崇祯历书卷之四十九 大测卷二
法原部 公论
大测二卷
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
极西耶稣会士邓玉函譔
龙华民
同会 同 订
罗雅谷
邓洪猷
陈应登
陈于阶仝校梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法原部明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修
陈应登贾良琦邓玉函譔
修政历法极西耶稣会士门人郑洪猷贾良栋受法汤若望订
陈于阶掌乘校：清刊本此處有
大测二卷标题
表法篇第四
既得前六宗率更用三要法作表
要法一 前后两弦其能等于半径图说系法俱见本
篇总论第十二条
要法二 有各弧之前后两弦求倍本弧之正弦
如上甲戊弧三十五度其正弦为戊己得
五七三五七六四其余弦即乙己得八一
九一五二〇今以此二弦求倍甲戊而为
甲丁弧之正弦其法以乙戊半径千万为第一率以
戊己正弦为第二率以乙壬余弦为第三率即得壬
庚第四率与辛癸等为四六九八四六二倍之得丁
癸为九三九六九二四其弧甲丁七十度
论曰乙戊己与乙壬甲两三角形比例等则乙己与
乙壬等而戊己与甲壬亦等乙己与乙壬等故乙壬
为余弦也而乙壬庚乙戊己两形之比例等故第四
率为壬庚壬庚与辛癸同为直角形之边故等又丁
壬戊戊壬甲同为直角则甲戊戊丁两弧等甲壬壬
丁两弦亦等而丁辛与壬庚亦等故倍辛癸得丁癸
也又丁辛壬壬庚甲两形之三边俱等依句股法得
甲庚边倍之为甲癸以减半径得癸乙为余弦
要法三 各弧之全弦上方与其正半弦上偕其矢上
两方并等
句股术也
如上甲丁弧之正弦为丁辛其矢为甲辛此两线上
方并与甲丁上方等
系法有一弧之正弦及其余弦而求其半
弧之正弦
如上甲丁弧其正弦为丁辛余弦为乙辛而求甲戊
弧之甲己半弦其法于甲乙半径减乙辛余弦得甲
辛矢其上方偕丁辛半弦上方并与甲丁通弦上方
等开方得甲丁线半之得甲己为甲戊弧之正弦其
数如上甲丁弧三十度其半弦丁辛为五〇〇〇〇
〇〇乙辛余弦为八六六〇二五四以减全半径得
甲辛矢一三三九七四六丁辛上方为二五〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇甲辛上方为一七九四九一
九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四
四五一六开方得甲丁线五一七六三六〇即甲丁
弧三十度之弦也半之为甲己半弦得二五八八一
九〇其弧十五度
用前三要法即大测表大畧可作又有简法二题其用
甚便但非恒有
简法一 两正弦之较与六十度左右距等弧之正
弦等见本卷第二篇
解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙
戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前
两正弦一为己辛一为丁庚其较丁癸题
言丁癸较与己壬壬丁两正弦各等
论曰试作一己子线则丁己子成三边等角形何也
此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又
何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两
直角亦等而丁子子己两底亦等子丁己子己丁两
角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度
而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线
截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊
子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全
己全子三角既等两直角一之三十二则共为一百八十
度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度
而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边
俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸
子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等
丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分
必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
系题两弧各有其正半弦两半弦至弧之点在六十
度之左右而距度点等则前两正半弦之较即后两
半弦如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧
十度丙己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁
弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦为丁庚
先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以
己辛丁庚两半弦相减得丁癸较一千七百三十六
即丁戊弧十度之丁壬半弦此数半径设一万
次系有六十度左右相离弧之正弦一率又有其原
正弦一率而求其相对之彼正弦其法有二一以大
