崇禎曆書卷之一百六十 比例規解
法器部 比例規解校：據中科
圖本校錄
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
龍華民
同 會 同訂
湯若望
秋 官 周胤
訪 舉 張寀臣 等算
南 昌 張宋臣
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法器部比例規解明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修 張寀臣 掌乘
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人周胤 李祖白 受法 湯若望訂
孫嗣烈宋可成
天文曆法等學舍度與數則授受不能措其辭故量
法算法恆相發焉其法種種不襲而器因之各國之
法與器大同小異如算法之或以書或以盤珠吾西
國猶以爲未盡其妙也近世設立籌法似更超越千
古至幾何家用法則籌有所不盡者而量該之不能
不藉以爲用今繇幾何六卷六題推顯比例規尺一
器其用至廣其法至妙前諸法器不能及之因度用
數開閤其尺以規搘度得算最捷或加減或乘除或
三率或開方之面與體此尺悉能括之又函表度倒
景直景日晷句股弦算五金輕重諸法及百種技藝
無不賴之功倍用捷爲造瑪得瑪第嘉最近之津梁
也昔在上海曾爲徐宗伯造其尺而未暇譯書今奉
旨修曆兼用敝庠之法思此小器爲用既廣曷敢祕而不
傳第中西文字絕不相同倘因艱澁而輟譯是坐令
此器不得其用不甚可惜哉因草創成書請教宗伯
此器之倘爲用於世也則潤色之增補之定有其時
而谷之不文或見亮於天下後世也矣
崇禎庚午仲秋 遠西羅雅谷識
比例規解目錄
論度數者其綱領有二一曰量法一曰算法所量所算
其節目有四曰點曰線曰面曰體總命之曰幾何之
學而其法不出于比例比例法又不出于句股第句
股爲正方角而別有等角斜角句股不足盡其理故
總名之曰三角形此規名比例者用比例法也器不
越咫尺而量法算法若線若面若體若弧矢方圓諸
法凡度數所須該括欲盡斯亦奇矣所分諸線篇中
稱引之說特其指要各有本法本論未及詳焉若所
從出與其致用則三角形之比例而已按幾何原本
六卷四題云凡等角三角形其在等角旁之各兩腰
線相與爲比例必等而對等角之邊爲相似之邊六
題云兩三角形之一角等而對等角旁之各兩邊比
例等即兩形爲等角形而對各相似邊
之角各等作者因此二題創爲此器今
依上圖解之如甲乙丙與丁乙戊大小
兩三角形同用乙角即爲等角則甲乙與乙丙之比
例若丁乙與乙戊而對等角之邊如甲丙與丁戊爲
相似之邊也又顯兩形爲等角形而對各相似邊之
角各等也今此規之樞心即乙角兩股即乙甲乙丙
兩腰甲丙爲底即與乙丁戊爲等角形而各相當之
各角各邊其比例悉等矣任張翕之但取大小兩腰
其兩底必相似也或取兩底其兩腰必相似也或取
此腰此底其與彼腰彼底必相似也以數明之如甲
乙大腰一百乙丁小腰六十而設甲丙大底八十以
求小底丁戊即定尺用規器量取丁戊爲度向平分
線取數必四十八不煩乘除矣又如平方積一萬其
根一百求作別方爲大方四之三即以一百爲腰分
面線之四點爲大底次以三點爲小腰取小底爲度
向平分線得八十六半強爲小方根自之約得七千
五百爲小方積不煩開平方矣又如立方積八千其
根二十求作大方倍元方即以二十爲小底分體線
之一點爲小腰次以二點爲大腰取大底爲度于平
分線得二十五半自之再自之約得一萬六千爲大
方積不煩開立方矣篇中言某爲腰某爲底設某數
