崇禎曆書卷之四十五 測量全義卷八
法原部
測量全義第八卷 測球上大圈
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
訪 舉 陳于階
張寀臣等 算
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部測量全義第八卷測球上大圈
明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
張寀臣 孫有本
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人陳于階 鮑英齊 受法 湯若望訂
孫嗣烈劉蘊德
解正球上大圈相交之度分校：清刊本此前有測量全義八卷標題
正球之大圈有三種一爲赤道二爲斜截赤道之圈如黃
道等三爲直截赤道之圈直截赤道者截赤道爲直角其極如正球之地平圈各處
午圈時圈等三者相交相距是生多種三角形
如己甲庚爲赤道丁丙寅爲黃道相交於
丙爲斜角戊爲己庚赤道圈之一極極者球面
上大圈之心凡分球宜用球體之心體之心不可得而以大圈之心當之故不名心
名極亦即軸之兩端也從戊極作戊甲乙辛圈辛爲赤道之又
一極戊甲辛弧截赤道於甲爲直角亦截黃道於乙
成甲乙丙直角曲線形也此形之乙至丙爲黃道之
經度丙至甲爲赤道之經度乙甲爲乙點距赤道之
度即赤道之緯度丙爲赤黃二道之交角乙爲過兩極圈與
黃道之交角甲爲過極圈與赤道之交角即直角一形
有三角三邊凡六種先有三可求其餘
一題凡有兩道極相距之度分交角之度分同及一道之經度
分求其餘
如丙角爲二十三度三十一分三十〇秒
丙乙爲黃道經三十度如大梁等一宫求其緯度
乙甲過極圈之一弧此爲直角形有丙角及直角之對邊丙
乙求其餘三
一求黃道若干度之赤道緯度即乙甲邊法見本篇七卷直角形捷法
第七設爲全數與丙角之正弦三九九一六若乙丙弧之正
弦五〇〇〇〇與乙甲弧之正弦一九九五七查得一十一度
三十〇分四十秒即黃道經三十度之赤道緯度
二求正球同升之度甲丙若甲乙邊爲正球之地平弧即丙甲丙乙兩弧必同
出入名正球同升之弧也又若甲乙爲子午圈即丙甲丙乙爲同過子午圈之兩點名雖
不同其理無二詳見左方法爲全數與丙角之餘弦九一六九
〇〇若乙丙之正切線五七七三五與甲丙邊之正切線五二
九三〇查得二十七度五十三分四十三秒
三求乙角即黃道與子午等過極圈之交角法爲全數與乙丙之割
線若丙角之餘切線與乙角之切線若知黃白二道
交角之度及太陰之本行經度可知其去離南北之度而定食限之度見月離曆及本表
用上三法可作兩道各度分相距之緯度表又可作
每度之同直升表又可作每度與過極圈之交角表
三者其用甚大爲推步日食根本又因第一求可定
月及五星距黃道之度
附同升解
黃赤二道交於春秋二分必相截爲兩平分若別大
圈截兩道其交角從本圈之體勢直斜不一
其一大圈過兩道之兩極必與兩道相交爲直角則
從兩道之交至大圈之交其兩道之弧必等此大圈
爲極至交圈也因過赤黃兩道之極與兩道爲直角
則從春分迄夏至兩道之弧必等爲九十度也
其二大圈獨過一道之兩極如過北極則赤道極也此大圈與
所過極之本圈必相交爲直角若與所不過之道則
否從春分至過極圈之交所截黃赤兩道之弧必不
等蓋兩道與過極圈交而作角必有鈍有銳爲異類故也而此兩道之兩弧從春
分起數名正球同升或同降之度正球內升降之度必等蓋地平爲過極之
一圈也欹球則否亦名同過子午圈之度蓋子午圈亦過赤道之極
如過極圈截黃道大梁初度去離春分三十經度截赤道二十
八度弱或正球黃道大梁初度與赤道二十八度弱
同升同降或同過子午圈反之亦謂正球赤道二十
八度弱與黃道三十度同升同降同過子午圈其理
皆同若春分迄夏至於黃道第一象限順數之秋分
遡夏至則否用所得赤道升度以減象限所存數又
加一象限九十度得黃道某點之正升度
如鶉尾初度距秋分三十度從秋分算得赤道同升
