崇禎曆書卷之四十一 測量全義卷四
法原部校：法圖本存雙署名葉版式與比皇圖本奎章閣本均異又誤作湯若望爲湯如望顯然錯版
以用奎章閣本校錄
測量全義第四卷 四五兩卷之首 測面上
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
庠 生 衛斗樞脩 潤
訪 舉 祝懋元等 算
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部測量全義第四卷四五兩卷之首測面上
明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
衛斗樞 周士萃
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人祝懋元 劉有慶 受法 湯若望訂
孫嗣烈左允和
界說校：清刊本此前有測量全義四卷標題
第一界
面者有長有廣
第二界
平面者一面平
第三界
曲面者一面曲
無界者如球卵之面有界者如窑橋之面
第四界
一界之面
一曲線內之形如圓形在圈
界之內凡有三一平圓從心
至界各線俱等一橢圓如圓
柱而斜剡之得兩面焉一無法曲線如桃梨之面
第五界
二界之面
如兩弧或無法之曲線或一直線
一曲線而形之有法與否則視曲
線
第六界
三界之面
三邊或直或曲以曲線爲邊者先定曲線之有法與
否面因之量與二界同法以直線爲本
如丙丁戊曲邊形從丙角至丁作丙丁直
線成丙乙丁兩角襍形從丙至戊從戊至
丁亦如之細分元形各依法量之用所得
或加或減以得其容凡三邊形或俱等或
俱不等或兩邊等或有直角或無直角皆
有法之形也
第七界
四界之面
方面有五邊角俱等者正方也角等邊不等者長方
也邊等角不等者斜方也各對角對邊等者長斜方
也邊角俱不等者無法之
方也首兩種之外皆屬無
法蓋有設邊無設角或大
或小容積因之異焉欲求其容須定角之度或中長
線也
第八界
五以上多界之面
邊角俱等者有法之形也或邊或角
不等者皆無法之形也
第九界
定度者求兩物之比例
凡量度萬形先定一有幾何之度如三丈之物以一
丈之度量之謂之某物與定度爲三倍大則一丈之
度名曰公度因其能量之勢定各所量之物也凡量
高長廣遠皆屬線類則以線爲公度蓋比例之兩率
爲同類也故量線者先具一定線或一丈或一尺以
爲公度量面者先具一定面或方步或方丈邊等角
直以爲公度量線用直線以直線在萬線中爲最短
故量面用平面用正方以平面在萬面中爲最短正
方之理視萬形之理爲最準故量體亦定一度如一石斗爲六面體各面
等各角及邊等
第十界
量算
丈尺寸分滿十進位畝法步法則否二百四十方步
爲畝二十五方尺爲步一百方寸復爲尺也凡若干
步之積步約爲畝以二百四十方步而一若干尺之
積約爲步以二十五方尺而一若干寸之積約爲尺
以一百方寸而一約步約畝則遞以步法畝法除之
第十一界
中垂線
從形心至邊作直角者爲中垂線有法形之各中垂
線必等無法形各邊不等中垂線亦不等
第十二界
中長線
從形之一邊或一角至對邊作垂線是各邊上極遠
之線以得本形中之直角三邊形
第十三界
直線爲有法形之徑
直線形本無徑聊借圓形之徑名之然有法之形周
內周外可作全圈在外者形之各邊切圈周在內者
各用切圈周故圈之徑亦可謂容形之徑
測量全義第四卷 測面上
第一題
量四邊形其法有三
形之類有二有直線有曲線兹先解直線形若曲線
形後方詳之
公量爲方有法之方形二有正方四邊四
角俱等直角也以所設一邊自之得面之容
如正方田一段各邊四步自之其容爲十六方步有
長方以所設兩邊相乘得面之容如長方田一段縱
五横六相乘其容爲三十方步
若斜方具邊無角亦無法之類也有中長
線之數則以底數乘之得斜方之容若無
中長線之數而知一角之數則先以角求
中長線如乙丁斜方形有長濶若干有丁
角之數即從丙鈍角作丙甲垂線即中長線則
丙丁甲直角形有丙丁邊丁角依法求丙
甲得數以乘乙丙得元形之容
若等邊斜方形作兩對角線分元
形爲四句股形兩對角線之交爲
直法法以兩對角線相乘二而一
四邊形有上下不等而在平行線內者名梯田舊法