得某數皆此類也規凡二面面五線共十線其目如
左
目
第一平分線
第二分面線
第三更面線
第四分體線
第五更體線
第六分弦線
第七節氣線
第八時刻線
第九表心線
第十五金線
右比例十類之外依幾何原本其法甚多因一器難
容多線故止設十線其不爲恆用者姑置之稍廣焉
更具四法如左
一平面形之邊與其積
二有形五體之邊與其積與其面
三有法五體與球或內或外兩相容
四隨地造日晷求其節氣
比例規造法一名度數尺其式有二
一以薄銅板或厚紙作兩長股如圖任長一尺上下廣
如長八之一兩股等長等廣股首上角爲樞以樞心
爲心從心出各直線以尺大小定線數今折中作五
線兩股之面共十線可用十種比例之法線行相距
之地取足書字而止尺首半規餘地以固樞也用時
張翕游移
一以銅或堅木作兩股如圖厚一分以上長任意股上
兩用之際以爲心規餘地以安樞其一規面與尺面
平而空其中其一剡規而入于彼尺之空令密無罅
也樞欲其無偏也兩尺並欲其無罅也樞心爲心與
兩尺之合線欲其中繩也用則張翕游移之張盡令
兩首相就成一直線可作長尺或以兩半直角相就
成一直角可作矩尺
比例規之類別有二種一爲四銳定心規一爲四銳
百游規不解之其造法頗難爲用未廣姑置之校：第四圖
奎章閣本闕底本漶漫據清本補
比例規解
第一平分線
分法 此線平分爲一百或二百乃至一千量尺之
大小也分法如取一百先平分之爲二又平分爲四
又各五分之爲二十自此以上不容分矣則用更分
法以元分四復五分之或以元分六復五分之如上
圖甲乙線分丙丁戊爲元分之四今更五分之得己
庚辛壬元分與次分之較爲壬丙爲戊己皆甲
乙二十分之一爲元分五之一每數至十至百各書字識之
論曰甲乙四與甲丙一若甲己四與甲壬一更
之甲乙四與甲己四若甲丙一與甲壬一甲己爲甲
乙五之四即甲壬爲甲丙五之四壬丙爲甲丙五之
一又甲丁爲十甲辛爲八辛丁爲甲丁十之二或丙
丁五之二戊庚爲丁戊五之三又壬丙爲甲丙五之
一必爲甲壬四之一幾何五卷
用法一 凡設一直線任欲作幾分假如四分即以
設線爲度數兩尺之各一百以爲腰張尺以就度令
設線度爲兩腰之底置尺數兩尺之各二十五以爲
腰斂規取二十五兩點間之度以爲底向線上簡得
若干數即所求分數 凡言線者皆直線依幾何原
本大小兩三角形之比例則二十五與得線若一百
與設線也更之二十五與一百得線與設線皆若一
與四也 若求極微分如一百之一如上以一百爲
腰設線爲底置尺次以九十九爲腰取底比設線其
較爲百之一 若欲設線內取零數如七之三即以
七十爲腰設線爲底置尺次以三十爲腰斂規取底
即設線七之三置尺者置不復動下倣此
用法二 凡有線求幾倍之以十爲腰設線爲底置
尺如求七倍以七十爲腰取底即元線之七倍若求
十四倍則倍得線或先取十倍更取四倍并之
用法三 有兩直線欲定其比例以大線爲尺末之
數尺百即百千即千置尺斂規取小線度於尺上進退就其
等數如大線爲一百小線爲三十七即兩線之比例
若一百與三十七可約者約之約法以兩大數約爲兩小數其比例不異
如一百與三十約爲十與三
用法四 乘法與倍法相通乘者求設數如以七乘
之幾倍也
十三于腰線取十三爲度七倍之即所求數也
用法五 設兩線或兩數凡言數者腰上取其分或
以數變爲線或以線變爲
數欲求一直線而與元設兩線爲連比例 若設大
求小則以大設爲兩腰中設爲底次以中設爲兩腰
得小底即所求如甲
乙甲丙尺之兩腰所
設兩數爲三十爲十
八欲求其小比例從心向兩腰取
三十如甲辛甲己識之斂規取十
八爲度以爲底如辛己次從心取