之度二十八以減夏秋九十度得六十二以加春夏
一象限得一百五十二爲鶉尾初從春分起與赤道
同升之度
若秋分迄冬至用所得赤道升度與春秋二象限一
百八十度并得黃道從春分至某點之正升度
如大火初距秋分三十度從秋分算得升度二十八
以加春秋一百八十度得二百〇八度爲大火初從
春分起與赤道同升之度
若從春分遡冬至則用所得赤道升度以減象限得
數與春分迄春分三象限二百七十度并得黃道從
春分至某點之正升度
如娵訾初距春分三十度從春分算得升度二十八
以減春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百
七十二度校：春分迄春分疑冬至迄春分之誤得三百三十二度爲娵
訾初從春分起與赤道同升之度
其三大圈不過兩道之極如欹球地平大圈截黃赤
二道皆爲斜角因赤道高下作角必不等其三角形
之腰亦不等則從春分計某地兩道同升之兩弧數
名欹球同升之度
如順天府赤道約高五十度設大梁初度從地平上
升因本法推赤道上之同升度一十八從春分起數則大
梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之兩點
若欲定其斜入則倒球取之用彼球之卯當此球之
酉用彼球之升爲此球之降則某點爲彼球之斜同
升即此球之斜同入
如順天府北極出地約四十度有夏至同升之度欲
求其同降則用南極出地五十度之彼球以彼球之
冬至爲此球之夏至則彼球冬至之同升度即此方
夏至之同降度
已上言正球有正升度欹球有斜升度此兩數相減
之較名兩升之差
如大梁初度之正同升二十八度順天府大梁初度
之斜同升一十八度其較十度即順天府大梁初度
之升差
已上所說用渾球解之則易明
二題有黃道經緯度求兩道交角之度
如上有直角之對邊乙丙及其旁邊甲乙而
求丙角求乙角求赤道之弧甲丙俱用本書
七卷十設因設數難定不須詳別
三題設兩道交角之度及黃道某點之緯度而求其點
之黃道經度
如丙爲交角丁甲其對邊之緯弧求丙甲赤
道之弧見七卷三設爲全與丙角之餘切線若甲
丁弧之切線與甲丙邊之正弦此即赤道經度凡經緯二數恆相連求
丙丁黃道之弧爲全與丙角之餘割線若甲丁邊之
正弦與丙丁邊之正弦丙丁爲黃道經即兩圈上之兩點丁甲恆相對同升於地
平同過於子午等圈求丁交角爲全與甲丁邊之割
線若丙角之正弦與丁角之正弦三角形各形有
十設各設三求今約取其必用者解之
四題有丙交角丙恆爲交角及甲丙赤道之弧求丁角黃道
與過極圈之交角求丁丙黃道同升之弧求甲丁黃道上某點之緯度
法見七卷第二設
解欹球上大圈相交之度分
正球上大圈有三種欹球則有四種地平圈一也天頂
圈二也地平左右之次舍侣圈三也日出入之時圈
四也與正球之三而七矣七圈者相交相距其理甚
繁其用甚大
一題有赤道與地平交角之度子午圈過天頂亦過赤道極則交角之度與極
出地平上之餘度必等又有黃道某點之緯若某點或升或降
在地平求黃道與地平交角之度
如圖癸丙甲爲地平壬寅戊爲赤道丁丙
庚爲黃道己爲二道之交丙爲黃道地平
之交從赤道極乙點過丙至赤道上寅點
作乙丙寅弧即丙寅弧定黃道丙點之緯
度丙乙其餘也即甲丙乙直角形之丙角爲過極圈
與地平之交角又丁丙乙爲黃道與過極圈之交角
兩角并得丁丙甲角 用前正球一題第三求得乙
丙丁角彼云乙角次甲丙乙形甲乙爲極出地之高若干
度乙丙爲寅丙緯之餘度用第九設第二求得之此問
日食算中所必用故詳解之仍須作立成表
如有大梁初度即黃道經三十度爲乙丙邊又有兩道之
交角丙角二十三度三十一分半而求過極圈甲乙與黃道
之交角乙法爲全數與乙丙之割線一一五四三〇若丙角
之餘切線二二九七〇〇與乙角之切線二六五一四二查得六十
九度二十分有奇
次求甲丙乙角即前本圖上形爲全數與乙丙邊之餘割線
大梁初度之緯十一度三十一分其數五〇〇八六九若甲乙邊之正
弦如順天府北極出地三十九度五十分其正弦六四〇五六與乙角之
正弦五四三六七查得三十二度五十六分
