崇禎曆書卷之七十五 幾何要法卷一
幾何要法卷一校：據明刊牛津本校錄
泰西耶蘇會士艾儒略 述
高一志
鄧玉函
同會 仝訂
龍華民
羅雅谷
值會 陽瑪諾 准
校：清刊本無此署名
幾何要法序
世之執牛耳盟者幽言理至度數之學則以爲迂而無
當於道而芻狗置之夫度數而斤斤術藝也者則芻狗
實也可度數之中大而授時定曆正律審音算量分秒
不爽水泉灌溉有資與夫力小任重營建機巧畢具而
兵家制勝列營陣揣形勢策攻守所須乎此者尤亟用
之如斯其廣且切也此而可芻狗視之將羲畫虞璿亦
枯而不靈之器而禹奏平成可舍句股勿用而姬公測
驗必周髀是問何爲也始信理脫數而藏易借以覆短
數傳理而見則有物有事假作不得假說亦不得也善
哉幾何原本之帙譯自西國裁自徐太史先生之手其
中比分櫛解義數詳明可以佐隸首商高所不逮可以
補十經九執之遺亡而梓甘翟襄不擅長焉者神而明
之引類而伸之先王制器前用之法備見矣特初學望
洋而嘆不無驚其繁余因晤西先生得受幾何要法其
義約而達簡而易從如攻堅木先其易者後其節目久
也相說以解先河而後海昔有言之矣不操縵而能安
絃有是學乎爰是訂而別諸梓人僣數語弁其端有笑
而詫猷以俗吏而迂譚度數之理也猷烏知
崇禎辛未年仲春陸安鄭洪猷書
幾何要法卷之一目錄
幾何總論
界說章第一十六則
備器章第二
審尺章第三
畫線章第四
審平面章第五
引線章第六
平分直線章第七法有二
作垂線章第八法有四
立垂線章第九法有三
求分一直線任爲若干平分章第十一法有四
一直線求截所取之分章第十二法有二
有一直線求截各分如所設之分章第十三
有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之
比例章第十四
有兩直線求別作一線相與爲連比例章第十五
法有二
三直線求別作一線相與爲斷比例章第十六
兩直線求別作一線爲連比例之中率章第十七
幾何要法卷之一本篇論線計界說十六章數二七要法三十
泰 西 艾儒略口述 吳淞陳于階
海 虞 瞿式穀筆受 陸安鄭洪猷仝較梓
古 閩 葉益蕃參校 山陰陳應登
校：校原作較諱字今改
法圖本最下三人闕
幾何總論
幾何家者脫物體而空窮度數數其截者度其完者度
有三曰線曰面曰體線以度長短面以度廣狹體以度
厚薄線自點始點引爲線線展爲面面運爲體點者無
長線者無廣面者無厚點爲線之界線爲面之界面爲
體之界體不可爲界點線面體幾何之論起焉
界說章第一十六則
界者一物之始終解篇中所用名目作界說
第一界
幾何者度與數之府也
第二界
點者無分無長短廣狹厚薄故無分如上圖甲點
真圓真平相遇處止一點畢世積點不能結線凡圖十干爲識
干盡用十二支等字
第三界
線止有長無廣厚如一平面光照之有光無光之
間不容一物是線也如上甲乙圖畢世積線不能
結面
第四界
面者有長有廣無厚一體所見爲面凡體之影極似於
面無厚之極也如上甲乙丙丁圖畢世積面
不能結體
第五界
體有長有廣有厚如上甲乙丙丁戊己庚圖
第六界
分者幾何之幾何也小能度大而盡之無贏不足者以
小爲大之分若小不能盡度大當稱幾分幾何
之幾如上甲乙四與丙丁八戊己十二等數皆
能盡分者則甲乙四爲丙丁八戊己十二之分
若庚辛四與壬癸六一即贏二即不足不能盡度者
不得正名爲分則稱之爲三分六之二他數倣此
第七界
點者非幾何故不能爲線及諸幾何之分
第八界
線非廣狹之幾何故不能爲面之分
第九界
面非厚薄之幾何故不能爲體之分
第十界
線有曲直線之一點能遮兩界是直線如上圖
甲乙不遮則不直如下圖丙丁
第十一界
面之中間線能遮兩界不礙不空是平面如上
圖甲乙丙丁不遮則不平如下圖戊己庚
第十二界
直線垂於橫線之上爲橫線之垂線如上圖丁乙爲甲
丙之垂線
第十三界
兩直線於同面行至無窮不相離亦不相遠終
不得相遇者爲平行線如上甲乙丙丁兩線
第十四界
兩幾何以幾何相比之理爲比例兩幾何者或兩數或
兩線或兩面或兩體各以同類大小相比謂之比例若
