崇祯历书卷之三十八 测量全义卷一
法原部校：據奎章
阁本校录
测量全义第一卷 叙目 测直线三角形
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
远西耶稣会士罗雅谷 譔
同 会 龙华民
汤若望同 订
庠 生 卫斗枢修 润
访 举 陈于阶等 算
长 洲 孙嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修陈于阶朱廷枢
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人孙嗣烈朱光大受法汤若望订
卫斗枢掌乘
测量全义十卷校：清刊本段前有測量全義敘目標題前九卷属法
原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不
明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然
者昧昧不知所往即使沿其流齐其末穷智极虑
求法之确然不易弗可得已况天之高星辰之远
历数之赜且隐也而不究其原可乎旋观往代如
二十一史所载汉以后诸家之历详矣大都专求
法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫覩大
全杂以易卦乐律益增迷瞀何怪乎千八百年而
未有定法也夫历法之原有二其一则象纬之原
也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原
如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七
政本论会而通之聊足著明矣此书所论则推测
之原也古今言推测者又有二其可以形察可以
度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓
之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其
一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物
以为数论其几何众曰算法也历象之家兼用二
法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之
属有四曰点曰线曰面曰体点引为线线展为面
面积为体究此四者诸有形有质之物细若纤芥
巨若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不
过曲成不遗也点不可为度线不可为形必三线
交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧历无
从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要
诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近
远者也三角形繇两视线一径线径线者所测物
之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中
而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政
为远大之形形绝不等然其为三角等则比例必
等因而用小推大用近推远亡不合者故曰通大
小通远近也夫学难者必自近也学微者必自显
也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之
百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物
之高一山之高与测日月星辰去地之高也无以
异则亦通大小通远近者也其次进而测面面者
平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之面
与测地景之面测日月星之面其理一也又进而
测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而
测物之容与测地之容日月星之容其理一也是
皆远近大小通焉者也既曰通焉而不言远大先
言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以
求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有
能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言
远大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣
然而皆平面直线也天则圆体其面圆面其线曲
线也测圆面之难十倍平面测曲线之难十倍直
线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有
法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆
非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线
表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧
背求弦矢用测曲线三角形展转推求展转变易
凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时
推迁运会者上下百千万年可知也诸天诸曜种
种运行悉无一定之法其为纷赜莫可胜原此弧
弦诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜
自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七
政而能为七政之准则历家谓之天元道天元极
天元分至终古无变易也因此推步是以有恒御
无恒历家之立法最难在此其用法最易亦在此
矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不
作明者非器不述差者非器不改合者非器不验
教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧
者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以
唐虞钦若首在玑衡历代以还屡更其制据今所
有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾
数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不
复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测
候多端止凭一器架柱森列多成映蔽均赋辰度
尚未精密刻定宿度则又元时所测非今测也此
卷中分列诸器择其最急畧有五种曰测高仪曰
