崇祯历书卷之四十一 测量全义卷四
法原部校：法圖本存雙署名葉版式與比皇圖本奎章閣本均異又誤作湯若望爲湯如望顯然錯版
以用奎章阁本校录
测量全义第四卷 四五两卷之首 测面上
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
远西耶稣会士罗雅谷 譔
同 会 龙华民
汤若望同 订
庠 生 卫斗枢修 润
访 举 祝懋元等 算
长 洲 孙嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部测量全义第四卷四五两卷之首测面上
明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修
卫斗枢周士萃
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人祝懋元刘有庆受法汤若望订
孙嗣烈左允和
界说校：清刊本此前有測量全義四卷標題
第一界
面者有长有广
第二界
平面者一面平
第三界
曲面者一面曲
无界者如球卵之面有界者如窑桥之面
第四界
一界之面
一曲线内之形如圆形在圈
界之内凡有三一平圆从心
至界各线俱等一椭圆如圆
柱而斜剡之得两面焉一无法曲线如桃梨之面
第五界
二界之面
如两弧或无法之曲线或一直线
一曲线而形之有法与否则视曲
线
第六界
三界之面
三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与
否面因之量与二界同法以直线为本
如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直
线成丙乙丁两角襍形从丙至戊从戊至
丁亦如之细分元形各依法量之用所得
或加或减以得其容凡三边形或俱等或
俱不等或两边等或有直角或无直角皆
有法之形也
第七界
四界之面
方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方
也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方
也边角俱不等者无法之
方也首两种之外皆属无
法盖有设边无设角或大
或小容积因之异焉欲求其容须定角之度或中长
线也
第八界
五以上多界之面
边角俱等者有法之形也或边或角
不等者皆无法之形也
第九界
定度者求两物之比例
凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一
丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之
度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量
高长广远皆属线类则以线为公度盖比例之两率
为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以
为公度量面者先具一定面或方步或方丈边等角
直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短
故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正
方之理视万形之理为最准故量体亦定一度如一石斗为六面体各面
等各角及边等
第十界
量算
丈尺寸分满十进位亩法步法则否二百四十方步
为亩二十五方尺为步一百方寸复为尺也凡若干
步之积步约为亩以二百四十方步而一若干尺之
积约为步以二十五方尺而一若干寸之积约为尺
以一百方寸而一约步约亩则递以步法亩法除之
第十一界
中垂线
从形心至边作直角者为中垂线有法形之各中垂
线必等无法形各边不等中垂线亦不等
第十二界
中长线
从形之一边或一角至对边作垂线是各边上极远
之线以得本形中之直角三边形
第十三界
直线为有法形之径
直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周
内周外可作全圈在外者形之各边切圈周在内者
各用切圈周故圈之径亦可谓容形之径
测量全义第四卷 测面上
第一题
量四边形其法有三
形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线
形后方详之
公量为方有法之方形二有正方四边四
角俱等直角也以所设一边自之得面之容
如正方田一段各边四步自之其容为十六方步有
长方以所设两边相乘得面之容如长方田一段纵
五横六相乘其容为三十方步
若斜方具边无角亦无法之类也有中长
线之数则以底数乘之得斜方之容若无
中长线之数而知一角之数则先以角求
中长线如乙丁斜方形有长濶若干有丁
角之数即从丙钝角作丙甲垂线即中长线则
丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求丙
甲得数以乘乙丙得元形之容
若等边斜方形作两对角线分元
形为四句股形两对角线之交为
直法法以两对角线相乘二而一
四边形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法
并两广半之以中长线乘之 论曰戊己
丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙
两垂线即中长线中成长方形旁有两句股形
次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己
庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形
等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广
也兹旧法所自出也
凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等
与不等俱以平行线为本若不知中长线
而知斜边或一角者如下文
知斜边如丁己先分形成甲丁己直角形
有甲丁为两广之半较有己丁弦法以两
数自之相减开方得己甲中长线
知角者如己甲丁形有甲丁边有丁角或己角求己
甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边
旧法曰一面长乘中濶得形之容驳曰中广必垂线
乃准垂线而外皆斜线必长于
中长线况斜边乎今设两形之
同边异积如上图其理易见
二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南
广问田旧法并两长折半乘北广
驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否
则从何定南广之度乎
旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五
十八并东西两边半之并南北两边亦半
之两半相乘得二九八九步为其容
驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成
甲乙丁句股形有句股以求弦为七十六
又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形
之三边求其容得一五三七此法见后第三题并两形积得
二八七一知法为未合也
论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有余
补不足改为方形也以中长线乘之则得其容若四
不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中
长线何缘得合乎
第二题
量三边形
乙丙丁三边形有边数无角数求实其法并
三边数半之为实以每边之数为法各减之
三较连乘得数以半总数乘之为实平方开
之得实
如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十
四减七较七减十二较二减九较五三较连乘得七
十以半总十四乘之得九百八十〇开方得三十一
又六十二之一十九不尽
又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为
二十六减十三较十三减十八较八减二十
一较五三较连乘得五百二十〇以半总数
二十六乘之得一万三千六百二十〇开方
得一百一十六又二三二七之一六四不尽
解曰如图乙丙丁斜角形先平分丙丁二角作丙戊
丁戊二线遇于戊从戊向各边作垂线为戊壬戊己
戊庚三线皆等戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙边两丙角亦等形必等则戊己戊壬
亦等又壬戊丁丁戊庚两直角形同用戊丁边两丁角亦等形
必等则壬戊戊庚亦等
次从乙作乙戊平分乙角乙戊
己乙戊庚两直角形有己戊戊
庚两边等同用乙戊边形必等
则两乙角亦等依三角形推壬
丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三
等次于三相等边各取一边如乙己己丙壬丁合之
为元形三边并之半或丁庚庚乙壬丙或每相等两形边减一边得三较亦元形三
边并之半次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引
长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并
之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于
子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子乙癸子乙辛子两直角形
之乙癸乙辛两边等两乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等次截丙午与壬丁
等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子
与丁子必等癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其弦丁子丑子
必等又午丁子辛丑子两形亦等丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与
辛子必等则午为直角相似之辛角先已为直角而丙辛子丙午子两
直角形亦等又此两形并成一斜方形而丙辛子午
四角内减午辛两直角余子丙两角并为两直角凡四
边形之四角并为四直角又己丙壬壬丙辛两角并亦等两直角
而减共用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等其各
半角亦等即丙子辛己丙戊两角即己丙戊辛子丙两直角形
相似己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对边相似而戊己小句一率与己
丙小股二率若丙辛大句三率与辛子大股四率次以线变为数乙丙
三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有奇
今约用成数令直截易算也则戊己十二与己丙十八若丙辛三
十二与辛子四十八也
又以第一率乘第四以第二率乘第三得数必等则
戊己辛子之矩内实己丙丙辛之矩内实各五七六通用
可也又戊己小句一率与辛
子大句二率若乙己小股三率与
乙辛大股四率而以第一自
乘又以乘第二其两方
之比例亦若第三与第
四见几何七卷十七题则戊己方
一四四与戊己十二辛子四八
矩五七六若戊己十二与辛子四八其比例皆四之一亦若乙己十七
与乙辛六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛
子反之则乙己十七一率与乙辛六八二率若戊己方一四四三率
与戊己辛子矩五七六四率或与己丙丙辛矩又四率亦五七六也
一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定
戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也
又四率法既云一乘四二乘
三两矩积等今依法乘之即
得乙己根十七一率乘己丙丙辛
矩五七六第四率所得数九七九二与乙
辛根六八二率乘戊己方一四四第三率
所得数九七九二等次再以乙辛
乘之即得乙辛根第一率六十八二
边总之半乘乙辛根六八偕戊己元形中垂线方一四四之矩实共九
七九二为第二率所得数六六五八五六与乙辛根第三率六十八三边总之半
乘乙己根十七偕己丙辛丙矩五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也之
矩实共九七九二为第四率所得
数六六五八五六等依此用三
较连相乘又以半总乘
之得数为实开平方得
元形之积此用前所得
数本法也或用元形中
垂线自乘以乘半总又
以半总乘之得数为实开平方亦得元形之积此用
后所得数证法也
何谓中垂线自乘以乘半总又再乘而得积以句股
法解之如戊己丙句股形若以戊己句乘己
丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形
并之积两形等故又乙戊己句股形以戊己
句乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形