線與面或數與線此異類不爲比例若同類相比而不
以幾何亦不爲比例也如白線與黑線或有窮之線與
無窮之線雖則同類實無比例有窮之線畢世倍之不
能及無窮之線故也
凡比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之
比例本卷論量法之比例
第十五界
比例相續不斷爲連比例其中率與前後兩率遞
相爲比例而中率既爲前率之後又爲後率之前
如上圖甲二與乙四比乙四又與丙八比是也
第十六界
中率一取不再用爲斷比例如上圖甲四自
與乙八比丙六自與丁十二比是也
備器章第二
幾何在曆家則多用圖畫圖必先備器器有三曰尺曰
規曰矩尺以畫線而貴直規以畫圜而貴調矩以畫方
而貴準器準矣不識用法則茫無措手今以用法著於
篇
審尺章第三
畫圖首畫線線貴直線界於尺故先求尺直如甲乙爲
尺面丙丁爲尺側一稜先以丙丁畫一戊己線
丙合戊丁合己次轉丙丁稜畫一己戊線丙合
己丁合戊不出不入則尺直矣不直再當琢削
畫線章第四
尺既直矣線可無曲然畫時又有法須以鐵或銅鑄筆
上長其柄令可把手下截濶出復漸窄而下其正面削
極平背令稍圓去末寸許作一
小窩窩下漸細至末用時以墨
汁入小窩以平面緊倚尺作線則墨汁自就下或恐墨
汙其地將尺削去丙丁側一稜則墨線瑩細如絲即作
於規末亦得
審平面章第五
平面者諸方皆作直線
法曰如甲乙丙丁爲面欲審其平即用直尺
施於甲角繞面運轉不礙不空全合直尺是
平面也
引線章第六
有一短直線求平引長之
法曰如有甲乙線欲平引長之先以甲爲心以乙爲界
畫小半圜以乙爲心任取一度於小半圜上下各作規
界線爲丙爲丁次以丙丁爲心任取一度向
前作短界線相交爲戊末引甲乙線至戊則
得所求若欲更引長仍依此法
平分直線章第七法有二
有有界之線求兩平分之
第一法
如有甲乙線求兩平分先以甲爲心任用一
度但須長於甲乙線之半愈長愈準向上向
下各作一短界線次用元度以乙爲心亦如
之兩界線交處即丙丁末用尺作丙丁直線即甲乙有
界之線兩平分於戊矣
第二法
若所分之線下面無地可作短界線即於甲
乙線上先畫兩短界線於丙次或開或收規
度仍前從甲從乙向上又作兩短界線於丁
規度愈相遠畫線愈準末以丙丁二交用尺
如前畫線則得所求
作垂線章第八法有四
有一直線任於一點上求作垂線
第一法
甲乙直線任指一點於丙求丙上作垂線先
於丙點左右任用一度愈遠愈準各截一界
爲丁爲戊次以丁爲心任用一度但須長於
丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊爲心亦如
之兩界線交處爲己從己至丙以尺畫線則得所求
第二法
於丙左右如上法截取丁與戊即任用一度
以丁爲心於丙上下方各作短界線次用元
度以戊爲心亦如之則上交爲己下交爲庚
末作己庚直線視直線交於丙點即得所求若丙點在
甲乙端上則當暗引長甲乙線後如前作亦得
第三法
若直線甲端上求立垂線又甲點外無地可
暗引線則先以甲乙原線上方任取一點爲
丙以丙爲心甲爲界作大半圜圜界與甲乙
線相遇爲丁次自丁至丙依前法作直線引長之至戊
爲戊丁線戊丁與圜界相遇爲己末自己至甲作直線
即所求
第四法
若甲乙線所欲立垂線之點乃在線末甲界
上甲外無餘線可截則於甲乙線上任取一
點爲丙如前一二法於丙上立丁丙垂線次
以甲丙丁角兩平分之分法在後三卷第四章爲己丙線次以甲
丙爲度於丁丙垂線上截戊丙線又用元度以戊爲心
向己作短界線爲庚末自庚至甲作直線得所求
立垂線章第九法有四
有無界直線線外有一點求自彼點作垂線至直線上
第一法
如有甲乙無界直線直線外有丙點求自丙點作垂線
至甲乙線先以丙爲心向直線兩處各作小
半圜或兩短界線爲甲爲乙次仍用一度以
甲爲心向丙點相望處作短界線又以乙爲
心亦如之兩線相交處爲丁末自丙至丁作直線截甲
乙線於戊則丙戊爲垂線
第二法
於甲乙線上近甲或乙任取一點爲心以丙
爲界作一圜界於丙點及相望處各稍引長
