崇禎曆書卷之三十八 測量全義卷一
法原部校：據奎章
閣本校錄
測量全義第一卷 敘目 測直線三角形
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
庠 生 衛斗樞脩 潤
訪 舉 陳于階等 算
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修 陳于階 朱廷樞
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人孫嗣烈 朱光大 受法 湯若望訂
衛斗樞掌乘
測量全義十卷校：清刊本段前有測量全義敘目標題前九卷屬法
原後一卷屬法器法原者法之所以然也凡事不
明於所以然則其已然者茫茫不知所来其當然
者昧昧不知所往即使沿其流齊其末窮智極慮
求法之確然不易弗可得已况天之高星辰之遠
曆數之賾且隱也而不究其原可乎旋觀往代如
二十一史所載漢以後諸家之曆詳矣大都專求
法數罕言名理即才士間出亦各窺一二莫覩大
全雜以易卦樂律益增迷瞀何怪乎千八百年而
未有定法也夫曆法之原有二其一則象緯之原
也天事也其一則推測之原也人事也象緯之原
如測天約說所論百中之一二耳其他散見於七
政本論會而通之聊足著明矣此書所論則推測
之原也古今言推測者又有二其可以形察可以
度審者謂之叀術不可以形察不可以度審者謂
之綴術此所論者又綴術也綴術之用又有二其
一總物以爲度論其幾何大曰量法也其一截物
以爲數論其幾何衆曰算法也曆象之家兼用二
法如鳥之傅兩翼也則無所不可之矣凡幾何之
屬有四曰點曰線曰面曰體點引爲線線展爲面
面積爲體究此四者諸有形有質之物細若纖芥
鉅若大圜悉可極其數而盡其變所以能範圍不
過曲成不遺也點不可爲度線不可爲形必三線
交始成三角形焉凡度與數不用此形即巧曆無
從布算故三角者雖形體之始基實測量之綱要
諸卷中當首論者此也凡言度數必通大小通近
遠者也三角形繇兩視線一徑線徑線者所測物
之廣也徑之兩端出兩直線入交於目睛之最中
而成形如分寸咫尺爲近小之形乃至大圜七政
爲遠大之形形絕不等然其爲三角等則比例必
等因而用小推大用近推遠亡不合者故曰通大
小通遠近也夫學難者必自近也學微者必自顯
也最難且微莫如天之三光最易且顯莫如地之
百物次卷所測測地與物以此故也然而測一物
之高一山之高與測日月星辰去地之高也無以
異則亦通大小通遠近者也其次進而測面面者
平方平圓之類其變不可勝窮也然而測物之面
與測地景之面測日月星之面其理一也又進而
測體體者立方立圓之類其變不可勝窮也然而
測物之容與測地之容日月星之容其理一也是
皆遠近大小通焉者也既曰通焉而不言遠大先
言近小者則所以習之也習之奈何習手與目以
求其貫也習心與意以求其信也不習不貫未有
能信者也習且貫未有不信者也故習小習近言
遠大者之所求也夫論度數至於測體深矣微矣
然而皆平面直線也天則圓體其面圓面其線曲
線也測圓面之難十倍平面測曲線之難十倍直
線蓋圓與曲謂之弧而測弧無法於無法中求有
法其勢不得不難世有傳弧矢算術測圓術者皆
非術也其本術稍見於大測其爲數則割圓八線
表而此書第七至第九則言其理與法也蓋以弧
背求弦矢用測曲線三角形展轉推求展轉變易
凡周天衆規相交相距所以經緯七政運行四時
推遷運會者上下百千萬年可知也諸天諸曜種
種運行悉無一定之法其爲紛賾莫可勝原此弧
弦諸法則何以能追求至盡乎蓋所論者非諸曜
自行之度數而宗動天之度數也宗動者不依七
政而能爲七政之準則曆家謂之天元道天元極
天元分至終古無變易也因此推步是以有恆御
無恆曆家之立法最難在此其用法最易亦在此
矣終之以法器何也曰器之用大矣智者非器不
作明者非器不述差者非器不改合者非器不驗
教者非器無以措其辭學者非器莫能領其意巧
者非器未繇見其長拙者非器有所匿其短是以
唐虞欽若首在璣衡歷代以還屢更其制據今所
有則渾天儀簡儀立運儀渾天象四器也而年逾
數百久闕繕治地址傾墊樞軸鏽蝕渾天一儀不
復運動簡儀立運猶似堪用復少黃道規環且測
候多端止憑一器架柱森列多成映蔽均賦辰度
尚未精密刻定宿度則又元時所測非今測也此
卷中分列諸器擇其最急畧有五種曰測高儀曰
距度儀曰地平經緯儀曰赤道經緯儀曰黃道經
緯儀有此諸儀相襲並用彼礙則此通可以無求
不得矣更求密測責以分秒無差則一式又須三
器三器俱列用相參較三測並合則製器精工安
置如式測驗得法灼然具見矣有不合者可以推
究病源更求釐正釐正之後測復參差則擇其同
