崇禎曆書卷之四十四 測量全義卷七
法原部
測量全義第七卷 測曲線三角形
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
遠西耶穌會士羅雅谷 譔
同 會 龍華民
湯若望同 訂
校：奎章閣本他卷錯訂而此卷扉葉無見存
本故此據他卷補充右行二名闕無法補充
長 洲 孫嗣烈校 梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部測量全義第七卷測曲線三角形
明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
李遇春 徐瑍
羅雅谷 譔 修政曆法極西耶穌會士門人程廷瑞 戈繼文 受法 湯若望訂
孫嗣烈殷鎧
圈內九線相當法
圓球借論
分球上三角形之各類
球上斜三角形九種
不堪上三角形相易之法
球上直角形各邊角正弦等線之比例
球上直角形相求約法
球上斜角形各邊角正弦等線之比例
斜角形相求約法
測量全義第七卷 球面曲線形
圈內線相當之理
每弧每角有八種線曰正弦曰正切線曰正割線曰正
矢曰餘弦曰餘切線曰餘割線曰餘矢并全數爲九
種諸線內各有相當之理皆依三邊形等角比例法
幾何六卷四題如上圖丙丁爲正弧甲丁爲
正弦丙辛爲正切線乙辛爲正割線
甲丙爲正矢戊丁爲餘弦己壬爲餘
切線乙壬爲餘割線戊己爲餘矢乙己乙丁乙丙皆
全數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直
角己乙辛丙爲平行線辛乙直線割兩平行即其相
對兩內角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊
相似
一全數爲正弦餘割線兩率之中率
如丙丁弧之正弦爲甲丁全數爲丁乙餘割線爲乙
壬則甲丁與丁乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆全
數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也
又全數爲餘弦正割線之中率如戊丁與丁乙若丁
乙與乙丙等故與乙辛
一系凡四率全數爲中率或二或三若第一率爲正弦即
棄正弦而變餘割線爲中率全數爲第一省
而一 若第一率爲餘弦則變正割線爲中
率 若第一率爲正割線則變餘弦
若第一率爲餘割線則變正弦 凡所變者皆以易
全數而使爲第一率
論曰凡有連比例之三率一率與二如二與六若二率與
三如六與十八別有二數其比例若連理之一率與二如八
與二十四即可代用或連理之一率與二如二與六若他數與
別數八與二十四可也或連理之二率與三六與十八若他數
與別數八與二十四亦可也爲其比例等故也皆三之一今連
理之一率爲甲正弦二率爲乙全數三率爲丙餘割線次有
斷理之第三率丁第四率戊即可代用謂一甲正弦與
二乙全數若三丁與四戊可也謂二乙全數與三丙餘割線
若三丁與四戊亦可也是于連理之三率二比中棄
前比而用後比初以全數爲第二餘割爲三今以全
數爲一餘割爲二也
如三十八度一十七分之正弦六一九五五與全數
若三十度之正弦與某數常法二三率相乘以一率
爲法而一得第四今法用三十八度一十七分之餘
割線一六一四〇七爲二率以易全數而爲第一以
二三率相乘即得第四何者正弦全數餘割線爲連
比例故也
二系凡四率中無全數若第一率爲正弦則變餘割
線爲第一率若第一率爲餘弦則變正割線爲第一
率法用一二率相乘得數以全爲法去後五位所存
若干位與全數等而一又以乘第三率得數如前而
一得四率名爲而一者再皆以全數爲法止减末位不難也常法一乘一除此用兩乘猶是捷
法
假如一十八度四十〇分之正弦三二〇〇六與二
十五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度
三十二分之切線二〇〇八六二與某數其常法二
三率相乘第一率而一今用捷法取一十八度四十
分之餘割線三一二四三九乘第二率四三二三一
得一三五〇七〇〇〇〇〇〇爲實以全數爲法而
一得一三五〇七〇又以第三率一二四三二二乘
之得一六七九二二〇〇〇〇〇以全爲法而一得
一六七九二二爲四率
二三〇七三五六十四度十九分之正割線
又假設三率如一二二三四一
二三四三二
第一率變取六十四度十九分之餘弦
四三三四〇以乘第二率得數减後五
位以所存乘第三率得數又减後五位
所存即第四率
二全數爲正餘兩切線之中率
如上圖辛丙與丙乙若乙己與己壬何者丙乙乙己
皆全數則辛丙丙乙或乙己己壬爲三率連比例
系凡四率斷比例全數爲中率若第一爲正切線變
餘切線爲中率以易全爲第一若第一爲餘切線變
