崇禎曆書卷之四十九 大測卷二
法原部 公論
大測二卷
欽差禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一
級徐光啓奉勅督修
極西耶穌會士鄧玉函譔
龍華民
同會 同 訂
羅雅谷
鄧洪猷
陳應登
陳于階仝校梓
校：校諱作較今改清刊本署名不同錄之於左
西洋新法曆書法原部明禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級
徐光啓督修
陳應登 賈良琦 鄧玉函 譔
修政曆法極西耶穌會士門人鄭洪猷 賈良棟 受法 湯若望訂
陳于階掌乘校：清刊本此處有
大測二卷標題
表法篇第四
既得前六宗率更用三要法作表
要法一 前後兩弦其能等于半徑圖說系法俱見本
篇總論第十二條
要法二 有各弧之前後兩弦求倍本弧之正弦
如上甲戊弧三十五度其正弦爲戊己得
五七三五七六四其餘弦即乙己得八一
九一五二〇今以此二弦求倍甲戊而爲
甲丁弧之正弦其法以乙戊半徑千萬爲第一率以
戊己正弦爲第二率以乙壬餘弦爲第三率即得壬
庚第四率與辛癸等爲四六九八四六二倍之得丁
癸爲九三九六九二四其弧甲丁七十度
論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與
乙壬等而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬
爲餘弦也而乙壬庚乙戊己兩形之比例等故第四
率爲壬庚壬庚與辛癸同爲直角形之邊故等又丁
壬戊戊壬甲同爲直角則甲戊戊丁兩弧等甲壬壬
丁兩弦亦等而丁辛與壬庚亦等故倍辛癸得丁癸
也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邊俱等依句股法得
甲庚邊倍之爲甲癸以減半徑得癸乙爲餘弦
要法三 各弧之全弦上方與其正半弦上偕其矢上
兩方并等
句股術也
如上甲丁弧之正弦爲丁辛其矢爲甲辛此兩線上
方并與甲丁上方等
系法有一弧之正弦及其餘弦而求其半
弧之正弦
如上甲丁弧其正弦爲丁辛餘弦爲乙辛而求甲戊
弧之甲己半弦其法于甲乙半徑減乙辛餘弦得甲
辛矢其上方偕丁辛半弦上方并與甲丁通弦上方
等開方得甲丁線半之得甲己爲甲戊弧之正弦其
數如上甲丁弧三十度其半弦丁辛爲五〇〇〇〇
〇〇乙辛餘弦爲八六六〇二五四以減全半徑得
甲辛矢一三三九七四六丁辛上方爲二五〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇甲辛上方爲一七九四九一
九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四
四五一六開方得甲丁線五一七六三六〇即甲丁
弧三十度之弦也半之爲甲己半弦得二五八八一
九〇其弧十五度
用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用
甚便但非恆有
簡法一 兩正弦之較與六十度左右距等弧之正
弦等見本卷第二篇
解曰甲乙丙象限內有丙己小弧丙己戊丁大弧丙
戊弧爲六十度而戊己戊丁兩弧等其前
兩正弦一爲己辛一爲丁庚其較丁癸題
言丁癸較與己壬壬丁兩正弦各等
論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也
此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又
何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩
直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩
角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度
而乙甲戊角爲三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線
截二線于子即內外角等而丁子戊角亦三十度戊
子己角亦三十度是丁子己爲六十度角也丁與全
己全子三角既等兩直角一之三十二則共爲一百八十
度于中減全子角六十度則丁己兩全角百二十度
而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊
俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸
子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等
丁癸爲丁子之半丁壬爲丁己之半全線等則所分
必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等
系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之點在六十
度之左右而距度點等則前兩正半弦之較即後兩
半弦如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧
十度丙己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁
弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦爲丁庚
先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以
己辛丁庚兩半弦相減得丁癸較一千七百三十六
即丁戊弧十度之丁壬半弦此數半徑設一萬
次系有六十度左右相離弧之正弦一率又有其原
正弦一率而求其相對之彼正弦其法有二一以大
求小一以小求大以大求小者用大弧之正弦與相
離弧之正弦相減其較爲小弧之正弦餘則稱餘倒則稱倒以
小求大者用相離弧之半弦加小弧之半弦即大弧
之半弦
如上丁壬離弧之正弦即己壬與丁癸較等爲一千
七百三十六丁庚大弦爲九千三百九十六相減得
癸庚七千六六〇即己丙弧之己辛小弦反之丁癸
較爲一千七百三十六即丁壬離弦以加于癸庚即辛己小弦
七千六百六十得丁庚大弦九千三百九十六
用此法于象限內先得半弦六十率用加減法即得
其餘三十率
簡法二 有兩弧不等之各正弦又有其各餘弦而
求兩弧校：弧原作弦據文淵本改相加相減弧之各正弦其法有
二一相加一相減相加者以前弧之正弦乘後弧之
餘弦以後弧之正弦乘前弧之餘弦各得數并之爲
實以半徑爲法而一得兩弧相加爲總弧之正弦
相減者亦如前法互乘得各數相減餘爲
實以半徑爲法而一爲兩弧相減弧之正
弦
如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十五度總三十五
度其差五度甲乙弧之半弦爲三四二〇二〇一其
餘弧甲丁之半弦爲九三九六九二六乙丙弧之半
弦爲二五八八一九〇其餘弧乙丁之半弦爲九六
五九二五八以甲乙半弦與丙丁餘弦之半乘得三
三〇三六六〇三八七〇八五八以乙丙半弦與甲
丁餘弦乘得二四三三二一〇二九九〇五七四〇
以相加得五七三五七六三以下滿半收爲一不滿去之三七七
六五九八以半徑爲法而一得五七三五七六三即
三十五度弧之半弦若以相減則餘八七一五五七
三九六五一一八以半徑爲法而一得八七一五五
七即〇五度弧之半弦校：〇原作十據清刊本改此題多羅某所
用全弦故說中云半弦而圖與數皆全弦然全與全
半與半比例等則亦未有異也
有前六宗率爲資有後三要法爲具資爲材料具如器械即可作
大測全表
如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通
之他率
用法得半弦數
弧 度 分
校：梵蒂岡本
半弦作弦校：梵蒂
岡本此
正弧 一二作二三二〇七九一一七
或衍
弧 度 分 用法得半弦數
半之 〇六 一〇四五二八五
又半之〇三 五二三三六〇
又半之〇一三〇 二六一七六九
又半之〇〇四五 一三〇八九六
其餘弧八四六度 第一 九九四五二一九
之餘
八七三度 九九八六二九五
之餘
八八三〇一度半 九九九六五七三
之餘
八九一五〇度四十 九九九九一四三
五分之餘
弧 度校：梵分校：梵本 用法得正弦數
本無無右格
右格內
內容 容校：梵蒂岡本
半其餘八十四度四二 此作二三或衍六六九一三〇六
半之 二一 三五八三六七九
又半之 十〇 三〇 一八二二三五五
又半之 〇五 一五 九一五〇一六
半其餘八四三 三〇 六八八三五四六
十七度
又半之 二一 四五 三七〇五五七四
半其餘八四十四十五 六九七七九〇五
八三〇校：梵蒂校：梵蒂
岡本無岡本無
此格此格
內容 內容
又用前七率之餘弧而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦數
