崇祯历书卷之七十五 几何要法卷一
几何要法卷一校：據明刊牛津本校錄
泰西耶苏会士艾儒略 述
高一志
邓玉函
同会 仝订
龙华民
罗雅谷
值会 阳玛诺 准
校：清刊本無此署名
几何要法序
世之执牛耳盟者幽言理至度数之学则以为迂而无
当于道而刍狗置之夫度数而斤斤术艺也者则刍狗
实也可度数之中大而授时定历正律审音算量分秒
不爽水泉灌溉有资与夫力小任重营建机巧毕具而
兵家制胜列营阵揣形势策攻守所须乎此者尤亟用
之如斯其广且切也此而可刍狗视之将羲画虞璇亦
枯而不灵之器而禹奏平成可舍句股勿用而姬公测
验必周髀是问何为也始信理脱数而藏易借以覆短
数传理而见则有物有事假作不得假说亦不得也善
哉几何原本之帙译自西国裁自徐太史先生之手其
中比分栉解义数详明可以佐隶首商高所不逮可以
补十经九执之遗亡而梓甘翟襄不擅长焉者神而明
之引类而伸之先王制器前用之法备见矣特初学望
洋而叹不无惊其繁余因晤西先生得受几何要法其
义约而达简而易从如攻坚木先其易者后其节目久
也相说以解先河而后海昔有言之矣不操缦而能安
弦有是学乎爰是订而别诸梓人僣数语弁其端有笑
而诧猷以俗吏而迂谭度数之理也猷乌知
崇祯辛未年仲春陆安郑洪猷书
几何要法卷之一目录
几何总论
界说章第一十六则
备器章第二
审尺章第三
画线章第四
审平面章第五
引线章第六
平分直线章第七法有二
作垂线章第八法有四
立垂线章第九法有三
求分一直线任为若干平分章第十一法有四
一直线求截所取之分章第十二法有二
有一直线求截各分如所设之分章第十三
有直线求两分之而两分之比例若所设两线之
比例章第十四
有两直线求别作一线相与为连比例章第十五
法有二
三直线求别作一线相与为断比例章第十六
两直线求别作一线为连比例之中率章第十七
几何要法卷之一本篇论线计界说十六章数二七要法三十
泰 西 艾儒略口述 吴淞陈于阶
海 虞 瞿式谷笔受 陆安郑洪猷仝较梓
古 闽 叶益蕃参校 山阴陈应登
校：校原作較諱字今改
法图本最下三人阙
几何总论
几何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度
有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度
厚薄线自点始点引为线线展为面面运为体点者无
长线者无广面者无厚点为线之界线为面之界面为
体之界体不可为界点线面体几何之论起焉
界说章第一十六则
界者一物之始终解篇中所用名目作界说
第一界
几何者度与数之府也
第二界
点者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲点
真圆真平相遇处止一点毕世积点不能结线凡图十干为识
干尽用十二支等字
第三界
线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之
间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能
结面
第四界
面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于
面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面
不能结体
第五界
体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图
第六界
分者几何之几何也小能度大而尽之无赢不足者以
小为大之分若小不能尽度大当称几分几何
之几如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆
能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分
若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者
不得正名为分则称之为三分六之二他数倣此
第七界
点者非几何故不能为线及诸几何之分
第八界
线非广狭之几何故不能为面之分
第九界
面非厚薄之几何故不能为体之分
第十界
线有曲直线之一点能遮两界是直线如上图
甲乙不遮则不直如下图丙丁
第十一界
面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上
图甲乙丙丁不遮则不平如下图戊己庚
第十二界
直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲
丙之垂线
第十三界
两直线于同面行至无穷不相离亦不相远终
不得相遇者为平行线如上甲乙丙丁两线
第十四界
两几何以几何相比之理为比例两几何者或两数或
两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若
线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不
以几何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与
无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不
能及无穷之线故也
凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之
比例本卷论量法之比例
第十五界
比例相续不断为连比例其中率与前后两率递
相为比例而中率既为前率之后又为后率之前
如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也
第十六界
中率一取不再用为断比例如上图甲四自
与乙八比丙六自与丁十二比是也
备器章第二
几何在历家则多用图画图必先备器器有三曰尺曰
规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方
而贵准器准矣不识用法则茫无措手今以用法著于
篇
审尺章第三
画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直如甲乙为
尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线
丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己戊线丙合
己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削
画线章第四
尺既直矣线可无曲然画时又有法须以铁或铜铸笔
上长其柄令可把手下截濶出复渐窄而下其正面削
极平背令稍圆去末寸许作一
小窝窝下渐细至末用时以墨
汁入小窝以平面紧倚尺作线则墨汁自就下或恐墨
污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作
于规末亦得
审平面章第五
平面者诸方皆作直线
法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺
施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是
平面也
引线章第六
有一短直线求平引长之
法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界
画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规
界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向
前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则
得所求若欲更引长仍依此法
平分直线章第七法有二
有有界之线求两平分之
第一法
如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一
度但须长于甲乙线之半愈长愈准向上向
下各作一短界线次用元度以乙为心亦如
之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有
界之线两平分于戊矣
第二法
若所分之线下面无地可作短界线即于甲
乙线上先画两短界线于丙次或开或收规
度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁
规度愈相远画线愈准末以丙丁二交用尺
如前画线则得所求
作垂线章第八法有四
有一直线任于一点上求作垂线
第一法
甲乙直线任指一点于丙求丙上作垂线先
于丙点左右任用一度愈远愈准各截一界
为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于
丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如
之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求
第二法
于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度
以丁为心于丙上下方各作短界线次用元
度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚
末作己庚直线视直线交于丙点即得所求若丙点在
甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得
第三法
若直线甲端上求立垂线又甲点外无地可
暗引线则先以甲乙原线上方任取一点为
丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙
线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊
为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线
即所求
第四法
若甲乙线所欲立垂线之点乃在线末甲界
上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一
点为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次
以甲丙丁角两平分之分法在后三卷第四章为己丙线次以甲
丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心
向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求
立垂线章第九法有四
有无界直线线外有一点求自彼点作垂线至直线上
第一法
如有甲乙无界直线直线外有丙点求自丙点作垂线
至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小
半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以
甲为心向丙点相望处作短界线又以乙为
心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲
乙线于戊则丙戊为垂线
第二法
于甲乙线上近甲或乙任取一点为心以丙
