崇祯历书卷之四十四 测量全义卷七
法原部
测量全义第七卷 测曲线三角形
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
远西耶稣会士罗雅谷 譔
同 会 龙华民
汤若望同 订
校：奎章閣本他卷錯訂而此卷扉葉無見存
本故此据他卷补充右行二名阙无法补充
长 洲 孙嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部测量全义第七卷测曲线三角形
明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修
李遇春徐瑍
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人程廷瑞戈继文受法汤若望订
孙嗣烈殷铠
圈内九线相当法
圆球借论
分球上三角形之各类
球上斜三角形九种
不堪上三角形相易之法
球上直角形各边角正弦等线之比例
球上直角形相求约法
球上斜角形各边角正弦等线之比例
斜角形相求约法
测量全义第七卷 球面曲线形
圈内线相当之理
每弧每角有八种线曰正弦曰正切线曰正割线曰正
矢曰余弦曰余切线曰余割线曰余矢并全数为九
种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法
几何六卷四题如上图丙丁为正弧甲丁为
正弦丙辛为正切线乙辛为正割线
甲丙为正矢戊丁为余弦己壬为余
切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆
全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直
角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相
对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边
相似
一全数为正弦余割线两率之中率
如丙丁弧之正弦为甲丁全数为丁乙余割线为乙
壬则甲丁与丁乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆全
数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也
又全数为余弦正割线之中率如戊丁与丁乙若丁
乙与乙丙等故与乙辛
一系凡四率全数为中率或二或三若第一率为正弦即
弃正弦而变余割线为中率全数为第一省
而一 若第一率为余弦则变正割线为中
率 若第一率为正割线则变余弦
若第一率为余割线则变正弦 凡所变者皆以易
全数而使为第一率
论曰凡有连比例之三率一率与二如二与六若二率与
三如六与十八别有二数其比例若连理之一率与二如八
与二十四即可代用或连理之一率与二如二与六若他数与
别数八与二十四可也或连理之二率与三六与十八若他数
与别数八与二十四亦可也为其比例等故也皆三之一今连
理之一率为甲正弦二率为乙全数三率为丙余割线次有
断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲正弦与
二乙全数若三丁与四戊可也谓二乙全数与三丙余割线
若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃
前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全
数为一余割为二也
如三十八度一十七分之正弦六一九五五与全数
若三十度之正弦与某数常法二三率相乘以一率
为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余
割线一六一四〇七为二率以易全数而为第一以
二三率相乘即得第四何者正弦全数余割线为连
比例故也
二系凡四率中无全数若第一率为正弦则变余割
线为第一率若第一率为余弦则变正割线为第一
率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存
若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而
一得四率名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乘犹是捷
法
假如一十八度四十〇分之正弦三二〇〇六与二
十五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度
三十二分之切线二〇〇八六二与某数其常法二
三率相乘第一率而一今用捷法取一十八度四十
分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一
得一三五〇七〇〇〇〇〇〇为实以全数为法而
一得一三五〇七〇又以第三率一二四三二二乘
之得一六七九二二〇〇〇〇〇以全为法而一得
一六七九二二为四率
二三〇七三五六十四度十九分之正割线
又假设三率如一二二三四一
二三四三二
第一率变取六十四度十九分之余弦
四三三四〇以乘第二率得数减后五
位以所存乘第三率得数又减后五位
所存即第四率
二全数为正余两切线之中率
如上图辛丙与丙乙若乙己与己壬何者丙乙乙己
皆全数则辛丙丙乙或乙己己壬为三率连比例
系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变
余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变
正切线为中率以易全为第一
三正弦与余弦若全数与余切线余弦与正弦若全数
与正切线
如前图甲丁与丁戊即甲乙故若乙己与己壬戊丁即甲乙故
与甲丁若乙丙与丙辛
系四率断比例若一二率为正弦与余弦变为全数
与余切线若为余弦与正弦变为全数与正切线
四凡两弧之正割线与其余弦为互相视之线两弧之
余割线与其正弦为互相视之线
如上图丙癸丙丁两弧丙癸弧之正割
线为乙寅丙丁弧之正割线为乙辛丙
癸弧之余弦为庚癸丙丁弧之余弦为