并之积又以戊壬句乘壬丁股或戊己乘丙辛
得倍积即庚戊壬丁两形并之积故戊
己乘乙辛得元形之积如此即
一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己
自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之
元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则
知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法
之相合者算术中两方相乘开方得两
根相乘之数如图戊己一二自乘为戊子
方一四四以乘乙辛六八即戊寅为戊丑长方
九七九二又以乘乙辛为戊寅大方六六五八五六此前证法所
得数也若以乙辛六八自之得四六二四以戊己方一四四乘
之所谓两方相乘也得六六五八五六开方各得八一六即
戊己根一二乙辛根六八相乘之数也若三较连乘又以
乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘
乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较
连乘之元法无证以垂线三乘法为证也
若直角三边形以句股数相乘得数半之
为形之容盖方形与三角形同底同在平
行线内则方形之容倍于三边形之容或
用半句乘股亦可一卷四十一
若三边等形则有中长线者法与句股同为本线分
元形为两直角形也无中长线者以法求之如乙丙
丁三边等形从丁角作垂线至乙丙边
平分元形为二一卷二十六用句股法以乙
丁乙甲两方相减余为甲丁方其根则
甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲
线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一
相减余四之三甲丁上方也开方得四之三之方根
何谓四之三之方根盖四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为
十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之
方根根号也法见下文次以四之三乘甲乙四之一甲乙四之一与乙丙
一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乘故别求同类者乘之
同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其
根号独用两方相乘得数以分法开之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐得方方
根即根之方十六之三为元形之容次用分法开之得九
十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不
能毕合以开方不尽故
系三十为元形乙丙边上方形十三为
乙丙丁三边形之容盖两形同底则其
比例为三十与十三求分之母为全数
全数者一也则一边之方数亦一其根亦一
法曰三角形边上方形与三边形之容若三十与十
三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形
之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三
〇〇以三十除之得四十三又三之一
元形之容也
又如各边为十其半五五自之得二十
五以减全边方之一百余七十五开方
得八又一百之六十六以五乘之得四
十三又十之三较前少差以开不尽故
公法先求形之中垂线以形之半周乘
之得形之容凡有法之形通用此
解曰设三边等形从心向各边作垂线又向各角作
线必分元形为六直角形而等夫甲皆直角甲乙边
俱等则其为句股形亦各相等半句即甲乙之半乘股即甲
丙中垂线得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙
三次为半句者六也乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得
形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则
甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用
法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切
线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有奇
为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中
垂线二八八六八五乘之得四三三〇二七五若所
设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十
方寸有奇如前法
试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减
边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘
之得一八七五开方得四三同前法
一系若三边等形之边为全数如十百千等其中
长线及其容积皆不发之数十四卷十二
二系二边等形先求中长线如三边等形之法如
两腰各五底六半之三自之得九以减腰五上方
二十五得十六开方得四中长线也余与前
等
三系三边不等形有一明角而求中长线则从一
隐角向对边作垂线成句股形有角有弦
以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙丁
十二丁乙十五乙角二度二分从丁作丁
甲垂线成两句股形其甲丁乙形有丁乙
边乙角而求丁甲边为全数内与丁乙边
十五外若乙角之正弦三七五一五内与甲丁边
五六二七二五外约得五尺有奇以所得与底之
十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十
八方尺有奇元形之容也凡先设先得者为明所求为隐边角同下文倣
此
若俱隐角则用本书一卷六题法从大角至
底作垂线求两任分底之各分若干既分元
形为两句股各有弦又求得句以求股若干
即元形之中长线
法曰丁乙丁丙两小边相并为总相减得存存总
相乘为实底数为法而一数与底相减所余半之
得相小边之小半底甲丙用句股法乙丁乙甲各
自之相减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五