者用之若止據一器有得即真烏從知其然不然
可不可乎且舊儀大環徑止五尺二寸度止十分
今擬新式用半徑者六尺則三倍大也度得百分
則十倍細也用全徑亦六尺度可六十分亦六倍
細也夫今之改憲欲求倍勝於古非倍勝之器諒
無從得之矣或疑法器重大取數復多即用物必
奢是又不然今之舊儀不能揣知輕重大都唐宋
以来考諸史志約畧相等宋史言東都渾儀四座
每座約銅二萬餘斤今擬諸式槩從輕省若得宋
元一儀之費足以盡造諸器有餘矣且每式三器
誠不可少若宛轉相就則經緯儀可以得距地平
儀可以得高一倍本數亦能通用或五大既全稍
從狹小以爲副貳兼用精鐵以省銅材固無不可
則所計一儀之費尚可損其半也惟是舊儀欲將
脩改則一器止堪一用其脩改之費恐過於造作
計不當爲之耳惟渾天象止以測到度分量度經
緯在於施用未爲關切今體製完美無煩再造矣
書十卷目錄如左
第一卷 測直線三角形
第二卷 測線上
第三卷 測線下
第四卷 測面上
第五卷 測面下
第六卷 測體
第七卷 測曲線三角形
第八卷 測球上大圈
第九卷 測星
第十卷 儀器圖說
測量全義第一卷之首
界說二十三則
第一界
正弧全圈四分之一或大焉或小焉
如圖甲乙丁爲全圈之半乙丙丁爲四分之
一是名一象限九十度正弧之大無過於此
若甲乙丙則大於象限丙丁則小於象限但
小者皆名正弧而大者則名過弧
第二界
餘弧正弧之剩分
如庚己正弧庚乙爲餘弧是正小於己乙
也如庚丁過弧則大於丁乙而庚乙爲過
弧之餘弧也
第三界
通弦者通弧之相當線分圈爲兩分相當線亦名對線
如庚丙線與庚乙丙弧相當又與庚己子丙弧相當
第四界
圈內線極大過心者爲圈徑
如己戊丁是
第五界
正弦弦之半
如丙甲庚弦半之爲丙甲正弦當丙乙弧又丙辛子
弦半之爲丙辛正弦當丙丁弧或曰正弦者從圈上
一點作垂線至己丁徑上則丙辛爲丙丁弧相當之
正弦
第六界
餘弦餘弧之正弦
如丁丙正弧則丙乙其餘弧丙甲爲丙乙之正弦丙
丁之餘弦
第七界
倒弦者餘弦與半徑之較亦名矢
如丙甲餘弦與辛戊線等以辛戊减丁戊
半徑存辛丁爲丙丁弧之倒弦亦爲丙丁
弧之矢
第八界
全弦徑之半象限弧之正弦
第九界
直線角在圈心或大或小皆居對弧兩腰間相當
弧亦曰對弧
如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧則角生於丙
戊丁戊兩腰間
第十界
餘角者餘弧之正角對角亦名正角亦名相當角
如丙戊乙角爲丙丁正弧之餘角即丙乙餘弧之正
角
第十一界
切線者圈徑界之垂線亦名切圈線在圈外如下界之丙甲線
第十二界
割線者直角之對線亦名交線亦名截線在圈之內外
如甲戊丙形甲直角凡言甲角當九十度弧之直角戊爲心丙戊交
圈於乙割線也此線限心上角限甲乙弧則
角與弧胥生於甲戊戊丙兩腰間又曰正割
線者正弧之割線如甲乙正弧則戊丙正割線也
第十三界
餘切線者餘弧之切線
第十四界
餘割線者餘弧之割線
如戊丁餘弧乙己爲割線是甲戊弧之餘割
線
第十五界
全圈三百六十度半徑之全數十萬平分或用一萬或用百萬千萬
皆可
第十六界
設弧者任取全圈之一分凡言設者先有定數也或稱有或稱得
如甲戊丙角形戊爲心甲乙丁其象限弧也
取甲乙一分四十度則甲乙爲設弧也
第十七界
設角者設弧之角
如戊心甲戊戊乙兩腰弧甲乙則因弧而稱甲戊乙
角言角之度分即對弧之度分
第十八界
設正弦
如丁戊半徑十萬分先言丙辛若干分則所
設丙丁弧之正弦
第十九界
設切線
如甲乙全數先言甲丙若干數則所設切線
第二十界
設割線
如甲乙全數先言乙丙若干數則所設割線
第二十一界
設邊線
如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈
或甲丙三丈俱所設邊線
第二十二界
方數者方形邊自乘之數
如正方邊四自之得一十六方之各邊俱等
方形根者開方所得方形一邊之數
第二十三界
平形有方有矩方者直角方形矩者矩內直角形
矩形邊兩兩自相等有一邊有實用算得所求他邊
開方法有本論本書今別撮爲圖欲求根一簡即得
省布算焉簡法見籌算
測量全義第一卷 測直線三角形
第一題
通弦與通弧正弦與正弧比例等比例等後省曰若
解曰有己庚乙丙丁圈其通徑己戊丁戊上
作乙戊垂線別作庚甲丙線與己丁平行則
庚甲丙爲庚乙丙通弧之對弦題言庚甲丙
通弦與庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦與乙丙正
弧
論曰戊心上垂線作直角平分庚乙丙弧則庚甲戊
丙甲戊兩角形等何者庚戊丙戊從心至界等甲兩
