崇祯历书卷之一百六十三 浑天仪说卷三
浑天仪说三卷目录
立象
求两星于立象圈上相合之时
求经纬星相照度
求岁旋
引照元与增力元相合
求引二元应止黄道何度
依浑仪解圆线三角形
任取一弧一锐角求余弧及余角
解斜角三角形总为六题
依比例原法复解圆线三角形
求时圈与地平交角
求地平与黄道交角
求子午圈及黄道交角
求高弧与黄道各度之交角
目录终
浑天仪说三卷
钦命山东布政使司右参政李天经督修
极西耶稣会士汤若望譔 访举博士孟履吉
仝阅
龙华民 访举博士朱国寿
同 会 订
罗雅谷 访举中书朱廷枢 校
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
浑天仪说三卷明山东布政使司右参政李天经督修
朱廷枢潘国祥汤若望譔
修政历法极西耶稣会士门人朱国寿贾良琦受法罗雅谷订
刘有庆周士昌
立象
立象者何任所得时刻应何宫度依之以推定十二舍
也而各舍所当居之度分并经纬诸曜皆从本度起
算则此因时之变得天之容乃占验所繇以生第此
中紧要在定每舍之初界即初度举所应得分数绘以
方图或圆形随点入星曜即浑天之象成矣法依本
北极高安球以本日躔度与时盘午正较对始转球
与盘将先所得时刻居子午圈下而本球宛然一当
时之天象次于西地平识同居之赤道度并得相应
之黄道度即第七舍初界次起半圈至赤道上距三
十度之限所得黄道度乃第八舍初界递起递加尽
得地平上各舍初界而地平下诸舍则以黄道相对
处可定如一与七二与八三与九四与十五与十一
六与十二之类是也假如崇祯九年正月十五日辛
酉晓望月食顺天府食甚在卯正一刻〇二分日躔
在娵訾宫一度五十三分因此时求各舍躔度先以
日躔对时盘午正依法转仪得西地平交赤道一百
五十〇度交黄道鹑火宫一十三度此即七舍初界
正对东地平得玄枵宫一十三度为第一舍初界即命
宫是上居天中得析木宫〇二度为第十舍初界正下
得实沈宫〇二度为第四舍初界半圈交赤道一百
八十度距前数三十度得黄道寿星宫初度为第八舍初界
正对之降娄初度起第二舍又以半圈交赤道二百
一十度得大火宫九度为第九舍正对之大梁九度
即第三舍后移半圈至子午圈之东得析木宫二十
度为第十一舍星纪一十度为第十二舍而正对处
即实沈鹑首相等之处为第五及第六舍因而上下
左右四角四角占验最得力处定矣复求纬星所居之舍或依
表预算或径用推定七政细行则以本北极高及本
时刻取各曜相应度分入其舍若星近舍初界有距
度或可入前舍中必先以黄经纬安球上随以本曜
所居之处求于本舍而以前所立象定球渐移半圈
如法起舍乃星入前后界内者即得本舍是也若地
平下各舍之星法起南极于架上与北极等高移前
第一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居
地平上即得诸曜本舍之界如以鹑火十三度交西
地平至寿星初度总弧内得前月食惟木星与太阴
畧近查丙子年七政细行食甚时木星躔鹑火二十
九度五十七分而火星则躔大火三度三十分应入
八舍土星躔星纪一十一度三十分纬北三十四分
必在十二舍之初界太阳金水二星皆在娵訾宫因
同入命舍其土星依本经度惟纬北三十四分故得
在十二舍之初界若距黄道北或一度半或二度试
以舍圈限之必其已入十一舍因近顶纬多故也求
恒星法同此盖此象一立则凡各曜性情势力强弱
可考而知穷理之家借以观变于未然鲜有不验者
其法详天文卷中
求两星于立象圈上相合之时
凡两星本各无力一合即增力此实足为所立象损益