丁乙十七两小边并得三十二总也相减得二存
也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之
二以减底得二十一又三之一半之得十又三之
二甲丙也自之得一〇七又九之一乙丁边自之
得二八九相减余一八一又九之八开方得十三
又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半底十
二得一六二弱元形之积也试用本题一法三边
并得五十六半之二十八各边之减较为四为十
三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六〇
一六开方得一二六有奇不尽若有角求一边或
有二角求二边亦先求边本书一卷十
五十六题
若形之边为断几何如圆果平积之
边其法以边数自之又加边数半之
为形之积假如各边有三自之得九
加边得十二半之得六形积也又如设边五自之
得二十五加边三十半之得十五积也见算
章递加法
第三题
量多边形
一解曰有法多边形求其容必先分元形皆为两边
等三角形故不论几何边俱同法
法曰多边形从心至各角作线悉分为两边等三角
形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之
容并之得元形之容
如八边边设十步从心至角作线辏心
成八角皆等凡辏心必四直角分三百
六十度八而一每角得四十五度乙丙
丁角形二边等有丁丙底有丁乙丙角
则丁丙两角并得一百三十五度半之得六十七度
又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲半元边为
五求甲乙垂线即全数内与丁甲五外若丁角之切线
二四一四二一内与甲乙边一二〇七一〇五外约之得十二步有奇
以乘甲丁五步得六二三五五二五约六十步有奇
八之得四八八四二四〇〇约得四百八十八步有
奇为元形之容
若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等
又如十二边有法形边设十步以十二除三百六十
度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度
从心作乙甲线至丁丙边又甲乙丁角形有甲丁五
步有丁角七十五度求甲乙线即全数内与甲乙五外
若丁角之切线三七三二〇五内与甲乙八一八六六〇二五外约得
十八步有奇甲乙中垂线也次如前
或用正弦数法曰各边为本弧之弦即半
边为半弧之正弦而中垂线为半弧之余
弦以边数除三百六十得设边之弧边数
及弧度各半之次用半弧度求其正弦及
余弦末用三率法以半弧之正弦为第一半边数为
第二余弦数为第三得第四为正垂线即乙甲
如五边等形边设十二以五除三百六十得七十二
半之得三十六其正弦五八七七九为一率内其余
弦八〇九〇二为三率内半边六为二率外得九又
九之一为四率外即一边上之垂线次以形周乘四
率得数半之为形之积五边形之周为六十乘得五
四六又九之四为五边形之并积
多边有法形之比例 多边有法形之具三曰边曰
周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比
例可得他形某具之比例
每形之边为一一虚数也丈尺寸分唯所设之
三边形之周三积为三十之十三
四边形之周四积为一
五边之周五积为一又一一七七五七〇六之八
四六九七一九约为十一之八不尽
六边形之周六积为二又五百万之二九九〇三
八一约为五之三不足
七边形之周七积为三又八六七七六七四之五
五〇七二二一约为八之一而盈
八边形之周八积为四又一九一三四一七之一
五八五一二七约为十九之十六不足
九边形之周九积为六又六八四〇四〇二之一
二四三七五五约为十七之三不尽
十边形之周十积为七又一二三六〇六八之八
五八〇八九约为三之二不足
用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同
类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同
类形之积数除之所得之根设形之边也
旧法三角形每面十四以六乘面得八十
四以七而一得十二为实半面七为法乘
之得八四积也试用前法分元形作两句
股形各形有弦有句以求股而求积得八四又三十
之二十八几为八五非八四
论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲
十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四
矣不知丙乙十四乙甲七各自之相减开方乃十二
有奇非十二也且七除又七乘安用之
旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三
乘之得六七五今用几何四卷十五之系
六边等形内有三角等边形六用古法得
各形之积为九十六又七之六六因之得
五九一又七之一非六七五
论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙
边乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上
正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同边
而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误
以为多
古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得
十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六
为实面数自之得一九六为法减之余九六〇八角
形积也正法作图每两边引长之遇于甲成正方形
其内有元八边形又有甲乙丙四句股形
以丙乙元形边十四为弦求丙甲而句股
等法以弦十四自之得一九六半
之得九八开方为九又十九之十七甲乙也甲乙甲
丁等合之加于乙丁元形之边得三十二又十九之
十七为甲甲正方之边自之得一一四又三六一之
二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六
弱以减正方积余九四四有奇元八角形之积也古
法曰九六〇谬矣
论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有
奇不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙
丙边与乙丙弦俱十四不知各率皆是而独乙丙弦
非十四也故八角形之积实少而误以为多