崇祯历书卷之一百五十九 开方简法
校：非各刊本所有據日抄島根本校錄朱㿥或曆局人或有抄本流出而此卷所以可爲其推算者
或实因此也
开方简法目
开方简法说
乘位钤
开方积数
起商表尾位定数附
二商立方表用法
二商立方十下除零表
三商立方表用法
三商立方百下除十表
三商立方百〇下除零表
三商立方百十下除零表
四商立方表用法
四商立方千下除百表
四商立方千〇下除十表
四商立方千百下除十表
四商立方千百十下除零表说
开方立成表用法
开方立成表
开方简法
后学朱㿥素臣父补遗
开方一法载在筹算帙中标解明备领会不难平方有
廉有隅以法递减即得无烦并积故亦无烦置表惟是
立方有平廉有长廉有隅三商得九位积至亿万四商
得十二位积至千亿万为数纷赜未易分柝即以廉隅
并算得积犹未知其首尾是何大数尾位是何小数一
位淆讹万亿舛错因立简法且为置表如左首明末位
如十与十乘得百百与百乘得万以至万与万乘得亿
万万与亿万乘得兆万则大小之数不致混淆次明方
积如某数起十某数起百以至某数起亿万某数起兆
万则初商之根便有定据又次明起商如二商起千至
七十二万九千三商起百万至七亿二千九百万以至
四商起十亿至七千二百九十亿则初商方积易千扣
除此其首务也后列二商十下除零表三商百下除十
表三商百十下除零表四商千下除百表四商千百下
除十表其不置四商千百十下除零表者以条页繁多
不便成帙且余尾数小本易商除耳后更附开方成表
平方立方次第并列方根平立俱起一至九百九十九
方积平方起一至九十九万八千〇〇一立方起一至
九亿九千七百〇〇万二千九百九十九举方积之全
数即得方根之若干校：若干原作若千今改举方根之若干即得
方积之全数亦自三商而止未及四商者数至亿万以
上且及兆万不便成帙总俟学者引而伸之可耳得此
简法按表检算虽至无量大数皆可由是递推更可省
列筹布算之烦矣至三乘方四乘方以至十乘方二十
乘方及带纵杂和诸方种种开法具载同文算指第
卷中一览了然兹不具赘
乘位钤言如得言十得言百得言千得
单乘单单位十位百位千位
十十位百位千位万位
百十乘十百位千位万位十万
千百千位万位十万百万
万千百乘百万位十万百万千万
十万万千十万百万千万亿万
百万十万万千乘千百万千万亿万十亿
千万百万十万万千万亿万十亿百亿
亿万千万百万十万万乘万亿万十亿百亿千亿
立方积数
十百千万
三起五起十起二十二起
十万百万千万亿万
四十七起一百起二百一十六起四百六十五起
十亿万百亿万千亿万兆亿
一千起二千一百五十起四千六百四十二起一万起
平方积数
十百千万
四起十起三十二起一百起
十万百万千万亿万
三百十七起一千起三千一百六十三起一万起
二商起十立方平方三商起百立方平方
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
四商起千立方平方五商起万立方平方
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
〇凡四商立方根尾位是十亿万次商平廉尾位是亿万长廉尾位是千万隅尾位是
百万三商平廉尾位是十万长廉尾位是万隅尾位是千四商平廉尾位是百长廉尾位是十
隅尾位零
〇凡三商立方根尾位是百万次商平廉尾位是十万长廉尾位是万隅尾位是千
三商平廉尾位是百长廉尾位是十隅尾位是零
〇凡二商立方根尾位是千次商平廉尾位是百长廉尾位是千隅尾位是零
〇凡四商平方根尾位是百万次商廉尾位是十万隅尾位是万三商廉尾
位是千隅尾位是百四商廉尾位是十隅尾位是零
〇凡三商平方根尾位是万次商廉尾位是千隅尾位是百三商廉尾位十隅尾
位零
〇凡二商平方根尾位是百次商廉尾位是十隅尾位是零
以上俱以尾位定数如位数加多俱从尾位数升
之
二商立方表用法
假如积实九十七万〇二百九十九查积数四十七起
十万则知方根为四十七以上也以九十商除之减去
方根七十二万九千存二十四万一千二百九十九次
从九格横列数商之至九行得平廉二十一万八千七
百长廉二万一千八百七十立隅七百二十九并得二
十四万一千二百九十九以减存积恰尽共开得九十
九余倣此
二商立方十下除零表校：底本錯訛較多部分數值據天理本加驗算校正不再出注
一十二十三十四十五十六十七十六十九十
根一千八千隅二万七千六万四千一十二万二十一万三十四万五十一万七十二万
