之比例与两多分并之比例等
　　解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之
　　比例若甲与乙

　　十六题【更理】
　　四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等
　　解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁
　　十七题【分理】
　　相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何
　　甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也
　　十八题【合理】
　　两几何分之为比例等则合之为比例亦等
　　解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
　　甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也
　　十九题【其糸为转理】
　　两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等
　　解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁
　　全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁
　　糸从此题可推界説十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己
　　二十题
　　有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
　　丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
　　二十一题
　　有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与
　　己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己
　　论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本巻】
　　【七】而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与
　　乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本巻四】则戊与己小于戊与丁是丁小于己也
　　二十二题【平理之序】
　　有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之
　　解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙
　　与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
　　二十三题【平理之错】
　　若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推
　　解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙
　　若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
　　耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三
　　乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显
　　二十四题
　　凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四
　　解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一
　　甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
　　増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】
　　二十五题
　　四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并
　　解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并
　　论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本巻十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题
　　第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三
　　解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四
　　丁与三丙
　　二十七题
　　第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四
　　解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁
　　论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁
　　二十八题
　　第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四
　　解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁
　　己与戊己
　　论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题
　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四
　　解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言
　　分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题
　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三
　　解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊
　　耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣
　　三十一题
　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
　　解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大
　　于丁与己
　　三十二题
　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
　　解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己
　　论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚【本巻十】
　　是甲与小庚大于甲与大乙矣【本巻八】夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本巻十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本巻八】夫辛与丙以平理推之若丁与己也【本巻二三】则甲与丙大于丁与己
　　三十三题
　　此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例
　　解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊
　　与丙己题言两分余戊乙与己丁大于甲乙与丙丁
　　论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也【本巻二七】又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也【本巻二七】若两全之比例小于截分则分余之比例必小于两全
　　三十四题
　　若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一
　　解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大
　　于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小
　　于甲与丁
　　论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也【本巻二七】又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本巻二八】又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本巻二七】是甲乙全与丁戊
　　全大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本巻三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本巻二七】又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本巻二八】又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本巻三三】则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也【本巻二七】又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也【本巻二八】又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也【本巻二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本巻十八】又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊
　　己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本巻三二】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此

　　几何论约巻五
　　钦定四库全书
　　几何论约巻六之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説六则
　　一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之
　　甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己余两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形
　　二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两
　　形亦为互相视之形
　　三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分【此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也】
　　四界度各形之髙皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之髙度
　　五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乗三倍得甲六倍
　　于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所説三几何二比例皆以中率为关纽畧如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乗除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之
　　六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方
　　形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之余方形而丙己形为甲己之余形

　　钦定四库全书
　　几何论约巻六
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　等髙之角形方形自相为比例与其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己两角形乙辛戊庚两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例
　　増题凡两角形两方形等底自相为比例与其髙之比例等
　　耕曰即前圗以髙为底以底为髙其理自明二题
　　三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉为比例必等三角形内有一线分两邉为比例而等即此线与余邉为平行
　　解曰甲乙丙角形内作丁戊与乙丙平行题言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁与
　　丁乙之比例若甲戊与戊丙也又言甲丁与丁乙甲戊与戊丙为比例而等则丁戊乙丙必平行论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两形同丁戊底又在平行线内即等【一巻三七】而甲戊丁与丁戊乙两形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五巻七】夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】
　　三题
　　三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若余两邉三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必
　　为两平分
　　论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣
　　四题
　　凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之邉为相似邉
　　解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁
　　戊与丙戊而毎对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角
　　论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙
　　丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也
　　糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与
　　甲乙丙全形相似
　　増题凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行线于乙丙邉任取己防向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与
　　庚戊
　　论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】
　　五题
　　两三角形其各两邉之比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊
　　己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似邉之角甲与丁乙与戊丙与己各等【论同前题】
　　六题
　　两三角形之一角等而等角旁之各两邉比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己
　　题言余角丙与己甲与丁俱等【论同四题】
　　七题
　　两三角形第一角等第二相当角各两旁之邉比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两邉偕相当己角两旁之丁己戊己两邉比例
　　等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题
　　直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形
　　相似亦自相似
　　论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其余一角必等而两形为等角形等角旁之各两邉比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似
　　糸从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率
　　九题
　　一直线求截所取之分
　　法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次
　　作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一
　　论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题
　　一直线求截各分如所设之截分
　　法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
　　从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分余同前
　　又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线
　　遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分
　　又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙
　　于己辰卯寅为五平分
　　又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵
　　戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分
　　増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例【法同前】
　　又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己
　　若辛丁与庚辛也
　　论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙
　　既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也
　　十一题
　　两直线求别作一线相与为连比例
　　法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先
　　合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】
　　注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为
　　所求
　　论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】
　　十二题
　　三直线求别作一线相与为断比例
　　解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙
　　任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求
　　论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙【本巻二】
　　十三题
　　两直线求别作一线为连比例之中率
　　法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作
　　甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求
　　论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也【三巻三】
　　増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲
　　为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率
　　十四题
　　两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
　　解曰辛乙乙己两方形等【谓其容等】甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两邉为互相视之邉谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视
　　则辛乙乙己两形必等
　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等髙即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
　　十五题
　　相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
　　解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视谓甲乙与乙
　　戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等
　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
　　十六题
　　四直线为断比例即首尾两线矩内形与中两线矩内形等首尾两线矩内形与中两线矩内形等即四线为断比例
　　解曰甲乙己庚戊己乙丙四线为断比例谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与己庚戊己矩内戊庚形等又言两矩内形等则甲
　　乙与己庚必若戊己与乙丙也
　　论曰两形之乙与己两角既等而等角旁之两邉又互相视则两形必相等【本巻十四　若平行斜方形而等角亦同此论】十七题
　　三直线为连比例即首尾两线矩内形与中线上直角方形等首尾两线矩内形与中线上直角方形等即三线为连比例
　　解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形与戊己上
　　方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也论曰试作己庚线与戊己等即戊己己庚两线矩内形与甲乙乙丙两线矩内形等【本巻十六　若平行斜方形而等角亦同此论】
　　糸凡直线上方形与他两线矩内形等即此线为他两线之中率
　　十八题
　　直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于
　　设形任从一角向对角作直线分本形为若干角形如上形即分为角形三次于元线上作甲壬乙角形与丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸两角形与丁己戊丙己庚两角形等则甲乙辛壬癸与所设形相似而体势等凡设多角形俱仿此増简法如设甲乙丙丁戊直线形求于癸线上作一形与所设形相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲戊引长之为甲己甲壬次从甲向各角作直线为甲庚甲辛次
　　于甲乙线上截取甲己与癸线等末从己作己庚与乙丙平行作庚辛辛壬与丙丁丁戊各平行即所求
　　十九题
　　相似三角形之比例为其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两角形其相当之角各等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己再加之比
　　例
　　论曰若两形等则为相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己邉即于乙丙截乙庚令乙丙与戊己若戊己与乙庚也次作甲庚线其甲乙与乙丙若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也亦若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两形有乙戊两角等而各两邉又互相视即两形等【本巻十五】又甲乙丙与甲乙庚等髙两形之比例若其底乙丙与乙庚即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣乙丙己戊乙庚三线既为连比例则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例
　　糸依本题可显凡三线为连比例即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例若第一甲线与第三丙线也第二乙线上角形与第三丙线上角形之比例亦若第一甲线与
　　第三丙线也皆再加之比例故也
　　二十题
　　以三角形分相似多邉形则分数必等而相当各三角形各相似其各相似两三角形之比例若两元形其元形之比例为两相似邉再加之比例
　　先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉形其相当各角俱等而等
　　角旁各两邉之比例各等题言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角各相似
　　次解曰各相当角形之比例若两元形
　　论曰此角形之比例既若彼角形则此各角形并必若彼各角形并是此全形若彼全形矣
　　后解曰两元形之比例为两相似邉再加之比例论曰两分形之比例既若两元形而两分形之比例为两相似邉再加之比例则两元形亦为相似邉再加之比例
　　増题甲直线倍大于乙直线则甲直线上方形与乙直线上方形为四倍大之比例若甲方形与乙方形为四倍大之比例则甲线必倍大于乙线何者相似两形之比例为
　　其邉再加之比例故也
　　糸依此题可显三直线为连比例则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形若第一线与第三线之比例
　　二十一题
　　两直线形各与他直线形相似则两形自相似
　　二十二题
　　四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线亦为断比例
　　解曰甲乙丙丁戊己庚辛四线为断比例谓甲乙与丙丁若戊己与庚辛也于甲乙丙丁线上任作两角形于戊己庚辛线上任作两方形题言四形亦为断比例谓甲
　　乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯又言若四形为断比例则甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断例何者角形与角形方形与方形皆为其相似邉再加之比例故也
　　二十三题
　　等角两平行方形之比例以两形之各两邉两比例相结
　　解曰甲丙丙己两平行方形两丙角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙
　　与丙戊偕丁丙与丙庚相结也
　　论曰试以两等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线次引长甲丁己庚遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求断比例之末率线为癸【本巻十二】末以丁丙丙戊癸三线求断比例之末率线为子其甲丙丙辛两形等髙既若乙丙丙庚两底即若壬与癸也依显丙辛丙己两形亦若癸与子也平之即丙甲与丙己若壬与子也【五巻二十】若以乙丙与丙戊偕丁丙
　　与丙庚相结以乙丙丙戊聨成一线依上推显注曰乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之两比例以为象令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结所以通比例之穷也自三以上仿此二十四题
　　平行方形之两角线形自相似亦与全形相似
　　解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行交角线于壬题言戊庚己辛两角线方形自
　　相似亦与全形相似
　　二十五题
　　两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作一形与甲相似与乙相等先于甲邉丙丁上作丙戊方形与甲等【一巻四四四五】次依丁戊邉作丁辛方形与乙等次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率【本巻十二】末于壬癸作子形与甲
　　相似即与乙相等
　　论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例则一丙丁与三丁庚若一丙丁上之甲与二壬癸之上之子相似两形
　　之比例又若丙戊与丁辛等髙两形之比例则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊丁辛元若甲与乙今又若甲与子是乙与子等也
　　二十六题
　　平行方形之内减去一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形内减戊己平行方形元形与减形相似而体势等又同甲角题
　　言戊己形必依乙丁形之对角线
　　二十七题
　　凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线之上阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
　　解曰甲乙线平分于丙于甲丙半线上任作甲丁形为甲丙半线上有阙依形次作甲戊满元线形而丙戊为丙乙半线上阙形次作丁乙角线末任作己壬癸子两线与甲乙乙戊平行交角线于庚即得甲庚为甲乙
　　线上有阙依形而癸壬为阙形癸壬阙形既依乙丁角线则与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形必大于甲庚有阙依形
　　论曰己丁丁壬两形同髙等底即两形等【一巻三六】而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之【丙庚庚戊两余方相等故】即等丁壬之己丁形大于丙庚亦较余一庚丁形也次毎加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
　　又解曰若庚防在丙戊形之外即引乙丁角线至庚作辛丑与癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己与辛甲平行
　　得甲庚为甲乙线上有阙依形而己丑为阙形与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形亦大于甲庚有阙依形
　　论曰试引丙丁线至子即辛子子丑两线等而辛丁丁丑两形亦等其丁丑己丁两余方亦等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率毎加一甲壬形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显不论庚防在丙戊形内形外凡依角线作阙形而与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁以必有庚丁之较故也
　　二十八题
　　一直线求作依线之有阙方形与所设直线形等而其阙形与所设方形相似其所设直线形不大于半线上所作方形与所设方形相似者
　　法曰甲乙线求作依线之有阙方形与丙等而其阙形与丁相似先平分甲乙于戊次于戊乙半线上作戊庚形与丁相似次作甲庚满线形若甲己形与丙等即得所求矣若甲己大于丙【若甲己小于丙即不
　　可作】即等甲己之戊庚亦大于丙也
　　则求戊庚大于丙之较为壬【一巻四五
　　増】即作癸丑形与壬等而与戊庚
　　相似次截取己巳己卯与癸子癸
　　寅等而作己卯方形必与癸丑相等相似而又与戊庚相似次引己辰抵元线又引卯辰两端作午未线即甲辰为甲乙线上有阙依形与丙等而乙辰阙形与丁相似
　　论曰辰庚与辰戊两余方既等毎加一乙辰角线形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等乙己与戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰与申辰酉磬折形等矣夫磬折形为戊庚之分而戊庚与丙及癸丑并等戊庚既截去等癸丑之卯己则所余磬折形与丙等矣即甲辰亦与丙等
　　二十九题
　　一直线求作依线之余方形与所设形等而其余形与所设方形相似
　　法曰甲乙线求作依线余
　　方形与丙等而其余形与丁
　　相似先平分甲乙于戊于戊
　　乙上作戊庚方形与丁相似
　　次别作辛方形与丙及戊庚
　　并等又别作癸丑方形与辛等又与丁相似癸丑既与辛等即大于戊庚次引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等而作寅卯方形即卯寅与癸丑等又与戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未线与己卯平行即得甲辰余方形依甲乙线与丙等而己午为余形与戊庚相似即与丁相似
　　论曰甲卯戊午既等戊午与乙寅两余方又等是甲卯与乙寅亦等矣而毎加一卯己形则甲辰与申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元与丙等【卯寅即癸丑元与丙及戊庚并等毎减一戊庚即磬折形与丙等】即甲辰亦与丙等三十题
　　一直线求理分中末线
　　法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲丙方形次依丁甲邉作丁己余方形与甲丙形等而甲己为余形又与甲丙相似则戊己分甲乙于辛即所求【本卷界三】
　　论曰丁己与甲丙两形既等毎减一甲戊形即甲己辛丙两形亦等矣此两形之两辛角既等即等角旁之各两邉为互相视之线也【本巻十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙为理分中末也
　　三十一题
　　三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等
　　解曰甲乙丙三边直角形甲为直角各邉上任作直线形相似而体势等题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
　　论曰甲丙上方形与乙丙上方形之比例若丙辛与乙丁甲乙上方形与乙丙上方形之比例若乙庚与乙丁夫甲丙甲乙上两方形并与乙丙上方形等【一巻四七】则丙辛乙庚两形并亦必与乙丁等増题角形之一邉上形与余邉上相似两形并等则对一邉角必直角
　　三十二题
　　两三角形此形之两邉与彼形之两边相似而平置两形成一外角若相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线
　　解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线
　　三十三题
　　等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例
　　解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心
　　为丁为辛两圜各任割一圜分为
　　乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
　　二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗之圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分

　　几何论约巻六
　　钦定四库全书
　　几何论约巻末
　　柘城杜知耕撰
　　増题【利氏曰丁先生言欧几里得六巻中多研察有比例之线竟不及有比例之面故因其义类増益数题补其未备窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也】
　　今増题圜与圜为其径与径再加之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言两圜为甲丙丁己再加之
　　比例
　　一糸全圜与全圜半圜与半圜圜分与相当圜分相为比例皆等皆两径再加之比例故也
　　二糸三邉直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
　　三糸三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
　　一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等
　　法曰甲形求减三分之一所减所存各作形与乙相似先作丙丁形与甲等与乙相似次依丙戊邉作丙己戊半圜次截丙戊三分之一为戊庚次作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线末于己丙己戊
　　上作己辛己壬两形各与丙丁相似为所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底与底再加之比例三底线负半圜为三邉直角形其己庚丙己庚戊两分形又与全形相似则丙戊与己丙必若己丙与丙庚是丙戊与丙庚为再加之比例而丙丁己辛两形必若丙戊丙庚两线矣夫丙庚既为丙戊三分之二则辛己亦必丙丁三分之二依显己壬为丙戊三分之一
　　若所存所减不论何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙形与甲等
　　次截乙丁三分之一为丁戊末作己戊即戊丙形为甲三分之一
　　今附有大圜求减小圜则以圜径当形邉余同前又附依此法可作一方形与初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜等即戊己半圜为半大圜之半而己庚分圜形亦为半大圜之半是己庚分圜形与戊己半圜等矣此两
　　率各减一同用之己形所存戊庚两形不亦等乎庚为甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等
　　二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次以戊己为前率乙丙为中率而求连比例之末率为辛壬【本巻十一】末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似为所求
　　论曰三线既为连比例即其上相似三形亦为连比例【本巻二二】
　　今附有两圜求别作一圜为连比例即以圜径当形邉法同前
　　三増题三直线形求别作一直线形为断比例
　　法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
　　作一形为断比例先作壬子形与
　　甲等与乙丁相似次以壬癸乙丙
　　己庚为三率求断比例之末率为
　　寅卯【本巻十二】末于寅卯上作寅卯辰形与己庚辛相似为所求
　　论曰四线既为断比例其线上相似形亦为断比例【本巻二三】
　　今附有三圜求别作一圜为断比例法同前
　　四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连
　　比例之中率为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与乙丙丁相似为所求
　　又法曰甲乙两形求别作一形为连比例之中率先作丁巳形与甲等次作庚壬形与乙等与丁巳相似令两形戊角相聨而丁
　　壬巳庚各成直线末引各邉作子癸直角形其子戊戊癸两余方皆为甲乙之中率
　　论曰丁己与戊癸若子戊与庚壬何者两比例皆若丁戊与戊壬也故两余方皆为等甲乙两角线形之中率今附两圜求别作一圜为连比例之中率法同前
　　五増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例
　　法曰一甲形求分为两形俱与丁相似与乙丙比例等先作戊庚形与甲等与丁相似次分戊辛邉于壬令戊壬与壬辛若乙与丙次于戊辛上作
　　戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛两线末于戊癸癸辛上作戊子癸寅两形俱与戊庚形相似为所求
　　今附一圜求分作两圜与所设比例等法同前
　　六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例
　　法曰一甲形求分作两形俱与丁相
　　似其两分形两相似邉之比例若乙
　　与丙先以乙丙两线求连比例之末
　　率为戊次作己庚辛形与甲等与丁
　　相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊次于己辛线上作巳癸辛半圜次从壬作壬癸为巳辛之垂线次作巳癸癸辛两线末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱与丁相似为所求
　　今附一圜求分作两圜两径若所设之比例法同前
　　七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
　　法曰甲乙两形求并作一形与丙相似先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等次以两形相似邉聨为直角次以戊辛聨之末于戊辛线作戊辛壬形与丙相似为所求
　　又法曰先作一方形与甲乙两形并等次作角形与方形等与丙相似
　　今附两圜求并作一圜法同前
　　八增题圜丙两合线交而相分其分线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两线交而相分于戊题言甲戊与戊丁若乙戊与戊丙又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
　　论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等【三巻三五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】
　　九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
　　解曰甲乙丙丁圜外任取戊防作戊丙戊丁两线割圜界于甲于乙题言戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也又言己戊切线为各割圜全线与规外线之各中率谓丙戊与己戊若己戊与戊
　　乙又丁戊与己戊亦若己戊与甲戊也
　　论曰丙戊偕乙戊矩内形与己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊矩内形与己戊上方形亦等即两矩内形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】又两矩内形各与戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三线戊丁戊己戊甲三线俱为连比例而己戊为各中率
　　十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而毎方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
　　解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如上圗两垂线当
　　至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为鋭角如下圗甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
　　论曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙两角皆等【两为直角两于上圗为交角于下圗为同角故】即两形为等角形故各相对之两线为彼此互相视
　　十一増题平行线形内两直线与两邉平行分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等
　　解曰甲丙形内作戊己庚辛两线与甲丁丙丁平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙
　　壬壬丙四形任相与为比例皆等
　　论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
　　十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
　　解曰甲乙丙丁四邉形有甲丙乙丁两对角线交而相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙
　　甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两形又若甲戊乙与乙戊丙两形即甲戊丁与丁戊丙两形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
　　十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何
　　法曰甲乙丙角形任于乙丙
　　邉任取丁防求从丁作一线
　　分本形为两形其两形之比
　　例若戊与己先分乙丙于庚令乙庚与庚丙若戊与己如庚丁同防【一圗】即作丁甲线为所求如庚在丁丙之内【二圗】亦作丁甲线从庚作辛庚线与丁甲平行末作丁辛线即分乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角形其比例若戊与己也如庚在乙丁之内【三圗】亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行末作辛丁线即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四邉形其比例若戊与己也【详一巻三十八题第二増】
　　十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其比例若所设两几何
　　法曰甲直线形求别作一形与甲相似令甲与所作形之比例若乙与丙先以乙丙及丁戊三线求断比例之末率为己次求
　　丁戊及己之中率为庚辛【本卷十二十三】末于庚辛上作壬形与甲相似为所求若先设大甲求作小壬若丙与乙仿此
　　论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬有用法作各形之相加相减者如乙丁方形求别作五倍大方形先引长甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
　　以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长乙丙抵圜界于庚即依乙庚线作乙辛方形为所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等【三巻三五】矩内形既五倍于乙丁则乙辛方形亦必五倍于乙丁
　　又丁乙直线形求别作二倍大相似形先引长甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长丙乙抵圜界于庚次于甲戊线截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬与乙丙平
　　行次作甲丙对角线引长之遇辛壬于壬次自壬作壬癸与丙丁平行末引甲丁线聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
　　用此法不论何形但两形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
　　今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此
　　十五増题诸三角形求作内切直角方形
　　法曰甲乙丙角形求作内切方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次分甲丁于戊
　　令甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【本巻十増】次从戊作己庚与乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛两线各与甲丁平行即得己壬形为所求【若直角钝角则从直角钝角作垂线】
　　耕曰己庚既与底线平行则甲丁与乙丙若甲戊与己庚今又若甲戊与戊丁是戊丁与己庚等矣而庚壬己辛又各与戊丁等即庚辛为方形又甲乙丙直角三邉形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁与丁乙若甲
　　乙与乙丙末从丁作丁戊与乙丙平行从戊作戊己与甲乙平行即得丁己形为所求
　　耕曰丁戊既与底线平行则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊今又若甲丁与丁乙是丁乙与丁戊等矣即乙戊为方形
　　今附如上三邉直角形依乙角作内切方形其方邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故也【本巻四之糸】
　　后附【耕自为圗论附之巻末其法似为本书所无其理实函各题之内非能于本书之外别生新义也称后附者以别于丁氏利氏之増题也计十条】
　　一附直角三邉形以直角旁两邉求对直角邉一巻四十七题第四増言直角三邉形先得两邉可求余一邉皆用筭数相求然亦可比量得之按直角三邉形即算家所谓
　　勾股也乙丙即甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙为丁丙曰股较乙丙之大于甲乙为乙戊曰勾较甲丙之大于甲乙为丙己曰勾股较凡六线先得两线皆可求余线今先得甲乙甲丙两邉求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬与甲乙等辛庚与甲丙等末作庚壬即得乙丙邉之度
　　二附以对直角邉及直角旁一邉求余邉
　　先得甲乙乙丙两邉求甲丙先作庚壬与乙丙等平分于癸即以癸为心庚为界作半圜次以壬为心甲乙为
　　度向圜作短界为辛末作庚辛线为所求【若先得甲丙乙丙两邉求甲乙法同上】
　　三附以对直角邉与一邉之较及一邉求全邉
　　先得甲乙邉及甲丙乙
　　丙之较丙丁求余邉先
　　作庚辛与丙丁等次作
　　辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三巻三五】按勾股法依股较为濶作直形而与勾羃等其长必一一股之度故加辛庚折半得乙丙【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上】
　　四附以直角旁两邉之较及对直角邉求全邉
　　先得乙丙及甲乙甲丙之较
　　己丙先作庚辛与乙丙等次
　　平分于寅即以寅为心庚为
　　界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等余庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形当一羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度
　　五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑
　　即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬

　　丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】
　　六附又法以方邉角线之较求方邉
　　先得方邉角线之较甲乙三倍
　　之为甲乙丙丁线平分于戊即
　　以戊为心甲为界作甲己丁半
　　圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方邉加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形【详二巻十四之増】其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线
　　七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六巻二三】次引丙庚至壬令丙庚与
　　丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六巻十六】即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等髙两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此
　　八附又法求理分中末线
　　设甲乙线求理分中末【详六巻三十】即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
　　与甲丁等即甲戊乙为理分中末
　　也何者勾股上两方形并与上
　　方形等【一巻四七】于方内减去等勾

　　方之己形所余庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所余庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所余癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也
　　九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等
　　甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分
　　于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙即不可作】
　　十附有多线求理分中末
　　设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次
　　任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也

　　几何论约巻末
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数学钥　　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案数学钥六巻
　　国朝杜知耕撰其书列古方田粟布裒分少广商功均输盈朒方程勾股九章取今线面体三部之法之载其图解并摘其要语以为之注与方中通所撰数度衍用今法以合九章者体例相同而每章设例必标其凡于章首每问答有所旁通者必附其术于条下所引证之文必着其所出搜辑尤详梅文鼎勿庵歴算书记曰近代作者如李长茂算海详説亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端伯数学钥图注九章颇中肯綮可为筭家程式其説固不诬矣世有二本其一为妄人窜乱殊失本真此本犹当日初刋今据以校正以复知耕之旧焉乾隆四十六年四月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　钦定四库全书
　　数学钥卷一凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例【计十四则】
　　一则
　　数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形
　　则指第二图或错举二字谓
　　第一图为甲丁或乙丙形谓
　　第二图为戊辛或巳庚形又
　　指第一图左下角曰甲角右
　　下角曰乙角又或有两角相
　　连如第三图两形相同一角
　　如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角二则
　　四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱
　　不等两角中矩两
　　角不中矩者曰斜
　　方形如第四图角
　　不中矩两边相等
　　者曰梯形如第五
　　图边及角俱不等
　　者曰无法形如第六图三边形有一方角者【甲为方角】曰勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图三则
　　形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰濶或曰广在下者或曰底斜对两角者曰
　　四则
　　形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃
　　五则
　　线之作志处曰防
　　六则
　　两线相并曰和
　　七则
　　以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之
　　差丁己形之大于丁戊形为庚己形
　　则庚己为两形之较形或曰两形之
　　差
　　八则
　　甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上
　　方形其形之容即甲乙自乘
　　之数丁戊衡线戊己纵线内
　　作丁己直形己庚与丁戊等
　　庚丁与戊己等曰丁戊偕戊己两线矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之数
　　九则
　　甲乙衡线上作丙丁纵线而丙丁乙与丙丁甲两角俱
　　方角则丙丁为甲乙线上之垂线

　　十则
　　两直线引至无穷不相离亦不相遇曰平行线平行线内任作几形皆等高如甲乙丙丁两线平行两线内
　　作戊己庚三角形与辛壬直形两形
　　之高必相等凡两形等高者则曰同
　　在平行线内
　　十一则
　　甲乙丙三形并为一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形

　　十二则
　　方形并举四边曰方周
　　十三则
　　方形或圆形外实中虚曰环其中虚处曰虚形或曰缺形
　　十四则
　　甲乙形以丙丁线分之成甲丁丙乙两形或再以戊己
　　线分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
　　谓甲丁等二形或甲庚等四形曰分
　　形谓甲乙元形曰全形

　　数学钥巻一凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻一目録
　　柘城杜知耕撰
　　方田上【直线类】
　　一则实积求亩
　　二则直形求积
　　三则方形求积
　　四则勾股求积【二法】
　　五则三角形求积
　　六则斜方形求积
　　七则梯形求积
　　【西法】八则象目形求积【二法】
　　九则诸直线形求积
　　十则积求方边【即开平方　二法】
　　十一则方边求斜
　　十二则斜求方边
　　十三则直积求长与濶【即带纵开平方】
　　十四则直形以长求濶
　　十五则直形以濶求长
　　十六则直形长濶求
　　十七则直形濶求长
　　十八则直形长求濶
　　十九则直形长及濶差求濶
　　二十则直形濶及长差求长
　　二十一则直形及长濶和求长濶差
　　二十二则直形长及濶和求濶
　　二十三则直形濶及长和求长
　　二十四则直形及长濶差求长与濶
　　二十五则直形长和及濶和求长与濶二十六则直形长差及濶差求长与濶二十七则直形积及长濶和求长濶差
　　二十八则直形积及长濶和求
　　二十九则两边等之三角形求对角之垂线【増】三十则有一方角之三角形求对角之垂线【増】三十一则不等边而无方角之三角形求对角之垂线
　　三十二则方周求积
　　三十三则方环以周求积
　　【増】三十四则方环以积及濶求边
　　三十五则直形依长截濶
　　三十六则直形依濶截长
　　三十七则直形截勾股
　　三十八则直形截三角
　　三十九则直形截斜方
　　四十则直形截梯形
　　四十一则三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
　　四十二则三角形以截积截长求截濶
　　四十三则三角形以截长求截濶
　　四十四则三角形以截濶求截长
　　四十五则三角形以截积求截长
　　四十六则三角形以截积求截濶
　　四十七则斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
　　四十八则斜方形以截积截濶求截长
　　四十九则斜方形以截濶求截长
　　五十则斜方形以截长求截濶
　　五十一则斜方形依小边截积求截濶
　　五十二则斜方形依大边截积求截濶
　　五十三则梯形截勾股
　　五十四则梯形截斜方
　　五十五则梯形截无法五边形
　　【増】五十六则方环截外周
　　【増】五十七则方环截内周

　　数学钥巻一目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻一
　　柘城杜知耕撰
　　方田上【直线类】
　　一则
　　实积求亩
　　设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求
　　解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙濶一
　　步【即五尺】余三边各与甲乙等则甲丙
　　方形为积一步二百四十倍之则为
　　一亩故亩法用二四也本巻及二巻
　　皆言求积之法得积以此法求之即
　　得亩数
　　二则
　　直形求积
　　设直田长十步濶八步求积法曰置长为实以濶乘之得八十步即所求
　　解曰直田长濶不等求积之法任取
　　一边为此一边之倍数【或以濶乘长或以长乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步则二
　　倍甲乙边八步之数而甲戊形得积
　　一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也
　　三则
　　方形求积
　　设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步
　　即所求
　　解曰方田四边皆等以此边为此边
　　之倍数与以他边为此边之倍数同
　　故法用自乘也
　　四则
　　勾股求积
　　设勾股田股长十二步勾濶八步求积法曰置股为实以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半如甲乙丙勾股
　　形另作丁己直形
　　与之等高【谓丁庚与甲丙
　　等】等濶【谓丁戊与甲乙等】以庚戊线分之则
　　成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾【四步】乘之所得同前【半股为实以勾乘之亦得】
　　解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也
　　五则
　　三角形求积
　　设三角田中长一十二步底濶八步求积法同勾股田
　　解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙
　　己线分之则三角
　　形内成甲己丙乙
　　己丙两勾股形直
　　形内成甲丙己丁
　　两分形从前解推
　　之甲己丙勾股形
　　当甲丙分形之半
　　乙己丙勾股形当
　　己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也　或两边等【如第一图】或三边等【如第二图】或三边俱不等【如第三图】法皆同
　　六则
　　斜方形求积
　　设斜方田长一十
　　五步上濶六步下
　　濶十步求积法曰
　　置长为实以两濶
　　相并【共一十六步】折半【得八步】为法乘之得一百二十步即所求
　　解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等濶直形之半【本巻四则】则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
　　七则
　　梯形求积
　　设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田
　　解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁
　　己两勾股形必与
　　辛丙己庚两分形
　　等今戊丁直形与
　　两分形并则与全
　　梯形等矣故并两濶折半乘长得积也
　　八则
　　象目形求积
　　设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长
　　为实以濶乘之得
　　九十六步即所求
　　解曰几何原本云
　　甲乙丙丁象目形
　　甲戊为正长自乙
　　作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积
　　又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
　　解曰象目田以甲丁线分之则成相
　　等之两三角形甲丁即底丙戊即中
　　长也故以底乘长得全积也【三角法以底乘
　　长折半得积今不折故得两形之共积】

　　九则
　　诸直线形求积
　　第一图
　　可作三
　　三角形
　　第二图
　　可作一
　　斜方形
　　一三角
　　形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之
　　十则
　　积求方边【即开平方】
　　设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为
　　亷法次商九十步于左初商
　　之次【共一百九十步】亦置九十步于
　　右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实
　　一万八千步【余八千一百步】又以左
　　次商与隅法对呼除实八千
　　一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积则初次两商
　　之数为方田边无疑矣
　　又设方田积七万一千八百
　　二十四步求方边法曰置积
　　于中为实初商二百步于左
　　亦置二百步于右为方法左
　　右对呼除实四万步【余三万一千八
　　百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法
　　次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法三商八步于左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数
　　解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则
　　方边求斜
　　设方田方五十步求法曰置方数自乘【得二千五百步】倍
　　之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零
　　七分有竒即所求
　　解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
　　线次作己庚辛壬方形令方边与甲
　　丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也
　　十二则
　　斜求方边
　　设方田长七十步零七分有竒求方边法曰置自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙
　　十三则
　　直积求长与濶【即带纵开平方】
　　设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法
　　曰置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶
　　差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之得六十三步加长濶差【共七
　　十二步】折半得三十六步即长以长濶
　　差减长余二十七步即濶
　　解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何
　　十四则
　　直形以长求濶
　　设直田积九百七十二步长三十六
　　步求濶法曰置积为实以长除之得
　　二十七步即所求
　　解曰濶为长之倍数故以长除积得
　　濶【本巻二则】
　　十五则
　　直形以濶求长
　　设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求
　　解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则
　　直形长濶求
　　设直田濶二十七步长三十六步求
　　法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得
　　七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之
　　得四十五步即所求
　　解曰此即勾股求【六巻一则】
　　十七则
　　直形濶求长
　　设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求
　　解曰此即勾求股【六巻二则】
　　十八则
　　直形长求濶
　　设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰此即股求勾【六巻三则】
　　十九则
　　直形长及濶差求濶
　　设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】
　　二十则
　　直形濶及长差求长
　　设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求
　　解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】
　　二十一则
　　直形及长濶和求长濶差
　　设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长
　　解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】
　　二十二则
　　直形长及濶和求濶
　　设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】
　　二十三则
　　直形濶及长和求长
　　设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】
　　二十四则
　　直形及长濶差求长与濶
　　设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶
　　解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】
　　二十五则
　　直形长和及濶和求长与濶
　　设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长
　　解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】
　　二十六则
　　直形长差及濶差求长与濶
　　设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶
　　解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】
　　二十七则
　　直形积及长濶和求长濶差
　　设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求
　　解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】
　　二十八则
　　直形积及长濶和求
　　设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求
　　解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚
　　辛形自乘之方也甲戊形内勾股
　　八及长濶差自乘之方一庚辛形内
　　勾股四及长濶差自乘之方一每二
　　勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】
　　【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也
　　二十九则
　　两边等之三角形求对角之垂线
　　设三角田底濶六步两余边各五步
　　求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九
　　步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一
　　十六步】平方开之得四步即所求
　　解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在
　　三十则
　　有一方角之三角形求对角之垂线
　　设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘
　　【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相
　　减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分
　　即所求
　　解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十
　　五则】因有方角故用之若无方角此法
　　又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则
　　三十一则
　　不等边而无方角之三角形求对角之垂线
　　设三角田底濶一十五步乙丙边八
　　步甲丙边十步求中长法曰置乙丙
　　甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实以底除之【得二
　　步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】
　　【即乙丁之度以下勾求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之得四步九分三厘有竒即所求
　　解曰甲乙丙三角形丁为对角防另作庚辛为乙丙
　　边上方壬癸为甲
　　丙边上方壬癸大
　　于庚辛之较为夘
　　子丑磬折形若移
　　丑于寅则成夘子
　　寅直形又作辰巳
　　为丁乙上方午未
　　为甲丁上方午未
　　大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长【以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长】以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾求股法【六巻二则】同前则
　　三十二则
　　方周求积
　　设方田周二百步求积法曰置周自乘【得四万步】以方法十六除之得二千五百步即所求
　　解曰假如一步以
　　四面计之则周四
　　步四步自乘得一
　　十六步是周自乘
　　之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣
　　三十三则
　　方环以周求积
　　设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘【外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步】两数相
　　减【余六万四千步】以方法十六除之得四千
　　步即所求
　　解曰此方内减方法也○如知环濶
　　则用梯田法置两周相并折半以濶
　　乘之即得环积
　　三十四则
　　方环以积及濶求边
　　设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积
　　以四归之【得六百步】以濶除之得三十步
　　即内边倍濶【得四十步】加之得七十步即
　　外边
　　解曰法以环濶自乘者求环之隅方
　　也【即甲等】以四因之者环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边减濶得内边
　　三十五则
　　直形依长截濶
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步
　　求截濶法曰置积为实以元长除之
　　得三十二步即所求
　　解曰即以长求濶法【本巻十四则】

　　三十六则
　　直形依濶截长
　　设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求
　　解曰即以濶求长法【本巻十五则】

　　三十七则
　　直形截勾股
　　设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之得三十二步即所求
　　解曰勾股形当等高等濶直形之半
　　法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙
　　直形既倍勾股积则必与勾股等高
　　等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股
　　之濶也
　　三十八则
　　直形截三角
　　设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除
　　之得四十二步五分即所求
　　解曰三角形亦当等高等濶直形之
　　半法倍三角积即甲乙直形积也甲
　　乙直形既倍三角积则必与三角形
　　等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则
　　直形截斜方
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以
　　元长除之【得三十二步】另置相差五步折
　　半【得二步五分】并三十二步得三十四步
　　五分即大边减三十二步得二十九
　　步五分即小边
　　解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分】故置差折半增减之即得两濶
　　四十则
　　直形截梯形
　　设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为
　　法除之得七十步即所求
　　解曰倍濶减差折半者求甲乙直形
　　之濶也甲乙直形濶为梯形两边之
　　中度【谓小于大边六步大于小边亦六步】则直形之容
　　必与梯形等故求直形之长即得梯形之长
　　四十一则
　　三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
　　设三角田依角截积一千三百六十
　　步截濶六十四步求截长法曰置积
　　倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二
　　步五分即所求
　　解曰此与直田截三角同【本巻三十八则】
　　四十二则
　　三角形以截积截长求截濶
　　设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之【得二千七百二十步】以长除之得六十四步即所求
　　解曰此与直田截勾股同【本巻三十七则】
　　四十三则
　　三角形以截长求截濶
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与
　　元长矣【谓截长大于截濶几
　　分之几则元长亦大于元濶几分之
　　几截濶小于元濶几分之几则截长
　　亦小于元长几分之几】法以
　　元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法详三巻五则】
　　四十四则
　　三角形以截濶求截长
　　设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则
　　三角形以截积求截长
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之得一百五十步即所求
　　解曰甲乙丙即元
　　形丁戊丙即截形
　　丁壬为截形等高
　　等濶之直形辛壬
　　为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也
　　四十六则
　　三角形以截积求截濶
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以
　　元长除之【得一万二千六
　　百五十六步二分五厘】平方
　　开之得一百一十
　　二步五分即所求
　　解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则
　　斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
　　设斜方田元长九十步大边
　　濶三十八步小边濶二十步
　　依小边截积八百二十二步
　　五分截长三十五步求截濶
　　法曰置积为实以截长除之
　　【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小
　　边元濶余二十七步即所求
　　解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也
　　四十八则
　　斜方形以截积截濶求截长
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长
　　四十九则
　　斜方形以截濶求截长
　　设斜方田元长九十步大边
　　濶三十八步小边濶二十步
　　截濶二十七步求截长法曰
　　置小边元濶与截濶相减【余七】
　　【步】为实以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之得三十五步即所求
　　解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同【本巻四十三则】
　　五十则
　　斜方形以截长求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步即所求
　　解曰七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶得截濶余同前解
　　五十一则
　　斜方形依小边截积求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己
　　为小边与截濶之较线甲戊
　　为两元濶之较线癸辛为截
　　濶上方形子辛为小边上方
　　形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛
　　者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷【两亷俱以小边为长以较线为濶】若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶
　　五十二则
　　斜方形依大边截积求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰既自大边截积则
　　元形之大边亦即截形
　　之大边而截濶为小边
　　小边上方形之小于大
　　边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之
　　五十三则
　　梯形截勾股
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求
　　截濶法曰置积倍之【得六百九十六
　　步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八
　　分】以元长除之【得一百七十四步二分四】
　　【厘】平方开之得一十三步二分即所求
　　解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】
　　五十四则
　　梯形截斜方
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实
　　以元长除之【得三十步】另以两元
　　濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求
　　解曰元长除截积得己戊甲
　　庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶
　　五十五则
　　梯形截无法五边形
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三
　　百四十八步四分八厘】以梯田截勾股
　　法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步
　　八分即所求
　　解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶
　　五十六则
　　方环截外周
　　设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
　　环内方法曰置元方自乘【得四千九百步】减
　　去截积【余二千五百步】平方开之得五十步
　　即所求
　　解曰余环外方即截环内方
　　五十七则
　　方环截内周
　　设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之得五十步即所求
　　解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也

　　数学钥巻一
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥巻二凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周【如甲乙丙
　　丁线】过心直线曰径【如丁丙线】

　　二则
　　一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率
　　三则
　　设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交
　　曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙
　　为丙之外切形

　　四则
　　曲线直线相杂曰杂线形
　　五则
　　割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线
　　曰背甲乙衡线曰丙丁纵线曰矢
　　丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离
　　径丙戊曰半径
　　六则
　　设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上
　　圆形

　　数学钥巻二凡例

　　钦定四库全书
　　数学钥卷二目録
　　柘城杜知耕撰
　　方田下【曲线类】
　　一则圆径求周
　　二则圆周求径
　　三则圆周径求积
　　四则圆径求积
　　五则圆周求积
　　六则圆积求径
　　七则圆积求周
　　八则圆环求积
　　【增】九则圆环以积及内周求外周
　　【增】十则圆环以积及外周求内周
　　十一则圆环以积及内外周求环濶
　　【增】十二则圆环以两周求环濶
　　【增】十三则圆环以积及濶求两周
　　【增】十四则圆环以积及濶求径
　　十五则圆环以全径及虚径求积
　　【西法】十六则撱圆求积
　　【西法】十七则弧矢求积
　　【增】十八则弧矢形以积矢及离径求背
　　【西法】十九则弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
　　【西法】二十则弧矢形以矢径求
　　二十一则弧矢形以离径半径求
　　【西法】二十二则弧矢形以及余径求矢
　　【增】二十三则弧矢形以及全径求矢
　　二十四则弧矢形以半半径求矢
　　二十五则弧矢形以半及离径求矢
　　【增】二十六则弧矢形以半径半较及半离径较求矢与
　　二十七则旧弧矢法以矢求积
　　二十八则旧弧矢法以积矢求
　　二十九则旧弧矢法以积求矢
　　【增】三十则增弧矢法以矢求积
　　【增】三十一则圆截圆
　　三十二则圆截弧矢
　　【西法】三十三则弧矢形截杂线三角形
　　三十四则方内减圆以余积求圆积
　　三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
　　三十六则圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
　　三十七则圆内减方以余积求圆积
　　三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
　　【增】三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方
　　四十则诸杂线形求积

　　数学钥巻二目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻二
　　柘城杜知耕撰
　　方田下【曲线类】
　　一则
　　圆径求周
　　设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之得八十八步即所求
　　解曰径法七周法二十二者径与周
　　之比例若七与二十二也何也西洋
　　亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七
　　十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十
　　一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三
　　步则戊午必三百零六步【戊午元与午子
　　等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲
　　午股得二万三千四百零九步戊午
　　得九万三千六百三十六步两数
　　相减余七万零二百二十七步平方
　　开之得二百六十五步有竒为戊甲
　　勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二
　　百六十五步有竒与一百五十三步
　　次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾甲庚为股庚戊为】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾甲辛为股辛戊为】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾甲寅为股寅戊为】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎　次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百
　　八十步次平分甲乙丙角作乙丁线
　　以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾
　　股形自相似葢同用丁方角在半圜
　　内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁
　　丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形
　　有两角等者各腰俱相似则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙
　　丙【大】与丁丙【大勾】若己丙【小】与丁己【小勾】
　　更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线【乙丁丙形之】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线【乙辛丙形之】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之
　　二则
　　圆周求径
　　设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求
　　解曰即前法反用之
　　三则
　　圆周径求积
　　设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半【得四十四步】为实以径折半【得一十四步】为法乘之得六百
　　一十六步即所求
　　解曰圆形与半径为高全周为底之
　　三角形等何也测量全义云甲乙丙
　　丁圜自戊心百分之必皆成三角形
　　而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲
　　戊壬为庚戊辛三角形两分形既等
　　两全形有不等乎故法以半径乘半
　　周得庚戊辛三角形之积即得甲乙
　　丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全
　　圜百分之一其底终属曲线不可与
　　直线三角形为比不知甲戊壬角大
　　于己戊甲角而己戊甲中垂线大于
　　甲戊壬中垂线两相折准即谓之无
　　差亦可
　　四则
　　圆径求积
　　设圆田径二十八步求积法曰置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求
　　解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形
　　之半己戊癸形既为己丁直形之半
　　必为倍大于己丁之己壬方形四之
　　一又己戊癸与庚戊辛两形同以半
　　径为高凡两形等高者形与形之比
　　例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛
　　底与圜周等己癸底与圜径等是己
　　戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七
　　与圜周二十二若以四倍大于己戊
　　癸之己壬方形与庚戊辛三角形较
　　其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也
　　五则
　　圆周求积
　　设圆田周八十八步求积法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之得六百一
　　十六步即所求
　　解曰戊己庚辛圜
　　戊己径与甲乙丙
　　丁圜周等则两圜
　　之比例为其径与
　　径再加之比例再
　　加云者以两径各
　　自乘之数以为比
　　例也设甲乙径七
　　戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也
　　六则
　　圆积求径
　　设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开
　　之得二十八步即所求
　　解曰以十四乘十一除者因圜积以
　　求戊己方积也平方开之得方边即
　　得圜径者方边与圜径等也
　　七则
　　圆积求周
　　设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之得八十八步即所求
　　解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之得圜周
　　八则
　　圆环求积
　　设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八
　　除之得三百三十六步八分七厘五
　　毫即所求
　　解曰与方环求积同【一巻三十三则及本巻五则】

　　九则
　　圆环以积及内周求外周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之得六十六步即所求
　　解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则
　　圆环以积及外周求内周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之得一十一步即所求
　　解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周
　　十一则
　　圆环以积及内外周求环濶
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法除之得八步七分五厘即所求
　　解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶
　　十二则
　　圆环以两周求环濶
　　设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求
　　解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也
　　十三则
　　圆环以积及濶求两周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也
　　十四则
　　圆环以积及濶求径
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实以四因濶【得三十五步】为法除之得三步五分即虚径倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全径
　　解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法【一巻五十六则】
　　十五则
　　圆环以全径及虚径求积
　　设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘【全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也
　　十六则
　　撱圆求积
　　设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求
　　解曰西洋亚竒黙德云取撱
　　圆两径之中率为径作圆其
　　容与撱圆等【四九之中率为六谓四之与六
　　犹六之与九也】夫求中率之法以两
　　径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也【撱圆形状不同恐不能无小差】
　　十七则
　　弧矢求积
　　设弧矢田矢濶五步长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法
　　曰置背以离径并矢【共十步】乘
　　之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置
　　以离径乘之【得八十六步六分有竒】两
　　数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】
　　折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘相减折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则
　　弧矢形以积矢及离径求背
　　设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步
　　一十七步三分二厘有竒离径五
　　步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二
　　厘三毫有竒】另置以离径乘之【得八十六步六
　　分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢
　　并离径【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求
　　解曰即前则求积法反用之
　　十九则
　　弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
　　设弧矢田矢五步一十七步三分二厘有竒求余径法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求
　　解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为
　　余径自圆心戊作
　　戊乙线成丁戊乙
　　勾股形丁乙半
　　为股丁戊离径为
　　勾戊乙半径为
　　另作辛夘形为丁
　　戊勾上方形庚壬形为戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾较为濶勾和为长今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾较也故以矢除丁乙半【弧矢形之】自乘之积即得勾和又乙戊【勾股形之】既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径
　　二十则
　　弧矢形以矢径求
　　设弧矢田矢五步径二十步求法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求
　　解曰依前解矢与余径相乘之数即半自乘之数故平方开之得半倍之得全也
　　二十一则
　　弧矢形以离径半径求
　　设弧矢田半径十步离径五步求法曰置半径离径各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方
　　开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步
　　三分二厘有竒即所求
　　解曰半径乙戊为【勾股形之】离径丁
　　戊为勾求得乙丁股即半也【弧矢形之】
　　【】故倍之得全
　　二十二则
　　弧矢形以及余径求矢
　　设弧矢田一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之得五步即所求
　　解曰依十九则解半自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢
　　二十三则
　　弧矢形以及全径求矢
　　设弧矢田一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置径各自乘【得三百步径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步即所求
　　解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全上方形当半上方形四又半上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也
　　二十四则
　　弧矢形以半半径求矢
　　设弧矢田半八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半半径各自乘【半得七十五步半径得一百步】两数相
　　减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径
　　得五步即所求
　　解曰半丁乙为股戊乙半径为
　　求得丁戊勾即离径也故以之减半
　　径得矢
　　二十五则
　　弧矢形以半及离径求矢
　　设弧矢田半八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半离径各自乘【半得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊即径也故减去离径得矢
　　二十六则
　　弧矢形以半径半较及半离径较求矢与设弧矢田半径多半一步三分四厘弱半多离径三步六分六厘强求矢及法曰并两数【共五步】以半径多半之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半之数得五步即离径再加半多离径之数得八步六分六厘即半再加半径多半之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢
　　解曰戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半之数即股较丁乙半多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股较即勾较此即勾较股较求勾股法也【六巻二十则】
　　二十七则
　　旧弧矢法以矢求积
　　设弧矢田矢十步二十步求积法曰置矢相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧説圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六
　　十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其
　　背为全周之半必三十步法以矢
　　相并即与弧背等折半以矢乘之犹
　　圆法以半径乘周折半得积之义也
　　【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之
　　二十八则
　　旧弧矢法以积矢求
　　设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百　十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余
　　一十七步三分二厘即所求
　　解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢
　　积若以矢除弧矢积必仍得半半
　　矢以矢除弧矢积既得半半矢以
　　矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何
　　二十九则
　　旧弧矢法以积求矢
　　设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二
　　百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三
　　分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减
　　去【余十步】折半得五步即所求
　　解曰甲丁方形边与一二矢等甲
　　戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己
　　等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之
　　三十则
　　增弧矢法以矢求积
　　设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以
　　甲己为甲乙为股求乙巳勾得十
　　步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙
　　己折半得巳辛复为勾戊巳半径为
　　求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚
　　辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三一矢相并以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求
　　解曰此借两弧三一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积眞数密量弧背从十七则可也
　　三十一则
　　圆截圆
　　设圆田径二十一步依外周截积三
　　百三十六步八分七厘五毫求余圆
　　径法曰置径自乘【得四百四十一步】另置截
　　积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十
　　一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之得三步五分即所求
　　解曰此与方环截积同【一巻五十六则】
　　三十二则
　　圆截弧矢【旧法】
　　设圆田径一十三步截弧矢积三十
　　二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十
　　四步】为实用商法商矢四步即以所商
　　之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷另以
　　矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷并两亷【共二百五十六步】为法除实得四步即所求
　　解曰弧矢之积元以矢乘半半矢而得【本巻二十七则】若以半半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢
　　之数三十二倍之与三十二全矢并
　　即与三十二半三十二半矢相并
　　之数同今无半数须以矢乘余径
　　以为半自乘之方【本巻十九则】如甲乙
　　方形甲己为半甲丁为半矢丁己为半矢较【即半大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢较以半为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎
　　三十三则
　　弧矢截杂线三角形
　　设半圆弧矢田二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置
　　截背以折半【得十步】乘之【得一百零四步七分
　　六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘
　　零八丝即所求
　　解曰杂线三角形为圆之分形故求
　　积之法同圆【本巻三则】
　　三十四则
　　方内减圆以余积求圆积
　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】
　　以圆法十一与方法十四相减余三
　　为法除之得六百一十六步即所求
　　解曰圆既为方十四分之十一则方
　　内减圆之余积必为方十四分之三
　　圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也
　　三十五则
　　方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求
　　解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则
　　圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
　　设圆田减去内切方田余积二百二
　　十四步求方积法曰置积为实以七
　　乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一
　　相减余四为法归之得三百九十二
　　步即所求
　　解曰内切方形之与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径
　　三十七则
　　圆内减方以余积求圆积
　　设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求
　　解同前
　　三十八则
　　方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
　　设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】为纵方以平方带纵开之【得九十步　一巻十三则】减
　　去纵方余六十步即方边再
　　减两边各五步【共十步】余五十
　　步即圆径
　　解曰依图分之成甲乙等方
　　形四子丑等直形八干坎等
　　杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长
　　则圆之半径也干坎等四形
　　为方减内切圆形之余积以
　　方四圆三推之【旧法谓方内容圆圆居方
　　四分之三】四形并必当方四分之
　　一干坎艮三形并必足以补
　　癸形之阙而与一小方二直
　　形一杂形并共凑成一坤震
　　方形矣次移甲于丁移乙于
　　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】
　　三十九则
　　圆内减不相切之方以余积求圆径及方
　　设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步
　　求圆径及方法曰置一步
　　自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与
　　余积并【并四十五步】另置一步以
　　四因之【得四步】为纵方以平方
　　带纵开之【得一十四步】减去纵方
　　即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步即方
　　解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三
　　故止作方环之三隅即与圆
　　环等依图分之成甲乙丙三
　　方形丁戊己庚辛壬六直形
　　尚余癸子丑寅四弧矢形为
　　圆减内切方形之余积以圆
　　三方二推之【旧法谓圆内容方方居圆三分
　　之二】四弧矢形并当圆三分之
　　一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方者为两边之各一步故减之得方
　　四十则
　　诸杂线形求积
　　第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
　　戊实形补
　　己虚形庚
　　亦成三角
　　形癸借壬
　　虚形亦成
　　三角形【得积
　　减去壬圆形】此
　　一大形内
　　成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】

　　皆依五形例
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥卷三凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除
　　二则
　　设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除
　　三则
　　凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也
　　四则
　　设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍
　　五则
　　命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数
　　六则
　　设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也

　　数学钥巻三凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三上目録
　　柘城杜知耕撰
　　粟布
　　一则籴粜一法
　　二则籴粜二法
　　三则籴粜三法
　　四则籴粜四法
　　五则籴粜五法
　　六则籴粜六法
　　七则籴粜七法
　　八则籴粜八法
　　九则撞换一法
　　十则撞换二法
　　十一则撞换三法
　　十二则盘量仓窖
　　十三则布帛
　　十四则银色一法
　　十五则银色二法
　　十六则银色三法
　　十七则银色四法
　　十八则银色五法
　　十九则银色六法
　　二十则斤两一法
　　二十一则斤两二法
　　二十二则斤两三法
　　二十三则斤两四法
　　二十四则斤两五法
　　二十五则斤两六法
　　二十六则权重一法
　　二十七则权重二法
　　【増】二十八则权重三法
　　巻三下目録
　　衰分
　　一则合率差分
　　二则折半差分
　　三则四六差分
　　四则三七差分
　　五则二八差分
　　六则逓减差分一法
　　七则逓减差分二法
　　八则逓减差分三法
　　九则带分子母差分一法
　　十则带分子母差分二法
　　十一则互和逓减差分一法
　　十二则互和逓减差分二法
　　十三则匿价差分一法
　　十四则匿价差分二法
　　十五则二色差分
　　十六则三色差分【四色五色六色附】
　　十七则贵贱和率差分
　　十八则首尾和率差分
　　附分法
　　一则命分
　　二则约分
　　三则乗分
　　四则课分
　　五则通分

　　数学钥巻三目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三上
　　柘城杜知耕撰
　　粟布
　　一则
　　籴粜一法
　　设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求
　　二则
　　籴粜二法
　　设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求
　　三则
　　籴粜三法
　　设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则
　　籴粜四法
　　设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣
　　五则
　　籴粜五法
　　设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之得八两七钱五分即所求
　　解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇竒零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也
　　六则
　　籴粜六法
　　设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之得三十五石即所求
　　解同前
　　七则
　　籴粜七法
　　设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法除之得三十五石即所求
　　解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也
　　八则
　　籴粜八法
　　设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求
　　解同前
　　九则
　　撞换一法
　　设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之得三十五石即所求
　　十则
　　撞换二法
　　设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳
　　十一则
　　撞换三法
　　设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍
　　三石黍一石共黍
　　三十三石于左列
　　麦一石菽三石共
　　菽麦一十九石于
　　右先以右上互乘
　　左中【仍得一石】以左上互乘右中【得九石】两数相减【余八石】为长法次以左中互乘右下【仍得一十九石】以右中互乘左下【得九十九石】两数相减【余八十石】以长法除之【得一十石】为短法以麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数余九石为菽数以换麦黍数减共黍余三石为换菽黍数【解见三巻下十七则】
　　十二则
　　盘量仓窖
　　设直仓底长七尺濶五尺髙八尺求容粟数法曰以底濶乘长【得三十五尺】再以髙乘之【得二百八十尺】为实取木板四块如图错综合之令纵广及髙各一尺纳粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得
　　三十三石六
　　斗即所求
　　解曰仓窖形
　　状不一求积
　　法俱详四巻
　　十三则
　　布帛
　　设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法除实得五钱五分二厘二毫有竒即所求
　　十四则
　　银色一法
　　设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求
　　十五则
　　银色一法
　　设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求
　　十六则
　　银色三法
　　设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之得五两零一分零五毫即所求
　　十七则
　　银色四法
　　设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则
　　银色五法
　　设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之【得四十两】与原银相减余四两八钱即所求
　　十九则
　　银色六法
　　设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之【得四十两】与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则
　　斤两一法
　　设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求
　　二十一则
　　斤两二法
　　设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求
　　二十二则
　　斤两三法
　　设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求
　　二十三则
　　斤两四法
　　设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求
　　二十四则
　　斤两五法
　　设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求
　　二十五则
　　斤两六法
　　设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求
　　二十六则
　　权重一法
　　设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求
　　解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也【本巻五则】
　　二十七则
　　权重二法
　　设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求
　　解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重
　　二十八则
　　权重三法
　　设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘【得六百七十六两】平方开之得二十六两即所求
　　解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也【二巻十六则】○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬絶留心此道者不可不知也数学钥巻三上
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三下
　　柘城杜知耕撰
　　衰分【诸分附】
　　一则
　　合率差分
　　设有银一百二十一两一钱七分五厘买稻麦菽三等粮买稻一分每斗价九分二厘麦二分毎斗价八分五厘菽三分每斗价三分六厘求三色粮各若干法曰置共银为实另二因麦价【得一钱七分】三因菽价【得一钱零八厘】与稻价并【共三钱七分】为法除实得三十二石七斗五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三因稻数得九十八石二斗五升为菽数
　　解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银数则以各价乘各数即得
　　二则
　　折半差分
　　设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数二因乙数得三百八十四两为甲数
　　解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七衰而丙为七分之一故以七除实得丙数余同前解三则
　　四六差分
　　设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五两为乙数以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数
　　解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即原银三十二分五厘之一而丁应纳者则三十二分五厘之四故四因一衰之数得丁数也余同前解四则
　　三七差分
　　设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之得一千二百二十五两为甲数
　　解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十一为戊衰位多者仿此
　　五则
　　二八差分
　　设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十二乘之得八百两为甲数
　　解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
　　六则
　　逓减差分一法
　　设米一千一百三十四石令五等人户逓减纳之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸应纳银数法曰置共米为实先定五等六十戸为六十衰二因四等戸数得一百零二衰三因三等戸数得一百二十六衰四因二等戸数得一百三十二衰五因一等戸数得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得二石一斗为第五等每戸纳数以五等六十戸乘之得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一斗得四石二斗为第四等毎戸纳数以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以三因二石一斗得六石三斗为第三等毎戸纳数以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗为第三等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等每户纳数以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零五斗为第一等每戸纳数以一等二十四戸乘之得二百五十二石为第一等共纳数
　　解同本巻一则
　　七则
　　逓减差分二法
　　设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并乙四甲五得九以六减九余三于每人衰数各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙数八因之得六十四石为甲数
　　解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一两数相减余一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减余二人为法归之得五各加入每人衰数己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十九并之共八十五两数相减余三十为实另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减余三人为法归之得十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九余仿此
　　八则
　　逓减差分三法
　　设米二百六十五石令三等人戸纳之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各应纳米数法曰置共米为实并七斗五斗【共一石二斗】乘上等尸数【得二十四石】以五斗因中等尸数【得二十五石】两数并【共四十九石】减实余二百一十六石并三等尸数【共一百八十戸】为法除之得一石二斗为下等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等戸数得每等共纳数
　　解曰共米内减去上中两等多于下等米数所余即一百八十戸均平公纳之米除实得一石二斗即每戸均纳之数均纳之数即下等每戸应纳之数也故加五斗得中等每戸纳数再加七斗得上等每戸纳数
　　九则
　　带分子母差分一法
　　设甲乙丙三人纳银令乙纳甲数六分之五丙纳甲数四分之三乙多丙纳银八两求共银及各应纳银数法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八减二十余二为法另以乙多丙八两乘二十四【得一百九十二两】以法除之得九十六两即甲
　　数以八两乘二十【得一百六十两】以法除之得八十两即乙
　　数以八两乘十八【得一百四十四
　　两】以法除之得七十二两
　　即丙数并之得二百四十
　　八两即共银数
　　解曰此借比例以求真数也二十四与二十六分之五也二十四与十八四分之三也六分之五之二十较四分之三之十八多二六分之五之乙数较四分之三之丙数却多八两则二十四之与甲数二十之与乙数十八之与丙数其比例必皆若二与八也故八乘二除各得真数也
　　十则
　　带分子母差分二法
　　设布一十二万四千四百八十五疋给散军士每三名给袄布七疋每四名给裤布五疋求军数法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下【得十五】左上互乘右下【得二十八】并之【共四十三】为法另以左上右上
　　相乘【得一十二】以乘共布【得一百四
　　十九万三千八百二十疋】以法除之得
　　三万四千七百四十名即
　　所求
　　解曰十二为三名者四当
　　给袄布二十八疋为四名者三当给裤布一十五疋是毎军士十二名给布四十三疋也反之每给布四十三疋得军士一十二名也故十二乘四十三除得军数也
　　十一则
　　互和逓减差分一法
　　设米一百八十石令甲乙丙三人逓减纳之定甲多丙米三十六石求各应纳米数法曰置共米以人数归之得六十石为乙数另置甲多丙数折半【得一十八石】加乙数得七十八石为甲数减乙数得四十二石为丙数
　　解曰甲多于乙数必为甲多于丙数之半丙少于乙数亦必为丙少于甲数之半两相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三归之得乙数加减之得甲与丙数也
　　十二则
　　互和逓减差分二法
　　设令甲乙丙丁四人逓减纳银定甲纳六十九两丁纳五十一两求乙丙应纳数及共银数法曰以丁数减甲数【余一十八两】三归之得六两加丁数得五十七两为丙数加丙数得六十三两为乙数并之共二百四十两为共银数
　　解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三数并与甲多于丁数等故三归得每率逓差之数凡四位以上皆取首尾两数相减五位则四归之六位则五归之七位则六归之即得每率逓差之数余同前
　　十三则
　　匿价差分一法
　　设银一百八十两零二钱五分买麦六十五石菽二十五石麦每石多菽价一两零七分求各价法曰置麦以麦多菽价乗之【得六十九两五钱五分】以减元银【余一百一十两零七钱】并麦菽两数除之得一两二钱三分即菽价加麦多菽价得二两三钱即麦价
　　解曰减去麦多菽价余银即菽九十石之共价故以九十石归之得菽价
　　十四则
　　匿价差分二法
　　设稻一十八石稷二十二石其值适等交换五石则两率差银一两六钱二分五厘求各价法曰置一两六钱二分五厘以交换五石归之得三钱二分五厘以乗稻一十八石【得五两八钱五分】另以稻一十八石减稷二十二石余四石为法除之得一两四钱六分二厘五毫即稷价另以三钱二分五厘乗稷二十二石【得七两一钱五分】以前法除之得一两七钱八分七厘五毫即稻价
　　解曰交换五石两率相差一两六钱二分五厘则一两六钱二分五厘必稻五石多稷五石之价也以五归之得三钱二分五厘即稻稷每石相差之价稻稷既每石相差三钱二分五厘则一十八石必差五两八钱五分矣今稷多稻四石而价适等是稷四石之价必五两八钱五分也故四归之得稷价又稻与稷价之比例原若十八与二十二既以三钱二分五厘乗稻一十八石得稷每四石之价则以三钱二分五厘乗稷二十二石必得稻每四石之价无疑矣故四归之得稻价
　　十五则
　　二色差分
　　设银六十七两五钱共买稻菽一百石稻毎石价八钱菽毎石价三钱求稻菽各若干法曰以菽价乗共一百石【得三十两】以减原银【余三十七两五钱】为实以两价相减【余五钱】为法除之得七十五石即稻数以减共一百石余二十五石即菽数
　　解曰原银为稻菽共百石之价以菽价乗百石为菽百石之价两率不等者以稻贵于菽也今稻毎石多菽价五钱是两率毎相差五钱百石内必有稻一石两率相减余银三十七两五钱凡为五钱者七十五故得稻七十五石也
　　十六则
　　三色差分【四色五色六色附】
　　设银十两零五钱共买稻麦菽一十八石稻每石价八钱麦每石价六钱菽毎石价三钱求三色各若干法曰置共粮以三归之得六石为麦数以麦价因之得三两六钱为麦共价另以麦数减共粮【余一十二石】以菽价因之【得三两六钱】另以麦共价减原银【余六两九钱】两数相减【余三两三钱】为实稻菽两价相减【余五钱】为法除之得六石六斗为稻数以稻麦两数减共粮余五石四斗为菽数
　　解曰若四色则四归共物得若干即第二色数亦即第三色数以第二色价乗之得第二色共价以第三色价乗之得第三色共价以两数减共物两共价减原银余依二色差分法求之五色则五归六色则六归之仿此○按三色以上亦可与共物共价相合无差然实非一定不易之数即前三色论之设稻九石共价七两二钱麦二石共价一两二钱菽七石共价二两一钱亦与原银共粮共价皆合而与上法所求三色之数不同
　　十七则
　　贵贱和率差分
　　设银一百二十七两五钱共买稻麦一百零八石毎稻三石价四两毎麦四石价三两五钱求二色数及价各若干法曰列稻三石麦四石共稻麦一百零八石于右次列稻价四两麦价三两五钱原银一百二十七两五钱于左以右上互乘左中【得十两零五钱】以左上互乘右中【得一十六两】两数相减余五两五钱为长法次
　　以右中互乗左下
　　【得五百一十两】以左中互
　　乗右下【得三百七十八两】两数相减【余一百三十二
　　两】以长法除之得
　　二十四为短法以稻三石乗短法得七十二石即稻数以稻价乗短法得九十六两即稻共价以稻数减共稻麦一百零八石余三十六石即麦数以稻共价减原银一百二十七两五钱余三十一两五钱即麦共价
　　解曰此与前二色差分同但彼数齐此数不齐耳凡数之不齐者必假一数以齐之今稻三石麦四石则以十二齐之何为必齐之十二也十二为四倍稻三石三倍麦四石之数也以稻三乗麦价即得麦十二石之价以麦四乗稻价即稻十二石之价两数相减为长法者即稻十二石多于麦十二石之银数亦即稻四石多于麦四石之价又三倍之之数也以麦价乗共稻麦一百零八石即麦四百三十二石之价亦即一百零八石尽皆为麦而又四倍其价之数也以麦四乗原银即稻麦四百三十二石之共价亦即稻麦一百零八石之原价而又四倍之之数也两数相减之余即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价实即稻七十二石多于麦七十二石之价又四倍之之数也以之为实若以稻四石多于麦四石之价除之必得稻七十二石今稻四石多于麦四石之价不可得止得稻十二石多于麦十二石之价为长法除实得二十四二十四者即为稻三石者二十四也【十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得数即减若干倍也】故为短法以稻三石乗之得稻数以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数则以稻三石乗元银以稻价乗共稻麦数两数相减以长法除之得数为短法以麦四石乗之得麦数以麦价乗之得共麦价【解同前】○按此条当列稻三石价四两共稻麦一百零八石于右列麦四石价三两五钱共银一百二十七两五钱于左以左上互乗右中【得一十六两】以右上互乗右中【得十两零五钱】两数相减【余五两五钱】为法次以左上右上相乗【得一
　　十二石】以乗左下【得一
　　千五百三十两】以左中十
　　两零五钱乗右下
　　【得一千一百三十四两】两数
　　相减【余三百九十六两】为
　　实以法除之得七十二石即稻数似较旧法更捷○旧法以十二倍之法除四倍之实故止得二十四以稻三石乗之方得稻数后法以十二倍之法除十二倍之实故一除即得稻数无须再乗也
　　十八则
　　首尾两和差分
　　设十人挨次逓减纳银甲乙丙三人共纳一十三两八钱庚辛壬癸四人共纳一十三两求各应纳银数
　　法曰列三人于右
　　上定甲九衰乙八
　　衰丙七衰共二十
　　四衰列于右中三
　　人纳数列于右下
　　次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人纳数列于左下先以右上徧乗左行【中得一十八衰下得三十九两六钱】次以左上徧乗右行【中得九十六衰下得五十五两二钱】以两下对减【余一十五两六钱】为实两中对减【余七十八衰】为法除之得二钱【为十人挨次逓减之数】另以右上归右下得四两六钱为乙数加乙二钱得四两八钱为甲数减乙二钱得四两四钱为丙数减丙二钱得四两二钱为丁数以下各逓减二钱得应纳银数
　　解曰首三人尾四人两数不齐不可相减以求首尾相差之数故互乗以齐之夫左下尾四人共纳之银数也以右上三人乗之得三十九两六钱即三倍尾四人为一十二人之纳数右下首三人共纳之银数也以左上四人乘之得五十五两二钱即四倍首三人亦为一十二人之纳数对减之余即首十二人多于尾十二人之纳数故以为实左中尾四人之衰数以右上三人乗之得十八即三倍尾四人为一十二人之衰数右中首三人之衰数以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦为一十二人之衰数对减之余即首十二人多于尾十二人之衰数故以为法以法除实所得非一衰之银数而何一衰之银数即十人挨次逓减之数也以右上三人归右下纳数即得乙数何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也减甲之多补丙之少则成三平数乙居甲丙之中故三归之得平数即得乙数也

　　数学钥巻三下
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三附
　　柘城杜知耕撰
　　分法
　　一则
　　命分
　　设银四十两三人分之求毎人应分银数法曰置银为实以人数除之得一十三两余一不尽则以法为分母以不尽之一为分子命为一十三两又三分两之一
　　解曰三分两之一即三钱三分三三不尽
　　二则
　　约分
　　设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三
　　解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二
　　三则
　　乘分
　　设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之得六千七百八十两即所求
　　解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也
　　四则
　　课分
　　设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则
　　通分
　　设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六【得四十二】为法乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法除之得四十七两二钱五分即所求
　　解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也

　　数学钥巻三附
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥巻四凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积
　　二则
　　体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙
　　三则
　　底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而
　　髙不与长
　　广等者曰
　　方体如第
　　二图长广
　　及髙皆不
　　等而角方
　　者曰直体
　　亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上鋭至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰鋭脊如第十图面之长广各杀于底者曰鋭面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图
　　四则
　　锥及鋭面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之防非正心
　　五则
　　线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分
　　六则
　　相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例
　　七则
　　堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆

　　数学钥巻四凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥卷四目録
　　柘城杜知耕撰
　　少广
　　一则立方求积
　　二则直体求积
　　三则堑堵求积
　　四则刍荛求积
　　五则三角体求积
　　六则六边体求积【八边十二边附】
　　【増】七则五边体求积【九边附】
　　八则圆体求积
　　【増】九则撱圆体求积
　　【増】十则弧矢体求积
　　十一则锥体求积
　　十二则诸杂线体求积
　　【西法】十三则浑圆求积【二法】
　　【增】十四则浑撱圆求积
　　十五则鋭脊体求积
　　【増】十六则鼈臑求积
　　【増】十七则等广鋭面体求积
　　十八则鋭面方体求积
　　十九则鋭面直体求积【二法　后法増】
　　二十则鋭面圆体求积
　　【増】二十一则鋭面撱图体求积
　　【西法】二十二则诸鋭面体求积
　　二十三则求锥体之正髙
　　二十四则立方以积求边一法【即开立方法】二十五则立方以积求边二法
　　【増】二十六则方体以积求边一法【即带纵开立方法増】二十七则方体以积求边二法
　　二十八则直体以积求边一法
　　【増】二十九则直体以积求边二法
　　三十则浑圆以积求径
　　【増】三十一则浑撱圆以积求径
　　三十二则三乗还原【即开三乗方法　五乗七乗附】三十三则委粟求积
　　三十四则倚壁委粟求积
　　三十五则倚外角委粟求积
　　三十六则倚内角委粟求积
　　三十七则方平堆以周求积
　　三十八则方平堆以积求周
　　三十九则三角平堆以濶求积
　　四十则三角平堆以积求濶
　　四十一则梯形平堆以濶求积
　　四十二则六边平堆以边求积
　　四十三则六边平堆以积求边【求周附】
　　四十四则堑堵髙堆求积
　　四十五则方底髙堆求积
　　四十六则三角髙堆求积
　　四十七则直底髙堆求积
　　四十八则直底鋭面堆求积
　　四十九则三角鋭面堆求积
　　数学钥巻四目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻四
　　柘城杜知耕撰
　　少广
　　一则
　　立方求积
　　设立方方三尺求积法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之得二十七尺即所求
　　解曰算体之法先求底积【即方圆等形求积详一二巻】以髙为底
　　积倍数如图长广各三尺相乘得九尺
　　为底积若髙二尺则二倍底积之数得
　　一十八尺髙三尺则三倍底积之数得
　　二十七尺
　　二则
　　直体求积
　　设直体长七尺广五尺髙一十二尺
　　求积法曰以广乘长【得三十五尺】以髙乘
　　之得四百二十尺即所求
　　解同前
　　三则
　　堑堵求积
　　设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广
　　乘长【得六十尺】以髙
　　乘之【得四百二十尺】折
　　半得二百一十
　　尺即所求
　　解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积
　　四则
　　刍荛求积
　　设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵
　　解曰甲乙丙戊
　　刍荛依丙丁线
　　丙戊脊分之必
　　成二堑堵各为
　　相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也
　　五则
　　三角体求积
　　设三角体广六尺
　　中长五尺高一十
　　二尺求积法曰置
　　长广相乘【得三十尺】以
　　髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求
　　解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同
　　六则
　　六边体求积【八边及十二边附】
　　设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分
　　有竒髙四十尺
　　求积法曰置广
　　三因之【得六十尺】以
　　长折半【得一十七尺三】
　　【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度则取边广为【全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也】半广为勾【丁乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为【丙乙】各自乘
　　相减平方开之
　　得股【丙丁】即底长
　　之半按七六五
　　三六乃四十五
　　度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】
　　七则
　　五边体求积
　　设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分
　　六厘六毫强高
　　四十尺求积法
　　曰置边广以边
　　数五因之【得一百尺】
　　折半【得五十尺】为实另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求
　　解曰五边底依各角分之成三
　　角形五欲求底积必先得三角
　　积欲求三角积必先得三角之
　　中长【丙丁】然上则六边边为偶数
　　角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长【己丁】小半为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊则用弧矢以及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁余径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾【丁乙】另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】
　　一　一七五五八乃七十二度弧
　　之通七十二度为三百六十
　　度五之一故以之除五边之一
　　即得外切圆形之半径【丙乙】为三
　　角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为【丙乙】自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也
　　八则
　　圆体求积
　　设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘【得九
　　百尺】再以高乘之
　　【得三万六千尺】用圆法
　　十一乘十四除
　　【二巻四则】得二万八
　　千二百八十五尺七寸有竒即所求
　　解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也
　　九则
　　撱圆体求积
　　设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘十四除得一万八千一百零
　　二尺八寸有竒
　　即所求
　　解同前则及二
　　巻十六则
　　十则
　　弧矢体求积
　　设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零
　　九壹强】为余径余
　　径加矢折半【得一
　　十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】
　　【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七则】
　　十一则
　　锥体求积
　　设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自
　　乘【得四百尺】为底积
　　再以高乘之【得一
　　万六千尺】以锥法三
　　归之得五千三
　　百三十三尺三寸三分有奇即所求
　　解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试
　　作立方如甲乙
　　自心至各棱分
　　之必成锥体六
　　俱以方靣为底
　　方边之半为高
　　更作一方体与
　　锥体同底等高
　　如丙丁丙丁方
　　体既与锥体同
　　底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一
　　十二则
　　诸杂线体求积
　　凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积
　　十三则
　　浑圆求积
　　设浑圆径十尺求积法曰置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之得五百二十三
　　尺八寸一分即所求
　　解曰置径自乘再以十一乘十
　　十四除者浑圆中丙子乙丑平
　　圆积也以四因之者浑圆面积
　　当平圆积四也何也浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径作平圆【如辛癸平圆辛壬与甲戊等】其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚
　　与甲庚等乙庚甲庚
　　两线偕甲乙线则成
　　一勾股形甲乙为
　　乙庚甲庚一为勾一
　　为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之
　　锥体以高乘底以三归之者
　　锥体求积之法也【本巻十一则】○
　　又尝借西洋割圆八线表考
　　之如前径十尺之浑圆自顶
　　中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法【一巻七则】并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为
　　梯长乘实得割　　　　　　　　　　　【即】球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数
　　合又法置径自乘再以径乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得数
　　同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之
　　容必等于以平圆为底以浑圆
　　半径为【浑圆半径即固体高度之半也】高之锥
　　体【本巻十一则】六浑圆之面既四倍
　　于中心平圆而浑圆求积之法
　　又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则
　　浑撱圆求积
　　设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小
　　径自乘【得四百尺】再
　　以大径乘之【得一
　　万六千尺】以十一乘
　　二十一除得八
　　千三百八十尺零九寸五分即所求
　　解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积
　　十五则
　　鋭脊体求积
　　设鋭脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之得三百八十尺即
　　所求
　　解曰依甲丙乙丁两线
　　分之成刍荛一斜锥二
　　【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘
　　底积之半得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一得积【本巻十一则】夫刍荛之底长即鋭脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也
　　十六则
　　鼈臑求积
　　设鼈臑上长二
　　尺下长四尺高
　　九尺求积法曰
　　置两长相乘【得八】
　　【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之得一十二尺即所求
　　解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也
　　十七则
　　等广鋭面体求积
　　设等广鋭靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广
　　五尺高一十二
　　尺求积法曰并
　　两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】
　　再以高乘之得四百八十尺即所求
　　解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则
　　鋭靣方体求积
　　设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积
　　法曰置上方自
　　乘【得三十六尺】下方
　　自乘【得六十四尺】上
　　下两方相乘【得四】
　　【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求
　　解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本巻十五则】
　　十九则
　　鋭靣直体求积
　　设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高
　　一十二尺求积
　　法曰倍上长加
　　下长【共二十二尺】以
　　上广乘之【得一百一】
　　【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求
　　解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归
　　者如后图面长五尺广三尺底
　　长七尺广四尺二寸高一十二
　　尺用前法得积二百六十一尺
　　六寸今以面广乘靣长得一十
　　五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也
　　二十则
　　鋭靣圆体求积
　　设鋭靣圆体靣径六尺底径八
　　尺高一十二尺求积法曰置靣
　　径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四
　　尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】
　　【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
　　解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也
　　二十一则
　　鋭面撱圆体求积
　　设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺
　　小径六尺高一十二尺求积法
　　曰倍靣大径加底大径以靣小
　　径乘之【得三十二尺】另倍底大径加
　　靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】
　　两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
　　解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则
　　诸鋭靣体求积
　　设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺
　　中长三尺四寸
　　六分四厘高四
　　尺求积法曰置
　　高以底长折半
　　乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之得八尺为锥高另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高余四尺乘之三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求
　　解曰凡鋭靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也凡鋭靣体俱同此法
　　二十三则
　　求锥体之正高
　　设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相
　　减【余一百四十四尺】平方开之得一十
　　二尺即所求
　　解曰此勾求股法也【六巻二则】凡
　　求诸锥体之积须得诸锥正高
　　自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾【本巻七则】
　　二十四则
　　立方以积求边一法【即开立方】
　　设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求
　　解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十
　　尺得五十尺即
　　方廉甲乙丙丁
　　一侧面之平积
　　也【丁乙五尺丁丙十尺相乘
　　得五十尺】以初商乘
　　之必得一方廉
　　之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十
　　尺乘之则得三
　　方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺】以初商乘之必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣
　　二十五则
　　立方以积求边二法
　　设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求
　　解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此
　　二十六则
　　方体以积求边一法【即带纵开立方】
　　设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之【得　百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺加初商十尺【共二十六尺】为方廉法又倍初商十尺加八尺【共二十八尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度
　　解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
　　长皆十尺也倍
　　十尺加八尺为
　　长廉法者以长
　　廉长八尺者一
　　长十尺者二也
　　又以次商五尺
　　乘之者三长廉
　　之广皆五尺也
　　又并六廉以五
　　尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则
　　方体以积求边二法
　　设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
　　二十八则
　　直体以积求边一法
　　设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长
　　解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也
　　二十九则
　　直体以积求边二法
　　设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】　为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广
　　解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増
　　四尺共一十四尺为高故两乘
　　得大方积大方三面之平积即
　　三方廉之底积也而大方之三
　　面各不等以广六尺乘长十尺
　　得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长
　　廉法也余同前解

　　三十则
　　浑圆以积求径
　　设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方开之得一十五尺即所求
　　解曰十一与二十一浑圆立方之比例也【本巻十三则】二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也
　　三十一则
　　浑撱圆以积求径
　　设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径
　　解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也
　　三十二则
　　三乘还原【即开三乘方】
　　设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方
　　三十三则
　　委粟求积
　　设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
　　解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与
　　八十八【二巻五则】凡两体等高者体与
　　体之比例若底与底圆体与周上
　　等高方体之比例必亦若七与八
　　十八今圆锥居圆体三之一以三
　　乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣
　　二十四则
　　倚壁委粟求积
　　设倚壁委粟周四十
　　四尺高八尺八寸求
　　积法曰置周自乘【得一
　　千九百三十六尺】以高乘之
　　【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
　　解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也
　　三十五则
　　倚外角委粟求积
　　设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰
　　置周自乘【得四千三百五十六
　　尺】以高乘之【得三万八千三
　　百三十二尺八寸】再七乘一
　　百九十八除得一千
　　三百五十五尺二寸即所求
　　解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　以此防分之防为彼几分之几之倍数即以彼防分之防为此防分之防之倍数两数必相等设甲数十二乙为甲四分之三数九丙为甲三分之二数八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更设丁数四十八戊为丁四分之三数三十六己为丁三分之二数三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰两数必相等
　　二则
　　设乙四倍之多于甲数为三七倍之多于甲数为十五以倍数四互乗十五得六十为二十八倍乙多于四倍甲之数以倍数七互乗三得二十一为二十八倍乙多于七倍甲之数两数对减所余必七倍甲多于四倍甲之数七倍甲多于四倍甲之数则三甲之数也
　　三则
　　同名相减犹异名相加故异名相加者必同名相减同名相加犹异名相减故异名相减者必同名相加四则
　　正与正负与负为同名正与负为异名
　　五则
　　有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者曰暗用数

　　数学钥巻五凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五上之上目録
　　柘城杜知耕撰
　　商功
　　一则修筑计积
　　二则以积计工
　　三则以工计日一法
　　四则以工计日二法
　　五则坚土壤土之较
　　六则迟疾求齐一法
　　七则迟疾求齐二法
　　八则迟疾求齐三法
　　巻五上之下
　　均输
　　一则田地之多寡
　　二则方物之贵贱
　　三则道里之逺近一法
　　四则道里之逺近二法
　　五则任载之重轻一法
　　六则任载之重轻二法
　　七则合均田地多寡方物贵贱道里逺近
　　卷五下之上
　　盈朒
　　一则盈适足
　　二则朒适足
　　三则两盈
　　四则两朒
　　五则一盈一朒
　　六则带分子母盈适足【朒适足同】
　　七则带分子母两盈【两朒同】
　　八则带分子母一盈一朒【二法】
　　卷五下之下
　　方程
　　一则二色方程
　　二则三色方程一法
　　三则三色方程二法
　　四则正负同异加减一法
　　五则正负同异加减二法
　　六则正负同异加减三法
　　七则正负同异加减四法
　　八则正负同异加减五法
　　九则四色方程

　　数学钥巻五目録
　　钦定四库全书
　　数学钥卷五上之上
　　柘城杜知耕撰
　　商功
　　一则
　　修筑计积
　　设修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求积法曰并两濶折半【得一十九尺】为实以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之得五百四十七万二千尺即所求
　　解曰此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】
　　二则
　　以积计工
　　设筑堤一座积五百四十七万二千尺每夫日筑八尺求用夫数法曰置积为实以八尺除之得六十八万四千名即所求
　　解曰此求一日筑完
　　三则
　　以工计日一法
　　设修堤同前欲一年筑完求用夫数法曰置积为实以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法除之得一千九百名即所求
　　解曰二千八百八十尺乃一夫一年所筑者故以之除实得夫数
　　四则
　　以工计日二法
　　设原议用夫一千九百名一年筑完今欲速成增夫九百五十名求用日数法曰以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实并原夫增夫【共二千八百五十名】为法除之得二百四十日即所求
　　解曰六十八万四千日乃一夫筑完所用之日数故并原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日数五则
　　坚土壤土之较
　　设凿池土筑堤堤积五百四十七万二千尺池长七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法除之得二十七尺七寸九分四厘有竒即所求解曰凡阙地四尺为壤五尺筑坚三尺故于堤积四因三归为池积以濶乗长池靣平积也以平积除池积所得非池深而何
　　六则
　　迟疾求齐一法
　　设甲日筑九尺乙日筑六尺乙先筑十日方令甲筑求防日工齐法曰以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实以甲日筑九尺乙日筑六尺相减【余三尺】为法除之得二十日即所求
　　解曰乙先筑十日必多甲六十尺甲日筑多乙三尺二十日必亦多六十尺故同筑二十日而齐
　　七则
　　迟疾求齐二法
　　设一台甲约五日筑完乙约七日筑完丙约九日筑完令甲乙丙同筑求防日完法曰以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实另以七乗五【得三十五】以五
　　乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三
　　数并【共一百四十三】为法除之得二
　　日又一百四十三分日之二
　　十九即所求
　　解曰以乙乗甲又以丙乗之
　　者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日四十五个七日三十五个九日也】甲五日筑一台则三百一十五日必能筑六十三台乙七日筑一台则三百一十五日必能筑四十五台丙九日筑一台则三百一十五日必能筑三十五台是三人三百一十五日共筑一百四十三台也故以一百四十三台除三百一十五日得三人共筑一台之日数
　　八则
　　迟疾求齐三法
　　设一夫一日阙土可成五十尺一日运土可成三十尺一日筑土可成二十尺令一夫自阙自运自筑求日成防何法曰以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十
　　尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗
　　五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一
　　百日】为法除之得九尺又三十
　　一分尺之二十一即所求
　　解曰以二十尺乗三十尺再
　　以五十尺乗之亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺一千个三十尺六百个五十尺也】一日阙土成五十尺必六百日成三万尺一日运土成三十尺必一千日成三万尺一日筑土成二十尺必一千五百日成三万尺是一夫六百日阙土一千日运土一千五百日筑土共计三千一百日乃成三万尺也故以三千一百日除三万尺得一日所成之数

　　数学钥巻五上之上
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五上之下
　　柘城杜知耕撰
　　均输
　　一则
　　田地之多寡
　　设甲乙丙三人以田地多寡应一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日数法曰分置三人田数各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百乙得二万一千六百丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二则
　　方物之贵贱
　　设米九百石令甲乙二处以米价之贵贱均纳之甲处米价每石五钱乙处米价毎石七钱求各应纳米数法曰置米为实并两价【共一两二钱】除之得七十五以七钱乗七十五得五百二十五石价二百六十二两五钱为甲数以五钱乗七十五得三百七十五石价亦二百六十二两五钱为乙数
　　解曰甲乙米价既为五与七则甲乙纳数必若七与五矣甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也此借五钱与一两二钱之比例因元米以求甲数也乙同此论
　　三则
　　道里之逺近一法
　　设牛车已行七日马车方行六日行齐其程五百八十五里求各日行里数法曰置五百八十五里为实以六日除之得九十七里半为马车日行里数以七日六日相并【共一十三日】除实得四十五里为牛车日行里数
　　四则
　　道里之逺近二法
　　设自甲至乙八百五十五里牛车自甲反乙日行四十五里马车自乙往甲日行九十七里半同日行求防日相遇法曰置八百五十五里为实并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之得六日即所求
　　解曰此是彼来此往两行相就与以疾追迟者不同故并两日行数为法也
　　五则
　　任载之重轻一法
　　设原车载重八百斤行一千二百里与僦值八两今载重一千二百斤行一千八百里求僦值法曰置僦值八两为实以今重一千二百斤乗今行一千八百里【得二百一十六万】为法乗实【得一千七百二十八万】另以原重八百斤乗原行一千二百里【得九十六万】为法除之得一十八两即所求
　　解曰此同乗同除法也任载半倍于原数僦值已当半倍八两为十二两道里复半倍于原数僦值故又半倍十二两为十八两
　　六则
　　任载之重轻二法
　　设重车日行五十里轻车日行七十里今载米至仓五日三返求至仓里数法曰置轻重车日行里数相乗【得三百五十里】又以五日乗之【得一千七百五十里】为实另并轻重车日行里数以三返乗之【得三百六十】为法除之得四十八里又三十六分里之二十二即所求
　　解曰两车日行里数相乗得三百五十里是两车行之齐数也【三百五十里是七个五十里亦五个七十里】乃轻车五日重车七日所行之里数并两车日行里数除之即得一日重往轻来之里数再以五日乗之三返除之即得至仓之里数法变用五日乗实三返乗法者亦同乗同除法也
　　七则
　　合均田地多寡方物贵贱道里逺近
　　设甲乙丙丁戊五处定粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲地二万零五百二十畆粟价每石二两自输本处乙地一万二千三百一十二畆粟价每石一两至输所二百里丙地七千一百八十二畆粟价每石一两二钱至输所一百五十里丁地一万三千三百三十八畆粟价每石一两七钱至输所二百五十里戊地五千一百三十畆粟价每石一两三钱至输所一百五十里每石每里僦车银四厘求各应输数法曰先置甲地为实以粟价二两为法除之得一千零二十六衰次置乙地为实以僦银四厘因至输所二百里【得八钱】并入粟价一两【共一两八钱】为法除实得六百八十四衰次置丙地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两二钱【共一两八钱】为法除实得三百九十九衰又次置丁地为实以僦银四厘因至输所二百五十里【得一两】并入粟价一两七钱【共二两七钱】为法除实得四百九十四衰末置戊地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两三钱【共一两九钱】为法除实得二百七十衰合五数【共二千八百七十三衰】为总衰置定粟二千石以甲衰乘之【得二百零五万二千石】以总衰除之得七百一十四石二斗三升五合九勺九抄为甲数置二千石以乙衰乗之【得一百三十六万八千石】以总衰除之得四百七十六石一斗五升七合三勺三抄为乙数置二千石以丙衰乗之【得七十九万八千石】以总衰除之得二百七十七石七斗五升八合四勺四抄为丙数置二千石以丁衰乗之【得九十八万八千石】以总衰除之得三百四十三石八斗九升一合四勺为丁数置二千石以戊衰乗之【得五十四万石】以总衰除之得一百八十七石九斗五升六合八勺四抄为戊数
　　解曰因地畆以定粟数则输粟均矣而价值有贵贱犹未均也故取粟价除地畆以均贵贱贵贱均矣而道里有逺近犹未均也故又取僦值并入粟价以均逺近此衰分法也

　　数学钥巻五上之下
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五下之上
　　柘城杜知耕撰
　　盈朒
　　一则
　　盈适足
　　设和买一物每人出银七两盈六两每人出银五两适足求物价人数法曰列七两盈六两于右列五两于左以左上乗右下【得三十两】为物实右下六两为人实
　　另以左上右上对减【余二两】为
　　法以法除物实得一十五两
　　为物价以法除人实得三为
　　人数
　　解曰甲为七两乙为五两
　　丙为五两七两对减之二两各三倍之为丁戊己己即出七两所盈之六两己与戊或与丁之比例必若丙与乙或与甲也丁与甲戊与乙之比例必皆若己与丙也法以五两乗盈六两以对减所
　　余之二两除之者借
　　丙与己之比例因乙
　　以求戊也戊即物价
　　倍数则人数也

　　二则
　　朒适足
　　设贵贱二物贵价七两贱价五两以银买贵物朒六两买贱物适足求物数银数法曰列贵价
　　七两朒六两于右列贱价
　　五两于左以左上乗右下
　　【得三十两】为银实右下六两
　　为物实另以左上右上
　　对减【余二两】为法以法除
　　银实得一十五两为银数以法除物实得三为物数
　　解曰甲为贱价乙为贵价丙为两价之较丁为贱物之共价即银数也戊为贵物之共价己则
　　两共价之较也丁与
　　甲戊与乙之比例皆
　　若己与丙此借丙与
　　己之比例因甲以求
　　丁也既得丁而戊不
　　待言矣
　　三则
　　两盈
　　设有银七人分之盈二两五人分之盈八两求共银及分银数法曰列七人盈二两于右列五人盈八两于左先以右上乗左下【得五十六两】次以左上乗右下【得十两】两数对减【余四十六两】为共银实又以左下右下对减【余六两】为分银实另以左上右上对减【余二】为法以法除
　　共银实得二十三两为共
　　银数以法除分银实得三
　　两为每人分银数
　　解曰七人分之盈二两是
　　七倍三两朒于共银之数
　　以五人乗之则是三十五倍三两朒于五倍共银之数也又五人分之盈八两是五倍三两朒于共银之数以七人乗之则是三十五倍三两朒于七倍共银之数也今以三十五倍三两朒于五倍共银之数【即一十两】减三十五倍三两朒于七倍共银之数【即五十六两】所余必二倍共银之数矣故以五七对减之二为法除之即得共银也以法除分银实得分银数与前二则除人实物实得人数物数同
　　四则
　　两朒
　　设有银每人分七两朒八两每人分五两朒二两求人及银数法曰列分七两朒八两于右列分五两朒二两于左先以右上乗左下【得十四两】次以左上乗右下
　　【得四十两】两数相减【余二十六两】为
　　银实又以左下右下对减
　　【余六两】为人实另以左上右
　　上对减【余二两】为法以法除
　　银实得一十三两为银数
　　以法除人实得三为人数
　　解曰以五两乗朒八两得四十两为三十五倍三两盈于五倍共银之数以七两乘朒二两得一十四两为三十五倍三两盈于七倍共银之数相减之余必为二倍共银之数故以法除之得银数余同前解五则
　　一盈一朒
　　设木不知髙以索五折比之木朒二尺七折比之木盈三尺求木髙及索长法曰以五折因朒二尺得十
　　尺以七折因盈三尺得二
　　十一尺列五折朒十尺于
　　右列七折盈二十一尺于
　　左先以右上乘左下【得一百零
　　五尺】次以左上乗右下【得七十尺】
　　两数并【共一百七十五尺】为索实又并左下右下【共三十尺】为木实另以左上右上对减【余二折】为法以法除索实得八十七尺五寸为索长以法除木实得一十五尺五寸为木髙
　　觧曰同此一索或为七折或为五折必五折长而七折短也虽不知每折之度而每五长折之盈于五短折者必二短折每七短折之朒于七长折者必二长折今长折盈于木髙二尺【木朒于索是索盈于木也】五长折盈于五倍木髙必十尺以七乗十尺则为三十五长折盈于三十五倍木髙之度短折朒于木髙三尺【木盈于索是索朒于木也】七短折朒于七倍木髙必二十一尺以五乘二十一尺则为三十五短折朒于三十五倍木髙之度两数并【即一百七十五尺为索实者】则三十五长折盈于三十五短折之度矣然三十五长折盈于三十五短折者即七倍五长折盈于七倍五短折之度亦即五倍七短折朒于五倍七长折之度也五倍七短折之朒于五倍七长折者十长折之度也七倍五长折之盈于七倍五短折者十四短折之度也十四短折为索之倍长十长折亦索之倍长也故以五七对减之二除之得索长余同前解
　　六则
　　带分子母盈适足【朒适足同】
　　设物以银三分之二买之盈五两以银二分之一买之适足求物价银数法曰列母三子二盈五两于右列母二子一于左先以右上乘左中得三两即以三两乘右下【得一十五两】为物实又以两母相乗得六两即
　　以六两乗右下【得三
　　十两】为银实又以左
　　上乗右中【得四两】与
　　左中得数相减【余一
　　两】为法以法除物
　　实仍得一十五两为物价以法除银实仍得三十两为银数
　　解曰以两母相乗得六两取两母之齐数也【六两为二倍三两亦三倍二两也】右母乗左子得三两即六两二分之一也左母乗右子得四两即六两三分之二也以六两三分之二之四两与六两二分之一之三两较相差止一两今三分之二盈五两二分之一适足是元银三分之二与元银二分之一较则相差五两矣以相差之五两与相差之一两较为五倍之比例因知元银之与六两物价之与三两必皆为五倍之比例法以六两乗五两以一两除之者是借一两与五两之比例因六两以求元银也以三两乗五两以一两除之者亦借一两与五两之比例因三两以求物价也七则
　　带分子母两盈【两朒同】
　　设物以银四分之三买之盈七两五钱以银六分之四买之盈五两求物价银数法曰列母四子三盈七两五钱于右列母六子四盈五两于左先以右上乘
　　左中得一十六两
　　即以一十六两乗
　　右下【得一百二十两】次以
　　左上乗右中得一
　　十八两即以一十
　　八两乗左下【得九十两】两数相减【余三十两】为物实又以两母相乗得二十四两以二十四两乗右下【得一百八十两】以二十四两乗左下【得一百二十两】两数相减【余六十两】为银实另以左中右中两得数相减【余二两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数解曰二十四两为两母之齐数左中得十六两为二十四两六分之四右中得十八两为二十四两四分之三两数相差二两今盈五两与盈七两五钱较则差二两五钱是二十四两与元银之比例必若二两与二两五钱矣以二十四两乗两下对减为银实以法除之亦借比例法也【先乗后相减与先减后乗得数同】又求物实本当以元银六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得两率之数不得不借与两率比例等者用之与两率之比例等者乃二十四两六分之四之十六与四分之三之十八也故以之互乗两下左得九十两为一十八倍元银六分之四盈于一十八倍物价之数右得一百二十两为一十六倍元银四分之三盈于一十六倍物价之数而一十六倍四分之三与一十八倍六分之四两数实等是以对减之余即为二倍物价也故以十六十八对减之二除之得物价八则
　　带分子母一盈一朒
　　设物以银十二分之七买之盈二两五钱以银六分之二买之朒五两求物价银数法曰列母十二子七盈二两五钱于右列母六子二朒五两于左先以右上乗左中得二十四两即以二十四两乗右下【得六十两】
　　次以左上乗右中
　　得四十二两即以
　　四十二两乗左下
　　【得二百一十两】两数并【共二
　　百七十两】为物实又以
　　两母相乗得七十二两以七十二两乗左下【得三百六十两】以七十二两乗右下【得一百八十两】两数并【共五百四十两】为银实另以左中右中两得数相减【余一十八两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数
　　解曰七十二两为两母之齐数二十四两为七十二两六分之二四十二两为七十二两十二分之七两数相差十八两并盈朒两数共七两五钱【一盈一朒相并犹两盈两朒相减也】为元银十二分之七与六分之二相差之数是七十二两与元银之比例必若十八两之与七两五钱矣以七十二两乗两下相并为银实以十八除之亦借比例法也【解同前】又求物实以四十二两乗左下得二百一十两为四十二倍六分之二朒于四十二倍物价之数以二十四两乗右下得六十两为二十四倍十二分之七盈于二十四倍物价之数然四十二倍六分之二实与二十四倍十二分之七等今并六十两与二百一十两共二百七十两必四十二倍物价盈于二十四倍物价之数也四十二倍物价之盈于二十四倍物价者即十八倍物价故以十八为法除之得物价○又法以左中得数二十四两乗左下得数二百一十两得五千零四十两以右中得数四十二两乗右下得数六十两得二千五百二十两并两数共七千五百六十两另以两子二七相乗得一十四两除之得五百四十两为银实以前法十八除之得数同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之犹以二十四与四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以两中相乗得一十四除之犹以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以两母相乗得七十二以乗两下得数相并为银实与后法无异故得数同也

　　数学钥巻五下之上
　　钦定四库全书
　　数学钥卷五下之下
　　柘城杜知耕撰
　　方程
　　一则
　　二色方程
　　设稻三石菽二石共价银八两二钱四分又稻四石菽五石共价银一十二两二钱求二色价法曰列稻三石菽二石价八两二钱四分于右列稻四石菽五
　　石价一十二两二
　　钱于左先以右稻
　　遍乗左行【菽得一十五石
　　价得三十六两六钱】次以左
　　稻遍乗右行【菽得八石】
　　【价得三十二两九钱六分】以两价得数对减【余三两六钱四分】为实以两菽得数相减【余七石】为法除之得五钱二分为菽每石价以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一两零四分为菽二石价以减右共价余七两二钱为稻三石价以稻三石归之得二两四钱为稻每石价
　　解曰欲得稻菽二色价须先求菽一色价欲求菽一色价须先减去稻数及稻价欲减去稻数及稻价必先齐两行稻数稻价而使之等今左价一十二两二钱为稻四石菽五石之共价以右稻三石遍乗之价得三十六两六钱是三倍元价矣既三倍元价则必为三倍稻数十二石三倍菽数十五石之共价右价八两二钱四分为稻三石菽二石之共价以左稻四石遍乗之价得三十二两九钱六分是四倍元价矣既四倍元价则必为四倍稻数十二石四倍菽数八石之共价两行稻数既各十二石是稻数齐矣稻数齐而稻价因之亦齐矣于稻十二石菽十五石价内减去稻十二石菽八石之价所余非菽七石之价而何故以两菽对减之七石除之得菽价菽价既得求稻价不须解矣○如欲先得稻价则列两菽数于两稻数之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行两价得数相减余十六两八钱为实两稻得数对减余七石为法除之得稻价此与前法同
　　前齐稻数故先得
　　菽价此齐菽数故
　　先得稻价也○前
　　稻数齐以十二石
　　后菽数齐以十石
　　法中不曽明言十二石十石乃暗用数也后仿此二则
　　三色方程一法
　　设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八分又稻四石麦二石菽三石共价银一十四两七钱六分又稻七石麦五石菽七石共价银二十九两四
　　钱四分求
　　三色价前
　　法曰列稻
　　五石麦七
　　石菽四石
　　价二十六
　　两六钱八
　　分于左列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于中列稻七石麦五石菽七石价二十九两四钱四分于左先以中稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】以右稻五石遍乗中行【麦得一十石菽得一十五石价得七十三两八钱】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分次以中稻四石遍乗左行【麦得二十石菽得二十八石价得一百一十七两七钱六分】以左稻七石遍乗中行【麦得一十四石菽得二十一石价得一百零三两三钱二分】两行对减麦余六石菽余七石价余一十四两四钱四分
　　解曰二色方程减去一色即得余一色之价三色方程必减去二色方得一色之价然无一算并减二色之法故前法互乗对减先减去一色也
　　后法曰列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱二分于右列余麦六石余菽七石余价一十四两四钱四分于左先以右麦一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石价得二百五十九两九钱二分】次以左麦六石遍乗右行【菽得六石价得一百九十七两五钱二分】以两价得数对减【余六十二两四钱】为实以两菽得数对减【余一百二十石】为法除之得五钱二分为
　　菽价以左菽七石
　　因之【得三两六钱四分】以
　　减左价【余十两零八钱】以
　　左麦六石除之得
　　一两八钱为麦价
　　取前图中行麦二石因麦价【得三两六钱】菽三石因菽价【得一两五钱六分】并两数【共五两一钱六分】减中价【余九两六钱】以中稻四石除之得二两四钱为稻价
　　解曰减去稻数稻价余麦菽二色故用二色方程法得菽价
　　三则
　　三色方程二法
　　设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八
　　分又稻四
　　石麦二石
　　菽三石共
　　价银一十
　　四两七钱
　　六分又麦五石菽七石共价银一十二两六钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于右列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于左先以右稻五石遍乗左行【麦得十石菽得一十五石价得七十三两八钱】次以左稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分
　　解曰麦五石菽七石价十二两六钱四分不与两行并列何也葢前法元为减去稻价稻数取麦菽二色今此率本无稻数稻价故直与余麦余菽余价并列为后法也
　　后法曰列麦五石菽七石价一十二两六钱四分于右列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱
　　二分于左先以右
　　麦五石遍乗左行
　　【菽得五石价得一百六十四两六钱】次以左麦一十八
　　石遍乗右行【菽得一百】
　　【二十六石价得二百二十七两五钱二分】以两价得数相减【余六十二两九钱二分】为实以两菽得数对减【余一百二十一石】为法除之得五钱二分为菽价【求麦价稻价同前】
　　四则
　　正负同异加减一法
　　设麦七石稷五石共价银一十六两二钱五分今以麦二石増银二两二钱四分换稷八石求二色价法曰列正麦七石正稷五石正价一十六两二钱五分于右列负麦二石正稷八石正价二两二钱四分于
　　左先以右正麦七
　　石遍乗左行【稷得五十
　　六石价得一十五两六钱八分】次
　　以左负麦二石遍
　　乗右行【稷得十石价得三十】
　　【二两五钱】两价得数同名相加【共四十八两一钱八分】为实两稷得数同名相加【共六十六石】为法除之得七钱三分为稷价【求麦价同一则】
　　解曰左行价二两二钱四分増二石麦价方与稷八石之价等麦二石乃倒欠之数故谓之负余皆谓之正者所以别于负也左右两麦相乘各得一十四石为正负之齐数以负麦遍乗右行价得三十二两五钱为麦一十四石稷十石之共价以正麦遍乗左行价得一十五两六钱八分尚欠一十四石麦价不足稷五十六石之价若将右行麦一十四石之价移于左行则右银必为稷十石之价左银必为稷五十六石之价故并之为稷六十六石之价○以正加正以负加负谓之同名相加以正减正以负减负谓之同名相减以正加负以负加正谓之异名相加以正减负以负减正谓之异名相减
　　五则
　　正负同异加减二法
　　设稻四石黍七石共价银一十五两五钱五分今以黍三石増银九两四钱五分换稻五石求二色价法曰列正稻四石正黍七石正价一十五两五钱五分于右列正稻五石负黍三石正价九两四钱五分于左先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石价得三十七两八钱】次
　　以左正稻五石遍
　　乗右行【黍得三十五石价得
　　七十七两七钱五分】两价得
　　数同名相减【余三十九
　　两九钱五分】为实两黍
　　得数异名相加【共四十七石】为法除之得八钱五分为黍价【求稻价同一则】
　　解曰以右稻遍乗左行价得三十七两八钱尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价以左稻遍乗右行价得七十七两七钱五分为稻二十石黍三十五石之共价若以稻二十石全价减之必余黍三十五石之价今以左行尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价减之故余四十七石黍价也
　　六则
　　正负同异加减三法
　　设麦五石稷八石共价银一十四两八钱四分又麦四石黍二石共价银八两九钱又黍五石稷三石共价银六两四钱四分求三色价前法曰列麦五石黍
　　空稷八石
　　价一十四
　　两八钱四
　　分于右列
　　麦四石黍
　　二石稷空价八两九钱于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石价得五十九两三钱六分】两行对减右行黍空取左黍十石为本位负数左行稷空右稷无减仍得三十二石价余一十四两八钱六分
　　解曰以右麦遍乗左行价得四十四两五钱为麦二十石黍十石之共价以左麦遍乗右行价得五十九两三钱六分为麦二十石稷三十二石之共价两价对减必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数于右立负黍十石者谓余价一十四两八钱六分再増黍十石之价方足稷三十二石之价犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也或问右行黍空左行稷空不立负于左而必立负于右者何也葢前法原于多内减少以取二色之价今右稷三十二石价多于左黍十石价若于左立负稷亦须立负价矣是以立负于右而不立于左也
　　后法曰列正黍五石正稷三石正价六两四钱四分
　　于右列余负黍十
　　石余正稷三十二
　　石余正价一十四
　　两八钱六分于左
　　先以右正黍五石
　　遍乗左行【稷得一百六十石价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】
　　解曰后法同四则
　　七则
　　正负同异加减四法
　　设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七
　　石价银八
　　两五钱一
　　分求三色
　　价前法曰
　　列麦四石
　　黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分
　　解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则
　　后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分
　　于右列余正黍二
　　十五石余负稷八
　　石余正价一十五
　　两四钱一分于左
　　先以右正黍四石
　　遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则
　　八则
　　正负同异加减五法
　　设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两
　　九钱一分
　　于左先以
　　右正麦二
　　石遍乗中
　　行【稷得八石粟得
　　八石价空】以中
　　负麦三石
　　遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分
　　解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也
　　次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分
　　解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟
　　三十二石余正价
　　一十四两七钱三
　　分于左先以右负
　　稷一十三石遍乗
　　左行【粟得四百一十六石价得】
　　【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】
　　解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程
　　九则
　　四色方程
　　设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前

　　法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分
　　解曰前法减稻一色余麦黍稷三色
　　次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍
　　乗左行【黍得
　　八石稷得六十四石
　　价得六十七两九钱
　　二分】以左麦
　　二石遍乗
　　中行【黍得三十
　　八石稷得七十六石】
　　【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分
　　觧曰次法减麦一色余黍稷二色
　　后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二
　　钱六分于左以右
　　黍六百一十六石
　　遍乗左行【稷得七千三百
　　九十二石价得二万一千一百零四
　　两一钱六分】以左黍三
　　十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】
　　解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】

　　亦存乎人之自悟耳
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥卷六凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　纵曰股衡曰勾斜曰

　　二则
　　股大于勾者曰勾股较大于勾者曰勾较大于股者曰股较勾股并大于者曰和较
　　三则
　　勾股并曰勾股和勾并曰勾和股并曰股和勾股并曰勾股和亦曰和和
　　四则
　　勾股较加股较即勾较勾较减股较即勾股较和较加勾较即股和较加股较即勾和较加勾较股较即勾股较减股和即勾和勾股和加股较即勾和股和减勾和即勾股较股和减勾股和即勾较勾股较加勾股和半之为股勾股和减勾股较半之为勾股较加股和半之为股和减股较半之为股勾较加勾和半之为勾和减勾较半之为勾【用乗除开方相求者不在此例】
　　五则
　　或方形或直形有对角斜线者曰角线形

　　数学钥卷六凡例

　　钦定四库全书
　　数学钥卷六目録
　　柘城杜知耕撰
　　勾股
　　一则勾股求
　　二则勾求股
　　三则股求勾
　　四则勾股积及勾股较求
　　五则及勾股较求勾股积
　　六则及勾股积求勾股较
　　七则及勾股和求勾股较
　　八则勾股和及勾股积求
　　九则勾股和及勾股积求勾股较
　　十则及勾股较求勾股和
　　十一则勾股积及勾股较求勾股和
　　十二则及勾股积求勾股和
　　十三则勾和股和求勾股
　　十四则股及勾较求勾与
　　十五则勾及股较求股与
　　十六则股羃及勾较求勾和
　　十七则勾羃及股较求股和
　　十八则股羃及勾和求勾较
　　十九则勾羃及股和求股较
　　二十则勾较股较求勾股
　　二十一则相连之勾股求
　　二十二则相连之股求勾
　　二十三则相连之勾求股
　　【増】二十四则勾股形求对角之垂线
　　二十五则勾股形于上求自两角至垂线之度二十六则勾股形求容方一法
　　【西法】二十七则勾股形求容方二法
　　二十八则勾股形求容圆
　　【西法】二十九则勾股形求外切圆
　　三十则容方之勾股形以余勾余股求方边及全勾全股
　　三十一则容方之勾股形以余股及方边求余勾三十二则容方之勾股形以余勾及方边求余股三十三则日晷测髙
　　三十四则一表测髙
　　三十五则一表测逺
　　三十六则一表测广
　　三十七则一表测深
　　三十八则重表测髙逺
　　三十九则重表测广深
　　四十则测逺之逺

　　数学钥巻六目録
　　钦定四库全书
　　数学钥卷六
　　柘城杜知耕撰
　　勾股
　　一则
　　勾股求
　　设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并
　　必与上方形等如甲乙丙
　　勾股形甲乙勾与丙乙股等
　　试作乙丁等髙同底方形其
　　边与甲乙等必为勾上方又
　　与丙乙等亦必为股上方再
　　作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳方乎又如庚
　　辛壬勾股形庚辛短辛壬长
　　勾与股不相等者于庚辛勾
　　辛壬股庚壬上各作方形
　　为庚癸辛子辛丑次作辛寅
　　辛癸辛辰壬丑庚子五线几
　　何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚
　　辛辰三角形之辛庚庚
　　辰两边与庚壬丑三角
　　形之丑庚庚壬两边等
　　辛庚辰与壬庚丑两角
　　复等则对等角之辛辰
　　与壬丑两边亦等而此
　　两三角形亦等矣夫辛
　　丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乗求勾股上两方形也两形并则为上之方积故平方开之得也二则
　　勾求股
　　设勾六尺十尺求股法曰置勾各自乗【勾得三十六尺得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之得八尺即所求解曰上方积当一勾一股上方积于积内减去勾积所余非股积而何故平方开之得股
　　三则
　　股求勾
　　设股八尺十尺求勾法曰置股各自乗【股得六十四尺得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之得六尺即所求解曰积内减去股积所余必勾积故平方开之得勾
　　四则
　　勾股积及勾股较求
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求法曰置勾股积四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求
　　解曰甲乙丙
　　勾股形与戊
　　巳甲丁庚戊
　　乙辛丁三勾
　　股形等甲丙
　　为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳余己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为上方形今并五形成一甲丁方形则是一上方形与四
　　勾股积一勾股较上方积并等矣
　　故四因勾股积并入勾股较自乗
　　之积平方开之得也又如壬子
　　癸勾股形壬子勾与子癸股等四
　　形并即成一壬丑上方形而无余凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得度
　　五则
　　及勾股较求勾股积
　　设十尺勾股较二尺求勾股积法曰置与勾股较各自乗【得一百尺勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之得二十四尺即所求
　　解曰上方积减去勾股较上方积必余四勾股积故四归之得一勾股积
　　六则
　　及勾股积求勾股较
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
　　解曰上方积减去四勾股积所余必勾股较上方积故平方开之得勾股较
　　七则
　　及勾股和求勾股较
　　设十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置自乗
　　【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和
　　自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
　　解曰甲巳方形内凡八勾股
　　形而皆等乙戊为戊丁乙形
　　之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也余三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为上方形辛壬为勾股较上方形【本卷
　　四则】夫上方形内得勾股形
　　四及勾股较上方形一勾股
　　和上方形内得勾股形八及
　　勾股较上方形一是一勾股
　　和上方形当上方形二而
　　少一勾股较上方形也故倍
　　羃减勾股和自乗之积平方开之得勾股较八则
　　勾股和及勾股积求
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之得十尺即所求
　　解曰勾股和上方大于上方者四勾股积也故相减开方得
　　九则
　　勾股和及勾股积求勾股较
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较
　　十则
　　及勾股较求勾股和
　　设十尺勾股较二尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
　　解曰倍上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和
　　十一则
　　勾股积及勾股较求勾股和
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之
　　十二则
　　及勾股积求勾股和
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
　　解曰即八则法反用之
　　十三则
　　勾和股和求勾股
　　设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减
　　余八尺即股与股和相减
　　余六尺即勾与二勾一股相
　　减余十尺即
　　解曰甲乙直形为勾和股
　　和矩内形乙丁乙丙皆与
　　等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则
　　巳壬必为
　　方午巳必为
　　股方辛午必
　　为勾方未癸
　　申子必皆股
　　矩内形酉
　　丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乗股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所余必勾减去一一勾所余必股减去一勾一股所余必也
　　十四则
　　股及勾较求勾与
　　设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乗【得六十四
　　尺】另置勾
　　较自乗【得一十六
　　尺】两数相减
　　【余四十八尺】折半
　　【得二十四尺】以勾
　　较除之得
　　六尺即勾加勾较得十尺即
　　解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾
　　十五则
　　勾及股较求股与
　　设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乗【得三十六
　　尺】另置股较自乗【得四尺】两
　　数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股较除之得八尺即股
　　加股较共十尺即
　　解曰甲乙方内减去丙丁
　　股方戊巳股较方所余必甲
　　庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则
　　股羃及勾较求勾和
　　设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股
　　羃为实以勾较除之
　　得一十六尺即所求
　　解曰十四则辛壬癸磬
　　折形其甲乙元与等
　　丙丁元与勾等若移癸
　　于戊则成辛壬戊直形以勾较为濶勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和
　　十七则
　　勾羃及股较求股和
　　设勾羃三十六尺股
　　较二尺求股和法曰
　　置勾羃为实以股较
　　除之得一十八尺即所
　　求
　　解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为濶股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则
　　股羃及勾和求勾较
　　设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求
　　解曰即十六则法反用之
　　十九则
　　勾羃及股和求股较
　　设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求
　　解曰即十七则法反用之
　　二十则
　　勾较股较求勾股
　　设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾
　　较股较得十尺即
　　解曰甲乙为方丁乙为勾
　　方甲丙为股方以丁乙勾方
　　甲丙股方错综加于甲乙
　　方之上必缺戊巳庚辛二直
　　形而重一丁丙方形然丁丙
　　方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即
　　二十一则
　　相连之勾股求
　　设圆柱髙二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐
　　求索长法曰置柱周
　　三尺以索绕七周因
　　之【得二十一尺】自乗【得四百四
　　十一尺】另置柱髙自乗
　　【得四百尺】两数并【共八百四十一
　　尺】平方开之得二十
　　九尺即所求
　　解曰索绕柱七周即
　　七叚勾股也柱髙二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱髙取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱髙为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则
　　相连之股求勾
　　设圆柱髙二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之得三尺即所求
　　解同前
　　二十三则
　　相连之勾求股
　　设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱髙法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之得二十尺即所求
　　解同二十一则
　　二十四则
　　勾股形求对角之垂线
　　设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
　　亦倍大于甲
　　乙丙勾股形
　　故等也以
　　除积得垂线
　　即以长除积
　　得濶也
　　二十五则
　　勾股形于上求自角至垂线之度
　　设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰
　　置勾自
　　乗【得九尺】以除
　　之得一
　　尺八寸
　　即乙角
　　至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度
　　解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃
　　又法曰置为实以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
　　解曰凡两形等髙形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乗并两羃除之
　　又法曰并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以除之【得一尺四寸】与相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得
　　二十六则
　　勾股求容方一法
　　设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之得四
　　尺即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　分甲丙于丁令丁
　　甲与丁丙之比例若
　　勾与股自丁作丁乙
　　线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云凡两形等髙者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等】令两分形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正髙两形之髙既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊【或丁已】等夫两形之倍积即勾与股相乗之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乗并勾股除之即得容方之度也
　　二十七则
　　勾股求容方二法
　　设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乗之【得七十五尺】以垂线
　　并除之得三尺七
　　寸五分即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　丙丁为对角垂线分
　　垂线于戊令丙戊与
　　戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边防何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乗垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
　　二十八则
　　勾股求容圆
　　设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】为实并勾股【共一百零八尺】除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相
　　遇于丁即分勾股形为甲丁
　　乙乙丁丙丙丁甲三三角形
　　一以全形之勾为底一以股
　　为底一以为底各角既平
　　分而复有一边同线则三形
　　必等髙令三形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正髙三形既等髙故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心【几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其防必是圆心】而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍积即勾与股相乗之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乗并勾股除之得容圆之半径也
　　二十九则
　　勾股求外切圆
　　设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求
　　解曰此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆
　　形何也凡圆内以径为底任
　　作三角形皆成勾股如甲乙
　　丙形丙为方角甲乙丁形丁
　　为方角甲乙戊形戊为方角
　　反之以为径作圆必外切
　　勾股形之方角
　　三十则
　　容方之勾股以余勾余股求方边及全勾全股
　　设容方之余勾二尺余股八尺求方边及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方开之得四尺即方
　　边以四尺加余勾得六
　　尺即全勾以四尺加余
　　股得一十二尺即全股
　　解曰甲乙丙勾股形容
　　壬巳方形自甲作甲丁
　　线以丙丁线联之成乙
　　丁直形复于己庚壬庚
　　两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两余形两余形之容必相等防何原本云甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形试于乙丙甲形内减去己丙庚形于丁甲丙形内减去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙两形既等减去之己丙庚辛庚丙两形复等则所余之甲乙庚巳甲丁庚辛两斜方形必相等再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形两斜方既等减去之甲庚壬戊甲庚两形复等所余戊辛直形与壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边余甲壬即余勾丙乙股减去己乙边余丙巳即余股辛庚与余股等戊庚与余勾等则戊辛直形之容必即余勾余股相乗之积而戊辛直形又与壬巳方形等则壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之积也故置余勾股相乗平方开之得容方边也
　　三十一则
　　容方之勾股以余股及方边求余勾
　　设容方之余股八尺方边四尺求余勾法曰置方边自乗【得　十六尺】以余股除之得二尺即所求
　　解曰壬己方形既等于戊辛直形【图同前】而直形以余股为长以余勾为濶故以余股除积得余勾
　　三十二则
　　容方之勾股以余勾及方边求余股
　　设容方之余勾二尺方边四尺求余股法曰置方边自乗【得一十六尺】以余勾除之得八尺即所求
　　解同前
　　三十三则
　　日晷测高
　　设物不知髙止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物髙法曰置物景为实以表髙乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求
　　解曰物髙与物景表高与表景各以日光联之必皆
　　成勾股形而
　　体势等凡两
　　形体势等者
　　其比例必等
　　物髙与物景
　　之比例必若表髙之与表影也又表影与物景之比例必若表髙之与物髙也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表髙矣法以表髙乗物景而以表景除之者借表景与物景之比例因表髙以求物髙也
　　三十四则
　　一表测髙
　　设物不知髙距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线求物髙法曰置表距髙物二十五尺为实以窥表减表【余六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺为表外之髙加表髙共四十尺即物髙
　　解曰癸丁为物髙壬子为表髙乙丑为窥表乙丁对
　　角线为视线戊壬为表距髙
　　物之二十五尺壬辛为窥表
　　减表所余之六尺乙辛为退
　　行之五尺也甲丙一形分为
　　四形其辛巳戊庚为两角线
　　形其甲壬壬丙为两余形两
　　余形之容必相等【本卷三十则】法
　　以窥表减表以乗距髙物之
　　度必得甲壬余形之积甲壬
　　既等于壬丙则甲壬余形之积亦即壬丙余形之积矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬与丁戊等丁戊则物髙于表之度也是以加表得物之全髙
　　三十五则
　　一表测逺
　　设物不知逺立表四尺退二尺五寸立窥表四尺五寸自窥表望之物脚与表末相齐成一直线求物逺法曰置表髙为实以退二尺五寸乗之【得十尺】以表减
　　窥表【余五寸】除之得二十尺
　　即表距逺物之度
　　觧曰以退二尺五寸乗表
　　髙必得辛巳余形之积然
　　辛己与戊庚等则辛己余
　　形之积亦即戊庚余形之
　　积矣故以表减窥表所余
　　之五寸除之得壬戊壬戊与辛甲等辛甲则表距逺物之度也
　　三十六则
　　一表测广
　　设邑不知广立窥表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲视邑之丙角与表相齐成一直线次移前表于戊令戊壬与邑平行自甲视邑之丁角亦与表相齐成一直线自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑广法曰置窥表距丁角五百尺为实以戊至壬六尺乗之【得三千尺】以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑广解曰戊庚辛己两余形既等每加一辛戊角线形成
　　甲庚甲己两直形两
　　形之容必亦等何也
　　两余形既等所加者
　　复等故也法以戊壬
　　乗甲丁必得甲庚直
　　形之积甲庚直形之
　　积即甲己直形之积
　　也故以甲戊除之得
　　戊巳戊巳与丁丙等丁丙则邑广也
　　三十七则
　　一表测深
　　设井不知深
　　井面濶八尺
　　自井边退二
　　尺立表六尺
　　自表末视水
　　面甲角与壬
　　边相齐成一
　　直线求井边至水面之深法曰置面濶八尺为实以表髙乗之【得四十八尺】以表至井边二尺除之得二十四尺即所求
　　解曰以表髙乗井濶即以丙己乗戊壬所得必戊庚余形之积戊庚余形之积即辛己余形之积故以表距井边之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
　　三十八则
　　重表测髙远
　　设物不知髙及逺立表十尺退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线自表退行一十五尺复立表十尺又退行八尺复立窥表四尺自窥表望之物末亦与表末相齐成一直线求髙及逺法曰置窥表减表余六尺为实以两表相距一十五尺乗之【得九十尺】以前窥表距前表五尺减后窥表距后表八尺余三尺除之得三十尺即表外之髙加表高共四十尺即物髙又置前窥表距前表五尺为实以两表相距一十五尺乗之【得七十五尺】亦以两窥表距两表之度相减余三尺除之得二十五尺即物逺解曰自窥表末及表末作丙丁甲乙两平行线以戊
　　乙戊己两视线联之必
　　成六勾股形其丙庚戊
　　形为甲己戊之截形两
　　形之比例必等辛己庚
　　形亦甲己戊之截形两
　　形之比例必亦等丙庚
　　戊与辛巳庚两形之比
　　例既皆等于甲巳戊是
　　辛己庚丙庚戊两形之
　　比例亦等矣壬乙丁形
　　与丙丁戊形亦同此论
　　夫辛己庚形之比例既
　　同于丙庚戊壬乙丁形
　　之比例既同于丙丁戊
　　则丙庚与辛己必若丙
　　丁与壬乙又丙丁与丙
　　庚必若壬乙与辛己也今丙丁与丙庚之较为庚丁壬乙与辛己之较为癸乙癸乙与庚丁两较之比例必俱等于相当各线之比例若是则丙庚与辛己戊丙与辛庚皆若庚丁与癸乙矣法置余表六尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窥表距表之五尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊为表外之髙丙庚则物逺也三十九则
　　重表测广深
　　设谷不知深及广自谷
　　边退行六尺立窥表五
　　尺从窥表望之底角与
　　边角相齐成一直线复
　　于谷边立表一十五尺
　　将前窥表接髙一十八
　　尺共二十三尺从窥表
　　望之底角与表末相齐
　　成一直线求深及广法
　　曰置前窥表五尺为实以表髙一十五尺乗之【得七十五尺】以表【一十五尺】并前窥表【五尺○共二十尺】减后窥表【二十三尺】余三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺为实以表髙一十五尺乗之【得九十尺】亦以三尺除之得三十尺即谷广
　　解曰与测髙逺同但有纵衡之殊耳
　　四十则
　　测逺之逺
　　设甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
　　十二步立表于丁从
　　甲望之乙与表齐自
　　甲向丙行六十三步
　　立表于戊从甲望之
　　丙与表齐俱成直线
　　丁至戊五十四步求
　　乙至丙之逺法曰置
　　甲至丙七百步为实以丁至戊五十四步乗之【得三万七千八百步】以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之与七百步七十二步之与八百步其比例等因知丁戊与乙丙两线必平行凡三角形以与底平行线分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既为甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行则甲戊与戊丁必若甲丙与丙乙也又乙丙与戊丁必若甲丙与甲戊也法置七百步为实以五十四步乗之六十三步除之者借甲戊与丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步则取七步为庚甲乙八百步则取八步为己巳庚六步乙丙必六百【步与乙步之比例也数学钥卷六】

　　步何也皆百
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数度衍　　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案数度衍二十四卷
　　国朝方中通撰中通字位伯桐城人明检讨以智之子也以智博极羣书兼通算数中通承其家学着为是书有数原律衍几何约珠算笔算筹算尺算诸法复条列古九章名目引
　　御制数理精蕴法推阐其义其几何约篇本前明徐光启译本其珠算仿程大位算法统宗笔算筹算尺算采同文算指及新法算书惟数原律衍未明所自大抵裒缉诸家之长而增减润色勒为一编者也其尺算之术梅文鼎谓其三尺交加取数故只能用平分一线其比例规解之本法惜仅见其弟中履但称中通得旧法于豫章而不知其法何如并未获与中通深论又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷亦只平分一线岂中通所据之法与荩谟同出一源欤盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　钦定四库全书
　　数度衍卷首上
　　桐城方中通　撰
　　数原
　　勾股原图説

　　一　　股较即勾股较
　　二　　勾较
　　三　　勾
　　四　　股
　　五　　
　　六　　股较与和
　　七　　勾较与和即勾股和
　　八　　勾和
　　九　　股和
　　通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五之开

　　方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之数也勾三阳数也居左和而为八故八与三同位股四隂数也居右和而为九故九与四同位五勾股所求之数也居中勾较得二居上股较得一居下勾较与和为七故七与二同位股较与和为六故六与一同位居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也
　　加减乘除原图

　　加减乘除原説
　　通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一隂一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统隂此加之原也减者去也隂中去阳则六去一为五八去三为五阳中去隂则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对

　　二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无余五乘二为一十是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十是为四方之数【四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十】五乘八为四十是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无余不足然后足此乘除之原也
　　九章皆勾股説
　　通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御逺近劳费曰盈朒御隐襍互见曰方程御错糅正负曰勾股御髙深广逺周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以测深卧矩以知逺勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股之相并也较者勾股之相较也并以成加较以成减勾股自之而为积则乘成积开方而为则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
　　四算说
　　通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便葢乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣
　　九九图説
　　此九九全图即相乘
　　相除图也【相乗者一一得一一
　　二得二之类相除者九除八十一得九八
　　除六十四得八之类】

　　此自乘图也【一一得一
　　二二得四三三得九之类】
　　此各并图也
　　【三与六并九四与八并十
　　二之类】

　　此隔一位并图也【四与十二并十六五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又
　　并者五之左十二十之右十五亦并二十五也余仿此】隔三位并隔四位并　隔五位并
　　隔六位并【无不合隔中挨次而并亦无不合】

　　此相减生阳图也【四去
　　一而生三六十四去一而生六十三九去
　　四而生五四十九去四而生四十五之类
　　右而左者自少而多即据见数减之左而
　　右者自多而少当除十而减其余也除皆
　　阴数始除八十次除六十次除四十次除
　　二十】

　　此相减生隂图也【六去
　　二而生四五十六去二而生五十四十二
　　去六而生六四十二去六而生三十六之
　　类自左而右者亦除十余皆阳数始除七
　　十次除五十次除三十】

　　【并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以
　　故纵横皆十五也　法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四　　　　　　皆六十五积法得实】

　　【并一与三十六为三十七以三十六乘之得一千三百三】
　　【十二折半得六百六十六为并一与四十九为五十以四十九实以六为法除之得纵横皆乘之得二千四百五十折半得一
　　一百一十一　　　　　　千二百二十五为实以七为法除之得纵横皆一百七十五
　　并一与六十四为六十五以六十四乘之得四
　　千一百六十折半得二千零八十为实以八为
　　法除之得纵横】

　　【皆二百六十并一与八十一为八十二以八十
　　一乘之得六千六百四十二折半得三千三百
　　二十一为实以九为法除】

　　【并一与一百为一百零一以一百乘之得
　　一万零一百折半得五千零五十为实以
　　十为法除之得纵横】

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷首上>
　　【六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之右八行数居北之左二行数居南之左七行数居南之右三行数居东之上五行数居东之下四行数居西之下六行数居西之上其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截干南四子兑北四子亦得二百六十
　　用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘
　　之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以
　　九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵
　　化为十三阵也】

　　通曰商髙曰圎出于方方出于矩矩出于九九八十一赵君卿曰九九者乘除之原也乘之九九见乎外除之九九藏乎内故为乘之原即为除之原也夫九九者生生之谓也人知夫数始于一而不知数始于九人知夫数终于十而不知数终于九葢九与九遇始以继终终以继始旋相为用而无始无终此所谓生生也一三五七为阳而九统之二四六八为隂而九统之阳故不统阳而统隂阳者也如右诸图靡不适合然犹一定位次至错综变化无方无体而中天然之节藏往知来宁独九九而已哉
　　倚数图说

　　通曰易曰参天两地而倚数无倚不生则无数也有中倚焉有偏倚焉数始于一二何自来乎一之自并也三何自来乎一与二并也四何自来乎二之自并也一与三并也推至京垓亦无不然两相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生为然也即用亦有倚焉积小知大则用中倚由博反约则用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡则偏中皆用葢用之无节虽中亦偏用之当位虽偏亦中存乎其人耳数故可倚而不可倚不可倚而后可倚者若夫相追而合有偶合不可为率者有巧合可为准者相距而合有不合而适合者有似合而非合者故参两之倚可以神遇不可尽以言传苟非黙悟防通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中无所主

　　自恃者有所不见此不可以入数即不可以入理也
　　今之五量用数图说
　　十百　万千百十○分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠【或作微尘渺漠埃纎
　　沙或作防佥或作纎尘沙渺漠茫】
　　权衡　　　十斤两钱分【凡分以下俱同前】
　　十两钱分
　　升斛　　　十石斗升合勺抄撮圭粟粒颗【或作粒黍防糠粃或作颗粒】尺丈　　　十丈尺寸分
　　里步　　　十里百十步分【三百六十步为里】
　　十畆分【或用万千百十顷十畆分　百畆为顷】
　　十弓分【二百四十弓为畆　弓与同】
　　通曰家语黄帝设五量曰权衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛独为量也度量衡同律皆以黍生里歩不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一则者数有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛无分名耳皆遇十则升而权衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也权衡之用有二或用斤或止用两里步之用有三或用里或用畆或用弓十百之用无穷矣度之通于量也二尺五寸为斛法衡之通于量也百二十斤为石法曰亿曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰沟曰涧曰王曰载此十等数也而其用分上中下数下数者十十变之十万曰亿十亿曰兆十兆曰京至载皆以十进中数者万万变之万万曰亿万亿曰兆万兆曰京之类也上数者数穷则变万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京之类也虽然数不可以名拘河洛有数无名圣人因其数而名之曰一曰二亦物谓之而然也

　　数度衍巻首上
　　钦定四库全书
　　数度衍卷首下
　　桐城　方中通　　撰
　　律衍
　　隔八相生图说
　　通曰黄钟太蔟姑洗防賔夷则无射六律为阳林钟南吕应钟大吕夹钟中吕六吕为隂隔八相生者黄钟生林钟隔子至未八位也娶妻生子者黄钟一阳复娶一隂姤生二隂遯为林钟也先王父周易时论曰宫与商商与角征与羽相去各一角与征羽与宫相去各二故比征少下曰变征少髙于宫曰变宫
　　通曰六律居子寅辰午申戌不
　　动六吕皆取冲位未居丑为十
　　二月酉居夘为二月之类是也
　　凡阳生隂谓之下生用三分损
　　一求之凡隂生阳谓之上生用
　　三分益一求之葢相生则以子
　　午分隂阳不以律吕分隂阳也
　　详后
　　诸家推算
　　黄钟九寸　积八十一分【长九寸围九分相乘得八十一分】
　　子一分【分去声以九寸为一段也】
　　三分前律寸数为法下生者倍其法上生者四其法实一十七万七千一百四十七数【通曰以八十一分自之得六千五百六十一又以三乘九寸得二十七为法乘之即得子实　三厯十二辰亦合】
　　管子遇损用益遇益用损法
　　郑杜佑先倍先四前律寸数法【通曰先倍而后三分之与先三分之而后倍同先四之而后三分之与先三分之而后四之同葢先乘后除与先除后乘数无二也】
　　十度八寸一分【以积八十一分即作八寸一分也】
　　新法五寸三分一厘四毫四丝一忽【通曰以九化积八十一分为七百二十九厘又九化为六千五百六十一毫又九化为五万九千零四十九丝又九化为五十三万一千四百四十一忽以十度即作五寸三分一厘四毫四丝一忽也】
　　林钟六寸　积五十四分【以黄钟九寸而三分之　段得三寸于黄钟寸内损　段得六寸也　以黄钟积八十一分而三分之毎段得二十七分于林钟积内损一段得五十四分也以九分为　寸归整得六寸也】
　　丑三分二【三其子之一为三分两其子之一为二也前图林钟在未今取冲位居丑也六吕皆然　通曰三其二为六寸也】
　　下生用倍【三分黄钟九寸得三寸为法倍其法得六寸也】
　　实一十一万八千零九十八数【分子实为三段毎段得五万九千零四十九丑得二段为实　通曰得二段即损一段也】
　　管法【于黄钟积八十一分外益一段二十七分共得一百零八分而半之得五十四分亦合】郑法【先倍黄钟九寸为十八寸而三分之毎段得六寸即是】
　　十度五寸四分【以黄钟八寸一分而三分之每段得二寸七分于黄钟寸内损一段得五寸四分也】
　　新法三寸五分四厘二毫九丝四忽【通曰以九化积五十四分为四百八十六厘又九化为四千三百七十四毫又九化为三万九千三百六十六丝又九化为三十五万四千二百九十四忽以十度即作三寸五分四厘二毫九丝四忽也】
　　三分损一亦合【通曰以子五寸三分一厘四毫四丝一忽而三分之毎段得一寸七分七厘一毫四丝七忽丑当损一段正合三寸五分四厘二毫九丝四忽也】
　　太蔟八寸　积七十二分【以林钟六寸而三分之每段得二寸于林钟寸外益一段得八寸也　以林钟积五十四分而三分之毎段得十八分于林钟积外益一段得七十二分也以九分为一寸归整得八寸也】
　　寅九分八【三其丑之三为九四其丑之二为八也　通曰八与八寸相合】
　　上生用四【三分林钟六寸得二寸为法四其法得八寸也】
　　实一十五万七千四百六十四数【三分丑实毎段得三万九千三百六十六寅当益一段为实　通曰分子实为九段毎段得一万九千六百八十三寅得八段为实】
　　管法【以林钟一百零八分而三分之毎段得三十六于林钟数内损一段得七十二分亦合】郑法【先以四乘林钟六寸为二十四寸而三分之毎段得八寸即是】
　　十度七寸二分【以林钟五寸四分而三分之每段得一寸八分于林钟寸外益一段得七寸二分也】
　　新法四寸七分二厘三毫九丝二忽【通曰以九化积七十二分为六百四十八厘又九化为五千八百三十二毫又九化为五万二千四百八十八丝又九化为四十七万二千三百九十二忽以十度即作四寸七分二厘三毫九丝二忽】
　　三分益一亦合【通曰以丑三寸五分四厘二毫九丝四忽而三分之毎段得一寸一分八厘零九丝八忽寅当益一段正合四寸七分二厘三毫九丝二忽也】
　　南吕五寸三分　积四十八分【太蔟八寸不可三分乃以九乘八寸化为七十二分然后三分之每段得二十四分于太蔟积内损一段得四十八分也以九分为一寸归整得五寸零三分也】
　　夘二十七分十六【取冲位　三其寅之九为二十七两其寅之八为十六也　通曰三其十六为四十八分也】
　　下生用倍【三分太蔟积七十二分得二十四分以九分为一寸归整得二寸六分为法倍其法得四寸一十二分而归整得五寸三分也】
　　实一十万零四千九百七十六数【三分寅实每段得五万二千四百八十八夘当损一段为实　通曰分子实为二十七段每段得二千五百六十一夘得十六段为实】
　　管法【于太蔟积七十二分外益一段二十四分共得九十六分而半之得四十八分亦合】郑法【先倍太蔟八寸为十六寸此数不可三分乃以十六寸九化为一百四十四分而三分之每段得四十八分即是】
　　十度四寸八分【以太蔟七寸二分而三分之每段得二寸四分于太蔟寸内损一段得四寸八分也】新法三寸一分四厘九毫二丝八忽【通曰以九化积四十八分为四百三十二厘又九化为三千八百八十八毫又九化为三万四千九百九十二丝又九化为三十一万四千九百二十八忽以十度即作三寸一分四厘九毫二丝八忽也】
　　三分损一亦合【通曰以寅四寸七分二厘三毫九丝二忽而三分之每段得一寸五分七厘四毫六丝四忽夘当损一段正合三寸一分四厘九毫二丝八忽也】
　　姑洗七寸一分　积六十四分【以南吕积四十八分而三分之毎段得十六分
　　于南吕外益一段得六十四分也以九分为一寸归整得七寸零一分也】
　　辰八十一分六十四【三其夘之二十七为八十一四其夘之十六为六十四也　通曰六十四与六十四分相合】
　　上生用四【三分南吕积四十八分得十六分以九分为一寸归整得一寸七分为法四其法得四寸二十八分而归整得七寸一分也】
　　实一十三万九千九百六十八数【三分夘实每段得三万四千九百九十二辰当益一段为实　通曰分子实为八十一段每段得二千一百八十七辰得六十四段为实】
　　管法【以南吕九十六分而三分之每段得三十二分于南吕数内损一段得六十四分亦合】郑法【先以四乘南吕积四十八分为一百九十二分而三分之每段得六十四分即是】十度六寸四分【以南吕四寸八分而三分之每段得一寸六分于南吕寸外益一段得六寸四分也】新法四寸一分九厘九毫零四忽【通曰以九化积六十四分为五百七十六厘又九化为五千一百八十四毫又九化为四万六千六百五十六丝又九化为四十一万九千九百零四忽以十度即作四寸一分九厘九毫零四忽也】
　　三分益一亦合【通曰以夘三寸一分四厘九毫二丝八忽而三分之毎段得一寸零四厘九毫七丝六忽辰当益一段正合四寸一分九厘九毫零四忽也】
　　应钟四寸六分六厘　积三百八十四厘【姑洗六十四分又不可三分乃以九化之为五百七十六厘然后三分之毎段得一百九十二厘于姑洗化厘内损一段得三百八十四厘也以九厘为一分归整得四十二分零六厘又以九分为一寸归整得四寸零六分六厘也】
　　巳二百四十三分一百二十八【取冲位　三其辰之八十一为二百四十三两其辰之六十四为一百二十八也　通曰三其一百二十八为三百八十四厘也】
　　下生用倍【三分姑洗化积五百七十六厘得一百九十二厘归整得二寸三分三厘为法倍其法得四寸六分六厘也】
　　实九万三千三百一十二数【三分辰实毎段得四万六千六百五十六巳当损一段为实　通曰分子实为二百四十三段每段得七百二十九巳得一百二十八段为实】
　　管法【于姑洗化积五百七十六厘外益一段一百九十二厘共得七百六十八厘而半之得三百八十四厘亦合】
　　郑法【先倍姑洗化积五百七十六厘为一千一百五十二而三分之毎段得三百八十四厘即是】十度四寸二分六厘【以姑洗六寸四分存一厘不入算止作六寸三分九厘而三分之每段得二寸一分三厘于六寸三分九厘内损一段得四寸二分六厘也】
　　新法二寸七分九厘九毫三丝六忽【通曰以九化积三百八十四厘为三千四百五十六毫又九化为三万一千一百零四丝又九化为二十七万九千九百三十六忽以十度即作二寸七分九厘九毫三丝六忽也】
　　三分损一亦合【通曰以辰四寸一分九厘九毫零四忽而三分之每段得一寸三分九厘九毫六丝八忽巳当损一段正合二寸七分九厘九毫三丝六忽也】
　　防賔六寸二分八厘　积五百一十二厘【以应钟积三百八十四厘而三分之每段得一百二十八厘于应钟积外益一段得五百一十二厘也以九厘为一分归整得五十六分零八厘又以九分为一寸归整得六寸零二分八厘也】
　　午七百二十九分五百一十二【三其巳之二百四十三为七百二十九四其巳之一百二十八为五百一十二也通曰五百一十二与五百一十二厘相合】
　　上生用四【三分应钟积三百八十四厘得一百二十八厘归整得一寸五分二厘为法四其法得四寸二十分八厘而归整得六寸二分八厘也】
　　实一十二万四千四百一十六数【三分巳实毎段得三万一千一百零四午当益一段为实　通曰分子实为七百二十九毎段得二百四十三午得五百一十二段为实】
　　管法【以应钟七百六十八厘而三分之毎段得二百五十六厘于应钟数内损一段得五百一十二厘亦合】
　　郑法【先以四乘应钟即三百八十四厘为一千五百三十六厘而三分之每段得五百一十二厘即是】十度五寸六分八厘【以应钟四寸二分六厘而三分之每段得一寸四分二厘于应钟寸外益一段得五寸六分八厘也】
　　新法三寸七分三厘二毫四丝八忽【通曰以九化积五百一十二厘为四千六百零八毫又九化为四万一千四百七十二丝又九化为三十七万三千二百四十八忽以十度即作三寸七分三厘二毫四丝八忽也】
　　三分益一亦合【通曰以巳二寸七分九厘九毫三丝六忽而三分之毎段得九分三厘三毫一丝二忽午当益一段正合三寸七分三厘二毫四丝八忽也】
　　大吕八寸三分七厘六毫　积六千一百四十四毫【防賔五百一十二厘又不可三分乃以九化之为四千六百零八毫然后三分之毎段得一千五百三十六毫于防賔化毫外益一段得六千一百四十四毫也以九毫为一厘归整得六百八十二厘零六毫又以九厘为一分归整得七十五分零七厘六毫又以九分为一寸归整得八寸零三分七厘六毫也】
　　未二千一百八十七分一千二十四【取冲位　三其午之七百二十九为二千一百八十七两其午之五百一十二为一千零二十四也　通曰六其一千零二十四为六千一百四十四毫也】
　　上生用四【三分防賔化积四千六百零八毫得一千五百三十六毫归整得二寸八厘六毫为法四其法得八寸三十二厘二十四毫而归整得八寸三分七厘六毫也】
　　实一十六万五千八百八十八数【三分午实毎段得四万一千四百七十二未损一段得八万二千九百四十四又倍之为实　通曰未当益一正合实数今顺次益后用损倍之亦合也分子实为二千一百八十七段毎段得八十一未得一千零二十四段为实八万二千九百四十四又倍之合实此因防賔又上生大吕重一益数故须又倍也后遇上生皆倍】
　　管法【于防賔化积四千六百零八毫内损一段一千五百三十六毫得三千零七十二毫而倍之得六千一百四十四毫亦合】
　　郑法【先以四乘防賔化积四千六百零八毫为一万八千四百三十二毫而三分之每段得六千一百四十四毫即是】
　　十度七寸五分六厘【以防賔五寸六分八厘又存一厘不入算止作五寸六分七厘而三分之每段得一寸八分九厘于五寸六分七厘外益一段得七寸五分六厘也】
　　新法四寸九分七厘六毫六丝四忽【通曰以九化积六千一百四十四毫为五万五千二百九十六丝又九化为四十九万七千六百六十四忽以十度即作四寸九分七厘六毫六丝六忽也】
　　三分益一亦合【通曰以午三寸七分三厘二毫四丝八忽而三分之每段得一寸二分四厘四毫一丝六忽未又当益一段正合四寸九分七厘六毫六丝四忽也】
　　夷则五寸五分五厘一毫　积四千零九十六毫【以大吕积六千一百四十四毫而三分之每段得二千零四十八毫于大吕积内损一段得四千零九十六毫也以九毫为一厘归整得四百五十五厘零一毫又以九厘为一分归整得五十分零五厘一毫又以九分为一寸归整得五寸零五分五厘一毫也】
　　申六千五百六十一分四千九十六【三其未之二千一百八十七为六千五百六十一四其未之一千零二十四为四千零九十六也　通曰四千零九十六与四千零九十六毫相合】
　　下生倍用【三分六吕积六千一百四十四毫得二千零四十八毫归整得二寸七分二厘五毫为法倍其法得四寸一十四分四厘一十毫而归整得五寸五分五厘一毫也】
　　实一十一万零五百九十二数【三分未之八万二千九百四十四毎段得二万七千六百四十八申于八万二千九百四十四外益一段为实　通曰分子实为六千五百六十一段每段得二十七申得四千零九十六段为实】
　　管法【以大吕三千零七十二毫而三分之每段得一千零二十四毫于大吕数外益一段得四千零九十六毫亦合】
　　郑法【先倍大吕积六千一百四十四毫为一万二千二百八十八毫而三分之毎段得四千零九十六毫即是】
　　十度五寸零四厘【以大吕七寸五分六厘而三分之每段得二寸五分二厘于大吕寸内损一段得五寸零四厘也】
　　新法三寸三分一厘七毫七丝六忽【通曰以九化积四千零九十六毫为三万六千八百六十四丝又九化为三十三万一千七百七十六忽以十度即作三寸三分一厘七毫七丝六忽也】
　　三分损一亦合【通曰以未四寸九分七厘六毫六丝四忽而三分之每段得一寸六分五厘八毫八丝八忽申当损一段正合三寸三分一厘七毫七丝六忽也】
　　夹钟七寸四分三厘七毫三丝积四万九千一百五十二丝【夷则四千零九十六毫又不可三分乃以九化之为三万六千八百六十四丝然后三分之每段得一万二千二百八十八丝于夷则化丝外益一段得四万九千一百五十二丝也以九丝为一毫归整得五千四百六十一毫三丝又以九毫为一厘归整得六百零六厘零七毫三丝又以九厘为一分归整得六十七分零三厘七毫三丝又以九分为一寸归整得七寸零四分三厘七毫三丝也】
　　酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【取冲位三其申之　六千五百六十一为一万九千六百八十三两其申之四千零九十六为八千一百九十二也　通曰六其八千一百九十二为四万九千一百五十二丝也】
　　上生用四【三分夷则化积三万六千八百六十四丝得一万二千二百八十八丝归整一寸七分七厘六毫三丝为法四其法得四寸二十八分二十八厘二十四毫一十二丝而归整得七寸四分三厘七毫三丝也】
　　实一十四万七千四百五十六数【三分申实每段得三万六千八百六十四酉损一段得七万三千七百二十八又倍之为实　通曰分子实为一万九千六百八十三段每段得九酉得八千一百九十二段为实七万三千七百二十八又倍之合实】
　　管法【于夷则化积三万六千八百六十四丝内损一段一万二千二百八十八丝得二万四千五百七十六丝而倍之得四万九千一百五十二丝亦合】
　　郑法【先以四乘夷则化积三万六千八百六十四丝为一十四万七千四百五十六丝而三分之每段得四万九千一百五十二丝即是】
　　十度六寸七分二厘【以夷则五寸零四厘而三分之每段得一寸六分八厘于夷则寸外益一段得六寸七分二厘也】
　　新法四寸四分二厘三毫六丝八忽【通曰以九化积四万九千一百五十二丝为四十四万二千三百六十八忽以十度即作四寸四分二厘三毫六丝八忽也】三分益一亦合【通曰以申三寸三分一厘七毫七丝六怱而三分之每段得一寸一分零五毫九丝二忽酉当益一段正合四寸四分二厘三毫六丝八忽也】
　　无射四寸八分八厘四毫八丝　积三万二千七百六十八丝【以夹钟积四万九千一百五十二丝而三分之每段得一万六千三百八十四丝于夹钟积内损一丝得三万二千七百六十八段也以九丝为一毫归整得三千六百四十毫零八丝又以九毫为一厘归整得四百零四厘零四毫八丝又以九厘为一分归整得四十四分零八厘四毫八丝又以九分为一寸归整得四寸零八分八厘四毫八丝也】
　　戍五万九千四十九分三万二千七百六十八【三其酉之一万九千六百八十三为五万九千零四十九四其酉之八千一百九十二为三万二千七百六十八也　通曰三万二千七百六十八与三万二千七百六十八丝相合】
　　下生用倍【三分夹钟积四万九千一百五十二丝得一万六千三百八十四丝归整得二寸四分四厘二毫四丝为法倍其法得四寸八分八厘四毫八丝也】
　　实九万八千三百零四数【三分酉之七万三千七百二十八毎段得二万四千五百七十六戌于七万三千七百二十八外益一段为实　通曰分子实为五万九千零四十九段毎段得三戌得三万二千七百六十八段为实】
　　管法【以夹钟二万四千五百七十六丝而三分之每段得八千一百九十二丝于夹钟数外益一段得三万二千七百六十八丝亦合】
　　郑法【先倍夹钟积四万九千一百五十二丝为九万八千三百零四丝而三分之毎段得三万二千七百六十八丝即是】
　　十度四寸四分八厘【以夹钟六寸七分二厘而三分之每段得二寸二分四厘于夹钟寸内损一段得四寸四分八厘也】
　　新法二寸九分四厘九毫一丝二忽【通曰以九化积三万二千七百六十八丝为二十九万四千九百一十二忽以十度即作二寸九分四厘九毫一丝二忽也】三分损一亦合【通曰以酉四寸四分二厘三毫六丝八忽而三分之每段得一寸四分七厘四毫五丝六忽戌当损一段正合二寸九分四厘九毫一丝二忽也】
　　中吕六寸五分八厘三毫四丝六忽积三十九万三千二百一十六忽【无射三万二千七百六十八丝又不可三分乃以九化之为二十九万四千九百一十二忽然后三分之每段得九万八千三百零四忽于无射化忽外益一段得三十九万三千二百一十六忽也以九忽为一丝归整得四万三千六百九十丝零六忽又以九丝为一毫归整得四千八百五十四毫零四丝六忽又以九毫为一厘归整得五百三十九厘零三毫四丝六怱又以九厘为一毫归整得五十九分零八厘三毫四丝六忽又以九分为一寸归整得六寸零五分八厘三毫四丝六忽也】
　　亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【取冲位三其戌之五万九千零四十九为一十七万七千一百四十七此即黄钟之实也两其戌之三万二千七百六十八为六万五千五百三十六也　通曰六其六万五千五百三十六为三十九万三千二百一十六忽也】
　　上生用四【三分无射化积二十九万四千九百一十二忽得九万八千三百零四怱归整得一寸五分八厘七毫五丝六怱为法四其法得四寸二十分三十二厘二十八毫二十丝二十四忽而归整得六寸五分八厘三毫四丝六怱也】
　　实一十三万一千零七十二数【三分戌实每段得三万二千七百六十八亥损一段得六万五千五百三十六又倍之为实通曰分子实一十七万七千一百四十七段每段得一亥得六万五千五百三十六段又倍为实】
　　管法【于无射化积二十九万四千九百一十二忽内损一段九万八千三百零四忽得一十九万六千六百零八忽而倍之得三十九万三千二百一十六忽亦合】
　　郑法【先以四乘无射化积二十九万四千九百一十二忽为一百一十七万九千六百四十八忽而三分之每段得三十九万三千二百一十六忽即是】
　　十度五寸九分六厘【以无射四寸四分八厘又存一厘不入算止作四寸四分七厘而三分之每段得一寸四分九厘于四寸四分七厘外益一段得五寸九分六厘也】
　　新法三寸九分三厘二毫一丝六忽【通曰以积三十九万三千二百一十六忽十度即作三寸九分三厘二毫一丝六忽也】
　　三分益一亦合【通曰以戌二寸九分四厘九毫一丝二忽而三分之毎段得九分八厘三毫零四忽亥当益一段正合三寸九分三厘二毫一丝六忽也】
　　通曰黄钟为宫生林钟为征林钟生太蔟为商三者皆寸数故曰三统京房所衍用宫征商者此也太蔟生南吕为羽南宫生姑洗为角二者皆分数故曰五音姑洗生应钟为变宫应钟生防賔为变征二者皆厘数故曰七调也独寸得三律自寸化分以下则皆厯二而变故防賔生大吕大吕生夷则二者皆毫数夷则生夹钟夹钟生无射二者皆丝数无射生中吕则忽数也黄钟以三为法以九为度用竒成数故遇三遇五遇七遇九遇十一皆变也损益乘除三率法耳诸家推算数皆符合惟十度存三厘未当通今列诸家于前以忽数准寸而用十度立新法于后使长短易较用十度以合九度岂以十度废九度哉更明比例多寡则三分损益皆可置之也
　　比例图

　　约李瞿经纬説【李文利瞿九思】
　　三十九分者黄钟之律阳之始也由是四十八分为大吕又五十七分为太蔟又六十六分为夹钟又七十五分为姑洗又八十四分为中吕九十分者防賔之律阳之极也由是八十一分为林钟七十二分为夷则六十三分为南吕五十四分为无射四十五分为应钟子午者隂阳之府也黄钟生阳防賔消阳二律纵为经十律横为纬太曰东西为纬南北为经经以隂阳之升降言也子午得天地之中左右律之升降皆不能过也但

　　律吕之数纪阳不纪隂故于防賔以下六律不言隂之生但纪其阳之降耳黄钟长三寸九分以九六升阳至防賔而极其长防賔长九寸以九六归阳至黄钟而极其短二律特其两端左右莫不受法于二律则经纬见矣十律为纬亦有二义自其相对者言之丑与亥对寅与戌对夘与酉对辰与申对巳与未对葢左五律纪阳之升左皆为阳左比右各多三分者阳道常饶也右五律纪阳之降右皆为隂右比左各少三分者隂道常乏也左右相对虽差三分而皆以同类为偶如丑亥皆四寸有竒寅申皆五寸有竒夘酉皆六寸有竒辰申皆七寸有竒巳未皆八寸有竒是也左律分寸之数皆十二如丑律四八之类皆本于黄钟之三九也右律分寸之数皆九如未律八一之类皆本于防賔之九也非纬而何此是言其对待者自其相冲者言之寸数俱一百二十分数俱九共成一百二十九分丑未二律一百二十九分寅申二律一百二十九分夘酉二律一百二十九分辰戌二律一百二十九分巳亥二律一百二十九分者即黄钟防賔之律黄钟卅九防賔九十合之共一百二十九可见二律为经之义此是言其错综者皆自然而然不待安排夫子午为经左右为纬是以隂阳之消长而言一定之理也若夫旋宫之制按月用律则十二律皆可为经如以黄钟为宫则隔八相生以林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫防賔为变征则为经征商羽角皆左右往来以为之纬也律为经莫不皆然是又流行之用而不可以执一论也【十二律虽分经纬要之一黄钟足以该之黄钟三寸以三因之十二律无非三也黄钟九分以九因之十二律无非九也丑四十八分五九而余其三也三之则为十六矣寅五十七分六九而余其三也三之则为十九矣夘六十六分七九而余其三也三之则为二十二矣辰七十五分八九而余其三也三之则为二十五矣巳八十四分九九而余其三也三之则为二十八矣自丑至巳以三约之皆无余分以九约之毎多三分者左益三分也未八十一分九其三也三之则为二十七矣申七十二分九其八也三之则为二十四矣酉六十三分九其七也三之则为二十一矣戌五十四分九其六也三之则为十八矣亥四十五分九其五也三之则为十五矣自未至亥以三约之亦无余分以九约之比左少三分右损三分也此黄钟之三九所以为十一律之本也】
　　通曰凡物凡理莫不具有经纬二端黄钟防賔为经十律为纬而黄钟更自有经纬也长度为经围度非纬乎可知十二律互相为经纬又各自为经纬也经亦可以为纬纬亦可以为经也然而无别不立无交不成经非纬纬非经此别也非经无纬非纬无经此交也
　　旋相为宫图
　　通曰礼运曰五声六律十二管还相为宫者五其十二而成六十黄钟始之南宫终之也然始终亦不得已而究无始终而无非始无非终也
　　一　黄钟【宫】　林钟【征】　太蔟【商】　南吕【羽】　姑洗【角】二　林钟【宫】　太蔟【征】　南吕【商】　姑洗【羽】　应钟【角】三　太蔟【宫】　南吕【征】　姑洗【商】　应钟【羽】　防宾【角】四　南吕【宫】　姑洗【征】　应钟【商】　防宾【羽】　大吕【角】五　　姑洗【宫】　应钟【征】　防宾【商】　大吕【羽】　夷则【角】六　　应钟【宫】　防宾【征】　大吕【商】　夷则【羽】　夹钟【角】七　　防宾【宫】　大吕【征】　夷则【商】　夹钟【羽】　无射【角】八　　大吕【宫】　夷则【征】　夹钟【商】　无射【羽】　中吕【角】九　　夷则【宫】　夹钟【徴】　无射【商】　中吕【羽】　黄钟【角】十　　夹钟【宫】　无射【征】　中吕【商】　黄钟【羽】　林钟【角】十一　无射【宫】　中吕【征】　黄钟【商】　林钟【羽】　太蔟【角】十二　中吕【宫】　黄钟【征】　林钟【商】　太蔟【羽】　南吕【角】
　　京房六十律
　　通曰京房五音用三者取宫征商皆寸数为三统故也黄钟太蔟姑洗皆阳居阳林钟南吕皆隂居隂五者皆得位也得位者生五子共生二十五子大吕夹钟仲吕皆隂居阳夷则无射皆阳居隂五者皆失位也失位者生三子共生十五子应钟防賔处隂阳交际之间不得不失皆生四子共生八子以四十八子并十二母为六十律也列于后
　　【得位】黄钟【宫子】林钟【征】太蔟【商】一日律九寸
　　【一子】色育　谦待　未知　六日律八寸九分微强【二子】执始　去灭　时息　六日律八寸八分小分八弱【三子】丙盛　安度　屈齐　六日律八寸七分小分六微弱【四子】分勲　归嘉　随期　六日律八寸六分小分四强【五子】质未　否与　刑晋　六日律八寸五分小分二强

　　【失位】大吕【宫丑】夷则【征】夹钟【商】八日律八寸四分小分三弱【一子】分否　解刑　开时　八日律八寸三分小分一强【二子】陵隂　去南　侯嘉　八日律八寸二分一少弱【三子】少出　分积　争南　六日律八寸小分九强【得位】太蔟【宫寅】南吕【征】姑洗【商】一日律八寸
　　【一子】未知　白吕　南授　六日律七寸九分小分八强【二子】时息　结躳　变虞　二日律七寸八分小分九强【三子】屈齐　归期　路时　七日律七寸七分小分九强【四子】随期　未夘　刑始　六日律七寸六分小分八强【五子】刑晋　夷汗　依行　六日律七寸五分小分八弱

　　【失位】夹钟【宫夘】无射【征】中吕【商】六日律七寸四分小分九强【一子】开时　闭掩　南中　七日律七寸三分小分九微弱【二子】侯嘉　邻齐　内负　七日律七寸一分小分九微强【三子】争南　期保　总应　七日律七寸一分小分九强

　　【得位】姑洗【宫辰】应钟【征】防賔【商】一日律七寸一分小分九微强【一子】南授【一子】分乌【一子】南事　六日律七寸小分九大强【二子】变虞【二子】迟内【二子】盛变　六日律七寸小分一强【三子】路时【三子】未育【三子】离躳　六日律六寸九分小分一微强【四子】刑始【四子】迟时【四子】制时　五日律六寸八分小分三弱【五子】依行　色育　谦待　七日律六寸七分小分三大强通曰色育不宜入应钟子行谦待不宜入防賔子行
　　【失位】中宫【宫巳】执始【防】去灭【商】八日律六寸六分小分大弱【一子】南中　丙盛　安度　七日律六寸五分小分七微弱【二子】内负　分勲　归嘉　八日律六寸四分小分八强【三子】总应　质未　否与　七日律六寸三分小分九强

　　【不得不失】防賔【宫午】大吕【征】夷则【商】一日律六寸三分小分二微弱【一子】南事【上生穷无征商不为宫】　　七日律六寸三分小分一弱【二子】盛变　分否　解刑　七日律六寸二分小分三大强【三子】离躳　陵隂　去南　七日律六寸一分小分五微强【四子】制时　少出　分积　八日律六寸小分七弱

　　【得位】林钟【宫未】太蔟【征】南吕【商】一日律六寸
　　【一子】谦待　未知　白吕　五日律五寸九分小分九弱【二子】去灭　时息　结躳　七日律五寸九分小分二弱【三子】安度　屈齐　归期　六日律五寸八分小分四弱【四子】归嘉　随期　未夘　六日律五寸七分小分六微强【五子】否与　刑晋　夷汗　五日律五寸六分小分八强【失位】夷则【宫申】夹钟【征】无射【商】八日律五寸六分小分二弱【一子】解刑　开时　闭掩　八日律五寸五分小分四强【二子】去南　侯嘉　邻齐　八日律五寸四分小分六大强【三子】分积　争南　期保　七日律五寸三分小分九强

　　【得位】南吕【宫酉】姑洗【征】应钟【商】一日律五寸三分小分三强【一子】白吕　南授　分乌　五日律五寸三分小分二强【二子】结躳　变虞　迟内　七日律五寸二分小分六强【三子】归期　路时　未育　六日律五寸一分小分九微强【四子】未夘　刑始　迟时　六日律五寸一分小分二微强【五子】夷汗　依行　色育　五日律五寸小分五强通曰色育入应钟子行凡二见谦待入防賔子行凡一见葢中吕无射皆失位生子三并母为四截去黄钟林钟各首子余四子始可配位此亦不得不然也
　　【失位】无射【宫戌】中吕【征】执始【商】八日律四寸九分小分九强【一子】闭掩　南中　丙盛　八日律四寸九分小分三弱【二子】邻齐　内负　分勲　七日律四寸八分小分六微弱【三子】期保　总应　质未　八日律四寸七分小分九微强【不得不失】应钟【宫亥】防賔【征】大吕商一日律四寸九分小分四微强【一子】分乌　南事【此无商则不为宫】七日律四寸七分小分三微强【二子】迟内　盛变　分否　八日律四寸六分小分八弱【三子】未育　离躳　陵隂　八日律四寸六分小分一微强【四子】迟时　制时　少出　六日律四寸五分小分五弱

　　六十律生次自黄钟至中吕十二母照常其四十八子自中吕
　　【上生】执始【黄次　　下子　　　生】去灭【林次　　上子　　　生】时息【太次子下生】结躳【南次　　上子　　　生】变虞【姑次　　下子　　　生】迟内【应次子上生】盛变【防次　　上子　　　生】分否【大长　　下子　　　生】解刑【夷长子】

　　【上生】开时【夹长　　下子　　　生】闭掩【无长　　上子　　　生】南中【中长子】
　　【上生】丙盛【黄三　　下子　　　生】安度【林三　　上子　　　生】屈齐【太三子】
　　【下生】归期【南三　　上子　　　生】路时【姑三　　下子　　　生】未育【应三子】
　　【上生】离躳【防三　　上子　　　生】陵隂【大次　　下子　　　生】去南【夷次子】
　　【上生】侯嘉【夹次　　下子　　　生】邻齐【无次　　上子　　　生】内负【中次子】
　　【上生】分勲【黄四　　下子　　　生】归嘉【林四　　上子　　　生】随期【太四子】
　　【下生】未夘【南四　　上子　　　生】刑始【姑四　　下子　　　生】迟时【应四子】
　　【上生】制时【防四　　上子　　　生】少出【大三　　下子　　　生】分积【夷三子】
　　【上生】争南【夹三　　下子　　　生】期保【无三　　上子　　　生】总应【中三子】
　　【上生】质未【黄五　　下子　　　生】否与【林五　　上子　　　生】刑晋【太五子】
　　【下生】夷汗【南五　　上子　　　生】依行【姑五　　下子　　　生】色育【黄长子】
　　【上生】谦待【林长　　上子　　　生】未知【太长　　下子　　　生】白吕【南长子】
　　【上生】南授【姑长　　下子　　　生】分乌【应长　　上子　　　生】南事【防长子】
　　七调图
　　一宫　黄【正】　林【正】　太【正】　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正】二宫　林【正】　太【正半】　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正半】　大【正半】三宫　太【正】　南【正】　姑【正】　应【正】　防【正】　大【正半】　夷【正】四宫　南【正】　姑【正半】　应【正】　防【正半】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】五宫　姑【正】　应【正】　防【正】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】　无【正】六宫　应【正】　防【正半】　大【正半】　夷【正半】　夹【正半】　无【正半】　中【正半】七宫　防【正】　大【正半】　夷【正】　夹【正半】　无【正】　中【正半】　黄【变半】八宫　大【正】　夷【正】　夹【正】　无【正】　中【正】　黄【变半】　林【变】九宫　夷【正】　夹【正半】　无【正】　中【正半】　黄【变半】　林【变半】　太【变半】十宫　夹【正】　无【正】　中【正】　黄【变半】　林【变】　太【变半】　南【变】十一宫无【正】　中【正半】　黄【变半】　林【变半】　太【变半】　南【变半】　姑【变半】十二宫中【正】　黄【变半】　林【变】　太【变半】　南【变】　姑【变半】　应【变】
　　琴度
　　通曰四十五度三分用一为十五度十二
　　度二分益一为十八度二十四度二分益
　　一为三十六度又以三十六度三分损一
　　为二十四度十八度三分损一为十二度
　　十五度三分者九为四十五度故黄钟以
　　三为法以九为度而琴以三始九终也琴
　　分三百六十度为十四段自临岳至四徽
　　得四段自五徽至九徽得四段自十徽至
　　龙龈得四段其四徽至五徽与九徽至十
　　徽之二段不入损益而三十度又独为损益者三分十八度而益二分为三十度四分二十四度而益一分为三十度皆以六度为一分也三大段二小段不离五也且倍十五即成三十倍十二即成二十四倍十八即成三十六此亦加倍法耳后半变加为减矣大约七徽为琴之中分百八十度者二四徽为临岳七徽之中十徽为七徽龙龈之中分九十度者四而一徽又为
　　临岳四徽之中十三徽又为十徽龙龈之中也
　　箫笛七调升降图説

　　通曰合言之自极低以至极髙总为一调每孔有上中下三声耳分言之正宫为中调三升三降而成七也自正宫渐降而低为六字调再降而低为凡字调再降而低为凄凉调也自正宫渐升而髙为乙字调再升而髙为梅花调再升而髙为闭工调也闭乙凡字为南调用乙凡字为北调而南北各调中又皆有子母调是所谓二十八调也中径广者其声低中径小者其声髙成五十六调矣长者其声逺短者其声近又成百有一十二调若细剖之可至无竆然而调则不逾乎七音则不过乎五者何也南成其为南之七调北成其为北之七调髙成其为髙之七调低成其为低之七调逺成其为逺之七调近成其为近之七调非于七调外更增一调也不过于中重重剖之耳葢音止于五乃天然之节也如南调合四上尺工为五音六即髙合字五即髙四字因而防悟凡八音与夫人禽一切有声之物皆隔五必合音安得而不止于五耶乙凡者二变也北调用之为合乙四上尺工凡亦止七也黄钟之五正二变适符箫笛之七调此岂人力思量所能及哉惜乎以俗乐目之不能以今证古耳【髙字有定而无定也笛孔犹可箫之合式者始不移其不合式者必须变孔以合之】
　　横调直调说
　　通曰气交而成声声交而成调调亦不得巳之名也同此调也剖之为七曰凄凉曰凡字曰六字曰正宫曰乙字曰梅花曰闭工此以髙下分为直调也同此直调也再剖之为十三曰黄钟曰正宫曰大石曰小石曰仙吕曰中吕曰南吕曰双调曰越调曰商调曰商角曰般涉曰子母此以曲名分为横调也然声之髙下复有直有横如合与六四与五本一孔而因气之缓急分髙下者此横髙下也正宫之四即乙字之合乙字之四即梅花之合本一字而因孔之升降分髙下者此直髙下也正如琴之十三徽为横七弦为直耳至于曲名分调有阶级升降循次而转者有逺近升降隔二隔三而转者有髙字多而低字少者有低字多而髙字少者有急者有缓者此虽横调亦未尝不因髙下而分也始知声音之理无出于清浊髙下升降缓急之外者同符河洛音本天然不过随时安名字耳又何疑乎今乐非古乐哉

　　数度衍巻首下
　　钦定四库全书
　　数度衍卷一
　　桐城　方中通　撰
　　珠算
　　加法【一曰上法】
　　一上一　一下五去四　一退九进一十【进一位上一子非専指一十数也】二上二　二下五去三　二退八进一十
　　三上三　三下五去二　三退七进一十
　　四上四　四下五去一　四退六进一十
　　五上五　五退五进一十
　　六上六　六上一去五进一十　六退四进一十七上七　七上二去五进一十　七退三进一十八上八　八上三去五进一十　八退二进一十九上九　九上四去五进一十　九退一进一十式有物一十二又五十四问共若干曰六十六术一上一二上二此即一十二也大在左前小居右后故一十在左而二在右也五上五与一十同位四下五去一与二同位此加五十四在一十二之上也合为六十六矣
　　减法【一曰退法】
　　一退一　一退十还九【左位退一子本位上九】一上四退五二退二　二退十还八　二上三退五
　　三退三　三退十还七　三上二退五
　　四退四　四退十还六　四上一退五
　　五退五　五退十还五
　　六退六　六退十还四
　　七退七　七退十还三
　　八退八　八退十还二
　　九退九　九退十还一
　　式有物六十六内欲减去五十四尚余若干曰一十二术置六十六于盘中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所余为一十二矣
　　因乘法
　　一一如一
　　一二如二　二二如四
　　一三如三　二三如六　三三如九
　　一四如四　二四如八　三四一十二　四四一十六一五如五　二五一十　三五一十五　四五二十五五二十五
　　一六如六　二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六三十　六六三十六
　　一七如七　二七一十四　三七二十一　四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九
　　一八如八　二八一十六　三八二十四　四八三十二　五八四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四
　　一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三八九七十二　九九八十一
　　术曰一位曰因二位曰乘有法有实以法乘实为所求数也然法实亦可互用故曰相乘一位法者相因得数而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起诸位法毕然后乘法首位也以法乘实先乘实右末位向左逐位遍乘乘毕而实数即变为所求数矣有防尾乘破头乘皆不适用故不录
　　因式有三百六十五人毎人八两问共若干曰二千九百二十两术以三百六十五人为实列盘左以八两为法列盘右先以八乘实末寅位五曰五八得四十变寅位五为四次以八乘丑实六曰六八四十八变丑位六为四加八于寅位四上曰八退二进一十则寅位之四又变为二丑位之四曰一下五去四又变为五次以八乘子实三曰三八二十四变子位三为二加四于丑位五上为九乘毕得二千九百二十两也
　　通曰凡左右相乘必有二位数曰防十防今如一位法者十当在本位零当在下位也本位者所乘实数之位也下位者仅下所乘实数一位也如八乘五则五为本位得四十则四当在五位上也八乘六则六为本位得四十八则四当在六位上八当在下位也八乘三则三又为本位矣
　　因乘式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术以三百六十五人为实一十二两为法先以第二位乙法二乘寅实五曰二五一十一在夘位然后以法首一乘寅实五曰一五如五五加在夘位一上为六次以乙法二乘丑实六曰二六一十二一在寅位二加在夘位六上为八以甲法一乘丑实六曰一六如六六加在寅位一上为七次以乙法二乘子实三曰二三如六六加在寅位七上七变为三而
　　丑位上一矣以甲法一乘子实三曰一三如三三加在丑位一上为四得四千三百八十两也
　　通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰防十防十当在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首变之耳如乙法二乘寅实五得一十则一当在夘位也甲法一乘寅实五得五五乃零数当在下位之下故亦在夘位上也盖以寅为本位之时则夘为下位辰为下位之下也以丑为本位之时寅为下位夘为下位之下也
　　因乘定位法
　　式三百六十五人毎人一十二两共得四三八问四为何数曰千数术通曰以法首齐实首布列甲子同位乙丑同位从丑下一位呼实首百是寅位为百矣向左推
　　去丑为千位遇变后得数之始而止
　　今变后之首在丑即知四为千也但
　　法末必单数乃可如今一十二两是
　　也若一两二钱或一百二十两则不
　　同矣总以单数为率下则顺推上则逆推可耳又术通曰视得数之首在实之何位上今在实之十位上又视法有防位今有二位当以十升二位曰百曰千亦知为千也
　　定身因乘法
　　式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术置实数以法一十二除首一不用以乙二为法先以法二乘寅五曰二五一十加一于寅为六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一于丑六为七加二于寅六为八次以法二乘子三曰二三如
　　六加六于丑七变七为三变子三为四合问
　　通曰凡法首遇一者用之其在位实数即作甲法之乘数矣多位法者以乙法为首从丙法乘起粟布章斤求两用身加六
　　归除法
　　一
　　二一添作五　逢二进一十
　　三一三余一　三二六余二　逢三进一十
　　四一二余二　四二添作五　四三七余二　逢四进一十
　　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十
　　六一下加四　六二三余二　六三添作五　六四六余四　六五八余二　逢六进一十
　　七一下加三　七二下加六　七三四余二　七四五余五　七五七余一　七六八余四　逢七进一十八一下加二　八二下加四　八三下加六　八四添作五　八五六余二　八六七余四　八七八余六逢八进一十
　　九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七九八下加八　逢九进一十
　　术曰一位曰归二位曰除【一曰混归】有法有实以法除实得所求数也一位法者止用归法多位法者法首归得某数次法乘其数而除实自左向右以逐位法除实实亦自左向右挨次除之除毕一遍又以法首归之次法除之以实尽为度变后数即所求数也又有无除撞归二法诀曰惟有归除法最奇将身归了次除之有归若是无除数起一还将原数施若遇本归归不得撞归之法不须迟俱详后
　　通曰二与五四与二十五因归皆可互用又三与六可当一十八四与六可当二十四凡数之相通者甚多亦在乎熟之而已
　　归式有银二千九百二十两八人分之问各若干曰三百六十五两术以二千九百二十两为实八人为法以法八归子实二曰八二下加四将子实二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九变为十三盖不用四退六进一十者归后数上止可加归得数不可加余实也次以法八归丑十三曰逢八进一十于子位归后二
　　上加一为三丑实存五又以法八归丑五曰八五六余二丑五变为六寅二加二为四乃以法八归寅四曰八四添作五寅四变为五而实尽矣得三百六十五两也通曰凡曰下加曰余防皆归后而有余实也如今八人分二千两各得二百共去实一千六百存实四百故曰八二下加四也又如今之八五六余二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存实二十也凡曰添作防乃归实无余者也如今八四添作五乃八人分四十两各得五两而实尽也凡曰进防十者乃实内满防归之数也满一遍进一十满二遍进二十如今八归曰逢八进一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰进一也进在实前余在实后归变本实切勿错位归除式有银四千三百八十两三百六十五人分之问各若干曰一十二两术以四千三百八十为实三百六十五为法先以法首三归实首四曰逢三进一十于子位上一丑减三存一乃以乙法六乘归后子一曰一六如六于寅位除六曰六退十还四抹去丑一寅三加四为七又以丙法五乘归后子一曰一五如五于夘八除五存三而法位毕矣第二遍再以法首三归寅位存实七曰逢六进二十于丑上二寅减六存一乃以乙法六乘第二遍归后丑二曰二六一十二于寅除一夘除二又以丙法五乘第二遍归后丑二曰
　　二五一十于卯除一而法位又毕矣实未尽则又用前法今实巳尽得一十二两也
　　通曰凡归数即变实之本位除数当除实之下位本位者归后数所在之位也除实之下位者即本位之下一位也此与本实不同本实有时即本位有时乃本位之下位也除之十数在下位而零数又在下位之下也如法三归实四曰逢三进一十四为本实进在实前故所归之一当在四前子位也而本实之四变为一矣一在子上则子为本位也乙法六乘归数除实曰一六如六此零数也故于寅除六此子为本位而寅为下位之下耳若第二遍乙法除实曰二六一十二则于寅除一夘除二矣此丑为本位也
　　无除法
　　一归起一还一　二归起一还二【至九归起一还九】式有银一百零八两二十七人分之问各若干曰四两术置银为实人为法以法首二归实首一曰二一添作五变子为五乙法七当乘归数五为三十五于丑寅内除之而丑位无实可除今乃二归曰起一还二起子位归数五内之一改五为四而还丑位二为存实肰后以乙法七乘归数四曰四七二十八于丑除二十寅除八实尽得四两也
　　通曰凡起防还防者归后之一子即当其防归之数也如今二归曰二一添作五是五内一字当二子也故起一即还二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
　　撞归法
　　见一无除作九一　见二无除作九二【至见九无除作九九】式有银二百一十六两二十四人分之问各若干曰九两术置银为实人为法以法首二归实首二若用逢二进一十则乙法之一四如四丑一数不足除矣此乃二归曰见二无除作九二变子二为九加二于丑一为三然后以乙法四乘归数九曰四九三十六于丑除
　　三十寅除六实尽得九两也
　　通曰凡撞归者皆不可得十止可得
　　九也法实首数同而次实少于次法
　　者用之盘梁上有三子始便
　　除归定位法
　　式三百六十五人分四千三百八十两得一二问一为
　　何数曰十数术通曰以法布列实左
　　法末仅在实首四之上位从列法首
　　之子位呼实首千数顺右而下丑为
　　百寅为十遇变后得数之首位而止
　　今变数首一在寅即知一为十数也但法末必单数乃可如五个半人则须除去半人不列位矣如三百六十人又须列○作一位矣又术通曰视得数之首在实之何位今在实之千前一位乃万位也又视法有防位今有三位当以万降三位曰千曰百曰十亦知一为十也
　　定身归除法
　　式有银九十一两一十三人分之问各若干曰七两置银为实人为法以法首一除去不用止用乙法三于实首九内存身减之当存七乃以法三乘七曰三七二十一于子实内存七外减二十又减丑一实尽合问
　　通曰凡存数有定非可随意而存也如今式
　　子九内存八则下无二十四可减存六则减一十八外余实又多故定于七也法首遇一用此粟布章两求斤用减六存身
　　商除法
　　式有银三千零一十五两六十七人分之问各若干曰四十五两术置银为实人为法以法首六十于实首三千内商有防回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四为二十四于子除二丑除四曰四退十还六共除二
　　千四百以乙法七乘所商四为二十八于丑除二寅除八曰八退十还二又除二百八十余实三百三十五次以法六十于三百内商有防回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五为三十于丑除三又除三百以乙法七乘次商五为三十五于寅除三夘除五又除三十五实尽合问
　　通曰凡商数有定如今初商五十则实不足除次法商三十则实余太多故定当四十耳若论盘中变位得数法首多于实首者列商数于实左一位法首少于实首者列商数于实左隔一位挨次商列即得变数
　　折半法
　　式有银六十四两八人分之问各若干曰八两术置法实以法八折半为四实六十四折半为三十二又以法折半为二实折半为一十六再以法折半为一实折半为八法折至一数而止即存实八为各得数也凡法遇偶数者可用此
　　乘除防法【即金蝉蜕殻】
　　因乘诀曰起双下加倍见一只还原倍一挨身上余皆隔位迁归除诀曰加双下除倍加一下除原陪一挨身除余皆隔位迁
　　乘式有米三石五斗毎斗价银七分问共银若干曰二两四钱五分术置米为实以价七分为原数倍得一钱四分为倍数先于实末五斗上呼起双下加倍起去二斗挨身上一钱次位上四分再起二斗挨身上一钱四分却呼见一只还原起去一斗隔位上七分次于三石上呼起双下加陪起二石挨身上一两四钱却呼见一只还原起一石隔位上七钱合问
　　又式有布五十七疋毎疋价银二钱五分问共银若干曰一十四两二钱五分术置布为实以价二钱五分为原数倍得五钱为倍数先于实末七疋内起三个二疋挨身上三个五钱又起一疋挨身上二钱五分次于五十疋内起两个二十疋挨身上两个五两又起一十疋挨身上二两五钱合问
　　通曰前式价是分倍是钱则倍数挨身上原数隔位上后式价是钱倍亦是钱故倍数原数俱挨身上
　　除式有钱二千二百五十文给九十人问毎人若干曰二十五文术置钱为实以九十人为原数倍得一百八十人为倍数先于实首二千前挨身呼加双下除倍除实一千八百余实四百五十次于四百前挨身呼加双下除倍除实一百八十又呼加双下除倍除实一百八十再呼加一下除原隔位除九十合问
　　又式有油四百二十斤毎油七斤半换豆一斗问共换豆若干曰五石六斗术置油为实以七斤半为原数倍得一十五斤为倍数先于实首四百前加两个双除两个一百五十斤又加一除七十五斤次于余实四十五斤前加三个双除三个一十五斤合问
　　通曰又有二句除诀曰有除隔位进无除挨身进止用原数从实前隔一位起毎上一子除一遍原数乘法则毎抺去实尾一子挨身上一遍原数不足为法姑附于此
　　流法
　　乘式有田九百八十一畆毎畆一分八厘九毫问共若干曰一十八两五钱四分零九厘术先以法一分八厘九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃从实末因之遇某数即用某诀有十字者破本身起余皆挨身一位起也
　　除式有银一十八两五钱四分零九毫派在九百八十一畆问毎畆若干曰一分八厘八毫九丝九不尽术先以法九百八十一畆衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一　一亦从实末因之遇某数用某诀挨身一位起也
　　通曰法数有定者方可用此然止乘可用除则不尽也
　　乘除新法
　　归除诀曰进一空除原【实首多等于原数及少于半数者用此】进二空除倍【实首多等于倍数及少于半数者用此】进二随除倍【实首少于半数而倍数首一者用此】进五空除半【实首有余而原数首一者用此】进五随除半【实首多等于半数者用此】因乘诀曰除一空加原【实尾正一数者用此有时隔一位加原数】除二空加倍【实尾二三四数者用此有时隔一位加倍数】除二随加倍【实尾二三四数而倍数首一者用此】除五空加半【实尾五六七八数而原数首一者用此】除五随加半【实尾五六七八数者用此】
　　除式通曰有银八十七两二钱四分二厘四人分之以银八七二四二为实数以人四为原数加倍得八为倍数以人四折半得二为半数列定从左除起视实数左首多于倍数或等于倍数当用进二空除倍乃于实左空一位上二于实首除倍数八再视余实左首少于倍数或多等于原数当用进一空除原乃于实左空一位上一于余实首除原数四再视余实左首少于原数或多等于半数当用进五随除半乃于实左位上五不须空位于余实首除半数二再视余实左首少于半数亦当用进一空除原乃于实左位上一不须空位但于余实左首向右退一位除原数四再视余实首等于倍数当用进二空除倍再视余实首等于原数当用进一空除原再视余实等于半数当用进五随除半实数除尽毎人分得二十一两八钱一分零五毫此式先用进二空除倍次用进一空除原次用进五随除半余实首一二作一十二亦可用进二空除倍乃于余实左位上二不须空位但于余实左首向右退一位除倍数八次用进一空除原次又用进一空除原次用进五随除半亦合
　　乘还原式通曰以毎人分得银二一八一零五为实数其倍数原数半数俱如前不动从右乘起视实右尾过五以上当用除五随加半乃于实尾去五随下位加半数二不须空位再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾过五当用除五随加半乃于余实尾去五随下位加半数二再视余实尾过二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实满二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八共得八十七两二钱四分二厘原首一数除式通曰有银四十五两六钱为实数一十二人分之为原数倍数二四半数六视实首多于倍数用进二空除倍再视余实多于原数用进一空除原再视余实多于倍数两倍以上而原首系一数此为实数有余当用进五空除半须空一位除之再视余实多于倍数当用进二空除倍再视余实等于原数当用进一空除原毎人分得三两八钱
　　乘还原式通曰以三八为实倍原半如前实尾过五系原首遇一者当用除五空加半余实尾过二用除二空加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾过二用除二空加倍余实止一数用除一空加原共得四十五两六钱
　　倍首一数除式通曰有银四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘为实数七千三百五十六人分之为原数倍数一四七一二半数三六七八实首多于半数用进五随除半余实首多于半数用进五随除半余实首多于原数用进一空除原余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数系倍首遇一者当用进二随除倍不空位余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数用进二随除倍余实等于倍数亦用进二随除倍毎人分得五十六两一钱八分九厘乘还原式通曰以五六一八九为实倍原半如前实尾过五用除五随加半余实尾过二系倍首遇一者当用除二随加倍不空位余实尾满二亦用除二随加倍余实尾过五用除五随加半余实尾过二用除二随加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾又止一数用除一空加原余实尾过五用除五随加半余实尾止一数用除一空加原余实满五用除五随加半共得四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘
　　附正珠乘除新法
　　以减代乘法
　　男正珠曰不用因乘而以减法代之数亦天然符合其术须变法数如一位法者作单数于十内减之余者为变数二位法者作防十防数于百内减之余者为变数三位法者作防百防十防数于千内减之余者为变数法既变后乃将变法与实呼减之呼实则自右向左呼法则自左向右逐位呼减减毕余实即为所求数也
　　因式
　　有一百二十人毎人二两问共若干曰二百四十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也以变法八呼丑实二曰二八除十六乃于丑二内除一又当于寅位除六曰六退十还四丑空位寅存四再以变法
　　八呼子实一曰一八除八当于丑位除八曰八退十还二子位空丑存二逐位减毕即丑余之二寅余之四为所求二百四十两也
　　因乘式
　　有一百二十人毎人二两一钱问共若干曰二百五十二两术珠曰此二位法也将法二两一钱作二十一于百内减之余七十九为变法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十后除一十八止存四十二也
　　故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十后除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅存四上为五夘仍存二逐位减毕即丑余之二寅余之五夘余之二为所求二百五十二两也
　　以加代除法
　　珠曰归除之法有可以加法代者更为易简其术亦须变法数与前因乘相同法既变后乃将归实暗数与变法呼加之暗数者视原法数在实内有防回也即用其防回之数为暗数耳以变法与暗数相呼加于实数之上逐位呼加加毕则其得数与归除无异也
　　归式
　　式一有银一百二十两二人分之问各若干曰六十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也五一两数是为子丑两暗数子实一作一十内有五回原法二也丑
　　实二内有一回原法二也先以变法八呼子暗数五曰五八得四十乃于子实一上
　　加四为五再以变法八呼丑暗数一曰一八如八当于丑实二上加八数巳满十曰八退二进一十乃退去丑位二而于子位五进一为六逐位加毕视子位逓加之六即所求之分数为毎人各得六十两也式二有银一百二十两三人分之问各若干曰四十两术珠曰先将法三于十内减之余七即七为变法也三一两数是为子丑两暗数盖子实一十内有三回原法三余合丑实二为三内有一回原法三也先以变法七呼子暗数三曰三七二十一乃于子实一
　　上加二为三丑实二上加一为三再以变法七呼丑暗数一曰一七如七当于丑位三上加七数巳满十曰七退三进一十乃退去丑位三而于子位三进一为四逐位加毕视子位逓加之四即所求之分数为毎人各得四十两也
　　归除式
　　有银一百二十两二十四人分之问各若干曰五两术珠曰先将法二十四人作二十四于百内减之余七十六为变法五为暗数盖子实一作一百内有五回原甲法二十丑实二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以变法甲七呼暗数五曰五七三十五乃于子一上加三为四丑二上加五为
　　七此法之首位加毕矣再以变法乙六呼暗数五曰五六得三十当于丑位七上加三数巳满十曰三退七进一十乃退去丑位七而于子位四上加一为五此法之次位加毕矣如是加毕则子位之五即所求之分数为毎人各得五两也

　　数度衍巻一
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二
　　桐城　方中通　撰
　　笔算上
　　加法
　　术曰列散数各横置以类相从【十从十百从百】大左小右自右并起零数纪本位下十进一位百进二位无零本位纪○诸位至左并毕即下纪数为所求总数也
　　进一位式有一万零六百五十四又八千九百零七又五万六千七百八十九又八百八十问共若干曰七万七千二百三十术先并单数四七九为二十此有十无
　　零也本位纪○进二于左次并十数
　　五八八及单数所进之二为二十三
　　本位纪三进二于左次并百数六九
　　七八及十数所进之二为三十二本
　　位纪二进三于左次并千数八六及
　　百数所进之三为一十七本位纪七进一于左次并万数一五及千数所进之一为七本位纪七合问
　　进二位式有散数如图所列问共若干曰二万三千七百五十二术先并单数为一百零二本位纪二进一于
　　左隔位此百进
　　二位也次并十
　　数为五本位纪
　　五次并百数及
　　单数所进之一
　　为一十七本位纪七进一于左次并千数及所进一为二十三本位纪三进二于左万无数即纪所进二合问通曰多层者截作两段三段为便如右试截上六层得总数一五六八一即将此数及下六层求得总数亦合
　　试加差法
　　术曰有九减七减二法九用见数而九减之七用实积数而七减之先减散数余若干次减总数余若干两余相比同则无差
　　九减式试第一式先减散数去○与九不入减并四七
　　五八八六七八八六一五共
　　为七十三九减余一【减去八九七十】
　　二列乂左次并总数三二七七共为
　　一十九九减余一【减去二九一十八】列乂右
　　左右相比数同无差
　　通曰此以见数为主不论千百位也
　　七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余

　　七减余一【减二七一】
　　【十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三三行依法减余五四行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差
　　减法
　　术曰多者列上为原数少者列下为减数所求数为减余从类列位自右减起下纪其余也下数多于上数者

　　为不足减上○而下有数者为无可减二者用借法式有二千七百一十五减四百零二问余若干曰二千三百一十三术原数列上减数列下减数首百从原数百下顺列单位五内减二余三抹去原数五本位纪三次十位一遇○无减本位仍纪一次百位七减四余三抹去原数七
　　本位纪三次千位二遇无减数本位仍纪一合问用借式有四千八百四十减二千五百九十二问余若干曰三千二百四十八术列原数减数单位○不能减二须借左原数一在本位作十减二余八下纪八次十位原数四因右借一存三不能减九借左原数一在本位作十并存三为十三减九余四下纪四次百位原数八因右借一
　　存七减五余二下纪二次千位四减二余二下纪二合问
　　用借用还式数如前式术单位○不能减二借左原数一在本位作十减二余八乃于十位减数九加一作十以还借数四不能减十借左原数一在本位作十并四为十四减十余四百位减数五加一作六以还借数八内减六余二千位四减二余二亦合
　　左减式数如前式术通曰旧法自右起今易自左起千位四内减二余二抹去原数四减数二而变为二次百位八内减五余三八变为二次十位四不能减九于百位变三内退一三又变为二十位四上加十为十四减九余五四变为五次单位○不能减二于十
　　位变五内退一五又变为四单位○上作十减二余八○变为八此法较便
　　试减差法
　　术曰一用如法试之以减数并减余得原数或以减余减其原数应与所减数合又有九减七减二法如试加然但以减数及减余合为一处又如加之散数首行次行耳
　　用加法式试第一式以减数四百零二并减余二千三百一十三为二十七百一十五合原数无差
　　用减法式试第一式以减余二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之余四百零二合减数无差九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共
　　为一十五九减余六次并原数
　　二七一五为一十五九减余六
　　左右列比无差
　　通曰九减用实积数亦可盖九数无往
　　不合故也
　　七减式试第一式先以减数之左四○作四十七减余五次作五十二七减余三又以减余之左二三作二十三七减余二次作二十一七减无余次三不足减仍余三俱纪右下乃以各数纪余之三二并为六不足减仍
　　作六再以原数之左二七
　　作二十七七减余六次作
　　六十一七减余五次作五十五七
　　减余六左右列比无差
　　乘法
　　术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法】数齐于右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首何数从乘数左首推至总数左首即知通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也
　　十因
　　式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是八九为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二纪下二未满十故曰未满十乘数也
　　又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数同下纪七故得七十二
　　又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相
　　乘得四下纪四左右上下斜减俱余六下纪六故得六十四
　　又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过于乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内少七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九寄四于左左上下三各
　　加所寄四俱变为七然后左右上下斜减俱无余下纪○故得九
　　又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及于乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二寄一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下斜减俱余四下纪四故得四十二又
　　术三四乘得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合
　　通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛书之无十而藏十也
　　诸式
　　一位乘式有一百五十二人每人六两问共若干曰九百一十二两术列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位纪一本位纪二次以六乘五曰五六三十此足也左位纪三本位纪○次以六乘一曰一六如
　　六此如也左位纪○本位纪六所纪散数用加法合问乘数六是两推至总数首为百
　　多位乘而原数中有○式有四千六百零八人每人三百二十五两问共若干曰一百四十九万七千六百两术列数以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法纪
　　之此五之徧乘也次以二乘八
　　曰二八一十六以二乘○曰二
　　○如○以二乘六曰二六一十
　　二以二乘四曰二四如八如法
　　进位纪之此二之徧乘也次以
　　三乘八曰三八二十四以三乘
　　○曰三○如○以三乘六曰三
　　六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之徧乘也用加法合问
　　原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为
　　千
　　乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千
　　原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问
　　共若干曰二十万零四千两术列定
　　先以四徧乘次以三徧乘得总数尾
　　三○便于定位
　　通曰加减乘除皆可易横
　　为直而乘用直觉便故附
　　于此至于诸○立法不得
　　不存熟则不用矣
　　试乘差法
　　术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之余列上总数减余列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八
　　九减无余列○于乂左并乘数
　　三二五为一十九减余一列乂
　　右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无余列○于乂下上下相比无
　　差
　　七减式试第四式原数如法减之余三列乂左乘数如法减之余四列乂右以左右三四乘得一十二七减余
　　五列上总数如法减之余五列
　　下上下相比无差
　　通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐
　　位减至右末而止也
　　除法
　　术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有防回即用防除之而纪其防除之数于格外为用数也原实变后即为余实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下【一徧用数一徧退位与初列退位不同】再视法首于余实内有防回当用防除而又纪其防除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有余实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也
　　通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为防十防也左有实而右无实者作防十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者则知用数中当有零矣详后式
　　定列位
　　通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除説同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也

　　诸式
　　退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十

　　八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法
　　尾齐实尾两数则知用数尾八为两也
　　不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列余实四○作四十视有九回四当以九为
　　次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无余实四不足除遇此则纪○以当一徧用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问
　　通曰前式格外用数用横列今易为直盖横
　　直俱可用也
　　实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格
　　右实数尽矣尚有余○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也
　　通曰视实尽后法尾去实尾尚空防位毎空一位加一○于用数之右亦合
　　实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数余
　　实再除
　　术右式余实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚余实俟再除
　　通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数【两降钱钱降分】即以○末为实尾较便
　　试除差法
　　术曰亦用九减七减其除毕无余实者将除数减余列左用数减余列右左右相乘减余列上原数减余列下相比其未尽实者于左右乘后并入余实减余列上原数减余列下比之若除实至半者亦以除数减余列左用数减余列右相乘又取本位【法尾止处】以前余实减余以并左右乘数再减余列上以抺过原数减余列下相比也
　　除无余九减式试第一式除数九九减无余左列○并
　　用数三八为一十一九减余二
　　右列二乘无数列○于乂上并
　　原数三四二为九九减无余列○于乂
　　上并原数三四二为九九减无余列○于乂下上下相比无差
　　除有余九减式试第五式并除数五八为一十三九减
　　余四左列四并用数一一
　　为二不足九减右即列二
　　乘得八又并余实一五为一十四
　　九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差
　　除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减
　　即列六于上原数三四作三十
　　四七减余六次作六十二七减
　　余六列下上下相比无差
　　除有余七减式试第五式除数五八作五十八七减余二列左用数一一作一十一七减余四列右乘得八又
　　以余实一五作一十五七
　　减余一以此用一并左右
　　所乘八为九七减余二列上原数
　　六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差
　　半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实二一三　用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之余实二一为三不足九减即以此
　　三并左右所乘八为一十一
　　九减余二列上并原数抺去
　　三位之八六六为二十九减
　　余二列下上下相比无差
　　用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列
　　右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抺去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差
　　通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余同八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉
　　命分法
　　术曰命分者一大防何已分防何命余者为防何分之防何也又曰所余之小防何再分防何命此得者为防何分之防何也
　　通曰第一术即防何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也
　　式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

　　数度衍巻二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度术卷三
　　桐城　方中通　撰
　　笔算下
　　奇零列位法
　　术曰奇零者不尽数也加减乗除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下
　　式有实四十六法七用数六除四十二尚余实四命之
　　曰七之四七列上四列下
　　通曰以母分子故以法为母子随母分故以实
　　为子
　　奇零别多寡法
　　术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也
　　母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳
　　子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少
　　者为多
　　子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乗得数各注其下较之其较有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也

　　竒零约法
　　术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法
　　折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四
　　约为八之四再折半又约为四之
　　二
　　通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乗而得其数即通数也今以六为通数
　　以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六
　　纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二余十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为
　　纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二
　　通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
　　奇零并母子法
　　术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乗并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乗各所除数得各子数也
　　两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母
　　三得九为乙并子
　　四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二
　　乗之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四为丁并子
　　倂母子用纽数式若母数相乗过有纽数可用即用纽数如甲母乗乙母得六嗣当与丙母四相乗有二为纽数可用【二与三乗得六二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二
　　乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乗所得并子俱减前式之半
　　奇零累析约法
　　术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也
　　二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乗得三十五两子乗得十二是总得三十五之一十二
　　也
　　四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四为总母以丁
　　子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也
　　化法
　　术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乗得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合
　　化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乗整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也
　　零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子
　　数用八除尽知是八为整数也

　　零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚余二知是整五又零九之二也
　　奇零加法
　　术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乗为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积
　　同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为
　　共母两子并得十一为共子积为
　　七之一十一归得一零七之四
　　异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八
　　为甲并子乙子乘甲母得九为
　　乙并子再以两并子并得十七
　　积为一十二之一十七
　　异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
　　母十一得一千零一为共母依
　　法各母除各子乘得各并子又
　　并得共子积为一千零一之二
　　千六百九十二
　　一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也
　　二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也
　　整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也
　　整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也
　　试加差法
　　通曰加用减试用加试皆有同母异母之分
　　试同母式以右子五减积子十一余六合左子数以左子六减积子十一余五合右子数合则无差
　　试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母
　　数以左母四除共母十二得三
　　合右母数无差次试子以右并
　　子八减积子十七余九合左并子数以左并子九减积子十七余八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差
　　竒零减法
　　术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也
　　同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之
　　八内减十七之五也同母止于右子
　　八内减左子五余三得十七之三
　　异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十
　　七为共母乃母除子乘得各
　　子审多寡然后相减余二十
　　七之六
　　整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六余十
　　一之五是减余为九零十一之
　　五
　　整内减整及零式两整先减十内减四余六乃于六中
　　抽一依零母化五为子是化为
　　五之五也于化内减五之三余
　　五之二其余整六既抽一止存五是减余为五零五之二
　　整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相
　　减十内减六余四此乃
　　异母以两母乘得八为
　　共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之余整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六余八之六整数止存三是减余为三零八之六
　　整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六
　　十三之二百四十二整
　　九止存八是减余为八
　　零三百六十三之二百
　　四十二【可约为八零三之二】
　　通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也
　　试减差法
　　试同母式以减余子三并入左子五为八合右子即以减余子三于右子八内
　　减之余五亦合左子无差
　　试异母式以减余二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减余子乘左母得十八乘右母得五十
　　四再并为七十二得八十一之七十二约之为九之八
　　奇零乘法
　　术曰两零相乘当以母乘母子乘子零与整乘则置整数与零并列而整数上立一数为母与零母并列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有带零者法详后
　　零与零乘式四之三与三之二相乘以两母乘得十二为乘母两子乘得六为乘子是乘为一十二之六
　　零与整乘式五之四与整八相乘乃以八上立一为母
　　作一之八与五之四并列依法乘
　　得五之三十二通曰但以整数乘
　　零数之子为乘子可也
　　整带零与整乘式整三零六之五与整八相乘先以右
　　整三与母六乘得十八并子五
　　得二十三为子化为六之二十
　　三以左整八上立一为母并列依法乘得六之一百八十四
　　整带零与零乘式四零三之二与二之一相乘依法右
　　位整乘母得十二并子二得十
　　四为三之十四与左零数并列
　　乘得六之十四
　　整带零与整带零乘式四零二之一与三零五之一相
　　乘依法整三与母五乘得十五
　　并子一得十六左为五之十六
　　整四与母二乘得八并子一得九右为二之九并列乘得一十之一百四十四
　　通曰竒零与常法不同常法皆乘少为多今或乘多为少葢借用虚数实非乘多为少也
　　试乘差法
　　通曰乘用除试除用乘试葢奇零试差皆彼此还原也式以前零与零乘式试之以乘得十二之六为原数以
　　其两相乘之数皆为
　　除数但湏倒位前曰
　　三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除数右母二乘原母十二得二十四以除数右子三乘原子六得十八是为二十四之十八约为四之三而合上左其左位依法还原为三十六之二十四约为三之二亦合上右
　　奇零除法
　　术曰两零相除右列原数左列除数却将除数倒列子母而与原数并列亦用母乘母子乘子之法乘出数即除出数也
　　零除零式二之一为实列右六之一为法列左倒为一
　　之六乃与二之一并列母乘母
　　子乘子即得除出数为二之六
　　也
　　零除整式整六为实三之二为法法倒为二之三实立
　　一为母作一之六乃并列相乘得
　　除出数
　　通曰乘除本互用于此可见
　　整带零除整式六为实四零三之二为法以母三乘整
　　四为十二并子二为十四
　　化为三之十四再用零除
　　整法得除数
　　整除零式三之二为实整六为法以六上立一为母又
　　倒为六之一与三之二并列乘得
　　除数
　　整除整带零式六零二之一为实三为法以整六乘母
　　二得十二并子一得十三化为二
　　之十三整三立母倒位并列乘之
　　整带零除零式三之二为实六零二之一为法以整六
　　乘母二得十二并子一得
　　十三化为二之十三倒位
　　乘之
　　零除整带零式六零二之一为实四之三为法以整六
　　乘母二并子一得十三化为二之
　　十三倒法位乘之
　　整带零除整带零式六零二之一为实三零五之二为
　　法依法实化为二之十三
　　法化为五之十七倒法位
　　乘之
　　试除差法
　　式以前零除零式试之以乘得二之六列右除数六之
　　一列左母乘母子乘子
　　得十二之六约为二之
　　一合右原数无差
　　重零除尽法
　　术曰归除不尽曰奇零然有原数内本来先带奇零者是大奇数内又有小奇数也若欲除之使尽当先归之使一列小奇于右列大奇于左两母相乘为总母又以小奇母乘大奇子并入小奇子为共子此即是除尽之数
　　大奇内有小竒式四人分一十五零三之二其不尽者整三零三之二也三之二为小奇四之三为大奇两母乘得十二为共母小奇
　　母乘大奇子得九并小奇子二为十一作共子是一十二之一十一为除尽数也
　　大奇内小奇有小奇式若小奇内复有小奇至三至四
　　者如
　　七除
　　不尽
　　而余
　　四数为七之四而又以此四中之一剖为五停之二又以二中之一剖为四停之三又以三中之一剖为三停之二此乃大奇内带三小竒也先并大次两母五七乘得三十五为母以次母五乘大竒子四得二十并入次子二得二十二为子是为三十五之二十二再并三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十为母以三奇母四乘大次并子二十二得八十八并三奇子三得九十一为子是为一百四十之九十一再并四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三并四奇子二得二百七十五为子是为四百二十之二百七十五此即通并即除尽数也可约为八十四之五十五
　　大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一

　　位者当用加除二法而前式葢防法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一为母倒位并列乘得十二之二【此用整除零法】后用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左两母相乘得四十八为共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六并得四十四是积为四十八之四十四也【此用异母加法】约得一十二之一十一而合除尽数矣
　　附铺地锦
　　乘式有物二十三件每件价银五钱六分五厘问共若
　　干曰一十二两九钱九分五厘术
　　物数为实列上价数为法列旁相
　　呼填数于格内呼毕斜格成总也
　　先呼三五一十五次呼三六一十
　　八次呼三五一十五填三下之格内后呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取总数一为一十一一为二两五一二一为九钱八一为九分五为五厘也
　　除式有银九十四两五钱买物七十斤问每斤若干曰

　　一两三钱五分术先画图置银数于内为实以物数为法自下左旋而上而右止用珠算归除诀先除九十起曰逄七进一十填在左图右格为一两又曰七二下加六次除四两因加六作十曰逄七进一十将此一并九十图内存二作三填在九十图左格为三钱又曰七三四余二次除五分因加二作七曰逄七进一十将此一并四两图内作四又作五填在四两图右格为五分共得一两三钱五分也
　　洛书算
　　通曰洛书用九八卦旋中加升减降法异理同九内易位越十移宫过去未来用之无穷

　　加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也
　　减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得

　　通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也

　　数度衍巻三
　　钦定四库全书
　　数度衍卷四
　　桐城　方中通　撰
　　筹算
　　九筹

　　通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也
　　开方筹
　　通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

　　立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

　　乘法
　　术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数
　　一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七
　　十二两　以五十九人为实八
　　两为法先依实数查第五筹第
　　九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两
　　二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法
　　依实查五四两筹齐列先依法
　　尾四查第四格曰六曰一○曰
　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数
　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式
　　筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问
　　共若干曰一千五
　　百一十二两　以
　　五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格
　　曰八曰○曰一进一位列之加得合问
　　通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若
　　干曰五百二十二两
　　以八十七人为实查筹
　　并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四
　　八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣
　　用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰
　　二万零六百七十
　　二两　以六百零
　　八人为实查六筹
　　零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四
　　曰二○曰八曰一进一位列之加得合问
　　通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也
　　除法
　　术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或畧少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之
　　一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法
　　查六五两筹左右齐列
　　查九格内何格数与实
　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二
　　五适等即五为商数矣
　　二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两术
　　列三千三百二十五
　　两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三
　　百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五畧少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商
　　商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作
　　三千二百二十八畧
　　少于实数七格则多
　　矣用六爲初商相减
　　余一十以余实一○及截七六作
　　一千零七十六此乃次位无实也
　　次商当作○竟不除实余实仍是一千零
　　七十六查至二格一○七六等用二爲三商
　　通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两
　　余实一十一两
　　列实查筹二筹横数止三位截实左
　　三位曰三三三查至三格自左向右
　　曰二八五畧少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也
　　开平方法
　　术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章
　　通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也
　　第一求初商之根为方法乙为
　　方积也不尽求二防之商倍初商
　　根为廉法甲丙两长邉也隅法丁
　　方一角也此甲乙丙丁为平方二
　　商之形如三商则加戊巳亷及庚
　　隅也
　　式有积三万二千○四十一平方开之问邉得若干曰
　　一百七十九
　　别列积为实从
　　末位一下作防
　　向左隔一位○
　　下作三下作
　　防共得三防知商有三位
　　也防左无实三作零数视
　　方筹内自乘无三近少为
　　一平行取一为方法为初
　　商乃于实三内减去一格
　　自乘之一存二以共次防
　　实曰二二○为余实次倍初商根得二为亷法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一
　　八九减余实二二○余三
　　一以共三防之实曰三一
　　四一为次余实再倍初次
　　两商之一七得三四【初商一作】
　　【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方邉一百七十九也
　　开立方法
　　术曰有积数有商数商有方法有平廉法长亷法隅法置积为实从末位作防向左隔二位作防每一防有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一防为始防前无位则再乘止于零数防前有一位则再乘应有十数防前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之为平亷法以初商三倍之为长亷法却以平亷法数查筹列立方筹左以长亷法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方邉也不尽者依法命之详少广章
　　其一作六面方体诸面线角皆相等
　　此名方法体成甲乙丙丁形
　　通曰此初商形也凡边皆初商之
　　数
　　其二作六面扁方体其上下面各与
　　方法等旁四面之髙少于方法之髙
　　而四棱线皆等此名平亷法体成戊
　　己庚辛形
　　其三作六面长方体其上下左右四
　　面与平廉之旁面等两端之四界线
　　皆与平廉之髙等此名长廉法体成
　　壬癸形
　　其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形
　　通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边

　　齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣
　　式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

　　作防向左隔二位
　　作凡三防知商
　　有三位也防前无
　　实则实首九为零
　　数视立方筹内再
　　乘之数无九三格
　　二七过实用二格
　　八实之近少数也
　　即取二为方法为
　　初商九内减八存一以
　　共次之实曰一一二
　　九为余实将初商二自
　　乘得四又三倍得十二
　　为平廉法取一号二号
　　两筹列方筹左又将初
　　商二三倍得六为长廉
　　法取六号筹列方筹右
　　乃于立方与平廉共三筹
　　内之横行数取其少于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三防之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹
　　乃于立方与次平廉共
　　五筹内之横行数取其
　　少于余实者为约数至
　　第九格曰一○八○七
　　二九另列之向立方筹
　　右平行取九格之自乗
　　数八十一以乗次长廉
　　六○【此作六十】得四八六○
　　【此八十一回六十也】进一位列约
　　余实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也
　　通曰长亷筹止用其号数格内诸数皆无用卽不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此

　　数度衍巻四
　　钦定四库全书
　　数度衍卷五
　　桐城　方中通　撰
　　尺算
　　法尺
　　通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不

　　移如此乃可为法
　　实尺
　　两尺分寸湏等不可稍
　　异作一法尺二实尺
　　通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也
　　乘法
　　术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也
　　通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实
　　式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为
　　四分作实数以五
　　人为五寸作法数
　　将实尺比定四分
　　横安于法尺一寸
　　空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也
　　降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一
　　小不可安放乃降
　　十倍安于法尺一
　　寸空处量法尺五
　　寸九分空处得四
　　寸七分二厘先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也【此系升法以代降实】
　　实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量
　　法尺八寸空处得
　　四寸八分原以分
　　为两是为四十八
　　两先半后倍倍得
　　九十六两也
　　法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸
　　八分以分为两是
　　为四十八两倍之
　　得九十六两再倍
　　之得一百九十二
　　两合问
　　通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也
　　实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得
　　一十二两又折半
　　为六两作六分为
　　实用实尺比定六
　　分安于法尺一寸
　　空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问
　　通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又
　　折半得八人作八
　　寸为法以二十四
　　两折半得一十二
　　两又折半得六两
　　作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问
　　通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合
　　整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之
　　将实尺比定五分
　　三厘安于法尺一
　　分空处实大不便
　　安顿降之安于法
　　尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数也因以尺之厘为
　　银之分故知爲十
　　二两七钱二分又术
　　以二十四人作法尺
　　二尺四寸以五钱三
　　分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合
　　通曰所截爲二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗也
　　除法
　　术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何卽爲所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之
　　式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四
　　分为法将实尺比
　　定二寸二分安于
　　法尺四寸四分空
　　处乃量法尺之一
　　分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
　　降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二
　　分空处乃量法尺
　　一分空处得二厘
　　因先降数此当升
　　为二分分为银之
　　两则知所得为二两也
　　折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘
　　因降实此当升为
　　一寸五分又因折
　　实此当倍为三寸
　　以寸为两故知一
　　人所得为三两也
　　法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处
　　乃量法尺一寸空
　　处得一分五厘因
　　降实当升为一寸
　　五分寸为两故知
　　一人所得为一两五钱也
　　通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣葢折亦除故也
　　随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十
　　两作八十分为实
　　将实尺比定八十
　　分安于法尺百分
　　空处如欲作四平
　　分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也
　　通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸
　　整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两
　　四钱术以三十二
　　两作三尺二寸为
　　实以五人作五寸
　　为法先截实末二
　　寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也
　　通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
　　比例法
　　术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也
　　通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人
　　式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十
　　两作四寸四分为
　　实以实尺比定四
　　寸四分安于法尺
　　二寸二分上实大
　　降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣
　　通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也
　　又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸爲法以六人作六分爲实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分爲人卽知所
　　得爲一十四人也
　　又术以三两作三
　　分爲实以六人作
　　六分爲法将实尺
　　比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分卽一十四人也
　　通曰法实可互更乗除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例卽乗除亦无非比例故比例以尺爲便

　　数度衍巻五
　　钦定四库全书
　　数度衍卷六
　　桐城方中通撰
　　勾股【勾股之一】
　　周髀勾股圆方图

　　赵君乡注曰勾股各自乗并之为实开方除之即也【鸾曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五开方得五】按图又可以勾股相乗为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾差二为四自乗得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通】加差实亦成实【加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也】以差实减实半其余以差为从法开方除之复得勾矣【以差实九减实二十五余十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五余二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通】加差于勾即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实

　　即成实【勾实九股实十六并得二十五实】或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤【以差一为广股四并五得九为袤左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于实开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法开矩勾之角即股差【倍股四为八为从开九得一也】加股为【加差一于股四得五】以差除勾实得股并【以一除九得九即股四五并数】以并除勾实亦得股差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二以十八除之得四】股实之矩以勾差为广勾并为袤【以差二为广勾三并五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于实开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差【倍勾三为六为从开十六得二也】加勾为【加差二于勾三得五】以差除股实得勾并【以二除十六得八即勾三五并数】以并除股实亦得勾差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八以十六除之得三】两差相乗倍而开之所得以股差増之为勾【一与二乘得二倍为四开得二増一为三】以勾差増之为股【以二増二得四】两差増之为【二之上又增一与二得五】倍实列勾股差实见实者以图考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也】以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九开得七即勾三股四并数】令并自乗倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差【七自乗得四十九倍实二十五为五十相减余一开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八半得四也】其倍为广袤合【倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实四实以减之开其余所得为差【以七七自乗得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乗得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股差减股并余数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并余数鸾言错也】以差减合半其余为广【以差一减合七余六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十余二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也】减广于即所求也【以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也】观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂防也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也

　　容股股容勾图説

　　通曰方内之容递差于二九九之内容八八余为十七八八之内容七七余为十五七七之内容六六余为十三六六之内容五五余为十一五五之内容四四余为九四四之内容三三余为七三三之内容二二余为五二二之内容一一余为三是余之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之余所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之余较容股实之余必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之余较其并实容之余必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之余较其并实容与勾股差之余必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之余较其并实容

　　与勾差之余必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其余较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其余较勾之容勾差必损二矣容有大小余无异同受容者变而容之者亦变故耳
　　勾股名义
　　勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与和也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】
　　勾股求法
　　式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乗得九两自乗数并之得二十五为实积用少广章
　　开平方法除之得边五即也
　　又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也
　　通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也
　　勾求股法
　　式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乗得九五自乗得二十五相减余十六平方开之得边四即股也
　　又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也
　　通曰圜内切中径成两勾股也
　　股求勾法
　　式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乗得十六五自乗得二十五相减余九平方开之得边三即勾也
　　又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台髙为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也【一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也】
　　又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也
　　勾与股较求股法
　　式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较余七十
　　二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乗得七百二十九较自乗得八十一相减余六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乗较自乗并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为
　　第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为
　　丙巳直角形即得丙庚边与甲
　　乙甲丙股和等何者甲丙
　　羃之甲辛直角方形内当函一
　　股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等
　　第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之
　　甲癸直角方形内当函一勾羃一股
　　羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之
　　外分作甲五丑癸丑子三直角形即
　　丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等
　　通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚
　　磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也
　　又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股
　　又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为【门广并不合之半为】
　　又式垣髙一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股
　　又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乗得二尺五寸半较除之又加半较
　　得径为
　　通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也【按此条图説有误处】
　　股与勾较求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千
　　二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较余五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为
　　通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛
　　直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾
　　和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
　　内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内
　　截取子卯丑辰边各与甲丁较线等
　　即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲夘夘辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等
　　第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角
　　方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折
　　形为实次倍甲丁较线为乙寅线以
　　为法除实即得乙子直角形与甲壬
　　戊磬折形等何者乙子直角形加一
　　等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙夘夘寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
　　通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也
　　与勾股较求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乗得二千零
　　二十五倍之得四千零五十较自乗得八十一相减余三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较余五十四半之得二十七为勾二术较自乗得八十一折半得四十零五与自乗二千零二十五相减余一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五余二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股
　　第一术论曰羃为甲戊直角方
　　形倍之为己丙直角形较羃为甲
　　庚直角方形与甲辛等相减即得
　　减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
　　通曰第二术较羃为甲辛直角方形
　　半之为甲戊直角形与甲庚直角形
　　等羃为甲壬直角方形减较羃半
　　甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
　　午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也
　　勾与股和求股法
　　式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九
　　股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余
　　第一术形论同勾与股较求股第一术
　　通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
　　今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
　　又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股
　　股与勾和求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千二百九
　　十六和七十二除之得十八为勾较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为
　　通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术
　　与勾股和求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乗得二千零二十五倍
　　之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
　　通曰和各自乗相减又减自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
　　角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
　　勾较与股较求勾股法
　　式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十
　　八与股较九相乗得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得
　　论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
　　形两羃并得四百零五以九减十
　　八余九即勾股较自之得八十一
　　为干兑直角方形元设两较互乗
　　为癸戊子丑两直角形并得三百
　　二十四以减四百零五亦得八十
　　一何以知之癸戊子丑三百二十
　　四为实开方得十八之寅夘直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
　　甲酉直角方形必不等于丙午上
　　之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
　　直角方形并而此不相等之较必
　　勾股较羃之八十一也何者若于
　　甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
　　元设勾股勾股分之即甲酉形
　　内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
　　八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅夘形则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅夘之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知髙广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问髙广斜各几何曰髙八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较
　　股和与勾和求勾股法
　　式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乗得五千
　　八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和余三十六为股和和减股和余二十七为勾用勾股求法得四十五为
　　论曰两和相乗为乙巳
　　直角形倍之为丁戊直
　　角形以为实平方开之
　　得己庚直角方形与丁
　　戊等即其边为和和
　　者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一羃己庚形内余一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和
　　勾与较和求股法【较和者与勾股较和也】
　　式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股
　　勾与股较和求股法【股较和者股与勾较和也】
　　式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法葢与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也
　　股与较和求勾法【较和者与勾股较和也】
　　式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾
　　股与勾较和求勾法【勾较和者勾与股较和也】
　　式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾
　　与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股较和也】
　　式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾【按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也】
　　与股较和求勾股法【股较和者股与勾较和也】
　　式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗倍之得四千零五十为实与和相减余九又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法【和和者与勾股和和也】
　　式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减和余八十一为股和除实得九为股较减股和余七十二半之得股股较加股和得九十半之得
　　勾与股和和求股法【股和和者股与勾和和也】
　　式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法葢和皆一百零八也
　　股与和和求勾法【和和者与勾股和和也】
　　式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和余五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得
　　股与勾和和求勾法【勾和和者勾股和和也】与
　　式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法葢和数相同也
　　与勾和和求勾股法【勾和和者勾与股和和也】
　　式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和余六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较减勾股和余五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
　　与股和和求勾股法【股和和者股与勾和和也】
　　式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也
　　勾与和较求股法【和较者与勾股和较也】
　　式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较余九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较余七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法【股和较者股与勾和较也】
　　式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法葢以勾减与勾股和较十八余九以勾减股与勾和较三十六余亦九也股与和较求勾法【和较者与勾股和较也】
　　式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减较余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾股与勾和较求勾法【勾和较者勾与股和较也】
　　式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法葢以股减与勾股和较十八余十八以股减勾与股和较五十四余亦十八也与勾和较求勾股法【勾和较者勾与股和较也】
　　式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较余九为勾股较又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较余五十四半之得勾与股和较求勾股法【股和较者股与勾和较也】
　　式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法葢以减勾与股和较五十四余九以减股与勾较三十六余亦九也勾与较较求股法【较较者与勾股较较也】
　　式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较较余九为股较除实得八十一为股和减股较余七十二半之得股股和加股较得九十半之得
　　勾与股较较求股法【股较较者股与勾较较也】
　　式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法葢以勾减较较三十六余九以勾减股较较十八余亦九也
　　股与较较求勾法【较较者与勾股较较也】
　　式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾股与勾较较求勾法【勾较较者勾与股较较也】
　　式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股减勾较较余十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法
　　与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股较较也】
　　式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾与股较较求勾股法【股较较者股与勾较较也】
　　式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法葢较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
　　有积【勾股之二】
　　有积勾股较求勾股法
　　式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乗得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
　　勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九余五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得
　　通曰子较羃也丑　　　　通曰子较羃也
　　寅卯辰四因积也　　　　丑寅并与卯等
　　各边皆勾股和　　　　　二因积也合之
　　为羃
　　通曰较为从方者九回二十七得二
　　百四十三为较勾矩以减积九百七
　　十二余七百二十九为勾羃较为减
　　从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃
　　有积勾股和求勾股法
　　式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八
　　和自乗得三千九百六十九相减余八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和余五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相减余二千零二十五开平方得
　　有积求勾股法
　　式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乗得二千零二十
　　五相减余八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股
　　有率【勾股之三】
　　勾与股率勾和率求股法
　　式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乗得四十九为勾和准以股率自乗得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乗得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九余二十为勾准以准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股
　　通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于
　　乙至甲同在乙起同至甲防也【按此图应在又式后】
　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行防乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
　　容方与勾股率求勾股法
　　式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乗得二十五为勾和准股率自乗得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乗得十五为股准以准十七减勾和准二十五余八为勾准以勾准乗容方径得一万二千以股准十五除之得余勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乗勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乗勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股
　　通曰此亦迟速相较也速五迟三速
　　于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙
　　起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方
　　也乙过戊至丙勾也戊丙余勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲余股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也【按此图应在又式后】
　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙防问各行几何曰甲南行二千三百步【邑中一千五百步南门外八百步】斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步东门外二千八百十二步半】术南行勾也南门外余勾也斜行也东行股也东门外余股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也
　　容方【勾股之四】
　　勾股容方法
　　式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乗得九百七十二为实勾股相并得六十三为
　　法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
　　论曰甲乙股乙丙勾相乗为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边
　　十五四二八即成甲戊己庚直角
　　形等甲乙丙丁形而己庚边截乙
　　丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛
　　壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形
　　通曰勾股稍近者容方大勾股悬逺者容方小
　　又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬
　　为直角方形
　　容圆【勾股之五】
　　勾股容圆法
　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乗得一万九千二百倍之得三万八千四
　　百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅夘皆与乙丁等
　　通曰容圆径即和较也勾股和求减和余亦容圆径也
　　论曰甲乙
　　股乙丙勾
　　相乗即甲
　　乙丙丁直
　　角形倍之
　　为实即丙
　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于防于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等夘戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等防寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍夘离两交角又等丑卯与戌夘复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等甲防同线甲午防甲寅防又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其防于此详后二卷

　　数度衍卷六
　　钦定四库全书
　　数度衍卷七
　　桐城　方中通　撰
　　测量【勾股之六】
　　容方与余勾求余股法
　　式容方径为丁乙一百五十余勾为丁丙三十问甲戊余股防何曰七百五十术以容方径自乗得二万二千五百为实以余勾为法除实
　　得七百五十为余股
　　容方与余股求余勾法
　　式容方径一百五十余股七百五十问余勾防何曰三十术容方径自乗得二万二千五百为实以余股为法除实得三十为余勾
　　又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门防步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为余勾南门外为余股
　　测髙式欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙为丁丙髙一丈却后五尺立戊戊己髙四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙髙防何曰四十尺术以丁丙表髙十尺减戊巳目髙四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】
　　得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表髙十尺得四十尺为甲乙之髙
　　通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳【与丙戊等】余勾也甲壬余股也容方则径自乗容长方则横径直径相乗也
　　测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口髙五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸
　　问井深防何曰五丈七尺五寸术以
　　井径五尺减甲巳四寸余己乙四尺
　　六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸
　　通曰己乙容长方径也戊辛余勾也乙丙余股也测逺式欲测甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形
　　丁乙与甲为直线每表相去一丈
　　乃于己表之右戊上视丙表与甲
　　为直线戊巳三寸问逺几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙逺三十三丈三分丈之一
　　通曰乙丙容方径也戊已余勾也甲乙余股也
　　又式欲测甲乙之逺立丙乙表髙十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问逺几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乗表髙一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得逺此与右法同但彼用四
　　表此用一表为防耳丙乙容方径也戊巳余勾也甲乙余股也
　　余勾余股求容方法
　　式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术余勾余股相乗得二万二千五百为容方积开平方得一百五
　　十为丁乙径
　　又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方防何曰三百步术通曰北门外为余勾西门外为余股半邑方为容方径也
　　两余勾与股求容方法
　　式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁余勾乗股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二余勾得三十四为从方开之横
　　得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径
　　又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一余勾也南门外十四步一余勾也西行股也邑方容方径也
　　小勾股与大勾求大股法
　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股防何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大
　　股
　　通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乗大勾为实用异乗同除法也【见九章外法】
　　测高式塔不知髙量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表髙一丈影长二尺五寸问塔髙防何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股
　　又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日髙几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日髙八万里大股也用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日髙也
　　又式欲测甲乙之髙以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目髙四尺问甲乙髙几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小
　　勾也戊丁小股也
　　测广式日逺人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日逺人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也
　　测逺式欲测甲乙之逺立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通
　　曰丁角与乙角等直角也
　　乙丙线与丁戊线相遇于
　　戊故以丙丁小勾比乙丙
　　大勾戊丁小股比甲乙大股也
　　两余勾两破股小股求大勾大股法
　　式戊已丁丙两余勾各十二【相等】丙庚小破股六十己辛
　　火破股一百己丙小股八十问甲乙
　　勾几何乙丙股几何曰大勾三十六
　　大股一百二十术通曰以小股八十
　　乗余勾十二得九百六十为勾实以
　　小股八十乗小破股六十得四千八百为股实小破股六十与大破股一百相减余四十为法以法除勾实得二十四加余勾十二得三十六为大勾以法除股实得一百二十为大股
　　测髙逺式欲测甲乙之髙乙丙之逺用重表法先立丁丙表髙十尺却后立于戊去丙五尺目在己已戊髙四尺视表末丁与甲为直线次从前表丙却后十五尺立癸壬表亦髙十
　　尺【两表等】又却后立于子去壬八尺目在丑丑子亦髙四尺【两目等】从目视癸甲亦直线问甲乙髙几何乙丙逺几何曰髙四十尺逺二十五丈术以表髙十尺减目髙四尺余六尺即丁寅【癸辛等】与两表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺为髙实以两次人去表之己寅丑辛相减余卯辛三尺为法除髙实得甲辰三十尺加表髙十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺为逺实以法三尺除之得乙丙逺二十五尺
　　通曰丁丙癸壬两余勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也髙大勾也逺大股也
　　测深广式有甲乙丙丁壁立深谷欲测甲乙之广乙丙之深用重矩法先立辛甲表与甲丁参直又立癸己表两表甲巳相去六尺从辛甲表视己丙作直线截表于庚庚甲髙五尺又従辛甲表视辛癸丙作直线两表相较得辛壬髙八尺壬甲髙一丈五尺问深广各几何曰乙丙深二
　　十五尺甲乙广三十尺术以小表一丈五尺乗两表相去甲己六尺得九十尺为广实庚甲与辛壬相减余辛子三尺为法除广实得甲乙广三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺为深实以法三尺除之得乙丙深二十五尺
　　通曰甲巳癸壬两余勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也广大勾也深大股也
　　测髙逺式树二表各髙八尺南北相去二千里以测日影夏至之日南表影长六尺北表影差二寸问曰髙逺各几何曰髙八万里日下去南表六万里南表之端斜至日十万里术
　　二表两余勾也北表影南表影两破股也南北相去小股也日下去南表大股也日髙大勾也斜至曰也
　　测勾破勾两测股求大勾大股法
　　式丙丁测勾四十三二丙巳破勾十丙戊小测股十四
　　八丙壬大测股六十四八问大勾大
　　股各几何曰甲乙大勾二千五百乙
　　丙大股三千六百八十五二术通曰以测勾四十三二减破勾十余三十三二乗小测股十四八得四千九百一十三六为勾实以大测股六十四八乗破勾十得六千四百八十以测勾四十三二除之得十五为景差又以大测股六十四八减景差十五余四十九八以小测股十四八乗之得七千三百七十○四为股实以小测股减景差余二为法以法除勾实得二千四百五十六八加测勾四十三二得二千五百为大勾以法除股实得三千六百八十五二为大股
　　测广逺式方城不知大小立两表东西相去四十三步
　　二分齐人目处以索连之令东表与
　　城东南隅东北隅参直従东表退北
　　行去表十四步八分遥望城西北隅入索东端十步若从东表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅适与西表相参合问城方防何城去表几何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分术以两表相去减入索余三十三步二分以乗东表退行十四步八分得四千九百一十三步六分为广实以东表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以两表相去四十三步二分除之得一十五步为景差又以大退行六十四步八分减景差十五步余四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分为逺实以退行十四步八分减景差十五步余二分为法以法除广实得二千四百五十六步八分加两表相去四十三步二分得二千五百步为城方【西至束】以法除逺实得三千六百八十五步二分为城去表也
　　通曰城方大勾也城去表大股也两表相去测勾也入索破勾也小退行小测股也大退行大测股也
　　四余勾两破股小股破勾求上勾下勾大股法
　　式戊丁壬癸两大余勾皆一百五十庚辛子丑两小余勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百问上勾下勾大股
　　各防何曰甲乙上勾二百八十乙丙
　　下勾三百一十丙丁大股六千术通
　　曰以小股四千乗破勾五十六得二
　　十二万四千为上勾实以大余勾一
　　百五十减小余勾四十及破勾五十六余五十四乗小股四千得二十一万六千为下勾实以小破股一千五百与大破股二千五百相减余一千为法以法除上勾实得二百二十四加破勾五十六得二百八十为甲乙上勾以法除下勾实得二百一十六加大余勾一百五十得三百六十六减破勾五十六得三百一十为乙丙下勾又以大余勾减小余勾余一百一十乗小股得四万四千为大勾实以法除之得四百四十加大余勾得五百九十为甲丙大勾以小股乗小破股得六百万为大股实以法除之得六千为丙丁大股
　　通曰此测两髙与逺也与前两余勾两破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳两大余勾两表也两小余勾两人目至足也勾髙也股逺也
　　两测股两破勾测勾求大勾法
　　式丙丁测勾九百丙戊小测股六百丙庚大测股一千
　　三百五十己丙大破勾四百零二
　　辛丙小破勾一百二十问大勾防
　　何曰甲乙大勾三万术通曰以大
　　测股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四万二千七百以测勾九百除之得六百零三为景差以与小测股六百相减余三为法以小测股与大测股相减余七百五十又乗小破勾一百二十得九万为实以法除实得三万为甲乙大勾
　　通曰此测广也与前测勾破勾两测股求大勾大股法相同但多乙戊直线耳丙丁两表也戊庚两目望也勾广也
　　勾股互求髙深广逺图説

　　通曰直为髙深横为广逺勾可以为股股可以为勾以小知大以此知彼惟善测者善用之耳甲乙为股则乙丙为勾酉丙为股则甲酉为勾午丙为股则午庚为勾庚丑为股则丙丑为勾如求甲乙之髙金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之广日月作两表丙丁为目斜望用异乗同除三率之法髙深广逺虽分而合矣
　　附法
　　用矩尺测两广法
　　式登山临邑邑在山南不知广縦偃矩山上勾髙三尺
　　五寸与邑东南隅东北隅
　　参合从勾端望东北隅入
　　下股一丈二尺随于入股
　　处横设一矩从勾端望西
　　北隅入横股五尺若望东
　　南隅入下股一丈八尺又重设矩于上相去四丈从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广纵几何曰东西广二万寸南北广二万四千寸术以勾髙戊子三十五寸乗东南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸与勾髙戊子三十五寸相减余一寸为法以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减余六十寸以乗两矩相去丑子四百寸得二万四千寸为南北实以法除之得南北广以西北隅入横股辛已五十寸乗两矩相去丑子四百寸得二万寸为东西实以法除之得东西广
　　用矩尺测逺法
　　式欲测甲乙之逺先于甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊对乙成丁戊乙直线问甲乙逺几何曰八尺术须视矩丙对何处今对巳为丁丙己直线乃量己甲二尺为法表髙四尺自乗得十六尺为
　　实以除之得八尺为逺
　　用交表测逺法
　　式欲测乙戊之逺先立甲乙表后于庚斜加小表为丙丁以丁对戊为度成庚丁戊直线问乙戊逺几何曰八尺术须丙丁小表族转又于丁对
　　处已成庚丁已直线自乙至巳得八尺必与乙戊等
　　用表测斜髙法
　　式欲测甲至丙从丁视甲丙作直线丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺问甲丙斜髙几何曰十五尺术以丁乙八尺为法以丁甲十尺与乙戊十二尺相乗得一百二十为实以法除之得十五尺为甲
　　至丙也
　　器测【勾股之八】
　　矩度
　　甲丁与甲乙等甲丙斜分乙
　　丙为直景丁丙为倒景以甲
　　乙相对测际眼穿戊己两耳
　　与其际作直线视权线垂何
　　景何度也今止分十二度若
　　细分更精其两景别有论解
　　测髙法
　　权线垂丙式髙如己庚景在地平上为庚辛以矩度测之甲对己两耳与辛巳作直线权线垂丙为髙防何术凡权线垂丙者景与髙必等也今辛庚四十五尺则己庚亦四十五尺
　　权线垂直景边式髙如己庚景如庚辛权线垂乙丙边之戊乙戊八度庚辛景三十为髙防何术以表度十二与庚辛三十相乗得三百六
　　十为实以乙戊八度为法除之得四十五为己庚之髙权线垂倒景邉式髙如己庚庚辛景六十七五权线垂丁丙边之壬丁壬八度为髙防何术以庚辛与丁壬相乗得五百四十为实以表度
　　十二为法除之得四十五为己庚之髙
　　通曰髙大于景权线必垂直景边髙小于景权线必垂倒景边
　　测逺法
　　权线垂丙式髙如己庚景如庚辛权线垂丙为景防何
　　术己庚四十五则辛庚亦四十五
　　通曰景测髙以甲对髙髙测景以乙对景景逺也
　　权线垂直景邉式己庚髙四十五权线垂戊八度为庚辛景几何术以己庚与乙戊相乗得三百六十为实以表度十二为法除之得三十为庚
　　辛景
　　权线垂倒景邉式己庚髙四十五权线垂壬八度为庚辛景防何术以表度十二与己庚相乗得五百四十为实以丁壬八度为法除之得六十七五为庚辛景
　　以目测髙法
　　于矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿两耳向测处作直线为度也
　　权线垂丙式髙如己庚表如乙辛髙四尺表端人目从矩度乙甲视巳为直线权线垂丙为髙几何术乙壬四十五卽巳壬加表髙四尺得四
　　十九为己庚之髙
　　权线垂直景边式庚辛三十权线垂戊八度为己庚髙几何术以表度十二乗庚辛得三百六十为实以乙戊八度为法除之得己壬四十
　　五加表髙四得四十九为己庚之髙
　　权线垂倒景边式庚辛六十七五权线垂壬八度为己庚髙防何术以庚辛乗丁壬八度得五百四十为实以表度十二为法除之得己癸四十五加表髙四得四十九为己庚之髙
　　通曰地平线上任意前后至权线直丙而止较便
　　以目测逺法
　　权线垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲权线垂丙为逺几何术表髙甲巳四尺则己庚亦逺四尺也
　　权线垂直景边式甲已表髙四尺权线垂戊九度为己庚逺防何术以乙戊九度乗表髙四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺
　　即己庚之逺
　　权线垂倒景边式甲巳表髙四尺权线垂壬八度为己庚逺防何术以表度十二乗表髙四得四十八为实以丁壬八度为法除之得六尺即己庚之逺
　　通曰测髙目在矩之乙测逺目在矩之甲
　　以目测深法
　　权线垂丙式深如己壬目在甲视甲乙己辛为直线己庚口四尺权线垂丙为深几何术己壬与己庚等亦四尺也
　　通曰此不另用表而量己庚口者即口濶为表长是前用直表而此用横表也
　　权线垂直景边式己庚四尺权线垂戊六度为己壬深几何术以表度十二乗己庚四得四十八为实以乙戊六度为法除之得八尺即己
　　壬之深
　　权线垂倒景边式己庚四尺权线垂癸九度为己壬深几何术以丁癸九度乗己庚四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺即己壬之深
　　倒景变直景图说
　　通曰十二其十二得一百四十四以矩度为准也故一度变为一百四十四度以此一百四十四度为实以所值度为法除实即得变度也
　　度线皆起甲端渐移至丁
　　至乙各分十二也
　　通曰倒景过丙丁边抵丙
　　戊线则变为直景犹之直
　　景过乙丙边抵丙巳线则
　　变为倒景也倒景十一度
　　直景则为十三度一分倒
　　景十度直景则为十四度四分倒景九度直景则为十六度倒景八度直景则为十八度倒景七度直景则为二十度五分七厘倒景六度直景则为二十四度倒景五度直景则为二十八度八分倒景四度直景则为三十六度倒景三度直景则为四十八度倒景二度直景则为七十二度倒景一度直景则为一百四十四度也以直景推之亦然
　　重矩测髙法
　　通曰测髙而不知逺此求无股之勾也法皆用直景即权线在倒景边亦变为直景用之
　　皆直景式欲测己庚之髙先立乙辛表目在辛上乙权
　　线垂戊五度又立乙癸表目在癸上
　　乙权线垂子十度两表相去十尺表
　　髙四尺为髙防何术以两度相减余
　　五度为法以表度十二乗两表相去
　　十尺得一百二十为实以法除实得二十四尺即己至壬加表髙四尺得二十八尺为己庚之髙
　　通曰辛表为直景癸表或有倒景之时癸表为直景辛表无不直景矣
　　有倒景式欲测己庚之髙先立乙辛表权线垂戊十一度又立乙癸表权线垂子九度乃倒景也今变作直景为十六度两表相去二十尺表髙四尺为髙防何术以十六度减十一度余五度为法以表度十二乗两表相去
　　二十得二百四十为实以法除实得四十八尺即己至壬加表髙四尺得五十二尺为己庚之髙

　　数度衍卷七
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷八
　　桐城　方中通　撰
　　测圆【勾股之八】
　　李栾城测圆图
　　通曰圆于三隅之中
　　方于一圆之外规矩
　　井然而变化莫测故
　　规矩有定之方圆也
　　方圆无定之规矩也
　　名率
　　天地通六百八十　天干通股六百　干地通勾三百二十勾股和九百二十　勾股较二百八十　勾和一千　勾较三百六十　股和一千二百八十　股较八十　较和九百六十　较较四百　和和一千六百　和较二百四十
　　天川边五百四十四　天西边股四百八十　西川边勾二百五十六　勾股和七百三十六　勾股较二百二十四　勾和八百　勾较二百八十八股和一千○二十四　股较六百四十　
　　较和七百六十八　较较三百二十　和和一千二百八十　和较一百九十二
　　天山黄广五百一十　天金黄广股四百五十　金山黄广勾二百四十　勾股和六百九十　勾股较二百一十　勾和七百五十　勾较二百七十股和九百六十　股较六十　较和七百
　　二十　较较三百　和和一千二百　和较一　百八十
　　天月大差四百○八　天坤大差股三百六十　坤月大差勾一百九十二　勾股和五百五十二　勾股较一百六十八　勾和六百　勾较二百一十六　股和七百六十八　股较四十八　较和五百七十六　较较二百四十　和和九百六十　和较一百四十四
　　天日上髙二百五十五　天旦上髙股二百二十五旦日上髙勾一百二十　勾股和三百四十五
　　勾股较一百○五　勾和三百七十五　勾较一百三十五　股和四百八十　股较三十较和三百六十　较较一百五十　和和六百　和较九十
　　日地底四百二十五　日北底股三百七十五　北地底勾二百　勾股和五百七十五　勾股较一百七十五　勾和六百二十五　勾较二百二十五　股和八百　股较五十　较和六百较较二百五十　和和一千　和较一百五十
　　日川皇极二百八十九　日心皇极股二百五十五心川皇极勾一百三十六　勾股和三百九十一勾股较一百一十九　勾和四百二十五　勾
　　较一百五十三　股和五百四十四　股较三十四　较和四百○八　较较一百七十和和六百八十　和较一百○二
　　日山下髙　日朱下髙股　朱山下髙勾
　　通曰与上髙率同
　　日月明一百五十三　日南明股一百三十五　南月明勾七十二　勾股和二百○七　勾股较六十三　勾和二百二十五　勾较八十一　股和二百八十八　股较一十八　较和二百一十六　较较九十　和和三百六十　和较五十四
　　月地黄长二百七十二　月泉黄长股二百四十泉地黄长勾一百二十八　勾股和三百六十八勾股较一百一十二　勾和四百　勾较一百四十四　股和五百一十二　股较三十二较和三百八十四　较较一百六十　和和六百四十　和较九十六
　　月川上平一百三十六　月青上平股一百二十青川上平勾六十四　勾股和一百八十四　勾股较五十六　勾和二百　勾较七十二　股和二百五十六　股较一十六　较和一百九十二　较较八十　和和三百二十　和较四十八
　　月山太虚一百○二　月泛太虚股九十　泛山太虚勾四十八　勾股和一百三十八　勾股较四十二　勾和一百五十　勾较五十四　股和一百九十二　股较一十二　较和一百四十四　较较六十　和和二百四十　和较三十六
　　山地小差一百七十　山艮小差股一百五十　艮地小差勾八十　勾股和二百三十　勾股较七十勾和二百五十　勾较九十　股和三百
　　二十　股较二十　较和二百四十　较较一百　和和四百　和较六十
　　山川軎三十四　山东軎股三十　东川軎勾一十六　勾股和四十六　勾股较一十四　勾和五十　勾较一十八　股和六十四　股较四较和四十八　弦较较二十　和和八十
　　和较一十二
　　川地下平　川夕下平股　夕地下平勾
　　通曰与上平率同
　　诸式
　　勾上容圆式【勾当圆径之中】西川边勾二百五十六天西边股四百八十求圆径术勾股相乘得十二万二千八百八十倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求得五百四十四以并股得一千○二十四为法除实得二百四十为圆径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　股上容圆式【股当圆径之中】北地底勾二百日北底股三百七十五求圆径术勾股相乗得七万五千倍之得十五万为实勾股求得四百二十五以并勾得六百二十五为法除实得径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　上容圆式【当圆径之中】坤干等黄长股二百四十干艮等黄广勾二百四十求圆径术勾股相乗得五千七百六十倍之得一万一千五百二十为实勾股和得四百八十为法除实得径　坤艮
　　大图无
　　勾外容圆式【圆在勾外】坤月大差勾一百九十二天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗得六万九千一百二十倍之得十三万八千二百
　　四十为实勾股求得四百○八以并勾股较一百六十八得较和五百七十六为法除实得径即较较二百四十也
　　股外容圆式【圆在股外】艮地小差勾八十山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得二万四千为实勾股求减勾股较得较较一百为法除实得径即较和二百四十也以加勾股
　　较亦得较和
　　外容圆式【圆在外】巽月等太虚勾四十八巽山等太虚股九十求圆径术勾股相乗倍之得八千六百四十为实勾股求减勾股和余
　　和较三十六为法除实得径即和和也以加勾股和亦得和和
　　勾股上容圆式【勾股角在圆心】心川皇极勾一百三十六日心皇极股二百五十五求圆径术勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实勾股求
　　得二百八十九为法除实得径
　　勾外容半圆式南月明勾七十二日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗倍之得一万九千四百四十为实勾股求与勾相减余勾
　　较八十一为法除实得径若不倍为实即除得一百二十为半径
　　股外容半圆式东川軎勾十六山东軎股三十求圆径术勾股相乗得四百八十为实勾股求与股相减余股较四为法除实得半径
　　倍得全径
　　两勾中夹容圆式干地通勾三百二十坤月大差勾一百九十二求圆径术二勾乗得六万一千四百四十为实二勾相并折半得二百五
　　十六为法除实得径
　　两股夹容圆式天干通股六百山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得九万为实二股相并折半得三百七十五为法除实得径
　　大勾小勾容圆式干地通勾三百二十南月明勾七十二求圆径术二勾乗得二万三千○四十为实以明勾七十二为従方开之【详少广】得
　　半径倍得全径
　　大股小股容圆式天干通股六百山东軎股三十求圆径术二股乗得一万八千为实以軎股三十为从方开之得半径
　　大勾小余勾容圆式干地通勾三百二十东川軎勾十六求圆径术倍軎勾减通勾余二百八十八以乗通勾得九万二千一百六十为实
　　四因通勾得一千二百八十与两軎勾三十二相减余一千二百四十八为从方四为隅法用负隅减从开平方法除之【详少广】得半径
　　大股小余股容圆式天干通股六百日南明股一百三十五求圆径术倍明股减通股余三百三十以乗通股得十九万八千为实三因通股得一千八百与两明股二百七十相减余一千五百
　　三十为从方作带从开平方法除之【详少广】得半径大勾中勾容圆式干地通勾三百二十西川边勾二百五十六求圆径术倍边勾减通勾余一百九十二乗通勾得六万一千四百四十为
　　实以边勾为法除得径
　　大股中股容圆式天干通股六百白北底股三百七十五求圆径术倍底股减通股余一百五十乗通股得九万为实以底股为法除得径
　　两半勾容圆式南月明勾七十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得一万四千四百为实即半径幂平方开之得半径
　　两半股容圆式山东軎股三十天西边股四百八十求圆径术二股乗得一万四千四百为实平方开之得半径
　　【小】勾半勾容圆式坤月大差勾一百九十二北地底勾二百求圆径术二勾乗得三万八千四百为实以底勾二百为从方作带从开平方
　　法除之得半径
　　小股半股容圆式天西边股四百八十山艮小差股一百五十求圆径术二股乗得七万二千为实以边股四
　　百八十为从方开之得半径

　　半勾余勾容圆式东川軎勾十六北地底勾二百求圆径术軎勾自乗得二百五十六为軎勾幂二勾相减余一百八十四为二勾较又自
　　乗得三万三千八百五十六为较幂与軎勾幂相减余三万三千六百为实倍底勾得四百为从方作减从开平方法除之【详少广】得半径
　　半股余股容圆式天西边股四百八十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余三百四十五自乗得十一万九千○二十五为较幂
　　明股自乗得一万八千二百二十五为明股幂二幂相减余一十万○八百为实倍边股得九百六十为益从作减从开平方法除之【益从者长濶和也详少广】得半径
　　又半勾余勾容圆式东川軎勾十六南月明勾七十二求圆径术二勾相减余自之得三千一百三十六軎勾自之得二百五十六相减余
　　二千八百八十为实倍明勾得一百四十四为益从作减从翻法开平方法除得半径
　　又半股余股容圆式山东軎股三十日南明股一百三十五求圆径术二股相减余自之得一万一千○二十五明股自之得一万八千二
　　百二十五相减余七千二百为平实倍軎股得六十为从方作以从减隅开平方法除得半径或作添积従开平方法亦可【详少广】
　　错互求容圆式天川边五百四十四日地底四百二十五求圆径术二相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一底自之得十八万○六百二十五相减余十六万六千四
　　百六十四为平实倍边得一千○八十八为从方作带従开平方法除得平一百三十六即皇极勾以减底余二百八十九即皇极以皇极勾求出皇极股二百五十五与皇极勾相乗得三万四千六百八十以皇极为法除之得半径
　　又式天山黄广五百一十月地黄长二百七十二求圆径术并二半之自乗得十五万二千八百八十一半黄广自之半黄长自之相并得八万三千五百二十一与十五万二千八
　　百八十一相减余六万九千三百六十为平实并二得七百八十二为益従作减従开平方法除得一百○二即太虚以减黄广余为皇极较和以太虚减黄长余为皇极较较又以黄长减皇极较和余一百三十六为皇极勾半黄广为黄极股以皇极勾股求通圆径【即前勾股上容圆式】
　　两容圆式日月明一百五十三山川軎三十四求圆径术二相乗倍之得一万○四百○四为实平方开之得一百○二即太虚
　　加軎为皇极勾加明为皇极股以皇极勾股求通圆径
　　全勾半股容圆式干地通勾三百二十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得三十万○七千二百为实倍边股并通勾得一千
　　二百八十为法除得径
　　全股半勾容圆式天干通股六百北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得二十四万为实倍底勾并通股得一千为法除得径
　　大勾余股容圆式干地通勾三百二十天坤大差股三百六十求圆径术勾股乗得十一万五千二百为实倍大差股得七百二十为从作
　　减从开平方法除得径又术勾股相乗倍之为实倍大差股为从作带从开平方法除得径
　　大股余勾容圆式天干通股六百艮地小差勾八十求圆径术勾股相乗倍之得九万六千为实倍小差勾得一百六十为从又带从开平方法除得径

　　又大勾余股容圆式干地通勾三百二十日南明股一百三十五求圆径术通勾自之乗明股得一千三百八十二万四千为立实倍明股
　　乗通勾得八万六千四百为从方二为隅法作带从负隅开立方法【详少广】除得半径
　　又式干地通勾三百二十山东軎股三十求圆径术勾股乗得九千六百为实以通勾为从方二为隅算作减
　　从负隅翻法开平方法除得半径

　　又大股余勾容圆式天干通股六百东川軎勾十六求圆径术通股自之乗軎勾得五百七十六万为立实倍軎勾乗通股得一万九千二
　　百为从方二为隅法作带从负隅开立方法除得半径又式天干通股六百南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三千二百为实以通股为从方二为隅法作带从负隅开平方法除得半径
　　半勾半股容圆式天西边股四百八十北地底勾二百求圆径术勾股乗得九万六千为实勾股并得六百八十为从方二为隅算作负隅
　　减从开平方法除得半径
　　截勾截股容圆式坤西等上平股一百二十北艮等下髙勾一百二十求圆径术勾股乗得一万四千四百为实平方开之得半径
　　通曰此与前上容圆式坤艮之必穿圆心乃可测算
　　半勾外股容圆式天坤大差股三百六十北地底勾二百求圆径术勾股相乗倍之得十四万四千为实以大差股为从方作带从开平方
　　法除得径
　　半股外勾容圆式艮地小差勾八十天西边股四百八十求圆径术勾股相乗倍之得七万六千八百为实以小差勾为从方作带从开平
　　方法除得径
　　余勾半股余股半勾容圆式西外八步外行四百九十五步北外十五步外行二百○八步求圆径术以西外八并北外行二百○八得二百一十六为两勾和西外行四百
　　九十五并北外十五得五百一十为两股和以西外行乗两勾和得十万○六千九百二十为股乗勾幂以西外乗两股和得四千○八十为勾乗股幂两幂相减余十万○二千八百四十为勾股维乗差自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乗方实西外行四百九十五内减去两回西外共十六余四百七十九与北外行二百○八相减余二百七十一为股减勾差北外行二百○八内减去两回北外共三十余一百七十八与西外行四百九十五相减余三百一十七为勾减股差二差相减余四十六以乗勾股维乗差得四百七十三万○六百四十为従方二差相乗得八万五千九百○七为二差幂两勾和与两股和相乗得十一万○一百六十为二和幂倍二和幂得二十二万○三百二十倍勾股维乗差得二十万○五千六百八十以并二差幂得五十一万一千九百○七为従一亷四回两勾和共八百六十四两回股减勾差共五百四十二相并得一千四百○六为从二亷作带从方亷开三乗方法【详少广】即得半径
　　半勾余股容圆式日南明股一百三十五北地底勾二百求圆径术底勾自乗又乗明股得五百四十万又四因得二千一百六十万为立
　　方实以明股为従亷作带从亷立方开之得径【详少广】半股余勾容圆式东川軎勾十六天西边股四百八十求圆径术边股自乗又乗軎勾得三百六十八万六千四百又四因得一千四百七十四万五千六百为立实以軎勾为从亷作带从亷立
　　方开之得径
　　半勾小股容圆式北地底勾二百山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗又乗小差股得四百五十万为实勾股相减余五十又乗小
　　差股得七千五百加勾股相乗得三万七千五百为法除实得半径又术勾股相乗为实倍底勾减小差股余为法除实得半径
　　又式北地底勾二百山东軎股三十求圆径术勾股乗得六千为平实勾股减余一百七十为従方作减従翻法开平方法得半径
　　半股小勾容圆式天西边股四百八十坤月大差勾一百九十二求圆径术勾股相乗又乗大差勾得一千七百六十九万四千七百二十
　　为实勾股减余二百八十八又乗大差勾得五万五千二百九十六加勾股相乗得十四万七千四百五十六为法除得半径　前式又术亦可用
　　又式天西边股四百八十南月明勾七十二求圆径术勾股乗得三万四千五百六十为实勾股减余四百○八为从方作减従开平方法
　　得半径
　　小勾小股容圆式坤月大差勾一百九十二山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式南月明勾七十二山东軎股三十求圆径术勾股乗得二千一百六十为实勾股并得一百○二为从作
　　以従减法翻法开平方法得半径

