崇禎曆書卷之一百六十三 渾天儀說卷三
渾天儀說三卷目錄
立象
求兩星于立象圈上相合之時
求經緯星相照度
求歲旋
引照元與增力元相合
求引二元應止黃道何度
依渾儀解圓線三角形
任取一弧一銳角求餘弧及餘角
解斜角三角形總爲六題
依比例原法復解圓線三角形
求時圈與地平交角
求地平與黃道交角
求子午圈及黃道交角
求高弧與黃道各度之交角
目錄終
渾天儀說三卷
欽命山東布政使司右參政李天經督修
極西耶穌會士湯若望譔 訪舉博士孟履吉
仝閱
龍華民 訪舉博士朱國壽
同 會 訂
羅雅谷 訪舉中書朱廷樞 校
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
渾天儀說三卷 明山東布政使司右參政李天經督修
朱廷樞 潘國祥 湯若望 譔
修政曆法極西耶穌會士門人朱國壽 賈良琦 受法 羅雅谷訂
劉有慶周士昌
立象
立象者何任所得時刻應何宮度依之以推定十二舍
也而各舍所當居之度分並經緯諸曜皆從本度起
算則此因時之變得天之容乃占驗所繇以生第此
中緊要在定每舍之初界即初度舉所應得分數繪以
方圖或圓形隨點入星曜即渾天之象成矣法依本
北極高安球以本日躔度與時盤午正較對始轉球
與盤將先所得時刻居子午圈下而本球宛然一當
時之天象次于西地平識同居之赤道度並得相應
之黃道度即第七舍初界次起半圈至赤道上距三
十度之限所得黃道度乃第八舍初界遞起遞加盡
得地平上各舍初界而地平下諸舍則以黃道相對
處可定如一與七二與八三與九四與十五與十一
六與十二之類是也假如崇禎九年正月十五日辛
酉曉望月食順天府食甚在卯正一刻〇二分日躔
在娵訾宮一度五十三分因此時求各舍躔度先以
日躔對時盤午正依法轉儀得西地平交赤道一百
五十〇度交黃道鶉火宮一十三度此即七舍初界
正對東地平得玄枵宮一十三度爲第一舍初界即命
宮是上居天中得析木宮〇二度爲第十舍初界正下
得實沈宮〇二度爲第四舍初界半圈交赤道一百
八十度距前數三十度得黃道壽星宮初度爲第八舍初界
正對之降婁初度起第二舍又以半圈交赤道二百
一十度得大火宮九度爲第九舍正對之大梁九度
即第三舍後移半圈至子午圈之東得析木宮二十
度爲第十一舍星紀一十度爲第十二舍而正對處
即實沈鶉首相等之處爲第五及第六舍因而上下
左右四角四角占驗最得力處定矣復求緯星所居之舍或依
表預算或徑用推定七政細行則以本北極高及本
時刻取各曜相應度分入其舍若星近舍初界有距
度或可入前舍中必先以黃經緯安球上隨以本曜
所居之處求于本舍而以前所立象定球漸移半圈
如法起舍乃星入前後界內者即得本舍是也若地
平下各舍之星法起南極于架上與北極等高移前
第一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居
地平上即得諸曜本舍之界如以鶉火十三度交西
地平至壽星初度總弧內得前月食惟木星與太陰
畧近查丙子年七政細行食甚時木星躔鶉火二十
九度五十七分而火星則躔大火三度三十分應入
八舍土星躔星紀一十一度三十分緯北三十四分
必在十二舍之初界太陽金水二星皆在娵訾宮因
同入命舍其土星依本經度惟緯北三十四分故得
在十二舍之初界若距黃道北或一度半或二度試
以舍圈限之必其已入十一舍因近頂緯多故也求
恆星法同此蓋此象一立則凡各曜性情勢力强弱
可考而知窮理之家借以觀變于未然鮮有不驗者