距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经
纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求
不得矣更求密测责以分秒无差则一式又须三
器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安
置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推
究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同
者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然
可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分
今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分
则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍
细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅
无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必
奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋
以来考诸史志约畧相等宋史言东都浑仪四座
每座约铜二万余斤今拟诸式槩从轻省若得宋
元一仪之费足以尽造诸器有余矣且每式三器
诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平
仪可以得高一倍本数亦能通用或五大既全稍
从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可
则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将
修改则一器止堪一用其修改之费恐过于造作
计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经
纬在于施用未为关切今体制完美无烦再造矣
书十卷目录如左
第一卷 测直线三角形
第二卷 测线上
第三卷 测线下
第四卷 测面上
第五卷 测面下
第六卷 测体
第七卷 测曲线三角形
第八卷 测球上大圈
第九卷 测星
第十卷 仪器图说
测量全义第一卷之首
界说二十三则
第一界
正弧全圈四分之一或大焉或小焉
如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之
一是名一象限九十度正弧之大无过于此
若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但
小者皆名正弧而大者则名过弧
第二界
余弧正弧之剩分
如庚己正弧庚乙为余弧是正小于己乙
也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙为过
弧之余弧也
第三界
通弦者通弧之相当线分圈为两分相当线亦名对线
如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当
第四界
圈内线极大过心者为圈径
如己戊丁是
第五界
正弦弦之半
如丙甲庚弦半之为丙甲正弦当丙乙弧又丙辛子
弦半之为丙辛正弦当丙丁弧或曰正弦者从圈上
一点作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之
正弦
第六界
余弦余弧之正弦
如丁丙正弧则丙乙其余弧丙甲为丙乙之正弦丙
丁之余弦
第七界
倒弦者余弦与半径之较亦名矢
如丙甲余弦与辛戊线等以辛戊减丁戊
半径存辛丁为丙丁弧之倒弦亦为丙丁
弧之矢
第八界
全弦径之半象限弧之正弦
第九界
直线角在圈心或大或小皆居对弧两腰间相当
弧亦曰对弧
如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙
戊丁戊两腰间
第十界
余角者余弧之正角对角亦名正角亦名相当角
如丙戊乙角为丙丁正弧之余角即丙乙余弧之正
角
第十一界
切线者圈径界之垂线亦名切圈线在圈外如下界之丙甲线
第十二界
割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圈之内外
如甲戊丙形甲直角凡言甲角当九十度弧之直角戊为心丙戊交
圈于乙割线也此线限心上角限甲乙弧则
角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割
线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也
第十三界
余切线者余弧之切线
第十四界
余割线者余弧之割线
如戊丁余弧乙己为割线是甲戊弧之余割
线
第十五界
全圈三百六十度半径之全数十万平分或用一万或用百万千万
皆可
第十六界
设弧者任取全圈之一分凡言设者先有定数也或称有或称得
如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也
取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也
第十七界
设角者设弧之角
如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙
角言角之度分即对弧之度分
第十八界
设正弦
如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所
设丙丁弧之正弦
第十九界
设切线
如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线
第二十界
设割线
如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线
第二十一界
设边线
如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈
或甲丙三丈俱所设边线
第二十二界
方数者方形边自乘之数
如正方边四自之得一十六方之各边俱等
方形根者开方所得方形一边之数
第二十三界
平形有方有矩方者直角方形矩者矩内直角形
矩形边两两自相等有一边有实用算得所求他边
开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得
省布算焉简法见筹算
测量全义第一卷 测直线三角形
第一题
通弦与通弧正弦与正弧比例等比例等后省曰若
解曰有己庚乙丙丁圈其通径己戊丁戊上
作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则
庚甲丙为庚乙丙通弧之对弦题言庚甲丙
