崇禎曆書卷之四十三 測量全義卷六
法原部
測量全義第六卷 測體
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
訪 舉 楊之華
黃國楨等 算
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部測量全義第六卷測體
明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
孫嗣烈 陳正諫
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人楊之華 周士昌 受法 湯若望訂
掌乘劉有泰
論體校：清刊本此前有測量全義六卷標題
曆家所重全在測量所當測者略有三事一曰線測
其長短二曰面測其長短廣狹三曰體測其長短廣
狹厚薄所以測體者何也即如交食一法日與月各
有不同心本天各有最高度最高衝度其去人遠近
也恆不等其自相去之遠近恆不等人目所見二曜
之體大小恆不等若此者必于地體推之故有日與
月與地三大之比例別有本書不用此比例何繇知交食
之歳月日時地影即闇虛比于月體小大之數幾何乎
不因地月之比例何從推日輪之視體幾何大去人
幾何遠乎則何繇知日食既之有無金環乎何繇知
月食過分之闇虛幾何大乎何繇定食限之幾何時
刻乎不知地球之大何繇定東西相去幾何里即交
食前後相去幾何時刻南北相去幾何里即日食應
有應無有則幾何分秒乎則安得不講于量體之法
乎然則測線測面者何也曰體者諸面之積也未能
測面安能測體面者又諸線之積也未能測線安能
測面又測候七政行度皆以句股弧弦諸法諸法則
皆線也諸線之積爲面不知面理則亦不能晰線之
體勢故三測爲並重也雖然測天皆曲線曲面也直
線與平面何爲乎曰曲線法從直線出也曲面法從
平面出也猶圓體法從方體出也故繇線而面而體
繇直線而曲線平面而曲面方體而圓體譬之跬步
前步未行後步不可得進也是測量之全義也
體者面之積或實如金木土石等或空如盤池陶穹等
俱同理同法
其界爲面面居體之周面截面生稜如線遇線生角也又稜爲兩面之共界
一面之體如球如卵
二面之體如半球半卵圓角圓堆
三面之體如剖球卵之一分
四面之體如三面角體而四面等
即三面角體第因各面俱等故屬四面
五面之體如四面角體因角體之面無定數故左方不列其名
六面之體如立方正立方斜立方
八面之體八面俱等
十二面之體十二面俱等
二十面之體二十面俱等自四六八十二二十面之外不能爲等面胥無
法之體也
公量如斗如升皆足爲體之量總之以立方爲本
如用尺寸分爲度而一尺之體其長其廣其袤各
一尺八俱直稜八俱直角乘法一千實寸爲一實
尺一千實分爲一實寸則以立方之體再自之耳
此爲物數均齊推算簡易者也
幾何原本一十一卷詳解其理今略引一二如左
有法之體二其上者各面俱等蓋設一邊即知其面
其容也其次則對面爲平行面或同類之體有公法
如角體者是也球亦有法之體蓋其徑其周其外面
其容之比例恆相等第以比例無盡分之數亦屬次
焉
第一體名立面體如正立方斜立方多邊立體正立圓
體扁圓體因其上下爲平行面亦屬等面公法以高乘底之積得其
容高深兩名互用其高之度則垂線也
幾何原本十二卷七增題曰兩平行面內之體或同
高兩體其比例爲體與體若底與底但取同類相求
以正高爲據不論體勢直與不直
又本卷三十二題曰同類之體與體凡比體者皆以其容積相比
爲其邊與邊三加之比例 解曰三加之比例者四
幾何爲同理之連比例則一與二爲一加與三爲再
加與四爲三加也五卷十界此云三加者謂體之一與二