戊丁则乙寅与乙辛若戊丁与癸庚
论曰全数在正弧丙癸为其正割线乙寅及其余弦癸庚之
中率在他弧丙丁亦为其正割线乙辛及其余弦丁戊之中
率两理之各前后矩内形各与全数上方形等各为其中
率故即两矩内形自相等其边互相视几何六卷十四
五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上
论卷中诸圈皆以曲线当圆球之大圈相交相截人目
视球曲面或近或远或上或下或左或右所见不同有
时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一盖平面
图球不能尽球之理宜从论说中领其意义乃得耳
圆球原本内借论题 古德阿多西阿撰
一大圈皆与球同心 系大圈皆相等若从大圈分球
过心必为两平分一卷六
二两大圈于球上相交各为两平分
三反之两圈于球上相分为两平分必两皆大圈一卷十一
十二如赤道黄道等
四大圈过他圈之两极必相交为直角一卷十五题如子午圈过赤道
极则两圈交处皆为直角
五大圈与本极距一象限九十度
六大圈交两大圈若作直角则元圈之极在两圈之交
如赤道与极至交圈极分交圈为直角则两圈之交
在赤道极
七大圈三百六十平分之小圈亦然但小圈去离大圈
一分其小圈之各分必小于大圈之各分
八两大圈相交其交角必等或上或下两角并必等两
直角与直线相交同理
九球上大圈不能相偕为平行弧一心止一圈故也若
同心而能为多圈则是距等小圈非大圈矣
分球上三角形之各类
球上圈相交成三角形若三皆大圈之弧此形为大测
之本若有小圈之一弧即未能定圈大小之数安能定其弧数明大测不用小圈之弧也
球上角形或三边等其角必等边之度若四之一九十度
则角为直角过四之一则钝角不及则锐角如正球之赤道
地平子午圈皆相交为直角则各边俱九十度
或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为
锐角或各边不等各角亦不等
球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两
对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角
余或钝或锐各有本法如左
一图外大圈内两大圈分皆相交为直角
则各圈之极在他两圈之交用号作十者指直角作〇
者指钝角作丨者指锐角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一
二图两直角形第三角或锐或钝己上二图俱不
论
三图甲乙丙形甲为直角余皆锐其边少
甲丙戊形甲直角丙钝戊锐钝角之对边大即甲已
戊弧锐角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如
乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一
即乙壬丁弧
凡两角或锐或钝若同类其间所容弧不
及四之一
直线三角形与球上曲线三角形异理
一直线形之三角并与两直角等曲线形之三角并其
数不定但不能及四直角四直角者三百六十度也
二直线形得两角即得其三曲线形否
三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形
否
四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲
形设三角可推三边若干
五直线形各边能当全数曲线之各边否
六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之
边必等
七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六
易法
八直线形不过二种一直角二或钝或锐角其边虽有
长短不变其类曲形边有大小其法不同
球上斜三角形因各角各边不等分为九种或恒用或否俱见下
文
第一三角皆锐其边皆小于四之一如第一图
甲形
第二三角皆钝其一边适足四之一其二
边大于四之一后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四
之一者皆言多如第二图乙形
第三三角皆钝其两边多一边少如三图丙形
第四三角皆钝其三边皆多如四图丁形
第五一角钝两锐其三边皆少如三图戊形
第六一角钝两锐其两锐间之一边多钝
角之两旁少如四图己形
第七一角钝两锐一锐角之对边少余皆多
如三图庚形
第八一角钝两锐钝角之对边足余皆少如二图壬形
第九一角钝两锐其边皆不等一多一少一足如二图辛
形
球上三角形相易其法有五
第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙
丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙
边引长之作甲丙己象限次联丁戊引至
己亦作象限乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角
乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心得丙戊己直
角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干
即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙
戊边即有己角其弧甲丁
若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直
角旁一边及其对角一图
若元形有二角即次形有一角一边二图
若元形有一角及直角之对边即次形有
直角旁两边三图
第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙
丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁
戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙
