崇禎曆書卷之一百五十九 開方簡法
校:非各刊本所有據日抄島根本校錄朱㿥或曆局人或有抄本流出而此卷所以可爲其推算者
或實因此也
開方簡法目
開方簡法說
乘位鈐
開方積數
起商表尾位定數附
二商立方表用法
二商立方十下除零表
三商立方表用法
三商立方百下除十表
三商立方百〇下除零表
三商立方百十下除零表
四商立方表用法
四商立方千下除百表
四商立方千〇下除十表
四商立方千百下除十表
四商立方千百十下除零表說
開方立成表用法
開方立成表
開方簡法
後學朱㿥素臣父補遺
開方一法載在籌算帙中標解明備領會不難平方有
廉有隅以法遞減即得無煩併積故亦無煩置表惟是
立方有平廉有長廉有隅三商得九位積至億萬四商
得十二位積至千億萬爲數紛賾未易分柝即以廉隅
併算得積猶未知其首尾是何大數尾位是何小數一
位淆訛萬億舛錯因立簡法且爲置表如左首明末位
如十與十乘得百百與百乘得萬以至萬與萬乘得億
萬萬與億萬乘得兆萬則大小之數不致混淆次明方
積如某數起十某數起百以至某數起億萬某數起兆
萬則初商之根便有定據又次明起商如二商起千至
七十二萬九千三商起百萬至七億二千九百萬以至
四商起十億至七千二百九十億則初商方積易千扣
除此其首務也後列二商十下除零表三商百下除十
表三商百十下除零表四商千下除百表四商千百下
除十表其不置四商千百十下除零表者以條頁繁多
不便成帙且餘尾數小本易商除耳後更附開方成表
平方立方次第并列方根平立俱起一至九百九十九
方積平方起一至九十九萬八千〇〇一立方起一至
九億九千七百〇〇萬二千九百九十九舉方積之全
數即得方根之若干校:若干原作若千今改舉方根之若干即得
方積之全數亦自三商而止未及四商者數至億萬以
上且及兆萬不便成帙總俟學者引而伸之可耳得此
簡法按表檢算雖至無量大數皆可由是遞推更可省
列籌布算之煩矣至三乘方四乘方以至十乘方二十
乘方及帶縱雜和諸方種種開法具載同文算指第
卷中一覽了然兹不具贅
乘位鈐言如得言十得言百得言千得
單乘單單位十位百位千位
十十位百位千位萬位
百十乘十百位千位萬位十萬
千百千位萬位十萬百萬
萬千百乘百萬位十萬百萬千萬
十萬萬千十萬百萬千萬億萬
百萬十萬萬千乘千百萬千萬億萬十億
千萬百萬十萬萬千萬億萬十億百億
億萬千萬百萬十萬萬乘萬億萬十億百億千億
立方積數
十百千萬
三起五起十起二十二起
十萬百萬千萬億萬
四十七起一百起二百一十六起四百六十五起
十億萬百億萬千億萬兆億
一千起二千一百五十起四千六百四十二起一萬起
平方積數
十百千萬
四起十起三十二起一百起
十萬百萬千萬億萬
三百十七起一千起三千一百六十三起一萬起
二商起十立方平方三商起百立方平方
編按:原書此處爲立成表(數表),暫未收錄
四商起千立方平方五商起萬立方平方
編按:原書此處爲立成表(數表),暫未收錄
〇凡四商立方根尾位是十億萬次商平廉尾位是億萬長廉尾位是千萬隅尾位是
百萬三商平廉尾位是十萬長廉尾位是萬隅尾位是千四商平廉尾位是百長廉尾位是十
隅尾位零
〇凡三商立方根尾位是百萬次商平廉尾位是十萬長廉尾位是萬隅尾位是千
三商平廉尾位是百長廉尾位是十隅尾位是零
〇凡二商立方根尾位是千次商平廉尾位是百長廉尾位是千隅尾位是零
〇凡四商平方根尾位是百萬次商廉尾位是十萬隅尾位是萬三商廉尾
位是千隅尾位是百四商廉尾位是十隅尾位是零
〇凡三商平方根尾位是萬次商廉尾位是千隅尾位是百三商廉尾位十隅尾
位零
〇凡二商平方根尾位是百次商廉尾位是十隅尾位是零
以上俱以尾位定數如位數加多俱從尾位數升
之
二商立方表用法
假如積實九十七萬〇二百九十九查積數四十七起
十萬則知方根爲四十七以上也以九十商除之減去
方根七十二萬九千存二十四萬一千二百九十九次
從九格橫列數商之至九行得平廉二十一萬八千七
百長廉二萬一千八百七十立隅七百二十九并得二
十四萬一千二百九十九以減存積恰盡共開得九十
九餘倣此
二商立方十下除零表校:底本錯訛較多部分數值據天理本加驗算校正不再出注
一十二十三十四十五十六十七十六十九十
隅一千八千隅二萬七千六萬四千一十二萬二十一萬三十四萬五十一萬七十二萬
五千六千三千二千九千
平三百廉一千二百二千七百四千八百七千五百一萬〇八一萬四千一萬九千二萬四千百七百二百三百
一長三十六十九十一一百二十一百五十一百八十二百一十二百四十二百七十
二