若其邊之一與四也如二 四 八 十六爲四幾
何同理之連比例其首二尾十六爲三加之比例則
小體之邊二大體之邊四其小體之容與大體之容
若小邊之二與大邊之十六也
系凡同類數體測定一體之容即其容與他體之
容爲其邊與邊三加之比例設有立方體其邊八
其容五一二又設次體其邊十二即八與十二再
加之得十八三加之得二七其超法爲一身有半則初體與
次體若八與二十七或用三率法八與二十七若
五一二與一七二六或以四率連比例之第二率
再自之得數同
第二體名角體底廣上銳如堆垛錐亭峰之類其法同
也幾何十二卷七題之系曰同底同高之角體與平
行面體即同高體之比例若一與三法曰如方錐之底邊
設九則底積八十一設高十八以乘底積得一四五
八以三爲法而一得四八六方錐之容也又如圓堆
之底周設十二尺設高五尺則先求周之徑得三又
十一之九相乘得四五又十一之九以四爲法而一
得十一又十一之五底積也以高乘之得五七實尺
又十一之三以三爲法而一得十九又十一之一爲
圓堆之容系凡委粟及倚垣等角體皆求立體之容三除之爲角體之容
若不知其正高但知其底及稜則先求其正高
法曰若稜爲偶數如上圖得四甲乙丙丁爲底之四
邊各八又半甲丙對角線十二弱戊爲角頂戊甲戊
乙戊丁戊丙爲四稜各十而求次圖之中長線戊己
次圖何物如上圖戊甲丁丙乙爲全體若從戊頂向甲丙對角線平分之爲二即所截之兩面各成戊甲
丙三角形甲丙底十二弱戊甲戊丙各十以此三邊求中長線戊已即角體之
高
法以半底甲已自之得三十六句方以減
腰方一百弦方餘六十四股方開方得甲已
八爲角體之正高餘如前
若稜爲奇數如五底之各邊爲十二稜
之度爲二十則先求一面之中長線各體
有底有面有稜底之邊隨體無定數面則恆各爲三邊形形之底線即底之一
邊兩腰即稜也依句股法半底邊得六爲句自之
得三十六句方稜度自之得四百弦方相減
得三百六十四股方開方得一十九又一十三之一即股
即面形之中長線
次求底形之中長線用正弦法以五底之邊數爲法三百
六十全圈之周爲實幾何論凡有法之形形外可作圈切形之各角形內可作圈切形之各邊
而一得七十二度爲一邊之弧半弧之正弦即底之半邊
爲五八七七九第一率也內半邊之數六爲二率外
半弧之餘弦八〇九〇二爲三率內算得八又四之
一不盡外爲五邊底形從心所出之中垂線又正弦
內與半邊外若全數內與半徑外得一十又五之一
强形外圈之半徑兩數并得一十八又二十之九强爲五邊
形之中長線
次以面形之中長線底形之中長線及一稜之度三
線相遇成一三角形平分全體所分之兩面有三邊之數求中
長線得一十六又半不盡爲所求元體之正高
底之周六十半之得三十以中垂線乘之得五七二
又十三之四爲底積以正高乘之得九四三八三而
一爲元體之容得三一四六也
若稜之度長短不等則用最長之稜及其對面之中
長線求體之正高
論曰角體爲立面體三之一者何也如正立方體自
上而下對角平分之爲兩塹堵每一塹堵得正立方
二之一又于塹堵之兩方面自上而下對角平分之
成大小二分大者爲陽馬得塹堵三之二小者爲鼈
臑得塹堵三之一則一正立方分之爲塹堵得二陽
馬則三鼈臑則六角體者陽馬也故得立面體三之
一也說見九章算
又外切圈之半徑爲句稜數爲弦用句股法求股即
元體之正高此法甚簡易但須各稜俱等乃可非公法也
截圓角體法有五從其軸平分直截之所截兩平面
爲三角形一也横截之與底平行截面爲平圓形二
也斜截之與邊平行截面爲圭竇形頂不銳近
底之兩腰稍平行三也直截之與軸平行截面爲
陶丘形頂曲漸下漸直底兩旁爲銳角四也無平行任斜
截之截面爲橢圓形五也內第一第二第
五有本論第三第四其面皆爲一直線一曲
