崇禎曆書卷之四十二 測量全義卷五
法原部校：據法圖藏本校錄
測量全義第五卷 測面下
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
訪 舉 魏邦綸
鄔明著等 算
校：奎章閣本右行作
訪舉庠生鄔明著
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部測量全義第五卷測面下
明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
鄔明著 潘國祥
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人魏邦綸 賈良琦 受法 湯若望訂
孫嗣烈周士泰
圓面求積校：清刊本此前有測量全義五卷標題
凡圓面積與其半經線偕半周線作矩內直角形之
積等依此法則量圓形者以半徑乘半周而已古高
士亞奇默德作圜書內三題洞燭圓形之理今表而
出之爲元本焉
第一題
圓形之半徑偕其周作句股形其容與圓形之積等
解曰丙丁戊己圓形其心乙其半徑乙丙即以爲股
形之周爲句成午申酉句股形題言两形之容等
論曰設有言不等必云或大或小云圓形爲大句股
形小者索其較爲亥形即于圈內作丙丁己戊正方
形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直線形從心至八
角形之各邊作甲乙等中垂線試
於圓形內減其大半所餘又減其
大半末所餘以比較形亥必能爲
小矣十卷首題如先減丁丙己戊方形
次減丙癸己等三角形八末餘丙
庚丙癸等二角雜形八必小于亥
形也次作午未戌三邊形與丙庚
丁八角形等必小于午申酉三邊
形何者未午乙甲也小于圈半徑
乙庚先設午申酉三邊形及亥較
形始與圈等今午未戌三邊形及
八兩角雜形適與圈等夫午申酉
三角形大于午未戌三角形亥形
又大于八兩角雜形是合兩大形
即午申酉及亥較形與圈等者復謂合兩小
形即午未戌及八兩角雜形與圈等有是理乎
次論曰若言圈形爲小句股形大
者索其較爲亥形即于圈外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周線大于圓形之周線也內减其大半即元
圈又减其大半即卯辰子等四三角形也末餘丙卯庚庚辰丁等
三角雜形八必小于較形亥又作午申亢三角形與
丙卯辰八角形等兹形爲圈之外切必大于元圈而
午亢爲外形之周必大于午酉內圈之周先設圈及
亥形與午申酉三角形等今并圈及三角襍形八即丙
卯庚等八雜形也反大于午申酉三角形是圜偕八雜小形
而爲大者又偕亥大形而爲小可乎
第二題
凡圈周三倍圈徑有奇二支
此有二法其一云三倍又七十之十則朒其二云三
倍又七十一之十則盈先解其一曰甲乙戊丁圈戊
爲心甲戊乙戊爲两徑輳心作直角從甲作午子切
線從乙從丁作乙己丁壬線與乙戊等乙戊己角六
十度己戊甲角必三十度爲六邊形之半角也末從
心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊
壬既六十度則午子爲等形之邊
設甲午股一百五十三任設此數以便推算
午子或午戊弦必三百〇六各自
之股方得二萬三千四百〇九弦
方得九萬三千六百三十六相减
餘七萬〇二百二十七爲句方開
得二百六十五有奇爲戊甲句半
徑也則戊甲與甲午之比例爲二
六五有奇與一五三次平分午戊甲角作戊庚線任
分午甲于庚則午戊與戊甲若午庚與甲庚六卷三題合
之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚
更之戊午并戊甲而與午甲即午庚偕甲庚若戊甲與甲庚
先定戊午戊甲并得五七一有奇午甲爲一五三則
戊午并戊甲與甲午之比例若五七一與一五三若
設甲庚一五三則戊甲與甲庚之比例爲五七一與
一五三矣即以兩數自之并而開方得五九一又八
之一不盡爲庚戊線戊甲甲庚之弦則庚戊與甲庚之比例
若五九一又八之一不盡與一五三次平分庚戊甲
角作戊辛線則戊庚并戊甲一一六二又八之一與
庚甲一五三若戊甲與甲辛若設甲辛一五三則戊
甲爲一一六二又八之一有奇兩數各自之并而開
方得二七二又八之一爲辛戊線甲戊甲辛之弦則辛戊與
辛甲之比例若二七二又八之一與一五三次平分
辛戊甲角作戊寅線則辛戊并戊甲二三三四又四
之一與辛甲一五三若戊甲與甲
寅若設甲寅爲一五三則戊甲爲
二三三四又四之一有奇兩數各
自之并而開方得二三三九又四
之一有奇爲寅戊線戊甲甲寅之弦則寅戊與寅甲之比例
若二三三九又四之一有奇與一五三次平分寅戊
甲角作未戊線則寅戊并戊甲四六七三半有奇與
寅甲一五三若戊甲與甲未若設甲未爲一五三則
戊甲爲四六七三半有奇
論曰午戊子元角爲三等角形之一即一直角三之
二午戊甲其半則三之一庚戊甲其半則六之一辛
戊甲其半則十二之一寅戊甲其半則二十四之一
未戊甲其半則四十八之一復作甲戊申角與甲戊
未角等成未戊申角形其戊角爲直角二十四之一
而未申弧爲象限弧二十四之一于全周爲九十六
之一未甲申其切線也爲九十六邊形之一邊此邊
與圈全徑之比例若戊甲四六七三半與甲未一五
三末置九十六邊形之一邊爲一五三因周爲一四
六八八徑爲四六七三半有奇則九十六邊圈外形
之周與圈徑之比例爲一四六八八與四六七三半
約之爲三又七之一不足則徑爲
一九十六邊圈外周爲三又七之
一不足夫形在周之外尚不及三
又七之一况圈周乎
二解三倍又七十一之十而盈者
曰圈內作乙丙徑從丙作六邊形
之一邊丙甲與半徑戊丙等四卷十五
從乙作乙甲成乙甲丙形在半圈
之內則甲爲直角三卷三十一題設甲丙
句七百八十〇乙丙弦一千五百
六十〇兩數自之相减開方得一千三百五十一不
足爲乙甲股則乙甲與甲丙之比例爲一三五一與
七八〇次平分甲乙丙角作乙丁線又作丁丙線成
乙丁丙丙丁己兩直角形相似蓋同用丁直角在半
圈內甲丁丁丙兩所乘之弧等則丁丙己丁乙丙兩
弧之角必等三卷二十一夫兩形有兩角等者各腰俱相
似則乙丁大形之股與丁丙大形之句若丁丙小形之股與丁己小形
之句又乙丙大形之弦與丁丙大形之句若己丙小形之弦與丁己小形
之句更之乙丙與己丙兩弦若丁丙與丁己兩句是乙丁與
丁丙兩股丁丙與丁己兩句乙丙與己丙兩弦三比例皆等
又乙丙與己丙兩弦若乙丙并乙甲兩腰與甲丙底之兩
分見前解則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先
定乙甲一三五一弱乙丙一五六〇是乙甲乙丙并
爲二九一一弱甲丙先設七八〇則乙丁與丁丙亦
爲二九一一弱與七八〇各自之并而開方得三〇
一二又四之一弱爲乙丙乙丁丁丙之弦則乙丙與丁丙之
比例爲三〇一三又四之一弱與七八〇次平分丁
乙丙角作辛乙線因前比例論得乙辛與辛丙比例
之數蓋丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙
丙三〇一三又四之一乙丁二九一一弱并爲五九
二四又四之一弱今丙丁爲七八〇則乙辛與辛丙
爲五九二四又四之一弱與七八〇欲省數改設辛
丙二四〇依三率法辛丙七八〇乙辛爲五九二四
有奇今辛丙二四〇即乙辛爲一八二三弱兩數自