正切線爲中率以易全爲第一
三正弦與餘弦若全數與餘切線餘弦與正弦若全數
與正切線
如前圖甲丁與丁戊即甲乙故若乙己與己壬戊丁即甲乙故
與甲丁若乙丙與丙辛
系四率斷比例若一二率爲正弦與餘弦變爲全數
與餘切線若爲餘弦與正弦變爲全數與正切線
四凡兩弧之正割線與其餘弦爲互相視之線兩弧之
餘割線與其正弦爲互相視之線
如上圖丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正割
線爲乙寅丙丁弧之正割線爲乙辛丙
癸弧之餘弦爲庚癸丙丁弧之餘弦爲
戊丁則乙寅與乙辛若戊丁與癸庚
論曰全數在正弧丙癸爲其正割線乙寅及其餘弦癸庚之
中率在他弧丙丁亦爲其正割線乙辛及其餘弦丁戊之中
率兩理之各前後矩內形各與全數上方形等各爲其中
率故即兩矩內形自相等其邊互相視幾何六卷十四
五凡兩弧之正切線與其餘切線爲互相視之線同上
論卷中諸圈皆以曲線當圓球之大圈相交相截人目
視球曲面或近或遠或上或下或左或右所見不同有
時視曲線而爲直線即同是曲線而形象不一蓋平面
圖球不能盡球之理宜從論說中領其意義乃得耳
圓球原本內借論題 古德阿多西阿撰
一大圈皆與球同心 系大圈皆相等若從大圈分球
過心必爲兩平分一卷六
二兩大圈於球上相交各爲兩平分
三反之兩圈於球上相分爲兩平分必兩皆大圈一卷十一
十二如赤道黃道等
四大圈過他圈之兩極必相交爲直角一卷十五題如子午圈過赤道
極則兩圈交處皆爲直角
五大圈與本極距一象限九十度
六大圈交兩大圈若作直角則元圈之極在兩圈之交
如赤道與極至交圈極分交圈爲直角則兩圈之交
在赤道極
七大圈三百六十平分之小圈亦然但小圈去離大圈
一分其小圈之各分必小於大圈之各分
八兩大圈相交其交角必等或上或下兩角并必等兩
直角與直線相交同理
九球上大圈不能相偕爲平行弧一心止一圈故也若
同心而能爲多圈則是距等小圈非大圈矣
分球上三角形之各類
球上圈相交成三角形若三皆大圈之弧此形爲大測
之本若有小圈之一弧即未能定圈大小之數安能定其弧數明大測不用小圈之弧也
球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一九十度
則角爲直角過四之一則鈍角不及則銳角如正球之赤道
地平子午圈皆相交爲直角則各邊俱九十度
或二邊等其對角亦等若邊過象限爲鈍角不及爲
銳角或各邊不等各角亦不等
球上角形或三直角其邊皆四之一或兩爲直角其兩
對邊皆四之一此二類自明勿論所論者一爲直角
餘或鈍或銳各有本法如左
一圖外大圈內兩大圈分皆相交爲直角
則各圈之極在他兩圈之交用號作十者指直角作〇
者指鈍角作丨者指銳角邊云多者謂過四之一云少者謂不及四之一
二圖兩直角形第三角或銳或鈍己上二圖俱不
論
三圖甲乙丙形甲爲直角餘皆銳其邊少
甲丙戊形甲直角丙鈍戊銳鈍角之對邊大即甲已
戊弧銳角之對邊小即甲丙弧或一直角兩鈍角如
乙丙丁形乙丙兩鈍角其對邊過四之一
即乙壬丁弧
凡兩角或銳或鈍若同類其間所容弧不
及四之一
直線三角形與球上曲線三角形異理
一直線形之三角并與兩直角等曲線形之三角并其
數不定但不能及四直角四直角者三百六十度也
二直線形得兩角即得其三曲線形否
三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形
否
四直線形有三角不能求三邊若干但得其比例耳曲
形設三角可推三邊若干
五直線形各邊能當全數曲線之各邊否
六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之
邊必等
七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六
易法
八直線形不過二種一直角二或鈍或銳角其邊雖有
長短不變其類曲形邊有大小其法不同
球上斜三角形因各角各邊不等分爲九種或恆用或否俱見下
文
第一三角皆銳其邊皆小於四之一如第一圖
甲形
第二三角皆鈍其一邊適足四之一其二
邊大於四之一後凡四之一皆言足小於四之一者皆言少大於四
之一者皆言多如第二圖乙形
第三三角皆鈍其兩邊多一邊少如三圖丙形
第四三角皆鈍其三邊皆多如四圖丁形
第五一角鈍兩銳其三邊皆少如三圖戊形
第六一角鈍兩銳其兩銳間之一邊多鈍
角之兩旁少如四圖己形
第七一角鈍兩銳一銳角之對邊少餘皆多
如三圖庚形
第八一角鈍兩銳鈍角之對邊足餘皆少如二圖壬形
第九一角鈍兩銳其邊皆不等一多一少一足如二圖辛
形
球上三角形相易其法有五
第一甲乙丙直角形甲爲直角於乙甲乙
丙各引長之滿象限爲乙丁乙戊又甲丙
邊引長之作甲丙己象限次聯丁戊引至
己亦作象限乙丁乙戊俱象限則丁戊己弧心爲乙又丙甲乙爲直角
