崇禎曆書卷之一百五十八 籌算
二十三度六七〇〇 五五四二
經度止
二十四度 五五五六
六七三〇
二十五度 五六〇〇螣蛇三
二十六度 五六〇八
二十七度 五六二〇
二十八度 五六二八
二十九度 五六三〇
三十度 五六三〇
崇禎曆書卷之一百五十七終
崇禎曆書卷之一百五十八 籌算
法數部 籌算校：據中科
圖本校錄
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
極西耶穌會士羅雅谷 譔
龍華民
同 會 同訂
湯若望
絳 縣 陳所性 受
監 官 朱國壽 等圖
長 洲 孫嗣烈 校梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法數部籌算明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修 朱國壽 朱光大
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人陳所性 黃宏憲 受法 湯若望訂
孫嗣烈焦應旭
自序校：清刊本此序前有籌算標題奎章閣末闕葉
算數之學大者畫野經天小者米鹽凌雜凡有形
質有度數之物與事靡不藉爲用焉且從事此道
者步步蹠實非如談空說玄可欺人以口舌明明
布列非如握槊奪標可欺人以强力層層積累非
如繇旬刹那可欺人以荒誕也而爲術最繁不有
簡法濟之即當年不能殫惡暇更工他學哉敝國
以書算其來遠矣乃人之記函弱而心力柔厭與
昏每乘之多有畏難而中輟者後賢別立巧法易
之以籌余爲譯之簡便數倍以似好學者皆喜以
爲此術之津梁也遂梓行之傳不云不有博奕者
乎爲之猶賢乎已是書稍賢於博奕然旅人入來
未及他有論著以此先之不亦末乎行復自哂曰
小道可觀聊爲之佐一籌而已
崇禎戊辰暮春廿日羅雅谷識
造法七條
造籌定號分方平立方籌分角造匣定數
賴用算法三條
加法 減法 命分二法
用法四條
乘法除法子母算法附開平方法開立方法
造法
一造籌
或牙或骨或木或合楮俱可其形長方廣爲長六之一
厚約廣五之一諸籌相準不得有短長廣狹厚薄須平
正光潔便于畫方書字凡籌數任意多寡總之五籌兩
面可當一單數說見定數條十籌當十數十五籌當百
數二十籌當千數二十五籌當萬數三十籌當十萬數
約以衆籌之厚爲一籌之長便于作開方籌入匣也詳
造匣條
二分方
每籌橫平分爲九作九方籌籌相等橫列之線線相直
方方相對
三分角
每方自左上至右下斜作一對角線則每方成直角三
邊形二橫列之則兩籌對角
線又成一斜直線其兩直角
三邊形又合成一平行線方形
四定數
數自一至九并〇共十位籌有二面五籌可滿十數其
數以方數與籌上方數相乘每方之中既以對角線分
而爲二即每方各成二位右位即零數左位即十數至
第九籌第九方九九相承得八十一而止
第一籌一面作零數九方對角線之上各畫一圈一面
作一數九方對角線之上順書
一二三四五六七八九數
第二籌一面作二數第一方線
右書二第二方線右書四二籌
二方二二如四也第三方線右
書六二籌三方二三得六也後推此則第四方線右
書八
第五方線右書〇線左書一二籌五方二五得十故左
位一右位〇以當零數也後推此則第六方線右書二
線左書一第七方線右書四線左書一第八方線右書
六線左書一第九方線右書八線左書一一面作三數
第一方線右書三第二方線右書六第三方線右書九
第四方線右書二線左書一第五方線右書五線左書
一第六方線右書八線左書一第七方線右書一線左
書二第八方線右書四線左書二第九方線右書七線
左書二
第三籌一面作四數第一方線右書四第二方線右書
八
第三方線右書二線左書一第四方線右書六線左書
一第五方線右書〇線左書二
第六方線右書四線左書二第
七方線右書八線左書二第八
方線右書二線左書三第九方線右書六線左書三一
面作五數第一方線右書五第二方線右書〇線左書
一第三方線右書五線左書一第四方線右書〇線左
書二第五方線右書五線左書二第六方線右書〇線