己至辛戊己至癸皆象弧次作庚辛癸弧
成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何
者元形有乙丙两角即次形有两边有乙角之
弧戊丁即有其余弧戊己有戊己弧即有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛
其余弧为辛癸
元形之乙丙易为癸角乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度
元形之甲乙边易为辛己癸角甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或
辛己癸皆甲乙之余弧角
元形之丙甲边易为辛己边甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛
己与甲丙等
第三斜角形两腰等角或锐或钝两腰引长至半周必相遇成
他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁
乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圈引乙甲至己丙
甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆
与元形相当何者有甲乙边自有其半周
内之余乙丁亦有其半周内之余甲已即
乙丙与戊己等丙乙戊乙戊己皆半周故又丁角与甲
角等凡两大圈相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也丁乙
丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊
己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元
形变易而生两形各相似相当 问本用曰元形边
大多于象限角钝易为次形边小角锐三角形六问中所
用也六问详见后篇
第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作
甲辰戊全圈次甲角为心作丁壬辰
大圈分乙角为心作戊癸寅大圈分
丙角为心作己丑卯大圈分三圈分
必相交成癸寅丑形此形与元形相
当而元形之边易为角角易为边何
者甲壬弧满一象限丙午同之减同
用之丙壬即午壬与丙甲等壬午弧
限壬丑午角之度其余角为癸丑寅
又甲丁乙戊皆象弧减同用之乙丁
即甲乙与丁戊等丁戊为寅癸丑交角之度又乙辛
丙子皆象弧减同用之丙辛即辛子与乙丙等辛子
弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸
角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形
之三边易为次形之三角边易为角
又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙
角易为寅丑边角易为边
第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其
对弧为直角如一图若不能则引长其对弧令受垂弧如二图若设二角
一边法从他边之对角作垂弧
如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即
作乙甲垂
弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一
边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲
丁两边可求其余
凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异
类垂弧在形外
凡曲线三角形如得实球即指画易明
直角形直角之对边名底斜角形大角之
对边名底
凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前
法变为小而用之
球上直角形各边角正弦等线之比例
第一题
直角形人数即直角之本数与某角之正弦若底弧之正弦与
某角对边之正弦
欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作
一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周
也半立者其弧如极分交圈之半周也又作一半周
形合于全形之直角两径相切共为半圈面三一平
一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圈面上
下游移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十
度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圈
为定弧一以下端游移平弧上恒与平弧为直角上
割中弧而遇定弧于极点之上谓之游弧游弧之上
容中平二弧之距度而此一定一游两弧者皆如过
极之经圈也恒偕平弧为三弧两边等直角形
今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸
名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圈为赤
道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为
南北极午癸丁辰为极至交圈午丙甲为过极经圈
以限黄道之经度容赤黄二道之距度平置乙丁寅
赤道圈从黄癸下垂线为极至
圈上癸丁相距弧之正弦从赤
丁上立垂线遇卯癸半径之引
长线于戊得戊丁与癸己平行
为癸丁弧之切线卯戊其割线
也己卯则癸丁弧之余弦也又
从黄道若干度之点如丙作两线一丙辛垂线为过
极经圈上丙甲斜弧之正弦辛壬乙寅径之垂线其余弦一
丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正弦次从
赤道过极两圈之交甲立甲子直线又于寅乙黄赤交之
对截线上作甲丑垂线次于乙丙癸圈黄平面上从丑
作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圈
上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正弦丑
卯其余弦则图中有直线直角形四一癸己卯二戊
丁卯三丙辛壬四子甲丑因卯壬丑三角等故三形
俱相似
题言癸卯全数与癸己癸乙丁角之正弦若丙壬丙乙底弧之正弦与
丙辛丙甲为乙角之对边丙辛其正弦
如上图甲乙丙形凡称甲者恒为直角全数一率与乙角之正弦
二率若丙乙边之正弦三率与丙甲边之正弦四率此比例
用几何五卷之六理云更之则一与三若
二与四又反之二与一若四与三又反而
更之三与一若四与二
系若以大圈割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲
丙若乙戊与乙丙俱用正弦
第二题
全数与某边如甲丙之余弦即丙戊弧之正弦若他边甲乙之余
弦即戊角之正弦与底直角之对弧如丙乙之余弦即丁丙弧之正
弦
若直角形内有一钝角或二钝角其理同
本题
第三题
直角形全数与某角丙之正弦即丁丙戊角之正弦若设角丙旁
边甲丙之余弦即戊丙底之正弦与其边对角乙之余弦即丁戊边
之正弦此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有
一角其理同也
一系依相当第四法及此第一题显全数
与乙角乙丙角互用之正弦若角对边甲丙之余
割线与底弧乙丙之余割线三四率各有正弦可用其余割线当之
二系依相当第四法及第一题显全数与底乙丙之正
弦若某边甲丙之余割线与对角乙之余割线三四率有正弦
互易为余割线
三系依相当第一法及此第一题显全数
与某角乙之余割线若对边甲丙之正弦与
底乙丙之正弦第一题之比例为角之正弦与全若角对边之正弦与底之正弦相当法则以
正弦当余割线也
四系依相当第一法及此第一题显全数与底乙丙之
余割线若边甲丙之正弦与对角乙之正弦一题内底之正弦与
全若边之正弦与角之正弦今易底之正弦为余割而居第二以全为第一
五系依相当法第四及第二题显全数与某边甲丙之
余弦若底乙丙之割线与他边之割线二题云全与边之余弦若他边
之余弦与底之余弦此云底之割线与边之割线盖以割线当余弦而为三四率也
六系依相当第一法及第二题显全与某边甲乙之割
线若底乙丙之余弦与他边甲丙之余弦第二题之四率反用之为二与
一若四与三则第一率为余弦第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线
七系依第四相当法及三题显全数
与角乙之正弦若他角丙之割线与
他角对边甲乙之割线三题言全与角之正弦若设角
旁边之余弦与他角之余弦今用相当第四法反四率为三三率为四易余弦为割线盖两弧之余弦与
其正割线为互相视之线
八系依三题第四相当法显全与边甲丙之余弦若边
对角乙之割线与他角丙之余割线三题三四率边旁角之正弦与
他角之余弦今互变边对角之割线与他角之余割线
九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显
全数与角之余割线若他角之余弦与其对边之余
弦
十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与
边之割线若边对角之余弦与他角之正弦
十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线
若底之余割线与角对边之余割线
十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边
甲丙之割线若他边之割线与底之割线
十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之
余割线若边之割线与其对角之割线
第四题
曲线直角形其全数与角乙之切线若角旁边甲乙之正
弦与角对边甲丙之切线如前图
解用一题平面全图之甲乙丙形甲为直角戊丁为
甲乙丙角之切线甲丑为甲乙边之正弦子甲为丙
甲边之切线可见卯丁与乙角之
切线丁戊若乙角旁边甲乙之正
弦甲丑与乙角对边甲丙之切线
甲子三角形皆相似故见一题
系用相易第一法则全与边甲乙之余切线或丁甲弧之正切线
或戊己丙角之正切线若边旁角乙之余弦即戊己弧之正弦与底之
余切线即丙戊之 按本题第二率为乙角之切线
正切线
系易为丁戊之余弧或己戊边三率为角旁
边甲乙之正弦系易为边戊己旁角己或丁甲弧
之余弦即甲乙正弦四率为角对边甲丙之切线系
易为底之余切线或甲丙弧之正切线
二系全与底之余弦或甲丙边之正弦若角丙之切线两形为交
角与他角已之余切线即甲乙边之正切线
三系依相当五法余切线能当正切线二三率可互易为全
数与边之正弦若他边之余切线与其对角之余切
线
四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变
第一率切线为余切线则为全数与角之余切线若
角对边之切线与他边之正弦
向下诸系皆用相当法及反理省文不解
五全数与边之余切线若他边之切线与其对角之
切线
六全与角之余弦若底之切线与角旁边之切线
七全与边之切线若底之余切线与角旁边之余弦
八全与角之割线若底之余切线与角旁边之余切
线
九全与底之割线若角之余割线与他角之切线
十全与角之余切线若他角之余切线与底之正弦
十一全与边之余割线若边旁角之余切线与他边
之余切线
十二全与边之余切线若边对角之切线与他边之
余割线
十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线
十四全与底之切线若边之余切线与边旁角之割
线
十五全与角之切线若他角之切线与底之割线
因上四题即每一设形有十二算法 今设甲乙丙
一形有乙丙底三十度及甲丙边十一度三十一分求乙角
一为乙丙边之正弦五〇〇〇〇与全十万分若
甲丙之正弦一九九六五与乙角之正弦三九九一
三查得二十三度三十一分三十〇秒校：秒原作抄當訛字
今改