五千六千三千二千九千
平三百廉一千二百二千七百四千八百七千五百一万〇八一万四千一万九千二万四千百七百二百三百
一长三十六十九十一一百二十一百五十一百八十二百一十二百四十二百七十
廉
平六百廉二千四百五千四百九千六百一万五千二万一千二万九千三万八千四万八千六百四百四百六百
二长一百二十二百四十三百六十四百八十六百八七百二十八百四十九百六十一千〇八
廉十
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
三商立方表用法
假如积实九亿九千七百〇〇万二千九百九十九查
积数四百六十五起亿万则知方根为一千以下也以
九百商除之减去方积七亿二千九百万余二亿六千
八百〇〇万二千九百九十九次以百下除十表九百
格横列数商之至九十得平廉二亿一千八百七十万
长廉二千一百八十七万隅七十二万九千并得二亿
四千一百二十九万以减余实尚余二千六百七十〇
万三千九百九十九再以百十下除零表九百九十格
横列数商之至九得平廉二千六百四十六万二千七
百长廉二十四万〇五百七十隅七百二十九并得二
千六百七十〇万三千九百九十九以减余实恰尽共
开得九百九十九余倣此
三商立方百下除十表
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百万八百万二千七百六千四百一亿二千二亿一千三亿四千五亿一千七亿二千
万万五百万六百万三百万二百万九百万
平三十万一百二十二百七十四百八十七百五十一千〇八一千四百一千九百二千四百廉万万万万十万七十万二十万三十万一一
十长三万六万九万一十二万一十五万一十八万二十一万二十四万二十七万千
廉
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五万二
十万七十五万一百五十二百二十三百万三百七十四百五十五百二十六百万六百七十长五
廉万五万五万万五万五万千
一百八十七百二十一千六百二千八百四千五百六千四百八千八百一亿一千一亿四千二平万万二十万八十万万八十万二十万五百二十五百八十十廉
六万万一
十万一百〇八二百一十三百二十四百三十五百四十六百四十七百五十八百六十九百七十长六
万廉六万四万二万万八万六万四万二万千
二百一十八百四十一千八百三千三百五千二百七千五百一亿〇二一亿三千一亿七千三平万万九十万六十万五十万六十万百九十万四百四十〇一十万十廉
七万四
十一百四十二百九十四百四十五百八十七百三十八百八十一千〇二一千一百一千三百万长七万四万一万八万五万二万十九万七十六万二十三万三廉千
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百万八百万二千七百六千四百一亿二千二亿一千三亿四千五亿一千七亿二千
万万五百万六百万三百万二百万九百万
二百四十九百六十二千一百三千八百六千万八千六百一亿一千一亿五千一亿九千平五
万廉万六十万四十万四十万七百六十三百六十四百四十十万万万
八一
十一百九十三百八十五百七十七百六十九百六十一千一百一千三百一千五百一千七百万长二万四万六万八万万五十二万四十四万三十六万二十八万二廉千
二百七十一千〇八二千四百四千三百六千七百九千七百一亿三千一亿七千二亿一千平七
万廉十万三十万二十万五十万二十万二百三十二百八十八百七十十万万万
九二
十二百四十四百八十七百二十九百七十一千二百一千四百一千七百一千九百二千一百万长三万六万九万二万一十五万五十八万〇一万四十四万八十七万九廉千
三商立方百〇下除零表
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百万八百万二千七百六千四百一亿二千二亿一千三亿四千五亿一千七亿二千
万万五百万六百万三百万二百万九百万
平三万廉一十二万二十七万四十八万七十五万一百〇八一百四十一百九十二百四十万七万二万三万
一长三百六百九百一一千二百一千五百一千八百二千一百二千四百二千七百
廉
平六万廉二十四万五十四万九十六万一百五十二百一十二百九十三百八十四百八十万六万四万四万六万
二长一千二百二千四百三千六百四千八百六千八七千二百八千四百九千六百一万〇八
廉百