之并而開方得一八三八又十一之九弱爲乙丙線
乙辛辛丙之弦則二四〇與一八三八又十一之九爲丙辛
乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙兩線辛
乙乙丙兩數并爲三六六一又十一之九弱與辛丙
二四〇爲乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六六依
三率法乙壬爲一〇〇七弱兩數自之并而開方得
一〇〇九弱則六六與一〇〇九
爲壬丙與乙丙兩線之比例末平
分壬乙丙角作乙庚庚丙兩線乙
庚與庚丙若壬乙并乙丙二〇一
六又六之一與丙壬六六兩數自
之開方得二〇一七又四之一弱
爲乙丙乙庚庚丙之弦則庚丙與乙丙兩
線之比例爲六六與二〇一七又
四之一弱論曰丙甲弧爲全圈六
之一丙丁十二之一丙辛二十四
之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚爲
九十六邊內切圈形之一邊也以九六乘六六得六
三三六爲九六邊內切形之周乙丙徑爲二〇一七
又四之一弱兩數約之一得三又七一之十強形之
周也一得一圈之徑也夫圜周在多邊形之外即大
則謂三倍徑又七十一之十不又盈乎
第三題
圜容積與徑上方形之比例
解曰一爲十一與十四而朒一爲二百二十三與二
百八十四而盈先解朒者乙戊辛圈
甲丙戊方引長甲丙邊爲甲丁其大
于甲丙爲三倍又七之一則與周等
爲句甲乙邊圈之半徑也爲股成甲
乙丁角形其積與圈積畧等不甚差故又
乙甲丙直角形因丙甲與甲丁若七
與二十二則甲乙丙與甲乙丁兩形
之積亦若七與二十二六卷一題甲乙丁
與圈等則甲乙丙形與圈積亦若七
與二十二夫甲乙丙爲方形四之一
四之得二十八即兩形積之比例爲二十八與二十
二約之爲十四與十一也次解盈者甲丙設七十一
甲丁二百二十三與圈周等則甲乙丙與甲乙丁兩
形之積爲七一與二二三四倍七一得二八四全方
之積與甲乙丙形之比例爲二二三與二八四
一題之系 半徑全周成三邊形與圈積等依句
股法半徑偕半周矩內方形與圈積等若全徑偕
全周矩內方形則四倍圈積幾何六卷二題曰相似形
之比例爲兩相似邊再加之比例故邊倍則實四
之
二題之一系 設圈徑求周求容 凡設徑求周
用盈法七爲一率二十二爲二率所設徑爲三率
得四率爲所求周 用朒法爲七十一與二二三
若徑與周古士論圈大小大都准此二論反之以
周求徑亦然
二系 圈之徑與徑若周與周子之徑與徑亦若
母之周與周假如一圈之徑爲七周爲二十二他
圈大于元圈四倍其徑二十八則其周八十八亦
四倍大于元圈之周
三系 周線上方形與圈之積若八九二與七十
一則盈若八八與七則朒周與他周若徑與他徑
周線上方與他周上方若徑上方與他徑上方
十二卷二題徑方與他徑方若圈與圈則周方與他周
方亦若圈與圈更之周之方與本圈之積若他周
之方與其圈之積如設周一用一系之法則八九
二一率也七十一二率也所設一三率也所得之
徑爲二二三之七十一其容積爲八九二之七十
一周之方一全數也通之爲八九二圈之積零數
也爲七十一是謂周方與圈爲八九二與七十一
而盈或二十二與七其徑二十二之七其積爲八
八之七周之方一全數也通之爲八八圈積爲零
數則周方與圈爲八八與七也三題之系 設徑
求圈積則比例之母十四爲一率子十一爲二率
徑之方數爲三率所得爲圈之積而盈或三八三
爲一率二二三爲二率徑之方數爲三率所得爲
圈之積而朒假如設徑十用盈法得七八又七之
四圈之容也用朒法得七八又二八三之二五七
圈之容也反之設圈容求徑則十一與十四若圜
容與某數其方根爲徑
又設周求圈之容因一系之法八九二與七十一