先得六十九度二十分有奇次得三十二度五十六
分并得一百〇二度一十六分有奇即本圖甲丙丁
角之度
若己交角即黃赤交與丙即黃道地平之交同點即黃道極必在
子午圈內或己爲春交在東則以黃赤距
度減赤道高即黃道地平交角之度或己
爲秋交亦在東即以距度加赤道高或己
爲春交在西亦加爲秋交在西亦減用渾球明之
二題有黃道某點之緯度及北極出地之度求本點出
入地平之濶度濶度者地平之經度各點出入於卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二
分出入於正卯正酉若在黃道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黃道南六宫出入皆在正卯酉之南
如圖丁庚戊爲子午圈丁丙戊爲地平庚乙
己爲赤道交地平於乙辛丙壬爲赤道南距
等圈交地平於丙從天頂子地平圈之極作子甲
乙爲地平第一經圈乙點即正卯酉此圈分則出入
南北之中界也次從赤道極癸作癸丙過極經圈而
成甲乙丙直角形形之甲丙邊爲某點距等圈之緯
度甲乙丙角庚戊弧也爲赤道出地之度北極出地之餘甲爲直
角從赤道極癸出線而截赤道於甲故也乙丙爲黃道某點之濶度求
法用三設之第三求爲全數與乙角之餘割線若甲
丙邊之正弦與丙乙邊之正弦
假如順天府赤道高五十度五分乙角也其
餘割線一三〇二二三甲丙邊冬至之緯度也爲二十三度
三十一分半其正弦三九九〇二算得乙丙
邊之正弦五一九六一查得三十一度一十
九分 因乙點爲正卯酉癸爲北極則
丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但
丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角丁己弧也
爲赤道入地之度如上圖
三題有北極出地度及黃道之某點求晝夜長短即各欹球
黃赤道同升之點
解曰凡測時以赤道爲主何者日十二時九十六刻
終古常然不以冬夏爲永短赤道亦半出地上半入
地下卯正至午正午正至酉正恆各滿一象限不與
黃道偕盈縮二相配合則赤道過一宫而爲一時過
三度四分度之三而爲一刻故赤道爲各種日晷之
宗法測時候之公本原也其在欹球獨春秋分日赤
道一象限恆在午圈地平圈之內兩道過子午圈及
出入地平常是同點則從午至酉赤道
過子午圈而西者爲九十度得二十四
刻也過此以往日躔積漸南北晝夜亦
積漸永短赤道在午正左右之第九十
度亦積漸出地上或入地下則定晝夜分者當求赤
道與日躔過極圈交點之度其法從北極過日體作
過極圈之一弧爲癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之點
其赤黃兩道之兩點庚辛同過子午等圈轉渾令辛
點到地平如丙即庚點必至甲若太陽在北六宫庚
點必過地平如癸丙甲在南六宫庚點必不到地平
如癸甲丙此或過或不及之差名兩升之差一是正球過子
午圈一是欹球過子午圈亦謂之晝夜長短之根今欲測辛點從
午至入地平之刻分必先定庚甲庚甲大圈之弧度與辛丙小圈之弧
度同在癸甲癸庚兩過極圈內必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圈無法必用庚甲測之而庚乙
必九十度須知甲乙然後或加或減可得甲庚即半
晝分倍之得晝夜以加減四十八刻得半夜分
如上圖甲乙丙形有乙角爲赤道與地平之
交角有甲丙爲某點之距度求甲乙則全數
與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正
弦
如甲丙爲冬至之距緯二十三度有奇其切線四三
五三〇乙角赤道之高五十度有奇其餘切線八三
四一五算得三六五一一爲甲乙邊之正弦查得二
十一度二十五分以減九十度得六十八度三十五
分算時刻得一十八刻四分每刻十五分二十秒校：秒字原作抄
訛今改〕每分六十秒爲順天府之冬至半晝分倍之得三十六
