崇祯历书卷之一百五十八 筹算
二十三度六七〇〇 五五四二
经度止
二十四度 五五五六
六七三〇
二十五度 五六〇〇螣蛇三
二十六度 五六〇八
二十七度 五六二〇
二十八度 五六二八
二十九度 五六三〇
三十度 五六三〇
崇祯历书卷之一百五十七终
崇祯历书卷之一百五十八 筹算
法数部 筹算校：據中科
图本校录
钦差礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一
级徐光启奉勅督修
极西耶稣会士罗雅谷 譔
龙华民
同 会 同订
汤若望
绛 县 陈所性 受
监 官 朱国寿 等图
长 洲 孙嗣烈 校梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法历书法数部筹算明礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级
徐光启督修朱国寿朱光大
罗雅谷譔修政历法极西耶稣会士门人陈所性黄宏宪受法汤若望订
孙嗣烈焦应旭
自序校：清刊本此序前有籌算標題奎章閣末闕葉
算数之学大者画野经天小者米盐凌杂凡有形
质有度数之物与事靡不藉为用焉且从事此道
者步步跖实非如谈空说玄可欺人以口舌明明
布列非如握槊夺标可欺人以强力层层积累非
如繇旬刹那可欺人以荒诞也而为术最繁不有
简法济之即当年不能殚恶暇更工他学哉敝国
以书算其来远矣乃人之记函弱而心力柔厌与
昏每乘之多有畏难而中辍者后贤别立巧法易
之以筹余为译之简便数倍以似好学者皆喜以
为此术之津梁也遂梓行之传不云不有博奕者
乎为之犹贤乎已是书稍贤于博奕然旅人入来
未及他有论著以此先之不亦末乎行复自哂曰
小道可观聊为之佐一筹而已
崇祯戊辰暮春廿日罗雅谷识
造法七条
造筹定号分方平立方筹分角造匣定数
赖用算法三条
加法减法命分二法
用法四条
乘法除法子母算法附开平方法开立方法
造法
一造筹
或牙或骨或木或合楮俱可其形长方广为长六之一
厚约广五之一诸筹相准不得有短长广狭厚薄须平
正光洁便于画方书字凡筹数任意多寡总之五筹两
面可当一单数说见定数条十筹当十数十五筹当百
数二十筹当千数二十五筹当万数三十筹当十万数
约以众筹之厚为一筹之长便于作开方筹入匣也详
造匣条
二分方
每筹横平分为九作九方筹筹相等横列之线线相直
方方相对
三分角
每方自左上至右下斜作一对角线则每方成直角三
边形二横列之则两筹对角
线又成一斜直线其两直角
三边形又合成一平行线方形
四定数
数自一至九并〇共十位筹有二面五筹可满十数其
数以方数与筹上方数相乘每方之中既以对角线分
而为二即每方各成二位右位即零数左位即十数至
第九筹第九方九九相承得八十一而止
第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圈一面
作一数九方对角线之上顺书
一二三四五六七八九数
第二筹一面作二数第一方线
右书二第二方线右书四二筹
二方二二如四也第三方线右
书六二筹三方二三得六也后推此则第四方线右
书八
第五方线右书〇线左书一二筹五方二五得十故左
位一右位〇以当零数也后推此则第六方线右书二
线左书一第七方线右书四线左书一第八方线右书
六线左书一第九方线右书八线左书一一面作三数
第一方线右书三第二方线右书六第三方线右书九
第四方线右书二线左书一第五方线右书五线左书
一第六方线右书八线左书一第七方线右书一线左
书二第八方线右书四线左书二第九方线右书七线
左书二
第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书
八
第三方线右书二线左书一第四方线右书六线左书
一第五方线右书〇线左书二
第六方线右书四线左书二第
七方线右书八线左书二第八
方线右书二线左书三第九方线右书六线左书三一
面作五数第一方线右书五第二方线右书〇线左书
一第三方线右书五线左书一第四方线右书〇线左
书二第五方线右书五线左书二第六方线右书〇线
左书三第七方线右书五线左书三第八方线右书〇
线左书四第九方线右书五线左书四
第四筹一面作六数第一方线右书六第二方线右书
二线左书一第三方线右书
八线左书一第四方线右书
四线左书二第五方线右书
〇线左书三第六方线右书六线左书三第七方线右
书二线左书四第八方线右书八线左书四第九方线
右书四线左书五一面作七数第一方线右书七第二
方线右书四线左书一第三方线右书一线左书二第
四方线右书八线左书二第五方线右书五线左书三
第六方线右书二线左书四第七方线右书九线左书