其法詳天文卷中
求兩星于立象圈上相合之時
凡兩星本各無力一合即增力此實足爲所立象損益
之原也故以初得某星某宮度主人生命等事者安
東地平依本地北極高即應查其與某星相合否蓋轉立象
圈于球面上下得二星在通徑上即命星在地平時
其星必合否則令球與立象圈各自那轉後求其當
合時法必得二星能如此合遂識赤道交子午圈度
次移本日躔度合子午圈併識其同居赤道度乃以
前赤道交度減後赤道交度餘度化爲時刻即得二
星應合之時如極高四十度一星在鶉尾宮二度距
緯南三度又一星在本宮四度距緯北一度本日躔
鶉首宮七度試轉儀併半圈見子午圈西未合必過
東近地平方可得合而合時赤道則以七十五度交
子午圈便移日躔至子午圈下得同居赤道九十七
度爲前度所減先借全周後減餘三百三十八度化爲時得
二十二時二刻〇四分即二星去午時後合圈下之
限
求經緯星相照度
凡兩星相照增力或阻力多以向黃道爲準大約有五
等如會合即同度同分爲密而同度不同分者則謂
之疎六照以六十度爲界四照止于一象限三照以
四宮相距而云然望照則以正相對而得半圈之距
乃此數照又各有親或遠者蓋星體居正照之界即
親而力强若體未正居其界而第以光居之即遠而
力弱至若光之前後雖同而各星所定之限有異如
土得十度前十後十木十二度火八度太陽十七度金水
皆七度太陰復十二度經星凡第一等有七度三十
分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三
十分五六等最微力弱不入其數總之除會望二照
餘皆以順十二宮爲左照逆十二宮爲右照試于儀
上考之法用規器量黃道上任取一照之界六十九十等度
以星爲心于黃道左右分順與逆照之限假如求大
角四照以九十度爲限將規一銳居本星體一銳指
左界九十度必至星紀十七度爲順照指右界九十
度必至鶉首十七度爲逆照若七政必先依各經緯
度安其本位餘法同前又一法用立象半圈先依北
極出地安球任取本時升度居地平乃移半圈徑過
其星依之于赤道上作識後轉球從前所識赤道度
相距三四等照界仍移半圈其上所指黃道度即星
照所至界也假如升度在壽星十六度求軒轅大星
六照限必移升度于東地平立象圈過星指赤道一
百三十八度復加六十度應一百九十八度居立象
圈即併得壽星宮十六度居本圈爲軒轅大星六照
之左限其右限則以反減六十度爲法
求歲旋
凡從前所取時刻至太陽復躔元度分其中相去總數
謂之歲旋蓋依後時所立象較前象所得七政等星
居舍內應增或阻前星之力即效驗所繇變也法令
球依前立象之時定住視赤道交子午圈若干度爲
前象天中升度今越若干年復求後象天中之升度
必每去一歲加八十八度四十九分滿全周則去之
餘數即後象赤道交子午圈度使之于本圈正合可
得天容依歲旋之時因以定各舍宮度而各星安舍
法亦同前假如崇禎元年正月酉正時立前象因太
陽躔玄枵一十六度一十九分依法轉球令時盤酉
正交子午圈得赤道交本圈之升度爲五十度設相
去八年復立象爲崇禎八年十二月二十九日太陽躔元
度是則以八乘八十八度四十九分去全周餘四十度
三十三分爲後象之升度移居子午圈得本圈指酉
初二刻爲歲旋之時如用立成表細求即後歲中先
查太陽躔元度分之日爲歲旋終之日次以後象升
度減太陽是日之升度不足減借全周減之餘數化爲時刻分
即得當日立象之時刻焉假如因十二月二十九日
太陽躔元度爲歲旋終之日其升度三百一十八度
四十八分後象升度四十度三十三分不足減借全