刻〇十八分四十〇秒爲晝長以減九十六刻得五
十九刻〇六分二十〇秒爲夜長 因上法可作諸
方半晝分立成表見別卷
四題有赤道之高及太陽出入之濶度可得黃道本點
之緯度亦自有其經度
即用上圖有乙角爲赤道之高丙乙爲大陽
出入之濶求黃道之緯度甲丙亦求欹球同
升之差甲乙見七卷第四設
若有赤道之高及丙角亦可求其餘見七卷第一設
若置半晝分及赤道之高可得黃道本點之緯度及
太陽出入之濶度若半晝分爲時刻則以本法易爲度分以加減九十度所得數爲甲
乙邊
五題有黃道某點及北極出地之度求欹球同升之度
如上圖求得黃道某點之正升甲及兩升之差甲乙
以此兩數或相加在北六宫內或相減得某地面
黃赤兩道同升從春分起算之兩弧如順天府析
木初度正升爲二百三十七度四十八分〇
七秒其斜升之差爲一十八度兩數相加得二百五
十五度四十八分〇七秒則黃道弧爲二百四十度
從春分起算赤道弧爲二百二十五度四十八分〇七秒
爲本地面兩弧同斜升之度
若求其同降之度則用黃道上對點求其斜升加一
百八十度 如析木之對爲實沈求實沈之斜升得
三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度
四十九分即析木偕赤道同降之度
升降三類正球同升一斜球同升二正斜升之差三其用甚大如定晝夜
長短及太陽與某星相距之度及夜以星定時刻之
屬皆所必須故須詳講之熟習之另卷有本表及其用免算
六題有極出地之度及赤道之升度從所近交起算求黃道同
升之經度
如圖己癸爲地平午丙辛爲赤道戊丁庚爲黃道交
地平於乙兩道之交成丁丙乙斜角形丁爲兩道之
交角丁丙邊爲赤道上升度從所近交起算丁丙乙爲赤道
高丁丙癸之餘角求黃道弧丁乙其法從
丙角作丙甲垂弧分元形爲二其甲丙丁
形有丁角有丁丙邊用直角第四設求丁
丙甲角丙甲邊丁甲邊次於丁丙乙角內
減丁丙甲角餘甲丙乙角即甲丙乙形有
丙角及丙甲邊用直角第二設求甲乙以
并丁甲得丁乙弧
上法爲是丁乙黃道在北六宫若在
南六宫即丁乙丙斜角形有丁丙邊
有丁丙兩角從乙角作乙甲垂弧分
元形爲二先於甲乙丁形求甲乙甲丁次甲乙丙形
有丙角甲乙邊求甲丙以并甲丁得丁丙邊
七題有極出地之度分多於兩道相距之餘度分求此
地周歳中太陽恆見恆隱之日數
解曰正球之赤道及其距等圈皆與地平爲直角故
晝夜恆等其在欹球極高六十六度半弱兩道距二十三度半
强之餘度以下者太陽日日有出入周歲中日日有晝夜
依上第三題求其晝夜分若極高六十六度半弱以
上即周歲中太陽有時恆見不隱每日周遭地平之
上有時恆隱不見每日周遭地平之下以法求得其
隱見之日數然此所得者實隱見也又因清蒙之氣
入恆遲出恆早此爲視隱見說見曆指一卷
其法以赤道之高極出地之餘度當太陽之緯度因緯度求
其經度從春分或秋分起數取經度之餘度即太陽去離夏至或冬至倍之
約一度爲一日得本地太陽恆見恆隱之日數
如上圖癸己爲地平午辛爲赤道乙丙爲
夏至壬庚爲冬至乙庚爲黃道子丑爲兩
極若太陽在夏至乙從乙轉丙丙復轉乙
不割癸己地平即常見若太陽至丁己距圈從丁轉
己已復轉丁雖切地平于已而不割亦常見假如極
出地七十六度赤道高十四度即以當太陽之十四
緯度求經得三十七度二十分其經餘五十二度四
十分倍之得一百〇五度二十分約一度爲一日得
一百〇五十有奇太陽日日周行地平之上并爲一
晝若太陽躔南六宫則日日周行地平之下并爲一
夜第因清蒙之氣即視見恆在真見之前視隱恆在
真隱之後各有日數因本地之蒙氣厚薄以爲多寡
八題有黃道交子午圈之點及極之高求黃道之九十
度限
從地平以上數至黃道之九十度名爲黃平象限此
推算日食所必需也黃道大圈半恆在地平上半恆
在下而黃道極多不在子午圈中故上半周任交於
子午圈其九十度限亦多不在子午圈也若極在東
則從地平西右數至子午圈黃道之度恆過九十從
地平東左數至子午圈黃道之度恆不及九十若極
在西則反是故春分前後六宫從冬至迄夏至交於