若周之方數與圈之容而盈或一八八與七若周
之方數與圈之容而朒反之設圈求周則七與八
八若圈容與某數其方根爲周
徑與周之比例古士之法如此今士別立一法其差
甚微然子母之數積至二十一字爲萬億億難可施
用〇徑一〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇
大周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八
四七
小周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八
四六
約之首取三字爲一百之三百一十四則三倍又百
之十四
再約得七之一又朒如前
論曰總之不論若干位但加一即贏减一即縮贏即
外切線縮即內弦也皆非周也
古設周問積法曰周自之十二而一此猶是徑一圍
三較之徑七圍二十二者尤疎也故不合
古設徑問積法以徑自乘三之四而一如設徑一自
之得一三之得三四而一則四之三爲圈之積全數
即母數爲徑上之方形則知徑上之方與圈之積爲四
與三然前論爲一四與一一而合今之四與三則所
謂虛隅二五也如圖甲乙設十自之爲一百平分之
爲乙丙丁五十又平分之爲丁戊乙丙三角
雜形丁戊乙二角雜形各二十五二角雜形
必小于三角雜形安得合乎
量橢圓法 橢圓形者斜截圓柱所成兩面形也形
有長短二徑古士默
德本論曰兩徑之中
比例線爲徑作圈與
橢圓等則兩徑爲第一第三率相乘所得方數爲第
二率又同線上之正方與圈容爲一四與一一今兩
率相乘者即中率正方之數此比例法見幾何六卷三十三題之第十增
故以兩徑相乘得數以一一乘之以一四除之得橢
圓之積也
量圈之一分
第一圖名兩半徑弧形
設半徑及弧用全與全若分與分之比例
法曰以半徑乘弧得積半之爲本形積
蓋全周與全圈積若周之分與圈積之分
如半徑六弧十二相乘得七十二半之三十六爲本
形積
第二圖名兩弦內弧形
設兩弦兩弧丙戊爲徑從心作甲乙甲丁
線成甲乙丙甲丁戊各兩半徑弧形依前
法各求積又甲乙丁直線形兩腰等有丁
乙弦求其積三形積并爲乙丙戊丁設形之積
第三圖
即第二圖之半同理
第四圖名弧形
有本圈徑設弦求其積法先求半圈積次求
兩弦形之積兩數相减餘爲設形之積如丙
乙己戊圈其徑丙戊設乙丁弦求乙已丁弧
之積置乙己丁弧一一又七之六圈徑十二
先求本全圈之周得三十七又七之五半之爲十八
又七之六內减設形之弧一一又七之六餘七爲丁
戊乙丙兩弧之數半之爲三半丁戊弧也作丁甲乙
甲兩線因前法求丁戊乙丙兩弦形之積得二十八
又九之八又求半圈之積得五七又七之四內减兩
弦形之積二十八又九之八得二十七又六十三之
四十二爲設形之積若不知弦因丁甲乙形有丁甲
乙甲兩邊有丁甲乙角得丁乙邊爲設形之
弦
若弧形大于半圈者以兩弦之積加於半圈
之積
若不知本圈之徑則先求徑其法丁乙弦半
之作己辛垂線量其度得數爲法弦之半數
自之爲實而一得本圈之徑幾何三卷五十五如量
己辛得一又九之五法也丁辛爲四自之十
六實也除之得十又九之二加己辛得十二全徑也
若辛己不可得量是屬無法之形
第五圖
設小半弧形如甲乙丙則以甲丙句甲乙
股各自之并而開方得乙丙弦成乙丙小
弧形有乙丙弦依前法求積次求甲乙丙
句股形之積并之即得一圖
若止設一直線爲徑之一分甲丙也而知本圈之徑法
先求丁戊丙象限積次求丁乙甲戊兩弦形之積相
减餘爲甲乙丙形之積二圖
若所設乙甲丙非直角而知本圈之徑
法先求戊丁丙象限積次求甲乙辛句
股積蓋形有甲辛兩角甲乙邊可得餘
邊即得其積末用前法求乙辛丙半弧
形之積內减甲乙辛句股積餘爲設形
之積三圖