平六百廉二千四百五千四百九千六百一萬五千二萬一千二萬九千三萬八千四萬八千六百四百四百六百
二長一百二十二百四十三百六十四百八十六百八七百二十八百四十九百六十一千〇八
廉十
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三商立方表用法
假如積實九億九千七百〇〇萬二千九百九十九查
積數四百六十五起億萬則知方根爲一千以下也以
九百商除之減去方積七億二千九百萬餘二億六千
八百〇〇萬二千九百九十九次以百下除十表九百
格橫列數商之至九十得平廉二億一千八百七十萬
長廉二千一百八十七萬隅七十二萬九千併得二億
四千一百二十九萬以減餘實尚餘二千六百七十〇
萬三千九百九十九再以百十下除零表九百九十格
橫列數商之至九得平廉二千六百四十六萬二千七
百長廉二十四萬〇五百七十隅七百二十九併得二
千六百七十〇萬三千九百九十九以減餘實恰盡共
開得九百九十九餘倣此
三商立方百下除十表
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百萬八百萬二千七百六千四百一億二千二億一千三億四千五億一千七億二千
萬萬五百萬六百萬三百萬二百萬九百萬
平三十萬一百二十二百七十四百八十七百五十一千〇八一千四百一千九百二千四百廉萬萬萬萬十萬七十萬二十萬三十萬一一
十長三萬六萬九萬一十二萬一十五萬一十八萬二十一萬二十四萬二十七萬千
廉
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五萬二
十萬七十五萬一百五十二百二十三百萬三百七十四百五十五百二十六百萬六百七十長五
廉萬五萬五萬萬五萬五萬千
一百八十七百二十一千六百二千八百四千五百六千四百八千八百一億一千一億四千二平萬萬二十萬八十萬萬八十萬二十萬五百二十五百八十十廉
六萬萬一
十萬一百〇八二百一十三百二十四百三十五百四十六百四十七百五十八百六十九百七十長六
萬廉六萬四萬二萬萬八萬六萬四萬二萬千
二百一十八百四十一千八百三千三百五千二百七千五百一億〇二一億三千一億七千三平萬萬九十萬六十萬五十萬六十萬百九十萬四百四十〇一十萬十廉
七萬四
十一百四十二百九十四百四十五百八十七百三十八百八十一千〇二一千一百一千三百萬長七萬四萬一萬八萬五萬二萬十九萬七十六萬二十三萬三廉千
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百萬八百萬二千七百六千四百一億二千二億一千三億四千五億一千七億二千
萬萬五百萬六百萬三百萬二百萬九百萬
二百四十九百六十二千一百三千八百六千萬八千六百一億一千一億五千一億九千平五
萬廉萬六十萬四十萬五十萬七百六十三百六十四百四十十萬萬萬
八一
十一百九十三百八十五百七十七百六十九百六十一千一百一千三百一千五百一千七百萬長二萬四萬六萬八萬萬五十二萬四十四萬三十六萬二十八萬二廉千
二百七十一千〇八二千四百四千三百六千七百九千七百一億三千一億七千二億一千平七
萬廉十萬三十萬二十萬五十萬二十萬二百三十二百八十八百七十十萬萬萬
九二
十二百四十四百八十七百二十九百七十一千二百一千四百一千七百一千九百二千一百萬長三萬六萬九萬二萬一十五萬五十八萬〇一萬四十四萬八十七萬九廉千
三商立方百〇下除零表
一百二百三百四百五百六百七百八百九百
根隅一百萬八百萬二千七百六千四百一億二千二億一千三億四千五億一千七億二千
萬萬五百萬六百萬三百萬二百萬九百萬
平三萬廉一十二萬二十七萬四十八萬七十五萬一百〇八一百四十一百九十二百四十萬七萬二萬三萬
一長三百六百九百一一千二百一千五百一千八百二千一百二千四百二千七百
二
平六萬廉二十四萬五十四萬九十六萬一百五十二百一十二百九十三百八十四百八十萬六萬四萬四萬六萬
二長一千二百二千四百三千六百四千八百六千八七千二百八千四百九千六百一萬〇八
廉百
平九萬廉三十六萬八十一萬一百四十二百二十三百二十四百四十五百七十七百二十四萬五萬四萬一萬六萬九萬二
三十長二千七百五千四百八千一百一萬〇八一萬三千一萬六千一萬八千二萬一千二萬四千七
廉百五百二百九百六百三百
平一十二萬四十八萬一百〇八一百九十三百萬四百三十五百八十七百六十九百七十六
廉四萬二萬二萬八萬八萬二萬十