四第八方线右书六线左书五第九方线右书三线左
书六
第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书
六线左书一第三方线右
书四线左书二第四方线
右书二线左书三第五方
线右书〇线左书四第六方线右书八线左书四第七
方线右书六线左书五第八方线右书四线左书六第
九方线右书二线左书七一面作九数第一方线右书
九第二方线右书八线左书一第三方线右书七线左
书二第四方线右书六线左书三第五方线右书五线
左书四第六方线右书四线左书五第七方线右书三
线左书六第八方线右书二线左书七第九方线右书
一线左书八
五定号
号者应于面之左右两旁厚处露出匣外者记本面数
目〇至九共十号其旁狭
难书一二三四等字姑作
横线如〇则无线一则一
横线也至五则结为一纵线以该之如五则一纵六则
一纵一横七则一纵二横也各书本面之右用时视其
旁即可得之
六平立方筹
诸小筹之外别作一大筹长与诸筹等广约长六分之
二两面横分九方亦与诸筹等其一面平方筹纵作二
行其右行九方书一至九之数为平方根其左行九方
亦如小筹作对角线以平方根数自乘之各书根数之
左第一方线右书一第二方线右书四第三方线右书
九第四方线右书六线左书一第五方线右书五线左
书二第六方线右书六线左书三第七方线右书九线
左书四第八方线右书四线左书六第九方线右书一
线左书八其一面立方筹纵作六
分右一分作一行九方书一至九
之数为立方根中二分作一行九
方书一至九各自乘之数与平方
筹同左三分作一行九方每方止
截左边三分之二亦如小筹作对角线是每方分为直
角三边形无法四边形各一也而无法四边形之中暗
具一直角方形在右一直角三边形在左今止以左中
右分之以中行自乘之数再乘之各书方数之左名立
方数第一方右书一第二方右书八第三方右书七中
书二第四方右书四中书六第五方右书五中书二左
书一第六方右书六中书一左书二第七方右书三中
书四左书三第八方右书二中书一左书五第九方右
书九中书二左书七
七造匣
匣合纸或木为之其形短方其空广如筹之长空厚如
筹之广匣有盖以筹长五分之三为匣之深其二为盖
之深使筹入匣而旁号露于匣口之上以便抽取也小
筹比立匣中方根筹侧于小筹之旁下切匣口上切盖
顶正相容也若盖之外径等于匣之外径则匣口必出
笋以入盖夫方根筹之广与匣之深并尚不及小筹之
长以其不及为笋之高则匣与盖外切筹与盖匣内切
矣若匣之外径等于盖之内径则匣自为笋盖冒之可
无庸笋也
赖用算法凡三条
算家加减二法并命分法亦用筹所赖故各具一
则一加法
加者多小几何并为一大几何也亦谓之计先以第一
小数从左向右横列于上次以第二小数如前横列于
下从视之则零对零十对十百对百也分钱两及寸尺
丈俱依此推次视零位若成十成十则进一位又视十
位若干百则进一位千万以上俱依此推
假如有银九万一千七百六十一两又八万二千〇
七十八两又四千五百二十两又九万〇六百五十
四两俱横列则视末位有一八〇四并得
十三本位书三进位加一与六七二五并
得二十一本位书一进位加二与七五六
并得二十本位作〇进位加二与一二四
并得九本位书九首位九八九并得二十六本位书
六进位书二得二十六万九千〇一十三两如物数
是斤两则十六两成一斤进位尺步亩之类俱依此
推
二减法
减者一大几何减去一小几何余几何也亦谓之除以
大数书于上应减数书于下亦零对零十对十百对百
也次于每位对除之若除数多于原数则借前位一以
除之盖前位之一即本位之十也除完则得余数
假如有银三十〇万〇一百七十六两三
钱四分内除去二十九万八千六百四十
三两八钱五分从左首位起上数三下数
二三除二存一次位上数〇下数九借前
一成一〇除九存一三位上数〇下数八
借前一成一〇除八存二四位上数一下数六借前
一成一一除六存五五位上数七下数四七除四存
三六位上数六下数三六除三存三七位上数三下
数八借前一成一三除八存五八位上数四下数五
借前一成一四除五存九该存一千五百三十二两
四钱九分
三命分二法
命分者一大几何已分几何尚余几何今应命此余者
为几何分之几何也又所余之小几何再分得几何今
应命此得者为几何分之几何也前解曰法数为母余
数为子如法数一六八余数四九即命为一百六十八
分之四十九后解曰得数为子得数前位为母如得数
一位则前位为十得数六即命为十分之六得数二位
则前位为百得数三四即命为百分之三十四得数三
位则前位为千得数二八三即命为千分之二百八十
三得数四五位以上推此第前位定于一数十则一十
百则一百千则一千万则一万前一法即九章之命分法亦即几何原本之命
比例法后一法即九章之小数如衡有钱分厘毫量有尺寸分厘历有分秒微纤也
用法凡四条
一乘法
乘数有实有法先将实数依号查筹从左向右齐列其