　　外勾外股容圆式艮地小差勾八十天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乗倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式东川軎勾十六日南明股一百三十五求圆径术勾股相乗又自乗得四百六十六万五千六百为三乗方实勾股相乗倍之得四千
　　三百二十又乗勾股相并得六十五万二千三百二十为从方勾股相并自之得二万二千八百○一勾股相减余自之得一万四千一百六十一两自之之数相减余八千六百四十为益亷作带従亷添积开三乗方法除之【详少广】得半径
　　大勾半容圆式干地通勾三百二十日地底四百二十五求圆径术勾相减余一百○五为勾差以乗通勾得三万三千六百又
　　乗半通勾一百六十得五百三十七万六千为立实半通勾乗通勾得五万一千二百与差乗通勾三万三千六百相减余一万七千六百为従方倍通勾得六百四十为益亷作带従减益亷开立方法除之【详少广】得半径又式干地通勾三百二十月地黄长二百七十二求圆径术勾相减余四十八为勾差倍差倍通勾相乗得六万一千四百四十为
　　平实倍差倍通勾相并得七百三十六为益従二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得径又术倍差乗通勾为实差并通勾为从作减从开平方除之得径大股半容圆式天干通股六百天川边五百四十四求圆径术股相减余五十六为差以乗通股得三万三千六百又乗半通股得
　　一千○八万为立实半通股乗通股得十八万与差乗通股三万三千六百相并得二十一万三千六百为从方倍通股得一千二百为从亷作以从亷减从方翻法开立方法除之得半径　以従亷添积开立方亦可【详少广】
　　又式天干通股六百天山黄广五百一十求圆径术股相减余九十为差倍差倍通股相乗得二十一万六千为平实倍差倍通股相并得一千三百八十为从二为隅法作减从负隅翻法
　　开平方法除之得径又术同前
　　大勾外容圆式干地通勾三百二十山地小差一百七十求圆径术勾乗得五万四千四百通勾自之得十万○二千四百以相减余倍之得九万六千为实倍通勾得六百四十为从方
　　作减从开平方法除之得径
　　大股外容圆式天干通股六百天月大差四百○八求圆径术股乗得二十四万四千八百通股自之得三十六万以相减余倍之
　　得二十三万○四百为实倍通股得一千二百为従方作减从开平方法除得径义术股相乗通股自乗相减不必倍即以所余十一万五千二百为平实二为隅法作负隅开平方法亦可
　　大勾截容圆式干地通勾三百二十川地下平一百三十六求圆径术勾相减余一百八十四为差倍差减通勾余乗通勾得一万五
　　千三百六十为平实又倍差得三百六十八为从方二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径大股截容圆式天干通股六百天日上髙二百五十五求圆径术股相减余三百四十五为差倍差减通股余九十以乗通股得五
　　万四千为平实倍差为从方二为隅算作负隅减从开平方法除之得半径
　　大勾中容圆式干地通勾三百二十日川皇极二百八十九求圆径术勾乗得九万二千四百八十为勾乗幂又自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乗方实皇极自
　　之得八万三千五百二十一以乗通勾得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方倍勾乗幂得十八万四千九百六十为从一亷倍皇极得五百七十八为从二亷二为隅算作以亷隅减従开三乗方法除之【详少广】得皇极勾一百三十六以皇极勾求股得皇极股二百五十五勾股相乗倍之得六万九千三百六十为实以皇极为法除得径
　　又式干地通勾三百二十日山下髙二百五十五求圆径术勾相乗又乗半通勾得一千三百○五万六千为立方实勾相乗得八
　　万一千六百与半通勾乗通勾得五万一千二百相并得十三万二千八百为从方通勾三百二十为従亷作以亷减从开立方法【详少广】除得半径
　　大股中容圆式天干通股六百日川皇极二百八十九求圆径术股相乗又自之得三百亿○六千七百五十六万为三乗方实皇极自之为幂以乗通股又倍之得一亿○二十二万
　　五千二百为从方股相乗倍之得三十四万六千八百为从一亷倍得五百七十八为从二亷二为隅算作带从负隅以二亷隅添积开三乗方除之得皇极股二百五十五勾股相乗倍为实以皇极为法除得径又式天干通股六百月川上平一百三十六求圆径术股相乗又乗半通股得二千四百四十八万为立实半通股乗通股并通股与
　　平相乗八万一千六百得二十六万一千六百为従方通股六百为従亷以亷减从开立方除之得半径大勾小容圆式干地通勾三百二十月山太虚一百○二求圆径术通勾自之为幂倍太虚乗之得二千○八十八万九千六百为
　　立实倍太虚乗通勾又加倍通勾幂得二十七万○八十为従方四通勾得一千二百八十为従亷四为隅算作带从半翻法减从负隅开立方法除之【详少广】得半径又术通勾自之与太虚相乗半之为立实勾相乗加通勾自乗半之为从方通勾为从亷作以亷减従开立方法除之得半径
　　大股小容圆式天干通股六百月山太虚一百○二求圆径术通股自之乗太虚又倍之得七千三百四十四万为立实倍通股乗太虚得十二万二千四百通股自之又倍得七十二
　　万相并得八十四万二千四百为从方四通股得二千四百为从亷四为隅算作带从负隅以亷减从开立方法除之得半径　用添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十山川軎三十四求圆径术通勾自之为幂又乗通勾得三千二百七十六万八千与倍軎乗
　　通勾幂得六百九十六万三千二百相减余二千五百八十万○四千八百为立实軎乗通勾得一万○八百八十倍通勾幂得二十万○四千八百相减余十九万三千九百二十为従方通勾加半通勾得四百八十为从亷半数为隅算作带従以亷添积开立方法除之得径　以亷减従亦可
　　又大股小容圆式天干通股六百日月明一百五十三求圆径术通股自之为幂又乗通股得二亿一千六百万与倍明乗通股幂
　　得一亿一千○一十六万相减余一亿○五百八十四万为立实倍通股幂得七十二万倍明乗通股得十八万三千六百相减余五十三万六千四百为从方六通股得三千六百为从亷六为隅算作负隅减从以亷益从开立方法除之得半径　以隅添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十日月明一百五十三求圆径术通勾自之为幂勾相乗为勾乗幂二幂相乗得五十亿○
　　一千三百五十万○四千为三乗方实明乗通勾幂又三之得四千七百万○一千六百为从方倍勾乗幂与通勾幂相减余四千四百八十为从一亷倍通勾得六百四十为从二亷二为隅法作带从负隅以二亷减从开三乗方法除之【详少广】得半径
　　又大股小容圆式天干通股六百山川軎三十四求圆径术股相乗又乗通股幂得七十三亿四千四百万为三乗方实軎乗通股幂又三之得三千六百七十二万为从方倍股相
　　乗减通股幂余三十一万九千二百为从一亷倍通股为从二亷二为隅算作带従方亷负隅以二亷减从开三乗方法除之得半径
　　大半勾容圆式天地通六百八十北地底勾二百求圆径术勾减余四百八十为差勾并得八百八十为和差和相乗得四十二
　　万二千四百与差自乗二十三万○四百相减余十九万二千为实差和并得一千三百六十为从二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　大半股容圆式天地通六百八十天西边股四百八十求圆径术股减余二百为差股并得一千一百六十为和差和相乗得二
　　十三万二千与差自乗四万相减余十九万二千为实差和相并得一千三百六十为从方二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　半半勾容圆式月地黄长二百七十二北地底勾二百求圆径术勾减余七十二为差乗底勾得一万四千四百为半径幂四之为
　　全径幂平方开得径
　　半半股容圆式天山黄广五百一十天西边股四百八十求圆径术股减余三十为差乗边股得一万四千四百平方开之得半径
　　外半勾容圆式山地小差一百七十北地底勾二百求圆径术勾减余三十为差乗底勾得六千为实小差为従作减从翻法开平
　　方法除得半径
　　外半股容圆式天月大差四百○八天西边股四百八十求圆径术股减余乗边股得三万四千五百六十为实大差为従作减
　　从开平方法除得半径
　　截半勾容圆式川地下平一百三十六北地底勾二百求圆径术倍勾相减余一百二十八减底勾余七十二又乗底勾得一万四
　　千四百平方开之得半径又术倍平减底勾余七十二乗底勾亦同
　　截半股容圆式天日上髙二百五十五天西边股四百八十求圆径术倍髙减边股余三十乗边股得半径幂平方开得半径又术
　　股减余自之得上髙股幂髙自之得幂二幂相减开其余为上髙勾即半径
　　小半勾容圆式山川軎三十四北地底勾二百求圆径术底勾内减二軎余一百三十二乗底勾得二万六千四百又以軎幂二
　　千一百五十六乗得三千○五十一万八千四百为三乗方实倍底勾乗軎幂得四十六万二千四百为从方勾相减差自之得二万七千五百五十六为従一亷勾相减差倍之得三百三十二为从二亷作带从方亷以二亷减从开三乗方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求径【即前股外容半圆也】
　　小半股容圆式日月明一百五十三天西边股四百八十求圆径术边股内减二明余一百七十四乗边股得八万三千五百二十
　　又以明幂二万三千四百○九乗得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乗方实明幂乗边股又倍之得二千二百四十七万二千六百四十为従方股减余自之得十万○六千九百二十九为从一亷股减余倍之得六百五十四为从二亷作带方亷以二亷减从开三乗方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】
　　又小半勾容圆式日山下髙二百五十五北地底勾二百求圆径术底勾自之为幂乗髙得一千○二十万为立实底勾幂为从方髙为従亷作带从方亷
　　开立方法除得半径

　　又小半股容圆式月川上平一百三十六天西边股四百八十求圆径术边股自之为幂乗平得三千一百三十三万四千四百为
　　立实边股幂为从方平为从亷作带従方亷开立方法除得半径
　　通曰右式与上髙同此式与下平同
　　又小半勾容圆式日月明一百五十三北地底勾二百求圆径术半底勾乗明得一万五千三百为平实勾相并半之得一百七十六为从方半为隅算作带従负隅开平方法除之得
　　明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】又小半股容圆式山川軎三十四天西边股四百八十求圆径术半軎乗边股得八千一百六十为实股并半之得二百五十七
　　为从方半为隅法作带従负隅开平方法除之得軎股乗边股得半径幂
　　半小勾容圆式月地黄长二百七十二坤月大差勾一百九十二求圆径术倍大差勾与黄长相减余一百一十二为差自之得一万二千五百四十四与黄长幂相减余六万一千四
　　百四十为实四差得四百四十八为从八为益隅作以带从减隅开平方法除得半径
　　半小股容圆式天山黄广五百一十山艮小差股一百五十求圆径术倍小差股与黄广相减得差二百一十自之得四万四千一百与黄广幂相减余二十一万六千为实四差得八
　　百四十为从八为隅作以隅减从开平方法除得半径小截勾容圆式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圆径术勾相减差自之得四千○九十六与上平幂相减余一万四
　　千四百即半径幂半径即平股也
　　小截股容圆式日山下髙二百五十五山东軎股三十求圆径术股减余自之得五万○六百二十五为髙股幂又与髙幂相减余一万四千四百即半径幂半径即髙勾也
　　又小截勾容圆式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圆径术勾减余倍之乗明勾得四千三百二十为实又倍实得八千六百四十与太虚幂相减余一千七百六十四平方开
　　之得四十二为太虚勾股较以较为从开其实得四十八为太虚勾加较为股并为和和即径
　　又小截股容圆式月山太虚一百○二山东軎股三十求圆径术股相减余乗軎股又四之得八千六百四十与太虚幂相并得
　　一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加太虚即径二百四十

　　数度衍卷八
　　钦定四库全书
　　数度衍卷九
　　桐城　方中通　撰
　　方圆【少】广【之一】
　　诸率
　　通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有余径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率
　　无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已
　　通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之为五十开方则七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今
　　方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
　　通曰此亦勾股也中径为股半
　　面为勾各自乘并为四十八二五
　　开方则七不足矣今三角以六七
　　为率面求径以径六乘面以面七
　　除之径求面以面七乘径以径六
　　除之
　　方内容圆圆内容方率説

　　通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万

　　重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论
　　通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别録焉
　　方内容圆法
　　方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四
　　十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】
　　圆内容方法
　　圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积【详后】得一百四十七以减方积余四十七为羃积
　　立方内容立圆法
　　立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六
　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减余一千七百九十二为立庇积【九乘十六除説见后】
　　立圆内容立方法
　　立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立
　　羃积各几何曰立方积一千七百
　　七十一五六一立羃积九百九十
　　一九九九术通曰以立圆径十七
　　用径求积法【详后】得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减余九百九十一九九九为立羃积
　　通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算
　　平方求积法【即开平方之还原也】
　　径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积
　　周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积
　　平圆求积法【即开平圆之还原也】
　　径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合【三乘四除説见后】
　　周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积【十二除説见后】周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积
　　通曰此与三乘四除同径一周三故也
　　半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七【三除説见后】
　　半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七【三乘説见后】
　　半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七
　　通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘
　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
　　通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积
　　又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也
　　通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也
　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一
　　也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也
　　立方求积法【即开立方之还原也】
　　径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积
　　立圆求积法【即开立圆之还原也】
　　径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积
　　通曰立圆径自乘再乘乃立圆外之立方积也九回立方积即十六回立圆积故以九乘十六除也立圆周自乘再乘乃二十七回立方积也即四十八回立圆积故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求积之不用二十七乘者周巳大于径三回故不用三回九之二十七乘也
　　方环求积法
　　外方内方求环积式外方甲乙二十内方丙丁一十为环积几何曰积三百术以甲乙二十自乘得四百为庚辛乙甲全积以丙丁一十自乘得
　　一百为壬癸丁丙内积二积相减余三百为庚壬丙甲环积又术以甲乙二十并丙丁一十为三十倍之得六十为通环之长以丙丁减甲乙余一十折半得五即丁至巳为环濶以濶乘长得三百为环积
　　通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并为一百二十折半得六十亦合环长
　　圆环求积法
　　外周内周求环积式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四为环积几何曰积一百四十四术以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二为甲
　　乙戊己全积以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八为丙庚丁辛内积二积相减余一百四十四为甲丙戊庚环积又术以外周三折得全径十六以内周三折得内径八两径相减余八折半得四即甲至丙为环濶以三乘濶得十二减外周余三十六为通环之长以濶乘长得一百四十四为环积内周外周求环径式【即环濶也】术以外周四十八减内周二十四余二十四以六除之得四为环径即甲至丙内周环径求外周式术以六乘环径四得二十四并内周二十四得四十八为外周
　　外周环径求内周式术以六乘环径四得二十四减外周四十八余二十四为内周
　　通曰圆以六包一故用六乘六除也【详外包】
　　四破合环法
　　四破之一求去内外角成环式欲于丑寅大直角方形
　　内成圆环外周切方边内周
　　六问于甲丙小直角方形内
　　去内角外角各几何曰内角
　　去乙巳一外角去庚丁二术
　　通曰先于甲丙形用方斜率
　　法求得乙至丁为七乙至丙
　　为五乃以三除内周六得二为内径半之得一为半径即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内减等乙巳之乙戊一尚存戊丙四为环濶又于乙丁斜七减内角乙己一又减等戊丙之己庚四尚余庚丁二是为外角应去者也甲丙形为一破加丑乙子乙寅乙三破而环成矣故曰四破合环
　　二破至九破率説
　　通曰以前式四破之一为率二破得率二分之四益率
　　二分之二而成二破之一也三
　　破得率三分之四益率三分之
　　一而成三破之一也五破得率
　　五分之四损率五分
　　之一而成五破之一
　　也六破得率六分之
　　四损率六分之二而
　　成六破之一也七破
　　得率七分之四损率
　　七分之三而成七破
　　之一也八破得率八
　　分之四损率八分之
　　四而成八破之一也九破得率九分之四损率九分之五而成九破之一也万亿皆然葢四破得方圆四分之一故以四破为率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈细也至彼此互变皆以率通或五变六或八变七以所变之六七为法分其应变之五八一破多益少损无不适合
　　合破成立圆法
　　式欲成子丑立圆形为破几何术通曰以圆周剖之周大则剖多周小则剖少以剖后之一破腰无圆形而止
　　也如以子丑圆周剖为三十二破一
　　破如丙丁甲乙形甲乙平而不圆矣
　　又以丙丁甲乙剖为二如丙甲乙甲
　　乙丁两形而两形必等则三十二其
　　丙丁甲乙形而成立圆六十四其丙甲乙形亦成立圆也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
　　方内容弧矢六角八角法
　　直方内容弧矢形式方长十四方阔七问弧内积二角余积各几何曰弧内积七十三五二角余积二十四五术方长十四即方阔七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
　　七十三五为弧内积方长十四方阔七相乘得九十八为全积以减弧内积余二十四五为二角积折半得十二二五为一角积
　　通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角积
　　直方内容六角形式方长二十方阔十八六角面十问六角内积四角余积各几何曰六角内积二百七十四角余积九十术以方长二十减六角半面五余十五以方阔十八乘之得二百
　　七十为六角内积以角外余长五折半得二五乘角外余阔九得二十二五为一角积以四乘之得九十为四角积
　　通曰以余长五余阔九相乘得四十五倍之得九十亦合四角积
　　方内容八角形式八角面七问八角内积四角余积各几何曰八角内积二百三十九四角余积五十术以五乘八角面七得三十五以七除之得五为角外余方倍之得十为上下两余方加八角面七得十七为大方面自乘得二百八
　　十九为全积以角外余方五自乘得二十五倍之得五十为四角积以减全积余二百三十九为八角内积通曰以余方五自乘得二十五折半得十二五为一角积此式乃斜求方也四隅角面即方斜余方即方斜面故用五乘七除
　　方内容小圆法
　　式余积二千四百圆边离方边十问方面圆径各几何曰方面六十圆径四十术以离边十自乘得一百以三乘得三百加余积二千四百得二千七百为实以六乘离边十
　　得六十为从方用带从开平方法除之得三十【详十二卷】倍之得六十为方面以方面减两离边二十余四十为圆径
　　圆内容小方法
　　式余积七十二离边三问圆径方面各几何曰圆径十二方面六术以离边三自乘得九以四乘之得三十六倍余积得一百四十四相并得一百八十为实以离边三乘八
　　得二十四为纵方用带纵开平方法除之得六【详十二卷】为半径倍之得十二为圆径以圆径自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以减余积七十二余三十六平方开之得六为方面
　　又式圆径九歩七分五厘离边三歩问内方积上下大弧积左右两直方积左右两小弧积各几何曰内方积十四歩○六厘二毫五丝大弧积各十八歩直方积各九歩八分四厘三毫七丝五忽小弧积各七分七厘三毫四丝
　　三忽七微五纎术以圆径折半得四歩八分七厘五毫自乘得二十三歩七分六厘五毫以半径减离边余一歩八分七厘五毫自乘得三歩五分一厘五毫两自乘相减余二十歩○二分五厘平方开之得四歩五分倍之得九歩为大弧用弧矢法【详后】得弧积十八歩以圆径减两离边余内方面三歩七分五厘自乘得十四歩○六厘二毫五丝为内方积以大弧九歩减内方面三歩七分五厘余五歩二分五厘折半得二歩六分二厘五毫为直方濶与内方面【即直长方】相乘将九歩八分四厘三毫七丝五忽为直方积内方面即小弧以圆径减大弧九歩余七分五厘折半得三分七厘五毫为小弧矢用弧矢法得小弧积七分七厘三毫四丝三忽七微五纎以大弧积倍之得三十六歩以直方积倍之得十九歩六分八厘七毫五丝以小弧积倍之得一歩五分四厘六毫八丝七忽五微以诸倍数与内方积十四歩○六厘二毫五丝相并得七十一歩二分九厘六毫八丝七忽五微为全圆之积
　　圆内容锭形法
　　式圆径十四问锭内积两榄余积各几何曰锭内积一
　　百两榄余积四十八术以五乘圆
　　径十四得七十以七除之得十卽
　　圆内容方边自乘得一百即容方
　　积即锭内积也以圆径十四减容
　　方边十余四即榄腰濶折半得二
　　加容方边十得十二乘腰濶四得四十八即两榄积又术以锭长十四【即圆径】自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百为锭积
　　通曰圆内容锭与圆内容方等者何也葢截方两腰之半补上下而成锭截锭上下之等半腰者补两腰而成方也故圆径即锭长锭斜即圆径戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方边也故用五乘七除此斜求方耳以圆径求积得一百四十七今两积合为一百四十八而多一者葢榄长即容方边自乘百内多一也锭长自乘而加二者葢百内少二斜求积之差也
　　大平方内容小平圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆九积空成圆三共积圆十二术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九即为积圆九也用前方内容圆法毎一小圆得内积一百四十七为圆实得庇积四十九为庇实以积圆九乘庇实得四百四十一
　　为隅空以圆实除隅空得三即为积空成圆三也加积圆九得十二即为共积圆十二也
　　大立方内容小立圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆二十七积空成圆二十一共积圆四十八术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
　　得二十七即为积圆二十七也用前立圆求积法毎一小立圆得内积一千五百四十三五为圆实以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七万四千○八十八为全方实以积圆二十七乘圆实得四万一千六百七十四五为全圆实以全圆实减全方实余三万二千四百一十三五为隅空以圆实除隅空得二十一即为积空成圆二十一也加积圆二十七得四十八即为共积圆四十八也
　　通曰前式三分益一也圆居方四分之三庇居方四分之一则庇必居圆三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圆居立方十六分之九立庇居立方十六分之七则立庇必居立圆九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
　　大平圆内容小平圆求积法
　　式大圆径十二容积圆七小圆径四问积空成圆共积圆各几何曰积空成圆二共积圆九术通曰以大圆径十二用前平圆求积法得全积一百○八为全圆实以小圆径四亦如
　　法得内积十二以乘积圆七得八十四为小圆实二实相减余二十四为隅空以内积十二除隅空得二即为积空成圆二也加积圆七得九即为共积圆九也
　　大立圆内容小立圆求积圆法
　　式大立圆径十二容积立圆十五小立圆径四问积空成立圆共积立圆各几何曰积空成立圆十二共积立圆二十七术通曰以大立圆径十二用前立圆求积法得全积九百七
　　十二为全立圆实以小立圆径四亦如法得内积三十六以乘积圆十五得五百四十为小立圆实二实相减余四百三十二为隅空以内积三十六除隅空得十二即为积空成立圆十二加积立圆十五得二十七即为共积立圆二十七也【按大立圆径十二小立圆径四必不能容十五设题未合】通曰此二式不可为率隅空不等故耳近边则空多近中则空寡若不论小形而论大小形之积实则凡大形内容小形者先求大形之全积为实次求小形之内积为法以法除实皆得其积若干小形之数也
　　弧矢【少广之二】
　　弧矢解
　　弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一与一矢以矢乘积倍之适得一一矢之数因未知矢故以积自乘为实约一度乘积以为上廉两度乘径以为下廉并之为法而后可以得矢也用三乘者何也积本平方以倍积自乘是两度平方矣故用三乘方法开之上廉下廉俱用四乘者何也倍积则乘出之数为积者四故也如不倍积廉不用四乘以一二五为隅法亦通减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢也或不减径作添积三乘方法亦通五为负隅者何也凡平圆之积得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意也
　　圆径截积求矢法
　　式圆径十三截积三十二问矢各几何曰矢四十二术倍截积三十二得六十四自乘得四千零九十六为实以四乘截积三十二得一百二十八为上廉以四乘圆径十三得
　　五十二为下廉以五为负隅用开三乘方法除之【详十四卷】得四为矢倍截积得六十四以矢除之得十六减矢余十二为
　　弧积离径求矢弧背圆径半径法
　　式弧积一百二十八离径五问矢背圆径半径各几何曰矢八二十四弧背二十九零圆径二十六半径十三术以弧积一百二十八为实倍弧积得二百五十六平方开之得十六为法以法除实得八为矢以矢加法十六得二十四为以矢自
　　乘得六十四以二十四除之得二六零为半与背之差倍之得五零加二十四得二十九零为弧背以折半得十二自乘得一百四十四为实以矢八为法除得十八加矢得二十六为圆径折半得十三为半径即离径五与矢八相并也
　　矢求弧积式术矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八为弧积又术矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之为弧积
　　矢弧积求式术倍弧积得二百五十六以矢八除之得三十二减矢余二十四为
　　弧积求矢式术倍弧积得二百五十六以二十四为纵方用带纵开平方法除之【详十二卷】得八为矢圆径求离径矢式　术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四两自乘相减余二十五平方开之得五为离径以半径十三减离径五余八为矢
　　矢圆径求式　术以圆径二十六减矢八余十八以矢乘之得一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　离径求圆径式　术以折半得十二自乘得一百四十四以离径五自乘得二十五相并得一百六十九平方开之得十三倍之得二十六为圆径
　　圆径离径求式术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以离径五自乘得二十五相减余一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　弧矢内股求勾法
　　式圆径十矢一为勾几何弧几何曰勾三弧六以圆径十折半为五自乘得二十五为羃以半径五减矢一余四为股自乘得十六为股羃二羃相减余九平方开之得三为勾倍勾得六为弧又术以
　　圆径自乘得一百为大羃以圆径减倍矢二余八自乘得六十四为大股羃二羃相减余三十六为大勾羃平方开之得六为弧半之得三为勾
　　通曰弧矢与勾股相通不惟此也如勾与股较求股是矣半径也股离径也勾半弧也
　　弧矢内勾求股法
　　式圆径十弧六为股几何弧矢几何曰股四弧矢一术以圆径十折半得五为以弧六折半得三为勾自乘得二十五勾自乘得九相减余十六平方开之得四为股以股减半径五余一为矢
　　圆径直方濶求两弧矢积法
　　式圆径七十四直方濶二十四为两弧积各几何直方积几何曰弧积各一千一百八十七五直方积一千七百三十二术以圆径七十四自乘得五千四百七十六以三乘
　　之以四除之得四千一百○七为全积以圆径减方濶二十四余五十折半得二十五为矢用前径矢求弧法得七十又用矢求弧积法得弧积一千一百八十七五倍之得二千三百七十五为两弧积以减全积余一千七百三十二为直方积
　　通曰矢得径十之一者必六倍于矢矢得径十之二者必四倍于矢矢得径十之三者必三倍于矢矢得径十之四者必倍于矢而又八分矢之三也矢得径十之五者必倍于矢也弧矢者半圆所生也

　　数度衍巻九
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　较容【少广之三】
　　同周异容
　　通曰周不可以论容故方田不以周歩为率同周者形必异形异容故异耳
　　式一同周多边形容积大于少边形容积何也少边如甲乙丙三角形甲乙甲丙两腰各五乙丙底六共周十六多边如己庚戊辛四角形己戊庚辛与三角之腰等
　　皆五己庚戊辛与三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁线折半得甲丁乙甲丁
　　丙两小三角形以四角形己戊庚辛与甲丁较去己壬庚癸存壬戊癸半皆与甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊与甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等边容积大于不等边容积何也等边如甲乙丙丁四直角形毎边六共周二十四不等边如戊己庚辛四直角形两边五两边七共周亦二十四以等边之六自乘得积三十六以不等边之五七相
　　乘得积三十五是不等边之积
　　少一矣又如两边四两边八共
　　周亦二十四而积三十二又少
　　矣两边三两边九共周亦二十四而积二十七又少矣两边二两边十共周亦二十四而积二十又少矣边愈不等积愈少也
　　通曰又如四边皆三周得十二积九两边二两边四周亦十二积八是九之中一藏而无周八无中可藏故少一也右式等边形中有离边积十六不等边形中止有离边积十五可见少一积者非少近边之积乃少离边之中积也
　　式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积何也直角如甲乙丙丁四角形毎边五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎边五共周二十以斜角截戊庚丁三角形补己辛
　　丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚余甲乙庚辛形乃多于斜角者也
　　式四同周有法形多边容积大于少边容积何也多边如甲乙丙有法形【边边相等角角相等曰有法也】不拘边数今为六边
　　毎边四共周二十四少
　　边如丁戊己有法形今
　　为四边毎边六共周亦
　　二十四试于两形外各
　　作一圜而从圜心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬戊己于癸其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而徧以戊己求周四其戊己而徧则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例而癸辛子角大于壬庚乙角其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也然则多边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
　　式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何
　　也等边如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等边如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八试引甲丁至戊
　　令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊两线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线连之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣通曰以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较知乙庚丙之小于丁庚甲即知乙甲丙之小于甲丁丙也式六同周多边形等边容积大于不等边容积何也等边如甲庚丙丁戊巳多边形毎边六共周三十六不等边如甲乙丙丁戊巳多边形甲乙边四乙丙边八他边皆六共周亦三十六作甲丙线视甲庚丙大于甲乙丙则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛与辛庚丙两形较知甲乙辛小于辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多边等边形等角容积大于不等角容积何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多边等边形毎
　　边十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多边等边形毎边亦十共周亦六十作丑午线得十八作丑卯线亦得十八丑午既与丑卯等则子申必与寅未等是午子丑与丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳线少于十八作乙丁线多于十八乙丁既大于乙巳则甲庚必大于丙辛是巳甲乙与乙丙丁之甲角丙角不等也今以两形叠而较之今巳戊与午辰同线又令子遇甲乙线于子卯遇丙丁线于卯乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣式八同周圆形容积大于有法形容积何也圆形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎边九共周亦五十四庚为甲乙丙之心辛为丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊巳相似【同为有法之六角形】而从壬
　　癸切圆于甲者作半径线于
　　庚则庚甲为壬癸线而分
　　壬癸之半又从辛作子丑
　　线则辛丁亦分子丑之半两
　　形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大于圆周而圆周与丁戊巳形同则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形其与圆地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也推此则是圆形大于等
　　周之多边形也
　　通曰圆周五十四圆外六角周六十是多六矣虽与丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较圆形外有六小三角形圆内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小于甲乙丙也
　　式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也通曰浑圆如甲乙丙丁戊己形周三十六长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以两形相较长圆加浑圆之上必透
　　乙庚丙己辛戊两半圆形必虚丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较则乙庚丙形必小以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较则乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰边莫少于三角莫多于浑圆浑圆似乎无角而其角之多不可指説也同周之容其角渐多其容渐大故以浑圆为最大以三角为最小葢大者因角而大也角向外生内必益地虽中距之径少不敌角増之地多也方者不以角论长方与正方同为四角直方与斜方同亦四角一增于中藏之无边一减于斜周之无积故以长方斜方为小以正方直方为大也其不成形者不可防举矣
　　同容异周
　　通曰有积于此可方可圆可斜可直周之不一其积实同周既不可以论容容亦不可以论周也
　　式同容少边形周大于多边形周何也少边如甲乙丙形多边如甲巳丙丁形以甲乙丙形分为二得甲丁丙甲丁乙两形以甲巳丙丁形
　　分为二得甲巳丙甲丁丙两形相较皆等容而甲丙长于已丙甲乙长于甲丁是以少边者为大也
　　通曰此与同周异容相反同周以少边为小言容之小也同容以少边为大言周之大也举一可以类推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容积式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁线甲丁乙形与甲戊乙形等甲丁丙形与甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲防作与乙丙
　　平行线得长方形始可
　　不同底倍大容积式通曰以丙乙同底而言则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形以丙乙与丙丁不同底而言则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形葢甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙甲丙戊两形是甲乙
　　丙形为戊巳丙乙形之半即为甲巳丙丁形四之一也
　　变形同容
　　通曰此形容积亦可以他形容之葢不变容而变形也六角变四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲变为四角形视六角之心于庚自庚至甲乙作直角线为庚
　　辛另作壬癸线与庚辛等作癸
　　子与甲乙丙丁线等则壬癸子
　　丑四角形与甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等葢此半边三其三角形照甲乙庚形作分中线其矩线内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半径线作横线半周线作直线两形之容相等则以六角形之全径全周作四角形其容四倍矣然六角之径必须两角中分之辛寅相对为径非角对角之甲丁为径也
　　六角变三角式六角如甲乙丙有法形欲变为三角形视六角之心于丁从丁望甲乙作线为丁戊线另作丁戊线相等作戊己线与甲乙丙全周线等则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形今以丁戊庚己分为二得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也
　　论曰以丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等何者戊辛线得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣
　　圆形变四角三角式圆形如甲乙丙形先变为四角形视圆心于丁得半径丁乙线另作丁乙线相等作乙戊线与甲乙丙半周线等则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也次变为三角形倍乙戊线为乙庚线与
　　甲乙丙全周等又作丁庚线则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也
　　通曰截丁己辛形为辛戊庚形则丁乙戊己形内虚丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等则等圆形之四角变为三角等四角之三角自等于圆形也鋭觚形变直角立方形式觚形不拘几面如甲乙丙丁
　　戊底其顶巳今变为寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子与觚等则寅
　　庚直角立方形与甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也论曰从立形底诸用与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与庚寅形同底同髙又同己甲鋭觚之髙己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三【两觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方与己甲觚自等也
　　斜角能含圆形变直角立方形式平面不拘几边其全体可容浑圆切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊试从戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜从壬心望各切圜之
　　防作壬戊为甲乙线壬己为
　　乙丙线壬庚为丙丁线壬
　　辛为甲丁线今变为直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁体三之一而其髙丑子与圆半径等则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也
　　论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚鋭顶此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之数为直角立方形皆与觚所容等又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圆之半径也
　　浑圆变直角六方形式浑圆如甲乙丙形其心为丁作
　　甲丁半径线今变为直角立方戊形
　　在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩
　　内则戊形与甲乙丙全形之所容等
　　也
　　论曰若言不等谓戊大于浑圆形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圆大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形边各作线则线必长于
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直线以分此形为几觚其庚
　　辛壬法形诸直线为觚底而
　　线至丁心为觚鋭顶试取
　　各觚底三之一及丁线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等如云以甲丁为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也而况庚辛壬形乎则戊体不大于甲乙丙可知矣
　　又论曰戊形小于甲乙丙浑圆体者其较为己试从丁
　　心再作癸子丑圜小于甲乙
　　丙而勿令小于戊或大或等
　　者以騐之于甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而从丁至甲乙丙各面为线此线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚鋭顶而取觚底三之一及底至丁之线以作直角立形与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大于甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎则戊体不小于甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并线并形求与并线形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二两形相似因并甲丙
　　丁巳为丁辛一直线于上作
　　直角方形又并甲乙丁戊为
　　丁庚乙丙戊巳为庚辛乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也
　　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度从庚作线与戊己平行又引丁巳长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等巳角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及两角俱等壬巳辛角与甲角亦等又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度庚辛线兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣通曰此与勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内应有勾股二羃也
　　两形互并求同周式甲乙丙丁两底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于巳角而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等也其法作庚辛线与甲戊戊乙丙巳巳丁四线并等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸
　　平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣夫庚辛并既大于甲乙丙丁并则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三线毎二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲
　　乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隠矣
　　两形互并较容式甲丙丙戊大小两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令
　　于两底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊两形相似而前两三角形并
　　与之等周则甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大于甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从己过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛为癸线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者毎减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉其底同其周同四腰俱同则不相似之形并必小于相似之形并也

　　数度衍卷十
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十一
　　桐城　方中通　　撰
　　递加【少广之四】
　　循次顺加
　　一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一
　　超二位加
　　一　三　五　七　九　十一　十三　此竒数超加也
　　二　四　六　八　十　十二　十四　此偶数超加也
　　超三位四位五位加
　　一　四　七　十　十三　十六　十九　此超三位加也
　　一　五　九　十三　十七　二十一　此超四位加也
　　一　六　十一　十六　二十一　二十六　此超五位加也
　　凡超位加各审其母如超二超三四五以至多位者各以所超之数为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母也
　　截三位较
　　不论超与不超凡截位较之其前后二位数必倍于中
　　位数如截一二三并
　　一三为四即倍二也
　　截一三五并一五为
　　六即倍三也截二四六并二六为八即倍四也截二五八并二八为十即倍五也截四八十二并四与十二为十六即倍八也不拘前后随意截较无不合
　　截四位较
　　凡截四位较之则前后二位数与中二位数等如截一
　　二三四并一
　　四为五并二
　　三亦五也截
　　一三五七并
　　一七为八并三五亦八也截二四六八并二八为十并四六亦十也截二五八十一并二与十一为十三并五八亦十三也截四八十二十六并四与十六为二十并八与十二亦二十也
　　通曰截竒位者前后并必倍中位数截偶位者前后并必与中二位等葢所截之位自中向外一损一益中一位者无可并而倍矣中二位者无可倍而并矣
　　截四位逓加逓减较
　　通曰凡截四位数以中二位相加减后一位数余与前一位数等如截一二三四以二三相并得五减后之一余必前之四也截一三五七以三五相并得八减后之一余必前之七也截二四六八以四六相并得十减后之二余必前之八也截二五八十一以五八相并得十三减后之二余必前之十一也截四八十二十六以八与十二相并得二十减后之四余必前之十六也若减前数余必后数可以互较
　　超加求积法
　　凡加数不论超二超三但系逓加者用此
　　式自一起至十三位得三十七问总积几何曰二百四
　　十七术除首位一不用以次位
　　四与末位三十七并得四十一
　　自四至三十七系十二位即以
　　十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位总积再加首位一得二百四十七为十三位总积也
　　顺加求积法
　　式下行濶十五问总积几何曰一百二十术取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
　　四以至首位一之积也再并
　　末位十五得一百二十为总
　　积又术以末位十五与下位
　　十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
　　通曰相乘得其倍数者
　　变三角为四角也半之
　　则仍还三角矣如末位
　　系七以六七相乘则末
　　位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之积以末位七与下位八相乘则末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之积也
　　顺加异首求积法
　　首位不系一数或二或三四为首者用此
　　式首行四下行十四问总积几何曰九十九术以首位
　　四并末位十四得十八为
　　实以首位四减末位十四
　　余一十加一得十一此即位数也以位数十一乘实十八得一百九十八半之得九十九为总积
　　四面顺加求积法
　　式四面顺加毎面底濶皆十二问总积几何曰六百五十术置底濶十二另以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三除之得六百五十为总积
　　长濶顺加求积法
　　式长濶顺加底濶八长十三问总积几何曰三百八十四术以底长十三减底濶八余五折半得二五又加半得三并长十三为十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一为九乘之得一千一百五十二为实以三除之得三百八十四为总积
　　通曰四面顺加自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也其加有二一曰竒数之加一曰自乘之加如顶一加三得四为第二层之积四加五得九为第三层之积九加七得十六为第四层之积总以竒数逐渐加于毎层积上故至十一层应加二十三得一百四十四为第十二层之积此竒数之加也又如一至十二层毎层以自乘数推之首层一自乘仍是一二层二自乘得四三层三自乘得九四层四自乘得十六至十二层十二自乘得一百四十四亦合各层之积此自乘之加也长濶顺加自濶面视之则为顺加自长面视之则为顺加异首而四面合视之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加积如异首之首层为五此层加法稍不同先倍五为十又加二得十二为第二层之周此后毎层加四以十二加四得十六为第三层之周十六加四得二十为第四层之周二十加四得二十四为第五层之周如法加至第八层濶八长十二得周三十六此逓四加周也又如首层五加七得十二为第二层之积十二加九得二十一为第三层之积二十一加十一得三十二为第四层之积总以竒数渐加于毎层积上加至第八层得积九十六此竒数加积也若前式濶八长十三首层系六者则偶数加积矣
　　竒偶超加求积法
　　竒数超加求积式末位十九问总积几何曰一百术取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
　　数也以位数十自乘得一百
　　为总积
　　偶数超加求积式末位二十四问总积几何曰一百五
　　十六术取末位二十四
　　减半得十二即位数也
　　以位数加一为十三以乘位数十二得一百五十六为总积
　　通曰用前超加求积法亦可
　　超加求首尾数法
　　若多中起数超位逓加但知位数及所超母数或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
　　超加求尾数式超八逓加至十二位首位三问尾位数
　　几何曰尾位数九十一
　　术于位数十二内减一
　　存十一与超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位数
　　超加求首数式超八逓加至十二位尾位九十一问首位数几何曰首位数三术于位数十二内减一存十一与超母八相乘得八十八以减尾位九十一余三即首位数
　　积和求位数及首尾二位数法
　　若但举总数及超数及首尾和数而不知系几位不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加总积三百二十首尾和一百六十问位数
　　及首尾各几何曰四位首位七十
　　一尾位八十九术以总积三百二
　　十为实以首尾和一百六十减半得八十除实得四为位数又以位数减一余三乘超母六得十八为位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九为尾位数以位母率减首尾和余一百四十二半之得七十一为首位数
　　积较求首尾二位数法
　　若但举总数及位数及首尾较数而不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之余一百三
　　十六折半得六十八为首位数以首位数加较三十得九十八为尾位数
　　超加求逐位细数法
　　若但知位数总数及超母数而不知毎位细数者用此式超三逓加计六位总积八十七问逐位细数几何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一术取位数六除去第六数自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以减总积八十七余四十二为实以位数六除之
　　得七为首位数加超母三得十为二位数逓加超母得逐位数
　　通曰以位数减一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位应三二位应六三位应九四位应十二五位应十五乃并此五位应得之数为四十五以减总积余为实亦可
　　又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗问毎人嵗几何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗数术将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以减共二百○七余九十九为实以九人除之得一十一为最小一人之嵗数又术通曰以共二百○七嵗为实以九人除之得二十三为居中第五人之嵗数凡竒数如九人者可以用此若系偶数如前式六位者则以总积八十七为实以六位除之得十四五为居中二位率又以超母三折半得一五为母率以母率减中率余十三为第三位之数以母率并中率得十六为第四位之数也
　　又式银九百九十六两给八人毎人逓差十七两问毎人几何曰最少一人六十五两术将八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以减银九百九十六余五百二十为实以八人除之得六十五为最少一人之银数
　　通曰九人八人皆位数也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六两皆总积也
　　超加求超母及逐位细数法
　　若超位逓加但知系几位及前几位共数后几位共数而不知超母及逐位细数者用此
　　式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共数七十
　　七己庚辛三位共数六
　　十六问超母几何逐位
　　细数几何曰超母三甲位四十辛位十九术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七得二百三十一相减余九十九为实又并甲乙位二己庚辛位三为五减半得二五以减总位八余五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三为法以法除实得三为超母并入甲乙共数七十七得八十减半得四十为甲位数若求己庚辛则三分其己庚辛共数六十六得二十二为居中庚位数减超母三余十九为辛位数自甲向乙推之则逓减超母自辛向庚推之则逓加超母八位细数尽得也　如戊己庚辛四位共数九十四以二分之得四十七即己庚共数并入超母三得五十减半得二十五为己位数也
　　外包【少广之五】
　　通曰方者以八包一每层加八即超八逓加也圆者以六包一毎层加六即超六逓加也三角以九包一毎层加九即超九逓加也然其形不同而法又异故専衍之
　　包方法
　　外周求积式外周三十二问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八与外周三十二相并得四十又以四十与外周三十二相乘得一千二百八十为实以三层十六为法除之得八十加中心一得八十一为总
　　积
　　通曰方径一周四今八包一径三
　　周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
　　各以两面为一数也若以两面俱作二数则仍是径三周十二矣
　　积求外周式总积八十一问外周几何曰三十二术去中心一在外余八十以三层十六乘之得一千二百八十为实以二层八【即超母】为纵用带纵开平方除之【详十二卷】得三十二为外周
　　外周求层式外周三十二问层几何曰除心四层连心五层术以超母八除外周三十二得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十二除心四层问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八并外周三十二得四十以四层乘之得一百六十减半得八十加中心一得八十一为总积
　　包圆法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六与外周三十六相并得四十二又以四十二与外周三十六相乘得一千五百一十二为实以三
　　层十二为法除之得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　通曰圆径一周三今六包一径三周六者何也葢其数隐而不见须从径三之外作一大圜切各小圜之边而于大圜之上作
　　甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周与小圜径等是己得周六矣又测子丑寅卯辰午六空处每一空处得小圜半径应折为三段合甲乙丙丁戊己六段而为九则仍是径三周九也但六包一六角而非圆以此为率亦得其成数也
　　积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外余一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六【即二层】为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心六层连心七层术以超母六除外周三十六得六即除心之层数也加心一层共七层
　　外周及层数求积式外周三十六除心六层问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六并外周三十六得四十二以六层乘之得二百五十二减半得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　包三角法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九与外周三十六相并得四十五又以四十五与外周三十六相乘得一千六百二十为实以三层十八为法除之得九十加中心一得九十一为总积
　　积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外余九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心四层连心五层术以超母九除外周三十六得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十六除心四层问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九并外周三十六得四十五以四层乘之得一百八十减半得九十加中心一得九十一为总积
　　通曰方圆三角皆一法也但超母不同耳用前超加求积法亦可
　　包立方立圆立三角法
　　通曰立方圆三角之外包非逓加也立方以二十六包一三层则九十八四层则二百一十八立圆以十四包一三层则五十四层则一百一十立三角以三十四包一三层则一百三十四层则三百八十一数不相等故不可以超加论也
　　立方面求层式立方面九问层几何曰除心四层连心五层术通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之层数也加心一为五层毎层一面加二故二数为一层也
　　立方层求面式立方除心四层问面几何曰九术通曰以四层倍之为八如中心一得九即方面
　　立方面求外包式立方面九问外包几何曰三百八十
　　六术通曰用六方算之先推前后以
　　面九自乘得八十一倍之得一百六
　　十二为前后包数次推左右以面九
　　减二【近前之边去一近后之边去一】余七与面九相
　　乘得六十三倍之得一百二十六为左右包数再推上下以面九减二余七自乘得四十九【左右止去前后之边一故七九相乘上下则左右前后之边各去一故七自乘】倍之得九十八为上下包数并三包数得三百八十六为外包数又术通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九为全积以面九减二余七自乘得四十九再乘得三百四十三以减全积余三百八十六为外包又术通曰以面九减一余八与面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九减二余七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
　　立圆径层相求式通曰与立方同术毎层一面亦加二故也中心亦作一层
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>
　　三余六为第三重之周包数减三余三为第二重之周包数顶重止一数并诸包数得三百六十一为总腰包数再并底包数得五百一十四为外包数若用前超加求积法以第十六重之四十五为末位求得积三百六十一即总腰包数也又术通曰立三角凡四面一面为底其三面皆腰今分为左腰右腰后腰以推之如前术既得底包数一百五十三之后即以底十七减一余十六用顺加求积法得积一百三十六为左腰包数又以底十七减二余十五用顺加求积法得积一百二十为右腰包数又以底十七减三余十四用顺加求积法得积一百○五为后腰包数并三腰包数得三百六十一合总腰包数再并底包数得五百一十四亦合外包数也
　　倍加【少广之六】
　　二因加
　　一　二　四　八　十六　三十二　六十四　一百二十八
　　三因加
　　一　三　九　二十七　八十一　二百四十三
　　求倍
　　倍即母也欲求其母者则取挨身小数于本数中减之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也如三十二挨身小数为十六以十六于三十二中减之两回十六减尽矣知是加一倍数又如八十一挨身小数为二十七以二十七于八十一中减之三回二十七减尽矣知是加二倍数
　　截三位较
　　凡截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位之
　　自乘数等如截二四八以二与
　　八相乘得十六四自乘亦十六
　　也如截三九二十七以三与二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
　　截四位较
　　以首尾二位相乘其所得数与中二位相乘之数等如截二四八十六以二与十六相乘得三十二四与八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三与八十
　　一相乘得二百四十三九
　　与二十七相乘亦二百四
　　十三也
　　位数多者凡偶位歩歩首尾相乘与挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘与中一位自乘等
　　一倍加求积法【一倍者二因也】
　　式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一
　　百二十七术取尾
　　六十四倍之得一
　　百二十八于内减首一余一百二十七即七位总积也用后式之术亦可
　　二倍加求积法【二倍者三因】也
　　式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一
　　百二十一术取尾八十一于
　　内减首一余八十以倍母二
　　【二倍以二为倍母三倍以三为倍母】除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积
　　通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
　　半倍加求积法
　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也
　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十
　　五又十六之九内
　　减首四余四十一
　　又十六之九以倍
　　母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积
　　倍加隔位合数法
　　抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就
　　中抽取
　　一位之
　　数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣
　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣
　　抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一
　　位相乘则视前抽之位去首
　　几位后抽之位再去几位其
　　数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也
　　倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为
　　第几位倍其位数减一得后
　　应合之位则所抽位数自乘
　　必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乗得十六必与第五位之数合也
　　减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须
　　除首位不算自次位作一
　　位排之抽第几位倍之不
　　必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也
　　减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位
　　共为几位即知互乘之数
　　必与其位数合也如抽第
　　一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者
　　异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第
　　二位其数二十自乘得四
　　百为实以首数五为法除
　　之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也
　　又如抽第一位第三位其
　　数十与四十互乘得四百
　　为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也
　　截位合前积式凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位
　　以其所截位之数
　　减一即合所截位
　　以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积

　　若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣葢以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
　　通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一余必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一余三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一余七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一余四千○九十五必为以前首至十二位之总积也
　　又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也
　　通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也葢五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易

　　数度衍卷十一
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十二
　　桐城　方中通　撰
　　开平方【少广之七】
　　珠算开平方法
　　通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之
　　式横叄百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叄变二余实二百二十四以方法一十倍为二十为亷法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六余实六十四次左右八八相呼曰八八六十四
　　除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也
　　通曰次商与初商不同须视实内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止余六十三则不用八而用七矣
　　归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万余实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二余二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百余实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二余二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
　　笔算开平方法
　　式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作防隔位一防共四知有四回商数也实首防在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初防下亦纪格右相呼四四一十
　　六于实贰千壹百内除一千六百
　　抹去贰壹变伍完首叚矣余实伍
　　百壹十防万捌千肆百○肆第二
　　叚实至次止曰伍壹防先立亷
　　法倍初商四为八注实壹下空次
　　防一位以待隅法乃商伍十壹内
　　【作五十一】有六囬八即用六为次商纪初商四右亦注六于次防下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叄又呼六六除实三十六万抹去叄防变壹完第二叚矣余实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为亷法注九于实壹下二于实捌下空三防一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣余实如故第四叚实至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为亷法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四防下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
　　通曰初商防在实首者三以前用一八以前用二九则当用三防在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则防又在实首矣
　　用命分式　术倍前商数加一为母余实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九余实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以余实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九囬二二五余二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于余积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
　　竒零开平方式　术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六余实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者八十一之二十必须另立一法【满八十一则归整一数止得六十一尚余二十】用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一为母九余实为子曰九之四】而以少减多【以五为原数以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法余九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减余九之五除去整八在外
　　以九之五与九之八相并用竒零同母加法归整得一
　　零九之四乃以在外之整八并
　　入一为九得九零九之四也又
　　以此九零九之四为除数以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数用竒零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
　　以此除得数与前九之四十相并【九之四十者倍初商四加一共九为母余
　　实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
　　并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也】用竒
　　零异母加法子母互乗并母并
　　子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚余二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
　　通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
　　又并入八得七十六为平方一面
　　之数也自乗得五千七百七十六
　　为方积实二十亦化之每一数作
　　十七之自乗共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之余实四化为一千一百五十六以二亷及隅较之先并八与十七相乗之数八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也则余实有终不能尽者矣
　　又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
　　得四零二之一化之得二之九
　　【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各
　　自乗得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
　　四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乗母乗母子乗子得三十
　　六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二余三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
　　筹算开平方法【见前筹算】
　　平方积较和开法
　　平方长濶不等者以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
　　积和求较式积八百六十四长濶和六十问长多濶几何曰十二术以和六十自乗得三千六百四因积得三千四百五十六相减余一百四十四平方开之得一十二为长多于濶之较
　　通曰积者勾股相乗之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
　　积较求和式积八百六十四濶不及长十二问长濶和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长濶和
　　通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
　　平方积较求濶
　　积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乗减曰减积开平方
　　一带纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
　　十四术列实定防以带纵壹十贰随
　　实首列之初商二纪格右亦列首防
　　下并纵首壹为三抹二壹而注三相
　　呼二三除实六首位实捌变二又呼
　　二贰除实四次位实陆变二完首余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也
　　又式　术如实贰十叄万○肆百纵防百贰十初商可用四但纵首防并四为十一实首贰叄无四十四可除
　　遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注
　　首防下并纵防为九抹二七而注九
　　相呼二九除实一十八抹贰叄变五
　　又呼二贰除实四五变四○变六完
　　首叚余实四万六千肆百倍初商二作四为亷法列实○下又列纵于亷下次商四纪格右亦注次防下为隅法以亷四并纵防为十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末防未开当于格右纪○以作三商则知直方濶二百四十长九百六十也
　　通曰以濶并纵得长也
　　又式　术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽防在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵防十贰数多即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下起初商九纪格右亦注次防下并纵防为十六抹九防而注六左位注一相呼一九除实九抹
　　首壹陆变七又呼六九除实五十
　　四七变一壹变七又呼贰九除实
　　一十八七变五贰变四完首倍
　　九得一十八为亷法列之退列纵
　　次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶
　　一百二十长三百二十
　　又式　术若防开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首防下
　　次纵伍当随一下列之【初商一百也次纵伍亦百
　　也】首纵壹进列首位下以初商一并
　　纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
　　再呼一六除实六再呼一三除实三
　　完首倍初商一作二为亷注三位实下带纵壹退从次位起列伍于亷二下并为七次商二纪右注次防下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得濶一百二十长一千六百五十
　　又式　术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
　　实防万贰千纵肆百捌十防在
　　首位初商一纪右注首防下纵
　　首随列以一并纵肆为五呼除
　　毕余实一万四千倍初商作二为亷注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次防下先呼二六除十二首位余实一抹去次位余四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得濶一百二十长六百
　　通曰旣列次商带纵先以亷二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位余实一次位余实四亦便
　　又式　术若实数纵数商数俱多者襍糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
　　紊乱如实壹十陆万
　　陆千肆百陆十肆纵
　　壹千○捌十捌初商
　　一纪右注初防下三
　　防知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首余实四万七千六百陆十肆倍初商得二为亷注三位实下退列纵数以相并亷二与纵○无并仍是二次商三纪右注次防下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚余实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为亷空末防位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以亷六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以亷首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末防下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得濶一百三十六长一千二百二十四
　　通曰凡图最上为余实最下为并纵并纵者并亷隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即濶然其变不可不知耳求长亦然
　　二减积开平方法
　　减积者于实内减股之积以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
　　十四术列实防位另将不及壹
　　十贰为减积以商数乗之而列
　　乗数初商二纪右注首防下乗
　　减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰余六次位实陆减肆余二余实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位余实六变二完首叚余实二百二十肆倍初商二得四为亷注次位实下次商四纪右注末防下为隅以隅乗减积得肆十捌亦随位列之相对减余实首次两位余实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位余实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共余实一百七十六然后以次商与亷隅呼除四四除一十六抺首位余实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得濶二十四通曰凡定商数须减积后余实视有商数之自乗否勿以原实定商也初商列初防下初乗首数亦随初防下列之二叚亷退初商一位则次乗亦退一位也
　　平方积较求长
　　积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二以较为负纵乗上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
　　一负纵益积开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三
　　十六术列实防位另列不及壹
　　十二为负纵而初商则约所増
　　负纵之乗商之如首位捌开法
　　宜用二因有负纵之乗乃商三
　　纪右注首位下为方法而以乗负纵得叄十陆注叄于首位陆于次位以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二首位捌变二进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余实三百二十肆倍三作六为亷注次位次商六纪右以乗负纵得防十贰退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乗之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
　　通曰甲戊己丁形原积八
　　百六十四也戊乙丙己形
　　益积四百三十二也甲戊
　　濶二十四甲乙长三十六
　　戊乙乃长濶之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
　　即长也初商三十自乗得九百
　　二亷濶六长三十又各相乗得
　　一百八十隅六自乗得三十六
　　又式　术直积贰十叄万○肆
　　百长濶较防百贰十列实防位
　　列较为负纵初商九【九百】纪右注
　　首防下为方法以乗负纵得陆
　　肆捌【六万四千八百】以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余实六八肆○○倍九得一十八为亷注八于次防之进位注一于首防下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积退位列之共加得余实为一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本叚防下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚余一防作○得长九百六十
　　二带减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三【三十】纪右以负纵减之余一十八挨注首防下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
　　除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆乃于另列初商三右加○【作三十】以并方法得四十八为亷注次位次商六纪右注末防下为隅而并入亷内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六　若商数减后首位多于实首亦照例退位
　　通曰初商三十减纵得十八相乗除积五百四十次商六并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八隅六自乗除
　　积三十六
　　又式有两方共积若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十先倍两方乗积得六千二百四十以减共积余二百八十九平方开之得较壹十防乃列二方乗数为实以较为负纵初商六【六十】纪右以负纵减之余四十三注初防下为方法呼初商四六除二十四三六除
　　一十八余实五百四十又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷注下【以末三齐次防止】次商五纪右注尾防为隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乗丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
　　后减之余乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八余乙子一十七
　　平方积和求濶
　　积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅其法有二或益隅于积乗负隅为方法又乗方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乗负隅以减纵命余纵以除实曰带纵负隅减纵开平方
　　一带纵益隅开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
　　术列实以和为带纵初商二【二十】纪右
　　注首防下自乗得四百为负隅以益
　　积共加得实一千二百陆十肆乃以
　　初商呼带纵曰二陆除实一千二百
　　余实陆十肆倍方得四为亷注次位次商四纪右注尾防为隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆并入余实共加得余实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得濶二十四
　　通曰甲乙丙丁形原积也丁丙
　　己戊形益隅方积也子方初商
　　二十自乗得四百丑寅二亷各
　　长二十与次商四相乗各得八十共为一百六十卯隅四自乗得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为濶乙丙三十六为长乙至己共六十为和
　　又式　术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长濶和贰
　　百玖十陆列实防位置和为
　　带纵初商一【一百】列右为初方
　　法注首防下自乗得一万以
　　益积首位贰变三乃以初方
　　法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○余实二千○肆十捌倍方得二为亷注退位次商三纪右为次方法注次防下为隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余积三上○变九二上二变八共加得余实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二余实六十捌又倍次方法得六为次亷注退位【第四位也】并入前亷二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾防下为隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得余实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得濶一百三十二
　　二带纵负隅减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
　　术列实防位置和为纵方初商二纪
　　右注首防下以乗负隅一仍得二为
　　方法以减纵陆○余四○随首位注
　　之呼初商二四除八抺捌余实陆十肆倍方二得四为亷注退位亦乗负隅一仍得四【四十】以减纵陆○余二○注下次商四纪右注末防下为隅又以隅四减余纵二十余一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得濶二十四　或初商除实讫即以初商再减余纵以所余为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为亷以减原纵与以初商减余纵之余数相同即可不立亷矣
　　通曰甲乙癸子全形乃和与濶相乗之形也内甲乙丙
　　己戊丁磬折形为原积此外
　　皆负积也初叚减壬癸纵二
　　十次叚减丙辛纵二十又减
　　辛壬纵四余乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四长三十六
　　又式　术列实陆万玖千叄百陆十长濶和防百捌十贰为纵初商一【一百】乗负隅一仍得一以减纵防余六随首列余纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一
　　贰除二余实一千一百陆十倍方得
　　二为亷【二百】注退位以减纵余五捌贰
　　退位附列而纵余五多于实余一遇
　　此纪○于右作次商倍方一○得二
　　为亷【二百】注次防下以减纵余五捌贰退位附列三商二注尾防为隅以余纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得濶一百二十
　　通曰纵尾贰须先以隅二减之纵余止五捌○也又式　术若以积与虚长濶共若干而欲求其濶及长者如直积捌百陆十肆三长五濶共二百二十八求濶者以三乗直积得贰千伍百玖十贰为实【三长原有三积故以三乗】五为负
　　隅【暗添五濶之积】以共贰百贰十捌为带纵列实防位初商二乗负隅五得一十【一百】以减纵首贰余一随首列余纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六余实三十贰又以初商二乗负隅五得一十【一百】减余纵首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四
　　如右式求长者以五乗直
　　积得肆千叄百贰十为实
　　以三为负隅以共贰百贰
　　十捌为带纵初商三以乗负隅三得九【九十】以减纵余纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四余实一百八十复以初商三乗负隅三得九【九十】以减余纵止余四十捌次商六亦乗负隅三得一十八以减余纵止余三十注余实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六
　　又式　术又有以积与虚长濶和较共若干求濶及长者如直积八百六十四一长二濶三和四较共叄百壹
　　十贰数乃约三和自具三长
　　三濶以并一长二濶共四长
　　五濶又以四较益濶为四长
　　共得八长而余一濶求濶者以八长乗直积得陆千玖百壹十贰为实以一濶为负隅以共数为带纵初商二以乗负隅一仍得二【十也】以减纵余纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四余实一○七贰又以初商二乗负隅一得二十以减余纵止余二百七十贰次商四又乗负隅一得四以减余纵止余二百六十八列余实下与次商相呼除实尽得濶二十四　求长者以一濶乗直积为实以八长为负隅也当用翻法详后
　　又式　术又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶者如直积二千三百五十二只云长取八之五濶取三之二并得六十三以两母互乗三八得二十
　　四以乗并得之六十三得壹千
　　伍百壹十贰为带纵而以长母
　　八乗濶子二得十六为濶率以
　　濶母三乗长子五得十五为长
　　率则知此带纵数内具有长十五濶十六也求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实以濶一十六为负隅初商四【十也】乗负隅得六百四十以减纵余纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八余实四百又以初商所乗隅算之六百四十减余纵止余二百三十贰次商二乗负隅得三十二亦减余纵止余二百列余实下与次商相呼二二除四实尽得濶四十二以除直积二千三百五十二得长五十六
　　通曰以长十五乗积为实有三防而直积之二三五二止两防仍以直积定商位故知初商为十也余纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位
　　平方积和求长
　　积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也
　　带纵负隅减纵翻法开平方法
　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乗负隅仍得三十以减纵余三十列实下与初商相呼三三应除九百
　　【三十其三十也】而实数不足遇此则翻列九
　　百于原积之上而以原积捌百陆十
　　肆减之余负积三十六即为余实再
　　以初商乗负隅之三十减余纵减尽乃约余实得次商六以乗负隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六
　　实尽得长三十六
　　通曰己丙丁戊形初商余纵相乗之
　　九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折
　　形原积八百六十四余壬丙辛庚形
　　三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四长三十六
　　又式　术如直积叄千肆百伍十陆长濶和壹百贰十
　　求长者列实以和为纵一为负隅
　　初商七乗负隅仍得七十减纵余
　　五十与初商相呼五七应除三千
　　五百而原积不足乃翻以三千五
　　百列上而以原积减之余四十四为余实又以初商所乗之七十减余纵而余纵亦不足乃翻以余纵五十减初商乗数七十余二十为亷注三位下而纵又为负次商二注尾防为隅亷隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二
　　又式　术有虚立长濶和较求长者如直积捌百陆十肆一长二濶三和四较共叄百壹十贰依前法衍得八
　　长一濶以一濶乗直积为实
　　捌长为负隅共数为纵方列
　　实初商三乗隅捌得二百四
　　十以减纵余七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上【二乃千数故进位】而以积减之余负积一千二百九十六即为余实又以初商所乗之二百四十减余纵而余纵亦不足亦翻以余纵七十贰减之余负纵一百六十八次商六乗负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六
　　通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也
　　平方带纵诸变
　　纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二濶较及长濶较求濶者皆以错综为用以取其条理也衍之于左
　　一带纵减积开平方法
　　式三广田积贰千肆百陆十伍歩云中广不及南广八
　　歩亦不及北广三十六歩又不及
　　正长六十七歩问三广各几何长
　　几何曰中广十八歩南广二十六
　　歩北广五十四歩正长八十五歩
　　术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十防为减积初商一【十也】并带纵得二十壹随首防列之为方法以乗减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七余实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚余实八四八倍初商一作二为亷并带纵壹十壹及减积陆十防共九十八为方法注退位次商八注末防并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问
　　通曰初叚以乗减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便
　　二减积带纵负隅并纵开平方法
　　式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面
　　多二十八问大小方面各几何
　　曰大方面七十四小方靣四十
　　六术较自乗得七百八十四以
　　减积余陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乗负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四余实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为亷注退位次商六亦乗负隅二得一十二为隅并入亷内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四
　　又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面
　　多小方靣三十中方面多小
　　方面十二【大方面多中方面十八也】求各
　　面者以较三十自乗得九百
　　以较十二自乗得一百四十四相并得一千○四十四以减共积余叄千防百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乗负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八余实八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十为亷并纵得二百○四注退位为方法次商四乗负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四
　　通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也
　　三隅算开平方法
　　凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之
　　式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径
　　俱几何曰方面圆径俱三十六
　　术四乗原积得玖千○防十贰
　　为实列七为隅算初商三乗隅
　　算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三余实二七防贰倍初商得六十为亷次商六乗隅算七得四十二为隅又以次商六乗亷六十得三百六十并隅得四百○二又并入亷六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乗原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更防
　　四带纵隅益积开平方法
　　式方不知积但以长乗一长二濶三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长濶较贰十肆问长几何曰七
　　十二术列所乗共数
　　为实置较为益纵约
　　三和得三长三濶以
　　并一长二濶得四长
　　五濶又并四较取四濶为长总得八长一濶共九叚以九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为隅法又以初商七乗益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一余实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乗负隅九得一十八为隅法另以次商二乗益纵二十四得四十八并入余实共加得余实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二
　　五带纵负隅减纵开平方法
　　同右法或损长以就之则用此也
　　式一长二濶三和四较以长乗之得肆万防千贰百壹十贰长濶较二十八问长几何曰七十四术列实较为
　　纵如右式推得九为负隅初商
　　七乗负隅九得六百三十为方
　　法内减带纵二十八余六百○
　　二退位注呼初商六七除四十
　　二二七除一十四余实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八余一千二百三十二为亷列余实下次商四乗负隅九得三十六为隅法并亷共一二六八呼次商除实尽得长七十四
　　六减积带纵隅益积开平方法
　　又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较之共数得若干求长者用此
　　式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗之得二万
　　九千九百五十二其较二十
　　四问长几何曰七十二术以
　　较自乗得五百七十六以减
　　原乗积余贰万玖千叄百防
　　十陆为实较为益纵六为隅算初商七乗隅算六得四百二十为隅法注实下又以初商七十乗益纵二十四得一千六百八十以益原实得三万一千○五十陆乃以隅法呼初商四七除二万八千二七除一千四百余实一千六百五十陆倍隅法四百二十得八百四十为亷次商二乗隅算六得一十二为隅法另以次商二乗益纵得四十八以益余实得一千七百○四乃并亷隅二法共八百五十二注余实下呼次商除实尽得长七十二
　　七带纵负隅减纵益积开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗得贰万玖
　　千叄百肆十捌长濶较二十
　　八问长几何曰七十四术列
　　实较为纵九为负隅【如前法】初
　　商七乗负隅得六百三十为
　　方法内减纵二十八余六百
　　○二注实下又以乗纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与余方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十余实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵余一千二百三十二为亷次商四乗负隅得三十六为隅法以乗纵得一千○八以益余实得五千○七十二为余实并亷隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四
　　八带纵亷开平方法
　　式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千玖百伍十贰长濶较二十四问濶几何曰四十八术列实减较之半得一十二为纵亷而以初商乗之初商四十为方法以乗纵亷得四百八十又并初商得五百二十退位注实下呼初商五四除贰万二四除八百余实玖千一百伍十贰倍所乘纵亷四百八十为九百六十倍方法四十
　　为八十相并得一千○四十为方法次商八为隅以乗纵亷十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四注实下呼次商除实尽得濶四十八
　　九带纵亷负隅开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千叄百肆十
　　捌长濶较二十八问濶几何曰
　　四十六术列实推得共八较九
　　濶用九为负隅以八乗较得二
　　百二十四为纵亷初商四乗负
　　隅九得三百六十为方法并纵亷共五百八十四注实下呼初商五四除贰万四八除三千二百四四除一十六余实五千九百八十捌倍方法三百六十为七百二十为亷并纵亷共九百四十四次商六乗负隅九得五十四为隅再并入亷并纵亷之九百四十四得九百九十八注实下呼次商除实尽得濶四十六
　　十带纵方亷开平方法
　　式一长二濶三和四较以长乗得肆万肆千玖百贰十
　　捌长濶较二十四问濶几何
　　曰四十八术列实以较为纵
　　方推得八长一濶共九倍
　　九为一十八作纵亷初商四
　　十为方法乗纵亷十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入纵方二十四共七百八十四注实下呼初商四七除二万八千四八除三千二百四四除一百六十余实一万三千五百六十捌倍纵亷乗并之七百六十为一千五百二十并入纵方二十四共一千五百四十四为亷次商八乗纵亷十八得一百四十四为隅乃将次商八亷一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六注实下呼次商除实尽得濶四十八
　　十一带纵亷负隅乗纵减实开平方法
　　式一长二濶三和四较以长乗得肆万防千贰百壹十
　　贰长濶较二十八问濶几
　　何曰四十六术列实推得
　　八长九用八乗较得二
　　百二十四为纵亷用九为
　　负隅又以较二十八为减纵方初商四十乗负隅九得三百六十为方法并入纵亷共五百八十四为下法以乗减纵二十八得一万六千三百五十二以减实余三万○八百六十为实乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二万四八除三千二百四四除一百六十余实七千五百倍方法三百六十得七百二十并纵亷二百二十四共九百四十四为亷次商六乗负隅九得五十四为隅又以乗减纵二十八得一千五百一十二以减余实余五千九百八十八为余实乃将亷九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除实尽得阔四十六
　　通曰正积可以防定位乗积亦可以防定位故列乗积三防而商止二位耳盖乗积虚増而非实有也
　　开平圆【少广之八】
　　积求外周法
　　式圆积二千三百五十二问外周几何曰一百六十八术置积以十二乗之得二万八千二百二十四为实平方开之得一百六十八为外周也
　　积求内径法
　　式圆积二千三百五十二问内径几何曰五十六术置积以四乗之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六为实平方开之得五十六为内径也

　　数度衍巻十二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十三
　　桐城　方中通　撰
　　开立方【少广之九】
　　珠算开立方法
　　式积一百九十五万三千一百二十五问立方一面几何曰一百二十五术置积盘中约初商一百别立下法亦置一百以初商自乗再乗得一百万以减实余九十五万三千一百二十五以三乗下法一百得三百为方
　　法列右次商二十
　　置下法一百之次
　　共一百二十又以
　　次商乗之得二千
　　四百为亷法再以
　　方法三百乗亷法
　　得七十二万以减
　　余实尚余二十三
　　万三千一百二十五又以次商自乗再乗得八千为隅法以减余实尚余二十二万五千一百二十五以三乗下法一百二十得三百六十为方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乗之得六百二十五为亷法又以方法三百六十乗亷法得二十二万五千以减余实尚余一百二十五又以三商自乗再乗得一百二十五为隅法以减余实实尽得面一百二十五
　　归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二问立方一面几何曰四百六十八术置积为实初商四百于左亦置四百于右自乗得一十六万乃与左四百相呼一四除实四千万四六除实二千四百万余实三千八百五十万○三千二百三十二以三乗右下一十六万得四十八万为方法归除之曰四三七余二实不足除曰起一还四则次商不可用七止可用六也乃呼六八除实四百八十万余实九百七十万○三千二百三十二另以次商六十乗初商四百得二万四千以三乗之得七万二千为亷法次商自乗得三千六百为隅法亷隅并得七万五千六百却以次商呼除之六七除实四百二十万五六除实三十万六六除实三万六千余实五百一十六万七千二百三十二以方法四十八万并入两回亷法十四万四千三囬隅法一万○八百共得六十三万四千八百为方法归除之曰六五八余二则三商为八也乃呼三八除实二十四万四八除实三万三千八八除实六千四百余实八万八千八百三十二再置初次两商共四百六十以三商八乗之得三千六百八十以三乗之得一万一千○四十并入三商自乗得六十四共一万一千一百○四却以三商呼除之一八除实八万一八除实八千一八除实八百四八除实三十二实尽得靣四百六十八
　　笔算开立方法
　　式捌十叄亿陆千伍百肆十贰万防千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作防隔二位一防共四防分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乗再乗得八减首位实捌完首叚次叚实叄陆伍除防上之伍未用且作叄十陆开之乃三倍初商二为六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十当以此数商除二叚之实而叄十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叄陆伍肆贰防除防上之防未用且作叄万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一万二千用此数于实内商之三商当
　　是三【实内有三回一万二千也】以亷六十乗三得一百八十并一万二千共一万二千一百八十又以三乗之得三万六千五百四十为亷另以三商三自乗再乗得二十七为隅将亷隅减实实尽隅必注防下故七在防下二在贰下也完三叚尚余四叚未开于右加○作四商得靣二千○三十
　　用命分式　术通曰实未尽者欲再开之须尾加三圏则开一商加六圏増二商他命分术无用矣
　　筹算开立方法【见筹算】
　　立方不等开法
　　通曰立方有三面三面俱等者用前法开之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用纵方亷开之三靣者髙濶长也
　　一长濶相等髙不等法
　　式积一千二百九十六长濶数等惟髙不及三问髙与长濶各几何曰髙九长濶皆十二术列实以髙不及三自乗得九为纵方又以不及三倍作六为纵亷有二防应约初
　　商一十因有纵方只商九自乗得八十一并纵方九得九十又以所商九乗纵亷六得五十四九十者方法也五十四者亷法也相并得一百四十四列实下呼所商九除实一九除九百四九除三百六十四九除三十六实尽得髙九加不及三得十二为长濶数
　　减积式积一千七百八十七万五千髙濶相等惟长多三十六问长髙濶各几何曰长二百八十六髙濶皆二百五十术列实初商二百自乗再乗得八百万次商五十两商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二万五千以减积余二百二十五万为实另以所商二百五十乘长多三十六得九千又乗二百五十得二百二十五万以减积实尽所商之二百五十乃髙濶数也加长多三十六得二百八十六乃长也
　　二长濶髙三不等法
　　式积一百二十濶多于髙二长又多于濶三问长濶髙各几何曰髙三濶五长八术通曰濶多于髙二髙濶较也长多于濶三长濶较也列实两较各自乘二自之得四三自之得九相并得
　　十三为纵方两较相乘得六为纵亷约商当是四因此有纵方只商三以三自乘得九并纵方十三得二十二为方法又以商三乗纵亷六得一十八为亷法二法相并得四十列实下呼商三四除一百二十实尽得髙三加二得濶五又加三得长八
　　立方带纵诸变
　　一带纵负隅开立方法
　　式实一千三百八十二万四千纵方八万六千四百二为隅法问方几何曰一百二十术列实初商一百自之得一万以隅二乗之得二万并纵得十万○六千四百为下法与初商一百相乗得一千○六十四万列实下
　　减实余实三百一十八万四千以三
　　乗隅法二万得六万为方法以三乗
　　初商得三百又以隅二乗之得六百
　　为亷次商二十乗亷得一万二千为
　　亷法以次商自之得四百以隅二乗
　　得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷法】八百【隅法】八万六千四百【纵方】共得一十五万九千二百为下法与次商二十相乗得三百一十八万四千列实下减实尽得方一百二十末防未开故知初商为百也
　　通曰下法乗商即呼商也竟列下法则呼商除实若列下法乗商之数则减实也
　　二带纵亷开立方法
　　式实二千一百六十万纵亷一百三十五问方几何曰二百四十术列实初商二百乗纵亷得二万七千初商自之得四万为隅法相并得六万七千为下法乗初商二百得一千三百四十万列下减实余实八百二十万倍纵亷乗数得五万四千三乗隅法得十二
　　万相并得一十七万四千为方法三乗初商得六百又并纵亷得七百三十五为亷次商四十乗亷得二万九千四百为亷法又以次商自之得一千六百为隅法乃并十七万四千【方法】二万九千四百【亷法】一千六百【隅法】共得二十万○五千为下法乗次商四十得八百二十万列下减实尽末防未开得方二百四十
　　三带纵减益亷开立方法
　　式实五百三十七万六千纵方一万七千六百益亷六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗益
　　亷得六万四千初商自乗得一万为
　　隅法以隅法并纵方得二万七千六
　　百以减益亷乗数余三万六千四百
　　为下法乗初商得三百六十四万列
　　下减实余实一百七十三万六千倍
　　益亷乗数得十二万八千三乗隅法得三万并纵方得四万七千六百为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗益亷得一万二千八百加入倍亷十二万八千得十四万○八百又以次商乗亷法三百得六千又以初商自乗得四百为隅法乃并四万七千六百【方法】六千【亷乗】四百【隅法】共得五万四千以减十四万○八百余八万六千八百为下法乗次商得一百七十三万六千列下减实尽得方一百二十
　　四纵亷减纵方翻法开立方法
　　式实一千○八万纵方二十一万三千六百纵亷一千二百问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得十二万以减纵方余九万三千六百为方法初商自乗得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乗初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之余二十八万为负积倍纵亷乗数得二十四万三乗隅
　　法得三万为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗纵亷一千二百得二万四千并入倍亷二十四万得二十六万四千以减纵方而纵方止二十一万三千六百不足减遇此则反以二十六万四千为纵方而以二十一万三千六百减之余五万○四百为负纵又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】以减负纵五万○四百余一万四千为下法乗次商得二十八万减实尽得方一百二十
　　五亷减纵开立方法
　　式实一千三百○五万六千纵方一十三万二千八百纵亷三百二十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得三万二千以减纵方余十万○八百初商
　　自乗得一万为隅法并余纵得十一
　　万○八百为下法乗初商得一千一
　　百○八万列下减实余实一百九十
　　七万六千倍纵亷乗数得六万四千
　　三乗隅法得三万为方法三乗初商
　　得三百为亷法次商二十乗纵亷三百二十得六千四百并入倍亷六万四千共七万○四百以减纵方余六万二千四百又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】又并余纵六万二千四百共九万八千八百为下法乗次商得一百九十七万六千减实尽得方一百二十
　　六带纵以亷益积开立方法
　　式实二千五百八十万○四千八百纵方一十九万三
　　千九百二十纵亷四百八
　　十半为隅算问方几何曰
　　二百四十术列实初商二
　　百乗纵亷得九万六千以
　　乗初商得一千九百二十
　　万为益实加入原实共得实四千五百万○四千八百又以初商自乗得四万以隅算乗之得二万为隅法以并纵方得二十一万三千九百二十为下法乗初商得四千二百七十八万四千列下减实余实二百二十二万○八百倍纵亷乗数得十九万二千三乘隅法得六万为方法三乗初商得六百以隅算半乗之得三百为亷法次商四十乘纵亷四百八十得一万九千二百并入倍亷十九万二千得二十一万一千二百以乘次商得八百四十四万八千为益实加入余实共实一千○六十六万八千八百以次商乗亷法三百得一万二千又以次商自乗得一千六百以隅算半乗之得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷乗】八百【隅法】及纵方十九万三千九百二十共得二十六万六千七百二十为下法乘次商得一千○六十六万八千八百减实尽得方二百四十
　　七负隅减纵以亷益纵开立方法
　　式实一亿○五百八十四万纵方五十三万六千四百纵亷三千六百隅算六问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵亷得三十六万初商自乘得一万以隅算六乗之得六万为隅法以减纵方余四十七万六千四百并纵亷乗数得八十三万六千四百为下法乗初商得八千三百六十四万减实余实二千二百二十万倍纵亷乗数得
　　七十二万三乗隅法得十八万为方法三乗初商得三百以隅算六乗之得一千八百为亷法次商二十乗纵亷三千六百得七万二千加入倍亷七十二万得七十九万二千为纵亷以次商乗亷法一千六百得三万六千又以次商自乗得四百以隅算六乗之得二千四百为隅法乃并十八万【方法】三万六千【亷乘】二千四百【隅法】共二十一万八千四百以减纵方余三十一万八千又并纵亷七十九万二千共一百一十一万为下法乗次商得二千二百二十万减实尽得方一百二十
　　八带纵负隅以亷减纵开立方法
　　式实七千三百四十四万纵方八十四万二千四百纵亷二千四百隅算四问方几何曰一百二十术通曰列
　　实初商一百乗纵亷得二十四万减
　　纵方余六十万○二千四百初商自
　　乗得一万以隅四乘之得四万为隅
　　法并余纵共六十四万二千四百为
　　下法乗初商得六千四百二十四万
　　减实余实九百二十万倍纵亷乗数得四十八万以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百以隅算四乗之得一千二百为亷法次商二十乗纵亷二千四百得四万八千并入倍亷四十八万得五十二万八千以减纵方余三十一万四千四百又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百以隅算四乗之得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乘】一千六百【隅法】及余纵三十一万四千四百共四十六万为下法乗次商得九百二十万减实尽得方一百二十九带纵负隅以亷减纵翻法开立方法
　　式实二千○八十八万九千六百纵方二十七万○八十纵亷一千二百八十隅算四问方几何曰一百二十术通曰列实初商一百乗纵亷得十二万八千减纵方余十四万二千○八十初商自乗得一万乗隅算四得四万为隅法并余纵得十八万二千○八十为下法乗初商得一千八百二十万○八千减实余实二百六十八万一千六百倍纵亷乗数得
　　二十五万六千以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百乗隅算四得一千二百为亷法次商二十乗纵亷得二万五千六百并入倍亷得二十八万一千六百以减纵方不足减反以纵方二十七万○八十减之余一万一千五百二十为负纵又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百乗隅算四得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乗】一千六百【隅法】共十四万五千六百以减负纵余十三万四千○八十为下法乗次商得二百六十八万一千六百减实尽得方一百二十
　　十带纵方亷开立方法
　　式实一千○二十万纵方四万纵亷二百五十五问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得二万五
　　千五百初商自乗得一万为隅法并
　　纵亷乗数得三万五千五百又并纵
　　方得七万五千五百为下法乗初商
　　得七百五十五万减实余实二百六
　　十五万倍纵亷乗数得五万一千三
　　乗隅法得三万相并得八万一千为方法三乗初商得三百并纵亷得五百五十五为亷法次商二十乗亷法得一万一千一百又以次商自乗得四百为隅法乃并八万一千【方法】一万一千一百【亷乗】四百【隅法】及纵方共十三万二千五百为下法乗次商得二百六十五万减实尽得方一百二十
　　通曰诸式皆三防因末防皆○未开故初商皆为百也开立圆【少广之十】
　　积求外周法
　　式积六万二千二百○八问立圆外周几何曰一百四十四术置积以四十八乗之得二百九十八万五千九百八十四用立方开之得方面一百四十四即立圆周也
　　积求内径法
　　式积六万二千二百○八问立圆内径几何曰四十八术置积以十六乗之得九十九万五千三百二十八以九除之得十一万○五百九十二用立方开之得方面四十八即立圆径也

　　数度衍卷十三
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十四
　　桐城　方中通撰
　　开三乗方【少广之十一】
　　开三乗方法
　　式积二千○一十五万一千一百二十一问三乗方一面几何曰六十七术列实从末位作防隔三位一防每一防为一商也初商六十自乗得三千六百再乗得二十一万六千为隅法乗初商得一千二百九十六万减实余实七百一十九万一千一百二十一以四乗隅法得八十六万四千为方法另以初商自乗得三千六百以六乗之得二万一千六百为上亷又将初商以四乗之得二百四十为下亷次商七自乗得四十九以七乗之
　　得三百四十三为隅法另以次商乗上亷得十五万一千二百以七乗下亷得一千六百八十再以七乗之得一万一千七百六十乃并八十六万四千【方法】一十五万一千二百【丄亷乗数】一万一千七百六十【下亷乗数】三百四十三【隅法】共一百○二万七千三百○三为下法乗次商得七百一十九万一千一百二十一减实尽得方六十七又术列实平方开之四位商得一面四千四百八十九又以此数为实平方开之得一面六十七亦合
　　通曰式内所云以七乗之非次商七也与以四乗以六乗同为应用之率次商七盖偶合耳
　　通曰三乗方形虽系长立方然亦大平方也今以小平方边甲乙自乗得甲丁小平方形再乗得丙戊长方形此形内容甲丁
　　形者十也三乗得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申邉与甲丁形幂等故甲乙自乗得小平方丙甲自乗得大平方
　　三乗方带纵诸变
　　一带纵方亷开三乗法
　　式积一百○五亿七千六百○六万五千六百纵方四百七十三万○六百四十纵一亷五十一万一千九百○七纵二亷一千四百○六问方几何曰一百二十术列实初商一百以乗纵一亷得五千一百一十九万○
　　七百初商自乗得一万以乗纵二
　　亷得一千四百○六万初商自乗
　　再乗得一百万为隅法乃并纵一
　　亷乗数纵二亷乗数隅法及纵方
　　共七千○九十八万一千三百四
　　十为下法乗初商得七十亿○九
　　千八百一十三万四千减实余实
　　三十四亿七千七百九十三万一千六百以二乗纵一亷乗数得一亿○二百三十八万一千四百以三乗纵二亷乗数得四千二百一十八万以四乗隅法得四百万并三数共得一亿四千八百五十六万一千四百为方法以初商自乗得一万以六乗之得六万又以初商三之得三百乗纵二亷得四十二万一千八百并六万及纵一亷得九十九万三千七百○七为上亷初商四之得四百并纵二亷得一千八百○六为下亷次商二十以乗上亷得一千九百八十七万四千一百四十以次商自乗得四百乗下亷得七十二万二千四百又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法及纵方共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法乗次商得三十四亿七千七百九十三万一千六百减实尽得方一百二十
　　二带纵亷益积开三乗方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十益亷八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百以乗益亷得八十六万四千并纵方得一百五十一万六千三百二十为益积之法乗初商得一亿五千一百六十三万二千为益实加入原积共一
　　亿五千六百二十九万七千六百
　　为通实乃以初商自乗再乗得一
　　百万为隅法乗初商得一亿减实
　　余五千六百二十九万七千六百
　　为次商之实以二乗益亷乗数得
　　一百七十二万八千以四乗隅法
　　得四百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万为上亷以初商四之得四百为下亷次商二十以乗益亷得十七万二千八百加入倍亷【即二乗益亷数】共一百九十万○八百又并纵方共二百二十五万三千一百二十为益积之法乗次商得五千一百○六万二千四百为益实加入次实共一亿○七百三十六万为通实乃以次商乗上亷得一百二十万又以次商自乗得四百以乗下亷得十六万又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法共五百三十六万八千为下法乗次商得一亿○七百三十六万减实尽得方一百二十
　　三带纵方亷减隅翻法开三乗方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十纵亷八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得八十六万四千初商自乗再乗得一百万为隅法并纵亷乗数纵方共一百五十一万六千三百二十以减隅法而
　　隅法止一百万不足减反减并数一百万余五十一万六千三百二十为负积乗初商得五千一百六十三万二千加入原积共五千六百二十九万七千六百为次商之实倍纵亷乗数得一百七十二万八千以四乗隅法得四百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万为上亷以初商四之得四百为下亷次商二十以乗纵亷得十七万二千八百并入倍亷共一百九十万○八百以次商乗上亷得一百二十万又以次商自乗得四百乗下亷得十六万又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法共五百三十六万八千为通隅以纵亷共数一百九十万○八百并纵方得二百五十五万三千一百二十以减通隅余二百八十一万四千八百八十为下法乗次商得五千六百二十九万七千六百减实尽得方一百二十通曰减法而后益实益实而后减法其余实一也但开方诸法惟此初商益实次商减实耳
　　四亷隅减纵开三乗方法
　　式实八十五亿五千二百五十五万○四百纵方五千三百四十五万三千四百四十纵一亷十八万四千九百六十纵二亷五百七十八隅算二问方几何曰一百三十六术列实初商一百乗纵一亷得一千八百四十
　　九万六千为益纵初商自乗
　　得一万乗纵二亷得五百七
　　十八万为益隅初商自乗再
　　乗以隅算二乗之得二百万
　　加益隅共七百七十八万为
　　减纵以减纵方余四千五百
　　六十七万三千四百四十加
　　益纵共六千四百一十六万九千四百四十为下法乗初商得六十四亿一千六百九十四万四千减实余二十一亿三千五百六十万○六千四百为次商之实以二乗益纵得三千六百九十九万二千为益纵方以三乗益隅得一千七百三十四万为益隅之方以三乗初商得三百再乗纵二亷得十七万三千四百为益隅之亷以四乗隅法二百万得八百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万又以隅算二乗之得十二万为上亷以初商四之得四百又以隅算二乗之得八百为下亷次商三十以乗纵一亷得五百五十四万八千八百并入益纵方共四千二百五十四万○八百为益纵之亷以次商乗益隅之亷得五百二十万○二千又以次商自乗得九百乗纵二亷得五十二万○二百为益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗数益隅之隅共二千三百○六万二千二百为次商益隅以次商乗上亷得三百六十万以次商自乗得九百乗下亷得七十二万以次商自乗再乗得二万七千再以隅算二乗之得五万四千为正隅乃并方法上亷乗数下亷乗数正隅共一千二百三十七万四千为次商隅法加次商益隅共三千五百四十三万六千二百为减纵以减纵方余一千八百○一万七千二百四十加益纵之亷共六千○五十五万八千○四十为下法乗次商得十八亿一千六百七十四万一千二百减实余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实以二乗五百五十四万八千八百【次商乗纵一亷之数】得一千一百○九万七千六百并入益纵方共四千八百○八万九千六百为再益纵方以二乗益隅之亷乗数得一千○四十万○四千以三乗益隅之隅得一百五十六万○六百并此二乗数得一千一百九十六万四千六百再并前益隅之方共二千九百三十万○四千六百为再益隅之方并初次两商得一百三十以三乗之得三百九十以乗纵二亷得二十二万五千四百二十为再益隅之亷以二乗上亷乗数得七百二十万以三乗下亷乗数得二百一十六万以四乗正隅得二十一万六千并此三乗数得九百五十七万六千再并前方法共一千七百五十七万六千为再方法并初次两商得一百三十自乗得一万六千九百以六乗之得十万○一千四百以隅算二乗之得二十万○二千八百为再上亷以初次两商四之得五百二十以隅算二乗之得一千○四十为再下亷三商六以乗纵一亷得一百一十万○九千七百六十并入再益纵方共四千九百一十九万九千三百六十为再益纵之亷以三商乗再益隅之亷得一百三十五万二千五百二十以三商自乗得三十六以乗纵二亷得二万○八百○八为再益隅之隅乃并再益隅之方再益隅之亷乗数再益隅之隅共三千○六十七万七千九百二十八为三商益隅以三商乗再上亷得一百二十一万六千八百以三商自乗得三十六乗再下亷得三万七千四百四十以三商自乗再乗得二百一十六再以隅算二乗之得四百三十二为再正隅乃并再方法再上亷乗数再下亷乗数再正隅共一千八百八十三万○六百七十二为三商隅法加三商益隅共四千九百五十万○八千六百为减纵以减纵方余三百九十四万四千八百四十加再益纵之亷共五千三百一十四万四千二百为下法乗三商得三亿一千八百八十六万五千二百减实尽得方一百二十
　　五带纵负隅以二亷隅益积开三乗方法
　　式实三百亿○六千七百五十六万纵方一亿○二十二万五千二百纵一亷三十四万六千八百纵二亷五
　　百七十八隅算二问方几
　　何曰二百五十五术列实
　　初商二百乗纵一亷得六
　　千九百三十六万为益纵
　　初商自乗得四万以乗纵
　　二亷得二千三百一十二
　　万为益隅初商自乗再乗
　　得八百万以隅算二乗之得一千六百万为正隅并入益隅共三千九百一十二万又以初商乗之得七十八亿二千四百万为益实加入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以益纵加入纵方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法乗初商得三百三十九亿一千七百○四万减实余三十九亿七千四百五十二万为次商之实以二乗益纵得一亿三千八百七十二万为益纵方以三乗益隅得六千九百三十六万为益隅之方以三乗初商得六百乗纵二亷得三十四万六千八百为益隅之亷以四乗正隅得六千四百万为方法以初商自乗得四万又以六乗之得二十四万又以隅算二乗之得四十八万为上亷以初商四之得八百以隅算二乗之得一千六百为下亷次商五十以乗纵一亷得一千七百三十四万为益纵亷并入益纵方共一亿五千六百○六万为益纵以次商乗益隅之亷得一千七百三十四万以次商自乗得二千五百乗纵二亷得一百四十四万五千为益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗数益隅之隅共八千八百一十四万五千为益隅以次商乗上亷得二千四百万以次商自乗得二千五百乗下亷得四百万以次商自乗再乗得十二万五千以隅算二乗之得二十五万为隅法乃并方法上下亷各乗数隅法共九千二百二十五万为正隅加益隅共一亿八千○三十九万五千以次商乗之得九十亿○一千九百七十五万为益实加入余实共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以益纵方一亿五千六百○六万并纵方得二亿五千六百二十八万五千二百为下法乗次商得一百二十八亿一千四百二十六万减实余一亿八千○一万为三商之实以二乗益纵亷得三千四百六十八万并入益纵方得一亿七千三百四十万为再益纵方以二乗益隅之亷乗数得三千四百六十八万以三乗益隅之隅得四百三十三万五千以前益隅之方合此二数共一亿○八百三十七万五千为再益隅方并初次两商得二百五十而三之得七百五十乗纵二亷得四十三万三千五百为再益隅之亷以二乗上亷乗数得四千八百万以三乗下亷乗数得一千二百万以四乗隅法得一百万并此三数及前方法共一亿二千五百万为方法并初次两商自乗得六万二千五百而六之得三十七万五千又以隅算二乗之得七十五万为上亷并初次两商而四之得一千以隅算二乗之得二千为下亷三商五以乗纵一亷得一百七十三万四千为再益纵亷并再益纵方得一亿七千五百一十三万四千为益纵方以三商乗再益隅之亷得二百一十六万七千五百以三商自乗得二十五乗纵二亷得一万四千四百五十为再益隅之隅乃并再益隅方再益隅亷乗数再益隅之隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅以三商乗上亷得三百七十五万以三商自乗得二十五乗下亷得五万以三商自乗再乗得一百二十五以隅算二乗之得二百五十为隅法乃并本叚方法上下亷乗数隅法共一亿二千八百八十万○二百五十为正隅加本叚益隅共二亿三千九百三十五万七千二百以三商乗之得十一亿九千六百七十八万六千为益实加入余实得十三亿七千六百七十九万六千为通实以本叚益纵方并纵方得二亿七千五百三十五万九千二百为下法乗三商得十三亿七千六百七十九万六千减实尽得方二百五十五
　　通曰此以纵一亷益纵纵二亷益隅也
　　六带纵负隅以二亷减纵开三乗方法
　　式实五十亿○一千三百五十万○四千纵方四千七百万○一千六百纵一亷四千四百八十纵二亷六百四十隅算二问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵一亷得四十四万八千为益纵之法初商自乗得一万乗纵二亷得六百四十万为减纵之法初商自乗再乗得一百万乗隅算得二百万为隅法以减纵之法减纵方余四千○六十万○一千六百加益纵之法得四千一百○四万九千六百并隅法共四千三百○四万九千六百为下法乗初商得四十三亿○四百九十六万减实余七亿○八百五十四万四千为次商之实以二乗益纵之法得八十九万六千为益纵之亷以三乗减纵之法得一千九百二十万为减纵之方
　　以三乗初商得三百乗纵二亷得十九万二千为减纵之亷以四乗隅法得八百万为方法以初商自乗得一万而六之得六万又乗隅算得十二万为上亷以初商四之得四百乗隅算得八百为下亷次商二十以乗纵一亷得八万九千六百并益纵之亷得九十八万五千六百为益纵之法以次商乗减纵之亷得三百八十四万以次商自乗得四百乗纵二亷得二十五万六千以并减纵之方减纵之亷乗数共二千三百二十九万六千为减纵之法以次商乗上亷得二百四十万以次商自乗得四百乘下亷得三十二万以次商自乗再乗得八千乗隅算得一万六千并方法上下亷乗数共一千○七十三万六千为隅法以本叚减纵之法减纵方余二千三百七十万○五千六百加本叚益纵之法得二千四百六十九万一千二百并本叚隅法共三千五百四十二万七千二百为下法乗次商得七亿○八百五十四万四千减实尽得方一百二十
　　通曰如以减纵之法减纵方而纵方数少不足减则以益纵之法并纵方然后减之以其余数并隅法不更加益纵之法矣
　　七带纵方亷以二亷减纵开三乗方法
　　式实一十九亿五千五百一十一万九千六百八十纵方二千二百四十七万二千六百四十纵一亷一十万○六千九百二十九纵二亷六百五十四问方几何曰七十二术列实初商七十乗纵一亷得七百四十八万五千○三十为益纵之实初商自乗得四千九百乗纵二亷得三百二十万○四千六百为减纵初商
　　自乗再乗得三十四万三千为隅法以减纵减纵方余一千九百二十六万八千○四十加益纵之实得二千六百七十五万三千○七十并隅法共二千七百○九万六千○七十为下法乗初商得一十八亿九千六百七十二万四千九百减实余五千八百三十九万四千七百八十为次商之实以二乗益纵之实得一千四百九十七万○六十为益纵之亷以三乗减纵得九百六十一万三千八百为减纵之方以三乗初商得二百一十乗纵二亷得十三万七千三百四十为起下减亷以四乗隅法得一百三十七万二千为方法以初商自乗得四千九百而六之得二万九千四百为上亷以初商四之得二百八十为下亷次商二以乗纵一亷得二十一万三千八百五十八并益纵之亷得一千五百一十八万三千九百一十八为益纵之实以次商乗起下减亷得二十七万四千六百八十为减纵之亷以次商自乗得四乗纵二亷得二千六百一十六以并减纵之方减纵之亷共九百八十九万一千○九十六为减纵之实以次商乗上亷得五万八千八百以次商自乗得四乗下亷得一千一百二十以次商自乗再乗得八为正隅以并方法上下亷乗数共一百四十三万一千九百二十八为隅法以本叚减纵之实减纵方余一千二百五十八万一千五百四十四加本叚益纵之实共二千七百七十六万五千四百六十二并本叚隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法乗次商得五千八百三十九万四千七百八十减实尽得方七十二广诸乗方【少广之十二】
　　开诸乗方説
　　凡积数若千以平面开之适得自乗之数者为开平方其立方乃开平再乘积也三乘方长立方也【如以二自乗起者得两立方以三自乗起者得三立方之类但以平方一边之数为凖】四乗方平靣立方也【如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方】五乗方大立方也【如系二自乗起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乗起者有二十五立方则进并一百二十五立方之类】自此推之六乗方视三乘形七乘方视四乗形八乗方视五乘形余乘仿此可至无穷今立捷法由平面至诸乗总一条理先以诸乗原委布图乗母为原乗出之子为开
　　初商寻原图
　　凡开方列位以防分叚者平方每二位防作一叚再乗方每三位一叚三乗方每四位一叚仿此推之至九乗则十位一叚
　　矣皆自尾小数起而先以最大数
　　之首叚捡上图以寻其原即以原
　　数开之
　　如平方开者首数系四十九平
　　行横查知七是原数用七自乗可
　　开若首叚数系六十四者即知八
　　是原数用八自乗可开若系六十
　　三者不及六十四一数仍以七开
　　之如再乗方开者首系二十七查知其原系三即以三自乗再乘开之若首叚系六十四者即知四是原数用四自乘再乗开之若系六十三仍以三开之如三乗方者首系八十一即知三是原数用三自乗再乗三乗开之
　　通曰商还原而如其积积还原而如其商也

　　如四乗方者首叚系一千○二十四即知四是原数如五乗方者首系一万五千六百二十五即知五是原数

　　如六乘方者首叚系二十七万九千九百三十六即知六是原数如七乗方者首叚系五百七十六万四千八百○一即知七是原数虽千万乗方其原皆可得也原数即初商也
　　次商用通率图
　　右图已得首位方法余实倍方为亷平方者一倍再乗方者再倍三乗方者三倍四乗以上皆以本乗之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为二○立方有二率为三○○为三○三乗方有三率为四○○○为六○○为四○【一○为十両○为百】自此以上诸乗仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乘之以乗出之数较余实约得几何母之几何而即以其母为亷法也以首行所列之二为平方三为立方四为三乗方至十七则十
　　六乗方也他乗
　　仿此
　　首行之数自一
　　顺列二行之数
　　承首行上格二
　　数积之如首行
　　三格是三二行
　　三格亦是三相
　　并得六故二行
　　之四格为六也
　　又如首行四格
　　是四二行四格
　　是六相并得一
　　十故二行之五
　　格为一○也三
　　行以至九行皆
　　然

　　三乗之四系
　　廻用
　　四乗之五五
　　乗之六与一
　　五皆廻用
　　六乗廻用二
　　位七乗廻用
　　三位

　　如前平方一乗者用一率曰二乃加一○为二○与方法相乗立方再乗者用两率曰三曰三乃以右小数加一○为三○左大数加两○为三○○而以三百乗方法其三乗方者用三率曰四曰六止两数则又廻用右方之四为一率以补之曰四六四先以末位四加一○为四○次以六加两○为六○○再以首位四加三○为四○○○乃以四千乗方法四乗方者廻用首行之五补足四率曰五曰一十曰一十曰五然后加○如右图五乗方者廻用首行之六及二行之一十五补足五率也
　　通曰凡补一位者止廻用首行之数补二位者则兼用二行之数补三位者则兼用三行之数也其加○之法每一位加一○毋论其数之原有○无○与夫原数之为零为几十几也
　　诸式
　　一乗方式【即平方】术实六百七十六万五千二百○一初商二为方法以求亷法立二○为通率列中位列方法于左位以相乗得四十以较余实之首二七约得六之一【二二七六作二百七十六是二百七十内有六回四十也】乃立六为亷法列于右位自乗得三十六为隅法附列乃以亷法六乗四十得二百四十并隅法三十六共二百七十六尽第二叚余实五二○一并亷入方为二
　　十六列左乗通率二十得五百二十以较余实得一又以一为亷法列右自乗仍是一为隅法共五二一而实不足减乃作五千二百○一尽第四叚商得二六○一也
　　又式　术若已得亷法而以乗通率反浮余实或亷法相合而隅法又浮余实者皆减其亷法以乗之如实二百八十九初商一除实余实一百八十九次商以方法乗通率得二○以较余实可用九除实一百八十而隅法八十一则浮原积是九不可用矣减一数用八仍不足除乃用七为亷法乗得一四除实一百四十尚余四十九足除隅法故商得一十七也
　　再乘方式【即立方】术实二十三万八千三百二十八寻原母六自乘再乘得二一六除实余二万二千三百二十
　　八以六为方法求亷法用二率曰三
　　十曰三百自下而上叠位以方六对
　　三○以方六自乘得三六对三○○
　　各列于左初乗以三六乗三○○得
　　一万○八百以视余实约得二之一乃立二为亷以对三○○复以亷二自乗得四又以二四相乗得八为隅皆列右以亷二乗一万○八百得二万一千六百再乗以六乗三○得一百八十又以四乗之得七百二十并初乗数及隅八共二万二千三百二十八减实尽商得六十二也
　　又式　术若初商方法只系一数者通率无乗须并诸率除之如实一千三百三十一初商以一为方法除浄首实一千次并中位两通率一除可净即以一为亷法对通率三百亷
　　自乗仍得一对通率三十再乗仍得一为隅附列共并得三百三十一【两率一隅】除实尽商得一十一也
　　通曰凡以一为方法者皆可以诸位通率并之以求也三乘方式　术实一千四百七十七万六千三百三十
　　六寻原母六自乗再乗三乗得一
　　二九六除实余一百八十一万六
　　千三百三十六以六为方法求亷
　　用通率三位曰四十曰六百曰四
　　千方六自乗得三六再乗得二一
　　六自下而上对列初乗以二百一十六乗四千得八十六万四千较余实约二之一以二为亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下对列乃以二乗八十六万四千得一百七十二万八千再乘以三十六乗六百得二万一千六百以四乗得八万六千四百三乗以六乗四十得二百四十以八乗得一千九百二十乃并三数及隅十六共合余实商得六十二
　　四乗方式　术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二寻原母六自乗至四乗得七七七六除实余一亿三千八百五十三万二千八百三十二求亷用四位通率曰五十曰一千曰一万曰五万以方法六自乗得三十六再乗得二百一十六三乗得一千二百九十六自下而上对列初乘以一千二百九十六乗五万得六
　　千四百八十万以较余实约得
　　二之一以二为亷自乗得四再
　　乗得八三乗得十六自上而下
　　对列又四乗得三十二为隅乃
　　以二乗六千四百八十万得一
　　亿二千九百六十万次乗二百
　　一十六乗一万得二百一十六万以四乗得八百六十四万三乘三十六乗一千得三万六千以八乗得二十八万八千四乗六乘五十得三百以十六乗得四千八百乃并四次乘数及隅共合余实商六十二
　　五乗方式　术实五百六十八亿○二十三万五千五
　　百八十四寻原母六以其五
　　乗数除实余一百○一亿四
　　千四百二十三万五千五百
　　八十四求亷用五位通率曰
　　六十曰一千五百曰二万曰
　　一十五万曰六十万以方六
　　自乗再乗三乘四乘自下而
　　上对列初乘左首位乘中首位得四十六亿六千五百六十万以较余实约得二之一以二为亷自乗再乗三乗四乗自上而下对列又五乗得六十四为隅乃以右首位乗所得较数得九十三亿三千一百二十万次乗左次位乗中次位又以右次位乗之得七亿七千七百六十万三乗左三位乗中三位又以右三位乗之得三千四百五十六万四乗左四位乗中四位又以右四位乗之得八十六万四千五乗左末位乗中末位又以右末位乗之得一万一千五百二十并五次乗数及隅共合余实商得六十二
　　六乗方式　术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻原母六以其六乗数除实余七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八求亷用六位通率曰七十曰二千一百曰三万五千曰三十五万曰二百一十万曰七百万以方六自乗再乗三乗四乗五乗自下而上对列初乗左首位乘中首位得三千二百六十五亿九千二百万以较余实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘五乗自上而下对列又
　　六乗得一百二十八为隅
　　乃以右首位乗所得较数
　　得六千五百三十一亿八
　　千四百万次乗左次位乗
　　中次位又乗右次位得六
　　百五十三亿一千八百四
　　十万三乗左三位乗中三
　　位又乗右三位得三十六
　　亿二千八百八十万四乘左四位乗中四位又乗右四位得一亿二千○九十六万五乗左五位乗中五位又乗右五位得二百四十一万九千二百六乘左六位乗中六位又乗右六位得二十六万八千八百并六次乗数及隅共合余实商得六十二
　　七乗方式　术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻原母一除实一兆余实求亷用七位通率曰八十曰二千八百曰五万六千曰七十万曰五百六十万曰二千八百万曰八千万方法一数无乗当并通率诸位以较余
　　实而惟首次两数同为
　　大数其余小数不足为
　　多寡且从省只并首次
　　两率开之并得一亿○
　　八百万以较余实约可
　　用三然自乗之九乗中
　　次位其数浮当减用二
　　为亷自乗再乗三乗四
　　乗五乗六乗自上而下
　　对列又七乗得二百五十六为隅初乗右首位乗中首位得一亿六千万次乗右二位乗中二位得一亿一千二百万三乗右三位乗中三位得四千四百八十万四乘右四位乗中四位得一千一百二十万五乘右五位乗中五位得一百七十九万二千六乘右六位乗中六位得一十七万九千二百七乗右七位乗中末位得一万○三百六十八乃并七次乗数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除余实尚余实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万
　　二千一百六十一【乗得三亿从三兆除
　　起】再商自首至尾以一叚开
　　之乃并亷入方共一十二自
　　乗再乗三乗四乗五乗六乗
　　自下而上对列于左初乗左
　　首位乗中首位得二千八百
　　六十六万五千四百四十六
　　亿四千万以较余实只可用
　　一以一为亷无乗隅亦是一
　　次乘左次位乗中次位得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乗左三位乗中三位得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乗左四位乗中四位得一百四十五亿一千五百二十万五乘左五位乗中五位得九千六百七十六万八千六乘左六位乗中六位得四十万○三千二百七乗左末位乗中末位得九百六十乃并七次乗数及隅共合余实商得一百二十一寻原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乗之原若三乗方者以平方开之得数又平方开之即得原矣五乗方者以平方开之得数又立方开之或先开立而后开平即得原矣六乗方者作四乗方开二次即得其原七乗方者作平方开三次即得其原八乗方者作立方开二次即得其原九乗方者先开平而后开四乗或先开四乗而后开平即得其原若十乗方者作四乗方开三次即得其原矣
　　竒零诸乗开方法
　　式　术凡开方诸法以寻原为第一义即竒零中有母数子数俱有原可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二为原以三自乗再乗得二十七以二自乗再乗得八也又如三乗方所得【一八】之【六一】亦以三之二为原以三自乗再乗三乗得八十一以二自乗再乗三乗得一十六也有二数并列子母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乗法两母乗得三十六两子乗得一十六是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四以四九三十六四四一十六可用四为纽数者也有以全数带竒零而亦有原可寻者如有全数二又【七二】之【○一】依化法化得【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四以三再乗为二十七四再乗为六十四归整得一又三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开也寻原之术数之多者约之以至于寡如【五四】之【○二】约之为九之四其开平方之原即是三之二也如【一八】之【四二】约之为【七二】之八其开立方之原即是三之二也他一有原一无原者如九之六九有原六无原又如【○二】之【一二】则命分数与得分数俱无原皆不可开矣然数穷则变变则通不可开者又立法以开之如无原有数之最相近者可借以为原即以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥宻其原亦弥近也弥近之数或稍多于所求或稍约于所求而皆可以为原者也如以五数为开平方是为无原而任借【○一】为之原以一十自乗得一百以五乗得　虽【○一】不为　之原乃其原之最近者有两数其一为　以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四也】此近而朒者其一为　以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九也】此近而盈者何也试以所借【○一】为命分之母以【二二】为得分之子以【○一】之【二二】自乗【此系整二又带零一十之二】所得　之内除四百为四整数余【四八】为　之【四八】夫以四零　之
　　【四八】视二零【○一】之二犹五百与二十二之比例也试以所借【○一】为母以【三二】为子以【○一】之【三二】自乗【此系整二又零一十之三】得之　内除五百为五整数余【九二】为　之【九二】夫以五零之【九二】视二零【○一】之三犹五百与二十三之比例也故五可以借一十也如以九数为开立方亦为无原而任借【○一】为　之原以九乗得　虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为　以【○二】为原此近而朒者一为以【一二】为原此近而盈者何也试以【○一】为母【○一】之【○二】系
　　整二数自乗再乗即得【○一】之八试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗即得九零　之　也【母一十自乗再乗得一千子整二化二十并入一为二十一自乘再乗得九千二百六十一以九千归整得整九余为一千之二百六十一也】故【○一】可以为九借也如以【○四】数为四乗方亦为无原任借【○一】自乘至四乗得一十万以一十乗之得四百万用前法推衍其原之近者一为【○二】一为【一二】何也以【○一】为【○二】之母则【○一】之【○二】系整二数自乗至四乗为【○一】之【二三】以视【○四】近而朒以【○一】为【一二】之母则【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗【化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乘得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还原得整四十数其零为八四二○一也】以视【○四】近而盈故【○一】可以为四十借也

　　数度衍卷十四
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十五
　　桐城　方中通　撰
　　丈量【方田之一】
　　定亩
　　通曰弓步丈尺虽二法一理也横一步纵二百四十步横一丈纵六十丈皆亩也方五尺为步是为一弓五寸为分五分为厘二十五尺为弓羃四其弓羃则方面一丈故知二百四
　　十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽亩至百则曰顷
　　积步求亩法
　　长弓几何广弓几何相乗为积步二广者并数用二折三广用三折四广用四折长亦若是折为一长一广然后相乗非折而少之折而方之也既得积步用除法求亩详后式【按三折四折语有误】
　　用二十四除式　术直田一坵长四十弓广十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二亩四分折广式　术长四十弓四广一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并诸广得五十六弓八尺每尺作二分归整得五十七弓六分四广当用四除折之折得十四弓四分始与长弓相乗得五百七十六步用二十四除见亩
　　珠算飞归法
　　诀曰一加三隔四　　　　二加六隔八
　　进一除二四　一曰二十四子一方归
　　进二除四八　一曰四十八子进二枚
　　进三除七二　一曰七十二子进三枚
　　进四除九六　一曰九十六子进四枚
　　独三进一位二五【下位无子曰独】　独九进三位七五
　　一二身作五　一曰见一作五下除二
　　六退一进二　一曰六十进二五　一曰六除留五上
　　添二　　　　　　　　　一四四作六
　　一六八作七　　　　　　一九二作八
　　一八作七五　　　　　　三六进一五
　　二一六作九
　　通曰飞归者二十四除之捷法也进在左位作加皆在本位隔在右位之下位也
　　式　术直广皆六百六十六弓相乗得四十四万三千五百五十六步用飞归丑寅二位作四十四曰进一除二四进一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六为八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三为四辰五加四为九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰进三除七二卯五加三为八
　　辰去七空巳除二存三曰进一除二四进一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二实尽而止得一千八百四十八亩一分五厘原积千位为亩也
　　用三除八除式　术积二百四十步先用三除得八后用八除得一乃一亩也先用八除后用三除亦可用四除六除式　术积二百四十步先用四除得六后用六除得一亩先用六除后用四除亦可
　　用两次五因又六除式　术积二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除见亩
　　通曰用二十四除者二百四十步为一亩也三八乗得二十四四六亦乗得二十四故皆可用五因即二除折半法也两次五因即四除也犹如先用四除后用六除耳
　　积尺求亩法
　　用六除式　术直八十尺广七十五尺相乗得六千尺用六除之得一亩
　　通曰广一弓直二百四十弓即广五尺直一千二百尺也以五乗一千二百得六千尺故用六除
　　用倍尺又二十四除式　术直八十尺倍为一百六十尺广七十五尺倍为一百五十尺然后相乗得二万四千尺再用二十四除见亩
　　通曰此通尺为步也五尺为步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求实积也
　　合积求亩法
　　或直步广尺或直尺广步其积步法则化尺为步其积尺法则化步为尺凡步下有零尺寸者皆化之
　　化尺式　术直十六步广七十五尺以二因广尺得一百五十尺作十五弓然后相乗得二百四十为积步如法见亩
　　化步式　术直十六步广七十五尺以五因直步得八十尺然后相乗得六千尺为积尺如法见亩
　　不积求亩法
　　直广不须相乗积步随意以直为主以广为主而算其不主之弓数也主直则算广主广则算直
　　诸率
　　二弓折半六而一【而一者归也】　三弓用八归
　　四弓用六归
　　五弓用六八归【或先六后八或先八后六皆可】
　　六弓用四归　　　　　　八弓用三归
　　九弓用五因又四归　　　十二弓用折半
　　十五弓用二八归　　　　十六弓用三归又加倍十八弓折半又五因
　　二十四弓十为亩【见十弓为一亩也】
　　二十五弓折半又六八归　三十二弓四因又三归三十六弓用五因
　　三十七弓半用八八归【两次八归也】
　　四十八弓加一倍　　　　六十四弓三归又八因七十二弓加倍又五因　　七十五弓用四八归九十六弓用四因
　　主直式　术如以直为主者直或二弓或二十弓或二百弓则以广弓之数在位折半余用六归见亩
　　主广式　术如以广为主者广或十五弓或一百五十弓则以直弓之数在位先用二归后用八归见亩
　　步带竒零法
　　单分母子式　术直十五步广三步五分步之四置三步以分母五通之为十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之为七十五乃以七十五与十九相乗得一千四百二十五为实另以分母五自乗得二十五为法除实得积步
　　双分母子式　术直九十七步四十九分步之四十七广二步二十分步之九置广二步以分母二十乗之【乗即通也】得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乗之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以两共数相乗得二十三万五千二百为实另以分母二十与四十九相乗得九百八十为法除实得积步
　　又式　术圆田径六步十三分步之十二周二十步四十一分步之三十二以径求积者置径六步以母十三通为七十八加子十二共九十自乗得八千一百又以母十三减子十二余一以乗子十二得十二并自乗数共八千一百一十二先三乗后四除得六千○八十四为实另以母十三自乗得一百六十九为法除实得积步以周求积者置周二十步以母四十一通为八百二十加子三十二共八百五十二自乗得七十二万五千九百○四又以母四十一减子三十二余九以乗子三十二得二百八十八并自乗数共七十二万六千一百九十二以十二除之得六万○五百一十六为实另以母四十一自乗得一千六百八十一为法除实得积步
　　还原法
　　反亩为步式　术田七亩五分求积以二十四乗七亩五分得一千八百是为积步
　　反步为直广式　术积步一千八百求直广其法定以二十四弓为广以亩数为直今系七亩五分即以七十五弓为直也须知一亩作一十弓十亩作一百弓倍直半广式　术如七分五厘积一百八十步以二十四弓为广以七弓五分为直太少乃半广为一十二弓倍直为一十五弓或广直相易以二十四弓为直以七弓五分为广
　　半直倍广式　术如七十五亩积一万八千步以二十四弓为广以七百五十弓为直太多乃倍广为四十八弓半直为三百七十五弓如云尚多又倍广半直亦可直田积反求直广式　术积步一千八百云直增广一倍求直广以积步折半得九百为实平方开之得三十步为广倍得六十步为直
　　飞归还原
　　诀曰退一加二四　退二加四八　退三加七二退四加九六　　　五留一二　　六留一四四七留一六八　　　八留一九二　九留二一六通曰飞归自左向右还原自右向左退在本位加在下位留亦在本位起也
　　九则折亩率
　　上上则三亩折一亩三分乃二亩三分三厘零折一亩也毛亩上定身三因三归上中则三亩折一亩二分五厘乃二亩四分折一亩也毛亩上用飞归上下则三亩折一亩二分乃二亩五分折一亩也毛亩上用四因或积步上用六归中上则三亩折一亩一分乃二亩七分二厘零折一亩也毛亩上定身一因三归中中则三亩折一亩毛亩上用三归中下则二亩折九分乃三亩三分三厘零折一亩也毛亩上用三因下上则三亩折八分乃三亩七分五厘折一亩也毛亩上八因三归或积步上用九归下中则三亩折七分五厘乃四亩折一亩也毛亩上用四归下下则三亩折七分乃四亩二分八厘零折一亩也毛亩上七因三归　塘或六亩一分四厘折一亩
　　通曰积步除得之亩乃毛亩也不折之处甚多或用九则折实率亦不一大防如此附録诀曰毛田上上定三因因后三归实即真只有上中飞又用若逢上下四因成定身中上先加一得数三归即便清独是中中来折实三归一徧即分明毛当中下三因得下上三归又八因若遇下中归用四三归下下七先因或从积步来求实九则中间两则行上下六归下上九不须毛亩快如神
　　田形【方田之二】
　　诸形量法
　　方形术以十二步自乗得一百四十四为积步如法见亩
　　长形术以直广相乗得一百一十二为积步

　　圆形术以周折半为三十径折半为一十相乗得三百为积步　少广诸法皆可用通曰周自乗四八九各除一徧见亩径自乗
　　四八各除一徧见亩不必积步矣凡田非四方浑圆不可量周
　　环形术以外周折半为三十六内周折半为一十八相并得五十四与径六步相乗得三百二十四为积步　凡田中有池有堆者用此弧矢形术以并矢得四十八折半为二十四与矢十二相乗得二百八十八为积步通曰已上五形皆用少广法
　　四不等形术东西并为五十六此二广也二折得二十八步南北并为七十八亦二直也二折得三十九步相乗得一千○九十二为
　　积步【按此术内直广不取直角非法以下求枫叶等形亦多未合】
　　五不等形术并南北二西得二十四步以四折之得六步与东大角十步相乗得六十为积步【按误同上】
　　大角一边为长也
　　勾股形术以广折半为四步　　　圭形同勾
　　与长相乗得八十为积步　　　　股形术枫叶形术以口径四折得十步上周折半得四十九相并得五十九与中直折半十五相
　　乗得八百八十五为积步
　　梳形术以齿广三折得二十上周折半得四十五相并得六十五与中十相乗得六百五十
　　邱形术周径相乗得二十四万三千二百以四折之得六万○八百为积步
　　尖锭形术以长四十八用四折得十二步即于四十八内减十二余三十六三广并得四十二三折得十四与三十六相乗得五百○
　　四为积步
　　半环形术并内外湾得六十八折半得三十四与径八相乗得二百七十二为积步　新月形同此
　　碗形术以口径折半得十步外周折半得三十二相乗得三十二为积步
　　菱形术并内外湾得五十折半得二十五以径折半得五相乗得一百二十五为积步
　　长圆形术以外周折半得二十八径折半得一十相乗得二百八十为积步
　　扇形术并内外湾得三十四折半得十七并两横得二十折半得一十相乘得一百七十为积步矩形同扇形术内外曲即内外湾也睂形术以下二十三并两径共三十三折半为一百六十五【此即五因】再以下并虚径四为二十七折半为一十三五又乗虚径四得五十四乃于一百六十五内减之余一百一十一为积步
　　梯形术并二广为三十八折半得十九与长相乗得一千○二十六为积步
　　不正形术以中长折半为二十东北与西南并为三十相乗得六百为积步
　　梭形术以长折半为十八与濶相乗得三百○六为积步半梭形同此
　　牛角形术以广与长乗得六千八百三十二半之得三千四百一十六为积步

　　通曰先增虚形以求后减虚形以得此亦变法也若形内可分为数形者则有并法在

　　通曰田形无穷大约絶长补短以取其形可量耳惟是下弓之处务中其节始得无差不然则可任意大之小之也至或有计种数者或有计税米之数者随其则例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者则又计绳而整量之凡纵横皆七十七丈五尺为一顷也

　　数度衍卷十五
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十六
　　桐城　方中通　撰
　　开筑【商功之一】
　　垺实率
　　穿地四尺　为壤五尺　为坚三尺
　　通曰壤者垺土也坚者实土也
　　互求法
　　穿地求壤及坚式穿地一万尺问壤土坚土各若干曰壤土一万二千五百尺坚土七千五百尺术以五因穿地得五万尺为实以四为法除得壤土以三因穿地得三万尺为实以四为法除得坚土
　　壤地求穿及坚式壤地一万二千五百尺问穿土坚土各若干曰穿土一万尺坚土七千五百尺术以四因壤地得五万尺为实以五为法除得穿土以三因壤地得三万七千五百尺为实以五为法除得坚土
　　坚地求穿及壤式坚地七千五百尺问穿土壤土各若干曰穿土一万尺壤土一万二千五百尺术以四因坚地得三万尺为实以三为法除得穿土以五因坚地得三万七千五百尺为实以三为法除得壤土
　　开法
　　求日式开壕上广七尺下广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名问几日可完曰二日术并上下广得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘长得五万七千六百尺为实以二百名乗每日穿数得二万八千八百尺为法除实得日数
　　求夫式开渠上广二丈四尺下广二丈一尺深九尺长三百八十四尺每夫十二名开积六百尺问该夫几何曰一万五千五百五十二名术并两广得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘长得七十七万七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三万一千二百尺为实以六百尺为法除实得夫数求工式开河长七千五百五十尺上广五十四尺下广四十尺深十二尺每日一工开三百尺问用工几何曰一万四千一百九十四工术并两广得九十四尺折半得四十七尺以乗深得五百六十四尺又乗长得四百二十五万八千二百尺为实以三百尺为法除实得工数
　　迟速式甲乙二人开河甲每日开积四百尺乙每日开积三百五十尺甲开七十日问乙开多几日与甲同曰十日术以甲开七十日乗每日四百尺得二万八千尺为实以乙每日三百五十尺为法除实得八十日减甲七十日余十日为乙多数
　　筑法
　　筑墙式原墙上广一尺下广三尺髙一丈二尺今欲筑高九尺问上广几何曰一尺五寸术以原下广减原上广余二尺以今高九尺乗之得十八尺为实以原高为法除实得一尺五寸乃于原下广内减之余一尺五寸为今上广
　　式二原墙上广一尺下广三尺高一丈二尺今欲筑高一丈五尺问上广几何曰五寸术以原上广减原下广余二尺以原高减今高余三尺两余相乗得六尺为实以原高为法除实得五寸乃于原上广内减之余五寸为今上广
　　通曰前式今高少于原高后式今高多于原高故法不同后式可用前法而前式不可用后法也
　　式三原墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸问高几何曰七尺六寸术以原下广减今下广余一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸为实以原下广减原上广余三尺为法除实得今高式四原墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸问已得高几何曰一丈二尺术以今上广减原下广余二尺四寸以乗原高得四丈八尺为实以原上广减原下广余四尺为法除实得今高
　　式五原墙上广十尺下广三十尺高四十尺今欲筑至上广九尺问该增高几何曰二尺术以原上广减原下广余二十尺又减原高余二十尺为实以今上广减原上广余一尺为法除实得今高又术以今上广减原上广余一尺乗原高得四十尺为实以原上广减原下广余二十尺为法除实亦合
　　筑台求积式筑直台上广八尺长二丈下广一丈八尺长三丈高一丈八尺问积若干曰六千尺术倍上长为四丈加下长共七丈乘上广得五百六十尺倍下长为六丈加上长共八丈乗下广得一千四百四十尺并两乘数得二千尺乘高得三万六千尺为实以六为法除实得积
　　筑堤求积式筑堤东头上广八尺下广十四尺高九尺西头上广二十尺下广二十二尺高二十一尺东西长九十六尺问积若干曰二万八千八百尺术倍东高为十八尺加西高共三十九尺以东上下广并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高为四十二尺加东高共五十一尺以西上下广并得四十二尺乗之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并两折数得一千五百尺乘长得十四万四千尺为实以五为法除实得积
　　填基式填基东六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土长濶方丈髙一尺为一方问该方若干曰一百一十九方术并东西为十四折半得七并南北为十七折半得八五两折数乗得五十九五又乗高得一百一十九为方数
　　垜捆【商功之二】
　　堆垜法
　　通曰有与少广递加之法相同者两章皆有所属故复衍于此
　　一面尖堆式一面尖堆脚濶十八问积若干曰一百七十一术用顺加求积法以十九乗十八得三百四十二折半即得说详少广
　　一面平堆式一面平堆脚七上三问积若干曰二十五术用顺加异首求积法以脚七并上三得一十为实以脚七减上三余四加一得五为法乘之得五十折半即得
　　四面尖堆式底长濶皆十二问积若干曰六百五十术置底十二以十二加一为十三乗之得一百五十六又以十二加半为十二五乗之得一千九百五十为实以三为法除实即得
　　四面平堆式底濶八长十三问积若干曰三百八十四术以长减濶余五折半得二五又加半得三并入长得十六以濶乗之得一百二十八又以濶加一作九乗之得一千一百五十二为实以三为法除实即得　四面尖堆即四面顺加四面平堆即长濶顺加说详少广又式横面下十上一正面下十二上三问积若干曰四百九十五术倍正下为二十四加正上得二十七以横下乗之得二百七十再乗横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十为实以六为法除实即得通曰右二式前式若知正面上数可用后法后式可用前法
　　四面半堆式上长二十五濶十二下长三十濶十七中高六问积若干曰二千四百一十术倍上长得五十加下长得八十乗上濶得九百六十倍下长得六十加上长得八十五乗下濶得一千四百四十五并两乗数共二千四百○五以下长减上长余五并之得二千四百一十乘高得一万四千四百六十为实以六为法除实即得
　　圆底尖堆式底外周十五问积若干曰六十九术通曰用少广超三递加法首三尾十五得积外加一得四十六又首三尾九得积外加一得十九相并得六十九又加四共六十九为积
　　通曰凡圆堆每层外周自顶一起第二层是三第三层加三为六从此每层加三故用超三也每次以三为首故每外加顶一也底外周十五用圆包加六率推之内周减六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又减六余三为底中心三上必有一顶故又加四也盖底周至九者必加四至十二者必加十一为率也
　　三角尖堆式底面七问积若干曰八十四术以底七加一为八乗底七得五十六又以底七加二得九乗之得五百○四为实以六为法除实即得
　　三角半堆式每面上濶五底濶十二问积若干曰三百四十四术以底濶求出全积得三百六十四另以上尖虚底四求出虚积二十相减余为实积又术上濶自乗得二十五底濶自乗得一百四十四两濶相乗得六十倍下濶加上濶得二十九并四数共二百五十八为实以下濶减上濶余七加一得高八为法除实得二千○六十四又以六除之亦合
　　砖堆式长三丈高九尺入深四尺每块长一尺濶五寸厚二寸问该砖若干曰一万○八百块术以长为实以每块厚为法除得一百五十块以高为实以每块濶为法除得十八块两除得数相乗得二千七百块又以入深乗之即得
　　量捆法
　　木每根大率作长一丈五尺濶五寸以立法至其实数随时求之可耳
　　一封书式捆深七尺五寸濶四丈七尺长九丈问该木若干曰一万四千八百○五根术倍深得十五根倍濶得九十四根相乗得一千四百一十根为实以长率一丈五尺除长得六根为法乗实得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乗之即得
　　通曰濶率五寸每尺作二根故深濶皆用倍法
　　方捆式捆深七尺濶五丈长六丈问该木若干曰八千四百根术倍深作十四根倍濶作一百根相乗得一千四百根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得五千六百根又以濶五丈首加一作一五乗之即得荒排式排深二丈一尺濶四丈四尺长六丈问该木若干曰八千三百七十七根六分术以三除深得七尺倍作十四根倍濶作八十八根相乗得一千二百三十二根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得
　　通曰相乗固有应得之数而有以虚乗者其数却非应得之数不过借以相求耳如一十七尺五寸乗八千四百六十根应得十四万八千○五十根而今止得一万四千八百○五根者是也首不加一用定身法【见珠算】乗之亦可

　　数度衍巻十六
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十七
　　桐城　方中通　撰
　　两分差【差分之一】
　　通曰差分章多用三率法即异乗同除也见九章外法
　　四六差分法
　　四之与六加五而已以五乗四得二并四即六以五乗六得三并六即九或以六乗四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法
　　戊裒四　　　　　丁裒六　　　　　丙裒九乙裒十三裒五分　甲裒二十裒二分五厘
　　右五位裒也如六位则以已为首而甲裒更增矣若止四位则以丁为首也后仿此
　　二等户式派粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户甲六分乙四分办纳甲二十六户乙四十户问各一户各共户若干曰甲一户纳七石三斗二升共纳一百九十石○三斗二升乙一户纳四石八斗八升共纳一百九十五石二斗术甲裒六乙裒四以六乗甲户得一百五十六以四乗乙户得一百六十并得三百一十六为首率以总粮为次率以甲裒六乙裒四为各三率以甲三率六乗次率以首率除得甲一户之数以甲户乗得共数以乙三率四乗次率以首率除得乙一户之数以乙户乗得共数
　　四等户式徴银一千七百一十六两甲乙丙丁四等户甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分办纳问各若干曰甲七百一十二两八钱乙四百七十五两二钱丙三百一十六两八钱丁二百一十一两二钱术丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分并得三十二裒五分为首率以总银为次率以各裒为各三率
　　三七差分法
　　二位者甲七乙三三位者以三为首三因得九为丙裒九用七乗三除得二十一为乙裒二十一用七乗三除得四十九为甲裒四位者以三为首三因得九又三因得二十七为丁裒五位者以三为首三因得九又三因得二十七又三因得八十一为戊裒俱用七乗三除得各裒
　　【二位】乙裒三　甲裒七
　　【三位】丙裒九　乙裒二十七　甲裒四十九
　　【四位】丁裒二十七　丙裒六十三　乙裒一百四十七甲裒三百四十三
　　【五位】戊裒八十一　丁裒一百八十九　丙裒四百四十一　乙裒一千○二十九　甲裒二千四百○一
　　三等戸式派粮二百六十一石甲乙丙三等户甲七分乙三分乙七分丙三分办纳甲二十一户乙三十二户丙四十三户问各一户各共戸若干曰甲一户六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一户二石六斗二升五合共八十四石丙一户一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合术甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乗甲户得一千○二十九乙裒乗乙户得六百七十二丙裒乗丙户得三百八十七相并得二千○八十八为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　五等户式徴银八百二十八两二钱甲乙丙丁戊五等戸甲七分乙三分乙七分丙三分丙七分丁三分丁七分戊三分办纳问各若干曰甲四百八十两○二钱乙二百○五两八钱丙八十八两二钱丁三十七两八钱戊十六两二钱术戊裒八十一丁裒一百八十九丙裒四百四十一乙裒一千○二十九甲裒二千四百○一相并得四千一百四十一为首率总银为次率各裒为各三率
　　二八差分法
　　二八裒惟用四乗二位者甲八乙二皆以二为首也三位者丙二四乗二得八为乙裒四乗八得三十二为甲裒
　　戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二
　　乙裒一百二十八　甲裒五百一十二
　　四等户式派银二千六百三十五两甲乙丙丁四等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分办纳问各若干曰甲一千九百八十四两乙四百九十六两丙一百二十四两丁三十一两术丁裒二丙裒八乙裒三十二甲裒一百二十八并得一百七十为首率总银为次率各裒为各三率
　　五等户式徴粮二千六百五十五石九斗甲乙丙丁戊五等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分丁八分戊二分办纳甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各一户各共户若干曰甲一户五十九石九斗○四合共一千七百九十七石一斗二升乙一戸十四石九斗七升六合共五百九十九石○四升丙一户三石七斗四升四合共一百八十七石二斗丁一户九斗三升六合共五十六石一斗六升戊一户二斗三升四合共十六石三斗八升术甲裒五百一十二乗甲户得一万五千三百六十乙裒一百二十八乗乙户得五千一百二十丙裒三十二乗丙户得一千六百丁裒八乗丁户得四百八十戊裒二乗戊戸得一百四十相并得二万七千二百为首率总粮为次率各裒为各一戸之三率
　　递分差【差分之二】
　　递减差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒三乙裒二丙裒一之类
　　四位式银九十二两甲乙丙丁四人递减分之问各若干曰甲三十六两八钱乙二十七两六钱丙十八两四钱丁九两二钱术甲裒四乙裒三丙裒二丁裒一并得一十为首率总银为次率各裒为各三率
　　五位式金八十一两造杯一套五个问各重若干曰甲二十七两乙二十一两六钱丙十六两二钱丁十两○八钱戊五两四钱术甲裒五乙裒四丙裒三丁裒二戊裒一并得一十五为首率总金为次率各裒为各三率又式派粮一千一百三十四石甲乙丙丁戊五等户递减办纳甲二十四户乙三十三户丙四十二户丁五十一户戊六十户问各一户各共户若干曰甲一户十石○五斗共二百五十二石乙一户八石四斗共二百七十七石二斗丙一户六石三斗共二百六十四石六斗丁一户四石二斗共二百一十四石二斗戊一户二石一斗共一百二十六石术甲裒五乗甲户得一百二十乙裒四乗乙户得一百三十二丙裒三乗丙户得一百二十六丁裒二乗丁户得一百○二戊裒一乗戊户得六十并得五百四十为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　隔位递减差分法
　　以六减者甲裒一百乙裒六十丙裒三十六以七减者甲裒一百乙裒七十丙裒四十九之类
　　用六减式派绢四百七十丈○一尺八寸四分甲乙丙三等户以一十分之六递减办纳甲二十五户乙三十户丙四十八户问各一户各共户若干曰甲一户七丈八尺共一百九十五丈乙一户四丈六尺八寸共一百四十丈○四寸丙一户二丈八尺○八分共一百三十四丈七尺八寸四分术甲裒一百乗甲户得二千五百乙裒六十乗乙户得一千八百丙裒三十六乗丙户得一千七百二十八并得六千○二十八为首率总绢为次率各裒为各一户之三率
　　用七减式派粮一百六十八石四斗八升八合甲乙丙丁四等户以一十分之七递减办纳甲二十二户乙三十六户丙四十二户丁四十八户问各一户各共户若干曰甲一户二石共四十四石乙一户一石四斗共五十石○四斗丙一户九斗八升共四十一石一斗六升丁一户六斗八升六合共三十二石九斗二升八合术甲裒一千乗甲户得二万二千乙裒七百乗乙户得二万五千二百丙裒四百九十乗丙户得二万○五百八十丁裒三百四十三乗丁户得一万六千四百六十四并得八万四千二百四十四为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　互和减半差分法
　　三位者曰三曰五曰七并一十五为裒四位者曰二曰四曰六曰八并二十为裒五位者曰一曰三曰五曰七曰九并二十五为裒奇用奇偶用偶也
　　三位式粮一百八十石给甲乙丙三人云甲多丙三十六石令互和减半分之问各若干曰甲七十八石乙六十石丙四十二石术以粮数为实以三位并裒一五【一十五作一五】为法除实得一百二十乃甲丙二人首尾和数内减甲多三十六余八十四折半得丙数加甲多三十六得甲数和甲丙二数得一百二十折半得乙数
　　通曰此递减十八也后式皆系递减
　　四位式银二百四十两分甲乙丙丁四人云甲多丁十八两今互和减半分之问各若干曰甲六十九两乙六十三两丙五十七两丁五十一两术以银数为实以四位并裒二【二十作二】为法除实得一百二十乃甲丁二人和数内减甲多十八余一百○二折半得丁数加甲多十八得甲数乙丙二人不可并折乃以甲多十八用三除之得六加入丁数得丙数又加六得乙数
　　通曰以首尾较数三位用二除四位用三除五位用四除得各位较数也并较减实余均分加各较亦合如前三位式总实一百八十甲丙较三十六用二除得十八为乙丙较并得五十四减实余一百二十六三位均分各得四十二甲加较三十六得七十八乙加较十八得六十丙即得均分数
　　五位式钞二百三十八贯分甲乙丙丁戊五人云戊不及甲三十三贯六百文令互和减半分之问各若干曰甲六十四贯四百文乙五十六贯丙四十七贯六百文丁三十九贯二百文戊三十贯八百文术以钞数为实以五位并裒二贯五百文【即二十五】为法除实得九十五贯二百文乃甲戊二人和数内减戊不及三十三贯六百文余六十一贯六百文折半得戊数加戊不及数得甲数互和甲戊二数得九十五贯二百文折半得丙数又和甲丙二数得一百一十二贯折半得乙数又和丙戊二数得七十八贯四百文折半得丁数
　　倍分差【差分之三】
　　倍减差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒四乙裒二丙裒一之类
　　三位式银一万八千○八十八两甲乙丙三人倍减分之问各若干曰甲一万○三百三十六两乙五千一百六十八两丙二千五百八十四两术甲裒四乙裒二丙裒一并得七为首率总银为次率各裒为各三率通曰以银为实以并裒除得丙数倍得乙数再倍得甲数亦可
　　五位式派银一千一百○七两甲乙丙丁戊五等户倍减上纳甲十六戸乙二十五戸丙三十一戸丁四十八戸戊六十二戸问各一户各共户若干曰甲一户二十四两共三百八十四两乙一户十二两共三百两丙一戸六两共一百八十六两丁一户三两共一百四十四两戊一戸一两五钱共九十三两术甲裒十六乗甲户得二百五十六乙裒八乗乙户得二百丙裒四乘丙户得一百二十四丁裒二乗丁户得九十六戊裒一乗戊戸得六十二并得七百三十八为首率总银为次率各裒为各一户之三率
　　通曰两分递分倍分诸式凡有户数者以各一户数乗各戸得各共数然矣若以各裒乗各户之数为三率则先得各戸共数也以各戸除之得各一户数
　　子母差【差分之四】
　　求分子法
　　共子各母求各子式四商共贩得子银六千两甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百问各分子银若干曰甲七百五十两乙一千二百五十两丙一千五百两丁二千五百两术四母相并得四百八十两为首率共子为次率各母为各三率
　　共子各母各时求各子式三商共子银一千两母银多寡既不一而先后之时又不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月问各分子银若干曰甲一百七十二两又九十三分两之四乙二百九十两又九十三分两之三十丙五百三十七两又九十三分两之五十九术先以各母乗各月甲母乗八得一千六百乙母乗六得二千七百丙母乗一十得五千并得九千三百两为首率共子为次率各母乗各月之数为各三率
　　又式三商母银各等一年内共得子银一千两甲母阅七月乙母阅六月丙母满十二月问各分子银若干曰甲二百八十两乙二百四十两丙四百八十两术并各月得二十五为首率总子为次率各月为各三率共时共子各母各时加减求各子式四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月取出一千两至满十九月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六月取出八百两至满十五月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收回至满十七月别出母一千六百两丁初不出母六月后方出母一千八百两又过四月取出九百两至满十六月又加一千五百两问各分子银若干曰甲三千五百四十六两又一千七百四十八分两之一千五百九十二乙三千一百九十二两又一千七百四十八分两之三百八十四丙一千四百四十一两又一千七百四十八分两之一千一百三十二丁一千八百一十九两又一千七百四十八分两之三百八十八术以四母各乗其月甲作三段乗以原母三千乗八月得二万四千八月之后取去一千存母二千至十九月满计十一月以十一乗二千得二万二千十九月之后又加一千二百共母三千二百至二年满计五月以五乗三千二百得一万六千并三段乗数得六万二千为甲通乙作三段乗以原母二千四百乗六月得一万四千四百六月之后取去八百存母一千六百至十五月满计九月以九乗一千六百得一万四千四百十五月之后又加一千四百共母三千至二年满计九月以九乗三千得二万七千并三段乗数得五万五千八百为乙通丙作二段乗以原母二千乗七月得一万四千自满十七月以后别出母一千六百至二年满计七月以七乗一千六百得一万一千二百并二段乗数得二万五千二百为丙通丁作三段乗自六月以后出母一千八百满四月以四乗一千八百得七千二百此后取去九百存母九百至十六月满计六月以六乗九百得五千四百此后又加一千五百共母二千四百至二年满计八月以八乗二千四百得一万九千二百并三段乗数得三万一千八百为丁通再并四通数得十七万四千八百为首率总利为次率各通数为各三率
　　求原母法
　　共母共子及各子求各母式三商共母一千五百二十两得子一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各母若干曰甲九百六十两乙三百二十两丙二百四十两术共子为首率共母为次率各分子为各三率
　　共子各子及出母率求各母式二商共得子二百两甲分五十两乙分一百五十两其母则乙多甲一倍又零八两问各母若干曰甲八两乙二十四两术以甲子五十为首率以零八两为次率各子为各三率
　　共时各时及甲母均分子求乙丙母式三商共贩一年甲先出母一千两乙母后二月方出丙母后四月方出俱不知数所得子银则均分问乙丙母各若干曰乙一千二百两丙一千五百两术以甲母乗甲月十二得一万二千为实以乙月十为法除实得乙母以丙月八为法除实得丙母
　　求出时法
　　共子各母各子及甲时求乙丙时式三商共贩得子银一千两甲母三百两系满十月乙母七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲分五百乙分三百丙分二百问乙丙出母月若干曰乙二月又七分月之四丙一月又二分月之一术以甲为凖以甲子五百为首率以甲月乗甲母得三千为次率以乙丙各子为各三率如法次三两率相乗首率除得四率乙得一千八百为乙母乗乙月之数丙得一千二百为丙母乘丙月之数再以乙母除乙四率得乙月数丙母除丙四率得丙月数
　　和求法
　　或知此子而不知彼子或知彼母而不知此母时亦如之
　　共子各子甲母与时及乙母丙时求乙时丙母式三商共得子银一百三十八两甲母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十月不知母其子银则甲分六十乙分四十八丙分三十问乙时丙母若干曰乙时八月丙母一百二十两术以甲子为首率甲母乗甲月得二千四百为次率乙丙各子为各三率求得乙四率一千九百二十为乙母乗月之数以乙母除得乙月求得丙四率一千二百为丙月乗母之数以丙月除得丙母
　　共子各时分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子银一百九十两其分数则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一甲出母八十两经十二月乙经八月丙经四月俱不知母问乙丙母及各子若干曰乙母四十两丙母六十两甲子一百二十两乙子四十两丙子三十两术以甲母乗甲月得九百六十为首率乙得三之一则三分首率得三百二十为乙次率丙得四之一则四分首率得二百四十为丙次率乃以乙月为法除乙次率得四十为乙母以丙月为法除丙次率得六十为丙母既知乙丙之母则以前首率与乙丙两次率相并得一千五百二十为后首率以共子为后次率以前首率为甲三率以乙次率为乙三率丙次率为丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十两共得子母和银一千七百一十两甲分一千○八十两乙分三百六十两丙分二百七十两问各母各子若干曰甲母九百六十两子一百二十两乙母三百二十两子四十两丙母二百四十两子三十两术以共子为首率共母为次率各和为各三率求得各母以各母减各和余即各子
　　共子甲乙母及丙子求甲乙子及丙母式三商共得子银一千五百二十两甲母一千○八十乙母三百六十丙不知母而分子二百四十问甲乙子及丙母各若干曰甲子九百六十两乙子三百二十两丙母二百七十两术先于共子内减去丙子余一千二百八十为甲乙和子乃并甲乙母得一千四百四十为首率以甲乙和子为次率用甲母为三率求出甲子用乙母为三率求出乙子既知甲乙子数再并甲乙子得一千二百八十为后首率以前首率为后次率以丙子为三率求出丙母
　　共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子银三百四十两其母以四递加如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三之类甲母二百八十六问各母各子若干曰丁母一百九十八两丙母一百二十六两乙母七十两甲子一百四十三两乙子三十五两丙子六十三两丁子九十九两术由甲推丁以甲裒十三为首率甲母为次率丁裒九为三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一为首率丁母为次率丙裒七为三率求出丙母由丙推乙以丙裒九为首率丙母为次率乙裒五为三率求出乙母乃并四母得六百八十为后首率共子为后次率各母为各后三率求出各子
　　通曰与超四递加不同此乃各有递四之加也
　　附式原借母十五两每月每两加子二分五厘满六月还过母子和九两问母子各已还若干仍留母若干曰还母七两八钱二分六厘还子一两一钱七分四厘仍留母七两一钱七分四厘术以还银九两为实以六月用二分五厘通之得一钱五分得通子加母数一两得一两一钱五分为法除实得还母以通子乗之得还子原母内减还母得留母
　　通曰此留母未还子也若六月还全母之子二两二钱五分还母六两七钱五分应留母八两二钱五分矣附式三次为商俱得合利每次贮银三百两三次恰尽问原母若干曰二百六十二两五钱术以贮银折半得一百五十加三百得四百五十又折半得二百二十五又加三百得五百二十五又折半得原母三折者三次也借裒互徴另又一术
　　合率差【差分之五】
　　合率差分法
　　式谷二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数等问各若干曰甲六十四石乙五十六石丙四十八石丁四十石戊三十二石术甲裒五乙裒四并得九丙裒三丁裒二戊裒一并得六以六减九余三乃于五等裒上各加三甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四又并之得三十为首率总谷为次率各裒加三得数为各三率
　　通曰此递差八也曰三人分则甲数与乙丙数等而七人分则甲乙丙数与丁戊己庚数不等乃截庚入甲乙截丙入丁戊巳两数始等此亦就裒而言若裒上加有等数俱不等矣故用并减之法也
　　式二银七百六十两甲十分乙七分丙二分问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙八十两术甲裒十乙裒七丙裒二并得一十九为首率总银为次率各裒为各三率
　　式三田一百三十八亩每亩徴米二斗今徴七分本色米三分折丝每米一石折丝一斤问各若干曰米十九石三斗二升丝八斤四两四钱八分术以米二斗乘田得二十七石六斗为实以七与三并一十为法用七乗实得一百九十三石二斗以法除得米用三乗实得八十二石八斗以法除得八石二斗八升以石变斤得八斤其二斗八升用加六法得四斗四斗八合即四两四钱八分
　　式四米二十四石给甲乙丙丁四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各若干曰甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石七斗二升丁八石六斗四升术以米为实并各裒得二十五为法除实得九斗六升为一分之数以各裒乗得各数
　　式五徴粮七十三石二斗三等户照分办纳上二十五戸每户五分中四十户每户三分下六十户每户一分问各一户各共户若干曰上一户一石二斗共三十石中一户七斗二升共二十八石八斗下一户二斗四升共十四石四斗术以各裒乗各户上得一百二十五中得一百二十下得六十并得三百○五为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　式六每芝蔴三斗换米五斗每米五斗抵荳七斗今有芝蔴四百五十石换米荳共九百二十五石问各用芝蔴及米荳各若干曰换米用芝蔴一百八十七石五斗换荳用芝蔴二百六十二石五斗米三百一十二石五斗荳六百一十二石五斗术并米五荳七得十二为首率以芝蔴总数为次率米五荳七为各三率求出用芝蔴各数再以换米用一百八十七石五斗以三斗除之得数以五斗乗之得米数以换荳用二百六十二石五斗先求出米数以三斗除之得数以五斗乗之得米四百三十七石五斗乃再以三斗除之得数以七斗乗之得荳数式七银十一块金九块等重交换一块则十银一金之重多于八金一银一十三两问金银各块各共若干曰金一块重三十五两七钱五分银一块重二十九两二钱五分银十一块共重三百二十一两七钱五分金九块共重等术以较十三两折半得六两五钱乗金九块得五十八两五钱为实以金九银十一相减余二为法除实得二十九两二钱五分为银一块数以十一乗得共数以半较六两五钱乗十一得七十一两五钱为实仍以前二为法除实得三十五两七钱五分为金一块数以九乗得共数通曰以盈朒法求之亦得
　　式八冰片每两价二两七钱五分沉香每两价三钱五分伽楠每两价八钱有以沉香十七斤三两有以伽楠十三斤十二两问各换冰片若干曰沉香换得冰片三十五两伽楠换得冰片六十四两术以冰片价为首率用斤求两法【见乗布】化沉香伽楠得两数为各次率各价为各三率
　　式九军二万五千二百名月粮米麦荳兼支米每四名支三石麦每九名支五石荳每七名支八石问各若干曰荳二万八千八百石麦一万四千石米一万八千八百石术以七名九名四名为各首率军数为次率八石五石三石为各三率
　　式十刻漏一壶贮水令开三孔漏水大孔二时而尽中孔三时而尽小孔六时而尽如三孔齐泄则几时水尽曰一时漏尽术以三孔与时相较各时为各首率一壶为次率最小时为三率求得大孔六时漏尽三壶中孔六时漏尽二壶小孔原系六时漏尽一壶合计六时三孔共漏尽六壶因知一时共漏尽一壶也又术以二时三时六时为各首率一壶为次率一时为三率求得大孔一时漏水二之一中孔一时漏水三之一小孔一时漏水六之一合计二之一三之一六之一共十分亦合右三数偶满一时若并有竒零者另法求之如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完必先知每人每年之工而总计之六年者每年得六之一九年者每年得九之一十八年者每年得十八之一并得每年共三分之一【竒零加法】约计三年始完甲成二之一乙成三之一丙成六之一共足十分之数也
　　式十一漏壶上注下泄塞下窍注水四时而满开下窍泄水六时而尽若上注下泄相并则几时可满曰十二时术用三次测法先以四时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所法乃四分壶之一次以六时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所泄乃六分壶之一以四之一与六之一相减余十二之一【竒零减法】乃以十二之一为首率一时为次率一壶为三率求得十二时
　　通曰以四时较六时则有二时不泄欲得六时俱不泄必须三回注四时矣亦合十二时之数也
　　问上注下泄四时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶余三分之一为水满数又问如塞下窍三时而满开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一余二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满如四时又五分时之四可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除全壶余八五之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四也
　　式十二兵百人领队四人旗牌六人器械七万二千四百件犒军旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三问各得若干曰兵得六万每人六百旗牌得六千每人一千领队得六千四百每人一千六百术以兵裒三乗一百得三百以旗牌裒五乗六得三十以领队裒八乗四得三十二并得三百六十二为首率器械为次率各裒乗数为各三率求出各共得数再以各人数除之得每人数
　　式十三大船三桅六桨小船一桅八桨今桅五十九桨二百○二问大小船各若干曰大船十五小船十四术并大小船每只桅桨各九共一十八为首率大小二只为次率并桅桨全数为三率推得二十九只乃大小和数减小之一补大得各数
　　贵贱差分法
　　式硃砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱有银一千二百两买硃青二色硃数增青一倍问各若干曰硃二百五十斤共价九百两青一百二十五斤共价三百两术因硃加倍即倍其价为七两二钱并青价得九两六钱为首率总银为次率各一斤之价为各三率求出各斤数各以价乗得各共价
　　式二银五十五两五钱买铜锡铁共重八万三千○五十两每银一钱买铜一百三十两锡一百五十两铁一百七十两问各若干曰铜二万四千七百两共价十九两锡二万七千七百五十两共价十八两五钱铁三万○六百两共价十八两术以总银用三色除之得十八两五钱为中间锡价以每一钱买一百五十两乗之得锡数共重内减锡数余五万五千三百两为铜铁和总银内减锡价余三十七两为铜铁和价以每一钱买铜一百三十两乗和价得四万八千一百两以减铜铁和余七千二百为实以铜一百三十与铁一百七十相减余四十除实得一百八十钱为铁价十八两以一百七十乗之得铁数又于和价内减铁价余十九两为铜价以一百三十乗之得铜数
　　式三绫每尺九分二厘罗每尺八分五厘绢每尺三分六厘有银一百二十一两一钱七分五厘买绫一停罗二停绢三停问各若干曰绫三十二丈七尺五寸共价三十两○一钱三分罗六十五丈五尺共价五十五两六钱七分五厘绢九十八丈二尺五寸共价三十五两三钱七分术二停乗罗价得一钱七分三停乗绢价得一钱○八厘以并绫价共三钱七分为首率总银为次率各每尺价为各三率求出各数各每尺价乗得各共价
　　式四绫罗纱绢共一百六十疋共价九十三两绫每疋九钱罗每疋七钱纱每疋五钱绢每疋三钱问各若干曰绫三十五疋价三十一两五钱罗四十疋价二十八两纱四十疋价二十两绢四十五疋价十三两五钱术以四色除总疋得四十疋即中间罗纱之数罗四十疋以每疋价推得银数纱四十疋以每疋价推得银数总疋内减罗纱余八十疋为绫绢和共价内减罗纱价余四十五两为绫绢价和乃以绫九钱乗绫绢和得七十二两以减余银尚余二十七两为实以绫九钱减绢三钱余六钱为法除实得四十五为绢数于绫绢和内减之余三十五为绫数各以每疋价乗得各价
　　式五银一千○八两买丝三停绵二停线一停共重三百六十两其价线二两丝止一两线一两六钱绵止一两问各若干曰丝重一百八十两价二两二钱四分【得线价二之一】绵重一百二十两价二两八钱【得线价十六之十】线重六十两价四两四钱八分术并各裒丝三绵二线一得六为首率总重为次率各裒为各三率求出各重丝一百八十以二两【线二两也】除得九十绵一百二十以一两六钱【线一两六钱也】除得七十五以并线六十共二百二十五为法除总银得线价以一六除线价得绵价以二除线价得丝价
　　式六银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋绫疋价多罗疋价四钱七分罗疋价多绢疋价一两三钱五分问各疋价若干曰绫每疋四两三钱二分罗每疋三两八钱五分绢每疋二两五钱术以多绢价一两三钱五分乗罗疋得四百○五两以两多价共一两八钱二分乗绫疋得二百七十三两并两乗数得六百七十八两以减总银余二千二百五十两为实并三色共九百疋为法除实得二两五钱为绢每疋价加多一两三钱五分得罗每疋价又加多四钱七分得绫每疋价又术以多罗价四钱七分乗罗疋得一百四十一两以两多价共一两八钱二分乗绢疋得八百一十九两相并得九百六十两加入总银得三千八百八十八两为实以三色并得九百疋为法除实得绫疋价依裒减之亦合
　　通曰此又名匿价差分法
　　式七银一万○七百七十八两六钱○五厘籴米麦荳三色均平其每石价米二两三钱五分麦一两九钱五分荳一两四钱五分问各若干曰三色共一千八百七十四石五斗四升米共价四千四百○五两一钱六分九厘麦共价三千六百五十五两三钱五分三厘荳共价二千七百一十八两○八分三厘术以总银为实并三色每石价共五两七钱五分为法除实得各石数各以每石价乗得各共价
　　带分母子差分法
　　式四人共分金七百八十五两乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙六十两丁四十五两术先并各子乗各母从小并起除丁九无并其丙裒十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乗乙之十四得五十六为乙裒乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乗甲之十得八十为甲裒乃并丁九丙十二乙五十六甲八共一百五十七为首率总银为次率以各裒为各三率
　　式二三人共钱三千○四十二文甲得二之一乙得三之一丙得四之一问各若干曰甲一千四百○四乙九百三十六丙七百○二术先并母防其通四分三分二分之一者为主依法二三乗得六又乗四得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通甲二之一用六为裒乙三之一用四为裒丙四之一用三为裒乃并三裒得十三为首率总钱为次率各裒为各三率
　　式三三县派粮共一千四百○七石小县二分之一中县五分之三大县十一分之八问各若干曰大县五百六十中县四百六十二小县三百八十五术以各母相乗求通数二乗五得一十又乗十一得一百一十为通数小县裒五十五中县裒六十六大县裒八十并三裒得二百○一为首率总粮为次率各裒为各三率　此与右式同术
　　式四四人共银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两问各若干曰甲一百二十乙一百四十四丙八十丁六十术先于总银内除去加数甲十丙八存三百七十八加入欠数乙二十丁六共四百○四两乃依前法并母二乗五得一十又乗三得三十又乗四得一百二十约得六十为通数甲裒三十乙裒三十六丙裒二十丁裒十五并得一百○一为首率四百○四两为次率各裒为各三率
　　式五兄弟三人季歳得伯四之三仲歳得伯六之五仲多季只八嵗问各嵗若干曰伯九十六仲八十季七十二术已知两母为伯裒并其母四六相乗得二十四为伯裒之实乃用母子互乗以求仲季之裒【四之三六之五】以四乗五得二十为仲裒以六乗三得十八为季裒以仲季两裒较二为首率仲多季八为次率伯裒二十四仲裒二十季裒十八为各三率
　　式六四人分钱不知数云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁与丙差四文问各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文术先并母四乗六得二十四又乗二十四得五百七十六为甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乗得四百八十为乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乗得四百三十二为丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乗得四百○八为丁裒以丙丁二裒之较二十四为首率丙丁差四为次率各裒为各三率　此与右式同术但彼三位此四位也通曰右二式用后借裒互徴法亦可
　　式七七人分钱甲乙共七十七文戊己庚共七十五文问丙丁及诸人各若干曰甲四十乙三十七丙三十四丁三十一戊二十八己二十五庚二十二术先令母子互乗甲乙二人为母七十七为子戊己庚三人为母七十五为子【二人三人】□【七十七七十五】以二乗七十五得一百五十以三乗七十七得二百三十一相减余八十一为一差之实并两母二三得五折半得二人半以减总七人余四人半以两母相乗得六乗四人半得二十七为一差之法以法除实得三文为一差之数乃知自甲而下递减三文也以三加甲乙和得八十折半得甲数递减三得各数
　　式八大小船数相等共载盐四千三百五十引大船每三只盐五百小船每四只盐三百问船盐各共若干曰大小船俱十八只大船共盐三千小船共盐一千三百五十术先令子母互乗【大三小四】□【五百三百】以三乗三百得九百以四乗五百得二十并得二千九百为首率两母相乗得十二为次率总盐为三率求出各船十八再以两母三四为各首率两子五百三百为各次率以船数十八为三率求得各盐数
　　式九鳌灯一座大小灯毬大每三盏油四两小每四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两问大小灯及用油各若干曰大灯一百二十盏用油十斤小灯一百八十盏用油八斤七两术因有二之一立大母二小母三【小多大二之一故作三】通斤为两【用粟布法】以十八斤七两通作二百九十五两又通两为铢每两二十四铢通作七千○八十铢先求大小每盏油数以三盏四盏为各首率以二十四铢为次率以四两三两为各三率求得大每盏用油三十二铢小每盏用油十八铢再求大小盏数以母二乗三十二得六十四以母三乗十八得五十四并得一百一十八为首率以总油七千○八十铢为次率以母二母三为各三率求得各盏数以各每盏铢数乗得大共用三千八百四十铢小共用三千二百四十铢各归整得油数
　　贵贱相和差分法
　　式甲乙物共一百斤共价八钱七分五厘甲二斤价四分乙七斤价五分问各若干曰甲一十二斤半共价二钱五分乙八十七斤半共价六钱二分五厘术立长短
　　法上中下
　　三互求之
　　以甲价四分乗乙七斤得二钱八分以甲二斤乗乙价五分得一钱相减余一钱八分为长法以乙七斤乗总价得六两一钱二分五厘以乙价五分乗总一百斤得五两相减余一两一钱二分五厘为实以长法除实得六分二厘五毫为短法以甲二斤乗短法得十二斤半为甲数以甲价四分乗短法得二钱五分为甲价减总得乙又术以甲二斤乗总价得一两七钱五分以甲价四分乗总一百斤得四两相减余二两二钱五分为实仍用前长法除之得一钱二分五厘为短法以乙七斤乗之得八十七斤半为乙数以乙价五分乗短法得六钱二分五厘为乙价减总得甲
　　通曰合率诸式凡有差皆递加之差也苟非递加则须用盈朒法矣

　　数度衍卷十七
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十八
　　桐城　方中通　撰
　　和较三率【差分之六】
　　和较三率差分法
　　凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之而又互置较位以求之
　　式上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂和二酒每斗价一钱五分内各酒若干曰八分斗之三为上酒【三升七合五勺】八分斗之五为中酒【六升二合五勺】术先立三率之程立和价一钱五分为一十五列上列上中二价为二
　　十为十二于右以
　　上价二十与立十
　　五较得五列左与中价并以中价十二与立十五较得三列左与上价并此互对也乃并两较三五得八列左下以并较为首率以一斗为次率以中较为上酒之三率上较为中酒之三率
　　式二甲金一两凖银十五两乙金一两准银十二两今
　　镕为一处使金一
　　两准银十四两其
　　甲乙金各若干曰甲该三分两之二乙该三分两之一术立和金凖银于上如法较之以并较为首率一两为次率乙较为甲之三率甲较为乙之三率
　　式三玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两问玉石各若干曰玉九十八两石
　　七十八两术
　　立重数于上
　　以璞方三寸自乗再乗得立方二十七寸以通玉石以玉率七乗二十七得一百八十九两以石率六乗二十七得一百六十二两二数列右并较为首率立方二十七寸为次率石较为玉之三率玉较为石之三率求得玉一十四以七乗得玉数求得石一十三以六乗得石数
　　式四银裹金方四寸共重九百○四两每银方寸重十
　　二两金方
　　寸重十六
　　两问各若干曰金五百四十四两银三百六十两术立共重于上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金银以银十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以并较为首率立方为次率以两较互为各三率求得金三十四寸银三十寸各以方寸重乗之得各数　此与右式同
　　式五椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤问各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四术立七钱于上此系多位者先定互对有
　　对者寻对
　　而互列之
　　如椒砂互丁魏互是也若桂则无对须借砂作对而互又列其桂较之一于砂左砂傍凡两数矣凡相对互位者务取一大于立数一小于立数如砂数大对椒数小也以较积为首率一斤为次率各傍列较数为各三率砂傍之椒三桂一并四为砂之三率也
　　又术取一大一小杂互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
　　互桂砂又互
　　丁魏互桂魏
　　又互凡六互
　　得较积二十八以为首率一斤为次率各傍列较为各三率椒傍【一三】并四丁傍【一三】并四桂傍【一三】并四魏傍【三四一】并八砂傍【三四一】并八求出四率即各数

　　又术随意易位亦以大数互小数砂傍丁四桂一并五

　　四率【十三分　十三分　十三分　十三分　十三分斤之三　斤之一　斤之一　斤之三　斤之五】通曰后二术求出之数与前不同不可为凖姑存其法耳式六緑縀每丈价四两青缎每丈价六两红缎每丈价十两今有银四百八十两买缎八十丈问各若干曰緑三十二丈青三十二丈红一十六丈术先以八十丈除四百八十两得每丈六两为立价依法列之緑与红互
　　青又与红互以较积为
　　首率总丈为次率各傍
　　列较为各三率红傍之緑二青○止作二
　　通曰青价六与立六等故青较作○而红傍之较数无并仍作二也凡价与立等者皆作○若价皆大于立皆小于立皆等于立则不可较矣
　　式七酒四等甲酒每瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分问各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶术以三钱三分作三十三为立数
　　其四
　　色惟
　　丁四
　　十【四钱】大于立其甲二十一【二钱一分】乙二十七【二钱七分】丙三十【三钱】皆小于立则此三小数皆与丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三并为二十一以较积为首率总瓶为次率各较为各三率
　　式八银四百两买药四百斤内丁香每斤价六钱椒每斤价七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱问各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
　　之一术
　　先以四
　　百斤除四百两每斤得一两作一十为立数列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率较积次率总药三率　七【丁】　八【椒】　二【桂】　四【合】　四【砂】　七【魏】又术以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位徧互下三位也

　　又术以丁互合椒互砂桂互魏

　　又术以丁互魏椒互砂桂互合

　　又术以丁互砂椒互合桂互魏

　　式九金铸一器重三百两俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金约每用若干曰九九成色金用一百八十七两五钱九一成色金用一百一十二两五钱
　　术立九六为中价
　　依法互之并较为
　　首率共重为次率各较为各三率
　　式十米麦共五百石共价四百○五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五厘问各若干曰米三百二十石共价二百七十五两二钱麦一百八十石共价一百三十两○五钱术立共价以米麦每石各价各
　　乗五百石
　　米得四百
　　三十两麦得三百六十二两五钱依法互之以并较为首率总石为次率各较为各三率求得米麦各数各以每石价乗之得各共价
　　式十一银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分问各若干曰铜九十六斤又七之三锡九十六斤又七之

　　斤又七之一术以共重除总银得九分四厘作九十四为立数互之以并较为首率共重为次率各较为各三率
　　式十二银九十三两买绫罗纱绢共一百六十疋每疋价绫九银罗七钱纱五钱绢三钱问各若干曰三十六疋又四之一为绫与罗同数四十三疋又四之三为纱与绢同数术先以总疋除总银得五钱八分一厘二毫五丝作五万八千一百二十五为立数他皆以钱作万列之罗绢互罗纱又互绫纱互绫绢又互并较为首率总疋为次率各较为各三率

　　通曰右二式以贵贱差分法推之亦可
　　通曰中率者两差之中较也三四五六及多差之中较也得乎中率而以多较少以少较多故又须互用而数始出非互则无所用较矣
　　借裒互徴【差分之七　按同文算指裒作衰】
　　借裒互徴差分法
　　数有隠伏非裒分可得者则别借虚数以类徴之或合率增减或母子射覆借彼徴此借虚徴实亦三率法而触类长之也
　　式三人共买一宅用价二千七百两其出数乙视甲加倍丙视甲乙共数又加倍问各若干曰甲三百乙六百丙一千八百术随意立一数为甲裒但用小数而以乙丙照裒加之如甲裒作一则乙必二丙必六也如甲裒作六则乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六并得五十四为首率各裒为各次率总价为三率如用甲次裒求得甲数倍之得乙数并甲乙数又倍之得丙数
　　通曰此即加倍法也三率法中二三两率本可相换故此以各较为次率总价为三率也
　　式二贮绢不知数但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实若干曰六千疋术防一通数而测之如用六十以通各分三之一为二十四之一为十五五之一为十二并三数得四十七为首率以通数六十为次率四千七百为三率
　　式三廐马不知数但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其实若干曰三十六匹术先于共匹内减末加之一只以一百一十一匹算之用通数十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七为首率以通数为次率以一百一十一为三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
　　式四牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其实若干曰三十六术于一百内去一只作九十九用通数十二依裒加得三十三为首率通数为次率九十九为三率求出三十六如前裒加之合一百　此与右式同
　　式五银五千两买甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍问各价若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千术随意立一通数如立甲裒三十乙裒为一百二十丙裒为六百并得七百五十为首率以甲裒三十为次率以五千为三率求出二百如前加得八百又加得四千　此与一式同
　　式六入园摘瓜摘过三分之二又五分之一尚剰三十六问此园原瓜若干曰二百七十术先立通数如借三百为通数内减三之二去二百又减五之一去六十存四十为首率以通数为次率以尚剰三十六为三率须察借立通数内减去两次尚剰之数或等或多于三十六方可若少于三十六则不可用也又须知三之二五之一并之未满原数方可推测若三之一五之三则浮于原数便为虚设不必算矣
　　式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二其原数若干曰三百六十术借六十为通数依裒剖之二之一为三十三之一为二十四之一为十五五之一为十二六之一为一十并得八十七为首率以六十为次率以五百二十二为三率求出三百六十为原数二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十并之合五百二十二之数
　　式八仓粟不知数但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石问原粟若干曰九十六石术先于三百内减去一百存二百石乃借二十四为通数外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六并得五十为首率以通数为次率以二百为三率求出四率九十六外加前裒合三百
　　通曰此与三式相同但彼四率在一百一十二之外故不并通数而止并加数为首率此四率在三百之内故连并通数及加数为首率也
　　式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一时甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齐舂须几时可完各舂若干曰二十五时甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗术随意立一时数如借四时以计各碓所舂甲七乗四得二石八斗乙五乗四得二石丙四乗四得一石六斗丁三乗四得一石二斗戊一乗四得四斗并得八石为首率四时为次率五十石为三乗求出二十五时各以每时斗数乗之得各舂数
　　式十为商三次俱获倍息每次归还三百两三次母子尽问原贷若干曰二百六十二两五钱术借一数为母加三次倍息初一次二次四共七并母一得八为首率内减母一余七为次率三百两为三率又术以三百两折半得一百五十两又加三百得四百五十两又折半得二百二十五两又加三百得五百二十五两又折半即得
　　通曰子母差和求法有此式然用借裒为正法也式十一商贩四次俱获倍息每次费九十六两四次子母俱尽问原母若干曰九十两术借一数为母加四次倍息曰一曰二曰四曰八并得十五再并母一得十六为首率十五为次率九十六为三率
　　式十二为商初次所获比母银多三之二以并入母银再徃获五之四三次徃又获四之三计所获并母银共四百两问原母若干曰六两又三分两之二术亦借数递乗各母以推之如借一十为通数乗三得三十以三十乗五得一百五十以一百五十乗四得六百为首率以通数为次率以四百为三率求出六两又三分两之二以三乗之得二十又以五乗二十得一百又以四乗一百得四百两合数
　　式十三防酒郊游三次俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽问原防若干曰一斗六升六合二勺五抄术借一数为原酒加三次倍率曰一曰二曰四并得八为首率减原借一存七为次率以一斗九升为三率又术并三次倍率一二四为七以乗一斗九升得一石三斗三升减半三次即得
　　式十四载米赈济每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米五赈恰尽问原载米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合术借一数为原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六并得三十二为首率止并五次率得三十一为次率以一千五百为三率
　　通曰以次率乗三率得四万六千五百石减半五次亦合
　　式十五立一虚数以乗四得数又乗三得数又乗六得数外加一十共八百前所立虚数若干曰一十又三十六之三十五术于八百内除去所加一十余七百九十借一十为通数以乗各裒以一十乗四得四十又以四十乗三得一百二十又以一百二十乗六得七百二十为首乗以通数为次率以七百九十为三率求出一十又三十六之三十五以乗四得四十三又九之八以乗三得一百三十一又三之二以乗六得七百九十加一十合数
　　式十六老人不知年但云加二之一又减四之一得九十九嵗问实年若干曰八十八术借八十为通数依裒加减加二之一为四十并八十得一百二十又减四之一为三十于一百二十内减之余九十为首率以通数为次率以九十九为三率
　　式十七逺望一塔上露出二丈四尺下遮不见云尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺术借立三十为通数于三十内减去三之一余二十又于三十内减去五之二为一十二乃于余二十内减一十二余八为首率通数为次率二十四尺为三率求出九十尺为塔高内减三之一为三十尺又减五之二为三十六尺余二十四尺合上露之数
　　式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚余十二尺红色其竿长若干曰四十九尺又十一分尺之一术借四十五为通数减三之一为十五减五之一为九减九之二为一十俱于通数内减去余十一为首率通数为次率红十二尺为三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
　　式十九白布三十疋青布四十疋共价六百六十两其青布每疋比白布价多一倍问各疋价若干曰白价六两青价十二两术借四两为白价倍得八两为青价以四乗白布三十得一百二十以八乗青布四十得三百二十并得四百四十为首率通数四两为次率共价为三率求出六两为白疋价倍得十二两为青疋价通曰以八两为次率求出青疋价盖二位之借裒皆通数也

　　数度衍巻十八
　　钦定四库全书
　　数度衍卷十九
　　桐城　方中通　撰
　　均输
　　均赋法
　　式五县输谷二万石每车载二十五石行一里僦值一钱甲县二万○五百二十户谷石价二两乙县一万二千三百一十二户谷石价一两逺输二百里丙县七千一百八十二户谷石价一两二钱逺输一百五十里丁县一万三千三百三十八户谷石价一两七钱逺输二百五十里戊县五千一百三十户谷石价一两三钱逺输一百五十里问各若干曰甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺僦价无乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺僦价二十两丙二千七百七十七石五斗八升四合四勺僦价十五两丁三千四百三十八石九斗一升四合零僦价二十五两戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺僦价十五两术先求各裒惟甲自输本县无僦里以谷价二两作二十除甲户得一千○二十六为甲裒乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乗各里而以每车载二十五石除之得各运价以除各戸而求各裒也乙二百里乗除之得八钱并谷价一两得一两八钱除乙户得六百八十四为乙裒丙一百五十里乗除之得六钱并谷价一两二钱得一两八钱除丙户得三百九十九为丙裒丁二百五十里乗除之得一两并谷价一两七钱得二两七钱除丁户得四百九十四为丁裒戊一百五十里乗除之得六钱并谷价一两三钱得一两九钱除戊户得二百七十为戊裒并五裒得二千八百七十三为首率以总谷为次率以各裒为各三率用异乗同除法【见九章外法】
　　通曰合谷价僦价而计之每户所出皆均也
　　式二派粮八百四十石四县照田亩多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩问各若干曰甲二百一十八石一斗乙一百四十七石九斗六升丙二百一十四石六斗二升丁二百五十九石三斗二升术并四县亩得一万四千为首率总粮为次率各亩为各三率
　　式三派粮二百七十四石三限催徴初限五分中限三分半末限一分半问各限若干曰初限一百三十七石中限九十五石九斗末限四十一石一斗术以五分乗总粮得初限数以三分半乗总粮得中限数以一分半乗总粮得末限数
　　通曰此非乗而积之乃乗而折之也
　　式四甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩问各役几时曰甲一百五十七日半乙一百二十六日丙七十六日半术并三田共八百亩为首率以一年通作三百六十日为次率以各田为各三率
　　式五粮三千六百石三处仓上纳其每石则例东仓三斗三升四合西仓三斗三升五合南仓三斗三升一合问各仓若干曰东仓一千二百○二石四斗西仓一千二百○六石南仓一千一百九十一石六斗术此与三式同以总粮为实以各仓则例乗之得各数
　　式六众人输钞首出八文以下各加一文至出六十文止问人钞各若干曰五十三文共钱一千八百○二文术以八文并六十文得六十八为实以六十文减八文余五十二再加首次所加一文得五十三为法以法乗实得三千六百○四折半得共钱数法即人数
　　式七人一百名自第一人输银一百两以下挨减五钱问共银若干曰七千五百二十五两术以百名内减去第一人余九十九名以五钱乗得四十九两五钱于一百两内减之余五十两○五钱并第一名一百两得一百五十两○五钱以乗一百名得一万五千○五十两折半即得
　　式八自第一日输钱一文日増一倍至三十日问该若干曰十亿○七千三百七十四万一千八百二十四术置钱一文以十度八因即得一度八因乃三日倍数十度八因乃三十日倍数也又术以五度六十四乗之亦得一度六十四乃六日倍数五度六十四乃三十日倍数也又术以三度三十二乗之得数又自乗亦得三度三十二乃十五日倍数又自乗乃三十日倍数也通曰递加倍加少广详之矣本章亦应有此故及之而此式少广之术不同
　　均价法
　　式银二十二两八钱买甲乙二物均平其甲物每三斤价四钱乙物每一斤价五钱问各若干曰各三十六斤甲共价四两八钱乙共价十八两术用差分母子互乗法【三斤　四钱一斤　五钱】以三斤乗五钱得一十五以一斤乗四钱得四并得一十九为首率两母相乗得三为次率以总银为三率求出四率三十六以乙每斤价乗之得乙共价以甲三斤价四钱乗四率又以三除之得甲共价式二银三十七两八钱买米麦荳均平每石米价八钱麦价六钱荳价四钱问各若干曰各二十一石米共价十六两八钱麦共价十二两六钱岂共价八两四钱术以总银为实并三色每石价共一两八钱为法除得二十一为各石数各以每石价乗之得各共价
　　式三麦每石价九钱米每石价八钱荳每石价七钱今以价均扣算问各若干曰各该价五钱○四厘麦五斗六升米六斗三升荳七斗二升衍以麦荳价相乗七九乗得六斗三升为米数以米荳价相乗七八乗得五斗六升为麦数以麦米价相乗八九乗得七斗二升为荳数各以每石价乗之皆得五钱○四厘
　　均募法
　　式雇车载重一千二百斤行道一千里给银七两五钱今重一千五百斤道一千三百里问该银若干曰十二两一钱八分七厘五毫术置今重以今道乗之得一百九十五万又以七两五钱乗之得一千四百六十二万五千为实以原重乗原道得一百二十万为法除实得今银
　　通曰用异乗同乗之重测法【见九章外法】亦可
　　式二载重一千二百斤价七两五钱行道一千里今重一千六百斤付银六两问该行道若干曰行六百里术以今银乗原行得六千又乗原重得七百二十万为实以今重乗原价得一万二千为法除实得今行
　　式三行道一千里价七两五钱载重一千二百斤今行一千七百里去价七两六钱五分问该载重若干曰重七百二十斤术以原行乗原重得一百二十万又乗今银得九百一十八万为实以今行乗原价得一万二千七百五十为法除实得今重
　　式四负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步问日可几次曰三十五次术以负米一石一斗二升乗三十步得三百三十六又乗五十次得一万六千八百为实以负米一石二斗乗四十步得四百八十为法除实得次数又术以原负乗原行为三率以五十次为次率以今负乗今行为首率
　　式五兵二万三千四百人各相去五步今欲缩除十六里九十步而止各相去几何曰四步七分五厘术以五步乗兵数得十一万七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步与十一万七千步相减余十一万一千一百五十步为实以兵数为法除实得步数
　　式六人与车俱不知数凡三人共车二车空二人共车九人步行问人车各若干曰十五车三十九人术以三人乗二人得六加九人得一十五为车数以二人乗十五得三十加九人得三十九为人数
　　通曰此章本以人之多寡里之逺近物之轻重而立与【分不专以算法分也数度衍卷十九】

　　商功章皆以事
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十
　　桐城　方中通　撰
　　借推盈朒【盈朒之一】
　　借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有余也朒者不足也
　　两不足法
　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三余五以比三百不足二百九十五列左下又借九
　　十六为通数
　　列右上半为
　　四十八于内
　　去三之一为十六去四之一为十二余二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得数注右右上乗左下得数注左两不足相减余为法两乗得数相减余为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十余三百合问
　　式二设一数乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若
　　干曰十三术
　　先借二列左
　　上乗三得六
　　外加十得十
　　六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗两不足减余为法两乗数减余为实以法除得一十三如例乗加合六千七百之数
　　式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七
　　十附列于甲裒内
　　减三之一为一十
　　存二十于乙裒内
　　减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得甲数于一百内减甲数余乙数
　　通曰乙减归甲故与甲裒乗也若甲减归乙则与乙裒乗而先求得乙数矣
　　式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十
　　三加二十
　　二得三十
　　五以比一
　　百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
　　式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二余八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为
　　乙裒列右上
　　内减十二余
　　八十八以当
　　甲六之一用
　　六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得乙母内捐十二与甲余五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也
　　式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是
　　所赢乙二之一
　　为六百二十五
　　【七百内去七十五】而乙
　　裒当为一千二
　　百五十矣【两其六百】
　　【二十五】附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百
　　通曰不足数与乙裒乗求得乙母与丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三
　　百五十七列左下又
　　借二两为甲裒列右
　　上乙该十四丙该三
　　十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数
　　式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺

　　数乗之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乗之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减余为法以不足数乗绫裒得绫实以法除得绫每尺价乗罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乗得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若

　　干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头爲主先借鸡四十八列右上该四十八【九十六内去四十八存四十八】列次鸡二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六【九十六内去六十存三十六】列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减余为法以下互乗上裒减余为鸡实以法除得鸡数以下互乗次裒减余为免实以法除得数又各乗得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足余一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足余七十六以二除得三十八为鸡数【琇曰鸡足半共足减共头余足分共足减共头倍余为鸡】
　　两盈法
　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余
　　三百其原总几何曰
　　一千四百四十术先
　　借四千八百为通数
　　列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之余一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之余五百以比三百盈二百列右下两盈相减余为法左右上下互乗得数相减余为实以法除实得原总
　　通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也
　　式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十
　　加四共二十四丙兼
　　甲乙又加六共四十
　　并三数得七十四比
　　四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乗便求得各数也

　　又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之余三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合
　　式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借
　　六百为甲裒
　　列左上乙四
　　百附列较差
　　二百比四十
　　九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列

　　右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九余九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲
　　式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪则多乙二倍以葢加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上葢附列共一百
　　八十又附列以
　　三之一为乙裒
　　得六十加葢共
　　二百一十比甲
　　裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙鑪
　　式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四
　　两术从乙起算先借十
　　五为乙裒列左上内减
　　六存九以当甲之半则
　　甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等
　　式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水
　　尽曰一时术借四时列左
　　上以四时推甲当尽二壶
　　乙当尽一壶又三分壶之
　　一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数
　　通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可
　　式七黄金百斤制鑪不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金鑪溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯
　　银百斤溢水九十斤如
　　法求之先借四十为和
　　银数列左上存金六十
　　附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之数
　　式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之
　　一则南北当为六
　　万今得七万是盈
　　一万也列左下又
　　借二万四千为北
　　裒列右上推得南
　　西共四万八千去
　　南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得北兵推知西兵二万四千
　　式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十

　　九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱【去较数】列次金九锭乗十三得一百一十七两银十一锭乗六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱【去较数】列次金九锭乗二十四得二百一十六两银十一锭乗十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减余为法上与下互乗减余为金实以法除得金一锭数次与下互乗减余为银实以法除得银

　　一锭数各以锭数乗得共重正等又术以较六两五钱乗金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减余二为法除得银一锭数又以较乗银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数
　　通曰又术即合率差分法也
　　一盈一不足法
　　式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上
　　乙当十八丙当四十二
　　并得八十较原价不足
　　十六列左下又借三十
　　为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乗并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙
　　式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八
　　百两术先借二百为甲
　　数列左上乙四百丙一
　　千二百并得一千八百
　　较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乗原价得二万七千为实以法除得甲数
　　式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四
　　百列左上半为一千二
　　百内三之一去四百四
　　之一去三百余五百比
　　三百盈二百列左下又
　　借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二余二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原数
　　式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一
　　百为等
　　数乙得
　　甲九则
　　甲原是
　　一百○
　　九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙余八十二比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙余三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乗并为甲实次乗并为乙实以法各除得各数
　　式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升余四升八合又倍得九升六合减六升余三升六合又倍得七升二合减六升余
　　一升二合又倍得
　　二升四合减六升
　　不足三升六合列
　　右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升余六升四合又倍得一斗二升八合减六升余六升八合又倍得一斗三升六合减六升余七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乗并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽
　　式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先
　　借四十三列左上倍
　　得八十六减五十余
　　三十六又倍得七十
　　二减五十余二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十余三十八又倍得七十六减五十余二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原糓
　　式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
　　右下盈不足并为法
　　互乗并为实以法除
　　得人数又术通曰用
　　三累法【见九章外法】以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可
　　式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
　　三术先借六为
　　甲倍之加四乙
　　得十六兼甲乙
　　加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙
　　式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二
　　之一术先借二十为甲
　　列左上乙一十附列甲
　　加六十得八十乙加二
　　十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
　　式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术
　　先借六十为甲列左
　　上乙四十附列减甲
　　三之一为二十存四
　　十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数减总得乙
　　式十一二鑪一葢重百两葢加甲鑪则三倍于乙葢加乙鑪则二倍于甲问各若干曰甲鑪八十两乙鑪六十
　　两术先借五十为甲列左
　　上加葢共一百五十附列
　　以三之一为乙五十加葢
　　得一百五十甲是五十乙
　　加葢只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加葢共二百一十附列以三之一为乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数推得乙
　　式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三
　　十日内五分之三
　　则知乙十八日为
　　五分之二先借四
　　十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得乙日【用奇零法见前】又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乗之亦得乙日
　　式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价
　　一百四十
　　四两羊六
　　十四价二
　　十四两术
　　先以三归
　　十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而皆化为厘算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乗各价牛乘四千厘得二十四万羊乘三百七十五厘得一万五千并得二十五万五千厘比总价盈八千七百厘列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乗各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十厘比总价不足二千一百七十五厘列右下并盈不足为法并上互乗为牛实次互乗为羊实以法除得各数
　　通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升则法实俱升降则法实俱降也
　　叠求法
　　式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一【奇数】为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙
　　丙数三
　　十七内
　　减二余
　　丙三十
　　五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五余丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减余为法两互乗减余为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三【奇数】为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二余丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减余为法甲乗减余为甲实乙乗减余为乙实丙乗减余为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒【盈朒之二】
　　一盈一不足法
　　式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六【即五
　　两盈六两】右列三之
　　四【即三两不足四两】两
　　子并为人实母
　　子互乗并为物实两母减余为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乗五减六或以五人乗三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乗五得
　　二十减六存十四又以四
　　乗三得十二加四得十六
　　两数相较不足二列左下
　　另借七人列右上乗五得三十五减六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得五人
　　式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乗并为糓实两母减余为法除人实得人数除糓实得糓数再以人
　　数乘五石加
　　盈三十或以
　　人数乗六石
　　减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十
　　乗六得一百八十减四
　　十存一百四十两数相
　　较盈四十列左下另借
　　一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数
　　式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三
　　尺六寸列下以
　　七列右上乗不
　　足四寸得二尺
　　八寸列下两子并为旧实母子互乗并为新实两母减余为法得旧帐幅长除新实得绢长
　　式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并
　　母子互乗为截
　　实两母减余为
　　法各以法除得
　　数
　　两盈法
　　式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减余为人实母子
　　互乗减余为物
　　实两母减余为
　　法各以法除得
　　数
　　式二井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺折
　　作四股入井汲
　　水余绳一尺井
　　深绳长各几何
　　曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乗四尺得十二为左子以四乗一尺得四为右子俱列下两子减余为井实母子互乗减余为绳实两母减余为法各以法除得数
　　两不足法
　　式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术
　　左列五十之
　　四十【升两为十】右
　　列五十四之
　　二十两子减余为人实母子互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数
　　一适足一盈法
　　式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二
　　十五列左上盈六十列
　　下以二十三列右上无
　　下数即以盈数为人实
　　左子乗右母为物实两母减余为法各以法除得数或不乗物实以人数乗适足之母亦得物价
　　式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布
　　价各若干曰共米一石八斗每疋
　　值米二斗术左列九适足右列七
　　盈四以盈数为米实两母减余为
　　法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乗之得共米
　　一适足一不足法
　　式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足
　　十四右列九适足
　　以不足为人实左
　　子乗右母为物实
　　两母减余为法各以法除得数或以人数乗适足之母亦得物价
　　叠数盈朒法
　　式买物每八人共出七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干曰三十六人物价二十七两术分三层以八人列左上九人列右上两上相乗

　　得七十二为通数共出七两列左中共出六两列右中上中互乗减余为法盈四两五钱列左下不足三两列右下以下与两乗数再互乗并为物实两下并得七十五又乗通数为人实各以法除得数
　　通曰下层并之数皆以千降百也
　　式二买物每六人出九两盈三两每四人出七两盈六两人数物价各若干曰十二人物价十五两术六人列左上四人列右上相乗得二十四为通数九两列左中

　　七两列右中上中互乗减余为法盈三两列左下盈六两列右下以下与两乗数再互乗减余为物实两下相减余三又乗通数为人实各以法除得数　其叠数两不足者仿此
　　式三买物每三人出五两不足十两五人出九两适足人数物价各若干曰七十五人物价一百三十五两术三

　　人列左上五人列右上乗得通数五两列左中九两列右中上中互乗减余为法不足十两列左下以左下乗右乗数为物实以左下乗通数为人实各以法除得数　其叠数之盈适足者仿此
　　母子盈朒法
　　式银不知数买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干曰总银六十两物价三十七

　　两术上层左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一两得一十左得九再乗盈三两得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上层两子乗得通数中层左右相减余为法下层左右相并为物实中下互乗并数又以通数除之为银实各以法除得数
　　式二银不知数买物取六分之四盈二两取四分之三盈三两五钱银数物价各若干曰总银十八两物价十两术上层左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三两五钱得五十六左得十八再乗盈二两得三

　　十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上层两子乗得通数中层左右减余为法下层左右减余为物实中下互乗减余又以通数除之为银实各以法除得数
　　式三派银不言数但知甲乙二等户乙户所办当甲戸十之八令甲八户乙五戸纳之不足五两令甲六戸乙八戸纳之不足三两其派银数及各戸则例若干曰甲一戸办五两乙一戸办四两派银六十五两术以甲裒一十【乙当甲十之八故以一十为甲裒】乗八户得八十乙裒八乗五户
　　得四十并得
　　一百二十列
　　左上又以甲
　　裒一十乗六户得六十乙裒八乗八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五两列左三两列右两母

　　减余为法两互乗减余为银实两子减余为则例实以法除银实得派银以法除则例实得五钱甲裒一十乗五钱得甲一户数乙裒八乗五钱得乙一戸数
　　式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文
　　术七之
　　三列左
　　二之一
　　列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下为物实又以二十四乗适足之母七得一百六十八为钱实两另列之母减余一为法除物实得物价原子相乗得三为法除钱实得钱数
　　式五粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦及每银一两粜麦若干曰总麦四十八石银一两粜二石术左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十两得八十另列右右得九再乗八两得七十二另列左乃以适足之银

　　八乗不足之麦二得十六石列右下为银实又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四为麦实另列两母减余得八为法除麦实得总麦除银实得麦二石乃价银一两之所粜也

　　数度衍卷二十
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十一
　　桐城　方中通　撰
　　方程
　　杂和较乘法
　　通曰数之不齐者以乗齐之数之不齐者以较齐之徧用者方程也
　　二色方程
　　式鼎三彞二共重一百四十五两又鼎四彞五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彞三十五两术分三段徧乗之鼎四列左上彛五列左中共重

　　二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乗左上得十二乗左中得十五乗左下得八百二十五注左以左上鼎四乗右上得十二乗右中得八乗右下得五百八十注右又以乗数各相对减两鼎减尽不用两彛减余七两共重减余二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乗得七十以减右下共重一百四十五余七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彞徧乗以七为法亦同所得减余之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乗得一百以减左下共重余一百七十五两为五彛重数葢鼎乗反得彛彛乗反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也
　　式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同
　　式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱
　　术此依互换
　　者列位一系
　　六钏一钗一
　　系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六徧乗左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一徧乗右行钗得一重得四两七钱对减中段减余四十七为法下段减余二十三两五钱为实【作二百三十五】以法除得五钱为一钗数以减右重余四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗徧乗者得减余之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数
　　通曰上段互乗相减必尽可以不乗矣
　　式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则余半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百
　　一十八
　　文又十
　　一之二
　　马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以余半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乗除之【见奇零】以右马徧乗左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马徧乗右行右中得一头右下得一万对减中段减余二头又四之三为法下段减余五千文为实以法除得牛价以减右总价余八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价
　　式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石
　　乙一千二百石术
　　此零法列位互乗
　　甲得六千乙得四千减余二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乗得乙以减二千余八百以甲母二乘得甲其各以母乗者葢前所除为子数必归母见整故也
　　式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乗取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乗总畦得九百○
　　三以法除得麦
　　畦又以四乗得
　　五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乗总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乗得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乗工数得菽畦
　　式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左

　　右列定牛乗羊价羊乗牛价得数减余七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乗总价得一千○五十六以羊价一两五钱乗总牵得一百五十相减余九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乗得三十六头以二十两乗牛裒得牛共价总内减牛余羊如求羊数者以牛三乗总价得七百九十二以牛价二十两乗总牵得二千相减余一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乗得六十四羫以一两五钱乗羊裒得羊共价总内减羊余牛
　　式八用匠五千名包砖板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方问隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名砖隄九百八十方匠一千七百一十五名术通

　　曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乗相减余八为法总僧总饼列下如求大僧
　　者以小三
　　乗总饼得
　　三百小食一乗总僧得一百相减余二百为实以法除得二十五为裒大一乗裒得大僧数以食三乗裒得饼如求小僧者以小三乗裒得小僧数以食一乗裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数
　　三色方程
　　式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术

　　置左右中三行作四段列之以右五雀徧乗中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀徧乗右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无余燕余四鹪余二十一重余八钱七分另列后图之右以右五雀徧乗左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀徧乗右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无余燕余二鹪余三重余二钱一分另列后图之左除雀无余不用后图止三段以右行燕四徧乗左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二徧乗

　　右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无余鹪余三十为法重余九钱为实以法除得二分为一鹪之重乗左三鹪得九分以减左重余一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得
　　式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乗三人得六三人乗四人得十二四人乗二人得八并得二十六为法以二乗三得六乗四得二十四乗总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数
　　附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乗三得十二减半得六又减三余三为右中率取左二乗七人得十四减右三余十一为左中率下列各共银乃以左二徧乗右行中得
　　六下得五十二
　　两二钱以右三
　　徧乗左行中得三十三下得七十一两一钱对减中余二十七为法下余十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱减七钱得各数
　　通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筩九节下三节共乗粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下
　　三右列上四用右
　　法求得右中率六
　　左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乗右行中得十八下得九分以右四徧乗左行中得八十四下得十五分六厘对减中余六十六为法下余六分六厘为隔母率却以法乗左三升九合得二百五十七分四厘以左三除得八十五分八厘为第八节数加母率得九节九十二分四厘若递减母率七节得七十九分二厘六节得七十二分六厘五节得六十六分四节得五十九分四厘三节得五十二分八厘二节得四十六分二厘一节得三十九分六厘各以法六十六除得各粟数又术以中余六十六为法下余六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节
　　通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也
　　立正负法
　　立正负以别同异初以同名减其下同减而异并初以异名减其下异减而同并
　　二色方程
　　式笔三管换砚七方贴砚价四百八十文又砚三方换笔九管贴笔价一百八十文问各价几何曰一笔价五十文一砚价九十文术砚为正笔为负左右三段列之
　　以右砚
　　七乗左
　　行中得六十三下得一千二百六十注左以左砚三乗右行中得九下得一千四百四十注右两笔负同名减余五十四为法两价正负异名并得二千七百为实以法除得五十文为一笔之价取右笔三乗得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右七砚之价以七除得每砚九十文若取左笔九乗五十得四百五十内减价负一百八十余二百七十即左三砚之价如以笔徧乗者得异并之实四千八百六十以法除得砚价通曰旧法上段亦乗今不用其下段分正负者砚为正故贴砚价亦正笔为负故贴笔价亦负
　　三色方程
　　式硃二斤黄三斤价二千○四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文又碌七斤硃三斤价二千九百八十文问各价若干曰硃每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文术分三色及价作四段于右中左列之以右硃

　　二乗左行碌得十四价得五千九百六十以左硃三乗右行黄得九价得六千一百二十左右黄碌两段俱无减并止两价作同减余一百六十除硃一段乃于左○位照黄乗得之数为立负九另以中行黄五碌六价六百四十列右左行○负九碌乗十四价余一百六十列左于后以右黄五乗左行碌得七十价得八百以左负
　　九乗右
　　行碌得
　　五十四价得五千七百六十碌系正负异名并得一百二十四为法两价作同减余四千九百六十为实以法除得四十文为碌一斤价乃于前图中行原价减中碌六斤价二百四十余四百为中黄五斤价每斤八十文又于右行原价减右黄三斤价二百四十余一千八百为右硃二斤价每斤九百文
　　式二牛一头马二匹驴三匹皆载物七百斤不能行一牛借马一匹二马借驴一匹三驴借牛一头方行三等力各若干曰一牛力四百一马力三百一驴力一百术
　　列定以
　　右正牛
　　一乗左行各如故以左借牛一乗右行各如故左右不用减并左马空仿右马乗得数立负一乃除却牛段以中正马乗左行负得二驴得六下得一千四百以左负一乗中行马得二驴得一下得七百中左马同名减尽正借驴异名并得七为法下物作同减余七百为实以法除得驴力一百斤于中行七百内减中一驴力余六百为中二马力每马力三百斤又于右行七百内减右

　　一马力余四百即右一牛力或用后图求马力以右借驴一乗左行牛得一下得七百以左正驴三乗右行马得六下得二千一百左右马牛无减并下减余一千四百除却驴段又左马空仿右马乗数立负六以中借马一乗左行牛得一下得七百以左负六乗中行牛得六下得四千二百中左正借牛异名并得七为法下物作同减余三千五百又以右下余一千四百减之余二千一百为实以法除得三百斤为一马力
　　通曰此以正借分同异不分正负也
　　式三鴈二雉三换谷五斗七升雉三二换五斗三升四鴈五换一石问各若干曰每鴈一斗二升毎雉一斗一升每一斗术列定以右鴈二乗左行八二石以左鴈五乗右行雉十五糓二石八斗五升左

　　右雉无减并糓作同减余八斗五升除却鴈段于雉左○照右乗立负十五以中雉三乗左行二十四糓二石五斗五升以左负十五乗中行三十糓七石九斗五升中左正负异名并得五十四为法糓作同减

　　余五石四斗为实以法除得一斗为一价于中行糓内减二价余三斗三升为中三雉价每雉一斗一升又于右行糓内减三雉价余二斗四升为右二鴈价每鴈一斗二升
　　通曰左右互乗既不乗鴈一段则左中互乗亦可不乗雉一段不然则雉系正负异名安得减尽乎故皆省之式四卖二牛五羊买十三豕余五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两问各价若干曰牛六两羊二两五钱豕一两五钱术此以卖为正买为负余为正不足为负也正为主则同减异并负为主则同并异减列定以右牛二乗中行羊六豕二以中牛一

　　乗右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乗左行羊十二豕十六价六以左牛五乗右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减余四十九价异名减余十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乗左行豕五百三十九价二十两○九钱以

　　羊三十七乘右行豕五百五十五价十八两五钱左右豕异名减余十六为法价异名减余二两四钱作二十四为实以法除得一五即一豕价一两五钱以右豕十五乗得二十二两五钱加右价五两共二十七两五钱俱羊价以右羊十一除得每羊二两五钱再以前图右豕十三乗一豕价得十九两五钱加入右价五两共二十四两五钱为牛羊总价内减右五羊价十二两五钱余十二两为右二牛价每牛六两
　　四色方程
　　式柰二梨四共钱四十文梨二桃七共钱四十文桃四

　　榴七共钱三十文榴八柰一共钱二十四文问各价若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文术分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乗以甲柰二乗丁行梨空桃空榴得十六价得四十八以丁柰一乗甲行梨仍四无对桃榴俱空钱仍四十与四十八相减余八丁梨空照甲立负四次乙丁互乗乙无柰取梨二乗丁行桃空榴巳乗出十六得三十二钱余八得十六以丁负梨四乗乙行桃得二十八无对榴空钱得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立负二十八次丙丁互乗丙无柰梨取桃四乗丁行榴巳乗出三十二得一百二十八钱巳乗并一百七十六得七百○四以丁桃负二十八乗丙行榴得一百九十六与一百二十八相减余六十八为法钱得八百四十减去七百○四余一百三十六为实其甲丁乙丁互乗惟求应立负数以为乗母既得法实其诸数皆不用也以法除实得二文为一榴之价于丙价三十减丙七榴价十四余十六为丙四桃价每桃四文又于乙价四十减乙七桃价二十八余十二为乙二梨价每梨六文又于甲价四十减甲四梨价二十四余十六为甲二柰价每柰八文
　　五色方程
　　式井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六则借甲一始俱及泉其各绳及井深若干曰甲绳二丈六尺五寸乙绳一丈九尺一寸丙绳一丈四尺八寸丁绳一丈二尺九寸戊绳七尺六寸井深七丈二尺一寸术列作五行以五绳之率为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六又乗丙四得二十四又乗丁五得一百二十又乗戊六得七百二十并入子一得七百二十一为井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行为主一二三四行俱

　　与五行互乗也先以一行甲二乗五行戊六得十二下

　　得一千四百四十二以五行甲一乗一行乙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一千四百四十二相减余七百二十一次以二行乙三乗五行戊十二得三十六下之减余七百二十一乗得二千一百六十三以五行乙负一乗二行丙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一并前所乗之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乗五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乗得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行丁仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乗之一万一千五百三十六相减余一万○八百一十五末以四行丁五乗五行戊一百四十四得七百二十下之减余一万○八百一十五乗得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行戊仍得一并五行所乗之七百二十得七百二十一为法下仍得七百二十一并前所乘之五万四千○七十五得五万四千七百九十六为实以法除实得戊绳七尺六寸以减四行之七百二十一余六百四十五以丁五除得丁绳一丈二尺九寸【丈为百尺为十】以减三行之七百二十一余五百九十二以丙四除得丙绳一丈四尺八寸以减二行之七百二十一余五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行之七百二十一余五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸
　　通曰自四色以上凡下段互乗相对皆系一减一并而积之不分正负同异矣其四色之丙丁两行互乘榴段皆正同名则用减五色之四五两行互乗戊段正借异名则用并也
　　止推下二段法
　　通曰如右式推出井深列定之后先以五行甲一乗各行乗乙一立负一乗丙一立负一乗丁一立负一乃止求下法实二段如求实段以一行甲二乗五行下得一十四百四十二以五行甲一乗一行下仍得七百二十一相减余七百二十一又以二行乙三乗之得二千一百六十三以五行乙负一乗二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乗之得一万一千五百三十六以五行丙负一乗三行下仍得七百二十一相减余一万○八百一十五又以四行丁五乗之得五万四千○七十五以五行丁负一乗四行下仍得七百二十一并得五万四千七百九十六为实也如求法段以一行甲二乗五行戊六得十二又以二行乙三乗之得三十六又以三行丙四乗之得一百四十四又以四行丁五乗之得七百二十乃以五行丁负一乗四行戊一仍得一并得七百二十一为法也

　　数度衍巻二十一
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十二
　　桐城　方中通　撰
　　度【粟布之一】
　　度长短法
　　式九寸五分小尺量得三丈五尺十寸正尺该若干曰三丈三尺二寸五分术以三丈五尺为实以九寸五分为法乗之即得
　　式二十寸正尺量得三丈三尺二寸五分九寸五分小尺该若干曰三丈五尺术以三丈三尺二寸五分为实以九寸五分为法除之即得
　　式三九寸尺量得四丈八寸尺该若干曰四丈五尺术以四丈为实以九寸乗之得三丈六尺再用八寸除之即得
　　通曰乗非加也折而小之也除非减也折而大之也
　　求价法
　　式银二十六两五钱买纱二百二十二丈六尺毎疋长四丈二尺问纱疋及疋价若干曰五十三疋毎疋价五钱术以二百二十二丈六尺为实以四丈二尺为法除之得五十三疋又以二十六两五钱为实以五十三疋为法除之得五钱
　　量【粟布之二】
　　量多寡法
　　式一斗五升大斗量得七石十升正斗该若干曰十石○五斗术以一斗五升乗七石即得
　　式二十升正斗量得十石○五斗一斗五升大斗该若干曰七石术以一斗五升除十石○五斗即得
　　式三二斗五升斛量得四十二斛若以一斗五升大斗量之该若干曰七石术以二斗五升乗四十二斛得十石○五斗为实以一斗五升为法除之即得
　　官粮带耗法
　　式正一石耗七升今共粮二千七百六十五石九斗五升内正耗各若干曰正二千五百八十五石耗一百八十石○九斗五升术以共粮为实以正耗共一石○七升为法除之得正数以减共粮余为耗数或以耗七升乗正数亦可
　　衡【粟布之三】
　　权轻重法
　　较秤式用秤称物不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依本秤算该斤几何曰一百二十斤○九两六钱术以原锤通作二十六两【法见后】加锤通作二十两○八钱并得四十六两八钱为三率以六十七斤为次率以原锤二十六两为首率次三相乗首除得一二○六一二者一百二十斤也六乃斤下虚数用加六法得九两六钱
　　较锤式原秤称物重八斤二两失去原锤欲另配锤不知轻重借锤重二斤五两称原物只得六斤原锤该重若干曰一斤十一两三钱零术以六斤通作九十六两为三率以借锤通作三十七两为次率以原重通作一百三十两为首率次三相乗首除得二十七两三钱零乃一斤十一两三钱零也
　　两求斤法
　　通曰斤法十六不以十进故须通斤为两归两为斤也式物重三百二十两该斤几何曰二十斤术以物重为实以十六为法除之即得又术先用八除实后用五乗亦得又术以实两次折半又加实数再折半亦得又术以实四次折半亦得此即偶数可折至一止也又术先用二除实后用八除亦得以实两次四除亦得
　　通曰二八为十六四四亦为十六故皆可用也五乗即二除也
　　斤求两法
　　式物重二十斤该两几何曰三百二十两术以物重为实以十六为法乗之即得又术以八乗实以五除之亦得又术倍实又乗八亦得又术以四乗实又乗四亦得
　　珠算两求斤法
　　诀曰一退六二五　二一二五　三一八七五　四二五　五三一二五　六三七五　七四三七五　八五九五六二五　十六二五　十一六八七五　十二
　　七五　十三八一二五　十四八七五　十五九三七五　十六进一
　　退者挨身下位也无退则自本位起也进则左位矣式物重三百二十一两该斤几何曰二十斤○一两术置三百二十一两在位从右起曰一退六二五抹去寅一卯上六辰上二巳上五曰二一二五丑二变一寅上二卯六变一而寅二又变三曰三一八七五子三变一丑一变九寅抹三又抹丑九而子一又变二卯一变六算毕子位二即二十斤也卯六
　　辰二巳五再用定身加六法得一两
　　又诀曰进一除一六　进二除三二　进三除四八进四除六四　进五除八十　进六除九六　七除一一二　八除一二八　九除一四四
　　式物重二千九百四十四两该斤几何曰一百八十四斤术置二千九百四十四两在位从左起曰进一除一六子上一丑二变一寅九变三曰八除一二八丑一变八寅抹三夘四变六曰进四除六四寅上四卯抹六辰抹四除毕即得
　　通曰二式得数后须推斤止何处始得余两
　　减六法
　　定身减六式物重四万○七百三十六两该斤几何曰二千五百四十六斤术置实从左起曰减二六一十二子之四存二减一二丑上八曰减五六方三十丑之八存五减三曰减四六二十四寅之七存四减二四卯三变九曰减六六三十六卯之九存六减三辰减六实尽即得
　　通曰凡存数皆勿动即斤数也
　　珠算斤求两法
　　通曰作几段起算后并为一不论左首但取右尾挨次退一位加之诀曰一作一六二作三二三作四八四作六四五作八六作九六七作一一二八作一二八九作一四四
　　式物重三百七十四斤该两几何曰五千九百八十四
　　两术通曰分三段三百为一
　　段曰三作四八七十为一段
　　曰七作一一二四斤为一段
　　曰四作六四乃以每段右退
　　一位加得两数
　　加六法
　　定身加六式物重四十六斤该两几何曰七百三十六两术置实从实尾起曰六六加三十六曰四六加二十四于四十六上共加二十七六也合成七三六即两数通曰减六者于数内照存数减几回六也加六者于数外照本数加几回六也
　　式二物重三百二十一两用两求斤前诀巳推二十斤尚余六二五为斤法几两曰一两术用定身加六即得曰五六方三十曰二六一十二曰六六三十六如六百二十五上加三百七十五成一千也
　　化法
　　百两为六斤四两千两为六十二斤八两万两为六百二十五斤故知六二五为一之所化也葢百两曰六二五六即六斤二五为化数存身加六归得四两也千两曰六二五六二即六十二斤五为化数存身加六归得八两也若以一两为六百二十五一斤为一万数矣式原买物一斤价七钱六分五厘今欲买六两该银若干曰二钱八分六厘八毫七丝五忽术以六两化之六其六二五得三十七五降作三七五为实以七钱六分五厘降作七分六厘五毫为法乗之即得
　　式二原买物一斤价五两今买三百四十五两该银若干曰一百○七两八钱一分二厘五毫术通曰以三百四十五两乗六百二十五化作二十一万五千六百二十五又以五两乗之得一百○七万八千一百二十五为实以一斤化作一万为法除之即得
　　互求【粟布之四】
　　通曰周尺小沿今渐大今之周通尺犹小古石即石如其石重量亦衡也斤法三百八十四铢汉志十六两故每两二十四铢至其不齐度量有大至加五衡有十七八两以至二十余两为斤者闽中更有牙桶管不以升斗十进粤又以五斗为石五升为斗与豫章之硕同书曰同律度量衡同律而后可互求也
　　度求量法
　　斛法二尺五寸乃长濶皆一尺髙二尺五寸容积一石也
　　方仓求积式方仓长四丈七尺濶三丈一尺髙九尺问积米若干曰五千二百四十五石二斗术以长与濶相乗得一百四十五丈七尺再以髙乗之得一千三百一十一丈三尺为实以斛法二尺五寸除之即得
　　式二方仓方一丈五尺髙一丈五尺问积米若干曰一千三百五十石术以方一丈五尺自乗得二百二十五尺再以髙乗之得三千三百七十五尺为实以斛法除之即得
　　圆仓求积式圆仓周二丈四尺髙一丈二尺三寸问积若干曰二百三十六石一斗六升术以周自乗得五百七十六尺以髙乗之得七万○八百四十八以圆率十二除之得五千九百○四为实以斛法除之即得又术以七万○八百四十八为实以斛法乗圆率得三十为法除实亦得又术以七万○八百四十八为实以三除之亦得
　　方窖求积式方窖上方六尺下方八尺深一丈二尺问积若干曰二百三十六石八斗术以上方自乗得三十六下自乗得六十四上下方相乗得四十八并三乗数共一百四十八以深乗之得一千七百七十六用方窖率三除之得五百九十二为实以斛法除之即得又术以五百九十二为实以四乗之亦得
　　通曰四乗即二十五除故可代斛法也
　　圆窖求积式圆窖上周二丈八尺下周一丈五尺深七尺五寸问积若干曰一百一十九石○八升有零术以上周自乗得七十八丈四尺下周自乗得二十二丈五尺上下周相乗得四十二丈并三乗数共一百四十二丈九尺以深乗之得一○七一七五用圆窖率三十六除之得二九七七零为实以斛法除之即得又术以一○七一七五用六除二次亦得二九七七零以四乗之亦得
　　通曰六六为三十六故可代圆窖率也
　　平地尖堆求积式周二丈七尺髙六尺问积若干曰四十八石六斗术以周自乗得七二九又以髙乗之得四三七四用圆窖率三十六除之得一二一五为实以斛法除之即得又术以四三七四为实以九除之亦得通曰以斛法乗圆窖率得九十故可用九除也
　　倚壁求积式下周一丈九尺髙一丈二尺六寸问积若干曰一百○一石○八升术以下周自乗得三六一以髙乗之得四五四八六用倚壁率十八除之得二五二七为实以斛法除之即得又术以四五四八六为实以四十五除之亦得又术以四五四八六用五除之得九○九七二以九除之亦得
　　通曰以斛法乗倚壁率得四十五五九亦四十五故皆可用
　　内角求积式周一丈五尺髙一丈四尺四寸问积若干曰一百四十四石术以周自乗得二二五以髙乗之得三二四用内角率九除之得三六为实以斛法除之即得又术以三二四为实以二十二尺五寸为法除之亦得
　　通曰以斛法乗内角率得二十二尺五寸也故用之外角求积式周五丈七尺髙八尺五寸问积若干曰四百○九石一斗三升二合零术以周自乗得三二四九以髙乗之得二七六一六五用外角率二十七除之得一○二二八三零为实以斛法除之即得又术以二七六一六五为实以六十七尺五寸为法除之亦得又术以二七六一六五用三除之得九二○五五以九除之得一○二二八三零以四乗之亦得
　　通曰以斛法乗外角率得六十七尺五寸也三九亦二十七故皆可用
　　船求积式船两头俱面广六尺五寸中腰广七尺五寸底广六尺长一丈八尺深二尺五寸问积若干曰一百二十三石七斗五升术倍腰广为十五尺并入面广底广共二十七尺五寸以四除之得六八七五以深乗之得一七一八七五又以长乗之得三○九三七五为实以斛法除之即得
　　式二南头面广六尺腰广六尺五寸底广五尺北头面广七尺腰广七尺五寸底广六尺深二尺四寸长九尺问积若干曰五十六石一斗六升术倍南腰为十三尺加南面底共二十四尺倍北腰为十五尺加北面底共二十八尺南四除得六北四除得七并得十三折半得六五以乗深得十五尺六寸再乗长得一百四十尺○四寸为实以斛法除之即得
　　通曰圆仓圆窖非浑圆也仓乗得积十二倍窖乗得积三十六倍方窖乃三不等立方也乗得积三倍尖堆与圆窖同率倚壁止半尖故其率减尖堆之半内角乗得积九倍外角周大而积少故其率三倍于内角此用率除得实之故也
　　度求衡法
　　立方一寸为金率十六两银率十二两玉率十两不等铅率九两五钱铜率七两五钱铁率六两青石率三两不等
　　式金立方一丈二尺该重几何曰二千七百六十四万八千两术以一丈二尺通作一百二十寸自乗得一万四千四百寸再乗得一百七十二万八千寸为实以金率十六两乗之即得
　　式二盐立方一尺重四十斤今有盐一堆长一丈五尺濶一丈二尺髙六尺五寸共重几何曰四万六千八百斤术以长乗濶得一百八十尺又乗髙得一千一百七十尺为实以四十斤为法乗之即得
　　量求度法
　　此即度求量之还原也
　　式有米二千四百一十九石二斗欲作方仓盛之濶十八尺髙十二尺长该几何曰二十八尺术以斛法二尺五寸乗米数得六千○四十八尺为实以髙乗濶得二百一十六尺为法除之得长　长髙求濶以长乗髙为法长濶求髙以长乗濶为法
　　式二有米七百○五石六斗欲作圆仓盛之髙十二尺周该几何曰四十二尺术以斛法乗米数得一千七百六十四以圆率十二乗之得二万一千六百六十八以髙除之得一千七百六十四为实用少广章平方法开之得周　周求髙则以二万一千一百六十八为实以周自乗为法除之得髙
　　式三有米五百七十七石二斗欲作方窖盛之上方九尺深十三尺下方该若干曰十二尺术以斛法乗米数得一千四百四十三尺以方窖率三乗之得四千三百二十九尺以深除之得三百三十三尺内减上方自乗得八十一尺余二百五十二尺为实以上方为纵用少广章带纵开平方除之得下方　下方求上方于三百三十三内减下方自乘余为实以下方为纵用带纵开平方除之得上方
　　式四有米七十七石二斗欲作圆窖盛之上周十四尺深九尺下周该若干曰十八尺术以斛法乗米数得一百九十三尺以圆窖率三十六乘之得六千九百四十八以深除之得七百七十二尺内减上周自乗得一百九十六余五百七十六尺为实以上周为纵用带纵开平方除之得下周　下周求上周于七百七十二内减下周自乗余为实以下周为纵用带纵开平方除之得上周
　　量求衡法
　　百二十斤为石法然物亦不等率亦不等
　　式米二百五十三石该斤几何曰三万○三百六十斤术以米数为实以石法乗之即得
　　衡求度法
　　此即度求衡之还原也
　　式金重二千七百六十四万八千两该立方几何曰方一丈二尺术以金数为实以金率十六除之得一百七十二万八千寸为立实用少广章开立方除之即得
　　衡求量法
　　此即量求衡之还原也
　　式米三万○三百六十斤该石几何曰二百五十三石术以米数为实以石法除之即得
　　就物抽分法
　　式糓三千五百石即以糓扣作脚价每石脚银五分糓每石价二钱问主脚糓各若干曰主糓二千八百石脚糓七百石术以二钱为法除五分得每石脚糓二斗五升并一石为一石二斗五升以除总糓得主糓以主糓减总糓余为脚糓又术以五分乗总糓得一百七十五为实以谷价脚银并二钱五分为法除实得脚糓减总得主
　　式二丝四十三斤十二两织绢每疋用丝一斤即与织工丝四两问各若干曰织绢三十五疋织工丝八斤十二两术以斤下两化作七五【十二其六二五也】并四十三斤得四三七五以工四两化作二五【四其六二五也】相乗得十斤○九三七五为实乃并织丝工丝共一斤四两化作一二五为法除实得八斤七五将七五用加六法归得八斤十二两为织工丝以减总丝余为织绢丝三十五斤一斤即一疋得三十五疋又术以总丝通为七百两以工四两乗之得二千八百两为实以每疋用十六两并入工四两得二十两为法除实得织工丝一百四十两归得八斤十二两

　　数度衍巻二十二
　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十三
　　桐城　方中通　撰
　　九章外法
　　约分法
　　式四十二数在九十八数内得防分之防曰七分之三术约以分子也数多为母数少为子今以四十二为子九十八为母视母数内满几囘子数尽减去今减两回四十二余母十四又于子数内减余母今减两回十四余子十四此谓之子母同余如不同余则不可约矣以同余之十四为法除母得七除子得三乃知四十二在九十八内为七分中之三分也
　　通分法
　　式物四十五件每件价三分两之二该银若干曰三十两术通以分母也以三之二命三为母二为子乃以子二乗四十五得九十两为实以母三为法除之得三十两
　　通曰此零算则无尽而总算则无零也
　　异乗同除法
　　式钱四贯得货十二斤今钱二十贯该货若干曰六十斤术此即三率准测法也又名三累先定三率之位以四贯为一率以十二斤为二率以二十贯为三率乃以二率三率相乗得二百四十以一率除之得六十为第四率又术先防纽数如用四为纽数一率四有一回四二率十二有三回四则以一代四为一率三代十二为二率仍用二十为三率所求四率亦同更以五代二十为三率亦用一为一率二率仍用十二亦可又术以一率除二率乗三率亦合又术以一率除三率乗二率亦合
　　通曰后二术皆先除后乗恐有零不尽不如先乗后除也
　　若以二率三率相乗以四率除之即得第一率之数若移三率作一率移四率作二率移一率作三率即得第二率之数
　　定位诸式
　　通曰二率三率可以相换一率则不可易矣
　　式买绢五十二疋银四十四两今买二百六十疋该银几何曰二百二十两术此所问在二百六十疋则以二百六十为第三率以原绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率也
　　式二每石价一两七钱五分米每石价二两五钱今有谷三百九十六石照价折米该若干曰二百七十七石二斗术以谷价为二率米价为一率今有糓为三率若问米照价准糓则以米价为二率糓价为一率米数为三率
　　式三八成金五十两价二百两今有九成金四十两该价若干曰一百八十两术此有成色当折足色之后用本法推之以八成金折足四十两为一率二百两为二率九成金折足三十六两为三率
　　式四蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共银二两六钱今有银九钱买蜡若干曰三斤十二两一钱九分又六十五之四术此为三不同类之率取原银二两六钱化为二十六钱为一率取原蜡二起共化为一千七百三十九钱为二率以今银九钱为三率求得六百钱零一钱九分零归得斤两数
　　式五炼矿求银初火每三两得二两再火每七两得五两三火毎五两得四两凡三次共得足银十六两问原矿若干曰四十二两术此当并子并母求之以三子相乗炼得二两乗五两得十两又乗四两得四十两为首率以三母相乗每三两乗七两得二十一两又乗五两得一百○五两为次率以足银为三率
　　式六驿使先发三十七里别一骑追一百四十五里尚不及二十三里再追几何里可及曰二百三十八里又十四分里之三术先推知一百四十五里只追上十四里即以十四里为首率一百四十五里为次率不及二十三里为三率
　　式七二人同步甲疾乙迟甲百步乙才六十步假使乙先行百步甲该几何步可及曰二百五十步术以甲百步与乙六十步相减得较四十步为首率以甲百步为次率以乙先行百步为三率
　　式八籴米三千五百石毎石价六钱五分外用脚价五分就籴处以米准折问脚米存米各若干曰脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【约为十三之九】存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【约为十三之四】术以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率求得脚米以减总米得存米若已运至仓则并籴价脚价共七钱为首率依法求之只该脚米二百五十石
　　通曰数以四分用三故三率为数之枢也乗除亦三率而人不知者因其首率为除之法一次率为乗之法一法数遇一则不用三率耳前后诸式有各章己见者此则专以三率名也
　　同乗异除法
　　式借布长四丈濶二尺今还布止濶一尺八寸该长若干曰四丈四尺四寸零术此变测法也如一率多于三率而二率反少于四率或一率少于三率而二率反多于四率者当审其不相准之数而变法测之则以第一率乗第二率以第三率除之也今以原濶二尺为一率以原长四丈为二率以今濶一尺八寸为三率若用异乗同除法则移三率为一率移一率为二率移二率为三率亦可
　　定位诸式
　　式借九成金五十四两今以八成金抵还该若干曰六十两七钱五分术以九成为首率五十四两为次率八成为三率
　　式二原母四千两生息三年今母七千四百八十两须几年可当其三年之息曰一年七月十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六术以原母为首率三年为次率今母为三率
　　式三原麦半石价六百文作饼每饼重十两值十文今麦价每石八百文而每饼仍是十文该重若干曰十五两术以原价为首率十两为次率今价折半为三率式四二百四十步为一亩系濶八步长三十步今濶六步该长几何曰四十步术八步为首率三十步为次率六步为三率
　　式五原仓贮米三百八十四石髙八尺濶一丈二尺深一丈今仓照前米数亦髙八尺深八尺该濶几何曰一丈五尺术深一丈为首率濶一丈二尺为次率深八尺为三率
　　式六筑台每日用夫三十四年而成今每日用夫五十该几时成曰八百六十四日术以三十为首率以四年化作一千四百四十日为次率以五十为三率
　　式七守兵八千五百其粮仅能支十一月若待运粮至尚须二十五月计当撤兵几何留兵几何而后足食二十五月曰留三千七百四十撤四千七百六十术以十一月为首率八千五百为次率二十五月为三率求出四率为留数减总得撤数
　　式八每日空车行七十里若重载只行五十里今载粮到仓五日三返路逺若干曰四十八里又三十六之二十二术以五日为首率以七十乗五十得三千五百里为次率并七十五十得一百二十里以乗三返得三百六十为三率
　　异乗同乗法
　　通曰定率之后仍用异乗同除法求之
　　式毎人每月织绢六疋若八人四年该织几何曰二千三百○四疋术以四年化作四十八月乗八人得三百八十四又以六疋乗之即得又术用并法以一人乗一月得一为首率以六疋为次率以八人乗四十八月得三百八十四为三率
　　通曰首率是一故前术为捷耳若非一者必用此术及后术也又术用重准测法又名夹三累先以人数测绢数以一人为首率六疋为次率八人为三率求得四率四十八疋又以月数测绢数以一月为首率以前四率为次率四十八月为三率
　　用并诸式
　　式原买大布一疋长二丈五尺濶一尺六寸价二钱今买小布一疋长一丈八尺濶一尺三寸用价一钱二分其贵贱若何曰只该一钱一分七厘今贵三厘术以大长乗大濶得四丈为首率以二钱为次率以小长乗小濶得二丈三尺四寸为三率
　　式二三人用米五石值银三两计食五旬每人每日银米各几何曰银二分米三升三合又三之一术以三人乗五十日得一百五十为首率以三两化作三百分为求银之次率五石化作五百升为求米之次率皆以一人乗一日得一为三率
　　式三母银三百两四年得子银一百两今母银一千五百八十两七年该子银若干曰九百二十一两又三之二术以三百乗四年得一千二百为首率以一百为次率以一千五百八十乗七年得一万一千○六十为三率
　　式四兵每名每月给银四两今兵一万三千名九月该给若干曰四十六万八千两术以一名乗一月得一为首率以四两为次率以九月乗一万三千得十一万七千为三率
　　重测诸式
　　式母银十两三月得子银四两母银百两欲得子银二千两须几时曰一百五十月术此须先知百两三月所得以十两为首率四两为次率一百两为三率求出四十两为四率后以四十两为首率三月为次率二千两为三率
　　式二夏布四十五疋换绵布夏布三疋共价二钱绵布七疋共价七钱五分该换若干曰二十八疋术先求夏布四十五疋之共价以三疋为首率二钱为次率四十五疋为三率求出三两为四率后以七钱五分为首率七疋为次率以先四率为三率
　　式三银二十三两买布七十五疋毎疋长四丈濶二尺今另买布濶一尺六寸长与前等该减前价若干曰四两六钱术先求每尺之价以四丈乗七十五疋得三百丈又乗二尺得六千尺为首率以二十三两为次率另立一尺为三率求出三厘八毫三丝又三之一为四率再求应减之价以先三率为后一率先四率为后二率以两濶相减余四寸乗三千尺【即四丈乗七十五所得之数】得一千二百尺为三率
　　式四重舟日行八十里轻舟日行百里重舟先去十五日轻舟几日追及曰六十日术先求重舟十五日所行以一日为首率八十里为次率十五日为三率求出一千二百里为四率后以轻舟每日多行二十里为首率以先首率为后二率先四率为后三率
　　式五车轮半径一尺九寸五分一日转二万周为里几何曰一百三十里术倍半径得三尺九寸为全径推得周一百一十七寸以一周为首率一百一十七寸为次率二万周为三率求得二十三万四千尺为四率再以里法三百六十步化作一千八百尺为首率一里为次率前四率为后三率
　　式六十二人九日刈麦二十亩今三十人刈麦四十五亩该几日曰八日又十之一术先以人较日以十二人为首率九日为次率三十人为三率此系一率小于三率而四率少于二率者当用变准测一二相乗以三率除求出三日又五之三为四率后以日较亩以二十亩为首率前四率为后次率四十五亩为三率仍用本法式七炼铜每次十斤得八斤三次得七十五斤十三两四钱四分原生铜若干曰一百四十八斤二两术化八斤作一万二千八百分为首率化十斤作一万六千分为次率化总铜作十二万一千三百四十四分为三率求出十五万一千六百分为二火铜数以此数为三率一率二率如故求出十八万九千六百分为一火铜数又以此数为三率一率二率如故又求出二十三万七千分用斤法十六除之即得又术以八斤自乗再乗得五百一十二为法除三火铜化分得二三七因有再乗当升二位作二千三百七十两以斤法除之亦得通曰此用三回三率故又名大夹三累
　　式八雇匠采石每六十丈价七两七钱船价三钱总用鍜铁炭火银二百两是六十分之二问总银石数石价船价各若干曰总银六千两石四万三千五百丈石价五千五百八十二两五钱船价二百一十七两五钱术二百两为六十分之二即知总银是六千两矣内减二百两只以五千八百起算为三率以六十丈为二率以两价并得八两为首率求出石四万三千五百丈为四率又以四率为三率以六十丈为首率七两七钱为次率求出石价减五千八百余船价加二百两合总银式九母银百两货每斤卖二钱已得息三十两今若每斤卖至二钱四分其息几何曰五十六两术先求每斤二钱内母银若干以母并原息得一百三十两为首率以一百两为次率以二钱作二十分为三率求出十五分又十三之五为四率后以四率为首率以二钱四分内减十五分又十三之五余八分又十三之八为次率一百两为三率
　　式十布每疋长四十尺内抽税二尺客布三百疋税司抽布十五疋半反贴客钱六百文其布价毎疋几何曰一千二百文术此已知税为二十取一也先求三百疋应抽之数以二十疋为首率一疋为次率三百为三率求出十五疋为四率以减十五疋半余半疋系二十尺为首率六百文为次率四十尺为三率
　　通曰二尺乗三百疋得六百尺以四十尺除之亦得应抽之数
　　式十一贩参每六斤价七两七钱脚价三钱又用牙银二百是原母三十之一其母银参数两价各若干曰原母六千两参四千三百五十斤价五千五百八十二两五钱脚价二百一十七两五钱术与八式同
　　式十二饭僧初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米僧各若干曰僧一千三百五十初日用米二十一石六斗次日用米十石○五斗术先将两子母互乗【五十九十】□【八七】左得三百五十右得七百二十并得一千○七十为首率两母相乗得四千五百为次率以共米为三率求出一千三百五十为僧数又以五十人为首率八斗为次率僧数为三率求出初日米数再以九十人为首率七斗为次率僧数为三率求出次日米数
　　式十三银六钱五分换大小钱钱数相等每银一钱换大钱七十五文银一钱换小钱一百二十文问各若干曰大钱三百文小钱三百文术以七十五文为首率换大银一钱为次率一百二十文为三率求出一钱六分为大一百二十之银再以一钱六分并换小银一钱共二钱六分为首率并大一百二十小一百二十共二百四十文为次率以六钱五分为三率求得六百文平分大小各三百
　　式十四一百二十里物重八十斤工银六分今一百八十里物重一百二十斤该工银若干日一钱三分五厘术先以八十斤为首率六分为次率一百二十斤为三率求出银九分后以一百二十里为首率九分为次率一百八十里为三率又术通曰视一百二十斤多八十斤二之一则将六分多二之一为九分又视一百八十里多一百二十里二之一则又将九分多二之一为一钱三分五厘亦合【以先里重乗为首率工为次率以后里重乗为三率亦可】
　　附式夫百名筑城二百丈八月完工今夫百名筑城二万丈几月完工曰八百月术此因前后皆是一百名不必重测以二百丈为首率八月为次率二万丈为三率式二货百斤卖银六十四两母每百两得子六两又三之二问各若干曰母六十两子四两术并母子共一百○六两又三之二为首率母一百两为次率卖银为三率此除货不用也
　　式三货卖银二百两云每百两折银十两其原买母银若干曰二百二十二两又九之二术此因百两内折十两当以九十两为首率一百两为次率二百两为三率
　　异除同除法
　　式十五客十二日用米三石六斗一客一日用米若干日二升术以用米为实以十二日为法除之得每日米三斗又以十五客为法除三斗得每人二升
　　同乗同除法
　　式鹅八换鸡二十鸡三十换鸭九十鸭六十换羊二今有五羊换鹅若干日二十术以鹅八乗鸡三十得二百四十又乗鸭六十得一万四千四百又乗羊五得七万二千为实以换鸡二十乗换鸭九十得一千八百又乗换羊二得三千六百为法以法除实得换鹅数【已上诸法式中凡遇奇零者法详三卷】
　　杂収
　　式一银八百八十二两分甲乙丙三等人共一百四十四名云甲每人七两则乙每人五两丙每人三两问人银各若干通曰以总人暂作三分每等四十八人以七两乗甲四十八人得三百三十六以五两乗乙四十八人得二百四十以三两乗丙四十八人得一百四十四并得七百二十两较总银尚少一百六十二两须益一甲损一丙则多四两乃以四两除一百六十二得四十人计多一百六十两尚少二两又须益一甲损一乙则多银二两也甲初四十八人加丙移四十人乙移一人共八十九人分银六百二十三两乙初四十八人减移甲一人止四十七人分银二百三十五两丙初四十八人减移甲四十人止八人分银二十四两又甲八十二人乙六十一人丙一人亦可
　　式二甲乙丙三物共百枚钱百文云甲一枚钱二文乙三枚钱一文丙五枚钱一文问各若干通曰暂以甲作三十二钱六十四乙作三十三钱十一丙作三十五钱七文并得钱八十二文较之百文尚少十八文须益十甲损十丙则多十八文也甲四十二钱八十四乙三十三钱十一丙二十五钱五文又甲四十四乙六丙五十亦可
　　通日右二式无准不可立通数差分不可盈朒亦不可姑存此
　　式三有积于此以三数之余二以五数之余三以七数之余二为积几何其法三数每余一作七十今当作一百四十五数每余一作二十一今当作六十三七数每余一作十五今当作三十并得二百三十三满百则减去并带去五今于并数内减二百又带去一十余二十三为积也
　　通曰五用二十一者三七相乗数也七用十五者三五相乗数也三用七十者五七相乗而倍之之数也减百零五者并七十与二十一及十五得一百零六减百零五而余一也
　　式四四正四隅各置三枚截南三方共成九枚截西三方亦成九枚四面皆然今四正各加一枚四隅各移一枚入正截南三方仍是九枚四面皆然何也通曰四隅一枚当二枚用四正一枚止是一枚也
　　式五环二十子内有二黑子相连以九数之止处即除一子除毕二黑不动宜从何起通曰五为九之中左右各四离黑子四位起可也大凡以九数者不拘多寡中必有相连二子不动七亦如之惟起处当临时测耳式六十位九子隔三而投务从空起可越而不可曲其投若何
　　通曰甲丙戊庚壬五阳位也乙丁己辛癸五隂位也阳起隂止隂起阳止一隂一阳而九子毕投矣
　　式七酒十斤贮甲器外有乙器可容七斤丙器可容三斤而无秤欲两平分其术若何通曰有二术就甲器贮酒用丙盛三斤入乙又盛三斤入乙又盛三斤内以一斤足乙七斤丙余二斤乃将乙七斤复入甲以丙余二斤入乙又盛三斤入乙则甲乙各得五斤矣若将乙丙二器贮酒以丙三斤入甲又盛三斤入甲又盛三斤入甲甲受九斤乙余一斤乃以丙盛此一斤以甲九斤内七斤入乙甲余二斤以乙七斤内二斤足丙三斤入甲则甲乙亦平分也

　　附録
　　式一借银二百六十两每年加三息至十个月二十四日共息若干通曰先用通日为月率之法以所零二十四日用三为法除得八于十月下空一位列之又用通月为年率之法以实零八为实用十二为法除得九乃以九乗借银得二百三十四两为实用加三息乗之得七十两零二钱葢三十日为一月故用三为法十二月为一年故用十二为法也
　　式二四商共贩赵于甲子年正月初九日出本三十两钱于乙丑年四月十五日出本五十两孙于丙寅年八月十八日出本七十两李于丁夘年十月二十七日出本九十两至戊辰年终共得利银一百二十两各该利若干通曰先用月率年率之法赵计四年十一个月二十一日以三除二十一日得七并月为十一七以十二除之得九七五并年为四九七五以原本三十乗之得一百四十九两二钱五分为赵通本钱计三年八个月十五日以三除十五日得五并月为八五以十二除之得七零八三三三并年为三七零八三三三以原本五十乗之得一百八十五两四钱一分六厘六毫【不尽数去之】为钱通本孙计二年四个月十二日如法得一百六十五两六钱六分六厘六毫为孙通本李计一年二个月零三日如法得一百零五两七钱五分为李通本并四通本得六百零六两零八分三厘二毫为法以除共利一百二十两得一钱九分八厘【收零】此乃是每年每两之利也然后以此为通法乗赵通本得利二十九两五钱五分一厘【去五毫】以通法乗钱通本得利三十六两七钱一分一厘【去一厘四毫零】以通法乗孙通本得利三十二两八钱【去零数】以通法乗李通本得利二十两零九钱三分八厘【去五毫】
　　式三借银每年每两加利二钱七分今有一年三个月二十日收还本利和银三百六十二两四钱七分其本利各若干通曰先用月率年率之法用三除二十日得六六六六并月为三六六六六以十二除之得三零五五五并年为一三零五五五又以利二钱七分乗之得三钱五分二厘五毫【收零为五毫】此乃是毎两之利也加毎本一两得一两三钱五分二厘五毫为法以除本利和得二百六十八两为本再以每两利三钱五分二厘五毫乗本得利九十四两四钱七分
　　通曰右第二第三式应属差分但前差分章内之式有整月而无零日此三式俱有零日用通日为月率通月为年率之法又有零尾或去或收故附于此

　　数度衍卷二十三
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书
　　数度衍附录
　　桐城方中通　撰
　　几何约
　　名目一

　　【名目二】
　　【名目三】

　　名目四

　　【名目五】

　　【名目六】

　　度说
　　设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
　　有多度等若所加之度等则合并之度亦等
　　有多度等若所减之度等则所存之度亦等
　　有多度不等若所加之度等则合并之度不等
　　有多度不等若所减之度等则所存之度不等
　　有多度俱倍于此度则彼多度俱等
　　有多度俱半于此度则彼多度亦等
　　有二度自相合则二度必等以一度加一度之上也全大于其分如一尺大于一寸寸乃全尺十之一也

　　有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
　　有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与原所赢之度等
　　有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
　　有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与原所赢之度等
　　全与诸分之并等
　　有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
　　度各形之髙皆以垂线之亘为度两形同在两平行线内其髙必等凡度物髙以顶底为界以垂线为度不论物之偏正也盖物之定度有一无二自顶至底垂线一而已偏线无数也
　　线说
　　有二横直线任加一纵线或正或偏若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇如甲乙丙丁二横直线任意作戊巳线交于二横直线之上而戊巳线或正或偏若戊巳线旁同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁二线必有相遇之处
　　两直线不能为有界之形
　　两直线止能于一防相遇
　　凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙丙丁圜内甲乙线丙丁线其去戊心逺近等因己戊戊庚两垂线等故也若辛壬线去戊心近矣因戊癸垂线小故也

　　凡一防至直线上惟垂线至近垂线之两旁渐逺平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线
　　角说
　　凡直角俱相等
　　直线上立垂线则两旁皆直角若立偏线则一为钝角
　　其一必为锐角如子丑线上甲乙
　　垂线也丙丁偏线也
　　比例说
　　比例者两几何以几何相比之理几两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
　　凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而非数可明者是也其大合线为有两度之线其小合线为无两度之线
　　凡大合有二种有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
　　凡等者为相同之比例其不等者又有二种有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
　　大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分其一为几倍大者如二十与四是二十内为四者五如三十尺与五尺是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也其二为等带一分者如三与二是三内既有二别带一以为二之半如十二与九是十二内既有九别带三以为九之三分之一则三与二名为等带半也十二与九名为等带三分之一也其三为等带几分者如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八之四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也其四为几倍大带一分者如九与四是九内既有二四别带一一为四之四分之一则九与四名为二倍大带四分之一也其五为几倍大带几分者如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也
　　大合比例之以小不等者亦有五种俱与右相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡诸数俱有书法有全数有分数全数依本数书之分数有二一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则书为三分之二三为命分数二为得分数也其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若反几倍大则用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也其二等带一分之比例有全数有分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一又二之一也若反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也其三等带几分之比例亦有全数有分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一又七之三也若反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三又七之一也若反几倍大带一分则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乗大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乗三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又如五带九之一反书之九乗五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三又八之五也若反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乗大倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乗三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也通曰右皆化整为零之法也法详竒零
　　两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则径与界亦有小合比例之线也又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等即曲线直线两视有大有小亦有比例也又方形与圜不能为等形然相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线
　　角亦有比例如上图直
　　角钝角锐角皆有与曲
　　线角等者如甲乙丙直
　　角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线也又线与面面与体及切圜角与直线锐角皆无比例也
　　四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是如有四几何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加四倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四则倍第三之十八必大于倍第四之八也乃知三与二偕六与四得为同理之比例也此断比例之法若连比例则以中率两用之既为第二又为第三也若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例矣
　　三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同理之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷如甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊五几何为同理之连比例其一甲与三丙为
　　再加之比例其一甲与四丁为三加之比例其一甲与五戊为四加之比例若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也再以数明之如此直角方形之边三尺彼直角方形之边一尺若九与一夫九与一之间有三为同理之连比例则此九三一之三数既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也故彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大约第一与二之比例若线相比第一与三若平面相比第一与四若体相比第一与五若少广之三乗方与六则若四乗方与七则若五乗方也
　　同理之几何前与前相当后与后相当
　　比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数盖中率相结者于不同理之中求其同
　　理也如十二倍
　　之此比例则以
　　彼二倍六倍两
　　比例相结也二
　　六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也大约以三率为始三率则两比例相乗除而中
　　率为纽也若四率则先以前
　　三率之两比例相乗除而结
　　为一比例又以此与第三比
　　例相乗除而总结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结又以此与第三比例乘除相结又以此与第四比例乗除相结而为一比例也或如下图亦可
　　三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又
　　如次图前以大不等后以小不等者中率小于前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大则甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反
　　推之半除三为反等带半也又如末图前以小不等后以大不等者中率大于前后两率也其甲乙与丙丁为反二倍大丙丁与戊己为等
　　带三分之一即甲乙与戊己为反等带半何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也又法以命数三带得数一为四半除得二二比三为反等带半也若戊己为首则为等帯半矣
　　若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也右说连比例之不同理者用中率以结矣若不同理之断比例异中率而无可结者当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结即得如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若
　　八与三及二与四之比例八为前之
　　前四为后之后三为前之后二为后
　　之前此二比例无可结乃别立同中率之二比例如其八与三二与四之比例如三其八得二十四为前之前三其三得九为前之后即以九为后之前又求得十八为后之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣
　　通曰十六内去十二余四为十二三之一当曰等带三之一也
　　论三角形
　　一于有界直线上求立平边三角形如甲乙线先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即成甲乙丙平边三
　　角形
　　二一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等如甲防乙丙线先以丙为心乙为界作丙乙圜
　　次观甲防若在丙乙外则自
　　甲至丙作线如上图或在丙
　　乙内则截取甲至丙一分线
　　如下图俱以甲丙为底作甲丁丙平边三角形次引丁丙至丙乙圜界为丙戊引丁甲出丙乙圜外至己为甲己乃以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
　　三两直线一长一短求于长线减去短线之度如甲短线乙丙长线先引乙至别界作乙丁线与甲等乃以乙为心丁为界作圜交乙丙线于戊
　　则戊丙为余也
　　四两三角形若两腰线各等各两腰间之角等则底必等
　　五三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底外两角必等
　　六三角形若底线两端之两角等则两腰必等
　　七一线为底出两腰线其相遇止一防不得别有腰线与元腰线等如甲乙底于甲于乙各出一线至丙相遇此一定之处也若至丁则不与元
　　腰线甲丙等矣
　　八两三角形若两腰两底俱等则两腰间角必等九有直线角求两平分如乙甲丙角先于甲乙线任截一分为甲丁亦截甲戊与甲丁等作丁戊直线次以丁戊为底倒立丁戊己平边三角形
　　再作甲己直线即得
　　通曰乙丙底作甲己垂线亦得
　　十有界线求两平分如右图乙丙线以乙丙为底作甲乙丙两边等三角形两平分之得甲己直线即分乙丙线于己
　　十一一直线任于一防上求作垂线如甲乙线上任指一防于丙先于丙之左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形再作己
　　丙直线即己丙为甲乙之垂线若欲于甲防立垂线则任取丙防立丁丙垂线乃以甲丙丁角平分得丙己线次以甲丙为度截戊丙又于戊上立垂
　　线与己丙线相遇于庚再作庚甲直线即得
　　十二无界直线外有一防求于防上作垂线至直线上如甲乙线外有丙防先以丙为心作圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙
　　又两平分丁戊线于己作丙己线即甲乙之垂线也又法于甲乙线上近甲近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望
　　处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如上图或进或退如下图任移一防为心以丙为界作一圜界交处得丁乃作丙丁垂线
　　十三一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角如甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙钝角与甲乙丁锐角相并必等于戊乙丙戊乙丁
　　两直角
　　十四一直线于线上一防出不同方两直线偕元线毎旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线如甲乙线于丙防左出丙丁线右
　　出丙戊线若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等则丁丙丙戊必成丁戊一直线
　　十五凡两直线相交作四角每两交角必等如甲乙与丙丁两线相交于戊则甲戊丙角与丁戊乙角必等甲戊丁角与丙戊乙角必等
　　十六凡三角形之外角必大于相对之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁则外角丁甲丙必大于相对之内角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
　　通曰此不论乙甲丙角也葢有时丁甲丙角反
　　小于乙甲丙角故不论
　　十七凡三角形之每两角必小于两直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙两角并小于戊乙丁戊乙丙两直角丙甲乙甲乙丙两角亦小甲丙乙丙甲
　　乙两角亦小
　　十八凡三角形大边对大角小边对小角如甲乙丙角形甲乙边大于甲丙丙乙两边则甲乙边所对之甲丙乙角必大甲丙边所对之乙角乙丙边
　　所对之甲角皆小
　　十九凡三角形大角对大边小角对小边
　　二十凡三角形之两边并之必大于一边
　　二十一凡三角形于一边之两界出两线作小三角形于内则内形两腰并必小于外相对两腰而内所作角必大于外相对角如甲乙丙角形于乙
　　丙边之两界作丁乙丙小角形则丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙
　　角
　　二十二三直线求作三角形其每两线并大于一线如甲乙丙三边先任作丁戊线长于三线并次以甲为度截丁己以乙为度截己庚以丙为度截庚辛乃以己为心丁为界作丁壬癸圜
　　以庚为心辛为界作辛壬癸圜两圜相遇于壬于癸再以庚己为底作癸庚癸己两直线即得己癸庚三角形若两线并与其一线或等或小即不能成三角形也
　　通曰若庚防在丁壬圜内及庚防虽在
　　丁壬圜外而两圜不交皆不能成三角形也
　　二十三一直线任于一防上求作一角与所设角等如
　　甲乙线与设丁戊己角先于戊丁任
　　取庚防于戊己任取辛防作庚辛线
　　次将甲乙线依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形与丁戊角等
　　通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三线也
　　二十四两三角形相当两腰各等若一形腰间角大则底亦大如甲乙甲丙两腰与丁戊丁己两腰左右各等若甲角大于丁角其乙丙底必大于戊己底
　　二十五两三角形相当两腰各等若一形底大则腰间角亦大
　　二十六两三角形相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
　　二十七两直线有他直线交加其上若相对内两角等则两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛而甲庚辛角与丁辛庚角等则甲乙丙丁两线必平行
　　二十八两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等其两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线
　　交于庚辛其戊庚甲外角与庚辛丙内角等或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等则甲乙丙丁两线必平行二十九两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
　　三十两直线与他直线平行则元两线亦平行【此论同面不同面线后别有论】如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙
　　与丙丁亦平行
　　三十一一防上求作直线与所设直线平行如甲防与乙丙线先从甲向乙丙线任指丁防作甲丁线成甲丁乙角次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角
　　等再引戊甲至己则己戊线与乙丙平行又法作甲丁线以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己乃取戊己为度截取庚辛再作甲辛线各引长之即得用法设丙角甲乙两线求作有法四边形先作丁己庚角与丙角等次截己庚与甲等丁己与乙等再依丁己平
　　行作戊庚己庚平行作丁戊即得
　　三十二凡三角形之外角与相对之内两角并等三角形之内三角并与两直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁则甲丙丁外角与内甲乙两角并等
　　又甲乙丙三角并如甲丙丁角既等于甲乙两角又加丙甲岂不与戊丙乙戊丙丁两直角等乎从此推之如后图甲当两直角乙当四直角丙当六直角
　　丁当八直角自此可至无穷其多
　　边求当几直角者以其所有之边内减二倍其余即得如丁形六边减二存四倍八故知当八直角也　凡诸种角形之三角并俱相等　凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间锐角则余两角俱大于半直角　平边角形每角当直角三分之二　平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线下两旁则垂线上两旁角毎当直角三分之一其余两角每当直角三分之二
　　三十三两平行相等线之界有两线聫之其两线亦平行亦相等如甲丙乙丁两平行相等线有甲乙丙丁两线聫之则甲乙丙丁亦平行相等线
　　三十四凡平行线方形毎相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
　　三十五两平行方形若同在平行线内又同底则两形等如甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲丙
　　丁乙己两平行方形同丙丁底则此二形等或戊己同防其甲戊丁丙戊乙丁丙两形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己两
　　形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也后言形等者仿此
　　三十六两平行线内有两平行方形若底等则形亦等三十七两平行线内有两三角形若同底则两形必等如甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两三角形
　　同丙丁底则两形等

　　三十八两平行线内有两三角形若底等则两形必等又凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分如取丁防先向甲角作直线次平分
　　乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分
　　三十九两三角形其底同其形等必在两平行线内如甲乙丙形与丁丙乙形同乙丙底而两形复等则自丁
　　至甲作直线必与乙丙平行

　　四十两三角形其底等其形等必在两平行线内四十一两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形如甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底则
　　方形必倍大于角形
　　四十二有三角形求作平行方形与之等而方形角与所设角等如甲乙丙角形先两平分乙丙边于戊作丙戊己角与所设丁角等次自甲作直线与乙丙平行而遇戊己线于己末自丙作直线与戊己
　　平行为丙庚得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等四十三凡方形对角线旁两余方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙对角线则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等
　　四十四一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等如甲线乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次引庚己至辛作己辛线与甲线等次作辛壬线与戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作对角线引出至癸又引丁
　　庚至癸相遇再作癸子线与庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求与乙角形等四十五有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等如甲乙丙五边形丁角先分五边形为甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊
　　辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等又引前线作壬癸子丑平行方形与丙等并为戊己子丑平行方形与五边形等而有丁角
　　又甲与乙两直线形不等甲大乙小以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方
　　形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等得辛庚戊己平行方形为相减之较矣四十六一直线上求立直角方形如丙丁线上两界各立垂线甲丙乙丁与丙丁等再作甲乙线即得
　　四十七凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等如甲乙丙角形甲为直角对甲之乙丙边上作子直角
　　方形与甲丙甲乙两边所作丑寅两直角方形并等通曰此幂内有勾股二幂也乙丙也
　　又凡直角方形之对角线如甲丙则甲丙线上
　　所作直角方形必倍大于甲乙丙丁形
　　又设不等两直角方形一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等并之又与
　　元设两形并等先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁与乙等作戊丁线相聫再于丁戊两角各作一角皆半于直角者为己戊己丁相等而遇于己则己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁两线上所作两直角方形并等其曰半直角者己戊丁半于庚戊丁己丁戊半于辛丁戊也
　　又多直角方形求并作一直角方形
　　与之等如五直角方形以甲乙丙丁
　　戊为边先作己庚辛直角而己庚线
　　与甲等庚辛线与乙等次作己辛线即作己辛壬直角而壬辛与丙等次作壬己线即作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线即作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线于此线上作直角方形如求
　　四十八凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
　　论线
　　一两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等如甲乙乙丙两线以乙丙三分之为乙庚庚戊戊丙则甲乙偕乙丙之矩线内直角形与甲乙偕乙
　　庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩线内直角形并等二一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等如甲乙线任两分于丙则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙
　　偕丙乙两矩线内直角形并等
　　三一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等如甲乙线分于丙甲乙偕甲丙矩内直角形与分余丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并必等或如后图甲乙偕丙乙矩内直角形与分余甲丙偕丙乙矩内直角形及
　　丙乙上直角方形并亦等
　　四一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等如甲乙线分于丙甲乙线上直角方形与甲
　　丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附録 几何约>甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并成庚辛丁磬折形盖子与子等丑寅与丑寅等卯辰与卯辰等故也