周共得四百〇度三十三分減去前數餘八十一度
四十五分化爲五小時一刻一十二分從午正起算
加升度表
歲一一一一一一一一一一二三四五數一二三四五六七八九〇一二三四五六七八九〇〇〇〇
一二三一二三一二三一二三一二三一三一度八七六五八七六五七八五四七六五四六五四三四一二
八七六五四二一〇九六七五四三二一九八七六四二〇
四三二一〇五四三二一〇四三二一〇五四三二三四五分九八七六五四三三二一〇九八七六五四三二〇〇二三
引照元與增力元相合
凡初得某星某宮居某舍因之以占所效是謂照元設
更有一星或一宮所居舍能增力或阻前效即謂爲
增力元二元必各依定時著力乃就中求以前者至
後之位或反以後者至前之位俱依赤道弧相應二
元之距爲限轉球查其弧之大小爲引則一度應一
年度數既定應在何時亦可限矣故引後至前以順
宗動爲正而引前至後則因五緯逆行時用之遂名
曰反引皆于球上可得正引者何轉球先依天象安
定令黃道應第一舍初界之度正居東地平次查照
元移象圈徑過其上併識赤道合子午圈度又轉球
右行以增力元至半圈復識赤道交子午圈度則先
後所識之間弧乃指正引限而總數可推年時也欲
反引安球令之轉同前惟立象圈宜先徑過增力元
復識轉球時赤道過子午圈弧因以定其中相去之
年假如北極高四十度設大梁十度在第一舍初界
太陰離黃道娵訾二十度距北二度爲照元火星近
東地平躔大梁六度距南三度爲增力元必先依各
經緯度帶二曜于球上然後令象圈過太陰處所交
赤道點約爲三百五十二度用本圈與用子午圈同次定住象
圈移火星與本圈正對約得赤道交圈點爲二十八
度以所得前後度相減餘中弧爲三十六度即正引
之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南極
依北極出地度令黃道第一舍初界之度正居西地
平餘法同前見前第二卷
求引二元應止黃道何度
因照元漸離初得之象圈乃更有黃道相應故任至某
年亦可求其相應度法先安球依本象令象圈與照
元合隨查赤道交子午圈度因之順或逆取本度與
年數所止限移至子午圈必此時交象圈黃道度即
其年所引照元止限也如北極高四十度設壽星十
六度東出太陽躔玄枵六度爲照元依去四十二年
之數復求躔度因安壽星十六度于本地平安象圈
于鶉火六度與玄枵對度因後在地平下故得子午圈交赤道一百
一十度以加四十二度依之應一百五十二度交子
午圈得象圈交鶉尾一十六度即娵訾一十六度正對
宮度是爲照元去四十二年所至限若照元自居四角
不必用象圈依所取年數轉球復居本角黃道度即
照元所止度設壽星十六度爲照元而出地平者亦
即此度則得地平交赤道二百零一度令球右轉以
赤道四十三度至地平則所并居之大火十九度即
爲照元任取之年後止限又設增力元亦居地平等
角即以同居赤道度減年數之度所止限復移至地
平等角亦即得黃道交地平等角爲其當年所至之
限或增力元不正居角仍用象圈與之交并識其所
過赤道度減總年數餘度限移至本象圈復得并交
黃道度爲增力元當年之限也
依渾儀解圓線三角形
圓線三角形者何乃過球心大圈相交三弧之形而各
弧不及圈之半周所成也蓋形內每兩弧共抱一角
在間者謂之腰弧而與角相對之弧即底弧或又謂
直角三角形內以所抱直角弧爲底弧及垂弧即與
勾股不異而以所正對直角者爲弦弧論角其大小
以對弧之大小爲則蓋用規器以本角爲心以九十
度爲界則兩腰間之弧腰先引長必量其角得本弧爲一
象限即對角爲直角過象限爲鈍角不及象限乃爲