若乙甲丙爲銳角乙辛股線在設形之
內則以甲乙辛形之積加于半弧形積
四圖
或設本圈之徑作戊乙線法以半徑乘
弧得數半之得戊乙丙形次求甲乙戊
直線形之積則乙戊半徑也乙甲設形
之邊也戊甲爲丙甲與半徑之較依法
得積以减戊乙丙兩半徑形之積餘爲
設形積五圖
或依三角形法作乙丙線成甲乙丙三
角形有甲乙甲丙兩邊有甲角以求乙
丙餘如前六圖
若半弧形之邊如甲乙甲丙大于半徑
即作乙戊線先求乙戊丙兩半徑形之
積次求甲戊乙三邊形之積并之如
前若不知本圈之徑則屬無法形之
法七圖
或依三角形法以甲乙甲丙兩線及
甲角求乙丙邊求積次求乙丙弧形
之積如前法八圖
第六圖名兩弧之形
若知各弧之徑者法與一弧形等
若設兩弧亦設中長線則分元形爲兩弧
形 若不知本圈之徑亦不知中長線屬
無法之形
第七圖
以弦分之成直線形者一成弧形者三
四以上各以前法量之
若爲球體橢圓體圓角體之外面法見量體法中第六
卷古法設長濶問積見長方又設長闊總數長濶較
等問見句股義
量面用法
以木造矩錐平者爲盤
直者爲幹盤徑五六寸
厚二寸面畫兩徑輳心
成直角刻成渠深五分廣一分下作鑿以受幹也幹
徑一寸以上長四五尺令平立者目切其盤之面幹
之末施鐵鍤焉別具望竿數事略與幹等器成先試
之法于平地卓錐從一徑之渠向左向右各距若干
丈尺卓兩竿與徑爲直線又從他徑之渠向前向後
各距若干丈尺卓兩竿與徑爲直線次轉器易徑以
望先立諸竿仍作直線則爲如法之器
第一題
直線內一點上求作垂線幾何一卷十一
法曰設點上卓錐轉器令一徑合于設
線次從他徑卓數竿題言諸竿所作直
線與元線爲直角與盤上直角等
第二題
直線外一點上求作垂線
法曰設點上卓一竿持器循設線上游移遷就令一
徑合于元線一徑與望竿爲直線次從點至錐下作
線則元線之垂線也
凡設田形量其步畝前法足矣然未知直線形之是
否直角曲線形之是否中弧且高下之數非目營可
得欲求其度立公法如下文總之以句股爲本凡圖
中斷線所作線也聯線元形線也邊上有
〇卓錐之處也
三邊田法從大邊用器游移遷就向對角
立垂線分元形爲兩句股形一圖
四邊田先用器
試各角是否直
角直者用正方
量之不直依圖
分句股形令分餘者各兩對邊爲平行線用正方長
方法量之二三四圖
多邊形田從大邊如甲上作甲
乙垂線從大邊兩界如丙如丁
作丙戊丁己兩垂線丁己線上
立乙辛垂線又立庚寅己午兩
垂線丙戊線上立酉乙垂線是元形內有二方形七
句股形量時依元設丈尺步數化大爲小作圖亦用
元度作新立諸線各如數算之并之得元形之積五圖
若田形以曲線爲邊宜先求直線
形法取一線爲徑徑上密密卓錐
作諸平行線末各直角上加器成
諸長方形亦成諸三邊形曲線爲
邊者大圈之弧也即依直線法量
之所差甚微六七圖
或田中爲房舍林木等物所隔難作中長線法于田
外依一邊作大方形形邊上向田之各
角作線是元形之外方形之內有若干
句股形并諸句股積以减方形積餘爲
元形之積八圖
增題 多邊無法形量法從田心如癸
加象限邊向乙角窺丙角定乙癸丙角之度次向丁
向戊向己向庚向辛各定其癸角之度次
以公量法量癸乙癸丙等線元形內有三
邊形七每形有一角兩邊因法求餘邊求
每形之積并而得元形之積
中空田法先求大形之積次求空形之
積如方田一段各邊十丈中爲圓池徑
七丈則方形之積一百丈池之積三十
八丈半减餘六十一丈半爲設形之積
求環田積用兩圈之徑或周以次求大小圓積相减
餘爲環田之積如設環之外周爲四十
四內周爲二十二則大圓積一百五十
四小圓積三十八半减餘一百一十五
半環田之積也
變形法
其一設三角形求變爲等底等積方形
凡設形求變者皆截元形之實補求形之虛