十八如甲丁甲戊即丁戊爲連比
例之小率得十一有奇 若設小
求大則反之以中設爲兩腰小設
爲底置尺以中設爲度進求其等
數以爲底從底向心得數即所求如甲丁甲戊爲兩
腰丁戊爲底次以甲丁爲度引之至辛至己而等從
辛從己向心得三十即大率論見幾何六卷十一題
凡言等數者皆兩腰上縱心取兩數等下同
用法六 凡有四率連比例既有三率而求第四或
以前求後則丁戊爲第一率辛己甲丁甲戊爲第二
又爲第三而得辛甲爲第四 若以後求前則甲辛
甲己爲第一辛己甲戊甲丁爲第二又爲第三而得
丁戊爲第四甲辛與辛己若甲丁與丁戊故也
用法七 有斷比例之三率求第四如一星行九日
得一十一度今行二十五度日幾何即用三率法以
元得一十一度爲兩腰元行九日爲底置
尺以二十五度爲兩腰取大底腰上數之
得二十日十一之五爲所求日此正三率法九章中名異乘同
除也
用法八 句股形有二邊而求第三法于一尺取三
十爲內句一尺取四十爲內股更取五十
爲底以爲內弦即腰間角爲直角置尺若
求弦則以各相當之句股進退取數各作
識于所得點兩點相望得外弦線以弦向
尺上取數爲外弦數言內外者以先定之句股成式爲內甲乙丙是以所設所得之
他句股形爲 若求句於內股上取外股作識以設
外甲戊己是
弦爲度從識向句尺取外弦得點作識從次識向心
數之得句求股亦如之下有開方術爲勾股本法可用
用法九 若雜角形有一角及各傍兩腰求
餘邊先以弦線法依設角作尺之腰間角次
用前法取之見下二十一用四法
用法十 有小圖欲更畫大幾倍之圖則尺上取元
圖之各線加幾倍如前作之
用法十一 此線上宜定兩數其比例若徑與周爲
七與二十二或七十一與
二百二十三即二十八數
上書徑八十六上書周
有圈求周徑法以元周爲腰設周爲底次于元兩徑
取小底得所求徑 反之以徑求周徑爲腰如前
用法十二 此線上定兩數求爲理分中末之比例
則七十二與四十二又三之一
不盡爲大分其小分爲二十四
又三之二弱 有一直線欲分
中末分則以設線爲度依前數取之幾何六卷三十題
第二分面線
今爲一百不平分分法有二一以算一以量
以算分 算法者以樞心爲心任定一度爲甲
乙十平分之自之得積一百 今求加倍則倍
元積得二百其方根爲十四又十四之九即於
甲乙十分線加四分半強而得甲丙爲倍
面之邊求三倍則開三百之根得十七有
半爲甲丁求五六七倍以上邊法同用方根表
甚簡易
以量分 任取甲乙度爲直角方形之一
邊求倍則于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分
甲丁于戊戊心甲界作半圈從乙作乙己垂線截圈
于己即己乙線爲二百容形之一邊六卷二十六增求三倍
則乙丁三倍于甲乙四倍以上法同於尺上從心取
甲乙又從心取乙己等線成分面線
試法 元線爲一正方直角方形之邊倍之得四倍
省曰正方
容方之邊否即不合三倍之得九倍容方之邊四倍
得十六五倍二十五又取三倍之邊倍之得十二再
加倍得二十七倍之邊再加倍得四十八倍之邊再
加倍得七十五倍之邊若五倍容形之邊倍之得二
十倍容形之邊再加倍得四十五倍容形之邊再加
倍得八十倍容形之邊本邊之論見幾何六卷十三
用法一 有同類之幾形方圓三邊多
邊等形容與
容之比例若邊與邊 欲並而成一同
其理具幾何諸題
類之形其容與元幾形并之容等如正
方大小四形求作一大方其容與四形
并等第一形之容爲二二形之容爲三
三形之容爲四有半四形之容爲六又
四之三其法從心至第二點爲兩腰以
第一小形之邊爲底置尺次并四形之
容得十六又四之一以爲兩腰取其