乙丁戊亦直角則甲己丁己遇于己而己爲乙丁弧之心得丙戊己直
角形若甲乙丙形設甲乙乙丙兩邊若干
即有甲丁丙戊兩餘弧次丙戊己形有戊直角有丙
戊邊即有己角其弧甲丁
若元形有直角之對邊及直角旁一邊即次形有直
角旁一邊及其對角一圖
若元形有二角即次形有一角一邊二圖
若元形有一角及直角之對邊即次形有
直角旁兩邊三圖
第二甲乙丙直角形於甲乙引長作乙丁象限弧乙
丙引至戊甲丙引至己皆滿象限次作丁
戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙
己至辛戊己至癸皆象弧次作庚辛癸弧
成辛己癸形此形與元形甲乙丙相當何
者元形有乙丙兩角即次形有兩邊有乙角之
弧戊丁即有其餘弧戊己有戊己弧卽有己癸邊與乙角之數等有丙角即辛庚丙形之丙角弧爲庚辛
其餘弧爲辛癸
元形之乙丙易爲癸角乙丙邊餘爲丙戊丙戊之餘爲戊庚是癸角之度
元形之甲乙邊易爲辛己癸角甲乙弧之餘爲甲丁其對角爲丁己甲或
辛己癸皆甲乙之餘弧角
元形之丙甲邊易爲辛己邊甲丙弧之餘爲己丙己丙弧之餘爲辛己則辛
己與甲丙等
第三斜角形兩腰等角或銳或鈍兩腰引長至半周必相遇成
他形與元形相當如圖甲乙甲丙兩腰引至丁成丁
乙丙他形從乙丙作乙丙己成全圈引乙甲至己丙
甲至戊又成甲戊己他形此兩他形者皆
與元形相當何者有甲乙邊自有其半周
內之餘乙丁亦有其半周內之餘甲已即
乙丙與戊己等丙乙戊乙戊己皆半周故又丁角與甲
角等凡兩大圈相交爲兩角必等如黃赤二道相交于春秋分是也丁乙
丙爲甲乙丙之餘角乙丙丁爲甲丙乙之餘角甲戊
己爲乙丙甲之餘角甲己戊爲丙乙甲之餘角則元
形變易而生兩形各相似相當 問本用曰元形邊
大多于象限角鈍易爲次形邊小角銳三角形六問中所
用也六問詳見後篇
第四甲乙丙三不等形從乙甲弧作
甲辰戊全圈次甲角爲心作丁壬辰
大圈分乙角爲心作戊癸寅大圈分
丙角爲心作己丑卯大圈分三圈分
必相交成癸寅丑形此形與元形相
當而元形之邊易爲角角易爲邊何
者甲壬弧滿一象限丙午同之减同
用之丙壬即午壬與丙甲等壬午弧
限壬丑午角之度其餘角爲癸丑寅
又甲丁乙戊皆象弧减同用之乙丁
即甲乙與丁戊等丁戊爲寅癸丑交角之度又乙辛
丙子皆象弧减同用之丙辛即辛子與乙丙等辛子
弧即辛寅子角之度則元形甲乙邊易爲次形之癸
角甲丙邊易爲癸丑寅餘角乙丙邊易爲寅角元形
之三邊易爲次形之三角邊易爲角
又元形乙角之餘易爲癸寅邊甲角易爲癸丑邊丙
角易爲寅丑邊角易爲邊
第五凡斜角形設一角二邊法從他角作垂弧至其
對弧爲直角如一圖若不能則引長其對弧令受垂弧如二圖若設二角
一邊法從他邊之對角作垂弧
如圖乙丁丙形有丙角丙乙丙丁兩邊即
作乙甲垂
弧分爲兩直角形其甲丙乙形有一角一
邊可求其餘甲丁乙直角形先得甲乙甲
丁兩邊可求其餘
凡底邊兩旁角爲同類垂弧在形內若異
類垂弧在形外
凡曲線三角形如得實球即指畫易明
直角形直角之對邊名底斜角形大角之
對邊名底
凡言直角其邊小於象限則用之大於象限則依前
法變爲小而用之
球上直角形各邊角正弦等線之比例
第一題
直角形人數即直角之本數與某角之正弦若底弧之正弦與
某角對邊之正弦
欲明此論宜以渾體解之今權設渾象以堅厚楮作
一圓形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周
也半立者其弧如極分交圈之半周也又作一半周
形合於全形之直角兩徑相切共爲半圈面三一平
一立一中居中者其弧如黃道之半周也中圈面上
下游移任作若干度角如黃赤道之相距又作九十
度之兩弧上合下分一置三半周之中如極至交圈
爲定弧一以下端游移平弧上恆與平弧爲直角上
割中弧而遇定弧於極點之上謂之游弧游弧之上
容中平二弧之距度而此一定一游兩弧者皆如過
極之經圈也恆偕平弧爲三弧兩邊等直角形
今於平面作圖擬彼圓象用意推測聊足可明其諸
名義亦借渾天以便識別也如上圖乙丁寅圈爲赤
道乙丙癸爲黃道乙寅爲春秋分癸爲夏至午辰爲
南北極午癸丁辰爲極至交圈午丙甲爲過極經圈
以限黃道之經度容赤黃二道之距度平置乙丁寅
赤道圈從黃癸下垂線爲極至
圈上癸丁相距弧之正弦從赤
丁上立垂線遇卯癸半徑之引
長線於戊得戊丁與癸己平行
爲癸丁弧之切線卯戊其割線
也己卯則癸丁弧之餘弦也又
從黃道若干度之點如丙作兩線一丙辛垂線爲過
極經圈上丙甲斜弧之正弦辛壬乙寅徑之垂線其餘弦一
丙壬爲寅乙極線之垂線即丙乙黃弧之正弦次從
赤道過極兩圈之交甲立甲子直線又於寅乙黃赤交之
對截線上作甲丑垂線次于乙丙癸圈黃平面上從丑
作丑子爲乙寅之垂線過甲子于子子甲者過極圈
上丙甲弧之切線也而甲丑爲甲乙赤弧之正弦丑
卯其餘弦則圖中有直線直角形四一癸己卯二戊