左書三第七方線右書五線左書三第八方線右書〇
線左書四第九方線右書五線左書四
第四籌一面作六數第一方線右書六第二方線右書
二線左書一第三方線右書
八線左書一第四方線右書
四線左書二第五方線右書
〇線左書三第六方線右書六線左書三第七方線右
書二線左書四第八方線右書八線左書四第九方線
右書四線左書五一面作七數第一方線右書七第二
方線右書四線左書一第三方線右書一線左書二第
四方線右書八線左書二第五方線右書五線左書三
第六方線右書二線左書四第七方線右書九線左書
四第八方線右書六線左書五第九方線右書三線左
書六
第五籌一面作八數第一方線右書八第二方線右書
六線左書一第三方線右
書四線左書二第四方線
右書二線左書三第五方
線右書〇線左書四第六方線右書八線左書四第七
方線右書六線左書五第八方線右書四線左書六第
九方線右書二線左書七一面作九數第一方線右書
九第二方線右書八線左書一第三方線右書七線左
書二第四方線右書六線左書三第五方線右書五線
左書四第六方線右書四線左書五第七方線右書三
線左書六第八方線右書二線左書七第九方線右書
一線左書八
五定號
號者應于面之左右兩旁厚處露出匣外者記本面數
目〇至九共十號其旁狹
難書一二三四等字姑作
橫線如〇則無線一則一
橫線也至五則結爲一縱線以該之如五則一縱六則
一縱一橫七則一縱二橫也各書本面之右用時視其
旁即可得之
六平立方籌
諸小籌之外別作一大籌長與諸籌等廣約長六分之
二兩面橫分九方亦與諸籌等其一面平方籌縱作二
行其右行九方書一至九之數爲平方根其左行九方
亦如小籌作對角線以平方根數自乘之各書根數之
左第一方線右書一第二方線右書四第三方線右書
九第四方線右書六線左書一第五方線右書五線左
書二第六方線右書六線左書三第七方線右書九線
左書四第八方線右書四線左書六第九方線右書一
線左書八其一面立方籌縱作六
分右一分作一行九方書一至九
之數爲立方根中二分作一行九
方書一至九各自乘之數與平方
籌同左三分作一行九方每方止
截左邊三分之二亦如小籌作對角線是每方分爲直
角三邊形無法四邊形各一也而無法四邊形之中暗
具一直角方形在右一直角三邊形在左今止以左中
右分之以中行自乘之數再乘之各書方數之左名立
方數第一方右書一第二方右書八第三方右書七中
書二第四方右書四中書六第五方右書五中書二左
書一第六方右書六中書一左書二第七方右書三中
書四左書三第八方右書二中書一左書五第九方右
書九中書二左書七
七造匣
匣合紙或木爲之其形短方其空廣如籌之長空厚如
籌之廣匣有蓋以籌長五分之三爲匣之深其二爲蓋
之深使籌入匣而旁號露於匣口之上以便抽取也小
籌比立匣中方根籌側於小籌之旁下切匣口上切蓋
頂正相容也若蓋之外徑等於匣之外徑則匣口必出
筍以入蓋夫方根籌之廣與匣之深并尚不及小籌之
長以其不及爲筍之高則匣與蓋外切籌與蓋匣內切
矣若匣之外徑等於蓋之內徑則匣自爲筍蓋冒之可
無庸筍也
賴用算法凡三條
算家加減二法并命分法亦用籌所賴故各具一
則一加法
加者多小幾何并爲一大幾何也亦謂之計先以第一
小數從左向右橫列于上次以第二小數如前橫列于
下從視之則零對零十對十百對百也分錢兩及寸尺
丈俱依此推次視零位若成十成十則進一位又視十
位若干百則進一位千萬以上俱依此推
假如有銀九萬一千七百六十一兩又八萬二千〇
七十八兩又四千五百二十兩又九萬〇六百五十
四兩俱橫列則視末位有一八〇四并得
十三本位書三進位加一與六七二五并
得二十一本位書一進位加二與七五六
并得二十本位作〇進位加二與一二四
并得九本位書九首位九八九并得二十六本位書
六進位書二得二十六萬九千〇一十三兩如物數
是斤兩則十六兩成一斤進位尺步畝之類俱依此
推
二減法
減者一大幾何減去一小幾何餘幾何也亦謂之除以
大數書于上應減數書于下亦零對零十對十百對百
也次於每位對除之若除數多於原數則借前位一以
除之蓋前位之一即本位之十也除完則得餘數
