崇祯历书卷之四十三 测量全义卷六
法原部
测量全义第六卷 测体
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
远西耶稣会士罗雅谷 譔
同 会 龙华民
汤若望同 订
访 举 杨之华
黄国桢等 算
长 洲 孙嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部测量全义第六卷测体
明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修
孙嗣烈陈正谏
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人杨之华周士昌受法汤若望订
掌乘刘有泰
论体校：清刊本此前有測量全義六卷標題
历家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测
其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广
狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各
有不同心本天各有最高度最高冲度其去人远近
也恒不等其自相去之远近恒不等人目所见二曜
之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与
月与地三大之比例别有本书不用此比例何繇知交食
之歳月日时地影即暗虚比于月体小大之数几何乎
不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人
几何远乎则何繇知日食既之有无金环乎何繇知
月食过分之暗虚几何大乎何繇定食限之几何时
刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交
食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应
有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法
乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能
测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能
测面又测候七政行度皆以句股弧弦诸法诸法则
皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之
体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直
线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从
平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体
繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步
前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等
俱同理同法
其界为面面居体之周面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界
一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
三面之体如剖球卵之一分
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体因角体之面无定数故左方不列其名
六面之体如立方正立方斜立方
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等自四六八十二二十面之外不能为等面胥无
法之体也
公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本
如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各
一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实
尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳
此为物数均齐推算简易者也
几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左
有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面
其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法
如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面
其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次
焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆
体扁圆体因其上下为平行面亦属等面公法以高乘底之积得其
容高深两名互用其高之度则垂线也
几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同
高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求
以正高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体凡比体者皆以其容积相比
为其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四
几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再
加与四为三加也五卷十界此云三加者谓体之一与二
若其边之一与四也如二 四 八 十六为四几
何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则
小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容
若小边之二与大边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之
容为其边与边三加之比例设有立方体其边八
其容五一二又设次体其边十二即八与十二再
加之得十八三加之得二七其超法为一身有半则初体与
次体若八与二十七或用三率法八与二十七若
五一二与一七二六或以四率连比例之第二率
再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垛锥亭峰之类其法同
也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平
行面体即同高体之比例若一与三法曰如方锥之底边
设九则底积八十一设高十八以乘底积得一四五
八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆
之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又
十一之九相乘得四五又十一之九以四为法而一
得十一又十一之五底积也以高乘之得五七实尺
又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为
圆堆之容系凡委粟及倚垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
法曰若棱为偶数如上图得四甲乙丙丁为底之四
边各八又半甲丙对角线十二弱戊为角顶戊甲戊
乙戊丁戊丙为四棱各十而求次图之中长线戊己
次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲
丙三角形甲丙底十二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之
高
法以半底甲已自之得三十六句方以减
腰方一百弦方余六十四股方开方得甲已
八为角体之正高余如前
若棱为奇数如五底之各边为十二棱
之度为二十则先求一面之中长线各体
有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一
边两腰即棱也依句股法半底边得六为句自之
得三十六句方棱度自之得四百弦方相减
得三百六十四股方开方得一十九又一十三之一即股
即面形之中长线
次求底形之中长线用正弦法以五底之边数为法三百
六十全圈之周为实几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边