之原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安
东地平依本地北极高即应查其与某星相合否盖转立象
圈于球面上下得二星在通径上即命星在地平时
其星必合否则令球与立象圈各自那转后求其当
合时法必得二星能如此合遂识赤道交子午圈度
次移本日躔度合子午圈并识其同居赤道度乃以
前赤道交度减后赤道交度余度化为时刻即得二
星应合之时如极高四十度一星在鹑尾宫二度距
纬南三度又一星在本宫四度距纬北一度本日躔
鹑首宫七度试转仪并半圈见子午圈西未合必过
东近地平方可得合而合时赤道则以七十五度交
子午圈便移日躔至子午圈下得同居赤道九十七
度为前度所减先借全周后减余三百三十八度化为时得
二十二时二刻〇四分即二星去午时后合圈下之
限
求经纬星相照度
凡两星相照增力或阻力多以向黄道为准大约有五
等如会合即同度同分为密而同度不同分者则谓
之疎六照以六十度为界四照止于一象限三照以
四宫相距而云然望照则以正相对而得半圈之距
乃此数照又各有亲或远者盖星体居正照之界即
亲而力强若体未正居其界而第以光居之即远而
力弱至若光之前后虽同而各星所定之限有异如
土得十度前十后十木十二度火八度太阳十七度金水
皆七度太阴复十二度经星凡第一等有七度三十
分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三
十分五六等最微力弱不入其数总之除会望二照
余皆以顺十二宫为左照逆十二宫为右照试于仪
上考之法用规器量黄道上任取一照之界六十九十等度
以星为心于黄道左右分顺与逆照之限假如求大
角四照以九十度为限将规一锐居本星体一锐指
左界九十度必至星纪十七度为顺照指右界九十
度必至鹑首十七度为逆照若七政必先依各经纬
度安其本位余法同前又一法用立象半圈先依北
极出地安球任取本时升度居地平乃移半圈径过
其星依之于赤道上作识后转球从前所识赤道度
相距三四等照界仍移半圈其上所指黄道度即星
照所至界也假如升度在寿星十六度求轩辕大星
六照限必移升度于东地平立象圈过星指赤道一
百三十八度复加六十度应一百九十八度居立象
圈即并得寿星宫十六度居本圈为轩辕大星六照
之左限其右限则以反减六十度为法
求岁旋
凡从前所取时刻至太阳复躔元度分其中相去总数
谓之岁旋盖依后时所立象较前象所得七政等星
居舍内应增或阻前星之力即效验所繇变也法令
球依前立象之时定住视赤道交子午圈若干度为
前象天中升度今越若干年复求后象天中之升度
必每去一岁加八十八度四十九分满全周则去之
余数即后象赤道交子午圈度使之于本圈正合可
得天容依岁旋之时因以定各舍宫度而各星安舍
法亦同前假如崇祯元年正月酉正时立前象因太
阳躔玄枵一十六度一十九分依法转球令时盘酉
正交子午圈得赤道交本圈之升度为五十度设相
去八年复立象为崇祯八年十二月二十九日太阳躔元
度是则以八乘八十八度四十九分去全周余四十度
三十三分为后象之升度移居子午圈得本圈指酉
初二刻为岁旋之时如用立成表细求即后岁中先
查太阳躔元度分之日为岁旋终之日次以后象升
度减太阳是日之升度不足减借全周减之余数化为时刻分
即得当日立象之时刻焉假如因十二月二十九日
太阳躔元度为岁旋终之日其升度三百一十八度
四十八分后象升度四十度三十三分不足减借全
周共得四百〇度三十三分减去前数余八十一度