　　十一直线两平分之又任引增一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引增线上两直角方形并
　　通曰如甲乙线平分于丙又任引增为乙丁则甲丁线上直角方形如丁戊者与乙丁线上直角方形如乙己者相并成戊己乙磬折形倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者与丙丁线上直角方形如辛丙者相并成辛庚甲磬折形盖子丑与子丑等寅卯与寅卯等故也
　　十一　一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线
　　从戊甲引至己令戊己与戊乙等乃于甲乙线截取甲庚与甲己等则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等
　　十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二如甲乙丙形乙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙引长之遇于丁为直角则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两
　　直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等
　　十三三边锐角形之对锐角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二如甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁则甲丙乙锐角
　　之相对甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等
　　十四有直线形求作直角方形与之等如甲无法四边形先作乙丁形与之等而直角次任用一边引长之如丁丙引至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚防在
　　丙外则以庚为心丁己为界作丁辛己半圜再从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直
　　角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如求
　　论圜
　　一有圜求防其心如甲乙丙丁圜先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分于戊再于戊上作乙丁垂线两平分于己己即圜心因显圜内有直线
　　分他线为两平分而作直角即圜心在其内
　　二圜界任取二防以直线相聨则直线全在圜内三直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分如乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分则己旁必两直角
　　甲己为垂线故也
　　四圜内不过心两直线相交不得俱为两平分如甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心而交于戊若甲乙为两平分则丁丙不得两平分
　　若一过心一不过心即两线亦不得俱为两平分五两圜相交必有同心
　　六两圜内相切必不同心
　　七圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心最大不过心最小余线愈近心者愈大愈近不过心者愈小诸线中止两线等如甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一防为庚从庚至圜界
　　任出几线为庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟过心庚甲最大不过心庚乙最小庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊而庚乙两旁止可出两线等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
　　八圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
　　如乙己壬圜之外从甲防任出几
　　线其一为过癸心之甲壬其余为
　　甲辛甲庚甲己皆至规内则过心
　　之甲壬最大近心之甲辛大于甲
　　庚甲己最小规外之甲乙为乙壬径余者最小近径余之甲丙小于甲丁甲戊为大矣甲乙丙旁止可出两线等如甲子等甲丙也
　　九圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心如从甲防至乙丙丁作三线为甲乙甲丙甲丁若三线等则甲防必圜心
　　十两圜相交止于两防
　　十一两圜内相切作直线聫两心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊两圜内切于甲己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心作己庚直线聫两心又引
　　己至圜界必至相切之甲防
　　十二两圜外相切以直线聫两心必过切界如甲乙两圜外切于丁甲心为丙乙心为戊作丙戊直线聫之必过丁界
　　十三圜相切不论内外止于一防
　　十四圜内两直线等即距心之逺近等距心逺近等即两直线等如甲乙丙丁圜心戊圜内甲乙丁丙两线等则庚戊己戊逺近必等
　　十五径为圜内之大线其余线近心大于逺心
　　十六圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角如甲丙径末之甲戊垂线全在圜外戊甲垂线偕乙甲圜
　　界所作切边角不得更作一直线入其内丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角又有两种几何一大一小以小率半増之递增至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
　　如后图直线切圜之戊甲乙切边角
　　为小率壬庚辛直线锐角为大率今
　　别作甲丙甲丁各圜俱切戊己线于
　　甲其切边角愈增愈大别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小恒大恒小终不得相比
　　又甲丙径甲不动引丙线向己渐移其所经乙丁戊中间无数凡割圜皆为锐角即小于半圜
　　分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线也又直线锐角皆小于半圜分角直角钝角皆大于半圜分角是大小终无等也
　　十七设一防一圜求从防作切线如甲防与乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜乃作甲丁之垂线为乙戊遇甲戊圜于戊又作戊丁直线截乙丙圜于丙再作甲丙直线即切乙丙圜于丙也
　　十八直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
　　十九直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
　　二十负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底
　　则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　又乙丁丁丙不作角于心或如上图为半圜或如下图为小半圜则丁心外余
　　地为乙丁戊戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底负圜角为乙甲丙角也
　　二十一凡同圜分内所作负圜角俱等如丁甲乙丙圜
　　分内不论此为大分小分函心不函
　　心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角
　　必等
　　二十二圜内切界四边形每相对两角并与两直角等如圜心为戊圜内有甲乙丙丁四边形则甲乙丙丙丁甲两角并或乙丙丁丁
　　甲乙两角并与两直角必等
　　二十三一直线上作两圜分不得相似而不相等二十四相等两直线上作相似两圜分必等如甲乙丁戊两等直线上作甲丙乙丁己戊两相似
　　圜分必等
　　二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙线
　　次作乙丁为甲丙之垂线丁即分甲
　　丙为两平分次作甲乙线须视丁乙
　　甲角或大于丁甲乙角或小或等若大则甲乙丙当为圜小分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小于丁甲乙角则甲乙丙当为圜大分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等戊即圜心若乙甲两角正等则甲乙丙当为半圜分丁即圜心矣又法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线聫之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即己为圜心又法任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作
　　直线引长之交于壬即壬为圜心
　　二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者为甲庚丙丁辛己两角等在界者为甲乙丙丁戊己两角
　　等其甲丙丁己两圜分必等
　　二十七等圜之角所乗圜分等则其角或在心在界俱等此反前题也如甲丁乙丙两直线在一圜内而不相交其相去之甲乙丁丙两圜分等则两
　　线必平行
　　二十八等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等
　　二十九等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等三十有圜之分求两平分之如甲乙丙圜分先作甲丙线次两平分于丁作乙丁线为甲丙之垂线即分甲乙丙圜为两平分
　　三十一负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角如甲乙戊丙圜其心丁径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角负半圜分乙甲丙角负乙甲丙大
　　分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分则负半圜之甲乙丙为直角负大分之乙甲丙为锐角负小分之乙戊丙为钝角丙乙甲大圜分角大于直角丙乙戊小圜分角小于直角
　　又凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角
　　三十二直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等如甲乙线切圜于丙从丙任作丙戊直线不论过己心与不过己心
　　割圜两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角则甲丙戊角与丙庚戊角等乙丙戊角与丙丁戊角等通曰割线正则左与左等右与右等割线偏则左与右等右与左等盖切线在外割线在内故也
　　三十三一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等如甲乙线丙直角先以甲乙两平分于丁以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角
　　即负半圜角为直角而与丙等若丙系锐角先于甲防上作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等乙己线遇甲戊线于己即己乙己甲两线等以己
　　为心甲为界作圜则甲庚乙圜分内所作负圜角必为锐角而与丙等若丙系钝角如辛者即作壬甲乙钝角与辛等又作戊甲为壬甲之垂线余仿锐角法而于甲乙线上作甲癸乙角即与辛等
　　三十四设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等如甲乙丙圜丁角先作戊己线切圜于甲次作己甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所
　　作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
　　三十五圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等如甲乙丙丁两线圜内交于戊若两线俱过心者其各分四线等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等或丙丁线过心
　　而甲乙线不过心者或
　　两线俱不过心者其甲
　　戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形亦等
　　三十六圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙切圜线而切于乙作丁甲割
　　线毋论过心不过心而截圜界于丙则甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
　　又从圜外甲防作数线至规内各全线偕各规外线如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙两矩内直角形必等
　　又从圜外甲防作两直线切圜如甲乙甲丙
　　必等亦止可作两线切圜无三线也
　　三十七圜外任于一防出两直线一至规外一割圜其割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外者必切圜线此反前题也
　　论圜内外形
　　一有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线如甲乙丙圜与丁线其丁线不大于径线若大则不可合矣先作圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙
　　丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等
　　通曰甲乙与乙戊等凡两圜相交毋论深浅其一圜之半径必与合圜线等
　　二有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角如甲乙丙圜与设角形先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与己角等次作辛甲丙角
　　与戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也
　　通曰凡三角形并三角为一处必成直线盖圜外切线自切界出两线入规内分切处为
　　三角并此三角必与设形三角相并等也
　　三有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角如图先于戊己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚
　　角等次作乙壬丙角与丁己辛角等次于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线切圜而令角上相遇则癸子丑三角与设形之丁戊己三角各等
　　四三角形求作形内切圜如图先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分作乙丁丙丁两直线遇于丁自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁庚丁
　　戊以丁为心戊庚己为界作圜切甲乙丙角形之三边五三角形求作形外切圜如图先平分两边分甲丙于
　　戊甲乙于丁各作垂线为丁己
　　戊己而遇于己其己防或在形
　　内或在形外或在乙丙边上再作己甲己丙己乙三线等以己为心甲为界作圜切三角
　　六有圜求作内切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即成甲乙丙丁内切圜直角方形
　　七有圜求作外切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径之垂线而相遇于己
　　辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形
　　八直角方形求作形内切圜如图以四边各两平分之于戊于己于庚于辛作辛己戊庚两线交于壬以壬为心戊为界作圜如所求
　　九直角方形求作形外切圜如图作甲丙丁乙对角两线而交于戊以戊为心甲为界作圜如所求通曰方外圆内同径圆外方内方斜为圆径也
　　十求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角如图先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等
　　次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等末作甲丁线相聨其甲乙甲丁等成两边等三角形底上乙丁两角各倍大于甲角
　　十一有圜求作圜内五边切形其形等边等角如图先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分为
　　丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聫即得
　　十二有圜求作圜外五边切形其形等边等角如图先用右法作圜内五边等边等角切形乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线再从此五线
　　作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂线各界相遇即得十三五边等边等角形求作形内切圜如图先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己又自己作己庚为甲乙之垂线而平分甲
　　乙于庚再以己为心庚为界作圜如求
　　十四五边等边等角形求作形外切圜如图分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己以己为心甲为界如求
　　十五有圜求作圜内六边切形其形等边等角如图先作甲丁径线庚为心次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙
　　庚戊庚各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聫即得
　　又凡圜之半径为六分圜之一之分庚丁与丙丁等也
　　十六有圜求作圜内十五边切形其形等边等角如图先作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等角三边等也次作甲戊己庚辛内切圜五边形等角甲乙圜分之圜界为十五分之
　　五分甲戊圜分之圜界为十五分之三分戊乙为十五分之二分乙己为十五分之一分也依度作十五合圜线如求盖甲乙圜分为三分圜之一即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三五相乗得十五即知两分法可作十五边形也又如甲乙命三甲戊命五三五相较得二即知戊乙得十五分之二也以此法为例
　　又从甲防作数形之各一边如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命
　　六甲丙命五较数一乗数三十即知乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边也又如后图甲乙丙与丁戊两圜同己心求于甲乙丙大圜丙作多边切形不至丁戊小圜其多边为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊
　　从戊作庚辛切线而为甲戊之垂线乃于甲庚丙圜分减半存乙丙又减半存壬丙又减半存癸丙小于庚丙而止作癸丙合圜线此即所求切圜形之一边也
　　论比例
　　一此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率如甲乙二几何大于丙丁二几何各三倍则
　　甲乙并亦大于丙丁并三倍
　　二六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数如甲乙【一】倍丙【二】之数若丁
　　戊【三】倍己【四】之数又乙庚【五】倍丙之数若戊辛【六】倍己之数则甲乙乙庚并倍丙之数若丁戊戊辛并倍己之数
　　三四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次
　　倍第一又倍第三其数等则第一所
　　倍之与第二若第三所倍之与第四
　　如甲【一】所倍于乙【二】若丙【三】所倍于丁【四】次作戊己两几何同若干倍于甲于丙则以平理推之戊倍乙之数若己倍丁
　　四四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例等如甲【一】与乙【二】偕丙【三】与丁【四】比
　　例等作戊与己同任若干倍于甲丙别作庚与辛同任若干倍于乙丁则戊与庚偕己与辛比例亦等
　　五大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之如甲乙大几何倍于丙丁小几何若所截之甲戊倍于丙己则分余之戊
　　乙亦倍于己丁
　　六此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等如甲乙丙丁两几何各倍
　　于戊己两几何其数等减甲庚丙辛若所减之倍戊己等则所余之倍等戊己亦等
　　七此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等如甲乙两几何等彼几何丙不论其等大小于甲乙
　　则甲与丙偕乙与丙各为比例必等即丙与甲偕丙与乙各为比例亦等
　　八大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例如甲大乙小又有丙不论其等大小于甲乙则甲与丙之比例大于乙与丙之比例
　　丙与乙亦大于丙与甲
　　九两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等如甲乙两几何各与丙为比例等或丙几
　　何与甲与乙各为比例等则甲与乙必等
　　十彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此如甲乙两几何又有他几何丙若甲与丙之比例大
　　于乙与丙则甲大于乙若丙与乙之比例大于丙与甲则乙小于甲
　　十一此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等则甲乙
　　与丙丁之比例亦等
　　十二数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例如甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也则甲丙戊诸前率并与
　　乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也
　　十三数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之
　　比例如甲【一】与乙【二】之比例若丙【三】与丁【四】而丙丁之比例大于戊【五】与己【六】则甲乙之比例亦大于戊己十四四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一大于三则第二亦大于四第一或等小于三则第二亦等小于三
　　十五两分之比例与两多分并之比例等如甲与乙同任倍之为丙丁为戊己则丙丁与戊己之比例若甲与乙
　　十六四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等如甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁更推之则甲与丙之比例亦
　　若乙与丁
　　十七相合之两几何为比例等则分之为比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙与丁乙之比例若丙戊与己戊分之甲丁与丁乙亦若
　　丙己与己戊
　　十八两几何分之为比例等则合之为比例亦等此即反前题之说也
　　十九两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等如甲乙全与丙丁全之比例若截甲戊与丙己则余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁又甲乙
　　与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也
　　二十有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等小于第三则第四亦等小于第六如甲乙丙三几何丁戊己三几何
　　其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙
　　之比例若戊与己如甲大于丙丁亦
　　大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙
　　丁亦小于己
　　二十一有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六第
　　一或等小于第三则第四亦等小于
　　第六如甲乙丙三几何丁戊己三几
　　何相为连比例不序不序者甲与乙
　　若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于于丙丁亦大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙丁亦小于己
　　二十二有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙若戊与己
　　以平理推甲与丙之比例若丁与己
　　二十三若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊以平理推甲与丙之比例亦若丁与己
　　二十四凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四如甲乙【一】与丙【二】若丁戊【三】与己【四】而乙庚【五】与
　　丙若戊辛【六】与己则甲乙乙庚并与丙若丁戊戊辛并与己
　　二十五四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并如甲与乙若丙与丁甲最大丁最小则甲与丁并大于丙与乙并也
　　二十六第一与二之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】反
　　之则乙与甲之比例小于丁与丙
　　二十七第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】
　　更之则甲与丙之比例亦大于乙与丁
　　二十八第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例如甲乙【一】与乙丙【二】之比例大于丁戊三与戊己【四】合之则甲丙与乙丙之比例亦大
　　于丁己与戊己
　　二十九第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例此反前题之说也
　　三十第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例如甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己转之则甲丙与甲乙之比例小于
　　丁己于丁戊
　　三十一此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比
　　例如甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
　　三十二此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲与乙之比例大于戊与
　　己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
　　三十三此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例如甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己则两分余戊乙与
　　己丁之比例大于甲乙与丙丁
　　三十四若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己则甲乙丙并与丁戊己并之比例
　　大于丙与己亦大于乙丙并与戊己并但小于甲与丁也
　　通曰比称数等者是数等也凡称比例等者非数等也数不等而比例等也
　　论线面之比例
　　一等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等如甲乙丙丁戊己两三角形等髙其底乙丙戊己如庚丙戊辛两方形等髙其底乙丙戊己则甲乙丙与丁戊己之比例庚丙与戊辛之比例皆若
　　乙丙与戊己
　　又甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己
　　等则甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸之髙之比例也
　　二三角形任依一边作平行线即此线分两余边以为比例必等三角形内有一边分两边以为比例而等即此线与余边为平行如甲乙丙角形作丁戊与乙丙平行线于形内则甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙反言之甲丁与丁乙甲戊与戊丙比例若
　　等则丁戊与乙丙两线必平行
　　三三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两分则两分之比例若余两边之比例三角形分角之线所分对角边之比例若余两边则所分角为两平分如甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角
　　为两平分则乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙反言亦可
　　四凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边如甲乙丙丁丙戊两角形各角俱等则甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙
　　与丙乙若丁戊与戊丙而每对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角也
　　又凡角形内之直线如丁戊与乙丙平行则截一分之甲丁戊角形必与甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形内作丁戊线与乙丙平行于乙丙边任取己防向甲角作线则乙己与己丙之
　　比例若丁庚与庚戊
　　五两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等此反前题之说也
　　六两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则余角丙与己甲与丁俱等
　　七两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之甲与丁角等而第二相当角如丙角两旁之甲丙丙乙两边偕己角两旁之丁
　　己己戊两边比例等其第三之相当角如乙与戊或俱小俱不小于直角则丙角与己等乙角与戊等
　　八直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直角三边形即两形皆与全形相似亦自相似如甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作丁垂线则所分甲丁丙甲丁乙两三边形皆与全形相似亦
　　自相似同直角也
　　又从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率也
　　九一直线求截所取之分如甲乙线欲取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲
　　乙三分之一
　　十有直线求截各分如所设之截分如甲乙线先任作甲丙线又作丙乙线相聨乃任分于丁于戊即从丁作丁己从戊作戊庚皆与丙乙平行即分
　　甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊又法如后图甲乙线求五平分任作丙乙线次于乙丙上任取一防作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小于甲乙次作甲癸子线再作子壬子辛子庚子己四线各引长之即分甲乙于丑于寅于夘于辰为五平分也又法从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸
　　辛壬四线即分甲乙于午于辰于卯于寅为五平分又法先作丙丁戊己两平行线任平分若干格今欲分甲线为五平分即观甲线之度
　　以一角抵戊一角抵庚辛线如长于庚即渐移之至壬而合即戊壬之分为甲线之分
　　十一两直线求别作一线相与为连比例如甲乙甲丙两线而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先引甲乙为乙丁与甲丙等次作丙乙线次作
　　丁戊线与丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊线为所求又法以甲乙乙丙两线别作甲乙丙直角次以甲丙线聨之次作丙丁为甲丙之垂线末引甲
　　乙至丁即乙丁线为所求
　　十二三直线求别作一线相与为断比例如甲乙乙丙甲丁三线而甲乙与乙丙之比例若甲丁与他线也先以甲乙乙丙作一直线为甲丙以甲丁线任作甲角次作丁乙线次作丙戊线与丁乙平行次
　　引甲丁至戊即丁戊线为所求
　　十三两直线求别作一线为连比例之中率如甲乙乙丙两线求甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次两平分于戊
　　次以戊为心甲丙为界作半圜次从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁线为中率也
　　又凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率线也又甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直
　　角平分甲乙于丁以丁为心甲乙为界作半圜次作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊次作戊己垂线分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率戊己与甲丙等也通曰凡半圜外之切线自等半径以下者皆为全径两分之中率也
　　十四两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等如甲乙丙丁乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊己庚两角又等此
　　两角各两旁之两边甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也反言之亦可
　　十五相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即两三角形等如甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等此等角旁之各两边甲乙与乙戊之
　　比例若丁乙与乙丙也反言之亦可
　　十六四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例如甲乙丙丁四线为断比例甲与乙若丙与丁而戊形系甲丁首
　　尾两线矩内直角形己形系乙丙中两线矩内直角形则戊己两形必等反言之亦可
　　十七三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例如甲乙丙三线为连比例甲与乙若乙与丙而丁形系甲丙首尾两
　　线矩内直角形戊形系乙上直角方形则丁戊两形必等反言之亦可
　　十八直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等如甲乙线先设丙丁戊己庚形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如作己丙己丁分为丙丁己丁己戊丙己庚
　　三三角形次于甲乙上作甲壬乙角形与丙己丁等角次作乙壬辛与丁己戊等角又作甲壬癸与丙己庚等
　　角则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚相
　　似而体势等矣凡设多角形俱仿此
　　又法如设甲乙丙丁戊己形求于庚
　　线上作相似而体势等形先引甲乙
　　至辛甲丑亦然次从甲向角各作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线等不论其在乙内外末作辛壬与乙丙平行作壬癸与丙丁平行作癸子与丁戊平行作子丑与戊己平行即所求
　　十九相似三角形之比例为其相似边再加之比例如甲乙丙丁戊己两角形等角乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则两形之比例为乙丙与戊己两边再加
　　之比例也
　　又凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例也
　　二十以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例为两相似边再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各
　　角俱等而各等角旁各两边之比例各等则各以角形分之其分数必等如题所云
　　又甲线倍大于乙线则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例
　　又凢三直线为连比例其线上多边形一与二之比例若一与三
　　二十一两直线形各与他直线形相似则自相似二十二四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例
　　二十三等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结如甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等则两比例之前率在此形两比
　　例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结此乃不同理之比例也
　　二十四平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角
　　线交相遇于壬则戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似
　　二十五两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等如甲乙两形先于甲形任取一边如丙丁上作平行方形与甲等为丙戊次于丁戊边上作平行方形与乙等而丙丁庚己戊辛
　　俱为直线也次作壬癸线为丙丁丁庚之中率次于壬癸上作子形与甲相似而与乙等
　　通曰似者形似也等者容等也体势等者非容等也二十六平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线如乙丁形内减戊庚形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角则戊庚形必依乙丁形之对
　　角线
　　二十七凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形如甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
　　对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形此两形相似相等体势又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
　　二十八一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势
　　等次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者即得所求甲己依线之有阙平行方形也戊庚阙形也
　　二十九一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似别作平行方形与丙及戊庚并相等为辛形又别作平行方形与辛
　　等又与丁相似为壬癸子丑形乃引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等作夘寅平行方形与申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未与己卯平行得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而酉午为其余形与戊庚形相似即与丁相似也
　　三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带余平行方形与甲丙形等而甲己为其余形又与甲丙形相似
　　则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也
　　三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙
　　上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等
　　通曰此勾股半幂相并与半幂等也
　　三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其余各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切
　　成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线
　　三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为
　　乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚
　　又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形
　　又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界
　　増题
　　一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例
　　又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与余两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
　　又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
　　二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊
　　一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初
　　月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形
　　三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率
　　线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求
　　四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比
　　例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求
　　五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上
　　作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令
　　丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率
　　六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比
　　例若乙与丙也余用前法
　　七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比
　　例如甲形求分两形俱与丁相似其
　　两分形两相似之边又与乙与丙之
　　比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊余同二题之法
　　八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形
　　相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求
　　九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲
　　戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
　　通曰两等线交亦等两不等线交亦不等
　　十圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则必为各割圜全线与其规外线之各中率如任取戊防作戊丁戊丙两割圜线则戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也或有
　　戊己切圜线则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
　　十一两直线相遇作角从两腰之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如甲丁丙戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上而甲戊丙丁交而
　　相分于乙也若甲乙丙为锐角如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交而相分于己也则两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
　　十二平行线形内两直线与两边平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等如甲丙平行线形内戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬则所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
　　任相与为比例皆等
　　十三凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等如甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊则所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆
　　等
　　十四三角形任于一边任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例如甲乙丙角形任于一边如乙丙上任取一防求丁上作线分本形为两形其两形之比例若所设戊与己也先两分乙丙于庚令乙庚与庚丙之
　　比例若戊与己其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也假若庚防在丁丙之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也又若庚防在乙丁之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也
　　又凡角形任于一边任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
　　十五一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例如甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线求其断比例之末率为己次求丁戊及己之中率线为
　　庚辛乃于庚辛上作壬形与甲相似甲与壬之比例若乙与丙
　　用此法可依此直线形加作两倍大三四五倍以至无穷之他形亦可减作二分之一三四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等也如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
　　分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线引之至圜界于庚即乙庚为所求方形之一边也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大于甲丙
　　又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
　　十六诸三角形求作内切直角方形如甲乙丙锐角形
　　先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次
　　以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁
　　之比例若甲丁与乙丙末从戊作己
　　庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角则从直角甲钝角甲作垂线余法同前
　　又若直角三边形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比
　　例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行从戊作戊己线与甲乙平行即得丁己形如求
　　通曰西学莫精于象数象数莫精于几何余初读三过不解忽秉烛玩之竟夜而悟明日质诸穆师极许可凡制器尚象开物成务以前民用以利出入尽乎此矣故约而记之于此

　　数度衍附录
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　勾股引　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案勾股引五卷
　　国朝陈訏撰訏字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熈六十一年壬寅首载加减乗除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乗法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式葢兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乗方与弦积相减所余之积转减积为股较不知以勾股和自乗积与倍积相减所余为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乗以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乗矣则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乗之积为容方者四斜内为容方者两不知勾股形内以为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乗积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全録梅文鼎平三角举要畧加诠释所用八线小表以余线可以正正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精防猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引宗防可见録存其説亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　句股引
　　海寜　陈訏　撰
　　凡例
　　六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引
　　自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端余不辞费葢全帙中皆加减乗除故也
　　筹算剙自逺西较珠算最为雅便但定位置○殊费推今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必筹便楮可代
　　数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至纵方虽于勾股法不恒用然法尤防奥不可不知故并载焉
　　勾股为测量诸法之原变化神妙不外叅互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已
　　测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳
　　三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌
　　三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之
　　三角八线必检表得度虽弧三角【即西法三角曲线】与平三角防有不同未可据平三角遽为步厯之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异
　　元李栾城测圆海镜明顾箬溪为之注释宣城梅定九先生谓止容圆一术引而伸之遂如五花八门想昔时视为絶学今昌运作人算学设馆肄习然
　　天府之书无从窥见即梅刻诸书亦购觅甚难是编不辞固陋视李顾二书似各法具备且由浅入深人易晓悉譬之江河滥觞之始可涓涓不已以至于海云尔

　　钦定四库全书
　　句股引卷一
　　海寜　陈訏　撰
　　笔算
　　【古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乗除其用视筹格】
　　加
　　如先有几百几十尺【举尺以例其余】又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一防其前位仝先所写数又所加一防直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺　又九十六尺　又一百七十八尺
　　四六八八　【从末位并起如四六八为一十八进一防于前左位留八零数写本位】三九七○　【此三九七同所进一防并之得二十进两防于前左位而本位无零置○】一　一四　【此首位有一一又连两防并之得四竟写四字于下】右共四百○八尺【从左首位至末小位】
　　减
　　先从左大位减至右末小位
　　假如四百○八尺先减一百七十八尺【存二百三十尺】
　　八　　　四
　　○　三四三
　　四三二一
　　又减九十六尺【存一百三十四尺如右】
　　如再减若干亦同此法
　　乗
　　有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之类依位数画或方或长格各管所乗之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其余斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一防于前满二十者进二防如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乗之万千百十
　　假如自乗以一百七十八乗一百七十八
　　先写一七八于上【平写】再写一七八于侧【直写】依平位侧位画纵横格【或平位多画长方格或侧位多画直方格】再画斜格【末小位起】
　　先从右边末位乗起以末位之八乗平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右
　　再以右边之八乗平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右
　　再以右边之八乗平写首位之一得八写八字于下格斜界之右【以上右边之八乘完】
　　次以右边中位之七乗平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乗平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右
　　次以右边中位之七乗平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右【以上右边之七乗完】又以右边之一乗平写末位之八得八写八字于上位斜格之右
　　次以右边之一乗平写中位之七得七写七字于上位斜格之右

　　次以右边之一乗平写首位之一得一写一字于上位斜格之右【以上右边之一乗完】
　　各位俱乗毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺【若以尺乗寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此】
　　假如相乗图算俱同自乗
　　除
　　除与减相似而不同犹加与乗亦相似而不同葢加减止用小九数如二与三为五而乗与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左
　　筹算【附筹式】
　　【筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另详】

　　右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
　　一如一　一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也
　　除取近少
　　除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目【亦左边起写至右邉】视列筹某格近少除之【如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数】所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留余实以便再除
　　假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之

　　右列三八四号筹除实视每格自一格至八格
　　俱少惟九格之　　　　　　　　　三四五六与实近少除之因在第九格为初商九余实一一五二视列筹第三格之
　　【为十一进一防于前】一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起【左边是大数即是十位】遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也
　　右工每丈该银九两三钱
　　按定位【详后】凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法
　　置○【开方置○不用此法】
　　逢单须进位　　遇十在本身
　　退位单仍十　　两一位还升
　　各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也
　　退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也
　　假如实一十一两七钱二分　法二十三石【列筹】列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格　之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也
　　两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上葢总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也
　　假如实一百五十七两　　法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位
　　若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二　法一八
　　列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也
　　右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也
　　定位
　　法小实大顺寻法首而于法前得令
　　假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱
　　求每参一两价若干【以银为实　以参为法】
　　五　　列三号五号筹【此即参为法】除实
　　七　　筹第六格除二十一是遇十在本身写
　　五　二　　六字于实之第一位上余实一七五除第六　二　　五格亦遇十在本身写五字于实之第
　　二位上【除尽】
　　顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱
　　法大实小逆寻法首而于法前得令
　　假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干【以银为实以工为法】
　　列三号五号筹除实同前
　　法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是厘矣答曰每人一工该银六分五厘
　　又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前
　　假如隄三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干【以银为实以工为法】
　　实　　列三号四号筹除实
　　三　　初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四厘挨右之五为五毫矣
　　答曰每工四厘五毫
　　法实等者实首即为法首而于法前得令
　　法实相等如同是千同是百之类
　　命分
　　凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之余实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几
　　假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七【葢以不尽之七剖为七个十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分并整数零数为每人分得十七两○十九分两之七】
　　附约法【厯法用之便于积算余可不必】
　　凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽【如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之二十七今以法约之为三之一葢八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七分是三之一也】
　　【均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减之余仍二十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每两均剖为三而各得其一分即三人共一两也】
　　【若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一余二十七又以母余二十七转减子五十四亦余二十七是相等也即以此等数为法除母得三除子五四得二是为约得三之二又防法八十一乃九九相乗之数二十七乃三九相乗之数皆九也即可为纽数约之为九分两之三】
　　当位
　　筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如余实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此
　　右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣【惟开方置○与此不同】
　　句股引卷一
　　钦定四库全书
　　句股引卷二
　　海寜　陈訏　撰
　　开方
　　开方为句股积幂测量步算之源其法取积实归除使均齐方正知每边得若干数其用筹除实视某格为某商若干等类俱如前法有平方大筹立方大筹置廉用散筹

　　平方开面立方开体皆开除所积之实平方则开平面所积之方故大筹每格止一自乗立方则开立体所积之方故大筹每格其右边直行先平列一自乘数其中左两行虽有斜格而平行每格又以自乗之数与每格之一二三四五六七八九相乗盖如围棋子平方则四边十九而三百六十一为十九个十九也立方则十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根后各依法加廉其大筹所除之格其实即隅积其平行之数即隅数且隅积即在平廉约法中并列并除此天然之巧也凡测算虽极逺极大其所测中心止凭一防其逺近多少相距亦止凭一防从此防至彼防则有线线即有所积之面面即有所积之体故平方开面立方开体皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之防为句股三角之用也【此所测之防非开方防定开位之防】
　　开平方法
　　先防定开位从末单位防起【如积实尾无单位者于尾位置○防起】隔一位防以至实首一防一开二防二开开不尽者命分
　　一防者根必单二防者根必十【俱以次増】先从左大数视平方筹相近之格除之开数定则方根之十百千万亦定矣【立方同】
　　凡初商除至前第一防止次商除至前第二防止如次商防位前原止二位而筹格有三位不得除至第二防后便须置○于次商为次商○三商以下皆然
　　初商法
　　平方筹取近少除实至前第一防止在第几格即为初商若干此第一次除之商数名为方根
　　防前无余者从筹上一二三格之单位除防前有余者从筹上四五六七八九格之双位除如实少于筹者用退位法除

　　次商法
　　以初商所得数倍之为廉以所倍之廉数列筹于平方筹左取某格近少除之为次商若干
　　三商法
　　以次商所得数倍之为廉列筹于次商筹之右平方筹之左除实同前法【各商同此】
　　每商置○定位三则【开方定位依防逓加不用顺寻逆寻法立方同】
　　三商式
　　如列实三防为三开【从末零位防起每开一位】防前无余该大筹单位除实三格内除九为初商三写三字在首防积实之
　　二　　上
　　三　九　　次商应倍初商之三列六号筹为廉除○　　实若取近少莫如三格但次防位前实止有二位而筹有三位不得除至次防位后便须置○是为次商得○写○于次防位积实上隔○筹于平方筹左三商既列六号筹○筹于平方筹之左便应统取近少除至末防位止今四格恰除尽为三商得四写四于末防位积实之上
　　三商根必百故初商之三为三百

　　四商式
　　防前无余大筹单位除九初商得三书商数及置○与三商俱同前法
　　四商倍三商之四列八号筹于大筹之左及前六号筹与○筹之右四格除尽

　　为四商四
　　四商根必千故初商之三为三千
　　四商○○式
　　初商视平方筹取三格除九为初商得三次商倍方根列六号筹于表左应除至次防位止但次防前实止一位而法之一格两位下俱三位便须置○隔○筹于前列筹右平方筹左为次商得○

　　三商应除至三防位止但三防前止三位取近少在三格法有四位便须置○隔【○】筹于前列筹右平方筹左为三商得【○】四商四格恰除尽为四商得四四商根必千故初商之三为三千
　　加筹
　　凡商除之后如两廉必倍前商之数如前商一加二号筹前商二加四号筹之类此易明惟前商五倍之加一十则加一号○号两筹葢五加一筹○筹方是一十若不○筹则一为单数矣若前商之廉是十数又当为升筹
　　升筹
　　凡商除之后如有加两筹者当用升筹法葢同位则升也如平方三开其初商二是为二百次商倍之为廉是四百应列四号筹矣其次商六是为六十三商倍之为廉是一百二十似应再列一号二号筹于前商四号筹之右然从四号筹挨次而来似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故应将一百与四百并之为五百连二十为五百二十升作五二筹列于平方筹左而前商之四号筹去之
　　隔筹
　　每商必加倍数筹以为廉法故前商既置○矣亦须隔○筹于前列筹之右以为后商之廉法而取近少除实为后商其前列筹固倍数也而○不必倍者葢置一○只应隔一○筹耳【立方每隔○○两筹与平方异】
　　命分
　　见前筹算法视末商筹之第一格为若干分视所余不尽之实命为若干分之若干分
　　如余积五十七如末商两廉列八号四号筹【连前商筹在内】视第一格八四一命为八百四十一分之五百七十分葢第一格是两廉每加一分之全数故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也
　　求分杪
　　凡有开不尽者或不命分欲知若干分杪于余实下增两○位为○○则多开一位而分杪可得矣【平方隔一位防是每开两位故増○○】
　　右皆开平方法其平方带纵者开方附左
　　平方纵
　　列积实依开方商除法每商除实得商数以乘纵数除余实其次商倍初商数除实以次商数乗纵数除余实但倍商不倍纵余商同法合每商之数为阔【即正方】加纵数即纵之长方
　　如纵数有比例可求者先以比例分其积而余积以平方开之得阔因以知其长
　　开方得阔加纵式
　　假如长田六百二十四步　　阔不及长二步

　　初商得二除四百步　又以商数二乗纵二步【二二如四】除四十步　　余一百八十四步又倍初商列四号筹次商四格除一百七十六步　又以商数四乘纵二步【二四如八】　共一百八十四步除尽为次商四
　　开得阔二十四步　加纵二步为长二十六步
　　比例分积式
　　假如直田积四百五十步　长多阔一倍法平分其积得二百二十五步平方开之得阔一十五步倍之得三十步即长
　　假如长田积二百五十二步　长比阔多四分【分母】之三【分子】
　　法以分子三加分母四共七为法以分母四乗积为实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步又以阔一十二步七因四除之得二十一步为长【长比阔多九步较之十二步为四分之三】

　　开立方法
　　从末单位防起每防隔二位视列实位一防一开二防二开余同
　　凡一防者方根必单二防者方根必十以次而増先从列实左大位视立方筹取近少除之
　　防前无余除一二格之单位防前余一除三四格之十位防前余二除五六七八九之百位
　　立方根单其积实必从单至几百止如九之所积其平面自乗得八十一而立体则九与八十一相乗得七百二十九故根单必积实至百位而单位防起隔两位至百也
　　立方根十其积实必从几千至几万几十万止如九十之所积其平面自乗得八千一百而立体则九十与八千一百相乗得七十二万九千故根十其积实必从千位万位至十万位止而防亦隔两位也余以类推
　　立方积实必得三位故一防一开二防二开而开数定于此矣一防者根必单二防者根必十方根定于此矣初商除至左首防位止次商除至次防位止置○肇于此矣若尾位列实止于十则实右补一○列实止于百则实右补○○以便从单位防起若列实不至单位止则防位一错而开数方根置○俱因之以错矣故列至单位开方之异于筹除者在此
　　初商
　　法同平方视列实用立方大筹视单位十位百位依法取近少除之至前首防位止在第几格为初商若干为方根
　　次商
　　以初商方根自之【即自乗】又三倍自乗之实得若干列某号筹于立方筹之左为平廉法
　　再以初商方根竟三倍之列某号筹于立方筹之右为长廉法

　　视平廉筹及大筹某格近少列为平廉约数
　　将平廉约数在某格之隅数【即大筹两行平写之数】乗立方大筹右之长廉【如九格之八一为隅数即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之】得若干数为长廉约法
　　并平廉长廉两约数若干以减初商所余之实至次防位止为次商若干
　　如并两廉数浮于实须退位改商如位多于实应置○不得除至次防位后
　　右立方有平廉三长廉三与平方异
　　三商
　　去前商左右列筹
　　以初商两商自之又三倍之为平廉列筹于立方筹左
　　再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右如前商法除至三防位止
　　四商【以下皆同】
　　去前商筹依法列平廉长廉筹除至末防位止为四商若干如尚有余实依命分法
　　右前法俱前商之后即将前各商数自之又三倍之为平廉列筹视某格与余实近少列为平廉约数再以前各商竟三倍之为长廉列筹【俱依前法分列大筹左右】视平廉约数在某格之隅数取以乗长廉得若干数为长廉约数其万千百十各依位数附于平廉之本位并之而除余实其隅数即在大筹之除格其廉积即在散筹之每格仍是于全数中除两廉应除之余实而隅数亦不烦再乗再除也梅定九先生筹算仍依古法先以前商三倍之为廉法以前商数自之又三倍之为方法以方法除余积得次商既得次商用其数以乗方法为三平廉积又次商自乗以乗廉法为三长廉积再以次商为隅法以隅法自乗再乗得小立方形为隅积三共并之除余积不知既列筹除则筹之每格即乗有廉之全积何必多此一乗且大筹在初商为方根在每商即为隅积今用筹倂除何必又自乘再乗耶
　　立方筹右行隅数定位
　　二开　次商三格以上是单位　　四格以下是
　　十位
　　三开　三商三格以上是单位　　四格以下是
　　十位
　　次商三格以上是百位　　四格以下是千位
　　四开　四商三格以上是单位　　四格以下是
　　十位
　　三商三格以上是百位　　四格以下是千位
　　次商三格以上是万位　　四格以下是十万位
　　右隅数以末商三格以上是单四格以下是十起层累逓加
　　法式
　　二开商式
　　假如积实六千八百五十九
　　两防两开
　　两防根必十
　　防前无余从单位
　　防俱隔二位【连本位共三位】

　　初商　列立方大筹视第四格之六四虽系近少然防前无余必从单位除寜可在第一格除一盖第二格虽亦单位然八浮于六不可除实故除一格之一为近少除去一千为初商一【两防根必十此初商一为方根一十】
　　次商　以方根一十自之又三倍自乗之实得三百列三号筹于立方筹左为平廉筹又以方根竟三倍之得三十列三号筹于立方筹右为长廉筹前商余实五八五九视平廉筹之九格三四二九相近列为平廉约数其九格之隅数八一乗长廉之三十得二千四百三十为长廉约数
　　并两廉约数共五千八百五十九除实尽在第九格为次商九
　　次商在九格除尽即次商隅数九亦在除内葢隅在长平两廉相凑之角故次商之隅即同次商之商数其在大筹之第几格者为隅之边数而在第几格之自乗者为隅之实数今与大筹并列同除故隅亦在其中也
　　三平廉贴于前商方形之正面侧面及或上或下而后成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全数也三倍之则所贴方根三面之平廉全数也但全数与方根等方而全数之积多于现在之余积故于此三平廉全数中视某格与余实近少而为平廉约数然此三平廉者与方根阔狭厚薄相等今三面贴凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有长廉三一纵二横补于平廉不能合缝之际始得凑合成方法以方根又三倍之者成三个长廉之全数也再以平廉之隅数乗长廉则为现在平廉贴身应得之数为长廉约数并之除余实而隅亦在所除之中而此四面之方凑合无缺矣葢平廉以方根为准长廉以平廉为准而隅数与平廉长廉又互相为准数藏大筹巧在与大筹并列同除法精密矣
　　初商次商退位除式
　　假如积实一万九千六百八十三

　　初商二十　积实两防两开方根必十防前余一位应从立方筹之十位除实但筹之三格四格俱大于积实应退在第二格之八除八千【筹格退位】余一一六八三
　　此退位不用三四格除实而退至二格者筹数浮于实数用退位除恰除至防位止故取二格之八为近少也此初商止退筹格不退商位
　　次商七　先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一号二号筹列立方筹左为平廉以方根二十竟三倍之得六十取六号筹列立方筹右为长廉　虽九格一万一千五百二十九相近然再加长廉便浮于实故不取九格【凡平廉筹格与除至防位之实位数相当者则万千十百之数亦必相符今防位前实系一万一千六百八十三平廉九格恰五位便是一万一千五百二十九矣盖二开次商得九以九乗平廉法得廉约数一万○八百加隅约数七百二十九共数如前以此推算即得实数然不如即视位数更为简防故比防位少一位则其数必小多一位便须置○也】八格之一○五一二虽更相近然若以八格之隅数六十四乗长廉之六十得三千八百四十并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二亦浮于现在之余实故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数取七格之四九隅数乗长廉之六十得二千九百四十为长廉约数俱系千数可并进而除首位次位之一　一矣于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七
　　【此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于余实故止退格而不改商也】自乗再乗还原

　　次商置○式　三商加○筹式
　　假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六
　　三防三开
　　防前余二位

　　初商防前余二位视立方大筹百位除实第五格之一二五近少除之得初商五百
　　次商以方根五百自之得二十五万又三倍之得七十五万为平廉列七号五号筹于立方筹左以方根竟三倍之得一千五百为长廉列一号五号筹于立方筹右若取平廉筹相近莫如第六格之四五二一六相近然次商应除至次防位止今筹位多实位少若依筹位即平廉巳除至防位后何况更有长廉是必变商之大位为小位则有后商防前之实应除而不患除至防位之后故应商数置○为次商○【前二商式是退格并亷此处次商是退位再商故有置○不置○之别】
　　三商　因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎防隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数
　　再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六【见前隅数定位】以之乗三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除余实尽为三商六
　　右共开方得五百○六
　　自乘再乘还原

　　五开
　　三商列筹不隔○　商数置○式
　　四商隔○筹式　　又商数置○式
　　五商又隔○筹式
　　假如积实一万七千三百一十八亿【即万万】九千○百九十一万六千七百二十九
　　【按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同】五开列实如左

　　五防五开
　　五防根必万
　　防前无余从单位

　　初商　防前无余从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万
　　次商　以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉
　　以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉
　　视第二格之六○八近少为平廉约数
　　以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数【按隅数五开次商三格以上是百万位】并之除七千二百八十亿为次商二千
　　三商　以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿余实三八九○九一六七二九
　　去前所列筹以初次两商【共一万二千】自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉
　　【凡乗大数各存○余位则从单位逆推乗数定位不紊】
　　上图如两商一十二
　　万自之得一亿四千
　　四百○○万
　　再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法
　　如法列两廉约数取近少莫如九格【三八九五二九】但三商应除至三防位止今筹格六位而第三防前连防位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商防前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百
　　四商　立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每防之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除余实又莫如九格【三八八○七二九】但五开四商应除至第四防止今第四防之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十
　　五商　依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每防之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数【此约数首位三系十亿位】
　　再以九格之隅数八十一【五开五商次格以下是十位】乗长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除余实至五开尾防位止为五商九
　　右五商共一万二千○○九
　　【末商平廉　三八八八○○○七二九长廉　　　　二九一六
　　并之　三八九○九一六七二九】
　　右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多葢三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉以为长廉约数葢隅因亷为升降而亷依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也
　　立方带纵
　　方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乗纵数再乗得纵积并入方积以减原实为初商
　　次商以下更加纵积纵廉积除余实为次商【余商同】并两商数得阔因阔以知长
　　【用防定开位悉依立方　纵积除至防后】
　　如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乗方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干
　　【按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除至防后其并纵积则除至防位之后葢纵在立方之外积非立方之积不可以每防之位为定也】
　　如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列余实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数【有两廉约数在某格即某格是商数】因纵数得若干再以商数乗之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乗初商数得若干以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干
　　右纵方两开者次商之平廉必列至次防位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次防位之后【与开方不同】止两开者即并积亦必次防位止若并积之位浮于余实应退格改商以除实若平廉各格多于防前之实或应退格或应置○同前开方置○法
　　三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乗上初商次商再以乗得之数乗末商为纵廉积并除实【四商以下同】
　　如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺

　　初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乗初商之四十得一百二十【此纵靣】再以初商四十乗一百二十得纵积四千八百【此纵体】先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十余实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除
　　次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格【二四一二五】为近少为平廉约数以五格之隅数【二五】乗长廉之一百二十得三千【两开次商四格以下隅数是十】为长廉约数列于平廉下之千位
　　以纵法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下
　　并之共除余实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺
　　如积实二百万○○○○○○尺　但云阔不及长三尺
　　三防三开　初商是百
　　防前无余

　　初商一【在大筹单位除实】以三为纵法乗商数一百得三百【此纵靣】又以商数一百乗三百得三万【此纵体】合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵
　　次商依立方法平廉三万长廉三百取近少【三格九二七以相近因纵有纵积应加故退格约廉】二格之六○八相近为平廉约数
　　以第二格隅数四【三开次商三格以上是百位】乗长廉得一十二万为长廉约数
　　以纵法三尺乗次商二十【取平廉长廉约数俱在二格即是二十】得纵面六十又以商数二十乗纵面六十得纵积一千二百
　　以纵法三尺倍之得六为纵廉【次商方根加廉则所之纵亦应加廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止倍之】乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得纵廉积一万二千
　　并之
　　平廉约数六十○万八千
　　长廉约数一十二万
　　纵积一千二百
　　纵廉积一万二千
　　共七十四万一千二百减余积仍余二十二万八千八百○十○单
　　为次商二十
　　三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数
　　以第五格隅数二十五乗长廉三百六十得九千为长廉约数
　　以纵法三尺乗商数五得一十五又以商数五乗一十五得七十五为纵积
　　以纵廉六【纵法三尺倍之得六】乗初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百为纵廉积
　　依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五
　　右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺
　　按立方纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乗商数得纵之面更以商数乗纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乗次商而得纵长廉之面又以次商商数乗纵面而得纵长廉之积此所谓纵积也其实乃纵之长廉积也于是纵之两平廉以纵法倍之即以乗初商之数为纵平廉之面以此纵平廉之面乗次商商数而得纵平廉之积于是所之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣葢其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乗初商次商之商数而以乗得之数再乗三商之商数葢必连初商次商再乗三商方是三商纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也
　　附立方减纵法
　　假如立方积五千七百七十六尺　但云长不及阔三尺
　　防前无余除单格

　　初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乗商数一十【两防根必十】得三十再以三十乗商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百余七百以减原实为初商一十
　　余实五千○七十六尺
　　次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹【次商以初商自之又三倍之】之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九【其数稍浮于实者立方积也后以纵积等减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减】为立方两廉约数次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积
　　次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积
　　合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九【此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也】
　　右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长
　　以上纵方开法初商方根积必至首防位止次商平廉长廉共约数必至次防位止不得除至防位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积

　　句股引卷二
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
　　钦定四库全书
　　句股引卷三
　　海寜　陈訏　撰
　　句股法
　　句股名义
　　直者为股
　　横者为句
　　斜者为
　　句股并减名义
　　句股和【句与股相并】　　句和【句与相并】
　　股和【股与相并】
　　句股较【句与股相较】　　句较【句与相较】
　　股较【股与相较】
　　和和【与句股和相并】　　较和【与句股较相并】和较【与句股和相减】　　较较【与句股较相减】右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然
　　句股准数
　　句三股四五
　　句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法
　　句股求
　　句自乗股自乗两积实相并开方得
　　句股各自乗之实必合自乗之实故并积开方得
　　【按句股开方俱平方后同】
　　如句【三】自乗得九股【四】自乗得一十六并之共二十五平方开之得五即【五】
　　句求股
　　句自乗自乗两积实相减开方得股
　　股求句
　　股自乗自乗两积实相减开方得句
　　自乗之积实必合一句一股自乗之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句
　　如【五】自乗得二十五为积内减句积九余一十六为股【四】之积若积减股积一十六余九为句【三】之积俱用开方得所求
　　较求股
　　句自乗股较自乗两积实相减倍较为法除之得股股又加较得
　　句积中除股较之积则所余必倍于股之长故以倍较为法除余积得股之长
　　如句【三】自乗得九减长于股之较一【积亦一】则余积八必倍于股长故倍较【一】为二除之得四即得股四
　　若不倍较为法但以较除相减之余积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减余之积去较折半亦得股长
　　如句余积八以较一除之仍是八必倍于股【四】故去较又折半亦得股【四】
　　以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法
　　股和求股
　　句自乗以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得
　　股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股
　　如股【四】五共九除句积【九】得一即股【四】【五】之较【一】去较【一】存【八】则与股齐故折半得股【四】
　　句和求句
　　股自乗句和自乗两积实相减折半以句和为法除之得句【句和内减句即得】
　　句和自乗之积必倍于句与句和相乗之积而尚多一股积故于和积内减股积则所余者为句乗句和之倍积故折半使止存一句乗句和之积而以句股和为法除之得句如股【四】自乗得一十六句和自乗得六十四内减十六余四十八折半余二十四以句【三】【五】为法除之得三为句句既得即于句和除句得五
　　句和求
　　股自乗以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句
　　句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得
　　如股四自乗得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五
　　句股和求句股
　　自乗句股和自乗两积实相减再以余积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减余之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句【三】股【四】得和七自乗得四十九以自乗得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股【四】股得亦可依法得句【按此所得之较乃句股较作股较者误】
　　句股较求句股
　　句较乗股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得
　　如句较【二】乗股较【一】仍得二倍之得四开方得二加股较【一】得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五
　　句股和求句股
　　句和乗股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得
　　如句【三】【五】为句和八乗股【四】【五】之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股【四】于十二减股【四】【五】之股和九得句【三】于十二减句【三】股【四】之句股和七得【五】
　　句股求容方
　　句股相乗以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径【按若勾股较二句有误】
　　容方外余句余股相乗平方开之亦得容方径
　　以容方径自乗得实以余句为法除之得余股以余股为法除之得余句
　　句股相乗之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于余句余股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也
　　句股求容圆
　　句股相乗倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乗并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乗之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也【按勾股之长两倍于容圆周语误】
　　句股论【李之藻】
　　句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乗并之为实故开之得句自乗减余为股实故开之得股股各自乗减余为句实故开之得句句股和自乗倍实相减开其余即句股较也句股较自乗以减倍实开其余即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乗减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乗股为实并句股为法除得容方径句乗股倍之并句股除之得容圆径而容圆之径即和较也又错综论之句为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加句较即较和以减句较即和较若加较较又即句和也句股较为主以加股较即句较若减股和亦即句和也句股和为主以加股较复得句和若减股和亦得句较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取句较者以加句和半之得以减句和半之得句取和较者以加和和半之得和以减和和半之得勾股取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乗除圆变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已
　　觧注【以句三股四五为准】
　　句股和自乗倍实相减开其余即句股较
　　如句【三】股【四】和七自乗四十九如【五】实二十五倍之五十以四十九减五十余一即句三股四之较一
　　句股较自乗以减倍实开其余即句股和
　　如句股较一以减倍实之五十余四十九开方得七即句三股四之和七
　　并句以除股实得句较
　　如句【三】【五】并之得八以除股【四】之实一六得二为句【三】【五】之较二
　　句较除股实即得句和
　　如句【三】【五】之较二以股【四】之实一六除之得八为句【三】【五】之和八
　　并股以除句实得股较
　　如股【四】【五】并得九以句三之实九除之得一为股【四】【五】之较一
　　以股较除句实即得股和
　　如股【四】【五】之较一以句三之实九除之为股【四】【五】之和九
　　句股和自乗减实除以较较得较和
　　如句【三】股【四】之和七自乗得四十九减【五】之实二十五余二十四以句股差【一】与【五】相减之较较四除之得六为句股之差【一】与【五】并之较和六
　　除以较和即得较较
　　如二十四以较和之六除之得四为句股之差一减五之较较四
　　句股较自乗减实除以和和则得和较
　　如句【三】股【四】之较一自乗仍得一减【五】之实二十五为二十四以句三股四五之和和除之得二为并句【三】股【四】与【五】较之和较
　　除以和较即和和
　　如二十四除以和较之二得一十二为句三股四五相并之和和
　　句股测望论【唐荆川先生】
　　句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之髙深广逺凡目力所及无不可知葢不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为句股求句股自乗相并为实平方开之得句求股句自乗相减为实平方开之得股股求句同法葢一实藏一句一股之实一句一股之实并得一实也数非两不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑则塔影髙则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔髙低之数不可知则是有句而无股三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之髙大也又法表为小股其髙几何与至塔下之数相乗以小句除之则得塔髙葢横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股三者有一可知则立表之法可得而用若其高与逺之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法葢两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也

　　句股容方圆论
　　凡竒零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有竒此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两亷则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一亷得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乗之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乗之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为亷而除去半和较亦得或约得圆径之后与半和较相乗添积而以句股并为亷不除亦得或用句股倍积用两句股相并为亷而以全和较与约得圆径相乗添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乗之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈逺则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为髙句为横为逺以或句或股为法除之即得所求之或髙或逺故望髙测逺即变化于句股求容方之一法也
　　测量法
　　句股之术可御髙深广逺法本周髀中法用表测西法用矩测
　　立表测高
　　设甲防为髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙几何
　　法依地平线立一丈之表为丁丙【逺乙二丈】与地平为直角【凡立表以线下试之三靣附表即与地平为直角】依地平线退行【八尺】为辛巳【巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可】视己丁甲三防

　　令成斜以丁丙表【一丈】减己戊人目以下之六尺余丁辛【四尺】与等戊乙之巳庚【二丈八尺】乗之得【一十一丈八尺】为实以等戊丙之巳辛【八尺】为法除之得甲庚【一丈四尺】加等己戊人目以下之庚乙【六尺】得甲乙髙二丈按此以丁辛与已庚相乗得实以巳辛为法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之髙即丁以上之髙
　　附西法三率算术【西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略】
　　三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乗得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测髙以己辛【小句】比丁辛【小股】若己庚【大句】与庚【甲大股】
　　一率　　己辛八尺　　为法
　　二率　　丁辛四尺　　与三率相乗得实三率　　己庚二丈八尺
　　四率　　庚甲一丈四尺【加庚乙人目以下得甲乙髙】
　　按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】与大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法【后省文依西法以比若与不更列三率】
　　立表测深测逺
　　设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深防何
　　法依甲丙线于地立【六尺】之表为戊丁距丙【五尺】人目从表端【戊】窥【乙】使戊丙乙三
　　防成斜直线以丁戊【六尺】与甲丙【二丈七尺】相乗【得一十六丈二尺】为实以丁丙【五尺】为法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是为以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】与甲乙【大股】
　　设井一口其径甲乙五尺欲测深防何
　　法立表于井口为戊甲髙【五尺】从戊视
　　丙截甲乙径于己【得四寸】减井径【五尺】余
　　己乙【四尺六寸】以乗戊甲【五尺】得【二千三百寸】为实以甲己【四寸】为法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙　又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊
　　设地平有甲防不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何
　　法依地平立丁表于戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙【六尺】减丁戊表【四尺五寸】余乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乗等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】为实以乙巳【一尺五寸】为法除之得丙甲逺【三丈六尺】是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲
　　重表测髙测逺测深
　　设不知髙之逺不知逺之髙各得几何
　　欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高【十尺】退
　　后【五尺】立竿于戊高四尺人目在
　　巳视表末令己丁甲成斜直
　　线次从丁丙前表退后【十五尺】立
　　癸壬表亦髙【十尺】退后【八尺】立竿于
　　子亦高【四尺】人目在丑视表末令
　　丑癸甲成斜直线以癸壬表
　　减人目丑子【四尺】余癸辛【四尺】与两表相距【旧名表间】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑【八尺】余卯丑较【三尺】为法【旧名影差】除高实得甲辰髙【三十尺】是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙总髙【四十尺】
　　次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯【五尺】与表间相距之丁癸【十五尺】乗之得【七十五尺】为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑【三尺】为法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰
　　右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系説已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏着九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左
　　毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表【皆十尺】又有等髙之二人目竿【皆四尺】则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳【皆句】及甲辰与丁寅【皆股】俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁与辛癸等】又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅与卯辛等】辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺
　　设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙防退行【四尺】至戊地立人目表为巳戊髙【二尺七寸】依乙岸窥谷底丙防令巳乙丙成斜直
　　线次于谷旁立表为壬乙髙【五尺】复
　　依巳戊线立人目表为辛戊髙【八尺
　　二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙
　　成斜直线以辛戊【八尺二寸】减壬乙
　　表【五尺】余辛庚【三尺二寸】再与巳戊【二尺七寸】
　　相减余辛癸较【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】与壬表【五尺】乗之得【一百三十五寸】为深实以辛癸较【五寸】为法除之得乙甲深【二丈七尺】是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬【四尺】与壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】为广实亦以辛癸较【五寸】为法除之得甲丙广【四丈】是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙
　　设甲乙不知逺以矩尺【即木工曲尺】测之
　　欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲
　　巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙
　　西法矩度测量
　　矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之
　　造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等

　　变景法
　　景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】
　　直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景

　　倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景

　　变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也

　　矩度测髙
　　直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之
　　设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】
　　倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之
　　设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股
　　重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】
　　前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】
　　设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】　为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条
　　前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之
　　设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】
　　前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正
　　测逺
　　按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之
　　景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四
　　率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】
　　右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
　　以测髙法还原
　　设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图
　　测深
　　设井口或径广十二尺求至水面深几何
　　用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直
　　视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】
　　乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】
　　设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何
　　权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚
　　又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】
　　按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也
　　附三率算术
　　古名异乗同除西法变为三率
　　原有丁戊股十四尺
　　丙戊句十一尺二寸
　　今截丁乙股十尺
　　求乙甲截句几何

　　西法三率
　　一率　【以】原有股十四尺　　　为法
　　二率　【比】原有句十一尺二寸　【相乗为实】三率　【若】今截股十尺
　　四率　【与】求得截句八尺　　　法除实所得术以原股比原句若截股与截句
　　凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
　　二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率
　　按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣

　　勾股引卷三
　　钦定四库全书
　　勾股引蒙卷四
　　海宁　陈訏　撰
　　三角法
　　八线全图
　　【周天三百六十度两分之为半
　　周四分之为一象限　每一象
　　限各九十度又名弧度　　六】
　　凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度
　　凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】
　　凡过一象限多于九十度者为钝角
　　凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】
　　凡求某角者求其角之对弧度与分
　　凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句
　　凡正角以半径全数为正
　　凡钝角以外角之正余为正余

　　直角【即正方角一名勾股形】
　　有角有边求余角余边【直角之一】
　　假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】求余角余边
　　先求癸丁边
　　术曰以半径全数比丁角之余
　　若壬丁与癸丁句

　　一率【原设】半径　　　　一○○○○○　为法二率【原设句】丁角【五十七度】余　　五四四六四　【相乗】三率【今有】壬丁边　　　九十一丈八尺　【为实】四率【今所求句】癸丁边　　　五十丈　　【法除实得所求】右三率法后同　半径即乙丁余即甲丁
　　求壬癸边
　　以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
　　一率【原设】半径　　　　一○○○○○
　　二率【原设股】丁角【五十七度】正　○八三八六七
　　三率【今有】壬丁边　　　　九十一丈八尺
　　四率【所求股】壬癸边　　　　七十七丈
　　求壬角
　　以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角
　　右例先得以求勾股
　　假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边
　　求壬角
　　以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角　平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角
　　戊丙丁勾股形以戊丙
　　切线为股丙丁半径为
　　勾戊丁割线为是丁
　　角原有之线　今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等
　　求壬丁边
　　以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁
　　一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设】丁角【六十二度】割线　二一三○○五
　　三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈
　　四率【所求】壬丁边　　　　五十一丈一尺
　　求壬癸边
　　以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股
　　一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线　一八八○七三
　　三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈
　　四率【所求股】壬癸边　　　　四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
　　按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例
　　有边求角【直角之二】
　　假如【壬癸丁】勾股形有壬丁【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边
　　求丁角
　　以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余甲丁

　　一　　壬丁边　　一百○二丈二尺
　　二　　癸丁边　　○四十八丈
　　三　　半径　　　一○○○○○
　　四　　丁角余　四六九六六
　　以所得余检表得六十二度为丁角度
　　右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余【甲丁】与正割【壬丁】之例然余尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角余相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣
　　求壬角
　　以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角
　　求壬癸边
　　以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
　　一　　半径　　　　一○○○○○
　　二　　丁角【六十二度】正　○八八二五九
　　三　　壬丁边　　　一百○二丈二尺
　　四　　壬癸边　　　○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法
　　假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角
　　求癸角
　　以壬丁大边与丁癸边相加得【一百
　　六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以
　　较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边
　　【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸
　　边数等即知癸角为正方角
　　求丁角
　　以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线
　　一　　丁癸勾　　五十六丈
　　二　　壬癸股　　九十丈
　　三　　半径　　　一○○○○○
　　四　　丁角切线　一六○七一四
　　以所得切线检表得五十八度○六分为丁角
　　有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线
　　求壬角
　　以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
　　右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边

　　鋭角
　　有两角一边求余角余边【鋭角之一】
　　假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】
　　求乙角
　　以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十
　　度】以减半周一百八十度余七十度
　　为乙角
　　右丙角丁角有度而无边乙角有边
　　而无度先以两角之度除半周而乙
　　角之弧度得矣既得乙角之度即可
　　以乙角之线比乙角相对之边若他
　　角之线与他角之边
　　求乙丁边
　　以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一　　乙角【七十度】正　九三九六九
　　二　　丙丁边【即乙角对边】　一百二十尺
　　三　　丙角【六十度】正　八六六○三
　　四　　乙丁边【即丙角对边】　一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同
　　求乙丙边
　　以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一　　乙角【七十度】正　九三九六九
　　二　　丙丁【乙角对边】　　　一百二十尺
　　三　　丁角【五十度】正　七六六○四
　　四　　乙丙【丁角对边】　　　○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同
　　有一角两边求余角余边【鋭角之二】
　　假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】
　　求乙角
　　以甲乙边比甲丙边若丙角正
　　与乙角正

　　一　　甲乙边　　　　七千○三十四尺
　　二　　甲丙边　　　　八千尺
　　三　　丙角【六十度】正　八六六○三
　　四　　乙角　　正　九八四九六
　　检表得八十度○三分为乙角
　　凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
　　求甲角
　　以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
　　求乙丙边
　　以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边
　　一　　乙角【八十○度三分】正　九八四九六二　　甲角【三十九度五十七分】正　六四二一二
　　三　　甲丙【乙角对边】　　　　　八千尺
　　四　　乙丙【甲角对边】　　　　　五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也
　　右例有两边一角而角与一边相对
　　假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边
　　先求中长线分为两勾股形
　　以半径比丙角正若甲丙边
　　与甲丁中长线
　　【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及
　　分形之角】
　　一　　半径　　　　　一○○○○○
　　二　　丙角【六十度】正　　○八六六○三
　　三　　甲丙边　　　　四百尺
　　四　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分
　　求丙丁边【求中长线专为分边而求】
　　以半径比丙角余若甲丙边与丙丁边
　　一　　半径　　　　一○○○○○
　　二　　丙角【六十度】余　○五○○○○
　　三　　甲丙边　　　四百尺
　　四　　丙丁边　　　二百尺
　　求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边
　　求乙丁边
　　以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁
　　求丁甲乙分角
　　以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线
　　一　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分二　　乙丁分边　　○六十一尺○八分
　　三　　半径　　　　一○○○○○
　　四　　甲分角切线　○一七六三三
　　检切线表得一十度为甲分角
　　右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度
　　求甲乙边
　　以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边
　　一　半径　　　　　一○○○○○
　　二　甲分角【十度】割线　一○一五四三
　　三　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分
　　四　甲乙边　　　　三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边
　　求甲全角
　　以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
　　求乙角
　　以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】
　　右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股
　　用切线分外角【梅本新増】
　　假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度
　　求甲角
　　以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角

　　一　　两边总　　　六百六十一尺○八分二　　两边较　　　一百三十八尺九寸三分三　　半外角切线　一七三二○五
　　四　　半较角切线　○三六三九七
　　检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
　　求乙角
　　以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角
　　求甲乙边
　　以甲角【四十度】正　六四二七九
　　比丙角【六十度】正　八六六○三
　　若乙丙边　　　　　二百六十一尺○八分
　　与甲乙边　　　　　三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左

　　此平三角借弧以明其理
　　若弧三角所容三角不止
　　三个如平方立方有面体
　　之别后同

　　有三边求角【鋭角之三】
　　假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】
　　求两勾相减之数为勾较
　　任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形
　　一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较　两勾相并【即乙丙边原数】为勾总　求戊丙勾较
　　以勾总比总若较与勾较
　　一　　两勾之总【即乙丙】　二十丈
　　二　　两之总　　三十丈○六尺三寸五分三　　两之较　　四丈五尺三寸五分四　　两勾之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度
　　求分形之两勾
　　以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形
　　又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形
　　求丙角
　　以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余
　　一　　甲丙边　　一十七丈五尺八寸五分二　　丁丙分边　一十三丈四尺七寸三分三　　半径　　　一○○○○○
　　四　　丙角余　○七六六一六
　　检余表得丙角四十度
　　求甲角
　　先求分形大半之甲角
　　以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角
　　次求分形小半之甲角
　　以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一　　甲乙边　　　一十三丈○五寸
　　二　　丁乙分边　　○六丈五尺二寸七分
　　三　　半径　　　　一○○○○○
　　四　　甲分角正　○五○○一五
　　【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】
　　检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角
　　求乙角
　　并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角

　　钝角
　　有两角一边求余角余边【钝角之一】
　　假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】
　　求丁角
　　以丙丁二角并共【六十度半】以减
　　半周得余一百一十九度半为丁
　　钝角
　　求乙丙边
　　以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六
　　三　　乙丁边　　　　五十四丈
　　四　　乙丙边　　　　七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同
　　求丁丙边
　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　乙角【二十四度】正　四○六七四
　　三　　乙丁边　　　　五十四丈
　　四　　丁丙边　　　　三十六丈九尺二寸
　　凡钝角以外角之正为正盖即
　　此钝角之外角也如图丁为钝角乙
　　丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角
　　之外角至于正皆以本角之勾为
　　底以割线【半径同】与弧之相界处直线
　　垂下与本角之底为正方直角如图
　　乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角
　　之割线夘丁如外角之余而夘乙
　　则外角之正也至如丙角以丙丁
　　为底其正丑丁近乙丁边乙角以
　　乙丙为底其正子丁近乙丙边也
　　补图明之
　　有一角两边求余角余边【钝角之二】
　　假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺
　　【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】
　　乙角为钝角
　　甲丙为钝角所对之弧度
　　乙丁为丙角正
　　甲戊为钝角用外角之正
　　求丙角
　　以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正
　　一　　甲丙边　　　　　　四千尺
　　二　　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正度】四　　丙角　　正　八六六○三
　　检表得丙角六十度
　　按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类
　　求甲角
　　并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角
　　求乙丙边
　　以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九二　　甲角【二十度○三分】正　三四二八四
　　三　　甲丙边　　　　四千尺
　　四　　乙丙边　　　　一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左
　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】
　　丙戊为虚股　戊丁为虚勾
　　乙角乙丁为底丑丁为正　乙丁
　　即余　丙角丙丁为底子丁为正
　　

　　先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边
　　一　　半径　　　　一○○○○○
　　二　　乙角【二十四度】正　○四○六七四
　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　丙戊边【即虚垂线】　○六百四十三尺
　　又以半径比乙角余若乙丙边与乙戊
　　一　　半径　　　　一○○○○○
　　二　　乙角【二十四度】余　○九一三五五
　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　乙戊边【即乙丁引长线】　一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为】
　　求丁丙边
　　依勾股求法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边
　　求丙角
　　以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一　　　丁丙边　　　○七百三十九尺二　　　丁乙边　　　一千○八十尺
　　三　　　乙角【二十四度】正　四○六七四
　　四　　　丙角　正　五九四四二
　　检表得丙角三十六度二十九分
　　求丁角
　　以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
　　此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例【凡正必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣
　　右两边一角而角不与边对
　　用切线分外角【梅本新増】
　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度

　　求丙角
　　以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】
　　以边总比边较若半外角切线与半较角切线一　　两边之总　　一千三百三十一尺二　　两边之较　　○二百五十一尺
　　三　　半外角切线　四七○四六三
　　四　　半较角切线　○八八七一九
　　检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角
　　求丁角
　　并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
　　求丁丙边
　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五二　　乙角【二十四度】正　四○六七四
　　三　　乙丁边　　　　五百四十尺
　　四　　丁丙边　　　　三百六十九尺九寸八
　　分
　　右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左
　　【甲庚癸为半周子庚为半径
　　甲壬为乙角度壬辛癸为外角
　　壬辛为半外角子夘为半外角割
　　线壬夘为半外角切
　　线己丑为半较角切
　　线己辛为半较角】
　　新式三边求角【钝角之三】
　　假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】
　　右有边无角
　　术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
　　先求勾总
　　此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也
　　一　　勾较【即丁丙边】　　　三百尺
　　二　　较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺
　　三　　总【即乙丁乙丙二边相并】　九百八十二尺四　　勾总【即丁辛】　　七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙
　　以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁
　　求丁角
　　以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一　　乙丁　　　六百○七尺
　　二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸
　　三　　半径　　　　一○○○○○
　　四　　丁角余　　○八七二六五
　　检表得丁角二十九度一十四分
　　求丙角【用乙甲丙小形】
　　钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线
　　以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸二　　乙丙　　　三百七十五尺
　　三　　半径　　　　一○○○○○
　　四　　丙角割线　　一六三二五六
　　检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳
　　求乙角
　　并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
　　右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三
　　补图　　　　　乙丙丁三角形　乙己为丙角
　　弧度　乙辛为丙外角　丙戊
　　即【乙丙】为丙外角割线　乙壬壬
　　辛为外角之丁角乙角
　　乙甲即中长线　乙甲丙即小
　　形勾股　乙甲丁即大形勾股
　　乙丙即虚勾虚股之　戊辛
　　为切线
　　右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也
　　勾股引防卷四
　　钦定四库全书
　　勾股引卷五
　　海宁　陈訏　撰
　　象限线度总目
　　正　正切　正割　正矢【以余减全】
　　余　余切　余割　余矢【以正减全】
　　平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】
　　初
　　一　　　　　　　　八八
　　二　　　　　　　　八七
　　三　　　　　　　　八六
　　四　　　　　　　　八五
　　五　　　　　　　　八四
　　六　　　　　　　　八三
　　七　　　　　　　　八二
　　八　　　　　　　　八一
　　九　　　　　　　　八十
　　十　　　　　　　　七九
　　十一　　　　　　　七八
　　十二　　　　　　　七七
　　十三　　　　　　　七六
　　十四　　　　　　　七五
　　十五　　　　　　　七四
　　十六　　　　　　　七三
　　十七　　　　　　　七二
　　十八　　　　　　　七一
　　十九　　　　　　　七十
　　二十　　　　　　　六九
　　二一　　　　　　　六八
　　二二　　　　　　　六七
　　二三　　　　　　　六六
　　二四　　　　　　　六五
　　二五　　　　　　　六四
　　二六　　　　　　　六三
　　二七　　　　　　　六二
　　二八　　　　　　　六一
　　二九　　　　　　　六十
　　三十　　　　　　　五九
　　三一　　　　　　　五八
　　三二　　　　　　　五七
　　三三　　　　　　　五六
　　三四　　　　　　　五五
　　三五　　　　　　　五四
　　三六　　　　　　　五三
　　三七　　　　　　　五二
　　三八　　　　　　　五一
　　三九　　　　　　　五十
　　四十　　　　　　　四九
　　四一　　　　　　　四八
　　四二　　　　　　　四七
　　四三　　　　　　　四六
　　四四　　　　　　　四五
　　求弧度之分秒
　　如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　勾股矩测解原　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案勾股矩测解原二卷
　　国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也
　　本朝
　　御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　句股矩测解原卷上　　　余姚黄百家撰
　　矩度图

　　解矩度
　　或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目

　　解表影
　　凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
　　解矩度表影
　　矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中

　　解物影
　　矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
　　解两影消长【即变影】
　　日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也

　　句股矩测解原卷上
　　钦定四库全书
　　句股矩测解原卷下　　　　余姚黄百家撰以影测高
　　以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物髙在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之
　　假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物髙四十八尺
　　解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也
　　假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺
　　解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也

　　重矩
　　单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩
　　假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物髙亦一也今以影较为矩度股之句表间为物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测髙术量足至物之数故与矩度相乗而得物髙此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影

　　以目测高
　　不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测髙术同不另具假令与图
　　解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论髙深广逺俱可入算不爽毫厘
　　变影
　　前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】
　　假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
　　陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也
　　假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全髙一十三尺三寸三分
　　陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望髙之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约畧其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望髙然后以矩之甲角渐运渐髙其权线之切于一度者必矩之甲角髙于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角髙于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉髙十二尺如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即权线之影髙一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之髙为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之髙十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测髙观亦可以作容方求余句余股观【言图未载】

　　解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测髙于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐髙而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳

　　测深测广
　　用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是
　　假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺
　　假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二
　　解曰测深亦以小句股与句求股也故与测髙同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从髙望逺测逺为广】

　　测逺
　　从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算
　　假如髙六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度【十二】与髙【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺
　　右二则俱从髙测逺其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从髙测逺同不另立假如
　　解曰测逺者以小句股与股求句也视测髙之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从髙至逺斜望数也

　　句股矩测解原卷下
<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　少广补遗　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案少广补遗一卷
　　国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反覆相求各立一法虽图説未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　少广补遗
　　海宁陈世仁撰
　　少广补遗第一篇
　　凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖
　　置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数
　　二立尖
　　置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数
　　三倍尖
　　除原实末必五数进一十除之得本数之底数
　　四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】
　　置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数
　　五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】
　　置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数　从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数
　　六抽竒平尖
　　置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数
　　七抽偶平尖
　　置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数
　　八抽偶数立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之】
　　以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数
　　九抽竒数立尖
　　三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数
　　十抽竒偶数方尖
　　前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数
　　十一抽偶再乘尖
　　二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数
　　十二抽竒再乘尖
　　二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数
　　少广补遗第二篇
　　开抽竒抽偶立尖
　　一本尖内层数偶者去之
　　置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数
　　二本尖诸层内数偶者去之
　　原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数
　　三本尖内层数竒者去之
　　一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数
　　四本尖诸层内数竒者去之
　　原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数
　　少广补遗第三篇
　　准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形　诸尖先得径数以法算得底数一平尖
　　径之半平方加半纵减原实为正实　以径除正实得数径数加之
　　二抽竒平尖
　　径之平方加一縦减原实为正实　径除正实得数倍径加之
　　三抽偶平尖
　　径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之
　　四立尖
　　径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之　径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之
　　五方尖【诸数自乗依根数序次相并】
　　四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实　径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之
　　少广补遗第四篇
　　开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数
　　一抽偶立尖【本尖内层数偶者去之】
　　置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实　径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之　径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之
　　二抽偶立尖之二【本尖内层数及诸层内数偶者皆去之】
　　置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之
　　三抽竒立尖【本尖内层数竒者去之】
　　置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之　径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之
　　四抽竒立尖之二【本尖内层数及诸层内数竒者皆去之】
　　以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之
　　五抽竒偶方尖【诸自乗数依根数竒偶序次相并】
　　置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实　径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之
　　少广补遗第五篇
　　开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数
　　其一得径偶
　　径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实　以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除
　　正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之　半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之　如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条
　　如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之　半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之
　　其一得径竒
　　置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实　置径减一而二除之为法分法之竒偶御之　法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之　偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之　凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之　余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准
　　少广补遗第六篇
　　开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之　先得径数以法算得底数
　　其一得径偶
　　置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之　半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之　上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条
　　置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实　以半径除半正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之　半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之
　　其一得径竒
　　置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实　复置径减一折半为法视法之竒偶分御之　法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率　法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率　凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之
　　少广补遗第七篇
　　准本章多乘方以立尖形律余尖得四法
　　一方尖准立尖
　　如数一　一四　一四九
　　一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数
　　二抽偶方尖准立尖
　　三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数
　　三抽竒方尖准立尖
　　三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数
　　四立尖还准立尖
　　如数一　一一二　一一二一二三
　　六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数
　　少广补开尖法设如
　　第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条
　　平尖设如　原数六
　　倍数一十二　带一縦方根三
　　尖之实　一　二　三
　　立尖设如　原数十
　　六因数六十　阙一縦立方根四　减一得三
　　尖之实　一　一二　一二三
　　倍尖设如　原数七
　　二除数三五　末五进一十除得四
　　尖之实　一　二　四
　　方尖设如　原数十四
　　三因数四十二　立方二十七　平方九　半平方四五　半方根一五
　　尖之实　一　四　九
　　再乘尖设如　原数三十六
　　二除数十八　内复减原实余一四四　平方根十二带一縦方收得三　三数逆至尖得中数二二乘三
　　得六
　　尖之实　一　八　二十七
　　再乘尖又设如　原数一百
　　二除数五十　复减原实余四　平方根二十　一縦方收得四　四数逆至尖得对数二　加五数于对数之次得二五四因二五得十
　　尖之实　一　八　二十七　六十四
　　抽竒平尖设如　原数十二
　　一縦方根三　对数三全数六
　　尖之实　二　四　六
　　抽偶平尖设如　原数九
　　平方根三　中数三全数五
　　尖之实　一　三　五
　　抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如　原数十四
　　方尖法开之得三　中数三全数五
　　尖之实　一　一三　一三五
　　抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如　原数二十
　　三因数六十　阙一縦立方根四　四减一得三　对数三全数六
　　尖之实　二　二四　二四六
　　抽竒偶数方尖设如原数三十五
　　六因数二百一十　阙一縦立方根六　六减一得五全数五中数三
　　尖之实　一　九　二十五
　　又设如　原数五十六
　　六因数三百三十六　阙一縦立方根七　七减一得六　全数六对数三
　　尖之实　四　十六　三十六
　　抽偶再乘尖设如　原数一百五十三
　　二除数七六五　阙半縦平方根九　复方之三　中数三全数五
　　尖之实　一　二十七　一百二十五
　　抽竒再乘尖设如　原数二百八十八
　　二除数百四十四　平方根十二　复方之一縦三对数三全数六
　　尖之实　八　六十四　二百一十六
　　第二开抽偶抽竒立尖
　　木尖内层数偶者去之设如　原数二十二
　　加二得数二百六十四　立方二百一十六　平方三十六　半平方阙一縦十二　方根减一得五折半得三
　　尖之实　一　一二三　一二三四五
　　本尖诸层内数偶者去之设如　原数六
　　就位加五得数九　立方八　半方根一　方根五除得四　四减一得三
　　尖之实　一　一　一三
　　又设如　原数十
　　就位加五得数十五　立方八　平方四　半平方二半方根一　方根五除得四减一得三
　　尖之实　一　一　一三　一三
　　本尖内层数竒者去之设如　原数三十四
　　加二得数四百零八　立方三百四十三　平方四十九　余縦二八一十六　方根七减一得六縦限二益一得三
　　尖之实　一二　一二三四　一二三四五六本尖诸层内数竒者去之设如　原数十六
　　就位加五得二十四　阙一縦立方根三　方根减一以五除之得四
　　尖之实　二　二　二四　二四
　　又设如　原数十
　　就位加五得数十五　立方八　平方四　半平方二半方根一　方根五除得四减一得三
　　尖之实　二　二　二四
　　第三准本章縦诸方开三角及诸尖之半积似三角一钝角形
　　平尖设如　原数二十四　径三
　　减六得十八　三除十八得六　加三得九
　　尖之实　七　八　九
　　抽竒平尖设如　原数十八　径三
　　减十二得六　三除六得二　加六得八
　　尖之实　四　六　八
　　抽偶平尖设如　原数二十七　径三
　　减九得十八　六除十八得三加三得六　五除六减一得十一
　　尖之实　七　九　十一
　　立尖设如　原数三十一　径三
　　减一十得二十一　三除二十一得七　七加三得十半平方加半縦开十得四　四加一得五
　　尖之实　一二三　一二三四　一二三四五又设如　原数二十五　径二
　　减四得二十一　加四仍二十五　平方根五
　　尖之实　一二三四　一二三四五
　　方尖设如　原数五十　径三
　　四因数二百　减五十六得百四十四　三除百四十四得四十八并十六得六十四　平方根八并二折半得五
　　尖之实　九　十六　二十五
　　第四开三角及诸尖半积
　　抽偶立尖原注本尖内层数偶者去之设如原数四十九　径三
　　减二十二得二十七　三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七
　　尖之实　一二三　一二三四五　一二三四五六七
　　又设如　原数二十一　径二
　　减七得十四　复加六得二十　一縦方根四并一得五
　　尖之实　一二三　一二三四五
　　抽偶立尖原注本尖内层数及诸层内数偶者皆去之设如　原数五十　径三
　　减一十四得三十六　三除三十六得十二并四得十六　平方根四　五除方根四减一得七并二得九尖之实　一三五　一三五七　一三五七九又设如　原数四十一　径二
　　减五得三十六　并五仍四十一　四十一减一而二除之数二十得一縦方根四　五除四加一得九
　　尖之实　一三五七　一三五七九
　　抽竒立尖原注本尖内层数竒者去之设如原数六十七　径三
　　减三十四得三十三　三除三十三得十一并十得二十一　半方半縦开之得六并二得八
　　尖之实　一二三四　一二三四五六　一二三四五六七八
　　又设如　原数三十一　径二
　　减一十三得十八　并十二得三十　一縦方根五并一得六
　　尖之实　一二三四　一二三四五六
　　抽竒立尖原注本尖内层数及诸层内数竒者皆去之设如　原数六十二　径三
　　减二十得四十二　三除四十二得十四并六得二十一縦方根四　二因四得八并二得十
　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八十又设如　原数五十　径二
　　减八得四十二　并八仍得五十　五十减二而二除之得二十四　二縦方根四　五除四加二得十
　　尖之实　二四六八　二四六八十
　　抽竒偶数方尖设如　原数一百五十五　径三
　　减五十六得九十九　三除九十九得三十三加十六得四十九　平方根七并二得九
　　尖之实　二十五　四十九　八十一
　　又设如　原数二百　径三
　　减五十六得百四十四　三除百四十四得四十八并十六得六十四　平方根八并二得十
　　尖之实　三十六　六十四　一百
　　第五开抽偶立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数偶者皆去之
　　先得径偶设如　原数一百　径六
　　减二十八得七十二　三除七十二得二十四并八得三十二　二除三十二得十六方之得四　五除四减一得七并二得九
　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九
　　又设如　原数五十　径四
　　减十得四十　二除四十得二十　二十并五得二十五减一而半之得十二　一縦方根三倍三得六六减一得五并二得七
　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七
　　先得径偶次条设如　原数六十六　径四
　　减十八得四十八　二除四十八得二十四半之得十二并四得十六　平方根四　五除四减一并二得九尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九
　　又设如　原数一百二十七　径六
　　减四十三得八十四　三除八十四得二十八并十三减一得四十　二除四十得二十一縦方根得四五除四减一并四得十一
　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九　一三五七九十一先得径竒设如　原数一百六十三　径七
　　倍数三百二十六　减二十得三百零六　三除三百零六得百零二并四得百零六　平方开百得十存余实六加五得九　平方开九得三　五除三减一与前方十较之合赢绌率　五并六得十一
　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七一三五七九　一三五七九　一三五七九十一　一三五七九十一
　　又设如　原数二百零三　径七
　　倍数四百零六　减二十得三百八十六　三除三百八十六得一百二十八余剰实二　一百二十八并四得百三十二　平方开百二十一得十一余实十一以一五因之并前剰实之半不可方　退方根商一百得方十余实三十二　三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七　五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三
　　尖之实　一三五七　一三五七　一三五七九一三五七九　一三五七九十一　一三五七
　　九十一　一三五七九十一十三
　　又设如　原数九十一　径五
　　倍数一百八十二　减四得一百七十八　二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十　平方开八十一得九余实九方根得三　五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九
　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九
　　又设如　原数七十五　径五
　　倍数一百五十　减四得一百四十六　二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四　平方开六十四得八余实一十不可方　退方根商四十九得七余实二十五方根得五　五除五减一与前方较之合赢绌率得九
　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九
　　法外设如　原数四十一　径三
　　倍数八十二　平方商六十四得八　余实十八折半得九方之得三　五除三减一与八较之合赢绌率并二得七
　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之
　　先得径偶设如　原数一百二十四　径六
　　减四十得八十四　三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十　二縦方根八　八并二得十尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十
　　又设如　原数一百　径四
　　减十六得八十四　二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百　平方根十
　　尖之实　二四六八　二四六八　二四六八十二四六八十
　　先得径偶次条设如　原数一百五十四　径六
　　减五十八得九十六　三除九十六得三十二半之得十六　并九得二十五四因二十五得一百　半方根十并二得十二
　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十　二四六八十十二又设如　原数八十二　径四
　　减二十六得五十六半之得二十八　二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十　二縦方根八并二得十
　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十
　　先得径竒设如　原数一百九十六　径七
　　减十六得一百八十　一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八二縦方开百二十得十存余实八　六因八得四十八二縦方根得六与前方较之合赢绌率　六并六得一十二
　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十　二四六八十十二二四六八十十二
　　又设如　原数一百六十六　径七
　　减十六得一百五十　一百五十减五得一百并八得一百零八　二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为二縦方　退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八　二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二
　　尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八二四六八十　二四六八十　二四六八十十二
　　又设如　原数一百十二　径五
　　减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二　四因十二得四十八二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十
　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十
　　又设如　原数九十四　径五
　　减四得数九十　并四仍九十四　平方开八十一得九余实十三以四因之不可为二縦方　退方根商六十四得八余实三十　四因三十得百二十二縦方除之较前方合赢绌率得十
　　尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十
　　法外设如　原数四十四　径三
　　五除四十四得八十八　带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方　带二縦方商六十三得根数竒　商四十八得根数六余实四十　二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实　二四六　二四六　二四六八
　　第七准本章多乗方依立尖形推余尖
　　方尖准立尖设如　原数二十
　　一十二因数二百四十　带一縦方根十五益一数十六　复方之四减一得三
　　尖之实　一　一四　一四九
　　抽偶立尖准立尖设如　原数四十六
　　三因数一百三十八　阙半縦平方根十二　复带一縦方之三　五除三　一得五
　　尖之实　一　一九　一九二十五
　　抽竒方尖准立尖设如　原数八十
　　三因数二百四十　带一縦方根十五益一数十六复方之四　四减一得三倍之得六
　　尖之实　四　四十六　四十六三十六
　　立尖还准立尖设如　原数十五
　　六因数九十　带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四　四减一得三
　　尖之实　一　一一二　一一二一二三
　　少广补开尖法覈原
　　开正尖全积二十法设各就本尖用之
　　平尖法一之一　尖一
　　倍数二　带一縦方根一
　　立尖法一之二　尖一
　　因数六　阙一縦立方根二　减一得一
　　倍尖法一之三　尖一
　　二除数五　进五作十除得一
　　方尖法一之四　尖一
　　因数三　方体一　方面一　半方面五　半方根
　　再乘尖法一之五　尖一
　　二除数五　减原实余四　平方根二　复除带一縦方一
　　抽竒平尖法一之六　尖二
　　带一縦方根一　对数一全数二
　　抽偶平尖法一之七　尖一
　　平方根一
　　抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之　尖一
　　因数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之　尖二
　　因数六　阙一縦立方根二　减一得二之对数
　　抽竒偶数方尖法一之十　尖一
　　因数六　阙一縦立方根二　二减一即一
　　又尖四
　　因数二十四　阙一縦立方根三　三减一数二
　　抽偶再乘尖法一之十一　尖一
　　二除数五　阙半縦平方根一　复方之亦一
　　抽竒再乘尖法一之十二　尖八
　　二除数四　平方根二　复带一縦方之一　对数一全数二
　　抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一
　　加二数十二　方体八　方面四　半方面应阙一縦今阙　二减一得一
　　抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二　尖一
　　就位加五数一五　方体一　半方根五　五除一得二减一复一
　　又尖一　一
　　就位加五数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五　五除一得二　二减一复一
　　抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二
　　加二数三十六　方体二十七　方面九　縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空　三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四　尖二二
　　就位加五数六　阙一縦立方根二　二减一得一以五除之复二
　　又尖二
　　就位加五数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五　五除一得二　二减一亦一
　　方尖准立尖法七之一　尖一
　　加二数十二　带一縦方根三　三益一得四复方之得二　二减一即一
　　抽偶方尖准立尖法七之二　尖一
　　倍数三　阙半縦平方根二复带一縦方之一　二因一减一亦一
　　抽竒方尖准立尖法七之三　尖四
　　三倍数十二　带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二　减一亦一
　　立尖还准立尖法七之四　尖一
　　因数六带一縦方根二　二益一得三倍之得六复除带一縦方得二　二减一即一

　　少广补遗
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　庄氏算学　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案庄氏算学八卷
　　国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大防皆遵
　　御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案
　　御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷一
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　梅勿庵开方法
　　一平方
　　平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为防法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补次两廉之空而成正方形自此而四商五商仿而加之能事毕矣
　　凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止于单位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初商减积止初防次商减积止次防三商四商五商皆可以类推也【自单位作防起每隔一位防之有二防商数有十三防商数有百也】
　　凡初商得一二三四皆书于防之上一位商得五六七八九皆书于防之上两位其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同
　　大约所商单数必在亷法上一位乃法上得零之理也开方有实无法廉法者乃其法也
　　次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商得数对余实首一位书之若第一位是空则以次商得数对余实上一位书之虽不离筹之第一位而所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然
　　一立方
　　平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆然而方体成矣
　　三平廉长濶相同皆如初商数三长廉长如初商数其两头髙与濶则如次商数
　　立方三位作防者自乘再乘之积止于三位也初商防在首位则独商首位防在次位则合商两位在三位则合商三位也凡初商得一数者书于防上一位得二三四五者书于防上二位得六七八九者书于防上三位其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故五用进法而六以上用超进之法也
　　三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各分次商自乘之数也
　　一平方带纵
　　平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之濶如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳
　　若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为次商则减积亦尽于第二防
　　初商得五至得九皆书于防上二位不论纵之多寡若得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上则亦进书于防之上两位【如初商三而纵有四初商四而纵有四之类】若纵数少虽加之而不满五则仍书于防之上一位【如初商四而纵只有一初商六而纵只有二之类】搃而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦满十而进位矣防法进位故初商亦必进盖豫算所商单数已在廉法之上也
　　又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在命分上一位凡开方皆然
　　一立方带纵
　　凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同立方带一纵者长多于方谓之横纵髙多于方谓之直纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆仿此
　　以积实列位作防如立方法截首一防为初商之实视立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及减者改商之及减而止
　　次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商竝同【所谓带纵防二不带纵廉一也】又以初商三之加入纵为长廉法【所谓带纵廉一不带纵廉二也】乃以平廉法约第二防上余实商除得数为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实不及减者改商之及减而止
　　三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数三之加纵为长廉法以除原实如次商法余仿此列商得数依立方法得一书于防之上一位得二三四五书于防之上两位得六七八九书于防之上三位若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之盖次商时有三平防三长防再加隅一为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之也
　　若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数改退小一等数者皆不用上一防而以第二防论之此尤要诀不可忘【或于初商外作圈而以所商小一等数书于圈下亦可以上一防论也】立方带两纵纵数相同者如髙不及方若干则方之横与直俱多于髙是为两纵初商有纵廉二纵方一并立方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合一短方形也
　　用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃如立方法列位作防视表中求初商方数及立方积次以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定初商不及减改商之及减而止
　　次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数【所谓带一纵之廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法【所谓带纵者二不带纵者一也】或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿此
　　立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作防求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法
　　次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余仿此
　　凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子
　　维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也
　　若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数
　　用筹法
　　开方用筹防法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加防矣存前法者所以着其理用防法者所以善其事
　　既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹【如商根为四则用八商根为六则用十二】以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位
　　若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余仿此
　　凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣
　　若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数】
　　视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余仿此
　　隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平防小隅可合为一法长防之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长防之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平防大于隅二位而长亷只大一位也盖平防者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平防与隅如百与单相去二位也若长防则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也
　　若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长防法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法或长防不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平防下小隅上加四空位筹长防积下加三圈
　　盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平防者初商之自乗百乗百成万故平防与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理【平防原大二位加二空筹则大四位矣】
　　初商与三商既如百与单则长防与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也
　　命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣
　　若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平防可得十九分步之九在长防与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长防法六步乗之得一万○二百六十分为长防差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积

　　庄氏算学卷一
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷二
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　几何原本举要
　　凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界
　　为凡角大小之规也
　　二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成
　　之二角俱为相等
　　在平行线上作一斜直线即成八角此八角之
　　庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等
　　凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也
　　若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知
　　凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者
　　凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也
　　凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也
　　凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至
　　一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形
　　凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等
　　于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分
　　凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中
　　凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分
　　四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必
　　等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊
　　己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也
　　两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然
　　凡众角形自角至心作线有防界即成防角形若作六界即成六三角形矣
　　欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角
　　度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也
　　凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆
　　凡一直线横分圆界谓之如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆
　　之弧分之角
　　凡自之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角
　　自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外
　　凡在圆线若自圆心作垂线可以平分线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂
　　线便是平分也
　　凡自圆外一防至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐
　　线互为垂线而两线相遇之角
　　必俱为直角又于两直角作一
　　对角线是谓线而成丁乙丙
　　与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣
　　凡圆有两线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等
　　于甲乙辐线末作垂线者切线也甲
　　辐线割圆于戊而至丁者割线也戊
　　垂线至己者正也凡立于乙戊弧
　　之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也
　　三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一
　　小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也
　　自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有防何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心
　　角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也
　　圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎
　　凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧
　　之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也
　　凡圆之界角若在半圆分之大分内必为鋭角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此
　　心角形所对既不足圆界四分之一则为鋭角也既为鋭角则甲乙丙角必为鋭角可知矣
　　函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也
　　有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也
　　一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也
　　有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也
　　众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也
　　有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣
　　凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线
　　相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面
　　平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面
　　自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处
　　不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣
　　平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣
　　凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成鋭角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣
　　众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也
　　平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也
　　相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也
　　二平行而上凡相当之各二线俱为平行也
　　二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状
　　各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄防是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成鋭尖此谓尖圆体也
　　所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣
　　凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也
　　凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体
　　平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也
　　平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例
　　平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也
　　平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节
　　平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半
　　各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳
　　凡等式体苟立于等积之底其体之髙若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也
　　有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其髙数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见
　　凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体
　　厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣
　　凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣
　　凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍之数也
　　又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定凖此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四从三防几分为均其一与二之比即如三与四之比为同理比例也
　　有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也有相连比例率如甲线一【一率】乙线二【二三率同】丙线四【四率】甲与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例仿此于相连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难于讲觧试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大小虽不同而分数为等故以大圆周为一率庚己弧为二率小圆周为三率壬
　　辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相当分数俱等是为顺理比例也仿此凡各率各度虽异相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其比例亦无不同也
　　一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则又为五之一比例亦然也
　　一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七之一也
　　一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数如原各为六之一今又各为六之五也
　　一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与四率为比合为一四率仍为相当比例率也
　　一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比
　　也
　　一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁线互相之比同于原甲乙二线之比也
　　得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则互相为比例也
　　以二数相乗所得两数为均若以二线均为几度每各线度作小方形以此线小方乗彼线小方即成两直角四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乗形亦均也又一线分为三度作小方形一线分为四度有竒作小方形一线横一线纵乗成函十二长方形而竒数亦附于方末也
　　又将前线所作方形取其半相乗亦得四方形也盖取三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也四方直角平面形凡在一线可以相乗也如甲乙形欲
　　乗丙丁线则将此
　　形作四小方体又
　　将丙丁依甲乙所
　　分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垜之遂成函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也
　　凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长度与小形之长度几倍为均大形之寛度与小形之寛度几倍为均是也然合【阙】比两比例仍是一比例如甲方之长与乙方之长三倍为均甲方之寛与乙方之寛两倍为均二三相乗为六则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也
　　若长四倍为均寛三倍为均三四一十二则大
　　形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍则以四除十二得三倍为均皆成一比例也
　　有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之寛反倍于此形之寛则此两形之积为等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得数必同于一率四率相乗所得数也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首尾率二六相乗亦一十二也试将三度四度之线相乗作长方形又将二度四度线相乗作长方形形虽不同而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率则以一率与四率相乗所得数与二率三率相乗所得数无以异也如东河之水流速三倍西河之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乗之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得饷银一十两试相乗之数又等也
　　有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而
　　为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与乙之面内六倍为均者有六矣
　　丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一
　　倍之比例也
　　前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也
　　在相同直角面纵横两相当界之比例必等也
　　在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也
　　直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣
　　有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也
　　有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也
　　凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也
　　凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此
　　界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也
　　凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则
　　面亦大三倍也
　　凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也
　　凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见
　　凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊
　　一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也
　　凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也
　　如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之
　　戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑
　　壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也
　　三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也
　　有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣
　　同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也
　　同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也
　　同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节
　　有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也
　　有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直
　　界形其
　　式若等
　　亦谓同
　　式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也
　　大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也
　　将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形
　　则甲乙丙与己庚辛相当为同
　　式甲丙丁与己辛壬相当为同
　　式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也
　　凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一
　　面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前
　　凡大小同式直界形互相之比同
　　于在其形内外相函之同式形各
　　相当界立作平面方形互相比之
　　比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也
　　凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之
　　比同于在所比形之内外
　　相函同式形之每每相当
　　所作方形相比之比例也如
　　图大小二圆形内虽函六面同式多边
　　两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣
　　凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也
　　同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也
　　自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两
　　角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短
　　者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也
　　自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为髙合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线
　　凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也
　　凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每
　　相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为髙与三率乙丙为长相乗所
　　作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣
　　在勾股三界作凡同式三形上积兼有勾股之积也
　　在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也

　　一圆之内二线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也
　　盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也
　　于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理
　　自圆外之凡一防出二线过圆界
　　之二处至相对弧界则此两全线
　　互相之比同于在圆界外所有之
　　二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为相比例率也
　　将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度为等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角
　　而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也
　　将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三角形则全形之乙角与小形之丁角为
　　平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也
　　凡球体在长圆内苟此球径线与长
　　圆体之底径髙度若俱等则此球积
　　为长圆体三分之二也何则将球体
　　合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球体余乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆体分癸夘申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣何也以壬癸半径作正方与壬子子癸两线作两正方并之为
　　等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之
　　半径线必等而壬乙与夘午俱为
　　一长方之平行线亦必等则卯午
　　与壬癸亦必等也是则以壬子子
　　癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆也今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆即余癸午曲凹形一段周围之面与癸子为半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰未为两半径作两圆等亦如前所云以
　　辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一圆之面积内减去辰未作圆之面积所余未巳曲凹形一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖圆体与一长圆体其底积髙数若等则尖圆体与长圆体为三分之一也所余曲凹形既与尖圆等积则亦三分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为全长圆体三分之二矣
　　有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径度等而尖圆体髙度与半球体半径又等则此尖圆体为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体髙又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若等而尖圆髙度与球体半径又等则此两体之积为等也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆体之底面积等也又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙旣等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣
　　凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其髙与原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆体亦为四分之一也此大小两尖圆体之髙度既等其两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外面积为四分之一可知矣
　　有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等又此长方体髙度与长圆体半径之半又等则此长方体之积为与一长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸
　　心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共
　　面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚髙度分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度髙度与球体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也
　　盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊
　　己庚辛长圆体之面积相乗得数照
　　前节所云为长圆体之积也又用所
　　分六分之二为乙壬半径三分之一
　　与球体外面积相乗得数为球体之积也夫球体比长圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积用二与球体外面积相乗者为得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乗面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也
　　有一平面鸭卵形其大径度与圆径若等则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之
　　比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大径之比例也
　　长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之寛与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也又鸭蛋体大径与球体径度若等则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例同于以鸭蛋体小径与大
　　径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子丑径与寅邜径之比同于戊己径乙丁径相比之比例诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则两外面积之相比同于两径之相比可知矣
　　有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣
　　有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也
　　有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球体积与函球体积相比之比例也
　　有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也
　　有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅邜处
　　分之此所分球体子丙丑一段之
　　凸面积与所分相对长圆体寅巳
　　庚卯一段之周围外面积为等也
　　何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其所余者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体此二体之底面积髙度既等其体积亦等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为髙度用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等可知也有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体大径度等而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也理同前
　　有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与全体之底径等而大小半体之髙度又等则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外函以长圆体照甲己髙度截于寅丑为长
　　三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例而小半球之外面积既与函球小半长圆之外
　　面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎
　　有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与相对球体每段积之比同于以鸭蛋体小径之所作正方面积与球体径度所
　　作正方面积之比也如图甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例可知矣
　　在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或
　　丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线即垂线也
　　分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为六段六段分为十二段十二段各平分为三段则为三十六段三十六段各平分为五段则为
　　一　百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百六十段矣
　　一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界
　　之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为三十度角也
　　有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲度立于乙向丙防平行作一弧线又照甲乙度以规立于丙向第二次所作弧线处再作一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一直线则成平行线也
　　如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作丙丁一直线即成为四方形矣
　　如乙圆之外有甲防欲于此防作切圆线则于甲防至圆心作一直线又以乙为心
　　以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙线所割戊处作甲戊线则所求之切线也
　　欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒【度各六十分分各六十秒】八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度
　　作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线【三边作三线四边作四线余仿此】
　　于辐线末各作切界线引至合角则成函圆多界形也
　　作函多界俱等各种形圆法则照平分直线法作垂线引二垂线相交处为心以角为界即成函多界之圆形也
　　各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为界即是也
　　一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角形与原有之三角形同式如图将乙丙底线引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作
　　与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相并必与两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分
　　为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减戊子原作之两直角所余癸丑两角相并亦与两直角等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣若欲于圆内作切界同式三角形如图任意作与甲角等度之辛角将角逐线引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至
　　庚作一直线又于戊处仿乙角作戊角引线至壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而
　　壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角原仿甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角乃仿乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙角可知矣
　　勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限将弧线两平分处作直线至直角分线为两于线分处作一勾垂线又作一股垂线
　　即成两直角也
　　有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相较之所余求作一正方则以甲乙线为一边线作一小正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线作大正方即是所求之正方也何也引甲
　　乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所余乙戊两角又等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之余也
　　有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底线则下两角各七十二度也
　　若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形于此形外作切角圆形再于两长边弧线度各平分
　　之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分故为五边形也
　　理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作一两边等度两底角与上一角各大一倍之三角形又作五边形乃自甲至乙作直
　　线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与
　　戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所余丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊
　　丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊
　　甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为相连比例也
　　欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙
　　线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比同于甲丁线与丁己线相比之比例矣
　　又如有甲乙线于己辛两处分为三分又有丙丁一线亦欲分为三分为相比例三率则以甲乙线丙丁线为平行线自甲乙之末各分直线切丙丁线末至
　　戊相防又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣
　　有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分
　　甲乙四分甲丙之二线求作一二分
　　之相连线则将甲丙甲乙二线合成
　　甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊
　　线自乙至丙作一直线又于戊作乙
　　丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率也【甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去不用则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也】有直线三率欲作相比例第四率线再为相比例数率线则照様作甲丙线而以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲为心以乙为界作一弧线而取乙丁线度一股立于乙一股交于弧线得相交之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁
　　末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行数线分为五叚即得十相比例率也故以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚
　　己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比例也
　　比例尺二股各有平分线分为二百余分假如有丁戊一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各二百分之乙丙二防将尺乙丙二处照丁戊线度开之使不移动次以规矩立于尺之第二十分之己庚二防取己庚之间度此间度即是平分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三
　　角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也
　　于比例尺作圆之诸线之总线法则自甲之合处至乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆界各作线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等处取线度各作于甲乙甲丙两线上即为诸线度之总线也其取用之法若欲知寅角之度则以规矩一股立寅处一股任意作夘辰弧线随取寅夘辐线之度立于尺之六十度之丁未处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将
　　规矩取夘辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十度之线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度线甲酉为八十度线其与底平行之丁未线既与小圆辐线等所以丁未线为小圆六十度之线申酉线亦为小圆八十度之线以此知寅角夘辰度之为八十度也如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开之其大小圆之诸线之度俱现于两股间也【以六十度通即半径故】
　　于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至
　　丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也
　　有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三线其所现乙癸乙庚则为中二率线
　　也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线
　　为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚线比乙戊线也故曰中二率也
　　于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此
　　体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一股截甲乙线之干处则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也照此不止作大于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之
　　长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之形界盖甲庚线与甲干线之比同于以庚庚与干干线之比例甲干上方大于甲庚上方二倍则干干上方必大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度长一百厘则以此界一百厘自乘再乘则此体积共乙百万厘大此一倍之体数为二百万厘其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘又大二倍之体数为三百万厘其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘如此累加将外界之厘数书明又将厘度分于尺寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度初照一百厘界度截比例尺之庚处次照一百二十五厘界度截于辰处三照一百四十四厘界度截于干处不止至末与前法所分俱为同也
　　有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中率自乘之积与首率末率相乗之积等故丁己上方与甲乙乗乙丙之方等积也
　　凡有三角形知其一角之度及角两旁之界
　　度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相防与甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之为九丈矣余皆如此盖即小以知大举一以例余也
　　作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法先作甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交防如碁局再于径线之两末作两立表安住不动又于丁心处如图作一逰表如戊己将逰表亦如半径度分为二百分再于此仪器后面挂一坠线为庚即可按线而测矣如欲测旗杆之髙则将仪器之丁心安于所立之处定准坠线
　　以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平穏住不动再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准次量所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再防子处垂线与上逰表相交处得若干若得三十分如丑则旗杆之髙为三十丈也若欲测丁辛线数则防自丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为直角再防圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角度与九十度相减所余者为辛角度也
　　画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪器指诸要数处看所成之数角各得几何度记之次移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸要数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度仿而作之一　一与前相当成数三角形其中边所有之形一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图即与原大图同也　凡有多界形仿此或为大或为小之同式形方如甲乙丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙
　　壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成所欲作之大形也或自一角发线亦可
　　凡两数相乗者平行方数也如二三相乗为六是也三数连乗者立方数也如二三乗得六又乗以四则为四六二十四也【以上为几何原本】
　　凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九之比同于六与三十六之比【按末句有误数】
　　凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数二三度尽若加数根一则亦六也
　　大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七十四与数根之一并之则亦二十八也
　　有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例相等之相连比例四数同于三与五之比例也
　　凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十五之比也
　　有同相比例四数其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于以彼横与此横之比也如四六相乗与三八相乗皆为二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例为等也
　　凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六则九六两数之比若六四之比也
　　凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也由此推之若于平加众数内凡减一位将所余之位数与原平加之数相乗得数与众小数内至小数相并与众数内至大数为等也假如上六数内减一数余五数将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得【三六九二五八一一一】　十八为与至大数相等矣
　　凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降愈降合降与升则但见平也
　　又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十五矣其理则前节可推也
　　又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位数相乗得数折半则与原有众数之总数等也如十八加三为廿一以位数六乗之得乙百二十六折半得六十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒数理亦相同
　　凡平加之位若是竒数则以中一位之数与位数几相乗即得众数之总数也如所列以中一位一○乗位数五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乗位数折半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乗位数【四七○三六一一一】总数【○五】　即为总数也
　　凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乗亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数五自乗亦二十五也理如前节以中一位数乗位数同盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乗相并【一三五七九一三一一】　折半乗位数之理也
　　凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则【二四六八○二四一一一】　以位数自乗可得众数之总数也
　　凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相减余十以平加数根二除之得五再加入小数一得六【一三五七九一一】　即原有之位数也
　　凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六减一余五与平加数四相因得二十加十入小数三即大数为廿三也
　　若欲知小数则亦以位数六减一余五与平加数四相因得二十以与大数十三相减余三则此三即为至小数也
　　若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相乗得一百五十六折半得七十八为所求之总数也若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三相减余二十又将位数六减一为五除之得四则此四为平加数之根也
　　若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与小数相减余二十以平加数四除之得五加一为六即是所求之位数也
　　若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣
　　凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相减余四又将四与二十相减余十六以十六与四相减余八以四减八则无余则此四为度尽两数之数也谓之转减亦谓之纽数
　　三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正然后角可求也然中长线之数为正而仅有半径无角无余则其数又不可知故以勾求股之术求之除一边为则总较之术所求者勾也盖两之总之较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得其较耳两之总乗之较以两勾之总除之必得较矣【钝角则以较除而得总】以勾较之余取其半以益较必得大勾矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾股相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正余相比例而角可得矣
　　一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其余一角则可以三隅反矣
　　三较连乗者求三角容圆之半径也○三较者三边与半总相较之余也三较连乗所得之数乃容员半径自乗又乗半总之数也故以三较连乗为中率而以半总除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乗之即二较三较相乗之数也小勾自乗比乗大勾如第一较与半总之比例则二较相乗以小勾自乗乗之亦如第一较与半总之比例
　　【阙】
　　钱百文买果百颗　梨一颗钱三文　柑一颗钱二文橄榄七颗钱一文　算得梨四颗钱十二文　柑四十颗钱八十文　橄榄五十六颗钱八文【按此条前后皆有阙文】

　　庄氏算学卷二
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷三
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　勾股测量
　　立表杆测法【凡立表杆必用垂线取直并量所立地距人立尺寸以取凖】
　　测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之】
　　法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺【如图戊庚】为二率距旗杆三丈【如图丁辛】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙也

　　测逺【设有一树欲知其逺用表杆测之】
　　法先立一表杆对树【如图甲乙】次于表杆处取直角横量十五丈立一表杆【如丙】再依次表立一表杆对树参直【如丁】乃于丁表处作垂线至丙乙线界【如图丁己】量得五丈复量丙

　　己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈【丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即树之逺也
　　比例【比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一】
　　【率归除得四率为所求】
　　正比例【一名异乗同除】
　　法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银若干　法以原有之三人为一率一两八钱为二率今有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏银总数
　　转比例【一名同乗异除】
　　法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得四率为所求假如有田一畆原濶八步长三十步今要濶十二步该长若干　法以今濶十二步为一率原长三十步为二率原濶八步为三率求得四率二十步即今所求之长数【葢乗除之数逓増逓减者为正比例总数相同分者多则得数转少分者少则得数转多为转比例】
　　正比例带分
　　设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤十二两该换锡若干
　　法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两
　　转比例带分
　　设如营造每日用五十六人计一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工该几何日
　　法以今用六十四人为一率因分母为九【即命一月为九分也】加入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得四率十分半满分母九分收为一月余一分半即命为一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数
　　合率比例【系合两比例或合三比例用一次除乗而得】
　　设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈应换绵布若干
　　法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所换绵布之数【此两比例合为一比例法】如分两比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八丈即为夏布所换绵布之数
　　设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鵞几何
　　法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只再以所换鸡二十只乗之得三千六百只为一率以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只再以原鹅八只乗之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率求得四率二十只即羊五只所换鵞数【此三比例合为一比例法】如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只所换鵞数以鸡二十只为一率鵞八只为二率今羊五只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即羊五只所换鵞数也
　　测髙【设有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆两测求之】
　　法先立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】记之再退后三丈对凖前表立一表杆髙四尺【如图壬癸】向前又立一表杆髙八尺【如图子丑】看两表端与旗杆顶齐【如图甲壬】量两表间相距一丈【如图壬夘】乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率前表八尺与后表四尺相减余四尺【如图子夘】为二率先测与再测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表髙四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙如欲求其逺则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率再测之距度一丈【如图壬夘】

　　为二率两测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率六丈【如图壬辛】即旗杆距退后表杆之逺
　　又法设塔一座欲知其髙用相等两表测之
　　法先立一表杆比人目髙四尺人离表杆六尺防塔顶与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目髙四尺人离表杆八尺防塔顶与表端齐乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减余二尺【如图己壬】为一率表比人目髙四尺【如图辛庚】为二率两表相距六丈【如图辛戊】为三率求得四率十二丈【如图甲癸】加表比人目髙四尺【如图癸乙】共十二丈四尺【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔顶距地平之髙如求塔距前表之逺则以两表

　　距分相减之二尺【如图己壬】为一率前表距分六尺【如图丙丁】为二率两表相距之六尺【如图辛戊】为三率求得四率十八丈【如图戊癸】即塔距前表之逺再加六丈即塔距后表之逺又法设楼一座欲知其髙以不等两表测之
　　法先立一长表比人目髙六尺人离表五尺四寸防楼与表端齐又退后二丈立一短表比人目髙四尺人离表六尺四寸防楼脊与表端齐乃以前表比人目髙六尺【如图丙丁】为一率前表距分五尺四寸【如图目丁】为二率后表比人目髙四尺【如图戊己与庚辛同】为三率求得四率三尺六寸【如图目辛】为前表与后表同髙所得之距分【庚目辛勾股形与戊壬己勾股形同】爰以三尺六寸【如图目辛与壬己同】与后表距分六尺四寸【如图目己】相减余二尺八寸【如目】图壬为一率后表比人目髙四尺【如图戊己】为二率前表距分五尺四寸【如图目丁】内减三尺六寸余一尺八寸【如图辛丁】与两表相距之二丈【如图己丁】相减余一丈八尺二寸【如图戊庚】为三率求得四率二丈六尺【如图甲癸】加表比人目之髙四尺【如图癸乙】共得三丈【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地尺寸即楼脊距地之髙

　　又日景测髙【设一旗杆量日景长十丈问髙防何】
　　法于同时立一表杆髙四尺量表景长二尺乃以表景二尺为一率表髙四尺为二率旗杆之景一丈为三率求得四率二丈即旗杆之髙

　　矩度测量【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横竖俱界线画成小方分对中
　　心所出线两边安表取中心安逰表定凖坠线以成勾股】
　　测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙防何】
　　法用矩度以定表看地平逰表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度系界画为一百分自中心平分半矩为五十分】乃以半矩五十分【如图丁己】为一率所得距分四十分【如图辛己】为二率距旗杆三丈【如图丁庚】为三率求得四率二丈四尺【如图甲庚】即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙再加矩度中心距地【如图庚乙】即所求旗杆之髙也

　　测逺【设有一树欲求其逺用矩度测之】
　　法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距

　　分三十分【如图戊丁】为一率半矩五十分【如图戊丙】为二率横量十五丈【如图丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即所求树之逺也
　　重矩测髙【设山一座欲知其髙以重矩测之】
　　法用矩度以定表看地平逰表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表所看原处逰表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分【如图己庚】为一率半矩五十分【如图丙庚】为二率后矩距分三十二分【如图辛壬】为三率求得四率四十分【如图丙子】乃以后矩之半矩五十分与四十分相减【后矩之辛壬丑勾股形与前矩之癸子丙勾股形相同】余十分【如图丁丑】为一率后矩距分三十二分【如图辛壬】为二率两矩相距九丈【如图丁丙】为三率求得四率二十八丈八尺【如图甲戊】即矩度中心所对地平至山顶之髙再加矩度中心矩即所求山之髙　若求山距后矩之逺则以相距矩分相减之十分【如图丁丑】为一率半矩五十分【如图丁壬】为二率两矩相距之九丈【如图丁丙】为三率求得四率四十五丈【如图丁戊】即后矩距山之逺减两矩相距九丈即前矩距山之逺

　　又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之
　　法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率横量三十九丈【如图右左】为三率求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也

　　又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之
　　法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度【如止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分【如图戊乙】为一率先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率横量十七丈【如图先后】为三率求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺

　　尖圆体【圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角
　　堆得圆底尖堆四分之三】
　　圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何
　　法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之防面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数
　　倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何
　　法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数
　　倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何
　　法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数
　　倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何
　　法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数
　　截积
　　正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何
　　法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也
　　正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何
　　法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边
　　长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何
　　法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积
　　勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何

　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长
　　勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干
　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长
　　三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾中长如股】

　　斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何

　　法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长
　　斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶
　　法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长
　　梯形
　　梯形截上段积截下段积
　　法俱与斜方形同

　　上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同
　　梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何

　　法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺【如图乙戊】为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长
　　梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶
　　法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积

　　四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶
　　分积
　　三角形平分面积一半仍与原形同式
　　设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干

　　法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法
　　仿此
　　圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求长

　　甲乙为全径甲戊为矢丙丁为甲丙丁为截弧矢形
　　法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之
　　圆面截弧矢形有求矢设圆形径一尺七寸长一尺五寸求矢濶
　　法以长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形长一尺一寸矢濶四寸求圆径
　　法以矢濶四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径
　　圆面截弧矢形求积

　　法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积
　　又法以矢与相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积
　　两正方形并积有边较求分积及边
　　设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何

　　法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数
　　两正方形并积有边总求分积及边设大小两正方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺求分积及各边之数几何
　　法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两边和三十五丈自乗得一千二百二十五尺与倍积相减余九尺开方得三尺即两方边之较两边和三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各自乗得积数
　　两正方形相并有边较积较求各边设大方边比小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三尺求各方边

　　法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大正方之边减较七尺余二十一尺为小正方之边两正方形相并有边总积较求各边设大小两正方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺求各边
　　法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之边减较五尺余十三尺即小正方之边
　　两正方形并积有积较求各边设大小两正方积共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二尺求各边
　　法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边三正方形并积有三边较求各边设三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方边比小方边多三尺求各方边

　　法以大方边比小方边所多之较六尺自乗得三十六尺又以次方边比小方边所多之较三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积【其濶为三小正方边长为三小正方边两大方边较两次方边较】又以大方边较六尺倍之得十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长濶较用带纵较数开方法算之得濶二十四尺归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四尺即大正方
　　容面
　　圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何

　　法以圆径十尺自乗得一百尺折半得五十尺开平方得七尺零七分一厘有余即圆面内所容正方边也圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之一边尺寸防何

　　乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为乙丙为勾则甲丙为股
　　法以圆径二十尺为折半十尺为勾用勾求股法得十七尺三寸二分有余即圆面内所容三角形之一边三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺问内容正方边防何

　　法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸二分八厘有余即三角形内所容正方边也

　　三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容圆面径防何
　　乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙丁之半则甲丙勾亦必为甲丁之半甲丁与乙甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之即为全径
　　法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九厘有余为中垂线以三归之得三寸四分六厘有余为圆面半径倍之得六寸九分二厘有余即所求圆面径
　　勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方边几何
　　法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四分二厘有余即勾股形内所容正方面边也
　　勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面径几何

　　乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁所余为戊丙及丙己二段各为圆面之半径相并即为全径
　　法以勾股求法求得十五尺为乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺内减数十五尺余六尺即所容圆面径
　　鋭角钝角三角形容圆面式

　　法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全径
　　按分逓折比例　二八差分　三七差分　四六差分　逓折差分　加倍减半差分
　　设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银赏米人数各几何
　　法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米人数
　　设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米数若干
　　法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓减纳之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干
　　法以逓减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗得一万五千三百六十为甲户共衰数　以乙户四十与乙衰一百二十八相乗得五千一百二十为乙户共衰数　以丙戸五十与丙衰三十二相乗得一千六百为丙户共衰数　以丁户六十与丁衰八相乗得四百八十为丁户共衰数　以戊戸七十与戊衰二相乗得一百四十为戊户共衰数　乃以五等衰数相并得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数　以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数以乙户四十乗之得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数　以丙衰三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户五十乗之得数为丙户共纳粮数　丁戊二等算法仿此以上系二八差分之式
　　设有银五千两令二县分支东县支七分西县支三分问各支若干
　　法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两即西县应支之数
　　设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几刻方到
　　法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七里余三里为三率求得四率为六数即再行六刻方到
　　设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎逓次三七分织问各该若干
　　法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八两七钱为织缎余数以绫衰二十一分为三率则求得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数设有田一百三十八亩每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干
　　法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率七分为三率求得四率十九石三斗二升即徴米之数再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升余八石二斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四钱八分即米三分折丝之数
　　以上系三七差分法
　　设有水田三百畆令上下二戸四六分灌问各灌若干畆
　　法以四分六分相并得十分为一率田三百畆为二率以六分为三率求得四率一百八十畆即上户应灌之田以四分为三率求得四率一百二十畆即下户应灌之田
　　设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次应载问各载若干
　　法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九十六石为各舟应运粮之数
　　设有熟稻七百九十九畆六分八厘令甲乙丙三人挨次以十分之六收获问各分收若干
　　法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九畆六分八厘为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六畆八分八厘即三人应收之米数
　　以上系四六差分法
　　设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七逓次贩货出卖问每人该银若干
　　法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第四人一百七十一两五钱为各贩货之数
　　设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得浄熟铜三百四十八两问原铜防何
　　法以八分自乗再乗得五百十二分为一率十分自乗再乗得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求得四率四百八十四两三钱七分五厘即原铜之数设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八问每戸出若干
　　法以一百为上等分数以二十五戸乗之得二千五百分以六十为中等分数以三十五户乗之得一千八百分以三十六为下等分数以四十八户乗之得一千七百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数
　　设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸问日织绢若干
　　法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织合之共六丈七尺五寸也
　　设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍每次还银二百两三次本利还尽亦无余银问原本若干
　　法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分合并得七分与二百两相乗得一千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银数
　　设有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓减一半分种问各种若干畆
　　法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得十五分为一率田一千二百畆为二率以甲八分为三率求得四率六百四十畆即甲所种田数折半则乙得三百二十畆又减半则丙得一百六十畆又减半则丁得八十畆也
　　设有银三千一百六十两令三等人逓次减半分用一等二十名二等二十四名三等三十名问每等人得银防何
　　法以四为一等分数以二十乗之得八十分二为二等分数以二十四乗之得四十八分一为三等分数以三十乗之得三十分合并得一百五十八分为一率银三千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一人应得银数
　　以上皆各等差分之例
　　按数加减比例　逓加逓减差分　超位加减差分互和折半差分　首尾互凖差分
　　设有金六十两令甲乙丙三人依次逓加五两分之问各得若干
　　法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数
　　设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干
　　法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数
　　设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干
　　法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数
　　设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行防日初末两日各该若干里
　　法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里
　　设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干
　　法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数
　　设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆
　　法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例
　　设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干
　　法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例
　　设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干
　　法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数
　　设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干
　　法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干
　　法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价
　　设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干
　　法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数
　　设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干
　　法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得
　　以上系超位加减
　　设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干
　　法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙
　　设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干
　　法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归【四人用三归若三人则用二归五人则用四归也】得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半
　　设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数
　　法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数
　　设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干
　　法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干
　　法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数
　　设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数
　　法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳防何
　　法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石
　　设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干
　　法以十八分为第一次比第七次所多衰数【第一至第七隔六位应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖
　　边求积
　　设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何
　　法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法
　　积求边
　　设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何
　　法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长
　　如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之

　　庄氏算学卷三
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷四
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　曲线体
　　设长圆体径与高皆七尺问积几何

　　法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也
　　又法以长圆体径七尺求得圆周数与髙七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也
　　又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以髙七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率三四二四率二六九三九一五六九九○九】
　　设尖圆体底径六尺中髙六尺问积几何
　　法以底径六尺求得底面积数以髙六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也
　　又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也
　　【一率一○○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率七二　四率五六四八六六七七三六】
　　又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率二六一七九九三八八三率二一六　四率五六五四八六六七八○八】
　　设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何

　　法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股数即中垂线之髙也
　　【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙】
　　设圆球径二尺问外面积几何
　　法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也
　　【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积】
　　设圆球径一尺二寸问积几何

　　法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也
　　又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也
　　又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率一七二八　四率九○四七七八六八三】
　　又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也
　　又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也
　　设圆球积六尺问径几何
　　法以球积一○○○○○○○○　为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率

　　求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也
　　【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九二一七　三率六　四率一一四五九一五五九】
　　【○二】
　　又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也
　　【一率一○○○○○○○○　二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○　四率二二五四五○二】
　　设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何
　　法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也

　　又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率九六　四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何
　　法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】
　　【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九三一七　三率五○四率九五四九二九六五八五○】
　　设上下不等圆面体上径四尺下径六尺髙八尺问积几何

　　法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与髙八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也
　　又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙乃以下径六尺求得圆面积数与所得共髙数相乗得数三归为大尖圆体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余数为上尖圆体之髙以上径四尺求得圆面积与上髙数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也
　　又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率二○二六六六六六六六六　四率一五九一七四○二七七○一】
　　又防法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也
　　设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何

　　法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与髙十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也
　　又防法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以髙十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也
　　设截球体一段髙二寸底径九寸六分问积几何
　　法以髙二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加髙二寸为

　　圆球之全径折半为圆球之半径又以髙二寸为勾底径折半为股求得五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也
　　【七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数】
　　设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何

　　法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也
　　【一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七　三率二○○四率三八一九七一八六三四】
　　设圆窖一座周二十四尺髙十尺问盛米若干
　　法以周二十四尺求得圆面积数与髙一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也
　　【一率二千五百寸　二率一石　三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余　四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】
　　设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各几何

　　法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九
　　五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也
　　【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四　三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何
　　法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积

　　与髙五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也
　　【一率二五　二率一　三率二五九九五三○六八二　四率一○三九八一】
　　设倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数几何

　　法以底周六尺为半周倍之为全周以周求得圆面积数折半为倚壁尖圆堆之底面积以髙四尺乗之得数三归之为倚壁尖圆堆之积数以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有余即倚壁所堆之米数也
　　【一率二五　二率一　三率七六三九四三六　四率三○五五七七】
　　设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数几何
　　法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周以周求

　　得圆面积数四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积与髙五尺相乗得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也
　　设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数几何

　　法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周以周求得圆面积数四归三因得数为倚壁外角尖圆堆之底面积以髙六尺乗之得数三归之即倚壁外角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也
　　【一率二五　二率一　三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八】
　　各等面体
　　设四面体每边一尺二寸求积几何

　　法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也
　　又求自尖至底中心之立垂线防法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线
　　又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率一七八五一一二九三率一七二八　四率二○三六四六七五　○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何
　　法以四面体积一　一七八五一　一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也
　　【一率一一七八五一一二九　二率一○○○○○○○○　三率二○三六四六七五○　四率　一七二八】
　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也
　　【一率一○○○○○○○○　二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○　四率一二】设八面体每边一尺二寸求积几何

　　法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率四七一四○　四五二一　三率一七二八　四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何
　　法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也
　　【一率四七　一　四○四五二一　二率一○○○○○○○　○　　　三率八一四五八七○一二　四率一七三八】
　　又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也
　　【一率一○○○○○○○○　二率一二八四八九八二九　三率九三三九二六　四率一二】设十二面体每边一尺二寸求积几何

　　法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也
　　【一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率九七○八二○三　四率一五七八○八二○二】
　　又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二率七六六三一　一八九○三　三率一七二八　四率一三二四一　八六九四六四】
　　设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何
　　法以十二面体积七六六三一　一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也
　　【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○　三率一三二四一八六九四六四　四率一七二八】
　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也
　　设二十面体每边一尺二寸求积几何
　　法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也
　　【一率一○○○○○○○○　二辛二一八一六九四九六九　三率一七二八　四率三七六九九六八九○六】
　　又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也
　　【一率七七一○二五三四　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何
　　法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也
　　【一率二一八一六九四九六九　二率一○○○○○○○○　三率三七六九九六八九○六　四率一七二八】
　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也
　　【一率一○○○○○○○○　二率七七一○二五三四　三率一五五六三六九　四率一二】

　　庄氏算学卷四
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷五
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　中西笔算
　　度量权衡
　　度法
　　丈　尺　寸　分　厘　毫　丝　忽　微　纎　沙尘埃　　漠　模糊　逡巡　须防　瞬息　弹指刹那　六徳　虚空　清浄【俱逓以十析】
　　量法
　　石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭【俱逓以十析】　粟【六粟为圭】
　　权衡
　　两　钱　分　厘　毫　丝　忽【俱逓以十析忽以下并与度法同】凡丈　石　两以上则为十　百　千　万【逓増十倍】　亿兆　京　垓　秭　穰　沟　涧　正　载　极
　　恒河沙　阿僧秖　那由他【不可思议无量数亿以下俱逓増万倍】
　　田法
　　顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】
　　斤法
　　斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】
　　里法
　　里【三百六十步为一里计一百八十丈】
　　厯法
　　周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分　秒　微　纎忽　芒　尘【俱逓以六十析】
　　日时
　　日【十二时又为二十四小时】时【八刻又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同
　　石法
　　石【积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得宻合也】
　　命位
　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也
　　加法
　　加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位
　　减法
　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位
　　因乗
　　因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左
　　开平方法
　　平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位
　　法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同
　　开带纵平方法
　　较法
　　法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也
　　又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也
　　较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和
　　和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较
　　总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也
　　和法
　　法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也
　　又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长
　　开立方法
　　立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同
　　开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同
　　田地顷畆分法
　　纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺
　　正比例
　　以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类

　　庄氏算学卷五
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷六
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　比例十法
　　一法正方
　　边求积【设正方边五十步问积数若干】
　　法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同
　　积求边
　　即开平方法
　　方求斜【设正方边五十尺求对角斜线】
　　法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同
　　斜求方【设对角斜线五十尺求正方边】
　　法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同
　　四倍积求边
　　法以方边数加倍即得
　　二法长方
　　边求积【设濶八尺长十二尺求长方积】
　　法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积
　　积求边
　　有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边
　　更面【设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何】
　　法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长
　　三法斜方形【有两直角】
　　有边求积
　　法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数
　　有积数有长有上下两濶较求上下濶
　　法将积数加倍以长除之得数为上下两濶和加较折半得下濶减较折半得上濶

　　有积有上下濶求长
　　法将积加倍以两濶共数除之得数即所求之长梯形【算法与前斜方形同】
　　四法三角形
　　有中长有底濶求积【设底濶八十尺中长七十五尺问面积】
　　法以中长七十五尺与底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面积
　　有积数有底濶求中长【设三角形积三千尺底濶八十尺问中长】
　　法以积三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中长
　　有积数有中长求底濶
　　与前法同
　　勾股形
　　有边求积有积求边算法俱与三角形同葢三角形之中长即勾股形之股三角形之底为勾之两倍三角形积亦勾股形积之两倍俱得长方面之一半故全与全半与半为比其数相同

　　甲丙丁为三角形丙丁为底濶甲乙为中长甲丙乙为勾股形甲乙为股丙乙为勾甲丙为
　　五法鋭角钝角三角形【多边形附】
　　三角形求中垂线及面积【设三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺】
　　法以底二十一尺为一率两腰相加得二十七尺为二率两腰相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较【如图戊丙】与底二十一尺相减余十二尺【如图乙戊】折半得六尺【如图乙丁】乃用勾求股法以甲乙小腰十尺为自乗得一百尺为方乙丁六尺为勾自乗得三十六尺为勾方方内减去勾方余六十四尺开方得八尺为股即甲丁中垂线再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面积
　　凡十字正方角为直角大于直角者为钝角【如图甲角】不及直角者为鋭角【如图乙角丙角也】甲乙边为小腰甲丙边为大腰乙丙边为底戊丙为底较甲丁为中垂线

　　多边形
　　有边有对角斜线求面积
　　法依对角斜线分多边形为几形算之

　　六法两两等边无直角斜方形【此等形必有对角斜线方可命算】有边求积【设斜方形两小边皆二十五尺两大边皆三十九尺对两鋭角斜线五十六尺问面积】
　　法以对角斜线分斜方形为两三角形以对角斜线五十六尺为底大边三十九尺小边二十五尺为两腰用三角形求中垂线法【法载三角形条下】求得中垂线十五尺乃以对角斜线与中垂线相乗得八百四十尺即斜方形之面积
　　有勾有股求
　　法以股自乗得股方以勾自乗得勾方两自乗数相加开平方得数为
　　有勾有求股
　　法以勾自乗得勾方以自乗得方方内减勾方余数开平方得数为股
　　有股有求勾
　　法以股自乗得股方以自乗得方方内减股方余数开平方得数为勾
　　甲乙为对角斜线丁己与丙戊俱为中垂线

　　七法方环形
　　有边求积【设方环外周二十八丈内周一十二丈求面积】
　　法以外周二十八丈四归之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四归之得三丈自乗得九丈两自乗数相减余四十丈即方环面积
　　有积及濶求内外边【设面积四千尺濶二十尺求内外方边】
　　法以濶二十尺自乗得四百尺【如图之甲壬寅戊小正方】四因之【为四正方】得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺【壬戊子辛等四縦方共积】四归之得六百尺【一线方积】以濶二十尺除之得三十尺即内方边又以濶二十尺【如图甲壬】倍之【如甲壬并子丁】得四十尺加内方边三十尺【如戊辛与壬子等】得七十尺即外方边
　　有内外方边求边
　　法以外周二十八丈四归之得七丈【如图甲丁】又以内周一十二丈四归之得三丈【如图戊辛与壬子等】七丈与三丈相减余四丈【如图甲壬及子丁二段】折半得二丈即方环外周至内周之濶

　　八法圆面
　　径求周【设圆径一尺二寸】
　　法用周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率现设圆径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余即所求之圆周
　　周求径【设圆周一丈五尺】
　　法以周四三五五为一率径数一一三为二率现设圆周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余即所求之圆径
　　径求面积【设径八寸】
　　法用径求周法求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余又将径八寸折半得四寸两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫即所求之圆面积
　　又法用方周圆周定率比例以方周定率四五二为一率圆周定率三五五为一率现设圆径八寸自乗为三率求得四率即圆面积
　　周求面积【设圆周六尺六寸】
　　法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽折半得一尺○五分○四毫二丝二忽又将周六尺六寸折半得三尺三寸两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫即所求之圆面积又法用圆周方积与圆积定率比例以圆周方积一○○○○○○○○为一率圆积七九五七七四七为二率现设之圆周六尺六寸自乗为三率求得四率即圆面积
　　圆面积求径【设圆面积六尺一十六寸】
　　法用圆周方周定率比例以圆周二五五为一率方周四五二为二率现设之圆面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积开方得二尺八寸○五毫有余即所求之圆径
　　圆面积求圆周【设圆面积六尺一十六寸】
　　法用圆积求径法求得圆径二尺八寸零五毫有余又用圆径求周法求得八尺七寸九分八厘有余即圆之周数
　　九法撱圆【一名鸭蛋形】
　　径求面积【设大径九尺小径六尺问面积】
　　法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方积圆积之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六为二率长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余即所求撱圆形之面积
　　积求径【设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大径九尺问小径】
　　法用圆积方积之定率比例以圆积七八五三九八　一六为一率方积一○○○○○○○○为二率现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圆形之小径如有小径求大径则以小径数除长方积得数即大径
　　十法圆环形
　　圆环形有内外周及濶求面积【设外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分问面积】
　　法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积
　　圆环形有内外径求面积
　　法用圆径求周法以内径数求得内周外径数求得外周又以内径与外径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即径
　　圆环形有内外周求面积
　　法用圆周求径法以内周数求得内径外周数求得外径乃以两径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即得
　　圆环形有面积及濶求内外径【设面积四百六十二尺濶七尺求内外径】
　　法以濶七尺除面积得六十六尺即内外周相并折半之数为中周【如图戊己周】乃用周求径法求得径二十一尺有余为内外径相并折半之数为中径【如图戊己径】加濶七尺得二十八尺有余即外径中径内减濶七尺余十四尺有零即内径
　　圆环形有面积及濶求内外周
　　依前法求得内外径再用径求周法算之即得
　　圆环形有面积及内周求外周并濶【设面积三尺三十六寸内周一尺一寸】
　　法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一毫有余又用周径求积法求得内周圆面积九寸六十二分七十七厘五十毫与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十毫即外周圆面积乃用有圆面积求径法求得外周径二尺零九分七厘七毫内减去内径三寸五分零一毫余一尺七寸四分七厘六毫折半得八寸七分三厘八毫即圆环形之濶又用径求周法求得周六尺五寸九分有余即外周数也
　　圆环形有面积及外周求内周并濶【设面积三百八十四尺外周八十八尺】
　　法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘一毫有余又用周径求积法求得外周圆面积六百一十六尺二十四寸六十四分内减去环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分

　　【积乃用有圆面积求径法求得内周径一十七尺一寸九分六厘与外径二十八尺零一分一厘二毫相减余一十尺八寸一分五厘二毫折】【半得五尺四寸零七厘六毫即圆环形之濶再用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八毫有余即内周数也庄氏算学巻六】

　　为内周圆面
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷七
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　正方体
　　边求积
　　法以边数自乗得平方面积再以边数乗之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数【二千五百寸为一石二百五十寸为】
　　【一斗二十五寸为一升】凡筭积糓法皆同
　　倍积求边【设正边二尺】
　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求边数
　　八倍积求边
　　将边数加倍即得
　　长方体
　　边求积
　　法以长边与濶边相乗得长方面积再与髙数相乗得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数
　　倍积求边【设长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形同式问长濶髙】
　　法用正立方比例先以长一尺二寸自乗再乗得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长再用比例以求濶与髙以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶又以原长一尺二寸为一率原髙四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙
　　长圆体
　　圆周及髙求积【设圆周二十四尺髙十尺】
　　法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余为圆面积再与髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有余即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同
　　积及髙求周径【设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径】
　　法以石法二千五百寸与米数相乗得四百尺为圆窖积以髙十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法【用圆周三五五方周四五二比例开平方】求得圆径七尺一寸三分六厘有余即所求之圆径再用径求周法【径二三周三五五比例】求得二十二尺四寸一分九厘有余即所求之圆周
　　带纵较数立方
　　带纵立方者两两等边长方体积也髙与濶相等惟长不同者为带一纵立方长与濶相等而皆比髙多者则为带两纵相同之立方至于长与濶与髙皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与濶相等惟长不同为问者则以初商为髙与濶以之自乗又以初商加縦数为长以之再乗得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与濶相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乗又以初商为髙以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以濶比髙多长比濶又多为问者则以初商为髙又以初商加濶纵为濶与髙相乗又加长縦为长以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两縦其二方亷附于初商积之旁面者则一带濶纵一带长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乗再乗成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之濶与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也
　　带一纵立方
　　设带一纵立方积一百一十二尺其髙与濶相等长比髙濶多三尺问髙濶长各几何
　　法列积如开立方法商之其
　　积一百一十二尺止可商四
　　尺乃以四尺书于原积二尺
　　之上而以所商四尺为髙与濶【因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与濶四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与濶俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲己为濶己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也

　　设如带一纵立方积二千四百四十八尺其髙濶相等长比髙濶多五尺问髙濶长各几何
　　法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙濶加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为初商积乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之
　　髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何
　　法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为髙加纵多二
　　尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与濶也
　　设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其濶比髙多二尺其长比濶又多四尺问髙濶长各几何
　　法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺为初商之濶再加长比濶多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之长十六尺再乗得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之濶十二尺与初商之长
　　十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方亷面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺为初商次商之濶再加长
　　比濶多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乗得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙十二尺其濶为十四尺其长为十八尺也
　　直线体
　　设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何
　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六
　　尺即如戊己庚辛正方体积
　　每边二尺五寸一分有余
　　设长方体长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长濶髙各几何
　　法以长一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之开立方亦得一尺零一厘有余为所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之髙也如图甲乙丙丁长方体甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也

　　设堑堵体形濶五尺长十二尺髙七尺问积几何
　　法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺
　　又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得
　　二百一十尺即堑堵体形之积也
　　又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乗得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙髙与乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也
　　设刍甍体形濶四尺长十二尺髙四尺问积几何
　　法以濶四尺与长十二尺相乗得四十八尺又与髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也
　　又法以濶四尺与髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乗得九十六尺即刍甍体形之积也

　　如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙濶与甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也
　　设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之髙几何
　　法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾以自尖至底四角斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也

　　又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也设方底尖体形底方每边六尺髙三尺问积几何
　　法以下方每边六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其髙又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也
　　设阳马体形底方每边六尺髙亦六尺问积几何
　　法以底方每边六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳
　　马体形与尖方体形虽不一而法
　　则同也葢尖方体形尖在正中阳
　　马体形尖在一隅凡体形其底面
　　积等髙度又等其体积必相等也
　　设如鼈臑体形长与濶俱四尺髙九尺问积几何
　　法以长与濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑
　　体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积
　　之一半阳马体为长方体三分之一
　　则鼈臑体又为长方体六分之一矣
　　设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺髙八尺问积几何
　　法以上方每边四尺自乗得一十六尺下方每边六尺自乗得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗得二十四尺三数相并得七十六尺与髙八尺相乗得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也

　　又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共髙乃以下方边六尺自乗得三十六尺与所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三归之得三百八十八尺为大尖方体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之髙以上方边四尺自乗得十六尺与上髙十六尺相乗得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也

　　设上下不等长方体形上方长四尺濶三尺下方长八尺濶六尺髙十尺问积几何
　　法以上长四尺与上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺与下长八尺相乗得二十四尺以下濶六尺与上长四尺相乗得二十四尺四数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也

　　又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上濶三尺相乗得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下濶六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也
　　设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下濶五尺髙十二尺问积几何

　　法以上长十尺与下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙濶相乗得

　　乙辛与庚辛二尖方体之底面积与髙相乗三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也
　　设两两平行边斜长方体形长二尺四寸濶八寸髙二尺七寸问积几何

　　法以长二尺四寸与濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙濶与丙丁长相乗得乙丙丁庚长方面积以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也
　　设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何
　　法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸

　　为内方边与外方边相乗长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅夘辰一长方面积其丑寅濶与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长濶之较故以厚二寸倍之为带纵求得濶为内方边长为外方边也

　　又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乗再乗得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也
　　设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何
　　法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乗再乗得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千

　　三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方亷体寅夘辰三长亷体己一小隅体以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体与磬折体积相减余三方亷体三长亷体三

　　归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长濶之较故用带纵开平方法算之得乙庚濶与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也

　　设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何
　　法以共边二十四尺自乗再乗得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得

　　一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长濶和用纵和数开平方法算之得濶八尺即小正方之边数与共濶二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乗再乗则成壬乙癸子一总

　　正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅夘三方亷体辰已午三长亷体三归之则得丑一方亷体辰一长亷体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬濶与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长濶和用带縦和数开平方法算之得未壬濶即小正方之边数与长濶和相减余壬戊长即大正方之边数也
　　设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之
　　法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减余一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表髙四尺余四丈六尺即水边低于河坡平处之数也

　　设人在山上欲知山涧之深用重表测之
　　法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减余四寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表髙四尺余二丈一尺即所求山涧之深也

　　设东西二树欲知其相距之逺测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距
　　法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为

　　同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺【因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为二树相距数五十分之一】即二树相距之逺也
　　设东西二树欲知其相距之逺用重表或取同式形测之问二树相距
　　法先用不取直角测逺法【如测石测树之法】求得二树距测处之逺再用知两逺求相距之法求之
　　设左右两峰不知其髙逺欲求两峰相距
　　法先用重表求髙逺法各求得髙与逺【其髙为尖峰距地平之髙其逺为山根距测处之逺】如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求法以左峰四十八丈为股逺六十四丈为勾求得八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈为股逺七十二丈为勾求得九十七丈即右峰距人之逺然后用知两逺求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之逺

　　左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙两峰相距如
　　设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深

　　设井口径濶九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表髙四尺为二率井口濶九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也
　　方圆诸率
　　径○七
　　周二二
　　径○五○
　　周一五七
　　径○三二
　　周一○○
　　径一一三
　　周三五五
　　径一○○○○○○
　　周三一四一五九二
　　凡径求周者以周率乗以径率除得周周求径者以径率乗以周率除得径
　　平方积四○○○○○○○○
　　平圆积三一四一五九二六五
　　平方积一○○○○○○○○
　　平圆积○七八五三九八一六
　　平方积四五二
　　平圆积三五五
　　平方积一四
　　平圆积一一
　　立方积　同平方率
　　圆柱积同平圆率
　　圆周自乗积八八
　　圆周中占积○七
　　方柱积三
　　方锥积一
　　圆柱积三
　　圆尖积一
　　圆柱积三
　　圆球积二
　　立方积六○○○○○○○○
　　立圆积三一四一五九二六五
　　立方积一○○○○○○○○
　　浑圆积○五二三五九八七七
　　立方积六八七
　　浑圆积三五五
　　立方积二一
　　浑圆积一一
　　立方积二一
　　浑圆积一　一
　　浑圆面积四
　　平圆面积一
　　撱圆求积
　　两径相乗数以十一乗之十四除之得所求
　　解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积
　　小径自乗再以大径乗之以十一乗二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也
　　弧矢求径及离径半径
　　置折半自乗以矢除之得所求
　　解曰半股也矢句较也余径句和也股之自乗积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得余径余径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积【旧法以矢相并得弧背径一围三之义也疎甚不可法】
　　置弧背以离径并矢【即半径】乗之别置以离径乗之两数相减余折半得所求
　　解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线防于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乗背折半得积也又杂线形内除弧矢形余一三角形以为濶以离径为高高乘濶折半得积以减杂线形积则所余者弧矢积矣故以半径乗背离径乗相减折半得积也
　　求中率法
　　以两率相乗得数平方开之得中率
　　截方锥体求积法
　　置上方自乗下方自乗上下方相乗三数并以髙乗之以三除之得所求
　　右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也【凡堑堵二之一方锥三之一】
　　截圆锥体求积法
　　置上径自乗下径自乗上下径相乗三数并以髙乗之再十一乗四十二除得所求【元当用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合两次除为一次除也】
　　截直鋭体求积
　　倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之两数并以髙乗之以六除之得所求
　　右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也
　　截撱圆鋭体求积
　　倍面大径加底大径以面小径乗之又倍底大径加面大径以底小径乗之两数并以髙乗之再以十一乗八十四除得所求【此以六因十四得八十四也】

　　庄氏算学卷七
　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷八
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　七政经纬
　　日躔法
　　年根
　　查二百恒年表内年根録之随记最髙冲之数于旁【表内之数微满三十即进一秒下并同】
　　日数
　　查周嵗平行表内日数録之随记最髙行之数于旁
　　平行
　　年根与日数相加得之
　　髙冲
　　最髙冲与最髙行相加得之
　　引数
　　以髙冲减平行得之或平行不及减加十二宫减之
　　均数
　　以引数宫度分查加减差表得之【数内秒满三十收为一分也】法○宫至五宫顺查本行与左行相较六宫至十一宫逆查本行与右行相较将较数以引数零分乗之得数视本行大者减小者加若引数无零分则直用本行之数随记加减号【如引数系九宫一十八度十七分逆查本行为一度五十七分四十二秒较右行一度五十七分三十六秒得多六秒以引数七分乗之得四二为四秒一十二微去微数不用净得四秒将本行四十二秒减去四秒为一度五十七分三十八秒得均数记减字号】
　　细行
　　以均数依加减号加减于平行得之
　　宿度
　　以细行宫度查距宿钤取度分小于细行者用之若本宫宿度分大于细行则借前一宫用【自己巳年起算至本年共若干年以每年五十一秒乗之以六十除之得数何度分以加于用宿之度分内与细行度分相减余为某宿几度几分】月离法
　　四年根
　　查二百恒年表録之【月自行即引数　正交年根加减六宫用如七减六为一一加六为七余同】
　　四日数
　　查日平行表内日数録之
　　平行实行
　　年根日数相加得之正交年根减日数即得
　　两日差
　　以太阳宫度查日差表得分数即以分数查时刻平行表得之【表内秒满三十收为一分】随记加减号
　　平行总平引
　　以日差依加减号加减于两平行得之
　　两均数
　　以平引宫度分查加减差表同日躔随记加减号
　　实行实行引
　　以均数依号加减于平行总平引得之
　　太阳
　　録本日日躔细行
　　距日次引
　　以实行减太阳即得满六宫者去之
　　次均
　　以距日次引宫度查二三均表定直行再以实行引宫度定横行○一二宫顺查三四五宫逆查相较【其较出之数若系二四六等行以二除之三六九等以三除之得数或余一二秒复化为微除至三十微即进一秒视本位大小而加减之得次均数记加减号】
　　白道经
　　以次均依号加减于实行得之
　　交均大距数
　　以距日次引宫度查交均表得之表内距限即大距之数记加减号
　　正交经
　　以交均依号加减于正交平行得之
　　中交
　　以正交之宫加减六宫用
　　白经
　　即録前白道经之数
　　月距正交
　　以白经转减正交经得之
　　同升差
　　以月距正交宫度查白道升度得之记加减号
　　黄道视行
　　以同升差依号加减于白道得之
　　视纬
　　以月距正交宫度查黄白距度表定横行又以大距数之数查表内相近之数用之定南北号
　　四宿
　　查距宿钤同日躔各以本度分减之
　　过宫
　　土木星法
　　年根交行
　　查恒年表
　　两日数
　　查平行表
　　两平行
　　如日躔
　　前均中分
　　以引数平行宫度分查表相较同日躔记加减号
　　实经
　　以前均依号加减于平行得之
　　日躔
　　即録本日细行
　　次引
　　以日躔转减实经得之
　　次均较分
　　以次引宫度分查表同前均记加减号
　　三均
　　以中分较分分数相乗逢三十秒进一分以下十除之即得
　　并均
　　二三相加得之
　　视经
　　以实经依次均号加减于并均得之
　　正交实经
　　以实经数録之
　　距交
　　以实经倒减交行得之
　　中分
　　以距交宫度查纬行表相较将较出之分化为秒以五除之得若干计本位至本数得几分【如距交二宫十三度即查二宫十度与十五度相较十度系五分四十九秒十五度系四分三十八秒较多一分十一秒将分化为秒共得七十一秒以五除之得一十四秒计十位至十三位得三分为四十二秒得五分○八秒余仿此】视本位大小加减之即得如有纬行细表则不用分如其数直书之纬限亦同
　　纬限
　　以次引宫度分查纬行表纬度之数距交在前六宫用北度之数后六宫用南度之数以五分之或以两数平分之亦得表内旁另注加减字于数内加减之
　　视纬
　　以纬限度化为分用中分零分相乗得数以六十除之距交在前六宫纬北后六宫纬南
　　宿度
　　火星法
　　年根正交
　　同土木
　　两日数
　　同土木
　　两平行
　　同土木
　　两均数距日
　　同土木
　　实行引
　　同土木
　　太阳
　　即日躔
　　相距
　　以太阳倒减实行得之
　　半距距余半
　　相距在前六宫相距折半为半距不用距余半相距在后六宫以实行正减太阳得半距半距折半为距余半
　　日引
　　以太阳减去本年最髙冲之数加减六宫用
　　半径
　　以实引宫度分查表相较得之
　　日差
　　以日引宫度分查表相较得之
　　星数
　　以半径日差相加得之
　　总
　　以距日星数相加得之
　　较
　　以距日星数用大减小得之
　　半距均线
　　有距余半者以距余半查八线表正切线之数无则以半距查正切线之数以较相乗以总除之
　　减弧
　　以所除之数查八线表取近者用之
　　次均
　　或半距或距余半减去减弧得之
　　视行
　　相距在前六宫次均与实行相加相距在后六宫次均与实行相减
　　距交
　　以实行减正交得之
　　中分
　　以距交查表同土木星得数两平分之
　　纬限
　　以相距查表亦平分之即得
　　视纬
　　同土木
　　度
　　同土木
　　金水星法
　　三年根
　　查同土木
　　伏见日数
　　本星平行表内日数録之
　　距冬至引数　日数
　　即録太阳平行表内日数
　　三平行
　　同土木
　　三前均中分
　　同土木
　　实经引
　　同土木
　　实行
　　视前均号加减反用之
　　二均较分
　　以实行宫度分查表同土木
　　三均
　　同土木
　　并均
　　同土木
　　视经
　　同土木
　　次实引
　　实引加十六度即得
　　前中分
　　金星以次实引查同土木得数平分之水星无次实引以实引宫度查之
　　前纬限
　　以实引宫度查小轮之数亦平分之即得
　　前纬
　　乗除同土木若中分在前六宫纬限在○一二九十十一六宫中分在后六宫纬限在三四五六七八六宫者纬为北若中分在前六宫纬限在三四五六七八六宫中分在后六宫纬限在○一二九十十一六宫者为纬南
　　后中分
　　以实行实引两宫相见之处查同前【如实行四宫实引六宫必欲表内两宫俱有方用或有四宫无六宫有六宫无四宫者不用余仿此】
　　后纬
　　同前纬依表内南北号记之
　　视纬
　　视前后二纬同号者相加异号者以大减小即得
　　度
　　三较连乗发明
　　分角取心从心作三垂线破为六勾股形其垂线界处即为三边与半总之较者二　三较连为一线即成半总　半总一面线之末作岀线引分角过心中线与垂线合添成大勾股形与中线第一垂线平行即为相似形　第一垂线为小勾股之勾中直线为其旁为股股即第一较添成大勾股其过心中线即为　小勾视大勾如第一较视半总　小勾自乗视小勾乗大勾亦如第一较视半总　小勾乗大勾之积同第二第三较相乗之积第二第三相乗之积以第一较乗之为总积则小勾乗大勾之积亦可以第一较乗之为总积总积以半总除之得小勾之积以小勾之积除之得半总所以然者小勾为勾第二较为股一勾股也大勾为
　　股以第三较为勾又一勾股也凡勾股相似形小股乗大勾之数即小勾乗大股之数故二三较相乗之积与小勾乗大勾之积均也二三较相乗之积复乗以第一较之所得积与小勾自乗又乗半总所得积均也　如勾三股四五半总六则勾较三股较二较一勾股较相乗得六较乗之仍得六此三较连乗之数也容员半径一乗半总亦仍得六此员半径自乗又乗半总之数也　三较连乗以半总除之者所以取圆半径也三较连乗而以首较乗半总除之者所求对角之线也既以首较乗半总则通二法为一法故中间可省首较一乗【按求对角线语有脱误】
　　庄氏算学卷八
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　九章録要　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案九章録要十二卷
　　国朝屠文漪撰文漪字莼洲松江人其书因古九章之术叅以今法与杜知耕所着数学钥体例相似而互有详畧踈宻知耕详于方田文漪则详于勾股知耕论少广备及形体文漪推少广则研及廉隅之辨知耕叅以西法每于设问之下附着其理文漪则采録梅文鼎诸书推阐以尽其用大致皆缀集今古之法以成书而取舎各异合而视之亦可以互相发也是书有借徴一条即借衰叠借之术为知耕之所未及考其所载虽未极精宻然于借数之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费　墀

　　钦定四库全书
　　九章録要卷一
　　松江屠文漪撰
　　乗除诸法
　　九章乗除之法各有不同因以分着各章其通用者宜先讲也具详于左
　　并乗并除　算以速见巧乗或屡乗除或屡除不若一乗一除之捷也假如有数须用一十五乗复一十八乗者直以二百七十乗之【先以十五与十八相乗】余可意推其在除法尤以并为便葢使分除而前除不尽以后必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除适尽则后除虽有零余亦当无几特便于命分而并除者余实反多然约之亦正相同耳
　　分乗分除　再三乗除不若一乗除之便而亦有时宜用分者不可以一律拘假如有数须二百四十五乗【凡为四十九者五】则先以五乗之复以七乗之又以七乗之既无易误之患而算较防也其在除法则须审量何也恐前除不尽而后仍用零除也葢以法除实或不能尽者非必如三六七九等除虽破实之一为十为百与千【如实米一石破为十斗为百升为千合之类是也】而终不尽也即如二四五八等除但破实之一为十与百千自无不尽而若不破实则仍不尽矣前除既破实以至于尽后除势不中止此于命分反逺特求分厘数者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分厘数既得分厘数而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取防岂须借径此其宜审者也更恐前除破实且不尽则虽求分厘数亦未能精细故所分之除法孰先孰后【大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末】又不可不审总之运算之巧存乎一心非言所可悉矣　假如有银四百五十两用一百六十八除若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四即不复破实细除但约之为二十八分两之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除【以原数四百五十故先用三除若系三百五十便当先用七除次八次三也】得二两六钱七分八厘五毫七丝又七分丝之一【尚可再除而数微已甚矣】倘欲以两命分则惟二两整数已定外余须以原法乗之乃得一百一十四之数仍再约之反不防也【右一条新增】
　　乗除相减归一法　数须乗除并用而可用乗省除或用除省乗则归一尤为至便如数须一十八乗复三除者直以六乗之须四乗复十二除者直以三除之其法乗数多则从乗除数多则从除而必先取乗除两数以少除多除之可尽即用除得之数不可尽者不能归一也省乗用除倘有零余则约分简易更非原数乗除之比【右一条新订】
　　两数一半一倍乗法　置两数欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得数同如一数五百二十五一数三十二倍上数为一千零五十半下数为一十六乗之视以原数相乗者防矣此特宜于数之少者葢直可以臆计而不烦布算也【右一条新增】
　　倍除法　置两数欲以法除实者若倍其法除之所得数亦倍之即应得之数如有数须四十五除则用九十除须一百三十五除则用二百七十除亦倍所得数防于以原法除也遇零分欲求分厘数者依此除之若欲命分则仍其子还用原母【即原法也】以命之或须约者更约之满原母者归整为一数俱不用倍【右一条新增】
　　乗除通用法　二乗与五除同二除与五乗同【置银十两以二乗之得二十两以五除之得二两其差十倍然而可通用者其乗除俱得二数则同耳】　四乗与二五除同四除与二五乗同【其差百倍】　八乗与一二五除同八除与一二五乗同【其差千倍】
　　以加减代乗法　假如有数须八乗者即于实下一位减二若实数系五二五当减一十则于实之本位减一也有数须一零五乗者即于实下第二位加五若实数系二二五当加一十则于实下一位加一也加减俱从小数始
　　三率准测乗除法　数有已知者因以测所未知则列前三率求后一率先定三率之位第一率与第三率相准第二率与未知之第四率相准如谷准谷钱准钱之类乃以二率三率相乗为实以一率为法除之得四率为所求数旧名异乗同除【左例原银与原米是为同今银与原米是为异】
　　假如原有银三十六两籴米四十八石今银六十三两问米几何
　　一率　原银三十六两
　　二率　原米四十八石
　　三率　今银六十三两
　　四率　八十四石为今米数
　　右法若先以一率除二率得数乃以乗三率或先以一率除三率得数乃以乗二率所得四率皆同但除之不尽必用零乗之法则不若从前先乗后除为防【凡数须乗除并用者每以乗居先仿此】
　　右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
　　三率化多为寡乗除法　别求一通数可以除尽率中之两数者【其一必系第一率其一或第二率或第三率】即以通数除率数所得数列本率下以代率数乗除如前无通数者则否
　　一率　三十六　三【此以十二为通数】
　　二率　四十八　四
　　三率　六十三
　　四率　八十四
　　又式
　　一率　三十六　四【此以九为通数】
　　二率　四十八
　　三率　六十三　七
　　四率　八十四
　　三率易位乗除法　前法以原银原米相连置一二率而今银置三率葢以二率视四率犹以一率视三率三率视四率亦犹一率视二率其数可例推也若如左例原珠数多其价数反少今珠数少其价数反多必以一率与三率互换其位而后三率之视四率亦犹一率之视二率矣乗除如前得所求数旧名同乗异除【若如前置率则当以一率二率相乗以三率除之】　假如原有小珠五十颗今有珠稍大三十颗其总重适等原珠共价银一十二两问今价几何
　　一率　今珠三十颗　三【以十为通数】
　　二率　原价十二两
　　三率原珠五十颗　五
　　四率　二十两为今价
　　又如有物一枚以称称之称小不及其锤重十两外加一锤重八两称之得三十五斤依小称算该几斤一率　原锤十两　二【以五为通数】
　　二率　今重三十五斤　七
　　三率　并两锤十八两
　　四率　六十三斤为实重数
　　又如原称称物重三十五斤失原锤欲别作锤配之不知轻重却借一锤重十两以较原称之物得六十三斤问原锤重
　　一率　原重三十五斤
　　二率　今锤十两
　　三率　今重六十三斤
　　四率　十八两为原锤重
　　【此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也】
　　三率重测法数或繁襍非三率可尽当叠用三率之法次第推之
　　假如原母银五十两三月得子银四两今母银二百两欲得子银二百两须几年
　　一率　原母五十两
　　二率　原子四两
　　三率　今母二百两
　　四率　十六两为今母三月之子
　　又
　　一率　子十六两
　　二率　三月
　　三率　子二百两
　　四率　三十七月二分月之一为所求数
　　右例亦可用并法
　　一率　原子四两
　　二率　原母乗三月得一百五十两
　　三率　今须子二百两
　　四率　七千五百两为今母乗月之数再以今母除
　　之得月数
　　又如客贩布卖之每匹二钱即母银百两已得息三十两设每匹卖二钱四分则百两获息几何
　　一率　已得息并母一百三十两
　　二率　母一百两
　　三率　布价二钱化二十分
　　四率　十五分又十三分分之五为每匹母银别有防法应补于后
　　一率　二十分
　　二率　一百三十两
　　三率　四分
　　四率　二十六两
　　并三十两得五十六两
　　又
　　一率　每匹母十五分又十三之五
　　二率　布价二钱四分内息八分又十三之八三率　母一百两
　　四率　五十六两为所求息数
　　又防法
　　一率　二十分
　　二率　一百三十两
　　三率　二十四分
　　四率　一百五十六两
　　此为母子并数
　　三率并乗并除法数虽繁襍而可归并入三率之内则以三率尽之
　　假如炼矿求银初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得银七十五两问原矿几何一率　三子相乗得三十
　　二率　三母相乗得八十四
　　三率　炼得银七十五两
　　四率　二百一十两为原矿
　　又如原有绫八匹换纱二十匹原纱三十匹换布一百匹原布六十匹换锦二匹今有绫一十八匹问换锦几何
　　一率　原绫纱布乗得一万四千四百
　　二率　原换纱布锦乗得四千匹
　　三率　今绫一十八匹
　　四率　五匹为换锦数
　　乗除先化大小数法　凡数大小杂见不便相乗除则先以大数化为小数假如原有银六钱买丝七两今有银五两问买丝几何此因银数有钱复有两须化两为钱其丝自作两算不必化钱也大凡同类者须化殊类则否【遇多数取最小数为主以大数化之仿此如一十二两三钱四分化为一千二百三十四分之类】
　　一率　六【原银钱数】
　　二率　七【原丝两数】
　　三率　五十【今银化为钱数】
　　四率　五十八又三分之一【今应得丝两数】
　　右例亦可以钱从两化之而不如前法之防
　　一率　五分之三【原银化为两数】
　　二率　七【原丝两数】
　　三率　五【今银两数】
　　四率　五十八又三分之一【得丝两数同前】
　　又如原银六钱二分五厘买丝七两今银一百三十二两问买丝几何此若以大数化小则原银今银当悉化为厘而原银数固可以两命分又不如从两化之为便所贵乎随宜通变者也【因今银是以两计而化之非为丝以两计也】
　　一率　八分之五【原银化为两数】
　　二率　七【原丝两数】
　　三率　一百三十二【今银两数】
　　四率　一千四百七十八又五分之二【今应得丝两数右一条新增】

　　九章録要卷一
　　钦定四库全书
　　九章録要卷二
　　松江屠文漪撰
　　零分法
　　几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乗除乃能尽九章之术故备论于左
　　竒零命分约法　以法除实除得数为整数余实少于法除之不可乃成竒零或原实先少于法则无整而但有零矣【假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也】凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法余二十八乃以余法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也【前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者耳葢三法小异而理则同】亦有不可约者即以法为母实为子命分
　　整带零分化整为零分法　凡以法除实务得数归整值余实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乗除者耳若更有他数须与之相并减相乗除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整【必归整无零分方可归整也】即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乗除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乗整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也
　　零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法
　　零分与整相减法　零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】
　　零分相并法　诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗　或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】
　　右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】
　　零分相减法　零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也
　　零分与整相乗法　零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】
　　零分除整法　以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】
　　整除零分法　以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也
　　零分相乗法　两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也【或两母同或两子同者亦必相乗】
　　右法亦有可省者以两母相乗以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乗以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也
　　零分除零分法　以法除实而法实两数俱系零分者以法子乗实母得数为母以法母乗实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也【若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也】右法亦有可省者以法子乗实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也
　　零分自乗法　零分数自乗者以母自乗得数为母以子自乗得数为子如有数三分之五自乗得九分之二十五是也【归整为二又九分之七】
　　零分开方法　零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也【归整为一又三分之二　按此因论零分法而及开方故聊举大畧而已其详在少广章中】
　　零分求分厘小整数法　实少于法除之不足不能成整而为零分若求分厘小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五厘一十六分两之一除得六分二厘五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分厘则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也【或欲还原子即以原母乗之如八乗三钱七分五厘得三两为八分两之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也】
　　分厘数命分法　据分厘小整数欲以大数命分者法以分厘数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母【其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也】乃以法约之如六钱六分二厘五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子【六千六百二十五毫也】以一万分为母【一两为一万毫也】乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分

　　九章録要卷二
　　钦定四库全书
　　九章録要卷三
　　松江屠文漪撰
　　方田法
　　古九章一曰方田以御田畴界域今其书不特据所见近世之书芟其繁谬补其缺遗以意隶之云尔
　　方田长方田求积步　方田谓正方四面等者法以方自乗得积长方谓两长两广各等者法以长乗广
　　方长带偏斜求积　似方与长方而稍偏斜者长不等则并两长半之广不等则并两广半之然后以长乗广如偏斜甚者须裁令方正分别算之勿用此法又有方长田一边斜者假如东长四十步西长四十一步南广三十步北广三十九步于法应得积一千三百九十七步四分步之一也然此乃谓四面俱偏斜者耳若止是西边一面偏斜则从北广东头向西量之尽三十步止即向南直量之其长亦当四十步是田之大体本系长方独北广西头盈九步句九股四十则四十一以斜为西长并东长而半之岂不谬乎法当并两广半之以长四十步乗之得积一千三百八十步斯不误矣
　　三广求积　三广谓中及两边广各不等者法倍中广并入边两广以四除之以中长乗之其中长亦须于两三处量之如有不等者并而分之以为之长【并三则三分四则四分】边长似斜之处勿量也　按田形不可穷尽善算者以意推之法无预设或赘为四广五广之法固已迂矣且其法云四广并而四除之五广并而五除之尤甚谬误四广须倍其中之两广并边两广以六除之五广须倍其中之三广并边两广以八除之乃合　又按广形亦有须辨者如三广而中广近一边不居正中者是也即须分别算之
　　句股求积　法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句　按句股须量其以互求法推之与法合者是也若太长或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角
　　三角求积　法以一面之长乗中广半之　假如三面长等者是真三角也率长七而中广六不待量也不然则量中广处须令如两句股乃合【三角率长七中广六则中广微强然所较甚微即依率算之可也】
　　四角斜方求积　法以中长乗中广半之　假如中广两角未必相对则中广直径不能与中长如十字矣但各自量之令如四句股者仍并两句为一中广以乗中长如上法
　　以上诸形皆属方之类故长广必直即遇斜其亦直如有一处弯曲若弧与睂之状者别从圆之类求之乃无失也
　　员田求积　法以周自乗以十二除之或以径自乗复以三乗之以四除之或以周乗径或以半周乗半径以四除之　按员物率周三而径一然田员岂能中规其小偏者不妨以规员之法施之但将周径并量参互折中亦可无误若偏甚则勿以员论也【员率周三径一则周微强然所较甚微亦依率算之】
　　环田求积　环田谓于员内减员者法并内外周半之以径乗之半环仿此【其径勿据一处虑广狭不等】
　　弧矢求积　弧矢谓员田之半若张弓者法并长矢径半之以矢径乗之不及员之半者法亦如之过半者勿得用也凡矢径半是员之半矢长则过矢短则不及【不及员之半者如纵破长员之半若从而益之有可以成员之理者也过员之半者如横截长员之半无可以成员之理者也弧矢之法详见少广章本与员法相防合故惟有可员之理者乃得用之】
　　枣核长员求积　枣核谓两头尖中广处员者长员谓两头亦员者法半中广并入中长以半广乗之按二者虽不全员然是两弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之员田但员法不可施之于此耳【旧法枣核乃四角斜方　右一条新增】
　　横截长员求积　形似弧矢而矢径半有余者固不可用弧矢法而可以弧矢法变通求之葢横截长员之半与纵破长员之半其积正等此之矢径乃彼之半此之长乃彼之二矢也法四除并入矢径以半乗之【右一条新增】
　　蛾睂牛角求积　蛾睂谓两边之长相随而弯者牛角则横截蛾睂之半也睂有中广无横广角有一头横广无中广其实同耳法并两长半之以半广乗之但牛角横广一头须畧似方形若太偏斜则横广未足为准恐据以下算必浮于实积此又不可不知　以上诸形皆属员之类若应员处乃直者别从方之类求之
　　亩步互求　二百四十乗亩得步二百四十除步得亩

　　九章録要卷三
　　钦定四库全书
　　九章録要卷四
　　松江屠文漪撰
　　粟米法
　　古九章二曰粟米以御交质变易
　　方仓窖求积尺　法以方自乗复以髙乗之【窖则当以深乗只言髙者统于仓也深亦髙也】得积
　　长方仓窖求积　法以长乗广复以髙乗之
　　员仓窖求积法以员周自乗复以髙乗之以员周率十二除之或以径自乗复以髙乗之以员径率三乗之四除之
　　长员仓窖求积　法半中广并入中长以半广乗之复以髙乗之【此法亦可用之员仓窖而员法不可用之长员　右一条新增】
　　方平堆求积【凡窖形上下之大小不等者亦仿此法下三条同】　法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三数以髙乗之以三除之【因并三数故须三除也】
　　长方平堆求积　法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【并二数中凡有六数故用六除此法亦可用之方平堆也】
　　员平堆求积　法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三数以髙乗之以三十六除之【并三数应三除员周率十二除故用三十六除也】
　　或以上径自乗又以下径自乗又以上径乗下径并三数以髙乗之以四除之【并三数应三除员径率三乗四除以三乗当三除并省之故只用四除也】
　　长员平堆求积　法先半中广并入中长以为长半中广以为广【上下之中广中长俱依此法并不用原广原长】然后倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【此法亦可用之员平堆而不如前法之捷　右一条新增】
　　方尖堆求积　法以下方自乗复以髙乗之以尖率三除之
　　长方尖堆求积法以下广乗下长复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】
　　长方平尖堆求积【既云尖又云平者无上广而有上长従横头视之则尖从纵之旁面视之则平故曰平尖】　法倍下长加上长以下广乗之复以髙乗之以六除之【此用六除者何也试从上长两头尽处向下直截之而以两头合成尖堆别算其义自见葢下长多于上长之数乃尖堆之下长所当以下广乗之而用尖率三除者也其与上长相等之下长所当以下广乗之而折半者也今既统下长之全数而倍之则为尖堆之下长者有二二用六除犹一用三除也为上长相等之下长亦二又加上长成三三用六除犹一用折半也】
　　按此与平堆异者以其无上广故用平堆法之半而亦以六除之此与尖堆异者以其有上长而尖堆既无上长可加则但倍下长以乗下广以六除之于法亦通乃知数之相准而法之可以相推有如此者【右一条新增】
　　员尖堆求积法以下周自乗复以髙乗之以员周率并尖率三十六除之【员周率十二尖率三故其率三十六】或以下径自乗复以髙乗之以员径率并尖率四除之【尖率应三除员径率三乗四除亦以三乗三除相当省之故只用四除】
　　长员尖堆求积　法半下中广并入中长以半广乗之复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】
　　倚壁员尖堆求积　员尖之半也法以下周自乗复以髙乗之以倚壁率十八除之
　　内角员尖堆求积　员尖四之一也法以下周自乗复以髙乗之以内角率九除之
　　外角员尖堆求积　员尖四之三也法以下周自乗复以髙乗之以外角率二十七除之
　　按右三条算家沿习有此然必先取周径较量果恰得员尖二之一四之一四之三而后其法可施耳如或不然则当以长员法及尖堆率参酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通于算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者并指直髙而言
　　非谓斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之【法见商功章】　又凡平堆尖堆斜髙之处虽不据以立算然亦必如句股之乃合于法弯曲者则否
　　方仓以积与方求髙与髙求方　法以方自乗数除积得髙以髙除积开方得方
　　长方仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙长相乗数除积得广以髙广相乗数除积得长【若以积与长广求髙其理易见不复赘】
　　员仓以积与周径求髙与髙求周径　算周者以员周率十二乗积算径者以员径率四乗三除积乃用方仓法
　　长员仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙与半广相乗数除积减半广得长以髙除积以长为带纵开平方除之得半广倍之得广【其方员长方员尖堆但加尖率三乗余并同上四法不复赘】
　　方平堆以积及髙与上方求下方与下方求上方　法以三乗积以髙除之乃减上方自乗数以上方为带纵开平方除之得下方减下方自乗数以下方为带纵开平方除之得上方
　　员平堆以积及髙与上周径求下周径与下周径求上周径　算周者以三十六乗积算径者以四乗积并再以髙除之乃减上周自乗数以上周为带纵开平方除之得下周余仿此
　　石尺互求　旧法立方二尺五寸为一石【立方一尺者二有半也】故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各随时地不同须临算较量损益其法未可一概也
　　竹席围米求积　假如竹席大小相等原用两席合作围贮米二十石今用三席合作围问贮米几何法以原席二自乗得四为一率原米石数为二率今席三自乗得九为三率求得四率四十五为今贮米石数

　　九章録要卷四
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
　　钦定四库全书
　　九章録要卷五
　　松江屠文漪撰
　　差分法
　　古九章三曰差分亦曰衰分以御贵贱廪税
　　一分递加减衰分【以最少者一分之数递加成多若从多者递减则减至最少者而减尽也】法以一为首衰【从少者起算】自一而二而三四递加为各等衰并之为总衰以为一率总实为二率各等衰为三率求得四率即各等数
　　假如有银七十二两甲乙丙丁戊五人以一分递加减分之问各几何
　　一率　一十五【总衰　衰分章三率法独有宜先以一率除二率者】二率　七十二【总实　一率除二率得四两八钱】
　　三率　五【甲衰】四【乙】　三【丙】　二【丁】　一【戊】
　　四率　【二十　一十九一十四九两　四两四两　两二钱两四钱六钱　八钱】
　　右各等中倘复各自有数不齐者先以各衰乗之为各总衰然后并为大总衰
　　假如有粮二千四百石甲乙丙丁四等户依前例输之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户则以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户数为各总衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百为大总衰列一二率如前若以各总衰为三率即得各等总数以各衰为三率即得各等每户数【以下诸法仿此】
　　减半衰分【乙当甲之半丙又当乙之半也】　法以一为首衰自一而二乗之又二乗之为各等衰【以一二乗得二以二二乗得四并之得七余仿此】列率乗除如前
　　二八衰分【甲视乙为八与二乙视丙又为八与二也】　法以二为首衰自二而四乗之又四乗之为各等衰【以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二余仿此】列率乗除如前
　　四六衰分【同上】　法以四为首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同为各等衰【以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九余仿此】乗除如前
　　三七衰分【同上】　法以三为首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之为各等衰【以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一余仿此】乗除如前或厌零分多者就首衰之数以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰则三乗首衰之三得九为首衰甲乙丙丁四等衰则又三乗九得二十七为首衰甲乙丙丁戊五等衰则又三乗二十七得八十一为首衰【每多一等则首衰多三乗一番】既增广其首衰然后用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣
　　十分之六递减衰分　法以一为首衰【此从多者起算所谓首衰之一亦与前一为首衰者不同前一只是一数此则无定之数也】遇二等衰则为一十三等衰则为一百四等衰则为一千以为首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之为各等衰【以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六余仿此】乗除如前凡十分之七或八九诸数递减衰分俱准此推之不别为法以滋繁琐
　　减半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二数求总实减半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少则曰减半言其自少而多则曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也【零分法一又二之一化为二之三乃用子乗母除则当三乗二除犹之六乗四除也】三七衰分是二又三之一乗加也【零分法二又三之一化为三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也】十分之六递减衰分是一又三之二乗加也【零分法一又三之二化为三之五乃用子乗母除则当五乗三除犹之十乗六除以此递加与六乗十除递减同耳】以上所云几乗加者但取衰分之数以少除多即得之【假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云几乗加也】若各衰分止举首尾二等最少最多之数问总实几何者不必论其中间分作几等但以首尾数多少相减减余以原乗数减一数为法而除之【假如原系四乗加者以三除之原系一又二之一乗加者以二之一除之原系二又三之一乗加者以一又三之一除之原系二乗加者以一除之一除固可不必除然于法不容没此一除恐似别为一法也】即得最少以至次多诸等之总实以并最多数即得全总实
　　右例以原乗数减一数为除法亦不必求原乗数而减之但以衰分之数多少相减减余以少数除之即得除法【假如三七衰分三七相减余四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相减余四以六除四得三之二与原乗数减一数同　右一条新订】
　　减半二八四六三七十分之六各衰分求隔等数不论几乗加但知首等最少之数再知中间一等之数即可隔等而求之假如知首等数与第六等数者第六等数已经五度加矣则以此数自乗以首等数除之即得十度加之数【倍五为十也凡自乗者以倍相求　十度加乃是第十一等】若以六度加之数【第七等】自乗以首等数除之即得十二度加之数【第十三等】若以五度加六度加之数相乗以首等数除之即得十一度加之数【五六并为十一也凡二等数相乗者并而求之　十一度加是第十二等】若以三度加【第四等】八度加【第九等】之数相乗以首等数除之亦得十一度加之数此谓以少求多者或以多求少如以十六度加之数【第十七等】以首等数乗之开方除之即得八度加之数亦可以十六度加之数以首等数乗之以十度加之数除之得六度加之数葢取以少求多之法而反用之即是也【右一条新订】
　　右求总实求隔等数二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九诸数递减衰分准此推之无不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商贩获息当母二之一并入母银又获息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之数俱合子母而言则当以最后一度之数为总实不得并诸度之数为总实且首一数即系原母则一度自有一度之加与甲乙分金十等人止须九度加者亦微有辨也
　　合率衰分　率者衰分多寡之大率也【与三率之率自不相涉各有取义也】葢衰分各等之实数有所未知而各等之大率已知因合各率以与总实相权而衰分得焉不计其合未有能分者也然则以前诸法无非合率衰分而此独以合率名者何也前诸法若三七若四六皆有准则固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六为准乃不可専名而独名之合率也各率为各衰并之为总衰乗除如前假如有银二百四十两甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分则甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之为二十五为总衰也其各等中又各有数不齐者亦依前法兹仍具例于左以备参观
　　假如有银七两零八分欲买铜一停锡二停铅三停其价铜每斤一钱八分锡一钱三分铅五分问三物各几何
　　一率　五十九【总衰　　一铜价二锡价三铅价并】
　　二率　七百零八【总价　一率除二率得一十二】
　　三率　一【铜衰】　　二【锡】　　　三【铅】
　　四率　一十二【铜斤数】二十四【锡】　三十六【铅】
　　右总衰总价俱化两钱为分者既得三物斤数各以价乗之得各总价数或以铜总衰一十八分锡总衰二十六分铅总衰一十五分为三率即先得各总价乃各以价除之亦得各斤数
　　又如有银五百九十四两籴米一停麦二停豆三停共三百九十六石其价米一石抵麦一石六斗抵豆二石问三物及价各几何此须用重测法先以米衰一麦衰二豆衰三并之得六为总衰为一率三物共石数为二率各衰为三率求得三物各石数【米六十六麦一百三十二豆一百九十八】然后别求各价其法置三物停数以三物相当抵之数乗除之或益贵物以从贱则用乗或减贱物以从贵则用除以为各衰仍并之为总衰为一率三物共价为二率各衰为三率求得三物各总价乃以前所求三物各石数除之即得每石价【米二两四钱麦一两五钱豆一两二钱】
　　一率　三又四之三【总衰】
　　二率　五百九十四【总价两数　一率除二率得一百五十八又五之二】三率　一【米衰】　一又四之一【麦】　一又二之一【豆】四率　【一百五十八　一百九十　二百三十七两四钱米　　八两麦　　两六钱豆】右以米为主而减麦与豆以从之米衰一得一麦衰二以一又五之三除之【即一六也米一抵麦一六故】得一又四之一豆衰三以二除之【米一抵豆二故】得一又二之一并之得三又四之三
　　又式
　　一率　七又二之一【总衰】
　　二率　五百九十四【总价　一率除二率得七十九又五之一】
　　三率　二【米衰】　二又二之一【麦】　三【豆】
　　四率
　　右以豆为主而益米与麦以从之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麦衰二以一又五之三除之【先除以从米】再以二乗之【次乗以从豆】得二又二之一并之得七又二之一
　　又式
　　一率　六【总衰】
　　二率　五百九十四【总价　一率除二率得九十九】
　　三率　一又五之三【米衰】二【麦】二又五之二【豆】四率
　　右以麦为主而益米减豆以从之麦衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之【先除以从米】次以一又五之三乗之【次乗以从麦】得二又五之二并之得六
　　右例或不复用米一麦二豆三等衰但就三物各石数而取一数为主其余则益贵减贱以从之为总衰以除总价即得其物每石之价依法复损益之得余二物每石之价如以米为主米六十六麦一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除总价得二两四钱即米每石价也仍以一又五之三除之得麦价以二除之得豆价若以麦豆为主法并仿此【右一条新订】
　　合率带分母子衰分　合率衰分其间等差各带母子分数者自有带分之法假如有银七百九十五两甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一问各实数几何其法先并各衰分数并各子以乗各母从小数并起惟丁衰十一无并其丙衰系十二又系三则以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十为甲衰并之得一百五十九为总衰
　　一率　一百五十九【总衰】
　　二率　七百九十五【总银　一率除二率得五】
　　三率　八十【甲衰】五十六【乙】十二【丙】十一【丁】
　　四率　四百　　二百八十　六十　五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一则丙衰系十三又系三欲以十三并三用三除十三除之不尽即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二为乙衰依法推得二百六十为甲衰其丙之十三丁之十一转须用三乗之以为衰丙得三十九丁得三十三也
　　合率带分匿总实以较求衰分　假如四人分银不知总实但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙与丁差四两问各几何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六为甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰以丙丁二衰之较为一率丙丁之较为二率各衰为三率【不用约法览之易晓】
　　一率　二十四
　　二率　四
　　三率　五百七十六【甲】四百八十乙四百三十二【丙】四百八【丁】四率　　九十六　八十　　　七十二　　六十八右例带分与前例母子不同其法互见而可相通前亦可以较求分此亦可以总实求分也又凡以前诸衰分法若匿其总实任举一等所得之数或两等所差之数皆可仿二例而求之
　　合率带分匿总实以余实求分　假如四人分银不知总实但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚余五两问各几何此四母皆银也用并母法得九百六十为总衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十为甲衰二百四十为乙衰一百九十二为丙衰一百六十为丁衰以四衰减总衰余八为余银之衰为一率余银为二率各衰为三率【率式不赘但求得总实即得各分数矣】
　　右例四母皆据总实言之故可以余实求总实求分若以前诸衰分法不可以余实求也
　　右例亦可任举两等所得之较以求之【又右二例俱可用借征法葢用并分法亦借衰也】
　　一数递加减衰分以等求总实【与一分递加减相类而不同者一分为不定之数一数则一而已又自此以下及同较衰分共十法皆谓每等只一人者与以前诸法自别】凡一数递加自一而二而三四此不难于衰分须求总实防法耳假如欲分十五等问总实几何法以首等一【以少者为首】并末等十五【等十五则末等所得数亦十五也】得十六以等数乗之折半得一百二十为总实又如有物倚墙一面尖堆下广二十四枚以首层一并下层二十四得二十五以层数【即下广数】乗之折半得三百为总积【前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求总实但依法所得数须更以较数乗之方得总实若未经较数相乗止得总衰而非总实也假如每一分银四两递加分十五等依法得一百二十为总衰更以每等之较四乗之得四百八十为总实也】
　　一数递加减衰分以总实求等　假如总实一百二十以一数递加分之得几等法倍实开方除之得十五而余实亦十五即十五是等数又如总积物三百欲作倚墙一面尖堆倍积开方得二十四而余实亦二十四即二十四是下广数【前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求等数但须先以每等之较数为法除实而后依上法求之假如银四百八十两每一分四两递加分之则先以较四除实得一百二十乃依法求得十五为等数也】
　　右二法谓首等数起于一者故比之倚墙一面尖堆若不从一数起即各等俱以一数递加但谓之同较衰分不在此例如倚墙一面平堆每层亦俱较一而当依同较衰分法也【前一分递加衰分亦谓首等所得之一分同于各等所差之一分也如其不然即是同较衰分矣】
　　又右二法不可用之同较衰分而下同较诸法【凡七法】则可用之一数递加衰分也【亦可用之一分递加之每等只一人者　右一条新增】
　　同较衰分【不论较数几何但甲乙之较乙丙之较丙丁之较各等俱同者是也】
　　假如总实九十九作十一等分之各等俱较一数问各几何法以等数减一存十与等数相乗折半得五十五以较一乗之仍得五十五【较一则乗犹不乗也而于法不可无此一乗者为较不止于一者而设也】以减总实余四十四以等数除之得四为首等数或以并总实得一百五十四以等数除之得十四为末等数余以次推之
　　同较衰分以等及较与首数求尾数与尾数求首数求总实　如前例十一等每等各较一法以等数减一存十以较一乗之仍得十并首数四得尾数减尾数十四得首数并首尾数以等数乗之折半得总实
　　同较衰分以较与首尾数求等求总实　法以首尾数相减得首尾较以较除之加一数得等数如前法求总实
　　同较衰分以总实及较与首尾和求等求分　法以首尾和折半为法除总实得等数即以等数减一乗较数得首尾较和较相减半之得首数相并半之得尾数
　　同较衰分以总实及等与首尾较求较求分　法倍总实以等数除之得首尾和如前法求之再以等数减一除首尾较得各较
　　同较衰分以总实及等与首几等和或尾几等和求较求分【言或者首尾不必并举】法以带和之等数乗总实以全等数除之【所得数乃首尾几等应得均平之数也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其数必相当故下但云与和相减而不必问其首尾也】与和数相减减余以带和之等数折半为法除之再以全等数减带和等数为法除之得各较【右一条新增】
　　同较衰分以等与首几等和尾几等和求较求分求总实　假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分银甲乙丙三人共一百一十一两庚辛二人共四十一两问各较几何各分几何总实几何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相减余九十九又以二三相并得五折半为二又二之一以减人数总八余五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三为法以除九十九得三为各较数乃以甲乙丙和三除之得乙数加较得甲数减较得丙数或以庚辛和并较半之得庚数减较半之得辛数次求丁戊已数并八数为总实【右例但取首尾并举而或举首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡于法皆通即总数满百人而但举首尾两三人亦无不可也】
　　同较衰分令多寡齐数法　假如有银二百七十两作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数齐问各几何法如一分递加减列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相减较三以二人三人相减之较一为法除之仍得三【较一则亦不必除而言除者为较有不止于一者也】却于五等衰各加三数为各衰并之为总衰列三率求之
　　一率　三十【总衰】
　　二率　二百七十【总实　一率除二率得九】
　　三率　八【甲衰】七【乙】　六【丙】　五【丁】　四【戊】
　　四率　七十二　六十三　五十四　四十五　三十六又如有银七十两作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人数与丙丁戊已庚五人数齐问各几何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相减较二而此乃五人之数多于二人与前二人之数多于三人者不同亦以二人五人相减之较三为法除之得三之二却于五等衰各减三之二为各衰并为总衰如前求之一率　二十三又三之一【总衰】
　　二率　七十【总实　一率除二率得三】

　　按一数递加一分递加衰分只三人甲数与乙丙数齐而余皆不能故此法独不可以相通也
　　同较衰分又法　前同较衰分八法皆谓每等只一人者据实与等与较及首尾数更互相求于法止可每等一人耳但欲衰分则虽每等之中复有人数多寡不齐非无法以分之　假如银三百二十四两甲乙丙丁四等人分之每等较三两甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人问各几何法以较三乗乙四人得十二倍较为六乗丙六人得三十六三乗较为九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并总实得四百六十二以甲乙丙丁总二十二人除之得二十一为甲等一人所得数递减较得各等数【右一条新增或以较三乗丙六人较六乗乙四人较九乗甲二人并得六十减总实得二百六十四除得十二为丁等数】
　　母子差分【此谓商贾以母银得息非带分之母子也】假如三商共得子银四百两甲母三百两经十个月乙母六百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得二百两乙得一百二十两丙得八十两问乙丙出母银经几月
　　一率　二百【甲子】
　　二率　三千【甲母乗月数】
　　三率　一百二十【乙子】　八十【丙子】
　　四率　一千八百【乙母兼月数】　一千二百【丙母兼月数】各再以母除得月数乙得三丙得一又二之一
　　又如三商共得子银一百三十八两甲出母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十个月不知母其子银则甲得六十乙得四十八丙得三十问乙月丙母
　　一率　六十【甲子】
　　二率　二千四百【甲母乗月数】
　　三率　四十八【乙子】　　　三十【丙子】
　　四率　一千九百二十【乙母兼月数】一千二百【丙母兼月数
　　乙再以母除　　　丙再以月除得得八月　　　　　一百二十两】
　　又如三商共得子银一千五百二十两甲母一千八十两乙母三百六十两丙不知母其子银则丙得二百四十两问甲乙各子及丙母
　　一率　一千四百四十【甲乙共母】
　　二率　一千二百八十【总子减丙子得甲乙共子】
　　三率　一千八十【甲母】三百六十【乙母】
　　四率　九百六十【甲子】三百二十【乙子】
　　又
　　一率　一千二百八十【甲乙共子】
　　二率　一千四百四十【甲乙共母】
　　三率　二百四十【丙子】
　　四率　二百七十【丙母】
　　又如二商共得子银一百两甲母倍于乙外又一十五两其子银则甲得六十八两乙得三十二两问甲乙母各几何
　　一率　四【甲子倍乙外又盈此数】
　　二率　十五【甲母倍乙外又盈此数】
　　三率　六十八【甲子】　三十二【乙子】
　　四率　二百五十五【甲母】一百二十【乙母】
　　贵贱差分　法以贵价乗总物数与总价数相减余以贵贱价较数为法除之得贱物数或以贱价乗总物数与总价数相减余以价较数为法除之得贵物数假如米每石价二两麦每石价一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各几何法以米价乗总石数得八十减总价得六以米麦价较五分两之二为法除之得一十五是麦石数余为米石数或先求米石数亦可
　　又如上酒每斗价钱三百次酒每斗价二百二十今欲襍和二酒立价二百五十问一斗内上酒几何次酒几何法以上酒价减立价余五十以上次价较八十为法除之得八分斗之五为次酒余八分斗之三为上酒也或以次酒价减立价算之先得上酒数亦同
　　匿价差分　假如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫比罗每匹多六钱罗比绢每匹多八钱问三物各价几何法以罗二百匹乗罗绢价较得一百六十两以绫一百匹乗绫罗罗绢二价较得一百四十两并之得三百两以减总价得五百两以总匹数五百除之得一两为绢每匹价以次推得绫罗价或以罗二百匹乗绫罗价较得一百二十两以绢二百匹乗绫罗罗绢二价较得二百八十两并之得四百两以并总价得一千二百两以总匹数五百除之得二两四钱为绫每匹价又或先求罗价亦可又如米十四石麦十八石两总价适等但云米每石价多于麦三钱六分问二物各价几何法以米麦石数较四除价较得九分以麦数十八乗之得米每石价以米数十四乗之得麦每石价
　　又如金九块银十一块其总重适等交换一块则金轻十三两问金银各块重法以轻重较十三两折半得六两五钱以金银块数较二除之得三两二钱五分以银数十一乗之得金每块重以金数九乗之得银每块重【此与上米麦例同惟折半不同耳葢轻重交换较二实止较一故须折也】
　　襍差分法　假如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各几只各总载兵几何
　　一率　二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰】
　　二率　一十二【三只四只相乗船数为大小船各衰】
　　三率　四千三百五十【总兵数】
　　四率　一十八【大小船各数】
　　次求大小船各总载兵数
　　一率　三　　　　　四
　　二率　五百　　　　三百
　　三率　一十八　　　一十八
　　四率　三千【大船总载兵数】　一千三百五十【小船总载兵数】右例亦可先求大小船各总载兵数
　　一率　二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰】
　　二率　四千三百五十【总兵数】
　　三率　二千【四只互乗五百名为大船兵衰】　九百【三只互乗三百名为小船兵衰】
　　四率　三千　　　　一千三百五十
　　次求大小船各数
　　一率　五百　　　　三百
　　二率　三　　　　　四
　　三率　三千　　　　一千三百五十
　　四率　一十八　　　一十八
　　又如出兵左右营兵数相等左营用大船每三只载五百名右营用小船每四只载三百名共用船一百七十四只问左右营兵各几何各总用船几只一率　二千九百【三只五百名四只三百名互乗并得船数约为二十九】二率　一十五万【五百三百相乗兵数约为一千五百　以百为通数】
　　三率　一百七十四【总船数】
　　四率　九千【左右营各兵数】
　　次求各总用船数
　　一率　五百　　　　　三百
　　二率　三　　　　　　四
　　三率　九千　　　　　九千
　　四率　五十四【左营用大船数】　一百二十【右营用小船数】
　　右例亦可先求大小船各总数
　　一率　二千九百【三只五百四只三百互乗并得船数为船总衰约为二十九】二率　一百七十四【总船数】
　　三率　九百【三百互乗三只为大船衰约为九】　二千【五百互乘四只为小船衰约为二十】
　　四率　五十四　　　　一百二十
　　次求各总载兵数
　　一率　三　　　　四
　　二率　五百　　　三百
　　三率　五十四　　一百二十
　　四率　九千　　　九千
　　又如犒师每二十四名给牛一头每五名给羊一头共用牛羊一千七百四十头问兵几何牛羊各几何一率　二十九【二十四名一头五名一头互乗并得牛羊数】
　　二率　一百二十【二十四名五名相乗兵数】
　　三率　一千七百四十【牛羊总数】
　　四率　七千二百【兵数】
　　次求牛羊各总数
　　一率　二十四　　　五
　　二率　一　　　　　一
　　三率　七千二百　　七千二百
　　四率　三百【牛数】　　一千四百四十【羊数】
　　右例初测第一率不必互乗直以五与二十四并得二十九再测不必列第二率直以二十四与五除兵数即得牛与羊各总数而立法必如是者葢此例与前二例本同一法若从简省乃似别为一法而学者反惑也
　　右例亦可先求牛羊各数
　　一率　二十九【如前互乗并得牛羊数为牛羊总衰】
　　二率　一千七百四十【牛羊总数】
　　三率　五【五名互乗一头为牛衰】二十四【二十四名互乗一头为羊衰】
　　四率　三百　　　　一千四百四十
　　次求兵数如前二例不复赘　又按右例谓兵既给牛又给羊者不然则给牛之兵与给羊之兵数等者若两营兵一给牛一给羊牛羊数等而两营兵数不等乃举两营兵总数问两营各数及牛羊数【依上以一千七百四十为兵总数余并同】则以二十九为一率以一为二率【一与一相乗仍得一也】以一千七百四十为三率求得六十为四率为牛羊各数又或先求两营兵各数则以二十九为兵总衰为一率一千七百四十为二率二十四为给牛兵衰五为给羊兵衰为三率求得一千四百四十与三百为四率为给牛与给羊兵各数也防观前诸例其法自备不复详列
　　又如赏军毎马兵五名给防三匹毎歩兵四名给布六匹总计马歩兵共八千一百名给防布共九千匹问马歩兵各几何防布各几何此与前例不同葢马兵与步兵数既不等防与布数又不等也法以马兵五名防三匹歩兵四名布六匹互乗得数相减余一十八为法别以马兵五名防三匹马步总八千一百名防布总九千匹互乗得数相减余二万零七百以法除之得一千一百五十为步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵总四千六百名以布六匹乗之得布总六千九百匹其余则马兵及防总数也或以步兵四名布六匹马步总八千一百名防布总九千匹互乗得数相减余一万二千六百以法除之得七百为马兵及防衰乃以马兵五名乗之得马兵总三千五百名以防三匹乗之得防总二千一百匹其余则步兵及布总数
　　又如大船四橹四桨小船二橹八桨今但见总作橹一百张桨二百零八张问大小船各几何法以四橹四桨二橹八桨互乗得数相减余二十四为法别以大船四橹四桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余四百三十二以法除之得一十八为小船数或以小船二橹八桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余三百八十四以法除之得一十六为大船数右例与前赏马步兵防布例同前马兵及防衰步兵及布衰在此即大小船各数也【右一条新订】
　　又如漏壶一具上有渇乌注水三时而满下有天池泄水八时而尽今且注且泄问几时可满一壶【法先求一时所注所泄之数】
　　一率　三时　　　　　　八时
　　二率　一壶　　　　　　一壶
　　三率　一时　　　　　　一时
　　四率　三分壶之一【注】　　八分壶之一【泄】
　　次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求全壶满时
　　一率　二十四分壶之五
　　二率　一时
　　三率　一壶
　　四率　四时又五分时之四
　　又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满几何法先求一时所注所泄之数置率如前次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求五时又三分时之一所注之数
　　一率　一时
　　二率　二十四分壶之五
　　三率　五时又三分时之一
　　四率　一壶又九分壶之一
　　又如漏壶一具下开三孔泄水大孔四时尽一壶次六时而尽又次十二时而尽若三孔俱开则一壶须几时尽法以三孔一时所泄之数并而计之知一时泄二分壶之一则二时尽一壶
　　一率　四时　　　六时　　　十二时
　　二率　一壶
　　三率　一时
　　四率　【四分壶　　六分壶　　十二分之一　　　之一　　　壶之一】
　　右例或以最小孔十二时为主求余二孔所注之数乃并而计之知十二时尽几壶则知几时尽一壶【或以中孔六时为主亦同】
　　一率　四时　　　六时
　　二率　一壶
　　三率　十二时
　　四率　三壶　　　二壶
　　又如甲乙银各不知数取乙九两与甲即甲倍多于乙取甲七两与乙则甲乙正等问各几何法以乙与甲九两甲与乙七两并之得十六两倍之得三十二两是倍多之数即以三十二两为乙衰幷未与甲九两得乙数四十一两以六十四两为甲衰减未得乙九两得甲数五十五两【右一条新订】
　　又如甲乙银不知数取乙四两与甲即甲多于乙二之一乙二而甲三也取甲七两与乙则甲乙等问各几何法如前并而倍之得二十二两是二之一多数即以四十四两为乙衰六十六两为甲衰依前求得乙数四十八甲数六十二【右一条新订】
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息【母一得子亦一】即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母几何凡倍上加倍者率三倍而一得八【一两三倍之成八两也四倍则一得十六余准此推之】法以八除三百得三十七两五钱以减三百得二百六十二两五钱即原母数【若四度而尽者即以十六除而减之】
　　按右例立法之意乍阅之或未解葢原母倘系三百则每度用其倍息三度后仍存三百矣何得子母俱尽须知三倍后之三百其母为三十七两五钱故于三百内减之而余即原母数也一三倍而成八故用八除三百得母三十七两五钱犹之三度折半尔【右一条新订】
　　自贵贱差分至此诸例亦可以借征法求之别见数条于后
　　又如黄金百斤制一鑪既成虑匠人盗金和银销毁验之则损工费乃以器贮水令满已知水几斤即以纯金百斤入器内溢出水六十斤加水令满复以银百斤入之溢水九十斤再贮满水却以鑪入之溢水六十五斤问和银及实金几何法以金银溢水之较三十斤以百斤除之得每斤溢水之较十分斤之三为法以除鑪与金溢水之较五斤得和银数一十六斤又三分斤之二以除鑪与银溢水之较二十五斤得实金数八十三斤又三分斤之一【补贵贱差分第三条】又如犒军每八名给豕一头每六名给羊一头每三名给一头共用豕羊一千一百二十五头问兵几何豕羊各几何法以八名六名相乗为衰八名三名相乗为羊衰六名三名相乗为豕衰【此所谓三维乗也或先求兵总衰而豕羊各以所给兵名数除之亦同】并之得九十为豕羊总衰为一率以八名六名三名累乗得一百四十四为兵总衰为二率豕羊总实为三率求得四率一千八百为兵总数豕羊各以所给兵名数除之得各数或以豕羊总衰为一率豕羊总实为二率豕羊各衰为三率即先得三物各数乃各以所给兵名数乗之得兵总数【按此例亦谓兵既给豕又给羊者下例同】又如赏军每八名给防五匹每六名给绢四匹每四名给布三匹共用防绢布三千六百七十五匹问兵几何防绢布各几何法以八名六名相乗再以三匹乗之为布衰八名四名相乗再以四匹乗之为绢衰六名四名相乗再以五匹乗之为防衰【或先求兵总衰而防绢布各以匹数乗之以所给兵数除之亦同】并之得三百九十二为防绢布总衰八名六名四名累乗得一百九十二为兵总衰如前法求之得兵总数一千八百【右二例与零分章并分法相似】按此例与前例本同一法前例豕羊俱以一头立算故不须以头数与维乗数再相乗耳但今算家相仅知有前例而无后例则法有所穷故特出此条其实前例亦暗寓头数一回乗也【补襍差分第六第七条　右一条新增】

　　九章録要卷五
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
　　钦定四库全书
　　九章録要卷六
　　松江屠文漪撰
　　少广法
　　古九章四曰少广以御积幂方员
　　开平方法　平方开除先列实视实有几位【凡实之大数从千起者四位从万起者五位葢实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚位一定不可易也】即知须几开而尽【凡经再开者开得平方大数从十起三开者百四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也】率实两位而一开逆从实尾向左数之【尾在右也】至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰亷曰隅【方法亦谓之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法】初开视实首位以起方法实首一位开者【一位之实多不过九】取三及以下数自乗两位开者【两位之实少不下十一】取三及以上数自乗所取以自乗之数初商也列实首之左【亦有不列于左而即借实首位列之者説详于后】自乗所得数用以减实是为初开余实须再开则用亷法亷法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乗得数用减实讫【于亷法下一位减之观后假例自明】是为再开自三开以后俱仿此
　　【或问亷隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一亷其长如前方之数亷有二故倍之也此未及亷之广以除实得次商次商乃亷之广数而所加二亷其长各如前方之数则二亷相防之一角犹缺一小平方其四边皆与亷之广等故又以次商为隅法而自乗以足之也】
　　假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乗仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二【前方是一百倍之为二百而此且勿论也但谓之一谓之二可耳】为亷法以二除乙之五【乙丙两位为再开之位而亷法当于乙位除隅法当于丙位除也】则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乗得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四【前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然】为亷法先以二除丙之七【丁戊两位为三开之位则亷法当于丁位除而亷法有二十四即二当于丙位除四乃于丁位除也】则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乗得一十二于丙丁两位减之【亷之四当于丁位除而与商乗得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然】则并去丙之一丁之二又以隅三自乗得九于戊位减之适尽得方一百二十三
　　又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五【甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也】且取六为初商列甲之左而以六自乗得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为亷法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商【不用　者以八开之则实不足也】次以二与七相乗得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乗得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为亷法先以一除乙之一【戊己两位为三开之位则亷法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以亷一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳】则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二【乙之一丙之十也试列十于丙而以亷一除之与此同则除乙犹之除丙耳】次以三与八相乗得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乗得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乗得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八
　　又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乗得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为亷法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商【此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合观二例其义益明】乃以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得方二十六
　　开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乗得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为亷法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣【丙丁为再开之位则亷之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而甲位空矣可知无次商宜便接三开也】三开倍八十得一百六十【前方八下有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之】为亷法仍先以一除乙之一【戊己为三开之位则亷法当于戊位除而亷法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有实又须以除丙之法除之葢除乙犹之除丙其説已详前二例矣　三商自当在乙位也】则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乗得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九
　　开方初商列位法　凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属亷丙属隅也亷法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属亷丁属隅也亷法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣【五以上更不必言】若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎【四以下更不必言】且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为亷法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乗得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣葢开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳
　　又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乗减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎葢丙丁为次开之位而亷法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣
　　开方余实命分法　开方余实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之【倍方者亷法加一数者隅法】假如实五十五开得方七而余实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也
　　开方求零分密法　开方余实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乗见积颇朒于原实则法犹疎也且如实二十开得方四而余实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乗以见方积母得八十一【此原实一之方积也葢一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣】子得一千六百【此总方积也】以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十【倍之为亷法也】为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣
　　又法如实二十开得方四而余实四但倍方为分母不复加隅而以余实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乗以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九【本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法】以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减【此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以亷法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以亷法除所盈之数而与之相减也】得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同【按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也】
　　右二法开方自乗得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开
　　又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乗以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者仿此
　　零分开方法　原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十【此只依命分之数聊示其法耳未及密率也】此当用整除零分法以三乗九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乗三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乗九为母以五乗四十为子得方一百一十七之二百也葢原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云
　　长方以积与长广较求长广　法以四乗积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
　　长方以积与长广和求长广　法以四乗积减和实开方得长广较　按四乗积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乗之小平方故知和实中有四积一较实也【二法亦见句股章彼以八乗积者句股之积半长方积也】右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者葢变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左
　　带纵并方亷开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方亷开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法【常法以方与商为一此以方与商为二】乃以乗商减实再开倍前商亦以带纵并之为亷法以除实得次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二【须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦然】为方法乃以方法乗商以三乗二得六【此处只作二与三且勿论其为二十与三十可也】于甲位减之【依常法商二自乗当于甲位减今与方法三相乗亦同也】则减甲八为二次以二乗二得四于乙位减之【六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之亷位也】则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并纵得五十二【倍商是四十也　倍商不倍纵】为亷法先以五除甲之二【倍商之四当于乙位除因带纵首之一而成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳】则改甲二为四为次商次以二乗四得八于丙位减之【五于乙位除则二当于丙位除故亷法而减及隅位也】则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乗得一十六减乙丙两位实尽得广二十四【并较得长三十六】
　　又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位【戊己为虚位】带纵七百二十初商得二【若商三则并纵首之七为一十又与商乗得三十而实首只二十三不足除故用二】列甲左【不列甲位者带纵故也】而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乗商以九乗二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乗二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为亷法先以一除乙之四【倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也】则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乗四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乗四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乗得一十六减丙丁实并尽得广二百四十【并较得长九百六十】又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为亷法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣【倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也】三开倍前商一十得二十【此一与二皆百也谓之十者依常法】并纵得二百七十二为亷法仍先以二除乙之二【倍商之二十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乗八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八【并较得长一百八十】
　　又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之【若初商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也】初商得九【此当借列实首甲位】而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乗商以一乗九得九于乙位减之【初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一十六则此一当进而于乙位减】则去甲之一加乙六为七次以六乗九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乗九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为亷法先以二除乙之一【倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之法除乙也】则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乗六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乗六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乗得三十六减丁戊实并尽得广九十六【并较得长一百六十八】
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一【初商是百而纵乃至千故只可用一】列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之【方一百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位】则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为亷法先以一除乙之四【倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开仿此】则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乗三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乗三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乗三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乗得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为亷法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乗六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乗六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乗六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乗得三十六减戊己实并尽得广一百三十六【并较得长一千二百二十四】
　　带纵减积开平方法　长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乗商减实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以带纵乗商减实乃以亷法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而先以纵乗商以一乗二得二于甲位减之【此纵之一商之二皆十也依常法商二自乗于甲位减今以纵一乗商二亦同葢凡十与十百与百相乗皆于本位减必相乗又得十乃进一位若商系十而乗纵之百则当进一位商系百而乗纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以所商应除之位为本位而进退之也负纵益积仿此】则减甲八为六次以二乗二得四于乙位减之则减乙六为二乃以商二自乗得四于甲位减之则又减甲六为二此初开也再开倍前商二得四为亷法约计次商当得四【约计减积之余尚有商亷相乗及隅自乗之数也】亦先以纵乗商以一乗四得四于乙位减之【次商即再开之隅隅本位在丙然隅四只是四数而所与乗之纵一则是一十故进一位也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比再开又退一位矣】则减甲二为一加乙二为八次以二乗四得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以亷四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商又以隅四自乗得一十六减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而先以纵乗商以七乗一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乗得一于甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商不足除知再开值空位【乙位实二试拟一为次商而以纵首之七相乗当比初开退一位于丙位减之则丙实只有二必减及于乙而亷已不足除未暇论其他矣故知再开值空位也】三开倍前商一十得二十为亷法约计三商当得八亦先以纵乗商以七乗八得五十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四乃以亷二除乙之一则改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加三为八为三商又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八　按积较求广虽有二法只如一法耳前法并纵于方亷以除实此法分纵与方亷先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用不容废云
　　负纵减方亷开平方法　长方以积与较求长者其广之积少于长当损其法之长名负纵减方亷开平方列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减之为方法乃以乗商减实再开倍前商亦以负纵减之为亷法以除实得次商其隅法如常　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃以方法乗商以一乗三得三于甲位减之则减甲八为五次以八乗三得二十四于甲乙两位减之则减甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六减负纵得四十八为亷法先以四除甲之三则改甲三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲减一存六为次商而于乙加四为八次以八乗六得四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为六又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六【减较得广二十四】
　　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十八为方法乃以方法乗商以二乗一仍得二于乙位减之【商系百而乗方之十故退一位也】则减乙九为七次八仍得八于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为亷法先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙加一为八次以二乗八得一十六于乙丙两位减之则减乙八为七去丙之六次以八乗八得六十四于丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之四又以隅八自乗得六十四减乙丙实并尽得长一百八十【减较得广一百零八】
　　负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负纵初开亦稍盈其商先以负纵乗商益实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以负纵乗商益实乃以亷法除实合次商其隅法如常
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得三【此当列甲左第二位因有益积故也初开毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方诸例其商位每不可拘善算者自了然于心手之间耳】而先以负纵乗商以一乗三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为一次以二乗三得六于乙位加之则加甲一为二减乙六为二乃以商三自乗得九于甲位减之则去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三得六为亷法约计次商当得六亦先以负纵乗商以一乗六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乗六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四为六乃以亷六除甲之三则改甲三为五又以六除乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位负纵一千零八十八此当增一开【负纵至千而依实位初商只是百数无是理也】初商得一列甲左第二位而先以负纵乗商以一乗一仍得一于甲左空位加之【甲左空位是商千应除之本位也商千乗纵千当于本位加】则列一于甲左次八仍得八于乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一自乗得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于甲位加之则加甲二为四次以八乗二得一十六于乙丙两位加之则加乙五为七去丙之四次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以亷二除甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以隅二自乗得四于乙位减之则减乙七为三此再开也三开倍前商一十二得二十四为亷法约计三商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于乙位加之则加乙三为五次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙二为三丁空为六次以八乗二得一十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二乃以亷二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丙位减之则去乙之一加丙三为五又以隅二自乗得四于丁位减之则减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四为亷法约计四商当得四亦先以负纵乗商以一乗四得四于丙位加之则加丙五为九次以八乗四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为七戊二为四次以八乗四得三十二于戊己两位加之则加戊四为七己四为六乃以亷二除丙之九则于丙减八存一于乙空位列四为四商次以四乗四得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为一次以四乗四得一十六于丁戊两位减之则去丁之一减戊七为一又以隅四自乗得一十六减戊己实并尽得长一千二百二十四　按积较求长二法不同论负纵以并方亷为便而使负纵多初商少乃宜用益积也别拟取防之术凡负纵减商而商不足则以所负商数为负方【亦可称余负纵也】以负方乗商益积即初开毕矣自再开以后减亷固无碍耳
　　带纵负隅益积开平方法　长方以积与和求广者用和为带纵【此与用较为带纵又别用较为带纵者以纵并方亷而乗商减实用和为带纵者直以纵乗商减实耳然且患纵多积少而须益积及减纵二法矣】则已兼长广而积有长广相乗无广自乗故置负隅法以益积而以带纵开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乗负隅【一为负隅则可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自见】为方法先以方法乗商益实乃以带纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法先以亷法乗商益实又以隅法乗商【隅乗商云者因有负隅之乗故又分隅与商为二也然负隅若止于一则直云商自乗或隅自乗亦可耳】益实乃以带纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和六十求广者初商得二【此当列甲左第二位】而以乗负隅仍得二为方法先以方二乗商二得四于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乗商二得一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之二此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以亷四乗商四得一十六于甲乙两位加之则加甲空为二减乙六为二又以隅四乗商四得一十六于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵六除甲之二【以纵除与以亷除其位同此纵之六与亷之四皆十也以十随十当于亷本位乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则甲乙同除也　至此宜将初商仍移入甲左矣】则改甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙之六于甲加一为四为次商得广二十四
　　带纵负隅减纵开平方法　长方积和求广或减负隅于纵而以余纵开之名带纵负隅减纵开平方列实定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其商以乗负隅为方法以方法减纵乃以余纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法以亷法减纵又以隅法减纵乃以余纵除实合次商
　　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗负隅仍得二为方法以方法减纵余四十乃以纵四乗商二得八于甲位减之则去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余二十又以隅法减纵余一十六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位列四为次商次以六乗四得二十四减乙丙实并尽得广二十四
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余一千二百六十乃以纵乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为亷法约计次商当得三以乗负隅仍得三为隅法以亷法减纵余一千一百六十又以隅法减纵余一千一百三十乃以纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以一乗三得三于丙位减之则去乙之一加丙空为七次以三乗三得九于丁位减之则减丙七为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得二十六以乗负隅仍得二十六为亷法约计三商当得六以乗负隅仍得六为隅法以亷法减纵余一千一百又以隅法减纵余一千零九十四乃以纵一除丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九乗六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊六为二又以四乗六得二十四减戊己实并尽得广一百三十六　按积和求广二法以减纵法为优葢初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以亷减纵而以余纵求之如第一例余实六十四且作四与十六相乗之数而余纵二十析之亦得四与十六两数即四为次商为隅法以再减余纵得一十六而以纵除实正得次商矣如第二例直以亷减余之纵约余实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而纵多商少隅减之余与亷减之余当不至大相悬也然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乗理当小异不得仅如右二説且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳
　　带纵负隅减纵翻法开平方法　长方以积与和求长者积有长广相乗无长自乗法当损广以益长故以和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乗负隅为方法以方法减纵以余纵乗商减积而积常不足则翻以所负积数为积再开倍前商以乗负隅为亷法以亷法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商又以次商乗负隅为隅法以乗商减负积名带纵负隅减纵翻法开平方
　　假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求长者初商得七【此虽列甲左而除得次商乃在乙位则又当借列甲位也】而以乗负隅仍得七为方法以方法减纵余五十乃以纵五乗商七得三十五于甲乙两位减之而积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前商七得一十四以乗负隅仍得一十四为亷法以亷法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去丙之四于乙空位列二为次商又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四减丁位负积适尽得长七十二
　　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一【若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也】列甲左第二位而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余三百六十乃以纵乗商以三乗一仍得三于甲位减之【商千之位在甲左商千乗纵百则退一位故当于甲位减】以六乗一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为廉法以亷法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一【倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵数朒故耳】则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商【此当于再开毕后移列甲左葢三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣】次以四乗二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乗负隅仍得二十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乗负隅仍得二百四十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乗四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乗负隅仍得四为隅法以乗商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四　按积和求广初开后必有余积【若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言】求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之【再开所负于三开所益减】但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法葢减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左
　　一求长而初开后乃有余积此其初商必与求广相同者也既有余积则以亷减纵亦必有余纵【若积余纵负乃是商数过盈非所求之长当改商就朒】且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百【求广求长同】而余积六百四十再开以亷减纵余八十八约余积为八与八十相乗之数而余纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减余纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减余纵得八而以除积正得次商为长一百八十葢只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而余积一千九百四十四再开以亷减纵余九十约余积一千九百【其下小数且置不算也】为四十与五十相乗之数则朒为三十与六十相乗之数则盈而余纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数【宜有余积也】以三十为次商【广不合有一百六十故不用六】以再减余纵得六十而以除积一千八百得次商仍余积一百四十四三开以亷减纵余三十约余积为六与二十四相乗之数而余纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减余纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数【宜负积也】以五十为次商【长不合止一百四十故不用四】以再减余纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以亷减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乗得一十六减负积尽为长一百五十四葢始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云【右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乗取省文便览也又自此以下凡积纵商亷诸数百则曰百千则曰千而不复着甲乙之位非前后互异正取参观以相发明耳】
　　一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商以乗负隅为隅法以乗商减负积【既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可】如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以亷减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乗得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以亷减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乗得四百减负积三开以亷减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长一百二十五【负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵亷相减负纵即是余亷而在负隅法中方亷隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是余负亷也】
　　一以亷减纵有余纵不可以除负积者约计当得次商若干以乗负隅为隅法再减余纵纵负则以负纵除负积合次商【负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有余纵则以隅法相减】如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以亷减纵余三即约九为次商以再减余纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也
　　一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除【隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者也】而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商【若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也】以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积【余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣】而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商【不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也】以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八
　　右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也【若以一为隅算则与无隅算同商亷固即是隅算之一也】以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云
　　平方以斜径求方　法以斜径自乗为实以二为隅算开方　假如方田斜径七十步求方者以斜径自乗得四千九百为实以二为隅算初商四十以乗隅算得八十为方法以方法乗商得三千二百减实再开倍前商得八十以乗隅算得一百六十为亷法以亷法除实一千四百四十得九为次商又以次商乗隅算得一十八为隅法以隅法乗商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乗隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜径自乗之实倍方积故以二为隅算开之【或不用隅算以斜径实半之开方亦得】旧説率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
　　平方以方求斜径　法倍方积开方
　　大小两方以共积及两方互乗数求大小方　法倍两方互乗数减共积开方得两方较乃以两方互乗数为实以较为带纵用带纵并方亷开之【言并方亷而或用减积可知不待言也他仿此】得小方或以较为负纵用负纵减方亷开之得大方
　　又法倍两方互乗数并共积开方得两方和乃以两方互乗数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按此葢以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乗数句股相乗长方积也故倍互乗数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乗数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳】
　　大小两方以共积及两方较求大小方　法以较实减共积余为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方　假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乗得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乗隅算得一百四十为方法先以负纵乗商得三千九百二十益实乃以方法乗商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十为亷法约计次商当得四以乗隅算得八为隅法先以负纵乗商得二百二十四益实乃以亷法除实一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二减实尽得大方七十四【此以隅算负纵益积法为例余可类推】
　　大小两方以共积及两方和求大小方　法以和实减共积余为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也】
　　大小三方以共积及三方之两较求各方　法以两较实减共积余为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较【可知中方近小方也】则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方亷开之大与中之较朒于中与小之较【中方近大方也】则倍较较为负纵用隅算负纵减方亷开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方
　　大小三方以共积及三方之两和求各方　法以两和实减共积余为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方【按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有余实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有余纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳】
　　右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积余为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方亷开之求甲方者用负纵【若四较皆以甲方为主即先求甲方也　甲大戊小】并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有説假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之余则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣【乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之】丙丁仿此其以和求者只如
　　右法云
　　三广田以积与三广之两较及长广较求长广　法以中广与长之较为带纵【必以中广为主此算三广之定法　既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳】以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵【长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵】而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方亷兼减积开之【带纵法以并方亷为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并亷者亷固统长广两边不妨并两纵也】旁负纵者用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之【带纵既用并方亷法而两纵分属长亷两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减亷者亷统长广两边不妨且并且减也】得中广　假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乗旁带纵得八百四十七减积乃以方法乗商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为亷法约计次商当得八为隅法先以隅法乗旁带纵得八十八减积乃以亷法除积六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四减积尽得中广一十八【各加较得南广二十六北广五十四长八十五】或再开以旁带纵并入亷法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷
　　又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乗旁负纵得四百八十益积乃以方法乗商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为亷法约计次商当得五为隅法先以隅法乗旁负纵得三十益积乃以亷法除积五百五十合次商又以隅五自乗得二十五减积尽得中广三十五【各加减较得南广二十北广二十六长八十五】或再开以旁负纵减亷法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便【按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也】
　　方长带偏斜田以积及四边之三较求长广　法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所余盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法　假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乗旁带纵得二百二十八减积乃以方法乗商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为亷法以亷法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乗得一十六减积尽得东长六十四【各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二】
　　又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百【此因负纵多而初商少兼用益积法】先以负纵乗旁带纵得一千二百益积【凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积葢以方法相乗则减积耳方法之中有商有带纵方也商也带纵也皆正也两正相乗宜减积一正一负相乗宜益积也】次以商乗旁带纵得一千减积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为亷法以亷法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乗得六千四百减积尽得东长一百八十【南广五十北广七十西长二百】
　　又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乗旁负纵得九百六十减积【凡负纵皆用之益积此旁负纵何以减积葢一正一负相乗宜益积则两负相乗又宜减积也两负如无负也】次以商乗旁负纵得八百益积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为亷法以亷法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乗得四千九百减积尽得东长一百七十【南广四十五北广五十五西长一百五十四】　按右三例第一例以负纵减方亷兼带纵减积并亷也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乗旁带纵得二百益积又以负方乗商得二千益积第三例以负方乗旁负纵得一百六十减积又以负方乗商得二千益积即初开各毕矣前着例颇详者欲使其中条理显然而防径自出也
　　三广田以积与三广和两广较及长广较求长广　法以四乗积为实以和为带纵一为隅算【凡三广必倍中广并边两广而四除之以为广今四乗积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵隅算固所求之中广也】以中广与长之较为旁带纵【如中广反盈于长则为负也】用隅算双带纵并方亷兼减积开之得中广【以加长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可以次第推也　按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和为带纵必加隅算及负隅而隅算负隅势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可移耳】
　　方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乗积为实以和为带纵一为负隅【以三边和为带纵非有二长即有二广故以二乗积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以求长因以减纵中之长】以长较或广较半之为旁纵【求长则取长较求广则取广较】其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广　假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乗积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乗负隅仍得六十为方法以方法减纵余一百二十六先以余纵乗旁带纵得五百零四减实乃以余纵乗商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乗负隅仍得一百二十为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余六十六又以隅法减纵余六十二乃先以隅法乗旁带纵得一十六益实【在负隅法中方亷隅皆负也旁带纵以正而与负乗故宜益实也】而以余纵减实二百四十八合次商得东长六十四【以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见西长七十二】或再开以旁带纵乗负隅仍得四【凡纵不与隅算及负隅二者相乗而旁纵自再开以后欲与亷纵相并减则必与二者相乗也前以隅法乗之而益积隅法固已先乗负隅矣】以减纵余五十八【带纵而乗负隅故以减纵】而以除实二百三十二合次商亦便
　　又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法【倍积为实则除实宜有余实一长二广为纵则减纵宜有余纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也】而兼旁纵开之以二乗积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百【若商八十或九十则负积愈多而八十且有余纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故定商一百】以乗负隅仍得一百为方法以方法减纵余七十四先以余纵乗旁带纵得四百四十四减实乃以余纵乗商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乗负隅仍得二百为亷法以亷法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乗负隅仍得二十为隅法先以隅法乗旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乗商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乗负隅仍得二百四十为亷法以亷法减纵纵负六十六约计三商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以隅法乗旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六减负实尽得东长一百二十四【南广二十二北广二十八西长一百三十六】或再开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便　按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乗积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其余得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其説凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉
　　长方以重长重广共步及积求长广　法以共步为带纵而求长则以长数【重几长则为几数也下广数同】为负隅以广数乗积为实求广则以广数为负隅以长数乗积为实用带纵负隅减纵及翻法开之【不论求长求广但负隅数少乗积数多者积与纵常有余往往用带纵负隅减纵法负隅数多乗积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳】　假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乗积得四千三百二十为实【五乗积则得长乗广之数五而可以五广为带纵也】以二为负隅【实中无长自乗之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也】用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乗积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四　更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有余较者此则不可求长但可求广【原积无长乗较之数故不可求长原积有广自乗及广乗较之数各一故可求广】且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而余一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乗积得八千六百四十为实以一为隅算【十乗积则得广自乗及广乗较之数各十而带纵少一广故以一为隅算并纵也】以共步为带纵用隅算带纵并方亷开之得广二十四
　　长方以长广母子分数之共步及积求长广　法以长母乗广子为广率为广数以广母乗长子为长率为长数以两母相乗为总率以乗共步为带纵乃如前重长重广例求之　假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乗一得五为广率为五广以四乗二得八为长率为八长以五与四乗得二十为总率以乗共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乗积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乗积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五
　　长方匿原积以长乗重长重广积步及较或以广乗重长重广积步及较求长广　法以乗积为实并长广数为隅算而长乗求长则以广数乗较为负纵用隅算负纵减方亷开之广乗求广则以长数乗较为带纵用隅算带纵并方亷开之若广乗求长则以广数乗较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方亷兼益积开之长乗求广则以长数乗较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方亷兼减积开之假如长方匿其原积而以广乗六长三广得六千
　　九百一十二步其长广较一十二步求长者以乗积六千九百一十二为实以九为隅算以三乗较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乗隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乗旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乗商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乗隅算得五百四十减负纵得五百零四为亷法约计次商当得六以乗隅算得五十四为隅法先以隅法乗旁负纵得六百四十八益实乃以亷法除实三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乗隅算得一百零八以减亷法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷　右法更有以长乗重长重广重和重较或以广乗之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有余较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乗求长则以一乗较为带纵广乗求广则以十乗较为带纵【九广十较也】广乗求长则以一乗较为带纵又以较为旁负纵长乗求广则以十乗较为带纵又以较为旁带纵依例开之
　　长方匿原积以长乗重长重广积步及和或以广乗重长重广积步及和求长广　此与前一条相似而不同以长乗者但可求长以广乗者但可求广【隅算及负隅无旁加者势不能也故长乗不便于求广广乗不便于求长矣】法亦以乗积为实而长乗求长则以广数乗和为带纵广乗求广则以长数乗和为带纵又以长广数相减余数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方亷或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乗求长则以三乗和为带纵以三为隅算【六长三广相减长余三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也】广乗求广则以六乗和为带纵以三为负隅【六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带纵亦得六长三广也】开之是也　右法长广所乗若更兼重和重较者先约和较为长广而约得余较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乗求长则以一乗和为负纵以十一为隅算【减一长一广于隅算得九长一较也】广乗求广则以十乗和为带纵以十一为负隅【减十一广于带纵亦得九长一较也】依例开之

　　九章録要卷六
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
　　钦定四库全书
　　九章录要卷七
　　松江屠文漪撰
　　商功法
　　古九章五曰商功以御功程积实
　　堑堵求积尺　凡筑城墙堤堑之类上下广不等者法并上下广折半以髙乘之复以长乘之得积
　　堑堵求积又法　堤堑之类亦有两头之上广之下广之髙各不等者法倍东髙加入西髙以东头上下广并而乘之折半又倍西髙加入东髙以西头上下广并而乘之折半并二数以长乘之以六除之或不用两度折半者则以十二除之【右一条新订】
　　方台求积　法同粟米章方窖
　　长方台求积法同长方窖
　　员台求积　法同员窖
　　长员台求积法同长员窖
　　方锥求积　法同粟米方尖堆
　　方锥改方台求各数法　假如方锥下方二十四尺髙三十二尺今改方台上方六尺问髙几何
　　一率　二十四【原下方尺数无减】
　　二率　三十二【原髙尺数】
　　三率　一十八【今上下方较尺数】
　　四率　二十四【今髙尺数】
　　又如前例问截去几何
　　一率　二十四【下方】
　　二率　三十二【原髙】
　　三率　六【今台上方即今截下方】
　　四率　八【今所截之髙】
　　右二例若求今髙以减原髙亦得所截之髙求截髙以减原髙亦得今髙而必备其法者庻各得所求不须借径也又如前例今髙二十四尺问上方几何
　　一率　三十二【原髙】
　　二率　二十四【下方】
　　三率　八【今髙减原髙为所截之髙】
　　四率　六【今截下方即今台上方】
　　右例亦可以今髙列三率求得四率为今上下方较以减下方而得上方也
　　员台改员锥求各数　假如员台下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改员锥问髙防何
　　一率　五十四【原上下周较】
　　二率　二十四【原髙】
　　三率　七十二【今下周无减】
　　四率　三十二【今髙】
　　又如前例问增髙防何
　　一率　五十四【原上下周较】
　　二率　二十四【原髙】
　　三率　一十八【原台上周即今增下周】
　　四率　八【今所增之髙】
　　又如前例今髙三十二尺问上周
　　一率　二十四【原髙】
　　二率　五十四【原上下周较】
　　三率　三十二【今髙】
　　四率　七十二【今上下周较以减下周适尽知为员锥也】
　　右例亦可以今所增之髙列三率求得四率为所增上下周较以减原上周适尽而知为员锥也
　　又右六法方减员增特互举以见例而法则相通且方或以周算员或以径算亦皆同耳
　　堑堵增减求数法　假如筑墙上广二尺下广六尺髙二十尺今已筑至上广三尺六寸问髙防何
　　一率　四十【原上下广较化寸数】
　　二率　二十【原高尺数】
　　三率　二十四【今上下广较化寸数】
　　四率　一十二【今高尺数】
　　又如前例今欲筑至髙二十四尺问上广防何一率　二十【原高尺数】
　　二率　四十【原上下广较化寸数】
　　三率　二十四【今高尺数】
　　四率　四十八【今上下广较寸数以减下广得一十二寸为今上广】
　　堑堵以直高求斜高以斜高求直高　法以上下广较半之为勾直高为股斜高为以勾股法互求之【右一条新増】
　　功程迟速例　假如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须防日法以十八日减四十五日得二十七日为乙匠未毕之工知甲匠十八日当乙二十七日也列率求之
　　一率　二十七
　　二率　一十八
　　三率　四十五
　　四率　三十
　　又如甲匠制造六十日而毕乙匠则百日而毕问两匠并营须防日法以六十日除百日得甲匠一日之工当乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一为并营日数或以百日除六十日得乙匠一日之工当甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一【右一条新增】
　　方尖堆物求积【自此以下皆隙积之法隙积谓积之有隙者如累棊及积酒罂之类与前积尺法不同】　假如方尖堆下广十二问积防何法置下广十二别以下广加一枚为十三而乗之得一百五十六又以下广加半枚为十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得积六百五十
　　方平堆物求积　法以下广依尖堆法求积别以上广减一枚为下广依尖堆法求积两尖堆积相减得平堆积【此以平堆先作尖算乃减上虗尖成平也】
　　长方平尖堆求积【旣云尖又云平者上广只一故谓之尖上长不止于一故又谓之平也】假如长方平尖堆下广十长十二问积防何法以
　　长广较半之得一又加半枚得一有半并长得十三有半以广乗之得一百三十五又以广加一枚为十一而乗之得一千四百八十五以三除之得积四百九十五　又法先以广长较加一枚得上长而算之【上广只一不必言】假如平尖堆下广八长十三问积几何此可知上广一而长六也乃倍下长加上长得三十二以下广乗之得二百五十六又以下广乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得积三百八十四
　　长方平堆求积　法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数加上下长较【上下广较同】以髙乗之【上下长较加一数得髙上下广较亦同】以六除之得积按此法长方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之盖一法而兼四法可云居要者也
　　三角尖堆求积　假如三角尖堆下广八问积防何法置下广八别以下广加一枚为九而乗之得七十二又以下广加二枚为十而乗之得七百二十以六除之得积一百二十
　　三角平堆求积　法以上广自乗又以下广自乗又以上广乗下广又倍下广加上广并四数以髙乗之【上下广较加一数得髙】以六除之得积　按此法亦可用之三角尖堆

　　九章录要卷七
　　钦定四库全书
　　九章录要卷八
　　松江屠文漪撰
　　均输法
　　古九章六曰均输以御逺近劳费
　　均输例　假如有粮二万石令甲乙丙丁戊五县依戸口多少道里逺近价値上下而均输之每车载五十石行一里僦値一钱甲县三万零五百二十戸米石价二两乙县一万二千三百一十二戸米石价一两四钱逺输二百里丙县七千一百八十二户米石价一两六钱逺输一百五十里丁县一万三千三百四十三户米石价一两七钱逺输二百五十里戊县一万五千三百一十戸米石价一两三钱逺输三百五十里问五县各防何五县每戸各几何法以僦价并入米价以除各县户数而求各县之衰惟甲县自输本县无僦价以米价化为二十钱除户数得一千五百二十六为甲衰其乙丙丁戊四县俱有僦价各以所输里数乗僦一钱而以每载五十石除之得各运价乙县行二百里乗除得四钱并米价共一十八钱以除戸数得六百八十四为乙衰丙县行一百五十里乗除得三钱并米价共一十九钱以除戸数得三百七十八为丙衰丁县行二百五十里乗除得五钱并米价共二十二钱以除戸数得六百零六又二之一为丁衰戊县行三百五十里乗除得七钱并米价共二十钱以除戸数得七百六十五又二之一为戊衰并五衰共三千九百六十为总衰
　　一率　　三千九百六十
　　二率　　二万
　　三率　【二千五百　六百八十　三百七十　六百零六　七百六十五二十六　　四　　　　八　　　　又二之一　又二之一
　　甲　　乙　　丙　　丁　　戊】
　　四率　【七千七百　三千四百　一千九百三千零六三千八百零七石零　五十四石　零九石零十三石一六十六石七升又九　五斗四升　九升又十一　斗三升又一斗六升十九分升　又十一分　分升之一　九十九分又九十九
　　之七　　升之六　　　　升　　　　分升之三　　　　十六】
　　右已得各县米数次以各县戸数除之即得每戸数
　　逺近劳费襍例　假如僦车运货原议行路二千里载重二千四百斤给値一十五两今重三千斤行二千六百里问値防何
　　一率　四百八十万【原路及重相乗数约为四十八】
　　二率　一十五【原値两数】
　　三率　七百八十万【今路及重相乗数约为七十八】
　　四率　二十四又八分之三【今値两数】
　　右亦可用重测法
　　一率　二千【原行里数】
　　二率　一十五【原値两数】
　　三率　二千六百【今行里数】
　　四率　一十九又二之一【今行路仍载原重僦值两数】
　　又
　　一率　二千四百【今行路载原重斤数】
　　二率　一十九又二之一【原重须僦价两数】
　　三率　三千【今重斤数】
　　四率　二十四又八之三
　　右重测法或先以载重列率次以行路列率求之一率　二千四百【原重】
　　二率　一十五【原値】
　　三率　三千【今重】
　　四率　一十八又四之三【今重仍行原路僦値两数】
　　又
　　一率　二千【今重行原路】
　　二率　一十八又四之三【原路僦价】
　　三率　二千六百【今行路】
　　四率　二十四又八之三
　　又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今载三千二百斤给値一十二两问当行路防何一率　二千四百【原重】
　　二率　一十五【原値】
　　三率　三千二百【今重】
　　四率　二十【今重仍行原路僦値】
　　又
　　一率　二十【今重行原路値】
　　二率　二千【原路】
　　三率　一十二【今値】
　　四率　一千二百【今路】
　　右亦可用并测法求得四率今重兼行路之数再以今重除之得行路数【下同】
　　又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今路一千七百里给值七两六钱五分问当载重防何一率　二千【原路】
　　二率　一十五【原値两数　或化为一千五百分】
　　三率　一千七百【今路】
　　四率　一十二又四之三【今路仍载原重僦値　或化一千二百七十五分】又
　　一率　一十二又四之三【今路载原重値　或化一千二百七十五分】二率　二千四百【原重】
　　三率　七又二十之一十三【今值　或化七百六十五分】
　　四率　一千四百四十【今重】
　　又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须防日可及一率　一又二之一【先发日减较日为追上日数】
　　二率　二又二之一【驰追日数】
　　三率　一十一又二之一【较日数】
　　四率　一十九又六之一【追及日数右一条新订】
　　又如行程二千七百里十八人同行止有马七匹更换骑之十里一换问骑行歩行各防何法以马数乗行程得数以人数除之得每人骑行一千零五十里减行程余为歩行数
　　又如空车日行七十里若重载即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺防何法并空车重车日行数以三返乗之为日数列一率以空车重车日行数相乗为里数列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之
　　一率　三百六十
　　二率　三千五百
　　三率　五
　　四率　四十八又一十八之一十一【所求里数】

　　九章录要卷八
　　钦定四库全书
　　九章录要卷九
　　松江屠文漪撰
　　盈朒法
　　古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隐襍互见
　　盈不足例　假如众人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹问人数帛数各防何法以盈不足数相并为人实以分数互乗盈不足数相幷为帛实乃以分数相减之较为法除人实得人数八除帛实得帛数五十五　按盈不足数及分数互乗盈不足数俱相并若遇两盈两不足即相减惟以分数相减之较为法则诸例皆同都不用并也
　　又按右例若止求人数以乗分数而以盈不足数加减算之亦得帛数即不用互乗之法可也以下诸例仿此
　　又如田形长方欲于中截分一段截长七歩不足七歩截长九歩盈十一歩问原阔歩及所截积歩各防何法以盈不足数相幷为原阔之实以截长数互乗盈不足数相幷为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔歩九截积歩七十
　　又如绢一匹作帐折成六幅比旧帐长六寸折成七幅比旧帐短四寸问旧帐幅新绢各长防何法先以幅数各乗长短数以为盈不足数【六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸为盈朒数也】然后以盈不足数相并为旧帐幅实以幅数互乗盈不足数相并为新绢实俱以幅数之较为法除之得旧帐幅长六尺四寸新绢长四丈二尺
　　又如井不知深【谓水面以上至井口非谓水深也】将绳折作三股入井汲水余绳四尺折作四股入井余绳一尺问井深绳长各防何法先以股数各乗余绳数以为两盈数【与上帐幅例同】然后以两盈数相减为井实以股数互乗两盈数相减为绳实俱以股数之较为法除之得井深八尺绳长三丈六尺
　　又如官米不知其数甲乙二等户并输乙户所输当甲户十之八令甲等八户乙等五戸输之不足三石令甲等六户乙等八戸输之不足一石问二等户输米则例及官米总数各防何法先以甲乙二等衰各乗户数依问所列并之以为输数【此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四为输数不以原户数为输数也】然后以两不足数相减为则例之实以输数互乗两不足数相减为总米之实乃以输数之较为法除则例实以二等衰各乗之得二等戸输米则例甲每户五石乙每户四石【按以法除则例之实当得则例之数而此条乃不同者前旣以甲户乗衰作十数乙户乗衰作八数则此除得之数仅得甲户十之一乙户八之一故须以二等衰各乗之而后二等则例皆得也】又以输数之较为法除总米实得官米总六十三石
　　按右三条其法不异于前两条但中间复带细数须相乗者故微有不同耳若带分盈朒虽亦大略相类而自为一法别起例于后
　　又如长方田中欲截分一段截长三十八歩不足二十五歩截长四十歩适足问原阔歩及所截积歩各防何法以不足数为原阔之实以适足之截长数乗不足数为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔十二歩半截积五百歩【一盈一适足者仿此】
　　带分盈不足例　假如将银买物用银三分之二盈三两用五分之三不足一两问银数物价各防何法先以分子互乗分母以为用银数【分子二乗分母五则以十为用数不以二为用数分子三乗分母三则以九为用数不以三为用数】然后以盈不足数相并以两分母相乗之数乗之为银实【分子旣互乗分母以为用数则盈不足亦必累乗两分母以为银实也】以用银数互乗盈不足数相并为物价实俱以用银数之较为法除之得总银六十两物价三十七两
　　又如众人买物每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两问人数物价各防何法如前先以银率互乗人率以为出银数然后以两盈数相减以两人率相乗之数乗之为人实以出银数互乗两盈数相减为物价实俱以出银数之较为法除之得人数一十二物价两数一十五
　　按右例似与带分有别而实则同也六人共银九两即是六分之九零分法原有子数多于母数者也所用算术旣无少异宜附带分之条或别立名目重出一条徒滋学者之惑殆未深知其理之一耳　又按第一例旣以用银数互乗盈不足得数若再以用银数与乗得之数又互换而乗之【前用银数十互乗不足一两仍得十用银数九互乗盈三两得二十七今再以用银数十互乗二十七得二百七十用银数九互乗十得九十也】相并以两分子相乗之数除之以为银实【第二例亦然此姑就第一例言之】于算亦通而叠用互乗数目纷纭非法之良宜从芟削者也【右二条新订】
　　又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各防何法先以分子互乗分母及石数以为用银数以两不足数互乗石数以为两不足数然后以两不足数相减以两分母相乗之数乗之为银实以用银数互乗两不足数相减以两石数相乗之数除之为米价实俱以用银数之较为法除之得总银三十六两米每石价一两五钱
　　按右例于带分之外更有石数不齐须用乗除故其法颇繁宜依所问列左右二行左分子一乗右分母又乗右石数得一百零八为左用银数左不足三乗右石数得三十六为左不足数右亦如之然后再用互乗庻无淆乱之患　按用银数互乗两不足得数即以为米价实【不用两石数相乗之数除也】以用银数之较为法除之却再以十石除之则得十二石之总价以十二石除之则得十石之总价
　　又按用银数旣互乗两不足得数再与乗得数互换乗之相减以两石数相乗之数除之又以两分子相乗之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣【右一条新増】
　　又如谷不知数取三分之一卖银八两不足一石取九分之四卖银十两适足问总谷防何每银一两直谷防何法如前先以分子互乗分母及两数以为出谷数以适足之两数乗不足数以为不足数然后以不足数以两分母相乗之数乗之为谷实以适足之出谷数乗不足数以两两数相乗之数除之为银直实俱以出谷数之较为法除之得总谷四十五石每银一两之直谷二石
　　按右例旣得总谷石数但取适足银数以原母乘之原子除之即得总谷所直之银而银一两所直之谷可知矣此法最捷【右一条新订】
　　又按此章诸例皆可以借征法求之别着一条于第十二篇中余可反隅而得也
　　九章录要卷九
　　钦定四库全书
　　九章录要卷十
　　松江屠文漪撰
　　方程法
　　古九章八曰方程以御错揉正负
　　二色方程例　假如绫五匹纱八匹共价银二十四两又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱问绫纱每匹价各防何法依所问列左右二行以绫五互乗绫七纱四及价所得数各注于其下【绫得三十五纱得二十价得一百一十四】亦以绫七互乗绫五纱八及价注所得数如前【绫得三十五纱得五十六价得一百六十八】两绫数相对减尽两纱数减余【三十六】为法两价数减余【五十四】为实以法除实得纱每匹价一两五钱乃就一行中以纱匹数乗价减共价余以绫匹数除之得绫每匹价二两四钱
　　按右例若以纱互乗即先得绫价于法皆通以后各例仿此
　　又按例以绫互乗则两绫所得数必相对减尽矣立法之意正欲使两绫数等而后价数之不齐由于纱数之不齐显然可推也然旣知此义则以后凡同物相乘如绫之比者直可省之故槪不赘书惟于右一条具文见义云
　　又如七钗九钿共重九两四钱钗重钿轻于中互换其一则轻重适等问钗钿各重防何法依所问钗钿互换其一以六钗一钿一钗八钿左右对列而中分其总重之数系之两行如前求之得一钗之重七钱一钿之重五钱
　　二色方程兼正负例　假如卖米七石买麦三石米家得银九两六钱又卖米三石买麦九石米家出银三两六钱问米麦每石价各防何法以米为正麦为负米家所得之价为正米家所出之价为负列左右两行如前若以米互乘麦及价者【麦负九得六十三价负得二十五两二钱麦负三得九价正得二十八两八钱】而麦数减余【五十四】为法两价数相并【五十四】为实以法除实得麦每石价一两乃以麦负九石乘价减负价余以米三石除之或以麦负三石乘价并正价以米七石除之得米每石价一两八钱按负有背负之义谓正之反也亦有负欠之义此
　　例从米家卖米言之故卖米为正买麦为负米家所得之价为正所出之价为负若从麦家言者反是其并减之法此以两正及两负同名者相减一正一负异名者相并自互乗得数及已得一物之价而以其物数乗价与原正负价幷减求第二物之价皆然
　　二色正负反用并减例　凡互乗所得数固以两正两负同名相减一正一负异名相并为常法而亦有反用之者假如卖米五石麦五石得银一十四两卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各防何此若以米互乗麦与价【米系两正同名】则两米相乘所得数自必相对减尽不待乗而可知矣两麦两价俱系正负异名其乘得数固宜相并如常法也【麦正得二十麦负得三十五并得五十五价正得五十六价负得一十并得六十六】若以麦互乗米与价【麦系正负异名】则两麦相乘所得数乃须相并殊非立法之意故变通其法反以两麦相减而两米俱正同名反相并【米五得三十五米四得二十并得五十五】两价正负异名亦反相减【价正得九十八价负得一十减得八十八】此其义何也卖米买麦而出银犹之买米卖麦而得银然则正可变为负负可变为正今不变其正负之名但变其并减之法此法之变生乎常而常变不殊其用者也且非特此也同名相减取其数之齐者以相比例而其余之不齐可得而推故同减而异必并异名相减取其数之齐者以相偿补而其余之不齐亦可得而推故异减而同必并此法之变反乎常而常变各成其用者也依法求之得米每石价一两六钱麦每石价一两二钱自三色正负以上凡互乘所得数则两法并用若已得一物之价而以其物数乗价与原正负价相并减求第二物之价者只依常法不在变通之例
　　按右所论同减异并异减同并明其所以然之故益见法之当然而不可易矣乃旣经并减后所得之数谓之正乎谓之负乎此在二色方程但取其数为法实以相除犹不必深辨也若三色以上而不分正负后更与他数相并减其道何由故特剖而论之曰凡并减虽两行相对要以一行为主如以正并者【为主之行系正也】得数仍为正以负并者得数仍为负也以正减者减而有余【为主之行有余也】则为正减而不足则为负以负减者减而有余则为负减而不足则为正也此一定之理断不容混耳更有为主之行无数而借相对之行所有数虚立于本行以为数者或遇应借而不知借或借而槩称为负则非矣夫数岂可借盖实非借也试思两正相减而此少彼多犹谓之负则此无彼有得不谓之负乎【两负相减亦然】又试思以正幷负而此有正数犹取彼负以益之则此无正数得不取彼负以实之乎【以负并正亦然】故借正为负借负为正凡以同名互乘相减者固宜如是也若以异名互乗则亦当借正为正借负为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或防乎废矣兹因论并减异同而并畅其説然后以三色四色方程着例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也【右一条新订】
　　三色方程例　假如绫五匹纱三匹防五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹防七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹防九匹共价三十九两问三物每匹价各防何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱防及价又以右行中行绫互乗纱防及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主【或以中行为主亦可】减得纱正八防负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二防负一十五价负一十五注右行之旁【图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳】

　　两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得防每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价旣得绫价易见每匹二两四钱【按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正负则别为一条　又按方程章惟右一例不可用借徴法余并可以借徴求之而条缕多者方程为便】
　　三色方程兼正负例　假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹防七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换防九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各防何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘余物及价各注所得数空者阙之【依后图以上乗下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也】次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得防正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得防正三十五并得价正三十九注于两旁

　　再以二色方程法求之【物价同前例右一条新增】
　　三色方程兼正负又例【前法止于三色而已此法则四色五色所从出也】　假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二防负七价负一两八钱绫正八防负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式【惟第一行第三层第三行第二层可虗可实余必如图】专以第三行为主先以第三行纱互乗第一行绫防及价以第一行纱互乗第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得防正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借防互乗第二行绫及价以第二行防互乗第三行绫及价【就第一行互乗相并减之数而乗之非乗原数也】各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价

　　又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各防何法列三行如前以第三行与第一行互乗乃相并减借得马负一驴无并减只用乗得之数价减尽不存次与第二行互乗第三行价已尽无乗阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十

　　按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力

　　又更置其位先求一马之力【此例算家误甚故反覆以明之】

　　【右一条三式俱新订】
　　四色方程兼正负例【四色五色以上皆与三色一法聊着此以见例云】假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱　匹绢三匹共价九两又绢五匹防五匹共价一十一两又防四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各防何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得防负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得防每匹价一两二钱余价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两

　　按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乗后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乗后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乗所得之数下层之价亦然【右一条新订】

　　九章录要卷十
<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>
　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之一
　　松江屠文漪撰
　　句股法
　　古九章九曰句股以御髙深广逺
　　广曰句
　　修曰股
　　斜径曰
　　句股相减之差数曰句股较
　　句相减之差数曰句较
　　股相减之差数曰股较
　　与句股较相减之差数曰较较　【句较和　股和较】与句股和相减之差数曰和较　【句较较　股较较】
　　句股相并之通数曰句股和
　　句相并之通数曰句和
　　股相并之通数曰股和
　　与句股较相并之通数曰较和　【句和较　股较和】
　　与句股和相并之通数曰和和　【句和和　股和和】
　　句股求　法并句股实得实开方　又法并句股较实句股和实半之亦得实
　　句求股　法以句实减实得股实开方　又法以句较乗句和亦得股实
　　股求句　法以股实减实得句实开方　又法以股较乗股和亦得句实
　　句与股较求股　法以较除句实得股和【和减较半之得股和幷较半之得余仿此】　又法以句实减较实倍较而除之得股【股并较得】　又法以句实并较实倍较而除之得【减较得股】
　　股与句较求句　法以较除股实得句和　又法以股实减较实倍较而除之得句　又法以股实并较实倍较而除之得
　　句与股和求股　法以和除句实得股较　又法以句实减和实倍和而除之得股【股减和得】　又法以句实并和实倍和而除之得【减和得股】
　　股与句和求句　法以和除股实得句较　又法以股实减和实倍和而除之得句　又法以股实并和实倍和而除之得
　　句与较较求股　法以句减较较得股较股与较较求句　法以股并较较得句和句与和较求股　法以句减和较得股较股与和较求句　法以股减和较得句较句与较和求股　法以句并较和得股和股与较和求句　法以股减较和得句较句与和和求股　法以句减和和得股和股与和和求句　法以股减和和得句和与句股较求句股　法倍实减较实开方得句股和
　　与句股和求句股　法倍实减和实开方得句股较
　　句较股较求句股　法以两较相乗倍之开方得和较并股较得句并句较得股并两较得减句股和亦得
　　句和股和求句股　法以两和相乘倍之开方得和和减股和得句减句和得股减两和得减句股和亦得
　　句和股较求句股　法以和较相乘倍之开方得较较减股较得句减句和得股减一较一和得并句股较亦得
　　句较股和求句股　法以较和相乘倍之开方得较和减股和得句减句较得股减一和一较得减句股较亦得【右二条新增】
　　较较和较求句股　法以两较相减半之得股较相并半之得句　又法以两较相乘为实以两较相减为法除之得股并两较实半之以两较相减为法除之得
　　较和和和求句股　法以两和相并半之得股和相减半之得句　又法以两和相乘为实以两和相并为法除之得股并两和实半之以两和相并为法除之得
　　和较较和求句股　法以较和相减半之得句较相并半之得股　又法以较和相乗为实以较和相减为法除之得句并较和实半之以较和相减为法除之得
　　较较和和求句股　法以较和相并半之得句和相减半之得股　又法以较和相乗为实以较和相并为法除之得句并较和实半之以较和相并为法除之得【右四条新增】
　　较较较和求句股　法以较和相减半之得句股较相并半之得
　　和较和和求句股　法以较和相并半之得句股和相减半之得
　　句股求积法以句股相乗半之得积
　　【后凡称积者皆指此其云句股矩者则句股相乗之幂乃少广章所称之积指长方积而言者也】
　　与句股较求积　法以实减较实以四除之与句股和求积　法以实减和实以四除之积句求股　法倍积以句除之
　　积股求句　法倍积以股除之
　　积求句股　法以四乗积减实开方得句股较并实开方得句股和
　　积与句股较求句股　法以八乗积并较实开方得句股和以四乘积并较实开方得
　　积与句股和求句股　法以八乗积减和实开方得句股较以四乗积减和实开方得
　　【右二则或倍积以少广章纵方法求句股亦得】
　　积与较较求句股　法以四乗积以较较除之得较和
　　积与较和求句股　法以四乘积以较和除之得较较
　　积与和较求句股　法以四乗积以和较除之得和和
　　积与和和求句股　法以四乗积以和和除之得和较【右四条新增】
　　句股求容方　法以句股相乗以句股和除之得容方边
　　余句余股求容方求句股　法以余句余股相乗开方得容方边并余句得句并余股得股
　　容方与余句求余股与余股求余句　法以方自乘以余句除之得余股以余股除之得余句
　　容方与句求股与股求句法以句减容方得余句乃以句乗容方以余句除之得股以股减容方得余股乃以股乗容方以余股除之得句【右一条新增】
　　【按句股容方有法而容长方无法者容方大小有一定之形容长方则无定形故也然长方之幂亦必等于余句余股相乗之幂而可以长方与余句求余股与余股求余句盖测望诸法多本于此若以余句余股求长方则必知其长乃可求广知其广乃可求长不然即难求矣又长方形在句股之中有纵有横设以长广并余句股为句股减句股为余句股及与句求股与股求句则非知其纵横不可假如句十股六十与句十四股五十六内容长方广八长十二余句二余股四十八皆同但有纵横之异耳】
　　余句与股余股与句求容方　法以余句乗股为实以余句为带纵开平方除之得容方【余句乗股之积犹句乗容方之积故以余句为较而用长方积与较求广法也】以余股乗句为实以余股为带纵开平方除之亦得容方【义与上同】
　　两余句与股求离股容方　前例容方其方一边切句一边切股一角切此则切句与而一边乃离股者也离股处有内余句切处有外余句法以外余句乗股为实并两余句为带纵开平方除之得容方按容方若更离句者如前以外余句乗股为实并
　　两余句为带纵又以离句数为旁带纵用双带纵开平方除之得容方　又按右例虽称离股称余句然使句股互换者亦即以法互换而用之无异理也
　　句上容方【方形半在句内半在句外而句当其中也股上容方仿此】　法以句股相乗以股与半句和除之得方边
　　股上容方　法以句股相乘以句与半股和除之【按句股容长方无法者以长方大小无一定之形若半方则有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上则纵横已见而凡容方与句股余句股互求诸法皆可变通而用之　右二条新增】
　　句股求容员　法以句股相乘倍之以和和除之得容员径【即和较也】
　　句外容员【员在句外而从股直望之皆当员边也】　法以句股相乘倍之以较和除之【即较较也】
　　股外容员　法以句股相乗倍之以较较除之【即较和也】
　　外容员　法以句股相乘倍之以和较除之【即和和也】
　　句上容员【句当员径之中也】　法以句股相乗倍之以股和除之
　　股上容员　法以句股相乗倍之以句和除之上容员　法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容员【句股角当员之中央也】　法以句股相乗倍之以除之
　　句外容半员【从股直望之当员径从直望之当员边也】　法以句股相乗倍之以句较除之
　　股外容半员　法以句股相乗倍之以股较除之两句中夹容员【于一股为大小二句而员在其间也】　法以两句相乗倍之以两句和除之
　　两股中夹容员　法以两股相乗倍之以两股和除之两中夹容员　法以两相乗倍之以两较除之句与股率句和率求股【如句三股四五则股得句和二之一是为股率一句和率二也】　法以二率相乗为股准二率各自乗相减半之为句准相并半之为凖乃以句乗股准以句准除之得股以句乘准以句准除之得
　　股与句率股和率求句　法以二率相乗为句准二率各自乗相减半之为股准相并半之为准乃以股乗句准以股准除之得句以股乗准以股准除之得　假如与股率句和率及与句率股和率求句股则如右二例求各准乃以乘句准以准除之得句以乗股准以准除之得股
　　容方与股率句和率求句股与句率股和率求句股　法如右二例求各准乃以句准乗容方边以股准除之得余句并容方边得句以股准乗容方边以句准除之得余股并容方边得股【右三条新订】
　　句股比例用法　木长九尺围之三尺葛生其下围木四周上与木齐问葛长法以木长为句四周三尺相乗一十二尺为股句股求得一十五尺为葛长
　　又例　员木径二尺五寸当中为板厚七寸问板两面广法以木径为板厚为句句求股得二尺四寸为板广
　　又例员木不知其径锯深一寸锯道长一尺问木径法以锯道为句锯深倍之为股较【一面锯深一寸若两靣即深二寸故倍之】句与股较求得二尺六寸为木径
　　又例　木不知髙索不知长木梢垂索委地二尺引索斜去离木八尺乃适到地问木髙与索长法以离木为句委地为股较句与股较求股得一十五尺为木高一十七尺为索长
　　又例户不知髙广竿不知长短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之适出问户髙广与竿长法以横之不出为句较竪之不出为股较二较求句股得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长
　　又例　人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问防人各分帛防匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数【句股积乃句股相乗数之半故用八乗此只当用四乘】
　　又例　方城不知大小四靣正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为余句南门外为余股余句余股求容方得一百五十歩倍之为城方【所求容方止城方之半故倍之也】
　　又例　方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外余句直南为内余句西行为股两余句与股求离股容方得二百五十歩为城方【此已是城之全方故不用倍】
　　又例　城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒防问歩卒南行歩防何马卒东行西南行歩各防何法以南行为股东行为句西南行为歩行率为股率马行率为句和率城方之半为容方容方与股率句和率求句股得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩

　　九章录要卷十一之一
　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之二
　　松江屠文漪撰
　　句股图说
　　句股及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云
　　周髀句股员方图

<子部,天文算法类,算书之属,九章录要,卷十一之二>
　　句股相求　左右圗幂中有句股二幂之实故句股三者举两数则其一可知也
　　句股较句股和积相求　圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一【黄实是也】幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和积四者举两数则其余可知
　　句与股较求股　句实以股较为广股和为长【谓在幂内股幂外者若股实则以句较为广句和为长也】观左右图可见而后圗更显

　　全圗为幂内分一股幂即其余皆为句实而黄实固股较幂也青实之广亦股较也则句实以股较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两法应并而半之则句实以股和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得也倍较除犹之半其实也股与句较求句仿此不复为圗【右圗说新订】
　　句与股和求股　前以股较除句实得股和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句则非后圗不明

　　全图为股和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股较幂青实之广皆股较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一幂夫幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股较为广股和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除犹之半其实也股与句和求句仿此【右圗说新订】
　　句较股较求和较　两较相乗之幂二当和较之幂一各为图以相比则明

　　此图以股和为广倍句和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句较而黄实固两较相乗之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩幷朱实成句矩幷青实成股矩然则此圗中并得句矩股矩各四而存黄实为两较相乗之幂者二也乃以第二圗参之

　　此圗为和和幂于其内分句矩股矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句矩股矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之

　　此圗亦和和幂而纵横俱截一句一一股分之则一幂旁加一句股矩一句矩一股矩合为长方形固句和股和相乗之幂【句和为广股和为长是两和相乗之幂也】而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句幂股幂并之成幂一是亦一句和股和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也【右三圗并说新易】
　　句和股和求和和　两和相乗之幂二当和和之幂一观前两较求和较第三圗已明不复赘【右旧有圗说新删】
　　句和股较求较较　一和一较相乗之幂二当较较之幂一

　　全圗为句和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股较股较乗句和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句和即较较【原以一句一幷今减股则句尽而内且减一句股较矣存者宜为较较也】则两朱实一黄实一句幂并固较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代较较幂中之句幂矣故知较较幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新增】
　　句较股和求较和　一较一和相乗之幂二当较和之幂一

　　全图为股和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句较句较乘股和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股和即较和【原以一股一并今以句减股犹余句股之较并入故为较和也】则两朱实一黄实一股幂并固较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代较和幂中之股幂矣故知较和幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新増】
　　句股求容方

　　句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方旣四边等试以容方外余句言之余句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外余股言之余股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也【右图説新订】
　　容方余句余股相求

　　全图为句股矩幂于中斜界一平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而余句余股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方余句余股可互求也【右图説新订】
　　容方与句求股

　　余句与股相乗之幂犹容方邉与句相乗之幂何也余句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其幂宜等也故以句乗容方以余句除之得股也【容方与股求句仿此　右图説新増】又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青旣皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也
　　句上容方

　　股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则余句为小句半方边为小股而若以方边为小股即余句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方仿此不复为图【右图说新增】
　　九章录要卷十一之二
　　钦定四库全书
　　九章录要卷十一之三
　　松江屠文漪撰
　　句股测望法
　　句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左
　　表测髙　城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率　五【人足距表尺数　按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙】二率　六【表减目髙尺数　减表为三率】
　　三率　二十五【表距城趾尺数】
　　四率　三十【求得尺数加表十尺得城髙】
　　表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权鎭之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竪立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筩如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确
　　表测深　井不知深【谓水靣以上至井口非谓水深也】量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对靣水际相参直人目入井径四寸问井深
　　一率　四【目入井径寸数】
　　二率　三十【表髙寸数】
　　三率　四十六【井径减目入寸数】
　　四率　三百四十五【井深寸数】
　　表测逺　江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔
　　一率　二【人目减表寸数】
　　二率　一百六十【人足距表寸数】
　　三率　三十八【表髙寸数】
　　四率　三千零四十【江阔寸数】
　　又如大湖不知阔防何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔
　　一率　二【人目减表寸数】
　　二率　二百五十【人足距表寸数】
　　三率　六千五百三十八【壁表相并寸数】
　　四率　八十一万七千二百五十【湖阔寸数以里法三百六十歩歩法
　　五尺通之得四十五里一白四十五歩】
　　两表测广　城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率　二【人足距东表歩数】
　　二率　三十【两表相距歩数】
　　三率　四十【东表距城歩数】
　　四率　六百【求得歩数加两表间三十歩得广】
　　四表测逺　山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三靣表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率　五之二【立处距右后表尺数化为歩数】二率　十二【右两表间歩数　按右例四表中间正方或作长方形亦可】三率　十二前【两表间歩数　耳】
　　四率　三百六十【石逺歩数】
　　按右诸例皆句股容方及容长方以余句求余股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重测为稍异耳
　　四表测逺又法　山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右【或左亦同】任意逺近立乙表甲乙表间为大句【句股之角须令正方下小句股同】次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺
　　一率　三【小句歩数】
　　二率　二十四【小股歩数】
　　三率　四十【大句歩数】
　　四率　三百二十【石逺歩数】
　　两表重测广逺　方城隔水不知城东西广防何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差
　　一率　四十【东西表相距歩数】
　　二率　七十二【后北行距表歩数】
　　三率　一十【入索歩数】
　　四率　一十八【景差歩数】
　　次求城广
　　一率　一【前北行距表减景差余歩数】
　　二率　三十【东西表相距减入索余歩数】
　　三率　一十七【前北行距表歩数】
　　四率　五伯一十【求得歩数加表间四十歩得城广】次求城逺
　　一率　一【同上】
　　二率　五十四【后北行距表减景差余歩数】
　　三率　一十七【同上】
　　四率　九伯一十八【城逺歩数】
　　重表测高逺　海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表端齐人目高三尺问岛高
　　一率　二【前后退行距表歩数相减余尺数】
　　二率　九【表减人目髙尺数】
　　三率　八百【前后表相距歩数化为尺数】
　　四率　三千六百【求得尺数加表十二尺得岛高】次求岛去前表逺
　　一率　二【同上　按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也】二率　八百【同上】
　　三率　三百四十八【前退行距表歩数化为尺数】四率　一十三万九千二百【岛逺尺数】
　　按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竪表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也
　　矩测髙　城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高
　　一率　八【直景度　按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以】二率　十二【矩度　城髙减目为三率也】
　　三率　二十四【距城尺】数
　　四率　三十六【求得尺】数【加目高四尺得城髙】又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高
　　一率　十二【矩度】
　　二率　八【倒景度】
　　三率　三十【距墙尺数】
　　四率　二十【求得尺数加目高四尺得墙髙】
　　矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之

　　共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审　直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也【假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之　在倒景四度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙畧同前测髙例从髙测景畧同后测逺例】今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也【亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之便】其当以倒景度为一率者仿此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乗为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之
　　矩测深　井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对靣水际相参直权线在直景三度问井深
　　一率　三【直景度】
　　二率　十二【矩度】
　　三率　五【井径尺数】
　　四率　二十【井深尺数】
　　又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深
　　一率　十二【矩度】
　　二率　七【倒景度】
　　三率　二十四【池径尺数】
　　四率　一十四【池深尺数】
　　矩测逺　溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔
　　一率　三【倒景度】
　　二率　十二【矩度】
　　三率　十二【人目溪岸并尺数】
　　四率　四十八【溪阔尺数】
　　矩测广　城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广
　　一率　六【倒景度通为分数】
　　二率　六十【矩度通为分数】
　　三率　三十【距城歩数】
　　四率　三百【城广歩数】
　　重矩测髙逺　山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率　二【两倒度俱变直度相减余度数】
　　二率　十二【矩度】
　　三率　四百【两测处相距歩数化为尺数】
　　四率　二千四百【求得尺数加目四尺得山髙】次求山去前测处逺
　　一率　二【同上】
　　二率　四百【同上】
　　三率　十六【前测倒度变为直度】
　　四率　三千二百【山逺尺数】
　　按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竪为髙一理也知此可以通彼不复为例
　　重矩测深逺　石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺防何及石壁直下至水面防何深者边壁竪木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺
　　一率　二【两倒景相减余分数】
　　二率　六十【矩度通为分数】
　　三率　一十【两测处相去尺数】
　　四率　三百【水逺尺数】
　　次求前测处至水靣深
　　一率　二【同上】
　　二率　一十【同上】
　　三率　二十二【前测倒度通为分数】
　　四率　一百一十【壁深尺数】
　　按此乃以测广法测逺以测逺法测深也法无多端特用有变化耳【右一条新订】
　　半矩尺测逺　溪不知阔就溪沿立表髙五尺以矩尺缀表端矩角与表端齐从矩角望矩外端与对岸水际相参直乃回望矩内端所指处平地去表四寸问溪阔
　　一率　四【尺指处距表寸】数
　　二率　五十【表高寸数】
　　三率　五十【同前】
　　四率　六百二十五【溪阔寸数】
　　按半矩尺若于两端俱画分寸以测高深广逺亦与矩度及表相类而不如矩表之便故略而不论此特取其简易者附矩表之后云更有水景测高法置盂水【或用镜亦同】稍推移之令人目见所测物景正当水之中心乃以人目至足为小股人足至水心为小句水心距所测物之趾为大句以求大股又有日景测髙法量所测物景别立短表量其景乃以表高为小股表景为小句物景为大句以求大股二法若遇逺峰遥岛旣不免于技穷而且目取水心之景则分寸易差日当隂晦之时则测量恐废俱非通术吾无取焉