两筹相并所成平行线斜方形合成一位方形内之数
并为一数矣次以筹之方位为法数如法数是五则视
两筹第五方是九则视两筹第九方即得数矣若法有
二数则先查法尾所得数横列之次查法首所得数进
一位横列之末用加法并之得数法有三数以上依此
推显
解曰乘者升也九九升积之义也数有二一为实一
为法可互用大畧以位数多者为实可也用筹则如
实数列筹自左而右次视法数依筹之同数格上横
取之并得商数列书之更视次法如前得次商数进
一位书初商之下三以上倣此商毕并诸商数即乘
得之数
假如八十三为实以四乘之先列八三两筹视其第
四格八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二
一并作三三号筹下右半斜方有二并为三百三十
二也
又如每银一钱籴米九升五合今有银三两五钱问
该米若干则以三五为实九五
为法先查实数二筹齐列次视
法尾五查二筹第五横行内数
是一七五另列再视法首九查
二筹第九横行内数有三一五
进一位列于前得数之下并之
得三三二五该米三石三斗二升五合
又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八
石三斗问该钱若干则以一八三为实一二五为法
先查实数三筹齐列次视法尾五查三筹第五横行
内数是九一五另列次视法次二
查三筹第二横行内数是三六六
进一位列于前得数之下次视法
首一查三筹第一横行内数是一
八三又进一位列于前得二数之
下并之得二二八七五该钱二万
二千八百七十五文
如法数有〇则径作一〇以当其位再查法数如前
如六八三为实三〇〇为法则作二〇乃查三筹之
第三横行内数从二〇左进书之余倣此校：倣原訛作放今改
二除法
除法有实有法有商先将法数依号查筹从左向右齐
列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或
畧少于实数者在第几行即是初商数如在第一行即
得数是一在第九行即得数是九也次以查得之数减
其实数如已尽则止知有初商未尽则知宜有再商也
有再商者即再查横行内数之等于存实或畧少于存
实者在第几行即是再商数又以查得之数减其存数
如前又未尽则更有三商亦如上法三以上倣此若初
得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有〇位即
作一〇以当次商或三位俱无则知得有二〇即又作
一〇以当三商乃从后数查之若虽有余数而其数小
于法数是为不尽法法之数用命分法
解曰除法者分率之法也有实有法先列实次以法
数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而
一也除法有二一归除一商除商除者古法归除则
后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用商除
也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹
之某格与实数相合者或畧少于实数者以减实即
初商数也若未尽即如前再商三商以上皆如之又
未尽则以法命之
假如列实一百〇八以三十六为法除之简三六两
筹列之视其第三格六号筹下右半斜方有八中各
斜方有一九共十进一位成百即一百〇八除实尽
也
又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二
升五合问该银若干以三三二五为实九五为法先
以法数二筹齐列次于各行横数内求三三二有则
径减实数无则取其畧少者二八五以二八五减三
三二余四七五为实而此二八五数乃在第三行即
三为初商数次视第五行有
四七五正与余实相等减尽
即五为次商数是三五为得
数也该银三两五钱
又如每钱三百七十四文买
米一斗今有钱八万七千一
百四十二文问该米若干以八七一四二为实三七
四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内求八
七一无则取其畧少者七四八以七四八减八七一
余一二三四二为实而此七四八乃在第二行即二
为初商数次视各行中无一
二三四及畧少者惟第三行
有一一二二以一一二二减
一二三四余一一二二为实
即三为次商数次视第三行
有一一二二正与余实相等
除尽即三为三商数该米二
十三石三斗
若积数为八七二四八尚有一〇六为余实再欲细
分即用命分第一法以余数一〇六为子法数三七
四为母即命为三百七十四分之一百〇六
或用命分第二法于余实一〇六后加一〇依上法
再分之得二又加一〇再分之得八又加一〇再分