假如有銀三十〇萬〇一百七十六兩三
錢四分內除去二十九萬八千六百四十
三兩八錢五分從左首位起上數三下數
二三除二存一次位上數〇下數九借前
一成一〇除九存一三位上數〇下數八
借前一成一〇除八存二四位上數一下數六借前
一成一一除六存五五位上數七下數四七除四存
三六位上數六下數三六除三存三七位上數三下
數八借前一成一三除八存五八位上數四下數五
借前一成一四除五存九該存一千五百三十二兩
四錢九分
三命分二法
命分者一大幾何已分幾何尚餘幾何今應命此餘者
爲幾何分之幾何也又所餘之小幾何再分得幾何今
應命此得者爲幾何分之幾何也前解曰法數爲母餘
數爲子如法數一六八餘數四九即命爲一百六十八
分之四十九後解曰得數爲子得數前位爲母如得數
一位則前位爲十得數六即命爲十分之六得數二位
則前位爲百得數三四即命爲百分之三十四得數三
位則前位爲千得數二八三即命爲千分之二百八十
三得數四五位以上推此第前位定于一數十則一十
百則一百千則一千萬則一萬前一法即九章之命分法亦即幾何原本之命
比例法後一法即九章之小數如衡有錢分釐毫量有尺寸分釐曆有分秒微纖也
用法凡四條
一乘法
乘數有實有法先將實數依號查籌從左向右齊列其
兩籌相並所成平行線斜方形合成一位方形內之數
并爲一數矣次以籌之方位爲法數如法數是五則視
兩籌第五方是九則視兩籌第九方即得數矣若法有
二數則先查法尾所得數橫列之次查法首所得數進
一位橫列之末用加法并之得數法有三數以上依此
推顯
解曰乘者陞也九九陞積之義也數有二一爲實一
爲法可互用大畧以位數多者爲實可也用籌則如
實數列籌自左而右次視法數依籌之同數格上橫
取之并得商數列書之更視次法如前得次商數進
一位書初商之下三以上倣此商畢并諸商數即乘
得之數
假如八十三爲實以四乘之先列八三兩籌視其第
四格八號籌下左半斜方有三兩籌合一斜方有二
一并作三三號籌下右半斜方有二并爲三百三十
二也
又如每銀一錢糴米九升五合今有銀三兩五錢問
該米若干則以三五爲實九五
爲法先查實數二籌齊列次視
法尾五查二籌第五橫行內數
是一七五另列再視法首九查
二籌第九橫行內數有三一五
進一位列于前得數之下併之
得三三二五該米三石三斗二升五合
又如有米一斗賣錢一百二十五文今有米一十八
石三斗問該錢若干則以一八三爲實一二五爲法
先查實數三籌齊列次視法尾五查三籌第五橫行
內數是九一五另列次視法次二
查三籌第二橫行內數是三六六
進一位列于前得數之下次視法
首一查三籌第一橫行內數是一
八三又進一位列于前得二數之
下併之得二二八七五該錢二萬
二千八百七十五文
如法數有〇則徑作一〇以當其位再查法數如前
如六八三爲實三〇〇爲法則作二〇乃查三籌之
第三橫行內數從二〇左進書之餘倣此校：倣原訛作放今改
二除法
除法有實有法有商先將法數依號查籌從左向右齊
列次于諸籌從上至下查橫行內連數之等于實數或
畧少于實數者在第幾行即是初商數如在第一行即
得數是一在第九行即得數是九也次以查得之數減
其實數如已盡則止知有初商未盡則知宜有再商也
有再商者即再查橫行內數之等于存實或畧少于存
實者在第幾行即是再商數又以查得之數減其存數
如前又未盡則更有三商亦如上法三以上倣此若初
得已除實數未盡乃實數次位無實則知當有〇位即
作一〇以當次商或三位俱無則知得有二〇即又作
一〇以當三商乃從後數查之若雖有餘數而其數小
于法數是爲不盡法法之數用命分法
解曰除法者分率之法也有實有法先列實次以法
數平分之故古九章法名爲實如法而一或省曰而
一也除法有二一歸除一商除商除者古法歸除則
後來捷法珠算可任用之若書算籌算必獨用商除
也用籌則先如法數列籌自左而右別列實數簡籌
之某格與實數相合者或畧少于實數者以減實即
初商數也若未盡即如前再商三商以上皆如之又
未盡則以法命之
假如列實一百〇八以三十六爲法除之簡三六兩
籌列之視其第三格六號籌下右半斜方有八中各