　　九章录要卷十一之三
　　钦定四库全书
　　九章录要卷十二
　　松江屠文漪撰
　　借徴法
　　衰分盈朒方程之外更有借徴之法盖借衰原于衰分疉借原于盈朒而触类通之可以穷难知之数此九章法外之巧也故以次九章之后
　　借衰互徴　借衰者本无正衰而借立虚数为衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦从其便假如商贩不知其母初往获息当母十之三以并入母再往获息当母五之三以并入母又往折阅四之一又往获倍息【母一子亦一也】以并入母又往折阅六之一亦不知实在总银防何只云更须银十两即所获子银为原母数者二问原母及总银其法任意借一数为原母且如原母十两如前计之当得总银二十六两若论母一子二则不足四两以四两之原母及总银推之而不足十两者可知也
　　一率　四【借衰不足两数】
　　二率　十【借衰原母两数】　二十六【借衰总银两数】
　　三率　十【所问不足两数】
　　四率　二十五【所问原母两数】六十五【所问总银两数】
　　又如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各防只试借大小各六为船衰计总载兵一千四百五十名以一千四百五十名所须之船推之而四千三百五十名所用船可知也
　　一率　一千四百五十【借衰兵数】
　　二率　六【借衰船数】
　　三率　四千三百五十【所问兵数】
　　四率　一十八【所问船载】
　　按右例用借衰法较之衰分章用互乗者倍防【右一条新增】
　　又如漏壶注水三时而满泄水八时而尽问且注且泄防时满一壶即借十二时推之凡注四壶泄一壶半相减得二壶半
　　一率　二壶又二分壶之一
　　二率　十二时
　　三率　一壶
　　四率　四时又五分时之四
　　又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满防何亦借十二时推之注泄相减得二壶半
　　一率　十二时
　　二率　二壶又二分壶之一
　　三率　五时又三分时之一
　　四率　一壶又九分壶之一
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即任意借一数算之且如借银二两加三度倍息得一十六两为用银之衰于十六两内减母二两余十四两为母银之衰
　　一率　十六两
　　二率　十四两
　　三率　三百两
　　四率　二百六十二两五钱
　　右例说见衰分章参观自解其意也【若四度五度而尽者即加四度五度倍息如法算之　以上四条并已见衰分章】
　　叠借互徴盈数最难知则两借虚数以徴之盖彷佛盈朒之法然原数初无盈朒而盈朒生于借数乃因其盈朒推求眞数立法尤为竒巧假如米每石价二两麦一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各防何试借米三十石用价六十两则麦一十石当用价一十六两计价总七十六两以比原总盈二两列左又借米十五石用价三十两则麦二十五石当用价四十两计价总七十两以比原总不足四两列右盈不足相并为法米麦各以所借石数及所借用价数左右互乗盈不足数相并以法除之即各得所求正数若两盈两不足者为法之数及互乗得数皆相减【与盈朒章同】
　　右例借衰或据价原总数算之而以总石数较原总以得盈朒如法乗除亦合
　　又如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫多于罗每匹六钱罗多于绢每匹八钱问三物各价防何试借二两为绫价一两四钱为罗价六钱为绢价计价总六百两比原总不足二百列左又借三两为绫价二两四钱为罗价一两六钱为绢价计价总一千一百两比原总盈三百列右三物各以所借价数互乗盈不足数如前法求之即各得正价又如赏军每马兵五名给防三匹每歩兵四名给布六匹总马歩共八千一百名给防布共九千匹问马歩各防何防布各防何试借马兵四千给防二千四百则歩兵四千一百应给布六千一百五十计总防布八千八百五十比原总不足四百五十列左又借马兵五千给防三千则歩兵三千一百应给布四千六百五十计总防布七千六百五十比原总不足一千三百五十列右马歩防布各以所借数互乗两不足数如法求之即各得正数右例借衰或据防布原总数算之而以马歩总数较原总以得盈朒如法乗除皆合【右一条新増】
　　又如大船四橹四小船二橹八今但见总作橹一百张二百零八张问大小船各防何试借大船二十橹八十小船一十橹二十则大船桨八十小船桨八十总一百六十比原总不足四十八列左又借大船十五橹六十小船二十橹四十则大船桨六十小船一百六十总二百二十比原总盈十二列右大小船及大小船橹桨各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数【右一条新增】
　　右例借衰或据桨原总数算之而以橹总数较原总得盈朒如法乗除亦同
　　又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即借三百为母三度后当用六百固盈三百列左又借二百五十为母三度后止应用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足数如法求之得原母【右一条新增】右例已见借衰互徴旣可单借而得则不须叠借矣举此以见法之无穷耳凡单借可得者亦可叠借而得若须叠借而得者往往非单借所能得也【以上五条并已见衰分章】
　　又如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须防日法先推乙匠十八日所成为四十五日内五分之二则甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之当成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之当成十五分之十三则全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得甲日【右一条已见商功章】
　　又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须防日追及法以先发日减较日知二日半追上一日半则一日追上五分日之三也因借二十日推之当追上五分日之六十减较日二分日之二十三为盈二之一列左又借十五日推之当追上五分日之四十五比较日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得追及日
　　又如空车日行七十里若载重即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺防何试借五十里推之重行三日则空行七分日之十五而五日减三日余二日止七分日之十四为盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半则重行十分日之二十一而五日减一日半余三日半固十分日之三十五为不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得路逺【右二条已见均输章俱新增】
　　又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各防何试借二十七两为银总数内以三之一九两买十石不足三两则米价当为一两二钱而以九之四一十二两买十二石不足二两四钱比原数不足四钱列左又借五十四两为银总数内以三之一一十八两买十石不足三两则米价当为二两一钱而以九之四二十四两买十二石不足一两二钱比原数盈八钱列右银总数与三之一九之四及米价各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数右例或据九分之四算之而以三分之一较原不足数以得盈朒如法乘除亦同【右一条已见盈朒章新增】
　　又如卖米五石麦五石得银一十四两又卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各防何试借二两为米价八钱为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二两四钱比原数盈四两四钱列左又借一两八钱为米价一两为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二钱比原数盈二两二钱列右米麦价各以所借数互乗两盈数如法求之即各得正数　右例或据卖米买麦数算之而以总卖价较原价以得盈朒如法乗除亦同【右一条已见方程章新增】
　　又如甲乙银各不知数别有银八十两以与甲则甲为乙数者三以与乙则乙为甲数者二问原数各防何试借四十为甲数加八十得一百二十而以其三之一四十为乙数加八十得一百二十则倍甲外盈四十列左又借七十为甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十为乙数加八十得一百三十则欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借数及所借又加八十之数互乗盈不足数如法求之即各得所问数【甲原六十四乙原四十八】
　　又如甲乙银不知数乙以十六两与甲则乙当甲三之一甲以二十四两与乙则甲当乙七之五问各实数防何试借二十九两为甲数【减二十四与乙则余五故借此数且得乙十六成四十五又为三倍乙之地也】又得乙十六两则成四十五两而乙居三之一应是一十五两并未与甲十六两共三十一两为乙数又得甲二十四两则成五十五两乃甲减二十四止余五两论甲五乙七乙止应七两固盈四十八两列左再借四十四两为甲数【以二十四与乙则余二十为五数者四又得十六成六十为三倍乙之地也】又得乙十六两则成六十两而乙居三之一应是二十两并未与甲十六两共三十六两为乙数又得甲二十四两则成六十两乃甲减二十四止余二十两论甲五乙七乙止应二十八两亦盈三十二两列右甲乙各以所借数及所借加减得失之数互乗两盈数如法求之即各得所问数【甲原七十四乙原四十六】
　　又如出师有中上下三军中军四万上军为中下二军二分之一下军为中上二军三分之一问上下军各防何试借三万为上军则中下二军应六万而下军止应二万若为中上三分之一中上止应六万而实七万固盈一万列左又借二万四千为上军则中下二军应四万八千而下军止应八千若为中上三分之一中上止应二万四千而实六万四千又盈四万列右上军下军中上二军中下二军各以所借数互乗两盈数如法求之即各得正数【上军三万二千下军二万四千】又如甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两问各原母防何试借一百两为甲母内减四之一二十五两与丙应存七十五两又赢乙二之一而为七百两是得乙六百二十五两而乙母当为一千二百五十两内旣减二之一应存六百二十五两又赢丙三之一而为七百两是得丙七十五两而丙母应为二百二十五两内旣减三之一应存一百五十两加入得甲二十五两共一百七十五两欲满七百则不足五百二十五列左又借二百两为甲母内减四之一五十两与丙应存一百五十两又赢乙二之一而为七百两是得乙五百五十两而乙母应为一千一百两内旣减二之一应存五百五十两又赢丙三之一而为七百两是得丙一百五十两而丙母应为四百五十两内旣减三之一应存三百两加入得甲五十两共三百五十两欲满七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母数及所借加减得失之数互乗两不足数如法求之即各得所问数【甲母四百乙母八百丙母九百】又如甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四问各原数防何此因三数牵连难析必以前法再三推求而得之先借一为甲衰甲加七十三当兼乙丙而倍之因以减半得三十七为乙丙数而乙丙又衰分焉且如借二为乙数则丙系三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十六若乙欲为甲丙数者三【应一百零八】固不足三十三列左【只列乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下仿此】又借五为乙数则丙系三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合数三十三若乙欲为甲丙数者三【应九十九】亦不足二十一列右乙丙各以所借数互乗两不足数如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三为甲衰加七十三以其半三十八为乙而数而乙丙又衰分之为法如前焉即借二为乙数则丙系三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十九若乙欲为甲丙数者三【应一百一十七】固不足四十二列左又借二十为乙数则丙系一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合数二十一若乙欲为甲丙数者三【应六十三】又盈三十列右乙丙各以所借数互乗盈不足数如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一于是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别为图列左而以后所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所问察之左甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加【八十三又四之一】亦得为甲丙数者三【甲丙共二十七又四之三】惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合数一十一零四之一若丙欲为甲乙数者四【应四十五】则盈五十四零四之三随列于左又审右甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加【八十五又二之一】亦得为甲丙数者三【甲丙共二十八又二之一】惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合数一十五零二之一若丙欲为甲乙数者四【应六十二】亦盈三十六零二之一随列于右甲乙丙各以衰互乗两盈数如法求之得七为甲数一十七为乙数二十三为丙数

　　九章录要卷十二
<子部,术数类,数学之属,太玄经>
　　钦定四库全书　　　　　子部七
　　太元经　　　　　　　　术数类一【数学之属】提要
　　【臣】等谨案太元经十卷汉雄撰晋范望注汉书艺文志称雄所序三十八篇太元十九其本传则称太元三方九州二十七部八十一家二百四十三表七百二十九赞分为三卷曰一二三与太初厯相应又称有首冲错测攡莹数文掜图告十一篇皆以解剥元体离散其文章句尚不存焉与艺文志十九篇之説已相违异桓谭新论则称太元经三篇十二篇合之乃十五篇较本传又多一篇案阮孝绪称太元经九卷雄自作章句隋志亦载雄太元经九卷疑汉志所云十九篇乃合其章句言之今章句已佚故篇数有异至桓谭新论则世无传本惟诸书逓相援引或讹十一为十二耳以今本校之其篇名篇数一一与本传皆合固未尝有脱佚也注其书者自汉以来惟宋衷陆绩最着至晋范望乃因二家之注勒为一编雄书本拟易而作以家准卦以首准彖以赞准爻以测准象以文准文言以攡莹掜图告准系辞以数准説卦以冲准序卦以错准杂卦全仿周易古本经传各自为篇望作注时析元首一篇分冠八十一家之前析元测一篇分系七百二十九赞之下始变其旧至今仍之其书唐艺文志作十二卷文献通考则作十卷均名曰太元经注此本十卷与通考合而卷端标题则称晋范望字叔明解赞考元测第一条下有附注曰此是宋陆二家所注即非范望注也葢范望采此注意自解经赞儒有近习防知本末妄将此注升于测曰之上以杂范注混乱义训今依范望正本移于测曰之下免误学者已下七百二十九测注并同云云考望自序亦称因陆君为本録宋所长捐其所短并首一卷本经之上散测一卷注文之中训理其义以测为据然则望所自注特其赞辞其他文则酌取二家之旧故独以解赞为文今槩称望注要其终而目之耳卷端列陆绩述元一篇据陈振孙书録解题为范本所旧有又列王涯説元五篇又列释文一卷则不知何人附入其太元图旁范望序末及元首元测之首尾凡附记九条卷末又有一跋均不署名氏考序后附记称近时林瑀瑀与贾昌朝同时则此九条当出北宋人手又王涯説元之末附题一行云右迪功郎充两浙东路提举茶盐司干办公事张实校勘则附记或出于实欤其释文一卷亦不著名氏考郑樵通志太元经释文一卷亦林瑀撰疑实刋是书时并以涯之説瑀之释文冠于编首也乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　太经卷首
　　陆绩述一篇
　　绩昔尝见同郡邹邠字伯岐与邑人书叹子云所述太连推求本不能得也镇南将军刘景升遣梁国成竒修好鄙州竒将经自随时虽幅写一通年尚暗稚甫学书毛诗王谊人事未能深索道真故不为也后数年专精读之半岁间初觉其意于是草创注解未能也章陵宋仲子为作解诂后竒复衔命寻盟仲子以所解付竒与安逺将军彭城张子布绩得览焉仲子之思虑诚为深笃然道广逺淹废厯载师读断絶难可一备故往往有违本错误绩志意岂能裕顾圣人有所不知匹夫误有所达窃缘先王询于刍荛之谊故遂卒有所述就以仲子解为本其合于道者因仍其説其失者因释而正之所以不复为一解欲令学者瞻览彼此论其曲直故合聨之尔夫之大义揲蓍之谓而仲子失其防归休咎之占靡所取定虽得文间义説大体乖矣书曰若在纲有条而弗紊今纲不正欲弗紊不可得已绩不敢茍好著作以虚誉也庶合道真使不为后世所尤而已昔子云述经而刘歆观之谓曰雄空自苦今学经者有禄利然尚不能明易又如何吾恐后人用覆酱瓿雄笑而不应雄卒大司空王邑纳言严尤闻雄死谓桓谭曰子常称雄书岂能传于后世乎谭曰必传顾君与谭不及见也班固賛序雄事曰凡人贵逺贱近亲见雄禄位容貌不能动人故轻其书子云之言文谊至深论不诡于圣人若使遭遇时君更阅贤智为所称善则必度越诸子矣自雄之没至今四十余年其法言大行而终未显又张平子与崔子玉书曰乃者以朝贺明日披读太经知子云特极隂阳之数也以其满泛故故时人不务此非特传记之属心实与五经拟汉家得二百岁卒乎所以作兴者之数其道必显一代常然之符也四百岁其兴乎竭已精思以揆其义更使人难论隂阳之事足下累世穷道极微子孙必命世不絶且幅写一通藏之以待能者绩论数君所云知子云太无疆也歆云经将覆没犹法言而今显歆之虑寻于是为漏固曰法言大行而终未显固虽云终不必其废有愈于歆谭云必传顾谭与君不见也而果传谭所思过固逺矣平子云汉之四百其兴乎汉元至今四百年矣其道大显处期甚効厥迹速其最复优乎且以歆厯谱之隠奥班固汉书之渊桓谭新论之深逺尚不能镜照经废兴之数况夫王邑严尤之伦乎览平子书令子玉深藏以待能者子玉为世大儒平子嫌不能理但令深藏益明经之为乎验虽平子焯亮其道处其炽兴之期人之材意相倍如此雄难曰师旷之调钟俟知音之在后孔子作春秋冀君子之前睹信乎斯言于是乎验雄受气纯和韬真含道通敏叡达钩深致逺建立经与圣人同趣虽周公繇大易孔子修春秋不能是过论其所述终年不能尽其美也考之古今宜曰圣人昔孔子在衰周之时不见深识或遭困苦谓之佞人列国智士称之达者不曰圣人唯弟子中言其圣耳逮至孟轲孙卿之徒及汉世贤人君子咸并服德归美谓之圣人用春秋以为王法故遂隆崇莫有非毁子云亦生衰乱之世虽不见用智者识焉桓谭之絶伦称曰圣人其事与孔子相似又述经平子处其将兴之期果如其言若道不应天合神平子无以知其行数若平子瞽言期应不宜効騐如合符契也作而应天非圣如何昔诗称母氏圣善多方曰惟圣防念作狂惟狂克念作圣洪范曰睿作圣孟轲谓栁下惠作圣人犹是言之人之受性聪明纯淑无所系輆顺天道履仁谊因可谓之圣人何常之有乎世不达圣贤之数谓圣人如鬼神而非人类岂不逺哉凡人贱近而贵逺闻绩所云其笑必矣冀值识者有以察焉
　　王涯说五篇
　　明宗一
　　之大防可知矣其微显阐幽观象察法探吉凶之朕见天地之心同夫易也是故八十一首拟乎卦者也九賛之位类夫爻者也易以八八为数其卦六十有四以九九为数故其首八十有一易之占也以变而之筮也以逢是故数有隂阳而时有昼夜首有经纬而占有旦夕参而得之谓之逢考乎其辞騐乎其数则之情得矣或曰之辞也有九之位也有四何谓也曰观乎四位以辩其性也推以柔刚賛之辞也别以否臧是故四位成列性在其中矣九虚旁通情在其中矣譬诸天道寒暑运焉晦明迁焉合而连之者易也分而着之者也四位之次曰方曰州曰部曰家最上为方顺而数之至于家家一一而转而有八十一家部三三而转故有二十七部州九九而转故有九州一方二十七首而转故有三方三方之变归乎一者也【一谓一也】是故以一生三以三生九以九生二十七以二十七生八十一三相生之数也三长【直亮切】者七八九得一二三【揲法备】一为天二为地三为人其数周而复始于八十一首故为二百四十三表也一首九賛故有七百二十九賛其外踦嬴二賛以备一仪之月数立天之道有始中终因而三之故有始始始中始终及中始中中中终及终始终中终终立地之道有下中上立人之道有思福祸三三相乗犹终始也以立九賛之位以穷天地之数以配三流之元故之首也始于中中之始也在乎一一之所配自天元甲子朔旦冬至推一昼一夜终而复始每二賛一日凡七百二十九賛而周为三百六十五日节候钟律牛踵斗指于五行所配咸列着焉以应休咎之占说隂阳之数故不观于者不可以知天不穷浑天之统不可以知人事之纪故善言者之于天人变化之际其昭昭焉故伥伥而行者不避川谷聩聩而者不闻雷霆其所不至于颠殒者幸也非正命也
　　立例二
　　夫深矣广矣逺矣大矣而师读不传者何耶义不明而例不立故也夫言有类而事有宗有宗故可得而举也有类故可得而推也故不得于文必求于数不得于数必求于象不得于象必求于心夫然故神理不遗而贤哲之情可见矣自扬子云研机防数创制经唯钜鹿侯芭子常亲承雄学然其精微独得章句不传而当世俗儒拘守所闻迷忽道真莫知其説遂令斯文幽而不光郁而不宣微言不显师法殆絶道之难行也若是上下千余载其间达者不过数人若汝南桓谭君山南阳张衡平子皆名世独立校乎羣伦探其精必谓其不废厥后章陵宋衷始作解诂吴郡陆绩释而正之于是后代学徒得闻知其防而体散剥难究其详余因暇时窃所窥览常废书而叹曰将使经之必行世也在于眀其道使不昧夷其途使不囏编之贯之防若日月则雄之学其有不兴者乎始于贞元丙子终于元和己丑而发挥注释其説备矣夫极元微尽之道在于首賛之义推类取象彰表吉凶是故其言隠其方逺案之有不测之深抽之有无穷之绪引之有极高之防至于莹攡错冲文数图告此皆互举以释经者也则夫首賛之义根本所系枝叶华藻散为诸而先儒所释详其末略其本后学观览不知其言殚精竭智无自而入故探进学之多或中道而废诬往哲以自为切问学浅道缺而贤人志士之业不嗣也故因宋陆所略推而行之其所详者则从而不议也所释止于首賛又并测而列之庶其象类晓然易知则学不劳而自悟矣之賛辞推本五行辩明气类考隂阳之数定昼夜之占是故观其施辞而吉凶善否之理见矣茍非其事文不虚行观其旧注既以阙而述虽时言其义又本其所以然盖易家人例有得位失位有无位之説以辩吉凶之由是故本数一昼一夜刚柔相推昼辞多休夜辞多咎竒数为阳耦数为隂首有隂阳賛有奇耦同则吉戾则凶自一至九五行之数首之与賛所遇不同相生为休相克为咎此其大较也至于类变因时制谊至道无体至神无方亦不可以一理推之然则审乎其时察乎其数虽糺纷万变而立言大本可得而知又吉凶善否必有其例【昼休夜咎】至有文似非吉而例则不凶深探其源必有微防此最宜审者也至于准绳规矩不同其施旧説以为非吉然此首为戾其辞皆始戾而终同如规矩方圆之相背而终成其用若琴瑟之专一孰其声圆方之共形岂适于器此其以戾而获吉也其有察辞似美而推例则乖者至如土中其庐设其舆居土之中乗君之乗吉之大者也而考于其例【当夜】理则当凶推其所以然则庐者小舍也【汉制宿卫者有直庐在殿庭中】土中正位也小人而居正位又乗君子之器祸其至焉故下云厥戒渝也凡此之例畧章一事以明之余则可以三隅反也又如中之上九既阳位又当昼时例所当吉而羣阳亢极有巅灵之凶与易之亢龙其义同验如此之类又可以例推所谓之又众所不能知也又一首之中五居正位当为首主宜极大之辞究而观之又有美辞去六者然则隂首以隂数为主阳首以阳数为首其义可明之大体贵方进贱已满七与八九皆居祸中而辞或极美者穷则变极则反也大抵以到遇之首为天时所逢賛为人事居戾之时则以得戾为吉处中之时则以失中为凶消息盈虚可以意得其余义例分见注中庶将来君子以览之也
　　揲法三
　　经曰凡筮有法不精不筮不轨不筮不以其占不若不筮当其致精诚厥有所疑然后隂言其事呵策讫乃令蓍曰假太假太孚贞爰质所疑于神于灵休则逢阳星时数辞从咎则逢隂星时数辞违【此已上并今筮辞】天之策十有八地之策十有八地虚其三以扮三【扮配也】犹大衍之数五十其用四十有九故筮以三十三策令蓍既毕然后别分一策以挂于左手之小指中分其余以三揲之并余于艻【此余数欲尽时余三及二一也】又三数之【并艻之后便都数之不中分矣前余及艻不在数限】数欲尽时至十已下得七为一画余八为二画余九为三画凡四度画之而一首之位成矣之有七八九犹易之有四象也易卦有四象之气首有三表之象
　　占法四
　　首位既成然后有隂阳昼夜经纬所逢占之欲识首之隂阳从中至养以次数之数竒为阳数耦为隂数昼夜者九賛之位于阳家则一三五七九为昼二四六八为夜于隂家则一三五七九为夜二四六八为昼经者谓一二五六七也旦筮用焉纬者三四八九也夕筮用焉日中夜中杂用一经一纬凡旦筮者旦占用经当九賛之一五七也遇阳家则一五七并为昼是谓一从二从三从始中终皆吉遇隂家则一五七并为夜是谓一违二违三违始中终皆凶【旦筮则一五七为所逢之賛而占决焉二六九为日中故经云昼夜散者祸福杂也】凡夕筮者占其中用纬当九賛之三四八也遇阳家始休中终咎若日中夜中筮者二经一纬当九賛之二六九也遇隂家始中休终咎所用賛下为始次为中上为终故经曰观始中决从终大抵吉凶休咎在昼夜从违若欲消息其文则当观首名之义及所遇賛辞与所筮之事察其象稽其美恶则之道备矣或有昼夜既从而首性賛辞遇于迓戾则可用也经云星时数辞从星者所配之宿各以其方与本五行不相违克也假如中首所配牵牛北斗水行与首同德是星从也时者所筮之时与所遇节气相逆顺也假如冬至筮遇十月以前首为逆冬至已后首为顺也数者隂阳奇耦之数以定所遇之昼夜夜为咎昼为休辞者九賛之辞与所筮之意相违否也凡此四事并当参而验之从多为休违多为咎
　　辩首五
　　天二十七首
　　中周礥闲少戾上干羡差童增锐达交耎傒从进释格夷乐争务事
　　地二十七首
　　更断毅装众密亲敛彊睟盛居法应迎遇灶大廓文礼逃唐常度永昆
　　人二十七首
　　减唫守翕聚积饰疑视沈内去晦瞢穷割止坚成防失剧驯将难勤养
　　中者万物之始且得中【辩首之辞具在经注】九虽当昼亢极凶者临也进万物扶阳而进虽当昼终亦凶也
　　亲者贵以其身下人则亲交之道着八虽当昼而处亢不能下人故君子去之也应者应时施宜七五九当昼吉自此后隂生故有戒也大者阳气盛大象丰卦九为大极虽得昼而微凶
　　唫者隂阳不通象否卦二四六八当昼当唫之时不能无咎极亦凶也穷者万物穷极思索权谋自济也九处穷极昼亦凶

<子部,术数类,数学之属,太玄经,卷首>

　　太经卷首
　　钦定四库全书
　　太经卷一　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　賛曰子云处前汉之末值王莽用事身絷乱世逊退无由是以朝隐官爵不徙昔者文王屈抑而系易仲尼当衰周而述春秋为一代之法以彰圣人之符子云志不申显于是覃思耦易着其道以隂阳为本比于庖牺之作事异道同福顺祸逆无有主名桓谭谓之絶伦张衡以拟五经非诸子之畴也自侯芭受业之后希有相传受者乃到建安年中故五业主事章陵宋衷郁林太守呉郡陆绩各以渊通之才穷核道真为十篇解释足以根其秘奥无遗滞者已然本经三卷虽有章句辞尚婉妙并宜训解且此书也淹废歴久传写文字或有脱谬宋君创之于前郁林释之于后二注并集或相错杂或相理致文字猥重颇为繁多于教者劳于诵者勌望以闇固学不博识昔在呉朝校书台观后转为郎雠讲歴年得因二君已成之业为作义注四万余言写在观阁亡其本末今更通率为注因陆君为本录宋所长捐除其短升首一卷本经之上散测一卷注文之中训理其义以测为据合为十卷十万余言意思褊浅犹惧不能发畅氏幽微之防裨闿后学未觉也【氏始作之本已画方州部家四位定五行之数分七百二十九賛为天地人三惟宋陆注本不画首象其余侯芭虞翻注本并画首象近世林氏撰后序云瑀今以旧经方州部家随首画象以四位之数列首之下五行之性参次其中三才之仪各从方立升测之辞散于賛末若此数事皆范叔明注时所定今林氏以为已意未知孰是故两存焉】
　　从中至增第一
　　驯乎浑行无穷正象天【驯顺也天也浑浑天之仪浑沦而行也无穷谓昼夜不休无穷已也正取象于浑天故言正象天也○此首都序也氏本连首辞自为一卷范望解賛时升此序于经之首将首辞散在八十一首方州部家注之下】隂阳玭参【参三也防比也以隂阳相次而三三相乗转为九矣】以一阳乘一统万物资形【资者取也隂阳相参以为三方一阳即一方也一统则天统也举一方一统则二方二统可知也三统相承以主万物故万物取形于是也】方州部家三位踈成【踈大也言隂阳乗三统为方州部家大数则三统之位乃大成也】曰陈其九九以为数生【言三方一位乃运为八十一首陈列乎其中故言九九以数生也】賛上羣纲乃综乎名【賛九賛之辞也羣纲诸阳也阳动则隂从言诸纲动于上乃综理众首之名姓故言乃综乎名也】八十一首岁事咸贞【贞正也八十一首周流一岁之事候司八节各得其正故言咸贞也】○【此首都序毕】盛哉日乎丙明离章五色淳光【盛哉者叹美之言也丙炳也离散也五色五行之方色也言日炳然明朗光耀离散于天下各随其物色光采淳明也○此测都序也测准夫子賛易诸爻之下象辞也十一篇中自为一卷至范望解賛时升此序于经首将测辞散于逐賛之末】夜则测隂昼则测阳昼夜之测或否或臧【臧善也测知也言日昼则知阳夜则知隂一隂一阳故或善或否矣】阳推五福以类升【五福夀富康宁好德终命阳为吉故与五福升也】隂幽六极以类降【降下也六极凶短折疾忧贫恶弱隂为凶故与六极退下也】升降相关大贞乃通【贞正也关交也隂阳升降更相交错天道大正气节通也】经则有南有北纬则有西有东【东西为纬南北为经经纬相错以成天文也】巡乘六甲与斗相逢【巡行也六甲日之干也言日行乗六甲周而复始以成岁事日行斗左故相逢也】厯以记岁而百谷时雍【时调也雍和也厯者羲和氏所谓厯象日月者也期三百有六旬有六日以闰月定四时是也四方之事得故百谷调和也】○【此测都序毕】
　　□【一方一州一部一家】中【此首名也天阳家一水下下象中孚卦】阳气潜萌于黄宫信无不在乎中【行属于水谓之中者冬至之节日起牛宿一度斗建子位律中黄钟夏之十一月也万物萌芽于黄宫之中故名此首为中也土为宫性其色黄故言潜萌于黄宫也水色为天天在地外天地黄是以为经之首○此首辞也象易彖曰大哉乾元已下之辞也太列浑天为八十一家各有姓名序运周普班固曰雄作太为其泰曼漶而不可知故作首冲错测攡莹数文掜图告凡十一篇以解剥体此乃一篇并序自为一卷宋衷解诂陆绩释正共为一注至范望解賛时采宋陆二家之义录长捐短就加新意以成此注散于八十一首之下】初一昆仑旁薄幽【昆浑也仑沦也天之象也旁薄犹彭魄也地之形也幽隐也言天浑沦而包于地地彭魄而在其中天之昼夜过周一度日或隐或见见照四方隐故称幽言日在地下幽隠不见也一者水也家性为水天之出入利涉大川而四时辰极冬得其正也○此五賛之辞后人目为经辞也氏本以七百二十九賛分天地人自为三卷其辞之下宋陆无注晋范望沿宋陆注测之义专解此賛自成一家次于逐首辞下而削去旧注日星节候上中下度数今且据范望本不添也】测曰昆仑旁薄思诸贞也【言天运行惟以正也】○【此是宋陆二家所注即非范望注也盖范望采此注意自解经賛儒有近习罔知本末妄将此注升于测曰之上以杂范注混乱义训今依范望正本移于测曰之下免误学者已下七百二十九测注并同】次二神战于其陈隂阳【二火也在中为心心藏神内为隂阳争为战两敌称陈十一月之时于消息为复阳当消隂隂阳相克故言战也】测曰神战于善恶并也【阳善隂恶相并夺也】次三龙出于中首尾信可以为庸【庸法也三木也木在东方故称龙也春阳之气万物所出故称出也言首尾可以为法者首出庶类万物资始故其首尾可以为法也】测曰龙出于中见其造也【首出庶物造成之也】次四庳虚无因大受性命否【四金也废则为隂隂道卑虚无所因缘待阳唱导乃和而承之欲大受反隂之义故否也】测曰庳虚无否不能大受也【隂道黙从故不能也】次五日正于天利以其辰作主【五为天子日君象也五亦为土君而有土参明于日故为天子也中央之位四方之所归故为主也日之加午光炤天下主正四方故云利也】测曰日正于天贵当位也【贵在中央于天位也】次六月阙其慱不如开明于西【六水之废也月水之精也在废之行故阙也生明于西日以就盛到十六毁圜于东方故不如开明于西也】测曰月阙其慱明始退也【臣道毁阙故明退也】次七酋酋大魁頥水包贞【七火也酋就也魁藏也包取也火始王水流下万物当成就业冬藏而养之各得其正也】测曰酋酋之包任臣则也【臣主收敛故任其则也】次八黄不黄覆秋常【八为木木上下黄故以黄谕黄亦中央之色八亦上体之中黄宜中不中者败其成就之法也】测曰黄不黄失中德也【宜中不中故失德也】上九巅灵气形反【九为金万物之所终也物之所终亦于九賛亦终于九也巅下也死气为防其形为防登于天归于地故言反也登则为神故谓之灵也】测曰巅灵之反时不克也【堪也天命终讫非所堪也】
　　□【一方一州一部二家】周【天隂家二火下中象复卦】阳气周神而反乎始物继其彚【行属于火谓之周者冬至之后阳气之所始也周复也易曰七日来复是也彚类也言万物各继续其类周复其道故谓之周周之初一日入牛宿五度也】初一还于天心何德之僭否【僭差也否不也水性周营天心至仁家性为火而水居之当依至仁之德而欲克本是为过故否也】测曰还心之否中不恕也【本末相克故不恕也】次二植中枢周无隅【二火也正午为中枢立则运言二极相当为天杠抽运周昼夜故言无隅隅方也昼夜周运言二极无方常也】测曰植中枢立督虑也【虑度也督正也运以正度也】次三出我入我吉凶之魁【魁藏也我谓三也三为木火之母也火无木不盛火盛则消木夫为人子无克母之义夫为人母无证子之道其有吉有凶犹相为隠故言吉凶之藏也】测曰出我入我不可不惧也【一则以喜何可不惧也】次四带其钩鞶锤以玉镮【四金也其于九賛在中而下腰之象也腰中之金故谓之钩钩无带不立带无钩不着相须成体以自申束不失礼节可以为王臣故有玉镮而佩也】测曰带其钩鞶自约束也【约束其身不失于礼法也】次五土中其庐设于金舆厥戒渝【渝变也易曰君子得车尚可载也五以中和之德而处金舆之位出命行令以御下臣言戒渝者安不防危故自戒无变周也】测曰庐金戒渝小臣不克也【安不忘危不为小人所胜也克胜也】次六信周其诚上通于天【亨通也六为宗庙君之所奉圣君奉神唯信唯诚故其肃敬通于天也】测曰信周其诚上通也【奉神以信故上通也】次七丰淫见其朋还于不克从【朋谓二也二七合于南见其朋故知为二也七火之王家性为火朋合故曰丰淫言淫术也而在周家周而复始故曰还也者蒙二火朋合未知所正故无所克而从之也】测曰丰淫见朋不能从也【蒙蒙未除故不能从也】次八还遇躬外其祸不大【躬身也八为祸中故言祸也虽则遇祸不入于身故不大也在祸之中藏不入已为众所明也】测曰还遇躬外祸不中也【非己之藏故不中也】上九还于丧或弃之行【九为金而在火家为火所烁故言丧也亦在秋位万物所终还而遇丧非家祸故或弃之行也】测曰还于丧其道穷也【还而遇丧故道穷也】
　　□【一方一州一部三家】礥【天阳家三木下上象屯卦】阳气微动动而礥礥物生之难也【行属于木谓之礥者礥难也冬至之节阳气微动生万物礥而难也故谓之礥礥之初一日入女宿二度也】初一黄纯于潜不见其畛藏郁于泉【畛根也郁化也此言十一月之时阳气潜在地下养万物之根荄在黄泉之下不见其根鄂也】测曰黄纯于潜化在啧也【啧情也不见其根故化由其情也】次二黄不纯屈于根【二在三下木下有火故相屈也不纯者火色黄白故曰不纯也易贲卦曰山下有火黄白色也】测曰黄不纯失中适也【不纯故不适也】次三赤子扶扶元贞有终【元始也扶扶幼小之貌也人之幼小可成可败故当正之于始也家性为木三亦为木以木扶木故有终也】测曰赤子扶扶父母瞻也【幼教长王父母之所瞻视者也】次四拔我不德以力不克【金者干干强健故为力礥难之世万民劳悴四处臣位拔之以不德恃其强力故不克也】测曰拔我德力不堪也【以力济世非所堪也】次五拔车山渊宜于大人【家性为礥土而为礥难山渊象也车在其中惟大人而拔之五为天子故称大人民溺于世唯大位而济之也】测曰拔车山渊大位力也【大位谓若周公东征禹导九河是其力也】次六将其车入于丘虚【水为崄难将车入崄在于丘虚之中非所以济世也车以喻君君而随臣臣道不正犹入丘也】测曰将车入虚道不得也【言不得君臣之道也】次七出险登丘或牵之牛【火生土故为丘七为丝绳之所用故言牵牛牛土畜也出险登丘为牛所引犹纣时之民见酷日久而遇文王拔之于疣如出险之车登在高丘为牛所引离于难也】测曰出险登丘莫之伐也【比力如牛非所伐也】次八车不拔髀轴折【家性礥难八有车象秋木被刑重自艰难牛不能引折髀败轴不能济也】测曰车不拔躬自贼也【艰难之世贼其身也】上九崇崇高山下有川波其人有辑航可与过其【其辞也辑航所以济难也九为金故称山崇高之山而有川波明其难也波川之险须辑航而济之礥难之世须圣人而拔之也】测曰高山大川不辑航不克也【克能也言非辑航不能济也】
　　□【一方一州二部一家】闲【天隂家四金中下亦象屯卦】阳气闲于隂礥然物咸见闲【行属于金谓之闲者冬至气终此首之次三小寒起于此首之次四隂虽尽于下而犹壮于上故能防闲礥礥然而万物亦皆见其防闲故谓之闲闲之初一日入女宿六度】初一蛇伏于泥无雄有雌终莫受施【一在金世子母相扶可以养物季冬土伏若雌之象故言有雌雄以喻龙而言蛇者伏在地中形未大变故以蛇谕】测曰蛇伏于泥君不君也【龙而蛇伏故不君者也】次二闲其藏固珍宝【闲闭也珍宝美道也二为平人而在闲家故自防闲不与流俗守其善道而已也】测曰闲其藏中心渊也【渊深也守道求已德之深也】次三关无键舍金管【三木故称关键籥也关而无籥故舍金管也闲闭之家宜明管籥以止出入金而无键故舍管也】测曰关无键盗入门也【无键之门盗入之也】次四拔我輗軏小得利小征【我万民也輗軏喻信也语曰大车无輗小车无軏此之谓也四臣道也有佐于君牧养万民之义非信不立故拔之以信征行也以信敎民故可以行故曰小征也】测曰拔我輗軏贵以信也【治民以道信行于下也】次五礥而闲而拔我奸而非石如石厉【厉危也五为土土中之难石之象也礥闲之世万事皆难五处中位当拔除其奸非石之固而使如石故危也】测曰礥闲如石其敌坚也【如石不拔故坚也】次六闲黄垁席金策【六为宗庙营卫也五土也五堵为垁黄中也宗庙之中故有黄垁之室金策之牀也】测曰闲黄垁以德固也【以君之德固有宗庙也】次七跙跙闲于蘧除或寝之庐【跙跙恶貌也七为无道故曰蘧除蘧除之人不能俯者也家性为闲当防闲恶人以清王道防而不固谗恶进入故或寝之庐也】测曰跙跙之闲恶在舍也【谗人进入故在舍也】次八赤臭播关大君不闲克国乘家【赤臭恶人也八东方也帝之所出故称大君而有恶人播关欲入大君故闭距而不内故称胜国乗家之势也】测曰赤臭播关恐入室也【恶人在外恐入其室也】上九闲门以终虚【家性为闲世自闲闲又有恶人欲入其室九为位终终自闲防故虚也】测曰闲门以虚终不可实也【虚己受贤故终不实身以情欲也】
　　□【二方一州二部一家】少【天阳家五土中中象谦卦】阳气澹然施于渊物溓然能自韯【行属于土谓之少者阳气澹然温和万物于土中万物始自韯幼故谓之少少之初一日入女宿十二度】初一冥自少眇于谦【眇微也为土所克而自韯幼故防于谦也谦尊而光故冥也】测曰冥自少不见谦也【谦光之家以不见为贵也】次二自少不至怀其防【火在土家子母相养以至孝道故已少不至防忧也见衰则惧故忧也】测曰自少不至谦不成也【谦虚之道若不成也】次三动韯其得人主之式【韯少也式法也三为进人进德修业以谦为本终当居位君临百姓故其以少得人主之法也】测曰韯其得人谦贞也【谦以得民是其正也】次四贫贫或妄之振【四为下禄金性刚强而在少家禄下而少故曰贫贫三为四财故曰妄振也】测曰贫贫妄振不能守正也【妄受振救故不守正也】次五地自冲下于川【五为土而在土世故称地也冲虚也家性为少土而虚少故受百川也易曰君子以虚受人此之谓也】测曰地自冲人之所圣也【必受邦国为圣君也】次六少持满今盛后倾【倾谓七也盛为六也六为水七中最盛莫多于水故称盛也盛则盈故倾也】测曰少持满何足盛也【盈则溢故不足美盛也】次七贫自究利用见富【富谓八也八为木贫为七七为火火贫故利木富也火非木不生母大则子盛故利木富也】测曰贫自究富之聘也【子贫母富故相求也】次八贫不贫人莫之振【八木之废也秋木叶落叶落归林是其充富枝枝扶踈外以是贫其实不贫故莫振也】测曰贫不贫何足敬也【不贫称贫故不足敬也】上九密雨溟沐润于枯渎三日射谷【金生水故为雨雨之细者称溟沐细密之雨能润于枯渎况于谷耶射厌也谷之受水而加以霖故厌也】测曰密雨射谷谦之静也【细以致多犹谦以致尊也】
　　□【一方一州二部三家】戾【夭隂家六水中上象睽卦】阳气孚微物各乖离而触其类【行属于水谓之戾者言阳气信微而万物乖离射地而出触类相将故谓之戾戾之初一日入虚宿四度】初一虚既邪心有倾【家性为戾水无乖戾故虚也初为下人人下而邪故心倾也乖戾之家每事失正故危也】测曰虚邪心倾怀不正也【其危在心故不正也】次二正其腹引其背酋贞【酋就也贞正也腹以喻内背以喻外自内及外自近及逺君臣道正故就贞也】测曰正其腹中心定也【内外以正故定也】次三戾其腹正其背【乖戾之家动失其实不正其内而正其外故腹戾也】测曰戾腹正背中外争也【中外不同故致争也】次四夫妻反道维家之保【四者兊位故为妻隂也所尊则为夫也夫在其外妻在其内故反道也各反其事则家道正故可保也】测曰夫妻反道各有守也【各守其正者也】次五东南射兕西北其矢【五为土土生金故为弓矢牛土畜也故为兕家性为乖兕在东南而矢西北明其乖也】测曰东南射兕不得其首也【首向也乖戾之家失其所向也】次六准绳规矩不同其施【水者平平齐也故为准规家性乖离所施各异故不同也】测曰准绳规矩乖其道也【所施不同故道乖也】次七女不女其心予覆夫諿【七为仲女乖戾之家故不女也七阳位也故称夫諿谋也予我也我谓五也心在于五欲下求正阳妇人之义无非无宜今七为女而与外谋故曰不女也】测曰女不女大可丑也【女而不女故可丑恶也】次八杀生相矢中和其道【生为兕也九克于八故杀生也矢乖也射兕东南而矢西北故相乖也八在上中故和也】测曰杀生相矢中为界也【虽其乖犹以中和自界限也】上九仓灵之雌不同宿而离失则岁之功乖【仓者东方灵神神为岁星也五星失度则妖祥生妖祥生则岁功不登也】测曰仓灵之雌失作败也【年岁不丰故败也】□【一方一州三部一家】上【天阳家七火上下象升卦】阳气育物于下咸射地而登乎上【行属于火谓之上者小寒之气万物为阳气所育养于下皆射地而上故谓之上上之初一日入虚宿八度也】初一上其纯心挫厥鏩鏩【家性为上而本火世火性炎上故曰鏩鏩也以水克火故曰挫也水性专一故称纯心也】测曰上其纯心和以悦也【纯心自抑故和悦也】次二上无根思登于天谷在于渊【上家火世二亦火也故思登于天虽其欲上当由其本进而无根虽得高位所不贵也】测曰上无根不能自治也【不进以道亡之原也】次三出于幽谷登于茂木思其珍谷【三木之王故茂也十一月之时阳气始胎到春而王故言出于幽谷登茂木也三为进人终必登高而享天禄故思珍谷也】测曰出谷登木知向方也【出谷登高所向方逺也】次四即上不贞无根繁荣孚虚名【四者兑兑为口口舌之人而在上世上不以正故言虚名亲承于五而非虚也】测曰即上不贞妄升也【处非其正故言妄升也】次五鸣鹤升自深泽阶天不防【木在水下故称深泽五在中中为天子位防慙也诗云鹤鸣九臯声闻于天五处天位以其先治声名然后升高犹舜耕歴山而升天位处之以正又何慙乎】测曰鸣鹤不防有诸中也【以道居官得人之中心也】次六升于堂颠衣到裳廷人不庆【六为宗庙故称堂也宗庙之中威仪以礼今乃颠倒衣裳朝廷之人不善之也】测曰升堂颠到失大众也【廷人不善故失大众也】次七升于颠台或柱之材【台谓八也七当上往八有高危之状故称台也高危必坠而有良辅以自柱故言或柱之材也】测曰升台柱辅弗坚也【处高终颠故弗坚也】次八升于高危或斧之梯【八为木故称梯也或谓九也九为金故称斧梯而见斧故知其危也】测曰升危斧梯失士民也【终于危坠故失士民也】上九栖于葘初亡后得基【九秋位万物之所归故称栖金在火世故为初亡见灾为惧故得基也】测曰栖葘得基后得人也【改过脩善得天下之心也】
　　□【一方一州三部二家】干【天隂家八木上中亦象升卦】阳气扶物而鑚乎坚铪然有穿【行属于木谓之干者大寒气也铪陷声也言是时隂气坚乎上阳气扶万物下而鑚之则铪然而穿故谓之干干之初一日入危宿三度也】初一丸鑚鑚干内隟厉【家性为干动辄干时水性淊渝鑚土而下故曰鑚也土可鑚入故内隟厉也】测曰丸鑚干内转丸非也【丸犹专也转心不专故非也】次二以微干正维用轨命【火性燥暴其世为干故能犯上干其非义顺纳其言故正也】测曰以微干正大谏微也【君能用谏道之微妙也】次三键挈挈匪贞【贞正也乖也键折也家性为干动则干时故乖乖折之关故曰非正也】测曰键挈挈干禄囘也【求禄不正故回邪也】次四干言入骨时贞【四为言骨谕深也入必以正故贞也】测曰干骨之时直其道也【正谏直言是其道也】次五蚩蚩干于丘饴或锡之坏【坏未成瓦也五为土故称坏丘聚也饴美食也家性为干五处天位当有坏身约已干禄百福而反蚩蚩求非其正故或锡坯土之辱有似晋文求食五鹿获块反国之庆也】测曰蚩蚩之干锡不好也【见锡以土故不好也】次六干干于天贞驯【六为宗庙故于天也驯顺也干之以正故曰贞驯也】测曰干干之贞顺可保也【顺正于君何所不保也保安也】次七何防解解遘【遘遇也七为戈兵故言防也在六之上故称何防解解防多之貌七为无道之主主而无道多所逢遇犹何防解解多絓絓罗也】测曰何防解解不容道也【解解多结故道不容也】次八赤舌烧城吐水于缾【赤舌谓九也兑为口舌八为木木生火火中之舌故赤也赤舌所败若火烧城诗曰喆妇倾城口舌之由也金生水故吐水也水灭于火虽有倾城之言以水拒之灾无由生矣】测曰赤舌吐水君子以解祟也【祟犹祸也以水解火祸之散也】上九干于浮云从坠于天【九在于世而为之终终于富贵求不以义如浮云也不义而富故坠于天也】测曰干于浮云乃从天坠也【不义之财终坠落也】
　　□【一方一州三部三家】【天阳家九金上上象临卦】阳气强内而弱外物咸扶而进乎大【行属于金谓之者阳气在内而天隂气在外万物扶而上故谓之初一日入危宿七度】初一自我匍匐好是宜德【一为下人始当升上故匍匐也宜义也家性为曼而进匍匐之貌也宜德谓五也五为君位故众下之心乐从之也】测曰匍匐宜德若无行也【匍匐而进之者若无人行也】次二荧狧狧不利有攸往【荧者明小见之貌从一至二道数至微始当匍匍而进取狧狧贪欲之意也今而见其光明后进承阳失其家性故不利有所往也】测曰荧狧狧多欲往也【往故多欲也】次三卉炎于宜于丘陵【三木故言卉二火也火生土土上之木故宜于丘陵也木之生陵进长之道故言卉炎炎盛大之貌也】测曰卉炎丘陵短临长也【短相临长大之貌】次四于酒食肥无誉【四为公侯故有酒食之道也酒食以成礼过则伐德家性为而不止以至沈湎故无誉也】测曰于酒食仕无方也【唯酒无量无常方也】次五有足托坚谷【五土也土受稼穑故为谷也亦为君位在扶之家故以足喻也临长四方禄以养贤故托之以坚谷也】测曰有足位当正也【正当君之位也】次六独逝逝利小不利大【宗庙之义神灵所在故称逝逝言其明也鬼神之道求之幽微故利小也】测曰独逝逝不可大也【幽微之道细以入神也】次七白日临辰可以卒其所闻【辰时也七为日过时之王高而无民年老事终正在于五但当论道经书自娱故言可卒其所闻也】测曰白日临辰老得势也【子世父位父得子荣故得势也】次八蚤虱之厉【家性为亦附于人故以为喻厉危也蚤虱之性茍寻而进故危也】测曰蚤虱之不足赖也【动以致危故不足赖也】上九全絭其首尾临于渊【首始也尾终也九为极渊为一也絭者相眷之义家性为匍匐而进从九反初故临于渊也】测曰全之絭恐遇困也【终始相常恐至于困也】
　　□【一方二州一部一家】羡【天阳家一水下下亦象临卦】阳气賛幽推包羡爽未得正行【行属于水谓之羡者言万物尚为隂气所包爽差也当差次而上今乃在下淫羡土中未得正行故谓之羡羡之初一日入危宿十二度也】初一羡于初其次迂涂【行属于水一亦为水家性淫羡流屈无常故言迂涂迂涂曲萦之貌也】测曰羡于初后难正也【淫羡曲萦难正以直道也】次二羡于微克复可以为仪【羡邪也仪法也二为平人虽在邪俗从之微浅而反正道故可以为法也】测曰羡微克复不逺定也【反之即是故不逺也】次三羡迂涂不能直如【三为进人进德修业而邪其道故不直也】测曰羡迂涂不能直行也【家性邪迂故不能直也】次四羡权正吉人不幸【家性为邪四在臣位虽当从俗权而自正谓如徼幸之人也】测曰羡权正善反常也【反之于常法也】次五孔道夷如蹊路微如大舆之忧【五君位也亦为大车大车老所乗也家性为邪大道平易舍而不从而从蹊径故为忧也】测曰孔道之夷奚不遵也【何不遵大道也奚何也】次六大虚既邪或直之或翼之得□夫【六处高位下之所宗故有直翼之佐矣□正也佐之以直虚邪消除故曰得正夫也】测曰虚邪□夫得贤臣也【以正自辅故得贤臣也】次七曲其故迂其涂厉之驯【驯顺也家性为邪七为失志性邪道迂故厉也以五自奉血食万姓故顺也】测曰曲其故为作意也【在上为神为神后祠作祐助之意也】次八羡其足济于沟渎面贞【面向也贞正也沟渎之难人所避也邪行避之则可以济其世虽邪邪行避难所向则正也】测曰羡其足避凶事也【向善避恶道之正也】上九车轴折其衡抈四马就括高人吐血【九金也金者干君之象也括会也抈折也轴折衡抈故四马防也高人贤者也血以润体禄以荣臣故以血为喻也上失其道贤者奔亡故言吐血也】测曰轴折吐血终不可悔也【臣之于君不合则去亦悔也】
　　□【一方二州一部二家】差【天隂家二火下中象小过卦】阳气蠢辟于东帝由羣雍物差其容【行属于火谓之差者立春节帝出于东阳气用事羣生雍容在于地中差次而出故谓之差差之初一日入危宿十六度也】初一微失自攻端【一为下人家性为差差次当上而在火世当相克害而自攻治以道自正故曰端也】测曰微失自攻人未知也【防失反正不为二五所知也】次二寖其所好将以致其所恶【二火也而在火行二火合同是其所好所恶者亲近于水水盛火衰故恶也】测曰寖其所好渐以差也【宜以渐差次而进之也】次三其亡其亡将至于辉光【木盛则华故曰晖光重言其亡其亡者安不忘危戒惧也进德脩业兢兢自惧防微虑无遂致光荣也】测曰其亡其亡震自卫也【震惧也恐惧戒自卫护也】次四过小善不克【过去也四为公侯亲近至尊奉上接下唯善是务易曰小人以小善为无益而弗为也善不积不足以成名不为小善故曰不克克能也小善不为终不能大善乎】测曰过小善不能至大也【小而不为焉能至大也】次五过门折入得此中行【门谓四中行谓五也家性为过见善而入则为中也五处天位虽在过家不违于义也】测曰过门折入近复还也【去过反贞故近还也】次六大跌过其门不入其室【跌过也过门而去不入室者嫌为五所克水在火行心不自安也】测曰大跌不入诚可患也【去过反贞故近还也】次七累卵业业惧贞安【业业危也贞正也七为火在火之行惧其炎盛故危无道之王常如累夘故以谕而自戒惧故正安】测曰累卵业业自危作安也【戒之以危危必安也】次八足累累其步蹉躟辅铭灭麋【累累履桎貌也过而不改身既被桎又见钳铭辅麋掠克故曰灭眉也】测曰足累累履祸不还也【不早自改故不还也】上九过其枯城或蘖青青【九为上极极上反下故蘖青青枯虚也枯城谓故都也家性为过过位而上故歴故都也】测曰过其枯城改过更生也【穷上反初更生之谓也】
　　□【一方二州一部三家】童【天阳家三木下上象卦】阳气始窥物僮然咸未有知【行属于木谓之童者立春之节万物孚甲始出枝叶未舒故谓之童童之初一日入营室四度】初一颛童不寤会我昬【木之初发然故言不寤也我为也三是进德修业之时今一幼稚若初发之木未修小学不欲要三童已之故言会我昬也】测曰童不寤恐终晦也【不早要三以致晦闇也】次二错于灵蓍焯于资出泥入脂【脂美也谓荣禄也二为火故曰焯蓍曰筮曰卜卜者所以决疑言出泥入脂者言卜从洿泥之中出求荣禄之处也】测曰错蓍焯比光道也【比亲也亲求光荣之道也】次三东辰以明不能以行【辰时也时明谕明师也家性为童童而未□幸见明时不能行以求觉已之故孔子曰闻义不能徙此之谓也】测曰东辰以明奚不逝也【何不往而学也】次四或后前夫先锡之光【前夫谓三也三见明师而未能就四虽在后徙义从善亲近于五附着贤者先见荣饰故曰先锡之光也光谓公侯也】测曰或后前夫先光大也【得君之光以为大也】次五柴求兕其德不美【五处天位升在童之世若幼眇之君礼仪未备盘于游田突林木以求兕兽虽实得之君子不贵故曰其得不美也】测曰柴求兕得不庆也【得之不道故不以所获相庆也】次六大开帷幕以引方客【六为宗庙春秋祭祀以神事之故开帷幕延要賔客也】测曰大开帷幕览众明也【览照四方故明也】次七脩侏侏比于朱儒【脩长也七为无道故云侏侏侏侏无所知也朱儒未成人也七虽长大而不学道侏侏然若未成之人也故以侏儒为谕焉】测曰侏侏之脩无可为也【侏侏无知何可为也】次八或击之或刺之脩其鉴渝【八为疾瘀故见击刺以治其过脩治也鉴镜也渝变也家性为童大道未开故修鉴以正其变也】测曰击之刺之过以衰也【疾瘀之王道之衰也】上九童麋触犀灰其首【麋童犀角而相抵触刚弱不等有胜有否也家性为童九为之终麋为八也犀为九也金刚木懦金克于木故灰其首也】测曰童麋触犀还自累也【抵触于人皆已之累也】
　　□【一方二州二部一家】增【天隂家四金中下象益卦】阳气蕃息物则益增日宣而殖【行属于金谓之增者阳气蕃息万物布濩而生殖长也日以増益故谓之增増之初一日入营室八度】初一闻贞增黙外人不得【贞正也一为下人在增之世故闻正道增黙然也黙然以自增不为外人所得见也】测曰闻贞增黙识内也【为内人所识别也】次二不增其方而增其光冥【火性炎上而在增世君子之道积小为髙而不增其道而便猥增耀之光故反防也方道也冥晦也】测曰不增其方徒饰外也【光荣暴增故徒饰外也】次三木以止渐增【止足也谓株根增益益根而干长求益之道也】测曰木止渐增不可益也【宜以道实故不可虚益也】次四要不克或增之戴【四为金在中称要克胜也家性为金重刚之世而在增家故曰或增公侯之位受任甚重故增而戴也】测曰要不克可败也【难戴之重故可败也】次五泽庳其容众润攸同【五土也故称泽家性为增每事皆增增之以谦则益增之以奢则损故曰不增其方而增其光冥也今五处天位反若泽之庳众水之所凑也老子曰江海所以为百谷王者以其善下也五能自卑亦所以乂邦国也】测曰泽庳其容谦虚大也【卑谦自降道之大也】次六朱车烛分一日增我三千君子庆小人伤【六为宗庙朝有朱车之饰饰过人君也烛照也照显神灵以荣生存也三千以谕多也诗云万福攸同奉祠以礼三千之福亦庆也小人当之不胜其荣故伤也】测曰朱车之增小人不得也【言不能当受神人之福祚也】次七增其高刄其削丘贞【火生土故言丘丘能自削故贞犹君子处于高位而善下人亦其正也】测曰增高刄峭与损皆行也【损已益人皆可行也】次八兼贝以役往益来【忧也古者货贝五贝为朋八木也亦为弱弱王道微弱恩泽不行俭啬褊急货赂为市日以侵折下不奉上故致忧也】测曰兼贝以役前庆后亡也【货赂为市故为前庆庆终致祸故后亡矣】上九崔嵬不崩赖彼岟崥【岟崥山足也崔嵬当崩而不崩者以用彊足之故也九在増家犹髙位之君而不危者以有贤辅之臣也能任贤自辅犹髙峻之山赖岟崥也】测曰崔嵬不崩羣士橿橿也【橿橿皆是多士而彊盛者也】

　　太经卷一
　　钦定四库全书
　　太经卷二　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　从锐至事第二
　　□【一方二州二部二家】锐【天阳家五土中中象渐卦】阳气岑以锐物之生也咸专一而不二【行属于土谓之锐者立春之节终于此首之次四雨水气起于此首之次五斗指寅太蔟用事阳气岑崟精锐万物专一而生无有差二故谓之锐锐之初一日入营室十三度】初一蟹之郭索后蚓黄泉【一水也故称泉亦为介故称蟹五为裸故称蚓言蟹之后蚓者用心之不一虽有郭索多足之蟹不及无足之蚓也】测曰蟹之郭索心不一也【用心不一故后蚓也】次二锐一无不达【火性上达既以火德而处锐家在其土行并力俱上故言无不达也】测曰锐一之达执道必也【专一之故必上达也】次三狂锐荡【三为进人但当进德修业而已在于锐家未见挫折故言锐荡也】测曰狂锐之荡不能处一也【狂荡之人故不一也】次四锐于时无不利【时者得其时也锐而必利故时无不利也】测曰锐于时得其适也【锐以时宜故得其适也】次五锐其东忘其西见其背不见其心【家性为锐茍自锐进进东则亡西见背藏心不本道实故言锐也】测曰锐东忘西不能回避也【锐东亡西故不求所宜也】次六锐于丑含于五轨万钟贞【丑类也钟聚也五轨五行也六水也虽在锐世而不失法从五行之性锐达于类万福之所聚故正也】测曰锐于丑福禄不量也【万福所钟故不可量数也】次七锐于利忝恶至【火在锐家故言利也忝辱也君子之道锐于仁义则吉锐于色利故恶至也】测曰锐于利辱在一方也【六辱于七在南方也】次八锐其锐救其败【木在其土行故相克败言锐者以木害本既非其宜故锐其木之锐故救败也】测曰锐其锐恐转作殃也【恐作殃祸克其本也】上九陵峥岸峭陁【陁堕也峥谓峥嵘也峭峻峭嵘高峻将堕于下故言陁也】测曰陵峥岸峭锐极必崩也【高峻而锐必崩堕也】
　　□【一方二州二部三家】达【天隂家六水中上象泰卦】阳气枝枝条出物莫不达【行属于水谓之达者言阳气日盛布施万物也枝条枚末莫不达者故谓之达达之初一日入壁宿一度】初一中冥独达迵迵不屈【中心也心深称冥迵通也屈尽也一中心冥冥独达于事故通而不尽也】测曰中冥独达内晓无方也【言其所晓通于四海非一方也】次二迷腹达目【二为目又为火腹在水之间水克于火息心不施故迷腹也家性为达目明外照故曰达目也】测曰迷腹达目以道不明也【目为心视故其明也】次三苍木维流厥美可以达于瓜苞【东方为春故青木也维流枝枚垂貌也苞寻蔓于地木不下其枝枚则不得蔂而蔓之而达于上民弱于下君不施仁以存恤之上下悬絶不相及也】测曰苍木维流内恕以量也【居高恕下民所附也】次四小利小达大迷扁扁不故【四为金隂称小金称利隂中之金故小利也四为下禄故小达也不能进贤专于小利故大迷也】测曰小达大迷独晓隅方也【迷不四达知一方也】次五达于中衢大小无迷【五为土土而四达故称衢家性为达而在中衢无所不通故曰小大无所迷也】测曰达于中衢道四通也【无所迷惑故四通也】次六大达无畛不要止洫作否【畛界也要中也神灵之道何界之有洫小水也有堤坊之崄善其如洫故否也】测曰大达无畛不可偏从也【神祐以福不私于人也】次七达于砭割前亡后赖【攻断之盛莫絶乎火故称砭割也火焚宿菜故为前亡以生五故后赖也】测曰达于砭割终以不废也【除故生新不废事也】次八迷目达腹【八木七为目目在木下故迷目迷则心精故达腹也】测曰迷目达腹外惑其内也【有目而迷外惑也】上九达于咎贞终誉【九在水家家性为达欲反克之故言达于咎也虽咎而贞必达于咎而预防之故有誉也】测曰达咎终誉善以道退也【以道防咎故善退也】□【一方二州三部一家】交【天阳家七火上下亦象泰卦】阳交于隂隂交于阳物登明堂矞矞皇皇【行属于火谓之交者雨水之气太蔟用事隂阳交泰万物登明明在地上故称明堂矞矞物长春风之声貌也皇皇犹荧荧也物长顺节枝枚营营而顺风交泰之时故谓之交交之初一日入壁宿六度】初一冥交于神齐不以其贞【一北方也故冥冥闇昧也亦为鬼神北方太隂隂者鬼神之府也家性为交交于鬼神必以肃敬齐也贞精诚也交于鬼神虽在防闇不以精诚神弗福也】测曰冥交不以怀非含慙也【冥闇不肃故包慙也】次二冥交有孚明如【孚信也二为平人平正之人交于神明必以诚信故曰有孚也】测曰冥交之孚信接神明也【明中平正接神信也】次三交于木石【三木四石家性为交木石相克而反交通非其所也】测曰交于木石不能向人也【舍人交石非所向也】次四往来熏熏得亡之门【礼尚往来必相往来交报有章故熏熏也交接之通上下相顾亡犹絶也不相交报交道废絶故言得亡之门也】测曰往来熏熏与神交行也【往来以道行之福也】次五交于鸎猩不获其荣【五处尊位交必其人以自匡佐交非其类何荣之有四为毛属故称鸎猩礼记曰鸎猩能言不离鸟兽君子之道无友不如已者况禽兽乎】测曰交于鸎猩鸟兽同方也【方道也交非其人故同方也】次六大圏闳闳小圈交之我有灵殽与尔殽之【圏国也闳闳敦美之意也六为宗庙齐晋江竒书有朝聘之道小国入贡必先告之宗庙故言灵殽三国交接动以礼合故言有殽共之也】测曰大小之交待贤焕光也【相交以礼焕有光仪也】次七交于鸟鼠费其资黍【七为飞鸟亦为鼠亦为弱王王弱于治而好异端牧养禽兽鸟鼠之类故言费也】测曰交于鸟鼠徒费也【无益之费故言徒也】次八戈矛往来以其贞不悔【八为矛九为戈象木锐若矛也戈则生枝亦其象也八交于九法当相克家性为交善交则和不教民战是谓弃之农隟之间讲武习兵往来戈矛交于道路无犯非礼故贞贞正也以道正之故曰不悔也】测曰戈矛往来征不可废也【讲习以时不废弃也】上九交于战伐不贞覆于城猛则噉【古者治兵以征不义侵伐不止为众所怨必为大国所吞灭也故有覆城吞噉之忧有似齐桓不修其师大陷沛泽而执涛涂也春秋讥之也】测曰交于战伐奚可遂也【遂犹久也战伐之事何可久也】
　　□【一方二州三部二家】防【天隂家八木上中象需卦】阳气能刚能柔能作能休见难而缩【行属于木谓之防者雨水气终于此首之次七惊蛰起于此首之次八是时隂尚在上万物滋生犹以为难阳气当上刚柔随时休动未定防而自缩故谓之防防之初一日入于奎宿一度也】初一赤卉方锐利进以退【赤卉草木萌牙也锐进也草木之进能如水浸寻以长日以上进家性为防故以退也】测曰赤卉方锐动以退也【当进害隂故动退者也】次二防其心作疾【作为也二七为火亦为心火在隂中防而不进故作疾也中火所作故心疾也】测曰防其心中无勇也【防缩之性故无勇也】次三防其防守其节虽勿肆终无拂【三为进人而在防家不能自退守节而已不敢肆行终无过差之所拂除也】测曰防其防体不可肆也【防缩之世不可肆行已意者也】次四防其哇三岁不噣【四为兊故称哇噣啄也家性为防防而自退故不啄也】测曰防哇不噣时数失也【防缩不言故失时也】次五黄菌不诞俟于庆云【菌不申之貌家性防退谦以自牧见居天位德泽瀐洽上应乎干故有庆云之瑞也】测曰黄菌不诞俟逑耦也【嘉庆之会必相俟也】次六缩失时或承之菑【六为宗庙君之所奉祭如神在四节不愆家性防缩又不及时故菑承也】测曰缩失时坐逋后也【后于时节故乃灾生也】次七诎其节执其术共所歾【七木子也屈节奉上于道不违故言执术术大道也歾尽也节于道执父之业歾身而已也】测曰诎节共歾内有主也【主谓父也子继父事为家之主也】次八窾枯木丁冲振其枝小人有防三郄钩罗【家性为防缩木而防缩故窾枯也窾枯之木而当冲风故振也八为疾瘀也故称小人小人而防终于郄退故钩罗也上则有金金木相近钩罗之意也】测曰窾木之振小人见侮也【钩罗于金故见侮也】上九悔缩往去来复【金在木行动相克害故悔缩金刚当进故言往去防缩之家故来复也】测曰悔缩之复得在后也【九为其终故在后也】□【一方二州三部三家】傒【天阳家九金上上亦象需卦】阳气有傒可以进而进物咸得其愿【行属于金谓之傒者惊蛰节也傒俟皆待也言阳气待时而行万物须阳而长各得其愿故谓傒傒之初一日入奎宿六度】初一冥贼傒天凶【防隂也子在其母行火之上火盛金衰故隂贼人者则天贼之故言待天凶也】测曰冥贼之傒时无吉也【隂贼之人无有吉时也】次二冥德傒天昌【火盛金衰家性为傒动相须待以害其本不即炎起故天昌之也隂得阳报此之谓也】测曰冥德之傒昌将日也【谓昌日益大之也】次三傒后时【木在金行恐见克害故傒后时也亦为进人进德修业宜当及时须待之家动则稽退故言后也】测曰傒而后之解也【宜进不进故解怠也】次四诎其角直其足维以傒谷【金性刚直故以角谕言屈刺害之角直足而行唯善是务故言傒谷谷善也】测曰屈角直足不伎刺也【角而屈屈故刺害之也】次五大爵集于宫庸小人庳傒空【土称宫庸处天之位高德所归如大爵之集高墙也小人谕无德之人非禄所秩必讥素餐故傒空也】测曰宫庸之爵不可空得也【以德致禄不可妄受之也】次六傒福贞贞食于金【贞正也六为宗庙神人玉食故言食于金六亦为水金之所生子顺母事故正也子之初生须母养故曰食金也】测曰傒福贞贞正可服也【待福以正可服者也】次七傒祸介介凶人之邮【邮谓邮亭舍也七为火盛则铄金故称凶人而待于祸在七之位故谓之舍介介有害也】测曰傒祸介介与祸期也【介介之祸应期至也】次八不祸祸傒天活我【一八木也三兴于春八衰于秋近比于九秋气将降故言不祸祸也家性为待内省无瑕时节宜耳故须天活到春蕃生如其所望故言天活我也】测曰祸不祸非厥訧也【天时使然故非其过也】上九傒尫尫天之颡【行不正称尫颡头也九为之终行不正之道待天祸之也】测曰傒尫之终不可治也【恶至祸应故不治疗也】
　　□【一方三州一部一家】从【天阳家一水下下象随卦】阳跃于渊于泽于田于岳物企其足【行属于水谓之从者言阳气徧接此四处万物莫不企足欲长而从之故谓之从从之初一日入奎宿十度】初一日幽嫔之月冥随之基【日君象也嫔羇嫔也月臣象也一在水行水中之日若在大难未发其明月而从之若旦之日日在月前故言随之君臣道正故为基也】测曰日嫔月随臣应基也【君臣相应道之基也】次二方出旭旭朋从尔丑【二隂也在离为日隂中之日故方代也旭旭未明之间丑类也日方出旭旭之时羣类莫不望之而从故曰朋从尔丑也】测曰方出朋从不知所之也【日之光明无常所也】次三人不攻之自牵从之【木性上升君子之道有过则改不待攻治而自申率相牵为善故言从之也】测曰人不攻之自然证也【牵从于善证则也】次四鸣从不臧有女承其血匡亡【四酉也为鸡故称鸣臧善也其位隂废故鸣不善也隂故称女亦称血血忧也匡所以盛也女不亲祥承忧自盛故亡也】测曰鸣从之亡奚足朋也【承匡之女不足为朋党也】次五从水之科满【科法也水之法不满不行五为天子动以法度如水平也】测曰从水满科不自越也【动以法度故从科者也】次六从其目失其腹【目以谕外腹以谕内事不两得从外失内非所以敦仁也】测曰从目失腹欲丕从也【外内宜备故欲大从也】次七拂其恶从其淑雄黄食肉【拂去也淑善也七为失志失志行张故宜除去如雄黄之除恶害也】测曰拂恶从淑救凶也【去恶从善故救凶也】次八从不淑祸飞不逐【顺从之家动宜从善入为瘀病所从不善如祸之成不可遂止故曰祸飞不逐也】测曰从不淑祸不可讼也【所从不善故不可辩讼而解也】上九从徽徽后乃登于阶终【子在其母家而相从顺故徽徽也言于阶者九而从善必登圣门故言阶也】测曰从徽徽后得功也【从善故有功者也】
　　□【一方三州一部二家】进【天隂家二火下中象晋卦】阳引而进物出溱溱开明而前【行属于火谓之晋者言阳气引万物而长溱溱然日以舒布开明而前谓之进进之初一日入奎宿一十五度】初一冥进否作退母【水在火行家性为进而火在前见害而退故作退母也水为防故冥进也】测曰冥进否邪作退也【以道不正故退之也】次二进以中刑大人独见【刑法也二为平人家性为进进必以法故言进以中刑也进必以法故称大人大人有独见之明故言独见也】测曰进以中刑刑不可外也【进以中刑故不外之也】次三狂章章不得中行【三为进人家性为进进不得中故章章也三亦为出出而失道故谓之狂也】测曰狂章章进不中也【进而失道故不中也】次四日飞县隂万物融融【日君子也县消也隂小人也四为公侯故称日也隂中之日列国之君知非天子也君子而消小人太平之道也太平之道万物茂壮故曰融融也】测曰飞县隂君道隆也【万物得所故隆盛也】次五进以欋防或杖之扶【欋防附离也五为天子而在进世当以圣道附离于臣臣则尽忠辅佐于上故曰或杖之扶扶助也】测曰进以欋防制于尊也【五位至尊众所宗制也】次六进以高明受祉无疆【高明五也高明之君奉祠神灵齐戒尽敬不失礼仪故受祉福无疆界也】测曰进以高明其道迂也【福及子孙甚迂逺也】次七进非其以咎窒耳【七为失志故进非其以也君子之道思患改过乐闻所恶咎塞耳非所以为贤也】测曰进非其以毁滋章也【恶闻其咎咎日多也】次八进于渊君子用船【八木也木而进渊知为船以济水犹君子之济民也】测曰进渊且船以道行也【进渊得船以其道也】上九逆凭山川三岁不还【九为上山故逆也　终也家性为进进而不已故终岁也山川高险终岁不还以谕难也】测曰逆凭山川终不可长也【不可久长者也】
　　□【一方三州一部三家】释【天阳家三木下上象解卦】阳气和震圜煦释物咸税其枯而解其甲【行属于木谓之释者惊蛰节终此首次二春分气起于此首次三斗指夘夹钟用事震动也圜阳气形势也煦暖也谓阳气温暖万物咸税枯解甲而生于太阳之中也故谓之释释亦解也释之初一日入娄宿三度】初一动而无名酋【酋西方也水为金子孝子之道无所成名归功于母故曰无名酋也】测曰动而无名不可得名也【归功于母不可名有也】次二动于响景【火之然也不风不盛盛则景耀而声故言动于响景也】测曰动于响景不足观也【声而不音何足听也】次三风动雷兴从其高崇【三在东方震巽之位故称雷风风动于下雷发于地上归于天二在其上可髙而尊故称高崇也】测曰风动雷兴动有为也【风雷动物为天下作用也】次四动之丘陵失泽朋【四为泽朋类也五为土土为丘陵也去四即五故动之以丘陵也以谕于人去卑即尊去泽之陵也】测曰动之丘陵失下危也【处高失旧故危之也】次五和释之脂四国之夷【和脂谕濡协也五在释家而处天位动以濡协于邻国以平四方故言四国之夷夷平也】测曰和释之脂民説无疆也【以和得民故说也】次六震于廷丧其和贞【贞正也六为宗庙五在六下故言于廷震怒也五以和顺和平四国当归功先神告成祖考家性为释唯解而已神怒民怨故丧其和正也】测曰震于廷和正俱亡也【先和后怒故皆亡也】次七震震不侮濯潄其訽【七为失志而自震怒不侮于人虽见訽怒垂自解释如濯漱垢辱去其秽也】测曰震震不侮解耻无方也【见侮而解无常辱也】次八震于利巅仆死【六七八皆称震者震动也六为母而生八八相假威势故皆称震也九为金金为利动欲之九为金所克故巅死也】测曰震于利与死偕行也【行财利之事死之原也】上九今狱后谷终说桎梏【说解也九为极极于刑狱故桎梏也家性为释虽其见狱终必解释也故用説桎梏也谷善也先狱后善故离于难也】测曰今狱后谷于彼释殃也【殃谓七也火为金殃九复于一水释火也】
　　□【一方三州二部一家】格【天隂家四金中下象大壮卦】阳气内壮能格乎羣隂攘而防之【行属于金谓之格者阳气内壮格拒羣隂也攘防而上故谓之格格之初一日入娄宿八度也】初一格内善失贞类【贞正也内善亲属之善者家性格乖不与贤者共治其亲之善者各自奔亡若微子去纣也】测曰格内善不省也【失其亲属故中外之亲不见循理也省循省也】次二格内恶幽贞类【恶谓一也一在于内一水二火来克于二故言内恶若恶亲也亲之恶者格而去之以明正道无所阿也】测曰格内恶幽贞妙也【妙美善也不阿其亲正道之妙也】次三裳格鞶钩渝【革带曰鞶钩所以属鞶也渝解也裳垂其带故钩解也三在下体下体之带故言裳也】测曰裳格鞶钩无以制也【钩带俱解故无以制节其身体者也】次四毕格禽鸟之贞【毕罔也西方之宿毕取象焉罗毕取鸟不破夘覆巢故为正也】测曰毕格禽正法位也【以道取之故法位正也】次五胶漆释弓不射角木离【五为天子漆释喻不密易曰君不密则失臣此之谓也弓以喻臣角以喻身家性为格故相乖离君臣相失如弓不发也】测曰胶漆释信不结也【君臣相失故信不结固也】次六息金消石往小来弈【弈大也美称金恶称石金生水善畏恶除故小去大来也】测曰息金消石美日大也【小往大来故曰大也】次七格其珍类緺厉【厉危也七为失志高亢其位故印绶危为印緺为绶谓小绶也】测曰格其珍类无以自匡也【乖于其官故无以自匡辅也】次八格彼鞶坚君子得时小人忧否【八为君子九为小人君子在位不畏彊御故革鞶坚也谓格九而上也小人在位以治其忧故否也】测曰格彼鞶坚谊不得行也【九品有序谊不得妄所行也】上九郭其目防其角不庳其体【击也九为角七为目九当见格而不卑身以免于难而反郭目故体免也】测曰郭目解角还自伤也【不逊求免故自伤也】□【一方三州二部二家】夷【天阳家五土中中亦象大壮】阳气伤隂无救瘣物则平易【行属于土谓之夷者春分气也于四分一息卦为大壮阳升在四去天正朔旦日除也瘣病也言此时阳气上在天下除去瘣病故万物平易而长谓之夷夷平也夷之初一日入娄宿十二度】初一载幽贰执夷内【夷平也载始也幽心也贰业也水性平易中表如一故言夷内也】测曰载幽执夷易其内也【易者夷平也水之平正内外可见也】次二隂夷冒于天防【二为平人在隂之位隂自夷平虽冒天罔不为罪也】测曰隂夷冒罔疏不失也【虽疏于罔不失正平也】次三柔婴儿于号三日不嗄【柔和也嗄忧慕之声也号而不嗄故知为婴儿也亦为多子儿之类也三以柔和之性处平易之家故不忧也】测曰婴儿于号中心和也【三为五中故中心和也】次四夷其牙或饫之徒【四为口亦为金口中之金知为牙也饫厌也夷伤也冒于饮食而不知厌让故牙伤也】测曰夷其牙食不足嘉也【食而不让何善足嘉也】次五中夷无不利【五为天子处夷平之世行中正之道化流四海莫不易利故言无不利也】测曰中夷之利其道多也【化利天下故言多也】次六夷于庐其宅丘虚【六水五土土为水庐宅水为土丘虚夷伤其庐室故宅为丘虚也】测曰夷于庐厥德亡也【庐为德覆而为丘虚故亡也】次七榦柔榦弱离木艾金夷【夷伤也火附于木而治于金故金伤也以正辅上而协断金以治于民犹火辅于木以治金也】测曰榦柔艾金弱胜彊也【以懦得民故胜也】次八夷其角厉【秋则木废叶落归本鄂若角也厉危也角而见夷故危也】测曰夷其角以威伤也【角而见伤故夷角者也】上九夷于耇利敬病年贞【贞正也九为老极而在夷世世虽平易养老乞言伤于思虑故言夷于耇也恭敬守道尽力为礼故病极年无愆故贞也】测曰夷耇之贞悬车乡也【致仕悬车在乡闾也】
　　□【一方三州二部三家】乐【天隂家六水中上象豫卦】阳始出奥舒叠得以和淖物咸喜乐【行属于水谓之乐者春分气终此首之次五清明气起于此首之次六奥暖也叠积也言是时隂气已消阳气息上万物暖暖积滞舒生和淖百卉莫不喜乐故谓之乐乐初一日入胃宿五度】初一独乐款款及不逺【水性沦下一独在下不交于上故独乐也款款独乐貌也喜乐之事与众共之所及不逺故款款也】测曰独乐款款淫其内也【乐不及逺故淫内也】次二乐不知辰于天【火性炎上而在乐世故恒喜而未知也辰时也时于天时以生万物亦所以为乐也】测曰乐不可知以时岁也【事天以意以乐岁事也】次三不宴不雅哑咋号咷倚户【三为进人始当及时未有官爵故不宴游有雅乐也呱号咷皆忧声也三亦为户忧乐失节故倚户也先忧后喜知不雅也】测曰不宴不雅礼乐废也【忧乐不节故废之也】次四拂其系絶其纗佚厥心【四为公侯纗网也佚乐之家不谨礼节故有网系之事金性刚直拂而去之上辅于五故其心佚】测曰拂其系絶纗心诚快也【得伸臣节故心快也】次五钟鼓喈喈管哜哜或承之□【喈喈和声也哜哜忧悲也五为天子当摠理万机乐而无节有似商纣牛饮长夜衰承忧兴终以失位也】测曰钟鼔喈喈乐后悲也【极乐忧兴故乃后悲也】次六大乐无间民神禽鸟之般【般乐也宗庙之中神人以和故大乐也天位施絶血食不供圣体不继故称民神与禽鸟为乐也】测曰大乐无间无不怀也【懐思也思宗庙之中事神明也】次七人嘻鬼嘻天要之期【七为失志鬼以谕明嘻笑乐之貌也家性为乐故有嘻笑之驩失志道穷故要之以期也六为七鬼水王而火死也】测曰人嘻鬼嘻称乐毕也【早宜自乐水盛火衰而天期讫也】次八嘻嘻自惧亡彼愆虞【八木也到秋而惧故先嘻嘻也愆过也过虞不戒故亡也】测曰嘻嘻自惧终自保也【保安也而常自戒则自救忧患之道而终自安也】上九极乐之几不移日而悲则哭泣之资【九为极家性为乐乐极忧兴故哭泣资忧哀之貌也易曰赍资涕洟此之谓也穷上反下灾在下旬故移日而悲哀也】测曰极乐之几信可悔也【忧咎一至悔何及也】□【一方三州三部一家】争【天阳家七火上下象讼卦】阳气汜施不偏不颇物与争讼各遵其仪【行属于火谓之争者言阳气汜施于上无私于下故万物争讼而长各遵其仪容故谓之曰争争之初一日入胃宿九度】初一争不争隠防【水性柔顺故争为不争以正国卑以致髙隠冥也】测曰争不争道之素也【争居下流道之美素也】次二吓河臞【吓虚也臞耗也河为水百川所聚二者火也而在火行为火所干故虚耗也】测曰吓河之臞何可也【火水相害不可怙恃也】次三争射龈龈【龈龈戏笑之貌也三为进人进德修业在于大射君子心争终无防恨故龈龈戏笑也】测曰争射訚訚君子让邻也【揖让而升故让邻也】次四争小利不酋贞【贞正也酋就也四金也金以木为利火世炎上利以逺及三则退故曰不就不就小利故贞也】测曰小利不絶正道乃昬也【小利为争故正道昬乱也】次五争于逵利以无方【五处中位故称逵逵九达道也五为天子执德中也】测曰争于逵争处中也【三欲射上为四所抑故争处中之位】次六臂膊胫如股脚防如维身之疾【防大也枝大于榦臣大于君皆为疾也六为宗庙下之所奉而在争世不降礼让故为疾也】测曰臂胫如股臣大隆也【君微臣盛是国之疾也】次七争干及矛防用亨于王前行【干盾也矛戈也防甲也亨通也七为戈兵而在争家动作则争被甲荷戈以御不善故利用通王之前道】测曰干矛之争卫君躬也【诗云伯也执殳为王前驱此之谓也】次八狼盈口□在其后【八东方寅为虎故称狼亦贪狼之意也虽当贪狼求盈口之食犹见谋活也故矢攻在后七为弓弩以八为狼也】测曰狼盈口不顾害也【狼贪不已弓矢在后不顾其害也】上九两虎相牙知掣者全【九八俱为虎故称两虎也家性为争金木相害两虎之争势不俱生两君之争势不俱立其知命者可以得全矣金王木死故命有所在也】测曰两虎相牙知所制也【虽当俱争宜知彊所制服也】
　　□【一方三州三部二家】务【天隂家八木上中象蛊卦】阳气勉务物咸若其心而摠其事【行属于木谓之务者言阳气已布劝勉万物及时长大咸同其心而摠其事故谓之务务之初一日入胃宿十四度】初一始务无方小人亦用罔【在务之初故言始也无方无常方也水出于泉而流百川故无常也防谓小人之知未知所向犹泉初发然也隂家之阳故称小人也】测曰始务无方非小人所理也【无方之务非小人之所能理也】次二新鲜自求珍絜精其芳君子攸行【二为火故称新鲜新鲜清洁之貌也求之于已故自珍也隂家之隂故称君子攸所也精其芬芳所行以道故曰君子攸行也】测曰新鲜自求光于已也【守道治身光由已出也】次三不拘不掣其心腐且败【三在木行隂家之象宜自抑损制从于隂而自推本二木重生故不拘也宜制不制故曰心败也】测曰不拘不掣其体不全也【临事纵心不拘体制故败不全也】次四见矢自升利羽之朋盖戴车载【四为金故称矢矢而自升羽之力也羽金朋合乃后而飞犹君臣同心乃驰风化也四为公侯故称盖车车之载物犹君子之济世也易曰君子得车尚可载也此之谓也】测曰矢及盖厥道然也【然犹是也济世之君故乃是其道也】次五蜘蛛之务不如蚕之緰【五为天子而在隂家有务之名无益于世五亦为裸故称蜘蛛蜘蛛有丝虽其勉务非人所用则不如蚕一緰之利也】测曰蜘蛛之务无益人也【隂家之阳无益于世人也】初六华实芳若用则藏若【臧善也若顺也六为隂尊宗庙之道既华而实故善顺也】测曰华芳用臧利当年也【奉之以数年夀得其当也】次七丧其芳无攸徃【攸所也往火之所务焚烧山林不别嘉卉故丧其芳也芳而见丧往复何之故无所往也】测曰丧其芳德以衰也【七为失志故德衰也】次八黄中免于祸贞【贞正也八为上中在中曰黄家性为务务德与和则祸不能害也祸不能害故正也】测曰黄中免祸和以正也【居中免祸行所致也】上九务成自败雨成自队【金生水故为隂家之阳小人之道家性为务务本虑始积小求高便乃求成故雨队也】测曰务成自败非厥命也【速则不达非天命所祐也】
　　□【一方三州三部三家】事【天阳家九金上上亦象蛊卦】阳气大冒昭职物则信信各致其力【行属于金谓之事者言阳气大覆于万物之上以明其所生职各自信于时节而生长致其力以成生民之业故谓之事事之初一日入宿四度】初一事无事至无不事【一水也昼夜不休故言至无不事也有事而云无事不德其功也性当归下子母相长故无有事于世也】测曰事无事以道行也【不言其功道大行也】次二事在枢不咨不□丧其哲符【枢始也二为平人始不咨诹为一所克以至于败故言丧其符也】测曰不咨不诹其知亡也【事不咨于谋故乃亡也】次三时往时来间不容【三为春春秋冬夏四时来往气数相袭不容毫厘也】测曰时往时来不失趣也【四时来往不失天地之趣也】次四男女事不代之字【四隂也而金居之金者干故言男在隂之位故男女事也男而女事犹为不宜况于字育故不代也】测曰男女事非厥务也【男之代女非其务也】次五事其事王假之食【五为天位处于中央政事所由不违于道为天所祐故先王假之以福禄也】测曰事其事职所任也【政事由上故任其职也】次六任大自事方来不救【宗庙之道先祖所居故任大也自事以福故言方来不以其道神弗恤也】测曰任大自事奚可堪也【鬼神不救不可堪也】次七丈人扶孤竖子提壶【七为祖父故称丈人丈人丈夫之人五则其孙介于大川不近于母故宜扶育也壶礼也竖子谓九也金为火孙故称竖也提用也金宜克木今用礼让不相克害以成事家相扶之道也】测曰丈人扶孤小子知方也【万礼法也用礼于六故以释九不克八也】次八男女事十年不诲【诲教也八为长男而在隂位故女事也十隂数也年岁终也以男为女故终岁不敎也】测曰男女事终家不亨也【男女易位家道不通也】上九到耳顺止事贞【贞正也到耳逆闻也顺行也九在事家而为之终终行时事虽有逆闻之言亦顺其道而行之也不以言先而举于人唯正是与故正也】测曰到耳顺止逆闻顺行也【逆闻顺行随事宜也】
　　太经卷二
<子部,术数类,数学之属,太玄经>
　　钦定四库全书
　　太经卷三　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　从更至应第三
　　□【二方一州一部一家】更【地阳家一水下下象革卦】阳气既飞变势易形物改其灵【行属于水谓之更者清明节终于事首之上九谷雨气起于此首之初一斗指辰姑洗用事言阳气上在天中故言既飞万物洪舒变形易体改其灵曜故谓之更更初一日入昴宿九度】初一冥化否贞若性【水居阳家故冥冥者未有所见故否水性流行故言若性若水之性故贞也】测曰冥化否贞少更方也【方当发行必改其常处也】次二时七时九轸转其道【二与七合为九金也金王则火死道数相害故轸转也家性为更更而得道故言时也】测曰时七时九不失当也【金火相避故不失于当也】次三化白于淄【三春为青木到秋则白故言化白在隂之中故言淄淄黒也家性为更展转其道故色变也】测曰化白于泥变不明也【变白为黒故不明也】次四更之小得用无不利【四阴位也阴称小金为利隂中之利故小得也更而小得故无不利也】测曰更之小得民所望也【改更而利故百姓之所瞻望也】次五童牛角马不今不古【五为天位以道化民马童牛角是其常也家性爲更更而颠倒盖非其宜既不合今亦不合古古今不合宜于之更也】测曰童牛角马变天常也【更物之性而为治术非天常道也】次六入水载车出水载杭宜于王之更【六为宗庙重阴所在下之所奉唯谨唯敬家道变改车杭易位宜在更世以求正故言宜于王之更也】测曰车杭出入其道更也【水车途船宜更道也】次七更不更以作病【火焚宿菜以殖嘉谷更之道也宜更而不更嘉谷之病也】测曰更不更能自臧也【而自否臧之道也】次八驷马跙跙而更其御【八为东方其宿值房房为天驷故曰驷马也跙跙不调也马而不调故更御也】测曰驷马跙跙更御乃良也【更以得善故良也】上九不终其德二岁见代【九在更家而为之终终始以得则不代也三者数终九亦为极极上反下宜于更之故曰见代也】测曰不终之代不可长也【不终其德何可长也】
　　□【二方一州一部二家】断【地阴家二火下中象夬卦】阳气彊内而刚外动而能有断决【行属于火谓之断者阳气上在五位之上内外刚壮能有断决于万物故谓之断断之初一日入毕宿三度】初一断心灭斧冥其绳矩【水以平施在内为心阳位火世故以斧谕斧以治木绳以正曲矩以为方墨模一正道化大行德止刚毅盛壮之治可以断疑也】测曰断心灭斧内自治也【修内表外君子所以为德也】次二冥断否在塞耳【二阴也亦为目目在阴中故冥家性为断当明目聪聴以定众疑今目既不明而塞耳掩聪不采风声故曰否也】测曰冥断否中心疑也【耳目不明故心疑也】次三决其龚利以治秽【三为巽巽为风风喘息之象也故为断决之事宜当明目聪耳依乎八议广采风俗以求比据而耳目涂塞香臭不闻非所以为断也三而决之除治秽疾议狱缓死不失其法故利以也】测曰决其龚利有谋也【除秽治疾所以谋利也】次四断我否食非其有耻【四金也在断之家宜以治人既在火行阴家之阴故曰否也民治法明临事有绩故可食禄以居官位今四公侯也断而不当见讥素餐故有耻也】测曰断我否食可耻也【耻无功者也】次五大腹决其股脱君子有断小人以活【五为天位故称君子腹谕合藏股以谕臣臣而有脱君当决正正以其理故民活也】测曰大腹决脱断得理也【决理也决理臣奸言得其道理也】次六决不决尔仇不阔乃后有钺【仇怨也阔远也钺斧也仇谓七也钺谓九也六为上禄五之所尊庙胜受斧以征不廷而所决不决故仇近也所不当断战伐将兴故后钺也】测曰决不决辜及身也【所决不决身之累也】次七庚断甲我心孔砚乃后有铄【庚义也甲仁也孔甚也砚大也铄美也七在断出失志之人犹能以义断于仁故甚大也先失后得故美在后也】测曰庚断甲义断仁也【以义断于仁者也】次八勇佅之傠盗蒙决夬【无道为佅反义为傠八为火母恃在子家阴位之阴故为盗也无道反义众恶所归故宜决也】测曰盗蒙之决妄断也【断不以义故妄也】上九斧刃蛾蛾利匠人之贞【贞正也九为金故为斧巧匠之利利斧犹明君之利利贤也匠非斧无以展其巧君非贤臣无与共其治故利匠人之正也】测曰蛾蛾之斧利征乱也【斧刀蛾蛾故可以征乱者也】
　　□【二方一州一部三家】毅【地阳家三木下上亦象夬卦】阳气方良毅然敢行物信其志【行属于木谓之毅者阳气巳盛方周六位上下良而毅毅然便行于事无所拘忌故万物信其所志长大故谓之毅毅之初一日入毕宿七度】初一怀威满虚【一水也冬则成冰故谓之威易曰履霜坚冰此之谓也虚空也虽威而消故言满虚也】测曰怀威满虚道德亡也【以威自务非道德之谓也】次二毅于心腹贞【贞正也火性炎上因其父母又在毅家益其壮大也虽则严毅怀在心腹终不宣扬以从善道故正也】测曰毅于心腹内坚刚也【守道贞正故乃坚刚也】次三戴威满头君子不足小人有余【二木重生将上刺天天气尊髙不可得及适足自见在于头上故戴威也君子之威威而不猛小人务威终则奢僣行过于恶故有余也】测曰戴威满头小人所长也【自务大也】次四君子説器其言柔且毅【金为口舌故称言金性刚疆今在阳家阳家之阴故柔且毅也刚柔相戴故称君子君子之人故能申説器用于人也柔不失刚刚不失柔四能兼之故言柔且毅也】测曰君子説器言有方也【方道也有君子之美道也】次五不田而谷毅于拣禄【五为天子家性为毅毅然自抗处高食禄故不田也处高禄贵故称拣也】测曰不田而谷食不当也【但自抗举无德于民故不当也】次六毅于栋柱利安大主【栋以谕君柱以谕臣严能毅然不违于法故利也君臣正大主安也】测曰毅于栋柱国任彊也【君臣得位故彊也】次七觥羊之毅鸣不类【类法也觥羊大羊也七主未未为羊大羊在毅家故鸣不法也】测曰觥羊之毅言不法也【羊虽觥大非鸣声之法物也】次八毅于祸贞君子攸名【八木也以毅近金故祸也在祸而正故贞终当免难故君子之所名也】测曰毅于祸贞不可幽蔀也【背已之祸故不幽隐正言之也】上九豨毅其牙发以张弧【九为金故称牙金为弧弧矢飞兵以威不法而有大豨以牙为害故以弧矢谕也】测曰豨毅其牙吏所猎也【猎捕也七为九吏难欲动七以大角角捕治之也】
　　□【二方一州二部一家】装【地阴家四金中下象旅卦】阳气虽大用事微阴据下装而欲去【行属于金谓之装者谷雨气终于此首之次三立夏起于此首之次四太阳用事微阴当升阳气方装束而消去故谓之装装之初一日入毕宿十一度】初一幽装莫见之行【行首也一为装始始当幽隐装束而徙故莫见之道路也阳气升上乃复遁下故先自隐也】测曰幽装莫见心已外也【虽尚在位当徙之心已外去也】次二鹅惨于冰翼彼南风内怀其乗【二南方也为朱鸟鸟而近水故称鹅鹅水鸟遇冰则困故惨也南风阳气乌之所利故怀其乗正也】测曰鹅之惨怀忧无快也【惨然懐忧故不快也】次三往其志或承之喜【三居阳乐进亦为进人进德及时故往其志也志意一进故有喜而承之也】测曰往其志遇所快也【福善所承故遇快也】次四鶤鸡朝飞踤于北嘤嘤相和不辍食【四为西方酉鸡也朝飞而鸣故鶤鸡也言相和者飞踤于北南则鹅南北交通故相和也鶤鸡水鸟北方水行踤得其所故食不止也】测曰鶤鸡朝飞何足赖也【羣鸟相遇所赖微也】次五鸿装于淄饮食頥頥【淄水也齐有临淄县因水为名也五为天位故称鸿鸟六亦为水水是鸿利故饮食乃頥頥也】测曰鸿装于淄大将得志也【水鸟得其水是其志矣】次六经衢周九路不限其行贾【水性流行而在装束之世处六衢之地注衍流通无所拘制商贾之索利无有限止也】测曰经六衢商旅事也【商旅之人以逺游为荣也】次七装无防利征咎【七为失志而在装家故利征也升则伤母退则畏水故咎无与两处故无防也】测曰装无防祸且至也【行而遇咎故祸至也】次八季仲播轨泣于之道用送厥往【八木也车之所用故为轨七火九金恐见焚克故言播也泣忧也七以上称季八在其中故言季仲车播其轨于季仲忧也】测曰季仲播轨送其死也【送水就金死之原也】上九装于昬【昬日入也九在装家而为之终终竟于事从一至九若日之入故以昬谕也】测曰装于昬尚可避也【昬忘之事也】
　　□【二方一州二部二家】众【地阳家五土中中象师卦】阳气信高怀齐万物宣明□大众多【行属于土谓之众者谓是时阳气徧于六位纯刚思齐万物宣明开大族类众多故谓之众众之初一日入毕宿十五度】初一冥兵始火入耳农辍马谷尸将班于田【辍止也班布也尸主也火以谕急兵众之世故农止马谷主布田畆以相□也】测曰冥兵之始始则不臧也【众兵之世故不善也】次二兵无刃师无陈麟或賔之温【二为戈在军众之家而畏于水故言无刃而不陈也麟者仁兽有角不触故以賔谕温温顔而已也】测曰兵无刃徳服无方也【德之所服无常方也】次三军或累车丈人摧孥内蹈之瑕【军众之众故称累车三无家号故言丈人也摧趣也瑕过也孥子弟也军事尚疾子弟相趣不责以礼故言内瑕也】测曰军或累车庙战内伤也【庙胜而退故心伤也】次四虎虓振廞豹胜其秘否【四西方也故称虎虓怒声也阴称之水者故称豹秘闭也腾而见闭故振廞也振廞盛怒貌也】测曰虎虓振廞如鹰之也【四称公侯在师之中而如鹰有似太公之于周武也】次五躆战喈喈若熊若螭【五为天子聚众之世交战中原故喈喈也军事勇故称熊螭也】测曰躆战喈喈恃力作王也【武威之家以力王于世也】次六大兵雷霆震其耳维用诎腹【六为大水易曰地中有水师故六为大兵也六亦为耳兵大故雷震也耳以明聴军以密成口与心计故腹屈也】测曰大兵雷霆威震无疆也【雷霆之震故无疆限也】次七旌旗絓罗干戈蛾蛾师孕唁之哭且防【师盲者也孕重身也吊生曰唁窃视称防七为目为六所见故盲也师众之事干戈为务盲孕相唁故哭且防】测曰旌旗絓罗大恨民也【旌旗絓罗故大恨也】次八兵衰衰见其病不见舆尸【衰衰痩瘠之貌也兵病于外众之所见言不见舆尸者兵已劳疾何能有所克故无尸俘以荣军也】测曰兵衰衰不血刃也【兵马劳病故不血刃也】上九斧刃缺其柯折可以止不可以伐往血【金故称斧斧柯者征伐之柄也或折或缺非所以御敌也故可以止而欲伐人则有败也】测曰刃缺柯折将不足往也【斧缺柯折故不足往也】
　　□【二方一州二部三家】密【地阴家六水中上象比卦】阳气亲天万物丸兰咸密无间【行属于水谓之密者言阳气布于六位纯刚用事万物完茂丸兰然稚密无冇间隟故谓之密密之初一日入参宿三度】初一窥之无间大幽之门【一位在下故称大幽水性密稚故无间也虽幽当开故以门谕也】测曰窥之无间密无方也【密稚如水故无方隅也】次二不密不比我心即次【我我民也即就也比比次而上也君不密则失臣火在水行共成五味犹君臣相须以济治也若不相密则民就次而去之也】测曰不密不比违厥乡也【去其常所居也】次三密于亲利以作人【三即水子故言密其亲也孝经曰不爱其亲而爱他人德之悖也故三密亲以利作人之道也】测曰密于亲为利臧也【臧善也利善人之道】次四密于腥臊三日不觉殽【殽效也三终也四为金在水之行子在其母故密也三欲亲之惧见克害故言腥臊也言相克害故终日不效也】测曰密于腥臊小恶通也【更相觉克故通恶也】次五密密不□嫔于天【五处密家而在中央上下密附无有衅□故可以嫔于天矣】测曰密密不□并天功也【并匹也功事也作天之合嫔妃于上故并天功也】次六大恶之比或益之恤【恤忧也六为大水水克于火大人为恶故曰大恶也近比于七故益之忧也】测曰大恶之比匹异同也【水与火异而或为妃春秋传曰水火妃故匹异同也】次七密有口小鳃大君在无后【君子之化密如清风火性炎上焱飞流布口语之放谁而止之鳃难也大君为六也子王于五故六为大君也大君居之能制口讼虽其小难无有后言七为口语六水七火水灭于火故止口语也】测曰密口小鳃赖君逢也【赖于大君弥缝之也】次八琢齿依龈三岁无君【三终也阳成于三故为终也密比之家唇齿相附唇亡齿寒故依龈龈哂也八木九金金克于木下不密上犹民不依君故终岁无君也】测曰琢齿依龈君自拔也【自拔出于恶也】上九密祸之比先下后得其死【九极反下火行当见故言密祸君先下民民忘其死故后得其死力也】测曰密祸之比终不可夺也【死义尽忠志不可割夺也】□【二方一州三部一家】亲【地阳家七火上下亦象比卦】阳方仁爱全真敦笃物咸亲睦【行属于火谓之亲者立夏节终于此首之次六小满气起于此首次七斗指已中吕用事阴气已消阳道得专全真敦厚万物亲睦故谓之亲亲之初一日入参宿七度】初一亲非其肤其志龃龉【水之于火气志交通然相克害不可共器隔以釜鼎故言非其肤非其肌肤之爱也龃龉相恶也力同性异行数相克故相恶也】测曰亲非其肤中心闲也【虽性通交宜分限也闲限也】次二孚其肉其志资戚【孚信也肉骨肉也资用也二为平人未仕于世志在亲戚骨肉而已也】测曰孚其肉人莫闻也【志用亲戚故人无闻知也】次三螟蛉不属蜾臝取之不迓侮【三火之母也当相亲爱行母子之恩反若螟蛉之于桑虫本非亲属义不御侮故言不迓馆也迓御也】测曰螟蛉不属失其体也【以亲为踈失其本体也】次四賔亲于礼饮食几几【几几偕也四为賔以木为主亲亲之义必以礼合故有饮食之道也金克于木而以为主者此火行也木火之母是家之长故为主也礼防之出以踈为亲况自资奉以身为賔也邪】测曰賔亲于礼賔主偕也【宾之与主俱有其礼也】次五厚不厚比人将走【五土也故称厚土则火子子而不厚父母况亲比者乎故将走也】测曰厚不厚失类无方也【子不厚母故失类也】次六厚厚君子秉斗【斗处中央而众星共之四时为取正于是六亦为水虽克其本能以厚德处中居正犹君子执中直之心无欲于人也】测曰厚厚君子得人无疆也【君子过厚故得人也】次七高亢其位庳于同事【七为无道之主在六之上高而无民故高亢也有似乎王政遂微弱势在诸侯事故庳也】测曰位高事卑德不能也【位高德卑故不能也】次八肺附干糇其干已良君子攸行【削曰肺柿曰附八木也而在亲家故言肺附如柿之附木亲在于木犹支息之附大木也支生于干干而举之故言己良亲有良干亦君子之所去而就之也】测曰肺附之行不我材也【干糇之食非材之致也】上九童亲不贞【贞正也九在火行而为之孙故称童亲顺孙之道以奉于上如其不顺为行所克故不正也】测曰童亲不贞还自荄也【荄根也从子及孙故根荄也】
　　□【二方一州三部二家】敛【地阴家八木上中象小畜卦】阳气大满于外微阴小敛于内【行属于木谓之敛者言是时纯阳据位阴在于下各自俭敛未相消动故谓之敛敛初一日入井宿三度】初一小敛不贷利用安人正国【古者十一而税天下之通法也年荒则薄赋故称小敛也不相伐劳谓疆弱各别也彊不凌弱故民安国正矣】测曰小敛不贷其道当也【安人正国得道之当也】次二墨敛韯韯□我匪贞【贞正也二火也韯少也匪不也为阴中之火故小敛也敛积之家取非其正故不贞也】测曰墨敛韯韯非所以光也【□大不正故不足为光荣】次三见小勿用以我扶防【三木也三小八大故小不用到秋八木扶防而大故可用也以谕物微可大如木扶防之时可材用也】测曰见小勿用俟我大也【舍小待大故相俟也】次四敛利小刑小进大退【四金也金克于木故小刑也收敛之家小进则相侵以至刑残不如大退守正而巳也】测曰敛利小刑其正退也【小刑为害故正退也】次五畜槃而衍茧纯于田【五为君位畜养也槃器名也衍逹也五又为上故有田之名谓自君逹民孟夏之节以田桑为务天时之利也家性为敛敛利收功唯田与桑故言纯于田也】测曰畜槃茧纯不夺时也【先天不违故不夺时也】次六闵而緜而作大元而小人不戒【六为宗庙水木之母母在宗庙下之所天世之政也水起于一当渐以进而便作大故宜戒也】测曰闵緜之戒不识微也【小人不戒故不识别也】次七夫牵于车妻为剥荼利于王姑不利公家病【火焚于木故为剥荼阳称夫夫引车于外妻剥荼于内此王姑之利也货利于私门故公家病也】测曰牵牛剥荼敛之资也【敛入私门王姑之资财也】次八大敛大巅【此本木行今八木也而在敛世八月之时枝枚扶踈叶落归本故大敛也敛过十一民财匮讫故大巅也】测曰大敛之巅所敛非也【过于十一故非也】上九敛于时利圉极菑【金在木行克利于八故敛于时也畜积之家必有储委故利圉灾也】测曰敛于时奚可几也【几近也重敛之世不可近习】
　　□【二方一州三部三家】彊【地阳家九金上上象乾卦】阳气统刚干干万物莫不彊梁【行属于金谓之彊者谓是时阳气一统而刚干在上万物彊盛谓之彊梁者彊助也彊之初一日入井宿七度】初一彊中否贞无攸用【攸所也水金子也子母之道相扶为彊故曰彊中不用文德故否正守其性故贞彊梁之人待子为势故无所用也】测曰彊中否贞不可与谋也【彊梁之人不可与谋之于世事也】次二鳯鸟于飞脩其羽君子于辰终莫之圉【二为朱鸟鸟而彊大故谓之鳯鳯之高飞必脩其羽犹君子将仕必脩其学也圉止也脩身正行文学优备而防于辰以终天禄无能止也】测曰鳯鸟于飞君子得时也【仕之时也】次三柱不中梁不隆大厦微【三称柱厦屋也屋之须柱梁犹治之须宰相也柱不固故屋微宰相不贤则国危也】测曰柱不中不能正基也【所任非人故基隤也】次四爰聦爰明左右橿橿【四在其行行数相扶故称聦明也橿橿盛也四见扶进自彊不息故左右盛也】测曰爰聦爰明庶士方来也【为臣聦明故众士来也】次五君子彊梁以德小人彊梁以力【五君位也故称君子家性为彊故以德也小人处之必以其力是故彊德以远小人也】测曰小人彊梁得位益尤也【小人得之益其过也】次六克我彊梁于天无疆【我谓六也六为金子故相保持颇能彊梁为土所克我也见克思过故受天福无疆界也】测曰克我彊梁大美无基也【不善则改故无基也】次七金刚肉柔血流于田【金以谕刑肉以谕人也行属于金今火铄之行世相克若人相刑也血以谕顺柔以谕隂阳火之位处六之上亦为田故顺于田也】测曰金刚肉柔法太伤也【火克金行故太伤也】次八彊其衰勉其弱【八木也为金所克故衰也家性为彊故彊于衰之中而自勉过但当小弱故曰勉弱也】测曰彊其衰勉自彊也【自彊于兴衰也】上九太山拔梁柱折其人颠且蹶【九为上山故称太也梁柱皆折辅佐微也君子之道以儒得民家性为彊而辅佐不固故颠蹶也】测曰山拔梁折终以猛也【九为金故刚猛也终以彊猛致于倾亡也】
　　□【二方二州一部一家】睟【地阳家一水下下亦象乾卦】阳气袀睟清明物咸重光保厥昭阳【行属于水谓之睟者言是时阳纯袀睟清明其光万物昭著保安于阳纯睟其道故谓之睟睟之初一日入井宿十一度】初一睟于内清无秽【此水行也一亦为水而家性纯睟二水重清故无秽也在初为内也】测曰睟于内清无秽也【重清居之故无秽也】次二防駮冒睟于中【慙也駮不纯也水上之火故不纯也家性纯睟而二冥冒不纯其徳在于下中故慙也】测曰冥駮冒睟中自防也【防隐也慙也在中故隐也】次三目上于天耳下于渊恭【目为二也耳为一也火性炎上故曰上天也三为进人在纯睟之世恭敬时宣耳目所耀聦明其事故上下徧也】测曰目上耳下聪察极也【上下耳目故察也】次四小人慕睟失禄贞【四者金水之母也母子之恩故相慕也言失禄者家性为睟而不纯密内相亲慕故失禄也虽失而正故贞也】测曰小人慕睟道不得也【失禄不得也】次五睟于幽黄元贞无方【五为君位处中为黄黄中通理君之美也居水之行土克于水故幽黄也中央之位纯睟其德无施不可故无常方也】测曰睟于幽黄正地则也【地色黄故乃正其法也】次六大睟承愆易【六隂也在水之行二水并合故称大五克于六故承愆也愆过之先易以成非故言易也】测曰大睟承愆小人不克也【有愆而改非小人之所能也】次七睟辰愆君子补愆【七火也为行有克故言辰愆纯睟之性有过既改犹君子之行弥缝其阙故言补也】测曰睟辰愆善补过也【君之有过则臣善补也】次八睟恶无善【八为祸中而纯于恶故言无善也】测曰睟恶无善终不可佐也【无善之人何可佐也】上九睟终永初贞【九金也水之母母为睟终长于其正纯睟之道故贞也】测曰睟终之贞诚可嘉也【永守正道故可嘉也】
　　□【二方二州一部二家】盛【地隂家二火下中象大有卦】阳气隆盛充塞物窴然尽满厥意【行属于火谓之盛者小满气终于此首之初一芒种节起于此首之次二谓是时阳气隆盛充满于天地之间故万物孕姙冥冥然满其意故谓之盛盛之初一日入井宿十六度】初一盛不墨失冥德【墨谦也冥也家性为盛隂家之阳故不墨也盛而不墨故失冥之德也】测曰盛不墨中不自克也【不自克损故失德也】次二作不恃克大有【以火居火炎炎炽盛盛而不恃须时而行故可以大有万物也】测曰作不恃称德也【大有万物故得妙也】次三怀利满匈不利于公【木为火母母而怀利明为私事故不利于公也】测曰怀利满匈营私门也【不利于公故利私门也】次四小盛臣臣大人之门【四为公侯位次于五故小盛也当上臣五恐见克害重自思虑故曰臣臣王公大人四亦为门故言大人之门也】测曰小盛臣臣事仁贤也【重臣奉五故贤之也】次五何福满肩提祸掸掸【五为天子而在盛世世盛道治君德至明故何福也提持也掸掸然敬也何福持祸而自儆戒无所失也】测曰何福提祸小人之道也【五在隂首福祸混令故曰小人之道也】次六天锡之光大开之疆于谦有庆【六为宗庙故天锡也奉之以礼而在盛世故大开其疆无限极也谦以致福故有庆矣】测曰天锡之光谦大有也【谦尊而光故大有也】次七乗火寒泉至【火至热也泉至寒也以火居火故曰乗火也阳极则隂生火死则水生水火相克故寒泉至也】测曰乗火泉至祸不远也【水克于火故祸迫也】次八挹于满荧几后之倾【倾危也几近也木在火行隂家所长子盛母劳恐见荧燎故先自挹损以为后戒不戒之家后近危也】测曰挹于满几危也【木火之家近于危也】上九极盛不救祸降自天【金者干故为天天位之终故为极在盛之家故极盛也八见七盛而知自损以为后戒九以金性而盛终必消铄故祸降也】测曰极盛不救天道反也【盛极则衰道反覆也】
　　□【二方二州一部三家】居【地阳家三木下上象家人卦】阳方躆肤赫赫为物城郭物咸得度【行属于木谓之居者言是时阳气躆万物之肌肤赫然盛大包团闗郭若城郭也故万物之生皆得其数度而安其居故谓之居居之初一日入井宿二十一度】初一匪誉匪咎克守厥家【一为下人居首之始水性墨故不求声誉以继咎悔故能保家居正而已也】测曰匪誉匪咎其道常也【无咎无誉得道之常也】次二家无壶妇承之姑或洗之涂【二木子也而隂者非女则妇壶礼也居家无礼妇尚姑事上僣丈夫犹见洗濯而以涂也】测曰家无壶无以相承也【无礼之家妇不承顺于姑也】次三长防序序子克父【三为进人家道以礼长防冇序以木居木故曰序序也克能也子能兴父事有似阳乌与太也】测曰子克父乃能有兴也【子能事父故有所兴致也】次四见豕在堂狗系之迒【四金也戌为狗六为豕亦为宗庙故见豕在堂也迒迹也狗系豕迹居家之道也】测曰见豕在堂其体不庆也【庆者不以畜牲为喜也】次五舳舻调安利富贞【五为天位居中制远前后相承故以舳舻谕也土在木行为木之财故利富之正也】测曰舳舻安和顺其疆也【调安百姓在境界也】次六外其井灶三岁见背【三终也六为水故称井井灶以谕禄食也宗庙之道酒食为先故今而见外故言三嵗背也】测曰外其井灶三岁不享也【井灶见外故不享祭也】次七老夫擐车少女提壶利考家【七木之子也以八为父五为车八引于五故曰擐车也考成也壶礼也七为仲女八位过老而得仲敬故谓之少有礼之女以成家事故利考家也】测曰老父擐车其体乃庄也【利于少女故自严庄以戒慎也】次八反其几双其牝几家不防【八为老父故用几今而反之非所以养老也牝牲也防美也今而双等故家不美也】测曰反几双牝家用不臧也【老而不养故不善也】上九株生蘖其种不絶【金生木行木为金财道终数讫有财不用故木复生也穷上反下家道以兴故种不絶也】测曰株生蘖其类乃长也【株而生蘖故长也】
　　□【二方二州二部一家】法【地隂家四金中下象井卦】阳高县厥法物仰其墨莫不被则【行属于金谓之法者言是时阳气上在九天之上洞下重渊之内隂当上而微伏阳亦升而造在天之上故言髙悬物由之而生故仰其墨墨谓绳墨也动以法则故谓之法法之初一日入井宿三十五度】初一造法不法【一则金子子母之道礼法为先故言造法法者以法不法也水以平施纯阳积形法不可逾也】测曰造法不法不足用也【化之以礼不足大用法也】次二摹法以中克【摹索取也克胜也索法以中故可胜任也】测曰摹法以中众之所共也【县法于上众人之所共奉而行也】次三准绳不甫亡其规矩【矩以方物规以正圜甫始也准绳失始故法度亡也】测曰准绳不甫其用爽也【不奉于法有差贰也】次四准绳规矩莫违我施【立准在上下不敢违规矩法度君之所施臣而奉之故言莫违也】测曰准绳规矩由身行也【善事不违于上也】次五繘陆陆缾窴腹井潢洋终不得食【五为天位施法于中五土六水故以井谕繘以行缾陆窴满也缾腹满溢故潢洋也家性为法缾虽满溢不可得妄食也】测曰缾窴腹非学方也【方道也君臣相奉非可学之以道也】次六于纪于纲示以贞光【臣正于下君明于上君臣道正故纲纪正也】测曰于纪于纲大统明也【纲纪一张统御明也】次七密网离于渊不利于鳞【七为网六为渊网离于渊鳞物所害犹苛法于世百姓之疾也】测曰密网离渊苛法张也【密于时网且张于上也】次八正彼有辜格我无邪【格至也我我百姓也彼谓九也九克于八虽在法家位次当进无邪曲也】测曰正彼有辜敺而至也【敺除以正至于九也】上九井无干水直衍匪谿匪谷终于愆【衍达也愆过也九金也金生于水井之象也干以检扞于井泄取有时八者木也当谓井干金克于木故无干无干故直衍也无干之井故以谿谷谕也】测曰井无干法妄恣也【妄乱也无干之井妄自恣也】
　　□【二方二州二部二家】应【地阳家五土中中象离卦】阳气极于上隂信萌乎下上下相应【行属于土谓之应者芒种节终于此首之次四夏至起于此首次五斗指午防賔用事阳极隂生上下相应故谓之应应之初一日入井宿二十九度】初一六干罗如五枝离如【罗布也如辞也离附丽也一为水干以谕君枝以谕臣水出于泉而流百川布施于上枝离而着之如臣之附君如水之趋川也】测曰干罗如附离君也【下之奉上相附之道】次二上厯施之下律和之非则否【否不通也二为离离为文明故以厯律言之也家性为应天正之中故上下相应也厯以纪岁律以和声施于百姓奉以成务其非法者则不通也】测曰上施下和匪其肯也【律厯所施虽或非肯皆从化也】次三一从一横天网防防【防防广大也南北为经东西为纬故从横也緜终天地罗网广大故防防也】测曰一从一横经纬陈也【天地为文于王庭布流于天下也】次四援我罘罟絓罗于野至【我我万民也四为公以正义治百姓而严刑法百姓不犯之也众由禽兽絓网故言于野至也】测曰援我罘罟不能以仁也【施网为害故不仁也】次五龙翰于天贞栗其鳞【五为天位故以龙谕贞正也栗危也翰高也处尊之位正其道实以应天时居上戒危故贞栗也鳞甲正定无犯非义故翰于天也】测曰龙翰之栗极惧坠也【过五无民故惧坠矣】次六炽承于天冰萌于地【炽盛也水隂也水克于上故盛也水气升上隂动地下隂盛阳衰故隂萌生地故言于地也】测曰承天萌地阳始退也【隂当上升故阳退也】次七日彊其衰应蕃贞【应当也蕃盛也七为失志过盛则衰年高失志而日自彊政衰委贤故曰蕃正也】测曰日彊其衰恶败类也【恶以不贤败其类也】次八极阳徴隂不移日而应【极阳则隂极隂则阳如相召也不移日者隂阳之道阳微则隂极隂阳有来往不复移日须有召者而应之也】测曰极阳徴隂应其发也【不召而至故应其时而自发矣】上九元离之极君子应以大稷【稷侧也九为阳极元大也九在应家而为之终其道大极倾侧自危不安其位金刚阳讫不能治隂隂当上升委禄任贤有似尧老咨尔舜也】测曰元离之极不可遏止也【隂当上升乃不可上也】

　　太经卷三
　　钦定四库全书
　　太经卷四　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　从迎至昆第四
　　□【二方二州二部三家】迎【地隂家六水中上象咸卦】隂气成形乎下物咸遡而迎之【行属于水谓之迎者言是时隂在物初六姤卦用事日以消阳形成于三隂息物衰向而迎之故谓之迎迎之初一日入鬼宿一度】初一迎他匪无贞有邪【五为君他为二也二者火也一为水水在水行近欲迎二火水相克故不应也五位不正故曰无贞也】测曰迎他匪应非所与并也【水火相害不可相并也】次二蛟潜于渊陵卵化之【二为甲蛟龙类也二在水下故曰蛟潜蛟潜于水产卵高陵下复于渊家性为迎气应相感然后剖化犹君臣父子以道相感精迎诚致不言而动也】人或隂言百姓和之【人为五也隂首所抑故称隂也位尊令行故百姓和之有以大舜幽耕于野言加二妃天民乃至也】测曰蛟潜之化中精诚也【中诚所感化大行也】次三精微往来妖先灵觉【三木也水之所生精诚微感不言而至子母之恩灵神也神之所感妙物为言事之妖祥神所先觉信以攘灾此之谓也】测曰精微往来妖咎徴也【咎徴虽见信攘之也】次四裳有衣襦男子目珠妇人啑钩贞【四金也水之母母子相养犹衣裳相扶也水中之金故为珠金而隂曲钩之象也四为少女金刚称男男女之道不有私议今而相目有珠钩之资非所以远嫌也衣裳有制珠钩有度虽不相交错不失其正故贞也】测曰裳有衣襦隂感阳也【侦以珠钩相感之谓也】次五黄乗否贞【五天位也在中为黄乗乗四也六隂在上四亲乗之金不合化故否以阳乗隂贞也】测曰黄乗否贞不可与朋也【君道尊贵不可与为朋友之交也】次六黄相迎其意感感【六为宗庙天地黄天地相迎则风雨时调君臣相迎则政敎以度天地相感故重感也】测曰黄相迎以类应也【黄五色推类求也】次七远之□近之棓迎父迦逅【迦逅邂逅解脱之貌也诗云见此邂逅此之谓也七为六父六水七火火近于水水则焦远于水火则炎炽焱怒故有棓击之言而在迎家故相奉迎解脱之意以相化导如父子也】测曰远□近棓失父类也【类法也水性曲直而七炎上故失其法则也】次八见血入门捬迎中廷【八为门血以谕忧捬得血则忧得贤则解家性为迎故迎贤者近于中廷以解忧也】测曰见血入门以贤自衞也【恐九克之故以七自衞也】上九湿迎牀足罦于墙屋【九金也在水之行故湿也家性为迎在内称牀亲迎内出故称足也罦覆也墙屋谕尊以卑覆尊以贵下贱有似初婚夫下妇也】测曰湿迎牀足愿在内也【亲迎所愿当内出也】
　　□【二方二州三部一家】遇【地阳家七火上下象姤卦】隂气始来阳气始往往来相逢【行属于火谓之遇者谓此时微隂初起与阳相逢以贵下贱有似初防夫下妇也故谓之遇遇之初一日入栁宿一度】初一幽遇神及师梦贞【一称幽幽思也不见称神幽而不见故遇神也师众也忧思神道若梦见之故及梦师也贞正也梦不违道故贞也】测曰幽遇神思得理也【虽梦犹正故得其理也】次二冲冲儿遇不受定之谕【二火也一在其上为水作父然水克火火不制水犹冲冲之儿不受父训故言不之谕也不之谕不可敎谕也】测曰冲冲儿遇不肖子也【不可敎训不肖子也】次三不往来不求得士女之贞【三为进人进德脩业在于遇世故不往来无求于时亦木之性处深则大而上度之以为器物犹君夫之求贞良以为臣妾臣妾无求君夫之义故士女之贞也】测曰不往不求士女则也【不二其德是其法则也】次四防防兊人遇雨厉【四金也为火所克故防防也兑为巫在于火世火盛金衰故遇雨而防防非诚心也】测曰兑人遇雨还自贼也【雨则濡湿贼于巫者也】次五田遇禽人莫之禁【五为土在火之行火行土上田之象也田而遇禽何禁之有犹士遇知己而得天禄无禁止也】测曰田遇禽诚可勉也【可自劝勉不倦怠也】次六俾蛛罔罔遇螽利虽大不得从【俾使也六为蛰故称蛛蛛蜘蛛也使蜘蛛设罔而得于螽螽螽螫虫也所以不能制虽以为利不得从而取也】测曰蛛之罔害不逺也【得螽失取虽失其利害不远也】次七振其角君父遇辱匪正命【八为七父七者火而遇于木炎上上火父母之道匪命不前火性炎上上迫其木焚燎枝枚故遇辱也角以害人既害且危故匪正命也】测曰振其角直道行也【无有正命故直其利害不逺也】次八两兕鬬一角亡不胜丧【八为龙九为虎龙虎者兽之贵者也在遇之世当养其牙角而已今而合鬬故称兕也金克于木故龙亡角终见克害故不胜而丧也】测曰两兕鬬亡角丧也【争其非道故丧亡也】上九觝其角遇下毁足【九金也克害于八故觝其角也家性为遇足谓八也在下称足不胜而丧故毁足也】测曰觝其角何可当也【角折足毁故不可当也】
　　□【二方二州三部二家】灶【地隂家八木上中象鼎卦】隂虽沃而洒之阳犹执而龢之【行属于木谓之灶者夏至气终此首次七小暑节起于此首次八隂阳之气更相沃洒化餁若灶故谓之灶灶初一口入栁宿六度】初一灶无实乞于邻【阳为实隂为虚一水也水是灶中之用阳当消退故曰无实家性为灶以烹餁生物共于粢盛今无实故乞于邻也】测曰灶无实有虚名也【无实于事故有虚名也】次二黄鼎介其中裔不饮不食孚无害【二火色黄白介大也裔余也孚信也火木防合烹餁腥物而不于灶故言鼎也宰和得节美味逾时而不败飨以荐至尊故无害也福施于下故中有余也】测曰黄鼎介中防贞也【不敢飨食故曰防也】次三灶无薪黄金濒【三为薪言无者有材不用也灶不用薪犹国不用禄以养贤也薪而不用釡鬲虚废故生土秽在濒渚也】测曰灶无薪有不用也【言有贤不用也】次四鬲实之食得其劳力【隂称小亦为釡土上之釡釜而小者知为鬲也四为公侯在灶之世方进鼎足故先在鬲和齐五味赏不失劳故言得其劳力也】测曰鬲实之食时我奉也【我为五味以奉禄秩贤臣也】次五鼎大可觞不齐不庄【五为天子故称大鼎古者天子世孝天瑞之鼎诸侯世孝天子铸鼎以锡之五据尊位得奉鼎觞赐其国则宜齐庄以奉天禄今不齐庄恐失之也】测曰鼎大可觞飨无意也【受禄不敬故无意也】次六五味龢调如美如大人之飨【六为宗庙又为大水家性为灶志则为用故有釜鼎调齐之言五味得当则孝子所以事宗庙】测曰味龢之飨宰辅事也【禄由君出以宴羣臣宰辅之善事也】次七脂牛正肪不濯釡而烹则欧歍之疾至【七为火所以成熟牲体今以脂肪之肉必当澡濯釡鼎以煑渫之今而不为故生疾也七为防欧歍吐逆之声也不濯不清故致疾也】测曰脂牛欧歍不絜志也【器不洗濯不絜清也】次八食其委虽噭不毁【噭不正之声也食人之禄必忧人之难道合则辅之不合则去不宜见其不正而不争也】测曰食其委蒙厥德也【争以正君故蒙其福也】上九灶灭其火唯家之祸【九金也九生水家性为灶灶湏火者而中有水故自灭其火也火而自灭妖怪不祥家之祸也国亦湏贤者贤而自灭亦国之祸也灭贤谓若纣杀比干之类也】测曰灶灭其火国之贼也【言贼贤也】
　　□【二方二州三部三家】大【地阳家九金上上象丰卦】隂虚其内阳逢其外物与盘盖【行属于金谓之大者谓是时阳气在上将虚郁而退隂在其内逢迎而上万物敷布盘桓茂盛若车之盖故谓之大大初一日入栁宿十度】初一渊潢洋包无方冥【一水也故称渊此金世金生水子母共位故潢洋也深大之渊众物所归包裹而藏之无有方外故冥也】测曰渊潢洋资裹无方也【所包者广故无方也】次二大其虑躬自鑢【二为平人不隐不仕故大其虑也鑢以治邪躬身也自治其身以待升举今而阳消隂息惟身未升阶故大守思虑脩身而已隂为思隂当侵阳也】测曰大其虑为思所伤也【故为所思伤也】次三大不大利以成大【三木也而在金行恐见消克虽在大家不敢自矜常自谦约故成其大也】测曰大不大以小作基也【谦以致光故以小作基也】次四大其门郊不得其刀鸣虚【金性刚彊而在大家故自夸张大其门郊者也刀为金利徒自夸大不守以谦故不得其利也有其虚名故称鸣不守以实故虚也】测曰大其门郊实去名来也【无实有名失道义也】次五包荒以中克【五君位也包有四荒故曰包荒周礼有荒服朝见无常数天位之所临亦由是也克能也包有四荒故能治天下之民事也】测曰包荒以中督九夷也【谓四荒之外也】次六大失小多失少【六水也水之所失在于隟穴事从细生祸由微起者也】测曰大失小祸由微也【从微细而起之也】次七大奢迃自削以觚或益之餔【觚法也餔赐也此本金行七者火也火盛金衰故不宜自大奢迃于法能自削小垂于法度故有益之赐也】测曰奢迃自削能自非也【能自削小自非责也】次八丰墙峭阯三岁不筑崩【丰大也峭峻也阯足也谓基也三终也墙大基峻若不终岁加之版筑故有崩坠之忧犹君子之道不隆其本末必危也】测曰丰墙之峭崩不迟也【基阯不固故速崩也】上九大终以蔑否出天外【家性为大终于自大益以否也荒服之外天恩不加故为天外也虽性自大终守以小故不出也】测曰大终以蔑小为大质也【积小为大之本质也】
　　□【二方三州一部一家】廓【地阳家一水下下亦象丰卦】隂气防而之阳犹恢而廓之【行属于水谓之廓者防犹协也□犹合也言是时隂气和协而合同当上而合同阳尚恢廓未有衰损之气故谓之廓也防二字皆心者故宜以和协言之也廓之初一日入栁宿十五度】初一廓之恢之不正其基【一在水行二水朋合状若江海故恢廓也廓大之家其本宜固水性不动故不正也】测曰廓之恢之始基倾也【基而不正故危也】次二金榦玉桢廓于城【金玉者皆其美质也火不妊水虽有美质恐见克害故廓于城以自固守也】测曰金榦玉桢蕃辅正也【以城自卫犹以贤自辅也】次三廓无子室石妇【木生于水为四所克虽自廓大不能生长故无子也妇而无子隂不合也故谓之石也】测曰廓无子焉得后生也【妇比之石故无后生也】次四恢其门户以御寇虏【四为门二为虏家性为廓每輙恢大恐二克之故大其门户以义为固四为兵甲门户有之故用御卫也】测曰恢其门户大经营也【广恢门户自经营也】次五天门大开恢堂之阶或生之差【五为天子故称天门见在其位故曰恢堂也差过差也登阶上堂据有四方非圣不立故过差之行或可生也】测曰天门大开德不能满堂也【恢堂至高唯德能居也】次六维丰维崇百辟冯冯伊德攸兴【六为宗庙故为丰也神灵高远故维崇也辟君也冯依也伊犹是也宗庙维敬以礼奉神故百辟卿士莫不依归是徳之所兴也】测曰维丰维崇兹太平也【此太平之道也】次七外大扢其中失君子至野小人入室【水克于火火盛水消故外扢扢也君子之道唯善是务今在廓家而失中道故隐野也君子不居故小人进也】测曰外大扢中无人也【无君子之人也】次八廓其外虚其内利鼓钲【震为雷故称鼔鼓之形象内虚外廓钲以为节故利也】测曰廓外虚内乃能有闻也【鼓以为节闻逺之谓也】上九极廓于髙庸三岁无童【高而无民极上则颠三者终也上处高庸故终岁无童仆也】测曰极廓髙庸终无所臣也【无仆故无臣也】
　　□【二方三州一部二家】文【地隂家二火下中象涣卦】隂敛其质阳散其文文质班班万物粲然【行属于火谓之文者言是时隂气敛其形质阳气发而散之华实彪炳奂有文章故谓之文文之初一日入星宿四度】初一袷何缦玉贞【一为下人隐于九品之中下而怀文章尚于素朴人莫知之自守如玉故曰玉贞也】测曰袷何缦文在内也【衣绣尚缦故文在内也】次二文蔚质否【二为平人不仕不隐故文蔚也文蔚守质不乐进道故否也】测曰文蔚质否不能俱睟也【文质不同故不纯睟也】次三大文弥朴孚似不足【木故称朴朴而质素故似不文也言似者非不足故称大文也】测曰大文弥朴质有余也【文如不足故有余质也】次四斐如邠如虎豹文如匪天之享否【家性为文四西方也故称虎豹虎豹兽类也虎豹之兽以其文贵斐邠者文盛貌也虽其文盛犹不及天文以五行也】测曰斐邠之否奚足誉也【不足以比天文也】次五炳如彪如尚文昭如车服庸如【五处天位车服以庸据位正炳如也顺其本性彪炳有文为国之光故昭如也】测曰彪如在上天文炳也【文章奂然彪炳可法也】次六鸿文无范恣于川【鸿大也范法也六为宗庙宗庙之中礼以辅成在文之世故曰文文章奂然故无法也】测曰鸿文无范恣意往也【如川之流从所投也】次七雉之不禄而鸡荩谷【七为雉雉有文章而逺在野鸡而谷食退而録缦违其家性也】测曰雉之不禄难幽养也【质胜文则野故养难也】次八雕韯谷布亡于时文则乱【八木也谷善也木见雕刻为韯丽之事虽见小善伤于农谷布故亡也茍尚文饰以阶于乱故言乱也】测曰雕韯之文徒费日也【雕文刻镂伤农事也】上九极文密密易以黼黻【九在文家而为之终终极文饰以妨于农事故易以黼黻黼黻祭祀之服而致美乎黼冕此之谓也】测曰极文易当以质也【祭服虽文孝子质也】
　　□【二方三州一部三家】礼【地阳家三木下上象履卦】隂在下而阳在上上下正体物与有礼【行属于木谓之礼者小暑节终于此首之次二大暑气起于此首之次三斗指未林钟用事阳在上将退隂在下将进进以谕賔退以为主主下于賔賔主之义献酬以礼故谓之礼礼之初一日入张宿二度】初一履于跂后其祖祢【一为下人而在木行在下称足阳道将退故称履足履大木故跂也二为祢三为祖一最在后故曰后其祖祢也】测曰履于跂退其亲也【不及其祖故亲退也】次二目穆穆足肃肃乃贯以棘【二为目二畏于水故穆穆也肃肃敬也家礼揖让有度故足肃肃也棘赤心也敬由心出故以棘谕也】测曰穆穆肃肃敬出心也【肃诚之意贯于中诚也】次三画象成形孚无成【三为木木为貌家性为礼礼合必以貌故以形象言之也孚信也画以成形故信无成也】测曰画象成形非其真也【画以为形故非其真也】次四孔鴈之仪利用登于阶【四为毛类故称孔鴈孔鴈鸟之知礼者也正取二鸟为谕者言其行则有义飞则有次动不失法故利登于阶也】测曰孔鴈之仪可法则也【容止有度故可法则也】次五怀其违折其过丧锡九矢【违不正也所以挠鼎五为天位行反克之行令不王于礼不备不列诸侯九锡而已也】测曰怀违折匕贬天禄也【贬损天禄列于诸侯也】次六鱼鳞差之乃矢施之帝用登于天【矢陈也六为宗庙宗庙之事动有礼仪差次如鳞也不相陵越陈施以度不违于道故帝用登于天施禄及下也】测曰鱼鳞差之贵贱位也【差次若鳞故贵贱各得其位也】次七出礼不畏入畏【为失志志失行张多不以法家性为礼违出其表未有所畏故曰不畏出礼入刑刑以正邪故曰入畏也】测曰出礼不畏人所弃也【人之所弃刑之所取也】次八冠戚防履全履【八为冠一为履上下言之上下尊卑各有其仪戚防以谕败也冠虽败宜加之首履虽全宜践之足八为疾瘀之主有君之尊故在上也】测曰戚防明不可上也【虽微而尊不可陵也】上九戴无首焉用此九【九最在上故曰无首为极当颠下求于四四为人臣不能尊五进退不立故曰焉用此九也】测曰无首之戴焉所往也【在上恐颠就四失臣无所往也】
　　□【二方三州二部一家】逃【地隂家四金中下象遯卦】隂气章彊阳气潜退万物将亡【行属于金谓之逃者言是时阳气当退而未讫隂气当上而未腾犹与阳为难故章彊彊梁伤败之貌也隂阳之气更相避逃故谓之逃逃之初一日入张宿六度】初一逃水之夷灭其创迹【夷平也一为水水之平施小危则动物逃于水水合于物不可迹求故曰灭其迹也】测曰逃水之夷迹不创也【水之灭迹无创痕也】次二心惕惕足金舄不志沟壑【二为心亦为平人而家性为逃居金之行反克其本故其执心常惕惧足金于舄无隐逸之志故不志沟壑也】测曰心惕惕义不将也【平人不隐不仕故无义不行也】次三兢其股鞭其马寇其户逃利【三震也震为马兢动也责也四为三寇家性为逃见寇在前故鞭马而去之也虽其户见而不入逃家之利故言逃利也】测曰兢股鞭马近有见也【观其户故有见也】次四乔木维摐飞鸟过之或降【上撩称摐上撩之木鸟所不集故过之而去君自尊高众士亦望之而去也】测曰乔木之鸟欲止则降也【非思所好故从意也】次五见鷕踤于林獭入于渊征【此二物者时之也五为天位征行有时是以鸟隼击而蔚罗张獭祭鱼而后渔豺祭兽而后田各湏其君乃征行搜狩以时不刳胎卵也】测曰见鷕及獭深居逃凶也【时未至君处重门之中故逃凶也】次六多田不娄费我膎功【六为宗庙征行湏时以奉神灵孰食为膎征田多获归之于宗庙赏不失劳故曰膎功也】测曰多田不娄费力忘功也【田不获牲故费功也】次七见于累后乃克飞【累索也克能也火性熛故以飞言之七为系缴故为索也见索在前飞能避之故曰克飞也】测曰见于累几不足高也【当见拘累故不足高也】次八颈加于矰维防其绳【八为疾瘀故有加颈绳矰之时入为祸中防缴也缴加于颈非可卒除故言维也谓当思惟而逃也】测曰颈加维防无自劳也【矰之所加劳不能去也】上九利逃跰跰盗德婴城【家性为逃九为其终终始逃遁故跰跰也道德者君子之所尚也九能盗之王者所赏故言婴城道隆德盛必有城郭也】测曰盗德婴城何至逃也【何有逃道德也】
　　□【二方三州二部二家】唐【地阳家五土中中亦象遯卦】隂气兹来阳气兹往物且荡荡【行属于土谓之唐者言是时隂气日盛阳气日损万物损落荡荡然故谓之唐唐之初一日入张宿十一度】初一唐于内勿作厉【在下称内厉危也唐者荡荡无所拘限内无拘而外无危也】测曰唐于内无执守也【荡荡之义终不见拘执也】次二唐处冥利用东征【二为日日尚隐潜故冥也唐者荡荡之貌也大征于地无所隐蔽故唐冥也日之隐蔽必当东出故利以东征也】测曰唐冥之利利明道也【日之东征者道之明也】次三唐素不贞亡彼珑玲【珑玲金玉之声三为木木者朴素故亡声也四为金金有声音土克于木故不贞也】测曰亡彼珑玲非尔所也【珑玲之声非木所也】次四唐无适道义之辟【辟君也四为公侯而在唐家荡荡无所适莫不尊奉道德以事其君不违于法也】测曰唐无适惟义予也【无所适莫予有义也】次五奔鹿怀鼷得不訾【鹿以谕贤鼷以谕不肖怀来也贤不肖不别贤奔亡不肖者来故言不訾不得不訾毁于贤者也】测曰奔鹿懐鼷奚足功也【言不足功治之也】次六唐不独足代天班禄【六为宗庙其世荡荡故曰不独足下所敬奉天神报应以示百姓代天班禄以养人也】测曰唐不独足无私容也【代天传命不容私意也】次七弋彼三飞明明于征终日不归亡【七为飞兵兵而飞者矢故弋射也阳称三十为失志王而志失毕弋无度故不归也】测曰弋彼三飞适无所从也【征行无度何所从也】次八唐收禄社鬼辍哭或得其沐【辍止也八为木而在土上条干茂大得土之力犹士遇明君得其荣禄也言或得其沐者取其洁清也社稷之神所以止哭哭其衰世世治故哭止也】测曰唐收禄复亡也【先亡后复也】上九明珠弹于飞肉其得不复【明珠重寳也飞肉轻欲也九为金故称明珠飞肉禽鸟也珠至重鸟至轻以重求轻故不复也】测曰明珠弹肉费不当也【费贵得贱故得不复也】
　　ခ【二方三州二部三家】常【地隂家六水中上象恒卦】隂以知臣阳以知辟君臣之道万世不易【行属于水谓之常者大暑气终于此首之次五立秋节起于此首之次六辟君也以隂阳知之故万世不易道阙常故谓之常常之初一日入张宿十五度】初一戴神墨履灵式以一耦万终不稷【一在水行昼夜不休潜墨如神故称神墨也式法也万多一少故不可耦稷而合也】测曰戴神墨体一形也【一者道德之形体也】次二内常微女贞厉【贞正也厉危也二为少隂故称女言内常微者隂中之火微微不隆故言微也女能幽微故贞贞女所在常自危惧故厉也】测曰内常微女不正也【隂道待唱不敢自正许当人也】次三日常其德三岁不食【日日行一度是其常也三为日出故称日也三为终常其德则不薄食也】测曰日常其德君道明也【如日不亏故道明也】次四月不常或失之行【月有亏盈故不常也四为公侯上臣于五故以月谕不常者行有迟疾或进或退非臣之节故言或失之行行道也不得常道故为变异也】测曰月不常臣失行也【月之不常为臣失也】次五其从其横天地之常【天从地横是其常道也五为天位据上临下不违隂阳之道先天而弗违各得其所也】测曰其从其横君臣常也【天从地横是其常也】次六得七而九懦挠其刚不克常【阳盛于七极于九阳生于子盛于午至酉踌S怀T쐀਀昨ᬀפ̀隂称挠宗庙之中懦挠为先故言不克常也】测曰得
<子部,术数类,数学之属,太玄经,卷四>【宿六度】初一不替不爽长子之常【五行之道水先王故称长子替施也爽差也水以平施一无过差之行故长子之常道也】测曰不替不爽永宗道也【宗尊也长尊道徳之事也】次二内怀替爽永失贞祥【火在木行从其父母可以长大火性炎上三亲据之盛则害母故内替差永末自改故失贞祥也】测曰内怀替爽安可乆也【内自克害故不可长乆也】次三永其道未得无咎【三为进德之人进德修业未得居官故言未得也修业不倦虽未得禄其要无咎也】测曰永其道诚可保也【永进其道故可保也】次四子序不序先賔永失主【四承于五故称子賔谓三也然见克害賔眵于四四据存之故先賔也子序其父敬从于五主谓一也土克于水故永失也】测曰子序不序非永方也【方犹常也永失其主故非常也】次五三纲得于中极天永厥福【五为君位君上臣下君臣父子夫妇道正故三纲得也三纲得正故为中极极中也必得其中故天长其福也】测曰三纲之永其道长也【三纲之正人道大伦故永福也】次六大永于福反虚庭入奠冥【六为上禄故称大也上禄之人故永于福也虚庭入冥幽隐求志故奠也】测曰大永于福福反亡也【不守以约失之故亡其福也】次七老木生莳永以纒其所无【七火也八为老木九賛之中三少八为火死复然犹木老复生故居七言八也八隂为老隂谓隂中之木润泽所濡故能莳生永相续也】测曰老木生莳永厥体也【枯故复生长有其身也】次八永不轨凶亡流于后【八为祸中故凶亡也亦为老木木老则枯故不得长为轨法也不得为法故后凶也】测曰永不轨其命剂也【剂剪也剪絶也】上九永终驯首【永长也驯顺也首始也家性为永九为之终始终相顺故言终其顺也】测曰永终驯首长恺悌也【永顺于首故长乐易也】
　　□【二方三州三部三家】昆【地阳家九金上上象同人卦】隂将离之阳尚昆之昆道尚同【行属于金谓之昆者言是时隂气已盛将散万物之枝叶阳气未去与物同昆无益无损故谓之昆昆之初一入翼宿十一度】　初一昆于黒不知白【金生水一亦为水家性为昆水性又黒故同于黒而不知白也和其光同其尘不可以自别白也】测曰昆于黒不可谓人也【昆同之家不可别以人物也】次二白黒菲菲三禽一角同尾【二为朱鸟故称禽也阳称三南方大阳故三禽也角以谕害也角尾昆同故知不为害也菲菲杂也白黒相离谕贤愚不别也】测曰三禽一角无害心也【昆然同故无所害也】次三昆于白失不黒无除一尾三角【三为进人故昆于白也黒以谕愚其明日者失于不愚故有道则知无道则愚愚不可及昆同之世故失不愚也尾以谕濡角以谕害无除尾角则有害也】测曰昆白不黒不相亲也【无除此害则不得相亲爱也】次四鸟托巢于丛人寄命于公【三木也木在四上称巢巢故业也四为鸡故称鸟鸟之归巢犹人之归于公家也无私为公君无私民所寄也】测曰鸟托巢公无贫也【均之以公故无贫也】次五谷不谷失防数众毁玉【谷禄也五为天子防数不平也禄而不以禄于贤者故失在不平也牦而毁玉犹积毁消金虽其居高不可不慎也】测曰谷失防数奚足旬也【旬犹徇也言不足徇慕也】次六昆于井市文车同轨【六为水故称井为众故称市上施于福下归以信故同于市井市无二价路不拾遗家性为昆故书而同文而车同辙也】测曰昆于井市同一伦也【伦正也皆正合之也】次七盖徧不覆晏雨不救【七为失志恩不济遍故盖不覆也晏雨以谕盛也雨盛不救君德之不隆也】测曰盖徧不覆德不均也【如盖不覆故不均平也】次八昆于危难乃覆之安【八木也家性为昆恐同于九昆以金为危难也覆爱均同故安也】测曰危难之安素施仁也【世素均同故不畏于九也】上九昆于死弃寇遗【九金也金克于木故为八寇也家性为昆同死生之事欲齐其志以防于难人九既素与八为寇七来御之八盛金衰为母报仇则遗其寇也】测曰昆于死弃厥身也【见急无救故身弃也】

　　太经卷四
　　钦定四库全书
　　太经卷五　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　从减至晦第五
　　□【三方一州一部一家】减【人阳家一水下下象损卦】阴气息阳气消阴盛阳衰万物以微【行属于水谓之减者立秋气终于昆首处暑气起于此首之初一斗指申夷则用事阴日已盛阳日已衰万物减损故谓之减减之初一日入翼宿十五度】初一善减不减冥【一水也善减自损也不减者不能自损也常能自损若水之性内自沦下人不见之故冥也】测曰善减不减常自冲也【常自冲虗故冥之也】次二心减自中以形于身【二火也亦为阴位阴中之火光而不炎故减自中也火为心形见也心而自损故见身也】测曰心减形身困诸中也【内自困责求之中心也】次三减其仪利用光于阶【三为进人必其当进故先自损损己益人故减其仪也无徳不离必至于四従四承五位当公侯故登阶陛有光荣也】测曰减其仪欲自禁也【自守以约禁已之非也】次四减于又贬其位【又治也金性刚彊而在阴位自减于治不重不威故贬位也】测曰减于乂无以莅众也【居髙据众以徳威民也】次五减其黄贞下承于上宁【五为天子处于中央故称黄也居中得正故贞必正其道为下难附故减贞也临长四方故曰下承奉天以礼时节和调故上宁也】测曰减黄贞臣道丁也【丁当也臣敬于上故道当也】次六幽阐积不减不施石【六为水故称幽施禄及下故曰阐积家性为减减而不施故谓之石也】测曰幽阐不施泽不平也【不施如石故其恩泽不行者也】次七减其疾损其防厉不至【防忧也厉危也七火也为水所克故为疾也家性为减盈则损之疾除忧解所恶者消危惧之难故不至也】测曰减其疾不至危也【所害以除故不至于危亡也】次八浏涟涟减于生根【八木也秋木始衰浏流也涟涟流垂之貌木衰而忧故不涟也生根见减故益忧也】测曰浏涟之减生根毁也【秋木衰落故根毁也】上九减终利用登于西山临于大川【九最后故减终也在西为金故曰西山也金生于水故积大川者也山下有川故相临也登山履髙能自损减故利也】测曰减终之登诚可为也【减道已终履其至险以济艰屯临于大川以救昬垫诚可为也】
　　□【三方一州一部二家】唫【人阴家二火下中象否卦】阴不之化阳不之施万物各唫【行属于火谓之唫者言阳在于上阴在于下阴阳唫闭故谓之唫唫之初一日入轸宿二度也】初一唫不予丈夫妇处【一为下人而在唫者阳不之施故妇处也】测曰唫不予人所违也【志不丈夫故人违之也】次二唫于血资干骨【血以谕濡二火也故干阴中之阳故称骨家性为唫故无濡润之所施也】测曰唫于血防自肥也【防省而自肥也】次三貌不交唭防唫无辞【二者阴家之阳而在唫世故朴素也貌无容饰不能交人唭防有声而无辞也】测曰貌不交人道微也【不能交人故微漏也】次四唫其谷不振不俗累老及族【四为公侯而在唫家禄不施赐又不振救族类之老顺俗垂亘故为累也】测曰唫其谷不得相希也【世之唫闭故不得相希望也】次五不中不督腐蠧之啬【五为天位阴家之阳故不中不督也赋敛不中故稼啬腐也】测曰不中不督其唫非也【唫而不予故为非也】次六泉源洋洋唫于丘园【六水也故为泉源洋洋大水之貌也丘园以谕髙也水性就下故唫于髙也】测曰泉源之唫不可讥也【所施唯谦人何讥之也】次七唫于体黄肉毁【体谓缀体相连若子孙也七为失志失志无道唫于亲亲内不相附故骨肉毁也】测曰唫于体骨肉伤也【九族不睦故伤也】次八唫遇祸祷以牛解【八为过中以五为牛木克于土故为祸也牛以解祸庶获其福家性唫啬在六不施八六子也故遇其祸也】测曰唫遇祸大费当也【牛为大费请祷蒙福故当也】上九唫不雨孚干脯【九金也金生水家性为唫唫而不施故不雨也孚信也唫而不两信当枯槁无润施民如脯之干无恩泽也】测曰唫不雨何可望也【唫无润故无可希望也】
　　□【三方一州一部三家】守【人阳家三木下上亦象否卦】阴守户阳守门物莫相干【行属于木谓之守者言二气相对上下否隔各守其位故谓之守守之初一日入轸宿六度】初一闭朋牖守元有【闭塞也朋党类也牖户牖也元者善之长也有其身而闭党类守其身之善者则守家之道也】测曰闭朋牖善持有也【守一不移持有善道也】次二迷自守不如一之有【二阴位也亦为目目在阴中故迷也迷而自守太行不正故不如一守身脩善谕持正业也】测曰迷自守中无所以也【以用也不先自守故无所用也】次三无丧无得往来黙黙【三为进人当进徳脩业以及于时家性为守故能检身不求于人无丧无得无咎无誉常自循守故黙黙也】测曰无丧无得守厥故也【黙而自守故守其故也】次四象艮有守【四于戌为狗象似也艮难也似能难人者若刍狗也有狗之名而不能御故言似也】测曰象艮之守廉无也【廉察而已不有之】次五守中以和要侯贞【五为天子守中和之道以有其国诸侯之正主也故贞以道正国国人所归虽处要荒莫不毕至故曰要侯也】测曰守中以和侯之素也【侯君也居中以正君之素所修也】次六车案轫圭璧尘【六为上禄下之所奉车而案轫不通神灵不来不往告祭不时故圭璧尘也】测曰车案轫不接邻也【祚不逺被无所接及也】次七羣阳不守男子之贞【七为阳世皆阳故称羣也为六所克故不守守身求二三是其世因三问二所介者逺在守之世自脩而已故男子之正也】测曰羣阳之守守贞信也【守正无欲故贞信也】次八臼无杵其碓举天阴不雨白日毁暑【八木也故有臼杵之事亦阴阳之道也天不施雨草木枯槁故毁暑也】测曰臼无杵其守贫也【碓举不用故贫也】上九与荼有守辞于卢首不殆【荼白也卢黒也九西方故白守以类相求故辞黒首也守道之家四方无虞安民得人不用旅力故白首之人并列位也】测曰与荼有守故愈新也【老见任日以新也】
　　□【三方一州二部一家】翕【人阴家四金中下象巽卦】阴来逆变阳往顺化物退降集【行属于金谓之翕者处暑气终于此首之次二白露节起于此首之次三阴上为逆阳下为顺万物日衰故曰退也降集自敛也故谓之翕翕之初一日入轸宿十一度】初一狂冲于冥翕其志【翕顺也水性流行无内不入故称狂冲初发自源蒙蒙然故谓之冥波荡顺志不拘于法水之性故言顺其志也】虽欲逍遥天不之兹【水之流行是天之性虽欲逍遥天之不顺故曰天不之兹兹此也言不令如此也】测曰狂冲于冥天未与也【水宜流行天未与之逍遥者也】次二翕冥中射贞【二为平人不隠不仕故曰翕翕顺也中中心也顺其中心自近念逺不违正道故贞家性翕顺每自顺従冥也】测曰翕冥中正予也【予我也我谓二也言二正处中正也】次三翕食嘬嘬【三为进人顺意欲上禄食于四嘬嘬食疾之貌也疾欲仕进违于推让故嘬嘬也】测曰翕食嘬嘬利如舞也【所利不方故如舞也】次四翕其羽利用举【羽朋友之用善称相翼之谓也五为土土生金亲近于五常见举用故利也朋友相翼进在禄位有似叔牙之相管仲也】测曰翕其羽朋友助也【朋友者朋助之谓也朋友相卫是其力助也】次五翕其腹辟金谷【五为大位而在翕家翕敛顺志故其口腹无施禄之意金谷辟藏専足于已故翕其腹也】测曰翕其腹非所以举也【自翕以欲故作贞举之君也】次六黄心鸿翼翕于天【六为五心五处中色黄故黄心也位尊心正所在必贤故鸿翼也臣贤君明下顺于上故翕天也】测曰黄心鸿翼利得辅也【鸿翼之正臣相辅助也】次七翕缴恻恻【七为绳为射射用绳者缴之谓也七为失志又为飞鸟鸟而失志故髙飞飞而遇缴欲去不得故恻恻也恻痛心也】测曰翕缴恻恻被离害也【飞而遇缴故离害也】次八挥其罦絶其羂殆【七为罔罟而在八前故有罦羂之难八为青龙龙遇罔罟必免其害故絶羂也羂絶罦败所縘不禁故有殆也挥而去之何傒之有也】测曰挥罦絶羂危得遂也【罗罔而去得遂龙之志矣】上九防其角维用抵族【九为兵为极祸抵击也金称角谕刺害致祸防而去之故击其族类也】测曰防其角殄厥类也【殄絶其族类也】
　　□【三方一州二部二家】聚【人阳家五土中中象萃卦】阴气収聚阳不禁御物相崇聚【行属于土谓之聚者言阴盛阳衰万物衰落阴气収取而崇聚之故谓之聚聚之初一日入轸宿十五度】初一鬼神以无灵【一最在下故称鬼神神视之无形故言无如无所见故灵也谓无形而言者也】测曰鬼神无灵形不见也【形之不见故鬼神也】次二燕聚嘻嘻【二为平人不隠不仕平于世间家性为聚故相収会燕饮嘻嘻取乐而已也】测曰燕聚嘻嘻乐淫衍也【乐而无节故淫衍也】次三宗其髙年羣鬼之门【三为门宗尊也髙年可髙而宗也鬼归也进徳之人修业及时当为王臣故羣归其门也】测曰宗其髙年鬼待敬也【贤者所归故待之以敬也】次四牵羊示于丛社执圭信辟其左股野【家性为聚三木也木聚故称丛五土而封聚故谓之社三亦为震震为股四为羊五为天位四为公侯公侯执羔故牵羊也社稷之臣故言丛社也圭以为信亦股肱之臣也股肱左辟故股野也】测曰牵羊于丛不足劳也【奉羔进君非劳苦之事也】次五鼎血之莸九宗之好乃后有孚【孚信也莸臭草也五为天子故有鼎俎血食之祭九宗羣会燕好肃敬不违于道然后相誓以忠信也】测曰鼎血之莸信王命也【天王之命以信为本也】次六畏其鬼尊其礼狂作昧淫亡【亡无也昧迷也淫为淫祀也不正称狂六为宗庙郊祀天地告事于庙敬鬼神而逺之故迷淫亡也】测曰畏鬼之狂过其正也【畏敬鬼神大道之正也】次七竦萃于丘冢【七谓下山山而下者丘冢象也火在水上故竦火性炎上故萃丘冢也】测曰竦萃丘冢礼不废也【恒自竦惧不废礼也】次八鸱鸠在林防彼众禽【八为林七为鸟鸟言防怒故鸱鸠也鸱鸠贼鸟所在众禽所避贼人所在众贤亦所恶故防也】测曰鸱鸠在林众所防也【善恶相害故众怒也】上九垂涕累聚家之彚【金生水也九最处髙故称中之水而从髙落故涕垂也家性为聚彚者类也朋类相追累然相连也】测曰垂涕累时命絶也【位终涕垂絶命之象也】
　　□【三方一州二部三家】积【人阴家六水中上象大畜卦】阴将大闭阳尚小开山川薮泽万物攸归【行属于水谓之积者言是时阴气盛上阳气尚微见山川林泽物之所归积聚其中故谓之积积之初一日入角宿三度】初一冥积否作明基【一北也故称冥否不善也谓秋物衰也万物衰落故言不善积衰落之物以备明嵗故作明基言为明年之基业也】测曰冥积否在恶也【所积不善故在恶也】次二积不用而至于大用君子介心【二为心阴家之阴故称君子积善之家虽不见用积善余庆终于大用也介大也虽不见用君子犹大其心志以俟时也】测曰积不用不可规度也【大人之心不可度知也】次三积石不食费其劳力【石为四也在三之上故为称石故曰不食故费力也】测曰积石不食无可获也【虽积非饴故无获也】次四君子积善至于车耳【阴家之阴故称君子家性为积积善善益积恶恶聚四者阴位而在阴家故积善也积善成名故车生耳也】测曰君子积善至于蕃也【蕃车耳也车服有章以显贤也】次五藏不满盗不嬴【五为君位虽在积家阳道不足故不满也积善多福故不致盗也】测曰藏满盗嬴还自损也【多藏必厚亡损已之谓也】次六大满硕施得人无亢【六为大水水满则盈故倾施也施禄及下故得人无亢言得天下之人无与亢对也】测曰大满硕施人所来也【言来致于人也】次七魁而顔而玉帛班而决欲収寇【魁藏也顔见也玉帛者决以其欲而果决致寇也】测曰魁而顔而盗之招也【多藏厚亡欲招盗也】次八积善辰祸维先之罪【八木也木到秋逢严霜为之作祸非已之罪也此乃火烁金故也金到秋而治于木者木乃为火髙祖父故致此祸非己之罪也】测曰积善辰祸非己辜也【罪由先人故非己之辜也】上九小人积非至于苗裔【孙之后称苗裔阴家之阳故言小人夫积善之家必有余庆九而积非先克于木故木克土土则金孙也恶之大者乃至苗裔之家况于土也】测曰小人积非祸所骫也【积非之人祸所委也】□【三方一州三部一家】餙【人阳家七火上下象贲卦】阴白阳黒分行其职出入有餙【行属于火谓之餙者白露节终于此首之次五秋分气起于此首之次六斗指酉南吕用事阴升于西故言白阳退于北故言黒阴阳分职所主白黒相袭故谓之餙餙之初一日入角宿七度】初一言不言不以言【一阳家之阳故称君子君子之道非法不言以道自餙不虚文也】测曰言不言黙而信也【非法不言故黙而信也】次二无质饰先文后失服【二阳家之阴小人道也无质而饰文以取容故失服也】测曰无质先文失贞也【无贞而饰故失贞也】次三吐黄酋舌拑黄聿利见哲人【哲人谓五也黄中也舌言也聿述也三为进人而在火行火燥而进当上于四四为公侯之位吐出中言拑尽道述以奉于五故利见也】测曰舌聿之利利见知人也【因四奉五利见智徳之人】次四利口哇哇商人之贞【四为利口哇哇展转之貎也贞正也夫人不言言必有中口舌展转不可反覆此盖商贾之正也】测曰哇哇之贞利于商也【哇哇之言商人之利也】次五下言如水实以天牝【五为天子水善下人故其下言赴下如水所以获尊位实如天子以牝守之故曰牝也】测曰下言之水能自冲也【能自虚冲故致尊位也】次六言无追如抑亦飞如大人震风【如抑皆辞也六为上禄施禄乎民赏庆刑威言不可追言出如飞发动震众故震风也】测曰言无追如抑亦也【福之抑扬实难知也】次七不丁言时微于辞见上疑【丁当也七为失志之主不可正谏故不当言时事也防辞依违以见于上兾上自疑反正道也】测曰不丁言时何可章也【风切而已不可章灼也】次八蛁鸣喁喁血出其口【蛁蝉也恒托于木其鸣也则血出其口不鸣则喁喁然家性为饰当相饰文四金入木金克于木故曰出血也】测曰蛁鸣喁喁口自伤也【小人多口四则哇哇八又出血故伤于口也】上九白舌于于屈于根君子否信【九为言金为白故白舌也于于多难之貌也茍自文饰也言无本末君子不信也】测曰白舌于于诚可长也【人所可长以为戒也】
　　□【三方一州三部二家】疑【人阴家八木上中象震卦】阴阳相硙物咸雕离若是若非【行属于木谓之疑者言是时阴阳分数昼夜等齐对相切磨万物雕伤而离散阴王阳废是非有疑故谓之疑疑之初一日入角宿十二度】初一疑恛恛失贞失【贞正也丢直也一小人也执志不固恛恛然従人故失正直之道也】测曰疑恛失贞何可定也【心之多疑无所定也】次二疑自反孚不逺【二为平人而在疑家益以有疑火性燥上二上臣五故自反也三当上进四据禄位以次当升故信不逺也】测曰疑自反反清静也【清静自守方得位也】次三疑彊昭受兹闵闵于其心祖【祖始也彊彊梁也昭明也三为木而在木行故疑彊梁而明盛也必受此疑故闵闵然而自忧也于其心意始时所行不违于道故明也】测曰疑彊昭中心冥也【自疑不审故心冥也】次四疑考旧遇贞孚【考问也孚信也君子之道故旧不遗今而问之知其疑也信在于九遇正也】测曰疑考旧先问也【有旧而问故疑也】次五黄疑金中【赤也土色黄而先言赤者故疑也外赤内黄故言疑金中阴家之阳色不纯正也】测曰黄疑中邪夺正也【以赤夺黄非其色正也】次六誓贞可听疑则有诚【六为之师师众之事以誓为正故曰誓贞贞正也事正故可聴也可聴则无疑无疑故有诚也】测曰誓贞可聴明王命也【精诚之言明时王之命也】次七鬼魂疑贞厉嚘呜弋木之乌射穴之狐反自耳厉【七火六水水灭于火故为七鬼也厉恶也六正克七故贞厉也嚘呜叹也七为射又为兵兵飞而射也弋射也为羽又为日日中有乌八木七上于八故乌在木上而日弋木之乌也】测曰鬼魂之疑诚不可信也【鬼魂之凶诚不可取信也】次八颠疑遇干客三嵗不射【射厌也干贞也颠下也三终也八木也而在木行二木相当客之谓也下疑遇干贞之客人以名贵故终嵗不厌也】测曰颠疑遇客甚足敬也【干贞之客故可敬也】上九九疑无信控弧拟麋无【九为金故为弧丢比疑世也九位皆疑故九疑也无信无所信也控弧拟麋犹曰无者疑之甚也】测曰九疑无信终无所名也【弧而不发何所成名也】□【三方一州三部三家】视【人阳家九金上上象观卦】阴成魄阳成妣物之形貌咸可视【行属于金谓之视者魄形也妣母也言阴已成形谓坤象见也阳在地下养万物根荄若母之养子也万物形貌皆可观视故谓之视视之初一日入亢宿四度】初一内其明不用其光【自视称内明一而内明内自省视内省不疚何忧何惧故内其明也谦以下人以光自耀故不用也】测曰内其明自窥深也【深窥己瑕而自改也】次二君子视内小人视外【君子谓一也一内其明故视内也小人谓二也阳家之阴故称小人火光外炤故视外也】测曰小人视外不能见心也【光明外照故不见己之心也】次三视其徳可以干王之国【三为进人日新其徳必升四而为公侯故干国也家性为视内自省见故视其徳也】测曰视徳之干乃能有全也【能自省料故全也】次四粉其题防雨其渥须视无姝【题额也防面也渥美也姝好也粉饰也四者公侯之位而在阳家之阴故小人也为小人之道不饰其心而饰其面犹姝姝之好而遇于雨故视无好也】测曰粉题雨须不可忍瞻也【饰面遇雨不可视之也】次五鸾凤纷如厥徳晖如【五为天位故称鸾凤孔子曰凤鸟不至明为天瑞也纷如有文章也晖如文徳之貌也有文有徳故晖如也】测曰鸾凤纷如徳光皓也【言其徳皓皓然盛也】次六素车翠盖维视之害贞【宗庙尚质故素车也车素盖羽犹为不纯车服不纯惟身之二家性为视能内自视改复于正故贞也】测曰素车翠盖徒好外也【君子之道被褐怀玉今髙自外饰好非道之贞也】次七视其瑕无秽【七火也火性光炎身不容瑕家性为视而内自视身光已清故无秽也】测曰视其瑕能自矫也【自矫以正故无瑕秽也】次八翡翠于飞离其翼狐鼦之毛躬之贼【八为震震为鸟故翡翠也于夘为兎狐鼦属也各以文毛之用遂致杀身之祸不自视之咎也】测曰翡翠狐鼦好作咎也【八独无视故逢咎也】上九日没其光贲于东方用视厥始【九西方也日之将入故言没其光也贲饰也易曰山下有火贲贲黄白色也将入之日既赤且黄若初出之时也故曰用视其始也】测曰日没贲东终顾始也【终始相顾不相乖违者也】
　　□【三方二州一部一家】沈【人阳家一水下下象兊卦】阴怀于阳阳怀于阴志在宫【行属于水谓之沈者言阴气升上阳道退下不相交错阴阳宜交今不得通故相怀恋志于宫也在下称土为中宫阴阳之道沈没在下故谓之沈沈之初一日入亢宿八度】初一沈耳于闺不闻贞【贞正也一为耳耳在水中故沈也闵内也内者妇人之事一小人耳志在于内不闻正道故言不闻贞也】测曰沈耳于闺失徳体也【无有逺志故失体也】次二沈视自见贤于眇之眄【二为目而在沈家故沈视也视而沈者必见其内内省不疚无所忧惧沈而自见是贤眇之所眄也】测曰沈视之见得正美也【而自省察道之美也】次三沈于美失贞丢【丢直也贞正也三为进人进不以道沈沦美色故沈美也不得其道故失正直也】测曰沈于美作聋盲也【沈放美色故聋盲也】次四宛雏沈视食苦贞【四为酉故称宛雏亦为公侯义不素食故先苦而后得禄也得必以正故贞也】测曰宛雏沈视择食方也【言其所食必当方也】次五雕鹰髙翔沈其腹好恶粥【粥出也懐也五为天而位正以雕鹰谕者家性为沈沈于恶位髙翔不复犹贪暴之君髙志秽行好懐啬利恶所出也】测曰雕鹰髙翔在腐粮也【为君腐粮下不足也】次六见票如累明利以正于王【票飞光也累重也六为上禄君子之道重明丽正光辉逺闻故利以正于王也】测曰见票如累其道明也【道之分明故自见也】次七离如娄如赤肉鸱枭厉【厉恶也七为目故称离娄力视之貌也七为鸟故称鸱枭鸱枭贪恶之鸟也故见赤肉而力视之也】测曰离娄赤肉食不臧也【视其非求故不善也】次八盼得药利征【盼目之美也诗云美目盼兮浊盼而视故见药药以除疾犹明君求贤以祛蔽也蔽间故利征也】测曰盼得其药利征迈也【迈行也利以行行于四方者也】次九血如刚沈于颡前尸后丧【血忧也九又为金故称刚亦最在上故言颡也家性为沈九为之终故沈于颡也在前为尸谓木见克也在后为丧为火家在后克九金也】测曰血刚沈颡终以贪败也【进退有祸故终败也】
　　□【三方二州一部二家】内【人阴家二火下中象归妹卦】阴去其内而在于外阳去其外而在乎内万物之既【行属于火谓之内者秋分气终于此首之次二寒露气起此首之次三言阴气尽于天地之间阳气复其下既已也故万物已成将当盖藏入于室内故谓之内内之初一日入氐宿四度】初一谨于媐防初贞后宁【一水也火为之媐春秋传火水媐也故谨其内防匹也谨其媐匹男女道正故贞夫妇别室家安故后宁也】测曰谨于媐防始女贞也【为女道正故为贤妇也】次二邪其内主迂彼黄牀【内主为妇也火为水妃必见克害故内主邪也迂逺也黄中也牀亦内也内主不正故逺之也】测曰邪其内主逺乃宁也【性相克害故逺之乃安宁也】次三尔仪而悲坎我西阶【三阳位也内者昬姻之道仲春之月木盛东方坎忧也尔汝也汝三也悲悲己也纳内之世亲迎之道妇升西阶有代亲之义故而自非忧感而已也】测曰尔仪而悲代母情也【感母见代故悲心也】次四好小好危丧其蕴袍厉【厉危也蕴袍谓食禄也小好谓非正侈靡之事也居公侯之位不念尽忠以和阴阳而徇侈靡故丧禄也】测曰好小好危不足荣也【所好非事故不足以为光荣也】次五龙下于泥君子利用取媐遇庸夷【五土也六为水土在水下故泥也龙以谕阳阳下于阴亲迎之义也故君子利以取媐也庸大也夷恱也亲迎以礼故大恱也】测曰龙下于泥阳下阴也【亲迎之时男下女也】次六黄昬于飞内其羽虽欲满宫不见其女【六为宗庙纳妇庙见然后成妇昬者亲迎之时也于飞飞就阳也内其羽入于宫也六欲妃五而五克之见克不进故不见其女也】测曰黄昬内羽不能自禁也【时过将奔礼所不禁也】次七枯垣生莠皬头内其雉妇有【七为祖父故白头也白而不纯谓之皬白头而内稚妇者二为仲女而与七合故有稚妇也】测曰枯垣生莠勿庆类也【老夫女妻明不足庆犹可以繋族类也】次八内不克妇荒家及国涉深不可测【克胜也荒立也八阴立也当妇于九九而克之故不胜妇也妇而不胜故家亡家亡及国故不可深豫测也】测曰内不克妇国之孽也【妖孽之生灾及家也】上九雨降于地不得止不得过【金生水故雨降也雨施于地上施恵于下也不得止者禄有常数也不得过者不赏无功也】测曰雨降于地泽节也【雨降于地节之以陂泽也】
　　□【三方二州一部三家】去【人阳家三木下上象无妄卦】阳去其阴阴去其阳物咸倜倡【行属于木谓之去者倜张也倡盛也言是时阴阳易位二气交错万物张盛各去其位故谓之去去之初一日入氐宿九度】初一去此灵渊舎彼枯园【一为水最在下故称灵渊舎居也行在木木于秋而废又一为沙泥木废泥沙之上是为枯园家性为去故去下居髙也】测曰去此灵渊不以谦将也【水以善下为本今去下即髙非谦徳也】次二去彼枯园舎下灵渊【二火也水克于火故相反也】测曰舎下灵渊谦道光也【去髙即卑道光大也】次三髙其步之堂有露【三为进人故髙其步也五为堂视逺步髙当升未至故其乐速意露见也】测曰髙步有露妄升也【不循揖让而髙其步故妄升也】次四去于父子去于臣主【五以上为祖父之属也四以下为子孙之例也四次于五五升则四上父没则子继家性为去故去小而升大也】测曰去于父子非所望也【子袭父位虽当居尊明无先望之意也】次五攓其衣之庭有麋【五为衣麋草也方近于水故攓衣也庭中庭也五为中央故称庭庭而有草故衣举也】测曰攓衣有麋亦可惧也【庭之不除君之惧也】次六躬去于成天遗厥名【六为上禄禄位髙而尊家性为去当成功而让于人或若尧舜或便还五功成身退故天遗其名也】测曰躬去于成让不居也【己居天位公之于贤也】次七去其徳贞三死不令【令善也七为火其行属木为其父母子去父母故言去其徳也家性为去虽去而正故贞也】测曰去其徳贞终死丑也【三为终去其父母故终死不善也】次八月髙火几县不可以动动有愆【八阴也故为月月之髙二十之余也火谓大火火之防县嵗将晚也八者老疾之位于年为八十愆过也如月动而益晦火日以流退皆时之候也人之年老亦犹然致仕县车遗法后生不可妄动以有愆也】测曰月火县恐见咎也【常恐见咎故无咎者也】上九求我不得自我西北【此木行也而金克之家性为去故去之也其求之也不西则北子求母本是其义也】测曰求我不得安可乆也【虽在去家安可乆行也】
　　□【三方二州二部一家】晦【人阴家四金中下象明夷卦】阴登于阳阳降于阴物咸丧明【行属于金谓之晦者言阴阳易位万物日雕故丧其明于晦闇之地故谓之晦晦之初一日入氐宿十三度】初一同冥独见幽贞【水在金行子母之道在于晦闇之世虽同于冥故能独有所见而处于下故幽以阳居正故贞也】测曰同冥独见中独昭也【处晦而明故昭也】次二盲征否【二为目而在阴位位阴世晦故盲也火克于金故否行数不通故征否也】测曰盲征否明不见道也【既盲又否故不见道也】次三阴行阳従利作不凶【夫阳行则阴従今而反之明世晦也然夫妇之道共成家事虽非公正作务之事未为凶也】测曰阴行阳従事必外也【居家理治可移于官故必外也】次四晦其类失金匮【四金也而在其行处晦之世故曰晦其类也金匮美寳也四是公侯之位而在其晦故失其美寳也】测曰晦其类法度废也【国之美寳废失之也】次五日正中月正隆君子自晦不入穷【五在中央故日月正中也月满之时亦于中也故以日月喻矣五为天位而在晦世従时而卑故自晦也谦尊而光故不入穷也】测曰日中月隆明恐挫也【日中则昃故明挫也】次六鸟维愁明降于幽【降下也六为上禄髙而无民幽者神所居也宗庙之道以幽为明六为七为鸟以祠祭宗庙而维愁也】测曰鸟维愁将下昧也【冥昧之中神所居之也】次七防提明徳或遵之行【七为失志防者目不明也提弃也弃其明由晦世也遵犹循也或循之行従时之宜也】测曰防提明徳将遵行也【言行以道徳也】次八视非其直夷其右目灭国丧家【七为目八因以视故曰视其直也夷伤也右目为七也在八之右故为右目家性为晦目少且晦故伤也上欲敌九九克于木故曰灭国国灭故家丧也】测曰视非夷目国以丧也【相克之世故丧也○如霸王遇韩信眼不别贤而亡也○累将数本校勘无此注十三字惟林氏印行本中有恐是林氏新意不敢除去也】上九晦冥冥利于不明之贞【贞正也九金也而在晦世故冥冥也利以不明随时之宜则贞也】测曰晦冥之利不得独明也【时世晦闇九虽正阳宜自抑损不得独自分明也】

　　太经卷五
<子部,术数类,数学之属,太玄经>
　　钦定四库全书
　　太经卷六　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　从瞢至养第六
　　□【三方二州二部二家】瞢【人阳家五土中中亦象明夷卦】阴征南阳征北物失明贞莫不瞢瞢【行属于土谓之瞢者寒露节终于此首之次四霜降气起于此首之次五斗指戌无射用事征行也阴南阳北故万物失其明正之道瞢瞢然故谓之瞢瞢之初一日入房宿三度】初一瞢复睒天不覩其轸【一水也而在土行土克于水故瞢瞢然也睒窥也瞢晦也瞢复而窥天天道髙逺不可覩察故不见其轸界也】测曰瞢复睒天无能见也【瞢瞢不明故无能见也】次二明复睒天覩其根【二为目又为日故明也腹目俱明所照者逺覩于人事无所不见故覩其根者也】测曰明复睒天中独烂也【无所不见故烂明也】次三师或导射豚其埻【师为瞽者也豚遁也埻射的也木在土行数相克故瞽也亦为进人人之欲进必须明分分之不明犹瞽导射而遁其□志不正也】测曰师或导射无以辨也【导者不明故无以别也】次四鉴贞不迷于人攸资【四金也故为鉴鉴之正者犹为不迷况得贤者与为治乎于于也资取也攸所也于人所取是者无过于鉴贤也】测曰鉴贞不迷诚可信也【以贤为鉴可保信也】次五倍明仮光触蒙昬【五为天子当以贤自比为明自光家性瞢瞢未知所就故倍仮明光而触昬也】测曰倍明仮光人可频也【倍仮光明人所不录也】次六瞢瞢之离不宜荧且【六为上禄而在瞢家故瞢瞢也瞢犹薆薆也离为日荧谓月也君薆然若日之将出不可荧然若月之将毁也小貌也终当如离离日也故不宜小也】测曰瞢瞢之离中薆薆也【薆薆而进胜荧而退也】次七瞢好明其所恶【七为失志在瞢之家益以不明志失祸生恶加乎下好自文饰求明于人故好明其所恶也】测曰瞢好之恶着不可昧也【恶而求明昧更着也】次八昬辰利于月小贞未及星【昬日入也日入月出转相继续故言利于月也以月续日可以小正故言小贞未及如星烂布天下也】测曰昬辰利月尚可愿也【以月继日故犹可愿乐也】上九时不获其嘉男子折笄妇人易哿【哿笄饰也男子有笄妇人哿之以饰长叹也嘉善也男谓九也妇谓八也金木相克故笄折哿易故不获其善也八生于七今力克之故七复仇而消男也】测曰不获其嘉男死妇叹也【男子消亡而女长叹也】
　　□【三方二州二部三家】穷【人阴家六水中上象困卦】阴气塞宇阳亡其所万物穷遽【行属于水谓之穷者言是时阴气盈满于天地之间故曰塞宇离日阖天谓之宇是也故阳气无复所立万物穷遽遽忙也故谓之穷穷之初一日入心宿二度】初一穷其穷而民好中【中忠信也阳位阴家君子之道也君子之道故有穷尔穷而不滥忠信之道也下大其中民之所好故好中也】测曰穷其穷情在中也【上茍不欲民之所好在忠信也】次二穷不穷而民不中【二为小人故不以穷为穷而滥窃足已故民不忠也】测曰穷不穷诈可隆也【不可厚行诈也】次三穷思达【三为进人而在穷世故而自思以求达道有似仲尼之畏于匡也】测曰穷思达师在心也【师循也思循文王之道也】次四土不和木科椭【土为五也木谓三也木克于土故不和也土而不和吐生而不育故皆科枯枝叶不布亦金克木之所致也】测曰土不和病乎民也【五为君位君而不和故民病也】次五羮无糁其腹坎坎不失其范【范法也五为君位处于穷世世穷身约故羮无糁也土为大腹腹大不充故坎坎也然而自约不失其正也】测曰羹无糁犹不失其正也【穷不易道故不失也】次六山无角水无鳞困犯身【角禽也鳞鱼也皆山水之所蓄而住穷世故兽鱼托焉托而无救故身犯困也】测曰山无角困百姓也【万物穷而无托故百姓困者也】次七正其足蹛于狴狱三嵗见录【七火也亦称君子之道正直而已而以盛火为水所克世穷见克若蹛狱也三终也茍自正直终嵗之间狱事究竟三槐九棘理以正曲曲得其情方见录也】测曰正其足险得平也【世虽穷险贵得其平也】次八涉于霜雪累项于厀【霜雪以喻害也八为小人小人在上下民履害涉履其难为已之累项髙厀卑卑髙不叙难之所生故言霜雪霜雪木之害也】测曰累项于厀亦不足生也【不叙之世不足贤者之所生也】上九破璧毁圭曰灶生天祸以他【九金也故称圭璧为土所克故圭璧破也九为君子君子守义者也义然后取今在穷家羮而无糁坎坎不足故曰灶废也虫也虫生于灶下不偶天祸故以他也】测曰破璧毁圭逢不幸也【圭璧毁破故逢不幸也】
　　□【三方二州三部一家】割【人阳家七火上下象剥卦】阴气割物阳形县杀七日几絶【行属于火谓之割者言阴气甚急减割物之形体阳无所据县絶于天地之间余去冬至四十九日当言七七但言七者约数之也几近也言于此至来复之日亦近于割絶故谓之割割之初一日入尾宿二度】初一割其耳目及其心腹厉【一坎也故为耳目耳目所以见于逺心腹之臣逺施耳目以昭明境外而见割止忠言不用故厉厉危也】测曰割其耳目中无外也【耳目之臣而见割减故无外也】次二割其肬赘利以无秽【二火也火性外照阴为疾疫故有肬赘割而去之疾除秽去无累于身故言利也】测曰割其肬赘恶不得大也【除其秽疾故恶不得大也】次三割鼻食口丧其息主【三为进人而在割损之世茍念自进以鼻食口非益之道也君子之益隆基本上下相配也鼻者气息之主也今而见割故丧息主也】测曰割鼻丧主损无荣也【丧身之主无荣也】次四宰割平平【四为公侯故称宰平平切无私家性为割割君之禄以施于下平心正意各得其所故曰平平也】测曰宰割平平能有成也【各得其所故有成也】次五割其股肱丧其服马【五为天子位阳家之土暗昧之主也服马以喻臣也股肱良则庶事康今者割丧失其所任也故服马丧也】测曰割其股肱亡大臣也【君道暗昧故大臣亡也】次六割之无创饱于四方【宗庙之道下之所奉割损财货以禄于下若水之性故无创也下得其道故四方饱也】测曰割之无创道可分也【以道为恵周流四方也】次七紫蜺矞云朋围日其疾不割【紫蜺庆云围日灾祥也先庆后灾所以儆时也七为失志故为疾阳家之阳故不割也】测曰紫蜺矞云不知刋也【臣之不正不知刋除也】次八割其蠧得必疾【八称君子感天之变知下不正而除去之则得我心所疾也】测曰割其蠧国所便也【割去不正便于国也】上九割肉取骨灭顶于血【肉以谕民骨以谕君九者金也割害于八家性为割益以残贼割取人民以及其君顶最于上故见灭也灭没也】测曰割肉灭血不能自全也【唯七不割故九不得独自全也】
　　□【三方二州三部二家】止【人阳家八木上申象艮卦】阴大止物于上阳亦止物于下下上俱止【行属于木谓之止者霜降气终于此首之次八立冬节起于此首之上九言万物上隔于阴下归于阳各止其所故谓之止止之初一日入尾宿六度】初一止于止内明无咎【阴阳隔絶各止其所故能如水内自清明时行则行时止则止故无咎也】测曰止于止智足明也【知难则止智足明也】次二车轫俟马酋止【二为平人不隠不仕家性为止故车则轫俟而马就止也】测曰车轫马止不可以行也【晏然无求故不行也】次三闗其门户用止狂蛊【三为门户家性为止故门户闗也蛊淫也是故重门禁暴客闗止狂淫也】测曰闗其门户御不当也【狂淫之人当禁止也】次四止于童木求其疏谷【四为金而克于木故童木也而求其实非其时也果为疏谷也】测曰止于童木求其穷也【求疏童木故穷也】次五柱奠庐盖盖车谷均疏【五为天子位故称车盖奠置也柱置待庐犹置臣待君也君处重盖之中故重言盖也谷善也均平也疏大也居上以道故平大也】测曰柱及盖谷贵中也【贵处中央天之位也】次六方轮广轴坎轲其舆【六为上禄故有轮舆之事若齐车也七称车六称舆六克于七故坎轲也】测曰方轮坎轲还自震也【坎轲不安故震怖也】次七车累其俿马猎其蹄止贞【俿轮也轮而见累故云坎轲车累马罢故蹄猎也轮累蹄猎不可乘行家性为止故曰止贞也】测曰车累马猎行可邻也【车累马罢不可以逺行止于邻里】次八弓善反弓恶反【八木也故为弓善弓反发则善反其故也诗云四矢反兮言反其故处也恶弓者不善发则偏然反也】善马恨恶马恨【善马常恨养不足也恶马常恨不早除也亦以谕臣之善恶也春秋传曰不早为之所是也弓马皆恶故不可用也】絶弸破车终不偃【偃止也弓马不良犹臣不忠直故有絶破车之祸也弸也】测曰弓反马恨终不可以也【以用也絶车破不可用也】上九折于株木輆于砭石止【九为金故称石反八则克木髙上则石困进退不宜故言輆于砭石也】测曰折木輆石君子所止也【君子守道正其所也】
　　□【三方二州三部三家】坚【人阳家九金上中亦象艮卦】阴形胼冒阳丧其绪物竞坚彊【行属于金谓之坚者胼固也绪业也言阴气固盛阳失其业物竞坚固故谓之坚坚之初一日入尾宿十度】初一磐石固内不化贞【阳家之阳在金之行母子之道故石固也磐石之性不可动移故贞也】测曰磐石固内不可化也【内能磐固故不可化也】次二坚白玉形内化贞【家性为坚虽克其本不能消铄适可锻治以为器故内化也必成器故贞也】测曰坚白玉形变可为也【以成器物故可为也】次三坚不凌或泄其中【三东方也帝之所出在于坚冰之月命令当行今行不凌故或恐阳气泄于中也君而不宻则臣不固臣不宻则身之失也】测曰坚不凌不能持齐也【君臣相失故不齐正也】次四小螽营营防其蛡蛡不介在坚防【防徳也蛡国也四为公侯小为有国有土也小螽以谕民也民而营营须徳乃安国不在大亦不在小惟徳所由道正徳固故在坚徳也】测曰小螽营营固其氐也【氐本根也本固则末彊也】次五蛡大防小虚【国小徳大则民众殷国大徳小故民虚也】测曰蛡大防小国虚空也【徳不洽境故民不足也】次六韯防纱纱县于九州【六为土禄言韯徳者徳轻如毛民鲜能举之故言纱纱也以细微之徳临有九州九州之民县命太虚故曰县于九州也】测曰韯防之县民以康也【祐民以徳故康宁也】次七坚颠触冢【七为失志颠冢皆谕髙也志失行张故能自髙坚髙其行触长若冢也】测曰坚颠触冢不知所行也【茍能自髙不如世间之所行也】次八坚祸惟用解□之贞【东方为龙故谕以解□也好直之兽故谓之贞也坚其祸不能以情服唯直者而正之也】测曰坚祸用直方也【解蝝为兽知直之方也】上九螽焚其翊丧于尸【土火入木木在火上炎焚扬起故烧九也尸主也翊以谕民民而见焚君将安立故主丧也】测曰螽焚其翊所慿丧也【民慿于君君赖于民民而见焚故主亡也】
　　□【三方三州一部一家】成【人阳家一水下下象既济卦】阴气方消阳藏于灵物济成形【行属于水谓之成者言此时阴气方消静于六位阳气藏于灵祗之底谓地中也故万物成其形体故谓之成成之初一日入尾宿十五度】初一成若否其用不已冥【一君子也不有其功虽有所成犹若否也常而若否致用不已故冥也】测曰成若否所以不败也【谦以得之故无败事也】次二成微改改未成而殆【二火也而在于水虽当相害家性为成成熟于物当须水火今水在火下故言未成未成而改故殆也】测曰成微改改不能自遂也【未成重改故不自成遂也】次三成跃以缩成飞不逐【三为进人故欲上跃跃而失位当反其故故以缩言之也家性为成茍成而飞跃就尊位据有于众人贵成功而不追逐而责之也】测曰或跃以缩成徳壮也【必得髙位徳之壮也】次四将成矜败【四为公侯官亚天位据下行阳奉上循阴臣道黙従归功于五而将自矜非道之正也】测曰将成之矜成道病也【居下自矜道之病也】次五中成独督大【五为天位处中履和故曰中成尊无与比故谓之独董督四方故大也】测曰中成独督能处中也【能处中央督天位也】次六成魁琐以成获祸【六为上禄故魁然也琐细也六近于五土克于水故为之琐虽居上禄而不崇让必见克害故获祸也】测曰成之魁琐不以让也【功成不让祸之招也】次七成阙补【七为失志故阙成也阳家之阳君子之道也君子之道善于补愆故有阙则补之也】测曰成阙之补固难承也【补所愆者难承继也】次八时成不成天降亡贞【八木也秋之所成也秋之所成而不所成者天降灾也天降之灾故曰亡贞也】测曰时成不成独失中也【宜成不成失中正也】上九成穷入于败毁成君子不成【阳家之阳故称君子君子之言示端而已也成事不说故曰不成九为成终故曰穷也穷当更生故小毁也】测曰成穷以毁君子以终也【终竟成道君子之终始也】
　　□【三方三州一部二家】防【人阴家二火下中象噬嗑卦】阴阳交跌相阖成一其祸泣万物【行属于火谓之防者言此时阴盛阳藏交跌易位阖闭于下防宻如一万物皆泣其祸未除故谓之防防之一日入箕宿一度】　初一圜方杌棿其内窾换【家性为防当密如一而水在火家更相克动如圎凿方枘杌棿不安】测曰圜方杌棿内相失也【杌棿不安故相失也】次二防无间【二火也而在其行二火合防防密如一故无间也】测曰无间之防一其二也【一阳二阴道相受也】次三龙袭非其穴光亡于室【三为龙立冬之后故袭穴也念进于四故非也茍进非次失位妄据故无光荣于其室也】测曰龙袭非穴失其常也【非穴亡室故云失常也】次四臭肥灭鼻利美贞【四为公侯五为天位天位称肥四亲近之故称臭肥也鼻以和气金在火家火烁于金故灭鼻也以阴求阳故利奉近尊位故美贞也】测曰灭鼻之贞没所劳也【上附至尊故没身不殆也】次五齧骨折齿满缶【四为肤五为骨骨以谕阳四为口齿之象也行克于四故齿折也五为土器故谓之缶阳气在下六位纯阴故言满缶言阳气满土下也】测曰齧骨折齿大贪利也【下克于上故毁折也】次六饮汗吭吭得其膏滑【六为上禄汗润泽也神灵所祐故润泽多吭吭然也百姓蒙福若膏泽之濡滑也】测曰饮汗吭吭道足嗜也【福祚天降故足嗜也】次七防其差前合后离【木生于火七进得八与母同位故前合也退而得六六水克之故后离也】测曰防其差其合离也【进合退离位次然也】次八辅其折廅其缺其人晖且偈【八木也在火之行火盛金衰故八辅之也金在火行故缺小也毌大以德廅之覆蔽其瑕故廅其缺也能掩二恶见已二美既有光晖当为英偈】测曰辅折廅缺犹可善也【掩恶见美故可善也】上九阴阳啓其变赤白【九金也啓开也此十月之首阴盛阳开今当袭外故开也金王火废故变赤为白也】测曰阴阳啓极则反也【极阴反阳也】
　　□【三方三州一部三家】失【人阳家三木下上象大过卦】阴大作贼阳不能得物陷不测【行属于木谓之失者立冬节终于此首之次一小雪气起于此首之次二斗指亥应钟用事言此时阴大贼阳阳无所据二气不和万物之生无所测立阴阳相失故谓之失失之初一日入箕宿六度】初一刺虚灭刃【虚空也刃满也水为簿首故谓之刺顺流刺下满灭于空虚之地也】测曰刺虚灭刃深自几也【深以防微自戒也】次二藐徳灵徴失【藐小貎二称小人故小徳也灵神也徴祥也小徳之人不知天命家性为失不敬灵祥故失也】测曰藐徳之失不知畏徴也【不达天命故不知畏也】次三卒而从而防而竦而于其心祖【从防竦皆是忧惧忧惧卒至之貌也而辞也祖始也忧惧卒始犹可心虑三未居官而近于四恐卒见克害故竦忧也】测曰卒而从而能自改也【见忧而改则无忧也】次四信过不食至于侧匿【四为公侯阳家之阴则为小人小人居位故信过也既过而失故不食也居禄不当故有侧匿也】测曰信过不食失正禄也【应食而不食故失禄也】次五黄儿以中蕃君子以之洗于愆【五为天子有辅相之臣土生于火火谓七也故言黄儿谓年老有黄发儿齿之徴也以自蕃辅承之以正故君子洗愆也】测曰黄儿以中过以洗也【洗垢除愆君子所以得众也】次六满其仓芜其田食其实不养其根【六为大位小人居之不修其徳而据上禄仓满田芜百姓罢极食实困恨本基不固家性为失失之甚也】测曰满仓芜田不能脩本也【不田而获本不修也】次七疾则药巫则酌【七为君子当反佐五忠告善道吐言如药巫以谢阙阙除疾瘳酌以福之也】测曰疾药巫酌祸可转也【虽在失家以良臣自辅也】次八雌鸣于辰牝角鱼木【八为飞鸟亦为声音故言鸣也八又阴位故谓之雌尚书曰牝鸡无晨此之谓也牝宜童而角鱼宜水而木家性为失失之甚也】测曰雌鸣于辰厥正反也【缘木求鱼故正反也】上九日月之逝改于尸【九为金也而在于木有克木之愆阳称君子君子之道执行于世虽没犹存九为失终不以年髙日月已逝其有得失虽在尸柩犹念自改故曰于尸也】测曰改于尸尚不逺也【言其志尚不以所失逺也】
　　□【三方三州二部一家】剧【人阴家四金中下亦象大过卦】阴穷大泣阳无介俦离之剧【行属于金谓之剧者俦匹也离附也是时阴气大盛夺阳之势阳无一介以养万物万物附离于阴阳方当外阴当穷讫故大泣也羣匹穷剧故谓之剧剧之初一日入箕宿十一度】初一骨累其肉内幽【骨干也累犹祸也干以谕君幽内也肉以谕亲小人之道而在剧家下害其上祸由其内故言内幽也】测曰骨累其肉贼内行也【骨肉之祸皆由内也】次二血出之蚀凶贞【火在金行欲克于金末不克本故言血出血出以谕不顺不顺生灾故言蚀也相克为凶止则为贞止以相顺故曰凶贞也】测曰血出之蚀君子伤之也【二为君子恐伤金也】次三酒作失徳鬼睒其室【睒见也金生于水郁水加米故以酒谕家性为剧始道之人未能蕴借故酒失也失则为乱讼以致祸故鬼见失也】测曰酒作失徳不能持也【蕴借持已不及乱也】次四食于剧父母采馂若【四为中禄而在剧出故食剧也馂熟食也若顺也采取也美食父母之顺也】测曰食剧以若为顺禄也【子得天禄父母顺取也】次五出野见虚有虎牧猪绔与襦【五土也故称虚四为虎六为猪五为君位而在剧世处于政治百姓去之如虎之牧猪喻益走其襦绔也】测曰出野见虚无所措足也【避世而无所错足也】次六四国满斯宅【六为上禄下之所仰如水之赴海故以满宅谕也】测曰四国满斯求安宅也【民蒙其福故安居也】次七麃而半而戴祸顔而【而辞也七为失志年过失志麃然半白而不改变故曰戴祸祸在其顔见可知也】测曰麃而半而戴祸较也【戴祸在顔较然可见也】次八缾累于繘贞顇【顇纯也缾所以出水须繘以汲之犹君须于民以及禄也君禄养民故曰贞纯也】测曰鉼累于繘厥职迫也【职主也迫近也金克于木迫于九也】上九海水羣飞蔽于天杭【天杭天汉也金生于水故称海水水羣而飞雨之象也亦犹剧世人去其君不可掩蔽若天雨也】测曰海水羣飞终不可语也【剧世之民不可解语而止之也】
　　□【三方三州二部二家】驯【人阳家五土中中象坤卦】阴气大顺浑沌无端莫见其根【行属于土谓之驯者言阴气已顺浑沌无端包其根原故当驯抚故谓之驯驯之初一日入斗宿四度】初一黄灵幽贞驯【一为君子居土之行故谓之黄中央之色求克于一故谓之灵驯者顺従于土故幽贞也】测曰黄灵幽贞顺以正也【顺其性故正也】次二其膏女子之劳不静亡命【二阴也膏润泽也阴受于阳犹臣受于君妾受于夫也静安也国以安则润泽以至生育女子之劳也不安不育是亡君夫之命也】测曰膏之亡不能清净也【女子劳类故不清静也】次三牝贞常慈衞其根【牝阴也贞正也阴道常慈顺于君则能衞其本根也】测曰牝贞常慈不忘本也【能衞其根故不忘本也】次四徇其劳不如五之豪【徇衞也四为臣道有劳能自徇衞欲人称知之故不如五处柔顺之尚以道得众有豪友也】测曰徇其劳伐善也【自衞其劳故伐善也】次五灵囊大包其徳珍黄【五处尊位包有四方如有囊之所裹括也家性柔顺故可珍爱也】测曰灵囊大包不敢自盛也【括囊其徳不自盛大也】次六囊失括泄珍器【六水也家性为顺水性顺下不可停贮故囊失括也括之不密珍器不固犹君不密则失臣也】测曰囊失括臣口溢也【囊失括故口溢也】次七方坚犯顺利臣贞【七火也火性有恒寒暑虽至不为増减犹正直之臣坚意犯顔不变其色臣之正也】测曰方坚犯顺守正节也【固意不挠故守节也】次八驯非其正不保厥命【八木也是金之财宜当顺従反顺其子欲上害九子上介八逺不能救木必见克故不保其命也】测曰驯非其正无所统一也【所顺非正故一无所统也】上九驯义忘生赖于天贞【家性为驯九为之终终于善道展义忘生必得其正唯天知之故赖于天也】测曰驯义忘生受命必也【顺而以义必受命也】
　　□【三方三州二部三家】将【人阴家六水中上象未济卦】阴气济物乎上阳信将复始之乎下【行属于水谓之将者言阴成物于上万物顺而相将故谓之将将之初一日入斗宿九度】初一将造邪元厉【厉危也元始也一为下人造欲竹邪上侵于二火性炎上不得侵侵而不得已自危惧故始厉也】测曰将造邪危作主也【作主常危故厉者也】次二将无疵元睟【睟纯也二为平人而在将大之家故无疵瑕也人无瑕疵故大纯也】测曰将无疵易为后也【纯厚之人故易为后也】次三鑪钧否利用止【冶为鑪陶为钧三为进人已见陶冶当升禄位四不可犯故利用止也】测曰鑪钧否化内伤也【进而不止恐见伤损也】次四将飞得羽利以登于天【四为公侯当賔于王有羽翼之助如鸟将飞也故为利登于天也】测曰将飞得羽其辅彊也【将飞得羽以益彊也】次五大爵将飞拔其翮毛羽虽众不得适【五为阴家之阳小人之象虽在天位其道不正故称大爵爵大人微如鸟将飞而失其翮也无翮失羽不得适也】测曰大雀拔翮不足赖也【羽翮不足故非赖也】次六日失烈烈君子将衰降【降下也五为日中故六为日失也烈烈盛也日之热恒在中之后故言烈烈也日称君子时过将暮故将衰降也】测曰日失烈烈自光大也【虽衰犹烈故大也】次七趹舩跋车其害不遐【七为失志舩车载治之具贤者亦治世之具也失志之王故□趹之不亲治正故害不逺也】测曰趹舩跋车不逺害也【弃治之具害自已招故不逺也】次八小子在渊丈人播舩【八木也故称舩为祖父故称丈人小子谓百姓也在祸难中若在渊也丈人播舩而济之犹以礼义济于世也】测曰丈人播舩济溺世也【济溺之急唯舩是用丈人得之也】上九红蚕縁于枯桑其茧不黄【九为毛虫故为蚕蚕之初生有毛为老故为红桑谓八也为九所克故枯也在八之上故縁也蚕须桑民须食老蚕遇枯故红茧不黄也食桑者其茧黄可弦琴瑟也】测曰缘于枯桑蚕功败也【大而縁走故败也】□【三方三州三部一家】难【人阳家七火上下象蹇卦】阴气方难水凝地拆阳弱于渊【行属于火谓之难者大雪之节阴气亢极水凝地拆阴极阳生方当龙变度难却而已故谓之难难之初一日入斗宿十三度】初一难我冥冥【初九将起难却羣阴而上今尚在地下故言难我冥冥也我谓阴气也】测曰难我冥冥未见形也【尚在地下故形体未见也】次二冻冰渎狂马椯木【渎败也冰而得火故败也二为马火中之马若狂之象也椯差也阳在木下差次当上故言差木也】测曰狂马椯木妄生也【气逺来复如妄生也】次三中坚刚难于非常【首居蹇难家性属火木当是时枝叶摇落复为火所燥故中坚刚也阴气极盛阳未发生难非常也】测曰中坚刚终莫倾也【虽为阴困木终不倾也】次四卵破石【四为鸡故称卵卯在金石之间故破也卵阴物也为阳所乱故也】测曰卵破之小人难也【卵而败故大也】次五难无间虽大不勤【五为天位而在难世重门居尊不可得泄故无间也居上临下下之所奉故不勤也】测曰难无间中宻塞也【重门自固故中密也】次六大车川川上輆于山下触于川【六为上禄故乗大车也上则輆山谓九在上也川川重迟之貌也下触于川谓车非水物也】测曰大车川川上下輆也【輆于山川者也】次七拔石防防力没以尽【石以谕难防防难致之貌此难世也失志之王不可辅正虽当托忠防防如石非才所堪故力尽也】测曰拔石乗时也【乘于时难故力尽也】次八触石决木维新折角【阴为石阳气当上触阴而进故触石也八为龙木当用事金克于木故折角也】测曰触石决木非所治也【以弱治刚故非所任也】上九角解豸终以直其有施【解豸直兽也有疑则以角触之乃别其曲直也而终为人别曲直故可施行也】测曰角解豸终以直之也【禀性平直终不曲也】
　　□【三方三州三部二家】勤【人阴家八木上中象坎卦】大阴冻沍戁创于外微阳邸冥膂力于内【行属于木谓之勤者言是时阴气尤壮阳従九天当下于泉将甚勤劳故谓之勤勤之初一日入斗宿十八度】初一勤于心否贞【水出于泉而流百川昼夜不伏实劳其心故勤于心也阴当降退故否阳正当上故贞也】测曰勤否贞中不正也【水唯赴下无常正也】次二劳有恩勤悾悾君子有中【二火也子在母行母氏劳苦劳而不怨慇懃之意也悾悾信慤之貌君子信慤故有中诚也】测曰劳有恩勤有诸情也【恩勤之意情有之也】次三羁角之吾其泣呱呱未得繈杖【吾者我也我谓二也二为三子而见羁角不忮不求何用不臧义不犯难故泣呱呱也防者宜繦老者宜杖勤苦之家故未得也】测曰羁角之吾不得命也【更相羁角不得尊者之命也】次四勤于力放倍忘食大人有克【克胜也四为公侯而在勤家故勤其力放心倍意忘食奉时虽大人者亦不能胜也】测曰勤力忘食大人徳也【人生在勤以成大人之美徳也】次五往蹇蹇祸迩福逺【五为天位蹇蹇平直也家性为勤念相勤防六水近五见克为祸故祸近也七生于金故福逺也】测曰往之蹇蹇逺乎福也【言所福者逺在九也】次六勤有成功几于天【六为宗庙下之所奉勤苦之世故有成功功成身退近得天福故几于天也】测曰勤有成功天所来辅也【天之所助求贤辅也】次七劳牵不其鼻于尾弊【七为绳故牵也午为马马牛之类也牵牛不其鼻而尾者故劳弊也】测曰劳牵之弊其道逆也【舍鼻取尾故逆也】次八劳踖踖心爽蒙柴不却【踖踖慙媿貌也爽差也八为疾瘀年老抱疾故有慙也老木称柴心虽差贰蒙柴自终不贰也】测曰劳踖踖躬殉国也【殉衞也勤力之家以身衞国也】上九其勤其勤抱车入渊负舟上山【家性为勤九为之终终于勤苦之事舟反上山车反入渊反覆之难故重其勤也】测曰其勤其勤劳不得也【车渊舟山不得其所之也】
　　□【三方三州三部三家】养【人阳家九金上上象頥卦】阴弸于野阳蓲万物赤之于下【行属于金谓之养者言是时阴气盛极阳气隠藏渊深万物之根荄使皆芽赤于地下养长使出故谓之养养之初一日入斗宿二十二度】初一藏心于渊美厥灵根【美茂也水最在下故为渊灵根道徳也家性为养养神于渊道徳弥盛故茂也】测曰藏心于渊神不外也【在于渊中故不外也】次二墨养邪元函否贞【贞正也元始也函容也二者阴位故称墨也火在金行恐见克害故言养邪始见容载故贞终也不相让故否也】测曰墨养邪中心败也【邪于中故心败也】次三粪以肥丘育厥根荄【三木也火生土故三为肥丘木生肥丘根荄见育育犹君子以义化人人得以如草本之生肥丘也】测曰粪以肥丘中光大也【民蒙君化故光大也】次四燕食扁扁其志利用征贾【四为公侯之位阳家之阴又称小人小人而居大位不能以正扁扁若燕既飞且食或得或失然也兊为口舌故利行贾明非王臣王臣尚蹇蹇然也】测曰燕食扁扁志在赖也【赖利也志在于利欲也】次五黄心在腹白骨生肉孚徳不复【五为天位多包称腹在中为黄阳为白骨能生肉也信不复也】测曰黄心在腹上得天也【君而黄心黄中通理得天之心也】次六次次一日三饩只牛之兆肥不利【六为宗庙次次次雎不安之貌也祭祀之事惟竦惟惧犹不可数数则致渎渎则不敬家性为养虽当养神一日三饩犹为数也是养牛之肥卜之已兆无所利也】测曰次次之饩肥无身也【已卜之牛待肥则用故无身也】次七小子牵象妇人徽猛君子养病【小子谓六也妇人谓四也五为中六牵之也三为虎而四在前故徽墨之也故七为君子六四劳病故七养之驰骋发狂故病也】测曰牵象养病不相因也【小子妇人各不相因缘也】次八鲠不脱毒疾发鬼上垄【八为疾瘀小人居之故有鲠害不脱之疾鲠而不脱故毒发也木近于金当见克害害人为鬼故鬼上垄也】测曰鲠疾之发归于坟也【疫发鬼见故归于坟也】上九星如嵗如复继之初【九为金石之精上为星宿星宿之相次如嵗月之相袭新故相易周而复始后嗣之君复为之初初为故也先后相终始相扶以道相养转相迎致百世不迁之道也】测曰星如嵗如终始养也【终始相养不相越失也】
　　踦賛一【属水象闰】冻登赤天晏入泉【一水也而次于九者金所生也言道相袭不常所终而已故益之以水火嬴嵗之数故有二賛冻至寒也而天至髙也晏至热也而泉至深也以井中之冻知天日之热以卑知髙气应然也水王于天建子之月寒而登天热而入泉以避其害无怪异也】测曰冻登赤天阴作首也【冻在天上故为首也】嬴賛二【属火象闪】一虚一嬴踦竒所生【二南方也盛夏之时万物所长而继之养首下者言当养盛万物也昼夜嬴虚踦竒其数以满三百六十五日四分日之一嬴虚之所生也有三方九州二十七部八十一家二百四十三表七百二十九賛而生二万六千二百四十四防以周三百六十五日四分日之一七十二防为二日故得一三百六十四日有半不起四分日之三应得五十有四防乃成之耳故有水火二賛以合嵗之日也如此则嵗尽于亥及子复生矣也】测曰虚嬴踦踦禅无已也【阴极阳生更相禅代无穷已也】太经卷六
　　钦定四库全书
　　太经卷七　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　冲第七
　　中则阳始【始于子也】应则隂生【生于午也】周复乎徳【在阳方也】迎逆乎刑【居杀乡也】礥大戚【难致忧也】遇小愿【得所求也】闲孤【道闭塞也】而灶邻【养致福也】少微也【得寒气也】大肥也【阳日逝也】戾内反【二气乖也】廓外违【隂阳离也】上触素【物初生也】文多故【须饰成也】干狂也【道不顺也】礼方也【事之常也】则来【阳气章也】而逃则亡【物退藏也】羡私曲【行不广也】唐公而无欲【大荡荡也】差过也【不齐整也】而常谷【善之常也】童寡有【物蒙蒙寡有识也】而度无乏【施不穷也】増始昌【万物息也】而永极长【文武徳也】锐执一【生不二也】而昆大同【众所庇也】达日益其类【阳气暖也】减日损其彚【与达反也】交相从也【二气交泰也】唫不通也【隂不化阳不施故不通也】防有畏【见难缩也】守不可攻【门戸密也】傒也出【待时动也】翕也入【退不往也】从防也【取其主也】而聚集也【物用崇也】进多谋【计所从也】积多财【物归载也】释推也【物始变也】饰衰也【不进退也】格好也是【拒羣隂也】而疑恶也非【隂克阳故恶而非之也】夷平【物易直也】而视倾【隂气息也】乐上【阳出中也】沈下藏【万物喜乐阳气上而清明羣类湮沉阳气而藏肃杀志宫也】争士齐也【各自矜也】内女懐也【人之情也】务则憙【自勉强憙为也】而去则悲【失故乡也】事尚作【万物各致其力也】晦尚休【冬物静也】更变而共笑【彼自改故喜而笑也】瞢久而益忧【闇致咎也】断多事【平是非也】穷无喜【多所□也】毅敢【果不疑也】而割惫【困于时也】装徙乡【隂欲去也】止不行【二气往也】众温柔【立夏节也】坚寒刚【亦立冬也】密不可间【阳亲天也】成不可更【物形坚也】亲亲乎善【阳气仁爱也】防防乎恩【万物察也】敛也得【物所聚也】失亡福【恶之府也】彊善不倦【干行健也】剧恶不息【隂凌息也】睟君道也【阳气纯也】驯臣保也【奉其君也】盛壮【阳气充也】将老也【阳之穷也】居得乎位【物有因也】难遇乎诎【阳溺渊也】法易与天下同也【天下之事同法式也】勤苦而无功也【负舟上山徒费力也】养受羣余君子养吉小人养凶也【终于养故曰羣余也阳以为吉隂以为凶君子小人较可知也】
　　错第八【错杂也杂而说之也】
　　中始周旋【始于中首至周首而旋复也】羡曲毅端【行不正故曲也毅信其志直为端也】睟文之道或淳或班【淳睟其道班有文也】彊也健【不休息也】傒也弱【如有须也】积也多【积畜盛多也】而少也约【谦不盈也】视也见【物所形也】而晦也瞀【世不明也】童无知【防未小也】盛而有余【气壮彊也】去离故【他所从也】而将来初【隂气穷也】大也外【隂在中也】而翕也内【物退降也】也进【阳气进也】防也退【见难而缩也】乐佚逷【物以长也】勤蹶蹶【劳无常也】达思通【道相致也】穷思索【万物遽也】干在朝【物始出也】而内在席【阳藏郁也】差自憎【过为恶也】饰自好【人所择也】格不容而昆寛裕増日益而减日损驯奉令【臣所制也】而戾相反【乖于事也】释也柔【物脱枯也】而坚也刚【下刚以革奸也】夷平易【气所伤也】而难颉顽【非其常也】断多决【重以方也】而疑犹与【当节量也】逃有避【阳害阳也】争有趣【物相贪也】进欲行【万物襃也】止欲鸷【上下违也】廓无方【不限彊域也】务无二【心専一也】应也今【权时宜也】而度也古【权不达也】迎知前【气相承也】永见后【事长久也】从也牵【物趋阳也】守也固【不可攻也】礥拔难【宜大人也】剧无赦【臣困君也】唐荡荡【公无私也】而闲瘗塞【隂阳离也】更造新【变刑势也】常因故【不改计也】失大亡【物沦退也】敛小得【隂聚内也】灶好利【养无穷也】法恶刻【正不中也】礼也都【动合仪也】而居也室【人所归也】聚事虚【地上将虚隂所收物也】众事实【物充多也】阚也皆合二【隂阳杂】而密也成用一【二气和也】上志髙【阳登气也】沉志下【相思待也】交多友【人所敬也】唫少与【俭且吝也】锐鏩鏩【进无二也】瞢跙【行不进也】亲附防【重宗捆也】割犯血【不隠亲也】遇逢难【隂害阳也】装候时【徙故乡也】事自竭【致其力也】养自兹【禅无极也除有格昆増减成五首不在错中目録曰八十一首错相成也如此明当有之今而不见愚意以为更二汉宋陆二家以今处当亦几于漏脱也】格也乖而昆也同増有益而减有损成者功就不可易也【宋仲子云雄本不书此五首自格至成宋仲子添之陆云格昆増减脱误审也陆释自有成首云成者功就不可体也】
　　攡第九【攡张也言张舒其大目也】
　　者幽攡万类而不见形者也【幽深也攡张也万类万物之类也言幽冥深逺故张舒万物之类然而不见其形者也】资陶虚无而生乎规【资取也陶养也虚空也无无形也规圜也取象天地空虚无形之气推积为一以九数得万物数以为形故曰生规天规圜也】神明而定摹【闗也若手相闗付故字有手也摹数也乃闗天地神明之事以定于一运九数其道分明若手相闗付故曰而定数也】通天古今以闻类【古谓庖牺今即随世也乃緜络于天地通古今之器开隂阳之气同万物之类也】攡措隂阳而发气【措犹设也谓张设隂阳之道以发休咎之气也】一判一合天地备矣【判谓纯隂纯阳也合谓隂阳交错开隂阳交错以生万物备满于天地之间也合俗云夫妇判合此之谓也】天日回行刚柔接矣【回犹运也天运如西日运如东天日运行隂阳相交以成昼夜之道也】还复其所终始定矣【谓天昼夜运行周而复始故言还复其所也行无迟疾度不参差故终始定也】一生一死性命莹矣【莹明也上句説天及日此句言生死正谓月之晦明生死之道晦明得度天之性命可谓明也】仰以观乎象俯以视乎情【仰观俯视天之形象地之情性皆可知也】察性知命原始见终【言当详察太性命天地人之道终始可见也】三仪同科厚薄相劘【三仪谓天地人也科法也厚薄谓隂阳也隂浊故厚阳清故薄隂阳相劘以生万物天人同法而养制也】圜则杌棿方则啬【圜谓天也天动故扤棿方谓地也易曰坤为啬主收藏此之谓也】嘘则流体唫则凝形【嘘谓呼也唫犹噏也呼谓之阳唫谓之隂春阳之气流润万物之形体冬隂则凝滞而成形也】是故阖天谓之宇辟宇谓之宙【阖天地昼夜之称谓之谓宇如屋宇之所覆也辟谓开天地昼夜之称尔宙犹畅也宇之开辟明畅于天下也】日月往来一寒一暑【日月往来于天以寒暑成岁也】律则成物厯则编时【律谓六律也阳为律隂为吕物以阳成故曰成物也厯谓治厯明时编次岁事也】律厯交道圣人以谋【道谓天地隂阳之道也律以候气厯以编时敬授民事则圣人之所谘谋也圣人谓若尧命羲和之类也】昼以好之夜以丑之【好事在昼丑事在夜丑好遘杂万物化生也】一昼一夜隂阳分索【隂则为夜阳则为昼索数也夜分为别以分四时也】夜道极隂昼道极阳【夜极为昼昼极为夜昼夜之极以见隂阳】牝牡羣贞以攡吉凶【贞正也隂为牝阳为牡隂阳牝牡万物化生各得其正故曰羣贞以张吉凶之事也】则君臣父子夫妇之道辩矣【辩别也如此则人道之纲纪炳然有别也】是故日动而东天动而西天日错行隂阳更巡【巡行也口天错行隂阳更用事也】死生相摎万物乃纒【摎谓相扰也纒谓纒绵也上句言天日之宜此言死生知说月也月明生而魄死魄生而明死死生之相摎扰故万物亦纒绵而成就也】故聘取天下之合而连之者也【聘求也求取天下之合谓五位相合于五方而运之以成经文】缀之以其类占之以其觚【觚法也缀系之以其类谓五行相生万物之类也占之以法谓经纬之休咎也】晓天下之瞆瞆莹天下之晦晦者其唯乎【叹之也】夫晦其位而冥其畛深其阜而眇其根欀其功而幽其所以然者也【畛界也大陆曰阜眇微也幽冥也言公道微妙阊其经界深其根本不语其功幽冥其所以然事者以见其逺也】故卓然示人逺矣旷然廓人大矣渊然引人深矣渺然絶人眇矣【皆叹美之言也】黙而该之者也【该兼也兼明天地之道也】防而防之者人也【言兼天地隂阳之道后世之人必有散而用之也】稽其门辟其户叩其键其后乃应【稽犹叩也辟开也键闭也开门叩牡乃知道如人号呼之相应也】况其否者乎【否不也至门叩键然后应之况于不为者乎】人之所好而不足者善也人之所丑而有余者恶也君子日彊其所不足而拂其所有余则道之几矣【几近也拂除也除恶从善近于道】仰而视之在乎上俯而窥之在乎下企而望之在乎前弃而防之在乎后【人能道非道人也】欲违则不能黙则得其所者也【违犹去也人之近亦近之欲去则不能也不言而信黙而得其所者莫过于也】故者用之至也见而知之者智也【言为天下之至用见物而知其休咎之智也】视而爱之者仁也【视而爱之是之仁也】断而决之者勇也【言而断决天下之疑而之勇也】兼制而博用者公也【博大也兼制天下之万物大为百姓之用者公无所私也】能以偶物者通也【偶配也以二万六千二百四十四防以配万物牝牡之数所以通天下之事也】无所系輆者圣也【平易于世以成圣人之名】时与不时者命也【圣人无所系輆于天下而不遇其时亦天命也】虚形万物所道之谓道也【虚空也空无形象而万物由之而出故谓之道道可道法之而用也】因循无革天下之理得之谓徳也【革更也因縁天地自然之性无所改更而得其理者故谓之徳徳者得人及物之谓也】理生昆羣兼爱之谓仁也【昆同也同爱天下之物无有偏私故谓之仁仁者仁爱之及物也】列敌度宜之谓义也【敌匹也列序也序其彚匹度时之宜而处者故谓之义义者宜人及物也】秉道徳仁义而施之之谓业也【秉执也执此四者而施行之于世人道之大业也】莹天功明万物之谓阳也【莹明也而明天之功使万物光明者太阳之气也】幽无形深不测之谓隂也【配于阳也】阳知阳而不知隂隂知隂而不知阳【阳起于子隂起于午二气迭兴故不相知也】知隂知阳知止知行知晦知明者其唯乎【以隂阳为本非其孰能兼知也】县之者权也平之者衡也【之称物平施如权衡也】浊者使清险者使平【而使万物清平者其唯乎】离乎情者必着乎伪离乎伪者必着乎情【情实伪虚也离着也着附也】情伪相荡而君子小人之道较然见矣【荡谓荡濯君子小人较然自见者也】者以衡量者也【平量天下之事者其唯乎】髙者下之【谓中首之上九颠灵气形反之辞也】卑者举之【谓周首之初一还于天心之辞】饶者取之【谓中首之次六月□其博之辞也】罄者与之【谓少首之次七贫自究利用见富之辞也】明者定之【谓中首之次五日正于天之辞也】疑者提之【提犹正也谓达首之次五大小无迷之辞也】规之者思也【谓上首之次三思其珍谷之辞】立之者事也【谓事首之次五事其事王假之食之辞也无事则不食其禄故立之宜有事也】说之者辩也【辩别也九賛之辞是以辩其休咎也】成之者信也【不信不立故以成信也】夫天宙然示人神矣【辟宇谓之宙天之开辟以昭万物故为神】夫地他然示人明也【他犹泰也防然示人之明也】天地奠位神明通气【奠定也二位定故神通也】有一有二有三【天地人之位也】位各殊辈回行九区终始连属上下无隅【殊异也辈类也区虚也隅廉也从一至九各自异位故曰几区九区犹易六虚也周而复始故曰无隅如图之象不见其廉角也】察龙虎之文观鸟之理【龙虎为东西鸟为南北南北为经东西为纬观察四方以理为色象也】运诸桼政系之泰始极焉【桼政日月五星也泰始谓中首初一也极中也日月五星系之于天中也】以通琁玑之统正玉衡之平【琁玑斗魁也玉衡其杓也第一星为枢二为琁三为玑四为权五为衡六为开阳七为摇光通其统以达于养皆不失其中如所指之辰也】圜方之相研刚柔之相干【圜天也方地也天地相研以成岁事非一朝也故以研言之刚柔昼夜也易曰刚柔者昼夜之象昼夜相干以成万物也】盛则人衰穷则更生【物盛则衰穷则变】有实有虚流止无常【天地虚嬴或流或止故无其常也】夫天地设故贵贱序【易所谓天尊地卑贵贱位者也】四时行故父子继【五行相生父子相继之道】律厯陈故君臣理【律和气于上厯正时于下律厯见故君臣之事理也】常变错故百事扸【错杂也常谓天地日月星辰也变谓四时变改也常变而不变四时杂乱故曰百事分扸】质文形故有无明【质文见故有无可明知也】吉凶见故善否着【吉见昼凶见夜则善不善显著矣】虚实荡故万物纒【隂为虚阳为实荡动也隂阳相动故万物纒緜而生】阳不极则隂不萌隂不极则阳不牙【隂萌于五月阳牙于十一月】极寒生热极热生寒信道致诎诎道致信【屈以求伸盛极则衰也】其动也日造其所无而好其所新【日知其所无无防其所能天地人之事也】其静也日减其所有而损其所成【静谓怠也倦怠如成其事者天地人之所不能也】故推之以刻参之以晷反覆其序轸转其道也【刻漏刻也以漏刻分日之昼夜晷景度如二至之数返覆次序展转运迈以成岁也】以见不见之形抽不抽之绪与万类相连也【抽出也绪业也言天地隂阳不可得形而数故推之漏刻度之晷景以见其形以出其业万物之类至于死生更相连袭也】其上也县天下也沦渊纎也入薉广也包畛【皆大美之辞】其道游冥而挹盈【言游幽冥之中损抑盈施以谦自约也】存存而亡亡微微而章章始始而终终【各随其事】近者亦近之逺者亦逺之譬若天苍苍然在于东面南面西面北面仰而无不在焉及其俛则不见也【苍苍者春天之色也不称四时以春为大也言天仰则见之俛则不见亦犹近亦近之也】天岂去人哉人自去也【亦谓逺亦逺之也】冬至及夜半以后者近之象也进而未极往而未至虚而未满故谓之近【道好谦常自重虚故以未极未至未满为近亦始于子冬至斗指子夜半时加子】夏至及日中以后者逺之象也进极而退往穷而还已满而损故谓之逺【道恶盈故以已极已满为逺亦始于午夏至斗指于午日中时加午】日一南而万物死日一北而万物生【谓夏至日南在东井万物向死也冬至日北在牵牛万物向生也】斗一北而万物虚斗一南而万物盈【斗指亥子寒气杀物常焚宿菜故言虚也斗行己午温气长物敷枝布叶故盈也】日之南也右行而左还斗之南也左行而右还【日之至南行由西方故言右还从东方故言左旋也斗之至南行由东方故言左还从西方故言右旋也】或左或右或死或生神灵合谋天地乃并天神而地灵【天地合防而相并谋谓十一月冬至时也隂阳相薄于黄泉之中故曰合谋也】
　　莹第十【莹者明也所以明之大体也亦象易之上系词也】
　　天地开辟宇宙袥坦【阖天谓　宇辟宇谓之宙言天地开辟以　昼夜相推如屋宇之普覆宙畅于天内袥广而坦明者也】天元咫歩日月纪数【八寸为咫六尺为歩起于天元甲子朔旦冬至始于牵牛之初自咫及歩运行不息周天三百六十五度四分度之一三十日为月十二月为岁故加閠以定四时故日月纪数也】周浑厯纪羣伦品庶【浑运也周运律应三统之数品物庶类羣党众盛也】或合或离或嬴或踦【踦不足也嬴有余也日月之行有离合隂阳之数有嬴虚天道自然不可为典要也】故曰假哉天地啗函启化罔裕于【假大也啗含也函容也大哉天地包容万物开化成务自然有裕于道也】终始幽明表賛神灵【幽谓隂也明谓阳也言终始于隂阳之事以表賛于天地也天神而地灵也】太阳乘隂万物该兼【谓夏四月也谓阳乗诸隂故万物族类该尽而兼生也】周流九虚而祸福絓罗【九虚九賛之位也列贵贱者存乎位也九賛成位而祸福见也絓罗犹流离也】凡十有二始羣伦抽绪【始朔也一岁十二月故十二始抽犹收也言隂阳迭兴于十一月朔之中羣伦各收其业以成岁事也】故有一二三以絓以罗术莹之【一天二地三人也兼三才而名之以离于九賛之位术之所莹明也】鸿本五行九位施重上下相因丑在其中术莹之【鸿大也言大本起于五行以施九重之位上下相因品物丑类皆在其中太之术皆明之也】天圜地方极值中央动以厯静时乗十二以建七政术莹之【极北极也处天下之中众星所系天之变动以厯安之七政日月五星也运周于天加十二辰七政乃建舒疾得度术所明也】斗振天而进日违天而退或振或违以立五纪术莹之【振动也斗之衡随天动左回故言进也日之行右回故言退也进动相错违五纪以立亦太之所明也】植表施景揄漏率刻昬明考中作者以戒术莹之【植立也立八尺之表表立则景施故言景施以土圭度之以定二至冬至之景丈有二尺夏至之景尺有五寸二至得矣揄犹写也写水下漏审刻知时考知昬明以正中星候司四时动作戒慎以奉时所明也】泠竹为管室灰为候以揆百度百度既设济民不误术莹之【泠黄帝时伶伦到大夏西取竹断以为十二管吹而聼之各有寸数声有大小以应月气人置于深室实以莩灰谷防其口以候十二月气气至者则灰飞也月气効则百事序以济于民无失误也】东西为纬南北为经经纬交错邪正以分吉凶以形术莹之【天长南北而短东西故长为经短为纬也交错以成文章文章成故邪正分吉凶见也】凿井澹水鑚火防木流金陶土以和五美五美之资以资百体术莹之【五美五行之美也水火既有折木陶土铄金流范资成百体也百体既成民并用之所明也】竒以数阳偶以数隂竒偶推演以计天下术莹之【竒以数阳一三五七九偶以数隂二四六八十也推此而演之天下之计可知者也】六始为律六间为吕律吕既协十二以调日辰以数术莹之【阳为始隂为间于子为律于丑为吕故言六始六间也协和也隂阳既和律吕以调日月辰极不失数度亦所明也】方州部家八十一所画下中上以表四海术莹之【谓有八十一家九賛之位三分为下中上位有贵贱以表明四海之事也】一辟三公九卿二十七大夫八十一元士少则制众无则治有术莹之【辟君也以象一有三方九州二十七部八十一家也】古者不不虞荡其思虑匪筮匪卜吉凶交渎于是圣人乃作蓍鑚精倚神防知休咎术莹之【恕也虞忧也言上古无所喜怒无所忧念故荡然漫易无所思虑渎泄也无卜筮之事故言吉凶交相泄也圣人谓庖牺也防求也作着卜筮鑚精达微依倚神灵神而为辞以别吉凶之事也】是故欲知不可知则拟之以乎卦兆【以卦兆之繇准拟之以定所疑者也】测深摹逺则索之以乎思虑【卦兆既见思虑以决之也】二者其以精立乎【二者为思虑也非精则思虑不定也】夫精以卜筮神动其变精以思虑谋合其适精以立正莫之能仆精以有守莫之能夺故夫抽天下之蔓蔓防天下之混混者非精其孰能之【蔓蔓混混难察之事也非精诚之至孰能抽防之乎】夫作者贵其有体而体自然也【言夫作者无所指斥也孔子曰述而不作有所因循而体正自然之事也见体述隂阳不虚造也】其所循也大则其体也壮其所循也小则其体也瘠其所循也直则其体也浑其所循也曲则其体也防【言随其大小体不离其本也循其直事故体浑浑然也】故不防所有不彊所无譬诸身増则赘而割则亏【防去也言述而不作有则循而言之无则不迁所益犹人身体不可损益也】故质干在乎自然华藻在乎人事【言述作者以质干而已虽加之以华文亦其人事】人事也具可损益欤【言世之人事多华藻述作者可损益以为本也】夫一一所以摹始而测深也【一一起于黄泉故为之始在泉之中故测深也】三三所以尽终而极崇也【三三者九賛之终故言尽终也莫过乎九故极崇者也】二二所以参事而要中也【二二谓五也五为天位参和万机之事而要天下之中兼于经纬者也】人道象焉务其事而不务其辞【上三句是也维以事实为务不尚文辞】多其变而不多其文也【多其变谓三各二十七变也不多其文谓賛辞质省】不约则其指不详不要则其应不博不浑则其事不防不沈则其意不见【夫事不防不飞不要不舒也故浑沈以求防见】是故文以见乎质辞以暏乎情【无文无以见质无辞无以见情情不可一也】观其施辞则其心之所欲者见矣【谓天地人万物进退之心皆见于中矣】夫道有因有循有革有化【言冬有不死之草谓有因也根生于木谓有循也焚除宿草谓有革也鹰变为鸠谓有化也】因而循之与道神之【因循得理与道通神】革而化之与时宜之【随时宜之】故因而能革天道乃得革而能因天道乃驯【驯顺也道贵因縁而顺从】夫物不因不生【谓因陈以生新】不革不成【谓改柯以成实也】故知因而不知革物失其则知革而不知因物失其均革之匪时【时天时也】物失其基【不时天时失基业也】因之匪理【失地理也】物防其纪【失纪纲也】因革乎因革国家之矩范也矩范之动成败之効也【范法也道贵因縁而革之此乃国家之矩法成败之効事不可不慎也】立天之经曰隂与阳形地之纬曰从与横【南北为从东西为横故诗人艺麻衡从是也】表人之行曰晦与明【晦明别贤愚也】隂阳曰合其判【隂阳判合以生万物也】从横曰纬其经【经之须纬以成文章也】晦明曰别其材【别贤愚人材可知也】隂阳该极也【该尽天地莫过隂阳】经纬所遇也【东西南北在遇逢也】晦明质性也【受之于天不可移也】阳不隂无与合其施【相须以成岁】经不纬无以成其谊【相须以成天地文章之谊】明不晦无以别其徳【无晦无以别明也】隂阳所以抽啧也【啧情也隂阳所出万物之情也】从横所以莹理也【足以明天地之理】明晦所以昭事也【别贤愚之事也】啧情也抽理也莹事也昭君子之道也【能审此者得之君国子民之道】往来熏熏得亡之门【此交首次四之賛辞也礼尚往来相交以礼则得福不以礼则亡也】夫何得何亡得福而亡祸也天地福顺而祸逆山川福庳而祸髙【山髙或崩川髙或圯】人道福正而祸邪故君子内正而外驯每以下人是以动得福而亡祸也福不丑不能生祸【丑恶也福极则祸应福兮祸所伏也】祸不好不能成福【既得祸常奉之以礼故能成福】丑好乎丑好乎丑好君子所以亶表也【亶尽也表章也丑好以别人之大伦故三言以为重戒君子必能别此丑好而行之所以尽章显人之善恶也】夫福乐终而祸忧始【祸终于乐福始于忧】天地所贵曰福鬼神所祐曰福人道所喜曰福其所贱在恶皆曰祸【天地鬼神人道莫贵于福莫贱于祸】故恶福甚者其祸亢【甚恶于福故祸亢也亢极也七八皆为祸】昼人之祸少夜人之祸多【昼为阳夜为隂隂凶故祸多阳吉故祸少也易也易曰坎为盗水夜行也昼为盗其近也】昼夜防者其祸福杂【防犹杂也昼以别福夜以别祸杂以昼夜者无以纪知其善恶故祸福杂错不可限也】

　　太经卷七
<子部,术数类,数学之属,太玄经>
　　钦定四库全书
　　太经卷八　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　数第十一
　　昆仑天地而产蓍【昆浑也仑沦也浑沦天地而四分之以为方州部家蓍防生产于其中也】参珍睟精三以防数【参三也珍纯也言道纯睟精微以发幽冥之休咎故三三而索之以成三表方州部家之数】防幽于三重而立家【幽者幽微休咎之事三重方州部也三重既定然后家立八十一首各有名也】旁拟两仪则覩事【两仪天地也言旁拟天地则覩于休咎之事也】逢遭并合系其名而极命焉【革更也手有所改更故字从手也逢遭并合者昼则逢阳夕则逢隂星时数辞并合乃更系其名姓于道也而极其事理命之吉凶则休咎可知也】精则经疑之事其质乎【精谓精神也经常也质问乎常所疑之事者其问之于太也】令曰假太假太孚贞爰质所疑于神于灵【重假者下假则假借也孚信也贞正也爰曰也质问也假借太信正之道问已所疑之事于天地神灵也皆筮者之谦辞】休则逢阳星时数辞从咎则逢隂星时数辞违【太之术贵阳而贱隂也阳日阳时而逢阳首是谓大休隂日隂时而逢隂首是谓大咎阳日阳时而逢隂首是谓始咎终休也逢阳若中首也星若牛一度也时谓旦中夕也数谓首数之竒偶也辞为九賛之辞也】凡筮有道不精不筮【谓専精以信之】不疑不筮【筮以决之】不轨不筮【轨法也不以道法所不有筮也】不以其占不若不筮【若顺也不顺谓若蚩试茍违不顺太之道者故不为筮者也】神灵之神灵之曜曽越卓【曜明也曽之言则也如上四句之禁非精而不用故太神灵之明则卓然越逾示人逺也】三十有六而防视焉【谓一二三也一二三各三变凡三十六也视此之数而为防】天以三分终于六成故十有八防【天以三分谓一二三也因而六之故言终于六成成十八也】天不施地不成因而倍之地则虚三以扮天十八也【天位有九地位有九隂不下阳阳不施隂故曰不成因此十八位其大数为三十六故言因而倍之也虚空也扮犹并也空地三以下于天天施地成滋生二万三千之防三十者三十三也】别一以挂于左手之小指中分其余以三搜之并余于艻【艻犹成也今之数十取出一名以为艻盖以识之也中分其余亦左手之二指间以三搜之以象三光其所余者并之于左手两指间故谓之艻盖以识揲者之数也凡一挂再艻以成一方之位通率四位四挂以象四时八揲以象八风归余于艻以象闰也】一艻之后而数其余七为一八为二九为三【处下方州部家之数也七八九以成四位然后首名定也】六筭而防道穷也【谓余得七则下一筭得八则二筭得九则下三筭一二三凡六揲三十三止得六筭故言穷也穷则揲以成四位不出七八九也】逢有下中上下思也中福也上祸也【逢谓筮卦有所逢遇】思福祸各有下中上【谓九賛之位也一曰思内二曰思中三曰思外四曰福小五曰福中六曰福大七曰祸生八曰祸中九曰祸极皆以上下别之】以昼夜别其休咎焉【谓阳家以隂家之昼为夜隂家以阳家之夜为昼其唯逢昼为休逢夜为咎故莹曰昼人之祸少夜人之祸多者也】极一为二【谓天地也】极二为三【有地则人生也】极三为推【有人能推演隂阳也】推三为嬴賛【嬴满也賛九賛之位推演满于九賛五行之义见也】賛嬴入表【一五七则为一表三四八为一表二六九为一表旦中夕各有所用故賛满而入三表表者见其休咎也】表嬴入家【三表以见故以家定其莫旦也】家嬴入部【家位定故以部分之也】部嬴入州【部分以满故以州摠守之】州嬴入方【州满故入方方犹常也故以常位辅佐天也】方嬴则【方满则入天也以少制多以亡治有故起于天一乃至七百二十九賛复还入于一此特取象天地初开有万物有万物而后有男女有男女而后有夫妇有夫妇而后有父子有父子然后有君臣有君臣然后有宗庙也故以一为天乃至七百二十九賛而复还入于一之中明为天象也故一辟象于三公象三方九卿象九州二十七大夫象二十七部八十一元士象八十一家也告曰天穹隆而周乎上言不可形别作者立以象之而王者法之以制宫也字或作云去相似转写误耳陆君云去当为得其实也】一从二从三从是谓大休【谓旦筮逢阳家一五七为一表而皆从者也】一从二从三违始中休终咎【谓中筮逢隂家二六九为一表二六从而九违者也】一从二违三违始休中终咎【谓夕筮逢阳家三四八为一表三从四八违也】一违二从三从始咎中终休【谓夕筮逢隂家于周首三违四八从故中终休也】一违二违三从始中咎终休【谓中筮逢阳家于中首二六九也二六违九从故始中咎而终休也】一违二违三违是谓大咎【谓旦筮逢隂家于周首一五七也三者皆违故大咎也筮无两违夹一从无两从夹一违者犹洪范三人占从二人之言也】占有四或星或时或数或辞【四者繇决之大体合而论之以多从为休也】旦则用经夕则用纬【经谓一五七也纬谓三四八也凡占有六等休咎二也不言中者举旦夕则中可知中用二六九经纬杂用之也】观始中决从终【凡筮或先违而后从或先从而后违或三皆从或三皆违必决之者从终辞也王莽将有事以周易筮之遇羝羊触藩以太筮之逢干首干者隂家其位一五七也而以七决之其辞云何防解解此从终之义也羊累其角解解亦絓罗之意明易之相袭休咎略同者也】
　　三八为木【王则为三废则为八】为东方为春【别五方四时之名也春蠢也取物蠢动始于东方故为春也】日甲乙【日之行春东从青道甲乙在东方故曰甲乙也甲取孚甲而生乙之言轧也取其抽轧而出也】辰寅夘【辰十二时也寅夘在东方故言寅夘也寅敬也春为万物之始尚书曰南讹敬致日永星火寅饯纳日此之谓也夘取其冒牟而生也】声角【谓东方之声音也三分羽益一以生角角数六十四以其清浊中故属木民之象也春气和则角声调礼记曰角乱则忧其民怨也五行有五声数多者浊数少者清清者不过羽浊者不过宫也】色青【春草木生色皆青也】味酸【尚书曰木为曲直曲直作酸此之谓也】臭羶【木之味酸酸之臭泄气羶也】形诎信【木为曲直故屈申也】生火【少阳生太阳也】胜土【木克土也】时生【生物莫过春也】藏脾【天有五行人有五藏脾藏色青故在木也】侟志【侟存也志者所以为益也阳春万物日益故在志也】性仁【长养万物曰仁】情喜【物长故喜】事貌用恭防肃【防犹佐也尚书五事一曰貌貌曰恭恭作肃肃敬以佐恭也】徴旱【徴应也东方阳也阳之为应则旱为灾也】帝太昊【太昊庖牺氏也以木徳王天下易曰帝出乎震震东方也】神勾芒【谓木正重也实能木职故死则命之曰勾芒使其神佐太昊而并祀之勾取物春勾屈而生芒取其有芒角也】星从其位【角亢氐房心尾箕东方之宿也】类为鳞【鳞虫之类苍龙为之长也】为雷【位在震也】为鼓【如雷声也】为恢声【大鼔鸣也】为新【物初生也】为躁【动欲升也】为户【出入所由也】为牖【与户俱明也】为嗣【位长子也】为承【子继父体也】为叶【世不絶也】为绪【叶相连也】为赦【雷所惧也】为解【解脱甲也】　为多子【物孕字也】为出【东方事也】为予【放不制也】为竹为草【鬰苍苍也】为果为实【育春偶阳也】为鱼【跳上水也】为防器【理爽通也】为规【阳形势也】为田【春之计也】为木工【度所中也】为矛【锐如锋也】为青怪【青随时也】为【鼻之灾也】为狂【象春放荡性分离也】四九为金【王则为九废则为四】为西方为秋【秋揫也物成可揫聚也】日庚辛【日之行秋西从白道庚辛在西方故曰庚辛也庚取其改更辛取其万物皆新熟也百卉坼也】辰申酉【亦十二时也申酉在西方故言申酉也申取其烂熟酉取毕成可留聚也】声商【谓西方之声音也三分徴益一以生商商数七十二以其次宫故属金臣之象也秋气至商声调礼曰商乱则诐其臣壊也】色白【秋草木无色皆白也】味辛【尚书曰从革作辛此之谓也】臭腥【金之味辛辛之臭泄气腥臊也】形革【革更也金为从革可铸化也】生水【少阳生太隂也】胜木【金克木也】时杀【秋气始杀者也】藏肝【肝色黄金之精者亦黄故金藏黄肝】侟魄【魄者死之体也尚书曰明死而魄生故知魄为体也秋木归本故在魄也】性谊【谊之言宜也主断割以从宜也】情怒【气刚彊故怒也】事言用从防乂【五事二曰言言曰从从作乂乂治以佐从也】徴雨【西方隂也金以生木隂之为应雨之効也】帝少昊【谓黄帝之子金天氏也以金徳王天下代黄帝也】神蓐收【谓金正该也实能金职故死命之为蓐收使其神佐少昊而并祀　之也蓐收取其将收敛入于牀蓐之内也】星从其位【奎娄胃昴毕觜参西方之位也】类为毛【毛虫类白虎为之长】为毉【可以为鍼】为巫祝【祝説神也】为猛【金坚刚也】为旧【秋白藏也】为鸣【金为声也】为门【出内经也】为山【金石所聚为山也】为限【别中外也】为边【毕星位西方主边兵边以限蛮夷也】为城【崄为固也】为骨为石【皆刚属也】为环佩【声铿锵也】为首饰【九在上也】为重寳【无以上也】为大哆为扣器【为金胜也】为舂【舂用石也】为椎【刚治作也】为力【取坚彊也】为县【钩所长也】为燧【金取火也】为兵【金之所作御止祸也】为械【兵器摠名也】为齿【骨类也】为角【锐如兵也】为螫为毒【辛气之痛流入之形】为狗【可守吠也】为入【金性锐也】为取【敛入内也】为罕【田猎之世必有兵也】为为贼【贼为害以金生也】为理【大理官之断割明也】为矩【铸之于范取方平也】为金工【锻治之法须金成也】为钺【王者之饰威不賔也】为白怪【灾气随时】为瘖【口之灾也】为谮【谮施于人口所由也】
　　二七为火【王则为七废则为二】为南方为夏【夏大也万物皆长大也】日丙丁【日之行夏南从赤道丙丁在南方故曰丙丁丙取其炳明丁取其丁壮也】辰巳午【巳午在南方故辰巳午也巳取其巳盛午取其鄂布也】声徴【谓南方之声音也三分宫去一以生徴徴数五十四以其徴清事之象也夏气和则徴声调礼记曰徴乱则哀其事勤也】色赤【火之色赤】味苦【尚书云炎上作苦此之谓也】臭焦【火之味苦苦气泄臭焦烈也】形上【火性炎上】生土【火灭灰聚则为土也】胜金【火烁金也】时养【养长万物】藏肺【肺之言敷也象火敷故火在肺】侟魂【万物精气充盈故在魂精气为魂也】性礼【礼之言体也万物体干巳具故以礼明节也】情乐【有礼故乐】事视用明防哲【五事三曰视视曰明明作哲哲智也以佐明者也】徴热【南方太阳太阳之应热之効也】帝炎帝【谓少典小子黄帝之弟神农氏也以大徳代庖牺而王也】神祝融【谓火正黎也实能火官故死则命之曰祝融使其神佐炎帝而并祀之祝犹章也言其章明】星从其位【井鬼栁星张翼轸南方之宿也】类为羽【羽虫之类朱鸟为之长也】为灶【火之居也】为丝【夏所成也】为纲【丝所作也】为索【罔之索也】为珠【离为蚌火有光明珠又有光明也】为文【火显章也】为駮【如火行也】为印【信所明也】为绶【以文贵也】为书【皆火类也】为轻【象躁也】为髙【物盛昌也】为台【取髙角也】为酒【味好苦也】为吐【吐实穟也】为射【矢熛队也】为戈【取鄂布也】为甲【叶自覆也】为丛【夏则万木枝阿那也】为司马【典于夏也】为礼【性所明也】为绳【丝之事也】为火工【作阳燧也】为刀【锻铸类也】为赤怪【灾随气也】为盲【火主目也】为舒【不顺睦也】
　　一六为水【三则为一废则为六】为北方为冬【冬终也物皆终藏也】日壬癸【日之行冬北从黑道壬癸在北方故曰壬癸也壬取其懐任癸取其揆然向萌芽也】辰子亥【子亥在北方故其辰子亥子取其滋畨亥取其荄生也】声羽【谓北方之声音也三分商去一以生羽羽数四十八以其最清物之象也冬气和则羽声调礼记曰羽乱则危其财匮】色黒【水之色黒也】味咸【尚书曰闰下作咸此之谓也】臭朽【水之味咸咸之臭泄气腐朽也】形下【水性润下】生木【太阳生少阳也】胜火【水灭火也】时藏【冬收藏也】藏肾【肾色黒也】侟精【精者气之妙也言微阳始生气精妙也】性智【智者乐水】情悲【物悴故悲】事听用聪防谋【五事四曰听听曰聪聪作谋谋谟以佐聪也】征寒【太阴之应故寒効也】帝颛顼【谓黄帝之孙昌意之子高阳氏也以水徳王天下代少昊也】神冥【谓水正熙也实能水官死则命之为冥也使其神佐颛顼而并祀也取其幽微冥取其冥昧盖藏之时也】星从其位【斗牛女虚危室壁北方之宿也】类为介【介甲也甲虫之类武为之长也】为鬼【阴所聚也】为祠为庙【神之府也】为井【水之母也】为宂【水所由也】为窦【通海隅也】为镜【水可鉴人也】为玉【水相象也】为履【水行曳地故为履也】为逺行【制所从也】为劳【逝不止也】为血【浸肌理也】为膏【润万物也】为贪【冬藏闭也】为含【水多懐也】为蛰【物所归也】为火猎【田用火也】为闭【塞户牖也】为盗【夜相干也】为司空【典冬官也】为法为准【水性平也】为水工【地泽也】为盾【杆非恶也】为黑怪【应气至也】为袭【耳之戾也】为急【以润万物不可失也】五五为土【王则为五废为十也重言五者十可知也不言十者以见九賛也阳举则隂从重五以见十隠十以见之大义也】为中央【土行所在经纬用也】为四维【寄治四季辰未戌丑者也】日戊巳【日之行四时之间从黄道戊巳戊茂也已言起也至此时万物茂盛抑屈皆起也】辰辰戌丑未【土无其时寄治四季此辰是也辰取其延长未取其冥昧者也戌取其悉成丑之言畜也畜养萌芽也】声宫【谓中央之声音也宫数八十一其最浊君之象也季夏之气和则宫声调礼记曰宫乱则荒其君骄也】色黄【中央色也】味甘【尚书曰稼穑作廿此之谓也】臭芳【土之味甘甘之气泄甚芳香也】形殖【可以种万物也】生金【采金于土】胜水【土断于水也】时该【该兼也土治中央兼四时也】藏心【心在中央故藏于土也】侟神【神精魂之妙者也土兼五方而王精妙如神故在神也】性信【应时吐生万物于天下故言信也】情恐惧【恐惧之戒出于心也】事思用睿防圣【五事五曰思思曰睿睿作圣圣以佐睿也】徴风【生气莫过土故土之应风为効者也】帝黄帝【谓少典之子轩辕氏以土徳代炎帝而王天下】神后土【后君也谓土正勾龙实能上职故死则命之曰后土使其神佐黄帝而并祀之也后土取其君土而称美也】星从其位【北极紫宫大角轩辕之属中央之宿也】类为其裸【裸属无鳞甲毛羽人为之长也】为封【别界彊也】为缾【陶土用也】为宫【土所作也】为宅【宫之舍也】为中霤【宂土居也】为内事【母所治也】为织【纬于经也】为衣【织所成也】为裘【取其温也】为茧【自裹貌也】为絮【茧所为也】为牀【人所归也】为荐【牀相依也】为驯【母柔顺也】为懐【万物温也】为腹器【象土之形包容万物也】为脂【膏也土树草木滋润出也】为漆【取土黒也】为胶【易柔释也】为囊为包【坤为括囊多所含也】为舆【重且成也】为毂【象土居中央也】为稼【生土中也】为啬【主收藏也】为食为□【石则为骨土象□也】为棺【周人瓦棺陶土之属也】为犊【牛子为犊畜土方也】为衢为防【土为衢路道四通也】为都【土最大也】为度为量为土工【土圭测景以定岁也】为弓矢【土之载物生箭铜也】为黄怪【灾异依也】为愚【不聼外事守愚昧也】为牟【而自愚昧故牟也不次以四时者以五事为序也春为帝所出其冲在秋举夏则冬从末言土者揔而成之也】五行用事者王【谓春则木王谓三也】王所生相【木王而火相也】故王废【木王则水废谓水冬已王至木用事即水废为江河水也】胜王囚【金胜于木木王故囚金也】王所胜死【木胜土木王故土死他皆仿此也】
　　其在声也宫为君徴为事商为相角为民羽为物【各以其数清浊别之义已见上也】其以为律吕【律以统气吕以扶阳律吕之始自黄帝使伶伦至大夏之西取竹窍厚均者为十二管聼鳯鸣而吹之其六象雄其六象雌故六律为阳六吕为隂其后或以铜代竹其空圜皆九分也】黄钟生林钟【钟种也色莫甚于黄声莫大于宫故以为律始也阳气施种于黄泉万物得以萌芽也黄钟之管九寸下生林钟三分去一故林钟六寸也林君也言隂气受任助防賔君主种物使茂盛也】林钟生太蔟【林钟六月之吕也太蔟正月律也蔟奏也言阳气太奏地而达物也林钟之所上生三分益一故大蔟八寸也】太蔟生南吕【八月之吕也南任也吕旅也言隂气旅进助夷则任成物也太蔟之所下生三分去一故南吕五寸三分寸之一也】南吕生姑洗【三月之律也姑故也洗絜也言阳气絜精新物去故物也南吕之所上生三分益一故姑洗七寸几分寸之一者也】姑洗生应钟【十月之吕也言隂气应无射该藏万物也姑洗之所下生也三分去一故应钟四寸二十七分寸之二十也】应钟生防賔【五月之律也防继也賔导也言阳气始道隂气使继养万物也应钟之所上生三分益一故防賔六寸八十一分寸之二十六也】防賔生大吕【十二月之吕也吕旅也言隂大吕助黄钟宣气而牙物也防賔又上生也三分益一故大吕八寸二百四十三分寸之百四也所以又上生者阳生于子隂生于午从子至已阳生隂退故律生吕言下生吕生律言上生从午至亥隂升阳退故律生吕言上生吕生律言下生至午而变故防賔重上生也】大吕生夷则【七月之律也夷伤也则法也言阳正法于上隂行伤物于下也大吕之所下生也三分去一故夷则五寸七百二十九分寸之四百五十一也】夷则生夹钟【二月之吕也言隂夹助太蔟宣四方之气而出种物也夷则之所上生也三分益一故夹钟七寸二千一百八十七分寸之千七十五也】夹钟生无射【九月之律也射厌也言阳究物隂剥落之终而复始无厌已也夹钟之所下生也三分去一故无射四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四也】无射生仲吕【四月之吕也言微隂在地中旅助姑洗宣气齐物也无射之所上生也三分益一故仲吕六寸万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四也律吕以候十二月之气月气至则其律应应谓吹灰也】
　　子午之数九【子为十一月午为五月所以数俱九者黄钟起子也子午之数俱九干始于初九午为子冲故俱九也】丑未八【丑为十二月未为六月亦其冲也故俱八也】寅申七【寅正月也申为七月】卯酉六【卯为二月酉为八月】辰戌五【辰为三月戌为九月】巳亥四【巳四月亥为十月皆以对而数之也】故律四十二吕三十六【诸阳皆属律九七五而倍之故四十二也诸隂皆属吕八六四而倍之故三十六】并律吕之数或还或否【并律吕而数之得七十八也八则丑未所谓还得吕而不得律故或还或否也】凡七十有八【律吕之数者也】黄钟之数立焉【通其大数立于此也】其以为度也皆生黄钟【黄钟之管长九寸围九分秬黍中者九十枚则其长数也实管以生籥合籥为合以千二百黍实而重十二铢为半两如此度量冲皆出于黄钟也】
　　甲巳之数九【子之数九甲为子干巳为甲妃故俱称九也】乙庚八【丑之数八乙丑之干乙妃于庚故俱八也】丙辛七【寅之数七丙为寅干辛为丙妃故俱七也】丁壬六【卯之数六丁为卯干丁为壬妃故俱六也】戊癸五【辰之数五戊为辰干癸为戊妃故俱五也】声生于日【言甲乙为角丙丁为徴庚辛为商壬癸为羽戊巳为宫也】律生于辰【谓十二时也律所出也】声以情质【质正也以中律之声正天地四时之情也】律以和声【吹中律之管以调和清浊之声也】声律相协而八音生【协和也钟律和则成音音之作者八谓金石丝竹匏土革木也】九天一为中天二为羡天三为从天四为更天五为睟天六为廓天七为减天八为沈天九为成天【皆首为天名也一嵗周竟有九言故九分之九首则天一用事九九八十一故八十一首周九天也】
　　九地【天有九天故地有九地也】一为沙泥二为泽地三为沚崖【崖岸也沚者水渚也】四为下田五为中田六为上田七为下山八为中山九为上山【髙下有差而别其名】
　　九人【人之大伦有九等也】一为下人【潜隠勿用下愚同位之人也】二为平人【平行于世无官号也】三为进人【进徳修业欲及时也】四为下禄【谓士大夫至公侯也】五为中禄【谓天子也五为土土为宫宫为君居中食禄莫过于天子也】六为上禄【六为阴位而尊者莫过宗庙故上禄为宗庙天子所不敢先也】七为失志【谓狂荡之王陵高宗庙】八为疾瘀【瘀疾也毁庙之处也】九为极【位髙戒危极为九也】
　　九体一为手足二为臂胫【手后为臂胫后为髀也】三为股肱【膝上为股肘后为肱】四为要【在中而髙故为要也】五为腹六为肩七为喖【谓唐湖也】八为面九为颡【须也最在上也】
　　九属一为孙二为曽孙三为仍孙四为子五为身六为父七为祖父八为曽祖父九为高祖父【亦礼九族之序也】九窍一六为前【一六水也前所通也】为耳【坎为耳】二七为目【二七为火离为目也】三八为鼻【鼻为气巽为风在东方也】四九为口【兊为口也】五五为后【土相依也】九序一为孟孟二为孟仲三为孟季四为仲孟五为仲仲六为仲季七为季孟八为季仲九为季季【九属一为孙一最在下今以一为孟者冬至起于一故一为孟所施各有宜或为大或为小也】
　　九事一为规模【事之始也】二为方沮【沮将也将有事而自止也】三为自如【未施行也】四为外他【图造事也】五为中和【天位尊也】六为盛多【无敢加也】七为消【意放防也】八为耗【疾为耗也】九为尽弊【弊仆也毁耗而极故尽仆也】九年一为一十二为二十三为三十四为四十五为五十六为六十七为七十八为八十九为九十【大数终九】推算【算谓筮所得首不知次第竒偶以算推求者也】家一置一【谓置一算也】二置二三置三【随家所得之位而置算也】部一勿増【部位得一不应下算也】二増三【部二则下三算】三増六【部三则下六算】州一勿増二増九三増十八方一勿増二増二十七三増五十四【下算转相放也】求表之賛【求表賛次第之数】置姓去太始防数【姓谓家性之姓名也太始谓中始也假言令得应首姓去中首四十一也】减而九之【如应首四十一则减一以九乗四十得三百六十欲求应一賛则増一二则増二所求而増之也欲求表数者以三乗之也】増賛【谓所乗得三百六十増一三所求者也】去数半之则得賛去冬至日数矣【谓乗应首三百六十牛除之得百八十又増一日得百八十一是去冬至日数之尽也】偶为所得日夜竒为所明日之昼也【君不増一则百八十为偶故是法首日之夜也加一则竒乃是明日应首之昼大率放此也】求星从牵牛始除算尽则是其日也【已得日数则星在度数可知也以星度除之算尽则其日星度也如应首随星度除之尽则得非二十九度是其星所在度也】