二为全十万与丙乙之正弦五〇〇〇〇若甲丙之余割线
五〇〇八六九与乙角之余割线二二〇六一七
三为甲丙之余割线五〇〇八六九与全十万若丙乙之余割
线二〇〇〇〇〇与乙角之正弦三九九一三
四为全十万与甲丙之正弦一九九六五若乙丙之余割线
二〇〇〇〇〇与乙角之正弦三九九一三
五为乙丙之余割线二〇〇〇〇〇与全十万若甲丙之余割
线五〇〇八六九与乙角之余割线三二〇六一七
六为甲丙之正弦一九九六五与全十万若乙丙之正弦五〇
〇〇与乙角之余割线二二〇六一七
七为乙丙之余弦八六六〇三与乙丙之余切
线一七三二〇五若甲丙之正弦一九九六五与乙角
之正弦三九九一三
八为乙丙之余切线一七三二〇五与乙丙之余弦八六六〇三
若甲丙之余割线五〇〇八六九与乙角之余割线二二〇六一七
九为乙丙之正弦五〇〇〇〇与甲丙之切线二〇三七六若
甲丙之余弦九七九八七与乙角之正弦三九九一三
十为甲丙之切线二〇三七六与乙丙之正弦五〇〇〇〇若
甲丙之正割线一〇二〇五五与乙角之余割线二二〇六一七
十一为甲丙之割线一〇二〇五五与乙丙之余割线二〇〇〇
〇〇若甲丙之切线二〇三七六与乙角之正弦三九九一三
十二为甲丙之正弦一九九六五与乙丙之切线五七七三五
若乙丙之余弦八六六〇三与乙角之余割线二五〇六一七
以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法
如下方
球上直角形相求约法
球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其
余交互为三十求各以乘法得之
第一设乙丙两角凡甲皆直角乙丙或锐或钝一求甲乙边为全
数与乙角之正弦若丙角之割线与甲乙边
之割线或全与乙角之余割线若丙角之余
弦与甲乙边之余弦 丙角定数
解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九
十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所
求之弧亦不及下倣此
二求甲丙甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用为全数与丙角之正
弦若乙角之割线与甲丙边之割线 或全与丙角
之余割线若乙角之余弦与甲丙边之余弦 乙角
定类
三求丙乙对直角之底为全与乙角之切线若
丙角之切线与乙丙边之割线 或全与
乙角
之余切线若丙角之余切线与乙丙边之余弦或乙
或丙两角定类
凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十
度若两号为异类所得为过九十度
第二设乙角及乙甲边 四求丙角为全与乙角之
余割线若乙甲边之割线与丙角之割线 或全与
乙甲边之余弦若乙角之正弦与丙角之余弦直线直角
形设一得二取其较也此与 甲乙弧定类
异者曲直两线为异类故也
五求甲丙边为全与甲乙之正弦若乙角之
切线与甲丙边之切线 或全与乙甲边之
余割线若乙角之余切线与甲丙边之余切线 乙
角定类
六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切
线与乙丙边之切线 或全数与乙角之余弦若甲
乙边之余切线与乙丙边之余切线 乙角或甲乙
边定类第三设乙角及甲丙边 七求丙
角为全数与甲丙边之割线若乙角之余
弦与丙角之正弦
或全数与甲丙边之余弦若乙角之割线与丙角之
余割线 乙角或甲乙边定类
八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之余切
线与甲乙边之正弦 或全数与甲丙边之余切线
若乙角之切线与甲乙边之余割线 乙角或甲丙
边定类九求丙乙为全数与乙角之余割线若丙甲
边之正弦与丙乙边之正弦 或全数与乙角之正
弦若丙甲边之余割线与丙乙边之余割线 乙角
定类
第四设乙角及乙丙边 十求丙角为全数与乙丙
之割线若乙角之余切线与丙角之切线
或全数与乙丙边之余弦若乙角之切线与
丙角之余切线 乙角及乙丙定类
十一求甲乙为全数与乙角之余弦若丙乙边之切
线与甲乙边之切线 或全数与乙角之割线若乙
丙边之余切线与甲乙边之余切线 乙角及乙丙
定类
十二求甲丙为全数与丙乙边之正弦若乙角之正
弦与甲丙边之正弦 或全数与丙乙边之余割线
若乙角之余割线与甲丙边之余割线 乙角定类
第五设丙角及甲乙边 十三求乙角为全数与甲
乙边之割线若丙角之余弦与乙角之正
弦 或全数与甲乙边之余弦若丙角之
割线与乙角之余割线 丙角定类
十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之
余切线与甲丙边之正弦 或全数与甲乙边之余
切线若丙角之切线与甲丙边之余割线 甲乙边
定类
十五求乙丙为全数与丙角之余割线若甲乙之正
弦与乙丙边之正弦 或全数与丙角之正弦若甲
乙边之余割线与乙丙边之余割线 丙角定类
第六设丙角及甲丙边 十六求乙角为全数与丙
角之余割线若甲丙边之割线与乙角之割线 或
全数与甲丙边之余弦若丙角之正弦与乙
角之余弦 甲丙边定类
十七求甲乙边为全数与甲丙边之正弦若丙角之
切线与甲乙边之切线 或全数与甲丙边之余割
线若丙角之余切线与甲乙边之余切线 丙角定
类
十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之
切线与乙丙边之切线 或全数与丙角之余弦若
甲丙边之余切线与乙丙边之余切线 丙角及甲
丙边定类
第七设丙角及丙乙边 十九求乙角为全
数与丙乙边之割线若丙角之余切线与乙
角之切线 或全数与丙乙边之余弦若丙角之切
线与乙角之余切线 丙角及丙乙边定类
二十求甲乙边为全数与丙乙边之正弦若丙角之
正弦与甲乙边之正弦 或全数与乙丙边之余割
线若丙角之余割线与甲乙边之余割线 丙角定
类
二十一求甲丙边为全数与丙角之余弦若丙乙边
之切线与甲丙边之切线 或全数与丙角之割线
若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线 丙角及
丙乙边定类
第八设甲乙甲丙两边 二十二求乙角为
全数与甲乙边之余割线若甲丙边之切线
