崇祯历书卷之四十二 测量全义卷五
法原部校：據法圖藏本校錄
测量全义第五卷 测面下
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
远西耶稣会士罗雅谷 譔
同 会 龙华民
汤若望同 订
访 举 魏邦纶
邬明著等 算
校：奎章閣本右行作
访举庠生邬明著
长 洲 孙嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部测量全义第五卷测面下
明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修
邬明著潘国祥
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人魏邦纶贾良琦受法汤若望订
孙嗣烈周士泰
圆面求积校：清刊本此前有測量全義五卷標題
凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之
积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古高
士亚奇默德作圜书内三题洞烛圆形之理今表而
出之为元本焉
第一题
圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等
解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股
形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等
论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股
形小者索其较为亥形即于圈内作丙丁己戊正方
形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八
角形之各边作甲乙等中垂线试
于圆形内减其大半所余又减其
大半末所余以比较形亥必能为
小矣十卷首题如先减丁丙己戊方形
次减丙癸己等三角形八末余丙
庚丙癸等二角杂形八必小于亥
形也次作午未戌三边形与丙庚
丁八角形等必小于午申酉三边
形何者未午乙甲也小于圈半径
乙庚先设午申酉三边形及亥较
形始与圈等今午未戌三边形及
八两角杂形适与圈等夫午申酉
三角形大于午未戌三角形亥形
又大于八两角杂形是合两大形
即午申酉及亥较形与圈等者复谓合两小
形即午未戌及八两角杂形与圈等有是理乎
次论曰若言圈形为小句股形大
者索其较为亥形即于圈外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周线大于圆形之周线也内减其大半即元
圈又减其大半即卯辰子等四三角形也末余丙卯庚庚辰丁等
三角杂形八必小于较形亥又作午申亢三角形与
丙卯辰八角形等兹形为圈之外切必大于元圈而
午亢为外形之周必大于午酉内圈之周先设圈及
亥形与午申酉三角形等今并圈及三角襍形八即丙
卯庚等八杂形也反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形
而为大者又偕亥大形而为小可乎
第二题
凡圈周三倍圈径有奇二支
此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三
倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圈戊
为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切
线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六
十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从
心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊
壬既六十度则午子为等形之边
设甲午股一百五十三任设此数以便推算
午子或午戊弦必三百〇六各自
之股方得二万三千四百〇九弦
方得九万三千六百三十六相减
余七万〇二百二十七为句方开
得二百六十五有奇为戊甲句半
径也则戊甲与甲午之比例为二
六五有奇与一五三次平分午戊甲角作戊庚线任
分午甲于庚则午戊与戊甲若午庚与甲庚六卷三题合
之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚
更之戊午并戊甲而与午甲即午庚偕甲庚若戊甲与甲庚
先定戊午戊甲并得五七一有奇午甲为一五三则
戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若
设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与
一五三矣即以两数自之并而开方得五九一又八
之一不尽为庚戊线戊甲甲庚之弦则庚戊与甲庚之比例
若五九一又八之一不尽与一五三次平分庚戊甲
角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与
庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊
甲为一一六二又八之一有奇两数各自之并而开
方得二七二又八之一为辛戊线甲戊甲辛之弦则辛戊与
辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分
辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四
之一与辛甲一五三若戊甲与甲
寅若设甲寅为一五三则戊甲为
二三三四又四之一有奇两数各
自之并而开方得二三三九又四
之一有奇为寅戊线戊甲甲寅之弦则寅戊与寅甲之比例
若二三三九又四之一有奇与一五三次平分寅戊
甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有奇与
寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则
戊甲为四六七三半有奇
论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之
二午戊甲其半则三之一庚戊甲其半则六之一辛
戊甲其半则十二之一寅戊甲其半则二十四之一
未戊甲其半则四十八之一复作甲戊申角与甲戊
未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一
而未申弧为象限弧二十四之一于全周为九十六
之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边
与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五
三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四