銳角凡弧或角不及滿象限之度名之爲餘又凡兩
腰引長至合一點則得抱角之對三角形以底弧爲
公底以對角爲等角而餘弧餘角皆前三角形所不
及滿一百八十度之餘弧餘角者也因止一直角三
角形得餘皆鈍角者則與直角正對之形內腰間角
必直餘反皆銳也如止一直角三角形得餘一鈍一
銳者則與銳角正對之形內惟前形直角相
連之角爲直角餘皆銳角也如圖乙戊丙形
內設戊爲直角乙丙皆鈍角即其對形乙甲
丙內得甲爲直角乙丙皆銳角也又丁丙戊
形內設丙爲銳角戊直角丁鈍角即其對形
爲丁己戊而戊角獨直丁己皆銳角論斜角形如三
角總爲銳角必對形獨存一銳角餘皆鈍角也設乙
甲丙形內甲爲銳角即得對形乙戊丙內戊亦爲銳
角乙丙皆鈍角如三角總爲鈍角乃對形反存一鈍
角餘皆銳角也設乙戊丙形內戊爲鈍角即乙甲丙
內甲亦鈍角今解三角形法多論不及一象限之弧
即銳角之底是也因以斜鈍角形先變爲銳角形以
直角形有一或二鈍角者亦先改爲對形則就中推
求之法與解原形不異即餘弧餘角之理所繇出也
今用渾天儀解之亦倣此但先解直角形盡之于三
比法有以先得一銳角并與各弧者又餘銳角復并
與各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法
如左
任取一弧一銳角求餘弧及餘角
設甲乙丙三角形內甲爲直角其底乙丙餘弧即腰則
乙與丙皆銳角也先設得乙丙直角之底弧
及乙角欲求餘盡解本三角形法架內北起
子午圈令赤道前高依本角之度然後或東
或西自赤道交地平處與本地平查底多寡之度以
爲限移過極圈至此限上即三角形儀上定矣如乙
角爲二十三度半以前子午圈弧爲則使赤道依之
其左右交地平角即得對弧以定大小今甲爲直角
必于赤道交過極圈處求之則地平上得底若設乙
丙底弧爲六十度而移過極圈至本度從乙角算起因大
腰在赤道弧約爲五十八度小腰在過極圈弧爲二
十度有半自過極圈交地平查各圈滿一象限即以
其限安高弧得二圈間之弧爲丙銳角之對弧約七
十八度又設以小腰及本角求餘弧及餘角即先定
角等法同前而以所先得甲丙弧如二十度半與過極圈
上爲點移之至交地平必自得腰與底弧合前度即
丙角亦在高弧同矣或以大腰查求其餘亦先定乙
角而轉儀以漸進赤道弧入地平令自其二圈相交
之處獨餘五十八度至過極圈交赤道之角必餘法
餘度亦合前也
今試以三弧各與丙角爲先得如底爲六十度求餘
弧餘角法移過極圈至地平距子午東或西三十度
六十度餘是定住球使高弧距二圈相交之處各滿一象
限得間弧爲七十八度即所設之形準否則宜前或
後起子午圈必令高弧對丙角如其度爲止即子午
圈自地平以上得對乙角之弧而直角兩腰皆明矣
或設先得大腰與丙角必進或退赤道圈定其腰之
大小如五十八度即安高弧而起子午圈依前法求餘弧
及餘角也或以小腰及丙角求餘即先于過極圈查
腰弧大小之度使之交地平以試高弧得全形蓋對
角弧不及其度即球宜北起過極圈宜南下若對弧
已過其度則球反宜南起隨移過極圈東西得正然
後餘角餘弧皆依前法準得矣任取一腰一底或二
腰求餘弧及諸角先設得小腰與底弧皆依前度法
令球轉東或西以過極圈限底弧之度如六十度視本過
極圈自赤道至交地平弧若正合其度如二十度半即三
角形已定否則前後起儀求小腰務合于地平乃所
對大腰亦復得五十八度而查乙角丙角必同前又
設得大腰與底弧亦先定底弧度漸起球或下令之
左右轉以并對大腰度即小腰亦自合而求角必依
前法也或復設得二腰求底與角即先定大腰令球