而一得七十二度为一边之弧半弧之正弦即底之半边
为五八七七九第一率也内半边之数六为二率外
半弧之余弦八〇九〇二为三率内算得八又四之
一不尽外为五边底形从心所出之中垂线又正弦
内与半边外若全数内与半径外得一十又五之一
强形外圈之半径两数并得一十八又二十之九强为五边
形之中长线
次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三
线相遇成一三角形平分全体所分之两面有三边之数求中
长线得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乘之得五七二
又十三之四为底积以正高乘之得九四三八三而
一为元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中
长线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自
上而下对角平分之为两堑堵每一堑堵得正立方
二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之
成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈
臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳
马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之
一也说见九章算
又外切圈之半径为句棱数为弦用句股法求股即
元体之正高此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面
为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二
也斜截之与边平行截面为圭窦形顶不锐近
底之两腰稍平行三也直截之与轴平行截面为
陶丘形顶曲渐下渐直底两旁为锐角四也无平行任斜
截之截面为椭圆形五也内第一第二第
五有本论第三第四其面皆为一直线一曲
线两界之面所截体之一分皆为两平面
一曲面三界之体亚奇默德备论其量法
然非测量所必须又各截面皆有底有轴即中长线有曲
线若转轴环行即径线为平底界曲线为曲面界生
二界之体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶而下
渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以
其浅深为光心之远近亦非测天所用未及详焉
第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相
似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之
体凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然
法曰若知本角体之高即先求本角体之容后求所
阙截分之容相减余为元体之容假如斗体之底长
方一边得八一边得九则其积七十
二以全高二十四乘之得一七二八
以三为法而一得五七六全角体之
容也次置斗体上面之一边四一边
四又半其积十八即阙分之底以阙分之高十二乘之得
二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全
角体其较五〇四斗体之容也
若不知全角体之高则截体分求之法
曰如甲乙丙丁斗体之大面也边各二
十四戊已庚辛小面也边各一十八用
垂线截斗体从戊已边向下至午未底分元体为二从
辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑
皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑
堵正二面一立一斜侧二面为句股四隅四体为阳马即角体亦名方锥各以
本法求其容并为斗体之容堑堵以高乘底积二而一阳马以高乘底积三而一
立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高
十五乘之得四八六〇
堑堵一名句股体其底长方辛子三两面之较六折半得
三辛庚为十八乘得五十四为底积以正
高乘之得八一二为法而一得四〇五四倍之得一
六二〇四边四体故阳马其底各三其积九
以正高乘之得一三五以三为法而一
得五四四倍之得一八〇
若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从
上边向下截成众体如图甲皆为堑堵乙皆为阳马
其中间无法之形则以形为底分之中
作一立面体余为四三边形各形有棱
有高可知其容又公法上二法遇圆体而穷设上
下面之边与正高与两面之积法曰上
下两面积各开方两根相乘得数并入两面积以正
高乘之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前
下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其
积为三二四两根相乘得四三二与前两积并以高
一五乘之得一九九八〇以三除之得六六六〇斗
体之容也
又便法小差而不远并两面之边半之自乘得数以高乘
之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得
四二半之得二一自之得四四一以高一五乘之得
六六一五比前少四五其差为一四七之一耳
凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球
相似几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法
一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合
之成一全体有六棱四隅设
各边一百因前法求其容为
一一七四七二半 此下五
则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推
隐故下文称例体例边
二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其
面为正方形设各边一百因
前法求其容为十万
三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅
各边设一百因几何求其容
为四七一四二五有奇
四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二
十隅边设一百其容为七六
八六三八九
五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十
二隅边设一百其容为五
二三八〇九
依几何之说得一体之容可推同类同类者同若干面数也万
体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方
之比例等
假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两
数各再自之得一百万与一二五〇〇〇此两数为
两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五
〇〇〇约为八之一用三率法则命分数为一率得
分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所
求他体之容
如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立
方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以
大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为
小体之容第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之
一率 一百万
二率 一二五〇〇
三率 一七七四七二半为前例所立大体之容
四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体
边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五
六二五如前推之
一率 一百万
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九为前例所立十二面
体之容
四率 得一二〇〇九九为所求十二面体之
容
又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此
边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率
设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设