線兩界之面所截體之一分皆爲兩平面
一曲面三界之體亞奇默德備論其量法
然非測量所必須又各截面皆有底有軸即中長線有曲
線若轉軸環行即徑線爲平底界曲線爲曲面界生
二界之體其邊名曰平曲之邊平曲者從曲頂而下
漸趨平也若以此體爲空體則皆造作燧鑒之法以
其淺深爲光心之遠近亦非測天所用未及詳焉
第三名斗體古名方窖圓窖等其上下兩面不等而相
似蓋角體之截分也引長其稜即相遇而成全角之
體凡置斗體大面居下本角體之截分角體欲自立底必在下也其置截分亦然
法曰若知本角體之高即先求本角體之容後求所
闕截分之容相減餘爲元體之容假如斗體之底長
方一邊得八一邊得九則其積七十
二以全高二十四乘之得一七二八
以三爲法而一得五七六全角體之
容也次置斗體上面之一邊四一邊
四又半其積十八即闕分之底以闕分之高十二乘之得
二一六以三爲法而一得七二闕分之容也以減全
角體其較五〇四斗體之容也
若不知全角體之高則截體分求之法
曰如甲乙丙丁斗體之大面也邊各二
十四戊已庚辛小面也邊各一十八用
垂線截斗體從戊已邊向下至午未底分元體爲二從
辛庚邊向下至申酉底從庚已至戍亥從辛戊至子丑
皆如之分元體爲九一居中成立面體四邊四體爲塹
堵正二面一立一斜側二面爲句股四隅四體爲陽馬即角體亦名方錐各以
本法求其容并爲斗體之容塹堵以高乘底積二而一陽馬以高乘底積三而一
立面體上下兩面等各邊十八其積爲三二四以高
十五乘之得四八六〇
塹堵一名句股體其底長方辛子三兩面之較六折半得
三辛庚爲十八乘得五十四爲底積以正
高乘之得八一二爲法而一得四〇五四倍之得一
六二〇四邊四體故陽馬其底各三其積九
以正高乘之得一三五以三爲法而一
得五四四倍之得一八〇
若斗面爲多邊形而無法或其稜不等亦用次法從
上邊向下截成衆體如圖甲皆爲塹堵乙皆爲陽馬
其中間無法之形則以形爲底分之中
作一立面體餘爲四三邊形各形有稜
有高可知其容又公法上二法遇圓體而窮設上
下面之邊與正高與兩面之積法曰上
下兩面積各開方兩根相乘得數并入兩面積以正
高乘之得數三而一爲斗體之容如斗體各率同前
下面各邊二四其積爲五七六上面之各邊一八其
積爲三二四兩根相乘得四三二與前兩積并以高
一五乘之得一九九八〇以三除之得六六六〇斗
體之容也
又便法小差而不遠并兩面之邊半之自乘得數以高乘
之得斗之容如前數上面邊一八下面邊二四并得
四二半之得二一自之得四四一以高一五乘之得
六六一五比前少四五其差爲一四七之一耳
凡有法之體五其面其稜皆等其大小相容相抱與球
相似幾何十一十二十二十四卷極論此理今稍引用爲比例之法
一曰四面體各面爲三邊等形用堅楮依圖裁而合
之成一全體有六稜四隅設
各邊一百因前法求其容爲
一一七四七二半 此下五
則皆名法體求容凡同類之體皆依此爲例以顯推
隱故下文稱例體例邊
二曰六面體立方也各面各稜等有十二稜八隅其
面爲正方形設各邊一百因
前法求其容爲十萬
三曰八面等之體各面爲三邊等形有十二稜六隅
各邊設一百因幾何求其容
爲四七一四二五有奇
四曰十二面等之體各面爲五邊等形有三十稜二
十隅邊設一百其容爲七六
八六三八九
五曰二十面等之體各面爲三邊等形有三十稜十
二隅邊設一百其容爲五
二三八〇九
依幾何之說得一體之容可推同類同類者同若干面數也萬
體之容蓋同類兩體之容之比例與兩體邊上立方
之比例等
假如置四面兩體大者邊設一百小者邊設五十兩
數各再自之得一百萬與一二五〇〇〇此兩數爲
兩體之容之比例而以大不等爲一百萬之一二五
〇〇〇約爲八之一用三率法則命分數爲一率得
分數爲三率前所立例體之容爲二率得四率爲所