也如上一圖甲乙丙元形求變爲丙丁戊方
形其元形之大邊爲底法平分兩腰作中線
與底平行次以中線爲底作對角垂線成甲乙兩形
從元底兩端向中線各作垂線成戊丁兩形
則截甲實形移補交角之丁截乙實形移補
交角之戊成丁丙戊方形與元形等底等積
如二圖小邊爲底亦平分兩腰作平行中線
次從上角從鈍角各向中線作垂線成甲乙兩句股
形及丙斜角形次截甲實形移爲交角之乙并丙乙
實形移爲交角之丁成丁戊方形如所求
如三圖鈍角上垂線截中線出元形之外甲戊
丁己兩線爲等作己垂線成甲小形則截交角
之乙實形移爲甲并甲兩實形移爲交角之丁
并丁己成四邊實形移爲相似之戊形并戊庚如所求
如四圖兩腰甚長亦如前作中線于中線上截取庚
丁壬己各形之邊皆與底等而成各直角四邊形又
從兩交截取癸形與卯等即甲與乙卯癸與卯各交
角之兩形各等先截取癸實形移補交角之虛卯次
并卯乙作三邊實形移補交角之虛甲次并甲丙作
四邊實形移補相似之虛壬次并壬丑作四邊實形
移補相似之虛丁次并丁戊作四邊實形移補相似
之虛己次并己寅作四邊實形移補相似之虛庚次
并庚辛即所求
其二設一方形一線求變爲他方形其邊與設線等
如上一圖設丁戊方形求變他形其邊與甲
等法從乙丁邊取乙丙與甲等從戊角作戊
丙迤線丙非角故不名對角引長之與己丁之引長線
遇于辛成丁辛丙三角虛形次于己戊邊取
己庚與甲等次從庚作垂線成壬庚戊三角實形以
此實形移補丁丙辛虛形又以戊丙迤線上
形移置壬辛迤線上即成庚辛方形如所求
如二圖設形爲斜角與上同法
若所設線甚小幾倍之得爲元形邊則平分
元形爲幾形如前法變得各小形并之爲一大形如
所求
如三圖所設線大于元形邊則引長己戊邊
爲己庚與甲等作庚丁對角線成戊庚壬三
角虛形次取丁丙與壬庚等成丁辛丙實形移補壬
戊庚虛形又乙壬丁實形之壬角移爲庚角成庚辛
角形即所求
其三設矩內形變爲正方形
如圖以設形之兩邊連爲一直線求心作半圈
次從兩線之界點作垂線爲兩率之中比例線
即用爲設線依前法變設形爲他形其邊爲設
線
其四設多邊形變爲正方形
先以直線分元形爲若干三邊形
次依第一法變各三邊形爲矩內形
三任取一線爲設線依上法變各矩形皆爲
等邊形
四并各等邊形成一大矩形
五依第三法求大矩形兩邊之中比例線成
正方形
以上四法若反求之則亦反作之如一矩形
求作三角形一正方形求作有比例之矩內形是也
其五兩正方形變爲一正方幾何原本一卷四十七題備論其理此則用法
置兩正方形以角相切令其邊爲直線角之外爲直
角即成甲句股虛形其弦聯兩元形之各一角即以
爲底作正方形其積與兩元形并積等其變法作丙
戊庚己丁矩形及乙寅線又截壬形
與子形庚形等次截取癸實形移補
丙丁虛形次取丙子實形移補甲虛
形次取壬實形移補庚虛形次取庚
丑實形移補戊己庚虛形次取戊實形
移補辛虛形成卯辰午未正方
形
其六設矩形求變爲他矩形其
邊各有比例如設一形欲作他
形等積而兩邊之比例若五與
四法分大邊爲五小邊爲四作平行分線如甲乙形
次依丙丁罄折線截訖移就成戊己形
第四題
截形法
借題云設多邊形截爲多三角形求作多線以當各形之
比例如圖甲乙丙丁戊多邊形從甲角作
甲戊甲丁甲丙各對角線分元形爲四
三角形求其比例法曰從各角向各對
線爲垂線如己向庚戊向辛丁向壬又
向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因對角線短故垂線在形之外蓋三角形論底論高
不論垂線內外因幾何六卷第一題增同底之形其比例若
其高之比例今甲戊己甲戊丁兩形
同用甲戊爲底即己庚壬丁兩垂線
爲兩形之比例又甲戊丁甲丁丙兩
形同用甲丁爲底即戊辛丙癸兩垂
