崇禎曆書卷之七十六 幾何要法卷二
幾何要法卷之二
總說
界說章第一十二則
造規章第二法有四
有圜求兩平分之章第三
有圜之分求兩平分之章第四
有圜求四平分之章第五
有圜求六平分之章第六
有圜求十二平分之章第七
有圜求三百六十平分之章第八
有圜之分任截幾度章第九
有圜求尋其心章第十
有圜之分求成圜章第十一
任設三點不在一直線求作一過三點之圜章第
十二法有二
有圜求作合圜線與所設線等引設線不大於圜
之徑線章第十三
三角形求作形外切圜章第十四
三角形求作形內切圜章第十五
有圜求作圜內三角切形與所設三角形等角章
第十六
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章
第十七
有圜求作內切圜直角方形章第十八
有圜求作外切圜直角方形章第十九法有二
有直角方形求作形內切圜章第二十
有直角方形求作形外切圜章第二十一
有圜求作圜內五邊切形其形等邊等角章第二
十二
有圜求作內切圜五邊及十邊形章第二十三
有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角章第二
十四
五邊等邊等角形求作形內切圜章第二十五
五邊等邊等角形求作形外切圜章第二十六
求作圜內六邊切形其形等邊等角章第二二七
求作圜內十五邊切形其形等邊等角章第二十
八
圜內有同心圜求作一多邊形切大圜不至小圜
其多邊爲偶數而等章第二十九
幾何要法卷之二本篇論圜計界說十二章數二十九要法三十二
泰 西 艾儒略口述 吳淞陳于階
海 虞 瞿式穀筆受 陸安鄭洪猷仝校梓
古 閩 葉益蕃參校 山陰陳應登
校：法圖本以下三人
闕較諱字改作校
總說
圜成於線線有二種爲曲爲直直線或單或衆前卷已
詳之衆線或三而成三角形或四而成方形或多而成
諸不等形曲線或半或全半線有不等之用全線或成
圜形或成卯形等角形及方形卯形詳見後卷今先論
圜形
界說章第一十二則
第一界
圓形於平地居一界之間爲圜
第二界
外圓線爲圜之界
第三界
圜之中處爲圜心
第四界
自圜之界作一直線過中心至他界爲圜徑如上圖甲
丁乙戊爲圜界丙爲心甲乙爲徑
第五界
凡直線切圜界過之而不與界交者爲切線
如上圖甲乙丙線是也若先切圜界而引之
入圜內則謂之交線如丁戊是也
第六界
凡兩圜相切而不相交者爲切圜相切而相
入者爲交圜加上圖
第七界
凡直線形居他直線形內而此形之各角切
他形之各邊爲形內切形如上圖丁戊己爲
甲乙丙形內切形
第八界
凡直線形居他直線形外而此形之各邊切他形之各
角爲形外切形如前圖甲乙丙爲丁戊己形外切形其
餘各形倣此二例
第九界
直線形之各角切圜之界爲圜內切形如上圖甲乙丙
形之三角各切圜界於甲於乙於丙是也圜
之界切直線形之各角爲形外切圜同上圖
第十界
直線形之各邊切圜之界爲圜外切形如上甲乙丙形
之三邊切圜於丁於己於戊是也
第十一界
一圜之界切直線形之各邊爲形內切圜如前圖
第十二界
一直線之兩界各抵圜界爲合圜線如上圖之甲乙線
造規章第二法有四
圜形以至圓爲準至圓必出於規規必欲極
準極順其用甚活乃堪造曆凡造規之法有
四詳列於後
第一法
先以銅或鐵範成二股上濶下窄至末而銳近頭小半
截作凹凸狀令可相合次以釘釘其圓頭貴寬緊得宜
任意可開收規下半截爲規髀一規髀作墨池如首卷
第三章法以適用凡欲造曆象必須備規其造式見後
規圖
第二法
凡規有三用一畫虛線則須鉛條當先以銅葉爲管虛
其中橫開小路上套小銅圜可上下鬆緊以出入鉛條
末畧奓出以留小圜如下甲圖一畫墨線則當作墨路
如前章法如下乙圖一畫銅板線須以純鋼爲末如下
丙圖右三髀俱另作不相連本規其本規如前法造但
截去一髀臨截處長半寸許作一小箱狀虛其中亦令
方可受規髀柄如下圖丁處箱面作旋螺用時任入一
規髀以銅消息如旋螺者貫定之如下戊圖則任意可
畫線而一規可具三用矣此爲第二法如下圖
第三法
造曆恆用規依比例法分線分圜或以大形移變小形
或以小度移變大度其分法稍難今作一四髀規或銅
或鐵畧如剪形上下作四規髀上短下長令上準下度
或半或三之一或十之一及種種不等則作線圜時或
欲以大變小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小
變大先以上髀取度次以下髀移度則得所求其或半
或三之一或十之一俱從髀之長短而分下愈長則度
愈大上愈短則度愈促
第四法
前三種規長不踰尺止堪小用如欲造璣衡大器則當
更變其式如下圖其規以銅範爲極方條上下如一任
作幾尺於條左末作錐垂下二三寸以純鋼爲之更造
一錐與前錐等上方寸許仍鑿方孔令透可受方條任
遠近可推移方孔旁更鑿圓孔仍前法作旋螺貫定方
條使兩錐堅定不爽分毫可畫大圜如下圖
有圜求兩平分之章第三一法
如有甲乙丙圜求兩平分用尺任以圜一處
爲界正過心畫一直線則圜體兩平分矣
有圜之分求兩平分之章第四一法
如有甲乙丙圜分求兩平分之先於圜分兩
界作甲乙線次兩平分之於丁從丁作丙丁
爲甲乙之垂線一卷第八章即丙丁分甲乙圜分
爲兩平分若有圜不露其心又求兩平分之亦如此法
有圜求四平分之章第五一法
凡立天象多用四分圜爲周天四象限故造法不可不
準如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲
乙線過戊心兩平分之次依作垂線法於戊
心上自丙至丁作垂線得所求
有圜求六平分之章第六一法