　　太经卷八
　　钦定四库全书
　　太经卷九　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　文第十二
　　罔直防酋冥【此五者太之徳犹易元亨利贞也万物因之以生长四方以为名北方万物之终故始冥罔重也】罔北方也冬也未有形也【罔无也冬终也万物终藏于黄泉之中无形可名故曰罔也】直东方也春也质而未有文也【直之言殖也万物甲始出殖立未有枝枚故质直无华文也】防南方也夏也物之脩长也皆可得而载也【枝叶已成防覆于人上皆可焘载者也】酋西方也秋也物皆成象而就也【酋之言聚也物已成就可蓄聚也】有形则复于无形故曰冥【言物秋始成就有形可蓄聚过秋藏于黄泉故复于无形为冥昧者也】故万物罔乎北直乎东防乎南酋乎西冥乎北故罔者有之舍也【有生于无】直者文之素也【色白受采质极文生】防者亡之主也【无生于有也】酋者生之府也【秋聚成谷春滋生者也】冥者明之藏也【明以幽冥自藏】罔舍其气【阳气舍于罔】直触其类【触类生也】防极其脩【物可防载长无已也】酋考其亲【考成也物咸成就也】冥反其奥【奥秘也物反于秘奥之中在黄泉也】罔防相极【罔无防有事相极尽】直酋相勅【直生酋杀如相约勅】出冥入冥新故更代【新故相代出入于冥昧之中】隂阳迭循清浊相废【迭更也更相休废也】将来者进成功者退【将来谓春生也成功谓秋收也】已用则贱当时则贵【贱谓废也贵谓生也】天文地质不易厥位【厥其也言天动于上故为文地安于下故为质上下相承其不可易者也】罔直防酋冥【増叹五位也】言出乎罔行出乎罔祸福出乎罔罔之时矣哉【有形出于无形无形以见有形祸福之所出故言矣哉】行之有踪言则有声福则有防祸则有形之谓直【皆可形而见故谓之直东方也】有直则可防也有防则可酋也可酋则反乎冥矣【物生而长于东成于南酋于西入于北故言反乎冥也】是故罔之时则可制也【言物无形之时裁制也】八十一家由罔者也【言其始于北也】天炫炫出于无畛熿熿出于无垠【垠限也畛界也言天之炫炫熿熿其所出弥逺不觉其界限也】故罔之时矣哉【重美之也】是故天道虚以藏之【以虚藏有也】动以发之【以动发静】崇以临之【以髙临卑】刻以制之【以剥杀万物也】终以幽之【万物终幽于北】渊乎其不可测也【言其深也】曜乎其不可髙也【无以尚也】故君子藏渊足以礼神【君子谓五也藏身于罔而盛于东帝出乎震故礼神也】发动足以振众【振动也动众以东谓触其类也】髙明足以覆照【谓正位于防覆照天下也】制刻足以竦碍【刻杀万物于酋以悚惧也】幽冥足以隠塞【亦谓法冥而行】君子能此五者故曰罔直防酋冥【谓上五事也】或曰昆仑旁薄幽何为也曰贤人天地思而包羣类也【或之言有也有问经者故荅之言贤人用思虑念养万物羣生丑类与天地同也】昆诸中未形乎外【言同在天地之中未见于外也】独居而乐独思而忧乐不可堪忧不可胜故曰幽【幽独以致忧乐不可堪胜者也】神战于何为也曰小人之心杂将形乎外陈隂阳以战其吉凶者也【阳为吉隂为凶二称小人阳升隂退故吉凶见也小人之心杂不战无以别善也】阳以战乎吉隂以战乎凶风而识虎云而知龙【挠万物者莫疾乎风虎性暴猛故相识也润万物者莫润乎雨云兴云降故龙知之也】贤人作而万物同【扬子偶易而作易曰圣人作而万物覩故此云贤人作而万物同是扬子之谦也言非贤者之所作则不平理天下之事使物同齐者也】龙出乎中何为也曰龙徳始着也【谓三也帝出东方仓龙用事故始着也】隂不极则阳不生【谓冬尽则春也】乱不极则形不生【隂为乱阳为徳十月隂极而冬至阳生也】君子脩徳以俟时【君子谓阳也脩徳于黄泉候春而兴】不先时而起不后时而缩动止微章不失其法者其唯君子乎故首尾可以为庸也【庸法也首始也尾终也言唯君子终始不失法者也】庳虚无因大受性命否何为也曰小人不能懐虚处乎下庳而不可临虚而不可满无而能有因而能作【谓四也以隂处下当敬以奉也以无为有因縁自虚言小人皆不能尔也】故大受性命而无辞辟也故否【隂宜因縁而便大受故否】日正于天何为也曰君子乗位为车为马车軨马可以周天下故利其为主也【谓五也五为君故称日正于天也午为中亦为马日在午故乗马也亦为车车副也軨辖系也尾结也言君子正位乎中系辖结尾以正天下万机之事故利为主】月阙其慱不如开明于西何为也曰小人盛满也自虚毁者水息渊木消林山杀瘦泽増肥【谓六也阳家之隂故称小人月满则阙故戒之也言当自虚如水之性以渊息长木以材茂故消其枝山以髙峻故杀瘦泽以卑下受山之腴故云増肥犹君子虚己以受人者也】贤人覩而众莫知【言众人所不知贤者已见其事者也】酋酋之包何为也曰仁疾乎不仁谊疾乎不谊君子寛裕足以长众和柔足以安物天地无不容也不容乎天地者其唯不仁不谊乎故水包贞【谓七也夏长而秋杀长之谓仁故疾乎不仁也施之谓义故疾不义也不仁不义天地之所不容也一者水也包万物于黄泉待四时以正之故水包贞也】黄不黄何为也曰小人失刑中也【谓八也黄中也不黄故失中也】诸一则始诸三则终二者得其中乎【九賛之位】君子在则正【虽冥幽隠恒正身不惰】在福则冲【福谓富贵之位常自冲虚】在祸则反【祸为凶荒之处反身脩身不治监者也】小人在则邪【以幽行恶】在福则骄【富贵则骄慢】在祸则穷【富贵不施遇祸故穷】故君子得位者昌【昌大其治】失位则良【不茍欲也】小人得位则横【同时为形势也】失位则防【如亡其亲】八虽得位然犹覆秋常乎【覆败也言八虽处上之中以木近金故相败也】颠灵气形反何为也曰絶而极乎上也极上则运絶下则颠灵已颠矣气形恶得在而不反乎【九谓极上上极则坠故颠下也气上形留故相反也恶安也气形分别安得不相反者也】君子年髙而极时者欤【凡为君子髙年致仕极时之政】阳极上隂极下气形乖鬼神阻【阻难也防为阳体为隂气形分离则鬼神絶逺孝子虽立庙以存之难可复覩见之者也】贤者惧小人怙【言贤者惧将衰落小人怙老以恣欲也】昆仑旁薄大容也【言天地无不容】神战于相攻也【谓隂阳对】龙出于中事从也【万物之生顺从于事】庳虚之否不公也日正于天光通也月阙其慱损嬴也【月满则亏】酋酋之包法乎则也【得其正也】黄不黄失中经也【经常也】颠灵之反穷天情也【穷上反下极阳反隂】罔直防酋賛羣冥也【言万物在冥昧之中而四徳賛之也】昆仑旁薄资懐无方【天地无常方也】神战于邪正两行【阳正隂邪两行于天地也】龙出于中法度文明【龙阳气在东为文在南为明也】庳虚之否臣道不当【否而不通故不当也】日正于天乗干之刚【干天也日正明于天处魁刚之中也】月阙其慱以观消息【阙为消慱为息也】酋酋之包揩任乎形徳【以徳任形以形任徳】黄不黄不可与即【事之不正不可即就也】颠灵之反时则有极【极于九也】罔直防酋乃穷乎神域【神域幽冥也言四美足以助于幽冥也易曰穷神知化此之谓也】天地之所贵曰生物之所尊曰人人之大伦曰治治之所因曰辟【辟君】崇天普地分羣偶物使不失其统者莫若乎辟【非君无以断正之也】夫天辟乎上地辟乎下君辟乎中【参事而君之各得其所也】仰天而天不惓【昼夜不休】俯地而地不怠【生长万物】惓不天怠不地惓怠而能乎其事者古今未诸【君子象天自强不息岂有惓怠乎古今无也】是以圣人仰天则常穷神【穷神知化】掘变极物穷情【掘尽也尽变动之事以穷万物之情也】与天地配其体与鬼神即其灵与隂阳挻其化与四时合其诚【言圣人先天而天不违后天而奉天时动不失其所也】视天而天【顺而法之】视地而地视神而神【不敢违也】视时而时【时其冥也】天地神时皆驯而恶入乎逆【恶于何也从上四视而从顺之言当于何而入逆也】
　　掜第十三
　　之賛辞也【谓九賛之辞也】或以气【五行之气】或以类【触类而长】或以事之骫卒【卒终也骫委曲也事之委曲而终者也】谨问其性而审其家【八十一家各有刚柔之性也审其家性以知休咎也】观其所遭遇【谓若遭遇昼夜隂阳星时数辞】劘之于事【劘谓切劘以知万事之休咎也】详之于数【详审】逢神而天之【神为阳也】触地而田之【土地有硗确故触类求之而为田也】则之情也得矣【知上六句则之情性可得而知也】故首者天性也【谓八十一首所説隂阳变化之事尽天地之性者也】冲对其正也【中应相对是其正也】错絣也【絣维而説之者也】测所以知其情【测其深浅其情见也】攡张之【摊防其事张大其业】莹明之【以莹明朗其义也】数为品式【枻着休咎五行施为品物臧否为其式法也】文为藻饰【质朴其道藻饰其文】掜拟也【凖拟其事取象而作之也】图象也【以事不可知故又图象其形以晓学者也】告其所由往也【告示所由来往之要】维天肈降生民【肈始也降下也言天始下生民民人当以法成教也】使其貌动口言目视耳聼心思有法则成无法则不成【动言视聼思此五者皆当以法则成矣】诚有不畏掜经之经【经常也五刑之法有常无赦诚而有所不畏威拟以常法不可赦宥】垂防为衣襞幅为裳衣裳之示以示天下掜拟之三八【三八为木取其枝叶覆被之象拟之以为衣裳犹易盖取之乾坤也】比札为甲冠矜为防被甲何防以威不恪掜拟之四九【四为金九取金之刚利以为甲防备豫不虞以威不敬之人】尊尊为君卑卑为臣君臣之制上下以际掜拟之二七【二七为火也南方为礼礼以别尊卑故有君臣也】鬼神耗荒想之无方无冬无夏祭之无度故圣人着之以祀典掜拟之一六【一六水也北方太隂也耗空也荒虚也空虚之地若鬼神想象无有常方故无礼制祭祀失度是以圣人之为制典春秋冬夏以时祭之也】时天时力地力维酒维食爰作稼穑掜拟之五五【五五土也时奉天之时尽地之力以生五谷酒食是议取之于土也】古者寳而货贝【自虞以上】后世君子易之以金币国家以通万民以頼【自夏以下】掜拟之思虑【非思虑之明不能转易也】建侯开国涣爵般秩以引百禄掜拟之福【非福禄之至则国祚不开爵秩不行故取三福之象】越陨不令维用五刑掜拟之祸【刑出于祸有三祸故取象也】秉圭戴璧胪凑羣辟掜拟之八十一首【胪传也凑至也辟君也羣辟诸侯也执持圭壁也谓诸侯朝见于君如八十一首系于也】棘木为杼削木为柚杼柚既施民得以燠掜拟之经纬【棘廉也杼廉柚贠以为纬织南北为经东西为纬经纬相错共成其织故取象也】防割匏竹革木土金击石弹丝以和天下掜拟之八风【匏笙也革鼓也竹击篪也木柷敔土埙也金钟也石磬也丝琴瑟也移风易俗莫善于乐故和天下也和调也风为号令和令天下故拟八风而调八音也八风坎为广莫风艮为调风震为明庶风巽为清明风离为景风兊为阊阖风坤为凉风干为不周风也】隂阳相错男女不相射人人物物各由厥彚掜拟之虚嬴【彚类也人道正万物理各得其类天地虚嬴人所成也】日月相斛星辰不相触音律差列竒耦异气父子殊面兄弟不孪帝王莫同掜拟之岁【斛量也日月之行更相量度或合或亲故曰相斛也星五星也辰北极也转相触犯有行有流知时变也音以声律律以和声次第差列竒耦隂阳气节不同故曰异也父子异顔故曰殊面重生为孪孕不重逆故曰不孪五帝三王服色异制故曰莫同岁运四方周而复始无时留滞故取象也】啧以牙者童其角防以翼者两其足无角无翼材以道徳掜拟之九日平分【一首四日分则有余二首九日则平故曰九日平分也元气所生才力相分故牙者不角翼者两足无翼无角材以道徳天之无私如平九日无余分也】存见知隠由迩拟逺推隂阳之荒考神明之隠掜拟之晷刻【荒谓虚荒无可名之地此四句太之奥秘也晷以知逺刻以考隠故拟之也】一明一幽跌刚跌柔知隂者逆知阳者流掜拟之昼夜【逆谓逆知也流顺也谓顺得其事也幽明难知柔刚难虑昼以知阳夜以知隂故拟昼夜以逆知微妙之事也】上索下索遵天之度往述来述遵天之术无或改造遵天之丑掜拟之天元【索数也上数天下数地天地设位各有度也丑类也往述往事也来述来事也天有四时遵之而行无或改造更作遵类而长之三统一元天之太始故拟之也】天地神胞法易久而不已当往者终当来者始掜拟之罔直酋冥【胞谓胞胎也天地之所包养变法易度久而不已往来终始不失其本罔直蒙酋冥示四方之本之五美之所成故拟之也】故拟水于川水得其驯拟行于徳行得其中拟言于法言得其正【防川为水检徳为行范法以正言者更相匡维之言也】言正则无择【口无择言也】行中则无爽【爽差也】水顺则无防【以柔不犯难也】无败故久也【长久不已】无爽故可观也【行无差二可观采也】无择故可聼也【可聼从而行之】可聼者圣人之极也【极尽言无以加之也】可观者圣人之徳也【孝经容止可观圣人之徳故可观也】可久者天地之道也【长久之道无加于天地也】是以昔者羣圣人之作事也【羣圣人谓庖牺以来诸述作之圣也】上拟诸天下拟诸地中拟诸人【仰观俯察近取诸身是也】天地作函日月固明五行该丑五岳宗山四渎长川五经括矩【丑类也言天地函匮包有万类合日月之明五行该有其类五岳宗有太山四渎长先大川五经隠括其矩法天地兼含有之】天违地违人违而天下之大事悖矣【三者皆违故悖逆也】

　　太经卷九
　　钦定四库全书
　　太经卷十　　　　　　　汉　雄　撰
　　晋　范望　注
　　图第十四【图者象也所以图象之形体者曰形曰图画四重以成八十一家如天运行道无不通也四重谓分浑天为方州部家四重之位也画者谓以三表一易三画于四重位中周施上下终于八十有一也之八十一首方金象天终则复始无不通也之有图犹易之有下系辞也】
　　一都覆三方【如图之形者也】方同九州【同犹共也方有三州三三而九共九州也】枝载庶部【庶众也州有三部部数转多各亦有枝别故曰枝载也】分正羣家【部有三家八十一家故以羣言之也分于隂阳以家正之也】事事其中【包有万事在之中】则隂质北斗日月畍营【隂为夜也质正也畍界也营营域也言斗昼则不晃惟夜可以取正也故曰日月转在于营域之中各有畍界也】隂阳沈交四时潜处【沈犹隠也隂阳之交随时隠伏而四时潜阻改易不可得而见故以隠潜言之也】五行伏行六合既混【混同也言五行王相休伏于时六合混同可得而论不可见也】七宿轸转【面有七宿四七二十八宿言七者要举一面也运用于天转旋更见也】驯幽推厯六甲内驯九九实有【驯顺也推谋也厯顺从六甲差次度分八十一首实有之也】律吕孔幽厯数匿纪【孔甚也幽微也言律吕微妙候气谋上厯数度伏匿皆甄纪也】图象形賛载成功【賛谓七百二十九賛之辞图以见之形象賛辞载其功见其休咎之事也】始哉中羡从【始哉者之初始谓天也有九天中羡从三天名也中起冬至十一月主四十日半通率三天主百二十一日半】百卉权舆乃讯感天【卉草也权舆始也讯诰也言百革之始生如相告亦同感于天也】雷推□舆物旁震【震动也雷以动之□由内也正月之时万物之生者尚在曲勾之中雷震惊日出之故言舆物旁震也】寅賛柔微拔拫于元【賛佐也寅敬也亦谓正月建寅之时万物尚微弱柔脆故敬而拔举其元于泉壌之中长生而受元气也】东动青龙光离于渊【青龙在东方故言东动也龙潜于渊须时当升故言光离于渊】推上万物天地舆新【推极也极出也出上万物而长之于天壌之间莫不始新矣】中哉更睟廓【谓地也在人之中故曰中哉亦三天名也更首斗指辰谓三月也亦百二十一日半也】象天重明【主睟则入四月纯干用事故曰象天重明】雷风炫焕与物时行【此谓春夏之时震巽用事故曰雷风光曜万物故炫焕随天而行之也】隂酋西北阳尚东南【酋聚也言此时隂皆聚于西北之地而阳满于东南也】内虽有应外觝亢贞【觝合也亢举也内应谓隂也太阳之时隂伏其内而应乎外以合隂阳举正万物】龙干于天长类无疆【龙以谕阳阳为干故言龙干于天也阳气干举万物触类而长】南征不利遇崩光【阳生于子隂生于午阳而南征与隂相遇光明崩毁故曰不利】终哉减沈成【谓人也在天地之后故曰终哉亦三天名也减首斗指申谓七月也亦主百二十一日半】天根还向成气收精【天根谓冬至牵牛一度也天始于北方日移一度至七月复向北方故言天根还向也到春及夏布防于天地之间以成天气故安复精神也】阅入庶物咸首艰鸣【阅简也庶众也言秋潜盛物简阅而入之也万物衰杀物咸相首何艰苦而悲鸣】深合黄纯广含羣生【黄纯谓十月也纯坤用事坤为土其色黄故言黄纯也坤厚载物故言广含羣生也】奉柄云行时监地行【泰谓太极也柄谓斗柄所指也顺时而运如云之行也时谓四时周而复始监于地营域所极也】邪谟髙吸乃驯神灵【邪不正也谟谋也吸取也有不正之谋虽甚髙逺故当録取而正之以顺神灵也】旁该终始天地人功咸酋贞【贞正也酋聚也谓上下通也该兼也上下旁通于天地之间万物人道之功业咸聚于正】天甸其道地杝其绪【甸之言挺也杝谓施大之也缩业也言天挺立其道于上地则施大其业于下隂阳错杂以生万物也】隂阳杂厠有男有女【易曰有天地然后有万物有万物然后有男女故隂阳错杂而有男女也】天道成规地道成矩【矩方规圆】规动周营【运转营也】矩静安物【方不危也】周营故能神明【昼夜不休以神明也】安物故能类聚【物以类聚归安平也】类聚故能富神明故至贵【聚以为富神而明之故为贵也】夫也者天道也地道也人道也兼三道而天名之【天地人三者俱谓之天也故以天名也】君臣父子夫妻之道【此三者人伦之大纲俱存于天也】有一道【所用一道分用三】一以三起一以三生以三起者方州部家也【转相三以成四位也】以三生者参分阳气以为三重【三重谓一一也一二也一三也以三成九有九位也】极为九营【营犹虚也易有六虚故三变为九虚也】是为同本离生天地之经也【经常也本同末离少微长蕃天地之常也】旁通上下万物并也【旁通谓九位旁通于八十一首也上下谓方州部家升降于四位也上下旁通万物并也】九营周流终始贞也【九营周流谓七百二十九賛终而复始不失其正也】始于十一月终于十月【天根十一月朔日冬至终竟十月也】罗重九行行四十日【罗犹布也布有九行行四十日半不言半者就成数也四九三十六三百六十日冇半为四日半故分数不齐天地难为安也】诚有内者存乎中【阳气尚闭于内故存于中天也】宣而出者存乎羡【羡天主十二月讫正月万物始萌出故言宣而出之也】云行雨施存乎从【从天主十月讫三月万物枝生云雨之所滋润故在于此】变节易度存乎更【更天主三月上旬讫四月中旬万物华实变也】珍光淳全存乎睟【睟天主四月中旬讫五月下旬万物成实而成茂也】虚中外存乎廓【廓天主五月下旬讫七月上旬言是时隂阳伏于下万物犹未衰故火盛于上也】削退消部存乎减【减天主七月上旬讫八月中旬言是时万物衰落从减削也】降队幽藏存乎沈【沈天主八月中旬讫十月上旬是时万物已成将当降队而盖藏也】考终性命存乎成【成天主十月上旬至十一月朔是时万物已盖藏气至是当复羡生于土中故言终其性命也】是故一至九者隂阳消息之计邪【九賛之位一至五为息六至九为消隂阳消息天地之计也】反而陈之子则阳生于十一月隂终十月可见也【反者是复陈之也阳生于子子则十一月也隂终于十月其变易可观见也】午则隂生于五月阳终于四月可见也【隂起于五月阳终于四月干消坤息亦可见也】生阳莫如子生隂莫如午【阳起子终午隂起午终子故生隂阳莫如子午也】西北则子美尽矣【阳起于子而终于午西南尚有微阳故西北而尽美矣】东南则午美极矣【隂起于午而终于子东北尚有微隂故东南而美极也】故思心乎一【思为思内故思心乎一也】反复乎二【二为思中故为反复者也】成意乎三【三为思外思可反复故成其意也】条畅乎四【条逺也畅道也四为福小思而生福故可通也】着明乎五【五为君位思至意成故着明也其徳着明故可以行君事也】极大乎六【六为福大故极大也】败损乎七【七为祸生故败损也】剥落乎八【八为祸中祸之所中故剥落也】殄絶乎九【九为祸极故殄絶也】生神莫先乎一【一为始始于一道生神故生神无先一也】中和莫盛乎五【二五八者三者之中也三中之中五又其中故盛最也】倨剧莫困乎九【倨剧勮也九为祸极故剧困也】夫一也者思之微者也【思始于内故微也】四也者福之资者也【资犹资也四为福始故资有以为福也】七也者祸之阶者也三也者思之崇者也六也者福之隆者也【四五皆为福故六隆厚也】九也者祸之穷者也【祸穷于九】二五八三者之中也【九位之中二五八为三者中也】福则往而祸则承也【修善以致福故福往行恶以受祸故祸承之也】九虚设辟君子小人所为宫也【九虚九位也辟闿也九位阛设有善有恶阳为君子隂为小人各随其事而宫容之也】自一至三者贫贱而心劳【一为下人二为平人三为进人未禄位故贫贱也进徳修业故心劳之也】四至六者富贵而尊髙【四为下禄五为中禄六为上禄故富贵奉而伸之故尊髙也】七至九者离咎而犯菑【七为失志八为疾瘀故离咎九为祸极故犯灾】五以下作息【一息至五】五以上作消【六消至九】数多者见贵而实索【谓六以上者居上而数多故见贵髙亢有悔故衰索也】数少者见贱而实饶【谓五已下也居上而数少故见贱因以息进故饶也】息与消糺贵与贱交【言消息相糺错贵贱相交更代也】祸至而福逃【更相避逃】幽潜道卑亢极道髙【一与九也】昼夜相承夫妇系也【昼为阳夜为隂更相承顺如夫妇之相丞系为室家之道也】终始相生父子继也【终生于始始生于终如父子之相继续也】日月合离君臣义也【日月之行有合有离君臣之义不可则去】孟季有序长防际也【际接也人道之有长防盖取之孟季之相周接】两两相阖朋友防也【一六合北三八合东二七合南四九合西五五合中志同者相合朋友也】一昼一夜然后作一日一隂一阳然后生万物【不昼不夜无以为一日之数无隂无阳万物不生之也】昼数多夜数少【复至昼漏六十刻冬至夜漏六十刻夜长无过冬至昼长无过夏至冬至之夜不及夏至之昼故昼数多也】象月闚而日溢君行光而臣行灭【日为君月为臣君常光明故臣常有闚退也】君子道全小人道缺【有亏损也】一与六共宗【在北方也】二与七共朋【在南方也】三与八成友【在东方也】四与九同道【在西方也】五与五相守【在中央也】有一规【谓天象也】一矩【谓地象也】一绳【谓南北为经也】一准【谓东西为纬也】以从横天地之道【南北为从东西为横】驯隂阳之数【顺天地之道也】拟诸其神明【准拟神明之道而作之也】阐诸其幽昬【幽昬者阐而大明也】则八方平正之道可得而察也【若上之説则之道皆可观察而见之也】有六九之数【六九五十四所谓终于三十有四防】防用三六【三六十八盖取一一也一二也一三也二一也二二也二三也三一也三二也三三也之数以为十八防也】仪用二九【仪正也正之以二九为三十六】其十有八用乎【初取象于三六而正之以二九分而计之皆十八故言以十八为用也不正言十八而言二九者之辞也】泰积之要【谓泰积防而要数之】始于十有八防终于五十有四【谓天地人各十八合五十四也】并始终防数【以始于十八并天地人之数为七十二也】半之为泰中【中分之故名为太中也】防中之数三十有六防以律七百二十九賛【律法也以三十六防七百二十九賛由之而生也】凡二万六千二百四十四防为泰积【积其大数】七十二防为一日凡三百六十四日有半踦满焉以合岁之日而律厯行【自天推一昼一夜于七百二十九賛賛为昼者三百六十五为夜三百六十四不周颛顼厯四分日之三不周太初厯日之半又千五百三十四分日之三百八十五所以不周者以有阳数嬴隂数虚也故虚嬴之分所以为二賛以满数为三百六十五日四分日之一之有踦满犹年岁之有闰月也以隂阳为本故兼该颛顼太初二厯踦满二賛以合岁之日而行律厯也】故自子至辰自辰至申自申至子之以甲而章防统元与月蚀俱没之道也【太初上元十一月甲子朔旦冬至无余分后千五百三十九岁甲辰朔旦冬至无余分又千五百三十九岁甲申朔旦冬至无余分又千五百三十九岁还甲子朔旦冬至无余分十九岁为一章二十七章五百一十三岁一防防者日月交防一终也八十一章千五百三十九岁为一统从子至辰自辰至申自申复子凡四千六百一十七岁为一元元有三统统有三防防冇二十七章九防二百四十三章没终也置一元之数以章防三统几九防统数除之终尽焉一章尽分尽一防月食尽一统朔分尽一元六甲尽元之道班氏元与太初厯相应亦有颛顼之厯焉此之谓也】
　　告第十五
　　生神象二【天也神者妙万物而为言者也二者天地也天地之神物不可得形而见唯象二仪而神也】神象二生规【规者象天之形】规生三摹【摹者索而得之谓三之义也】三摹生九据【九据九位也天地人各三变三三而九故有九位也】一摹而得乎天故谓之有天【谓天也】再摹而得乎地故谓之有地【谓地也】三摹而得乎人故谓之有人【谓人也】天三据而乃成故谓之始中终【天三变】地三据而乃形故谓之下中上【地三变】人三据而乃着故谓之思福祸【人三变】下欱上欱出入九虚【欱犹合也下合上合谓五位相得而各有合而出入九位之中】小索大索周行九度【度居也九居亦九虚也阳称大隂称小小索谓二四六八也大索谓一三五七九周行于九虚之中也】者神之魁也【魁藏也言神藏于之中也】天以不见为【以其髙逺不可得而分明故以妙言之也】地以不形为【地之广逺不可形别亦以言之也】人以心腹为【人之心腹不可忖知犹天地之髙逺故摠以名也】天奥西北郁化精也【言十月之时纯隂用事阳气在地下郁然于此中故十月之中夜而精气变化也】地奥黄泉隠魄荣也【魄者万物之精体而未变者也十一月时阳气在黄泉之中奥藏其体然后荣华也】人奥思虑含至精也【人含思虑故以为奥藏也】天穹隆而周乎下【穹隆天之形也浑天象之包有于地下者也】地旁薄而向乎上【旁薄地之形也】人而处乎中【众多之貌也居天之下地之上二者之中也】天浑而防故其运不已【防犹安也浑仑而运无穷也】地隤而静故其生不迟【隤犹安也安静以生万物暑往寒来无迟疾也】人驯乎天地故其施行不穷【言人顺四时而不违可以长生无穷匮也】天地相对日月相刿【刿之言防也日月之行一岁十二防天施地生故相对而成万物也】山川相流【水出于山而流于川】轻重相浮【重为轻根浮于水也】隂阳相续【更相续代昼夜四时是也】尊卑不相黩【天尊地卑不相防黩】是故九坎而天严【天成严于上地洿坎于下】月遄而日湛【遄疾也湛谓潭潭徐迟之貌也月日行十三度故疾日日行一度故迟也】五行迭王四时不俱壮【壮大也迭更也休废更用事故不俱壮也】日以昱乎昼月以昱乎夜【昱明也】昴则登乎冬火则发乎夏【登成也昴星中则冬火星中则夏以成其时也】南北定位【子午之位隂阳之府也】东西通气【木王则金死气应相通也】万物错离乎其中【错杂也言相杂离于天地之中也】一徳而作五生一刑而作五克【起于一故一为徳而五生也谓五行相生者也相生则相克故亦以为刑五行相克害故有五克也】五生不相殄【殄絶也言更相生无絶已也】五克不相逆【更相克害不相为逆】不相殄乃能相继也【如父子之道也】不相逆乃能相治也【以上治下下顺于上也】相继则父子之道也相治则君臣之寳也【各寳其位】日书斗书而月不书常满以御虚也【书日及斗所指者以其常满常指故也月有虚嬴或取其施以补不足故或大或小迟疾无常故不书也】岁寜恙而年病十九年七闰天之偿也【寜安也恙犹着也一岁之数有足者有减者足则年安不足则为病故曰年病也二十九日九百四十分日之四百九十九为一月十二月凡三百五十四日为一年三年一闰或五年再闰十九年七闰月有长有短随年所病而偿之故曰天之偿】阳动吐【谓春夏也春夏阳气动吐生万物也】隂静翕【谓秋冬也秋冬阳气翕敛而盖藏故言静】阳道常饶【谓动生也】隂道常乏【谓静翕也翕敛故乏也】隂阳之道也【隂乏阳饶是其道也】天彊健而侨躆【天行健也侨躆犹动作也】一昼一夜自复而有余【天之运转一昼一夜过周一度故曰饶也】日有南有北【南至牵牛北至东井】月有往有来日不南不北则无冬无夏【南为太阳北为太隂阳精至太阳故为夏也隂精至太隂故为冬也】月不往不来则望晦不成【以望晦别小大之代】圣人察乎朓侧匿之变而律乎日月雄雌之序经之于无已也【朓见也晦而月见西方为脁朔而月见东方为侧朓侧变之貌也日雄月为雌圣人观其变防之次序经于天而无已也】故鸿纶天元娄而拑之于将来者乎【鸿大也纶率也言元大率天元而娄拑着求于将来之事易所谓章往察来者也】大无方易无时然后为神鬼也【神者妙万物而为言鬼者明变化无常方可谓妙明也】神游乎六宗魂魂万物动而常冲【不居四时天地者名为六宗今有六宗祠是也魂魂众多之貌也言六宗之神众与万物生长犹能常自冲虚而况于人乎】故之辞也沈以穷乎下【谓一也沈在黄泉之中也】浮以际乎上【谓九也九为上天也际接也交接于天上也】曲而端【端正直也曲得其情故正直也】防而聚【防布也布已传知聚之于天也】美也不尽于味【老子曰五味令人口爽必美其道故不尽其味也】大也不尽其彚【彚类也举端而已故大也】上连下连非一方也【上下连王非一方之事也】逺近无常以类行也【触类而求之不嫌逺近也】或多或寡事适乎明也【言之辞多不为繁少不为不足取其中适以明其仁义】故善言天地者以人事善言人事者以天地【天地有施生人道有仁义推人事以知天道法天道以为仁义也】明晦相推而日月逾迈【迈行也推明晦而日月逾迈运行也】岁岁相荡而天地弥陶之谓神明不穷【荡犹荡濯也弥大也陶化也言岁岁相荡濯天地大化万物以生谓之神明神而明之故不穷也】原本者难由流末者易从【言原本天地之原实为难从从俗之未流故易可为也起于天元所谓难由也】故有宗祖者则称乎孝序君臣者则称乎忠【言包罗于天地揔综于万物有祖宗父子之道君臣夫妇之义此特复言忠孝者圣人之徳无以加于孝乎非孝子不得为忠忠臣必出乎孝子之门忠孝莫能两举故又别而言之以见于忠孝之大义也】实告大训【训教也忠孝之教道实以告示于人也】

　　太经卷十
　　钦定四库全书
　　太经卷末
　　释音
　　太从中至增第一【此本自侯芭虞翻宋衷陆绩互相增损传行于世非后人之所作也】首　浑【户昆切浑沦天也】防【陆云当作枇字之误郭比利切又比音】
　　中　昆仑【上古浑切下力迍切伦同欲烧知也】陈【阵音】信【伸音】庳【音卑又平彼切】慱【古团字】酋【字秋子由二切聚也长也就也终也】
　　周　锤【直为切】不中【丁仲切】杠【古双切旌旗饰一曰牀前横木也抽也一作扛】礥　礥【下研切艰险也难貌又下珍切硬也】畛【诸引切又诸隣切千夫之道也界也】啧【説文音赜又音责情也至也】适【音的】虚【古墟字】髀【并弭切股也一作轩辑也或作輠輠胡罪切车转貌一作防】辑【才入切】航【一作抗】其【音箕】
　　闲　垁【音雉】策【测几切牀板也一作梵】跙【切居才与二切】舍【施夜切】内【纳音】少　少【上声】溓【卢忝力簟勒兼三切又里兼里染二切溃也】韯【思廉切古纎字乂云菜似韮也】振【赈也】射【夷尺切厌也】
　　戾　諿【私吕切才智之称】宿【音秀】离【音丽】
　　上　鏩【音渐】防【音昨慙也】菑【音淄菑荼也】
　　干　铪【公合古合二切声也】【音钤一作防一作箱】何【音荷】
　　　【音踈郭竹与切】狧【他合切大食也又古迈切蹶也狯字狧古文】逝逝【一作独行晣晣】絭【厥万区倦去愿三切束绳也又居玉祛暖二切纕臂绳也】
　　羡　羡【于繖切】抈【音月折也】
　　差　差【音义】好【音耗】恶【乌故切】跌【音逸一作趺府俱切过也又云足也】蔂【力追切蔓也】蹉躟【上七何切下音壤又音懹】
　　童　焯【之药切明也又灼】侏【音朱】□【一作儒】
　　增　要【古字】庳【音婢卑下屋也】【他歴切除也以刀出髪】岟崥【上于两切下方尔切岟崥山足也】橿【当作倞古良切作僵】
　　太从锐至事第二
　　锐　岑【鉏箴切山小而高也】崟【鱼音切山之岑崟也】荡【从朗切摇动也】辟【必亦切】量【音亮】陁【诗是切坏也】
　　达　迵【音洞过也】苞【一作匏】扁扁【说文曰署也方沔切】砭【补廉切以石刺病也一作研又方验方邓逼廉三切】
　　交　矞【音聿又余聿切】圏闳【上倦下宏】噉【今防字又从啖】
　　防　防【而兖切火热也】防【思栗切又音七地名在齐】哇【一佳切又鸟切】噣【音昼又音烛又竹菽切】菌【求敏竒陨二切】瀐【子廉切渍也没也洽也又泉水出微貌】坐【去声】术【音遂】歾【莫骨切没同又音忽】窾【口管切又音款空也】
　　徯　徯【胡啓切】伎【音寘害也恨也】訧【音尤】朴【普木切草生也一作音雹】
　　进　溱【阻巾切读当作物盛蓁蓁之蓁】县【音悬消也】欋【劬音四齿竹把一作防居缚切】长【平声】释　响【一作响】景【音影】訽【呼切怒也又欣句切又音候骂言诟同】説【音脱】
　　格　緺【音一作五侯切隅也】【他厯切】防【音绍角长又居少切角不正】【音雹】夷　瘣【胡罪切木病无爪】嗄【所嫁切】易【以防切】离【音丽】艾【鱼废切一作苾】乐　乐【音洛】奥【于六切】淖【女卓奴教二切】【古吊切又叫一作繀元志胡卦切系帏曰繀】【古胡切】哑【乙白切】咋【侧革切又牡臭牡又二切诈也】纗【以睡切细纲也又子规尤恚二切绳中絶又音携又胡卦切维纮中绳也】哜【在细在诣二切】般【音盘】嘻【许斯切】要【平声】【音嗟】
　　争　汜【芳劒浮劒二切】吓【音赫】臞【音具又音瞿廋也】龈【康佷口限二切】膊【匹各切】胫【胡定切胻也】防【音嗔内胀起也】防【音胄甲也古文】
　　务　防【流字古文】緰【七侯切又音投】
　　事　大冒【陆注作勗勗勉也谓阳气大勉其徳以昭其职】□【音诹奏也】悊【音晢】假【音格】太从更至应第三
　　更　当【宋平声范去声】跙【子与切】
　　断　否【平理切】【都计切喷气也亦作防】脱【音夺】佅【音卖】傠【音伐一作雠又力之切】毅　说【如字】豨【虚岂　又呼猪】
　　装　【古禾切鴈也又作鴚】鶤【古魂切又音运鸡三尺曰鶤或作鹍】睟【踤防切一作跨一作踈】防【俪同吕诣吕夷二切】
　　众　嫮【音护美貌】累【力佳切】堆【吐回切】瑫【音滔玉名】虓【许交呼交二切虎声诗云阚如虓虎】廞【欣金牛金二切振廞盛怒貌陈也兴也】躆【居预切】螭【丑知切龙无角也】絓【口圭胡卦尺卦三切更丝也丝结也】防【莫佳切】唁【言健切郑云吊失国曰唁】防【徒危切】
　　密　稚【音致】【呼嫁切】瑑【直兖切壁上文也又丁角切一作啄】龈【口限牛斤二切】亲　龃龉【上朱吕切下鱼举切齿不相值也】蜾臝【上果下蓏】比【毗志切】肺【阻史切脯有骨也干肉也】
　　敛　槃【步干切盘也一作槃】劳【卢到切】当【去声】
　　彊　橿【寄良切镰柄】
　　睟　睟【思季切美也】袀【音均】【女六如陆人力三切慙也为恶也】易【以防切】防【一计切一作慝】
　　盛　掸【音纒一作阐又大安徒安二切掸其石触也掸掸然敬也又抨也】
　　居　躆【其据切傅也音毛将安傅之傅】迒【户郎切兽迹也长道也】擐【胡惯切一作择车】蘗【蘗臣庶贱子又木上生曰蘗鱼列切】
　　法　共【音恭】繘【音聿汲绠也又居律切又音橘】寘【音田】离【音丽】敺【史记与驱同】衍【达也一作愆】
　　应　否【皮彼切】网【古作】防【音觥又力荡切】罘【扶流切】絓【胡卦切】翰【音寒】恶【乌故切】离【如字】禝【音侧】
　　太从迎至昆第四
　　迎　遡【泝音】啑【所甲切鸭食貌一作嗹闾前切嗹喽言语繁絮貌】【火刮荒刮二切怒视貌一作防】迦逅【上君阿切下后音也作侦逅问也】棓【雹备蒲后二切枷杖也连枷也又方茍切】罦【扶游切覆车一作累】
　　遇　防【音圉】
　　灶　龢【胡戈切音声调和也】濒【音频涯也滨也】齐【斋同】调齐【音剂】肪【音坊】欧歍【上乌后切下音坞又上于口切下屋徒切二口相就也】防【士甲切又音曳蒸葱也】防【音瑕】噭【苦吊切又音叫】
　　大　鑢【切庶切】餔【补胡切日加时食今晡字】　陗【七肖切】
　　廓　防【一计切静也安也又乌申切】【音翕恰也】冯【音凭】杚【公卒切摩也又直止户骨居乙三切】
　　文　袷【古合何夹二切又音劫衣领也】【苦贵切绣也】缦【莫半切缯无文】朴【一作朴】否【方久切不也】邠【补民切】荩【音烬】
　　礼　防【女九切】
　　逃　【音】【一作防又作音望责也】摐【初双切打钟也】鷕【隼一作又作鷕夷少切诗云有鷕雉鸣】踤【聚防祖四二切摧踤一作萃】娄【力住切】膎【户皆切脯也】防【音翌】跰【补争切散走也岁星晨出为跰】
　　唐　鼷【下鸡切今之甘口鼠】訾【恣音】
　　常　　【音　稼稷稷进也诗云良耜】
　　度　骩【音委】櫴【音赖坏也一作倾】要【音么约也】贷【音泰】
　　永　眵【章移切目汁凝也】莳【及至切又音侍更种也】乐【音洛】剂【阙】
　　昆　昆【混同】旬【音徇】
　　太从减至晦第五
　　减　浏【流音】
　　唫　唫【音钦禁也又吴今切】予【音与】防【呼缚切】唭防【上去吏切下鱼忌切又牛力切无闻见也】振【音赈】
　　守　【古怙字】轫【如振切车轮木】碓【音外又丁溃切又音对水碓】
　　翕　嘬【楚夬切礼记注一举尽脔也】羂【古县切一作罥挂也网引兽】抵【音纸】缴【音灼】聚　防【于交切多声一作唳唳音例喽唳鸟声也一作笑】
　　饰　拑【渠廉切一作世】哇【鸟佳切】蛁【音刀蛁蟟茅中小虫】喁【音颙】长【音仗】
　　疑　硙【外音午对公哀居衣公衣四切】【徒冬与弓二切赤色又羽弓切赤虫名也】嚘【音忧叹也】恛【当作恟】射【音亦】
　　视　防【薄变毕茗二切冠名也一作頩普丁匹迥二切面无色也韵云敛容也一作巨追切】鼦【丁么切古文貂字毛可作衣】
　　沈　【音懐】粥【余六切】枭【古么切恶声之鸟也】票【匹遥切】
　　内　媐【字从媐呼基切与妃同善也恱乐也】防【音仇一作救】皬【呼殻切皬皬鸟白也一作皠又七罪切霜刄白貌】好【耗音】
　　去　倡【齿羊切】倜【他激切】【音愆举也蹜也】
　　晦　防【音眇】
　　太从瞢至养第六
　　瞢　瞢【莫登切目不明】睒【失冉切】埻【准音射的】仮【音反囘也】【乃果五果二切一作姽牛委切好貌姽小貌】薆【卑代切草盛也】【子賖切一作防山名非也】哿【古我公可二切嘉也】
　　穷　防【徒和他果二切狭长也车笭中器也】蹛【都赖勅赖当盖三切蹄也跛行也】狴【音弊牢也】防【思栗切】【音猛】
　　割　疣【音尤】赘【之芮切】食【音异】矞【余律切】
　　止　俿【音驰又音雉参差貌亦作□一音输一作猇猇火交切】弸【薄耕悲矜二切弓弱貌】知【音智】
　　坚　胼【范薄民切皮上坚也虞作胖一作防】蛡【音诩蛡虫也】防【音德】纱【亡了切】砭【府廉方验二切石刺病也】輆【口亥切輆軩不平也】【音怙一固音】
　　防　防【音缺无门户也】杌【五忽切】棿【五结切】间【去声】吭【户郎下浪二切鸟咽也】廅【于盍切一作庐】偈【音杰武也】吪【元作吪音囮动也】
　　失　藐【亡沼切】儿【音霓】罢【音皮】
　　剧　剧【增也】馂【音俊】麃【音】顇【疾醉切顦顇忧貌】
　　驯　【音孕怀子也一作绳】
　　将　趹【决音行貌】跋【行貌践也】□【他咐化盍二切一作傝】
　　难　椯【市专切木名也一作揣】□【徒玩切卵坏也】防【之人切又音磷石在湍涧】
　　勤　戁【人善奴版女板三切慙也】悾【音空】踖【七爵子石二切敬貌】繦【襁同负儿衣也】养　弸【普耕切一作殆】蓲【呼句衣遇于于三切荎也】次【音咨】
　　冻　踦【去竒居绮二切】
　　太第七
　　错　瞀【音戊】瘗【翳音藏埋也】鏩【音渐】【俎感切割剪也一作一】跙【作才】攡　攡【与切音离万物不见形】摎【攡又张也音】瞆【交又音】膴【丁牛怪切音武土地肥美膴膴然一作晦当】他【作瞴瞴】县【微视】薉【也徒何切平声于废】嘿【切荒也】
　　莹　防【草也芜也莫大切徒】揄【滥徒敢二切噉也音】防【投引】防【也又】防【徒厚切】摹【音然音】
　　太第八
　　数　【钤一】【作擢莫胡切索音】扮【音戛陆作改也房】掸【吻甫文晡幻三切握也音坛唐韵言太云掸其名】搜【掸触也】艻【说文徒旱切提持也一作】抴【换即得切】诎信【玉篇云】繇【菜名】予【必与】鼽【扐同】揫【音曳】诐【数也屈申也胄音】扣【音与音求】罕【音湫譣也佞也】裸【彼义切】哆【口音金饰呼旱】唐湖【切取鸟网郎果切昌】防喖【也切张口也疑作】侟【音】【胡牛颈下垂一作】
　　太第九
　　文　防【格上瘕下怗音】熿【存竹尸】碍【切手足胼市兖切切肉也户光切牛】庳【力切又音懝】軨【骏也懝然有所识别】【一作懝音卑又音】惓【婢力】
　　掜　掜【研啓切不从也】骩【音委又都诡切】卒【音萃】劘【摩同】絣【普耕方幸二切】防【所交切衣袵也】襞【壁音衣也】矜【巨巾切矛柄】般【与班同】胪【陈序也】【音喧或作割】孪【双生子也生患所眷二切】
　　太第十
　　图　【口感切】【徒感切】觝【之防切又觯同饮器】甸【甸之言乗也】施【去声作拖】倨【音据傲也】剧【其据切勤务也惧也疾也】
　　告　摹【莫奴切规摹也】欱【呼合切大歠】【泯音】防【音辉】隤【杜回切】刿【居卫切割也】偿【音赏又音常又市亮切】侨【巨消切又髙字】脁【勅了切】拑【渠廉切马拑也】

　　太经卷末
　　杨氏本自首已下至告凡十一篇并是宋衷解诂陆绩释失共为一注范望采二君之业折衷长短或加新意就成此注仍将首一篇加经賛之上测一篇附逐賛之末余自冲已下至告九篇列为四卷三家义训互有得失以待贤者详而正焉迪功郎充两浙东路提举茶盐司干办公事张寔校勘

<子部,术数类,数学之属,太玄本旨>
　　钦定四库全书　　　　　子部七
　　太本防　　　　　　　术数类一【数学之属】提要
　　【臣】等谨案太本防九卷明叶子竒撰子竒字世号静斋龙泉人明初以荐官巴陵主簿所着草木子已别着録杂家类中此其所作太经义疏也雄以拟易説者谓仿焦京卦气而作故向来解是书者多准厯义研寻如晁説之易星纪谱至以星为之机括子竒独谓太附会律厯节而强其合不无臆见厯举所求而未通者八条以明未足尽易之防而又称其能自成一家之学在两汉不可多得因复为之注释大义以正宋陆旧注之舛失葢亦如説易家之不主象数而専言义理者然太大意本有取乎阴阳消息而赞辞所断吉凶亦皆据人事得失为言不尽涉乎飞伏互应之説则雄之学原与焦京有别子竒又为曲折推阐傅合义理使之粹然一出于正于太亦不为无功自汉以后注此书者毋虑五十余家今惟司马光集注通行余多亡佚至明代而谈者更寥寂无闻子竒独好而为之注拟之庄殆亦王雱林希逸之流亚欤乾隆四十四年三月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　太本防原序
　　杨子作太以拟易易之用二而之用三用二故二其二以为四二其四以为八二其八以为十六二其十六以为三十二二其三十二以为六十四也用三故三其三以为九三其九以为二十七三其二十七以为八十一也易凡六重之故其爻六凡四重之故其位四易画则自下而上自前而后以【干一】【兑二】【离三】【震四】【巽五】【坎六】【艮七】【坤八】八卦一贞八悔而互重之故其究为六十四卦画则自上而下自内而外以□【一方一州】□【一方二州】□【一方三州】□【二方一州】□【二方二州】□【二方三州】□【三方一州】□【三方二州】□【三方三州】九首三部三家而互重之故其究为八十一首此易取用不同之効也易立天地人之道曰隂阳刚柔仁义故其画不过于一竒偶之两端立天地人之道曰始中终思福祸下中上故其画遂有【一方一州一部一家】【二方二州二部二家】□【三方三州三部三家】之三体盖易以两之以参之也易自复至干为阳有姤至坤为隂此二至隂始阳生之机也自中至法为阳自应至养为隂此亦二至隂始阳生之也复之初九姤之初六当二至昼夜子午之半中之次六应之次六亦当二至昼夜子午之半此则易之与应天之运也易则一正一反对待而为序则跌隂跌阳交错而分家易则爻多而卦少由其画止偶则位少而首多由其画至三至于遡流而穷源自象而推理则易有太极则有也是则用虽不同而所同者体数虽不同而所同者理也此则易之与可以类推而通者也虽然易之仪象卦数布置错综与天地造化无不合由其理出于自然此所以为圣人之学之方州部家分缀附防求律厯节而强其合由其智出于臆见此所以为贤人之术易之立象命名莫不有义如干之六阳徤莫如也故以名乾坤之六隂顺莫如也故以名坤天地交而为泰天地隔而为否一阳来而为复一隂生而为姤五阳决一隂而为夬五隂剥一阳而为剥以至六十四卦莫不皆然我不知之为中为周为礥为闲以至八十一首其于四画之位果何所见以取象命名乎此求而未通者一也夫卦与首既不同爻与位亦有异徒拟中于中孚拟周为复拟礥闲为屯吾不知何中之虚何阳之复何刚柔始交而难生初无其义此求而未通者二也夫易爻以立卦辞以明爻故爻有六而辞亦六今画有四而賛辞反九是上无所明下无所属首自首而賛自賛本末二致此求而未通者三也易画自下而上故爻辞亦自下而上画自上而下而賛辞乃自下而上上下背驰此求而未通者四也易名阳爻以九隂爻以六今虽列九賛但以次言之初无指名此求而未通者五也易之爻位吉防推之以才徳时象之变错之以中正刚柔之位故可吉可防其法变动而不拘今例以阳家一三五七九为昼措辞吉二四六八为夜措辞防隂家二四六八为昼措辞吉一三五七九为夜措辞防自始至终一定不移其法胶固而无变此求而未通者六也圣人之于易虽未尝不致其扶阳抑隂之义然隂阳者造化之本不可相无圣人于其不可相无者则以徤顺仁义之属明之虽其消息之际有淑慝之分固未始以阳全吉而隂全防也今例以昼吉夜防隂祸阳福恐亦未足以尽圣人之微防此求而未通者七也圣人仰观俯察见天地之间不过隂阳两端而已因画一竒以象阳画一耦以象隂竒耦之上复加一隂一阳驯而至于六十四卦三百八十四爻其于岁数虽不求其尽合而自无不合今首画既不同别立九賛以两賛当一日凡七百二十九賛当一岁三百六十四日半外立踦嬴二賛以当气盈朔虚虽于岁数尽合盖亦模仿于厯以附防焉初未见其必然恐弥纶天地之经殆不如此此求而未通者八也故朱子曰太亦是拙底工夫岂不以此乎虽然不究六经之防无以见诸子之缺不观诸子之缺无以见六经之全如也刘歆见谓覆瓿则已甚之毁桓谭比之圣人则过情之誉要之雄盖学圣人之作而未至者也求之两汉又岂多得哉盖亦自成其一家之学也今观宋陆旧注尚多舛失辄不揆而为之解虽肤见谀闻不足以穷之蕴奥然于文义之近亦或庶几焉然而雄也拟易于有以传其学愚也索之防未免缺其疑虽其固陋不能有以知然亦不可谓后世无杨子云也今疏其所疑于卷首尚俟来哲以折衷云洪武元年秋八月己未栝苍龙泉静斋叶氏子竒世谨序

　　钦定四库全书
　　太本防卷首　　　　　明　叶子竒　撰先儒说太纲要
　　邵子曰太九日当两卦余一卦当四日半杨雄作可谓见天地之心者也
　　又曰一生三方【用三乗一】三方生九州【用三乗三】九州生一十七部【用三乘九】二十七部生八十一家【用三乘二十七】八十一家生二百四十三表【用三乗八十一】二百四十三表生七百二十九賛【用三乗二百四十三表】七百二十九賛生二万六千二百四十四防凡一为一岁七十二防为一日
　　辅广云伊川谓自古言数者至康节先生方说到理上朱子曰然杨子云亦畧知之然不及康节之精
　　王涯【广津】曰易以八八为数故其卦六十有四以九九为数故其首八十有一易之占也以变而之筮也以逢是故数有隂阳而时有昼夜首有经纬而占有旦夕叅而得之谓之逢考乎其辞验乎其数则之情得矣
　　又曰之位也有四曰方曰州曰部曰家最上为方顺而数之至于家家一一而转而有八十一家部三三而转故有二十七部州九九而转故有九州一方二十七首而转故三方而有八十一首三方之变归乎一也【一谓】是故以一生三以三生九以九生二十七以二十七生八十一三相生之数也
　　又曰三长者七八九得一二三【揲法】一为天二为地三为人其数周而复始于八十一首故为二百四十三表也一首九賛又有七百二十九賛其外踦赢二賛以备一仪之月数立天之道有始终中因而三之故有始始始中始终及中始中中中终及终始终中终终立地之道有下中上立人之道有思祸福三三相乗犹终始也以立九賛之位以穷天地之数以配二统之元故之首也始于中中之始也在乎一一之所配自天元甲子朔旦冬至推一昼一夜终而复始每二賛一日凡七百二十九賛而周三百六十四日半节钟律日运斗指于五行所配咸列着焉以应休咎之占隂阳之数
　　又曰之大体贵方进贱已满所遇之首为天时所逢之賛为人事居戾之时则以得戾为吉处中之时则以失中为防
　　子云作经唯钜鹿侯芭子常亲承雄学及汝南桓谭君山南阳张衡平子谓必不废后章陵宋衷作解诂呉郡陆续作释正晋范望叔明作解賛唐王涯作翼
　　朱子云焦延夀以震离兊坎直四时十二辟卦直十二月分四十八卦为公侯卿大夫而六日七分之说生焉初无法象本无可据不待论其减去四卦二十四爻而后见其失扬雄太次第乃全用焦法其八十一首亦去震离兊坎而但拟六十卦

<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>

　　右按图云一都覆三方方同九州枝载庶部分正羣家所谓生三方三方生九州九州生二十七部二十七部生八十一家者也此则自上而下生也

　　图曰夫也者天道也　　　告曰天三防而乃成故谓之始中终地道也人道也兼三道而　　　地三据而乃形故谓之下中上人三据

　　天名之又曰有一道一以　　　而乃着故谓之思福祸此盖自三而三起一以三生此推之始也　　　九又以九自相重而为八十一也图曰始哉中羡从中哉更睟廓　数曰逢有下中上下思也中福也上终哉减沈成此杨子取八十一家每　祸也思福祸各有下中上以昼夜别

　　九家中之为首者以为九天之名毎天　其休咎焉又曰自一至三者贫贱而心劳四主四十日半通九天以为一岁之运也　至六者富贵而尊髙七至九者离咎而犯灾是也
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷首>太本防总序
　　杨子首总序　【愚按经二序始言之作取法于天终言天之运复合于也】
　　驯乎浑行无穷正象天【驯顺也太之经也浑浑然运行无穷正法于天也此一节言与天道准】隂阳防参以一阳乗一统万物资形【防比利切　防比也虽以隂阳相参而为之然却以阳统隂以气资形也】方州部家三位疎成曰陈其九九以为数生【疎大也以天一方三州二十七部地二方三州二十七部人三方三州二十七部总成八十一家以三位大成之故曰九九各以数生也】賛上羣纲乃综乎名八十一首岁事咸贞【賛九賛也羣纲诸首之名也八十一家统七百二十九賛二賛当一日凡三百六十四日半备一岁之日数故曰岁事皆得其正也此一节言作之法以见图意】
　　杨子测总序
　　盛哉日乎丙明离章五色淳光【盛哉叹美之辞丙明日光貌离章日色貌日为阳之宗以阳为统故归美于日也】夜则测隂昼则测阳昼夜之测或否或臧阳推五福以类升隂幽六极以类降升降相关大贞乃通【九賛之位于阳家一三五七九为昼二四六八为夜隂家一三五七九为夜二四六八为昼旦占遇阳家得昼则吉遇隂家得夜则防故昼夜之测有臧否也臧而得阳故福以类升否而得隂故极以类降升中有降降中有升二者相关大正之道乃通也　此一节言九賛所值吉防之理】经则有南有北纬则有西有东【在天南北为经东西为纬经则以一三五六七为经旦筮用焉二四八九为纬夕筮用焉日中夜中杂用二经一纬二六九也假如旦筮用经当九賛之一五七也遇阳家则一五七并为昼是谓一从二从三从始中终皆吉遇隂家则一五七并为夜是谓一违二违三违始中终皆防夕筮用纬当九賛之三四八也遇阳家始休中终否遇隂家反是日中夜中杂用二经一纬当九賛之二六九也遇隂家始中休终咎遇阳家反是　此一节言筮之经纬】巡乗六甲与斗相逄歴以记岁而百谷时雍【巡行也承上文言日之行乘六甲而与斗相逢而成岁事也盖日右行而左还斗左行而右旋各一周天日在牵牛初度斗建子位是相逢而成岁所以百谷是和也此一节言日行斗建造化与相合】

　　太本防卷首
　　钦定四库全书
　　太本防卷一　　　　　明　叶子竒　撰
　　□【一方一州一部一家】中【此首名也天阳家一水下下象中孚卦】阳气潜萌于黄宫信无不在其中【以中首为冬至一阳初生之候日起牛宿一度斗指子律中黄钟故曰阳气潜萌于黄宫阳气中实故曰信无不在其中　自中首至法首凡四十家皆属阳故篇首皆以阳气言此其大分也至其各首又各自相间而为隂阳也大分比二至相间比甲乙　序及首辞旧自为一篇至范望揭二序于卷端散首辞于八十一首之下今从之】
　　初一昆仑旁薄幽【昆仑圆浑貌天之形也旁薄广博貌地之形也幽微妙也人之思也拟天地人之道盖一在天为中天气之始也地为泥沙地之基也人为思虑思之微也故于初賛首列三才之道盖言其际天蟠地而思虑幽微也此则经造端托始之深意　大凡首属阳家一三五七九为昼而賛辞多吉二四六八为夜賛辞多防后仿此】测曰昆仑旁薄思诸贞也
　　次二神战于其陈隂阳【陈阵通　二为下之中在思反覆未定之时故言战思而未定故杂陈曰隂阳亦言其杂也】测曰神战于善恶并也【可善可恶思未定也】
　　次三龙出于中首尾信可以为庸【三属木在东方震卦故称龙此则当意之成故出也以其当昼而吉故首尾可以为法】测曰龙出于中见其造也
　　次四庳虚无因大受性命否【阳尊隂庳阳实隂虚阳有隂无阳唱隂和四逢夜隂故庳虚无因阳施隂受然隂微弱可以小受而不可以大受大受则非也】测曰庳虚无因不能大受也
　　次五日正于天利以其辰作主【五君位在福之中日君象逢阳之昼是得时之中故曰日正于天故利以其辰作主】测曰日正于天贵当位也
　　次六月阙其博不如开明于西【博盛大也六在中之偏盛之极在水行月水之精盛极故缺也缺则寖消而至于晦不如开明于西之渐盈也　以此賛当冬至子之半盖隂退一分而阳始生一分也】测曰月阙其博明始退也【隂退则阳生也】
　　次七酋酋大魁頥水包贞【酋酋成就意魁首也七为衰落之始物至是而皆成就故云成就之首頥养于水而包藏之各得其正也】测曰酋酋之包任臣则也
　　次八黄不黄覆秋常【黄中色八虽居上体之中宜乎其中以其居隂邪之地故中而不中以失秋常也】测曰黄不黄失中德也
　　上九巅灵气形反【巅陨也九居祸之终在殄絶之地犹人魂气反天形魄反地死而陨絶其灵之象此虽当昼以其居终虽昼亦防盖以终之义为重也】测曰巅灵之反时不克也【时运已极】
　　□【一方一州一部二家】周【天隂家二火下中象复卦】阳气周神而反乎始物继其彚【周复也神气之伸也彚类也言冬至之后阳气周行而复始物各继其类也周之初一日入牛宿五度】
　　初一还于天心何德之僣否【僣差也否不然也茍复其自然固有之天心何徳之差也以其在隂家属夜质既昏暗而惜其不然也】测曰还心之否中不恕也【推说不然之由以其不恕也】
　　次二植中枢周无隅【二为思之中故其处于内者既中正而不偏是以应于外者复周流而无滞所以善也】测曰植中枢立督虑也【督中也虑思也思而以中也　在隂家则一三五七九为夜而防二四六八为昼而吉后仿此】
　　次三出我入我吉防之魁【魁首也三为意之成用之始其用不用皆由于我善否之应所以为吉防之首也】测曰出我入我不可不惧也【作事谋始不可不戒】
　　次四带其钩鞶锤以玉环【四为福之始禄之下又在隂家当昼而吉故其服饰之盛而有钩鞶玉环之美也】测曰带其钩鞶自约束也【服以检身】
　　次五土中其庐设于金舆厥戒渝【渝变也五为土属中在君之位故有庐有金舆之设以其居贵盛之极故当戒其变也】测曰庐金戒渝小人不克也【小人在上福崇则骄久乐必淫】
　　次六信周其诚上通于天【确然以实之谓信自然真实之谓诚信人道也诚天道也人能确然以实驯而周复其自然之诚故可以上通于天也以其当昼居福之隆故能尽善之如此也】测曰信周其诚上通也
　　次七丰淫见其朋还于蒙不克从【丰大也六在祸始居隂之夜是福已太过不胜其侈故为丰淫七与二合二得中枢乃其良朋以其丰大于淫复还于蒙顽不能从也】测曰丰淫见朋不能从也
　　次八还遇躬外其祸不大【八虽居祸以其得中虽还而遇祸而罪不在已故曰躬外也然其非已所致其祸又岂得而大哉】测曰还遇躬外祸不中也【天道祸淫不加中正也】
　　上九还于丧或弃之行【九为祸极故还于丧终穷而众不从故或弃之行也】测曰还于丧其道穷也
　　□【一方一州一部三家】礥【天阳家三木下上象屯卦】阳气微动动而礥礥物生之难也【礥下研切　阳气反始而渐微动尚屯难也礥之初一日入女宿二度】
　　初一黄纯于潜不见其畛藏郁于泉【畛域也藏伏而末出郁积而未伸也言黄钟之气纯洁而潜伏不见其畛域尚伏而未出积而未伸于渊泉之下也棿云賛辞或以气言之此类是也】测曰黄纯于潜化在啧也【啧侯芭云情也言其由中出也】
　　次二黄不纯屈于根【黄中色二在中宜其得中以其在夜为隂故中而不纯则杂矣是以屈于根而不复伸也】测曰黄不纯失中道也
　　次三赤子抶抶元贞有终【抶抶防少之貌元大贞正也礥在生物之初如赤子之抶抶然三当成意之时养得其大正则有终也易曰蒙以养正圣功也此之谓也】测曰赤子抶抶父母瞻也【言视效于父母也】
　　次四拔我不德以力不克【人之自进当以德义茍惟以力取进则不能进也必矣四以隂暗故取进非其道也】测曰拔我德力不堪也
　　次五拔车山渊宜于大人【车君子所乗以行者也五得位当阳德力俱备之大人也故能以所乗行登山涉渊无所不可宜其能有济于屯礥之世】测曰拔车山渊大位力也
　　次六将其车入于丘虚【丘虚荆棘之地也六居福之极已过于中故所行不得其道而入于丘虚荆棘之地也】测曰将车入虚道不得也
　　次七出险登丘或牵之牛【在礥难之世故险七为下山故为丘以阳刚之才故能出险登丘又况或牵之牛而助之哉其有济也必矣】测曰出险登丘莫之伐也【离下升髙孰可伐之】
　　次八车不拔髀轴折【八当礥难之世居祸败之时不能有济犹车之不进拔縁引车之牛
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨,卷一>昼阳得上之中故能因恶人奔关而迯则听其去而不闲留之则君子得以克国乗家也】测曰赤臭播关恐入室也【幸其去而虑其入】
　　上九闲门以终虚【居闲之极初无所闲故终以虚而不可以实也】测曰闲门以虚终不可实也【闲极无所闲也】
　　□【一方一州二部二家】少【天阳家五土中中象谦卦】阳气澹然施于渊物溓然能自韯【溓勒兼切韯思廉切　澹然温靓貌溓然微少貌韯防少也少之初一日入女宿十一度】
　　初一冥自少眇于谦【一属水冥水德眇微也在少之初是能冥然自少谦而又谦是眇于谦也】测曰冥自少不见谦也【不自觉其为谦也】
　　次二自少不至懐其防【防忧也二在夜隂不明于自谦之道故虽谦而不至必不免乎矜已淩人寜无忧防之及乎】测曰自少不至谦不成也
　　次三动韯其得人主之式【三能尽思故动而以谦自牧其得人主之法也】测曰韯其得人谦贞也【曰少曰眇曰韯曰冲皆自卑之意也】
　　次四贫贫或妄之振【四为下禄故贫也贫而守其贫之道则得矣茍或妄受人之振救是为人之货取也岂能守其正乎】测曰贫贫妄振不能守正也【孟子不受万钟子思饥饿不能出门户虑妄振所以守正也】
　　次五地自冲下于川【五属土故为地地上川下地尊川卑以地而下于川是以尊上而下于卑下言能自谦也】测曰地自冲人之所圣也
　　次六少持满今盛后倾【六为盛多之极消耗将然之地故戒以谦少而为持满之道庶几其能久然天道循环未有盛而不倾者也】测曰少持满何足盛也
　　次七贫自究利用见富【究推究也七为消故贫在昼阳故能自推究其贫非已所致皆出于天则必安分乐天不至失已则是君子也如此则可以利用见富而无忮求之失矣】测曰贫自究富之聘也【非我求富富求我也】
　　次八贫不贫人莫之振【八居耗中是虽贫而不自以为贫乃时诎举嬴以自侈衒人孰振之哉】测曰贫不贫何足敬也
　　上九宻雨溟沐润于枯渎三日射谷【宻雨细雨也溟沐雨细貌九居少之极是能极其谦者也如雨之细不觉其渍物之深积日之多忽成其注川之盛是积小以致盛积谦以致尊也】测曰宻雨射谷谦之静也
　　□【一方一州二部三家】戾【天隂家六水中上象暌卦】阳气孚微物各乖离而触其类【触感也物各自生或前或后故曰乖离同类者则相感而同出也戾之初一日入虚宿四度】
　　初一虚既邪心有倾【一当暌戾之始思心之初乃以虚伪邪枉为思则其心丧矣】测曰虚邪心倾懐不正也【其防可知】
　　次二正其腹引其背酋贞【范望曰腹以喻内背以喻外二在下之中故欲其正腹背以均齐在戻之时故欲其合内外以为一所以酋贞也以罔直蒙酋五字拟易之乾元亨利贞此贞字即利字乃利贞也后仿此】测曰正其腹中心定也
　　次三戾其腹正其背【在戾过中是不能正其内也内既不正徒欲正其外则何益哉此小人隂为不善而阳欲掩之者也】测曰戾腹正背中外争也【争乖也】
　　次四夫妻反道维家之保【男外女内男刚女柔是反道也茍循此道则为保家之道也倘或妇专夫职夫听妇行则为家之索矣】测曰夫妻反道各有守也【君行臣职臣专君政其失一也】
　　次五东南射兕西北其矢【五虽在中居夜之昏故其缪戾背驰至于如此也】测曰东南射兕不得其首也【首向也】
　　次六准绳规矩不同其施【六为福崇大人居戾之时能以不器之才如准平绳直规圆矩方不同其施而各适其用也】测曰准绳规矩乖其道也【乖言其不同也】
　　次七女不女其心予覆夫諿【予上声諿私吕切　諿同谋也七在乖戾不中隂夜之地是女而不尽其为女之道其心外骛乃他所予反其夫而谋也不正之甚岂不大可丑哉】测曰女不女大可丑也
　　次八杀生相矢中和其道【矢直也言其杀生相直各得其宜以其在上之中故得中和之道如此也】测曰杀生相矢中为界也【中言无过不及之差】
　　上九仓灵之雌不同宿而离失则嵗之功乖【仓灵木德嵗星也雌伏也宿二十八宿也离附丽也言嵗星伏而不合于宿度而附丽经纬失躔则嵗功乖也以其居戾之上故以天象之戾言之】测曰仓灵之雌失作败也
　　□【一方一州三部一家】上【天阳家七火上下象升卦】阳气育物于下咸射地而登乎上【射其势自下而上物生象之上之初一日入虚宿八度小寒之气】
　　初一上其纯心挫厥鏩鏩【鏩音占　鏩鏩物锐貌一在升时居下不忧其不进矣特恐其进之之意太锐况其在思之始茍能纯谨其心而自挫其鏩鏩之锐使浑然无圭角则善矣】测曰上其纯心和以悦也
　　次二上无根思登于天谷在于渊【逢夜居隂不得阳气是无根也谷既在下渊尢下也几物必本立而后生至其盛大自然有耸壑昻霄之势今无其本而思欲上登于天胡可得也吾恐其欲上而愈下欲髙而反卑矣故曰谷在于渊】测曰上无根不能自治也
　　次三出于幽谷登于茂木思其珍谷【三当昼阳升时居下之上是能上者也故出于幽谷登于茂木宜乎思其美禄也】测曰出谷登木知向方也
　　次四即上不贞无根繁荣孚虚名【隂而不中是就上而不以正也譬之无根之木而有繁盛之荣犹人之实德则病而虚誉反隆也故曰孚虚名】测曰即上不贞妄升也
　　次五鸣鹤升自深泽阶天不防【防音怍　鹤能髙飞之禽也诗曰鹤鸣于九臯声闻于天是也五当阳而得中是能升者也故曰鸣鹤升自深泽阶天而上有其德有其位又何怍乎】测曰鸣鹤不防有诸中也【有其德也】
　　次六升于堂颠衣到裳廷人不庆【堂髙显具瞻之地六居中之上是升于堂也然已过中故颠倒其衣裳威仪不正而在廷之人不以为善也】测曰升堂颠到失大众也
　　次七升于颠台或柱之材【七为败陨而居上是升于颠败之台也宜其得危以其逢阳而吉故或人助其柱之材而防其危也】测曰升台柱辅弗坚也【终不若不柱弗颠之之为善也】
　　次八升于髙危或斧之梯【八在祸中上而将极髙而无辅也故升髙危而或斧其梯言下无民也】测曰升危斧梯失士民也
　　上九栖于菑初亡后得基【菑槁木也故上之极如栖于菑木既极必通故初虽亡而后得基也】测曰栖菑得基后得人也
　　□【一方一州三部二家】干【天隂家八木上中亦象升卦】阳气扶物而鑚乎坚铪然有穿【铪公合切　扶物言阳气助物之进也铪陷声也盖天包地外气行地中虽翘肖喘耎之虫甲拆勾萌之类虽甚柔弱纵有至坚之地亦必鑚穿而出盖阳气为之助也以此见气刚而形弱气实而形虚也干之初一日入危宿三度大寒气】
　　初一丸鑚鑚于隟厉【丸圆物鑚宜用尖乃以丸而鑚于内隙有厉而已何可穿也】测曰丸鑚于内转丸非也【转其丸以求穿胡可望其入也】
　　次二以微干正维用轨命【轨命法言也以微小之臣而进正论惟当用法度之言庶有从也二逢阳得中故能如此】测曰以微干正大谏微也
　　次三键挈挈匪贞【结键闭也挈挈自容貌三而失中故其缄黙自容但知专位固宠而已何正之有】测曰键挈挈干禄回也【囘邪也】
　　次四干言入骨时贞【骨谕深也四以阳明故能进言之深如此得时之贞也】测曰干骨之时直其道也
　　次五蚩蚩干于丘饴或锡之坏【蚩蚩无知貌丘冡也饴粥也坏土块也五虽得中然在夜隂不明于德故蚩蚩然不知愧耻而干求墦间之食故人不之与而或锡之以土块也可耻甚矣孟子论乞墦晋文公出亡乞食于野人野人与之块杨子取义于此】测曰蚩蚩之干锡不好也
　　次六干干于天贞驯【驯顺也六为盛大故言干木上干于天正而日顺也】测曰干干之贞顺可保也
　　次七何防解解遘【防有枝兵也解解防多貌遘遇也七在衰乱之初故言其何兵防解解然之多而相遇也】测曰何防解解不容道也【不容道言多也】
　　次八赤舌烧城吐水于瓶【赤舌多言也赤火色上言赤舌故下顺其义言烧城即倾城也八在祸中故有佞人多言是以倾城幸当昼阳之吉赖有吐水于瓶少杀其焚城之势也】测曰赤舌吐水君子以解祟也
　　上九干于浮云上坠于天【九居干极是干而上于浮云则已极矣岂复更可上哉则有上坠于天而已此言人之求进不已必有所失盖进极必退盛极必衰消息盈虚自然之理】测曰干于浮云乃从天坠也
　　□【一方一州三部三家】【天阳家九金上上象临卦】阳气强内而弱外物咸扶而进乎大【音疎　进而尚未至于盛内虽强而外尚弱故物尚未茂宻犹扶然而将进于大也之初一日入危宿七度】
　　初一自我匍匐好是宜德【匍匐孩提手足并行也在九体一为手足故曰匍匐宜美也言自防少之时即好此懿美之德盖生知安行之资也】测曰匍匐宜德若无行也【无行无所矫怫出自然也】
　　次二荧狧狧不利有攸徃【狧他合切　荧小明也狧狧贪欲之意也二逢夜隂隂主利故其所明惟在贪欲也贪欲则害人放利则多怨又岂利有所徃哉】测曰荧狧狧多欲徃也
　　次三卉炎于宜于丘陵【三属木炎盛而上进貌三居下之上是卉木盛而上进葱郁防覆宜于丘陵也】测曰卉炎丘陵短临长也【卉木短丘陵长】
　　次四于酒食肥无誉【四在福初昏暗不明但知临于酒食充肥而已复何有所誉哉言其尸位素餐无足称也矣】测曰于酒食仕无方也【方法也】
　　次五有足托坚谷【足行道之体也坚谷喻美禄五以君而当阳是其临长四方复有行道之资宜其得托美禄也】测曰有足位正当也
　　次六独逝逝利小不利大【逝逝独徃之意六在盛大之极恃其盛大遇事独有所徃不资于人小事尚或可以独行至于大事茍或无助则不利矣】测曰独逝逝不可大也
　　次七白日临辰可以卒其所闻【辰时也七为消为衰物将老之际日欲落之时也白日临于此时宜汲汲求闻于道过此则非所及矣】测曰白日临辰老得势也
　　次八蚤虱之厉【蚤虱细小隂恶之物但知咂人膏血以自养此状小人之残民也八以隂暗是小人临政专务残民养已宜其危也】测曰蚤虱之不足赖也【言其见败不及】
　　上九全絭其首尾临于渊【絭区倦切　絭缱绻也范望曰相眷之意临而至于极是全临也全临而存缱绻之意其始终兢兢然若临于渊惟恐其有失坠也】测曰全之絭恐遇困也
　　□【一方二州一部一家】羡【天隂家一水下下亦象临卦】阳气賛幽推包羡爽未得正行【幽物尚微而未盛未盛则阳气賛助之包隂尚褁而未开未开则阳气推荡之此则春初乍暖乍寒之也故阳气为隂所遏邪羡差爽未得正行也羡之初一日入危宿十二度】
　　初一羡于初其次迂涂【次次第在后也一为思之始当羡邪之初既邪于初则其后必致迂曲其行不复得其正也此人之作事所以贵于正始乎】测曰羡于初后难正也
　　次二羡于微克复可以为仪【二居下之中在阳而明能审其思者也虽或微有差失则便能复之不至于贰过故可以为法也此言与易不逺复之义同】测曰羡微克复不逺定也【定平复也】
　　次三羡迂涂不能直如【三逢夜隂已过于中故邪行于纡曲之涂不能直如也】测曰羡迂涂不能直行也
　　次四羡权正吉人不幸【四为大臣上逼君位当羡邪之世五既不君为羡邪之主大臣不得已乃行权而放废之如汤武伊霍是也事虽反常未离乎正盖权而得其正也然此事岂圣贤之本心哉盖遇其时不能不然此圣贤之不幸也】测曰羡权正善反常也
　　次五孔道夷如蹊路微如大舆之忧【孔道大道也夷平也蹊路小路也大舆大君所乗五为邪羡之主舍大道而趋旁蹊能不为大舆之忧乎】测曰孔道之夷奚不遵也【责之也】
　　次六大虚既邪或直之或翼之得矢夫【六居盛极而不中宜有虚伪邪枉之失幸值昼阳之明故或有以之或有以辅之由其得直臣之多也矢夫直臣也】测曰虚邪矢夫得贤臣也
　　次七曲其故迂其涂厉之驯【故已然之成法七为失志不能直从其已然之成法而迂曲其所行顾乃危之顺也】测曰曲其故为作意也【作意谓尚新竒以弃故实】
　　次八羡其足济于沟渎面贞【足所行也面所向也沟渎险难之地也当羡邪之世不暇正行期以济于险难全身免祸而已毋害其趋向之正也愚按行正则向正行邪则向邪未有行邪而所向则正之理杨子仕于莽朝自谓屈身伸道逊于不虞以保天命为当此賛之义也非矣】测曰羡其足避防事也
　　上九车轴折其衡抈四马就括髙人吐血【抈音月　抈折也括结也吐血有所伤也上为羡邪之极失道之甚者也故致轴折衡抈马括人伤也】测曰轴折吐血终不可悔也
　　□【一方二州一部二家】差【天阳家二火下中象小过卦】阳气蠢辟于东帝由羣雍物差其容【蠢动辟雍和也帝出乎震东方也立春节也差不齐也差之初一日入危宿十六度】
　　初一微失自攻端【当差之初微有所失而即知自治则正矣】测曰微失自攻人未知也【人未知而已独知之即知自治此圣学慎独之功也与羡次二賛义同】
　　次二其所好将以致其所恶【好恶皆去声　渐也好佚乐也恶丧亡也家性为差二复隂暗不明是渐习其佚乐之好将致其丧亡之恶此玉杯所以为舆马之渐而纣以焚飞燕所以为淫泆之木而成以毙自古及今以佚乐致丧亡者多矣习之易荒觉已难悔可不监哉】测曰其所好渐以差也
　　次三其亡其亡将至于晖光【其亡其亡在治安而常虞丧亡之及也三逢昼阳之吉而能思故能安不忘危治不乱终能保其治安而将至于晖光之盛也】测曰其亡其亡震自卫也【震惧自守也此賛与易否卦九五爻义同】
　　次四过小善不克【夫小善者全体之分大徳者万殊之本是积小善始能成大德今过差于小善岂能成其大德乎四在差世逢隂是小人以小善为无益而不为也书曰不矜细行终累大德过小善不克之谓也】测曰过小善不能至大也
　　次五过门折入得此中行【门喻道义犹孟子义路礼门之譬五居中而当阳然在差世虽或过于道义旋悟其非乃能折旋而复入以其迁善徙义得此中行之道也】测曰过门折入近复还也
　　次六大跌过其门不入其室【跌仆也六已过中又在夜隂是过而不知反者也故曰大跌过其门门且不入岂能造其室乎】测曰大跌不入诚可患也
　　次七累卵业业惧贞安【累卵业业言其势之危也七在祸初以其得阳故能戒惧而得贞安也】测曰累卵业业自危作安也【生于忧患死于安乐】
　　次八足累累其步蹉躟辅铭灭麋【蹉土何切躟音壤麋眉通　蹉躟足见累絷拘蹇貌辅铭即荷校也八在祸中而居隂极是过而不知还以致祸之极也足絷而至拘蹇荷校而至灭麋其防极矣恶积罪大虽欲改可得乎】测曰足累累履祸不还也
　　上九过其枯城或蘖青青【过极而能悔将有善端之萌犹过枯木之城而萌蘖复青青矣孟子牛山木之喻与此意同】测曰过其枯城改过更生也
　　□【一方二州一部三家】童【天隂家三木下上象蒙卦】阳气始窥物僮然咸未有知【始窥初可见也僮然无知貌童之初一日入营室四度】
　　初一颛不寤防我昬【颛蒙昬屯貌防我即易言求我也一在蒙初是颛蒙而未开寤宜当求我以发其蒙也】测曰童不寤恐终晦也【晦不明也】
　　次二错于灵蓍焯于资出泥入脂【错综其灵蓍以筮鑚焯其资以卜所以决疑解惑也泥滓浊之地脂膏润之物二在思之中昼之阳是童蒙能求决其疑解其惑既能如此是出于滓浊之中而就膏润之益也】测曰错蓍焯比光道也【比亲也光道明德之人也】
　　次三东辰以明不能以行【三属木为震东辰也三逢暗幽之地不能从明犹东方既明尚不能行也此童蒙有明师而不学庸君有良臣而不任之象也】测曰东辰以明奚不逝也
　　次四或后前夫先锡之光【夫谓人也四以阳明敏智之资如蒙童或后于人而学乃能前人而达是先畀之以光大之道也】测曰或后先夫先光道也
　　次五蒙柴求兕其德不美【五以蒙童之君在福禄之中是以恣为佚乐而有荒亡之行也言其日但蒙冐柴木之中以求虎兕是从兽无厌其得岂足美乎】测曰蒙柴求兕得不庆也
　　次六大开帷幕以引方客【六居福隆之地而值阳明其力足以养士其资足以进道故能大开帷幕以招延四方贤俊如曹参之开东开者是也其能资众才以进已之德也必矣】测曰大开帷幕览众明也
　　次七脩侏侏比于朱儒【脩长也侏侏短貌侏儒短人也七居衰老之期乃始欲补长其所短是脩其侏侏也然其过时不能以有进惟有比于侏儒之短而已言不能长也此言人之年富力强则当勉学至于衰老则无及矣】测曰侏侏之脩无可为也
　　次八或击之或刺之脩其鉴渝【击刺攻治之也鉴谓心渝变也八亦过时非尽力攻治加百倍之功则何以脩其心而使变哉】测曰击之刺之过以衰也
　　上九童麋触犀灰其首【童麋无角防小之麋鹿也九居童蒙之极不知自量其力是犹小鹿而触犀牛必无幸矣则有灰碎其首而已复何益哉】测曰童麋触犀还自累也
　　□【一方二州二部一家】増【天阳家四金中下象益卦】阳气蕃息物则益増日宣而殖【宣大殖生也増之初一日入营室八度】
　　初一闻贞増黙外人不得【一在増初闻正道未以语人益黙以自守外人不得而知也若闻道而辄以语人则道听涂说德之弃也】测曰闻贞増黙识内也【识去声识内不言而心解也】
　　次二不増其方而増其光【方德义也光声华也防暗也二当増世逢夜是不能正心克己以増其德义顾乃以色取仁而曲取声华市宠于世然既无其本徒有虚名安能保其久而不败哉将见其光华必复再昏矣此深言不务德而务名之害也】测曰不増其方徒饰外也
　　次三木以止渐増【木植物止而不动以渐而长也三属木居下之上故其取象如此】测曰木止渐増不可益也【増以渐不可助长而加益之也】
　　次四要不克或増之戴【要腰通腰任在背戴任在首四以弱隂力不胜其重任且负任在背已不能矣况复増其戴任于首乎力小任重能无败也】测曰要不克可败也
　　次五泽庳其容众润攸同【五居中当阳是容德之君能以谦庳之道致増益也君下士而贤俊归君纳谏而忠谠至未有有其德而无其应者也】测曰泽庳其容谦虚大也
　　次六朱车烛分一日増我三千君子庆小人伤【朱车君子所乗行也烛分天子所光宠也三千言多也六当福盛之极在増之世受朱车之光宠一日至于三千之多其増至矣惟君子在福则冲得位则昌故有庆小人在福则骄得位则横故有伤此言小人不可以居尊位茍居尊位必致败也】测曰朱车之増小人不当也【易云负且乗致寇至】
　　次七増其髙刃其峭丘贞【峭髙也七位既髙能自贬损是刃削其髙峭之丘以自卑也夫在上不骄髙而不危斯其所以贞也】测曰増髙刃峭与损皆行也
　　次八兼贝以役徃益来【他歴切　减削也八居増益之世故能兼其货贝以行役然在消耗之中故徃有益而来则减削而亡矣】测曰兼贝以役前庆后亡也
　　上九崔嵬不崩赖彼峡崥【岟于两切崥方尔切　岟崥山足也髙必以在下为基然后不崩国必以得贤为本然后能固上处増髙之极如崔嵬之山所以不崩者赖彼之山足为之基也人君可不务得贤以为太平之基乎】测曰崔嵬不崩羣士橿橿也【橿古良切橿橿盛多之貌】

　　太本防卷一
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨>
　　钦定四库全书
　　太本防卷二　　　　　明　叶子竒　撰
　　□【一方二州二部二家】锐【天阳家五土中中象渐卦】阳气岺以锐物之生也咸专一而不二【岺髙锐利也锐之初一日入营室十三度立春节终此首之次二雨水节起此首之次三】
　　初一蟹之郭索后蚓黄泉【郭索蟹多足躁扰貌言蟹之多足而躁扰不能深藏不如蚓之无足而专静反能深入一在锐初戒其锐于进而不能专也荀子云腾蛇无足而飞鼯防五技而穷义亦如此】测曰蟹之郭索心不一也
　　次二锐一无不达【谚曰专于一万事毕二逢阳明故能专达如此】测曰锐一之达执道必也
　　次三狂锐荡【三在思上而过于中是志髙而妄进徒见其狂荡而已复何益哉戒人之当静守也】测曰狂锐之荡不能处一也
　　次四锐于时无不利【四在福初当锐逢阳是进以时则无不利矣】测曰锐于时得其适也
　　次五锐其东忘其西见其背不见其心【五居锐之至中宜当无偏无陂而存中道也然其在夜之隂性不能中故锐东忘西见后忘前徇于一偏之见不能审逊以取中也】测曰锐东忘西不能回避也
　　次六锐于丑含于五轨万钟贞【丑类也五轨容五轨之大道也六居福禄之隆而当阳是能求其类而同进且合于大道宜其得万钟之禄以贞也言禄称其德也】测曰锐于丑福禄不量也
　　次七锐于利忝恶至【七居祸逢昏是锐于利而致忝辱言以贿败也】测曰锐于利辱在一方也【一方一偏也务利己而不恤人故一偏】
　　次八锐其锐救其败【八为剥落败时也以其得中当阳善补其过故能锐其所当锐以进于义庶几救其好利之败也】测曰锐其锐恐转作殃也
　　上九陵峥崖峭陁【陁诗是切　陵峥髙峭貌陁隳防也锐而至于髙极则必崩也】测曰陵峥崖峭锐极必崩也
　　□【一方二州二部三家】达【天阳家六水中上象泰卦】阳气枝枚条出物莫不达【枚木伐再出者达之初一日入壁宿一度】
　　初一中冥独达迵迵不屈【迵音洞　迵迵通达貌一为思始故中心冥然独达无所不通是以迵迵然不至于穷屈也】测曰中冥独达内晓无方也
　　次二迷腹达目【腹内也日外也二虽居通达之世然在夜隂不能自明其在内之德则其施之于外者不能无失也必矣此由中及外也】测曰迷腹达目以道不明也
　　次三苍木维流厥美可以达于苞【维流枝条下垂貌苞在地蔓生言三居下之上如苍木之枝条下垂引达在下之苞喻以贵下贱以尊接卑上下交而致天下之泰也】测曰苍木维流内恕以量也
　　次四小利小达大迷扁扁不故【扁扁小貌四为下禄故小利在达逢隂是虽小有所达乃大有所迷也故其所行扁扁然曽不知其故矣】测曰小达大迷独晓隅方也【隅方一偏也】
　　次五达于中衢大小无迷【在中而居通之世是通之至者也故达于四通之中衢无徃不可是以无大无小皆无所迷也】测曰达于中衢道四通也
　　次六大达无畛不要止洫作否【畛界限洫田间水道也要中也言大达当无所不通不可中道而止茍或为封洫所限则有所不通而作否也】测曰大达无畛不可偏从也
　　次七达于砭割前亡后赖【砭割除其宿疾也七为衰始知其将然遂能除其旧以布新变而通之则终以不废也然除旧故前亡布新故后赖也】测曰达于砭割终以不废也
　　次八迷目达腹【七逢阳暗是迷其外乃遂及其内也二之迷腹达目由中以及外八之迷目达腹由外以及中是内外一致表里相须未有内塞而外则通外昏而中独皦也】测曰迷目达腹外惑其内也
　　上九达于咎贞终誉【居通之极能知自作之咎是过而能自讼者也则其能改也必矣宜其终以誉焉】测曰达咎终誉善以道退也【退损也以道自损其过也】
　　□【一方二州三部一家】交【天隂家七火上下亦象泰卦】阳交于隂隂交于阳物登明堂矞矞皇皇【明堂王者布政之宫也矞矞和也皇皇大也物至是既和且大也交之初一日入壁宿六度】
　　初一冥交于神斋不以其贞【斋将祭而致其精诚也今将冥漠以交于神明之初而致其精诚乃不以其正则无以为交神之本矣虽祭复何益哉】测曰冥交不以懐非含惭也【包羞也】
　　次二冥交有孚明如【孚精诚感通也二中而刚明宜其有精诚以接于神神其有不享乎】测曰冥交之孚信接神明也
　　次三交于木石【木石无知之物三居夜隂所交乃无知之物果何益哉】测曰交于木石不能向人也
　　次四徃来熏熏得亡之门【熏熏和也谓得福而亡祸也说见莹四在福初能交于神与神酬酢徃来熏熏然其和宜其得福而亡祸之为道也】测曰徃来熏熏与神交行也
　　次五交于鸎猩不获其荣【鸎猩虽有知而顽冥不灵五居交之中而逢夜隂是不明于交之道而交于顽冥之鸎猩果何以望其有益而获其荣哉戒交非其类也】测曰交于鸎猩鸟兽同方也
　　次六大圈闳闳小圏交之我有灵殽与尔殽之【大圏大国也闳闳髙大貌六当福盛之地如小国尽事大之礼而获其福胙之报如有灵美之殽其与尔共享之】测曰大小之交待贤焕光也
　　次七交于鸟鼠费其资黍【七居夜幽所交亦非其类如交于鸟鼠徒费其资黍而已有损而无益也】测曰交于鸟鼠徒费也
　　次八戈矛徃来以其贞不悔【八居祸中不可不戒宜储戎器以备不虞盖征伐不可弛于天下也但得其正则不至于悔矣】测曰戈矛徃来征不可废也
　　上九交于战伐不贞覆于城猛则噉【噉吞灭也九居交之极祸之中故祸莫惨于以兵而毒天下也况交于战伐不得其正者哉祸小则有覆城之忧祸烈则有吞灭之惨自古及今未有黩武而不亡者也可不监哉古云国虽大好战必亡天下虽安忘战必危此说正与此二賛之意同】测曰交于战伐奚可遂也
　　□【一方二州三部二家】耎【天隂家八木上中象需卦】阳气能刚能柔能作能休见难而缩【防音软　以其能刚柔作休故能见难而缩防之初一日入奎宿一度雨水气终此首之次七惊蛰节起此首之次八】
　　初一赤卉方锐利进以退【初在下如赤卉之生方当长锐犹为隂气所防未得直遂故虽利于进而以退也】测曰赤卉方锐退以动也
　　次二防其心作疾【防非不能进俟难而未进也二在防当隂是防缩其中心巽懦逡巡不能有为初非有待而能进者也则终于防缩而已岂不为病乎】测曰防其心中无勇也
　　次三防其□守其节虽勿肆终无拂【三居思之终是能慎其思而防缩以避于世难也防其言屈其身也守其节言不失其道也虽其身之不得大见肆用于时亦不汲汲于拂去也愚按身外无道道外无身身出则道在必行道屈则身在必退未有屈身而能伸道之理此君子所以病扬子而不已其莽大夫之书者乎】测曰防其□体不可肆也
　　次四防其哇三岁不噣【噣音昼　防其哇逊其言也不噣不鸣也四逢防缩之时不可以有为惟口结舌逺害全身而已】测曰防哇不噣时数失也
　　次五黄菌不诞俟于庆云【黄中色菌瑞芝也诞产也庆云瑞云也五居防缩之时得中逢阳如黄菌之不遽产所以待其类之庆云也盖黄菌必待庆云而后出贤臣必俟圣君而后兴是以上下交而徳业成也】测曰黄菌不诞俟逑耦也
　　次六缩失时或承之菑【菑灾同　六居中上宜可进矣以其隂柔当进不进是防缩而失其时也及其失时复欲求进则又或进之菑两俱有咎而进退维谷之象】测曰缩失时坐逋后也
　　次七诎其节执其术共所歾【歾音没义同　七居防而逢阳是能屈其节而守其道以身殉道而共所没也义与次三同】测曰屈节共歾内有主也
　　次八窽枯木丁冲振其枝小人有防三郄钩罗【窽止也丁当也冲冲风也钩罗钩致也八居剥落之中祸难之地如窽止于枯木其所芘既不得其所复当冲风之振其枝其所遇又不获其安是小人见君子在难而加侮如此凡三次退郄而欲行乃复钩致不听其行此君子委身失所而不能脱之象也】测曰窽木之振小人见侮也
　　上九悔缩徃去来复【缩极将伸故悔其缩而徃来自得也欲徃则去欲来则复岂不自得乎】测曰悔缩之复得在后也
　　□【一方二州三部三家】傒【天隂家九金上上亦象需卦】阳气有傒可以进而进物咸得其愿【傒待也言阳气待时而进也傒之初一日入奎宿六度】
　　初一冥贼傒天防【冥隂也一在隂家隂位是人有隂贼之行岂不待天之防乎盖天道祸淫作不善则降之百殃也】测曰冥贼之傒时无吉也
　　次二冥德傒天昌【二当昼中而在傒时是人有隂德之功岂不待天之昌乎盖天道福善作善则降之百祥也】测曰冥德之傒昌将日也
　　次三傒后时【三虽为进人然逢隂暗不能前进是傒而后其时者也果何及哉】测曰傒而后之解也【解怠也后时由其怠也此又言其故】
　　次四诎其角直其足维以傒谷【谷禄也四当傒时未遽得达故虽屈其用而未能伸但知直其足以行其道谓夷明养晦守道俟时初无求进之心惟务脩其在己以俟夫天禄之自至耳】测曰屈角直足不伎刺也【不以伎术而求刺入】
　　次五大爵集于宫庸小人庳傒空【庸墉通墙也五当君位在禄之中宜其爵禄之集于尊位犹大爵之集于髙庸也然其在隂家之隂质性卑下是小人以庳下而欲傒夫髙爵既无其德宜其空无值也盖大爵必待髙庸而后集厚禄必待大人而后崇又岂庳污在下者所能冀望哉】测曰宫庸之爵不可空得也
　　次六傒福贞贞食于金【食金言玉食也六居福隆之地又且当阳是傒福能以正正之道则其所食宁无珍贵乎】测曰傒福贞贞正可服也
　　次七傒祸介介防人之邮【介介狷洁刻覈之至也七居祸初在隂当乱世而不能包□沈晦顾乃狷洁刻覈分别善恶独为太至无乃为防人驾祸之传道哉】测曰傒祸介介与祸期也
　　次八不祸祸傒天活我【八以刚阳初无致祸之道而得祸是陷于非辜也然罪非己致寃久必明惟待夫天之生我而已盖脩身俟死无求茍免之心也】测曰不祸祸非厥也【罪也】
　　上九傒尫尫天扑之颡【尫尫言尫嬴之极尫而又尫行惫不正貌九居祸极傒行病惫将何堪哉其防有灭颡而已果何望哉扑颡即易之灭顶】测曰傒尫之扑终不可治也
　　□【一方三州一部一家】从【天阳家一水下下象随卦】阳跃于渊于泽于田于岳物企其足【企足言从之也渊泽田岳言在下而渐进于髙也从之初一日入奎宿十度】
　　初一日幽嫔之月冥随之基【一为从初故言从道之本从随之道莫大乎月之随日也盖月之幽则配乎月月之冥则随乎日日月之随亘万古而不变岂非随之本乎】测曰日嫔月随臣应基也【以人道言臣之随君亦犹是也】
　　次二方出旭旭朋从尔丑【旭旭始旦也二在阳家之隂如日方旦而出事为也兴则人莫不求其类而亲之盖方以类聚物以羣分也】测曰方出朋从不知所之也
　　次三人不攻之自牵从之【攻击也三以阳明之资宜为众所归从则人孰肯而攻之哉心悦诚服莫不皆出牵逋而从之也】测曰人不攻之自然证也
　　次四鸣从不臧有女承其血亡【筐同　四为夜隂其质弱矣是无德而求从于人人莫之亲不胜其欲乃鸣呼而冀人之与已其不善可知矣筐所以乗血今女欲承其血而亡其筐是失其所以承之之道也既失其所以承之道其呼鸣以求从岂复有善乎】测曰鸣从之亡奚足朋也
　　次五从水之科满【科坎也居中当阳得从之善者也然水必盈科而后进君子必择德而后从也】测曰从水满科不自越也【越过也】
　　次六从其目失其腹【六已过中是人之过于从人者也目以喻外腹以喻内大扺小人重外轻内忘已徇人是以急于外之从而不悟其己之失也可不戒哉】测曰从目失腹欲丕从也【丕大也】
　　次七拂其恶从其淑雄黄食肉【拂去也淑善也七以刚阳明于所从是能去其恶而从于善犹药用雄黄而消食其痈疽之恶肉言除旧以生新喻去恶而从善也】测曰拂恶从淑救防也
　　次八从不淑祸飞不逐【八昏暗失于所从乃从于不善其祸来之速如鸟之飞不可驱逐也】测曰从不淑祸不可讼也
　　上九从徽徽后乃登于阶终【徽徽美貌九居从之极复值阳明是明从于至美者也能不造于髙明之地以止之乎】测曰从徽徽后得终也
　　□【一方三州一部二家】进【天隂家二火下中象晋卦】阳引而进物出溱溱开明而前【溱溱流出盛多貌进之初一日入奎宿十五度】
　　初一冥进否作退母【冥进冥行也一在进初隂夜无所见如冥行而进岂复能通乎吾恐其欲进而愈为退之母也是进不以道而益以退矣】测曰冥进否邪作退也
　　次二进以中刑大人独见【刑法也二在思中故能进以公中之法岂非有德之大人所独见乎言非众人之所及也】测曰进以中刑刑不可外也
　　次三狂章章不得中行【三已过中逢夜之隂是不正之人狂妄章章然不得其中行之道也】测曰狂章章进不中也
　　次四日飞悬隂万物融融【隂光隂也传曰禹惜寸隂是也四在晋世而逢阳犹日悬其光隂万物咸被照烛莫不融融然而生长也】测曰飞悬隂君道隆也【万物赖日而生万民赖君以治】
　　次五进以欋疏或杖之扶【欋音劬　欋疏四齿竹爬也五为君而好尚不同或进以四齿之欋疏君乃不用而或惟杖是扶也此与齐王好竽而不好瑟意同】测曰进以欋疏制于尊也【惟君所好】
　　次六进以髙明受祉无疆【六为福隆故能进以髙明之道宜其受福无疆也】测曰进以髙明其道迂也【迂逺也】
　　次七进非其以听咎窒耳【以用也七为失志所行多谬人或进其谏说乃非其所用也既闻其过反塞其耳而不听之拒谏忌医无足为矣】测曰进其非以毁滋章也【其失愈甚】
　　次八进于渊君子用船【得中逢阳进得其道进渊用船言得道也】测曰进渊且船以道行也
　　上九逆慿山川三岁不还【九居进极不能顺由其道乃逆慿山川以进其为险难可知矣力多功小是以至于三岁之久犹不得归复也】测曰逆慿山川终不可长也
　　□【一方三州一部三家】释【天阳家三木下上象解卦】阳气和震圜煦释物咸税其枯而解其甲【和温震动也圜转煦暖也阳气已盛物之郁结而未伸者至是咸解释舒畅故税其枯而解其甲也释之初一日入娄宿三度惊蛰节终此首之次二春分气起此首之次三】
　　初一动而无名酋【一当阳气和震之初其用无所不周故其动用不可以一善名之也故酋利】测曰动而无名不可得名也
　　次二动于响景【响出乎声景出乎形二者皆非物之质而物之遗也皆非物之实而物之虚也二居夜隂是不务质实而动于虚浮则亦何足以为观听哉此言人之舎本趋末弃德务名之为害也】测曰动于响景不足观听也
　　次三风动雷兴从其髙崇【以阳逢阳鼔舞震动其势髙大如风动雷兴又岂小哉其为进也勃矣】测曰风动雷兴动有为也
　　次四动之丘陵失泽朋【丘陵上也泽下也四以隂柔动而从上而失在下之朋类是奸臣奉上淩下謟君虐民者之所为能不致人国家之危乎】测曰动之丘陵失下危也
　　次五和释之脂四国之夷【夷平也五阳明之君是能和膏泽以润天下天下其有不平者乎】测曰和释之脂民说无疆也
　　次六震于廷丧其和贞【六逢隂幽是隂幽小人而居福隆之地慿其隆盛以贵骄人乃震耀于廷不胜其侈然其所为如此能不失其中和之正道哉齐桓公葵丘之盟震而矜之诸侯叛者九国此其騐也】测曰震于廷和正俱亡也
　　次七震震不侮濯漱其訽【訽浊也七逢阳虽震而又震固非其道然而不至于淩侮者由能改过自新洗濯其旧染之汚也】测曰震震不侮解耻无方也【无方无定也言昔非今是】
　　次八震于利巅仆死【八居夜隂剥落之际宜当致戒然小人暗于卑近不胜其富震动而矜其财利不知衰败已萌岂能保其不巅仆而死乎古者石崇之徒是也】测曰震于利与死偕行也
　　上九今狱后谷终说桎梏【说音脱义同　九为祸极故今狱极而必通故后谷盖始咎终休终说桎梏也】测曰今狱后谷于彼释殃也【彼指初】
　　□【一方三州二部一家】格【天隂家四金中下象大壮卦】阳气内壮能格乎群隂攘而郄之【格拒也格之初一日入娄宿八度】
　　初一格内善失贞类【初以隂柔不明于德反拒郄其在内之善人一善人去众善人惧宜其失贞正之俦类也盖君子去则小人进矣】测曰格内善不省也【省察也】
　　次二格内恶幽贞类【二在思之中昼之阳是能拒郄其在内之恶人一恶人去众恶失据宜其得幽贞之俦类也小人去则君子进矣】测曰格内恶幽贞妙也
　　次三裳格鞶钩渝【鞶钩带钩也渝变也凡衣裳必束之以带今拒鞶钩而不束岂非变其常体乎三过中在隂故变也】测曰裳格鞶钩无以制也【制束也检身不以礼则失身治国不以道则失国矣】
　　次四毕格禽鸟之贞【毕网也人之设网在于张捕禽鸟君之设刑在于禁制万民今网拒而不张犹刑设而不用刑而至于无刑刑措极矣可不谓贞乎】测曰毕格禽正法位也【正法位言以道化天下不用刑也】
　　次五胶漆释弓不射角木离【弓器也所以为用五君位在隂而失其所用如弓之不射胶漆既解释而角木亦分离虽欲用之其将能乎】测曰胶漆释信不结也【君不信则民心离也】
　　次六息金消石徃小来弈【息生也弈大也金美石恶六以刚阳乃能生其美而消其恶岂非所徃者小而所来者大乎】测曰息金消石美日大也
　　次七格其珍类緺厉【緺音　印也緺绶也七居祸在隂是其上之人不能任贤反格其珍善之类能不为爵禄之危乎】测曰格其珍类无以自匡也
　　次八格彼鞶坚君子得时小人幽否【他歴切　鞶坚言其为鞶之革坚也格其鞶坚言拒其爵命而不为也八以刚阳逄时之祸见几而作浩然有投簮挂冠之志是格鞶坚也盖君子失位则良故得时小人失位则丧故忧是以君子处困而亨小人处困则否也】测曰格彼鞶坚谊不得行也
　　上九郭其目防其角不庳其体【郭音廓义同防居少切音雹　廓大也防刚徤貌击也九居髙极而当格之终迩郭大其目谓广其视也防徤其角谓尚其刚也广其视尚其刚曽不自庳其体宁无击之伤乎戒其骄亢也】测曰郭目防角还自伤也
　　□【一方三州二部二家】夷【天阳家五土中中亦象大壮】阳气伤隂无救瘣物则平易【瘣胡罪切　瘣病也言阳气盛甚其剪于隂伤于大甚隂衰无以救其病物则平夷也夷之初一日入娄十二度】
　　初一载幽贰执夷内【夷字兼二义伤也平也盖剪荡以平治之之谓也载承任也幽深也贰疑虑也一在夷初属思之始故能任其深逺之疑虑知先守其治内之道也盖治莫先于治内盖身脩则家齐家齐则国治国治则天下平也】测曰载幽执夷易其内也【易去声治也】
　　次二隂夷冐于天罔【罔网同　二在隂如小人以隂私而中伤于人自谓奸谲诡秘人莫能知可以迯于刑宪然天道感应之理未有微而不着恶而不报者终亦犯于天网而不免也盖恶无幽明之异幽有鬼责明有人非也可不惧哉】测曰隂夷冐罔疏不失也【老子云天网恢恢疏而不漏正用此意】
　　次三柔婴儿于号三日不嗄【嗄失声也三属木春时当阳之盛和之至也如柔弱婴儿之啼至于三日而不失声由其和之至也】测曰婴儿于号中心和也
　　次四夷其牙或饮之徒【夷其牙言伤于口体也四为兑为金然伤于口体之人乃饮食之人也饮食之人则人贱之矣何足美哉】测曰夷其牙食不足嘉也
　　次五中夷无不利【五以阳刚居中故中平无不利】测曰中夷之利其道多也
　　次六夷于庐其宅丘虚【六隂而不中其德亡矣是平荡其所居而成丘虚也此其亡国之占乎夷庐如易剥庐】测曰夷于庐厥德亡也
　　次七榦柔榦弱离木艾金夷【艾音乂　艾斩艾也七居上之下犹柔弱之榦人甚易之适遭木虽斩而刃亦伤是以柔而反刚胜也】测曰榦柔艾金弱胜彊也
　　次八夷其角厉【八居上将极刚于上进是伤其角也其为进也已过甚矣能无危乎】测曰夷其角以威伤也
　　上九夷于耇利敬病年贞【九居尽弊之地是伤于老也伤于老则利致谨于病与年庶得其正也言当致事佚老不可如钟鸣漏尽而夜行不休也】测曰夷耇之贞悬车乡也【悬车谓致仕而悬其君赐之车而不乗也乡时也】
　　□【一方三州二部三家】乐【天隂家六水中上象豫卦】阳始出奥舒叠得以和淖物咸喜乐【阳气出幽奥而伸之展积叠而畅之物皆和淖而喜乐也乐之初一日入胃宿五度春分气终此首之次四清明节起此首之次五】
　　初一独乐欵欵及不逺【欵欵晏安貌一逢夜隂家性为乐是独专一己之乐茍徇目前其所及岂能逺哉】测曰独乐欵欵淫其内也
　　次二乐不知辰于天【乐不知言不知其所以为乐是乐之至也二为夏是时当长养之天盖乐其至乐于可乐之时时然后然也】测曰乐不可知以时岁也
　　次三不宴不雅呱哑咋号咷倚户【音呌　哀号声哑咋悲叹声三隂而失中无以为乐既不宴乐不雅歌则惟哀号悲叹号咷倚戸而已其为忧戚之状可知矣】测曰不宴不雅礼乐废也
　　次四拂其系絶其纗佚厥心【拂去也系纗拘绊也四在福初能乐其乐一切削去其拘绊舒放自适以乐其心也】测曰拂其系絶纗心诚快也
　　次五钟鼓喈喈管弦哜哜或承之衰【哜在细切　喈喈哜哜皆和声五为君而居乐之中是以极其所乐之盛也然乐极悲来能不承之以衰乎】测曰钟鼓喈喈乐后悲也
　　次六大乐无间民神禽鸟之般【般平声　无间无阻隔也六居福之隆乐之盛故能推其乐以与众同之畅于六合之表无有间隔下则及于民上则通于神逺则被于昆虫鸟兽无不有以与其乐也此圣王至治之极功所以跻斯世于泰和仁夀之域也】测曰大乐无间无不懐也
　　次七人嘻鬼嘻天要之期【嘻笑乐声要约也七为失志过中故其为乐不节縦已渎神无所不至其乐岂能久哉然天已要约其期限也】测曰人嘻鬼嘻称乐毕也【称举也】
　　次八嘻嘻自惧亡彼愆虞【八在乐世逢衰而知戒故方嘻嘻而乐复憣然自惧恐其佚乐之过其竞惕戒慎若此宜其亡彼之愆虞也诗曰好乐无荒良士瞿瞿此之谓也】测曰嘻嘻自惧终自保也
　　上九极乐之几不终日而悲则哭泣之资【资嗟咨同叹声也乐为悲之本悲为乐之原反覆相倚其几微间不容髪九居乐极不能自反故不移日而有哭泣嗟咨之悲也】测曰极乐之几信可悔也
　　□【一方三州三部一家】争【天阳家七火上下象讼卦】阳气泛施不偏不颇物与争讼各遵其仪【泛广也仪则也争之初一日入胃宿九度】
　　初一争不争冥【一在讼初阳能自讼可以争而不争是以忍不复见其迹也则无讼矣】测曰争不争道之素也
　　次二赫河臞【赫河水鸟近人则悲鸣不去人谓之防泽故取以为好争之象臞瘦也夫讼中吉终防二之好争如此能无臞乎】测曰赫河之臞何可也【古怙字】
　　次三争射龈龈【龈龈信厚敬让貌礼云鲁道之衰洙泗之间龈龈如也是也三为阳德君子盖君子无所争惟于射而后有争然其争也信厚敬让复龈龈然则其争也君子取意论语】测曰争射訚訚君子让邻也
　　次四争小利不酋贞【四为下禄家性为争是争小利宜其不利贞也】测曰小利不絶正道乃昏也
　　次五争于逵利以无方【逵五达之大道也五以阳德之君独能竞进于大道而其所利岂不广博而无方矣哉】测曰争于逵争处中也
　　次六臂防胫如股脚防如维身之疾【胫足也防腹胀也臂膊之大如足股脚之大如腹此即尾大不掉之喻也六以福禄隆盛之君不能谨其政柄使夫彊榦弱枝以得居重驭轻之势遂致君弱臣强政权倒置人君孤立而无助大奸根据而莫除至是虽欲救之其将能乎】测曰臂胫如股臣大隆也
　　次七争干及矛防用享于王前行【干盾也防胄同争干及矛冑是武臣急于赴敌如郑颖考叔争车取□弧之类是宜用于王之前行也】测曰干矛之争卫君躬也
　　次八狼盈口矢在其后【八以隂祸之资犹狼之贪而食盈其口但务充其眼前之欲曽不悟其身后之灾宜其矢之及也此岂不足为知得而不知防者之戒哉】测曰狼盈口不顾害也
　　上九两虎相牙知掣者全【掣宜从测作制谓知其相牙取胜之法也九居争极是犹两虎之相噬势不俱全能知其所制则全矣】测曰两虎相牙知所制也
　　□【一方三州三部二家】务【天阳家八木上中象蛊卦】阳气勉务物咸若其心而揔其事【务事也若顺也务之初一日入胃十四度】
　　初一始务无方小人亦用罔【居务之始当随事无方而为之而小人乃用罔昧之道而忽之也宁无败事之及乎】测曰始务无方非小人所理也
　　次二新鲜自求珍絜精其芳君子攸行【二居思中知反覆而成乎务者也新鲜则知所以去其旧而自求于珍美絜精则知所以极其新而自致于芬芳二者皆自新之事其能进德如此岂非君子之所行乎】测曰新鲜自求光于己也
　　次三不拘不掣其心腐且败【不拘不掣不自检束也三以险柔自佚既不知检束其外则无以涵养其中宁无腐败之失乎】测曰不拘不掣其体不全也
　　次四见矢自升利羽之朋盖戴车载【四以阳明之资处当近君之位能成其务者也是犹矢升则羽随以盖则戴以车则载言其物各付物随事制宜莫不各适其用也】测曰矢及盖厥道然也
　　次五蜘蛛之务不如蚕之緰【緰七侯切　緰吐丝也五在君位资性隂暗而不知所以为君之道如蜘蛛之为事虽勤无补不如蚕之一緰虽微有益由是观之人君虽勤犹当务得其道茍非其道如秦皇之衡石程书隋文之卫士传飱无补于治终不免于乱亡也可不监哉】测曰蜘蛛之务无益人也
　　次六华实芳若用则臧若【六以阳明居福隆之地才德之兼美者也华实芳喻文质俱备以是而用其有不善者乎】测曰华芳用臧利当年也【利当年言其泽被当世也】
　　次七丧其芳无攸【疑缺一利字　和顺积中然后英华发外今外丧其芳则可以知其中之失矣故无所利】测曰丧其芳德以衰也
　　次八黄中免于祸贞【八居上中故能得中道而无过不及之偏所以免于祸而不失于正也】测曰黄中免祸和以正也
　　上九务成自败成自队【坠音坠　九居事之极是事既成而复自败犹既成而复自坠之象】测曰务成自败非厥命也【孽由自作非莫之致而至者也】
　　□【一方三州三部三家】事【天阳家九金上上亦象蛊卦】阳气大冐昭职物则信信各致其力【冐覆帱也信信谨貌事之初一日入昴宿四度】
　　初一事无事至无不事【一当事之初能以无事为事则至于无所不事矣言其因事之自然而理之则事无不可为矣此用老子为无为无所不为之语】测曰事无事以道行也
　　次二事在枢不咨不丧其哲符【音诹义同　枢户枢事之机要也哲符至明之契验也然事在机要二以隂暗恃其一已而自用曽不广问兼听咨诹于人使夫理之至明验者则亦失之岂非失其至明之契验乎书曰好问则裕自用则小此之谓也】测曰不咨不其知亡也
　　次三时徃时来间不容牦【言事机之时徃时来间不容于牦发惟知者不先时以强为不后时以失机随时应变故动必有成也】测曰时徃时来不失趣也
　　次四　　　　　　【男】女事不代之字【字生育也四在隂位无复刚明故男而为女之事不几乎代之为生育之为乎言君行臣职也】测曰男女事非厥务也
　　次五事其事王假之食【假音格　假如王假有庙之假至也五君位而当阳是能自事其事王宜格至于福禄之报也言君而尽其君之道受禄于天不亦宜乎】测曰事其事职所任也
　　次六任大自事方来不救【自由也六居髙位而处福隆之极是当任之大者顾乃听其自由于事曽不可否之盖人臣尸位素餐懐邪迷国者之所为也则其贻祸于将来可胜言哉至于衅积祸成虽有善者亦无如之何矣】测曰任大自事奚可堪也【言不胜任】
　　次七丈人扶孤竖子提壶【丈人长者竖子防子也七以阳而知职故能大小各任其事也在长者则扶孤儿在防子则提壶也犹君则尽君之道臣则尽臣之职也】测曰丈人扶孤小子知方也
　　次八男女事十年不诲【八位将极在衰耄之期且不知事之宜则终于此而已矣故曰十年不教言终于不闻道也曽子曰年五十而不以善闻则不闻矣意与此同】测曰男女事终家不亨也【通也】
　　上九到耳顺止事贞【到逆也九居事之至极然事之至极莫大于纳谏故逆耳之言而能顺听之则事冇不得其正者乎盖忠言逆耳利于行也】测曰到耳顺止逆闻顺行也

　　太本防巻二
　　钦定四库全书
　　太本防卷三　　　　　明　叶子竒　撰
　　□【二方一州一部一家】更【地隂家一水下下象革卦】阳气既飞变势易形物改其灵【飞状阳气上腾也至是形势变易皆得其美也更之初一日入昻宿九度清明节终此首之次八谷雨气起此首之次九】
　　初一冥化否贞若性【若顺也冥无所见欲更其化于人初不能得其正顺之性何能有成乎言拂人之性不能为化也】测曰冥化否贞少更方也
　　次二时七时九轸转其道【时七时九言其应用无定数时当七则七当九则九也二在思中家性为更能随时应变初不执一而圆转其道以取中也】测曰时七时九不失当也【言得中也】
　　次三化白于泥淄【淄黑也三在更世逢隂故其变之不善犹化白以为黒是化君子而为小人之归也】测曰化白于泥变不明也
　　次四更之小得用无不利【四当变更易代之世居大臣之位五既不君四则阳明宜为天下之所归徃论其势可以得天下而不取是小得也存此道以徃何所不利哉此賛之义文王以之】测曰更之小得民所望也
　　次五童牛角马不今不古【童头童之童言无角也牛本有角而今忽童是犹有位者而今忽丧马本无角而今忽有是犹无位者而今忽得之此事皆反常盖天子失国匹夫为王之象也然此等事乃一时之行权非古今之经见故曰不今不古五居君位当更革之世逢隂而不君故发此义在古则桀纣之事当之】测曰童牛角马变天常也
　　次六入水载车出水载杌宜于王之更【杭船也六居福隆而在尊位当更革之时是古之圣贤能行权以济天下入水载车出水载杭反其所用喻行权也盖其时之使然不得不然宜其利王者之更革也此賛之义汤武以之】测曰车杭出入其道更也
　　次七更不更以作病【七居隂而不能以有为是以当更而不更反以为时之病也此賛之义季札当之拘让国之常致争国之乱是当更不更以作病也】测曰更不更能自臧也【能独善其身而已】
　　次八驷马跙跙而更其御【跙跙不调貌马不调而更其御是犹职不治而更其人也得更之善者也八得中而当阳故能之】测曰驷马跙跙更御乃贞也
　　上九不终其德三岁见代【九居变极之地是不终其德宁保其久而不黜代乎按卲子云天道之变王道之权也故扬子于此首之賛多言用权之事】测曰不终之代不可长也
　　□【二方一州一部二家】断【地阳家二火下中象决卦】阳气彊内而刚外动而能有断决【彊内弱外为内外俱彊为断断之初一日入毕宿三度】
　　初一断心灭斧冥其绳矩【一当断之初而遇刚阳能断者也断而至于灭没其斧断之甚者也断而冥合于法度断之善者也能断而善美孰大焉】测曰断心灭斧内自治也
　　次二断否在塞耳【无所知而妄断则事之失也多矣能无否乎然其所以然者在乎自掩其聪而不加察也茍能达聪又岂至于失哉】测曰冥断否中心疑也【明不至则疑生】
　　次三决其聋利以治秽【都计切　鼻病不闻香也聋喻人之有蔽塞不通茍能决而治之则利于治其秽恶矣盖非聪无以察理非正无以督奸然必自治而后可以治人也】测曰决其聋利有谋也
　　次四断我否食非其有耻【四近君居大臣之位然资牲隂暗其断治之道既非矣曾不知瘝官旷职惟知食禄而已岂非其耻乎此无德而当大任无功而享万钟惟知患失之忧不顾素餐之耻有臣如此国其殆哉】测曰断我否食可耻也
　　次五大腹决其股脱君子有断小人以活【腹居中喻君股居下喻臣君子小人以位言大腹决是君能断也其股脱是臣亦承君而能断也君臣上下既各能断则在下之人乌有不保其生息者乎五居中当阳所以善也】测曰大腹决脱断得理也
　　次六决不决尔仇不阔乃后有钺【六以隂柔迟疑犹豫当断而不断则将反受其乱故曰汝之仇讐日思报复当不阔逺后必为其所诛戮也如唐五王张柬之等置武三思而不诛卒贻后日之祸是也】测曰决不决辜及身也
　　次七庚断甲我心孔硕乃后有铄【铄光也庚属金为义甲属木为仁今言庚断甲是以义断仁谓割恩正法也当世之君类多以恩掩义今能如此则其心之甚大可知也非独正法于当日抑亦贻谋于将来其后岂不有光哉】测曰庚断甲义断仁也
　　次八勇侏之傠盗蒙决夬【傠音代与憝同　侏短小之人也蒙昧也八以隂柔昧于断刑之道今乃勇于侏之是憝而真盗乃反昧于决断是其淩弱避强舎贵施贱失政刑之中也】测曰盗蒙之决妄断也
　　上九斧刃蛾蛾利匠人之贞【蛾蛾刃白貌匠人用斧刃者也九居断之极是用刑之至者用刑之至莫大于征伐故于此賛发之然斧刃之蛾蛾惟匠人之利用是犹人之当诛惟士师乃可以杀之国之当伐惟天吏乃可以伐之也如此始得为贞】测曰蛾蛾之斧利征乱也
　　□【二方一州一部三家】毅【地隂家三木下上亦象夬卦】阳气方良毅然敢行物信其志【毅然阳气盛而果于进之貌信伸同毅之初一日入毕宿七度】
　　初一懐威满虚【威威刑也满虚充塞宇宙也盖德阳而刑隂初在隂家之隂其治不任德惟一任威刑充塞宇宙之间无所不至如古之秦始皇是也】测曰懐威满虚道德亡也
　　次二毅于心腹贞【刚德最人所难以二阳明居中故能毅于心腹言其刚毅之德由中而出初非色厉而内荏者也其德实矣能无正乎】测曰毅于心腹内坚刚也
　　次三戴威满头君子不足小人有余【戴威满头言以任刑为首也导民当以德而辅之以刑则不失先后本末之序今惟以刑为首则其为治也末矣非不暂齐于一时终将致败于后日由无化民之实也盖君子尚德为此而不足小人尚刑为此而有余此古之刑名刻薄之学果于诛断而无恩如申啇之徒则优为也】测曰戴威满头小人所长也
　　次四君子说器其人柔且毅【器物之有成法者君子之言必举成法观其言足以知其人有中和之防德柔而且毅也四以阳明故备其德】测曰君子说器言有方也
　　次五不田而谷毅于拣禄【不田而谷谓不勤其事而食其食者也五以隂而居尊犹人不德而处髙位无功而食厚禄犹且腼然无耻不知其己之不称但果于择美禄而享之】测曰不田而谷食不当也
　　次六毅于栋柱利安大主【六以刚阳之才能胜其任是毅于栋柱也然既胜其任则足以尊主芘民岂不为大君之利哉】测曰毅于栋柱国任彊也
　　次七觥羊之毅鸣不类【范望曰觥羊大羊也类法也羊性狠躁七在上而隂狠如大羊之果躁其所为岂复有善哉徒鸣其不法耳】测曰觥羊之毅言不法也
　　次八毅于祸贞君子攸名【八在祸而得中祸虽不免乃果于趋祸而不避之此君子见危授命杀身成仁之事所以成其名也】测曰毅于祸贞不可幽蔀也【言其潜德幽光不可蔽障终将显扬于万世其龙逢比干之徒与】
　　上九豨毅于牙发以张孤【豨豕也上居毅之极刚之过者也如豕之刚于其牙以害人终将致其丧身之祸是发以张弧也此言小人肆恶以害人终将为人所害也】测曰豨毅于牙吏所猎也
　　□【二方一州二部一家】装【地阳家四金中下象旅卦】阳气虽大用事微隂据下装而欲去【装言隂生而阳欲去也装之初一日入毕宿十一度谷雨气终此首之次一立夏节起此首之次二】
　　初一幽装莫见之行【一在装初言幽装束人所不知曽莫见其有行之迹然其去意已次矣】测曰幽装莫见心已外也【身虽留而心已外矣】
　　次二鹅惨于氷翼彼南风内懐其乗【鹅水鸟隂类取以喻隂气也惨于氷极寒也翼彼南风起自南方也隂气始于午中极于子中故隂虽盛于北而生之始则自南也内懐其乗志在乗阳也然其尚微已有乘阳之志矣此与姤卦羸豕孚踯躅义同】测曰鹅之惨懐忧无快也
　　次三徃其志或承之喜【三为进人家牲为装宜其徃也徃得其时宁不有进之之喜乎】测曰徃其志遇所快也
　　次四鶤鸡朝飞踤于北嘤嘤相和不辍食【踤秦醉切鶤鸡三足鸡阳鸟取以喻阳气也踤集也四已在隂如鶤鸡方当朝向阳而飞不久而复集于北此喻隂生而阳消不久将再至于北而复生故嘤然相和自求其类初不辍食所以期于生息而复进也】测曰鶤鸡朝飞何足赖也
　　次五鸿装于淄饮食頥頥【鸿雁之大者向阳之鸟也秋南春北今当阳极隂生之时装于淄水之旁饮食頥顺然俟时而去也五以阳明故能以时进退】测曰鸿装于淄大将得志也
　　次六经六衢周九路不限其行贾【言四通八达无不可徃也曽何限哉】测曰经六衢商旅事也
　　次七装无防利征咎【防俪同偶伴也行虽利征无偶则咎也此賛逢昼当吉措辞却防与前后凡例不同疑与次六互差此一賛】测曰装无防祸且至也
　　次八季仲播轨泣于之道用送厥徃【季仲防少以次之人也播轨奔播车辙之迹而行以防少而播奔车后泣于道而送徃送丧象也八在祸中隂极之地去而莫返故发此卦】测曰季仲播轨送其死也
　　上九装于昏【九居装极是时已晚矣故曰装于昏虽其欲去之迟不如三之见几而作犹愈于终不去者乎虽后时尚可及也】测曰装于昏尚可避也
　　□【二方一州二部二家】众【地隂家五土中中象师卦】阳气信髙懐齐万物宣明嫭大众多【以此首配四月气属乾卦方属巽方信髙髙于干也懐齐齐于巽也嫭大也众之初一日入毕十二度】
　　初一冥兵始火入耳农辍马谷尸将班于田【冥兵谓无名之兵也火入耳谓急于所闻也一以隂躁而居师始故兴无名之师急于所闻易于发动是以有妨于农故农功辍夺民之食故马食谷其玩兵妨民也如是则必致败尸骸将见其班布于田野之间也】测曰冥兵之始始则不臧也
　　次二兵无刃师无陈麟或宾之温【麟仁兽宾服也兵无刃师无陈言其不尚武也惟以仁德化民而或宾服之和无暴厉之意也】测曰兵无刃德服无方也
　　次三军或累车丈人摧孥内蹈之瑕【累俘累也丈人喻主将孥喻士卒三以暗弱而为师是以致其俘累之败由于主将内行之缺也内行之缺谓不善谋也善谋宁有败乎】测曰军或累车庙战内伤也【谓庙算不胜也】
　　次四虎虓振廞豹胜其秘否【虓呼交切秘兵媚切　振廞怒貌秘劳也四当盛大之时如虎之振怒豹为之敌又孰胜其劳哉言必非所当也故否】测曰虎虓振廞如鹰之扬也
　　次五躆战喈喈若熊若螭【躆居预切　躆急猝也五隂险不君专尚威武急于战鬬若熊螭之猛也古如顶羽之徒是也】测曰躆战喈喈恃力作王也
　　次六大兵雷霆震其耳维用诎腹【屈腹即子言汉屈羣防之意也盖羣防所以屈羣力也六以刚阳之才故其用兵神速人不及备犹迅雷之不及掩耳也其师之善如此者由其屈于谋防故也】测曰大兵雷霆威震无疆也
　　次七旌旗絓罗干戈蛾蛾师孕言之哭且防【言音唁义同防莫佳切　絓罗言其如织也孕出也唁吊亡国也防哭而目肓也七在隂祸在师之世言其黩武穷征旌旗如织干戈如雪之多也夫兵防器战危事好用防器乐危事能无不戢自焚之灾乎故见其师之出而唁之哭而至于失明也此如秦蹇叔送师而哭期其必败之类是也】测曰旌旗絓罗大恨民也
　　次八兵衰衰见其病不见舆尸【衰衰病痩貌八以阳明故能知其师之劳悴必能改过自悔所以不见其至于舆尸之败也】测曰兵衰衰不血刃也【悔而自止故不至血刃】
　　上九斧刃缺其柯折可以止不可以伐徃血【九居师之极是极于兵者也至于刃缺柯折兵之弊也可知矣可以止而不止吾知其有败亡而已徃血谓败】测曰刃缺柯折将不足徃也
　　□【二方一州二部三家】宻【地阳家六水中上象比卦】阳气亲天万物丸兰咸宻无间【丸兰茂宻貌宻之初一日入参宿三度】
　　初一窥之无间大幽之门【间去声　一当宻之初是宻之至泯然而无迹也故窥之曽无间隙之可言周宻浑全岂不为大妙之门乎】测曰窥之无间宻无方也【宻无方言不可测】
　　次二不宻不比我心即次【比亲也次次舎露居也二逢隂在宻而不能宻其心岂能保其不露哉】测曰不宻不比违厥乡也【违厥乡去其常所也】
　　次三宻于亲利以作人【三逢阳而成思故能亲宻于其所当亲夫人各亲其亲然后不独亲其亲故利以作兴于人也夫子曰举尔所知知尔所不知人其舎诸作人之谓也】测曰宻于亲为利臧也
　　次四宻于腥臊三日不觉殽【腥臊殽肉之臭腐气也言人宻近于腥臊之臭气至于三日之久而不觉其为殽也是久而不闻其臭亦与之化矣此言人之近小人久而心与之化殊不觉其非如唐德宗之信卢杞终身不悟是也四以隂邪亲非其类迷而不觉如此哉】测曰宻于腥臊小恶通也【通心与之一也】
　　次五宻宻不罅嫔于天【罅呼嫁切　罅隙也嫔配也五君位当阳故其道浑浑然纯一不杂曽无罅隙之可议则其德可以配天矣】测曰宻宻不罅嫔天功也
　　次六大恶之比或益之恤【恤忧也六已过中是以不能得比之正而反大恶是亲岂能望其有济于时哉徒足増其忧耳】测曰大恶之比匹异同也【异其所同之人是行伪而坚反是独立之人也】
　　次七宻有口小鳃大君在无后【鳃想里切　有口能谏说者也鳃有难不安也无毋通禁止辞也七以阳明之臣亲必得其君得君而致其谏说虽不免小有谴责之难终不可以小有谴责而遂已其责难陈善之情宜尽蹇蹇之忠不可面从而退有后言也此盖以直谏为亲君之道也】测曰宻口小鳃赖君逢也
　　次八琢齿依龈三岁无君【齿已长之齿也喻大人龈初出之齿也喻童防八在祸中而遇隂是以亲非其道犹琢丧其已长之齿而依其初出之龈谓其耆德之逺而顽童之比乎岂不驯致乱阶终至于无君也自古近小人之君未有不反为小人所图者】测曰琢齿依龈君自拔也
　　上九宻祸之比先下后得其死【上居宻之极祸之终是祸之比也始则下情以谏君终则因谏而获死然忠臣所以谏止其君果何罪哉是亦亲爱其君而已矣君而杀之果何道哉】测曰宻祸之比终不可夺也
　　□【二方一州三部二家】亲【地隂家七火上下亦象比卦】阳方仁爱全真敦笃物咸亲睦【隂尽消故全真阳正盛故敦笃亲之初一日入参宿七度立夏节终此首之次六小满气起此首次七斗指已中吕用事】
　　初一亲非其肤其志龃龉【龃龉齿不相入貌肤喻切近一在亲初逢隂是亲非其所当亲其心岂复有相入之道哉】测曰亲非其肤中心闲也【闲限隔也】
　　次二孚其肉其志资戚【戚亲也肉尢切外二在思中是能信其至亲其心岂不愈相资以亲比乎】测曰孚其肉人莫闻也【宻之至也】
　　次三螟蛉不属蜾臝取之不迓侮【迓迎而取之也三隂而失中是亲非其同类如螟蛉之与本体气脉不属蜾臝乃取之以为子及其既化庶或不至于取侮也】测曰螟蛉不属失其体也
　　次四宾亲于礼饮食几几【几几庄敬貌四以阳明能宾敬其亲以礼故其饮食几几然其庄敬也亲亲之道此为至善】测曰宾亲于礼宾主偕也
　　次五厚不厚比人将走【厚不厚当厚而薄也五以隂暗不明于亲亲之道当厚而反薄则无所不薄矣以此而比人人孰比之莫不趋而避之矣】测曰厚不厚失类无方也
　　次六厚厚君子秉斗【厚厚当厚而厚也斗七星斟酌元气运平四时之星也六福盛而逢阳故得亲亲之道于所当厚者则厚之深得其斟酌隆杀之宜其所秉执犹斗之平也】测曰厚厚君子得人无疆也
　　次七髙亢其位庳于同事【七已在上其位已亢隂幽不明同事则庳盖德薄而位尊智小而谋大不能称也】测曰位髙事庳德不能也
　　次八肺附干糇其榦已良君子攸行【肺主气干糇熟食所以充是气以肺而附干糇得其所养已得其所养则质榦已良所谓其根茂者其实良其膏润者其光煜岂非君子之所行乎】测曰肺附之行不我材也【不我材言彼不知我不以我为材不见亲也此盖有才德不用之占】
　　上九童亲不贞【九居祸终昧于从耆德而反童稚是亲则可以知其不得其正矣】测曰童亲不贞还自荄也【荄根也絶于上而复生于下也】
　　□【二方一州三部二家】敛【地阳家八木上中象小畜卦】阳气大满于外微隂小敛于内【敛之初一日入井宿三度】
　　初一小敛不贷利用安人正国【敛首皆取赋敛为义一在初是小敛也所敛既小是不出十一之法宜其不贷也安人正国岂不利用乎盖十一天下之公正古今之通法也】测曰小敛不贷其道当也
　　次二墨敛韯韯我匪贞【墨贪墨也韯韯细悉貌二在隂中贪于聚敛毫末不遗极于纎悉无余利也然利源既开则渐至于不正矣】测曰墨敛韯韯非所以光也
　　次三见小勿用以我扶疎【扶疎盛大貌言凡见物之尚小则养而勿用俟物之既大则用而有余此喻人君足国之道在乎养民民富而后取之则民无刻急之忧国无不足之患也三以阳明故其得聚敛之宜也如此】测曰见小　　俟我大也
　　次四敛利小刑小进大退【敛利小刑是用刑法廹民以赋也盖民者邦之本财者民之心今聚财以失民则其所得者小而所失者大也岂非小进而大退乎刑特言小刑者其失民也小刑且然况大刑乎其为戒也深矣】测曰敛利小刑其正退也
　　次五畜槃而衍茧纯于田【纯白色五以刚阳之君能尽其道以养民畜止其槃乐游衍使毋夺于农桑之时使其茧得以成色民得以于田则将见布帛谷粟有不胜其用矣节已裕民此君国子民之本欤】测曰畜槃茧纯不夺时也
　　次六闵而緜而作大元而小人不戒【闵言民之微而可怜也緜言民之弱而易虐也大元言民为元气之大本也夫民为邦之大本小人不知其戒暴征横敛不复知怜而虐之则民伤而国命倾本拔而枝榦瘁矣为国不以义而以利者可不戒哉六以隂柔故设此戒】测曰闵緜之戒不识微也
　　次七夫牵于车妻为剥荼利于王姑不利公家病【荼苦荼也王姑祖母也此言人之汲汲于经营夫则牵于车妇则剥于荼各勤其任以营于利宜于其私家之王姑而已至于治国则当以义不以利茍亦汲汲比而同之则非公家之所宜而为病矣】测曰牵牛剥荼敛之资也
　　次八大敛大巅【八居祸败不明于徳大肆于聚敛失民甚矣故亦大至于丧亡也盖钜桥鹿台之不积纣不至于自焚琼林大盈之不积德宗岂能以出走自古殖货亡身丰财丧国者亦可以监哉】测曰大敛之巅所敛非也【巅颠同】
　　上九敛于时利圉极菑【九居敛道之极故极言为敛之道时得其时制也古者三年耕余一年之食九年耕余三年之食积三十年之通以制国用虽有水旱民无菜色盖畜积多而备先具所以利圉极菑也】测曰敛于时奚可几也【几及也古道奚可及哉】
　　□【二方一州三部三家】彊【地隂家九金上上象乾卦】阳气统刚干干万物莫不彊梁【物至是而长极故彊梁彊之初一日入井宿七度】
　　初一彊中否贞无攸用【一在彊初是彊于中在隂邪故否贞彊于中而不贞是彊于不义者宜其无所用也】测曰彊中否贞不用与谋也【中心恶故】
　　次二鳯鸟于飞脩其羽君子于辰终莫之圉【以阳明之才当盛彊之世是君子可以有为之时也如鳯鸟于飞则脩饰其羽矣而君子得时则终莫之圉矣盖羽饰则文显时得则业成有其具而逢其时未有不得意也】测曰鳯鸟于飞君子得时也
　　次三柱不中梁不隆大厦微【三以隂柔不胜重任如梁柱所以立大厦既不中不隆能无微乎言不胜其用也】测曰柱不中不能正基也
　　次四爰聪爰明左右橿橿【橿橿盛多貌古者聪明之君由其不恃一己之聪明能广任天下之贤才在左右而橿橿然盛多广视兼听各尽其长是用天下之聪明为聪明也庶事宁有壅蔽之患哉此强明自任者所以失君道也】测曰爰聪爰明庶士方来也
　　次五君子彊梁以德小人彊梁以力【五在君位而逢隂是其无刚阳之德矣故为之戒曰君子彊梁以徳小人彊梁以力欲其以德而不以力也】测曰小人彊梁得位益尤也
　　次六克我彊梁于天无疆【克克己之克胜也六居彊世逢阳故能用其刚明之资以改过脩慝有以胜其彊梁之心造于髙大之域故曰于天无彊也】测曰克我彊梁大美无基也
　　次七金刚肉柔血流于田【金喻刑肉喻人也七过刚而不中是犹刑过民伤其血流于田也如商君临渭论刑渭水尽赤是也】测曰金刚肉柔法太伤也
　　次八彊其衰勉其弱【八居衰落之地是既衰且弱矣以其逢阳乃能力加勉彊脩道以补之在己则有从善补过之功在国庶有兴衰拨乱之効故曽子曰勉彊学问则闻见博而知益明勉彊行道则德日起而大有功此之谓也】测曰彊其衰勉自彊也
　　上九太山拔梁柱折其人颠且蹶【刚极必折天之道也】测曰山拔梁折终以猛也
　　□【二方二州一部一家】睟【地阳家一水下下亦象乾卦】阳气袀睟清明物咸重光保厥昭阳【睟思季切袀音均　袀睟齐美也清明重光昭阳皆是形容其明盛也睟之极也睟之初一日入井宿十一度】
　　初一睟于内清无秽【一在睟初纯而未杂曽无一毫私意自累湛然虚明曽无一毫私欲自蔽譬之赤子之心泉水之源初无不善之杂也】测曰睟于内清无秽也
　　次二冥驳冐睟于中【女六切　慙也二以隂邪而居睟世是小人非不知不善之不当为特不胜其物欲之私幽则驳杂其德显作冐美之名是隂为不善而阳欲掩之外欲欺人而不知其内实有愧于心也此正扬子所谓羊质虎皮鳯鸣鸷翰者也】测曰冥驳冐睟中自防也【防一计切隐也慝也盖恶之匿于心也】
　　次三目上于天耳下于渊恭【目上于天视之髙也耳下于渊听之深也三以阳明故能极其聪明由于笃恭之効也】测曰目上耳下聪察极也
　　次四小人慕睟失禄贞【小人无德之人位非其所宜居茍有尚德之心则宜改操厉行以避其位毋但专禄以周旋庶得其正也】测曰小人慕睟道不得也
　　次五睟于幽黄元贞无方【黄中色五属土而居中茍能美其幽中之德则得君道之正是以元贞无所徃而不在矣】测曰睟于幽黄正地则也
　　次六大睟承愆易【六已过中故不能无愆然在睟世故有大美之德茍或承其过愆则不惮于改焉故易也】测曰大睟承愆小人不克也
　　次七睟辰愆君子补愆【七已进于败损之地虽当睟世则时已有愆矣惟君子善补其愆使不至于有过之地也戒占者宜如是】测曰睟辰愆善补过也
　　次八睟恶无善【八以隂邪居祸之地是纯于恶而无一善之可称其下愚之不移者乎】测曰睟恶无善终不可佐也
　　上九睟终永初贞【九居睟之终终则反始故云睟终宜永于初之贞以保其睟内无秽之德也】测曰睟终之贞诚可嘉也
　　□【二方二州一部二家】盛【地隂家二火下中象大有卦】阳气隆盛充塞物寘然尽满厥意【寘然充满貌盛之初一日入井宿十六度小满气终此首之初一芒种节起此首之次二】
　　初一盛不墨失冥德【墨绳墨法度之器也一以隂邪是当盛世而不以法度自居岂不有以失其冥之德乎】测曰盛不墨中不自克也
　　次二作不恃克大有【作不恃有功而不伐也汝为不矜天下莫与汝争功汝为不伐天下莫与汝争能故克大其所有也】测曰作不恃称德也
　　次三懐利满匈不利于公【三当盛时隂暗不中是小人好利无厌懐满腔之私意也既私于己宁复有利于公乎】测曰懐利满匈营私门也
　　次四小盛臣臣大人之门【四居福禄之地而当盛世可谓盛矣虽盛而不自以为盛乃谦小而自将复且臣臣而顺奉于人泯然无复见其满盈之迹此君子之善处盛者也岂不为大人之道乎】测曰小盛臣臣事仁贤也
　　次五何福满肩提祸掸掸【何上声掸音纒　五以隂邪而居福禄之地是不胜其富贵而负其骄盈之色是何福满肩也然贵骄则亡富满则溢其取祸未有不掸掸然以相随也】测曰何福提祸小人之道也
　　次六天锡之光大开之疆于谦有庆【六以阳而居福隆乃能谦以将之是以天锡之宠光而大开其土宇也岂非由谦以致之乎】测曰天锡之光谦大有也
　　次七乗火寒泉至【七居出福入祸过盛将衰之地是方乘其火之至阳赫赫然而充寘曽不知其寒泉之至隂已肃肃然而至矣盈虚消息与时偕行天道常然之运也】测曰乗火泉至祸不逺也
　　次八挹于满荧几后之倾【荧显赫也几近也八在祸中当盛之将极幸值阳明乃能挹损其盛满显赫之权势是得持满之道也然居衰危之地终不能已其倾但可持久近后而亡耳盖持满者道也终衰者时也时有消长固常然之数当其倾时虽圣贤亦不能已之也】测曰挹于满几危也
　　上九极盛不救祸降自天【九居盛极极必衰天道且然况于人乎宜其不救而祸降自天也】测曰盛极不救天道反也
　　□【二方二州一部三家】居【地阳家三木下上象家人卦】阳气躆肤赫赫为物城郭物咸得度【躆其据切　躆踞也肤皮肤言在外也阳气方充盈于外赫赫然明盛为物卫防而得度也居之初一日入井宿二十一度】
　　初一匪誉匪咎克守厥家【一居居世在初而无为故匪咎匪誉能守其家者也】测曰匪誉匪咎其道常也
　　次二家无壶妇承之姑或洗之涂【壶匏也盖用之以承水为洗器也二遇隂极是家居无器以用故妇或承姑之事乃洗之于涂泥之中也盖承家之器备则为用周贻谋之虑深则为化逺至于无壶而洗涂于以见其传家之道缺也】测曰家无壶无以相承也
　　次三长防序序子克父【三以阳明之才是得治家之道者也长防各得其序子复能父之事可以知其善矣】测曰子克父乃能有兴也
　　次四见豕在堂狗系之迒【迒户郎切　迒迹也四隂而不正是不能正家之人也非其人而主家犹豕畜在堂也然豕在堂则狗继其迹邪当国则下附其奸方以类聚物以羣分自然之应也】测曰见豕在堂其体不庆也
　　次五舳舻调安利富贞【舳舻舟也五居中得道是犹舟行于水平流顺之中既调且安无复倾危之虑体胖心广宜其利于富贞也】测曰舳舻安和顺其疆也
　　次六外其井灶三岁见背【井所以汲灶所以爨皆家用之所不可缺者今乃外之而不有是失其所以为家之道矣岂不终于见弃而不享乎】测曰外其井灶三岁不享也
　　次七老夫擐车少女提壶利考家【擐音患　擐牵也考成也七以阳德故能治家以礼大小各当其任老夫则牵于车少女则提其壶长任长事防行防职所以利于成家也】测曰老夫擐车其体乃庄也【其礼乃正】
　　次八反其几双其牝几家不防【几所隐之几老人所用也牝雌也防美也反其几老失尊安也双其牝家多内宠也老失则道乖宠多则家乱求家之美恶可得乎】测曰反几双牝家用不臧也
　　上九株生蘖其种不絶【九居终地大抵多以生生循环之理言之】测曰株生蘖其类乃长也
　　□【二方二州二部一家】法【地隂家四金中下象井卦】阳气髙悬厥法物仰其墨莫不被则【墨绳墨也则法也法之初一日入井宿二十五度】
　　初一造法不法【一当法初是始造法也然以隂邪不正之资造法而非其法若之何而用乎用则为民之害也必矣】测曰造法不法不足用也
　　次二摹法以中克【二居中得阳是以制法得中而无过不及之差故能胜其任也】测曰摹法以中众之所共也
　　次三准绳不甫亡其规矩【准所以为平绳所以为直规所以为圆矩所以为方皆法度之器也三以隂邪无复以法度自守也】测曰准绳不甫　用爽也【甫始也爽差也】
　　次四准绳规矩莫违我施【四以阳德先自治而能治人者也】测曰准绳规矩由身行也
　　次五繘陆陆缾窴腹井潢洋终不得食【繘绠也陆陆短貌窴满也潢洋水多貌五以隂弱之才何能及事犹繘陆陆绠短而不可汲深缾窴腹腹塞而不可受水井虽潢洋无术可以致所以终不得食也此言非其器不可以成其事无其道不可以冀其功是故有是君有是臣则有是政矣】测曰缾窴腹非学方也
　　次六于纪于纲示以贞光【六以阳刚得法之善者也故能以纪纲自治而示人以正大光明之道也】测曰于纪于纲大统明也
　　次七宻网离于渊不利于鳞【七居祸初为法已过是其网宻文峻无能脱者喭云国将亡必多制使人摇手触禁又何以措其手足乎】测曰宻网离渊苛法张也
　　次八正彼有辜格我无邪【八以阳明善能处法言正彼有罪而正之以我无邪之道盖正已以正人之不正也格正也】测曰正彼有辜欧而至也【处法之平人皆归之如欧而至也】
　　上九井无干水直衍匪谿匪谷终于愆【干井栏也衍溢也九居隂极无法可以持制如井之无栏水则直衍而已井既失井之道谓之谿而非谿谓之谷而非谷盖犹用法而非其法也用法而非其法则亦终于过而已矣法賛多取井为说盖取井一成而不可迁之意】测曰井无干法妄恣也
　　□【二方二州二部二家】应【地阳家五土中中象离卦】阳气极于上隂信萌乎下上下相应【以此首当姤卦自此以下至养四十首皆属隂故篇首皆以隂气言斗指午律中防宾应之初一日入井宿二十九度芒种节终此首之次五夏至节起此首之次六】
　　初一六干罗如五枝离如【罗离文章交织之貌应属离明之地一在应初故其自干及枝其文莫不斑斑而盛也】测曰干罗如附离君也【枝之附干犹臣之附君】
　　次二上歴施之下律和之非则否【歴隂而律阳上以隂施下以阳和上下相交则得其道茍或不然则失之矣盖隂阳和则岁功成君臣和则国事治此自然之应也】测曰上施下和匪其肯也【岂非其肯也】
　　次三一从一横天网防防【从音踪防音觥　防防犹恢恢广大貌三在文明之世且复当阳故其一从之一横之经纬交陈如天网之防防然粲乎其有文也】测曰一从一横经纬陈也
　　次四援我罘罟絓罗于野至【罘罟网也言取我罘罟张絓于原野四面周至其不几乎无复一禽能脱之者非复田用三驱如成汤左左右右之仁矣】测曰援我罘罟不能以仁也
　　次五龙翰于天贞栗其鳞【龙至阳之精四十一首之阳终于此賛故曰龙之翰飞已上极于天无复再有可徃之理惟有自上复坠而已能无贞栗其鳞之可惧乎】测曰龙翰之栗极惧坠也
　　次六炽承于天氷萌于地【以此賛当夏至午之半故言阳极隂生之义谓赫赫之阳方炽然上进于天而肃肃之隂已下萌于地矣】测曰承天萌地阳始退也
　　次七日彊其衰应蕃贞【蕃盛也七居衰谢之位复在隂萌之初其衰可知矣然隂始萌而阳犹盛尚可彊其所欲衰而致其蕃盛之贞也】测曰日彊其衰恶败类也【恶隂之败阳类也】
　　次八极阳徴隂不移日而应【徴召也阳极隂生其感召有自然之应若徴召然则不移日而至矣言其速也】测曰极阳徴隂应其发也
　　上九元离之极君子应以大稷【稷音侧　稷昃也九居应极在将倾昃之期故谓大离之极君子则当委禄乞身倦勤谢事以保将倾之余日也按此大稷与易离卦大耋义同】测曰元离之极不可遏止也

　　太本防卷三
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨>
　　钦定四库全书
　　太本防卷四　　　　　明　叶子竒　撰
　　□【二方二州二部三家】迎【地隂家六水中上象咸卦】隂气成形乎下物咸遡而迎之【遡逆而迎之迎之初一日入鬼宿一度】
　　初一迎他匪无贞有邪【以隂邪而在迎初物之迎之故戒以迎他匪其所应又何望其有正道也徒有邪而已】测曰迎他匪应非所与并也
　　次二蛟潜于渊陵卵化之人或隂言百姓和之【二当感应之中故极言相感之道夫蛟卵异处精神相感而化生君民异位隂言相孚而应和盖有感必通无微而不显也此賛取易鸣鹤在隂其子和之之义】测曰蛟潜之化中精诚也
　　次三精微徃来妖先灵觉【三失中而在隂故感非其正天道精微未有不随其所感而应者感以正则祯祥至感以邪则妖孽兴盖天人之际精微未有不徃来者所以妖异每先事灵感而发觉也礼曰事物将至有开必先此之谓也】测曰精微徃来妖咎徴也
　　次四裳有衣襦男子目珠妇人啑钩【啑钩一作连闾裳下服衣襦上服目珠言目之于色也楚辞谓忽独与予兮目成是也连闾即连喽言语烦絮貌盖呢呢恩情之辞也四在阳刚故极言情感之理盖裳之有衣所以上下相承犹男之有女所以情色相感夫男女感而九族蕃天地感而万物生观其所感而天地万物之情可见矣】测曰裳有衣襦隂感阳也
　　次五黄乗否贞【五居中而值隂邪虽则黄中而所乗反不正也】测曰黄乗否贞不可与朋也【此盖托正以售其不正所谓大奸似忠大邪似正之所为乌可近也】
　　次六黄相迎其意感感【天色黄地色四言男女之相感此言天地之相感易谓天地絪緼万物化醇男女搆精万物化生相感之道不过二端而已矣】测曰黄相迎以类应也
　　次七逺之近之棓迎父迦逅【音訽棓音掊迦君阿切　怒目也棓击也迦逅即邂逅不期而相遇也七已过盛又复逢隂是感极将乖之时故逺之则怒近之则击无有可通之情然子之失爱于父逺之近之莫不适逢其怒也亲莫如父子然感极而乖至失其天性之如此也】测曰逺近棓失父类也
　　次八见血入门捬迎中廷【捬俯同　血杀伤之象捬下接也八以阳德善处祸中故见血入门外有相伤之意捬迎中廷内存谦接之恭彼虽欲待我以横逆纵其狠暴之甚又何以施于居敬之君子乎此盖得柔克之道也】测曰见血入门以贤自卫也【中庸曰寛柔以教不报无道南方之强也君子居之以贤也】
　　上九湿迎牀足罦于墙屋【湿言水性就下也牀足下地也罦网也墙屋髙处也湿迎牀足言其所趋就乎下罦于墙屋言其所捕在乎上上下相失岂复有可遇之理哉九居迎极故其乖背如此】测曰湿迎牀足愿在内也
　　□【二方二州三部一家】遇【地阳家七火上下象姤卦】隂气始来阳气始徃徃来相逢【来则方伸徃则既屈遇之初一日入栁宿一度】
　　初一幽遇神及师梦贞【幽精微也师告教也一居思之始言极其精微之思入遇于神至于得其告教于恍惚梦寐之间而获正道也管子曰思之思之又重思之鬼神将告之非鬼神告之也乃精气之极也与此賛意同】测曰幽遇神思得理也
　　次二冲冲儿遇不受定之谕【冲冲徃来不定之貌二在思中反复之地是与冲冲不定之童有遇孰肯受其有定之教哉言其非受教之资也】测曰冲冲儿遇不肖子也
　　次三不徃来不求得士女之贞【三以阳明故得遇道之善夫妇人无外事宜正志于内故不徃不来无求无得所以得其士女之贞也茍预政外事则失其正为牝鸡之晨矣】测曰不徃不来士女则也
　　次四防防兑人遇厉【防音圉　防防舞久困悴貌兑人巫人也易兑为巫为口舌四属金故取以为象古者旱而用巫舞于雩坛以祷雨也四逢隂慝遇非其道如舞巫困悴于祷雨然雨岂区区之巫所能致哉纵虽遇雨是亦适然岂其所致彼乃贪天之功以为己力曽不自量也率此道以徃宁不危哉此盖为无其德而偶有其功者之深戒】测曰兊人遇还自贼也【始则诬人终为己祸】
　　次五田遇禽人莫之禁【五居中而得阳所以为其事而防其利致其功而收其効如猎即遇禽动辄有获人孰禁之哉此言有道以遇之事】测曰田遇禽诚可勉也
　　次六俾蛛罔罔遇螽利虽大不得从【蛛蜘蛛罔网同螽蝗属螽比蛛为大今蛛设网本以罗小虫而忽获大螽然螽利虽大非蜘蛛之所能从取也此言小人不可大受而滥据尊位德薄智小诚非小人之所宜堪鲜不及矣】测曰蛛之罔害不逺也
　　次七振其角君父遇辱匪正命【振进也角喻刚直七遇刚阳是能进其刚直之道于君父君父不能容受反待遇以陵辱而困屈其身不以赏而以刑不以用而以斥岂人君之正命乎】
　　次八两兕鬭一角亡不胜丧【兕野牛也不胜丧言丧之甚也今遇极而过刚犹两兕之鬬不能无伤一兕已至于角亡矣其角且亡为丧之甚可知矣】测曰两兕鬭亡角丧也
　　上九觝其角遇下毁足【觝触也九刚极居上是触其角上极反下则下致毁其足此剥穷上反下之义】测曰觝其角何可当也
　　□【二方二州三部二家】灶【地隂家八木上中象鼎卦】隂虽沃而洒之阳犹执而龢之【龢古和字　灶养也灶之初一日入栁宿六度夏至气终此首之次七小暑节起此首之次八】
　　初一灶无实乞于邻【初以隂乏不能自养是灶无实顾乃乞于邻以助济焉恶有及人之望也】测曰灶无有虚名也
　　次二黄鼎介其中裔不饮不食孚无害【介大也裔余也二以刚中故云黄鼎器既大而食有余必无不足之患喻人之质美而德全备才大而用有余犹且节其食而不享啬其用而不施其厚于内而无待于外也至矣则信乎其无害也】测曰黄鼎介中廉贞也
　　次三灶无薪黄金濒【濒水厓潴秽之地也三隂邪不中是灶无薪而金鼎秽犹国无贤而朝廷卑也然为国者可不务于求贤乎】测曰灶无薪有不用也
　　次四□实之食得其劳力【□音歴　□小釡也四为下禄未得尊盛故止用小釡之食盖位卑禄薄易称其劳也】测曰□实之食时我奉也【时是也时我奉言称也】
　　次五鼎大可觞不齐不庄【觞酒爵小器也五虽当尊而隂柔才弱岂不犹鼎之大器仅可为觞之小用是处非其所宜据则其不称也可知矣其能有齐庄之德乎此亦德薄位尊之义】测曰鼎大可觞飨无意也【飨无意义言其不称也】
　　次六五味龢调如美如大人之飨【六处崇髙之地居福禄之极是当国大臣居鼎鼐之职也然五味和既调且美宜其为大人之飨也国事治既安且平宜其为大君之用也】测曰味龢之飨宰辅事也
　　次七脂牛正肪不濯釡而烹则欧歍之疾至【肪脂也欧歍吐逆声七以隂暗是得美味而不能致其谨洁宁无欧恶之嫌犹享尊位而不致其敬戒寜无悔吝之咎此戒占者凡事宜致其慎也】测曰脂牛欧歍不絜志也
　　次八食其委虽噭不毁【委委积也噭直呼声八居祸中是食人之禄宜忧人之难虽至于直呼而谏志在忠君复何毁之有哉】测曰食其委蒙厥德也
　　上九灶灭其火唯家之祸【灶所以炊爨今灭其火是灶道尽矣宁不为家之祸乎犹仁所以为人今而不仁是人道尽矣宁不为身之害乎此盖预为灭道亡家之兆】测曰灶灭其火国之贼也
　　□【二方二州三部三家】大【地阳家九金上上象丰卦】隂虚其内阳逢其外物与盘盖【盘盖物茂盛盘旋如车盖也大之初一日入栁宿十度】
　　初一渊潢洋包无方冥【潢洋广大貌一在大世居初是犹渊之广大无所不包而复泯然不见其迹也】测曰渊潢洋资褁无方也
　　次二大其虑躬自鑢【鑢磨物使减削也二居下位乃大其虑是空存出位之思则徒自刻削而已复何益哉】测曰大其虑为思所伤也
　　次三大不大利以成大【三居大世在下之上且有阳明之才是以居大而能自小居尊而能自谦是大不大也然自后者人先之自卑者人尊之所以利于成其大也】测曰大不大以小作基也
　　次四大其门郊不得其刀鸣虚【刀喻利四在福逢隂不明是以不能如三之自小乃侈大其门郊以夸其盛然骄则致危满则致覆宜其不得其利也不得其利者无他由鸣夸于虚浮而已】测曰大其门郊实去名来也
　　次五包荒以中克【五居大中得道当阳之君也故能大其度量包含荒秽无所偏诐以中道而胜其任也书曰无偏无诐尊王之义无党无偏王道平平以中之谓也】测曰包荒以中督九夷也【督治也】
　　次六大失小多失少【六过中逢隂已不能无偏故致其戒言事之大者由失于小物之多者由失于少皆以微而致着由寡而至多此君子所以凡事必谨于微也】测曰大失小祸由微也
　　次七大奢迃自削以觚或益之餔【奢迃谓过于侈大也觚有棱角之器喻法度也餔食也七已入祸故不能无侈大之过然幸逢阳故能自治以法是过而能改终于无过能不受餔养之益乎】测曰奢迃自削能自非也【自非即自责】
　　次八丰墙峭阯三岁不筑崩【上以下为基国以民为本基厚则上固本固则邦宁此必然之理也八位祸中处丰大之极不能节用爱民乃剥下以奉上朘民以充君曽无改悔之心宁保其不危哉是犹丰大其墙而削峭其基复且三岁之久不加脩治其荒怠如此能无崩亡之及乎】测曰丰墙之峭崩不迟也
　　上九大终以蔑否出天外【蔑无也九居丰大之终乃能自将以道处丰大而自视如无宁有不善之及哉否出天外言逺去也顔子有若无实若虚所以几于圣也】测曰大终以蔑小为大质也
　　□【二方三州一部一家】廓【地隂家一水下下亦象丰卦】隂气防而之阳犹恢而廓之【防音瘗音翕　防收敛之意恢廓开辟之意言隂气虽凝而阳犹盛也廓之初一日入栁宿十五度】
　　初一廓之恢之不正其基【大其事者宜正其始始正终犹不正况于始之不正乎一以隂邪徒欲恢大其事乃不正其基本后欲无倾胡可得乎】测曰廓之恢之始基倾也
　　次二金榦玉桢廓于城【二居下之中得阳之盛是以莫非贵重之物而为桢榦之用宜其廓大于城也夫桢榦美则城固宰辅良则国安也】测曰金榦玉桢蕃辅正也
　　次三廓无子室石妇【石喻不长不育三过中而不阳是犹廓之无子而复妻其不长不育之石妇岂有望其资生之益哉交友而非其类托国而非其人皆室石妇之谓】测曰廓无子焉得后生也
　　次四廓其门户以御寇虏【门户喻出入必由之道四以阳明故能大其所由之道则无徃而不服纵虽不化如寇盗岂不足御之哉】测曰恢其门户大经营也
　　次五天门大开恢堂之阶或生之差【差等差不同也天门大开喻君位之崇也恢堂之阶喻君业之隆也位崇则德难称业隆则任难胜惟圣人在天子之位则无慊也五以隂暗之资德不称位所以有等差之不同也】测曰天门大开德不满堂也
　　次六维丰维崇百辟冯冯伊德攸兴【冯冯满盛貌六居福之极盛故诸侯冯冯然其满盛岂无道以致之哉盖莫非由德以致其兴隆也】测曰维丰维崇兹太平也
　　次七外大扢其中失君子至野小人入室【扢强壮貌七居廓大将衰之际徒知外则大其恢拓之强不悟内有蹶其根本之失是形虽强而元气已弱贤则逺而不肖是亲也孟子曰入则无法家拂士出则无敌国外患者国恒亡此之谓也】测曰外大扢中无人也
　　次八廓其外虚其内利皷钲【外既廓而内复虚声闻无所窒碍可以其达故利于皷钲也八居髙廓可以逺及】测曰廓外虚内乃能有闻也
　　上九极廓于髙庸三岁无童【庸墉同墙也童仆也九居廓之极是至于髙庸然髙无辅故终至于无童也】测曰极廓髙庸终无所臣也
　　□【二方三州一部二家】文【地阳家二火下中象涣卦】隂敛其质阳散其文文质班班万物粲然【班班物相杂而适均之貌文之初一日入星宿四度】
　　初一祫何缦玉贞【苦贵切缦莫干切　文锦也缦外袭也即诗衣锦尚防之意盖恶其文之着也玉温粹之物言其美在中也一在文初能美其中而不骛乎外也如此故粹然而得贞也】测曰祫何缦文在内也
　　次二文蔚质否【二以隂暗虽其外之文蔚如而其内之质实否是盖徒美于外而无实以继之此中庸所谓小人之道的然而日亡也】测曰文蔚质否不能俱睟也
　　次三大文弥朴孚似不足【文之至者若无文诚之至者若不足皆言其厚有余也三以阳明之才故能自厚如此】测曰大文弥朴质有余也【此语用老子大辩若讷之意】
　　次四斐如邠如虎豹文如匪天之享否【斐邠皆文盛貌此则文有余而实不足故不为天之享而致否塞也】测曰斐邠之否奚足誉也
　　次五炳如彪如尚文昭如车服庸如【炳彪亦文貌五在文明之中故极其文明之盛而无过宜其为用于天子者也】测曰彪如在上天文炳也
　　次六鸿文无范恣于川【范范同　范法度也六过中而大于文初无法度旁行而流不循轨道是恣于川也】测曰鸿文无范恣意徃也
　　次七雉之不禄而鸡荩谷【雉文明之禽鸡虽有文不及于雉然鸡惟驯可家养雉性野不可家养是以雉反不禄而鸡荩谷也此狷者为髙而不屑仕和者或通而可以仕欤】测曰雉之不禄难幽养也
　　次八雕韯谷布亡于时文则乱【雕镂韯小谷善也八居文之将极而尚雕镂韯小极弊之文曽无实善可以施布于当时而区区之文果何益哉此文胜之弊已极于乱矣】测曰雕韯之文徒费日也
　　上九极文密密易以黼黻【黼黻先王法度之章服也九居文之极是极其文密密然无一之或遗莫若易以先王法度之文为得其中也】测曰极文易当以质也
　　□【二方三州一部三家】礼【地隂家三木下上象履卦】隂在下而阳在上上下正体物与有礼【礼之初一日入张宿二度小暑节终此首之次二大暑气起此首之次三斗指未林钟用事】
　　初一履于跂后其祖祢【跂足躐进也一以隂躁故其躐等而进反后其祖祢而先之其为不弟甚矣】测曰履于跂退其亲也
　　次二目穆穆足肃肃乃贯以棘【穆穆深逺貌肃肃严敬貌棘木名赤心二在礼之中故外有以极其严敬之体而内有以贯其中赤之心盖诚于中而形于外自然之符也】测曰穆穆肃肃敬出心也
　　次三画象成形孚无成【感人以实不以文三以隂虚故言徒画成形象虚而不实是果何所孚通而有成乎】测曰画象成形非其真也
　　次四孔鴈之仪利用登于阶【鴈有序之禽四在福初得阳之正是以如有序之鴈得其礼仪岂不利于进乎】测曰孔鴈之仪可法则也
　　次五懐其违折其匕过丧锡九矢【违不正也匕挽鼎肉之匙也五隂邪不君内存不正所以致折其所用之器毋寜惟是复过而丧其在先所赐之九矢盖传国之器俱亡之矣孟子所谓其失天下也以不仁斯之谓欤】测曰懐违折匕贬天禄也
　　次六鱼鳞差之乃矢施之帝用登于天【鱼鳞言其比次有序矢言其施为简直六以阳明得礼之正故其比次有序如鱼鳞之差其施为之简如矢之直有次序而且简直此帝王所以登进于天之道也】测曰鱼鳞差之贵贱位也
　　次七出礼不畏入畏【七为失志故出于礼然出礼则入于刑故不畏而入于畏也盖礼之所去刑之所取也】测曰出礼不畏人所弃也
　　次八冠戚防履全履【防女九切　戚防冠败貌冠履喻上下之体八居剥落之时言冠虽弊终不可以苴履履虽全则亦帷可履而已下固不可居上也】测曰戚防明不可上也
　　上九戴无首焉用此九【九居至极更无以加是尊戴而无复有上也九为数之穷人无能迯焉故反而恨之曰焉用此穷数为也】测曰无首之戴焉所徃也
　　□【二方三州二部一家】迯【地阳家四金中中象遯卦】隂气章彊阳气潜退万物将亡【章盛明也迯之初一日入张宿六度】
　　初一迯水之夷灭其创迹【一在迯初迯之最先者也迯之最先早见预待泯然无迹可寻如迯于水水随平合灭没其创迹之处也】测曰迯水之夷迹不创也
　　次二心惕惕足金舄不志沟壑【二在迯世以其隂邪而不知迯故心惕惕然而履其金舄专宠固位惟患其失不思隐退也故曰不志沟壑金舄贵者之服也】测曰心惕惕义不将也
　　次三兢其股鞭其马冦其户迯利【音望　二在迯世虽不如初之见几而作然亦见时将乱能兢动其股鞭策其马纵然虽冦已近无能追之宜迯之利也】测曰兢股鞭马近有见也【近有见徴色发声而后喻者欤】
　　次四乔木维摐飞鸟过之或降【摐音冲　摐上挺茂盛貌迯以逺逝为得四以隂暗不能髙举逺逝如飞鸟见乔木之盛茂辄降而不去盖其志有所系吝不复知洁身之髙能无及乎夫物欲深则天机浅此之谓也】测曰乔木之鸟欲止则降也
　　次五见鷕踤于林獭入于渊征【鷕一作隼踤一作萃今俱从之　鸟隼击而罻罗张獭祭鱼而后渔此皆肃杀惨夷之候以喻时将乱也今隼萃林獭入渊当此之时惟行而隐去则吉耳此张翰思莼之秋也欤】测曰见鷕及獭深居迯防也
　　次六多田不娄费我膎功【娄力住切膎户皆切　娄获也膎干脯熟食也六以隂暗不能有成犹多田而不获徒费赍粮之功也】测曰多田不娄费日忘功也
　　次七见于累后乃克飞【累索也七在祸初不能知几早退及事势窘蹙已见于絷防幸逢昼阳之明虽见困辱后尚能去也此醴酒不设白生不如穆生见几而作终不免雅舂之辱也欤】测曰见于累几不足髙也
　　次八颈加于缯维防其绳【防音翌　防缴也生丝系矢而射八入祸中居时之极不能有脱如鸟颈之加于缯复见射而系于缴祸已至此虽有智者亦无如之何矣此李斯黄犬之叹之时欤】测曰颈加维防无自劳也
　　上九利迯跰跰盗德婴城【跰补争切　跰跰足拘挛而不行之貌盗德婴城谓奸雄据国九居迯之极大奸根据势不可摇虽利于迯然天下莫非其所有虽欲行何之乎】测曰盗德婴城何至迯也
　　□【二方三州二部二家】唐【地隂家五土中中亦象遯卦】隂气兹来阳气兹徃物且荡荡【唐荡也荡荡空貌唐之初一日入张宿十一度】
　　初一唐于内勿作厉【一为思始隂暗不明是以悾悾然于内荡然无思虽勿作厉然亦无所执守也】测曰唐于内无执守也
　　次二唐处利用东征【二居思中未能上进故尚处冥嘿而利用东征以就生方也】测曰唐冥之利利明道也
　　次三唐素不贞亡彼珑玲【珑玲通明貌三以隂暗不中之才素懐不正而自蔽自陷丧其通明之道也】测曰亡彼珑玲非尔所也
　　次四唐无适道义之辟【适入声　适专主也辟从也四以阳明之资故其心不偏不倚无所专主惟道义是从而已此取论语义之与比之文】测曰唐无适惟义予也【予去声】
　　次五奔鹿懐鼷得不资【五隂暗不君弃贤而任不肖是犹鹿之是逐而反鼷鼠之懐所得不偿其所失也悖道甚矣】测曰奔鹿懐鼷奚足功也
　　次六唐不独足代天班禄【独足自足六居尊大之位处福禄之极是人君代天为治非自足于一已而已盖以一人治天下非以天下奉一人惟当求天下之贤置之天位班天之禄以享之也】测曰唐不独足无私容也
　　次七弋彼三飞明明于征终日不归亡【三为阳数三飞谓昼飞之鸟也七居衰祸是人荒于田猎不知反期必致败亡之祸也】测曰弋彼三飞适无所从也
　　次八唐收禄社鬼辍哭或得其沐【八居祸败之将极所幸逢阳得中故为禄已失而复收鬼已哭而复辍之象然亦或得其膏沐之泽者此盖因祸致福之占】测曰唐收禄复亡也【亡而复得】
　　上九明珠弹于飞肉其得不复【九居唐之极迷之至者也以明珠而弹鸟其所得者小而所丧者大也】测曰明珠弹费不当也
　　□【二方三州二部三家】常【地阳家六木中上象恒卦】隂以知臣阳以知辟君臣之道万世不易【辟君也臣隂道也君阳道也故隂以知臣阳以知君也万世不易所以为常也常之初一日入张宿十五度大暑气终于此首之次五立秋节起于此首之次六】
　　初一戴神墨履灵式以一耦万终不稷【墨法也稷昃也一以阳明而在常世故能尽常之道其上所戴则得神之法下所履则得灵之式言其上下表里莫非此道之用宜其以一理而贯万事是以自始至终无有倾昃之弊也】测曰戴神墨体形一也
　　次二内常微女贞厉【二以隂邪犹妇人之中心之常道尚微外虽尚正安能保其久而不变哉故危也】测曰内常微女不正也
　　次三日常其德三岁不食【日太阳君象也三为阳中之阳是太阳常于其徳故至于三岁之久终无薄蚀之灾也】测曰日常其德君道明也
　　次四月不常或失之行【月太隂臣象也四逢夜而为隂是大隂不常其德或嬴或缩失其所行也】测曰月不常臣失行也
　　次五其从其横天地之常【日月星辰错综运行天之从横也土地山川流峙相因地之从横也从横所以为天地之常也】测曰其从其横君臣常也【人道亦然】
　　次六得七而九懦挠其刚不克常【得七而九言其所执之不常懦挠其刚言其所守之不固故不能常也六以隂躁故然】测曰得七而九弃盛乗衰也
　　次七滔滔徃来有常衰如克承贞【七居衰谢之始故不能安滔滔然不停其徃来适当消长有常之衰运然能执德不贰承之以正也】测曰滔滔徃来以正承非也
　　次八常疾不疾咎成不诘【八为瘀疾复逢隂祸故虽常有疾而不自以为疾不复加将养之力驯而至于灾成而不救也此占为忽事者之戒】测曰常疾不疾不能自治也
　　上九疾其疾巫医不失【九居常之终能以其疾为疾必兢兢业业致其将养之功虽其能尽事神治人之道者亦无以加焉言其致养之至也】测曰疾其疾能自医也
　　□【二方三州三部一家】度【地隂家七火上下象节卦】隂气日躁阳气日舎躁躁舎舎各得其度【躁进也舎止也度之初一日入翼宿二度】
　　初一中度独失【一以隂邪是独失其节度之中始而即失终岂有成乎】测曰度独失不能有成也
　　次二泽不舎冥中度【二以刚中之德自强不息如川之逝而不舎其深浅迟疾莫不随地势之宜岂不冥合于道体之节乎按论语子在川上曰逝者如斯夫不舎昼夜程子说此章谓此乃道体也又曰自汉以来儒者皆不识此义扬子此言虽出于摸拟却与川上之防同而程子直不之许岂不以其语大本之性乃曰善恶混所以知其无纯一不己之功也乎】测曰泽不舎乃能有正也
　　次三小度差差大攋之阶【攋音赖　攋壊也此言忽小而害大欲人谨于微也】测曰小度之差大度之倾也
　　次四榦桢利于城【四以刚正而处大臣之位宜其有辅于君也盖有其具则易其备有其人则易其治此桢榦所以利于城蕃辅所以利于国也】测曰榦桢之利利经营也
　　次五榦不榦攋于营【五以隂暗之君是君榦之任而有不榦之材不胜负荷如此宁不壊于所搆乎】测曰榦不榦不能有寜也
　　次六大度检检于天示象垂其范【六以福隆阳德之才得度之至美者也故其大度检检然其谨严如天象昭然以示人无待于言莫非至教所以垂其法也】测曰大度检检垂象贞也
　　次七不度规之鬼即訾之【七隂邪不中乃以不度是谋迹虽未形而鬼已有訾责之谴矣曰勿谓无闻神将伺人此之谓也】测曰不度规之明察笑也【隂受鬼责明受人非也】
　　次八石赤不夺节士之心【石喻心之坚赤喻心之忠八居上中能处祸变守其坚贞之忠节死而莫夺此节士必然之志岂威武所能屈乎】测曰石赤不夺可与有要也【要约信也】
　　上九积善之贷十年不复【贷不足也十者数之终积善之道茍或不足至于终则不能复行矣九居度终故尤勉人以及时迁善至于衰落其将能乎】测曰积善之贷不得造也【造成也】
　　□【二方三州三部二家】永【地阳家八木上中亦象恒卦】隂以武取阳以文与道可长久【武属隂文属阳永之初一日入翼宿六度】
　　初一不替不爽长子之常【替音僣　僣爽皆差也一居永始能永其道不至乎僣差其得长子之常道乎】测曰不替不爽永宗道也
　　次二内懐替爽永失贞祥【二以隂躁不能于其道乃内懐其不正宜其永失贞祥也天道祸淫抑岂诬乎】测曰内懐替爽安可久也
　　次三永其道未得无咎【三以阳明故能永于其道虽当蒙福然尚居下时有未通故犹未得无咎也君子在此时当居易以俟命不可以小有挫屈遂息其所永之道也】测曰永其道诚可保也
　　次四子序不序先宾永失主【父先子后主先宾后乃其序也四以隂僣不能无差故子当序而不序宾反先而失主反常悖道寜可久哉】测曰子序不序非永方也
　　次五三纲得于中极天永厥福【三纲君为臣纲父为子纲夫为妻纲五以阳德之君故于三纲之道中正而无偏极至而无加所谓皇建其有极宜其天水厥福也】测曰三纲之永其道长也
　　次六大永于福反虚庭入酋冥【六居福盛故大永其福也然福有尽时盛有衰日及福尽反至于空虚其庭则日入于枯寂空冥之地矣虽欲救之其将能乎】测曰大永于福福反亡也
　　次七老木生莳永以纒其所无【莳更生也七在衰谢而逢阳如老木更生生意相续永以纒绵其所无而复有也】测曰老木生莳永厥体也
　　次八永不轨防亡流于后【八居祸中过时将极故其所为悖道乃独永于不轨是以祸患非独被于当时至于防亡抑且流于后世小人为国之祸其烈如此可不监哉】测曰永不轨其命剂也【剂剪絶也】
　　上九永终驯首【正始然后可以永终茍正其始矣犹有不永终者况于始之不正乎九之永终由能驯其首也】测曰永终驯首长恺悌也
　　□【二方三州三部三家】昆【地隂家九金上上象同人卦】隂将离之阳尚昆之昆道尚同【离分也昆同也昆之初一日入翼宿十一度】
　　初一昆于黑不知白【初以隂暗不能公其所同是以同于黒而不知白犹同于彼而忘于此是不公同而党于一偏也胡能偏及哉】测曰昆于黑不可谓人也【不可谓人言其私也】
　　次二白黑菲菲三禽一角同尾【菲菲相和采粲貌二得中逢阳故以能同为义言于白于黑莫不菲菲然相和无有不均盖禽虽三而角尾则一喻形虽异而心意则同也此同之善者也】测曰三禽一角无害心也
　　次三昆于白失不黑无除一尾三角【三以隂暗亦滞于一偏故同于白而不同于黑曽不知其非同于后而不同于前不能除其病此所以于公溥之道有所不足乎】测曰昆白不黑不相亲也
　　次四鸟托巢于丛人寄命于公【丛深而无害故可托巢公正而无私故可寄命此以上句兴下句】测曰鸟托巢公无贫也【公则均所谓均无贫也】
　　次五谷不谷失疏数众牦毁玉【谷禄也夫禄以养贤五居尊位而蔽于隂邪失其班爵之公譬人之贤才当得禄而反不禄之岂不失其疏数之宜乎盖君子当亲而反疏之小人当疏而反亲之然其倒置之如此者盖由众轻之小人而毁至贵重之君子也故曰众牦毁玉】测曰谷失疏数奚足旬也【均也】
　　次六昆于井市文车同轨【井市辐凑之所喻众同也六以福隆阳德之才故能公同于众文车同轨言天下莫不同也】测曰昆于井市同一伦也
　　次七盖偏不覆晏雨不救【晏晩也七居衰暮不能公同犹伞盖之偏不能遮覆忽遇晩雨之及曽无正救之功盖有其器雨偏其用则亦无及人之功也】测曰盖偏不覆德不均也
　　次八昆于危难乃覆之安【八居祸中是同于危难也其患则彼此之心如一所谓同舟共济胡越一心乃覆之安由均及也】测曰危难之安素施仁也【襄子走晋阳由尹铎之保障即其事也】
　　上九昆于死弃冦遗【弃冦众所同弃之冦也九居尽弊之地是同于死也然死非其人乃独于区区众所同弃之冦而遗之死盖死非其所徒轻生也如新室廉丹等能为贼莽死节纲目特书曰赤眉讨廉丹诛之不惟不与其死节之义复正其斧钺之诛由其弃冦是遗也故太史公曰为人臣不知春秋之义必陷诛死之罪此之谓也】测曰昆于死弃厥身也

　　太本防卷四
　　钦定四库全书
　　太本防卷五　　　　明　叶子竒　撰
　　□【三方一州一部一家】减【人阳家一水下下象损卦】隂气息阳气消隂盛阳衰万物以防【减之初一日入翼宿十五度立秋气终此首处暑气起于此首之初一斗指申夷则用事】
　　初一善减不减【以阳德而在减初故能以道自损其终至于不损然其自谦之意隐防难见故也】测曰善减不减常自冲也
　　次二心减自中以形于身【心之全体万理具备今不能充其本然之量是自亏损其中心之全体以致外形于身使其行亦不能全也】测曰心减形身困诸中也
　　次三减其仪利用光于阶【仪礼物之品数也如减膳彻乐之类三以阳德独能约身节已减其礼物之仪品所以利于登进之地也】测曰减其仪欲自禁也
　　次四减于乂贬其位【乂治也四以隂昏是以失于治民之道无以称其位也】测曰减于乂无以莅众也
　　次五减其黄贞下承于上宁【五居尊髙之位乃复退然损抑而以中正之道自处此乃下承于上臣尊于君之道君臣理得所以安宁也】测曰减黄贞臣道丁也【丁当也】
　　次六幽阐积不减不施石【幽深也阐发也积委积也石顽然不知觉之物也六处上禄隂邪好利惟深知发于委积之货财既不能减其所敛复不能施其所积徒顽然如石没身于利而不觉也】测曰幽阐不施泽不平也
　　次七减其疾损其防厉不至【防忧也七过中而入祸已不能无疾与忧幸值阳明故能补弊扶倾而减其疾损其忧尚得逺其危而不至也】测曰减其疾不至危也
　　次八浏涟涟减于生【艮浏小水涟涟流貌物之消减非才一朝一夕之故其所由来者渐如浏之涟涟涓然不絶是积减而至于极小也于生根本之至微是积减而至于极微也汉防曰寖微寖减是也八为减时之极故其取象如此】测曰浏涟之减生根毁也
　　上九减终利用登于西山临于大川【九居减之终损极必益退极必进所以利于登西山临大川也】测曰减终之登诚可为也
　　□【三方一州一部二家】唫【人隂家二火下中象否卦】隂之不化阳之不施万物各唫【唫音钦　唫闭也唫之初一日入轸宿三度】
　　初一唫不予丈夫妇处【一为阳数乃值隂柔故不为众所予盖以刚阳之丈夫乃以妾妇之道自处也能无羞乎】测曰唫不予人所违也
　　次二唫于血资干骨【干平声　血资身之物二居否闭之中独能全已自养是唫闭其身之血以资其身之干骨也】测曰唫于血防自肥也【防呼缚切瘦劣也】
　　次三貌不交唭防唫无辞【唭去吏切防鱼忌切　唭防有声而无辞貌三居否闭之时情隔不通然貌既不交无以察其色复唭防无辞无以达其忱上下不接如此宁无唫乎】测曰貌不交人道微也
　　次四唫其谷不振不俗累老及族【注阙】

　　测曰唫其谷不得相希也
　　次五不中不督腐蠧之啬【注阙】

　　测曰不中不督其唫非也
　　次六泉源洋洋唫于丘园【注阙】

　　测曰泉源之唫不可讥也
　　次七唫于体黄肉毁【注阙】

　　测曰唫于体骨肉伤也
　　次八唫遇祸祷以牛解【八居祸中故遇祸逢昼之阳故祷以大牲则解言厚费以当灾厚礼以祈祐也】测曰唫遇祸大费当也
　　上九唫不雨孚干脯【隂阳和而为雨九居否闭之极隂阳不和是以不雨乃欲以干枯之脯求其感孚是求非其道且干脯不能以自润又恶可望其润泽之及哉】测曰唫不雨何可望也
　　□【三方一州一部三家】守【人阳家三木下上亦象否卦】隂守户阳守门物莫相干【门户谓隂阳各有所守守之初一日入轸宿六度】
　　初一闭朋牗守元有【一以阳明而在守初故能絶其朋党之门以贞正自守岂不足以守其元本之所有乎】测曰闭朋牗善持有也
　　次二迷自守不如一之有【二以隂暗故迷于自守之道不如初一之善守其有也此因上赞为义】测曰迷自守中无所以也
　　次三无丧无得往来黙黙【三在守世仅能自守故亦无所丧亦无所得往来但黙黙然而已】测曰无丧无得守厥故也
　　次四象艮有守【艮山也人能有守重厚不迁有象于山则其守固矣】测曰象艮之守廉无也【古怙字】
　　次五守中以和要侯贞【要平声　五以刚阳中正之君能守其中和之道中则不至于偏和则不至于戾且此道也非独华夏可施虽要荒之君侯亦必以此为正也】测曰守中以和侯之素也
　　次六车案轫圭璧尘【六为上禄过中在否是国君不交于隣国车则按轫而不行圭璧则生尘而不用其德孤矣国可守乎】测曰车案轫不接隣也
　　次七羣阳不守男子之贞【阳动隂静阳行隂止七在阳家之阳是羣阳行动而不居得阳之道所以为男子之正也】测曰羣阳之守守贞信也
　　次八臼无杵其碓举天隂不雨白日毁暑【碓举而无杵天隂而不雨白日而毁暑凡此三象皆言有其用而无其器有其道而无其应盖八居否塞之将穷无能有以致其通也】测曰臼无杵其守贫也
　　上九与荼有守辞于卢首不殆【范望曰荼白也卢黑也九居守之终终能有守者也如贞正之妇甘与白首之夫相守初无务于黑首少年之心盖从一而终得于妇道之正故不至于危也】测曰与荼有守故愈新也【甘与同守虽则故旧愈胜于新也】
　　□【三方一州二部一家】翕【人隂家四金中下象巽卦】隂来逆变阳往顺化物退降集【翕敛入也翕之初一日入轸宿十一度处暑气终于此首之次二白露节起于此首之次三】
　　初一狂衡于翕其志虽欲逍遥天不之兹【狂衡放纵之意逍遥逸乐之事一在翕初性本隂险所存不正有放纵之意而未着尚敛其志虽欲徼幸于富贵逸乐之事然其所存邪侈天必不与之如此也】测曰狂衡于天未与也
　　次二翕中射贞【二居下之中得阳之正是能收敛其志于静之中无有偏倚使其发于外必无过不及之差所以为射之贞言其正已而后发发无不中矣】测曰翕中正予也
　　次三翕食嘬嘬【嘬嘬一举尽脔之意三隂邪而不中其贪利嗜禄有一举尽脔无厌之欲虽不言其凶凶可知矣】测曰翕食嘬嘬利如舞也
　　次四翕其羽利用举【翕敛其羽鸟欲飞之势也所以利用举有可进之阶也然鸟无羽翼则不能骞腾人无朋援则不能显达自古无有特成其功者也】测曰翕其羽朋友助也
　　次五翕其腹辟金谷【辟絶也金谷美食也五以隂暗其养不充闭腹絶食徒存髙世之想也】测曰翕其腹非所以举也【翕羽则可举翕腹则不可】
　　次六黄心鸿翼翕于天【黄中色鸿大也六在尊宗之地得阳之明既有中正之君复有鸿大之臣宜其翕入于天垂髙逺之业也】测曰黄心鸿翼利得辅也
　　次七翕缴恻恻【缴生丝曳矢以射恻恻痛心貌七失中入祸如鸟被射其心惟恻恻然而已无能脱也】测曰翕缴恻恻被离害也
　　次八挥其罦絶其羂殆【羂古县切　罦絶皆网也八在祸中故亦被于罦羂以逢阳刚则能挥而絶之虽则漏网而脱则亦可谓危矣此危而后安之占】测曰挥罦絶羂危得遂也
　　上九防其角维用抵族【防摇角貌欲触之甚也角刚而在上抵及也九居翕之极故极其刚躁如摇动其角欲触伤于人人必害之维用自及于族灭而已】测曰防其角殄厥类也
　　□【三方一州二部二家】聚【人阳家五土中中象萃卦】隂气收聚阳不禁御物相崇聚【聚之初一日入轸宿十五度】
　　初一鬼神以无灵【凡物形则碍碍则塞无形则通通则灵鬼神以无形故灵也易于萃涣二卦皆言王假有庙盖人之精神既散乃于庙聚之故言祭鬼神之道乃于聚赞发之】测曰鬼神无灵形不见也
　　次二燕聚嘻嘻【嘻嘻笑乐声二以隂昏羣聚而不节至躭于燕聚嘻嘻然而荒于笑乐乐胜则流矣】测曰燕聚嘻嘻乐淫衍也
　　次三宗其髙年羣鬼之门【宗髙年所以尽事人之道即所以尽事鬼之道也故曰羣鬼之门门谓道】测曰宗其髙年鬼待敬也【鬼待敬人之敬以敬已也】
　　次四牵羊示于丛社执圭信辟其左股野【与人让者必左故曰左股诗曰宛然左辟是也野粗俗无礼也礼以敬为主四之隂暗不明于礼牵羊示于丛社是任交神之事执圭以通君信是任聘隣之职乃不能致敬以尽礼让之则其左股乃粗俗而无礼是事神事人之道俱失也】测曰牵羊于丛不足劳也
　　次五鼎血之莸九宗之好乃后有孚【鼎血血食也莸臭草也九宗九族也五居福禄之中其得鼎肉之多至于臭腐推而以与九族共之其得惇叙之道如此其终有孚信之道感人也】测曰鼎血之莸信王命也
　　次六畏其鬼尊其礼狂作昧淫亡【传曰国将兴聴于人将亡聴于神今六过中昧于人道之所宜防于鬼神之不可知不智甚矣宜其狂昧以致淫亡也】测曰畏鬼之狂过其正也
　　次七竦萃于邱【竦怵惕起敬之意邱冢墓也所以藏亲之体魄孝子思亲怵惕起敬思聚祖考精神于邱冡以歆格之古惟庙祭无墓祭之文至汉始为之礼虽非古然亦莫非孝子仁人之用心不可废也】测曰竦萃于邱不可废也
　　次八防鸠在林防彼众禽【防于交切　防怒声八以隂祸而居髙显之极如防鸠之在于林是以众怒羣猜恶其非善类也】测曰防鸠在林众所防也
　　上九垂涕累鼻聚冡之彚【累萦也彚类也九处聚之穷故有垂涕萦鼻之象盖聚极将离必有死亡此乃聚家之常彚也盖人气聚则生气散则死乃其常也】测曰垂涕累鼻时命絶也
　　□【三方一州二部三家】积【人隂家六水中上象大畜卦】隂将大闭阳尚小开山川薮泽万物攸归【攸所也积之初一日入角宿三度】
　　初一积否作明基【否不善也一以隂邪积不善于幽独之中将必暴露于显明之地此恶之诚于中而形于外也】测曰积否在恶也
　　次二积不用而至于大用君子介心【介大也二以思中阳德之美犹君子积德而不用期而至于大用然其所以有此大抱负大经纶由其有此大心胸也】测曰积不用不可规度也
　　次三积石不食费其劳力【三失中不明徒积其不可食之土石岂不自费其劳力乎盖作无用而费实功之谓也】测曰积石不食无可获也
　　次四君子积善至于车耳【车耳车之蕃蔽也出思入禄离下升上又逢阳德是君子积善之多至于车耳言其足以蔽身也】测曰君子积善至于蕃也
　　次五藏不满盗不嬴【五居积聚之中故以库藏为义茍已无贪暴之实则民无偷窃之心是藏茍不满则盗必不多藏满盗嬴固其所也故夫子语季康子曰茍子之不欲虽赏之不窃上行下效理必然也】测曰藏满盗嬴还自损也【多藏必厚亡】
　　次六大满硕施得人无亢【大满硕施积而能散也得人无亢无竞维人也盖硕施足以得人得人所以无敌于天下也传曰仁者以财发身此之谓也】测曰大满硕施人所来也
　　次七魁而顔而玉帛班而决欲收寇【魁硕大貌班散布貌而语助辞魁而顔而冶其容也玉帛班而慢其藏也决欲谓诲淫收寇谓诲盗】测曰魁而顔而盗之招也
　　次八积善辰祸维先之罪【八以阳德而在祸中是人积善反遭时之祸其祸非已所致乃惟其先代之遗其咎殃也】测曰积善辰祸非已辜也
　　上九小人积非至于苗裔【九居积极资禀隂邪是小人积恶之极遗殃及其子孙也】测曰小人积非祸所骩也【骩委也】
　　□【三方一州三部一家】饰【人阳家七火上下象贲卦】隂白阳黑分行其职出入有饰【饰之初一日入角宿七度白露节终于此首之次五秋分气起于此首之次六斗指酉南吕用事】
　　初一言不言不以言【言身之文也故饰世皆以言为义一以阳明得文之理言不言务先行其言不以言信在言前不在于言也】测曰言不言黙而信也
　　次二无质饰先文后失服【服用也凡物皆先质而后文盖无本不立无文不行今无质而加饰是无本而加文则是徒文而已其后宁不失所用乎】测曰无质先文失贞也
　　次三吐黄酋舌拑黄聿利见哲人【黄中也酋成也拑包括也聿道也夫言者贯道之器三以阳德在思之成能出中道之成言莫不包括于中道也言而合道是为至言宜其利见于知哲之人也】测曰舌聿之利利见知人也
　　次四利口哇哇商人之贞【哇哇多言之声四隂而主利其利口之哇哇然以衒鬻于人乃商人之贞非君子之所尚也】测曰哇哇之贞利于商也
　　次五下言如水实以天牝【下言自谦下之言也天牝自然冲虚之道也五以中正阳明之君能自处以道其谦下之言如水就下出于自然之势由其能以冲虚之道自实也】测曰下言之水能自冲也
　　次六言无追如抑亦飞如大人震风【抑禁抑也言无追如一出而驷不及舌也抑亦飞如虽禁抑而发亦易为也此甚言发言之易戒人之慎其言也惟大人之言感物如风之震动万彚莫不靡然从之其感其应盖有不期然而然者也】测曰言无追如抑亦也
　　次七不丁言时微于辞见上疑【丁当也七已过中处衰乱之防人当孙其言明哲以保身也今不当可言之时则宜隐微其辞茍以言而自见上之人不惟不之信而反疑之也君子茍时然后言则无此失已】测曰不丁言时何可章也
　　次八蛁鸣喁喁血出其口【蛁蝉也喁喁烦多声八居祸乱之将极徒欲以口舌救之如蛁鸣之喁喁然血出其口有自伤而已其能及乎】测曰蛁鸣喁喁口自伤也
　　上九白舌于于屈于根君子否信【白纯洁之色于于从容自得貌观其言论纯洁于于然从容自得则固疑其为君子矣然其本根之实独有屈焉则徒论笃而已所以君子不信之也】测曰白舌于于诚可长也【言其欠诚信当长之也】
　　□【三方一州三部二家】疑【人隂家八木上中象震卦】隂阳相硙物咸雕离若是若非【硙公哀切　硙磨也言隂阳相磨荡万物皆雕脱若是非言疑也疑之初一日入角宿十二度】
　　初一疑恛恛失贞矢【恛音囘　恛恛疑而未定之意矢箭也喻直一以隂暗而在疑初其疑不定失其正直之道也】测曰疑恛失贞何可定也
　　次二疑自反孚不逺【二以阳明故有疑而能自反则将至于无疑其孚通又岂逺哉人茍自反理无不通】测曰疑自反反清静也
　　次三疑彊昭受兹闵闵于其心祖【昭明也闵闵不明之意祖始也源也三本隂暗乃彊其不明以为明人孰告之哉徒尔自欺反受此不明于其心之源也此戒强明自任者】测曰疑彊昭中心也
　　次四疑考旧遇贞孚【考问也四则阳明有疑而能问于老成之人宜其遇贞正而孚通也书曰好问则裕】测曰疑考旧先问也
　　次五黄疑金中【音同　赤土也黄中色五居中而遇隂其德似是而非犹赤土之黄疑其为金中之色盖奸而似忠佞而似贤莠而似苗乡原似德世之以伪为真者多矣非君子谁能辨焉】测曰黄疑中邪夺正也
　　次六誓贞可聴疑则有诚【忠信薄而人心疑然后有盟誓虽非令典茍其盟誓得其贞正而可聴是因疑而有诚信变而不失乎道之正也】测曰誓贞可聴明王命也
　　次七鬼魂疑贞厉嚘呜戈木之乌射穴之狐反自耳厉【鬼魂言非人之精识也七为隂家之隂而在疑世是犹非人之精识而反疑于正所以厉也嚘鸣呜狐鸣声乌狐皆恶物诗云莫黒匪乌莫赤匪狐是也凡恶物所止之处人并其处而恶之故乌所止之木人欲戈之狐所止之穴人欲射之故曰戈木之乌射穴之狐言可恶之甚也今乌狐之鸣反惑聴之所以厉也盖鬼魂疑贞是小人之疑于君子乌狐反聴是君子之惑于小人也】测曰鬼魂之疑诚不可信也
　　次八顚疑遇干客三歳不射【八在祸而逢阳虽其顚倒于疑虑乃遇明知有才干之人而能亲之信之至于终久而无厌射之情其疑终必解矣】测曰顚疑遇客甚足敬也
　　上九九疑无信控弧拟麋无【九居疑之终疑而能信终于无疑今疑而无所信徒疑而已犹张弓拟射于麋麋无有徒张而已此其所以终惑而不解者也】测曰九疑无信终无所名也
　　□【三方一州三部三家】视【人阳家九金上下象观卦】隂成魄阳成妣物之形貌咸可视【魄体魄妣母丧之称言阳化为隂而将亡也视之初一日入亢宿四度】
　　初一内其明不用其光【明者光之体光者明之用一在视初伏而未见是内其体之明而未施其用之光此贤者侧陋韬晦俟时之际乎】测曰内其明自窥深也
　　次二君子视内小人视外【君子视内求诸已也小人视外求诸人也二逢夜隂是以不能自见】测曰小人视外不能见心也
　　次三视其德可以干王之国【三以刚阳居下之上处思之成能以德业自见宜其可以干辅王国也】测曰视德之干乃能有全也
　　次四粉其题防雨其渥须视无姝【防薄变切　题额也防面也雨泽也渥润也须须通用姝美也四隂柔便媚但饰面貌美髭髯以容悦取人岂非小人丑态哉不知由君子视之殊不见其美也】测曰粉题雨须不可与瞻也
　　次五鸾凤纷如厥德晖如【鸾凤灵禽喻君子纷如多也晖光也五为阳明之君其朝多君子故曰鸾凤纷如既多君子其德岂不极其晖光之盛乎】测曰鸾凤纷如德光皓也
　　次六素车翠盖维视之害贞【六过中不能敦于纯俭虽用素为车而乃以翠为盖徒侈饰以夸视于人有害于正而已则何益哉】测曰素车翠盖徒好外也
　　次七视其瑕无秽【七已入祸故有瑕然遇阳明故能自视其瑕是过而能自讼其能改必矣所以至于无秽也】测曰视其瑕能自矫也【矫强也】
　　次八翡翠于飞离其翼狐鼦之毛躬之贼【翡翠狐鼦皆鸟兽之美于羽毛者也皆为人所取用故离翼躬贼也言人宜去文存质以免祸】测曰翡翠狐鼦好作咎也
　　上九日没其光贲于东方用视厥始【九居视之终是日没其光也终则有始是日复贲于东方也终所以为始之地始所以为终之基故于九之终曰用视厥始】测曰日没贲东终顾始也
　　□【三方二州一部一家】沈【人隂家一水下下象兊卦】隂怀于阳阳怀于隂志在宫【宫幽之府谓北方沈之初一日入亢宿七度】
　　初一沈耳于闺不闻贞【闺閤也妇人居之一在沈初隂柔居内是沈溺于妇人之言乌有得闻于正道哉此牝晨之戒也大抵人之所溺莫甚于色与食故赞辞皆以二者为义】测曰沈耳于闺失德体也
　　次二沈视自见贤于眇之盻【人莫难于自见二以阳明故能自见宜其贤于不明者之盻也】测曰沈视之见得正美也
　　次三沈于美失贞矢【三隂柔过中而沈溺于美色故其心志蛊惑而失正直之理也】测曰流于矢作聋盲也【昏闭于色故不聪明】
　　次四宛雏沈视食苦贞【宛雏凤雏也非竹实不食以喻君子言君子沈濳其视不肯妄食食虽苦淡务存正道而已】测曰宛雏沈视择食方也
　　次五雕鹰髙翔沈其腹好恶粥【好去声音怀义同恶粥臭腐之物也五隂鸷贪秽而居尊位如雕鹰髙翔志在攫食故沈其腹然其所食不洁好怀臭腐之物此小人奸秽周旋于位者乎四五赞辞正用庄子答惠子防鸮吓腐防之譬】测曰雕鹰髙翔在腐粮也
　　次六见票如累明利以正于王【票飞升而上之速也六上进而居福禄之极以其阳明兢惕之深虽其见乎升进之速乃视之而如累然见宠若惊得进而忧茍能如此必无贪竞之失而有引避之谦宜其明达通利以正于王也】测曰见票如累其道明也
　　次七离如娄如赤肉防枭厉【离娄视明貌赤肉肉腐无皮故赤也七不中而祸贼明于奸秽其嗜利如防枭之于腐防然能无危厉之及乎】测曰离娄赤肉食不臧也
　　次八盼得药利征【盼目明也药所以疗疾八在祸中乃能明于自救不至沈溺是善补过者也岂不利征乎】测曰盼得其药利征迈也
　　上九血如刚沈于颡前尸后丧【刚冈通　九居沈溺之极以致祸败其聚血如冈陵然甚至沈没其颡前则尸而后则丧祸败已极虽欲救之其将能乎】测曰血刚沈颡终以贪败也
　　□【三方二州一部二家】内【人阳家二火下中象归妹卦】隂去其内而在于外阳去其外而在乎内万物之既【既尽也万物至是皆尽内之初一日入氐宿四度秋分气终于此首之次二寒露节起于此首之次三】
　　初一谨于□防初贞后宁【□防音妃逑义同　一居妃配之始始而得正后乃可宁初而不贞后岂宁乎夫正始凡事固所当然况妃配乃齐家之本尤宜谨也】测曰谨于□防始女贞也
　　次二邪其内主迂彼黄牀【内主妻也迂逺也黄牀中正之牀也二在内世而隂邪犹妻之不正也妻之不正宜出逺于黄牀而不御近之也】测曰邪其内主逺乃宁也
　　次三尔仪而悲坎我西阶【坎防失也西阶妇升西阶代母之位也礼云婚礼不贺人之序也以其易代故见其仪而悲盖前者去而后者继妇任事而姑退聴是以防失我母所居之西阶也】测曰尔仪而悲代母情也
　　次四好小好危丧其緼袍厉【緼袍温体之服御寒之具也四以隂柔乃好小道乐危事不能以大道安事自居必致丧其存身之具所以厉也】测曰好小好危不足荣也
　　次五龙下于泥君子利用取□遇庸夷【庸平也夷等也龙阳物泥隂物龙下于泥言阳下于隂在婚礼则致聘亲迎之事皆男下女也茍能尽礼如此必得佳偶而遇平等之配言其道同德合有是夫而有是妇也】测曰龙下于泥阳下隂也
　　次六黄昏于飞内其羽虽欲满宫不见其女【六居宠禄之极是躭乐于女色如暮夜之行则维内其羽谓入乎宫也虽其妃嫔之多欲充满其宫犹自以为不足如不见其有女也盖贪得者无厌莫知其女之多也后世纵欲之君后宫动以千万犹曰无当意者果何理哉】测曰黄昏内羽不能自禁也
　　次七枯垣生莠皬头内其雉妇有【皬头白首也雉妇小妇也七已过时而居内世是为枯垣生莠之象在人道则白首而内有少妇也此取易枯杨生荑老夫得其女妻之语而文之】测曰枯垣生莠勿庆类也
　　次八内不克妇荒家及国涉深不可测【八以隂邪而居祸中是内有不能之妇谓失德也妇德如此必至荒废家国譬如涉深之不可测言其为祸不可量也诗云乱匪降自天生自妇人又曰哲妇倾城此之谓也】测曰内不克妇国之孽也
　　上九雨降于地不得止不得过【九居上之终终则反始故为雨降于地之象不得止不得过言其得润泽之中也】测曰雨降于地泽节也
　　□【三方二州一部三家】去【人隂家三木下上象无妄卦】阳去其隂隂去其阳物咸倜倡【倜倡磊落相去貌去之初一日入氐宿九度】
　　初一去此灵渊舎彼枯园【一为水逢隂家之隂不善于去乃去此灵美之渊而舎止枯槁之园言其去美就恶也】测曰去此灵渊不以谦将也
　　次二去彼枯园舎下灵渊【二以阳明故善于去与初反也】测曰舎下灵渊谦道光也
　　次三髙其步之堂有露【露沾濡物喻小人之汚染于人也三隂躁不中而为进人妄有所进故髙步也而不知其堂之有露欲沾濡于人此君子轻进恐不免为小人之所汚染也】测曰髙步有露妄升也
　　次四去于父子去于臣主【去于父子言父子相离也去于臣主言君臣相离也父子相离则恩隔君臣相离则义乖故非所望也此赞当昼辞反不吉疑有误】测曰去于父子非所望也
　　次五攓其衣之庭有麋【攓音愆　麋草也春秋传曰吾与尔孟诸之麋是也五当去中而遇隂邪言攓举其衣而进其奈庭荒之有草无以为措足之地乎此小人在庭君子惮而不进也】测曰攓衣有麋亦可惧也
　　次六躬去于成天遗厥名【六居隆盛之地故能成其功性复刚明乃能身执谦退去其成功而弗有虽欲逃名而名归之也书曰汝惟不伐天下莫与尔争功汝惟不矜天下莫与尔争名此之谓也】测曰躬去于成让不居也
　　次七去其德贞三死不令【令善也七过时而遇隂不能存其固有之善宜其终死于不善也】测曰去其德贞终死丑也
　　次八月髙火几县不可以动动有愆【县去声　火大火心星也夏之中星几县将没也火星将没乃九月十月之交寒气将盛之时也月髙火几县二者皆言隂气之将盛隂气盛犹祸乱之时不可以有为茍有为则不免于愆咎矣言天下无道宜隐去也】测曰月火县恐见咎也
　　上九求我不得自我西北【我去首之自我也去属寒露气正西北卦气用事故曰西北九居去之终去之已甚故求而不可得乃在我之西北隂方也】测曰求我不得安可久也
　　□【三方二州二部一家】晦【人阳家四金中下象明夷卦】隂登于阳阳降于隂物咸丧明【晦之初一日入氐宿十三度】
　　初一同独见幽贞【一居晦之始以逢阳明未至于晦是众虽暗已独有见故幽静而得贞正之道也】测曰同独见中独昭也
　　次二盲征否【二在晦中伥伥然如无目之人而征行所谓擿埴索涂行而已宜其否也】测曰盲征否明不见道也
　　次三隂行阳从利作不凶【阳行隂从乃道之正今晦世反隂登而阳降是以隂盛阳衰反隂行而阳从之非道之正疑其妄作故戒以利作不凶之事则得吉也】测曰隂行阳从事必外也
　　次四晦其类失金匮【金匮藏典籍之器今不明其条类由其失于典籍也】测曰晦其类法度废也
　　次五日正中月正隆君子自晦不入穷【日中月隆喻时位正盛五居福禄之中处时位之盛如日之正中月之正隆也君子则能冲晦以持其满故不入于穷也】测曰日中月隆明恐挫也
　　次六鸟维愁明降于幽【鸟燕也维愁寒至将归故愁也晦世隂登节属寒露是鸟将归之阳衰隂盛故明降于幽也】测曰鸟维愁将下昧也
　　次七防提明德或遵之行【防音眇义同　言防小之国能振提其明德虽不能以有天下后世或有遵之行者如孟子劝滕行仁政谓有王者起必来取法是也】测曰防提明德将遵行也
　　次八视非其直夷其右目灭国丧家【八过时而在祸中处晦乱之时所视非其直道且复夷伤其右目是奸暗之臣不直不明之甚宜其家国俱至丧灭也】测曰视非夷目国以丧也
　　上九晦利于不明之贞【九居晦之极不可以有为惟宜韬晦俟时故曰晦利于不明之贞也】测曰晦之利不得独明也【天下皆乱不能独为】

　　太本防卷五
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨>
　　钦定四库全书
　　太本防卷六　　　　明　叶子竒　撰
　　□【三方二州二部二家】瞢【人隂家五土中中亦象明夷卦】隂征南阳征北物失明贞莫不瞢瞢【瞢瞢不明貌瞢之初一日入房宿三度寒露节终于此首之次四霜降气起于此首之次五斗指戌无射用事】
　　初一瞢复睒天不覩其轸【睒失冉切　睒窥也轸界也一在瞢初而逢隂暗而不明是瞢而欲窥于天其何有所见于轸界也】测曰瞢复睒天无能见也
　　次二明复睒天覩其根【二以阳刚是明而窥天其见深逺至有以至其本根之地也】测曰明复睒天中独烂也
　　次三师或导射豚其埻【豚音遯义同埻音凖　师乐师瞽者也埻射之的也三隂暗不中是犹瞽者之导人以射所谓借视于盲其何所见宜其遯失于埻的也】测曰师或导射无以辨也
　　次四鉴贞不迷于人攸资【四以阳明故鉴照贞正而不迷其自明则足以明人宜其为他人之取资也孟子曰贤者以其昭昭使人昭昭是也】测曰鉴贞不迷诚可信也
　　次五倍明仮光触蒙昏【仮音反义同　五为瞢主隂暗昏弱其不明甚矣乃倍其明而反其光是以触处莫不蒙昏其何有所明哉正所谓反鉴索照者也】测曰倍明仮光人所频也【频愁戚貌】
　　次六瞢瞢之离不宜荧且【五果切　离遭也荧明也好貌韩愈圣德诗日君月妃焕赫婐与此字同六逢瞢世而瞢瞢是遭宜韬晦自守不宜衒其明且好也盖在暗时不能容其明故也】测曰瞢瞢之离中薆薆也【薆薆犹郁郁】
　　次七瞢好明其所恶【七隂暗昏邪凡所云为拂人之性独好明其所恶也危哉】测曰瞢好之恶着不可昧也　【一説瞢好是逺君子眀其所恶是近小人】
　　次八昏辰利于月小贞未及星【八居瞢之将极其暗已甚是犹昏暗之辰宜得大明之月以照之而小道之贞曽不及于星何能为也言昏乱之世宜得大才以济之小才不足以有为也】测曰昏辰利月尚可愿也
　　上九时不获其嘉男子折笄妇人易哿【子賖切长叹也嘉美也折笄死而不用也哿珈同妇人首饰诗云副笄六珈是也夫死为服故易珈也九居尽弊之位遇时之极者也故时而叹不得其美且阳衰之极故男死而女为服也】测曰不获其嘉男死妇叹也
　　□【三方二州二部三家】穷【人阳家六水中上象困卦】隂气塞宇阳亡其所万物穷遽【遽急也穷之初一日入心宿二度】
　　初一穷其穷而民好中【初以阳德在穷而能安其穷其乐天知命如此是民之好乎中道者也其吉可知】测曰穷其穷情在中也
　　次二穷不穷而民不中【二逢隂故其义与初反】测曰穷不穷诈可隆也【穷不安其穷则放辟邪侈无不为矣】
　　次三穷思逹【三以阳明处思之成遇困屈能自求通于道者也】测曰穷思达师在心也
　　次四土不和木科椭【椭徒和切　科椭木枯悴貌四隂舛邪戾故为土不和而木枯之象是犹君不仁而民病之忧也】测曰土不和病乎民也
　　次五羮无糁其腹坎坎不失其范【坎坎空馁貌食乏而腹枵尚不失其范言能安贫乐道也五以刚阳故能如此】测曰羮无糁犹不失其正也
　　次六山无角水无鳞【角兽类鳞鱼类家性为穷山至于无兽水至于无鱼言其荒穷之甚也诗云牂羊坟首三星在罶人可以食鲜可以饱亦言荒乱也】测曰山无角困百姓也
　　次七正其足蹛于狴狱三岁见録【蹛音滞义同　録审辨也七本阳明所行无不善之失顾其过时入祸所以无辜而滞防于狴狱之中终而见于辨明也】测曰正其足险得平也
　　次八涉于霜雪累项于防【八居穷极剥落之时隂塞阳亡之际是涉于霜雪而拘累其项于股防之中言其窘冻局缩之甚也】测曰累项于防亦不足生也
　　上九破璧毁圭臼灶生鼃天祸以他【圭璧天子诸侯之器九居穷极言圭璧破毁是君臣之道尽矣臼灶生鼃是民生之计穷矣此盖适丁厄数之防其祸岂自已以致之哉乃天祸以他道也】测曰破璧毁圭逢不幸也
　　□【三方二州三部一家】割【人隂家七火上下象剥卦】隂气割物阳形县杀七日几絶【县去声　割之初一日入尾宿二度】
　　初一割其耳目及其心腹厉【耳目外也心腹内也外以由中中以制外不可相无今初不明乃剥割其耳目其害必及于心腹虽欲无危得乎】测曰割其耳目中无外也
　　次二割其肬赘利以无秽【肬赘身外所余恶肉也二以刚断故能割弃其身外所余之恶肉故利以无秽也以一国而言则小人去而朝廷清以一身而言则慝恶修而德业进也】测曰割其肬赘恶不得大也
　　次三割鼻食口丧其息主【食去声　鼻气息所由故曰息主三不中不明乃自割其鼻以食于口复何补哉徒丧其息主而已世之剥下以奉上戮正以宠邪皆其象也】测曰割鼻丧主损无荣也
　　次四宰割平平【四处公侯之位禀阳明之资故其宰割甚均宜其得制国之道也】测曰宰割平平能有成也
　　次五割其股肱丧其服马【股肱所以辅身服马所以承已皆资身之物也五以隂邪不明于德乃自剪其良辅不道甚矣】测曰割其股肱亡大臣也
　　次六割之无创饱于四方【六为福隆阳德之君子居割之世能分已之道以兼善天下及天下皆善而自已之道初无所损固自若也是为割之无创饱于四方之象】测曰割之无创道可分也
　　次七紫蜺矞云朋围日其疾不割【紫不正色蜺虹也隂阳淫气以喻小人矞云庆云也以喻君子七在隂邪之时犹君子小人共处于朝党与盘固不可动摇人君不能辨而去之如唐末朋党之祸互相倾轧是也】测曰紫蜺矞云不知刋也【刋除也】
　　次八割其蠧得必疾【八居祸中不能无蠧以其逢阳故能割而去之其所得亦必疾速盖害去则利来邪去则正进故也】测曰割其蠧国所便也
　　上九割肉取骨灭顶于血【九居割剥之极故为割肉取骨灭顶于血之象言其伤害之极也】测曰割肉灭血不能自全也
　　□【三方二州三部二家】止【人阳家八木上中象艮卦】隂大止物于上阳亦止物于下下上俱止【止之初一日入尾宿六度霜降气终于此首之次八立冬气起于此首之上九】
　　初一止于止内明无咎【一在止初未有作为能止于其所当止由其中心之明所以得无咎也】测曰止于止智足明也
　　次二车轫俟马酋止【轫止车之物酋就也二逢隂而在止世不可以行故车轫以俟马就以止藏其器以待时之通也通则可行也】测曰车轫马止不可以行也
　　次三关其门户用止狂蛊【狂蛊狂乱之人也三以阳明忧深思逺能重门以待暴也】测曰关其门户御不当也【当去声　不当不善也】
　　次四止于童木求其疏谷【童木无枝叶之木疏薄也谷禄也四为下禄故曰疏谷止童木其防既防求疏谷其得既薄四隂暗不明故其所托所求皆非其所也】测曰止于童木求其穷也
　　次五柱奠庐盖盖车谷均防【奠安也居中为止之主故为柱安其庐之象君位居髙而临下又为盖以盖车之象中而无党无偏又为谷禄均及防薄之象占者有其德则应之】测曰柱及盖谷贵中也
　　次六方轮广轴坎轲其舆【阳圆则行隂方则止六以隂而在止世如方轮广轴不可圆转势必不行故坎轲其舆而不进也】测曰方轮坎轲还自震也【震惊动也】
　　次七车累其俿马猎其蹄止贞【俿音驰　累曳挽也俿轮也车挽其轮进已甚矣马猎其蹄足已倦矣当此之时止则贞也此动极而能止者也】测曰车累马猎行可隣也
　　次八弓善反弓恶反善马恨恶马恨絶弸破车终不偃【弸悲矜切　反弓反也弸也偃止也八隂躁褊迫不能驾御羣才譬之弓马之善者亦致其反防恨怒弓马之恶者亦致其反防恨怒盖用之非其道也书曰狎侮君子罔以尽其心狎侮小人罔以尽其力是善恶二者俱致其失也然其过时不止至于絶破车而终不息葢事势已迫而犹不悟也】测曰弓反马恨终不可以也【以用也】
　　上九折于株木輆于砭石止【九处上而不知所止如车之行上折于株木下輆于砭石上下维谷不可以有行而复止也】测曰折木輆石君子所止也
　　□【三方二州三部三家】坚【人隂家九金上中亦象艮卦】隂形胼冐阳丧其绪物竞坚彊【胼手足劳苦皮厚也言隂封蔽于阳之甚坚之初一日入尾宿十度】
　　初一盘石固内不化贞【一以隂暗而居坚始故其麄顽如盘石坚固内无所通变虽贞何益】测曰盘石固内不可化也
　　次二坚白玉形内化贞【二则阳明譬之坚白明莹之玉形质其中缜宻而温通也】测曰坚白玉形变可为也
　　次三坚不凌或泄其中【凌去声　凌氷坚凝貌三失中不固是坚而不甚至于凝故或泄其中而不固也】测曰坚不凌不能持齐也
　　次四小螽营营防其蛡蛡不介在坚防【防音蔕蛡音螽蝗属防接翼处也蛡飞貌介大也四在坚世处下之上惟在于固其本而已如小螽之营营然未能逺飞方防接其生之飞翼翼虽未大惟在固其接翼之处无至断折则不期大而自大矣以人事言之小民方营营然本于生业生业虽未甚庻在乎固其本根毋劳伤之则国不期安而自安矣以君臣之道言之亦然则防为君蛡为臣君而制臣在乎固其防也】测曰小螽营营固其氐也【氐根柢也】
　　次五蛡大防小虚【蛡大防小喻君弱臣强即尾大不掉之谓国鲜不虚矣】测曰蛡大防小国空虚也
　　次六韯防纱纱县于九州【县去声　韯小也纱纱小貌县牵系也六处尊位居福禄之极是人君以眇然之身以县系于天下故为韯防纱纱县于九州之象书曰予临兆民懔乎若朽索之驭六马汉文诏曰朕以眇躬托于天下诸侯士民之上皆谦小兢惕之辞得韯防之义矣】测曰韯防之县民以康也
　　次七坚颠触冡【颠冡皆头也七以隂戾不能相下两强相觝徒费其劳是以不知所行也】测曰坚颠触冡不知所行也
　　次八坚祸惟用解蝝之贞【古怙字解音獬蝝音寨解蝝好直之兽人邪枉则以角触之八居隂祸是怗于祸乱终无悛心则惟用直方之道以纠治之耳】测曰坚祸用直方也
　　上九螽焚其翊丧于尸【翊所以辅身忠所以匡君九居亢极髙而无辅犹螽焚翊而丧身君弃忠以失位也】测曰螽焚其翊所凭丧也
　　□【三方三州一部一家】成【人阳家一水下下象既济卦】隂气方消阳藏于灵物济成形【阳无可息之理息上反下是藏于灵也成之初一日入尾宿十五度】
　　初一成若否其用不已【一在成初居成功常若无所成焉谓能将之以谦所以其用无穷由能冺其迹也】测曰成若否所以不败也
　　次二成防改改未成而殆【改改无一定之操也二以隂暗粗成防功而辄改改无一定之操所以其功未成而已殆矣】测曰成防改改不能自遂也
　　次三成跃以缩成飞不逐【成跃以缩谓得伸由于屈也蠖屈龙蛰皆以求伸至于屈极而伸则其势莫御故曰成飞不可追逐也】测曰成跃以缩成德壮也
　　次四将成矜败【四隂躁易盈故功将成而辄以骄矜致败也】测曰将成之矜成道病也
　　次五中成独督大【督正也又人之督脉处脊之中亦言其中正也五处中是其所成无过不及之差故独得其正所以大也】测曰中成独督能处中也
　　次六成魁以成获祸【魁即荀子论朱象之嵬谓顽鄙也以魁而有所成则因成以致祸矣自古小人因功而败者多矣成魁之谓也】测曰成之魁不以让也
　　次七成阙补【七入祸故有阙值阳明故能补】测曰成阙之补固难承也次八时成不成天降亡贞【七居衰落时已暮矣时当成而不及时以成之天反降之以亡贞之咎古谓天与不取反受其咎】测曰时成不成独失中也
　　上九成穷入于败毁成君子不成【九居成之极成不可以再成惟入于败而已凡物成则有毁毁则复成故曰毁成君子知其成毁之道常相因所以常自贬损使其不至于成故无倾覆之败也】测曰成穷以毁君子以终也
　　□【三方三州一部二家】防【人隂家二火下中象噬嗑卦】隂阳交跌相阖成一其祸泣万物【防音缺　隂阳交跌以成一岁之功盛必有衰故万物悲泣也防之初一日入箕宿一度】
　　初一圜方杌棿其内窾换【杌棿不安貌换不相入貌初在内而逢隂故致间防如圜凿方枘之不相入由于其内之换也】测曰圜方杌棿内相失也
　　次二防无间【间去声　二得中得阳虽在防世而无间隙之可议言能弥缝以补之也】测曰无间之防一其二也【一则全二则防一其二言全其防也】
　　次三龙袭非其穴光亡于室【袭藏也三过中遇隂为咎如龙藏非其穴所以光晖于亡室也言托非其所而致辱也】测曰龙袭非穴失其常也
　　次四臭肥灭鼻利美贞【臭肥粪也土田硗确所以资其化育之助虽有灭鼻之臭终成利美之功故贞也】测曰灭鼻之贞没所劳也
　　次五齧骨折齿满【齧骨折齿以馋有伤也伤而不止折齿至于满其伤甚矣得非殉利没身而不悔者乎】测曰齧骨折齿大贪利也
　　次六饮汗吭吭得其膏滑【吭户郎切　汗劳而肌肤所出之液也吭吭燕声饮汗吭吭言食其劳力也六以阳刚而在防世独能食其劳力宜其受膏滑之盆也夫子所谓先难后获自然之効也又太史公所谓沐浴膏泽歌咏勤苦意亦近似】测曰饮汗吭吭道足嗜也
　　次七阚其差其合离也【赞辞存首句测辞存结句盖缺文也】
　　次八辅其折廅其缺其人晖且偈【廅于合切偈音杰廅补也八已过时不能无缺折所幸得逢阳故能辅而补之不至于頽弊所为如此其人岂不光明而英杰者乎】测曰辅折廅缺犹可善也
　　上九隂阳啓其变赤白【音吪　啓开也动也赤阳白隂九居防极言隂阳之开动其变赤白言阳变为隂隂复为阳也】测曰隂阳啓极则反也
　　□【三方三州一部三家】失【人阳家三木下上象大过卦】隂大作贼阳不能得物防不测【失之初一日入箕宿六度立冬节终于此首之初一小雪气起于此首次二斗指夹应钟用事】
　　初一刺虚灭刃【一以阳明而在失世处得其防不至于失如用刀刺于空虚之地得其窽郤滔滔乎灭没其刄曾无肯綮之防也】测曰刺虚灭刃深自几也
　　次二藐德灵征失【藐小貌灵祥征验也小德不足以致贞祥之瑞今忽有焉何足以当之殆天所以益其疾也宁无失乎】测曰藐德之失不知畏征也
　　次三卒而从而防而竦而于其心祖【卒去声从平声卒从惊惧貌防竦忧惕貌而语辞祖源也三当失世而能戒惧于其心源则必能自励而无失也】测曰卒而从而能自改也
　　次四信过不食至于侧匿【四隂幽退缩当乱失之世自信之过果于忘世不肯出仕食君之禄至于幽侧隐匿如沮溺之流也】测曰信过不食失正禄也
　　次五黄儿以中蕃君子以之洗于愆【黄发儿齿谓耆德之人也五中而刚阳能亲耆德之人以为中之蕃辅盖君子资以自新其德也】测曰黄儿以中过以洗也
　　次六满其仓芜其田食其实不养其根【六隂而失中故其富国病民得末弃本如此】测曰满仓芜田不能修本也
　　次七疾则药巫则酌【七虽入祸以其阳明故能随事而处治之】测曰疾药巫酌祸可转也
　　次八雌鸣于辰牝角鱼木【八失时已甚复居失世故其反道悖德犹雌不当鸣晨而鸣牝不当有角而有角鱼不当登木而登木三者皆言变其常也】测曰雌鸣于辰厥正反也
　　上九日月之逝改于尸【九失时已极犹日月之逝改变其尸体谓少者壮壮者老老者死死者至于腐也】测曰改于尸尚不逺也
　　□【三方三州二部一家】剧【人隂家四金中下亦象大过卦】隂穷大泣阳无介俦离之剧【剧病甚也介佐使也俦类也隂虽穷孤阳初生眇然无助佐其类相离之甚也剧之初一日入箕宿十一度】
　　初一骨累其肉内幽【累俘累也初以隂戾是以骨肉相残深为内行之幽辱也】测曰骨累其肉贼内行也
　　次二血出之食凶贞【血言其伤也食疮口没也二以阳明至亲有伤而加收救故血虽出而疮口食没也其得凶祸之正道乎诗云原隰裒矣兄弟求矣血出之蚀也】测曰血出之食君子伤之也
　　次三酒作失德鬼睒其室【睒瞰视也三过中不正故酒作失德鬼瞰其室谓欲祸之也】测曰酒作失德不能持也
　　次四食于剧父母采馂若【采取也馂余食也四虽阳而逢剧世是食于贫剧虽无三牲之盛然能取其余食以事父母不失其为若顺之德也古如頴考叔食舎肉翳桑饿人留飱之类】测曰食剧以若为顺禄也【若顺也】
　　次五出野见虚有虎牧猪□绔与襦【五隂狠而不君为穷剧之主犹人出外而他无所见惟见虎牧猪而已谓以贪暴临民也□绔与襦宜急避之犹恐其无容足之地也】测曰出野见虚无所措足也
　　次六四国满斯宅【六以阳明居福之盛美莫如之乃至安之所也人情莫不欲安故四海无不欲满于此宅也】测曰四海满斯求安宅也
　　次七麃而半而戴祸顔而【出祸入福盛极将衰犹人鬓垂而半白乃戴丧亡之顔耳言老而将死也】测曰麃而半而戴祸较也【较显然也】
　　次八缾累于繘贞顇【繘绠索也顇劳悴也八居祸不无难苦如缾系于绠取汲不停虽非不正然亦劳悴之甚也】测曰缾累于繘厥职迫也
　　上九海水羣飞蔽于天杭【杭舡也九穷则变水所以载舟今反羣飞而反蔽于天舡言变其上下之常也】测曰海水羣飞终不可语也
　　□【三方三州二部二家】驯【人阳家五土中中象坤卦】隂气大顺浑沌无端莫见其根【坤隂至静莫窥其朕驯之初一日入斗宿五度】
　　初一黄灵幽贞驯【一以阳徳能尽其道无偏邪褊躁之非有中美雅正之操所以顺也】测曰黄灵幽贞顺以正也
　　次二其膏女子之劳不静亡命【音怀　二坤静隂柔如怀其膏沐乃女子之为功容耳夫坤以贞静为功茍反其德至于不静则亡其正命矣】测曰膏之亡不能清净也
　　次三牝贞常慈卫其根【三隂静贞正常不失于慈顺乃所以固其本也】测曰牝贞常慈不忘本也
　　次四狥其劳不如五之豪【狥示众也如木铎狥于道路之狥言四矜代其劳不如五之包容也】测曰狥其劳伐善也
　　次五灵囊大包其德珍黄【囊承载之物坤象五处中为坤德之至如坤道兼载其德珍美而中也】测曰灵囊大包不敢自盛也【盛平声】
　　次六囊失括泄珍器【括结也坤以静黙为正六以隂躁不能致谨故慢而致失也】测曰囊失括臣口溢也【口溢谓不宻而失身也】
　　次七方坚犯顺利臣贞【坚刚也七以阳明能守其方正坚刚之节以犯顔纳谏于君是利于臣之守其正也】测曰方坚犯顺守正节也
　　次八驯非其正不保厥命【八过时而处祸资禀隂邪所以驯非正岂足以保其命哉】测曰驯非其正无所统一也
　　上九驯义忘生赖于天贞【九居殄絶之位不能逭于死亡尚幸得阳之贞能驯义以忘生得其正命以死盖尽人道之宜所以得天理之正也】测曰驯义忘生受命必也
　　□【三方三州二部三家】将【人隂家六水中上象未济卦】隂气济物乎上阳信将复始之乎下【将之初一日入斗宿九度】
　　初一将造邪元厉【一为思始始谋之不臧未有不为大危也】测曰将造邪危作主也
　　次二将无疵元睟【二得中逢阳思而无邪其意已诚所以其德大纯而无杂】测曰将无疵易为后也
　　次三鑪钧否利用止【冶为鑪陶为钧三不中其为鑪钧已非焉能复有美器不如其已也盖用非其人宁复有成功用非其法宁复有善治知其不能不若止之为愈也】测曰鑪钧否化内伤也
　　次四将飞得羽利以登于天【四以阳刚离下升上如欲将飞复得羽之助可以进于髙逺矣】测曰将飞得羽其辅彊也
　　次五大爵将飞抜其翮【句】毛羽虽众不得适【爵雀通五隂暗不淑如大爵将飞乃防其翼之翮其余羽毛虽众复何用哉宜其不得其所适矣】测曰大雀拔翮不足赖也
　　次六日失烈烈君子将衰降【烈烈炽盛貌六居隆盛之极盛极不能以终盛盛极必衰如日之失乎烈烈终必为寒之基岂独天道为然以人事而言君子将亦降于衰微也】测曰日失烈烈自光大也
　　次七趹船跋车其害不遐【趹音决　趹跋皆蹴踏皆贱弃而不用之意船车水路任重之器弃其任重之器岂能有达宜其害之不逺也】测曰趹船跋车不逺害也
　　次八小子在渊丈人播船【小子在渊谓天下溺矣丈人播船思以道济之也夫拯溺亨屯非耆德君子其谁能之】测曰丈人播船济溺世也
　　上九红蚕縁于枯桑其茧不黄【红蚕烂蚕也九居将极何能有成如烂蚕縁于枯桑必不成茧也以腐才当于败局必无成功也】测曰縁于枯桑蚕功败也
　　□【三方三州三部一家】难【人阳家七火上下象蹇卦】隂气方难水凝地拆阳弱于渊【防阳方萌于地下故弱于渊也难之初一日斗宿十三度】
　　初一难我【难在纯隂空寂之时万物未兆一在难初是难我以初未有可见之形也】测曰难我未见形也
　　次二冻冰渎狂马椯木【椯音抟　椯控止也二在蹇难隂凝之时不宜有所行茍或如狂马之妄行则见控止于木而已何能有进乎】测曰狂马椯木妄生也
　　次三中坚刚难于非常【三为阳家之阳故中实坚刚在蹇难之世虽有非意相干曽何足动之哉】测曰中坚刚终莫倾也
　　次四卵破石毈【毈徒玩切　毈壊也卵喻君子石喻小人当蹇难之世君子道消小人道长是卵见破由于石毈之也言君子之见防害于小人也】测曰卵破之小人难也
　　次五难无间虽大不勤【五中而逢阳其道纯备虽居难世曾无间隙之可议是以虽当大任德足堪之曽不以为劳也】测曰难无间中宻塞也
　　次六大车川川上輆于山下触于川【六过中而隂暗不能济难如大车川川然而行上则輆于山下则触于渊进退维谷何能有所进也】测曰大车川川上下輆也
　　次七拔石力没以尽【之人切　石顽而无知之物喻难之主蹇蹇貌七以阳明之资犹拯难蹇蹇之臣虽忠力竭尽然主难之君乃顽而无知终不能喻虽其道不尽济于时然处巳之义则尽矣】测曰拔石乗时也
　　次八触石决木维折角【八居祸难之中用非其时不能有济徒自取伤而已】测曰触石决木非所治也
　　上九角解豸终以直其有施【九居难极难极必通君子将得遂其行如任角之解豸以触邪枉终将直其所施也】测曰角解豸终以直之也
　　□【三方三州三部二家】勤【人隂家八木上中象坎卦】隂冻沍戁创于外防阳邸膂力于内【戁女板切　戁创为屯厄也邸来于漠之中也膂力着力貌勤之初一日入斗宿十八度】
　　初一勤于心否贞【以隂邪而居思始是勤于心而不以其正也夫思而已正犹恐行之不能无邪况思之以邪寜复其行之有正哉】测曰勤否贞中不正也
　　次二劳有恩勤悾悾君子有中【二在思中其德刚明虽居勤劳而复恩勤言其徳力二者俱至也彼虽悾悾然无知君子未尝不存诸心思有以觉之也】测曰劳有恩勤有诸情也
　　次三羁角之吾其泣呱呱未得繦杖【三当勤世勤于其事不暇顾其子故曰羁角之吾其泣呱呱然未得繦负与杖扶也】测曰羁角之吾不得命也
　　次四勤于力放倍忘食大人有克【放上声　放比也四为公侯而当勤世能勤于力比于众人加倍而复忘其食是其事君敬其事而后其食此惟有大人之德始克能之】测曰勤力忘食大人德也
　　次五往蹇蹇祸迩福逺【以隂弱而当尊在坎陷之世不能以有为以此时而往徒有蹇蹇而已不惟不足以有成将恐祸近而福逺也】测曰往之蹇蹇逺乎福也
　　次六勤有成功几于天【六以刚明故勤则有成由其行合于天之道也】测曰勤有成天所来辅也【先天而天弗违也】
　　次七劳牵不于其鼻于尾弊【七过时而失志故其制人处事不得其道如牛马之类牵之不于其鼻乃于其尾宁无自及之祸哉所以弊也】测曰劳牵之弊其道逆也
　　次八劳踖踖心爽蒙柴不却【踖七爵切　踖踖劳貌蒙柴谓蒙冐柴木之中言其所行劳甚也八居祸中能尽其劳而踖踖然其心之精爽惟在于勤王虽冐艰阻曾无退郤之心也】测曰劳踖踖劳殉国也
　　上九其勤其勤抱车入渊负舟上山【九居勤之极时不可以有为重言岂其勤哉徒费其勤不得其道虽复疲弊复何补哉】测曰其勤其勤劳不得也
　　□【三方三州三部三家】养【人阳家九金上上象颐卦】隂弸于野阳蓲万物赤之于下【弸音氷蓲音邱　弸满也蓲萌也赤阳色养之初一日入斗宿二十二度】
　　初一藏心于渊美厥灵根【渊谓静深也灵根善本也一初养始养心之要莫若存之于静深之中以致其涵养之功培之于本原之地以致其灵美之効盖必使之大本立而用有以行也按法言或问神曰心请问乎曰潜天而天潜地而地天地神明而不测者也盖言人心之妙惟在所潜而巳矣语实相发】测曰藏心于渊神不外也【子此语于存养之功至为精宻后世养生家为説虽多不能出于此矣】
　　次二墨养邪元函否贞【墨黙也元大也函包也二以隂戾故黙存于邪心而大包于不正之道此小人诚于恶者】测曰墨养邪中心败也
　　次三粪以肥邱育厥根荄【言种其徳也与□首次四赞臭肥灭鼻利美贞义同】测曰粪以肥邱中光大也
　　次四燕食扁扁其志利用征贾【居遇切　既飞且食曰燕食扁扁飞貌得此而复望彼貌四以隂邪而居公侯之位食君之禄复营私利如燕之扁扁然既飞且食其志复然得此而复望于彼如孟子谓子叔疑登陇断者之所为实贱丈夫之态非君子之所行惟利用于征商耳】测曰燕食扁扁志在赖也【赖利也】
　　次五黄心在腹白骨生肉孚德不复【黄心在腹腹以养心也白骨生肉肉以养骨也此言凡物皆得其养也五以阳明中正之君以道济人是以天下莫不得其所养故其德之所孚人莫不服岂俟于再也】测曰黄心在腹上得天也
　　次六次次一日三饩祗牛之兆肥不利【次音咨　次次犹孜孜为利之孜饩生牲也祗神祗也六居福盛隂而不中专利无厌次次然厚奉其身一日致享三牲之饩酣于豢养而不知其为身之祸譬之祭神之牛已得卜兆虽饫于刍豆以肥其身而不知其死之将及也庄子所谓虽欲为孤犊岂可得乎世之嗜富贵而蹈危机者多矣可不自省哉】测曰次次之饩肥无身也
　　次七小子牵象妇人徽猛君子养病【徽索也以小子牵象以妇人徽猛是以至弱繋至刚至柔驭至暴言不胜其任也七过时入祸小人任事而君子引避焉故养于病也】测曰牵象养病不相因也【不相因小人进则君子退也】
　　次八鲠不脱毒疾发鬼上垄【鲠骨刺也八居剥落祸之将极惟得疾死埋而巳何能救哉】测曰鲠疾之发归于坟也
　　上九星如岁如复继之初【以二赞当一日九赞当四日半七百二十九赞当一岁三百六十四日半至此星周岁终复继于始之中首也】测曰星如岁如终始养也
　　踦赞一【属水象闰以凖朔虚】
　　冻登赤天晏入渊泉【冻至寒之气谓隂晏至热之气谓阳言隂生于上阳生于下也老子云至隂肃肃至阳赫赫肃肃出乎天赫赫出乎地子语本此】测曰冻登赤天隂作首也【物必由静而后动】
　　嬴赞二【属火象闰以凖气盈】
　　一虚一嬴踦竒所生【踦竒有余零也一虚一嬴由其有余零不尽所以相生无穷也】测曰虚嬴踦踦禅无巳也【禅代也虚嬴相因四时迭代何有终穷之日哉右按岁法该三百六十五日四分日之一今七百二十九赞以二如一止该三百六十四日半尚欠一日似以踦嬴二赞复当一日以满一年之岁法然尚余四分日之一未有归宿岂以踦嬴二赞不足以当全赞而杀三时欤】
　　【范望曰有三方九州二十七部八十一家二百四十三表七百二十九赞而生三万六千二百四十四防以当周岁三百六十五日四分日之一以七十二防为一日止得三百六十四日半欠岁法四分日之三应得五十四防始合其数今立踦嬴二赞以合岁法之日也如此则岁尽于亥至子复生矣】

　　太本防卷六
　　钦定四库全书
　　太本防卷七　　　　　明　叶子竒　撰
　　太冲
　　【冲对冲也取八十一首两两对举而释之犹易对待交易之义此篇以凖易之序卦也】
　　中则阳始【阳始于子中】应则隂生【隂始于午中】周复乎德【德属阳】迎逆乎刑【刑属隂】礥太戚遇小愿闲孤而灶邻少防也大也戾内反廓外违上触素文多故干狂也礼方也则来而逃则亡羡私曲唐公而无欲差过也而常糓【糓善也】童寡有而度无乏増始昌而永极长锐执一而昆大同达日益其类减日损其类交相从也唫不通也防有畏守不可攻傒也出翕也入从散也而聚集也进多谋积多财释推也饰衰也格好也是而疑恶也非夷平而视倾乐上杨沉下藏争士齐也内女怀也务则喜而去则悲事尚作晦尚休更变而共笑瞢久而益忧断多事穷无喜毅敢而割惫装徙乡止不行众温柔坚寒刚宻不可间成不可更亲亲乎善防防乎恩敛也得失亡福彊善不倦剧恶不息睟君道也驯臣保也盛壮将老也居得乎位难遇乎诎法易与天下同也勤苦而无功也养受羣余君子养吉小人养凶也【养无对界于隂极阳生之中以为动静之机故曰受羣余而君子小人莫不于此焉判也故周子曰几善恶】
　　太错
　　【错杂也取八十一首更杂明之此凖易之杂卦也】
　　中始周旋羡曲毅端睟文之道或淳或班彊也健傒也弱积也多而少也弱视也见而晦也瞀童无知盛而有余去离故而将来初大也外而翕也内也进防也退乐佚逷勤蹶蹶达思通穷思索干在朝而内在席差自増饰自好格不容而昆寛裕増日益而减日损驯奉令而戾相反释也柔而坚也刚夷平易而难颉颃断多决而疑犹与【去声】逃有避争有趣进欲行止欲鸷廓无方务无二应也今而度也古迎知前永见后从也牵守也固礥拔难剧无赦唐荡荡而闲【音翳】塞更造新常因故失大亡敛小得灶好利法恶刻礼也都而居也室聚事虚众事实防也皆合二而宻也成成成上志高沉志下交多友唫少与鋭鏩鏩【音尖】瞢跙【上租感切下才与切】亲附疏割犯血遇逢难装候时事自竭养自兹格也乖而昆也同増有益而减有损成者功就不可易也
　　【此篇多取对待相反以为义】
　　太攡【音离】
　　【此凖易之系辞以为八十一首之通例】
　　者幽攡万类而不见其形者也资陶虚无而生乎规神明而定摹通同古今以开类攡措隂阳而发气【音关　即易之太极指道也幽深宻也攡分张也资生陶养也交通也措置立也虚无言天不言地言天则地在其中矣凡此五句始一句统而言之道之深宻而张万类包括兼该无所不体而不见其形也下四句分而言之道之生天地贯神明通古今立隂阳所以生规定摹开类发气也统言明其大德之敦化所以为万殊之本分言明其小德之川流所以为全体之分也曰资陶曰曰通同曰攡措此之所以为造化之功曰生曰定曰开曰发此之所以为造化之效曰虚无神明古今隂阳此其在物之实体曰规摹类气此其在物之实用也其之所至者欤　此一节言实理之根柢杨子取之为者也】一判一合天地备矣天日回行刚柔接矣还复其所终始定矣一生一死性命莹矣【回交互也莹明也形虽判而气则合此天地之道所以备天左旋而日右行此刚柔之变所以接天日分行至复会于元分之所而一岁之始终之所以定原始反终故生而必有死之期此万物性命之所以明　此一节言气运之流行图拟之为象者也】
　　仰以观于象俯以视乎情察性知命原始反终三仪同科厚薄相劘圜则杌棿方则啬嘘则流体唫则凝形【三仪天地人也科等也言其道一也子言其仰观俯视见天地隂阳之气或厚或薄互相劘荡以为万变之分圜则杌棿而动摇方则啬而静固嘘则辟而生所以流体唫则翕而成所以凝形以定二端之体正张子所谓游气纷扰生人物之万殊隂阳两端立天地之大义语尤约而义该也】
　　是故阖天谓之宇辟宇谓之宙日月往来一寒一暑律则成物厯则编时律厯交道圣人以谋【宇阖宙辟故日月行所以成寒暑此天之化于人也律厯成而气朔分此人之验于天也律阳厯隂二者交道故扬子作以应律候以恊厯纪以拟天之动也】
　　昼以好之夜以丑之一昼一夜隂阳分索夜道极隂昼道极阳牝牡羣贞以攡吉凶则君臣父子夫妇之道辩矣【昼好夜丑以分隂阳牝牡间配以分吉凶书阳则为君为父为夫夜隂则为臣为子为妇而天人之道一也　此言观察天地之隂阳以定太之吉凶】
　　是故日动而东天动而西天日错行隂阳更巡死生相摎万物乃纒【摎相绕纒也天毎日绕地一周而过一度日亦每日绕地一周而不及天一度是以天渐差而西日渐差而东积三百六十五日四分日之一而天日复会于元分之所而成岁所谓天周岁终是也天日隂阳更错巡行此天道之所以终始也万物死生轇扰相纒此人物之所以死生也人物之死生即天道之终始由其不齐所以无穷巳也】
　　故者聘天下之合而连之者也【天人异用万物散殊道则兼贯而无不在也此邵子所谓万物　按道沕穆无间出于自然今体统一太极者是也　曰聘曰合曰连似若牵强而同之立文颇似未稳】
　　缀之以其类分之以其觚晓天下之瞆瞆莹天下之晦晦者其惟乎【觚法也分首系赞莫不因其类旦经夕纬莫不着其法所以定嫌疑决犹豫也　此一节吉作之法与用之道】
　　夫晦其位而其畛深其阜而眇其根欀其功而幽其所以然者也【晦位言其无方所也畛言其无畔岸也深阜言其至博厚也眇根言其至防妙也虽成其功而宻然莫知其所以然者也　此一节状之妙】
　　故卓然示人逺矣旷然廓人大矣渊然引人深矣然絶人眇矣　【此一节皆形容之妙也】
　　嘿而该之者也防而散之者人也稽其门辟其户叩其键然后乃应况其否者乎【理备于书业生由人求则应未有不求而应者也】
　　人之所好而不足者善也人之所丑而有余者恶也君子日彊其所不足而拂其所有余则之道几矣【拂除也茍能从善除恶则无待于占筮而知吉凶矣】
　　仰而视之在乎上俯而窥之在乎下企而望之在乎前弃而忘之在乎后欲违则不能嘿则得其所者也【此赞美道之妙恍惚前后无方无体不可捉摸然其为物之体物不能违也】
　　故者用之至也见而知之者智也视而爱之者仁也断而决之者勇也兼制而愽用者公也能以偶物者通也无所系輆者圣也时与不时者命也虚形万物所道之谓道也因循无革天下之理得之之谓徳也理生昆羣兼爱之谓仁也列敌度宜之谓义也秉道徳仁义而施之之谓业也【知之者知之道也故谓之智也爱之者爱之道也故谓之仁以下十者随其造诣而为之名也】
　　莹天功明万物之谓阳也幽无形深不测之谓隂也阳知阳而不知隂隂知隂而不知阳知隂知阳知止知行知晦知明者其唯乎【阳主息变物而有形隂主消化物而无迹然隂阳气也故局于一偏而不通者理也故通于两端而兼体周子曰物则不通神妙万物正谓此也】
　　县之者权也平之者衡也浊者使清险者使平【县去声言之称物平施可易乱以治反危为安也】
　　离乎情者必着乎伪离乎伪者必着乎情情伪相荡而君子小人之道较然见矣【离去也着归也情伪不可以两立去情必归于伪去伪必归于情情伪君子小人之所以分也】
　　者以衡量者也髙者下之卑者举之饶者取之罄者与之明者定之疑者提之【言之为用如衡之于轻重量之于多少也髙卑言衡之用也饶罄言量之用也明疑言之用也其髙下与夺莫不因其理之自然也】
　　规之者思也立之者事也説之者辨也成之者信也【规之者规也立之者立也下仿此此言用之道所以开物成务也】
　　夫天宙然示人神矣夫地他然示人明矣天地定位神明通气【他去声　宙开辟貌他隆厚貌妙而不测为神显而可见为明天地之位定而神明之气通也】
　　有一有二有三【分天地人之位三易之劝物以两之观物以三大抵本于老子一生二二生三三生万物之説而推之】
　　位各殊辈回行九区终始连属上下无隅【方州部家之位虽不同而但回行于九区之中中始养终之首虽不断初无隅角于圆混之象此言位则列而图则圆也　此一节言图之象】
　　察龙虎之文观鸟之理运诸桼政系之泰始极焉以通璇玑之统以正玉衡之平【东方苍龙西方白虎南方朱雀北方此二十八宿定经天之象也桼政日月五星也泰始谓北极天之枢也璇玑玉衡观天之器今之浑天仪也列宿所以定经天之象七政所以错纬天之度莫不系之于极焉此观天之术所由施也　此言之取法象于天以为书】
　　圜方之相研刚柔之相干盛则人衰穷则更生有实有虚流止无常【天圆地方之相摩阳刚隂柔之相犯错综纷扰以成造化之功故盛衰穷通之迭运虚实流止之无常也】
　　夫天地设故贵贱序四时行故父子继律厯陈故君臣理常变错故百事防质文形故有无明吉凶见故善否着虚实荡故万物纒【凡七句上半句言天地之实体下半句言取之以为用即易天尊地卑乾坤定矣之意】
　　阳不极则隂不萌隂不极则阳不牙极寒生热极热生寒信道致诎诎道致信【信平声　大凡物穷则变盛极则衰也天道且然况于人乎】
　　其动也日造其所无而好其所新其静也日减其所有而损其所成【阳之生也物自无而趋有隂之消也物自有而趋无　此説盖得易分变化二字之防】
　　故推之以刻叅之以晷反覆其序轸转其道也【推刻以漏叅晷以表因往知来以古验今知其循环有常是谓反覆其序轸转其道者也　此説验天之行不一而足皆自防而至着也】
　　以见不见之形抽不抽之绪与万类相连也【可见可抽者象与事也不见不抽者理也理无形因象事而后著者也万类莫不本于是焉】
　　其上也县天下也沦渊纎也入薉广也包畛【此极言之道上下大小无不包括其大无外其小无内也】
　　其道游而挹盈存存而亡亡防防而章章始始而终终【游守其静也挹盈损其盛也存存因其当存而存之亡亡以其当亡而亡之下仿此　此言以谦静为道其用莫不因其自然而利导之】
　　近者亦近之逺者亦逺之譬若天苍苍然在于东面西面南面北面仰而无不在焉及其俛则不见也天岂去人哉人自去也【近逺皆去声　此言道体之存否在乎人心之从违】
　　冬至及夜半以后者近之象也进而未极往而未至虚而未满故谓之近夏至及日中以后者逺之象也进极而退往穷而还巳满而损故谓之逺【冬至子之半一阳始生自此积之万物寖盛而寖昌以阳为主故曰近夏至午之半一隂始萌自此积之万物寖防而寖灭以隂为外故曰逺此一岁盈虚之运也一日亦然】
　　日一南而万物死日一北而万物生斗一北而万物虚斗一南而万物盈【夏至日极北而渐转南行为万物衰之始冬至日极南而渐转北行为万物生之端夏至斗指午渐转西而北行冬至斗指子渐转东而南行斗与日背行迭运消息盈虚共成岁功也】
　　日之南也右行而左还斗之南也左行而右还【星家以天之东为左西为右北为左南为右夏至日在东井始行由西方故言右行冬至日在牵牛始还从东方故言左旋冬至斗在地下始行由东方故言左行夏至斗当嵩髙始还从西方故言右旋盖斗与日常互行也】
　　或左或右或生或死神灵合谋天地乃并天神而地灵【日斗分左右之行万物有死生之变此天地神灵所以同运成造化之功也此言日斗为天之纪纲而斡旋造化莫不由之也亦附之入图以见其运】
　　太莹
　　【莹明也此篇以凖易之下系】
　　天地开辟字宙拓坦天元咫步日月纪数周浑厯纪羣伦品庶或合或离或嬴或踦【拓开坦广也咫八寸也步六尺也上古以甲子岁十一月甲子朔夜半冬至为天元日一年有南北之行月一月有朔望之异积三十日为一月积十二月为一岁之数也周浑言其周运也嬴有余也踦不足也此言上天下地之气辟而宇宙之位分天元推歩之法陈而日月之数定周运而为厯纪之无尽参错而有羣品之不同故或合而为晦或离而为望或嬴而为气盈或踦而为朔虚也此一节言天道厯数之大槩也】
　　故曰假哉天地防函啓化罔裕于始终幽明表赞神灵太阳乘隂万物该兼周流九虚而祸福絓罗【假大也防吞也函包也啓开也罔无也裕大也九虚九赞之位也絓罗挂缀于网罗言由其所遇也言大哉天地能包含而开化者莫大于也始终于隂幽阳明之道表赞于天神地灵之理以太阳为之统而乘隂则事有所主而万物可以该兼以一气而周流于九虚则物无所遗而祸福可以包罗也　此一节言体天道之大槩也】
　　凡十有二始羣伦抽绪故有一二三以絓以罗术莹之【凡一年有四时时有三月故凡十有二月为朔之始而昏明昼夜气分至之羣伦莫不由是而出故有天一地二人三又错综以成方州部家之位以絓以罗而连缀之　此一节言之明乎岁法也以下凡十三节泛言律厯五行人事以推广之説也】
　　鸿本五行九位施重上下相因丑在其中术莹之【鸿大也丑配也九赞之位以一六为水二七为火三八为木四九为金中五为土九者以中为主莫不配在其间也】
　　天圜地方极植中央动以厯静时乘十二以建七政术莹之【天以动为运厯以静为验以四时而乘十二辰以建日月五星之运也以为极阳为天隂为地阳则动隂则静所以分配四时而合七政也】
　　斗振天而进日违天而退或振或违以立五纪术莹之【推中首之气日在牵牛斗指子八十一首莫不推按而备言之此五纪之所以与天合也】植表施景榆漏率刻昏明考中作者以戒术莹之【榆音输防也　立表所以验二至之景防漏所以考昏明之刻在则有中应隂阳之分占筮旦夕之辨而作者所以戒也】
　　泠竹为管室灰为以揆百度百度既设济民不误术莹之【泠伶伦黄帝时乐官到大夏西取竹断以为十二律管以齐五音之上下室缇室也置十二管实以葭灰以节气之至以揆度百事而济民不误则以中首应黄钟之气应首应防宾之气余以类推】
　　东西为纬南北为经经纬交错邪正以分吉凶以形术莹之【天以东西为纬南北为经以一二五六七为经三四八九为纬余见占法】凿井澹水钻火防木流金陶土以和五美五美之资以资百体术莹之【防古然字　具五行之用】
　　竒以数阳偶以数隂竒偶推演以计天下术莹之【阳之象圆圆者径一而围三故阳数竒隂之象方方者径一而围四故隂数偶阳数一三五七九皆竒隂数二四六八十皆偶】
　　六始为律六间为吕律吕既协十二以调日辰以数术莹之【间配也阳为始隂为配律为阳吕为隂】
　　方州部家八十一所画下中上以表四海术莹之【表明也】
　　一辟三公九卿二十七大夫八十一元士少则制众无则治有术莹之【辟君也以人事明之】
　　古者不不虞慢其思匪筮匪卜吉凶交凟于是圣人乃作蓍钻精倚神箝知休咎术莹之【音于戒也虞度也蓍所以筮所以卜钻精言卜倚神言筮箝总括其要也　按莹十三节子以凖易十三卦之取象者与】
　　是故欲知不可知则拟之以乎卦兆测深摹逺则索之以乎思虑二者其以精立乎【精谓其纯诚而不杂也】夫精以卜筮神动其变精以思应谋合其适精以立正莫之能仆精以有守莫之能夺故夫抽天下之蔓蔓散天下之混混者非精其孰能之【推纯诚之道而极言之】
　　夫作者贵其有循而体自然也其所循也大则其体也壮其所循也小则其体也瘠其所循也直则其体也浑其所循也曲则其体也散【循谓有所因体谓有所本之所因因易也所本本道也故言循有大小曲直之不同故其体有壮瘠浑散之或异惟在于作者之如何耳后四体字又自以体质而言与前体自然字意自不同】
　　故不防所有不彊所无譬诸身増则赘而割则亏【此言道有定体不可以増减也】故质干在乎自然华藻在乎人事人事也具可损益欤【理气象数出乎道体之自然书辞占筮由乎圣贤之所作虽则人作亦莫不本于道体之自然所以及其既具亦不可损益也】
　　夫一一所以摹始而测深也三三所以尽终而极崇也二二所以叅事而要中也人道象焉【以一首九赞而统言之初一次二次三为始次四次五次六为中次七次八上九为终以一首九赞而分言之则次一次四次七为始次二次五次八为中次三次六上九为终又以八十一家而统言之自天中首至事首为始自地更首至昆首为中自人减首至养首为终又以八十一家而分言之自天中首至辨首地更首至疆首人减首至视首为始天自羡首至傒首地自睟首至大首人自沈首至坚首为中天自从首至事首地自廓首至昆首人自成首至养首为终以至方州部皆凖此推之言一一者非止初一为一言凡四七亦皆中上之一也三三二二仿此推之非止天道有始中终人道亦有思福祸也所以子观物之理皆分三截】
　　务其事而不务其辞多其变而不多其文也不约则其指不详不要则其应不博不浑则其事不散不沈则其意不见是故文以见乎质辞以睹乎情观其施辞则其心之所欲者见矣【沈深也言其事该辞约变多文寡也约以辞言要以事言浑以理言沈以意言非文无以明质非辞无以见情故观辞足以知其心之所欲矣】
　　夫道有因有循有革有化因而循之与道神之革而化之与时宜之故因而能革天道乃得革而能因天道乃驯【本其所固有者为因从其所成法者为循改其所宿弊者为革变其所旧习者为化言其所因所革莫不因其自然之势而为之则得矣】
　　夫物不因不生不革不成故知因而不知革物失其则知革而不知因物失其均革之匪时物失其基因之匪理物丧其纪因革乎因革国家之矩范也矩范之动成败之効也【因仁也革义也非因不生非革不成二者相须而为用不可以偏废偏废则失其法与平矣茍知二者之不可以偏废而用之非其时行之非其理则亦失矣茍当因而因当革而革不失其当诚国家之法度也况法度之动乃为成败之効乎】
　　立天之经曰隂与阳形地之纬曰从与横表人之行曰晦与明【南北为纵东西为横晦愚也明贤也此盖仿易立天地人之道曰隂阳刚柔仁义之言而稍变其説然易言立人之道曰仁与义葢以天理之所固有者而对言之言表人之行曰晦与明葢以气禀之所不齐者而对言之天理固有乃纯粹至善而无不善之杂者也气禀不齐则有清有浊有贤有愚有善有不善之杂者也圣人以纯粹至善以立人道之至极今以贤而表人之行可也曽不知愚亦足以为人之行而表之乎岂非子直以不善为性之所固有凡人之曰贤曰愚均足以为人道之当然而并言之欤至其论性亦有善恶混之説此乃其道术本根之误也曽何足以语圣人尽性至命之书乎】
　　隂阳曰合其判从横曰纬其经晦明曰别其材隂阳该极也经纬所遇也晦明质性也阳不隂无以合其施经不纬无以成其谊明不晦无以别其徳【隂阳殊气纵横殊势晦明殊质莫不交相用而互相成也该极所以包天地之理所遇所以袭水土之宜质性所以异贤愚之禀葢无判不能成合故曰合施无纬不能成经故曰成谊无小人莫辨君子故曰别徳】
　　隂阳所以抽啧也从横所以莹理也明晦所以昭事也啧情也抽理也莹事也昭君子之道也【啧情也一隂一阳所以达天之情一从一横所以明地之理一明一晦所以昭人之事人茍能于天之情也达于地之理也明于人之事也昭则为君子之道也】
　　往来熏熏得亡之门【此交首次四赞辞】夫何得何亡得福而亡祸也天地福顺而祸逆山川福卑而祸髙人道福正而祸邪故君子内正而外驯每以下人是以动得福而亡祸也【此括谦卦彖辞】
　　福不丑不能生祸祸不好不能成福丑好乎丑好乎丑好君子所以亶表也【丑恶也好善也亶表信明也福而不为善祸能不生乎祸而至于悔福能不成乎葢恶是祸之阶善是福之基重言丑好乎以致其丁宁之戒复言丑好君子之所信而明也】
　　夫福乐终而祸忧始天地所贵曰福鬼神所祐曰福人道所喜曰福其所贱在恶皆曰祸故恶福甚者其祸亢【得福者必先于忧勤得祸者必先于忽殆乐终则福成忧始则无祸矣恶福葢乐其所以亡者也】
　　昼人之祸少夜人之祸多昼夜散者其祸福杂【此言首赞所遇昼吉夜凶杂遇昼夜吉凶之理】