丁卯三丙辛壬四子甲丑因卯壬丑三角等故三形
俱相似
題言癸卯全數與癸己癸乙丁角之正弦若丙壬丙乙底弧之正弦與
丙辛丙甲爲乙角之對邊丙辛其正弦
如上圖甲乙丙形凡稱甲者恆爲直角全數一率與乙角之正弦
二率若丙乙邊之正弦三率與丙甲邊之正弦四率此比例
用幾何五卷之六理云更之則一與三若
二與四又反之二與一若四與三又反而
更之三與一若四與二
系若以大圈割本形作戊丁直角弧則丁戊與甲
丙若乙戊與乙丙俱用正弦
第二題
全數與某邊如甲丙之餘弦即丙戊弧之正弦若他邊甲乙之餘
弦即戊角之正弦與底直角之對弧如丙乙之餘弦即丁丙弧之正
弦
若直角形內有一鈍角或二鈍角其理同
本題
第三題
直角形全數與某角丙之正弦即丁丙戊角之正弦若設角丙旁
邊甲丙之餘弦即戊丙底之正弦與其邊對角乙之餘弦即丁戊邊
之正弦此題之丁丙戊形與一題之甲乙丙皆有底有
一角其理同也
一系依相當第四法及此第一題顯全數
與乙角乙丙角互用之正弦若角對邊甲丙之餘
割線與底弧乙丙之餘割線三四率各有正弦可用其餘割線當之
二系依相當第四法及第一題顯全數與底乙丙之正
弦若某邊甲丙之餘割線與對角乙之餘割線三四率有正弦
互易爲餘割線
三系依相當第一法及此第一題顯全數
與某角乙之餘割線若對邊甲丙之正弦與
底乙丙之正弦第一題之比例爲角之正弦與全若角對邊之正弦與底之正弦相當法則以
正弦當餘割線也
四系依相當第一法及此第一題顯全數與底乙丙之
餘割線若邊甲丙之正弦與對角乙之正弦一題內底之正弦與
全若邊之正弦與角之正弦今易底之正弦爲餘割而居第二以全爲第一
五系依相當法第四及第二題顯全數與某邊甲丙之
餘弦若底乙丙之割線與他邊之割線二題云全與邊之餘弦若他邊
之餘弦與底之餘弦此云底之割線與邊之割線蓋以割線當餘弦而爲三四率也
六系依相當第一法及第二題顯全與某邊甲乙之割
線若底乙丙之餘弦與他邊甲丙之餘弦第二題之四率反用之爲二與
一若四與三則第一率爲餘弦第二率爲全數也今依相當一法易之爲全與割線
七系依第四相當法及三題顯全數
與角乙之正弦若他角丙之割線與
他角對邊甲乙之割線三題言全與角之正弦若設角
旁邊之餘弦與他角之餘弦今用相當第四法反四率爲三三率爲四易餘弦爲割線蓋兩弧之餘弦與
其正割線爲互相視之線
八系依三題第四相當法顯全與邊甲丙之餘弦若邊
對角乙之割線與他角丙之餘割線三題三四率邊旁角之正弦與
他角之餘弦今互變邊對角之割線與他角之餘割線
九系依相當第一法及第三題之四率前後易之顯
全數與角之餘割線若他角之餘弦與其對邊之餘
弦
十系三題之四率前後相易用第一相當法顯全與
邊之割線若邊對角之餘弦與他角之正弦
十一系因一系反理及相當一法顯全與角之割線
若底之餘割線與角對邊之餘割線
十二系因上五系反用其率及相當一法顯全與邊
甲丙之割線若他邊之割線與底之割線
十三系因九系反用其率及相當一法顯全與角之
餘割線若邊之割線與其對角之割線
第四題
曲線直角形其全數與角乙之切線若角旁邊甲乙之正
弦與角對邊甲丙之切線如前圖
解用一題平面全圖之甲乙丙形甲爲直角戊丁爲
甲乙丙角之切線甲丑爲甲乙邊之正弦子甲爲丙
甲邊之切線可見卯丁與乙角之
切線丁戊若乙角旁邊甲乙之正
弦甲丑與乙角對邊甲丙之切線
甲子三角形皆相似故見一題
系用相易第一法則全與邊甲乙之餘切線或丁甲弧之正切線
或戊己丙角之正切線若邊旁角乙之餘弦即戊己弧之正弦與底之
餘切線即丙戊之 按本題第二率爲乙角之切線
正切線
系易爲丁戊之餘弧或己戊邊三率爲角旁
邊甲乙之正弦系易爲邊戊己旁角己或丁甲弧
之餘弦即甲乙正弦四率爲角對邊甲丙之切線系
易爲底之餘切線或甲丙弧之正切線
二系全與底之餘弦或甲丙邊之正弦若角丙之切線兩形爲交
角與他角已之餘切線即甲乙邊之正切線
三系依相當五法餘切線能當正切線二三率可互易爲全
數與邊之正弦若他邊之餘切線與其對角之餘切
線
四系若一二三四率反用爲二與一若四與三即變
第一率切線爲餘切線則爲全數與角之餘切線若
角對邊之切線與他邊之正弦
向下諸系皆用相當法及反理省文不解
五全數與邊之餘切線若他邊之切線與其對角之
切線
六全與角之餘弦若底之切線與角旁邊之切線
七全與邊之切線若底之餘切線與角旁邊之餘弦
八全與角之割線若底之餘切線與角旁邊之餘切
線
九全與底之割線若角之餘割線與他角之切線
十全與角之餘切線若他角之餘切線與底之正弦
十一全與邊之餘割線若邊旁角之餘切線與他邊
之餘切線
十二全與邊之餘切線若邊對角之切線與他邊之
餘割線
十三全與角之割線若角旁邊之切線與底之切線
十四全與底之切線若邊之餘切線與邊旁角之割
線
十五全與角之切線若他角之切線與底之割線
因上四題即每一設形有十二算法 今設甲乙丙