下或起即得餘腰與底而求角亦不異前也
解斜角三角形總爲六題
其一曰以二腰及間角求底弧及餘角如甲乙丙三角
形內丙爲鈍角甲乙皆銳角設先知甲角即間角則乙
丙爲底餘弧皆腰也如甲角爲三十度大腰六十度
小腰止五十度法于子午圈查距極南北不拘六
十度之弧移其限于天頂次用過極圈令距
子午圈左或右而以赤道三十度爲限末安
高弧東西必依極圈所居方位令之交極圈距極限
五十度即三角全形定矣大都子午圈爲大腰極圈
爲小腰高弧爲底因而如前圖得乙丙底爲二十六
度有半乙角以地平爲對弧在子午圈及高弧之間
得五十九度有半所餘丙鈍角欲求其對弧未免再
移球故先依高弧于球面上界線後轉極圈令交高
弧之點正居子午圈下而并其子午圈起之以當天
頂乃復依先界之線安高弧而以至地平爲限則此
限及子午圈之中弧即丙餘角之對弧爲一百八十
度所減存得丙角一百零三度若用渾儀求之線宜
界于黃道上或高弧本位不與黃道遇即于未轉極
圈之先移高弧于正對地平度所遇多寡度界線其
上餘法同前而所得弧即正丙鈍角之對弧也
其二曰以二弧及先所得一弧之對角求餘弧餘角
如前圖設先得甲乙弧六十度乙丙二十六
度半及丙角一百零三度法起子午圈以二
十六度半爲距極之限令之居天頂則自極
至頂得乙丙弧將秋分經圈西距子午圈十三度依赤
道爲則或將春分經圈東距十三度則自二至經圈至
子午圈其中得赤道弧爲一百零三度乃丙角之對
弧也又安高弧使之以六十度自頂下數交過至經圈即
以高弧得甲乙以經圈得甲丙而甲乙丙形全矣今
查甲丙必爲五十度乙角則自高弧至子午圈在地
平上必五十九度半所餘甲角因依高弧于黃道上
界線然後移經圈交高弧之點以正居天頂而依界
線復安高弧得交地平至子午圈之中弧爲三十度
或不移球止安高弧于地平正對之處用規器于前
交經圈及高弧一象限之界量二圈所距亦必得三
十度爲甲角之度也
設反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十
度以求餘弧餘角法起子午圈令距極五十度之限
在天頂次轉儀使過極圈距子午圈之東或西依赤
道上三十度爲則即于高弧自頂而下數至二十六
度半以之交經圈即得餘弧于本圈爲六十度而高
弧在地平上其距子午圈一百零三度乃爲丙角之
對弧仍依高弧在黃道上作線令前交之經圈六十
度居頂用高弧順線下至地平必得五十九度半即
形內乙角也
其三曰以二角及先所得一角之對弧求餘角餘弧
設甲乙丙形先得乙角爲十度半丙角爲一百五十
四度半又得甲丙弧對乙角爲二十三度半宜求甲
角與甲乙及乙丙弧但既先得甲丙對乙角
之弧亦應知甲乙對丙角之弧過象限否今
使過象限法查經圈左右赤道上之十度半
令之正居子午圈隨于地平上從北去南查一百五
十四度半以之安高弧因而起或下子午圈必視其
所交經圈之點距北極出象限外乃并視經圈所交
高弧之點必距天頂二十三度半一得距度準即本
形定矣蓋乙角在極中經圈及子午圈之間與正對
赤道得其若干十度半丙角于地平一百五十四度半甲乙弧
于經圈上約得一百零六度乙丙于子午圈上得八
十四度半止餘甲角必起高弧與經圈所交之點至
頂而求其角于地平依前法得其爲二十七度
其四曰以二角及角間之弧求餘角餘弧如前形內
設甲角爲三十度丙角一百零三度甲丙弧爲五十
度法自極中查子午圈上五十度令之居天頂爲甲
丙弧查地平去子午圈北一百零三度以安高弧爲
丙角末以赤道上距經圈三十度之限移居子午圈