与乙角之切线 或全数与甲乙边之正弦若甲丙
边之余切线与乙角之余切线 甲丙边定类
二十三求丙角为全数与甲丙边之余割线若甲乙
边之切线与丙角之切线 或全数与甲丙边之正
弦若甲乙边之余切线与丙角之余切线 甲乙边
定类
二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙
边之割线与乙丙边之割线 或全数与甲乙之余
弦若甲丙之余弦与乙丙之余弦 甲乙甲丙定类
第九设甲乙乙丙两边 二十五求乙角为全数与
丙乙边之切线若甲乙边之余切线与乙角
之割线 或全数与乙丙边之余切线若甲
乙边之切线与乙角之余弦 甲乙及乙丙定类
二十六求丙角为全数与乙丙边之余割线若甲乙
边之正弦与丙角之正弦 或全数与丙乙边之正
弦若甲乙边之余割线与丙角之余割线 乙角定
类
二十七求甲丙边为全数与甲乙边之余弦若乙丙
边之割线与甲丙边之割线 或全数与甲乙之割
线若乙丙之余弦与甲丙之余弦 甲乙及乙丙定
类
第十设甲丙乙丙两边 二十八求乙角为全数与
丙乙边之余割线若甲丙边之正弦与乙角之正弦
或全数与乙丙边之正弦若甲丙边之余割线与
乙角之余割线 甲丙边定类
二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边
之余切线与丙角之割线 或全数与乙丙边之余
切线若甲丙边之切线与丙角之余弦 甲丙及丙
乙定类
三十求甲乙边为全数与甲丙边之余弦
若乙丙边之割线与甲乙边之割线 或全数与甲
丙边之割线若丙乙边之余弦与甲乙边之余弦
甲丙及丙乙定类
球上斜角形各边角正弦等线之比例
第一题
各角之正弦与其对边之正弦皆为同比例
若形是直角则借彼第一题为全数甲与某
角乙之正弦若底弧乙丙之正弦与某角乙对
边甲丙之正弦则用更理为甲角全数与其对边乙丙
若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然凡不言某
线者皆正弦也下倣此
若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从
丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前
论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角与甲丁
边为同比例合之丙乙丁角之正弦与丙
丁边之正弦若乙丁丙角之正弦与乙丙边之正弦
若戊为直角则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或
用壬直角若甲直角在形外其理亦同 如乙丙甲
其理不异
乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角
对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙
对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各
减共用之甲乙则丁角之正弦与乙丙边之正弦若
丙角之正弦与乙丁边之正弦乙角与丁丙边同理
第二题
四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率
之矩内形若第一率与第四率
解曰甲乙全数线上方数与线两类相当互解丙丁丙
戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊
矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例
题言甲乙上方与丁戊矩方若甲乙线一率与
壬线四率
论曰因几何六卷十甲乙壬两率矩内形与丁戊两中
率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连
比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率
等六卷十七则全数甲乙上方与二三率之矩内方丁丙丙戊矩丙
形或已形若甲乙线一率与壬线四率
系若二三率为切线或割线或正弦即相乘以全数
除之得第四率
第三题
球上斜角形全数上方形与两腰之正弦矩内形若两
腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧即角之对
边之矢其一为两腰较弧之矢
图说乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周
遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面
上半圈戊丁乙为斜面半
圈两半圈各平分于辛于
寅作己辛己寅已丙皆半
径又作寅辛弧即乙角之
弧也其正弦为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙
丁腰等作丁壬小圈之弧次从丁作丁甲从壬作壬
甲各为戊乙之垂线则小圈之半径亦为乙丁腰之
正弦即丁戊弧之正弦次从丁作丁酉即丁壬小圈弧之正
弦其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙
从壬从癸向丙己半径作乙辰壬卯癸午各垂线末
从酉向壬卯作酉子垂线
解曰乙辰为乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚为乙
角亦寅辛弧之正弦其矢庚辛午卯为两腰较弧壬丙之正
弦其矢卯丙癸午为底丁丙亦丙癸之正弦其矢午
丙午卯酉子同为两腰较弧壬丙之矢卯丙与底弧丁丙或丙癸
之矢午丙之较矢丁甲壬甲同为乙丁大腰之正弦题合
全数乙己丙己之类上方形与乙辰偕壬甲两正弦矩内形
若辛庚乙角之矢与两矢之较午卯
论曰丁甲酉寅己庚两形相似酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同
在两面内即等则寅己全数辛己同与庚己若乙丁弧之正弦
丁甲壬甲同与酉甲或辛己寅己同与庚己若壬甲丁甲同
与酉甲依几何五卷十九之论辛己与辛庚若壬甲与壬