一形有乙丙底三十度及甲丙邊十一度三十一分求乙角
一爲乙丙邊之正弦五〇〇〇〇與全十萬分若
甲丙之正弦一九九六五與乙角之正弦三九九一
三查得二十三度三十一分三十〇秒校：秒原作抄當訛字
今改
二爲全十萬與丙乙之正弦五〇〇〇〇若甲丙之餘割線
五〇〇八六九與乙角之餘割線二二〇六一七
三爲甲丙之餘割線五〇〇八六九與全十萬若丙乙之餘割
線二〇〇〇〇〇與乙角之正弦三九九一三
四爲全十萬與甲丙之正弦一九九六五若乙丙之餘割線
二〇〇〇〇〇與乙角之正弦三九九一三
五爲乙丙之餘割線二〇〇〇〇〇與全十萬若甲丙之餘割
線五〇〇八六九與乙角之餘割線三二〇六一七
六爲甲丙之正弦一九九六五與全十萬若乙丙之正弦五〇
〇〇與乙角之餘割線二二〇六一七
七爲乙丙之餘弦八六六〇三與乙丙之餘切
線一七三二〇五若甲丙之正弦一九九六五與乙角
之正弦三九九一三
八爲乙丙之餘切線一七三二〇五與乙丙之餘弦八六六〇三
若甲丙之餘割線五〇〇八六九與乙角之餘割線二二〇六一七
九爲乙丙之正弦五〇〇〇〇與甲丙之切線二〇三七六若
甲丙之餘弦九七九八七與乙角之正弦三九九一三
十爲甲丙之切線二〇三七六與乙丙之正弦五〇〇〇〇若
甲丙之正割線一〇二〇五五與乙角之餘割線二二〇六一七
十一爲甲丙之割線一〇二〇五五與乙丙之餘割線二〇〇〇
〇〇若甲丙之切線二〇三七六與乙角之正弦三九九一三
十二爲甲丙之正弦一九九六五與乙丙之切線五七七三五
若乙丙之餘弦八六六〇三與乙角之餘割線二五〇六一七
以上十二法俱可得乙角因除法爲繁故約用乘法
如下方
球上直角形相求約法
球上直角三邊形有三角三邊此六者有三可推其
餘交互爲三十求各以乘法得之
第一設乙丙兩角凡甲皆直角乙丙或銳或鈍一求甲乙邊爲全
數與乙角之正弦若丙角之割線與甲乙邊
之割線或全與乙角之餘割線若丙角之餘
弦與甲乙邊之餘弦 丙角定數
解曰同類者或皆過九十度或皆不及若丙角過九
十度則所求之邊亦過九十若丙角不及九十度所
求之弧亦不及下倣此
二求甲丙甲丙甲乙兩邊互用乙丙兩角亦互用爲全數與丙角之正
弦若乙角之割線與甲丙邊之割線 或全與丙角
之餘割線若乙角之餘弦與甲丙邊之餘弦 乙角
定類
三求丙乙對直角之底爲全與乙角之切線若
丙角之切線與乙丙邊之割線 或全與
乙角
之餘切線若丙角之餘切線與乙丙邊之餘弦或乙
或丙兩角定類
凡定類有二號者若二號爲同類所得爲不足九十
度若兩號爲異類所得爲過九十度
第二設乙角及乙甲邊 四求丙角爲全與乙角之
餘割線若乙甲邊之割線與丙角之割線 或全與
乙甲邊之餘弦若乙角之正弦與丙角之餘弦直線直角
形設一得二取其較也此與 甲乙弧定類
異者曲直兩線爲異類故也
五求甲丙邊爲全與甲乙之正弦若乙角之
切線與甲丙邊之切線 或全與乙甲邊之
餘割線若乙角之餘切線與甲丙邊之餘切線 乙
角定類
六求乙丙邊爲全數與乙角之割線若甲乙邊之切
線與乙丙邊之切線 或全數與乙角之餘弦若甲
乙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線 乙角或甲乙
邊定類第三設乙角及甲丙邊 七求丙
角爲全數與甲丙邊之割線若乙角之餘
弦與丙角之正弦
或全數與甲丙邊之餘弦若乙角之割線與丙角之
餘割線 乙角或甲乙邊定類
八求甲乙爲全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切
線與甲乙邊之正弦 或全數與甲丙邊之餘切線
若乙角之切線與甲乙邊之餘割線 乙角或甲丙
邊定類九求丙乙爲全數與乙角之餘割線若丙甲
邊之正弦與丙乙邊之正弦 或全數與乙角之正
弦若丙甲邊之餘割線與丙乙邊之餘割線 乙角
定類
第四設乙角及乙丙邊 十求丙角爲全數與乙丙
之割線若乙角之餘切線與丙角之切線
或全數與乙丙邊之餘弦若乙角之切線與
丙角之餘切線 乙角及乙丙定類
十一求甲乙爲全數與乙角之餘弦若丙乙邊之切
線與甲乙邊之切線 或全數與乙角之割線若乙
丙邊之餘切線與甲乙邊之餘切線 乙角及乙丙
定類
十二求甲丙爲全數與丙乙邊之正弦若乙角之正
弦與甲丙邊之正弦 或全數與丙乙邊之餘割線
若乙角之餘割線與甲丙邊之餘割線 乙角定類
第五設丙角及甲乙邊 十三求乙角爲全數與甲
乙邊之割線若丙角之餘弦與乙角之正
弦 或全數與甲乙邊之餘弦若丙角之
割線與乙角之餘割線 丙角定類
十四求甲丙邊爲全數與甲乙邊之切線若丙角之
餘切線與甲丙邊之正弦 或全數與甲乙邊之餘
切線若丙角之切線與甲丙邊之餘割線 甲乙邊
定類
十五求乙丙爲全數與丙角之餘割線若甲乙之正
弦與乙丙邊之正弦 或全數與丙角之正弦若甲
乙邊之餘割線與乙丙邊之餘割線 丙角定類