旁直角等甲戊同邊則兩形必等兩角之對弧亦等
幾何三卷二十六故庚甲丙偕庚乙丙兩全與丙甲偕丙乙
兩半比例等
第二題
圈內正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等
解曰有全圈丁丙乙寅己丁寅爲徑設丁丙
乙寅兩正弧等從丙從乙作丙戊乙己兩垂
線截徑於辛於壬作直角平分兩弦三卷第三亦
平分丙丁戊乙寅己兩弧三卷三十是丙丁丁戊偕乙寅
寅己之各兩半與丙丁戊偕乙寅己之兩全比例等
則其弦丙辛戊乙壬己之兩全與丙辛辛戊偕乙壬
壬己之各兩半比例亦等題言丁丙乙寅兩正弧既
等則丙辛乙壬兩正弦必等
論曰丙丁與乙寅兩弧既等則作丙庚乙庚自心至
界之兩等線得丙庚丁角與乙庚寅角等三卷二十七丙
辛庚與乙壬庚兩直角亦等而丙辛庚乙壬庚兩三
角形必等故丙辛乙壬兩正弦必等反之丙辛與乙
壬丙庚與乙庚各等丙辛庚乙壬庚兩直角等則丙
庚辛乙庚壬兩角亦等一卷第八而丙丁乙寅兩對弧必
等三卷第二十六
第三題
圈之內大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧
各相對
解曰甲乙丙丁圈甲己大弧丙庚小弧題言
己卯弦大於庚寅弦
論曰試取甲辛弧與丙庚弧等從庚乙己辛
各作垂線過甲丙徑至於丑於丁於癸於子其庚寅
辛壬兩半等本卷二即庚丑辛子兩全亦等三卷第三己癸
近心大於辛子三卷十五是全大於其全也五卷十五己卯視
辛壬半不大於其半乎
次論曰試截卯己於午與庚寅等午上作垂線至辛
與丙甲徑平行午卯庚寅既等自與辛壬等皆在兩平行線
內甲辛丙庚兩弧亦等己甲全弧大於辛甲分弧己
卯大弦必大於辛壬小弦是大弦對大弧小弦對小
弧也
第四題
圈徑截弦亦截弧任分弦之兩分與兩弧之正弦各相
似
解曰有圈徑乙辛截丙丁通弦於己截丙
乙丁通弧於乙其丙乙乙丁兩分弧之各
正弦爲丙甲戊丁題言丙己己丁兩分弦與甲丙戊
丁兩正弦比例等
論曰丙甲己丁戊己兩角形相似何者兩形有相等
之己交角有相等之兩直角即丁角與丙角必等一卷
三十二是形與形邊與邊俱相似而丙己己丁兩分弦
之比例與丙甲丁戊兩正弦自相似
第五題三支
三不等角形作垂線任分底爲二其大分依大邊大邊
上方大於小邊上方其較爲底全線偕分餘線矩內
形
先解曰丁乙丙角形三邊不等丁乙小丁
丙次之乙丙大爲底凡邊大者爲底從丁角作垂
線至底題言分底爲二者謂垂線之甲點
在形內蓋乙丙邊大即對角之乙丁丙角
亦大乙丙兩角必小如謂點在形外即以乙丙邊引
長於己而令己作直角將丁己乙三角形內有丁乙
己鈍角甲乙丁爲銳角故也又有己直角是兩角大於兩直角
也可乎次解曰丁甲垂線任分乙丙底題言甲丙大
分依丁丙大邊
論曰丁丙邊既大於丁乙邊即其上方形亦大而丁
丙上方與甲丁甲丙上兩方并等一卷四十七則
甲丁甲丙兩邊并亦大於甲丁甲乙兩邊并
試减同用之甲丁則所存甲丙亦大於甲乙
是甲丙大分依丁丙大邊也
三解曰丁丙方大於丁乙方其較乙丙偕戊丙矩內
形
論曰試截甲戊與甲乙等其乙戊線平分於甲有引
增戊丙線則乙丙偕戊丙矩內形及甲戊上方形并
與甲丙上方形等二卷第六次各加一甲丁上方形則乙
丙偕戊丙矩內形及乙甲即甲戊也甲丁上兩方形或丁
乙上方形乙甲甲丁兩方并與丁乙方等一卷四七與甲丙甲丁上兩方
并或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形內有甲乙甲
丁上兩方形獨少乙丙偕戊丙矩內形則丁丙上方
大於丁乙上方形之較爲乙丙偕戊丙矩內形
第六題四支
三不等角形從角作垂線任分底爲二知其邊數即知
各分數
解曰同前圖乙甲甲戊等戊丙爲任分之較
法曰丁乙丁丙上兩方之實相减餘者以底
數而一得戊丙以减底數餘者半之得乙甲
小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得
二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五
以底十八爲法而一得六又十八之十七戊丙也以
减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三
十六之十九乙甲也
次解曰依二卷十三題乙丙爲兩銳角則丁丙上方
小於丁乙乙丙上兩方其較爲乙丙偕乙甲矩內形
二
法曰用前數乙丁一百乙丙三百二十四兩方形并
爲四百二十四减去丁丙方形之數二百二十五存
一百九十九爲實底數一十八爲法而一得乙甲之
數約之爲五又三十六之十九者二