酉全与全两所截取之分比例等则两截取之余分必等或辛己全数与壬甲乙丁
大腰之正弦若辛庚乙角之矢亦寅辛弧之矢与壬酉丁壬弧之矢
又乙己辰壬子酉两直角形相似壬卯乙辰两线平行即壬甲乙三角
并为一形之角而甲壬卯为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与卯壬甲角必等则乙
己全数与乙辰乙丙小腰之正弦若壬酉丁壬弧之矢与子酉两矢之较
也午卯同
同乘理之法两理前两比例之第一率一辛己一乙己相乘得全
数上方形两理之第二率一乙丁大腰之正弦壬甲一乙丙小腰之正弦乙辰
相乘得两弧之正弦矩内形依合理几何五卷为若乙角
之矢辛庚一理之第三率与两矢之较子酉二理之第四率
系斜角形全数与所得之第四率第四率者如上题全数为一率两腰
之正弦为二三率用三率法乘除所得则第四率也若两腰间角之矢与某矢
某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢
二系斜角形全数上方形与两角之两正弦矩内形
或全数与第四率若两角内边之矢与某矢某矢者两
矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢
解用第四相易法设角易为边即两弧之
正弦矩内形与两角之正弦矩内形必等或两腰内
角之矢与两角内边之矢必等
第四题
全数上方形为两腰或两角两正弦矩内形及两腰两余
割线矩内形之中率
解曰乙正弦与丙全数若丙与丁余割线如有两
正弦两全数两余割线各以类相乘其形
依合理为比例等反之或用余弦矩内形
及正割线矩内形亦同
系若两正弦两余割线各以类相乘或用余弦及正割线以全
数除之所得两数亦全数为中率
假如乙丙丁形乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度求其正弦其
余割线相乘以全数除之从尾截去若干位
所存如全数之位则五十四度五十分之正弦八一七四八五十八
度之正弦八四八〇五相乘得六九三二六三九一四〇五十四度
五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八相乘得一四四
二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全
数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数
法亦可二系两弧之正弦余割线互乘所得两数亦
全数上方形为中率或用余弦正割线理同
如前系一弧之正弦全数与其余割线作三率连比
例为第一理一弧之余割线全数与其正弦作三率
连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得
数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧
之正弦他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之
余割线他弧之正弦矩内形为三率连比例形如前法试
之若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正
弦他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数
为二率一弧之余割线他弧之正弦相乘以全除之
所得为三率
三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内
形亦全数上方形为中率如图戊正切与己全若丙全与丁余
切用合理如前若三率形皆以全数除之所得三数
之比例如前系
四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之
余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若
三率形皆以全数除之比例亦然
五系一弧之正切线他弧之正弦矩内形又一弧之
余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中
率如上系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前若三率形
以全数除之比例亦然
六系一弧之余切线他弧之正弦矩内形一弧之正
切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率
七系一弧之正切线他弧之余弦矩内形一弧之余
切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率
八系一弧之余切线他弧之余弦矩内形一弧之正
切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若
各三率形各以全数除之比例皆同
第五题
无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角
形各直角对边之余弦若底弧受垂弧者为底两分之余弦
解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角
则丙丁弧之余弦与丙乙弧之余弦若丁
甲之余弦与甲乙弧之余弦又两边之割
线若两分之割线
论曰依前直角形第二题为全一与某边之余弦二
若他边之余弦三与底之余弦今用更理二率与一
若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余弦一与
全二若丙丁直角形之底即直角之对边之余弦三与丙甲之余
弦四以论甲丙乙形则甲乙一与全二若丙乙三与
甲丙四此二理平之则甲丁与甲乙两理之两一率若丙丁
与丙乙两理之第三率各弧之余弦成割线其理皆同为丙丁边
之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余弦又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余弦今用