之次於甲乙線上視前心或相望如前圖或
進或退如後圖任移一點爲心以丙爲界作
一圜界與前圜交處得丁末自丙至丁作直
線得丙戊垂線
第三法
若丙點垂於甲乙線之界不能於丙點左右
畫圜如前二圖又或不能暗引長甲乙線則
當以甲爲心於丙點及相望處各作短界線
於丙於丁又進以乙爲心以丙爲界仍相望作兩短界
線末從丙丁二交處作直線則得所求
第四法
若甲乙線在面之邊且下無地可措規如前
四圖則當用前章第三法或以丙爲心任指
甲乙線上兩點爲丁爲戊次任取一度以丁
爲心向丙上作短界線次用元度以戊爲心
仍向丙上作短界線交於己末自己至丙作
直線引長之至庚得所求又有便法在後平行線中
作平行線章第十法有三
一點求作直線與原設直線平行
第一法
於甲點求作直線與乙丙線平行先任作甲丁線與乙
丙斜交次以丁爲心任作戊己圜界次用元度
以甲爲心作庚辛圜界稍長於戊己次取戊己
圜線爲度於庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛
作直線即所求
第二法
先以甲點爲心於乙丙線近乙處任指一點
作短界線爲丁次任用一度以丁爲心向丙
截取一分作短界線爲戊又用丁戊元度以
甲爲心對甲平行作短界線爲己次用甲丁
元度以戊爲心對甲平行作短界線於己末自甲至己
作直線即所求
註曰凡有不等度須一度用一規始元度不爽如
一規而數易其度則元度永不復矣此丁先生秘
法
註曰以上二法以甲點定遠近若無甲點任指所
欲遠近爲界可當甲點
第三法
此法比前法更簡易即西本幾何亦未載乃
敝師伯先生所授如有甲乙線任遠近求作
平行線近甲取心向上以所求遠近爲度作
小半圜次用元度近乙取心向上復作小半圜末以尺
依半圜爲界作直線即所求
註曰以上平行數法可推用作沿邊直線之
垂線如有甲乙線求乙線界上作一垂線先
以乙爲心向甲任取一點爲丙又用元度以
丙爲心向甲指一點爲丁又以乙爲心任取
一度向上方作一短界線愈遠愈準又以丁爲心
用元度仍向上方作一短界線與前界線相交於
戊次自戊至丙作垂線末以前作平行線法隨用
一法以丙乙爲度作平行線正垂在乙點上即得
所求
求分一直線任爲若干平分章第十一法有四
凡造曆象數欲分直線爲不等分不諳其法大費手力
抑且不準宜熟後法以便用
第一法
如甲乙線求五平分先從甲任作甲丙線爲
丙甲乙角次從甲向丙任作五平度爲甲丁
丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直線末用平
行線法作丁壬戊癸己子庚丑四線皆與辛
乙平行即壬癸子丑與甲乙爲五平分
第二法
如甲乙線求五平分即從乙任作乙丙線爲
丙乙甲角次於乙丙任取一點爲丁作丁戊
線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分爲
丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小於
甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙於子末
從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之
而分甲乙於丑於寅於卯於辰爲五平分
第三法
如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行
線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度
從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚
癸辛壬四線相聯即分甲乙於己於辰於卯
於寅爲五平分
第四法
此法極簡極神可分百千不等
之線與百千不等之分先作一
器如丙丁戊己爲平行線任平