求小一以小求大以大求小者用大弧之正弦与相
离弧之正弦相减其较为小弧之正弦余则称余倒则称倒以
小求大者用相离弧之半弦加小弧之半弦即大弧
之半弦
如上丁壬离弧之正弦即己壬与丁癸较等为一千
七百三十六丁庚大弦为九千三百九十六相减得
癸庚七千六六〇即己丙弧之己辛小弦反之丁癸
较为一千七百三十六即丁壬离弦以加于癸庚即辛己小弦
七千六百六十得丁庚大弦九千三百九十六
用此法于象限内先得半弦六十率用加减法即得
其余三十率
简法二 有两弧不等之各正弦又有其各余弦而
求两弧校：弧原作弦據文淵本改相加相减弧之各正弦其法有
二一相加一相减相加者以前弧之正弦乘后弧之
余弦以后弧之正弦乘前弧之余弦各得数并之为
实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正弦
相减者亦如前法互乘得各数相减余为
实以半径为法而一为两弧相减弧之正
弦
如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十五度总三十五
度其差五度甲乙弧之半弦为三四二〇二〇一其
余弧甲丁之半弦为九三九六九二六乙丙弧之半
弦为二五八八一九〇其余弧乙丁之半弦为九六
五九二五八以甲乙半弦与丙丁余弦之半乘得三
三〇三六六〇三八七〇八五八以乙丙半弦与甲
丁余弦乘得二四三三二一〇二九九〇五七四〇
以相加得五七三五七六三以下满半收为一不满去之三七七
六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即
三十五度弧之半弦若以相减则余八七一五五七
三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五
七即〇五度弧之半弦校：〇原作十據清刊本改此题多罗某所
用全弦故说中云半弦而图与数皆全弦然全与全
半与半比例等则亦未有异也
有前六宗率为资有后三要法为具资为材料具如器械即可作
大测全表
如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通
之他率
用法得半弦数
弧 度 分
校：梵蒂岡本
半弦作弦校：梵蒂
冈本此
正弧 一二作二三二〇七九一一七
或衍
弧 度 分 用法得半弦数
半之 〇六 一〇四五二八五
又半之〇三 五二三三六〇
又半之〇一三〇 二六一七六九
又半之〇〇四五 一三〇八九六
其余弧八四六度 第一 九九四五二一九
之余
八七三度 九九八六二九五
之余
八八三〇一度半 九九九六五七三
之余
八九一五〇度四十 九九九九一四三
五分之余
弧 度校：梵分校：梵本 用法得正弦数
本无无右格
右格内
内容 容校：梵蒂岡本
半其余八十四度四二 此作二三或衍六六九一三〇六
半之 二一 三五八三六七九
又半之 十〇 三〇 一八二二三五五
又半之 〇五 一五 九一五〇一六
半其余八四三 三〇 六八八三五四六
十七度
又半之 二一 四五 三七〇五五七四
半其余八四十四十五 六九七七九〇五
八三〇校：梵蒂校：梵蒂
冈本无冈本无
此格此格
内容 内容
又用前七率之余弧而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦数
四八四十二之第一七四三一四四八
余二十一之
六九 九三三五八〇四
余十度半之
七九三〇 九八二二五四九
余五度十五
八四四五 九九五八〇四九
分之余
四六三〇四十三度 七二五三七四四
半之余
六八一五二十一四 九二八八〇九六
十五分余
四五四五四十四十 七一六三〇一九
五分之余
校：梵蒂岡本此作
七一六〇三一九
又半前七率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦数
二四四十八之校：梵蒂岡本此四〇六七三六六
半作二三或衍
三四三〇六十九之半三校：應衍梵蒂岡本作二三五六六四〇六二
一七一五三十四三 二九六五四一六
十分之半
三九四五七十九三 六三九四三九〇
十分之半
二三一五四十六三 三九四七四三九
十分之半
又用前五率之余弧而求其半弦
弧 度 分 用法得正弦数
六六二十四之第一九一三五四五五
余三十四三
五五三〇 八二四一二六二
十分之余
七二四五十七度十 九五五〇一九九
五分之余
五〇一五三十九四 七六八八四一八
十五分余
六六四五二十三度 九一八七九一二
十五分余
又半前五率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦数
三三六十六之校：梵蒂岡本此五四四六三九〇
半作二三或衍
一六三〇三十三之 二八四〇一五三
半
〇八一五一十六三 一四三四九二六
十分之半
二七四五五十五三 四六五六一四五
十分之半
又用前四率之余弧而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦数
五七三十三之第一八三八六七〇六
余十六度三
七三三〇十分之余第一九五八八一九七
八一四五八度十五 九八九六五一四
分之余
六二一五二十七四 八八四九八七六
十五分余
又半前四率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦数
二八三〇五十七度校：梵蒂岡本此之半作二三或衍四七七一五八八
一四一五二十八三 二四六一五三三
十分之半
三六四五七十三三 五九八三二四六
十分之半
又用前三率之余而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦数
六一三〇二十八度三十分余第一八七八八一一一