通弦与庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦与乙丙正
弧
论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊
丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两
旁直角等甲戊同边则两形必等两角之对弧亦等
几何三卷二十六故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙
两半比例等
第二题
圈内正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等
解曰有全圈丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙
乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂
线截径于辛于壬作直角平分两弦三卷第三亦
平分丙丁戊乙寅己两弧三卷三十是丙丁丁戊偕乙寅
寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等
则其弦丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬
壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既
等则丙辛乙壬两正弦必等
论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至
界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等三卷二十七丙
辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三
角形必等故丙辛乙壬两正弦必等反之丙辛与乙
壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙
庚辛乙庚壬两角亦等一卷第八而丙丁乙寅两对弧必
等三卷第二十六
第三题
圈之内大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧
各相对
解曰甲乙丙丁圈甲己大弧丙庚小弧题言
己卯弦大于庚寅弦
论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛
各作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅
辛壬两半等本卷二即庚丑辛子两全亦等三卷第三己癸
近心大于辛子三卷十五是全大于其全也五卷十五己卯视
辛壬半不大于其半乎
次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛
与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等皆在两平行线
内甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己
卯大弦必大于辛壬小弦是大弦对大弧小弦对小
弧也
第四题
圈径截弦亦截弧任分弦之两分与两弧之正弦各相
似
解曰有圈径乙辛截丙丁通弦于己截丙
乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各
正弦为丙甲戊丁题言丙己己丁两分弦与甲丙戊
丁两正弦比例等
论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等
之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等一卷
三十二是形与形边与边俱相似而丙己己丁两分弦
之比例与丙甲丁戊两正弦自相似
第五题三支
三不等角形作垂线任分底为二其大分依大边大边
上方大于小边上方其较为底全线偕分余线矩内
形
先解曰丁乙丙角形三边不等丁乙小丁
丙次之乙丙大为底凡边大者为底从丁角作垂
线至底题言分底为二者谓垂线之甲点
在形内盖乙丙边大即对角之乙丁丙角
亦大乙丙两角必小如谓点在形外即以乙丙边引
长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙
己钝角甲乙丁为锐角故也又有己直角是两角大于两直角
也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大
分依丁丙大边
论曰丁丙边既大于丁乙边即其上方形亦大而丁
丙上方与甲丁甲丙上两方并等一卷四十七则
甲丁甲丙两边并亦大于甲丁甲乙两边并
试减同用之甲丁则所存甲丙亦大于甲乙
是甲丙大分依丁丙大边也
三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内
形
论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引
增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形并
与甲丙上方形等二卷第六次各加一甲丁上方形则乙
丙偕戊丙矩内形及乙甲即甲戊也甲丁上两方形或丁
乙上方形乙甲甲丁两方并与丁乙方等一卷四七与甲丙甲丁上两方
并或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲
丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方
大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形
第六题四支
三不等角形从角作垂线任分底为二知其边数即知
各分数
解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较
法曰丁乙丁丙上两方之实相减余者以底
数而一得戊丙以减底数余者半之得乙甲
小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得
二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五
以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以
减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三
十六之十九乙甲也
次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方
小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形
二
法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形并