之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百
八十三
三开平方法
开平方有积数有商数商有方法有廉法隅法置积为
实从末位下作一点向前隔一位作一点每一点当作
一商次视平方筹内自乘之数有与实首相等者即除
之若无相等则取其相近之畧少者除之但实首以左
第一点为主若点前无位则自乘止于零数如一四九
是也若点前有一位则自乘应有十数如十六至八十
一是也而此乘数在第几格则第几数即初商数如所
用数是九九为三之自乘在第三格即三为商数也若
有二点者即以初商数倍之如一倍为二三倍为六也
即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八
筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行
内数之与存实相等者除之而此数在第几格则第几
数即次商数如在第五格即五为次商数也不尽以法
命之三点以上倣此
解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置
算故以积求形必用方廉隅三法商除之如有积一
百商其根根者一边之数四边皆同十即尽实此独用方法无用
廉隅矣若一百二十一初商十除实百余二十一则
倍初商方根为廉法任加于初商实一角之旁两边故曰廉两廉故倍初商根次
商一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一
之积开其根得十一也在筹则右行自一至九者即
方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于
二位故隔一位作点查实下作几点知方根当几位
也法先于左第一点上一位或二位为乘数平行求
得其根适足则已不合则用其少者余实以待次商
也左点或一位或二位者点在实首则乘数为单数
点在实首之次位则乘数为十数也
如上图先以第一点求初商根为方法乙
为方积也不尽为二点之实以初商根倍
之为廉法甲丙之长边也次商若干即以为隅法丁
方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁平方
也不尽三商之商而不尽者以法命之其筹法先列
本筹得初商次商则列廉法筹于本筹之左本筹之
自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何格中
平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根以除
实即得设实下有二点则左一点之根为十数右一
点之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单数也
三点以上倣此
假如有积六百二十五别列为
实从末位五向前隔一位各作
一点即知商二位也点在实首
六为单数视方筹内自乘之数
无六其下九过实用其上四实
之近少数也平行向右取二为
方法即方根另列之为初商即以四
百减六百存二百以并次点之实
得二二五为余实次倍初商根得
四为廉法廉有二故倍方根取四号筹列
方筹左于列筹内并数取其合余
实或近少于余实者至五格适合
即五为廉次率为隅法为次商而
本方之根得二十五
又如积四千四百八十九别列为实从末位九向前
作二点知商二位点在次位则实首四为十数也视
筹内自乘无四四近少为三六平方取六为方法为
初商即以三六减四四存八以并次点之实得八八
九为余实次倍初根得十二为廉法取一二号两筹
列方筹左于列筹并数得八八九在第七格除实尽
即七为廉次率为隅法为次商而本方之根得六十
七
又如有积三万二千〇四十一列为实从末向前隔
一位作一点得三点知商三
位点在实首三为单数视筹
自乘无三近少为一平行取
一为方法为初商即以一减
三存二以并次点实得二二
〇为余实次倍初根得廉法
二取二号筹列左筹方于列
筹并数得近少者一八九在
第七格即七为隅法为次商
列初商之右校：圖中次商列於初商之後而
非右下文同以一八九减余实得
三一以并三点之实得三一
四一为次余实次倍前根十
七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于列筹
并数得三一四一在第九格适尽即九为三商为隅
法列次商之右而本方之根得一百七十九
又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末
位九向前隔一位作一点得三点知商三位点在次
位则实首六为实数也视筹
自乘无六五近少为六四平