斜方有一九共十進一位成百即一百〇八除實盡
也
又如有米九升五合價銀一錢今有米三石三斗二
升五合問該銀若干以三三二五爲實九五爲法先
以法數二籌齊列次于各行橫數內求三三二有則
徑減實數無則取其畧少者二八五以二八五減三
三二餘四七五爲實而此二八五數乃在第三行即
三爲初商數次視第五行有
四七五正與餘實相等減盡
即五爲次商數是三五爲得
數也該銀三兩五錢
又如每錢三百七十四文買
米一斗今有錢八萬七千一
百四十二文問該米若干以八七一四二爲實三七
四爲法先以法數三籌齊列次視各行橫數內求八
七一無則取其畧少者七四八以七四八減八七一
餘一二三四二爲實而此七四八乃在第二行即二
爲初商數次視各行中無一
二三四及畧少者惟第三行
有一一二二以一一二二減
一二三四餘一一二二爲實
即三爲次商數次視第三行
有一一二二正與餘實相等
除盡即三爲三商數該米二
十三石三斗
若積數爲八七二四八尚有一〇六爲餘實再欲細
分即用命分第一法以餘數一〇六爲子法數三七
四爲母即命爲三百七十四分之一百〇六
或用命分第二法于餘實一〇六後加一〇依上法
再分之得二又加一〇再分之得八又加一〇再分
之得三得數爲二八三凡三位即命爲一千之二百
八十三
三開平方法
開平方有積數有商數商有方法有廉法隅法置積爲
實從末位下作一點向前隔一位作一點每一點當作
一商次視平方籌內自乘之數有與實首相等者即除
之若無相等則取其相近之畧少者除之但實首以左
第一點爲主若點前無位則自乘止于零數如一四九
是也若點前有一位則自乘應有十數如十六至八十
一是也而此乘數在第幾格則第幾數即初商數如所
用數是九九爲三之自乘在第三格即三爲商數也若
有二點者即以初商數倍之如一倍爲二三倍爲六也
即查所倍之籌列于方籌之左如四倍爲八即取第八
籌九倍爲十八即取第一第八兩籌也次視諸籌橫行
內數之與存實相等者除之而此數在第幾格則第幾
數即次商數如在第五格即五爲次商數也不盡以法
命之三點以上倣此
解曰開平方者即自乘還原也而法實相同無從置
算故以積求形必用方廉隅三法商除之如有積一
百商其根根者一邊之數四邊皆同十即盡實此獨用方法無用
廉隅矣若一百二十一初商十除實百餘二十一則
倍初商方根爲廉法任加于初商實一角之旁兩邊故曰廉兩廉故倍初商根次
商一以乘廉得二十以一爲隅法實盡則百二十一
之積開其根得十一也在籌則右行自一至九者即
方根數也左二行即方根自乘之數自乘之數止于
二位故隔一位作點查實下作幾點知方根當幾位
也法先于左第一點上一位或二位爲乘數平行求
得其根適足則已不合則用其少者餘實以待次商
也左點或一位或二位者點在實首則乘數爲單數
點在實首之次位則乘數爲十數也
如上圖先以第一點求初商根爲方法乙
爲方積也不盡爲二點之實以初商根倍
之爲廉法甲丙之長邊也次商若干即以爲隅法丁
方之一邊也并二廉一隅法以除實甲乙丙丁平方
也不盡三商之商而不盡者以法命之其籌法先列
本籌得初商次商則列廉法籌于本籌之左本籌之
自乘數即隅積也其根隅法也次查所列籌何格中
平行并數可當廉法之幾倍及隅方積得其根以除
實即得設實下有二點則左一點之根爲十數右一
點之根爲單數故廉法籌爲十數本籌數爲單數也
三點以上倣此
假如有積六百二十五別列爲
實從末位五向前隔一位各作
一點即知商二位也點在實首
六爲單數視方籌內自乘之數
無六其下九過實用其上四實
之近少數也平行向右取二爲
方法即方根另列之爲初商即以四
百減六百存二百以并次點之實
得二二五爲餘實次倍初商根得
四爲廉法廉有二故倍方根取四號籌列
方籌左于列籌內并數取其合餘
實或近少于餘實者至五格適合
即五爲廉次率爲隅法爲次商而
本方之根得二十五
又如積四千四百八十九別列爲實從末位九向前
作二點知商二位點在次位則實首四爲十數也視
籌內自乘無四四近少爲三六平方取六爲方法爲
初商即以三六減四四存八以并次點之實得八八
九爲餘實次倍初根得十二爲廉法取一二號兩籌
列方籌左於列籌并數得八八九在第七格除實盡