求他體之容
如前數欲知五十邊上小體之容以例體大邊上立
方一百萬爲一率以所求小體邊上立方爲二率以
大體之容爲三率用法得一四六八四又四之一爲
小體之容第三率大體之容於前法體求容五例內簡其同類者即用之
一率 一百萬
二率 一二五〇〇
三率 一七七四七二半爲前例所立大體之容
四率得一四六八四又四之一爲所求小體之容
又欲知十二面體之容各邊二五法以同類之例體
邊再自之得一百萬所設體之邊亦再自之得一五
六二五如前推之
一率 一百萬
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九爲前例所立十二面
體之容
四率 得一二〇〇九九爲所求十二面體之
容
又設一體之容欲知其邊若干因此容與他容若此
邊上立方與他邊上立方其法以例體之容爲一率
設體之容爲二率例體邊上之立方數爲三率得設
體邊上之立方爲四率開方得根即所求邊也如有
一四六八四又四之一爲今設四面等之容求其邊
若干查前例其同類之體邊一百其容一一七四七
二又半依三率法得立方根爲五十即所求設體邊
數
一率 一一七四七二半例容
二率 一四六八四又四之一設容
三率 一百萬例邊
四率得一二五〇〇〇爲所求邊上立方開得五
十爲所求設體之邊
量圓球之容
圓球之全體見亞奇默德圓球圓柱書併見幾何
一十四卷兹借數題明之
第一題
球上大平圜之積爲本球圜面積四之一此亞奇默德之一卷三十
一題也大平圜者從大圈過心剖球體爲二所分兩平面是也圜面積者全球大曲面之平積也
系 凡周乘徑生球圓面之積亦生大平圜積之四
倍大圜周線上方形與球圓面之比例若大圜之周
線與其徑 解曰如圖甲乙丙丁球上之大平圜也
甲丙其徑與球徑等己辛與圜之周線等
上成己壬方形形之庚辛與甲丙徑
等而己壬方形外復成庚戊方形題
言己庚矩形爲大平圜之四倍壬戊
矩形與庚己矩形等蓋壬辛己辛同爲矩方形之一
邊戊辛辛庚亦同爲矩方形之一邊則兩矩方形必
等夫己壬周線上之方形也壬戊爲大平圜之四倍
而與球之圓面等則其比例如己辛與辛戊矣五卷二周
與徑比例之數爲二二三之七一或二十二之七又大圜徑上方形與球之
圓面若圜之徑與其周蓋己庚矩方形與球之圓面
等庚戊爲徑上之方形則兩形之比例必若己辛周
與辛戊徑矣
二系 球徑上方形與球之圓面爲一與三又七一
之十或一與三又七之一
第二題
徑三之二乘大平圜之積生球容之數亞奇默德之一卷三十二題
解曰設大平圜之周一凡大測當以全數爲母則易推故設周爲一自之再自之
恆爲一其大徑爲二二三之七一其半爲四四六之七
一以半周二之一乘之得八九二之七一此大平圜
之盈積也又以六六九之一四二此大徑三分之二乘之約
之爲二九八三七四之五〇四一得球容之數
又大平圜之周再自之恆爲一知大圜周上立方與
球容之比例何者全數爲母即一幾何謂之命分數是周上之
立方也子數幾何之得分數爲球容則球容與大圜周上立
方之比例若五〇四一與二九八三七四而盈用小
徑之數得四九與二九〇四
又球徑上立方與球容之比例若二十一與一十一
而盈若四二六與二二三而朒法置球徑一大平圜
之大積爲十四分徑上方之十一以徑三之二乘之
得四十二之二十二約之得二十一之十一爲球之
容
又球徑上立方爲一則其與球容之比例爲二十一
與十一而盈或用朒法則大平圜之小積得四二六
與二二三亦徑上立方與球容之比例也右徑上立方與球容
之比例
因前論置球之徑 一求球之圜面以二十二乘徑
數以七除之以所得之徑乘之得圓面之積用二十二與七
而盈用二二三 一求球之容以二十二乘徑以七
與七十一則朒