子午則黃平限在東秋分前後六宫從夏至迄冬至
交於子午則黃平限在西今所求者此九十度限之
一點去離天頂若干度分也其用法詳日食本論
法有黃道交午圈之點求九十度限即先求正球上
在午點之同升赤道點加赤道從午至地平九十度
得總數定儀求本地欹球上之黃道同升點於黃道
在午至地平數內減九十度得黃道去離地平之九
十度限也如大梁初度在午其正同升爲赤道二十
八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球
順天府極出地四十度弱上之黃道同升得鶉火出地平一十一
度弱於黃道從午至地平數內減九十度得大梁十
一度弱爲黃道九十度限在東
又如黃道玄枵初度在午其正同升爲赤道三百〇
二度强加九十得三百九十二凡度數滿全周用其餘此三百九十二減
三百六十即總數爲三十二次求本地欹球上之斜同升得大梁
出地平一十二度於黃道從午至地平數內減九十
度得玄枵一十二度爲黃平象限亦在東
系有在午之點及九十度限其較爲午點至九十度
限之黃道一弧如上第二設九十度限爲玄枵一十
二度午上之點爲玄枵初度則其相距爲一十二度
反之有黃道之出地度求在午之點及九十度限
法曰有地平上黃道點求其本地欹球上之赤道同
升點減九十度得數求正同升之黃道上度爲在午
之點又於本點去離地平數內減九十度得黃平象
限
如大梁初度在地平本欹球之斜同升爲一十八度
減九十凡實數小法數大借全周三百六十并而減之得二百八十八度求
其正同升之黃道上度得玄枵一十七度强爲九十
度限距午之度
又黃道大梁初度在地平於地平距午數內減九十
度得玄枵初度爲九十度限
九題有黃道交子午圈之點及極之高求九十度限而
不用同升度
如圖丁丙戊爲子午圈乙甲丁爲黃道乙點爲某宫
某度分丙爲天頂甲爲九十度限從丙過
甲作丙甲己地平經圈成甲乙丙形甲爲
直角乙爲黃道交於子午圈之角見正球說有本
表
丙乙爲黃道某點距天頂之度若某點係南六宫求其緯以減赤道高若
係北六宫求其緯以加赤道高各得丙乙而求甲乙邊法爲全與乙角之
餘弦若丙乙之切線與甲乙之切線另卷有表又見交食曆
假如乙點是大梁初度則乙角爲六十九
度二十一分法見正球四題其餘弦爲三五二六
六其緯一十一度三十分以加赤道高得
六十一度四十分其餘爲二十八度一十分丙乙也
其切線爲五三五四五算得一十度四十八分爲甲
乙弧上題用同升表一十一度弱今亦用表數云一十度四十八分因上題棄去零數故也
十題有黃道交於子午圈之點及極之高而求九十度
限距天頂之度
如前圖求丙甲弧法爲全與丙乙之正弦四七四六〇若
乙角之正弦九三五七五與甲丙邊之正弦四三四一九算得
二十五度四十四分爲甲丙弧 因甲庚庚己各九
十度則甲己爲庚角之弧其角爲黃道截地平之角
即上第五題圖之丁乙丙角
十一題有在地平點之濶度及在午點之距天頂度而
求黃平象限距天頂度
如前圖從天頂丙作地平經初度丙壬黃道截地平
於庚成庚甲己形甲己爲兩直角丙己經圈過地平之極故己爲直角
甲分地平上黃道爲兩平分即過地平之極亦過黃道之極故甲爲直角則相對之兩腰
必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自爲九
十若減同用之壬己即所餘庚壬與己戊等
己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙
乙及丙角或己戊或壬庚濶升度可得甲丙法爲全與
濶升度之餘弦若丙乙邊之切線與丙甲邊之切線
十二題有午上之點求在地平點之闊升度
即庚壬或己戊或甲丙乙角法爲全與丙乙邊之餘
割線若甲乙邊之正弦與丙角之正弦或庚壬濶弧之正弦
十三題有午正前後時刻之度分時刻之度分者以時刻易爲度分也每四
刻爲一十五度一刻爲三度四十五分刻之一分爲度之四分之一刻之一秒爲度之四秒及太
陽之經度求在午之度因求黃平象限度
法如時在午前即以太陽經度求其正同升之度減
時刻之度得赤道數以求黃道正同升之度即在午