三解曰以丁大角爲心丁乙小邊爲界作全圈截丁
丙於己乙丙於戊丁丙引長於辛丁乙丁辛兩半徑
等則辛丙偕己丙與乙丙偕戊丙兩矩內形等三卷三十
六乙甲甲戊又等三卷三丙乙大邊有戊丙分在圈外
法曰用前數丁丙十五加丁乙十或丁辛得
辛丙二十五丁己與丁乙等則辛己徑爲二
十以己丙五乘辛丙得一百二十五爲實乙
丙十八爲法而一得六又十八之十七爲戊
丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲
四解曰以丁大角爲心丁丙大邊爲界作全圈乙丙
底引長於戊丁乙邊引長於庚於己即庚乙乙己矩
內形與丙乙乙戊矩內形等三卷三十五丙甲甲
戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邊二十五丁丙
丁乙兩邊并亦二十五丁己丁丙各十五减
丁乙十存乙己五與庚乙相乘得一百二十五爲實
乙丙十八爲法而一得六有奇爲戊乙以加乙丙十
八得戊丙平分得丙甲
第七題
斷比例之四率以三推一名三率法
解曰四幾何爲兩比例等先有三推得第四或同類
或異類其前其後不得更易用反理亦用轉理列第
一第二第三率即可推第四率依七卷十九題中率
相乘與首尾兩率相乘得數等故二三相乘爲實第
一爲法而一得四率也昔人因其用大算家必需稱
爲全法焉同類異類反理轉理俱見幾何四卷
第八題
三邊直角形銳角爲心底爲界作象限圈半徑爲全數
在心角對邊爲其弧之正弦其旁爲正弧之餘餘弧
之正
解曰如前圖甲乙丙直角形乙銳角爲心乙
丙底爲界作丁己象限圈引乙甲邊於丁從
心作乙己垂線題言甲直角乙丙爲對邊作
全數本界說八丙甲邊爲在心角之對邊即丁丙弧之正
弦本界說五而甲乙邊爲丁丙正弧之餘弦爲丙己餘弧
之正弦所以然者試從丙作丙戊與甲乙平行甲直
角丙戊乙亦直角則丙戊甲乙兩線等一卷三十
四丙己弧爲丁丙正弧之餘弧丙戊爲丙己
餘弧之正弦爲丁丙正弧之餘弦甲乙同
又如後圖用銳角丙爲心乙爲界則乙甲爲丙角之
對邊爲乙丁正弧之正弦甲丙其餘弦乙戊同
第九題
三角形邊與邊之比例若各對角之正弦
解曰題一言直角形依前論各邊爲對角
之正弦在心角與正弧與正弦俱同理則
弧與弧弦與弦角與角其比例俱等二言
三邊等即三角俱等一卷五角之正弦亦等
則邊與邊皆若角與角三言己乙丙雜角
形三邊形不等則以己乙小邊引長於丁爲乙丁與
己丙等丙爲心己爲界作己庚弧又乙爲心丁爲界
作丁戊弧末作丁辛甲己兩垂線至乙丙底
論曰丁辛乙甲己乙兩直角形之丁辛甲己平行同
用乙角即各邊俱相似六卷四則乙丁與乙辛若乙己
與乙甲又先設乙丁己丙等是丙己邊與丁辛若己
乙邊與甲己也夫丁辛爲乙角之正弦甲己爲丙角
之正弦更之則丙己邊與己乙邊若乙角正弦之丁
辛與丙角正弦之甲己也
第十題
有三角即有三邊之比例
解曰直角形設一銳角自有其二一卷三十二三邊等形
設一邊自有其三兩邊等形有腰間角以减兩直角
平分其較自得底上角雜角形有兩角并以减兩直
角其較爲第三角雜角者總直鈍銳也下文以直角爲例如乙角四十
二度查正弦得六六九一三丙角四十八度
得七四三一四則丙甲邊與乙甲邊若六六
九一三與七四三一四約之爲三十三與三
十七有奇也其乙丙與丙甲若全數與乙角之正弦
六六九一三也鈍角同理
第十一題
三角形有設角之比例即有各角之幾何
解曰乙丙丁角形丁角與乙角若三與四乙角與丙
角若四與六題言可得各角之幾何
論曰三幾何分之有比例并之亦有比例五卷
十八乙丙丁三角并得十三其與丙若十三與
六與丁若十三與三與乙若十三與四
如求每角幾度則用三率法三角并爲第一兩直角
并一百八十爲第二每角之分數爲第三推之得第
四
或用四卷八題之法三與四四與六四數横列之以
第一第
三相乘
所得爲
第一率以第二第三相乘所得爲第二以第三第四
相乘所得爲第三再用前法又如乙與丙若三與四丙與
丁若
五與
六列
數如
圖
第十二題 論直角三邊四支
三角形有銳角及直角之對邊求餘邊
一法曰置弦三角形之弦直角之對邊也如乙丙二丈
五尺乙角三十六度五十二分丙角必五
十三度〇八分求丙甲邊以乙角爲心作
丁丙戊象限弧則乙丙全數也丙甲邊乙角之正弦
也
一率甲直角之全數十萬
二率丙乙邊外數二十五尺言內者八線表數言外者今所求得數如
丈尺等
三率乙角三十一校：原有一字度五十二分
六當衍今刪
或用丙角五十三度
正弦內數五九九九五 其正弦內數八〇〇〇三
四率得一四九九約得一丈四尺 四率得二丈
爲甲丙邊外數 爲甲乙邊外數
用加减法
凡全數爲第一率如置十萬即第二第三率之數
進爲萬加〇若過萬則退位兩率各當正弦向各