六八八径为四六七三半有奇则九十六边圈外形
之周与圈径之比例为一四六八八与四六七三半
约之为三又七之一不足则径为
一九十六边圈外周为三又七之
一不足夫形在周之外尚不及三
又七之一况圈周乎
二解三倍又七十一之十而盈者
曰圈内作乙丙径从丙作六边形
之一边丙甲与半径戊丙等四卷十五
从乙作乙甲成乙甲丙形在半圈
之内则甲为直角三卷三十一题设甲丙
句七百八十〇乙丙弦一千五百
六十〇两数自之相减开方得一千三百五十一不
足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一三五一与
七八〇次平分甲乙丙角作乙丁线又作丁丙线成
乙丁丙丙丁己两直角形相似盖同用丁直角在半
圈内甲丁丁丙两所乘之弧等则丁丙己丁乙丙两
弧之角必等三卷二十一夫两形有两角等者各腰俱相
似则乙丁大形之股与丁丙大形之句若丁丙小形之股与丁己小形
之句又乙丙大形之弦与丁丙大形之句若己丙小形之弦与丁己小形
之句更之乙丙与己丙两弦若丁丙与丁己两句是乙丁与
丁丙两股丁丙与丁己两句乙丙与己丙两弦三比例皆等
又乙丙与己丙两弦若乙丙并乙甲两腰与甲丙底之两
分见前解则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先
定乙甲一三五一弱乙丙一五六〇是乙甲乙丙并
为二九一一弱甲丙先设七八〇则乙丁与丁丙亦
为二九一一弱与七八〇各自之并而开方得三〇
一二又四之一弱为乙丙乙丁丁丙之弦则乙丙与丁丙之
比例为三〇一三又四之一弱与七八〇次平分丁
乙丙角作辛乙线因前比例论得乙辛与辛丙比例
之数盖丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙
丙三〇一三又四之一乙丁二九一一弱并为五九
二四又四之一弱今丙丁为七八〇则乙辛与辛丙
为五九二四又四之一弱与七八〇欲省数改设辛
丙二四〇依三率法辛丙七八〇乙辛为五九二四
有奇今辛丙二四〇即乙辛为一八二三弱两数自
之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线
乙辛辛丙之弦则二四〇与一八三八又十一之九为丙辛
乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛
乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙
二四〇为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依
三率法乙壬为一〇〇七弱两数自之并而开方得
一〇〇九弱则六六与一〇〇九
为壬丙与乙丙两线之比例末平
分壬乙丙角作乙庚庚丙两线乙
庚与庚丙若壬乙并乙丙二〇一
六又六之一与丙壬六六两数自
之开方得二〇一七又四之一弱
为乙丙乙庚庚丙之弦则庚丙与乙丙两
线之比例为六六与二〇一七又
四之一弱论曰丙甲弧为全圈六
之一丙丁十二之一丙辛二十四
之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为
九十六边内切圈形之一边也以九六乘六六得六
三三六为九六边内切形之周乙丙径为二〇一七
又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之
周也一得一圈之径也夫圜周在多边形之外即大
则谓三倍径又七十一之十不又盈乎
第三题
圜容积与径上方形之比例
解曰一为十一与十四而朒一为二百二十三与二
百八十四而盈先解朒者乙戊辛圈
甲丙戊方引长甲丙边为甲丁其大
于甲丙为三倍又七之一则与周等
为句甲乙边圈之半径也为股成甲
乙丁角形其积与圈积畧等不甚差故又
乙甲丙直角形因丙甲与甲丁若七
与二十二则甲乙丙与甲乙丁两形
之积亦若七与二十二六卷一题甲乙丁
与圈等则甲乙丙形与圈积亦若七
与二十二夫甲乙丙为方形四之一
四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十
二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一
甲丁二百二十三与圈周等则甲乙丙与甲乙丁两
形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方
之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四
一题之系 半径全周成三边形与圈积等依句
股法半径偕半周矩内方形与圈积等若全径偕
全周矩内方形则四倍圈积几何六卷二题曰相似形
之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四
之
二题之一系 设圈径求周求容 凡设径求周
用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率
得四率为所求周 用朒法为七十一与二二三
若径与周古士论圈大小大都准此二论反之以
周求径亦然
二系 圈之径与径若周与周子之径与径亦若
母之周与周假如一圈之径为七周为二十二他
圈大于元圈四倍其径二十八则其周八十八亦
四倍大于元圈之周
三系 周线上方形与圈之积若八九二与七十
一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径
周线上方与他周上方若径上方与他径上方
十二卷二题径方与他径方若圈与圈则周方与他周
方亦若圈与圈更之周之方与本圈之积若他周
之方与其圈之积如设周一用一系之法则八九
二一率也七十一二率也所设一三率也所得之
径为二二三之七十一其容积为八九二之七十
一周之方一全数也通之为八九二圈之积零数
也为七十一是谓周方与圈为八九二与七十一
而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八
八之七周之方一全数也通之为八八圈积为零
数则周方与圈为八八与七也三题之系 设径
求圈积则比例之母十四为一率子十一为二率
径之方数为三率所得为圈之积而盈或三八三
为一率二二三为二率径之方数为三率所得为
圈之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之
四圈之容也用朒法得七八又二八三之二五七
圈之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜
容与某数其方根为径
又设周求圈之容因一系之法八九二与七十一
若周之方数与圈之容而盈或一八八与七若周
之方数与圈之容而朒反之设圈求周则七与八
八若圈容与某数其方根为周
径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差
甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施
用〇径一〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