之度如太陽躔大梁初度於己正初刻求在午之度
即查大梁三十度之正同升爲赤道二十八度減去
三十度己正初刻之度餘三百五十八實少于法借全周查其正同
升之黃道度得娵訾二十八爲在午之點次於赤道
數加九十得八十八滿全周去之求本地欹球同升之度
得鶉首一十七零數省文去之爲黃道本球本時出地平之
度減去九十度得降婁一十七爲黃道九十度限
若時在午後則用加法如未正初刻則於二十八度
大梁之正同升加三十時度得赤道五十八查其正同升得實
沈初度爲在午之點次於赤道五十八加九十得一
百四十八度求本欹球之同升得鶉尾五度半爲黃
道本時本球之出地度減去九十度得實沈五度半
爲黃道九十度限
十四題有太陽躔度及時刻度求太陽地平上之高度
其法有四或太陽在赤道上春秋分第一圈或時度過九十
二圖或在北六宫三圖或在南六宫四圖
第一圖己戊丁壬爲子午圈戊丙庚爲赤
道太陽在乙從天頂丁作丁乙甲弧過太
陽至地平爲直角成甲乙丙直角形此形
有乙內邊戊乙時度之餘有丙角赤道之高度求甲乙爲全與乙
丙邊之正弦己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正弦八六六〇三若丙角
之正弦順天府赤道高五十度則丙角五十度其正弦七六六〇四與乙甲邊之
正弦六六三四一算得四十一度四十七分爲太陽本時
之高
第二圖時度過九十即從北極辛作辛乙午弧交地
平於癸成癸午丙三角形午爲直角有午丙
爲時度過九十之較有癸丙午爲赤道與地
平之交角求午癸邊及午癸丙角午癸丙角爲過極圈
或時圈與地平之交角求法見第七卷直角形之用法次以午癸與午乙或加
或減得癸乙弧用二圖時度過九十即相減若不過九十者如三圖太陽在北六宫即相
加如四圖太陽在南六宫即相減所并所餘皆爲癸乙弧次乙甲癸形甲爲直角
有先加減所得之癸乙邊有乙癸甲角可得太陽之高
乙甲
如三圖日躔大梁初度其緯得一十一
度三十分半乙午也巳正時戊午得三
十度即午丙必六十度本地赤道高戊
己五十度〇五分或午丙癸角次以午丙癸
形之午丙六十度丙角五十度〇五分
求午癸邊法爲全與午丙之正弦八六六〇
三若丙角之切線一一九八八二與午癸之切
線一〇三八五五算得四十六度〇五分因大梁在
北六宫故次加太陽之緯度一十一度三十
一分三十秒得五十七度三十六分三十秒
癸乙弧也又於此形求癸角法爲全與丙角
之餘割線一三〇二二三若午丙弧之正割線二〇〇〇〇〇與癸
角之正割線二六〇四一七算得六十七度二十四分癸角
也次癸乙甲形甲爲直角有癸角及癸乙邊求甲乙
法爲全與乙癸弧之正弦八四四五三若癸角之正弦九二
三二一與甲乙邊之正弦七七九五二算得五十一度一十
三分甲乙也是爲本地本時黃道某度地平上之日
軌高
若太陽躔南六宫如雙魚初度其緯亦一十一度三
十〇分三十秒則如第四圖之癸午邊減乙午得三
十四度三十四分爲乙癸邊其正弦五六七三六乘癸角
之正弦九二三四三得三十一度三十六分
十五題有太陽之緯度有日軌高有極出地度求時刻
如上題第一圖太陽乙在赤道甲乙丙形有日軌
高甲乙有乙丙甲角爲赤道高求乙丙邊
戊乙之餘法爲全與丙角之餘割線丙角五十度〇五分
其餘割線一三〇一九二若甲乙弧之正弦甲乙日軌高三十度其正弦五〇〇〇〇
與乙丙之正弦六五三二〇算得四十度三十七分乙丙
也戊乙其餘爲四十九度二十三分易爲時得午前
或午後一十三刻〇二分三十二秒
又如上題第二三四圖用辛丁乙形太陽在乙
有乙辛爲太陽距極度若乙在北六宫則乙辛爲緯度之餘
若在南六宫則于緯度加九十得乙辛有丁乙爲日軌高之
餘度有丁辛爲北極距天頂之度北極高之餘求辛角辛爲
赤道極丁辛乙角之弧爲戊午戊是午正則以戊午定午前後時刻之數法見第七卷斜
角形用法今解之如辛丁爲五十度一十分丁乙日軌
高之餘六十度辛乙八十度太陽緯午乙十度其餘得八十度法以辛
角旁兩腰之正弦相乘五十度一十分之正弦七六七九一八十度之正弦九八
四八一以全除之得七五六二〇名初得數又以兩腰之餘