并兩廣半之以中長線乘之 論曰戊己
丁丙形從上廣之兩界己戊作己甲戊乙
兩垂線即中長線中成長方形旁有兩句股形
次引戊己廣至庚得庚己與乙丙等成己
庚丁句股形與丙乙戊形等則庚乙方形與梯田形
等丙乙甲丁爲兩廣之較半之者損下廣以益上廣
也兹舊法所自出也
凡斜田箕田諸法俱同前兩腰之等與不等角之等
與不等俱以平行線爲本若不知中長線
而知斜邊或一角者如下文
知斜邊如丁己先分形成甲丁己直角形
有甲丁爲兩廣之半較有己丁弦法以兩
數自之相減開方得己甲中長線
知角者如己甲丁形有甲丁邊有丁角或己角求己
甲即全數與丁角之切線若丁甲邊與己甲邊
舊法曰一面長乘中濶得形之容駁曰中廣必垂線
乃准垂線而外皆斜線必長于
中長線况斜邊乎今設兩形之
同邊異積如上圖其理易見
二不等田東長三十六西長三十北廣二十五無南
廣問田舊法并兩長折半乘北廣
駁曰若北兩皆直角者即梯田之類也否
則從何定南廣之度乎
舊法四不等田北四十二南五十六東六十四西五
十八并東西兩邊半之并南北兩邊亦半
之兩半相乘得二九八九步爲其容
駁曰若甲爲直角試作乙丁對直角線成
甲乙丁句股形有句股以求弦爲七十六
又一五三之九四其積爲一三四四又以乙丙丁形
之三邊求其容得一五三七此法見後第三題并兩形積得
二八七一知法爲未合也
論曰兩廣或兩長在平行線內者并而折半損有餘
補不足改爲方形也以中長線乘之則得其容若四
不等無法形也損此益彼一不能爲方一不能爲中
長線何緣得合乎
第二題
量三邊形
乙丙丁三邊形有邊數無角數求實其法并
三邊數半之爲實以每邊之數爲法各減之
三較連乘得數以半總數乘之爲實平方開
之得實
如三邊爲七爲十二爲九并得二十八半之爲一十
四減七較七減十二較二減九較五三較連乘得七
十以半總十四乘之得九百八十〇開方得三十一
又六十二之一十九不盡
又如三邊爲十三十八二十一并得五十二半之爲
二十六減十三較十三減十八較八減二十
一較五三較連乘得五百二十〇以半總數
二十六乘之得一萬三千六百二十〇開方
得一百一十六又二三二七之一六四不盡
解曰如圖乙丙丁斜角形先平分丙丁二角作丙戊
丁戊二線遇于戊從戊向各邊作垂線爲戊壬戊己
戊庚三線皆等戊壬丙戊己丙兩直角形同用戊丙邊兩丙角亦等形必等則戊己戊壬
亦等又壬戊丁丁戊庚兩直角形同用戊丁邊兩丁角亦等形
必等則壬戊戊庚亦等
次從乙作乙戊平分乙角乙戊
己乙戊庚兩直角形有己戊戊
庚兩邊等同用乙戊邊形必等
則兩乙角亦等依三角形推壬
丙與丙己己乙與乙庚庚丁與丁壬各等共六線三
等次于三相等邊各取一邊如乙己己丙壬丁合之
爲元形三邊并之半或丁庚庚乙壬丙或每相等兩形邊減一邊得三較亦元形三
邊并之半次乙丙邊引長之取丙辛與丁壬等乙丁邊引
長之取丁癸與己丙等則乙辛乙癸皆元形三邊并
之半亦三較之總數也次從辛從癸作兩垂線遇于
子乙戊引長之亦與辛子癸子遇于子乙癸子乙辛子兩直角形
之乙癸乙辛兩邊等兩乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等次截丙午與壬丁
等作午子線又截辛丑與壬丙等作丑子線即丑子
與丁子必等癸丁子辛丑子兩直角形之丁癸與辛丑等癸子與辛子等則其弦丁子丑子
必等又午丁子辛丑子兩形亦等丁子與丑子等丁午與辛丑等則午子與
辛子必等則午爲直角相似之辛角先已爲直角而丙辛子丙午子兩
直角形亦等又此兩形并成一斜方形而丙辛子午
四角內減午辛兩直角餘子丙兩角并爲兩直角凡四
邊形之四角并爲四直角又己丙壬壬丙辛兩角并亦等兩直角
而減共用之壬丙辛餘午子辛壬丙己兩角等其各
半角亦等即丙子辛己丙戊兩角即己丙戊辛子丙兩直角形
相似己辛等爲直角己丙戊辛子丙兩角又等即其對邊相似而戊己小句一率與己
丙小股二率若丙辛大句三率與辛子大股四率次以線變爲數乙丙
三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有奇
今約用成數令直截易算也則戊己十二與己丙十八若丙辛三
十二與辛子四十八也
又以第一率乘第四以第二率乘第三得數必等則