　　太本防卷七
<子部,术数类,数学之属,太玄本旨>
　　钦定四库全书
　　太本防卷八　　　　　明　叶子竒　撰
　　太数
　　昆仑天地而产蓍参珍睟精三以数散幽于三重而立家旁拟两仪则覩事逢遭并合系其名而极命焉精则经疑之事其质乎【音戞　昆仑圆浑貌蓍草名可筮天下治平则其生满百茎参合而有征也睟纯而不杂也用三故以三数散其理于方州部之三重而立八十一家两仪谓隂阳昼夜则可以覩其事之得失更也名八十一姓之名命谓赞辞所定吉凶之道也此一节言揲蓍求首之事】
　　令曰假太假太孚贞爰质所疑于神于灵休则逢阳星时数辞从咎则逢隂星时数辞违【此命筮之辞】凡筮有道不精不筮不疑不筮不轨不筮不以其占不若不筮【精専也不专则无诚不疑则无事不轨则无道皆所不筮以用也谓不用所值劝戒之占辞不如不筮也此言为筮之道也】
　　神灵之神灵之曜曽卓越三十有六而防视焉【曜曽明高也卓越迈超也用三十六防揲此先叹美之为数也】天以三分终于六成故十有八防天不施地不成因而倍之地则虚三以扮天十八也别一以挂于左手之小指中分其余以三搜之并余于艻一艻之后而数其余七为一八为二九为三六筭而防道穷也【物无孤立之理一不能以终一故一与一为二二与一为三自兹以往乃厯所不能尽故子谓极一为二极二为三极三为推故以三为天之本数二其三则六故以六成六其三则为十八所以为天之防也天茍不施地则何成因以天之十八防而加倍则为三十六防然天常有余地常不足故虚地之三以扮并天之十八防止用三十三防也揲时别以一防挂于左手小指间以凖易大衍之数五十其用四十有九之义然后以其余三十二防而以三揲之并其欲尽三及二一之余数而艻于左手二指间一艻之后将三搜之防又都以三数之不复中分数欲尽时至十巳下得七为一画余八为二画得九为三画其前挂及余艻不在数限凡四度画之而方州部家之位成而首之名定矣故自立天地之防为三十六是一筭虚三是二筭挂一是三筭分搜是四筭并艻是五筭数余是六筭此一揲之防道穷也　此一节言取防数之义与推揲之法　扮甫文切艻即得切】
　　逢有下中上下思也中福也上祸也思福祸各有下中上以昼夜别其休咎焉【首名既足然后观其所逢之赞以九赞而统分上中下则初一次二次三在下为思次四次五次六居中为福次七次八上九居上为祸以九赞而细分上中下则初一为思之下次二为思之中次三为思之上次四为福之下次五为福之中次六为福之上次七为祸之下次八为祸之中上九为祸之上逢阳家则一三五七九为昼二四六八为夜逢隂家则一三五七九为夜二四六八为昼逢昼则吉逢夜则凶也】
　　极一为二极二为三极三为推推三为嬴赞赞嬴入表表嬴入家【有天而后有地是极一为二也有天地而后有人是极二为三也有天地人则万理具焉故可为推推天地人之道而满于九赞赞满而入二百四十三表表满而入八十一家总成七百二十九赞也　此一节由体达用自内而推之于外】
　　家嬴入部部嬴入州州嬴入方方嬴入【此一节由用原体自外而推之于内】
　　一从二从三从是谓大休一从二从三违始中休终咎一从二违三违始休中终咎一违二从三从始咎中终休一违二违三从始中咎终休一违二违三违是谓大咎【凡筮分经纬昼夜表赞以占吉凶经者谓一二五六七也旦筮用焉纬者三四八九也夕筮用焉日中夜中杂用一经一纬表者一五七为一表属经三四八为一表属纬二六九为一表杂用经纬凡旦筮者用经当九赞一五七之表遇阳家则一五七并为昼是谓一从二从三从始中终皆吉遇隂家则一五七并为夜是谓一违二违三违始中终皆凶凡夕筮者用纬当九赞三四八之表遇阳家始休中终咎遇隂家始咎中终休若日中夜中杂用二经一纬当九赞之二六九也遇阳家始中咎终休遇隂家始中休终咎故经谓昼夜散者祸福杂凡休咎止二端反覆所值而有是六等也　此一节言占筮所逢之吉凶】
　　占有四或星或时或数或辞【星者所配之宿各以其方与本首五行不相违克假如中首所配牵牛属北方水与首水行同徳是星从也时者所筮之时与所遇节气相逆顺也假如冬至筮遇十月已前首为逆冬至已后首为顺也数者隂阳竒偶之数以定所遇昼夜之吉凶辞者九赞之辞与所筮之意相违否也】
　　旦则用经夕则用纬观始中决从终【不言日中夜中杂经纬者举旦夕则中可知也虽观始中当以终为重也】
　　三八为木【天三生木地八成之】为东方为春日甲乙辰寅卯声角色青味酸臭羶形诎信生火胜土时生藏脾侟志【音存义同】性仁情喜事貌用恭防肃征旱帝太昊神勾芒星从其位【东方苍龙七宿下仿此】类为鳞为雷【位在震】为皷为恢声【皷雷象恢大也】为新【物初生】为躁【阳动故也】为户为牗【阳气所通】为嗣为承【长子继父】为叶为绪【皆言其继生也】为赦为解【阳以生物为事】为多子【物孕字也】为出【物得阳而萌动也】为予【上声亦施生之象】为竹为草为果为实为鱼【鳞类】为疏器【脉理通也】为规为田为木工为矛为青怪为为狂【阳气放荡　此与月令素问所推大同小异】
　　四九为金【地四生金天九成之】为西方为秋日庚辛辰申酉声商色白味辛臭腥形革【金曰从革】生水胜木时杀【秋令】藏肝侟魄性谊情怒事言用从防乂征雨帝少昊神蓐收星从其位【奎娄七宿】类为毛为毉为巫祝【兑为巫】为猛为旧为鸣【金为声】为门为山为限为边为城为骨为石为环佩【皆刚物】为首饰为重寳为大哆为扣器【扣音口金饰也】为舂为椎为力为县【平声】为燧【金取火器】为兵为械【皆金革之物】为齿为角为螫为毒【皆辛气所为】为狗为入【金性鋭也】为取【收敛之象】为罕【罕取鸟纲也】为为贼【皆隂恶也】为理【大理掌刑狱之官】为矩为金工为钺为白怪为瘖为譛【兑为口舌瘖口之病譛口之害】
　　二七为火【地二生火天七成之】为南方为夏日丙丁辰巳午声征色赤味苦臭焦形上【火性炎上】生土胜金时养藏肺侟魂性礼情乐事视用明防哲征热帝炎帝神祝融星从其位【井鬼七宿】类为羽为灶【火用事】为丝为网为索【两目相承皆离之象】为珠【有光象火】为文为駮为印【皆文明之物】为绶为书【亦文明物】为轻【火势焱疾】为高为台为酒为吐为射【皆施出之象】为戈为甲为丛为司马【夏官】为礼【以文明也】为绳为火工为刀为赤怪为盲【目不明病】为舒
　　一六为水【天一生水地六成之】为北方为冬日壬癸辰子亥声羽色黒味咸臭朽形下【水性润下】生木胜火藏肾侟精性智情悲事聴用聪防谋征寒帝颛顼神星从其位【斗牛七宿】类为介为鬼【隂灵也】为祠为庙【皆隂灵所寓】为井为宂为窦【皆坎防象】为镜【如水可鉴】为玉为履【水行曳地象】为逺行【水不息意】为劳【坎为劳】为血为膏【皆润形之物象水】为贪【收藏之过】为含【无物不可入也】为蛰【冬藏也】为火猎为闭为盗为司空【冬官】为法为准为水工为盾为黒怪为聋为急
　　五五为土【天五生土地十成之十亦重五耳】为中央为四维日戊巳辰辰戌丑未声宫色黄味甘臭芳形殖【土爰稼穑】生金胜水时该【无物不兼载也】藏心侟神性信情恐事思用睿防圣征风帝黄帝神后土星从其位【北极紫宫大角轩辕之属中央之宿也】类为祼【祼无鳞甲毛羽人为之长也】为封为缾为宫为宅【皆土所作】为中霤【在屋中央】为内事为织为衣为裘为茧为絮【皆内事也取其温养之义】为牀为荐【取承载之义】为驯为怀【地性柔顺】为腹【取其包容众物之象】为脂为漆为胶为为包为舆【取其承载】为毂【居中也】为稼为啬为食为□【□音胝土象胝】为棺为犊为衢为防为都【皆土属】为度为量【取容受之义与土同】为土工为弓矢为黄怪为愚为牟【牟暗昧也】
　　五行用事者王【音旺假如春则木王】王所生相【夏火受生故相】故王废【冬水已生春木故废】胜王囚【秋金克木故囚】王所胜死【土受木克故死余四行仿此推之　此推言五行相生克之理】
　　其在声也宫为君征为事商为相角为民羽为物【宫之丝八十一征之丝五十四商之丝七十二角之丝六十四羽之丝四十八丝多者声浊丝少者声清宫最浊第一故配君征次清第四故配事商次宫第二故配相角次商故配民羽最清故配物此葢以多寡清浊以为尊卑之配也　按以尊卑渐次而语其分之序则曰宫商角征羽以旋宫隔四而语其生之序则曰宫征商羽角今此既以征次宫宜当以羽先角庶合旋宫之次】
　　其以为律吕【六律为阳六吕为隂世説黄帝使伶伦至大夏之西取嶰谷之竹窍厚均者为十二管聴凤鸣而吹之其六象雄为律其六象雌为吕世谓律配吕为同类娶妻如黄钟以大吕为配也隔八生子如黄钟生林钟之类】黄钟生林钟【黄钟十一月之律也管长九寸三分损一下生林钟六寸】林钟生太簇【去声　林钟六月之吕也三分益一上生太簇八寸】太簇生南吕【太簇正月之律也三分损一下生南吕五寸三分寸之一】南吕生姑洗【上声南吕八月之吕也三分益一上生姑洗七寸九分寸之一】姑洗生应钟【姑洗三月之律也三分损一下生应钟四寸二十七分寸之二十】应钟生防賔【应钟十月之吕也三分益一上生防賔六寸八十一分寸之二十六】防賔生大吕【蕤賔五月之律也三分益一上生大吕八寸二百四十三　阳生于子隂生于午从子至巳阳分寸之七十八　生隂退故律生吕皆下生吕生律皆上生从午至亥隂陞阳退故律生吕言上生吕生律言下生葢隂在阳中隂顺行阳在隂中阳逆行所以防賔隂生反变而上生异乎黄钟阳中之下生也范望説】大吕生夷则【大吕二月之律也三分损一下生夷则五寸七百二十九分寸之四百五十一】夷则生夹钟【夷则七月之律也三分益一下生夹钟七寸二千一百八十七分七之千七百十五】夹钟生无射【夹钟二月之吕也三分损一下生无射四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四】无射生仲吕【无射九月之律也三分益一上生仲吕六寸万九千六百八十三分寸之万二千九百七十至仲吕四月之吕当复生黄钟若三分益一不能复与黄钟分寸合者葢律吕取天地之中声为用所以至黄钟而复自生异乎天地之细大无不兼而循环可　生也范望谓防賔以下损益上生下生与黄钟以后不同与诸説不同姑存之以备参考】
　　子午之数九丑未八寅申七卯酉六辰戌五巳亥四【子一阳生午一隂生气生一分则数虚一分故子午之数虚一而止九丑二阳生未二隂生而丑未之数虚二而止八驯而至于六阳六隂之月而巳亥之数虚六而止四皆自十而逆除也九阳盛为数之统此之所以为用也子午虚一而无位此之所以为体也】故律四十二吕三十六并律吕之数或还或否凡七十有八黄钟之数立焉【上文阳数九七五积二十一因而加倍得四十二隂数八六四积十八因而加倍得三十六合二者之数或如黄钟以下可以旋生诸律或如仲吕之上不可以复生黄钟总其大数凡七十八而黄钟之数立焉】其以为度也皆生黄钟【黄钟之长九寸空围九分以秬黍中者九十枚则其长九寸此度之所由生也实秬黍千二百枚而为籥合籥为合此量之所由生也其所实秬黍计重十二铢合二十四铢而为两此衡之所由生也度量衡皆生于黄钟所以为万事根本此独言度者举一以见其余也】
　　甲巳之数九乙庚八丙辛七丁壬六戊癸五【説与支同】声生于日律生于辰声以情质律以和声声律相协而八音生【以律吕自相配故律阳而吕隂以声律而各相配则声阳而律隂声有五而律有六故以十干配声十二辰配律也声宫商角征羽八音金石丝竹匏土革木也】
　　九天一为中天二为羡天三为从天四为更天五为睟天六为廓天七为减天八为沈天九为成天【此子自撰九天之名详説见后】
　　九地一为泥沙二为泽池三为沚崖四为下田五为中田六为上田七为下山八为中山九为上山【俱自下等而上也】
　　九人一为下人二为平人三为进人四为下禄五为中禄六为上禄七为失志八为疾瘀九为极【亦自下等而上至于盛则衰继之矣】
　　九体一为手足二为臂胫三为股肱四为要【腰同】五为腹六为肩七为防喖【音瘕怙　防喖谓唐湖也唐湖即颏颔之垂处】八为靣九为颡
　　九属一为孙二为曽孙三为仍孙四为子五为身六为父七为祖父八为曽祖九为髙祖父【自卑及尊】九窍一六为前为耳二七为目三八为鼻四九为口五五为后【前谓水道后谓谷道耳目及鼻窍皆两口则一也通为九】
　　九序一为孟孟二为孟仲三为孟季四为仲孟五为仲仲六为仲季七为季孟八为季仲九为季季【以三位重而九之】
　　九事一为规模二为方沮三为自如四为外他五为中和六为盛多七为消八为耗九为尽弊【规模始终营也方沮疑而未定也自如已决也外他已行也中和得宜也盛多巳极也消耗尽弊言其极而衰也】九年一为一十二为二十三为三十四为四十五为五十六为六十七为七十八为八十九为九十【大数终九凡此数条皆广推九位与万类相符合也】
　　推筭家一置一二置二三置三【筭谓筮所得家不知隂阳而以筭求之也遇一家则置一筭随所得之位多寡而置之数得竒为阳家数得偶为隂家也】
　　部一勿増二増三三増六【部凡三九二十七部统属八十一家一部实该属三家部一乃其本部即得其属之三家故勿増及至第二部必増三者以前第一部所属之三家已在前第四始属第二部之家故必増三而始得本部之家数及至第三家必増六者以前两部所属六始已在前第七始属第三部之家故必増六始得本部之家数后二十四部皆仿此推之】
　　州一勿増二増九三増十八【州凡三三九州亦统属八十一家毎一州实该属九家州一乃其本州即得其属之九家故勿増及至第二州必増九者以前第一州所属之九家已在前第十始属第二州之家故必増九而始得本州之家数及至第三州必増十八者以前两州所属十八家已在前第十九家始属第三州之家故必増十八而始得本州之家数后六州皆仿此推之】
　　方一勿増二増二十七三増五十四【方凡三方亦统属八十一家毎一方实统二十七家故第二方増二十七第三方増五十四余仿上二节推之】
　　求表之赞置姓去太始防数减而九之増赞去数半之则得赞去冬至日数矣偶为所得日之夜竒为所明日之昼也【表凡二百四十三表赞凡七百二十九赞表以分赞赞以该表若求表之赞则置所遇姓去太始防数太始谓中首也假如今遇应首姓去中首凡四十一防数则减所遇应首初一次二之数以九乗四十得三百六十然后増应首所遇初次一二之数却将所乗三百六十半除之而得一百八十兼所遇之赞数或一或二则得本赞所直之日数此即去冬至之日数矣葢减本赞则可以成数而乗易于推筭也以九乗由其一首有九赞也増本赞则因其既乗而易于加増也去半数由其二赞当一日也若遇应首之初一则为一百八十一为竒是昼在应首之次二则为一百八十二为偶是夜合昼夜共成一日也此竒偶非专言本赞之初一为竒次二为偶是统言七百二十九赞总计其只竒双偶之数如中首之九赞固是一三五七九为竒二四六八为偶到周首之初一反为偶二反为竒何则是通计中首九赞及周首之初一正当第十是偶次二正当第十一是竒也】
　　求星从牵牛始除筭尽则是其日也【巳得日数则星度可知矣冬至日起牵牛一度除一百四十筭则是井二十九度也】

　　太本防卷八
　　钦定四库全书
　　太本防卷九　　　　　明　叶子竒　撰
　　太文【此拟易文言】
　　罔直蒙酋【此拟易乾元亨利贞之文易始干而此始罔葢干为天为万物气之始罔为冬至为一年气之始元亨利贞为四时之徳直蒙酋为四时之象然始初文王系干之辞止为占筮之用故得干者宜大亨而利于正固及孔子作翼复取以配干之四徳则非复文王之意矣葢因时有明语各有当今子拟之而求其艰深险僻之辞以文其圣人已言之防初别无所发明但觉其有模仿重叠之烦而不见其从容自得之妙岂非程子所谓无之靡所缺者欤】
　　罔北方也冬也未有形也直东方也春也质而未有文也蒙南方也夏也物之修长也皆可得而载也酋西方也秋也物皆成象而就也有形则复于无形故曰【此子自解五字之义】
　　故万物罔乎北直乎东蒙乎南酋乎西乎北【罔皆言北者犹易贞兼正固二义罔当冬至已后大寒之前当立冬已后大雪之前】
　　故罔者有之舎也直者文之素也蒙者亡之主也酋者生之府也者明之藏也【此言其盛为衰始衰为盛端二者消息盈虚循环之无已也】
　　罔舎其气直触其类蒙极其修酋考其亲反其奥【此言其生长收藏之功】罔蒙相极直酋相勑出入新故相代隂阳迭循清浊相废将来者进成功者退已用则贱当时则贵天文地质不易厥位【此广推五者之义而极言之】
　　罔直蒙酋言出乎罔行出于罔祸福出乎罔罔之时矣哉行则有踪言则有声福则有膊祸则有形之谓直有直则可蒙也有蒙则可酋也可酋则反乎也是故罔之时则可制也八十一家由罔者也天炫炫出于无畛熿熿出于无垠故罔之时矣哉【防市兖切防肉也炫炫光明貌畛界也熿熿明盛貌垠限也罔为气之始万物莫不资之以生故直蒙酋皆由】
　　【之以出故反覆推言罔之妙人道天道无不本也】
　　是故天道虚以藏之【言罔】动以发之【言直】崇以临之【言蒙】刻以制之【言酋】终以幽之【言】渊乎其不可测也曜乎其不可髙也故君子藏渊足以礼神发动足以振众髙明足以覆照制刻足以悚懝幽足以隐塞君子能此五者故曰罔直酋【此言五者之道极乎深髙君子体之以为用】
　　或曰昆仑旁薄幽何为也曰贤人天地思而包羣类也昆诸中未形乎外独居而乐独思而忧乐不可堪忧不可胜故曰幽【此解中首初一赞辞当初圣人读易因所见而反覆明之初不必求其一一相类也葢文愈类而术愈疎也】
　　神战于幽何为也曰小人之心杂将形乎外陈隂阳以战其吉凶者也阳以战乎吉隂以战乎凶风而识虎云而知龙贤人作而万类同【陈音阵　解中首次二赞辞】龙出乎中何为也曰龙徳始着也隂不极则阳不生乱不极则徳不形君子修徳以俟时不先时而起不后时而缩动止防章不失其法者其唯君子乎故首尾可以为庸也【动止防章言或动或止或防或显也此解中首次三赞辞】
　　庳虚无因大受性命否何为也曰小人不能怀虚处乎下庳而不可临虚而不可满无而能有因而能作故大受性命而无辞辟也故否【庳而不可临虚而不可满即地道无成之意也无而能有因而能作而代有终之意也无辞与奉辞伐罪之辞同辟用也言无辞义为用也中次四赞辞】
　　日正于天何为也曰君子乗位为车为马车軨马可以周天下故利其为主也【軨音灵音介　軨辖系也尾结也车马喻所乗以行軨喻所行之道备也唯圣人得天子之位足以当之次五赞】
　　月阙其慱不如开明于西何为也曰小人盛满也自虚毁者水息渊木消林山杀瘦泽増肥贤人覩而众莫知【极言满损谦益之义】
　　酋酋之包何为也曰仁疾乎不仁谊疾乎不谊君子寛裕足以长众和柔足以安物天地无不容也不容乎天地者其唯不仁不义乎故水包贞【天地无不包然有不包者其唯不　此解中首次善者乎　六次七赞辞】
　　黄不黄何为也曰小人失刑中也诸一则始诸三则终二者得其中乎君子在则正在福则冲在祸则反小人在则邪在福则骄在祸则穷故君子得位则昌失位则良小人得位则横失位则丧八虽得位然犹覆秋常乎【此解中首次八赞辞】
　　颠灵气形反何为也曰絶而极乎上也极上则运絶下则颠灵已颠矣气形恶得在而不反乎君子年髙而极时者也欤阳极上隂极下气形乖鬼神阻贤者惧小人怙【此解中首上九赞辞葢九乃运穷数尽之时虽圣人不能已其已穷之运故圣人原始要终知其如此是以生顺死安以聴夫消息盈虚之数也】
　　昆仑旁薄大容也神战于相攻也龙出于中事从也庳虚之否不公也日正乎天光通也月阙其慱损嬴也酋酋之包法乎则也黄不黄失中经也颠灵之反穷天情也罔直蒙酋赞羣也【此再释九赞及四徳之义亦效文言再及干六爻之义也】
　　昆仑旁薄资怀无方神战于邪正两行龙出于中法度文明庳虚之否臣道不当日正乎天乘干之刚月阙其愽以观消息酋酋之包楷任乎刑徳黄不黄不可与即颠灵之反时则有极罔直蒙酋乃穷乎神域【楷正也言至此已极神明之道而无以加也此又三释九赞四德之义亦效易文言三及干六爻之义也】
　　天地之所贵曰生物之所尊曰人人之大伦曰治治之所因曰辟崇天普地分羣偶物使不失其统者莫若乎辟夫天辟乎上地辟乎下君辟乎中【辟法也君者法之宗也】仰天而天不惓俯地而地不怠惓不天怠不地惓怠而能乎其事者古未有诸【此言天地古今不息君子当体之以自强也】
　　是以圣人仰天则常穷神掘变极物穷情与天地配其体与鬼神即其灵与隂阳同其化与四时合其诚【掘凿而深求之意此言圣人与天地同体】视天而天视地而地视神而神视时而时天地神时皆驯而恶入乎逆【视取以为法之意此言圣人与天地同用】
　　太棿【棿研启切拟也】
　　之赞辞也或以气【谓隂阳五行节之类】或以类【谓因家姓之义触类而长之】或以事之骩卒【骩音委　随其家姓之事而委曲以终其义】谨问其姓而审其家观其所遭遇劘之于事详之于数逢神而天之触地而田之则之情也得矣【劘切劘也问之以刚柔之姓审之以隂阳之家观之以经纬之逢察之以事数之归莫不因事验理物各付物其有不得之情也乎　此一节教人索求赞之防】
　　故首者天性也衡对其正也错絣也测所以知其情攡张之莹明之数为品式文为藻饰棿拟也图象也告其所由往也　【此一节解释衡错测攡莹数文棿图告之义又所以为八十一家七百二十九赞之通例也】
　　维天肇降生民使其貌动口言目视耳聴心思有法则成无法则不成诚有不威棿拟之经【天生烝民有物有则法则之大者莫大于经故拟经于易则莫不畏敬之矣威畏也】
　　垂消为衣襞幅为裳衣裳之示以示天下棿拟之三八【东方为木衣裳木枝叶之象】
　　比扎为甲冠矜为防被甲荷防以威不恪棿拟之四九【西方为金甲防金之大者】
　　尊尊为君卑卑为臣君臣之制上下以制棿拟之二漆【南方为火为礼礼莫大于君臣上下之分】
　　鬼神耗荒想之无方无冬无夏祭之无度故圣人着之以祀典棿拟之一六【北方为空虚漠之地故归之鬼神】
　　时天时力地力维酒维食爰作稼穑棿拟之五五【土莫大于稼穑】
　　古者寳而货贝后世君子易之以金币国家以通万民以赖棿拟之思虑【变而通之】
　　建侯开国涣爵般【音班义同】秩以引百禄棿拟之福【百禄福之宗必以善致之】
　　越陨不令维用五刑棿拟之祸【五刑祸之极必以不善致之】秉圭戴璧胪凑羣辟棿拟之八十一首【首统于即臣统于君】棘木为杼削木为柚杼柚既施民得以燠棿拟之经纬【地以南北为经东西为纬以一二五六七为经三四八九为纬故为织象】
　　防割匏竹革木土金系石弹丝以和天下棿拟之八风【八风坎为广莫风艮为条风震为明庶风巽为清明风离为景风兑为阊阖风坤为凉风干为不周风与乐皆所以通其而宣其气也】
　　隂阳相错男女不相射人人物物各由厥彚棿拟之虚嬴【阳嬴隂虚男嬴女虚因嬴虚而成造化】
　　日月相斛星辰不相触音律差列竒耦异气父子殊面兄弟不孪帝王不同棿拟之岁【孪生患切　斛量也言其光景施受规体相同互相量度也孪双生也言每岁之轨度不齐犹物象之气形各异】
　　啧以牙者童其角防以翼者两其足无角无翼材以道徳棿拟之九日平分【此即董子与齿去角翼两足之喻言物无兼足之理】存见知隐由迩拟逺推隂阳之荒考神明之隐棿拟之晷刻【积防以知著犹累刻以成日】
　　一明一幽跌刚跌柔知隂者逆知阳者流棿拟之昼
　　夜【幽明刚柔即昼夜之象】
　　上索下索遵天之度往述来述遵天之术无或改造遵天之丑棿拟之天元【丑类也上古甲子冬至夜半甲子为天元研穷索述厯数之术莫不本于是也】
　　天地神胞法易乆而不已当往者终当来者始棿拟之罔直蒙酋【神胞言其神妙胚腪生生之不穷也法易言其法变易所以乆而不息也此言万古之往来始终即一岁之始终　圣人作经也　此十九节拟易制器尚象之事　　以拟天之理非天之理反拟于经也末云天运往来反棿拟于之五徳恐成倒道而言也】
　　故拟水于川水得其驯拟行于徳行得其中拟言于法言得其正言正则无择行中则无爽水顺则无败无败故久也无爽故可观也无择故可聴也可聴者圣人之极也可观者圣人之徳也可久者天地之道也【行中皆去声　择拣也爽差也】是以昔者羣圣人之作事也上拟诸天下拟诸地中拟诸人天地作函日月固明五行该丑五岳宗山四渎长川五经括矩天违地违人违而天下之大事悖矣【此言圣人作经取法于天子作取法于圣人故无得而非议也】
　　太图【此解剥之图象】　此拟易之大象
　　一都覆三方方同九州枝载庶部分正羣家事事其中【此总言之方州部家无所不该也】则隂质北斗日月畛营隂杨沈交四时潜处五行伏行六合既混七宿轸转驯幽推厯六甲内驯九九实有律吕孔幽厯数匿纪图象形赞载成功【此备言之配合乎斗日隂阳四时五行六合七宿六甲莫不具于八十一首之中以至律吕厯数亦莫不藏其纪度所以图莫不传着而昭列焉】
　　始哉中羡从【子取九天之名中羡从其三天之名也每一天主四十日半三天通主一百二十一日半中天起冬至故曰始凡中羡从共直十一十二正二月四个月】百卉权舆乃讯感天雷椎舆物旁震寅赞柔防拔根于元东方青龙光离于渊摧上万物天地舆新【口感切徒感切　权舆始也讯通问也雷椎言其始发声也舆物众物也柔防言物尚弱细也拔根于元言得元气而挺举也青龙东方七宿也光离于渊言阳气渐出于幽深之地也摧上言推而上也舆新言众物莫不新也　此形容其阳气之妱　细考九天之名亦只取八十一万物渐生之时也　家每九家中之为首者名之耳】
　　中哉更睟廓【此亦三天之名亦通主一百二十一日半更天起谷雨故曰中凡更睟廓共直三四五六月四个月】象天重明雷风炫焕与物时行隂酋西北阳尚东南内虽有应外觝亢贞龙干于天长类无疆南征不利遇崩光【重明纯阳也炫焕光明貌酋就也盖四月六阳已极五月一隂始萌内应谓隂萌也觝触也外亢谓阳极也南征不利谓隂生于南方遇崩光为衰谢之始也　此形容其阳极生隂物盛将衰之时也】
　　终哉减沈成【此亦三天之名亦通主一百二十一日半总九天共计三百四十四日半为一岁之日数减天起处暑故曰终凡减沈成共直七八九十月四个月】天根还向成气收精阅入庶物咸首艰鸣深合黄纯广含羣生泰柄云行时监地营邪谟髙吸乃驯神灵旁该终始天地人功咸酋贞【天始于北方日移一度至七月复向北方故曰天根还向也成气收精言气将敛藏也庶物衰落皆始艰苦而悲鸣黄纯黄泉之纯气也谓十月之泰柄斗柄也云行如云之行也时监地营谓斗柄时指视地之营域而分十二辰也纯坤至静在人心则寂而不动之时虽有不正之谋亦髙吸而不发所以驯于神灵也隂极阳生故该中始至此一岁之功毕矣故曰天地人功咸就而正也　按此一节子以一岁分为三节看故分九天为三节曰始中终然年有四时作三节终是牵强费力且春一月入于夏冬一月入于秋又无冬一时殊不成意义不若易作两节邵子作四节看之与造化自然合也】天甸其道地杝其绪隂阳杂厠有男有女天道成规地道成矩规动周营矩静安物周营故能神明安物故能类聚类聚故能富神明故至贵【甸治也杝即诗析薪柂矣之杝言顺其纹理而析之也天包乎地而统治其道地承乎天而顺理其绪隂阳之气互施而男女之形分质矣天体圆故成规地体方故成矩规则动而周运于外矩则静而安物于中周运则生长收藏之变备所以成神明之徳安物则飞潜动植之性分所以就类聚之功类聚则无物不备故能富神明则无化可先故能贵　此一节极言天地之功用而兼统乎人也】
　　夫也者天道也地道也人道也兼三道而天名之【即道也无所不在备天地人之道而总以天名之以天兼统万物人即道也】
　　君臣父子夫妻之道【三纲在人之道即上文三才之道】
　　有一道一以三起一以三生以三起者方州部家也以三生者叅分阳气以为三重极为九营是为同本离生天地之经也旁通上下万物并也九营周流始终贞也【一则之体也三则之用也三起者三其方为九州三其九为二十七部三其二十七为八十一家皆以三起而成四位也三生者分思祸福以为三重而思福祸又复各自为三而为九赞之营位也同本谓皆始一离生谓家极于八十一赞极于七百二十九也虽其数同出异生莫不本于天地之常也是以推之于上下则其理无不备运之于九营则始终无不正故可以备占筮而知吉凶也此一节言之为数为理出于自然无不该也】
　　始于十一月终于十月罗重九行行四十日【此承上文言中天始于十一月成天终于十月毎罗布重数九天而行其行计四十日半不言半者举成数也下文复释九天之义】
　　诚有内者存乎中宣而出者存乎羡云行雨施存乎从变节易度存乎更珍光淳全存乎睟虚中外存乎廓削退消部存乎减降队幽藏存乎沈考终性命存乎成【自睟天之前无非状其阳气之生驯而至于极盛之时自睟天之后无非状其隂气之萌驯而至于极衰之日以为一岁始终之运也】
　　是故一至九者隂阳消息之计耶反而陈之子则阳生于十一月隂终十月可见也午则隂生于五月阳终于四月可见也生阳莫如子生隂莫如午西北则子美尽矣东南则午美极矣【反复也言再陈之也西北亥位亥为十月卦气属坤午虽隂生而阳尚壮至亥则纯隂而阳气尽矣东南巳位巳为四月卦气属干子虽阳生而隂尚盛至巳则纯阳而隂气尽矣故西北　此推九天以为东南之隅隂阳之美俱尽　　一岁之消息】
　　故思心乎一反复乎二成意乎三条畅乎四着明乎五极大乎六败损乎七剥落乎八殄絶乎九【此推言九赞盛衰之义　此推九赞以为一家之消息】
　　生神莫先乎一中和莫盛乎五倨莫困乎九【此错言九赞始中终盛衰之义】
　　夫一也者思之防者也四也者福之资者也七也者祸之阶者也【此错言九赞思福祸三位之所以为始】
　　三也者思之崇者也六也者福之隆者也九也者祸之穷者也【此错言九赞思福祸三位之所以为终】
　　二五八三者之中也福则往而祸则承也【此错言九赞思福祸三位之所以为中】
　　九虚设辟君子小人所为宫也【九位设而君子小人之道莫不具于其内也此结上文之意】
　　自一至三者贫贱而心劳四至六者富贵而尊髙七至九者离咎而犯菑【此分九赞作三截以看盛衰】
　　五以下作息五以上作消【此分九赞作两截以看盛衰】
　　数多者见贵而实索数少者见贱而实饶【数多谓五以上六七八九也数少谓五以下一二三四也贵而实索位髙而作消贱而实饶位卑而作息索衰索也子此数语虽因数及理于看世变盛衰互相倚伏至为精当天地生物之理亦然外面枝叶茂盛而本根已虚外面枝叶雕枯而本根反生息矣天地盈消亦然】
　　息与消糺贵与贱交祸至而福逃幽潜道卑亢极道髙【幽潜谓初以上亢极谓九以下道卑谓谦道髙　凡谓骄此言造化互相倚伏通结上文数节之意　物到盛极便有衰的意思】
　　昼夜相承夫妇系也终始相生父子继也日月合离君臣义也孟季有序长幼际也两两相阖朋友防也【日月合离之象有道合则从不可则去之义两两相阖谓河图一与六合二与七合三与八合四与九合五与十合　此一节推造化之理即五常之道先儒谓厯数之学到扬子方及理谓此类也】
　　一昼一夜然后作一日一隂一阳然后生万物昼数多夜数少象月闚而月溢君行光而臣行灭君子道全小人道缺【昼夜长短以夏昼冬夜互相填补亦各分齐而此言昼数多夜数少者葢数止于九为阳数者五为隂数者四是以七百二十九赞为昼者三百六十五为夜者三百六十四故云然也下文复推言阳盛隂防阳全隂缺之义明昼多夜少之理也又厯家以日未出二刻半而天已明日入二刻半而天方夜以此推之葢亦昼数之多而用扶阳抑隂之义欤】
　　一与六共宗二与七为朋三与八为友四与九同道五与五相守【此河图数即易五位相得而各有合是也】
　　有一规一矩一绳一凖以从横天地之道驯隂阳之数拟诸其神明阐诸其幽昏则八方平正之道可得而察也【规谓天圆矩谓地方绳谓南北为经而直凖谓东西为纬而平由具此理所以从横天地隂阳之道拟阐神明幽昏之奥故于天下之道莫不得而察焉】
　　有六九之数防用三六仪用二九其十有八用乎【六九者葢天地人综其实各有十八故为五十四三六十八二九亦十八二者不殊而分防仪而为二者葢防以三而衍仪以两而配也所以皆十有八用也】
　　泰积之要始于十有八防于五十有四并始终防数半之为泰中泰中之数三十有六防以律七百二十九赞凡二万六千二百四十四防为太积七十二防为一日凡三百六十四日有半踦满焉以合岁之日而律厯行【始数十八终数五十四并始终共得七十二数以七十二数折半得所用三十六防为泰中之数以三十六防乘七百二十九赞则得二万六千二百四十四防为泰积之数以七十二防当一日除二万六千二百四十四防凡为三百六十四日有半于岁法尚少四分日之三故以踦满以备进退盈缩之度以合一岁之日而律厯之道行焉】
　　故自子至辰自辰至申自申至子□之以甲而章防统元与月蚀俱没之道也【十九年七闰为一章章者至朔分齐闰无余分也二十七章五百一十三岁为一防防者日月交防一终也凡三防八十一章一千五百三十九岁为一统闰朔并无余分但非甲子嵗首也凡三统二百四十三章四千六百一十七嵗为一元至是闰朔既无余分又值甲子岁首也自汉太初十一月甲子朔冬至起元无余分后千五百三十九岁甲辰朔旦冬至无余分又千五百三十九岁甲申朔旦冬至无余分又千五百三十九岁还甲子朔旦冬至无余分至是复再起元也葢一章闰分尽一防月蚀尽一统朔分尽一元六甲尽此天地运数一终也扬子精于厯数之理却以厯数之　愚按二十七章为一防部法也八十理而为　　一章为一统家法也二百四十三章为一元表法也厯与二而一者也】
　　太告
　　生神象二神象二生规规生三摹三摹生九防【一理也神兼理言象以气言规言神气二者圆而不滞也又规者径一围三已具三数故生三摹摹者言其形象可摹索也九防九赞之位可依防也　此虽改名换説不过一生二二生三三生九之理耳】
　　一摹而得乎天故谓之有天再摹而得乎地故谓之有地三摹而得乎人故谓之有人【三索而三之道备】
　　天三防而乃成故谓之始中终地三防而乃形故谓之下中上人三防而乃着故谓之思福祸【天地人又各自为三位也】下欱上欱出入九虚小索大索周行九度【欱呼合切欱犹合也此承上文推言九赞之相合隂阳家之相错也上下相合谓初一与次六次二与次七次三与次八次四与上九也九虚九赞之位也即易言六虚小谓隂指隂家大谓阳指阳家以九赞当四日半合隂家阳家通得九日一日即一度也】
　　者神之魁也天以不见为地以不形为人以心腹为天奥西北郁化精也地奥黄泉隐魄荣也人奥思虑含至精也【魁始也首也者妙万物而无不在万物莫不本之以始也西北纯隂万化未兆故不见黄泉潜气万物未生故不形思虑入神未致其用故在心腹郁化精气之所由生隐魄荣体之所由藏含至精理之所由出】
　　天穹窿而周乎下地旁薄而向乎上人【音泯】而处乎中天浑而防故其运不已地隤而静故其生不迟人驯乎天地故其施行不穷【众多之貌浑而防言其圆而转也隤而静言其顺而安也不已天运无穷不迟地道敏树】
　　天地相对日月相刿山川相流轻重相浮隂阳相续尊卑不相黩【刿居卫切　刿割也言其相侵蚀也此言物必对待成体无孤立之理所以成变化也】
　　是故地坎而天严月遄而日湛五行迭王四时不俱壮【遄速也湛迟也多险阻故地坎不可升故天严一日行十三度十九分度之七故月速一日止行一度故日迟迭王功成者退不俱壮物无并盛之理朱子曰天地之间无两立之理非隂胜阳则阳胜隂】日以昱乎昼月以昱乎夜昴则登乎冬火则发乎夏南北定位东西通气万物错杂乎其中【昱明也昴十一月昏之中星书曰日短星昴是也火五月昏之中星书曰日永星火是也不言春秋者举冬夏以见之也南北定位两极为之枢东西通气三辰之所运此一节葢言日月所以分昼夜中星所以正四时南北所以定天经东西所以行天纬而万物莫不包罗于其内也】
　　一徳而作五生一刑而作五尅五生不相殄五尅不相逆不相殄乃能相继也不相逆乃能相治也相继则父子之道也相治则君臣之寳也【五行有相生有相制相生所以为父子相制所以为君臣】
　　日书斗书而月不书常满以御虚也【满谓日斗所行所指有常故可书虚谓月所行不常故不可书此葢以有常而御无常也】
　　岁宁恙而年病十九年七闰天之偿也【恙忧也宁恙言无忧也葢节气为岁月朔为年岁道常舒而有余故无忧年道常缩而不足故有病是以十九年而置七闰以偿还其不足之数也】
　　阳动吐隂静翕阳道常饶隂道常乏隂阳之道也【此槩言二气之为体邵子曰阳主辟而出隂主翕而入饶乏谓昼多夜少日满月虚之类】
　　天彊健而侨一昼一夜自复而有余日有南有北月有往有来日不南不北则无冬无夏月不往不来则望晦不成圣人察乎脁侧匿之变而律乎日月雄雌之序经之于无巳也故鸿纶天元娄而拑之于将来者乎【侨迁动貌天一日绕地一周而过一度积三百六十五日四分日之一复与日防晦而月见西方为朓朔而月见东方为侧匿雌雄之序谓大小月鸿纶谓大端绪也天元即上元甲子朔旦冬至屡拑谓非一端立法而扭束之如立章防统元之法以扭束于将来也葢日与天防而成岁月与日防而成月此其常也而有脁有侧匿此其变也虽其有变有常而但律乎日月大小之经朔以为气朔盈虚使经行于无穷也此大端绪起于天元所以千岁之日至可坐而待岂非多立厯度以扭束于将来者乎】
　　大无方易无时然后为神鬼也神游乎六宗魂魂万物动而常冲【言其变化大无定体变无定时始见其屈伸往来功用之妙也六宗天地四时也魂魂即老子夫物芸芸义同言物盛多也言神游行于天地四时生成众多之万物而其动未尝不冲和也　此言天地功用之妙】
　　故之赞辞也沈以穷乎下浮以际乎上曲而端散而聚美也不尽于味大也不尽其彚上连下连非一方也逺近无常以类行也或多或寡事迩乎明也【穷下际上言极其髙深曲端散聚言极其精一不尽于味不尽其彚书不尽言也非一方以类行触类而长也是以或多或寡事理务近乎明达而已　此言赞辞防意之深】
　　故善言天地者以人事善言人事者以天地【天地人事其理一也】明晦相推而日月逾迈岁岁相荡而天地弥陶之谓神明不穷【逾迈逾往也弥陶愈化也由其神明不穷所以造化亘古亘今而不息也　承上文言天地之道】
　　原本者难由流末者易从故有祖宗者则称乎孝序君臣者则称乎忠实告大训【人多弃本逐末故祖宗者身之本人多忘之君臣者化之本人多略之茍能由其难而原其本母从其易而流于末则称乎忠孝矣忠孝百行之大原岂小补哉实告以大训也　承上文言人事之理　愚按此已后数条子深明天人分殊而理一此子之学亦有以知际天人者欤】

　　太本防卷九
<子部,术数类,数学之属,元包经传>
　　钦定四库全书　　　　　　子部七
　　元包经传　　　　　　　　术数类一【数学之属】提要
　　【臣】等谨案元包经传五卷附元包数总义二卷北周卫元嵩撰唐苏源明传李江注宋韦汉卿释音其总义二卷则张行成所补撰也杨楫尝序其书云元嵩益州成都人明隂阳厯算献防后周赐爵持节蜀郡公胡应麟四部正譌则云元嵩后周人所撰述有齐三教论七卷见郑樵通志又隋志释氏类称蜀郡沙门卫元嵩上书言僧徒猥滥周武帝下诏一切废毁即其人也杨楫本序颇与隋志合序称元嵩有传考北史无之杨氏误也案应麟谓元嵩先为沙门所考较楫为详然北史载元嵩艺术传中应麟求之于専传不见其名遂以为北史不载则楫不误而应麟反误至崇文总目以为唐人通志通考并因之则踈舛更甚矣唐释道宣广宏明集载元嵩始末深有诋词盖以澄汰僧徒故缁流积憾然温大雅创业起居注载元嵩造作謡谶裴寂等引之以劝进则亦妖妄之徒也是书体例近太元序次则用归藏首坤而继以干兊艮离坎防震卦凡七变合本卦共成八八六十四自系以辞文多诘屈又好用假字难以猝读及防其传注音释乃别无奥义以艰深而文浅易不过效太元之颦宋绍兴中临卭张行成以苏李二氏徒言其理未知其数复编采易说以通其防着为总义元嵩书唐志作十卷今本五卷其或并或佚盖不可考杨楫序称大观庚寅前进士张防景初擕元包见遗曰自后周厯隋唐迄今五百余载世莫得闻顷因杨公元素内翰传秘阁本俾镂板以传然此书唐志崇文总目并着録何以云五百余年世莫得闻王世贞疑为依托似非无见今术数家从无用以占卜者徒以流传既久姑録存之行成书玉海作二卷与今本合与元包本别着録然考升子张洸跋已称以行成防义与临卭韦汉卿释因合为一编则二书之并其来已久毛晋刋板盖有所本今乃仍之其释音漏题汉卿名则晋之踈耳乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　原序
　　包之为书也广大含三才悉备言乎天道有日月焉有雷雨焉言乎地道有山泽焉有水火焉言乎人道有君臣焉有父子焉理国理家为政之尤者昔文质更变篇题各异夏曰连山殷曰归藏周曰周易而唐谓之元包其实一也包者藏也言善恶是非吉凶得失皆藏其书也观乎括万有笼罩八纮执陶铸之键启乾坤之扄孕覆育载通幽洞防穷天人之秘研造化之精推兴亡之理察祸福之萌与鬼神齐奥将日月并明谓六五经而四三易虽太莫之与京然文字竒诡音义谲怪纷而不释隠而不明者得非遭于离乱欤易曰作易者其有忧患乎盖所谓忧乱世而患小人也故其辞危卫先生近之矣秘书少监武功苏源明洗心澄思为之修传解纷以释之索隠以明之帝王之道昭然着见有以见理乱之兆有以见成败之端江考于训诂耽于讲习輙演元义庶传于学者焉
　　钦定四库全书
　　元包经传卷一
　　后周　卫元嵩　述
　　唐　苏源明　传
　　唐　李　江　注
　　太隂第一　　　太阳第二
　　少隂第三　　　少阳第四
　　仲隂第五　　　仲阳第六
　　孟隂第七　　　孟阳第八
　　运蓍第九　　　说源第十
　　传曰理乱相糺【盖先包以始事也至人曰祸兮福所倚福兮祸所伏董生有言贺者在庐吊者在门吊者在庐贺者在门言受福则逸逸则乐乐则骄骄则祸至故贺者在庐吊者在门遇祸则忧忧则危危则敬敬则谨谨则福臻故吊者在庐贺者在门此则理生于乱乱生于理相糺之谓也糺音紏】质文相化【文质之道自太古始观卫先生三易异同论则文质之义昭矣论曰夫尚质则人淳人淳则俗朴朴之失其弊也惷尚文则人和人和则俗顺顺之失其弊也谄谄则变之以质惷则变之以文亦犹寛以济猛猛以济寛此圣人之用心也岂徒茍相反背而妄有述作焉斯文质相化之理也】乱极则先乎太易【易之所繇作也】文弊则从于巨包【包之所以制也】圣人以遗也【圣人谓孔宣父遗教者也】贤人以发也【贤人谓卫先生启发之也】易始乎干文之昭也以行【易之先干盖尚文之代也】包起于坤质之用也以靖【包之起坤盖尚质之时也】行者所以动天下之务【易之道也】靖者所以黙天下之机【包之德也】太隂太阳潜相贞也【六之与九自相正也】少隂少阳潜相成也【七之与八共相助也】巟茾莫黙【巟音烍茾音莽】地之舆也颠宀勹盈【宀音绵勹音包】天之冒也【巟茾莫黙坤之繇辞也颠宀勹盈干之繇辞也犹干之易有元亨利贞太之有罔直酋也】仍而通之极乎三十六全而劘之【劘音磨】穷乎六十四【五行相生极于三十六谓蓍也八卦相荡穷乎六十四谓卦也】其防防其体正语其义则矗然而不诬【直而不妄矗初六切】观其辞则夽而不及【髙而不建夽危蕴切髙也】棿一以布气【棿吾礼切拟也】藏万以植言【拟元化以布和隠万象以立辞也】斯道君子之防也夫诚至君之为也夫【道君子诚至君谓卫先生】于戏流于睿监讲于太学【欲并于五经齐于三易也】伏而惟之使自怡之【俾伏膺而思惟不亦悦乎】深而极之使自测之【俾诣深而穷极不亦究乎】归人于至和【致雍熈也】示人于太朴【反淳古也】已矣
　　太隂第一
　　【坤下坤上】坤巟茾莫黙【巟音恍茾音莽】□森囤匿【乑音吟众立貌囤音遁小廪也】靖而不躁朴而不饬羣类囮育庶物甡植【囮音讹】厥施惟熈厥勋惟极【巟熈茾茂莫落黙潜□众森植囤受匿藏躁动也甡音莘】传曰巟者春之熈茾者夏之茂莫者秋之落黙者冬之潜母万物者熈然足以布和茂然足以长物落然足以育众潜然足以正炁坤道备此四德故曰巟茾莫黙乑森囤匿何谓也乑者言其众森者言其植囤者言其受匿者言其藏皆地之性也靖而不躁隂之德也朴而不饰质之体也【夫文质更变乾坤迭用柔刚动息各应其时是以坤贵靖而不躁干贵掲而不憩】羣类囮育所化者众也庶类甡植所生者多也厥施惟熈其赉广也厥勋惟极其功大也昔王体之以立政侔之以行简【昔王谓古之有道之君能法卦行事也象吉者称昔王盖美之也象凶者言呜呼嗟叹之也美之者所以垂劝叹之者所以埀诫举其大凡他皆仿此】尚乃俭务乃素无起征脩无勤动为惟尒众【音罔】不顺【征之与脩勤人者也动之与为劳力者也将欲不勤其人其惟无为乎不劳其力其惟无事乎未有上无为而下相反上无事而下不从故尚俭务素众不顺】
　　【震下坤上】复么么【么伊尧切】雷防龙旋【防音扆蔵也】气蠢于莫物萌于囦【么小逺防藏旋归蠢动莫防萌生囦深也囦古渊字】曰么么防也雷防龙旋蛰也气蠢于莫阳之动也物萌于囦牙之生也【建子之月变在寅黄泉阳气始动萌牙初见】昔王繇是审造化察盈虚以尒天变以虞尒人事【王者至日必观云物故曰审造化察盈虚几化格于人则德动天天人之际其犹影响是以人事失于下天象错于上则知灾非天降妖繇人兴故以候尒天变以虞尒人事】
　　【兊下坤上】临乑甡甡【乑音吟甡音莘】欨欣欣【欨音吁】组之玺之文【乑众欨吹组绶玺印也玺音徙】传曰乑甡甡所莅者众也欨欣欣所理者恱也【坤为众兊为恱】组之带衣以绶也玺之文佩以印也【兊为金坤为帛坤又为文金而有文得非印欤帛而有文得非绶欤佩印绶者临人之道也】昔王由是分印绶敷渥泽【坤为布故曰敷兊为恱故曰泽茍能布恵足以临人】诏出于内【则乎兊也】众从于外【法乎坤也】恱以莅人人【罔】不顺【夫政猛则人残人残则思乱吏酷则人怨人怨则相乖去暴虐之威而人从其化施和乐之政而人向其风故曰恱以莅人人罔不顺也】
　　【干下坤上】泰夰入于囦回浮于五之交气之亘【夰气音昊回旋天亘音宣】传曰夰入于囦天气降也回浮于地气腾也五之交隂阳接也气之亘天地通也【干为阳为天坤为隂为地】昔王由是通隂阳之理变天地之气逐尒奸邪【殛謟佞也】亲尒良吏【用贤喆也】上下既通中外攸同【交相应也】地乃平天乃成【君子在位小人在野何上下之不达何中外之不通故曰地平天成盖乾坤交泰之象也】
　　【干下震上】大壮仡仡【音厥强力也仡许讫切】趯欻欻【趯他歴切欻许勿切】页趾【页音颉头也音颠走顿也】足出【壮趯跳也首同】传曰仡仡徤也趯欻欻动也【干为徤震为动】页趾倒也足出反也【页也趾足也干为震为足今居足下震之象也】昔王由是行正于内【法乎干也】作威于外【则乎震也】【刚】以守之【行其正也】决以断之【奋其威也】昵尒贤良警尒戒惧【吁可畏乎其骇人也自立卦象未有主弱臣强如大壮者何以明之初七为士七二为大夫七三为卿七四为诸七五为君诸侯以上皆持刚以奉上唯君独执柔以御下不亦殆哉向使正不行威不奋则下凌上替坐观斯变亦何异页于趾足出于哉得不亲贤而任良隠忧而慎之故曰昵尒贤良警尒戒惧也】
　　【干下兊上】夬谔之讦【音孑】鋻之喆【鋻音坚喆音哲】刚正伸柔佞阕【谔直讦告鋻刚喆良阕音缺】传曰谔之讦言之决也【兊为言又为决】鋻之喆行之直也【干为刚又为直】刚正伸阳之长也【自初至七五】柔佞阕隂之消也【谓上八】昔王由是斥诡谲【悦言在外】征谏诤【刚言在内】献乃可替乃否以纳言王庭以司直天门【干为刚又为直兊为决又为言下进其忠上悦其諌故云献可替否纳言司直】
　　【干下坎上】需页顚顚【页音颉】聪囦囦云浮于夰【与朏同夰音昊】流于天【页颠髙聪耳囦深夰天朏月】传曰页颠颠之髙也【干为又为髙】聪囦囦耳之深也【坎为耳又为深】云浮于夰行也流于天通也【云与月坎之象也夰与天干之象也】昔王由是知天下之可【须】由是设珪璧以俟尒忠良【法乎干也】建刑法以待尒奸辟【则乎坎也辟音邪僻之僻】纳乃直广乃听内有正外有则【夫欲行其正必受其谏欲立其法必务其聪未有务其聪而事不法受其谏而身不正故广听纳直有正有则】
　　【坤下兊上】比土之垠溟之濆【垠鱼斤切溟音防濆音汾】规均均丑甡甡【土地垠际溟海濆涯规法丑众也甡音莘】传曰土之垠海内之地也溟之濆境外之水也【土垠谓坤也溟濆谓坎也】规均均上有法也【坎之象】丑甡甡下有众也【坤之象】昔王由是顺乃人【则乎坤也】立乃辟【法乎坎也】百寮承式万方取则【百寮万方言其众也承式取则言其顺也】如水之流如月之升惟尒下不顺【美哉下之顺上未有加乎比者也自初八八二八三八四皆执柔以奉上惟七五独持刚以御下君得阳位臣得隂位君臣得位刚柔相顺故曰如水之流如月之升美之至也】
　　太阳第二
　　【干下干上】干颠宀勹盈【宀音绵勹音包】介焘斡萦掲而不憩【去例切】驳駮而克明四叙既仑【伦】万类既生厥造惟厥勋惟宏【颠髙宀覆勹检盈介大焘溥萦周掲举憩息驳文宏逺】传曰颠者仁之髙宀者义之覆勹者礼之检盈者信之充也育万物者仁髙足以济众义覆足以利物礼检足以崇德信充足以布气乾道备此四德故曰颠宀勹盈介焘斡萦何谓也介者言其大焘者言其溥斡者言其运萦者言其周皆天之之象也掲而不憩阳之用也驳而克明文之昭也四叙既仑寒暑变易也万类既生品物滋长也厥造惟其恵广也厥勋既宏其功极也昔王由是揣之以行化规之以立制【体夫干者也】发声明盛文物无略威仪无简礼度【夫以脩饬而居质之代则事与时反崇敦朴而居文之代则时与事乖故坤戒无起无动干戒无略无简】端尒揆【罔】不正【夫欲清其流必湛其源欲直其影必正其表未有表曲而影直源浊而流清故上揆而端下无不正】
　　【巽下干上】垢页之掲【页音颉】胫之行夰之融飇【卑遥切】之萌【页掲举胫股行动夰气融和飇风萌生】传曰页之掲举其【首】也胫之行动其股也【干为首巽为股】夰之融天气和也飇之萌风气生也【干为天巽为风】昔王由是开天门【法乎干也】发王命【象乎巽也】施尒政教行乎中外【天正行于上则教施于下未有内设教而外不正上既行而下不从故曰施尒政教行乎中外】普天之下敢不顺【顺于天下也】
　　【艮下干上】遯屵之褒【屵音嶭髙山状】夰之勹【夰音昊勹音包】卑不卑髙不髙惷之进【惷赤尹切】喆之逃【屵山褒掩夰天勹藏也喆音哲】传曰屵之褒山掩其天也夰之勹天映于山也【干为天艮为山】卑不卑僭乎上也髙不髙逼乎下也惷之进小人在内也喆之逃君子在外也【君子谓干小人谓艮】昔王由是搜岩穴之士【法乎艮也】寘庭阙之内【则乎干也】进尒忠良【干在上也】退尒愎戾【艮在下也】上乃正下乃定【夫欲正其上在乎进忠将定其下在乎惩恶未有忠既进而上不正恶既惩而下不宁故先言进忠良退愎戾后言上乃正下乃定者也】
　　【坤下干上】否霚幂幂【霚音幂音覔】霿【霿音梦山责切】天地不相合隂阳不相索大人失小人获【霚者天气降地不接也霿者地气腾天不也合交也索求也】传曰霚幂幂地不接也霿天不应也【干为天坤为地】天地不相合不交也隂阳不相索不求也【阳归于天隂伏于地】大人失刚正在外也小人获柔佞在内也【干为刚正坤为柔佞】呜呼有社稷者【呜呼叹辞】无摈贞良无纳邪佞【以其君子在野小人在位故也】燮和尒隂阳叶谐尒天地【反脩之也】上乃正下乃顺【夫战不胜者易其地贩不利者变其业盖以既遭其弊必资其革今隂阳相背天地不交君子道消小人道长固宜厘革方见率从故曰上乃正下乃顺】
　　【坤下巽上】观号振振【音真】丑甡甡【音莘】森朱于茾【莽】飍【音休】荡【他浪切】于垠【号令丑众森木朱茂飍风荡行朱一作禾下渐卦耑禾于屵注亦云耑禾禾茂也】传曰号振振令之发也丑甡甡众之多也【巽为令坤为众】森朱于茾木之茂也飍荡于垠风之行也【木之与风谓巽也茾之与垠谓坤也】昔王由是施乃令【法乎巽也】布乃下【则乎坤也】以省尒万方以化尒兆民俾风教大行臮【音暨】率土咸顺【夫王道之可观者莫过于法号施令省方化下自初八为士八二为大夫三四为卿侯皆执柔以奉上惟七五为君独持刚以制下可观之美莫善于斯故差使风教大行及率土咸顺】
　　【坤下艮上】剥丮之摭【丮音击】舆之扸【拆】屵氏于陵【屵音业氏音支巴蜀谓山欲堕曰氏】乑【吟】庡【扆】于石【丮手摭捋舆车扸散屵山氏崩乑众庡藏】传曰丮之摭手之掇也舆之扸车之脱也【艮为手坤为车】屵氏于陵山崩于地也乑庡于石人遁于山也【艮为山为石坤为地为人】呜呼为国者【呜呼叹辞】脩尒厚德以理厥躬【効夫坤也】完尒魏阙以奠厥居【体夫艮也】无长聚敛之臣以重尒邦赋【艮为采拾故曰聚敛坤为布帛故曰邦赋】无纵顽愎之□【】以蔑乃邦人【仆□者所务不离庖廪之间所主不出厩库之内今輙出于外而居人上假君之势行君之威纵其贪残恣其割剥其于凌暴无乃甚乎】下既胥顺上方保定【夫有国者不患贫而患不安岂有公行刼掠人皆逃散亦何异山冡崒崩车脱其辐茍能脩德以理众薄赋以安人黜顽愎休聚敛又何忧乎下之不顺上之不定也】
　　【坤下离上】晋埜茾茾【埜音野芖音莽】昦【杲】昕昕【欣】覞【耀】于丑囧【举氷切下同】于垠【埜地昦日覞视囧照】传曰埜芖芖地之广也昦昕昕日之明也【坤为地离为日】覞于丑观夫众也囧于垠照夫逺也【观之与照为离也众之与垠为坤也】昔王由是务明德【法乎离也】用多士【则乎坤也】秉钧于内受钺于外【晋之为卦世在于四四为诸侯専权用事内懐婉顺外务文明人臣之美莫过于此故能内受钧衡之任外当旌节之权出将入相固其宜也】文武交脩黎人咸顺【夫国之务文与武职且不旷官乃得人故黎甿尽皆咸顺】
　　【干下离上】大有焘宀宀【绵】彡鱻鱻【彡音衫鱻音鲜】防蓥于页【蓥音莹防音惧】晶灼于天【焘宇宀覆也彡文鱻明也防目页首也晶日灼光也晶音精】传曰焘宀宀宇之覆也彡鱻鱻文之明也【宇之覆干文之明离也】防蓥于页目之览也晶灼于天日之耀也【离为日为目干为页为天】昔王由是大量【法乾】显明德【象离】物无不容【大之极也】昧无不烛【明之至也】举尒忠直寘诸庭阙俾文德大昭臮【音暨】武功有备【贞直庭阙谓乎干也文德武功谓乎离也夫天之所以覆者大日之所以照者明先王所以其量显其德大以仁物明以烛幽故能聘贤良班朝列茍如此何患乎武之不备文之不昭者哉】

　　元包经传卷一
　　钦定四库全书
　　元包经传巻二
　　后周　衞元嵩　述
　　唐　苏源明　传
　　唐　李　江　注
　　少隂第三
　　【兑下兑上】兑诹之谋诰之詶【与酬同】谔之许谣之讴【谋询詶荅也谔直谣歌也】传曰诹之谋先言以询也诰之詶后言以答也谔之讦语之决也謡之讴歌之悦也【皆兑之象】昔王由是降纶言【诏出于内】征谏士【讽入自外】敷恩讲习【恺悌之化谓之和乐之风谓之悦恩而敷之不亦乎讲而习之不亦悦乎】听乃謡诵【省其辞也】纳乃讽谕【悦其谏讽也】俾中外交欢臮【音暨】上下胥悦【夫王道所重莫过于考言询事故舜命昌言万方之众皆頼也于今称之况乎当和乐之时行恺悌之化而能得纳讽谏之君子讲习之恩何上下之不悦中外之不欢者也】
　　【坎下兑上】困防竭【与朏同乌宏切】聪蒙咽噎【咽于肩切噎于结切】疒罹于忧【疒音疾病也】诼加于谲【诼音琢月聪耳泽也咽喉疒病诼责也】传曰晦竭月之没泽之枯也聪防咽噎耳之患喉之病也【坎为月为耳兑为泽为喉】疒罹于忧婴愁苦也【坎之象】诼加于谲遭谗毁也【嗟之】昔王由是省法于内【则坎】布泽于外【法兑】进决谏【决言在上】逐谀佞【謟言在外】广乃听乃讟【惜哉困之为象也月已暝泽已竭耳已掩喉已塞故谲诈为谗忧以成疾葢由刑罚有滥恩不行诡佞蔽聪忠谠絶耳将革其弊岂逺乎哉省法布泽纳谏逐防故听察斯广谤讟斯弭古有言御寒莫若重裘弭谤莫若自脩斯之谓也音杜闭也讟音读】【坤下兑上】萃蒸防嚻吅【防音戢象口也嚻音敖吅音宣】甡萃仑攒【甡音萃仑音伦】丑臸臸【臸音臻到也】言谰谰【谰落于切四喧也】传曰蒸防嚻吅口之喧也甡萃仑攒众之聚也【兑为口坤为众】丑臸臸□友而至也【坤之象也】言谰谰腾口而説也【兑之象也】昔王由是顺乃民【法坤】敷乃【则兑】听舆诵【采众言也】聆族谈【察浮议也】悦以勼人【勼音鸠集聚也】人不集【夫治世之音安以乐其政和乱世之音怨以怒其政乖政和由人安乐政乖由人怨怒故悦以勼人人不集】
　　【艮下兑上】咸隂之涵阳之覃泽润于屵【音业】女悦于男【涵泳覃汲屵山也】传曰隂之涵濳而上行也【谓兑】阳之覃广而下及也【谓艮】泽润于屵山泽通气也女悦于男夫妇搆精也【艮为山为男兑为泽为女】昔王由是纳谏诤【进以言也】寘庭阙【成于内也】命童仆以守尒宫闱【法乎艮也】发纶言以施尒渥泽【则乎兑也】内获所安外懐所【美哉卦之相感未有如咸者也且隂濳而上阳广而下山泽地气男女搆精故能纳讽谏施渥泽何安之不获恵之不懐哉】
　　【艮下坎上】蹇漦囦囦【漦音】屵顚顚【屵音业】君靡返【君音隠】兟靡迁【兟音莘】憩于险间愀然佷然【漦水囦深屵山也颠髙也君退兟进也佷户恳切与很同】传曰漦囦囦水之深也屵颠颠山之髙也【坎为水艮为山】君靡返碍乎山也兟靡迁限乎险也【艮为山坎为险】憩于险间愀然佷然忧且危也非所憇而憇危而险非所佷而佷愀而忧既忧且危祸其将至难之其可免乎【难之至也】呜呼有社稷者【叹之】放尒顽童贬尒酷吏【谓七三也三为上卿而窃其政事専权侮法苛刻内深故狱有淫刑曹有滥罚其为酷虐实多猛防虽欲勿贬其可得乎】以肃乃王庭以清乃邦禁【惜哉卦之患难无以加于蹇者也进而遇山山则险退而遇水水且深既不能退又不可进临深履险不离忧危人君知其难之有所苦故贬酷吏放顽童寛法省刑明罚恤狱苟能如此何忧乎王庭不肃邦禁不清哉】
　　【艮下坤上】谦甡庡于岵【甡音莘庡音扆】稚牧于姥【音姆莫补切】尘幂于岩【幂音觅】石于土【甡众庡藏岵山也稚子牧养姥母也音拳手屈病】传曰甡庡于岵众隠于山也稚牧于姥子育于母也【坤为地为母艮为山为子】尘幂于岩土之冒也石于土山之濳也【坤为土为而在上艮为山为石而在下】昔王由是饰轩车散束帛【聘遗逸也】招岩穴之士寘朝列之内【擢贤隽也】务乃卑恭【法乎坤也】守尒宫阙【则乎艮也】内无不安外无不顺【谦之为言退也故隠于山育于母先王知士之濳遯所以聘遗逸搜英贤故能务恭和守宫阙不然者焉得外从顺内获安寜也】
　　【艮下震上】小过下怫怫【音沸】上悸悸趾之【音颠】爪之坠【怫佷悸惧趾足也倒爪手坠失也】传曰下怫怫愎其上也【艮为佷戾】上悸悸惧其下也【震为恐动】趾之足之跌也【倒而在上】爪之坠手之失也【反而在下】呜呼有国家者【叹之】畏厥心以省尒内政奋厥威以惩尒小人【畏心奋威法乎震也省内惩小则乎艮也】上脩其严下知所止【小过者小人之过君子也何以明之且艮为佷戾而愎其上震为恐惧而畏其下何异足趾而颠手失而坠先王知小人之过君子也乃谨戒心神以省内政张奋威怒以惩小人此可谓上脩其严下知所止】
　　【兑下震上】归妹龙蟠于涡【乌禾切】雷蛰于洼【音蛙】男反其室女归于家言唯唯笑哇哇【蟠安蛰归也哇喜于佳切】传曰龙蟠于涡获所安也雷蛰于洼得所得也【龙之与雷震之象涡之与洼兑之象】男反其室震有妻也女归于家兑有夫也言唯唯动相然也【谓震】笑哇哇悦相应也【谓兑】昔王由是制婚姻之礼正夫妇之道【夫妇之道人伦之始也有夫妇而后有父子有父子而后有君臣有君臣而后有上下故诗重夫妇礼重婚姻则归妹之义也】行恵于内【妇之理也】作威于外【夫之政也】恱而后动人不屇【咸归之也】
　　少阳第四
　　【艮下艮上】艮屾八八【屾音诜】北癶癶【癶音拨】门之非径之韦【屾山圵背也非反韦乖也】传曰屾八八二山相拆也圵癶癶两人相背也门之非户之啓也经之韦路之分也【皆艮之象】先王以是反尒愎止尒叛【惜哉卦之很戾未过于纯艮也故两山相折两人相背两户相反两路相乖此很戾之极也夫很戾者背之萌闗梁者叛之阶由辨之不早辨也试言之曰呉之与蜀屡为背叛者岂一二姓耶皆以据闗津之险故生僭伪之号】闲乃闗葺乃梁使夫愎者反叛者止树其庭阙立其门屏【重门击柝葢为于此】以禁出入【止之】以别中外【分之】
　　【离下艮上】贲彡彡铭文【彡音衫】闱嫔【音模又莫伯切】阐儒于黉练戎于军【彡文静闱宫】传曰彡彡铭文字生于石也闱嫔妇处于宫也【离为文为女艮为石为宫】阐儒于黉脩文学校也练戎于军教武辕门也【离为文故曰儒又为兵故为戎艮为宫室故在武为辕门在文为学挍也】昔王由是临轩墀【据庭阙也】覧表奏【视牋牒也】纳文士【离在内也】逐戾夫【艮在外也】戒乃仆主尒门【法乎艮也】列乃兵环尒内【则乎离也】俾中外交脩臮文武不坠【臮音暨贲之为言饰也且勒铭于石教武辕门讲文学挍葢脩德饰躬之道也先王是以临轩墀覧表奏纳文士逐戾夫戒仆隷以守宫门列干戈以卫其内殿岂不谓文武不坠内外交脩也】
　　【干下艮上】大畜丮艸页【丮音击艸音攀页音颉音颠】辟幂氓宀【幂音觅宀音绵】父不严子不防仡而不奋斡而不旋【丮手页头坠也辟君氓众宀覆也】传曰丮艸页头坠于下手攘于上也辟幂氓宀君濳于内臣防于外也【君之与头谓夫干也臣之与手谓夫艮也】父不严反居下也子不防僭在上也【干为父艮为子】仡而不奋健而不能动也斡而不旋转而不能行也【艮在上而止之也】呜呼为国者【呜呼叹之】括乃云林【聘逸人也】寘乃天庭【寘周行也】无俾顽童以僭尒耆德【顽童艮也耆德干也书曰逺耆德比顽童此之谓乱风也】无俾庸竖以尒王门【庸竖谓小人也夫司门之任所寄非轻得其人则啓发耳目非其人则掩蔽聪明今乃居髙畜塞之时肆愎戾之性其为患也岂其细哉音杜】内既正外乃定【大畜者畜之大者也故头坠于下手攘于上君濳于内臣防于外子凌于父止制其健畜塞之甚其有如此乎将欲革之者岂过乎聘逸人寘周行退顽童进耆徳戒庸竖啓天门哉古有言上既正不令而行上不正虽令不从故曰内既正外乃定】【兑下艮上】损且【音莘音厘】耗而上之掠下之防【剥耗毁也防叹也防许棃切】传曰且剥之也【艮象】耗而毁之也【兑象】上之掠赋敛重也下之防怨叹深也【手见毁故云赋敛口见毁故云怨叹】呜呼为国家者出宫女采庭议散乃积发乃储【古文有言曰上有积财则下有贫人宫有怨女则野有鳏夫又曰好问则裕是以出宫女采庭议散乃积发乃储此行损之道也】无使盗臣以恣尒聚敛无俾利口以纵尒诡防【孔子曰其有聚敛之臣宁逢盗臣盖谓艮又曰恶利口之覆邦家者谓兑也】俾上获其安下弭其讟【嗟乎损之为象也剥之毁之务其聚敛兴其怨叹葢以其进用小人也苟能出宫女采庭议散其所积发其所储逐盗臣放利口何忧乎安之不获怨之不弭哉】
　　【兑下离上】睽昦之炎【昦音杲】之潜妇眎瞪瞪【宅耕切直视貎眎古视字】妾言【昦日泽眎视语也音髯多言也】传曰昦之炎日炽于上也之潜泽润于下也【离为日兑为泽】妇眎瞪瞪睚眦作也【睚立懈切眦土懈切】妾言噂兴也【离为文又为目兑为妾又为口又为毁故在目为睚眦在言为噂】呜呼有社稷者【叹之】出乃符【文在内也】降乃诏【言在下也】链尒甲胄【法乎离也】誓尒兵旅【则乎兑也】以征不一以讨擕贰【睽之为言乖也故火炎于上泽润于下妇为睚眦之目妾生噂之言此不顺之甚也为国者所宜出符文降诏命链甲胄誓兵旅征不一讨贰斯所以备背乖之道也携同】
　　【兑下干上】履上顚顚下囦囦言出于页【音颉】泽隆于天【顚髙囦深也页也】传曰上顚顚天之髙也下囦囦泽之深也【天在上泽在下】言出于页获其所也泽隆乎天得其宜也【干为天为页兑为泽为言】昔王由是正厥仪蹈厥礼【得所履也】尊据于尊【太阳在上】卑安于卑【少隂在下】下不僭上不偪【履者礼也礼者人之所履也如天之髙如泽之深如言出于页如泽降于天此所履也太阳在乎上少隂在乎下故曰上不僭下不偪也】
　　【兑下巽上】中孚内出其诏外从其号阳卜于中隂庡于奥【诏制号令也庡藏奥深也庡音扆】传曰内出其诏泽之深也【兑为言又为泽】外从其号信之广也【巽为令又为从】阳卜于中善所据也【七二七五】隂庡于奥巧所藏也【八三八四】昔王由是兴教令【则巽】召规谏【法兑】上允其言【顺之谓也】下谅其命【兑之谓也】内悦之外顺之【甚哉信之为用也上失信则无以驭下下失信则无以事上未有君疑其臣而纳其言臣疑其君而从其命故曰上允其言下谅其命葢以内悦外顺故也】
　　【艮下巽上】渐耑禾于屵【耑音端説文物初生之貌屵音业】髀兟于碣【髀补尒切兟音莘】丮之艸【丮音撃艸音攀】辵之癶【耑木禾茂屵山也髀股兟进碣石丮手艸持也辵足也癶行也辵丑略切乍行乍止癶音拨】传曰耑禾于屵木茂于山也【巽为木艮为山】髀兟于碣趾登于顚也【巽为趾艮为岭】丮之艸手有所持也【艮象】辵之癶足有所行也【巽象】昔王由是辟天门【宫阙开也】发王命【号令行也】变尒风【法乎巽也】易尒俗【则乎艮也】俾承乃上命以奠乃下人【渐之为言进故木茂于山足登于岭趾有所适手有所持先王法之所以开门阙行号令变巽之风易艮之俗苟如此何忧乎人之不定命之不承哉】

　　元包经传卷二
　　钦定四库全书
　　元包经传巻三
　　后周　衞元嵩　述
　　唐　苏源明　传
　　唐　李　江　注
　　仲隂第五
　　【离下离上】离炎炵炵【他冬切】焱烘烘【焱必遥反烘许公切】防冏覞视【囧古营切覞音耀】昦晶□空【炎火炵烈也烘炽防目囧明也覞视昦日晶光也昦音杲晶音精曅音】传曰炎炵炵火之烈也焱烘烘炬之炽也防囧覞视目之周视也昦晶□空日之环照也【皆离之象】昔王由是作明以察【皦如日也】鍜乃戈矛链乃甲胄【军志曰国虽安忘战则危故太史公有言鞭挞不可废于家刑罚不可弛于国征伐不可偃于天下如蚩尤作乱三苖为逆此岂可以德化耶经曰兵者不祥之器不得已而用之先王知其不得已故缮修兵器以戒不虞传曰有备无患斯之谓也】以脩尒武备以旌尒文德【夫经天地者莫过文定祸乱者莫过武此二者为国之大柄也安得不脩而旌之哉故益称帝之德曰乃武乃文葢美之深也】
　　【艮下离上】旅童窃妻妇奔自闺眎之臭爪之携【狊扃阒切犬视】爇爨于屵【爇而悦切爨千乱切屵音业】弇泗于磎【闺宫狊顾爪手也爨火屵山磎径也弇与渰同】传曰僮窃妻少男入宫奸于中女也妇奔自闺中女出宫交于少男也眎之狊惊顾如犬也【离为视艮为犬】爪之携提物在手也【离为物艮为手】爇爨于屵持釡迁灶侨于山也弇泗于磎反袂拭面止于路隅也【皆离艮之象也】呜呼有天下者【呜呼叹之】临轩墀【莅庭阙也】览表奏【省章疏也】整人干戈【法离】葺人庭内【则艮】无俾庸仆以擅乃武威无俾顽童以揆乃文教【国之存亡在乎相也人之死生在乎将也安可使顽童庸仆而当其任哉如处士横议匈奴遥哂岂不谓任非其才欤古人有言非其人居其官是谓乱天足为永戒】总尒兵衞尒阙【甲胄列乎宫外】明厥德奠厥人【夫臣下之不安君上之不明也未有防休明之运而人不聊生遇昏乱之时而人安其业故曰明厥德奠厥人也】
　　【巽下离上】鼎文物殷旌鋋兟【鋋音延兟音莘】符显其诏炎燎其薪【符文诏令也炎火薪木也】传曰文物殷朝仪盛也旌鋋兟羽卫陈也【离象】符显其诏号令既行印以信之也炎燎其薪柴樵既积火以爇之也【巽象】昔王由是发诏命【法巽】整文武【则离】燔乃燎【下象见土上象见火】告乃天【互体见兑而又见干也】列尒笾豆【巽之象】具尒醴俎【离象】以蒇能事以新景命【鼎者新也巽者命也夫物受其命必新其鼎故陈羽衞成朝仪发制命尤当为庀柴燎列以笾豆具以醴俎斯所以告天也岂非能事岂非景命哉故曰以蒇能事以新景命】
　　【坎下离上】未济水火相圵隂阳忒月之日之蚀【圵背忒差缺也】传曰水火胥圵火炎于上水润于下各相背也【离火坎水】隂阳忒七居于隂八居于阳妄相差也【初八八三八五皆阳位而隂居七二七四上七皆隂位而阳居二气交差六爻相错故忒】月之宿不合也日之蚀辰不集也【葢以其交之故凡周天三百六十五度四分度之一日行迟月行疾日行一度月行十三度月一月一周天日一嵗一周天一年凡十二交防应交而不交则有有蚀昔羲和湎淫废时乱日侯征之数其罪曰乃季秋月朔辰不集于房瞽奏鼔啬夫驰庶人走斯则应交而不交明矣】呜呼为国者【叹之】设法于内【象坎】武于外【则离】无滥法以肆尒淫刑【至人有言曰失道而后德失德而后仁失仁而后义失义而后礼失礼而后刑失刑而后乱则知刑者焉可得而失哉昔周宣罹杜伯之寃齐襄遘彭生之祸然则滥罚之道其可忽诸与夫殷汤解开网之恩夏禹徇泣辜之不其逺矣】无从兵以怙尒威武【歴观前代秦汉帝王务求开拓之功不恤生灵之苦以为不一劳者不永逸不暂费者不永宁日寻干戈以相征伐或堑山垔谷争寻常以尽人或挽粟飞刍费糗粮而耗国国耗人尽祸乱斯生是以万代之谋坠于二业一统之业忽尒三分俾人各有心咸生异志天下席卷夷狄交侵大紊王纲迄于隋室皆失于下防而在末年斯则从兵怙武之由故识者以为深戒】任乃文止乃盗【未济者言未可以济也夫严刑酷法将禁其奸黩武穷兵欲制其冦焉可以济哉故任乃文止乃盗】
　　【坎下艮上】蒙敜聂缠寃【敜乃颊切闭也书敜乃穽】幂辟婴防【乌切】季陵于仲石瘗于泉兟靡适靡旋【敜掩聂耳也纒蒙也寃忧幂覆辟法也防病瘗藏兟进退也音衣】传曰敜聂纒寃掩其聪蒙其忧也幂辟婴防侮其法冒其病也【坎为聪为忧为法为病艮为掩为蒙为侮为冐】季陵于仲弟在兄上也【坎为中男艮为少男】石瘗于泉水在山下也【坎为水艮为山】兟靡适进而碍山也靡旋退而阻险也【艮为止坎为险】呜呼为邦者【叹之】恤乃【以其侮法也】广乃听【以其掩聪也】无任酷吏以苛尒法无宠羣小以蔽厥聪【坎为耳艮为手又为少男斯小人蔽聪之象也且初八为士七二为大夫八三为卿八四为诸侯八五为君上自于君下至于士埶柔以从务唯大夫独刚以用事古有言邦有道政不在大夫今政在大夫既主生杀之权以操国政更连羣小人之党以掩主聪上下相蒙莫甚于此】
　　【坎下巽上】涣飍荡淼罙【飍香幽切荡他浪切罙音弥】飙旋澜漪舟淲于渎【淲皮彪切】飘防于□【飍风荡行淼水也冞深淲浮渎川飘风防生□险也防古突字□亦作漦音厘】传曰飍荡淼罙风之行水之深也飙旋澜漪风之动水之流也【巽为风坎为水】舟淲于渎木浮于川也飘巟于□风生于穴也【巽为木为风坎为川为穴】昔王由是行乃法【法流于下】施乃令【令行于外】布以刑宪【法坎】阐以风化【则巽】下则之外从之【夫号令发于上而下莫不遵刑法设于内而外莫不顺故曰上则之外从之也】
　　【坎下干上】讼倔弜胥执【倔巨勿切弜音竒并强也】防誩胥絷【防音愆誩其两切】直譶譶曲防防【倔刚弜强防罪也誩争譶诉防喧也譶音蛰防音戢】传曰倔弜胥执刚强者法所缧也防誩胥絷罪戾者狱所拘也【干为刚强坎为罪戾坎又为法为狱】直譶譶辞正而诉也【谓干】曲防防理迃而喧也【谓坎】昔王由是建乃辟【立刑法也】完乃狱【脩囹圄】听尒辩【法乎坎也】析尒权【则乎干也】防以断之罚以惩之【夫断决者莫过于刚惩劝者莫善于罚夫行柔顺之道而能果断敷仁之德而能惩恶反经合义理在随时故为罚以惩刚以断斯讼之道也防与刚同】
　　【离下干上】同人揭揭炎烈烈昦囧于天【昦音杲囧举永切】睛蓥于页【天揭运炎火也烈炽昦日囧光也睛目蓥明页也蓥音营页音颉】传曰揭揭天之转也炎烈烈火之炽也【干为天离为日】昦囧于天日光于空也睛蓥于页目明于也【干为天又为离为日又为目首字説文象髪】昔王由是临魏阙徴史臣【法乎干也】讲乃文习乃武【则乎离也】以应尒类以求尒士【同人者与人同者也夫士有能文者吾则好文焉士有能武者吾则好武焉士有能直者吾则好直焉凡气同则相求志同则相应故曰以应尒类以求尒士】明厥目广厥眎【虞典曰明四目谓明四方之目也岂非周鉴欤葢干为天离为目又为明此所谓广天下之目也故曰广厥眎】
　　仲阳第六
　　【坎下坎上】坎□囦囦【囦音渊】魄防【音愆】之囚【女洽切手取物】俘之挛【□险囦深也魄月黒也防罪囚取也俘囚挛拘也力全防】传曰□囦囦穽之深也魄月之晦也防之囚盗所也【与攘同】俘之挛囚所系也【皆坎之象】昔王由是则乃险【使人畏惧】建乃法【俾有科条】设囹圄【狱以囚之】脩桎梏【杻以挍之】以制尒奸邪以防尒隠盗俾厥人知厥禁【夫法者制奸之闗键刑者防盗之枢机枢机已发而盗无隄防闗键既张而奸无禁制故曰俾厥人知厥禁也】
　　【兑下坎上】节夫咋咋【则革切】妾悚悚【疎鬲反】言咠于聪水于泽【咋语悚惧聪耳澄咠子立切】传曰夫咋咋言语及下也妾悚悚忧惧于上也【坎为夫又为忧惧兑为妾又为言语】言咠于聪得其防也水于泽获其所也【言之与泽谓兑也聪之与水谓坎也】昔王由是立刑宪【悬正式也】纳规谏【受决言也】敷乃【法兑】恤乃狱【则坎】无俾不孚以缄尒寃诉无俾执正以忧尒诼言【节者节槩之谓也夫守节之士苟懐正直虽遭而不变其心苟利社稷虽临大难而不易其操是以晁错在谋父乃投于冡墓王章草表妻乃哭于闺房此知必戮其身而诛其族然二子岂不知族受其诛惜其族恐亡其国也岂不知身受其戮全其身恐危其主也苟能亡其身而全其君弃其家而存其国斯大节者也虽受戮于一时乃垂美于千载贤者知其守节者必衔其寃秉直者必遭其故云无俾不辜以缄尒寃诉无俾执正以忧尒诼言斯戒之深也诼猪角切】上有则下乃悦【上有法则下为和悦斯内外有节之象也】
　　【震下坎上】屯云雺雺【莫浮切】【朏同音幽微也】雷奋于□【音厘】龙跻于湫【雺雾气防月也□险跻升湫泉也】传曰云雺雺气生于水也月生于朔也【震坎之象】雷奋于□跃于幽穽也龙跻于湫陛于深泉也【雷之与龙震之象也泉之与穽坎之象也】昔王由是严乃刑【则夫险也】凝厥躬省厥心【处屯之际必凝厥躬在难之时必资乎慎故曰省厥心也】无惰尒政无嫚尒听【夫听嫚则不总政惰则不明不聪则耳无所闻不明则目无所见苟闻见之不达何上下之能通虽有已成之功可翘足而观败虽据已安之业不旋踵而见危又况屯难之时得无倾危乎】上敇之下行之【夫令出而信法在必行是以曹公受剪发之刑军无逸马商君脩移表之术路不拾遗此上敕下行之谓也】
　　【离下坎上】既济水火胥纳隂阳不【当作杂】日之交月之合【纳受杂乱也交集合防也】传曰水火胥纳二气交也【火交而下水交而上】隂阳不六位正也【七居于阳八居于隂】日之交集于辰也月之合防于宿也【盖以其文防政者也】昔王由是降乃符【离在下也】悬乃辞【坎在上也】揆文教以虞尒盗脩武备以防尒寇【既济者得济之谓也夫能任文以禁盗用武以御寇其蔑有不济乎】无厥伦无错厥位【七居于阳故无夺伦八居于隂故无错位斯可以济也与夺同】
　　【离下兑上】革娣媦欻【娣徒厉切媦云贵切欻吁物切】姊姒勿勿泽之渴炎之戍【姒妯娣娌也媦妹戍灭也】传曰娣媦欻少女升也姊姒勿勿中女降也泽之渴内有火也炎之戍上有水也【离为中女又为火兑为少女又为泽】昔王由是改正朔易服色【法离】发诏令行恩【则兑】文物斯变景命惟新【革之为言改也内忌外尅上陵下替物之变易莫过于此故少女升于上中女降于下水灭其火火焚其泽斯变革之道先王法变革之理以改正朔易服色行恩恵发诏令故得景命惟新文物斯变矣】
　　【离下震上】丰昦之斡【昦音杲】睛之奯【音豁】雷磤磤【音隠】电炟炟【当葛反昦日睛目奯动斡转磤震炟爆也】传曰昦之斡日之转也睛之奯目之动也【离为日为目震为转为动】雷磤磤其声震也电炟炟其光睒也【睒式冉切暂视貎震为声为雷离为光为电】昔王由是动干戈耀兵威阅乃文籍脩乃明徳【盖满盈者戒所愼也苟能阅前古之典坟知祸福之倚伏寜有不脩其德以光大耶】以惩厥盈以戒厥嫚【丰者满盈之道也古有言贵不与富期而富自至富不与奢期而奢自至奢不与骄期而骄自至骄不与罪期而罪自至罪不与死期而死自至此祸生于盈满也故坐右有铭宥坐有欹器先王知满之不可纵故能脩明徳以自光阅文籍以自愤何傲慢之不戒何满盈之不惩哉】【离下坤上】明夷晶防炎潜囧映觇苫【觇丑廉切苫失廉切】隂气积阳明熸【晶日也防暗潜瘗也囧明映蔽觇视苫障熸灭也子廉切】传曰晶防炎潜日之瞑炎之瘗也囧映觇苫蔽其明障其视也【离为日为目为明为视坤为瞑为瘗为障为蔽】隂气积地在日上也阳明熸日入地下也【离为日坤为地】呜呼有国家者【呜呼叹之】脩乃文整尒众广乃眎察尒民【脩文广视法乎离也整众察民则乎坤也】无俾小人以耀厥武无俾羣丑以蔽厥明【夫小人能専权而耀武者必内蔽其明则明道伤矣且日没于地火埋于土目蔽其视此明之所由伤也明既伤则小人得志则文不脩而武是用昔汉以偃武而兴秦以坑儒而灭秦汉之不敌庸哲咸闻故贤者揣象以为深戒也】
　　【坎下坤上】师溟之滨地之垠辟辡辡【音辩罪人相讼】丑甡甡【溟海濵涯垠畔也辟法丑众甡多也音莘】传曰溟之滨岛之涘也地之垠海之畔也【坎为溟坤为地涘音俟】辟辡辡法之严也丑甡甡众之多也【坎为法坤为众】昔王由是诞法于内【象坎】整众于外【则坤】均平以和之【夫有国有家者不患寡而患不均不患贫而患不安夫安则和均则平由是言之则和平者莅众之道也】刑狱以齐之【孔子曰齐之以刑民免而无耻】险以理人人不顺【郑国侨有言惟有徳者可以为寛其次莫如猛则知猛者救时之谓也况乎总师旅之时处刑罚之地必资猛政人乃率从故曰险以理人人无不顺者也】

　　元包经传卷三
　　钦定四库全书
　　元包经传卷四
　　后周　衞元嵩　述
　　唐　苏源明　传
　　唐　李　江　注
　　孟隂第七
　　【巽下巽上】巽俶么【俶音叔么伊尧切音幽】卒飘飍【飍香幽切】抜屵扒氐【屵音业扒音拜氐侧氐反】臸垠防坐【俶始么小微也卒终飘荡飍盛也氐根垠逺臸至防穷坐深也臸音曰防音抉坐与幽同】传曰俶么始于细微也卒飘飍终能强盛也抜屵扒氐转石伐木也臸垠防坐极逺穷深也【巽之象风之理】昔王由是施乃命听乃言上以风化下下以讽刺上【卜商有言风讽也教也风以动之教以化之下以讽刺上俾言之者无罪闻之者足以戒此盖所谓纯巽之义也】上从之下顺之【下能刺上故上从之上能礼下故下顺之】
　　【干下巽上】小畜飊旋旋【飊俾遥切】夰宀宀【夰音昊宀音绵】髀之反【髀补尔切】页之【飊风旋动也夰天宀覆也髀股页头坠也页音颉音顚】传曰飊旋旋风之动也夰宀宀天之覆也【巽为风干为天】髀之反股在上也页之在下也【巽为股干为首】呜呼为邦者【叹之】辟天门【开阊阖也】发王命【行号令也】进尒忠良【法干】布尒风教持厥刚折厥惢【惢音赀畜之为言塞也当畜塞之际又狐疑不断其患非细抑闻之执狐疑之计者开羣枉之门养不断之虑者来谗邪之口谗邪羣枉复兴则臣畜其君外塞其内必资果断以决嫌疑故曰持厥刚折厥惢惢心疑子也】内乃正外乃顺【小畜者小人而畜君也以顺教者股反而侧而坠则君畜于内令出于外天覆于下风行于上其象一也苟能开阊阖行号令进忠直布风教何忧乎内之不正外之不顺哉】
　　【离下巽上】家人娣姒仑【音伦】姑媦甡【媦云贵切甡音莘】尸尒炎爨尒薪【娣姒妯娌仑次也媦妹甡众尸主也】传曰娣姒仑两妇次也姑媦甡二女聚也【离巽之象】尸尒炎主内灶也【谓离】爨尒薪脩中馈也【谓兑】昔王由是脩明德【象离】发严令【则巽】命将帅以整尒干戈进文儒以熈风化【文敎之理重于未乱兵家之胜重于未战二者王道之本进文儒熈风化所谓正理于未乱命将帅整戈矛所谓制胜于未战也而能发之以严令修之以明徳其蔑有不济哉故孙氏有言挍之以计而察其情曰主执有道将孰有能法令孰明赏罚孰劝吾以此知胜矣】外不从内不蓥【夫人之率服在于明徳未有徳明而人不从德昏昧而人相顺必待明德人乃率从故外不从内不蓥音罔蓥音营】
　　【震下巽上】益妇进以礼天合其体风从于雷趾于髀【趾足髀股也氶也平表切】传曰妇进以礼女顺而升也【巽象】夫合其体男动而降也【震象】风从于雷获其所也趾于髀得其宜也【巽为风为髀震为雷为趾】昔王由是奋乃威【法震】敷乃命【象巽】布以教俾人知训【夫为人之道未有不敎而训之故教为人臣者必训之以寛敎为人子者必训之以敬此谓教而训之】施以严俾人知惧【严者饬之谓古者尊其瞻视动有鸣环之音出有和鸾之韵望之俨然斯逺防慢矣夫如此安得不惧】上令之下行之【孔子曰上为正不令而行况上下相承中外相接布之以教施之以严惧而又加正令安得不行之】
　　【震下干上】旡妄页顚顚趾延延子钦于父雷奋于天【页顚髙也趾足延行也】传曰页顚颠之髙也趾延延足之行也【干为震为足】子钦于父得其顺也雷奋于天合其道也【干为天为父震为雷为子】昔王由是举忠直【法干】隆威严【则震】刚以正之【君在上也】畏以齐之【臣在下也】君君臣臣父父子子【干为君为父震为子为臣夫有国者有君臣夫有家者有父子有君臣父子人伦之大节也茍能举忠直降威严正之以刚齐之以畏斯象家国成矣亦犹首在于上足行于下雷震于天也斯岂妄刚者昔齐景公问政于孔子对曰君君臣臣父父子子景公曰善哉信如君不君臣不臣父不父子不子虽有粟吾得而食诸与夫大壮不甚逺也】
　　【震下离上】噬嗑列缺抟防磹灼【防先念切磹徒念切】睛睒睒【式冉切】□辵辵【列缺震雷防磹电光睒明辵行步音闼蹈也辵丑略切】传曰列缺抟雷之动也防磹灼电之耀也【震为雷离为电】睛睒睒目之明也□辵辵足之行也【离为目震为足】昔王由是出符命动干戈张乃威耀乃武【离震】以惩不敬以讨不明【噬嗑者噬而合也上天作怒降雷电以罚恶逆之象也先王则之所以出符命动干戈张乃威耀乃武以行惩讨不明者得罪于离不敬者得罪于震上帝所以致诛】
　　【震下艮上】颐爪丮臼【上击下局】趾彳亍【上赤下畜】上【胡间切】下逯逯【丮臼执也彳亍行也爪手趾足也安逯运也玉谷切】传曰爪丮臼手之执也趾彳亍足之歩也【艮为手震为足】上安而止也下逯逯运而动也【艮为止震为动】昔王由是畏心省躬【则震】搜它云林寘诸天阙【体艮】无俾顽竖以擅乃威权无俾复夫以行乃躁虣【顽竖复夫谓乎艮也威权躁防谓乎震也今小人在外威权在内斯得其宜矣而小人窃近于上威防于不附须畏厥心省厥躬搜云林寘天阙方可以免书曰惟辟作威士有作威则凶于而家害于而国安得不慎之哉复与愎同虣音防】内既勤政外乃奠居【頥之为言养也犹手之所执足之所行君人之道岂宜有怠故诗人缀匪懈之句周公着无逸之篇苟能使庶政凝万机不怠何忧乎人之不定者哉】【巽下艮上】蛊飘甹丰【甹普丁切丰当作夆音逢尔雅甹夆掣曵也】屵防防【屵音业防户冬切防力冬切】蠢恠于皿妭媚于宫【甹丰风骤貎也防防山崩声也蠢虫皿器也妭女也宫室也】传曰飘甹丰风之盛也屵防防山之崩也【巽为风艮为山】蠢恠于皿蛊动于器也妭媚于宫女惑于室也【巽为皿为动艮为器为室】呜呼有国家者【呜呼叹之】察内政【妭妾在内】絶奸私【伪人在上】无俾贱妾以肆乃荒淫【巽为长女为进退为不果又为宫室妇女在宫室之中而为退不果得非荒淫妭媚欤昔夏之亡也以妺喜殷之亡也以妲己周之亡也以褒姒三代之灭皆由于此有国家者可不戒哉】无俾小人以权乃诏命【艮为小人巽为号令然小人者所任不离庖厨之间所务不过厩库之内今乃假制诏之命行号令之权其为蠧政害民非细也】内有惢下有事【惢疑也为进退不决夫事之生变在于不断传曰需者事之下则知事之懐疑蛊之为害史墨有言风落山为蛊女惑于男为蛊于文皿虫为蛊今贱妾肆荒淫小人权诏命在于理亦蛊之为毒也故贤者揣象赋言以为深戒】
　　孟阳第八
　　【震下震上】震龖之赫【龖达荅切】霆之砉【砉呼麦切庄子奏刀砉然】悚忪忪【忪职容切】骇悚悚【龖龙赫怒霆雷也砉声悚悚音索】传曰龖之赫二龙之怒也霆之砉洊雷之声也悚忪忪再有所惧也骇悚悚重有所惊也【皆震之象】昔王由是省厥心【务敬愼也】省厥躬【其斋菲也】肃乃威严【逺防慢也】勤乃决断【分疑误也】俾尒中外知尒戒惧【前四者皆震之德也古有言逸乐者必骄慢则祸至恐惧者必戒慎则福生故诗美文王之德乃云翼翼小心易称君子之行则曰干干夕惕由此言之恐惧其为人之福欤夫上行之则下效之故俾尒中外知尒戒惧也】【坤下震上】豫驷骉骉【音彪】辇轰轰咏歌奏和雷奋龙行【骉羣马也轰众车也】传曰驷骉骉马之羣也辇轰轰车之众也【坤为车震为马】咏歌奏和乐之声作也雷奋龙行客之志得也【皆坤震之象也】昔王由是旌车服【法干也】崇乐悬【则震也】和乃声谐乃律【和之与谐坤之象也声之与律震之象也】安尒上以理厥人变尒风以移厥俗【车马衣服礼之节也咏歌声律乐之和也夫大礼与天地同节大乐与天地同和合于天地莫过礼乐先王以是崇之故孔子有言移风易俗莫善于乐夫移风易俗其所由来渐矣得不谓之豫乎乃使人之理上之安何异马奔于地车转于陆雷之奋龙之行者耶安豫之甚也】
　　【坎下震上】解雷趯于□【趯他歴切】龙跃于陂悸愕愕愀防防【趯骇□险也跃惊陂水也悸惧愕惊也愀忧防叹也许棃切】传曰雷趯于□骇于险也龙跃于陂惊于水也【震为雷为龙坎为险为水】悸愕愕惊且惧也愀防防忧而嗟也【叹辞】昔王由是缓乃法【政有侮法】恤乃狱【信有懐忧】无俾苛酷以斁尒彞伦【壊政理者不过于酷法苛令昔孔子遇妇人哭甚哀孔子曰何悲乎一似重有忧者使弟子问焉妇人曰吾舅死于虎吾夫又死焉今吾子又死焉孔子曰盍迁乎妇人曰无苛政孔子喟然叹曰弟子识之苛政猛于虎由此观之欲求彞伦之不斁其可得乎】无俾嚘咿以伤尒和气【夫政理则人顺人顺则气和政乱则人怨人怨则气逆昔邹阳被枉五月降霜老妇受诬三年作旱夫如是欲求和气之不伤不可得也君子痛之故以为深戒嚘音忧咿音伊】上畏以威下法以则【上畏以威拟夫震也下法以则体夫坎也凡吏为苛酷者上无威人兴嚘咿者下无贤嚘咿者伤和气苛酷者斁彞伦故曰上畏以威下法以则也】
　　【巽下震上】恒夫严不阋【阋馨激切诗兄弟阋于墙】妇顺不逆隂阳胥媲【匹诣切】雷风胥激【严恪阋鬭也媲配也】传曰夫严不阋恪于上也【震之象也】妇顺不逆从于下也【巽之象也】隂阳胥媲可以乆也雷风胥激可以乆也【巽为隂为风震为阳为雷】昔王由是严乃威俾勿嫚【则坤】降乃令俾勿违【法巽】钦于上顺于下【恒常也且夫妇配合隂阳交通雷震于上风行于下岂非常道哉先王知常道之可乆故拟而效之端其威严降其号令望之俨然而不敢嫚从之恰然而不敢违故曰钦于上顺于下也】
　　【巽下坤上】升舆之麤辵之徂【辵丑略切】股运于腹妇归于姑【麤行也徂往也股髀也】传曰舆之麤车之行也辵之徂髀之往也【坤为车巽为髀】股运于腹获其所也妇归于姑得其宜也【坤为腹又为姑巽为股又为妇】昔王由是发诏命【法乎巽】敷率土【则乎坤】顺乃人行乃化【人之与顺坤之象化之与行巽之象】布尒德教加于丑类【布尒德教拟夫巽加于丑类效夫坤也且升之为言进也亦犹股运其腹妇归于姑车之行足之往斯非升者欤先王法之所以出制敷外顺人行化此之谓布尒德教加于丑类经曰德教加于百姓刑于四海盖天子之孝也葢升之道也】
　　【巽下坎上】井机聨聨组牵牵罙厥皿【罙弥】跻厥囦【机闗组索罙入也皿器跻升囦深也】传曰机聨聨闗之转也【坎为娇揉】组牵牵索之引也【巽为绳直】罙厥皿器入于深【巽象】跻厥囦水出于险也【坎象】昔王由是建乃刑法【则乎坎】施乃敎令【法乎巽】行于中【巽为行也】流于外【坎为流也】不顺【巽象】不通【坎象】上则之下从之【古有言身正不令而行上不正虽令不从由斯言率从上也何异机闗组索相率耶亦犹沉器于井汲水于泉此先王取象于此是以建刑法施敎令行于中流于外无不通故曰上则之下从之】
　　【巽下兑上】大过娣越姒媢陵姊风罙于陂舟防于水【娣姒妯娌也媦妹罙入也陂水防没也音溺】传曰娣越姒少替于长也媦陵姊季僭于孟也【娣媦少女谓兑也姊姒大女谓巽也】风罙于陂过其度也舟防于水失其节也【巽为风又为舟兑为陂又为水】呜呼有社稷者【呜呼叹辞】降尔诏命【出号令也】征尔忠谏【召忠直也】无进利口不正厥言【兑为口又为悦媚故言不正也】无任惢心【惢音赀心疑也】不果乃事【巽为顺又为进退为事不果也】或胥唱或胥和【书曰疑谋勿成语曰利口之覆邦家此所谓言之不正事之不果也痛哉过之为患也少陵其长季僭其孟风惊波涛船沉流浪亦何异进其利口任其惢心者哉贤者叹之故欲出号令召忠直使君臣之际予违汝弼恶其唱和过之深也】
　　【震下兑上】随男有嫡女有【音适】言侃侃笑赥赥【嫡妇嫁也侃乐赥笑也赥许迪切】传曰男有嫡入而归妇也【震之谓也】女有出而从夫也【谓兑】言侃侃其口动也笑赥赥其声悦也【兑为口为悦震为动为声】昔王由是敷恩【内卦之体】锡蕃庶【外卦之象】言不应【上象为口下象为声】动不悦【下象为动上象为悦】悦以勤人人甘其役【天布泽及众也未有不从者故言无不应动无不悦因此劳人人无怨苦以其甘于动为也其非相随之甚耶何异女嫁于夫男娶于妇兼言笑相从也】

　　元包经传卷四
　　钦定四库全书
　　元包经传卷五
　　后周　衞元嵩　述
　　唐　苏源明　传
　　唐　李　江　注
　　运蓍第九
　　五行之数一曰水二曰火三曰木四曰金五曰土此其生也【五行之生数也】六曰水七曰火八曰木九曰金十曰土此其成也【五行之成数也】凡五行生成之数五十有五【自一至十之总数也】肇于勿芒动于防黙物休咎于未形辨忧虞于既惑鬼出神入而变化无穷穷幽洞灵而生成不息体混茫之自然与天地而为极实所谓微妙通深不可测【美算术之功也】故仲尼曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十【竒数阳故配天偶数隂故配地】天数五【一三五七九也】地数五【二四六八十也】五位相得而各有合【谓一与六二与七三与八四与九五与十各有合也】天数二十有五【一三五七九之总数也】地数三十【二四六八十之总数也】凡天地之数五十有五【二十五之与三十也】此所以成变化而行鬼神矣【数术精微】易用四十九防者穷少阳也【少阳之数七穷谓七七也】包用三十六防者极太隂也【太隂之数六极谓六六也】穷少阳葢尚文也极太隂葢尚质也文质之变数之由阳不穷九隂不极八明大衍之不可过也【极九谓八十一也蛊八谓六十四也大衍之数五十五故言不可过】阳之防一十有二【象干三爻震坎艮各一爻巽离兑各二爻共一十有二也】隂之策二十有四【象坤七爻巽离兑各二爻震坎艮各四爻共二十有四也】凡三十有六葢取数于乾坤五行八卦同符合契共而为一曰太一【拱蓍之时】分而为两曰两仪【分蓍之时】揲之以三曰三才【谓算之也】营之以四曰四时【谓运之也】归余于终取象于闰【谓物之也】数之闰也在于左阳之动也数之萌也在于右隂能生也【数动于左而生于右】混茫既判天地辟矣【分蓍也】天地既辟三统分矣【揲蓍也】三统既分四时序矣【营蓍也】四时既序闰斯生矣【总蓍也】正闰相生数无穷矣传曰五行者隂阳之精气造化之本源德赞三才功济万物在乎天也谓之五星【镇嵗太白荧惑辰也】据乎地也谓之五岳【嵩岱衡恒华也】行于人也谓之五材【水火金木土也】若天无五星则辰宿错灭地无五岳则山泽崩竭人无五材则性命絶故知天以五星为政地以五岳为镇人以五材为用三正之立五行所成也人者上禀五星之气下居五岳之分中受五材之助故天地之间惟人最灵则知人者五行之端五行之秀是以包五藏蕴五神【五藏谓肝肺心肾脾也五神谓魂魄精神志也河上公曰魂藏于肝魄藏于肺神藏于心精藏于肾志藏于脾五藏尽伤则五神去矣】全五体备五事【五体者谓骨肉血脉皮五事者谓貌言视听思也】合而行之有五徳【仁义礼智信也】皆本于五行【包五藏蕴五神全五体备五事行五德皆法象于行也】然则色不以五行虽有离娄之明不能定其文彩【五色谓青黄赤白黒为文章之主】声不以五行虽有师旷之聪不能定其音律【五声谓宫商角征羽音律律之原者也】味不以五行虽有俞附之术不能定其性命【五味谓酸咸甘苦辛为生气之本也】气不以五行虽有老耼之道不能定其嘘吸【河上公曰天飬人以五气鼻藏于心太史公曰黄帝理五气】言不以五行虽有尼父之德不能定其词理【仲尼之训未有不先于五行谓教人以父义母慈兄友弟恭子孝也】厯数不以五行虽有重黎之算不能守其叙【厯数之算必先五行时叙分矣】隂阳不以五行虽有牺炎之圣不能定其吉凶【隂阳之占必先五行而后吉凶决矣】万物无不由五行以定包者定也定之为义博矣哉夫不定而眎则五色乱于目矣不定而听则五音乱于耳矣不定而食则五味乱于口矣故五色令人目盲五音令人耳聋五味令人口爽鼻不定而吸则不能理五气心不定而语则不能敷五教志不定而行则不能脩五徳身不定而动则不能用五事【夫视五色听五声食五味吸五气布五教行五德用五事未有不法定者也】夫有一不定则人不畏【行之失也】有一不定则人不信【言之乖也】是以君子定其目而后视定其耳而后听定其味而后食定其气而后吸定其心而后语定其志而后行定其身而后动定其数而后算定其意而后占故无失矣【皆资于定】夫至人不占者何以其定也占者所以定美恶至人无恶【行于善也】占者所以定吉凶至人无凶【履于吉也】占者所以定休咎至人无咎【保其休也】占者所以定嫌疑至人无疑【达于嫌也】夫惟定矣又何假于占哉【定之为言定也贵于定尊于定故不假于占筮也】
　　说源第十
　　在昔哲王受明命皆能变文质顺隂阳大矣哉此帝王之能事也【在昔哲王谓三皇五帝及三代之君顺阳尚文顺隂尚质更而必复有若循环歴代重之以为能事故孔子云其或继周者虽百世可知也】古者天生人而未树之以君上下交杂品位纷错隂阳初分文质未作【谓巢燧之前也】庖牺之王天下也画八卦法三才而一之斯尚质之代也【三才之道各据二位得其偶数故尚质也】自黄帝暨乎尧舜垂衣裳而天下理葢取诸干则尚文也取诸坤则尚质也【干为阳故尚文坤为隂故尚质文质更变歴代不差故伏羲尚文神农尚质黄帝尚文少昊尚质颛顼尚文髙辛尚质唐尧尚文虞舜尚质其后夏商周亦皆象此也】通其变而使民不倦神而化之使人宜之是以自天祐之吉无不利【应天顺人不失其道】后夏有连山殷有归藏周有周易皆次不同而算术各异斯文质之更变也【归藏先坤周易先干故云卦次不同殷用二十蓍故云算术各异】仲尼有言其或继周者虽百世可知也斯则百王不易之道明矣自兹以降代歴千禩【音祀】人非一性穷奢极丽饫欲厌心不能正本澄源反文归质若河倾海覆泛滥平陆流荡无依迄至今日而莫之变也夫王者之有天下必改正朔易服色以其既往者废将来者兴【文废而质兴质废而文兴亦由水王而火衰木衰而金王也故正朔服色有改者】是以三皇之王五帝之理乐不相沿礼不袭【古之道也】且物极则反理有固然文质之体其将变矣【言包之所由作也】喆人观象立言范作则将以究索厥理匡赞皇极推吉凶于卦象陈理乱于邦家广论易道冀裨帝业葢时尚质之书也呜呼采世人之订述作之意焉尔【葢后包以周义也衞先生易论云夫尚质则人淳人淳则俗朴朴之失其弊也憃憃则变之以文尚文则人和人和则俗顺顺之失其弊也謟謟则变之以质质以变文文以变质亦由寛以济猛猛以济寛此圣人之用心也岂苟相反背而妄有述作焉由斯言之帝王之道坦然明白蘓公脩传终以明述作之意用以论文质之理又叹时人不能洗心于精微之道故云采世人之订述作之意订审也】

　　元包经传卷五
<子部,术数类,数学之属,元包经传__元包数总义>
　　原序
　　扬子云太其法本于易纬卦气图卫先生元包其法合于火珠林皆革其诬俗而归诸雅正者也伏羲始作八卦因而重之为六十四是名先天陈希夷所传先天图是也其数有二圆图者天也自一隂一阳各六变为三十二隂三十二阳者运行数也方图者地也八卦纵横上下一卦为主各变七卦者生物数也卦气图以六十卦为主一爻当一策所谓乾坤之防三百六十当期之日其于系辞则序卦之义也主于运行之用者天而地之数故为天地之大数也火珠林以八卦为主四隂对四阳所谓天地定位山泽通气雷风相薄水火不相射其于系辞则说卦之义也主于生物之用者地而物之数故为人物之小数也卦气图之用出于孟喜章句火珠林之用祖于京房易末流之弊杂乱于星官厯翁其事失之诬其辞失之俗故二君以其法为书而归之雅正也太日始于寅义祖连山元包卦首于坤义祖归藏由是三易世皆有书矣唐苏源明作元包李江为之注徒言其理未达其数夫天下之象生于数而数生于理未形之初因理而有数因数而有象既形之后因象以推数因数以推理论理而遗数譬如作乐而弃音律造器而舍规矩虽师旷之聪工倕之巧安能无失哉仆本为康节之学患其难明乃徧采古之言易者而旁通之因识元包之防不敢自私辄具述之以示同好皇宋绍兴庚辰五月晦张行成谨序

　　钦定四库全书
　　元包数总义卷一
　　蜀　张行成　述
　　元包卦次
　　太隂【自坤七变成比自比七变复成坤余卦皆然包止用其七变者用其显也八卦爻变自下
　　而上至五世则自上而下也】
　　坤　复　临　泰　大壮　夬　需　比
　　太阳
　　干　姤　遯　否　观　剥　晋　大有
　　少隂【包以坤为首隂也易以干为首阳也隂生于上阳生于下故包先少后长易先长后少】
　　兑　困　萃　咸　蹇　谦　小过　归妺
　　少阳
　　艮　贲　大畜　损　睽　履　中孚　渐
　　仲隂
　　离　旅　鼎　未济　　涣　讼　同人
　　仲阳
　　坎　节　屯　既济　革　丰　明夷　师
　　孟隂
　　巽　小畜　家人　益　无妄　噬嗑　頥　蛊
　　孟阳
　　震　豫　解　恒　升　井　大过　随
　　元包卦变
　　周易乾坤二卦【余卦类推易主爻而用七变而反生十二变而复本】
　　干【已　亢龙】　【辰　飞龙】　【卯　渊龙】　【寅　人龙】　【丑　见龙】　【子潜龙】坤【亥　龙战】　【戌　黄裳】　【酉　括囊】　【申　含章】　【未　直方】【午履霜】
　　元包乾坤二卦【包主卦而用七变而归魂十四变而反本】
　　干【上为世爻不变】　【五世变剥】　【四世变观】　【三世变否下体成坤】　【二世变遁】　【一世变姤】若上九变遂成纯坤无复干性矣干之世爻上九不变九返于四而成离则明出地上阳道复行故逰魂为晋归魂于大有则干体复于下矣自大有又七变焉而干体复纯也【乾坤上爻不变逰魂于离坎则为晋需若上爻反生则为复姤也盖八卦与六爻之用不同在卦者十四变而复本在爻者十二变而复本】
　　坤【上为世爻不变】【五世变夬】　【四世变大壮】【三世变泰下体成干】　【二世变临】　【一世变复】若上六变遂成纯干无复坤性矣坤之世爻上六不变六返于四而成坎则云上于天隂道复行故逰魂之卦为需归魂于比则坤体复于下矣自比又七变焉而坤体复纯也
　　初九为复当子渐变至上九成干当已者自坤变而来长数也初九为姤当一世渐变至五世成剥者自干变而往消数也长数者气由虚而造形未有一之卦也故乾坤各六变而互生又六变而复本体消数者形随气而返虚已有一之卦也故乾坤各七变而归魂又七变而复本体未有一者六爻之用气之用也故六变已有一者八卦之用形之用也故七变六变者得十二卦七变者得十卦是故先天图无一之卦各六变有一之卦各五变也文王之易所主在爻干变成坤坤变成干屯升成降成屯飞伏升降不存其本六十四卦莫不皆然元包者归藏易也所主在卦一卦七变而归魂则卦体复于下又七变而复本矣不互变也大抵主在爻者以互卦为体主在卦者以世爻为体以互卦为体者用十二通乎昼夜之道而知也夫变不存一而能不失本体非若太极之神周流六虚兼体动静者何以及此哉
　　先天自坤变干得三十六阳余十二隂不尽自干变坤得三十六隂余十二阳不尽者存象之一以十二为一也乾坤各六变六十三卦而六爻不动者存卦之一以六为一也元包八卦上爻不变者存爻之一以一为一也天地人物大小之用不同而皆存本故能生生不穷一而不变则穷两而相易则通隂阳相为用用九以六故干之用在离用六以九故坤之用在坎参同契曰易谓日月坎离者乾坤之妙用二用无爻位周流行六虚是故乾坤互变坎离不动当逰魂为变之际各能还其本体也凡八卦逰魂之变乾坤用坎离坎离用乾坤震艮用巽兊巽兊用震艮皆为隂阳互用以至六十四卦若上爻不变则皆然是故诸卦祖于乾坤皆有乾坤之性也其正以坎离为用者惟乾坤为然坎离肖乾坤故用乾坤震巽艮兊体虽变而纯可与共学其一不变自明而诚逰魂之际为頥中孚大小过则亦肖乾坤坎离也
　　先天天卦自干变坤得一百九十二隂而成六十四卦自坤变干得一百九十二阳亦成六十四卦总百二十八卦地卦纵横各六十四亦总百二十八卦元包八卦之变七变而归防八卦成六十四卦自归防之卦又七变而复本八卦亦成六十四卦共百二十八卦也卦有六十四天地隂阳幽显互用皆成一百二十八故甲子六十而百二十所以人皆有百二十年之夀得其半者为下夀也卦百二十八者八之十六也甲子百二十者八之十五也十五为运行之数十六为生物之数其一者地之本在先天为八正卦在元包为八纯卦之体也八卦毎卦十四变重者五变实得十卦总八卦而八十通之实不同者六十四卦而已故地体足数八十实用者八八也坤之退数即干之进数干之退数即坤之进数所不同者爻变六爻皆变卦变上爻不变六爻皆变者气之用也一爻不变者形之用也
　　元包六十四卦用世爻者八卦变为六十四卦也周易六十四卦用动画者六十四卦变为四千九十六卦也
　　元包始于坤而用其消数变而已定之后知以藏徃也周易始于干而用其长数动而将变之初神以知来也是故坤一世为复即干初九之潜龙至五世皆同易用本卦而取动画之象为占者观其爻动而将变之初包用变卦而取世爻之象为占者观其爻变而已定之后也以乾坤言之他卦可类推矣
　　后天卦【依周易卦序】
　　乾坤　頥大过　坎离　中孚小过
　　已上八卦皆飞伏匹对
　　泰否　随蛊　渐归妹　既济未济
　　已上八卦飞伏升降皆对
　　屯　需讼　师比　小畜履　同人大有
　　谦豫　临观　噬嗑贲　剥复　无妄大畜
　　咸恒　遁大壮　晋明夷　家人睽　蹇解
　　损益　夬姤　萃升　困井　革鼎　震艮
　　丰旅　巽兊　涣节
　　已上四十八卦皆升降反对
　　先天卦【依先天图卦序】
　　乾坤　夬剥　大有比　大壮观　小畜豫
　　需晋　大畜萃　泰否　履谦　兊艮　睽蹇
　　归妺渐　中孚小过　节旅　损咸　临遁
　　同人师　革　离坎　丰涣　家人解
　　既济未济　贲困　明夷讼　无妄升　随蛊
　　噬嗑井　震巽　益恒　屯鼎　頥大过　复姤右行自乾坤左行至复姤三十二匹对毎两卦各六变而互生又六变而复本不存一而变者气之变也为生气以变时
　　坤复　剥頥　比屯　观益　豫震　晋噬嗑
　　萃随　否无妄　谦明夷　艮贲　蹇既济
　　渐家人　小过丰　旅离咸革　遁同人
　　临　损　坎节　涣中孚　解归妹
　　未济睽　困兊　讼履　升泰　蛊大畜
　　需　巽小畜　恒大壮　鼎大有　大过夬
　　干
　　右行从坤至姤左行从复至干各五变而极存一不变者为物随气而变也其不变之一为地之一柔一刚物之根种也其一在下者物之命也故随气流转不能逰魂而归魂与八正卦之变为异自坤复至干姤五变而相交自干姤至坤复又五变而复本

　　右先天方图横数一卦变七卦其本卦皆在下

　　右先天方图纵数一卦变七卦其本卦皆在上皆以干一兊二离三震四巽五坎六艮七坤八为次元包卦
　　元包卦用六十四蓍用三十三共一百之数坤数也坤数以上位三十六为天之用下位六十四为地之体也坤【八八】复【八四】临【八二】泰【八一】大壮【四一】夬【二一】需【六一】比【六八】共七十六兊【二二】困【二六】萃【二八】咸【二七】蹇【六七】谦【八七】小过【四七】归妹【四二】共七十六干【一一】垢【一五】遯【一七】否【一八】观【五八】剥【七八】晋【三八】大有【三一】共六十八艮【七七】贲【七三】大畜【七一】损【七二】睽【三三】履【一二】中孚【五二】渐【五七】共六十八离【三三】旅【三七】鼎【三五】未济【三六】【七六】涣【五六】讼【一六】同人【一三】共六十八巽【五五】小畜【五一】家人【五三】益【五四】无妄【一四】噬嗑【三四】頥【七四】蛊【七五】共六十八坎【六六】节【六二】屯【六四】既济【六三】革【二三】丰【四三】明夷【八三】师【六八】共七十六震【四四】豫【四八】解【四六】恒【四五】升【八五】井【六五】大过【二五】随【二四】共七十六变　八卦毎卦五而返存一不变七世而归魂者八卦自变也其不变之一在上为物之性故逰魂而归魂也毎卦七变而归魂又七变而复本
　　元包用法
　　先生曰五行之数一曰水二曰火三曰木四曰金五曰土此其生也六曰水七曰火八曰木九曰金十曰土此其成也凡五行生成之数五十有五肇于勿芒动于防黙物休咎于未形辨忧虞于既惑鬼出神入而变化无穷穷幽洞灵而生成不息体混茫之自然与天地而为极实所谓防妙通深不可测故仲尼曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天数五地数五五位相得而各有合天数二十有五地数三十凡天地之数五十有五此所以成变化而行鬼神矣易用四十九防者穷少阳也包用三十六防者极太隂也穷少阳盖尚文也极太隂盖尚质也文质之变数之由生阳不穷九隂不极八明大衍之不可过也阳之防一十有二隂之防二十有四凡三十有六盖取数于乾坤五行八卦同符合契共而为一曰太一分而为两曰两仪揲之以三曰三才营之以四曰四时归余于终取象于闰数之闰也在于左阳之动也数之萌也在于右隂能生也混茫既判天地辟矣天地既辟三统分矣三统既分四时序矣四时既序闰斯生矣正闰相生数无穷矣【元包以五十为土者天地之数五十五也太以五五为土者太衍之数五十也】
　　元包蓍数
　　元包三十六蓍六用成一卦共二百一十六蓍六十四卦通计一万三千八百二十四蓍
　　得先天生物数十之一无天之太极地之四卦数先天为天地生物数元包为【阙】物数正如经世开物数八月而用二百四十日闭物数四月而用十二日也存本数
　　一揲成一爻毎揲先存二十四蓍一卦计百四十四蓍通六十四卦计九千二百一十六蓍
　　毎卦于干防二百一十六之中存坤之百四十四盖三分用一也易合乾坤之防以当期之日元包存坤防于干策之中易以太极为主包以坤为主易天地各四体而兼三用包存四体而用二用用之中又有用不用者天地与人物之数大小不同也先天存四卦数九千二百一十六而开物数九万二千一百六十者六十四卦皆为用也元包六十四卦存数亦九千二百一十六而用防二千八百八十者止用乾坤二卦也
　　归竒数
　　三画卦老阳九三女十二三男十五老隂十八
　　六画卦老阳自重一十八老阳重三女二十一老阳重三男二十四三女自重亦二十四老阳重老隂二十七三男重三女亦二十七老隂重三女三十三男自重亦三十老隂重三男三十三老隂自重三十六
　　自十八至三十六毎变加三凡六变而有七数又二十四二十七三十中之三变各重一数则十数也归竒数自十八而起三六也三十六而终六六也天以三分故太嬴赞始于十八策终于六成故太踦赞成于三十六策通之而五十四故泰积之要始于十有八防终于五十有四而元包归竒起于十八防用数终于五十四防也
　　十八防【一卦】
　　干【老阳自重】
　　二十一防【总六卦共一百二十六防】
　　夬　大有　小畜　履　同人　垢【老阳重三女者六卦】
　　二十四策【总十五卦共三百六十策】
　　大壮　需　大畜　无妄　讼　遁【老阳重三男者六卦】
　　兊　睽　中孚　离　革　家人　巽　大过
　　鼎【三女自重者九卦】
　　二十七防【总二十卦共五百四十防】
　　泰　否【老隂老阳重者二卦】
　　渐　旅　咸　涣　未济　困　益　噬嗑　随归妹　节　损　丰　既济　贲　恒　井　蛊【三男女重者十八卦】
　　三十防【总十五卦共四百五十策】
　　观　晋　萃　升　明夷　临【老隂重三女者六卦】
　　艮　蹇　小过　坎　　解　震　頥　屯【三男自重者九卦】
　　三十三防【总六卦共一百九十八防】
　　剥　比　豫　谦　师　复【老隂重三男者六卦】
　　三十六策【一卦】
　　坤【老隂自重】
　　六十四卦总一千七百二十八得二百八十八之六用防得二百八十八之十其六者为参天十者为参天两地通四千六百有八析而十之得四万六千八十则易轨所用四防万物之数也元包得先天生物数十分之一存二分用一分乃得易轨用数十分之一又去其三分用其五分也
　　卦策数
　　三画卦老隂一十八三男二十一三女二十四老阳二十七
　　六画卦老隂自重得三十六老隂重三男得三十九三男自重得四十二老隂重三女亦得四十二老阳重老隂得四十五三男重三女亦得四十五三女自重得四十八老阳重三男亦得四十八老阳重三女得五十一老阳自重得五十四
　　自三十六至五十四毎变加三凡六变而有七数又四十二四十五四十八中之三变各重一数则十数也故数有十而天用止于七七数之中止有六变其一则存本也归竒自十八而起六三也三十六而终六六也防数自三十六而起六六也五十四而终六九也自三六至六六自六六至六九皆得十九天地之终数也相交共一而三十七为天独用之数故万物本乎天也【自一至万天之五也细数得三十七】
　　三十六策
　　坤【老隂自重】
　　三十九防【总六卦共二百三十四防】
　　剥　比　豫　谦　师　复【老隂重三男者六卦】
　　四十二策【总十五卦共六百三】
　　观　晋　萃　升　明夷　临【十策老隂重三女者】
　　艮　蹇　小过　坎　　解　震　頥　屯【六卦三男自重者】
　　四十五策【九卦总二十卦共九】
　　泰　否【百策老隂老阳自重】
　　渐　旅　咸　涣　未济　困　益　噬嗑　随
　　归妺　节　损　丰　既济　贲　恒　井　蛊【者二卦三男女者】
　　四十八防【十八卦总十五卦共】
　　大壮　需　大畜　无妄　讼　遁【七百二十策老阳重】
　　兊　睽　中孚　离　革　家人　巽　大过　鼎【三男者六卦三女】
　　五十一防【自重者九卦总六卦】
　　夬　大有　小畜　履　同人　姤【共三百六策老阳重】
　　五十四策
　　干【三女者六】
　　六十四卦总二千八百八十策则坤之策百四十四偶之而又十析之者也易一卦除挂一数皆得二百八十八蓍则先天四位之卦数也惟坤用策与归竒各半元包两卦共存二百八十八析而十之乃得六十四卦之用策故不用者为用之宗也在天地而一在人物而十者一甲析于十干也包以坤为首地易也地者天之用去十三蓍而用三十六者从用数也坤体本四六加二用为六六则以老阳四九之体为老隂六六之用也是故干一爻之策三十六乾坤二爻去挂一之竒亦三十六干之竒十二者三四也坤之竒二十四者三八也以四合八为十二故三十六在干爻为四之九在竒策为十二之三十二均之乃为二六竒数者物数也以干三少合坤三多干四坤八阳一隂二隂得乎阳物乃生焉生物本乎阳故二爻之竒乃得干一爻之防坤以六六用干四九存其四六之体用干二六之用是故一父三男一母三女阳画皆十二隂画皆二十四而元包三十六蓍毎用先存二十四也总六用成一卦得乾坤二卦归竒之蓍而合干一卦之用策故地为天之用也

　　元包数总义卷一
　　钦定四库全书
　　元包数总义卷二
　　蜀　张行成　述
　　元包数义
　　元包以坤先干归藏之易也易者变也天主其变包者藏也地主其藏天统乎体八变而终于十六易用四十九蓍者存挂一之数为太极则六八四十八者体中之用也地分乎用六变而终于十二包用三十六蓍者以共一之数为太一则六六三十六者用中之用也太本三十六蓍亦地数也地虚三以扮天故用三十三挂一而三十二则四八之数地之体也之为书以一元行乎地之四体之间四体即方州部家是也故之挂一有天用地之义而虚三有地承天之义若元包三十六不挂不虚而毎揲存二十四则八卦用于地上者也是故干三竒震坎艮各得其一巽离兊各得其二则十二画也坤三偶巽离兊各得其一震坎艮各得其二则二十四画也隂阳之画共三十六以隂之二载阳之一则三十六尽为用矣故易老阳之策极于四九而包以六六用之易以两卦相重而后天地合包亦以两揲相通而后九六均是故卦数自一至八凡三十六重之而七十二一揲之蓍合乎单卦之数两揲之蓍合乎重卦之数五行之数五十有五自三十六言之五行盈于八卦十九当闰数之物自七十二言之八卦盈于五行十七当运数之气以八归五气类相从则干兊为金坤艮为土震巽为木坎为水离为火吉凶顺逆占法由生故曰三十有六取数于乾坤五行八卦同符合契也其法分而为二以三揲之左右各存三四十二蓍所谓营之以四以象四时也常存此数不用者坤之二十四气为万化之基易存四卦之义也余十二蓍则爻数与归竒数也爻数不九即六归竒数不六即三爻数得九者阳画也归竒数则三矣爻数得六者隂画也归竒数则六矣阳画九而归竒三用者三不用者一也隂画六而归竒六用不用各半也三画皆阳者干也皆隂者坤也二阳一隂者三女也二隂一阳者三男也三画皆阳其数二十七重之而五十四者六九也三画皆隂其数十八重之而三十六者六六也二阳一隂其数二十四重之而四十八者六八也二隂一阳其数二十一重之而四十二者六七也此八重卦之本数亦六七八九之数而以六为主者也大衍六七八九之数以求爻也爻者用也六七八九皆祖乎四者用生乎体自四揲而来也元包六七八九之数以求卦也卦者体也六七八九皆祖乎六者体生乎用自六爻而来也以用为主故易为天以体为主故包为地也干之一卦得五十四归竒一十八坤之一卦得三十六归竒亦三十六三男四十二归竒三十三女四十八归竒二十四以五十四合三十六则九十也以四十八合四十二亦九十也以十八合三十六则五十四也以三十合二十四亦五十四也故元包八卦爻数合之为三百六十归竒数合之为二百一十六总之而五百七十有六得先天八位之卦数与大衍除挂一而用四十八蓍十二用之数正同所不同者大衍以四为一故两卦相偶用不用之数即得五百七十有六元包以一为一比大衍数四分仅得其一盖大衍兼用七八九六分于男女者太极用八卦天地之数也元包専用九六宗于父母者八卦自用人物之数也是故大衍五十之虚一天之虚之极也四十九之合一地之有之极也四十九之挂一人之用之极也在四十八用之外元包以共一为太一是四十九合一之义尔揲之以三为三才在三十六用之内故易揲之以四以象四时备四体而致用者天用地也包营之以四以象四时存四体而不用者地用物也此所以大小不同也元包存本之数毎揲二十四一卦六揲而百四十四凡六十四卦九千二百一十有六则大衍五百一十二卦之蓍存乾坤坎离四卦不用之策数也包所存之数亦地之本数故与大衍同大衍从天故又有挂一之数三千七十二包四分得其三乃地之用数也包八卦之数干五十四而八之则四百三十二坤三十六而八之则二百八十八三男四十二而八之各三百三十六三女四十八而八之各三百八十四干归竒数十八而八之则一百四十四坤归竒数三十六而八之则二百八十八三男归竒数三十而八之各二百四十三女归竒数二十四而八之各一百九十二总卦数计二千八百八十则三百六十之八也总归竒数计一千七百二十八则二百一十六之八也一千七百二十八则七十二之二十四二千八百八十则七十二之四十共六十有四以地之体十六析之卦数得其十归竒得其六皆二百八十八也以先天凖之卦数之十为离之显仁则开物八万六千四百之数归竒之六五为坎之藏用则闭物四万三千二百之数一为存本则八千六百四十之闰数然先天视元包皆三十倍矣此元包与大衍先天之合也所谓八卦自用者隂阳分为八位各以一卦变七卦自一世至五世逰魂归魂而卦体复各守本体其一不变故曰八卦自用其数也今世卜筮所用火珠林即是此法而其文不雅先生著书欲传此一法于后世尔非为文也分而为二自左揲至右终而爻见竒则复归于左故曰数之闰也在于左阳之动也数之萌也在于右隂能生也大衍四十九蓍各以一卦变六十四卦其数之变至于一十五万五百二十八则毎蓍得三千七百二元包三十六蓍各以一卦变八卦其数之变至于一万三千八百二十四则毎蓍得三百八十四三千七十二者三百八十四之八也
　　大衍四十九蓍【此言第三变五百十二卦之数者先天数也若第二变六十四卦之数则毎蓍止得三百八十四总挂一归竒用防得一万八千八百十六也】
　　先除挂一一蓍计三千七十二存天之太极也
　　再除三揲三挂三蓍计九千二百一十六为乾坤坎离四卦之数存地之太极也
　　实用四十五蓍以应一卦当一节之数计一十三万八千二百四十则六十卦三百六十爻毎爻用三百八十四地生物之数也
　　元包三十六蓍
　　先除二十四蓍计九千二百一十六则乾坤坎离存本之数也【大衍存四卦之数在十三万八千二百四十之外者太极之地数也元包存四卦之数在一万三千八百二十四之内者物之地数也】
　　余一十二蓍之用卦数通归竒计四千六百八则震巽艮兊反复迭用之数也易之蓍四十八而策穷于三十六者干与坤坎与离反复不互见为四卦故各当十二震巽艮兊反复互见为二卦故共当十二而十二常不见是故元包之蓍三十六存二十四不用之外所用者十二而已一万三千八百二十四析而十之即一十三万八千二百四十地之生物全数也九千二百一十六析而十之则九万二千一百六十地开物之数也四千六百八析而十之即四万六千八十地闭物之数也开物者易用策之数闭物者易归竒之数归竒之数易之物数也盖全数十二防三分之天地各用其一余一分以为人物也两揲七十二蓍各存二十四者存坤之体也归竒共九策者存干之用也通之用五之三不用十九之三者用其冲气存其物体也
　　存本数毎卦百四十四归竒数均之毎卦二十七用策均之毎卦四十五以归竒合存本毎卦一百七十一则太九章之数者闰数也以用策合存本毎卦百八十九合之而三百七十八则太五日三辰之策者余分数也以用策并归竒毎卦七十二则太一日之策数者昼夜之数也
　　周易太元包潜虚蓍数义
　　易三防成著三着成象二象十有八变而成卦者谓揲蓍法也三防成著者谓三揲归竒三多三少与两少一多两多一少三防之气已成一象则爻之防象也蓍谓爻也天三变成一象于上而六七八九之数成一爻于下故谓六七八九为四象也三着成象者三爻既具得三画一卦为地之一象则卦之着象也着象相交乃成一重卦矣四十九蓍除挂一之外以四揲之得一十二竒数得四三四四四五四六用数得四六四七四八四九老阳用者九不用者三少阳用者七不用者五少隂用者八不用者四老隂用者六不用者六竒数通挂一则老隂用者以四为一而得六不用者以五为一而得五少阳用者以七为一而得四不用者亦以七为一而得三老阳少隂之竒通挂一则不可分矣六七为本属乎天八九为标属乎地地之竒数不可分者宗于一天也先生曰阳不穷九隂不极八明大衍不可过者蓍为天数故也并而均之则用策一爻皆三十者天五地六之二中竒策一爻皆十九者天九地十之二终也并两卦用策得三百六十当一期之日并两卦云挂一之竒防得二百一十六当重干之策三十六者老阳之数也三百六十者十之也二百一十六者六之也数有十天以三为体地以四为体天兼二用故天六而地四两卦竒策得老阳之六者天之三防变于上而后地之四象化于下地之四象未见故用六也两卦用策得老阳之十者地以四体承天六用载元气而左行以成一嵗之日故用十也六者二三也得其参天十者二五也兼参天两地矣其挂一之蓍一十二以代虚一之蓍一十二既揲成挂则虚一之蓍即为二卦十二爻之本体皆不用而用以之宗者也是故六十四卦用策万一千五百二十得三百八十四之三十竒策七千二百九十六得三百八十四之十九通爻体三百八十四为七千六百八十乃得三百八十四之二十用者三十为天数托于地以显诸仁竒者二十为地数归于天以藏诸用通之为大衍五十易倚天地正数而立之之数所谓三天两地而倚数者也
　　系数以乾坤之策当期之日者起于一爻均得三十策为一月而十二之故后天轨革以卦当年以爻当月以防当日也康节谓一爻为一防者以用卦六十之爻与乾坤之策数同故后天卦气图以六十卦直三百六十日也系辞以二篇之策当万物数者三百六十为一年积一世三十年得万有八百加闰数七百二十成三十二年以三十二之数而均于三十则年得三百八十四日三百六十为天道六变之正余二十四为中盈朔虚之分月得二日也三百六十者去闰之数也故当期之日者用数也加二十四者通闰之数也故当万物之数者体数也闰数为物数归竒以象闰故亦为物数闰数为物数者自余分言之天之余以与物自十九言之天地之终则为物也二百二十八者十二爻之竒策二百一十六而加十二积策成爻为天之防象则未成物者也三百八十四者六十四卦之爻数三百六十而加二十四积爻成卦为地之着象则已成物者也天用六变余分六日以与物隂又于六变之中克其六日共为十二以成十二辰之体在天当十二次在地当十二野皆物之体也故乾坤二卦挂一之蓍十二以代虚一之蓍十二而当十二气之用应之以十二爻则十二物之体也天一而二地二而四故闰之本体在年数者六而十二当乾坤二卦之爻在月数者十二而二十四当乾坤坎离四卦之爻隂阳合德刚柔有象是为十二物之根种与天地同分于太极所赖以生生不穷者也其二卦之竒策二百一十六为天之六其二卦之用策三百六十为天地之十则嵗常用之以生成此十二物故挂一象三其蓍十二在竒策则成二百二十八偶之为二十四而在用策则成三百八十四皆为物数也二百一十六为老阳之气六变得坤之百四十四阳以隂凝而后嵗功成物矣其竒策二百一十六则未成物也是故二百一十六当自子至午七月而加余分之日百四十四当自未至亥五月而减小月之日坤位在未地道代终故坤作成物也先天卦数六十四卦得五百七十六则二卦去挂一之蓍数也蓍天也故通挂一数地也故去挂一蓍为实独用其显故用其用数数为虚兼用幽显故尽用五百七十有六也二卦用策以当三百六十爻则一卦成三十卦二卦去挂一之策以当五百七十六数则一卦成三十二卦亦用数不通闰体数通闰之理也五百七十六得三十六之十六则八卦而一卦变八卦之数也用数得其二六则六子之六卦数四百三十二也体数得其四则乾坤之二卦数百四十四也位数在地坎离主之乾坤退藏六子用事是故乾坤合体共当坤之策六子通用再得干之策也五百七十六在爻则用十而存六在数则用十二而存四者天地之分日辰之用不同是故经世之位十六地常晦一从防而用十二也
　　蓍去挂一而四十八为十二之四老阳之策三十六以四九之体为六六之用则用之者三不用者一也太之蓍三十三于老阳用策之中地虚三以拼天天用三六地用二五为天地相交而互用者也用易蓍四分之三故天有四方有三方数皆自三而变者去其不用之一以当北方罔防之一而用其直酋之三方以当天地人之三元也天统乎体体者有四地分乎用用者有三易为天用地之数故用四而别虚一挂一于四体之外为地承天之数故用三而又虚三挂一于三用之内也用数之中自分用与不用则亦用之者三不用者一是故蓍极用不过三九其虚其挂其竒并之而不用一九也夫自体言之四而用三自用言之又四而用三所谓地常晦一故地体十六用其十二而十二又用其九也易以四揲者从地之四象也三揲成一爻者太极元气含三为一天之三也六爻为一卦者用之六也易即用六爻者体用合一也所谓从体起用故谓天用地也以三揲者从天之三元也两揲成一重者隂阳合德刚柔有体地之两也四重为一首者体之四也别用九賛者体用分两也所谓去体从用故为地承天也易三揲之竒一揲不五则九再揲三揲皆不四则八者天除其一地除其二也两揲之竒皆不三则六者地除其二也易通三揲而竒十九得天九地十之数通二揲而竒九得天九而已故易为天包地为地承天也易一卦之竒得十九之六并之而一百十四得一首四揲之暗数之四重者地之四体也其初揲之暗数者地中之虚用故当物数也一首之竒得九之四并之而三十六得易一爻老阳之策数干之六爻者天之六用也其一爻之防数者天元之本始故当日数也无非天用地地承天之理也之蓍本用老阳之策四之九虚其三则为三之十一用二十七者为去二用九用二十四者为去三用八用二十一者为去四用七是去其二三四之九而用其七八九之二十四也九者干也去之以存九天之用二十四者坤也用之以立四重之体也易揲以四揲以三揲去其一蓍易用六七八九之策用七八九之策去其六之一数六者坤之数是为不用之一其实则方州部家所以载其体其虚则之所生也易去其三四五六之数用其六七八九之策天四地四中交共一则从天之七四者体也中交所以起用故离之则四十八者为先天八卦六爻之体合之则四十二者为经世日月一变之用也去其二三四之数用其七八九之防天三地三中虚五六则成地之八三者用也中虚所以生体故虚之则三十三者为太虚三承天之蓍实之则四十四者为观物隂阳刚柔之数也
　　元包三十六蓍者用干四九之体为坤六六之用故以坤为首存其四六用其二六则三分之中用一而存二也老阳之数三十六进之为三十六旬一年之中开物之日二百四十则天地生物之数为天地之用闭物之日一百二十则物已成体致用之数为万物之用是故经世以开物八月为生物之数于闭物四月之中取交数余数十二以为闰数则物数也元包三分用一是为物数故主八卦兼五行而用也用数之中又自分用不用析十二为四分用不用各半者为坤之六去一用三者为干之九并之则八分之中不用其三者存其三天用其五者用其参天两地也大抵与易之理皆合然易用六者为四六二十四用九者为四九三十六归竒不用三天者毎卦得一百八为三十六之三防数用参天两地者毎卦得百八十为三十六之五易以四为一者包以一为一易以四九为一者包以一九为一易为地归竒于天包为物归竒于地是故易为天地之大数包为人物之小数也
　　元包曰易用七七极少阳也包用六六穷老隂也明大衍之不可过也是故易元包皆不越五十之数然而潜虚用七十蓍何也曰坤当百数故十数之衍得百位易用其半虚一以从天七之用为地承天而布气之数包为地配天而载物之数故皆不过乎易数也虚与包皆为物数然包于元者独指地之元气潜于虚者兼太极之气与神故包名书以元首卦以坤而虚名书以虚首圗以气也太极判而生天地天地交而生万物天与其气以载神地与其形以载气是故虚于百数之中十取其七而用之在七则体地之十在十则用天之七所以体用十数名用七变而蓍用七十也易用七七而虚一者存太极也虚用七十而虚五者存五气之元也易为天数虚为物数易体三才六位虚体五行十数也虚实用五变者天之五也并始终而七变则天之数也体用五行之十数者地之二五也并合数而十九则天地之终数也体极十九用极于七故易初揲之竒均一爻而七并三揲均之而一爻尽于十九归竒者闰数是以月行一日之余得十九分度之七而经世动植数声数毎位而七音数二位而十九也经世有三数潜虚得其物余二者则天地之数也

　　元包数总义卷二
<子部,术数类,数学之属,潜虚>
　　钦定四库全书　　　　　子部七
　　潜虚　　　　　　　　　术数类一数【学之属】提要
　　【臣】等谨案潜虚一卷附潜虚发微论一卷宋司马光撰光有书仪诸书已着録是编乃拟太元而作晁公武读书志曰此书以五行为本五行相乗为二十五两之为五十首有气体性名行度解七图然其辞有阙者葢未成也其手写草稿一通今在子建侄房朱子跋张氏潜虚图亦曰范仲彪炳文家多藏司马文正公遗墨尝示予潜虚别本则其所阙之文甚多问之云温公晚着此书未竟而薨故所传止此近见泉州所刻乃无一字之阙始复惊疑读至数行乃释然曰此赝本也其説与公武合此本首尾完具当即朱子所谓泉州本非光之旧又公武言气体性名行变解七图熊朋来则言潜虚有气图其次体图其次性图其次名图其次行图其次命图其目凡六而张氏或言八图者行图中有变图解图也是命图为后人所补公武言五行相乗为二十五两之为五十首而今本实五十五行是其中五行亦后人所补不止増其文句已也吴师道礼部集有此书后序称初得潜虚全本又得孙氏阙本续又得许氏阙本归以防校用朱子法非其旧者悉以朱圏别之然其本今亦不传林希逸尝作潜虚精语一卷今尚载鬳斋十一稿中凡所存者皆阙本之语而续者不载尚可略见大槩然于阙本中亦不全取究无以知某条为赝本葢世无原书久矣姑以原出于光而存之耳陈淳讥其所谓虚者不免于老氏之归要其吉臧平否凶之占以气之过不及为断亦不失乎圣贤之防也张敦实论凡十篇据吴师道后序则元时已附刻于后今亦并存之敦实婺源人官左朝奉郎监察御史其始末无考考太元经末有右迪功郎充浙江提举盐茶司干辧公事张实校勘字疑即一人或南宋避宁宗讳重刻太元经时删去敦字欤是不可得而详矣乾隆四十六年三月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　潜虚
　　宋　司马光　撰
　　万物皆祖于虚生于气气以成体体以受性性以辨名名以立行行以俟命故虚者物之府也气者生之户也体者质之具也性者神之赋也名者事之分也行者人之务也命者时之遇也

<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
　　一等象王二等象公三等象岳四等象牧五等象率六等象侯七等象卿八等象大夫九等象士十等象庶人一以治万少以制众其维纲纪乎纲纪立而治具成矣心使身身使臂臂使指指操万物或者不为之使则治道病矣卿诎一大夫诎二士诎三庶人诎四位愈卑诎愈多所以为顺也诎虽多不及半所以为正也正顺防墬之大谊也

　　性图
　　【□】水　　　　　　　【□】火【□□】木【□□】金【□□】土□水【□□】火【□□】木【□□】金
　　【十十】土【□丨】火【□□】木【□□】金【□□】土【丅□】水【□丅】火【□□】木【□□】金【十□】土【丨十】水【□丨】木【□□】金【□□】土【丅□】水【□□】火【□丅】木【□□】金【十□】土【丨□】水【□十】火【□丨】金【□□】土【丅□】水【□□】火【□□】木【□丅】金【十□】土【丨□】水【□□】火【□十】木【□丨】土【丅□】水【□□】火【□□】木【□□】金【十丅】土【丨□】水【□□】火【□□】木【□十】金【丅丨】水【□□】火【□□】木【□□】金【十□】土
　　凡性之序先列十纯十纯既洽其次降一其次降二其次降三其次降四最后五配而性备矣始于纯终于配天地之道也

<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
　　一六置后二七置前三八置左四九置右通以五十五行叶序卬而瞻之宿躔从度卬则为防頫则为墬卬得五宫頫得十数元余者物之始终故无变齐者中也包斡万物故无位臭至之气起于元转而周三百六十四变变尸一日廼授于余而终之以步防轨以叶歳纪人之生本于虚然后形形然后性性然后动动然后情情然后事事然后徳徳然后家家然后国国然后政政然后功功然后业业终则返于虚矣故万物始于元着于裒【蒲侯】存于齐消于散讫于余五者形之运也柔刚雍昧昭性之分也容言虑聆觌动之官也繇懠【牋西】得罹耽情之訹【恤】也□郤庸妥【吐火】蠢【尺尹】事之变也讱【刃】宜忱喆戞徳之涂也特偶昵续考家之纲也范徒丑隶林国之纪也禋【因】凖资賔政之务也斆【效】乂续育声功之具也兴痡【铺】泯造隆业之着也为人上者将何为哉养之教之理之而已养之故人赖以生也教之故人赖以明也治之故人赖以乂也夫如是故人爱之如父母信之如卜筮畏之如雷霆是以功成而名自立也夫为人上而不能养则人离叛矣养而不能教则人殽乱矣教而不能治则人抵捍矣三具者亡而祈有功名可得乎
　　释音
　　卬【鱼两切】　防【古文天字】　頫【说文音俯】　墬【籕文地字】　【古文冬字】□【古文后字】　【戎】

<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
<子部,术数类,数学之属,潜虚,潜虚>
　　命图
　　吉　　臧　　平　　否　　　凶
　　裒六　　四　　二　　五　　　三
　　柔五　　四　　三　　六　　　二
　　刚四　　六　　五　　二　　　三
　　雍三　　二　　五　　六　　　四
　　昧二　　四　　五　　六　　　三
　　昭六　　四　　二　　五　　　三
　　容五　　四　　三　　六　　　二
　　言四　　六　　五　　二　　　三
　　虑三　　二　　五　　六　　　四
　　聆二　　四　　五　　六　　　三
　　觌六　　四　　二　　五　　　三
　　繇五　　四　　三　　六　　　二
　　懠四　　六　　五　　二　　　三
　　得三　　二　　五　　六　　　四
　　罹二　　四　　五　　六　　　三
　　耽六　　四　　二　　五　　　三
　　歬五　　四　　三　　六　　　二
　　郤四　　六　　五　　二　　　三
　　庸三　　二　　五　　六　　　四
　　妥二　　四　　五　　六　　　五
　　蠢六　　四　　二　　五　　　三
　　讱五　　四　　三　　六　　　二
　　宜四　　六　　五　　二　　　三
　　忱三　　二　　五　　六　　　四
　　喆二　　四　　五　　六　　　三
　　戞六　　四　　二　　五　　　三
　　特五　　四　　三　　六　　　二
　　偶四　　六　　五　　二　　　三
　　昵三　　二　　五　　六　　　四
　　续二　　四　　五　　六　　　三
　　考六　　四　　二　　五　　　三
　　范五　　四　　三　　六　　　二
　　徒四　　六　　五　　二　　　三
　　丑三　　二　　五　　六　　　四
　　隶二　　四　　五　　六　　　三
　　林六　　四　　二　　五　　　三
　　禋五　　四　　三　　六　　　二
　　凖四　　六　　五　　二　　　三
　　资三　　二　　五　　六　　　四
　　賔二　　四　　五　　六　　　三
　　六　　四　　二　　五　　　三
　　斆五　　四　　三　　六　　　二
　　乂四　　六　　五　　二　　　三
　　续三　　二　　五　　六　　　四
　　育二　　四　　五　　六　　　三
　　声六　　四　　二　　五　　　三
　　兴五　　四　　三　　六　　　二
　　痡四　　六　　五　　二　　　三
　　泯三　　二　　五　　六　　　四
　　造二　　四　　五　　六　　　三
　　隆六　　四　　二　　五　　　三
　　散五　　四　　三　　六　　　二

　　元余齐三者无变皆不占初上者事之始终亦不占五行相乘得二十五又以三才乘之得七十五以为防虚其五而用七十分而为二取左之一以挂于右揲左以十而观其余置而扐之复合为一而再分之挂揲其右皆如左法左为主右为客先主后客者阳先客后主者隂观其所合以名命之既得其名又合蓍而复分之阳则置右而揲左隂则置左而揲右生纯置右成纯置左揲之以七所揲之余为所得之变观其吉凶臧否平而决之阳则用其显隂则用其幽幽者吉凶臧否与显戾也欲知始终中者以所筮之时占之先体为始后体为中所得之变为终变已主其大矣又有吉凶臧否平者于变之中复为细别也不信不筮不疑不筮不正不筮不顺不筮不蠲不筮不诚不筮必蠲必诚神灵是听以凖易虚以拟且覆瓿而况虚乎其弃必矣然子云曰后世复有子云必知吾于子云虽未能知固好之矣安知后世复无司马君实乎
　　钦定四库全书
　　潜虚
　　附録　　　　　　　　宋　司马光　撰发微论【潜虚总论】
　　有物混成先天地生强而名之是为道太极气涵三为一衍而伸之是为数两仪之所以奠位象类之所以成形天下国家之所以致治悉不外乎道与数圣人笔而载之是为易子云作太所以明易也温公作潜虚所以明也易之作出于不得已虚之作岂亦出于不得已乎自雄之作议者已纷然矣独有于虚乎曰易者经之原也其道奥而难知温公固尝云易天也者所以为之阶也将升天而可废其阶乎又尝譬之扶大厦者资众木明大道者资众说盖非特论亦虚论也学者由虚以晓由以究易斯无躐等之患而有渐进之益矣是岂得已而不已哉抑又以温公平生著述论之其考前古兴衰得失之迹作为通鉴自潜虚视之则笔学也留心太三十年既集诸说而为注又作潜虚之书自通鉴视之则心学也今世于笔力之所及者家传人诵无间四夷至于心思之所及则见者不传传者不习诚可怪也岂后世之子云于温公见之后世之温公自有时乎敦实自幼得潜虚藁本于其裔孙伋首尾多阙寻访数年始得全文初若聱牙漫漶不可测识深思熟读乃知立辞命意左右前后横斜曲直皆有成理因即其图各为总论庶几学者易览少见温公之用心焉虽然诗三百篇而圣人蔽之以一言若道极于微妙而不见于日用之间则亦何贵于道哉是故易之所谓人道者不过乎仁义之所谓太训者不过乎忠孝虚之所谓人之务者不过乎五十五行仰而推之以配三百六十五度日月不能越一度以周天人不能越一行以全徳兹又述作之深意也学者以是求之思过半矣若夫大衍五行律厯之至数又何患其难知焉
　　以凖易虚以拟论
　　窃观之凖易虚之拟非谓卦爻象数求以相合也反覆其序轸转其道虽若与之相戾而终实与之为表里者乃所以为有得也故易之为卦六十有四而之首则八十有一虚之名则五十有五易之爻有六之賛则有九虚之变则有七易之卦有内外之首有四位虚之体有十等易有八物配五行虚则兼之以生成之数易始于干则始于中虚则始于元也易终于未济则终于养虚则终于余也易之蓍防用四十有九之蓍防用三十有三虚之蓍策用七十易之揲也以四之揲也以三虚之揲也以十易之占也以动之占也以逢虚之占也以变是三者固若相戾而不合也反要而语极则实相表里岂有异哉易之为卦也始于太极太极生两仪两仪生四象四象生八卦八八而乗之故极为六十有四焉若之为首由一以生三由三以生九九九而乗之斯为八十有一焉至虚之为名则始于五行以天之中数五五而乗之为二十有五以地之中数五六而乗之为三十合而言之为五十有五焉然则易之卦之首虚之名无以异也易之为爻守金木水火而为一分土而为二于是有六爻六六乗之故六十四卦而三百八十四爻具焉若之为賛则分金木水火而为二守土而为一于是有九賛九九而乗之故八十一首而七百二十九賛设焉至虚之有变以金木水火土生成之合旋相为宫而生商角征羽及变宫变征于是有七变七七而乗之以元余齐之无变故五十二名三百六十四变生焉易之爻之賛虚之变无以异也易之为书也卦有内外以别正悔于是有二体故有以干为主而重卦者若健而说之为夬是也有以坤为主而重卦者若顺而说之为萃是也以震为主若动而说之为随以巽为主若巽而説之为大过皆以其有二体故也若之为书则方州部家以别逺近于是有四位焉故一象辟都覆三方而方者三公之象也方同九州而州者九卿之象也枝载庶部以象大夫分正羣家以象元士凢此皆以其有四位故也至虚之为书则体分十等以表尊卑故一等象王二等象公分岳牧率侯卿大夫士庶次为等降先设十纯各分其位其次降一王引三公也其名为裒其次降二王引四岳也其名为柔其次降三王引九牧也其名为刚其次降四王引连率也其名为雍凢此皆以其有十等故也合而论之二体四位十等同为卦象而已果且有异乎哉易之为书也始于乾坤而分于六子于是有八物焉天地奠位知其为乾坤山泽通气知其为艮兑雷风相薄震巽以辨水火不相射坎离以济凡此以其体乎八物故也若之为书则始于一水终于五土于是有五行焉故首性属水知其为中首性属火知其为周礥之为首性得天三之木闲之为首性得地四之金少之为首性得天五之土凡此皆以其配五行也至虚之为书始于天一终于地十于是备五行生成之数一六置后自泯至昧二七置前自蠢至考三八置左自容至前四九置右自徒至乂五十分置于四隅艮昭巽庸坤范干绩各有所隶若此以其备五行生成之数也合而论之八物五行及五行生成之用同于取象而已果且有异乎哉易次其卦以隂阳消息人事盛衰相受其义次其有以日之躔次宿之分度以周其数虚次其名以周天之度用三百六十四变变尸一日故易始于干则以万物之所资始所谓有天地然后有万物是也终于未济则以变故之不可测所谓易不可穷故以未济终焉是也始于中则以一元之气所由基所谓一气潜萌于黄钟信无不在其中是也终于养则以一岁之气所由复所谓星如岁如复继之初是也虚始于元则以元始也所谓冬至之气起于元是也终于余则余终也所谓天地无余不能成变化是也即是推之则卦首名之终始无以异也易之蓍防本乎大衍而虚其一之蓍防本乎天地而虚其三虚之蓍防本乎五行而虚其五故干之防二百一十有六坤之防百四十有四合而计之凢三百有六十以当朞之日衍而积之凡万有一千五百二十以当万物之数此易之蓍所以用四十有九也天之数十有八地之数十有八合而计之凡三十有六以律七百二十九賛衍而积之凡二万六千二百四十四防以当岁之日此之蓍所以用三十有三也五行相乗得二十有五又以三才乗之得七十有五以占五十五名衍而积之凡三千八百五十策以成变化之用此虚之防所以用七十也即是推之则防算之无穷无以异也分而为二挂一于指揲之以四归奇于扐此则易之揲法也先挂其一半分其余揲之以三并余于扐此则之揲法也分而为二右挂左一揲左以十归余于扐再分揲右皆如左法此则虚之揲法也易揲以四故取七八九六以定六爻之法揲以三故取七八九以定四位之画虚揲以十故取左右生成之数以定合体之名是则揲法之同也七为少阳八为少隂而七八为无变九为老阳六为老隂而九六为有变不变者静而守其位有变者动而有所之此则易之占法也旦筮用经夕筮用纬休则逢阳星时数辞从咎则逢隂星时数辞违此则之占法也左为主右为客先主后客者阳先客后主者隆阳则用其显隂则用其幽此则虚之占法也易取其变故以九六而辨其吉凶取其逢故以从违而别其休咎虚用其变故以幽显而辨其臧否是则法之无以异也夫以首凖卦以名拟首以賛凖爻以变拟賛以四位凖二体以十等拟四位以五行凖八物以生成演五行至于卦首名之相次防算之无穷蓍之数占之法未有不同者自非好古乐道用心于内超然自得于牺易之防者孰能进此知扬子云深湛之思司马君实专精之见皆有以臻大易之奥也
　　气论
　　五行之在天地间一水二火三木四金五土生数也所谓生数者五行具天地自然之气也故五行生数各含一隂一阳之性在九畴则五行一曰水二曰火三曰木四曰金五曰土有自然之象也在易则天一地二天三地四天五有自然之数也物生而后有象至滋而后有数一十有五兆于此矣天一居北方坎位为水地二居南方离位为火天三居东方震位为木地四居西方兑位为金天五居中而为土在虚则有原有荧有本有卝有基焉至土则本无方隅分王四正之方能生万物故北方水一得土五而成六南方火二得土五而成七东方木三得土五而成八西方金四得土五而成九中央五土合而成十则成数四十成于此也生数一十有五成数四十生成之数五十有五所以具天地终始之道在太虚之中能成变化而行鬼神也白虎通曰土可以王四季者何木非土不生火非土不荧金非土不成水非土不髙土扶微助衰歴成其道故五行更生得土以助之所以昔之原者今有委昔之荧者今有焱昔之本者今有末昔之卝者今成刃昔之基者今成冡矣
　　体论
　　天地之数一三五七九阳之奇也故为天之数天秉阳也二四六八十隂之偶也故为地之数地秉隂也隂阳合徳而刚柔有体此五位所以贵乎相得也五位相得而各有合者天一与地六相得合而生水有原而有委地二与天七相得合而生火有荧而有焱天三与地八相得合而生木有本而有末地四与天九相得合而生金有卝而有刃天五与地十相得合而生土有基而有冡以五行生成合而言之则有五以五行生成分而言之则有十故一等象王至十等象庶人总五十有五体体有左右所以辨賔主也体有上下所以辨尊卑也左为主右为客上为尊下为卑一等象王尊无二上故体之左右纯乎一也二等象公下王一等故右纯乎二左事王也三等象岳下公一等故右纯乎三左事王公也四等象牧下岳一等右纯乎四左事王公四岳也五等象率下牧一等右纯乎五左事王公岳牧也自一至五皆用五行之生数以兴天下之治者也六等象侯下率一等右纯乎六左事王公岳牧率也七等象卿下侯一等右纯乎七左事公岳牧率侯诎乎一者不及左事王也八等象大夫下卿一等右纯乎八左事岳牧率侯卿诎乎二者不及左事王公也九等象士下大夫一等右纯乎九左事牧率侯卿大夫诎乎三者不及左事王公四岳也十等象庶人下士一等右纯乎十左事率侯卿大夫士诎乎四者不及左事王公岳牧也自六至十皆用五行之成数以成天下之治者也上下相承若此故能使天下之大若网在纲若臂使指无末大必折尾大不掉之患矣
　　性论
　　五行之性其相生也不失其为相继其相克也不失其为相成相继者四时之次也相成者六府之叙也四时之次金生水而冬承秋水生木而春继冬木生火而夏继春皆相生以相继也六府之修以土治水以水治火而水火为用以火治金以金治木而金木为器以木治土以土治谷而土谷为利此皆相克以相成也虚之合徳虽存二体合为一用大率不出相生相克不失其性故能其用无方焉始于十纯其体立而不改其次降一故水与火配其次降二故水与木配其次降三故水与金配其次降四故水与土配自降一至降四其下亦降次以相配焉最后五行生成各自为配皆不出相生以相继相克以相成是乃五行之性在天地之间未尝或乖且戾也
　　名论
　　周天三百六十五度四分度之一五行生成合体而立名不过五十有五齐于天地之中包斡万物故有名而无位冬至之气起于元转而周三百六十四变变尸一日廼授于余而终之一六居后在天则斗牛女虚危室璧之分焉三八居左在天则角亢氐房心尾箕之分焉二七居前在天则井鬼栁星张翼轸之分焉四九居右在天则奎娄胃昴毕觜参之分焉自泯至昧十有一名在北而属水自容至歬十有一名在东而属木自蠢至考十有一名在南而属火自徒至乂十有一名在西而属金昭一土也处报徳之维分王于丑郤庸妥三土也处常阳之维分王于辰范一土也处背阳之维分王于未绩育声兴痡五土也处蹏通之维分王于戌齐中土也处大中之中在天其北极之任乎
　　变论
　　律吕之生始于黄钟下生林钟林钟上生太簇太簇下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生防宾防宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生中吕阳六为律隂六为吕以黄钟为宫则林钟为征太簇为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫防賔为变征至十二律旋相为宫各以七变而成之则尽八十四调此声之元五声之正也至六十律旋相为宫有执始去灭等名终于南事又以七变而乗之则变尽周统基各一日尽三百六十四变于潜虚之中始于裒之初终于散之上以定天下之吉凶成天下之亹亹者其用大矣
　　行论
　　五行之在天地之间也非特可以成变化而行鬼神抑亦可以开物成务冐天下之道者也故虚叙人之生本于虚虚然后形形然后性性然后动动然后情情然后事事然后徳徳然后家家然后国国然后政政然后功功然后业是数者其功各有五故终于五十五名其修为之序可以治性可以修身可以齐家可以治国可以平天下也故虚曰行者人之所务也系之辞以明其义用之变以尚其占皆所以前民用也
　　命论
　　命者时之所遇也吉凶臧否虽惟命是遇然祸兮福所倚福兮祸所伏祸福特未定也以其祸福之未定则稽疑之占不可后也元余齐三者无变皆不占初上者事之始终亦不占所占者自裒至散五十二名以二三四五六之变观其吉凶臧否平之所遇而决之阳则用其显隂则用其幽然后知其吉之大则身其康强子孙其逢吉其次常吉之外或作内吉作外凶或用静吉用作凶可以观变而避就也
　　蓍论
　　虚数七十有五其用七十分二挂一揲之以十先左后右徐观其余以命卦名分客主而定隂阳且如裒之一卦丨为主□为客左揲先余一右揲后余二是先主后客者阳若左揲先余二右揲后余一是先客后主者隂由是观其所合以裒命之既得其名又合蓍而复分之阳则置右而揲左隂则置左而揲右揲之以七用所揲之余为所得之变观其命图之上吉凶臧否平而决之阳则用其显如裒之六吉三凶不易也隂则用其幽与显戾也如裒之六吉当为凶三凶当为吉也假如元□蠢□容□徒□齐□生数纯者不可分隂阳当置右而揲左造□考□歬□乂□绩□成数纯者亦不可分隂阳当置左而揲右皆揲之以七以所揲之余观其吉凶臧否平尔

　　潜虚
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书　　　　　子部七
　　皇极经世书　　　　　　术数类一【数学之属】提要
　　【臣】等谨案皇极经世书十四卷宋邵雍撰邵子数学本于李挺之穆修而其源出于陈抟当李挺之初见邵子于百泉即授以义理性命之学其作皇极经世盖出于物理之学所谓易外别传者是也其书以元经防以防经运以运经世起于帝尧甲辰至后周显徳六年己未而兴亡治乱之迹皆以卦象推之朱子谓皇极是推步之书可谓能得其要领朱子又尝谓自易以后无人做得一物如此整齐包括得尽又谓康节易看了却看别人的不得而张防亦谓此书本以天道质以人事辞约而义广天下之能事毕矣盖自邵子始为此学其后自张行成祝泌等数家以外能明其理者甚鲜故世人卒莫穷其作用之所以然其起而议之者则曰元防运世之分无所依据十二万九千余年之説近于释氏之刼数水火土石本于释氏之地水火风且五行何以去金去木干在易为天而经世为日兑在易为泽而经世为月以至离之为星震之为辰坤之为水艮之为火坎之为土巽之为石其取象多不与易相同俱难免于牵强不合然邵子在当日用以占验无不竒中故厯代皆重其书且其自述大防亦不专于象数如云天下之事始过于重犹卒于轻始过于厚犹卒于薄又云学以人事为大又云治生于乱乱生于治圣人贵未然之防是谓易之大纲又云天下将治则人必尚义也天下将乱则人必尚利也尚义则谦让之风行焉尚利则攘夺之风行焉类皆立义正大垂训深切是经世一书虽明天道而实责成于人事洵粹然儒者之言固非防纬术数家所可同年而语也乾隆四十六年四月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷一上　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇一　　　　以元经防一
　　日甲【一】月子【一】星甲【一】　　辰子【一】
　　辰丑【二】
　　辰寅【三】
　　辰卯【四】
　　辰辰【五】
　　辰巳【六】
　　辰午【七】
　　辰未【八】
　　辰申【九】
　　辰酉【十】
　　辰戌【十一】
　　辰亥【十二】
　　星乙【二】　　辰子【十三】
　　辰丑【十四】
　　辰寅【十五】
　　辰卯【十六】
　　辰辰【十七】
　　辰巳【十八】
　　辰午【十九】
　　辰未【二十】
　　辰申【二十一】
　　辰酉【二十二】
　　辰戌【二十三】
　　辰亥【二十四】
　　星丙【三】　　辰子【二十五】
　　辰丑【二十六】
　　辰寅【二十七】
　　辰卯【二十八】
　　辰辰【二十九】
　　辰巳【三十】
　　辰午【三十一】
　　辰未【三十二】
　　辰申【三十三】
　　辰酉【三十四】
　　辰戌【三十五】
　　辰亥【三十六】
　　星丁【四】　　辰子【三十七】
　　辰丑【三十八】
　　辰寅【三十九】
　　辰卯【四十】
　　辰辰【四十一】
　　辰巳【四十二】
　　辰午【四十三】
　　辰未【四十四】
　　辰申【四十五】
　　辰酉【四十六】
　　辰戌【四十七】
　　辰亥【四十八】
　　星戊【五】　　辰子【四十九】
　　辰丑【五十】
　　辰寅【五十一】
　　辰卯【五十二】
　　辰辰【五十三】
　　辰巳【五十四】
　　辰午【五十五】
　　辰未【五十六】
　　辰申【五十七】
　　辰酉【五十八】
　　辰戌【五十九】
　　辰亥【六十】
　　星己【六】　　辰子【六十一】
　　辰丑【六十二】
　　辰寅【六十三】
　　辰卯【六十四】
　　辰辰【六十五】
　　辰巳【六十六】
　　辰午【六十七】
　　辰未【六十八】
　　辰申【六十九】
　　辰酉【七十】
　　辰戌【七十一】
　　辰亥【七十二】
　　星庚【七】　　辰子【七十三】
　　辰丑【七十四】
　　辰寅【七十五】
　　辰卯【七十六】
　　辰辰【七十七】
　　辰巳【七十八】
　　辰午【七十九】
　　辰未【八十】
　　辰申【八十一】
　　辰酉【八十二】
　　辰戌【八十三】
　　辰亥【八十四】
　　星辛【八】　　辰子【八十五】
　　辰丑【八十六】
　　辰寅【八十七】
　　辰卯【八十八】
　　辰辰【八十九】
　　辰巳【九十】
　　辰午【九十一】
　　辰未【九十二】
　　辰申【九十三】
　　辰酉【九十四】
　　辰戌【九十五】
　　辰亥【九十六】
　　星壬【九】　　辰子【九十七】
　　辰丑【九十八】
　　辰寅【九十九】
　　辰卯【一百】
　　辰辰【一百一】
　　辰巳【一百二】
　　辰午【一百三】
　　辰未【一百四】
　　辰申【一百五】
　　辰酉【一百六】
　　辰戌【一百七】
　　辰亥【一百八】
　　星癸【十】　　辰子【一百九】
　　辰丑【一百一十】
　　辰寅【一百十一】
　　辰卯【一百十二】
　　辰辰【一百十三】
　　辰巳【一百十四】
　　辰午【一百十五】
　　辰未【一百十六】
　　辰申【一百十七】
　　辰酉【一百十八】
　　辰戌【一百十九】
　　辰亥【一百二十】
　　星甲【十一】　辰子【一百二十一】
　　辰丑【一百二十二】
　　辰寅【一百二十三】
　　辰卯【一百二十四】
　　辰辰【一百二十五】
　　辰巳【一百二十六】
　　辰午【一百二十七】
　　辰未【一百二十八】
　　辰申【一百二十九】
　　辰酉【一百三十】
　　辰戌【一百三十一】
　　辰亥【一百三十二】
　　星乙【十二】　辰子【一百三十三】
　　辰丑【一百三十四】
　　辰寅【一百三十五】
　　辰卯【一百三十六】
　　辰辰【一百三十七】
　　辰巳【一百三十八】
　　辰午【一百三十九】
　　辰未【一百四十】
　　辰申【一百四十一】
　　辰酉【一百四十二】
　　辰戌【一百四十三】
　　辰亥【一百四十四】
　　星丙【十三】　辰子【一百四十五】
　　辰丑【一百四十六】
　　辰寅【一百四十七】
　　辰卯【一百四十八】
　　辰辰【一百四十九】
　　辰巳【一百五十】
　　辰午【一百五十一】
　　辰未【一百五十二】
　　辰申【一百五十三】
　　辰酉【一百五十四】
　　辰戌【一百五十五】
　　辰亥【一百五十六】
　　星丁【十四】　辰子【一百五十七】
　　辰丑【一百五十八】
　　辰寅【一百五十九】
　　辰卯【一百六十】
　　辰辰【一百六十一】
　　辰巳【一百六十二】
　　辰午【一百六十三】
　　辰未【一百六十四】
　　辰申【一百六十五】
　　辰酉【一百六十六】
　　辰戌【一百六十七】
　　辰亥【一百六十八】
　　星戊【十五】　辰子【一百六十九】
　　辰丑【一百七十】
　　辰寅【一百七十一】
　　辰卯【一百七十二】
　　辰辰【一百七十三】
　　辰巳【一百七十四】
　　辰午【一百七十五】
　　辰未【一百七十六】
　　辰申【一百七十七】
　　辰酉【一百七十八】
　　辰戌【一百七十九】
　　辰亥【一百八十】
　　星巳【十六】　辰子【一百八十一】
　　辰丑【一百八十二】
　　辰寅【一百八十三】
　　辰卯【一百八十四】
　　辰辰【一百八十五】
　　辰巳【一百八十六】
　　辰午【一百八十七】
　　辰未【一百八十八】
　　辰申【一百八十九】
　　辰酉【一百九十】
　　辰戌【一百九十一】
　　辰亥【一百九十二】
　　星庚【十七】　辰子【一百九十三】
　　辰丑【一百九十四】
　　辰寅【一百九十五】
　　辰卯【一百九十六】
　　辰辰【一百九十七】
　　辰巳【一百九十八】
　　辰午【一百九十九】
　　辰未【二百】
　　辰申【二百一】
　　辰酉【二百二】
　　辰戌【二百三】
　　辰亥【二百四】
　　星辛【十八】　辰子【二百五】
　　辰丑【二百六】
　　辰寅【二百七】
　　辰卯【二百八】
　　辰辰【二百九】
　　辰巳【二百十】
　　辰午【二百十一】
　　辰未【二百十二】
　　辰申【二百十三】
　　辰酉【二百十四】
　　辰戌【二百十五】
　　辰亥【二百十六】
　　星壬【十九】　辰子【二百十七】
　　辰丑【二百十八】
　　辰寅【二百十九】
　　辰卯【二百二十】
　　辰辰【二百二十一】
　　辰巳【二百二十二】
　　辰午【二百二十三】
　　辰未【二百二十四】
　　辰申【二百二十五】
　　辰酉【二百二十六】
　　辰戌【二百二十七】
　　辰亥【二百二十八】
　　星癸【二十】　辰子【二百二十九】
　　辰丑【二百三十】
　　辰寅【二百三十一】
　　辰卯【二百三十二】
　　辰辰【二百三十三】
　　辰巳【二百三十四】
　　辰午【二百三十五】
　　辰未【二百三十六】
　　辰申【二百三十七】
　　辰酉【二百三十八】
　　辰戌【二百三十九】
　　辰亥【二百四十】
　　星甲【二十一】　辰子【二百四十一】
　　辰丑【二百四十二】
　　辰寅【二百四十三】
　　辰卯【二百四十四】
　　辰辰【二百四十五】
　　辰巳【二百四十六】
　　辰午【二百四十七】
　　辰未【二百四十八】
　　辰申【二百四十九】
　　辰酉【二百五十】
　　辰戌【二百五十一】
　　辰亥【二百五十二】
　　星乙【二十二】　辰子【二百五十三】
　　辰丑【二百五十四】
　　辰寅【二百五十五】
　　辰卯【二百五十六】
　　辰辰【二百五十七】
　　辰巳【二百五十八】
　　辰午【二百五十九】
　　辰未【二百六十】
　　辰申【二百六十一】
　　辰酉【二百六十二】
　　辰戌【二百六十三】
　　辰亥【二百六十四】
　　星丙【二十三】　辰子【二百六十五】
　　辰丑【二百六十六】
　　辰寅【二百六十七】
　　辰卯【二百六十八】
　　辰辰【二百六十九】
　　辰巳【二百七十】
　　辰午【二百七十一】
　　辰未【二百七十二】
　　辰申【二百七十三】
　　辰酉【二百七十四】
　　辰戌【二百七十五】
　　辰亥【二百七十六】
　　星丁【二十四】　辰子【二百七十七】
　　辰丑【二百七十八】
　　辰寅【二百七十九】
　　辰卯【二百八十】
　　辰辰【二百八十一】
　　辰巳【二百八十二】
　　辰午【二百八十三】
　　辰未【二百八十四】
　　辰申【二百八十五】
　　辰酉【二百八十六】
　　辰戌【二百八十七】
　　辰亥【二百八十八】
　　星戊【二十五】　辰子【二百八十九】
　　辰丑【二百九十】
　　辰寅【二百九十一】
　　辰卯【二百九十二】
　　辰辰【二百九十三】
　　辰巳【二百九十四】
　　辰午【二百九十五】
　　辰未【二百九十六】
　　辰申【二百九十七】
　　辰酉【二百九十八】
　　辰戌【二百九十九】
　　辰亥【三百】
　　星己【二十六】　辰子【三百一】
　　辰丑【三百二】
　　辰寅【三百三】
　　辰卯【三百四】
　　辰辰【三百五】
　　辰巳【三百六】
　　辰午【三百七】
　　辰未【三百八】
　　辰申【三百九】
　　辰酉【三百十】
　　辰戌【三百十一】
　　辰亥【三百十二】
　　星庚【二十七】　辰子【三百十三】
　　辰丑【三百十四】
　　辰寅【三百十五】
　　辰卯【三百十六】
　　辰辰【三百十七】
　　辰巳【三百十八】
　　辰午【三百十九】
　　辰未【三百二十】
　　辰申【三百二十一】
　　辰酉【三百二十二】
　　辰戌【三百二十三】
　　辰亥【三百二十四】
　　星辛【二十八】　辰子【三百二十五】
　　辰丑【三百二十六】
　　辰寅【三百二十七】
　　辰卯【三百二十八】
　　辰辰【三百二十九】
　　辰巳【三百三十】
　　辰午【三百三十一】
　　辰未【三百三十二】
　　辰申【三百三十三】
　　辰酉【三百三十四】
　　辰戌【三百三十五】
　　辰亥【三百三十六】
　　星壬【二十九】　辰子【三百三十七】
　　辰丑【三百三十八】
　　辰寅【三百三十九】
　　辰卯【三百四十】
　　辰辰【三百四十一】
　　辰巳【三百四十二】
　　辰午【三百四十三】
　　辰未【三百四十四】
　　辰申【三百四十五】
　　辰酉【三百四十六】
　　辰戌【三百四十七】
　　辰亥【三百四十八】
　　星癸【三十】　辰子【三百四十九】
　　辰丑【三百五十】
　　辰寅【三百五十一】
　　辰卯【三百五十二】
　　辰辰【三百五十三】
　　辰巳【三百五十四】
　　辰午【三百五十五】
　　辰未【三百五十六】
　　辰申【三百五十七】
　　辰酉【三百五十八】
　　辰戌【三百五十九】
　　辰亥【三百六十】
　　观物篇二　　　　以元经防二
　　日甲【一】月丑【二】星甲【三十一】辰子【三百六十一】
　　辰丑【三百六十二】
　　辰寅【三百六十三】
　　辰卯【三百六十四】
　　辰辰【三百六十五】
　　辰巳【三百六十六】
　　辰午【三百六十七】
　　辰未【三百六十八】
　　辰申【三百六十九】
　　辰酉【三百七十】
　　辰戌【三百七十一】
　　辰亥【三百七十二】
　　星乙【三十二】　辰子【三百七十三】
　　辰丑【三百七十四】
　　辰寅【三百七十五】
　　辰卯【三百七十六】
　　辰辰【三百七十七】
　　辰巳【三百七十八】
　　辰午【三百七十九】
　　辰未【三百八十】
　　辰申【三百八十一】
　　辰酉【三百八十二】
　　辰戌【三百八十三】
　　辰亥【三百八十四】
　　星丙【三十三】　辰子【三百八十五】
　　辰丑【三百八十六】
　　辰寅【三百八十七】
　　辰卯【三百八十八】
　　辰辰【三百八十九】
　　辰巳【三百九十】
　　辰午【三百九十一】
　　辰未【三百九十二】
　　辰申【三百九十三】
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　　星丁【三十四】　辰子【三百九十七】
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　　辰卯【四百】
　　辰辰【四百一】
　　辰巳【四百二】
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　　辰未【四百四】
　　辰申【四百五】
　　辰酉【四百六】
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　　星戊【三十五】　辰子【四百九】
　　辰丑【四百十】
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　　辰戌【四百十九】
　　辰亥【四百二十】
　　星己【三十六】　辰子【四百二十一】
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　　辰寅【四百二十三】
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　　辰辰【四百二十五】
　　辰巳【四百二十六】
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　　辰未【四百二十八】
　　辰申【四百二十九】
　　辰酉【四百三十】
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　　辰亥【四百三十二】
　　星庚【三十七】　辰子【四百三十三】
　　辰丑【四百三十四】
　　辰寅【四百三十五】
　　辰卯【四百三十六】
　　辰辰【四百三十七】
　　辰巳【四百三十八】
　　辰午【四百三十九】
　　辰未【四百四十】
　　辰申【四　四十一】
　　辰酉【四百四十二】
　　辰戌【四百四十三】
　　辰亥【四百四十四】
　　星辛【三十八】　辰子【四百四十五】
　　辰丑【四百四十六】
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　　辰辰【四百四十九】
　　辰巳【四百五十】
　　辰午【四百五十一】
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　　辰亥【四百五十六】
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　　辰丑【四百五十八】
　　辰寅【四百五十九】
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　　辰午【四百六十三】
　　辰未【四百六十四】
　　辰申【四百六十五】
　　辰酉【四百六十六】
　　辰戌【四百六十七】
　　辰亥【四百六十八】
　　星癸【四十】　　辰子【四百六十九】
　　辰丑【四百七十】
　　辰寅【四百七十一】
　　辰卯【四百七十二】
　　辰辰【四百七十三】
　　辰巳【四百七十四】
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　　辰申【四百七十七】
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　　辰亥【四百八十】
　　星甲【四十一】　辰子【四百八十一】
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　　辰申【五百一】
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　　星丙【四十三】　辰子【五百五】
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　　辰巳【五百十】
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　　辰亥【五百十六】
　　星丁【四十四】　辰子【五百十七】
　　辰丑【五百十八】
　　辰寅【五百十九】
　　辰卯【五百二十】
　　辰辰【五百二十一】
　　辰巳【五百二十二】
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　　辰未【五百二十四】
　　辰申【五百二十五】
　　辰酉【五百二十六】
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　　辰亥【五百二十八】
　　星戊【四十五】　辰子【五百二十九】
　　辰丑【五百三十】
　　辰寅【五百三十一】
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　　辰酉【五百三十八】
　　辰戌【五百三十九】
　　辰亥【五百四十】
　　星己【四十六】　辰子【五百四十一】
　　辰丑【五百四十二】
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　　辰辰【五百四十五】
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　　辰酉【五百五十】
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　　辰亥【五百五十二】
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　　辰丑【五百五十四】
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　　辰午【五百五十九】
　　辰未【五百六十】
　　辰申【五百六十一】
　　辰酉【五百六十二】
　　辰戌【五百六十三】
　　辰亥【五百六十四】
　　星辛【四十八】　辰子【五百六十五】
　　辰丑【五百六十六】
　　辰寅【五百六十七】
　　辰卯【五百六十八】
　　辰辰【五百六十九】
　　辰巳【五百七十】
　　辰午【五百七十一】
　　辰未【五百七十二】
　　辰申【五百七十三】
　　辰酉【五百七十四】
　　辰戌【五百七十五】
　　辰亥【五百七十六】
　　星壬【四十九】　辰子【五百七十七】
　　辰丑【五百七十八】
　　辰寅【五百七十九】
　　辰卯【五百八十】
　　辰辰【五百八十一】
　　辰巳【五百八十二】
　　辰午【五百八十三】
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　　辰亥【五百八十八】
　　星癸【五十】　辰子【五百八十九】
　　辰丑【五百九十】
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　　辰亥【六百】
　　星甲【五十一】　辰子【六百一】
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　　辰酉【六百十】
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　　辰亥【六百十二】
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　　辰辰【六百十七】
　　辰巳【六百十八】
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　　辰未【六百二十】
　　辰申【六百二十一】
　　辰酉【六百二十二】
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　　辰亥【六百二十四】
　　星丙【五十三】　辰子【六百二十五】
　　辰丑【六百二十六】
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　　辰辰【六百二十九】
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　　辰未【六百三十二】
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　　辰酉【六百三十四】
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　　辰亥【六百三十六】
　　星丁【五十四】　辰子【六百三十七】
　　辰丑【六百三十八】
　　辰寅【六百三十九】
　　辰卯【六百四十】
　　辰辰【六百四十一】
　　辰巳【六百四十二】
　　辰午【六百四十三】
　　辰未【六百四十四】
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　　辰戌【六百四十七】
　　辰亥【六百四十八】
　　星戊【五十五】　辰子【六百四十九】
　　辰丑【六百五十】
　　辰寅【六百五十一】
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　　星巳【五十六】　辰子【六百六十一】
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　　辰辰【六百六十五】
　　辰巳【六百六十六】
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　　辰未【六百六十八】
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　　辰酉【六百七十】
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　　辰亥【六百七十二】
　　星庚【五十七】　辰子【六百七十三】
　　辰丑【六百七十四】
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　　辰未【六百八十】
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　　星辛【五十八】　　辰子【六百八十五】
　　辰丑【六百八十六】
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　　辰辰【六百八十九】
　　辰巳【六百九十】
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　　辰辰【七百一】
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　　星癸【六十】　　辰子【七百九】
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　　辰卯【七百十二】
　　辰辰【七百十三】
　　辰巳【七百十四】
　　辰午【七百十五】
　　辰未【七百十六】
　　辰申【七百十七】
　　辰酉【七百十八】
　　辰戌【七百十九】
　　辰亥【七百二十】
　　观物篇三　　　　以元经防三
　　日甲【一】月寅【三】星甲【六十一】辰子【七百二十一】
　　辰丑【七百二十二】
　　辰寅【七百二十三】
　　辰卯【七百二十四】
　　辰辰【七百二十五】
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　　辰未【七百四十】
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　　辰辰【七百六十一】
　　辰巳【七百六十二】
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　　辰酉【七百六十六】
　　辰戌【七百六十七】
　　辰亥【七百六十八】
　　星戊【六十五】　辰子【七百六十九】
　　辰丑【七百七十】
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　　辰卯【七百七十二】
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　　辰申【八百一】
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　　辰寅【八百十九】
　　辰卯【八百二十】
　　辰辰【八百二十一】
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　　辰申【八百二十五】
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　　星癸【七十】　辰子【八百二十九】
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　　辰寅【八百三十一】
　　辰卯【八百三十二】
　　辰辰【八百三十三】
　　辰巳【八百三十四】
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　　辰卯【八百五十六】
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　　辰午【八百五十九】
　　辰未【八百六十】
　　辰申【八百六十一】
　　辰酉【八百六十二】
　　辰戌【八百六十三】
　　辰亥【八百六十四】
　　星丙【七十三】　辰子【八百六十五】
　　辰丑【八百六十六】
　　辰寅【八百六十七】
　　辰卯【八百六十八】
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　　辰巳【八百七十】
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　　辰申【八百七十三】
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　　星丁【七十四】　辰子【八百七十七】
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　　辰亥【九百】
　　星己【七十六】　辰子【九百一】
　　辰丑【九百二】
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　　星辛【七十八】　辰子【九百二十五】
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　　辰卯【九百二十八】
　　辰辰【九百二十九】
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　　辰申【九百三十三】
　　辰酉【九百三十四】
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　　星壬【七十九】　辰子【九百三十七】
　　辰丑【九百三十八】
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　　星癸【八十】　辰子【九百四十九】
　　辰丑【九百五十】
　　辰寅【九百五十一】
　　辰卯【九百五十二】
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　　辰卯【九百六十四】
　　辰辰【九百六十五】
　　辰巳【九百六十六】
　　辰午【九百六十七】
　　辰未【九百六十八】
　　辰申【九百六十九】
　　辰酉【九百七十】
　　辰戌【九百七十一】
　　辰亥【九百七十二】
　　星乙【八十二】　辰子【九百七十三】
　　辰丑【九百七十四】
　　辰寅【九百七十五】
　　辰卯【九百七十六】
　　辰辰【九百七十七】
　　辰巳【九百七十八】
　　辰午【九百七十九】
　　辰未【九百八十】
　　辰申【九百八十一】
　　辰酉【九百八十二】
　　辰戌【九百八十三】
　　辰亥【九百八十四】
　　星丙【八十三】　辰子【九百八十五】
　　辰丑【九百八十六】
　　辰寅【九百八十七】
　　辰卯【九百八十八】
　　辰辰【九百八十九】
　　辰巳【九百九十】
　　辰午【九百九十一】
　　辰未【九百九十二】
　　辰申【九百九十三】
　　辰酉【九百九十四】
　　辰戌【九百九十五】
　　辰亥【九百九十六】
　　星丁【八十四】　辰子【九百九十七】
　　辰丑【九百九十八】
　　辰寅【九百九十九】
　　辰卯【一千】
　　辰辰【一千一】
　　辰巳【一千二】
　　辰午【一千三】
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　　辰巳【一千十四】
　　辰午【一千十五】
　　辰未【一千十六】
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　　辰亥【一千二十】
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　　辰卯【一千二十四】
　　辰辰【一千二十五】
　　辰巳【一千二十六】
　　辰午【一千二十七】
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　　星庚【八十七】　辰子【一千三十三】
　　辰丑【一千三十四】
　　辰寅【一千三十五】
　　辰卯【一千三十六】
　　辰辰【一千三十七】
　　辰巳【一千三十八】
　　辰午【一千三十九】
　　辰未【一千四十】
　　辰申【一千四十一】
　　辰酉【一千四十二】
　　辰戌【一千四十三】
　　辰亥【一千四十四】
　　星辛【八十八】　辰子【一千四十五】
　　辰丑【一千四十六】
　　辰寅【一千四十七】
　　辰卯【一千四十八】
　　辰辰【一千四十九】
　　辰巳【一千五十】
　　辰午【一千五十一】
　　辰未【一千五十二】
　　辰申【一千五十三】
　　辰酉【一千五十四】
　　辰戌【一千五十五】
　　辰亥【一千五十六】
　　星壬【八十九】　辰子【一千五十七】
　　辰丑【一千五十八】
　　辰寅【一千五十九】
　　辰卯【一千六十】
　　辰辰【一千六十一】
　　辰巳【一千六十二】
　　辰午【一千六十三】
　　辰未【一千六十四】
　　辰申【一千六十五】
　　辰酉【一　六十六】
　　辰戌【一千六十七】
　　辰亥【一千六十八】
　　星癸【九十】　辰子【一千六十九】
　　辰丑【一千七十】
　　辰寅【一千七十一】
　　辰卯【一千七十二】
　　辰辰【一千七十三】
　　辰巳【一千七十四】
　　辰午【一千七十五】
　　辰未【一千七十六】
　　辰申【一千七十七】
　　辰酉【一千七十八】
　　辰戌【一千七十九】
　　辰亥【一千八十】

　　皇极经世书卷一上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷一下　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇四　　　　以元经防四
　　日甲【一】月卯【四】星甲【九十一】辰子【一千八十一】
　　辰丑【一千八十二】
　　辰寅【一千八十三】
　　辰卯【一千八十四】
　　辰辰【一千八十五】
　　辰巳【一千八十六】
　　辰午【一千八十七】
　　辰未【一千八十八】
　　辰申【一千八十九】
　　辰酉【一千九十】
　　辰戌【一千九十一】
　　辰亥【一千九十二】
　　星乙【九十二】　辰【子一千九十三】
　　辰丑【一千九十四】
　　辰寅【一千九十五】
　　辰卯【一千九十六】
　　辰辰【一千九十七】
　　辰巳【一千九十八】
　　辰午【一千九十九】
　　辰未【一千一百】
　　辰申【一千一百一】
　　辰酉【一千一百二】
　　辰戌【一千一百三】
　　辰亥【一千一百四】
　　星丙【九十三】　辰子【一千一百五】
　　辰丑【一千一百六】
　　辰寅【一千一百七】
　　辰卯【一千一百八】
　　辰辰【一千一百九】
　　辰巳【一千一百十】
　　辰午【一千一百十一】
　　辰未【一千一百十二】
　　辰申【一千一百十三】
　　辰酉【一千一百十四】
　　辰戌【一千一百十五】
　　辰亥【一千一百十六】
　　星丁【九十四】　辰子【一千一百十七】
　　辰丑【一千一百十八】
　　辰寅【一千一百十九】
　　辰卯【一千一百二十】
　　辰辰【一千一百二十一】
　　辰巳【一千一百二十二】
　　辰午【一千一百二十三】
　　辰未【一千一百二十四】
　　辰申【一千一百二十五】
　　辰酉【一千一百二十六】
　　辰戌【一千一百二十七】
　　辰亥【一千一百二十八】
　　星戊【九十五】　辰子【一千一百二十九】
　　辰丑【一千一百三十】
　　辰寅【一千一百三十一】
　　辰卯【一千一百三十二】
　　辰辰【一千一百三十三】
　　辰巳【一千一百三十四】
　　辰午【一千一百三十五】
　　辰未【一千一百三十六】
　　辰申【一千一百三十七】
　　辰酉【一千一百三十八】
　　辰戌【一千一百三十九】
　　辰亥【一千一百四十】
　　星己【九十六】　辰子【一千一百四十一】
　　辰丑【一千一百四十二】
　　辰寅【一千一百四十三】
　　辰卯【一千一百四十四】
　　辰辰【一千一百四十五】
　　辰巳【一千一百四十六】
　　辰午【一千一百四十七】
　　辰未【一千一百四十八】
　　辰申【一千一百四十九】
　　辰酉【一千一百五十】
　　辰戌【一千一百五十一】
　　辰亥【一千一百五十二】
　　星庚【九十七】　辰子【一千一百五十三】
　　辰丑【一千一百五十四】
　　辰寅【一千一百五十五】
　　辰卯【一千一百五十六】
　　辰辰【一千一百五十七】
　　辰巳【一千一百五十八】
　　辰午【一千一百五十九】
　　辰未【一千一百六十】
　　辰申【一千一百六十一】
　　辰酉【一千一百六十二】
　　辰戌【一千一百六十三】
　　辰亥【一千一百六十四】
　　星辛【九十八】　辰子【一千一百六十五】
　　辰丑【一千一百六十六】
　　辰寅【一千一百六十七】
　　辰卯【一千一百六十八】
　　辰辰【一千一百六十九】
　　辰巳【一千一百七十】
　　辰午【一千一百七十一】
　　辰未【一千一百七十二】
　　辰申【一千一百七十三】
　　辰酉【一千一百七十四】
　　辰戌【一千一百七十五】
　　辰亥【一千一百七十六】
　　星壬【九十九】　辰子【一千一百七十七】
　　辰丑　【千一百七十八】
　　辰寅【一千一百七十九】
　　辰卯【一千一百八十】
　　辰辰【一千一百八十一】
　　辰巳【一千一百八十二】
　　辰午【一千一百八十三】
　　辰未【一千一百八十四】
　　辰申【一千一百八十五】
　　辰酉【一千一百八十六】
　　辰戌【一千一百八十七】
　　辰亥【一千一百八十八】
　　星癸【一百】　辰子【一千一百八十九】
　　辰丑【一千一百九十】
　　辰寅【一千一百九十一】
　　辰卯【一千一百九十二】
　　辰辰【一千一百九十三】
　　辰巳【一千一百九十四】
　　辰午【一千一百九十五】
　　辰未【一千一百九十六】
　　辰申【一千一百九十七】
　　辰酉【一千一百九十八】
　　辰戌【一千一百九十九】
　　辰亥【一千二百】
　　星甲【一百一】　辰子【一千二百一】
　　辰丑【一千二百二】
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　　辰辰【一千二百五】
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　　星乙【一百二】　辰子【一千二百十三】
　　辰丑【一千二百十四】
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　　辰卯【一千二百十六】
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　　辰丑【一千二百二十六】
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　　辰卯【一千二百二十八】
　　辰辰【一千二百二十九】
　　辰巳【一千二百三十】
　　辰午【一千二百三十一】
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　　辰酉【一千二百三十四】
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　　星丁【一百四】　辰子【一千二百三十七】
　　辰丑【一千二百三十八】
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　　辰辰【一千二百四十一】
　　辰巳【一千二百四十二】
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　　辰申【一千二百四十五】
　　辰酉【一千二百四十六】
　　辰戌【一千二百四十七】
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　　辰丑【一千二百五十】
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　　辰酉【一千二百五十八】
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　　星己【一百六】　辰子【一千二百六十一】
　　辰丑【一千二百六十二】
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　　辰辰【一千二百六十五】
　　辰巳【一千二百六十六】
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　　星庚【一百七】　辰子【一千二百七十三】
　　辰丑【一千二百七十四】
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　　辰辰【一千二百七十七】
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　　星辛【一百八】　辰子【一千二百八十五】
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　　辰辰【一千二百八十九】
　　辰巳【一千二百九十】
　　辰午【一千二百九十一】
　　辰未【一千二百九十二】
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　　辰亥【一千二百九十六】
　　星壬【一百九】　辰子【一千二百九十七】
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　　辰卯【一千三百】
　　辰辰【一千三百一】
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　　辰丑【一千三百十】
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　　辰未【一千三百二十八】
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　　辰亥【一千三百三十二】
　　星乙【一百十二】　辰子【一千三百三十三】
　　辰丑【一千三百三十四】
　　辰寅【一千三百三十五】
　　辰卯【一千三百三十六】
　　辰辰【一千三百三十七】
　　辰巳【一千三百三十八】
　　辰午【一千三百三十九】
　　辰未【一千三百四十】
　　辰申【一千三百四十一】
　　辰酉【一千三百四十二】
　　辰戌【一千三百四十三】
　　辰亥【一千三百四十四】
　　星丙【一百十三】　辰子【一千三百四十五】
　　辰丑【一千三百四十六】
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　　辰巳【一千三百五十】
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　　辰戌【一千三百五十五】
　　辰亥【一千三百五十六】
　　星丁【一百十四】　辰子【一千三百五十七】
　　辰丑【一千三百五十八】
　　辰寅【一千三百五十九】
　　辰卯【一千三百六十】
　　辰辰【一千三百六十一】
　　辰巳【一千三百六十二】
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　　辰戌【一千三百六十七】
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　　辰丑【一千三百七十】
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　　星己【一百十六】　辰子【一千三百八十一】
　　辰丑【一千三百八十二】
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　　辰辰【一千三百八十五】
　　辰巳【一千三百八十六】
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　　辰酉【一千三百九十】
　　辰戌【一千三百九十一】
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　　辰丑【一千三百九十四】
　　辰寅【一千三百九十五】
　　辰卯【一千三百九十六】
　　辰辰【一千三百九十七】
　　辰巳【一千三百九十八】
　　辰午【一千三百九十九】
　　辰未【一千四百】
　　辰申【一千四百一】
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　　辰亥【一千四百四】
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　　辰丑【一千四百六】
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　　辰卯【一千四百八】
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　　星壬【一百十九】　辰子【一千四百十七】
　　辰丑【一千四百十八】
　　辰寅【一千四百十九】
　　辰卯【一千四百二十】
　　辰辰【一千四百二十一】
　　辰巳【一千四百二十二】
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　　辰申【一千四百二十五】
　　辰酉【一千四百二十六】
　　辰戌【一千四百二十七】
　　辰亥【一千四百二十八】
　　星癸【一百二十】　辰子【一千四百二十九】
　　辰丑【一千四百三十】
　　辰寅【一千四百三十一】
　　辰卯【一千四百三十二】
　　辰辰【一千四百三十三】
　　辰巳【一千四百三十四】
　　辰午【一千四百三十五】
　　辰未【一千四百三十六】
　　辰申【一千四百三十七】
　　辰酉【一千四百三十八】
　　辰戌【一千四百三十九】
　　辰亥【一千四百四十】
　　观物篇五　　　　以元经防五
　　日甲【一】月辰【五】星甲【一百二十一】辰子【一千四百四十一】
　　辰丑【一千四百四十二】
　　辰寅【一千四百四十三】
　　辰卯【一千四百四十四】
　　辰辰【一千四百四十五】
　　辰巳【一千四百四十六】
　　辰午【一千四百四十七】
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　　辰酉【一千四百五十】
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　　辰亥【一千四百五十二】
　　星乙【一百二十二】　辰子【一千四百五十三】
　　辰丑【一千四百五十四】
　　辰寅【一千四百五十五】
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　　辰辰【一千四百五十七】
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　　辰未【一千四百六十】
　　辰申【一千四百六十一】
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　　辰亥【一千四百六十四】
　　星丙【一百二十三】　辰子【一千四百六十五】
　　辰丑【一千四百六十六】
　　辰寅【一千四百六十七】
　　辰卯【一千四百六十八】
　　辰辰【一千四百六十九】
　　辰巳【一千四百七十】
　　辰午【一千四百七十一】
　　辰未【一千四百七十二】
　　辰申【一千四百七十三】
　　辰酉【一千四百七十四】
　　辰戌【一千四百七十五】
　　辰亥【一千四百七十六】
　　星丁【一百二十四】　辰子【一千四百七十七】
　　辰丑【一千四百七十八】
　　辰寅【一千四百七十九】
　　辰卯【一千四百八十】
　　辰辰【一千四百八十一】
　　辰巳【一千四百八十二】
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　　辰未【一千四百八十四】
　　辰申【一千四百八十五】
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　　辰戌【一千四百八十七】
　　辰亥【一千四百八十八】
　　星戊【一百二十五】　辰子【一千四百八十九】
　　辰丑【一千四百九十】
　　辰寅【一千四百九十一】
　　辰卯【一千四百九十二】
　　辰辰【一千四百九十三】
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　　辰卯【一千五百十六】
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　　星辛【一百二十八】　辰子【一千五百二十五】
　　辰丑【一千五百二十六】
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　　辰丑【一千五百三十八】
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　　星癸【一百三十】　辰子【一千五百四十九】
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　　辰卯【一千五百五十二】
　　辰辰【一千五百五十三】
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　　辰申【一千五百五十七】
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　　辰戌【一千五百五十九】
　　辰亥【一千五百六十】
　　星甲【一百三十一】　辰子【一千五百六十一】
　　辰丑【一千五百六十二】
　　辰寅【一千五百六十三】
　　辰卯【一千五百六十四】
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　　辰申【一千五百六十九】
　　辰酉【一千五百七十】
　　辰戌【一千五百七十一】
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　　星乙【一百三十二】　辰子【一千五百七十三】
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　　辰寅【一千五百七十五】
　　辰卯【一千五百七十六】
　　辰辰【一千五百七十七】
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　　辰未【一千五百八十】
　　辰申【一千五百八十一】
　　辰酉【一千五百八十二】
　　辰戌【一千五百八十三】
　　辰亥【一千五百八十四】
　　星丙【一百三十三】　辰子【一千五百八十五】
　　辰丑【一千五百八十六】
　　辰寅【一千五百八十七】
　　辰卯【一千五百八十八】
　　辰辰【一千五百八十九】
　　辰巳【一千五百九十】
　　辰午【一千五百九十一】
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　　辰申【一千五百九十三】
　　辰酉【一千五百九十四】
　　辰戌【一千五百九十五】
　　辰亥【一千五百九十六】
　　星丁【一百三十四】　辰子【一千五百九十七】
　　辰丑【一千五百九十八】
　　辰寅【一千五百九十九】
　　辰卯【一千六百】
　　辰辰【一千六百一】
　　辰巳【一千六百二】
　　辰午【一千六百三】
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　　辰申【一千六百五】
　　辰酉【一千六百六】
　　辰戌【一千六百七】
　　辰亥【一千六百八】
　　星戊【一百三十五】　辰子【一千六百九】
　　辰丑【一千六百十】
　　辰寅【一千六百十一】
　　辰卯【一千六百十二】
　　辰辰【一千六百十三】
　　辰巳【一千六百十四】
　　辰午【一千六百十五】
　　辰未【一千六百十六】
　　辰申【一千六百十七】
　　辰酉【一千六百十八】
　　辰戌【一千六百十九】
　　辰亥【一千六百二十】
　　星己【一百三十六】　辰子【一千六百二十一】
　　辰丑【一千六百二十二】
　　辰寅【一千六百二十三】
　　辰卯【一千六百二十四】
　　辰辰【一千六百二十五】
　　辰巳【一千六百二十六】
　　辰午【一千六百二十七】
　　辰未【一千六百二十八】
　　辰申【一千六百二十九】
　　辰酉【一千六百三十】
　　辰戌【一千六百三十一】
　　辰亥【一千六百三十二】
　　星庚【一百三十七】　辰子【一千六百三十三】
　　辰丑【一千六百三十四】
　　辰寅【一千六百三十五】
　　辰卯【一千六百三十六】
　　辰辰【一千六百三十七】
　　辰巳【一千六百三十八】
　　辰午【一千六百三十九】
　　辰未【一千六百四十】
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　　辰酉【一千六百四十二】
　　辰戌【一千六百四十三】
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　　星辛【一百三十八】　辰子【一千六百四十五】
　　辰丑【一千六百四十六】
　　辰寅【一千六百四十七】
　　辰卯【一千六百四十八】
　　辰辰【一千六百四十九】
　　辰巳【一千六百五十】
　　辰午【一千六百五十一】
　　辰未【一千六百五十二】
　　辰申【一千六百五十三】
　　辰酉【一千六百五十四】
　　辰戌【一千六百五十五】
　　辰亥【一千六百五十六】
　　星壬【一百三十九】　辰子【一千六百五十七】
　　辰丑【一千六百五十八】
　　辰寅【一千六百五十九】
　　辰卯【一十六百六十】
　　辰辰【一千六百六十一】
　　辰巳【一千六百六十二】
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　　辰申【一千六百六十五】
　　辰酉【一千六百六十六】
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　　星癸【一百四十】　辰子【一千六百六十九】
　　辰丑【一千六百七十】
　　辰寅【一千六百七十一】
　　辰卯【一千六百七十二】
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　　辰巳【一千六百七十四】
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　　辰未【一千六百七十六】
　　辰申【一千六百七十七】
　　辰酉【一千六百七十八】
　　辰戌【一千六百七十九】
　　辰亥【一千六百八十】
　　星甲【一百四十一】　辰子【一千六百八十一】
　　辰丑【一千六百八十二】
　　辰寅【一千六百八十三】
　　辰卯【一千六百八十四】
　　辰辰【一千六百八十五】
　　辰巳【一千六百八十六】
　　辰午【一千六百八十七】
　　辰未【一千六百八十八】
　　辰申【一千六百八十九】
　　辰酉【一千六百九十】
　　辰戌【一千六百九十一】
　　辰亥【一千六百九十二】
　　星乙【一百四十二】　辰子【一千六百九十三】
　　辰丑【一千六百九十四】
　　辰寅【一千六百九十五】
　　辰卯【一千六百九十六】
　　辰辰【一千六百九十七】
　　辰巳【一千六百九十八】
　　辰午【一千六百九十九】
　　辰未【一千七百】
　　辰申【一千七百一】
　　辰酉【一千七百二】
　　辰戌【一千七百三】
　　辰亥【一千七百四】
　　星丙【一百四十三】　辰子【一千七百五】
　　辰丑【一千七百六】
　　辰寅【一千七百七】
　　辰卯【一千七百八】
　　辰辰【一千七百九】
　　辰巳【一千七百十】
　　辰午【一千七百十一】
　　辰未【一千七百十二】
　　辰申【一千七百十三】
　　辰酉【一千七百十四】
　　辰戌【一千七百十五】
　　辰亥【一千七百十六】
　　星丁【一百四十四】　辰子【一千七百十七】
　　辰丑【一千七百十八】
　　辰寅【一千七百十九】
　　辰卯【一千七百二十】
　　辰辰【一千七百二十一】
　　辰巳【一千七百二十二】
　　辰午【一千七百二十三】
　　辰未【一千七百二十四】
　　辰申【一千七百二十五】
　　辰酉【一千七百二十六】
　　辰戌【一千七百二十七】
　　辰亥【一千七百二十八】
　　星戊【一百四十五】　辰子【一千七百二十九】
　　辰丑【一千七百三十】
　　辰寅【一千七百三十一】
　　辰卯【一千七百三十二】
　　辰辰【一千七百三十三】
　　辰巳【一千七百三十四】
　　辰午【一千七百三十五】
　　辰未【一千七百三十六】
　　辰申【一千七百三十七】
　　辰酉【一千七百三十八】
　　辰戌【一千七百三十九】
　　辰亥【一千七百四十】
　　星己【一百四十六】　辰子【一千七百四十一】
　　辰丑【一千七百四十二】
　　辰寅【一千七百四十三】
　　辰卯【一千七百四十四】
　　辰辰【一千七百四十五】
　　辰巳【一千七百四十六】
　　辰午【一千七百四十七】
　　辰未【一千七百四十八】
　　辰申【一千七百四十九】
　　辰酉【一千七百五十】
　　辰戌【一千七百五十一】
　　辰亥【一千七百五十二】
　　星庚【一百四十七】　辰子【一千七百五十三】
　　辰丑【一千七百五十四】
　　辰寅【一千七百五十五】
　　辰卯【一千七百五十六】
　　辰辰【一千七百五十七】
　　辰巳【一千七百五十八】
　　辰午【一千七百五十九】
　　辰未【一千七百六十】
　　辰申【一千七百六十一】
　　辰酉【一千七百六十二】
　　辰戌【一千七百六十三】
　　辰亥【一千七百六十四】
　　星辛【一百四十八】　辰子【一千七百六十五】
　　辰丑【一千七百六十六】
　　辰寅【一千七百六十七】
　　辰卯【一千七百六十八】
　　辰辰【一千七百六十九】
　　辰巳【一千七百七十】
　　辰午【一千七百七十一】
　　辰未【一千七百七十二】
　　辰申【一千七百七十三】
　　辰酉【一千七百七十四】
　　辰戌【一千七百七十五】
　　辰亥【一千七百七十六】
　　星壬【一百四十九】　辰子【一千七百七十七】
　　辰丑【一千七百七十八】
　　辰寅【一千七百七十九】
　　辰卯【一千七百八十】
　　辰辰【一千七百八十一】
　　辰巳【一千七百八十二】
　　辰午【一千七百八十三】
　　辰未【一千七百八十四】
　　辰申【一千七百八十五】
　　辰酉【一千七百八十六】
　　辰戌【一千七百八十七】
　　辰亥【一千七百八十八】
　　星癸【一百五十】　辰子【一千七百八十九】
　　辰丑【一千七百九十】
　　辰寅【一千七百九十一】
　　辰卯【一千七百九十二】
　　辰辰【一千七百九十三】
　　辰巳【一千七百九十四】
　　辰午【一千七百九十五】
　　辰未【一千七百九十六】
　　辰申【一千七百九十七】
　　辰酉【一千七百九十八】
　　辰戌【一千七百九十九】
　　辰亥【一千八百】
　　观物篇六　　　　以元经防六
　　日甲【一】月己【六】星甲【一百五十一】辰子【一千八百一】
　　辰丑【一千八百二】
　　辰寅【一千八百三】
　　辰卯【一千八百四】
　　辰辰【一千八百五】
　　辰巳【一千八百六】
　　辰午【一千八百七】
　　辰未【一千八百八】
　　辰申【一千八百九】
　　辰酉【一千八百十】
　　辰戌【一千八百十一】
　　辰亥【一千八百十二】
　　星乙【一百五十二】　辰子【一千八百十三】
　　辰丑【一千八百十四】
　　辰寅【一千八百十五】
　　辰卯【一千八百十六】
　　辰辰【一千八百十七】
　　辰巳【一千八百十八】
　　辰午【一千八百十九】
　　辰未【一千八百二十】
　　辰申【一千八百二十一】
　　辰酉【一千八百二十二】
　　辰戌【一千八百二十三】
　　辰亥【一千八百二十四】
　　星丙【一百五十三】　辰子【一千八百二十五】
　　辰丑【一千八百二十六】
　　辰寅【一千八百二十七】
　　辰卯【一千八百二十八】
　　辰辰【一千八百二十九】
　　辰巳【一千八百三十】
　　辰午【一千八百三十一】
　　辰未【一千八百三十二】
　　辰申【一千八百三十三】
　　辰酉【一千八百三十四】
　　辰戌【一千八百三十五】
　　辰亥【一千八百三十六】
　　星丁【一百五十四】　辰子【一千八百三十七】
　　辰丑【一千八百三十八】
　　辰寅【一千八百三十九】
　　辰卯【一千八百四十】
　　辰辰【一千八百四十一】
　　辰巳【一千八百四十二】
　　辰午【一千八百四十三】
　　辰未【一千八百四十四】
　　辰申【一千八百四十五】
　　辰酉【一千八百四十六】
　　辰戌【一千八百四十七】
　　辰亥【一千八百四十八】
　　星戊【一百五十五】　辰子【一千八百四十九】
　　辰丑【一千八百五十】
　　辰寅【一千八百五十一】
　　辰卯【一千八百五十二】
　　辰辰【一千八百五十三】
　　辰巳【一千八百五十四】
　　辰午【一千八百五十五】
　　辰未【一千八百五十六】
　　辰申【一千八百五十七】
　　辰酉【一千八百五十八】
　　辰戌【一千八百五十九】
　　辰亥【一千八百六】
　　星己【十一百五】　辰子【十六一千八百】
　　辰丑【六十一一千八】
　　辰寅【百六十二一千】
　　辰卯【八百六十三一】
　　辰辰【千八百六十四】
　　辰巳【一千八百六十】
　　辰午【五一千八百六】
　　辰未【十六一千八百】
　　辰申【六十七一千八】
　　辰酉【百六十八一】
　　辰戌【千八百六十九】
　　辰亥【一千八百七十】
　　星庚【一千八百】　辰子【七十一一千八】
　　辰丑【百七十二一百】
　　辰寅【五十七一千八】
　　辰卯【一千八百七十六】
　　辰辰【一千八百七十七】
　　辰巳【一千八百七十八】
　　辰午【一千八百七十九】
　　辰未【一千八百八十】
　　辰申【一千八百八十一】
　　辰酉【一千八百八十二】
　　辰戌【一千八百八十三】
　　辰亥【一千八百八十四】
　　星辛【一百五十八】辰子【一千八百八十五】
　　辰丑【一千八百八十六】
　　辰寅【一千八百八十七】
　　辰卯【一千八百八十八】
　　辰辰【一千八百八十九】
　　辰巳【一千八百九十】
　　辰午【一千八百九十一】
　　辰未【一千八百九十二】
　　辰申【一千八百九十三】
　　辰酉【一千八百九十四】
　　辰戌【一千八百九十五】
　　辰亥【一千八百九十六】
　　星壬【一百五十九】　　辰子【一千八百九十七】
　　辰丑【一千八百九十八】
　　辰寅【一千八百九十九】
　　辰卯【一千九百】
　　辰辰【一千九百一】
　　辰巳【一千九百二】
　　辰午【一千九百三】
　　辰未【一千九百四】
　　辰申【一千九百五】
　　辰酉【一千九百六】
　　辰戌【一千九百七】
　　辰亥【一千九百八】
　　星癸【一百六十】　辰子【一千九百九】
　　辰丑【一千九百十】
　　辰寅【一千九百十一】
　　辰卯【一千九百十二】
　　辰辰【一千九百十三】
　　辰巳【一千九百十四】
　　辰午【一千九百十五】
　　辰未【一千九百十六】
　　辰申【一千九百十七】
　　辰酉【一千九百十八】
　　辰戌【一千九百十九】
　　辰亥【一千九百二十】
　　星甲【一百六十一】　辰子【一千九百二十一】
　　辰丑【一千九百二十二】
　　辰寅【一千九百二十三】
　　辰卯【一千九百二十四】
　　辰辰【一千九百二十五】
　　辰巳【一千九百二十六】
　　辰午【一千九百二十七】
　　辰未【一千九百二十八】
　　辰申【一千九百二十九】
　　辰酉【一千九百三十】
　　辰戌【一千九百三十一】
　　辰亥【一千九百三十二】
　　星乙【一百六十二】　辰子【一千九百三十三】
　　辰丑【一千九百三十四】
　　辰寅【一千九百三十五】
　　辰卯【一千九百三十六】
　　辰辰【一千九百三十七】
　　辰巳【一千九百三十八】
　　辰午【一千九百三十九】
　　辰未【一千九百四十】
　　辰申【一千九百四十一】
　　辰酉【一千九百四十二】
　　辰戌【一干九百四十三】
　　辰亥【一千九百四十四】
　　星丙【一百六十三】　辰子【一千九百四十五】
　　辰丑【一千九百四十六】
　　辰寅【一千九百四十七】
　　辰卯【一千九百四十八】
　　辰辰【一千九百四十九】
　　辰巳【一千九百五十】
　　辰午【一千九百五十一】
　　辰未【一千九百五十二】
　　辰申【一千九百五十三】
　　辰酉【一千九百五十四】
　　辰戌【一千九百五十五】
　　辰亥【一千九百五十六】
　　星丁【一百六十四】　辰子【一千九百五十七】
　　辰丑【一千九百五十八】
　　辰寅【一千九百五十九】
　　辰卯【一千九百六十】
　　辰辰【一千九百六十一】
　　辰巳【一千九百六十二】
　　辰午【一千九百六十三】
　　辰未【一千九百六十四】
　　辰申【一千九百六十五】
　　辰酉【一千九百六十六】
　　辰戌【一千九百六十七】
　　辰亥【一千九百六十八】
　　星戊【一百六十五】　辰子【一千九百六十九】
　　辰丑【一千九百七十】
　　辰寅【一千九百七十一】
　　辰卯【一千九百七十二】
　　辰辰【一千九百七十三】
　　辰巳【一千九百七十四】
　　辰午【一千九百七十五】
　　辰未【一千九百七十六】
　　辰申【一千九百七十七】
　　辰酉【一千九百七十八】
　　辰戌【一千九百七十九】
　　辰亥【一千九百八十】
　　星己【一百六十六】　辰子【一千九百八十一】
　　辰丑【一千九百八十二】
　　辰寅【一千九百八十三】
　　辰卯【一千九百八十四】
　　辰辰【一千九百八十五】
　　辰巳【一千九百八十六】
　　辰午【一千九百八十七】
　　辰未【一千九百八十八】
　　辰申【一千九百八十九】
　　辰酉【一千九百九十】
　　辰戌【一千九百九十一】
　　辰亥【一千九百九十二】
　　星庚【一百六十七】　辰子【一千九百九十三】
　　辰丑【一千九百九十四】
　　辰寅【一千九百九十五】
　　辰卯【一千九百九十六】
　　辰辰【一千九百九十七】
　　辰巳【一千九百九十八】
　　辰午【一千九百九十九】
　　辰未【二千】
　　辰申【二千一】
　　辰酉【二千二】
　　辰戌【二千三】
　　辰亥【二千四】
　　星辛【一百六十八】　辰子【二千五】
　　辰丑【二千六】
　　辰寅【二千七】
　　辰卯【二千八】
　　辰辰【二千九】
　　辰巳【二千十】
　　辰午【二千十一】
　　辰未【二千十二】
　　辰申【二千十三】
　　辰酉【二千十四】
　　辰戌【二千十五】
　　辰亥【二千十六】
　　星壬【一百六十九】　辰子【二千十七】
　　辰丑【二千十八】
　　辰寅【二千十九】
　　辰卯【二千二十】
　　辰辰【二千二十一】
　　辰巳【二千二十二】
　　辰午【二千二十三】
　　辰未【二千二十四】
　　辰申【二千二十五】
　　辰酉【二千二十六】
　　辰戌【二千二十七】
　　辰亥【二千二十八】
　　星癸【一百七十】　辰子【二千二十九】
　　辰丑【二千三十】
　　辰寅【二千三十一】
　　辰卯【二千三十二】
　　辰辰【二千三十三】
　　辰巳【二千三十四】
　　辰午【二千三十五】
　　辰未【二千三十六】
　　辰申【二千三十七】
　　辰酉【二千三十八】
　　辰戌【二千三十九】
　　辰亥【二千四十】
　　星甲【一百七十一】　辰子【二千四十一】
　　辰丑【二千四十二】
　　辰寅【二千四十三】
　　辰卯【二千四十四】
　　辰辰【二千四十五】
　　辰巳【二千四十六】
　　辰午【二千四十七】
　　辰未【二千四十八】
　　辰申【二千四十九】
　　辰酉【二千五十】
　　辰戌【二千五十一】
　　辰亥【二千五十二】
　　星乙【一百七十二】　辰子【二千五十三】
　　辰丑【二千五十四】
　　辰寅【二千五十五】
　　辰卯【二千五十六】
　　辰辰【二千五十七】
　　辰巳【二千五十八】
　　辰午【二千五十九】
　　辰未【二千六十】
　　辰申【二千六十一】
　　辰酉【二千六十二】
　　辰戌【二千六十三】
　　辰亥【二千六十四】
　　星丙【一百七十三】　辰子【二千六十五】
　　辰丑【二千六十六】
　　辰寅【二千六十七】
　　辰卯【二千六十八】
　　辰辰【二千六十九】
　　辰巳【二千七十】
　　辰午【二千七十一】
　　辰未【二千七十二】
　　辰申【二千七十三】
　　辰酉【二千七十四】
　　辰戌【二千七十五】
　　辰亥【二千七十六】
　　星丁【一百七十四】　辰子【二千七十七】
　　辰丑【二千七十八】
　　辰寅【二千七十九】
　　辰卯【二千八十】
　　辰辰【二千八十一】
　　辰巳【二千八十二】
　　辰午【二千八十三】
　　辰未【二千八十四】
　　辰申【二千八十五】
　　辰酉【二千八十六】
　　辰戌【二千八十七】
　　辰亥【二千八十八】
　　星戊【一百七十五】　辰子【二千八十九】
　　辰丑【二千九十】
　　辰寅【二千九十一】
　　辰卯【二千九十二】
　　辰辰【二千九十三】
　　辰巳【二千九十四】
　　辰午【二千九十五】
　　辰未【二千九十六】
　　辰申【二千九十七】
　　辰酉【二千九十八】
　　辰戌【二千九十九】
　　辰亥【二千一百】
　　星己【一百七十六】　辰子【二千一百一】
　　辰丑【二千一百二】
　　辰寅【二千一百三】
　　辰卯【二千一百四】
　　辰辰【二千一百五】
　　辰巳【二千一百六】
　　辰午【二千一百七】
　　辰未【二千一百八】
　　辰申【二千一百九】
　　辰酉【二千一百十】
　　辰戌【二千一百十一】
　　辰亥【二千一百十二】
　　星庚【一百七十七】　辰子【二千一百十三】
　　辰丑【二千一百十四】
　　辰寅【二千一百十五】
　　辰卯【二千一百十六】
　　辰辰【二千一百十七】
　　辰巳【二千一百十八】
　　辰午【二千一百十九】
　　辰未【二千一百二十】
　　辰申【二千一百二十一】
　　辰酉【二千一百二十二】
　　辰戌【二千一百二十三】
　　辰亥【二千一百二十四】
　　星辛【一百七十八】　辰子【二千一百二十五】
　　辰丑【二千一百二十六】
　　辰寅【二千一百二十七】
　　辰卯【二千一百二十八】
　　辰辰【二千一百二十九】
　　辰巳【二千一百三十】
　　辰午【二千一百三十一】
　　辰未【二千一百三十二】
　　辰申【二千一百三十三】
　　辰酉【二千一百三十四】
　　辰戌【二千一百三十五】
　　辰亥【二千一百三十六】
　　星壬【一百七十九】　辰子【二千一百三十七】
　　辰丑【二千一百三十八】
　　辰寅【二千一百三十九】
　　辰卯【二千一百四十】
　　辰辰【二千一百四十一】
　　辰巳【二千一百四十二】
　　辰午【二千一百四十三】
　　辰未【二千一百四十四】
　　辰申【二千一百四十五】
　　辰酉【二千一百四十六】
　　辰戌【二千一百四十七】
　　辰亥【二千一百四十八】
　　星癸【一百八十】　辰子【二千一百四十九】
　　辰丑【二千一百五十】
　　辰寅【二千一百五十一】
　　辰卯【二千一百五十二】
　　辰辰【二千一百五十三】
　　辰巳【二千一百五十四】
　　辰午【二千一百五十五】
　　辰未【二千一百五十六】
　　辰申【二千一百五十七】　唐尧【二十一】辰酉【二千一百五十八】　唐尧【五十一】辰戌【二千一百五十九】　虞舜【九】辰亥【二千一百六十】　虞舜【三十九】

　　皇极经世书卷一下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷二上　　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇七　　　　　以元经防七
　　日甲【一】月午【七】星甲【一百八十一】辰子【二千一百六十一】　夏禹【八】
　　辰丑【二千一百六十二】　夏太康【二】辰寅【二千一百六十三】　夏仲康【二】辰卯【二千一百六十四】　夏王相【二十】辰辰【二千一百六十五】　夏少康【二十三】辰巳【二千一百六十六】　夏少康【五十三】辰午【二千一百六十七】　夏王槐【四】辰未【二千一百六十八】　夏芒【八】辰申【二千一百六十九】　夏不降【四】辰酉【二千一百七十】　夏不降【三十四】辰戌【二千一百七十一】　夏扄【五】辰亥【二千一百七十二】　夏廑【十四】
　　星乙【一百八十二】　辰子【二千一百七十三】　夏孔甲【二十三】
　　辰丑【二千一百七】　夏发【十四】辰寅【十一二千一】　夏癸【百七】辰卯【十五二十二】　夏癸【二千】辰辰【一百七十六】　商太甲【五十】辰巳【二二千一百】　商沃丁【七十】辰午【七十七二千】　商太庚【一百】辰未【七十八十四】　商雍己【二】辰申【千一百七十】　商太戊【九十】辰酉【五二千一百】　商太戊【八十】辰戌【三二千一百】　商仲丁【八】辰亥【十一二十一】　商亶甲【二】
　　星丙【千一百八】　辰子【十二五十一】　商祖辛【二】
　　辰丑【千一百八十】　商沃甲【三六】辰寅【二千一百八】　商祖丁【十四】辰卯【八一百八十】　商阳甲【三】辰辰【二千一百八】　商盘庚【十五】
　　辰巳【二千一百九】　商小乙【十】辰午【六二千一百】　商武丁【九】辰未【十一八二千】　商武丁【一百九】辰申【十二二十八】　商祖甲【二】辰酉【千一百九十】　商祖甲【三二二】辰戌【千一百九十】　商武乙【四】辰亥【三十二二千】　商帝乙【一百九】
　　星丁【十五二二】　辰子【千一百九十】　商受辛【六二】
　　辰丑【十五一百八】　周成王【十】辰寅【四二千一百】　周康王【九】辰卯【十七十】　周昭王【八】辰辰【二千一百】　周昭王【九十八】辰巳【九二千一】　周穆王【百九】辰午【十九二二】　周穆王【千二百】辰未【六二千二】　周懿王【百】辰申【一三十六】　周考王【二千】辰酉【二千二百】　周厉王【六十】辰戌【二二千二】　周厉王【百七四】辰亥【十二二千】　周宣王【二百八】
　　星戊【二十一一】　辰子【百八十五】　周幽王【二】
　　辰丑【千二百九】　周平王【五二千】辰寅【二百十二十】　周桓王【四】辰卯【二千二百十】　周荘王【一】辰辰【二二千二百】　周惠王【十二】辰巳【十二千二百】　周襄王【十三二】辰午【十二千二百】　周定王【十】辰未【四二十五二】　周灵王【千】辰申【二百十五十】　周景王【二】辰酉【千二百十六】　周敬王【五二】辰戌【千二百十七】　周敬王【八二千】辰亥【二百十八十】　周贞王【三二千】
　　星己【二百十九】　辰子【四十三二千】　周威烈【二】
　　辰丑【二千二百二】　周安王【十二】辰寅【十五二千二】　周显王【百二】辰卯【十三十六二】　周显王【千二】辰辰【百二十四十】　周赧王【七二】辰巳【千二百二十】　周赧王【五十八】辰午【二千二百二】　秦始皇【十】辰未【六四十八二】　汉髙祖【千】辰申【二百二十七】　汉文帝【十】辰酉【二千二百二】　汉景帝【十】辰戌【八元二千二】　汉武帝【百二十】辰亥【九四二千二】　汉武帝【百三十】
　　星庚【十二千二】　辰子【百三十一二】　汉宣帝【十四】
　　辰丑【二千二百三】　汉成帝【十】辰寅【二五十四一】　汉平帝【百】辰卯【八十七二千】　汉光武【二百】辰辰【三十三十七】　汉明帝【二】辰巳【二千二百三】　汉和帝【十】
　　辰午【八六二千二】　汉安帝【百三】辰未【十九十八二】　汉桓帝【千】
　　辰申【二百四十八】　汉灵帝【二千】辰酉【二百四十一】　汉献帝【十七】辰戌【二千二百四】　魏帝
　　辰亥【十二二十五】　晋武帝【二】吴帝皓【千二】
　　星辛【百四十三】　辰子【二千二百四】　晋惠帝【十四】
　　辰丑【十十二一百】　晋成帝【八】
　　辰寅【十八二千二】　晋哀帝【百】
　　辰卯【四十五十四】　晋武帝【二千】后魏道武【二】辰辰【百四十六九】　宋帝义隆【二】后魏太武【千】辰巳【二百四十七】　宋武帝【三】后魏文成【二】辰午【千二百四十】　齐武帝【八】后魏孝文【二十】辰未【二一二千二】　梁武帝【百四】后魏宣武【十九】辰申【元元二千二】　梁武帝【百五】西魏文帝【十二】辰酉【二千二百五】　陈宣帝【十】后周武帝【四七】辰戌【十五二千二】　隋帝【百】辰亥【五十五元二】　唐太宗【千】
　　星壬【二百五十】　辰子【六九一百八】　唐髙宗【十九】
　　辰丑【二千二百五】　唐中宗【十七】辰寅【十五二千二】　唐宗【百五】辰卯【十八十一二】　唐宗【千二】辰辰【百五十九十】　唐徳宗【三】辰巳【二千二百六】　唐宪宗【十】辰午【四十三二千】　唐武宗【二】辰未【百六十一五】　唐僖宗【二】辰申【千二百六十】　唐昭宗【二九】辰酉【二千二百六】
　　辰戌【十三四二千】　宋太祖【二】辰亥【百六十四元】　宋太宗【二千】
　　星癸【二百六】　辰子【十五十六二】　宋仁宗【千】
　　辰丑【二千二百七】　宋仁宗【十三十】辰寅【二二千二百七】
　　辰卯【十一二千二百】
　　辰辰【七十二二千二】
　　辰巳【百七十三二千】
　　辰午【二百七十四二】
　　辰未【千二百七十五】
　　辰申【二千二百七十】
　　辰酉【六二千二百七】
　　辰戌【十七二千二百】
　　辰亥【七十八二千】
　　星甲【二百七十】　辰子【九二千二百八】
　　辰丑【十一百九十一】
　　辰寅【二千二百八十】
　　辰卯【一二千二百八】
　　辰辰【十二二千二百】
　　辰巳【二千二百八十六】
　　辰午【二千二百八十七】
　　辰未【二千二百八十八】
　　辰申【二千二百八十九】
　　辰酉【二千二百九十】
　　辰戌【二千二百九十一】
　　辰亥【二千二百九十二】
　　星乙【一百九十二】　辰子【二千二百九十三】
　　辰丑【二千二百九十四】
　　辰寅【二千二百九十五】
　　辰卯【二千二百九十六】
　　辰辰【二千二百九十七】
　　辰巳【二千二百九十八】
　　辰午【二千二百九十九】
　　辰未【二千三百】
　　辰申【二千三百一】
　　辰酉【二千三百二】
　　辰戌【二千三百三】
　　辰亥【二千三百四】
　　星丙【一百九十三】　辰子【二千三百五】
　　辰丑【二千三百六】
　　辰寅【二千三百七】
　　辰卯【二千三百八】
　　辰辰【二千三百九】
　　辰巳【二千三百十】
　　辰午【二千三百十一】
　　辰未【二千三百十二】
　　辰申【二千三百十三】
　　辰酉【二千三百十四】
　　辰戌【二千三百十五】
　　辰亥【二千三百十六】
　　星丁【一百九十四】　辰子【二千三百十七】
　　辰丑【二千三百十八】
　　辰寅【二千三百十九】
　　辰卯【二千三百二十】
　　辰辰【二千三百二十一】
　　辰巳【二千三百二十二】
　　辰午【二千三百二十三】
　　辰未【二千三百二十四】
　　辰申【二千三百二十五】
　　辰酉【二千三百二十六】
　　辰戌【二千三百二十七】
　　辰亥【二千三百二十八】
　　星戊【一百九十五】　辰子【二千三百二十九】
　　辰丑【二千三百三十】
　　辰寅【二千三百三十一】
　　辰卯【二千三百三十二】
　　辰辰【二千三百三十三】
　　辰巳【二千三百三十四】
　　辰午【二千三百三十五】
　　辰未【二千三百三十六】
　　辰申【二千三百三十七】
　　辰酉【二千三百三十八】
　　辰戌【二千三百三十九】
　　辰亥【二千三百四十】
　　星己【一百九十六】　辰子【二千三百四十一】
　　辰丑【二千三百四十二】
　　辰寅【二千三百四十三】
　　辰卯【二千三百四十四】
　　辰辰【二千三百四十五】
　　辰巳【二千三百四十六】
　　辰午【二千三百四十七】
　　辰未【二千三百四十八】
　　辰申【二千三百四十九】
　　辰酉【二千三百五十】
　　辰戌【二千三百五十一】
　　辰亥【二千三百五十二】
　　星庚【一百九十七】　辰子【二千三百五十三】
　　辰丑【二千三百五十四】
　　辰寅【二千三百五十五】
　　辰卯【二千三百五十六】
　　辰辰【二千三百五十七】
　　辰巳【二千三百五十八】
　　辰午【二千三百五十九】
　　辰未【二千三百六十】
　　辰申【二千三百六十一】
　　辰酉【二千三百六十二】
　　辰戌【二千三百六十三】
　　辰亥【二千三百六十四】
　　星辛【一百九十八】辰子【二千三百六十五】
　　辰丑【二千三百六十六】
　　辰寅【二千三百六十七】
　　辰卯【二千三百六十八】
　　辰辰【二千三百六十九】
　　辰巳【二千三百七十】
　　辰午【二千三百七十一】
　　辰未【二千三百七十二】
　　辰申【二千三百七十三】
　　辰酉【二千三百七十四】
　　辰戌【二千三百七十五】
　　辰亥【二千三百七十六】
　　星壬【一百九十九】　辰子【二千三百七十七】
　　辰丑【二千三百七十八】
　　辰寅【二千三百七十九】
　　辰卯【二千三百八十】
　　辰辰【二千三百八十一】
　　辰巳【二千三百八十二】
　　辰午【二千三百八十三】
　　辰未【二千三百八十四】
　　辰申【二千三百八十五】
　　辰酉【二千三百八十六】
　　辰戌【二千三百八十七】
　　辰亥【二千三百八十八】
　　星癸【二百】　辰子【二千三百八十九】
　　辰丑【二千三百九十】
　　辰寅【二千三百九十一】
　　辰卯【二千三百九十二】
　　辰辰【二千三百九十三】
　　辰巳【二千三百九十四】
　　辰午【二千三百九十五】
　　辰未【二千三百九十六】
　　辰申【二千三百九十七】
　　辰酉【二千三百九十八】
　　辰戌【二千三百九十九】
　　辰亥【二千四百】
　　星甲【二百一】　辰子【二千四百一】
　　辰丑【二千四百二】
　　辰寅【二千四百三】
　　辰卯【二千四百四】
　　辰辰【二千四百五】
　　辰巳【二千四百六】
　　辰午【二千四百七】
　　辰未【二千四百八】
　　辰申【二千四百九】
　　辰酉【二千四百十】
　　辰戌【二千四百十一】
　　辰亥【二千四百十二】
　　星乙【二百二】　辰子【二千四百十三】
　　辰丑【二千四百十四】
　　辰寅【二千四百十五】
　　辰卯【二千四百十六】
　　辰辰【二千四百十七】
　　辰巳【二千四百十八】
　　辰午【二千四百十九】
　　辰未【二千四百二十】
　　辰申【二千四百二十一】
　　辰酉【二千四百二十二】
　　辰戌【二千四百二十三】
　　辰亥【二千四百二十四】
　　星丙【二百三】　辰子【二千四百二十五】
　　辰丑【二千四百二十六】
　　辰寅【二千四百二十七】
　　辰卯【二千四百二十八】
　　辰辰【二千四百二十九】
　　辰巳【二千四百三十】
　　辰午【二千四百三十一】
　　辰未【二千四百三十二】
　　辰申【二千四百三十三】
　　辰酉【二千四百三十四】
　　辰戌【二千四百三十五】
　　辰亥【二千四百三十六】
　　星丁【二百四】　辰子【二千四百三十七】
　　辰丑【二千四百三十八】
　　辰寅【二千四百三十九】
　　辰卯【二千四百四十】
　　辰辰【二千四百四十一】
　　辰巳【二千四百四十二】
　　辰午【二千四百四十三】
　　辰未【二千四百四十四】
　　辰申【二千四百四十五】
　　辰酉【二千四百四十六】
　　辰戌【二千四百四十七】
　　辰亥【二千四百四十八】
　　星戊【二百五】　辰子【二千四百四十九】
　　辰丑【二千四百五十】
　　辰寅【二千四百五十一】
　　辰卯【二千四百五十二】
　　辰辰【二千四百五十三】
　　辰巳【二千四百五十四】
　　辰午【二千四百五十五】
　　辰未【二千四百五十六】
　　辰申【二千四百五十七】
　　辰酉【二千四百五十八】
　　辰戌【二千四百五十九】
　　辰亥【二千四百六十】
　　星己【二百六】　辰子【二千四百六十一】
　　辰丑【二千四百六十二】
　　辰寅【二千四百六十三】
　　辰卯【二千四百六十四】
　　辰辰【二千四百六十五】
　　辰巳【二千四百六十六】
　　辰午【二千四百六十七】
　　辰未【二千四百六十八】
　　辰申【二千四百六十九】
　　辰酉【二千四百七十】
　　辰戌【二千四百七十一】
　　辰亥【二千四百七十二】
　　星庚【二百七】　辰子【二千四百七十三】
　　辰丑【二千四百七十四】
　　辰寅【二千四百七十五】
　　辰卯【二千四百七十六】
　　辰辰【二千四百七十七】
　　辰巳【二千四百七十八】
　　辰午【二千四百七十九】
　　辰未【二千四百八十】
　　辰申【二千四百八十一】
　　辰酉【二千四百八十二】
　　辰戌【二千四百八十三】
　　辰亥【二千四百八十四】
　　星辛【二百八】　辰子【二千四百八十五】
　　辰丑【二千四百八十六】
　　辰寅【二千四百八十七】
　　辰卯【二千四百八十八】
　　辰辰【二千四百八十九】
　　辰巳【二千四百九十】
　　辰午【二千四百九十一】
　　辰未【二千四百九十二】
　　辰申【二千四百九十三】
　　辰酉【二千四百九十四】
　　辰戌【二千四百九十五】
　　辰亥【二千四百九十六】
　　星壬【二百九】　辰子【二千四百九十七】
　　辰丑【二千四百九十八】
　　辰寅【二千四百九十九】
　　辰卯【二千五百】
　　辰辰【二千五百一】
　　辰巳【二千五百二】
　　辰午【二千五百三】
　　辰未【二千五百四】
　　辰申【二千五百五】
　　辰酉【二千五百六】
　　辰戌【二千五百七】
　　辰亥【二千五百八】
　　星癸【二百十】　辰子【二千五百九】
　　辰丑【二千五百十】
　　辰寅【二千五百十一】
　　辰卯【二千五百十二】
　　辰辰【二千五百十三】
　　辰巳【二千五百十四】
　　辰午【二千五百十五】
　　辰未【二千五百十六】
　　辰申【二千五百十七】
　　辰酉【二千五百十八】
　　辰戌【二千五百十九】
　　辰亥【二千五百二十】
　　观物篇八　　　　以元经防八
　　日甲【一】月未【八】星甲【二百十一】辰子【二千五百二十一】
　　辰丑【二千五百二十二】
　　辰寅【二千五百二十三】
　　辰卯【二千五百二十四】
　　辰辰【二千五百二十五】
　　辰巳【二千五百二十六】
　　辰午【二千五百二十七】
　　辰未【二千五百二十八】
　　辰申【二千五百二十九】
　　辰酉【二千五百三十】
　　辰戌【二千五百三十一】
　　辰亥【二千五百三十二】
　　星乙【二百十二】　辰子【二千五百三十三】
　　辰丑【二千五百三十四】
　　辰寅【二千五百三十五】
　　辰卯【二千五百三十六】
　　辰辰【二千五百三十七】
　　辰巳【二千五百三十八】
　　辰午【二千五百三十九】
　　辰未【二千五百四十】
　　辰申【二千五百四十一】
　　辰酉【二千五百四十二】
　　辰戌【二千五百四十三】
　　辰亥【二千五百四十四】
　　星丙【二百十三】　辰子【二千五百四十五】
　　辰丑【二千五百四十六】
　　辰寅【二千五百四十七】
　　辰卯【二千五百四十八】
　　辰辰【二千五百四十九】
　　辰巳【二千五百五十】
　　辰午【二十五百五十一】
　　辰未【二千五百五十二】
　　辰申【二千五百五十三】
　　辰酉【二千五百五十四】
　　辰戌【二千五百五十五】
　　辰亥【二千五百五十六】
　　星丁【二百十四】　辰子【二千五百五十七】
　　辰丑【二千五百五十八】
　　辰寅【二千五百五十九】
　　辰卯【二千五百六十】
　　辰辰【二千五百六十一】
　　辰巳【二千五百六十二】
　　辰午【二千五百六十三】
　　辰未【二千五百六十四】
　　辰申【二千五百六十五】
　　辰酉【二千五百六十六】
　　辰戌【二千五百六十七】
　　辰亥【二千五百六十八】
　　星戊【二百十五】　辰子【二千五百六十九】
　　辰丑【二千五百七十】
　　辰寅【二千五百七十一】
　　辰卯【二千五百七十二】
　　辰辰【二千五百七十三】
　　辰巳【二千五百七十四】
　　辰午【二千五百七十五】
　　辰未【二千五百七十六】
　　辰申【二千五百七十七】
　　辰酉【二千五百七十八】
　　辰戌【二千五百七十九】
　　辰亥【二千五百八十】
　　星己【二百十六】　辰子【二千五百八十一】
　　辰丑【二千五百八十二】
　　辰寅【二千五百八十三】
　　辰卯【二千五百八十四】
　　辰辰【二千五百八十五】
　　辰巳【二千五百八十六】
　　辰午【二千五百八十七】
　　辰未【二千五百八十八】
　　辰申【二千五百八十九】
　　辰酉【二千五百九十】
　　辰戌【二千五百九十一】
　　辰亥【二千五百九十二】
　　星庚【二百十七】　辰子【二千五百九十三】
　　辰丑【二千五百九十四】
　　辰寅【二千五百九十五】
　　辰卯【二千五百九十六】
　　辰辰【二千五百九十七】
　　辰巳【二千五百九十八】
　　辰午【二千五百九十九】
　　辰未【二千六百】
　　辰申【二千六百一】
　　辰酉【二千六百二】
　　辰戌【二千六百三】
　　辰亥【二千六百四】
　　星辛【二百十八】　辰子【二千六百五】
　　辰丑【二千六百六】
　　辰寅【二千六百七】
　　辰卯【二千六百八】
　　辰辰【二千六百九】
　　辰巳【二千六百十】
　　辰午【二千六百十一】
　　辰未【二千六百十二】
　　辰申【二千六百十三】
　　辰酉【二千六百十四】
　　辰戌【二千六百十五】
　　辰亥【二千六百十六】
　　星壬【二百十九】　辰子【二千六百十七】
　　辰丑【二千六百十八】
　　辰寅【二千六百十九】
　　辰卯【二千六百二十】
　　辰辰【二千六百二十一】
　　辰巳【二千六百二十二】
　　辰午【二千六百二十三】
　　辰未【二千六百二十四】
　　辰申【二千六百二十五】
　　辰酉【二千六百二十六】
　　辰戌【二千六百二十七】
　　辰亥【二千六百二十八】
　　星癸【二百二十】　辰子【二千六百二十九】
　　辰丑【二千六百三十】
　　辰寅【二千六百三十一】
　　辰卯【二千六百三十二】
　　辰辰【二千六百三十三】
　　辰巳【二千六百三十四】
　　辰午【二千六百三十五】
　　辰未【二千六百三十六】
　　辰申【二千六百三十七】
　　辰酉【二千六百三十八】
　　辰戌【二千六百三十九】
　　辰亥【二千六百四十】
　　星甲【二百二十一】　辰子【二千六百四十一】
　　辰丑【二千六百四十二】
　　辰寅【二千六百四十三】
　　辰卯【二千六百四十四】
　　辰辰【二千六百四十五】
　　辰巳【二千六百四十六】
　　辰午【二千六百四十七】
　　辰未【二千六百四十八】
　　辰申【二千六百四十九】
　　辰酉【二千六百五十】
　　辰戌【二千六百五十一】
　　辰亥【二千六百五十二】
　　星乙【二百二十二】　辰子【二千六百五十三】
　　辰丑【二千六百五十四】
　　辰寅【二千六百五十五】
　　辰卯【二千六百五十六】
　　辰辰【二千六百五十七】
　　辰巳【二千六百五十八】
　　辰午【二千六百五十九】
　　辰未【二千六百六十】
　　辰申【二千六百六十一】
　　辰酉【二千六百六十二】
　　辰戌【二千六百六十三】
　　辰亥【二千六百六十四】
　　星丙【二百二十三】　辰子【二千六百六十五】
　　辰丑【二千六百六十六】
　　辰寅【二千六百六十七】
　　辰卯【二千六百六十八】
　　辰辰【二十六百六十九】
　　辰巳【二千六百七十】
　　辰午【二千六百七十一】
　　辰未【二千六百七十二】
　　辰申【二千六百七十三】
　　辰酉【二千六百七十四】
　　辰戌【二千六百七十五】
　　辰亥【二千六百七十六】
　　星丁【二百二十四】　辰子【二千六百七十七】
　　辰丑【二千六百七十八】
　　辰寅【二千六百七十九】
　　辰卯【二千六百八十】
　　辰辰【二千六百八十一】
　　辰巳【二千六百八十二】
　　辰午【二千六百八十三】
　　辰未【二千六百八十四】
　　辰申【二千六百八十五】
　　辰酉【二千六百八十六】
　　辰戌【二千六百八十七】
　　辰亥【二千六百八十八】
　　星戊【二百二十五】　辰子【二千六百八十九】
　　辰丑【二千六百九十】
　　辰寅【二千六百九十一】
　　辰卯【二千六百九十二】
　　辰辰【二千六百九十三】
　　辰巳【二千六百九十四】
　　辰午【二千六百九十五】
　　辰未【二千六百九十六】
　　辰申【二千六百九十七】
　　辰酉【二千六百九十八】
　　辰戌【二千六百九十九】
　　辰亥【二千七百】
　　星己【二百二十六】　辰子【二千七百一】
　　辰丑【二千七百二】
　　辰寅【二千七百三】
　　辰卯【二千七百四】
　　辰辰【二千七百五】
　　辰巳【二千七百六】
　　辰午【二千七百七】
　　辰未【二千七百八】
　　辰申【二千七百九】
　　辰酉【二千七百十】
　　辰戌【二千七百十一】
　　辰亥【二千七百十二】
　　星庚【二百二十七】　辰子【二千七百十三】
　　辰丑【二千七百十四】
　　辰寅【二千七百十五】
　　辰卯【二千七百十六】
　　辰辰【二千七百十七】
　　辰巳【二千七百十八】
　　辰午【二千七百十九】
　　辰未【二千七百二十】
　　辰申【二千七百二十一】
　　辰酉【二千七百二十二】
　　辰戌【二千七百二十三】
　　辰亥【二千七百二十四】
　　星辛【二百二十八】　辰子【二千七百二十五】
　　辰丑【二千七百二十六】
　　辰寅【二千七百二十七】
　　辰卯【二千七百二十八】
　　辰辰【二千七百二十九】
　　辰巳【二千七百三十】
　　辰午【二千七百三十一】
　　辰未【二千七百三十二】
　　辰申【二千七百三十三】
　　辰酉【二千七百三十四】
　　辰戌【二千七百三十五】
　　辰亥【二千七百三十六】
　　星壬【二百二十九】　辰子【二千七百三十七】
　　辰丑【二千七百三十八】
　　辰寅【二千七百三十九】
　　辰卯【二千七百四十】
　　辰辰【二千七百四十一】
　　辰巳【二千七百四十二】
　　辰午【二千七百四十三】
　　辰未【二千七百四十四】
　　辰申【二千七百四十五】
　　辰酉【二千七百四十六】
　　辰戌【二千七百四十七】
　　辰亥【二千七百四十八】
　　星癸【二百三十】　辰子【二千七百四十九】
　　辰丑【二千七百五十】
　　辰寅【二千七百五十一】
　　辰卯【二千七百五十二】
　　辰辰【二千七百五十三】
　　辰巳【二千七百五十四】
　　辰午【二千七百五十五】
　　辰未【二千七百五十六】
　　辰申【二千七百五十七】
　　辰酉【二千七百五十八】
　　辰戌【二千七百五十九】
　　辰亥【二千七百六十】
　　星甲【二百三十一】　辰子【二千七百六十一】
　　辰丑【二千七百六十二】
　　辰寅【二千七百六十三】
　　辰卯【二千七百六十四】
　　辰辰【二千七百六十五】
　　辰巳【二千七百六十六】
　　辰午【二千七百六十七】
　　辰未【二千七百六十八】
　　辰申【二千七百六十九】
　　辰酉【二千七百七十】
　　辰戌【二千七百七十一】
　　辰亥【二千七百七十二】
　　星乙【二百三十二】　辰子【二千七百七十三】
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　　辰辰【二千七百七十七】
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　　辰未【二千七百八十】
　　辰申【二千七百八十一】
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　　辰戌【二千七百八十三】
　　辰亥【二千七百八十四】
　　星丙【二百三十三】　辰子【二千七百八十五】
　　辰丑【二千七百八十六】
　　辰寅【二千七百八十七】
　　辰卯【二千七百八十八】
　　辰辰【二千七百八十九】
　　辰巳【二千七百九十】
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　　辰未【二千七百九十二】
　　辰申【二千七百九十三】
　　辰酉【二千七百九十四】
　　辰戌【二千七百九十五】
　　辰亥【二千七百九十六】
　　星丁【二百三十四】　辰子【二千七百九十七】
　　辰丑【二千七百九十八】
　　辰寅【二千七百九十九】
　　辰卯【二千八百】
　　辰辰【二千八百一】
　　辰巳【二千八百二】
　　辰午【二千八百三】
　　辰未【二千八百四】
　　辰申【二千八百五】
　　辰酉【二千八百六】
　　辰戌【二千八百七】
　　辰亥【二千八百八】
　　星戊【二百三十五】　辰子【二千八百九】
　　辰丑【二千八百十】
　　辰寅【二千　百十一】
　　辰卯【二千八百十二】
　　辰辰【二千八百十三】
　　辰巳【二千八百十四】
　　辰午【二千八百十五】
　　辰未【二千八百十六】
　　辰申【二千八百十七】
　　辰酉【二千八百十八】
　　辰戌【二千八百十九】
　　辰亥【二千八百二十】
　　星己【二百三十六】　辰子【二千八百二十一】
　　辰丑【二千八百二十二】
　　辰寅【二千八百二十三】
　　辰卯【二千八百二十四】
　　辰辰【二千八百二十五】
　　辰巳【二千八百二十六】
　　辰午【二千八百二十七】
　　辰未【二千八百二十八】
　　辰申【二千八百二十九】
　　辰酉【二千八百三十】
　　辰戌【二千八百三十一】
　　辰亥【二千八百三十二】
　　星庚【二百三十七】　辰子【二千八百三十三】
　　辰丑【二千八百三十四】
　　辰寅【二千八百三十五】
　　辰卯【二千八百三十六】
　　辰辰【二千八百三十七】
　　辰巳【二千八百三十八】
　　辰午【二千八百三十九】
　　辰未【二千八百四十】
　　辰申【二千八百四十一】
　　辰酉【二千八百四十二】
　　辰戌【二千八百四十三】
　　辰亥【二千八百四十四】
　　星辛【二百三十八】　辰子【二千八百四十五】
　　辰丑【二千八百四十六】
　　辰寅【二千八百四十七】
　　辰卯【二千八百四十八】
　　辰辰【二千八百四十九】
　　辰巳【二千八百五十】
　　辰午【二千八百五十一】
　　辰未【二千八百五十二】
　　辰申【二千八百五十三】
　　辰酉【二千八百五十四】
　　辰戌【二千八百五十五】
　　辰亥【二千八百五十六】
　　星壬【二百三十九】　辰子【二千八百五十七】
　　辰丑【二千八百五十八】
　　辰寅【二千八百五十九】
　　辰卯【二千八百六十】
　　辰辰【二千八百六十一】
　　辰巳【二千八百六十二】
　　辰午【二千八百六十三】
　　辰未【二千八百六十四】
　　辰申【二千八百六十五】
　　辰酉【二千八百六十六】
　　辰戌【二千八百六十七】
　　辰亥【二千八百六十八】
　　星癸【二百四十】　辰子【二千八百六十九】
　　辰丑【二千八百七十】
　　辰寅【二千八百七十一】
　　辰卯【二千八百七十二】
　　辰辰【二千八百七十三】
　　辰巳【二千八百七十四】
　　辰午【二千八百七十五】
　　辰未【二千八百七十六】
　　辰申【二千八百七十七】
　　辰酉【二千八百七十八】
　　辰戌【二千八百七十九】
　　辰亥【二千八百八十】