表上取其弧兩弧并而相减求總存兩弧之各餘
弦若總數過九十者兩餘弦相加其半爲第四率
總數不過九十者兩餘弦相减所存半之爲第四
率
如全數與二十五若五九九九五與所求數法二
十五作二萬五千正弦表取其弧得十四度二十
九分查第三率得三十六度五十二分兩弧并得
五十度二十分其餘弦爲六三八三三相减存二
十二度二十四分其餘弦九二四五五兩餘弦之
較二八六二三半之得一四三一爲第四率與三
率乘除所得同
用切割兩線
二法曰丙乙角爲心甲爲界作甲戊己弧截
乙丙於戊則乙甲邊全數也甲丙乙角之切
線也乙丙乙角之割線也有乙設角即有其
切線與割線而求甲乙邊則乙角之割線與乙丙外
若乙甲全數與乙甲外又求甲丙邊則乙角之割線
與乙角之切線若乙丙外與丙甲外
一乙角三十六度五十二分之割線三四九九五
二乙丙外邊二十五 或二乙角之切線七四九九一
三全數十萬 〇三乙丙外邊二十五
四得二十爲外甲乙邊 四得十五爲外甲丙邊
三法曰設直角傍之一邊如乙丙甲角五
十三度八分用正弦則乙丙爲全數其法
爲丙角之正弦與乙甲外數若甲直角之
全數與乙丙底外數
丙角五十三度八分之正弦八〇〇〇三
乙甲邊外數二十
乙丙全數十萬 乙角之正弦五九九九五
得二十五强即乙丙底外數 得一十五强乃甲丙邊外數
用割切二線
四法曰設乙甲邊與乙角則甲乙全內數與
其外數若乙丙割線內數與其外數或若甲
丙切線內數與其外數底與邊俱得乙甲全
數十萬
乙甲邊數二十
乙角割線內數一二四九九五 乙角切線內數七四九九一
得二十五强即乙丙外數 得一十五强即甲丙外數
第十三題三支
有兩邊求餘邊又求其角
一支兩邊在直角之傍
一法曰先求邊用勾股法兩邊數自之并而
開方得直角之對邊一卷四十七次以邊求其角因角與
角之比例若邊與邊用正弦數爲丙乙邊之外數與
甲角之全數若丙甲邊外數與乙角之正弦亦若甲
乙邊外數與丙角之正弦
丙乙外數五
全十萬
甲乙外數三 甲丙邊外數四
得六爲丙角之正弦查得三十六度五十二分得八爲乙角之正弦查得五十三度〇八分
用割切線
二法曰丙銳角爲心丙甲爲全數甲乙其
切線丙乙割線也先求角則甲丙邊外數
與全數若甲乙邊外數與丙角之切線
丙甲外數四
全十萬
甲乙邊外數三
得七五〇〇〇爲丙角之切線查得三十六度五
十二校：清刊本五十八作五十二經驗算後是據改分
有丙角自有乙角而求丙乙邊則全數與甲丙外數
若丙角之交線與丙乙外數
全十萬
甲丙外數四
丙角交線一二五〇二二
得五爲丙乙邊外數
二支一邊爲直角之對一邊在直角之傍
三法曰先用勾股法兩設邊各自之相减餘開方得
所求邊有邊求角則角與角之比例若邊與
邊
四法曰不用開方用第一支求角法有二邊
即有對角之數次求邊則丙乙全數與丙乙外數若
乙角之正弦與丙甲外數
全數十萬
乙丙外數五
乙角之正弦八〇〇〇三
得四爲甲丙邊外數
用割切兩線
五法曰求角用乙角之割線則乙甲外數與
全數若乙丙外數與乙丙內數內乙丙者乙
角之割線也
乙甲邊外數三
全數十萬
乙丙外數五
得一六六六六六爲乙角之割線查得五十三度
五十二分丙角三十六度〇八分
六法曰求邊用乙角之切線則乙甲內全數與乙甲
外數若乙角之切線與甲丙外數
乙甲內全數十萬 或乙角之割線一六六六七九
甲乙外數三 乙角之切線一三三三四九
乙角之切線一三三三四九 乙丙邊外數五
得四爲甲丙邊外數 得四爲甲丙邊外數
又問有一邊及兩邊之比例餘邊幾何
法曰設一邊與第二邊有比例或大或小則以
大比例爲前數爲第一率設邊數爲二率比例
之後數爲三率用三率法得四率爲第三邊之數次
用勾股法求第三邊如乙甲一丈乙甲與甲丙若二
十與二十五得甲丙一丈二尺五寸次用開方求之
又問設兩邊總之較問各邊若干此測量不常用見
勾股索隱
又增題 三邊直角形設兩腰以求角
法曰設甲乙七十五校：清刊本五十七作七十五是今改甲丙
百則以乙丙底平分於丁作丁戊垂線交丙
甲腰於戊從戊至乙角作戊乙線是與戊丙
等一卷十次以戊爲心乙爲界作丙乙己半圈
丙甲腰引長至己即乙甲爲丙甲甲己之中比例線
六卷十三是乙甲上方形與丙甲甲己矩內形等次以乙
甲邊自之以丙甲邊而一得甲己知丙己徑之數即
知丙戊及戊乙半徑之數用三率法外戊乙與全數
若外乙甲與乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也
丙在弧角也弧角半於心角則因乙戊甲角得丙角三卷
二十題
甲乙七十五校：同前條自之五千六百二十五甲丙百而
一得五十六又四之一與丙甲并得一百五十六又