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萬萬五百萬六百萬三百萬二百萬九百萬
二十四萬九十六萬二百一十三百八十六百萬八百六十一千一百一千五百一千九百平
廉六萬四萬四萬七十六萬三十六萬四十四萬五
百
八一一萬九千三萬八千五萬七千七萬六千九萬六千一十一萬一十三萬一十五萬一十七萬十長
二百廉四百六百八百五千二百四千四百三千六百二千八百二
二十七萬一百〇八二百四十四百三十六百七十九百七十一千三百一千七百二千一百平萬三萬二萬五萬二萬二十三萬二十八萬八十七萬七廉
百
九二二萬四千四萬八千七萬二千九萬七千一十二萬一十四萬一十七萬一十九萬二十一萬十長
三百廉六百九百二百一千五百五千八百〇一百四千四百八千七百九
三商立方百十下除零表
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廉五
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五
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五
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五
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五
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四商立方表用法
假如積實九千九百九十七億〇〇〇二萬九千九百
九十九查積實數四千六百四十二起千億則知方根
爲四千六百四十二以上一萬以下也以九千商除之
減去方積七千二百九十億餘積二千七百〇七億〇
〇〇二萬九千九百九十九次以千下除百表九千格
橫列數商之至九百得平廉二千一百八十七億長廉
二百一十八億七千萬立隅七億二千九百萬併得二
千四百一十二億九千九百萬以減餘實尚餘二百九
十四億〇一百〇二萬九千九百九十九再以千百下
除十表九千九百格橫列數商之至九十得平廉二百
六十四億六千二百七十萬長廉二億四千〇五十七
萬立隅七十二萬九千併得二百六十七億〇三百九
十九萬九千以減餘實仍餘二十六億九千七百〇三
萬〇九百九十九再以千百十下除零表九千九百九
十格橫列數商之至九得平廉二十六億九千四百六
十〇萬二千七百長廉二百〇四十二萬七千五百七
十立隅七百二十九併得二十六億九千七百〇三萬
〇九百九十九以減餘實恰盡總四商開得九千九百
九十九以此九九九九自乘再乘即得積實全數如前
爲還原無差餘皆倣此
四商立方千下除百表
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十億八十億二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
億億五十億六十億三十億二十億九十億
平三億一十二億二十七億四十八億七十五億一百〇八一百四十一百九十二百四十一
廉一億七億二億三億百
萬長三千萬六千萬九千萬一億二千一億五千一億八千二億一千二億四千二億七千萬廉萬萬萬萬萬萬
平六億二十四億五十四億九十六億一百五十二百一十二百九十三百八十四百八十八
廉二億六億四億四億六億百
萬長一億二千二億四千三億六千四億八千六億廉萬萬萬萬七億二千八億四千九億六千一十億八萬萬萬萬千萬
九億平三十六億八十一億一百四十二百二十三百二十四百四十五百七十七百二十二
廉四億五億四億一億六億九億千
三七百二億七千五億四千八億一千一十億八一十三億一十六億一十八億二十一億二十四億長百
萬廉萬萬千萬五千萬二千萬九千萬六千萬三千萬萬
平一十二億四十八億一百〇八一百九十三百億四百三十五百八十七百六十九百七十六千四廉億二億二億八億八億二億
四百萬長四億八千九億六千一十四億一十九億二十四億二十八億三十三億三十八億四十三億萬廉萬萬四千萬二千萬八千萬六千萬四千萬二千萬
一十五億六十億一百三十二百四十三百七十五百四十七百三十九百六十一千二百平一億五億億五億億五億億一十五億
一億二千
百七億五千一十五億二十二億三十億三十七億四十五億五十二億六十億六十七億五百長萬五千萬五千萬五千萬五千萬萬廉