戊己辛子之矩內實己丙丙辛之矩內實各五七六通用
可也又戊己小句一率與辛
子大句二率若乙己小股三率與
乙辛大股四率而以第一自
乘又以乘第二其兩方
之比例亦若第三與第
四見幾何七卷十七題則戊己方
一四四與戊己十二辛子四八
矩五七六若戊己十二與辛子四八其比例皆四之一亦若乙己十七
與乙辛六八何者乙己戊乙辛子兩直角形同用己乙戊角則相似則乙己與己戊若乙辛與辛
子反之則乙己十七一率與乙辛六八二率若戊己方一四四三率
與戊己辛子矩五七六四率或與己丙丙辛矩又四率亦五七六也
一二與三四異類而爲比例者根與根若積與積也四與四異形而爲同比例者論積不論形也故先定
戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也
又四率法既云一乘四二乘
三兩矩積等今依法乘之即
得乙己根十七一率乘己丙丙辛
矩五七六第四率所得數九七九二與乙
辛根六八二率乘戊己方一四四第三率
所得數九七九二等次再以乙辛
乘之即得乙辛根第一率六十八二
邊總之半乘乙辛根六八偕戊己元形中垂線方一四四之矩實共九
七九二爲第二率所得數六六五八五六與乙辛根第三率六十八三邊總之半
乘乙己根十七偕己丙辛丙矩五七六乙己己丙辛丙者三差之各數也之
矩實共九七九二爲第四率所得
數六六五八五六等依此用三
較連相乘又以半總乘
之得數爲實開平方得
元形之積此用前所得
數本法也或用元形中
垂線自乘以乘半總又
以半總乘之得數爲實開平方亦得元形之積此用
後所得數證法也
何謂中垂線自乘以乘半總又再乘而得積以句股
法解之如戊己丙句股形若以戊己句乘己
丙股得戊己丙形之倍積即己戊壬丙兩形
并之積兩形等故又乙戊己句股形以戊己
句乘乙己股得倍積即乙庚戊己兩形
并之積又以戊壬句乘壬丁股或戊己乘丙辛
得倍積即庚戊壬丁兩形并之積故戊
己乘乙辛得元形之積如此即
一乘可得何待他法然元法中無戊己也特以戊己
自乘又再乘乙辛而得積與三較連乘以乘半總之
元法所得大積等故以開方而得元形之積亦等則
知元法之不謬故謂垂線三乘爲證法也又論二法
之相合者算術中兩方相乘開方得兩
根相乘之數如圖戊己一二自乘爲戊子
方一四四以乘乙辛六八即戊寅爲戊丑長方
九七九二又以乘乙辛爲戊寅大方六六五八五六此前證法所
得數也若以乙辛六八自之得四六二四以戊己方一四四乘
之所謂兩方相乘也得六六五八五六開方各得八一六即
戊己根一二乙辛根六八相乘之數也若三較連乘又以
乘乙辛雖不成方形而連乘所得亦九七九二以乘
乙辛亦六六五八五六以開方亦得八一六故三較
連乘之元法無證以垂線三乘法爲證也
若直角三邊形以句股數相乘得數半之
爲形之容蓋方形與三角形同底同在平
行線內則方形之容倍于三邊形之容或
用半句乘股亦可一卷四十一
若三邊等形則有中長線者法與句股同爲本線分
元形爲兩直角形也無中長線者以法求之如乙丙
丁三邊等形從丁角作垂線至乙丙邊
平分元形爲二一卷二十六用句股法以乙
丁乙甲兩方相減餘爲甲丁方其根則
甲丁中長線也如設乙丙線一即乙甲
線爲二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一
相減餘四之三甲丁上方也開方得四之三之方根
何謂四之三之方根蓋四之三爲方之實可明而其根不可明算家謂之不發之根若方實百開其根爲
十則能發之根也既不能發即有別法以求之故摽之以號曰四之三之方根四之三方實也四之三之
方根根號也法見下文次以四之三乘甲乙四之一甲乙四之一與乙丙
一皆有能發之根爲同類故可以相乘若能發之根與不發之根爲異類不可相乘故別求同類者乘之
同類者則兩方數也算法根乘根得方開方得方之根方乘方得方方開方得根之方今于兩率各減其
根號獨用兩方相乘得數以分法開之得異類兩根相乘之容方積也詳見句股索隱得方方
根即根之方十六之三爲元形之容次用分法開之得九
十之三十九約之爲三十之十三元形之容也然不
能畢合以開方不盡故
系三十爲元形乙丙邊上方形十三爲
乙丙丁三邊形之容蓋兩形同底則其
比例爲三十與十三求分之母爲全數
全數者一也則一邊之方數亦一其根亦一