七五四五十四度十 九六九二三〇九
五分之余
五三一五三十六四 八〇一二五三八
十五分余
又半前六十一度三十分而求其正弦
弧度 分 用法得正弦数
三〇四五校：梵蒂岡本此五一一二九三一
作二三或衍
又用前三十〇度四十五分之余而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦数
五九一五 第一八五九四〇六四
已上皆十二度所生之率再用其余弧七十八度推
之亦如前法又十二度之弧为前六宗率之十五边
形也其余五形如三边四边五边六边十边形亦如
前法作此既毕即大测表之大段全具矣何者首得
者四十五分其次为一度三十分又次为二度一十
五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆
然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求
初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧
之半弦一三〇八九六用第二第三法半之得二十
二分三十秒之弧其半弦为六五四四九又半前弧
得一十一分一十五秒之弧其半弦为三二七二四
半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五
秒之后弧而前半弦亦倍于后半弦盖繇初度之弦
与弧切近畧似相合为一线故也则用同比例法即三
率法以二十二分三十秒之弧为第一率以其半弦六
五四四九为第二率设十分之弧为第三率而得第
四率为二九〇八八再用此法得一分之弧为二九
〇九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此
外更用前三要法推之以至九十度
其求切线皆用三率法
以余半弦为第一率以半弦为第二率以半径为第
三率而得第四切线
如三十度之弧其余半弦八六六〇二五
四为第一率其半弦五〇〇〇〇〇〇为
第二率半径一〇〇〇〇〇〇〇为第三
率则得第四率五七七三五〇二
其求割线亦用三率法
以余半弦为第一率半径为第二率又为第三率而
得割线第四率
如前戊乙为三十度之弧其余半弦甲丙八六六〇
二五四为一率校：梵蒂岡本〇作空格半径甲戊一〇〇〇〇
〇〇〇为二率又以半径甲乙为第三率而得甲丁
一一五四七〇〇五为三十度弧之割线
其求割线之约法不用三率而用加减法
如上乙己弧二十度其切线为乙戊余弧为己丙七
十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧
与己丁等次作乙辛切线得数以加乙戊
切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊
割线等
其求矢法以余半弦减半径得小矢
如丙丁弧五十度余弧甲丁四十度其余半
弦丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙
丙千万得己丙矢
已上所述皆远西法也彼自度以下递析为六十今
中历递用百析为便故须会通前表为百分之表其
会通法如西六十分即中之百分半之三十分即五
十分又半之十五分即二十五分以五为法西三分
即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十
二分即二十分如是以至六十
三六九十二十五十八二十一二十四二十七三十
五十十五二十二十五三十三十五四十四十五五十
三三三六三九四二四五四八五一五四五七六十
五五六十六五七十七五
八十八五九十九五百
通表法书各度之四种割圆线中西法皆同所不同
者分也其分数书五分用其三分之率书十分用其
六分之率如是递至于百所阙者每二率相距少其
间四率耳则用加减法求之
如二十四度〇三分即中五分也其小弦数小弦者十万为
半径也四〇七五三又二十四度〇六分即中十分也
其小半弦四〇八三三其差八十五分之得十六为
一差以加于前小半弦即得四〇七六九为中历二
十四度六分之半弦再加一差得四〇七八五为七
分之半弦三加得四〇八〇一为八分之半弦四加
得四〇八一七为九分之半弦五加得四〇八三三
为十分之半弦合前率矣如是递加之得六十与百
分相通之全表
西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差
数有畸零不尽者如西表二十四度二十七分之半
弦为四一三九〇又二十四度三十分之半弦为四
一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之
四为一差通之则从中表二十四度四十五分首加
一差
二十四度四十五分 四一三九〇
差 一五 五之四
法
四十六分加一 四一四〇五 五之四
差
四十七分加二 四一四二一 五之三
差
四十八分加三 四一四三七 五之二
差
四十九分加四 四一四五三 五之一
差
五十〇分加五 四一四六九
差
如上有畸零者满半收为一不满去之
考表法 作表未必无误其考之之法
如表书七十七度一十八分其切线为四四三七三
四九九此率如属可疑则以前后各二率考之
校：梵蒂岡本與此表數據大有不同今錄之於左
表用篇第五
表用一 有弧数求其正弦
如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分
表得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本
度本分之半弦为六一四二八五三又取次率五十
五分之半弦为六一四五一四八相减得差二二九
五若表上有差率即取本差此差以当六十秒用三率法以六十
秒为第一率以二二九五差为二率以四十六秒为