第六設丙角及甲丙邊 十六求乙角爲全數與丙
角之餘割線若甲丙邊之割線與乙角之割線 或
全數與甲丙邊之餘弦若丙角之正弦與乙
角之餘弦 甲丙邊定類
十七求甲乙邊爲全數與甲丙邊之正弦若丙角之
切線與甲乙邊之切線 或全數與甲丙邊之餘割
線若丙角之餘切線與甲乙邊之餘切線 丙角定
類
十八求乙丙邊爲全數與丙角之割線若甲丙邊之
切線與乙丙邊之切線 或全數與丙角之餘弦若
甲丙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線 丙角及甲
丙邊定類
第七設丙角及丙乙邊 十九求乙角爲全
數與丙乙邊之割線若丙角之餘切線與乙
角之切線 或全數與丙乙邊之餘弦若丙角之切
線與乙角之餘切線 丙角及丙乙邊定類
二十求甲乙邊爲全數與丙乙邊之正弦若丙角之
正弦與甲乙邊之正弦 或全數與乙丙邊之餘割
線若丙角之餘割線與甲乙邊之餘割線 丙角定
類
二十一求甲丙邊爲全數與丙角之餘弦若丙乙邊
之切線與甲丙邊之切線 或全數與丙角之割線
若丙乙邊之餘切線與甲丙邊之餘切線 丙角及
丙乙邊定類
第八設甲乙甲丙兩邊 二十二求乙角爲
全數與甲乙邊之餘割線若甲丙邊之切線
與乙角之切線 或全數與甲乙邊之正弦若甲丙
邊之餘切線與乙角之餘切線 甲丙邊定類
二十三求丙角爲全數與甲丙邊之餘割線若甲乙
邊之切線與丙角之切線 或全數與甲丙邊之正
弦若甲乙邊之餘切線與丙角之餘切線 甲乙邊
定類
二十四求乙丙邊爲全數與甲乙邊之割線若甲丙
邊之割線與乙丙邊之割線 或全數與甲乙之餘
弦若甲丙之餘弦與乙丙之餘弦 甲乙甲丙定類
第九設甲乙乙丙兩邊 二十五求乙角爲全數與
丙乙邊之切線若甲乙邊之餘切線與乙角
之割線 或全數與乙丙邊之餘切線若甲
乙邊之切線與乙角之餘弦 甲乙及乙丙定類
二十六求丙角爲全數與乙丙邊之餘割線若甲乙
邊之正弦與丙角之正弦 或全數與丙乙邊之正
弦若甲乙邊之餘割線與丙角之餘割線 乙角定
類
二十七求甲丙邊爲全數與甲乙邊之餘弦若乙丙
邊之割線與甲丙邊之割線 或全數與甲乙之割
線若乙丙之餘弦與甲丙之餘弦 甲乙及乙丙定
類
第十設甲丙乙丙兩邊 二十八求乙角爲全數與
丙乙邊之餘割線若甲丙邊之正弦與乙角之正弦
或全數與乙丙邊之正弦若甲丙邊之餘割線與
乙角之餘割線 甲丙邊定類
二十九求丙角爲全數與乙丙邊之切線若甲丙邊
之餘切線與丙角之割線 或全數與乙丙邊之餘
切線若甲丙邊之切線與丙角之餘弦 甲丙及丙
乙定類
三十求甲乙邊爲全數與甲丙邊之餘弦
若乙丙邊之割線與甲乙邊之割線 或全數與甲
丙邊之割線若丙乙邊之餘弦與甲乙邊之餘弦
甲丙及丙乙定類
球上斜角形各邊角正弦等線之比例
第一題
各角之正弦與其對邊之正弦皆爲同比例
若形是直角則借彼第一題爲全數甲與某
角乙之正弦若底弧乙丙之正弦與某角乙對
邊甲丙之正弦則用更理爲甲角全數與其對邊乙丙
若乙角與甲丙或若丙角與甲乙用反理亦然凡不言某
線者皆正弦也下倣此
若斜角形借相易第五法如丙丁乙形從乙從丁從
丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其對邊爲直角因前
論甲乙丙角與甲丙邊甲乙丁角與甲丁
邊爲同比例合之丙乙丁角之正弦與丙
丁邊之正弦若乙丁丙角之正弦與乙丙邊之正弦
若戊爲直角則戊丁丙角與戊丙邊若戊乙丁角與戊乙邊合之乙丁丙角與丙乙邊若某角與某邊或
用壬直角若甲直角在形外其理亦同 如乙丙甲
其理不異
乙甲丁兩角對乙甲乙丁兩邊乙丁甲乙甲丙兩角
對甲乙乙丙兩邊各减共用之甲直角即丙
對甲乙乙丁兩邊丁對甲乙乙丙兩邊又各
减共用之甲乙則丁角之正弦與乙丙邊之正弦若
丙角之正弦與乙丁邊之正弦乙角與丁丙邊同理
第二題
四率斷比例若第一率爲全數則全數上方與二三率
之矩內形若第一率與第四率
解曰甲乙全數線上方數與線兩類相當互解丙丁丙
戊爲二三率之矩內方己方形之容與丁戊
矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四線爲斷比例
題言甲乙上方與丁戊矩方若甲乙線一率與
壬線四率
論曰因幾何六卷十甲乙壬兩率矩內形與丁戊兩中
率矩內形等或與已方形等即甲乙己壬三線爲連
比例第一率上方與第二率上方若第一率與三率
等六卷十七則全數甲乙上方與二三率之矩內方丁丙丙戊矩丙
形或已形若甲乙線一率與壬線四率
系若二三率爲切線或割線或正弦即相乘以全數
除之得第四率
第三題
球上斜角形全數上方形與兩腰之正弦矩內形若兩
腰間角之矢與兩矢之較兩矢者其一爲底弧即角之對
邊之矢其一爲兩腰較弧之矢
圖說乙丙丁斜角形於乙丙乙丁引長之各滿半周