底爲大形邊其容與四形之容并等
若無容積之比例但設邊如甲乙
丙丁四方形其法從心至尺之第一
點爲兩腰小形甲邊爲底置尺次以
乙形邊爲度進退取等數得第二點
外又四分之三即書二又四之三次
丙形邊爲度得三又五之一丁形邊
得四又六之五并諸數及甲形一得
十又二十之十九向元定尺上進退取等數爲底即
所設四形同類等容之一大形邊此加形之法
用法二 設一形求作他形大于元形幾倍法曰元
形邊爲底從心至第一點爲腰引至所
求倍數點爲大腰取大底即大形之邊
此乘形之法
用法三 若于元形求幾分之幾以元
形邊爲底命分數爲腰退至所求數爲
腰取小底即得 如正方一形求別作
一正方其容爲元形四之三以大形邊爲底第四點
爲腰即命分數次以第三點爲腰即得分數得小底即小形邊
此除形之法若設一形之積大而求其若干倍小而求其若干分則以原積當單數用第一線求之
用法四 有同類兩形求其較或求其多寡或求其
比例若干法曰小形邊爲底爲一點爲腰置尺以大
形之邊爲度進退就兩等數以爲腰得兩形比例之
數次于得數減一所餘爲同類他形之一邊此他形
爲兩元形之較 如前圖小形邊爲一大形邊爲六
其比例爲一與六則從一至六爲較形邊此減形之法
用法五 有一形求作同類之他形但云兩形之容
積若所設之比例法曰設形邊爲底比例之相當率
爲腰次他率爲腰取其底爲他形之邊
用法六 有兩數求其中比例之數法
曰先以大數變爲線變線者於分度線
上取其分與數等爲度也以爲底以本
線上之本數爲腰置尺次于小數上取
其底線變爲數變數者於分度線上查
得若干分也此數爲兩元數中比例之
數 如前圖二與八爲兩元數先變八爲線以爲底
以本線之第八點爲腰置尺次于第二點上取其底
線變爲四數則二與四若四與八也 若設兩線不
知其分先于分度數線上查幾分法如前
用法七 有長方求作正方其積于元形等法曰長
方兩邊變兩數求其中比例之數變作線
即正方之一邊與元形等積
用法八 有數求其方根設數或大或小
若大如一千三百二十五先於度數上取十分爲度
以爲底以本線一點爲腰即一正方之邊其積一百
次求一百與設數之比例得十三倍又四之一以本
線十三點強爲腰取其底于度線上查分得三十五
強爲設數之根
第三更面線
分法 如有正方形欲作圓形與元形之積等置公
類之容積四三二九六四以開方得六五八正方邊
也以開三邊形之根得一千爲三邊等形之一邊開
五邊之根得五〇二六邊形之根爲四〇八七邊形
之根爲三四五八邊形
之根爲二九九九邊形
之根爲二六〇十邊形
之根爲二三七十一邊
形之根爲二一四十二邊形之根爲一九七圓形之
徑爲七四二以本線爲千平分而取各類之數從心
至末取各數加本類之號言平形者有法之形各邊各角俱等
用法一 有異類之形欲相併先
以本線各形之邊爲度以爲底以
本類之號爲腰置尺取正方號之
底線別書之末以各正方之邊於
分面線上取數合之而得總邊
假如甲乙丙三異類形欲相併先
以三邊號爲腰甲一邊爲底置尺
取正方號四點內之底向分面線
上用十數爲腰正方底爲底于甲
形內作方底線書十次五邊號爲腰乙一邊爲底如
前取正方底向分面線得二十一半即于乙形內作
方底線書之次圓號爲腰徑爲底如前得十六弱并
得四十七半弱 若欲相減則先通類如前法次于
分面線上相減用上圖
用法二 有一類之形求變爲他類之形同積以元
形邊爲度以爲底從心至本號點爲腰置尺次以所
求變形之號爲腰得底即變形邊
用法三 凡設數求開各類之根先于分面線求正
方之根次以方根度爲底本線正方號爲腰置尺則
所求形之號之底線即元數某類之根有法之平形其邊可名爲