行取八为方法为初商以六
四减六五存一以并次点实
得一一二为余实次倍初根
得廉法一六取一六两筹列
方筹左于列筹并数查无一
一二亦无近小数即知次商
为〇也则于八下加〇以当
次商而以一一二并三点之
实得一一二四九为次余实
次倍前根八得一六进一位
得一六〇为次廉法取〇筹
列一六两筹之右于列筹并
数得一一二四九在第七格
适尽即七为三商为隅法列前二商之下而本方之
根得八〇七
其商而不尽者以法命之则有二术其一如前第一
六十六万二千七百四十九如前三商得根八百一
十四余积一百五十三更商一当
倍廉加隅得一千六百二十八今
不足则命为未尽者一千六百二
十八之一百五十三也
法曰凡开方不尽实其命分法倍
前商数二廉也加一立隅为母续商之一余实为子依法命之
然终不能尽如设积六十求开方初商七余十一倍
七加一得十五为母十一为子可命六十之根为七
又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之得
四十九又二二五之二四三一约之为一十一是二
二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之
一八一不及元积若倍初商不加一为母命为十四
之十一试自之得六十〇又一九六之一四一过元
积而盈
其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之
当于余积之右加两圈是原积之一化为百也如法开之得根
数当命为一十分之几分也或加四圈是原积之一化为万也
得根数命为一百分之几分也或
加六圈一化为百万得根命为一千分
之几分或加十圈一化为一百万万得根
命为十万分之几分也
如图原积六六二七四九已商得
八一四不尽者一五三欲得其细分加六圈是一百五十三
化为一万五千三百〇十〇万〇千〇百〇十〇也更开得数为〇九三因空
位六则命为一千分之〇百九十三也欲更细更加
空位终不能尽何故六十者本无根之方也
四开立方法
开立方亦有积数有商数商有方法有平廉法长廉法
隅法置积为实从末位向前隔二位作点每一点有一
商次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之
若无相等则取其近少者除之但实首以左第一点为
主若点前无位则再乘止于零数如一如八是也若点
前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若点
前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也
而此乘数在第几格则第几数即初商数如所用数是
八八为二之再乘在第二格即二为初商也若有二点
者以初商数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍为一十二为平廉法以初商数三倍之如二之三倍
得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以
长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横
行内数商其少于余实者平行取数为约数即以此数
为次商如在五格即次商五也次以次商自乘之数与
长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之
除其余实即得立方根不尽者以法命之三点以上倣
此
解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边
每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有
长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再
乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平
方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为
方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线
之一为方根也三乘方以上亦皆十二线有等有不
等而皆求其最初第一面之一界线为方根也今解
立方廉隅法姑作分合图论之若截木或镕蜡作八
体分合解之尤易晓矣 其一作六方面形一事诸
面线角皆相等此名方法体即上图甲乙丙丁立方
体是也 其二作六面扁方体三事