弦相乘五十度一十分之餘弦六四二七九八十度之餘弦一七三六五
以全除之得一一〇六九名次得數以次得數
與角對邊之餘弦六十度之餘弦爲五〇〇〇〇相減丁乙
邊小又兩腰同類故也所存三八九三九以全乘之以初得數七五六二
〇除之得辛角之餘弦五一六九〇算得五十八度五十
三分易爲時得一十五刻一十三分四十二秒
又如辛丁丁乙如前而辛乙爲一百度日在南六宫距度十則
以丁辛之正弦七六七九一辛乙之正弦九八四九一百度而用八十度
之正弦者大弦過象限則用其餘弧之弦相乘得七五八三一以全除之爲初
得數又以兩弧之餘弦丁辛之餘弦爲六四〇五六辛乙之餘弦爲一七三六五
相乘以全除之得一一一二三爲次得數以加角
對邊丁乙之餘弦丁乙邊小又兩腰爲異類故得數六一一二
三加五位爲實以初得數爲法除之得八〇六〇
四爲辛角之餘弦查得三十六度一十七分易爲時
得九刻一十分〇八秒
如上法或用月之高求月時則用月之緯度或用星
之高求星時則用星之緯度另卷有本表有高弧表又有其用法
十六題有極出地之高有日軌高及其緯度求地平經
度地平經度者或從卯酉正或從子午正起算皆得
如前圖辛丁戊爲子午圈丁爲天頂丁乙甲爲本時
日躔天頂經圈今求壬甲弧或壬丁甲角或甲己弧
或甲丁己角宜用辛丁乙角形求角列數如上
題丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度法以辛丁丁乙
兩弧之正弦相乘以全除之先得六六六八六又兩弧之
餘弦相乘以全除之次得三二〇二八加乙辛之餘弦一七
三六五於次得數共四九三九三加五位以全乘之故爲實以先
得數除之得七四〇六即丁角之餘弦查正弦表得四十七度四
十七分爲乙丁戊角即甲己弧辛丁乙之餘角也辛丁乙
係鈍角因對角邊乙辛小于九十度兩腰爲同類故相加次得數大于乙辛底之餘弦故所得爲
鈍角故乙丁戊角之餘爲四十二度一十三分更加九
十度得一百三十二度一十三分爲太陽之本頂圈
距北向南之度壬甲也此係太陽在北六宫亦名地平之經度
校：徑文淵本校作經是今改〕造日晷法內用之
又如辛乙爲一百一十三度三十一分半
太陽在南六宫躔星紀丁乙爲七十度求丁角法兩
腰之正弦相乘丁辛之正弦爲七六七九一丁乙之正弦爲九三九
六九以全除之先得七二一五八以兩弧之餘弦相乘丁辛爲六
四〇五六丁乙爲三四二〇二以全除之次得二一九〇九以乙辛之餘
弦三九九〇二加次得數共六一八一一加五位爲實以先得
爲法除之得八五六六六即丁角之餘弦查得五十八度
五十六分爲乙丁戊角因丁爲鈍角角之對邊辛乙大于九十度兩
腰爲同類故相加又次得數小于乙辛底之餘弦故丁爲鈍角故加九十得一百四
十八度五十六分爲辛丁乙角之度即壬甲弧是太陽本
頂圈距北向南之度
若用餘角則從南起算己至甲得三十一度〇四分
戊丁乙角也餘者一百四十八度五十六分之餘
十七題有時度有日軌高及極出地之度求太陽之緯
度又求地平之經度
如前圖辛乙丁斜角形辛乙邊爲太陽本日距等圈
距北極之度此形有辛角即戊午弧時度也有丁辛弧極
高之餘也有丁乙弧日軌高之餘也而求
太陽距北極之緯度辛乙即如次圖從丁
角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛
腰辛角求丁甲及甲辛用七卷直角形第四設二三求次
甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙用七
卷第八設之三求乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平經度
乙丁辛角也則丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁
形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角若辛爲鈍角即乙丁辛爲
銳角若辛爲銳角即乙丁辛爲鈍角