分爲若干格器愈大格愈密其
用愈廣格每分作平行線相聯今欲分甲乙爲五平分
即規取甲乙之度以一規髀任抵戊丙線上一規髀抵
第五庚辛線上如不在庚辛者即漸移之至線界而止
既至壬即戊壬之分爲甲乙之分
又如有甲乙線求十七平分先以規取甲乙之度以一
規髀抵戊丙線一
處以一規髀抵此
器庚辛第十七格
爲壬次從戊至壬
畫一直線次取所
過兩格相距之度以此爲準分甲乙直線則得十七分
矣或圖小而所分者大欲廣其用則遞倍之如圖一尺
欲分一丈爲十九分須取一丈十分之一爲一尺用前
法爲十九分後以尺遞十倍之則一丈己分爲一百九
十分矣每十分作識如所求餘以此推之
一直線求截所取之分章第十二法有二
第一法
如有甲乙直線求截取三分之一先從甲任
作一甲丙線爲丙甲乙角次從甲向丙任作
所命三分之平度如甲丁丁戊戊己爲三分
也次作乙己直線末作丁庚線與己乙平行即甲庚爲
甲乙三分之一也
第二法
如甲乙直線求截取七分之三先以前章法
分甲乙線爲七分後取其三於庚則得所求
如欲截取十分之七十四分之九等不均之
數亦如之
有一直線求截各分如所設之分章第十三一法
法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂
甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙
甲丙兩線相聯於甲任作丙甲乙角次作丙
乙線相聯末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆
與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙
分於丁戊焉
有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比
例章第十四一法
法曰如甲乙線求兩分之而兩分之比例若
所設丙與丁先從甲任作甲庚線爲庚甲乙
角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚
乙線聯之末作己辛線與庚乙平行即分甲
乙於辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁
有兩直線求別作一線相與爲連比例章第十五法有
二
第一法
有甲乙甲丙兩線求別作一線相與爲連比例者任合
兩甲乙甲丙爲甲角而甲乙與甲丙之比例
若甲丙與所求他線也先於甲乙引長之爲
乙丁與甲丙等次作乙丙線相聯次從丁作
丁戊線與丙乙平行末於甲丙引長之遇於戊即丙戊
爲所求線若以甲丙爲前率倣此
第二法
以甲乙乙丙兩線聯作甲乙丙直角次以甲丙
線聯之而甲乙引長之末從丙作丙丁爲甲丙
之垂線遇引長線於丁即乙丁爲所求線
三直線求別作一線相與爲斷比例章第十六
法曰甲乙乙丙甲丁三直線求別作一線相
與爲斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲
乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線爲甲丙
次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線
相聯次從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲
丁引長之遇丙戊於戊即丁戊爲所求線
兩直線求別作一線爲連比例之中率章第十七
法曰甲乙乙丙兩直線求別作一線爲中率者
謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以
兩線作一直線爲甲丙次以甲丙兩平分於戊
次以戊爲心甲丙爲界作甲丁丙半圜末從乙至圜界
作乙丁垂線即乙丁爲甲乙乙丙之中率