其上下面各与方法等旁四面之高
少于方法之高任意多寡开讫乃得而四棱线
皆等此名平廉法体即上图戊己庚
辛是也 其三作六面长方体三事
其上下左右四面与平廉之旁面等
两端之四界线皆与平廉之高等此
名长廉法体即上图壬癸是也 其
四作六面小立方体一事六面之广
袤皆与长廉之两端等此名隅法体
即上图子丑是也
右度数家以度理解数学度者点线面体量法也数者一十百千等算法也
亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依
此借数以明立方之体如初方体之边各四则一面
之积为一六其容积六四平廉之两大面亦一六其
高设五相乘得容积八〇长廉之长亦四其两端之
高广各五则其容积一〇〇立隅之边各五则其容
一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙
丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三
长廉之阙即成一总立方也 又算法单数乘单数
生单数如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃
单数也单数乘十数生十数如四乘三十为一二
是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也十数乘十
数生百数如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千
四百而其根四乃四百也推之则十乘百生千百
乘百生万也 今依此推前总立方以四十五为全
根其初方之一边为四十其面则为四十者四十是
一千六百也是十乘十生百也其容积为一千六百
者四十是六万四千也是十乘百生千也 其平廉
之两大面与初方之面等亦一千六百其高五是单
数以乘百得八十者百是八千也是单乘百生百也
立廉三三倍之得二万四千也 长廉之高广皆与
平廉之高等为五是单数其面为二五单根也其长
与初方等为四十相乘得四十者二十五是为一百
者十则一千也是单乘十生十也长廉三三倍之得
三千也 立隅体与平廉之高等为五是单数自乘
得二五亦单数也再乘得一二五亦单数也是单乘
单生单数也 已上共得九万一千一百二十五为
两商之总立方积其根四十五右以数明立体之理
其在筹则右行自一至九者立方根数也左三行自
一至七二九者即方根自乘再乘之数也自乘再乘
止于三位如三自乘再乘为二十七九自乘再乘为
七百二十九故列实下隔二位作点查实下几点知
立方根当几位也法先于第一点以上查实简筹或
适足或畧少者即初商之立方体平行求得其根也
次初商根自乘得平廉面与初商之体等三倍者
三平廉也平廉之筹列立方筹之左者立方筹之右
行为单数中行为十左行为百平廉筹右行之号亦
百数也以合于立筹之左行共为几百也 次平廉
之面积三偕初商之根三并为分率数以求六廉一
隅之高于立筹平筹上求余实之近少数不欲太少为尚有长
廉之容故也约可用者平行取根即次商也不言隅法者
次商之再乘即是立隅筹上所自有也又平行取次
商之平方积乘长廉筹之数得长廉之容长廉之号
为十数以列于约数之下进一位作十数 次求七
体之总积初体之外有平廉三长廉三立隅一其定
位立隅在本筹之上为单数次商与三长廉法相乘
得数为三长廉之实此数之号为十数三平廉之筹
加于立筹之外其号为百数通并之以除余实未尽
而原实有三点者以先两商之总方为初体复如前
法三商之亦并八体为一总体不及商为一者依法
命之
同文算指曰先得之根初商也乘于三十今曰三之长廉
法也所得之号为十数也又曰先根之方初体之面乘于三
百今曰三之平廉法也所得之号为百数也一也
假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向
前隔二位各作一点即知商二位也点在实首四为
单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上
一实之近少数也平行向右取一为方法即方根另列
之为初商即以一千减四千存三千以并次点之实
得三九一三为余实次用初
商一自乘为平廉面而三倍之三平
廉故得三百为平廉法亦名倍方数
取三号筹列立方筹左又以
初商一十三倍之一者长廉边三长廉
故三倍得三为长廉法亦名倍根数
取三号筹列立方筹右于列
筹立方筹与平廉筹也内并数取其少
于余实者为约数第其中有
长廉之实不得过少又不得
多多者如第九格遇三四二九以为约数近少矣另
列之向右平筹自乘数内平行取八十一乘于长廉
法三得二百四十三列近少数三四二九下进一位并得