大周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八
四七
小周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八
四六
约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百
之十四
再约得七之一又朒如前
论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即
外切线缩即内弦也皆非周也
古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围
三较之径七围二十二者尤疎也故不合
古设径问积法以径自乘三之四而一如设径一自
之得一三之得三四而一则四之三为圈之积全数
即母数为径上之方形则知径上之方与圈之积为四
与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所
谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之
为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角
杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形
必小于三角杂形安得合乎
量椭圆法 椭圆形者斜截圆柱所成两面形也形
有长短二径古士默
德本论曰两径之中
比例线为径作圈与
椭圆等则两径为第一第三率相乘所得方数为第
二率又同线上之正方与圈容为一四与一一今两
率相乘者即中率正方之数此比例法见几何六卷三十三题之第十增
故以两径相乘得数以一一乘之以一四除之得椭
圆之积也
量圈之一分
第一图名两半径弧形
设半径及弧用全与全若分与分之比例
法曰以半径乘弧得积半之为本形积
盖全周与全圈积若周之分与圈积之分
如半径六弧十二相乘得七十二半之三十六为本
形积
第二图名两弦内弧形
设两弦两弧丙戊为径从心作甲乙甲丁
线成甲乙丙甲丁戊各两半径弧形依前
法各求积又甲乙丁直线形两腰等有丁
乙弦求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积
第三图
即第二图之半同理
第四图名弧形
有本圈径设弦求其积法先求半圈积次求
两弦形之积两数相减余为设形之积如丙
乙己戊圈其径丙戊设乙丁弦求乙已丁弧
之积置乙己丁弧一一又七之六圈径十二
先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八
又七之六内减设形之弧一一又七之六余七为丁
戊乙丙两弧之数半之为三半丁戊弧也作丁甲乙
甲两线因前法求丁戊乙丙两弦形之积得二十八
又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两
弦形之积二十八又九之八得二十七又六十三之
四十二为设形之积若不知弦因丁甲乙形有丁甲
乙甲两边有丁甲乙角得丁乙边为设形之
弦
若弧形大于半圈者以两弦之积加于半圈
之积
若不知本圈之径则先求径其法丁乙弦半
之作己辛垂线量其度得数为法弦之半数
自之为实而一得本圈之径几何三卷五十五如量
己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十
六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也
若辛己不可得量是属无法之形
第五图
设小半弧形如甲乙丙则以甲丙句甲乙
股各自之并而开方得乙丙弦成乙丙小
弧形有乙丙弦依前法求积次求甲乙丙
句股形之积并之即得一图
若止设一直线为径之一分甲丙也而知本圈之径法
先求丁戊丙象限积次求丁乙甲戊两弦形之积相
减余为甲乙丙形之积二图
若所设乙甲丙非直角而知本圈之径
法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句
股积盖形有甲辛两角甲乙边可得余
边即得其积末用前法求乙辛丙半弧
形之积内减甲乙辛句股积余为设形
之积三图
若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之
内则以甲乙辛形之积加于半弧形积
四图
或设本圈之径作戊乙线法以半径乘
弧得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊
直线形之积则乙戊半径也乙甲设形
之边也戊甲为丙甲与半径之较依法
得积以减戊乙丙两半径形之积余为
设形积五图
或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三
角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙
丙余如前六图
若半弧形之边如甲乙甲丙大于半径
即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之
积次求甲戊乙三边形之积并之如
前若不知本圈之径则属无法形之
法七图
或依三角形法以甲乙甲丙两线及
甲角求乙丙边求积次求乙丙弧形
之积如前法八图
第六图名两弧之形
若知各弧之径者法与一弧形等
若设两弧亦设中长线则分元形为两弧
形 若不知本圈之径亦不知中长线属
无法之形
第七图
以弦分之成直线形者一成弧形者三
四以上各以前法量之
若为球体椭圆体圆角体之外面法见量体法中第六
卷古法设长濶问积见长方又设长阔总数长濶较
等问见句股义
量面用法
以木造矩锥平者为盘
直者为干盘径五六寸
厚二寸面画两径辏心
成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干
径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干
之末施铁锸焉别具望竿数事略与干等器成先试
之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干
丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后
各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以
望先立诸竿仍作直线则为如法之器
第一题
直线内一点上求作垂线几何一卷十一
法曰设点上卓锥转器令一径合于设
线次从他径卓数竿题言诸竿所作直
线与元线为直角与盘上直角等
第二题
直线外一点上求作垂线
法曰设点上卓一竿持器循设线上游移迁就令一
径合于元线一径与望竿为直线次从点至锥下作
线则元线之垂线也
凡设田形量其步亩前法足矣然未知直线形之是
否直角曲线形之是否中弧且高下之数非目营可
得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图