四十五分化为五小时一刻一十二分从午正起算
加升度表
岁一一一一一一一一一一二三四五数一二三四五六七八九〇一二三四五六七八九〇〇〇〇
一二三一二三一二三一二三一二三一三一度八七六五八七六五七八五四七六五四六五四三四一二
八七六五四二一〇九六七五四三二一九八七六四二〇
四三二一〇五四三二一〇四三二一〇五四三二三四五分九八七六五四三三二一〇九八七六五四三二〇〇二三
引照元与增力元相合
凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是谓照元设
更有一星或一宫所居舍能增力或阻前效即谓为
增力元二元必各依定时著力乃就中求以前者至
后之位或反以后者至前之位俱依赤道弧相应二
元之距为限转球查其弧之大小为引则一度应一
年度数既定应在何时亦可限矣故引后至前以顺
宗动为正而引前至后则因五纬逆行时用之遂名
曰反引皆于球上可得正引者何转球先依天象安
定令黄道应第一舍初界之度正居东地平次查照
元移象圈径过其上并识赤道合子午圈度又转球
右行以增力元至半圈复识赤道交子午圈度则先
后所识之间弧乃指正引限而总数可推年时也欲
反引安球令之转同前惟立象圈宜先径过增力元
复识转球时赤道过子午圈弧因以定其中相去之
年假如北极高四十度设大梁十度在第一舍初界
太阴离黄道娵訾二十度距北二度为照元火星近
东地平躔大梁六度距南三度为增力元必先依各
经纬度带二曜于球上然后令象圈过太阴处所交
赤道点约为三百五十二度用本圈与用子午圈同次定住象
圈移火星与本圈正对约得赤道交圈点为二十八
度以所得前后度相减余中弧为三十六度即正引
之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南极
依北极出地度令黄道第一舍初界之度正居西地
平余法同前见前第二卷
求引二元应止黄道何度
因照元渐离初得之象圈乃更有黄道相应故任至某
年亦可求其相应度法先安球依本象令象圈与照
元合随查赤道交子午圈度因之顺或逆取本度与
年数所止限移至子午圈必此时交象圈黄道度即
其年所引照元止限也如北极高四十度设寿星十
六度东出太阳躔玄枵六度为照元依去四十二年
之数复求躔度因安寿星十六度于本地平安象圈
于鹑火六度与玄枵对度因后在地平下故得子午圈交赤道一百
一十度以加四十二度依之应一百五十二度交子
午圈得象圈交鹑尾一十六度即娵訾一十六度正对
宫度是为照元去四十二年所至限若照元自居四角
不必用象圈依所取年数转球复居本角黄道度即
照元所止度设寿星十六度为照元而出地平者亦
即此度则得地平交赤道二百零一度令球右转以
赤道四十三度至地平则所并居之大火十九度即
为照元任取之年后止限又设增力元亦居地平等
角即以同居赤道度减年数之度所止限复移至地
平等角亦即得黄道交地平等角为其当年所至之
限或增力元不正居角仍用象圈与之交并识其所
过赤道度减总年数余度限移至本象圈复得并交
黄道度为增力元当年之限也
依浑仪解圆线三角形
圆线三角形者何乃过球心大圈相交三弧之形而各
弧不及圈之半周所成也盖形内每两弧共抱一角
在间者谓之腰弧而与角相对之弧即底弧或又谓
直角三角形内以所抱直角弧为底弧及垂弧即与
勾股不异而以所正对直角者为弦弧论角其大小
以对弧之大小为则盖用规器以本角为心以九十
度为界则两腰间之弧腰先引长必量其角得本弧为一
象限即对角为直角过象限为钝角不及象限乃为