五八五九则多于余实也至第七格遇二四四三以
为约数另列之向右平筹自乘数平行取四十九以
乘长廉法三得一百四十九列近少数二四四三下进一
位并得三九一三除实尽平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四十
三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面也以乘长廉法三十得一四七长廉积也诸筹之上一一
分明平行求其根得七即七为次商也得总立方之根
一十七
又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实
从末位九向前隔二位作一点凡三点当商三位也
点在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下
二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二
为方法另列为初商即以八减
九存一以并下位得一一五九
为余实次用初商二自乘而三
倍之得一十二为平廉法取一
号二号两筹列立方筹左又以
初商二三倍之得六为长廉法
取六号筹列立方筹右于列
筹立方与平廉共三筹内并数取其少
于余实者为约数试之而无
有最少者为第一格之一二〇一则知商有
空位于初商下作圈以当次
商复开第三点之余实为一
一五九八九九前二商二〇
二十也校：清刊本二十作百十自乘之得四
〇〇四百也校：清刊本四百作四萬三倍之
为一二〇〇一千二百依数取四
筹为平廉法列立方筹左
前商二〇三倍之得六〇
取二筹为长廉法列立方
筹右于列筹立方与平廉共五筹内
并数取其少于余实者为
约数至第九格方得一〇
八〇七二九另列之向右
平筹自乘数平行取八十
一以乘长廉法六〇得四
八六〇列近少数一〇八〇七二
九下进一位并得一一二九三二九除实不尽三〇
五七〇其三商平行取根得九并初二商得立方根
二〇九不尽者更欲细分之则用命分第二法于余
实后加三圈得三〇五七〇〇〇〇为余实依上法
再开之以前商二〇九自乘为四三六八一又三倍
之为一三一〇四三取此六筹列方筹左为平廉法
又以前商二〇九三倍之为六二七取此三筹列方
筹右为长廉法于列筹左筹七内并数取其近少为约
数试之至第二格遇二六二〇八六〇八为近少于
余实三〇五七〇〇〇〇另列之向右平筹自乘数内平行取
四乘于长廉法六二七得二
五〇八列近少数二六二〇八六〇八
下进一位并得二六二三三
六八八以除实不尽四三三
六三一二即取右根二为商
数依法命为一十分之二分
也若欲再开则余实后又加
三圈得四三三六三一二〇
〇〇为余实依上法以前商
二〇九二自乘为四三七六
四六四又三倍之得一三一
二九三九二取此八筹列方
筹左为平廉法又以前商二
〇九二三倍之为六二七六
取此四筹列方筹右为长廉
法于列筹左九筹内并数取其
近少至第三格遇三九三八
八一七六二七为近少于余
实四三三六三一二〇〇〇另列之向右
平筹自乘数平行取九乘于
长廉法六二七六得五六四
八四列近少数三九三八八一七六二七
下进一位并得三九三九三
八二四六七以除实不尽三
九六九二九校：以下奎章閣本闕五三
三即取右根三为商数依法
命为二百〇九又一百分之
二十三分也若再开则余实
后又加三圈得三九六九二
九五三三〇〇〇为余实依
上法以前商二〇九二三自
乘为四三七七七一九二九
又三倍之得一三一三三一
五七八七取此十筹列方筹
左为平廉法又以前商二〇
九二三三倍之得六二七六
九取此五筹列方筹右为长
廉法于列筹左十一筹并数取约
至第三格遇三九三九九四
七三六一二七为近少于余
实三九六九二九五三三〇〇〇另列之向右
平筹自乘数平行取九乘于长
廉法六二七六九得五六四九
二一列近少数三九三九九四七三六一二七
下进一位并得三九四〇〇〇
三八五三三七以除实不尽为
二九二九一四校：以上闕葉七六六
三即取右根三为商数依法命
为二百〇九又一千分之二百
三十三也余实任开之终不尽
何者无立方数不得有立方
根也
筹算终
算子钱法增
以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算
章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也
用筹则比他算特为简易故附载此法 按九章算衰
分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法
必用开方故为难耳
假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息