四八四十二之第一七四三一四四八
餘二十一之
六九 九三三五八〇四
餘十度半之
七九三〇 九八二二五四九
餘五度十五
八四四五 九九五八〇四九
分之餘
四六三〇四十三度 七二五三七四四
半之餘
六八一五二十一四 九二八八〇九六
十五分餘
四五四五四十四十 七一六三〇一九
五分之餘
校：梵蒂岡本此作
七一六〇三一九
又半前七率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦數
二四四十八之半：梵蒂岡本此四〇六七三六六
半作二三或衍
三四三〇六十九之半三校：應衍梵蒂岡本作二三五六六四〇六二
一七一五三十四三 二九六五四一六
十分之半
三九四五七十九三 六三九四三九〇
十分之半
二三一五四十六三 三九四七四三九
十分之半
又用前五率之餘弧而求其半弦
弧 度 分 用法得正弦數
六六二十四之第一九一三五四五五
餘三十四三
五五三〇 八二四一二六二
十分之餘
七二四五十七度十 九五五〇一九九
五分之餘
五〇一五三十九四 七六八八四一八
十五分餘
六六四五二十三度 九一八七九一二
十五分餘
又半前五率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦數
三三六十六之半：梵蒂岡本此五四四六三九〇
半作二三或衍
一六三〇三十三之 二八四〇一五三
半
〇八一五一十六三 一四三四九二六
十分之半
二七四五五十五三 四六五六一四五
十分之半
又用前四率之餘弧而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦數
五七三十三之第一八三八六七〇六
餘十六度三
七三三〇十分之餘第一九五八八一九七
八一四五八度十五 九八九六五一四
分之餘
六二一五二十七四 八八四九八七六
十五分餘
又半前四率而求其正弦
弧度 分 用法得正弦數
二八三〇五十七度校：梵蒂岡本此之半作二三或衍四七七一五八八
一四一五二十八三 二四六一五三三
十分之半
三六四五七十三三 五九八三二四六
十分之半
又用前三率之餘而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦數
六一三〇二十八度三十分餘第一八七八八一一一
七五四五十四度十 九六九二三〇九
五分之餘
五三一五三十六四 八〇一二五三八
十五分餘
又半前六十一度三十分而求其正弦
弧度 分 用法得正弦數
三〇四五校：梵蒂岡本此五一一二九三一
作二三或衍
又用前三十〇度四十五分之餘而求其正弦
弧 度 分 用法得正弦數
五九一五 第一八五九四〇六四
已上皆十二度所生之率再用其餘弧七十八度推
之亦如前法又十二度之弧爲前六宗率之十五邊
形也其餘五形如三邊四邊五邊六邊十邊形亦如
前法作此既畢即大測表之大段全具矣何者首得
者四十五分其次爲一度三十分又次爲二度一十
五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆
然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求
初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧
之半弦一三〇八九六用第二第三法半之得二十
二分三十秒之弧其半弦爲六五四四九又半前弧
得一十一分一十五秒之弧其半弦爲三二七二四
半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五
秒之後弧而前半弦亦倍于後半弦蓋繇初度之弦
與弧切近畧似相合爲一線故也則用同比例法即三
率法以二十二分三十秒之弧爲第一率以其半弦六
五四四九爲第二率設十分之弧爲第三率而得第
四率爲二九〇八八再用此法得一分之弧爲二九
〇九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此
外更用前三要法推之以至九十度
其求切線皆用三率法
以餘半弦爲第一率以半弦爲第二率以半徑爲第
三率而得第四切線
如三十度之弧其餘半弦八六六〇二五
四爲第一率其半弦五〇〇〇〇〇〇爲
第二率半徑一〇〇〇〇〇〇〇爲第三
率則得第四率五七七三五〇二
其求割線亦用三率法