锐角凡弧或角不及满象限之度名之为余又凡两
腰引长至合一点则得抱角之对三角形以底弧为
公底以对角为等角而余弧余角皆前三角形所不
及满一百八十度之余弧余角者也因止一直角三
角形得余皆钝角者则与直角正对之形内腰间角
必直余反皆锐也如止一直角三角形得余一钝一
锐者则与锐角正对之形内惟前形直角相
连之角为直角余皆锐角也如图乙戊丙形
内设戊为直角乙丙皆钝角即其对形乙甲
丙内得甲为直角乙丙皆锐角也又丁丙戊
形内设丙为锐角戊直角丁钝角即其对形
为丁己戊而戊角独直丁己皆锐角论斜角形如三
角总为锐角必对形独存一锐角余皆钝角也设乙
甲丙形内甲为锐角即得对形乙戊丙内戊亦为锐
角乙丙皆钝角如三角总为钝角乃对形反存一钝
角余皆锐角也设乙戊丙形内戊为钝角即乙甲丙
内甲亦钝角今解三角形法多论不及一象限之弧
即锐角之底是也因以斜钝角形先变为锐角形以
直角形有一或二钝角者亦先改为对形则就中推
求之法与解原形不异即余弧余角之理所繇出也
今用浑天仪解之亦倣此但先解直角形尽之于三
比法有以先得一锐角并与各弧者又余锐角复并
与各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法
如左
任取一弧一锐角求余弧及余角
设甲乙丙三角形内甲为直角其底乙丙余弧即腰则
乙与丙皆锐角也先设得乙丙直角之底弧
及乙角欲求余尽解本三角形法架内北起
子午圈令赤道前高依本角之度然后或东
或西自赤道交地平处与本地平查底多寡之度以
为限移过极圈至此限上即三角形仪上定矣如乙
角为二十三度半以前子午圈弧为则使赤道依之
其左右交地平角即得对弧以定大小今甲为直角
必于赤道交过极圈处求之则地平上得底若设乙
丙底弧为六十度而移过极圈至本度从乙角算起因大
腰在赤道弧约为五十八度小腰在过极圈弧为二
十度有半自过极圈交地平查各圈满一象限即以
其限安高弧得二圈间之弧为丙锐角之对弧约七
十八度又设以小腰及本角求余弧及余角即先定
角等法同前而以所先得甲丙弧如二十度半与过极圈
上为点移之至交地平必自得腰与底弧合前度即
丙角亦在高弧同矣或以大腰查求其余亦先定乙
角而转仪以渐进赤道弧入地平令自其二圈相交
之处独余五十八度至过极圈交赤道之角必余法
余度亦合前也
今试以三弧各与丙角为先得如底为六十度求余
弧余角法移过极圈至地平距子午东或西三十度
六十度余是定住球使高弧距二圈相交之处各满一象
限得间弧为七十八度即所设之形准否则宜前或
后起子午圈必令高弧对丙角如其度为止即子午
圈自地平以上得对乙角之弧而直角两腰皆明矣
或设先得大腰与丙角必进或退赤道圈定其腰之
大小如五十八度即安高弧而起子午圈依前法求余弧
及余角也或以小腰及丙角求余即先于过极圈查
腰弧大小之度使之交地平以试高弧得全形盖对
角弧不及其度即球宜北起过极圈宜南下若对弧
已过其度则球反宜南起随移过极圈东西得正然
后余角余弧皆依前法准得矣任取一腰一底或二
腰求余弧及诸角先设得小腰与底弧皆依前度法
令球转东或西以过极圈限底弧之度如六十度视本过
极圈自赤道至交地平弧若正合其度如二十度半即三
角形已定否则前后起仪求小腰务合于地平乃所
对大腰亦复得五十八度而查乙角丙角必同前又
设得大腰与底弧亦先定底弧度渐起球或下令之
左右转以并对大腰度即小腰亦自合而求角必依
前法也或复设得二腰求底与角即先定大腰令球
下或起即得余腰与底而求角亦不异前也