银若干
如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干
法两数本银一总银一相减余二十是百两一年之息也又
满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以
母银数一百乘总还数一百四十四得数为积开方得根数
为实以母银为法减之所余者为原银一年之息也
若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又
满四年以上皆息转为本纷莫可寻则依图法求之
图说
图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行
者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无
总银数者则上年之次法或又次法任用之白字为法墨字
为数
第一横行为满年数借日至还日积年之数
第二横行为所还之总银母银并息银之总数
第三横行为母银所用之法或母银自乘或再乘三乘等以求积而开方
第四横行为母银用法所乘出数与总银相乘得数
第五横行为各年所用开积之本法如开方或开立方等
第六横行为所求之数即满一年之总数本息俱见者也减原银得息
例
用法
假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每
年若干起息母银三两满一年总还若干即转为次年之母依前例起息总应若干又转为
母如是岁岁递加母数渐增息例如旧
法依图试查满四年直行其第一格为年数即四第二
格为总还四十八两之银原银若干息例若干各依本例积成总数第三格母
银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七
第四格以二十七母所乘出之数乘四十八总银得一二九六
为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次
积为一二九六初开得三十六再开得六六者满一年之总
银减原银三余三为满一年之息
又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十
五两三钱问一年息若干
法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一〇
五六以总银乘之得四四九二七六一六八第五格
法曰开立方用法开得七十六两五钱不尽实加三位开零根得
八分九厘八毫不尽减原银余十八两一钱八分九
厘八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何
用三率法原银为一率息例为二率今银一百为三率
依法得四率三十一两一钱四分六厘九毫不尽为
百两一年之息
此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十
卷
年总母银所用母乘出数数银之法以乘总银得满一年之总本年所用开积之法银减母余为息
初三为母银年
一六总内减母得三为息
总母二二用单母二三六一开六平积三得六为满二年之总银
一三方
四自乘四九六开六
三二二三三九一二立积一二方根六得六
再自乘六八八七九四四七四二二再六开九六积先根次根六得六平二三
三三九三二一方一
或用单母八三四开四平积四二根得十二为满二
四四一方一一年之总银
三乘六一六六九八七五七三一七开六四七积乘七六根得六
九二八七方七
四乘开
二三六二九四五一三三一平六五六
六九八一一二六四六方积六平根一立根六得六一六二
二四立方六
或自乘二九八开八
九二一七二立积七二根一得十二为满二年之总银
三三九一方一
年总母银所用母乘出数数银之法以乘总银得满一年之总本年所用开积之法银减母余为息
或用单母二三六九七开六平积七四根得二四为满三
一五方五二年之总银
四五乘四九六八二三开六六
三三九七八三七一〇乘三即积一六根得六
四三二二七八无名〇八
二方二
六乘八七六
八九三七六八一七一六三次六六一九六
八六二八二九七开积六先根次根第根三根六得六二三平九
七七一六方一七
二一六一
或再自乘八七六六二三开平六三四二得一二为满二
九三七七七〇方积七先根四次根一年之总银二〇一
二二次二
七乘六一六三六九六
五七三一三五五六一六七开立九六六六
九八五六七方积七先根一次根二七二得六
一一二五六〇〇次〇〇
一一
或自乘六九四四
三二五八开二二立积八根四得二四为满三年之总银
三三九一三一方三一