一十八億七十二億一百六十二百八十四百五十六百四十八百八十一千一百一千四百平二億二億八億億八億二億五十二億五十八億二
億一千
百一十億八二十一億三十二億四十三億五十四億六十四億七十五億八十六億九十七億六百長千萬六千萬四千萬二千萬八千萬六千萬四千萬二千萬萬廉
平二十一億八十四億一百八十三百三十五百二十七百五十一千〇二一千三百一千七百三億
廉七九億六億五億六億十九億四十四億〇一億四千
一十四億二十九億四十四億五十八億七十三億八十八億一百〇二一百一十一百三十百長三百七千萬四千萬一千萬八千萬五千萬二千萬億九千萬七億六千二億三千萬
廉萬萬
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十億八十億二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
億億五十億六十億三十億二十億九十億
二十四億九十六億二百一十三百八十六百億八百六十一千一百一千五百一千九百平六億四億四億七十六億三十六億四十四億五億廉
八一千
百一十九億三十八億五十七億七十六億九十六億一百一十一百三十一百五十一百七十二百長二千萬四千萬六千萬八千萬五億二千四億四千三億六千二億八千萬廉
萬萬萬萬
二十七億一百〇八二百四十四百三十六百七十九百七十一千三百一千七百二千一百平億三億二億五億二億二十三億二十八億八十七億七億廉
九二千
百二十四億四十八億七十二億九十七億一百二十一百四十一百七十一百九十二百一十九百長三千萬六千萬九千萬二千萬一億五千五億八千億一千萬四億四千八億七千萬廉
萬萬萬萬
四商立方千〇下除十表
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十億八十億二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
億億五十億六十億三十億二十億九十億
平三千萬一億二千二億七千四億八千七億五千一十億八一十四億一十九億二十四億
廉一萬萬萬萬千萬七千萬二千萬三千萬一
千長三十萬六十萬九十萬一百二十一百五十一百八十二百一十二百四十二百七十千廉萬萬萬萬萬萬
平六千萬二億四千五億四千九億六千一十五億二十一億二十九億三十八億四十八億
廉二萬萬萬六千萬四千萬四千萬六千萬八
千長一百二十二百四十三百六十四百八十六百萬七百二十八百四十九百六十一千〇八千廉萬萬萬萬萬萬萬十萬
平九千萬三億六千八億一千一十四億二十二億三十二億四十四億五十七億七十二億二
廉三萬萬四千萬五千萬四千萬一千萬六千萬九千萬萬
十長二百七十五百四十八百一十一千〇八一千三百一千六百一千八百二千一百二千四百七廉萬萬萬十萬五十萬二十萬九十萬六十萬三十萬千
一億二千四億八千一十億八一十九億三十億四十三億五十八億七十六億九十七億平萬萬千萬二千萬二千萬八千萬八千萬二千萬廉
四六萬
十四百八十九百六十一千四百一千九百二千四百二千八百三千三百三千八百四千三百四千長萬萬四十萬二十萬萬八十萬六十萬四十萬二十萬廉
一億五千六億平一十三億二十四億三十七億五十四億七十三億九十六億一百二十
萬廉五千萬五千萬五千萬一億五千萬一十
五二萬十七百五十一千五百二千二百三千萬三千七百四千五百五千二百六千萬六千七百五千長
萬廉萬五十萬六十萬萬五十萬五十萬
一億八千七億二千一十六億二十八億四十五億六十四億八十八億一百一十一百四十平
萬廉萬二千萬八千萬八千萬二千萬五億二千五億八千萬萬二十
六一萬十一千〇八二千一百三千二百四千三百五千四百六千四百七千五百八千六百九千七百六千長
十萬廉六十萬四十萬二十萬萬八十萬六十萬四十萬二十萬
一千二千三千四千五千六千七千八千九千
根隅一十億八十億二百七十六百四十一千二百二千一百三千四百五千一百七千二百
億億五十億六十億三十億二十億九十億
二億一千八億四千一十八億三十三億五十二億七十五億一百〇二一百三十一百七十平萬萬九千萬六千萬五千萬六千萬億九千萬四億四千億一千萬廉
七萬三十四萬
十一千四百二千九百四千四百五千八百七千三百八千八百一億〇二一億一千一億三千三千長七十萬四十萬一十萬八十萬五十萬二十萬百九十萬七百六十二百三十廉
萬萬