为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存
一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之
数约之为五又三十六之十九者二
三解曰以丁大角为心丁乙小边为界作全圈截丁
丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径
等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等三卷三十
六乙甲甲戊又等三卷三丙乙大边有戊丙分在圈外
法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得
辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二
十以己丙五乘辛丙得一百二十五为实乙
丙十八为法而一得六又十八之十七为戊
丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲
四解曰以丁大角为心丁丙大边为界作全圈乙丙
底引长于戊丁乙边引长于庚于己即庚乙乙己矩
内形与丙乙乙戊矩内形等三卷三十五丙甲甲
戊既等庚丁丁丙亦等庚乙边二十五丁丙
丁乙两边并亦二十五丁己丁丙各十五减
丁乙十存乙己五与庚乙相乘得一百二十五为实
乙丙十八为法而一得六有奇为戊乙以加乙丙十
八得戊丙平分得丙甲
第七题
断比例之四率以三推一名三率法
解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类
或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第
一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率
相乘与首尾两率相乘得数等故二三相乘为实第
一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称
为全法焉同类异类反理转理俱见几何四卷
第八题
三边直角形锐角为心底为界作象限圈半径为全数
在心角对边为其弧之正弦其旁为正弧之余余弧
之正
解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙
丙底为界作丁己象限圈引乙甲边于丁从
心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对边作
全数本界说八丙甲边为在心角之对边即丁丙弧之正
弦本界说五而甲乙边为丁丙正弧之余弦为丙己余弧
之正弦所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直
角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等一卷三十
四丙己弧为丁丙正弧之余弧丙戊为丙己
余弧之正弦为丁丙正弧之余弦甲乙同
又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲为丙角之
对边为乙丁正弧之正弦甲丙其余弦乙戊同
第九题
三角形边与边之比例若各对角之正弦
解曰题一言直角形依前论各边为对角
之正弦在心角与正弧与正弦俱同理则
弧与弧弦与弦角与角其比例俱等二言
三边等即三角俱等一卷五角之正弦亦等
则边与边皆若角与角三言己乙丙杂角
形三边形不等则以己乙小边引长于丁为乙丁与
己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界
作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底
论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同
用乙角即各边俱相似六卷四则乙丁与乙辛若乙己
与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己边与丁辛若己
乙边与甲己也夫丁辛为乙角之正弦甲己为丙角
之正弦更之则丙己边与己乙边若乙角正弦之丁
辛与丙角正弦之甲己也
第十题
有三角即有三边之比例
解曰直角形设一锐角自有其二一卷三十二三边等形
设一边自有其三两边等形有腰间角以减两直角
平分其较自得底上角杂角形有两角并以减两直
角其较为第三角杂角者总直钝锐也下文以直角为例如乙角四十
二度查正弦得六六九一三丙角四十八度
得七四三一四则丙甲边与乙甲边若六六
九一三与七四三一四约之为三十三与三
十七有奇也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正弦
六六九一三也钝角同理
第十一题
三角形有设角之比例即有各角之几何
解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙
角若四与六题言可得各角之几何
论曰三几何分之有比例并之亦有比例五卷
十八乙丙丁三角并得十三其与丙若十三与
六与丁若十三与三与乙若十三与四
如求每角几度则用三率法三角并为第一两直角
并一百八十为第二每角之分数为第三推之得第
四
或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以
第一第
三相乘
所得为
第一率以第二第三相乘所得为第二以第三第四
相乘所得为第三再用前法又如乙与丙若三与四丙与
丁若
五与
六列
数如
图
第十二题 论直角三边四支
三角形有锐角及直角之对边求余边
一法曰置弦三角形之弦直角之对边也如乙丙二丈
五尺乙角三十六度五十二分丙角必五
十三度〇八分求丙甲边以乙角为心作
丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲边乙角之正弦
也
一率甲直角之全数十万
二率丙乙边外数二十五尺言内者八线表数言外者今所求得数如
丈尺等
三率乙角三十一校：原有一字度五十二分
六当衍今删
或用丙角五十三度
正弦内数五九九九五 其正弦内数八〇〇〇三
四率得一四九九约得一丈四尺 四率得二丈
为甲丙边外数 为甲乙边外数
用加减法
凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数
进为万加〇若过万则退位两率各当正弦向各
表上取其弧两弧并而相减求总存两弧之各余
弦若总数过九十者两余弦相加其半为第四率
总数不过九十者两余弦相减所存半之为第四
率
如全数与二十五若五九九九五与所求数法二
十五作二万五千正弦表取其弧得十四度二十
九分查第三率得三十六度五十二分两弧并得
五十度二十分其余弦为六三八三三相减存二
十二度二十四分其余弦九二四五五两余弦之
较二八六二三半之得一四三一为第四率与三
率乘除所得同
用切割两线
二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己弧截
乙丙于戊则乙甲边全数也甲丙乙角之切
线也乙丙乙角之割线也有乙设角即有其