解斜角三角形总为六题
其一曰以二腰及间角求底弧及余角如甲乙丙三角
形内丙为钝角甲乙皆锐角设先知甲角即间角则乙
丙为底余弧皆腰也如甲角为三十度大腰六十度
小腰止五十度法于子午圈查距极南北不拘六
十度之弧移其限于天顶次用过极圈令距
子午圈左或右而以赤道三十度为限末安
高弧东西必依极圈所居方位令之交极圈距极限
五十度即三角全形定矣大都子午圈为大腰极圈
为小腰高弧为底因而如前图得乙丙底为二十六
度有半乙角以地平为对弧在子午圈及高弧之间
得五十九度有半所余丙钝角欲求其对弧未免再
移球故先依高弧于球面上界线后转极圈令交高
弧之点正居子午圈下而并其子午圈起之以当天
顶乃复依先界之线安高弧而以至地平为限则此
限及子午圈之中弧即丙余角之对弧为一百八十
度所减存得丙角一百零三度若用浑仪求之线宜
界于黄道上或高弧本位不与黄道遇即于未转极
圈之先移高弧于正对地平度所遇多寡度界线其
上余法同前而所得弧即正丙钝角之对弧也
其二曰以二弧及先所得一弧之对角求余弧余角
如前图设先得甲乙弧六十度乙丙二十六
度半及丙角一百零三度法起子午圈以二
十六度半为距极之限令之居天顶则自极
至顶得乙丙弧将秋分经圈西距子午圈十三度依赤
道为则或将春分经圈东距十三度则自二至经圈至
子午圈其中得赤道弧为一百零三度乃丙角之对
弧也又安高弧使之以六十度自顶下数交过至经圈即
以高弧得甲乙以经圈得甲丙而甲乙丙形全矣今
查甲丙必为五十度乙角则自高弧至子午圈在地
平上必五十九度半所余甲角因依高弧于黄道上
界线然后移经圈交高弧之点以正居天顶而依界
线复安高弧得交地平至子午圈之中弧为三十度
或不移球止安高弧于地平正对之处用规器于前
交经圈及高弧一象限之界量二圈所距亦必得三
十度为甲角之度也
设反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十
度以求余弧余角法起子午圈令距极五十度之限
在天顶次转仪使过极圈距子午圈之东或西依赤
道上三十度为则即于高弧自顶而下数至二十六
度半以之交经圈即得余弧于本圈为六十度而高
弧在地平上其距子午圈一百零三度乃为丙角之
对弧仍依高弧在黄道上作线令前交之经圈六十
度居顶用高弧顺线下至地平必得五十九度半即
形内乙角也
其三曰以二角及先所得一角之对弧求余角余弧
设甲乙丙形先得乙角为十度半丙角为一百五十
四度半又得甲丙弧对乙角为二十三度半宜求甲
角与甲乙及乙丙弧但既先得甲丙对乙角
之弧亦应知甲乙对丙角之弧过象限否今
使过象限法查经圈左右赤道上之十度半
令之正居子午圈随于地平上从北去南查一百五
十四度半以之安高弧因而起或下子午圈必视其
所交经圈之点距北极出象限外乃并视经圈所交
高弧之点必距天顶二十三度半一得距度准即本
形定矣盖乙角在极中经圈及子午圈之间与正对
赤道得其若干十度半丙角于地平一百五十四度半甲乙弧
于经圈上约得一百零六度乙丙于子午圈上得八
十四度半止余甲角必起高弧与经圈所交之点至
顶而求其角于地平依前法得其为二十七度
其四曰以二角及角间之弧求余角余弧如前形内
设甲角为三十度丙角一百零三度甲丙弧为五十
度法自极中查子午圈上五十度令之居天顶为甲
丙弧查地平去子午圈北一百零三度以安高弧为
丙角末以赤道上距经圈三十度之限移居子午圈
乃得甲角而余弧自明矣因而高弧上得乙丙为三
十六度半经圈上得甲乙为六十度若求余角必起