平九万廉三十六万八十一万一百四十二百二十三百二十四百四十五百七十七百二十四万五万四万一万六万九万二
三十长二千七百五千四百八千一百一万〇八一万三千一万六千一万八千二万一千二万四千七
廉百五百二百九百六百三百
平一十二万四十八万一百〇八一百九十三百万四百三十五百八十七百六十九百七十六
廉四万二万二万八万八万二万十
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
万万五百万六百万三百万二百万九百万
二十四万九十六万二百一十三百八十六百万八百六十一千一百一千五百一千九百平
廉六万四万四万七十六万三十六万四十四万五
百
八一一万九千三万八千五万七千七万六千九万六千一十一万一十三万一十五万一十七万十长
二百廉四百六百八百五千二百四千四百三千六百二千八百二
二十七万一百〇八二百四十四百三十六百七十九百七十一千三百一千七百二千一百平万三万二万五万二万二十三万二十八万八十七万七廉
百
九二二万四千四万八千七万二千九万七千一十二万一十四万一十七万一十九万二十一万十长
三百廉六百九百二百一千五百五千八百〇一百四千四百八千七百九
三商立方百十下除零表
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
廉五
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
四商立方表用法
假如积实九千九百九十七亿〇〇〇二万九千九百
九十九查积实数四千六百四十二起千亿则知方根
为四千六百四十二以上一万以下也以九千商除之
减去方积七千二百九十亿余积二千七百〇七亿〇
〇〇二万九千九百九十九次以千下除百表九千格
横列数商之至九百得平廉二千一百八十七亿长廉
二百一十八亿七千万立隅七亿二千九百万并得二
千四百一十二亿九千九百万以减余实尚余二百九
十四亿〇一百〇二万九千九百九十九再以千百下
除十表九千九百格横列数商之至九十得平廉二百
六十四亿六千二百七十万长廉二亿四千〇五十七
万立隅七十二万九千并得二百六十七亿〇三百九
十九万九千以减余实仍余二十六亿九千七百〇三
万〇九百九十九再以千百十下除零表九千九百九
十格横列数商之至九得平廉二十六亿九千四百六
十〇万二千七百长廉二百〇四十二万七千五百七
十立隅七百二十九并得二十六亿九千七百〇三万
〇九百九十九以减余实恰尽总四商开得九千九百
九十九以此九九九九自乘再乘即得积实全数如前
为还原无差余皆倣此
四商立方千下除百表
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十亿八十亿二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
亿亿五十亿六十亿三十亿二十亿九十亿
平三亿一十二亿二十七亿四十八亿七十五亿一百〇八一百四十一百九十二百四十一
廉一亿七亿二亿三亿百
百长三千万六千万九千万一亿二千一亿五千一亿八千二亿一千二亿四千二亿七千万廉万万万万万万
平六亿二十四亿五十四亿九十六亿一百五十二百一十二百九十三百八十四百八十八
廉二亿六亿四亿四亿六亿百
百长一亿二千二亿四千三亿六千四亿八千六亿廉万万万万七亿二千八亿四千九亿六千一十亿八万万万万千万
九亿平三十六亿八十一亿一百四十二百二十三百二十四百四十五百七十七百二十二
廉四亿五亿四亿一亿六亿九亿千
三七百二亿七千五亿四千八亿一千一十亿八一十三亿一十六亿一十八亿二十一亿二十四亿长百
万廉万万千万五千万二千万九千万六千万三千万万
平一十二亿四十八亿一百〇八一百九十三百亿四百三十五百八十七百六十九百七十六千四廉亿二亿二亿八亿八亿二亿
四百百长四亿八千九亿六千一十四亿一十九亿二十四亿二十八亿三十三亿三十八亿四十三亿万廉万万四千万二千万八千万六千万四千万二千万
一十五亿六十亿一百三十二百四十三百七十五百四十七百三十九百六十一千二百平一亿五亿亿五亿亿五亿亿一十五亿
廉五二千
百七亿五千一十五亿二十二亿三十亿三十七亿四十五亿五十二亿六十亿六十七亿五百长万五千万五千万五千万五千万万廉