遇於戊其極線爲戊己乙己爲心戊丙乙己爲平面
上半圈戊丁乙爲斜面半
圈兩半圈各平分于辛于
寅作己辛己寅已丙皆半
徑又作寅辛弧即乙角之
弧也其正弦爲寅庚其矢爲庚辛又取乙壬弧與乙
丁腰等作丁壬小圈之弧次從丁作丁甲從壬作壬
甲各爲戊乙之垂線則小圈之半徑亦爲乙丁腰之
正弦即丁戊弧之正弦次從丁作丁酉即丁壬小圈弧之正
弦其矢爲酉壬又取丙癸弧與底弧丁丙等又從乙
從壬從癸向丙己半徑作乙辰壬卯癸午各垂線末
從酉向壬卯作酉子垂線
解曰乙辰爲乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚爲乙
角亦寅辛弧之正弦其矢庚辛午卯爲兩腰較弧壬丙之正
弦其矢卯丙癸午爲底丁丙亦丙癸之正弦其矢午
丙午卯酉子同爲兩腰較弧壬丙之矢卯丙與底弧丁丙或丙癸
之矢午丙之較矢丁甲壬甲同爲乙丁大腰之正弦題合
全數乙己丙己之類上方形與乙辰偕壬甲兩正弦矩內形
若辛庚乙角之矢與兩矢之較午卯
論曰丁甲酉寅己庚兩形相似酉與庚皆直角甲己兩角之腰平行又同
在兩面內即等則寅己全數辛己同與庚己若乙丁弧之正弦
丁甲壬甲同與酉甲或辛己寅己同與庚己若壬甲丁甲同
與酉甲依幾何五卷十九之論辛己與辛庚若壬甲與壬
酉全與全兩所截取之分比例等則兩截取之餘分必等或辛己全數與壬甲乙丁
大腰之正弦若辛庚乙角之矢亦寅辛弧之矢與壬酉丁壬弧之矢
又乙己辰壬子酉兩直角形相似壬卯乙辰兩線平行即壬甲乙三角
并爲一形之角而甲壬卯爲辰乙己角之餘又辰己乙角爲乙角之餘則與卯壬甲角必等則乙
己全數與乙辰乙丙小腰之正弦若壬酉丁壬弧之矢與子酉兩矢之較
也午卯同
同乘理之法兩理前兩比例之第一率一辛己一乙己相乘得全
數上方形兩理之第二率一乙丁大腰之正弦壬甲一乙丙小腰之正弦乙辰
相乘得兩弧之正弦矩內形依合理幾何五卷爲若乙角
之矢辛庚一理之第三率與兩矢之較子酉二理之第四率
系斜角形全數與所得之第四率第四率者如上題全數爲一率兩腰
之正弦爲二三率用三率法乘除所得則第四率也若兩腰間角之矢與某矢
某矢者兩矢之較兩矢者一爲底弧之矢一爲兩腰較弧之矢
二系斜角形全數上方形與兩角之兩正弦矩內形
或全數與第四率若兩角內邊之矢與某矢某矢者兩
矢之較兩矢者一爲邊對角之矢一爲兩角較角之矢
解用第四相易法設角易爲邊即兩弧之
正弦矩內形與兩角之正弦矩內形必等或兩腰內
角之矢與兩角內邊之矢必等
第四題
全數上方形爲兩腰或兩角兩正弦矩內形及兩腰兩餘
割線矩內形之中率
解曰乙正弦與丙全數若丙與丁餘割線如有兩
正弦兩全數兩餘割線各以類相乘其形
依合理爲比例等反之或用餘弦矩內形
及正割線矩內形亦同
系若兩正弦兩餘割線各以類相乘或用餘弦及正割線以全
數除之所得兩數亦全數爲中率
假如乙丙丁形乙丁邊五十四度五十分丁丙邊五十八度求其正弦其
餘割線相乘以全數除之從尾截去若干位
所存如全數之位則五十四度五十分之正弦八一七四八五十八
度之正弦八四八〇五相乘得六九三二六三九一四〇五十四度
五十分之餘割線一二二三二七五十八度之餘割線一一七九一八相乘得一四四
二四五五五一八六全數爲兩數之中率試之一全
數上方積爲實所得第一率爲法除之或用减九數
法亦可二系兩弧之正弦餘割線互乘所得兩數亦
全數上方形爲中率或用餘弦正割線理同
如前系一弧之正弦全數與其餘割線作三率連比
例爲第一理一弧之餘割線全數與其正弦作三率
連比例爲第二理用合理以兩理之第一率相乘得
數二三亦如之所得三數之比例與前同理則一弧
之正弦他弧之餘割線矩內形全數上方形一弧之
餘割線他弧之正弦矩內形爲三率連比例形如前法試
之若三率形皆以全數除之比例如前則一弧之正
弦他弧之餘割線相乘以全除之所得爲一率全數
爲二率一弧之餘割線他弧之正弦相乘以全除之
所得爲三率
三系兩弧之正切線矩內形兩弧之兩餘切線矩內
形亦全數上方形爲中率如圖戊正切與己全若丙全與丁餘
切用合理如前若三率形皆以全數除之所得三數
之比例如前系
四系若一弧之正切線乘他弧之餘切線或一弧之
餘切線乘他弧之正切線亦全數上方形爲中率若
三率形皆以全數除之比例亦然
五系一弧之正切線他弧之正弦矩內形又一弧之
餘切線他弧之餘割線矩內形亦全數上方形爲中
率如上系戊正切全數丁餘切爲連比例反之則丁與丙丙與戊用合理如前若三率形
以全數除之比例亦然
六系一弧之餘切線他弧之正弦矩內形一弧之正
切線他弧之餘割線矩內形亦全數上方爲中率
七系一弧之正切線他弧之餘弦矩內形一弧之餘
切線他弧之正割線矩內形亦全數上方爲中率
八系一弧之餘切線他弧之餘弦矩內形一弧之正
切線他弧之正割線矩內形亦全數上方爲中率若
各三率形各以全數除之比例皆同
第五題
無直角形從一角向其對邊爲垂弧分元形爲二直角