高弧所交经圈之点至天顶依前法查之乃得
其五曰以三弧求诸角设甲乙弧为六十度乙丙为
五十度甲丙为二十六度半法使甲乙弧在
子午圈出极中至天顶即以之安高弧令以
二十六度半从顶算交经圈距极五十度之限
必得乙角于赤道圈甲角于地平而丙角则起经圈
五十度至顶依前法求也或使乙丙五十度在子午
圈而以高弧安经圈之六十度即乙角可在赤道上
得丙角则反在地平甲角则起球求之法同前其六
曰以三角求诸弧设甲角为五十九度半乙角为三
十度丙角为一百零三度法转经圈于子午圈之东
或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三
度皆以赤道弧为则必得相应之角在经圈过极之
处安高弧亦同法盖其交地平距北或三十或五十
九度半或一百零三度必皆在地平上算而相应之
角则在天顶但安高弧必先于地平取准乃于天顶
未定之时渐起或下仪试二弧远近相交之处以对
余角其法或识高弧交经圈之点于顶而地平上试
所求角正对之弧或用规器从高弧与经圈相交之
各点距一象限量其二弧所距必先转高弧于地平正对度得合
余角即初起之球必准否即更移之总以试定三角
后而其弧自明矣
依比例原法复解圆线三角形
圆线三角形中之比例总归四原因生四公论以尽解
或直或斜三角形之理 一论曰凡多直角三角形
得锐角同近底线者以较其弦及垂线之正弦必皆
互得比例设后图于仪上甲乙丙
丁为地平戊为天顶从戊过甲戊
丙与庚戊己皆以直角交地平彼
为子午圈此为高弧乙辛丁当赤
道圈以直角交子午于辛以斜角
交地平于乙于丁盖多三角形中
取二形即丁辛丙及丁壬己乃二形中有丁辛与丁
壬为弦线辛丙与壬己为垂线丁丙丁己皆底线锐
角在丁依常法以辛癸及壬寅两弦线之正弦与辛
子及壬丑两垂线之正弦互相较先得三线其余线
俱可得矣今用浑仪显之试以二弦线及大形中之
垂线求小形中之垂线因而设丁辛得九十度为赤
道一象限丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其地
平高得四十八度二十五分法移高弧在壬下至地
平得壬己弧为三十度〇二分或安高弧以三十余
度交赤道圈即自限小形之弦可并得两弦线欲求
大形中之垂线则辛丙必为子午圈上之弧自地平
至赤道高四十八度二十分或以二垂线及大形中
之弦线求小形中之弦线各依前所定度则自壬高
弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度
二论曰凡多直角三角形得锐角同近底线者以较
其底线之正弦与弦弧之切线必皆互得比例如前
图三角形同而大形底弧之正弦
癸丙其切线即卯丙小形底弧之
正弦己巳其切线为辰巳皆可反
复相解或求垂线或底线必以算
乃得今于浑仪上查之设赤道高同前高弧交处亦
同前度必所得垂线亦不异前若求丁巳底线即自
赤道交地平至高弧切地平之处得其弧为三十度
五十余分因依常法凡弦弧之正弦与垂线之正弦
得比例可互求而底线之正弦较垂线之正弦则否
何也盖垂底两弧之正弦各圆线形内不能合成一
直线三角形故见前第一图用浑仪可免直线形止须以
圈相交处即得各弧之长短大小焉
三论曰凡圆线三角形其线之正弦必与对角之正
弦得正比例如后图设甲乙丙为直角三角形直角
在丙余皆锐角各边引长为一象限至
壬至戊至丁自丁复引象限至子至庚
因得乙丁己斜角三角形今依常法直
角形内求甲丙边即因先比之丙角与
甲乙或甲角与乙丙推乙角与甲丙之比例求乙角