切线与割线而求甲乙边则乙角之割线与乙丙外
若乙甲全数与乙甲外又求甲丙边则乙角之割线
与乙角之切线若乙丙外与丙甲外
一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五
二乙丙外边二十五 或二乙角之切线七四九九一
三全数十万 〇三乙丙外边二十五
四得二十为外甲乙边 四得十五为外甲丙边
三法曰设直角傍之一边如乙丙甲角五
十三度八分用正弦则乙丙为全数其法
为丙角之正弦与乙甲外数若甲直角之
全数与乙丙底外数
丙角五十三度八分之正弦八〇〇〇三
乙甲边外数二十
乙丙全数十万 乙角之正弦五九九九五
得二十五强即乙丙底外数 得一十五强乃甲丙边外数
用割切二线
四法曰设乙甲边与乙角则甲乙全内数与
其外数若乙丙割线内数与其外数或若甲
丙切线内数与其外数底与边俱得乙甲全
数十万
乙甲边数二十
乙角割线内数一二四九九五 乙角切线内数七四九九一
得二十五强即乙丙外数 得一十五强即甲丙外数
第十三题三支
有两边求余边又求其角
一支两边在直角之傍
一法曰先求边用勾股法两边数自之并而
开方得直角之对边一卷四十七次以边求其角因角与
角之比例若边与边用正弦数为丙乙边之外数与
甲角之全数若丙甲边外数与乙角之正弦亦若甲
乙边外数与丙角之正弦
丙乙外数五
全十万
甲乙外数三 甲丙边外数四
得六为丙角之正弦查得三十六度五十二分得八为乙角之正弦查得五十三度〇八分
用割切线
二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其
切线丙乙割线也先求角则甲丙边外数
与全数若甲乙边外数与丙角之切线
丙甲外数四
全十万
甲乙边外数三
得七五〇〇〇为丙角之切线查得三十六度五
十二校：清刊本五十八作五十二經驗算後是據改分
有丙角自有乙角而求丙乙边则全数与甲丙外数
若丙角之交线与丙乙外数
全十万
甲丙外数四
丙角交线一二五〇二二
得五为丙乙边外数
二支一边为直角之对一边在直角之傍
三法曰先用勾股法两设边各自之相减余开方得
所求边有边求角则角与角之比例若边与
边
四法曰不用开方用第一支求角法有二边
即有对角之数次求边则丙乙全数与丙乙外数若
乙角之正弦与丙甲外数
全数十万
乙丙外数五
乙角之正弦八〇〇〇三
得四为甲丙边外数
用割切两线
五法曰求角用乙角之割线则乙甲外数与
全数若乙丙外数与乙丙内数内乙丙者乙
角之割线也
乙甲边外数三
全数十万
乙丙外数五
得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度
五十二分丙角三十六度〇八分
六法曰求边用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲
外数若乙角之切线与甲丙外数
乙甲内全数十万 或乙角之割线一六六六七九
甲乙外数三 乙角之切线一三三三四九
乙角之切线一三三三四九 乙丙边外数五
得四为甲丙边外数 得四为甲丙边外数
又问有一边及两边之比例余边几何
法曰设一边与第二边有比例或大或小则以
大比例为前数为第一率设边数为二率比例
之后数为三率用三率法得四率为第三边之数次
用勾股法求第三边如乙甲一丈乙甲与甲丙若二
十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之
又问设两边总之较问各边若干此测量不常用见
勾股索隐
又增题 三边直角形设两腰以求角
法曰设甲乙七十五校：清刊本五十七作七十五是今改甲丙
百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙
甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙
等一卷十次以戊为心乙为界作丙乙己半圈
丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线
六卷十三是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙
甲边自之以丙甲边而一得甲己知丙己径之数即
知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数
若外乙甲与乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也
丙在弧角也弧角半于心角则因乙戊甲角得丙角三卷
二十题
甲乙七十五校：同前條自之五千六百二十五甲丙百而
一得五十六又四之一与丙甲并得一百五十六又
四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半
径
戊丙七八又八之一
全十万
甲乙七五
乙己弧正弦九六〇〇〇
查得七十三度二十二分半之得三十六度四十
一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切
线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得
丙角之切线也
第十四题论杂角三边形
有三角及一边求第二第三边
解曰依前论边与边若角与角如设乙角六十〇度
丁角三十六度丙角八十四度乙丙边一十
〇步
法曰所有边其对角之正弦为第一率边数
为二率所求边对角之正弦为三率得四率即所求
边数
丁角之正弦五八七七九
乙丙边数一十
丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六〇〇一
得十七为丁乙边 得十五为丙丁边
若三角形有钝角当借用其余角之正弦
第十五题三支
有角及其旁两腰求余边余角
一支不论角之体势 如丁乙丙角形乙丁边一十
二步丁丙一十五步丁角二十四度三十七分而求
乙丙边乙角丙角先以丙丁边引长之丁为
心乙为界作乙壬辛戊弧截引长边于戊次
作戊乙通弦从丁作丁庚辛线与丙乙平行
末平分戊乙弦作丁甲壬线
解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角
必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等在平行线内
庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线
故其相对两内角等则乙丁边与丙角之正弦或庚
丁戊角之正弦若丁丙与乙角之正弦或庚丁乙角
之正弦依显戊庚弦与庚乙弦若庚丁戊角之正弦
与乙丁庚角之正弦亦若乙丁一十二与丁丙一十五也
本卷四题次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙并得戊乙
二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊
角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存
甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内
四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线