根與方根相似
用法四 若異類形欲得其比例與其較則先變成
正方依分面線求之
第四分體線
線不平分分法有二一以算一以量
以算分 從尺心任定
一度爲甲乙十平分自
之又自之得積一千即
定其線爲一千即體之
根今求加一倍積體之根倍元積得二千開立方根
得十二又三之一即于甲乙加二又三之一爲甲丙
乃倍體之邊求三倍開三千數之立方根以上同
又捷法取甲乙元體之邊四分之一加于甲乙元邊
得甲丙即倍體邊又取甲丙七分之一加于甲丙得
甲丁乃三倍體之邊取甲丁十分之一加于甲丁得
甲戊乃四倍體之邊再分再加如圖
元體一甲子次體甲丙三倍甲丁四甲戊五甲己六甲庚七甲辛八甲壬九甲癸十甲子
四 加四之一七之一十之一十三之一十六之一十九之一廿二之一廿五之一廿七之一
試置元體之邊二十八四之一得七以加之得三十
五法曰兩根之實數即用再自之數爲一與二不遠
蓋二十八之立實爲二一九五二倍之爲四三九〇
四比于三十五倍體邊之實四二八七五其差纔〇
一〇二九約之爲一千四百五十二分之一不足爲
差若用三十六之四六六五六其差爲遠 又加倍
體七之一得再倍體之邊三十五又七之一七之一
者五也以加之得四十其實爲六四〇〇〇元積再
倍之數爲六五八五六較差纔〇一八五六或三十
五之一可不入算也若用四十一根之實六八九二
一其差爲遠
又試倍邊上之體爲體之八倍即依圖計零數至第
八位爲五之四八之七十一之十十四之十三十七
之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合
之得一二〇四二八〇之六〇八六〇八約之爲一
〇七五〇之五四三四與二之一不遠則法亦不遠
右兩則皆用開立方之法不盡數難爲定法
以量分 先如圖求四率連比例線之第二蓋元體
之邊與倍體之邊爲三加之比例也今求第二幾何
法曰第二線上之體與第一線上之體若四率連比
例線之第四與第一假如丙乙元體之邊求倍體之
邊則倍丙乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己
辛庚矩形於壬角之兩腰引長之以形心
爲心如戊作圈分截引長線于子于午漸
試之必令子午直線切矩形之辛角乃止
即乙丙即辛庚午庚子己甲丁即壬庚爲四率連比例線
用第二率午庚爲次體之一邊其體倍大於元體詳雙
中率論若甲丁爲乙丙之三倍四倍即午庚邊上之體
大于元體亦三四倍以上倣此 用前法則元體之
邊倍之得八倍體之邊若三之得二十七倍體之邊
四之得六十四倍體之邊五之得一百二十五倍體
之邊
又取二倍體邊倍之得十六再倍得一二八倍體之
邊本線上量體任用其邊其根其面其對角線其軸
皆可
用法一 設一體求作同類體大于元體幾倍法以
元體邊爲底從心至第一點爲腰置尺次以所求倍
數
爲腰得大底即所求大體邊 若設零數如元體設
三求作七以三點爲初腰七點爲次腰如上法此乘體之
法
用法二 有體求作小體得元體之幾分如四分之
一四分之三等法以元體之邊爲底命分數之點爲
腰置尺退至得分數爲小腰得小底是所求分體邊
此分體用法三 有兩體求其比例以小體邊爲底
之法
第一點爲腰置尺次以大體邊爲底就等數得比例
之數也不盡則引小體邊于二點以下以大邊就等
數兩得數乃上可得比例之
全數而省零數
用法四 有幾同類之體求
并作一總體 若有各體之比例則
以比例之數合爲總數以小體邊爲
底一點以上爲腰置尺於總數點內
得大底即總體邊 若不知其比例
先求之次用前法此加體之法
如圖甲乙丙三立方體求并作一大