線爲兩形之比例甲丁丙甲乙丙兩形同用甲丙線
爲底即丁子乙丑兩垂線爲兩形之比例也今欲作
四線之比例與此四形之比例等依幾何原本六卷
第十九題三直線爲連比例則一線上形與二線上
形若一線與三線今以一垂線當一形以第二第三
率通爲一比例而求末率即第三線則一形與二形若一
線與三線也如上圖壬丁之形與戊辛之形同底而
壬丁爲一率戊辛爲二率己庚之形與某線之形同
底而己庚爲三率某線爲四率則以戊辛之數通爲
己庚之數而求其線即壬丁與戊辛若己庚元數與某
線而某線之數爲己庚之次數又丁子與丙癸若乙
丑元數與某線而某線之數爲乙丑之次數
今一設三角形從一角命截幾分之幾法于角之對
邊平分如命數從角作線截取一分爲得數如甲乙
丙形從甲命分四之三即四平分丙乙線
爲丁戊己次從甲作甲丁分元形爲二其
比例如丙丁與丁乙
又命分四之一而其截線求與命角之對
邊如丙乙平行法四平分甲乙腰四乘三命分
數內减得分以其餘乘命分得十二開方得三又百之
四十八即得甲向乙取四分之三有半至丁作丁戊
線與乙丙平行截元形爲二其積如三與一而丁丙
爲四之一甲乙戊爲四之三
二設多邊形從一角命截幾分之幾法依
前借題分本形爲若干三邊形又如前次
第求各形之比例線因形求線合之成一直線
如圖爲乙丙丁戊己若命分爲四之一即
四平分之若第一分在乙丙線內則分甲
乙丙形之乙丙邊如乙丙比例線其一分所至爲乙
壬作甲壬線截甲乙壬形爲元形四之一若欲截分在甲己之旁
則分甲己戊形之己戊邊如戊己比例線其一分所
至爲己辛作甲辛線截甲己辛形爲元形四之一
若命分之界不在元形之角如甲乙邊內
取庚點爲界法從庚向各角作線求各形
之比例線如前
上二法俱從甲或庚爲截分之總界其他
形若能爲對角線在形之內者任用各邊
各角皆可爲截分之界若作對角線而切
本形邊或出形之外則不能爲截界如圖
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲
乙戊己戊丁諸線各切本邊但可從丙截之
三設方形命截幾分之幾法任分一邊如
命分數取得數作平行線或正方或斜方
或矩形皆同理若以角爲截界則與上文
多邊形同法
四設梯田命截幾分之幾如四分之
一法上下兩邊各四平分而取其一作直線聯之或用
角爲截界則與前多邊形同法
若命截線與底平行則用三率法依設形成三角形
得其腰求兩形之比例得全三角之積若干小三角
形之積若干以小减大得梯形積若干因算
梯形之幾分得全形之幾分隨用前第一設
截三角形之法得所求
假如大底爲十上邊爲六斜邊得四上下邊之較四
半之得二爲第一率大底半數五爲二率斜邊四爲
三率算得全形之腰爲十此全形有兩腰有底求其
積得四十三又三之一其小形有兩腰各六有底六
求其積得十五又五之三以減全積得二十七又三
之二弱爲元梯形之積今欲截取四之一以四而一
得六又五之四弱以除全積得六有五之二弱爲元
形四之一亦爲全形六分五之二分用平行截三角
形之法六有奇爲母五有奇减一得子爲子相乘開方得
五〇〇即從全形上角分全腰爲六分有五之二弱
內取五又五之四強作平行線分元形如所求或取三十
二而取二十九
若近小底命作截線其理同上但母子數不同上得
元形四之一分爲六又六十之四十六畧約五之四
今所求者四之三則三倍之得二十又三十之九以
倍數與全數相乘得數開方得二十九半即從上角
如法取作平行線分元形如所求或分全腰爲四十三又三之一從上
角取二十九半作線
凡梯田在平行線內但底等即其積等
不論角大小
若兩梯田截法先求各形之積次算此
形所截之分爲彼形之幾分其用法如
前
此外別形尚多各有本法本論於法算諸書中詳之
此不及備著