法曰三角形邊上方形與三邊形之容若三十與十
三則用一邊之方數乘十三以三十除之得三邊形
之容如各邊設十自之得一百以十三乘之得一三
〇〇以三十除之得四十三又三之一
元形之容也
又如各邊爲十其半五五自之得二十
五以減全邊方之一百餘七十五開方
得八又一百之六十六以五乘之得四
十三又十之三較前少差以開不盡故
公法先求形之中垂線以形之半周乘
之得形之容凡有法之形通用此
解曰設三邊等形從心向各邊作垂線又向各角作
線必分元形爲六直角形而等夫甲皆直角甲乙邊
俱等則其爲句股形亦各相等半句即甲乙之半乘股即甲
丙中垂線得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙
三次爲半句者六也乘甲丙故法曰形周之半乘中垂線得
形之容如設各邊十則甲乙爲五乙全角六十度則
甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一邊用
法求甲丙邊則全數與甲乙五若乙角三十度之切
線五七七二五與甲丙邊之數二八八六八五有奇
爲中垂線也各邊十共三十半之得十五以甲丙中
垂線二八八六八五乘之得四三三〇二七五若所
設各邊十爲一尺約之得其面四十二方尺又三十
方寸有奇如前法
試用本題第一法邊之總數爲三十半之爲十五減
邊之較各五五連自乘得一二五又以半總十五乘
之得一八七五開方得四三同前法
一系若三邊等形之邊爲全數如十百千等其中
長線及其容積皆不發之數十四卷十二
二系二邊等形先求中長線如三邊等形之法如
兩腰各五底六半之三自之得九以減腰五上方
二十五得十六開方得四中長線也餘與前
等
三系三邊不等形有一明角而求中長線則從一
隱角向對邊作垂線成句股形有角有弦
以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙丁
十二丁乙十五乙角二度二分從丁作丁
甲垂線成兩句股形其甲丁乙形有丁乙
邊乙角而求丁甲邊爲全數內與丁乙邊
十五外若乙角之正弦三七五一五內與甲丁邊
五六二七二五外約得五尺有奇以所得與底之
十二又四之一相乘得六八九三四約之得六十
八方尺有奇元形之容也凡先設先得者爲明所求爲隱邊角同下文倣
此
若俱隱角則用本書一卷六題法從大角至
底作垂線求兩任分底之各分若干既分元
形爲兩句股各有弦又求得句以求股若干
即元形之中長線
法曰丁乙丁丙兩小邊相并爲總相減得存存總
相乘爲實底數爲法而一數與底相減所餘半之
得相小邊之小半底甲丙用句股法乙丁乙甲各
自之相減開方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五
丁乙十七兩小邊并得三十二總也相減得二存
也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之
二以減底得二十一又三之一半之得十又三之
二甲丙也自之得一〇七又九之一乙丁邊自之
得二八九相減餘一八一又九之八開方得十三
又三十七之十三不盡中長線丁甲也乘半底十
二得一六二弱元形之積也試用本題一法三邊
并得五十六半之二十八各邊之減較爲四爲十
三爲十一連乘得五七二以半總乘之得一六〇
一六開方得一二六有奇不盡若有角求一邊或
有二角求二邊亦先求邊本書一卷十
五十六題
若形之邊爲斷幾何如圓果平積之
邊其法以邊數自之又加邊數半之
爲形之積假如各邊有三自之得九
加邊得十二半之得六形積也又如設邊五自之
得二十五加邊三十半之得十五積也見算
章遞加法
第三題
量多邊形
一解曰有法多邊形求其容必先分元形皆爲兩邊
等三角形故不論幾何邊俱同法
法曰多邊形從心至各角作線悉分爲兩邊等三角
形各形有邊數有角數求其中長線得各三角形之
容并之得元形之容
如八邊邊設十步從心至角作線輳心
成八角皆等凡輳心必四直角分三百
六十度八而一每角得四十五度乙丙
丁角形二邊等有丁丙底有丁乙丙角
則丁丙兩角并得一百三十五度半之得六十七度