即七爲廉次率爲隅法爲次商而本方之根得六十
七
又如有積三萬二千〇四十一列爲實從末向前隔
一位作一點得三點知商三
位點在實首三爲單數視籌
自乘無三近少爲一平行取
一爲方法爲初商即以一減
三存二以并次點實得二二
〇爲餘實次倍初根得廉法
二取二號籌列左籌方於列
籌并數得近少者一八九在
第七格即七爲隅法爲次商
列初商之右校：圖中次商列於初商之後而
非右下文同以一八九減餘實得
三一以并三點之實得三一
四一爲次餘實次倍前根十
七得三四爲次廉法取三四兩籌列方籌左于列籌
并數得三一四一在第九格適盡即九爲三商爲隅
法列次商之右而本方之根得一百七十九
又如有積六十五萬一千二百四十九列爲實從末
位九向前隔一位作一點得三點知商三位點在次
位則實首六爲實數也視籌
自乘無六五近少爲六四平
行取八爲方法爲初商以六
四減六五存一以并次點實
得一一二爲餘實次倍初根
得廉法一六取一六兩籌列
方籌左於列籌并數查無一
一二亦無近小數即知次商
爲〇也則於八下加〇以當
次商而以一一二并三點之
實得一一二四九爲次餘實
次倍前根八得一六進一位
得一六〇爲次廉法取〇籌
列一六兩籌之右于列籌并
數得一一二四九在第七格
適盡即七爲三商爲隅法列前二商之下而本方之
根得八〇七
其商而不盡者以法命之則有二術其一如前第一
六十六萬二千七百四十九如前三商得根八百一
十四餘積一百五十三更商一當
倍廉加隅得一千六百二十八今
不足則命爲未盡者一千六百二
十八之一百五十三也
法曰凡開方不盡實其命分法倍
前商數二廉也加一立隅爲母續商之一餘實爲子依法命之
然終不能盡如設積六十求開方初商七餘十一倍
七加一得十五爲母十一爲子可命六十之根爲七
又一十五之一十一而縮試并初商及分數自之得
四十九又二二五之二四三一約之爲一十一是二
二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之
一八一不及元積若倍初商不加一爲母命爲十四
之十一試自之得六十〇又一九六之一四一過元
積而盈
其一欲得其小分則通爲小數如前第二法更開之
當於餘積之右加兩圈是原積之一化爲百也如法開之得根
數當命爲一十分之幾分也或加四圈是原積之一化爲萬也
得根數命爲一百分之幾分也或
加六圈一化爲百萬得根命爲一千分
之幾分或加十圈一化爲一百萬萬得根
命爲十萬分之幾分也
如圖原積六六二七四九已商得
八一四不盡者一五三欲得其細分加六圈是一百五十三
化爲一萬五千三百〇十〇萬〇千〇百〇十〇也更開得數爲〇九三因空
位六則命爲一千分之〇百九十三也欲更細更加
空位終不能盡何故六十者本無根之方也
四開立方法
開立方亦有積數有商數商有方法有平廉法長廉法
隅法置積爲實從末位向前隔二位作點每一點有一
商次視立方籌內再乘之數有與實首相等者即除之
若無相等則取其近少者除之但實首以左第一點爲
主若點前無位則再乘止于零數如一如八是也若點
前有一位則再乘應有十數如二七如六四是也若點
前有二位則再乘應有百數如一二五至七二九是也
而此乘數在第幾格則第幾數即初商數如所用數是
八八爲二之再乘在第二格即二爲初商也若有二點
者以初商數自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍爲一十二爲平廉法以初商數三倍之如二之三倍
得六爲長廉法次以平廉法數查籌列立方籌左又以
長廉法數查籌列立方籌右次視左籌與方籌并之橫
行內數商其少于餘實者平行取數爲約數即以此數
爲次商如在五格即次商五也次以次商自乘之數與
長廉法數相乘進一位書于約數之下以此二數併之
除其餘實即得立方根不盡者以法命之三點以上倣
此
解曰立方形者六方面積爲一實體也每面等每邊
每角各等立方積者一數自乘再乘之所積也線有
長面有長有廣體有長有廣有高所謂一乘作面再
乘作體是也開立方者亦以積求形之術其異于平
方者平方爲面面有四等線開之求得四線之一爲