知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚
也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数
乙丁边十二丁丙边十五总二十七代以乙戊也半
之得十三半甲戊也减比例小数即十二余一半甲
庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角并得一百
五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四
十一分甲丁戊也
法曰乙丁丁丙两边数并半之为第一率乙丁戊角
之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比
例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切
线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即
丙角之度既得角则用前法求边或两腰总数作第一率两腰较作第
三率
甲戊十三有半
甲丁戊角之切线四五八〇〇一
甲庚有一半
得五〇八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分
甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六
度五十六分共一百〇四度三十七分即丁乙丙角
也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二
十六度五十六分余五十度四十五分为丙角则乙
丁边与丁丙边若丙角与乙角
二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百
三十度丁丙边一十二步丙乙边一十五步用设边
如乙丙引长之从丁作垂线至引长边得
甲点在形外何者甲乙丁角形有甲直角
丁丙乙角形有丙钝角则丙丁乙丙乙丁
两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形
之三角并等两直角钝大于直则所余两
角并必小于直角之两余并矣故丁甲线在丙丁之
外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其余角也必五
十度丙丁甲角必四十度一法用正弦用开方丁角
为心丁乙边为界作戊乙辛圈分又丁丙为界作午
丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙边十二步甲
丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙
两边其法全数与丁丙若甲丙丁角之正弦与甲丁
甲丙亦如之既得两边开方求丁乙边甲丙丙乙并之得勾丁甲
为股故也
全数十万
丁丙边外数十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六〇四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九
得九又一百之十九为甲丁边外数 得七又一百之七十一为甲丙边外数
甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十自之并得一万之六〇
〇二四三五开方得一百之二四四九即丁乙边
约之得二十五不足有三边以求角则丁乙边与
全数若丁丙边与乙角之正弦查得二十二度有
奇
用割切两线丁为心作甲己象限圈即丙丁为丙丁
甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割
线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其
形内有丁丙两锐角有丁丙边十二步而
求甲丁甲丙两腰得甲丁九步又一百之
一十九甲丙七步又一百之七十一以丙
乙丙甲并为甲乙边二十二步有奇则甲
丁乙三角形有甲丁甲乙两边开方求丁乙底得二
十四步半有奇
甲丁丙角割线一三〇五四
丁丙边外数十二
全数十万 甲丁边角切线八三九一〇
得九又一百之十九为甲丁边外数
有三边以求角则甲丁边外数与全数若甲乙边外
数与乙丁甲角之切线
甲丁边数九步一十九分
全数十万
甲乙边之数二十二步七十一分
得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十
度五十分
三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十
四度二十七分丁乙边三十六步乙丙边五十二步
十五之十一一法用正弦数亦用开方从
乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙
丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅
丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙
丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正
弦甲乙又丁角之正弦用法求甲丁为一十五步求
甲乙为二十二步又一十五之一十一则以甲乙减
丙乙存甲丙线二十步依显丁甲丙角形有丁甲一
十五步甲丙二十步用开方法求丁丙得五步末以
三边求甲丙丁角得三十六度五十〇分
全数十万
丁乙边外数三十六
乙角之正弦四六六七 乙角之余弦九〇九〇六
得十五为丁甲边外数 得二十三又十五之十一为乙甲边外数
丁丙边二十五
甲丁边十五
全十万
得六〇〇〇〇为丙角之正弦查得三十六度五十五分
用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圈
丁甲乙角形丁甲为全数丁乙边为乙丁甲
角之割线甲乙其切线也又丁甲丙角形丁
甲为全数丁丙边为丙丁甲角之割线甲丙
其切线也丁乙甲角形有丁乙边三十六步
有丁角为乙之余角六十五度二十二分用
法求丁甲甲乙两边于丙乙减甲乙存二十为甲丙
边又丁甲丙角形有丁甲甲丙两边用法求丙角亦
求丁丙边
乙丁甲角之割线二三九九九九
丁乙外边三十六
全数十万 乙丁甲角之切线二一八一七三
得十五为所求外丁甲 得三十二又十五之十一为外甲乙
求角甲丁边十五
全数十万
甲丙边二十
得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度〇七分
求边全数十万
甲丁丙角之割线一六六六六五
丁丙边十五
得二十五弱为丁丙边
甲丙甲丁两边之正方实并而开方得丁丙二十五
弱
第十六题四支
杂角形设两边及一边之对角求余边余角
一支不论角之体势依边与边若角与角比例
之法
先求乙角则丁乙为外一率其对角即丙角之正弦为
二率丁丙为外三率所得为乙角之正弦以丁二十
五步弱丁丙十二步丙角百三十度列数得之
丁乙边二十五步弱
丙一百三十度用五十度角之正弦七六六〇四
为一弦当大小两弧
丁丙边十二
得三七五〇〇为乙角之正弦查得二十二度〇