中断线所作线也联线元形线也边上有
〇卓锥之处也
三边田法从大边用器游移迁就向对角
立垂线分元形为两句股形一图
四边田先用器
试各角是否直
角直者用正方
量之不直依图
分句股形令分余者各两对边为平行线用正方长
方法量之二三四图
多边形田从大边如甲上作甲
乙垂线从大边两界如丙如丁
作丙戊丁己两垂线丁己线上
立乙辛垂线又立庚寅己午两
垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七
句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用
元度作新立诸线各如数算之并之得元形之积五图
若田形以曲线为边宜先求直线
形法取一线为径径上密密卓锥
作诸平行线末各直角上加器成
诸长方形亦成诸三边形曲线为
边者大圈之弧也即依直线法量
之所差甚微六七图
或田中为房舍林木等物所隔难作中长线法于田
外依一边作大方形形边上向田之各
角作线是元形之外方形之内有若干
句股形并诸句股积以减方形积余为
元形之积八图
增题 多边无法形量法从田心如癸
加象限边向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁
向戊向己向庚向辛各定其癸角之度次
以公量法量癸乙癸丙等线元形内有三
边形七每形有一角两边因法求余边求
每形之积并而得元形之积
中空田法先求大形之积次求空形之
积如方田一段各边十丈中为圆池径
七丈则方形之积一百丈池之积三十
八丈半减余六十一丈半为设形之积
求环田积用两圈之径或周以次求大小圆积相减
余为环田之积如设环之外周为四十
四内周为二十二则大圆积一百五十
四小圆积三十八半减余一百一十五
半环田之积也
变形法
其一设三角形求变为等底等积方形
凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚
也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方
形其元形之大边为底法平分两腰作中线
与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形
从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形
则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补
交角之戊成丁丙戊方形与元形等底等积
如二图小边为底亦平分两腰作平行中线
次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股
形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙
实形移为交角之丁成丁戊方形如所求
如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊
丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角
之乙实形移为甲并甲两实形移为交角之丁
并丁己成四边实形移为相似之戊形并戊庚如所求
如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚
丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又
从两交截取癸形与卯等即甲与乙卯癸与卯各交
角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚卯次
并卯乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作
四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形
移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似
之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次
并庚辛即所求
其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等
如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲
等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊
丙迤线丙非角故不名对角引长之与己丁之引长线
遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取
己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以
此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上
形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求
如二图设形为斜角与上同法
若所设线甚小几倍之得为元形边则平分
元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如
所求
如三图所设线大于元形边则引长己戊边
为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三
角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬
戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛
角形即所求
其三设矩内形变为正方形
如图以设形之两边连为一直线求心作半圈
次从两线之界点作垂线为两率之中比例线
即用为设线依前法变设形为他形其边为设
线
其四设多边形变为正方形
先以直线分元形为若干三边形
次依第一法变各三边形为矩内形
三任取一线为设线依上法变各矩形皆为
等边形
四并各等边形成一大矩形
五依第三法求大矩形两边之中比例线成
正方形
以上四法若反求之则亦反作之如一矩形
求作三角形一正方形求作有比例之矩内形是也
其五两正方形变为一正方几何原本一卷四十七题备论其理此则用法
置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直
角即成甲句股虚形其弦联两元形之各一角即以
为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙
戊庚己丁矩形及乙寅线又截壬形
与子形庚形等次截取癸实形移补
丙丁虚形次取丙子实形移补甲虚
形次取壬实形移补庚虚形次取庚
丑实形移补戊己庚虚形次取戊实形
移补辛虚形成卯辰午未正方
形
其六设矩形求变为他矩形其
边各有比例如设一形欲作他