乃得甲角而餘弧自明矣因而高弧上得乙丙爲三
十六度半經圈上得甲乙爲六十度若求餘角必起
高弧所交經圈之點至天頂依前法查之乃得
其五曰以三弧求諸角設甲乙弧爲六十度乙丙爲
五十度甲丙爲二十六度半法使甲乙弧在
子午圈出極中至天頂即以之安高弧令以
二十六度半從頂算交經圈距極五十度之限
必得乙角于赤道圈甲角于地平而丙角則起經圈
五十度至頂依前法求也或使乙丙五十度在子午
圈而以高弧安經圈之六十度即乙角可在赤道上
得丙角則反在地平甲角則起球求之法同前其六
曰以三角求諸弧設甲角爲五十九度半乙角爲三
十度丙角爲一百零三度法轉經圈于子午圈之東
或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三
度皆以赤道弧爲則必得相應之角在經圈過極之
處安高弧亦同法蓋其交地平距北或三十或五十
九度半或一百零三度必皆在地平上算而相應之
角則在天頂但安高弧必先于地平取準乃于天頂
未定之時漸起或下儀試二弧遠近相交之處以對
餘角其法或識高弧交經圈之點于頂而地平上試
所求角正對之弧或用規器從高弧與經圈相交之
各點距一象限量其二弧所距必先轉高弧于地平正對度得合
餘角即初起之球必準否即更移之總以試定三角
後而其弧自明矣
依比例原法復解圓線三角形
圓線三角形中之比例總歸四原因生四公論以盡解
或直或斜三角形之理 一論曰凡多直角三角形
得銳角同近底線者以較其弦及垂線之正弦必皆
互得比例設後圖于儀上甲乙丙
丁爲地平戊爲天頂從戊過甲戊
丙與庚戊己皆以直角交地平彼
爲子午圈此爲高弧乙辛丁當赤
道圈以直角交子午于辛以斜角
交地平于乙于丁蓋多三角形中
取二形即丁辛丙及丁壬己乃二形中有丁辛與丁
壬爲弦線辛丙與壬己爲垂線丁丙丁己皆底線銳
角在丁依常法以辛癸及壬寅兩弦線之正弦與辛
子及壬丑兩垂線之正弦互相較先得三線其餘線
俱可得矣今用渾儀顯之試以二弦線及大形中之
垂線求小形中之垂線因而設丁辛得九十度爲赤
道一象限丁壬爲赤道四十二度之弧辛丙則其地
平高得四十八度二十五分法移高弧在壬下至地
平得壬己弧爲三十度〇二分或安高弧以三十餘
度交赤道圈即自限小形之弦可并得兩弦線欲求
大形中之垂線則辛丙必爲子午圈上之弧自地平
至赤道高四十八度二十分或以二垂線及大形中
之弦線求小形中之弦線各依前所定度則自壬高
弧交赤道處至本赤道交地平丁必得四十二度
二論曰凡多直角三角形得銳角同近底線者以較
其底線之正弦與弦弧之切線必皆互得比例如前
圖三角形同而大形底弧之正弦
癸丙其切線即卯丙小形底弧之
正弦己巳其切線爲辰巳皆可反
復相解或求垂線或底線必以算
乃得今于渾儀上查之設赤道高同前高弧交處亦
同前度必所得垂線亦不異前若求丁巳底線即自
赤道交地平至高弧切地平之處得其弧爲三十度
五十餘分因依常法凡弦弧之正弦與垂線之正弦
得比例可互求而底線之正弦較垂線之正弦則否
何也蓋垂底兩弧之正弦各圓線形內不能合成一
直線三角形故見前第一圖用渾儀可免直線形止須以
圈相交處即得各弧之長短大小焉
三論曰凡圓線三角形其線之正弦必與對角之正
弦得正比例如後圖設甲乙丙爲直角三角形直角
在丙餘皆銳角各邊引長爲一象限至
壬至戊至丁自丁復引象限至子至庚
因得乙丁己斜角三角形今依常法直
角形內求甲丙邊即因先比之丙角與
甲乙或甲角與乙丙推乙角與甲丙之比例求乙角