除之得數以徑三之二乘之得球之容右以徑求圜面積及球之
容
又徑上立方與球之容若二一與一一而盈若四二
六與二二三則朒 置大圜之周大圜周上之立方
與球容若二九八三七四與五〇四一而盈若二九
四與四九則朒 置徑置球之圓面相乘六而一
置徑四之一乘圓面三之二 乘大圜之積三而二
三之一乘圓面二之一
或徑乘積三分之二 或徑三分之二乘積俱得球
之容
或半徑乘大圜積三分之二所得爲球容之半 或
大圜半積乘徑三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面過心其一分爲全球之若
干量法與全球無異或半球或四之一或五之一俱
同 若截球面不過心爲直面而曲
法
面界爲球上之圈則借天球之界以
明之
解曰甲丁己辛爲子午圈甲比己南丁辛
爲夏至之圈從夏至圈截之甲至丁作直
線用此線爲半徑作甲丁別圈亞奇默德
之一卷四十題曰甲丁別圈之積與丁甲
辛球分之曲面等又從己至丁作直線爲
他圈之半徑其圈之積亦與丁己辛球分
之曲面等若曲面非全球之若干分則爲無法之形
量球一分之容
取球之一分截面過心其曲面之界爲圈亞奇默德
曰想圓角體其底之圈幾何與所截凸面之一分等
其高爲球之半徑此體之容與今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚爲截分丁甲辛爲凸面丁
庚辛庚截面過心則先求丁甲半徑倍之
以二二乘之以七除之所得之半以半徑
乘之爲凸面之積次以甲庚半徑乘之三
而一爲丁甲辛庚球分之容
若截爲直面不過心如甲丁辛之一分而求其容則
先求甲丁辛凸面之積以徑乘之六而一爲丁甲辛
庚體之容次丁辛截面至心則想丁辛庚圓角體求
其容以減丁甲辛庚體之容餘爲丁甲辛球分之容
量橢圓體之容
橢圓亦有法之體也又次於圓球其爲體則長圓
形之長徑爲軸旋轉所生如一點直行生線一線
横行生面一面上行生體平圓面以徑爲軸轉軸
環行是生圓球長圓面則有二徑一長一短以長
徑爲軸轉軸環行是生橢圓之體以短徑爲軸轉
軸環行是生扁圓之體橢圓之體或名爲卵體非
也凡烏卵一端大一端小是爲無法之體橢圓體
則兩端等亞奇默德之第一卷備解此體及分角
體之理今略述之
凡截圓球生兩圓面成兩圈若平分之即過心過心
之截分恆相等若橢圓體從小徑横截之生兩平圓
面因小徑過心故若從其長徑直截之生兩長圓面
即元體之長圓也若横截與小徑平行亦成平圓面
若斜截之則其面皆不等皆成長圓形
凡圓角體其底之徑爲橢圓體之小徑其高半長徑則
其體之容爲橢圓體四之一
如甲乙爲長徑丙丁爲小徑即
丙戊丁甲半橢圓體倍大于甲
丙丁角體
解曰小徑以二十二乘之七而一小徑之周也得數
以乘小徑四而一小徑之平圓面積也得數以乘半
長徑圓柱之容也三而一角體之容也得數四之橢
圓半體之容也
若截面與小徑平行如庚己壬求
橢圓分體如庚甲壬之容默德法
曰先求庚壬甲角體之容次用三率法己乙大分之軸線
與戊乙半長徑線甲己小分之軸線并若角體甲庚壬之容與
橢圓小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角體庚壬乙
之容次用三率法甲己小分之軸線與
甲乙長徑戊乙半長徑并若角體庚壬
乙之容與橢圓大分庚己壬乙之容
量無法之體
解曰以錫爲正方櫝各邊一尺或五
寸若用木則以三和灰塗其罅令不
漏實之以水投所量物其中則水溢
取出物量水減幾何得物之容如減
一寸而櫝邊設一尺則得一百寸爲
物之容蓋各邊一尺上面積爲一百寸水減一寸則
爲一百寸若水減不及寸或過焉則量若干分以面
積乘之得物之容