为界作一圜界于丙点及相望处各稍引长
之次于甲乙线上视前心或相望如前图或
进或退如后图任移一点为心以丙为界作
一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直
线得丙戊垂线
第三法
若丙点垂于甲乙线之界不能于丙点左右
画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则
当以甲为心于丙点及相望处各作短界线
于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界
线末从丙丁二交处作直线则得所求
第四法
若甲乙线在面之边且下无地可措规如前
四图则当用前章第三法或以丙为心任指
甲乙线上两点为丁为戊次任取一度以丁
为心向丙上作短界线次用元度以戊为心
仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作
直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中
作平行线章第十法有三
一点求作直线与原设直线平行
第一法
于甲点求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙
丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度
以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己
圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛
作直线即所求
第二法
先以甲点为心于乙丙线近乙处任指一点
作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙
截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以
甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁
元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己
作直线即所求
注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如
一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘
法
注曰以上二法以甲点定远近若无甲点任指所
欲远近为界可当甲点
第三法
此法比前法更简易即西本几何亦未载乃
敝师伯先生所授如有甲乙线任远近求作
平行线近甲取心向上以所求远近为度作
小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺
依半圜为界作直线即所求
注曰以上平行数法可推用作沿边直线之
垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先
以乙为心向甲任取一点为丙又用元度以
丙为心向甲指一点为丁又以乙为心任取
一度向上方作一短界线愈远愈准又以丁为心
用元度仍向上方作一短界线与前界线相交于
戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用
一法以丙乙为度作平行线正垂在乙点上即得
所求
求分一直线任为若干平分章第十一法有四
凡造历象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力
抑且不准宜熟后法以便用
第一法
如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为
丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁
丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平
行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛
乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分
第二法
如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为
丙乙甲角次于乙丙任取一点为丁作丁戊
线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为
丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于
甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末
从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之
而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分
第三法
如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行
线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度
从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚
癸辛壬四线相联即分甲乙于己于辰于卯
于寅为五平分
第四法
此法极简极神可分百千不等
之线与百千不等之分先作一
器如丙丁戊己为平行线任平
分为若干格器愈大格愈密其
用愈广格每分作平行线相联今欲分甲乙为五平分
即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵
第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止
既至壬即戊壬之分为甲乙之分
又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一
规髀抵戊丙线一
处以一规髀抵此
器庚辛第十七格
为壬次从戊至壬
画一直线次取所
过两格相距之度以此为准分甲乙直线则得十七分
矣或图小而所分者大欲广其用则递倍之如图一尺
欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前
法为十九分后以尺递十倍之则一丈己分为一百九
十分矣每十分作识如所求余以此推之
一直线求截所取之分章第十二法有二
第一法
如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任
作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作
所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分
也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为
甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直线求截取七分之三先以前章法
分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求
如欲截取十分之七十四分之九等不均之
数亦如之
有一直线求截各分如所设之分章第十三一法
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓
甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙
甲丙两线相联于甲任作丙甲乙角次作丙
乙线相联末从丁从戊作丁己戊庚两线皆
与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙
分于丁戊焉
有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比
例章第十四一法
法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若
所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙
角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚
乙线联之末作己辛线与庚乙平行即分甲
乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁
有两直线求别作一线相与为连比例章第十五法有
二
第一法
有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合
两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例
若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为
乙丁与甲丙等次作乙丙线相联次从丁作
丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊
为所求线若以甲丙为前率倣此
第二法
以甲乙乙丙两线联作甲乙丙直角次以甲丙
线联之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙
之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线
三直线求别作一线相与为断比例章第十六
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相
与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲
乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙
次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线
相联次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲
丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
两直线求别作一线为连比例之中率章第十七
法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者
谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以
两线作一直线为甲丙次以甲丙两平分于戊
次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界
作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率