即因甲乙反比之丙角或乙丙與甲角亦算得甲丙
與乙角又求乙丙應以甲角較推如丙比甲乙同而
反求甲角應以乙丙邊推如甲乙比丙同此反復用
八線表推求法也若用渾儀即本圖內子甲壬自當
地平必得天頂在丁而子丁壬爲子午圈設辛乙戊
爲赤道丁乙丙爲黃道或當高弧則直角形中之三
邊各顯于本圖各有定度可取蓋論角則丙角自顯
爲直角以丁子弧可徴餘角皆以對弧得則甲角以
戊壬乙角以辛癸是也試于斜角三角形內先求乙
己邊必以丁對角推之用乙與丁己或己與丁乙之
比例求乙己等角亦以對邊求之法必同前但查表
或疑其所求角應銳與否如查正弦九二七一八應六十八度并應一百二十
二度必以取準圖形爲正或用天球尤易明蓋設丁庚
爲高弧得丁角于丙庚地平弧乙角在兩道相交之
處必對則在過二至之圈弧己角既爲鈍角乃左右
之邊無以定其象限必球上自頂順高弧界線而線
交乙己弧之點移至頂則球一面依先界線安高弧
必盡于地平一面赤道亦自至地平彼此間地平弧
即能量定己角矣
四論曰凡圓線三角形兩邊各小于象限先以兩邊
弧自并後又以小邊并大邊之餘弧而即以此後總
弧之正弦或減先并總弧之餘弦或加其過象限弧
之正弦所得線半而用之乃以求第三邊即前兩邊
間角之矢與他線如全數與前半線所復得線爲後
并弧之正弦所減必餘第三邊之餘弦或爲後并弧
之正弦所加亦餘第三邊過象限弧之正弦若反求
角則他線與角之矢如前半線與全數而他線亦爲
後并弧之正弦以內減第三邊之餘弦或加其過象
限弧之正弦所生因此三角形中之兩邊并較象限
或等或小或大而各依之以推第三邊設角時直時
斜皆同但推角設邊反異蓋兩邊并較象限相等或
小則設第三邊必小于象限獨兩邊并大于象限所
設第三邊亦能大于象限故法雖同臨推種種畧異
此等三角形歷家無所不用雖加減法若省然亦未
免于煩欲查渾儀則捷若指掌何也以二邊及間角
求餘邊先設兩邊并與象限等其一爲四十七度其
一爲四十三度間角爲五十度試于儀上極高四十
度即安高弧令地平上依間角自南去東距子午圈
五十度自頂于高弧上查四十三度亦自頂于子午
圈餘四十七度得其中黃道弧從娵訾宮一十四度
至降婁宮一十七度共爲三十三度即形內餘邊也
復設兩邊并小于象限如各爲三十五度間角與極
高同前得三邊在中黃道弧則自降婁宮九度至大
梁宮六度共爲二十七度又設兩邊并大于象限如
各爲六十度餘皆同前得第三邊在黃道弧自玄枵
宮二度至娵訾宮十五度共爲四十三度若求角即
以先所得三邊反查高弧及子午圈之間角則所得
三弧必生五十度之角第原法凡得三邊小于象限
者用其餘弦與後并弧之正弦相減大即以其大弧
之正弦相加乃儀上亦無二法如黃道自玄枵宮一
十八度至實沈宮初度共一百零二度爲第三邊其
對角當在高弧及子午圈相距之地平上得一百一
十度此則抱角之二弧并必大于象限也今試以公
論用儀解日食內所算三角形則凡直角形歸一種
斜角形又歸一種其列二等如左
求時圈與地平交角
時圈與赤道經圈及過赤極圈皆一而獨以其所用有
分別焉設太陽居正午其過時圈至地平正交必爲
直角若午前後因斜交地平得角亦斜且大小不一
復設太陽在正東距正子午圈共六小時則過時圈
至北極得九十度其交角大小與極高度同使交角
在正午及正東西間即以高弧求其大小法從交點
各圈上正去九十度安高弧地平上算必本弧上從地平
至交時圈間度爲時圈交地平角也假如太陽躔降
婁宮初度設時爲辰正二刻先將午正與本躔度并
居子午圈下後轉儀令辰正二刻正切子午圈乃本