四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半
徑
戊丙七八又八之一
全十萬
甲乙七五
乙己弧正弦九六〇〇〇
查得七十三度二十二分半之得三十六度四十
一分用切線甲丙全數也丙甲爲丙乙甲角之切
線則甲丙一率也全數二率也甲乙三率也所得
丙角之切線也
第十四題論雜角三邊形
有三角及一邊求第二第三邊
解曰依前論邊與邊若角與角如設乙角六十〇度
丁角三十六度丙角八十四度乙丙邊一十
〇步
法曰所有邊其對角之正弦爲第一率邊數
爲二率所求邊對角之正弦爲三率得四率即所求
邊數
丁角之正弦五八七七九
乙丙邊數一十
丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六〇〇一
得十七爲丁乙邊 得十五爲丙丁邊
若三角形有鈍角當借用其餘角之正弦
第十五題三支
有角及其旁兩腰求餘邊餘角
一支不論角之體勢 如丁乙丙角形乙丁邊一十
二步丁丙一十五步丁角二十四度三十七分而求
乙丙邊乙角丙角先以丙丁邊引長之丁爲
心乙爲界作乙壬辛戊弧截引長邊於戊次
作戊乙通弦從丁作丁庚辛線與丙乙平行
末平分戊乙弦作丁甲壬線
解曰乙丁丙角二十四度半强則乙丁戊角
必一百五十五度半弱庚丁戊角與丙角等在平行線內
庚丁乙角亦與丁乙丙角等蓋丁乙線交兩平行線
故其相對兩內角等則乙丁邊與丙角之正弦或庚
丁戊角之正弦若丁丙與乙角之正弦或庚丁乙角
之正弦依顯戊庚弦與庚乙弦若庚丁戊角之正弦
與乙丁庚角之正弦亦若乙丁一十二與丁丙一十五也
本卷四題次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙并得戊乙
二十七半之得甲戊一十三又半爲外一率甲丁戊
角之切線爲內二率甲戊內减比例之小數戊庚存
甲庚一有半爲外三率求得甲丁庚角之切線爲內
四率查得本角之度知甲丁戊角則亦知甲戊切線
知甲庚庚戊之比例則亦知甲丁庚角之切線甲庚
也甲丁庚爲乙丙兩角之較以加减得各角之數
乙丁邊十二丁丙邊十五總二十七代以乙戊也半
之得十三半甲戊也减比例小數即十二餘一半甲
庚也丁角二十四度三十七分乙丙兩角并得一百
五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四
十一分甲丁戊也
法曰乙丁丁丙兩邊數并半之爲第一率乙丁戊角
之數半之爲甲丁戊其切線爲二率甲戊內减去比
例之小數十二所存甲庚爲三率得甲丁庚角之切
線查度以减甲丁戊外角所存爲庚丁戊角之度即
丙角之度既得角則用前法求邊或兩腰總數作第一率兩腰較作第
三率
甲戊十三有半
甲丁戊角之切線四五八〇〇一
甲庚有一半
得五〇八一五爲甲丁庚角之切線查得二十六度五十六分
甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六
度五十六分共一百〇四度三十七分即丁乙丙角
也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二
十六度五十六分餘五十度四十五分爲丙角則乙
丁邊與丁丙邊若丙角與乙角
二支所設爲鈍角解曰如丁乙丙角形丙鈍角一百
三十度丁丙邊一十二步丙乙邊一十五步用設邊
如乙丙引長之從丁作垂線至引長邊得
甲點在形外何者甲乙丁角形有甲直角
丁丙乙角形有丙鈍角則丙丁乙丙乙丁
兩角小於甲丁乙丁乙甲兩角蓋每角形
之三角并等兩直角鈍大於直則所餘兩
角并必小於直角之兩餘并矣故丁甲線在丙丁之
外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其餘角也必五
十度丙丁甲角必四十度一法用正弦用開方丁角
爲心丁乙邊爲界作戊乙辛圈分又丁丙爲界作午
丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邊十二步甲
丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙
兩邊其法全數與丁丙若甲丙丁角之正弦與甲丁
甲丙亦如之既得兩邊開方求丁乙邊甲丙丙乙并之得勾丁甲
爲股故也
全數十萬
丁丙邊外數十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六〇四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九