立方體其甲根一乙三又四之三丙
六并得十又四之三以甲邊爲底本線一點以上爲
腰置尺向外求十又四之三爲腰取底爲度即所求
總體之根
用法五 大內咸小所存求成一同類之體 先求
其比例次以小體邊爲底比例之小率點以上爲腰
置尺次以比例兩率較數點上爲腰得較底即較體
之邊此減體之法
用法六 有同質同類之兩體得一體之重知他體
之重蓋重與重若容與容先求兩體之比例次用三
率法某容得某重若千求某容得某重若干同質者金鉛銀
銅等同體者方圓長立等
用法七 有積數欲開立方之根 置積與一千數
求其比例次于平分線上取十分爲底本線一點以
上爲腰置尺次比例之大率以上爲腰得大底于平
分線上取其分爲所設數之立方根如設四萬則四
萬與一千之比例爲四十與一如法于四十點內得
大底線變爲分得三十四強 若所設積小不及千
則以一分爲底一點或半點或四之一等數爲腰置
尺設數內求底而定其分若用半點用所設數之一
半用四之一亦用設數四之一蓋算法通變或倍或
分不變比例之理
用法八 有兩線求其雙中率線數如三爲第一率
同理
二十四爲第四率求其比例之中兩率 法求兩率
之約數得一與八以小線爲底一點以上爲腰置尺
次八點以上爲腰取大底即第二率有第二第四依
平分線求第三
第五變體線
變體者如有一球體求別作立方其容與之等
分法 置公積百萬依算法開各類之根則立方之
根爲一百四等面體之根爲二〇四八等面體之根
爲一二八半十二等面體
之根爲五十二十等面體
之根爲七六 圓球之徑
爲一二六 因諸體中獨四等面體之變最大故本
線用二百〇四分平分之從心數各類之根至本數
加字開根法見測量全義六卷
用法一 有異類之體求相加以各體之邊爲度以
爲底本線本類之點以上爲腰置尺次從立方點內
取底別書之各書訖依分體線法合之
用法二 有異類之幾體求其容之比例先以各體
變而求同容之立方邊次于分體線求其比例乃所
設體之比例若知一體之容數因三率法求他體之
容數
第六分弦線
亦曰分圈線 分法有二
一法 別作象限圈分令半徑與本線等長分弧爲
九十度各作識校：各
原作名據上下文改從一角
向各識取度移入
尺線從尺心起度
各依所取度作識加字 若尺身大加半度之點可
作一百八十〇度若身小可六十度或九十度止
又法 用正弦數表取度分數半之求其正弦倍之
本線上從心數之識之如求三十度弦即其半十五度之正弦爲二五九倍之得
千分之五一九爲三十度之弦從心識之
用法一 有圈徑設若干之弧求其弦以半徑爲底
六十度爲腰置尺次以設度爲腰取底即其弦移試
元圈上合其弧 反之有定度之弦求元圈徑以設
弧之弦爲底設度爲腰置尺次取六十度爲腰取底
即圈之半徑
用法二 有全圈求作若干分法以半徑爲底六十
度其弦即半徑也爲腰置尺命分數爲法全圈爲實而一得
數爲腰取底試元圈上合所求分此分圈 約法本
之法
線上先定各分之點如百二十爲三之一九十爲四
之一七十二爲五之一六十爲六之一五十一又七
之三爲七之一四十五爲八之一四十爲九之一三
十六爲十之一三十二又十一之八爲十一之一三
十爲十二之一各加字
用法三 凡作有法之平形先作圈以半徑爲底六
十度爲腰置尺次本形之號爲腰取底移圈上得分
用法四 有直線角求其度以角爲心任作圈兩腰
間之弧度即其對角之度有半徑有弧求度如左
用法五 有半徑設弧不知其度法以半徑爲底六
十度爲腰置尺次以弧爲度就等數作底其等數即
弧度反之設角度不知其徑及弧求作圖其法先作
直線一界爲心任作圈分以截線爲底六十度之弦