凡曆家分周天度多用六數或十二或二十
四今詳其法如有一圜求作六分不用他法
惟以畫圜之元規周圜界六步則自然分爲
甲乙丙丁戊己六平分矣
有圜求十二平分之章第七一法
先以本卷五章法四平分於甲乙丙丁次以畫圜元規
從甲從乙上下各指一點又從丙從丁左右
各指一點則得所求若欲二十四分每分爲
兩則得所求矣
有圜求三百六十平分之章第八一法
凡曆家所用細分周天度以三百
六十爲率今詳其法
如有甲乙丙圜先依前法四平分
之爲四象限次以規元度依前法
十二平分爲十二宮就以所分十
二宮各三分之各包十度次每十
兩平分之各包五次每宮又五平分之各包六今用六
度之規至終不改從子宮初一度步起完一周又次從
初五度初十度十五度二十度二十五度各步完一周
則平分三百六十分矣
有圜之分任截幾度章第九一法
如有甲乙圜之一分欲取三十五度如
用常法必須先求圜分之心依後十一
章法成圜後均分三百六十乃取三百
六十之三十五分其法頗繁今有簡妙
法先備一銅板分一子丑寅象限爲九十分合極準設
有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度
之分先從甲至圜心作甲丙半徑線如
與子丑寅象限半徑合則移彼度子卯
至甲乙線上至庚即得所求如大小不
合則以規取子丑寅半徑以丙爲心或甲乙內或外作
一圜分若丁戊圜在外則當引長甲丙線至丁取子丑
寅限三十五度以丁爲始移於丁戊圜上至己從丙心
過己作一直線截甲乙於庚則甲庚爲甲乙圜上三百
六十分之三十五也若所範銅板欲其用廣當從寅心
重重作圜與子丑平行又自子丑外圜逐度引直線至
寅心後所欲取圜分之度若其半徑與子寅不等或同
於他子丑內圜之半徑則可徑移其度於所分圜上不
爾仍用前法
有圜求尋其心章第十一法
如有甲乙丙丁圜欲求其心先於圜之兩界
任作一戊己直線次以平分線法作丙丁垂
線兩平分之於庚則庚爲圜心
有圜之分求成圜章第十一一法
如有甲乙丙圜分求成圜先於圜分任取三點於甲於
乙於丙從甲至丙丙至乙各作一直線各兩平分於丁
於戊次於丁戊上各作垂線相交處爲己末
以己爲心以圜爲界旋轉即得所求
任設三點不在一直線求作一過三點之圜章第十
二法有二
第一法
如有甲乙丙三點求作一圜貫之先以甲爲心任取一
度向乙上下各作小圜分又以乙爲心向甲
仍用元度上下各作小圜分相交處爲丁爲
戊次又以甲爲心向丙上下作小圜分如前
次以丙爲心亦如之相交處爲己爲庚次從丁至戊從
己至庚各作直線相交處爲辛末以辛爲心任取一點
爲界旋規成圜即得所求
第二法
先以三點作三直線相聯成甲乙丙三角形
次平分兩線於丁於戊次於丁戊上各作垂
線合相遇於己末以己爲心甲爲界作圜即
得所求
有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之
徑線章第十三一法
如有甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其
丁線不大於圜之徑線徑爲圜內之最大線
更大不可合先作甲乙圜徑爲乙丙若乙丙
與丁等者即是合線若丁小於徑者即於乙丙上截取
乙戊與丁等次以乙爲心戊爲界作甲戊圜交甲乙丙
圜於甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等
則與丁等
三角形求作形外切圜章第十四一法
甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邊於
丁於戊次於丁戊上各作垂線爲己丁己戊
而相遇於己末以己爲心甲爲界作圜必切甲乙丙而
爲三角形之形外切圜
三角形求作形內切圜章第十五一法
甲乙丙角形求作形內切圜先以甲乙丙角
甲丙乙角各兩平分之作乙丁丙丁兩直線
相遇於丁次自丁至角形之三邊各作垂線
爲丁己丁庚丁戊末以丁爲心戊爲界作圜即過庚己
爲戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邊於戊於
己於庚此爲形內切圜
有圜求作圜內三角切形與所設三角形等角章第
十六
甲乙丙圜求作圜內三角切形其三角與所
設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜
於甲次作庚甲乙角與設形之己角等次作
辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即
圜內三角切形與所設丁戊己形等角
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章第
十七
甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己
形之三角各等先於戊己邊各引長之爲庚辛次於圜
界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊
庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末於甲
乙丙上作癸子子丑丑癸三垂線此三線
各切圜於甲於乙於丙而相遇於子於丑
於癸若作甲丙線即癸甲丙癸丙甲兩角小於兩直角而子癸丑癸兩線必相
遇餘倣此此癸子丑三角與所設丁戊己三角各等
有圜求作內切圜直角方形章第十八
有甲乙丙丁圜求作內切圜直角方形先作
甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次作甲
乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁爲內切
圜直角方形
有圜求作外切圜直角方形章第十九法有二
第一法
甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先
作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次於
甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線爲兩
徑末界之垂線而相遇於己於辛於壬於庚即己庚壬
辛爲外形
第二法
以戊甲爲度依平行線法作己庚辛壬上下兩線與乙
丁平行次用元度作己辛庚壬左右兩線與甲丙平行
即得所求同前圖
有直角方形求作形內切圜章第二十
甲乙丙丁直角方形求作形內切圜先以四
邊各兩平分於戊於己於庚於辛而作辛己
戊庚兩線相交於壬末以壬爲心戊爲界作
圜必過戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邊是爲
形內切圜
有直角方形求作形外切圜章第二十一
甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線爲甲
丙乙丁而交於戊末以戊爲心甲爲界作圜
必過乙丙丁甲而爲形外切圜
有圜求作圜內五邊切形其形等邊等角章第二十
二
如有甲乙丙丁戊圜求作五邊內切圜形等
邊等角先作己庚辛兩邊等角形而庚辛兩
角各倍大於己角次於圜內作甲丙丁角形
與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙
兩角各兩平分作丙戊丁乙兩線末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即甲乙丙丁戊爲五邊
內切圜形而五邊五角俱自相等
有一圜求作內切圜五邊及十邊形章二十三
如有甲乙丙圜心爲丁先作甲丙過心線次
作乙丁垂線次平分丁丙線於戊作乙戊線
次取戊乙度移於徑線爲戊己次作乙己直
線蓋乙己爲甲乙丙圜五分之一以此爲度可作內切
圜五邊形丁己度可作內切圜十邊形
有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角章第二十
四
甲乙丙丁戊圜求作五邊外切圜形等邊等
角先依前章法作圜內甲乙丙丁戊五邊等
邊等角切形次乃從己心作己甲己乙己丙
己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子
庚五垂線相遇於庚於辛於壬於癸於子五垂線既切
圜即成外切圜五邊形而等邊等角
五邊等邊等角形求作形內切圜章第二十五
甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作內切圜
先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線爲
己甲己乙而相遇於己自己作己丙己丁己
戊三線次從己向各邊作己庚己辛己壬己癸己子五
垂線末作圜以己爲心庚爲界必過辛壬癸子庚而爲
甲乙丙丁戊五邊形之內切圜
五邊等邊等角形求作形外切圜章第二十六
甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作外切圜
先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線爲
己甲己乙而相遇於己次從己作己丙己丁
己戊三線與己甲己乙俱等末以己爲心甲爲界作圜
必過乙丙丁戊甲即得所求
求作圜內六邊切形其形等邊等角章二十七
如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊內
切圜形等邊等角先作甲丁徑線次以丁爲
心庚爲界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚
心作丙庚戊庚兩線各引長之爲丙己戊乙末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯即得所求
求作圜內十五邊切形其形等邊等角章第二十八
如有甲乙丙圜求作十五邊內切圜形等邊
等角先作甲乙丙內切圜平邊三角形即各
邊當圜十五分之五次從甲作甲戊己庚辛
內切圜五邊形等角各邊當圜十五分之三而戊乙得
十五分之二次以戊乙圜分取乙己度兩平分於壬則
壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合
圜線即得所求以此爲例推用遞分可作無量數形
圜內有同心圜求作一多邊形切大圜不至小圜其
多邊爲偶數而等章第二十九
如有甲乙丙丁戊兩圜同以己爲心求於甲
乙丙大圜內作多邊切形不至戊丁小圜其
多邊爲偶數而等先從己心作甲丙徑線截
丁戊圜於戊也次從戊作庚辛爲甲戊之垂線即庚辛
線切丁戊圜於戊也次以甲丙兩平分於乙乙丙兩平
分於壬以壬丙兩平分校：清刊本以下闕頁於癸則丙癸圜分必
小於丙庚而作丙癸合圜線即丙癸爲所求切圜形之
一邊也次以癸丙爲度遞分一圜各作合圜線得所求
形