三率而求四率得一七五九以加所取之前半弦六
一四二八五三共得六一四四六一二即所求
系凡求切线割线同上法
次系有正弧求余弦视本弧同位之余度分向正弧
表上取其正弦
如求三十度之余弦视正弧表上与同位者为余弦
六十度即向正弧六十度取其弦八六六〇二五四
即三十度之余弦表上逆列同位者为五十九度六十分而此言六十度盖并其六十
分为六十度其逆列六十度者则是六十一度何者凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也
又如求五十度〇分之余弦本表逆列同位者为三
十九度六十分即于正弦表上简三十九度六十分
之弦
得六四二七八七六即所求
三系测三角形欲得见弧见弧者有己得之弧而求其弦也隐弧者有己得之
弦而求其弧也凡己得者称见未得称隐诸线诸角之属皆倣此之各线查表之本
度分直取之则各线咸在也如弧三十度求其割圆
各线即查表之三十度初分又查其同位之六十度
所得如左
三十度初 正弦 五〇〇〇〇〇〇校：據文淵本於
分 末尾增一〇
切线 五七七三五〇三
割线 一一五四七〇〇五
余五十九度 弦 八六六〇三五四
六十分
切线 一七三二〇五〇八
割线 二〇〇〇〇〇〇〇
四系有钝角求其各线如钝角一百四十二度六分
其正弦则以一百四十二度六分减半周余三十七
度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三
如上丙丁正弦当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙
甲丁锐角亦当丙甲戊钝角何者甲上锐钝二
角原当两直角而表上无钝角之弧与其正弦
故减钝角于百八十度得锐角三十七度五十
四分其半弦丙丁以当丙戊大弧即以当大弧之钝
角也
表用二 有正弦求其弧
与前题相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧
查表上正弦格得此数即得本度为六十二本分为
四十四也
又如正弦五七六五八三四求弧查表无此数即取
其近而畧小者得三十五度十二分之弦为五七六
四三二三与见弦相减余一五一一又取其近而畧
大者得五七六六七〇〇与前小弦相减余二三七
七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差
为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为
第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即
所求他各线求弦俱倣此
表用三 有弧求其通弦
如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三
十七度五十四分求其正弦得六一四二八五二校：此
数梵蒂冈本作六一四三八四三误倍之得一二二八五七〇四校：此數梵
蒂冈本作一二二分七七〇六误即所求
如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得
乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦无表
故用半弧正弦倍之即是他准此
表用四 有弧求其大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截
矢数得乙丙小矢为二一〇九一五九以减全
径二〇〇〇〇〇〇〇得大矢一七八九〇八
四一如表无小矢即求见弧之余弦得七八九〇八
四一以减半径得小矢
测平篇第六
测平者测平面上三角形也凡此形皆有六率曰三边
曰三角角无测法必以割圆线测之其比例甚多今
用四法以为根本依此四根法可用大测表测一切
平面三角形亦执简御繁之术也凡测三角形皆用
三率法即同比例三率法又以相似两三角形几何六卷四为
宗下文详之
根法一 各三角形之两边与其各对角两正弦比例
等一云右边与左边若左角之弦与右角之弦
如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为锐角即以甲
为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即
乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲乙
为度从丙截取丙庚从丙心庚界作庚辛弧又
作垂线庚丁即庚辛弧与丙角之正弦也题言
乙角之甲乙右边与乙丙左边若左角丙之庚丁正
弦与右角甲之乙己正弦
论曰乙丙己三角形有乙己庚丁两平行线即乙丙
与乙己若庚丙与庚丁而丙庚原与甲乙等即乙丙
与乙己若甲乙与庚丁更之即甲乙与乙丙若庚丁
与乙己如上甲乙丙形乙为直角有丙乙丁戊两平
行线即甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙
与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反
之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角
甲之丁戊弦与右角乙之丙乙弦
如上甲乙丙形乙为钝角其正弦丙壬而甲戊线与
乙丙等甲角之正弦为戊己题言丙角之甲
丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬弦与
右角甲之戊己弦何也试于形外引甲乙至
丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙锐角等