線爲腰置尺次于本線取
設度之弦線爲腰得底以
爲度從截圈點取圈分即
設度之弧再作線到心即半徑成直線角如所求
因此有兩法可解三角形省布數詳測量全義首卷
第七節氣線
一名正弦線
分法 全數爲一百平分尺大可作一千用正弦表
從心數各度之數每十度加字 如三十度之正弦
五十則五十數傍書三十二
度之正弦五則五數傍書二
校：清刊本書二作書三
簡法 第一平分線可當此線爲各有百平分則一
線兩旁一書分數字一書度數字
用法一 半徑內有設弧求其正弦以半徑爲底百
爲腰置尺次以設度爲腰取底即其正弦
用法二 凡造簡平儀平渾日晷等器用此線甚簡
易如簡平儀之干盤周天圈其赤道線左右求作各
節氣線先定赤道線爲春秋分次於弧上取赤道左
右各二十三度半之弧兩弧相向作弦以其半弦爲
底本線百數爲腰置尺次數各節氣離春秋分兩節
之數尋本線之相等數爲腰取底爲度移赤道線左
右兩旁作直線與相對之節氣相連爲各節氣線或于
赤道線上及二至線上定 如欲定立春立冬立夏
時刻線之相距若干亦可
立秋因四節離赤道之度等故爲公度法曰立春至春分四十五度
則取本線四十五度內之底線移於儀上春分線左
右 若欲定小暑小寒之線離秋分春分各七十五
度則取七十五度內之底線爲度移二分線左右得
小暑小寒之線
第八時刻線
一名切線線
分法 切線之數無限爲九十度之切割兩線皆平
行無界故今止用八十度于
本線立成表上查八十度得
五六七即本線作五六七平
分次因各度數加字一度至十五切線正弦微差尺上不顯可即用正弦
第九表心線
一名割線線
分法 此線亦止八十度依表查得五七五平分之
其初點與四十五度之切線等初點即全數故等次依本表
加之
用法一 有正弧或角欲求其切線或割線法以元
圈之半徑爲底切線線四十五度之本數爲腰割線
線則以〇度〇分爲腰置尺次以設度爲腰取底爲
某度之切線割線 反之有直線又有本弧之徑欲
求設線之弧若干度以半徑爲度以爲底設弧之度
數爲腰置尺又設線爲底求本線上等數即設線之
弧
用法二 表度說以表景長短求日軌高度
分今作簡法用切線線凡地平上立物皆可
當表以表長爲底本線四十五度上數爲腰
置尺次取景長爲底求兩腰之等數即日軌
高度分 若用橫表法如前但所得度
分乃日離天頂之度分也安表法見本
說
用法三 地平面上作日晷法先作子
午直線卯酉橫線令直角相交從交至
橫線端爲底就切線線上之八十二度半爲腰置尺
次于本線七度半點內取底爲度向卯酉線交處左
右各作識爲第一時分次遞加七度半取底爲度如
前遞作識爲各時分每七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度
半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半若求刻線則遞
隔三度四十五分而取底爲度也次于元切線上取
四十五度線四十五度之切線即全數爲底割線初點爲腰置尺
次以本地北極高度數爲腰于本線上取底爲表長
于子午卯酉兩線之交正立之又取北極高之餘度
線爲度于子午線上從交點起向南得日晷心從心
向卯酉線上各時分點作線爲時線
在子午線西者加午前字如己辰卯
在子午線東者加午後字如未申酉
日晷圖說 子午卯酉兩線相交于
甲甲酉爲度以爲底以切線之八十
二度半爲腰置尺遞取七度半之底向甲左右作識
如甲乙甲丙次取十五度線之底作第二識如甲丁
甲戊每識遞加七度半每識得二刻則丁點爲午初
戊爲未初餘點如圖 次取甲己線上四十五度之