二億四千九億六千二十一億三十八億六十億八十六億一百一十一百五十一百九十平萬萬六千萬四千萬四千萬七億六千三億六千四億四千廉
八萬萬萬五十一萬
十一千九百三千八百五千七百七千六百九千六百一億一千一億三千一億五千一億七千二千長二十萬四十萬六十萬八十萬萬五百二十四百四十三百六十二百八十廉
萬萬萬萬
二億七千一十億八二十四億四十三億六十七億九十七億一百三十一百七十二百一十平
萬廉千萬三千萬二千萬五千萬二千萬二億三千二億八千八億七千七十萬萬萬
九二萬十二千四百四千八百七千二百九千七百一億二千一億四千一億七千一億九千二億一千長九千
三十萬六十萬九十萬二十萬一百五十五百八十〇一十萬四百四十八百七十廉萬萬萬萬
四商立方千百下除十表
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五十萬萬五十萬萬五十萬萬十萬萬五十萬
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八十萬一萬
長一億一千七一億一千九一億二千〇一億二千二一億二千四一億二千六一億二千八一億三千〇一億三千二二千廉百一十二萬百〇四萬九十六萬百八十八萬百八十萬百七十二萬百六十四萬五十六萬百四十八萬
一百億四千六一百〇三億七一百〇七億一一百一十億五一百一十四億一百一十七億一百二十一億一百二十四億一百二十八億平百七百一千八百八十萬千六百三十萬千九百二十萬〇七百五十萬六千一百二十二千〇三十萬八千四百八十五千四百七十萬七十
九十萬萬萬二萬
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萬十萬十萬五十萬萬五十萬
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四商立方千百下十除零說
四商立方零數浩賾難窮雖不置表然以法減除本自
易易蓋二商三商須留四商餘地不盡除實故命商之
數未免游移不决若三商既得止此零尾一除恰盡何
煩轉展多商但視餘實尾位是何數便知立隅尾數是
何格如得一是一格一格是一故得二是八格八格是五百一十二故
得三是七格七格是三百四十三故得四是四格四格是六十四故餘倣
此即以此格定商次以三商所得數自乘三倍之又以
本格數乘之得平廉次以三商所得數三倍之又以本
格自乘數乘之得長廉併立隅得數若干除實恰盡假
如前四商積實九千九百九十七億〇〇〇二萬九千
九百九十九三次商除既得方根九千九百九十餘實
二十六億九千七百〇三萬〇九百九十九視尾位是
九知爲七百二十九是九格即以九定商次以三商所
得數九九九自乘三倍之得二九九四〇〇三又以九
乘之得二十六億九千四百六十〇萬二千七百爲平
廉次以九九九三倍之得二九九七又以九自乘數八
十一乘之得二百四十二萬七千五百七十爲長廉併
前立隅七百二十九共得二十六億九千七百〇三萬
〇九百九十九以減餘實恰盡總四商開得九千九百
九十九餘皆倣此或有奇零不盡則尾位難齊更須視
首二三位爲數幾何以意商除商得之餘尚有不盡以
法命分可耳愚按曆書總目載有開方簡法卷帙殘闕
原書不復可得因爲竊取遺意推衍補入由繁得簡法
法具備即以印證西士知可百世不惑矣歲在玄黓閹
茂日躔井十六度古吳苼菴道人朱㿥識于葑溪西里
詒遠堂
開方立成表用法
此立成表即自乘再乘之積實也上格橫列爲方根及
次商百十成數漸下則自一至九末商零數始于一終
于九百九十九不及四開者數踰十億萬大畧已備遇
此則漸及兆萬浩賾難窮不便作表矣其每格各分二
行上行爲平方積下行爲立方積列實自右而左凡遇
開方不煩列籌布算但一檢表舉積實之全數即得方
根之若干舉方根之若干即得積實之全數至簡至易
無過于此然學者從事推算貴有心得必須熟知廉隅
加倍之故運用無差若未經探討漫趋捷徑則是日用
不知反失置表之意矣
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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方平立平立平立平立平立平立平立平立平立平立根方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方積實
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