两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线
第六题
垂弧旁两角之正弦若他两角之余弦
解甲丙丁甲丙乙两角之正弦若丁乙两角之余弦
又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线
解依直角第三题甲丙丁角之正弦一与全二若丁
角之余弦三与丙甲边四又曰全一与甲丙乙角之
正弦二若丙甲边之余弦与乙角之余弦
今以第二理更之为二与一若四与三又
以二理平之一与一若三与三则甲丙丁
角一与甲丙乙角一若丁角三与乙角三
又用三题十三系可算割线之比例
第七题
垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余
解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之
余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余弦与
丙乙边之余弦用直角第四题依前论试之
又两弧之正切线若两角之正割线 亦
用四题之系及十三系试之
第八题
垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正弦又两
弧之正弦若两角之余割线
解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角
为丁为乙 用直角三题试之
第九题
垂弧分底为二两分之正弦若垂弧相对两角之切线
又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割
线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角
之余切线
右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘
斜角形相求约法
凡所设为异类或边与角或角与边用第五易分两直角形法见
前
凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不
及一象限
设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有
元形之一边有元底之半求其角
解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底
及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一
卷二十一题知两形必等
若三边各不等求某角有三法
其一以本角旁两腰之正弦相乘以全除之得数名
初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次
得数以次得数与角对边之弦或相加或相减解见下文
得数以全乘之以初得数除之得某角之余弦
解凡角之对边大以象限而角之两腰同类同类者或皆大
于象限或皆小则两数相加所求之角为钝角若异类则
两数相减其次得数为实大而受减者为实则角
锐次得数为法小而以减则角钝 凡角
者为法
之对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得
数为实即角钝次得数为法即角锐若异类则两数
相加角为锐角
其二角两腰之余割线相乘以全除之得初数又两腰
之余弦相乘以全除之得次数以次数与角对边之余弦
或加或减如前法以所得数乘第一得数以全除之
得角之余弦三法用前斜角三题全图解为全数与一腰
之正弦若他腰之正弦与初得数又初得数与两矢
之较两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数若全数与角之矢
球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言
其理诸问见本篇八卷
上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圈测之
或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例
规或用宗动天之象限或用规于平面画图以缀术
算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本
书本论本捷法然方之前法则踈而不密故近来历
家舍置不用也
古法用弦数以推步七政必须句股开平立三乘方等
术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用
乘除简矣此卷中并除法不用而独用乘法更简也
又有加减术并乘除俱不用然其理必繇乘除而出
故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减
取径捷焉
三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十
分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求
戊角 第一法两腰戊丙正弦丙戊为二七五
戊丁〇八戊丁为二
一〇四七相乘以全除之初得五七八九又余弦相
乘以全除之丙戊为九六一四二丙丁为九七七六〇次得九三九八八
丙丁边余弦为九四二六四比次得数为大因两腰同类其
三为小即戊角为锐其较为二七六加五〇以初得数
除之得四七六七为角之余弦查表得八十七度十
六分 二法两腰余割线丙戊三六三五三三相乘
丙丁四七五一二三
以全除之初得一七一七二二九其余弦如上法次
得九三九八八与第三边余弦相减得较以较乘初
得数以全除之得如前此法更便可免除法 三法
两腰正弦如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二
一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实加五〇以初数除之得角之矢为九五二三一
其度如上