方根也立方爲體體有十二等線開之求得十二線
之一爲方根也三乘方以上亦皆十二線有等有不
等而皆求其最初第一面之一界線爲方根也今解
立方廉隅法姑作分合圖論之若截木或鎔蠟作八
體分合解之尤易曉矣 其一作六方面形一事諸
面線角皆相等此名方法體即上圖甲乙丙丁立方
體是也 其二作六面扁方體三事
其上下面各與方法等旁四面之高
少于方法之高任意多寡開訖乃得而四稜線
皆等此名平廉法體即上圖戊己庚
辛是也 其三作六面長方體三事
其上下左右四面與平廉之旁面等
兩端之四界線皆與平廉之高等此
名長廉法體即上圖壬癸是也 其
四作六面小立方體一事六面之廣
袤皆與長廉之兩端等此名隅法體
即上圖子丑是也
右度數家以度理解數學度者點線面體量法也數者一十百千等算法也
亦以數理解度學如鳥兩翼交相待而爲用也今依
此借數以明立方之體如初方體之邊各四則一面
之積爲一六其容積六四平廉之兩大面亦一六其
高設五相乘得容積八〇長廉之長亦四其兩端之
高廣各五則其容積一〇〇立隅之邊各五則其容
一二五此八體并之以三平廉合于初方之甲丙乙
丙丙丁三面以三長廉補三平廉三闕以立隅補三
長廉之闕即成一總立方也 又算法單數乘單數
生單數如四乘六爲二四是爲六者四積爲二十四而其根四乃
單數也單數乘十數生十數如四乘三十爲一二
是爲三十者四積爲一百二十而其根二乃十數也十數乘十
數生百數如三十乘八十爲二四是爲八十者三十積爲二千
四百而其根四乃四百也推之則十乘百生千百
乘百生萬也 今依此推前總立方以四十五爲全
根其初方之一邊爲四十其面則爲四十者四十是
一千六百也是十乘十生百也其容積爲一千六百
者四十是六萬四千也是十乘百生千也 其平廉
之兩大面與初方之面等亦一千六百其高五是單
數以乘百得八十者百是八千也是單乘百生百也
立廉三三倍之得二萬四千也 長廉之高廣皆與
平廉之高等爲五是單數其面爲二五單根也其長
與初方等爲四十相乘得四十者二十五是爲一百
者十則一千也是單乘十生十也長廉三三倍之得
三千也 立隅體與平廉之高等爲五是單數自乘
得二五亦單數也再乘得一二五亦單數也是單乘
單生單數也 已上共得九萬一千一百二十五爲
兩商之總立方積其根四十五右以數明立體之理
其在籌則右行自一至九者立方根數也左三行自
一至七二九者即方根自乘再乘之數也自乘再乘
止于三位如三自乘再乘爲二十七九自乘再乘爲
七百二十九故列實下隔二位作點查實下幾點知
立方根當幾位也法先于第一點以上查實簡籌或
適足或畧少者即初商之立方體平行求得其根也
次初商根自乘得平廉面與初商之體等三倍者
三平廉也平廉之籌列立方籌之左者立方籌之右
行爲單數中行爲十左行爲百平廉籌右行之號亦
百數也以合於立籌之左行共爲幾百也 次平廉
之面積三偕初商之根三并爲分率數以求六廉一
隅之高於立籌平籌上求餘實之近少數不欲太少爲尚有長
廉之容故也約可用者平行取根即次商也不言隅法者
次商之再乘即是立隅籌上所自有也又平行取次
商之平方積乘長廉籌之數得長廉之容長廉之號
爲十數以列于約數之下進一位作十數 次求七
體之總積初體之外有平廉三長廉三立隅一其定
位立隅在本籌之上爲單數次商與三長廉法相乘
得數爲三長廉之實此數之號爲十數三平廉之籌
加于立籌之外其號爲百數通併之以除餘實未盡
而原實有三點者以先兩商之總方爲初體復如前
法三商之亦并八體爲一總體不及商爲一者依法
命之
同文算指曰先得之根初商也乘于三十今曰三之長廉
法也所得之號爲十數也又曰先根之方初體之面乘于三
百今曰三之平廉法也所得之號爲百數也一也
假如有積四千九百一十三別列爲實從末位三向
前隔二位各作一點即知商二位也點在實首四爲
單數視立方籌內再乘之數無四下八過實用其上
一實之近少數也平行向右取一爲方法即方根另列
之爲初商即以一千減四千存三千以并次點之實
得三九一三爲餘實次用初
商一自乘爲平廉面而三倍之三平
廉故得三百爲平廉法亦名倍方數
取三號籌列立方籌左又以