形各直角對邊之餘弦若底弧受垂弧者爲底兩分之餘弦
解乙丙丁形從丙作丙甲垂弧甲爲直角
則丙丁弧之餘弦與丙乙弧之餘弦若丁
甲之餘弦與甲乙弧之餘弦又兩邊之割
線若兩分之割線
論曰依前直角形第二題爲全一與某邊之餘弦二
若他邊之餘弦三與底之餘弦今用更理二率與一
若四率與三以論甲丙丁形則甲丁邊之餘弦一與
全二若丙丁直角形之底即直角之對邊之餘弦三與丙甲之餘
弦四以論甲丙乙形則甲乙一與全二若丙乙三與
甲丙四此二理平之則甲丁與甲乙兩理之兩一率若丙丁
與丙乙兩理之第三率各弧之餘弦成割線其理皆同爲丙丁邊
之割線與全若甲丁邊之割線與甲丙邊之餘弦又丙乙割線與全若甲乙割線與甲丙邊之餘弦今用
兩理平之則一丙丁與一丙乙若三甲丁與三甲乙各弧之割線
第六題
垂弧旁兩角之正弦若他兩角之餘弦
解甲丙丁甲丙乙兩角之正弦若丁乙兩角之餘弦
又丙上兩分角之餘割線若丁乙兩角之正割線
解依直角第三題甲丙丁角之正弦一與全二若丁
角之餘弦三與丙甲邊四又曰全一與甲丙乙角之
正弦二若丙甲邊之餘弦與乙角之餘弦
今以第二理更之爲二與一若四與三又
以二理平之一與一若三與三則甲丙丁
角一與甲丙乙角一若丁角三與乙角三
又用三題十三系可算割線之比例
第七題
垂弧旁兩弧之餘切線若垂弧旁兩角之餘
解丙甲垂弧遇丙丁丙乙兩邊於丙即丁丙甲角之
餘切線與甲丙乙角之餘切線若丙丁邊之餘弦與
丙乙邊之餘弦用直角第四題依前論試之
又兩弧之正切線若兩角之正割線 亦
用四題之系及十三系試之
第八題
垂弧旁兩弧之餘割線若垂弧相對兩角之正弦又兩
弧之正弦若兩角之餘割線
解丙甲垂弧旁兩弧爲丙丁丙乙又丙甲垂弧之對角
爲丁爲乙 用直角三題試之
第九題
垂弧分底爲二兩分之正弦若垂弧相對兩角之切線
又兩分之餘割線若兩角之正切線又兩分之正割
線若兩對邊之正切線又兩分之餘切線若兩對角
之餘切線
右各題之理皆從直角形之理出前解已明今不贅
斜角形相求約法
凡所設爲異類或邊與角或角與邊用第五易分兩直角形法見
前
凡形之弧或角過九十度用三四易得相似形其弧不
及一象限
設三邊若二邊等即用垂弧分爲兩直角等形各形有
元形之一邊有元底之半求其角
解丙乙丙丁兩弧等丙甲垂弧分乙丁底
及乙丙丁角各兩平分依圓球原本第一
卷二十一題知兩形必等
若三邊各不等求某角有三法
其一以本角旁兩腰之正弦相乘以全除之得數名
初得數又以兩腰之正矢相乘以全除之得數名次
得數以次得數與角對邊之弦或相加或相减解見下文
得數以全乘之以初得數除之得某角之餘弦
解凡角之對邊大以象限而角之兩腰同類同類者或皆大
于象限或皆小則兩數相加所求之角爲鈍角若異類則
兩數相减其次得數爲實大而受减者爲實則角
銳次得數爲法小而以减則角鈍 凡角
者爲法
之對邊小于象限而兩腰同類則兩數相减其次得
數爲實即角鈍次得數爲法即角銳若異類則兩數
相加角爲銳角
其二角兩腰之餘割線相乘以全除之得初數又兩腰
之餘弦相乘以全除之得次數以次數與角對邊之餘弦
或加或减如前法以所得數乘第一得數以全除之
得角之餘弦三法用前斜角三題全圖解爲全數與一腰
之正弦若他腰之正弦與初得數又初得數與兩矢
之較兩矢者兩腰較弧之矢及底弧之矢此名次得數若全數與角之矢
球上三角形比類法見宗動天諸問向上諸篇皆先言
其理諸問見本篇八卷
上法之外尚多別法或用實球從球面界畫諸圈測之
或用平立環渾儀測之或用平渾儀測之或用比例
規或用宗動天之象限或用規于平面畫圖以綴術
算之或先算成各度分之數而列爲立成表俱有本
書本論本捷法然方之前法則踈而不密故近来曆
家舍置不用也
古法用弦數以推步七政必須句股開平立三乘方等
術至繁而易紊用力多而見功少今悉置不用獨用
乘除簡矣此卷中并除法不用而獨用乘法更簡也
又有加减術并乘除俱不用然其理必繇乘除而出
故先用本卷之法此法既明用之既熟然後用加减
取徑捷焉
三角形有三邊求角三法假如丙丁邊十九度三十
分丙戊邊十五度五十八分戊丁邊十二度九分求
戊角 第一法兩腰戊丙正弦丙戊爲二七五
戊丁〇八戊丁爲二
一〇四七相乘以全除之初得五七八九又餘弦相
乘以全除之丙戊爲九六一四二丙丁爲九七七六〇次得九三九八八
丙丁邊餘弦爲九四二六四比次得數爲大因兩腰同類其
三爲小即戊角爲銳其較爲二七六加五〇以初得數
除之得四七六七爲角之餘弦查表得八十七度十
六分 二法兩腰餘割線丙戊三六三五三三相乘
丙丁四七五一二三
以全除之初得一七一七二二九其餘弦如上法次
得九三九八八與第三邊餘弦相減得較以較乘初
得數以全除之得如前此法更便可免除法 三法
兩腰正弦如上兩矢較如前解求兩腰之較度得三度四十八分其矢爲二二
一又對邊之矢爲五七三六兩數相减得五五一五爲實加五〇以初數除之得角之矢爲九五二三一
其度如上