切線爲底割線之初點爲腰置尺取北極高餘度順天
府約五十之割線爲度從甲向南取辛辛爲心從心過乙
丁等點爲線爲時刻線又割線上取北極高度之線
順天府約四十爲表長即甲庚也表與面爲垂線立表法以表位甲爲
心任作一圈次立表表末爲心又作圈若兩圈相合或平行則表直矣
用法四 先有表度求作日晷則以表長爲底割線
上之北極高度爲腰置尺次以極高餘度爲腰取底
爲度定日晷之心次用元尺于切線上取每七半度
之線如前凡言表長以垂表爲主或垂線
用法五 有立面向正南作日晷法如前但以北極
高度求晷心以北極高之餘度爲表長又平晷之子午線爲此之
垂線書時創以平晷之卯爲此之酉各反之
用法六 若立面向正東正西先用權線作垂線定
表處即晷心從心作橫線與垂線爲直角 若面正
東于橫線下向北作象限弧若面正西于橫線下向
南作弧弧上從下數北極高之餘度爲界從心過界
作線爲赤道線又以表長爲底切線
線上之四十五度爲腰置尺遞取七
度半之線從心向外于赤道上各作
識從各識作線與赤道爲直角則時
刻線也其過心之線向東晷爲卯正線向西晷爲酉
正線 若欲加入節氣線法以表長爲度從表位甲
上取乙點爲表心從心取赤道上各時刻點爲度以
爲底以切線線之四十五度爲腰置尺又以二十三
度半爲小腰取小底爲度于各
時刻線上從赤道向左向右各
作識爲冬夏至日景所至之界
如上圖甲乙爲卯酉正線以
表長爲度從甲取乙爲表心以
切線上之四十五度爲腰甲乙爲底置尺又以二十
三度半爲小腰取小底于本線上從赤道甲向左向
右各作識即卯酉正時冬夏至之景界 次從表心
向卯酉初刻線取赤道之交丙點爲底切線之四十
五度爲腰置尺以二十三度半爲小腰取小底于丙
左右各作識爲本時冬夏至之景界次于各時線如
上法各作二至景界訖聯之爲本晷上冬夏二至之
景線 次作二至前後各節氣線以節氣線之兩至
點爲腰即鶉首之次西曆爲巨蟹宮以各時線上赤道至兩至界
爲底置尺次以各節氣爲小腰取小底爲度從各線
之赤道左右作識如前法
第十五金線
分法用下文各分率及分體線
置金一度下方所列者先造諸色體大小同度權之得其輕重之差以爲比例
水銀一度又七十五分度之三十八
鉛一度又二十三分度之一十五
銀一度又三十一分度之二十六
銅二度又九分度之一
鐵二度又八分度之三
錫二度又三十七分度之一
先定金之立方體其重一斤爲一度本線上從心向
外任取一點爲一度即是金度次以分體線第十點
爲腰此度爲底置尺依各色之本率于分體線上取
若干度分之線爲底從心取兩等腰合於次底作點
即某色之度點
又法 取各率之分子用通分法乘之
編按：原書此處爲立成表（數表），暫未收錄
次以各率開立方求各色之根
得金一六六弱
水銀一九一弱
鉛二〇二
銀二〇四
銅二一三
鐵二二二
錫二二八
若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根
率爲邊成立方即與金爲同類皆爲立方同重皆爲一斤之體
今本線用此以二二八爲末點如各率分各色之根
數加號石體輕重不等故不記其比例
用法一 有某色某體之重欲以他色作同類之體
而等重求其大小法以所設某色某體之一邊爲度
以爲底以本線本色點爲腰置尺次以他色號點爲
腰取底即所求他體之邊
用法二 若等體等大求其重法以所設體之相似
一邊爲度以爲底置尺于他色號點取其底兩底並
識之次于分體線上先以設體之重數爲腰以先設
體之底爲底置尺以次得他體之底爲底進退求相
等數爲腰即他體之重
用法三 有異類之體求其比例先依更體線通爲
同類次如前法