時圈交地平從正東起南去四十度以之安高弧又
距本度滿一象限則又在正北之四十度以此度復
安高弧從地平上數起得交時圈五十三度爲時圈
交地平角也
求地平與黃道交角
法用高弧過黃平象限下至地平即因高弧爲大圈以
所正對交角之弧能量其大小則必自地平至其交
黃道點乃得黃道交地平角也假如北極高四十度
設實沈宮初度居地平東出得平象限偏子午圈之
東以高弧從此點過至地平約得三十四度一十〇
分爲地平及黃道二圈之交角蓋黃道因半周恆在
地平上而平分左右各得九十度獨冬夏二至此限
正合子午圈外此則限每偏東或西所以查交角用
高弧不能用子午圈也
求黃平象限距子午圈爲三形之弧
黃道隨宗動左旋其交子午圈也時高時庳因而兩象
限之中點距天頂亦時近時遠且以斜升斜入故則
九十度限大半偏東或西乃從冬至迄夏至限常在
東從夏至迄冬至限常在西即從而得限及子午圈
中之弧也今依法加高弧使之過其限必以直角相
交其角左右之弧一在高弧一在黃道而相對之底
弧在子午圈則三弧共爲直角三角形也明矣本形
內各弧亦能自顯度分乃限距天頂又距子午圈等
度皆見于弧若更求高弧距子午圈中黃道之對角
必應查于地平即以高弧距子午圈之中弧量之乃
得且本弧大小正與黃道出没之廣弧等如北極高
四十度設大梁宮初度爲平象限因偏東十四度以
安高弧得其至地平切子午圈東二十七度即象限
偏子午圈對角之弧與黃道自正東去北之出正西
去南之入等校：入原訛作人今改而高弧自頂至交限點則三
十度也
求子午圈及黃道交角
凡黃道以冬夏二至交子午圈成角者必爲四直角因
子午圈當過黃極並二至圈此間必正相交故也使
以春秋二分交即爲斜角得對弧正與兩道最相距
之餘弧等從此距分漸遠交角亦漸易必自冬至至
夏至交得銳角向東北或西南自夏至至冬至亦交
得銳角向西北或東南法以黃道度正合子午圈定
住移交點至天頂從此至地平兩圈各成象限則其
間地平弧能量交角之度如大梁宮初度交合子午
圈七十九度從北極算必移其七十九度在頂與本宮初
度相交其二弧至地平間必抱七十度東北與西南
皆等又設鶉火宮以十五度相交因在子午圈七十
四度移本度居頂得二圈至地平中弧必爲七十二
度西北與東南皆等
求高弧與黃道各度之交角
先依黃道距午正前後度以赤經圈交黃道角或加或
減于高弧交經圈之角乃得高弧與黃道或正或餘
形內外是之交角此原法也今用渾儀可免加減徑安高
弧交黃道于其距正午度即依前法界線隨移本度
至頂復依線安高弧必得角于對地平弧矣如北極
高四十度設大梁宮初度距午正六十四度東西無異使
高弧交其躔度因得界線後起大梁初度居頂依線
復安高弧即得所指地平五十八度爲高弧交黃道
角也或不必轉儀而獨移高弧于地平對度用規器
于高弧及黃道弧距前交點九十度之界量其二弧
相距則地平上亦得五十八度如後圖甲爲天頂丙
戊黃道弧甲丁爲子午圈平象限距其東設在乙日
食在戊或丙依前第三及第四題公論以二曜躔度
丙及定朔時先得丙丁黃道弧必使丁居正午以高
弧過丙爲甲丙丁斜角三角形內求
甲丙弧二曜地平高之餘弧及丙交角蓋以甲
丙查得太陰高庳差丙己是丙角與小
形內交角等因并得所餘己角壬自爲直
角而以之推丙壬時差及壬己氣差故也或依第一
及第二題公論以先得黃道交子午圈丁點于儀上
并得平象限相距之乙丁弧即安高弧過乙限先得
甲丁乙直角三角形內查甲乙本限距頂之弧而更
使高弧過丙躔度乃復得甲乙丙直角三角形內求
甲丙弧及丙角皆依前法因解丙己壬小形以求視
差其法尤省