初商一十三倍之一者長廉邊三長廉
故三倍得三爲長廉法亦名倍根數
取三號籌列立方籌右于列
籌立方籌與平廉籌也內并數取其少
于餘實者爲約數第其中有
長廉之實不得過少又不得
多多者如第九格遇三四二九以爲約數近少矣另
列之向右平籌自乘數內平行取八十一乘于長廉
法三得二百四十三列近少數三四二九下進一位并得
五八五九則多于餘實也至第七格遇二四四三以
爲約數另列之向右平籌自乘數平行取四十九以
乘長廉法三得一百四十九列近少數二四四三下進一
位并得三九一三除實盡平廉籌之二千一百平廉實也立方籌之三百四十
三立隅積也平方籌之四十九長廉兩端之面也以乘長廉法三十得一四七長廉積也諸籌之上一一
分明平行求其根得七即七爲次商也得總立方之根
一十七
又如積九百一十五萬九千八百九十九別列爲實
從末位九向前隔二位作一點凡三點當商三位也
點在實首九爲單數視立方籌內再乘之數無九下
二七過實用其上八實之近少數也平行向右取二
爲方法另列爲初商即以八減
九存一以并下位得一一五九
爲餘實次用初商二自乘而三
倍之得一十二爲平廉法取一
號二號兩籌列立方籌左又以
初商二三倍之得六爲長廉法
取六號籌列立方籌右於列
籌立方與平廉共三籌內并數取其少
于餘實者爲約數試之而無
有最少者爲第一格之一二〇一則知商有
空位於初商下作圈以當次
商復開第三點之餘實爲一
一五九八九九前二商二〇
二十也校：清刊本二十作百十自乘之得四
〇〇四百也校：清刊本四百作四萬三倍之
爲一二〇〇一千二百依數取四
籌爲平廉法列立方籌左
前商二〇三倍之得六〇
取二籌爲長廉法列立方
籌右於列籌立方與平廉共五籌內
并數取其少于餘實者爲
約數至第九格方得一〇
八〇七二九另列之向右
平籌自乘數平行取八十
一以乘長廉法六〇得四
八六〇列近少數一〇八〇七二
九下進一位并得一一二九三二九除實不盡三〇
五七〇其三商平行取根得九并初二商得立方根
二〇九不盡者更欲細分之則用命分第二法於餘
實後加三圈得三〇五七〇〇〇〇爲餘實依上法
再開之以前商二〇九自乘爲四三六八一又三倍
之爲一三一〇四三取此六籌列方籌左爲平廉法
又以前商二〇九三倍之爲六二七取此三籌列方
籌右爲長廉法於列籌左籌七內并數取其近少爲約
數試之至第二格遇二六二〇八六〇八爲近少于
餘實三〇五七〇〇〇〇另列之向右平籌自乘數內平行取
四乘于長廉法六二七得二
五〇八列近少數二六二〇八六〇八
下進一位并得二六二三三
六八八以除實不盡四三三
六三一二即取右根二爲商
數依法命爲一十分之二分
也若欲再開則餘實後又加
三圈得四三三六三一二〇
〇〇爲餘實依上法以前商
二〇九二自乘爲四三七六
四六四又三倍之得一三一
二九三九二取此八籌列方
籌左爲平廉法又以前商二
〇九二三倍之爲六二七六
取此四籌列方籌右爲長廉
法於列籌左九籌內并數取其
近少至第三格遇三九三八
八一七六二七爲近少于餘
實四三三六三一二〇〇〇另列之向右
平籌自乘數平行取九乘於
長廉法六二七六得五六四
八四列近少數三九三八八一七六二七
下進一位并得三九三九三
八二四六七以除實不盡三
九六九二九校：以下奎章閣本闕五三
三即取右根三爲商數依法
命爲二百〇九又一百分之
二十三分也若再開則餘實
後又加三圈得三九六九二
九五三三〇〇〇爲餘實依
上法以前商二〇九二三自
乘爲四三七七七一九二九
又三倍之得一三一三三一
五七八七取此十籌列方籌
左爲平廉法又以前商二〇
九二三三倍之得六二七六
九取此五籌列方籌右爲長
廉法於列籌左十一籌并數取約
至第三格遇三九三九九四
七三六一二七爲近少于餘
實三九六九二九五三三〇〇〇另列之向右
平籌自乘數平行取九乘于長
廉法六二七六九得五六四九
二一列近少數三九三九九四七三六一二七
下進一位并得三九四〇〇〇
三八五三三七以除實不盡爲
二九二九一四校：以上闕葉七六六
三即取右根三爲商數依法命
爲二百〇九又一千分之二百
三十三也餘實任開之終不盡