二分
并乙丙两角之度以减一百八十余二十七度五十
八分得丁角
次有角求丙乙边则乙角之正弦与外丁丙若丁角
之正弦与外丙乙
乙角之正弦三七五〇〇
丁丙边十二
丁角之正弦四七〇〇〇
得十五为丙乙边
二支所设为钝角数如前用所设两腰间之丁角为心
以丙以乙为界各作弧用正弦数如十四题第一图
丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙
丁甲角必四十度甲直角故求甲丁边用前法如一
图
又甲丁乙角形有甲丁边九步又百分之一
十九分丁乙边二十四步求甲乙丁角如二
图
又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙角依前法求丙乙
边如三图
全数十万
丁丙边十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六〇四
得九又一百之十九为甲丁边数
丁乙边二十四步半 乙角之正弦三七五〇
全十万 丁丙边十二
甲丁边九步又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六
得三七五一为甲乙丁角之正弦得十五为乙丙边
用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线
甲丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线
甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三十
度余角甲丙丁必五十度则甲丁丙直角
形有两角有丁丙对直角之边而求甲丁
边
一图
甲丁丙四十度之割线一三〇五四一
丁丙边十二
全数十万
得九又一百之十九为甲丁边外数
二图
或甲丁丙角之切线八三九一〇为三率
得七又半不尽为甲丙边外数
三图
甲丁边九有奇
丁乙二四半
全数
得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分乙角之度二十二度〇十〇分
四图
全数
甲丁边九有奇
丙切线之较一六一三五
得十五为丙乙边
又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙
角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲
丁边若切线之较与丙乙如四图
三支三角形有两边及锐角其二亦锐角如丁乙丙
形有丁乙边三十六步丁丙边二十五步丁
乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对
边法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至
丙乙边用正弦数丁为心丙为界作戊丙弧
乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙边有乙角
可求甲丁甲乙两边如一二图甲丁丙角形有甲丁丁丙两边
可求丙角如三图可求丙甲边如四图
一图
全数十万
丁乙边三十六
乙角之正弦四六六七
得十五为甲丁边外数
二图
或乙丁甲角之正弦九〇九〇六为三率
得三十二又十五之十一为甲乙边外数
三图
丁丙边二十五
全数十万
甲丁边十五
得六〇〇〇〇为甲丙丁角之正弦查得三十六度五十〇分
四图
全数十万
丁丙边二十五
甲丁丙角正弦八〇〇〇〇
得十五为甲丙边外数
用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其
切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三步乙角
二十四度三十七分可求丁甲甲乙两边如一二图
又甲丙丁角形有甲丁丁丙两边可求甲丁丙角甲
丙边如三四图
一图
乙丁甲角之割线二三九九九九
全数十万
丁乙边三十六
得十五为甲丁边外数
二图
或乙丁甲角之切线二一八二五一
得三十二又十五之十一为乙甲边外数
三图
甲丁边十五
全数十万
丙丁边二十五
得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分
四图
全数十万
甲丁丙角之切线一三三四九
甲丁边十五
得二十七又十五之四为甲丙边外数
四支所设为锐角有两边其旁为钝角
一法用正弦数如丁乙边二十四步半丁丙
边一十二步乙锐角二十二度〇二分丙为
钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直
角形丁乙二十四步可求甲丁甲乙两边如一
二图甲丁丙直角形有甲丁丁丙两边可求甲丁丙角
如三图甲丙边如四图
一图
全数十万
乙丁边二十四步半
乙角之正弦三七五一五
得九步又一百之十九为甲丁边
二图
或甲丁乙角之正弦九二六九七为三率
得二十二又一百之七十一为甲乙边
三图
丁丙边十二
全数
甲丁边九又一百之十九
得七六六〇一为甲丁丙角之正弦查得五十度
四图
全数
丙丁甲角之正弦六四三〇一
丁丙边十二
得七又一百之七十五为甲丙边外数
用割切两线法与前同
第十七题
三角形有三边求三角
三边等则三角亦等各角皆六十度于一
百八十度为三分之一或两边等如丁乙
丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本形为甲丁
乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲
甲丙又等丁甲同腰则两形必等一卷八即甲乙丁角
形有丁乙腰乙甲半底依角与角若边与边用三率
法求之先置各腰五步乙丙六半之为乙甲三推得
乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角余为乙丙
两角并之数半之得两角数为两角等故
丁乙边五
全数
乙丙边三
得六〇〇〇〇为乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分
甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十
三度四十四分以减一百八十存一百〇六度一十
六分为乙丙两角之并数半之得五十三度〇八分
为乙丙两角之各本数
或各边不等如丁乙丙角形丁乙一十步丁丙一十
五步丙乙一十八步用丁角为心此角在两小腰间
丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁边引长
至戊依五题求甲乙得五步半甲丙得一十
二步半即甲丙丁直角形有丁丙甲丙两边
求得丙丁甲角如一图因得甲丙丁角又甲丁乙直角形
有丁乙甲乙求得甲丁乙角如二图因得甲乙角又并两
角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之余故
一图
丁丙边十五
甲丙边十二半
全数
得八三三三三为丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分
二图
丁乙边十
乙甲五半
全数
得五五〇〇〇为甲丁乙角之正弦查得三十三
度二十二分即丙角