以餘半弦爲第一率半徑爲第二率又爲第三率而
得割線第四率
如前戊乙爲三十度之弧其餘半弦甲丙八六六〇
二五四爲一率校：梵蒂岡本〇作空格半徑甲戊一〇〇〇〇
〇〇〇爲二率又以半徑甲乙爲第三率而得甲丁
一一五四七〇〇五爲三十度弧之割線
其求割線之約法不用三率而用加減法
如上乙己弧二十度其切線爲乙戊餘弧爲己丙七
十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧
與己丁等次作乙辛切線得數以加乙戊
切線即兩切線并爲戊乙辛切線與甲戊
割線等
其求矢法以餘半弦減半徑得小矢
如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘半
弦丁戊即己乙爲六四二七八七六以減乙
丙千萬得己丙矢
已上所述皆遠西法也彼自度以下遞析爲六十今
中曆遞用百析爲便故須會通前表爲百分之表其
會通法如西六十分即中之百分半之三十分即五
十分又半之十五分即二十五分以五爲法西三分
即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十
二分即二十分如是以至六十
三六九十二十五十八二十一二十四二十七三十
五十十五二十二十五三十三十五四十四十五五十
三三三六三九四二四五四八五一五四五七六十
五五六十六五七十七五
八十八五九十九五百
通表法書各度之四種割圓線中西法皆同所不同
者分也其分數書五分用其三分之率書十分用其
六分之率如是遞至于百所闕者每二率相距少其
間四率耳則用加減法求之
如二十四度〇三分即中五分也其小弦數小弦者十萬爲
半徑也四〇七五三又二十四度〇六分即中十分也
其小半弦四〇八三三其差八十五分之得十六爲
一差以加于前小半弦即得四〇七六九爲中曆二
十四度六分之半弦再加一差得四〇七八五爲七
分之半弦三加得四〇八〇一爲八分之半弦四加
得四〇八一七爲九分之半弦五加得四〇八三三
爲十分之半弦合前率矣如是遞加之得六十與百
分相通之全表
西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差
數有畸零不盡者如西表二十四度二十七分之半
弦爲四一三九〇又二十四度三十分之半弦爲四
一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之
四爲一差通之則從中表二十四度四十五分首加
一差
二十四度四十五分 四一三九〇
差 一五 五之四
法
四十六分加一 四一四〇五 五之四
差
四十七分加二 四一四二一 五之三
差
四十八分加三 四一四三七 五之二
差
四十九分加四 四一四五三 五之一
差
五十〇分加五 四一四六九
差
如上有畸零者滿半收爲一不滿去之
考表法 作表未必無誤其考之之法
如表書七十七度一十八分其切線爲四四三七三
四九九此率如屬可疑則以前後各二率考之
校：梵蒂岡本與此表數據大有不同今錄之於左
表用篇第五
表用一 有弧數求其正弦
如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分
表得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本
度本分之半弦爲六一四二八五三又取次率五十
五分之半弦爲六一四五一四八相減得差二二九
五若表上有差率即取本差此差以當六十秒用三率法以六十
秒爲第一率以二二九五差爲二率以四十六秒爲
三率而求四率得一七五九以加所取之前半弦六
一四二八五三共得六一四四六一二即所求
系凡求切線割線同上法
次系有正弧求餘弦視本弧同位之餘度分向正弧
表上取其正弦
如求三十度之餘弦視正弧表上與同位者爲餘弦
六十度即向正弧六十度取其弦八六六〇二五四
即三十度之餘弦表上逆列同位者爲五十九度六十分而此言六十度蓋并其六十
分爲六十度其逆列六十度者則是六十一度何者凡所書弧分皆所書弧度之算外分故也
又如求五十度〇分之餘弦本表逆列同位者爲三
十九度六十分即于正弦表上簡三十九度六十分
之弦
得六四二七八七六即所求
三系測三角形欲得見弧見弧者有己得之弧而求其弦也隱弧者有己得之
弦而求其弧也凡己得者稱見未得稱隱諸線諸角之屬皆倣此之各線查表之本
度分直取之則各線咸在也如弧三十度求其割圓
各線即查表之三十度初分又查其同位之六十度
所得如左