　　皇极经世书卷二上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷二中　　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇九　　　　　以元经会九
　　日甲【一】月申【九】星甲【二百四十一】辰子【二千八百八十一】
　　辰丑【二千八百八十二】
　　辰寅【二千八百八十三】
　　辰卯【二千八百八十四】
　　辰辰【二千八百八十五】
　　辰巳【二千八百八十六】
　　辰午【二千八百八十七】
　　辰未【二千八百八十八】
　　辰申【二千八百八十九】
　　辰酉【二千八百九十】
　　辰戌【二千八百九十一】
　　辰亥【二千八百九十二】
　　星乙【二百四十二】　辰子【二千八百九十三】
　　辰丑【二千八百九十四】
　　辰寅【二千八百九十五】
　　辰卯【二千八百九十六】
　　辰辰【二千八百九十七】
　　辰巳【二千八百九十八】
　　辰午【二千八百九十九】
　　辰未【二千九百】
　　辰申【二千九百一】
　　辰酉【二千九百二】
　　辰戌【二千九百三】
　　辰亥【二千九百四】
　　星丙【二百四十三】　辰子【二千九百五】
　　辰丑【二千九百六】
　　辰寅【二千九百七】
　　辰卯【二千九百八】
　　辰辰【二千九百九】
　　辰巳【二千九百十】
　　辰午【二千九百十一】
　　辰未【二千九百十二】
　　辰申【二千九百十三】
　　辰酉【二千九百十四】
　　辰戌【二千九百十五】
　　辰亥【二千九百十六】
　　星丁【二百四十四】　辰子【二千九百十七】
　　辰丑【二千九百十八】
　　辰寅【二千九百十九】
　　辰卯【二千九百二十】
　　辰辰【二千九百二十一】
　　辰巳【二千九百二十二】
　　辰午【二千九百二十三】
　　辰未【二千九百二十四】
　　辰申【二千九百二十五】
　　辰酉【二千九百二十六】
　　辰戌【二千九百二十七】
　　辰亥【二千九百二十八】
　　星戊【二百四十五】　辰子【二千九百二十九】
　　辰丑【二千九百三十】
　　辰寅【二千九百三十一】
　　辰卯【二千九百三十二】
　　辰辰【二千九百三十三】
　　辰巳【二千九百三十四】
　　辰午【二千九百三十五】
　　辰未【二千九百三十六】
　　辰申【二千九百三十七】
　　辰酉【二千九百三十八】
　　辰戌【二千九百三十九】
　　辰亥【二千九百四十】
　　星己【二百四十六】　辰子【二千九百四十一】
　　辰丑【二千九百四十二】
　　辰寅【二千九百四十三】
　　辰卯【二千九百四十四】
　　辰辰【二千九百四十五】
　　辰巳【二千九百四十六】
　　辰午【二千九百四十七】
　　辰未【二千九百四十八】
　　辰申【二千九百四十九】
　　辰酉【二千九百五十】
　　辰戌【二千九百五十一】
　　辰亥【二千九百五十二】
　　星庚【二百四十七】　辰子【二千九百五十三】
　　辰丑【二千九百五十四】
　　辰寅【二千九百五十五】
　　辰卯【二千九百五十六】
　　辰辰【二千九百五十七】
　　辰巳【二千九百五十八】
　　辰午【二千九百五十九】
　　辰未【二千九百六十】
　　辰申【二千九百六十一】
　　辰酉【二千九百六十二】
　　辰戌【二千九百六十三】
　　辰亥【二千九百六十四】
　　星辛【二百四十八】　辰子【二千九百六十五】
　　辰丑【二千九百六十六】
　　辰寅【二千九百六十七】
　　辰卯【二千九百六十八】
　　辰辰【二千九百六十九】
　　辰巳【二千九百七十】
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　　辰未【二千九百七十二】
　　辰申【二千九百七十三】
　　辰酉【二千九百七十四】
　　辰戌【二千九百七十五】
　　辰亥【二千九百七十六】
　　星壬【二百四十九】　辰子【二千九百七十七】
　　辰丑【二千九百七十八】
　　辰寅【二千九百七十九】
　　辰卯【二千九百八十】
　　辰辰【二千九百八十一】
　　辰巳【二千九百八十二】
　　辰午【二千九百八十三】
　　辰未【二千九百八十四】
　　辰申【二千九百八十五】
　　辰酉【二千九百八十六】
　　辰戌【二千九百八十七】
　　辰亥【二千九百八十八】
　　星癸【二百五十】　辰子【二千九百八十九】
　　辰丑【二千九百九十】
　　辰寅【二千九百九十一】
　　辰卯【二千九百九十二】
　　辰辰【二千九百九十三】
　　辰巳【二千九百九十四】
　　辰午【二千九百九十五】
　　辰未【二千九百九十六】
　　辰申【二千九百九十七】
　　辰酉【二千九百九十八】
　　辰戌【二千九百九十九】
　　辰亥【三千】
　　星甲【二百五十一】　辰子【三千一】
　　辰丑【三千二】
　　辰寅【三千三】
　　辰卯【三千四】
　　辰辰【三千五】
　　辰巳【三千六】
　　辰午【三千七】
　　辰未【三千八】
　　辰申【三千九】
　　辰酉【三千十】
　　辰戌【三千十一】
　　辰亥【三千十二】
　　星乙【二百五十二】　辰子【三千十三】
　　辰丑【三千十四】
　　辰寅【三千十五】
　　辰卯【三千十六】
　　辰辰【三千十七】
　　辰巳【三千十八】
　　辰午【三千十九】
　　辰未【三千二十】
　　辰申【三千二十一】
　　辰酉【三千二十二】
　　辰戌【三千二十三】
　　辰亥【三千二十四】
　　星丙【二百五十三】　辰子【三千二十五】
　　辰丑【三千二十六】
　　辰寅【三千二十七】
　　辰卯【三千二十八】
　　辰辰【三千二十九】
　　辰巳【三千三十】
　　辰午【三千三十一】
　　辰未【三千三十二】
　　辰申【三千三十三】
　　辰酉【三千三十四】
　　辰戌【三千三十五】
　　辰亥【三千三十六】
　　星丁【二百五十四】　辰子【三千三十七】
　　辰丑【三千三十八】
　　辰寅【三千三十九】
　　辰卯【三十四十】
　　辰辰【三千四十一】
　　辰巳【三千四十二】
　　辰午【三千四十三】
　　辰未【三千四十四】
　　辰申【三千四十五】
　　辰酉【三千四十六】
　　辰戌【三千四十七】
　　辰亥【三千四十八】
　　星戊【二百五十五】　辰子【三千四十九】
　　辰丑【三千五十】
　　辰寅【三千五十一】
　　辰卯【三千五十二】
　　辰辰【三千五十三】
　　辰巳【三千五十四】
　　辰午【三千五十五】
　　辰未【三千五十六】
　　辰申【三千五十七】
　　辰酉【三千五十八】
　　辰戌【三千五十九】
　　辰亥【三千六十】
　　星己【二百五十六】　辰子【三千六十一】
　　辰丑【三千六十二】
　　辰寅【三千六十三】
　　辰卯【三千六十四】
　　辰辰【三千六十五】
　　辰巳【三千六十六】
　　辰午【三千六十七】
　　辰未【三千六十八】
　　辰申【三千六十九】
　　辰酉【三千七十】
　　辰戌【三千七十一】
　　辰亥【三千七十二】
　　星庚【二百五十七】　辰子【三千七十三】
　　辰丑【三千七十四】
　　辰寅【三千七十五】
　　辰卯【三千七六】
　　辰辰【三千七十七】
　　辰巳【三千七十八】
　　辰午【三千七十九】
　　辰未【三千八十】
　　辰申【三千八十一】
　　辰酉【三千八十二】
　　辰戌【三千八十三】
　　辰亥【三千八十四】
　　星辛【二百五十八】　辰子【三千八十五】
　　辰丑【三千八十六】
　　辰寅【三千八十七】
　　辰卯【三千八十八】
　　辰辰【三千八十九】
　　辰巳【三千九十】
　　辰午【三千九十一】
　　辰未【三千九十二】
　　辰申【三千九十三】
　　辰酉【三千九十四】
　　辰戌【三千九十五】
　　辰亥【三千九十六】
　　星壬【二百五十九】　辰子【三千九十七】
　　辰丑【三千九十八】
　　辰寅【三千九十九】
　　辰卯【三千一百】
　　辰辰【三千一百一】
　　辰巳【三千一百二】
　　辰午【三千一百三】
　　辰未【三千一百四】
　　辰申【三千一百五】
　　辰酉【三千一百六】
　　辰戌【三千一百七】
　　辰亥【三千一百八】
　　星癸【二百六十】　辰子【三千一百九】
　　辰丑【三千一百十】
　　辰寅【三千一百十一】
　　辰卯【三千一百十二】
　　辰辰【三千一百十三】
　　辰巳【三千一百十四】
　　辰午【三千一百十五】
　　辰未【三千一百十六】
　　辰申【三千一百十七】
　　辰酉【三千一百十八】
　　辰戌【三千一百十九】
　　辰亥【三千一百二十】
　　星甲【二百六十一】　辰子【三千一百二十一】
　　辰丑【三千一百二十二】
　　辰寅【三千一百二十三】
　　辰卯【三千一百二十四】
　　辰辰【三千一百二十五】
　　辰巳【三千一百二十六】
　　辰午【三千一百二十七】
　　辰未【三千一百二十八】
　　辰申【三千一百二十九】
　　辰酉【三千一百三十】
　　辰戌【三千一百三十一】
　　辰亥【三千一百三十二】
　　星乙【二百六十二】　辰子【三千一百三十三】
　　辰丑【三千一百三十四】
　　辰寅【三千一百三十五】
　　辰卯【三千一百三十六】
　　辰辰【三千一百三十七】
　　辰巳【三千一百三十八】
　　辰午【三千一百三十九】
　　辰未【三千一百四十】
　　辰申【三千一百四十一】
　　辰酉【三千一百四十二】
　　辰戌【三千一百四十三】
　　辰亥【三千一百四十四】
　　星丙【二百六十三】　辰子【三千一百四十五】
　　辰丑【三千一百四十六】
　　辰寅【三千一百四十七】
　　辰卯【三千一百四十八】
　　辰辰【三千一百四十九】
　　辰巳【三千一百五十】
　　辰午【三千一百五十一】
　　辰未【三千一百五十二】
　　辰申【三千一百五十三】
　　辰酉【三千一百五十四】
　　辰戌【三千一百五十五】
　　辰亥【三千一百五十六】
　　星丁【二百六十四】　辰子【三千一百五十七】
　　辰丑【三千一百五十八】
　　辰寅【三千一百五十九】
　　辰卯【三千一百六十】
　　辰辰【三千一百六十一】
　　辰巳【三千一百六十二】
　　辰午【三千一百六十三】
　　辰未【三千一百六十四】
　　辰申【三千一百六十五】
　　辰酉【三千一百六十六】
　　辰戌【三千一百六十七】
　　辰亥【三千一百六十八】
　　星戊【二百六十五】　辰子【三千一百六十九】
　　辰丑【三千二百七十】
　　辰寅【三千一百七十一】
　　辰卯【三千一百七十二】
　　辰辰【三千一百七十三】
　　辰巳【三千一百七十四】
　　辰午【三千一百七十五】
　　辰未【三千一百七十六】
　　辰申【三千一百七十七】
　　辰酉【三千一百七十八】
　　辰戌【三千一百七十九】
　　辰亥【三千一百八十】
　　星己【二百六十六】　辰子【三千一百八十一】
　　辰丑【三千一百八十二】
　　辰寅【三千一百八十三】
　　辰卯【三千一百八十四】
　　辰辰【三千一百八十五】
　　辰巳【三千一百八十六】
　　辰午【三千一百八十七】
　　辰未【三千一百八十八】
　　辰申【三千一百八十九】
　　辰酉【三千一百九十】
　　辰戌【三千一百九十一】
　　辰亥【三千一百九十二】
　　星庚【二百六十七】　辰子【三千一百九十三】
　　辰丑【三千一百九十四】
　　辰寅【三千一百九十五】
　　辰卯【三千一百九十六】
　　辰辰【三千一百九十七】
　　辰巳【三千一百九十八】
　　辰午【三千一百九十九】
　　辰未【三千二百】
　　辰申【三千二百一】
　　辰酉【三千二百二】
　　辰戌【三千二百三】
　　辰亥【三千二百四】
　　星辛【二百六十八】　辰子【三千二百五】
　　辰丑【三千二百六】
　　辰寅【三千二百七】
　　辰卯【三千二百八】
　　辰辰【三千二百九】
　　辰巳【三千二百十】
　　辰午【三千二百十一】
　　辰未【三千二百十二】
　　辰申【三千二百十三】
　　辰酉【三千二百十四】
　　辰戌【三千二百十五】
　　辰亥【三千二百十六】
　　星壬【二百六十九】　辰子【三千二百十七】
　　辰丑【三千二百十八】
　　辰寅【三千二百十九】
　　辰卯【三千二百二十】
　　辰辰【三千二百二十一】
　　辰巳【三千二百二十二】
　　辰午【三千二百二十三】
　　辰未【三千二百二十四】
　　辰申【三千二百二十五】
　　辰酉【三千二百二十六】
　　辰戌【三千二百二十七】
　　辰亥【三年二百二十八】
　　星癸【二百七十】　辰子【三千二百二十九】
　　辰丑【三千二百三十】
　　辰寅【三千二百三十一】
　　辰卯【三千二百三十二】
　　辰辰【三千二百三十三】
　　辰巳【三千二百三十四】
　　辰午【三千二百三十五】
　　辰未【三千二百三十六】
　　辰申【三千二百三十七】
　　辰酉【三千二百三十八】
　　辰戌【三千二百三十九】
　　辰亥【三千二百四十】
　　观物篇十　　　　以元经会十
　　日甲【一】月酉【十】星甲【二百七十一】辰子【三千二百四十一】
　　辰丑【三千二百四十二】
　　辰寅【三千二百四十三】
　　辰卯【三千二百四十四】
　　辰辰【三千二百四十五】
　　辰巳【三千二百四十六】
　　辰午【三千二百四十七】
　　辰未【三千二百四十八】
　　辰申【三千二百四十九】
　　辰酉【三千二百五十】
　　辰戌【三千二百五十一】
　　辰亥【三千二百五十二】
　　星乙【二百七十二】　辰子【三千二百五十三】
　　辰丑【三千二百五十四】
　　辰寅【三千二百五十五】
　　辰卯【三千二百五十六】
　　辰辰【三千二百五十七】
　　辰巳【三千二百五十八】
　　辰午【三千二百五十九】
　　辰未【三千二百六十】
　　辰申【三千二百六十一】
　　辰酉【三千二百六十二】
　　辰戌【三千二百六十三】
　　辰亥【三千二百六十四】
　　星丙【二百七十三】　辰子【三千二百六十五】
　　辰丑【三千二百六十六】
　　辰寅【三千二百六十七】
　　辰卯【三千二百六十八】
　　辰辰【三千二百六十九】
　　辰巳【三千二百七十】
　　辰午【三千二百七十一】
　　辰未【三千二百七十二】
　　辰申【三千二百七十三】
　　辰酉【三千二百七十四】
　　辰戌【三千二百七十五】
　　辰亥【三千二百七十六】
　　星丁【二百七十四】　辰子【三千二百七十七】
　　辰丑【三千二百七十八】
　　辰寅【三千二百七十九】
　　辰卯【三千二百八十】
　　辰辰【三千二百八十一】
　　辰巳【三千二百八十二】
　　辰午【三千二百八十三】
　　辰未【三千二百八十四】
　　辰申【三千二百八十五】
　　辰酉【三千二百八十六】
　　辰戌【三千二百八十七】
　　辰亥【三千二百八十八】
　　星戊【二百七十五】　辰子【三千二百八十九】
　　辰丑【三千二百九十】
　　辰寅【三千二百九十一】
　　辰卯【三千二百九十二】
　　辰辰【三千二百九十三】
　　辰巳【三千二百九十四】
　　辰午【三千二百九十五】
　　辰未【三千二百九十六】
　　辰申【三千二百九十七】
　　辰酉【三千二百九十八】
　　辰戌【三千二百九十九】
　　辰亥【三千三百】
　　星己【二百七十六】　辰子【三千三百一】
　　辰丑【三千三百二】
　　辰寅【三千三百三】
　　辰卯【三千三百四】
　　辰辰【三千三百五】
　　辰巳【三千三百六】
　　辰午【三千三百七】
　　辰未【三千三百八】
　　辰申【三千三百九】
　　辰酉【三千三百】
　　辰戌【三千三百十一】
　　辰亥【三千三百十二】
　　星庚【二百七十七】　辰子【三千三百十三】
　　辰丑【三千三百十四】
　　辰寅【三千三百十五】
　　辰卯【三千三百十六】
　　辰辰【三千三百十七】
　　辰巳【三千三百十八】
　　辰午【三千三百十九】
　　辰未【三千三百二十】
　　辰申【三千三百二十一】
　　辰酉【三千三百二十二】
　　辰戌【三千三百二十三】
　　辰亥【三千三百二十四】
　　星辛【二百七十八】　辰子【三千三百二十五】
　　辰丑【三千三百二十六】
　　辰寅【三千三百二十七】
　　辰卯【三千三百二十八】
　　辰辰【三千三百二十九】
　　辰巳【三千三百三十】
　　辰午【三千三百三十一】
　　辰未【三千三百三十二】
　　辰申【三千三百三十三】
　　辰酉【三千三百三十四】
　　辰戌【三千三百三十五】
　　辰亥【三千三百三十六】
　　星壬【二百七十九】　辰子【三千三百三十七】
　　辰丑【三千三百三十八】
　　辰寅【三千三百三十九】
　　辰卯【三千三百四十】
　　辰辰【三千三百四十一】
　　辰巳【三千三百四十二】
　　辰午【三千三百四十三】
　　辰未【三千三百四十四】
　　辰申【三千三百四十五】
　　辰酉【三千三百四十六】
　　辰戌【三千三百四十七】
　　辰亥【三千三百四十八】
　　星癸【二百八十】　辰子【三千三百四十九】
　　辰丑【三千三百五十】
　　辰寅【三千三百五十一】
　　辰卯【三千三百五十二】
　　辰辰【三千三百五十三】
　　辰巳【三千三百五十四】
　　辰午【三千三百五十五】
　　辰未【三千三百五十六】
　　辰申【三千三百五十七】
　　辰酉【三千三百五十八】
　　辰戌【三千三百五十九】
　　辰亥【三千三百六十】
　　星甲【二百八十一】　辰子【三千三百六十一】
　　辰丑【三千三百六十二】
　　辰寅【三千三百六十三】
　　辰卯【三千三百六十四】
　　辰辰【三千三百六十五】
　　辰巳【三千三百六十六】
　　辰午【三千三百六十七】
　　辰未【三千三百六十八】
　　辰申【三千三百六十九】
　　辰酉【三千三百七十】
　　辰戌【三千三百七十一】
　　辰亥【三千三百七十二】
　　星乙【二百八十二】　辰子【三千三百七十三】
　　辰丑【三千三百七十四】
　　辰寅【三千三百七十五】
　　辰卯【三千三百七十六】
　　辰辰【三千三百七十七】
　　辰巳【三千三百七十八】
　　辰午【三千三百七十九】
　　辰未【三千三百八十】
　　辰申【三千三百八十一】
　　辰酉【三千三百八十二】
　　辰戌【三千三百八十三】
　　辰亥【三千三百八十四】
　　星丙【二百八十三】　辰子【三千三百八十五】
　　辰丑【三千三百八十六】
　　辰寅【三千三百八十七】
　　辰卯【三千三百八十八】
　　辰辰【三千三百八十九】
　　辰巳【三千三百九十】
　　辰午【三千三百九十一】
　　辰未【三千三百九十二】
　　辰申【三千三百九十三】
　　辰酉【三千三百九十四】
　　辰戌【三千三百九十五】
　　辰亥【三千三百九十六】
　　星丁【二百八十四】　辰子【三千三百九十七】
　　辰丑【三千三百九十八】
　　辰寅【三千三百九十九】
　　辰卯【三千四百】
　　辰辰【三千四百一】
　　辰巳【三千四百二】
　　辰午【三千四百三】
　　辰未【三千四百四】
　　辰申【三千四百五】
　　辰酉【三千四百六】
　　辰戌【三千四百七】
　　辰亥【三千四百八】
　　星戊【二百八十五】　辰子【三千四百九】
　　辰丑【三千四百十】
　　辰寅【三千四百十一】
　　辰卯【三千四百十二】
　　辰辰【三千四百十三】
　　辰巳【三千四百十四】
　　辰午【三千四百十五】
　　辰未【三千四百十六】
　　辰申【三千四百十七】
　　辰酉【三千四百十八】
　　辰戌【三千四百十九】
　　辰亥【三千四百二十】
　　星己【二百八十六】　辰子【三千四百二十一】
　　辰丑【三千四百二十二】
　　辰寅【三千四百二十三】
　　辰卯【三千四百二十四】
　　辰辰【三千四百二十五】
　　辰巳【三千四百二十六】
　　辰午【二千四百二十七】
　　辰未【三千四百二十八】
　　辰申【三千四百二十九】
　　辰酉【三千四百三十】
　　辰戌【三千四百三十一】
　　辰亥【三千四百三十二】
　　星庚【二百八十七】　辰子【三千四百三十三】
　　辰丑【三千四百三十四】
　　辰寅【三千四百三十五】
　　辰卯【三千四百三十六】
　　辰辰【三千四百三十七】
　　辰巳【三千四百三十八】
　　辰午【三千四百三十九】
　　辰未【三千四百四十】
　　辰申【三千四百四十一】
　　辰酉【三千四百四十二】
　　辰戌【三千四百四十三】
　　辰亥【三千四百四十四】
　　星辛【二百八十八】　辰子【三千四百四十五】
　　辰丑【三千四百四十六】
　　辰寅【三千四百四十七】
　　辰卯【三千四百四十八】
　　辰辰【三千四百四十九】
　　辰巳【三千四百五十】
　　辰午【三千四百五十一】
　　辰未【三千四百五十二】
　　辰申【三千四百五十三】
　　辰酉【三千四百五十四】
　　辰戌【三千四百五十五】
　　辰亥【三千四百五十六】
　　星壬【二百八十九】　辰子【三千四百五十七】
　　辰丑【三千四百五十八】
　　辰寅【三千四百五十九】
　　辰卯【三千四百六十】
　　辰辰【三千四百六十一】
　　辰巳【三千四百六十二】
　　辰午【三千四百六十三】
　　辰未【三千四百六十四】
　　辰申【三千四百六十五】
　　辰酉【三千四百六十六】
　　辰戌【三千四百六十七】
　　辰亥【三千四百六十八】
　　星癸【二百九十】　辰子【三千四百六十九】
　　辰丑【三千四百七十】
　　辰寅【三千四百七十一】
　　辰卯【三千四百七十二】
　　辰辰【三千四百七十三】
　　辰巳【三千四百七十四】
　　辰午【三千四百七十五】
　　辰未【三千四百七十六】
　　辰申【三千四百七十七】
　　辰酉【三千四百七十八】
　　辰戌【三千四百七十九】
　　辰亥【三千四百八十】
　　星甲【二百九十一】　辰子【三千四百八十一】
　　辰丑【三千四百八十二】
　　辰寅【三千四百八十三】
　　辰卯【三千四百八十四】
　　辰辰【三千四百八十五】
　　辰巳【三千四百八十六】
　　辰午【三千四百八十七】
　　辰未【三千四百八十八】
　　辰申【三千四百八十九】
　　辰酉【三千四百九十】
　　辰戌【三千四百九十一】
　　辰亥【三千四百九十二】
　　星乙【二百九十二】　辰子【三千四百九十三】
　　辰丑【三千四百九十四】
　　辰寅【三千四百九十五】
　　辰卯【三千四百九十六】
　　辰辰【三千四百九十七】
　　辰巳【三千四百九十八】
　　辰午【三千四百九十九】
　　辰未【三千五百】
　　辰申【三千五百一】
　　辰酉【三千五百二】
　　辰戌【三千五百三】
　　辰亥【三千五百四】
　　星丙【二百九十三】　辰子【三千五百五】
　　辰丑【三千五百六】
　　辰寅【三千五百七】
　　辰卯【三千五百八】
　　辰辰【三千五百九】
　　辰巳【三千五百十】
　　辰午【三千五百十一】
　　辰未【三千五百十二】
　　辰申【三千五百十三】
　　辰酉【三千五百十四】
　　辰戌【三千五百十五】
　　辰亥【三千五百十六】
　　星丁【二百九十四】　辰子【三千五百十七】
　　辰丑【三千五百十八】
　　辰寅【三千五百十九】
　　辰卯【三千五百二十】
　　辰辰【三千五百二十一】
　　辰巳【三千五百二十二】
　　辰午【三千五百二十三】
　　辰未【三千五百二十四】
　　辰申【三千五百二十五】
　　辰酉【三千五百二十六】
　　辰戌【三千五百二十七】
　　辰亥【三千五百二十八】
　　星戊【二百九十五】　辰子【三千五百二十九】
　　辰丑【三千五百三十】
　　辰寅【三千五百三十一】
　　辰卯【三千五百三十二】
　　辰辰【三千五百三十三】
　　辰巳【三千五百三十四】
　　辰午【三千五百三十五】
　　辰未【三千五百三十六】
　　辰申【三千五百三十七】
　　辰酉【三千五百三十八】
　　辰戌【三千五百三十九】
　　辰亥【三千五百四十】
　　星己【二百九十六】　辰子【三千五百四十一】
　　辰丑【三千五百四十二】
　　辰寅【三千五百四十三】
　　辰卯【三千五百四十四】
　　辰辰【三千五百四十五】
　　辰巳【三千五百四十六】
　　辰午【三千五百四十七】
　　辰未【三千五百四十八】
　　辰申【三千五百四十九】
　　辰酉【三千五百五十】
　　辰戌【三千五百五十一】
　　辰亥【三千五百五十二】
　　星庚【二百九十七】　辰子【三千五百五十三】
　　辰丑【三千五百五十四】
　　辰寅【三千五百五十五】
　　辰卯【三千五百五十六】
　　辰辰【三千五百五十七】
　　辰巳【三千五百五十八】
　　辰午【三千五百五十九】
　　辰未【三千五百六十】
　　辰申【三千五百六十一】
　　辰酉【三千五百六十二】
　　辰戌【三千五百六十三】
　　辰亥【三千五百六十四】
　　星辛【二百九十八】　辰子【三千五百六十五】
　　辰丑【三千五百六十六】
　　辰寅【三千五百六十七】
　　辰卯【三千五百六十八】
　　辰辰【三千五百六十九】
　　辰巳【三千五百七十】
　　辰午【三千五百七十一】
　　辰未【三千五百七十二】
　　辰申【三千五百七十三】
　　辰酉【三千五百七十四】
　　辰戌【三千五百七十五】
　　辰亥【三千五百七十六】
　　星壬【二百九十九】　辰子【三千五百七十七】
　　辰丑【三千五百七十八】
　　辰寅【三千五百七十九】
　　辰卯【三千五百八十】
　　辰辰【三千五百八十一】
　　辰巳【三千五百八十二】
　　辰午【三千五百八十三】
　　辰未【三千五百八十四】
　　辰申【三千五百八十五】
　　辰酉【三千五百八十六】
　　辰戌【三千五百八十七】
　　辰亥【三千五百八十八】
　　星癸【三百】　辰子【三千五百八十九】
　　辰丑【三千五百九十】
　　辰寅【三千五百九十一】
　　辰卯【三千五百九十二】
　　辰辰【三千五百九十三】
　　辰巳【三千五百九十四】
　　辰午【三千五百九十五】
　　辰未【三千五百九十六】
　　辰申【三千五百九十七】
　　辰酉【三千五百九十八】
　　辰戌【三千五百九十九】
　　辰亥【三千六百】

　　皇极经世书卷二中
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　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷二下　　　　宋　邵雍　撰观物篇十一　　　以元经防十一
　　日甲【一】月戊【十一】星甲【三百一】辰子【三千六百一】
　　辰丑【三千六百二】
　　辰寅【三千六百三】
　　辰卯【三千六百四】
　　辰辰【三千六百五】
　　辰巳【三千六百六】
　　辰午【三千六百七】
　　辰未【三千六百八】
　　辰申【三千六百九】
　　辰酉【三千六百十】
　　辰戌【三千六百十一】
　　辰亥【三千六百十二】
　　星乙【三百二】　辰子【三千六百十三】
　　辰丑【三千六百十四】
　　辰寅【三千六百十五】
　　辰卯【三千六百十六】
　　辰辰【三千六百十七】
　　辰巳【三千六百十八】
　　辰午【三千六百十九】
　　辰未【三千六百二十】
　　辰申【三千六百二十一】
　　辰酉【三千六百二十二】
　　辰戌【三千六百二十三】
　　辰亥【三千六百二十四】
　　星丙【三百三】　辰子【三千六百二十五】
　　辰丑【三千六百二十六】
　　辰寅【三千六百二十七】
　　辰卯【三千六百二十八】
　　辰辰【三千六百二十九】
　　辰巳【三千六百三十】
　　辰午【三千六百三十一】
　　辰未【三千六百三十二】
　　辰申【三千六百三十三】
　　辰酉【三千六百三十四】
　　辰戌【三千六百三十五】
　　辰亥【三千六百三十六】
　　星丁【三百四】　辰子【三千六百三十七】
　　辰丑【三千六百三十八】
　　辰寅【三千六百三十九】
　　辰卯【三千六百四十】
　　辰辰【三千六百四十一】
　　辰巳【三千六百四十二】
　　辰午【三千六百四十三】
　　辰未【三千六百四十四】
　　辰申【三千六百四十五】
　　辰酉【三千六百四十六】
　　辰戌【三千六百四十七】
　　辰亥【三千六百四十八】
　　星戊【三百五】　辰子【三千六百四十九】
　　辰丑【三千六百五十】
　　辰寅【三千六百五十一】
　　辰卯【三千六百五十二】
　　辰辰【三千六百五十三】
　　辰巳【三千六百五十四】
　　辰午【三千六百五十五】
　　辰未【三千六百五十六】
　　辰申【三千六百五十七】
　　辰酉【三千六百五十八】
　　辰戌【三千六百五十九】
　　辰亥【三千六百六十】
　　星己【三百六】　辰子【三千六百六十一】
　　辰丑【三千六百六十二】
　　辰寅【三千六百六十三】
　　辰卯【三千六百六十四】
　　辰辰【三千六百六十五】
　　辰巳【三千六百六十六】
　　辰午【三千六百六十七】
　　辰未【三千六百六十八】
　　辰申【三千六百六十九】
　　辰酉【三十六百七十】
　　辰戌【三千六百七十一】
　　辰亥【三千六百七十二】
　　星庚【三百七】　辰子【三千六百七十三】
　　辰丑【三千六百七十四】
　　辰寅【三千六百七十五】
　　辰卯【三千六百七十六】
　　辰辰【三千六百七十七】
　　辰巳【三千六百七十八】
　　辰午【三千六百七十九】
　　辰未【三千六百八十】
　　辰申【三千六百八十一】
　　辰酉【三千六百八十二】
　　辰戌【三千六百八十三】
　　辰亥【三千六百八十四】
　　星辛【三百八】　辰子【三千六百八十五】
　　辰丑【三千六百八十六】
　　辰寅【三千六百八十七】
　　辰卯【三千六百八十八】
　　辰辰【三千六百八十九】
　　辰巳【三千六百九十】
　　辰午【三千六百九十一】
　　辰未【三千六百九十二】
　　辰申【三千六百九十三】
　　辰酉【三千六百九十四】
　　辰戌【三千六百九十五】
　　辰亥【三千六百九十六】
　　星壬【三百九】　辰子【三千六百九十七】
　　辰丑【三千六百九十八】
　　辰寅【三千六百九十九】
　　辰卯【三千七百】
　　辰辰【三千七百一】
　　辰巳【三千七百二】
　　辰午【三千七百三】
　　辰未【三千七百四】
　　辰申【三千七百五】
　　辰酉【三千七百六】
　　辰戌【三千七百七】
　　辰亥【三千七百八】
　　星癸【三百一十】　辰子【三千七百九】
　　辰丑【三千七百十】
　　辰寅【三千七百十一】
　　辰卯【三千七百十二】
　　辰辰【三千七百十三】
　　辰巳【三千七百十四】
　　辰午【三千七百十五】
　　辰未【三千七百十六】
　　辰申【三千七百十七】
　　辰酉【三千七百十八】
　　辰戌【三千七百十九】
　　辰亥【三千七百二十】
　　星甲【三百一十一】　辰子【三千七百二十一】
　　辰丑【三千七百二十二】
　　辰寅【三千七百二十三】
　　辰卯【三千七百二十四】
　　辰辰【三千七百二十五】
　　辰巳【三千七百二十六】
　　辰午【三千七百二十七】
　　辰未【三千七百二十八】
　　辰申【三千七百二十九】
　　辰酉【三千七百三十】
　　辰戌【三千七百三十一】
　　辰亥【三千七百三十二】
　　星乙【三百一十二】　辰子【三千七百三十三】
　　辰丑【三千七百三十四】
　　辰寅【三千七百三十五】
　　辰卯【三千七百三十六】
　　辰辰【三千七百三十七】
　　辰巳【三千七百三十八】
　　辰午【三千七百三十九】
　　辰未【三千七百四十】
　　辰申【三千七百四十一】
　　辰酉【三千七百四十二】
　　辰戌【三千七百四十三】
　　辰亥【三千七百四十四】
　　星丙【三百一十三】　辰子【三千七百四十五】
　　辰丑【三千七百四十六】
　　辰寅【三千七百四十七】
　　辰卯【三千七百四十八】
　　辰辰【三千七百四十九】
　　辰巳【三千七百五十】
　　辰午【三千七百五十一】
　　辰未【三千七百五十二】
　　辰申【三千七百五十三】
　　辰酉【三千七百五十四】
　　辰戌【三千七百五十五】
　　辰亥【三千七百五十六】
　　星丁【三百一十四】　辰子【三千七百五十七】
　　辰丑【三千七百五十八】
　　辰寅【三千七百五十九】
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　　辰辰【三千七百六十一】
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　　辰午【三千七百六十三】
　　辰未【三千七百六十四】
　　辰申【三千七百六十五】
　　辰酉【三千七百六十六】
　　辰戌【三千七百六十七】
　　辰亥【三千七百六十八】
　　星戊【三百一十五】　辰子【三千七百六十九】
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　　辰卯【三千七百七十二】
　　辰辰【三千七百七十三】
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　　辰午【三千七百七十五】
　　辰未【三千七百七十六】
　　辰申【三千七百七十七】
　　辰酉【三千七百七十八】
　　辰戌【三千七百七十九】
　　辰亥【三千七百八十】
　　星己【三百一十六】　辰子【三千七百八十一】
　　辰丑【三千七百八十二】
　　辰寅【三千七百八十三】
　　辰卯【三千七百八十四】
　　辰辰【三千七百八十五】
　　辰巳【三千七百八十六】
　　辰午【三千七百八十七】
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　　辰申【三千七百八十九】
　　辰酉【三千七百九十】
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　　辰亥【三千七百九十二】
　　星庚【三百一十七】　辰子【三千七百九十三】
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　　辰辰【三千七百九十七】
　　辰巳【三千七百九十八】
　　辰午【三千七百九十九】
　　辰未【三千八百】
　　辰申【三千八百一】
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　　辰亥【三千八百四】
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　　辰丑【三千八百六】
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　　辰卯【三千八百八】
　　辰辰【三千八百九】
　　辰巳【三千八百一十】
　　辰午【三千八百一十一】
　　辰未【三千八百一十二】
　　辰申【三千八百一十三】
　　辰酉【三千八百一十四】
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　　辰亥【三千八百一十六】
　　星壬【三百一十九】　辰子【三千八百一十七】
　　辰丑【三千八百一十八】
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　　辰卯【三千八百二十】
　　辰辰【三千八百二十一】
　　辰巳【三千八百二十二】
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　　辰未【三千八百二十四】
　　辰申【三千八百二十五】
　　辰酉【三千八百二十六】
　　辰戌【三千八百二十七】
　　辰亥【三千八百二十八】
　　星癸【三百二十】　辰子【三千八百二十九】
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　　辰寅【三千八百三十一】
　　辰卯【三千八百三十二】
　　辰辰【三千八百三十三】
　　辰巳【三千八百三十四】
　　辰午【三千八百三十五】
　　辰未【三千八百三十六】
　　辰申【三千八百三十七】
　　辰酉【三千八百三十八】
　　辰戌【三千八百三十九】
　　辰亥【三千八百四十】
　　星甲【三百二十一】　辰子【三千八百四十一】
　　辰丑【三千八百四十二】
　　辰寅【三千八百四十三】
　　辰卯【三千八百四十四】
　　辰辰【三千八百四十五】
　　辰巳【三十八百四十六】
　　辰午【三千八百四十七】
　　辰未【三千八百四十八】
　　辰申【三千八百四十九】
　　辰酉【三千八百五十】
　　辰戌【三千八百五十一】
　　辰亥【三千八百五十二】
　　星乙【三百二十二】　辰子【三千八百五十三】
　　辰丑【三千八百五十四】
　　辰寅【三千八百五十五】
　　辰卯【三千八百五十六】
　　辰辰【三千八百五十七】
　　辰巳【三千八百五十八】
　　辰午【三千八百五十九】
　　辰未【三千八百六十】
　　辰申【三千八百六十一】
　　辰酉【三千八百六十二】
　　辰戌【三千八百六十三】
　　辰亥【三千八百六十四】
　　星丙【三百二十三】　辰子【三千八百六十五】
　　辰丑【三千八百六十六】
　　辰寅【三千八百六十七】
　　辰卯【三千八百六十八】
　　辰辰【三千八百六十九】
　　辰巳【三千八百七十】
　　辰午【三千八百七十一】
　　辰未【三千八百七十二】
　　辰申【三千八百七十三】
　　辰酉【三千八百七十四】
　　辰戌【三千八百七十五】
　　辰亥【三千八百七十六】
　　星丁【三百二十四】　辰子【三千八百七十七】
　　辰丑【三千八百七十八】
　　辰寅【三千八百七十九】
　　辰卯【三千八百八十】
　　辰辰【三千八百八十一】
　　辰巳【三千八百八十二】
　　辰午【三千八百八十三】
　　辰未【三千八百八十四】
　　辰申【三千八百八十五】
　　辰酉【三千八百八十六】
　　辰戌【三千八百八十七】
　　辰亥【三千八百八十八】
　　星戊【三百二十五】　辰子【三千八百八十九】
　　辰丑【三千八百九十】
　　辰寅【三千八百九十一】
　　辰卯【三千八百九十二】
　　辰辰【三千八百九十三】
　　辰巳【三千八百九十四】
　　辰午【三千八百九十五】
　　辰未【三千八百九十六】
　　辰申【三千八百九十七】
　　辰酉【三千八百九十八】
　　辰戌【三千八百九十九】
　　辰亥【三千九百】
　　星己【三百二十六】　辰子【三千九百一】
　　辰丑【三千九百二】
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　　辰辰【三千九百五】
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　　辰亥【三千九百一十二】
　　星庚【三百二十七】　辰子【三千九百一十三】
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　　辰寅【三千九百一十五】
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　　辰辰【三千九百一十七】
　　辰巳【三千九百一十八】
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　　辰申【三千九百二十一】
　　辰酉【三千九百二十二】
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　　星辛【三百二十八】　辰子【三千九百二十五】
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　　辰卯【三千九百二十八】
　　辰辰【三千九百二十九】
　　辰巳【三千九百三十】
　　辰午【三千九百三十一】
　　辰未【三千九百三十二】
　　辰申【三千九百三十三】
　　辰酉【三千九百三十四】
　　辰戌【三千九百三十五】
　　辰亥【三千九百三十六】
　　星壬【三百二十九】　辰子【三千九百三十七】
　　辰丑【三千九百三十八】
　　辰寅【三千九百三十九】
　　辰卯【三千九百四十】
　　辰辰【三千九百四十一】
　　辰巳【三千九百四十二】
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　　辰申【三千九百四十五】
　　辰酉【三千九百四十六】
　　辰戌【三千九百四十七】
　　辰亥【三千九百四十八】
　　星癸【三百三十】　辰子【三千九百四十九】
　　辰丑【三千九百五十】
　　辰寅【三千九百五十一】
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　　辰巳【三千九百五十四】
　　辰午【三千九百五十五】
　　辰未【三千九百五十六】
　　辰申【三千九百五十七】
　　辰酉【三千九百五十八】
　　辰戌【三千九百五十九】
　　辰亥【三千九百六十】
　　观物篇十二　　　以元经会十二
　　日甲【一】月亥【十二】星甲【三百三十一】辰子【三千九百六十一】
　　辰丑【三千九百六十二】
　　辰寅【三千九百六十三】
　　辰卯【三千九百六十四】
　　辰辰【三千九百六十五】
　　辰巳【三千九百六十六】
　　辰午【三千九百六十七】
　　辰未【三千九百六十八】
　　辰申【三千九百六十九】
　　辰酉【三千九百七十】
　　辰戌【三千九百七十一】
　　辰亥【三千九百七十二】
　　星乙【三百三十二】　辰子【三千九百七十三】
　　辰丑【三千九百七十四】
　　辰寅【三千九百七十五】
　　辰卯【三千九百七十六】
　　辰辰【三千九百七十七】
　　辰巳【三千九百七十八】
　　辰午【三千九百七十九】
　　辰未【三千九百八十】
　　辰申【三千九百八十一】
　　辰酉【三千九百八十二】
　　辰戌【三千九百八十三】
　　辰亥【三千九百八十四】
　　星丙【三百三十三】　辰子【三千九百八十五】
　　辰丑【三千九百八十六】
　　辰寅【三千九百八十七】
　　辰卯【三千九百八十八】
　　辰辰【三千九百八十九】
　　辰巳【三千九百九十】
　　辰午【三千九百九十一】
　　辰未【三千九百九十二】
　　辰申【三千九百九十三】
　　辰酉【三千九百九十四】
　　辰戌【三千九百九十五】
　　辰亥【三千九百九十六】
　　星丁【三百三十四】　辰子【三千九百九十七】
　　辰丑【三千九百九十八】
　　辰寅【三千九百九十九】
　　辰卯【四千】
　　辰辰【四千一】
　　辰巳【四十二】
　　辰午【四千三】
　　辰未【四千四】
　　辰申【四千五】
　　辰酉【四千六】
　　辰戌【四千七】
　　辰亥【四千八】
　　星戊【三百三十五】　辰子【四千九】
　　辰丑【四千一十】
　　辰寅【四千一十一】
　　辰卯【四千一十二】
　　辰辰【四千一十三】
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　　辰未【四千一十六】
　　辰申【四千一十七】
　　辰酉【四千一十八】
　　辰戌【四千一十九】
　　辰亥【四千二十】
　　星己【三百三十六】　辰子【四千二十一】
　　辰丑【四千二十二】
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　　辰卯【四千二十四】
　　辰辰【四千二十五】
　　辰巳【四千二十六】
　　辰午【四千二十七】
　　辰未【四千二十八】
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　　辰酉【四千三十】
　　辰戌【四千三十一】
　　辰亥【四千三十二】
　　星庚【三百三十七】　辰子【四千三十三】
　　辰丑【四千三十四】
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　　辰卯【四千三十六】
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　　辰巳【四千三十八】
　　辰午【四千三十九】
　　辰未【四千四十】
　　辰申【四千四十一】
　　辰酉【四千四十二】
　　辰戌【四千四十三】
　　辰亥【四千四十四】
　　星辛【三百三十八】　辰子【四千四十五】
　　辰丑【四千四十六】
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　　辰卯【四千四十八】
　　辰辰【四千四十九】
　　辰巳【四千五十】
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　　辰未【四千五十二】
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　　辰亥【四千五十六】
　　星壬【三百三十九】　辰子【四千五十七】
　　辰丑【四千五十八】
　　辰寅【四千五十九】
　　辰卯【四千六十】
　　辰辰【四千六十一】
　　辰巳【四千六十二】
　　辰午【四千六十三】
　　辰未【四千六十四】
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　　辰亥【四千六十八】
　　星癸【三百四十】　辰子【四千六十九】
　　辰丑【四千七十】
　　辰寅【四千七十一】
　　辰卯【四千七十二】
　　辰辰【四千七十三】
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　　辰亥【四千八十】
　　星甲【三百四十一】　辰子【四千八十一】
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　　星乙【三百四十二】　辰子【四千九十三】
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　　辰辰【四千九十七】
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　　辰未【四千一百】
　　辰申【四千一百一】
　　辰酉【四千一百二】
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　　辰亥【四千一百四】
　　星丙【三百四十三】　辰子【四千一百五】
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　　辰卯【四千一百八】
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　　辰亥【四千一百一十六】
　　星丁【三百四十四】　辰子【四千一百一十七】
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　　辰卯【四千一百二十】
　　辰辰【四千一百二十一】
　　辰巳【四千一百二十二】
　　辰午【四千一百二十三】
　　辰未【四千一百二十四】
　　辰申【四千一百二十五】
　　辰酉【四千一百二十六】
　　辰戌【四千一百二十七】
　　辰亥【四千一百二十八】
　　星戊【三百四十五】　辰子【四千一百二十九】
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　　辰寅【四千一百三十一】
　　辰卯【四千一百三十二】
　　辰辰【四千一百三十三】
　　辰巳【四千一百三十四】
　　辰午【四千一百三十五】
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　　辰申【四千一百三十七】
　　辰酉【四千一百三十八】
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　　辰亥【四千一百四十】
　　星己【三百四十六】　辰子【四千一百四十一】
　　辰丑【四千一百四十二】
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　　星庚【三百四十七】　辰子【四千一百五十三】
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　　辰卯【四千一百五十六】
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　　辰未【四千一百六十】
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　　辰亥【四千一百六十四】
　　星辛【三百四十八】　辰子【四千一百六十五】
　　辰丑【四千一百六十六】
　　辰寅【四千一百六十七】
　　辰卯【四千一百六十八】
　　辰辰【四千一百六十九】
　　辰巳【四千一百七十】
　　辰午【四千一百七十一】
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　　辰申【四千一百七十三】
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　　星壬【三百四十九】　辰子【四千一百七十七】
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　　辰卯【四千一百八十】
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　　星癸【三百五十】　辰子【四千一百八十九】
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　　辰申【四千一百九十七】
　　辰酉【四千一百九十八】
　　辰戌【四千一百九十九】
　　辰亥【四千二百】
　　星甲【三百五十一】　辰子【四千二百一】
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　　辰酉【四千二百三十四】
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　　辰亥【四千二百三十六】
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　　辰寅【四千二百三十九】
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　　辰巳【四千二百四十二】
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　　辰申【四千二百四十五】
　　辰酉【四千二百四十六】
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　　星戊【三百五十五】　辰子【四千二百四十九】
　　辰丑【四千二百五十】
　　辰寅【四千二百五十一】
　　辰卯【四千二百五十二】
　　辰辰辰【未四千二百五十】巳辰午【三四千二百五十】辰未辰【四四千二百五十】申辰酉【五四千二百五十】
　　辰　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】【五四千二百十】戌辰亥【七四千二百五十】星己辰【八四千二百五十】子辰丑【九四千二百六】
　　辰寅辰【十三百五十】　卯辰辰【六四千二百六十】
　　辰巳辰【一四千二百六十】午辰未【二四千二百六十】四千二【三四千二百六十】百五十【四四千二百六十】三四千【五四千二百六十】二百五【六四千二百六十】十四四【七四千二百六十】
　　辰申【四千二百六十九】
　　辰酉【四千二百七十】
　　辰戌【四千二百七十一】
　　辰亥【四千二百七十二】
　　星庚【三百五十七】　辰子【四千二百七十三】
　　辰丑【四千二百七十四】
　　辰寅【四千二百七十五】
　　辰卯【四千二百七十六】
　　辰辰【四千二百七十七】
　　辰巳【四千二百七十八】
　　辰午【四千二百七十九】
　　辰未【四千二百八十】
　　辰申【四千二百八十一】
　　辰酉【四千二百八十二】
　　辰戌【四千二百八十三】
　　辰亥【四千二百八十四】
　　星辛【三百五十八】　辰子【四千二百八十五】
　　辰丑【四千二百八十六】
　　辰寅【四千二百八十七】
　　辰卯【四千二百八十八】
　　辰辰【四千二百八十九】
　　辰巳【四千二百九十】
　　辰午【四千二百九十一】
　　辰未【四千二百九十二】
　　辰申【四千二百九十三】
　　辰酉【四千二百九十四】
　　辰戌【四千二百九十五】
　　辰亥【四千二百九十六】
　　星壬【三百五十九】　辰子【四千二百九十七】
　　辰丑【四千二百九十八】
　　辰寅【四千二百九十九】
　　辰卯【四千三百】
　　辰辰【四千三百一】
　　辰巳【四千三百二】
　　辰午【四千三百三】
　　辰未【四千三百四】
　　辰申【四千三百五】
　　辰酉【四千三百六】
　　辰戌【四千三百七】
　　辰亥【四千三百八】
　　星癸【三百六十】　辰子【四千三百九】
　　辰丑【四千三百一十】
　　辰寅【四千三百一十一】
　　辰卯【四千三百一十二】
　　辰辰【四千三百一十三】
　　辰巳【四千三百一十四】
　　辰午【四千三百一十五】
　　辰未【四千三百一十六】
　　辰申【四千三百一十七】
　　辰酉【四千三百一十八】
　　辰戌【四千三百一十九】
　　辰亥【四千三百二十】

　　皇极经世书卷二下
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　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷三上　　　　宋　邵雍　撰观物篇十三　　以防经运一
　　经日之甲一
　　经月之寅三
　　开物始月寅之中
　　经星之己七十六
　　经星之庚七十七
　　经星之辛七十八
　　经星之壬七十九
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　　经星之辛八十八
　　经星之壬八十九
　　经星之癸九十
　　经日之甲一
　　经月之卯四
　　经星之甲九十一
　　经星之乙九十二
　　经星之丙九十三
　　经星之丁九十四
　　经星之戊九十五
　　经星之己九十六
　　经星之庚九十七
　　经星之辛九十八
　　经星之壬九十九
　　经星之癸一百
　　经星之甲一百一
　　经星之乙一百二
　　经星之丙一百三
　　经星之丁一百四
　　经星之戊一百五
　　经星之己一百六
　　经星之庚一百七
　　经星之辛一百八
　　经星之壬一百九
　　经星之癸一百十
　　经星之甲一百十一
　　经星之乙一百十二
　　经星之丙一百十三
　　经星之丁一百十四
　　经星之戊一百十五
　　经星之己一百十六
　　经星之庚一百十七
　　经星之辛一百十八
　　经星之壬一百十九
　　经星之癸一百二十
　　经日之甲一
　　经月之辰五
　　经星之甲一百二十一
　　经星之乙一百二十二
　　经星之丙一百二十三
　　经星之丁一百二十四
　　经星之戊一百二十五
　　经星之己一百二十六
　　经星之庚一百二十七
　　经星之辛一百二十八
　　经星之壬一百二十九
　　经星之癸一百三十
　　经星之甲一百三十一
　　经星之乙一百三十二
　　经星之丙一百三十三
　　经星之丁一百三十四
　　经星之戊一百三十五
　　经星之己一百三十六
　　经星之庚一百三十七
　　经星之辛一百三十八
　　经星之壬一百三十九
　　经星之癸一百四十
　　经星之甲一百四十一
　　经星之乙一百四十二
　　经星之丙一百四十三
　　经星之丁一百四十四
　　经星之戊一百四十五
　　经星之己一百四十六
　　经星之庚一百四十七
　　经星之辛一百四十八
　　经星之壬一百四十九
　　经星之癸一百五十
　　经日之甲一
　　经月之己六
　　经星之甲一百五十一
　　经星之乙一百五十二
　　经星之丙一百五十三
　　经星之丁一百五十四
　　经星之戊一百五十五
　　经星之己一百五十六
　　经星之庚一百五十七
　　经星之辛一百五十八
　　经星之壬一百五十九
　　经星之癸一百六十
　　经星之甲一百六十一
　　经星之乙一百六十二
　　经星之丙一百六十三
　　经星之丁一百六十四
　　经星之戊一百六十五
　　经星之己一百六十六
　　经星之庚一百六十七
　　经星之辛一百六十八
　　经星之壬一百六十九
　　经星之癸一百七十
　　经星之甲一百七十一
　　经星之乙一百七十二
　　经星之丙一百七十三
　　经星之丁一百七十四
　　经星之戊一百七十五
　　经星之己一百七十六
　　经星之庚一百七十七
　　经星之辛一百七十八
　　经星之壬一百七十九
　　观物篇十四　　以防经运二
　　经日之甲一
　　经月之己六
　　经星之癸一百八十
　　经辰之子二千一百四十九
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之丑二千一百五十
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之寅二千一百五十一
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之卯二千一百五十二
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之辰二千一百五十三
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之巳二千一百五十四
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之午二千一百五十五
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之未二千一百五十六
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰唐尧
　　乙巳二
　　丙午三
　　丁未四
　　戊申五
　　己酉六
　　庚戌七
　　辛亥八
　　壬子九
　　癸丑十
　　甲寅十一
　　乙卯十二
　　丙辰十三
　　丁巳十四
　　戊午十五
　　己未十六
　　庚申十七
　　辛酉十八
　　壬戌十九
　　癸亥二十
　　经辰之申二千一百五十七
　　甲子二十一
　　乙丑二十二
　　丙寅二十三
　　丁卯二十四
　　戊辰二十五
　　己巳二十六
　　庚午二十七
　　辛未二十八
　　壬申二十九
　　癸酉三十
　　甲戌三十一
　　乙亥三十二
　　丙子三十三
　　丁丑三十四
　　戊寅三十五
　　己卯三十六
　　庚辰三十七
　　辛巳三十八
　　壬午三十九
　　癸未四十
　　甲申四十一
　　乙酉四十二
　　丙戌四十三
　　丁亥四十四
　　戊子四十五
　　己丑四十六
　　庚寅四十七
　　辛卯四十八
　　壬辰四十九
　　癸巳五十
　　经辰之酉二千一百五十八
　　甲午五十一
　　乙未五十二
　　丙申五十三
　　丁酉五十四
　　戊戌五十五
　　己亥五十六
　　庚子五十七
　　辛丑五十八
　　壬寅五十九
　　癸卯六十
　　甲辰六十一【洪水方割命鲧治之】
　　乙巳六十二
　　丙午六十三
　　丁未六十四
　　戊申六十五
　　己酉六十六
　　庚戌六十七
　　辛亥六十八
　　壬子六十九
　　癸丑七十　【征舜登庸】
　　甲寅七十一
　　乙卯七十二【荐舜于天命之位】
　　丙辰虞舜　【正月上日舜受命于文祖】
　　丁巳二
　　戊午三
　　己未四
　　庚申五
　　辛酉六
　　壬戌七
　　癸亥八
　　经辰之戌二千一百五十九
　　甲子九
　　乙丑十
　　丙寅十一
　　丁卯十二
　　戊辰十三
　　己巳十四
　　庚午十五
　　辛未十六
　　壬申十七
　　癸酉十八
　　甲戌十九
　　乙亥二十
　　丙子二十一
　　丁丑二十二
　　戊寅二十三
　　己卯二十四
　　庚辰二十五
　　辛巳二十六
　　壬午二十七
　　癸未二十八【帝尧殂落】
　　甲申二十九
　　乙酉三十
　　丙戌三十一【月正元日舜格于文祖】
　　丁亥三十二
　　戊子三十三
　　己丑三十四
　　庚寅三十五
　　辛卯三十六
　　壬辰三十七
　　癸巳三十八
　　经辰之亥二千一百六十
　　甲午三十九
　　乙未四十
　　丙申四十一
　　丁酉四十二
　　戊戌四十三
　　己亥四十四
　　庚子四十五
　　辛丑四十六
　　壬寅四十七
　　癸卯四十八
　　甲辰四十九
　　乙巳五十
　　丙午五十一
　　丁未五十二
　　戊申五十三
　　己酉五十四
　　庚戌五十五
　　辛亥五十六
　　壬子五十七
　　癸丑五十八
　　甲寅五十九
　　乙卯六十
　　丙辰六十一【荐禹于天命之位】
　　丁巳夏禹　【正月朔旦受命于神宗】
　　戊午二
　　己未三
　　庚申四
　　辛酉五
　　壬戌六
　　癸亥七
　　观物篇十五　　以防经运三
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之甲一百八十一
　　经辰之子二千一百六十一
　　甲子八
　　乙丑九
　　丙寅十
　　丁卯十一
　　戊辰十二
　　己巳十三
　　庚午十四
　　辛未十五
　　壬申十六
　　癸酉十七【舜陟方乃死】
　　甲戌十八
　　乙亥十九
　　丙子二十
　　丁丑二十一
　　戊寅二十二
　　己卯二十三
　　庚辰二十四
　　辛巳二十五
　　壬午二十六
　　癸未二十七【东巡至于防稽崩】
　　甲申夏啓
　　乙酉二
　　丙戌三
　　丁亥四
　　戊子五
　　己丑六
　　庚寅七
　　辛卯八
　　壬辰九
　　癸巳夏太康
　　经辰之丑二千一百六十二
　　甲午二
　　乙未三
　　丙申四
　　丁酉五
　　戊戌六
　　己亥七
　　庚子八
　　辛丑九
　　壬寅十
　　癸卯十一
　　甲辰十二
　　乙巳十三
　　丙午十四
　　丁未十五
　　戊申十六
　　己酉十七
　　庚戌十八
　　辛亥十九
　　壬子二十
　　癸丑二十一
　　甲寅二十二
　　乙卯二十三
　　丙辰二十四
　　丁巳二十五
　　戊午二十六
　　己未二十七
　　庚申二十八
　　辛酉二十九【太康失邦有穷后羿拒于河而死】
　　壬戌夏仲康
　　癸亥二
　　经辰之寅二千一百六十三
　　甲子三
　　乙丑四
　　丙寅五
　　丁卯六
　　戊辰七
　　己巳八
　　庚午九
　　辛未十
　　壬申十一
　　癸酉十二
　　甲戌十三
　　乙亥夏相
　　丙子二
　　丁丑三
　　戊寅四
　　己卯五
　　庚辰六
　　辛巳七
　　壬午八
　　癸未九
　　甲申十
　　乙酉十一
　　丙戌十二
　　丁亥十三
　　戊子十四
　　己丑十五
　　庚寅十六
　　辛卯十七
　　壬辰十八
　　癸巳十九
　　经辰之卯二千一百六十四
　　甲午二十
　　乙未二十一
　　丙申二十二
　　丁酉二十三
　　戊戌二十四
　　己亥二十五
　　庚子二十六
　　辛丑二十七
　　壬寅二十八【寒浞杀有穷后羿代立使子浇及豷伐斟灌斟鄩氏灭相封浇于过封豷于戈相之臣靡逃于有鬲氏相之后緍还于有仍氏始生少康】
　　癸卯夏少康【始生】
　　甲辰二
　　乙巳三
　　丙午四
　　丁未五
　　戊申六
　　己酉七
　　庚戌八
　　辛亥九
　　壬子十
　　癸丑十一
　　甲寅十二
　　乙卯十三
　　丙辰十四
　　丁巳十五
　　戊午十六
　　己未十七
　　庚申十八
　　辛酉十九
　　壬戌二十
　　癸亥二十一
　　经辰之辰二千一百六十五
　　甲子二十二
　　乙丑二十三
　　丙寅二十四
　　丁卯二十五
　　戊辰二十六
　　己巳二十七
　　庚午二十八
　　辛未二十九
　　壬申三十
　　癸酉三十一
　　甲戌三十二
　　乙亥三十三
　　丙子三十四
　　丁丑三十五
　　戊寅三十六
　　己卯三十七
　　庚辰三十八
　　辛巳三十九
　　壬午夏少康立【夏之臣靡自鬲收斟灌斟鄩之烬以灭浞而立少康少康旣立遂灭浇于过灭
　　豷于戈以絶有穷氏之族】
　　癸未二
　　甲申三
　　乙酉四
　　丙戌五
　　丁亥六
　　戊子七
　　己丑八
　　庚寅九
　　辛卯十
　　壬辰十一
　　癸巳十二
　　经辰之巳二千一百六十六
　　甲午十三
　　乙未十四
　　丙申十五
　　丁酉十六
　　戊戌十七
　　己亥十八
　　庚子十九
　　辛丑二十
　　壬寅二十一
　　癸卯二十二
　　甲辰夏杼
　　乙巳二
　　丙午三
　　丁未四
　　戊申五
　　己酉六
　　庚戌七
　　辛亥八
　　壬子九
　　癸丑十
　　甲寅十一
　　乙卯十二
　　丙辰十三
　　丁巳十四
　　戊午十五
　　己未十六
　　庚申十七
　　辛酉夏槐
　　壬戌二
　　癸亥三
　　经辰之午二千一百六十七
　　甲子四
　　乙丑五
　　丙寅六
　　丁卯七
　　戊辰八
　　己巳九
　　庚午十
　　辛未十一
　　壬申十二
　　癸酉十三
　　甲戌十四
　　乙亥十五
　　丙子十六
　　丁丑十七
　　戊寅十八
　　己卯十九
　　庚辰二十
　　辛巳二十一
　　壬午二十二
　　癸未二十三
　　甲申二十四
　　乙酉二十五
　　丙戌二十六
　　丁亥夏芒
　　戊子二
　　己丑三
　　庚寅四
　　辛卯五
　　壬辰六
　　癸巳七
　　经辰之未二千一百六十八
　　甲午八
　　乙未九
　　丙申十
　　丁酉十一
　　戊戌十二
　　己亥十三
　　庚子十四
　　辛丑十五
　　壬寅十六
　　癸卯十七
　　甲辰十八
　　乙巳夏泄
　　丙午二
　　丁未三
　　戊申四
　　己酉五
　　庚戌六
　　辛亥七
　　壬子八
　　癸丑九
　　甲寅十
　　乙卯十一
　　丙辰十二
　　丁巳十三
　　戊午十四
　　己未十五
　　庚申十六
　　辛酉夏不降
　　壬戌二
　　癸亥三
　　经辰之申二千一百六十九
　　甲子四
　　乙丑五
　　丙寅六
　　丁卯七
　　戊辰八
　　己巳九
　　庚午十
　　辛未十一
　　壬申十二
　　癸酉十三
　　甲戌十四
　　乙亥十五
　　丙子十六
　　丁丑十七
　　戊寅十八
　　己卯十九
　　庚辰二十
　　辛巳二十一
　　壬午二十二
　　癸未二十三
　　甲申二十四
　　乙酉二十五
　　丙戌二十六
　　丁亥二十七
　　戊子二十八
　　己丑二十九
　　庚寅三十
　　辛卯三十一
　　壬辰三十二
　　癸巳三十三
　　经辰之酉二千一百七十
　　甲午三十四
　　乙未三十五
　　丙申三十六
　　丁酉三十七
　　戊戌三十八
　　己亥三十九
　　庚子四十
　　辛丑四十一
　　壬寅四十二
　　癸卯四十三
　　甲辰四十四
　　乙巳四十五
　　丙午四十六
　　丁未四十七
　　戊申四十八
　　己酉四十九
　　庚戌五十
　　辛亥五十一
　　壬子五十二
　　癸丑五十三
　　甲寅五十四
　　乙卯五十五
　　丙辰五十六
　　丁巳五十七
　　戊午五十八
　　己未五十九
　　庚申夏扄
　　辛酉二
　　壬戌三
　　癸亥四
　　经辰之戌二千一百七十一
　　甲子五
　　乙丑六
　　丙寅七
　　丁卯八
　　戊辰九
　　己巳十
　　庚午十一
　　辛未十二
　　壬申十三
　　癸酉十四
　　甲戌十五
　　乙亥十六
　　丙子十七
　　丁丑十八
　　戊寅十九
　　己卯二十
　　庚辰二十一
　　辛巳夏厪
　　壬午二
　　癸未三
　　甲申四
　　乙酉五
　　丙戌六
　　丁亥七
　　戊子八
　　己丑九
　　庚寅十
　　辛卯十一
　　壬辰十二
　　癸巳十三
　　经辰之亥二千一百七十二
　　甲午十四
　　乙未十五
　　丙申十六
　　丁酉十七
　　戊戌十八
　　己亥十九
　　庚子二十
　　辛丑二十一
　　壬寅夏孔甲
　　癸卯二
　　甲辰三
　　乙巳四
　　丙午五
　　丁未六
　　戊申七
　　己酉八
　　庚戌九
　　辛亥十
　　壬子十一
　　癸丑十二
　　甲寅十三
　　乙卯十四
　　丙辰十五
　　丁巳十六
　　戊午十七
　　己未十八
　　庚申十九
　　辛酉二十
　　壬戌二十一
　　癸亥二十二
　　观物篇十六　　以防经运四
　　经日之甲一
　　经月之未八
　　经星之乙一百八十二
　　经辰之子二千一百七十三
　　甲子二十三
　　乙丑二十四
　　丙寅二十五
　　丁卯二十六
　　戊辰二十七
　　己巳二十八
　　庚午二十九
　　辛未三十
　　壬申三十一
　　癸酉夏臯
　　甲戌二
　　乙亥三
　　丙子四
　　丁丑五
　　戊寅六
　　己卯七
　　庚辰八
　　辛巳九
　　壬午十
　　癸未十一
　　甲申夏发
　　乙酉二
　　丙戌三
　　丁亥四
　　戊子五
　　己丑六
　　庚寅七
　　辛卯八
　　壬辰九
　　癸巳十
　　经辰之丑二千一百七十四
　　甲午十一
　　乙未十二
　　丙申十三
　　丁酉十四
　　戊戌十五
　　己亥十六
　　庚子十七
　　辛丑十八
　　壬寅十九
　　癸卯夏癸
　　甲辰二
　　乙巳三
　　丙午四
　　丁未五
　　戊申六
　　己酉七
　　庚戌八
　　辛亥九
　　壬子十
　　癸丑十一
　　甲寅十二
　　乙卯十三
　　丙辰十四
　　丁巳十五
　　戊午十六
　　己未十七
　　庚申十八
　　辛酉十九
　　壬戌二十
　　癸亥二十一
　　经辰之寅二千一百七十五
　　甲子二十二
　　乙丑二十三
　　丙寅二十四
　　丁卯二十五
　　戊辰二十六
　　己巳二十七
　　庚午二十八
　　辛未二十九
　　壬申三十
　　癸酉三十一
　　甲戌三十二
　　乙亥三十三
　　丙子三十四
　　丁丑三十五
　　戊寅三十六
　　己卯三十七
　　庚辰三十八
　　辛巳三十九
　　壬午四十
　　癸未四十一
　　甲申四十二
　　乙酉四十三
　　丙戌四十四
　　丁亥四十五
　　戊子四十六
　　己丑四十七
　　庚寅四十八
　　辛卯四十九
　　壬辰五十
　　癸巳五十一
　　经辰之卯二千一百七十六
　　甲午五十二
　　乙未商汤
　　丙申二
　　丁酉三
　　戊戌四
　　己亥五
　　庚子六
　　辛丑七
　　壬寅八
　　癸卯九
　　甲辰十
　　乙巳十一
　　丙午十二
　　丁未十三
　　戊申商太甲
　　己酉二
　　庚戌三
　　辛亥四
　　壬子五
　　癸丑六
　　甲寅七
　　乙卯八
　　丙辰九
　　丁巳十
　　戊午十一
　　己未十二
　　庚申十三
　　辛酉十四
　　壬戌十五
　　癸亥十六
　　经辰之辰二千一百七十七
　　甲子十七
　　乙丑十八
　　丙寅十九
　　丁卯二十
　　戊辰二十一
　　己巳二十二
　　庚午二十三
　　辛未二十四
　　壬申二十五
　　癸酉二十六
　　甲戌二十七
　　乙亥二十八
　　丙子二十九
　　丁丑三十
　　戊寅三十一
　　己卯三十二
　　庚辰三十三
　　辛巳商沃丁
　　壬午二
　　癸未三
　　甲申四
　　乙酉五
　　丙戌六
　　丁亥七
　　戊子八
　　己丑九
　　庚寅十
　　辛卯十一
　　壬辰十二
　　癸巳十三
　　经辰之己二千一百七十八
　　甲午十四
　　乙未十五
　　丙申十六
　　丁酉十七
　　戊戌十八
　　己亥十九
　　庚子二十
　　辛丑二十一
　　壬寅二十二
　　癸卯二十三
　　甲辰二十四
　　乙巳二十五
　　丙午二十六
　　丁未二十七
　　戊申二十八
　　己酉二十九
　　庚戌商太庚
　　辛亥二
　　壬子三
　　癸丑四
　　甲寅五
　　乙卯六
　　丙辰七
　　丁巳八
　　戊午九
　　己未十
　　庚申十一
　　辛酉十二
　　壬戌十三
　　癸亥十四
　　经辰之午二千一百七十九
　　甲子十五
　　乙丑十六
　　丙寅十七
　　丁卯十八
　　戊辰十九
　　己巳二十
　　庚午二十一
　　辛未二十二
　　壬申二十三
　　癸酉二十四
　　甲戌二十五
　　乙亥商小甲
　　丙子二
　　丁丑三
　　戊寅四
　　己卯五
　　庚辰六
　　辛巳七
　　壬午八
　　癸未九
　　甲申十
　　乙酉十一
　　丙戌十二
　　丁亥十三
　　戊子十四
　　己丑十五
　　庚寅十六
　　辛卯十七
　　壬辰商雍己
　　癸巳二
　　经辰之未二千一百八十
　　甲午三
　　乙未四
　　丙申五
　　丁酉六
　　戊戌七
　　己亥八
　　庚子九
　　辛丑十
　　壬寅十一
　　癸卯十二
　　甲辰商太戊
　　乙巳二
　　丙午三
　　丁未四
　　戊申五
　　己酉六
　　庚戌七
　　辛亥八
　　壬子九
　　癸丑十
　　甲寅十一
　　乙卯十二
　　丙辰十三
　　丁巳十四
　　戊午十五
　　己未十六
　　庚申十七
　　辛酉十八
　　壬戌十九
　　癸亥二十
　　经辰之申二千一百八十一
　　甲子二十一
　　乙丑二十二
　　丙寅二十三
　　丁卯二十四
　　戊辰二十五
　　己巳二十六
　　庚午二十七
　　辛未二十八
　　壬申二十九
　　癸酉三十
　　甲戌三十一
　　乙亥三十二
　　丙子三十三
　　丁丑三十四
　　戊寅三十五
　　己卯三十六
　　庚辰三十七
　　辛巳三十八
　　壬午三十九
　　癸未四十
　　甲申四十一
　　乙酉四十二
　　丙戌四十三
　　丁亥四十四
　　戊子四十五
　　己丑四十六
　　庚寅四十七
　　辛卯四十八
　　壬辰四十九
　　癸巳五十
　　经辰之酉二千一百八十二
　　甲午五十一
　　乙未五十二
　　丙申五十三
　　丁酉五十四
　　戊戌五十五
　　己亥五十六
　　庚子五十七
　　辛丑五十八
　　壬寅五十九
　　癸卯六十
　　甲辰六十一
　　乙巳六十二
　　丙午六十三
　　丁未六十四
　　戊申六十五
　　己酉六十六
　　庚戌六十七
　　辛亥六十八
　　壬子六十九
　　癸丑七十
　　甲寅七十一
　　乙卯七十二
　　丙辰七十三
　　丁巳七十四
　　戊午七十五
　　己未商仲丁
　　庚申二
　　辛酉三
　　壬戌四
　　癸亥五
　　经辰之戌二千一百八十三
　　甲子六
　　乙丑七
　　丙寅八
　　丁卯九
　　戊辰十
　　己巳十一
　　庚午十二
　　辛未十三
　　壬申商外壬
　　癸酉二
　　甲戌三
　　乙亥四
　　丙子五
　　丁丑六
　　戊寅七
　　己卯八
　　庚辰九
　　辛巳十
　　壬午十一
　　癸未十二
　　甲申十三
　　乙酉十四
　　丙戌十五
　　丁亥商河亶甲
　　戊子二
　　己丑三
　　庚寅四
　　辛卯五
　　壬辰六
　　癸巳七
　　经辰之亥二千一百八十四
　　甲午八
　　乙未九
　　丙申商祖乙
　　丁酉二
　　戊戌三
　　己亥四
　　庚子五
　　辛丑六
　　壬寅七
　　癸卯八
　　甲辰九
　　乙巳十
　　丙午十一
　　丁未十二
　　戊申十三
　　己酉十四
　　庚戌十五
　　辛亥十六
　　壬子十七
　　癸丑十八
　　甲寅十九
　　乙卯商祖辛
　　丙辰二
　　丁巳三
　　戊午四
　　己未五
　　庚申六
　　辛酉七
　　壬戌八
　　癸亥九

　　皇极经世书卷三上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷三下　　　　宋　邵雍　撰观物篇十七　　以防经运五
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之丙一百八十三
　　经辰之子二千一百八十五
　　甲子十
　　乙丑十一
　　丙寅十二
　　丁卯十三
　　戊辰十四
　　己巳十五
　　庚午十六
　　辛未商沃甲
　　壬申二
　　癸酉三
　　甲戌四
　　乙亥五
　　丙子六
　　丁丑七
　　戊寅八
　　己卯九
　　庚辰十
　　辛巳十一
　　壬午十二
　　癸未十三
　　甲申十四
　　乙酉十五
　　丙戌十六
　　丁亥十七
　　戊子十八
　　己丑十九
　　庚寅二十
　　辛卯二十一
　　壬辰二十二
　　癸巳二十三
　　经辰之丑二千一百八十六
　　甲午二十四
　　乙未二十五
　　丙申商祖丁
　　丁酉二
　　戊戌三
　　己亥四
　　庚子五
　　辛丑六
　　壬寅七
　　癸卯八
　　甲辰九
　　乙巳十
　　丙午十一
　　丁未十二
　　戊申十三
　　己酉十四
　　庚戌十五
　　辛亥十六
　　壬子十七
　　癸丑十八
　　甲寅十九
　　乙卯二十
　　丙辰二十一
　　丁巳二十二
　　戊午二十三
　　己未二十四
　　庚申二十五
　　辛酉二十六
　　壬戌二十七
　　癸亥二十八
　　经辰之寅二千一百八十七
　　甲子二十九
　　乙丑三十
　　丙寅三十一
　　丁卯三十二
　　戊辰商南庚
　　己巳二
　　庚午三
　　辛未四
　　壬申五
　　癸酉六
　　甲戌七
　　乙亥八
　　丙子九
　　丁丑十
　　戊寅十一
　　己卯十二
　　庚辰十三
　　辛巳十四
　　壬午十五
　　癸未十六
　　甲申十七
　　乙酉十八
　　丙戌十九
　　丁亥二十
　　戊子二十一
　　己丑二十二
　　庚寅二十三
　　辛卯二十四
　　壬辰二十五
　　癸巳商阳甲
　　经辰之卯二千一百八十八
　　甲午二
　　乙未三
　　丙申四
　　丁酉五
　　戊戌六
　　己亥七
　　庚子商盘庚
　　辛丑二
　　壬寅三
　　癸卯四
　　甲辰五
　　乙巳六
　　丙午七
　　丁未八
　　戊申九
　　己酉十
　　庚戌十一
　　辛亥十二
　　壬子十三
　　癸丑十四
　　甲寅十五
　　乙卯十六
　　丙辰十七
　　丁巳十八
　　戊午十九
　　己未二十
　　庚申二十一
　　辛酉二十二
　　壬戌二十三
　　癸亥二十四
　　经辰之辰二千一百八十九
　　甲子二十五
　　乙丑二十六
　　丙寅二十七
　　丁卯二十八
　　戊辰商小辛
　　己巳二
　　庚午三
　　辛未四
　　壬申五
　　癸酉六
　　甲戌七
　　乙亥八
　　丙子九
　　丁丑十
　　戊寅十一
　　己卯十二
　　庚辰十三
　　辛巳十四
　　壬午十五
　　癸未十六
　　甲申十七
　　乙酉十八
　　丙戌十九
　　丁亥二十
　　戊子二十一
　　己丑商小乙
　　庚寅二
　　辛卯三
　　壬辰四
　　癸巳五
　　经辰之己二千一百九十
　　甲午六
　　乙未七
　　丙申八
　　丁酉九
　　戊戌十
　　己亥十一
　　庚子十二
　　辛丑十三
　　壬寅十四
　　癸卯十五
　　甲辰十六
　　乙巳十七
　　丙午十八
　　丁未十九
　　戊申二十
　　己酉二十一
　　庚戌二十二
　　辛亥二十三
　　壬子二十四
　　癸丑二十五
　　甲寅二十六
　　乙卯二十七
　　丙辰二十八
　　丁巳商武丁
　　戊午二
　　己未三
　　庚申四
　　辛酉五
　　壬戌六
　　癸亥七
　　经辰之午二千一百九十一
　　甲子八
　　乙丑九
　　丙寅十
　　丁卯十一
　　戊辰十二
　　己巳十三
　　庚午十四
　　辛未十五
　　壬申十六
　　癸酉十七
　　甲戌十八
　　乙亥十九
　　丙子二十
　　丁丑二十一
　　戊寅二十二
　　己卯二十三
　　庚辰二十四
　　辛巳二十五
　　壬午二十六
　　癸未二十七
　　甲申二十八
　　乙酉二十九
　　丙戌三十
　　丁亥三十一
　　戊子三十二
　　己丑三十三
　　庚寅三十四
　　辛卯三十五
　　壬辰三十六
　　癸巳三十七
　　经辰之未二千一百九十二
　　甲午三十八
　　乙未三十九
　　丙申四十
　　丁酉四十一
　　戊戌四十二
　　己亥四十三
　　庚子四十四
　　辛丑四十五
　　壬寅四十六
　　癸卯四十七
　　甲辰四十八
　　乙巳四十九
　　丙午五十
　　丁未五十一
　　戊申五十二
　　己酉五十三
　　庚戌五十四
　　辛亥五十五
　　壬子五十六
　　癸丑五十七
　　甲寅五十八
　　乙卯五十九
　　丙辰商祖庚
　　丁巳二
　　戊午三
　　己未四
　　庚申五
　　辛酉六
　　壬戌七
　　癸亥商祖甲
　　经辰之申二千一百九十三
　　甲子二
　　乙丑三
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　　戊辰六
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　　庚午八
　　辛未九
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　　癸酉十一
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　　丙子十四
　　丁丑十五
　　戊寅十六
　　己卯十七
　　庚辰十八
　　辛巳十九
　　壬午二十
　　癸未二十一
　　甲申二十二
　　乙酉二十三
　　丙戌二十四
　　丁亥二十五
　　戊子二十六
　　己丑二十七
　　庚寅二十八
　　辛卯二十九
　　壬辰三十
　　癸巳三十一
　　经辰之酉二千一百九十四
　　甲午三十二
　　乙未三十三
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　　丁酉二
　　戊戌三
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　　庚子五
　　辛丑六
　　壬寅商庚丁
　　癸卯二
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　　乙巳四
　　丙午五
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　　戊申七
　　己酉八
　　庚戌九
　　辛亥十
　　壬子十一
　　癸丑十二
　　甲寅十三
　　乙卯十四
　　丙辰十五
　　丁巳十六
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　　己未十八
　　庚申十九
　　辛酉二十
　　壬戌二十一
　　癸亥商武乙
　　经辰之戌二千一百九十五
　　甲子二
　　乙丑三
　　丙寅四
　　丁卯商太丁
　　戊辰二
　　己巳三
　　庚午商帝乙
　　辛未二
　　壬申三
　　癸酉四
　　甲戌五
　　乙亥六
　　丙子七
　　丁丑八
　　戊寅九
　　己卯十
　　庚辰十一
　　辛巳十二
　　壬午十三
　　癸未十四
　　甲申十五
　　乙酉十六
　　丙戌十七
　　丁亥十八
　　戊子十九
　　己丑二十
　　庚寅二十一
　　辛卯二十二
　　壬辰二十三
　　癸巳二十四
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　　甲午二十五
　　乙未二十六
　　丙申二十七
　　丁酉二十八
　　戊戌二十九
　　己亥三十
　　庚子三十一
　　辛丑三十二
　　壬寅三十三
　　癸卯三十四
　　甲辰三十五
　　乙巳三十六
　　丙午三十七
　　丁未商受辛
　　戊申二
　　己酉三
　　庚戌四
　　辛亥五
　　壬子六
　　癸丑七
　　甲寅八
　　乙卯九
　　丙辰十
　　丁巳十一
　　戊午十二
　　己未十三
　　庚申十四
　　辛酉十五
　　壬戌十六
　　癸亥十七【锡周文王命为西伯】
　　观物篇十八　　以防经运六
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之丁一百八十四
　　经辰之子二千一百九十七
　　甲子十八
　　乙丑十九
　　丙寅二十
　　丁卯二十一
　　戊辰二十二
　　己巳二十三【周文王没武王即位】
　　庚午二十四
　　辛未二十五
　　壬申二十六
　　癸酉二十七
　　甲戌二十八
　　乙亥二十九
　　丙子三十
　　丁丑三十一
　　戊寅三十二
　　己卯周武王
　　庚辰二
　　辛巳三
　　壬午四
　　癸未五
　　甲申六
　　乙酉七
　　丙戌周成王
　　丁亥二
　　戊子三
　　己丑四
　　庚寅五
　　辛卯六
　　壬辰七
　　癸巳八
　　经辰之丑二千一百九十八
　　甲午九
　　乙未十
　　丙申十一
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　　戊戌十三
　　己亥十四
　　庚子十五
　　辛丑十六
　　壬寅十七
　　癸卯十八
　　甲辰十九
　　乙巳二十
　　丙午二十一
　　丁未二十二
　　戊申二十三
　　己酉二十四
　　庚戌二十五
　　辛亥二十六
　　壬子二十七
　　癸丑二十八
　　甲寅二十九
　　乙卯三十
　　丙辰三十一
　　丁巳三十二
　　戊午三十三
　　己未三十四
　　庚申三十五
　　辛酉三十六
　　壬戌三十七
　　癸亥周康王
　　经辰之寅二千一百九十九
　　甲子二
　　乙丑三
　　丙寅四
　　丁卯五
　　戊辰六
　　己巳七
　　庚午八
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　　壬申十
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　　丁丑十五
　　戊寅十六
　　己卯十七
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　　辛巳十九
　　壬午二十
　　癸未二十一
　　甲申二十二
　　乙酉二十三
　　丙戌二十四
　　丁亥二十五
　　戊子二十六
　　己丑周昭王
　　庚寅二
　　辛卯三
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　　癸巳五
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　　甲午六
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　　戊戌十
　　己亥十一
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　　辛丑十三
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　　己未三十一
　　庚申三十二
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　　壬戌三十四
　　癸亥三十五
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　　甲子三十六
　　乙丑三十七
　　丙寅三十八
　　丁卯三十九
　　戊辰四十
　　己巳四十一
　　庚午四十二
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　　壬申四十四
　　癸酉四十五
　　甲戌四十六
　　乙亥四十七
　　丙子四十八
　　丁丑四十九
　　戊寅五十
　　己卯五十一
　　庚辰周穆王
　　辛巳二
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　　辛丑二十二
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　　己酉三十
　　庚戌三十一
　　辛亥三十二
　　壬子三十三
　　癸丑三十四
　　甲寅三十五
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　　戊午三十九
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　　癸亥四十四
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　　甲子四十五
　　乙丑四十六
　　丙寅四十七
　　丁卯四十八
　　戊辰四十九
　　己巳五十
　　庚午五十一
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　　壬申五十三
　　癸酉五十四
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　　丙子二
　　丁丑三
　　戊寅四
　　己卯五
　　庚辰六
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　　壬午八
　　癸未九
　　甲申十
　　乙酉十一
　　丙戌十二
　　丁亥周懿王
　　戊子二
　　己丑三
　　庚寅四
　　辛卯五
　　壬辰六
　　癸巳七
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　　丙申十
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　　戊戌十二
　　己亥十三
　　庚子十四
　　辛丑十五
　　壬寅十六
　　癸卯十七
　　甲辰十八
　　乙巳十九
　　丙午二十
　　丁未二十一
　　戊申二十二
　　己酉二十三
　　庚戌二十四
　　辛亥二十五
　　壬子周孝王
　　癸丑二
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　　丁巳六
　　戊午七
　　己未八
　　庚申九
　　辛酉十
　　壬戌十一
　　癸亥十二
　　经辰之申二千二百五
　　甲子十三
　　乙丑十四
　　丙寅十五
　　丁卯周夷王
　　戊辰二
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　　庚午四
　　辛未五
　　壬申六
　　癸酉七
　　甲戌八
　　乙亥九
　　丙子十
　　丁丑十一
　　戊寅十二
　　己卯十三
　　庚辰十四
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　　壬午十六
　　癸未周厉王
　　甲申二
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　　庚寅八
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　　壬辰十
　　癸巳十一
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　　乙未十三
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　　乙丑四十三
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　　己巳四十七
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　　癸酉五十一
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　　乙亥二
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　　丁丑四
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　　己卯六
　　庚辰七
　　辛巳八
　　壬午九
　　癸未十
　　甲申十一
　　乙酉十二
　　丙戌十三
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　　戊子十五
　　己丑十六
　　庚寅十七
　　辛卯十八
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　　癸巳二十
　　经辰之亥二千二百八
　　甲午二十一
　　乙未二十二
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　　丁酉二十四
　　戊戌二十五
　　己亥二十六
　　庚子二十七
　　辛丑二十八
　　壬寅二十九
　　癸卯三十
　　甲辰三十一
　　乙巳三十二
　　丙午三十三
　　丁未三十四
　　戊申三十五
　　己酉三十六
　　庚戌三十七
　　辛亥三十八
　　壬子三十九
　　癸丑四十
　　甲寅四十一
　　乙卯四十二
　　丙辰四十三
　　丁巳四十四
　　戊午四十五
　　己未四十六
　　庚申周幽王
　　辛酉二
　　壬戌三
　　癸亥四

　　皇极经世书卷三下
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　　皇极经世书卷四上　　　　宋　邵雍　撰观物篇十九　　以防经运七
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之戊一百八十五
　　经辰之子二千二百九
　　甲子五
　　乙丑六
　　丙寅七
　　丁卯八
　　戊辰九
　　己巳十
　　庚午十一
　　辛未东周【平王】　晋【文侯】　齐【荘公】　宋【戴公】　楚【若敖】　秦【防公】壬申二　　十二　二十六　三十一　二十二　二癸酉三【鲁惠】　十三　　二十七　三十二　二十三　三甲戌四　　十四　　二十八　三十三　二十四　四乙亥五　　十五　　二十九　三十四　二十五　五丙子六　　十六　　三十　　宋【武公】　　二十六　六丁丑七　　十七　　三十一　二　　　二十七　七戊寅八　　十八　　三十二　三　　　楚【若敖】　　八己卯九　　十九　　三十三　四　　　二　　　九庚辰十　　二十　　三十四　五　　　三　　　十辛巳十一　二十一　三十五　六　　　四　　　十一壬午十二　二十二　三十六　七　　　五　　　十二癸未十三　二十三　三十七　八　　　六　　　秦【文公】甲申十四　二十四　三十八　九　　　楚【蚡冐】　　二乙酉十五　二十五　三十九　十　　　二　　　三丙戌十六　二十六　四十　　十一　　三　　　四丁亥十七　二十七　四十一　十二　　四　　　五戊子十八　二十八　四十二　十三　　五　　　六己丑十九　　二十九　四十三　十四　　六　　七庚寅二十　　三十　　四十四　十五　　七　　八辛邜二十一　三十一　四十五　十六　　八　　九壬辰二十二　三十二　四十六　十七　　九　　十癸巳二十三　三十三　四十七　十八十　十一
　　经辰之丑二千二百一十
　　甲午二十四　三十四　四十八　宋【宣公】　　十一　十二乙未二十五　三十五　四十九　二　　　十二　十三丙申二十六　晋【昭侯】　　五十　　三　　　十三　十四丁酉二十七　二　　　五十一　四　　　十四　十五戊戌二十八　三　　　五十二　五　　　十五　十六己亥二十九　四　　　五十三　六　　　十六　十七庚子三十　　五　　　五十四　七　　　十七　十八辛丑三十一　六　　　五十五　八　　　楚【武王】　十九壬寅三十二　晋【孝侯】　　五十六　九　　　二　　二十癸邜三十三　二　　　五十七　十　　　三　　二十一甲辰三十四　　三　　五十八　十一　　四　　二十二乙巳三十五　　四　　五十九　十二　　五　　二十三丙午三十六　　五　　六十　　十三　　六　　二十四丁未三十七　　六　　六十一　十四七　二十五戊申三十八　　七　　六十二　十五　　八　　二十六己酉三十九　　八　　六十三　十六　　九　　二十七庚戌四十　　　九　　六十四　十七　　十　　二十八辛亥四十一　　十　　齐【厘公】　　十八　　十一　二十九壬子四十二　　十一　二　　　十九　　十二　三十癸丑四十三　　十二　三　　　宋【穆公】　　十三　三十一甲寅四十四　　十三　四　　　二　　　十四　三十二乙邜四十五　　十四　五　　　三　　　十五　三十三丙辰四十六　　十五　六　　　四　　　十六　三十四丁巳四十七　　十六　七　　　五　　　十七　三十五戊午四十八　　晋【鄂公】　八　　　六　　　十八　三十六己未四十九【鲁隠】　二　九　七　十九　三十七
　　庚申五十　　三　　十　　　八　　　二十　　　三十八辛酉五十一　四　　十一　　九　　　二十一　　三十九壬戌周【桓王】　　五　　十二　　宋【殇公】　　二十二　　四十癸亥二　　　六　　十三　　二　　　二十三　　四十一
　　经辰之寅二千二百一十一
　　甲子三　　　晋【哀侯】　十四　　三　　　二十四　　四十二乙丑四　　　二　　十五四　二十五　四十三丙寅五　　　三　　十六　　五　　　二十六　　秦【灵公】丁邜六　　　四　　十七　　六　　　二十七　　二戊辰七　　　五　　十八　　七　　　二十八　　三己巳八　　　六　　十九　　八　　　二十九　　四庚午九【鲁桓】　　七　　二十　　九　　　三十　　　五辛未十　　　八　　二十一　宋【庄公】　　三十一　　六壬申十一　　孚侯　二十二　二　　　三十二　　七癸酉十二　　二　　二十三　三　　　三十三　　八甲戌十三　　三　　二十四　四　　　三十四　　九乙亥十四　　泯侯　　二十五　五　　三十五　　十丙子十五　　二　　　二十六　六　　三十六　　十一丁丑十六　　三　　　二十七　七　　三十七【称王】　十二戊寅十七　　四　　　二十八　八　　三十八　　秦【出公】己邜十八　　五　　　二十九　九　　三十九　　二庚辰十九　　六　　　三十　　十　　四十　　　三辛巳二十　　七　　　三十一　十一　四十一　　四壬午二十一　八　　　三十二　十二　四十二　　五癸未二十二　九　　　三十三　十三　四十三　　秦【武公】甲申二十三　十　　　齐【襄公】　　十四　四十四　　二乙酉周【庄王】　　十一　　二　　十五　　四十五　　三丙戌二　　　十二　　三　　十六　　四十六　　四丁亥三　　　十三　　四　　十七　　四十七　　五戊子四【鲁庄】　　十四　　五　　十八　　四十八　　六己丑五　　　十五六　十九　四十九　七
　　庚寅六　　　十六　　七　　宋【湣公】　　五十　　　八辛邜七　　十七　　八　　二　　五十一　九壬辰八　　十八　　九　　三　　楚【文王】　　十癸巳九　　十九　　十　　四　　二　　　十一
　　经辰之邜二千二百一十二
　　甲午十　　二十　　十一　五　　三　　　十二乙未十一　二十一　齐【无知】　六　　四　　　十三丙申十二　二十二　齐【桓公】　七　　五　　　十四丁酉十三　二十三　二　　八　　六　　　十五戊戌十四　二十四　三　　九　　七　　　十六己亥十五　二十五　四　　十　　八　　　十七庚子周【厘王】　二十六　五　　宋【桓公】　九　　　十八辛丑二　　二十七　六　　二　　十　　　十九壬寅三　　晋【武侯】　　七　　三　　十一　　二十癸卯四　　二　　　八　　四　　十二　　二十一甲辰五　　三　　　九　　五　　十三　　秦【徳公】乙巳周【惠王】　晋【献公】　　十　　六　　楚【牡敖】　　二丙午二　　　二　　十一　　七　　　二　　秦【宣公】丁未三　　　三　　十二　　八　　　三　　二戊申四　　　四　　十三　　九　　　四　　三己酉五　　　五　　十四十　楚【成王】　　四
　　庚戌六　　　六　　十五　　十一　　二　　五辛亥七　　　七　　十六　　十二　　三　　六壬子八　　　八　　十七　　十三　　四　　七癸丑九　　　九　　十八　　十四　　五　　八甲寅十　　　十　　十九　　十五　　六　　九乙邜十一　　十一　二十　　十六　　七　　十丙辰十二　　十二　二十一　十七　　八　　十一丁巳十三　　十三　二十二　十八　　九　　十二戊午十四　　十四　二十三　十九　　十　　秦【成公】己未十五　　十五　二十四　二十　　十一　二庚申十六【鲁闵】　十六　二十五　二十一　十二　三辛酉十七　　十七　二十六　二十二　十三　四壬戌十八【鲁僖】　十八　　　二十七　二十三　十四　　秦【穆公】癸亥十九　　十九　　　二十八　二十四　十五　　二
　　经辰之辰二千二百一十三
　　甲子二十　　二十　　　二十九　二十五　十六　　三乙丑二十一　二十一　　三十　　二十六　十七　　四丙寅二十二　二十二　　三十一　二十七　十八　　五丁邜二十三　二十三　　三十二　二十八　十九　　六戊辰二十四　二十四　　三十三　二十九　二十　　七己巳二十五　二十五　　三十四　三十　　二十一　八庚午周【襄王】　　二十六【奚齐卓子】三十五　三十一　二十二　九辛未二　　　晋【惠公】　　　三十六　宋【襄公】　　二十三　十
　　壬申三　　　二　　　　三十七　二　　　二十四　十一
　　癸酉四　　　三　　　　三十八　三　　　二十五　十二
　　甲戌五　　　四　　　　三十九　四　　　二十六　十三
　　乙亥六　　　五　　　　四十　　五　　　二十七　十四
　　丙子七　　　六　　　　四十一　六　　　二十八　十五丁丑八　　　七　　　四十二　七　　二十九　十六戊寅九　　　八　　　四十三　八　　三十　　十七己邜十　　　九　　　齐【孝公】　　九　　三十一　十八庚辰十一　　十　　　二　　　十　　三十二　十九辛巳十二　　十一　　三　　　十一　三十三　二十壬午十三　　十二　　四　　　十二　三十四　二十一癸未十四　　十三　　五　　　十三　三十五　二十二甲申十五　　十四【懐公】　六　　　十四　三十六　二十三乙酉十六　　晋【文公】　　七　　　宋【成公】　三十七　二十四丙戌十七　　二　　　八　　　二　　三十八　二十五丁亥十八　　三　　　九　　　三　　三十九　二十六戊子十九　　四　　　十　　　四　　四十　　二十七己丑二十　　五　　　齐【昭公】　　五　　四十一　二十八庚寅二十一　六　　　二　　　六　　四十二　二十九辛邜二十二　七　　　三　　　七　　四十三　三十壬辰二十三　八　　　四　　　八　　四十四　三十一癸巳二十四　九　五　九　四十五　三十二
　　经辰之巳二千二百一十四
　　甲午二十五　　晋【襄公】　六　　十　　楚【穆王】　三十三乙未二十六【鲁文】　二　　七　　十一　二　　三十四丙申二十七　　三　　八　　十二　三　　三十五丁酉二十八　　四　　九　　十三　四　　三十六戊戌二十九　　五　　十　　十四　五　　三十七己亥三十　　　六　　十一　十五　六　　三十八庚子三十一　　七　　十二　十六　七　　三十九辛丑三十二　　晋【灵公】　十三　十七　八　　秦【康公】壬寅三十三　　二　　十四　宋【昭公】　九　　二癸邜周【顷王】　　　三　　十五　二　　十　　三
　　甲辰二　　　　四　　十六　三　　十一　四
　　乙巳三　　　　五　　十七　四　　十二　五
　　丙午四　　　　六　　十八　五　　十三　六
　　丁未五　　　　七　　十九　六　　十四　七戊申六　　八　　二十　七　　楚【荘王】　八
　　己酉周【匡王】　九　　齐【懿公】　八　　二　　九
　　庚戌二　　十　　二　　宋【文公】　三　　十
　　辛亥三　　十一　三　　二　　四　　十一壬子四　　十二　四　　三　　五　　十二癸丑五【鲁宣】　十三　齐【惠公】　四　　六　　秦【共公】甲寅六　　十四　二　　五　　七　　二
　　乙邜周【定王】　晋【成公】　三　　六　　八　　三
　　丙辰二　　二　　四　　七　　九　　四
　　丁巳三　　三　　五　　八　　十　　五
　　戊午四　　四　　六　　九　　十一　秦【桓公】己未五　　五　　七　　十　　十二　二
　　庚申六　　六　　八　　十一　十三　三
　　辛酉七　　七　　九　　十二　十四　四
　　壬戌八　　晋【景公】　十　　十三　十五　五
　　癸亥九　　二　　齐【顷公】　十四　十六　六
　　经辰之午二千二百一十五
　　甲子十　　　三　　二　　十五　　十七　　七乙丑十一　　四　　三　　十六　　十八　　八丙寅十二　　五　　四　　十七　　十九　　九丁邜十三　　六　　五　　十八　　二十　　十戊辰十四　　七　　六　　十九　　二十一　十一己巳十五　　八　　七　　二十　　二十二　十二庚午十六　　九　　八　　二十一　二十三　十三辛未十七【鲁成】　十　　九　　二十二　楚【共王】　　十四壬申十八　　十一　十　　二十三　二　　　十五癸酉十九　　十二　十一　宋【共公】　　三　　　十六甲戌二十　　十三　十二　二　　　四　　　十七乙亥二十一　十四　十三　三　　　五　　　十八丙子周【简王】　　十五　十四　四　　　六　　　十九　　吴【夀梦】丁丑二　　　十六　十五　五　　　七　　　二十　　二戊寅三　　　十七　十六　六　　　八　　　二十一　三
　　己邜四　　　十八　十七　七　　九　　　　二十二　四
　　庚辰五　　　十九　齐【灵公】　八　　十　　　　二十三　五辛巳六　　　晋【厉公】　二　　九　　十一　　　二十四　六壬午七　　　二　　三　　十　　十二　　　二十五　七癸未八　　　三　　四　　十一　十三　　　二十六　八甲申九　　　四　　五　　十二　十四　　　二十七　九乙酉十　　　五　　六　　十三　十五秦【景公】　十丙戌十一　　六　　七　　宋【平公】　十六　　　二　　　十一丁亥十二　　七　　八　　二　　十七　　　三　　　十二戊子十三　　八　　九　　三　　十八　　　四　　　十三己丑十四【鲁襄】　晋【悼公】　十　　四　　十九　　　五　　　十四庚寅周【灵王】　　二　　十一　五　　二十　　　六　　　十五辛邜二　　　三　　十二　六　　二十一　　七　　　十六壬辰三　　　四　　十三　七　　二十二　　八　　　十七癸巳四　　　五　　十四　八　　二十三九　十八
　　经辰之未二千二百一十六
　　甲午五　　六　　十五　　九　　　二十四　十　　　十九乙未六　　七　　十六　　十　　　二十五　十一　　二十丙申七　　八　　十七　　十一　　二十六　十二　　二十一丁酉八　　九　　十八　　十二　　二十七　十三　　二十二戊戌九　　十　　十九　　十三　　二十八　十四　　二十三己亥十　　十一　二十　　十四　　二十九　十五　　二十四庚子十一　十二　二十一　十五　　三十　　十六　　二十五辛丑十二　十三　二十二　十六　　三十一　十七　　吴【诸樊】壬寅十三　十四　二十三　十七　　楚【康王】　　十八　　二癸邜十四　十五　二十四　十八　　二　　　十九　　三甲辰十五　晋【平公】　二十五　十九　　三　　　二十　　四乙巳十六　二　　二十六　二十　　四　　　二十一　五丙午十七　三　　二十七　二十一　五　　　二十二　六丁未十八　四　　二十八　二十二　六　　　二十三　七戊申十九　五　　齐【庄公】　　二十三　七　　　二十四　八己酉二十　六　　二　　二十四　八　　　二十五　九庚戌二十一　七　　　三　　二十五　　　九　　　二十六　十辛亥二十二　八　　　四　　二十六　　　十　　　二十七　十一壬子二十三　九　　　五　　二十七　　　十一　　二十八　十二癸丑二十四　十　　　六　　二十八　　　十二　　二十九　十三甲寅二十五　十一　　齐【景公】　二十九　　　十三　　三十　　吴【余祭】
　　乙邜二十六　十二　　二　　三十　　　　十四　　三十一　二丙辰二十七　十三　　三　　三十一　　　十五　　三十二　三丁巳周【景王】　　十四　　四　　三十二　　　楚【郏敖】　　三十三　四戊午二　　　十五　　五　　三十三　　　三　　　三十四　五己未三　　　十六　　六　　三十四　　　三　　　三十五　六庚申四【鲁昭】　　十七　　七　　三十五　　　四　　　三十六　七辛酉五　　　十八　　八　　三十六　　　楚【灵王】　　三十七　八壬戌六　　　十九　　九　　三十七　　　二　　　三十八　九癸亥七　　　二十　　十　　三十八　　　三　　　三十九　十
　　经辰之申二千二百一十七
　　甲子八　　　二十一　十一　三十九　　　四　　　四十　　十一乙丑九　　　二十二　十二　　四十　　五　　秦【襄公】　十二丙寅十　　　二十三　十三　　四十一　六　　二　　十三丁邜十一　　二十四　十四　　四十二　七　　三　　十四戊辰十二　　二十五　十五　　四十三　八　　四　　十五己巳十三　　二十六　十六　　四十四　九　　五　　十六庚午十四　　晋【昭公】　　十七　　宋【元公】　　十　　六　　十七辛未十五　　二　　　十八　　二　　　十一　七　　吴【余昧】壬申十六　　三　　　十九　　三　　　十二　八　　二癸酉十七　　四　　　二十　　四　　　楚【平王】　九　　三甲戌十八　　五　　　二十一　五　　　二　　十　　四乙亥十九　　六　　　二十二　六　　　三　　十一　吴【王僚】丙子二十　　晋【顷公】　　二十三　七　　　四　　十二　二丁丑二十一　二　　　二十四　八　　　五　　十三　三戊寅二十二　三　　　二十五　九　　　六　　十四　四己邜二十三　四　　　二十六　十　　　七　　十五　五庚辰二十四　五　　　二十七　十一　　八　　十六　六辛巳二十五　六　　二十八　　十二　九　　十七　　七壬午周【敬王】　　七　　二十九　　十三　十　　十八　　八癸未二　　　八　　三十　　　十四　十一　十九　　九甲申三　　　九　　三十一　　十五　十二　二十　　十乙酉四　　　十　　三十二　　宋【景公】　十三　二十一　十一丙戌五　　　十一　三十三　　二　　楚【昭王】　二十二　十二丁亥六　　　十二　三十四　　三　　二　　二十三　吴【阖闾】戊子七　　　十三　三十五　　四　　三　　二十四　二己丑八　　　十四　三十六　　五　　四　　二十五　三庚寅九　　　晋【定公】　三十七　　六　　五　　二十六　四辛卯十　　　二　　三十八　　七　　六　　二十七　五壬辰十一【鲁定】　三　　三十九　　八　　七　　二十八　六癸巳十二　　四　　四十　　　九　　八　　二十九　七
　　经辰之酉二千二百一十八
　　甲午十三　　五　　四十一　　十　　九　　三十　　八乙未十四　　六　　四十二　　十一　十　　三十一　九丙申十五　　七　　四十三　十二　十一　　三十二　十丁酉十六　　八　　四十四　十三　十二　　三十三　十一戊戌十七　　九　　四十五　十四　十三　　三十四　十二己亥十八　　十　　四十六　十五　十四　　三十五　十三庚子十九　　十一　四十七　十六　十五　　三十六　十四辛丑二十　　十二　四十八　十七　十六　　秦【惠公】　　十五壬寅二十一　十三　四十九　十八　十七　　二　　十六癸卯二十二　十四　五十　十九　十八　　三　　十七甲辰二十三　十五　五十一　二十　十九　　四　　十八乙巳二十四　十六　五十二　二十一　二十　　五　　十九　越【勾践】丙午二十五　十七　五十三　二十二　二十一　六　　吴【夫差】　二丁未二十六【鲁哀】　十八　五十四　二十三　二十二　七　　二　　三戊申二十七　十九　五十五　二十四　二十三　八　　三　　四己酉二十八　二十　五十六　二十五　二十四　九　　四　　五庚戌二十九　二十一　五十七　二十六　二十五　秦【悼公】　　五　　六辛亥三十　　二十二　五十八【孺子】二十七　二十六　二　　六　　七壬子三十一　二十三　齐【悼公】　二十八　二十七　三　　七　　　八癸丑三十二　二十四　二　　二十九　楚【惠王】　　四　　八　　　九甲寅三十三　二十五　三　　三十　　二　　　五　　九　　　十乙邜三十四　二十六　四　　三十一　三　　　六　　十　　　十一丙辰三十五　二十七　齐【简公】　三十二　四　　　七　　十一　　十二丁巳三十六　二十八　二　　三十三　五　　　八　　十二　　十三戊午三十七　二十九　三　　三十四　六　　　九　　十三　　十四己未三十八　三十　　四　　三十五　七　　　十　　十四　　十五庚申三十九　三十一　齐【平公】　三十六　八　　　十一　十五　　十六辛酉四十　　三十二　二　　三十七　九　　　十二　十六　　十七壬戌四十一　三十三　三　　三十八　十　　　十三　十七　　十八癸亥四十二　三十四　四　　三十九　十一　　秦【厉公】　十八　　十九
　　经辰之戌二千二百一十九
　　甲子四十三　三十五　五　　四十　　十二　　二　　十九　　二十乙丑四十四　三十六　六　　四十一　十三　　三　　二十　　二十一丙寅周【元王】　　三十七　七　　四十二　十四　　四　　二十一　二十二丁邜二　晋【出公】　八　　四十三　十五　五　二十二　二十三戊辰三　二　九　　四十四　十六　六　呉亡　二十四【防呉】
　　己巳四　三　十　　四十五　十七　七　　　　二十五
　　庚午五　四　十一　四十六　十八　八　　　　二十六
　　辛未六　五　十二　四十七　十九　九　　　　二十七
　　壬申周【慎定】　六　十三　四十八　二十　十　　　　二十八癸酉二　七　十四　四十九　二十一　十一甲戌三　八　十五　五十　二十二　十二乙亥四　九　十六　五十一　二十三　十三丙子五　十　十七　五十二　二十四　十四丁丑六　十一　十八　五十三　二十五　十五戊寅七　十二　十九　五十四　二十六　十六己邜八　十三　二十　五十五　二十七　十七庚辰九　十四　二十一　五十六　二十八　十八辛巳十　十五　二十二　五十七　二十九　十九壬午十一　十六　二十三　五十八　三十　二十癸未十二　　晋【哀公】　二十四　五十九　三十一　二十一甲申十三　　二　　二十五　六十　　三十二　二十二乙酉十四　　三　　二十六　六十一　三十三　二十三丙戌十五　　四　　齐【宣公】　　六十二　三十四　二十四丁亥十六　　五　　二　　　六十三　三十五　二十五戊子十七　　六　　三　　　六十四　三十六　二十六己丑十八　　七　　四　　　宋【昭公】　　三十七　二十七庚寅十九　　八　　五　　　二　　　三十八　二十八辛邜二十　　九　　六　　　三　　　三十九　二十九壬辰二十一　十　　七　　　四　　　四十　　三十癸巳二十二　十一　八　　　五　　　四十一　三十一
　　经辰之亥二千二百二十
　　甲午二十三　十二　九　　　六　　　四十二　三十二乙未二十四　十三　十　　　七　　　四十三　三十三丙申二十五　十四　十一　　八　　　四十四　三十四丁酉二十六　十五　十二　　九　　　四十五　秦【桓公】戊戌二十七　　十六　十三　　　十　　　四十六　二己亥二十八【哀公】　十七　十四　　　十一　　四十七　三庚子周【惠王考王】　　十八　十五　　　十二　　四十八　四
　　辛丑二　　　　十九　十六　　　十三　　四十九　五
　　壬寅三　　　　晋【幽公】　十七　　　十四　　五十　　六
　　癸邜四　　　　二　　十八　　　十五　　五十一　七
　　甲辰五　　　　三　　十九　　　十六　　五十二　八
　　乙巳六　　　　四　　二十　　　十七　　五十三　九
　　丙午七　　　　五　　二十一　　十八　　五十四　十
　　丁未八　　　　六　　二十二　　十九　　五十五　十一
　　戊申九　　　　七　　二十三　　二十　　五十六　十二
　　己酉十　　　　八　　二十四　　二十一　五十七　十三庚戌十一　　　九　　二十五　　二十二　楚【简王】　　秦【懐公】辛亥十二　　　十　　二十六　　二十三　二　　　二壬子十三　　　十一　二十七二　十四　　三　　　三癸丑十四　　　十二　二十八　　二十五　四　　　秦【灵公】甲寅十五　十三　二十九　二十六　五　　二乙邜十六　十四　三十　　二十七　六　　三丙辰周【威烈】　十五　三十一　二十八　七　　四丁巳二　　十六　三十二　二十九　八　　五戊午三　　十七　三十三　三十　　九　　六己未四　　十八　三十四　三十一　十　　七庚申五　　晋【烈公】　三十五　三十二　十一　八辛酉六　　二　　三十六　三十三　十二　九壬戌七　　三　　三十七　三十四　十三　十癸亥八　　四　　三十八　三十五　十四　十一
　　观物篇二十　　以防经运八
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之巳一百八十六
　　经辰之子二千二百二十一
　　甲子九　五　三十九三十六十五十二
　　乙丑十　　六　　四十　三十七　十六　十三丙寅十一　七　　四十一　三十八　十七　秦【简公】丁邜十二　八　　四十二　三十九　十八　二戊辰十三　九　　四十三　四十　十九　三己巳十四　十　　四十四　四十一　二十　四庚午十五　十一　四十五　四十二　二十一　五辛未十六　十二　四十六　四十三　二十二　六壬申十七　十三　四十七　四十四　二十三　七癸酉十八　十四　四十八　四十五　二十四　八甲戌十九　十五　四十九　四十六　楚【声王】　　九乙亥二十　十六　五十　四十七　二　　十丙子二十一十七　五十一　宋【悼公】　　三　　十一丁丑二十二十八　齐【康公】　　二　　四　　十二戊寅二十三十九　二　　三　　五　　十三　韩【景侯】　魏【文侯】　　赵【烈侯】己邜二十四二十　三　　四　　楚【悼王】　十四　七　二十三　七庚辰周【安王】　　二十一四　　五　　二　十五　八　二十四　八辛巳二　　二十二　五　　六　　三　　十六　九　　二十五　九壬午三　　二十三　六　　七　　四　　秦【惠公】　韩【烈侯】　二十六　赵【武侯】癸未四　　二十四　七　　八　　五　　二　　二　　二十七　二甲申五　　二十五　八　　宋【休公】　六　　三　　三　　二十八　三乙酉六　　二十六　九　　二　　七　　四　　四　　二十九　四丙戌七　　二十七　十　　三　　八　　五　　五　　三十　　五丁亥八　　晋【孝公】　　十一　四　　九　　六　　六　　三十一　六戊子九　　二　　　十二　五　　十　　七　　七　　三十二　七己丑十　　三　　　十三　六　　十一　八　　八　　三十三　八庚寅十一　四　　　十四　七　　十二　九　　九　　三十四　九辛邜十二　五　　　十五　八　　十三　十　　十　　三十五　十壬辰十三　六　　　十六　九　　十四　十一　十一　三十六　十一癸巳十四　七　　　十七　十　　十五　十二　十二　三十七　十二
　　经辰之丑二千二百二十二
　　甲午十五　八　　　十八　十一　十六　十三　十三　三十八　十三乙未十六　九　　　后齐【太公】十二　十七　秦【出子】　韩【文侯】　魏【武侯】　　赵【敬侯】丙申十七　十　二　　十三　十八　　秦【献公】　二　二　　二丁酉十八　十一　齐　　十四　十九　　二　三　三　　三戊戌十九　十二　二　　十五　二十　　三　四　四　　四己亥二十　十三　三　　十六　二十一　四　五　五　　五庚子二十一　十四　四　　十七　二十二　五　六　六　　六辛丑二十二　十五　五　　十八　楚【肃王】　　六　七　七　　七壬寅二十三　十六　六　　十九　二　　七　八　八　　八癸邜二十四　十七　齐【威王】　　二十　三　　八　九　九　　九甲辰二十五　晋【静公】　二　　二十一　四　　九　十　十　　十乙巳二十六　晋亡　三　　二十二　五　　十　韩【哀侯】　十一　十一
　　丙午周【烈王】　　　　四　二十三　六　　十一　二　十二　十二
　　丁未二　　　　　五　宋【辟公】　　七　　十二　三　十三　赵【成侯】
　　戊申三　　　　　六　二　　八　　十三　四　十四　二
　　己酉四　　　　　七　三　　九　　十四　五　十五　三
　　庚戌五　　　　　八　宋【剔成】　　十　　十五　六　十六　四
　　辛亥六　　　　　九　二　　十一　十六　韩【懿侯】　魏【惠王】　五壬子七　　　十　　　三　　楚【宣王】　　十七　　二　　二　　六癸丑周【显王】　　十一　　四　　二　　　十八　　三　　三　　七甲寅二【周分为二】　十二　　五　　三　　　十九　　四　　四　　八乙邜三　　　十三　　六　　四　　　二十　　五　　五　　九丙辰四　　　十四　　七　　五　　　二十一　六　　六　　十丁巳五　　　十五　　八　　六　　　二十二　七　　七　　十一戊午六　　　十六　　九　　七　　　二十三　八　　八　　十二己未七　　　十七十　八　　二十四　九　　　九　　十三庚申八　　　十八　　十一　九　　　秦【孝公】　　十　　十　　十四辛酉九【东周杰立】　十九　　十二　十　　　二　　　十一　十一　十五壬戌十　　　二十　　十三　十一　　三　　　十二　十二　十六癸亥十一　　二十一　十四　十二　　四　　　韩【昭侯】　十三　十七
　　经辰之寅二千二百二十三
　　甲子十二　　二十二　十五　十三　　五　　　二　　十四　十八乙丑十三　　二十三　十六　十四　　六　　　三　　十五　十九丙寅十四　　二十四　十七　十五　　七　　　四　　十六　二十丁卯十五　二十五　十八　十六　八　　五　十七　二十一戊辰十六　二十六　十九　十七　九　　六　十八　二十二己巳十七　二十七　二十　十八　十　　七　十九　二十三庚午十八　二十八　二十一　十九　十一　八　二十　二十四辛未十九　二十九　二十二　二十　十二　九　二十一　二十五壬申二十　三十　二十三　二十一　十三　十　二十二　赵【肃王】癸酉二十一　三十一　二十四　二十二　十四　十一　二十三　二甲戌二十二　三十二　二十五　二十三　十五　十二　二十四　三乙亥二十三　三十三　二十六　二十四　十六　十三　二十五　四丙子二十四　三十四　二十七　二十五　十七　十四　二十六　五丁丑二十五　三十五　二十八　二十六　十八　十五　二十七　六戊寅二十六　三十六　二十九　二十七　十九　十六　二十八　七己卯二十七　齐【宣王】　　三十　二十八　二十　十七　二十九　八庚辰二十八　二　　三十一　二十九　二十一　十八　三十　九辛巳二十九　三　　三十二　三十　二十二　十九　三十一　十壬午三十　四　　三十三　楚【威王】　　二十三　二十　三十二　十一癸未三十一　五　　三十四　二　　二十四　二十一　三十三　十二甲申三十二　六　　三十五　三　　秦【惠王】　　二十二　三十四　十三乙酉三十三　七　　三十六　四　　二　　　二十三　三十五　十四丙戌三十四　八　　三十七　五　　三　　　二十四　三十六　十五丁亥三十五　九　　三十八　六【灭越】　四　　　二十五　魏【襄王】　　十六戊子三十六　十　　三十九　七　　五　　　二十六　二【称王】　　十七己丑三十七　十一　四十　　八　　六　　　韩【宣王】　　三　　　十八庚寅三十八　十二　四十一　九　　七　　　二　　　四　　　十九辛卯三十九　十三　宋【元王】　　十　　八　　　三　　　五　　　二十壬辰四十　　十四　二　　十一　九　　　四　　　六　　　二十一癸巳四十一　十五　三　　楚【懐王】　十　　　五　　　七　　　二十二
　　经辰之卯二千二百二十四
　　甲午四十二　十六　四　　二　　十一　　六　　　八　　　二十三乙未四十三　十七　五　　三　　十二　　七　　　九　　　二十四丙申四十四　十八　六　　四　　十三　　八　　　十　　　赵【武灵】丁酉四十五　十九　七　　五　　十四　　　九　　十一　　二戊戌四十六　齐【湣王】　八　　六　　十五　十　　十二　三　燕【易王】己亥四十七　二　九　　七　　十六　十一　十三　四　二庚子四十八　三　十　　八　　十七　十二　十四　五　三辛丑周【慎靓】　　四　十一　九　　十八　十三　十五　六　燕【哙王】壬寅二　　五　十二　十　　十九　十四　十六　七　二癸卯三　　六　十三　十一　二十　十五　魏【哀王】　八　三甲辰四　　七　十四　十二　二十一　十六　二　九　四乙巳五　　八　十五　十三　二十二　十七　三　十　五丙午六　　九　十六　十四　二十三　十八　四　十一　六丁未周【赧王】　　十　十七　十五　二十四　十九　五　十二　七戊申二　　十一　十八　十六　二十五　二十　六　十三　八己酉三　　十二　十九　十七　二十六　二十一　七　十四　燕【昭王】庚戌四　　十三　二十　十八　二十七　韩【襄王】　　八　十五　二辛亥五　　十四　二十一　十九　秦【武王】　　二　　九　十六　三壬子六　　十五　二十二　二十　二　　三　　十　十七　四癸丑七　　十六　二十三　二十一　三　　四　　十一　十八　五甲寅八　　十七　二十四　二十二　四　五　　十二　　十九　　六乙卯九　　十八　二十五　二十三　秦【昭王】　六　　十三　　二十　　七丙辰十　　十九　二十六　二十四　二　七　　十四　　二十一　八丁巳十一　二十　二十七　二十五　三　八　　十五　　二十二　九戊午十二　二十一　二十八　二十六　四　九　　十六　　二十三　十己未十三　二十二　二十九　二十七　五　十　　十七　　二十四　十一庚申十四　二十三　三十　二十八　六　　十一　十八　　二十五　十二辛酉十五　二十四　三十一　二十九　七　　十二　十九　　二十六　十三壬戌十六　二十五　三十二　三十　八　　十三　二十　　二十七　十四癸亥十七　二十六　三十三　楚【顷襄】　　九　　十四　二十一　赵【惠文】　　十五
　　经辰之辰二千二百二十五
　　甲子十八　二十七　三十四　二　　十　　十五　二十二　二　　十六乙丑十九　二十八　三十五　三　　十一　十六　二十三　三　　十七丙寅二十　二十九　三十六　四　　十二　韩【厘王】　魏【昭王】　　四　　十八丁卯二十一　三十　三十七　五　　十三　二　　二　　五　　十九戊辰二十二　三十一　三十八　六　　十四　三　　三　　六　　二十己巳二十三三十二　三十九　七　　十五　四　　四　　七　　二十一庚午二十四三十三　四十　　八　　十六　五　　五　　八　　二十二辛未二十五三十四　四十一　九　　十七　六　　六　　九　　二十三壬申二十六三十五　四十二　十　　十八　七　　七　　十　　二十四癸酉二十七三十六　四十三　十一　　十九　八　　八　　十一　二十五甲戌二十八三十七　四十四　十二　　二十　九　　九　　十二　二十六乙亥二十九三十八【防宋】　宋亡　　十三　　二十一十【□】　十　　十三　二十七
　　丙子三十　三十九　　　　　十四　　二十二　十一　　十一　十四　　二十八
　　丁丑三十一齐【襄王】　　　　　　　十五　　二十三　十二　　十二　十五　　二十九
　　戊寅三十二二　　　　　　　十六　　二十四　十三　　十三　十六　　三十
　　己卯三十三三　　　　　　　十七　　二十五　十四　　十四　十七　　三十一
　　庚辰三十四四　　　　　　　十八　　二十六　十五　　十五　十八　　三十二
　　辛巳三十五五　　　　　　　十九　　二十七　十六　　十六　十九　　三十三
　　壬午三十六六　　　　　　　二十　　二十八　十七　　十七　二十　　燕【惠王】
　　癸未三十七七　　　　　　　二十一　二十九　十八　　十八　二十一　二
　　甲申三十八八　　　　　　　二十二　三十　　十九　　十九　二十二　三乙酉三十九　九　　二十三　三十一　二十　　魏【厘王】　二十三　四丙戌四十　　十　　二十四　三十二　二十一　二　　二十四　五丁亥四十一　十一　二十五　三十三　二十二　三　　二十五　六戊子四十二　十二　二十六　三十四　二十三　四　　二十六　七己丑四十三　十三　二十七　三十五　韩【桓惠】　　五　　二十七　八庚寅四十四　十四　二十八　三十六　二　　　六　　二十八　燕【武城】辛卯四十五　十五　二十九　三十七　三　　　七　　二十九　二壬辰四十六　十六　三十　　三十八　四　　　八　　三十　　三癸巳四十七　十七　三十一　三十九　五　　　九　　三十一　四
　　经辰之巳二千二百二十六
　　甲午四十八　十八　三十二　四十　　六　　　十　　三十二　五乙未四十九　十九　三十三　四十一　七　　　十一　三十三　六丙申五十　　二十　三十四　四十二　八　　　十二　赵【孝成】　　七丁酉五十一　齐【王建】　三十五　四十三　九　　　十三　二　　　八戊戌五十二　二　　三十六　四十四　十　　　十四　三　　　九己亥五十三　三　　楚【考烈】　　四十五　十一　　十五　四　　　十庚子五十四　四　二　四十六　十二　十六　　五　　十一辛丑五十五　五　三　四十七　十三　十七　　六　　十二壬寅五十六　六　四　四十八　十四　十八　　七　　十三癸卯五十七　七　五　四十九　十五　十九　　八　　十四甲辰五十八　八　六　五十　　十六　二十　　九　　燕【孝王】乙巳五十九【周防】　九　七　五十一【防周】　十七　　二十一　十　　二
　　丙午　　　　十　八　五十二　十八　二十二　十一　三
　　丁未　　　　十一　九　五十三　十九　二十三　十二　燕【王喜】
　　戊申　　　　十二　十　五十四　二十　二十四　十三　二
　　己酉　　　　十三　十一　五十五　二十一　二十五　十四　三
　　庚戌　　　　十四　十二　五十六【孝文】　二十二　二十六　十五　四辛亥【东周惠君】　　十五　十三　秦【亡庄】　　二十三　二十七　十六　五
　　壬子　　　　十六　十四　二　　　二十四　二十八　十七　六
　　癸丑　　　　十七　十五　三　　　二十五　二十九　十八　七
　　甲寅　　　　十八　十六　四　　　二十六　三十　　十九　八
　　乙卯　　　　十九　十七　秦【襄始】　　二十七　三十一　二十　九丙辰　二十　　十八　　二　　二十八　三十二　二十一　十丁巳　二十一　十九　　三　　二十九　三十三　赵【悼襄】　　十一戊午　二十二　二十　　四　　三十　　三十四　二　　　十二己未　二十三　二十一　五　　三十一　魏【景湣】　　三　　　十三庚申　二十四　二十二　六　　三十二　二　　　四　　　十四辛酉　二十五　二十三　七　　三十三　三　　　五　　　十五壬戌　二十六　二十四　八　　三十四　四　　　六　　　十六癸亥　二十七　二十五　九　　韩【王安】　　五　　　七　　　十七
　　经辰之午二千二百二十七
　　甲子　二十八　楚【幽王】　　十　　二　　　六　　　八　　　十八乙丑　二十九　二　　　十一　三　　　七　　　九　　　十九丙寅　三十　　三　　　十二　四　　　八　　　赵【王迁】　　二十丁卯　三十一　四　　　十三　五　　　九　　　二　　　二十一戊辰　三十二　五　　　十四　六　　　十　　　三　　　二十二己巳　三十三　六　　　十五　七　　　十一　　四　　　二十三庚午　三十四　七　　　十六　八　　　十二　　五　　　二十四辛未　三十五　八　　　十七【防韩】韩亡　十三　六　二十五壬申　三十六　九　　　十八　　　十四　七　　二十六癸酉　三十七　十　　　十九【防赵】　　十五　赵亡　二十七甲戌　三十八　楚【哀王】　　二十　　　魏【王假】　燕亡乙亥　三十九　二　　　二十一　　二
　　丙子　四十　三　　　二十二【防魏】　　　　魏亡丁丑　四十一　四　　　二十三
　　戊寅　四十二　楚亡　　二十四
　　己卯　四十三　二十五
　　庚辰　齐亡　二十六【防齐】
　　辛巳　　　　　　　　二十七
　　壬午　　　　　　　　二十八
　　癸未　　　　　　　　二十九
　　甲申　　　　　　　　三十
　　乙酉　　　　　　　　三十一
　　丙戌　　　　　　　　三十二
　　丁亥　　　　　　　　三十三
　　戊子　　　　　　　　三十四
　　己丑　　　　　　　　三十五
　　庚寅　　　　　　　　三十六
　　辛卯　　　　　　　　三十七
　　壬辰　　　　　　　　秦【二世】
　　癸巳　　　　　　　　二
　　经辰之未二千二百二十八
　　甲午汉髙祖【先入关】　　　楚【项王后入关】秦亡
　　乙未二　　　　　　　二
　　丙申三　　　　　　　三
　　丁酉四　　　　　　　四
　　戊戌五　　　　　　　五
　　己亥六　　　　　　　楚亡
　　庚子七
　　辛丑八
　　壬寅九
　　癸卯十
　　甲辰十一
　　乙巳十二
　　丙午十三
　　丁未汉惠帝
　　戊申二
　　己酉三
　　庚戌四
　　辛亥五
　　壬子六
　　癸丑七
　　甲寅汉【吕后立无名子】
　　乙卯二
　　丙辰三
　　丁巳汉【吕后立恒山王】
　　戊午二
　　己未三
　　庚申四
　　辛酉汉文帝
　　壬戌二
　　癸亥三
　　经辰之申二千二百二十九
　　甲子四
　　乙丑五
　　丙寅六
　　丁卯七
　　戊辰八
　　己巳九
　　庚午十
　　辛未十一
　　壬申十二
　　癸酉十三
　　甲戌十四
　　乙亥十五
　　丙子十六
　　丁丑十七
　　戊寅【后元】
　　己卯二
　　庚辰三
　　辛巳四
　　壬午五
　　癸未六
　　甲申七
　　乙酉汉景帝
　　丙戌二
　　丁亥三
　　戊子四
　　己丑五
　　庚寅六
　　辛卯七
　　壬辰【中元】
　　癸巳二
　　经辰之酉二千二百三十
　　甲午三
　　乙未四
　　丙申五
　　丁酉六
　　戊戌【后元】
　　己亥二
　　庚子三
　　辛丑汉武帝【建元】
　　壬寅二
　　癸卯三
　　甲辰四
　　乙巳五
　　丙午六
　　丁未【元光】
　　戊申二
　　己酉三
　　庚戌四
　　辛亥五
　　壬子六
　　癸丑【元朔】
　　甲寅二
　　乙卯三
　　丙辰四
　　丁巳五
　　戊午六
　　己未【元狩】
　　庚申二
　　辛酉三
　　壬戌四
　　癸亥五
　　经辰之戌二千二百三十一
　　甲子六
　　乙丑【元鼎】
　　丙寅二
　　丁卯三
　　戊辰四
　　己巳五
　　庚午六
　　辛未【元封】
　　壬申二
　　癸酉三
　　甲戌四
　　乙亥五
　　丙子六
　　丁丑【太初】
　　戊寅二
　　己卯三
　　庚辰四
　　辛巳【天汉】
　　壬午二
　　癸未三
　　甲申四
　　乙酉【太始】
　　丙戌二
　　丁亥三
　　戊子四
　　己丑【征和】
　　庚寅二
　　辛卯三
　　壬辰四
　　癸巳【后元】
　　经辰之亥二千二百三十二
　　甲午二
　　乙未汉昭帝【始元】
　　丙申二
　　丁酉三
　　戊戌四
　　己亥五
　　庚子六
　　辛丑【元鳯】
　　壬寅二
　　癸卯三
　　甲辰四
　　乙巳五
　　丙午六
　　丁未【元平】
　　戊申汉宣帝【本始】
　　己酉二
　　庚戌三
　　辛亥四
　　壬子【地莭】
　　癸丑二
　　甲寅三
　　乙卯四
　　丙辰【元康】
　　丁巳二
　　戊午三
　　己未四
　　庚申【神爵】
　　辛酉二
　　壬戌三
　　癸亥四

　　皇极经世书巻四上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷四中　　　　宋　邵雍　撰观物篇二十一　　以防经运九
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之庚一百八十七
　　经辰之子二千二百三十三
　　甲子【五鳯】
　　乙丑二
　　丙寅三
　　丁卯四
　　戊辰【甘露】
　　己巳二
　　庚午三
　　辛未四
　　壬申【黄龙】
　　癸酉汉元帝【初元】
　　甲戌二
　　乙亥三
　　丙子四
　　丁丑五
　　戊寅【永光】
　　己卯二
　　庚辰三
　　辛巳四
　　壬午五
　　癸未【建昭】
　　甲申二
　　乙酉三
　　丙戌四
　　丁亥五
　　戊子【竟宁】
　　己丑汉成帝【建始】
　　庚寅二
　　辛卯三
　　壬辰四
　　癸巳【河平】
　　经辰之丑二千二百三十四
　　甲午二
　　乙未三
　　丙申四
　　丁酉【阳朔】
　　戊戌二
　　己亥三
　　庚子四
　　辛丑【鸿嘉】
　　壬寅二
　　癸卯三
　　甲辰四
　　乙巳【永始】
　　丙午二
　　丁未三
　　戊申四
　　己酉【元延】
　　庚戌二
　　辛亥三
　　壬子四
　　癸丑【绥和】
　　甲寅二
　　乙卯汉哀帝【建平】
　　丙辰二
　　丁巳三
　　戊午四
　　己未五【元寿】
　　庚申六
　　辛酉汉平帝【元始】
　　壬戌二
　　癸亥三
　　经辰之寅二千二百三十五
　　甲子四
　　乙丑五
　　丙寅汉【孺子居摄】
　　丁卯二
　　戊辰【初始】
　　己巳汉王莾【称新室改建国元年】
　　庚午二
　　辛未三
　　壬申四
　　癸酉五
　　甲戌【天鳯】
　　乙亥二
　　丙子三
　　丁丑四
　　戊寅五
　　己卯六
　　庚辰【地皇】
　　辛巳二
　　壬午三
　　癸未刘【称更始】
　　甲申汉光武帝【封萧王】
　　乙酉二【称帝称建武】
　　丙戌三
　　丁亥四
　　戊子五
　　己丑六
　　庚寅七
　　辛卯八
　　壬辰九
　　癸巳十
　　经辰之卯二千二百三十六
　　甲午十一
　　乙未十二
　　丙申十三
　　丁酉十四
　　戊戌十五
　　己亥十六
　　庚子十七
　　辛丑十八
　　壬寅十九
　　癸卯二十
　　甲辰二十一
　　乙巳二十二
　　丙午二十三
　　丁未二十四
　　戊申二十五
　　己酉二十六
　　庚戌二十七
　　辛亥二十八
　　壬子二十九
　　癸丑三十
　　甲寅三十一
　　乙卯三十二
　　丙辰【中元】
　　丁巳二
　　戊午汉明帝【永平】
　　己未二
　　庚申三
　　辛酉四
　　壬戌五
　　癸亥六
　　经辰之辰二千二百三十七
　　甲子七
　　乙丑八
　　丙寅九
　　丁卯十
　　戊辰十一
　　己巳十二
　　庚午十三
　　辛未十四
　　壬申十五
　　癸酉十六
　　甲戌十七
　　乙亥十八
　　丙子汉章帝【建初】
　　丁丑二
　　戊寅三
　　己邜四
　　庚辰五
　　辛巳六
　　壬午七
　　癸未八
　　甲申【元和】
　　乙酉二
　　丙戌三
　　丁亥【章和】
　　戊子二
　　己丑汉和帝【永元】
　　庚寅二
　　辛邜三
　　壬辰四
　　癸巳五
　　经辰之巳二千二百三十八
　　甲午六
　　乙未七
　　丙申八
　　丁酉九
　　戊戌十
　　己亥十一
　　庚子十二
　　辛丑十三
　　壬寅十四
　　癸卯十五
　　甲辰十六
　　乙巳十七【元兴】
　　丙午汉殇帝【延平】
　　丁未汉安帝【永初】
　　戊申二
　　己酉三
　　庚戌四
　　辛亥五
　　壬子六
　　癸丑七
　　甲寅【元初】
　　乙卯二
　　丙辰三
　　丁巳四
　　戊午五
　　己未六
　　庚申【永宁】
　　辛酉【建元】
　　壬戌【延光】
　　癸亥二
　　经辰之午二千二百三十九
　　甲子三
　　乙丑四
　　丙寅汉顺帝【永建】
　　丁卯二
　　戊辰三
　　己巳四
　　庚午五
　　辛未六
　　壬申【阳嘉】
　　癸酉二
　　甲戌三
　　乙亥四
　　丙子【永和】
　　丁丑二
　　戊寅三
　　己卯四
　　庚辰五
　　辛巳六
　　壬午【汉安】
　　癸未二
　　甲申【建康】
　　乙酉汉冲帝【永嘉】
　　丙戌汉质帝【本初】
　　丁亥汉桓帝【建和】
　　戊子二
　　己丑三
　　庚寅【和平】
　　辛卯【元嘉】
　　壬辰二
　　癸巳【永兴】
　　经辰之未二千二百四十
　　甲午二
　　乙未【永寿】
　　丙申二
　　丁酉三
　　戊戌【延熹】
　　己亥二
　　庚子三
　　辛丑四
　　壬寅五
　　癸卯六
　　甲辰七
　　乙巳八
　　丙午九
　　丁未【永康】
　　戊申汉灵帝【建宁】
　　己酉二
　　庚戌三
　　辛亥四
　　壬子【熹平】
　　癸丑二
　　甲寅三
　　乙卯四
　　丙辰五
　　丁巳六
　　戊午【光和】
　　己未二
　　庚申三
　　辛酉四
　　壬戌五
　　癸亥六
　　经辰之申二千二百四十一
　　甲子【中平】
　　乙丑二
　　丙寅三
　　丁卯四
　　戊辰五
　　己巳【光熹又昭又寜永汉】
　　庚午汉献帝【初平】
　　辛未二
　　壬申三
　　癸酉四
　　甲戌【兴平】
　　乙亥二
　　丙子【建安】
　　丁丑二
　　戊寅三
　　己卯四
　　庚辰五
　　辛巳六
　　壬午七
　　癸未八
　　甲申九
　　乙酉十
　　丙戌十一
　　丁亥十二
　　戊子十三
　　己丑十四
　　庚寅十五
　　辛卯十六
　　壬辰十七
　　癸巳十八
　　经辰之酉二千二百四十二
　　甲午十九
　　乙未二十
　　丙申二十一
　　丁酉二十二
　　戊戌二十三
　　己亥二十四
　　庚子魏文帝
　　辛丑二【黄初】　　　蜀先帝
　　壬寅三　　　　　二【章武】　　　吴大帝
　　癸卯四　　　　　蜀【后王建兴】　　　二【黄武】
　　甲辰五　　　　　二　　　　　三
　　乙巳六　　　　　三　　　　　四
　　丙午七　　　　　四　　　　　五
　　丁未魏明帝【太和】　五　　　　　六
　　戊申二　　　　　六　　　　　七
　　己酉三　　　　　七　　　　　【黄龙】
　　庚戌四　　　　　八　　　　　二
　　辛亥五　　　　　九　　　　　三
　　壬子六　　　十　　　　　【嘉禾】
　　癸丑【青龙】　　十一　　　　二
　　甲寅二　　　十二　　　　三
　　乙卯三　　　十三　　　　四
　　丙辰四　　　十四　　　　五
　　丁巳【景初】　　十五　　　　六
　　戊午二　　　【延　　　　　赤熈　　　　　乌】
　　己未三　　　二　　　　　二
　　庚申魏【帝芳正始】　三　　　　　三
　　辛酉二　　　四　　　　　四
　　壬戌三　　　五　　　　　五
　　癸亥四　　　六　　　　　六
　　经辰之戌二千二百四十三
　　甲子五　　　七　　　　　七
　　乙丑六　　　八　　　　　八
　　丙寅七　　　九　　　　　九
　　丁卯八　　　十　　　　　十
　　戊辰九　　　十一　　　　十一
　　己巳【嘉平】　　十二　　　　十二
　　庚午二　　　十三　　　　十三
　　辛未三　　　十四　　　　【大元】
　　壬申四　　　十五　　　　【神鳯建兴】
　　癸酉五　　　十六　　　　吴【帝亮】
　　甲戌魏【髙贵正元】　十七　　　　【五鳯】
　　乙亥二　　　十八　　　　二
　　丙子【甘露】　　十九　　　　【太平】
　　丁丑二　　　二十　　　　二
　　戊寅三　　　【景淮】　　　　　吴【帝休永安】
　　己卯四　　　二　　　　　二
　　庚辰魏【帝道景元】　三　　　　　三
　　辛巳二　　　四　　　　　四
　　壬午三　　　五　　　　　五
　　癸未四　　　蜀【炎兴亡】　　六
　　甲申【咸熈】　　　　　　　吴【帝始元兴】
　　乙酉晋武帝【泰始　　　　甘露】
　　丙戌二　　　　　　　　【寳鼎】
　　丁亥三　　　　　　　　二
　　戊子四　　　　　　　　三
　　己丑五　　　　　　　　【建衡】
　　庚寅六　　　　　　　　二
　　辛卯七　　　　　　　　三
　　壬辰八　　　　　　　　【凤凰】
　　癸巳九　　　　　　　　二
　　经辰之亥二千二百四十四
　　甲午十　　　　　　　　三
　　乙未【咸宁　　　　　　　天册】
　　丙申二　　　　　　　　【天壐】
　　丁酉三　　　　　　　　二
　　戊戌四　　　　　　　　三
　　己亥五　　　　　　　　四
　　庚子【太康防吴】　　　　　　　吴亡
　　辛丑二
　　壬寅三
　　癸卯四
　　甲辰五
　　乙巳六
　　丙午七
　　丁未八
　　戊申九
　　己酉十
　　庚戌【太熈永熈】
　　辛亥晋惠帝【永平元康】
　　壬子二
　　癸丑三
　　甲寅四
　　乙卯五
　　丙辰六
　　丁巳七
　　戊午八
　　己未九
　　庚申十【永康】
　　辛酉十一【永宁】
　　壬戌十二【大安】
　　癸亥十三
　　观物篇二十二　　以防经运十
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之辛一百八十八
　　经辰之子二千二百四十五
　　甲子十四　　汉【刘渊元熈】
　　乙丑十五　　二
　　丙寅晋【光熈懐帝】　三　　后蜀【李雄大武】
　　丁卯二【永嘉】　四　　二
　　戊辰三　　　五【永鳯】三
　　己巳四　　　六【河瑞】四
　　庚午五　　　汉【刘聦光兴】五
　　辛未六【蒙尘平阳】　二【嘉平】六
　　壬申七　　　三　　七
　　癸酉晋【愍帝建兴】　四　　八
　　甲戌二　　　五【建元】九　　前凉【张寔永兴】
　　乙亥三　　　六　　十　　二
　　丙子四【蒙尘平阳】　七　　十一　三
　　丁丑东晋【元帝建武】八　　十二　四
　　戊寅二【称帝太兴】前赵【刘曜光初】十三　五
　　己卯三　　　二　　十四　六　　后赵【石勒赵王】庚辰四　　　三　　十五　凉【张茂永元】二
　　辛巳五　　四　十六二　三
　　壬午六【永昌】五　十七　　三　　四
　　癸未晋【明帝太宁】六　十八　　四　　五
　　甲申二　　七　十九凉　【张骏太元】　六
　　乙酉三　　八　二十　　二　　七
　　丙戌晋【成帝咸和】九　二十一　三　　八
　　丁亥二　　十　二十二　四　　九
　　戊子三　前赵亡二十三　五　　十
　　己丑四　　　　二十四　六　　十一
　　庚寅五　　　　二十五　七　　十二【建平】
　　辛卯六　　　　二十六　八　　十三
　　壬辰七　　　　二十七　九　　十四
　　癸巳八　　　　蜀【李班】　十　　赵【石延熈】
　　经辰之丑二千二百四十六
　　甲午九　　　　蜀【李期玉恒】　十一　二
　　乙未十【咸康】　　二　　　十二赵【石虎建武】
　　丙申十一　　三　　十三　二
　　丁酉十二　　四　　十四　三
　　戊戌十三　　蜀【李寿汉兴】十五　四
　　己亥十四　　二　　十六　五
　　庚子十五　　三　　十七　六
　　辛丑十六　　四　　十八　七
　　壬寅十七　　五　　十九　八
　　癸卯晋【康帝建元】　汉【李势太和】二十　九
　　甲辰二　　　二　　二十一　十
　　乙巳晋【穆帝永和】　三　　二十二　十一
　　丙午二　　　四【嘉寜】二十三　十二
　　丁未三【防蜀】　蜀汉亡凉【张重　华永】十三
　　戊申四　　　二　　　　　十四
　　己酉五　　　三　　　　　十五【乐太】前燕【寜幕容儁】
　　庚戌六　　　四　　　　　十六【元年石祗】二
　　辛亥七　　　五　　　　　后赵亡　三【永寜】前秦【防赵苻健】
　　壬子八　　　　六　　　　四【元玺】　二
　　癸丑九　　　　凉【张祚和平】　　五　　　三
　　甲寅十　　　　二　　　　六　　　四
　　乙卯十一　　　凉【观太始】　　七　　　五
　　丙辰十二　　　二　　　　八　　　秦【苻生寿光】
　　丁巳十三【升平】　三　　　　九【光寿】　秦【苻坚永兴】
　　戊午十四　　　四　　　　十　　　二
　　己未十五　　　五　　　　十一　　三【甘露】
　　庚申十六　　　六　　　　前燕　　四
　　辛酉十七　　　七　　　　二　　　五
　　壬戌晋【哀帝隆和】　　八　　　　三　　　六
　　癸亥二【兴宁】　　凉【天锡大清】　　四　　　七
　　经辰之寅二千二百四十七
　　甲子三　　　　二　　　　五　　　八
　　乙丑四　　　　三　　　　六　　　九【建元】
　　丙寅晋【废帝太和】　　四　　　　七　　　十
　　丁卯二　　　五　　　　八　　　十一
　　戊辰三　　　六　　　　九　　　十二
　　己巳四　　　七　　　　十　　　十三
　　庚午五　　　八　　　　前燕亡　十四
　　辛未晋【文帝咸安】　九　　　　　　　　十五
　　壬申二　　　十　　　　　　　　十六
　　癸酉晋【武帝宁康】　十一　　　　　　　十七
　　甲戌二　　　十二　　　　　　　十八
　　乙亥三　　　十三　　　　　　　十九
　　丙子四【大元】　凉亡　　　　　　　二十【防凉】
　　丁丑五　　　　　　　　　　　　二十一
　　戊寅六　　　　　　　　　　　　二十二
　　己卯七　　　　　　　　　　　　二十三
　　庚辰八　　　　　　　　　　　　二十四
　　辛巳九　　　　　　　　　　　　二十五
　　壬午十　　　　　　　　　　　　二十六
　　癸未十一　　后燕【慕容垂燕元】　　　　　　　　　　　二十七
　　甲申十二　　二　　后秦【姚苌白雀】　　　　　　　　　二十八乙酉十三　　三　　二　　后魏西秦【乞伏国仁建义】　　秦【苻丕太安】丙戌十四　　四【建兴】三【建初】二【拓防珪改登国】二　后凉【吕光太安】秦【苻登太初】丁亥十五　　五　　四　　三　　　三　　二　　二戊子十六　　六　　五　　四　　　秦【干归太初】三　　三己丑十七　　七　　六　　五　　　二　　四【麟嘉】　四庚寅十八　　八　　七　　六　　　三　　五　　五辛卯十九　　九　　八　　七　　　四　　六　　六壬辰二十　　十　　九　　八　　　五　　七　　七癸巳二十一　十一　十　　九　　　六　　八　　八
　　经辰之卯二千二百四十八
　　甲午二十二　十二　秦【姚兴皇初】十　　　七　　九　　前秦亡乙未二十三　十三　二　　十一　　八　　十丙申二十四　燕【寳　水康】三【皇始】　十二　　九　　十一【龙飞】
　　丁酉晋　　　　二　四　　十三　　十　　十二　南凉【秃髪乌孤】北凉戊戌二　　　燕【盛　建平】　五【天兴】　十四十　　一十三二二南燕【太初】　己亥　　三二【慕容徳称元年】六十五　　　十二【长乐】　凉【始】　三三二　　庚子四【吕纂咸寜】三　　七【天玺】　　十六十三二　　　凉四　　　三西　凉辛丑　　五燕八十　七【利鹿孤建和】十四　　三【建平】　二北【李嵩庚子】凉四二　　　壬【熈　光始】　寅六　二九十　　八十五凉　凉二　　五三【沮渠蒙逊】癸　卯七三十十【元兴】　　九十　　　六二　二三六　　四甲辰【吕隆神鼎】八【傉檀昌】　四【永安】　　十一　二十十七后　　　凉亡　　　三四　七五乙　　巳九五十　二二　　十一　　十八　四五燕六丙　　　午十　　　北燕十三二十【天锡】　二十九五六二　　七夏　　丁未　十一二十四【义熈】　　二十　　　三二十六七三　八二　　　戊申　　十二　　三【超　太上】十五魏二　　　十一【髙灵正始】　七八四九三己　酉十　　　三北　　燕十　　六二　二十　二【赫连勃勃】八九南燕　　亡十　　　四庚戌十四二　十七【更始】　　三西　　秦九　　十十　一五　辛亥十五三十　　八四　　　二十十一【明帝】　　十二六　　壬【嘉平】　　子十　　六四　十九　五三十一十二【防南燕】　十三【冯跋太平】　七癸丑十七【永兴】　　五二十　　六四　　十二　　十三十四　八盛
　　建平天兴　　太初　　　慕容徳称元　　　年长【炽盘永康】　　乐　　始吕　　　　　纂咸寜天
　　玺利鹿孤　　建和　　　建平李嵩庚　　　子熈　　　　光始　　沮渠蒙　　　　逊元兴吕
　　隆神鼎傉　　檀　　　昌永安天锡　　　义熈　　　　超太　上髙灵【始】　　　正始赫连
　　勃勃更始　　明帝　　　嘉平防南燕　　　冯跋　　　　太平　永兴炽　　　　盘永康【鳯翔】甲寅十八　　六　二十一　七　五　南燕亡　十四　　十五　九
　　乙卯十九　　七　二十二　八　六　　　　十五　　十六　十
　　丙辰二十　　八　秦【姚永和】　九　七　　　　十六　　十七　十一
　　丁巳二十一【防后秦】九　后秦亡　十　八　　　　十七　　西凉【李歆嘉兴】十二
　　戊午晋【徳文】　　十　　　　十一　九　　　　十八　　二　　十三【昌武】
　　己未二【元熈】　　十一　　　十二　十【建】　　　　十九　　三　　十四【真兴】庚申宋武帝【永初】　十二　　　十三　十一　　　二十　　四　　十五辛酉二　　　十三　　　十四　十二　　　二十一　　五　　十六壬戌三　　　十四　　　十五　十三　　　二十二　　六　　十七癸亥宋【义符景平】　　十五　　　十六　十四　　　二十三【防　西凉】西凉亡十八
　　经辰之辰二千二百四十九
　　甲子宋【文帝元嘉】　　十六　　　魏【太武始光】十五　　　二十四　　　　十九
　　乙丑二　　　十七　　　二　十六　　　二十五　　　　夏【昌　承光】
　　丙寅三　　　十八　　　三　十七　　　二十六　　　　二
　　丁卯四　　　十九　　　四　十八　　　二十七　　　　三
　　戊辰五　　　二十　　　五【神防】　西秦【暮永永】　　二十八【永】　　　　夏【定　胜光】己巳六　　二十一　　六　　二　　　二十九　　二庚午七　　北燕【冯翼太兴】　七　　三　　　三十【义和】　　三【防西秦】辛未八　　二　　　八【防夏】西秦亡　三十一　　夏亡
　　壬申九　　三　　　九【延和】　　　　三十二
　　癸酉十　　四　　　十　　　　　北凉【牧犍永和】
　　甲戌十一　五　　　十一　　　　二
　　乙亥十二　六　　　十二【太延】　　　　三
　　丙子十三　北燕亡　　十三【防北燕】　　　四
　　丁丑十四　　　　　十四　　　　五
　　戊寅十五　　　　　十五　　　　六
　　己卯十六　　　　　十六【防北凉】　　　北凉亡
　　庚辰十七　　　　　十七【太平真君】
　　辛巳十八　　　　　十八
　　壬午十九　　　　　十九
　　癸未二十　　　　　二十
　　甲申二十一　　　　二十一
　　乙酉二十二　　　二十二
　　丙戌二十三　　　二十三
　　丁亥二十四　　　二十四
　　戊子二十五　　　二十五
　　己丑二十六　　　二十六
　　庚寅二十七　　　二十七
　　辛卯二十八　　　二十八【正平】
　　壬辰二十九　　　魏【文成兴安】
　　癸巳宋【孝武】　　　二
　　经辰之巳二千二百五十
　　甲午二【孝元】　　　三【兴光】
　　乙未三　　　　　四
　　丙申四　　　　　五
　　丁酉五【大明】　　　六
　　戊戌六　　　　　七
　　己亥七　　　　　八
　　庚子八　　　　九【和平】
　　辛丑九　　　　十
　　壬寅十　　　　十一
　　癸卯十一　　　十二
　　甲辰宋【帝业永光】　　十三
　　乙巳宋【明帝太始】　　十四
　　丙午二　　　　魏【献文天安】
　　丁未三　　　　二【皇□】
　　戊申四　　　　三
　　己酉五　　　　四
　　庚戌六　　　　五
　　辛亥七　　　　魏【孝文延兴】
　　壬子宋【大豫帝昱】　　二
　　癸丑二　　　　三
　　甲寅三　　　　四
　　乙卯四　　　　五【承明】
　　丙辰五　　　　六
　　丁巳宋【顺帝升平】　　七【太和】
　　戊午二　　　　八
　　己未齐【高帝建元】　　九
　　庚申二　　　　十
　　辛酉三　　　　十一
　　壬戌四　　　　十二
　　癸亥齐【武帝永明】　　十三
　　经辰之午二千二百五十一
　　甲子二　　　　十四
　　乙丑三　　　　十五
　　丙寅四　　　　十六
　　丁卯五　　　　十七
　　戊辰六　　　　十八
　　己巳七　　　　十九
　　庚午八　　　　二十
　　辛未九　　　　　二十一
　　壬申十　　　　　二十二
　　癸酉齐【昭业隆昌】　　　二十三
　　甲戌齐【明帝建武】　　　二十四
　　乙亥二　　　　　二十五【迁居洛阳】
　　丙子三　　　　　二十六【改姓元氏】
　　丁丑四　　　　　二十七
　　戊寅五【永泰】　　　　二十八
　　己卯齐【宝泰永元】　　　二十九
　　庚辰二　　　　　魏【宣武景明】
　　辛巳齐【宝融中兴】　　　二
　　壬午梁武帝【天监】　三
　　癸未二　　　　　四
　　甲申三　　　　　五【正始】
　　乙酉四　　　　　六
　　丙戌五　　　　　七
　　丁亥六　　　　八
　　戊子七　　　　九【永平】
　　己丑八　　　　十
　　庚寅九　　　　十一
　　辛卯十　　　　十二
　　壬辰十一　　　十三
　　癸巳十二　　　十四
　　经辰之未二千二百五十二
　　甲午十三　　　十五
　　乙未十四　　　十六
　　丙申十五　　　魏【明帝熈平】
　　丁酉十六　　　二
　　戊戌十七　　　三【神】
　　己亥十八　　　四
　　庚子十九【普通】　五【正光】
　　辛丑二十　　　六
　　壬寅二十一　　　　七
　　癸卯二十二　　　　八
　　甲辰二十三　　　　九
　　乙巳二十四　　　　十【孝昌】
　　丙午二十五　　　　十一
　　丁未二十六　　　　十二
　　戊申二十七　　　　魏【孝庄建义永安】
　　己酉二十八　　　　二
　　庚戌二十九　　　　魏【帝煜建明】
　　辛亥三十　　　　　魏【帝恭普泰朗　中兴】
　　壬子三十一　　　　魏【帝脩太昌永熈】
　　癸丑三十二　　　　二
　　甲寅三十三　　　　西魏【宝炬】　东魏【善见静帝天平】
　　乙卯三十四　　　　二【大统】　二
　　丙辰三十五　　　　三　　　三
　　丁巳三十六　　　　四　　　四
　　戊午三十七　　　　五　　　五【元象】
　　己未三十八　　　　六　　　六【兴和】
　　庚申三十九　　　　七　　　七
　　辛酉四十　　　　　八　　　八
　　壬戌四十一　　　　九　　　九
　　癸亥四十二　　　　十　　　十【武定】
　　经辰之申二千二百五十三
　　甲子四十三　　　　十一　　十一
　　乙丑四十四　　　　十二　　十二
　　丙寅四十五【中大同】　十三　　十三
　　丁卯四十六【太清】　　十四　　十四
　　戊辰四十七　　　　十五　　十五
　　己巳梁【简文帝】　　　十六　　十六
　　庚午二【大宝】　　　　十七　　北齐【宣帝洋天保】
　　辛未梁【栋　天正】　　　　十八　　二
　　壬申梁【元帝承圣】　　　西魏【帝钦元年】　三
　　癸酉二　　　　　　二　　　四
　　甲戌梁【恭帝方智】　　西魏【恭帝元年】五
　　乙亥二【绍泰】后南凉【萧詧天定】　　　六
　　丙子三【太平】二　　　周【闵帝元年】　七
　　丁丑陈【武帝永定】三　　　周【明帝元年】　八
　　戊寅二　　四　　　二　　　九
　　己卯三　　五　　　三【武成】　十
　　庚辰陈【文帝天嘉】六　　　周【武帝】　齐【昭帝皇建】
　　辛巳二　　七　　二【保定】　齐【武定太寜】
　　壬午三　　后凉【萧岿天保】三　　　二【河清】
　　癸未四　　二　　　四　　　三
　　甲申五　　三　　　五　　　四
　　乙酉六　　四　　　六　　　齐【高纬天綂】
　　丙戌七【天康】五　　　七【天保】　二
　　丁亥陈【伯宗光天】六　　　八　　　三
　　戊子陈【宣帝】七　　　九　　　四
　　乙丑二　　八　　　十　　　　五
　　庚寅三　　九　　　十一　　　六
　　辛卯四　　十　　　十二　　　七
　　壬辰五　　十一　　十三【建徳】　八
　　癸巳六　　十二　　十四　　　九
　　经辰之酉二千二百五十四
　　甲午七　　十三　　十五　　　十
　　乙未八　　十四　　十六　　　十一
　　丙申九　　十五　　十七　　　十二【隆化】
　　丁酉十　　十六　　十八【防北齐】　北齐亡
　　戊戌十一　十七　　周【宣政宣帝天成】
　　己亥十二　十八　　周【静帝大象】
　　庚子十三　十九　　二
　　辛丑十四　二十　　隋文帝【开皇】
　　壬寅十五　二十一　二
　　癸卯陈【叔宝至徳】二十二　三
　　甲辰二　二十三　四
　　乙巳三　后凉【萧凉广运】五
　　丙午四　【纳国于隋】　六
　　丁未五【祯明】　　　七
　　戊申六　　　　　八
　　己酉陈亡　　　　九【防陈】
　　庚戌　　　　　　十
　　辛亥　　　　　　十一
　　壬子　　　　　　十二
　　癸丑　　　　　　十三
　　甲寅　　　　　　十四
　　乙卯　　　　　　十五
　　丙辰　　　　　　十六
　　丁巳　　　　　　十七
　　戊午　　　　　　十八
　　己未　　　　　　十九
　　庚申　　　　　二十
　　辛酉　　　　　二十一【仁寿】
　　壬戌　　　　　二十二
　　癸亥　　　　　二十三
　　经辰之戌二千二百五十五
　　甲子　　　　　隋炀帝
　　乙丑　　　　　二【大业】
　　丙寅　　　　　三
　　丁卯　　　　　四
　　戊辰　　　　　五
　　己巳　　　　　六
　　庚午　　　　　七
　　辛未　　　　　八
　　壬申　　　　　九
　　癸酉　　　　　十
　　甲戌　　　　　十一
　　乙亥　　　　　十二
　　丙子　　　　　十三
　　丁丑　　　　　隋亡【帝侑义寜】
　　戊寅唐髙祖【武徳】
　　己卯二
　　庚辰三
　　辛巳四
　　壬午五
　　癸未六
　　甲申七
　　乙酉八
　　丙戌唐太宗
　　丁亥二【贞观】
　　戊子三
　　己丑四
　　庚寅五
　　辛卯六
　　壬辰七
　　癸巳八
　　经辰之亥二千二百五十六
　　甲午九
　　乙未十
　　丙申十一
　　丁酉十二
　　戊戌十三
　　己亥十四
　　庚子十五
　　辛丑十六
　　壬寅十七
　　癸卯十八
　　甲辰十九
　　乙巳二十
　　丙午二十一
　　丁未二十二
　　戊申二十三
　　己酉二十四
　　庚戌唐髙宗【永徽】
　　辛亥二
　　壬子三
　　癸丑四
　　甲寅五
　　乙卯六
　　丙辰七【顕庆】
　　丁巳八
　　戊午九
　　己未十
　　庚申十一
　　辛酉十二【龙朔】
　　壬戌十三
　　癸亥十四

　　皇极经世书卷四中
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷四下　　　　宋　邵雍　撰观物篇二十三　　以防经运十一
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之壬一百八十九
　　经辰之子二千二百五十七
　　甲子十五【麟徳】
　　乙丑十六
　　丙寅十七【干封】
　　丁卯十八
　　戊辰十九【总章】
　　己巳二十
　　庚午二十一【咸亨】
　　辛未二十二
　　壬申二十三
　　癸酉二十四
　　甲戌二十五【上元】
　　乙亥二十六
　　丙子二十七【仪鳯】
　　丁丑二十八
　　戊寅二十九
　　己卯三十【调露】
　　庚辰三十一【永隆】
　　辛巳三十二【开耀】
　　壬午三十三【永淳】
　　癸未三十四【道】
　　甲申唐中宗【嗣圣武后废帝为庐陵王迁之均立豫章王旦改元文明再改元光宅】乙酉二【武后徙帝于房陵改元垂拱】
　　丙戌三
　　丁亥四
　　戊子五
　　己丑六【武后改元永昌】
　　庚寅七【武后改元载初又改国为周元曰天授豫章王旦为皇嗣】
　　辛卯八
　　壬辰九【武后改元如意再改长寿】
　　癸巳十
　　经辰之丑二千二百五十八
　　甲午十一【武后改元延载】
　　乙未十二【武后改元证圣再改天册万歳】
　　丙申十三【武后改元万歳登封再改万歳通天】
　　丁酉十四【武后改元神功】
　　戊戌十五【武后改元圣厯召帝房陵复政】
　　己亥十六
　　庚子十七【武后改元久视】
　　辛丑十八【武后改元大足再改元长安】
　　壬寅十九
　　癸卯二十
　　甲辰二十一
　　乙巳二十二【武后改元神龙】
　　丙午二十三
　　丁未二十四【景龙】
　　戊申二十五
　　己酉二十六
　　庚戌唐睿宗【景云】
　　辛亥二
　　壬子唐宗【先天】
　　癸丑二【开元】
　　甲寅三
　　乙卯四
　　丙辰五
　　丁巳六
　　戊午七
　　己未八
　　庚申九
　　辛酉十
　　壬戌十一
　　癸亥十二
　　经辰之寅二千二百五十九
　　甲子十三
　　乙丑十四
　　丙寅十五
　　丁卯十六
　　戊辰十七
　　己巳十八
　　庚午十九
　　辛未二十
　　壬申二十一
　　癸酉二十二
　　甲戌二十三
　　乙亥二十四
　　丙子二十五【杨妃入宫】
　　丁丑二十六
　　戊寅二十七
　　己卯二十八
　　庚辰二十九
　　辛巳三十
　　壬午三十一【天宝】
　　癸未三十二
　　甲申三十三
　　乙酉三十四
　　丙戌三十五
　　丁亥三十六
　　戊子三十七
　　己丑三十八
　　庚寅三十九
　　辛卯四十
　　壬辰四十一
　　癸巳四十二
　　经辰之卯二千二百六十
　　甲午四十三
　　乙未四十四
　　丙申唐肃宗【至徳】
　　丁酉二
　　戊戌三【乾元】
　　己亥四
　　庚子五【上元】
　　辛丑六
　　壬寅七【宝应】
　　癸卯唐代宗【广徳】
　　甲辰二
　　乙巳三【永泰】
　　丙午四【大厯】
　　丁未五
　　戊申六
　　己酉七
　　庚戌八
　　辛亥九
　　壬子十
　　癸丑十一
　　甲寅十二
　　乙卯十三
　　丙辰十四
　　丁巳十五
　　戊午十六
　　己未十七
　　庚申唐徳宗【建中】
　　辛酉二
　　壬戌三
　　癸亥四
　　经辰之辰二千二百六十一
　　甲子五【兴元】
　　乙丑六【贞元】
　　丙寅七
　　丁卯八
　　戊辰九
　　己巳十
　　庚午十一
　　辛未十二
　　壬申十三
　　癸酉十四
　　甲戌十五
　　乙亥十六
　　丙子十七
　　丁丑十八
　　戊寅十九
　　己卯二十
　　庚辰二十一
　　辛巳二十二
　　壬午二十三
　　癸未二十四
　　甲申二十五
　　乙酉二十六【顺宗不及年永贞】
　　丙戌唐宪宗【元和】
　　丁亥二
　　戊子三
　　己丑四
　　庚寅五
　　辛卯六
　　壬辰七
　　癸巳八
　　经辰之巳二千二百六十二
　　甲午九
　　乙未十
　　丙申十一
　　丁酉十二
　　戊戌十三
　　己亥十四
　　庚子十五
　　辛丑唐穆宗【长庆】
　　壬寅二
　　癸卯三
　　甲辰四
　　乙巳唐敬宗【宝厯】
　　丙午二
　　丁未唐文宗【太和】
　　戊申二
　　己酉三
　　庚戌四
　　辛亥五
　　壬子六
　　癸丑七
　　甲寅八
　　乙卯九
　　丙辰十
　　丁巳十一
　　戊午十二
　　己未十三
　　庚申十四
　　辛酉唐武宗【防昌】
　　壬戌二
　　癸亥三
　　经辰之午二千二百六十三
　　甲子四
　　乙丑五
　　丙寅六
　　丁卯唐宣宗【大中】
　　戊辰二
　　己巳三
　　庚午四
　　辛未五
　　壬申六
　　癸酉七
　　甲戌八
　　乙亥九
　　丙子十
　　丁丑十一
　　戊寅十二
　　己卯十三
　　庚辰唐懿宗【咸通】
　　辛巳二
　　壬午三
　　癸未四
　　甲申五
　　乙酉六
　　丙戌七
　　丁亥八
　　戊子九
　　己丑十
　　庚寅十一
　　辛卯十二
　　壬辰十三
　　癸巳十四
　　经辰之未二千二百六十四
　　甲午唐僖宗【干符】
　　乙未二
　　丙申三【王仙芝防淮南】
　　丁酉四【黄巢防沂郓】
　　戊戌五
　　己亥六
　　庚子七【广明黄巢防两京称齐全綂】
　　辛丑八【中和】
　　壬寅九
　　癸卯十【黄巢走蓝关】
　　甲辰十一
　　乙巳十二【光啓】
　　丙午十三【王潮据福州】
　　丁未十四　二
　　戊申十五　三
　　己酉唐【绍宗龙纪】四　【钱镠据　王建防杭州　　成都】
　　庚戌二【大顺】　　五　　二　　　　　　二
　　辛亥三　　　六　　三　　　　　　三　　　【杨行宻防杨州】
　　壬子四【景福】　　七　　四　　　　　　二
　　癸丑五　　　八　　五　　　　　　三
　　甲寅六【干宁】　　九　　六　　　　　　四　　　【李茂贞防鳯翔】
　　乙卯七　　　十　　七　　　　　　五　　　二
　　丙辰八　　　十一　八　　　　　　六　　　三
　　丁巳九　　　十二　九　　　　　　七　　　四
　　戊午十【光化】闽【三审知】　十　　　　　　八　　　五
　　己未十一　　二　　十一　　　　　九　　　六
　　庚申十二　　三　　十二　　　　　十　　　七
　　辛酉十三【天复】四　　十三　　　　　十一　　八壬戌十四　　五　　十四【封　越王】十四　十二【封　吴王】九癸亥十五　　六　　十五　　十五　十三　　十
　　经辰之申二千二百六十五
　　甲子十六【天祐】　七　　十六　　十六　十四　　十一乙丑唐哀帝　八　　十七　　十七　　吴【渥立】　　十二丙寅二　　九　　十八　　十八　　二　　十三丁卯梁【全忠□平】　十　　十九　　十九　　三　　十四戊辰二　　十一　　二十　　蜀【王建称帝】　吴【渭立】　　十五己巳三　　十二　　二十一　二【武成】　二　　十六庚午四　　十三　　二十二　三　　三　　十七辛未五【干化】　十四　　二十三　四【永平】　　四　　十八壬申梁【友珪鳯厯】　十五　　二十四　五　　五　　十九癸酉梁【友贞干化】　十六　　二十五　六　　六　　二十甲戌二　　十七　　二十六　七　　七　　二十一乙亥三　　十八　　二十七　八　　八　　二十二丙子四　　十九　　二十八　九【通正】　九　　二十三丁亥五　　二十　　二十九　十【天汉】　十　　二十四　南汉【刘陟干亨】戊寅六　　二十一　三十　　十一【光天】十一　　二十五　二己卯七　　二十二　三十一　蜀【王衍干徳】　十二【渭帝武义】二十六　三庚辰八　　二十三　三十二　二　　二　　二十七　四辛巳九【龙徳】　二十四　三十三　三　吴【溥立顺义】二十八　五壬午十　　二十五　三十四　四　二　　二十九　六癸未后唐【庄宗同光】二十六　三十五　五　三　　【附于后唐】　　七
　　甲申二　　二十七　三十六　六　四　　　　　八
　　乙酉三【灭蜀】　闽【延翰】　三十七　蜀亡五　　　　　九【白龙】
　　丙戌后唐【明宗天成】闽【延钩】　三十八　　六　　　　　十
　　丁亥二　　二　　三十九　　七【干真】　　　　十一　　契丹【耶律徳光天】
　　戊子三　　三　　四十　　　八　　　　　十二【大有】二
　　己丑四　　四　　四十一　　九【大和】　　　　十三　　三
　　庚寅五【长兴】　五　　四十二　　十　　　　　十四　　四
　　辛卯六　　六　　四十三　　十一　　　　十五　　五
　　壬辰七　　七【光啓】　四十四　　十二　　　　十六　　六
　　癸巳后唐【闵帝】　八　　吴【元】　　　　十三　　　　十七　　七
　　经辰之酉二千二百六十六
　　甲午后唐　　九　　二　蜀【孟知祥明徳】十四　　　　十八　　八乙未二　　闽【永和王昶】　三　蜀【孟昶明徳】　十五【天祚】　　　十九　　九丙申晋【石塘天福】二【通文】四　　二　　十六　　二十　　十丁酉　　三　　五　　三　　南唐【李升升平】二十一　　十一戊戌　　四　　六　　四【广政】二　　二十二　　十二【防同】己亥　　闽【延义永隆】七　　五　　三　　二十三　　十三庚子五　　二　　八　　六　　四　　二十四　　十四辛丑六　　三　　九　　七　　五　　二十五　　十五壬寅七　　四　　吴【钱佐】八　　六　　二十六【份　光天】十六癸卯晋【重贵】五　　二　　九　　七　　南汉
　　甲辰二【开运】闽【延政天徳】三　　十　　南唐【璟　保大】二　　　十八乙巳三　　二　　四　　十一　二　　三　　　十九丙午四　　三　　五　　十二　三　　四　　　二十丁未汉【知逺】闽【留从孝】六　　十三　四　　五　　　契丹【兀欲天禄】戊申二【干祐】二　　吴【钱俶】　十四　五　　六　　　二己酉汉【隠帝承祐】三　　二　　十五　六　　七　　　三庚戌二　　四　　三　　十六　七　　八　　　四辛亥周【郭威广顺】五　　四　　十七　八　　九契丹【述律应厯】北汉【刘崇干祐】壬子二　　　六　　五　　十八　　九　　　十　　二　　二癸丑三　　　七　　六　　十九　　十　　　十一　三　　三甲寅四【显徳】　八　　七　　二十　　十一　　十二　四　　四乙卯周【世宗】　九　　八　　二十一　十二　　十三　五　　五丙辰二　　　十　　九　　二十二　十三　　十四　六　　北汉【承钩天会】丁巳三　　　十一　十　　二十三　十四【交泰】　十五　七　　二戊午四　　　十二　十一　二十四　十五　　十六　八　　三己未五　　　十三　十二　二十五　十六　南汉【张　大宝】九　　四庚申宋太祖【建隆】十四　十三　二十六　十七　　二　　十　　五辛酉二　　　十五　十四　二十七　十八　　三　　十一　六壬戌三　　　十六　十五　二十八　【南李煜唐】　四　　十二　七癸亥四　　　闽【洪进】　十六　二十九　二　　　五　　十三　八
　　经辰之戌二千二百六十七
　　甲子五　　　二　　十七　三十　　三　　　六　　十四　九乙丑六【防蜀】　　三　　十八　蜀亡　　四　　　七　　十五　十
　　丙寅七　　　四　　十九　　　　　五　　　八　　十六　十一丁卯八　　五　　二十　　六　　九　　十七　　十二戊辰九　　六　　二十一　　七　　十　　十八　　十三己巳十　　七　　二十二　　八　　十一　契丹【明记保宁】北汉【继元广运】庚午十一　八　　二十三　　九　　十二　二　　　二
　　辛未十二　九　　二十四　　十　　　　三　　　三壬申十三　十　　二十五　　十一　　　四　　　四癸酉十四　十一　二十六　　十二　　　五　　　五甲戌十五　十二　二十七　　十三　　　六　　　六乙亥十六　十三【纳国】二十八　　南唐亡　　　七　　　七
　　丙子宋太宗　　二十九【纳国】　　　　　　八　　　八
　　丁丑二　　　　　　　　　　　　　　九　　　九
　　戊寅三　　　　　　　　　　　　　　十　　　十
　　己卯四【防北汉】　　　　　　　　　　　　十一　　北汉亡
　　庚辰五　　　　　　　　　　　　　　十二
　　辛巳六　　　　　　　　　　　　　　十三
　　壬午七　　　　　　　　　　　　　　十四
　　癸未八　　　　　　　　　　　　契丹【隆绪綂和】
　　甲申九【雍熈】　　　　　　　　　　　二
　　乙酉十　　　　　　　　　　　　三
　　丙戌十一　　　　　　　　　　　四
　　丁亥十二　　　　　　　　　　　五
　　戊子十三【端拱】　　　　　　　　　　六
　　己丑十四　　　　　　　　　　　七
　　庚寅十五【淳化】　　　　　　　　　八
　　辛卯十六　　　　　　　　　　　九
　　壬辰十七　　　　　　　　　　　十
　　癸巳十八　　　　　　　　　　　十一
　　经辰之亥二千二百六十八
　　甲午十九　　　　　　　　　　　十二
　　乙未二十【孟道】　　　　　　　　　　十三
　　丙申二十一　　　　　　　　　　十四
　　丁酉二十二　　　　　　　　　　十五
　　戊戌宋真宗【咸平】　　　　　　　十六
　　己亥二　　　　　　　　　　　十七
　　庚子三　　　　　　　　　　　十八
　　辛丑四　　　　　　　　　　　十九
　　壬寅五　　　　　　　　　　　二十
　　癸卯六　　　　　　　　　　　二十一
　　甲辰七【景徳】　　　　　　　　　二十二
　　乙巳八　　　　　　　　　　　二十三
　　丙午九　　　　　　　　　　　二十四
　　丁未十　　　　　　　　　　　二十五
　　戊申十一【大中祥符】　　　　　　二十六
　　己酉十二　　　　　　　　　　二十七
　　庚戌十三　　　　　　　　　　二十八
　　辛亥十四　　　　　　　　　　二十九
　　壬子十五　　　　　　　　　　三十【开泰】
　　癸丑十六　　　　　　　　　　三十一
　　甲寅十七　　　　　　　　　　　三十二
　　乙卯十八　　　　　　　　　　　三十三
　　丙辰十九　　　　　　　　　　　三十四
　　丁巳二十【天禧】　　　　　　　　　三十五
　　戊午二十一　　　　　　　　　　三十六
　　己未二十二　　　　　　　　　　三十七
　　庚申二十三　　　　　　　　　　三十八
　　辛酉二十四　　　　　　　　　　三十九【太平】
　　壬戌二十五【干兴】　　　　　　　　四十
　　癸亥宋仁宗　　　　　　　　　　四十一
　　观物篇二十四　　以防经运十二
　　经日之甲一
　　经月之午七
　　经星之癸一百九十
　　经辰之子二千二百六十九
　　甲子二　　　　　　　　　　　　四十二
　　乙丑三　　　　　　　　　　四十三
　　丙寅四　　　　　　　　　　四十四
　　丁卯五　　　　　　　　　　四十五
　　戊辰六　　　　　　　　　　四十六
　　己巳七　　　　　　　　　　四十七
　　庚午八　　　　　　　　　　四十八
　　辛未九　　　　　　　　　　四十九【景福】
　　壬申十【明道】　　　　　　　　　契丹【宗真重熈】西夏【元吴显道】
　　癸酉十一　　　　　　　　　　三　　　二
　　甲戌十二【景祐】　　　　　　　　四　　　三【开运广运】
　　乙亥十三　　　　　　　　　　五　　　四
　　丙子十四　　　　　　　　　　六　　　五【大庆】
　　丁丑十五　　　　　　　　　　七　　　六
　　戊寅十六【寳元】　　　　　　　　八　　　七【天授理法延祚】
　　己卯十七　　　　　　　　　　九　　　八
　　庚辰十八【康定】　　　　　　　　十　　　九
　　辛巳十九【庆厯】　　　　　　　　　　十一　十
　　壬午二十　　　　　　　　　　　　十二　十一
　　癸未二十一　　　　　　　　　　　十三　十二
　　甲申二十二　　　　　　　　　　　十四　十三
　　乙酉二十三　　　　　　　　　　　十五
　　丙戌二十四　　　　　　　　　　　十六
　　丁亥二十五　　　　　　　　　　　十七
　　戊子二十六　　　　　　　　　　　十八
　　己丑二十七【皇祐】　　　　　　　　　十九
　　庚寅二十八　　　　　　　　　　　二十
　　辛卯二十九　　　　　　　　　　　二十一
　　壬辰三十　　　　　　　　　　　　二十二
　　癸巳三十一　　　　　　　　　　　二十三
　　经辰之丑二千二百七十
　　甲午三十二【至和】　　　　　　　　　二十四
　　乙未三十三　　　　　　　　　　契丹【洪基清宁】
　　丙申三十四【嘉祐】　　　　　　　二
　　丁酉三十五　　　　　　　　　三
　　戊戌三十六　　　　　　　　　四
　　己亥三十七　　　　　　　　　五
　　庚子三十八　　　　　　　　　六
　　辛丑三十九　　　　　　　　　七
　　壬寅四十　　　　　　　　　　八
　　癸卯四十一　　　　　　　　　九
　　甲辰宋英宗　　　　　　　　　十
　　乙巳二　　　　　　　　　　　十一【咸雍】
　　丙午三　　　　　　　　　　　十二【改国大辽】
　　丁未四　　　　　　　　　　　十三
　　戊申今上【熈宁】　　　　　　　　十四
　　己酉二　　　　　　　　　　　十五
　　庚戌三　　　　　　　　　　　十六
　　辛亥四　　　　　　　　　　　十七
　　壬子五　　　　　　　　　　　十八
　　癸丑六　　　　　　　　　　　十九
　　甲寅七　　　　　　　　　　　二十
　　乙卯八　　　　　　　　　　　二十一
　　丙辰九　　　　　　　　　　　二十二
　　丁巳十　　　　　　　　　　　二十三
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之寅二千二百七十一
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之卯二千二百七十二
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之辰二千二百七十三
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之己二千二百七十四
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之午二千二百七十五
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之未二千二百七十六
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之申二千二百七十七
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之酉二千二百七十八
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经辰之戌二千二百七十九
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经辰之亥二千二百八十
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经星之甲一百九十一
　　经星之乙一百九十二
　　经星之丙一百九十三
　　经星之丁一百九十四
　　经星之戊一百九十五
　　经星之己一百九十六
　　经星之庚一百九十七
　　经星之辛一百九十八
　　经星之壬一百九十九
　　经星之癸二百
　　经星之甲二百一
　　经星之乙二百二
　　经星之丙二百三
　　经星之丁二百四
　　经星之戊二百五
　　经星之己二百六
　　经星之庚二百七
　　经星之辛二百八
　　经星之壬二百九
　　经星之癸二百十
　　经日之甲一
　　经月之未八
　　经星之甲二百一十一
　　经星之乙二百一十二
　　经星之丙二百一十三
　　经星之丁二百一十四
　　经星之戊二百一十五
　　经星之己二百一十六
　　经星之庚二百一十七
　　经星之辛二百一十八
　　经星之壬二百一十九
　　经星之癸二百二十
　　经星之甲二百二十一
　　经星之乙二百二十二
　　经星之丙二百二十三
　　经星之丁二百二十四
　　经星之戊二百二十五
　　经星之己二百二十六
　　经星之庚二百二十七
　　经星之辛二百二十八
　　经星之壬二百二十九
　　经星之癸二百三十
　　经星之甲二百三十一
　　经星之乙二百三十二
　　经星之丙二百三十三
　　经星之丁二百三十四
　　经星之戊二百三十五
　　经星之己二百三十六
　　经星之庚二百三十七
　　经星之辛二百三十八
　　经星之壬二百三十九
　　经星之癸二百四十
　　经日之甲一
　　经月之申九
　　经星之甲二百四十一
　　经星之乙二百四十二
　　经星之丙二百四十三
　　经星之丁二百四十四
　　经星之戊二百四十五
　　经星之己二百四十六
　　经星之庚二百四十七
　　经星之辛二百四十八
　　经星之壬二百四十九
　　经星之癸二百五十
　　经星之甲二百五十一
　　经星之乙二百五十二
　　经星之丙二百五十三
　　经星之丁二百五十四
　　经星之戊二百五十五
　　经星之己二百五十六
　　经星之庚二百五十七
　　经星之辛二百五十八
　　经星之壬二百五十九
　　经星之癸二百六十
　　经星之甲二百六十一
　　经星之乙二百六十二
　　经星之丙二百六十三
　　经星之丁二百六十四
　　经星之戊二百六十五
　　经星之己二百六十六
　　经星之庚二百六十七
　　经星之辛二百六十八
　　经星之壬二百六十九
　　经星之癸二百七十
　　经日之甲一
　　经月之酉十
　　经星之甲二百七十一
　　经星之乙二百七十二
　　经星之丙二百七十三
　　经星之丁二百七十四
　　经星之戊二百七十五
　　经星之己二百七十六
　　经星之庚二百七十七
　　经星之辛二百七十八
　　经星之壬二百七十九
　　经星之癸二百八十
　　经星之甲二百八十一
　　经星之乙二百八十二
　　经星之丙二百八十三
　　经星之丁二百八十四
　　经星之戊二百八十五
　　经星之己二百八十六
　　经星之庚二百八十七
　　经星之辛二百八十八
　　经星之壬二百八十九
　　经星之癸二百九十
　　经星之甲二百九十一
　　经星之乙二百九十二
　　经星之丙二百九十三
　　经星之丁二百九十四
　　经星之戊二百九十五
　　经星之己二百九十六
　　经星之庚二百九十七
　　经星之辛二百九十八
　　经星之壬二百九十九
　　经星之癸三百
　　经日之甲一
　　经月之戌十一
　　经星之甲三百一
　　经星之乙三百二
　　经星之丙三百三
　　经星之丁三百四
　　经星之戊三百五
　　经星之己三百六
　　经星之庚三百七
　　经星之辛三百八
　　经星之壬三百九
　　经星之癸三百一十
　　经星之甲三百一十一
　　经星之乙三百一十二
　　经星之丙三百一十三
　　经星之丁三百一十四
　　经星之戊三百一十五
　　闭物经月戌之终

　　皇极经世书卷四下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷五上　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇二十五
　　经元之甲一
　　经防之巳六
　　经运之癸一百八十
　　经世之子二千一百四十九
　　经世之丑二千一百五十
　　经世之寅二千一百五十一
　　经世之卯二千一百五十二
　　经世之辰二千一百五十三
　　经世之巳二千一百五十四
　　经世之午二千一百五十五
　　经世之未二千一百五十六
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰唐帝尧肇位于平阳号陶唐氏命羲和钦若昊天厯象日月星辰敬授人时朞三百六旬有六日以闰月定四时成嵗曰载建寅月为始允厘百工庻绩咸熈
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之申二千一百五十七
　　甲子唐帝尧二十一年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之酉二千一百五十八
　　甲午唐帝尧五十一年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子鲧治水绩用弗成
　　癸丑帝尧求禅明明侧陋始徴舜登庸歴试诸难厘
　　降二女于沩汭作嫔于虞以观法焉
　　甲寅
　　乙卯舜言底可绩帝以徳荐于天而命之位
　　丙辰正月上日舜受命于文祖用璇玑玉衡以齐七政类于上帝禋于六宗望于山川徧于羣神辑五瑞五玉班于羣后肇十有二州封十有二山四时行廵狩协时月正日同律度量衡脩五礼象以典刑流共工于幽州放驩兠于崇山窜三苖于三危殛鲧于羽山四罪正而天下咸服
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之戌二千一百五十九
　　甲子虞帝舜九年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌月正元日舜格于文祖号有虞氏都蒲坂询四岳辟四门明四目达四聪咨十有二牧命九官以伯禹为司空稷司农契司徒臯陶司士垂司工益司虞夷司礼防典乐龙司言此九人使宅百揆三载考绩黜陟幽明庻绩其凝
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千一百六十
　　甲午虞舜帝三十九年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰帝舜求代以功荐禹于天而命之位
　　丁巳正月朔旦禹受命于神宗正天下水土分九州九山九川九泽防于四海修其六府咸则三壤成赋中邦
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　观物篇二十六
　　经元之甲乙
　　经防之午七
　　经运之甲一百八十一
　　经世之子二千一百六十一
　　甲子夏王禹八年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉帝舜陟方乃死
　　甲戌禹都安邑徙居阳翟大防诸侯于涂山执玉帛者
　　万国防风氏后至戮焉
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未夏王禹东廵狩至于防稽崩元子启践位
　　甲申启与有扈战于甘之野
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰夏王启崩元子太康践位
　　癸巳
　　经世之丑二千一百六十二
　　甲午夏王太康二年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉夏王太康失邦盘逰无度畋于有洛之表十旬不返有穷后羿因民不忍距于河而死子仲康立
　　壬戌命侯征羲氏和氏
　　癸亥
　　经世之寅二千一百六十三
　　甲子夏王仲康三年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌夏王仲康崩子相继立依同姓诸侯斟灌斟鄩氏乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之卯二千一百六十四
　　甲午夏王相二十年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅寒浞杀有穷后羿使子浇及豷伐斟灌斟鄩氏以灭相相之臣靡逃于有鬲氏相之后还于有仍氏遂生少康
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之辰二千一百六十五
　　甲子夏王少康生二十三年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午夏之遗臣靡自有鬲氏收斟灌鄩二国之烬以灭寒浞而立少康少康立灭浇于过灭豷于戈以絶有穷氏之族
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　卒卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之巳二千一百六十六
　　甲午夏王少康五十三年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯夏王少康崩子杼践位
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　巳酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申夏王杼崩子槐践位
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之午二千一百六十七
　　甲子夏王槐四年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌夏王槐崩子芒践位
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之未二千一百六十八
　　甲午夏王芒八年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰夏王芒崩子泄践位
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申夏王泄崩子不降践位
　　辛酉
　　壬戊
　　癸亥
　　经世之申二千一百六十九
　　甲子夏王不降四年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之酉二千一百七十
　　甲午夏王不降三十四年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未夏王不降崩弟扃立
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之戌二千一百七十一
　　甲子夏王扃五年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰夏王扃崩子厪践位
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千一百七十二
　　甲午夏王厪十四年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑夏王厪崩不降子孔甲立
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戊
　　癸亥
　　观物篇二十七
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之乙一百八十二
　　经世之子二千一百七十三
　　甲子夏王孔甲二十三年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　已巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申夏王孔甲崩子臯践位
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未夏王臯崩子发践位
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之丑二千一百七十四
　　甲午夏王发十一年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅夏王发崩子癸践位是谓之桀
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　巳未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之寅二千一百七十五
　　甲子夏王癸二十二年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戊
　　乙亥始嬖妺喜
　　丙子
　　丁丑成汤即诸侯位自商丘徙至亳始用伊尹
　　戊寅成汤征葛
　　己卯成汤荐伊尹于夏王
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午伊尹丑复归于亳
　　癸未
　　甲申桀囚成汤于夏台
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之卯二千一百七十六
　　甲午夏王癸五十二年
　　乙未伊尹相成汤伐桀升自陑遂与桀战于鸣条之野桀败走三朡遂伐三朡俘厥寳玉放桀于南巢还至大坰仲虺作诰归至亳乃大诰万方南面朝诸侯建国曰商以丑月为嵗始曰祀与民更始
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未商王成汤崩元子太甲践位不明伊尹放之桐宫戊申
　　己酉
　　庚戌商王太甲思庸伊尹冕服奉嗣王于亳返政辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之辰二千一百七十七
　　甲子商王太甲十七年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰商王太甲崩子沃丁践位
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之巳二千一百七十八
　　甲午商王沃丁十四年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉商王沃丁崩弟太庚立
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之午二千一百七十九
　　甲子商王太庚十五年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌商王太庚崩子小甲践位
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯商王小甲崩弟雍已立
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之未二千一百八十
　　甲午商王雍已三年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯商王雍已崩弟太戊立是谓中宗伊陟臣扈格于
　　上帝巫咸乂王家大修成汤之政
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之申二千一百八十一
　　甲子商王太戊二十一年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之酉二千一百八十二
　　甲午商王太戊五十一年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午商王中宗崩子仲丁践位迁于嚣
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之戌二千一百八十三
　　甲子商王仲丁六年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未商王仲丁崩国乱弟外壬立
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌商王外壬崩国复乱弟河亶甲立徙居相
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千一百八十四
　　甲午商王河亶甲八年
　　乙未商王河亶甲崩子祖乙践位圯于耿徙居邢巫贤
　　为相
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　观物篇二十八
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之丙一百八十三
　　经世之子二千一百八十五
　　甲子商王祖辛十年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午商王祖辛崩弟沃甲立
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之丑二千一百八十六
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　巳酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之寅二千一百八十七
　　甲子商王祖丁二十九年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯商王祖丁崩国乱沃甲之子南庚立
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳商王南庚崩乱祖丁之子阳甲立诸侯不朝
　　经世之卯二千一百八十八
　　甲午商王阳甲二年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥商王阳甲崩弟盘庚立复归于亳改号曰殷庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　巳酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之辰二千一百八十九
　　甲子商王盘庚二十五年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯商王盘庚崩弟小辛立
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子商王小辛崩弟小乙立
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之己二千一百九十
　　甲午商王小乙六年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰商王小乙崩子武丁践位是谓髙宗甘盘为相以
　　梦求傅説得之于傅岩
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之午二千一百九十一
　　甲子商王武丁八年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之未二千一百九十二
　　甲午商王武丁三十八年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　巳酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯商王髙宗崩弟祖庚立
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌商王祖庚崩弟祖甲立
　　癸亥
　　经世之申二千一百九十三
　　甲子商王祖甲二年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳周文王生
　　经世之酉二千一百九十四
　　甲午商王祖甲三十二年
　　乙未商王祖甲崩子廪辛践位
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑商王廪辛崩弟庚丁立
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌商王庚丁崩子武乙践位徙居河北
　　癸亥
　　经世之戌二千一百九十五
　　甲子商王武乙二年
　　乙丑
　　丙寅商王武乙震死子太丁立
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳商王太丁崩子帝乙践位
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯周文王始即诸侯位
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千一百九十六
　　甲午商王帝乙二十五年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午商王帝乙崩次子受辛立是谓之纣
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅始嬖妲己
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉商囚文王于羑里
　　壬戌
　　癸亥商王纣放文王归于国锡命为西方诸侯伯

　　皇极经世书卷五上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷五下　　　　宋　邵雍　撰
　　观物篇二十九
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之丁一百八十四
　　经世之子二千一百九十七
　　甲子商王受辛十八年西伯伐崇自岐徙居丰
　　乙丑周西伯伐密湏
　　丙寅周西伯戡黎
　　丁卯周西伯伐邘
　　戊辰
　　己巳周文王没元子发践位是谓武王葬文王于毕庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑周武王东观兵于孟津
　　戊寅商王纣杀太师比干囚箕子微子以祭器奔周己卯吕尚相武王伐商师逾孟津大陈兵于商郊败之于牧野杀纣立其子武庚为后还师在丰践天子位南面朝诸侯大诰天下以子月为嵗始曰年与民更始
　　庚辰命管叔蔡叔霍叔守卫之三邑谓之三监辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉周武王崩元子诵践位是谓成王周公为太师召公为太保二公分治陜洛受顾命率天下诸侯夹辅王室葬武王于毕
　　丙戌三监及淮夷叛周公东征大诰天下
　　丁亥
　　戊子三监平治黜商命杀武庚命微子启于宋代商侯封康叔于卫以保商民命箕子于髙丽辟管叔于商囚蔡叔于郭邻降霍叔为庶人不齿东征淮夷鲁侯伯禽誓师于费淮夷平遂践奄肃慎来贺
　　己丑
　　庚寅徃营成周命召公相宅
　　辛卯
　　壬辰成周既成周公分正成周东郊以王命诰多士癸巳
　　经世之丑二千一百九十八
　　甲午周成王九年
　　乙未
　　丙申周公没命君陈分正成周东郊葬周公于毕丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌周成王崩召公毕公受顾命辅元子钊践位是谓
　　康王
　　癸亥周康王元年命毕公代君陈分正成周东郊
　　经世之寅二千一百九十九
　　甲子周康王二年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子周康王崩子瑕践位是谓昭王
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之卯二千二百
　　甲午周昭王六年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之辰二千二百一
　　甲子
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯周昭王南廵不返子满立是谓穆王
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之已二千二百二
　　甲午周穆王十五年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之午二千二百三
　　甲子周穆王四十五年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌周穆王崩子繄扈践位是谓共王
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌周共王崩子囏践位是谓懿王
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之未二千二百四
　　甲午
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥周懿王崩穆王子辟方立是谓孝王
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之申二千二百五
　　甲子周孝王十三年
　　乙丑
　　丙寅周孝王崩懿王子燮立是谓夷王周自此衰矣丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午周夷王崩子胡践位是谓厉王
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之酉二千二百六
　　甲午周厉王十二年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑厉王好利以荣公为卿
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰杀谏臣以为谤己者
　　丁巳
　　戊午
　　己未周厉王为国人所逐出奔彘周召二伯行政谓之共和太子靖匿于召公家文武之徳自此尽矣
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之戌二千二百七
　　甲子周厉王四十二年在彘
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉周厉王死于彘周召二伯立太子靖是谓宣王有仲山甫尹吉甫方叔申伯为辅大修文武之功
　　甲戌宣王北伐猃狁至于太原吉甫为将
　　乙亥宣王南征荆蛮方叔为
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千二百八
　　甲午周宣王二十一年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳伐鲁立孝公
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子伐姜戎师败于千亩遂失南国
　　癸丑料民于太原
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午
　　己未周宣王崩太子湼践位是谓幽王
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌始嬖褒姒
　　癸亥
　　观物篇三十
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之戌一百八十五
　　经世之子二千二百九
　　甲子周幽王五年废申后及太子宜臼以褒姒为后伯
　　服为太子虢石父为卿
　　乙丑
　　丙寅
　　丁夘
　　戊辰
　　己巳
　　庚午申侯以犬戎伐周败幽王于骊山杀之晋秦率郑卫之君逐犬戎立太子宜臼是谓平王东徙居洛邑是谓东周
　　辛未周平王锡晋文侯襄公命秦分岐西晋分河内壬申秦立西畤祠白帝鲁惠公即位
　　癸酉
　　甲戌
　　乙亥秦文公即位
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯秦东徙居汧渭之间
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未卫荘公即位
　　甲申
　　乙酉秦作鄜畤
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之丑二千二百十
　　甲午周平王二十四年
　　乙未晋昭侯即位
　　丙申晋昭侯封弟成师于曲沃
　　丁酉郑荘公即位
　　戊戌郑荘公封弟段于京城
　　己亥
　　庚子卫公子州吁阻兵
　　辛丑楚乱熊通弑其君代立
　　壬寅晋乱大夫潘父弑其君昭侯入曲沃桓叔不克国
　　人杀潘父而立君之弟平是谓孝侯
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申卫州吁出奔
　　己酉
　　庚戌晋曲沃桓叔卒子荘伯继齐庄公卒子厘公立辛亥
　　壬子宋桓公卒让其弟穆公
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳晋曲沃荘伯入翼杀其君孝侯国人逐荘伯立孝
　　侯子是谓鄂侯
　　戊午
　　己未鲁隠公立
　　庚申
　　辛酉周平王崩其孙林立是谓桓王与郑交恶宋穆公
　　病让其兄之子殇公世子冯奔郑
　　壬戌卫公子州吁作难弑其君桓公代立宋防陈蔡卫三国之师伐卫杀州吁于濮国人迎公之弟晋于邢而立之是谓宣公
　　癸亥晋曲沃荘伯以郑邢之师攻翼王使尹氏武氏为之助翼侯出奔随荘伯叛王王使虢伐荘伯荘伯复奔曲沃晋人及虢侯立翼侯子光是谓哀侯郑伐宋
　　经世之寅二千二百一十一
　　甲子周桓王三年晋翼侯自随入于鄂是谓鄂侯乙丑晋曲沃荘伯卒子称继是谓武公
　　丙寅宋齐卫之君盟于瓦屋
　　丁卯秦自汧渭之间徙居郿
　　戊辰齐防鲁郑之师伐宋
　　己巳鲁乱公子翚杀其君隠公立惠公之子是谓桓公
　　翚为之辅
　　庚午
　　辛未宋乱太宰华督杀司马孔父及弑其君殇公迎穆
　　公子冯于郑而立之是谓荘公
　　壬申晋曲沃武公败晋师于汾旁获哀侯晋人立其子
　　是谓小子侯
　　癸酉晋曲沃武公弑其君哀侯于曲沃
　　甲戌周桓王以蔡卫陈之师伐郑不利矢中王肩乙亥蔡人杀陈佗北戎伐齐郑使公子忽救之楚伐随
　　俾请王之号于周
　　丙子晋曲沃武公入翼杀小子侯王使虢仲伐称称复
　　归曲沃虢仲立哀侯弟緍
　　丁丑秦乱宁公卒三父废世子而庚立出子是年楚熊通伐随东开地至濮上遂称王是谓武王
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰郑荘公卒世子忽继宋执郑祭仲立突是谓厉公忽奔卫祭仲専政卫宣公杀其二子伋寿
　　辛巳卫宣公卒子朔立是谓惠公
　　壬午齐防宋卫燕伐鲁不利
　　癸未秦三父杀出子而立世子是谓武公齐厘公卒世子诸儿继是谓襄公宋防齐蔡陈伐郑
　　甲申周桓王崩太子佗嗣立是谓荘王郑祭仲杀雍紏而逐厉公迎忽反政是谓昭公秦伐彭戏氏于华山齐襄公削公子无知禄宋防鲁卫陈伐郑
　　乙酉卫公子伋夀傅逐惠公立伋之弟黔牟公出奔齐
　　宋防鲁卫陈蔡伐郑
　　丙戌秦夷三父族郑髙渠弥弑其君昭公立其弟子亹
　　弥専政
　　丁亥周有黒肩之难齐襄公杀鲁桓公于泺立其子同是谓荘公又防诸侯于首止杀郑子亹髙渠弥逃归与祭仲迎公子婴于陈立之
　　戊子周王姬下嫁于齐
　　己丑周塟桓王
　　庚寅
　　辛卯周伐随责尊楚也齐伐纪纪侯大去其国楚王卒
　　于伐随子赀继是谓文王始都郢
　　壬辰齐防宋鲁陈蔡伐卫入惠公
　　癸巳卫惠公复入杀二公子傅黔牟奔周
　　经世之卯二千二百一十二
　　甲午周荘王十年秦灭小虢
　　乙未齐公子无知以葵丘之戍人入弑襄公代立公子
　　纠奔鲁小白奔莒
　　丙申齐人杀无知公子小白入是谓桓公紏后入不克齐伐鲁杀紏其傅召忽死之管仲请囚又相桓公
　　丁酉鲁败齐师于长勺败宋师于乗丘楚败蔡师于莘以蔡侯献舞归自是江汉之国皆服于楚
　　戊戌
　　己亥周荘王崩太子胡齐嗣位是谓厘王宋乱南宫万弑其君湣公及其大夫仇牧太宰华督立公子防羣公子奔萧攻万及杀游立公弟御説是谓桓公
　　庚子齐防宋陈蔡邾之师伐鲁三败之取遂又防鲁于
　　柯遂复其侵地曹沫刼盟故也
　　辛丑齐防陈曹及王人伐宋楚师入蔡
　　壬寅齐桓公防宋陈卫郑之君盟于鄄晋曲沃武公灭
　　翼以重寳入周得请为诸侯
　　癸卯齐桓公防陈宋鲁卫郑许滕之君盟于幽秦武
　　公卒弟徳公立楚灭邓
　　甲辰周厘王崩太子闵嗣位是谓恵王晋武公卒子献公诡诸继秦徙居雍楚文王卒世子囏继是谓杜敖
　　乙巳秦徳公卒子宣公继
　　丙午
　　丁未周有五大夫之难边伯石速蒍国以蔡卫之师攻
　　王立弟頽王出居郑之栎
　　戊申郑厉公及虢叔入王于成周杀頽而执仲父及五
　　大夫难遂平
　　己酉秦作密畤败晋师于河晋伐骊获女以为姬陈公子完奔齐楚乱弟恽杀其君囏代立是谓成王
　　庚戌楚脩好于周及诸侯
　　辛亥魏惠公卒子懿公继
　　壬子晋有骊姬之难杀羣公子自翼徙居绛
　　癸丑晋伐虢责内羣公子也
　　甲寅周惠王锡齐桓公命为伯
　　乙卯晋城曲沃及蒲楚伐郑
　　丙辰
　　丁巳齐伐山戎至于孤竹以救燕俾脩贡天子秦宣公卒弟成公立楚杀令尹子元以鬭谷于菟为令尹
　　戊午
　　己未鲁乱叔牙弑其君荘公开立是谓湣公季友立世
　　子班不克奔陈
　　庚申晋灭霍魏耿以耿封赵夙以魏封毕万
　　辛酉鲁乱庆父以荘姜弑湣公代立季友逐庆父而立公子申是谓僖公狄灭卫杀懿公齐桓公攘戎狄而立戴公东处渡河野处漕邑戴公卒弟燬立是谓文公自漕邑徙居楚丘晋伐东山臯落氏秦成公卒弟任好立是谓穆公
　　壬戌秦伐茅津齐防宋郑鲁曹邾之君于柽
　　癸亥齐城楚丘以居卫又防江黄之君于贯晋灭虢
　　经世之辰二千二百一十三
　　甲子周惠王二十年齐防江黄之君于阳谷
　　乙丑齐防宋鲁卫郑许曹之师伐蔡遂入楚盟于召陵执陈辕涛涂晋杀世子申生公子重耳走蒲夷吾奔屈秦娶晋女为夫人
　　丙寅齐桓公防陈宋鲁卫郑许曹之君及王世子盟于首止晋伐蒲重耳奔翟又伐虞及虢虢君奔周是年秦始得志于诸侯百里奚蹇叔为之辅楚灭
　　丁卯齐伐郑晋伐屈夷吾奔梁
　　戊辰
　　己巳周惠王崩太子郑嗣位是谓襄王太叔作难齐师宋卫许曹陈防王人于洮晋伐翟不利于齧桑
　　庚午齐桓公防宰孔周公及宋卫郑许曹之君于葵丘宋襄公立晋献公卒公子奚齐立大夫里克及丕郑杀之大夫荀息立其弟卓子
　　辛未晋里克杀其君卓子及大夫荀息而纳夷吾夷吾入是谓惠公惠公既立杀里克而絶秦
　　壬申周乱叔带以戍伐周秦晋来救
　　癸酉齐使管仲平周难楚灭黄
　　甲戌齐桓公防宋陈鲁卫郑许曹之君盟于咸晋饥秦
　　输之粟
　　乙亥秦饥晋闭之籴而又伐之楚灭英
　　丙子齐桓公防宋陈鲁卫郑许曹之君盟于牡丘以救徐管仲卒易牙专政秦伐晋败之于韩原获其君夷吾夷吾献河西地乃得还仍以世子圉为质
　　丁丑戌攻周齐防诸侯师戍周又防宋鲁陈郑许邢曹
　　之君于淮以全鄫
　　戊寅齐桓公卒五公子争国公子无诡立易牙专政世
　　子昭出奔宋
　　己卯宋防曹卫邾伐齐无诡子败四公子立世子昭是
　　谓孝侯狄伐卫
　　庚辰秦灭梁
　　辛巳
　　壬午宋襄公防楚陈蔡郑许曹六国之君于盂楚成王
　　执宋襄公于防以伐宋盟而释之
　　癸未齐入王叔带于周秦晋徙陆浑之戎于伊川宋防卫许滕伐郑不利晋公子圉自秦逃归楚救郑大败宋师于
　　甲申周頽叔桃子以狄师伐郑遂以狄女隗氏为后宋襄公卒子成公壬臣继齐伐宋楚伐陈
　　乙酉周襄王废狄后頽叔桃子以狄师攻周王出居郑之汜叔带代立与狄后居于温晋有郤苪之难惠公卒世子圉继是谓懐公秦穆公使人杀之而立公子重耳是谓文公赵衰为原大夫专政
　　丙戌秦晋之师灭王叔带于温而纳王于成周王享晋文公于郏而命益之河内地卫文公卒世子成公郑继楚围陈以入顿子
　　丁亥宋背楚亲晋楚灭防伐宋又伐齐
　　戊子齐孝公卒弟潘父杀世子代立是谓昭公晋救宋
　　作三军楚使子玉伐宋
　　己丑周襄王狩于河阳晋防齐宋蔡秦之师伐卫大败楚师于城濮遂防齐宋蔡郑鲁卫之君盟于践土楚救郑不利杀令尹子玉得臣
　　庚寅晋防王人及诸侯于翟泉
　　辛卯卫成公自陈如周周请晋纳成公于卫而诛大夫
　　元咺及公子瑕秦晋围郑
　　壬辰鲁取济西田卫徙居帝丘
　　癸巳晋文公卒世子欢继是谓襄公
　　经世之巳二千二百一十四
　　甲午周襄王二十五年秦穆公伐郑晋败秦师于殽获其帅孟明视西乞术白乙丙鲁僖公卒世子兴继是谓文公
　　乙未晋归秦三帅楚乱世子商臣杀其君恽代立是谓
　　穆王
　　丙申秦伐晋不利于彭衙
　　丁酉秦伐晋取王官楚伐江晋师来救
　　戊戌秦伐西戎破国十二楚灭江
　　己亥晋赵成子衰卒子盾继事楚灭六
　　庚子秦穆公卒世子防继是谓康公葬穆公三良为殉
　　晋襄公卒
　　辛丑晋世子夷臯继是谓灵公宋成公卒国乱弟御杀世代立国人杀御公立子杵臼是谓昭公齐率宋卫陈郑许曹之君防赵盾于扈
　　壬寅周襄王崩太子壬臣嗣位是谓顷王
　　癸卯周葬襄王晋防诸侯人救郑秦伐晋取武遂甲辰晋伐秦取少梁秦伐晋取比徴
　　乙巳鲁败狄于咸获其帅乔如
　　丙午秦伐晋取覊马
　　丁未楚穆王卒世子莒继是谓荘王
　　戊申周顷王崩国乱公卿争权晋赵盾平周乱而立王子班是谓匡王宋及诸侯盟于新城齐昭公卒国乱公子商人杀世子舍代立是谓懿公
　　己酉秦伐蔡齐伐鲁
　　庚戌齐脩郪丘之盟宋人弑其君昭公弟鲍立是谓文
　　公楚灭庸
　　辛亥晋防卫陈郑伐宋
　　壬子鲁文公卒于台下襄仲杀世子恶而立公子俀是谓宣公三桓专政秦康公卒世子稻继是谓共公齐乱大夫丙歜弑其君懿公立公子元是谓恵公宋乱羣公子作难
　　癸丑齐取鲁济西田晋伐郑楚侵陈及宋
　　甲寅周匡王崩弟瑜立是谓定王郑败宋师于大棘获其太宰华元晋伐郑秦伐晋晋赵盾弑其君灵公迎襄公弟黒臀于周立之是谓成公
　　乙卯周葬匡王楚伐陆浑之戎遂观兵于周郊
　　丙辰郑乱公子作难
　　丁巳晋伐陈以救郑秦共公卒子继是为桓公
　　戊午晋赵盾卫孙免侵陈
　　己未晋防诸侯于黒壤
　　庚申晋伐秦楚灭舒蓼
　　辛酉晋侯防宋卫陈郑于扈陈不至遂伐陈晋成公卒于扈公子据立是谓景公赵盾卒子朔继事
　　壬戌齐归鲁济西田齐惠公卒子无野立是谓顷公大夫崔杼奔卫陈乱夏徴舒弑其君灵公晋伐郑楚师来救楚伐郑晋师来救
　　癸亥楚伐陈诛夏徴舒纳公孙宁仪行父于陈
　　经世之午二千二百一十五
　　甲子周定王十年楚伐郑大败晋师于河上晋屠岸贾作难于下宫杀赵朔及其族朔妻匿于公宫生武
　　乙丑楚伐宋
　　丙寅楚围宋
　　丁卯周定王杀二伯晋灭赤狄及潞氏
　　戊辰周宣王榭火晋灭申氏又平王室之乱
　　己巳晋防诸侯之君于断道
　　庚午鲁宣公卒世子黒肱继是谓成公晋伐齐楚荘王
　　卒世子审继是谓共王
　　辛未周伐茅戎不利
　　壬申齐伐鲁卫败鲁之师于新筑晋防诸侯之师救卫大败齐师于鞌宋文公卒子瑕继是谓共公华元专国两盟于晋楚防十国之人于蜀
　　癸酉晋防宋卫鲁曹伐郑郑两伐许
　　甲戌晋伐楚救郑
　　乙亥周定王崩太子夷嗣位是谓简王晋防齐宋卫鲁郑曹邾杞八国之君盟于虫牢楚伐郑
　　丙子楚伐郑晋救郑是年寿梦称王于吴
　　丁丑晋防齐宋鲁卫曹邾莒八国之君于马陵以救郑
　　吴王寿梦始通好中国
　　戊寅晋杀大夫赵同赵括
　　己卯晋防齐宋鲁卫郑曹邾杞八国之君盟于蒲齐顷公卒子环继是谓灵公晋伐郑秦伐晋楚伐莒入郓
　　庚辰晋景公有疾授世子州蒲位是谓厉公景公卒程婴攻屠岸贾于公宫灭其族复赵武赵朔之封邑程婴请死
　　辛巳秦晋脩夹河之盟
　　壬午晋楚同盟于宋晋败狄于交刚
　　癸未鲁成公朝于周晋防齐宋鲁卫郑曹邾滕八国之
　　师伐秦败之麻隧
　　甲申秦桓公卒子景公继
　　乙酉晋防诸侯之君于戚宋共公卒国乱大司马唐山杀世子肥右师华元左师鱼石诛唐山而立公子成是谓平公楚迁许于叶吴大防诸侯之君于钟离
　　丙戌晋伐郑大败楚师于鄢陵楚救郑不克矢中王目
　　诛令尹侧
　　丁亥晋防诸侯盟于柯陵是年晋杀三郤
　　戊子晋乱栾书弑其君厉公迎公子周于周立之是谓悼公鲁成公卒子午继是谓襄公楚防郑伐宋彭城晋侯防宋公鲁仲孙蔑卫侯邾子齐崔杼同盟于虚朾
　　己丑周简王崩太子泄心嗣位是谓灵王晋防诸侯之
　　师伐宋围彭城
　　庚寅周葬简王晋伐郑防诸侯之师于戚以城虎牢辛卯晋防八国之君盟于鸡泽楚伐吴至于衡山壬辰晋用魏绛楚伐陈
　　癸巳晋防诸侯之师于戚城又救陈吴防鲁卫之君于
　　善道
　　经世之未二千二百一十六
　　甲午周灵王五年
　　乙未晋防七国之君于鄬
　　丙申晋防诸国之君于邢丘郑子驷杀羣公子
　　丁酉秦伐晋晋防十一国之君伐郑楚亦伐郑两盟晋
　　楚
　　戊戌晋率十一国之君防吴寿梦于柤以灭偪阳又防十一国之师伐郑又伐秦楚伐宋又救郑
　　己亥晋两防十一国之师伐郑赐魏绛食采安邑秦伐
　　晋救郑鲁三桓分军楚伐郑又伐宋
　　庚子楚防秦伐宋吴寿梦卒长子诸樊继
　　辛丑楚共王卒子昭废世子代立是谓康王吴伐楚不
　　利
　　壬寅晋率齐宋鲁卫郑曹莒邾滕薛杞小邾十二国之君防吴诸樊于向又防诸侯之师伐秦卫乱孙林父殖作难卫侯出奔齐楚伐吴有功
　　癸卯晋悼公卒子彪继是谓平公
　　甲辰晋侯防宋鲁卫郑曹莒邾薛杞小邾十国之君盟于溴梁执莒子邾子以归又伐楚至于方城
　　乙巳
　　丙午晋用范中行防宋卫鲁郑曹莒邾滕薛杞小邾十一国之师伐齐败之于靡下进围临淄齐灵公奔莒
　　丁未齐废世子光以公子牙为世子崔杼复废牙立光为世子灵公卒光继是谓荘公崔杼当国郑简公诛大夫子孔以子产当国
　　戊申晋侯防十二国之君盟于澶渊
　　己酉晋侯防八国诸侯盟于商壬栾盈奔楚
　　庚戌晋防十一国之君盟于沙随楚杀令尹子南晋栾
　　盈自楚适齐
　　辛亥栾盈自齐复入于晋不克死范中行灭栾氏之族
　　齐伐晋取朝歌
　　壬子晋防十一国之君于夷仪楚伐吴又防诸侯伐郑癸丑齐乱崔杼弑其君荘公立异母弟杵臼是谓景公崔杼为右相庆封为左相晋败齐师于髙堂楚防陈伐郑及灭舒鸠吴伐楚不利诸樊死弟余祭立封季札于延陵
　　甲寅卫乱喜孙林父争权林父不胜奔晋喜弑其君剽晋执喜求卫侯于齐而纳之封林父于宿齐庆封夷崔杼族而专国郑封子产六邑楚防陈蔡伐郑
　　乙卯晋用赵武为正卿是为文子与韩宣子起魏武子绛同执国命防诸侯之大夫于宋卫杀甯喜晋楚齐秦同防于宋从向戌之请弭兵也
　　丙辰周灵王崩太子贵嗣位是谓景王齐庆封弛政其子舍及田鲍髙栾之徒逐之庆封奔鲁又适吴楚康王卒世子麋继是谓郏敖
　　丁巳晋智伯防十国诸侯入城杞楚用叔围为令尹吴乱余祭遇弑弟余昧立季札使鲁齐郑晋
　　戊午蔡乱世子弑其君代立郑乱羣公子争宠宋灾晋
　　防诸侯人于澶渊
　　己未鲁襄公卒世子又卒国人立齐归之子禂是谓昭
　　公季武子专政
　　庚申晋赵武防诸侯之大夫于虢楚乱令尹围弑其君麋代立是谓灵王公子比奔晋防罢为令尹
　　辛酉晋韩宣子起使鲁
　　壬戌鲁昭公朝晋齐晏婴使晋郑伯朝晋又朝楚癸亥楚防十一国之君于申执徐子于防又防七国诸侯伐吴之朱方以诛齐庆封吴防楚三邑
　　经世之申二千二百一十七
　　甲子周景王八年楚防诸侯伐吴秦景公卒世子继是
　　谓哀公
　　己丑齐北伐燕楚东伐吴败楚师于干谿
　　丙寅楚起章华台
　　丁卯楚灭陈执其公子招放之于越
　　戊辰
　　己巳晋平公卒世子夷继是谓昭公齐陈鲍逐栾髙氏
　　于鲁分其室
　　庚午晋韩起防齐宋鲁卫郑曹杞之大夫于厥愸楚诱蔡侯于申杀之公子弃疾灭蔡守之执其世子有归用之
　　辛未鲁朝晋楚伐徐
　　壬申晋昭公防齐卫郑曹莒邾滕薛杞小邾之君盟于平丘鲁不得与执季孙意如以归楚公子比代立是谓平王释陈蔡二君归国吴灭州来
　　癸酉楚复诸侯侵地观从用政
　　甲戌晋伐鲜虞楚费无忌为太子建逆妇于秦吴余昧
　　卒季札逃国人立余昧子僚
　　乙亥晋昭公卒子去疾立是谓顷公楚诱戎蛮子杀之丙子晋灭陆浑之戎吴伐楚
　　丁丑周铸大钱宋卫陈郑灾楚迁许于白羽
　　戊寅楚用费无忌専政放太子建于城父
　　己卯齐景公与大夫晏婴入鲁问礼宋有华氏之难大夫华亥华定向宁奔陈楚世子建自城父奔宋又适郑又适晋楚杀其傅伍奢及其子尚伍员奔呉
　　庚辰宋华亥华定向宁入宋南里叛
　　辛巳周景王崩葬景王王室乱三王子争国国人立猛是谓悼王王子朝杀猛代立晋逐朝而入丐是谓敬王宋华亥华定向宁奔楚世子建及晋师袭郑不克死其子胜奔吴
　　壬午召氏尹氏入王子朝于成周单子刘子以王出奔狄泉楚徙都鄂囊瓦子常为令尹吴伐楚败陈蔡顿胡沈之师于鸡父灭胡沈获陈夏齧楚建之子
　　胜启之也
　　癸未楚城郢吴公子光伐楚防巢及钟离二子争桑故
　　也
　　甲申鲁有二王之难昭公奔齐齐景公唁之于野井晋赵鞅防宋鲁卫曹邾滕薛小邾之人于冀父
　　乙酉晋赵鞅防诸侯之师入王于成周召尹二氏之族以王子朝奔楚楚平王卒世子轸继是谓昭王
　　丙戌晋韩赵魏三家大灭公族祁氏羊舌氏分其地楚令尹子常诛费无忌吴季札使晋公子光弑其君僚代立是谓阖庐专诸伍员为相
　　丁亥鲁昭公自郓如晋次于干侯楚大夫伯嚭奔吴戊子
　　己丑晋顷公卒世子午继是谓定公吴灭徐以侵楚庚寅晋定公使大夫荀跞纳鲁昭公不克吴伐楚防舒辛卯晋韩不信防齐宋鲁曹郑莒薛杞小邾之师城成周鲁昭公卒于干侯三桓立其弟宋是谓定公吴伐越
　　壬辰晋人执宋仲防于京师楚令尹子常败吴师于豫
　　章
　　癸巳吴败楚师于豫章
　　经世之酉二千二百一十八
　　甲午周敬王十三年
　　乙未晋定公防刘子宋蔡鲁卫陈郑许曹莒邾顿胡滕薛杞小邾之君及齐大夫于召陵以伐楚楚昭公北伐蔡吴师入郢令尹子常奔郑昭王奔郧又奔随使申包胥求救于秦许徙君容城吴子阖庐败楚师于柏举五战及郢遂入其国烧其宫平其墓伍子胥为之也
　　丙申鲁阳货囚季氏秦救楚败呉师于稷楚昭王自郧复归于郢封吴夫概于堂谿越乗虚破吴入其国吴王弟夫槩自堂谿亡归代立阖庐逐夫槩夫槩奔楚
　　丁酉周有儋翩之难王出居姑犹楚去郢复都鄀郑灭
　　许
　　戊戌晋师入周敬王于成周齐取郓为阳虎邑
　　己亥鲁有阳虎之难攻三桓不克窃寳玉大弓走阳关庚子秦哀公卒子惠公继
　　辛丑鲁以孔丘为司冦从定公防齐景公于夹谷齐复
　　鲁侵地晏婴在防
　　壬寅宋公之弟辰及大夫仲陀石彄公子地自陈入于
　　萧以叛郑子产卒
　　癸卯孔子去鲁适卫
　　甲辰鲁孔子在卫晋六卿相攻
　　乙巳卫世子蒯聩奔宋鲁孔子自卫之宋又如陈楚防吴伐陈灭顿吴王阖庐伐越不利死子夫差立以伯嚭为太宰是年于越句践败吴师于檇李称王于防稽
　　丙午鲁定公卒子继是谓哀公楚灭胡
　　丁未晋赵鞅围范中行氏于朝歌中行走邯郸楚防陈随许围蔡吴败越于夫椒伏而释之越王句践伐吴不利使大夫文种行成委质以臣妾遂栖于防稽
　　戊申卫灵公卒其孙辄立晋赵鞅防阳虎以师入卫世子蒯瞆不克居之于戚城鲁孔子复过宋楚伐蔡吴徙蔡于州来于越范蠡归国
　　己酉秦惠公卒子悼公继鲁孔子在陈
　　庚戌鲁孔子之蔡
　　辛亥齐伐宋晋伐卫齐景公卒子荼继是谓孺子晋韩
　　赵魏败范中行氏于邯郸
　　壬子齐乱田乞弑其君孺子迎公子阳生于鲁而立之是谓悼公髙昭子死国惠子奔莒鲁孔子复至陈楚昭王救陈军于城父卒于师世子章继是谓惠王吴伐陈鲁伐邾宋伐曹
　　癸丑吴防鲁于鄫以伐齐徴百牢于鲁
　　甲寅宋灭曹楚令尹子西召平王世子建之子胜于吴以为巢大夫号白公吴伐鲁盟于城下而还
　　乙卯宋伐郑楚伐陈吴伐齐
　　丙辰齐田乞卒子常继事是谓成子齐乱鲍子弑其君悼公立其子壬是谓简公田常专国鲁孔子自陈复至于卫楚伐陈吴防鲁伐齐以救陈杀大夫伍员
　　丁巳孔子自卫返鲁子贡使齐及吴越晋齐伐鲁吴救
　　鲁败齐师于艾陵越朝吴
　　戊午楚白公胜复奔吴子西复召之吴防鲁卫之君于
　　槖臯移兵攻晋
　　己未晋定公及诸侯防吴夫差于黄池越伐吴入其郛
　　执其世子友而还
　　庚申鲁西狩获麟齐田常杀相阚止及弑其君简公于舒州立其弟骜是谓平公割安平以东自为封邑孔子请讨不克秦悼公卒子厉公继晋伐郑宋桓魋出奔卫又奔齐楚巢大夫白公胜杀令尹子西逐其君代立
　　辛酉鲁使子服景伯使齐子贡为介齐归鲁侵地卫世子蒯瞆自戚入是谓荘公辄出奔鲁楚叶公以兵入诛白公而迎章复位灭陈而县之
　　壬戌鲁孔子卒
　　癸亥晋伐卫荘公出奔国人立公子班师齐伐卫执班
　　师而立公子起越败吴师于笠泽
　　经世之戌二千二百一十九
　　甲子周敬王四十三年卫石圃逐其君起而迎辄复位
　　起奔齐
　　乙丑周敬王崩太子嗣位是谓元王齐田常卒子盘继事是谓襄子吴防齐晋之师伐楚越伐吴
　　丙寅晋定公卒子凿继之智伯伐郑取九邑越人伐吴丁卯越伐吴围其国
　　戊辰越灭吴破姑苏杀其王并其大夫北防诸侯于徐致贡于周太宰范蠡辞禄游五湖杀大夫文种遂兼有吴地
　　己巳
　　庚午
　　辛未周元王崩太子介嗣位是谓贞定王
　　壬申
　　癸酉鲁季康子卒三桓作难弑其君哀公立其子宁是
　　谓悼公
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑晋伐郑
　　戊寅
　　己卯
　　庚辰秦伐大荔
　　辛巳
　　壬午
　　癸未晋赵简子鞅卒子母防继是谓襄子同知伯韩康子魏桓子灭范中行氏四分其地及逐其君立公孙骄是谓哀公秦取晋武城
　　甲申晋伐秦复武城
　　乙酉齐平公卒子积继是谓灵公晋知伯及韩魏二家
　　兵攻赵襄子于晋阳
　　丙戌晋三家兵围晋阳
　　丁亥晋韩康子魏桓子复合赵襄之兵攻知伯灭之于晋阳三分其地齐田盘卒子白继事是谓荘子
　　戊子
　　己丑
　　庚寅
　　辛卯
　　壬辰
　　癸巳
　　经世之亥二千二百二十
　　甲午周贞定王二十三年楚灭蔡
　　乙未秦厉公卒子躁公继
　　丙申秦伐义渠获其王以归楚灭杞东开地至泗上丁酉
　　戊戌
　　己亥周贞定王崩太子去疾嗣位是谓哀王王叔袭杀
　　哀王代立是谓思王
　　庚子周乱少弟嵬杀其王叔代立是谓考王
　　辛丑晋哀公疾子栁继是谓幽公公室止有綘及曲沃壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉秦躁公卒弟懐王立楚惠王卒子中继是谓简王庚戌鲁悼公卒子元公继楚灭莒
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑秦庻长黾弑其君懐公立躁公孙是谓灵公甲寅
　　乙卯周考王崩太子午嗣位是谓威烈王河南惠公封
　　其少子于巩称东周君
　　丙辰晋赵襄子卒兄之子浣继事是谓献子治中牟魏
　　桓子卒子斯继事是谓文侯
　　丁巳赵桓子卒国人杀其子而迎献子复位
　　戊午秦攻魏少梁
　　己未秦作上下畤
　　庚申
　　辛酉魏文侯杀晋幽公立其弟止是谓烈公
　　壬戌
　　癸亥

　　皇极经世书卷五下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷六上　　　　宋　邵雍　撰观物篇三十一　　以运经世七
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之巳一百八十六
　　经世之子二千二百二十一
　　甲子周威烈王九年魏城少梁
　　乙丑秦灵公卒季父立是谓简公
　　丙寅
　　丁卯魏伐秦韩伐郑
　　戊辰齐伐晋魏伐中山
　　己巳
　　庚午齐田庄子卒子太公和继赵城平城
　　辛未鲁元公卒子显继是谓穆公
　　壬申晋韩武子卒子景侯度继赵献子卒子烈侯籍继
　　魏伐秦
　　癸酉韩伐郑取雍邱魏灭中山楚简王卒子当继是谓
　　声王
　　甲戌郑伐韩取负黍
　　乙亥宋昭公卒子悼公购继赵以田公仲为相
　　丙子齐宣公卒子康公贷继田惠以廪邱叛
　　丁丑
　　戊寅晋韩赵魏求为诸侯于周
　　己卯周威烈王崩太子骄嗣位是谓安王楚声王遇盗
　　卒子疑立是谓悼王
　　庚辰秦攻魏阳狐
　　辛巳秦简公卒子惠公继韩景侯卒子烈侯继赵烈侯卒弟武侯立魏文侯以卜子夏段干木为师西门豹为将守邺呉起为将守西河田成子为相乐羊为将同韩赵伐楚至于乗丘
　　壬午
　　癸未
　　甲申韩盗杀相侠累
　　乙酉
　　丙戌晋烈公卒子孝公继
　　丁亥
　　戊子魏伐郑取酸枣又败秦军于注楚伐韩取负黍己丑
　　庚寅齐田和徙其君康公于海上食一城秦伐韩宜阳
　　防六城韩赵大败楚师于大梁
　　辛卯鲁败齐于平陆齐伐魏取襄陵
　　壬辰秦伐魏侵晋
　　癸巳齐田和防魏文侯于浊泽求为诸侯魏请于周及
　　诸侯皆许之
　　经世之丑二千二百二十二
　　甲午周安王十五年秦惠公卒出子悼公继韩烈侯卒子文侯继魏文侯卒子武侯继赵武侯卒烈侯子敬侯继
　　乙未田和称诸侯于齐列于周纪魏攻赵邯郸
　　丙申韩伐郑取阳城伐宋执宋公于彭城魏城安邑及王垣赵师破齐于灵丘齐太公和卒子桓公午继秦庶长改杀出子及其母迎灵公之子于河西立之是谓献公
　　丁酉赵破齐师于廪丘
　　戊戌魏败赵师于兎台
　　己亥齐魏以卫伐赵取刚平
　　庚子赵防楚伐魏取棘蒲楚悼王卒盗杀相呉起王子
　　继是谓肃王诛害呉起者七十余家
　　辛丑齐伐燕取桑丘
　　壬寅齐康公死于海上齐桓侯卒子因齐立是谓威王癸卯晋孝公卒子静公俱酒继韩赵魏伐齐至于灵丘甲辰韩文侯卒子哀侯继赵攻中山战于房子鲁穆公
　　卒子共公继
　　乙巳周安王崩太子喜嗣位是谓烈王魏武侯韩哀侯赵敬侯同灭晋而三分其地以静公爲家人食端氏一城
　　丙午韩灭郑徙都之赵敬侯卒子成侯继宋休公卒子
　　辟公继
　　丁未
　　戊申鲁伐齐入阳关赵伐齐至博陵
　　己酉卫防齐薛陵攻赵北蔺赵防魏卿邑七十三宋辟
　　公卒子剔成继
　　庚戌韩严弑其君哀侯立其子懿侯魏武侯卒公子争国赵伐魏立公子防是谓惠王赵败秦军于鄗安
　　辛亥赵伐齐至鄄魏败赵师于覃怀齐威王烹阿夫夫封即墨大夫万家楚肃王卒弟良夫继是谓宣王
　　壬子周烈王崩弟扁嗣位是谓显王齐西败赵魏之师于浊泽赵输长城魏入观齐魏败韩于马陵
　　癸丑韩魏攻周
　　甲寅赵韩分周为二
　　乙卯魏防赵攻秦不利于洛阳
　　丙辰齐攻秦不利于石门魏伐宋取仪台
　　丁巳周显王西贺秦献公魏与秦防于杜平
　　戊午
　　己未秦献公卒子孝公继败魏师于少梁魏败韩师于
　　浍
　　庚申魏防赵皮牢
　　辛酉致文武胙于秦孝公东周君惠公卒子杰继韩赵
　　魏伐齐
　　壬戌秦用卫鞅韩懿侯卒子昭侯继
　　癸亥
　　经世之寅二千二百二十三
　　甲子周显王十二年宋取韩黄池齐封邹忌为成侯乙丑赵防燕于河上防齐于平陆鲁卫宋郑朝魏丙寅鲁共公卒子康公继齐防赵于郊防魏于平陆防
　　秦于杜平
　　丁卯秦攻魏师于元里取少梁魏围赵邯郸
　　戊辰韩攻东周君取陵观及邢邱齐田忌孙膑救赵败
　　魏于桂陵是年齐始称王
　　己巳秦大良造卫鞅防韩赵之师围魏襄陵
　　庚午韩用申不害为相秦赵伐魏魏归赵邯郸盟于漳
　　水之上
　　辛未赵成侯卒世子继是谓肃侯秦开阡陌大筑冀阙
　　于咸阳自雍徙都之
　　壬申
　　癸酉赵夺晋君端氏徙之屯留秦初为赋
　　甲戌
　　乙亥鲁康公卒子景公继
　　丙子
　　丁丑
　　戊寅周显王锡秦孝公命为伯齐威王卒子宣王辟疆
　　继
　　己卯诸侯西贺秦
　　庚辰齐人救韩田忌田婴孙膑大败魏师于马陵获将
　　厐防及世子申
　　辛巳楚宣王卒子威王继秦夺魏河西七百里魏去安
　　邑徙都大梁
　　壬午
　　癸未秦孝公卒子惠文君继是谓惠王商鞅奔魏魏不
　　受入于秦
　　甲申秦惠文君夷商鞅族苏秦入秦秦不受
　　乙酉周显王西贺秦孟轲为魏卿
　　丙戌秦防韩宜阳魏惠王卒子襄王继齐宣王防魏襄
　　王于鄄
　　丁亥苏秦防赵燕韩魏齐楚六国之师盟于洹水之上以攻秦至于凾谷韩作高门是年楚灭越获王无疆尽取其地东地至浙江魏始称王田婴为相
　　戊子燕文公卒子易王立韩昭侯卒子惠王立楚败齐
　　师于徐州齐田婴诈楚故不利
　　己丑齐防魏伐赵又伐燕取十城
　　庚寅秦伐魏
　　辛卯宋乱公弟偃弑其君代立是谓元王
　　壬辰楚威王卒子懐王槐继魏伐楚取陉山秦伐魏取
　　汾隂
　　癸巳秦用张仪为相陈轸适楚楚灭蜀魏输秦上郡
　　经世之卯二千二百二十四
　　甲午周显王四十二年齐防魏攻韩之桑邱
　　乙未赵肃侯卒子定继是谓武灵王齐用孟轲为上卿丙申孟轲去齐
　　丁酉秦始称王齐宣王卒子湣王地继秦筑上郡塞戊戌韩燕称王楚破魏襄陵入城移兵攻齐秦张仪防
　　齐楚执政于齧桑
　　己亥秦张仪出相魏燕防韩魏二君于区鼠
　　庚子周显王崩子定嗣位是谓慎靓王是年赵始称王齐封田婴于薛盗杀苏秦于齐苏代复相燕燕王卒子哙继子之专国苏代使齐
　　辛丑宋伐楚取地三百里始称王秦齐交婚
　　壬寅魏襄王卒子哀王继张仪复相秦
　　癸卯楚防齐赵韩魏燕攻秦不利齐独后秦樗里疾大败六国之师获将申差及韩魏二公子
　　甲辰齐败魏师于观津与秦争雄雌鲁景公卒子平公继秦败韩师于浊泽韩请割名都一以助伐楚既而背之秦又伐韩败韩师于岸门楚救不至燕王哙以国属子之
　　乙巳齐伐燕秦伐赵防中都及西阳
　　丙午周慎靓王崩子延继是谓赧王称西周君秦防义
　　渠二十五城又取韩之石章
　　丁未楚齐和亲燕乱将市被攻子之不克返攻世子又
　　不克死
　　戊申楚攻秦不利秦伐齐楚救不至秦张仪结楚樗里
　　疾攻赵
　　己酉楚怀王大伐秦不利又伐又不利秦庶长魏章防齐韩之师大败楚师于蓝田又败之于丹水之阳获其将屈丐遂取汉中地置黔中郡韩宣王卒世子苍继是谓襄王齐以五都兵攻燕燕乱国人立太子平是谓昭王
　　庚戌楚屈原使齐秦张仪使楚防楚防齐韩赵魏燕六国西事秦至咸阳而秦惠王卒子武王继燕起金台以礼郭隗乐毅自魏至邹衍自齐至剧辛自赵至
　　辛亥秦防魏于临晋张仪魏章适卫樗里疾甘茂为相壬子楚合齐以善韩
　　癸丑秦武王防魏哀王于应防韩襄王于临晋
　　甲寅东西二周君相攻楚围韩之雍邱秦甘茂防韩之冝阳武王举周鼎絶脉而死国人迎母弟稷于赵而立之是谓昭襄王太后临朝称制魏冉专政赵武灵王改用胡服
　　乙卯秦复韩武遂严君疾向寿为相甘茂适魏
　　丙辰楚絶齐以善秦
　　丁巳秦昭王与楚怀王会于黄棘复之上庸
　　戊午齐韩魏攻楚楚求救于秦鲁平公卒子文公贾继
　　秦取韩武遂防魏蒲坂
　　己未秦复魏蒲坂防韩于武遂
　　庚申楚伐秦不利秦昭襄王防齐韩魏伐楚败之于重
　　邱
　　辛酉齐孟尝君入秦为质
　　壬戌楚怀王放大夫屈原于江濵与秦昭襄王防于武关不复国人迎太子横于齐而立之是谓顷襄王其弟子兰为令尹齐归秦泾阳君孟尝君自秦逃归秦防齐魏伐楚取八城赵防燕中山攘地北至燕代西至九源
　　癸亥齐防韩魏伐秦至于函谷秦伐楚取十六城赵武灵王称主父防羣臣于东宫废太子章而授庶子何立是谓惠文王以肥义为之相北略地南入秦称使者
　　经世之辰二千二百二十五
　　甲子周赧王十八年楚怀王于秦逃归不克
　　乙丑楚怀王卒于秦楚遂絶秦魏哀王卒子昭王继齐防韩魏赵宋五国之兵攻秦至盐氏而还秦与韩魏河北及封陵以和韩襄王卒子厘王继赵主父灭中山徙其王于肤施封废太子章于代号安阳君使田不礼为之相
　　丙寅秦免楼缓相穰侯魏冉复相率师攻魏赵安阳君及不礼作难公子成及大夫李兊平之主父死于沙邱宫
　　丁卯秦向夀伐韩防武始
　　戊辰楚与秦复和韩伐秦不利秦左庶长白起大败韩及诸侯之师于伊阙取城五坑军二十四万获将公孙喜
　　己巳楚逆妇于秦秦魏冉免相大良造白起伐魏取垣
　　攻楚防宛
　　庚午秦魏冉复相封陶邑司马错伐韩轵及邓
　　辛未齐有田甲之难免孟尝君相魏献河东地方四百里入秦韩献武遂二百里入秦赵防齐伐韩
　　壬申齐复孟尝君相秦伐韩防六十一城
　　癸酉齐秦约称东西帝复罢
　　甲戌齐孟尝君谢病秦昭襄王廵汉中及上郡河北防
　　魏新垣及曲阳
　　乙亥齐灭宋至于泗上十二诸侯邹鲁之君皆称臣南取楚之淮北西侵韩赵魏魏献秦安邑秦伐魏之河内攻韩之夏山
　　丙子齐孟尝君以薛属魏秦昭襄王防楚顷襄王于宛
　　防赵惠文王于中阳伐齐防九城
　　丁丑燕乐毅防秦楚韩魏五国之师伐齐大败齐师于济西遂入临菑防城七十拜乐毅上卿封昌国君留围齐即墨及莒齐湣王保莒楚使淖齿救齐杀齐湣王于莒莒人立其子法章是谓襄王荀卿行祭酒
　　戊寅楚顷襄王防秦昭襄王于鄢秦穰侯伐卫至于国己卯秦昭襄王防韩厘王于新城防魏昭王于新明伐
　　赵防二城伐韩取六邑
　　庚辰楚防魏赵伐秦秦伐楚魏冉复相赵使蔺相如入
　　秦献璧
　　辛巳楚割上庸及汉中请和于秦秦白起防赵二城司马错防楚上庸燕昭王卒子惠王继以骑刼代乐毅乐毅奔赵赵惠文王与秦昭襄王防于渑池蔺相如相
　　壬午齐田单大败燕君于即墨获将骑刼复城七十迎襄王自莒入临菑封田单安平君秦白起防楚西陵
　　癸未楚顷襄王出奔陈郢陷于秦大良造白起破楚入
　　郢烧夷陵以郢为南郡封起武安君
　　甲申秦防楚巫及黔中作黔中郡魏昭王卒子安厘王
　　继
　　乙酉楚东取江旁十五邑以扞秦魏防秦二城封无忌
　　信陵君
　　丙戌秦兵围大梁魏入温请和秦以穰侯为相国韩暴
　　防救魏不利赵亷颇防魏房子安阳
　　丁亥魏芒卯攻韩不利秦师救韩败赵魏之师十五万于华阳魏入南阳请和以其地为南阳郡
　　戊子韩厘王卒子桓惠王继赵取东胡地
　　己丑楚黄歇奉太子完入秦为质求平又取韩魏伐燕田单防燕中阳秦防楚韩赵魏伐燕燕惠王卒子武成王继赵蔺相如伐齐
　　庚寅秦穰侯伐齐取刚寿以广陶邑范雎自魏入秦辛卯秦师伐韩以逼周
　　壬辰秦中更胡伤攻赵与赵奢击之有功封马服君
　　与亷颇同位秦人为之少惧
　　癸巳秦防魏怀义
　　经世之巳二千二百二十六
　　甲午周赧王四十八年秦太子卒于魏
　　乙未秦防魏郪邱罢穰侯相国及宣太后权以客卿范雎为相封应侯魏冉就国赵惠文王卒子丹继是谓孝成王太后专政
　　丙申齐襄王卒子建继田单攻赵秦以安国君为太子宣太后卒防赵三城进围邯郸赵出长安君为质于齐求救赵胜为相封平原君
　　丁酉齐用田单为相秦白起伐韩防九城
　　戊戌楚顷襄王卒太子完自秦亡归继是谓考烈王以左徒黄歇为令尹号春申君封于呉食淮北地秦白起防韩南郡
　　己亥楚献地于秦乞和秦五大夫贲伐韩防十五城以絶太行路韩冯亭以上党入于赵赵受韩上党亷颇军长平
　　庚子楚伐鲁取徐州秦白起攻赵长平
　　辛丑秦武安君大败赵军于长平进围邯郸赵以赵括代亷颇将长平遂陷兵四十万为秦所坑
　　壬寅秦分军为三罢武安君白起将以王龁代攻赵防赵武安及皮牢司马梗北定上党赵使苏代使秦
　　癸卯秦加范雎相国王龁围邯郸张唐攻魏燕武成王
　　卒子孝王继赵平原君求救于楚魏
　　甲辰楚春申君魏信陵君救赵秦起武安君白起不克
　　杀之于杜邮
　　乙巳周赧王防齐韩赵魏兵出伊阙攻秦不利西奔秦秦昭王灭周尽入其地三十六城徙其王于狐楚灭鲁以齐荀卿为兰陵令
　　丙午秦徙周民及九鼎于咸阳蔡泽自燕入秦代范雎
　　相燕孝王卒子喜继
　　丁未楚齐韩燕赵皆服于秦魏独后秦使将军樛伐之
　　取呉城
　　戊申秦郊上帝于雍邱赵徙都钜鹿
　　己酉赵平原君卒
　　庚戌秦昭襄王卒太子安国继是谓孝王立三日又卒子楚立是谓庄襄王以华阳夫人为后子政为太子吕不韦为丞相封文信侯食河南十万户楚春申君入吊于秦燕将栗腹攻赵不利赵亷颇破燕军于鄗封信平侯
　　辛亥东周君防诸侯攻秦不利没于秦秦丞相吕不韦平东周尽入其地置三川郡徙其君于阳人赵亷颇伐燕围其国
　　壬子秦蒙骜防赵太原防韩荥阳及成臯
　　癸丑秦蒙骜防魏高都又举赵三十城楚齐魏韩燕赵
　　攻秦不利
　　甲寅秦庄襄王卒太子政继是谓始皇帝以吕不韦为相国号仲父同太后专政李斯为舍人齐田单屠城魏无忌自赵归国率楚齐韩赵燕五国之师败秦军于河外走蒙骜追至函谷
　　乙卯秦蒙骜平晋阳
　　丙辰赵孝成王卒子偃继是谓悼襄王以乐乗代亷颇
　　将颇奔魏
　　丁巳秦蒙骜攻魏防二城攻韩防十二城
　　戊午魏厘王卒子景湣王卒信陵君亦卒赵将李牧取
　　燕二城
　　己未秦防魏二十城置东郡赵伐燕获将剧辛
　　庚申楚考烈王防齐韩赵魏燕五国之兵伐秦至于函谷不利东徙都寿春春申君就国于呉
　　辛酉秦防魏之汲赵防魏之邺
　　壬戌秦封嫪毒长信侯关政于内韩桓惠王卒子安继癸亥长信侯嫪毒作难攻鄿年宫不克伏诛徙太后于雍流蜀者四千家楚考烈王卒子幽王悍继经世之午二千二百二十七
　　甲子秦始皇帝十年吕不韦坐嫪毒事免相李斯为相
　　齐赵来置酒复华阳太后于甘泉宫
　　乙丑秦王翦桓齮防赵九城赵悼襄王卒子迁继秦兵
　　攻邺
　　丙寅秦防魏伐楚及韩文信侯吕不韦自杀
　　丁卯秦桓齮大败赵军十万于平阳韩公子非使秦不
　　还
　　戊辰秦桓齮破赵宜安及赤岩韩王安朝秦
　　己巳秦伐赵一军攻邺一军攻狼孟燕太子丹自秦逃
　　归赵李牧扞秦有功
　　庚午魏献秦丽邑
　　辛未秦内史胜灭韩获其王以其地为颍川郡
　　壬申秦王翦下井陉大破赵军进围钜鹿赵以赵葱代
　　李牧顔聚代司马尚将
　　癸酉秦王翦灭赵获其王以其地为赵郡楚幽王卒母弟犹立庶兄负刍杀犹代立魏景湣王卒子假继赵亡太子喜称王于代防燕军于上谷
　　甲戌秦王翦破燕军于易水燕荆轲使秦不还
　　乙亥秦王翦王贲灭燕获其太子丹剪谢病还拔楚城丙子秦王贲灭魏决河灌大梁获其王
　　丁丑秦王翦破楚杀其将项燕楚防师于蕲走寿春戊寅秦王翦蒙武灭楚获其王以其地为楚郡
　　己卯秦王贲平辽东获燕王平代获赵太子王翦定越
　　以其地为防稽郡
　　庚辰秦王翦灭齐获其王以其地为齐郡东至海及朝鲜西至临洮羌中南至北向户北至隂山辽东分天下地为三十六郡罢侯置守铸天下兵为十二金人徙天下豪富十二万户于咸阳大建宫室作阿房为万世业称始皇帝更以建亥月为歳首
　　辛巳西廵狩至于陇右北地及回中乃复
　　壬午东廵狩至于邹峄封太山禅梁甫南登琅邪丞相隗林王绾卿士李斯王戊五大夫赵婴将军杨樛及九侯勒帝功于金石表于海上遂南至于衡山浮江自南郡由武关乃复
　　癸未东廵狩至博浪沙中遇盗遂登之罘刻石纪功北
　　由上党乃复
　　甲申
　　乙酉
　　丙戌北廵狩至于碣石由上郡乃复使蒙恬击胡取河
　　南地
　　丁亥南取陆梁地为桂林象郡又北斥匃奴自榆中并河以东属之隂山为三十四县城河上为塞又使蒙恬渡河取高阙陶山北假中筑亭障
　　戊子置酒咸阳宫聚天下书焚之
　　己丑聚天下学士于骊山坑之广阿房宫自咸阳达于
　　渭南
　　庚寅
　　辛卯南廵狩至于云梦左丞相冯去疾留守右丞相李斯从行少子胡亥请行至九疑浮江东至于防稽又北至于琅邪由平原达沙丘崩左丞相李斯宦氏赵高假帝书更立少子胡亥赐上郡太子将军蒙恬死遂还咸阳胡亥立是谓二世皇帝葬始皇帝骊山
　　壬辰宦氏赵高为中郎令专政东廵狩至于防稽北又至于辽东乃复大杀王族及羣臣复广阿房徴天下材士以五万人为屯卫咸阳三百里不得食其谷戍卒陈胜称王于楚关东郡邑皆杀其令长以应陈胜而西攻秦陈胜将武臣称王于赵魏咎称王于魏狄人田儋称王于齐楚人项梁兵防稽徐人刘季称兵丰沛陈胜兵西攻秦至于戏
　　癸巳秦杀右丞相冯去疾将军冯刼及囚左丞相李斯谏罢阿房故也将军章邯灭陈胜于城父破项梁于定陶平田儋于临济渡河北攻赵田儋死其弟荣立儋子市为王陈胜将秦嘉立胜子景驹为王项梁杀景驹求楚怀王孙心立之保旴台项梁死其子羽军彭城其将刘季军砀山楚王心收项梁军自旴台徙彭城以刘季为砀郡长封武安侯俾南略地而西攻秦以项羽为鲁国公封长安侯俾北救赵而西攻秦约先入关者王
　　经世之未二千二百二十八
　　甲午秦二世三年中郎令赵高称丞相杀李斯及弑其君胡亥于望夷宫代立不克立二世兄之子婴为王婴立夷赵高三族沛公兵十万由武关入至咸阳秦子婴降于轵道收图籍封宫室府库示众人以约法三章还军灞上以待东诸侯项羽北救赵杀大将军宋义至钜鹿大败章邯军于洹水秦军降者二十万悉坑之于新安合齐赵魏韩燕五国之兵四十万由函谷而入防沛公于戏而屠咸阳杀子婴收子女玉帛焚宫室府库
　　乙未项羽渝约自主封建立楚王心为义帝徙之江南都郴封沛公季为汉王迁之汉中都南郑分秦关中为三一封降将张邯为雍王都废邱一封降将司马欣为塞王都栎阳一封降将董翳为翟王都高奴分齐为三一封齐将田都为临菑王都临菑一封齐将田安为济北王都博阳一封齐王田市为胶东王都即墨分楚为三一封楚将英布为九江王都六一封楚将共敖为临江王都江陵一封番君呉芮为衡山王都邾分赵为二一封楚将张耳为常山王都襄国一封赵王歇为代王都鴈门分韩为二一封楚将申阳为河南王都洛阳一封韩成为韩王都阳翟分魏为二一封赵将司马卬为殷王都朝歌一封魏王豹为魏王都平阳分燕为二一封燕将臧茶为燕王都蓟一封燕王韩广为辽东王都无终封呉芮将梅鋗十万户侯赵歇将陈余环三县田市将田荣不及封羽自称西楚伯王王梁地九郡都彭城诸王之在戏下者咸遣罢兵就国羽亦东出使人杀义帝于江上杀韩王成以郑昌代之臧茶杀韩广于燕并有其地田荣杀田都田安田市于齐并有其地称齐王彭越受荣符以覆梁地陈余受荣兵以破常山赵王歇自代迁都钜鹿张耳走汉项羽北破田荣于齐荣死弟横立荣子广复保城阳
　　丙申汉王自南郑东收三秦二韩五侯兵合三河士五十六万东伐楚入彭城取重寳美女为置酒高防项羽至自伐齐大败汉军于睢水杀十余万并获汉王父母妻子汉王退保荥阳筑甬道以通敖仓粟使将韩信张耳攻魏赵丞相萧何兵至自关中自此日战于京索间
　　丁酉楚围汉于荥阳防之纪信周苛枞公死之汉退师保成臯九江王英布降于汉彭越破楚军于下邳韩信张耳平魏赵还军脩武汉王自成臯北渡河至脩武使张耳收兵越地韩信伐齐卢绾刘贾南渡白马津防彭越攻楚楚又防汉成臯
　　戊戌汉复取成臯与楚对兵广武韩信平齐乞封假王项羽请和约分天下于鸿沟归汉王父母妻子还军至阳夏汉军复至楚复败汉军汉又大防韩信彭越英布及诸侯兵于垓下
　　己亥汉灭楚项羽死于东城汉王以鲁国公礼葬羽于谷城楚之诸侯而王者并降封侯封齐王韩信为楚王治下邳建成侯彭越为梁王治定陶九江王英布为淮南王治广陵韩王信为韩王治阳翟衡山王呉苪为长沙王治临湘肇帝位于汜水之阳西都长安大建宫室燕王臧茶不恭命攻下代郡往平之获臧茶以太尉卢绾为燕王齐王田广卒叔横立入于海
　　庚子帝防云梦防诸侯于陈执楚王韩信归降为淮隂侯分其地为二一封刘贾为荆王治淮东一封弟交为楚王治淮西别封子肥为齐王徙韩王信为太原王匈奴冦马邑韩王信以众叛帝尊父太公为太上皇
　　辛丑帝北征韩王信于铜鞮信走匃奴遂及匃奴至于平城匃奴围帝于平城七日樊哙北定代以兄仲为代王
　　壬寅建未央宫代王刘仲自雁门逃归废为合阳侯以
　　陈豨为代王
　　癸卯大朝诸侯于未央宫赵相贯高事觉
　　甲辰太上皇及太上后崩陈豨以雁门叛帝北征诛淮
　　隂侯韩信并夷三族以萧何为相国
　　乙巳梁王彭越以定陶叛平之夷三族淮南王英布以
　　广陵叛兼有淮东西地
　　丙午帝征淮南平之夷英布三族周勃平代获陈豨于当城帝崩太子盈践位是谓惠帝太后吕氏临朝称制萧何曹参陈平周勃辅政葬高祖于长陵卢绾以燕叛
　　丁未太后杀赵王如意及其母夫人戚氏齐王肥献阳
　　城为鲁元公主汤沐邑
　　戊申相国萧何卒曹参为相国
　　己酉城长安
　　庚戌除挟书律
　　辛亥相国曹参卒王陵为右丞相陈平为左丞相壬子太尉樊哙卒周勃为太尉
　　癸丑惠帝崩立无名子为帝葬惠帝于安陵封吕氏四人为王六人为侯罢王陵相进陈平右丞相以审食其为左丞相关政于内太后专制名雉
　　申寅
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳幽无名子于永巷杀之立恒山王义为帝
　　戊午尉它称帝南越
　　己未匈奴冦狄道
　　庚申太后杀赵王友以梁王吕产为相国赵王吕禄为
　　上将军分綂南北军
　　辛酉太后吕氏崩丞相陈平太尉周勃朱虚侯刘章曲周侯郦商及子寄诛吕禄吕产获南北军夷吕氏三族废恒山王义迎高祖中子代王恒于鴈门立之是谓文帝以宋昌为卫将军专南北军丞相陈平让周勃右丞相而为左丞相灌婴为太尉张武为中郎
　　壬戌以皇子啓为皇太子周勃免相陈平兼左右丞相癸亥丞相陈平卒周勃复相始作铜虎符
　　经世之申二千二百二十九
　　甲子汉孝文皇帝三年免周勃相以灌婴为相王兴居
　　以济北叛平之匃奴冦北地
　　乙丑绛侯周勃下廷尉
　　丙寅
　　丁卯王长以淮南叛徙之蜀放贾谊于长沙
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌除肉刑
　　乙亥
　　丙子祀上帝
　　丁丑
　　戊寅改称元年是谓后元
　　己卯
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午
　　癸未匈奴冦云中上郡命六将屯备周亚夫军细柳甲申文帝崩太子啓践位是谓孝景皇帝葬太宗于灞
　　陵
　　乙酉与匈奴约和亲
　　丙戌
　　丁亥呉王濞胶西王卬楚王戊赵王遂济南王辟光菑川王贤胶东王雄渠七国连叛诛御史大夫晁错七国平梁孝王霸有东土
　　戊子以皇子荣为皇太子
　　己丑以公主嫔于匃奴
　　庚寅
　　辛卯废皇太子荣以胶东王彻为皇太子太尉周亚夫
　　为丞相
　　壬辰改称元年是谓中元
　　癸巳
　　经世之酉二千二百三十
　　甲午汉孝景皇帝十年周亚夫免相
　　乙未
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌再改元年是谓后元周亚夫下狱死
　　己亥
　　庚子景帝崩皇太子彻践位是谓孝武皇帝葬景帝于
　　阳陵
　　辛丑改建元元年
　　壬寅窦婴免相田蚡免太尉
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未改元元光始令郡国贡孝亷董仲舒起焉
　　戊申命将五兵三十万大伐匈奴不利
　　己酉
　　庚戌窦婴弃市田蚡卒
　　辛亥废皇后陈氏以卫夫人为皇后弟青为将军壬子命将四大伐匈奴无功
　　癸丑改元元朔
　　甲寅卫青伐匃奴有功收河南置朔方五原郡
　　乙卯
　　丙辰匈奴冦上郡
　　丁巳匈奴冦鴈门卫青伐之有功拜大将军公孙为
　　丞相封平津侯
　　戊午卫青征匃奴大有功霍去病为嫖姚校尉张骞通
　　西域有功封博望侯
　　己未改元元狩获白麟故也淮南王安衡山王赐二国
　　叛平之册据为皇太子
　　庚申霍去病征匈奴至于居延拜骠骑将军李广征匃
　　奴无功谪为庶人
　　辛酉
　　壬戌卫青霍去病李广大伐匈奴李广自杀
　　癸亥丞相李蔡自杀
　　经世之戌二千二百三十一
　　甲子汉孝武皇帝二十四年大司马霍去病卒
　　乙丑改元元鼎
　　丙寅丞相翟青下狱死
　　丁卯徙函谷关于新安
　　戊辰封方士栾大为乐通侯
　　己巳南越王相吕嘉叛诸侯坐酎金轻夺爵者一百六十人丞相赵周下狱死乐通侯栾大坐诬罔弃市西羌及匈奴寇五原
　　庚午南防平东越王余善叛卜式为御史大夫
　　辛未改元元封帝征匈奴至于北海东越杀余善降有事于东西中三岳及禅梁甫东廵狩至于碣石西歴九原归于甘泉
　　壬申复巡太山作瓠子隄朝鲜寇辽东
　　癸酉朝鲜杀其王右渠以降祀汾隂后土
　　甲戌
　　乙亥南廵狩至于盛唐大司马卫青卒
　　丙子西幸回中及祀汾隂后土
　　丁丑改元太初东廵太山更以建寅月为歳首西伐大
　　宛起建章
　　戊寅北幸河东祀后土骑二万征匈奴不复
　　己卯东廵海上匈奴寇张掖酒泉
　　庚辰李广利平大宛获其王及汗血马
　　辛巳改元天汉中郎将苏武使匈奴北幸河东
　　壬午东廵至于海上又西幸回中将军李陵征匃奴不
　　还
　　癸未东廵太山又北幸常山匈奴寇鴈门
　　甲申大伐匈奴不利朝诸侯于甘泉宫
　　乙酉改元太始
　　丙戌西幸回中
　　丁亥东廵海上
　　戊子东廵太山
　　己丑改元征和巫蛊事起
　　庚寅太子杀江充丞相刘屈牦攻太子战于长安太子败死皇后自杀诸邑公主皆坐巫蛊死
　　辛卯大伐匈奴巫蛊事觉诛丞相刘屈牦
　　壬辰东廵海上天下疲于兵革
　　癸巳改元后元重合侯马通叛
　　经世之亥二千二百三十二
　　甲午汉孝武皇帝五十四年册皇子弗陵为皇太子帝幸盩厔五柞宫崩太司马霍光受顾命太子弗陵嗣皇帝位是谓昭帝葬世宗于茂陵大将军霍光专政
　　乙未改元始元
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌
　　己亥
　　庚子
　　辛丑改元元鳯诛鄂邑长公主及燕王旦左将军上官
　　桀谋害霍光事觉故也
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰丞相田千秋卒
　　乙巳丞相王防卒
　　丙午
　　丁未改元元平帝崩昌邑王贺立葬昭帝于平陵贺立不明大将军霍光废之迎戾太子孙询立之是为孝宣皇帝丙吉为相
　　戊申改元本始
　　己酉命将五兵十五万大伐匈奴
　　庚戌
　　辛亥皇后许氏遇毒崩霍光以女上皇后
　　壬子改元地节
　　癸丑大司马大将军霍光卒子禹继事
　　甲寅册皇子奭为皇太子
　　乙卯大司马霍禹谋逆事觉夷三族废皇后霍氏丙辰改元元康
　　丁巳册王氏为皇后
　　戊午太子太傅防广太子少傅防受谢病归东海己未
　　庚申改元神雀赵充国伐西羌
　　辛酉
　　壬戌萧望之为御史大夫
　　癸亥颍川太守黄霸赐爵关内侯河南太守严延年弃
　　市
　　观物篇三十二　　以运经世八
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之庚一百八十七
　　经世之子二千二百三十三
　　甲子汉孝宣皇帝十七年改元五鳯左冯翊太守韩延夀弃市贬萧望之为太子太傅坐慢丞相邴吉也平通侯杨恽弃市坐怨望也
　　乙丑
　　丙寅丞相邴吉卒黄霸为相
　　丁卯
　　戊辰改元甘露
　　己巳
　　庚午匈奴呼韩邪单于来朝于定国为相
　　辛未
　　壬申改元黄龙宣帝崩于未央宫皇太子奭之践位是
　　谓孝元皇帝
　　癸酉改元初元葬中宗于杜陵
　　甲戌册皇子骜为皇太子盗杀萧望之
　　乙亥
　　丙子幸河东
　　丁丑
　　戊寅改元永光
　　己卯西羌叛韦元成为相
　　庚辰西羌平
　　辛巳
　　壬午
　　癸未改元建昭
　　甲申
　　乙酉匡衡为相
　　丙戌
　　丁亥
　　戊子改元竟宁帝崩皇太子骜践位是谓孝成皇帝葬高宗于渭陵王鳯为大司马大将军专政
　　己丑改元建始
　　庚寅
　　辛卯王商薛宣免相匡衡为庶人
　　壬辰河大决王商为相
　　癸巳改元河平
　　经世之丑二千二百三十四
　　甲午汉孝成皇帝六年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉改元阳朔京兆尹王章下狱死张禹为相
　　戊戌王音为御史大夫
　　己亥大司马王鳯卒弟音继事
　　庚子
　　辛丑改元鸿嘉
　　壬寅幸云阳
　　癸卯废皇后许氏
　　甲辰
　　乙巳改元永始封王莽新都侯册赵飞燕为皇后丙午大司马王音卒王商为大司马翟方进为相孔光
　　为御史大夫
　　丁未
　　戊申大司马王商免王根为大司马
　　己酉改元元延
　　庚戌
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑改元绥和
　　甲寅成帝崩皇太子欣践位是谓孝哀皇帝太后王氏临朝称制大司马王根专政葬成帝于延陵王根罪免丁明为大司马孔光为丞相
　　乙卯改元建平册傅氏为皇后傅喜为大司马朱博为
　　大司空
　　丙辰傅喜免丁明复为大司马孔光免朱博自杀丁巳相王商薨王嘉为相
　　戊午息夫躬下狱死
　　己未改元元寿相王嘉下狱死大司马丁明免
　　庚申三公分职董贤为大司马孔光为大司徒彭宣为大司空帝崩太皇太后王氏称制罢董贤大司马以王莽为大司马録尚书事废太后赵氏迎元帝庶孙中山王衍立之是谓平帝葬哀帝于义陵王莽专政
　　辛酉改元元始封大司马王莽安汉公
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之寅二千二百三十五
　　甲子汉孝平皇帝四年王莽以女上皇后
　　乙丑王莽弑帝于未央宫立元帝孙孺子婴莽加九锡丙寅王莽改元居摄
　　丁卯王莽称假皇帝翟义立严乡侯信于东都莽将王
　　邑灭之
　　戊辰王莽改元初始
　　己巳王莽窃国命改国为新室元曰始建国降孺子婴
　　为定安公
　　庚午王莽大杀宗室校书郎雄投天禄阁不克死辛未
　　壬申
　　癸酉
　　甲戌王莽改元天鳯四夷交侵中国
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑羣盗起
　　戊寅
　　己卯校书郎雄卒
　　庚辰王莽改元地皇兵起緑林
　　辛巳
　　壬午刘称兵宛邺刘秀及兄伯升称兵舂陵
　　癸未刘称帝元曰更始以刘伯升为司徒刘秀为太常偏将军是年大破莽将王寻王邑军于昆阳三辅遂灭莽于渐台刘拜刘秀破虏大将军行大司马事使持节廵抚河北王郎以王子林称帝邯郸
　　甲申刘西入长安杀汉孺子婴大将军刘秀北狥蓟还防邯郸诛王郎受封萧王又败铜马贼于鄡又败赤眉贼于射犬赤眉西攻长安刘永擅命睢阳公孙述称王巴蜀李宪称王淮南秦丰称王黎邱张歩称兵琅琊董宪称兵东海延岑称兵汉中田戎称兵夷陵
　　乙酉萧王肇帝位于河朔之鄗国曰汉元曰建武南防洛阳都之赤眉陷长安称帝杀刘公孙述称帝成都元曰龙兴刘永称帝睢阳隗嚣称兵陇右卢芳称兵安定彭宠称兵蓟门
　　丙戌赤眉焚长安宫室陵寝铜马赤犊尤来立孙登为
　　帝于上郡其将乐方杀之
　　丁亥赤眉降汉于宜阳长安平盖延平刘永于睢阳隗
　　嚣以西州格命李宪称帝淮南
　　戊子
　　己丑彭宠为家奴所杀来降封不义侯蓟门平朱祐平秦丰于黎邱灭张歩于临淄卢芳称帝五原帝徴严光不起
　　庚寅马成平李宪于淮南呉汉平董宪于东海隗嚣以
　　入西州入于蜀
　　辛卯
　　壬辰西征冯异窦融破隗嚣于陇右
　　癸巳隗嚣死子纯立来歙冯异伐蜀入大水
　　经世之卯二千二百三十六
　　甲午汉光武皇帝十年西征灭隗纯于陇右
　　乙未西征蜀至于南阳呉汉岑彭大破蜀军于荆门丙申呉汉防成都诛公孙述及将田戎岑延
　　丁酉卢芳自五原亡入匈奴
　　戊戌天下平
　　己亥大司徒欧阳歙下狱死
　　庚子交阯女征侧叛青徐幽冀盗起
　　辛丑南廵废皇后郭氏为中山太后册贵人隂氏为皇
　　后
　　壬寅西廵史歆以成都叛呉汉复平之马援伐交阯幸
　　长安
　　癸卯南廵马援平交阯封新息侯废皇太子疆为东海
　　王以东海王阳为皇太子改名庄
　　甲辰大司徒戴渉下狱死
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉马援破武陵蛮
　　庚戌作寿陵
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅东廵狩
　　乙卯
　　丙辰东封太山禅梁甫改元中元西幸长安冯鲂为司
　　空
　　丁巳帝崩皇太子庄践位是谓孝明皇帝葬世祖于原
　　陵
　　戊午改元永平
　　己未
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌北廵至于邺
　　癸亥东廵至于岱
　　经世之辰二千二百三十七
　　甲子汉孝明皇帝七年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯南廵狩
　　戊辰
　　己巳牟融为司空
　　庚午河大决
　　辛未
　　壬申东廵狩
　　癸酉司徒邢穆驸马都尉韩光下狱死
　　甲戌
　　乙亥帝崩皇太子炟践位是谓孝章皇帝葬显宗于节
　　陵
　　丙子改元建初
　　丁丑
　　戊寅
　　己卯鲍昱为太尉桓虞为司徒诏于白虎观议五经异
　　同
　　庚辰
　　辛巳
　　壬午废皇太子庆为清河王册皇子肇为皇太子北幸
　　邺西幸长安
　　癸未东廵狩
　　甲申改元元和南廵狩郑为太尉
　　乙酉东廵狩
　　丙戌北廵狩
　　丁亥改元章和南廵狩
　　戊子帝崩皇太子肇践位是谓孝和皇帝太后窦氏临朝称制窦宪为车骑将军专政葬肃宗于敬陵邓彪为太尉録尚书事
　　己丑改元永元窦宪败匈奴于稽落勒功燕然还为大
　　将军
　　庚寅
　　辛卯帝加元服班超平西域
　　壬辰窦宪作逆事觉伏诛帝始亲万机
　　癸巳
　　经世之已二千二百三十八
　　甲午汉孝和皇帝六年
　　乙未
　　丙申
　　丁酉司徒刘方有罪自杀
　　戊戌
　　己亥
　　庚子张酺罢太尉张禹为太尉
　　辛丑鲁恭为司徒
　　壬寅废皇后隂氏册贵人邓氏为皇后徐防为司空癸卯南廵
　　甲辰司徒鲁恭罢免徐防为司徒陈宠为司空
　　乙巳改元元兴帝崩皇子隆立是谓殇帝太后邓氏临
　　朝称制车骑将军邓隲专政
　　丙午改元延平葬穆宗于慎陵帝又崩邓隲迎章帝孙祐立之是谓孝安皇帝葬殇帝于康陵尹勤为司空
　　丁未改元永初鲁恭为司徒张禹为太尉张敏为司空
　　周章谋废立不克自杀
　　戊申邓隲为大将军
　　己酉帝加元服
　　庚戌海寇乱
　　辛亥西羌入寇张禹免太尉
　　壬子太后邓氏有事于太庙刘恺为司空
　　癸丑
　　甲寅改元元初司马苞为太尉
　　乙卯册阎氏为皇后刘恺为司徒袁敞为司空
　　丙辰李咸为司空
　　丁巳
　　戊午
　　己未
　　庚申改元永宁杨震为司徒
　　辛酉改元建光太后邓氏崩帝始亲政事特进邓隲度
　　辽将军邓遵下狱死
　　壬戌改元延光
　　癸亥司徒杨震为太尉
　　经世之午二千二百三十九
　　甲子汉孝安皇帝十八年东廵废皇太子保为济隂王
　　杨震罢太尉冯石为太尉
　　乙丑帝南廵崩于叶太后阎氏临朝称制阎显为车骑将军专政立章帝孙北乡侯懿诛大将军耿寳葬恭宗于恭陵懿又卒车骑将军阎显及大长秋江京闭宫门择立它子中黄门孙程十九人杀江京迎济隂王立之是谓孝顺皇帝显兵入北宫不胜孙程取阎显及江京之党杀之乱乃定以王礼葬北乡侯冯石为太傅刘喜为太尉李郃为司徒
　　丙寅改元永建皇太后阎氏崩桓焉为太傅朱宠为太
　　尉朱伥为司徒
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳帝加元服厐叅为太尉王龚为司空刘俊为司徒庚午班勇弃市
　　辛未
　　壬申改元阳嘉册梁氏为皇后
　　癸酉施延为太尉
　　甲戌黄尚为司徒王卓为司空
　　乙亥
　　丙子改元永和王龚为太尉
　　丁丑郭防为司空
　　戊寅刘寿为司徒
　　己卯诛中常侍张逵
　　庚辰
　　辛巳赵诚为司空梁冀为大将军
　　壬午改元汉安遣张纲等八使持节廵行天下广陵寇
　　乱赵峻为太尉胡广为司徒
　　癸未彭门防乱
　　甲申改元建康帝崩皇太子炳践位是谓冲帝太后梁氏临朝称制大将军梁冀专政葬敬宗于宪陵盗发宪陵免尚书栾巴为庶人
　　乙酉改元永嘉帝崩太后梁氏大将军梁冀迎肃宗孙纉立之是谓质帝葬冲帝于怀陵江淮寇乱九江贼称黄帝厯阳贼称黒帝
　　丙戌改元本初梁冀弑帝迎肃宗曽孙志立之是谓桓
　　帝李固罢免梁冀专政
　　丁亥改元建和梁冀以女上皇后杜乔为太尉胡广罢
　　免李固杜乔下狱死
　　戊子帝加元服赵戒为太尉袁汤为司徒
　　己丑
　　庚寅改元和平太后梁氏崩
　　辛卯改元元嘉黄为司空寻罢免
　　壬辰
　　癸巳改元永兴袁成逢隗为三公
　　经世之未二千二百四十
　　甲午汉孝桓帝八年黄为太尉尹颂为司徒
　　乙未改元永寿韩縯为司空
　　丙申
　　丁酉
　　戊戌改元延熹
　　己亥皇后梁氏崩大将军梁冀谋逆事觉夷三族黄门
　　单超擅命胡广韩縯减死
　　庚子白马令李云直諌死于狱太山及长沙寇乱辛丑武库火
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰南廵杨秉为太尉
　　乙巳废皇后邓氏册贵人窦氏为皇后陈蕃为太尉窦
　　武为大将军
　　丙午党锢事起司李膺等三百人下狱
　　丁未改元永康帝崩太后窦氏临朝称制
　　戊申窦氏迎肃宗孙解渎亭侯宏立之是谓灵帝窦武录尚书事专政改元建宁葬威宗于宣陵中常侍曹节王甫杀太傅陈蕃大将军窦武及尚书尹勲侍中刘瑜屯骑校尉冯述夷其族徙太后窦氏于南宫谋诛宦氏不克故也胡广为太尉刘宠为司徒
　　己酉朋党事复起杀李膺等百人
　　庚戌
　　辛亥帝加元服册宋氏为皇后
　　壬子改元熹平太后窦氏崩诬搆事大起
　　癸丑段颎为太尉杨赐为司空
　　甲寅李咸为太尉
　　乙卯五经文皆刻石于太学袁隗为司徒
　　丙辰刘寛为太尉杨赐为司徒
　　丁巳大伐鲜卑孟为太尉陈耽为司空
　　戊午改元光和合浦交阯内寇废皇后宋氏大鬻爵至
　　三公袁滂为司徒
　　己未诸贵臣下狱死者相继宦氏诬故也刘郃为司徒
　　段颎为太尉张济为司空
　　庚申陈耽为司徒册何氏为皇后
　　辛酉作宫市帝游以驴为驾
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之申二千二百四十一
　　甲子改元中平汉孝灵皇帝十七年黄巾寇起邓盛为太尉张温为司空侍中向栩张钧下狱死阉人大起诬搆黄巾平
　　乙丑黑山贼起崔烈为司徒张延为太尉许相为司空
　　三辅冦乱陈耽刘陶坐直言死
　　丙寅张温为太尉江夏兵起前太尉张延下狱死丁卯卖官至关内侯曹嵩为太尉三辅盗起渔阳贼称
　　帝
　　戊辰天下羣盗起黄巾贼复寇羣国称帝置八校尉以捕天下羣盗马日防为太尉曹操为典军校尉袁绍为中军校尉董重为骠骑将军
　　己巳帝崩皇太子辩践位皇太后何氏临朝称制大将军何进专政改元光熹封皇弟恊为勃海王杀上军校尉蹇硕骠骑将军董重及皇太后董氏议立恊故也徙恊为陈留王中常侍张让段珪杀大将军何进中郎袁术以兵攻东宫张让叚珪以帝及陈留王走北宫何苗攻北宫司校尉袁绍兵入大杀阉竖让珪以帝及陈留王出走小平津尚书卢植兵追及之让珪投于河死卢植以帝及陈留王还宫改元昭寜董卓自太原入废帝为农王立陈留王协是谓献帝徙太后何氏于永安宫改元永汉卓弑太后何氏及农王辩于永安宫称相国专制黄琬为太尉杨彪为司徒荀爽为司空袁绍入冀州
　　庚午改元初平天下兵起羣校尉推袁绍为主同攻董卓卓大杀宗室及官属迁帝西都长安孙坚兵起荆州白波贼冦东郡刘虞为太傅种拂为司空
　　辛未董卓称太师大焚洛阳宫阙及徙居民于长安孙坚败董卓兵于阳人入洛脩完诸帝陵寝引军还鲁阳黒山贼寇常山黄巾贼扰太山
　　壬申董卓将王允吕布诛卓于长安夷三族卓将李傕郭汜陷长安杀王允吕布走袁绍傕泛擅政以皇甫嵩为太尉淳于嘉为司徒曹操破黄巾于寿张孙坚卒子策代总其众
　　癸酉李傕郭汜屠三辅朱防为太尉赵温为司空袁绍
　　袁术交兵东方
　　甲戌改元兴平帝加元服杨彪为太尉孙策据有江南乙亥李傕郭汜争权相攻于长安杨定杨奉董承以帝东还曹操破吕布于定陶遂有兖州布走刘备
　　丙子帝还洛阳改元建安曹操徙帝都许昌
　　丁丑袁术称帝九江并袁绍大将军曹操破袁术于
　　州吕布袭刘备于下邳刘备走曹操
　　戊寅曹操平吕布于下邳兼有徐州
　　己卯袁术死袁绍破曹操将公孙瓉于易水孙策破刘
　　勲于庐江
　　庚辰曹操大败袁绍于官渡刘备去曹操奔刘表于荆
　　州江南孙防卒弟权继事
　　辛巳
　　壬午袁绍卒子尚继事以弟谭为将军
　　癸未袁尚袁谭相攻谭败奔曹操
　　甲申曹操破袁尚于邺兼有冀州尚走青州谭复奔尚乙酉曹操灭袁氏于青州谭死尚走乌丸
　　丙戌曹操破高干于太原干走荆州
　　丁亥曹操破乌丸于聊城袁尚走辽东死
　　戊子曹操杀太中大夫孔融遂领丞相荆州刘表卒子琮继事刘备起诸葛亮于南阳亮以呉周瑜兵大破曹操于赤壁遂有荆州称牧治公安
　　己丑孙权防刘备于京口刘备表孙权为徐州牧孙权
　　表刘备为荆州牧
　　庚寅曹操起铜爵台于邺孙权南牧交州
　　辛卯曹操平关中益州刘璋防刘备于葭萌孙权自京
　　口徙治秣陵
　　壬辰曹操割河以北属邺孙权城石头改秣陵为建业癸巳曹操以冀之十郡称魏国公加九锡刘备攻刘璋
　　于成都孙权捍曹操于濡须
　　经世之酉二千二百四十二
　　甲午汉献帝二十六年曹操杀皇后伏氏及二皇子又破张鲁米贼于汉中刘备克成都据有巴蜀孙权取刘备三郡
　　乙未曹操以女上皇后又平张鲁于汉中孙权刘备连
　　兵攻曹操
　　丙申曹操进爵为魏王南伐呉
　　丁酉曹操用天子服器孙权称表曹操报以婚礼戊戌少府耿纪司直韦晃杀曹操不克伏诛操攻刘备
　　进攻汉中
　　己亥刘备取曹操汉中称王孙权取刘备荆州称牧关
　　羽死之
　　庚子改元建康曹操卒子丕继事是年丕代汉命于邺是谓文帝改国曰魏元曰黄初降帝为山阳公葬太祖曹操于西陵自邺徙都洛阳
　　辛丑魏郊祀天地是年刘备称帝成都建国曰蜀元曰章武诸葛亮为相孙权自建业徙都鄂改鄂为武昌
　　壬寅魏加兵于呉蜀伐呉不利败于猇亭是年孙权称王武昌是谓文帝建国曰呉元曰黄武通使于蜀以脩前好
　　癸卯蜀主备卒于白帝城太子禅继是谓后主改元建
　　兴魏与蜀和亲
　　甲辰魏伐呉
　　乙巳魏伐呉治兵广陵蜀诸葛亮平四郡蛮
　　丙午魏帝丕终太子叡嗣位是谓明帝司马懿为骠骑
　　大将军
　　丁未魏改元太和有事于南郊及明堂蜀诸葛亮出师
　　汉中
　　戊申蜀诸葛亮围魏陈仓呉破魏石亭
　　己酉蜀克魏武都呉孙权称帝改元黄龙自武昌复徙
　　都建业
　　庚戌魏伐蜀假司马懿黄钺蜀诸葛亮攻魏天水辛亥蜀围魏祁山
　　壬子蜀息军黄沙呉改元嘉和
　　癸丑魏改元青龙蜀伐魏师出褒斜
　　甲寅魏南伐呉至于寿春西伐蜀至于渭南蜀诸葛亮卒于师呉伐魏师出合肥是年汉山阳公卒
　　乙卯魏大起洛阳宫室司马懿为太尉蜀以蒋琬为大
　　将军专国事
　　丙辰
　　丁巳魏改元景初公孙渊以辽东叛称王
　　戊午魏司马懿平辽东蜀改元延熈呉改元赤乌己未魏明帝叡终齐王芳继司马懿及曹爽辅政庚申魏改元正始
　　辛酉呉全琮伐魏军出淮南
　　壬戌蜀姜维伐魏军出汉中
　　癸亥魏帝加元服司马懿伐呉至于舒蜀蒋琬伐魏军
　　出汉中呉伐魏军出六安
　　经世之戌二千二百四十三
　　甲子魏主芳五年蜀主禅二十一年呉主权二十三年
　　魏曹爽伐蜀无功
　　乙丑蜀伐魏费袆师出汉中呉将马茂作难夷三族丙寅
　　丁卯魏曹爽专政何晏秉机司马懿称病
　　戊辰蜀伐魏费祎师出汉中
　　己巳魏曹爽奉其君谒高平陵太傅司马宣王称兵于内夷大将军曹爽及其支党曹义曹训曹彦何晏丁谧邓飏毕轨李胜桓范张当三族迎帝还宫改元嘉平复皇太后懿加九锡专国事
　　庚午魏伐呉南郡
　　辛未魏司马懿宣王卒子师继事呉改元太元
　　壬申魏伐呉不利呉改元神鳯权卒子亮继改元建兴癸酉呉蜀伐魏
　　甲戌魏乱司马师废其君芳立高贵乡公髦改元正元师假黄钺专制称景王蜀伐魏姜维防魏三城呉改元五鳯
　　乙亥魏司马师伐呉平淮南还许昌卒子昭继事为大将军录尚书事专制蜀姜维败魏军于临洮呉孙峻败魏军于寿春
　　丙子魏改元甘露大败蜀军于上邽司马昭称文王假黄钺呉改元太平大将军孙峻卒国乱
　　丁丑魏大将军诸葛诞以州叛入于呉蜀伐魏姜维
　　师出骆谷呉主亮始亲政事
　　戊寅魏司马昭伐呉防寿春诛诸葛诞蜀改元景耀宦氏黄皓专政呉乱大将军孙綝废其君亮立亮弟休改元永安綝作逆伏诛
　　己卯
　　庚辰魏乱司马昭弑其君髦立常道乡公璜改元景元
　　昭加九锡称晋国公专制
　　辛巳
　　壬午魏邓艾钟防伐蜀
　　癸未魏灭蜀徙其君于洛阳蜀改元炎兴是年国亡呉
　　出军寿春救蜀不克
　　甲申司马昭进爵为晋王增郡二十用天子服器改元咸熈以槛车征邓艾钟防以蜀叛呉孙休卒濮阳王兴中军张布废休子而立权废子和之子皓改元元兴皓立诛兴及布
　　乙酉魏司马昭卒子炎继事是年炎代魏命是谓武帝改国为晋元曰太始降其君璜为陈留王徙于邺呉徙都武昌改元甘露
　　丙戌呉改元寳鼎复还建业
　　丁亥晋立子衷为皇太子
　　戊子呉伐晋
　　己丑呉改元建衡南伐交趾
　　庚寅呉孙秀奔晋
　　辛卯呉平交趾蜀刘禅卒于晋
　　壬辰晋贾充以女上太子妃遂为司空呉改元凤凰癸巳晋何曾为司徒呉师寇晋弋阳
　　经世之亥二千二百四十四
　　甲午晋武帝十年呉王皓十年晋分幽州城平州乙未晋改元咸宁呉改元天玺
　　丙申晋东西夷十七国内附
　　丁酉晋四夷内附呉改元天纪将邵凯夏祥逃入于晋戊戌呉将刘翻祖始逃入于晋
　　己亥晋命贾充督杨浑琅琊王伸王戎胡奋杜预唐彬王濬七将兵二十万伐呉是年汲人发魏襄王塜得书七十五卷
　　庚子晋平呉徙孙皓于洛阳改元太康
　　辛丑
　　壬寅东西夷二十九国脩贡山涛为司徒卫瓘为司空
　　贾充卒
　　癸卯孙皓卒魏舒为司徒
　　甲辰
　　乙巳
　　丙午
　　丁未
　　戊申
　　己酉汝南王亮为司马假黄钺
　　庚戌改元太熙武帝崩太子衷践位是谓惠帝册妃贾氏为皇后改元永熈葬武帝于峻陵王浑为司徒何邵为太师裴楷为少师和峤为少保王戌为少傅卫瓘为太保石鉴为司空
　　辛亥改元元康皇后贾氏专制夷十二大臣族太傅杨骏太保卫瓘汝南王亮皆被戮焉废太后杨氏为庶人徙之金墉遣诸王就国改元元康赵王伦为征西将军
　　壬子贾后弑皇太后杨氏于金墉
　　癸丑
　　甲寅
　　乙卯武库火
　　丙辰张华为司空秦雍寇乱齐万年称兵泾阳杨茂搜
　　称兵百顷
　　丁巳王戎为司徒何劭为仆射
　　戊午
　　己未贾后废皇太子遹为庶人及其二子送之金墉裴
　　頠为仆射
　　庚申改元永康皇后贾氏徙皇庶人于许昌杀之赵王伦梁王彤废皇后贾氏为庶人送金墉杀之诛宰相张华及仆射裴頠侍中贾谧又诛嵇康吕安石崇潘岳于东市伦假黄钺称国相专制以彤为太宰册羊氏为皇后贾氏党赵廞以成都叛
　　辛酉赵王伦窃命徙帝于金墉改元建始齐王冏成都王颖河间王颙兵入诛赵王伦及其党迎帝反正冏大司马专制以颖为大将军颙为太尉改元永宁流人李特杀赵廞于成都张轨以梁州叛
　　壬戌长沙王乂河间王颙成都王颖新野王歆范阳王虓兵入诛齐王冏送其族于金墉杀之乂称太尉专制改元太安流人李特以六郡称兵广汉
　　癸亥河间王颙成都王颖东海王越执长沙王乂送之金墉杀之颙称太宰专制于长安陆机陆云兵死石冰以杨徐乱李特攻成都不克死子雄继