何者無立方數不得有立方
根也
籌算終
算子錢法增
以籌布算其乘除諸法皆能去繁就簡不待論矣若算
章中有用開平立方者有用開無名方者至難至賾也
用籌則比他算特爲簡易故附載此法 按九章算衰
分篇中有借本還利皆用乘法即此法之還原也今法
必用開方故爲難耳
假如借銀若干滿若干年還本息總銀若干問每年息
銀若干
如本銀一百兩滿一年總還一百二十兩問息若干
法兩數本銀一總銀一相減餘二十是百兩一年之息也又
滿二年總還一百四十四兩問每年息例若干法以
母銀數一百乘總還數一百四十四得數爲積開方得根數
爲實以母銀爲法減之所餘者爲原銀一年之息也
若滿三年總還一百七十二兩八錢問息例若干又
滿四年以上皆息轉爲本紛莫可尋則依圖法求之
圖說
圖有直行有橫行直行者每年所用之法與數橫行
者諸同類之法同類之數也其直行之首無年數無
總銀數者則上年之次法或又次法任用之白字爲法墨字
爲數
第一橫行爲滿年數借日至還日積年之數
第二橫行爲所還之總銀母銀并息銀之總數
第三橫行爲母銀所用之法或母銀自乘或再乘三乘等以求積而開方
第四橫行爲母銀用法所乘出數與總銀相乘得數
第五橫行爲各年所用開積之本法如開方或開立方等
第六橫行爲所求之數即滿一年之總數本息俱見者也減原銀得息
例
用法
假如初借母銀三兩滿四年總還銀四十八兩問每
年若干起息母銀三兩滿一年總還若干即轉爲次年之母依前例起息總應若干又轉爲
母如是歲歲遞加母數漸增息例如舊
法依圖試查滿四年直行其第一格爲年數即四第二
格爲總還四十八兩之銀原銀若干息例若干各依本例積成總數第三格母
銀所用之法爲再乘即以原銀三再自之得二十七
第四格以二十七母所乘出之數乘四十八總銀得一二九六
爲實積第五格本年所用開積之法爲開平方二次
積爲一二九六初開得三十六再開得六六者滿一年之總
銀減原銀三餘三爲滿一年之息
又如母銀五十八兩四錢滿三年總還銀一百二十
五兩三錢問一年息若干
法用本行第三格曰自乘即原數自之得三四一〇
五六以總銀乘之得四四九二七六一六八第五格
法曰開立方用法開得七十六兩五錢不盡實加三位開零根得
八分九釐八毫不盡減原銀餘十八兩一錢八分九
釐八毫爲滿一年之息依此例求母銀百兩息幾何
用三率法原銀爲一率息例爲二率今銀一百爲三率
依法得四率三十一兩一錢四分六釐九毫不盡爲
百兩一年之息
此用遞加倍數之法詳見算學全義義見幾何第十
卷
年總母銀所用母乘出數數銀之法以乘總銀得滿一年之總本年所用開積之法銀減母餘爲息
初三爲母銀年
一六總內減母得三爲息
總母二二用單母二三六一開六平積三得六爲滿二年之總銀
一三方
四自乘四九六開六
三二二三三九一二立積一二方根六得六
再自乘六八八七九四四七四二二再六開平方積先根次根六得六平二三
三三九三二一方一
或用單母八三四開四平積四二根得十二爲滿二
四四一方一一年之總銀
三乘六一六六九八七五七三一七開六四七積乘七六根得六
九二八七方七
四乘開
二三六二九四五一三三一平六五六
六九八一一二六四六方積六平根一立根六得六一三三
八四立方六
或自乘二九八開八
九二一七二立積八二根一得十二爲滿二年之總銀
三三九一方一
年總母銀所用母乘出數數銀之法以乘總銀得滿一年之總本年所用開積之法銀減母餘爲息
或用單母二三六九七開六平積七五根得二四爲滿三
一五方五二年之總銀
四五乘四九六八二三開六六
三三九七八三七一〇乘三即積一六根得六
四三二二七八無名〇八
二方二
六乘八七六
八九三七六八一七一六三次六六一九六
八六二八二九七開積六先根次根第根三根六得六二三平九
七七一六方一七
二一六一
或再自乘八七六六二三開平六三七二得一二爲滿二
九三七七七〇方積七先根四次根一年之總銀二〇一
二二次二
七乘六一六三六九六
五七三一三五五六一六七開立九六六六
九八五六七方積七先根一次根二七二得六
一一二五六〇〇次〇〇
一一
或自乘六九四四
三二五八開二二立積八根四得二四爲滿三年之總銀
三三九一三一方三一