即因甲乙反比之丙角或乙丙与甲角亦算得甲丙
与乙角又求乙丙应以甲角较推如丙比甲乙同而
反求甲角应以乙丙边推如甲乙比丙同此反复用
八线表推求法也若用浑仪即本图内子甲壬自当
地平必得天顶在丁而子丁壬为子午圈设辛乙戊
为赤道丁乙丙为黄道或当高弧则直角形中之三
边各显于本图各有定度可取盖论角则丙角自显
为直角以丁子弧可徴余角皆以对弧得则甲角以
戊壬乙角以辛癸是也试于斜角三角形内先求乙
己边必以丁对角推之用乙与丁己或己与丁乙之
比例求乙己等角亦以对边求之法必同前但查表
或疑其所求角应锐与否如查正弦九二七一八应六十八度并应一百二十
二度必以取准图形为正或用天球尤易明盖设丁庚
为高弧得丁角于丙庚地平弧乙角在两道相交之
处必对则在过二至之圈弧己角既为钝角乃左右
之边无以定其象限必球上自顶顺高弧界线而线
交乙己弧之点移至顶则球一面依先界线安高弧
必尽于地平一面赤道亦自至地平彼此间地平弧
即能量定己角矣
四论曰凡圆线三角形两边各小于象限先以两边
弧自并后又以小边并大边之余弧而即以此后总
弧之正弦或减先并总弧之余弦或加其过象限弧
之正弦所得线半而用之乃以求第三边即前两边
间角之矢与他线如全数与前半线所复得线为后
并弧之正弦所减必余第三边之余弦或为后并弧
之正弦所加亦余第三边过象限弧之正弦若反求
角则他线与角之矢如前半线与全数而他线亦为
后并弧之正弦以内减第三边之余弦或加其过象
限弧之正弦所生因此三角形中之两边并较象限
或等或小或大而各依之以推第三边设角时直时
斜皆同但推角设边反异盖两边并较象限相等或
小则设第三边必小于象限独两边并大于象限所
设第三边亦能大于象限故法虽同临推种种畧异
此等三角形历家无所不用虽加减法若省然亦未
免于烦欲查浑仪则捷若指掌何也以二边及间角
求余边先设两边并与象限等其一为四十七度其
一为四十三度间角为五十度试于仪上极高四十
度即安高弧令地平上依间角自南去东距子午圈
五十度自顶于高弧上查四十三度亦自顶于子午
圈余四十七度得其中黄道弧从娵訾宫一十四度
至降娄宫一十七度共为三十三度即形内余边也
复设两边并小于象限如各为三十五度间角与极
高同前得三边在中黄道弧则自降娄宫九度至大
梁宫六度共为二十七度又设两边并大于象限如
各为六十度余皆同前得第三边在黄道弧自玄枵
宫二度至娵訾宫十五度共为四十三度若求角即
以先所得三边反查高弧及子午圈之间角则所得
三弧必生五十度之角第原法凡得三边小于象限
者用其余弦与后并弧之正弦相减大即以其大弧
之正弦相加乃仪上亦无二法如黄道自玄枵宫一
十八度至实沈宫初度共一百零二度为第三边其
对角当在高弧及子午圈相距之地平上得一百一
十度此则抱角之二弧并必大于象限也今试以公
论用仪解日食内所算三角形则凡直角形归一种
斜角形又归一种其列二等如左
求时圈与地平交角
时圈与赤道经圈及过赤极圈皆一而独以其所用有
分别焉设太阳居正午其过时圈至地平正交必为
直角若午前后因斜交地平得角亦斜且大小不一
复设太阳在正东距正子午圈共六小时则过时圈
至北极得九十度其交角大小与极高度同使交角
在正午及正东西间即以高弧求其大小法从交点
各圈上正去九十度安高弧地平上算必本弧上从地平
至交时圈间度为时圈交地平角也假如太阳躔降
娄宫初度设时为辰正二刻先将午正与本躔度并
居子午圈下后转仪令辰正二刻正切子午圈乃本
时圈交地平从正东起南去四十度以之安高弧又