得九又一百之十九爲甲丁邊外數 得七又一百之七十一爲甲丙邊外數
甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十自之并得一萬之六〇
〇二四三五開方得一百之二四四九即丁乙邊
約之得二十五不足有三邊以求角則丁乙邊與
全數若丁丙邊與乙角之正弦查得二十二度有
奇
用割切兩線丁爲心作甲己象限圈即丙丁爲丙丁
甲角之割線甲丙其切線也乙丁爲乙丁甲角之割
線甲乙其切線也甲丙丁角有五十度其
形內有丁丙兩銳角有丁丙邊十二步而
求甲丁甲丙兩腰得甲丁九步又一百之
一十九甲丙七步又一百之七十一以丙
乙丙甲并爲甲乙邊二十二步有奇則甲
丁乙三角形有甲丁甲乙兩邊開方求丁乙底得二
十四步半有奇
甲丁丙角割線一三〇五四
丁丙邊外數十二
全數十萬 甲丁邊角切線八三九一〇
得九又一百之十九爲甲丁邊外數
有三邊以求角則甲丁邊外數與全數若甲乙邊外
數與乙丁甲角之切線
甲丁邊數九步一十九分
全數十萬
甲乙邊之數二十二步七十一分
得二四七一一六爲乙甲丁角之切線查得六十
度五十分
三支所設爲銳角解曰如丁乙丙角形乙銳角二十
四度二十七分丁乙邊三十六步乙丙邊五十二步
十五之十一一法用正弦數亦用開方從
乙丙底之對角丁作垂線分元形爲甲乙
丁甲丙丁兩形次以丁爲心丙爲界作寅
丙壬弧又以乙爲界作辛乙庚弧夫甲乙
丁角形丁乙爲全數設乙角則甲丁爲正
弦甲乙又丁角之正弦用法求甲丁爲一十五步求
甲乙爲二十二步又一十五之一十一則以甲乙减
丙乙存甲丙線二十步依顯丁甲丙角形有丁甲一
十五步甲丙二十步用開方法求丁丙得五步末以
三邊求甲丙丁角得三十六度五十〇分
全數十萬
丁乙邊外數三十六
乙角之正弦四六六七 乙角之餘弦九〇九〇六
得十五爲丁甲邊外數 得二十三又十五之十一爲乙甲邊外數
丁丙邊二十五
甲丁邊十五
全十萬
得六〇〇〇〇爲丙角之正弦查得三十六度五十五分
用割切兩線丁爲心丁甲垂線爲界作己甲午半圈
丁甲乙角形丁甲爲全數丁乙邊爲乙丁甲
角之割線甲乙其切線也又丁甲丙角形丁
甲爲全數丁丙邊爲丙丁甲角之割線甲丙
其切線也丁乙甲角形有丁乙邊三十六步
有丁角爲乙之餘角六十五度二十二分用
法求丁甲甲乙兩邊於丙乙减甲乙存二十爲甲丙
邊又丁甲丙角形有丁甲甲丙兩邊用法求丙角亦
求丁丙邊
乙丁甲角之割線二三九九九九
丁乙外邊三十六
全數十萬 乙丁甲角之切線二一八一七三
得十五爲所求外丁甲 得三十二又十五之十一爲外甲乙
求角甲丁邊十五
全數十萬
甲丙邊二十
得一三三三三三爲甲乙丙角之切線查得五十三度〇七分
求邊全數十萬
甲丁丙角之割線一六六六六五
丁丙邊十五
得二十五弱爲丁丙邊
甲丙甲丁兩邊之正方實并而開方得丁丙二十五
弱
第十六題四支
雜角形設兩邊及一邊之對角求餘邊餘角
一支不論角之體勢依邊與邊若角與角比例
之法
先求乙角則丁乙爲外一率其對角即丙角之正弦爲
二率丁丙爲外三率所得爲乙角之正弦以丁二十
五步弱丁丙十二步丙角百三十度列數得之
丁乙邊二十五步弱
丙一百三十度用五十度角之正弦七六六〇四
爲一弦當大小兩弧
丁丙邊十二
得三七五〇〇爲乙角之正弦查得二十二度〇
二分
并乙丙兩角之度以减一百八十餘二十七度五十
八分得丁角
次有角求丙乙邊則乙角之正弦與外丁丙若丁角
之正弦與外丙乙
乙角之正弦三七五〇〇
丁丙邊十二
丁角之正弦四七〇〇〇
得十五爲丙乙邊
二支所設爲鈍角數如前用所設兩腰間之丁角爲心
以丙以乙爲界各作弧用正弦數如十四題第一圖
丁丙乙鈍角一百三十度則甲丙丁角必五十度丙
丁甲角必四十度甲直角故求甲丁邊用前法如一
圖
又甲丁乙角形有甲丁邊九步又百分之一
十九分丁乙邊二十四步求甲乙丁角如二
圖
又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙角依前法求丙乙
邊如三圖
全數十萬
丁丙邊十二
甲丙丁五十度角之正弦七六六〇四
得九又一百之十九爲甲丁邊數
丁乙邊二十四步半 乙角之正弦三七五〇
全十萬 丁丙邊十二
甲丁邊九步又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六
得三七五一爲甲乙丁角之正弦得十五爲乙丙邊
用割切兩線甲丁爲全數丁丙爲甲丁丙角之割線
甲丙其切線也丁乙爲甲丁乙角之割線
甲乙其切線也今有丁丙乙角一百三十
度餘角甲丙丁必五十度則甲丁丙直角
形有兩角有丁丙對直角之邊而求甲丁
邊