依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙
亦若丙壬与戊己
总论之各三角形各两边之比例与两对角
之两正弦比例等者何也试于形外作切圈
则三边为三弦而本形之各边皆为各对角
之通弦即乙丙边与甲乙边若甲角之弦与丙角之
弦也当已即是岂止同比例而已乎夫全与全半与
半比例等则各半弦与各通弦之比例亦等
此题为用对角根本
根法二 各三角形以大角为心小边为半径作圈而
截两边各为圈内外两线即底线与两腰并若腰之
外分与底之外分
如上甲乙丙形其小边甲丙其底乙丙以甲
为心甲丙为半径作圈截底于戊截大腰于
庚题言乙丙底与乙甲甲丙两腰并若腰外
分乙庚与底外分乙戊
论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与
两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两
容等几何三卷三五即两形边为互相视之边而乙己与乙
丙若乙戊与乙庚既得乙戊底外分以减全底得戊
丙半之得垂线所至为丁丙
此题为用垂线根本
根法三 有两角并之数又有其各正弦之比例求两
分角之数
如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数其两分之大角
为乙甲壬小角为壬甲丙未得数但知大角正弦乙
丁小角正弦丙戊之比例亦未得数而求两
分角之数其法以乙辛丙弧两平分于辛作
甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬角
为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截
辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两
弧之差夫乙丙者总角之弦乙丑平分弧之正弦而
己辛为乙辛半弧之切线辛癸为辛丙半弧之切线
此二线等而辛壬辛庚各为半差弧之切线亦等又
乙丁子子丙戊两形为两正弦上三角形此两形之
丁与戊皆直角又同底即两正弦之对角为子上两
交角亦等几何一卷十题而丁乙子子丙戊两角亦等几何一卷
三二则两形为相似形而乙丁正弦与丙戊正弦若乙
子与子丙几何六卷四先既有乙丁丙戊两正弦之比例
即得乙子与子丙之比例而又得乙子与子丙之较
为子寅夫乙丙己癸两线同为甲辛半径上之垂线
即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为
相似之形六卷四而两形内所分之各两三角
形如甲庚癸甲寅丙之类俱相似即以两线
之并数乙丙为第一率以两线之差数子寅为第二
率以两半弧之两切线己癸为第三率则得两差弧
之切线庚壬为第四率矣而此比例稍繁别有简者
则半之曰丙丑与子丑若癸辛与壬辛也有更简者
则曰乙丙与子寅若辛癸与辛壬也今用第三法云
乙丙为两边之并数子寅其较数辛癸为两角总数
内半弧之切线而辛壬为大小两角较弧之切线既
得辛壬切线即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得
乙甲壬大角以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角
以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隐角为
乙甲壬壬甲丙其两正弦乙丁丙戊之比例为七与
四即乙子子丙之比例亦七与四而乙丙之总数如
十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛
辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一
有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又
甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六
三九七〇二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切
线三六三九七〇二为第二率以子丑一有
半为第三率而得辛壬切线九九二六四六
为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲
壬角为五度四十〇分八秒以减辛丙二十度余壬
甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙
辛得乙甲壬大角二十五度四十〇分八秒
此题为用切线根本
根法四 凡直角三边形之各边皆能为半径
其一以弦线为半径作弧即余两腰包直角者各为
其对角之正弦
如上甲乙丙形其乙丙为对直角之弦线
以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角
乙之正弦甲乙大腰为对角丙之正弦
其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而弦线
为小角之割线
如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小
角之切线而乙丙为乙角之割线
其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而弦线
为大角之割线
如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切
线而乙丙弦线为其割线
此题为用割圆各线根本