距本度满一象限则又在正北之四十度以此度复
安高弧从地平上数起得交时圈五十三度为时圈
交地平角也
求地平与黄道交角
法用高弧过黄平象限下至地平即因高弧为大圈以
所正对交角之弧能量其大小则必自地平至其交
黄道点乃得黄道交地平角也假如北极高四十度
设实沈宫初度居地平东出得平象限偏子午圈之
东以高弧从此点过至地平约得三十四度一十〇
分为地平及黄道二圈之交角盖黄道因半周恒在
地平上而平分左右各得九十度独冬夏二至此限
正合子午圈外此则限每偏东或西所以查交角用
高弧不能用子午圈也
求黄平象限距子午圈为三形之弧
黄道随宗动左旋其交子午圈也时高时庳因而两象
限之中点距天顶亦时近时远且以斜升斜入故则
九十度限大半偏东或西乃从冬至迄夏至限常在
东从夏至迄冬至限常在西即从而得限及子午圈
中之弧也今依法加高弧使之过其限必以直角相
交其角左右之弧一在高弧一在黄道而相对之底
弧在子午圈则三弧共为直角三角形也明矣本形
内各弧亦能自显度分乃限距天顶又距子午圈等
度皆见于弧若更求高弧距子午圈中黄道之对角
必应查于地平即以高弧距子午圈之中弧量之乃
得且本弧大小正与黄道出没之广弧等如北极高
四十度设大梁宫初度为平象限因偏东十四度以
安高弧得其至地平切子午圈东二十七度即象限
偏子午圈对角之弧与黄道自正东去北之出正西
去南之入等校：入原訛作人今改而高弧自顶至交限点则三
十度也
求子午圈及黄道交角
凡黄道以冬夏二至交子午圈成角者必为四直角因
子午圈当过黄极并二至圈此间必正相交故也使
以春秋二分交即为斜角得对弧正与两道最相距
之余弧等从此距分渐远交角亦渐易必自冬至至
夏至交得锐角向东北或西南自夏至至冬至亦交
得锐角向西北或东南法以黄道度正合子午圈定
住移交点至天顶从此至地平两圈各成象限则其
间地平弧能量交角之度如大梁宫初度交合子午
圈七十九度从北极算必移其七十九度在顶与本宫初
度相交其二弧至地平间必抱七十度东北与西南
皆等又设鹑火宫以十五度相交因在子午圈七十
四度移本度居顶得二圈至地平中弧必为七十二
度西北与东南皆等
求高弧与黄道各度之交角
先依黄道距午正前后度以赤经圈交黄道角或加或
减于高弧交经圈之角乃得高弧与黄道或正或余
形内外是之交角此原法也今用浑仪可免加减径安高
弧交黄道于其距正午度即依前法界线随移本度
至顶复依线安高弧必得角于对地平弧矣如北极
高四十度设大梁宫初度距午正六十四度东西无异使
高弧交其躔度因得界线后起大梁初度居顶依线
复安高弧即得所指地平五十八度为高弧交黄道
角也或不必转仪而独移高弧于地平对度用规器
于高弧及黄道弧距前交点九十度之界量其二弧
相距则地平上亦得五十八度如后图甲为天顶丙
戊黄道弧甲丁为子午圈平象限距其东设在乙日
食在戊或丙依前第三及第四题公论以二曜躔度
丙及定朔时先得丙丁黄道弧必使丁居正午以高
弧过丙为甲丙丁斜角三角形内求
甲丙弧二曜地平高之余弧及丙交角盖以甲
丙查得太阴高庳差丙己是丙角与小
形内交角等因并得所余己角壬自为直
角而以之推丙壬时差及壬己气差故也或依第一
及第二题公论以先得黄道交子午圈丁点于仪上
并得平象限相距之乙丁弧即安高弧过乙限先得
甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距顶之弧而更
使高弧过丙躔度乃复得甲乙丙直角三角形内求
甲丙弧及丙角皆依前法因解丙己壬小形以求视
差其法尤省