体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有
一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边
若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七
二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边
数
一率 一一七四七二半例容
二率 一四六八四又四之一设容
三率 一百万例边
四率得一二五〇〇〇为所求边上立方开得五
十为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚奇默德圆球圆柱书并见几何
一十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一此亚奇默德之一卷三十
一题也大平圜者从大圈过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也
系 凡周乘径生球圆面之积亦生大平圜积之四
倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周
线与其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也
甲丙其径与球径等己辛与圜之周线等
上成己壬方形形之庚辛与甲丙径
等而己壬方形外复成庚戊方形题
言己庚矩形为大平圜之四倍壬戊
矩形与庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方形之一
边戊辛辛庚亦同为矩方形之一边则两矩方形必
等夫己壬周线上之方形也壬戊为大平圜之四倍
而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣五卷二周
与径比例之数为二二三之七一或二十二之七又大圜径上方形与球之
圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面
等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周
与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一
之十或一与三又七之一
第二题
径三之二乘大平圜之积生球容之数亚奇默德之一卷三十二题
解曰设大平圜之周一凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之
恒为一其大径为二二三之七一其半为四四六之七
一以半周二之一乘之得八九二之七一此大平圜
之盈积也又以六六九之一四二此大径三分之二乘之约
之为二九八三七四之五〇四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与
球容之比例何者全数为母即一几何谓之命分数是周上之
立方也子数几何之得分数为球容则球容与大圜周上立
方之比例若五〇四一与二九八三七四而盈用小
径之数得四九与二九〇四
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一
而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜
之大积为十四分径上方之十一以径三之二乘之
得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之
容
又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一
与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六
与二二三亦径上立方与球容之比例也右径上立方与球容
之比例
因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乘径
数以七除之以所得之径乘之得圆面之积用二十二与七
而盈用二二三 一求球之容以二十二乘径以七
与七十一则朒
除之得数以径三之二乘之得球之容右以径求圜面积及球之
容
又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二
六与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方
与球容若二九八三七四与五〇四一而盈若二九
四与四九则朒 置径置球之圆面相乘六而一
置径四之一乘圆面三之二 乘大圜之积三而二
三之一乘圆面二之一
或径乘积三分之二 或径三分之二乘积俱得球
之容
或半径乘大圜积三分之二所得为球容之半 或
大圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若
干量法与全球无异或半球或四之一或五之一俱
同 若截球面不过心为直面而曲
法
面界为球上之圈则借天球之界以
明之
解曰甲丁己辛为子午圈甲比己南丁辛
为夏至之圈从夏至圈截之甲至丁作直
线用此线为半径作甲丁别圈亚奇默德
之一卷四十题曰甲丁别圈之积与丁甲
辛球分之曲面等又从己至丁作直线为
他圈之半径其圈之积亦与丁己辛球分
之曲面等若曲面非全球之若干分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圈亚奇默德
曰想圆角体其底之圈几何与所截凸面之一分等
其高为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁
庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之
以二二乘之以七除之所得之半以半径
乘之为凸面之积次以甲庚半径乘之三
而一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则
先求甲丁辛凸面之积以径乘之六而一为丁甲辛
庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求
其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容
量椭圆体之容
椭圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆
形之长径为轴旋转所生如一点直行生线一线
横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴
环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长
径为轴转轴环行是生椭圆之体以短径为轴转
轴环行是生扁圆之体椭圆之体或名为卵体非
也凡乌卵一端大一端小是为无法之体椭圆体
则两端等亚奇默德之第一卷备解此体及分角
体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圈若平分之即过心过心
之截分恒相等若椭圆体从小径横截之生两平圆
面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面
即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面
若斜截之则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为椭圆体之小径其高半长径则
其体之容为椭圆体四之一
如甲乙为长径丙丁为小径即
丙戊丁甲半椭圆体倍大于甲
丙丁角体
解曰小径以二十二乘之七而一小径之周也得数
以乘小径四而一小径之平圆面积也得数以乘半
长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之椭
圆半体之容也
若截面与小径平行如庚己壬求
椭圆分体如庚甲壬之容默德法
曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙大分之轴线
与戊乙半长径线甲己小分之轴线并若角体甲庚壬之容与
椭圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚壬乙
之容次用三率法甲己小分之轴线与
甲乙长径戊乙半长径并若角体庚壬
乙之容与椭圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五
寸若用木则以三和灰涂其罅令不
漏实之以水投所量物其中则水溢
取出物量水减几何得物之容如减
一寸而椟边设一尺则得一百寸为
物之容盖各边一尺上面积为一百寸水减一寸则
为一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面
积乘之得物之容