三十度初 正弦 五〇〇〇〇〇〇校：據文淵本於
分 末尾增一〇
切線 五七七三五〇三
割線 一一五四七〇〇五
餘五十九度 弦 八六六〇三五四
六十分
切線 一七三二〇五〇八
割線 二〇〇〇〇〇〇〇
四系有鈍角求其各線如鈍角一百四十二度六分
其正弦則以一百四十二度六分減半周餘三十七
度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三
如上丙丁正弦當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙
甲丁銳角亦當丙甲戊鈍角何者甲上銳鈍二
角原當兩直角而表上無鈍角之弧與其正弦
故減鈍角于百八十度得銳角三十七度五十
四分其半弦丙丁以當丙戊大弧即以當大弧之鈍
角也
表用二 有正弦求其弧
與前題相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧
查表上正弦格得此數即得本度爲六十二本分爲
四十四也
又如正弦五七六五八三四求弧查表無此數即取
其近而畧小者得三十五度十二分之弦爲五七六
四三二三與見弦相減餘一五一一又取其近而畧
大者得五七六六七〇〇與前小弦相減餘二三七
七以此大差當六十秒用三率法以二三七七大差
爲第一率以六十秒爲第二率以一五一一小差爲
第三率而得第四率爲三十五度十二分三十秒即
所求他各線求弦俱倣此
表用三 有弧求其通弦
如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三
十七度五十四分求其正弦得六一四二八五二校：此
數梵蒂岡本作六一四三八四三誤倍之得一二二八五七〇四校：此數梵
蒂岡本作一二二分七七〇六誤即所求
如甲乙弧七十五度四十八分半之爲乙戊弧求得
乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦無表
故用半弧正弦倍之即是他準此
表用四 有弧求其大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表截
矢數得乙丙小矢爲二一〇九一五九以減全
徑二〇〇〇〇〇〇〇得大矢一七八九〇八
四一如表無小矢即求見弧之餘弦得七八九〇八
四一以減半徑得小矢
測平篇第六
測平者測平面上三角形也凡此形皆有六率曰三邊
曰三角角無測法必以割圓線測之其比例甚多今
用四法以爲根本依此四根法可用大測表測一切
平面三角形亦執簡御繁之術也凡測三角形皆用
三率法即同比例三率法又以相似兩三角形幾何六卷四爲
宗下文詳之
根法一 各三角形之兩邊與其各對角兩正弦比例
等一云右邊與左邊若左角之弦與右角之弦
如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩爲銳角即以甲
爲心甲乙爲半徑作乙戊弧次作乙己垂線即
乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲乙
爲度從丙截取丙庚從丙心庚界作庚辛弧又
作垂線庚丁即庚辛弧與丙角之正弦也題言
乙角之甲乙右邊與乙丙左邊若左角丙之庚丁正
弦與右角甲之乙己正弦
論曰乙丙己三角形有乙己庚丁兩平行線即乙丙
與乙己若庚丙與庚丁而丙庚原與甲乙等即乙丙
與乙己若甲乙與庚丁更之即甲乙與乙丙若庚丁
與乙己如上甲乙丙形乙爲直角有丙乙丁戊兩平
行線即甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙
與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反
之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角
甲之丁戊弦與右角乙之丙乙弦
如上甲乙丙形乙爲鈍角其正弦丙壬而甲戊線與
乙丙等甲角之正弦爲戊己題言丙角之甲
丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙壬弦與
右角甲之戊己弦何也試于形外引甲乙至
丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙銳角等
依首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙
亦若丙壬與戊己
總論之各三角形各兩邊之比例與兩對角
之兩正弦比例等者何也試于形外作切圈
則三邊爲三弦而本形之各邊皆爲各對角
之通弦即乙丙邊與甲乙邊若甲角之弦與丙角之
弦也當已即是豈止同比例而已乎夫全與全半與
半比例等則各半弦與各通弦之比例亦等
此題爲用對角根本
根法二 各三角形以大角爲心小邊爲半徑作圈而
截兩邊各爲圈內外兩線即底線與兩腰并若腰之
外分與底之外分
如上甲乙丙形其小邊甲丙其底乙丙以甲
爲心甲丙爲半徑作圈截底于戊截大腰于
庚題言乙丙底與乙甲甲丙兩腰并若腰外
分乙庚與底外分乙戊
論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與
兩腰并等乙己乙庚矩內形與乙丙乙戊矩內形兩
容等幾何三卷三五即兩形邊爲互相視之邊而乙己與乙
丙若乙戊與乙庚既得乙戊底外分以減全底得戊
丙半之得垂線所至爲丁丙
此題爲用垂線根本
根法三 有兩角并之數又有其各正弦之比例求兩
分角之數
如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之數其兩分之大角
爲乙甲壬小角爲壬甲丙未得數但知大角正弦乙
丁小角正弦丙戊之比例亦未得數而求兩
分角之數其法以乙辛丙弧兩平分于辛作
甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬角
爲半弧與小弧之差又爲大弧與小弧之半差次截
辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角爲大小兩
弧之差夫乙丙者總角之弦乙丑平分弧之正弦而
己辛爲乙辛半弧之切線辛癸爲辛丙半弧之切線
此二線等而辛壬辛庚各爲半差弧之切線亦等又
乙丁子子丙戊兩形爲兩正弦上三角形此兩形之
丁與戊皆直角又同底即兩正弦之對角爲子上兩
交角亦等幾何一卷十題而丁乙子子丙戊兩角亦等幾何一卷
三二則兩形爲相似形而乙丁正弦與丙戊正弦若乙
子與子丙幾何六卷四先既有乙丁丙戊兩正弦之比例
即得乙子與子丙之比例而又得乙子與子丙之較
爲子寅夫乙丙己癸兩線同爲甲辛半徑上之垂線
即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即爲
相似之形六卷四而兩形內所分之各兩三角
形如甲庚癸甲寅丙之類俱相似即以兩線
之并數乙丙爲第一率以兩線之差數子寅爲第二
率以兩半弧之兩切線己癸爲第三率則得兩差弧
之切線庚壬爲第四率矣而此比例稍繁別有簡者
則半之曰丙丑與子丑若癸辛與壬辛也有更簡者
則曰乙丙與子寅若辛癸與辛壬也今用第三法云
乙丙爲兩邊之并數子寅其較數辛癸爲兩角總數
內半弧之切線而辛壬爲大小兩角較弧之切線既
得辛壬切線即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得
乙甲壬大角以減辛甲丙半角即得壬甲丙小角
以數明之乙甲丙角爲四十度所包大小兩隱角爲
乙甲壬壬甲丙其兩正弦乙丁丙戊之比例爲七與
四即乙子子丙之比例亦七與四而乙丙之總數如
十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛
辛丙兩弧各二十度又以大線七與半線相減餘一
有半以半線五有半與小線四相減亦餘一有半又
甲辛爲半徑即辛丙二十度弧之切線辛癸爲三六
三九七〇二即以丑丙五有半爲第一率以辛癸切
線三六三九七〇二爲第二率以子丑一有
半爲第三率而得辛壬切線九九二六四六
爲第四率既得第四率即得辛壬所當辛甲
壬角爲五度四十〇分八秒以減辛丙二十度餘壬
甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙
辛得乙甲壬大角二十五度四十〇分八秒
此題爲用切線根本
根法四 凡直角三邊形之各邊皆能爲半徑
其一以弦線爲半徑作弧即餘兩腰包直角者各爲
其對角之正弦
如上甲乙丙形其乙丙爲對直角之弦線
以爲半徑作丁丙弧即甲丙小腰爲對角
乙之正弦甲乙大腰爲對角丙之正弦
其二以大腰爲半徑即小腰爲小角之切線而弦線
爲小角之割線
如上甲乙大腰爲半徑即甲丙小腰爲乙小
角之切線而乙丙爲乙角之割線
其三以小腰爲半徑即大腰爲大角之切線而弦線
爲大角之割線
如上甲丙小腰爲半徑即甲乙大腰爲丙大角之切
線而乙丙弦線爲其割線
此題爲用割圓各線根本