又二之一爲乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲半元邊爲
五求甲乙垂線即全數內與丁甲五外若丁角之切線
二四一四二一內與甲乙邊一二〇七一〇五外約之得十二步有奇
以乘甲丁五步得六二三五五二五約六十步有奇
八之得四八八四二四〇〇約得四百八十八步有
奇爲元形之容
若有中長線如甲戊以其半乘半周所得與前等
又如十二邊有法形邊設十步以十二除三百六十
度得三十度爲丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度
從心作乙甲線至丁丙邊又甲乙丁角形有甲丁五
步有丁角七十五度求甲乙線即全數內與甲乙五外
若丁角之切線三七三二〇五內與甲乙八一八六六〇二五外約得
十八步有奇甲乙中垂線也次如前
或用正弦數法曰各邊爲本弧之弦即半
邊爲半弧之正弦而中垂線爲半弧之餘
弦以邊數除三百六十得設邊之弧邊數
及弧度各半之次用半弧度求其正弦及
餘弦末用三率法以半弧之正弦爲第一半邊數爲
第二餘弦數爲第三得第四爲正垂線即乙甲
如五邊等形邊設十二以五除三百六十得七十二
半之得三十六其正弦五八七七九爲一率內其餘
弦八〇九〇二爲三率內半邊六爲二率外得九又
九之一爲四率外即一邊上之垂線次以形周乘四
率得數半之爲形之積五邊形之周爲六十乘得五
四六又九之四爲五邊形之并積
多邊有法形之比例 多邊有法形之具三曰邊曰
周曰積形大小不等其比例等故有一形某具之比
例可得他形某具之比例
每形之邊爲一一虛數也丈尺寸分唯所設之
三邊形之周三積爲三十之十三
四邊形之周四積爲一
五邊之周五積爲一又一一七七五七〇六之八
四六九七一九約爲十一之八不盡
六邊形之周六積爲二又五百萬之二九九〇三
八一約爲五之三不足
七邊形之周七積爲三又八六七七六七四之五
五〇七二二一約爲八之一而盈
八邊形之周八積爲四又一九一三四一七之一
五八五一二七約爲十九之十六不足
九邊形之周九積爲六又六八四〇四〇二之一
二四三七五五約爲十七之三不盡
十邊形之周十積爲七又一二三六〇六八之八
五八〇八九約爲三之二不足
用法設他形之邊求積以其邊數自之以上所列同
類形之積數乘之若設他形之積求邊則上所列同
類形之積數除之所得之根設形之邊也
舊法三角形每面十四以六乘面得八十
四以七而一得十二爲實半面七爲法乘
之得八四積也試用前法分元形作兩句
股形各形有弦有句以求股而求積得八四又三十
之二十八幾爲八五非八四
論曰所以然者古法正六面七謂丙乙十四則丙甲
十二故七六相乘得四十二爲丙乙丁之實八十四
矣不知丙乙十四乙甲七各自之相減開方乃十二
有奇非十二也且七除又七乘安用之
舊法六角形每面十五以面數自之得二二五以三
乘之得六七五今用幾何四卷十五之系
六邊等形內有三角等邊形六用古法得
各形之積爲九十六又七之六六因之得
五九一又七之一非六七五
論曰所以然者十五自之爲二二五彼以爲此乙丙
邊乘得乙丙丁戊形之實也不知二二五者乙丙上
正方形之實此乙丙丁戊則斜方斜方與正方同邊
而異積也斜方之積必少于正方之積故實少而誤
以爲多
古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得
十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六
爲實面數自之得一九六爲法減之餘九六〇八角
形積也正法作圖每兩邊引長之遇于甲成正方形
其內有元八邊形又有甲乙丙四句股形
以丙乙元形邊十四爲弦求丙甲而句股
等法以弦十四自之得一九六半
之得九八開方爲九又十九之十七甲乙也甲乙甲
丁等合之加于乙丁元形之邊得三十二又十九之
十七爲甲甲正方之邊自之得一一四又三六一之
二二五正方之積也次求句股四形之積得一九六
弱以減正方積餘九四四有奇元八角形之積也古
法曰九六〇謬矣
論曰所以然者古法方五斜七不知方五則斜七有
奇不發之根也彼以甲乙等各句各股俱爲十則乙
丙邊與乙丙弦俱十四不知各率皆是而獨乙丙弦
非十四也故八角形之積實少而誤以爲多