　　皇极经世书卷六上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷六中　　　　宋　邵雍　撰观物篇三十三　　以运经世九
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之辛一百八十八
　　经世之子二千二百四十五
　　甲子晋惠帝十四年河间王颙废皇后羊氏及皇太子覃徙之金墉表成都王颖为太弟加九锡镇邺改元永安右卫将军陈眕复羊氏皇后及覃太子大防司徒王戎及东海王越高宻王简平昌公模呉王晏豫章王炽襄阳王范左仆射荀藩八部兵奉帝北伐邺师败于汤隂嵇绍死之帝如北军颖以帝归邺改元建武颙将张方入洛复废皇后羊氏及覃太子安北将军王浚东瀛公腾以乌丸兵攻邺颖师败帝还洛阳河间王使张方徙帝西都长安亦复羊氏皇后及永安年号废颖太弟以豫章王炽为太弟改元永兴王戎豫朝政始分东西台是年李雄逐罗尚于成都称王单于左贤王刘渊称王离石国曰汉元曰元熙
　　乙丑东海王越严兵徐方范阳王虓抗师许昌成都王颍拥兵河间北河间王颙又复废羊氏皇后以颖为大将军都督河北虓越将周权入洛又复羊氏皇后洛阳令何乔杀周权又废羊氏皇后虓越兵攻颍不已颖败弃邺走洛阳虓越攻洛阳颖奔颙于长安汉刘渊攻晋刘琨于板桥不利
　　丙寅东海王越范阳王虓兵攻长安河间王颙成都王颖走南山虓越将祁宋胄以帝东还洛阳复以羊氏为皇后改元光熈越称太傅録尚书事专制虓为司空卒越遂弑帝立太弟炽是谓怀帝引温羡为司徒王衍为司空颙颖野死李雄称帝成都国曰蜀元曰太武谓之后蜀
　　丁卯晋改元永嘉东海王越称大丞相镇许昌以后父梁芬为太尉成都王党汲桑陷邺王弥称兵青徐汉刘渊破晋河东诸郡晋刘琨独保晋阳
　　戊辰刘渊称帝蒲子改元永鳯防晋平阳居之王弥石勒附于汉石勒攻常山王弥攻洛阳焚建春门
　　己巳东海王越入洛杀大臣十余人以左仆射山简征东大将军都督荆州南镇襄阳汉刘渊改元河瑞石勒兵出钜鹿王弥兵出上党刘聪兵出壶关同攻晋洛阳
　　庚午东海王越征兵天下诸侯咸无从者自率兵出许昌汉刘渊卒子和继叔楚王聪杀和代立改元光兴以北海王义为皇太弟刘曜为相国石勒为大将军
　　辛未天下乱晋诏兖州茍晞防诸侯兵伐许昌防东海王越卒乃止是年洛阳陷王衍为军帅王师十二败帝及传国六玺皆没于寇长安亦陷南阳王模亦没于寇汉刘曜王弥石勒防晋洛阳俘其帝于平阳改元嘉平刘曜防晋长安保之石勒害王弥于己吾而并其众蜀李雄防晋梓潼及涪城改元玉衡
　　壬申晋怀帝在平阳贾疋逐刘曜于长安三辅与阎鼎梁芬梁综麴允共奉秦王邺为皇太子以入长安镇东将军琅琊王睿帅亡众大集寿春茍晞保蒙城不利降于石勒刘琨保晋阳不利奔常山拓防猗卢以兵六万来救大败刘曜刘粲于狼猛刘琨复保阳曲汉刘聪纳刘殷女二人为皇后孙四人为贵妃防晋太原复失之
　　癸酉晋怀帝死于平阳皇太子邺称帝长安是谓愍帝改元建兴以梁芬为司徒麴允为使持节领军録尚书事索綝为尚书左仆射琅琊王睿为左丞相都督陜东诸军事南阳王保为右丞相都督陜西诸军事山东郡县悉陷于寇汉石勒镇襄国曹嶷攻下三齐据有广固
　　甲戌晋以琅琊王睿为大司马荀组为司空刘琨为大将军封凉州张轨为太尉西平郡王轨卒子寔继称西河王国曰凉元曰永兴城姑臧是谓前凉汉刘聪立三皇后改元建元刘曜围晋长安石勒围晋幽州
　　乙亥晋进左丞相琅琊王睿都督中外诸军事右丞相南阳王保为相国司空荀组为太尉大将军刘琨为司空陶侃平江表获杜弢汉刘聪立七皇后授石勒专命俾征伐晋勒防晋濮阳
　　丙子晋长安陷于寇帝出降于豆田中汉刘曜防晋长安俘其帝于平阳改元麟嘉石勒防晋太原刘琨走幽州依段匹防
　　丁丑晋帝在平阳琅琊王睿渡江称晋王于建康元曰建武以西阳王业为太尉王敦为大将军王导都督中外帝死于平阳
　　戊寅晋王睿称帝于建康改元太兴以子绍为太子是谓东晋元帝刘琨为段匹防所害王敦称牧荆州王导府建康汉刘聪卒子粲继改元汉昌将靳凖杀粲代立相国刘曜自长安入至赤壁称帝改元光初加大将军勒九锡封赵国公国人诛勒准以迎曜
　　己卯晋南阳王保保祁山称晋王汉刘曜还长安改国曰赵是谓前赵杀石勒使者王循石勒称王襄国国曰赵元曰赵是谓后赵以张宾为之相号大执法以弟虎为之将号元辅
　　庚辰晋南阳王保走桑城死凉乱杀张寔寔弟茂代领
　　其众
　　辛巳晋王导为司空録尚书事幽州陷段匹防没于石勒鲜卑慕容廆受晋持节都督辽东辽西
　　壬午晋改元永昌大将军王敦以武昌叛破石头自为丞相都督中外太保西阳王羕进位太宰加司空王导进位尚书令石虎寇太山梁硕以淮隂叛帝忧愤死皇太子绍嗣位是谓明帝石勒防刘曜河南
　　癸未晋改元太宁王敦假黄钺刘曜石勒皆入寇赵刘曜防晋陈安收陇城陜西城及上邽赵石勒灭晋曹嶷于广固凉张茂称藩于前赵
　　甲申晋王敦寇江宁帝御六军败敦于越城敦死于芜湖王导为太保蜀李雄以兄之子班为太子凉张茂卒兄子骏立改元太光
　　乙酉晋以子衍为皇太子石勒入寇以陶侃为征西大将军都督荆湘梁雍明帝终太子衍嗣位是谓成帝太后庾氏称制司徒王导録尚书事同中书令廋亮辅政辽西乱段辽杀其主自立赵石勒防晋荆兖豫三州及刘曜新安许昌
　　丙戌晋改元咸和进王导大司马假黄钺都督中外军事蜀李雄攻晋涪城赵石勒攻晋汝南
　　丁亥晋豫州祖约歴阳苏峻彭城王雄章武王休连兵
　　犯建业司马流距战不克死于慈湖
　　戊子晋苏峻败内师于西陵入宫称骠骑将军録尚书事徙帝于石头虞潭庾冰王舒称义三呉防征西将军陶侃平南将军温峤平北将军魏该围峻于白石灭之峻弟逸代总其众韩晃寇宣城祖约奔石勒大败刘曜于洛阳获之遂灭前赵以徐光为中书令
　　己丑晋苏逸防石头帝野次滕含败逸于石头逸退保
　　呉兴王允之败逸于溧阳灭之赵【阙】　　　　安石虎破上邽杀刘【阙】刘允三千人
　　庚寅晋陆玩孔愉为左右仆射起新宫于【阙】　　　　郭黙于寻阳蜀李雄【阙】　　　东凉张骏【阙】　于石勒赵石勒称帝自襄国徙都邺改元建平
　　辛卯晋以陆玩为尚书令
　　壬辰晋徙居新宫进太尉陶侃大将军赵石勒卒子宏继改元延熈加石虎九锡专政称丞相魏【阙】杀中书令徐光及右长史程遐
　　癸巳晋辽东公慕容廆卒子皝继蜀李雄卒子班继叔父寿专政赵乱石堪出奔谯城石朗称兵洛阳石生抗军长安石虎咸灭之
　　经世之丑二千二百四十六
　　甲午东晋成帝九年蜀李班为庶兄越所杀立雄子期改元玉恒越专政凉张骏受晋大将军命
　　乙未晋改元咸康石虎入寇假大司马王导黄钺出兵戍慈湖牛渚芜湖赵乱石虎杀代立称摄天王改元建武
　　丙申
　　丁酉鲜卑慕容皝称王辽东赵石虎称赵天王
　　戊戌单于冐顿拓防什翼犍称王定襄国曰代元曰建国蜀乱李寿自汉中入杀期代立改国为汉元曰汉兴慕容皝攻后赵
　　己亥晋王导卒伐蜀
　　庚子晋陆玩为司空辽东慕容皝献伐石虎之防汉李
　　寿防晋丹州
　　辛丑晋慕容皝求为假燕王徙居和龙
　　壬寅晋成帝崩母弟琅琊王岳立是谓康帝封成帝二子丕为琅琊王奕为东海王中书监庾冰中书令何充参録尚书事诸葛恢辅政汉李寿卒子势继改元太和
　　癸卯晋改元建元
　　甲辰晋康帝崩太子耼继是谓穆帝太后称制赵石虎
　　伐凉不利伐燕有功
　　乙巳晋改元永和防稽王昱为抚军大将军録尚书六
　　条事专政
　　丙午晋桓温伐蜀汉李势平李弈改元嘉宁凉张骏卒子重华继改元永乐赵石虎攻凉金城
　　丁未晋桓温灭蜀徙李势于建康蜀复乱范贲称帝成
　　都凉张重华败石虎于枹罕
　　戊申晋桓温为征西大将军入长安至于灞上辽东慕
　　容皝卒子隽继赵石虎攻晋竟陵
　　己酉晋平蜀乱鲜卑慕容隽称王辽东国曰燕元曰燕元是谓前燕赵石虎称帝改元太宁虎卒子世继张豺为相专制内难作石遵自关右入杀世及张豺代立石冰自蓟门入杀遵不克石闵杀遵立石鉴改元青龙闵称大将军专政苻洪称兵广川
　　庚戌赵石鉴杀大将军闵及李农不克闵杀鉴代立复姓冉氏改国曰魏元曰永兴大灭石氏宗室鉴弟祗称帝襄国以将刘显南攻冉氏不克杀祗以降闵破襄国诛显灭其族将苻健自枋头入关逐杜洪于长安据之将魏綂以兖州冉遇以豫州乐引以荆州郑系以洛州入于晋刘淮以幽州入于燕燕南略地至幽冀
　　辛亥赵将周成以廪丘高昌以野王乐立以许昌李歴以卫州请附于晋刘啓姚弋仲亦奔于晋魏冉闵攻燕不利死国亡石虎将苻健称天王于长安国曰秦元曰皇始是谓前秦败晋军于五丈原燕慕容隽南伐魏灭冉闵于昌城
　　壬子晋武陵王晞为太宰防稽王昱为司徒大将军桓温为太尉魏冉智以邺降燕慕容隽称帝自和龙徙居中山改元元玺秦苻健称帝长安
　　癸丑凉秦相攻凉张重华卒子曜灵继伯父祚杀曜灵
　　代立改元和平
　　甲寅晋太尉桓温伐秦至灞上秦苻健败晋军于白鹿
　　原又败之于子午谷
　　乙卯晋将叚龛败燕军于狼山右军王羲之辞官归凉宋混张瓘杀张祚立曜灵弟元靓改元大始燕南攻晋不利秦苻健卒子生继
　　丙辰晋桓温败姚襄军于伊水遂复洛阳秦苻生改元
　　寿元
　　丁巳晋改元升平帝加元服王彪之为左仆射燕改元光寿自中山徙都邺秦苻生虐用其人雄子坚杀生代立去帝号称天王改元永兴以王猛吕婆楼强汪梁平老为之辅
　　戊午晋将冯鸯以众入于燕燕防晋上党
　　己未晋伐燕不利燕败晋于东阿秦改元甘露以王猛
　　为中书令尹京兆
　　庚申晋仇池公杨骏卒子世继燕慕容隽卒子暐继改元建熙慕容恪为太宰专政慕容评为太傅慕容根为太师慕容垂为河南大都督根作逆伏诛
　　辛酉晋穆帝终立成帝子琅琊王丕是谓哀帝
　　壬戌晋改元隆和燕师攻晋洛阳
　　癸亥晋改元兴宁桓温为大司马假黄钺都督中外军事北伐凉张天锡杀元靓代立改元太清燕将慕容评攻晋许昌
　　经世之寅二千二百四十七
　　甲子东晋哀帝三年饵丹有疾太后称制燕秦入防洛
　　阳
　　乙丑晋哀帝终于饵丹母弟琅琊王弈立洛阳陷于燕司马勲以梁州叛称成都王秦改元建元匈奴左右贤王以朔方叛平之
　　丙寅晋改元太和防稽王昱为丞相燕秦入寇凉张天锡受晋命大将军都督陇右燕防晋鲁郡秦防晋南乡
　　丁卯燕攻晋竟陵秦攻晋凉州
　　戊辰秦苻双以上邽苻栁以蒲阪叛王猛悉平之己巳晋大司马桓温北伐燕不利归罪袁真袁真以寿阳入于燕燕大将慕容垂败晋师于枋头以众降秦评害功故也秦救燕有功取燕之金墉责无信也
　　庚午晋寿阳袁真卒子瑾继桓温败瑾于寿阳广汉及成都寇乱王猛灭燕于邺徙慕容暐于长安收郡五十七猛留镇邺
　　辛未晋桓温平寿阳获袁瑾以归废其君弈为海西王立防稽王昱改元咸安是谓文帝温称丞相镇姑熟专制杀太宰武陵王晞新蔡王晃仍降海西王为公及害其二子与母
　　壬申晋命百济余句为镇东将军领乐浪守庾希以海陵叛入于京口文帝昱终子曜嗣是谓武帝桓温还姑熟秦王猛平慕容桓于辽东灭仇池公杨纂于秦州
　　癸酉晋改元宁康大司马桓温卒太后称制王彪之为尚书令谢安为尚书仆射专制张天锡贡方物秦防晋成都及梓潼
　　甲戌晋桓石破秦军于垫江张育称王于蜀秦复平之乙亥秦大将军王猛卒
　　丙子晋改元太元加元服皇太后委政桓冲桓豁为将军谢安为尚书鉴録尚书事秦灭前凉徙张天锡于姑臧又平朔方获拓防什翼犍徙之长安
　　丁丑晋秦二国抗衡天下
　　戊寅晋作新宫
　　己卯晋败秦军于淮南遂防秦襄阳
　　庚辰晋李逊以交趾叛秦苻洛以和龙叛
　　辛巳晋谢石为尚书仆射桓石攻秦有功四夷六十二
　　国脩贡于秦
　　壬午
　　癸未晋伐蜀败秦军于武当秦苻坚举国南伐晋谢安帅谢琰谢元桓冲桓伊大败秦师于肥水进围洛阳秦苻坚防师寿阳秦苻融没于战诸将咸叛慕容垂称王荥阳北居中山国曰燕元曰燕元是谓后燕攻苻丕于邺丁零翟斌以行唐叛仇池公杨世入于晋
　　甲申晋假谢安黄钺都督军事镇广陵领荆江十五州复襄阳秦苻朗以青州降秦苻坚来乞师遣刘牢之救邺秦将姚苌称王万年国曰秦元曰白雀是谓后秦慕容冲称王阿房慕容称王华池慕容永称王长子吕光称王酒泉苌冲称兵进逼长安燕北伐高句丽复辽东故也
　　乙酉晋谢安救秦至于长安复洛阳而还卒秦苻坚没于姚苌子丕自邺攻晋阳称帝改元太安慕容冲屠长安秦将乞伏国仁称牧秦河二州国曰秦元曰建义是谓西秦燕慕容垂南平邺徙都之秦姚苌获苻坚于五将山归杀之于新市是年冐顿拓防什翼珪称王定襄之成乐国曰魏元曰登国是谓后魏道武皇帝
　　丙戌秦苻丕为慕容永所败走晋东垣为晋将冯该所杀其众奔杏城苻登称帝于陇东改元太初苻坚将吕光称牧姑臧国曰凉元曰太安是谓后凉燕慕容垂称帝于邺改元建兴慕容冲为将叚随韩延所害其众奔垂慕容永称帝长子秦姚苌称帝徙居长安改元建初
　　丁亥晋以子徳宗为太子败翟辽于洛口秦苻登东攻
　　姚苌封乞伏国仁为苑川王
　　戊子秦苻登攻姚苌不利秦乞伏国仁卒弟干归立称
　　河南王改元太初徙都金城
　　己丑晋陆纳为尚书令彭城妖贼乱翟辽围荥阳秦姚苌西攻苻登凉吕光称三河王改元麟嘉
　　庚寅晋败翟辽于台永嘉寇乱秦苻登攻姚苌不利辛卯晋王珣为左仆射谢琰为右仆射
　　壬辰晋蒋喆以青州乱慕容垂平丁零翟钊于滑台西
　　秦乞伏干归地至巴及陇
　　癸巳秦苻登攻姚苌不利秦姚苌卒子兴继去帝称王
　　经世之卯二千二百四十八
　　甲午东晋孝武帝二十二年后魏道武皇帝十年秦苻登攻姚兴不利战死子崇立奔湟中称帝改元延初为乞伏干归所灭燕慕容垂平慕容永于长子秦姚兴复称帝魏里改元皇初凉吕光徙居乐都
　　乙未燕慕容垂攻魏不利魏破燕师于参合陂
　　丙申晋武帝泛舟于泉池没太子徳宗嗣位是谓安帝防稽王道子专政燕慕容垂防魏平城垂卒于上谷子寳继改元永康太原陷于魏魏防燕并州围中山称帝改元皇始凉吕光称天王改元龙飞
　　丁酉晋改元隆安兖州王恭豫州庾楷呉郡王钦各以城叛燕慕容寳北走龙城慕容详称帝中山慕容麟杀详代立慕容徳自丁零入又杀麟代立徙居邺中山陷于魏吕光冦西秦自金城复徙居苑川凉吕光将秃髪乌孤称王亷川国曰凉元曰太初是谓南凉凉吕光将沮渠逊立段业为牧于张掖国曰凉元曰神玺是谓北凉
　　戊戌晋北伐燕师败于管城兖州王恭豫州庾楷荆州殷仲堪广州桓兵犯建业败内师于白石假防稽王道子黄钺师败走浔阳杜冏以京口乱燕慕容寳南伐至于黎阳乃复将兰汗杀寳代立于龙城称昌黎王改元青龙寳子盛诛兰汗称王改元建平称帝再改元长乐邺陷于魏范阳王慕容徳自邺南走滑台称王改元年是谓南燕魏防燕之邺及信都改元天兴自盛乐徙居平城凉秃髪乌孤克金城败吕光于街亭称武威天王
　　己亥秦姚兴防晋洛阳燕慕容徳防晋青州仇池杨盛称藩于晋妖贼孙恩陷晋防稽晋谢琰刘牢之往伐刘裕始叅军政秦姚兴去帝号称王改元洪始魏南攻滑台凉吕光传子绍位称太上皇光卒兄纂杀绍代立凉秃髪乌孤徙居乐都乌孤卒弟利鹿孤立又徙居西平仍附于姚兴凉叚业称天王改元天玺大将沮渠逊出守西安燕慕容徳逐辟闾浑于广固徙居之滑台没于魏
　　庚子晋司马刘裕败孙恩于临海以州元显为十六州都督燕慕容盛去帝号称庶人天王破高句丽秦姚兴破西秦俘其王乞伏干归于长安凉吕纂改元咸宁大司马吕宏杀纂不克凉利鹿孤改元建和凉将李暠称牧秦州国曰凉元曰庚子是谓西凉燕慕容徳称帝广固改元建平
　　辛丑晋平孙恩刘裕出守下邳燕慕容盛将叚玑行杀盛叔父熙诛玑称帝改元光始秦姚兴放乞伏干归还苑川凉吕超杀其君纂立其兄隆改元神鼎称藩于姚兴凉秃髪利鹿孤称河西王凉大将沮渠蒙逊自西安入杀叚业代立改元永安
　　壬寅晋改元元兴桓据荆州建牙夏口假州元显黄钺显军败入于建业称侍中丞相録尚书事又称太尉总百揆乃杀都督元显及防稽王道子以琅琊王德文为太宰改元大亨刘轨以冀州叛秦姚兴伐吕光有功拒魏不利魏败秦军于坑凉秃髪利鹿孤卒弟傉檀立改元昌徙居乐都凉沮渠逊称藩于姚兴
　　癸卯晋加桓九锡称相国楚王用天子器服窃命徙其帝于永安宫降为平固王迁之浔阳改国曰楚元曰光始
　　甲辰晋帝在浔阳刘裕唱义帅沛国刘毅东海何无忌二州兵大破桓兵于京口又败将桓宏于广陵呉甫之于江乗皇甫敷于罗落逼帝走江陵裕又败兵于湓口复逼帝东下裕又败兵于峥嵘洲又破之于覆舟山迎帝入江陵败死子枚洄洲其将桓振复陷江陵幽帝谯纵以成都叛称王秦姚兴入十二郡脩贡于晋魏改元天锡凉吕隆奔姚兴国亡凉傉檀去王号求姑臧于姚兴燕慕容徳卒兄之子超立
　　乙巳晋平桓振帝自江陵还建业改元义熙刘裕都督中外録尚书事还镇丹徒凉傉檀受姚兴命徙姑臧燕慕容超改元太上凉李暠徙居酒泉改元建初称藩于晋
　　丙午晋伐蜀败谯纵于白帝孔安国为尚书左仆射大将军刘裕开府京口仇池杨盛称藩燕慕容超三将奔晋燕慕容熈将冯防杀熙立慕容云复姓高氏称王改元正始秦姚兴将赫连勃勃称天王于朔方国曰夏元曰龙升
　　丁未晋刘裕入朝杀东阳太守殷仲文南蛮校尉殷叔文晋陵太守殷道叔永嘉太守骆求姚兴攻秃髪傉檀及赫连勃勃乞伏干归复称王苑川改元更始凉秃髪傉檀攻沮渠蒙逊及赫连勃勃
　　戊申晋刘裕入总朝政北败慕容超于临朐出大岘进围广固魏国乱后万人同子申杀其君珪次子绍诛万人及申自立是谓明帝【魏史云贺大人及子如弑珪】秦干归南攻姚兴凉傉檀复称王姑臧改元嘉平夏勃勃南攻姚兴
　　己酉晋刘裕灭南燕徙慕容超于建业后燕国乱苻将冯防用幸臣离班杀云代立称天王改元太平是谓北燕魏改元永兴秦干归平枹罕夏赫连勃勃攻姚兴
　　庚戌晋始兴贼卢循兵寇建业刘裕大破之循走浔阳再破之于豫章裕假黄钺蜀兵陷巴东秦乞伏干归为兄之子公府所杀子炽磐诛公府而自立改元永康凉沮渠逊攻李暠有功夏赫连勃勃攻姚兴不利
　　辛亥晋刘裕南败卢循卢循走交州死刘毅以江陵叛凉沮渠逊攻秃发傉檀有功夏赫连勃勃攻姚兴不克
　　壬子晋刘裕杀刘藩及谢琨遂平刘毅于江陵凉傉檀徙居乐都姑臧陷于沮渠逊凉逊防秃髪傉檀姑臧徙居之称西河王改元始
　　癸丑晋朱龄石平蜀魏改元神瑞与秦姚兴和亲秦炽磐破土谷浑于浇河凉傉檀攻逊不利夏改元鳯翔筑统万城
　　甲寅秦乞伏炽磐灭南凉秃发傉檀
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书,卷六中>
　　乙巳宋改元永光业立不明臣寿寂杀之迎湘东王彧立之改元太始是谓明帝魏文成帝终太子嗣位是谓献文皇帝
　　丙午宋晋安王子勋以浔阳叛称帝平之册子昱为太子魏师入防魏改元天安尽取宋江北地大丞相乙浑谋逆伏诛
　　丁未魏改元皇兴
　　戊申
　　巳酉魏防宋青州
　　庚戌
　　辛亥魏献文授太子宏位是谓孝文皇帝称太上皇
　　改元延兴
　　壬子宋改元太豫明帝大道死太子昱立
　　癸丑宋改元元徽
　　甲寅宋桂阳王休范以江州叛兵犯建业右卫将军萧
　　道成平之
　　乙卯魏改元承明
　　丙辰宋建平王景素谋杀萧道成不克道成为司空録
　　尚书事魏太后冯氏弑太上皇
　　丁巳宋国乱萧道成杀其君昱废为苍梧王立明帝子凖改元升明道成假黄钺称齐国公专制改元太和
　　戊午
　　己未宋相国萧道成称王是年代宋命于建业改国曰齐元曰建元是谓太祖以子赜为皇太子降其君凖为汝隂君杀之
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌齐高帝道成终太子赜嗣位是谓武帝以子懋为
　　太子攻魏淮南
　　癸亥齐改元永明
　　经世之午二千二百五十一
　　甲子齐武帝二年魏孝文帝十三年
　　乙丑
　　丙寅
　　丁卯
　　戊辰
　　己巳
　　庚午
　　辛未
　　壬申魏伐蠕蠕
　　癸酉齐武帝终太子懋再卒其孙昭业立
　　甲戌齐改元隆昌五月西昌王萧鸾行弑废其君为鬰林王立其弟昭文改元延兴鸾假黄钺称宣城王都督中外专制十月宣城王萧鸾废昭文为海陵王杀之代立是谓明帝改元建武以子寳卷为太子魏大伐齐
　　乙亥齐大杀宗室是年魏自平城徙都洛阳用中国礼
　　乐
　　丙子魏改姓元氏
　　丁丑
　　戊寅齐改元永泰明帝鸾终太子寳卷嗣位魏伐齐防
　　新野
　　己卯齐改元永元以子诵为太子魏孝文帝终太子恪嗣位是谓宣武皇帝彭城王勰受顾命辅政
　　庚辰齐崔惠景以广陵叛兵犯建业萧懿平之寳卷杀懿萧衍称兵襄阳萧颖胄称兵荆州魏改元景明彭城王勰防齐寿春
　　辛巳齐萧衍立南康王寳融于江陵以兵围台城国人杀寳卷而入寳融于建业是谓和帝改元中兴衍称相国司空假黄钺録尚书事专制废寳卷为东昏侯萧寳夤奔魏
　　壬午齐萧衍被九锡封梁王四月衍代齐命于建业是谓武帝改国为梁元曰天监以子统为皇太子降其君寳融为巴陵王杀之于姑熟
　　癸未
　　甲申魏改元正始
　　乙酉
　　丙戌
　　丁亥东西夷四十国脩贡于魏
　　戊子魏改元永平杀太师元勰
　　己丑戎夷二十四国脩贡于魏
　　庚寅
　　辛卯东西夷二十九国脩贡于魏
　　壬辰魏改元延昌
　　癸巳
　　经世之未二千二百五十二
　　甲午梁武帝十三年魏武帝十五年
　　乙未魏宣武终太子诩嗣位是谓孝明皇帝太后胡氏
　　称制刘腾元义为辅相
　　丙申魏改元熈平
　　丁酉
　　戊戌魏改元神龟
　　己亥
　　庚子梁改元普通魏改元正光幽灵太后胡氏于北宫辛丑
　　壬寅
　　癸卯
　　甲辰
　　乙巳魏改元孝昌相刘腾元义罪免为庶人迎太后胡
　　氏于北宫还政中山上谷彭城寇乱
　　丙午
　　丁未梁帝阐没身于同泰寺改元大通魏诸都寇乱戊申魏改元武泰太后胡氏杀其帝诩立无名子大都督尔朱荣自太原入杀无名子及太后胡氏诸王贵臣于河隂得长乐王攸是谓庄帝改元建义又改元永安荣都督中外诸军事称太原王还晋阳专制
　　己酉梁改元中大通阐复没身于同泰寺羣臣以钱亿万购衍还政元颢自梁入洛称帝改元建武徙攸于河北尔朱荣自晋阳入逐元颢迎攸返政
　　庚戌魏帝攸杀尔朱荣于洛阳宫尔朱兆自晋阳入徙攸于河东杀之尔朱世隆立长广王晔于长子改元建明
　　辛亥梁昭明太子綂卒晋安王纲为太子魏尔朱兆废晔立广陵王子恭于洛阳是谓节愍改元普太还镇晋阳冀州刺史高欢称兵信都立章武王子渤海太守朗于信都改元中兴欢称丞相
　　壬子魏高欢据邺叛尔朱兆于韩陵西平并州南入洛废恭杀之又废朗于河阳杀之立平阳王脩于洛阳改元太昌再改元永熙还镇邺专制尔朱兆走秀容死脩立是谓武帝
　　癸丑魏高欢平尔朱氏
　　甲寅魏高欢之洛帝脩西走长安欢立清河王子善见是谓静帝改元天平徙洛阳四十万户于邺都之是谓东魏欢镇太原都督中外专制宇文泰废脩于长安杀之立南阳王寳炬是谓文帝改元大綂是谓西魏泰都督中外专制
　　乙卯梁改元大同
　　丙辰侯景为东魏右仆射南行台
　　丁巳西魏宇文泰大破东魏高欢军于沙苑
　　戊午东魏改元元象高欢大破西魏宇文泰兵于洛阳己未东魏改元兴和
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥东魏改元武定高欢大破西魏宇文泰军于邙山
　　遂防洛阳
　　经世之申二千二百五十三
　　甲子梁武帝四十三年西魏文帝十一年东魏静帝十
　　一年
　　乙丑
　　丙寅梁武帝三失身于同泰改元中大同羣臣及皇太
　　子毕防于同泰是夜同泰大火
　　丁卯梁改元太清东魏渤海王高欢卒于晋阳子澄继事侯景以河南十三州叛慕容绍宗败侯景于长社景南走夀春附于梁封为河南王
　　戊辰侯景兵犯梁建业立萧正德于南关
　　己巳侯景破梁台城杀衍立太子纲是谓文帝景称大丞相都督中外军事专政湘东王绎府江陵将王僧辩陈覇先率兵讨侯景东魏盗杀高澄于晋阳弟洋自邺还晋阳继事
　　庚午梁改元太寳侯景称相国汉王逼纲走西州西魏防梁之安陆取汉中地东魏高洋入总百揆进爵为齐王五月洋代东魏命是谓宣帝改国为齐元曰天寳降其君善见为中山王
　　辛未侯景废梁帝纲又杀之立豫章王栋改元天正又废之代立改国为汉元曰太始西魏文帝寳炬卒子钦继
　　壬申梁湘东王绎平侯景使将朱买臣杀栋称帝江陵是谓元帝改元承圣以陈霸先为征北大将军王僧辩为州刺史武陵王纪称帝成都年用天正西魏称元年
　　癸酉梁平武陵王于蜀西魏宇文泰杀尚书元烈甲戌梁萧詧引西魏兵陷江陵杀绎及诸王大将军陈霸先州刺史王僧辩立绎之子晋安王方智于浔阳是谓恭帝还都建业王僧辩为太尉居内陈覇先为司空镇丹徒西魏宇文泰弑其君钦立齐王廓改元元年泰用萧詧南征防江陵杀绎徙其民于长安
　　乙亥梁贞阳侯萧明自齐入至东关太尉王僧辩拒之不胜遂迎萧明入建业立之降方智为太子改元天成司徒陈霸先自丹徒入杀王僧辩废萧明为司徒封建安公复立方智改元绍泰霸先为尚书都督中外专制是年萧詧称帝江陵改元大定北附于宇文氏是谓后南梁
　　丙子梁改元太平陈霸先称相国败齐军于江上西魏宇文泰卒子觉继事是年觉代西魏命于长安是谓闵帝改国为周是谓后周元称元年降其君廓为宋国公
　　丁丑相国陈霸先进爵为陈王十月陈霸先代梁命于建业是谓武帝改国为陈元曰永定降其君方智为江隂王周乱宇文防杀其君觉立宇文毓是谓明帝称元年防为太宰专制
　　戊寅梁萧庄以郢州称帝救援于齐
　　己卯陈武帝霸先殂兄临川王蒨立是谓文帝以子伯宗为太子周宇文毓称天王改元武成齐宣王洋卒子殷继于晋阳以诸父演为太师湛为司马元氏宗室无少长皆杀之投于漳水
　　庚辰陈改元天嘉周乱宇文防弑其君毓立其弟邕是为武帝齐改元干明太师高演弑其君殷代立是谓昭帝改元皇庆
　　辛巳周改元保定齐帝演卒于晋阳大司马湛立改元
　　大宁是谓武成
　　壬午齐改元清河还都邺后南凉萧詧卒子岿继改元
　　天保
　　癸未
　　甲申周齐战于洛阳
　　乙酉齐高湛传子纬位改元天统
　　丙戌陈改元天康文帝蒨终太子伯宗嗣位庶兄顼録尚书都督中外军事专制周改元天和
　　丁亥陈改元光大
　　戊子陈乱安成王陈顼弑其君伯宗代立是谓宣帝己丑陈改元太建以子叔寳为太子
　　庚寅齐改元武平
　　辛卯
　　壬辰陈将呉明彻伐齐有功周袭封李渊为唐国公诛
　　太宰晋公防改元建徳
　　癸巳陈代齐有功
　　经世之酉二千二百五十四
　　甲午陈宣帝顼七年周武帝邕十五年齐武帝纬十年
　　后南梁萧岿十二年
　　乙未周大伐齐围其晋州及洛阳
　　丙申周防齐平阳及晋阳齐拒周不利晋州陷于周纬走并州周围并州纬走邺改元隆化兄德王延宗称帝并州改元建德并州又陷于周
　　丁酉周军围齐之邺纬传子恒位改元承光纬走青州恒又禅丞相任城王湝称守国天王邺又陷于周国遂亡纬亦就禽于青州
　　戊戌周改元宣政帝邕卒于伐齐子赟继是谓宣帝以杨坚为上柱国大司马都督杨州改元天成
　　己亥陈将呉明彻伐周不利于吕梁淮南之地尽没于周周帝赟传子阐位是谓静帝赟称天元大帝改元大象
　　庚子周大帝赟终大司马杨坚自州入继朝政假黄钺都督中外军事专制坚召宇文宗室在蕃者六王至长安皆杀之天下兵起尉迟迥称兵相州宇文胄称兵荣州石逊称兵建州席毗称兵沛郡席义罗称兵兖州王谦称兵益州坚悉平之进爵为隋王用天子服器郧州萧难以八州入于陈
　　辛丑周改元大定是年隋王杨坚代后周命于长安是谓文帝改国曰隋元曰皇以高颎虞庆则李徳林康世康晖元岩长孙毗杨尚希杨惠十人为之辅册妃独孤氏为皇后子勇为太子广为晋王降其君阐为介国公杀之
　　壬寅陈宣帝顼终子叔寳继是谓后主隋起新宫于龙
　　首岗
　　癸卯陈改元至德隋徙居新宫
　　甲辰后南梁萧岿朝隋
　　乙巳后南梁萧岿卒子琮继
　　丙午隋成国公梁士彦杞国公宇文忻舒国公刘昉谋
　　兴复不克伏诛梁萧琮改元广运
　　丁未陈改元祯明梁萧琮纳国于隋太傅安平王萧岩
　　荆州刺史萧瓛降于陈
　　戊申隋命晋王广秦王俊清河公杨素督总管九十兵五十一万为八路大伐陈以寿春为行台府
　　己酉隋师灭陈以陈后主叔寳归于长安
　　庚戌苏越饶泉防乐安蒋山永嘉余杭交趾未服杨素
　　悉平之
　　辛亥
　　壬子
　　癸丑
　　甲寅东廵封泰山
　　乙卯
　　丙辰
　　丁巳
　　戊午伐高丽无功
　　己未
　　庚申废太子勇册晋王广为皇太子
　　辛酉改元仁寿命十六使廵行天下
　　壬戌命七大臣定礼
　　癸亥
　　经世之戌二千二百五十五
　　甲子隋文帝二十四年皇太子广行弑于仁寿宫代立是谓炀帝是年幸洛阳建东都于郏鄏以洛州为豫州
　　乙丑改元大业册妃萧氏为皇后子晋王昭为皇太子以宇文述为左卫大将军郭衍为左武卫大将军于仲文为右武卫大将军尚书令杨素为太子太师安徳王雄为太子太傅河间王宏为太子太保遵河由汴渚达于淮谓之通济渠幸东都
　　丙寅幸江都还次东都太子昭卒封孙侗为越王侑为
　　代王浩为秦王
　　丁卯还长安北廵榆林作宫于晋阳光禄贺若弼礼部郎宇文防太常卿高颎伏诛西北大筑亭障
　　戊辰北廵五原作宫于汾阳遵河由清水达于海谓之
　　永济渠引沁水南达于河北通涿郡
　　己巳西幸河右征吐谷浑至于覆袁
　　庚午南幸江都
　　辛未北幸涿郡
　　壬申以兵百一十三万三千八百为二十四军分左右
　　道大伐辽东不利全陷九军
　　癸酉以代王侑留守长安越王侗留守东都秦王浩从驾征辽东复大集兵于涿郡天下羣盗起杨感以本兵叛于黎阳
　　甲戌高丽请降乃班师扶风盗称帝延安寇称王离石
　　贼称天子
　　乙亥北廵至于雁门为突厥所围
　　丙子南达江都羣盗李宻称兵河南窦建德称兵河北林士称兵江南徐圆朗称兵东山刘武周称兵代北薛举称兵陇右
　　丁丑炀帝在江都唐公李渊自晋阳入立代王侑于长安以江都帝为太上皇改元义宁渊称唐王专制羣盗窦建德称王河北李宻进据兴洛称公国曰魏元曰永平薛举称帝陇右国曰秦元曰秦兴梁师都称兵夏州李轨称兵凉州萧铣称兵巴陵李子通称兵海陵朱粲称兵防车沈法兴称兵毗陵杜伏威称兵厯阳
　　戊寅五月唐王李渊代隋命于长安是谓神尧皇帝改国曰唐元曰武德以裴寂刘文静为辅相世子建成为皇太子次子世民为秦王降其君为国公是年宇文化及弑炀帝于江都立秦王浩为主化及称王专制北转至魏州化及又杀浩代立称帝国曰许元曰天寿又北走聊城王世充立越王侗于东都改元皇泰世充称郑王专制羣盗窦建德进有河北都乐寿陇右薛举卒子仁果立刘武周进有河东称帝国曰汉元曰天兴梁师都进有朔方称帝国曰梁元曰永隆李轨进有河右称帝国曰凉元曰安乐萧铣进有江南及岭表称帝国曰梁元曰鸣鳯李子通进有江都称帝国曰呉元曰明政朱粲进有山南称帝国曰楚元曰昌达沈法兴进有江东称王国曰梁元曰延康林士称帝防州国曰楚元曰太平杜伏威进有淮南受唐封楚王秦王平陇右获薛仁果
　　己卯唐秦王平河右获李轨李密与王世充相攻不利奔唐复叛死于桃林将徐世勣以河南十郡降窦建德灭宇文化及于聊城自乐寿徙于洛南有黎阳之地称国曰夏元曰五鳯萧铣灭林士宏于防州杜伏威南保江都李子通西保江陵王世充杀越王侗于东都称帝国曰郑元曰明朱粲降于唐复杀唐使者奔王世充
　　庚辰唐秦王平河东刘武周走突厥李子通灭沈法兴于江东徙居余杭工部尚书独孤怀恩以谋逆伏诛
　　辛巳唐秦王平河南河北获王世充及窦建徳以归杜伏威李子通于余杭窦建德故将刘黒闼复称兵河北
　　壬午唐李靖灭萧铣于金陵江南及岭表平
　　癸未唐秦王平河北获刘黒闼又平徐圆朗于曹州江淮杜伏威来朝其将辅公祏称王丹阳徙国曰宋
　　甲申唐李靖平辅公祏于江淮
　　乙酉唐加秦王中书令
　　丙戌皇太子建成齐王元吉作难杀秦王不克秦王以长孙无忌尉迟敬德侯君集张公谨王君廓房龄杜如晦长孙顺徳柴绍罗艺刘师元李世勣刘宏基王孝公平之于武门帝乃授秦王世民位退居太安宫称太上皇高士亷为侍中房龄为中书令萧瑀为尚书右仆射
　　丁亥改元贞观尚书封伦卒萧瑀为左仆射长孙无忌
　　为右仆射
　　戊子平梁师都于朔方
　　己丑相裴寂以罪免房龄为尚书左仆射杜如晦为尚书右仆射李靖为兵部尚书魏征守秘书监参预朝政
　　庚寅李靖平突厥获颉利可汗戴胄萧瑀参预朝政温
　　彦博为中书令
　　辛卯春大搜于昆明冬幸温汤
　　壬辰祀南郊
　　癸巳魏征为侍中颁新定五经于天下
　　经世之亥二千二百五十六
　　甲午唐广孝皇帝九年
　　乙未李靖平吐谷浑获其王放【阙】　　太上皇崩于太
　　安宫葬高祖于献陵
　　丙申魏征迁特进温彦博迁右仆射
　　丁酉幸洛阳宫
　　戊戌高士亷为右仆射
　　己亥幸九成宫荒服十国来脩贡
　　庚子侯君集平高昌获其王以归化公主嫔于吐谷
　　浑至日圆丘祀昊天上帝
　　辛丑幸洛阳文成公主嫔于吐蕃
　　壬寅幸岐阳
　　癸卯图二十四功臣于凌烟阁内难作皇子齐王祐以齐叛废太子承干为庶人徙之黔幽魏王泰于北苑役之均以晋王治为皇太子诛侯君集至日祀南郊
　　甲辰秦文本马周为中书令幸洛阳及亲征辽东乙巳平高丽
　　丙午李勣破薛延陁荒服十一国脩贡
　　丁未起翠微宫于终南山
　　戊申阿史郍平兹获其王以归征松外蛮司空房
　　龄特进萧瑀卒禇遂良为中书令
　　己酉帝崩于翠防宫皇太子治践位葬太宗于昭陵长孙无忌禇遂良辅政复李勣官仍加特进于志宁张行成进侍中知政事
　　庚戌改元永徽禇遂良罢政
　　辛亥征贺鲁至于金岭至日有事于南郊
　　壬子册陈王忠为皇太子韩瑗来济为相宇文节为侍
　　中栁爽为中书令
　　癸丑驸马都尉房遗爱柴令武薛万彻荆王元景及二公主以谋逆伏诛遂杀呉王恪禇遂良复为右仆射睦州女防乱
　　甲寅筑长安罗城亲谒昭陵
　　乙卯废皇后王氏良姊萧氏为庶人册昭仪武氏为皇后罢长孙无忌禇遂良政事以许敬宗李义府为相武后杀庶人王氏萧氏崔敦礼为中书令
　　丙辰废皇太子忠为梁王册代王宏为皇太子改元显
　　庆杜正伦为相
　　丁巳幸许洛以洛阳为东都李义府进中书令许敬宗
　　进侍中贬相韩瑗来济为州刺史
　　戊午苏定方平贺鲁获其王
　　己未杀长孙无忌禇遂良于流所幸东都
　　庚申废梁王忠爲庶人苏定方平百济获其王扶余辛酉改元龙朔
　　壬戌还长安建门下尚书中书为东中西三台分侍中中书令为左右相造蓬莱宫许圉师为左相寻下狱
　　癸亥起含元殿于蓬莱宫李义府为右相寻配流隽州
　　死改来年为麟徳

　　皇极经世书卷六中
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷六下　　　　宋　邵雍　撰观物篇三十四　　以运经世十
　　经元之甲一
　　经防之午七
　　经运之壬一百八十九
　　经世之子二千二百五十七
　　甲子唐孝皇帝十五年杀西台侍中上官仪又杀庶人忠于流所窦徳元为左相刘祥道为右相
　　乙丑帝同皇后廵东海封泰山陆敦信为右相
　　丙寅帝同皇后至自泰山改元干封刘仁轨为右相丁卯禁工商乗马戴至徳李安期张文瓘并同东西台
　　三品
　　戊辰李勣平高丽获其王祀明堂改元总章
　　己巳帝同皇后幸九成宫郝处俊同东西台三品李勣
　　卒
　　庚午改元咸亨薛仁贵征吐蕃不利
　　辛未帝同皇后幸东都及许昌皇太子监国中书令
　　阎立本黄门侍郎郝处俊从行
　　壬申帝及皇后至自东都
　　癸酉帝及皇后幸九成宫
　　甲戌皇后称天后以帝为天皇改元上元帝同皇后幸
　　东都帝有疾
　　乙亥皇太子卒以雍王贤为皇太子
　　丙子帝及皇后自东都至改元仪鳯来恒薛元超李义琰高智周并同中书门下三品李敬元刘仁轨为中书令
　　丁丑
　　戊寅改来年为通干
　　己卯甘露降改元调露帝同皇后幸东都裴行俭大伐
　　突厥
　　庚辰废皇太子贤为庶人以英王哲为皇太子帝皇后幸汝阳及嵩岳裴炎崔知温王德真并同中书门下三品改元永隆帝及皇后至自东都
　　辛巳裴行俭平突厥获其王伏念改元耀裴炎进侍
　　中崔知温薛元超进中书令
　　壬午改元永淳帝及皇后幸东都起奉天宫于嵩之阳刘景先郭待举郭正一岑长倩魏元同并同中书门下平章事
　　癸未改元道帝崩于东都皇太子哲嗣位是谓昭孝皇帝天后称制刘仁轨进尚书左仆射岑长倩进兵部尚书魏同进黄门侍郎刘齐贤进侍中裴炎进中书令
　　甲申改元嗣圣天后废帝为庐陵王迁之均立豫王旦改元文明侍中裴炎进爵为侯王徳真进侍中刘祎之武承嗣进中书平章事葬高宗于干陵再改元光宅徐敬业以州叛南防润州平之杀宰相裴炎又改来年为垂拱来俊臣周兴大行诬搆谓之罗织
　　乙酉武后徙帝居房陵改中书门下为鳯阁鸾台丙戌苏良嗣为文昌左相韦待贾为文昌右相并同鳯
　　阁鸾台三品
　　丁亥武后赐宰相刘祎之死张光辅为鳯阁侍郎戊子武后称圣母关东八王谋兴复博州琅琊王冲及父蔡州越王贞先发悉平之大夷王室
　　己丑武后改元永昌称圣皇大杀王族又杀纳言魏元同及内史张光辅引王本立范履氷邢文伟为相
　　庚寅武后改元载初以建子月为歳首祀明堂以明空为曌以诏为制大杀王族改国为周元曰天授称皇帝降豫王旦为皇嗣立武氏七庙封武氏三人为王引傅游艺为相改鱼为龟
　　辛卯武后祀明堂格辅元乐思晦并同鳯阁鸾台平章事欧阳通为纳言杀宰相岑长倩格辅元及纳言欧阳通用狄仁杰为相
　　壬辰武后祀明堂改元如意再改元长寿杨执柔崔元综李昭德姚璹李元素为相狄仁杰下狱
　　癸巳武后祀明堂称金轮皇帝引豆卢钦望韦巨源陆
　　元方为相娄师徳亦相
　　经世之丑二千二百五十八
　　甲午唐昭孝皇帝十一年在房陵武后祀明堂改元延载引苏味道王孝杰杨再思杜景俭李元素周允元相继为相
　　乙未武后改元证圣明堂火称天册再改元天册万歳丙申武后封中岳改元万歳登封祀明堂再改元万歳通天契丹李尽忠以孙万荣叛防营冀命二十八将讨之不利引王方庆李道广为相
　　丁酉武后祀明堂河朔平再用娄师徳为相魏王武承嗣梁王武三思并同鳯阁鸾台三品改元神功狄仁杰杜景俭复相诛司业少卿来俊臣遂及内史李昭德
　　戊戌武后祀明堂改元圣厯召帝于房陵返政突厥执武延秀及行人阎知防以破妫檀定赵用姚元崇李峤为相
　　己亥武后幸嵩山封皇嗣旦为相王引魏元忠吉顼为
　　相又引王及善豆卢钦望为左右相
　　庚子武后幸汝阳建三阳宫于嵩山之阳改元乆视复旧正朔张锡韦安石为相武三思为特进相吉顼配流岭表内史狄仁杰卒
　　辛丑改元大足武后幸嵩之三阳宫又改元长安李怀
　　逺顾琮李迥秀为相
　　壬寅武后祀南郊
　　癸卯武后幸东都朱敬则为相
　　甲辰韦嗣立宗楚客崔元暐张东之同平章事韦安石
　　纳言李峤内史
　　乙巳武后改元神龙张柬之崔元暐桓彦范敬晖袁恕已平张易之及昌宗之乱徙武后于上阳宫除周国号以相王旦为安国王太平公主为镇国公主赏定乱功也韦氏复正皇后位武三思进位司空相武后崩于东都之上阳宫祝钦明唐休璟为相
　　丙午帝还长安附武后于干陵以宫人上官婉儿为昭容武三思居中用事封张柬之桓彦范崔元暐袁恕己敬晖五人为王寻贬为州司马杀之于流所进魏元忠李峤为中书令李怀逺同中书平章事册卫王重俊为皇太子长宁安乐二公主府大行斜封墨制于惟谦为相苏瓌进侍中
　　丁未李多祚以羽林兵诛武三思又杀皇后韦氏不克败死太子重俊出奔野死宗楚客纪处讷萧至忠为相改元景龙
　　戊申安乐公主假皇后车服出敕武延秀张仁亶为相己酉作宫市韦嗣立崔湜韦温郑愔苏瓌赵彦昭相继
　　为相李峤为特进
　　庚戌杀諌臣燕钦融于殿庭皇后韦氏及安乐公主行弑于内寝立温王重茂为嗣改元唐隆以裴谈张锡张嘉福岑羲为相临淄王隆基以刘幽求薛崇简钟绍京麻嗣元兵入诛韦温纪处讷宗楚客武延秀马秦客叶静能赵履冰杨均及皇后韦氏安乐公主上官昭容葬中宗于定陵临淄王隆基称平王降重茂嗣尊父相王旦为帝是谓兴孝皇帝既践位以钟绍京刘幽求薛崇简崔日用为相册平王隆基为皇太子改元景云追废皇后韦氏安乐公主为庶人姚元之为相
　　辛亥皇太子隆基监国郭元振张説窦怀贞陆象先魏
　　知古为相刘幽求进侍中相
　　壬子祀南郊改元太极祀北郊改元延和帝传位于皇太子隆基是谓明孝皇帝既践位改元先天黜刘幽求钟绍京张晖官
　　癸丑太平公主窦怀贞岑羲萧至忠常元楷薛稷贾膺福李慈李钦李猷崔湜卢藏用傅李忠僧惠范作逆伏诛进姜皎李令问王毛仲王守一官复刘幽求钟绍京张晖官令知政事讲武于骊山改元元用卢怀慎姚崇为相改中书为紫微
　　甲寅
　　乙卯册郢王嗣谦为皇太子
　　丙辰太上皇崩葬睿宗于乔陵源乾曜苏珽为相姚崇
　　让宋璟为相
　　丁巳幸洛阳嫔永乐公主于契丹
　　戊午至自东都
　　己未
　　庚申张嘉贞为相
　　辛酉相姚崇卒
　　壬戌幸东都长安窃发
　　癸亥
　　经世之寅二千二百五十九
　　甲子唐明孝皇帝十三年废皇后王氏为庶人幸东都
　　宋璟守长安
　　乙丑封泰山用源乾曜张説为左右相
　　丙寅李元纮杜暹为相还东都
　　丁卯至自东都
　　戊辰萧嵩为相
　　己巳张説宋璟为左右相谒乔定献昭干五陵裴光庭
　　为相
　　庚午北讨契丹
　　辛未幸东都
　　壬申至自东都宋璟免相
　　癸酉韩休张九龄裴耀卿为相
　　甲戌幸东都李林甫为相
　　乙亥
　　丙子至自东都牛仙客为相是年太真杨氏入宫李林
　　甫用事
　　丁丑废皇太子瑛为庶人罢张九龄相仍黜之相宋璟卒监察御史周子谅言牛仙客事杖死于朝
　　戊寅册忠王璵为皇太子相李林甫领陇右河西节度
　　使牛仙客领河东节度使
　　己卯平突厥获其王追封孔宣父为文宣王顔回为兖
　　国公余哲并为侯
　　庚辰
　　辛巳命安禄山为平卢军节度使
　　壬午改元天寳李适之为相庄文列庚桑子四学裴
　　耀卿进尚书右仆射
　　癸未
　　甲申改元为载命安禄山为范阳节度使作太真妃杨
　　氏养子
　　乙酉册太真妃杨氏为贵妃契丹杀公主叛
　　丙戌陈希烈为左相右相李林甫大行诬搆首陷韦坚丁亥改温泉为华清宫
　　戊子以宦人高力士为骠骑大将军关中外赐安禄山
　　铁劵幸华清宫
　　己丑幸华清宫
　　庚寅幸华清宫权归韩国虢国秦国三夫人及鸿胪卿杨铦宰相杨国忠五家安禄山进封东平郡王
　　辛卯幸华清宫安禄山入朝乞兼河东讨云南不利壬辰幸华清宫李林甫卒杨国忠为右相
　　癸巳幸华清宫杨国忠大行诬搆进封哥舒翰西平郡
　　王
　　经世之卯二千二百六十
　　甲午唐明孝皇帝四十三年受朝于华清宫韦见素为相始以诗赋取士杨国忠进位守司空
　　乙未安禄山以范阳叛兵陷东都皇太子璵为元帅监国高仙芝封常清军败以哥舒翰将兵二十万守潼关
　　丙申潼关不守帝西幸蜀至马嵬兵乱杀宰相杨国忠及贵妃杨氏禄山陷长安称帝东都国曰燕元曰圣武皇太子西至灵武即皇帝位是谓宣孝皇帝改元至徳以广平王俶为元帅裴冕为相尊蜀中帝为太上皇移军彭原恒山陷顔杲卿死于东都
　　丁酉朔方节度使郭子仪太原节度使李光弼兵入逐安禄山将大败之于香积遂复两京帝还长安太上皇至自成都封广平王俶为成王苗晋卿代韦见素为左相安禄山为子庆绪所杀代立退保相州改元天成
　　戊戌唐改元乾元以成王俶为皇太子李揆王璵为相九节度围安庆绪于相州军溃禄山将史思明杀安庆绪称帝魏州
　　己亥唐改元顺天李岘吕諲第五琦为相史思明复陷
　　东都
　　庚子唐改元上元宦人李辅国逼太上皇入西宫刘展
　　以州叛
　　辛丑太上皇崩于西宫帝亦不豫皇太子俶监国苗晋卿行宰史思明为子朝义所杀代立保东都
　　壬寅改元寳应皇后张氏谋立越王系内臣李辅国程元振幽皇后张氏于别殿杀之帝崩皇太子俶践位是谓孝武皇帝以雍王适为元帅元载为相程元振为骠骑大将军居中用事复东都及河朔史朝义走幽州幽人杀之以献
　　癸卯吐蕃犯长安别立武王宏帝出居郏郭子仪收京城帝还长安放武王宏于华州葬宗于秦陵葬肃宗于建陵改元广德仆固怀恩以汾州叛罢苗晋卿裴遵度相以李岘为相
　　甲辰以雍王为皇太子吐蕃寇邠及奉天王缙杜鸿渐
　　代刘晏李岘为相
　　乙巳改元永泰吐蕃大掠畿甸帝御六军屯于苑命九节度以本军讨贼吐蕃防回纥寇奉天仆固怀恩啓之也郭子仪复以回纥随白元光破吐蕃于灵武崔旴以西川乱
　　丙午改元大厯周智光以华叛
　　丁未吐蕃大寇灵武郭子仪镇泾阳
　　戊申吐蕃再寇灵武
　　己酉裴冕为相
　　庚戌臧玠以潭州叛
　　辛亥
　　壬子回纥掠京城朱滔节度幽州
　　癸丑郭子仪大败吐蕃于灵武
　　甲寅
　　乙卯魏博节度田承嗣擅取洺卫礠相郏州军乱丙辰淄清李正已擅取齐海登莱沂宻徳棣曹濮兖郓请命封陇西王李寳臣封陇西王李忠臣封西平王段秀实封张掖王崔宁破吐蕃河阳军乱
　　丁巳诛宰相元载并夷其族贬相王缙括州刺史杨绾
　　常衮为相
　　戊午回纥冦太原吐蕃寇灵武
　　己未汴州军乱皇太子适监国帝崩皇太子适践位是谓孝文皇帝葬代宗于元陵贬相常衮以崔祐甫为相郭子仪为尚父
　　庚申改元建中朱泚领四镇节度使刘文喜以泾乱册宣王诵为皇太子杨炎为相贬相刘晏自杀
　　辛酉卢杞为相贬相杨炎崖州司马尚父郭子仪卒淄青李正已魏博田悦恒定李惟岳各拥本部兵叛李希烈平梁崇义于襄阳封之为南平王河东马燧泽潞李抱真破田悦于洹水
　　壬戌宣武刘洽神策曲环破李纳于徐州幽州朱滔平李惟岳于束鹿朱滔田悦王武俊李纳李希烈称王相推为盟主关播始相
　　癸亥李希烈陷岐州太师顔真卿宣抚淮寜军事不还哥舒曜以鳯翔邠宁泾原军大伐于东师丧扈润命泾州姚令言以本军卫东都兵至浐水返戈入长安立朱泚为帝于含元殿浑瑊奉帝出居奉天朱泚兵顿干陵朔方节度使李怀光以本兵救奉天朱泚退保京城李怀光以本军叛李希烈陷襄阳许郑及汴州哥舒曜走洛阳贬宰相卢杞新州司马萧复刘从一姜公辅为相
　　经世之辰二千二百六十一
　　甲子唐孝文皇帝五年在奉天改元兴元王武俊格命李怀光走河中帝移军梁州浑瑊及吐蕃败朱泚于武功李晟收京城迎帝还宫田希鉴杀冯河清以泾州叛行军司马田绪杀田悦以魏博降李抱真王武俊平朱泚于泾城淄清李纳格命田希鉴杀姚令言以泾州降李晟平泾州乱杀田希鉴李希烈将李澄以州格命刘洽曲环败李希烈于陈州卢翰为相
　　乙丑改元贞元李希烈陷南阳浑瑊平李怀光于河中丙寅刘滋崔造齐映李勉相继为相陈仙竒杀李希烈以蔡州降陈仙竒为蔡州刺史呉少诚又杀陈仙竒以蔡州请命复以呉少诚为蔡州刺史吐蕃寇泾陇
　　丁卯张延赏柳浑李泌为相浑瑊防吐蕃于平凉吐蕃
　　窃发于防浑瑊逃归马燧请之谬也
　　戊辰福建军乱邠宁军亦乱李晟马燧李泌连相因征
　　夏县处士阳城为諌议大夫
　　己巳董晋窦参为相韦臯破吐蕃于隽州
　　庚午吐蕃陷北庭
　　辛未
　　壬申襄州军乱赵璟陆贽为相贬相窦参郴州别驾吐
　　蕃入寇
　　癸酉贾耽卢迈为相宣武军乱
　　甲戌南诏异牟寻破吐蕃于神州韦臯破吐蕃于峨和元
　　谊以田绪叛于洺黄少卿以钦叛
　　乙亥
　　丙子崔损赵宗儒为相
　　丁丑韦臯破吐蕃于嶲州
　　戊寅郑余庆为相栗锽杀刺史以明州叛
　　己卯汴州军乱呉少诚以陈蔡叛伐淮西不利
　　庚辰伐蔡不利又伐又不利徐州军乱贬相郑余庆郴
　　州司马齐抗为相蔡州呉少诚顺命
　　辛巳韦臯大破吐蕃于雅州封臯南康郡王
　　壬午
　　癸未高郢为相吐蕃请和
　　甲申吐蕃南诏日本脩贡
　　乙酉正月帝崩皇太子诵践位王叔文王伾用事韦执谊贾耽郑珣瑜高郢杜佑为相罢官市物贬京兆尹李实通州长史削民故也册广陵王纯为皇太子罢郑珣瑜高郢相以杜黄裳袁滋为相帝不豫八月授位于太子徙居兴庆宫皇太子纯践位是谓章武皇帝葬徳宗于崇陵贬王伾州司马王叔文渝州司马韦执谊崖州司户以郑余庆郑絪为相
　　丙戌改元元和太上皇崩于兴庆宫杜佑行冡宰事葬顺宗于丰陵王士真为相刘辟以西川叛高崇文平之诛王叔文于贬所
　　丁亥武元衡李吉甫为相李锜以润州叛平之
　　戊子裴垍为相
　　己丑册邓王宁为皇太子王承宗以镇叛蔡州呉少诚
　　卒弟少阳继事
　　庚寅用权德舆为相
　　辛卯罢李藩相用李吉甫李绛为相皇太子宁卒壬辰册遂王恒为皇太子魏博军乱
　　癸巳振武军乱
　　经世之已二千二百六十二
　　甲午唐章武皇帝九年蔡州呉少阳卒子元济继事以
　　淮西逆命
　　乙未伐淮西盗杀宰相武元衡以裴度为相防兵伐王承宗于镇淄青李师道以嵩僧叛防兵伐淄青
　　丙申大伐淮西及镇阳李逢吉王涯为相黄洞蛮屠岩
　　州宿州军乱
　　丁酉崔羣李廓为相裴度大伐淮西将李愬入蔡获呉
　　元济以献淮西平裴度复相
　　戊戌镇州王承宗淄青李师道顺命李夷简皇甫镈程
　　异为相
　　己亥刘悟杀李师道以淄青十二州降令狐楚为相沂及安南军乱以方士栁泌为台州刺史帝饵金石有疾
　　庚子帝崩皇太子恒践位是谓文思皇帝段文昌崔植为相贬皇甫镈崖州司户安南平葬宪宗于景陵镇王承宗卒弟承元继事
　　辛丑改元长庆杜元颖王播为相刘总弃幽州以张靖代之幽州军乱逐靖立朱克融为留后镇州军乱杀田正立王廷凑为留后瀛州军乱幽军防瀛州镇军围深州相州军乱
　　壬寅册景王湛为皇太子幽州朱克融陷沧州防镇州王廷凑兵攻深州王智兴逐崔羣以徐州乱元稹裴度李逢吉为相李防逐李愿以汴州乱镇兵救铙阳及博野王国清以浙西叛徳州军乱
　　癸卯牛僧孺为相
　　甲辰帝崩皇太子湛践位是谓昭武皇帝贬侍郎李绅端州司马李逢吉牛僧孺为相又以李程窦易直为相葬穆宗于光陵
　　乙巳改元寳厯牛僧孺免相
　　丙午裴度复内相防乱宫人杀帝于饮所羣臣诛贼立江王邙是谓昭献皇帝以韦处厚为相幽州军乱杀其帅朱克融
　　丁未改元太和贬相李逢吉葬敬宗于庄陵
　　戊申镇州王廷凑逆命安南军乱路隋为相
　　己酉魏军乱杀节度使史宪诚立何进滔为留后李
　　宗闵为相南诏蛮陷东都
　　庚戌兴元军乱杀节度使李绛温造平之牛僧孺宋申
　　锡为相
　　辛亥幽州军乱贬相宋申锡州司马内臣王守澄诬
　　故也
　　壬子
　　癸丑李德裕王涯为相罢李宗闵相册鲁王永为皇太
　　子
　　甲寅幽州军乱复李宗闵相
　　乙卯郑注李训用事贬李徳裕袁州长史罢李宗闵相贬为潮州司户用李训贾餗李固言舒元舆为相出郑注为鳯翔尹李训诛宦氏不克走南山中尉仇士良屠宰相李训王涯贾餗舒元舆及王播郭行余罗立言李孝本韩约十余人监军张仲清屠郑注于鳯翔李训野死引郑覃李石为相中尉仇士良鱼志并为大将军遣内养驰四方交杀州县官吏
　　丙辰改元开成李固言为相
　　丁巳陈夷行为相河阳军乱
　　戊午盗杀宰相李石于亲仁里杨嗣复李珏为相易定
　　军乱皇太子有罪卒于少阳院
　　己未崔郓为相册陈王成美为皇太子监国
　　庚申帝有疾中尉仇士良鱼志册颍王瀍为皇太子废皇太子成美复为陈王帝崩皇太子瀍立是谓昭肃皇帝杨嗣复行冡宰杀陈王成美安王溶于邸二中尉封国公崔郸崔珙陈夷行为相葬文宗于章陵杨嗣复李珏罢相李徳裕复相
　　辛酉改元防昌用李绅为相贬相杨嗣复李珏为州司
　　马幽州军乱
　　壬戌李德裕专政
　　癸亥刘祯以泽潞叛
　　经世之午二千二百六十三
　　甲子唐昭肃皇帝四年太原军乱邢洺磁三州叛泽潞二州平杜宗崔铉为相贬相崔珙为州司马
　　乙丑罢崔铉杜悰相李回崔元式郑肃为相大除象敎丙寅帝饵金石有疾命光王怡为皇太叔帝崩太叔怡立是谓献文皇帝用白敏中卢商韦琮为相葬武宗于端陵
　　丁卯改元大中贬相李德裕潮州司马
　　戊辰周墀马植崔龟从为相
　　己巳罢周墀马植相再贬李徳裕崖州司户崔铉魏扶
　　为相幽州军乱
　　庚午魏扶罢相令狐绹为相
　　辛未魏謩为相
　　壬申裴休为相
　　癸酉郑朗为相
　　甲戌
　　乙亥
　　丙子
　　丁丑魏謩出尹成都崔慎由萧邺为相
　　戊寅刘瑑夏侯孜为相宣洪寇乱
　　己卯蒋伸为相册郓王温为皇太子帝崩皇太子温践
　　位是谓恭惠皇帝令狐绹行冡宰
　　庚辰葬宣宗于贞陵令孤绹出尹河中杜审权杜悰为
　　相改元咸通宣洪寇乱
　　辛巳相萧邺出尹太原蒋伸罢相林邑蛮入寇
　　壬午徐州军乱林邑蛮陷交趾及安南都防
　　癸未杨收曹确高为相蛮陷安南州
　　甲申杜审权出刺润州萧寘为相蛮冦邕管
　　乙酉徐商为相高骈平林邑蛮复安南都防
　　丙戌夏侯孜出尹成都路岩为相
　　丁亥杨收观察浙西于琮为相
　　戊子湘潭戍军乱立厐勋为帅陷徐宿滁和濠五州
　　贬杨收端州司马移驩州赐死
　　己丑蒋伸罢相刘瞻为相徐商出尹江陵命十八将伐徐以康成训为军帅徐寇平蛮复寇东西二川
　　庚寅相曹确病免韦保衡为相大黜官吏王铎为相辛卯相路岩出尹成都
　　壬辰刘邺出刺幽州于琮出刺襄州赵隠为相大行黜陟命沙陀李国昌移镇云中国昌以大同阻命
　　癸巳征李国昌萧仿为相册普王俨为皇太子韦保衡行冡宰帝崩皇太子俨践位是谓恭定皇帝两军中尉居中用事黜冡宰韦保衡仍赐死复前之官吏
　　经世之未二千二百六十四
　　甲午唐恭定皇帝元年葬懿宗于简陵崔彦昭郑畋卢
　　擕为相改元干符蛮寇两川
　　乙未浙西及曹濮冦乱王铎复相
　　丙申相萧效病免浙西寇平曹濮王仙芝陷江淮南北十五州至江南乞符节于朝不听李蔚为相
　　丁酉冤句寇黄巢陷沂郓南防王仙芝将尚让于蔡文查牙山破随及江陵沙陀李国昌寇朔州
　　戊戌江陵寇平黄巢扰淮北淮南及江南广南李国昌陷岢岚昭义军乱郑从谠为相李蔚出守东都
　　己亥黄巢据岭表乞符节于朝不听罢卢擕郑畋相以
　　崔沆豆卢瑑为相卢擕复相
　　庚子改元广明郑从谠出尹太原沙陀军败北黄巢军北逾五岭破湖湘及江淮州高骈距文不利发徐冤许军赴殷水以捍东都殷水军溃黄巢陷东都西攻郏号潼关失守罢卢擕相王徽裴彻为相黄巢陷长安称帝国曰齐元曰金统帝出南山
　　辛丑帝移军兴元萧遘为相郑畋为都统杨复光为监军羽书飞天下沙陀顺命请勤王黄巢攻鳯翔帝移幸成都改元中和以韦昭度为相河中王重荣军屯沙苑泾原唐失军屯渭北易定王处存军屯渭桥鄜延托防思恭军屯武功鳯翔郑畋军屯盩厔邠宁朱玫军屯兴平荆裘王铎军至自行在王徽都督潞州
　　壬寅帝在成都黄巢保长安其将朱温以同州降锡名全忠沙陀李克用自代北至军屯梁田
　　癸卯帝在成都诸将合攻大破巢军于渭南巢走蓝关遂收京城以李克用为河东节度使朱全忠为宣武军节度使巢军东走围陈蔡蔡州秦宗权以城降贼合巢兵攻陈州以舂磨围陈三百日陈刺坚守不陷
　　甲辰帝在成都以郑昌图为相汴州朱全忠及关东诸侯镇帅兵防河东李克用兵大破巢军于太康及西华又北破之于中牟又东灭之于冤句巢寇平朱全忠图李克用于汴之上元驿不克自此二帅交恶朝廷封李克用陇西郡王以和解之
　　乙巳帝至自成都改元光启秦宗权保逆陈蔡王镕专兵镇阳李昌符抗兵鳯翔王重荣擅兵蒲郏诸葛爽拥兵孟洛孟方立控兵邢洺李克用阻兵并代朱全忠渎兵汴滑时溥弄兵徐泗朱瑾穷兵齐郓王敬武握兵淄青高骈玩兵淮南刘汉宏恃兵浙东王处存结兵易定李可举坚兵幽蓟中尉田令孜取河中王重荣解州监池不克引邠宁师伐河中重荣防太原师攻令孜京师军乱邠将朱玫败归邠引神防军大掠都市令孜以帝幸鳯翔封宣武节度朱全忠为沛郡王钱镠始受封为杭州刺史
　　丙午帝在鳯翔河中王重荣条罪攻田令孜令孜以帝移幸兴元相萧遘裴彻郑昌图召邠军迎帝还都朱玫军至自鳯翔令孜以帝移军过散关朱玫追帝不及至遵途获皇子襄王煴兴元节度石君渉合朱玫军破栈以絶帝归路帝至兴元石君渉弃城走朱玫军帝以孔纬杜让能为相出田令孜为劔南节度使李铤杨守亮杨守宗败朱玫军于鳯翔朱玫逼萧遘立襄王煴幸鳯翔玫称大丞相率百官还京奉煴称帝改元建贞罢萧遘相以郑昌图裴彻为相宣谕四方加诸镇官常山太原宣武河中不受命王重荣李克用败朱玫将王行瑜于鳯翔行瑜退攻兴元以邠军退长安杀朱玫大掠京城裴彻郑昌图以襄王煴奔河中王重荣杀襄王煴以献蔡将孙儒防郑及许洛怀孟陜号巢将诸葛爽据河阳李罕之据泽州张宗奭据怀州秦宗权称帝陈蔡王潮据福州
　　丁未帝自兴元移军鳯翔以张濬为相州军乱牙将毕师铎囚帅高骈召秦宗权之宣州观察秦彦为州节度使蔡兵攻汴兖郓之帅合兵大破其军蔡将孙儒弃郑及许洛怀孟陜虢张宗奭取洛阳李罕之取河阳同附于全忠张宗奭赐名全义京师杨守立李昌符争道战于通衢昌符败走陇州河中军乱牙将常行儒杀其帅王重荣立其弟重盈为留后杨行密与蔡将孙儒争州行密防州秦彦毕师铎奔孙儒于高邮复攻行密行密求救于汴汴军授行密于淮口东川顾彦朗壁州王建攻成都
　　戊申帝至自鳯翔改元文德观军容使杨复恭专命李铤为相册寿王杰为皇太弟帝崩皇太弟杰践位是谓景文皇帝韦昭度行冡宰魏州军乱杀帅乐彦贞小校罗宗弁为留后张全义防河阳李罕之走泽州蔡将孙儒防州杨行密走宣城朱全忠攻徐州蔡将赵諲以荆襄降于汴全忠败蔡人于龙坂蔡将申藂执秦宗权降于汴淮西朱全忠兼领蔡州节度使王建大冦劔南韦昭度出尹成都葬僖宗于靖陵
　　己酉改元龙纪以刘崇望为相封朱全忠东平王王建陷成都称留后太原李克用攻邢洺杭州钱镠防宣城获刘浩
　　庚戌改元大顺孟迁以邢入于太原李克用攻云州幽州援之败李克用于蔚州幽州李匡威云州赫连铎防汴兵攻太原李克用潞州军乱杀李克恭降于汴克用将安建以邢洺磁三州降于全忠宰相张濬帅京兆孙揆华州韩建出隂地关防汴将葛从周兵入潞州太原兵攻潞州幽云兵攻鴈门太原将匡君立入潞州克用败幽云之兵于鴈门将李存信又败张濬韩建兵于隂地遂防晋降朝廷复克用官贬张濬连州刺史崔昭纬徐彦若为相克用将李存孝以邢入于汴
　　辛亥命中尉杨复恭致政复恭不受命陈兵于昌化里命天威军使李顺节讨之不利两军中尉刘景宣西门重遂杀天威军使李顺节于银台门顺节兵散大掠京城复恭奔兴元郑延昌为相太原李克用攻邢州责叛已也宣武朱全忠攻魏州责不助讨也镇州援邢州克用攻镇州幽兵援镇州汴兵攻宿州幽镇兵攻定州处存求救于太原宣州杨行密灭孙儒据有州封行密为淮南王
　　壬子改元景福鳯翔李茂贞邠州王行瑜华州韩建同州王行约秦州李茂庄兵防兴元杀杨守亮及杨复恭左军中尉西门重遂杀天威军使贾德晟于京师部下奔鳯翔太原李克用防易定兵败镇兵于尧山
　　癸丑鳯翔李茂贞举兵犯阙败覃王兵于盩厔帝诛中军西门重遂李周僮贬相杜让能岐兵乃止进茂贞中书令封秦王以王行瑜为尚父文博为相成都王建兴李茂贞争东川幽军乱逐其帅李匡威于镇以其弟匡筹为留后汴兵灭徐兼领其镇李克用败镇州王镕于中山镕乞盟遂许盟而退
　　甲寅改元干宁崔彻为相王博出镇湖南李茂贞拥山南十五州以抗王室汴兵败冤郓之师于东阿朱瑄朱瑾求救于太原李克用防邢州获李存孝防云州获赫连铎防幽州获李匡筹用幽人请以匡筹将刘仁恭为留后
　　乙卯河中王重盈卒太原李克用请以王琦袭重盈封于朝邠州王行瑜鳯翔李茂贞华州韩建请以王珙袭重盈封于朝朝廷先许克用陜州王珙绛州王瑶以兵攻琦于河中王行瑜李茂贞兵入长安行废不克杀宰相韦昭度及李磎各以兵二千留京师而去李克用渡河称讨同州王行实弃郡奔京师与两军中尉骆全珍刘璟宣逼帝西幸帝以李筠李君实兵出次南山都人毕从命延王戒丕丹王允从李克用西讨封淮南杨行密农王亦从西讨克用败邠军于犁园帝还京邠州平行瑜野死封克用为晋王克用还太原崔昭纬罢相徐彦若为相董昌以浙东叛称王国曰罗平元曰大圣
　　丙辰岐兵犯长安韩建逼帝幸华州建进封中书令兼两京尹陆扆王搏崔孙偓为相魏州罗信败太原之师于萃以絶李克用兖郓之援克用攻魏下十城湖南军乱立马殷为留后钱镠平浙东获董昌授镠中书令相王搏观察浙东陆扆出刺陜州
　　丁巳帝在华州孙偓罢相郑綮为相册徳王裕为皇太子封韩建为昌黎王郑綮病免朱朴为相韩建杀禁卫李筠以散卫兵罢八王兵柄仍杀之贬相朱朴杀帝侍卫马殷许岩士帝封两浙钱镠呉王俾救难王室汴将厐师古防郓州朱瑄野死汴将葛从周防兖州朱瑾奔淮南兖郓曹濮齐棣沂密徐宿陈蔡许郑滑尽入于汴全忠以八郡兵攻淮南朱瑾以淮南兵败汴兵于清口获将厐师古又败汴军于渒河走葛从周杨行密遂据有江淮幽州刘仁恭败李克用于安塞福州王潮卒弟审和继事
　　戊午帝在华州以崔逺为相册何氏为皇后帝还长安改元光化以华州为兴德府韩建进封颍川王汴将葛从周防李克用之邢洺磁氏叔琮防赵匡凝之随唐邓泽州李罕之防克用之上党归于汴幽州刘守文防汴之沧州魏博罗信卒子绍威称留后
　　己未复陆扆相蔡军以崔珙奔淮南幽兵寇赵魏魏引汴兵破之汴将氏叔琮攻太原不利陜州军乱牙将杀其帅王珙立李璠为留后又杀之降于汴青州王师范将牛从毅以海州入于淮南
　　庚申相崔诬杀宰相王搏枢密使宋道弼景务脩朱全忠防魏军攻幽之沧徳州李克用防汴之邢州又以三镇兵攻镇州王镕乞和乃还汴将张存敬攻幽之沧州又防祁州又败定州王处直于沙河进攻定州处直以定州降于全忠罢崔逺相以裴贽裴枢为相徐彦若观察青海中尉两军刘季述王仲先幽帝于东内令皇太子裕监国相崔张濬告难于全忠全忠自定还汴防驾将孙德昭周承诲董彦诛刘季述王仲先帝自幽所还政
　　辛酉诛神策使季师度徐彦回窘帝故也降皇太子裕为徳王改元天复汴将张存敬由含山路防李克用之河中及晋绛朱全忠兼领河中节度进封梁王梁军大举攻晋之太原晋将孟迁以泽入于梁梁将氏叔琮长驱出团栢屯军洞涡葛从周以赵魏兵入土门陷承天防天大雨乃复宰相崔受全忠防逼帝幸东都未及行中尉韩全诲以李茂贞兵刧帝幸鳯翔罢崔相崔至三原促全忠西攻全忠以镇兵破华州由京城西围鳯翔又破邠州获李继徽以絶其援
　　壬戌帝在鳯翔封淮南杨行密呉王两浙钱镠越王俾救难王室皆不至李克用南攻朱全忠自鳯翔至河中命将防晋之汾州进围太原不利全忠自河中复至鳯翔鄜州节度使李周彛以兵援鳯翔汴将孔勋乘虚陷鄜州周彛以兵降全忠邠宁鄜坊又入于梁鳯翔李茂贞逐诛宦氏韩全诲以解全忠之围
　　癸亥帝还长安进朱全忠元帅复崔相全忠诛宦氏七百人罢陆扆相以裴枢王溥为相青州王师范防梁之兖州全忠东攻青州成都王建寇李茂贞之秦陇以脩好于全忠王师范防淮南兵败梁军于临淄梁将杨师原败青军于临昭王师范以青州降淮南杨行宻攻鄂州荆南成汭救鄂沣朗军乗虚陷江陵赵匡凝乗虚陷荆州成汭愤死岐兵逼长安梁军屯河中全忠逼帝都洛阳杀宰相崔六军使郑仁规皇城使王建勲飞龙使陈班閤门使王建袭客省使王建义左仆射张濬缓迁故也栁璨崔逺代相
　　经世之申二千二百六十五
　　甲子唐景文皇帝十六年东徙至谷水梁王朱全忠坑帝侍从三百人至洛阳改元天祐以张汉瑜为相杨崇本以邠兵寇关转全忠西攻行杀于洛宫立辉王祚是谓哀帝李克用以本部兵保太原
　　乙丑梁王全忠逼帝授禅杀宰相裴枢崔逺陆扆及九王用张文蔚杨渉为相尽出朝廷官吏太原李克用鳯翔李茂贞成都王建襄阳赵匡凝同谋兴复梁将杨师厚败赵匡凝于江湄进防襄阳匡凝将王建武以荆南兵众降唐邓复郢随襄荆南又入于梁匡凝奔淮南朱全忠加九锡总百揆天下元帅进封魏王不受再逼授禅杀枢宻使蒋元晖丰徳库使应顼尚食使朱建武及宰相栁璨太常卿张廷范太常少卿裴磵温变知制诰张茂昭及皇后何氏淮南杨行宻卒子渥继事太原李克用防契丹阿保机于云州进兵河北
　　丙寅魏州牙兵乱朱全忠坑之进围幽之沧州幽人求救于太原李克用防幽军攻上党梁将丁防以泽潞降全忠自长芦还大梁
　　丁卯朱全忠代唐命于汴改国曰梁元曰平薛贻矩韩建为相降帝为济隂王徙之曹河东晋王李克用淮南呉王杨渥剑南蜀王王建山东秦王李茂贞两浙越王钱镠荆南渤海王高季昌湖南楚王马殷泉南闽王王审知广南南海王刘隠并行唐年
　　戊辰梁攻河东用于竞张荣为相杀济隂王于曹州荆南高季昌湖南马殷两浙钱镠附于梁是年剑南王建称帝成都国曰蜀元曰武成河东李克用淮南杨渥山南李茂贞泉南王审知南海刘隠行唐年河东李克用卒子存朂继诛乱命李克宁李存显败梁军于潞之三垂岗淮南杨渥为部将张颢所杀代立大将徐温自金陵入诛颢立渥弟渭温专制
　　己巳梁自汴徙都洛阳交祀天地赵光逢杜晓为相张奉以沙州乱刘知俊以同州叛丹襄军乱泉南王审知南海刘隠附于梁刘隠卒弟岩立河东李存朂淮南杨渭山南李茂贞行唐年
　　庚午梁之镇州王镕定州王处直请附于晋河东李存
　　朂东下河北
　　辛未梁改元干祐北攻镇定军败于柏乡蜀改元永平
　　是年李存朂将刘守光称帝幽州
　　壬申梁北攻镇定屠枣强乃复六月郢王友珪行弑代立改元鳯厯杀博王友文于汴冀王友谦以河中入于晋许州军乱晋王李存朂败燕军于龙岗进围幽州
　　癸酉梁六军杀友珪立均王友贞于汴复干祐三年晋李存朂平幽州获刘守光及父仁恭以归
　　甲戌梁将王殷以徐叛附于呉晋李存朂开霸府于太
　　原
　　乙亥梁改元贞明邺王杨师厚卒分其地六州为两镇魏军遂乱囚其帅贺德伦以六州入于晋蜀防山南之秦鳯阶成宫大火晋李存朂东下大防兵于魏郊
　　丙子梁之河北皆入于晋赵光逢郑珏为相攻晋不利蜀改元通正防山南之陇州晋李存朂败梁军于故元城呉封相徐温为齐国公属之以金陵丹阳毗陵宣城新安池阳六郡镇金陵
　　丁丑梁册两浙钱镠为天下兵马元帅是年刘岩以南海称帝国曰汉元曰干亨蜀改元天汉诛降将刘知俊于炭市晋李存朂防梁之杨刘城
　　戊寅梁之郓濮陷于晋蜀改元天光建遇毒死子行立晋李存朂拥太原魏博幽沧镇定邢洺麟胜云朔十镇之师大阅于魏郊败梁军于胡栁
　　己卯梁张守进以兖入于晋蜀改元干德晋逼梁之河南是年杨渭称帝淮南国曰呉元曰武义徐温为大丞相都督中外封东海王
　　庚辰梁李琪为相陈州妖寇乱晋兵入寇呉杨渭卒弟
　　溥立晋存朂防梁之同州
　　辛巳梁改元龙德惠王友能以陈叛呉改元顺义晋镇
　　定乱契丹犯幽州
　　壬午晋李存朂平镇定又败契丹于易水
　　癸未河东晋王存朂称帝魏州是谓庄宗国曰唐元曰同光是谓后唐以豆卢革为相郭崇韬枢宻使自魏由郓而南败梁将王彦章于中都长驱入汴杀友贞于降国楼降之为庻人潞州军乱淮南杨溥两浙钱镠山南李茂贞湖南马殷请附呉杨溥去帝号称王荆南高季兴泉南王审知行梁年
　　甲申唐自汴徙都洛阳平上党
　　乙酉唐帝存朂北巡魏郊以枢宻使郭崇韬同魏王继岌伐蜀七旬平之获其主王衍以归至秦川驿族杀之以孟知祥镇成都荆南高季兴请附蜀改元咸康国亡汉改元曰龙泉南王审知为子延翰所杀代立
　　丙戌唐内命乱皇后刘氏使人杀枢宻使郭崇韬于蜀魏军变以镇帅李嗣源代之嗣源至魏军又变二军奉李嗣源入汴唐帝存朂东征至万胜乃复内军又变杀存朂于绛霄殿嗣源入洛称帝是谓明宗改元天成诛宰相豆卢革韦説以郑珏任圜为相安重诲为枢密使魏王继岌自成都入至渭桥杀之荆南逆命泉南称附泉南王延翰为弟王延钧所杀代立
　　丁亥唐以冯道崔恊为相卢台及浚义军乱淮南杨溥复称帝改元干贞宰相徐温卒养子知诰继事于金陵称王是年北狄耶律德光称帝潢水国曰契丹元曰天显
　　戊子唐以王建立为相王都以定叛高季兴以荆南入
　　于呉汉改元大有
　　己丑唐以赵鳯为相安重诲专政呉改元大和
　　庚寅唐改元长兴河中兵乱西川孟知祥东川董璋连
　　叛
　　辛卯唐以李遇为相罢安重诲枢密使以赵延寿范延
　　光为枢密使东西二川相攻
　　壬辰唐孟知祥平东川获董璋称表封知祥为蜀王呉王钱镠卒子元瓘继福州王延钧称帝国曰闽元曰光启
　　癸巳唐以刘照为相潞王从珂出尹鳯翔石敬瑭移镇太原帝嗣源病秦王从荣以河南府兵攻端门不克败死明宗终立宋王从厚是谓闵帝冯道李愚为相专政朱宏昭冯赟为枢密使
　　经世之酉二千二百六十六
　　甲午后唐闵帝从厚元年改元应顺以鳯翔潞王从珂移镇太原从珂自岐入逐从厚代立于洛宫改元清泰从厚出奔卫州就杀之是年孟知祥以西川称帝成都国曰蜀元曰明德知祥卒子昶继
　　乙未唐以韩昭为相昕州戍军乱呉改元天祚闽改元永和臣李仿弑其君延钧立其子昶
　　丙申唐以马裔孙为相以太原石敬瑭移镇汶阳石敬瑭自太原入以北狄耶律徳光称帝入洛代唐命改国为晋元曰天福以并州从事桑维翰赵茔为相冯道依旧相输冀氏之北入于狄从珂火死于武楼荆南两浙称附闽王昶诛李仿改元通文
　　丁酉晋以李崧为相河阳张从賔魏州范延光滑州符彦饶安州卢文进不从命悉平之呉大将徐知诰代呉命于金陵改国曰齐易号为唐元曰升元复姓李氏易名为升以宋齐邱徐玠为左右相徙其君于丹徒杀之
　　戊戌晋徙都汴魏帅范延光服命封高平王移镇汶阳
　　北狄耶律徳光改元防同
　　己亥闽乱连重遇杀其君昶立其叔父延羲改元永隆庚子晋用和凝为相李金全以安叛命马全节以十郡
　　之师平之
　　辛丑晋帝石敬瑭北廵邺安从进以襄叛安重宋镇叛
　　两浙钱元瓘卒子佐继
　　壬寅晋帝石敬瑭终于邺从子齐王重贵立侍魏将军耿延广专政始贰于狄汉刘岩卒子玢继改元光大
　　癸卯晋杨光逺以青叛北狄入寇汉乱弟晟杀其君玢代立改元应干再改元干和江南李升卒子璟继改元保大宋齐邱周京为相平白云蛮于防州闽王延羲弟延政亦称帝建州国曰殷元曰天徳
　　甲辰晋改元运北狄入寇至于贞博封晋阳刘知逺为太原王刘照为相闽乱大将朱文进杀其君延羲代立以福州称附于晋
　　乙巳北狄大入寇晋河朔至于磁相封刘知逺北平王罢和凝桑维翰相以冯玉为相李崧知枢密院事
　　丙午晋大将杜重威季守贞及禆将张彦泽以军降狄于中渡彦泽以兵五百人入汴为狄清路幽其君重贵于封府署唐平闽之建州灭王延政
　　丁未正月契丹耶律德光入汴灭晋改国曰辽诛张彦泽徙其君重贵于北荒政之龙城二月北平王刘知逺称帝晋阳年用天福是谓高祖五月契丹溃于汴耶律德光留相萧翰守汴翰求后唐明宗子从益立之而去六月刘知逺留子崇守太原南入汴代命建国曰汉用苏逢吉苏禹珪为相又以窦贞固李涛为相杨赟郭威为枢密使相冯道李崧自栾城至杜重威以魏州拒命闽国分为三荆南两浙称附于汉呉越钱佐卒弟倧立狄契丹耶律德光还至栾城卒兄之子几欲代立归国废德光母改元天禄
　　戊申汉改元干祐帝知逺终子周王承祐继罢李涛相以杨赟为相平邺诛杜重威李守贞以河中阻命王景崇以鳯翔叛赵思绾以永兴抗命郭威以枢密使西伐之浙东乱大将胡思进废其君倧立其弟俶
　　己酉汉之蒲雍岐三叛平契丹寇河北命郭威以枢密
　　使北伐镇邺
　　庚戌汉夷宰相杨赟侍卫将军史宏肇三司使王章族赐澶州王殷魏州郭威王峻死十二月枢密使郭威以魏兵入渡河败内军于刘子陂其主承祐野死郭威至汴请宰相冯道迎其君之弟承珪于徐州还至澶渊军变复入汴太后命威监国降承珪为湘隂公诛宰相苏逢吉及刘铢
　　辛亥正月监国郭威代汉命于汴是谓太祖改国曰周元曰应顺王峻范质冯道为相湘隂公死于宋州兖州慕容彦超不受命荆南两浙称附太原刘崇称帝河东国曰汉年用干祐江南唐平湖南徙其属于金陵北狄乱契丹元欲为其族述干所杀德光子述律平其乱代立改元应厯易名为璟
　　壬子周平兖州
　　癸丑周册皇后侄柴荣为皇太子封晋王尹封府流王峻于商州王殷于登州皆杀之李谷冯道为相
　　甲寅周郑仁诲王溥为相改元显德太祖威终晋王荣绍位于汴宫河东刘崇以契丹之师入冦周主荣亲征大破刘崇于高平诛不用命者将校七十人进攻太原不克泽潞汾辽忻代岚石迎降宰相冯道卒于州
　　乙卯周大伐江南及蜀汉刘崇卒子承钧继
　　丙辰周广汴都外城南伐取唐之滁和败其军于涡口
　　汉刘承钧改元天防
　　丁巳周李谷罢相王朴为枢密使伐江南有功唐改元交泰兵败于紫金山请以江北地求和于周
　　戊午周受唐江北地南汉刘晟卒子鋹继改元大寳唐请附于周杀宰相宋齐立及陈觉李知古
　　己未周征契丹至于瓦桥取瀛莫易置雄覇遂趣幽州宁雄瀛莫迎有疾乃还复册妃符氏为皇后子崇训为皇太子封梁王用魏仁溥范质为相赵匡进位检校太傅充殿前都检世宗荣终皇太子崇训嗣位
　　庚申
　　辛酉
　　壬戌
　　癸亥
　　经世之戌二千二百六十七
　　经世之亥二千二百六十八

　　皇极经世书卷六下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷七上　　　　宋　卲雍撰
　　观物篇三十五
　　日日声平辟　　　　　　水水音开清
　　多良千刀妻　　　　　　古黑安夫卜东
　　宫心●●●　　　　　　乃走思■■■日日声七下唱地之　　　水水音九上和天之用音一百五十二是　　　用声一百一十二是谓平声辟音平声辟　　　谓开音清声开音清
　　音一千六十四　　　　　声一千八

　　日日声平之一辟　　　　水水音开之一清

　　平声辟唱吕一之一　开音清和律一之一
　　【古甲九癸　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆多多多多】　　　　一音　【古古古古禾火化八】
　　一声　【坤巧邱弃多多多多】　　　　一声　【古古古古开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　囬每退○】
　　【黑花香血　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤多多多多】　　　　一音　【古古古古光广况○】
　　一声　【五瓦仰□多多多多】　　　　二声　【古古古古丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅多多多多】　　　　一音　【古古古古元犬半○】
　　一声　【母马美米多多多多】　　　　三声　【古古古古臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　君巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠多多多多】　　　　一音　【古古古古毛寳报霍】
　　一声　【武晩□尾多多多多】　　　　四声　【古古古古牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　○○○玉】

　　五音　【卜百丙必多多多多】　　　　一音　【古古古古妻子四日】
　　一声　【歩白鼻多多多多】　　　　五声　【古古古古衰○帅骨】
　　【普扑品匹　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　水贵比】
　　【东州帝■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■多多多多】　　　　一音　【古古古古龙甬用○】
　　一声　【土贪天■多多多多】　　　　六声　【古古古古鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　乌虎兔○】

　　【乃妳女■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■多多多多】　　　　一音　【古古古古○○○卜】
　　一声　【老冷吕■多多多多】　　　　七声　【古古古古男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■多多多多】　　　　一音　【古古古古●●●●】
　　一声　【草采七■多多多多】　　　　八声　【古古古古●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■多多多多】　　　　一音　【古古古古●●●●】
　　一声　【□□□■多多多多】　　　　九声　【古古古古●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■多多多多】　　　　一音　【古古古古●●●●】
　　一声　【■□耳■多多多多】　　　　十声　【古古古古●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　古古古古多多多多　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之一
　　【■庄震■　　　　　　　黑黑黑黑多多多多　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍■■多多多多】　　　　二音　【黑黑黑黑禾火化八】
　　一声　【■义赤■多多多多】　　　　一声　【黑黑黑黑开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　黑黑黑黑多多多多　　　　　　　囬每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　黑黑黑黑多多多多　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■多多多多】　　　　二音　【黑黑黑黑光广况○】
　　一声　【■拆丑■多多多多】　　　　二声　【黑黑黑黑丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　黑黑黑黑多多多多　　　　　　　兄永莹○】
　　平声辟唱吕一之二
　　【古甲九癸　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑元犬半○】
　　二声　【坤巧邱弃良良良良】　　　　三声　【黑黑黑黑臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　君允巽○】
　　【黑花香血　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□良良良良】　　　　四声　【黑黑黑黑牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑衰○帅骨】
　　二声　【母马美米良良良良】　　　　五声　【黑黑黑黑○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑龙甬用○】
　　二声　【武晩□尾良良良良】　　　　六声　【黑黑黑黑鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑○○○十】
　　二声　【普扑品匹良良良良】　　　　七声　【黑黑黑黑男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑●●●●】
　　二声　【士贪天■良良良良】　　　　八声　【黑黑黑黑●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑●●●●】
　　二声　【老冷吕■良良良良】　　　　九声　【黑黑黑黑●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■良良良良】　　　　二音　【黑黑黑黑●●●●】
　　二声　【草采七■良良良良】　　　　十声　【黑黑黑黑●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　黑黑黑黑良良良良　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之二
　　【思三星■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■良良良良】　　　　三音　【安安安安禾火化八】
　　二声　【□□□■良良良良】　　　　一声　【安安安安开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　囬每退○】
　　【■山手■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■良良良良】　　　　三音　【安安安安光广况○】
　　二声　【■□耳■良良良良】　　　　二声　【安安安安丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　兄永莹○】

　　【■荘震■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■良良良良】　　　　三音　【安安安安元犬半○】
　　二声　【■义赤　良良良良】　　　　三声　【安安安安臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■良良良良】　　　　三音　【安安安安毛寳报霍】
　　二声　【■拆丑■良良良良】　　　　四声　【安安安安牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　安安安安良良良良　　　　　　　○○○玉】
　　平声辟唱吕一之三
　　【古甲九癸　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆千千千千】　　　　三音　【安安安安衰○帅骨】
　　三声　【坤巧丘弃千千千千】　　　　五声　【安安安安○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　水贵比】
　　【黒花香血　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤千千千千】　　　　三音　【安安安安龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰■千千千千】　　　　六声　【安安安安鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【■爻王寅千千千千】　　　　三音　【安安安安○○○十】
　　三声　【母马美米千千千千】　　　　七声　【安安安安男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠千千千千】　　　　三音　【安安安安●●●●】
　　三声　【武晩□尾千千千千】　　　　八声　【安安安安●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻千千千千】　　　　三音　【安安安安●●●●】
　　三声　【普扑品匹千千千千】　　　　九声　【安安安安●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大帝■千千千千】　　　　三音　【安安安安●●●●】
　　三声　【土贪天■千千千千】　　　　十声　【安安安安●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　安安安安千千千千　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之四
　　【乃妳女■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■千千千千】　　　　四音　【夫夫夫夫禾火化八】
　　三声　【老冷吕■千千千千】　　　　一声　【夫夫夫夫开宰爱○】
　　【鹿莹离■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　囬每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■千千千千】　　　　四音　【夫夫夫夫光广况○】
　　三声　【草采七■千千千千】　　　　二声　【夫夫夫夫丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　千典亘○】
　　九音　【寺□象■千千千千】　　　　四音　【夫夫夫夫元犬半○】
　　三声　【□□□■千千千千】　　　　三声　【夫夫夫夫臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■千千千千】　　　　四音　【夫夫夫夫毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■千千千千】　　　　四声　【夫夫夫夫牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　○○○玉】

　　【■荘震■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■】　　　　四音　【夫夫夫夫衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■千千千千】　　　　五声　【夫夫夫夫○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　龟水贵比】
　　【■卓中■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■千千千千】　　　　四音　【夫夫夫夫龙甬用○】
　　三声　【■拆丑■千千千千】　　　　六声　【夫夫夫夫鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　夫夫夫夫千千千千　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声辟唱吕一之四
　　【古甲九癸　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆刀刀刀刀】　　　　四音　【夫夫夫夫○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃刀刀刀刀】　　　　七声　【夫夫夫夫男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　○○○妾】
　　【黒花香血　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤刀刀刀刀】　　　　四音　【夫夫夫夫●●●●】
　　四声　【五瓦仰□刀刀刀刀】　　　　八声　【夫夫夫夫●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅刀刀刀刀】　　　　四音　【夫夫夫夫●●●●】
　　四声　【母马美米刀刀刀刀】　　　　九声　【夫夫夫夫●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠刀刀刀刀】　　　　四音　【夫夫夫夫●●●●】
　　四声　【武晩□尾刀刀刀刀】　　　　十声　【夫夫夫夫●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　夫夫夫夫刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之五
　　【卜百丙必　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜禾火化八】
　　四声　【普扑品匹刀刀刀刀】　　　　一声　【卜卜卜卜开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　囬每退○】
　　【东□帝■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜光广况○】
　　四声　【土贪天■刀刀刀刀】　　　　二声　【卜卜卜卜丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　况永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜元犬半○】
　　四声　【老冷吕■刀刀刀刀】　　　　三声　【卜卜卜卜臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜毛寳报霍】
　　四声　【草采七■刀刀刀刀】　　　　四声　【卜卜卜卜牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜衰○帅骨】
　　四声　【□□□■刀刀刀刀】　　　　五声　【卜卜卜卜○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜龙甬用○】
　　四声　【■□耳■刀刀刀刀】　　　　六声　【卜卜卜卜鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■荘震■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜○○○十】
　　四声　【■义赤■刀刀刀刀】　　　　七声　【卜卜卜卜男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■刀刀刀刀】　　　　五音　【卜卜卜卜●●●●】
　　四声　【■拆丑■刀刀刀刀】　　　　八声　【卜卜卜卜●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　卜卜卜卜刀刀刀刀　　　　　　　●●●●】
　　平声辟唱吕一之五
　　【古甲九癸　　　　　　　卜卜卜卜妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　一音　【■■近揆妻妻妻妻】　　　　五音　【卜卜卜卜●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃妻妻妻妻】　　　　九声　【卜卜卜卜●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　卜卜卜卜妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香雪　　　　　　　卜卜卜卜妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤妻妻妻妻】　　　　五音　【卜卜卜卜●●●●】
　　五声　【五瓦仰□妻妻妻妻】　　　　十声　【卜卜卜卜●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　卜卜卜卜妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之六
　　【安亚乙一　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东禾火化八】
　　五声　【母马美米妻妻妻妻】　　　　一声　【东东东东开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　囬每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东光广况○】
　　五声　【武晩□尾妻妻妻妻】　　　　二声　【东东东东丁井亘○】
　　【丈万□未　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东元犬半○】
　　五声　【普扑品匹妻妻妻妻】　　　　三声　【东东东东臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　君允巽○】
　　【东□帝■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■妻妻妻妻】　　　　四声　【东东东东牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■妻妻妻妻】　　　　五声　【东东东东○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东龙甬用○】
　　五声　【草采七■妻妻妻妻】　　　　六声　【东东东东鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东○○○十】
　　五声　【□□□■妻妻妻妻】　　　　七声　【东东东东男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东●●●●】
　　五声　【■□耳■妻妻妻妻】　　　　八声　【东东东东●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】

　　【■荘震■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　十一音　【■乍□■妻妻妻妻】　　　六音　【东东东东●●●●】
　　五声　【■义赤■妻妻妻妻】　　　　九声　【东东东东●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■妻妻妻妻】　　　　六音　【东东东东●●●●】
　　五声　【■折丑■妻妻妻妻】　　　　十声　【东东东东●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　东东东东妻妻妻妻　　　　　　　●●●●】
　　平声辟唱吕一之六　　开音清和吕一之六
　　【古甲九癸　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃禾火化八】
　　六声　【坤巧丘弃宫宫宫宫】　　　　一声　【乃乃乃乃开爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　回每退○】
　　【黒花香血　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃光广况○】
　　六声　【五瓦仰　宫宫宫宫】　　　　二声　【乃乃乃乃丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃元犬半○】
　　六声　【母马美米宫宫宫宫】　　　　三声　【乃乃乃乃臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃毛寳报霍】
　　六声　【武晩□尾宫宫宫宫】　　　　四声　【乃乃乃乃牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　○○○王】

　　【卜百丙必　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃衰○帅骨】
　　六声　【普扑品匹宫宫宫宫】　　　　五声　【乃乃乃乃○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　水贵北】
　　【东□帝■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃龙甬用○】
　　六声　【土贪天■宫宫宫宫】　　　　六声　【乃乃乃乃鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃○○○十】
　　六声　【老冷吕■宫宫宫宫】　　　　七声　【乃乃乃乃男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃●●●●】
　　六声　【草采七■宫宫宫宫】　　　　八声　【乃乃乃乃●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃●●●●】
　　六声　【□□□■宫宫宫宫】　　　　九声　【乃乃乃乃●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■土石■宫宫宫宫】　　　　七音　【乃乃乃乃●●●●】
　　六声　【■□耳■宫宫宫宫】　　　　十声　【乃乃乃乃●●●●】
　　【■□□■　　　　　　　乃乃乃乃宫宫宫宫　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之八
　　【■庄震■　　　　　　　走走走走宫宫宫宫　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■宫宫宫宫】　　　　八音　【走走走走禾火化八】
　　六声　【■义赤■宫宫宫宫】　　　　一声　【走走走走开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　走走走走宫宫宫宫　　　　　　　回每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　走走走走宫宫宫宫　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■宫宫宫宫】　　　　八音　【走走走走光广况○】
　　六声　【■折丑■宫宫宫宫】　　　　二声　【走走走走丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　走走走走宫宫宫宫　　　　　　　兄永莹○】
　　平声辟唱吕一之七
　　【古甲九癸　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆心心心心】　　　　八音　【走走走走元犬半○】
　　七声　【坤巧邱弃心心心心】　　　　三声　【走走走走臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　君允巽○】
　　【黑花香血　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤心心心心】　　　　八音　【走走走走毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□心心心心】　　　　四声　【走走走走牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅心心心心】　　　　八音　【走走走走衰○帅骨】
　　七声　【母马美米心心心心】　　　　五声　【走走走走○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠心心心心】　　　　八音　【走走走走龙甬用○】
　　七声　【武晩□尾心心心心】　　　　六声　【走走走走鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【步白鼻心心心心】　　　　八音　【走走走走○○○十】
　　七声　【普扑品匹心心心心】　　　　七声　【走走走走男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■心心心心】　　　　八音　【走走走走●●●●】
　　七声　【土贪天■心心心心】　　　　八声　【走走走走●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■心心心心】　　　　八音　【走走走走●●●●】
　　七声　【老冷吕■心心心心】　　　　九声　【走走走走●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■心心心心】　　　　八音　【走走走走●●●●】
　　七声　【草采七■心心心心】　　　　十声　【走走走走●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　走走走走心心心心　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之九
　　【思三星■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■心心心心】　　　　九音　【思思思思禾火化八】
　　七声　【□□□■心心心心】　　　　一声　【思思思思开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■心心心心】　　　　九音　【思思思思光广况○】
　　七声　【■耳□■心心心心】　　　　二声　【思思思思丁井亘○】
　　【■二□■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■心心心心】　　　　九音　【思思思思元犬半○】
　　七声　【■义赤■心心心心】　　　　三声　【思思思思臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■心心心心】　　　　九音　【思思思思毛寳报霍】
　　七声　【■折丑■心心心心】　　　　四声　【思思思思牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　思思思思心心心心　　　　　　　○○○玉】
　　平声辟唱吕一之八
　　【古甲九癸　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　九音　【思思思思禾火化八】
　　八声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　五声　【思思思思开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【黑花香血　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　九音　【思思思思光广况○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　　六声　【思思思思丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　九音　【思思思思○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　七声　【思思思思男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　九音　【思思思思●●●●】
　　八声　【武晩□尾●●●●】　　　　八声　【思思思思●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】

　　五音　【卜百丙必●●●●】　　　　九音　【思思思思●●●●】
　　八声　【歩曰鼻●●●●】　　　　九声　【思思思思●●●●】
　　【普扑品匹　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝□　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟□●●●●】　　　　九音　【思思思思●●●●】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　　十声　【思思思思●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　思思思思●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之十
　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十音　【■■■■禾火化八】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十音　【■■■■光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十音　【■■■■元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十音　【■■■■毛宝报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十音　【■■■■衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十音　【■■■■龙甬用○】
　　八声　【■折丑■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声辟唱吕一之九
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十音　【■■■■○○十○】
　　九声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【黑花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■■■■●●●●】
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【武晩□尾●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　十一音　【■■■■禾火化八】
　　九声　【普扑品匹●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十一音【■■■■光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　十一音　【■■■■兄大半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十一音【■■■■毛宝报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十一音【■■■■衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　龟水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　十一音　【■■■■龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十一音【■■■■○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　十一音　【■■■■●●●●】
　　九声　【■折丑■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　平声辟唱吕一之十
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律一之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十二音【■■■■禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十二音【■■■■光广况○】
　　十声　【武晩□尾●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　十二音【■■■■元犬半○】
　　十声　【普扑品匹●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十二音【■■■■毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十二音【■■■■衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十二音【■■■■龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十二音【■■■■○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　十二音　【■■■■●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■折丑■●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　观物篇三十六
　　日月声平翕　　　　　水火音开浊
　　禾光元毛衰　　　　　黄　父歩兑
　　龙○●●●　　　　内自寺■■■
　　日月声七下唱地之　水火音九上和天之用音一百五十二是　用声一百一十二是谓平声翕音平声翕　谓开音浊声开音浊
　　音一千六十四　　　　声一千八

　　日月声平之二翕　　　水火音开之二浊
　　平声翕唱吕二之一　　　开音浊和律二之一
　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆禾禾禾禾】　　　　一音　【□□□□禾火化八】
　　一声　【坤巧邱弃禾禾禾禾】　　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　回毎退○】
　　【黑花香血　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　良两向○】
　　【黄华雄贤　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　光广况○】
　　二音　【五瓦仰□禾禾禾禾】　　　　一音　【□□□□丁井亘○】
　　一声　【吾牙月尧禾禾禾禾】　　　　二声　【□□□□兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅禾禾禾禾】　　　　一音　【□□□□元犬半○】
　　一声　【母马美米禾禾禾禾】　　　　三声　【□□□□臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　刀早孝岳】
　　【曹才全■　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■禾禾禾禾】　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【□□□■禾禾禾禾】　　　　九声　【□□□□●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■禾禾禾禾】　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【■□耳■禾禾禾禾】　　　　十声　【□□□□●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　□□□□禾禾禾禾　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之二
　　【■庄震■　　　　　　　黄黄黄黄禾禾禾禾　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■禾禾禾禾】　　　　二音　【黄黄黄黄禾火化八】
　　一声　【■义赤■禾禾禾禾】　　　　一声　【黄黄黄黄开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　黄黄黄黄禾禾禾禾　　　　　　　回每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　黄黄黄黄禾禾禾禾　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■禾禾禾禾】　　　　二音　【黄黄黄黄光广况○】
　　一声　【■拆丑■禾禾禾禾】　　　　二声　【黄黄黄黄丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　黄黄黄黄禾禾禾禾　　　　　　　兄永○】
　　平声翕唱吕二之二
　　【古甲九癸　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃光光光光】　　　　三声　【黄黄黄黄臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　君允巽○】
　　【黑花香血　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄毛宝报霍】
　　二声　【五瓦仰□光光光光】　　　　　四声【黄黄黄黄牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄衰○帅骨】
　　二声　【母马美米光光光光】　　　　五声　【黄黄黄黄○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄龙甬用○】
　　二声　【武晩□尾光光光光】　　　　　六声【黄黄黄黄鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄○○○十】
　　二声　【普扑品匹光光光光】　　　　七声　【黄黄黄黄男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　○○○○】
　　六音　【兊大弟■光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄●●●●】
　　二声　【土贪天■光光光光】　　　　八声　【黄黄黄黄●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■光光光光】　　　　二音　【黄黄黄黄●●●●】
　　二声　【老冷吕■光光光光】　　　　九声　【黄黄黄黄●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■光光光光】　　　二音　【黄黄黄黄●●●●】
　　二声　【草采七■光光光光】　　　十声　【黄黄黄黄●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　黄黄黄黄光光光光　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之三
　　【思三星■　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■光光光光】　　　三音　【□□□□禾火化八】
　　二声　【□□□■光光光光】　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■光光光光】　　　　三音　【□□□□光广况○】
　　二声　【■□耳■光光光光】　　　　二声　【□□□□丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■光光光光】　　　　三音　【□□□□元犬半○】
　　二声　【■义赤■光光光光】　　　　三声　【□□□□臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■光光光光】　　　　三音　【□□□□毛宝报霍】
　　二声　【■折丑■光光光光】　　　　四声　【□□□□牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　□□□□光光光光　　　　　　　○○○玉】
　　平声翕唱吕二之三
　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆元元元元】　　　　三音　【□□□□衰○帅骨】
　　三声　【坤巧邱弃元元元元】　　　　五声　【□□□□○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　水贵北】
　　【黑花香血　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤元元元元】　　　　三音　【□□□□龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□元元元元】　　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅元元元元】　　　　三音　【□□□□○○○○】
　　三声　【母马美米元元元元】　　　　七声　【□□□□男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠元元元元】　　　　二音　【□□□□●●●●】
　　三声　【武晩□尾元元元元】　　　　八声　【□□□□●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻元元元元】　　　　三音　【□□□□●●●●】
　　三声　【普扑品匹元元元元】　　　　九声　【□□□□●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■元元元元】　　　　三音　【□□□□●●●●】
　　三声　【土贪天■元元元元】　　　　十声　【□□□□●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　□□□□元元元元　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之四
　　【乃妳女■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■元元元元】　　　　四音　【父父父父禾火化八】
　　三声　【老冷吕■元元元元】　　　　一声　【父父父父开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■元元元元】　　　　四音　【父父父父光广况○】
　　三声　【草采七■元元元元】　　　　二声　【父父父父丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象　元元元元】　　　　四音　【父父父父元犬半○】
　　三声　【□□□■元元元元】　　　　三声　【父父父父臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　丁允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■元元元元】　　　　四音　【父父父父毛宝报霍】
　　【■□耳■元元元元】　　　　四声　【父父父父牛斗奏六】
　　【■□一■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■元元元元】　　　　四音　【父父父父衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■元元元元】　　　　五声　【父父父父○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■元元元元】　　　　四音　【父父父父龙甬用○】
　　三声　【■折丑■元元元元】　　　　六声　【父父父父鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　父父父父元元元元　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声翕唱吕二之四
　　【古甲九癸　　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆毛毛毛毛】　　　　四音　【父父父父○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃毛毛毛毛】　　　　七声　【父父父父男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　　○○○妾】
　　【黑花香血　　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤毛毛毛毛】　　　　四音　【父父父父●●●●】
　　四声　【五瓦仰□毛毛毛毛】　　　　八声　【父父父父●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅毛毛毛毛】　　　　四音　【父父父父●●●●】
　　四声　【母马美米毛毛毛毛】　　　九声　【父父父父●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠毛毛毛毛】　　　四音　【父父父父●●●●】
　　四声　【武晩□尾毛毛毛毛】　　　十声　【父父父父●●●●】
　　【文万□未　　　　　　父父父父毛毛毛毛　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之五
　　【卜百丙必　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩禾火化八】
　　四声　【普扑品匹毛毛毛毛】　　　　一声　【歩歩歩歩开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩光广况○】
　　四声　【土贪天■毛毛毛毛】　　　　二声　【歩歩歩歩丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩元犬半○】
　　四声　【老冷吕■毛毛毛毛】　　　　三声　【歩歩歩歩臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩毛宝报霍】
　　四声　【草采■毛毛毛毛】　　　　四声　【歩歩歩歩牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩衰○帅骨】
　　四声　【□□□■毛毛毛毛】　　　　五声　【歩歩歩歩○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■毛毛毛毛】　　　　五音　【歩歩歩歩龙甬用○】
　　四声　【■□耳■毛毛毛毛】　　　　六声　【歩歩歩歩鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■毛毛毛毛】　　　五音　【歩歩歩歩○○○十】
　　四声　【■义赤■毛毛毛毛】　　　七声　【歩歩歩歩男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■毛毛毛毛】　　　五音　【歩歩歩歩●●●●】
　　四声　【■折丑■毛毛毛毛】　　　　八声　【歩歩歩歩●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　歩歩歩歩毛毛毛毛　　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕二之五
　　【古甲九癸　　　　　　　歩歩歩歩衰衰衰衰　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆衰衰衰衰】　　　　五音　【歩歩歩歩●●●●】
　　五声　【坤巧邱弃衰衰衰衰】　　　　九声　【歩歩歩歩●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　歩歩歩歩衰衰衰衰　　　　　　　●●●●】
　　【黑花香血　　　　　　　歩歩歩歩衰衰衰衰　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤衰衰衰衰】　　　　五音　【歩歩歩歩●●●●】
　　五声　【五瓦仰□衰衰衰衰】　　　　十声　【歩歩歩歩●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　歩歩歩歩衰衰衰衰　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之六
　　【安亚乙一　　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅衰衰衰衰】　　　　六音　【兊兊兊兊禾火化八】
　　五声　【母马美米衰衰衰衰】　　　　一声　【兊兊兊兊开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠衰衰衰衰】　　　　六音　【兊兊兊兊光广况○】
　　五声　【武晩□尾衰衰衰衰】　　　　二声　【兊兊兊兊丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　　千典亘○】
　　五音　【歩白鼻衰衰衰衰】　　　　六音　【兊兊兊兊元犬半○】
　　五声　【普扑品匹衰衰衰衰】　　　　三声　【兊兊兊兊臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊毛宝报霍】
　　五声　【土贪天■衰衰衰衰】　　　四声　【兊兊兊兊牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■衰衰衰衰】　　　五声　【兊兊兊兊○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊龙甬用○】
　　五声　【草采七■衰衰衰衰】　　　六声　【兊兊兊兊鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊○○○十】
　　五声　【□□□■衰衰衰衰】　　　七声　【兊兊兊兊男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊●●●●】
　　五声　【■□耳■衰衰衰衰】　　　八声　【兊兊兊兊●●●●】
　　【■□二■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊●●●●】
　　五声　【■义赤■衰衰衰衰】　　　九声　【兊兊兊兊●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■衰衰衰衰】　　　六音　【兊兊兊兊●●●●】
　　五声　【■折丑■衰衰衰衰】　　　十声　【兊兊兊兊●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　兊兊兊兊衰衰衰衰　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕二之六　　开音浊和律二之七
　　【古甲九癸　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆龙龙龙龙】　　　　七音　【内内内内禾火化八】
　　六声　【坤巧邱弃龙龙龙龙】　　　　一声　【内内内内开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　回每退○】
　　【黑花香血　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤龙龙龙龙】　　　　七音　【内内内内光广况○】
　　六声　【五瓦仰□龙龙龙龙】　　　　二声　【内内内内丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　丁典旦○】
　　三音　【□爻王寅龙龙龙龙】　　　七音　【内内内内元犬半○】
　　六声　【母马美米龙龙龙龙】　　　三声　【内内内内臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠龙龙龙龙】　　　七音　【内内内内毛宝报霍】
　　六声　【武晩□尾龙龙龙龙】　　　四声　【内内内内牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻龙龙龙龙】　　　七音　【内内内内衰○帅骨】
　　六声　【普扑品匹龙龙龙龙】　　　五声　【内内内内○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　水贵北】
　　【东丹帝■　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■龙龙龙龙】　　　　七音　【内内内内龙甬用○】
　　六声　【土贪天■龙龙龙龙】　　　　六声　【内内内内鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■龙龙龙龙】　　　　七音　【内内内内○○○十】
　　六声　【老冷吕■龙龙龙龙】　　　　七声　【内内内内男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足●　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠○龙龙龙龙】　　　七音　【内内内内●●●●】
　　六声　【草采七○龙龙龙龙】　　　八声　【内内内内●●●●】
　　【曹才全○　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■龙龙龙龙】　　　七音　【内内内内●●●●】
　　六声　【□□□■龙龙龙龙】　　　九声　【内内内内●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　●●●●】
　　【■士石■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■山手■龙龙龙龙】　　　　七音　【内内内内●●●●】
　　六声　【■□耳■龙龙龙龙】　　　　十声　【内内内内●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　内内内内龙龙龙龙　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之八
　　【■庄震■　　　　　　　自自自自龙龙龙龙　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■龙龙龙龙】　　　　八音　【自自自自禾火化八】
　　六声　【■义赤■龙龙龙龙】　　　　一声　【自自自自开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　自自自自龙龙龙龙　　　　　　　囬每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　自自自自龙龙龙龙　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■龙龙龙龙】　　　　八音　【自自自自光广况○】
　　六声　【■折丑■龙龙龙龙】　　　　二声　【自自自自丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　自自自自龙龙龙龙　　　　　　　兄永莹○】
　　平声翕唱吕二之七
　　【古甲九癸　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　八音　【自自自自元犬半○】
　　七声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　三声　【自自自自臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　君允巽○】
　　【黑花香血　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　八音　【自自自自毛宝报霍】
　　七声　【五瓦仰□○○○○】　　　　四声　【自自自自牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　自自自自○　○○　　　　　　妻子四日】
　　三音　【○爻王寅○○○○】　　　八音　【自自自自衰○帅骨】
　　七声　【母马美米○○○○】　　　五声　【自自自自○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　水贵北】
　　【夫法○飞　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡○吠○○○○】　　　八音　【自自自自龙甬用○】
　　七声　【武晩○尾○○○○】　　　六声　【自自自自鱼防去○】
　　【文万○未　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　心审禁○】
　　五音　【步白鼻○○○○】　　　八音　【自自自自○○○十】
　　七声　【普扑品匹○○○○】　　　七声　【自自自自男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　八音　【自自自自●●●●】
　　七声　【土贪天■○○○○】　　　八声　【自自自自●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　八音　【自自自自●●●●】
　　七声　【老冷吕■○○○○】　　　　九声　【自自自自●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　八音　【自自自自●●●●】
　　七声　【草采七■○○○○】　　　　十声　【自自自自●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　自自自自○○○○　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之九
　　【思三星■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　九音　【寺寺寺寺禾火化八】
　　七声　【□□□■○○○○】　　　　一声　【寺寺寺寺开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　回每退○】
　　【■山手□　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　九音　【寺寺寺寺光广况○】
　　七声　【■□耳■○○○○】　　　　二声　【寺寺寺寺丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　九音　【寺寺寺寺元犬半○】
　　七声　【■崇辰■○○○○】　　　　三声　【寺寺寺寺臣引艮○】
　　【■义赤■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　君允防○】
　　【■卓中■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　九音　【寺寺寺寺毛宝报霍】
　　七声　【■折丑■○○○○】　　　　四声　【寺寺寺寺牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　寺寺寺寺○○○○　　　　　　　○○○玉】
　　平声翕唱吕二之八
　　【古甲九癸　　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　九音　【寺寺寺寺衰○帅骨】
　　八声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　五声　【寺寺寺寺○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　水贵北】
　　【黑花香血　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　九音　【寺寺寺寺龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　六声　【寺寺寺寺鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　鸟虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　九音　【寺寺寺寺○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　七声　【寺寺寺寺男坎欠○】
　　【目皃眉民　　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　九音　【寺寺寺寺●●●●】
　　八声　【武晩□尾●●●●】　　　　八声　【寺寺寺寺●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　九音　【寺寺寺寺●●●●】
　　八声　【普扑品匹●●●●】　　　九声　【寺寺寺寺●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　九音　【寺寺寺寺●●●●】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　十声　【寺寺寺寺●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　寺寺寺寺●●●●　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之十
　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十音　【■■■■禾火化八】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十音　【■■■■光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十音　【■■■■元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　二声　【■■■■臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十音　【■■■■毛宝报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【■□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十音　【■■■■衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【□□□■●●●●】　　　　十音　【■■■■龙甬用○】
　　八声　【■折丑■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声翕唱吕二之九
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【黑花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【武晩□尾●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　十一音【■■■■禾火化八】
　　九声　【普扑品匹●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十一音【■■■■光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十一音【■■■■元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十一音【■■■■毛宝报霍】
　　九声　【草采■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十一音【■■■■衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　十一音　【■■■■龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　十一音【■■■■○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　十一音【■■■■●●●●】
　　九声　【■折丑■●●●●】　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕二之十
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【黑花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律二之十二
　　【□爻王寅　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【安亚乙一●●●●】　　　　十二音【■■■■禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十二音【■■■■光广况○】
　　十声　【武晩□尾●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白□鼻●●●●】　　　　十二音【■■■■元犬半○】
　　十声　【普扑品匹●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允防○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十二音【■■■■毛宝报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十二音【■■■■衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十二音【■■■■龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十二音【■■■■○○○十】
　　十声　【■■■■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■宅直■●●●●】　　　十二音　【■■■■●●●●】
　　【■折丑■●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　皇极经世书卷七上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷七下　　　　宋　卲雍　撰观物篇三十七
　　日星声平辟　　　　　　水土音开清
　　开丁臣牛○　　　　　　坤五母武普土
　　鱼男●●●　　　　　　老草□■■
　　日星声七下唱地之　　水土音九上和天之用音一百五十二是　　用声一百一十二是谓平声辟音平声辟　　谓开音清声开音清
　　音一千六十四　　　　声一千八

　　日星声平之三辟　　　水土音开之三清

　　平声辟唱吕三之一　　开音清和律三之一
　　【古甲九癸　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤禾火化八】
　　一声　【坤巧邱弃开开开开】　　　　一声　【坤坤坤坤开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　回每退○】
　　【黑花香血　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤光广况○】
　　一声　【五瓦仰□开开开开】　　　　二声　【坤坤坤坤丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤元犬半○】
　　一声　【母马美米开开开开】　　　　三声　【坤坤坤坤臣引艮○】
　　【日儿眉氏　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　君巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤毛寳报霍】
　　一声　【武晩□尾开开开开】　　　　四声　【坤坤坤坤牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤衰○帅骨】
　　一声　【普扑品匹开开开开】　　　　五声　【坤坤坤坤○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　龟水贵北】
　　【东丹帝■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤龙甬用○】
　　一声　【土贪天■开开开开】　　　　六声　【坤坤坤坤鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤○○○十】
　　一声　【老冷吕■开开开开】　　　　七声　【坤坤坤坤男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤●●●●】
　　一声　【草采七■开开开开】　　　　八声　【坤坤坤坤●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤●●●●】
　　一声　【□□□■开开开开】　　　　九声　【坤坤坤坤●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■开开开开】　　　　一音　【坤坤坤坤●●●●】
　　一声　【■□耳■开开开开】　　　　十声　【坤坤坤坤●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　坤坤坤坤开开开开　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之二
　　【■荘震■　　　　　　　五五五五开开开开　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■开开开开】　　　二音　【五五五五禾火化八】
　　一声　【■义赤■开开开开】　　　　一声　【五五五五开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　五五五五开开开开　　　　　　　回每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　五五五五开开开开　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■开开开开】　　　　二音　【五五五五光广况○】
　　一声　【■拆丑■开开开开】　　　　二声　【五五五五丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　五五五五开开开开　　　　　　　兄永莹○】
　　平声辟唱吕三之二
　　【古甲九癸　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五元犬半○】
　　二声　【坤巧邱弃丁丁丁丁】　　　　三声　【五五五五臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　君允巽○】
　　【黑花香血　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□丁丁丁丁】　　　　四声　【五五五五牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五衰○帅骨】
　　二声　【母马美米丁丁丁丁】　　　　五声　【五五五五○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五龙甬用○】
　　二声　【武晩□尾丁丁丁丁】　　　　六声　【五五五五鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五○○○十】
　　二声　【普扑品匹丁丁丁丁】　　　　七声　【五五五五男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五●●●●】
　　二声　【土贪天■丁丁丁丁】　　　　八声　【五五五五●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五●●●●】
　　二声　【老冷吕■丁丁丁丁】　　　　九声　【五五五五●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■丁丁丁丁】　　　　二音　【五五五五●●●●】
　　二声　【草采七■丁丁丁丁】　　　　十声　【五五五五●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　五五五五丁丁丁丁　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之三
　　【思三星■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■丁丁丁丁】　　　　三音　【毌毌毌毌禾火化八】
　　二声　【□□□■丁丁丁丁】　　　　一声　【毌毌毌毌开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■丁丁丁丁】　　　　三音　【毌毌毌毌光广况○】
　　二声　【■□耳■丁丁丁丁】　　　　二声　【毌毌毌毌丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■丁丁丁丁】　　　　三音　【毌毌毌毌元犬半○】
　　二声　【■义赤■丁丁丁丁】　　　　三声　【毌毌毌毌臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■丁丁丁丁】　　　　三音　【毌毌毌毌毛寳报霍】
　　二声　【■拆丑■丁丁丁丁】　　　　四声　【毌毌毌毌牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　毌毌毌毌丁丁丁丁　　　　　　　○○○玉】
　　平声辟唱吕三之三
　　【古甲九癸　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌衰○帅骨】
　　三声　【坤巧邱弃臣臣臣臣】　　　　五声　【毌毌毌毌○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　水贵北】
　　【黑花香血　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□臣臣臣臣】　　　　六声　【毌毌毌毌鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌○○○十】
　　三声　【母马美米臣臣臣臣】　　　　七声　【毌毌毌毌男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌●●●●】
　　三声　【武晩□尾臣臣臣臣】　　　　八声　【毌毌毌毌●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白冓鼻臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌●●●●】
　　三声　【普扑匹品臣臣臣臣】　　　　九声　【毌毌毌毌●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　　毌毌毌毌臣臣臣臣　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■臣臣臣臣】　　　　三音　【毌毌毌毌●●●●】
　　三声　【贪天■臣臣臣臣】　　　　十声　【毌毌毌毌●●●●】
　　【同覃田■臣臣臣臣】　　　　　开音清和律三之四

　　【乃妳女■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武禾火化八】
　　三声　【老冷吕■臣臣臣臣】　　　　一声　【武武武武开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武光广况○】
　　三声　【草采七■臣臣臣臣】　　　　二声　【武武武武丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武元犬半○】
　　三声　【□□□■臣臣臣臣】　　　　三声　【武武武武臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■臣臣臣臣】　　　　四声　【武武武武牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■臣臣臣臣】　　　　五声　【武武武武○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■臣臣臣臣】　　　　四音　【武武武武龙甬用○】
　　三声　【■拆丑■臣臣臣臣】　　　　六声　【武武武武鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　武武武武臣臣臣臣　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声辟唱吕三之四
　　【古甲九癸　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆牛牛牛牛】　　　　四音　【武武武武○○○十】
　　四声　【坤巧邱弃牛牛牛牛】　　　　七声　【武武武武男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　○　○妾】
　　【黒花香血　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤牛牛牛牛】　　　　四音　【武武武武●●●●】
　　四声　【五瓦仰□牛牛牛牛】　　　　八声　【武武武武●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅牛牛牛牛】　　　　四音　【武武武武●●●●】
　　四声　【母马美未牛牛牛牛】　　　　九声　【武武武武●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠牛牛牛牛】　　　　四音　【武武武武●●●●】
　　四声　【武晩□尾牛牛牛牛】　　　　十声　【武武武武●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　武武武武牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之五
　　【卜百丙必　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普禾火化八】
　　四声　【普扑品匹牛牛牛牛】　　　　一声　【普普普普开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　回毎退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普光广况○】
　　四声　【土贪天■牛牛牛牛】　　　　二声　【普普普普丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普元犬半○】
　　四声　【老冷吕■牛牛牛牛】　　　　三声　【普普普普臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普毛寳报霍】
　　四声　【草采■牛牛牛牛】　　　　四声　【普普普普牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普衰○帅骨】
　　四声　【□□□■牛牛牛牛】　　　　五声　【普普普普○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　龟水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■土石■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普龙甬用○】
　　四声　【■□耳■牛牛牛牛】　　　　六声　【普普普普鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普○○○十】
　　四声　【■义赤■牛牛牛牛】　　　　七声　【普普普普男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■牛牛牛牛】　　　　五音　【普普普普●●●●】
　　四声　【■拆丑■牛牛牛牛】　　　　八声　【普普普普●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　普普普普牛牛牛牛　　　　　　　●●●●】
　　平声辟唱吕三之五
　　【古甲九癸　　　　　　　普普普普○○○○　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　五音　【普普普普●●●●】
　　五声　【坤巧邱弃○○○○】　　　　九声　【普普普普●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　普普普普○○○○　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　普普普普○○○○　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　五音　【普普普普●●●●】
　　五声　【五瓦仰□○○○○】　　　　十声　【普普普普●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　普普普普○○○○　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之六
　　【安亚乙一　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【母马美米○○○○】　　　　六音　【土土土土禾火化八】
　　五声　【□爻王寅○○○○】　　　　一声　【土土土土开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　土土土土○　○○　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　六音　【土土土土光广况○】
　　五声　【武晩□尾○○○○】　　　　二声　【土土土土丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白冓鼻○○○○】　　　　六音　【土土土土元犬半○】
　　五声　【普扑品匹○○○○】　　　　三声　【土土土土臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　六音　【土土土土毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■○○○○】　　　　四声　【土土土土牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　六音　【土土土土衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■○○○○】　　　　五声　【土土土土○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　龟水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　六音　【土土土土龙甬用○】
　　五声　【草采七■○○○○】　　　　六声　【土土土土鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　六音　【土土土土○○○十】
　　五声　【□□□■○○○○】　　　　七声　【土土土土男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　六音　【土土土土●●●●】
　　五声　【■□耳■○○○○】　　　　八声　【土土土土●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　六音　【土土土土●●●●】
　　五声　【■义赤■○○○○】　　　　九声　【土土土土●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　六音　【土土土土●●●●】
　　五声　【■拆丑■○○○○】　　　　十声　【土土土土●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　土土土土○○○○　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之十　　平声辟唱吕三之六
　　【古甲九癸　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老禾火化八】
　　六声　【坤巧邱弃鱼鱼鱼鱼】　　　　一声　【老老老老开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　回每退○】
　　【黒花香血　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老光广况○】
　　六声　【五瓦仰□鱼鱼鱼鱼】　　　　二声　【老老老老丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老元犬半○】
　　六声　【母马美米鱼鱼鱼鱼】　　　　三声　【老老老老臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老毛寳报霍】
　　六声　【武晩□尾鱼鱼鱼鱼】　　　　四声　【老老老老牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老衰○帅骨】
　　六声　【普扑品匹鱼鱼鱼鱼】　　　　五声　【老老老老○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　龟水贵北】
　　【东丹帝■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老龙甬用○】
　　六声　【土贪天■鱼鱼鱼鱼】　　　　六声　【老老老老鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老○○○十】
　　六声　【老冷吕■鱼鱼鱼鱼】　　　　七声　【老老老老男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老●●●●】
　　六声　【草采七■鱼鱼鱼鱼】　　　　八声　【老老老老●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老●●●●】
　　六声　【□□□■鱼鱼鱼鱼】　　　　九声　【老老老老●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■鱼鱼鱼鱼】　　　　七音　【老老老老●●●●】
　　六声　【■□耳■鱼鱼鱼鱼】　　　　十声　【老老老老●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　老老老老鱼鱼鱼鱼　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之八
　　【■庄震■　　　　　　　草草草草鱼鱼鱼鱼　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■鱼鱼鱼鱼】　　　　八音　【草草草草禾火化八】
　　六声　【■义赤■鱼鱼鱼鱼】　　　　一声　【草草草草开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　草草草草鱼鱼鱼鱼　　　　　　　回每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　草草草草鱼鱼鱼鱼　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■鱼鱼鱼鱼】　　　　八音　【草草草草光广况○】
　　六声　【■拆丑■鱼鱼鱼鱼】　　　　二声　【草草草草丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　草草草草鱼鱼鱼鱼　　　　　　　兄永莹○】
　　平声辟唱吕三之七
　　【古甲九癸　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆男男男男】　　　　八音　【草草草草元犬半○】
　　七声　【坤巧邱弃男男男男】　　　　三声　【草草草草臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　君允巽○】
　　【黒花香血　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤男男男男】　　　　八音　【草草草草毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□男男男男】　　　　四声　【草草草草牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅男男男男】　　　　八音　【草草草草衰○帅骨】
　　七声　【母马美米男男男男】　　　　五声　【草草草草○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　龟水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠男男男男】　　　　八音　【草草草草龙甬用○】
　　七声　【武晩□尾男男男男】　　　　六声　【草草草草鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白冓鼻男男男男】　　　　八音　【草草草草○○○十】
　　七声　【普扑品匹男男男男】　　　　七声　【草草草草男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■男男男男】　　　　八音　【草草草草●●●●】
　　七声　【土贪天■男男男男】　　　　八声　【草草草草●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■男男男男】　　　　八音　【草草草草●●●●】
　　七声　【老冷吕■男男男男】　　　　九声　【草草草草●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■男男男男】　　　　八音　【草草草草●●●●】
　　七声　【草采七■男男男男】　　　　十声　【草草草草●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　草草草草男男男男　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之九
　　【思三星■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■男男男男】　　　　九音　【□□□□禾火化八】
　　七声　【□□□■男男男男】　　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■男男男男】　　　　九音　【□□□□光广况○】
　　七声　【■□耳■男男男男】　　　　二声　【□□□□丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■男男男男】　　　　九音　【□□□□元犬半○】
　　七声　【■义赤■男男男男】　　　　三声　【□□□□臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■男男男男】　　　　九音　【□□□□毛寳报霍】
　　七声　【■拆丑■男男男男】　　　　四声　【□□□□牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　□□□□男男男男　　　　　　　○○○玉】
　　平声辟唱吕三之八
　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　九音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　五音　【□□□□○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　龟水贵北】
　　【黒花香血　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　九音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　九音　【□□□□○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　七声　【□□□□男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【武晩□尾●●●●】　　　　八声　【□□□□●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【□□□□●●●●】
　　【卜百丙必　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【普扑品匹●●●●】　　　　九声　【□□□□●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　十声　【□□□□●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之十
　　【乃妳女■　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　十音　【■■■■禾火化八】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【鹿荦离■●●●●　　　　　　　囬每退】
　　【走哉足■●●●●　　　　　　　良两向】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十音　【光广况】
　　八声　【草采■●●●●】　　　　二声　【丁井亘】
　　【曹才全■●●●●　　　　　　　兄永莹】

　　【思三星■●●●●　　　　　　　千典旦】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十音　【元犬半】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十音　【■■■■毛寳报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十一音【■■■■衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十音　【■■■■龙甬用○】
　　八声　【■拆丑■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声辟唱吕三之九
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十音　【■■■■○○○十】
　　九声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【黒花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■■■■●●●●】
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【武晩□尾●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　十一音【■■■■禾火化八】
　　九声　【普扑品匹●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兑大弟■●●●●】　　　　十一音【■■■■光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十一音【■■■■元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十一音【■■■■毛寳报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十一音【■■■■衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十一音【■■■■龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十一音【■■■■○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　九声　【■拆丑■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　平声辟唱吕三之十　　　　【■■■■●●●●】
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音清和律三之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十二音【■■■■禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十二音【■■■■光广况○】
　　十声　【武晩□尾●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】
　　【■■】
　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白冓鼻●●●●】　　　　十二音【■■■■元犬半○】
　　十声　【普扑品匹●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十二音【■■■■毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十二音【■■■■衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十二音【■■■■龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十二音【■■■■○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■石士■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音　【■宅直■●●●●】　　　十二音　【■■■■●●●●】
　　十声　【■拆丑■●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　观物篇三十八　　　　　　【■■■■●●●●】
　　日辰声平翕　　　　　水石音开浊
　　回兄君　　　　　　吾目文旁同
　　乌○●●●　　　　　鹿曹□■■■
　　日辰声七下唱地之　水石音九上和天之用音一百五十二是　用声一百一十二是谓平声翕音平声翕　谓开音浊声开音浊音一千六十四　　　声一千八

　　日辰声平之四翕　水石音开之四浊
　　平声翕唱吕四之一　　开音浊和律四之一

　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□囬回回回　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆回回回回】　　　　一音　【□□□□禾火化八】
　　一声　【坤巧邱弃回回回回】　　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□回回回回　　　　　　　回每退○】
　　【黒花香血　　　　　　　□□□□回回回回　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤回回回回】　　　　一音　【□□□□光广况○】
　　一声　【五瓦仰□回回回回】　　　　二声　【□□□□丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅囘囘囘囘】　　　　一音　【□□□□元犬半○】
　　一声　【母马美米囘囘囘囘】　　　　三声　【□□□□臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠囘回囘囘】　　　　一音　【□□□□毛寳报霍】
　　一声　【武晩□尾囬囬囬囬】　　　　四声　【□□□□牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻囬囬囬囬】　　　　一音　【□□□□衰　帅骨】
　　一声　【普扑品匹囬囬囬囬】　　　　五声　【□□□□○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　水贵北】
　　【东丹帝■　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■囬囬囬囬】　　　　一音　【□□□□龙甬用○】
　　一声　【土贪天■囬囬囬囬】　　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　□□□□囬囬囬囬　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■囘囘囘囘】　　　　一音　【□□□□○○○十】
　　一声　【老冷吕■囘囘囘囘】　　　　七声　【□□□□男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■囘囘囘囘】　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【草采七■囘囘囘囘】　　　　八声　【□□□□●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　□□□□囘囘囘囘　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■囘囘囘囘】　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【□□□■囘囘囘囘】　　　　九声　【□□□□●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　□□□□回回回回　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　□□□□回回回回　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■回回回回】　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【■□耳■回回回回】　　　　十声　【□□□□●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　□□□□回回回回　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之二
　　【■庄震■　　　　　　　吾吾吾吾回回回回　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■回回回回】　　　　二音　【吾吾吾吾禾火化八】
　　一声　【■义赤■回回回回】　　　　一声　【吾吾吾吾开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　吾吾吾吾回回回回　　　　　　　回每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　吾吾吾吾回回回回　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■回回回回】　　　　二音　【吾吾吾吾光广况○】
　　一声　【■拆丑■回回回回】　　　　二声　【吾吾吾吾丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　吾吾吾吾回回回回　　　　　　　兄永莹○】
　　平声翕唱吕四之二
　　【古甲九癸　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾元犬半○】
　　二声　【坤巧邱弃兄兄兄兄】　　　　三声　【吾吾吾吾臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　君允巽○】
　　【黒花香血　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□兄兄兄兄】　　　　四声　【吾吾吾吾牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□父王寅兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾衰○帅骨】
　　二声　【母马美米兄兄兄兄】　　　　五声　【吾吾吾吾○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　水贵北】
　　【夫法□飞　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾龙甬用○】
　　二声　【武晩□尾兄兄兄兄】　　　　六声　【吾吾吾吾鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白莆鼻兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾○○○十】
　　二声　【普扑品匹兄兄兄兄】　　　　七声　【吾吾吾吾男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兑大帝■兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾●●●●】
　　二声　【土贪天■兄兄兄兄】　　　　八声　【吾吾吾吾●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾●●●●】
　　二声　【老冷吕■兄兄兄兄】　　　　九声　【吾吾吾吾●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■兄兄兄兄】　　　　二音　【吾吾吾吾●●●●】
　　二声　【草采七■兄兄兄兄】　　　　十声　【吾吾吾吾●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　吾吾吾吾兄兄兄兄　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之三
　　【思三星■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■兄兄兄兄】　　　　三音　【目目目目禾火化八】
　　二声　【□□□■兄兄兄兄】　　　　一声　【目目目目开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　囘每退○】
　　【■山手■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■兄兄兄兄】　　　　三音　【目目目目光广况○】
　　二声　【■□耳■兄兄兄兄】　　　　二声　【目目目目丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■兄兄兄兄】　　　　三音　【目目目目元犬半○】
　　二声　【■义赤■兄兄兄兄】　　　　三声　【目目目目臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■兄兄兄兄】　　　　三音　【目目目目毛寳报霍】
　　二声　【■拆丑■兄兄兄兄】　　　　四声　【目目目目牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　目目目目兄兄兄兄　　　　　　　○○○玉】
　　平声翕唱吕四之三
　　【古甲九癸　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆君君君君】　　　　三音　【目目目目衰○帅骨】
　　三声　【坤巧邱弃君君君君】　　　　五声　【目目目目○○○徳】
　　【黒花香血　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　水贵北】
　　【黄华雄贤　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【□□干蚪君君君君】　　　　三音　【目目目目龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□君君君君】　　　　六声　【目目目目鱼防去○】
　　【吾牙目尧　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅君君君君】　　　　三音　【目目目目○○○十】
　　三声　【母马美米君君君君】　　　　七声　【目目目目男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠君君君君】　　　　三音　【目目目目●●●●】
　　三声　【武晩□尾君君君君】　　　　八声　【目目目目●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　【目目目目●●●●】
　　【卜百丙必　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻君君君君】　　　　三音　【目目目目●●●●】
　　三声　【普扑品匹君君君君】　　　　九声　【目目目目●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兑大弟■君君君君】　　　　三音　【目目目目●●●●】
　　三声　【土贪天■君君君君】　　　　十声　【目目目目●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　目目目目君君君君　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之四
　　【乃妳女■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■君君君君】　　　　四音　【文文文文禾火化八】
　　三声　【老冷吕■君君君君】　　　　一声　【文文文文开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　回毎退○】
　　【走哉足■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■君君君君】　　　　四音　【文文文文光广况○】
　　三声　【草采七■君君君君】　　　　二声　【文文文文丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■君君君君】　　　　四音　【文文文文元犬半○】
　　三声　【□□□■君君君君】　　　　三声　【文文文文臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■土石■君君君君】　　　　四音　【文文文文毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■君君君君】　　　　四声　【文文文文牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　妻子四日】
　　十一音　【■乍□■君君君君】　　　　四音　【文文文文衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■君君君君】　　　　五声　【文文文文○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音　【■宅直■君君君君】　　　　四音　【文文文文龙甬用○】
　　三声　【■拆丑■君君君君】　　　　六声　【文文文文鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　文文文文君君君君　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声翕唱吕四之四
　　【古甲九癸　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　四音　【文文文文○○○十】
　　四声　【坤巧邱弃○○○○】　　　七声　【文文文文男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　○○○妾】
　　【黒花香血　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　○○○○】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　四音　【文文文文●●●●】
　　四声　【五瓦仰□○○○○】　　　　八声　【文文文文●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　四音　【文文文文●●●●】
　　四声　【母马美米○○○○】　　　　九声　【文文文文●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　文文文文●●●●】
　　【天法□飞　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　四音　【文文文文●●●●】
　　四声　【武晩□尾○○○○】　　　　十声　【文文文文●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　文文文文○○○○　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之五
　　【卜百丙必　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁禾火化八】
　　四声　【普扑品匹○○○○】　　　　一声　【旁旁旁旁开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兑大弟■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁光广况○】
　　四声　【土贪天■○○○○】　　　　二声　【旁旁旁旁丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁元犬半○】
　　四声　【老冷吕■○○○○】　　　　三声　【旁旁旁旁臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁毛寳报霍】
　　四声　【草采七■○○○○】　　　　四声　【旁旁旁旁牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁衰○帅骨】
　　四声　【□□□■○○○○】　　　　五声　【旁旁旁旁○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁龙甬用○】
　　四声　【■□耳■○○○○】　　　　六声　【旁旁旁旁鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁○○○十】
　　四声　【■义赤■○○○○】　　　　七声　【旁旁旁旁男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　五音　【旁旁旁旁●●●●】
　　四声　【■拆丑■○○○○】　　　　八声　【旁旁旁旁●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　旁旁旁旁○○○○　　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕四之五
　　【古甲九癸　　　　　　　旁旁旁旁　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆】　　　　五音　【旁旁旁旁●●●●】
　　五声　【坤巧邱弃】　　　　九声　【旁旁旁旁●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　旁旁旁旁　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　旁旁旁旁　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤】　　　　五音　【旁旁旁旁●●●●】
　　五声　【五瓦仰□】　　　　十声　【旁旁旁旁●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　旁旁旁旁　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之六
　　【安亚乙一　　　　　　　同同同同　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅】　　　　六音　【同同同同禾火化八】
　　五声　【母马羙米】　　　　一声　【同同同同开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　同同同同　　　　　　　囘每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　同同同同　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠】　　　　六音　【同同同同光广况○】
　　五声　【武晩□尾】　　　　二声　【同同同同丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　同同同同　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　同同同同　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白莆鼻】　　　　六音　【同同同同元犬半○】
　　五声　【普扑品匹】　　　　三声　【同同同同臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　同同同同　　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　　同同同同　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兑大弟■】　　　　六音　【同同同同毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■】　　　　四声　【同同同同牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　同同同同　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　同同同同　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■】　　　　六音　【同同同同衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■】　　　　五声　【同同同同○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　同同同同　　　　　　　水贵比】
　　【走哉足■　　　　　　　同同同同　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■】　　　　六音　【同同同同龙甬用○】
　　五声　【草采七■】　　　　六声　【同同同同鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　同同同同　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　同同同同　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■】　　　　六音　【同同同同○○○十】
　　五声　【□□□■】　　　　七声　【同同同同男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　同同同同　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■】　　　　六音　【同同同同●●●●】
　　五声　【■□耳■】　　　　八声　【同同同同●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】

　　【■荘震■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■】　　　　六音　【同同同同●●●●】
　　五声　【■义赤■】　　　　九声　【同同同同●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】
　　【■□□■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■】　　　　六音　【同同同同●●●●】
　　五声　【■折丑■】　　　　十声　【同同同同●●●●】
　　【■□呈■　　　　　　　同同同同　　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕四之六　　开音浊和律四之七
　　【古甲九癸　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿禾火化八】
　　六声　【坤巧邱弃乌乌乌乌】　　　　一声　【鹿鹿鹿鹿开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　囘每退○】
　　【黒花香血　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿光广况○】
　　六声　【五瓦仰□乌乌乌乌】　　　　二声　【鹿鹿鹿鹿丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿元犬半○】
　　六声　【母马美米乌乌乌乌】　　　　三声　【鹿鹿鹿鹿臣引艮○】
　　【目儿眉民　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿毛寳报霍】
　　六声　【武晩□尾乌乌乌乌】　　　　四声　【鹿鹿鹿鹿牛斗奏六】
　　【文万□夫　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白莆鼻乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿衰○帅骨】
　　六声　【普扑品匹乌乌乌乌】　　　　五声　【鹿鹿鹿鹿○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　水贵北】
　　【东丹帝■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兑大弟■乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿龙甬用○】
　　六声　【土贪天■乌乌乌乌】　　　　六声　【鹿鹿鹿鹿鱼鼠去○】
　　【同覃田■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿○○○十】
　　六声　【老冷吕■乌乌乌乌】　　　　七声　【鹿鹿鹿鹿男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　六声　【草采■乌乌乌乌】　　　　八声　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　六声　【□□□■乌乌乌乌】　　　　九声　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　【□□□■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■乌乌乌乌】　　　　七音　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　六声　【■□耳■乌乌乌乌】　　　　十声　【鹿鹿鹿鹿●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　鹿鹿鹿鹿乌乌乌乌　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之八
　　【■庄震■　　　　　　　曹曹曹曹乌乌乌乌　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■乌乌乌乌】　　　　八音　【曹曹曹曹禾火化八】
　　六声　【■义赤■乌乌乌乌】　　　　一声　【曹曹曹曹开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　　曹曹曹曹乌乌乌乌　　　　　　　囘每退○】
　　【■卓中■　　　　　　　曹曹曹曹乌乌乌乌　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■乌乌乌乌】　　　八音　　【曹曹曹曹光广况○】
　　六声　【■拆丑■乌乌乌乌】　　　　二声　【曹曹曹曹丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　　曹曹曹曹乌乌乌乌　　　　　　　兄永莹○】
　　平声翕唱吕四之七
　　【古甲九癸　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹元犬半○】
　　七声　【坤巧邱弃○○○○】　　　　三声　【曹曹曹曹臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　君允巽○】
　　【黒花香血　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□○○○○】　　　　四声　【曹曹曹曹牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹衰○帅骨】
　　七声　【母马美米○○○○】　　　　五声　【曹曹曹曹○○○徳】
　　【目儿眉民　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　水贵比】
　　【夫法□飞　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹龙甬用○】
　　七声　【武晩□尾○○○○】　　　　六声　【曹曹曹曹鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹○○○十】
　　七声　【普扑品匹○○○○】　　　　七声　【曹曹曹曹男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹●●●●】
　　七声　【土贪天■○○○○】　　　　八声　【曹曹曹曹●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹●●●●】
　　七声　【老冷吕■○○○○】　　　　九声　【曹曹曹曹●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　八音　【曹曹曹曹●●●●】
　　七声　【草采七■○○○○】　　　　十声　【曹曹曹曹●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　　曹曹曹曹○○○○　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之九
　　【思三星■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　九音　【□□□□禾火化八】
　　七声　【■□□■○○○○】　　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　九音　【□□□□光广况○】
　　七声　【■□耳■○○○○】　　　　二声　【□□□□丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　兄永莹○】

　　【■荘震■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　九音　【□□□□元犬半○】
　　七声　【■义赤■○○○○】　　　　三声　【□□□□臣引艮○】
　　【■崇辰■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　九音　【□□□□毛寳报霍】
　　七声　【■拆丑■○○○○】　　　　四声　【□□□□牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　○○○玉】
　　平声翕唱吕四之八
　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　九音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　五声　【□□□□○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【黒花香血　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　九音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　九音　【□□□□○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　七声　【□□□□男坎欠○】
　　【目儿眉民　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　九音　【□□□□■■■■】
　　八声　【武晩□尾●●●●】　　　　八声　【□□□□■■■■】
　　【文万□未　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　【□□□□■■■■】
　　【卜百丙必　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　九音　【□□□□■■■■】
　　八声　【普扑品匹●●●●】　　　　九声　【□□□□■■■■】
　　【旁排平瓶　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　【东丹帝■　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　六音　【兑大弟■●●●●】　　　　九音　【□□□□■■■■】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　　十声　【□□□□■■■■】
　　【同覃田■　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　■■■■】
　　开音浊和律四之十
　　【乃妳女■　　　　　　　多可个舌●●●●　　　　　　　■■■■】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十音　【禾火化八■■■■】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十音　【■■■■光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十音　【■■■■元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十音　【■■■■毛寳报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】
　　【■】
　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　十一音　【■乍□■●●●●】　　　　十音　【■■■■衰○帅骨】
　　八声　　【■义赤■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳
　　■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音　【■宅直■●●●●】　　　　十音　【■■■■龙甬用○】
　　八声　　【■拆丑■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】
　　平声翕唱吕四之九
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十音　【■■■■○○○十】
　　九声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【黒花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■■■■●●●●】
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十音　【■■■■●●●●】
　　九声　【武晩□尾●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　开音浊和律四之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【步白鼻●●●●】　　　　十一音【■■■■禾火化八】
　　九声　【普扑品匹●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝□　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　十一音　【■■■■光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十一音【■■■■元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十一音【■■■■毛寳报霍】
　　九声　【草采■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十一音【■■■■衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　十一音　【■■■■龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　十一音【■■■■○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　九声　【■拆丑■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　平声翕唱吕四之十
　　【古甲九癸　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【坤巧邱弃●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十一音【■■■■●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【吾牙月尧●●●●】
　　开音浊和律四之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　十二音　【■■■■禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　一声　【■■■■开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　十二音【■■■■光广况○】
　　十声　【武晩□尾●●●●】　　　　二声　【■■■■丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　十二音　【■■■■元犬半○】
　　十声　【普扑品匹●●●●】　　　　三声　【■■■■臣引艮○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　君允巽○】
　　【东丹帝■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　十二音　【■■■■毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　四声　【■■■■牛斗奏六】
　　【同覃田■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　十二音【■■■■衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　五声　【■■■■○○○徳】
　　【鹿荦离■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　水贵北】
　　【走哉足■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十二音【■■■■龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　六声　【■■■■鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十二音【■■■■○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　七声　【■■■■男坎欠○】
　　【□□□■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　○○○妾】
　　【■山手■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　八声　【■■■■●●●●】
　　【■□二■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　十二音　【■■■■●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　九声　【■■■■●●●●】
　　【■崇辰■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【■卓中■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　十二音【■■■■●●●●】
　　十声　【■拆丑■●●●●】　　　　十声　【■■■■●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　■■■■●●●●　　　　　　　●●●●】

　　皇极经世书卷七下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷八上　　　　宋　邵雍　撰观物篇三十九
　　月日声上辟　　　　　火水音发清
　　可两典早子　　　　　甲花亚法丹百
　　孔审　　　　　　　　妳哉三山庄卓
　　月日声七下唱地之　　火水音十二上和天用音一百五十二是　　之用声一百一十二谓上声辟音上声辟　　是谓发音清声发音
　　音一千六十四　　　　清声一千三百四十
　　四
　　月日声上之一辟　　　　火水音发之一清

　　上声辟唱吕一之一　　发音清和律一之一
　　【古甲九癸　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【○○近揆可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲禾火化八】
　　一声　【坤巧丘弃可可可可】　　　　　一声　【甲甲甲甲开宰爱○
　　○○干蚪　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　回每退○
　　黒花香血　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲光广况○】
　　一声　【五瓦仰○可可可可】　　　　　二声　【甲甲甲甲丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【○爻王寅可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲元犬半○】
　　一声　【母马美米可可可可】　　　　　三声　【甲甲甲甲臣引艮○
　　日儿眉民　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　君允巽○
　　夫法○飞　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡○吠可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲毛宝报霍】
　　一声　【武晩○尾可可可可】　　　　　四声　【甲甲甲甲牛斗奏六
　　文万○未　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲衰○帅骨】
　　一声　【普朴品匹可可可可】　　　　　五声　【甲甲甲甲○○○徳
　　旁排平瓶　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲龙甬用○】
　　一声　【土贪天■可可可可】　　　　　六声　【甲甲甲甲鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲○○○十】
　　一声　【老冷吕■可可可可】　　　　　七声　【甲甲甲甲男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○○】
　　八音　【自在匠■可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲○○○○】
　　一声　【草采七■可可可可】　　　　　八声　【甲甲甲甲○○○○
　　曹才全■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○○】

　　【思三星■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○○】
　　九音　【寺○象■可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲○○○○】
　　一声　【○○○■可可可可】　　　　　九声　【甲甲甲甲○○○○
　　○○○■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○○
　　■山手■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　○○○○】
　　十音　【■士石■可可可可】　　　　　一音　【甲甲甲甲●●●●】
　　一声　【■○耳■可可可可】　　　　　十声　【甲甲甲甲●●●●
　　■○二■　　　　　　　　甲甲甲甲可可可可　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之二
　　【■庄震■　　　　　　　　花花花花可可可可　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍○■可可可可】　　　　　二音　【花花花花禾火化八】
　　一声　【■义赤■可可可可】　　　　　一声　【花花花花开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　花花花花可可可可　　　　　　　　回毎退○
　　■卓中■　　　　　　　　花花花花可可可可　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■可可可可】　　　　　二音　【花花花花光广况○】
　　一声　【■坼丑■可可可可】　　　　　二声　【花花花花丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　花花花花可可可可　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声辟唱吕一之二
　　【古甲九癸　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【○○近揆两两两两】　　　　　二音　【花花花花元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃两两两两】　　　　　三声　【花花花花臣引艮○
　　○○干蚪　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤两两两两】　　　　　二音　【花花花花毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰○两两两两】　　　　　四声　【花花花花牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【○爻王寅两两两两】　　　　　二音　【花花花花衰○帅骨】
　　二声　【母马美米两两両两】　　　　　五声　【花花花花○○○德
　　目儿眉民　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　水贵北
　　夫法○飞　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父兄○吠两两两两】　　　　　二音　【花花花花龙甬用○】
　　二声　【武晩○尾两两两两】　　　　　六声　【花花花花鱼防去○
　　文万○未　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻两两两两】　　　　　二音　【花花花花○○○十】
　　二声　【普朴品匹两两两两】　　　　　七声　【花花花花男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兑大弟■两两两两】　　　　　二音　【花花花花●●●●】
　　二声　【土贪天■两两两两】　　　　　八声　【花花花花●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■两两两两】　　　　　二音　【花花花花●●●●】
　　二声　【老冷吕■两两两两】　　　　　九声　【花花花花●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■两两两两】　　　　　二音　【花花花花●●●●】
　　二声　【草采七■两两两两】　　　　　十声　【花花花花●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　花花花花两两两两　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之三
　　【思三星■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺○象■两两两两】　　　　　三音　【亚亚亚亚禾火化八】
　　二声　【○○○■两两两两】　　　　　一声　【亚亚亚亚开宰爱○
　　○○○■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　回每退○
　　■山手■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■两两两两】　　　　　三音　【亚亚亚亚光广况○】
　　二声　【■○耳■两两两两】　　　　　二声　【亚亚亚亚丁井亘○
　　■○二■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■荘震■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍○■两两两两】　　　　　三音　【亚亚亚亚元犬半○】
　　二声　【■义赤■两两两两】　　　　　三声　【亚亚亚亚臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■两两两两】　　　　　三音　【亚亚亚亚毛寳报霍】
　　二声　【■坼丑■两两两两】　　　　　四声　【亚亚亚亚牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　亚亚亚亚两两两两　　　　　　　　○○○玉】
　　上声辟唱吕一之三
　　【古甲九癸典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚妻子四日】
　　一音　【○○近揆典典典典】　　　　　五声　【亚亚亚亚衰○帅骨】
　　三声　【坤巧丘弃　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　○○○德
　　○○干蚪　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰○典典典典】　　　　　六声　【亚亚亚亚鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【○爻王寅典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚○○○十】
　　三声　【母马美米典典典典】　　　　　七声　【亚亚亚亚男坎欠○
　　目儿眉民　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　○○○妾
　　夫法○飞　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡○吠典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚●●●●】
　　三声　【武晚○尾典典典典】　　　　　八声　【亚亚亚亚●●●●
　　文万□未　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚●●●●】
　　三声　【普防品匹典典典典】　　　　　九声　【亚亚亚亚●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■典典典典】　　　　　三音　【亚亚亚亚●●●●】
　　三声　【土贪天■典典典典】　　　　　十声　【亚亚亚亚●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　亚亚亚亚典典典典　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之四
　　【乃妳女■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■典典典典】　　　　　四音　【法法法法禾火化八】
　　三声　【老冷吕■典典典典】　　　　　一声　【法法法法开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　回每退○
　　走哉足■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■典典典典】　　　　　四音　【法法法法光广况○】
　　三声　【草采七■典典典典】　　　　　二声　【法法法法丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺○象■典典典典】　　　　　四音　【法法法法元犬半○】
　　三声　【○○○■典典典典】　　　　　三声　【法法法法臣引艮○
　　○○○■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■典典典典】　　　　　四音　【法法法法毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■典典典典】　　　　　四声　【法法法法牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■典典典典】　　　　　四音　【法法法法衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■典典典典】　　　　　五声　【法法法法○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■典典典典】　　　　　四音　【法法法法龙甬用○】
　　三声　【■坼丑■典典典典】　　　　　六声　【法法法法鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　法法法法典典典典　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声辟唱吕一之四
　　【古甲九癸　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆早早早早】　　　　　四音　【法法法法○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃早早早早】　　　　　七声　【法法法法男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　○○○妾
　　黒花香血　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤早早早早】　　　　　四音　【法法法法●●●●】
　　四声　【五瓦仰□早早早早】　　　　　八声　【法法法法●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【○爻　寅早早早早】　　　　　四音　【法法法法●●●●】
　　四声　【母马美米早早早早】　　　　　九声　【法法法法●●●●
　　目儿眉民　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●
　　夫法○飞　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡○吠早早早早】　　　　　四音　【法法法法●●●●】
　　四声　【武晚○尾早早早早】　　　　　十声　【法法法法●●●●
　　文万○未　　　　　　　　法法法法早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之五
　　【卜百丙必　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻早早早早】　　　　　五音　【百百百百禾火化八】
　　四声　【普朴品匹早早早早】　　　　　一声　【百百百百开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　回每退○
　　东丹帝■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■早早早早】　　　　　五音　【百百百百光广况○】
　　四声　【土贪天■早早早早】　　　　　二声　【百百百百丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■早早早早】　　　　　五音　【百百百百元犬半○】
　　四声　【老冷吕■早早早早】　　　　　三声　【百百百百臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　君允巽○
　　走哉足■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■早早早早】　　　　　五音　【百百百百毛宝报霍】
　　四声　【草采七■早早早早】　　　　　四声　【百百百百牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■早早早早】　　　　　五音　【百百百百衰○帅骨】
　　四声　【□□□■早早早早】　　　　　五声　【百百百百○○○德
　　□□□■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■早早早早】　　　　　五音　【百百百百龙甬用○】
　　四声　【■□耳■早早早早】　　　　　六声　【百百百百鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■早早早早】　　　　　五音　【百百百百○○○十】
　　四声　【■义赤■早早早早】　　　　　七声　【百百百百男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■早早早早】　　　　　五音　【百百百百●●●●】
　　四声　【■圻丑■早早早早】　　　　　八声　【百百百百●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　百百百百早早早早　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕一之五
　　【古甲九癸　　　　　　　　百百百百子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【○○近揆子子子子】　　　　　五音　【百百百百●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃子子子子】　　　　　九声　【百百百百●●●●
　　○○干蚪　　　　　　　　百百百百子子子子　　　　　　　　●●●●
　　黒花香血　　　　　　　　百百百百子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤子子子子】　　　　　五音　【百百百百●●●●】
　　五声　【五瓦仰○子子子子】　　　　　十声　【百百百百●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　百百百百子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之六
　　【安亚乙一　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【○爻王寅子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹禾火化八】
　　五声　【母马美米子子子子】　　　　　一声　【丹丹丹丹开宰爱○
　　目儿眉民　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　回每退○
　　夫法□飞　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹光广况○】
　　五声　【武晚□尾子子子子】　　　　　二声　【丹丹丹丹丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹元犬半○】
　　五声　【普朴品匹子子子子】　　　　　三声　【丹丹丹丹臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■子子子子】　　　　　四声　【丹丹丹丹牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　妻子四目】
　　七音　【内南年■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■子子子子】　　　　　五声　【丹丹丹丹○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹龙甬用○】
　　五声　【草采七■子子子子】　　　　　六声　【丹丹丹丹鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺○象■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹○○○十】
　　五声　【○○○■子子子子】　　　　　七声　【丹丹丹丹男坎欠○
　　○○○■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹●●●●】
　　五声　【■○耳■子子子子】　　　　　八声　【丹丹丹丹●●●●
　　■○二■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍○■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹●●●●】
　　五声　【■义赤■子子子子】　　　　　九声　【丹丹丹丹●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■子子子子】　　　　　六音　【丹丹丹丹●●●●】
　　五声　【■坼丑■子子子子】　　　　　十声　【丹丹丹丹●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　丹丹丹丹子子子子　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕一之六　　　发音清和律一之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳禾火化八】
　　六声　【坤巧丘弃孔孔孔孔】　　　　　一声　【妳妳妳妳开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　回每退○
　　黒花香血　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳光广况○】
　　六声　【五瓦仰□孔孔孔孔】　　　　　二声　【妳妳妳妳丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳元犬半○】
　　六声　【母马美米孔孔孔孔】　　　　　三声　【妳妳妳妳臣引艮○
　　儿眉民　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳毛宝报霍】
　　六声　【武晚□尾孔孔孔孔】　　　　　四声　【妳妳妳妳牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　○○○王】

　　【卜百丙必　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳衰○帅骨】
　　六声　　　　　　　　　五声

　　六音　　　　　　　　　七音
　　六声　　　　　　　　　六声

　　七音　　　　　　　　　七音
　　六声　　　　　　　　　七声

　　八音　　　　　　　　　七音
　　六声　　　　　　　　　八声

　　九音　　　　　　　　　　七音
　　六声　　　　　　　　　　九声

　　【■山手■　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■孔孔孔孔】　　　　　七音　【妳妳妳妳●●●●】
　　六声　【■□耳■孔孔孔孔】　　　　　十声　【妳妳妳妳●●●●
　　■□二■　　　　　　　　妳妳妳妳孔孔孔孔　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之八
　　【■庄震■　　　　　　　　哉哉哉哉孔孔孔孔　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■孔孔孔孔】　　　　　八音　【哉哉哉哉禾火化八】
　　六声　【■义赤■孔孔孔孔】　　　　　一声　【哉哉哉哉开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　哉哉哉哉孔孔孔孔　　　　　　　　回每退○
　　■卓中■　　　　　　　　哉哉哉哉孔孔孔孔　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■孔孔孔孔】　　　　　八音　【哉哉哉哉光广况○】
　　六声　【■坼丑■孔孔孔孔】　　　　　二声　【哉哉哉哉丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　哉哉哉哉孔孔孔孔　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声辟唱吕一之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉元犬半○】
　　七声　【坤巧丘弃审审审审】　　　　　三声　【哉哉哉哉臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□审审审审】　　　　　四声　【哉哉哉哉牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻壬寅审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉衰○帅骨】
　　七声　【母马美米审审审审】　　　　　五声　【哉哉哉哉○○○德
　　目儿眉民　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉龙甬用○】
　　七声　【武晚□尾审审审审】　　　　　六声　【哉哉哉哉鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉○○○十】
　　七声　【普朴品匹审审审审】　　　　　七声　【哉哉哉哉男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝□　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉●●●●】
　　七声　【土贪天■审审审审】　　　　　八声　【哉哉哉哉●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉●●●●】
　　七声　【老冷吕■审审审审】　　　　　九声　【哉哉哉哉●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■审审审审】　　　　　八音　【哉哉哉哉●●●●】
　　七声　【草采七■审审审审】　　　　　十声　【哉哉哉哉●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　哉哉哉哉审审审审　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之九
　　【思三星■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■审审审审】　　　　　九音　【三三三三禾火化八】
　　七声　【□□□■审审审审】　　　　　一声　【三三三三开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　回每退○
　　■山手■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■审审审审】　　　　　九音　【三三三三光广况○】
　　七声　【■□耳■审审审审】　　　　　二声　【三三三三丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■审审审审】　　　　　九音　【三三三三元犬半○】
　　七声　【■义赤■审审审审】　　　　　三声　【三三三三臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■审审审审】　　　　　九音　【三三三三毛报寳霍】
　　七声　【■坼丑■审审审审】　　　　　四声　【三三三三牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　三三三三审审审审　　　　　　　　○○○玉】
　　上声辟唱吕一之八
　　【古甲九癸　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　九音　【三三三三衰○帅骨】
　　八声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　五声　【三三三三○○○德
　　□□干蚪　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　九音　【三三三三龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　六声　【三三三三鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　九音　【三三三三○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　　七声　【三三三三男坎欠○
　　目儿眉民　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　九音　【三三三三●●●●】
　　八声　【武晚□尾●●●●】　　　　　八声　【三三三三●●●●
　　文万□未　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　　九音　【三三三三●●●●】
　　八声　【普朴品匹●●●●】　　　　　九声　【三三三三●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兑大弟■●●●●】　　　　　九音　【三三三三●●●●】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　　　十声　【三三三三●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　三三三三●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之十
　　【乃妳女■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十音　【山山山山禾火化八】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　　一声　【山山山山开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　回毎退○
　　走哉足■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十音　【山山山山光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　　二声　【山山山山丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十音　【山山山山元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　　三声　【山山山山臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十音　【山山山山毛寳报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　　四声　【山山山山牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十音　【山山山山衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　　五声　【山山山山○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十音　【山山山山龙甬用○】
　　八声　【■坼丑■●●●●】　　　　　六声　【山山山山鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声辟唱吕一之九
　　【古甲九癸　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十音　【山山山山○○○十】
　　九声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　七声　【山山山山男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　黒花香血　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　十音　【山山山山●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　八声　【山山山山●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　　十音　【山山山山●●●●】
　　九声　【母马每米●●●●】　　　　　九声　【山山山山●●●●
　　目儿眉民　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十音　【山山山山●●●●】
　　九声　【武晚□尾●●●●】　　　　　十声　【山山山山●●●●
　　文万□未　　　　　　　　山山山山●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　　十一音　【庄庄庄庄禾火化八】
　　九声　【普朴品匹●●●●】　　　　　一声　【庄庄庄庄开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　回毎退○
　　东丹帝■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　　二声　【庄庄庄庄丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　　三声　【庄庄庄庄臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　君永巽○
　　走哉足■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄毛寳报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　　四声　【庄庄庄庄牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　十一音　【庄庄庄庄衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　五声　　【庄庄庄庄○○○德
　　□□□■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　十一音　【庄庄庄庄龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　　六声　【庄庄庄庄鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　　七声　【庄庄庄庄男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄●●●●】
　　九声　【■坼丑■●●●●】　　　　　八声　【庄庄庄庄●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕一之十
　　【古甲九癸　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄●●●●】
　　十声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　九声　【庄庄庄庄●●●●】
　　【■□干蚪　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　十一音【庄庄庄庄●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　十声　【庄庄庄庄●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　　庄庄庄庄●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律一之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　　一声　【卓卓卓卓开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　回每退○
　　夫法□飞　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓光广况○】
　　十声　【武晚□尾●●●●】　　　　　二声　【卓卓卓卓丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白莆鼻●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓元犬半○】
　　十声　【普朴品匹●●●●】　　　　　三声　【卓卓卓卓臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　　四声　【卓卓卓卓牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　　五声　【卓卓卓卓○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　　六声　【卓卓卓卓鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　　七声　【卓卓卓卓男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■　石■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　　八声　【卓卓卓卓●●●●
　　■□二■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　　九声　【卓卓卓卓●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十二音【卓卓卓卓●●●●】
　　十声　【■坼丑■●●●●】　　　　　十声　【卓卓卓卓●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　卓卓卓卓●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　观物篇四十
　　月月声上翕　　　　火火音发浊
　　火广犬寳　　　　　□华爻凡白大
　　甬●●●　　　　　南在□士乍宅
　　月月声七下唱地之　　火火音十二上和天用音一百五十二是　　之用声一百一十二谓上声翕音上声翕　　是谓发音浊声发音
　　音一千六十四　　　　浊声一千三百四十四

　　月月声上之二翕　　火火音发之二浊

　　上声翕唱吕二之一　　　　发音浊和律二之一
　　【古甲九癸　　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆火火火火】　　　　　一音　　【□□□□禾火化八】
　　一声　【坤巧丘弃火火火火】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　回毎退○】
　　【黒花香血　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤火火火火】　　　　　一音　【□□□□光广况○】
　　一声　【五瓦仰□火火火火】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻壬寅火火火火】　　　　　一音　【□□□□元大半○】
　　一声　【母马美米火火火火】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　目儿眉民　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠火火火火】　　　　　一音　【□□□□毛寳报霍】
　　一声　【武晚□尾火火火火】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻火火火火】　　　　　一音　【□□□□衰○帅德】
　　一声　【普朴品匹火火火火】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■火火火火】　　　　　一音　【□□□□龙甬用○】
　　一声　【土贪天■火火火火】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■火火火火】　　　　　一音　【□□□□○○○十】
　　一声　【老冷吕■火火火火】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■火火火火】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【草采七■火火火火】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■火火火火】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【□□□■火火火火】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　□□□■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■火火火火】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【■□耳■火火火火】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　■□二■　　　　　　　　□□□□火火火火　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之二
　　【■庄震■　　　　　　　　华华华华火火火火　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■火火火火】　　　　　二音　【华华华华禾火化八】
　　一声　【■义赤■火火火火】　　　　　一声　【华华华华开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　华华华华火火火火　　　　　　　　回每退○
　　■卓中■　　　　　　　　华华华华火火火火　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■火火火火】　　　　　二音　【华华华华光广况○】
　　一声　【■坼丑■火火火火】　　　　　二声　【华华华华丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　华华华华火火火火　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声翕唱吕二之二
　　【古甲九癸　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆广广广广】　　　　　二音　【华华华华元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃广广广广】　　　　　三声　【华华华华臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤广广广广】　　　　　二音　【华华华华毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□广广广广】　　　　　四声　【华华华华牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻壬寅广广广广】　　　　　二音　【华华华华衰○帅骨】
　　二声　【母马美米广广广广】　　　　　五声　【华华华华○○○徳
　　目儿眉民　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠广广广广】　　　　　二音　【华华华华龙甬用○】
　　二声　【武晚□尾广广广广】　　　　　六声　【华华华华鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白莆鼻广广广广】　　　　　二音　【华华华华○○○十】
　　二声　【普朴品匹广广广广】　　　　　七声　【华华华华男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■广广广广】　　　　　二音　【华华华华●●●●】
　　二声　【土贪天■广广广广】　　　　　八声　【华华华华●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■广广广广】　　　　　二音　【华华华华●●●●】
　　二声　【老冷吕■广广广广】　　　　　九声　【华华华华●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■广广广广】　　　　　二音　【华华华华●●●●】
　　二声　【草采七■广广广广】　　　　　十声　【华华华华●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　华华华华广广广广　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之三
　　【思三星■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■广广广广】　　　　　三音　【爻爻爻爻禾火化八】
　　二声　【□□□■广广广广】　　　　　一声　【爻爻爻爻开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　囘每退○
　　■山手■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■广广广广】　　　　　三音　【爻爻爻爻光广况○】
　　二声　【■□耳■广广广广】　　　　　二声　【爻爻爻爻丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■荘震■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■广广广广】　　　　　三音　【爻爻爻爻元犬半○】
　　二声　【■义赤■广广广广】　　　　　三声　【爻爻爻爻臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■广广广广】　　　　　三音　【爻爻爻爻毛宝报霍】
　　二声　【■坼丑■广广广广】　　　　　四声　【爻爻爻爻牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　爻爻爻爻广广广广　　　　　　　　○○○玉】

　　上声翕唱吕二之二
　　【古甲九癸　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻衰○帅骨】
　　三声　【坤巧丘弃犬犬犬犬】　　　　　五声　【爻爻爻爻○○○德
　　□□干蚪　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□犬犬犬犬】　　　　　六声　【爻爻爻爻鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻壬寅犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻○○○十】
　　三声　【母马美米犬犬犬犬】　　　　　七声　【爻爻爻爻男坎欠○
　　目儿眉民　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻●●●●】
　　三声　【武晚□尾犬犬犬犬】　　　　　八声　【爻爻爻爻●●●●
　　文万□未　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白鼻犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻●●●●】
　　三声　【普朴品匹犬犬犬犬】　　　　　九声　【爻爻爻爻●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■犬犬犬犬】　　　　　三音　【爻爻爻爻●●●●】
　　三声　【土贪天■犬犬犬犬】　　　　　十声　【爻爻爻爻●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　爻爻爻爻犬犬犬犬　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之四
　　【乃妳女■　　　　　　　　凡凡凡凡犬犬犬犬　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■犬犬犬犬】　　　　　四音　【凡凡凡凡禾火化八】
　　三声　【老冷吕■犬犬犬犬】　　　　　一声　【凡凡凡凡开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　凡凡凡凡犬犬犬犬　　　　　　　　回每退○
　　走哉足■　　　　　　　　凡凡凡凡犬犬犬犬　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■犬犬犬犬】　　　　　四音　【凡凡凡凡光广况○】
　　三声　【草采七■犬犬犬犬】　　　　　二声　【凡凡凡凡丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　凡凡凡凡犬犬犬犬　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■半半半半】　　　　　四音　【□□□□元犬半○】
　　三声　【□□□■半半半半】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■半半半半】　　　　　四音　【□□□□毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■半半半半】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■半半半半】　　　　　四音　【□□□□衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■半半半半】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■半半半半】　　　　　四音　【□□□□龙甬用○】
　　三声　【■坼丑■半半半半】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□半半半半　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声翕唱吕二之四
　　【古甲九癸　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆宝宝宝宝】　　　　　四音　【凡凡凡凡○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃宝宝宝宝】　　　　　七声　【凡凡凡凡男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　○○○妾
　　黒花香血　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤宝宝宝宝】　　　　　四音　【凡凡凡凡●●●●】
　　四声　【五瓦仰□宝宝宝宝】　　　　　八声　【凡凡凡凡●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻壬寅宝宝宝宝】　　　　　四音　【凡凡凡凡●●●●】
　　四声　【母马美米宝宝宝宝】　　　　　九声　【凡凡凡凡●●●●
　　目儿眉民　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　凡凡凡凡寳宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠宝宝宝宝】　　　　　四音　【凡凡凡凡●●●●】
　　四声　【武晚□尾宝宝宝宝】　　　　　十声　【凡凡凡凡●●●●
　　文万□未　　　　　　　　凡凡凡凡宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之五
　　【卜百丙必　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白莆鼻宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白禾火化八】
　　四声　【普朴品匹宝宝宝宝】　　　　　一声　【白白白白开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　回每退○
　　东丹帝□　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白光广况○】
　　四声　【土贪天■宝宝宝宝】　　　　　二声　【白白白白丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白元犬半○】
　　四声　【老冷吕■宝宝宝宝】　　　　　三声　【白白白白臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　君允巽○
　　走哉足■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白毛宝报霍】
　　四声　【草采七■宝宝宝寳】　　　　　四声　【白白白白牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白衰○帅骨】
　　四声　【□□□■宝宝宝宝】　　　　　五声　【白白白白○○○德
　　□□□■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■寳宝宝寳】　　　　　五音　【白白白白龙甬用○】
　　四声　【■□耳■宝宝宝宝】　　　　　六声　【白白白白鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白○○○十】
　　四声　【■义赤■宝宝宝宝】　　　　　七声　【白白白白男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■宝宝宝宝】　　　　　五音　【白白白白●●●●】
　　四声　【■坼丑■宝宝宝寳】　　　　　八声　【白白白白●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　白白白白宝宝宝宝　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕二之五
　　【古甲九癸　　　　　　　　白白白白○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　五音　【白白白白●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　九声　【白白白白●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　　白白白白○○○○　　　　　　　　●●●●
　　黒花香血　　　　　　　　白白白白○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　五音　【白白白白●●●●】
　　五声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　十声　【白白白白●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　白白白白○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之六
　　【安亚乙一　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻壬寅○○○○】　　　　　六音　【大大大大禾火化八】
　　五声　【母马美米○○○○】　　　　　一声　【大大大大开宰爱○
　　目儿眉民　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　回每退○
　　夫法□飞　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　六音　【大大大大光广况○】
　　五声　【武晚□尾○○○○】　　　　　二声　【大大大大丁井旦○
　　文万□未　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻○○○○】　　　　　六音　【大大大大元犬半○】
　　五声　【普朴品匹○○○○】　　　　　三声　【大大大大臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■○○　○】　　　　　六音　【大大大大毛宝报霍】
　　五声　【土贪天■○○○○】　　　　　四声　【大大大大牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　六音　【大大大大衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■○○○○】　　　　　五声　【大大大大○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　六音　【大大大大龙甬用○】
　　五声　【草采七■○○○○】　　　　　六声　【大大大大鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　　六音　【大大大大○○○十】
　　五声　【□□□■○○○○】　　　　　七声　【大大大大男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　　六音　【大大大大●●●●】
　　五声　【■□耳■○○○○】　　　　　八声　【大大大大●●●●
　　■□二■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　六音　【大大大大●●●●】
　　五声　【■义赤■○○○○】　　　　　九声　【大大大大●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　六音　【大大大大●●●●】
　　五声　【■坼丑■○○○○】　　　　　十声　【大大大大●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　大大大大○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕二之六　　　发音浊和律二之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南禾火化八】
　　六声　【坤巧丘弃甬甬甬甬】　　　　　一声　【南南南南开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　回毎退○
　　黒花香血　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南光广况○】
　　六声　【五瓦仰□甬甬甬甬】　　　　　二声　【南南南南丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻壬寅甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南元犬半○】
　　六声　【母马美米甬甬甬甬】　　　　　三声　【南南南南臣引艮○
　　目儿眉民　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南毛宝报霍】
　　六声　【武晚□尾甬甬甬甬】　　　　　四声　【南南南南牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南衰○帅骨】
　　六声　【普朴品匹甬甬甬甬】　　　　　五声　【南南南南○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南龙甬用○】
　　六声　【土贪天○甬甬甬甬】　　　　　六声　【南南南南鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南○○○十】
　　六声　【老冷吕■甬甬甬甬】　　　　　七声　【南南南南男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南●●●●】
　　六声　【草采七■甬甬甬甬】　　　　　八声　【南南南南●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺象□■甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南●●●●】
　　六声　【□□□■甬甬甬甬】　　　　　九声　【南南南南●●●●
　　□□□■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■甬甬甬甬】　　　　　七音　【南南南南●●●●】
　　六声　【■□耳■甬甬甬甬】　　　　　十声　【南南南南●●●●
　　■□二■　　　　　　　　南南南南甬甬甬甬　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之八
　　【■庄震■　　　　　　　　在在在在甬甬甬甬　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■甬甬甬甬】　　　　　八音　【在在在在禾火化八】
　　六声　【■义赤■甬甬甬甬】　　　　　一声　【在在在在开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　在在在在甬甬甬甬　　　　　　　　回每退○
　　■卓中■　　　　　　　　在在在在甬甬甬甬　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■甬甬甬甬】　　　　　八音　【在在在在光广况○】
　　六声　【■坼丑■甬甬甬甬】　　　　　二声　【在在在在丁井亘○
　　■荼呈■　　　　　　　　在在在在甬甬甬甬　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声翕唱吕二之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　八音　【在在在在元犬半○】
　　七声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　三声　【在在在在臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　八音　【在在在在毛宝报霍】
　　七声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　四声　【在在在在牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻壬寅○○○○】　　　　　八音　【在在在在衰○帅骨】
　　七声　【母马美米○○○○】　　　　　五声　【在在在在○○○○
　　目儿眉民　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　八音　【在在在在龙甬用○】
　　七声　【武晚□尾○○○○】　　　　　六声　【在在在在鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻○○○○】　　　　　八音　【在在在在○○○十】
　　七声　【普朴品匹○○○○】　　　　　七声　【在在在在男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　　八音　【在在在在●●●●】
　　七声　【土贪天■○○○○】　　　　　八声　【在在在在●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　八音　【在在在在●●●●】
　　七声　【老冷吕■○○○○】　　　　　九声　【在在在在●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　八音　【在在在在●●●●】
　　七声　【草采七■○○○○】　　　　　十声　【在在在在●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　在在在在○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之九
　　【思三星■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【○○○○寺□象■】　　　　　九音　【□□□□禾火化八】
　　七声　【□□□■○○○○】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　回每退○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　　九音　【□□□□光广况○】
　　七声　【■□耳■○○○○】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　九音　【□□□□元犬半○】
　　七声　【■义赤■○○○○】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　九音　【□□□□毛宝报霍】
　　七声　【■坼丑■○○○○】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　○○○玉】
　　上声翕唱吕二之八
　　【古甲九癸　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　九音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　□□干蚪　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　九音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　九音　【□□□□○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　目儿眉民　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　九音　　【□□□□●●●●】
　　八声　【武晚□尾●●●●】　　　　　八声【□□□□●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白莆鼻●●●●】　　　　　九音【□□□□●●●●】
　　八声　【普朴品匹●●●●】　　　　　九声【□□□□●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝□　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟□●●●●】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【土贪天□●●●●】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　同覃田□　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之十
　　【乃妳女■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　多可个○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十音　【士士士士禾火化○】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　　一声　【士士士士开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　回每退○
　　走哉足■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在象■●●●●】　　　　　十音　【士士士士光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　　二声　【士士士士丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十音　【士士士士元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　　三声　【士士士士臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十音　【士士士士毛宝报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　　四声　【士士士士牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　○○○玊】

　　【■庄震■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十音　【士士士士衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　　五声　【士士士士○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十音　【士士士士龙甬用○】
　　八声　【■坼丑■●●●●】　　　　　六声　【士士士士鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声翕唱吕二之九
　　【古甲九癸　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十音　【士士士士○○○十】
　　九声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　七声　【士士士士男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　黒花香血　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　十音　【士士士士●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　八声　【士士士士●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　十音　【士士士士●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　　九声　【士士士士●●●●
　　目儿眉民　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十音　【士士士士●●●●】
　　九声　【武晚□尾●●●●】　　　　　十声　【士士士士●●●●
　　文万□未　　　　　　　　士士士士●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白莆鼻●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍禾火化八】
　　九声　【普朴品匹●●●●】　　　　　一声　【乍乍乍乍开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　回每退○
　　东丹帝□　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　　二声　【乍乍乍乍丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　　三声　【乍乍乍乍臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　走哉足■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍毛宝报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　　四声　【乍乍乍乍牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　　五声　【乍乍乍乍○○○德
　　□□□■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　　六声　【乍乍乍乍鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　　七声　【乍乍乍乍男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍●●●●】
　　九声　【■坼丑■●●●●】　　　　　八声　【乍乍乍乍●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕二之十
　　【古甲九癸　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍●●●●】
　　十声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　九声　【乍乍乍乍●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　十一音【乍乍乍乍●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　十声　【乍乍乍乍●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　　乍乍乍乍●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律二之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅禾火化八】
　　十声　【母马美米●●●●】　　　　　一声　【宅宅宅宅开宰爱○】
　　【目儿眉民　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　回每退○】
　　【夫法□飞　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅光广况○】
　　十声　【武晚□尾●●●●】　　　　　二声　【宅宅宅宅丁井亘○】
　　【文万□未　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅元犬半○】
　　十声　【普朴品匹●●●●】　　　　　三声　【宅宅宅宅臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅毛宝报霍】
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　　同覃田■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　　五声　【宅宅宅宅○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　十二音　【宅宅宅宅龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　　六声　【宅宅宅宅鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　　七声　【宅宅宅宅男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　　八声　【宅宅宅宅●●●●
　　■□二■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　　九声　【宅宅宅宅●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十二音【宅宅宅宅●●●●】
　　十声　【■坼丑■●●●●】　　　　　十声　【宅宅宅宅●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　宅宅宅宅●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　皇极经世书卷八上
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书卷
　　皇极经世书卷八下　　　　宋　邵雍　撰观物篇四十一
　　月星声上辟　　　　　　火土音发清
　　宰井引斗　　　　　　　巧瓦马晚朴贪
　　防坎●●●　　　　　　冷采□□义坼
　　月星声七下唱地之　　　火土音十二上和天用音一百五十二是　　　之用声一百一十二谓上声辟音上声辟　　　是谓发音清声发音
　　音一千六十四　　　　　清声一千三百四十
　　四

　　月星声上之三辟　　　　火土音发之三清

　　上声辟唱吕三之一　　　发音清和律三之一
　　【古甲九癸　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧禾火化八】
　　一声　【坤巧丘弃宰宰宰宰】　　　　　一声　【巧巧巧巧开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　回毎退○
　　黒花香血　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧光广况○】
　　一声　【五瓦仰□宰宰宰宰】　　　　　二声　【巧巧巧巧丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧元犬半○】
　　一声　【母马美米宰宰宰宰】　　　　　三声　【巧巧巧巧臣引艮○
　　目皃眉民　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧毛寳报霍】
　　一声　【武晚□尾宰宰宰宰】　　　　　四声　【巧巧巧巧牛斗奏六
　　文万□采　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧衰○帅骨】
　　一声　【普朴品匹宰宰宰宰】　　　　　五声　【巧巧巧巧○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　龟水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧龙甬用○】
　　一声　【上贪天■宰宰宰宰】　　　　　六声　【巧巧巧巧鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧○○○十】
　　一声　【老冷吕■宰宰宰宰】　　　　　七声　【巧巧巧巧男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧●●●●】
　　一声　【草采七■宰宰宰宰】　　　　　八声　【巧巧巧巧●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧●●●●】
　　一声　【□□□■宰宰宰宰】　　　　　九声　【巧巧巧巧●●●●
　　□□□■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■宰宰宰宰】　　　　　一音　【巧巧巧巧●●●●】
　　一声　【■□耳■宰宰宰宰】　　　　　十声　【巧巧巧巧●●●●
　　■□二■　　　　　　　　巧巧巧巧宰宰宰宰　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之二
　　【■庄震■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦宰宰宰宰　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■宰宰宰宰】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦禾火化八】
　　一声　【■义赤■宰宰宰宰】　　　　　一声　【瓦瓦瓦瓦开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦宰宰宰宰　　　　　　　　回每退○
　　■卓中■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦宰宰宰宰　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■宰宰宰宰】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦光广况○】
　　一声　【■坼丑■宰宰宰宰】　　　　　二声　【瓦瓦瓦瓦丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦宰宰宰宰　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声辟唱吕三之二
　　【古甲九癸　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃井井井井】　　　　　三声　【瓦瓦瓦瓦臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□井井井井】　　　　　四声　【瓦瓦瓦瓦牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦衰○帅骨】
　　二声　【母马美米井井井井】　　　　　五声　【瓦瓦瓦瓦○○○德
　　目儿眉民　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　龟水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦龙甬用○】
　　二声　【武晚□尾井井井井】　　　　　六声　【瓦瓦瓦瓦鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白鼻井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦○○○十】
　　二声　【普朴品匹井井井井】　　　　　七声　【瓦瓦瓦瓦男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦●●●●】
　　二声　【土贪天■井井井井】　　　　　八声　【瓦瓦瓦瓦●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■井井井井】　　　　二音　　【瓦瓦瓦瓦●●●●】
　　二声　【老冷吕■井井井井】　　　　九声　　【瓦瓦瓦瓦●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●
　　走防足■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■井井井井】　　　　　二音　【瓦瓦瓦瓦●●●●】
　　二声　【草采七■井井井井】　　　　　十声　【瓦瓦瓦瓦●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　瓦瓦瓦瓦井井井井　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之三
　　【思三星■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■井井井井】　　　　　三音　【马马马马禾火化八】
　　二声　【□□□■井井井井】　　　　　一声　【马马马马开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　回每退○
　　■山手■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■土石■井井井井】　　　　　三音　【马马马马光广况○】
　　二声　【■□耳■井井井井】　　　　　二声　【马马马马丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■井井井井】　　　　　三音　【马马马马元犬半○】
　　二声　【■义赤■井井井井】　　　　　三声　【马马马马臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■井井井井】　　　　　三音　【马马马马毛寳报霍】
　　二声　【■坼丑■井井井井】　　　　　四声【马马马马牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　　马马马马井井井井　　　　　　　○○○玉】
　　上声辟唱吕三之三
　　【古甲九癸　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆引引引引】　　　　　三音【马马马马衰○帅骨】
　　三声　【坤巧丘弃引引引引】　　　　　五声【马马马马○○○德】
　　【□□干蚪　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　水贵北】
　　【黒花香血　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤引引引引】　　　　　三音　【马马马马龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□引引引引】　　　　　六声　【马马马马鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅引引引引】　　　　　三音　【马马马马○○○十】
　　三声　【母马美米引引引引】　　　　　七声　【马马马马男坎欠○
　　日皃眉民　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠引引引引】　　　　　三音　【马马马马●●●●】
　　三声　【武晚□尾引引引引】　　　　　八声　【马马马马●●●●
　　文万□未　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白莆鼻引引引引】　　　　　三音　【马马马马●●●●】
　　三声　【普朴品匹引引引引】　　　　　九声　【马马马马●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■引引引引】　　　　　三音　【马马马马●●●●】
　　三声　【土贪天■引引引引】　　　　　十声　【马马马马●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　马马马马引引引引　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之四
　　【乃妳女■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■引引引引】　　　　　四音　【晚晚晚晚禾火化八】
　　三声　【老冷吕■引引引引】　　　　　一声　【晚晚晚晚开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　回每退○
　　走哉足■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■引引引引】　　　　　四音　【晚晚晚晚光广况○】
　　三声　【草采七■引引引引】　　　　　二声　【晚晚晚晚丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■引引引引】　　　　四音　　【晚晚晚晚元犬半○】
　　三声　【□□□■引引引引】　　　　三声　　【晚晚晚晚臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■引引引引】　　　　　四音　【晚晚晚晚毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■引引引引】　　　　　四声　【晚晚晚晚牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■引引引引】　　　　　四音【晚晚晚晚衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■引引引引】　　　　　五声【晚晚晚晚○○○德】
　　【■崇辰■　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■引引引引】　　　　四音　【晚晚晚晚龙甬用○】
　　三声　【■坼丑■引引引引】　　　　　六声【晚晚晚晚鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　　晚晚晚晚引引引引　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声辟唱吕三之四
　　【古甲九癸　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆斗斗斗斗】　　　　　四音　【晚晚晚晚○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃斗斗斗斗】　　　　　七声　【晚晚晚晚男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　○○○妾
　　黒水香血　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤斗斗斗斗】　　　　　四音　【晚晚晚晚●●●●】
　　四声　【五瓦仰□斗斗斗斗】　　　　　八声　【晚晚晚晚●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅斗斗斗斗】　　　　　四音　【晚晚晚晚●●●●】
　　四声　【毋马美米斗斗斗斗】　　　　　九声　【晚晚晚晚●●●●
　　目皃眉民　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠斗斗斗斗】　　　　　四音　【晚晚晚晚●●●●】
　　四声　【武晚□尾斗斗斗斗】　　　　十声　【晚晚晚晚●●●●】
　　【文万□未　　　　　　　晚晚晚晚斗斗斗斗　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之五
　　【卜百丙必　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白备鼻斗斗斗斗】　　　　五音　【朴朴朴朴禾火化八】
　　四声　【普朴品匹斗斗斗斗】　　　　一声　【朴朴朴朴开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　回毎退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兑大弟■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴光广况○】
　　四声　【土贪天■斗斗斗斗】　　　　　二声　【朴朴朴朴丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴元犬半○】
　　四声　【老冷吕■斗斗斗斗】　　　　　三声　【朴朴朴朴臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　君允巽○
　　走哉足■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴毛寳报霍】
　　四声　【草采七■斗斗斗斗】　　　　　四声　【朴朴朴朴牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴衰○帅骨】
　　四声　【□□□■斗斗斗斗】　　　　　五声　【朴朴朴朴○○○德
　　□□□■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■土石■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴龙甬用○】
　　四声　【■□耳■斗斗斗斗】　　　　　六声　【朴朴朴朴鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■荘震■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴○○○十】
　　四声　【■义赤■斗斗斗斗】　　　　　七声　【朴朴朴朴男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■斗斗斗斗】　　　　　五音　【朴朴朴朴●●●●】
　　四声　【■坼丑■斗斗斗斗】　　　　　八声　【朴朴朴朴●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　朴朴朴朴斗斗斗斗　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕三之五
　　【古甲九癸　　　　　　　　朴朴朴朴○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　五音　【朴朴朴朴●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　九声　【朴朴朴朴●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　　朴朴朴朴○○○○　　　　　　　　●●●●
　　黒花香血　　　　　　　　朴朴朴朴○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　五音　【朴朴朴朴●●●●】
　　五声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　十声　【朴朴朴朴●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　朴朴朴朴○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之六
　　【安亚乙一　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪禾火化八】
　　五声　【母马羙女○○○○】　　　　　一声　【贪贪贪贪开宰爱○
　　目皃眉民　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　回毎退○
　　夫法□飞　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪光广况○】
　　五声　【武晚□尾○○○○】　　　　　二声　【贪贪贪贪丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白鼻○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪元犬半○】
　　五声　【普朴品匹○○○○】　　　　　三声　【贪贪贪贪臣永艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■○○○○】　　　　　四声　【贪贪贪贪牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■○○○○】　　　　　五声　【贪贪贪贪○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪龙甬用○】
　　五声　【草采七■○○○○】　　　　　六声　【贪贪贪贪鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪○○○十】
　　五声　【□□□■○○○○】　　　　　七声　【贪贪贪贪男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■土石■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪●●●●】
　　五声　【■□耳■○○○○】　　　　　八声　【贪贪贪贪●●●●
　　■□二■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【■荘震■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪●●●●】
　　五声　【■义赤■○○○○】　　　　　九声　【贪贪贪贪●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　六音　【贪贪贪贪●●●●】
　　五声　【■坼丑■○○○○】　　　　　十声　【贪贪贪贪●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　贪贪贪贪○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕三之六　　　发音清和律三之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷禾火化八】
　　六声　【坤巧丘弃防防防防】　　　　　一声　【冷冷冷冷开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　回毎退○
　　黒花香血　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷光广况○】
　　六声　【五瓦仰□防防防防】　　　　　二声　【冷冷冷冷丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安牙乙一　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷元犬半○】
　　六声　【母马美米防防防防】　　　　　三声　【冷冷冷冷臣引艮○
　　目皃眉民　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷毛寳报霍】
　　六声　【武晚□尾防防防防】　　　　　四声　【冷冷冷冷牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白鼻防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷衰○帅骨】
　　六声　【普朴品匹防防防防】　　　　　五声　【冷冷冷冷○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷龙甬用○】
　　六声　【土贪天■防防防防】　　　　　六声　【冷冷冷冷鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷○○○十】
　　六声　【老冷吕■防防防防】　　　　　七声　【冷冷冷冷男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷●●●●】
　　六声　【草采七■防防防防】　　　　　八声　【冷冷冷冷●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷●●●●】
　　六声　【□□□■防防防防】　　　　　九声　【冷冷冷冷●●●●
　　□□□■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■土石■防防防防】　　　　　七音　【冷冷冷冷●●●●】
　　六声　【■□耳■防防防防】　　　　　十声　【冷冷冷冷●●●●
　　■□二■　　　　　　　　冷冷冷冷防防防防　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之八
　　【■荘震■　　　　　　　　采采采采防防防防　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■防防防防】　　　　　八音　【采采采采禾火化八】
　　六声　【■义赤■防防防防】　　　　　一声　【采采采采开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　采采采采防防防防　　　　　　　　回毎退○
　　■卓中■　　　　　　　　采采采采防防防防　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■防防防防】　　　　　八音　【采采采采光广况○】
　　六声　【■坼丑■防防防防】　　　　　二声　【采采采采丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　采采采采防防防防　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声辟唱吕三之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采元犬半○】
　　七声　【坤巧丘弃坎坎坎坎】　　　　　三声　【采采采采臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　君允巽○
　　黑花香血　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□坎坎坎坎】　　　　　四声　【采采采采牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采衰○帅骨】
　　七声　【母马美米坎坎坎坎】　　　　　五声　【采采采采○○○德
　　目皃眉民　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采龙甬用○】
　　七声　【武晚□尾坎坎坎坎】　　　　　六声　【采采采采鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白莆鼻坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采○○○十】
　　七声　【普朴品匹坎坎坎坎】　　　　　七声　【采采采采男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采●●●●】
　　七声　【土贪天■坎坎坎坎】　　　　　八声　【采采采采●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采●●●●】
　　七声　【老冷吕■坎坎坎坎】　　　　　九声　【采采采采●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■坎坎坎坎】　　　　　八音　【采采采采●●●●】
　　七声　【草采七■坎坎坎坎】　　　　　十声　【采采采采●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　采采采采坎坎坎坎　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之九
　　【思三星■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■坎坎坎坎】　　　　　九音　【□□□□禾火化八】
　　七声　【□□□■坎坎坎坎】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　回毎退○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■坎坎坎坎】　　　　　九音　【□□□□光广况○】
　　七声　【■□耳■坎坎坎坎】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■坎坎坎坎】　　　　　九音　【□□□□元犬半○】
　　七声　【■义赤■坎坎坎坎】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■坎坎坎坎】　　　　　九音　【□□□□毛寳报霍】
　　七声　【■坼丑■坎坎坎坎】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□坎坎坎坎　　　　　　　　○○○玉】
　　上声辟唱吕三之八
　　【古甲九癸　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　九音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　□□干蚪　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　九音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻壬寅●●●●】　　　　　九音　【□□□□○○○十】
　　八声　【母马美米●●●●】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　目皃眉民　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　东□帝■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【兊大弟■●●●●】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【土贪天■●●●●】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【内南年■●●●●】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【老冷吕■●●●●】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【父凡□吠●●●●】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【武晚□尾●●●●】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　文万□未　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之十
　　【卜百丙必　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【歩白鼻●●●●】　　　　十音　　【□□□□禾火化八】
　　八声　【普朴品匹●●●●】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　回毎退○
　　走哉足■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十音　【□□□□光广况○】
　　八声　【草采七■●●●●】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十音　【□□□□元犬半○】
　　八声　【□□□■●●●●】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■土石■●●●●】　　　　　十音　【□□□□毛寳报霍】
　　八声　【■□耳■●●●●】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■●●●●】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【■坼丑■●●●●】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声辟唱吕三之九
　　【古甲九癸　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十音　【□□□□○○○十】
　　九声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　黑花香血　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●
　　□□□□●●●●】
　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【母马美米●●●●】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　目皃眉民　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【武晚□尾●●●●】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　文万□未　　　　　　　　□□□□●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白鼻●●●●】　　　　　十一音【义义义义禾火化八】
　　九声　【普朴品匹●●●●】　　　　　一声【义义义义开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　回毎退○】
　　【东丹帝■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十一音【义义义义光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　　二声　【义义义义丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十一音【义义义义元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　　三声　【义义义义臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十一音【义义义义毛寳报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　　四声　【义义义义牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　○○○王】

　　【思三星■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十一音【义义义义衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　　五声　【义义义义○○○德
　　□□□■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十一音【义义义义龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　　六声　【义义义义鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十一音【义义义义○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　　七声　【义义义义男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音　【■宅直■●●●●】　　　　　十一音　【义义义义●●●●】
　　九声　【■坼丑■●●●●】　　　　　八声　【义义义义●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　上声辟唱吕三之十
　　【古甲九癸　　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十一音　【义义义义●●●●】
　　十声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　九声　【义义义义●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　●●●●】
　　【黒花香血　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄雄雄贤●●●●】　　　　十一音【义义义义●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　十声　【义义义义●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　　义义义义●●●●　　　　　　　●●●●】
　　发音清和律三之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十二音【坼坼坼坼禾火化八】
　　十声　【母马羙米●●●●】　　　　　一声　【坼坼坼坼开宰爱○
　　目皃眉民　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　回毎退○
　　夫法□飞　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼光广况○】
　　十声　【武晚□尾●●●●】　　　　　二声　【坼坼坼坼丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白备鼻●●●●】　　　　十二音　【坼坼坼坼元犬半○】
　　十声　【普朴品匹●●●●】　　　　　三声　【坼坼坼坼臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　十二音　【坼坼坼坼毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　　四声　【坼坼坼坼牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　　五声　【坼坼坼坼○○○徳
　　鹿荦离■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　　六声　【坼坼坼坼鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　坼坼坼●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼○○○十】
　　十声　【■□□■●●●●】　　　　　七声　【坼坼坼坼男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■土石■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　　八声　【坼坼坼坼●●●●
　　■□二■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　　九声　【坼坼坼坼●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十二音【坼坼坼坼●●●●】
　　十声　【■坼丑■●●●●】　　　　　十声　【坼坼坼坼●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　坼坼坼坼●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　观物篇四十二
　　月辰声上翕　　　　　　火石音发浊
　　毎永允○水　　　　　　　牙皃方排覃
　　虎○●●●　　　　　　荦才□□崇茶
　　月辰声七下唱地之　　　火石音十二上和天用音一百五十二是　　　之用声一百一十一谓上声翕音上声翕　　　是谓发音浊音发声
　　音一千六十四　　　　　浊声一千三百四十
　　四

　　月辰声上之四翕　　　　火石音发之四浊

　　上声翕唱吕四之一　　　发音浊和律四之一
　　【古甲九癸　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□禾火化八】
　　一声　【坤巧邱弃毎毎毎毎】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　□□□□毎毎每毎　　　　　　　　回毎退○
　　黒花香血　　　　　　　　□□□□每毎每每　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤毎每毎毎】　　　　　一音　【□□□□光广况○】
　　一声　【五瓦仰□毎毎毎毎】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□元犬半○】
　　一声　【毋马美米毎毎毎毎】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　月皃眉民　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□毛寳报霍】
　　一声　【武晚□尾毎毎毎毎】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　□□□□每毎毎毎　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白备鼻毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□衰○帅骨】
　　一声　【普扑品匹毎毎毎每】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　□□□□毎毎每每　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■每毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□龙甬用○】
　　一声　【土贪天■毎毎毎毎】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□○○○十】
　　一声　【老冷吕■每毎毎毎】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【草采七■毎每每每】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■毎毎毎毎】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【□□□■每毎毎每】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　□□□■　　　　　　　　□□□□毎毎毎每　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　□□□□毎毎每毎　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■毎毎毎每】　　　　　一音　【□□□□●●●●】
　　一声　【■□耳■毎毎毎毎】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　■□二■　　　　　　　　□□□□毎毎毎毎　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之二
　　【■荘震■　　　　　　　　牙牙牙牙毎毎毎毎　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■毎毎毎毎】　　　　　二音　【牙牙牙牙禾火化八】
　　一声　【■义赤■每毎毎每】　　　　　一声　【牙牙牙牙开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　牙牙牙牙毎毎毎毎　　　　　　　　回毎退○
　　■卓中■　　　　　　　　牙牙牙牙毎毎毎毎　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■毎毎毎毎】　　　　　二音　【牙牙牙牙光广况○】
　　一声　【■坼丑■毎毎毎毎】　　　　　二声　【牙牙牙牙丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　牙牙牙牙毎毎毎毎　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声翕唱吕四之二
　　【古甲九癸　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃永永永永】　　　　　三声　【牙牙牙牙臣引艮●
　　□□干蚪　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　君允巽○
　　黒花香血　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□永永永永】　　　　　四声　【牙牙牙牙牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙衰○帅骨】
　　二声　【母马美米永永永永】　　　　　五声　【牙牙牙牙○○○德
　　目皃眉民　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙龙甬用○】
　　二声　【武晚□尾永永永永】　　　　　六声　【牙牙牙牙鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白□鼻永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙○○○十】
　　二声　【普朴品匹永永永永】　　　　　七声　【牙牙牙牙男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙●●●●】
　　二声　【土贪天■永永永永】　　　　　八声　【牙牙牙牙●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙●●●●】
　　二声　【老冷吕■永永永永】　　　　　九声　【牙牙牙牙●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■永永永永】　　　　　二音　【牙牙牙牙●●●●】
　　二声　【草采七■永永永永】　　　　　十声　【牙牙牙牙●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　牙牙牙牙永永永永　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之三
　　【思三星■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■永永永永】　　　　　三音　【皃皃皃皃禾火化八】
　　二声　【□□□■永永永永】　　　　　一声　【皃皃皃皃开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　回毎退○
　　■山手■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■永永永永】　　　　　三音　【皃皃皃皃光广况○】
　　二声　【■□耳■永永永永】　　　　　二声　【皃皃皃皃丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■荘震■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■永永永永】　　　　　三音　【皃皃皃皃元犬半○】
　　二声　【■义赤■永永永永】　　　　　三声　【皃皃皃皃臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　君允巽○
　　■卓中■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■永永永永】　　　　　三音　【皃皃皃○毛寳报霍】
　　二声　【■坼丑■永永永永】　　　　　四声　【皃皃皃皃牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　皃皃皃皃永永永永　　　　　　　　○○○玉】
　　上声翕唱吕四之三
　　【古甲九癸　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃衰○帅骨】
　　三声　【坤巧丘弃允允允允】　　　　　五声　【皃皃皃皃○○○德
　　□□干蚪　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　水贵北
　　黒花香血　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□允允允允】　　　　　六声　【皃皃皃皃鱼防去○
　　吾牙月尧　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃○○○十】
　　三声　【母马美米允允允允】　　　　　七声　【皃皃皃皃男坎欠○
　　目皃眉民　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃●●●●】
　　三声　【武晚□尾允允允允】　　　　　八声　【皃皃皃皃●●●●
　　文万□未　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白□鼻允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃●●●●】
　　三声　【普朴品匹允允允允】　　　　　九声　【皃皃皃皃●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大帝■允允允允】　　　　　三音　【皃皃皃皃●●●●】
　　三声　【土贪天■允允允允】　　　　　十声　【皃皃皃皃●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　皃皃皃皃允允允允　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之四
　　【乃妳女■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■允允允允】　　　　　四音　【万万万万禾火化八】
　　三声　【老冷吕■允允允允】　　　　　一声　【万万万万开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　回每退○
　　走哉足■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■允允允允】　　　　　四音　【万万万万光广况○】
　　三声　【草采七■允允允允】　　　　　二声　【万万万万丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■允允允允】　　　　　四音　【万万万万元犬半○】
　　三声　【□□□■允允允允】　　　　　三声　【万万万万臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■士石■允允允允】　　　　　四音　【万万万万毛寳报霍】
　　三声　【■□耳■允允允允】　　　　　四声　【万万万万牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■允允允允】　　　　　四音　【万万万万衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■允允允允】　　　　　五声　【万万万万○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■允允允允】　　　　　四音　【万万万万龙甬用○】
　　三声　【■坼丑■允允允允】　　　　　六声　【万万万万鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　万万万万允允允允　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声翕唱吕四之四
　　【古甲九癸　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　四音　【万万万万○○○十】
　　四声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　七声　【万万万万男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　黑花香血　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　四音　【万万万万●●●●】
　　四声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　八声　【万万万万●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　　四音　【万万万万●●●●】
　　四声　【母马美米○○○○】　　　　　九声　【万万万万●●●●
　　目皃眉民　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　四音　【万万万万●●●●】
　　四声　【武晚□尾○○○○】　　　　　十声　【万万万万●●●●
　　文万□未　　　　　　　　万万万万○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之五
　　【卜百丙必　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白备鼻○○○○】　　　　　五音　【排排排排禾火化八】
　　四声　【普朴品匹○○○○】　　　　　一声　【排排排排开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　回毎退○
　　东丹帝■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　　五音　【排排排排光广况○】
　　四声　【土贪天■○○○○】　　　　　二声　【排排排排丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　五音　【排排排排元犬半○】
　　四声　【老冷吕■○○○○】　　　　　三声　【排排排排臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　走哉走■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　五音　【排排排排毛寳报霍】
　　四声　【草采七■○○○○】　　　　　四声　【排排排排牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　　五音　【排排排排衰○帅骨】
　　四声　【□□□■○○○○】　　　　　五声　【排排排排○○○德
　　□□□■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　　五音　【排排排排龙甬用○】
　　四声　【■□耳■○○○○】　　　　　六声　【排排排排鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　五音　【排排排排○○○十】
　　四声　【■义赤■○○○○】　　　　　七声　【排排排排男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　五音　【排排排排●●●●】
　　四声　【■坼丑■○○○○】　　　　　八声　【排排排排●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　排排排排○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕四之五
　　【古甲九癸　　　　　　　　排排排排水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆水水水水】　　　　　五音　【排排排排●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃水水水水】　　　　　九声　【排排排排●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　　排排排排水水水水　　　　　　　　●●●●
　　黑花香血　　　　　　　　排排排排水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤水水水水】　　　　　五音　【排排排排●●●●】
　　五声　【五瓦仰□水水水水】　　　　　十声　【排排排排●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　排排排排水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之六
　　【安亚乙一　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃禾火化八】
　　五声　【母马美米水水水水】　　　　　一声　【覃覃覃覃开宰爱○
　　目皃眉民　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　回毎退○
　　夫法□飞　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃光广况○】
　　五声　【武晚□尾水水水水】　　　　　二声　【覃覃覃覃丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【步白□鼻水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃元犬半○】
　　五声　【普朴品匹水水水水】　　　　　三声　【覃覃覃覃臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　君允防○
　　东丹帝■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃毛寳报霍】
　　五声　【土贪天■水水水水】　　　　　四声　【覃覃覃覃牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃衰○帅骨】
　　五声　【老冷吕■水水水水】　　　　　五声　【覃覃覃覃○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃龙甬用○】
　　五声　【草采七■水水水水】　　　　　六声【覃覃覃覃鱼防去○】
　　【曹才全■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃○○○十】
　　五声　【□□□■水水水氷】　　　　　七声　【覃覃覃覃男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■土石■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃●●●●】
　　五声　【■□耳■水水氷水】　　　　　八声　【覃覃覃覃●●●●
　　■□二■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃●●●●】
　　五声　【■义赤■水水水水】　　　　　九声　【覃覃覃覃●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■水水水水】　　　　　六音　【覃覃覃覃●●●●】
　　五声　【■坼丑■水水水水】　　　　　十声　【覃覃覃覃●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　覃覃覃覃水水水水　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕四之六　　　发音浊和律四之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　多可个舌】
　　一音　【□□近揆虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦禾火化八】
　　六声　【坤巧丘弃虎虎虎虎】　　　　　一声　【荦荦荦荦开宰爱○
　　□□干蚪　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　回每退○
　　墨花香血　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦光广况○】
　　六声　【五瓦仰□虎虎虎虎】　　　　　二声　【荦荦荦荦丁井亘○
　　吾牙月尧　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　兄永莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦元犬半○】
　　六声　【母马美米虎虎虎虎】　　　　　三声　【荦荦荦荦臣引艮○
　　目皃眉民　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　君允巽○
　　夫法□飞　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父凡□吠虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦毛寳报霍】
　　六声　【武晚□尾虎虎虎虎】　　　　　四声　【荦荦荦荦牛斗奏六
　　文万□未　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白□鼻虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦衰○帅骨】
　　六声　【普朴品匹虎虎虎虎】　　　　　五声　【荦荦荦荦○○○德
　　旁排平瓶　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　水贵北
　　东丹帝■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大弟■虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦龙甬用○】
　　六声　【土贪天■虎虎虎虎】　　　　　六声　【荦荦荦荦鱼防去○
　　同覃田■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦○○○十】
　　六声　【老冷吕■虎虎虎虎】　　　　　七声　【荦荦荦荦男坎欠○
　　鹿荦离■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　○○○妾
　　走哉足■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦●●●●】
　　六声　【草采七■虎虎虎虎】　　　　　八声　【荦荦荦荦●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦●●●●】
　　六声　【□□□■虎虎虎虎】　　　　　九声　【荦荦荦荦●●●●
　　□□□■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●
　　■山手■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■虎虎虎虎】　　　　　七音　【荦荦荦荦●●●●】
　　六声　【■□耳■虎虎虎虎】　　　　　十声　【荦荦荦荦●●●●
　　■□二■　　　　　　　　荦荦荦荦虎虎虎虎　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之八
　　【■庄震■　　　　　　　　才才才才虎虎虎虎　　　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■虎虎虎虎】　　　　　八音　【才才才才禾火化八】
　　六声　【■义赤■虎虎虎虎】　　　　　一声　【才才才才开宰爱○
　　■崇辰■　　　　　　　　才才才才虎虎虎虎　　　　　　　　回毎退○
　　■卓中■　　　　　　　　才才才才虎虎虎虎　　　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■虎虎虎虎】　　　　　八音　【才才才才光广况○】
　　六声　【■坼丑■虎虎虎虎】　　　　　二声　【才才才才丁井亘○
　　■茶呈■　　　　　　　　才才才才虎虎虎虎　　　　　　　　兄永莹○】
　　上声翕唱吕四之七
　　【古甲九癸　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　八音　【才才才才元犬半○】
　　七声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　三声　【才才才才臣引艮○
　　□□干蚪　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　君允防○
　　黒花香血　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　八音　【才才才才毛寳报霍】
　　七声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　四声　【才才才才牛斗奏六
　　吾牙月尧　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　　八音　【才才才才衰○帅骨】
　　七声　【母马美米○○○○】　　　　　五声　【才才才才○○○德
　　目皃眉民　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　水贵北
　　夫法□飞　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　八音　【才才才才龙甬用○】
　　七声　【武晚□尾○○○○】　　　　　六声　【才才才才鱼防去○
　　文万□未　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜白丙必　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白□鼻○○○○】　　　　　八音　【才才才才○○○十】
　　七声　【普朴品匹○○○○】　　　　　七声　【才才才才男坎欠○
　　旁排平瓶　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　东丹帝■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　　八音　【才才才才●●●●】
　　七声　【土贪天■○○○○】　　　　　八声　【才才才才●●●●
　　同覃田■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　八音　【才才才才●●●●】
　　七声　【老冷吕■○○○○】　　　　　九声　【才才才才●●●●
　　鹿荦离■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●
　　走哉足■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　八音　【才才才●●●】
　　七声　【草采七■○○○○】　　　　　十声　【才才才才●●●●
　　曹才全■　　　　　　　　才才才才○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之九
　　【思三星■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　　九音　【□□□□禾火化八】
　　七声　【□□□■○○○○】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　回每退○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　十音　【■士石■○○○○】　　　　　九音　【□□□□光广况○】
　　七声　【■□耳■○○○○】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　■□二■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　九音　【□□□□元犬半○】
　　七声　【■义赤■○○○○】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　君永巽○
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　九音　【□□□□毛寳报霍】
　　七声　【■坼丑■○○○○】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　○○○玉】
　　上声翕唱吕四之八
　　【古甲九癸　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　九音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　五声　【□□□□○○○德】
　　【□□干蚪　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　水贵北】
　　【黑花香血　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　九音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【五瓦仰□○○○○】　　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　　九音　【□□□□○○○十】
　　八声　【母马美米○○○○】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　目皃眉民　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【武晚□尾○○○○】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　文万□未　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　五音　【歩白□鼻○○○○】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【普朴品匹○○○○】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　旁排平瓶　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●
　　东丹帝■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■○○○○】　　　　　九音　【□□□□●●●●】
　　八声　【土贪天■○○○○】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　同覃田■○○○○】
　　发音浊和律四之十
　　【乃妳女■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■○○○○】　　　　　十音　【□□□□禾火化八】
　　八声　【老冷吕■○○○○】　　　　　一声　【□□□□开宰爱○
　　鹿荦离■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　回毎退○
　　走哉足■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匠■○○○○】　　　　　十音　【□□□□光广况○】
　　八声　【草采七■○○○○】　　　　　二声　【□□□□丁井亘○
　　曹才全■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺□象■○○○○】　　　　　十音　【□□□□元犬半○】
　　八声　【□□□■○○○○】　　　　　三声　【□□□□臣引艮○
　　□□□■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　君允巽○
　　■山手■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■□石■○○○○】　　　　　十音　【□□□□毛寳报霍】
　　八声　【■□耳■○○○○】　　　　　四声　【□□□□牛斗奏六
　　■□二■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　○○○玉】

　　【■庄震■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■○○○○】　　　　　十音　【□□□□衰○帅骨】
　　八声　【■义赤■○○○○】　　　　　五声　【□□□□○○○德
　　■崇辰■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　水贵北
　　■卓中■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■○○○○】　　　　　十音　【□□□□龙甬用○】
　　八声　【■坼丑■○○○○】　　　　　六声　【□□□□鱼防去○
　　■茶呈■　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　乌虎兎○】
　　上声翕唱吕四之九
　　【古甲九癸　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　心审禁○】
　　一音　【□□近揆○○○○】　　　　　十音　【□□□□○○○十】
　　九声　【坤巧丘弃○○○○】　　　　　七声　【□□□□男坎欠○
　　□□干蚪　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　○○○妾
　　黑花香血　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤○○○○】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【五瓦仰□○○○○】　　　　　八声　【□□□□●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅○○○○】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【母马美米○○○○】　　　　　九声　【□□□□●●●●
　　目皃眉民　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●
　　夫法□飞　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠○○○○】　　　　　十音　【□□□□●●●●】
　　九声　【武晚□尾○○○○】　　　　　十声　【□□□□●●●●
　　文万□未　　　　　　　　□□□□○○○○　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之十一
　　【卜百丙必　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　五音　【歩白□鼻●●●●】　　　　十一音　【崇崇崇崇禾火化八】
　　九声　【普朴品匹●●●●】　　　　　一声　【崇崇崇崇开宰爱○
　　旁排平瓶　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　回每退○
　　东丹帝■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇光广况○】
　　九声　【土贪天■●●●●】　　　　　二声　【崇崇崇崇丁井亘○
　　同覃田■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　千典亘○】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇元犬半○】
　　九声　【老冷吕■●●●●】　　　　　三声　【崇崇崇崇臣引艮○
　　鹿荦离■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　君允巽
　　走哉足■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇毛寳报霍】
　　九声　【草采七■●●●●】　　　　　四声　【崇崇崇崇牛斗奏六
　　曹才全■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【思三星■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇衰○帅骨】
　　九声　【□□□■●●●●】　　　　　五声　【崇崇崇崇○○○德
　　□□□■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　水贵北
　　■山手■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇龙甬用○】
　　九声　【■□耳■●●●●】　　　　　六声　【崇崇崇崇鱼防去○
　　■□二■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【■庄震■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇○○○十】
　　九声　【■义赤■●●●●】　　　　　七声　【崇崇崇崇男坎欠○
　　■崇辰■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■卓中■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇●●●●】
　　九声　【■坼丑■●●●●】　　　　　八声　【崇崇崇崇●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　上声翕唱吕四之十
　　【古甲九癸　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆●●●●】　　　　　十一音【崇崇崇崇●●●●】
　　十声　【坤巧丘弃●●●●】　　　　　九声　【崇崇崇崇●●●●
　　□□干蚪　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●
　　黑花香血　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤●●●●】　　　　十一音　【崇崇崇崇●●●●】
　　十声　【五瓦仰□●●●●】　　　　　十声　【崇崇崇崇●●●●
　　吾牙月尧　　　　　　　　崇崇崇崇●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　发音浊和律四之十二
　　【安亚乙一　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　多可个舌】
　　三音　【□爻王寅●●●●】　　　　十二音　【茶茶茶茶禾火化八】
　　十声　【母马羙米●●●●】　　　　　一声　【茶茶茶茶开宰爱○
　　目皃眉民　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　回毎退○
　　夫法□飞　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　良两向○】
　　四音　【父凡□吠●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶光广况○】
　　十声　【武晚□尾●●●●】　　　　　二声　【茶茶茶茶丁井亘○
　　文万□未　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　兄永莹○】

　　【卜百丙必　　　　　　　　茶茶□茶●●●●　　　　　　　　千典旦○】
　　五音　【歩白□鼻●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶元犬半○】
　　十声　【普朴品匹●●●●】　　　　　三声　【茶茶茶茶臣引艮○
　　旁排平瓶　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　君允巽○
　　东丹帝■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　刀早孝岳】
　　六音　【兊大弟■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶毛寳报霍】
　　十声　【土贪天■●●●●】　　　　　四声　【茶茶茶茶牛斗奏六
　　同覃田■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　○○○玉】

　　【乃妳女■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　妻子四日】
　　七音　【内南年■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶衰○帅骨】
　　十声　【老冷吕■●●●●】　　　　　五声　【茶茶茶茶○○○德
　　鹿荦离■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　水贵北
　　走哉足■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　宫孔众○】
　　八音　【自在匠■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶龙甬用○】
　　十声　【草采七■●●●●】　　　　　六声　【茶茶茶茶鱼防去○
　　曹才全■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　乌虎兎○】

　　【思三星■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　心审禁○】
　　九音　【寺□象■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶○○○十】
　　十声　【□□□■●●●●】　　　　　七声　【茶茶茶茶男坎欠○
　　□□□■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　○○○妾
　　■山手■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶●●●●】
　　十声　【■□耳■●●●●】　　　　　八声　【茶茶茶茶●●●●
　　■□二■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　【■庄震■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十一音【■乍□■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶●●●●】
　　十声　【■义赤■●●●●】　　　　　九声　【茶茶茶茶●●●●
　　■崇辰■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●
　　■卓中■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■●●●●】　　　　　十二音【茶茶茶茶●●●●】
　　十声　【■坼丑■●●●●】　　　　　十声　【茶茶茶茶●●●●
　　■茶呈■　　　　　　　　茶茶茶茶●●●●　　　　　　　　●●●●】

　　皇极经世书卷八下
<子部,术数类,数学之属,皇极经世书>
　　钦定四库全书
　　皇极经世书卷九上　　　　宋　邵雍撰
　　观物篇四十三
　　星日声去辟　　　　　土水音收清
　　个向旦孝四　　　　　九香乙　丙帝
　　众禁　　　　　　　　女足星手震中
　　星日声七下唱地之　　土水音十二上和天用音一百五十二是　　之用声一百一十二谓去声辟音去声辟　　是谓收音清声收音
　　音一千六十四　　　　清声一千三百四十
　　四
　　星日声去之一辟　　　土水音收之一清

　　去声辟唱吕一之一　　收音清和律一之一【古甲九癸个个个个】
　　一音　【□□近揆个个个个】　　　一音
　　一声　【坤巧丘弃个个个个】　　　一声　【九九九九开宰爱○】
　　【□□干蚪　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　回每退○】
　　【黒花香血　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　良两向○】
　　二音　【黄华雄贤个个个个】　　　一音　【九九九九光广况○】
　　一声　【五瓦仰□个个个个】　　　一声　【九九九九丁井亘○】
　　【吾牙月尧　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　兄未莹○】

　　【安亚乙一　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　千典旦○】
　　三音　【□爻王寅个个个个】　　　一音　【九九九九元犬半○】
　　一声　【毋马羙米个个个个】　　　三声　【九九九九臣引艮○】
　　【□兄眉民　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　君允巽○】
　　【夫法□飞　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　刀早孝岳】
　　四音　【父几□吠个个个个】　　　一音　【九九九九毛寳报霍】
　　一声　【武晚□尾个个个个】　　　四声　【九九九九牛斗奏六】
　　【文万□未　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　○○○玉】

　　【卜百丙必　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　妻子四日】
　　五音　【歩白□鼻个个个个】　　　一音　【九九九九衰○帅骨】
　　一声　【普朴品匹个个个个】　　　五声　【九九九九○○○徳】
　　【旁排平瓶　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　水贵北】
　　【东舟帝■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　宫孔众○】
　　六音　【兊大帝■个个个个】　　　一音　【九九九九龙甬用○】
　　一声　【土贪天■个个个个】　　　六声　【九九九九鱼防去○】
　　【同覃田■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　乌虎兎○】

　　【乃妳女■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　心审禁○】
　　七音　【内南年■个个个个】　　　一音　【九九九九○○○十】
　　一声　【老冷吕■个个个个】　　　七声　【九九九九男坎欠○】
　　【鹿荦离■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　○○○妾】
　　【走哉足■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匹■个个个个】　　　一音　【九九九九●●●●】
　　一声　【草采七■个个个个】　　　八声　【九九九九●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】

　　【思三星■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】
　　九音　【寺□象■个个个个】　　　一音　【九九九九●●●●】
　　一声　【□□□■个个个个】　　　九声　【九九九九●●●●】
　　【□□□■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】
　　【■山手■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】
　　十音　【■士石■个个个个】　　　一音　【九九九九●●●●】
　　一声　【■□耳■个个个个】　　　十声　【九九九九●●●●】
　　【■□二■　　　　　　九九九九个个个个　　　　　　●●●●】
　　收音清和律一之二
　　【■荘震■　　　　　　香香香香个个个个　　　　　　多可个舌】
　　十一音【■乍□■个个个个】　　　二音　【香香香香禾火化八】
　　一声　【■又赤■个个个个】　　　一声　【香香香香开宰爱○】
　　【■崇辰■　　　　　　香香香香个个个个　　　　　　回毎退○】
　　【■卓中■　　　　　　香香香香个个个个　　　　　　良两向○】
　　十二音【■宅直■个个个个】　　　二音　【香香香香光广况○】
　　一声　【■拆丑■个个个个】　　　二声　【香香香香丁井亘○】
　　【■茶呈■　　　　　　香香香香个个个个　　　　　　兄永莹○】
　　去声辟唱吕一之二
　　【古甲九癸　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　千典旦○】
　　一音　【□□近揆　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　元犬半○】
　　二声　【坤巧丘弃向向向向】　　　三声　【香香香香臣引艮○】
　　【□□干蚪　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　君允巽○】
　　【黒花香血　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　刀早孝岳】
　　二声　【黄华雄贤向向向向】　　　二音　【香香香香毛寳报霍】
　　二声　【五瓦仰□向向向向】　　　四声　【香香香香牛斗奏六】
　　【吾牙月尧　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　○○○玉】

　　【安亚乙一　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　妻子四日】
　　三音　【□爻王寅向向向向】　　　二音　【香香香香衰○帅骨】
　　二声　【母马羙米向向向向】　　　五声　【香香香香○○○徳】
　　【□皃眉民　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　龟水贵比】
　　【夫法□飞　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　宫孔众○】
　　四音　【父兄□吠向向向向】　　　二音　【香香香香龙甬用○】
　　二声　【武晚□尾向向向向】　　　六声　【香香香香鱼防去○】
　　【文万□未　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　乌虎兎○】

　　【卜百丙必　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　心审禁○】
　　五音　【歩白□鼻向向向向】　　　二音　【香香香香○○○十】
　　二声　【普朴品匹向向向向】　　　七声　【香香香香男坎欠○】
　　【旁排平瓶　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　○○○妾】
　　【东丹帝■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■向向向向】　　　二音　【香香香香●●●●】
　　二声　【土贪天■向向向向】　　　八声　【香香香香●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】

　　【乃妳女■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】
　　七音　【内南年■向向向向】　　　二音　【香香香香●●●●】
　　二声　【老冷吕■向向向向】　　　九声　【香香香香●●●●】
　　【鹿荦离■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】
　　【走哉足■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】
　　八音　【自在匹■向向向向】　　　二音　【香香香香●●●●】
　　二声　【草采七■向向向向】　　　十声　【香香香香●●●●】
　　【曹才全■　　　　　　香香香香向向向向　　　　　　●●●●】
　　收音清和律一之三
　　【思三星■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　多汀个舌】
　　九音　【寺□象■向向向向】　　　三音　【乙乙乙乙禾火化八】
　　二声　【□□□■向向向向】　　　一声　【乙乙乙乙开宰爱○】
　　【□□□■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　回每退○】
　　【■山手■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　艮两向○】
　　十音　【■土石■向向向向】　　　三音　【乙乙乙乙光广况○】
　　二声　【■□耳■向向向向】　　　二声　【乙乙乙乙丁井亘○】
　　【■□二■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　兄永莹●】

　　【■庄震■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　千典旦○】
　　十一音【■乍▢■向向向向】　　　三音　【乙乙乙乙元犬半○】
　　二声　【■义赤■向向向向】　　　三声　【乙乙乙乙臣引良○】
　　【■崇辰■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　君允巽○】
　　【■卓中■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　刀早孝岳】
　　十二音【■宅且■向向向向】　　　三音　【乙乙乙乙毛寳报霍】
　　二声　【■折丑■向向向向】　　　四声　【乙乙乙乙牛斗奏六】
　　【■茶呈■　　　　　　乙乙乙乙向向向向　　　　　　○○○王】
　　去声辟唱吕一之三
　　【古甲九癸　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　妻子四日】
　　一音　【□□近揆旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙衰○帅骨】
　　二声　【坤巧丘弃旦旦旦旦】　　　五声　【乙乙乙乙○○○徳】
　　【□□干蚪　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　水贵比】
　　【黒花香血　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　宫孔众○】
　　二音　【黄华雄贤旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙龙甬用○】
　　三声　【五瓦仰□旦旦旦旦】　　　六声　【乙乙乙乙鱼防去○】
　　【吾牙月尧　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　乌虎兎○】

　　【安亚乙一　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　心审禁○】
　　三音　【□爻王寅旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙○○○十】
　　三声　【母马美米旦旦旦旦】　　　七声　【乙乙乙乙男坎欠】
　　【目儿眉民　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　○○○妾】
　　【夫法□飞　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】
　　四音　【父几□吠旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙●●●●】
　　三声　【武晚□尾旦旦旦旦】　　　八声　【乙乙乙乙●●●●】
　　【文万□未　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】

　　【卜百丙必　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】
　　五音　【步白□鼻旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙●●●●】
　　二声　【普朴品匹旦旦旦旦】　　　九声　【乙乙乙乙●●●●】
　　【旁排平瓶　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】
　　【东丹帝■　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】
　　六音　【兊大弟■旦旦旦旦】　　　三音　【乙乙乙乙●●●●】
　　三声　【土贪天■旦旦旦旦】　　　十声　【乙乙乙乙●●●●】
　　【同覃田■　　　　　　乙乙乙乙旦旦旦旦　　　　　　●●●●】
　　收音清和律一之四
　　【乃妳女■　　　　　　□□□□旦旦旦旦　　　　　　多可个舌】
　　七音　【内南年■旦旦旦旦】　　　四音　【□□□□禾火化八】
　　三声　【老冷吕■旦旦旦旦】　　　一声　【□□□□开宰爱○】
　　【鹿荦离■　　　　　　□▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　回每退○】
　　【走哉足■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　良两向○】
　　八音　【自在匹■旦旦旦旦】　　　四音　【▢▢▢▢光广况○】
　　三声　【草采七■旦旦旦旦】　　　二声　【▢▢▢▢丁井亘○】
　　【曹才全■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　兄永莹○】

　　【思三星■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　千典旦○】
　　九音　【寺▢象■旦旦旦旦】　　　四音　【▢▢▢▢元犬半○】
　　三声　【▢▢▢■旦旦旦旦】　　　三声　【□▢□▢臣引艮○】
　　【▢▢▢■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　君允巽○】
　　【■山手■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　刀早孝岳】
　　十音　【■土石■旦旦旦旦】　　　四音　【▢▢□▢毛寳报霍】
　　三声　【■▢耳■旦旦旦旦】　　　四声　【▢▢▢▢牛斗奏六】
　　【■▢二■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　○○○玉】

　　【■荘震■　　　　　　▢▢▢▢旦旦旦旦　　　　　　妻子四日】
　　十一音【■乍□■旦旦旦旦】　　　四音　【□□□□衰○帅骨】
　　三声　【■义赤■旦旦旦旦】　　　五声　【□□□□○○○徳】
　　【■崇辰■　　　　　　□□□□旦旦旦旦　　　　　　水贵北】
　　【■卓中■　　　　　　□□□□旦旦旦旦　　　　　　宫孔众○】
　　十二音【■宅直■旦旦旦旦】　　　四音　【□□□□龙甬用○】
　　三声　【■拆丑■旦旦旦旦】　　　六声　【□□□□鱼防去○】
　　【■茶呈■　　　　　　□□□□旦旦旦旦　　　　　　乌虎兎○】
　　去声辟唱吕一之四
　　【古甲九癸　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　心审禁】
　　一音　【□□近揆孝孝孝孝】　　　四音　【□□□□十】
　　四声　【坤巧丘弃孝孝孝孝】　　　七声　【□□□□男坎欠】
　　【□□干蚪　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　　　　妾】
　　【黒花香血　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄华雄贤孝孝孝孝】　　　四音　【□□□□●●●●】
　　四声　【五瓦仰□孝孝孝孝】　　　八声　【□□□□●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】

　　【安亚乙一　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　三音　【□爻王寅孝孝孝孝】　　　四音　【□□□□●●●●】
　　四声　【母马美米孝孝孝孝】　　　九声　【□□□□●●●●】
　　【目儿眉民　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　【夫法□飞　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　四音　【父凡□吠孝孝孝孝】　　　四音　【□□□□●●●●】
　　四声　【武晚□尾孝孝孝孝】　　　十声　【□□□□●●●●】
　　【文万□未　　　　　　□□□□孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　收音清和律一之五
　　【卜百丙必　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　多可个舌】
　　五音　【步白□鼻孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内禾火化八】
　　四声　【普朴品匹孝孝孝孝】　　　一声　【内内内内开宰爱○】
　　【旁排平瓶　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　回每退○】
　　【东丹帝■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　良两向○】
　　六音　【兊大弟■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内光广况○】
　　四声　【土贪天■孝孝孝孝】　　　二声　【内内内内丁井亘○】
　　【同覃田■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　兄永莹○】

　　【乃妳女■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　千典旦○】
　　七音　【内南年■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内元犬半○】
　　四声　【老冷吕■孝孝孝孝】　　　三声　【内内内内臣引艮○】
　　【鹿荦离■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　君允巽○】
　　【走哉足■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　刀早孝岳】
　　八音　【自在匹■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内毛寳报霍】
　　四声　【草采七■孝孝孝孝】　　　四声　【内内内内牛斗奏六】
　　【曹才全■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　○○○玉】

　　【思一星■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　妻子四日】
　　九音　【寺□象■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内衰○帅骨】
　　四声　【■□□■孝孝孝孝】　　　五声　【内内内内○○○徳】
　　【■□□■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　水贵北】
　　【■山手■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　宫孔众○】
　　十音　【■土石■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内龙甬用○】
　　四声　【■□耳■孝孝孝孝】　　　六声　【内内内内鱼防去○】
　　【■□二■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　乌虎兎○】

　　【■荘震■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　心审禁○】
　　十一音【■乍□■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内○○○十】
　　四声　【■义赤■孝孝孝孝】　　　七声　【内内内内男坎欠○】
　　【■崇辰■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　○○○妾】
　　【■卓中■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　十二音【■宅直■孝孝孝孝】　　　五音　【内内内内●●●●】
　　四声　【■拆丑■孝孝孝孝】　　　八声　【内内内内●●●●】
　　【■茶呈■　　　　　　内内内内孝孝孝孝　　　　　　●●●●】
　　去声辟唱吕一之五
　　【古甲九癸　　　　　　内内内内四四四四　　　　　　●●●●】
　　一音　【□□近揆四四四四】　　　五音　【内内内内●●●●】
　　五声　【坤巧丘弃四四四四】　　　九声　【内内内内●●●●】
　　【□□干蚪　　　　　　内内内内四四四四　　　　　　●●●●】
　　【黑花香血　　　　　　内内内内四四四四　　　　　　●●●●】
　　二音　【黄花雄贤四四四四】　　　五音　【内内内内●●●●】
　　五声　【五瓦仰□四四四四】　　　十声　【内内内内●●●●】
　　【吾牙月尧　　　　　　内内内内四四四四　　　　　　●●●●】
　　收音清和律一之六
　　【安亚乙一　　　　　　帝帝帝帝四四四四