形等积而两边之比例若五与
四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形
次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
第四题
截形法
借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形之
比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲角作
甲戊甲丁甲丙各对角线分元形为四
三角形求其比例法曰从各角向各对
线为垂线如己向庚戊向辛丁向壬又
向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高
不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若
其高之比例今甲戊己甲戊丁两形
同用甲戊为底即己庚壬丁两垂线
为两形之比例又甲戊丁甲丁丙两
形同用甲丁为底即戊辛丙癸两垂
线为两形之比例甲丁丙甲乙丙两形同用甲丙线
为底即丁子乙丑两垂线为两形之比例也今欲作
四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷
第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上
形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三
率通为一比例而求末率即第三线则一形与二形若一
线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而
壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同
底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为
己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚元数与某
线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙
丑元数与某线而某线之数为乙丑之次数
今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对
边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙
丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线
为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其
比例如丙丁与丁乙
又命分四之一而其截线求与命角之对
边如丙乙平行法四平分甲乙腰四乘三命分
数内减得分以其余乘命分得十二开方得三又百之
四十八即得甲向乙取四分之三有半至丁作丁戊
线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙
为四之一甲乙戊为四之三
二设多边形从一角命截几分之几法依
前借题分本形为若干三边形又如前次
第求各形之比例线因形求线合之成一直线
如图为乙丙丁戊己若命分为四之一即
四平分之若第一分在乙丙线内则分甲
乙丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分所至为乙
壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁
则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所
至为己辛作甲辛线截甲己辛形为元形四之一
若命分之界不在元形之角如甲乙边内
取庚点为界法从庚向各角作线求各形
之比例线如前
上二法俱从甲或庚为截分之总界其他
形若能为对角线在形之内者任用各边
各角皆可为截分之界若作对角线而切
本形边或出形之外则不能为截界如图
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲
乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
三设方形命截几分之几法任分一边如
命分数取得数作平行线或正方或斜方
或矩形皆同理若以角为截界则与上文
多边形同法
四设梯田命截几分之几如四分之
一法上下两边各四平分而取其一作直线联之或用
角为截界则与前多边形同法
若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形
得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角
形之积若干以小减大得梯形积若干因算
梯形之几分得全形之几分随用前第一设
截三角形之法得所求
假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四
半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为
三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其
积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六
求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三
之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一
得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元
形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角
形之法六有奇为母五有奇减一得子为子相乘开方得
五〇〇即从全形上角分全腰为六分有五之二弱
内取五又五之四强作平行线分元形如所求或取三十
二而取二十九
若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得
元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四
今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以
倍数与全数相乘得数开方得二十九半即从上角
如法取作平行线分元形如所求或分全腰为四十三又三之一从上
角取二十九半作线
凡梯田在平行线内但底等即其积等
不论角大小
若两梯田截法先求各形之积次算此
形所截之分为彼形之几分其用法如
前
此外别形尚多各有本法本论于法算诸书中详之
此不及备著