一圖
甲丁丙四十度之割線一三〇五四一
丁丙邊十二
全數十萬
得九又一百之十九爲甲丁邊外數
二圖
或甲丁丙角之切線八三九一〇爲三率
得七又半不盡爲甲丙邊外數
三圖
甲丁邊九有奇
丁乙二四半
全數
得二六六五九四爲甲丁乙割線查得六十七度二十三分乙角之度二十二度〇十〇分
四圖
全數
甲丁邊九有奇
丙切線之較一六一三五
得十五爲丙乙邊
又甲乙爲甲丁乙角之切線甲丙爲甲丁丙
角之切線丙乙爲兩切線之較則全數與甲
丁邊若切線之較與丙乙如四圖
三支三角形有兩邊及銳角其二亦銳角如丁乙丙
形有丁乙邊三十六步丁丙邊二十五步丁
乙丙銳角二十四度三十七分丁丙爲其對
邊法用所設兩腰間之丁角作甲丁垂線至
丙乙邊用正弦數丁爲心丙爲界作戊丙弧
乙爲界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邊有乙角
可求甲丁甲乙兩邊如一二圖甲丁丙角形有甲丁丁丙兩邊
可求丙角如三圖可求丙甲邊如四圖
一圖
全數十萬
丁乙邊三十六
乙角之正弦四六六七
得十五爲甲丁邊外數
二圖
或乙丁甲角之正弦九〇九〇六爲三率
得三十二又十五之十一爲甲乙邊外數
三圖
丁丙邊二十五
全數十萬
甲丁邊十五
得六〇〇〇〇爲甲丙丁角之正弦查得三十六度五十〇分
四圖
全數十萬
丁丙邊二十五
甲丁丙角正弦八〇〇〇〇
得十五爲甲丙邊外數
用割切兩線丁乙爲乙丁甲角之割線甲乙其
切線也即甲丁乙角形有丁乙六十三步乙角
二十四度三十七分可求丁甲甲乙兩邊如一二圖
又甲丙丁角形有甲丁丁丙兩邊可求甲丁丙角甲
丙邊如三四圖
一圖
乙丁甲角之割線二三九九九九
全數十萬
丁乙邊三十六
得十五爲甲丁邊外數
二圖
或乙丁甲角之切線二一八二五一
得三十二又十五之十一爲乙甲邊外數
三圖
甲丁邊十五
全數十萬
丙丁邊二十五
得一六六六七九爲甲丁丙角之割線查得五十三度八分
四圖
全數十萬
甲丁丙角之切線一三三四九
甲丁邊十五
得二十七又十五之四爲甲丙邊外數
四支所設爲銳角有兩邊其旁爲鈍角
一法用正弦數如丁乙邊二十四步半丁丙
邊一十二步乙銳角二十二度〇二分丙爲
鈍角用第二支圖作丁甲垂線即甲丁乙直
角形丁乙二十四步可求甲丁甲乙兩邊如一
二圖甲丁丙直角形有甲丁丁丙兩邊可求甲丁丙角
如三圖甲丙邊如四圖
一圖
全數十萬
乙丁邊二十四步半
乙角之正弦三七五一五
得九步又一百之十九爲甲丁邊
二圖
或甲丁乙角之正弦九二六九七爲三率
得二十二又一百之七十一爲甲乙邊
三圖
丁丙邊十二
全數
甲丁邊九又一百之十九
得七六六〇一爲甲丁丙角之正弦查得五十度
四圖
全數
丙丁甲角之正弦六四三〇一
丁丙邊十二
得七又一百之七十五爲甲丙邊外數
用割切兩線法與前同
第十七題
三角形有三邊求三角
三邊等則三角亦等各角皆六十度於一
百八十度爲三分之一或兩邊等如丁乙
丁丙法從丁作丁甲垂線至乙丙底分本形爲甲丁
乙甲丁丙兩角形而等何者丁乙丁丙兩腰等乙甲
甲丙又等丁甲同腰則兩形必等一卷八即甲乙丁角
形有丁乙腰乙甲半底依角與角若邊與邊用三率
法求之先置各腰五步乙丙六半之爲乙甲三推得
乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减兩直角餘爲乙丙
兩角并之數半之得兩角數爲兩角等故
丁乙邊五
全數
乙丙邊三
得六〇〇〇〇爲乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分
甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙爲七十
三度四十四分以减一百八十存一百〇六度一十
六分爲乙丙兩角之并數半之得五十三度〇八分
爲乙丙兩角之各本數
或各邊不等如丁乙丙角形丁乙一十步丁丙一十
五步丙乙一十八步用丁角爲心此角在兩小腰間
丁乙爲界作戊乙己辛圈而以丙丁邊引長
至戊依五題求甲乙得五步半甲丙得一十
二步半即甲丙丁直角形有丁丙甲丙兩邊
求得丙丁甲角如一圖因得甲丙丁角又甲丁乙直角形
有丁乙甲乙求得甲丁乙角如二圖因得甲乙角又并兩
角得丙丁乙角亦得丙乙兩角爲是丁上兩角之餘故
一圖
丁丙邊十五
甲丙邊十二半
全數
得八三三三三爲丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分
二圖
丁乙邊十
乙甲五半
全數
得五五〇〇〇爲甲丁乙角之正弦查得三十三
度二十二分即丙角