一十八亿七十二亿一百六十二百八十四百五十六百四十八百八十一千一百一千四百平二亿二亿八亿亿八亿二亿五十二亿五十八亿廉
六一千
百一十亿八二十一亿三十二亿四十三亿五十四亿六十四亿七十五亿八十六亿九十七亿六百长千万六千万四千万二千万八千万六千万四千万二千万万廉
平二十一亿八十四亿一百八十三百三十五百二十七百五十一千〇二一千三百一千七百三亿
廉七九亿六亿五亿六亿十九亿四十四亿〇一亿四千
一十四亿二十九亿四十四亿五十八亿七十三亿八十八亿一百〇二一百一十一百三十百长三百七千万四千万一千万八千万五千万二千万亿九千万七亿六千二亿三千万
廉万万
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十亿八十亿二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
亿亿五十亿六十亿三十亿二十亿九十亿
二十四亿九十六亿二百一十三百八十六百亿八百六十一千一百一千五百一千九百平六亿四亿四亿七十六亿三十六亿四十四亿五亿廉
八一千
百一十九亿三十八亿五十七亿七十六亿九十六亿一百一十一百三十一百五十一百七十二百长二千万四千万六千万八千万五亿二千四亿四千三亿六千二亿八千万廉
万万万万
二十七亿一百〇八二百四十四百三十六百七十九百七十一千三百一千七百二千一百平亿三亿二亿五亿二亿二十三亿二十八亿八十七亿七亿廉
九二千
百二十四亿四十八亿七十二亿九十七亿一百二十一百四十一百七十一百九十二百一十九百长三千万六千万九千万二千万一亿五千五亿八千亿一千万四亿四千八亿七千万廉
万万万万
四商立方千〇下除十表
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十亿八十亿二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
亿亿五十亿六十亿三十亿二十亿九十亿
平三千万一亿二千二亿七千四亿八千七亿五千一十亿八一十四亿一十九亿二十四亿
廉一万万万万千万七千万二千万三千万一
十长三十万六十万九十万一百二十一百五十一百八十二百一十二百四十二百七十千廉万万万万万万
平六千万二亿四千五亿四千九亿六千一十五亿二十一亿二十九亿三十八亿四十八亿
廉二万万万六千万四千万四千万六千万八
十长一百二十二百四十三百六十四百八十六百万七百二十八百四十九百六十一千〇八千廉万万万万万万万十万
平九千万三亿六千八亿一千一十四亿二十二亿三十二亿四十四亿五十七亿七十二亿二
廉三万万四千万五千万四千万一千万六千万九千万万
十长二百七十五百四十八百一十一千〇八一千三百一千六百一千八百二千一百二千四百七廉万万万十万五十万二十万九十万六十万三十万千
一亿二千四亿八千一十亿八一十九亿三十亿四十三亿五十八亿七十六亿九十七亿平万万千万二千万二千万八千万八千万二千万廉
四六万
十四百八十九百六十一千四百一千九百二千四百二千八百三千三百三千八百四千三百四千长万万四十万二十万万八十万六十万四十万二十万廉
一亿五千六亿平一十三亿二十四亿三十七亿五十四亿七十三亿九十六亿一百二十
万廉五千万五千万五千万一亿五千万一十
五二万十七百五十一千五百二千二百三千万三千七百四千五百五千二百六千万六千七百五千长
万廉万五十万五十万万五十万五十万
一亿八千七亿二千一十六亿二十八亿四十五亿六十四亿八十八亿一百一十一百四十平
万廉万二千万八千万八千万二千万五亿二千五亿八千万万二十
六一万十一千〇八二千一百三千二百四千三百五千四百六千四百七千五百八千六百九千七百六千长
十万廉六十万四十万二十万万八十万六十万四十万二十万
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十亿八十亿二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
亿亿五十亿六十亿三十亿二十亿九十亿
二亿一千八亿四千一十八亿三十三亿五十二亿七十五亿一百〇二一百三十一百七十平万万九千万六千万五千万六千万亿九千万四亿四千亿一千万廉
七万三十四万
十一千四百二千九百四千四百五千八百七千三百八千八百一亿〇二一亿一千一亿三千三千长七十万四十万一十万八十万五十万二十万百九十万七百六十二百三十廉
万万
二亿四千九亿六千二十一亿三十八亿六十亿八十六亿一百一十一百五十一百九十平万万六千万四千万四千万七亿六千三亿六千四亿四千廉
八万万万五十一万
十一千九百三千八百五千七百七千六百九千六百一亿一千一亿三千一亿五千一亿七千二千长二十万四十万六十万八十万万五百二十四百四十三百六十二百八十廉
万万万万
二亿七千一十亿八二十四亿四十三亿六十七亿九十七亿一百三十一百七十二百一十平
万廉千万三千万二千万五千万二千万二亿三千二亿八千八亿七千七十万万万
九二万十二千四百四千八百七千二百九千七百一亿二千一亿四千一亿七千一亿九千二亿一千长九千
三十万六十万九十万二十万一百五十五百八十〇一十万四百四十八百七十廉万万万万
四商立方千百下除十表
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
五十万万五十万万五十万万十万万五十万
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
八十万一万
长一亿一千七一亿一千九一亿二千〇一亿二千二一亿二千四一亿二千六一亿二千八一亿三千〇一亿三千二二千廉百一十二万百〇四万九十六万百八十八万百八十万百七十二万百六十四万五十六万百四十八万
一百亿四千六一百〇三亿七一百〇七亿一一百一十亿五一百一十四亿一百一十七亿一百二十一亿一百二十四亿一百二十八亿平百七十万千八百八十万千六百三十万千九百二十万〇七百五十万六千一百二十二千〇三十万八千四百八十五千四百七十廉七十
九十万万万二万
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
万十万十万五十万万五十万
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
四商立方千百下十除零说
四商立方零数浩赜难穷虽不置表然以法减除本自
易易盖二商三商须留四商余地不尽除实故命商之
数未免游移不决若三商既得止此零尾一除恰尽何
烦转展多商但视余实尾位是何数便知立隅尾数是
何格如得一是一格一格是一故得二是八格八格是五百一十二故
得三是七格七格是三百四十三故得四是四格四格是六十四故余倣
此即以此格定商次以三商所得数自乘三倍之又以
本格数乘之得平廉次以三商所得数三倍之又以本
格自乘数乘之得长廉并立隅得数若干除实恰尽假
如前四商积实九千九百九十七亿〇〇〇二万九千
九百九十九三次商除既得方根九千九百九十余实
二十六亿九千七百〇三万〇九百九十九视尾位是
九知为七百二十九是九格即以九定商次以三商所
得数九九九自乘三倍之得二九九四〇〇三又以九
乘之得二十六亿九千四百六十〇万二千七百为平
廉次以九九九三倍之得二九九七又以九自乘数八
十一乘之得二百四十二万七千五百七十为长廉并
前立隅七百二十九共得二十六亿九千七百〇三万
〇九百九十九以减余实恰尽总四商开得九千九百
九十九余皆倣此或有奇零不尽则尾位难齐更须视
首二三位为数几何以意商除商得之余尚有不尽以
法命分可耳愚按历书总目载有开方简法卷帙残阙
原书不复可得因为窃取遗意推衍补入由繁得简法
法具备即以印证西士知可百世不惑矣岁在玄黓阉
茂日躔井十六度古吴苼庵道人朱㿥识于葑溪西里
诒远堂
开方立成表用法
此立成表即自乘再乘之积实也上格横列为方根及
次商百十成数渐下则自一至九末商零数始于一终
于九百九十九不及四开者数逾十亿万大畧已备遇
此则渐及兆万浩赜难穷不便作表矣其每格各分二
行上行为平方积下行为立方积列实自右而左凡遇
开方不烦列筹布算但一检表举积实之全数即得方
根之若干举方根之若干即得积实之全数至简至易
无过于此然学者从事推算贵有心得必须熟知廉隅
加倍之故运用无差若未经探讨漫趋捷径则是日用
不知反失置表之意矣
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方积实
编按：原书此处为立成表（数表），暂未收录
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